Б.А.Дубровин
С.П.Новиков
А.Т.Фоменко
СОВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Методы и приложения
Том II ¦ Геометрия и топология
многообразий
Издание четвертое,
исправленное и дополненное.
Эдиториал УРСС
Москва ¦ 1998

Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т.
СОВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Методы и приложения.
Том II. Геометрия и топология многообразий.
Издание четвертое, исправленное и дополненное. —
М.: Эдиториал УРСС, 1998, — 280 с.
Книга включает геометрию и топологию многообразий, в том числе
основы теории гомотопий и расслоений, некоторые их приложения, в
частности, к теории калибровочных полей.
Книга рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов и научных
работников — математиков, механиков и физиков-теоретиков.
Группа подготовки издания:
Директор
Зам. директора
Макет
Технический редактор
Техническая поддержка
Доминго Марин Рикой
Наталья Финогенова,
Ирина Макеева
Леонид Иосилевич
Марина Копылова,
Марина Круцко
Виктор Романов
Подписано к печати 20.10.97 г. Формат 70x100/16. Тираж 1000 экз.
Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Печ. л. 17,5. Зак. № 8097.
Лицензия ЛР №064418 от 24.01.96 г.
Издательство «Эдиториал УРСС»
113208. г. Москва, ул. Чертановская, д. 2/11. ком. прав.
Отпечатано в АООТ «Политех—4»
129110, г. Москва, Б. Переяславская. 46
ISBN 5-901006-01-1 (Полное произведение)
5-901006-27-5 (Том II)
© Дубровин Б. А.,
Новиков С. П.,
Фоменко А.Т., 1986.
© «Эдиториал УРСС», 1998.
Оглавление
Глава 1. Примеры многообразий 6
§ 1. Понятие многообразия 6
1. Определение многообразия. F). 2. Отображения многообразий; тен-
тензоры на многообразии. (9). 3. Вложения и погружения многообразий.
Многообразия с краем. A2).
§ 2. Простейшие примеры многообразий 13
1. Поверхности в евклидовом пространстве. Группы преобразований
как многообразия. A3). 2. Проективные пространства. A7).
'§ 3. Необходимые сведения из теории групп Ли 20
1. Строение окрестности единицы группы Ли. Алгебра Ли группы.
Полупростота. B0). 2. Понятие (линейного) представления. Пример
нематричной группы Ли. B5).
§ 4. Комплексные многообразия 27
1. Определения и примеры. B7). 2. Римановы поверхности как много-
многообразия. C2).
§ 5. Простейшие однородные пространства 34
1. Действие группы на многообразии. C4). 2. Примеры однородных
пространств. C5).
§ 6. Пространства постоянной кривизны (симметрические пространства) . 38
1. Понятие симметрического пространства. C8). 2. Группа изометрий.
Свойства ее алгебры Ли. D0). 3. Симметрические пространства 1-го и
2-го типов. D1). 4. Группы Ли как симметрические пространства. D3).
5. Построение симметрических пространств. Примеры. D4).
§ 7. Линейные элементы и связанные с ними многообразия 47
1. Конструкции, связанные с касательными векторами. D7). 2. Нор-
Нормальное расслоение к подмногообразию. D9).
Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций. Типич-
Типичные гладкие отображения 52
§ 8. Разбиение единицы и его применения 52
1. Разбиение единицы. E2). 2. Простейшие применения разбиения
единицы. Интеграл по многообразию и формула Стокса. E5). 3. Инва-
Инвариантные метрики. E9).
§ 9. Реализация компактных многообразий как поверхностей в Ж^ 61
§ 10. Некоторые свойства гладких отображений многообразий 61
I. Аппроксимация непрерывных отображений гладкими. F1). 2. Тео-
Теорема Сарда. F3). 3. Трансверсальная регулярность. F6). 4. Функции
Морса. F8).
§ 11. Применения теоремы Сарда 71
1. Существование вложений и погружений. G1). 2. Построение функ-
функций Морса как функций высоты. G3). 3. Фокальные точки. G5).

4 Оглавление
Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения 77
§ 12. Понятие гомотопии 77
1. Определение гомотопии. Аппроксимация отображений и гомотопии
гладкими. G7). 2. Относительные гомотопии. G9).
§ 13. Степень отображения 79
1. Определение степени. G9). 2. Общения основного определения. (80).
3. Гомотопическая классификация отображений многообразия в сфе-
сферу. (81). 4. Простейшие примеры. (82).
§ 14. Некоторые применения степени 84
1. Степень и интеграл. (84). 2. Степень векторного поля на гиперповерх-
гиперповерхности. (85). 3. Число Уитни. Формула Гаусса—Бонне. (87). 4. Индекс
особой точки векторного поля. (90). 5. Трансверсальная поверхность
векторного поля. Теорема Пуанкаре—Бендиксона. (93).
§ 15. Индекс пересечения и его применения 95
1. Определение индекса пересечения. (95). 2. Суммарная особенность
векторного поля. (96). 3. Алгебраическое число неподвижных точек.
Теорема Брауэра. (98). 4. Коэффициент зацепления. (99).
Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа. Накрытия
(расслоенные пространства с дискретным слоем) 101
§ 16. Ориентируемость и гомотопия замкнутых путей 101
1. Перенос ориентации вдоль пути. A01). 2. Примеры неориентируемых
многообразий. A02).
§ 17. Фундаментальная группа 103
1. Определение фундаментальной группы. A03). 2. Зависимость от
начальной точки. A05). 3. Свободные гомотопические классы отобра-
отображений окружности. A05). 4. Гомотопическая эквивалентность. A06).
5. Примеры. A07). 6. Фундаментальная группа и ориентируемость. A08).
§ 18. Накрытие и накрывающая гомотопия 108
1. Определение и фундаментальные свойства накрытий. A08). 2. Про-
Простейшие примеры. Универсальное накрытие. (ПО). 3. Разветвленные
накрытия. Римановы поверхности. A12). 4. Накрытия и дискретные
группы преобразований. A14).
§ 19. Накрытия и фундаментальная группа. Вычисление фундаментальной
группы некоторых многообразий 114
1. Монодромия. A14). 2. Вычисление фундаментальной группы с по-
помощью накрытий. A16). 3. Простейшая гомологическая группа. A18).
§ 20. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского 120
Глава 5. Гомотопические группы 131
§ 21. Определение абсолютных и относительных гомотопических групп. При-
Примеры 131
1. Основные определения. A31). 2. Относительные гомотопические
группы. Точная последовательность пары. A33).
§ 22. Накрывающая гомотопия. Гомотопические группы накрытий и про-
пространств петель 136
1. Понятие расслоения. A36). 2. Точная последовательность расслое-
расслоения. A37). 3. Зависимость гомотопических групп от начальной точ-
точки. A39). 4. Случай групп Ли. A41). 5. Умножение Уайтхеда. A43).
§23. Сведения о гомотопических группах сфер. Оснащенные многообразия.
Инвариант Хопфа 145
Оглавление 5
1. Оснащенные многообразия и гомотопические группы сфер. A45).
2. Надстройка. A48). 3. Вычисление групп 7г„+1E"). A50). 4. Группы
тгп+2E"). A51).
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения) 153
§ 24. Гомотопическая теория косых произведений 153
1. Понятие гладкого расслоения. A53). 2. Связность. A56). 3. Вычи-
Вычисление гомотопических групп с помощью расслоений. A58). 4. Класси-
Классификация расслоений. A63). 5. Векторные расслоения и операции над
ними. A66). 6. Мероморфные функции. A68). 7. Формула Пикара—
Лефшеца. A71).
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений 173
1. G-связности в главных расслоениях. A73). 2. G-связности в ассо-
ассоциированных расслоениях. Примеры. A77). 3. Кривизна. A80). 4. Ха-
Характеристические классы. Конструкции. A84). 5. Характеристические
классы. Перечисление. A89).
§ 26. Узлы и зацепления. Косы 194
1. Группа узла. A94). 2. Полином Александера. A96). 3. Расслоение,
связанное с узлом. A96). 4. Зацепления. A98). 5. Косы. A99).
Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях . 201
§ 27. Простейшие понятия качественной теории динамических систем. Дву-
Двумерные многообразия 201
1. Основные определения. B01). 2. Динамические системы на то-
торе. B04).
§ 28. Гамильтоновы системы на многообразиях. Теорема Лиувилля. Примеры 207
1. Гамильтоновы системы в кокасательном расслоении. B07). 2. Га-
Гамильтоновы системы на многообразиях. Примеры. B08). 3. Геодезиче-
Геодезические потоки. B11). 4. Теорема Лиувилля. B12). 5. Примеры. B14).
§ 29. Слоения 217
1. Основные определения. B17). 2. Примеры слоений коразмерно-
коразмерности 1. B19).
§ 30. Вариационные задачи с высшими производными. Гамильтоновы поле-
полевые системы 223
1. Гамильтонов формализм задач с высшими производными. B23).
2. Примеры. B26). 3. Гамильтонов формализм полевых систем. B28).
Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач .... 235
§ 31. Некоторые многообразия общей теории относительности (ОТО) .... 235
1. Постановка задачи. B35). 2. Сферически симметричные реше-
решения. B36). 3. Аксиально симметричные решения. B42). 4. Космоло-
Космологические модели. B45). 5. Модели Фридмана. B47). 6. Анизотропные
вакуумные модели. B50). 7. Более общие модели. B53).
§ 32. Некоторые примеры глобальных решений уравнений Янга—Миллса.
Киральные поля 257
1. Общие замечания. Решения типа монополей. B57). 2. Уравнение
дуальности. B61). 3. Киральные поля. Интеграл Дирихле. B63).
§ 33. Минимальность комплексных подмногообразий 271
Список литературы 275
Предметный указатель 276

Глава 1
Примеры многообразий
§1. Понятие многообразия
1. Определение многообразия. Понятие многообразия представляет собой, в
сущности, обобщение впервые математически описанного Гауссом процесса картогра-
картографирования земной поверхности. Это обобщение оказывается чрезвычайно широким и
применимо к громадному классу сложнейших геометрических фигур.
Напомним, в чем состоит сам процесс картографирования. Коллектив людей,
которому поручено составить карту земной поверхности, разбивается на группы, исходя
из следующих естественных требований.
1) Каждый кусок земной поверхности поручен какой-нибудь группе (с номе-
номером »').
2) Если области, порученные двум разным группам (с номерами i и j), пе-
пересекаются, то этим группам необходимо четко описать на своих картах правило
соответствия их карт в общей области. Обычно это правило пересчета на реальных
картах заключается в нанесении на карту достаточно подробного списка наимено-
наименований географических пунктов, откуда сразу видно, какие точки на разных картах
соответствуют друг другу.
Каждая из составленных карт, как мы помним, нанесена на плоский лист бумаги
с какими-то координатами на нем. Совокупность этих листов, именуемых картами,
называется атласом земной поверхности. Кроме того, на картах обычно указывается
правило вычисления истинной длины любого пути, попавшего в данную карту; к этому
мы вернемся позднее (понятие длины мы не включаем в понятие многообразия).
Исходя из этих соображений, вводится общее довольно пространное определе-
определение, к которому мы и переходим.
Определение 1. Дифференцируемым п-мерным многообразием называется произвольное
множество точек М, в котором введена следующая структура: 1) множество М
представлено в виде объединения конечного или счетного числа областей Uq;
2) в каждой области Uq заданы координаты xq, а = 1,...,п, называемые
локальными координатами '*. Сами области Uq при этом называют координатными
окрестностями или картами. Пересечение Ug:n Up каждой пары этих областей
в множестве М, если оно не пусто, само является областью, в которой
уже действуют две системы локальных координат (хр) и (xq). Требуется,
чтобы каждая из этих систем локальных координат выражалась через другую
"Иначе говоря, задано взаимно однозначное отображение <pq : Uq —» R", где образ 4>q(Uq) есть
открытая область в Е". Это отображение <pq и вводит в Uq координатную систему xq,...,xq,
принося с собой координаты из К".
§ 1. Понятие многообразия
дифференцируемым образом:
хр - хр(х\,...,х^), а = \,...,п;
xq=xq(x]v, ,х"), а =•!,...,я.
A)
Тогда якобиан det(^j) будет, отличен от нуля. Функции A) называются
функциями перехода (от координат х" к координатам х? и обратно). Общий класс
гладкости функций перехода, для всех пересекающихся пар (р, q) называется
классом гладкости самого многообразия М, заданного с помощью «атласа» {Uq}.
Простейший пример многообразия — это само евклидово пространство или
любая его область:
Область в комплексном пространстве С является 2га-мерной вещественной!
областью и также является многообразием.
-По двум многообразиям М = UUq, N = UK можно построить их прямое
1 р
произведение М. х N. Точками многообразия М х N- по определению будут пары
точек (т,п); покрытие координатными областями определяется так:
MxN=uUqxVp. B)
Если (xq) — координаты в области Uq, (yj;) — координаты в области К, то координаты
в области Uq х К будут (xq, y$).
В дальнейшем встретится ряд других примеров многообразий.
Следует отметить, что введенное нами общее понятие многообразия с чисто
логической точки зрения излишне широко; его следует ограничить, и это будет в
дальнейшем сделано (см. ниже). Однако формулировка этих логических ограничений
будет произведена на языке общей топологии, который мы пока не вводили. Можно это
обойти, требуя с самого начала, чтобы многообразие, по определению, располагалось
как гладкая неособая поверхность в евклидовом пространстве какого-то (может быть,
большого) числа измерений. Логически это неестественно; проще сначала абстрактно
определить многообразия и затем доказать, что все они могут быть реализованы как
поверхности в евклидовом пространстве.
Напомним некоторые понятия из общей топологии.
1. Топологическое пространство — это множество точек X, в котором указано,
какие подмножества являются открытыми. При этом мы требуем, чтобы пересечение
любых двух и, значит, любого конечного числа открытых множеств было открыто и
чтобы объединение любого числа открытых множеств было открыто. Все X и пустое
множество также должны быть открытыми.
Дополнение к открытому множеству называется замкнутым множеством.
Уже такое определение, как известно из курса математического анализа, дает
возможность ввести непрерывные функции и отображения: отображение / : X —> Y
одного топологического, пространства в другое непрерывно, если полный прообраз
f~[(U) любого открытого множества U С Y является открытым в X.
В евклидовом пространстве К" вводится «евклидова, топология», в которой
открытыми множествами считаются обычные открытые области (см. том I, § 1).
«Индуцированная топология» на произвольном подмножестве АС1" имеет в качестве
открытых множеств V пересечения U n А = V, где U есть обычная открытая
область в К".

8
Глава 1. Примеры многообразий
Определение 2. Топология (или евклидова топология) на многообразии М опре-
определяется следующим семейством открытых множеств (областей): в каждой
координатной области Ug С М открытыми считаются открытые области в 1"..
Вся совокупность открытых множеств в М получается из этих множеств с
помощью операции счетного объединения.
Непрерывными отображениями (функциями) при такой топологизации много-
многообразия М оказываются отображения (функции), непрерывные в каждой координатной
области ия в обычном смысле.
Открытое подмножество V многообразия М = и Uq наследует от М структуру
многообразия V = и Vq, где области Vq имеют вид
1
= vnu
q.
C)
2. Важным классом топологических пространств являются метрические про-
пространства. Для любых двух точек х, у метрического пространства X определено
расстояние р(х, у) между этими точками. Требуется, чтобы это расстояние обладало
следующими свойствами:
1) Р(х,у) - р(у,х);
2) р(х, х) = 0, р(х, у) > 0 при х ф у;
3) р(х,у) ^ p(x,z) + p(z,y) («неравенство треугольника»).
Например, га -мерное евклидово пространство М" является метрическим отно-
относительно евклидова расстояния между точками х - (ж1,..., хп), у = (у\... ,уп):
\
a=l
В метрическое пространство вводится топология: открытыми множествами
являются объединения (произвольных семейств) открытых шаров, где открытый шар с
центром хо радиуса е есть совокупность таких точек х, что р(хо,х) < е.
Для га-мерного евклидова пространства эта топология совпадает с введенной
выше «евклидовой топологией».
Важный для нас пример — это многообразие, снабженное римановой метри-
метрикой (определение расстояния между точками многообразия с римановой метрикой
см. в п. 2).
3. Топологическое пространство X называется хаусдорфовым, если любую пару
его точек можно окружить непересекающимися друг с другом открытыми множествами.
В частности, метрическое пространство хаусдорфово: если р(х,у) = 2е, то
открытые шары радиуса е с центрами в точках х и у не пересекаются в силу
неравенства треугольника. В дальнейшем мы будем всегда говорить только о хаусдорфовых
пространствах. В частности, в определение многообразия мы внесем еще один пункт:
многообразие предполагается хаусдорфовым пространством.
4. Пространство X называется компактным, если из любой последовательности
точек можно выбрать сходящуюся последовательность.
Эквивалентно: если X покрыто счетным числом открытых областей, то из них
можно выбрать конечное число покрывающих X.
5. Линейно связное пространство обладает тем свойством, что любые две его
точки можно соединить непрерывной кривой.
§ 1. Понятие многообразия 9
6. Другим важным для нас примером топологического пространства является
пространство отображений М —> N многообразия М в многообразие N, точное
описание топологии которого будет дано ниже.
Понятие многообразия лишь на первый взгляд может показаться чересчур
абстрактным. Фактически же даже в евклидовом пространстве или его областях
мы зачастую бываем вынуждены делать замены координат и следить за законом
преобразования тех или иных величин. Более того, часто удобно в разных областях
пространства решать ту или иную задачу в разных координатах, затем следить, как
решения «сшиваются» в общей области действия двух различных координатных систем.
Кроме того, не все поверхности допускают возможность введения единой системы
координат без особых точек (например, сфера не допускает).
Важный класс многообразий составляют ориентируемые многообразия.
Определение 3. Многообразие М называется ориентированным, если якобианы функ-
функций перехода Jn = det(-%) положительны для всех пересекающихся пар
областей.
Например, евклидово пространство К" с координатами (х1,..., х") по определе-
определению ориентировано. То же самое пространство М" с другими координатами (у1,...,у")
также по определению ориентировано. При этом согласно сказанному выше якобиан
замены х" = х"(у\..., уп), J = det(^) отличен от нуля и потому имеет постоянный
знак.
Определение 4. Мы скажем, что координаты (х) и (у) определяют одну и ту же
ориентацию в Ж", если J > 0, и противоположную, если J < 0.
Таким образом, евклидово пространство Ж" обладает двумя ориентациями. В
дальнейшем будет показано, что связное многообразие можно ориентировать двумя
способами, если ориентация на нем вообще существует.
2. Отображения многообразий; тензоры на многообразии. Пусть заданы два
многообразия: М — Ы1Р (координаты Хр) и N = l)Vq (координаты щ).
Определение 5. Отображение
/: M->N
называется гладким класса гладкости к, если функции щ(хр,..., scj) для
всех пар (q,p), когда они определены, в областях, где они определены,
являются гладкими класса гладкости к. При этом не имеет смысла говорить
о классе гладкости отображения, более высоком, чем класс гладкости самих
многообразий М, N.
В случае, если JV есть действительная прямая, N — Ж, отображение / : М —> К
называется числовой функцией f(x), где х — точка многообразия М.
Возможна ситуация, когда гладкое отображение (или числовая функция) опре-
определено не на всем многообразии, а лишь на его части. Примером такой ситуации
служат сами локальные координаты хр, которые при любом а являются числовыми
функциями и определены лишь в области Up по самому своему смыслу.
Определение 6. Два многообразия М и N называются гладко эквивалентными {диф-
феоморфными), если найдется взаимно однозначное и гладкое в обе стороны
отображение какого-то класса гладкости к ^ 1 :
f:M->N, Г1: N->M.

10
Глава 1. Примеры многообразий
В частности, якобиан локальных координат Jn = det(^)
нуля во всех тех областях, где эти функции yq = f{xv,.. .,.х
всюду отличен от
определены.
Мы всегда будем предполагать, что класс гладкости как самих многообразий,
так и их отображений таков, какой нужен для наших целей (всегда ^ 1; если нужны
вторые производные, то не менее двух, и т.д.).
Пусть на многообразии М задана кривая х = х(т), а ^ г ^ Ь, где х — точка
многообразия. Пока кривая находится в области Up действия локальной системы
координат Ху, мы можем записать кривую в виде
В этих координатах мы имеем вектор скорости
В области действия двух координатных систем Up n Uq мы имеем две записи:
х?(т) и а?(т), причем 3$(x*(t),... ,х'{т)) = х*{т).
Для скорости получим
р ох\
На основе этой формулы, как и в евклидовом пространстве, вводится
Определение 7. Касательным вектором к многообразию М в произвольной точке х
называется вектор, записываемый в системе локальных координат (ж,) набором
чисел ??; записи одного и того же вектора в разных системах локальных
координат, содержащих эту точку, связаны формулой
Касательные векторы к п -мерному многообразию М в данной точке х образуют
n-мерное линейное пространство Тх = ГгЖ (касательное пространство). В частности,
вектор скорости любой гладкой кривой является касательным вектором. Выбор
локальных координат (ха) в окрестности точки х задает базис еа = ~ в касательном
пространстве Тх.
Гладкое отображение / многообразия М в многообразие N определяет инду-
индуцированное линейное отображение
Л : Тх
'/(*)•
При этом вектор скорости кривой х — x(t) на многообразии М по определению
переходит в вектор скорости кривой f(x(t)) на многообразии N. В локальных
координатах (ха) (в окрестности точки х) и (у?) (в окрестности точки /(х))
отображение / имеет вид
Тогда индуцированное отображение /» касательных пространств задается матрицей
Якоби
§'• 1, Понятие многообразия- 11Г
для числовой функции f : М ~> I на многообразии М индуцированшве отобра-
отображение /, есть линейная; числовая функция, на, каждом, касательном, пространстве- к
многообразию М (ковектор). Эта линейная функция совпадает с дифференциалом df
функции /.
Определение 8. Римановой (псевдоримановой). метрикой на многообразии М называется
положительная, (невырожденная) квадратичная форма, заданная на касательных
векторах в каждой точке многообразия и гладко зависжщаа от локальных
координат. В каждой области U^ действия локальных координат (хр) метриеа
задается симметрической матрицей
(по повторяющимся индексам а, /3 подразумевается, как обычно, суммирование)
для любого вектора ? в точке х- Метрика задает симметрическое скалярное
¦ произведение двух векторов в одной и той же точке по обычной формуле
№2 = {?,?)¦
Это определение не зависит от выбора локальных координат:
„(?) ^J_ „(9) tl J
или
„(г) _ дхр
д4
дх6ч
Определение 9. Тензор шипа (k,l) на многообразии задается в каждой системе ло-
локальных координат
набором функций
Т.^
В других локальных
координатах (х^), содержащих точку х, этот же тензор задается величинами
(«^'••^(я), причем справедлива формула
Я»1»
ОХ1
Все определения и результаты гл. 3 тома I, полученные для тензоров в области
n-мерного пространства, переносятся автоматически на тензоры на многообразии.
Метрика дар на многообразии — пример тензора типа @,2). На ориентированном
многообразии метрика порождает элемент объема
-а.. 9 =
где ев|...в, — антисимметричный тензор ранга п, ?»,...», = ±1. Это выражение является
тензором относительно замен с положительным якобианом и поэтому корректно
определено для ориентированного многообразия. Элемент объема удобно записать
в виде дифференциальной формы в любых локальных координатах (положительной
ориентации)
п=
dxl Л .

12
Глава 1. Примеры многообразий
Риманова метрика dl2 на многообразии М задает на нем структуру метрического
пространства, где расстояние p(P,Q) между точками Р, Q определяется формулой
P(P,Q)
= min J
dl
(минимум берется по всем кусочно гладким кривым, соединяющим точки Р и О)
Топология, определяемая этой структурой метрического пространства, совпадает с
евклидовой топологией многообразия М (проверьте!).
В силу результатов тома I любые близкие точки на многообразии можно
соединить геодезической. Далекие точки уже нельзя, вообще говоря, соединить
отрезком геодезической, но можно всегда соединить ломаной геодезической.
3. Вложения и погружения многообразий. Многообразия с краем.
Определение 10. Многообразие М размерности т называется подмногообразием мно-
многообразия N размерности п > т, если задано взаимно однозначное гладкое
отображение / : М -> N такое, что индуцированное отображение Д явля-
является вложением касательных пространств в каждой точке. Другими словами
ранг матрицы Якоби этого отображения в локальных координатах равен т
Отображение / называется вложением многообразий.
Если в этом определении отказаться от требования взаимной однозначности
отображения /, то мы получаем погружение многообразия М в N (допускаются
самопересечения). ^miuiwi
Мы всегда будем ограничиваться подмногообразиями, заданными системой
уравнении в каждой координатной окрестности или карте Up:
fp
T т
xp,---,xp
— П
— 0,
При этом на пересечении двух областей Ur, Uq системы (/,« = 0) и (/" = 0) должны
иметь одинаковое множество нулей. В этом случае в области и, можно ввести новые
локальные координаты (ylr,...,j?) такие, что
В этих координатах подмногообразие задается уравнениями
»Г=0, ...,»? = 0.
Функции j/p,.. -, у™ являются локальными координатами на JVm.
Определение 11. Замкнутая область А, выделяемая в многообразии М неравенством
!(х) <; 0 (или /(х) > 0), где /(х) - гладкая функция, называется многообразием
с краем. Требуется, чтобы край дА, задаваемый уравнением /(ж) = 0 являлся
неособым подмногообразием в М, т.е. чтобы градиент функции / не обращался
в нуль на крае. р щ
Пусть А и В — многообразия с краем, заданные в виде замкнутых областей в
многообразиях М и N соответственно. Отображение <р : А - В называется гладким
отображением многообразий с краем, если оно определено в открытой области UcM
целиком содержащей А, как гладкое отображение
V-.U-^N, ip\A=ip.
§ 2. Простейшие примеры многообразий
13
Если АС М выделяется неравенством f(x) ^ 0, то область U — Ue обычно выбирается
в виде {/(х) <?}, где е > 0.
В заключение введем одно очень употребительное название: компактное много-
многообразие, не имеющее края, называется замкнутым..
§ 2. Простейшие примеры многообразий
1. Поверхности в евклидовом пространстве. Группы преобразований как много-
многообразия. Поверхность размерности к в n-мерном евклидовом пространстве задается
набором уравнений
(l...,xn) = 0, »=1,...,л-Ь, A)
причем ранг матрицы @) равен п - к. Если в точке (xq ,..., xq}, лежащей на этой
поверхности, отличен от нуля минор J^...jn_k, составленный из столбцов матрицы @)
с номерами j,,...,jn_t. то локальными координатами у\...,ук в окрестности этой
точки будут
(у\. ..,ук) = (х1,.. .,?»,. ..,?*-*,..., хя), B)
где крышка сверху означает, что этот номер пропущен (ср. том I, §7, п. 1). Вся
поверхность покрыта областями вида Uj,..j,_i., где Uj1...jm_k — совокупность точек, в
которых отличен от нуля минор Jj,...j._t.
Теорема 1. Покрытие областями Cj,...j._4, I ^ ji < ... < jn-k, с локальными координа-
координатами B) задает на поверхности A) структуру гладкого многообразия.
Аоказательсгво. В области l/,-1...j,.l на поверхности A) справедливы соотношения
где <р' — гладкие функции. Аналогично в области U,^Jn_k с координатами
имеем
*« = tfV,..-,A i=i,...,B-fc,
где -ф' = f\z\... ,zk) — гладкие функции. На пересечении областей
и Us^.s^ возникают гладкие функции перехода (у) —> (г) и (г) —> (у):
(
г/5'-
C)
(=х--1),
(=«")

14 Глава 1. Примеры многообразий
(эта запись предполагает, что I < j] < s, < j2 <...)• Эти отображения
взаимно обратны. Напомним, что у гладких отображений с гладким обратным
отображением якобиан всегда отличен от нуля. Теорема доказана. ¦
Замечание 1. Нетрудно вычислить якобиан функций C) перехода (у) —* (г): он равен
Замечание 2. Касательное пространство в каждой точке к рассмотренному многообразию
отождествляется с линейным подпространством в R*, задаваемым системой уравнений
D)
Векторы grad/, = (J?), i = 1,...,п- к, ортогональны к поверхности в каждой точке
(относительно стандартной евклидовой метрики в R").
Докажем, что на неособой поверхности возникает ориентация. Для этого мы
приведем здесь еще одно определение ориентированного многообразия.
Рассмотрим в произвольной точке х п -мерного многообразия М произвольные
невырожденные реперы г из п касательных векторов. Любые два репера т\, т2 связаны
невырожденным линейным преобразованием
ti = Ат2.
Будем говорить, что класс ориентации реперов г,, т2 одинаков, если детерминант
det А положителен. Если det А < О, то будем говорить, что реперы г,, т2 относятся к
классам противоположной ориентации. Тем самым в каждой точке х многообразия М
имеются два класса касательных невырожденных n-реперов. Поскольку репер г можно
непрерывно смещать из точки х в близкую точку многообразия, имеет смысл говорить
о непрерывной зависимости классов ориентации от точки многообразия. Дадим теперь
другое определение ориентации многообразия.
Определение 1. а) Многообразие называется ориентированным, если в каждой точке
выбран один класс ориентации реперов, непрерывно зависящий от точки,
б) Если такой выбор вообще возможен, то многообразие называется ориентиру-
ориентируемым. В противном случае многообразие называется неориентируемым.
Утверждение. Определение 1.3 эквивалентно определению 1, данному в этом параграфе.
Аоказательсгво. Если многообразие М ориентировано в смысле определения 1.3, то
в каждой точке х € М в качестве ориентирующего репера можно взять репер
(eij,... ,enj), состоящий из базисных ортов к координатным осям (ж],...,х™)
области Uj, в которой находится точка х. Так как якобианы переходов
положительны, то это определение не зависит от выбора окрестности Uj,
в которой находится точка х (если она находится в двух областях Uj и Щ).
Обратно, если многообразие ориентировано в смысле определения 1, то в каждой
точке х задан ориентирующий класс реперов. Рассмотрим достаточно малую
е-окрестность точки х; введем координаты (х',..., х") в этой е-окрестности
такие, что репер (ei,---,en), составленный из касательных ортов к осям (х3),
определяет ту же ориентацию, что и ориентирующий репер, во всех точках
§ 2. Простейшие примеры многообразий
15
е -окрестности. Такое малое е > 0 можно выбрать, так как ориентирующий
класс реперов непрерывно зависит от точки х (хотя е может зависеть от точки).
Проделав эту процедуру для всех точек, получим покрытие многообразия
областями, где якобианы перехода все положительны, так как в каждой точке
знак касательного репера к выбранным системам координат положителен по
отношению к ориентирующему классу реперов. Утверждение доказано. Ш
Теорема 2. Гладкая неособая поверхность М в п-мерном пространстве, заданная
системой уравнений A), ориентируема.
Аоказательсгво. Пусть г — касательный репер к поверхности Мк. Очевидно, п
векторов т = (г, grad/i,... jgrad/n-i) линейно независимы в каждой точке
(векторы grad/j ортогональны к поверхности и линейно независимы). Зададим
в каждой точке поверхности Мк класс ориентации касательных реперов,
требуя, чтобы класс ориентации репера ? и стандартного репера (еь...,е„) в
пространстве R" был одинаков. Этот класс, очевидно, непрерывно зависит от
точки. Теорема доказана. ¦
Простейший (отличный от гиперплоскости)
пример неособой поверхности в Жл+1 — это сфера S",
задаваемая уравнением
Х|
+ Хп+\ =
Это — компактное многообразие размерности п. Удоб-
Удобно ввести на сфере локальные координаты, задавае-
задаваемые стереографической проекцией (см. том I, §9).
Пусть Un — вся сфера S" без северного полюса
N - @,... ,0,1), Us — вся сфера S" без южного по-
полюса S = @,... ,0,-1). Области C/jv и Us покрывают
Рис. 1.
задаются стереографи-
всю сферу. Локальные координаты (ulN,...,u%) в области
ческой проекцией на плоскость zn+1 = 0 из северного полюса; в области Us нужно
взять стереографическую проекцию из южного полюса (рис. 1) — получим координаты
(us,...,us). Из рисунка видно, что в плоскости х = 0 векторы uN(x) и us(x)
лежат на одном луче, выходящем из начала координат, причем их длины связаны
соотношением
|it*(z)||its(z)| = 1.
Поэтому функции перехода от координат (ulNl... ,и%/) к координатам (us,--.,us)
имеют вид
/I п \
E)
«дг
a=\
(проверьте!). Обратные функции перехода задаются такой же формулой, только JV и S
нужно поменять местами.
Сфера ограничивает многообразие с краем Dn+1 ((n + 1)-мерный диск):
/(х) = х] +... + х2п+1 - 1
о.
Сфера 5" разделяет все пространство Жл+1 на две непересекающиеся части:
f(x) < 0 и /(х) > 0.

16
Глава 1. Примеры многообразий
Определение 2. Связное (п - 1)-мерное подмногообразие евклидова пространства Е"
называется двусторонним, если на нем существует однозначное непрерывное
поле единичных нормалей.
Такое подмногообразие М мы будем называть также двусторонней гиперповерх-
гиперповерхностью.
Теорема 3. Двусторонняя гиперповерхность в Ж" ориентируема.
Локазательство. Пусть v — единичный вектор нормали к двусторонней гиперповерх-
гиперповерхности М. Класс ориентации касательных реперов г к поверхности М можно
задать, потребовав, чтобы ориентация репера (г, и) и стандартного репера
(в],..., е„) была согласована. Теорема доказана. ¦
Замечание. В §7 будет показано, что всякую замкнутую двустороннюю гиперповерхность в
пространстве R" можно задать одним неособым уравнением f(x) = 0. Из этого совсем
нетрудно вывести, что такая гиперповерхность всегда ограничивает многообразие с краем.
В гл. 3 будет показано также, что любая замкнутая гиперповерхность в ИГ двусторонняя.
Важный пример многообразий, задаваемых системой уравнений в евклидовом
пространстве, — это групповые многообразия (группы преобразований, рассмотренные
в томе I, § 14).
а) Группа GL(n, Ж) матриц с определителем, отличным от нуля, — это область
в пространстве Ж" .
б) Группа SL(n,R) матриц с определителем 1 задается одним уравнением в
пространстве всех матриц (гиперповерхность):
в) Группа О(п, Ж) ортогональных матриц задается системой уравнений
ААТ = 1.
г) Группа U(n) унитарных матриц задается в пространстве размерности In1 всех
комплексных матриц уравнениями
ААТ = 1,
где черта обозначает комплексное сопряжение.
В томе I (§ 14 и др.) было проверено, что эти группы, а также другие группы,
встречающиеся там, являются гладкими неособыми поверхностями в Е""' (или Е2) и
поэтому являются гладкими многообразиями.
Замечание. Эти многообразия G обладают следующей дополнительной структурой: заданы
гладкие отображения ip и ф,
tp: G-+G, где <p(g)=g~',
ф: G х G -» G, где ф(д, ft) = gh.
Определение 3. Многообразие G называется группой Ли, если оно является группой,
причем отображения (риф, задающие групповую структуру, являются гладкими.
Все рассмотренные в томе I примеры групп преобразований — это группы Ли.
§ 2. Простейшие примеры многообразий
17
2. Проективные пространства. Рассмотрим совокупность всех ненулевых векто-
векторов пространства Е"+| и будем считать, что векторы у и Ху, XjtQ, задают одну и ту же
точку. Такой класс эквивалентности называется точкой (вещественного) проективного
пространства, обозначаемого через RP".
Другое описание RP": рассмотрим совокупность прямых в пространстве Е"+1,
проходящих через начало координат. По определению каждая такая прямая задается
своим направляющим вектором, определенным с точностью до ненулевого множителя,
и тем самым может рассматриваться как точка из RP".
Каждая такая прямая пересекает сферу 5", задаваемую уравнением (г/0J +... +
(УJ = 1, ровно в двух диаметрально противоположных точках. Поэтому каждая точка
из ШРп задается парой диаметрально противоположных точек сферы 5™. Говорят, что
проективное пространство ЕР" получается из сферы S" склейкой (отождествлением)
пар диаметрально противоположных точек. Заметим, что функции на ШРп — это
четные функции на сфере Sn : f(y) = /(-г/).
I Пример 1. Проективная прямая RP1 образована парами диаме-
''. трально противоположных точек окружности 51. При этом
5 каждая точка верхней полуокружности (где у > 0) имеет пар-
; ную на нижней полуокружности. Поэтому для получения RP1
: нужно взять только нижнюю полуокружность (где у ^ 0) и
склеить ее концевые точки 1 и -1. При этом мы снова по-
получим окружность. Итак, мы построили взаимно однозначное
соответствие между W' и окружностью 51 (рис. 2).
У>
Рис. 3.
Рис. 2.
В п -мерном случае мы аналогичным образом получаем следующую конструкцию
для проективного пространства RP": нужно взять диск D" (нижнюю половину сферы 5")
и на его границе 5" склеить диаметрально противоположные точки (рис. 3 для п = 2).
Пример 2. В § 14 тома I был построен гомоморфизм групп SUB) на 50C), при котором
матрицы А и -А из группы SUB) переходят в одну точку многообразия 50C). Там
же было показано, что 5GB) — это трехмерная сфера 53, причем матрицы А и -А
соответствуют диаметрально противоположным точкам сферы. Мы получаем, таким
образом, взаимно однозначное соответствие между многообразием 50C) и трехмерным
проективным пространством RP3.
Введем теперь явными формулами структуру многообразия в проективное про-
пространство RP".
область Uq = {yq ф 0}. В этой области введем локальные
Рассмотрим в RP"
координаты
ч У
,5-'
у"
У
F)
Области Uq с q = 0,1,..., п покрывают все проективное пространство. Вычислим явно

18
Глава 1. Примеры многообразий
функции перехода. В области Uo имеем координаты (Хо,...,хп), в которых
, У1 2 У2 . У"
В области G| для координат (х\,...,х") имеем
, г/° 2 у2
у1 у1
Х1 - 1-
У]
В общей части областей U0,Ut, где у° Ф 0, у' Ф 0, мы получим функции перехода
(х0) -* (г,):
(заметим, что Eg = *п в пересечении Ua U G, не равно нулю). Якобиан этих функций
перехода имеет вид
Wl)=det -Зь Л, 0 ... 0 =-
Формулы для функций перехода для других пересечений U, П Gt получаются из G)
надлежащей заменой индексов.
Итак, мы проверили, что RP" — гладкое многообразие. В случае п = 2 мы
получаем проективную плоскость W2.
Область Со в этом случае называется конечной частью проективной плоскости.
Заметим, что, как легко проверить, построенные выше взаимно однозначные
соответствия S1 —> RP1 и SOC) —> RPJ являются в действительности диффеоморфиз-
диффеоморфизмами.
Комплексное проективное пространство СРп определяется как множество всех
ненулевых векторов в комплексном пространстве C+I, рассматриваемых с точностью
до умножения на ненулевое комплексное число А Ф 0. Локальные координаты на
многообразии СР" строятся так же, как и в вещественном случае. СР" является
2п-мерным гладким многообразием.
Пример. Рассмотрим комплексную проективную прямую СР1. Это — множество классов
эквивалентности (z",zl) ~ (Xz°,Xzl), А ф 0, |zQ|2 + N'|2 ф 0. Рассмотрим комплексную
функцию wo(z°,zl) = р,- на СР'. В точке @,1) эта функция не определена, но мы можем
считать, что она принимает в ней значение оо. Таким образом, СР1 — это «расширенная
комплексная плоскость» (включающая бесконечно удаленную точку).
Теорема 4. Комплексная проективная прямая СР1 диффеоморфна двумерной сфере S2.
Аоказательство. Локальные координаты (wo^o), Щ+ivo = ш0 = -^, отображают область
Uo = {zn Ф 0} проективной прямой на двумерную плоскость. Координаты
(«1, vt), «| + iv\ — Ш\ = ~г, действуют в области U\ = {г1 Ф 0}. Области J70 и U\
покрывают все СР1, причем функции перехода (uo, vq) —* (i*i,"i) имеют вид
_ ( и° v° \
\и2 + уГ ui + viJ
§ 2. Простейшие примеры многообразий
19
или
ша Щ + v?
Эти функции перехода совпадают (с точностью до знака) с функциями перехода
для введенных выше стереографических координат на сфере S . Теорема
доказана. ¦
В соответствии с доказанной теоремой расширенная комплексная плоскость,
диффеоморфная двумерной сфере, называется сферой Римана. Если ш = u + iv —
локальные координаты в конечной части расширенной комплексной плоскости, то \/ш
задает локальные координаты в окрестности «бесконечно удаленной» точки оо.
Вернемся теперь к комплексному проективному пространству СР". В классе
эквивалентности вектора z = (z°,... ,zn) Ф 0 можно выбрать представителя, лежащего
на единичной сфере S21
2n+1
(п \-1/2
2 \za\) . После этого
о=0 '
вектор z можно еще умножать на числа вида ег1р, по модулю равные единице.
Вывод. Комплексное проективное пространство СР" получается из сферы S2n+l —
"I2 = 1 \ отождествлением точек: z ~ e'^z.
Сопоставляя каждой точке сферы S2n+1 ее класс эквивалентности в СРп,
получаем отображение
S2n+l-+CPn. (8)
Прообразом каждой точки из СР" при этом отображении является окружность
51 — {e'v}. В частности, при п = 1 получаем отображение
Задачи. 1. Доказать, что нечетномерные проективные пространства RP2i+l ориентиру-
ориентируемы.
2. Доказать, что связная компонента единицы в группе Ли есть нормальный делитель.
3. Доказать, что связная группа Ли порождается сколь угодно малой окрестностью
единицы.
4. Доказать, что любая группа Ли ориентируема.
5. Доказать, что проективные пространства RP" и СР" компактны.
6. Кватернионное проективное пространство HP" определяется как совокупность классов
ненулевых векторов в пространстве НГ+| с точностью до умножения слева на ненулевые
кватернионы. Введите структуру многообразия на HP". Проверьте, что HIP' = S4.
7. Постройте отображение .У4*43 -* HP", аналогичное отображению (8). Что является
прообразом точки при этом отображении?

20 Глава !. Примеры многообразий
§ 3. Необходимые сведения из теории групп Ли
1. Строение окрестности единицы группы Ли. Алгебра Ли группы. Полупростота-.
В любой группе Ли G имеется выделенная точка д0 = 1 ? G (единица группы) и
касательное пространство Т — Т(\) в этой точке. Преобразование
G-+G, g-^hgh'1
называется внутренним автоморфизмом, производимым элементом А группы G. Это
преобразование сохраняет единицу до = 1 (hguh~] = д0) и порождает линейное
отображение касательного пространства
Ad (А): Т - Т;
при этом Ad(A~!) = [Ad(А)]" и Ad(A(A2) = Ad(A()Ad(A2). Другими словами, сопо-
сопоставление А >-> Ad (А) есть линейное представление
Ad : G -> GL(n, M),
где п — размерность группы G.
Для коммутативной группы G представление Ad тривиально, т. е. Ad (А) = 1 для
любого А ? G.
Выберем координаты (х\...,хп) в окрестности единицы 1 = д0 = @,... ,0).
В этих координатах можно записать групповые операции: произведение ji52 элементов
gt=(xl,...,xn), g2 = (y\--,y") имеет координаты
а обратный элемент д~1 = <р(х',..., хп) элемента д = (х\..., хп) имеет координаты
4>а(х) = <ра(х\...,х\ а=1,...,п.
Свойства функций ф(х,у) и (р(х):
1) ф(х, 0) = 1р{0, х) = х (единица);
2) ф(х,(р(х)) = 0 (обратный элемент);
3) ip(x,ip(y,z)) = ip(ip(x,y),z) (ассоциативность).
Из гладкости функций ip(x,y) и <р(х) и свойства 1) следует, что
¦фа(х, у) = ха + у" + bfrX^y7 + (члены порядка 3),
f(y,x) = у" + ха + Ь^у^х7 + (члены порядка 3).
Пусть теперь х и у — касательные векторы к группе в единице, т. е. элементы
пространства Т; пусть, далее (ха) и (у13) — их координаты в нашей системе координат.
Определим коммутатор [х, у] € Т, положив
A)
Из этого определения вытекают следующие свойства коммутатора:
а) [х,у] — билинейная операция в Т = R", где п — размерность группы G;
б) [х,у] = -[у,х];
в) составляя тейлоровские разложения левой и правой частей равенства 3)
(свойство ассоциативности) и пренебрегая членами порядка 4, получаем тождество
Якоби (проверьте!)
l[x,y],z] + l[z,x],y] + lly,z],x]=O. B)
§ 3. Необходимые сведения из теории групп Ли
21
Таким образом, касательное пространство к G в единице по отношению к
коммутированию является алгеброй Ли (см. том I, §24). Эту алгебру Ли обыкновенно
называют алгеброй Ли группы G (ср. тот же параграф тома I).
В координатах коммутатор задается набором величин с^7 таких, что
[х,у]а = срг
C)
Величины с^ антисимметричны по индексам /3, 7 и называются структурными
константами алгебры Ли.
Однопараметрические подгруппы группы G определяются как (параметризован-
(параметризованные) кривые F(t) С G такие, что ^@) = 1 и F(t, + t2) = F(t{)F(t2), F(-t) = F(tyl.
В матричных группах (см. том I, § 14) они имеют вид
F(t) = яр (At).
В абстрактной группе Ли G для кривой F(f) определяется зависящий от t вектор
F~l F = F(t)~
dt
ST.
Если F(t) — однопараметрическая подгруппа, то этот вектор от t не зависит.
Действительно, так как F(t + е) = F(t)F(e), то
dF _ dF(t + e)
~dT~
de
= F(t)
dF(e)
de
т.е. F(t) = F(t)F(O) и F '(t)F(t) = F@) = const. С другой стороны, для всякого
ненулевого AST существует единственная однопараметрическая подгруппа F(t) с
F~lF = A. D)
В самом деле, решая уравнение D), в силу теорем существования и единственности
решений обыкновенных дифференциальных уравнений получаем однопараметрическую
группу F(e) при малых е. На все остальные значения t группа F(t) продолжается как
многократное произведение элементов из FF) при |<5| < е.
Для построенной этим способом однопараметрической подгруппы группы G
употребляется, как и в матричном случае, обозначение F(t) = exp(At).
Задача. Пусть F\(t) и F2(t) — две однопараметрические подгруппы: А\ = -Fi(O),
А2 = ^2@) или F{(t) = exp(A\t), F2(t) = exp(A2t). Докажите формулу
t2[AuA2] = J?,
E)
Пусть F(t) — exp(At) — однопараметрическая подгруппа группы G. Преобра-
Преобразование g i-> FgF~l порождает однопараметрическую группу преобразований алгебры
(|)
AdF(t):Rn i->B.\
Вектор ^AdF(t)\t_0 лежит в алгебре Ли группы GL(n,
оператором.
), т.е. является линейным

22
Глава !. Примеры многообразий
Задача. Докажите, что j-tAdF(t)\t_o имеет вид В i-> [А,В], где В' € R" — вектор из
алгебры Ли. Преобразование В >-> [А, В] обозначается через ad Л : R" -» R".
Пусть А],..., Ап — базис алгебры Ли В." = T<i) как касательного пространства
к С? в точке #0 = 1 ? G. Однопараметрические группы ехрАт = F(t) определены для
любого вектора А = ]Р j4,x' .
Положим
ехрА = 2?(т)|г=1 F)
и припишем точке ехр^4 координаты (х1,... ,хп); в результате получим систему
координат в окрестности точки 1 € G, в которой сумма JZ(x') достаточно мала.
Это — «координаты 1-го рода».
Другие координаты: пусть Fi = exp(Ait). Любая точка достаточно малой
окрестности U точки 1 € G имеет вид
= Fl(t])...Fn(tn),
G)
где t\,...,tn малы. Мы принимаем за координаты точки д числа t\ = X\,...,tn = х„;
это — «координаты 2-го рода».
Задачи. 1) Рассмотрим кривую д(т) = F\(rt\) ... Fn(rtn); докажите, что
dr
2) Какие координаты для G = 50C) представляют собой «углы Эйлера» <р,-ф,в'>
Координаты 1-го рода удобны для доказательства следующей теоремы.
Теорема 1. Если функции ijia, задающие умножение в группе Ли G, вещественно
аполитичны (т.е. разлагаются в сходящиеся степенные ряды), то алгебра Ли
однозначно определяет умножение в группе G для некоторой окрестности единицы
16G.
Замечание. Ограничение на аналитичность -ф (или, как говорят, на аналитичность группы)
несущественно, но доказательство без гипотезы аналитичности ф сложнее.
Аоказагельсгво. Введем вспомогательные функции Vp(x), положив
va0(x) =
дх?
у=<р(х)
где tp(x) = х ' — обратный элемент. Тогда для функций i>a(x,y) получаем
систему дифференциальных уравнений по х
=«?(«)
(8)
с начальным условием
§3. Необходимые сведения из теории групп Ли
Условия интегрируемости этой системы (см. ниже § 29) имеют вид
23
т.е.
дхдх6 дх6дх1'
Ъх^"дх~Р= 2<>^'
(9)
где с?„ — структурные константы алгебры Ли. Отметим, что уравнение
однопараметрической подгруппы х = x(t) с начальным вектором скорости
А = (А') имеет вид
(проверьте!). В канонических координатах 1-го рода, где по определению
xa(t) = АЧ, будет
А" = Vp(At)Ap
или
ха =
Покажем, что функции v%(x) в канонических координатах определяются уже
однозначно. Дифференцируя последнее равенство по хт , получим
Умножим теперь равенство (9) иа з? и просуммируем по /3. Получим
Заменим в этом равенстве х на At. Будем иметь
A0)
Введем функцию u°(t) = tv°(At) = u°(t,A). Равенство A0) означает, что
Для функций ш" мы получили систему линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами. Начальные условия имеют вид ш"@) = 0. Тем
самым функции u°(t,A) для любого А однозначно определяются по структуре
алгебры Ли. Отсюда однозначно определены и функции v"(x), а поэтому и
закон умножения тр(х,у) как решение системы (8). Теорема доказана. ¦
Следствие. Если алгебра Ли связной аналитической группы G «коммутативна», т.е.
[А, В] = 0, то группа G коммутативна (в обычном смысле).
Действительно, для окрестности единицы в группе это следует из теоремы 1.
Чтобы охватить всю группу, достаточно заметить, что любой элемент может быть
представлен как произведение большого числа элементов, близких к единице.

24
Глава 1. Примеры многообразий
Определение 1. Алгебра Ли L — {Rn,c'ik} называется простой, если в ней нет идеалов,
т.е. таких подпространств /, что [I,L] С I. Если алгебра Ли группы G
проста, то G называется простой группой Ли. Алгебра Ли L называется
полупростой, если L = 1\ + ... + 1п, где Ij — простые алгебры Ли, попарно
коммутирующие ([/*,/;] = 0 при к ф 1) и сами некоммутативные. Группа G с
полупростой алгеброй Ли называется полупростой группой. Для любой алгебры
Ли определяется «форма Киллинга»
{А, В) = -Sp(adj4 ad В),
где оператор ad А на L имеет вид
(П)
A2)
Теорема 2. 1) Для простой алгебры Ли L группы G внутренние автоморфизмы Adg дают
неприводимое линейное представление группы G (т. е. не имеющее нетривиальных
инвариантных подпространств в L). 2) Если форма Киллинга положительна, то
алгебра Ли полупроста.
Аоказательство 1. Если представление Adg имеет инвариантное подпространство
I С L, т.е. если glg~ С I для любого g G G, то, устремляя g к 1, полу-
получим
[L,J]CI.
Поэтому I — идеал в L. Утверждение 1) доказано. Ш
Аоказательство 2. Пусть / — идеал алгебры L. Очевидно, ортогональное дополнение 3
к 7 по отношению к форме Киллинга также является идеалом, а если
при этом форма положительно определена, то L = I ф J. Таким образом,
алгебра Ли с положительной формой Киллинга разлагается в сумму простых,
и эти простые слагаемые некоммутативны (сужение формы Киллинга на
коммутативное слагаемое равно нулю). ¦
Замечание. В теории алгебр Ли доказывается более сильное утверждение: алгебра Ли полупроста
в том и только в том случае, если ее форма Киллинга невырождена. Доказательство этой
теоремы в дополнение к вышеприведенным аргументам использует то, что форма
Киллинга некоммутативной простой алгебры Ли не может быть тождественным нулем.
Это, в свою очередь, выводится из теоремы Энгеля, утверждающей, что форма Киллинга
алгебры Ли равна нулю в том и только в том случае, если алгебра нильпотентна, т. е.
если существует такое п, что
¦¦¦[AhA2],...],An] =
при любых Ab...,An€L.
Задачи. 1. а) Докажите, что движения (изометрии) связного риманова многообразия М
образуют группу Ли. б) Докажите аналогичное утверждение для группы всех конформных
преобразований риманова многообразия (см. § 15 тома I).
2. Выясните, какие из встречавшихся в томе I (см. §24) алгебр Ли являются полупро-
полупростыми, а какие простыми?
§3. Необходимые сведения из теории групп Ли
25
2. Понятие (линейного) представления. Пример нематричной группы Ли.
Определение 2. Представлением группы G называется гомоморфизм в некоторую
группу матриц р : G н-» GL(n,R) или р : G н-> GL(n,C). Отображение Хр '¦
G -+ R (G —> Q, определяемое формулой Хр(9) = Spp(<?), g € G, называется
характером представления р.
Представление называется неприводимым, если в пространстве R™ (или С") нет
нетривиальных подпространств, инвариантных относительно всех матриц вида р(д),
д ? G: Имеет место простая, но важная
Теорема 3 («лемма Шура»). Пусть заданы два неприводимых представления pi : G —»
GL(rii,R) группы G,i = 1,2. Если А : Rn' -+ М — линейный оператор,
переводящий р\ в pi (т.е. такой, что Ар](д) = Р2(д)А), то А — или нулевой
оператор, или изоморфизм.
Аоказательство. Если А не есть нулевой оператор, то Ах ф 0 для любого х ? В., иначе
«ядро» {Ах = 0} оператора А было бы нетривиальным инвариантным подпро-
подпространством для представления р\. Аналогично образ j4(R"') С I инвариантен
для представления р2 и поэтому должен быть нулевым или совпадать с М.
Теорема доказана. ¦
Замечание. Пусть задано представление р : G —> GL(N,S) группы G. Дифференциал р, этого
отображения в единице группы отображает алгебру Ли g = TA) в пространство матриц:
Отображение р, задает представление алгебры Ли g (гомоморфизм алгебр Ли), т.е.
выполнено равенство
РЛС.,1] - lp,(,p,i]
для любых векторов (, 1) из алгебры Ли g (проверьте!).
Представление р : G -+ GL(N,R) (или р : G —» GL(N,Q) называется точным,
если оно не имеет ядра, т.е. если р(д) ф 1 при д ф 1. Любая матричная группа
Ли обладает очевидным точным представлением, поскольку она уже реализована как
группа линейных преобразований пространства RN (или CN). Однако не всякая
группа Ли реализуется как группа линейных преобразований евклидова пространства.
Рассмотрим, например, группу G = SLB, M) преобразований прямой вида
1 1 - ze'ix
2тга + - In —,
i 1 - zetx
A3)
где х ? R, a G R, z G С, \г\ < 1 и In обозначает непрерывную ветвь натурального
логарифма, определяемую условием: при z = 0 этот логарифм равен нулю. (Под знаком
логарифма стоит дробь, числитель и знаменатель которой комплексно сопряжены друг
другу; поэтому эта дробь по модулю равна единице, логарифм является чисто
мнимым числом, и вся правая часть вещественна.) Группа SLB, R) является связной
трехмерной группой Ли. Она содержит подгруппу, изоморфную Ъ, состоящую из
преобразований A3) с a€Z, z = 0; элементы этой подгруппы коммутируют со всеми
остальными элементами группы, или, как говорят, подгруппа содержится в центре
группы (ниже мы увидим, что она совпадает с центром группы). Преобразования A3)
с z = 0 и произвольным вещественным а составляют однопараметрическую подгруппу
группы SLB,R).

26
Глава 1. Примеры многообразий
Всякое преобразование вида A3) обладает гем свойством, что если х \—> у, то
х + 2тк >-> у+2жк (к G Z); поэтому оно определяет преобразование окружности \ш\ — 1.,
именно, преобразование
ш - z ,,,..
1 -ZW
Таким образом, получаем проекцию (гомоморфизм) группы S?B,IR) в группу
SL{2, R)/± I = 5J7A, l)/± 1 дробно-линейных преобразований единичной окружности
в С. Очевидно, образом этой проекции служит вся группа SL{2, M)/ ± 1, а ее ядром
как раз является выделенная выше группа 2Л1оскольку группа SLB, Ж)/ ± 1 не имеет
центра, из этого следует, что центр группы 5?B, R) исчерпывается нашей группой Ъ.
Теорема 4. Группа SLB, Ж) не имеет ни одного точного линейного представления.
Аоказательство. Напомним, что группа SLB, R) обладает однопараметрической под-
подгруппой, которая имеет с ее центром бесконечное пересечение (изоморфное Z),
ню не содержится в этом центре. Мы покажем, что уже это свойство группы
SLB, R) несовместимо с ее вложимостью в группу матриц.
Предположим, что группа G С GL(n,Q изоморфна 5?B,R). Пусть Я —
однопараметрическая подгруппа группы G, соответствующая подгруппе, о
которой шла речь выше; согласно § 14 тома I Я = {exp(tA)\t 6 R}, где А —
некоторая га х га-матрица. Производя, если нужно, внутренний автоморфизм
группы GL(n,С), мы добиваемся того, чтобы матрица А имела нормальную
жорданову форму, т. е. чтобы была блочно диагональной с блоками вида
§ 4. Комплексные многообразия
27
в виде системы линейных уравнений относительно элементов матриц B\(t),
т.е. в виде системы алгебраических уравнений относительно t. Такие уравнения
либо выполняются тождественно по t, либо имеют конечное число решений.
Это противоречит тому, что группа Я = {exp(tA)} не содержится в центре, но
имеет с ним бесконечное пересечение. Теорема доказана. ¦
Задачи. 1. Вычислить алгебру Ли группы SLB, R).
2. Проверить, что построенное выше отображение SLB, R)
изоморфизмом в некоторой окрестности единицы.
SLB,R)/ ± 1 является
§ 4. Комплексные многообразия
1. Определения и примеры. Введем понятие комплексного многообразия.
Определение 1. Комплексно аналитическим многообразием комплексной размерности п
называется многообразие М размерности 2я, на котором выбраны специальные
области и„ локальных координат, М = ULL, заданные в виде областей
я
я-мерного комплексного пространства С". В каждой области Uq тем самым
заданы комплексные локальные координаты z% — xaq + iy°, а = I,...,n.
В пересечении двух областей Uq П Up действуют две системы локальных
координат (z%) и (z^). Требуется, чтобы функции перехода от координат (zq) к
координатам (Zp) и обратно были комплексно аналитическими:
A)
О
где а; = 0 или 1 (считаем, что разные блоки отвечают разным А; порядки
блоков равны кратностям собственных значений матрицы А). Матрица exp (tA)
является блочно диагональной с блоками того же порядка, и ее блоки имеют
вид eMBx(t), где
Из того, что бесконечное число матриц такого вида перестановочно с эле-
элементами группы G, следует, что и все элементы группы G являются блочно
диагональными матрицами с блоками того же порядка.
Множество Р всех (в том числе вырожденных) матриц, перестановочных со
всеми матрицами из G, является линейным подпространством пространства С™
всех 71 х п-матриц; пересечение Р П G есть центр группы G. Матрицы из Р
опять-таки являются блочно диагональными с блоками прежнего порядка, и
условие принадлежности такой матрицы пространству Р записывается как
система линейных однородных уравнений относительно матричных элементов,
причем каждое уравнение из этой системы относится к определенному блоку.
Таким образом, условие принадлежности центру матрицы ехр-(М) записывается
Голоморфными отображениями комплексных многообразий будем называть ком-
комплексно аналитические (в любых локальных координатах) отображения. Голо-
Голоморфные отображения в комплексную прямую С называются аналитическими
(или голоморфными) функциями на многообразии.
Отображение называется биголоморфным, если оно изоморфно и имеет обратное,
которое также является голоморфным. Комплексные многообразия, которые
можно связать биголоморфным отображением, называются биголоморфно экви-
эквивалентными пли комплексно диффеоморфными.
Важным геометрическим свойством комплексных многообразий является их
ориентированность:
Теорема 1. Комплексно аналитическое многообразие М является ориентированным мно-
многообразием.
Аоказательство. Пусть z" = х" + iy" — комплексные координаты многообразия М в
области U4, Zp = х§ + iy% — в области Up. Вещественные якобианы функций
перехода от координат (х°,у%) к координатам
имеют вид
JR = \JC\2 =
det
|2
(том I, лемма 12.2). Все эти якобианы положительны. Теорема доказана.

28
Глава 1. Примеры многообразий
Рассмотренное в §2 комплексное проективное пространство СР" — пример
комплексно аналитического многообразия. Локальные координаты на этом многообра-
многообразии строятся как и в вещественном случае, причем функции перехода, задаваемые
формулами B.20), комплексно аналитичны. Все эти многообразия компактны (см.'
задачу 2.5).
При га = 1 получаем расширенную комплексную плоскость («сферу Римана»).
При этом локальной координатой в окрестности бесконечно удаленной точки оо
является ш = 1/z.
Простейший пример комплексных многообразий — области в С". Другой
важный пример — неособые комплексные поверхности в С". Они задаются системой
уравнений
B)
где все функции /,,..., /„_* комплексно аналитичны и ранг матрицы (|?) максимален
(равен п — к). Проверка того, что неособая комплексная поверхность является
комплексно аналитическим многообразием, проводится здесь точно так же, как в
вещественном случае, с использованием § 12 тома I.
В отличие от вещественного случая комплексные подмногообразия простран-
пространства С" не охватывают всех примеров комплексно аналитических многообразий. Чтобы
убедиться в этом, докажем важную теорему.
Теорема 2. Голоморфная функция на связном компактном комплексном многообразии
постоянна.
Локазательство. Пусть / — голоморфная функция на комплексно аналитическом
связном компактном многообразии М. Тогда функция |/| на компактном
многообразии М достигает максимума в некоторой точке Pq:
1/(РI < |/(РоI-
Поэтому функция /(Р) постоянна на всем многообразии М в силу связности
этого многообразия и в силу следующего общего утверждения.
Лемма 1 (принцип максимума). Пусть / — голоморфная функция в некоторой области U
п-мерного комплексного пространства С. Если функция |/| имеет локальный
максимум в точке Ро области U, т.е. |/(Р)| < |/(Ро)| для всех Р из области U,
достаточно близких к Ро, то функция / постоянна в окрестности точки Ро.
Локазательство. Функция |/| в силу условия леммы будет иметь локальный максимум и
на любой комплексной прямой, проходящей через точку Ро. Поэтому достаточно
доказать принцип максимума для п = 1. В этом случае можно считать, что
Pa = 0, /@) ф 0 (при /@) = 0 утверждение леммы тривиально). Умножая
функцию на подходящее число, можно считать, что /@) есть вещественное
положительное число.
Для голоморфных функций комплексной переменной верна интегральная
формула Коши (том I, § 26)
2.i
f(z)dz
§ 4. Комплексные многообразия
г — const, получим
29
C)
где 7 — окружность, охватывающая начало координат. Полагая г = reitp,
Соотношение C) справедливо также для действительной и мнимой частей
голоморфной функции.
Пусть m(r) = max\f(re"p)\. В силу условия леммы /@) ^ m(r). Но из
v
формулы C) вытекает, что /@) < m(r). Значит, /@) = m(r). Функция
g(z) = Re(/@) — f(z)) неотрицательна на любой окружности z = re'9, где г
достаточно мало. Действительно, /@) - |/(z)| > 0, и |Re/(z)| < |/(z)|.
Интеграл этой функции по окружности z = re"p равен нулю в силу
равенства C). Поэтому на любой окружности z = re'9, где г достаточно мало,
Re(/@) - f(z)) = 0, т. е. Re/(z) = /@). В силу неравенства |/(z)| < /@) отсюда
вытекает, что f(z) = /@) для всех z, близких к нулю. Лемма доказана. ¦
Пусть теперь тах|/(Р)| = |/(Р0)| — максимум модуля голоморфной функ-
ции / на компактном комплексно аналитическом многообразии М. Пусть,
далее, М' СМ — совокупность всех точек Р многообразия, где /(Р) = /(Ро).
Множество М' открыто в М в силу принципа максимума (каждая точка Р G М'
входит в М' вместе с некоторой своей окрестностью). Кроме того, М', очевид-
очевидно, замкнуто и непусто. Поэтому М' — М (М связно). Доказательство теоремы
полностью завершено. ¦
Следствие 1. Комплексно аналитическое подмногообразие в С™ размерности больше нуля
некомпактно.
Локазательство. Допустим, что существует голоморфное вложение / компактного
комплексного многообразия М в С":
/:М-+С".
Можно считать, что М связно. Тогда все координаты /' этого отображения,
будучи аналитическими функциями на М, постоянны, т.е. / отображает
многообразие М в одну точку. Следствие доказано. ¦
Важные примеры неособых комплексных поверхностей в С" — это комплексные
группы преобразований:
а) GL(n,Q — совокупность невырожденных комплексных матриц n-го поряд-
порядка, detA ф 0. Это — открытая область в пространстве С" = М2" всех комплексных
матриц.
б) SL(n, С) — совокупность всех унимодулярных комплексных матриц я-го
порядка, det А = 1.
в) О(п, С) — совокупность всех комплексных ортогональных преобразований,
т. е. комплексных матриц А с ААТ = 1.
Неособость этих поверхностей была проверена в § 14 тома 1. Все эти группы
некомпактны согласно следствию 1.
Эти многообразия G являются группами Ли в смысле определения 2.3. Более
того, отображения тр и <р, определяющие групповую структуру:
У>: G xG -> G, где tp(g, h) = gh,
<р: G-+G, где <p(g)=g~1,
комплексно аналитичны (голоморфны).

30
Глава 1. Примеры многообразий
Определение 2. Группа Ли G называется комплексной группой Ли, если отображения ip
и ф, задающие групповую структуру, комплексно аналитичны.
Теорема 3. Всякая компактная комплексная связная группа Ли G коммутативна.
Доказательство. Пусть g — алгебра Ли группы G. Рассмотрим представление Ad
группы С на д. Это представление — комплексно аналитическое отображение
группы в комплексное пространство п х га-матриц: G —> GL(n, С) С С" . Если
группа G компактна, то в силу доказанного выше это отображение является
постоянным. Таким образом, Ad G = 1 — единичная матрица. Устремляя д к I
в равенстве AdG = 1, получаем, что алгебра g коммутативна, т.е. [А,В] = 0.
Поэтому в силу следствия из теоремы 3.1 группа G коммутативна. Теорема
доказана. ¦
Группы G — GL(n, Q, SL(n, С), О(га, С) — это матричные комплексные груп-
группы Ли.
Единственным примером компактной комплексной группы Ли является ком-
комплексный тор. Пусть в пространстве R2™ = С™ задано 2га линейно независимых
(над R) векторов еи...,е2п. Комплексный тор Т2п мы получим, беря векторы из С" с
точностью до целочисленной линейной комбинации векторов е\,..., е2п:
z ~ z + 2_^ naea, na целые.
Такие целочисленные линейные комбинации образуют подгруппу Г в С™ (целочислен-
(целочисленная решетка, натянутая на векторы еь..., е2п). Тор Т2п есть факторгруппа:
Решетки Г и Г', задаваемые векторами (еи...,е2„) и (/i, ••• ,/гп), совпадают,
если векторы /,- лежат в решетке Г, а векторы ej — в решетке Г7:
U - п\еи е, = m'jfi.
Матрицы (га^) и (т)) целочисленны и взаимно обратны. Поэтому det(rcj)=det(m}) =
±1. Обратно, любые две системы векторов (е^) и (/,), связанные целочисленными
линейными преобразованиями, дают одинаковые торы.
Структуру многообразия на торе Т2п мы получим, беря в качестве координатных
окрестностей образы достаточно малых открытых множеств в С" при естественном
отображении
Проверьте, что тор Т2п превращается в компактное комплексно аналитическое много-
многообразие, являющееся комплексной группой Ли.
на С":
Функции на торе Т2п можно рассматривать как 2га-периодические функции
2п
О=|
Из теоремы 2 получаем
Следствие. Голоморфная 2п -периодическая функция в С постоянна.
§ 4. Комплексные многообразия
31
Пример. Пусть п=1. Комплексный тор Т2 задается парой ненулевых комплексных чисел
z\,zi G С, z\ ? Rz2. Умножая все комплексные числа на zj, получим пару вида A,т),
г = zjjz\ G С, причем мнимая часть Imr числа г не равна нулю (векторы 1 и г
вещественно независимы). Торы, задаваемые векторами (zuz2) и A,т), биголоморфно
эквивалентны. Таким образом, каждый комплексный одномерный тор Т2 задается
комплексным числом г с не равной нулю мнимой частью.
Лемма 2. Если гиг' связны дробно-линейным преобразованием вида
, тт + п
pr + q'
где матрица (т " J целочисленна и имеет определитель ±\, то торы, задаваемые
числами гиг', совпадают.
Доказательство. Решетки в С, определяемые векторами A,т) и (рт + q ¦ 1, тог + га • 1),
совпадают. Тор, определяемый второй решеткой, как раз задается числом т'.
Лемма доказана. ¦
Замечание. Можно показать (это требует привлечения аппарата эллиптических функций), что
торы, определяемые достаточно близкими комплексными числами гиг', биголоморфно
не эквивалентны.
С вещественной точки зрения тор Т2 диффеоморфен двумерному вещественному
тору Т2 = S1 х 51, где каждая из окружностей получается отождествлением целых
кратных z, (или z2) на прямой, проходящей через z, (или через z2); 2га-мерный
тор Г2" диффеоморфен 2га-мерному вещественному тору S1 х ... х S1.
Пусть тор Т2п задается векторами в],...,е2П- Среди этих векторов имеются п
линейно независимых над С; без ограничения общности можно считать, что это
ej,..., е„. Разложим векторы еп+ь..., е2п по этому базису:
Комплексная матрица В = (Ь^) полностью определяет тор Т2п. Мнимая часть матрицы
быть невырожденной, иначе векторы ej,..., е2п были бы линейно зависимы
В должна
над М.
над М.
Определение 3. Тор Т2п называется абелевым, если для некоторого базиса (еь ..., е2п)
в решетке матрица В симметрична и ее мнимая часть Я = (hkj),
положительно определена:
О,
где (?',-.•,?") — любой не равный нулю вещественный вектор.
Например, двумерный комплексный тор Т2, задаваемый числом т с Im т > О,
является абелевым. Так как торы, задаваемые числами т и -т, совпадают, то любой
двумерный тор является абелевым.
Уже среди четырехмерных торов Г4 (комплексная размерность два) есть неабе-
левы.

32
Глава 1. Примеры многообразий
Задача. Покажите, что почти все торы Т4 неабелевы.
Для абелевых торов определена 0-функция (Якоби—Римана) в{г\,... ,zn), где
Z\,..., zn — комплексные переменные:
ехР «-S :
7П|,...,7П,
где суммирование ведется по всем наборам (га;,... ,т„) целых чисел. Условие
положительности мнимой части матрицы В гарантирует сходимость ряда.
2. Римаиовы поверхности как многообразия. Напомним (том I, §12, п. 3)
определение римановой поверхности многозначной функции. В пространстве С2 двух
комплексных переменных w,z для любой аналитической функции /(z,w) (например,
многочлена) берется поверхность ее нулей
/(z,w)=0. E)
Эта поверхность является одномерным комплексным многообразием (комплексной
кривой), если выполняется условие неособости
на поверхности (см. § 12 тома I).
Разрешая уравнение E) относительно w, мы можем получить многозначную
функцию, например:
а) ш = y/Pn(z), f(w,z) = w2-Pn(z), где Рп(г) — многочлен без кратных корней
(гиперэллиптическая риманова поверхность);
б) ш = Inz = In |z|+iargz+27rin, /(w,z) = e" — z. Многозначность функции ш(г)
означает, что проекция поверхности E) на z-плоскость вдоль ш не взаимно однозначна.
Пусть функция /(z,w) есть многочлен степени п по совокупности переменных.
Сделаем подстановку
-L
У
Тогда /(z,w) = гну; Qn(y ,у ,У ), где Qn — однородный многочлен. На проективную
плоскость СР2 уравнение f(z, ш) = О продолжается в виде
Точки поверхности F), где у" = 0, называются «бесконечно удаленными» точками
римановой поверхности E).
Лемма 3. Риманова поверхность в СР2, задаваемая уравнением F), компактна.
Локазательсгво. Множество нулей функции Qn замкнуто. Так как СР2 компактно, то
замкнутое множество в нем тоже компактно. Лемма доказана. ¦
Уравнение F) в неособом случае задает двумерное компактное многообразие.
Что это за многообразие?
D) !
§ 4. Комплексные многообразия
33
Рис. 4.
Рис. 5.
Пример 0. Пусть f(u,z) = u2-z; Яг(у\у\уг) = (у1? - У1У°- ^
Рассмотрим точки z = 0, z = оо и соединим их линией а. На сфере S ,
диффеоморфной СР1, эта линия выглядит, как показано на рис. 4. Интуитивно ясно,
что вне этой линии риманова поверхность /(г,ш) = 0 распадается на два связных
куска, каждый из которых с помощью проекции эквивалентен внешности линии а на
z -плоскости. Эти куски именуются «ветвями» многозначной функции. В точках 0 и оо
значения этих двух ветвей функции ui(z) = </z сливаются. Чтобы получить поверхность,
необходимо кусок фаницы а, области I отождествить с куском ft границы области II, а
кусок границы /3, области I — с куском фаницы а2 области II (рис. 5).
Легко видеть, что после склейки снова получается поверхность, диффеоморфная
сфере S2.
Пример 1. f(z,w) = ш2 - Pj(z), где Pi(z) — многочлен 2-й степени с простыми корнями
Ф
Z = Z|, Z =
Ф Z2-
Соединим отрезком корни
Вне этого отрезка поверхность /(
и z2-
) = О
распадается на две части, не связанные друг
с другом. Над сферой 52 = СР1 это выглядит
точно так же, как в примере 0 (рис. 6). Отличие
лишь в том, что здесь z, Ф оо. По аналогии
с примером 0, отождествляя at ~ ft, ft ~ a2,
получим сферу S2.
рис
Пример 2. f(z,w) = ш2 - P3(z), где Р3 — многочлен 3-й степени с попарно различными
корнями zi,22,z3. Сделаем разрезы а, и а2 (рис. 7). Вне этих разрезов поверхность
распадется на две несвязные части.
Отождествляя а, с ft, 71 с h, «2 с 01,72 с *i (Рис- 8)> получим тор (сфера с
одной ручкой — см. рис. 9).
Рис. 7.
Рис. 8.
Пример 3. f(z,u) = ш2 - Pt(z), где Р4 — многочлен 4-й степени с попарно различными
корнями 2o,z,,z2,z3. Рассуждая так же, как в примере 2, здесь снова получим тор.
Утверждение 1. Риманова поверхность функции ш = \/Pn(z), где Pn(z) — многочлен
степени п без кратных корней, представляет собой сферу с g ручками, где
п - 2д + 1 или п = 2д + 2. (Строго говоря, бесконечно удаленные точки этой
поверхности являются особыми в СР2.)
2 3ак. 8097

34
Глава 1. Примеры многообразий
Рис. 9.
Рис. 10.
Локазательство. Пусть п четно; положим п = 2д+2, Разобьем корни многочлена Pn(z)
на пары и соединим каждую пару кривой au...,ag+u не пересекающейся с
остальными (рис. 10).
Разрежем z-плоскость по отрезкам at. Мы убедились в том, что риманова
поверхность распадается на две несвязные части [7, и U2 (обход вокруг двух
корней не меняет ветви).
Берега разрезов обозначим буквами ait Д-. Они лежат соответственно на
кусках U, и U2 римановой поверхности. После этого произведем склейку берегов
по правилу
(fl,e,-) ~ (J72,A); (U\,f3i) ~ (U2,Oti).
Эта склейка соответствует тому, что мы должны с куска [7,, приближаясь к
берегу в,-, перейти на кусок U2 (берег Д).
Для нечетных п построение то же самое, но за одну из точек ветвления
берется zn+i = oo. После этого все повторяется. ¦
§ 5. Простейшие однородные пространства
1. Действие группы иа многообразии. Пусть G — группа Ли (например одна из
рассмотренных в томе I групп преобразований).
Определение 1. Мы скажем, что группа G представлена как группа преобразований
многообразия М (или действует слева на многообразии М), если для каждого ее
элемента g задано преобразование (диффеоморфизм) многообразия М,
х .-» Тд(х), х 6 М,
и при этом Tgh = TgTh и Т, = 1, где д, h — любые элементы группы G, а 1 — ее
единица. Преобразование Тд(х) должно гладко зависеть от пары аргументов
(д,х) (т.е. соответствие (д,х) » Тд(х) должно быть гладким отображением
G х М —> М).
Группа G действует справа на многообразии М, если вместо соотношения
TgTh - Tgh выполняется соотношение TgTh = Thg. Если G — одна из групп GLtn М.)
О(п,й), O(p,q) или GL(n,C), U(n), ..., U(p,q) [p + q = п], то G естественно
действует слева на- Г или на В* = С", причем это действие задается линейными
преобразованиями.
Замечание. Действие группы на векторном пространстве, задаваемое линейными преобразо-
преобразованиями, называется также (как нам уже известно) линейным представлением этой
группы.
Мы говорим, что действие группы G на многообразии М транзитивно если
для любой пары точек х и у из М найдется такой элемент g группы G, что Тд(х) = у.
§ 5. Простейшие однородные пространства
35
Определение 2. Многообразие М, на котором задано транзитивное действие группы G,
называется однородным пространством этой группы.
Сама группа G, рассматриваемая как многообразие с действием группы левыми
сдвигами Tg(h) = gh, называется главным однородным пространством (левым).
Аналогично определяется правое главное однородное пространство: Tg{h) = hg~\
Пусть х — точка однородного пространства. Группа изотропии Нх точки х
состоит по определению из всех элементов g группы G, оставляющих точку х на месте:
Tg(x) = х<->д€Нх.
Лемма 1. Для разных точек х однородного пространства группы изотропии Нх изоморфны
друг другу.
Доказательство. Пусть х ф у и Тд(х) — у. Тогда изоморфизм Нх —* Ну определяется
формулой
h у-* ghg
(действие левое). ¦
Теорема 1. Имеется взаимно однозначное соответствие между точками однородного
пространства М группы G и левыми смежными классами G/H, где Н — группа
изотропии (действие группы G левое).
Доказательство. Фиксируем точку хо многообразия М. Нужное соответствие устана-
устанавливается так: смежному классу (дН) соответствует точка Тд(х0), где Я = Я1о —
группа изотропии точки хо. Это соответствие не зависит от выбора представите-
представителя д в классе смежности и является взаимно однозначным. Теорема доказана. ¦
Для правого действия группы нужно взять правые смежные классы.
2. Примеры однородных пространств, а) Сфера 5" в (п+1)-мерном евклидовом
пространстве
задается уравнением
и группа О(п + 1) естественно действует на сфере 5". Это действие, очевидно,
транзитивно. Тем самым сфера S" является однородным пространством группы
О(п+ 1) ортогональных преобразований пространства M"+I. Найдем группу изотропии
точки х = A,0,..., 0) ? 5". Эта группа образована матрицами вида
A G О(п).
Поэтому 5" = О(п+ \)/О{п). Группа G = SO(n+ 1) также транзитивна на сфере 5",
и группа изотропии есть SO(n). Поэтому SO(n+ l)/SO(n) = 5".
б) Проективное пространство ЖРп можно рассматривать как совокупность
прямых в пространстве 1"+I, проходящих через начало координат. Группа О(п + 1)
транзитивно действует на многообразии RP". Рассмотрим прямую с направляющим
вектором A,0,...,0). Ортогональные преобразования, переводящие эту прямую в себя,
имеют вид
(±1
V о
Таким образом, группа изотропии изоморфна прямому произведению 0A) х О(п), и
имеет место равенство
IP" =O(n+l)/O(l)xOGi).

36 Глава 1. Примеры многообразий
в) Аддитивная группа всех действительных чисел К с координатой t действует на
ности 51 = {еъ"'р} следующим образом:
Ще2к''р) - e
окружности
В силу соотношения е " = 1 получаем: группа изотропии совпадает с группой всех
целых чисел.
Более общо, на я-мерном торе Г" = (S1)" транзитивно действует группа
всех трансляций га-мерного пространства К" (эту группу мы также будем обозначать
через R"). Действие задается следующим образом: если у = (*,,... ,?„) g В" и
z — (е2к"Р1,...,е2гир') — точка я-мерного тора, то
i — с ,
о2т»(»>,+*„)\
Группа изотропии состоит из всех векторов у с целочисленными координатами. Таким
образом, группа изотропии этого однородного пространства — это целочисленная
решетка ГвМ":
г) Многообразие Штифеля Vn<k. Точкой этого многообразия является упоря-
упорядоченный ортонормированный набор из к векторов х = (et,..., е*) в я-мерном
евклидовом пространстве. Ортогональная матрица га-го порядка А 6 О(п) переводит
точку х в точку Ах = (Аеи...,Аек) — репер (Аеь..., Аек) также ортонормирован.
Это действие транзитивно (проверьте!).
Многообразие Штифеля Vn>k можно задать как неособую поверхность в евкли-
евклидовом пространстве М" . Именно, пусть относительно некоторого ортонормированного
базиса в В" векторы еь ... ,ек имеют координаты
С! — V-^lIl- • • |*1»Л 1—1,..., К.
Величины ху, i = 1,... ,к; j = 1,... ,га, суть координаты точки в я&-мерном евклидовом
пространстве В"*. Эти координаты связаны системой из к(к + 1)/2 уравнений
71
(б ¦ б ¦) = <5*' "Ф^ > SE" X ¦ = <?¦ ¦ 2 7 = 1 к i <1 i /M
s-l
Лемма 2. Многообразие Штифеля Vn>k есть неособая поверхность размерности пк - *(*+-'->
в пространстве Rnk.
Аоказательство. Ввиду наличия группы, транзитивно действующей на Vnj, достаточно
доказать неособость в одной точке. Проверим неособость в окрестности точки
zo = (зу), где ху = Sij, i = l,...,fc; j = \,...,n. Для этого докажем, что
касательное пространство к поверхности Vn>k в этой точке имеет размерность
пк -jp^ (т.е. ранг матрицы Якоби системы A) равен к(к*])). Пусть ху =
xij(t) — кривая на поверхности Ущк, при t — 0 проходящая через точку х„:
,..., k; j = 1,..., n.
§ 5. Простейшие однородные пространства
37
Вектор скорости {у = -^f
этой кривой в точке хй удовлетворяет соотно-
шению
Итак, касательное пространство в точке хо к поверхности У„,* состоит из
векторов ?ij,i - \,...,к; j = 1,... ,п, таких, что
, К.
Размерность этого пространства как раз равна пк - ^у^. Лемма доказана. ¦
Итак, Ущк — гладкое многообразие. Найдем группу изотропии этого однородного
пространства. Дополним репер eh...,ek до ортонормированного базиса еь...,е„ во
всем - n-мерном евклидовом пространстве. Ортогональная матрица, не меняющая
векторов е],...,ек, имеет в выбранной системе координат вид
Ч1
п-к{ V
О Х А,
ASO(n-k).
Значит, группа изотропии есть О(п - к) и Vn>k = О(п)/О(п - к).
Многообразие Штифеля Vn,k при к <п можно рассматривать и как однородное
пространство группы SO(n). В этом случае группа изотропии совпадает с SO{n - к):
Vntk = SO(n)/SO(n - ifc).
В частности,
V.,» = о(л), vn,n_, = so(n), v»,i = sn-\
д) Многообразие Грассмана Gn,k. Точками грассманова многообразия являются
fc-мерные плоскости, проходящие через начало координат в я-мерном евклидовом
пространстве. Естественное действие группы О(я) в пространстве 1" дает транзитивное
действие на совокупности всех fc-мерных плоскостей в В™. Фиксируем некоторую
к -мерную плоскость тг и найдем ее группу изотропии. Выберем ортонормированную
систему координат в М" следующим образом: первые к координатных осей лежат в
плоскости тг, а остальные га-А; ей ортогональны. Ортогональная матрица, переводящая
плоскость тг в себя, имеет в этих координатах блочный вид
Мы получаем, таким образом,
<?„,* = О(п)/О(к) х О(п - к).
Очевидно, имеется равенство
Gnjc = Gn,n-k-
Кроме того, грассманово многообразие GnA совпадает с проективным простран-
пространством RP".
е) Однородными пространствами унитарной группы U(n) являются:

38
Глава 1. Примеры многообразий
1) нечетномерная сфера 5 " , задаваемая в n-мерном комплексном простран-
пространстве С уравнением
2 _ ,.
... +\zl
именно,
г2п-1
Sln ' = U(n)/U(n - 1) = SU(n)/SU(n - 1);
2) комплексное проективное пространство СР"~':
СР"'1 = U(n)/U{l) х Uin - 1);
3) комплексное многообразие Грассмана
g?> = U(n)/U(k) x U(n - к)
к -мерных комплексных плоскостей в С", проходящих через начало координат.
Задачи. 1. Пусть М — однородное пространство группы G с группой изотропии Я.
Доказать, что размерность многообразия М равна разности размерностей G и Я:
dim М = dim G - dim Я.
Вычислить размерность многообразия Gnt.
2. Доказать компактность многообразий Vnt и Gnt.
3. Пусть т = (mi,... ,mi) — разбиение числа п, т. е.
гп\ + тп2 + ¦ ¦. +тк = п.
Набор линейных подпространств та,X|,...,xt пространства R" называется т-флагом,
если:
а) dim xf — dim Х;_ | = т*;
б) хо = 0, 7rt=R";
В) 7Г;_, С 5Г,-.
Ввести на множестве m-флагов F(n,m) структуру однородного пространства груп-
группы О(п). Вычислить группу изотропии этого однородного пространства.
§ 6. Пространства постоянной кривизны
(симметрические пространства)
1. Понятие симметрического пространства. Большой интерес представляют про-
пространства — многообразия М с метрикой дпь, у которых тензор кривизны RabCd
симметричной связности, согласованной с метрикой, удовлетворяет соотношению
= О,
A)
где Vs — ковариантная производная. Мы знаем, что в силу тождеств Бьянки (см. том I,
§30) часть ковариантных производных тензора кривизны всегда обращается в нуль.
Однако требование A) в его полном объеме является очень сильным. Оказывается,
что при выполнении некоторых глобальных ограничений на многообразие М из A)
уже следует однородность метрики даъ. Более точно, это справедливо для односвязных
многообразий М (см. ниже § 17). Общие многообразия (неодносвязные), удовлетво-
удовлетворяющие условию A), получаются из односвязных многообразий М факторизацией по
дискретной группе движений. При этом может оказаться, что эта дискретная группа Г
§6. Пространства постоянной кривизны (симметрические пространства)
39
не коммутирует со всей группой движений многообразия М, и тогда фактор M/Y
не будет однороден. Такие пространства называют локально однородными или локально
симметрическими.
Из A) следует, в частности, что все скалярные характеристики кривизны
постоянны:
R = R"a ~ const, RabcdRa = const.
Мы будем пользоваться, однако, другим определением симметрических про-
пространств.
Определение 1. Односвязное многообразие М с метрикой даь называется симметри-
симметрическим пространством, если для любой точки х ? М существует изометрия
(движение) sx .M.-+M, имеющая точку х изолированной неподвижной точкой
и такая, что все касательные векторы в точке х испытывают отражение: ?
переходит в -?. Это преобразование sx называется «симметрией» в точке х.
.Смысл требования односвязности многообразия М будет раскрыт ниже (см.
§§ 17,18). В утверждениях настоящего параграфа мы не будем использовать свойства
односвязных многообразий. Читатель, еще не знакомый с этими свойствами, может
вернуться к решению задач, приведенных в настоящем параграфе, после изучения гл. 4.
Лемма 1. Симметрическое пространство М обладает свойством A).
Доказательство. Мы можем выбрать около данной точки х ? М такие координаты (ха),
что в точке х
х = 0, gab = 6ab, — = 0.
При симметрии sx тензоры даь и Rabcd перейдут в себя. Что касается тензора
^s(Rabcd) B точке х, то он должен перейти в себя, поскольку sx — изометрия
(движение). С другой стороны, ввиду свойств sx тензор VsRabcd должен перейти
в -Vj-Raioi. Таким образом, V$Rabc<i = 0. Лемма доказана. ¦
Замечание. Справедлива и обратная теорема, но ее доказательство технически более сложно, и
мы его не приводим. Заметим, что в любом римановом многообразии М около любой
точки х G М можно определить «локальную симметрию» sx на некоторой области U Э х
следующим образом: рассмотрим пучок геодезических, выходящих из точки х, и для
геодезической 7 с 7@) = я, положим
SlG(r)) = 7(-т),
где г достаточно мало. Однако эти преобразования не являются, вообще говоря,
изометриями (движениями).
Задача. Докажите, что локальные преобразования sx в том и только в том случае
являются изометриями для всех х ? М, если выполнено условие A). (Простейшим
случаем здесь является случай п = 2, в котором тензор кривизны определяется одной
константой R. В общем случае проще сначала, анализируя сохранение уравнения Якоби
вдоль геодезической, доказать сохранение тензора кривизны преобразованиями sx.)
Наличие «симметрии» sx для всех точек х ? М дает достаточный запас движений
для того, чтобы доказать однородность многообразия М.
Лемма 2. Симметрическое многообразие М является локально однородным, т. е. для
любой точки х ? М, достаточно близкой к х, найдется движение g G М такое,
что д(х) = х. Если пару точек х,у € М можно соединить геодезической, то
найдется движение g такое, что д(х) = у.

40
Глава 1. Примеры многообразий
Аоказательство. Возьмем геодезическую у, параметризованную натуральным параме-
параметром 0 ^ г ^ Т и такую, что 7@) = х, у(Т) — у. Рассмотрим далее точку
г — у(Т/2). Очевидно, симметрия sz переводит увунувх, х&у. (Если
метрика индефинитна ну — изотропная геодезическая, то в качестве г можно
взять аффинный параметр, получающийся из решения уравнения геодезичес-
геодезических, — см. §29 тома Г). Если х и х — близкие точки, то всегда имеется
геодезическая, соединяющая х с х, так как пучок геодезических, исходящих
из х, заметает целую область вокруг х. Лемма доказана. ¦
Замечание. В случае положительной (римановой) метрики любую пару точек можно соединить
ломаной геодезической. Поэтому симметрические многообразия в этом случае всегда
однородны.
2. Группа изометрий. Свойства ее алгебры Ли. Далее мы будем рассматривать
однородные симметрические многообразия М с метрикой даь, удовлетворяющей
условию A); группу Ли движений многообразия М мы обозначаем через G, а
изотропную подгруппу — через Я, так что М = G/H.
Рассмотрим отображение
yir)
s* = h,7 -
M,
B)
рис
где 7=7(г) — некоторая геодезическая, Xa="f@),
х = у(-Т/2). Преобразования s^sx = /уO :
> М обладают следующими важными свойствами (рис. 11):
а) /уO есть сдвиг точек геодезической у на время Т:
М
б) /т,7 является преобразованием параллельного переноса векторов вдоль этой
геодезической;
в) для заданной геодезической у преобразования /тт составляют однопараме-
трическую группу:
>~
/-2\7 -
Все эти свойства очевидным образом вытекают из определения /у:Т.
Согласно сказанному выше (см. §3) однопараметрические подгруппы
группы G имеют вид
где В7 — вектор из алгебры Ли g группы G. Линейное подпространство алгебры д,
порожденное векторами В7 S д для всех геодезических у, исходящих из х0, мы
обозначим через L]. Алгебру Ли стационарной подгруппы Н{хй) группы G, отвечающей
точке Ха, мы обозначим через ?°. Очевидно, что
B = La + L\ D)
Рассмотрим малое е Ф 0 и две геодезические у\, уг, исходящие из точки х<>.
Тогда последовательно производимые преобразования
/-?,72)
Л.72 1
переводят точку Ха в близкую точку к ней (лежащую от нее на расстоянии порядка е3).
В силу определения коммутатора в алгебре Ли это показывает, что коммутатор
[В1{,ВЪ\ лежит в подалгебре, отвечающей стационарной подгруппе точки х0, т.е. что
§6. Пространства постоянной кривизны (симметрические пространства) 41
\Bf,,Bv\ ? L°- Далее, пусть однопараметрическая подгруппа дт = ехр(ГА) группы G
оставляет точку х$ неподвижной (т.е. А 6 L0). Тогда, как легко видеть, при малых е
f О(е2) ставляет собой параллельный
оставляе у $
преобразование g-efr^ge c точностью до О(е2) представляет собой параллельный
перенос вдоль геодезической у, выходящей из точки ха по направлению [ВТ,А].
Таким образом,
Итак, доказана
Лемма 3.
[La,L]]CL\
[L°,La]CL°,
[L\L°]CL\
[L\Ll]CLa.
E)
Замечание. Алгебру Ли g = L, разложенную в сумму L - Ь° + Ь1 с соотношениями E),
называют Z2-rpanyHpoBaHHOii, так как E) переписывается в виде
[L',L]]CL{'
(i+j)(mod2)
F)
Из леммы 3 вытекает
Следствие 1. Линейный оператор
о '¦ в -* 8,
равный 1 на Ьй и -1 на L[, является автоморфизмом (т.е. сохраняет операцию
умножения — коммутирования). При этом а2 = 1 (а есть «инволюция»).
Верно и обратное: при наличии у алгебры Ли g инволютивного автоморфизма
она получает 22-градуировку g = L° + L] такую, что а = I на L° и а — -1
на!1.
Локальная геометрия около точки хо S М в силу однородности определяется
метрикой на касательном пространстве R"o в точке xo(n = dimM). Касательное
пространство 1^0 естественно отождествляется с пространством I1 С J. В силу
леммы 3 метрика на KJ0 = L должна быть инвариантна относительно внутренних
автоморфизмов ? н-» д^д'1, где д S Н и ? S L1. Для дт = ехр(ТА),А S L°, имеем
преобразование L1 —> L1:
т=о
Для скалярного произведения {?,??) на L] имеем
= 0-
G)
Условие G) накладывает ограничение на скалярное произведение — метрику —
на L1 = !?„.
3. Симметрические пространства 1-го и 2-го типов. Лемма 3 дает алгебраическую
модель симметрического пространства. В принципе все симметрические пространства
можно классифицировать, как и компактные группы Ли. Мы рассмотрим наиболее
важные примеры.

42
Глава 1. Примеры многообразий
Простейшими примерами односвязного симметрического пространства (нулевой
кривизны) являются, разумеется, евклидово пространство К" и псевдоевклидовы
пространства KJ!]?. В этом случае группа G состоит из движений пространства R"
(или К^Л), подгруппа Н С G совпадает с группой 0(п) (или О(р,д)), и пространство
L1 = R" состоит из трансляций. Мы имеем, как обычно, разложение
причем в этом случае [L\L]] = 0; кроме того, как обычно, [L°,L]] С L1 (структуру
групп движений см. §4 тома I). Неодносвязные симметрические (или, как их
называли раньше, локально симметрические) пространства получаются факторизацией
по дискретной группе Г, состоящей из трансляций (возможно, в комбинации с
некоторыми отражениями, как бутылка Клейна — см. § 18).
Во всех дальнейших примерах мы будем считать группу G полупростой (см. § 3,
п. 1), т. е. скалярное произведение Киллинга на алгебре g должно быть невырождено.
Напомним, что это скалярное произведение (А, В) имеет вид
{А,В) = -Sp (ad A ad В), acUtf) = [А,?], adBtf) = [B,fl.
Имеется два разных типа односвязных симметрических пространств (даже в
случае, когда метрика положительна — риманова):
1-й тип: группа G компактна, и скалярное произведение Киллинга на алгебре
Ли j положительно.
2-й тип: группа G некомпактна, и скалярное произведение Киллинга на алгебре
Ли g индефинитно.
Рассмотрим простейшие примеры.
а) Сфера S2 A-й тип). Здесь G = SOQ) (компактна), И = SOB).
б) Плоскость Лобачевского I? B-й тип). Здесь G = SOB,1) = SLB, К) и
Я = SO{2). Алгебра Ли g состоит из 2 х 2 матриц с нулевым следом. Скалярное
произведение {А, В) имеет вид
(А, В) = -Sp (AB).
Базис алгебры таков:
Имеем
а]
(AuA2) = -l
Матрицы из Н = SOB) имеют вид ( . " ). Подалгебра L0 С g состоит из
ч — sin tp cos у /
матриц вида Х(А] — А2). Подпространство L1 С g порождено векторами А] + А2, Ат,.
Проверьте соотношение
[L\L°]CL\
Скалярное произведение Киллинга на подпространстве L] С 0 является положитель-
положительным. Поэтому метрика на симметрическом пространстве I? положительна.
Задача. Разберите самостоятельно случаи 5" и L".
§ 6. Пространства постоянной кривизны (симметрические пространства)
43
4. Группы Ли как симметрические пространства. Рассмотрим теперь сами группы
Ли Q как симметрические пространства. Группа движений G группы Q изоморфна
Q х Q', действие группы G в Q порождается правыми и левыми сдвигами:
(9i,9г) ¦ Ч >
подгруппа ЯСС есть диагональ Q — {у,д} С Q x Q: очевидно, ЯA) = 1. Симметрии
определяются формулой (проверьте!)
sg : х у-* qx~ q.
В частности, si(r) = зГ'.
Разберем более детально случай 1-го типа, когда Q — односвязная и компактная
группа. Кривизна метрики Киллинга уже вычислялась нами (см. § 30 тома [). Здесь
важно, что кривизна Риччи В.аь положительно определена. Геодезические линии
получаются правыми и левыми сдвигами из однопараметрических подгрупп.
Построим изометрическое вложение Q С SN, ще N — большое число. Мы
будем считать, что группа Q вложена в группу S0(m). Далее, группа SO(m) состоит
из т х m-матриц и вследствие этого Лежит в пространстве Ет . Введем евклидово
скалярное произведение матриц А и В из Rm :
, (8)
где Т обозначает транспонирование (ср. § 24 тома I).
Задача. Проверьте, что это скалярное произведение совпадает с формой Киллинга при
ограничении на S0(m).
Для A S SO(m) имеем ААТ — 1 и Sp 1 = m. Таким образом, группа S0(m)
лежит на сфере (А, А) — m радиуса •/та:
S0(m) С Я7".
Лемма 4. Скалярное произведение в евклидовом пространстве R инвариантно относи-
относительно правых и левых сдвигов на элементы g S SO(m).
у гр X
Аоказательство. Пусть А = дА,В = дВ. Тогда {А,В) = Sp(gAB д ) = Sp(gAB g ) =
и , гр и
Sp(AB ) = {А,В). Аналогично для правых сдвигов: если А = Ад,В = Вд, то
{А,В) = Sp(AggT~BT) = Sp(Alf) = (I,"Б). Лемма доказана. ¦
Следствие 2. Метрика (8) на Ж" , ограниченная на любую, подгруппу Q С SO{m),
инвариантна относительно правых и левых сдвигов
(биинвариантная или двусторонне инвариантная метрика).
Лемма 5. Всякая двусторонне инвариантная метрика на простой группе Ли Q пропорци-
пропорциональна метрике Киллинга с постоянным множителем.
Доказательство. На алгебре Ли L группы Q двусторонне инвариантная метрика
порождает ad-инвариантное скалярное произведение (здесь А, В, С S L),
{В,[А,С])=0
(9)

Глава 1. Примеры многообразий
или, если дт = ехр(АТ):
44
-{В, С). A0)
Скалярное произведение Киллинга {А, В) удовлетворяет (9) и A0). Пусть даь,
Яаь — две метрики, удовлетворяющие (9), A0). Метрика даЬ - ХдаЬ также
ad-инвариантна. Пусть А] такою, что det (даЬ - \\д~аъ) = 0; соответствующее
собственное подпространство алгебры L обозначим через Яд,. Очевидно,
подпространство Яд, инвариантно относительно внутренних автоморфизмов
алгебры. Однако в силу простоты группы Q, представление ad неприводимо (не
имеет инвариантных подпространств). Поэтому Дд, = L и даь = \\дпь- Лемма
доказана. ¦
Следствие 3. Всякая простая подгруппа Q группы S0{m) с метрикой Киллинга изоме-
изометрически вкладывается в сферу Sm ~' с метрикой, пропорциональной обычной.
Следствие 4. Тензор Риччи Иаъ также обладает свойством инвариантности (9), A0).
Поэтому для простой группы Rab = \gab, А = const.
Для компактных групп G мы уже знаем, что Rab > 0 (см. §30, тома I).
Полупростая группа есть (локально) прямое произведение нескольких простых: G —
G\ х ... х Gk ¦ Для каждой простой группы G; этот результат очевиден, так как знак А
легко определяется.
5. Построение симметрических пространств. Примеры. Перейдем теперь к об-
общим симметрическим пространствам. Пусть
M = G/H, g = l = l° + l\
где g — алгебра Ли группы G, слагаемые L0 и L] удовлетворяют соотношению E), L0 —
алгебра Ли группы Н, пространство L] — KJ0 изоморфно касательному пространству
к М в точке хо,Я(го) = х0. Метрика на М будет получаться в дальнейших примерах
из формы Киллинга на алгебре Ли д.
Лемма 6. В метрике Киллинга на алгебре Ли д подпространства L0 и L] ортогональны.
Аоказательство. Так как [L°,L°] С L°, {L°,Ll] С L1, [Ll,Ll] С La, то для А 6 L°,
П г rl
adA(I0)Ci°, adA(L')Cl\
adBCb1) С 1°, adB(L°)CL\
Поэтому Sp (ad A ad В) = О. Лемма доказана. ¦
Форма Киллинга на g имеет вид (часто форму
симметрического пространства)
<*>-(?#)•
называют формой Киллинга
(И)
где а,/3 — индексы базиса в L0 и у, S — индексы базиса в L1. Форма д^ на алгебре L°
удовлетворяет соотношениям (9). Поэтому, если алгебра La проста, то метрика да1
пропорциональна метрике Киллинга самой алгебры La. Однако в важных примерах
алгебра L0 не проста, а лишь полупроста, Ьй = L? © L\, где алгебры L°t и L\ уже
§ 6. Пространства постоянной кривизны (симметрические пространства)
45
просты. Тогда форма g®p в соответствии с леммой 6 может отличаться от формы
Киллинга на один множитель А] на L(' и на другой множитель А2 на b\.
Заметим следующее: если А ? L", группа Н компактна и метрика д^ поло-
положительна, то матрица ad А кососимметрична (как на La, так и на L]). Для {А, А)
имеем
-Sp (ad4J = - [Sp (sluAI« + Sp
Поэтому
\(А,А)\В>\(А,А)У
A2)
Мы знаем, что у алгебры Ли Ь° компактной группы Ли Н форма Киллинга
неотрицательна. Что касается ограничения дар формы Киллинга алгебры Ли g на L0,
то в силу неравенства A2) это ограничение положительно для компактных групп Н
(если метрика симметрического пространства положительна).
Мы видим следующее: для построения симметрического пространства достаточ-
достаточно задать подалгебру Ьй С д, ограничение на которую формы Киллинга с объемлющей
алгебры Ли д невырождено. После этого L] определится как ортогональное дополне-
дополнение. Однако соотношения A2) дают сильные ограничения на выбор L0. Если форма
Киллинга на д индефинитна, то для симметрических пространств с положительной
метрикой подалгебра L° С g должна быть такой, что форма на ее ортогональном
дополнении знакоопределена B-й тип). При этом алгебра Ьа должна быть алгеброй
Ли компактной группы — подгруппы группы SO(n).
Замечание. Можно реализовать симметрическое пространство М как подмногообразие в
группе G таким образом, чтобы геодезические многообразия М являлись геодезическими
и в многообразии G. Вложение строится одним из следующих способов:
1) выпускаются все однопараметрические подгруппы из 1 € G по направлениям
векторов В € L[ (покажите, что эти геодезические заметают подмногообразие М С G);
2) рассматривается отображение ip ; М -+ G, действующее по формуле р(х) =
Siii'S, ? G(SX — симметрия);
3) Рассматривается инволюция а : G —> G (антиавтоморфизм группы, &(gigi) =
a(gi)^(g\)), которая на алгебре Ли g определяется равенствами S\La = lj^li, = -1.
Рассмотрим отображение д н+ да(д~]). Образ этого отображения и есть М С G.
Докажите совпадение вложений 1), 2), 3).
Основные примеры односвязных симметрических пространств 1-го типа (по-
(постройте разложение g = L° + Ll):
1) SOBn)/U(n)t
2) SU(n)/SO{n),
3) SUBn)/Sp(n),
4) Sp(n)/U(n),
5) SO(p + q)/SO(p) x SO(q), ^i грассмановы многообразия,
6) SU{p + q)/SU(p) x U(q), > в частности проективные
7) Sp(p + q)/Sp(p) x Sp(q) J пространства и сферы.
Некоторые примеры симметрических пространств 2-го типа (метрика поло-
положительна). Оказывается, что в односвязном случае они имеют топологию евклидова
пространства 1":

46
Глава 1. Примеры многообразий
1) SO(p,q)/SO(p) х SO(q) (при q = 1 это Lp — пространство Лобачевского),
2) SU(p,q)/U(p) х SU(q) (при q = I это — единичный шар в С как комплексное
многообразие; при р = 1 это многообразие совпадает с
I2 = SU(l,
3) Sp(p, q)/Sp(p) x
4) SL(n,n)/SO(n),
5) SL(n,Q/SU(n),
6) SO(n,C)/SO(n,R).
Задачи. 1. Для симметричных пространств 2-го типа с положительной метрикой пока-
покажите, что размерность подалгебры ?° С g совпадает с числом положительных квадратов
формы Киллинга в д.
2. В частности, если алгебра Ли д комплексна (например, G = SL(n,C) или SO(n,Q),
то числа отрицательных и положительных квадратов совпадают и dim ?° = ^ dim g.
Найдите подалгебры Ь° в алгебре Ли g группы G = SL(n, Q.
3. Покажите, что для симметрических пространств 2-го типа с положительной метрикой
всегда
М = G/H,
где Я — максимальная компактная подгруппа группы G. Исследуйте случаи
SL{n,R)/SO(n), SL(n,Q/SU(n).
4. Покажите, что односвязные симметрические пространства 2-го типа всегда имеют
топологию пространства R*.
Далее, для кривизны симметрических пространств, как и для групп Ли, имеем
(Я^ЧХ.т)!*,, = !([?,,,], [С, г]);,,
5. Покажите, что для пространств 1-го типа Rab > 0 и кривизна в двумерных направле-
направлениях (Д(?, »7)?, <?) неотрицательна.
6. Для пространств 2-го типа покажите, что кривизна в двумерных направлениях
неположительна. Выведите отсюда, что односвязное симметрическое пространство 2-го
типа топологически есть R" (предполагается, что метрика положительна).
7. Выясните, какие из вышеперечисленных симметрических пространств 1-го и 2-го
типов имеют кривизну в двумерных направлениях, не обращающуюся в нуль. Исследуйте
случаи 5", СР", ЖР" для 1-го типа и случаи L", SU(n,l)/U(n), SL(n,R)/SO(n),
Sl(n, Q/SU(n) для 2-го типа.
8. Докажите, что для размерностей п = 2,3 все односвязные симметрические простран-
пространства с положительной метрикой исчерпываются случаями Ln, S", К".
Указание. Покажите, что стационарная подгруппа Н С G обязана совпадать с
SO{n) (n = 2,3). Выведите отсюда постоянство кривизны по всем двумер-
двумерным направлениям для п — 3.
9. Докажите, что для полупростой группы G = G\ X ... X Gt (G,- — простые группы)
любое односвязное симметрическое пространство М имеет вид
M = (G,/#,)x... x(Gk/Ht),
где метрика распадается в прямое произведение. При этом метрика каждого М, = Gil Hi
пропорциональна метрике Киллинга на пространстве L\ в алгебре Ли g, = L° +L\.
§ 7. Линейные элементы н связанные с ними многообразия
47
В заключение приведем список симметрических пространств размерности 4 с
метрикой сигнатуры (-1 ). Эти пространства могут представлять интерес для общей
теории относительности, поскольку метрика даь удовлетворяет уравнению Rab - ^даь = О
(см. следствие 4 выше).
I. Пространства постоянной кривизны с группой изотропии G = S0(l,3).
1) Пространство Минковского К}3 ¦
2) Пространство де Ситтера S+ = SOA,4)/SOA,3); заметим, что S+ гомео-
морфно R х S3. Тензор кривизны R есть тождественный оператор пространства
бивекторов A2(R4) в себя: R = 1.
3) Пространство де Ситтера S_ = SOB,3)/SOA,3); пространство S__roMeo-
морфно S1 x R3, его «универсальная накрывающая» (см. §18) S_ = S0B,3)/SO(l,3)
гомеоморфна М4. Тензор кривизны R = -1.
II. Приводимые пространства (произведение пространств постоянной кривизны).
1) G — SOC), М = R+ х Ml , где Ml — пространство постоянной кривизны
сиг-натуры ( ).
2) G = SOA,2),M = R- х Ml , где М+__ — пространство постоянной
кривизны сигнатуры (Н ).
3) G = S0B) х SOA,1),M = М2_ х М\- — произведение двух двумерных
пространств постоянной кривизны.
III. Симметрические пространства плоских волн М< (группа изотропии G ком-
коммутативна, группа движений разрешима). В некоторой глобальной системе координат
метрика имеет вид
dl2 =
[(cost)xl
dx\ + dx\ + dx],
и
cost ^ sint.
В тетраде (см. том I, §30), задаваемой 1-формами
p = dxu q = dx\+Hdx4, X = dx3, у = dx4,
тензор кривизны постоянен и имеет вид
R — -4[cos<(pA х) ® (р А х) + sin t(p Л у) ® (р Л у)].
Замечания. 1. Односвязное симметрическое пространство однозначно определяется своим
тензором кривизны в точке. Если R — тензор кривизны, R : Л2(У) -* Л2(У), то
обозначим через h алгебру Ли кососимметрических линейных операторов пространства V,
порожденную операторами вида Щх,у), х,у е V (h есть алгебра изотропии (Хо))-
Пусть g — алгебра Ли, задаваемая в пространстве V $ h формулами
[(и, а), (и, 6)] = (аи - 6и, [а, 6] + Д(и, v)).
Тогда однородное пространство М = G/H, соответствующее паре (g,ft), естественным
образом наделяется структурой симметрического пространства.
2. Описание всех тензоров кривизны симметрических пространств с данной группой
изотропии Н сводится к нахождению Я-инвариантных тензоров R типа тензора
кривизны, для которых R(x,y) € h для любых х,у S V, h — алгебра Ли Я.
§ 7. Линейные элементы и связанные с ними
многообразия
1. Конструкции, связанные с касательными векторами. Пусть М есть п -мерное
многообразие. По этому многообразию построим 2п-мерное многообразие L, называ-
называемое многообразием линейных элементов многообразия М.

48
Глава 1. Примеры многообразий
Определение. Точками многообразия линейных элементов L(M) являются пары (х,?),
где х — точка многообразия М; ? — касательный вектор в этой точке к
многообразию М.
Введем локальные координаты на многообразии L(M). Пусть Uq С М — область
действия локальных координат (г"). Тогда в каждой точке области U в касательном
пространстве к М возникает базис еа = ^ и касательные векторы в этой точке
получают координаты: ? — ?"еа. Пары вида (?,?)> гДе х ? Щ> образуют область Uq в
пространстве L(M). Локальные координаты в области Uq имеют вид
Функции перехода на пересечении области Uq с областью Up , где в области Up
действуют координаты (xj), имеют вид
Матрица Якоби этих функций перехода имеет вид
Якобиан (определитель этой матрицы) равен (det АJ > 0.
Следствие. Многообразие линейных элементов ЦМ) — гладкое ориентируемое 2п-мерное
многообразие.
Пример. Многообразие линейных элементов к области U в евклидовом пространстве К"
диффеоморфно прямому произведению U x R".
Пусть на многообразии М задана риманова метрика. Тогда в многообразии всех
линейных элементов L(M) выделяется подмногообразие L\{M) точек (х,(), Д"я которых
|?| = 1. Размерность многообразия L\ равна 2п - 1 (оно задается неособым уравнением
Пример. Для п -мерной сферы 5я, задаваемой уравнением ^2(х"J = '¦ касательный вектор ?
ортогонален радиус-вектору х, проведенному в точку касания. Поэтому для сферы 5"
многообразие пар (х,?) есть многообразие Штифеля У„+|,2. В частности, для двумерной
сферы S2 многообразие всех единичных касательных векторов L^S") совпадает с
V32 = SOC)«RP3
Рассмотрим некоторые другие конструкции, связанные с линейными эле-
элементами:
а) Часто встречается многообразие Lp(M), точками которого являются пары
(х,г), где г — прямая в касательном пространстве в точке х G М, проходящая через
начало координат.
б) С любым п-мерным многообразием М можно связать новое многообразие Е,
точками которого являются пары (х,т), где х S М и т = (?ь--.,?п) — базис
касательного пространства в точке х. __
в) Для ориентированного многообразия М определено многообразие Е реперов,
лежащих в одном классе ориентации.
§ 7. Линейные элементы и связанные с ними многообразия
49
г) Для риманова многообразия возникает многообразие Еп ортогональных
касательных реперов.
Другие примеры конструкций, связанных с линейными элементами, будут
рассмотрены в гл. 6.
Гладкое отображение / : М —> JV многообразия М в многообразие N определяет
гладкое отображение соответствующих многообразий линейных элементов:
ЦМ) -» L{N), (i, О ~ {f(x), ДО
(Д — построенное в § 1 индуцированное отображение касательных пространств).
Определим теперь «пространство кокасательного расслоения» Ь*(М) как со-
совокупность пар {х,р), где р — ковектор A-форма на М) в точке х. Локальные
координаты [Хр) в области Up дают локальные координаты (хр,рра) в многообра-
многообразии L*{M), где (локально)
p = ppadxp.
Функции перехода от координат (хр,рра) к координатам (ж,,р?/з) имеют вид
(да
zf(z;,...,r;),^P
Матрица Якоби этих функций перехода имеет вид
Ее определитель равен 1. Следовательно, многообразие L*(M) также ориентировано.
Метрика дар на многообразии М позволяет построить диффеоморфизм
Здесь точка (х",?а) переходит в точку (ха,да^(х)^) (изучавшаяся в § 19 тома I
операция опускания индексов).
Выражение ш = padxa при заменах вида A) инвариантно. Следовательно,
ш можно рассмаривать как дифференциальную форму на многообразии L*(M). Ее
п
дифференциал п = dm = 53 dpaAdxa — невырожденная кососимметрическая 2-форма,
которая, очевидно, замкнута, du = 0.
Вывод. Многообразие L*(M) симплектическое.
Напомним, что в томе I симплектическим называлось пространство с невыро-
невырожденной замкнутой кососимметрической 2-формой п.
2. Нормальное расслоение к подмногообразию. Пусть М — риманово п-мерное
многообразие, дар — метрика на нем. Пусть, далее, JV — гладкое fc-мерное
подмногообразие многообразия М. Определим пространство v^(N) «нормального
расслоения» к подмногообразию JV в М. Точками этого пространства являются пары
(х, v), где х — точка из N, v — вектор, касающийся М в точке х и ортогональный
к подмногообразию JV в этой точке. Под ортогональностью к подмногообразию JV мы
понимаем ортогональность к подпространству, касательному к N. Подмногообразие JV
можно считать локально заданным системой неособых уравнений ук+> = 0, ..., у" = 0,
причем функции ук+],..., у" включаются в локальную систему координат (у],..., у")

50
Глава 1. Примеры многообразий
на М, а (у1,..., ук) — локальные координаты на самом N (см. § 1). Тогда многообразие
vM(N) локально выделяется в L(M) системой уравнений
у*+1 =0, .... у" = 0, gap(y)vP = 0, a=l,...,k.
Эта система неособа (проверьте!). Поэтому va(N) — n-мерное подмногообра-
подмногообразие в L{M).
Примеры. 1. Пусть М = R", N задано в целом системой неособых уравнений
/,(у) = 0, ... , fn.k(y) = 0, у = (у\..., уп).
Тогда векторы grad ft,.. .,grad/n_t ортогональны к поверхности N и всюду линейно
независимы. Эти векторы задают в i^»(JV) структуру прямого произведения:
vR*(N) и N х К".
Более общо, если подмногообразие N задано в М в целом системой неособых
уравнений
/,(i) = 0, ..., /,.»(*) = 0,
то векторные поля e,(r) = grad/,(r) = (fcjffb i = l,...,n-fc, ортогональны к TV в
каждой точке и линейно независимы. Любой вектор, нормальный к TV в точке х, имеет
вид
f = i/'e,-(i).
Получаем соответствие (z,f) «-* (i,i/',...,«/*), т.е.
Важный частный случай: пусть А С М — многообразие с краем, задаваемое
неравенством f(x) ^ 0; N = дА — край многообразия А. Этот край имеет размерность
п - 1 и задается одним неособым уравнением f(x) = 0; нормальное расслоение к краю
распадается в прямое произведение
vM(dA) = дА х R.
2. Пусть М = N х N, тле N — риманово многообразие. Касательный вектор к
многообразию М задается парой касательных векторов (?,ф к многообразию N. Введем
в многообразии М риманову метрику, полагая
Расположим многообразие N в М как диагональ Д = {(х,х)} С М, где х — точки из N.
Векторы, касающиеся диагонали Д, имеют вид (СО- Если вектор и = (?,т)) ортогонален
диагонали Д, то
о = ((с,а«,ч)) = «.*+!?)¦
Это равенство справедливо при любом векторе (, лишь если ? = -т]. Итак,
векторы, нормальные к диагонали N = Д., имеют вид v = (?, — ?).
Вывод. i/Hxtl(A) rs L(N).
3. Определим отображение h пространства нормального расслоения uM(N) в
многообразие М (геодезическое отображение). Пусть (х,и) — точка из uM(N). Выпустим
из точки х геодезическую y(t) в многообразии М с начальным вектором скорости v:
7@) = v. Положим h(x,i/) = 7A)-
Лемма. Якобиан отображения h при (г, v) = (г, 0) не равен нулю.
Аоказательство проведем для случая, когда М есть пространство R" со стандартной
евклидовой метрикой, JV С К" — гиперповерхность, заданная параметрически
j 7. Лииейиые элементы и связанные с ними многообразия
51
х' — х'(и1,... ,ип '), г = 1,... ,п. Координаты точки (х, v) G vn«(N) имеют вид
(и],... ,u"~\t), где х = x(u),v = tn(u), n — п(и) — единичный вектор нормали
к поверхности JV в точке х(и). Геодезическое отображение имеет вид
h(u\...,u'\t) = x(u)+tn{u).
Цпя его производных будем иметь
dh dx дп dh
При t = 0 получаем, очевидно, невырожденную матрицу Якоби (|^, Ц). Лемма
доказана. ¦
Следствие. Пусть многообразие N компактно, и пусть v?M(N) = {(x, v), \v\ < e}.
Тогда отображение h отображает область v?M(N), при достаточно малом е
диффеоморфно на некоторую окрестность UC{N) многообразия N в М.
Доказательство. В силу леммы 1 отображение h является диффеоморфизмом в окрест-
окрестности любой точки (г, 0) в vm(N)- Выберем из этих окрестностей конечное их
число, покрывающее множество {N,0) в Ум (Ю- Многообразие JV содержится
в объединении этих окрестностей вместе с некоторой е-окрестностью vM(N).
В этой е -окрестности отображение является диффеоморфизмом. ¦
Замечание. Пусть Ut(N) — диффеоморфный образ области Vm(N), описанный в следствии.
Тогда из любой точки х из области U^(N) можно опустить «геодезический перпендику-
перпендикуляр» 7 на подмногообразие N, причем геодезическая -у локально единственна. Длину
этого перпендикуляра мы будем называть расстоянием от точки х до многообразия N и
обозначать через p(x,N). Функция p(x,N) гладко зависит от точки х в области Ue(N).
Теорема 1. Пусть М — компактная двусторонняя гиперповерхность в Ж" (см. § 2).
Тогда М задается одним неособым уравнением
f(x) = о.
Аоказательство. Пусть <p(t) — гладкая функция, график которой изображен на рис. 12.
Построим функцию f(x) в R, полагая
fit)-
Г ±е, если х не лежит в U?(M),
f{x> ~ { tp(±p(x, M)), если х е Ue(M).
—е —е/2
Здесь Ue(M) — описанная в следствии окрест- Г~ ! у\ е/2
ность многообразия М. Знак + выбирается для
точек х, лежащих в каком-нибудь одном из кус-
кусков в R" \ М, знак — берется для другого куска
(поверхность лежит двусторонним образом). Урав- и "
нение f(x) = 0 как раз задает гиперповерхность М. Теорема доказана.

Глава 2
Вопросы обоснования. Необходимые
сведения из теории функций.
Типичные гладкие отображения
Данная глава посвящена вопросам обоснования, необходимым в теории глад-
гладких многообразий. Доказательства теорем этой главы не играют ни малейшей роли
в дальнейших главах при построении содержательной топологии и геометрии мно-
многообразий. Вследствие этого читатель может ознакомиться лишь с определениями и
формулировками теорем этой главы без ущерба для понимания дальнейшего материала.
Материал этой главы делится на две части: в первой части строится так называемое
«разбиение единицы», с помощью которого доказывается ряд «теорем существования»,
которые в конкрентных примерах часто самоочевидны: существование римановой
метрики и связности на многообразии, строгое обоснование общей формулы Стокса,
существование гладкого вложения компактного многообразия в евклидово простран-
пространство, аппроксимация непрерывных функций и отображений гладкими, обоснование
оператора усреднения форм и метрик по компактной группе преобразований.
Вторая часть, начинающаяся с так называемой леммы Сарда, посвящена
разработке точных представлений о «типичных» особенностях функции и отображений.
Эта часть весьма полезна в дальнейших конкретных топологических конструкциях и
заслуживает того, чтобы читатель более внимательно ознакомился с определениями и
формулировками.
§ 8. Разбиение единицы и его применения
Мы будем в дальнейшем использовать следующие обозначения: С°°(М) —
пространство гладких функций на гладком многообразии М; sup (/(г)) — точная
верхняя грань значений функции /(х); supp(/(r)) — носитель функции /(г),
т. е. замыкание множества тех точек х, в которых /(х) ф 0.
1. Разбиение единицы. Рассмотрим евклидово пространство R".
Лемма 1. Пусть А, В С R" — два непересекающихся подмножества, причем А замкнуто
и ограничено, В замкнуто и А П В Ф S3. Тогда существует С00-функция <р(х)
на R" такая, что ip(x) = 1 на А и tp{x) = 0 на В (рис. 13). При этом всюду
OsC^xK 1.
Доказательство. Пусть 0 < a < Ъ — два вещественных числа. Рассмотрим на веще-
вещественной прямой R1 следующую функцию:
§ 8. Разбиение единицы и его применения
53
f(x) =
тЬ ~ ^ ) при а, < х < Ь,
для остальных х.
Легко проверить, что /(х) — гладкая функция на Ж (проверьте!).
F(x)
А В R"
Рис. 13.
Рассмотрим функцию
F(x) =
ь \ / ь
f(t)dt) IJ f(t)dt
(рис. 14). Ясно, что F(x) — гладкая функция и что
( = 0 при х ^ Ь,
F(x) < = 1 при х ^ о,
I, убывает от 1 до 0 при а ^ х ^ Ь.
Рассмотрим теперь функцию ~ф(х) на Ж™, определенную формулой
(xnf) = F
Ясно, что 1р(х) — гладкая функция на R" и что
( = 0 при г1 > 6,
¦ф(х) = < =1 при г2 $ о,
\ убывает от 1 до 0 при о $ г ^ t.
п
Здесь г2 = 52(х'J (см- Рис- 15). Итак, если S и S' — две концентрические
;=1
сферы в R" и S охватывает 5', то существует гладкая функция tp(x) такая, что
ip(x) = 0 вне шара, ограничиваемого S и ~ф(х) = 1 в шаре, ограничиваемом 5'.
Теперь рассмотрим множе-
множества А я В (см. условие лем-
леммы.) Так как А компактно,
то существует набор сфер S;
A ^ г < т) таких, что соот-
соответствующие открытые шары А
Диск D" (Va)
Рис. 15.
ч_ Di = S,-; черта обозначает за- ' - . __ s I -\- —. . ^. К"
мыкание) составляют покрытие Диск L
т
множества А, т.е. А С U .?>,-.
Так как Л Л В = 0, то можно считать, что D, Л В = 0 для любого i.
Любую сферу Si можно уменьшить до сферы S,- С S< такой, что набор
сфер {5,-} все еще порождает покрытие А, т.е. А С и -D;-

54 Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций
Рассмотрим функции i>i(x) ? С00(К") (гладкие функции на Ш") такие, что
О вне Д.
Положим <р(х) = 1 - ПA ~ ¦&(?))¦ Ясно, что <р(х) ? C°°(W), ip(x) = 1 на А и
<р(х) = 0 на В. Лемма доказана. ¦
Лемма 2. Пусть С — компактное подмножество гладкого многообразия М; пусть
С С V, где V — открытое подмножество М. Тогда существует функция
<р(х) ? С°°(М) такая, что 0 sC tp(x) ^ 1 на М, <р(х) = 1 на С и <р(х) = 0 вне V.
Эта лемма уже доказана нами для случая М = R" (см. лемму 1). Обратимся
к общему случаю. Пусть (Ua-,<pa) — локальная карта на М, <ра : Ua —> Rn.
Пусть Sa С Ua — компактное подмножество в Ua. Рассмотрим множество
Va(Ua) С R"; это множество открыто в R".
В силу леммы 1 на множестве <pa(Ua) существует функция /а(х) такая, что
fa(x) = 1 На <Pa(Sa) И ЧТО SUpp fa(x) С Va(Ua), Т.е. fa(Ua) = 0 Вне pa(Ua)-
Рассмотрим функцию Fa(P) на М:
р/рч_/ fa{<Pa(P)) ПРИ P?Un,
*а{Г) - | Q при р ^ Ua.
Ясно, что Fa 6 С°°(М), Fa = 1 на Sa, Fa = 0 вне [7„. Теперь рассмотрим
компактное подмножество С (см. выше), С С V, V открыто. В силу компакт-
компактности С существует набор открытых координатных окрестностей Ui,...,Un и
ЛГ ЛГ
компактных множеств Su... ,Sff таких, что С С U Sa, Ua D Sa, U Ua С V. По
a=l a=I
доказанному ранее для каждого Ua существует функция Fa S С°°{М) такая, что
ЛГ
Fa = 1 на Sa к Fa = 0 вне J7O. Рассмотрим функцию F = 1 - П 0 ~ -Р«)- Тогда
а=1
Р=1 на С и F = 0 вне U f7a, в частности, J1 = 0 вне V. Лемма доказана. ¦
a
Теорема 1 (существование «разбиения единицы»). Пусть М — компактное гладкое
многообразие; пусть {Ua} — произвольное конечное покрытие многообразия М
координатными областями (например, открытыми шарами).
Тогда существует набор функций lpa(x) S С°°(М), таких, что:
1) supp ipa С Ua для любого а;
2) 1 ^ <Ра(.х) s? О для всех х ? М;
3) J2 <ра(х) = 1 для всех х ? М.
Аоказательство. Рассмотрим систему {Ua}, 1 < а < JV. Можно построить такую новую
«уменьшенную» систему открытых шаров {Va}, I ^ a ^ JV, что Va С Ua и {Va}
по-прежнему является покрытием многообразия М.
Рассмотрим пары (Ua, Va). Согласно лемме 2_существуют функции tpa(x) S
С°°(М) такие, что 0 ^ ipa ^ I на М, tpa = I на Va и i>a 5 0 вне J7a. Положим
лг
VK1) — Z! 'We); очевидно, ¦(/» G С°°(М) и V(:c) > О ДЛЯ любого х ? М.
а=]
S. Разбиение единицы и его применения
55
Положим, далее, (ра = i>ali>- Ясно, что функции (ра удовлетворяют условиям
теоремы. Теорема доказана. Ш
Система функций {<ра(х)} называется разбиением единицы, подчиненным покры-
покрытию {Un}.
Замечание. Компактность многообразия М не является обязательным ограничением. Как
это видно, доказательство существования разбиения единицы дословно переносится на
многообразия, допускающие так называемые «локально конечные» покрытия (т. е. любая
точка обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом областей
покрытия). Напомним, что хаусдорфово топологическое пространство называется пара-
компактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное
открытое покрытие. Таким образом, приведенное нами доказательство существования
разбиения единицы годится для любого открытого многообразия, которое является
паракомпактным хаусдорфовым пространством.
' 2. Простейшие применения разбиения единицы. Интеграл по многообразию и
формула Стокса. Теорема о существовании разбиения единицы на многообразии
имеет полезные следствия. Укажем некоторые из них. Для простоты предположим, что
многообразие компактно.
Следствие 1. На любом компактном многообразии существует риманова метрика.
Аоказательство. Рассмотрим открытое пространство {Ua}, l С a < JV, многообра-
многообразия М шарами Ua с локальными координатами {х'а). В координатах [х1а,..., ж?)
задаем, например, метрику д^ = <50&. Надо «склеить» между собой все постро-
построенные на шарах Ua метрики д^ . По определению положим
где {^о} — разбиение единицы, подчиненное покрытию {Ua}- Гладкость g
очевидна. Так как i>a(%) s* 0 Для любого х и так как пространство римановых
метрик образует выпуклый конус (т. е. если #i и gj — две римановых метрики и
с, d — положительные числа, то cg\ +dg2 — риманова метрика), то определенная
нами метрика (даь) является римановой. ¦
Следствие 2. На любом компактном многообразии существует риманова связность.
Это вытекает из следствия 1.
Аналогичным приемом определяется интеграл от внешней формы w степени п =
dim M по многообразию М. В каждой отдельной карте Ua с локальными координатами
(ха,..., х") форма w(n) степени п имеет вид
Ш(П)(Х) = ОП...„(Г) dxa А . . . A dxa,
интеграл от ш(п> по области Ua определяется обычным образом:
/ ш(п> = / an,,.n(x)dxa A ... Adxa.

56 Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций
Для определения полного интеграла J о/71' следует «склеить» между собой интегралы
f w(n*. По определению положим
М"
N
?
0=1
¦фа(х)
(При этом напомним, что фа{х) = 0 вне Ua.) Здесь {фа} — разбиение единицы.
Перейдем к другим примерам использования разбиения единицы.
Дадим строгое доказательство общей формулы Стокса.
Пусть DCE" — ограниченная область с гладкой границей 3D. Например, D
может задаваться неравенством: /(г1,...,г") ^ 0, gradf\gD Ф 0, где х],...,хп —
евклидовы координаты в R". Таким образом, V"~l — 3D — гладкая гиперповерхность
в R". Если в R" задана ориентация, то фиксирован порядок координат х',...,х" с
точностью до четной перестановки. Это эквивалентно тому, что фиксирован порядок
вектора репера (еь..., е„), который можно гладко перемещать в R". Пусть п(Р)
(где Р S 3D) — внешняя нормаль к 3D. В окрестности любой точки Р S 3D
можно ввести локальные гладкие координаты у1,... ,уп'[. Эти координаты определяют
ориентацию границы 3D; напомним, что эта ориентация считается согласованной
с ориентацией D, если репер (—;,... ,~^,п(Р)) получается из репера (еь...,еп)
линейным преобразованием с положительным детерминантом.
Теорема 2. Пусть ш — внешняя дифференциальная форма степени п - 1 на D. Тогда
D 8D
где г : 3D —> D — вложение, i*(u>) — ограничение формы ш с D на 3D
(определение см. в томе Г, § 22); ориентация на 3D согласована с ориентацией в D.
Замечание. Порядок координат х',...,х" и у\. ..,уп~[, задаваемый ориентацией, необходим
для вычисления интегралов от форм.
Доказательство. Рассмотрим конечное покрытие области D шарами Ua, 1 ^ а ^ N, до-
достаточно малого радиуса и фиксируем координатные отображения ha : Вп —* К";
ha(B") = Ua, где В" — стандартный шар в I", а отображение ha есть про-
просто введение локальных координат в Ua. Пусть х',...,хп — фиксированные
координаты в Вп.
Можно считать (это следует из теоремы о неявных функциях), что покры-
покрытие {Uа} устроено так: либо 3D f\Ua — 0, либо 3D Г\иаф 0 и пересечение
3D П Uа определяется уравнением хп = 0, где (г',...,ж") — локальные
координаты в Ua.
Пусть {<ра(х)} — разбиение единицы, подчиненное покрытию {Ua}, т.е.:
1) supp {(pa) С Ua для любого а;
2) <ра{х) ^ 0 для любого х ? UJ7a;
а
3) Y1 Ра{х) = 1 ДЛЯ любого х ? U Ua-
Тогда
§ 8. Разбиение единицы и его применения
8D " dD
j dw = ^2 I d(ipauj).
57
D a D
Следовательно, достаточно доказать, что для любого а, 1 С а < N (N — число
областей покрытия), выполнено равенство
/ 1((раш) = / d(ipaw).
8D D
Так как supp(<pa) CUa,ro supp{ipau) С Ua. Пусть x]a,...,xl — локальные
координаты в Ua; запишем в этих координатах
t=l
ak(x) E C№(D). Отсюда
dun =
3ak(x)
t=i
x]a Л ... Л dxka Л ...
dx" Л ... Л dxn.
Случай 1. Ua П 3D = 0. Тогда / i*(<PaU) - 0, так как ipa = 0 на 3D. Так
an
как UaO 3D = 0, то либо Х]а С D, либо Ua С Rn\i3. Если Ua С Rn\D, то
fd(paijj) = 0, и формула Стокса доказана. Пусть теперь Ua С D. Надо доказать,
D
что / d(<paw) = 0, т. е. что
t=i
Координаты (xi,) позволяют отождествлять Ua с шаром В" С R". Продолжим
выражение под интегралом
U..-B*
на все пространство R" нулем (у нас supp (ot) С Вп). Пусть С" - {|xt| ^ R,
1 ^ }. ^ пу _ куб в R" такой, что СпЭВп; число 1R — сторона куба С . Тогда
дпк
... AdxiA.
Далее,

58 Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций
я
с--' х-л ¦ с« ,
- ак{ха,... ,xa~\-R,xa+\... ,х„)} dxa А ... A dxl А ... Adxna = О,
так как ак(ха,..., ±R,... ,х") = 0.
Итак, случай 1 полностью разобран.
Случай 2. Ua П 3D Ф 0. Мы должны показать, что / г*(раш) = / d{ipaw).
эо d
Достаточно проверить, что / Г(ш„) = / duia. Запишем форму йа = ipaw в
координатах х„,...,х%:
'а4 dx], Л ... Л d4 Л .. .
*=1
Имеем
8D
8D
Ли») = (-1)""'ani*(dxi Л ... Л ЛсГ'),
-1ГЧ <tei л ... Л dxT] = JT f ?i dxi Л ... Л dxl.
*=1
J
1 С-
Как и в случае 1, заменяем область интегрирования шаром Вп и продолжаем
функции а* нулем на все Ж". Тогда
где
Далее,
/
С"
А —-j dxa А ... Л dxa
иХа
_ / 1, если х" > 0,
|, если х" ^ 0.
/• / R \
да,к ъ \ 1 г
А —т dxa ] dxa Л ... Л <2г* л ... Л dxl = 0,
если fc^n, так как а,(^,...,Д,...,х^ - a,(xi,... ,-Л,... ,х^) = 0. В случае
к — n ситуация меняется:
-я
¦П.
Далее, / А ^ dx^ = an\aD (функция А(х) разрывна на 8D). Последняя формула
—R b
есть прямое следствие формулы /df(x) = f(b) - /(а). Итак,
a
Jdwa= J (-l)n-]atdx]aA... Adxna-\
c.-i
§ 8. Разбиение единицы и его применения
59
что и требовалось. Случай 2 полностью разобран. Теорема доказана. (С" ' всюду
в этом доказательстве обозначает куб размерности п — 1.) ¦
Замечание. При доказательстве была использована «согласованность ориентации» области D
ь
и ее границы dD: дело в том, что при использовании формулы J df(x) = f(b) — f(a)
следует иметь в виду, что Ь > а, а это и дает направление внешней нормали п(р) к 3D;
при изменении направления нормали интеграл изменил бы знак. Функция ап(к) при
фиксированных х^,...,Ха"' устроена так, как показано на рис. 16.
Задача. Докажите формулу Стокса для компактных многообразий с краем:
I dw = I ш.
м аи
Здесь дМ — край многообразия М, ориентация которого согласована с ориентацией
самого многообразия (см. § 1, п. 3).
3. Инвариантные метрики. Существование разби-
разбиения единицы позволяет доказывать существование ри-
мановых метрик (на многообразиях), инвариантных от-
относительно действия компактных групп преобразований.
Рассмотрим сначала действие конечной группы G
на гладком компактном связном замкнутом многообра-
многообразии М.
3D п(Р)
Рис. 16.
Теорема 3. На многообразии М существует риманова метрика, инвариантная относи-
относительно действия группы G.
Аоказательсгво. Как было доказано выше, на М существует некоторая риманова
метрика даь(х) Искомую инвариантную метрику построим из метрики даь(х)
посредством усреднения по группе G. Обозначим через (,)х скалярное умно-
умножение в Тх, порожденное метрикой даъ{?)- Пусть JV — порядок группы G.
Построим на М новое скалярное умножение (,)х (а тем самым и новую
риманову метрику), произведя «усреднение по группе»:
1
где а,Ь ?ТХ. Эта формула, очевидно, задает такое скалярное произведение, что
{д(а),д{Ь)) A) = (а,Ъ)х для любых х 6 М, а,Ь еТх, д 6 G, т.е. {,)х задает
риманову метрику, инвариантную относительно действий группы G. Теорема
доказана. ¦
Аналогичная процедура приводит нас к римановым метрикам, инвариантным
относительно действия непрерывных групп Ли. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Пусть G — связная компактная группа Ли, и пусть t = (t\..., tm) — локальные
координаты на G в окрестностях единицы. Эти координаты порождают (например, с
помощью правых сдвигов) локальные координаты в окрестности любой точки a G G.
В силу гладкости умножения на G эта система окрестностей задает атлас (набор
координатных окрестностей) на группе G. Поэтому можно считать, что координаты
(t\ ... ,im) обслуживают (с помощью правых сдвигов) все точки группы G.

60
Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций
Лемма 3. На группе Ли G существует элемент объема, инвариантный относительно
правых сдвигов и представимый в виде dfi(x) = udt* Л ... Л dtm, где х 6 G,
q — постоянная, a t\... ,tm — локальные координаты в окрестности точки х,.
полученные правым сдвигом на х из системы координат в окрестностях единицы.
Замечание. Иногда говорят, что такая дифференциальная форма на G задает «правоинвари-
антную меру» на G.
Доказательство. Форму объема к единичной точке 1 € G мы можем задать с помощью
обычного определителя. Применяя правые сдвиги, «разносим» эту форму по
всей группе G. Единственность (с точностью до постоянного множителя) следует
из того, что кососимметрический тензор ранга m в m-мерном линейном про-
пространстве T](G) определен однозначно с точностью до постоянного множителя.
Лемма доказана. •
Существует стандартная символика, с помощью которой выражают свойство
правой инвариантности для меры d/j,(a): <1ц(дд0) = d/j,(g) (замена переменных по-
порождает умножение на якобиан замены). Иногда свойство правой инвариантности
меры d/j,(a) выражают в интегральных терминах:
J
= / f(g)dfiig),
J
G
где f(g) — произвольная функция на G, для которой этот интеграл существует.
Аналогично строится левоинвариантная мера на группе G.
Пусть теперь компактная группа Ли G гладко действует на гладком многообра-
многообразии М.
Теорема 4. На многообразии М существует риманова метрика, инвариантная относи-
относительно группы G.
Замечание. Если G действует на Af не трашитивно, то таких инвариантных метрик на Af
будет, вообще говоря, много.
Аоказательсгво. Построение искомой метрики копирует уже описанную нами проце-
процедуру усреднения метрики по действию конечной группы G. Рассмотрим на М
какую-нибудь риманову метрику даь(х), и пусть {, )х — соответствующее ей
скалярное произведение в Тх. Построим на М новое скалярное произведение
(,)х вГ, (а тем самым и новую риманову метрику), положив по определению
а,Ь)х - —— / {д(а),д(Ъ))
Ц(Ь) J
д(х)
где х G М, а, Ь 6 Тх, Лц(д) — правоинвариантная мера на G, д € G, n(G) —
объем группы G. Ясно, что
/
J
(99о(а),
т.е. построенная метрика инвариантна относительно действия G в М. Теорема
доказана. ¦
') = (a,b)x,
§ 9. Реализация компактных многообразий как поверхностей вК" 61
§ 9. Реализация компактных многообразий как
поверхностей в rn
Рассмотрим гладкие многообразия М а N размерностей пир. Напомним,
что гладкое отображение / : М -» N называется погружением, если ранг отображения
df\x '¦ Тх —* Т;(Х) при любом х равен п. Это означает, что линейное отображение df\x
касательных пространств является вложением для всех х G М; в частности, отсюда
следует, что р ^ п. Из теоремы о неявных функциях вытекает, что локально такое
отображение / устанавливает диффеоморфизм между некоторой окрестностью U(x)
точки х G М и ее образом f(U(x)) в многообразии N. Однако, в «целом» отображение /
вовсе не обязано быть взаимно однозначным.
Погружение / : М -> N будем называть вложением, если / взаимно однозначно
(т.е. устанавливает взаимно однозначное соответствие между М и f(M)).
Теорема. Любое компактное гладкое многообразие может быть гладко вложено в &N для
достаточно большого N.
Доказательство. Зафиксируем конечное покрытие {I/,} многообразия М окрестностя-
окрестностями, диффеоморфными К" (п — dim М) и для каждого a построим отображение
(Pi : М -* S" С Kn+1, наворачивающее U{ на дополнение в точке S" и пе-
переводящее М - U, в эту точку. Ясно, что это отображение можно сделать
гладким и имеющим невырожденный дифференциал в точках множества I/;.
Отображения <р. составляют отображение <р : М -* RN, где N = (п+ l)k, к
число элементов покрытия:
и это отображение является вложением. Действительно, дифференциал dx<p
мономорфен, потому что уже дифференциал dx(p{ мономорфен, если х € Ut;
далее <р(х) Ф <р(у) при х ф у, потому что уже (pt(x) ф (р{(у), если х 6 Щ. Теорема
доказана. в
Верхнюю оценку на размерность объемлющего евклидова пространства можно
свести к числу In + 1. Более того, всякое отображение М -* К2я+| аппроксимируется
гладким вложением (см. ниже). При п = 1 этот факт наглядно очевиден.
§ 10. Некоторые свойства гладких отображений
многообразий
1. Аппроксимация непрерывных отображений гладкими. Докажем сначала воз-
возможность аппроксимации непрерывных отображений гладкими. Рассмотрим для про-
простоты непрерывные отображения / : М -* N, где М, N — связные гладкие компактные
многообразия без края. Как было доказано в предыдущих пунктах, М и N можно счи-
считать римановыми многообразиями, в частности, можно считать М и N метрическими
пространствами; пусть р — метрика (расстояние) на многообразии N.
Тогда можно ввести естественное понятие расстояния между отображениями
М и N, положив
p(f,g) = max p(f(x),g(x)).
xSAt
Таким образом, непрерывные отображения М —» N для компактных М и N образуют
метрическое пространство.
Воспользуемся теперь следующим фактом, известным из курса анализа.

62
Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций
Предложение. Пусть }(х\ ..., хл) — непрерывная функция на открытой области
U С К". Тогда для любого е > О и любого открытого множества V С U такого, что
V С U, существует функция д(х],..., х") такая, что: 1) функция д(х1,... ,хп) является
гладкой на V; 2) д\щу = f\V\v\ 3) max|/(z) - д(х)\ ^ е; 4) функция д(х[,... ,хл)
является гладкой во всех точках, где была гладкой функция f(x ,..., хп).
Доказательство мы опускаем. Докажем теперь следующую важную аппроксима-
ционную теорему.
Теорема 1. Любое непрерывное отображение f : М —> N можно сколь угодно близко
аппроксимировать гладкими отображениями: для любого е > О существует такое
гладкое отображение g : М —> N, что p(f,g) < е.
W"
WS
Рис. 17.
Аоказательсгво. Пусть U С N — открытое подмножество, гомеоморфное области V,
V С К" (dim N = п); пусть <р : U —> V соответствующий гомеоморфизм
(например, в качестве V можно взять любую координатную окрестность
гладкого многообразия N, а в качестве <р — соответствующее координатное
отображение). Пусть ScSCWCTFC^CR". Положим W" - 4>~\W)\
S" = (p~l(S); V = r\U); W = r^W"); S' = f~l(S") (см. рис. 17). Так
как S" С W" С W" С U, то существует положительное т\ < е такое, что
p(W",N\U) > 77 > 0, p(S",N\W") > 77 > 0. Согласно сформулированному
выше предложению существует такое непрерывное отображение g : V -+ К",
гладкое на S' и во всех точках, где было гладко /, что g\r\w = if ° f)\v\w
и pifiP1 °9) ^ V < ?- Тогда (<р~! оg)V' С U. Таким образом, мы получили
отображение </' = <fl~l °g'-V'-*U, гладкое на S1 С М. В то же время можно
считать (см. выше), что g'W'\w = fW'\w, а потому д' можно непрерывно
продолжить на все многообразие М, положив f — д на. M\W и д = д'
на V'. Таким образом, построено непрерывное отображение д : М —> N,
гладкое на S' и во всех точках, где было гладко /, такое, что p(f,g) < ?•
Покрывая многообразие М открытыми областями, гомеоморфными областям
в М, и повторяя описанный выше процесс достаточное число раз, получаем
утверждение теоремы. ¦¦
Замечание 1. Из доказательств теоремы виден локальный характер аппроксимации: отображе-
отображение / последовательно аппроксимируется гладким на картах многообразия М. Поэтому,
если отображение / было уже гладким на открытой области U, V С М, то для любого
замкнутого множества V С V можно считать, что / = д на V.
Замечание 2. В дальнейшем мы покажем, что если M,N — гладкие связные замкнутые
многообразия, то существует г0 > 0 такое, что из неравенства p(f,g) < ?0 (где
- /, <7 : М —> N — два непрерывных отображения) следует, что fug гомотопны.
В частности, в доказанной выше теореме можно считать, что гладкое отображение д,
аппроксимирующее /, гомотопно / (определение гомотопии см. ниже).
§ 10. Некоторые свойства гладких отображений многообразий
63
2. Теорема Сарда. Рассмотрим гладкое отображение / : М -> N. Пусть С =
С(!) С М — множество таких х 6 М, что дифференциал dfx : Тх -* ТПх) имеет ранг,
меньший п = dim N. Множество С С М будем называть множеством критических
точек отображения /, f(C) — множество критических значений отображения /.
Напомним определение множества меры нуль. Говорят, что множество В С К"
имеет (n-мерную) меру нуль, если для любого е > 0 множество В можно покрыть
счетным числом n-мерных кубов таких, что их суммарный объем меньше е. Из курса
анализа известно, что дополнение Ж"\В — всюду плотное множество в Ж". Это
определение распространяется на подмножества n-мерных многообразий: множество
В С N имеем меру нуль, если для любого координатного отображения /р : U —> К" , где
U — открытое множество в N, образ <p(U П В) имеет меру нуль в Ж".
Теорема 2 (Сард). Пусть f : М -+ N — гладкое (класса С00) отображение гладкого
многообразия М в гладкое многообразие N. Тогда множество критических значений
f(C) имеет меру нуль в N.
доказательство. Очевидно, достаточно доказать эту теорему в следующей формулиров-
формулировке: пусть / : U -* Ж" — гладкое отображение, где U — открытое множество
в Жт; тогда мера множества /(С) равна нулю. Доказательство проведем ин-
индукцией по размерности т. При т = 0 и при п = О утверждение очевидно;
поэтому будем считать, что т, п ^ 1.
Обозначим через С, подмножество области U, составленное из таких х, что
все частные производные от / порядка ^ г равны нулю в точке х. Получаем
убывающую последовательность замкнутых множеств: С Э С\ Э Cj...
Лемма 1. Мера множества f(C\C\) равна нулю.
Аоказательсгво. Можно считать, что п ~? 2, так как С = С] при п — 1. Нам
потребуется следующий частный случай теоремы Фубини (доказательство см. в
курсе анализа): множество А С К" = Ж1 х Ж" имеет и-мерную меру нуль, если
оно пересекается с каждой гиперплоскостью q x №~l(q 6 К1) по множеству
(п - 1)-мерной меры нуль.
Пусть х 6 С\С]. Мы укажем такую открытую окрестность V С К1™, что
множество f(V n С) имеет меру нуль. Так как С\С\ можно покрыть счетным
числом таких окрестностей, то отсюда получим, что и вся разность С\С{ имеет
меру нуль.
Так как х' <j* C\, то по край-
крайней мере одна из частных произ-
производных, например |^f, отлична от
нуля в точке х. Определим ото-
отображение h : U -* Ж" формулой
Нх) = (fi(x),x2,...,xm). Так как
ранг g отображения dhx равен т, то
h — диффеоморфизм некоторой от-
открытой окрестности V = V(x') С U
точки х' на некоторую открытую окрестность V" точки h(x'). Рассмотрим ком-
композицию g = f oh" : V' —> К" . Множество С' критических точек отображения g
совпадает с h(V П С), т.е. g(C) = f(V П С) есть множество критических
значений для д (рис. 18).
Каждая точка (t,x2,... ,xm) ? У переходит при отображении д в точку
g(t,x2,... ,xm) гиперплоскости t x W~ . Отсюда получаем, что д переводит

64 Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций
гиперплоскости в У' в гиперплоскости в Rn. (Впрочем, можно было бы не
вводить диффеоморфизм h и работать непосредственно с криволинейными
гиперповерхностями.)
Рассмотрим семейство гладких отображений д1 : (t х Ж) П V' -+1 x R"~'.
Точка а 6 t x Km""' является критической точкой отображения д1 тогда и только
тогда, когда а есть критическая точка отображения д. В самом деле
/ <9</i \ /1 О
В силу предположения индукции мера множества критических значений
отображения </' имеет нуль в (х Ш"~]. Следовательно, мера пересечения
д(С') n (t х К"~') равна нулю при всех t, и из теоремы Фубини следует,
что д(С) имеет меру нуль, что и требовалось доказать. ¦
Лемма 2. Мера множества СДС^+] равна нулю лри » ^ 1.
Аоказательство. Рассуждения частично аналогичны схеме доказательства леммы 1.
Пусть х' 6 Ci\Ci+i, т.е. в этой точке все частные производные координатных
функций отображения / порядка ^ г равны нулю и существует набор индексов:
r; si,S2,...,S{+i такой, что я а /г— ^0 в точке х . Обозначим через W
§ 10. Некоторые свойства гладких отображений многообразий
65
функцию
-. Тогда
W(x') = 0; —
9x
Можно считать, что sj = 1. Определим отображение h : V —» Ж формулой
Л(ж) = (W(x), Х2,..., ?п). Тогда h — диффеоморфизм некоторой окрестности V
точки х на некоторое открытое множество V1 С Жт. Рассмотрим образ
множества С{ П V при отображении /г. Так как в качестве координаты W(x)
взята одна из производных г-ro порядка, то множество Л(С,- п V), в точках
которого все такие производные равны нулю, содержится в гиперплоскости
W(x) = 0. Итак, h отображает С,- П V в 0 х Ж"'1.
Как и в лемме 1, рассмотрим композицию g = f о h~] : V' —> Ж" и ее
ограничение </ : @ х Шт~]) П У' -» К". В силу предположения индукции
мера множества критических значений для g равна нулю. Далее, любая точка
множества h(Q П V) является критической для д', так как в этих точках все
производные порядка < г равны нулю (в частности, ранг / меньше п). Итак,
мера множества д' о h(d П7) = }(С{ П V) равна нулю в К" . Покрывая СДС+i
счетным числом таких окрестностей V, мы и получаем утверждение леммы. ¦
Второй шаг отличался от первого шага тем, что в лемме 1 мы не могли,
вообще говоря, поместить множество С в гиперплоскость 0 х Rm~', так как
определение множества С как множества, где ранг / меньше п, не позволяет
выделить никакой гиперплоскости, как в лемме 2.
Лемма 3. Мера множества f(Ck) равна нулю при достаточно большом к.
Локазательство. Покроем счетным числом кубов с ребром Ск 6, где 6 достаточно
мало. Возьмем один из этих кубов Г СУ к покажем, что мера множества
П Г") равна нулю. Из определения Сь и формулы Тейлора получаем:
f(x + h) = f(x) + R(x,h), где ||Л(х,Л)|| < a- \\h\\k+l; x € Ck, xr+h ? Г".
Постоянная а зависит только от / и¦ Г". Разделим F" наV кубов с ребром б/г.
Обозначим через 1\ куб разбиения, содержащий точку i ? Cj. Любая точка
куба I] имеет вид х-A-h, где \\h\\ ^ y/m-E/r). Следовательно, }A\) лежит в кубе,
с ребром a/rk+l с центром в точке f(x), где а = 2a(^/mS)h+]. Тогда f(Cj. П Г")
содержится в объединении rm кубов разбиения, имеющих суммарный объем
^ rm(a/rk+>)" = anrm-n(*+l). Если к+ 1 > тп/п, то этот объем стремится к нулю
при 1—* оо. Лемма доказана. ¦
Сопоставляя леммы 1, 2 и 3, мы получаем,утверждение теоремы Сарда. ¦
Следствие 1. Множество N\f(C) (где f : М —> N — гладкое отображение, а С —
множество критических точек) всюду плотно в. JV.,
Следствие 2. Если f : М —> N — гладкое отображение и dim М < dim N, то мера
множества f(M) равна нулю в N'. В частности, образ f:(M). не заполняет все N.
Ниже мы применим теорему Сарда к доказательству теорем Уитни о вложении
и погружении гладких, многообразий.
Определение 1. Точку х ЕМ назовем регулярной для гладкого отображения / : М —> N,
если она не является критической, т. е. ели ранг отображения dfx равен п =
dimiV. Точку g 6 N назовем правильной (регулярной) для гладкого отображения
/ : М Е N, если все ее прообразы — регулярные точки в М (если /~'(у) = 0,
то точка у также является правильным значением). Если у есть правильное
значение отображения /,. то само отображение / называют правильным по
отношению к точке у.
Таким образом, дополнение в М к множеству регулярных точек совпадает
с множеством критических точек отображения: /, а дополнение в. N к множеству
правильных значений совпадает с множеством критических значений отображения /.
Напомним, что если / : М —> N — гладкое отображение и у Е N — правильное
значение, то /"'(у) — гладкое подмногообразие в М (это следует из теоремы о
неявной функции)!
Для дальнейшего нам будет полезно следующее утверждение, которое легко
выводится из теоремы Сарда.
Следствие. Множество гладких отображений f : М' —* N', для которых у;Е N —
правильное значение, всюду плотно в пространстве всех гладких отображений.
Локлзательство. Надо доказать, что сколь угодно близко от отображения / найдется
гладкое отображение g : М —>¦ N, для которого у 6 N — правильное значение.
В силу теоремы Сарда множество регулярных значений отображения f : М —> N
всюду плотно в N, т.е. в любой открытой окрестности U С N точки у найдется
регулярное значение у1 для f. Предположим,.что U диффеоморфно диску D",
и рассмотрим координатное отображение <р : U —> D"; положим z = <p(y),z' =
ip(y'). Тогда существует диффеоморфизм h : D" —>?>", тождественный вблизи
границы диска и такой, что h(z') = z и \h(t) —1\ < е = p(z,z') при t 6 D".
Построим, далее, соответствующий диффеоморфизм h!'': N —> № и положим
g = ti о /; очевидно^, у — регулярное значение для д±
Для дальнейшего нам потребуется несколько более сильное утверждение, чем
предыдущее следствие. А именно: построенный выше диффеоморфизм h! : N —>
N можно выбрать таким образом, что отображение д = h! о/ будет близко к / не
J Зак. 81147

66 Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций
только в прежнем смысле (т.е. p(f,g) = max \f(x) -g(x)\ < е), но и будет близко
к / вместе со всеми первыми производными. Доказательство существования
такого диффеоморфизма оставляем читателю в качестве упражнения. ¦
3. Траисверсальиая регулярность. Перейдем к изучению важного понятия i-
регулярности (трансверсальной регулярности).
Определение 2. Пусть Р С N — гладкое
подмногообразие коразмернности к
(коразмерность по определению есть
dim N - dim P) гладкого многообра-
многообразия N и / : М —> N — глад-
гладкое отображение. Отображение /
называется трансверсально регуляр-
регулярным вдоль Р, если ранг отображе-
отображения df : Тх -> TmN/THx)P равен к
ТМ.
М
Рис. 19.
(ранг df равен к по модулю векторов, касательных к Р), Иначе говоря, подпро-
подпространства df(Tx) и Тцк)Р порождают все касательное пространство Tj(x)N; как
говорят, «образ f(M) трансверсален к Р в точке f(x)» (рис. 19).
Отметим важное свойство ^-регулярных отображений: полный прообраз f~](P) С
М является гладким подмногообразием в М той же коразмерности к, т. е. размерности
-п + (т + р), где п = dimiV, m = dimM, p = dim Р. Доказательство следует из
теоремы о неявной функции.
Теорема 3. Пусть М, N Э Р — гладкие многообразия. Тогда множество отображений
g : М —> N, t-регулярных вдоль Р, всюду плотно в пространстве всех гладких
отображений f : М —> N, т.е. в любой окрестности произвольно гладкого
отображения существует t-регулярное вдоль Р отображение.
Аоказательсгво. Пусть дано отображение / : М —> N; требуется доказать, что сколь
угодно близко от / найдется отображение д, ^-регулярное вдоль Р. Отметим
сначала следующее утверждение, непосредственно вытекающее из определения
t -регулярности.
Пусть / : М -* N — гладкое отображение, х 6 М; V — открытая
окрестность точки х в М; V — открытая окрестность точки f(x) в N;
предположим, что отображение / : U -* V i-регулярно вдоль Р С N (Р П
УСУ); тогда это свойство выполнено и для гладких отображений, достаточно
близких к / вместе со всеми первыми производными.
Из этого замечания следует, что утверждение теоремы достаточно доказать
локально, т. е. достаточно рассмотреть случай U = К, V = К"; Р = W С М"; то-
тогда / можно записать в виде /(ж,,...,хт) = (/) (х), ...,ff(x), f?+1 (x),..., fn(x)).
В этой записи t -регулярность / вдоль Р эквивалента утверждению, что для ото-
отображения a : Km -> W~p, определяемого формулой a(x) = (fp+i(x),..., /n(z)),
точка 0 является регулярным значением. По доказанному ранее множеству ото-
отображений, для которых 0 есть регулярное значение, всюду плотно в пространстве
всех гладких отображений, т. е. существуют гладкие функции др+\,..., </„, зада-
задающие отображение а': К —> R"~f>, близкое к отображению а вместе со всеми
первыми производными (см. следствие выше) и такое, что отображение
д(хи ..
, fp(x),gp+] (x),... ,дп(х))
§ 10. Некоторые свойства гладких отображений многообразий
67
t-регулярно вдоль Р. Если исходное отображение / : К
вдоль Р около границы 8V, то, взяв гладкую функцию
К" было i-регулярно
-{
0 на dV,
1 на К,
где К С V — компактное множество, мы можем положить р = /A - <р) + /р- д.
Ясно, что р(х) i-регулярно вдоль Р и р(х) = f(x) на dV; p(x) = д(х) на К. Здесь
мы использовали то, что отображения fug близки не только в том смысле, что
p(f,g) = max \f(x)-g(x)\ < е, но близки также и все их первые производные. Эта
(х)
близость обеспечивает i-регулярность отражения /A - <р) + /рд — f + <p(f - д)
около границы V в силу малости самого возмущения <p(f - g) и малости
производных этого возмущения около границы V. Теорема доказана. ¦
Понятие {-регулярности позволяет ввести важное понятие трансверсально пе-
пересекающихся подмногообразий. Пусть М и Р — два гладких подмногообразия
гладкого многообразия N. Будем говорить, что М и Р пересекаются трансверсально,
если включение 1м '¦ М —> N t-регулярно вдоль Р. Это означает, что в каждой
точке х пересечения М П Р касательные пространства ТХМ и ТХР порождают все
TXN. Отношение трансверсальности пересечения симметрично, т.е. в приведенном
выше определении можно было бы вместо гм рассмотреть включение ip : Р —* N
(проверьте!).
Пересечение М П Р двух трансверсально пересекающихся подмногообразий
является гладким подмногообразием.
Доказанная выше теорема Сарда (и следствие из нее) показывает, что трансвер-
трансверсально регулярных отображений настолько много, что их можно обнаружить в сколь
угодно малой окрестности любого гладкого отображения; в этом смысле ^-регулярные
отображения «типичны». Теорема Сарда позволяет путем сколь угодно малых шевеле-
шевелений исходного отображения (в классе всех гладких отображений) привести его «в общее
положение» (сделать i-регулярными). Теоремы такого сорта являются обоснованиями,
как говорят, приведения в общее положение.
Замечание. В проведенных нами до сих пор конструкциях «малые шевеления» осуществлялись в
классе всех гладких отображений. Однако иногда бывает полезно приводить отображение
в общее положение только с помощью вариаций (шевелений) из довольно узкого класса.
Полезна также следующая
Теорема 4. Пусть А, М, N и Р — гладкие многообразия, причем Р — подмногообразие
многообразия N, и пусть f : А х М —> N — гладкое отображение, t-регулярное
вдоигь Р. Тогда множество всех точек а ? А, для которых fa = f(a,x) : M —> N
t-регулярно вдоль Р, всюду плотно в А.
Замечание. Многообразие А можно рассматривать как «многообразие параметров», с помощью
которых может осуществляться приведение исходного отображения f(ao,x) : М —> N в
общее положение.
Аоказательсгво теоремы 4. Пусть / : А х М —> N i-регулярно вдоль Р; рассмотрим
Q = f~\P) С А х М. Если слой ах М пересекает Q трансверсально, то
Т(А х М) = T(Q) e Я, где Я С T(a x M) (рис. 20).
Отсюда следует, что df отображает Я на плоскость, дополняющую Т(Р)
до ТШ) в T(N), т.е. /(а,*) i-регулярно вдоль Р. Верно и обратное: если
f(a,*) i-регулярно вдоль Р, то подмногообразия а х М н Q пересекаются

68
Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций
траневерсально. Наконец, ах М пересекает Q трансверсально тогда и только
тогда, когда при ограничении проекции р : А х М —> А на подмногобразие Q
точка а € А является регулярным значением проекции р : Q —> А. В силу
теоремы Сарда множество таких точек всюду плотно в А. Теорема доказана. ¦
Из теоремы 4 извлекаются полезные следствия. Пусть, например, f : М —> N —
гладкое отображение. Дадим новое описание множества регулярных значений для /
в N. Рассмотрим отображение F: MxN^NxN, где F(x,y) - (f(x\y). Легко
видеть, что п € N является регулярным значением для / тогда и только тогда, когда
отображение F(x,y) : М х JV -+ N х JV t-регулярно вдоль диагонали Д С N х N.
Следовательно, в силу теоремы 4 множество регулярных значений п 6 N всюду
плотно в N.
Замечание. Важный случай трансверсального пересечения — случай, когда подмногообразия
М и Р имеют в многообразии N дополнительные размерности, т.е. когда т + р = п,
где т =.dimM, p =.dimP, n = dimJV. Тогда эти подмногообразия пересекаются по
отдельным изолированным точкам. Если же т+р < п, то приведением подмногообразий
М и Р в общее положение можно добиться устранения их пересечений — «развести» М
иР в TV.
4. Функции Морса. Выше мы ввели для гладких отображений / : М —> N
важное понятие критических точек. Рассмотрим частный случай, когда N = Ж1 —
вещественная прямая. В этом случае отображение / можно интерпретировать как
гладкую скалярную функцию на М; так как dim Т/^М1 = 1, то точка х Е М является
критической (т.е. ранг dfx меньше 1) тогда и только тогда, когда dfx = 0. Критические
точки х гладкой скалярной функции f(x) на М находятся из системы уравнений
|? = 0, 1 ^ i ^ т, т.е. grad fix) = 0 (это было очевидно заранее).
Замечание 3. Критическая точка х0 G М гладкой функции f(x) называется невырожденной,
если матрица (|^§?) не вырождена. Функция / на многообразии М называется
функцией Mopea, если все ее критические точки не вырождены.
Замечание. Определение невырожденной критической точки корректно в том смысле, что
свойство невырожденности матрицы билинейной формы (f^r§^) (эта матрица называ-
называется гессианом функции / вточке х0) не зависит от выбора локальной системы координат
в окрестности критической точки х0. Можно трактовать d2f как симметрическую би-
билинейную форму на ТХ(М). Пусть а,Ь е ТЩ(М); включим векторы а и Ъ в гладкие
локальные (в окрестности точки.х0) векторньче поля А и В соответственно и положим
d2f(a,b) = dAdB(f)X0, где через dB(f) обозначена производная от / по направлению
векторного поля Б. Легко видеть, что форма rf2/ симметрична и ее матрица относительно
базиса е, = ^г, ..., ет = ^ в ТХ„(М) имеет вид ^
§ 10. Некоторые свойства гладких отображений многообразий
69
Определение 4. Индексом невырожденной критической точки хо для функции /
называется максимальная размерность подпространств V С ТХо(М), на которых
гессиан d2f отрицательно определен (т.е. число отрицательных квадратов после
приведения d2f к диагональному виду).
Возникает естественный вопрос: существует ли на многообразии функции Морса
и как много их? Например, будут ли они всюду плотны в пространстве всех гладких
функций на многообразии М? Ответ на оба вопроса положительный: мы извлечем его
из теоремы 5. Тем самым мы продемонстрируем, что существование и всюду плотность
функций Морса является фактом «общего положения», т.е. эти функции «типичны» в
пространстве всех гладких функций.
Теорема 5. 1) На любом гладком компактном многообразии существуют функции Морса.
2) Функции Морса всюду плотны в пространстве всех гладких функций на
многообразии. 3) Каждая функция Морса имеет на компактном многообразии
- только конечное число критических точек (в частности, все они изолированы)
Х\,... ,Xf/. 4) Существует всюду плотное подмножество R в множестве функций
Морса такое, что у любой функции f 6 R каждому ее критическому значению
отвечает только одна критическая точка на М (т.е. /(ж,) Ф f(Xj), если гф j).
Аоказательство. Для компактного многообразия М изолированность (и, следователь-
следовательно, конечность) невырожденных критических точек очевидна из определения
невырожденности d2f (см. выше). Рассмотрим теперь произвольную гладкую
функцию / на М; докажем, что сколь угодно близко от / найдется функция
Морса g (близость понимается в пространстве гладких функций на М). Для
этого нужно рассмотреть «шевеления» (возмущения) функции / и обнаружить
среди этих возмущенных функций функцию Морса.
Рассмотрим отображение а/ : М —> Т"М, определенное формулой а/(ж) =
dfx. Здесь через Т*М обозначено пространство кокасательного расслоения к
многообразию М, т.е. 2т-мерное гладкое многообразие, точками которого
являются пары (х,?), где ? — конвектор, т.е. ? 6 Т%(М). Линейный функ-
функционал dfx : ТХ(М) —> Ж1 принадлежит ТХ(М). Включим отображение а/
в s-параметрическое семейство отображений А, являющихся возмущениями
отображения Of. Для этого покроем М конечным числом открытых шаров
{Uj}, I ^ j' ^ к, и каждый шар включим в больший шар Vj, так что
Vj С Vj. На каждом Vj построим набор из m линейных независимых функций
{lly.(x),... ,Щ(х)}; например, в качестве таких функций можно взять локальные
координаты на шаре Vj. Для каждой пары (Vj,Uj) построим гладкую функ-
функцию ipj(x) на М такую, что <Pj(x) = 1 на Uj, <Pj(x) = 0 вне V,- и 0 < <Pj(x) < 1
в Vj\Uj (существование таких функций нами доказано выше). Продолжим
функции 1у.(х) гладко на все многообразие М, положив TYj(x) = l'v.(x)ipj(x).
Рассмотрим линейное пространство А гладких функций на М следующего вида:
^2 ) = д(х, а).
Здесь f(x) — исходная функция, а'у. — вещественные числа. Координатами
в этом линейном пространстве А служат числа а'у., 1 ^ г ^ п; 1 ^ j' ^ п. Ясно,
что dim А = так, где к — число элементов открытого покрытия многообразия М.
Рассмотрим отображение ¦ф : А х М -* Т"М, положив ip(g,x) = dgx € Т*ХМ.

70 Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций
Очевидно, что тр — гладкое отображение. Выделим в многообразии Т*М
m-мерное подмногообразие Р — {(х,0)},х € М, диффеоморфное М (так
называемае «нулевое сечение кокасательыого расслоения»). Мы утверждаем;
что отображение гр гладкого многообразия Ах М ^-регулярно вдоль Р. Для
доказательства достаточно убедиться в том, что при проекции жх : Т(Х$)(Т*М) —>
ТХМ образ плоскости dipT^^A х М) эгтморфно накрывает ТХМ (рис. 21).
Но это очевидно из построения многообразия А: линейные возмущения
Цх) функции f(x) накрывают своими градиентами всю плоскость ТХМ,
поскольку все они были выбраны линейно независимыми в каждом шаре Vj.
В силу теоремы 4 свойством ^-регулярности будут обладать тогда и почти все
индивидуальные отображения ip(aa, х) : М -* Т*М (при фиксированных а0).
Более того (см. теорему 4), отсюда следует, что сколь угодно близко к
исходному отображению a-f : М —> Т*М (имеющему вид а;(х) = ^@, х) и
соответствующему нулевым значениям параметров {а^.}) найдется отображение
тр(д,х) — dgx = аг(ж),?-регулярное вдоль Р (нулевого сечения Т*М). Итак,
мы нашли функцию д(х) на М (малое возмущение функции / с помощью
линейных функций) такую, что ад : М —» Т"М t -регулярно вдоль Р (рис. 22).
Рис. 21. Рис. 22.
Рассмотрим пересечение ад(М) Л Р. Ясно, что оно состоит в точности из
критических точек функции д (dgx = 0). Далее, критическая точка Хо Е М
является невырожденной для функции д(х) тогда и только тогда, когда ад{М)
и Р пересекаются трансверсально в этой точке (жо,0) 6 Р. В самом деле,
условие трансверсальности Р и ад(М) в точке (xq,Q) на плоскость к ад(М)
в точке (хй)<У) на плоскость ТхаМ (трансверсальную к Р в Т*М) является
изоморфизмом и совпадает с гессианом функции д. Изоморфизм этой проекции
и невырожденность гессиана, таким образом, эквивалентны.
Итак, нами доказаны как существование, так и всюду плотность функций
Морса. Осталось доказать всюду плотность таких функций Морса, у которых на
каждом критическом уровне (т.е. на каждом прообразе критического значения)
находится ровно еще одна критическая точка.
Рассмотрим произвольную функцию Морса f(x) на М, и пусть хи... ,хц —
ее критические точки. Предположим, что функция f(x) на М принимает
значения, лежащие между 0 и 1. _Пусть V и W — две открытые окрестности
точки X] такие, что U С W, W компактно и что х\ ? W при * > 1.
Построим на М гладкую функцию Х(х) такую, что А = 1 на Я, А = 0
вне W и 0^А< 1 на W\U. Можно считать, что на М задана риманова
метрика: выберем две постоянные а и b такие, чтобы на компактном множестве
supp А П supp A — X) = К выполнялись неравенства 0 ^ а ^ |grad /|; |grad А| ^ Ь.
Возьмем, положительное т\ < а/Ь, неравное ни одной из разностей f(xi)-f(x\).
Тогда /i = / + 77А есть функция Морса такая, что /i(zO ф /i(?i), i > 1, и
критические точки у / и у /, одни и те же. В самом деле, на К выполнено
соотношение
§11. Применения теоремы Сарда
71
grad(/ + цХ)\ > | grad /1 - |J7gradA| > а -
0.
Ясно, что |grad А] = 0 вне К, т.е. там |grad/i| = |grad'/|; в окрестности С/
имеем /i = / + 77 (сдвиг на постоянную).
Продолжая это построение для всех критических точек, получаем доказа-
доказательство последнего утверждения теоремы. Теорема, доказана. Ш
§11. Применения теоремы Сарда
1. Существование вложений и погружений. Выше мы доказали возможность
вложения любого связного гладкого компактного замкнутого многообразия М в
евклидово пространство RN, где N — достаточно большое число. Сейчас мы докажем
так называемую «слабую теорему Уитни».
Теорема (Уитии). Любое связное гладкое замкнутое п-мерное многообразие М можно
гладко вложить в K2n+I и погрузить в К". Всякое непрерывное отображение
¦ М —> Е2п+1(М —> Е2") аппроксимируется гладким вложением (погружением).
Доказательство. Рассмотрим любое гладкое вложение М —»¦ R" (см. § 9). Идея доказа-
доказательства состоит в последовательном проектировании вложенного многообразия
М С 1к на гиперплоскости: на каждом щаге будем понижать размерность
объемлющего пространства на единицу. Фиксируем в tt^ начало координат О
и рассмотрим пучок прямых, проходящих через О; эти прямые составляют
проективное пространство RPN~ . Каждой прямой I ?RPN~] поставим в соот-
соответствие ортогональную проекцию щ пространства RN на гиперплоскость Mf"',
ортогональную I и проходящую через О.
Наша цель: выбрать такую прямую I, чтобы проекция Vi(M) по-прежнему
оставалась гладким подмногообразием в М^. Выясним сначала вопрос о
погружении М. Нас удовлетворяет любая проекция вида щ, для которой
дифференциал diri : Тх М —* Ш1 ни при каком х 6 М не имеет нулевого
ядра. Те направления I ? WPN~], для которых dx, имеет нулевое ядро, назовем
запрещенными направлениями первого типа. Например, при проектировании
гладкой кривой 7 С Ж3 на двумерную плоскость К2 вдоль запрещенного
направления возникает особенность, обычно называемая «клювом» (рис. 23).
Рис. 23.
Рис. 24.
-JV-1
Ясно, что запрещенными являются те и только те направления I E
для которых существует точка х € М такая, что I С ГХМ после подходящего
параллельного переноса (рис. 24).
Множество всех запрещенных направлений образует Bп - 1)-мерное гладкое
многообразие Q, точками которого являются пары (х,1), где х ? М; I — прямая
(из RPN~I), параллельная прямой, лежащей в ТХМ. Точка х ? М задается п
параметрами, а прямая I задается п- 1 параметром: 2п-1 — п+(п— 1) (Докажите,
что Q — гладкое многообразие!). Построим отображение а : Q —>-МР^~',
положив а(х,1) —I. Очевидно, a(Q) и есть множество всех запрещенных

72 Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций
направлений. Так как исходное вложение М С M.N гладко, то и отображение а
гладко. В силу леммы Сарда (N - 1)-мерная мера множества a(Q) равна
нулю, если N - 1 > 2п - 1, т.е. 2га < N. В частности, множество a(Q) всех
запрещенных направлений в RP^"' не покрывает все многообразие KPN~* и
существует k %. oc(Q). Осуществив ортогональную проекцию тг(о : М —> М^~',
получаем гладкое погружение М в М^ (если 2п < N). Ясно, что это
рассуждение пройдет и в том случае, если с самого начала М было не вложено,
а погружено в Ж". Поэтому описанную процедуру проектирования можно
применить и к полученному погружению М —> К^ и вообще продолжать
до тех пор, пока 2га < N - к, где число к указывает номер проектирования.
Последним шагом будет тот, на котором N - к — 2п + I; и тогда мы можем
осуществить последнее проектирование 7г/0 : М —» Ж2", после чего процедура
проектирования прекращается. Тем самым часть теоремы Уитни, относящаяся
к возможности погружения М в Ж2", доказана. Перейдем к вложениям.
Теперь нам нужно гарантировать отсутствие самопересечений у проекции
ii(M) в М^-1. Рассмотрим запрещенные направления второго типа, проекция
вдоль которых порождает самопересечения щ(М) в Ш^~1. Например, при
проектировании гладкой кривой 7 С Ж3 на двумерную плоскость Ж2, вдоль
такого запрещенного направления возникает ситуация, показанная на рис. 25.
Ясно, что запрещенными направлениями второго типа являются те и только
те направления I E RPN~l, для которых существует пара точек х,у 6 М, хфу,
одновременно принадлежащих прямой / после подходящего параллельного
переноса.
М
Рис. 25. Рис. 26.
Множество всех запрещенных направлений второго типа образует 2га мерное
гладкое открытое многообразие Р, точками которого являются пары (х,у),
х,у Е М, хф у; х и у независимо друг от друга пробегают М. Иными словами,
Р = (М х М)\А, где Д = {(х, х)} — диагональ в прямом произведении М х М.
Рассмотрим отображение /3 : Р —> RPN~], где /3(х,у) есть прямая, проходящая
через начало координат и параллельная отрезку с концами х,у. Ясно, что /3 —
гладкое отображение и, следовательно, по лемме Сарда множество /3(Р) имеет
меру нуль в EPN~l, если 2га < N - 1, т. е. 2га + 1 < N.
Заметим, что замыкание множества /3(Р) в КР^~' совпадает с объединением
Итак, множество /3(Р) всех запрещенных направлений как первого, так и
второго типов не покрывает все многообразие MPN~], если N > 2п + 1, и суще-
существует Jo Ф j8(P). Осуществив ортогональное проектирование 7г(о : М —> щ^~],
получаем гладкое вложение М в М|о~'. К этому вложению применяем такую же
процедуру и т. д. Последним из таких последовательных проектирований будет
проекция М в
г»2л+]
. Теорема доказана полностью.
Ясно, что в общем случае дальнейшее проектирование (с сохранением вложения)
невозможно. Действительно, пусть окружность М = 5' вложена в Ж3, образуя в К3
§11. Применения теоремы Сарда
73
нетривиальный узел (см., например, рис. 26). Здесь п= 1, 7V = 3 = 2n+l. Очевидно,
что ортогональное проектирование этой заузленной окружности на любую двумерную
плоскость Ж2 будет давать кривую с самопересечениями. Это указывает на то,
что использованный при доказательстве «слабой» теоремы Уитни «метод проекций»
не позволяет продвинуться дальше по пути уменьшения размерности объемлющего
евклидова пространства. Тем не менее оказывается, что использование более тонкой
методики позволяет улучшить полученные нами выше оценки (мы не будем здесь
излагать эту более тонкую методику).
Замечание. Известна более сложная теорема (мы ее не доказываем), что любое п-мерное
многообразие М можно гладко вложить в R2", но вложения М —> R2" уже не плотны в
пространстве отображений М -* R2". В общем случае эта оценка уже неулучшаема. Так,
например, замкнутое двумерное неориентируемое многообразие нельзя вложить в R3
(докажите!).
В некоторых частных случаях эти оценки можно улучшить. Так, например,
любое двумерное ориентируемое многообразие реализуется в Ж3, что следует из
классификации таких многообразий.
2. Построение функций Морса как функций высоты. Покажем теперь, как с
помощью вложения М —> Ж можно дать новое доказательство существование функций
Морса на гладких компактных многообразиях. Мы докажем, что функции Морса могут
быть обнаружены среди довольно узкого класса функций на многообразии М, так
называемых «функций высоты».
Если многообразие М гладко вложено в &N и если задана прямая ?((?), идущая
в направлении вектора I через начало координат в &N, то значение функции hi(x)
(функции высоты) в точке х 6 М положим равным ортогональной проекции точки х
на прямую ?i(t) (мы считаем эту прямую числовой вещественной прямой).
Следующие свойства функции высоты Ы(х) очевидны (проверьте!):
1) множество функций высоты находится во взаимно однозначном соответ-
соответствии с парами диаметрально противоположных точек сферы SN~] или с точками
проективного пространства RPN~l;
2) точка Хй 6 М является критической точкой для функции высоты hi(x) тогда
и только тогда, когда вектор I ортогонален подмногообразию М в точке ха (т.е.
I ± ТХаМ).
Выясним, когда критическая точка х0 6 М для функции hi(x) является
невырожденной. Рассмотрим частный случай: когда многообразие М вложено в Km+1,
где m — dim M (как гиперповерхность).
Напомним, что для гиперповерхностей М С Km+1 определено гауссово отобра-
отображение г : М -» Sm
, а именно: г(х) = п(х), где п(х) _|_ ТХМ — единичный
вектор нормали к М в точке х (вектор п(х) перенесен параллельно в начало координат
О 6 Жт+1).
Лемма 1. Точка хо € М С Жт+1 является невырожденной критической точкой для
функции высоты ht(x) тогда и только тогда, когда она является регулярной
точкой для гауссова отображения г : М —> RPm; здесь I ±ТХоМ.
Аоказательство. Направим вдоль вектора I координатную ось хт+>, а координаты
х\...,хт направим ортогонально к I; тогда плоскость Ш.т(х\... ,хт) можно
считать касательной плоскостью к М в точке ха. Около точки х^ Е М
многообразие М можно задать уравнением хт+1 = <р(х1,... ,хт), причем
d(p\Xo = 0. В достаточно малой области U около точки х0 можно считать,
что (xl,...,xm) — локальные координаты на гиперповерхности М, а «высота»

74
Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций
hi(x) — это и есть функция хт+1 — <р(х\... ,хт). Аналогичные координаты
у\...,ут выберем на сфере в окрестности точки /. Повторяя вычисления,
сделанные нами ранее при выводе формуле К da = f*u, получаем, что
в локальных координатах (х\...,хт) и (у1,... ,ут) в точке xti выполнено
равенство
(д2Ы(х0)\ = (д7<р(х0)\ =(9?_
\дхадхР) \дхадхР) \?
del
дЧ,
-^ -К.
Здесь К — гауссова кривизна гиперповерхности в точке ж0; у" = га(х',..., хт),
1 ^ а ^ т — гауссово отображение, записанное в локальных координатах
(х) и (у). Итак, условие регулярности гауссова отображения г в точке xq,
^' в точности эквивалентно невырожденности гессиана функции
/
(i
высоты hi(x0), det ( g^gS) ^ 0- Лемма доказана.
Важное замечание. Если имеется вложение М С Ш?, где g > m + 1 (m = dimJW), то тогда
можно определить (q- 1)-мерное гладкое многообразие N — «границу трубчатой окрест-
окрестности» подмногообразия М. Для этого нужно рассмотреть множество (q — m) -мерных
дисков Z?'~m, ортогональных подмногообразию М, имеющих центры в точках х ЕМ и
имеющих радиус ? > 0 (где е достаточно мало). Объединение этих шаров (при малом
? > 0) дает g-мерное многообразие (называемое иногда трубчатой окрестностью подмно-
подмногообразия М), граница (край) которого и обозначается через N. Это подмногообразие
(вложенное в Ш?, если е мало) отображается гауссовым отображением г в сферу 5*.
Пусть h,(x) — функция высоты на М и JV. Легко усмотреть (проверьте!), что каждая
критическая точка х0 е М для функции h,(x) порождает ровно две критические точ-
ки уо и у'о на N, являющиеся двумя точками пересечения прямой I, проходящей через х0
ортогонально многообразию М (рис. 27).
Далее, можно проверить, что критическая точка
х0 € М для функции h,(x) является невырожденной
тогда и только тогда, когда точки у0, у'о не вырождены
для h,(z)(y0 и уо всегда одновременно вырождены или
не вырождены). Таким образом, если h,(x) — функ-
функция Морса на TV, то эта функция является функцией
Морса и на М. Отсюда следует, что все утвержде-
утверждения относительно существования и всюду плотности
функций Морса среди множества функций высоты,
доказанные для N, автоматически переносятся на многообразие М. Таким образом,
то, что в доказанной выше лемме мы ограничились рассмотрением гиперповерхностью
М С Rm+I, не ограничивает общности наших рассуждений.
Теорема 2. Функция высоты hi(x) на гиперповерхности М С Km+1, m = dimM, явля-
является функцией Морса тогда и только тогда, когда точка (±i) € ШРт является
регулярным значением для гауссова отображения г : М —> ЖРт. В частности,
почти все функции высоты hx (x) являются функциями Морса.
Аоказательство. Первое утверждение теоремы следует из леммы 1. Второе утверждение
следует из теоремы Сарда, так как регулярные значения гауссова отображения
г : М —> ШРт всюду плотны в ЖРт . Теорема доказана. ¦
Замечание. В силу сделанных выше дополнений для случая MCK', q > т+ ], терема авто-
автоматически переносится на случай любого гладкого подмногообразия в R* произвольной
коразмерности (т. е. с любым q - т > 0).
D'.
Рис. 27.
§.11. Применения теоремы Сарда;
75
3. Фокальные точки. Существуют и: другие- способы строить богатый запас
весьма просто конструируемых функций Морса, на гладких многообразиях. Не вдаваясь
в подробности, опишем один такой способ.
Рассмотрим гладкое многообразие М и произвольное гладкое его вложение
в Ш?. Фиксируем произвольную точку р- ? Ш и свяжем с ней гладкую функцию Ьр
на вложенном подмногообразии Мт, положив Lf{x) — \р — х\г, где х € М, \р - х\ —
длина вектора р - х.. Можно доказать, что почти для- всех точек р 6 Ж* функция
Lp(x) является функцией Морса на М. Множество функций вида Lv{x) не совпадает
с множеством функций высоты ht(x).
Выясним, при- каких р функция Lv(x). будет функцией Морса. Для этого
мы обозначим через N совокупность пар (x,v) где х ? М и v € Ж? — вектор,
ортогональный М в точке х. Очевидно., N есть гладкое (/-мерное многообразие
(проверьте!). Рассмотрим гладкое отображение / :TV -* Ж?,. относящее паре (x7v) E N
конец вектора v, отложенного из точки х.
Определение 1. Точка Р Е К7 называется фокальной точкой кратности р > 0 для М,
если Р = f(xtv) и якобиан отображения / в точке (xyv) имеет ранг q - ц.
В силу теоремы Сарда почти все точки Р G Ж* не являются фокальными точками
для вложения М С К*; в частности, мера множества фокальных точек Р 6 Ж*
равна нулю.
Рассмотрим теперь «вторую квадратичную форму вложения М С R'». Будем счи-
считать, что многообразие М (локально) задано в К* параметрически: х — х(и\...,ит),
где и", 1 < а ^ т — локальные координаты на М; х = (х1,...^4). Рассмотрим
вектор ajT^j = Щ, и пусть v — нормаль к М в точке х 6 М. Тогда можно составить
скалярное произведение (у,х^) = (v,riij(x)), где п^(х) — нормальная компонента век-
вектора хц в точке х (т. е. ортогональная проекция вектора ху на плоскость, нормальную
к М в точке х). Обозначим через Qv матрицу (v,хф; ее называют матрицей второй
квадратичной формы многообразия М вдоль вектора v. Пусть G = Eу) — матрица
первой квадратичной формы, т. е. метрика на М (эта метрика индуцирована вложением
MCl*; в К* рассматривается евклидова метрика). Можно считать, что локальные
координаты и1,... ,wm выбраны так, что G(x) = Е (единичная матрица) в некоторой
точке х. Тогда в точке х имеем G~ Qv — Qv; пусть А],..., Am — собственные значения
формы G~]QV — Qv в точке х, т.е. Аа — «главные кривизны» подмногообразия М
вдоль направления v. Рассмотрим прямую, задаваемую уравнением x + tv (т. е-, прямую,
определяемую вектором v в точке х).
Лемма 2. Фокальными точками на прямой x + tv являются те и только те точки, для
которых t = Aj~', 1 ^ г ^ т.
Аоказательсгво. Локально N устроено как произведение М х Rq~m; поэтому на N мож-
можно ввести локальные координаты х — х(и1,...,um),tl,...,t'~m. Отображение /
вблизи рассматриваемой точки устроено так: f(x(u),t) = х(и) + ][]?ааа(и), где
а
{aa(u)} — репер в плоскости, нормальной к М в точке х(и), гладко зависящий
от и. Ясно, что df в этих координатах задается матрицей
аа(и)

76
Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций
В касательной плоскости ТХ(М) выберем базис {¦§§?}, I ^ а ^ т. Найдем
параллелепипед, натянутый на образы базисных векторов (из N) после при-
применения df. Тем самым мы вычислим якобиеву матрицу отображения / (т. е.
det (df)). Искомая матрица имеет вид
дх дх
дх
Е
Ясно, что ранг'этой матрицы определяется рангом матрицы
"VW'W ^ \ди"дь>/)-
С другой стороны, 0 - ? (аа, Ц) = ф, ?) + (аа, gfc), т.е.
) I —
1)
(
V
JlX\
ди'ди31)
\
Таким образом, ранг матрицы (df) равен рангу матрицы (g,j - t{v,Xij)), что и
требовалось. Лемма доказана. ¦
Теперь рассмотрим точку р 6 К* и функцию Lv(x) = |x-j?|2 = {х-р, х-р). Тогда
^1$Г =2(^'Х)~2Ш'Р) ~2Ш'Х~Р)- ПУСТЬ @>Z-P) =°: это эквивалентно
тому, что вектор х-р ортогонален ТХ(М). Далее,
д2Ьр(х)
д2х
дх дх
д2х
где р = х + tv. Таким образом, вырождение критической точки для функции 1>р(х)
происходит тогда и только тогда, когда р — фокальная точка.
Итак, если р — не фокальная точка, то Lp(x) — функция Морса на М С К*.
Важное следствие. Пусть М С К* — гладкое замкнутое подмногобразие. Тогда суще-
существует такое е > 0, что трубчатая окрестность Ne(M) = {у Е К*\р(у,М) < е}
является гладким q-мерным подмногообразием пространства W с краем dNe(M),
являющимся гладким (q — \)-мерным подмногообразием пространства W. В част-
частности, N?(M) расслаивается на (q - т)-мерные диски De~m(x), х € М радиуса е
с центрами на М; аналогично многообразие dN?(M) расслаивается на сферы
]
, где х € М, 1 ^ г ^ т. Тогда в Ne(M)
К9 и, следовательно, все утверждения
Локазательство. Достаточно взять е <
i,x
нет фокальных точек многообразия М С
теоремы выполнены.
Это следствие обычно называется «теоремой о существовании трубчатой окрест-
окрестности».
Глава 3
Степень отображения. Индекс
пересечения. Их приложения
§ 12. Понятие гомотопии
1. Определение гомотопии. Аппроксимация отображений и гомотопий гладкими.
Рассмотрим два гладких (пусть класса С00) многообразия N и М и гладкое отображение
f:N-*M.
Определение 1. Гладкой (кусочна гладкой, непрерывной) гомотопией (или деформацией)
отображения / называется гладкое (кусочно гладкое, непрерывное) отображение
цилиндра
F:NxI^M (/=[0,1])
такое, что F(x,0) = f(x) при любом х G N. Говорят, что отображения
/г : N —> М, ft(x) = F(x,t) гомотопны исходному отображению / = /0, а все
отображение цилиндра F есть гомотопия win «процесс гомотопии».
Всевозможные отображения, гомотопные данному отображению /, образуют
класс попарно гомотопных отображений (или гомотопический класс отображений).
Само собой разумеется, возможно определение классов гладкой гомотопии любой сте-
степени гладкости /. В частности, при 1 = 0 получаем класс непрерывных и непрерывно
гомотопных отображений. Однако, как мы сейчас увидим, из теоремы аппроксимации
непрерывных отображений гладкими отображениями вытекают следующие элементар-
элементарные свойства гомотопии.
1) Всякое непрерывное отображение аппроксимируется близким и гомотопным
ему гладким отображением любого класса гладкости (в частности, С00);
2) два гладких отображения гладко гомотопны, если они непрерывно гомотопны.
Перейдем к подробностям.
Теорема 1. Пусть M,N — гладкие компактные многообразия; f,g : М -+ N —
непрерывные отображения. Тогда для любой римановои метрики на многообразии N
существует такое число е > 0, что из условия p(f,g) < ? (здесь р — расстояние
между отображениями; см. выше) следует, что отображения fug гомотопны.
Аоказлтельство. Предположим, что на М задана риманова метрика; через р0 мы
обозначаем соответствующее расстояние. Ввиду компактности N существует
е > 0 такое, что если p,q Е N и pa(p,q) < ?, то существует единственная
кратчайшая геодезическая, соединяющая р и q (см. §29 тома I). Пусть теперь
f,g:M-*N — непрерывные отображения такие, что p(f,g) < e. Построим
гомотопию F : М х / —> N с F(x,0) = f(x), F(x, 1) = g(x). Для этого нужно

76
Глава 2. Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций
В касательной плоскости ТХ(М) выберем базис {J^r}, 1 ^ а ^ т. Найдем
параллелепипед, натянутый на образы базисных векторов (из N) после при-
применения df. Тем самым мы вычислим якобиеву матрицу отображения / (т. е.
det(d/)). Искомая матрица имеет вид
вх дх
,а / даа дх
О
.о / да,,
J5
Ясно, что ранг'этой матрицы определяется рангом матрицы
С другой стороны, 0 = ^ (о„, 0) = (|*, J-5.) + (оа, ^j), т.е.
Таким образом, ранг матрицы (d/) равен рангу матрицы (g^ -i(v,zy)), чгго и
требовалось. Лемма доказана. ¦
Теперь рассмотрим точку р 6 Ж* и функцию ?Р(х) = |х-р|2 = {х—р, х-р). Тогда
^Г2 = 2@,г> - 2(&,J>> = 2@,1-j»>. Пусть @,х -р) = 0; это эквивалентно
тому, что вектор х — р ортогонален ТХ(М). Далее,
Э2?р(ж) _
дх дх
д2х
где р = х + tv. Таким образом, вырождение критической точки для функции Lp(x)
происходит тогда и только тогда, когда р — фокальная точка.
Итак, если р — не фокальная точка, то Lp(x) — функция Морса на М С К*.
Важное следствие. Пусть МС If — гладкое замкнутое подмногобразие. Тогда суще-
существует такое е > 0, что трубчатая окрестность Ne(M) = {у € W\p(y,M) < e}
является гладким q-мерным подмногообразием пространства &я с краем dNe(M),
являющимся гладким (q — 1)-мерным подмногообразием пространства К*. В част-
частности, NC(M) расслаивается на (q - т) -мерные диски DTm(x),x € М радиуса е
с центрами на М; аналогично многообразие dNe(M) расслаивается на сферы
Локазательство. Достаточно взять е < minA,rl(x), где х 6 М, 1 ^ г ^ т. Тогда в Ne(M)
нет фокальных точек многообразия М С К* и, следовательно, все утверждения
теоремы выполнены. ¦
Это следствие обычно называется «теоремой о существовании трубчатой окрест-
окрестности».
Глава 3
Степень отображения. Индекс
пересечения. Их приложения
§ 12. Понятие гомотопии
1. Определение гомотопии. Аппроксимация отображений и гомотопии гладкими.
Рассмотрим два гладких (пусть класса С00) многообразия N и М и гладкое отображение
f:N-*M.
Определение 1. Гладкой (кусочно гладкой, непрерывной) гомотопией (или деформацией)
отображения / называется гладкое (кусочно гладкое, непрерывное) отображение
цилиндра
F : N х I -> М (I = [0,1])
такое, что F(x,0) — f(x) при любом х ? N. Говорят, что отображения
ft:N—> M, ft(x) = F(x,t) гомотопны исходному отображению / = /о, а все
отображение цилиндра F есть гомотопия или «процесс гомотопии».
Всевозможные отображения, гомотопные данному отображению /, образуют
класс попарно гомотопных отображений (или гомотопический класс отображений).
Само собой разумеется, возможно определение классов гладкой гомотопии любой сте-
степени гладкости /. В частности, при I — 0 получаем класс непрерывных и непрерывно
гомотопных отображений. Однако, как мы сейчас увидим, из теоремы аппроксимации
непрерывных отображений гладкими отображениями вытекают следующие элементар-
элементарные свойства гомотопии.
1) Всякое непрерывное отображение аппроксимируется близким и гомотопным
ему гладким отображением любого класса гладкости (в частности, С°°);
2) два гладких отображения гладко гомотопны, если они непрерывно гомотопны.
Перейдем к подробностям.
Теорема 1. Пусть M,N — гладкие компактные многообразия; f,g : М -* N —
непрерывные отображения. Тогда для любой римановой метрики на многообразии N
существует такое число е > 0, что из условия p(f,g) < е (здесь р — расстояние
между отображениями; см. выше) следует, что отображения fug гомотопны.
Локазательсгво. Предположим, что на М задана риманова метрика; через р0 мы
обозначаем соответствующее расстояние. Ввиду компактности N существует
е > 0 такое, что если p,q ? N и po(p,q) < e, то существует единственная
кратчайшая геодезическая, соединяющая р и q (см. §29 тома I). Пусть теперь
f,g:M->N — непрерывные отображения такие, что p(f,g) < e. Построим
гомотопию F : М х I -> N с ^(а;,0) = f(x), F(x, 1) = g(x). Для этого нужно

78
Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения
задать значение F(x, t) для произвольной точки (ж, t) ? М х I. Рассмотрим точки
f(x),g(x) ? N. Так как Ро(/(ж),<7(ж)) < e, то их можно соединить единственной
кратчайшей геодезической 7/<г),г(г)(г)- Так как, кроме точки ж, нам еще задано
значение t, то отрезок геодезической 7дг),<?(г) от f(x) до 9(х) можно разделить в
отношении t: A - t), и получившуюся точку мы и отнесем точке (х, t) ? М х /
(рис. 28).
Непрерывность построенно-
построенного отображения .F(z,*) следу-
следует из теоремы о непрерывной
зависимости решений от на-
начальных данных (для системы
обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, каковой являет-
является система уравнений для геоде-
геодезических). Теорема доказана. ¦
Мх\
9<x>
МхО
Рис. 28.
Теорема 2. Пусть f — произвольное непрерывное отображение гладкого многообразия М
в гладкое многообразие N. Тогда f гомотопно гладкому отображению g : М —> N.
Доказательство. Ранее мы доказали, что любое непрерывное отображение / : М —> N
может быть сколь угодно близко аппроксимировано гладким. Утверждение
теоремы вытекает из предыдущей теоремы. ¦
Задача. Докажите, что если отображение / уже является гладким на некотором
подмногообразии X С М, то гомотопная ему гладкая аппроксимация g может быть
выбрана так, что ограничения функций g и / на X совпадают.
Теорема 3. Если гладкие отображения f,g:M
гладко гомотопны.
N непрерывно гомотопны, то они и
Эта теорема вытекает из существования гладкой аппроксимации для любого
непрерывного отображения (в данном случае для исходной гомотопии F : М х I —> N)
и из предыдущих теорем этого пункта.
Аналогично доказывается следующее утверждение: любое непрерывное отображе-
отображение гладкого многообразия М в гладкое многообразие достаточно большого числа измерений
гомотопно гладкому вложению. Если исходное отображение было гладким, то и гомотопия
к вложению может быть сделана гладкой.
Определение 2. Два гладких вложений f,g:M—>N называются (гладко) изотопными,
если существует гладкая гомотопия F : М х I —> TV между отображениями / и g
такая, что отображение /< : М -* N, определенное по формуле /<(ж) = F(x,t),
является для каждого t ? [0,1] гладким вложением.
Теорема 4. Любые два гладких вложения f,g гладкого многообразия М размерности п
в евклидово пространство W достаточно большого числа измерений q (на самом
деле q"^ 2п + 2) изотопны.
Аоказательство. Если q достаточно велико, то вложения / и g можно связать непре-
непрерывной (а следовательно, и гладкой) гомотопией F : М х / —> М? (например,
оба отображения fug гомотопны отображению в точку). После этого гладкая
гомотопия F : М х I —у N может быть превращена во вложение гладкой дефор-
деформацией (деформация неподвижна на «основаниях» цилиндра М х 0 и М х 1).
Это и дает искомую изотопию между fug. ¦
§ 13. Степень отображения
79
Доказанные теоремы позволяют нам не делать различия между непрерывными и
гладкими гомотопиями. В дальнейшем мы будем рассматривать классы непрерывной,
кусочно гладкой или гладкой гомотопии класса С00 — той, которая в данном
рассуждении более удобна.
Гомотопический класс отображения / обозначается через [/]; множество всех
гомотопических классов отображений N —> М обозначается через [JV; М].
2. Относительные гомотопии. В дальнейшем нам придется рассматривать гомо-
гомотопии и гомотопические классы отображений, на которые наложены дополнительные
ограничения. Приведем важнейшие из таких ограничений:
а) В многообразиях N и М отмечено по одной точке х0 ? N и у0 ? М.
Требуется, чтобы при всех отображениях / : N —> М отмеченная точка х0 переходила
в точку уо (и при всех гомотопиях также.). Такой класс отображений называется
связанным в точке.
б) Многообразия N и М имеют края Г = 8N и Д = дМ. Требуется, чтобы
при всех отображениях / : N —* М и при их гомотопиях край Г переходил в край Д.
Такой класс отображений называется относительным (относительно краев).
в) Многообразия N и М могут быть и некомпактны (открыты). Требуется,
чтобы полный прообраз любой точки при отображении / : N -* М был компактен.
Это же требуется и для процессов гомотопии F : N xl —* М. Такой класс отображений
и гомотопии называется собственным.
г) Наиболее общий класс относительных отображений таков: пусть в N и М
отмечено по множеству А С N и В С М. Требуется, чтобы при всех отображе-
отображениях / и гомотопиях F множество А отображалось в множество В. Совокупность
соответствующих гомотопических классов обозначается [(N, А); (М,В)].
§ 13. Степень отображения
1. Определение степени. Основной целью этого параграфа является изучение
гомотопических классов отображений замкнутых ориентированных многообразий N
и М одной размерности п, особенно в том случае, когда многообразие М является
сферой. Рассмотрим гладкое отображение / : N —> М и выберем точку у0 ? М.
Предположим, что отображение / является правильным по отношению к точке jfo € М.
Это означает, что полный прообраз точки т/о состоит из конечного числа точек ж;
(г = 1,...,т) многообразия N с локальными координатами (if) около точек ж, и (Уо)
около уо, причем якобианы отображения det (-^г) не равны нулю, г = 1,...,т.
Напомним, что в многообразиях N и М задана ориентация, т. е. все якобианы
переходов от локальных координат одной окрестности к другой положительны.
Определение 1. Степенью гладкого отображения связных ориентированных замкнутых
многообразий / : TV —> М в правильной точке по отношению к правильному
значению уо ? М называется число
deg/= ? sgndet(M)
(знаки якобианов отображений в точках ж, корректно определяются).
Имеет место важная
Теорема 1. Степень отображения не зависит от выбора правильного значения у0 и не
меняется при гомотопиях.

80 Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения
Ааказательство. Сначала покажем, что степень не зависит от выбора правильного
значения. Для близких к у<> правильных значений это очевидно — прообразов
столько же и знаки те же.
Пусть 2/о и 2/| — два правильных значения отображения /. Соединим эти
точки 2/о и 2/1 гладким нееамопересекающимся путем в многообразии М с
невырожденной касательной. Этот путь представляет собой одномерное много-
многообразие у. Согласно лемме о ?-регулярности (см. § 10) путь у можно выбрать
таким образом, чтобы отображение / было t -регулярно на всем у и правильно
в концевых точках 2Ль2/]- Рассмотрим полный прообраз f~\y), который в силу
i-регулярности является гладким одномерным многообразием в JV с краем,
состоящим из двух частей; f~[(ya) и f (у\) (см. рис. 29 для п = 2; точки
(z»o) — это прообраз /~'B/о), а точки (хц) — прообраз /~'(j/i))- (Около
каждой точки на рис. 29 указан ее знак: обратите внимание, что у разных точек
отрезка у может быть разное число прообразов.) Поскольку у отрезка ровно
две концевые точки, которые входят в край е противоположными знаками, мы
непосредственно из рисунка усматриваем справедливость утверждения теоремы.
Уо М
Рис. 29. Рис. 30.
Докажем теперь аналогичным образом утверждение теоремы об инвариант-
инвариантности степени относительно гомотопии отображения /. Пусть задана гладкая
гомотопия F : N х I —> М, где / = F(x, 0). Можно считать, что весь процесс
гомотопии — отображение F — правильно в точке t/0- Рассмотрим полный
прообраз F~[(yo) (см. рис. 30 для п = 1; число прообразов точки у0 для разных
моментов t может быть различным, но алгебраическая сумма знаков постоянна).
Картинка здесь полностью аналогична рис. 29, так как ^~'(Уо) есть одномер-
одномерное неособое многообразие в N х I с двумя частями корня, соответствующим
4 = 0 (это — /~'(Уо)) и t = 1. Указанное в теореме целое число, очевидно,
одинаково для t = 0 и t = 1. Теорема доказана. ¦
2. Общения основного определения. Укажем полезные расширения определения
степени:
А) Обобщение понятия степени отображения на класс относительных отобра-
отображений между многообразиями с краем производится очевидным образом. Пусть задано
отображение
f:(N,dN)->(M,dM),
где М и N — компактные многообразия (с краем) одной размерности п. Так
как край переходит в край, то полный прообраз внутреннего правильного значения
Уо € М лежит целиком во внутренней части N, и то же верно для ее прообраза
при гомотопиях. Поэтому определена степень отображения deg /, не зависящая от
выбора правильного значения j/0 внутри М и не меняющаяся при гомотопиях в этом
13. Степень отображения
81
классе отображений,— доказательство этого факта копирует доказательство теоремы 1.
Заметим, что края dN = Г и ЭМ — А являются замкнутыми ориентированными
многообразиями размерности п - 1 (JV и М ориентированы). Предположим, что края
связны (в действительности это не очень существенно). Отображение / на краях также
имеем степень deg Лэлг- Имеет место
Теорема 2. Степень отображения края совпадает со степенью отображения самого
многообразия: deg /|алг — deg/.
Доказательство. Прежде всего мы малой гладкой гомотопией изменим относительное
отображение / : N -+ М таким образом, чтобы ни одна внутренняя точка
из N не отображалась в точку края дМ. Это делается так. Рассмотрим в
малой ?-окрестности G? края дМ, нормальное единичное векторное поле п(у),
смотрящее внутрь многообразия М, и числовую С00-функцию ip(y) ^ 0 в той же
е-окрестности GЕ края дМ, равную ? на крае дМ, равную нулю на другом крае
• ?-окрестности и монотонно убывающую с удалением от края. Эту функцию ip
мы продолжаем нулем на все М. Рассмотрим область V = f~l{Us) С JV.
На V сосредоточена функция <р* = <p(f(x)) ^ 0, причем максимум лежит
на полном прообразе края. Определим другую С00-функцию ф(х) ^ 0 на
многообразии JV, равную нулю на крае dN = Г, равную единице за пределами
малой й-окрестности края и монотонно возрастающую с удалением от края.
Гомотопию отображения / мы определяем так: пусть образ точки х € N
сдвинется по многообразию М от края по траекториям векторного поля п(у)
на расстояние ij)(x)ip(f (х)). Очевидно, точки края Г не сдвинутся (ф(х) = 0) и
точки вне V? также не сдвинутся (ip(f(x)) = 0). Все остальные точки сдвинутся
на положительное (но малое) расстояние.
Перейдем к доказательству теоремы 2. Рассмотрим полный прообраз /~'(;/о)
правильной точки отображения /, лежащей на крае дМ. Весь этот полный
прообраз содержится в крае dN. Заметим, что, сдвигая правильную точку
внутрь многообразия N на достаточно малое расстояние, мы не изменим числа
прообразов и их знаков (ориентация краев и многообразий согласованы) —• все
они изменятся непрерывно до прохода через вырождение. Поэтому числа deg /
для края и для самого N совпадают. Теорема доказана. ¦
Б) Второе расширение понятия степени отображения относится к классу соб-
собственных отображений. Очевидно, все определения и теорема 1 вместе с ее доказатель-
доказательствами при этом полностью сохраняются.
В) Степень отображения определяется и в неориентируемом случае, но здесь
знаки якобианов не имеем инвариантного смысла. Поэтому степень определяется
только как вычет mod 2.
3. Гомотопическая классификация отображений многообразия в сферу. В том
случае, когда многообразие М есть п-мерная сфера 5™, степень отображения является
полным гомотопическим инвариантом. Имеет место
Теорема 3. Два гладких отображения f,g:N—>S" замкнутого п-мерного ориентиро-
ориентированного многообразия в п-мерную сферу гомотопны в том и только в том случае,
если их степени совпадают.
Аоказателъство. Сначала мы рассмотрим простой случай, когда имеется правильное
значение уо ? S", числа прообразов которого при отображениях fug точно
равны степени deg/ = degg (и равны друг другу). В этом случае гомотопию
между / и g мы составим из следующих элементарных шагов:

82 Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения
Шаг 1. Деформируем отображение / так, чтобы все прообразы /""'(j/o) и
<7 '(Уо) точно совпали.
Шаг 2. Так как знаки якобианов по условию все совпадают, деформиру-
деформируем/к отображению, дифференциал которого совпадает с дифференциалом
отображения д в каждой точке полного прообраза /~'(уо) = 5~'B/о)-
Шаг 3. Выберем малое е > 0 и деформируем оба отображения / и д
около всех прообразов точки у0 так, чтобы в их ?-окрестностях по отношению к
некоторым локальным системам координат отображения fug стали линейными:
при этом пусть образы е-окрестностей диффеоморфно наложатся на сферу 5™,
а их края перейдут в точку, противоположную точке jfo- Можно считать, что все
дополнение к е-окрестностям также переходит в эту точку, так как дополнение
к точке уо в сфере 5" есть евклидово пространство К".
После этих деформаций отображения / и д совпадут.
Рассмотрим теперь общее
отображение /, правильное в
точке jfo 6 S". К этому отобра-
отображению можно применить шаг 3
предыдущей деформации (хотя
число прообразов больше сте-
степени deg/ = т). В результате
мы приведем это отображение
к каноническому виду: точка у0
имеет m+2q прообразов хх,...
Рис. 31.
, xm+2q; е-окрестности этих прообразов линейно
наворачиваются на сферу 5", а дополнение этих окрестностей отображает-
отображается в точку, противоположную у0; знаки якобианов отображения / в точках
Xi,...,xm одинаковы, а знаки якобианов в точках xm+i,xm+q+i (i = l,...,q)
противоположны. Построим отображение окрестности пути у в JV" х / такое,
что край переходит в точку у* (рис. 31). Очевидно, это возможно ввиду знаков
якобианов в точках (xm+i,xm+q+i). На ?-окрестностях остальных прообразов
считаем гомотопию тождественной. Всю остальную часть многообразия N" х /
отправим в точку. Отображение F, уничтожающее пару прообразов, построено.
Теорема доказана. ¦
§ 13. Степень отображения
83
n=2k+\
уГ=
а)
б)
Рис. 32.
х, х2 х3 xs2n
sgn *,=+, sgn х2=—,
sgn x3=+, sgn xt=+, deg /=2
Рис. 33. -
Пример 2. Рассмотрим отображение f : Sl —> S* окружности в окружность. Мы будем
представлять себе окружность как прямую, у которой точки х + 2-ап склеены между
собой при целых п. Аналогично отождествлены между собой все точки у + 2-кп в образе.
Функция у = f(x) задает отображение окружности в окружность, если для всякого х
выполнено условие f(x + 2ir) = /(x) + 2irfc, где к — целое число. Из рассмотрения
графика (см. рис. 33, на котором к = 2) видно, что deg / = к.
Таким образом, для степени отображения получаем
Можно представлять себе окружность как кривую \z\ = 1 в комплексной плоскости.
Тогда всякое отображение 51 —> 5' гомотопно каноническому, имеющему вид гнг",
где п — степень.
Пример 3. Комплексный многочлен ш = f(z) степени п задает собственное отображение
комплексной плоскости / : R2 —> R2 или отображение между римановыми сферами
S2=CP'
f:S2^S2
(если добавить точку оо). В частном случае, когда f(z) = aoz" (а0 Ф 0), это отображение,
очевидно, имеет степень п. Заметим далее, что все многочлены степени п с ненулевым
старшим членом задают гомотопные отображения. Гомотопна очевидна:
где
F{z,t) = a,zn +
' + ... + а,],
1. Очевидно, F{z,0) = f(z) н F(z, 1)
Задача. Для отображений замкнутых неориентируем ых n-мерных многообразий в сфе-
сферу S" определена степень по модулю 2. Докажите неориентируемый аналог теоремы 3.
Замечание. Построение гомотопии F при п = 1 отличается от общего случая. Предлагаем
читателю разобрать этот случай самостоятельно.
4. Простейшие примеры.
Пример 1. Всякий многочлен степени п с вещественным коэффициентом задает собственное
отображение R —> R (так как уравнение f(x) = с имеем не более п решений). Степень
этого отображения равна 1, если п нечетно, и 0, если п четно (рис. 32 а и б
соответственно). Отсюда следует, в частности, что многочлен нечетной степени всегда
имеет вещественный корень: если имеется точка, прообраз которой пуст, то степень
равна нулю.
Следствие 1 (теорема Гаусса). Многочлен степени п Ф 0 имеет корень.
Действительно, если уравнение f(z) = 0 не имеет решений, то полный прообраз
/"'@) пуст и степень deg/ = 0. Пришли к противоречию.
Проверьте, что степень рационального отображения S2 —> S2 равна максимуму
степеней числителя и знаменателя.
Более общим примером является голоморфное (комплексно аналитическое)
отображение между замкнутыми комплексными многообразиями
f:N-+M.
Имеем место простая
Теорема 4. Если степень deg/ равна q, то q > 0 и правильное значение j/o 6 М
отображения f имеет ровно q прообразов, причем знак якобиана для каждого
прообраза положителен.

84
Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения
Аоказательство. Детерминант комплексного линейного отображения А всегда положи-
положителен (см. том [, § 12):
detR^ = |detcA|2 ^ 0.
Применяя это к якобианам в прообразах регулярного значения у0, получаем
утверждение теоремы, так как по определению
1=1
Теорема доказана.
В рассмотренном выше примере 3 уравнение /(z) = с имеет в общем случае
ровно га решений — это видно из теоремы 4.
Другим примером голоморфного отображения является проекция римановой
поверхности алгебраической n-значной функции на плоскость z, над которой опреде-
определена эта я-значная функция (или на риманову сферу S2 = СР1). Здесь степень равна,
очевидно, числу листов п.
Пример 4. Рассмотрим отображение / замкнутого n-мерного многообразия JV в R". Это
отображение является, очевидно, собственным, как и любое отображение замкнутого
многообразия N куда угодно. Поэтому определена степень deg/, и эта степень равна
нулю. Для доказательства этого факта достаточно заметить, что в силу компактности JV
в R" имеются точки у0, полный прообраз /"'(%) которых пуст, — достаточно удаленные
точки в R".
Отсюда следует, что прообраз любой точки у ? R", если она является правильным
значением, состоит из четного числа точек.
Пример 5. Рассмотрим отображение между ориентированными многообразиями с краем / :
(N,dN) -»(М,Ш), сужение которого на край является диффеоморфизмом: &N и дМ;
предположим также, что этот диффеоморфизм сохраняет ориентацию. В этом случае
в силу теоремы 2 deg/ = 1. В частности, если задана замена координат у = f(x) в
области U в R" с гладкой границей Г = OU и эта замена взаимно однозначна на границе,
то / имеет степень 1 и внутри.
§ 14. Некоторые применения степени
1. Степень и интеграл. Изучим поведение интеграла от дифференциальной
формы ранга п по n-мерному замкнутому ориентированному многообразию при
отображениях конечной степени. Пусть / : N —> М — гладкое отображение степени
q = deg/ и п — дифференциальная форма ранга п — dim M — dimiV на М, имеющая
вид <pi(y)dyj Л... Ady" в локальной системе координат (у") на М с номером г.
Определены интегралы /П по многообразию М от формы П, а также //*П по
М N
многообразию N от формы /*П, имеющей (локально) вид
/*П = Vi(f(x)) dx) Л ... Л dxnj det (Щ
в области на N с координатами (xf), точнее, в той ее части, которая попадает в
область с координатами (yf) при отображении /.
§ 14. Некоторые применения степени
85
Теорема 1.
J j*a =
U
Аоказательство. Рассмотрим область U С М, целиком состоящую из правильных зна-
значений отображения / и лежашую в достаточно малой окрестности правильного
значения уо € М. Полный прообраз /~'B/о) состоит из конечного числа точек
х\,...,хт. Полный прообраз f~l(U) окрестности U точки у0 есть объединение
f-\U) = UlU... UUm
непересекающихся множеств Uj с координатами (х"), j = l,...,m; a =
1,...,п. Координаты в U обозначим через (у?), a — 1,...,га. Все точки
областей Uj регулярны, так как область U состоит лишь из правильных значений
' отображения /. В каждой области Uj отображение / взаимно однозначно
По формуле замены переменных в кратном интеграле имеем
/ <р(У(х)) dx) A... A dx" = sgn detf —jj / tp(y) dyl A ... Л i
i v
Из этой формулы, суммируя по всем Uj, получаем
sgn
Далее, если на некотором множестве V С N якобиан отображения /
обращается в нуль, то на множестве V форма /*П также обращается в нуль.
По лемме Сарда (см.§ 10) множество правильных точек в М является открытой
всюду плотной областью; теорема тем самым доказана в силу выведенной выше
формулы, так как интеграл является аддитивной функцией области. ¦
Замечание. Теорема 1 верна также для собственных отображений, если форма ft финитна
(имеет компактный носитель на М) и для отображений многообразий с краем.
Следствие 1 (см. пример 5 в § 13). Если имеется замена переменных, взаимно
однозначная на гладкой границе компактной области в !", |deg/| = 1 и
интегралы от форм П и /*П совпадают по модулю (хотя замена может и не быть
взаимно однозначной во внутренних точках).
2. Степень векторного поля на гиперповерхности. Рассмотрим теперь гладкое
векторное поле (С(х)) = ?>а = 1,••• ,п, заданное в некоторой области U га-мерного
евклидова пространства R" с координатами (х\...,х") и обращающееся в нуль в
этой области. В этом случае в области U определено единичное векторное поле
п(х) = iH|^j. Тем самым определено сферическое (гауссово) отображение / области U
на сферу S"~':
f(x) = n(x),

86
Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения
где вектор п(х) в правой части исходит из начала координат. Если Q — любая замкнутая
гиперповерхность, лежащая целиком в U, то определена степень deg /|q отображения /
на Q. Эта степень называется степенью векторного поля на гиперповерхности Q.
Предположим, что гиперповерхность Q локальна задана в параметрическом виде
= ха(и\...,ия-1),
На сфере Sn~ С Ж" и даже на всей области Жп \0 определена замкнутая дифференци-
дифференциальная форма п ранга п - 1 (форма объема на 5"~'), имеющая вид
П
(- 1)V Л da:' Л ... Л dжi Л ... Л dxn
1 ?1
In
\n/2
(где значок dx' означает, что этот дифференциал пропущен). Нормировочный коэф-
коэффициент у„ подобран из условия
5-1
п= 1.
Для плоскости Ж2
с координатами (х, у) имеем (п = 2)
или П =
(п = 3)
2ж V ж2 + у2 у
в полярной системе координат. Для R3 с координатами (ж, у, z) имеем
1 / ж dy Adz -ydx Adz + zdy A dx
~~ 4vr V (x2 + y2 + z2K'2
или П = jj|sin^| dd dip в сферической системе координат.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 2. Для любого векторного поля ?(ж) и замкнутой гиперповерхности Q степень
поля ? на Q равна / /*П, где f — гауссово сферическое отображение-
Q
1 Г 1
=— / —
7 '*'
det
du] л
Это следствие вытекает из определения /*(П) и вида формы П, указанного
выше. При п = 2 имеем
где * — параметр на кривой, а
При п = 3 имеем 73 = 4vr,
— координаты векторного поля на кривой.
§ 14. Некоторые применения степени
87
Рассмотрим особо случай, когда векторное поле ?(х) единично
напраааено ортогонально к поверхности Q во внешнюю сторону.
В этом случае мы знаем (см. том I, §26), что форма /*П имеет вид
= 1) и
л-!
/*П = Kd<r = K^/gdu Л... Л du'
где К — гауссова кривизна гиперповерхности (произведение главных кривизн),
da = ^/gdu1 Л ... Л du" — стандартный элемент объема, порожденный метрикой
на поверхности Q, индуцированной вложением Q в R" с евклидовой метрикой. Для
п — 2 имеем: da = dl (натуральный параметр) и К = к (кривизна кривой). При
п — 3 К — это обычная гауссова кривизна поверхностей и da = \JEG - F2 du Adv —
обычный элемент площади.
Мы получили следующее утверждение.
Теорема 2. Интеграл от кривизны К по замкнутой поверхности с точностью до
множителя у„ (площадь единичной сферы в п-мерном пространстве) совпадает со
степенью гауссова отображения.
3. Число Унтни. Формула Гаусса—Бонне. Нашей задачей теперь является
вычисление степени гауссова отображения. Мы проделаем это лишь для наиболее
важных случаев п — 2,3 (кривые и поверхности).
Случай п = 2 (кривые). Пусть имеется замкнутая кривая у — (x(t),y(t)) в R2
обшего положения. Последнее означает, что x(t + 2тг) = x(t), y(t + 2vr) = y(t), вектор
(ж, у) отличен от нуля при всех t и все самопересечения кривой в Ж2 двойные, причем
касательные векторы к ветвям линейно независимы в точке их пересечения (рис. 34).
Зафиксируем на кри-
кривой точку t0, не являющуюся
точкой самопересечения. Чи-
Числом Уитни W(y) или ал-
алгебраическом числом точек
самопересечения называется
сумма ^(il) знаков всех
точек самопересечения для Рис. 34.
плоской кривой общего положения. Знак точке самопересечения приписывается так: в
плоскости задан ориентирующий репер [1,2] (см. рис. 34). Мы идем по направленной
кривой у от точки ?(ь когда мы в первый раз встречаем точку самопересечения, то на
касательном векторе этой ветви ставим номер 1: когда второй раз встречаем эту же
точку, то на этой ветви ставим номер 2. Таким образом, каждой точке самопересечения
отвечает репер, знак которого либо совпадает с ориентирующим репером в R , либо
противоположен ему (см. рис. 34). В первом случае точка имеет знак +, во втором —
знак -. Для четности числа Уитни, т.е. для четности числа точек самопересечения
кривой, имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Четность числа точек самопересечения кривой противоположна четности
числа deg /.
Локазательство. Для несамопересекающейся кривой W(y) = 0 и deg/ = +1. Таким
образом, в этом случае утверждение теоремы правильно. Докажем теорему
индукцией по числу точек самопересечения. Предположим сначала, что у регу-
регулярной кривой общего положения у можно найти «минимальный» замкнутый
кусок около одной точки самопересечения, не содержащий внутри себя ни
одной точки кривой и не содержащий на себе начальной точки to (рис. 35).
1
0 + 0 + ® + © = О
Инвариант W(y) = О

Глава 3. Степень отображения. Ивдекс пересечения. Их приложения
Окружим этот кусок кривой 7 областью D, внутри которой нет других точек
кривой, где мы будем производить все перестройки кривой. Перестройки кривой
с сохранением направления производятся естественным образом (рис. 36, а,6)\-
7 —> yi + 72- В результате обеих перестроек в случае а) и б) число точек само-
самопересечения уменьшается на I. При отбрасывании образовавшегося замкнутого
несамопересекающегося куска интеграл (т. е. степень deg /) увеличивается на 1 в
случае а) и уменьшается на 1 в случае б). Точно также ведет себя и число W(j).
8 этом частном случае теорема доказана.
В общем случае мы будем действовать точно так же, выбирая каждый раз
точку самопересечения таким образом, чтобы кривая 72 (рис. 37) была неса-
мопересекающейся (допускается ее пересечение с кривой 71 )¦ Мы совершаем
перестройку кривой, следуя рис. 36, а или б. Кривые 71 и 72 могут пере-
пересечься, однако число точек их пересечения четно. Поэтому приведенное выше
рассуждение остается полностью неизменным. Теорема доказана. ¦
W=0
— *W = -1
2ju j
Рис. 36.
а)
^=O = deg/-l W=2 = deg/+1
deg/=+l deg/=+l
Рис. 38.
Рис. 38.
Замечание. Если на отрезке 72 нет точки i0, то оба целых числа W(-/) и deg/ ведут себя
одинаково при перестройке (как целые числа, а не только mod 2). При выборе ?0 на
внешнем контуре 7 можно показать, что такой отрезок 72 найдется, и перестройка всегда
возможна. Используя это, можно получить уточнение теоремы: число W(j) равно либо
deg / + 1, либо deg / - 1, причем это может зависеть от выбора t0 на внешней части 7
(вне точек пересечения) (рис. 38).
Случай я = 3 (поверхности). Вычислим теперь степень гауссова отображения
/ : Q —> S2 для гладкой замкнутой ориентированной поверхности Q в К3. По
определению степень отображения равна числу прообразов регулярного значения
Уо ? S2 отображения /. Можно предположить, что эта точка уо есть верхний полюс
сферы с координатами @,0,1) (сфера задана в пространстве R3). Мы будем предполагать
(без ограничения общности), что противоположный полюс у^ — @,0,-1) также
является правильной точкой. Одновременная правильность пары противоположных
точек сферы равносильна правильности точки проективной плоскости RP2 при
сквозном отображении
r\ J. qI .о г>2
§ 14. Некоторые применения степени
89
При этих условиях имеет место
Лемма 1. Рассмотрим функцию высоты <р на поверхности Q, значение которой в точке
Р ? Q совпадает с координатой z — <р(Р). Все критические точки этой функции
невырождены, и множество критических точек совпадает с объединением двух
прообразов: /~'B/о) U /~'(Уо)-
Доказательства Градиент функции <р(Р) = z обращается на Q в нуль там, где ось z
ортогональна к Q. Эти точки и являются объединением прообразов /~'(Уо) U
/~'B/о) обоих полюсов. Якобиан отображения Q—>S2 в точках прообраза f~l(y0),
как устанавливалось в томе I (см. § 26), в точности совпадает в специальных
координатах с определителем гессиана функции z = ip, совпадающим с гауссовой
кривизной. Для прообразов /~'B/о) т0 же самое верно для функции z = -<р.
Тем самым невырожденность прообразов /~'(Уо) U /~'(Уо) равносильна условию
К ф 0 или условию неравенства нулю гессиана функции <р или -<р. Лемма
доказана. ' ¦
Заметим теперь, что имеет место очевидное равенство
где (и1,..., и" ') — локальные координаты около любой точки на поверхности Q. Это
и различает случаи четного и нечетного значений п. Для нашего случая п - 1 = 2.
Отсюда следует, что знаки якобианов отображения / во всех точках объединения
/~'(Уо) U /~'(Уо) те же самые, что знаки гауссовой кривизны К в этих точках. При
определении знаков нет нужды различать направления внешней и внутренней нормали
к поверхности Q или функции ip и - <р. Суммированием вкладов всех точек со знаками
получается
Лемма 2. Имеет место равенство
здесь суммирование распространяется на множество критических точек функции
высоты <р = z, a(Pi) — 0 для минимумов и максимумов, где sgniT = +1, и
a(Pi) = 1 для седея, где sgniT = -1.
9 = 0
Рис. 39.
Покажем теперь, что для поверхностей с g ручками число, стоящее в правой
части, есть в точности 2-2д. Легко предъявить вложение поверхности в R3, где
функция высоты <р будет иметь 1 минимум, 1 максимум и ровно 2д седел (рис. 39;

90
Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения
на нем отмечены стационарные точки). Для этих вложений поверхностей с д ручками
получаем
2deg/ = — I Kdff = 2-2g.
Q
Конечно, возможны другие вложения поверхностей в R3. Однако мы знаем, что К =
-К/2, где R — скалярная кривизна (см. том I, § 30). Кроме того, мы знаем, что величина
/ Rdcr не меняется при малой вариации метрики на двумерном многообразии Q, так
как 6 JRdcr = 0 (см. том I, §37). Пусть gfj и д\) — две римановы метрики на
поверхности Q. Рассмотрим семейство метрик
Очевидно, метрика g{j(t) положительна при всех t € [0,1], д^@) = gf) и j
Отсюда следует, что интеграл j Rdcr одинаков для метрик gf) и gfj . Тем самым
доказана <2
4. Индекс особой точки векторного поля. Рассмотрим теперь гауссово отобра-
отображение в окрестности изолированной особой точки векторного поля. Пусть ? = ?(х) —
векторное поле, заданное в окрестности некоторой точки х0 пространства К". Следуя
принятой терминологии, мы говорим, что х0 есть особая точка поля ?, если ?(xq) = 0;
особая точка х0 называется изолированной, если f не обращается в нуль в отличных
от xq точках достаточно малой окрестности точки х<>; особая точка х0 называется
невырожденной, если
Лемма 3. Невырожденная особая точка всегда изолирована.
Аокззательство. Уравнение С'(х) — 0 имеет решение х = х0. Так как det(J^r) ф 0 при
х — Хо, то утверждение леммы следует из теоремы о неявных функциях. ¦
Корнями невырожденной особой точки называются собственные значения
А,,.. ,АП матрицы {^ц)х=Ха.
Индексом невырожденной особой точки хи называется знак
sgn det
\х=х0
= sgn(Ai,...,An).
Для градиентных полей ?а = ^ индекс особой точки совпадает со знаком гессиана
sgn det -i-
V dxf
: sgn det
дхадх?
= (-1)
.'do)
где г(ж«) равно числу отрицательных квадратов в каноническом виде квадратичной
формы d2f\z=xa.
§ 14. Некоторые применения степени
91
Рассмотрим сферу Qe = 5" ' малого радиуса е > 0, окружающую изолированную
особую точку жA, так что поле ? не обращается на сфере Qe в нуль. Согласно сказанному
в п. 2 определено сферическое гауссово отображение
Определение. Индексом изолированной особой точки ж0 векторного поля ? называется
степень гауссова отображения:
Оказывается, что если точка х0 не вырождена, то это определение совпадает с
предыдущим.
Теорема 5. Для невырожденной особой точки х<) поля ?(х) имеет место равенство
Доказательство. В достаточно малой окрестности точки ж0 векторное поле ?(х)
гомотопно линейному векторному полю ^A)^(г) = а^|г=;Е (г7 - г7,), причем в
процессе гомотопии поле ?(x,t) @ ^ < ^ 1) обращается в нуль только в точке ж0
при всех t и ?(х,0) — ?(х), ?(х, 1) = ?{1\х). Действительно, поле ? имеет вид
где \?а)(х)\ -
. Мы полагаем
Эта гомотопия обладает нужными свойствами в достаточно малой окрестности
точки х0. В процессе этой гомотопии отображение fX(l : Q? —* S"~l испытывает
гладкую гомотопию, и линейная часть поля не меняется. Поэтому обе части
равенства deg/l0 и sgn det (|^- x_x ) остаются неизменными. Нам остается
вычислить степень для линейного отображения ?(|):
Л1Ь ч S \х)
В линейном случае поле ?( * дает линейный изоморфизм окрестности точки xq
на окрестность нуля в Rn~' и является взаимно однозначным на сфере радиуса е,
Qe —» S"~l. Каждая точка уо на сфере S" является правильным значением и
имеет ровно один прообраз. Знак детерминанта указывает на сохранение или
обращение ориентации при этом отображении. Теорема доказана. ¦
Пример 1 (п = 2). Невырожденные особые точки векторного поля на плоскости могут быть
такими:
центр (корни чисто мнимые; рис. 40, а),
узел (корни вещественные и одного знака; рис. 40, 6),
фокус (корни комплексно сопряжены; рис. 40, в),
седло (корни вещественные и разных знаков; рис. 40, г)
Индекс особой точки не зависит от направления поля.
Индекс
+ 1
+ 1
+ 1
-1

92
Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения
а)
б)
Рис. 40.
Если поле является градиентом некоторой функции /, то возможны такие
особенности:
минимум /
седло /
максимум /
Индекс
+ 1
-I
+ 1
Пример 2 (п = 3). Градиенты ({° = ^
минимум /
седло 1-го типа (один отрицательный квадрат формы d2f)
седло 2-го типа (два отрицательных квадрата формы d2f)
максимум /
Общие поля (все А,\Ф 0):
выталкивающая особая точка (Re А,- ^ 0, i = 1,2,3)
седло 1-го типа (ReAi ^ 0, ReA2 ^ 0, Аз вещественно, Аз < 0)
седло 2-го типа (А, вещественно, А| > 0, ReA2 ^ 0, ReA3 ^ 0)
всасывающая особая точка (Re А, ^ 0, i = 1,2,3)
Индекс
+ 1
-I
+ 1
-1
+1
-1
+ 1
-1
(либо все три корня вещественны, либо один вещественный и два комплексно
сопряжены).
Теорема 6. Пусть ? = ?(_) -— векторное поле в Ж" с изолированными особенностями
Si,..., хт, и пусть Q — замкнутая ориентированная гиперповерхность в Шп, не
проходящая через особые точки и ограничивающая область D в Ж". Тогда степень
векторного поля ?(_) на поверхности Q, т.е. степень гауссова отображения
Q —* Sn~ , равна сумме индексов всех особых точек х,-,,..., Хц, лежащих в
области D.
Аоказательство. Рассмотрим сферы QjC достаточно малого радиуса е > 0 около особых
точек Xj и выкинем из области D ограничиваемые этими сферами шары (вместе
с точками xj). Остается область D, граница которой имеет вид
dD = QuQilCu... UQil?.
Рассмотрим в D гауссово отображение /:_)—» 5"~' и форму /*П, где п —
форма, определенная в п. 2. Так как du = 0 на сфере 5" по соображениям
размерности и dfu = f*(dU) = 0, по общей формуле Стокса (см. §8) получаем
D OD Q '"'<?.-,«
где минус стоит потому, что внешняя поверхность Q входит в границу 8D с про-
противоположной ориентацией по сравнению со сферами <5,-,;?. Наше утверждение
следует теперь из теоремы 1 и определения индексов особых точек. ¦
§ 14. Некоторые применения степени
93
5. Трансверсальная поверхность векторного поля. Теорема Пуанкаре—Бендиксона.
Особый интерес представляет случай, когда поверхность Q сама является сферой
большого радиуса и поле ?(х) на этой сфере Q ее нигде не касается. Такую
поверхность Q мы назовем трансверсальной поверхностью поля ?. В этом случае верна
простая
Лемма 4. Степень поля (, на трансверсальной поверхности равна (нормированному)
интегралу от (гауссовой) кривизны этой поверхности. Если поверхность является
сферой, то этот интеграл равен единице.
Аоказательство. Трансверсальное поле на Q гомотопно (в классе полей, не касаю-
касающихся Q) нормальному единичному полю к этой поверхности. Степень есть
инвариант гомотопии. Для нормального поля п(х) к поверхности Q форма /*П
совпадает с — К da, где К — кривизна и 7я — нормировочный коэффициент,
- зависящий только от размерности (см. п. 2). Для сферы S"~l этот интеграл равен
единице: — / К da — 1. Лемма доказана. ¦
Следствие 3. Векторное поле ?(х) на К", трансверсальное какой-либо сфере Sn~l
(например, окружности 51 в К2) обладает хотя бы одной особой точкой внутри
этой сферы.
Для доказательства следствия достаточно сопоставить теорему 6 с замечанием,
что индекс любой неособой точки есть нуль.
Замечание. Для случая плоскости (п = 2) уместно
отметить еще случай периодической (замкну-
(замкнутой) интегральной траектории Q поля ?(х),
если она существует. Очевидно, степень по-
поля ? на Q равна единице и из теоремы 6
вытекает, что внутри Q обязательно есть осо-
особая точка ?. Информация об особых точках
и трансверсальных поверхностях может быть
очень важной при описании качественной
картины поведения интегральных траекторий
векторного поля ((х), особенно в плоскости.
Рассмотрим, например, случай, когда поле ?
направлено внутрь трансверсальной замкну-
замкнутой кривой Q в плоскости R2, и в области, Рис. 41.
ограничиваемой этой кривой Q, поле имеет ровно одну — при этом выталкивающую —
особую точку жо (узел или фокус) (рис. 41).
При этих условиях интегральная траектория ¦у = (x(t),y(t)) поля ?, начавшаяся в
точках Q, не может дойти до точки xq, поскольку точка х0 является выталкивающей.
Рассмотрим предельное множество ш+(у) этой траектории, точками которого являются
предельные точки в R2 последовательностей {7(ii),7(<2)>--- h гДе U ~* +00 ПРИ • ~* °°-
Множество ш+(-у) компактно, замкнуто и не содержит особых точек поля ?. При этих
условиях имеет место
Теорема (Пуанкаре—Беидиксон). Множество ш+(у) является периодической интегральной
кривой поля ?, на которую кривая -у наматывается извне («предельный цикл»).
Аоказательство теоремы разобьем на леммы.

94
Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения
Лелллла 5. Множество и+(у) вместе с любой точкой А содержит всю интегральную траекто-
траекторию у, проходящую через А.
то все другие точки траектории у получатся как At ='
Аоказательство. Если А = !im 7
\\my(U +t), -oo < t < сю.
Лемма 6. Если множество ш*(у) компактно и не содержит особых точек, поля ?, а сама
траектория у не периодична, то через траекторию у можно провести замкнутую
трансверсальную кривую поля ?.
Аоказательство. Пусть y(t{) и 7(^2) — близкие точки в R2, но далекие по t: |t, - t2\ > 1.
Такая пара tut2 всегда имеется по условию леммы. Соединим пару точек y(t[), 7(^2)
малым трансверсальным отрезком I и рассмотрим замкнутую кривую 5 = / и ly(ti,t2)].
Очевидно, кривая 5 аппроксимируется замкнутой трансверсалью 5, пересекающей у
(рис. 42, пунктирная кривая). Лемма доказана. ¦
Рис. 42.
7. При условиях теоремы через интегральную траекторию у в множестве ш+(у) нельзя
провести замкнутую трансверсаль.
Аоказательство. Предположим противное: для у существует замкнутая трансверсаль 5. Кри-
Кривая -у входит внутрь кривой 5 при t -> +00. Тем самым исходная кривая 7@ также
входит внутрь 5. Отсюда следует, что часть кривой у, оставшаяся вне трансверсали 5,
не может принадлежать множеству ш+(у), поскольку у прошла через трансверсаль S. Это
противоречит лемме 5.
Тем самым теорема доказана: у является периодической траекторией (в силу леммы 6),
и 7(') подходит к ней извне. ¦
Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка
x + ax + bx = f(x), -f(x) = /(-?), а > О, Ь > 0.
Пусть функция }(у) монотонна и имеет вид, указан-
указанный на рис. 43. На фазовой плоскости (х, х = у) имеем
векторное поле ((х = у,у = -ау -Ьх- /(у)). Окруж-
Окружность 5' достаточно большого радиуса трансверсальна
^ис-
полю ?, и поле ? направлено внутрь этой окружности. В конечной части плоскости (х, у)
поле ? имеет одну особую точку (х = 0, у = 0). Матрица (|J) имеет вид
и корни таковы:
2 V 4
где р = /'@) -п.
Отсюда следует, что особая точка @,0) будет выталкивающей, если Re А, > 0 или
/'@) > а. Поэтому применима теорема Пуанкаре—Бендиксона: уравнение (или поле О
имеет предельный цикл.
§ 15. Индекс пересечения и его применения
§ 15. Индекс пересечения и его применения
95
1. Определение индекса пересечения. Рассмотрим n-мерное многообразие N
(например, К") и два его замкнутых подмногообразия Р и Q размерностей р и q.
Напомним (см.§ 10 п. 3), что подмногообразия Р и Q называются трансверсально
пересекающимися (или, как мы будем иначе говорить, находящимися в общем
положении), если в любой точке х ? Р Г) Q касательные пространства Р и Q линейно
порождают касательное пространство к N.
Основным свойством общего положения является то, что пересечение Р Л Q
есть гладкое (р + q - п)-мерное подмногообразие многообразия N.
Нас особенно будет интересовать случай, когда p + q — n. В этом случае пересе-
пересечение Р nQ состоит из конечного числа точек хи...,хт. Если многообразия N, P, Q
ориентированы, то каждой точке z, приписывается знак по следующему правилу.
Пусть Ту) — ориентирующий касательный репер к Р в точке ж, и т^ — ориенти-
ориентирующий касательный репер к Q в точке xf, точке Xj приписывается знак «+», если
репер т = (т^р т^() (его невырожденность следует из определения трансверсальности)
является ориентирующим для N в точке ж,, и знак «-» в противном случае; этот знак
обозначается через sgnXj{P о Q).
Определение 1. Индексом пересечения многообразий Р, Q называется целое число
в неориентированном случае PoQ определяется как вычет mod 2 числа т точек
пересечения.
Лемма 1. Имеет место равенство PoQ = (-lYqQ о P.
Аоказательство. Если гр ит' — реперы и (тр, т')— невырожденный n-репер, то знак
детерминанта перехода от (т9,тр) к (тр,тя) есть как раз (-1)". Утверждение
леммы вытекает, таким образом, из определения знака точки пересечения. ¦
Теорема 1. Если подмногообразия Q\,Qi С N гомотопны, т.е. являются образами
гомотопных вложений Q —* N, то их индексы пересечения с любым Р совпадают:
Аоказательство. Рассмотрим гомотопию F: Q x I -> N такую,
что F(Q х 0) есть Q\ и F(Q x 1) есть Q2. Можно считать,
что F — гладкое отображение, t-регулярное на под-
Qxl
многообразии Р. Полный прообраз F (Р) есть гладкое
одномерное подмногообразие цилиндра Q х. I с краем
dF~\P) = [Qi П Р] U [Q2 П Р], причем Qi П Р лежит на
нижнем основании цилиндра Q х 0, a Q2 л Р — на верх- i^^ J f ^J j- — q
нем основании Q x 1, и F~\P) трансверсально подходит
к краям цилиндра Qxl. Эта картинка на Q х / (рис. 44)
совпадает с той, которая появлялось в § 13 при доказательстве инвариантности
степени отображения относительно гомотопии. Теорема доказана. ¦
t=
Рис. 44.

96
Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения
§ 15. Индекс пересечение И' его применения
97
Следствие 1. Индекс пересечения двух замкнутых подмногообразий Р и Q евклидова
пространства всегда равен нулю.
Доказательство. Трансляцией на вектор а 6 R" сдвинем Q так далеко, что Qi = Q + а
не будет пересекаться с Р (это можно сделать ввиду компактности Р и Q).
Тогда Q2oP = 0hQoP = 0b силу теоремы 1. ¦
Следствие 2. Замкнутое связное (п - 1)-мерное подмногообразие М пространства W
всегда разделяет К." на две части (и поэтому ориентируемо).
Доказательство. Предположим противное: М не разделяет 1". Возьмем две точки у,
и Й вШ* около точки х ? М с двух сторон от М в 1" — локально это
имеет смысл. Соединим точки у\ и у2 путем 7 в R", не пересекающимся с М.
Замкнем путь у до окружности (цикла) С в W с помощью малого отрезка,
нормального к М в R" и пересекающегося с М равно в одной точке. Индекс
пересечения СоМ равен ±1 (ровно одна точка пересечения общего положения).
Это противоречит следствию 1. Следствие доказано. ¦
Замечание 1. При выводе следствия 2 мы применяем теорему 1 к возможно неориенти-
неориентированным многообразиям М; однако теорема 1 справедлива и в этом случае для
вычетов mod 2.
Замечание 2. Следствие 2 перестанет быть верным, если в нем заменить подмногообразие
М С R" образом погружения М -> R", т.е. допустить самопересечение. Имеются,
например, погружения RP2 в R3 (см. [2]), имеющие самопересечения.
2. Суммарная особенность векторного поля. Пусть задано векторное поле ?
на гладком замкнутом многообразии Р размерности р. Рассмотрим пространство
линейных элементов N размерности п = 2р. Точками многообразия N являются пары
(г, т?), где х — точка из Р и -q — касательный вектор в точке х (см. §7). Векторное
поле ? определяет вложение /: Р -> N по правилу /{(ж) = (х,?(х)). Обозначим образ
этого вложения через Р(?). Многообразие Р@), отвечающее нулевому векторному
полю, как обычно, отождествляем с Р.
Определение 2. Векторное поле ? называется полем общего положения, если много-
многообразия Р(?) и Р = Р@) находятся в общем положении в N.
Векторное поле общего положения имеет лишь изолированные особые точки
?(Xj) = 0 в силу t-регулярности. Если многообразие Р ориентировано с помощью
репера тр в точке ж, то TV также ориентировано с помощью репера (тр,тр) во всех
точках вида (ж,??).
Лемма 2. Все особые точки Xj поля общего положения не вырождены. Знак особой точки
Xj, как точки пересечения Р@) П Р(?)> входящий в определение индекса пересечения
Р@) о Р(?), совпадает с индексом особой точки sgn d
Доказательство. Касательное пространство к Р = Р@) имеет вид (тр,0). Касательное
пространство к Р(?) в особой точке ж,, в которой ? = О, состоит из всех
векторов [if, -fyjf), a,/3 = 1,...,п (в локальной системе координат (х?)
\ ах . / J
около точки Xj). Пусть J =
). Имеем два репера rf = тр х 0 и
Tj = тр х J(tp). По определению знака индекса пересечения нужно составить
репер (rf,7^) в N и подсчитать знак детерминанта матрицы перехода к нему
от ориентирующего репера, в. ЛГ. Ориентирующим является репер г р = (тр,тр).
Репер (т\,т%) отличается от т1р второй группой векторов, и матрица перехода
есть J - (S). Таким образом, знак совпадает со знаком detJ. Лемма
доказана.
Теорема 2. Для любого замкнутого ориентированного многообразия Р сумма индексов
особых точек любого векторного поля ? общего положения совпадает с индексом
пересечения Р@) о Р(?) в многообразии N линейных элементов и не зависит от
векторного поля ?.
Аоказательство. Совпадение индекса пересечения Р@)оР(?) с суммой индексов особых
точек векторного поля ? непосредственно вытекает из леммы 2. Два векторных
поля ?(х) и т?(х) всегда гомотопны, так как любое поле ?(z) может быть-связано
с нулевым векторным полем гомотопией ?(ж,t) = t?(x),. О ^ t ^ 1. Поэтому
вложения Р —* Р(?) и Р —> Р(т)) для полей ? и т) гомотопны. Из теоремы 1
следует, что индексы пересечения Р@)оР(?) и Р(О)аР(т;) совпадают. Теорема
доказана. ¦
Следствие 3. Если р нечетно, то сумма индексов особых точек векторного поля на
замкнутом ориентируемом р-мерном многообразии Р равна нулю.
Локазапльсгво. Согласно лемме 2 имеем P@)oP(f) = (-l/P(?)oP(Q) = -Р(?)оР@).
С другой стороны, так как векторные поля 0 и ? гомотопны, то Р@) о Р(?)
о Р@). Таким образом,
Следствие доказано.. ¦
Следствие 4. Для любой гладкой функции / с невырожденными особыми точками Xj
на замкнутом ориентируемом р-мерном многообразии Р выражение 53(—1I<г''
не зависит от функции: / и равно нулю, если р нечетно. Здесь i(Xj) — индекс
особой точки Xj, т.е. число отрицательных квадратов формы d2f\x=Xj.
Это следует из совпадения чисел (-lI'2'* с индексами особых точек поля
? = grad / (см. § 14).
Число X)(~l)I<:El) называется эйлеровой характеристикой многообразия Р. Эйле-
xi
рову характеристику можно определить по-другому через так называемую триангуляцию
многообразия Р. Мы рассмотрим здесь лишь случай п = 2. Предположим, что за-
замкнутая ориентированная поверхность Р разбита на треугольники со следующими
условиями: а) каждая точка поверхности Р принадлежит хотя бы одному треугольнику;
б) два треугольника могут пересекаться только по одной вершине или по целому ребру.
Определение 3. Эйлеровой характеристикой поверхности Р называется число «о ~
«1 + «2. где а0 — число вершин, а\ — число ребер и а2 — число самих
треугольников.
Имеет место
4 Зак. 8097

98
Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения
Теорема 3 (Хопф). Эйлерова характеристика поверхности Р, разбитой на треугольники,
совпадет с суммой индексов особых точек векторного поля общего положения на
этой поверхности.
Аоказательство. В силу теоремы 2 достаточно
предъявить одно гладкое векторное поле
?(х) на поверхности Р, для которого тео-
теорема верна. Укажем такое поле. В центрах
треугольников «посадим» выталкивающие
особые точки типа узла. В вершинах мы
поместим «всасывающие» особые точки. В
центре каждого ребра поместим по седлу.
Легко построить векторное поле именно с
такими особенностями (рис. 45; на рисунке Рис. 45.
указаны интегральные траектории искомого поля, которое отдельно строится
в каждом треугольнике). Всасывающая и выталкивающая особые точки имеют
индексы +1 для п = 2, а седло имеет индекс — 1.
Это построение и доказывает нашу теорему. ¦
Для поверхности с g ручками эйлерова характеристика равна 2-2д (проверьте!).
Полагая д = 0, получаем, что эйлерова характеристика сферы равна 2.
3. Алгебраическое число неподвижных точек. Теорема Брауэра. Пусть задано
гладкое отображение f: М —> М замкнутого ориентированного n-мерного много-
многообразия М в себя. Будем изучать неподвижные точки отображения /, т.е. решения
уравнения f(x) = х. Пусть Xj — неподвижная точка и (х") — локальные координаты
около этой точки; отображение / имеет вид х" = /a(xj,..., хр.
Определение 4. Неподвижная точка Xj называется невырожденной, если матрица
невырождена. Знак sgn det(l — df)\x-Xj называется знаком неподвижной точки xj.
Сумма Y2 sgn det(l — df)\x=Xj = L(f) называется алгебраическим числом непо-
i
движных точек (числом Лефшеца), если все они невырождены. Отображение /
называется отображением общего положения, если все его неподвижные точки
невырождены.
Рассмотрим прямое произведение МхМ и выделим в нем два подмногообразия:
1) диагональ Д, состоящую из точек вида (х,х)\
2) график Д(/) отображения /, состоящий из точек (х,/(х)).
Диагональ Д и график Д(/) представляют собой гладкие подмногообразия
произведения М х. М, диффеоморфные М.
Теорема 4. Индекс пересечения Д(/)° Д совпадает с алгебраическим числом неподвижных
точек отображения f.
Аоказательство. Точки пересечения Д П Д(/) соответствуют точкам Xj € М с
f(Xj) = Xj. Пусть г" — ориентирующий репер многообразия М в точке xf,
тогда (г", г") — ориентирующий репер для М х М в точке (Xj,Xj) диагона-
диагонали Д. Ориентирующим репером для Д служит т" х т". Ориентирующий репер
для Д(/) есть г" х df(rn), где df — дифференциал отображения / в точке x'j.
§ 15. Индекс пересечения и его применения
99
Матрица перехода от репера (т",тЛ), ориентирующего 1x1, к составному
реперу (г" х df(Tn),rn x т") имеет вид
{if \) " \df 1-,
и ее определитель равен det < 1 - df). Теорема доказана. ¦
Следствие 5. Если отображение f: М -* М гомотопно нулю (отображению в одну
точку), то L(f) = ±1 и отображение f имеет хотя бы одну неподвижную точку.
Аоказательство. По теореме 2 индекс пересечения не изменится, если отображение /
подвергнуть гомотопии. Если же отображение / : М -» М переводит все в одну
точку х0 = f(M), то индекс пересечения Д(/)° Д равен ±1, так как пересечение
диагонали Д с сомножителем Д(/) =Mxi0 есть ровно одна точка (хо,хо)
общего положения. Следствие доказано. ¦
Следствие 6 (теорема Брауэра). Всякое непрерывное отображение f: D" -* Dn диска
.(или шара) в себя имеет неподвижную точку.
Аоказательство. Представим диск как нижнюю полусферу на сфере 5" в R"+1.
Рассмотрим отображение складки ф: S" -» D", неподвижное на нижней
полусфере и проектирующее верхнюю полусферу на нижнюю, и суперпозицию
Эта суперпозиция есть отображение S" -* S", гомотопное нулю. Оно имеет
неподвижную точку и эта точка лежит в D" и является неподвижной точкой
отображения /. Следствие доказано. ¦
Пример 1. Отображение / окружности в себя вида гиг* (или <р >-* п<р) имеет степень
deg/ = п и ровно п - 1 неподвижных точек z" = z, |г| = 1. Эти точки суть корни из
единицы, z""' = 1. Отсюда в силу гомотопической инвариантности числа L(f) получаем,
что для отображений S1 -» 51 степени п число L(f) равно п - 1.
Пример 2. Отображение S2 -* S2 вида z >-* zn в комплексных координатах имеет ровно п
конечных неподвижных точек в С' = R2 и одну бесконечно удаленную. Проверьте, что
все эти точки не вырождены и имеют знак +1. Отсюда следует, что L(f) = п + 1.
Задачи. 1. Показать, что для отображений Sm -+ Sm степени п число L(f) равно п - 1
при нечетном m и равно п+ 1 при четном т. (В частности, антиподальное отображение
сферы 4 и ~4. не имеющее неподвижных точек, имеет степень (-1)"*"'.)
2. Вычислить число ?(/) для линейного отображения / m-мерного тора Тт в себя,
задаваемого целочисленной матрицей А порядка т. (Тор представляется как фактор
пространства Rm по целочисленной решетке.)
4. Коэффициент зацепления
лярных направленных кривых 71 и 72 в
кривые 7i задаются в виде 7>№ = ДО
Рассмотрим теперь пару гладких замкнутых регу-
регу3, не пересекающихся друг с другом. Пусть
. О ^ t ^ 2тг, где г — радиус-вектор точки в R3.
Определение 5. Коэффициентом зацепления двух кривых 71 и 72 называется число
(«интеграл Гаусса»)
^. A)
где тп -т2-

100
Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения
Интуитивно, коэффициент зацепления представляет собой алгебраическое число
витков, с которым один контур (например, провод) охватывает другой. Выражением
этого является
Теорема 5. а) Коэффициент зацепления является целым числом и не меняется при
деформациях замкнутых кривых-71 и 72; при которых они попарно не пересекаются.
б) Рассмотрим отображение диска F: D2 <-¦ R3, совпадающее с 7i на границе
Sl = dD2 и находящееся в общем положении (t-регулярное) на кривой 7г- Тогда
индекс пересечения F(D2) о 72 совпадает с коэффициентом зацепления {71, 7г}-
определяют двумерную
() в
Доказательство. Замкнутые кривые yi(t) = r,(<), г = 1,2,
замкнутую ориентированную поверхность 7i х 72 : С
пространстве R6. Пусть кривые 71 и 72 не пересекаются. Тогда определено
отображение ip поверхности 7i х 72 в сферу S2:
I - Г2(<2)
Степень такого отображения как раз дается интегралом A). Следовательно, этот
интеграл — целое число. При деформациях замкнутых кривых 7i и 72 > ПРИ
которых они попарно не пересекаются, отображение <р меняется на гомотопное.
Поэтому коэффициент зацепления {71, 72} = degp при таких деформациях не
меняется.
а) ' б) в)
Рис. 46.
Если кривые не зацеплены, т.е. их можно растащить по разные стороны
от одной двумерной плоскости, то Ucgip = {71,72} есть нуль (напомним,
в процессе деформации кривые 71 и 72 не должны взаимно пересекаться).
Поэтому при помощи гомотопии указанной на рис. 46 а, б, задачу вычисления
коэффициента зацепления можно свести к простейшему случаю, изображенному
на рис. 46, в. Это вычисление становится особенно простым, если радиус одной
окружности устремить к бесконечности. Таким образом, кривые 7i, 72 имеют
вид r,(i,) =-@;.0,*i). -00 < <i < 00, r2(<2) = (cosi2,sin<2,0), 0 ^ t2 ^ 2тг.
«Коэффициент зацепления» таких кривых равен
¦¦+00 2т
dt^Adtj
+оо +ос
_1 f Д, If
2 У A+ф3/2 2 У
dz 1
—-=- = -thz
ch z 2
= 1,
где мы сделали подстановку t\ = shz.
Итак, для простейшего зацепления (рис. 46, в) коэффициент {71,72}
равен 1; для незацепленных кривых — нулю. Отсюда легко следует утверждение
теоремы. ¦
Глава 4
Ориентируемость многообразий.
Фундаментальная группа. Накрытия
(расслоенные пространства с
дискретным слоем)
§ 16. Ориентируемость и гомотопия замкнутых путей
1. Перенос ориентации вдоль пути. Простейшее определение ориентации на
многообразии, данное выше (см. § 1), состояло в том, что многообразие М покрыто
системой областей Uj с координатами (х"), причем все замены координат во всех
пересечениях Uj П Ut имеют положительный якобиан:
>а
Другое определение (см. §2), эквивалентное первому, состояло в том, что на
многообразии в каждой точке х€М указан класс ориентирующих касательных реперов
(невырожденных п -реперов, п = dimM), отличающихся друг от друга линейным
преобразованием с положительным детерминантом. При этом класс ориентирующих
реперов должен непрерывно меняться вместе с точкой многообразия М.
Эти определения были удобны для доказательства ориентируемости некоторых
классов многообразий, например комплексных многообразий и поверхностей в R",
заданных неособой системой уравнений fx = 0,..., /„_* = 0. Нашей целью теперь
является доказательство неориентируемости некоторых многообразий. Для удобства
мы введем на многообразии М риманову метрику gab. Кроме того, многообразие М
будем считать связным.
Определим операцию переноса ориентации вдоль путей. Пусть задан кусочно
гладкий путь у - y(t) в многообразии М и невырожденный касательный n-репер r"(t)
во всех точках пути у, непрерывно зависящий от t, где 0 ^ t ^ 1. При этих условиях
введем
Определение 1. Класс ориентации репера Tn{t)\t=l в точке 7A) мы будем называть
переносом класса ориентации репера т"@) в точке 7@) вдоль пути 7-
Операция переноса ориентации вдоль путей обладает следующими свойствами:
а) Из любой точки х можно однозначно перенести ориентацию во все достаточно
близкие точки многообразия вдоль малых путей, целиком находящихся в окрестности
точки х.

100
Глава 3. Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения
Интуитивно, коэффициент зацепления представляет собой алгебраическое число
витков, с которым один контур (например, провод) охватывает другой. Выражением
этого является
Теорема 5. а) Коэффициент зацепления является целым числом и не меняется при
деформациях замкнутых кривых -у\ и -у2, при которых они попарно не пересекаются.
б) Рассмотрим отображение диска F: D
, совпадающее с 71 на границе
S1 = 3D2 и находящееся в общем положении (i -регулярное) на кривой 72- Тогда
индекс пересечения F(D ) ° 72 совпадает с коэффициентом зацепления {-уь 7г}-
Аоказательство. Замкнутые кривые 7f(*) — »",¦(<), г = 1,2, определяют двумерную
замкнутую ориентированную поверхность 71 х 72 : (ti,h) *-> ('"bftOi'^ft)) B
пространстве R6.. Пусть кривые 71 и 72 не пересекаются. Тогда определено
отображение <р поверхности 7i x 72 в сферу S1:
Степень такого отображения как раз дается интегралом A). Следовательно, этот
интеграл — целое число. При деформациях замкнутых кривых 71 и 72, при
которых они попарно не пересекаются, отображение <р меняется на гомотопное.
Поэтому коэффициент зацепления {71, 72 } = degp при таких деформациях не
меняется.
а) ' 6) в)
Рис. 46.
Если кривые не зацеплены, т.е. их можно растащить по разные стороны
от одной двумерной плоскости, то dcgip — {71,72} есть нуль (напомним,
в процессе деформации кривые 71 и 72 не должны взаимно пересекаться).
Поэтому при помощи гомотопии указанной на рис. 46 а, б, задачу вычисления
коэффициента зацепления можно свести к простейшему случаю, изображенному
на рис. 46, в. Это вычисление становится особенно простым, если радиус одной
окружности устремить к бесконечности. Таким образом, кривые 71> 72 имеют
вид rj(tO =-@,-.0,*i), -00 < i, < оо, г2(<2) = (cos<2,sint2,0), 0 ^ <2 ^ 2тг.
«Коэффициент зацепления» таких кривых равен
+оо 2т +оо +оо
1 Г Г dttAdt2 _ 1 Г Д, _ 1 Г dz 1
t7b l2i ~4irJJ A +фз/2 - 2 J A +фз/2 - 2 J ch2z - 2m
-00 0 — оо -оо
где мы сделали подстановку i) = shz.
Итак, для простейшего зацепления (рис. 46, в) коэффициент {71,72}
равен 1; для незацепленных кривых — нулю. Отсюда легко следует утверждение
теоремы. ¦
Глава 4
Ориентируемость многообразий.
Фундаментальная группа. Накрытия
(расслоенные пространства с
дискретным слоем)
§ 16. Ориентируемость и гомотопия замкнутых путей
1. Перенос ориентации вдоль пути. Простейшее определение ориентации на
многообразии, данное выше (см. § 1), состояло в том, что многообразие М покрыто
системой областей Uj с координатами (х"), причем все замены координат во всех
пересечениях Uj П Uk имеют положительный якобиан:
Другое определение (см. §2), эквивалентное первому, состояло в том, что на
многообразии в каждой точке х е М указан класс ориентирующих касательных реперов
(невырожденных n-реперов, п - dimJW), отличающихся друг от друга линейным
преобразованием с положительным детерминантом. При этом класс ориентирующих
реперов должен непрерывно меняться вместе с точкой многообразия М.
Эти определения были удобны для доказательства ориентируемости некоторых
классов многообразий, например комплексных многообразий и поверхностей в R",
заданных неособой системой уравнений /i - 0,..., /„_* = 0. Нашей целью теперь
является доказательство неориентируемости некоторых многообразий. Для удобства
мы введем на многообразии М риманову метрику gab. Кроме того, многообразие М
будем считать связным.
Определим операцию переноса ориентации вдоль путей. Пусть задан кусочно
гладкий путь ¦у - j(t) в многообразии М и невырожденный касательный n-репер r"(t)
во всех точках пути у, непрерывно зависящий от t, где 0 ^ t < 1. При этих условиях
введем
Определение 1. Класс ориентации репера r"(i)|i=i в точке 7A) мы будем называть
переносом класса ориентации репера г"@) в точке 7@) вдоль пути у.
Операция переноса ориентации вдоль путей обладает следующими свойствами:
а) Из любой точки х можно однозначно перенести ориентацию во все достаточно
близкие точки многообразия вдоль малых путей, целиком находящихся в окрестности
точки х.

102
Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
Это свойство очевидно, так как вся малая окрестность точки х находится в
пределах одной координатной системы.
б) Для любого кусочно гладкого пути у перенос ориентации существует и не
зависит от выбора невырожденного реперного поля rn(t) вдоль кривой.
Существование вытекает из возможности параллельного переноса репера вдоль
гладких и кусочно гладких кривых. Независимость от выбора реперного поля дока-
доказывается так: пусть т"(?) и т2"(<) — два реперных поля вдоль одной кривой y(t),
имеющие одинаковые ориентации при t = 0. Матрица перехода от т" к т" в момент t
дает матричную функцию A(t) с <te.tA(t) Ф 0 при всех t и sgn det А = + 1 при t = 0.
Тогда sgn det A = +1 и при всех t.
в) Если два кусочно гладких пути y\(t) и 72{t) соединяют одни и те же точки
и могут быть переведены один в другой кусочно гладкой гомотопией, закрепленной в
концах х0 — 7i@) = 72@). Х\ — -yi(l)¦= 72A). то переносы ориентации вдоль этих путей
совпадают.
Доказательство. Рассмотрим гомотопию F(t, г), где 0 < t < 1, 0 ^ т < 1, F(t, 0) = 71 (t),
F(t,l) = 7г@, и все пути F(t,r) с любым t = const кусочно гладкие. Пусть
r"(t) — реперное поле вдоль кривой y^t) = F(t,O)- Совершим параллельный
перенос реперов r"(t) вдоль кривых F(t, т) по параметру 0 ^ г < 1. Заметим,
что точки хо — F@,r) и х, = F(l,r) неподвижны при гомотопии. В силу
непрерывности операции параллельного переноса в римановой геометрии (см.
том I, § 29) получаем непрерывное реперное поле вдоль кривой УгЦ) = Fftis) как
результат параллельного переноса реперов тпA) вдоль кривых F(t,r), t — const.
Из этих свойств вытекает
Теорема 1. Связное многообразие М ориентируемо тогда и только тогда, когда парал-
параллельный перенос вдоль любого замкнутого (начинающегося и кончающегося в одной
точке) пути сохраняет ориентацию.
Аоказательство. Если имеется замкнутый путь у, начинающийся и кончающийся в
точке хо, который обращает ориентацию (т.е. перенос репера т" вдоль пути у
из xq в хо приводит к реперу другой ориентации), то ориентировать многообразие
невозможно. Действительно, если в каждой точке указана одна ориентация,
непрерывно зависящая от точки, то любой замкнутый путь сохраняет ориентацию
репера. Докажем обратное утверждение. Пусть все замкнутые пути из х0 в хо
сохраняют ориентацию. Зададим первоначально ориентацию (класс реперов) в
точке хо. Ориентация в любой точке х, получается из ориентации в точке хо
путем переноса вдоль кусочно гладкого пути у из хо в Х\. Если точки
Хо и Х\ соединяют два разных пути 7i и 72 > т0 они дают одинаковый перенос
ориентации из хо в Х\, поскольку иначе путь уТ °7i — 90") из хп в хи обращал
бы ориентацию. Здесь путь у^х есть путь у2, пройденный в обратную сторону,
а суперпозиция путей у^' °у\ есть путь q(r), 0 ^ г ^ 2, где q(r) = у\(т) при
0 ^ т ^ I и q(r) = 72B - г) при 1 < г ^ 2. Теорема доказана. ¦
2. Примеры неориентируемых многообразий.
Пример 1. Лист Мебиуса с координатами (<р, t), 0 ^ <р ^ 2х, -1 ^ t ^ 1, и отождествлением:
@, t) ~ Bтг,-<) (рис. 47). Непосредственно очевидно, что кривая -у = (<р, 0) обращает
ориентацию (проверьте!)
Пример 2. Проективная плоскость RP2. Реализуем RP2 в виде диска D2, у которого на
границе 51 = dD2 противоположные точки отождествлены. Окрестность проективной
прямой RP1 С W2, реализованной на рис. 48 как диаметр, проходящий через начало
§ 17. Фундаментальная группа
103
1
о
-1
• <Р
@,0 = Bл,-0 ^^__/ а
Рис. 47. Лист Мебиуса в. R3 («односторонняя Рис. 48.
поверхность»)
координат, есть лист Мебиуса (проверьте!). Поэтому RP1 обращает ориентацию и RP2 —
неориентируемая поверхность.
Задача. Докажите, что многообразие RP" неориентируемо при четных п и ориентируемо
при нечетных п.
Пример 3. Бутылка Клейна. Рассмотрим квадрат {(t,r), O^t^l, 0^т^1}и произведем
отождествление (t,0) =з (Г— t, 1) и @,г) ~ A,т) (на рис. 49 отождествляемые стороны
обозначены одной буквой). Проверьте, что бутылка Клейна неориентируема.
§ 17. Фундаментальная группа
1. Определение фундаментальной группы. Рассмотрим произвольное линейно
связное многообразие М (или даже более общо — линейно связное топологическое
пространство М) и отметим на нем некоторую точку Хо 6 М. Непрерывные (или
кусочно гладкие) пути 7i(*), 0 ^ t ^ 1, и yi(t), I < t < 2, можно «перемножать» в том
случае, если конец пути 7i совпадает с началом пути 72-
Определение 1. Произведением путей 72 и у\ называется путь 72 °7i = ?(*)> 0 ^ i ^ 2,
такой, что
2.
q(t) =
q(t) = -rid), U *
Определение 2. Обратным путем y~\t) называется тот же самый путь y(t), но
пройденный в обратную сторону: y~\t) = 7A - t), если 0 ^ t ^ 1.
Определение 3. Мы назовем пути 7i№ и 7г№ эквивалентными, если они отличаются
монотонной заменой переменной t — t(r): y\(t(T)) = У2(т), ^ > 0. В даль-
дальнейшем мы будем называть направленным путем класс эквивалентных путей
и выбирать наиболее удобного представителя (например, делать удобные нам
сдвиги параметра).
Рассмотрим совокупность всех замкнутых направленных путей, начинающихся
и кончающихся в одной и той же точке х(> 6 М. Это множество путей обычно
обозначается через П(хо,М). Совокупность всех направленных путей из точки хо в Х]
обозначается через П(х(), хиМ). Пути из П(хо,М) можно перемножать. В этой
совокупности имеется единица е — это постоянный путь е(<) = х0 при всех t.
Заметим, что гомотопический класс произведения двух направленных путей не
изменится, если заменить сомножители гомотопными. Поэтому можно говорить о
произведении гомотопических классов направленных путей.

104
Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная
группа
Теорема 1. Гомотопические классы направленных путей из п(ха,М) образуют группу
относительно операции умножения, причем обратным элементом является гомо- '
топический класс обратного пути, а единицей — гомотопический класс единичного
пути.
Эта группа обозначается через t\ (M, хо) и называется фундаментальной группой
в точке xq. (Предполагается, что в процессе гомотопии пути начало и конец все время
находятся в точке хо).
Аоказательство. Покажем, что путь у'{ °7 гомотопен единице е (рис. 50). Гомотопия
(деформация) пути у~ о у к единице осуществляется только по телу самого
пути у. Достаточно произвести эту деформацию на самом отрезке [0,1].
Рассмотрим отображение q отрезка 0 ^ г ^ 2 в отрезок
[0,1], складывающее отрезок [0,2] пополам в точке г — \:
q(r) = г, г ^ 1,
q(r) = 2 - г, г > 1.
Рис. 50.
Отображение q(r) очевидной деформацией по отрезку превращается в
постоянное отображение, причем в процессе деформации концы г = 0 и г = 2
все время отображаются в точку 0 (точка г = 1 не является концом). Если
задано отображение y(t), 0 ^ t ^ 1, то путь у~1 07 получается как y(q(r)) по
определению. Деформируя q(r) к единице, получим деформацию пути у~1 о у к
единице в М.
Докажем ассоциативность умножения. Пусть заданы три пути 7ь72>7з-
Определим их произведение 7i ° 72 ° 7з как путь q(r) для 0 ^ г ^ 3, где q = 71
при г ^ 1, q = 72 при 1 ^ т $С 2 и ? = 7з ПРИ т ^ 2. Это произведение
с точностью до (монотонной) замены параметра совпадает как с G1 о у2) о у3,
так и с 71°G2°7з)- Таким образом, произведение гомотопических классов
ассоциативно. Теорема доказана. ¦
Рассмотрим теперь непрерывное отображение / : М —> N, где f(xg) = уд.
Каждый путь y(t) в М переходит в путь f(y(t)) в N, причем произведение переходит
в произведение и гомотопные пути переходят в гомотопные. Если задана гомотопия
F(x,t) = ft отображения / = /о такая, что F(xa,t) = х0, то гомотопия замкнутых
путей, начинающихся и кончающихся в точке xq , также сохраняется. Итак, доказана
Теорема 2. При непрерывных отображениях пространств (многообразий) f : М —* N
таких, что f(xo) = Уо, фундаментальная группа испытывает гомоморфизм
ft : щ(М,х0) -* ir,(iV,yo),
который не меняется при гомотопии отображения f, оставляющей неподвижной
точку Хо. В частности, если М = N и отображение f гомотопно постоянному
отображению М —* х0, то гомоморфизм /, тривиален (любой элемент перехо-
переходит el). Если отображение f гомотопно тождественному отображению \и, то
гомоморфизм ft является изоморфизмом.
§ 17. Фундаментальная группа
105
2. Зависимость от начальной точки. Выясним теперь зависимость фундамен-
фундаментальной группы Ъ\(М,х0) от точки х0. Определим операцию «переноса» группы
t\(M,хо) в группу тг|(М,xj) вдоль пути 7 из хо в х,.
Теорема 3. Всякий путь у, идущий из хо в Х\, определяет изоморфизм у* : %\(М,х\) —*
7г,(М, хо). Этот изоморфизм зависит лишь от гомотопического класса пути у
(в процессе гомотопии концы стоят на месте в точках хо и Х\, т.е. гомотопия
происходит среди путей из П(х0, Х|, М)). Если начало и конец совпадают: х0 = х,,
то путь у сам представляет элемент 7г,(М, хо); изоморфизм у* является в этом
случае внутренним:
у*(а) = у~1ау.
Аоказательство. Если 7i — путь, представляющий элемент V\(M,x\), то путь 7*Gi)>
представляющий элемент ir,(M, хо), определяется как
7
-1
о 7i ° 7 (Рис- 51). Произведение у\ о у2 переходит
7~'7i °7°7~' о72°7 и гомо-
при этом в 7* Gi °7г)
топно 7*Gi)°7*G2)- Таким образом, отображение у"
является гомоморфизмом
7*:iri(M,x1)->?ri(M,x0).
Рис. 51.
Рассмотрим обратный путь у ' из х\ в хо. Получим гомоморфизм
ж{(М,хх).
Обе суперпозиции 7*G~')*
..-К
и G ')* о 7* дают тождественные изоморфизмы
групп тг](М,хо) и ъ\(М,х{). Поэтому 7* и G~')Ф являются взаимно обратными
изоморфизмами. Если хо = хь то из определения гомоморфизма 7* очевидно,
что 7*(°0 = 7 оа07 Д7151 любого элемента а из тг|(М, хо). Теорема доказана.¦
3. Свободные гомотопические классы отображений окружности. Рассмотрим
теперь задачу о классификации «свободных» гомотопических классов отображений
окружности S1 в линейно связное многообразие М (или топологическое пространство).
При этом начальная точка на окружности S' не отмечена.
Теорема 4. Множество [S ,М] гомотопических классов отображений S1 —> М нахо-
находится в естественном взаимно однозначном соответствии с классами сопряженных
элементов в группе тг,(М,х0) (прилюбой точке х0).
Аоказательство. Отметим на окружности S1, 0 ^ ip ^ 2тг, начальную точку ipg = 0.
Докажем сначала, что всякое отображение у : S1 —> М гомотопно такому, при
котором точка <ро переходит в заданную точку хо из М. Рассмотрим образ
7(^о) = Х| и соединим точки х\ и хо путем у\. Рассмотрим путь q(r), 0 ^ г ^ 3,
q = y~xyyu из х0 в х0:
9 = 7ь
9 = 7,
г ^ 2,
Путь q гомотопен пути у как отображение окружности и переводит точку <ро ъ хо.

106 Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
Таким образом, каждому гомотопическому классу ото-
отображений S1 —» М соответствует элемент из %\(М,х0), но,
возможно, не один. Рассмотрим два элемента а, и »2
из ir,(M,?o), гомотопные как отображения окружности
S1 —* М, где в процессе гомотопии F(ip,t), 0 ^ (р < 2тг,
О < < ^ 1, начальная точка <ро = 0 движется по замкнутому
пути р из хо в хо:
Рис. 52.
определяет
p~[
р~х
= ра\р~х показан пунктирной
Наглядно очевидно, что путь
в группе ъ\(М, хо) тот же элемент
(рис. 52). Обратно, пути cci и a-i = pot\p~
свободно гомотопны (как отображения 51 —*
М — рис. 53). На рис. 53 показана плоская
область с двумя выколотыми точками а и Ь.
Пути р и а, охватывают точки а и Ь. Путь ai ра\р показан пунктирной
линией. Наглядно очевидно, что этот путь можно спять с точки а и перевести
деформацией в путь ai, двигая начало вдоль пути р (можно проделать с ниткой).
Теорема доказана. ¦
4. Гомотопическая эквивалентность. Во многих случаях открытое многообра-
многообразие М размерности п (например, область в евклидовом пространстве Ж") можно
стянуть по себе к подмножеству меньшей размерности (вообще говоря, не к подмного-
подмногообразию), для которого вычисление фундаментальной группы ir1 и других инвариантов
значительно проще. Чтобы это аккуратно сформулировать, введем важное понятие
гомотопической эквивалентности. Пусть заданы два многообразия (топологических
пространства) М и N и два непрерывных отображения (гладких или кусочно гладких
в случае многообразий)
f:M-*N,
g:N-^M.
Суперпозиции fog:N~-*N и ро/ : М —> М отображают многообразия N и М в себя.
Для каждого из них имеется тождественное отображение \и : М —» М и lN : N -* N.
Определение 4. Многообразия (пространства) М и N называются гомотопически
эквивалентными друг другу, если найдутся такие отображения fag, что
суперпозиции f ° g и д о f гомотопны тождественным отображениям [ц
и \м соответственно. Если М и N гомотопически эквивалентны, то будем
писать М ~ N.
Основное свойство гомотопически эквивалентных пространств М и N состоит
в следующем; для любого многообразия (пространства) К множества гомотопических
классов отображений [К,М] и [К, N] находятся в естественном взаимно однозначном
соответствии.
Доказательству этого факта мы предпошлем следующее замечание Понятие
гомотопической эквивалентности можно слегка модифицировать, введя отмеченные
точки. Именно, будем считать, что в М и JV отмечены точки хо и у0 соответственно, и
потребуем, чтобы отображения f,ga гомотопии, связывающие fog и go f с 1дг и l^f,
переводили отмеченные точки в отмеченные. Можно показать, что для достаточно
хороших пространств, как, скажем, многообразий, новое понятие гомотопической
эквивалентности не отличается от старого.
§ 17. Фундаментальная группа
107
Сформулированное выше свойство гомотопически эквивалентных пространств
также имеет модифицированную формулировку: если пространства с отмеченной
точкой М и N гомотопически эквивалентны,, то для любого пространства К с
отмеченной точкой ко множества гомотопических классов отображений К —* М и
К —» N, переводящих отмеченную точку в отмеченную, находятся в естественном
взаимно однозначном соответствии.
Аоказательство. Отображения / и g естественным образом порождают отображения
множеств гомотопических классов
f,:[K,M]-*[K,N] и gt:[KtN\-*[K,M].
Очевидно, (/</)* = (gf)t = 1 и (fg}t = ftgt, (gf)t = g,f,. Отсюда следует, что
отображения /* и д, взаимно обратны и \К,М\ и [К, N].
При наличии отмеченных точек доказательство дословно такое же. ¦
- 5. Примеры.
Пример 1. Евклидово пространство R" (как и любая стягиваемая область в нем) гомотопически
эквивалентно одной точке х0 ? К" : R" ~ х0 -
Аоказательство. Вложение /: х0 -> R" и постоянное отображение
д : R" —> го таковы, что д о / = 11(|, а отображение / о д \ R" -> R",
переводящее- все R" в хв, гомотопно тождественному отображе-
отображению 1R». Действительно, гомотопия F(x,t) задается формулой
F(x,0)=x, F(x,l) = x0 и F(x,t) = A -Щх-хо), 0^<< 1. Для
любого множества А С R", которое по себе стягивается к точке
х0 6 А, доказательство аналогично (проведите его!). Примеры
таких областей дает единичный шар D" и любая гомеоморфная
ему область. Стягиваемым является также дерево А (т. е. граф или
одномерный комплекс, не имеющий циклов) (рис. 54). Все эти
объекты гомотопически эквивалентны точке и имеют тривиальную
фундаментальную группу
xl(R°,x0)= I, Ti(Dn,x0) = 1, 7Г,(Л,хО1)= 1.
Пример 2. Рассмотрим область на плоскости К2, из ко-
которой выколото несколько точек аь...,а„. Область
R2\(a, и ... U а„) гомотопически эквивалентна «бу-
«букету» окружностей, скрепленных в одной точке (см.
рис. 55; на этом рисунке деформация R2\(ai U a2)
к букету А наглядно очевидна). В частности, для
одной точки а?12 область R2\a гомотопически экви-
Рис. 54. Дерево
валентна окружности S
лой!)
(задайте гомотопию форму-
Рис. 55. Букет двух окружностей
Пример 3. Область, получающаяся иа R3 удалением одной точки а, гомотопически экви-
эквивалентна сфере S2. Область, получающаяся из R3 удалением целого набора точек
au...,ak, гомотопически эквивалентна букету к сфер S2 (проверьте!). Область R3\R'
гомотопически эквивалентна окружности S1 (проверьте!).
Пример 4. Рассмотрим сферу SJ = R3 U оо и область U в S3, полученную удалением некоторой
окружности 51 (несамопересекающейся): S3^.
Задача. Если окружность S1 незаузлена (т. е. задается, например, уравнением х2 + у2 — 1
в плоскости R2 С RJ С 53), то область U — S3^1
окружности 51; область V = !7\(точка) = R3\S'
окружности 5' и двумерной сферы S2 (рис. 56).
^ гомотопически эквивалентна
гомотопически эквивалентна букету

108
Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
Используя полученные результаты, получаем для
фундаментальной группы жх(М,ха)\
а) зг,(Мп) = tc^D") = Trt(A) = 1 (где А — любое
стягиваемое по себе к точке множество);
б) эг|(S1) = Z, где Z — группа целых чисел или
циклическая группа с одной образующей; это следует из
гомотопической классификации отображений S1 —> S1,
данной в § 13;
в) 7r,(R2\a,) = х,E') = г = x,(R3\R');
2 i
Рис. 56. Букет S2 V S2
г) я-|(М2\(а, U ... и On)) = t,(S{ V ... v Si) (букет окружностей; для п = 2 —
«восьмерка»);
д) iriE3\5') =
= Z (см. пример 4).
Задача. X|(R3\S') = Z (если окружность S1 С R3 незаузлена).
е) Легко доказывается следующее утверждение:
7Г|E",го)= 1 при п> 1.
.Доказательство. Рассмотрим кусочно гладкое отображение /: 5' -* 5" при п > 1. У правильной
точки 1/0 б 5" полный прообраз пуст, так как п > 1. Поэтому образ f(S') лежит в R" и
стягивается к точке. Утверждение доказано. ¦
Замечание. Аналогичное рассуждение показывает, что для любого многообразия К размер-
размерностей < п множество гомотопических классов [К, Sn] тривиально (состоит из одного
.элемента).
В дальнейшем мы вычислим фундаментальную группу ряда конкретных много-
многообразий (и пространств): букетов окружностей и тем самым областей на плоскости R2,
замкнутых поверхностей, областей W\Sl, где окружность S1 может быть и заузлена.
6. Фундаментальная группа и ориентируемость. Из результатов § 16 следует, что
каждый гомотопический класс замкнутого пути на многообразии М с началом и
концом Хо (т.е. элемент из iri(M,Хо)) сохраняет или обращает ориентацию репера при
переносе, т.е. имеет знак +1 или —1. Возникает гомоморфизм
в группу Ij2 из двух элементов: о~(у) = sgn7 = ±1. Для ориентируемых многообразий
гомоморфизм <т тривиален; для неориентируемых нетривиален, так как имеются пути,
обращающие ориентацию. Получаем
Следствие. Фундаментальная группа неориентируемого многообразия нетривиальна и име-
имеет ненулевой гомоморфизм а в группу из двух элементов.
Для листа Мебиуса имеем
1
Д у i() ,
центральной окружности S1. Для проективной плоскости
Ниже будет показано, что тг|(КР2) = Z2.
= Ъ, так как лист Мебиуса стягивается к
2 2
имеем тг,(КР2) Ф 1.
§ 18. Накрытие и накрывающая гомотопия
1. Определение и фундаментальные свойства накрытий. Понятие накрытия воз-
возникает из рассмотрения графиков многозначных функций, у которых число значений
постоянно и ветви нельзя разделить.
Рассмотрим регулярное отображение / : М —» N многообразий одинаковой
размерности, обладающее следующими свойствами.
§ IS. Накрытие к накрывающая гомотопия
109
а) Якобиан отображения / отличен от нуля во всех точках, х многообразия М:
где уа — координаты около точки х S N",. хР — координаты около точки х 6 М.
б) Каждая точка у ? N обладает окрестностью Uj С N, полный про-
прообраз которой f~\Uj) представляет собой объединение непересекающихся областей:
f~l(Uj) = V]j и V2j и ..., причем на каждой области Ущ отображение / : Vkj -* Uj
является диффеоморфизмом между V^ и Uj. Будем считать, что все многообра-
многообразие N покрыто конечным или счетным числом таких областей Uj, причем, каждая
точка у 6 N (и даже каждое компактное множество в N) принадлежит лишь ко-
конечному числу этих областей. Аналогичное требование накладывается на покрытие
многообразия М областями Ущ.
Определение 1. Отображение / : М -> N, обладающее свойствами а) и б), называется
накрытием. Фактически для определения накрытия достаточно лишь свойства б).
Многообразие N называется базой накрытия, а М называется пространством
накрытия (накрывающим пространством). Слоем накрытия F называется полный
прообраз любой точки F — f~\y). Число областей Vkj в полном прообразе
fl(Uj) (или число точек слоя) называется числом листов. Если это число
конечно и равно т, то накрытие называется т-листным.
Пусть многообразие N связно; накрытие называется неприводимым, если мно-
многообразие М также связно. Накрытие называется тривиальным, если многообразие М
есть прямое произведение М = N х F, где слой дискретен (совокупность конечного
или счетного множества изолированных точек).
Имеет место
Лемма 1. Число листов накрытия не зависит от выбора точки у 6 N, если N связно.
Локазательство. Соединим две точки уо и у, кусочно гладким несамопересекающимся
путем ¦уЦ), 0 < t ^ 1. Разобьем отрезок [0, I] на К равных кусков ^ длины ^,
где j- ^ t ^ ^±1 в отрезке 6/., к = 0,...,К—1. Число К выберем столь большим,
что каждый отрезок пути -уFк) целиком попадает в одну область Uj, указанную в
определении накрытия. По определению накрытия полный прообраз f~l(y(fik))
есть набор отрезков,
где отрезки 6jk,q лежат целиком в областях Уцл и изоморфно проектируются в
отрезок пути 7№) ПРИ отображении /. Таким образом, в пределах отрезка 6&
полный прообраз каждой точки пути у меняется непрерывно с временем t,
причем его точки не сливаются друг с другом. Поэтому у всех точек пути 7(<5*)
прообразы одинаковы. Дойдя до конца отрезка 6k, повторим это рассуждение с
отрезком Sk+\ уже в области Ujk+i и т.д. (всего К раз) до конца отрезка [0,1].
Лемма доказана. Ш
Из доказательства леммы 1 вытекает также
Лемма 2. Полный прообраз кусочно гладкого несамопересекающегося пути у (с разными
концами 1/0 и у\) является прямым произведением отрезка у на слой F, т. е.
объединением несамопересекающихся отрезков в количестве, равном числу точек

110 Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
слоя: /~'(т) = 7 х F- Каждый из этих отрезков изоморфно проектируется при
отображении f на путь у в базе N.
Локазательство. Если точки слоя при t = 0, 7@) — Уо, занумерованы индексами
1,2,..., то введем в множество F = /"'G) координаты (t,n), 0 ^ t ^ 1,
п = 1,2,..., так: при t = 0 точкам слоя F = /~'(уо) = /'G@)) придадим
координаты @,п) согласно нумерации точек слоя. Двигаясь вдоль у, переносим
нумерацию точек слоя F = f~ (y(t)) по непрерывности, как в доказательстве
леммы 1, и придаем им координаты (t,n). Лемма 2 доказана. ¦
Определение 2. Мы скажем, что путь /i(i) в М накрывает путь y(t) в N, если
Из леммы 2 вытекает
Следствие 1. Для любого кусочно гладкого пути y(t) в N накрывающий путь fi(t) в
М существует и однозначно определяется одной своей точкой /i(t0) ? М, где
fix(tu) = 7(*о).
Для доказательства достаточно разбить y(t) на несамопересекающиеся куски и
применить лемму 2.
Пусть К — любое многообразие (топологическое пространство), q : К -* М —
его отображение на базу накрытия N (пусть кусочно гладкое) и F : К х / —> N —
гомотопия (кусочно гладкая) этого отображения q, т.е. F(x,Q) = q(x) при х 6 К.
Имеет место
Теорелла 1 (теорема о накрывающей гомотопии). Если отображение q накрыто ото-
отображением q : К —¦ М, т. е. если fq = q, то гомотопия F : К х I —> N
отображения q в базе N однозначно накрывается гомотопией F : К х / -* М,
т.е. fF = F и F(x,Q) = q(x) при х?К,
Локазательство. При гомотопии F отображения q в базе N каждая точка q(x) движется
по пути yx(t) = F(x,t). При t — 0 эта точка 7х@) = q(x) накрыта точкой q(x).
Теорема следует теперь из леммы 2 и следствия 1 вместе с замечанием, что
рецепт накрытия пути непрерывно (даже гладко) зависит от начальной точки.
Теорема доказана. ¦
2. Простейшие примеры. Универсальное накрытие.
Пример 1. Пусть М = R1 (прямая) и N = 51. Накрытие определяется так: /(?) = e2lli, где t —
координата на прямой R'. Здесь число листов равно со.
Пример 2. Пусть М = 51 и N = S1, а накрытие определяется формулой f(z) = г', где \z\ = 1.
Это накрытие имеет \п\ листов. Та же формула гнг* определяет накрытие области
М = R2\0 = С* над той же областью.
Пример 3. Пусть М = 5" и N — ШРп. Накрытие определяется отображением / : 5" —> RP",
склеивающим противоположные точки сферы х и —х. Здесь число листов равно 2.
Частным случаем этого накрытия является групповой гомоморфизм
изучавшийся в томе I (см. § 14). Другим примером двулистного накрытия является
групповой гомоморфизм
S3 xS* = SUB) x SUB) -* SOD),
ядро которого состоит из элементов A,1) и (-1, -1) (см. том I, § 14).
§ 18. Накрытие и накрывающая гомотопия 111
Пример 4. Пусть М - Е"\ Рассмотрим подгруппу группы Е" (по сложению), состоящую
из ректоров с целочисленными координатами. Эта подгруппа обозначается через Z™.
Факторгруппа E"/Z" есть тор Т" (при п = 1 — окружность). Отображение / : R" —* Т"
есть накрытие (проверьте!).
Пример 5. Рассмотрим плоскость R2 и подгруппу G в группе
движений плоскости (х,у), порожденную преобразова-
преобразованиями
1/2
У
При отождествлении всех точек, получающихся друг из
друга преобразованиями из группы G, получится бутылка
-1/2
A,1/2)
Клейна К , проекция / : I
К является бесконечно-
х
Рис. 57.
A,-1/2)
листным накрытием. Бутылка Клейна К1 строится склейками, как указано на рис. 57.
G '
р р
Проверьте, что образующие группы G связаны соотношением Tj'T^T, = 1. В груп-
группе G лежит подгруппа G' = 1? индекса 2, порожденная преобразованиями Т|,Т22 € G.
Подгруппа G' определяет тор Т2 из примера 4, так как Т%(х,у) - (х + \,у). Фактор-
Факторгруппа R2/G' есть тор Т2, который накрывает двулистно бутылку Клейна, поскольку в
каждой орбите группы G на плоскости R2 имеется ровно две орбиты группы G' - 1?.
V
'ь
/\
b\fa
ОО
Рис. 59. М — бесконечное дерево из «крестов», не
имеющее циклов (и поэтому стягиваемое). Из каждой
вершины «креста» выходит ровно четыре ребра
Пример 6. Укажем наглядно накрытие над восьмеркой (букетом двух окружностей) и над
букетом S' V S2 окружности и сферы (рис. 58, а и 6; отображение / выглядит в обоих
случаях как проекция вниз на рисунке). Как видно из рисунка, накрытие над N = S' v S2
имеет вид (топологически) набора сфер 5
как винтовая линия) в целых точках.
прикрепленных к прямой R (нарисованной
Пример 7. Укажем наглядно еще одно («универсальное») накрытие над восьмеркой S' V S'
(рис. 59). Здесь М — это бесконечное дерево из «крестов», не имеющее циклов (и
поэтому стягиваемое). Из каждой вершины («креста») выходит ровно четыре ребра.
Центры крестов (вершины графа) суть прообразы точки хв 6 S1 V 5'. Каждое из ребер
переходит либо в цикл а, либо в цикл 6. В каждой вершине креста из четырех ребер два
переходят в а и два в 6.
Для целей вычисления фундаментальной группы мы введем важное

112
Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
Определение 2. Накрытие / : М —> N называется универсальным, если л\(М) = 1 (т.е.
пространство М односвязно).
Из числа приведенных примеров универсальными накрытиями являются:
а) М1 -» S1 (пример 1);
б) 5" -» IP" при п ^ 2 (пример 3);
в) SUB)xSUB)^SOD);
г) К" -> Г" (пример 4);
д) R2 -» JT2 (пример 5);
е) М -* S1 V 5 (пример 6, рис. 58, б);
ж) дерево М —> S1 V S1 (пример 7).
Остальные накрытия, указанные в примерах, не являются универсальными ввиду
неодносвязности накрывающего пространства.
3. Разветвленные накрытия. Римановы поверхности. Продолжим рассмотрение
примеров накрытий. Введем следующий класс накрытий.
1. Пусть сначала М и N — замкнутые гладкие многообразия одной размерно-
размерности п и отображение / регулярно (т. е. якобиан отображения / во всех точках отличен
от нуля). При этих условиях верна
Теорема 2. Отображение f : М —> N является конечнолистным накрытием.
Аоказательство. По теореме об обратной функции у каждой точки х многообразия М
имеется окрестность Vx, в которой отображение / является диффеоморфиз-
диффеоморфизмом. В силу компактности многообразия М отсюда вытекает, что прообраз
/~'(у) любой точки у 6 М состоит из конечного числа точек. Поэтому у
точки у многообразия N можно выбрать такую окрестность Uv, что для любой
Vi в Uy является диф-
точки Xi ? /~ (Uy) отображение /
ф
y v
феоморфизмом. Таким образом, полный прообраз некоторой окрестности Uv
любой точки у & N распадается в объединение непересекающихся окрестностей
f~l(Uy) = Vi U ... U Vm, и отображение / — диффеоморфизм на каждой из
окрестностей Vi. Теорема доказана. ¦
2. Пусть М и N — по-прежнему замкнутые гладкие многообразия одной
размерности п, но гладкое отображение / : М —> N не всюду регулярно: на
некотором множестве АС М якобиан этого отображения обращается в нуль. Вообще
говоря, размерность множества А равна п - 1. Однако бывает, что размерность
множества А меньше п — 1. Важным случаем такого рода является случай, когда п
четно, оба многообразия М и N являются комплексными, а отображение / : М —* N
комплексно аналитично (голоморфно). В этом случае условие обращения в нуль
якобиана отображения / задается одним комплексным (аналитическим) уравнением в
комплексных локальных координатах. Поэтому размерность множества особенностей А
не превышает п - 2 и множество А не разделяет М на куски.
При этих условиях имеет место
Теорема 3. Пусть размерность множества А нулей якобиана отображения f : М —* N
одного гладкого замкнутого связного п-мерного многообразия в другое не превышает
те — 2 (и, значит, множество f(A) не разделяет многообразия N). Положим
N' = N\f(A) и М' = М\ГХ(}(А)). Отображение f : М' -+ N' является
накрытием с конечным числом листов, причем М' связно.
Замечание. Само исходное отображение / : М -* N называется накрытием с ветвлением вдоль
f(A), а множество f(A) называется множеством точек ветвления.
§ 18. Накрытие и накрывающая гомотопия
113
Доказательство. Рассмотрим достаточно малое е > 0 и удалим из JV открытую
?-окрестность U? множества /(^4), а из М ее прообраз f~\Us). Оставшееся
многообразие с краем М? = M\f~l(Ue) отображается в Ne = N\Ue, и оба
многообразия Me,Ne связны и компактны. Для отображения / : Ме —> Nc
доказательство теоремы 2 повторяется буквально. Устремляя е —> 0, получаем
теорему 3. ¦
Связность N, М есть единственное использованное в этом доказательстве
следствие предположения размерности множества особенностей А.
Важный класс примеров дают неособые римановы поверхности Г, заданные
неособым комплексно аналитическим, в частности алгебраическим, уравнением в
(z,w)-плоскости С2:
где аи-.-упп — многочлены от z. Это уравнение задает риманову поверхность Г
п-значной функции w(z).
Проекция / : Г -»С продолжается до проекции замкнутой римановой поверхно-
поверхности Г (вместе с бесконечно удаленными точками в СР2) на сферу СР1 = S2. Положим
М - Г и N = S2. Множество }(А) есть множество точек ветвления римановой поверх-
поверхности Г. Это — набор точек плоскости С и, возможно, точка со. Обозначим через N'
плоскость R2 = С = S2\oo с выброшенными точками ветвления za. Полный прообраз
Г\*а) состоит из точек (za,waj) = Paj поверхности Г таких, что u\z=z«,m=v,ai ~ °-
Удалим из Г полный прообраз }~\za) для всех а и /~'(оо). Оставшееся многообразие
обозначим через М'. Имеем n-листное накрытие / : М' -> N'.
Замечание. Мы видим, что для отыскания полного прообраза точек ветвления на поверхности Г
нужно решить совместно систему уравнений
= О,
dw
• = 0.
Пример 8. $(uj,z) = v? - Pn(z) = 0 (гиперэллиптическая поверхность). Если корни Pn(za) = 0
некратны, то Г — неособая гиперэллиптическая риманова поверхность (см. § 17, а также
том I, §12). Здесь N1 = C\(uzJ, М' = Г\ (и/-'(*„)) и / : М' -» N' - двулистное
or л
накрытие.
Пример 9. <p(w,z) = wh - Pn(z) = 0. Здесь все аналогично, но мы получаем над областью
N' = C\(l)za) fc-листное накрытие / : М' -+ N'.
a
Пример 10. Рассмотрим общий многочлен степени п or z,w
где при каждом i степень многочлена a{(z) (no z) не превосходит i. В общем случае для
многочлена Ф имеется ровно п(п - 1) точек ветвления za, получающихся из решения
системы уравнений Ф = 0, ? = 0 в С2. (Предполагается, что система уравнений
Ф = 0, Фш = 0 не вырождена; тогда число точек ветвления равно п(п - 1).) Полагая
N' = C2\(uzQ) и М' = Г\(и/~'(.го)), получаем n-листное накрытие f : М' -* N'.
a a
Пример 11. Функция Ф(-г,ш) является комплексно аналитической (но не алгебраической), и
поверхность Ф = 0 неособа в С2. Точки ветвления za в z -плоскости образуют, вообще

I 14 Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
говоря, счетное множество. Потребуем, чтобы эти точки ветвления были достаточно
далеки друг от друга в С. Накрытие над областью N' = C\(uzQ) будет, вообще
а
говоря, бесконечнолистным. Простейший пример дает уравнение z - е™ = 0. В этом
случае w = lnz, za = 0; над областью С\0 = N' возникает накрытие (логарифмическое
ветвление)
f:M'-»N' = C\0.
Покажите, что М' диффеоморфно плоскости С.
4. Накрытия и дискретные группы преобразований. Следующий важный класс
накрытий связан с так называемыми дискретными группами преобразований много-
многообразий.
Пусть М — гладкое многообразие (топологическое пространство) и G —
группа, действующая в М посредством диффеоморфизмов (гомеоморфизмов для
общих пространств).
Определение 3. Группа G называется дискретной группой преобразований, если для
любой точки у многообразия (или пространства) М орбита группы G(y)
представляет собой множество точек в М, расположенное дискретно. Это
означает, что любая точка у € М обладает малой окрестностью U такой,
что образы g(U) для всех элементов g группы G либо совпадают, либо
не пересекаются. Мы потребуем дополнительно, чтобы дискретная группа
действовала свободно. Это означает следующее: для любой точки у 6 М
уравнение д(у) = у имеет единственное решение д = \; при этом указанные
выше окрестность U точки у и окрестность g(U) точки д(у) не пересекаются
при д ф 1.
Для многообразий часто (хотя и не всегда) будем рассматривать дискретные
группы G преобразований, являющиеся движениями некоторой римановой метри-
метрики (#„(,).
Определение 4. Скажем, что накрытие / : М -* N определяется свободно действую-
действующей дискретной группой G преобразований М —> М, если для любой точки
базы у € N слой F = f~x{y) является орбитой группы G. В этом случае
говорят, что N есть факторпространство многообразия М по группе G, и
пишут N = M/G. Такое накрытие называют регулярным или главным расслоением
с дискретной группой G; ниже, в главе 6, будут изучаться главные расслоения и
с недискретными группами G.
Рассматривавшиеся выше примеры 1-9 были накрытиями, определявшимися
различными дискретными группами преобразований. Напротив, накрытия примера 10
(общие алгебраические римановы поверхности) и примера 11 (кроме простейшего ло-
логарифмического ветвления), вообще говоря, не определяются свободно действующими
дискретными группами.
§ 19. Накрытия и фундаментальная группа. Вычисление
фундаментальной группы некоторых многообразий
1. Моиодромия. Введем важное понятие — группу монодромии накрытия
(«дискретная группа голономий») или «представление монодромии» а. Рассмотрим
точку уо базы N накрытия / : М —> N и занумеруем произвольным образом точки
слоя F = /~'(уо) — ixi,x2,¦¦¦ }¦ Рассмотрим замкнутый путь у на JV с началом
¦ I1). Накрытия и фундаментальная группа
115
и концом J/0, представляющий элемент у € iri(N,ya). Используя следствие I из
леммы 18.2, накроем движение точки уо вдоль пути у по параметру t, отправляясь
из некоторой точки слоя Xj € F. Пройдя вдоль пути у и вернувшись снова к точке
Уо = 70), получим в качестве конечной точки накрывающего пути цA) некоторую
точку xff(J) = /i(l) того же слоя F. Получаем соответствие у >-> а{у), где а(у) есть
некоторая перестановка точек слоя F:
а(у) : Xj н-* Xj(j).
Из теоремы 18.1 получаем, что перестановка в(у) зависит только от гомотопического
класса у € iri(iV,y0)- Очевидно, сг(у~[) = в(у)~х и <xGi72) = ffGi) ° (TG2)- Таким
образом, о- является гомоморфизмом (представлением) фундаментальной группы
7ri(iV, уо) в группу перестановок точек слоя F (считаем их занумерованными целыми
числами). Представление сг называется «монодромией» или дискретной голономией
накрытия, а его образ a(ir}(N, уо)) — «группой монодромии».
Укажем группу (представление) монодромии накрытий в простейших приме-
примерах 1-4 из §18.
Пример 1. Е1 -» S\ t —> е1"'. Группа Х|E') изоморфна Z; обозначим через а естественную
образующую этой группы. Прообраз точки <р0 = 0 окружности 5' состоит из целых
точек прямой (п = 0,±1, ±2,...). Точки слоя F = /~'@), таким образом, естественно
занумерованы целыми числами. Монодромия <т(а) представляет собой сдвиг
<т(а) :ni-tn + l.
Пример 2. S' -+ S1, z и* г", |г| = 1. Прообраз точки состоит из точек zk = ехр(^),
к = 0,1,... ,п - 1. Преобразование монодромии <т(а) есть циклическая перестановка
<r(a) =
п-\
0
Пример 3. S" —> ШР". Точка j/0 ? W имеет два прообраза Х| и х2. Преобразование <т(а)
переставляет их: xt >-* х2, ijhi,. Здесь a 6 x,(RP") = Z2 — класс замкнутого пути
в RP™, получающегося проекцией из сферы пути у, соединящего две противоположные
точки сферы 5".
Аналогично х,EОD)) = Z2 с образующей а, и сг(о) есть перестановка двух точек
в накрывающем пространстве SUB) х SUB). Аккуратное вычисление этих фундамен-
фундаментальных групп будет проведено ниже.
Пример 4. Группа Х|(Т") изоморфна Z" с образующими аь... ,а„. Образующая а, получается
при отображении / : R" —> Т" из прямолинейного отрезка у, соединяющего точку О с
точкой @,..., 1,... ,0), где координата хР равна 1, а остальные — нули. Путь a, = /Gj)
определяет монодромию
/ ч /т. ... rxij ... m.\
<r<a')=(lm1...mj + l...m:)>
где точки прообраза F = /~'@) занумерованы целочисленными векторами (т\,...,тп).
Мы оставим читателю исследование монодромии в довольно простых примерах
5 и 6 и опишем монодромию в примерах 7 и 10 (см. § 18).
Пример 7. Универсальное накрытие над восьмеркой JV = 51 V S1 с образующими at = а €
xiE[ V 5'), а2 = Ь 6 iti(Sl V S') обладает свободной группой монодромии. Это означает,
что все слова вида
Til Пз П1
для любых к, целых г», Ф 0 и при условии «', / ig+i различны в группе монодромии:

A2)
дAзГ
Рис. 60.
с точкой ij, оставляя остальные
116 Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
преобразование c(<J|) сдвигает все вершины и ребра на единицу «вправо», а <т(а2) —
на единицу «вверх». Легко проверить с помощью рис. 59, изображающего это накрытие,
что два разных слова в свободной группе переведут начальную вершину х$ в разные
вершины этого дерева.
Пример 10. Для многочлена общего типа $(z,w) сум-
суммарной степени п по z, w имеется ровно п(п — 1)
невырожденных точек ветвления гу4), j, к = 1,..., п,
где к ф j. Удалим из С все точки гу4) и выберем
начальную точку i/o ? JV', где JV' = С\( и zoi)). Вы-
берем базисные пути ву4), однократно обходящие
точки ветвления z^ (рис. 60). Оказывается, что
путь eyi) производит перестановку ровно двух точек
слоя F = /~'(з/о) = i| U ... U х„. При подходящей
нумерации c(aoi)) и <r(a(ij)) переставляют точку Xj *, альные
точки неподвижными, причем о-(ау4))о-(а(^)) = 1. Таким образом, группа монодромии
оказывается полной группой перестановок точек слоя F, состоящий из п\ элементов.
Тот факт, что а(а^к)) переставляет лишь пару листов, следует из того, что для римановой
поверхности общего типа проекция Г —> С имеет вырождение низшего порядка в точках
вырождения (образы их — точки ветвления). Мы оставляем эти утверждения в виде задач.
Что группа монодромии для общих римановых поверхностей Г совпадает
с группой всех перестановок точек слоя, оказывается очень важным. Мы реко-
рекомендуем читателю самостоятельно доказать следующее утверждение: если риманова
поверхность Т\ построена по многозначной алгебраической функции w = w(z), явля-
являющейся алгебраическим выражением, содержащим только радикалы \/~ для разных к
(и, возможно, их суперпозиции с операциями сложения и умножения), то группа моно-
монодромии поверхности Г] разрешима. Напомним, что разрешимая группа содержит абелев
(коммутативный) нормальный делитель G, факторгруппа по которому также разрешима.
Группа перестановок из пяти элементов и более не является разрешимой. Ее
единственным нормальным делителем является подгруппа из четных перестановок,
которая неабелева. Отсюда следует
Теорема (Абель). Не существует никакой алгебраической формулы в радикалах, выража-
выражающей корни общего многочлена степени ^ 5 через его коэффициенты.
2. Вычисление фундаментальной группы с помощью иакрытий. Рассмотрим на-
накрытие f : М -* N, точку у0 ? N н точки ее прообраза /"'(т/о) = {х\,х2, • • • }• Пред-
Представление монодромии а заставляет группу 7T](JV, у0) действовать в слое F — /~'(з/о)
посредством перестановок его точек:
> 19. Накрытия и фундаментальная группа
117
а(а)
- xa(j) (а е т, (N,у0)).
Рассмотрим группу Ж](М,Xj), которая гомоморфно отображается в группу T](JV,i/o)
при проекции / : М -+ N. Имеет место
Теорема 1. Гомоморфизм /, : х,(М,Xj) —* K\(N,ya), индуцированный проекцией /,
является вложением группы K\(M,Xj) в T\(N,ya) (мономорфизмом). Подгруппа
fiir\(M, Xj) группы t\(N,yo) состоит из тех элементов а 6 ttj(JV, уц), для
которых монодромия а(а) оставляет на месте точку Xj. Для разных точек Xj,xk
подгруппы f,%l(M,Xj) и /»T](M,st) сопряжены с помощью любого элемента
7 € K](N,ya), для которого монодромия а(у) обладает тем свойством, что
<тG) : xj i-> xk, т.е. 7~'/*Xi(Af, XjYf -
Доказательство. Если a € 7T|(M,Sj) и /,(a) = 1 в группе i^\(N,yu), то a = 1. Дей-
Действительно, пусть замкнутый путь a(t) с началом и концом в Xj таков, что
его проекция f(a(t)) = 7@ стягивается в точку по многообразию JV, причем
концы пути 7(?) в процессе гомотопии все время стоят в точке у0 (при всех г);
гомотопию обозначим через F = F(t,r). Поскольку f(a(t)) = y(t) = F(t, 0), мы
находимся в условиях теоремы о накрывающей гомотопии (теорема 18.1). В
качестве накрывающей гомотопии, даваемой этой теоремой, получим деформа-
деформацию в М пути a(t) в точке Xj. Таким образом, гомоморфизм /, есть вложение
(мОНОМОрфИЗМ) ГРУППЫ 7T[(JVf, Xj) В 7Ti(JV, 1/o).
Согласно теореме 17.3 перенос начала из Xj в х^ можно осуществить, выбрав
путь j(t) с началом х^ = у@) и Xj = j(l) и полагая а ь-> j*(a) = у~]ау
(для а € -K\(M,Xj) имеем у*(а) € Ж\(М,хк)). Проекция f(y) в N дает
замкнутый путь 7@ = /G@). представляющий элемент группы ^i(N, yg),
и а(у) : Xj f-+ х/и. Очевидно, после применения проекции /» наш перенос
превратится в изоморфизм Д-л"! (М, Xj) -+ ftvx(M, хк), действующий по формуле
у'1
-у
ft*i(M,xk),
где ft(a) € f,Z](M,Xj). Теорема доказана.
Залами. 1. Доказать, что для любой подгруппы Я фундаментальной группы тГ]G\Г)
произвольного многообразия JV существует накрытие / : М —> N с f,t\(M) = Я; в
частности, у всякого многообразия есть универсальное накрытие.
2. Доказать, что если для накрытий / : М -+ JV, /' : М' —> N над многообразием N
группы /,!Г](М) и f,%i(M') совпадают, то накрытия эквивалентны (т.е. существует
гомеоморфизм (р: М —> М' такой, что f <xp = /).
Замечание. В обеих задачах требование, чтобы N было многообразием, может быть значительно
ослаблено. Например, как мы видели выше, универсальным накрытием обладают такие
пространства, как восьмерка и букет окружности и двумерный сферы (см. рис. 58 и 59).
Теорема 2. Если накрытие f : М —* N определяется свободно действующей дискретной
группой Г преобразований М —» М и многообразие (пространство) М односвязно
(т.е. Т\(М) = 1), то
Доказательство. Выберем точку х0 ? /~'C/о) и установим взаимно однозначное соот-
соответствие между точками слоя f~'(ya) (они имеют вид дхп с д € Г и элементами
группы T\(N,y0). Для этого накроем произвольный путь 71 € 7ri(^i3/o)> взяв в
качестве начала накрывающего пути точку s0- Конец накрывающего пути лежит
в точке xi Ф жо, и aidx) ¦ хо >-* Х\. Рассмотрим элемент д\ € Г такой, что
<7,(х0) = х\. Установим соответствие 7i *-* 9i- Это соответствие взаимно одно-
однозначно (если 7i —* 9\ и 72 ~* <7ь то 7Г*72 таков, что сGГ'72) : хо ^^ хо. поэтому
ввиду односвязности М и теоремы 1 этого параграфа 7i = 72 )• Установленное
выше взаимно однозначное соответствие Г *-+ tti(N) сохраняет закон умножения
в обеих группах, поскольку преобразование а(у) точек слоя в точности совпадает
с действием группы Г на слое. Теорема доказана. ¦
Обобщением теоремы 2 является
Теорема 3. Если накрытие f : М -+ N регулярно, т.е. определяется свободно дей-
действующей дискретной группой Г преобразований М -+ М («главное расслоение»),

118 Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
то группа Г перестановок слоя F = /~'(т/о) совпадает с группой монодромии
<7(T|(JV,т/о)), действующей на слое F. При этом /,7Г|(М, Xj) есть нормальный
делитель группы tt|(JV,t/o) и группа монодромии («дискретная группа голономии»)
совпадает с факторгруппой it\(N, t/o)//*tti(M,Xj) для любой точки Xj слоя F.
Аоказагельство. Совпадение группы Г с группой монодромии вытекает из рассуждения,
идентичного доказательству теоремы 2. При этом устанавливается соответствие
между элементами фуппы Г, точками слоя F и элементами фуппы a(n^(N,yo))-
Отсюда следует, что образ /,Т|(М, xf) не зависит от Xj € F и потому
является нормальным делителем в Ti(JV, т/0) согласно теореме 1 этого парафафа.
По определению монодромии слой F совпадет с ^\(N,yo)/f,V](M, Xj) как
множество. В данном случае F к, Г и F является фуппой w\(N,yo)/ft%i(M,xj),
совпадающей с группой монодромии. Теорема доказана. ¦
Задача. Докажите, что для общих (нерегулярных) накрытий группа монодромии изо-
изоморфна факторгруппе it\(N, ya)/P по нормальному делителю Р =Л^ /jTr^M, xj).
Примеры. 1. 7TiE') = Z действует сдвигами Е1 —> Е1 на целые числа (см. пример 1 из § 18),
поскольку S1 является базой накрытия Е1 -* S[, определяемого действием дискретной
группы Г = Z.
2. 7T](RP") = Z2 при п > 1 ввиду наличия накрытия S" -* RP" с группой Г = Z2>
ненулевой элемент которой есть отражение ih-i сферы S" С Е™+1 (при п > 1 сфера
односвязна; см. пример 3 из § 18).
3. 7Г|(Т") = Z" ввиду наличия накрытия К" -* Т* с группой Г параллельных
переносов на целочисленные векторы (см. пример 4 из § 18).
4. in (if2) имеет две образующие Tt и Т2, удовлетворяющие соотношению
Здесь подразумевается накрытие Е2 —> К2, а группа Г порождена движениями Т^(х,у) =
(х,у+ 1), Т2(х,у) = (х + \, -у) (см. пример 5 из §18).
5. 7Г,E' v S1)— свободная группа с двумя образующими. Это устанавливается с
помощью универсального накрытия, описанного в примере 7 из § 18. Аналогично можно
показать, что tt^S1 v ... v S ) для букета к окружностей есть свободная группа с к
образующими. Следовательно, фундаментальные группы плоских областей вида E2\(?] и
... и хк) (из плоскости выколото к точек xh... ,xt), являются свободными. Эти области
стягиваются к (гомотопнчески эквивалентны) букетам окружностей S'v... vSl (к штук).
6. TiE' v S2) = Z. Это доказывается с помощью универсального накрытия,
описанного в примере 6 из § 18. Пространство М имеет вид прямой Е', у которой в
целых точках прикреплены сферы 5(л). Группа Г действует сдвигами по прямой на целое
число, переводящими сферы S2n) друг в друга. Пространство Sl v S2 гомотоПически
эквивалентно области U = E3\S', если окружность незаузлена (или V = Е3\(Е' и хо)).
3. Простейшая гомологическая группа.
Определение 1. Одномерной группой гомологии многообразия (пространства) М назы-
называется факторгруппа его фундаментальной группы по коммутанту (коммутиро-
(коммутированная группа Т\). Эта группа обозначается через Н\(М):
[*],
Групповой закон в группе Н\(М) обычно записывается как сложение: a
ab —» [a] + [b] при гомоморфизме Т| -+ Н\.
§ 19. Накрытия и фундаментальная группа
119
одинаков для гомотопных замкнутых путей. Следовательно, интеграл от замкнутой
формы ш дает линейную функцию на группе ж{:
¦ум ШИ.
7
Очевидные свойства интеграла показывают, что
fill
J J J J
7i72 7i 72 7з71
ш — - Ф ш.
Отсюда следует, что интефал есть линейная функция на группе Hi(N) =
с вещественными или комплексными значениями, а известная процедура вычисления
интеграла путем «деформации контура» есть фактически замена контура 7 на эквива-
эквивалентный ему в группе гомологии. Пусть в группе H~i(N) есть периодический элемент
(«класс гомологии») [7] G Si(N), для которого найдется целое число m такое, что
тпМ - 0 в группе Н\(М). Тогда интефал § ш равен нулю для замкнутой формы ш.
П)
Действительно,
г г
= 0.
Рассмотрим интегралы от замкнутых I-форм на многообразии N. Если форма ш
«мкнута, йш — 0, то интеграл по замкнутому пути 7 c началом и концом в точке т/о
Поэтому § ш = 0.
М
Вследствие этого интефалы от замкнутых форм определены как линейные
функции на фуппе Ht(N), полученной из Щ(Ю факторизацией _по кручению
(приравниванием нулю всех элементов конечного порядка). Группа Я, называется
приведенной группой гомологии.
Примеры. а) Для плоской области JV = R2\(x, и ... и хк): группа ir,(JV) свободна, а группа
Я|G\Г) не имеет кручения и тем самым есть свободная абелева группа (решетка) Z .
б) Для RPn: группа 7Г|(НР") есть Z2, группа #i(RP") есть также Z2 и группа
H,(RP2) тривиальна.
в) Для бутылки Клейна К2: группа !r,(ir) имеет образующие ТиТ2, удовле-
удовлетворяющие соотношению Г2"'Т|Т2Т, = I; в группе Ht(K2) это соотношение принимает
вид
2[Т,]=0,
и потому элемент \Т,] ~ 0 в группе Я,(К2); группа Н{(К2) изоморфна Z.
Итак, интеграл от замкнутой формы дает линейную функцию на «приведенной
группе гомологии» Я,(ЛО со значениями в К или С.
Иногда полезны линейные функции с другими значениями, например так назы-
называемые «характеры» со значениями в вещественных числах modi, т.е. в окружности.
Здесь уже группы Hi(N) недостаточно — приходится рассматривать всю фуппу гомоло-
гомологии H\(N). Примером может служить гомоморфизм ориентации (в мультипликативной
записи)

120
Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
(см. §17). Фактически этот гомоморфизм сводится к H^(N). Для
и К2 этот
гомоморфизм нетривиален, как и для всех неориентируемых многообразий (см.
конец § 17).
а) Для ШР2 имеем Ж\ = Z2 и сг(а) = -1 при а ф 1.
б) Для К1 группа Ж](К2) порождается элементами Т,, Ti и 2[Т|] = 0 в груп-
группе Н\(К2). Гомоморфизм ориентации таков:
Вычисление фундаментальных групп дополнений в К3 к заузленным окружно-
окружностям будет дано ниже (см. §26).
Рис. 61.
Рис. 62.
Задачи. 1. Ориентируемая замкнутая поверхность Мд (сфера с д ручками) получается
из 4<7-угольника склеиванием пар противоположных сторон (см. рис. 61 для д = 2).
Доказать, что группа Ж[(Мд) задается образующими ai,&i,...,a,, Ь* и соотношением
д
ДаГ'ЬГ1 = 1.
2. Неориентируемая поверхность N} клеится так, как указано на рис. 62. Доказать, что
Ki(Nl) задается образующими с,,..., с,, и соотношением <?хс\...cj = 1.
3. Вычислить фундаментальную группу многообразия единичных линейных элементов
поверхности Щ.
§ 20. Дискретные группы движений плоскости
Лобачевского
Выше (в томе I) мы описали дискретные группы движений евклидовой плоско-
плоскости и дискретные группы вращений трехмерного евклидова пространства. Мы указали
на тесную связь этих групп с кристаллическими решетками на плоскости и в про-
пространстве. Аналогичную классификацию можно провести и для дискретных групп
движений плоскости Лобачевского, снабженной стандартной метрикой. В настоящем
параграфе мы предъявим это описание, опустив доказательства ввиду большей слож-
сложности рассуждений, чем это имело место в евклидовом случае. Описание дискретных
групп движений трехмерного пространства Лобачевского — это еще более сложная
задача, которой мы не будем здесь касаться. Интерес к дискретным группам движений
плоскости Лобачевского обусловлен для нас тем, что эти группы тесно связаны с
двумерными замкнутыми многообразиями и их фундаментальными группами. При
описании двумерных поверхностей мы отметили, что тор, например, можно предста-
представить как факторпространство плоскости (пространства нулевой кривизны) по действию
§ 20. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского
121
дискретной группы Z(a)©ZF), где образующие а и Ь определяют трансляции на
векторы вида A,0) и @,1). Поскольку эта группа свободно действует на Е2, то она
изоморфна фундаментальной группе тора Т2 = M2/Z ф Z. Отметим, что сфера S2 не
может быть представлена как факторпространство плоскости по действию какой-либо
дискретной группы. Это связано, в частности, с тем, что сфера — односвязное
многообразие, и ее гауссова кривизна положительна. Оказывается, что, например,
ориентируемые поверхности рода > 1 можно представить в виде факторпространства
плоскости Лобачевского по действию дискретной группы, изоморфной фундаменталь-
фундаментальной группе поверхности. При этом указанная дискретная группа будет действовать как
подгруппа группы изометрий стандартной метрики Лобачевского, а потому фактормно-
гообразие (действие группы будет свободным, без неподвижных точек) автоматически
снабжается индуцированной метрикой постоянной отрицательной кривизны. В случае
тора фундаментальная группа Z ® Z также действовала на евклидовой плоскости как
подгруппа группы изометрий.
Начнем с геометрической классификации дискретных групп движений плоскости
Лобачевского и связи этих групп с выпуклыми многоугольниками на плоскости
Лобачевского. "*
Основными моделями плоскости Лобачевского, которыми мы будем поль-
пользоваться, будут следующие две модели: верхняя полуплоскость (на комплексной
единичный круг, снабженный
плоскости), снабженная метрикой dl2 =
г;2 _
метрикой dlz = "".^Т . Напомним, что Г называется дискретной группой преобра-
преобразований (в нашем случае — плоскости Лобачевского), если для любой пары точек
х,у € Li (через L2 мы обозначаем плоскость Лобачевского) существуют такие открытые
окрестности этих точек (например, диски с центром в точках х и у), что множество
преобразований из группы Г, переводящих окрестность точки х в множество, имеющее
непустое пересечение с окрестностью точки у, конечно. Напомним, что мы считаем
все преобразования из Г диффеоморфизмами плоскости Лобачевского. Если Тх —
стационарная подгруппа точки х (т.е. множество всех преобразований группы Г,
оставляющих на месте точку ж), то Г^ — конечная подгруппа в Г. Верно и обратное
утверждение: если Г — некоторая группа изометрий плоскости Лобачевского, действу-
действующая так, что все орбиты этого действия дискретны и для любой точки плоскости ее
стационарная подгруппа конечна, то тогда Г — дискретная группа.
Определение 1. Пусть Г — дискретная группа преобразований плоскости Лобачев-
Лобачевского, являющаяся подгруппой группы изометрий. Подмножество D плоско-
плоскости Лобачевского называется фундаментальной областью для группы Г, если;
A) D — замкнутое множество; B) орбита T(D) подмножества D совпадает
со всей плоскостью Лобачевского; C) покрытие плоскости Ьг множествами
7Ф), 7 6 Г, таково, что с достаточно малой окрестностью произвольной точки
плоскости Li пересекается лишь конечное число множеств вида i(D)\ D) образ
множества внутренних точек фундаментальной области D при действии любого
преобразования из Г, отличного от единичного, не пересекается с множеством
внутренних точек фундаментальной области. Формально это свойство можно
записать так: 7(IntD) П IntD = 0 при 7 € Г, 7 Ф е> гДе Inti) ~ множество
внутренних точек области D, т.е. IntD = D\dD, где dD — граница D.
Легко доказать, что в качестве фундаментальной области на плоскости Лобачев-
Лобачевского для произвольной дискретной группы Г можно выбрать выпуклый мноугольник
с конечным числом сторон (проверьте это!).

122
Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
Наша цель — дать описание дискретных групп движений плоскости Лобачев-
Лобачевского. Так как мы уже выяснили, что группа изометрий плоскости Лобачевского
изоморфна SLB, E)/Z2, то, следовательно, эта задача эквивалентна перечислению
дискретных подгрупп в группе SLB,Л), т.е. в группе матриц (° ЬЛ с веществен-
вещественными элементами и определителем, равным единице: ad - be = I. Напомним, как
действует группа SLB,R) на L2. Если д = (" ЬЛ € SLB, Е) и z — точка плос-
плоскости Лобачевского L2, реализованной как верхняя полуплоскость, то g(z) = ~^.
Так как lmg(z) = |е'г™ *|2, то L2 переходит в себя при этих преобразованиях. Что
все преобразования указанного вида — изометрий L2, проверяется непосредственно;
поэтому группа SLB, Е) гомоморфно отображается в группу изометрий Lj; ядром
этого отображения служит центр {±1} « Z2 группы SLB, E), а образом — связная
компонента единицы группы изометрий L2; следовательно, эта компонента изоморфна
факторгруппе SLB, E)/Z2.
Группы, дискретно действующие на плоскости Лобачевского, естественно воз-
возникают при классификации одномерных комплексно аналитических многообразий.
Любое_ связное_комплексно аналитическое многообразие X представляется в виде
X = Х/Г, где X — односвязное аналитическое многообразие (универсальная накры-
накрывающая), а группа Г дискретно и свободно действует на многообразии X как группа его
комплексных автоморфизмов; при этом группа Г изоморфна фундаментальной группе
К\(Х). Многообразия X. Во всех таких представлениях многообразия X группы Г.
сопряжены в группе всех автоморфизмов многообразия X.
Оказывается, что с точностью до биголоморфной эквивалентности имеется всего
три связных односвязных одномерных аналитических многообразия. Это: 1) проектив-
проективная прямая СР1, т. е. одномерное комплексное проективное пространство: 2) аффинная
прямая С', т.е. плоскость комплексной переменной z; 3) внутренность единичного
круга {z ? С11 |s| < 1} на комплексной плоскости.
Таким образом, задача сводится к описанию групп автоморфизмов, дискретно
и свободно действующих на этих трех перечисленных выше многообразиях. Преобра-
Преобразования группы Г будем считать комплексно аналитическими преобразованиями, т.е.
автоморфизмами комплексной структуры, заданной на многообразии X.
Предложение. 1) Любой автоморфизм многообразия СР1 имеет неподвижную
точку. 2) Дискретно и свободно действующая группа Г автоморфизмов многообразия
С1, для которой многообразие С1 /Г компактно, состоит из трансляций z >—> z + a,
где а пробегаем векторы некоторой двумерной решетки на С'. 3) Все автоморфизмы
единичного круга имеют следующий вид: z >-* 9jz§^, где \в\ = 1, |«| < 1; в частности,
это — группа движений метрики Лобачевского в модели Пуанкаре.
Пусть X — 1п_ — плоскость Лобачевского и Г — произвольная дискретная
группа движений L2; пусть D — выпуклый фундаментальный многоугольник действия
группы Г. Рассмотрим многоугольники вида {7Д}, 7 € Г; они не накладываются
друг на друга (см. выше) и покрывают всю плоскость Лобачевского. Элементы
этого разбиения плоскости Лобачевского на многоугольники обычно называются
«ячейками». Две ячейки называются смежными, если их пересечение есть одномерное
подмножество, т. е. кривая на плоскости. Можно считать, что если Д и Д — две
смежные ячейки, то Д Л D2 есть общая сторона этих двух многоугольников. Для
того чтобы этого добиться,, достаточно добавить в фундаментальном многоугольнике
некоторое число вершин, угол при которых равен тг; этим можно добиться того, что
пересечение любых смежных ячеек происходит в точности по общей стороне (рис. 63).
Для любой стороны а ячейки D существует и единственна ячейка Д, смежная с D по
§ 20. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского
123
стороне а; при этом ячейка Д получается из ячейки D применением преобразования
7 6 Г; обозначим это преобразование через 7(а)- Так как при преобразовании 7(а)
область D переходит в D\, то, следовательно, существует некоторая сторона a?D
такая, что у(а)а = а (область D пересекается со своим образом при действии 7(а))-
Отсюда имеем -f(a') = GA))" и, в частности, а" = (а1I — а (рис. 64).
Добавленная вершина
Рис. 63.
y(a)D=Dl
Рис. 64.
Сопоставим каждой стороне а соответствующую ей при указанном отображении
сторону а'; возникает инволютивное преобразование (т.е. преобразование, квадрат
которого есть тождественное преобразование) множества сторон области D. Конечно,
при этом может оказаться, что а' — а, но тогда (¦у(а)J = е и 7(а) есть, следовательно,
отражение области D относительно стороны а или поворот на угол, равный тг,
относительно середины стороны а. Отсюда вытекает следующее утверждение.
Лемма 1. Ячейки
являются смежными тогда и только тогда, когда
Последовательность ячеек D = D0,D\,... ,Dt таких, что ячейки D;_i и Д-
являются смежными при % = 1,2,..., к, называется цепью ячеек.
Для ячейки А существует и единственно движение «ц такое, что 7>-D = А- При
этом возникает индуцированное отображение сторон фундаментального многоуголь-
многоугольника на стороны ячейки; следовательно, стороны ячейки Д можно обозначать так же,
как и стороны многоугольника Д — D.
В цепи ячеек D = Da, Д,- ¦., Д (пусть Д = 7>Д) многоугольники Д_] и Д
смежные, а потому в силу леммы имеем 7; = 7>-i7(at) и 7* = 7(aiO(a2) ¦ ¦ ¦ 7(а*)- Итак,
цепи ячеек соответствует последовательность а],а2,...,ак сторон ячейки D. Итак,
доказана
Теорема 1. Группа Г порождается элементами у(а), где а пробегает все стороны
фундаментального многоугольника.
Теперь мы опишем соотношения в этой группе. Пусть 7("i)- • -7(at) = e! Рас"
смотрим соответствующую цепь; тогда последним элементом ее будет сама ячейка D —
исходный фундаментальный многоугольник (рис. 65). Итак, соотношениям в группе Г
соответствуют замкнутые цепи, которые обычно называются циклами. Соотношения
типа 7(аO(а) — е будем называть элементарными соотношениями первого типа. Эти
соотношения порождают цикл D0,DuDn.
Рассмотрим некоторую вершину ячейки D и рассмотрим все ячейки, содержащие
эту вершину; тогда последовательность этих ячеек образует цикл (рис. 66). Такой цикл
называется элементарным циклом второго типа, а соответствующее ему соотношение —
элементарным соотношением второго типа.

124
Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
D
D-,
Рис. 65.
Теорема 2. Элементарные соотношения первого и второго типов составляют определяю-
определяющую систему групповых соотношений для образующих у (а) дискретной группы Г,
т. е. всякое соотношение является их следствием.
Мы полностью описали структуру любой дискретной группы сохраняющих
ориентацию движений плоскости Лобачевского (такие группы называются фуксовыми).
Теперь рассмотрим обратную задачу: как восстановить дискретную группу Г
по данному фундаментальному многоугольнику. Пусть на плоскости Лобачевского
задан выпуклый многоугольник с конечным числом сторон, не имеющий пока
бесконечно удаленных вершин. Это означает следующее. Многоугольник может быть
неограниченным, «выходя на бесконечность» (см. например, рис. 67). Поскольку
точки абсолюта не принадлежат плоскости Лобачевского, то в том случае, когда
прямая выходит на абсолют так, как это показано на рис. 67 для прямой АВ, мы
считаем, что на ней нет вершины, расположенной «на бесконечности». С другой
стороны, если две прямые выходят на бесконечность и попадают в одну точку абсолюта
(рис. 68), то тогда будем говорить, что у многоугольника есть бесконечно удаленная
вершина.
§ 20. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского
125
Рис. 67.
Рис. 68.
Возможно, что углы при некоторых вершинах многоугольника равны ж.
Пусть задана инволютивная перестановка сторон этого многоугольника: а -+ а .
Для любой стороны а существует единственное движение у(а) такое, что у(а)а' — а>
y(a)D Л D — а. Пусть выполняются следующие два условия: 1) 7(яO(а') = е! 2) для
любой вершины А многоугольника D существует такая последовательность сторон
ai,...,ak, что 7(aiO(a2) ¦ •¦ 7(at) = e> и последовательность многоугольников D,
y(a])D, y(ai)'y(a2)D, ..., 7(^1) •• -i(ak)D образует обход вокруг этой вершины А в
том смысле, что все они содержат вершину А и каждый элемент этой цепи смежен
с предыдущими; кроме того, они не перекрываются и покрывают (в совокупности)
некоторую окрестность точки А.
Теорема 3. Если выполняются указанные выше условия 1), 2), то движения 7(а)
порождают дискретную группу движений плоскости Лобачевского, для которой
область D является фундаментальной областью.
Рассмотрим простейшие примеры.
Пример 1. Пусть D есть многоугольник, вообще не имеющий вершин (см., например,
рис. 69). Рассмотрим движения 7(<J),7(a') такие, что у(а)а' — а, у(а)у(а!) = е, y(a)D Л
D = а. Такие движения всегда существуют: прямая переходит в прямую и данная
полуплоскость — в данную полуплоскость. Эти движения порождают дискретную
подгруппу в группе изометрий. Если никакая сторона многоугольника без вершин не
соответствует самой себе, то получается, очевидно, свободная группа. Наличие сторон,
соответствующих самим себе (например, такая сторона изображена на рис. 69), дает
нетривиальное соотношение в группе.
Пример 2. Группа, порожденная отражениями: а' = а для любого а и у(а) — отражение
относительно стороны а. Эти элементы имеют порядок два.
y(e,) yiajD
Рис. 69.
Рис. 70.
Рассмотрим теперь случай, когда фундаментальный многоугольник содержит
бесконечно удаленную вершину (оставаясь при этом конечным, т. е. имеющим конечное
число вершин). Пусть D — такой конечный многоугольник и а *-* а — инволютивное
преобразование его сторон; 7(а) — такие движения плоскости Лобачевского, что
у(а)а' = a; y(a)D П D = а; у(а)у(а) = е. Пусть А — вершина многоугольника D;
тогда из рис. 70 видно, как получить последовательность сторон а\,...,а9,... При
этом, конечно возникает и последовательность вершин, так как вершина А смещается
при указанных преобразованиях. Таким образом, возникают две последовательности:
аи а2,... и А,А\,А2,... (здесь At — образ вершины А при отображении 7(ai), и т.д.).
Будем говорить, что эти две последовательности порождены вершиной А. Так как
рассматриваемый многоугольник конечный (т. е. имеет конечное число сторон; см.
выше), то обе эти последовательности содержат конечное число элементов и обе они
оказываются периодическими. Пусть р — наименьший период последовательности
сторон; тогда число р также будет периодом последовательности вершин А, А\, .4.2,.. -;
число р называется периодом вершины А.
Эти две последовательности можно продолжить и в другую сторону, поскольку
они порождены действием элементов группы. При этом свойство периодичности,
конечно, сохраняется.
Пусть р — период вершины А; это означает, что последовательность вер-
вершин содержит в себе вершину Ар, которая совпадает с А. Скажем, что вершины
А],А2,... ,Ар-\ составляют цикл вершин (порожденный вершиной А). Все это можно
проделать, конечно, и для бесконечно удаленной вершины.
Предположим теперь, что движения у(а) порождают дискретную группу, для
которой многоугольник D является фундаментальным. Пусть А — обычная вершина
многоугольника (т.е. не бесконечно удаленная); тогда цепь ячеек, обходящая вер-
вершину А, должна замкнуться, а потому существует такое натуральное число т, что
I7(aiO(a2)-- -у(ар)]т = е. (Период р может быть еще недостаточен для того, чтобы
ячейки обошли вокруг вершины А, так как возвращение вершины А в исходное
положение при последовательных сдвигах указанного выше типа еще не гарантирует
того, что мы обошли все ячейки, примыкающие к вершине А.)
Число т называется кратностью вершины (не путать с периодом вершины!).
Кроме того, чтобы обойти вершину А один раз, необходимо выполнение следующего

126 Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
р
условия: 52 (/А;) = ^, где L At — величина угла многоугольника D при вершине А-,..
i=i
Если потребовать, чтобы преобразование [7("iO(a2) ¦ • -7(ap)]m сохраняло ориентацию,
то соотношение [7(aiO(a2) • • •1/(ар)]т = е вытекает из указанного выше соотношения
для углов. Легко проверяется, что соотношения, соответствующие вершинам одного и
того же цикла (или противоположному обходу вокруг вершины А), эквивалентны,
С бесконечно удаленной вершиной никакой обход вокруг нее не связан (что
очевидно), и соотношения поэтому не возникает. Но имеет место
Лемма 2. Для бесконечно удаленной вершины преобразование 7(ai) 7(й2) • ¦ • 7(а?) является
параболическим движением, т. е. таким, что соответствующая матрица (дробно-
линейного преобразования) второго порядка с вещественными коэффициентами
подобна матрице [ 0 j J.
Теорема 4. Пусть задан конечный многоугольник D, а также инволютивная переста-
перестановка его сторон, и пусть заданы движения у(а) для каждой стороны а такие,
что G(a)J3) П D = а. Пусть также для каждой вершины А этого многоугольника
Р 2т т
выполняется условие X](Zj4.j) ~ ~т и преобразование [7(ai) • ••7(ар)]ш сохраняют
t=i
ориентацию (напомним: отсюда вытекает соотношение [7(ai)---7(ap)]m — е)!
предположим далее, что для любой бесконечно удаленной вершины преобразование
f(ax).. .^(ap) является параболическим движением плоскости Лобачевского; тогда
оказывается, что группа, порожденная всеми элементами у(о,), дискретна и
область D является ее фундаментальной областью (фундаментальным многоуголь-
многоугольником).
Пример 1. Группа, порожденная отраже-
отражениями (рис. 71, а). Здесь период
вершины А равен 2; кратность этой
вершины равна т.
Пример 2. Группа, порожденная поворо-
поворотами (рис. 71, 6). Пусть С А, = Iе-
с целыми ms; пусть стороны, при-
примыкающие к вершине As, равны.
к
D
б)
Рис. 71.
Предположим, что ^(ZB,) = ^. Пусть js — поворот на угол ^- вокруг точки As по
часовой стрелке. Условия теоремы 4 выполнены, а потому получаем дискретную группу.
Эта группа имеет соотношения: для вершины А соотношение имеет вид (-у(а))т = е; для
вершины В оно имеет вид G172 • ¦ -lk)m = e.
Заметим, что в евклидовой геометрии таких многоугольников мало, так как
1-
выполняется соотношение ^ ^ + ^ = к - 1, откуда следует, что fc ^ 4. (Мы опускаем
доказательство). На плоскости Лобачевского таких многоугольников (и, следовательно,
таких групп) бесконечно много.
Пример 3. Рассмотрим 4й-угольник на плоскости Лобачевского, изображенный на рис. 72, а.
Предположим, что сумма всех его углов равна 2тг и что при каждом г сторона а,- равна
стороне а\, а сторона bt равна стороне Ь\.
Утверждение. Сохраняющие ориентацию движения а*,А плоскости Лобачевского, одно-
однозначно определяемые условием а; : а( -+ а[/3; : bj —* &iпорождают дискретную
значно определяемые условием а; : а( -+ а[, /3; :
i, порождают дискретную
§ 20. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского
127
Рис. 72.
. группу, действующую без неподвижных точек, в которой выполнено соотношение
и фундаментальный многоугольник которой совпадает с исходным.
Группа эта изоморфна фундаментальной группе римановой поверхности рода fc,
т.е. сферы с к ручками, а наш многоугольник будет многоугольником, задающим
каноническую запись этой поверхности (см. задачу I из § 19).
Следствие. Универсальная накрывающая замкнутой ориентируемой поверхности рода
g > 1 (сферы с g ручками Мд) есть плоскость Лобачевского.
Задача. Доказать, что если в примере 3 вместо рис. 72, а взять рис. 72, б то получим ту
же самую поверхность.
В заключение приведем без доказательства одну теорему конечности для
дискретных групп.
Теорема 5. Всякий выпуклый фундаментальный многоугольник дискретной группы движе-
движений плоскости Лобачевского конечной площади имеет конечное число сторон (если
же имеются выходы на бесконечность, то их конечное число).
Перейдем теперь к рассмотрению так называемой группы Мебиуса и к класси-
классификации дробно-линейных преобразований.
Наши рассмотрения мы начнем с дробно-линейных преобразований на сфе-
сфере Римана СР1 и С U @0) = S2, т.е. на пополненной комплексной прямой.
Множество невырожденных дробно-линейных преобразований (с комплексными ко-
коэффициентами) образует группу, которая иногда называется группой Мебиуса и
обозначается в литературе так: Mob. Имеет место следующий очевидный изомор-
изоморфизм: Mob и SLB, C)/{± I} (матрицы ±1 составляют центр группы SLB,Q). Из
теории жордановой нормальной формы известно, что любая матрица а из группы
5ХB,С) сопряжена с одной из следующих матриц: 1) [\ М, т.е. 2f->z+{;
2) ( л ), т. е. z н-+ cz. В первом случае преобразование а называется параболическим,
во втором случае — эллиптическим, если \с\ = 1, и гиперболическим, если с € М и
с > 0; все остальные случаи объединяются под общим названием локсодромические

128
Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
§ 20. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского
129
преобразования. Тождественное преобразование из этой классификации исключается.
Эта терминология относится как к матрицам (указанного вида), так и к элемен-
элементам группы Mob, представляемым этими матрицами. Если выбран представитель
преобразования а (т. е. некоторая матрица) такой, что det а = 1, то имеет место
следующая
Лемма 3. Пусть а ? SLB,Q, а ф ±1. Тогда: 1) матрица а является параболической
тогда и только тогда, когда Spa = ±2; 2) матрица а является эллиптической
тогда и только тогда, когда Spa € Е и |Sp<r| < 2; 3) матрица а является
гиперболической тогда и только тогда, когда Spa € 1, |Spa| > 2; 4) матрица а
является локсодромической тогда и только тогда, когда Sp a $ Ж.
Здесь Sp (° A = a + d — обычный след матрицы.
Из этой леммы видно, что группа SLB,R) не содержит локсодромических
элементов. Дадим характеристику преобразования из группы SLB,R) на языке
неподвижных точек этих преобразований. Заметим, что преобразование из SLB, Ж)
(как и из SLB,Q), отличное от 1, имеет на расширенной комплексной прямой 'две
неподвижные точки, которые могут слиться.
Лемма 4. Пусть а 6 SLB,R), а ф ±1. Тогда: 1) матрица а является параболической
в том и только в том случае, когда а имеет ровно одну неподвижную точку
на расширенной прямой Ж U со; 2) матрица а является эллиптической в том
и только в том случае, когда а имеет одну неподвижную точку на верхней
полуплоскости Н = {z € C|Im z > 0} и вторую неподвижную точку на нижней
полуплоскости; 3) матрица а является гиперболической в том и только в
том случае, когда а имеет две неподвижные точки на расширенной прямой
Еи (со).
Пусть Г — дискретная подгруппа группы S?B,E). Тогда z e Я называется
эллиптической точкой группы Г, если существует преобразование a € Г такое, что
<j(z) = z, где а — эллиптический элемент. Аналогично точка z ? Е и (со) называется
параболической точкой группы Г, если существует преобразование г g Г такое, что
t(s) = s и г — параболический элемент группы. Перечислим теперь некоторые
простейшие свойства преобразований указанных выше типов.
1. Гиперболический тип.
а) Каждая окружность, проходящая через неподвижные точки этого преобразо-
преобразования, переводится этим преобразованием в себя; каждая из двух частей, на которые
окружность разбивается двумя неподвижными точками, также переходит при этом в
себя.
б) Внутренность окружности, проходящей через неподвижные точки этого
преобразования, переходит в себя.
в) Каждая окружность, ортогональная к окружности, проходящей через непо-
неподвижные точки, переходит в окружность, обладающую тем же свойством.
г) Неподвижные точки сопряжены относительно любой такой окружности, т. е.
ортогональной к окружности, проходящей через неподвижные точки. (Сопряженность
точек определяется так: точки А, В сопряжены относительно окружности радиуса R с
центром в точке О, если точки О, А,В лежат на одном луче, выходящем из точки О и
\OA\-\OB\ = R2.)
Рис. 73.
Рис. 74.
На рис. 73 построены два семейства указанных выше окружностей и показано,
каким образом преобразуются области, на которые изображенные семейства окруж-
окружностей разбивают плоскость; каждая заштрихованная область переходит в следующую
(незаштрихованную) область в направлении, показанном стрелкой.
2. Параболический тип.
а) Каждая окружность, проходящая через неподвижную точку, переходит в
окружность, касающуюся первой окружности в неподвижной точке.
б) Имеется зависящее от одного параметра семейство окружностей, касающихся
друг друга в неподвижной точке, каждая из которых переходит сама в себя.
в) Внутренность каждой неподвижной окружности переходит сама в себя.
На рис. 74 показано, как преобразуется плоскость при параболическом пре-
преобразовании. Каждая заштрихованная область переходит при параболическом пре-
преобразовании в следующую (незаштрихованную) область в направлении, указанном
стрелкой.
3. Эллиптический тип.
а) Дуга окружности, соединяющая непо-
неподвижные точки, переходит в дугу окружности,
соединяющую неподвижные точки.
б) Каждая окружность, ортогональная
окружностям, проходящим через неподвижные
точки, переходит сама в себя.
в) Внутренность каждой такой окружно-
окружности переходит сама в себя.
г) Неподвижные точки сопряжены по от-
отношению к каждой из окружностей, ортогональ-
ортогональных окружностям, проходящим через неподвиж-
неподвижные точки (рис. 75).
В заключение этого параграфа укажем
конкретный пример дискретной группы движе-
движений плоскости Лобачевского, имеющей фун-
фундаментальной областью 4<;-угольник с суммой
углов 2ж (см. выше пример 3). В качестве
такой фундаментальной области возьмем пра-
правильный 4^-угольник (с углами ж/2д) с цен-
центром, например, в центре единичного круга (в
модели Пуанкаре; рис. 76). Разобьем стороны
этого 4^-угольника на пары, беря просто пары противоположных сторон. Пусть
А\,...1А2д — «сдвиги» плоскости Лобачевского, меняющие местами пары противопо-
противоположных сторон (см. рис. 76). Каждое последующее преобразование Аь+\ получается

130
Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
из предыдущего Ак поворотом направления «сдвига» на ж — j- (т. е. сопряжением с
помощью матрицы Вд поворота на угол ж — ^-). Преобразования A\,...,Aig связаны
соотношением А\,.. АгдА~{ ... Ay = e (проверьте!).
Легко получить явные формулы для матриц
преобразований Аи...,А2д из SLB,&) (т.е. уже в
реализации геометрии Лобачевского на верхней по-
полуплоскости). Можно считать, что в этой реализации
движение А\ переводит мнимую полуось в себя. Тогда
оно имеет вид № « Аш, А = е!, где / — удвоенный
катет треугольника с углами т/2, ж/4д, ж/Ад (это видно
из рис. 76). Указанный катет легко вычисляется; для
величины I получаем
I - 2 In
cos /3 +
Рис. 76.
sin/3
(проверьте!). Матрицы Aj,...,Aig, как уже говорилось, получаются из матрицы А\
сопряжением: А^ — Вдк+] А\Вд~], где Вд — матрица поворота на угол ж^^- вокруг
точки i:
Ва —
cosr^Ci
sinjr2
Окончательно получаем
cosa sina\ I sin
-sina cosaj I g
(\ fc-1
cosa srna \
— sina cosa у '
а — ж
Задача. Докажите, что группа с образующими Аи.--,А2д и соотношением Аи..А2д х
А^1...Ац = 1 изоморфна группе с образующими a,,bi ...,as,bs и соотношением
Глава 5
Гомотопические группы
§21. Определение абсолютных и относительных
гомотопических групп. Примеры
1. Основные определения. Гомотопические группы, к определению которых мы
сейчас перейдем, представляют собой важнейшие из инвариантов многообразий или
топологических пространств, как будет видно из дальнейшего текста. Одномерная го-
гомотопическая группа по определению совпадает с фундаментальной группой ж}(М,xq).
Нульмерной гомотопической группы, вообще говоря, нет: нульмерным аналогом го-
гомотопической группы является множество жо(М,хо) компонент линейной связности
пространства М, в котором отмечен «тривиальный» элемент — компонента отмечен-
отмеченной точки х0. Лишь в отдельных случаях множество 7го(М,жо) обладает естественной
групповой структурой; укажем основные примеры такого рода,
А. Пространство М является группой Ли. В этом случае связная компонента
единицы х0 = 1, обозначаемая через М() С М, является нормальным делителем;
факторгруппа М/Мд = жо(М,хо) имеет естественную групповую структуру.
Например: 1) для М = О(п) имеем ita(M, so) = Z2 (компоненты соответствуют
знакам детерминанта); 2) для М = О(п,\) имеем жо(М,ж0) = Z2 x Z2 (разделение
группы на компоненты производится по знаку детерминанта и по тому, сохраняется
или обращается направление времени).
Б. М есть пространство петель Q(xa,N) некоторого пространства JV; это
пространство u(xo,N) состоит из путей 7, начинающихся и кончающихся в точке х0.
Как доказывалось в §15 (см. теорему 1), множество компонент линейной связности
жп(М, е) пространства М (е есть единица, т.е. постоянный путь 7@ = s0) совпадает с
группой Ж\(Ы,х0) (по определению последней).
Дадим теперь определение «высших» гомотопических групп т,(М,ж()). Рассмо-
Рассмотрим диск D1 с граничной сферой S' и отображения / : D' -+ М, при которых
сфера 5'"' переходит в точку хц.
Определение 1. Элементом гомотопической группы ж^М,х0) называется гомотопиче-
гомотопический класс отображений диска D' -+ М", причем граница 5i-1 переходит в
точку ха при всех отображениях и гомотопиях. Эквивалентным образом элемент
из т;(М, so) задается гомотопическими классами отображений сферы S' -+ М,
при которых избранная точка сферы s0 ? S' переходит в точку s0.
(Можно сказать, что элементы группы я\(М, s0) — это компоненты связности
пространства отображений 5' —» М, при которых з0 ь-> s0.)
Произведение элементов гомотопической группы определяется так: рассмотрим
сферу 5' с экватором S' С 5' и точкой s0 на экваторе 5'"'. Рассмотрим стандартное

130
Глава 4. Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа
связаны
из предыдущего А% поворотом направления «сдвига» на ж - ? (т. е. сопряжением с
помощью матрицы Вд поворота на угол ж - ^-). Преобразования А\,...,Аг
соотношением А\ ... AigA~{[ ... Ajg = e (проверьте!).
Легко получить явные формулы для матриц
преобразований А\7...,А2д из SLB,Ж) (т.е. уже в
реализации геометрии Лобачевского на верхней по-
полуплоскости). Можно считать, что в этой реализации
движение А\ переводит мнимую полуось в себя. Тогда
оно имеет вид w i~* Хш, X = е1, где I — удвоенный
катет треугольника с углами ж/1, ж/Ад, тг/Ад (это видно
из рис. 76). Указанный катет легко вычисляется; для
величины I получаем
Рис. 76.
Ад
(проверьте!). Матрицы .4.2,... ,Ajg, как уже говорилось, получаются из матрицы А\
сопряжением:
точки i:
~ш
~
Ак = Вд~шА\Вд~\ где Вд — матрица поворота на угол
вокруг
cosjr&J.
Окончательно получаем
_ / cosa sina\
~ \ — sina cosaJ
( cosa sin a \
\ — sin a cos a y >
Задача. Докажите, что группа с образующими A\,...,A2s и соотношением Ai...A2s x
А~['... Ац = 1 изоморфна группе с образующими а,,Ь\ ...,ад,Ъд и соотношением
Глава 5
Гомотопические группы
§21. Определение абсолютных и относительных
гомотопических групп. Примеры
1. Основные определения. Гомотопические группы, к определению которых мы
сейчас перейдем, представляют собой важнейшие из инвариантов многообразий или
топологических пространств, как будет видно из дальнейшего текста. Одномерная го-
гомотопическая группа по определению совпадает с фундаментальной группой ж\(М,хь).
Нульмерной гомотопической группы, вообще говоря, нет: нульмерным аналогом го-
гомотопической группы является множество жо(М,хо) компонент линейной связности
пространства М, в котором отмечен «тривиальный» элемент — компонента отмечен-
отмеченной точки хо. Лишь в отдельных случаях множество -К(,(М,хо) обладает естественной
групповой структурой; укажем основные примеры такого рода.
А. Пространство М является группой Ли. В этом случае связная компонента
единицы so = 1, обозначаемая через Ма С М, является нормальным делителем;
факторгруппа М/Мо = жд(М, ж0) имеет естественную групповую структуру.
Например: 1) для М = О(п) имеем тго(М,хо) = Z2 (компоненты соответствуют
знакам детерминанта); 2) для М = О(п,1) имеем жо(М,хо) = Z2xZ2 (разделение
группы на компоненты производится по знаку детерминанта и по тому, сохраняется
или обращается направление времени).
Б. М есть пространство петель Q(xo,N) некоторого пространства N; это
пространство u(x(hN) состоит из путей у, начинающихся и кончающихся в точке х0.
Как доказывалось в §15 (см. теорему 1), множество компонент линейной связности
я"о(М, е) пространства М (е есть единица, т.е. постоянный путь y(t) = so) совпадает с
группой я",(ЛГ, s0) (по определению последней).
Дадим теперь определение «высших» гомотопических групп ж{(М,х0). Рассмо-
Рассмотрим диск D' с граничной сферой 5' и отображения / : D' -* М, при которых
сфера 5' переходит в точку so.
Определение 1. Элементом гомотопической группы T;(Af, s()) называется гомотопиче-
гомотопический класс отображений диска D' -+ Мп, причем граница 5' переходит в
точку s() при всех отображениях и гомотопиях. Эквивалентным образом элемент
из Ж{(М, so) задается гомотопическими классами отображений сферы 5' -+ М,
при которых избранная точка сферы so € 5' переходит в точку жо.
(Можно сказать, что элементы группы х;(М, s()) — это компоненты связности
пространства отображений 5' —» М, при которых sa >-> s0.)
Произведение элементов гомотопической группы определяется так: рассмотрим
сферу S' с экватором 51 С S1 и точкой s0 на экваторе 5'"'. Рассмотрим стандартное

132
Глава 5. Гомотопические группы
отображение •ф сферы S1 в букет двух сфер S] V 5], при котором экватор целиком
переходит в одну точку s0, в которой скреплен букет (рис. 77).
При этом отображение -ф вза-
взаимно однозначно и сохраняет ори-
ориентацию во всех точках, кроме эква-
-.i-i
тора S' . Если заданы отображе-
отображения а : S\ -+ М, a(s0) = s0 и
Р : S\ -* М, /3(s0) = ж0, то мы
определяем произведение ар как
отображение S1 —* М, совпадающее р с 77
с а(-ф(х)) для полусферы D+ и с
/3 (тр(х)) для полусферы D':
при х € D+,
при х ? ZT.
Очевидно, a/3(so) = s0. Гомотопический класс произведения а/3 называется произведе-
произведением гомотопических классов а и /3 в гомотопической группе жх{М,х0).
Теорема 1. Операция умножения гомотопических классов превращает множество
х;(М, Хо) в группу, коммутативную при i > I.
Аоказательство. Для i = 1 теорема 1 сводится к теореме 17.1. Рассмотрим случай » > 1.
а) Коммутативность: а/3 гомотопно Ра. Пусть а задано на верхней полу-
полусфере D+(x° ^ 0), р — на нижней полусфере ?Г(ж° ^ 0); считаем, что сфера S'
i
вложена в EI+1(s0,... ,х') как гиперповерхность ХКЖ'J = '• Пусть точка so
j=0
на экваторе имеет координаты So = (я0 = 0,хх = 1,...,х' = 0). Рассмотрим
семейство вращений сферы 5' по себе вокруг ортогонального дополнения к
плоскости (х°,х2) на углы 0 ^ tp ^ ж. При ц> = ж это отображение меняет
местами D+ и D~. Точка so неподвижна при всех вращениях. Мы получили
гомотопию, меняющую местами а и /3. Таким образом, ар и /За гомотопны.
б) Ассоциативность: (а/3O гомотопно а(Р'у). Пусть а задано на верхней
полусфере D+(x° ^ 0), а нижняя полусфера D~(x° < 0) разделена пополам,
D~ = J9j~ U Dj : s1 ^ 0 на J3f и х' ^ 0 на D^. Пусть р задано как отображение
диска D\ и 7 — как отображение диска DJ (рис. 78). Легко видеть, что эта
модель реализует как а(Ру), так и (а/3O- Утверждение доказано.
Рис. 78.
Рис. 79.
в) Обратный элемент. Пусть задано отображение сферы a : (S',So) —*
(М,х0), задающее элемент а ? я\(М,х0); покажем, что отображение 5' —» М,
определяемое формулой (x°,s',... ,х') >—> а(—х°,х1,... ,х'), определяет элемент
-а € тДМ.жо). Рассмотрим знакомое нам отображение f : S' -* S' V 5', при
§ 21. Определение абсолютных и относительных гомотопических групп. Примеры 133
котором экватор ха = 0 переходит в точку s0 (рис. 79). Считаем, что отображение
a: S' -* М определено на верхней полусфере D+(x° ^ 0). Отображение (-а) :
D -+ М, рассматриваемое как отображение нижней полусферы D (х° ^ 0),
действует по формуле (-а)(х°,х],... ,хп) = а(-ха,х\...,хп). Вместе а и -а
составляют отображение / : 5* -* М, при котором точки у = (ж0,...,ж") и
у* - (-х°,...,хп) переходят в одну и ту же точку, f(y) = /(у*). Следовательно,
отображение / представляется в виде суперпозиции / — gro ж, где ж —
проекция, ж : S{ -> D\ ж(у) = тг(у') (рис. 80), и} = а:О'-М. Поэтому
отображение / гомотопно постоянному, и точку s0 можно сделать неподвижной
при гомотопии. Теорема доказана. ¦
Пока нам известны гомо-
гомотопические группы лишь весьма
малого количества пространств
(не считая группы тг]):
- а) ir(M,x0) - 0 для лю-
любого стягиваемого многообразия
или пространства М (например,
ЛГ = 1", D", дерево и др.);
б) тг,-E") = 0 при i < n, vn(Sn) = Z (см. § 13).
Из определения гомотопических групп немедленно вытекает
Утверждение. Доя прямого произведения М х N имеем
D'
Рис. 80.
Аоказательство. Любое отображение / : 5* -+ М х N есть просто пара отображений:
/ = (/ьЛ). где /i : 5' ^ М и /2 : 5' -* JV. При гомотопиях / составляющие
/i, /2 деформируются независимо. Утверждение доказано. ¦
Таким образом, мы можем расширить круг примеров, где мы знаем гомотопи-
гомотопические группы, составляя их произведения.
2. Относительные гомотопические группы. Точная последовательность пары. От-
Относительные гомотопические группы ж{(М,А,х0) определяются для пространства М,
его подмножества А и точки х0 € А. Элементы а Е жг(М,А,х0) представляются
отображениями диска
a : D' -> М,
при которых граница 5'"' переходит в А
и избранная точка s0 на границе S'~l
переходит в жо. По определению элемен-
элементы из ж{(М,А,х0) — это гомотопические
классы таких отображений
a : (D\S'~l,so) —* (M,A,xq).
Рис. 81.
ж,(М,А,х0) определяется для t ^ 1 и является группой для % ^ 2. Группы Ж{(М,А, х0)
коммутативны при % ^ 3. Групповая структура в ж^М,А,х0) при i ^ 2 вводится
в полной аналогии с абсолютными группами ж{(М,хо). Если а,/3 6 т;(М,А,ж0),
то произведение а/3 реализуется (рис. 81) на диске D', представленном в виде
з=\

134
Глава 5. Гомотопические группы
Рассматривается отображение -ф : D' -* D] V D2, стягивающее диск D' '(ж1 = 0)
в точку *0- На диске D] реализуется а, а на диске D2 реализуется /3. Суперпозиция
D' —> D\ V D\ —* М дает а/3. При г = 1 мы имеем множество гомотопических
классов отображений 1Г|(М, А,хй) — групповой операции нет. При г = 2 граница
dD' = S'~] одномерна. Поэтому относительная группа тт2(М,А,хо) может быть
некоммутативна, как и абсолютная группа iri(M,Xo). При г ^ 3 дословное повторение
доказательства теоремы I дает коммутативность группы л";(М, А,х0). Доказательство
того, что Ж{(М,А,хо) — группы при г^2, также полностью аналогично теореме 1, и
мы его не приводим.
Если А — ж0, то относительные группы vdM, А,хй) не отличаются от «абсолют-
«абсолютных» групп 1Г,(М, ж0).
При непрерывных отображениях многообразий (пространств)
/ : М -> ЛГ,
А->В,
ха >-+ Уо,
по аналогии с группой %\ (см. § 17) получаем естественные гомоморфизмы [D' —*
Эти гомоморфизмы не меняются при гомотопиях отображения /, при которых А
переходит в В и ж0 в уа.
Всякое отображение D' —» М, при котором сфера 3D' — S'~l переходит в
точку жр, представляет собой как элемент группы тг;(М,жо), так и элемент группы
тг;(М, А, ж0). Таким образом, получаем гомоморфизм
j : 1г(М,ж0) -» щ{М,А,Ха),
поскольку гомотопия отображения в классе а € тг,(М, х0) может считаться и гомотопией
в классе Wi(M,A,xa) (но не обратно!).
Кроме того, всякое отображение / : D' —> М, представляющее элемент а €
тг;(М, А, ж0), определяет отображение границы
f\9D. : S1'-1 - Л,
при котором So •-* жо- При гомотопиях отображения / в классе а 6 Wi(M,A,x9)
отображение границы меняется в классе из тг.-^Джо). Произведение в группе
тг;(М,-А,ж,]) порождает на границах произведение в группе 1г,_|(Л,ж0) по определению.
Таким образом, возникает «граничный гомоморфизм»
д : ж{(М,А,ха) -* 1г,_1D,жо).
Кроме того, включение А С М, рассматриваемое как непрерывное отображение
t : А —» М, порождает «гомоморфизм вложения»
Напомним, что ядром группового гомоморфизма tp : G —* Н называется
подгруппа Кет<р группы G, состоящая из элементов а € Кегу таких, что ip(a) = 1.
Образ гомоморфизма <р, обозначаемый через Im ip, есть просто tp(G) С Я.
§21. Определение абсолютных и относительных гомотопических групп. Примеры 135
Теорема 2. Гомоморфизмы j,i,,d обладают «свойством точности»:
Ker j = Imi,,
Ken» = 1тЭ,
Ktrd-lmj.
Желая выразить это одним словом, обычно говорят, что последовательность
групп и гомоморфизмов
... Д Vi(A,x9) ^ тг((М,х0) -^ 1гг(М, А,х9) -^ тг^х(А,ха) -* ...
точна.
Аоказательство. a) Kerj = Im it. Действительно, всякий элемент группы тг;(М,ж0)
представляется отображением a : D' —* М с a(dD') = ж0. Если же этот
элемент лежит в Kerj, то существует гомотопия а,- отображения a — а0,
в процессе которой все время So н+ жо, 3D' —¦ А, а в конце гомотопии
получим ax(D') С А. Это есть определение Kerj. Гомотопия а< определяет
отображение (dD',t) —* А для 0 ^ t ^ 1, причем aa(8D') — ж0. Поэтому
семейство отображений at : (dD',t) —> А задает отображение диска D' —» А.
Сопоставляя композицию этого отображения с отображением ос\ : D' —» А,
получаем отображение S' —* А, при котором s0 —+ ж0. Поэтому Kerj содержится
в образе Imi,. Обратно, если задано отображение диска / : D' —* А с
f(8D') = ж0, то в группе тг;(М, ^4,ж0) это отображение / дает нулевой элемент,
поскольку диск сам по себе стягивается к точке по множеству А. Поэтому
Imi, — Kerj.
б) КегЭ = Imj. Если a € КегЭ, то а представляется отображением a :
D'^Mt S'~[ —* А, «о I-* жо, для которого отображение границы а : 5'"' —* А
гомотопно нулю, т.е. существует гомотопия at: S'~l —> А с с*о = а, a((so) = ж0,
а,E!"') = ж0. Отображение a:D' ->M вместе с отображением {at}: S'~lxl—>A,
переводящим 5!"' х 1 в ж0. составляет отображение S' —* М, при котором
отмеченная точка sa = [S'~',l] переходит в ж0. Таким образом, ядро КегЭ
содержится в образе Imj. Обратное очевидно, поскольку при отображениях
диска a :?>'—» М из Imj вся граница переходит в точку и, значит, д(а) = 0.
в) Imd = Кегг„. Пусть а € Keri» С я\(Л,ж0) и а представлено отображением
а : S' —* А с s0 •-> ж(). Тогда имеется гомотопия а( : 5' —* М с а0 = а, а((^о) = х0
и aiE!) = ж0. Эта гомотопия задает отображение диска D'+l —» М, так как
01,E', 1) = ж0. При этом граница 8Dl+i = Sl при отображении а0 переходит
в А и so переходит в жо. Мы получаем отображение F тройки D'+[ —* М,
Sl —* A, So >-> ж0. Таким образом, Кегг» содержится в образе Im<9, так как
а = а0 = d(F). Обратно, если а = 8F, то отображение а : S' —* А гомотопно
отображению в точку (по М), и в процессе гомотопии so >-+ ж0. Теорема
доказана. Ш
Пример. Пусть М = D", А = S"'1. Тогда xn(Dn,5I",x0) = Ь х,(?)",5"-',Жо) = 0 при i < п.
Аоказательство. Рассмотрим точную последовательность
х„. ,№""').
Если п > 1, то

136 Глава 5. Гомотопические группы
так как шар D" стягиваем. Поэтому \mj = 0 и Imi, = 0. Так как Im?' = Kerd, то
Кегд = 0. Поэтому гомоморфизм д : хп(Х)",5""') —> х„_|E"~') не имеет ядра (является
вложением). Так как Imd = Keri» = xn_iE""'), то гомоморфизм д есть на самом деле-
изоморфизм между irn(D",S"~[) и irn..|E""') = Z. Утверждение доказано. ¦
Аналогично, если М стягиваемо, то т,(М) = 0 (j ^ 0) и х„(Л/,Л) = х„_|(Д) при
п ^ I (проверьте!).
§ 22. Накрывающая гомотопия. Гомотопические группы
накрытий и пространств петель
1. Понятие расслоения. Пусть X и Y — два топологических пространства и
f : X ~*Y — непрерывное отображение. В некоторых примерах (ниже) X будет бес-
бесконечномерным функциональным пространством — пространством путей. Рассмотрим
любое гладкое многообразие (или пространство) К и два отображения
<p:K-*Y, ф:К^>Х;
говорят, что ф накрывает f, если /ф — <р.
Определение 1. Мы скажем, что отображение / : X -*Y есть расслоение (или расслоение
Серра), если любая гомотопия Ф — {ft} '. Kxl —*Y произвольного отображения
f — ifia в базу Y накрывается некоторой гомотопией Ф = {ф(} '¦ К х I -* X, т. е.
fVt — ft Для всех t ^ 0, и при этом в момент t = 0 отображение фа совпадает
с заданным отображением ф, удовлетворяющим условию /ф = f. При этом
требуется, чтобы накрывающая гомотопия ф\ была «стационарной» вместе с ft'.
если точка k G К неподвижна на некотором отрезке 8 гомотопии, ft(k) — const
при t € 5, то и ft(k) = const при t G 6.
Практически во всех случаях, когда имеется свойство накрывающей гомотопии,
вводится однозначный рецепт накрывать в X движение точек по базе Y; этот рецепт
должен непрерывно и мультипликативно зависеть от пути точки по базе У и от
начального положения этой точки в X. Точно это означает следующее.
1. Всякому непрерывному пути j(t) : I —* Y в базе Y, 0 ^ t ^ 1, и начальной
точке ха € X такой, что /(ж0) = у0 = 7@), однозначно сопоставляется непрерывный
путь y(t,x0) :/-»! такой, что 7@,ж0) = х0 и /7D,х0) = 7(<). Путь y(t,x0) должен
непрерывно зависеть от пути -y(t) и от начальной точки ж0.
2. Мультипликативность: произведению путей 7ь72 в базе Y должно отвечать
при накрытии произведение путей 71(*;жо) °72(Т,Ж1). 0 ^ i ^ 1, 1 < т ^ 2, если
§ 22. Накрывающая гомотопия
137
3. Если путь 7 постоянен (сводится к точке уа), то и путь 7 постоянен (сводится
к точке ж0). Заметим, что если задан путь -y(t) из t/o в у\, то совокупность путей 7(?, ж)
для всех ж € / (t/o) определяет отображение «переноса» слоев 7 : / (з/о)
причем Gi°72) = 7i °72, а отображение 7i 07,
тождественному If ~ 7 ° 7~' : /~'(з/о) -* /"'(З/о).
слоя F — f '(ya) в себя гомотопно
Задача. Докажите, что слои расслоения гомотопически эквивалентны и, более того,
отображения переноса слоев являются гомотопическими эквивалентностями.
Определение 2. Пространство Y называется базой, X — пространством расслоения:
полные прообразы Fy — f~](y) называются слоями, отображение / называ-
называется проекцией. Однозначный рецепт накрывать гомотопию, удовлетворяющий
перечисленным выше требованиям, мы назовем гомотопической связностью в
расслоении / : X —> F.
Пример 1. Накрытие является расслоением, у которого все слои дискретны. Свойство накры-
накрывающей гомотопии и движение слоев из точки в точку были изучены в § 18.
Пример 2. Рассмотрим гладкое многообразие (или пространство) М и точку х0 € М. Обозна-
Обозначим через X = Е(х0) пространство всех путей y(t), 0 ^ t ^ 1, начинающихся в точке хй и
кончающихся в любой точке 7@ 6 М (не фиксированной). Через Y мы обозначим само
многообразие М. Имеется отображение / : Е(х0) -> Y, действующее по формуле /G) =
7A). Слои /"'(у) представляют собой пространства п(хо,у,М), встречавшиеся в гл. 4.
Лемма 1. Отображение f : Е(х0) -> М является расслоением.
Доказательство. Построим для отображения / гомотопическую связность. Пусть задан
путь y(t) в М, ведущий из з/о = 7A) в ЗЛ = 7B)- Точка з/о «накрыта» при
t = 1. Это означает, что задан путь 7i(T)> 0 ^ т ^ 1, начинающийся в
точке х0 и кончающийся в точке t/o = Ti@- Накрытие пути y(t) в пространстве
X — Е(х) определяем очевидным образом: 7<(*') есть точка в пространстве E(xq),
представленная для любого 1 ^ t ^ 2 путем jt(t') G ^(жо,7(*))> 0 ^ t' ^ t,
определяемым формулами jt(t') = 7i(*') ПРИ 0 ^ t ^ 1, 7<(*') = 7@') ПРИ
1 ^ t' ^ t (рис. 82; путь 7<(*') показан пунктирной линией).
t=2
y(t)
Рис. 82.
Для пути 7<(*') можно ввести параметр i" = -щ\ тогда, 0 ^ t" ^ 1.
Накрытие 7< в пространстве ^(а;0) = X пути -y(t) bY = М непрерывно зависит
от начальной точки, т. е. от пути 7i(T), и от ПУ™ 7(') в ^азе Y = М.
Лемма доказана. ¦
2. Точная последовательность расслоения. Рассмотрим расслоение / : X —* Y,
точку з/о ? Y и слой F = /~'(уо)- В слое F выберем точку /0 € F. Определены
гомотопические группы i^i(X,fQ),iti(F,fo),iti(X,F,fa) и точная последовательность
пары
... - TTi(F) ± ъ(Х) ± *ЛХ, F) Л n-i(F) -*•¦¦
При отображении / : X -* Y слой F - /"'(з/о) переходит в одну точку F -* у0.
Поэтому определен гомоморфизм
Теорема 1. Гомоморфизм /* является изоморфизмом Ki(X,F,fo) и iTi(Y,yn). Поэтому
имеется «точная последовательность расслоения»

138
Глава 5. Гомотопические группы
Рис. 83.
доказательство. Пусть а € тг;(Х, F, /()) и f,(a) =
О, где а представлено отображением а :
D' -+ X, 3D' -+ .F, *0 м /о- Обозначим че-
через /3 образ /3 = /(а) : D' -* У, 3D' -+ у0.
Так как /3 = 0 в группе тг;(У, у0), существу-
существует гомотопия /3( : D' —> У с f5t(8D') —> t/o,
/Зо = /3 и Pi(D') = t/o- Накроем гомото-
гомотопию /3< гомотопией а< : В' -+ X такой, что
ац = о и а(Eо) = /0. Тогда at(dD') С -F при всех ?, и ai(D') С Г. Поэтому
а = 0 в группе 1г,(Х,^). Пусть теперь задан элемент /3 € тг,-(У,уо)- Найдем
такое а € ir,(X,F,/0), что /»а = /3. Для любого отображения /3 : D' —> У с
P(dD') = t/o можно построить гомотопию /3< : В' -* У с /Зо = /3, Д<(яо) = З/о,
/3](D!) = t/o, так как диск стягиваем (эта гомотопия не дает эквивалентности
в группе тг;(У,2/о), так как pt(dD') Ф t/0) (рис. 83). Отображение /3i : D' -* t/0
можно накрыть отображением aj : D' —* /о. Накроем теперь всю гомотопию а(,
1 ^ t ^ 0, начиная с отображения о^ : D1 —» /о. В конце гомотопии мы получим
отображение а0 : D' -* X такое, что 50 >-> /0 и /(«о) = /Зо = /3. Так как
P(dD') = t/o, мы получаем, что ао(<Э1>') лежит в слое F. Отображение а0 дает
элемент а Е Ki(X,F, /о) такой, что Да = /3. Теорема доказана. ¦
Замечание. Групповая структура в множестве 7Г|(Х, F, /0) вводится посредством изоморфизма
Р, /о)и xi(y,/o). В конечном отрезке точной последовательности
\fo)^^(X,fo)^^(Y,yo)^
где X и К считаются связными, образ гомоморфизма /, : Х|(Х,/о) -+ Х|(К, з/0) может
не быть нормальным делителем, и поэтому в множестве смежных классов xo(.F) и
7Г[(У, 2/o)//«Ti(-X\/o) нет естественной групповой структуры.
Следствие 1. Для накрытий, у которых слой F = /~'(Уо) дискретен, имеется изоморфизм
7Г;(Х,.Р,/„) = 7Г;(Х,/О) при % ^ 2.
Поэтому Ki(X, /о) и тгДУ), t ^ 2.
(Группа %\ изучена для накрытий в гл. 4.)
Следствие 2. Для расслоения путей
f : Е(х()) - М
со слоем п(хп,у,М) = /~'(t/) получаем 1г,-(^(ж0)) = О,
доказательство. Пространство Е(х0) стягиваемо по себе к точке с помощью гомотопии
щ : Щх0) -+ Е(х0),
1). При t = О
где 7( — отрезок пути 7 от 0 до t (с параметром т' = т/?,0 ^ т'
получим путь 7о(т) = 7@) = хо- Поэтому tpn(E(xo)) — точка.
§ 22. Накрывающая гомотония
139
Из стягиваемости Е(х{)) следует, что Vi(E(xo),xo) = 0 для всех i ^ 0. В
точной последовательности расслоения Е(х0) —> М имеем
¦к{ (Е(х0)) ±>щ(М,у) Л1г,_|(П(х(Ь
0
0
Из точности следует, что гомоморфизм д является изоморфизмом, так как
Im/* = Kerd = 0 и \тд = Кегг, = 1Г;_|(П(жо,3/,М)). Следствие доказано. ¦
Из следствия I вместе с примерами накрытий (см. примеры I—7 из § 18)
получаем, что при г > 1:
1) iti(Sl,s0) = iri(R\x<)) = 0 (пример I);
2) iri(lP2,xo) = iri(S2,s0), в частности тг2(!Р2) = Z (пример 3);
3) 1г,(Г"; х0) = 0 (пример 4);
. 4) Жг(К2; х0) = 0 (пример 5);
5) 7r;(S' VS1) = 0 (пример 7). Аналогично ir,E' V ... V S1) = 0 при i > 1,
поскольку универсальная накрывающая является деревом и потому стягиваема. Если
U — область плоскости, U = R2 \ (oi и ... U ak), где о; — точки, то U стягивается к
букету S1 V ... V S1, и потому т;(Г7) = 0 при г > 1.
6) Из примера 6 следует, что тг,-E2 V 51) = щ(... V S2 V 52 V ...) при г > 1.
Действительно, универсальная накрывающая является прямой, в целых точках которой
нанизаны сферы S2. Это же относится к группам t,(V) для области V = К3 \ 5', где
окружность S1 незаузлена, так как V стягивается к S2 V S1.
7) Для всех поверхностей (замкнутых и открытых), кроме ШР2 и S2, универ-
универсальная накрывающая есть (топологически) Е . Для сферы с g ручками это было
показано в § 20. Поэтому т* = 0 при всех г > 1.
3. Зависимость гомотопических групп от началь-
начальной точки. Разберем теперь вопрос о зависимости го-
гомотопических групп 1Г;(М,io) отточки жо € М. Пусть
хп и х\ — точки из М и -y(t), 1 < t < 2, —
путь из Ж() = 7B) в i| = 7@- Пусть элемент
а € Ki(M,x\) представлен отображением единично-
единичного диска а : D\ —> М, so —> sj. Мы сейчас определим
отображение 7*(а)'. D\ —* М диска радиуса 2 (рис. 84).
s0 = A,0 0)
4 =B,0 0)
Рис. 84.
Область 1
2 представляет собой S1"' х [1,2], т.е. сферу S' ', умноженную
на единичный отрезок [1,2]. Определим отображение 7 '¦ 5'"' х [1,2] —> М, полагая
7B/,*) = 7(*)> гДе
2. Отображение 7* (а): 1>2
7*(а) = а на DJ С 1>2,
7*(а) = 7 на области {1
определяется так:
2} = S1-1 x [1,2].
Имеет место
Теорема 2. 1) Преобразование а н-> 7*(°0 зависит лишь от гомотопического класса
пути 7, ведущего из ха в ж,, « определяет изоморфизм
частности, для односвязных пространств этот изоморфизм не зависит от пути.

140 Глава 5. Гомотопические группы
2) Для замкнутого пути у 6 ъ\{М,Жц) сопоставление а н-> 7*(°0 определяет
действие группы тт\(М,ж0) на тг,(М, ж0) посредством групповых изоморфизмов.
Если f : X —* М — универсальное накрытие, определяемое свободным действием
дискретной группы Г на X, то Г = П\(М,ж0), и группа Г действует на группе
ir,(X) = Tj(M) движениями X —> X. 3/ио действие совпадает с действием
фундаментальной группы it\(M,ж0) но тг;(М, ж„) как группы операторов. При этом
ввиду односвязности X (ъ\(Х) = 1) группа Vi(X,x) не зависит от выбора точки ж
в том смысле, что для двух точек х',х" € X изоморфизм тг;(Х, ж') -* тг;(Х, ж") не
зависит от пути -у, соединяющего х' и х".
3) Классы свободной гомотопии отображений сферы S' —»¦ М (без требования
So ь-> ж0) находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с орбитами
операторов из 1Г](М,хо), действующей на тг;(М, ж0). (Если Ж\ = I, то классы
свободной гомотопии соответствуют элементам а € ir,(M, x0).)
Аоказательспо утверждений I), 3) и первой части утверждения 2) в точности ана-
аналогично доказательству теоремы 17.4 для фундаментальной группы -К\ (здесь
нет разницы между случаем г = 1 и случаем г > 0). Существенно новой
является лишь часть утверждения 2), относящаяся к универсальному накрытию
/ : X —> М и действию группы Г на группах ж\(Х) = ir,(M,ж0). Совпадение
группы Г с группой ir,(M, го) было доказано ранее — см. теорему 19.2. Движе-
Движение g : X -* X из группы Г порождает изоморфизм тг,(Х, х) ^> тг;(Х, ж"), где
ж" = д(х). Однако имеется канонический изоморфизм 1г,(Х,ж') и я\(Х, ж"), не
зависящий от соединяющего эти точки пути. В силу следствия I тг;(Х) ss тг,(М, ж)
при г > 1. Рассмотрим элемент a € ?г,(Х, ж'), представленный отображением
диска радиуса 1:
a : D) -> X, dD\ -> х.
Образ д(а) есть отображение
д(а) :D\^X; dD\ -> ж" = д(х').
Рассмотрим диск D'2 радиуса 2 и путь у, ведущий из ж' в ж". Строим отображение
j*g(a): D\ —» X как выше (см. рис. 95), перенося вдоль пути -у элемент д*а из
точки ж" в ж'. Проекция отображения -у*д(а) в М по определению совпадают с
<?*(й) € тг;(М,ж0); здесь а € 1Г,(М,ж0), где ж0 = /(ж') = /(ж") и й соответствует а
при изоморфизме ir,(X,ж) = ir,(M,ж0), порожденном проекцией / : X —> М.
Элемент д € Г отождествляется с элементом из ir\(M,Жо) = Г. Тем самым
теорема доказана. ¦
Примеры. I. Для накрытия f : S2 -> UP2 имеем Г = xi(RP2) = Z2, где образующая есть
преобразование д : S2 —> 52, 5(г) = ""Я* меняющее ориентацию. Поэтому действие
элемента д на группе T2(RP2) = т2E2) = Zc образующей I 6 Z таково;
9*0) =-I
Заметим, что для RP3 = 50C) имеем также Г = Х| = Z2 с образующей д (д2 = I). Далее
ir^RP3) = Х]E3) = 2 с образующей I g Z. Однако здесь 5A) = 1 (проверьте!).
2. Для универсального накрытия X —> S2 V 5' пространство X реализовано в
виде прямой R1, -оо < t < +оо, у которой в целых точках t = n, n = 0,±1,±2,...,
приколоты сферы S2,. Группа Г = Z порождена образующей 5. действующей так:
#:i i-> t+ 1,
_ С2 С2
п = 0, ±1, ±2,...
§ 22. Накрывающая гомотопия
141
Очевидно, группа тг2(Х) есть прямая сумма групп Z в бесконечном количестве с
образующими
а„ : S2 -+ S2, (степень а„ равна 1).
По определению имеем
5(а„) = а„+1, п = 0,±1,±2,...
Так как Г = х,E2 V 5Р), гг2(Х) = х2E2 VS1), имеем типичный элемент из группы
x2(S2vS')
где А,- — целые числа, п ^ т. Букет S2 V 5' гомотопически эквивалентен области
U = R3 \ 52, где окружность 51 незаузлена.
Задача. Пусть V — область в R3, полученная из заполненного тора выкалыванием
одной внутренней точки. Найти группы Х|,х2 и действие т\ на х2.
4. Случай групп Ли. Если многообразие М является группой Ли, то имеет место
Теорема 3. Группа
тривиально.
коммутативна; действие
на всех группах
Аоказательсгво. Два любых отображения f,g : К —* М можно перемножать, ис-
используя групповую структуру М : fg(k) = f(k)g(k). Если fug таковы, что
/(fco) = <?(fco) — 1, то это же верно и для произведения fg. Кроме того, если /
гомотопно f',ag гомотопно д', то fg гомотопно fg'. Таким образом, гомо-
гомотопические классы [К, М] образуют группу. Пусть К = 51 и f,g представляют
элементы из 1Г](М, 1); покажем, что их произведение fg(x) = f(x)g(x) совпадает
с их обычным произведением в 1Г].
Можно гомотопией привести эти отображения к виду:
/(ж) = I для всех ж € D~,
д(х) = 1 для всех ж 6 D+.
Здесь 51 задается в виде х2+у2 — 1, отрезок D+ выделяется неравенством у ^ О,
отрезок D~ — неравенством у ^ 0. Точка s0 6 51 имеет координаты A,0).
Произведение fg в группе тг\(М, 1) совпадает при указанном выборе пред-
представителей с групповым произведением отображений fug
Ясно также, что при таком выборе представителей f(x)g(x) — g(x)f(x). Таким
образом, произведение не зависит от порядка сомножителей, т. е. группа %\ (М, 1)
коммутативна.
Введем теперь групповой эквивалент действия 1Г[ на тг,- (i > 1).
Рассмотрим диск D\ =
1
\ радиуса 2 и в нем диск D\ =
J
1 > радиуса 1. Область *2 1
j J
Рассмотрим два отображения диска D; вЖ:
4 есть кольцо S' х I.

142 Глава 5. Гомотопические группы
1. Если j(t), 1 ^ t ^ 2, представляет эле-
элемент из 7Г](М, 1), то имеется отображение ..—\?>2 s*—^\
Так как 7VEi 1) — 1 € Af, то можно про- р „,
должить это отображение до отображения
диска ipj : D\ -* М, положив f-j(D)) = 1. Отображение ф^ :D\-*M переводит
край 3D] в точку 1 € М и стягивается к тривиальному отображению, причем в
процессе гомотопии край 8D\ все время переходит в точку (заметим, что образ
¦ф7(х) С М одномерен; см. рис. 85).
2. Зададим отображение а : D\ -* M,a(dD\) = 1, представляющее элемент
а € Ж{(М, 1) на диске D\. Продолжим а до отображения а : D\ —> М, положив
a{D\ - D\) = 1. Рассмотрим произведение атр^(х) — a(x)i/O(x) = ^7(ж)а(ж),
х € D\. Это произведение по геометрической конструкции представляет элемент
7* а из тг,(М, 1), так как ссф7 совпадает с а на диске D\ и проектирует кольцо в
путь 7 вне диска D\. Однако отображение ^7 : D\ —» М стягивается к точке, как
было указано выше (рис. 85). Обозначим эту гомотопию через трт, где fo = -ф^,
¦ф\(х) = 1 и ij)T(dD\) =1, 0 ^ т ^ 1. Произведение огфт(х) - а(х)-фт(х) дает
гомотопию, из которой следует равенство элементов а и -у*а в группе тгДМ, 1).
Теорема доказана. ¦
Задачи. 1. Докажите, что если М — группа Ли, то произведение в группах х<(М)
можно эквивалентным образом задать формулой fg(x) = f(x)g(x).
2. Распространите теорему 3 на случай Н-пространств; так называются пространства,
которые обладают непрерывным умножением ф : Н х Я —> Я с единицей 1 6 Я, т. е.
таким элементом, что ф(х, 1) = ф(\, х) = х.
В действительности достаточно, чтобы умножение обладало «гомотопической»
единицей, т.е. чтобы отображения Н ^ Н, определяемые формулами х н-> ip(x, 1) и
х I-* фA,х), были гомотопны тождественному. Таким, например, является простран-
пространство петель Н = п(хп,М) (проверьте!). Более того, Я-пространство п(ха,М) = Я
является, как говорят, «Я-группой»: а) умножение f : Я х Я —> Я, il>(h,g) = hg,
обладает «гомотопически обратным» элементом h~l = <p(h) таким, что отображение
Н -* Н, переводящее h в hti~[, гомотопно постоянному отображению со значением 1;
б) умножение ~ф : П х Н —» Я «гомотопически ассоциативно», т. е. отображения
Я х Н х Я —> Я, определяемые формулами
(ft|,/l2,W~V#(fcl,b2),fc3) = (M2)>l3,
(ft,,ftj,ft3) •-» l>(hi,i>(h2,h)) = hi(h2hi),
гомотопны.
Обратным к h = 7(i) является путь 7~'(t) в П(жо,М), а гомотопическая
ассоциативность вытекает из следующего утверждения.
Задача. Множество (группа) всех гомеоморфизмов отрезка 1@,1) на себя с неподвиж-
неподвижными концами (т. е. монотонных замен параметра на пути) стягиваемо.
Уже был установлен изоморфизм (см. выше п. 2)
1г,(М,а;о) = 1г,_|(П(жо,М),е), i > 1.
§22. Накрывающая гомотопия 143
Группа связных компонент 1г„(П(жо,М)) - щ(М,ха) действует на группах тг,-(П,е),
П = П(жо,М), посредством преобразований
а^7~'а7. а€т,-(П,е),
7€ 1го(П) = 1г1(М,ж0).
Задача. Доказать, что действие а >-> 7"'а7 группы 1ГО(П) на х;(Г!,е) совпадет с
введенным ранее стандартным действием группы it,(M) на wi+l(M).
Для групп Ли и Я-пространств с гомотопической единицей в силу доказанных
выше фактов зависимость т; и тг, от начальной точки несущественна, так как переносы
вдоль замкнутых путей тождественны. Это же относится к любым односвязным
пространствам М. Во всех этих случаях классы свободной гомотопии отображений
сферы [Si,M] точно соответствуют элементам группы ж,(М), причем начальной точки
можно явно не указывать (она несущественна).
5. Умножение Уайтхеда. В гомотопических группах имеется еще одна интерес-
интересная операция — произведение Уайтхеда.
Рассмотрим прямое произведение сфер М = 5' х S3 и лежащий в нем букет
(«координатный- крест») А = S{ V Sj = (S'" x s'Q) U D x S1), где s'o € S', 4 € SJ —
отмеченные точки сфер S',Sj. В произведении S' x S3 отмечена точка s0 = (So.so)-
Определено естественное отображение
Di+j = D; Y.D* ¦^Si xS\
где / есть прямое произведение стандартных отображений а : D' -* S', dD' -* s'o
и д • ?>J _+ sj, 3D3 -* 4, каждое из которых имеет степень +1. Отображения а
и р представляют базисные элементы групп а € iti(S',s'o) = Z, /3 € Vj(S3,s'?) = Ъ.
Отображение / переводит границу dDi+j = d(D{ х D3) = (д&) х D3' и К* х (^IO) в
координатный крест 1 = S1 V SJ С М = 5' х S3, так как a(dD') - sQ, РФВ3) - s0.
Таким образом, отображение / представляет
элементы группы iri+J(S'' x S3,S{ V Sj,s«). Имеется ^^ а
гомоморфизм д, введенный в §21: ;+,_, ^(/) \) ~~^*^ у
д : Vi+jtf х Sj,Sl V 5J',s0) -»ir,-+i_,(S' vSJ,s0). (^J) -^"
С помощью элемента <Э(/) в группе iri+J_iE' vSJ,s0)
мы определим так называемое произведение Уайтхеда Рис- 86-
в гомотопических группах любого пространства X: произведением элементов о €
1г,(Х,ж0), Ь € 1г;(Х,ж0) будет служить некоторый элемент [а,Ь] € 1г^-\(Х,х0).
Конструкция: пусть о : (Sl,4) ~* (-^.^о) и Ь : (SVU) -» (Х,ж0) - отображения,
представляющие одноименные элементы гомотопических групп. Рассмотрим букет
51 х S3, скрепленный в точке s0 = s'n = 4- Мы имеем отображение о V b : S' V S1 -* X,
переводящее s0 в ж0 (рис. 86). Элемент <Э(/) определяет стандартное отображение
(композицию)
[aM-.S^^S'v&^X.
Тем самым построен элемент [о, Ь] G тг^-,^, ха). Ориентация в В' xDJ, определяемая
репером (т\т3), отличается от ориентации в Dl x D3 = D3 x D' с репером (т},т')

144 Глава 5. Гомотопические группы
знаком (-1)и. Отсюда вытекает следующее свойство произведения Уйатхеда:
Мы будем в основном рассматривать произведения [а,Ь] в случае i ^ 2, j ^ 2, когда
группы тг;, тг, абелевы и записываются аддитивно и произведение Уайтхеда билинейно
по а, Ь. Отметим два особых случая.
Случай i — 1, j = 1: произведение [a, bj совпадает с коммутатором [а,Ъ] =
аЬ<ГхЪ~1 в группе 1г,(ж,ж0) (докажите!).
Случай г — I, j ^ 2: произведение [о,6] сводится к действию irj(X,жо) на
Жг(Х,Хп):
[а,Ъ] = а*(Ь)-Ь,
где а € 1Г!, b € 1Г| (докажите!).
Рассмотрим теперь абелевы группы (записываемые аддитивно)
Го = *з(Х) + *s(X) + тг7(Х) + ... + v2q+l(X) + ...,
Г, = тг2(Х) + 1Г4(Х) + 1Г6(Х) +... + иц(Х) + ...
По определению для произведения Уайтхеда имеем
[Го,Го]СГо,
[Го,Г,]СГь
[ГьГ,]СГ0.
При этом для о € Гт, b ? Г„, т,п — О,1, закон коммутирования таков:
Задача. Показать, что для трех элементов a 6 Гш, ft € Г„, с?Гр, т, п,р = 0,1, имеет
место обобщенное тождество Якоби
(- \)<*+1Хт+1)Па, 6], с] + (- 1)""+1)("+|>|[с, в], Ъ] + (-1
6, с], а] = 0.
йг-градуированные пространства Го©Г[, обладающие умножением с подобными
свойствами, стали называться в современной литературе «супералгебрами Ли» после
того, как они появились в аппарате квантовой физики.
Вычисление произведения Уайтхеда в конкретных случаях бывает затрудни-
затруднительно. Рассмотрим сферу 52" (п ^ 1) и группу irin(S2n) -Z ' базисным элементом
о € 1Г2„E2"). Квадрат [о, а] оказывается элементом бесконечного порядка в группе
7r4n_iE ) (для п = 1 он будет указан в §23). Для нечетномерных сфер 5 базисный
элемент о группы ^n-iOS2"'1) = Z имеет квадрат Уайтхеда порядка 2 (или нулевой):
2[о,о]=0 в группе 1г4„-зE2"~').
Утверждение. Для групп Ли и Н-пространств с единицей произведение Уайтхеда триви-
тривиально: [о, Ь] = 0 для любых а € тг,-(М), Ъ € тг;-(М).
Аоказательство. Если хотя бы одно из чисел i,j (скажем, t) равно единице, то
утверждение следует из теоремы о коммутативности К\(М) и тривиальности
действия Т[(М) на всех тг,(М). Пусть г ^ 2, j' ^ 2. Элементы о и b представлены
§ 23. Сведения о гомотопических группах сфер 145
отображениями а : D1 —* М, dD' —* I, р : D3 —> М, 3D3 —* 1. Рассмотрим
произведение
ар : D' х D3'' -* М,
полагая аР(х,у) = а(х)р(у). На границе d(D' x D3) = S'+3~' отображение а/3
индуцирует элемент [а,Ь] € 1Г;+;_|(М) по определению последнего. Поэтому
[о, Ь] = 0. Утверждение доказано. ¦
§ 23. Сведения о гомотопических группах сфер.
Оснащенные многообразия. Инвариант Хопфа
1. Оснащенные многообразия и гомотопические группы сфер. Изучение особых
точек векторных полей и связанных с ними инвариантов приводило нас к использова-
использованию степени отображения S" ^ S", т.е. группы 1г„E"). Все группы т,Eп) с i < п,
как доказывалось, тривиальны. Рассмотрим теперь задачу о гомотопической класси-
классификации не обращающихся в нуль векторных полей п в евклидовом пространстве R",
удовлетворяющих условию п(х) —* га() при |ж| —+ со. Потребовав дополнительно, чтобы
п\ — I, мы получаем непрерывное отображение
R" U со -н. 5""',
причем (со) >-+ п0 € 5". Однако Е" U (со) = 5". Поэтому мы приходим к задаче
о вычислении группы irn+iE"). Более общо: если поле п(х) представляет собой
произвольную векторнозначную функцию п(х) = (?[(х),... ,?т(ж)) ф 0, т ф п, то,
считая, что |п| = 1, получим отображение 5" —+ Sm~l. Тем самым задача сводится к
вычислению групп 1г„Eт"').
До сих пор из гомотопических групп сфер мы нашли только группы т,E') = 0,
г > 1; т„E") = Z и iTi(Sn) = 0, г < п. Мы укажем здесь геометрический метод изучения
гомотопических групп, основанный на изучении полных прообразов регулярной точки.
Рассмотрим отображение / : Sn+k —> 5"; мы будем считать его гладким.
Пусть точка sq € 5™ является правильной точкой отображения /. Выберем на
сфере S" локальную систему координат в окрестности точки so, т. е. зададим в той
окрестности п функций <pu...,tpn таких, что уравнения tp\ = 0, ..., ipn = 0 выделяют
только точку s0, и градиенты grad ipi линейно независимы в точке. Из правильности
отображения / в точке sg следует, что полный прообраз /~'Eо) является гладким
fc-мерным замкнутым многообразием
Более точно, прообразы функций ipi — функции <f>i(x) = f*<fi(x) = <pi(f(x)), опреде-
определенные в окрестности Wk, задают Wk уравнениями
Из правильности точки s0 для / следует, что во всех точках из / "(so) = Wk градиенты
grad ipi линейно независимы и направлены (как векторы) нормально к Wk в евклидовой
метрике S \ со =
п+к
Таким образом, отображению / : S
k
n+k
5"
(Wk,Tn), где Wk - /~'(*о) и г"
точках Wk и нормальное к Wk
поставлена в соответствие пара
— реперное поле в Rn+* = 5"+* \ со, заданное в
в евклидовой метрике, т" = (grad^b... ,grad^n),

146
Глава 5. Гомотопические группы
п+к
Определение 1. Пара (Wk,rn), состоящая из замкнутого многообразия W С
невырожденным нормальным n-реперным полем т", называется оснащенным
многообразием (без края). Само поле г" при этом называется оснащением.
Поскольку в I"* имеется каноническая ориентация, поле г" определяет
ориентацию Wk. п
Рассмотрим гладкую гомотопию F : Sn+k xI^S", правильную в точке s0 e S
и связывающую отображения /0,/i : S"fi -> S". Рассмотрим прообраз
этот прообраз лежит в Sn+k х / и задается уравнениями Ф, = 0, ... , Ф„ = 0^ где
Ф ¦ =F*ipj. Градиенты grad Ф^ линейно независимы на V + . Мы получаем пару (V С
5"+* х I т") где г" = (gradФ,,...,gradФ„) — нормальное к Vk+l реперное поле. На
краях t = 0,1 получаем многообразия Wo* = Vk+i П (t = 0) и И? = У4+1 Л (* = 1) с
индуцированными «оснащениями» — реперными полями, полученными ограничением
поля т" на край. Само многообразие Vk+[ при t = 0,1 не касается краев; поэтому
можно без ограничения общности считать, что многообразие V4fl нормально подходит
к краям t = 0 и t = 1. С подобной ситуацией мы сталкивались в §13^ где к
равнялось нулю, многообразие Wk было набором точек {хи...,хт} = f (so)>t+a
оснащение г" задавало «ориентацию» или знаки точек прообраза. Многообразие V
было одномерным, и оснащение г" на него продолжалось с краев.
Определение 2. Пару (Vм С 5"+i x /,т"), состоящую из многообразия V*+l с краем,
вложенного так, что оно нормально (под углом 90° подходит к краям при
t = 0,1, и из нормального невырожденного n-реперного поля г", назовем
оснащенным многообразием с краем.
Так как в сфере S" дополнение к малой окрестности точки s0 с координатами
tpu...,tpn стягивается к точке, мы можем все это дополнение считать одной точкой. При
малом'е > 0 имеем: е-окрестность We многообразия Wk С Sn+k ввиду наличия поля т^
диффеоморфна Wk x D", где Dne — диск радиуса е в нормальной плоскости к W
в точке x?Wk, порожденной векторами репера тп(х). Аналогично ?-окрестность V?
многообразия Vм С V"+k х I диффеоморфна Уш х J9?" при малых е. Рассмотрим
и с».
многообразия V С V I дффрф ? р
два замкнутых оснащенных многообразия (Wk,r") и (W2 ,т2") в S" =
Определение 3. Оснащенные многообразия (W*,t") называются эквивалентными, если
найдется оснащенное многообразие (У*+\т") С 5"+* х/, которое на краях
высекает исходные оснащенные многообразия
л л
(=0' Г| ~ 1(=0 '
" = г"
1=1 >
(=1
По-другому эту эквивалентность можно описать так. Оснащенные многообразия
(W],Tj) эквивалентны, если многообразие (Wk,rn), где Wk = Wx и W2, a r
совпадает с г," на Wk, а на Wk отличается от т1 только направлением первого вектора,
эквивалентно в предыдущем смысле нулю (т. е. пустому многообразию).
\ Имеет место несложная
§ 23. Сведения о гомотопических группах сфер
147
Теорема 1. Классы эквивалентности замкнутых оснащенных многообразий (Wk,rn) С
К"+' находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с элементами
группы irn+iEn).
Аоказательсгво. Отображение / : S
"+k
5", правильное в точке s0, определяет,
как мы видим, замкнутое оснащенное многообразие (Wk,rn), а гомотопия
F : Sn+k х I —> 5" между двумя такими отображениями порождает эквива-
эквивалентность оснащенных многообразий. Обратно, замкнутое оснащенное много-
многоk +k +k
образие (Wk,Tn) С
R"+k
определяет отображение S
k
у
n+k
S": действительно,
р (,) р ,
?-окрестность We многообразия Wk при достаточно малом е > 0, как указыва-
указывалось выше, имеет вид прямого произведения
Проекция Wk х D" —* D" естественно продолжается до отображения
5П+* —* S", если мы весь край шара D" в образе / будем считать одной
точкой: 5" = D" и (одна точка). Все дополнение к окрестности W? в сфере Sn+k
перейдет в одну эту точку.
Аналогично строится отображение F : S™+ х/ —* S", если задано оснащенное
многообразие с краем (V*+i,t") С Sn+k x I. Тем самым лемма доказана. ¦
По существу, в §13 при вычислении группы т„E") = Z мы пользовались
частным случаем оснащенных многообразий (к = 0).
Замечание. Сложение в гомотопической группе 7Tn+tEn) интерпретируется как объединение
двух непересекающихся (и удаленных друг от друга) оснащенных многообразий в Rn+*
(проверьте!).
Установим теперь одно общее свойство классов эквивалентности замкнутых
оснащенных многообразий.
Теорема 2. Для любых п ^ 1, к ^ 1 в каждом классе эквивалентности имеется связное
замкнутое оснащенное многообразие (при к = 0 это неверно).
Рис. 87.
Аоказательсгво. Пусть задано несвязное оснащенное многообразие (wf ,т,")и (Wk,T") —
(Wk,Tn) С l"+i С Sn+k. Покажем, что это оснащенное многообразие эквива-
эквивалентно связному. Рассмотрим гладкий несамопересекающийся путь (одномерное
подмногообразие) -у(т), 0 ^ г ^ 1, соединяющий точки х0 € Wk и Х\ ? Wk. Мы
требуем, чтобы путь 7 подходил нормально к Wk при т = 0 и к Wk при г = 1
вдоль направления первого вектора пг\ из реперного поля rj1 = (Ш|,... ,mn),
j — 1,2. Зададим в каждой точке пути -у(т) нормальную к -у fc-мерную плоскость
Шк(т), которая на краях г = 0,1 совпадает с fc-мерной касательной плоско-
плоскостью Wk(r = 0) и Wk(r = 1) (рис. 87). Реперное поле г" = (m2l...,mn)

148
Глава 5. Гомотопические группы
продолжим с краев т = 0,1 на кривую -y(t) так, чтобы оно было нормально
к направлениям этих ^-мерных площадок М*(г). Рассмотрим малое «^-мерное
утолщение» Uk+I кривой 7A") вдоль направлений М*(т) (см. рис. 87). На краях
т - 0,\ это утолщение производится вдоль касательных плоскостей к Wk, Wk.
Кроме того, произведем малые утолщения Vk+l,Vk+] самих Wk и Wk вдоль
направлений То| первого вектора реперов т" и г2" (см. рис. 87). Объединение
= У,
¦*+l U Uk+l U V2*+l является (к + 1)-мерным многообразием V
¦к+1
краем
dV
к+\
- wk и wk и w,\
где Wk связно. Утолщение можно произвести так, чтобы многообразие V
было гладким (не было углов), т.е. чтобы было гладким многообразие Wk.
к+1
к+1
Реперное поле г" = (m2,..-,mn) продолжается на У как нормальное
поле к Уш в
п+к
. Мы приходим, таким образом, к следующей общей ситуации:
задано многообразие с краем Vk+i С !"+* и реперным полем т"~', нормальным
к Vk+1 в Жл+к. На крае имеется репер г" = (тьт"~'), где вектор То] является
внутренней нормально к краю <9У*+|, касательной к Vk+l. Таким образом, край
(дУк+1,тп) является оснащенным многообразием в В"+*. ¦
Лемма 1. При этих условиях оснащенное многообразие (dVk+[,Tn) эквивалентно нулю.
Аоказательство. Рассмотрим числовую функцию t(x) на V
*+l
jfc+I
где t(x) = 0 на крае dV +l и 1 > t(x) > О внутри V
Эту функцию мы построим таким образом, чтобы график
(ж, (t(x)) функции t(x) в произведении Vk+1 х / С 5"+* х /
был гладким многообразием Vk+i С Sn+k x /, нормально
подходящим к краю дУш при t_- О (рис. 88). Построим
реперное поле ?", нормальное к Vk+l в Sn+4J< J. Реперное
V
Рис.
рр
поле т" = (m2j • • • ,mn) мы поднимаем на У*+1 тривиально: параллельно пере-
переносим все векторы m;- (j ^ 2) из точки х € У*+1 С 1"+* x 0 в соответствующую
точку х € Vk+l С 1"+* х /, где х = (ж, (*(ж)). Получаем поле f" = (m2,...,т„)
на У*+1. Построим, далее, векторное поле ш[ на графике Vk+1 С У4+1 х/. Пара
k\k+]
ф
(У*+1,У*+|) совместно ограничивает область U С V х I. Строим единичное
поле т, нормально к Vk+i в У*+| х I внутрь области ?7 так, чтобы при t = О
в точках dVk+l = dVk+] это поле совпадало с единичной нормалью mi внутрь
Vk+[ вдоль границы dVk+1. Итак, получаем (dVM,f) = (дУк+\тя) С »"+*.
Тем самым край (dVk+\rn) эквивалентен нулю как оснащенное многообразие,
поскольку все оснащенное многообразие с краем (Vk+l,Tn) в произведении
Ш?+к х / не пересекается с основанием t = 1. Лемма доказана. ¦
Из леммы 1 вытекает теорема, поскольку dVk+l = Wk U Wk U Wk с соот-
соответствующими оснащениями, причем Wk имеет на одну связную компоненту
меньше. Теорема доказана. И
2. Надстройка. В дальнейшем тексте используем следующие сведения о гомо-
гомотопических группах ортогональных групп:
1) ir,EOB)) = Z, поскольку 50B) = 51;
2) тг,{50C)) = Ъ2, поскольку 50C) = »Р3;
3) 7Г,EОG1)) = ЪЪП ^ 3 (СМ. ГЛ. 6).
§23. Сведения о гомотопических группах сфер
149
4) Гомоморфизм вложения 1г,E0(п)) -»тг,-E0(п+ 1)) является гомоморфизмом
при г < я- 1. Более того, если М — любое многообразие (комплекс) размерности г, то
• при г < п - 1 отображение [M,S0(n)] -+ [M,SO(n+ 1)], индуцированное вложением
50(п) —> 50(тг + 1), является взаимно однозначным соответствием. При i — п - \
гомоморфизм вложения ir,E0(n)) -+ 1Г;E0(п + 1)) и отображение [М, 50(я)] -+
[M,S0(n+ 1)] являются эпиморфизмами (отображениями «на»), причем ядро Кег(г«)
является циклической группой бесконечного порядка при четных п. Это очевидно для
п — 2 и будет доказано в гл. 6 в общем случае.
Мы уже знаем, что вложения гладкого компактного fc-мерного многообразия М
в Ш2к+9, где q :? 2, «незаузлены». Это значит, что для двух гладких вложений
f : М -* I2*"', g : М -* I2*"', q ^ 2, найдется семейство вложений («изотопия»)
/( : М —> К +', в котором /о = / и /j = <;. Семейство вложений можно рассматривать
как гладкое вложение цилиндра F : Mxl —* Е2*+' х/ («процесс изотопии»); последнее
определяется формулой F(x,t) = (ft(x),t). Так как М х / стягивается к М х О,
получаем, что любое оснащение, т.е. реперное поле тк+я, нормальное к М в I2*"'
¦распространяется до реперного поля fk+q, нормального к М х / в Е2*+' х /. Поэтому
при q ^ 2 неважно, какое именно вложение М С R24"' рассматривается: все вложения
переводятся друг в друга с помощью изотопии.
Сколько имеется оснащений при заданном вложении М С 1П+* ? Если имеется
одно нормальное реперное поле г", то любое другое с той же ориентацией получается из
него вращением в каждой точке. Таким образом, множество оснащений описывается
отображениями М —* SO(n). Гомотопным отображениям М —+ SO(n), очевидно,
соответствуют эквивалентные оснащения.
Все это позволяет сказать, что при п ^ к + 2 ни сами вложения М С 1*+", ни
гомотопические классы оснащений М —* SO(n) не зависят от п. Чтобы придать этому
высказыванию точный смысл, определим так называемый гомоморфизм надстройки
Е : 7г„+4E") -* 7г„+4-нE"+1). Конструкция надстройки такова. Предположим, что
задано fc-мерное оснащенное многообразие (М,тп) в Еп+*, и рассмотрим вложение
М С R"+* С l"+fc+I; присоединим к реперному полю г" еще один вектор т0,
нормальный к Т+к в 1"+4+1 и положим Е(М,т") = (М,(тпо,т)). Аналогично
определяется Е для оснащенных многообразий с краем. Из сказанного выше вытекает,
что при п^к + 2 этот гомоморфизм является изоморфизмом:
При п — к + 1 имеем:
а) любое ^-мерное многообразие М можно вложить в К2*+|;
б) количество гомотопических классов оснащений вложения М С R2i+1 не
меньше, чем количество классов оснащений вложения М С R24+l+', q > 0 (докажите!).
Отсюда следует, что гомоморфизм надстройки
,к+2.
является эпиморфизмом.
На обычном языке отображений надстройка Е определяется так: пусть 5"+* —
экватор в S"+*+l и 5" — экватор в S"+l; отображение экваторов / : 5"+* -» 5" мы
простейшим естественным образом продолжаем до отображения Ef : sn+k+1 —> 5"+1
по лучам на верхнюю и нижнюю полусферы; верхний полюс переходит в верхний и
нижний — в нижний.

150 Глава 5. Гомотопические группы
3. Вычисление групп 7rn+1(S"). Вычислим, используя теоремы 1 и 2, группы
irn+iE"). Согласно теоремам I и 2 каждый элемент а € irn+l(S") представляется
связным оснащением одномерного многообразия в R"+l, т.е. окружностью S] С R"+l '
с некоторым нормальным реперным полем г™.
А. Случай га > 2. При га > 2 все вложения 5' С !"+| изотопны, и мы можем
считать, что 51 С К"+| фактически лежит в плоскости Ё2 — (х\х2) и задается
уравнением (ж1J + (ж2J = 1. На окружности S1 С I2 С К"+1 имеется «тривиальное»
оснащение г0" = (т,е3,е4,... ,еп+]), где те — вектор внешней нормали к 51 в R2
и е,- — базисные орты в !"+1. Пара (S* ,т?) задает нулевой элемент группы
1Г„+[EП). Произвольное оснащение той же окружности получается вращением репера
т0 —* А(х)Т[1, где х € 51 и Л.(ж) € SO(ra). Мы имеем отображение ж >-> А(х),
4:5'-» 5О(п),
представляющее элемент [А] € iri(SO(ra)). При га > 2 имеем iri(SO(ra)) = Ъг- Отсюда
следует, что на окружности 51 имеется всего два гомотопических класса оснащений.
Поэтому группа 1г„+1E") при га > 2 содержит не более двух элементов.
Задача. Докажите, что пара E',т") с нетривиальным оснащением в т" неэквивалентна
тривиально оснащенной окружности.
Из утверждения этой задачи и приведенных выше рассуждений следует вывод:
7rn+1E") = Z2.
Б. Случай га = 2. Здесь способ вложения S'c R3 мог быть a priori существенным,
так как имеются узлы. Рассмотрим лишь вложение Sl С I2 С R3, как и выше, с
тривиальным оснащением т0. В действительности и здесь оказывается, что всякая
оснащенная окружность эквивалентна незаузленной оснащенной окружности. Мы не
будем этого доказывать и просто ограничимся рассмотрением стандартного вложения
51 С 1? С 1. Тривиальное оснащение, определяемое в точности так, как выше,
задает нулевой элемент группы 1ГзE2). Другие оснащения т2 задаются вращением А
репера т,2 в каждой точке х € 5':
А : S1 -* SOB) = S1.
Так как iriEOB)) = Z, имеем бесконечное число классов оснащений [А] € Z,
занумерованных целыми числами r(mj. Точно так же, как выше, доказывается, что все
оснащенные многообразия (Sl,T2m)) не эквивалентны друг другу. Сложение в K}(S2)
складывает эти числа:
E',rBm)) + E',rB)) экв. (S'.t^+j)).
Таким образом, группа тзE2) бесконечна (в главе 6 будет доказано иначе, что
тг3E2) = Z).
Инвариант Хопфа H(f) для гладкого отображения f : SJ —* S определяется
так: если t/o,3/i € S2 — правильные точки и Мо = /~'(Уо), М\ = /~'B/i)> то
H(f) = {Mo,Mi} —• целое число (коэффициент зацепления прообразов, определенный
в § 15). Проверьте, что ЯE!,т{т)) — т.
Задачи. 1. Докажите, что #(/) — гомотопический инвариант; найдите #(/) для
расслоения / : 53 -+ S2; докажите, что Н([а,а]) четно.
2. Введите аналогичный инвариант Хопфа для элементов из X4n_iE2n) и постройте
элементы, для которых он нетривиален.
§ 23. Сведения о гомотопических группах сфер 151
3. Пусть ш — такая 2-форма объема на сфере S2, что J ш = 1, и пусть / : 53 -+ S2 —
гладкое отображение. Форма }'(ш) на сфере 53 является точной, т.е. существует
1-форма шх, для которой }*(ш) = ^i (проверьте!). Показать, что число f f'(w) Аы,
является целым и совпадет с инвариантом Хопфа Я(/). s3
4. Группы irn+2(S"). Как будет показано в главе 6, ir4E2) = ж4E3) = Z2.
Группу Т5E3) изучать не будем (в действительности она также изоморфна Ът). Укажем
метод вычисления группы т„+2E") в «стабильном» случае га > 3. Элемент а € irn+2(S")
может быть представлен связной оснащенной поверхностью (М,т") С 1™+2, где
га + 2 ^ 6. Поэтому вложение М С Шп+1 незаузлено. Как известно, ориентируемая
поверхность М — это сфера с д ручками (см. [1]). Поскольку все равно, какое
вложение брать, мы считаем, что М С Е3 С R"+2. Имеется тривиальное оснащение
т0" = (т1,е4,...,е„+2), где ТП] — нормаль к М € К3 и е;- — базисные орты в R"+2
координатных осей. Пара (М,т§) определяет нулевой элемент в группах т„+2E")
по лемме 1, так как поле (е4)... ,е„+г) = то"-| продолжается на область У в К3,
ограниченную поверхностью М С I3.
Рассмотрим группу Ъ\(М). Пусть элемент а € Ж\(М) реализован гладко вложен-
вложенной направленной окружностью (без самопересечений) 51 С М и щ — нормальное
поле к 51 в М такое, что вектор скорости г вместе с щ дает ориентирующий
репер (т,я,) в М.
Пусть задано нетривиальное оснащение г" поверхности М С R3 С K"+I.
В базисе т$ это оснащение имеет вид
г" - 1(ж)т„",
А:М-* SO(n).
Для вложенной окружности 51 С М, представляющей элемент a G 1Г[(М), определим
функцию Ф(а) е Z2, называемую функцией Арфа: ограничим оснащение г" на S1 СМ
ирассмотрим оснащенное многообразие (S',t"+1) С Е"+2, где т"+| = (П|, т"), поле щ
определено выше. Оснащенное многообразие (S',r"+1) представляет элемент Ф(а) в
группе Tn+2(S"+1) = Z2. Определена функция Ф(а) 6 Z2 для элементов а € tti(M),
реализованных вложенными окружностями S1 С М.
Задачи. 1. Рассмотрим а и /3. Пусть произведение а/3 6 X|(JW2) реализовано окружно-
окружностью 51 С М2. Тогда имеет место формула
Ф(а/3) = Ф(а) + Ф(/3) + ао^ (mod 2),
где а о /3 — индекс пересечения окружностей, представляющих а и /3.
2. Пусть ai,...,ag,j3\,...,p3 — система окружностей на М32 (сфера с д ручками),
представляющих образующие группы !Г|(М32), связанные соотношением ai/3|a7'/3J~'. ¦•
апРпа~п *Ря1 - 1 • Заметим, что индексы пересечения имеют вид af о /3,- = Ьц, а,- о а,, = 0,
g
jii°pj = 0. Докажите, что сумма Ф(М32,г) = ^ Ф(а,-)ф(/3;) не зависит от выбора
;=i
окружностей а;,Д на поверхности Af32. Докажите, что равенство Ф(Мд,т) = 0 является
необходимым и достаточным условием существования окружностей ai,. ..,ад,Р\,... ,Д,,
для которых Ф(<*1) = Ф(а2) = ... = Ф(а3) = 0.
Если Ф(а) = 0, то перестройкой Морса можно изменить поверхность М = Мд,
уменьшив на единицу число ручек (т. е. найти эквивалентную оснащенную поверхность

152
Глава 5. Гомотопические группы
меньшего рода). Перестройка производится вдоль окружности а С М; условие Ф(а) = О
необходимо и достаточно для существования на перестроенной поверхности М,
рода д — 1 оснащения т", эквивалентного исходному. Действительно, рассмотрим
отображение «толстой» окружности (р : 51 х (-?,?) -* М, где ip(dD2 х 0) = а С М, и
образы отрезков х х (—?,?) являются геодезическими нормалями к а в М длины 2е.
Рассмотрим трехмерное гладкое многообразие с краем
W = (MxI)\jlp (D2(-e,e)),
где склейка двух кусков производится по отображению tp:
Очевидно, dW = (М х 0) и М,, и род поверхности М, равен д - 1.
Расположим W С !"+2 х /@,1) так, чтобы W ортогонально подходило к краям
п+2
х 0 и
гг>п+2
х 1, причем W Л I
п+2
х 0) = М и W П i
п+2
х 1) =
Задача 3. Оснащение г" к JW в R"+2 можно продолжить на пленку W С R"+2 x ДО, 1),
в том и только в том случае, если Ф(а) = 0.
Заметим, наконец, что для сферы 5 С
грп+2
любое оснащение дает нулевой
элемент в группе тг„+2E"), так как 7Г2EО(п)) = 0, и потому любое оснащение г"
гомотопно тривиальному оснащению т0".
Если род поверхности д ^ 2, то цикл а, для которого Ф(а) = 0, обязательно
найдется (это следует из утверждения задачи 1). Поэтому в результате перестроек мы
придем либо к сфере E2,г0"), дающей нулевой элемент, либо к тору Г2 С R С Е"+2
с нетривиальным оснащением т" (для базисных элементов а,/3 € ^(Т2) = Ъ + Ъ
будем иметь Ф(а) = Ф(/3) = 1, а о/з = 1). Оказывается, что тор с таким оснащением
действительно существует, но конструкции мы не приводим.
Таким образом, irn+2E") = Z2. Далеко идущее развитие теории трех- и четырех-
четырехмерных многообразий дает возможность вычислить этим методом группы irn+3(S").
Укажем еще некоторые факты, полученные сложными алгебраическими мето-
методами.
а) Все группы irn+t(S") — абелевы группы с конечным числом образующих; все
группы irn+i(S"), кроме случаев к = 0 и п = 21, к = 21 - 1, конечны; группа ir4j-iE2')
изоморфна сумме группы Z и конечной группы.
б) «Стабильные» группы Г^ = тп+АE"), п > к+ I, при к ^ 15 переписаны в
таблице.
0
1
2
3
4
5
6
7
Z
Z2
z2
z24
0
0
z2
^240
8
9
10
11
12
13
14
15
z2ez2
z2
z504
0
z3
Z2©Z2
Z48o © Z2
Глава 6
Гладкие расслоения (косые
произведения)
§ 24. Гомотопическая теория косых произведений
1. Понятие гладкого расслоения. Гладкое расслоение есть составной объект,
включающий в себя:
а) пространство расслоения — гладкое многообразие Е;
б) базу расслоения — гладкое многообразие М\
в) проекцию — гладкое отображение р:Е-*М, дифференциал которого имеет
во всех точках максимальный ранг п = dim M;
г) слой F — гладкое многообразие;
д) структурную группу — группу G гладких преобразований слоя F;
е) структуру расслоения: база М покрыта областями Ua С М, над которыми
в полные прообразы введены координаты прямого произведения с помощью диф-
диффеоморфизмов ipa : F х Ua -* f\Ua) таких, что р<ра(у,х) = х при х 6 Ua, у € F.
Преобразования Ха/3 = <рр1 ц>а : F x Ua0, где Ua0 = UanUp, называются функциями
склейки расслоения. Можно записать их в виде \ар(у,х) = (Тар(х)у,х). Требуется,
чтобы при любых а, р их преобразование Тар(х): F -* F производилось элементом
группы G. Таким образом, функции склейки Аа/3 определяют гладкие отображения
области Uap в группу G:
Из определения функций Та13(х) получаем
(последнее равенство выполняется в пересечении трех областей Ua n Up n Щ = Uap7).
Все это вместе описывает структуру косого произведения или гладкого расслоения.
Области Ua называются координатными окрестностями расслоения.
Простейший пример расслоения — проекция прямого произведения двух
многообразий на первый сомножитель с единичной структурной группой. Такое
расслоение называется тривиальным.
Среди косых произведений особое значение имеют главные расслоения и
векторные расслоения.
Главное расслоение определяется так: слой F совпадает с группой G, группа G
действует на слое G = F правыми сдвигами RgC -» G, Rg(x) = xg. Имеет место
следующая

152
Глава 5. Гомотопические группы
меньшего рода). Перестройка производится вдоль окружности а С М; условие Ф(а) = О
необходимо и достаточно для существования на перестроенной поверхности М,
рода д — 1 оснащения г™, эквивалентного исходному. Действительно, рассмотрим
отображение «толстой» окружности <р : 51 х (—е,е) —* М, где <p(dD2 х 0) = а С М, и
образы отрезков х х (-е,е) являются геодезическими нормалями к а в М длины 2е.
Рассмотрим трехмерное гладкое многообразие с краем
W = (MxI)uv (D2(-e,e)l
где склейка двух кусков производится по отображению ip:
<р : 3D2 х (-?,е) -+Мх1.
Очевидно, 8W = (М х 0) U М,, и род поверхности М, равен <? - 1.
Расположим W С R™+2 x J@,1) так, чтобы W ортогонально подходило к краям
К"+2 х 0 и Е"+2 х 1, причем W П (К"+2 х 0) = М и W П (К"+2 х 1) = М,.
Задача 3. Оснащение г" к JW в К"+2 можно продолжить на пленку W С R"+2 x 7@,1),
в том и только в том случае, если Ф(а) = 0.
Заметим, наконец, что для сферы S2 С Ж"+2 любое оснащение дает нулевой
элемент в группе 7rn+2E"), так как 7г2EО(п)) = 0, и потому любое оснащение т"
гомотопно тривиальному оснащению т$ .
Если род поверхности д ^ 2, то цикл а, для которого Ф(а) = 0, обязательно
найдется (это следует из утверждения задачи 1). Поэтому в результате перестроек мы
придем либо к сфере E2,г0"), дающей нулевой элемент, либо к тору Г2 С К3 С К"+2
с нетривиальным оснащением т" (для базисных элементов а,0 6 я\(Т2) = Z + Z
будем иметь Ф(а) = Ф(/3) = 1, а о/3 = 1). Оказывается, что тор с таким оснащением
действительно существует, но конструкции мы не приводим.
Таким образом, тг„+2E") = Ъг. Далеко идущее развитие теории трех- и четырех-
четырехмерных многообразий дает возможность вычислить этим методом группы тг„+зE").
Укажем еще некоторые факты, полученные сложными алгебраическими мето-
методами.
а) Все группы тг„+аE") — абелевы группы с конечным числом образующих; все
группы irn+k(Sn), кроме случаев к = 0 и п — 11, к = 21 — 1, конечны; группа 7r4i_i(S2')
изоморфна сумме группы Ъ и конечной группы.
б) «Стабильные» группы
таблице.
= тп+аE"), п > к+\, при к ^ 15 переписаны в
0
1
2
3
4
5
6
7
Ъ
Ъ2
Ъг
Z24
0
0
z2
^240
8
9
10
11
12
13
14
15
Z2®z2ez,
1г
<04
0
ъъ
Z2@Z2
Ъш ф Ъ2
Глава 6
Гладкие расслоения (косые
произведения)
§ 24. Гомотопическая теория косых произведений
1. Понятие гладкого расслоения. Гладкое расслоение есть составной объект,
включающий в себя:
а) пространство расслоения — гладкое многообразие Е;
б) базу расслоения — гладкое многообразие М;
в) проекцию — гладкое отображение р:Е-*М, дифференциал которого имеет
во всех точках максимальный ранг п = dim M;
г) слой F — гладкое многообразие;
д) структурную группу — группу G гладких преобразований слоя F;
е) структуру расслоения: база М покрыта областями Ua С М, над которыми
в полные прообразы введены координаты прямого произведения с помощью диф-
диффеоморфизмов ipa : F х Ua -> p~l(Ua) таких, что р<р„(у,х) = х при х ?Ua, у 6 F.
Преобразования \ар = <рр1 <ра : F x UaP, где Uap = UanUp, называются функциями
склейки расслоения. Можно записать их в виде \ар(у,х) = (Т"р(х)у,х). Требуется,
чтобы при любых а, /3 и х преобразование Т"р(х) : F -» F производилось элементом
группы G. Таким образом, функции склейки Аа/3 определяют гладкие отображения
области Uap в группу G:
Из определения функций Т"р(х) получаем
(последнее равенство выполняется в пересечении трех областей Ua П Up П U-, - Uap^).
Все это вместе описывает структуру косого произведения или гладкого расслоения.
Области Ua называются координатными окрестностями расслоения.
Простейший пример расслоения — проекция прямого произведения двух
многообразий на первый сомножитель с единичной структурной группой. Такое
расслоение называется тривиальным.
Среди косых произведений особое значение имеют главные расслоения и
векторные расслоения.
Главное расслоение определяется так: слой F совпадает с группой G, группа G
действует на слое G — F правыми сдвигами RgC -> G, Rg{x) = xg. Имеет место
следующая

154
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
Теорема 1. Главное расслоение реализуется как свободное левое гладкое действие группы G
на многообразии Е, причем орбиты группы G находятся в естественном взаимно
однозначном соответствии с точками базы М.
Замечание. Напомним, что гладким левым действием группы G на Е называется действие
(?!У) *~* 9(у) (У 6 ®->9 ? ^*)> которое гладко зависит от обоих аргументов (д,у). При этом
требуется чтобы: A) орбиты были равномерно близки друг к другу; B) в каждой точке
2/о 6 Е достаточно малый гладкий n-мерный (n = dimJW) диск D", не касающийся
орбиты группы G, пересекал все близкие орбиты и при этом только в одной точке
каждую (рис. 89). Действие называется свободным, если д(у) = у для какого-то у 6 Е
только при s=l.
G=R
G=R
Диск пересекает близкие
орбиты не в одной точке
б)
Орбиты неравномерно
близки друг к другу
Рис. 89-
Ранее (см. гл. 4) мы рассматривали только ситуацию, когда группа G дискретна,
Е и М являются многообразиями одной размерности п, а орбиты группы G являются
дискретными наборами точек. Наше условие здесь означало, что окрестность Z)"
точки 1/0 не содержит других точек той же орбиты и выбирает из каждой достаточно
близкой орбиты только по одной точке.
Доказательство теоремы 1. Воспользуемся тем, что правые сдвиги коммутируют с
левыми: RgiLg2(y)Lg2Rgi(y) — дгуд\- Действие (слева) группы G определим над
каждой координатной окрестностью Ua формулой
Диффеоморфизм (pa :GxUa -*p~l(Ua) (см. определение структуры расслоения)
переносит это действие в область p'l(Ua). Проверим корректность этого
определения над пересечением Uap = Ua Л Up. Строго говоря, имеем два
определения левого сдвига в области p~[(Uap):
x U
ap
-1 (Ua
Необходимо проверить, что для любой точки у б р~' (Ua)
<paL3[tp~] (у) = ippLgi(ppl{y).
Применяя к этому равенству ipZ1, преобразуем его к виду
bapLgi(p~\y) = Lg]tpp\y).
Но последнее равенство вытекает из перестановочности правых сдвигов с
левыми: LgtXap = \a(iLgi и \aptpal — tpp1. Таким образом, левое действие
группы д введено в каждой области p~l(Ua), и они согласованы. Ясно, что это
действие свободное. Теорема доказана. ¦
Итак, все главные расслоения получаются из свободных действий групп G на
многообразиях Е.
§ 24. Гомотопическая теория косых произведений 155
Структура расслоения с любым слоем F определяется по существу лишь
«функциями склейки» А„^ или отображениями Tal3 : Uap —+ G, удовлетворяющими
простым требованиям B). Таким образом, слой не играет роли: по любому расслоению
с группой G и слоем F можно построить расслоение с другим слоем F', если
задана реализация («представление») группы G в виде группы гладких преобразований
слоя F', — достаточно взять те же функции склейки Т"? : Uap —> G, но реализованные
как преобразования другого слоя. Полученное расслоение называют ассоциированным
с исходным расслоением. В частности, можно всегда реализовать функции склейки в
виде правых сдвигов самой группы G и построить главное расслоение, ассоциированное
с исходным. Получаем вывод:
Любое расслоение определяется как ассоциированное с некоторым главным расслое-
расслоением. Таким образом, задача классификации расслоений сводится к задаче классификации
главных расслоений.
Важным классом расслоений являются векторные расслоения, у которых слой F
есть Ж", а группа G действует в F как подгруппа группы GL(n,Ж). Естественно вы-
выделяются: ортогональные векторные расслоения (G С О(п)), комплексные расслоения
' (F = С, G С GL(n,C)) и, в частности, унитарные расслоения (G С U(n)).
Важные классы примеров. 1. Накрытия. Здесь слой F дискретен (набор точек), а группа G
совпадает с группой монодромий накрытия. В случае накрытий главные расслоения
назывались регулярными; они определялись действием дискретной группы G — <г(зг,(Л/))
на пространстве расслоения. Примеры накрытий см. в гл. 4.
2. Расслоения, связанные с многообразиями линейных элементов. Если М — гладкое
n-мерное многообразие, то естественно определяется п-реперное расслоение р : Е —> М,
где точками многообразия Е являются пары (ж,г"), состоящие из точки х € М и
невырожденного касательного n-репера т" в точке х. Здесь слой F и структурная
группа G совпадают (главное расслоение) и G = GL(n, R). Действие группы G?(n,R)
определяется естественным образом: если А 6 <??(n,R) и (ж,г") 6 В, то
А(х,тп) = (х,А(т")).
Если на многообразии задана риманова метрика (gij), то выделяется класс ортонорми-
рованных реперов; возникает естественное главное расслоение Е„ —> Ы с группой О(п).
Если многообразие ориентируемо, то можно ввести класс ориентированных реперов.
Возникает реперное главное расслоение Е,о —> М с группой SO(n). Если Ы — ком-
комплексное п -мерное многообразие, то определяются комплексные реперы и расслоение
Ее —> М с группой GL(n,Q, а если на М задана эрмитова метрика, то определено
также расслоение Ev —> М с группой U(n). Все это — главные расслоения разных видов
линейных элементов.
Другие многообразия линейных элементов, описанные в гл. 1, являются про-
пространствами расслоений, ассоциированных с вышеперечисленными. Наиболее известные
из них имеют в качестве слоя: a) F = R"; б) F = 5"~' (единичные векторы или лучи);
в) F = R-P""' (прямые или направления); г) F = Ущк (ортонормированные ?-реперы
bR"; д) F = A*(Rn)' (кососимметрические*-формы); е) R"®...®R" ®(R")'®... ®(R")'
(тензоры).
3. Однородные пространства. Для группы Ли G и ее подгруппы Н определялось
(см. гл. 1) однородное пространство левых смежных классов
Мы имеем проекцию р : G
действует слева на группе
М = G/H.
М со слоем ЯСС, причем подгруппа Я свободно
g^hg (g?G, he Я).
Орбиты группы Я — это левые смежные классы — точки базы. Таким образом,
однородное пространство является базой главного расслоения. Ряд примеров однородных
пространств уже рассматривался в гл. 4.

156 Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
4. Нормальное расслоение к n-мерному многообразию М, гладко вложенному
в (п + к)-мерное многообразие, наделенное римановой метрикой (например, в евклидово
пространство). Точки нормального (векторного) расслоения — это пары (х,т), где х 6 М
иг — вектор, нормальный к М в точке х. Группа G есть, очевидно, О(к), слой F есть R*.
В некоторых случаях для гладких расслоений р : Е -* М со слоем F структурная
группа несущественна. В этих случаях «функции склейки» Хар могут описываться про-
произвольными диффеоморфизмами F —* F. Мы говорим в этом случае, что структурной
группой расслоения является группа всех гладких преобразований (диффеоморфизмов)
слоя F на себя. Эта группа обозначается через diff.F. В ней имеется подгруппа diff+.F
диффеоморфизмов, сохраняющих ориентацию.
Естественным образом определяются отображения одного расслоения в другое.
Пусть (Е,М,р :E->M,F,G) и (Е',М',р' : Е' -* M',F,G) — два расслоения с одной
и той же структурной группой G и одним и тем же слоем F.
Определение 1. Отображение / : Е -* Е' пространств расслоений является отображе-
отображением расслоений, если оно сохраняет структуру косого произведения, т. е. если:
а) отображение / послойно, т.е. p'f = fp, где / : М -* М' — некоторое
отображение базы расслоения (отображение / однозначно определяется этим
требованием);
б) на каждом слое отображение fp:F-+F является преобразованием, принад-
принадлежащим структурной группе G. Точно это означает следующее: над координат-
координатной окрестностью Ua С М задан диффеоморфизм <ра '¦ F х Ua —> p~'({Ja) С Е,
а над координатной окрестностью Щ. СМ' — диффеоморфизм <р'р : F х Щ, —>
p' '(Up). Поэтому в области Wap - Ua П / \Щ,) имеется отображение
(v^)"' _ ...
F х
1Г
§ 24. Гомотопическая теория косых произведений
157
которое для каждой точки х 6 Wap' Действует по правилу: (у,х) i-+ (Ty,f(x)),
где Т — некоторое преобразование слоя F. Условие б) заключается в том, что
это преобразование должно принадлежать структурной группе G.
Определение 2. Отображение между двумя расслоениями с общей базой М' = М
называется эквивалентностью, если индуцированное отображение баз М —> М
является тождественным.
В дальнейшем мы рассмотрим задачу классификации расслоений относительно
этого отношения эквивалентности, особенно в некоторых частных случаях (например,
когда база — сфера). Ниже мы покажем, что все расслоения, база которых есть
диск D" (или К"), являются прямыми произведениями, эквивалентными тривиальным.
2. Связность. Введем теперь понятие связности в расслоении с простран-
пространством Е, базой М, проекцией р : Е —> М, слоем F и структурной группой G. Забудем
сначала о структурной группе G (это эквивалентно тому, что вместо группы G мы
будем считать структурной группой расслоения группу всех диффеоморфизмов слоя F).
Интуитивно, расслоение вместе со связностью можно представлять себе так:
задано семейство пространств {Fx}, зависящих от параметра, пробегающего много-
многообразие М (базу); объединение всех слоев Е = и Fx представляет собой «пространство
X
расслоения». Каждому пути j(t), а ^ ? ^ 6, в базе М сопоставляется «параллельный
перенос» слоя F вдоль пути у из начальной точки в конечную, т.е. отображение
(диффеоморфизм)
tp7 : FXa -» FXl, zo = 7@), z, =
Естественные требования:
1) tp7 непрерывно зависит от пути f,
2) <р1Пг = фъ4>ъ\ tp7-' = (<р~,)~1; если путь у постоянен, то отображение ^7
тождественно;
3) tp7 не зависит от параметризации пути.
Способ задания такого семейства преобразований (р (связности) мы сейчас
укажем.
Определение 3. Связностью общего вида (без группы G) мы назовем распределение,
которое в каждой точке у пространства Е выделяет гладко зависящее от точки
у 6 Е n-мерное (n = dimM) касательное направление, трансверсальное к
проходящему через у слою (т. е. проектирующееся на базу М без вырождений
при проекции р : Е —* М). Эти направления называются горизонтальными на-
направлениями связности. Гладкая кривая i(t) в Е называется горизонтальной, если
ее касательный вектор при всех t принадлежит горизонтальным направлениям.
Лемма 1. В любом гладком расслоении имеется связность общего вида.
Аоказательство. Рассмотрим риманову метрику (ду) на пространстве Е, которая
существует в силу теорем гл. 2. Направления размерности п, ортогональные к
слоям в каждой точке у 6 Е, образуют общую связность. Лемма доказана. ¦
Лемма 2. Если в расслоении (E,M,p,F) с компактным слоем F задана общая связность,
то для любой кусочно гладкой кривой -y(t), 0 ^ t ^ 1, в базе М и любой точки
2/о 6 Е, для которой р(уо) = 7@)> найдется лишь одна горизонтальная кривая y(t)
в Е, накрывающая y(t), т. е. такая, что pj{t) = j(t) и 7@) = ха.
Аоказательство. Рассмотрим малый гладкий отрезок S кривой y(t), который можно
считать несамопересекающимся. Над отрезком 5 полный прообраз р~'(<5)
представляет собой гладкое расслоение со слоем F, базой 8 и пространством
Ei = p~lF). Горизонтальные направления связности в расслоении Е порождают
(или высекают) одномерные горизонтальные направления в расслоении Е$
над отрезком 8. Рассмотрим интегральные траектории этих горизонтальных
направлений в пространстве Ej = p~'(S). Все эти кривые горизонтальны.
Утверждение леммы вытекает из существования и единственности траекторий
с заданным началом (здесь компактность слоя существенна, так как иначе
интегральные траектории могли бы уходить в бесконечность). ¦
Замечание. Для некомпактных слоев лемма 2 может оказаться неверной. При построении общей
связности нужно специально заботиться, чтобы горизонтальные кривые не уходили в
бесконечность. Для дифференциально-геометрических связностей, учитывающих наличие
структурной группы G (см. ниже, в § 25), это условие будет выполнено.
Итак, пусть задано гладкое расслоение с общей связностью и компактным
слоем F (либо, возможно, некомпактным слоем F, но тогда с условием, что для этой
связности лемма 2 верна для любой кусочно гладкой кривой ^(t) в базе М). В силу
леммы 2 для любого кусочно гладкого пути j(t),a ^ t ^ 6, определено отображение
слоя над точкой xq = j(a) в слой над точкой х\ — 7F):
•Pi ¦ F*, - F*,
(ввиду гладкой зависимости горизонтальных кривых от начальной точки; см. доказа-
доказательство леммы 2). Ясно, что отображение ip7 не зависит от параметризации пути у и что

158
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
Эти отображения называются параллельными переносами слоя, порожденными связностью.
В частности, всякий путь -у с началом и концом в одной и той же точке х{1 определяет
гомоморфизм
¦у >
: F
(Я-пространства в группу). Сопоставление, ставящее в соответствие пути -у преобра-
преобразование ip-f слоя в слой с вышеперечисленными свойствами, называется абстрактной
связностью, а образ (р(п) в группе G — группой голономий данной связности. Это —
обобщение группы монодромии.
Определение 4. Для расслоений со структурной группой G G-связностью (или связно-
связностью, совместимой с группой G) называется семейство горизонтальных напра-
направлений в пространстве расслоения Е, таких, что все переносы ip-y принадлежат
структурной группе G (доказательство существования <3-связностей в расслое-
расслоении приводится в §25 этой главы; см. лемму 2).
Структурной группой расслоения со связностью фактически является группа
голономий. В следующем параграфе будет дано глобальное построение и дифференци-
дифференциально-геометрическое описание G-связностей.
3. Вычисление гомотопических групп с помощью расслоений.
Теорема 2. Любое гладкое расслоение с компактным слоем обладает свойством накры-
накрывающей гомотопии для всех многообразий К и их кусочно гладких отображений и
гомотопий в базе М и пространстве расслоения Е.
Аоказательсгво. Пусть гомотопия F : К х I —> М накрыта при t = 0 отображением
/ : К х 0 —+ Е, т.е. pf = F\kxo = /о- Согласно лемме 1 можно задать общую
связность в расслоении. Согласно лемме 2 связность порождает однозначный
рецепт накрытия всех кусочно гладких путей (движений точки по базе М),
непрерывно зависящий от пути и от начальной точки накрытия. Ввиду этого
теорема следует из лемм 1 и 2. И
Следствие. Имеется изоморфизм гомотопических групп Vj(E,F,y0) = Vj(M,xo), где
xq = р(уо), и точная последовательность
х,-(ЛГ).
Следствие вытекает из теоремы 2 в силу утверждений §22.
Замечание. Укажем другую конструкцию гомоморфизма д : жп(М) —> xn_i(.F), не исполь-
использующую относительных гомотопических групп. Пусть / : D" —> М — отображение,
переводящее границу 5"~' диска D" в точку щ, реализующее элемент a 6 яп(М, z0). Со-
Соединим фиксированную точку а0 границы диска с любой другой точкой а границы S"~
хордой [а0, а]. Тогда Дао,а] — замкнутый путь в М с началом и концом в точке х0.
Поднимем этот путь в пространство расслоения так, чтобы он начинался в точке уц, где
р(Уо) - го- Конец поднятого пути будет некоторой точкой 6 слоя F = р~'(го)- Положим
/(а) = 6. Мы получили отображение / : 5" —> F.
§ 24. Гомотопическая теория косых произведений
159
Задача. Докажите, что гомотопический класс построенного отображения / : S"~' -> F
совпадает с да, где д — определенный выше граничный гомоморфизм в точной
последовательности расслоения.
Из такого определения граничного гомоморфизма легко следует, в частности,
что для тривиального расслоения гомоморфизм д нулевой (проверьте!).
Применим теперь точную последовательность расслоения для вычисления не-
некоторых гомотопических групп. Напомним, что уже в гл. 5 (см. § 22) мы извлекали из
такой точной последовательности информацию о гомотопических группах накрываю-
накрывающих пространств и пространств петель.
Пример 1. Рассмотрим простейшие главные расслоения:
а) RP3 = 50C) Л S2 (слой 50B) = 5');
б) 53 = 5t/B)^53 (слой5').
Расслоение а) представляет собой расслоение единичных касательных векторов на
сфере 5 ; оно интерпретируется также как главное расслоение 50C) -» 50C)/50B) = 53
с однородной базой (см. п. 1). Расслоение б) аналогичным образом описывается как
расслоение 51/B) -» SU{2)/V(\) = S\ где i/(l) вкладывается в 51/B) как подгруппа
диагональных матриц. Расслоение б) называется расслоением Хопфа. Напомним (см. § 22),
что группы jt,(RP ) и згД53) при j > 1 одинаковы, так что с точки зрения гомотопических
групп расслоения а) и б) дают одно и то же. Рассмотрим расслоение б), учитывая при
этом равенства (см. §21):
Гтг„E") = Ж при п^1,
\xjE') = 0 при j>1.
Напишем точную гомотопическую последовательность расслоения б):
... XjE') ^ х;E3) ^ ir;E2) Д jr;_,E2) Д ...
Так как х,-E') = х,-_|E') = 0 при j > 7, то возникает точная последовательность
и 7г,E3) = Vj(S2) для всех j > 2. В частности, тг3E3) = Z = зг3E3).
Пример 2. Обобщенное расслоение Хопфа
определяется следующим образом. Зададим сферу комплексным уравнением ]Г \zj\2 = 1.
Действие группы 5 на сфере имеет вид
z к-, Л (z = (zo,...,^) 6 52"+1,ei" e 51).
Орбиты этого действия составляют СР" по определению этого многообразия. Как мы
знаем,
ir,E') = 0 при j > 1 и 1Г3E2п+') = 0 при 9 < 2п + 1.
Из точной последовательности расслоения получаем
при
В частности, Jr2n+,(CP") = Z (проверьте!).

160
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
Пример 3. Расслоение касательных n-реперов к n-мерной сфере 5". Это — главное расслоение:
а) SO(n + 1) -* SO(n + \)/SO{n) = 5" (слой SO{n)).
Рассмотрим также ассоциированные расслоения fc-реперов:
б) Ki+iii+i —> S" (слой Vny, напомним, что V,,t- — многообразие ортонормиро-
ванных i-реперов в n-мерном пространстве). При к = 1 получаем расслоение К,^ —> 5"
со слоем Fni = 5*""' — расслоение единичных касательных векторов.
Рассмотрим сначала гомотопическую последовательность расслоения а):
... х>+|E") Л Tj(SO(n)) ^ Tj(SO(n + 1)) ^ х,E") -»...
При j < n - 1 получаем Xj(SO(n)) = зг^EО(п + 1)). При j" = n - 1 имеем
i x»_,EO(n + 1)) ^ хв_, E").
Отсюда получаем, что гомоморфизм г, для j = п— 1 есть эпиморфизм (отображение «на»)
с циклическим ядром вида а(тг„E")). Если касательное расслоение сферы 5" тривиально,
как это верно, например, при п = 3, так как 53 — группа Ли, то гомоморфизм 3 также
тривиален. Поэтому топологически 50D) = 50C) х53 и зг,EОD)) = зг,E3) + ^EОC))
Используя теорему 2, докажем утверждение, которое использовалось в §23.
Утверждение 1. Пусть М — многообразие размерности q. Всякое отображение М —>
SO(n + 1) гомотопно отображению М —> S0(n) С SO(n + 1), если q < п; если
q < Ti-1, то включение S0(n) —> 5О(п + 1) определяет взаимно однозначное
соответствие
[Mq,S0(n)] -*¦ [М», 50G1+ 1)].
Доказательство. Пусть j < я. Рассмотрим отображение f : М -* S0(n + 1). Тогда
проекция f = pf : М —>¦ S" стягивается к точке, т.е. существует гомотопия
F = {ft} :_М х I -* S" с /о = / и /, : М -* s0 6 5". Накрывающая
гомотопия F = {ft} с /о = / будет деформацией отображения / к отображению
/, :М-> 50(n) =p-'(s0).
Пусть g < п — 1, и два отображения /и и /i : М —> S0{n) гомотопны в
50(п + I) посредством гомотопии F : М х I -+ 50(п + I). Проекция F = pF :
М х / —> 5" переводит край_(М х 0) и (М х 1) в точку so € 5". Рассмотрим
гомотопию Ф; отображения pF = F = Фо в базе 5" к постоянному отображению
со значением s0, в процессе которой образы оснований цилиндра М х 0 и М х 1
неподвижны (стоят в одной точке s0). Накрывающая гомотопия Ф( в S0(n + 1)
при t = 1 дает гомотопию между /0 и /j в одном слое S0(n). Утверждение
доказано. ¦
Рассмотрим теперь расслоение б) со слоем Vn^ сначала для к — 1:
V ¦ Vn+1,2 - 5" (слой
n,! = 5"+I).
Из точной последовательности расслоения б) получаем
Tj(Vn+i,2) = 0 при i < я. - 1,
7rn-i(Vn+i,2) — циклическая группа.
Действительно, эта последовательность имеет вид
§24. Гомотопическая теория косых произведений 161
Если j = 1, то ir,E") = 7г,-_|Eп~') = Z, тг,-._|E") — 0. Найдем гомоморфизм д:
Рассмотрим для этого касательное векторное поле ? на сфере 5", имеющее ровно одну
особую точку so (с индексом 2 для четных п и индексом нуль для нечетных п согласно
результатам § 15). Это векторное поле определяет отображение / : Sn\s{) = Dn —> V^i^,
задаваемое формулой /(г) = (г, щ), где г — единичный вектор в Ж"+1. Ясно, что
отображение р- f = f : D" -+ 5" имеет степень +1, причем f(dD)n = sa. Проверьте,
что замыкание этого отображения на границе / : 8D" -> Ущ1 = 5"~' в слой имеет
степень, равную индексу векторного поля ? в особой точке. Из приведенной выше
явной конструкции гомоморфизма д получаем: гомоморфизм д есть умножение на
целое число, равное индексу векторного поля ? в точке Sq. Отсюда следует:
если п четно,
если п нечетно.
Окончательно имеем
52"~' (слой 17G1-1)),
, если п четно,
2, если п нечетно;
Tj(Vn+i,2) = 0 при j <п- 1.
Рассматривая последовательно расслоения
Р ¦ K+1.A+I -* 5" (слой У„Д
мы из точной последовательности получаем
Tj(Vn+liJt+1) = 0 при j < п - к,
Tn-t(Ki+i,t+i) — циклическая группа (докажите).
Аналогично рассматриваются расслоения над сферой для унитарной и симплектической
группы:
Щп)-
Spin)-+Sn~' (слой 5p(n - 1)).
Из точной последовательности первого расслоения легко вывести, что itj{U(n)) =
Kj(U(n - I)) при j < In - 2, а из точной последовательности второго расслоения —
что Ttj(Sp(n)) - iTj(Sp(n - 1)) при j <4п- 2.
Поэтому группы 7ГуEО(п)) при j < п - 1, группы ttj (С (п.)) при j < 2п - 2,
группы 7TjEj,(n)) при j < An - 2 не зависят от п; они обозначаются соответственно
через Vj(SO),TTj(U),irj(Sp) и называются стабильными.
Пример 4. Рассмотрим теперь расслоение единичных касательных векторов над ориентируемой
поверхностью с д ручками:
р:Е-*М* (слой 51).
Точки многообразия Е — это пары (г, г), где х € iW92 иг — единичный вектор в точке х.
Для д = 0 мы знаем, что Е = 50C). Для д = 1 мы имеем: В = 51 х Ms2 = 51 х Т2 = Т3.
Поэтому рассмотрим нетривиальный случай д^.1. Точная последовательность нашего
расслоения имеет вид

162 Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
Если г > 1, то х,-E') = згДЛ/,2) = 0, так как универсальные накрывающие над S1 и Мд
стягиваемы. Поэтому зг;(Е) = 0 при г > 1. При » = 1 имеем точную последовательность
-¦0.
Обозначим естественную образующую группы тг,E ) через т, а канонические
образующие группы it\(Mg) через аи...,ад, Ьи...,Ъд; последние удовлетворяют
соотношению
-"'V ..-аЖо'Ь,, ' = 1..
Пути Oj, bj образуют «канонические разрезы» поверхности Мд; в результате этих
разрезов поверхность превращается в 4^-угольник Q4s (рис. 90). Положим^, (т) =
f ? 7Г](.Б) и выберем в 7г,(.Б) элементы a.i,...,ag,bu...,bg с p,Ej) = ajt pt(bj) = by.
Группа i^Tr^S1) является нормальным делителем в ъ\(Е). Группа ъ\{Е) порождается
образующими T,aj,5j, связанными соотношениями:
2) bjT bj = 7
J^ fl]0lfll Oj . . . lbgUgU, Ug Vg
¦¦¦agbgaag Ъд —
(ниже будет показано, что a,- = fij — 1, 7=2- 2g). Действи-
Действительно, соотношения 1) и 2) вытекают из того, что i«7ri(S') —
нормальный делитель.
Соотношение 3) вытекает из того, что
p»(a15ia71571 ¦¦• agbga~}b~x) = 1
Покажем, что все а, и fa равны единице. Действительно, внутренний автоморфизм
f 1-* ujfaj1 реализуется параллельным переносом слоя S1 вдоль пути ay = p(a,) no
базе Мд согласно § 17. Ввиду ориентируемости поверхности Мд после обноса получим
диффеоморфизм слоя S1 на себя, сохраняющий ориентацию. Поэтому все о,- и,
аналогично, все /3,- равны единице. Покажем теперь, что у = 2 - 2д. Зададим (на Мд)
векторное поле ? с одним нулем ? = 0 в точке х0, не лежащей на путях (а;-,Ь;).
Положим п(х) = щ при х Ф х0. Выкинем из поверхности Мд малый диск D с
центром х0 (рис. 90). Поле п определяет отображение К — Qa,g - D — S х I —* Е,
дающее гомотопию между произведением
а\Ъ\п\ Ъ\ ... о.дЪдад Ъд ~ п\д?> ~ т7
и образом границы 8D диска D. Пути a;-,5;- € ni(E) здесь определяются как поднятия
путей uj,bj в пространстве Е с помощью векторного поля п. Согласно теореме
Хопфа (§ 15) индекс особой точки хо поля п равен 2-2<?; из этого следует, что у — 2-2д.
Пример 5. Рассмотрим специальный пример — кватернионноерасслоение Хопфа. Введем в R4n+4
структуру п + 1-мерного кватернионного пространства ЕГ+1 с кватернионными коорди-
координатами (q0,¦¦¦ qn)- Сфера S4"*3 задается в этих координатах уравнением ]П |?а|2 = 1 • На
сфере действует (слева) группа SUB) = Sp(l) = S3 единичных кватернионов \q\ = 1:
§ 24. Гомотопическая теория косых произведений
163
Факторпространство S**+i/SUB) есть по определению кватернионное проективное
пространство HP". Имеем главное расслоение с группой SUB):
S4"
•HP".
При п = 1 имеем HP1 = S4 (проверьте!), и наше расслоение превращается в «кватерни-
«кватернионное расслоение Хопфа»
57 -> S4 (слой 53).
Точная последовательность этого расслоения распадается на куски вида
0
0
(гомоморфизмы 1Г;E3) -+ зг;E7) тривиальны, поскольку вложение слоя 53 в S7 гомотопно
постоянному отображению). Следовательно, ^(S4) — бесконечная группа.
4. Классификация расслоений. Рассмотрим главные расслоения:
а) Vn,k -» Gn,t (слой O(fc)), где Gn]i — многообразие fc-мерных плоскостей
в W , проходящих через начало координат;
б) Vnj, -> Gn>jt (слой SO(k)), где Gn,t — многообразие ориентированных fc-мер-
ных плоскостей в Ж" , проходящих через начало координат (многообразие Gn^ является
двулистным накрытием над Gn,t);
в) ^t —* ^ч* (слой U (к)), где G^k — многообразие комплексных к -мерных
плоскостей в С", проходящих через начало координат, и У„^ — многообразие
унитарных fc-penepoB в С";
г) Ущк -* Gn,t (слой Sp(n)), где G"t — многообразие кватернионных fc-мерных
плоскостей в Н", проходящих через начало координат, и 7n"t — многообразие
кватернионных ортогональных fc-реперов. В силу результатов примера 3 имеем
= 0 при j <п-к,
= 0 при j<2(n-k
= 0 при j<4(n-k
B)
Пусть к фиксировано ия-к» (пространство становится бесконечномерным). Если
п = оо, то из B) следует, что для V^, v?<k и уДА все гомотопические группы равны
нулю (эти пространства стягиваемы; проверьте).
Определение 5. Главное расслоение Е —> В с группой G называется универсальным для
данной группы G, если Е стягиваемо (или все группы itj(E) равны 0); если
Kj(E) = 0 при j ^ п+ 1, то расслоение называется п-универсальным.
Важность этого понятия определяется классификационной теоремой (которую
мы приводим без доказательства): множество расслоений с данной базой М и
группой G (с точностью до эквивалентности) совпадает с множеством гомотопических
классов отображений [М,Вс\ базы М в базу В = Вс универсального расслоения.
(Если dimM < п, то можно заменить Bg базой п-универсального расслоения.)
Фактически все главные расслоения с группой G и базой М получаются из
отображений / : М —> Bg в базу универсального расслоения как индуцированные
расслоения. Определим это важное понятие. Пусть заданы расслоение р : Е —* М
со слоем F и структурной группой G и отображение / : М' -* М. Мы построим
расслоение р' : Е' —> М' с тем же слоем F и той же группой G, называемое
индуцированным расслоением р : Е —> М посредством /. Предположим, что структура
расслоения р : Е —* М задается покрытием М = U Ua и функциями склейки
a
6'

164
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
Хар : F х Uap —> F х Uap, Uap = Ua П ?/^. Структура индуцированного (с помощью
отображения / : М' —> М) расслоение с базой М', слоем F и группой G задается так:
Uа — f~\Ua)', функции склейки \'ар : F х {/^ —* F x U'a/3 определяются формулой
(т.е. области U'a С М' и функции Л^ определяются как полные прообразы соответ-
соответствующих объектов из структуры расслоения р : Е —> М). Возникает новое расслоение
р' : Е' —> М' и его отображение Е' —> Е в исходное расслоение, индуцирующее
заданное отображение баз f : М' -* М.
Вернемся к классификационной теореме. Задача классификации расслоений над
сферой Sq сводится к нахождению множества [Sq,Be] и тем самым к гомотопическим
группам 7г,(Вс); для G = О(к), SO(k), U(k), Sp(k) имеем BG = G^k, G^, G^k, G^k,
причем
Tj(Goo,t) = Kj(Gnik) при j <n- к,
Tj(Goo,k) = Kj(Gatk) при j <n-k,
Tj(GS>,t) = Tj(G?>) при ;<2(n-fc).
Задача. Докажите общее равенство Xj(G) = irj+l(BG) и, в частности:
Jr,EO(*)) = Ъ+1(8хЛ),
используя точную последовательность универсального расслоения.
Рассмотрим в заключение несколько простых примеров.
Z2;
BG = limEn/Z2) = lim RP" = IP00.
Имеем x,(RP°°) = Z2 и тг^МР00) = 0 для j > 1.
2. G = Zm (циклическая группа порядка m);
D !:„, p2«+l /г? 1:„ г2"+1 г00
BG = lim o /&m = I'm Ь(т) = L(m),
n—oo п->оо '
n
где 52n+l задается в C"+1 уравнением ]Г] |г„|2 = 1; образующая а б Zm действует
в 52n+1 по формуле а=0
e2*i/mz
a(z0, ...,zn) =
..., e2
zny, am = 1.
Факторпространство Ь2^' — S2n+1/Zm называется линзовым пространством.
Вообще, для дискретной группы G гомотопические группы tj(Bg) тривиальны
при i > 1 в силу теории накрытий.
3. G= U{l)-S0B) = Sl;
BG = lim 52"+1/5' = lim CP" = CP°
n—*oo n—*oo
§24. Гомотопическая теория косых произведений
n
Здесь сфера задается уравнением ]Г \za\2 = 1, а действие окружности S1 таково'
а=0
165
Так как 7Г;E') = 0 при i ф 1, то
(см. пример 2 выше).
4. G =
ПРИ
SG = lim S4n+3/S3 = lim HP" = HP00.
n—*oo n—*oo
В этом случае сфера 54п+3 реализована в пространстве кватернионов Н"+1. Действие
группы S = Sp(l) имеет вид
где q — единичный кватернион. Универсальность этого расслоения вытекает из того,
что гомотопические группы ТГ(E4"+3) тривиальны при i < An + 3.
Классификацию G-расслоений над сферой 5" можно получить и непосред-
непосредственно, без использования универсальных расслоений. Будем здесь считать, что G —
группа Ли. Достаточно классифицировать главные расслоения, тем самым будут клас-
классифицированы и все ассоциированные расслоения с другими слоями. Сначала опишем
главные G-расслоения над диском.
Лемма 3. Любое главное расслоение над диском D" со структурной группы Ли G
тривиально.
Аоказательство. Пусть р : Е -* D" — главное G-расслоение. Фиксируем G-связность
в этом расслоении, т.е. для каждого пути -у из точки z0 в точку z, зададим
преобразование слоя р7 : FX(I -* FXl, FXa = FXl = G. Все преобразования р7
принадлежат структурной группе G. (Напомним, что существование такой
связности для случая, когда структурная группа есть группа Ли, будет доказано
в следующем параграфе.)
В диске D" из центра х0 6 D" в любую точку z € D" идет единственный
отрезок 7* = [хох]. Строим отображение Ф : D" x FXt -* Е, полагая
Ф(х,у) = <ръ(у).
Это отображение вводит в Е координаты прямого произведения Е = D" x G,
согласованные с действием структурной группы. Лемма доказана. ¦
Сфера S" есть объединение двух дисков D" и D", пересекающихся по
экватору: D% П D" = 5". Введя координаты прямого произведения отдельно над D+
и над D", получим «структуру расслоения» с двумя координатными областями
Щ = D% и U-2 ~ D", причем Ui2 = U\f\U2- 5". Функция склейки А,2 определена
над Un = 5" ' и представляет собой отображение
Г12 : Sn~l -> G,
Имеет место

166
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
12 .
Лемма 4. Если заменить функцию склепки Т
эквивалентности расслоения не меняется.
Аоказательство. Реализуем гомотопию как отображение
G гомотопной, то класс
Построим расслоение так: расширим полусферы — диски D" и D" —
соответственно выше и ниже экватора на расстояние ? до дисков D" Э D"
и D" Э D1. Пересечение D" П D" есть в точности цилиндр S"~' x [-?,?].
Построим новое расслоение со склейкой по отображению F. Это расслоение
эквивалентно обоим исходным. Лемма доказана. ¦
Таким образом, расслоение определяется элементом группы -Kn-\(G). Приведем
значения этих групп в случаях G = SO(k), U{k) ип-1,2,3,4.
7TiEOC)) =
х4EОD)) = ir,-EOC)) + тг,E3) =
О
Z +
= <{ 0
при % > 1;
при i = 1,
при % — 2,
при i = 3;
при i = 1,
при i = 2,
Z при i = 3;
при i = 1,
при i = 2, (q
при i = 3
5),
так как топологически U(q) = S1 x SU(q);
О, *=1,
О, г = 2, (О 2).
Некоторые из равенств, входящих в эту таблицу, нами выше доказаны, остальные
мы сообщаем без доказательства. Таблица позволяет автоматически классифицировать
расслоения над сферами 5" размерности п ^ 4.
5. Векторные расслоения и операции над ними. Изучим подробнее векторные
расслоения, т.е. расслоения, слоем которых является вещественное или комплексное
векторное пространство, а структурной группой — подгруппа линейной, ортого-
ортогональной или унитарной группы. Структура расслоения р : Е —> М определяется по
существу функциями склейки Хар над пересечениями Uap — Ua HUp, т. е. отображе-
отображениями Тар : UaP -* G, такими, что Т"р = (Т^у1 и т^Т^Т1" = 1 в пересечении
Uap-f = Ua П Up П Щ (формулы B)). Поэтому над расслоениями можно совершать все
операции, сохраняющие эти соотношения. Например, такой операцией является веще-
вещественное или комплексное представление р : G —> GL(n, R) или GL(n, С) (возможно,
ортогональное или унитарное) структурной группы G и, вообще любой гомоморфизм
р : G -* G', позволяющий заменить функции склейки Т3 функциями склейки р(Т"р).
В результате получим новое расслоение, которое мы будем называть представлением р
исходного расслоения. Если расслоение обозначается какой-либо буквой, например г/,
§ 24. Гомотопическая теория косых произведений
167
то новое расслоение обозначим через p(rj). Другой пример: для двух расслоений
(пусть Jji,%) со слоями а" и йт можно составить их прямую сумму г\ = 771 Ф % с
группой G\ х G-i и слоем Rm+" = Rm ® R" и тензорное произведение ц = r)\ ® щ со слоем
К771" = Mm ® M" и также с группой G\ x Gi соответственно операциям над линейными
пространствами (аналогично в комплексном случае).
Вообще, определены естественные операции над расслоениями, отвечающие
всевозможным операциям над линейными пространствами (слоями). Напомним эти
операции.
1. Определитель &<&т) вещественного (комплексного) расслоения щ — это
одномерное расслоение (т.е. его слой одномерен) с преобразованиями перехода
det Та/3 в области Uap.
2. Сопряженное расслоение if линейных форм на слоях; комплексно сопряжен-
сопряженное расслоение ij (для комплексного расслоения щ) с преобразованиями перехода Т .
3. Комплексификация drj) вещественного расслоения т] и овеществление г^)
комплексного расслоения щ. При этом, как и для соответствующих операций над
пространствами, ст(т]\) — Т1\®т}\ и rc{rj) =i)ffii) (проверьте!).
4. Тензорные степени т;®... ® т/ расслоения т], его внешние степени А*т;
(кососимметрическая часть тензорной степени), симметрические степени Skrj (симме-
(симметрическая часть тензорной степени).
Определение 6. Сечением расслоения р : Е —> М называется такое отображение
ф : М —> Е, что р-ф(х) — х для любой точки ж ? М. Таким образом, сече-
сечения — это функции (поля) -ф(х) на М, принимающие в точке х 6 М значения в
слое Fx над х. Сечения тривиального расслоения — это обычные («скалярные»)
функции или отображения базы в слой.
Пусть г — касательное расслоение некоторого многообразия М. Тогда сечения
расслоения т — это векторные поля; сечения сопряженного расслоения г* — это
ковекторные поля; тензоры типа (к, I) — это сечения расслоений
верхние индексы нижние индексы
Дифференциальные формы на многообразии — это сечения расслоения Л*т*. Общие
тензоры типа @, к) — это сечения расслоения г* ® ... ® г*. Квадратичные формы
на векторах, как, скажем, метрика (g.j) — это сечения расслоения S2t* (симме-
(симметрический квадрат). Если многообразие М п-мерно, то имеется расслоение Л"т*
(определитель), тривиальность которого равносильна ориентируемости (проверьте!).
Среди расслоений (особенно векторных расслоений) над комплексно аналитической
базой особо выделяется класс комплексно аналитических расслоений, у которых функции
склейки комплексно аналитичны. Такими, например, являются касательное расслое-
расслоение к комплексному многообразию и результаты всех приведенных выше естественных
операций над ним. Отметим, что аналогично вводятся алгебраические расслоения
над комплексными алгебраическими многообразиями, особенно над проективными
(комплексными компактными подмногообразиями в СР"). Над СР" имеется важ-
важное алгебраическое одномерное (комплексное) расслоение Хопфа Т], которое ранее
(см. пример 2) рассматривалось топологически (без введения аналитической структуры)
с группой U(Y) = 50B) = 51 и слоем С1. Аналитически мы должны рассматривать
это расслоение т\ с группой С* ненулевых комплексных чисел по умножению (как
и все комплексные одномерные расслоения). Расслоение т] над СР" получается из
определения СР" : Е = {(z0,... ,zn)} Д СР" , где Е = С"+1 \ 0, слой F = C*.

168
['лава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
Одномерные аналитические расслоения над комплексным многообразием обра-
образуют абелеву группу относительно тензорного умножения (множество классов эквива-
эквивалентности 1-расслоений называется «многообразием Пикара»). Эта группа (точнее, ее
связная компонента единицы) есть комплексный тор.
Обозначим (комплексное векторное) касательное расслоение к комплексному
многообразию М через т(М). Пусть т) — расслоение Хопфа над СР".
Задача. 1. Докажите, что т(СР")Ш 1 = г/®... Ш 77, где 1 обозначает одномерное
(комплексное) тривиальное расслоение. s v '
2. Докажите, что
Л"т(СР") = det т(СР") = т?п+|
(равенства всюду обозначают эквивалентность).
Аналогичные, но более простые задачи ставятся для вещественного одномерного рассло-
расслоения щ над RP" с группой Z2= 0A) (обобщенного листа Мебиуса).
3. Докажите, что 4* = ?~' для любого одномерного комплексного расслоения ?•
6. Мероморфные функции. Интересный класс «расслоений с особенностями»
составляют семейства линий уровня мероморфных функций на компактных ком-
комплексных многообразиях, например, алгебраических функций на проективном алге-
алгебраическом многообразии М С СР'. Мероморфная функция есть по определению
комплексно аналитическое отображение / : М -* СР1 = С U оо. Как говорят в
теории функций, / имеет полюсы в точках из /~'(оо). В любой координатной
окрестности Ua С М с многообразии Za,...,z" (где п — комплексная размерность
многообразия М) функция w — f(z) записывается в виде f{zxa,... ,2"). Особыми слоями
называются полные прообразы f~l(f(z0)), Где точка z0 = B,^,...,2^0) такова, что
df\i=z0 — 0- Остальные слои Fa — {/ = а} являются неособыми подмногообразиями
многообразиям. Пусть z\,.. .,zm —все особые точки и Wj = f(z\),...,wm = f(zm) —
особые значения функции /. Над областью плоскости Uj С М2:
U, = [S2 = СР1 = (С U со)] \ {»„... ,wm}
определено гладкое расслоение со слоем F = Fm =
/ (w), w 6 Uj. Рассмотрим группу яч({/;), порожденную
путями ai,...,^ (рис. 91). Пути а,- дают отображения
неособого слоя (монодромию) <ра. : F —» F.
Рассмотрим случай невырожденных (типичных)
особых точек zi,...,zm, т.е. таких, что d/|tj = 0 и
квадратичная форма d2f\Zi невырождена. В этом случае
Рис. 91.
топологическое устройство слоев в малой окрестности Uj точки Zj описывается
квадратичной частью функции / - f(zj) — Д/. В окрестности точки Zj существует
система локальных координат zj,..., z" (точку Zj можно считать началом этой
системы), в которой функция Д/ имеет вид
(форму d2f можно привести линейной заменой к сумме квадратов). В достаточно
малой области \zj\ < е при исследовании топологии слоев члены O(|zj|3) можно не
учитывать,
§ 24. Гомотопическая теория косых произведений
169
Обозначим для краткости координаты zj через zq и изучим чисто квадратичную
функцию q(z). Уравнение q(z) = 0 задает особый слой (конус), уравнения q = 8
при малых 5^0 задают близкие неособые слои в е-окрестности исходной точки zj
F выбирается после е). Уравнение q(z) — 5 задает «квадрику»
9=1
При вещественном 6 > 0 это многообразие Kf стягивается к сфере 5J~' = (S^Y — *¦
у1 = ... = уп — 0, z' = xq + iyq}. Если 5 = |<5|e'v', то уравнение сферы 5"
в JT^ принимает вид {у* = 0}, где q = 1,... ,п,
Задача. Докажите, что К6 диффеоморфно пространству линейных элементов (s, т)
сферы, где s 6 Sn'{ иг — произвольный касательный вектор к S*~l в точке s.
Итак, имеем вложение
где К$ — неособый слой, близкий к особому слою Ко- Заметим, что вся сфера 5" '
лежит в малой окрестности точки г = 0в силу ее уравнения. Если 5 стремится к нулю,
то неособый слой К( «сминается» на особый слой Ко — возникает отображение
<p:Ki.-> Ko.
При этом отображении сфера S"~* отображается в точку (эта сфера «исчезает» на
особом слое). Поэтому сфера S^~ называется исчезающим циклом этой особой точки.
Изучим монодромию К( —* К(, при обходе вокруг особого слоя по пути в базе
1j(<p) = 5е%ч>, 0 ^ ip ^ 2тг. Слои Kie,r деформируются при 0 ^ ip ^ 2тг; при <р — 2 мы
получим «отображение монодромии»: ст : К( —> К(.
Вычислим эти отображения монодромии для п = 2. Решаем сейчас задачу для
чисто квадратичной функции
w = f(z) = (zlJ + (z2J = u2 + v2, u = z\ v = z2.
Квадрика К6 задается уравнением и2 + V2 — 5 = \S\elf; сфера 5J есть окружность
1тй = Imv = 0, где п = ue~llp^2; v = ve~"e^2. Неособый слой Kg есть произведение
Kf = SfX Ж1 (цилиндр).
Отображения обхода, начиная с вещественного S > 0 F = \6\),
можно задать так:
и -* ueitp/2, v -» veiv'2.
Изменяя <р от нуля до 2тг, получим в конце отображение Кщ
и —> ие" — -и, v -+ ve" — —v.
C)
D)

170
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
Нашей задачей является построение такого семейства отображений обхода
Кщ —> Кщс*, которое совпадало бы с C) в малой окрестности исчезающего цикла Sj
и было бы «тождественным» отображением всюду вне несколько большей, но малой
окрестности Sj С Kf. Термин «тождественное» означает следующее: отображения
вырождения <р : Ks -+ К§ (см. выше) взаимно однозначны вне исчезающего цикла S\
и устанавливают канонический диффеоморфизм между многообразиями Ks \ Sj при
всех (малых) 8. Все отображения обхода Кщ —* Кщ^г должны совпадать с этими
каноническими диффеоморфизмами между разными К( \ S\ вне малой окрестности
U( D Sj и должны совпадать с C) внутри еще меньшей окрестности Vs, где
KsDU(DVsDSl
Именно такое семейство отображений обхода («тождественное» вне окрестности
исчезающего цикла) необходимо для применения локальных результатов о квадрике
к глобальной задаче о вычислении преобразований монодромии на группе гомологии
•ffi(-Fw) = TiCFeVfriiTi] неособого слоя F — Fm для произвольного отображения
/ : М —> СР1, где М — компактное двумерное многообразие.
Слой Ко определяется уравнением и2 +v2 = 0 или и — ±iv. Из этого видно,
что Ко \ 0 состоит из двух кусков:
Ко \ 0 = E1 х Е+)[ и E1 х Е+J;
введем в этих кусках координаты
р > 0, (p,9)i : и = ре'в, v = iu (первый кусок),
р > 0, (р, 0J : и = ре'в, v = -гм (второй кусок).
Такой же вид имеет при малом 8 отличном от нуля, разность Ks\Sld:
E)
= E1 х l+)t и E1 х R+J ;
отображение вырождения <р : Ks
¦ Kq индуцирует диффеоморфизм
К{ Ко
вводящий координаты (р,9){ и (/>,вJ на (K6\Sl). Кривые уровня (р = const) на
слое Kf могут быть описаны как орбиты действия группы
и —» и cos 9 + v sin 9 = ие ,
v —> -и sin 9 + v cos 9 = ие'в,
F)
причем исчезающий цикл SJ — это орбита минимальной длины на слое Ks. На
слое Ко это действие сведется к действию и —* ие' A-й кусок), и —* ие~' B-й кусок).
Координата р на слое Ks (на обоих кусках) может быть определена как расстояние
от точки (и, v) 6 Ki до исчезающего цикла SJ С Ks; начало отсчета угла в мы будем
вести от сечения Aтм = 0) слоя К( трехмерной гиперплоскостью (на обоих кусках).
Таким образом, на обоих кусках Kf имеются координаты (в,р), где р ^ 0 (р = 0
отвечает исчезающему циклу).
Лемма 5. Для любого ? > 0 преобразование обхода Кщ —
так, что:
1) эти преобразования тождественны при р > 2е;
е* могут быть построены
§ 24. Гомотопическая теория косых произведений
171
2) эти преобразования имеют вид C) при р < е;
3) конечное преобразование монодромии ст : Кщ —
имеет вид
Кщ для tp = 2тг на обоих кусках
где функция в(р) имеет график, показанный
на рис. 92, т.е. в — к для р ^ е (на обоих
кусках и для р — 0 на исчезающем цикле);
9' = 0,2тг для р ^ 2е на обоих кусках; кривая
(р*,0(р*)) на цилиндре один раз охватывает
цилиндр при ~2е ^ р* ^ 2е, где р" = р на
первом куске и р* = -р на втором куске.
2г е
2-й кусок
е 2s
1-й кусок
Рис. 92.
Доказательство. Рассмотрим преобразование C) при ма-
малых (р на обоих кусках поверхности Кь. Из фор-
• мул C) непосредственно видно, что уже при малом
отклонении ip от нуля координата в при преобразо-
преобразованиях обхода начинает вращаться в противополож-
противоположные стороны для разных кусков:
в -*9+ ^ (на 1-м куске),
1-й кусок
2г р
2я
9 ~* в
ip
— (на 2-м куске).
2-й кусок
1г
Рис. 93.
Это следует непосредственно из сопоставления фор-
формул C) с ограничением К( —> Ко, вводящим коор-
координату 9, где направление 9 различно на 1-ми 2-м куске, в то время как
добавление угла <р/7 имеет на обоих кусках знак (+). Сшивая эту деформацию с
тождественной при р > 2е на обоих кусках, отсчитываем угол 9 от нуля для 1-го
куска и от 27Г для 2-го куска; в результате снова получим совпадение углов при
<р = 2тг. Отображение Кщ —> Кщ&п определим для 0 < <р ^ 2тг формулой
где 0v'(p) имеет график, показанный на рис. 93. Непрерывность этого отображе-
отображения на сфере S'f(p = 0) следует из того, что наши координаты 9,р для разных
кусков указывают противоположные направления угла 9 на сфере SJ С Кь.
Лемма доказана. ¦
7. Формула Пикара—Лефшеца. Рассмотрим теперь задачу глобально. Имеется
комплексно аналитическое отображение / : М —> СР = 52, где М — компакт-
компактное двумерное комплексное многообразие с невырожденными особыми точками
2i,...,zm € М, которым отвечают особые значения Wj = f(zj)- Рассмотрим типич-
типичный слой
F = Fa = f~l{w)CM
над неособой точкой w 6 S2. Введем пути а,- (см. рис. 91) и «исчезающие циклы»
qj 6 Я,(РМ) = 7-^-Г)
которые строятся путем переноса исчезающих циклов, отвечающих особым точкам z
в слой над общей точкой w вдоль путей 7у из точек w, - 8 в точку w при малом 8.

1
172 Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
Теорема 3. Имеет место следующая «формула Пикара—Лефшеца» для гомологического
эффекта обходов tpai особых значений по путям a.j = yj' affj:
(ipai), : H,(Fm) - Hx(Fm),
('Pai),(jp)=P+(jpoqj)qj-
Здесь p — любой цикл (элемент группы H\(Fa)), qj — исчезающие циклы особых
точек Zj,Zj, poqj — индекс пересечения этих циклов (любых находящихся в общем
положении отображений окружности в Fw представляющих эти циклы). При этом
преобразовании ((<pai)*) сохраняют индекс пересечения:
Р\°Р2 = [(<Ра,)*Р\] ° К<Ро,)*Р2]
для любых р\,рг 6 Н\(Fw).
Аоказательство. Рассмотрим цикл р в слое FWj-.( около точки Wj, трансверсально
пересекающей исчезающий цикл qj около особой точки Zj € FWj-i, где топо-
топологическая картина определяется квадратичной частью (d2f)e и Д/. Согласно
лемме 5, в результате обхода по малой окружности а;- радиуса 5 вокруг i«j
имеем формулу для классов гомологии:
ish - [sj],
[p]-p + (p°Sj)[SJ],
так как в окрестности всех точек трансверсального пересечения цикла р и
цикла SJ, изменение цикла р при обходе будет однократным с тем знаком,
с которым эта точка пересечения входит в индекс р о SJ. Заметим также, что
S\ о s\ = 0. Перенося все циклы в точку w вдоль пути 7j мы и получаем
формулу Пикара—Лефшеца.
Докажем теперь, что р\ор2 = (tp,pi) о (<p+pi) при обходе а;. Мы имеем:
<p*pi =Pi + (pi°qj)qj,
<P*Pi=P2 + (P2<>qj)qu
(pi + (pi о qj)qj) °(P2 + (j>2° qMj) -
= р\°рг + (p\ ° qj)(qj °pi) + (pi ° qj)(pi °qj) + (j>\° qj)ti>2 ° q^q, ° qj)-
Это равно р\ ор2 в силу равенства род = -qop (косая симметричность). Теорема
доказана. ¦
Задача. Вывести аналогичную формулу Пикара—Лефшеца для размерности п > 2.
Случаи четного и нечетного п при этом существенно отличаются друг от друга; чем?
Рассмотрим пример. Пусть М = СР2 = (С2 и СР^,) и наша функция — полином степени п
по переменным г\,гг;
Pn(zuz2):C2 -+С.
Как обычно, расслоение на поверхности уровня Pn(Z|,z2) = const продолжается на
асе СР2 (база расслоения — СР1) а однородных координатах (uo,«i,«a). гае Z| = «i/uo>
z2 = щ/щ.
Задача. Найти все особые слои и преобразования монодромии в гиперэллиптическом
случае P|(zi,z2) = z\ - Qn(z2). Неособые слои являются здесь поверхностями рода д, где
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений 173
п = 2<; + 1 или п = 2д + 2 (см. §2). Как мы знаем, фундаментальная группа неособого
слоя (поверхности рода д) задается образующими aubu.. .,ag,bg и соотношениями
а|Ь|а| Ь| ...пдЪдпд Ъд = 1
Группа #i = 7г/[7Г|,1Г|] представляет собой 2<;-мерную решетку, порожденную векторами
["ili [Ь|]> • • • 1 iasl> IM с индексами пересечения
Ы ° [bj] = Siv Ы о [а,] = [Ь{] о Щ] = 0.
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений
1. G -связности в главных расслоениях. В первом томе этой книги (см. гл. 6)
уже было начато локальное рассмотрение связностей и кривизны в расслоениях. Чтобы
перейти к рассмотрению топологических инвариантов связностей и кривизны (в случае,
когда расслоение уже не является тривиальным и база является многообразием, а не
областью евклидова пространства), мы разработаем в этой главе инвариантную систему
понятий.
Определение 1. Связностью (G-связностью) в главном расслоении с пространством Е,
базой М, группой G и проекцией р : Е —> М называется гладкое семейство
«горизонтальных» п -мерных направлений в пространстве Е, инвариантное
относительно (левого) действия группы G на пространстве Е.
Ниже мы покажем, что преобразование параллельного переноса, определенного
G-связностью, будут принадлежать группе G. Поэтому это определение согласовано с
определением 24.4.
Напомним теорему 1 из § 24 о том, что каждое главное расслоение определяется
свободным левым действием группы G на Е. Простейший дифференциально-геометри-
дифференциально-геометрический способ задания связности, как в лемме 1 из § 24, использует левоинвариантную
метрику (gtj) на пространстве Е (т. е. такую метрику, что левое действие группы G на
пространстве Е является движение). Если такая метрика имеется (см. по этому пово-
поводу §8, в котором доказано существование такой метрики для компактных групп G),
то G-связность определяется заданием n-мерных плоскостей, ортогональных слоям, в
качестве горизонтальных.
Другой способ, удобный при определении кривизны и в других приложениях
связностей, состоит в задании поля горизонтальных направлений уравнением типа
Пфаффа, т.е. набором дифференциальных форм (или одной формой с векторными
значениями).
Реализуем алгебру Ли g группы G как пространство правоинвариантных
касательных векторных полей на группе G, где операцией Ли является коммутирование
векторных полей.
Определим каноническую 1-форму w0 на группе G со значениями в алгебре Ли д.
Значением этой формы на касательном векторе г в точке у ?G объявляется элемент
алгебры Ли то(у,т) = ?т — правоинвариантное векторное поле такое, что ?т(у) — -т.
Сокращенно можно записать форму ш0 в виде -(dg)g~ .
Свойства формы ш0 таковы:
а) шо(х,т) ф 0, если г Ф 0 (очевидно),
б) dwo(y,T"i>Ti) = |wo([ti, r2]) = [шо(т{),шо(т2)\ (см. задачу 1 к §25 ч. I).
Группа G, действуя на самой себе левыми сдвигами у »-> ду (у и д оба из группы G),

174
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
переводит правоинвариантное поле ? в правоинвариантное поле т? = д,?, обозначаемое
через Ай(д)?. Для формы ш0 при левых сдвигах группы у>->ду, имеем
где j/i = д(у2) и f = д,(т). В матричной реализации групп и алгебр Ли преобразова-
преобразование AdE) выглядит как внутренний автоморфизм ? »-> $?</"' на алгебре Ли; запись
w0 = ~(dg)g~l приобретает в матричной записи буквальный смысл.
Определение 2. Дифференциально-геометрической G-связностью на главном расслоении
р:Е -> М с группой G называется форма ш в пространстве Е со значениями в
алгебре Ли g группы G, обладающая двумя свойствами:
1) Нормировка: ограничение формы ш на слой G есть ш0 = -(dg)g~l.
2) Инвариантность: при левом действии группы G на Е имеет место равенство
д'ш = Ай(д)ш=дшд~1. A)
Лемма 1. а) Уравнение ш = О задает G -инвариантное семейство горизонтальных напра-
направлений, образующих связность в смысле определения 1; б) обратно, если задано
G -инвариантное семейство горизонтальных направлений, то можно построить
форму ш со свойствами 1), 2) такую, что семейство задается уравнением ш = 0.
Доказательство. Так как ограничения формы ш на слой G есть в точности форма ш0, то
уравнение ш = 0, в любой точке у е Е определяет плоскость, трансверсальную
слою, и размерность пространства нулей формы ш есть п (размерность базы).
G-инвариантность поля плоскостей ш = 0 непосредственно следует из свойства 2
в определении 2. Обратно, пусть задано G-инвариантное семейство горизонталь-
горизонтальных п-мерных направлений в Е. Построим форму ш, представляющую собой
в каждой точке х 6 Е линейное отображение касательного пространства ТХЕ
(в точке х) в алгебру Ли g группы G. Структурная группа G действует на
слоях правыми сдвигами R, :y>->yg. Форма ш0 на слое F = G инвариантна
относительно правых сдвигов по своему определению:
С TyF задает разложение в прямую
Поэтому форма ш0 на слое Fx над любой точкой х 6 М, Fx = p~\x) и G,
определяется инвариантно (независимо от выбора области локальных координат
со структурой прямого произведения). В каждой точке у слоя Fx, форма ш0
представляет собой изоморфизм касательного пространства к слою Т F в
алгебру Ли д,
о>0 : TyF -> д.
Выделение горизонтального направления
сумму
ТуЕ = Kj © Ty.F
и тем самым проекцию
ж:ТуЕ-+ТуР, ж(Щ) = 0.
Рассмотрим суперпозицию
ТУЕ ^ TyF ^q.
Эта суперпозиция шож и есть форма ш. Ее ограничение на слой F есть ш0
по определению. Левый сдвиг д : Е ^ Е сохраняет проекцию ж ввиду
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений
175
левоинвариантности семейства горизонтальных направлений Щ, а на области
значений формы а>о левый сдвиг действует по формуле A). Лемма доказана. ¦
Лемма 2. На любом главном расслоении существует дифференциально-геометрическая
G-связность (в смысле определения 2).
Аоказательство. Предположим, что структура главного расслоения р : Е —» М задана
областями Ua, где и Ua = М, и диффеоморфизмами <ра : G x Ua —> p~'(Ua)
а
(см. определение 1 из § 24). Мы выберем, если нужно, более мелкое покрытие
так, чтобы на М существовало разбиение единицы {фа}, где ipa = 0 вне Ua
и 52 i>a(y) = 1 в любой точке у ? М (см. §7). В прямом произведении
G х 17а я р~ (Ua) зададим любую связность ша (например, горизонтальные
направления касаются ipa{g x Ua) для всех g € G). Чтобы построить G-связность
во всем Е, достаточно положить
Здесь функции p*(i>a(x)) имеют вид i/>a{p(x)), т. е. «подняты» с базы М. Поэтому
р*тра = О вне p~l(Ua), и форма р*1ра(х)ша продолжается на все многообразие Е
как тождественно нулевая вне области p~l(Ua). Ограничение этой формы на
слой имеет вид р*г1)а(х)шй, так как функции p*fa(x) постоянны вдоль слоев
(G-инвариантны). Свойство 2 из определения 2 также очевидно.
Лемма доказана. ¦
Задача. Докажите, что множество связностей в расслоении линейно связно.
Локально (над координатной областью Ua с координатами х1а,...,ж") связность
в тривиальном главном расслоении с пространством Еа — p~l{Ua) ? F xUa (F = G)
может быть задана в виде 1-формы А в базе Ua со значениями в алгебре Ли g
группы G. Сопоставление формы А = A^ix/i с формой ш\да в координатах у — (д,х),
заданных отображением <ра, таково:
где а>о — каноническая форма на G со значениями в д.
Инвариантно это можно сказать так: структура прямого произведения на Еа
представляет собой пару отображений («координаты»):
Ua Д Еа Л G = F.
«Координаты» точки у 6 Еа — это пара (p(y),q(y))- Формула B) принимает вид
Каждое сечение расслоения Еа над областью Ua,
Ua
Еа, pf = 1,
задает координаты прямого произведения в главном расслоении Еа: мы объявляем
точки вида ф(х) «единицами» групп G (слоев). Отображение q : Еа —+ G задается после
этого формулой
q(y) = 9 € G, gf(x) - у.

176
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
При этом разные сечения тр\ и ф2 задают разные координаты прямого произве-
произведения в Еа, отличающиеся на преобразование группы G в каждой точке х ? Ua,
ip\(x) = g(x)ip2(x)- В прямом произведении сечение определяется точками трх — A,х).
В пересечении Uap двух областей Ua,Up возникает замена сечения тр\ —> -ф2 с помощью
левых сдвигов, заданных отображением д(х): Uap —» G. Форму ш можно представить в
области Еар = p~l(Ua n Up) двояким образом:
51 = Ч\(х), ш = q'l(u0)+qlA(l!)q;ldx>'1
где q\ : Еар —> G и qi : Еар -* G различаются на преобразование д : Uap —> G
(отображения </,- определяются сечениями fi). Из совпадения этих двух выражений
для формы ш получаем закон преобразования для коэффициентов Аи («калибровочное
преобразование»; см. том I, §41):
;"'(*)• C)
Эта формула определяет «склейку связностей»; она имеет вид А$Г1\х) — -^~д~](х),
в случае, если выбором другого сечения можно сделать А^ = 0. Это — «тривиальные
связности».
Теорема 1. G-связность, задаваемая формой ш в главном расслоении р : Е -* М,
определяет параллельный перенос слоев вдоль любой кусочно гладкой кривой у в
базе М, задаваемый правым сдвигом на группе G.
Доказательство. Пусть кривая у имеет вид х — x(t), a ^.t < Ъ. Будем искать горизон-
горизонтальную кривую у в пространстве расслоения, накрывающую у и начинающуюся
в заданной точке до слоя G = р~1(х(а)). Достаточно рассмотреть случай, ко-
когда кривая у целиком лежит в одной координатной области Ua такой, что
P~X(Ua) « G х Ua (в общем случае нужно воспользоваться преобразования-
преобразованиями склейки Хар). В локальных координатах прямого произведения (#,х) в
пространстве расслоения кривая у должна иметь вид (g(t),x(t)), где g(t) — не-
неизвестная пока функция. Из условия горизонтальности у (т. е. горизонтальности
касательного вектора (g(t),x(t))) будем иметь
Обозначая через B(t} функцию со значениями в алгебре Ли д, где B(t) —
x^i^Aftixit)), получим для искомой функции g(t) линейное дифференциальное
уравнение
g-gB = 0.
Решение этого уравнения с начальным условием д(а) — до 6 G существует и
единственно при всех t G [а, 6]. Таким образом, параллельный перенос определен
при всех t. Покажем, что параллельный перенос слоя задается правым сдвигом
группы.
Лемма. Решение уравнения д — дВ — 0 при B(t) G g с начальным условием д(а) = до € G
имеет вид g(t) — gof(t), где функция f(t) принимает значения в группе G.
Аоказательство. Утверждение леммы очевидно, если функция В не зависит от t :
B(t) = const 6 g. В самом деле, решение уравнения g = gB в этом случае имеет
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений
177
вид g(t) = goexp[(? - а)В], где exp[(i - а)В] — экспонента вектора из алгебры
Ли д, принадлежащая группе G.
В случае непостоянной функции B(t) разобьем отрезок [a, t] на JV малых
частей а = to < t\ < ... < tjf = t. С точностью до o(U - ij-i) будем иметь
-tQ)B(t0)},
Отсюда вытекает, что g(t) = gof(t), где
f(t) = lim ехр[(*„ - tK.i)B(tK^)] ... ехр[(<! - to)B(to)].
|«i-«i-ll-0
Каждый сомножитель принадлежит группе G, поэтому и произведение принад-
принадлежит G. Лемма, а вместе с ней и теорема, доказаны. ¦
Следствие. Для G-связностей верна лемма 2 из § 24 (без предположения о компактности
Слоя).
Для G-связностей определена группа голономии. Эта группа является образом
гомоморфизма, относящего петлям из U(xo,M) преобразования слоя, и состоит из
правых сдвигов группы G (хотя, возможно, не всех).
2. G -связности в ассоциированных расслоениях. Примеры. Обсудим теперь,
пользуясь инвариантным языком, связности в ассоциированных расслоениях. Предпо-
Предположим, что группа G действует как группа преобразований в многообразии F — слое.
Пусть, далее, pf '¦ Ер —> М — расслоение, ассоциированное с главным расслоением
р : Е —> М, обладающим формой связности ш. Форму ассоциированной связности
на пространстве Ер зададим со значениями в касательном векторном пространстве к
слою F. Конструкция такова: каждый элемент g группы G определяет преобразова-
преобразование слоя g : F —* F. Вследствие этого элементы алгебры Ли группы g определяют
векторные поля на слое F — дифференциальные операторы (дифференцирования
по направлению) на скалярных функциях. Пусть заданы точка у 6 F и касательный
вектор г в этой точке. Определим форму шр на слое F, положив ее значение шр(у,т)
на векторе г равным т. Ограничение искомой формы шр на каждый слой F должно
о -I f"
равняться шр. Из этого вытекает, что в каждой области рр (Ua)~FxUa с координатами
прямого произведения форма шр должна иметь вид
шр = ш°р + Ар(у, x)dx?, x = р(у). D)
В качестве А^(у,х) мы берем следующий касательный вектор к слою в точке у G Ер:
элемент алгебры Ли д, совпадающий с А^(х), определяет векторное поле ? на слое F;
берется значение поля ? в точке у € F — касательный вектор к слою
А11(у,х)=?(у), р(у) = х.
По определению, значение форм dx?, на любом векторе г, касающемся слоя, равно
нулю. Поэтому ограничение формы шР на слой F есть шр.
Уравнение шр = 0 задает «горизонтальные направления» RJ для точек х 6 Ер в
ассоциированном расслоении. Формула D) определяет форму шр инвариантно.
Если слой F есть векторное пространство Ет и группа G действует линейно,
то элементы ? алгебры Ли g можно считать линейными векторными полями (или
матрицами Af_ : Rm —> Rm). Пусть т?1,...,if1 — координаты в слое Rm. Если А^ = (а]),
то поле ?(??) равно
е = 4v-

178 Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
Поле Ар(х) имеет матричный вид:
Ац(х) = (Аи(х))) = а)ц(х) — матрица в Rm.
Таким образом, в векторном расслоении со слоем Rm связность задается
(локально) матрицей, зависящей от х и ц:
или матричнозначной формой a'^dx11.
Если само расслоение — касательное расслоение многообразия М (со слоем R"),
то имеет смысл говорить о кручении (см. том I, §41):
aj> ~ а'п - TU - -2j/i (тензор в М),
и о симметричности связности, если Т1^ — 0.
Параллельный перенос слоя F вдоль пути y(t) в базе является для таких
связностей линейным преобразованием. В локальных координатах а;^,..., хаа обла-
области Ua С М определяются оператор ковариантного дифференцирования сечений
векторного расслоения:
E)
и производной по направлению 6 = (б\... ,6") в базе Vj = #,,. Неперестановочность
операторов V^ и \7„ между собой приводит к кривизне Uv/1 = [\7„, V,,].
Для гладкой кривой 7(*)> 0 ^ f ^ 1, линейный оператор параллельного
переноса слоя вдоль пути из точки 7@) в точку 7A) изображается так называемой
«хронологической экспонентой» и обозначается через
Здесь T[A\(t)A2(t')...] обозначает так называемое хронологическое произведение двух
(и более) некоммутирующих друг с другом операторов, зависящих от времени:
T[Ai(t)A2(t')] = Ai(t)A2(t') при t>t',
')] = A2(t')Ai(t) при t<t'.
G)
Если кривая y(t) разделена на малые интервалы точками 0 = t0 < ti < h <
... < tN = 1, то для операторной функции A(t) по определению полагаем
1
T expj I A(t)dt\ = Hm Т{ехр[(<! - to)A(to)] x
)]}¦ (8)
Полагая A(t) = jt- V^(i) для гладкой кривой 7(i), получим оператор параллельного
переноса вдоль кривой.
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений
179
Задачи. 1. Доказать формулу разложения в ряд для непрерывной функции A(t):
i i ii
Texpi / A(t)dt I = 1 + / A(t)dt + - I I T(A(t')A(t"))dt'dt" + ...
0 0 0 0
I I
... + ij j...j' T(A(U)...A(tn))dtx...dtll+... (9)
о о
2. Показать, что выражение Т exp/ A(T)dr = B(t) удовлетворяет уравнению
о
dB
а вектор i}(t) = ?(?)% удовлетворяет уравнению
dri(t)
dt
= A(t)ri(t).
A0)
(П)
Напомним, что параллельный перенос определялся из уравнения
0, A2)
A3)
или '^ + a)ll(t)x''(t)T]j(t) = 0, где j(t) = (x](t),...,xn(t)). В этом случае имеем
_ d _«¦¦/«
dt
Простейший случай представляет собой коммутативная группа U(l) = 50B) =
G = 51 с одномерной алгеброй Ли gj = R1 (тривиальной). В этом случае имеем
щ — ^dtp, где <р @ ^ <р ^ 2ir) — координата на группе 51. Локально заданные формы
gA^'dx11 совпадают с
ш — о>0 + gA/1g~ldx1' = — dtp + A^d:
2.Ж
Калибровочное преобразование чисто градиентно:
. , , дд(х) _, _ л , dtp
A4)
A5)
Форма связности есть просто скалярная форма ш, инвариантная при действии
группы G на Е:
g*w — ш = Ad{g)w — gwg~l. A6)
Уравнение ш = 0, задающее связность, есть просто одно уравнение Пфаффа,
выделяющее касательные гиперплоскости в Е, трансверсальные к слоям.
Оператор ковариантного дифференцирования комплексных скалярных полей
(т.е. сечений одномерных расслоений со слоем С1) для реализации группы G
в виде U(\) имеет вид (см. том I, §41)
где Ац(х) — вещественный скаляр (при каждом ц). Коммутатор операторов V,, и \7„
называется «кривизной».

180
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
3. Кривизна. Пусть комплексное одномерное расслоение со слоем С' ком-
комплексно аналитично и имеет структурную группу G = С*; базой пусть служит
п -мерное комплексное многообразие М с областями комплексных локальных коорди-
координат Ua(z[a,... ,z%). Расслоение задается функциями склейки в областях Uap = Ua^Up,
со значениями в G = С, и эти функции ТаР аналитичны. Рассмотрим логарифм
(определенный, возможно, неоднозначно)
(+2xim).
A9)
В дальнейшем мы будем считать, что области Uap односвязны, т.е. K\(Uap) = 0. В
этом случае можно выбрать однозначную ветвь логарифма
аар = In Tap(z).
В пересечении трех областей Uap7 = UanUpnU7 имеем
ТаРТ^Т7а = 1 или ааР + аРу + ауа = 2х гПф1, B0)
где парп — целое число. Это целое число определяется, очевидно, и без предположения
об аналитичности функций Ta/3(z). Позднее будет показано, как с помощью набо-
набора {nap-f], где а/3-у — всевозможные тройки с непустым пересечением Uap^ (этот набор
называют коцепью), строится топологический инвариант расслоения. Если комплекс-
комплексная размерность базы М равна 1, то этот топологический инвариант определяется
так: занумеруем область Ua в последовательность U\,U2,--., и предположим, что
никакие четыре области не пересекаются (Ua, п Uai П Uai П Uat — пустое множество).
Рассмотрим сумму
п= ^2 парт B1)
а<р<1
Задача. Доказать, что вычет числа nmod2 не зависит от выбора структуры расслоения
(является «топологической величиной»). Найти этот вычет для расслоения Хопфа т/
над СР1 и для его степеней if.
Вернемся теперь к комплексно аналитическим расслоениям со структурной
группой С* =5' х R+; алгебра Ли этой группы коммутативна и совпадает с С1. На
группе G = С имеется комплексная координата w, \w\ > 0, и комплекснозначная
форма Wo = dlnw. В аналитическом расслоении форма связности (локально, в
области Ua) записывается в виде
B2)
B3)
Потребуем, чтобы форма связности была задана локально в виде
где fa — некоторые числовые функции, т. е.
й f
B,(z)=0, Al(z) = -jj±. B4)
Для пересечений Uap мы должны иметь градиентное преобразование (см. A5)):
B5)
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений
181
где d' + d" — полный дифференциал: d = d' + d". Если пересечения Uap односвязны,
то In Ta^{z) — однозначные функции. Мы полагаем уар = In T"p = аар и выбираем,
. предполагая это возможным, функции fa (вообще говоря, неаналитические). Заметим,
что d"yap = 0 в силу аналитичности' функций 7a/j- Поэтому форма п = d'd"fa
определена однозначно на всем многообразии М:
itU - idTfp = d"(d' + d")yap = 0 B6)
(так как d2 = d2 = (i + d"J = 0nd!d" = -d"d').
Форма п называется кривизной этой связности.
Имеем п = 52 „ ] , dz'aAdZa (локально). Для двумерного случая (га = 1) форма
кривизны имеет в области Ua вид
0 =
dzadza
dza A dza.
B7)
Заметим при этом, что -g^= = Д — вещественное выражение, и dz Л dz = lidx Л dy.
Поэтому действительная и мнимая части формы п обе корректно определены для га = 1
и замкнуты. В дальнейшем будет ясно, что Refi = d(U\) и поэтому
/
м
Заметим еще, что если функции /„ являются аналитическими, то п = 0.
Для вещественных баз М структура расслоения со структурной группой
S1 = Щ1) и слоем С1 определяется функциями склейки Тар(х) = е"р"^х) в обла-
области Uap. Связность в области задается 1-форма ша, причем разность этих форм в
пересечении областей Ua,Up имеет вид
ша-шр = dqap(x),
где qap(x) — числовая функция. Фактически функция qap(x) сводится к In Ta/3(x) =
iipap(x).
Кривизна п определяется формулой
2хШ = dwa (в области Ua).
Очевидно, что в области Uap
дыа - du>p = ddqap = 0.
Таким образом, форма п корректно определена на всей базе М.
Инвариантным образом форму кривизны п для расслоений с группой 51 можно
описать так: рассмотрим форму связности ш на пространстве Е расслоения р: Е -* М.
Определение 3. р*п = -^ dui.
Для проверки корректности этого определения и его эквивалентности предыду-
предыдущему определению достаточно заметить, что локально (в области Ua) ш = ш0 +р*ша,
где о*о = 5F ^Р- Ф°Рма ^ имеет вид
du - dp*wa = р*BтгШ). B8)
Число 2хг здесь является просто нормировочным множителем.

182
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
Перейдем теперь к определению и изучению кривизны в общих вещественных
и комплексных расслоениях.
В касательном пространстве ТуЕ точки у ? Е при наличии связности имеется
разложение ТУЕ = TyF ф Щ, где Щ — горизонтальное направление связности. Имеем
проектирование Я, порожденное связностью:
Определение 4. Если T]}...,rq — произвольные векторы из Е и Н(т\),...,Н(тя) —
их образы в Щ, то горизонтальной частью q -формы ш называется форма
Лл,..., тч) = ш(Нт\,..., Нтч).
B9)
Из определения видно, что если один из векторов tj касателен к слою
(«вертикален»), то Ншя(т\,... ,rq) = 0. В частности, ограничение форм вида Ншя на
слой равно нулю.
Определение 5. Формой кривизны в пространстве расслоения Е называется выражение
пЕ = Hdw, C0)
где ш — форма связности.
Теорема 2. Имеет место «структурное уравнение»
dw+[w,u] = Hdu = UE. C1)
Для преобразований пространства Е, производимых элементами группы G, имеет
место равенство
г = дпЕд-]. C2)
Замечание. Формы ш и пЕ принимают значения в алгебре Ли д, в которой имеется операция
коммутирования, причем [?,ij] = — [»/i4]- Для форм со значениями в какой угодно
алгебре с билинейным законом умножения можно определить операцию умножения
форм (в нашем случае — операцию «коммутирования» форм со значениями в алгебре
Ли д) по правилу
" ¦,-|...т,„),а,(тл...т,)]1 C3)
где a — перестановка индексов
2 ... р р+\ ... p + q \
I »2 ••¦ i, ]\ ¦¦¦ j, )
и a(p, q) — число сочетаний из р + q no p.
Для 1 -форм (р — q— 1) определение операции коммутирования принимает вид
[
2
Если ш\ — ш2 = ш, то
C4)
1
[ш,ш](тит2) = -([w(n ),&;(¦
2
C5)
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений
183
Аоказательство теоремы. Мы проверим утверждение теоремы в области определения
локальной системы координат Ea = p~l(Ua), в которой форма связности имеет
вид
ш = ш0 + дАц(ха)д <te? = щ + дАд , C6)
где А - Apdx11, ш0 = -(dg)g~l. Фиксируем для удобства вычислений структуру
прямого произведения G x Ua в p~\Ua) и базис (д,,) в касательном пространстве
кМ, где dp = д|г. Для оператора Я вточке A,х) 6 GxUa имеем Я9Л = д^-А^,
Не = 0, где е — касательный вектор к слою. Здесь А^ есть элемент алгебры
Ли д, интерпретированный как касательный вектор к группе G в точке 1. Для
формы wo по самому ее определению имеем шо(^) = Аи. Далее: Я dx^ = dx1*,
Яшо(^) = ш^Нд,,) = -w0M/.) = -Аи. Итак, НА = А, Нш0 = А = A^dx*
(в точке A,ж));
duj0 = -d(dgg~x) = dgg~ldgg~l = [шо,шо];
l) + g(dA)g~l =
= [шо,шо] - [u>u,g~l
Отсюда получаем (g= 1)
Hdw = [Ншо,Ншо] - [Нш0, НА] + [НА, Нш0] + H(dA) = [Л, А] + dA. C7)
[g~lAg,u0] + g(dA)g~l.
При g ф 1 форма Яйш восстанавливается на основании ее инвариантности,
g*{Hdu>) = Ad(g)H dui (операторы Hud сохраняют это свойство). Окончательно
для всех g имеем
HdbJ = QE=g(dA+[A,A))g-1. C8)
Для формы du получаем
дш = пЕ- g~x[A,A]g - [щ,ш0] - 2[wo,g~]Ag] = ПЕ- [ш,ш].
Теорема доказана. "
Локально, в координатной окрестности Ua базы М, форму пЕ можно «опустить»
в базу:
C9)
Очевидно, что коэффициенты П^„ формы п — это коммутаторы: п^ = [V,,, V^]. При
калибровочном преобразовании д(х)
п^дпд'1. D0)
Для формы кривизны ПЕ = Hdu = dw + [ш,ш] можно точно так же вычи-
вычислить dUE и HduE. Мы получим «тождества Бьянки» (проверьте, как и выше)
duE-2[ui,UE],
Я dUE = 0.
Для форм п в областях Ua базы М элементарное вычисление показывает, что
DQ = du + [А,П] = 0 D1)
(проверьте!).

184
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
4. Характеристические классы. Конструкции. Для одномерных комплексных
расслоений с коммутативной структурной группой G = S1 или G = С* тождества
Бьянки сводятся к замкнутости формы кривизны П, так как [А,п] = 0. Кроме того,
gtig1 = п и форма П является корректно определенной замкнутой формой на базе М.
В пространстве Е форма р*п — пе точна: Ue = dui. В базе М форма п, возможно, не
точна (это будет обсуждаться позднее). Заменим связность ш другой связностью w в
том же расслоении р : Е —> М.
Лемма 3. Разность форм кривизны U и U, отвечающих разным связностям шише одном
и том же расслоении с группой G = 51 является точной формой,
U~U-du.
Аоказательство. По определению р*п = Ue = du и р*п — пе = dxo. Разность ш — ш
имеет в области Ua вид
, Л) = (А,, - A?
Таким образом, форма ш — ш имеет вид р*и и п — п — du. Лемма доказана. ¦
Пусть в базе М имеется двумерное замкнутое ориентированное подмногообразие
Р С М. Из леммы вытекает
Следствие. Интегралы J п и J п совпадают; следовательно, величина J п не зависит от
р р р
выбора связности в расслоении р;Е^>Ми является «топологической величиной».
Аоказательство. J (Q - п) — J du = / и = 0, так как Р не имеет края. ¦
р р эр
Рассмотрим теперь произвольную группу G (реализованную матрично) и ло-
локальные формы кривизны п в области Ua с координатами {ха}. При калибровочных
преобразованиях
U-> д(х)пд(хГ].
Рассмотрим скалярную форму SpO. Очевидно, имеем
Следовательно, скалярная форма Spfl определена инвариантно на всей базе М.
Из тождества Бьянки D1) получаем
du--[A,Q].
Из этого вытекает, что форма Sp О замкнута:
dSpu = Sp(dU) = -Sp[A,u] = 0,
так как след коммутатора двух матриц всегда равен нулю. При замене связности ш
другой связностью ш имеем
d(w — uT) = dw-d(D= Ue ~ ^в — \ш,ш] — [^,ш].
Переходя к следам Spa>, SpaJ, Spfie, SpQg и используя равенство Sp[a>,a>] = 0,
получаем _ _
d(Spu - Spw) = Spf2B - SpuE=p'(Spu - SpO).
При этом локально Spa; = Spa>0 + Spp*(j4), SpaT = SpaH + Spp*(j4). Окончательно
Sp п - Sp п = du (в базе М).
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений
185
Из этого следует, что интегралы формы Sp fj по двумерным подмногообразиям
многообразия М являются «топологическими величинами» (не зависят от связности в
.расслоении).
Рассмотрим теперь локально форму U в области базы Ua как матричнозначную
дифференциальную 2-форму
п = (V dx^Adx" =
а связность — как матричнозначную 1-форму
A dx\
между этими формами имеется связь:
dA
dAv
D2)
D3)
D4)
Мы уже рассматривали произведение форм, где за операцию умножения коэффициен-
коэффициентов бралось коммутирование. Здесь мы рассмотрим произведение форм с матричными
значениями относительно обычного матричного умножения коэффициентов (ср. ана-
аналогичное определение C3))
ssaffiop(Til...Tir)up(Tj,...Tjf),
D5)
i !<...<¦>
где а =
1
p p+l
F 4 \ — перестановка, a(p,q) = Щ^-. Алгебра
iq j ?¦?¦
форм будет ассоциативной, но не косокоммутативной. Определяем «характеристические
классы»
Ci = Sp(uА ... Аи) = SpU\ t^l. D6)
Форма с; определена корректно на всей базе М, поскольку при калибровочном
преобразовании
Форма с,- замкнута в силу тождеств Бьянки
i
1' = Sp<m; = J2 sp№j"! л (du) a aM) = o,
так как du = -[А,п\ и Sp(SV '[Л,П]П' j) = 0. При замене связности ш другой
i
связностью ТИ форма с< изменяется на точную форму dw,-, где р*щ = 5Z (— 1У Sp ((У~' Л
_ j=i
(А - A)u'~i) (проверьте!). Поэтому интегралы J с, по замкнутым ориентированным
р
2г -мерным подмногообразиями Р многообразия М представляют собой топологичес-
топологические величины.
Для группы G = SOBn) введем еще одну форму Хп степени 2га на базе М
= V хШъ,,т{,\...,п(т^,,т^)}, D7)

186 Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
где сг = [ .' ? ¦' ¦ 2п ) — перестановка, В(п) — числовой коэффициент, который будет
\ *1 *2 - •- *2л /
выбран позднее из требований нормировки, х[?A),...,.Ь(Г1)] — полилинейная форма '
от п кососимметрических матриц ?A> = (l\V),...,L(n) = (*,•"'), построенная так: если
l(k) = l^du'Adv? — формы степени 2 в пространстве R2" с координатами щ,..., и2п, то
10) Л ... Л l(n) = xlL°\ ... ,L(n)) <te, Л ... Л du2n.
(Это — аналог так называемого «пфаффиана».)
Если п = 1, то, x(L) — это обычный изоморфизм между алгеброй Ли
группы 50B) и прямой R1; форма xi Для G = 50B) уже вводилась выше (G = 51 =
U(\) = 50B)). Для п - 2 имеем
№)Xi = ^ ?Шзип(т^,т{2) Л п(т{„ти). D8)
Задачи. 1. Докажите, что х* — замкнутая форма на базе расслоения со структурной
группой G = S0Bn). Если база М — риманово многообразие размерности 2п с
метрикой gtj и расслоение касательное, то
(п = 1) Xi = д &" = -R V?du л dt)i S = det(ptJ);
D9)
(общий случай) /3(п)х„ = ?||"'2"П,-1,-2 Л ... Л П,-2п_,;2,,
где П1; = 53 Rtjkidx* Л dx'. Для всех групп SO(n) и SU(n) форма с, тривиальна, так
к;
как Sp П = 0 (алгебра Ли состоит из бесследных матриц).
2. Показать, что для расслоений со структурной группой SO(n) все формы c2l+i =
Sp(fl2l+') глобально (на всей базе) являются точными и не дают топологических
величин (t < п).
Для п = 2 и группы 50D) имеем характеристические классы с2 = Sp(fi2)
и хг- Для четырехмерных римановых многообразий с метрикой дц имеем формулу
(связность симметрична и согласована с метрикой)
с2 = -R'^Riw dxx A dx" Л dx" Л dx*;
Xl=L ?ilhhitRilhvllRhiAxx dx"Adx^AdxxA dx". E0)
Интегралы / ci и J хг являются функционалами от метрики (дф на М, имеющи-
м м
ми тождественно нулевую вариацию (т.е. не меняющимися при малом изменении
метрики).
Мы уже перечислили важнейшие характеристические классы для групп S0(n),
U(n). Можно ввести аналогичные характеристические классы bj как формы степени 2j
в базе Sp(n) — расслоения, где группа Sp(n) и ее алгебра Ли реализованы как
кватернионные унитарные и косоэрмитовы матрицы, причем нетривиальными их них
будут лишь Ьц (проверьте!). Это, однако, менее важный случай.
Сейчас мы укажем общую конструкцию характеристических классов (т.е. за-
замкнутых форм на базе, меняющихся при изменении связности лишь на точную форму,
так что интегралы по замкнутым подмногообразиям базы являются топологическими
величинами). Рассмотрим алгебру Ли g группы G и внутренние автоморфизмы Adg
группы G на алгебре д:
Ad ^ : 1 •-> gig1 (в матричной реализации)
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений 187
Определение 6. Симметричная полилинейная форма с числовыми значениями
ф[1\,.-.,1т] на алгебре д, где U G g, называется Ad-инвариантной, если эта
форма f не меняется при преобразованиях вида Ad g группы G на алгебре д:
¦Ф\д1\9'\- ¦ -,gimg']) = Wu ¦¦¦, U- E1)
Каждая Ad-инвариантная форма ip определяет характеристический класс Сф.
Построение характеристического класса по Ad-инвариантной форме ip таково: если
U — (локальная) форма кривизны в базе М, то полагаем
<V(ri,...,T2m) = c^(ft)= ^2 s$ncnp[U(TinTh),...,Q(Thm^,Thm)], E2)
>г»-1<«2я
где а = ( ' '" ?т ) — перестановка.
\ г 1 • • • г1т /
Полагая Щт^_„Т{м) = lq, сразу усматриваем аналогию между определением
формы Сф(п) и определением эйлерова класса Хп№)', ДЛЯ классов ci(G — U(n),S0(n))
формы tpi имеют вид
const -Tpiik,...,U) = X) SP('*, ¦•¦'»,)¦
ti,...,t,-
Из Ad-инвариантности f следует, что Сф(п) — корректно определенная числовая
форма на базе М.
Задача. Доказать, что форма с^(П) замкнута и при изменении связности в том же рассло-
расслоении изменяется на точную форму (т. е. интегралы по замкнутым подмногообразиям —
топологические величины).
Пример 1. G — абелева группа Т" (или R"). Тогда g = R", и действие Adj тривиально.
Все симметричные полилинейные формы ^(/ь...,/т) определяют характеристические
классы с^. Таким образом, совокупность всех классов вида с^(П) — это алгебра
симметрических многочленов от п образующих, соответствующих элементарным формам
fj(l) = (l,ej), где еи...,еп — ортогональный базис алгебры Ли g = R" в евклидовой
метрике.
Классы с^.(П) обозначим через ?,(П). Это — формы степени 2 в базе расслоения.
Любой класс имеет вид
? «й ••¦«.,<"' ...?=<*<П). E3)
Пример 2. G = U(n). Здесь алгебра Ли g состоит из косоэрмитовых матриц. Любая симметрич-
симметричная Лй-инвариантная форма трA\,. ..,/„) на g может быть ограничена на картановскую,
т.е. максимальную коммутативную подалгебру Я алгебры д. Для алгебры Ли груп-
группы U(n) в качестве Я можно взять алгебру диагонвльных косоэрмитовых матриц
(т. е. диагональных матриц с чисто мнимыми диагональными элементами). Оказывается,
что ограничение Ad-инвариантной формы хр на картановскую подалгебру полностью
определяет эту форму. Этот факт мы не доказываем.
Изучим ограничение форм ск на картановскую подалгебру. На картановской
подалгебре выбирается базис /",...,i° С Я. Некоторые автоморфизмы вида / >-* glg'[,
где д € G, сохраняют подпространство Я С д; такие д составляют конечную группу,
называемую группой Вейля группы G. Для G = U(n) базис в Я можно составить из
диагональных матриц с единственным ненулевым элементом (ф;; = t. Группа Вейля есть
в этом случае группа 5„ всех перестановок базиса ij (проверьте!). Рассмотрим базисные

188 Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
линейные формы t, из д', полагая (,(??.) = 6jk. Тогда ограничения симметрических
Ad-инвариантных форм ф на картановскую подалгебру Я С g представляют собой
симметрические полиномы от переменных t,,..., fn. В качестве базисных симметрических
полиномов можно взять следующее:
1>iU) = tt,+... +tl E4)
Классы с^' совпадают с определенными выше классами ск. Продолжение классов ск с
картановской подалгебры на всю алгебру Ли указано в формуле D6).
Пример 3. G = SOBn). Алгебра Ли g состоит из кососимметрических матриц. Картановская
подалгебра Я С g порождается «инфинитезимальными вращениями» в плоскостях
Е|2,Кз4!---,К2»-1,2л. г->'* 'омера снизу указывают пары базисных векторов R2". Таким
образом, базис l1,... ,С таков:
О I
-1 О
О
причем единственная пара ненулевых элементов этой матрицы — это
Cj)ji-l,Jj = 1) Cj)jJ,2j-l = -1-
Опять обозначим через t, линейные формы в д*:
glg~{, где д € G, порождается
Группа Вейля автоморфизмов Н ^ Н вида
следующими преобразованиями (проверьте):
а) перестановками векторов /,;
б) одновременными переменами знака у пар форм U : (tj,tt) -»
алгебре Я имеем, следовательно, базисные полиномы, инвариантные
группы Вейля:
(-tj,-tk). На
относительно
(
Классы Сфч(вО) суть в точности с^, а класс c^n(SO) совпадает Хп- Таким образом,
указанные формы продолжены с картановской подалгебры на всю алгебру Ли.
Пример 4. G = SOBn+l). Алгебра Ли g по-прежнему состоит из кососимметрических матриц.
Картановская подалгебра Я С g состоит из «инфинитезимальных вращений» в плоскостях
Ri2,Rm,--,R2n-i,3» и совпадает с картановской подалгеброй для подгруппы SOBn)
группы 5ОBп +1) и даже для U(n) С SOBn), хотя группа Вейля увеличивается
(собственно говоря, такой же картановской подалгеброй обладала коммутативная группа
из примера 1, для которой Я = д, а группа Вейля была тривиальной). Опять имеем базис
'?!¦••,'» С Я и формы tj, где 2,(/°) = <5j*. Группа Вейля для SOBn + l) кроме элементов,
уже имеющихся в SOBn), содержит еще возможность обращения направления одного
плоского вращения (а не только пар, как в SOBn))
It *—* ?,.
Поэтому среди нужных нам форм ф имеется (мультипликативный) базис из элементарных
полиномов вида
ф? о) = if + ...+*?. E6)
Формы фя задают классы
ci,q(SO) = c2q (G = SOBn + 1)). E7)
Таким образом, и в этом примере все формы продолжаются с картановской подалгебры
на всю алгебру Ли в качестве Ad-инвариантных форм.
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений
189
5. Характеристические классы. Перечисление. Оказывается, что для групп
G = SO(n), U(n) никаких других характеристических классов построить невоз-
невозможно. Более точно, любая другая «естественная» или ковариантная конструкция,
сопоставляющая расслоению и форме связности замкнутую форму в базе, интегралы
от которой по циклам (замкнутым подмногообразиям базы) являются топологически-
топологическими величинами (т.е. не меняются при изменении связности в том же расслоении),
эквивалентна указанным выше классам й,Хм и™ какому-либо полиному от них в
алгебре дифференциальных форм. Эквивалентность (когомологичность) двух замкну-
замкнутых форм а и 6 (таких, что da = db — 0) означает по определению, что форма а — Ь
является точной:
a — b + du.
В этом случае интегралы по любому циклу (по замкнутому ориентированному
подмногообразию) Р объемлющего многообразия от этих форм совпадают:
l-h
Сейчас мы поясним термин «естественная или ковариантная конструкция».
Мы определяли в §24 понятие отображения расслоений с одинаковым слоем и
одной и той же структурной группой G (отображение / : Е —» Е', коммутирующее
с проекцией, т.е. такое, что fp = p'f, где / : М —> М' — отображение базы в
базу, и индуцирующее на каждом слое диффеоморфизм из структурной группы G).
Было определено понятие «индуцированного расслоения»: если задано расслоение
р : Е' —> М и отображение / : М —> М', то строятся расслоение р : Е —> М и
отображение расслоений / : Е —> Е'. При этом говорилось (без доказательства),
что любое расслоение с базой М (скажем, главное) индуцируется единственным с
точностью до гомотопии отображением М —» Bg в базу универсального главного
расслоения pa : Eg —* Bg, у которого пространство Eg стягиваемо. Универсальные
или N -универсальные расслоения строились для групп G = О(п), SO(n), U(n) и
имели базы, являющиеся гладкими многообразиями для любых N:
= GNtn для SO(n),
= G%jf для U(n),
= CPN для U(l) = SOB),
= MPN для SUB) =
N
Пусть задано отображение расслоений / : Е -> Е' с отображением баз
/ : М —»М', и пусть в расслоении Е' задана_ форма связности ш. Применяя к о/
отображение форм /*, получаем форму ш = f*w' на Е, также являющуюся формой
связности. Операторы d и Н перестановочны с отображением форм /*. Поэтому
форма кривизны Ue также ковариантна:
/*(Пя) = Пе
= Hdw', UE = Hdw).
Все характеристические классы с,, Хп и общие классы (см. выше) строились естественно
или ковариантно, так что имеет место равенство («функториальность»)
/Ч = «v, E8)
где с^ и c^ — характеристические классы расслоений Е' и Е, построенные по
формам ш' и ш. При этом формы с^ и Сф с точностью до добавления точных форм
(вида du) не зависят от выбора связностей в расслоениях Е' и Е.

190
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
Мы назовем конструкцию замкнутой формы с в базе расслоения топологическим
характеристическим классом, если она обладает следующими свойствами:
1. Эта конструкция определена в любых главных расслоениях с группой G'
(база — любое многообразие!).
2. При отображениях расслоений / : Е —» Е' должно иметь место равен-
равенство (с точностью до форм вида du)
Оказывается, топологических характеристических классов очень мало.
Для многообразия М определяются «группы когомологий» НЧ(М; R) сле-
следующим образом: элемент а ? Hq(M; Ж) представляется вещественной замкнутой
формой а (т.е. da — 0) с точностью до форм вида du (т.е. а эквивалентно фор-
форме а + du). Прямая сумма Н*(М; Ж) = Y1 НЧ(М; R) образует алгебру относительно
q
внешнего перемножения замкнутых форм (см. подробнее [3]).
Имеет место
Теорема 3. Каждый элемент с из когомологий H4(BG\ Ж) базы BG универсально-
универсального G-расслоения определяет топологический характеристический класс для всех
G-расслоений и обратно.
Аоказательство. Если характеристический класс с задан как форма степени q в базах
всех G-расслоений в смысле предыдущего определения, то элемент с в группе
H4(BG; Ж) — это просто характеристический класс универсального расслоения
с базой BG) l\ Обратно, пусть задан элемент (класс когомологий) с € H4(BG, Ж).
Для любой базы М любое гладкое расслоение т\ с этой базой и группой G
индуцировано единственным (с точностью до гомотопии) гладким отображением
/ : М —> BG. Полагаем
Ф) = /*(с).
Так как df* = f'd, то форма с (т;) замкнута и определяет элемент из
НЧ(М, R). Гомотопным отображениям /ь/г отвечают эквивалентные формы
c\(v) ~ cAv) — du. Теорема доказана. ¦
Информация о когомологиях пространства Вд.
Пример 1. Группа G дискретна.
а) G = Z, BG = 5', H\BG; R) = R, H"(BG) = 0 при q > 1.
б) G = Zm, m конечно; BG — линзовое пространство,
Я'EС; R) = 0 при всех q.
Оказывается, для любой конечной группы G
Я*(ВС; R) = 0 при q > 0.
в) G - Z Ф... ф Z (п слагаемых); BG = Iя (тор), Я*(ВС; R) — внешняя алгебра
от п одномерных образующих.
г) G = 7Г|(М}); BG = М] (поверхность рода g); H*(BG; R) имеет одномерные
образующие aubu...,ag,bg и соотношения а, Л bt = ... = ag Л bg и а,- Л bj = 0 (a # j),
at Л щ = bk Л bi = 0.
д) G — свободная группа с р образующими; BG — область на плоскости R2
с р выколотыми точками,
tf'(BG;R) = 0 при?>1, H\BG; R) = R".
'Строго говоря, речь идет о базе N -универсального расслоения, которая является гладким
многообразием
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений
191
Пример 2. Группа G абелева, G = R* х Г™. Для группы R* = G' имеем B'G — одна точка (или
пространство, стягиваемое к точке). Для G" = S' = 50B) = GA) имеем Во» — СР°°.
Для G = R* х Тт - R* х S' х ... х S' пространство BG имеет вид
,i х ...
= СР°° х ... х СР°° .
Алгебра когомологий H'(BG; Ж) есть алгебра полиномов от т образующих ti,--,tm €
H2(BG;R).
Пример 3. G = U(n); H'(BG; R) есть алгебра полиномов от образующих с, € НЪ(ВС; R),
i = 1,...,п. Для G = SU(n) алгебра Н*(Во', R) есть алгебра полиномов от образующих
С2,С3,...,С„;С;€Я2'(ВС^).
Пример 4. G = SOBn); H*(BG; R) — алгебра полиномов от образующих с2,- 6 НЛ'(ВС; R),
»=1,...,п-1,и одной образующей х» 6 H2n(BG; R).
Пример 5. G = 5ОBп+1); H'(BG; R) есть алгебра полиномов от образующих си 6 H4'(BG; R),
i = l,...,n.
Таким образом, все характеристические классы для основных групп G уже были
построены выше.
Для некомпактных групп Ли топологические характеристические классы (как
классы когомологий базы) сводятся к максимальной компактной подгруппе К С G.
Без доказательства укажем такой факт. Базы Вк и BG гомотопически эквивалентны
и Н*(ВК; Ж) - H*(BG; Ж). Поэтому в силу теоремы 3 их топологические характери-
характеристические классы совпадают. Если группа Ли G полупроста, то у ее алгебры Ли g
комплексификация дс совпадает с комплексифицированной алгеброй Ли д'с некоторой
компактной группы G', именуемой компактной вещественной формой той же самой
комплексной алгебры Ли дс = дс- Поэтому построения характеристических классов
по связности, например, указанными выше элементарными операциями над формой
кривизны п для групп G и G' приводят к абсолютно одинаковым результатам. Мы
получим для G (локально) точно те же замкнутые формы и функционалы от связности,
имеющие тождественно нулевую вариационную производную по связности, что и
для G'. Однако эти выражения будут часто «топологически тривиальны», т.е. будут
давать точные формы вида du. Например, для G = Жк и G' = Тк локально все
одинаково, но для G = Жк все интегралы от характеристических классов по циклам
тождественно равны нулю. Для G = SO(p,q) все будет формально так же, как и для
G' - SO(p + q), но нетривиальные интегралы по циклам мы получим лишь сводящиеся
к максимальной компактной подгруппе SO(p) x SO(q) С SO(p,q).
Если мы рассматриваем касательные расслоения псевдоримановых многообра-
многообразий М типа (р, q), где р + q = n = dimM, то мы можем построить те же самые
характеристические классы как локальные выражения от метрики, что и для римано-
вых многообразий (с положительной метрикой). При этом вариационные производные
по метрике от интегралов этих форм по циклам (замкнутым ориентированным под-
подмногообразиям) соответствующей размерности в М будут также нулевые. Однако
топологически многие из этих классов будут тождественно нулевыми в том смысле,
что интеграл по любому циклу есть тождественный нуль. В виде примера укажем,
что алгебра Ли собственной группы Лоренца 50C,1) = G комплексно эквивалентна
алгебре Ли группы 50D) = G' или группы G' = SUB) x SUB). Для G' = SUB) x SUB)
или G' = 50D) имеем два характеристических класса размерности 4:
с2 6
а; К).

192
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
§ 25. Дифференциальная геометрия расслоений
193
Для G = SOC,1), имеющей максимальную компактную подгруппу 50C) С 50C,1),
имеем лишь один топологический характеристический класс
с2 е Н\ВС; К)
(но по-прежнему два дифференциально-геометрических характеристических класса).
Использование метода универсальных расслоений позволяет также доказать
важное свойство характеристических классов: можно выбрать такой базис среди
характеристических классов, что все интегралы от базисных характеристических
классов по циклам (замкнутым ориентированным подмногообразиям базы любого
G-расслоения) будут целыми числами.
Этот факт вытекает из того, что в универсальном расслоении с базой Ва в алгебре
H*(Bq\ E) можно выбрать полный базис элементов d\,...,dq (характеристических
классов универсального расслоения), что их интегралы по циклам в Ва целочисленны.
Пусть М — база любого G-расслоения, Р — замкнутое ориентированное
^-мерное многообразие и <р : Р —> М — гладкое отображение (как говорят, «сингу-
«сингулярный цикл» (Р, tp)). Расслоение над М индуцировано универсальным расслоением
посредством отображения / : М —> Ва из универсального. Имеем цикл размерно-
размерности q и Ва'-
(P,fV), fV:P±M-LBG,
и форму d's = f*(ds) — характеристический класс в базе М. Далее, для d's имеем:
интеграл по циклу (Р, ip) в многообразии М равен
J d!,= J »>V.) = J /*№) = J vf\d.) = J d.
сферу 5^ С U, заданную в виде ^(я*1 " ^оJ — р2 > 0. Для поля мы обязаны иметь
— целое число для цикла (P,f<p) в Ва-
Пример 6. Рассмотрим группы G = R1 и С = 50B) = {7A). Форма кривизны расслоения
в обоих случаях есть скалярная 2-форма п — u^dx* Adx". Поставим вопрос: в каком
случае замкнутая 2-форма является формой кривизны некоторого G-расслоения или
G'-расслоения? На языке физики это означает возможность глобально ввести вектор-
потенциал, необходимый при квантовании. Ответ будет различным для G и G'. Необхо-
Необходимые и достаточные условия таковы (достаточность мы оставляем без доказательства):
1. Для группы G = R1 необходимо и достаточно, чтобы для любого 2-мерного
цикла Р в базе М мы имели J п = 0; равносильное требование: п = dA для некоторой
1-формы А всюду в базе М. р
2. Для группы С = 50B) = {7A) необходимо и достаточно, чтобы набор
интегралов по всем 2-циклаМ Р в базе М был целочислен при соответствующей
нормировке формы п. J И — целое число; вектор-потенциал А будет глобально над М
р
задан в виде формы в расслоении Е.
Физически форма п может представлять собой напряженность электромагнитного
поля Fpj, = П,„, где d(F^dxliAdx") = 0 в силу уравнений Максвелла. Форма П = F задана
в области U пространства Минковского R4 (т. е. R4,,). Если в реальной физике электро-
электродинамика «компактна» (т. е. группа есть 50B), а не R'), то, как указал Дирак, возможны
«магнитные монополи». В стационарной задаче имеем, например', область U С R3, где
U = R3 \ хо (пусть х0 = 0). Форма п = F^dx* A dx" (/i, v = 1,2,3) есть напряженность
магнитного поля в области U, причем поле имеет особенность в точке 0. Рассмотрим
П = п (целое число).
Таким образом, поток магнитного поля через поверхность без противоречия с возможно-
возможностью ввести вектор-потенциал (и квантовать поля в соответствии с общими принципами
квантовой теории калибровочных полей) может быть целочисленными, но не обязательно
нулевым. Магнитных монополей может быть несколько в точках х0, Х|,..., хк 6 R3. Тогда
будет набор независимых циклов в области R3 \ (х0 U ... и xt).
Пример 7. Рассмотрим расслоение над сферой 5* с различными группами G, определяемые
элементом группы тг*_|(<?) (см. §24, п. 4).
а) к = 1, G - O(n), SO{n), U(n). Ввиду связности групп SO, U все расслоения
над 51 тривиальны. Имеется лишь нетривиальное расслоение с группой G = О(п),
поскольку 7ro(G) = Z2. Связность в расслоениях с одномерной базой встретится нам
позднее в однородных моделях общей теории относительности (база R1), но теория
кривизны здесь отсутствует.
б) к = 2. Для G = 50B) мы Имеем набор расслоений, определяемых целым
числом т 6 7Г[EОB)) = Z. Это — расслоение Хопфа ц (со слоем С ) и его тензорные
степени rf1 (см. § 24, п. 5). Число т может быть определено так:
где п — форма кривизны. Иначе: реализуем расслоение над 52 как прямое произведение
над С' = S1 \ оо со связностью А = A^dx* = A2dz + A-dz и потребуем, чтобы при
М-.00
. 9д{х) _,
А^^хТ9
(т.е. связность стремится к тривиальной при |х| —» оо). Для G = 50B) = {7A) имеем
9 = е"е< 1ь?9~' - г!^"- Функция <р(х) может быть определена только при |х| ~* оо
асимптотически; она определена на множестве лучей щ, образующих окружность S1:
11-+ е'*1'11 (|х| велико).
Степень этого отображения есть число п.
в) п = 3; так как tt2(G) = 0 для всех групп Ли G, которые нам встречались (и для
всех вообще), то все расслоения над 53 топологически тривиальны. Любая связность
нулевой кривизны представляется в виде
. дд(х) „,
Получаем отображение
3(х): S3 - G.
Гомотопический класс этого отображения есть элемент группы 7T3(G), который характери-
характеризует гомотопический класс связности А нулевой кривизны. Напоминаем: тг3EОB)) = О,
1г3EОC)) = 7Г3EЩ2)) = ?г3E{7(п)) = тг3EО(т)) = Z при т ^ 5, п ^ 3, т Ф 4,
Z
4)) ZeZ.
г) п = 4. Здесь мы имеем много разных расслоений над S4 и большое количество
топологических инвариантов. Особенно интересны случаи G = 5i7B), G = 50D). Так
7 Зак. 8097

194
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
как SA \ оо = R4, то расслоения над 54 можно задавать связностями Ац над R4, где
расслоение гривиально, с граничным условием
дд(х)
АЛх)*У (*) п М
Функция д(х) задает отображение сферы 53 лучей ^ в G:
Топологический инвариант расслоения есть гомотопический класс этого отображения —
элемент из 7T3(G). Мы имеем два характеристических класса (два целых числа) для
G = 50D) и только одно число для G = SUB) или G = 50C):
с2 =
R
,— /
») dxf Л Ле"
л dx"
л dx";
Л dx",
E9)
Задача. Показать, что для G = 50D), при \7 = 1 и любом с2 пространство Е расслоения
над 5^ со слоем 53 гомотопически эквивалентно сфере 57 (это — главное расслоение
для G = SUB) и ассоциированное с главным для G = 50D)).
Замечание. Как показал Милнор, пространства Е некоторых из этих расслоений Е(сг,Хг = 1)
гомеоморфны, но не диффеоморфны сфере 57.
§ 26. Узлы и зацепления. Косы
1. Группа узла. Важным применением фундаментальной группы является тео-
теория узлов и зацеплений в трехмерном пространстве. Рассмотрим замкнутую гладкую
кривую 7 в К , 7(°) = 7Bт), которая не пересекает сама себя и имеет ненулевой
вектор скорости у. Эта кривая может быть заузлена в R3 (рис. 94).
Незаузлена Простейший узел «Восьмерка»
(«трилистник»)
а) 6) в)
Рис. 94.
Рис. 95.
Под изотопией узла мы будем понимать движение узла по пространству,
получаемое в результате деформации тождественного отображения пространства на себя
(в классе диффеоморфизмовJ). Узел у называется нетривиальным, если изотопией
2> Обычно изотопией узла называют деформацию вложений окружности в пространство (в классе
гладких вложений). Однако вслед за тем доказывают, что такая деформация окружности продолжается
до деформации отображения всего пространства.
§26. Узлы и зацепления. Косы
195
нельзя его привести к тривиальному узлу у : {z = 0, х2 + у2 = 1}. Нам будет удобно
считать, что узел у лежит в 53 D R3. Добавление точки оо к R3 ничего не меняет
в узлах и их изотопиях (эти изотопии заметают двумерные поверхности в 5 и без
ограничения общности можно считать их не задевающими одну точку). Рассмотрим
г-окрестность Us узла у при малом г > 0. Граница dUc есть тор Т2, и Uc = D2 x 5',
где D1 — нормальный диск к у радиуса е. Выбросим из 53 внутренность области Uc.
Останется многообразие с краем V7 С S3, и край dV7 = dUc — это тор Т2. Очевидно,
что V7 гомотопически эквивалентно открытой области 53 \7 = W7-
Определение 1. Фундаментальная группа jT|(W7) = Ti(V^) называется группой узла у.
Очевидные свойства группы узла W\(W7) = Х|(У7): 1) если узел у тривиален,
то, 5T|(W7) = Z; это следует из того, что область F7 С 53 или Wl С S3 для
7 = {z = О, х2 + у2 — 1} стягивается к окружности 51 (см. § 16); 2) по определению
областей V7 и W7 группа 7Г]G7) = T|(W7) (и сама топология этих областей с
точностью до диффеоморфизма) не меняется при изотопии узла. Таким образом,
равенство jti(W7) = Ъ является необходимым условием тривиальности узла. (Заметим,
что достаточность этого условия также имеет место и является трудной теоремой.)
Алгоритм вычисления группы тг( (W7) таков: спроектируем узел вдоль направле-
направления d на плоскость К2 (рис. 95) —«экран». Для направления d общего положения
можем считать, что все самопересечения проекции у на экране К2 двойные и под
ненулевыми углами. Для кривой у на экране нужно указать только (кроме направле-
направления), какая из двух ветвей «выше» (+), а какая «ниже» (—) в точке пересечения. На
экране возникает плоский граф с набором ребер и вершин, в которых сходятся 4 ребра.
Начальную точку для вычисления 7Ti(W7) поместим в оо € 53. Базисные пути из тг,
будут подходить к узлу по направлению d (слева на рис. 95) перпендикулярно к
экрану R2. Занумеруем ребра и сопоставим каждому ребру 7/ на экране К2 по одной
образующей а; ? t,(W7) (например, на рис. 95 имеем на экране вершины А,В,С и
ребра [В(_)С(+)] = 7ь [С(+)А-I = 72, IA-)i?(+)] = 7з, [#(+)С(-)] = 74, [С(-)Л-(+I = 75,
[А{+)В(-)] = 76, указанные в порядке прохождения кривой 7)- Пусть путь а;- идет из оо
по направлению d до средней точки соответствующего ребра с номером j, обходит его
и возвращается назад — см. путь а3 для ребра [^4(_)В(+)] = 7з на рис. 95. Мы имеем
образующие о, из ?T|(W7).
Соотношения получаются так: в каждой вершине сходятся четыре ребра 7j,, 7j2,
7;з, 7j4- Согласно принятой нами нумерации в порядке прохождения кривой у имеем
в вершине j2 = j\ + 1, Ja = h + ', гДе паРы U1J2) и (Зз,й) составлены из номеров
смежных ребер. Пусть пара ребер (juh) «выше», чем (J3J4), т.е. эта ветвь кривой у
лежит левее по направлению d (см. рис. 95). Тогда
«7, ~ <Ч, = «71 + 1- О
Проверьте, что для второй пары О'з, J4 = h + 1)
B)
Задача. Покажите, что набор соотношений A), B) для каждой вершины порождает все
соотношения в группе узла3'
" Следует иметь в виду, что образующие a.j определены с точностью до замены a.j -> aj . Вид
соотношений B) при этом меняется незначительно.

196 Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
Пример. Для трилистника
а = а3 = а4, <i| = aj а6а3 (вершина В),
Ь = а\ = а2, а5 = а, а4а| (вершина С),
с — а$ — Об, с — b ab, а — с &с (вершина А),
или & = а ся, с — fr ab. а = с Ьс.
Из соотношений B) видно, что коммутированная группа Я|(Ж,) всегда есть Z.
Задача. Покажите, что в группе трилистника можно выбрать образующие а,/3, связанные
единственным соотношением а1 =/33.
2. Полином Александера. Группа узла оказывается иногда довольно сложной.
Определяется полиномом Александера (фактически, по группе узла), который являет-
является более грубым инвариантом, но позволяет различать узлы проще. Пусть группа
узла задана стандартными образующими au...,an (см. выше) и соотношениями
г;(аь• • ¦ iО = 1 (t = l,...,m) вида A), B). Определим «операторы дифференцирова-
дифференцирования» щ элементов группы, потребовав, чтобы произведения дифференцировались по
следующему правилу:
д дЪ дс
—(Ье) = — + Ъ—,
аа, да, да,
причем щ = Sij. Заметим, что производная любого элемента есть линейная комби-
комбинация элементов группы с целыми коэффициентами (т. е. элемент так называемого
группового кольца группы узла).
Построим п х то-матрицу (JjV). Заменим в ней степени образующих а;
на степени формальной переменной ? по правилу а* —> ?*. Получим п х то-матрицу,
элементы которой являются многочленами от t и Г1. Наибольший общий делитель Д(?)
всех миноров (п - 1)-го порядка этой матрицы и называется полиномом Александера.
Этот полином определен с точностью до умножения на ±tk, к — любое целое число.
Задачи. 1. Доказать, что если группы двух узлов изоморфны, то соответствующие поли-
полиномы Александера Д(*), Д'(<) или совпадают, или связаны соотношением A'\t) = Д(Г')
(с точностью до умножения на ±tk, к — любое целое число).
2. Доказать, что для трилистника полином Александера имеет вид ДD) = 1 - t + t2.
3. Вычислить полином Александера для узла, изображенного на рис. 94, в, и показать,
что этот узел не эквивалентен трилистнику.
3. Расслоение, связанное с узлом. Как мы уже видели, H{(W7) - Ъ. Поэтому
вложение dV7 - Т2 -* V7 ~ W7 порождает гомоморфизм
Л\\Оу7) — -йц.1 ) — й + й —> ?i — tl\(W7).
Вследствие этого одна образующая у на торе Т2 — dV7 гомологична нулю в допол
нении V-/ к узлу у. Эта образующая у может представляться как конец нормального
векторного поля (длины г > 0) на кривой у. Рассмотрим гладкое отображение
9 '¦ Т -» 5\ при котором ip'^So) = у С Т2, и s0 — правильная точка для ip. Пусть
отображение ip имеет степень 1 на другой образующей тора. Продолжим, если это
возможно, отображение <р на все дополнение V7 к узлу у. Получим отображение
_ t
ф : Vv —¦ 5 , Ф\ву„ = <Р-
§26. Узлы и зацепления. Косы 197
Полный прообраз ^"'(so) правильной точки Sg есть двумерная поверхность Р с
границей ЭР = у на торе Т2. Сужая окрестность, видим, что сам узел у ограничивает
. поверхность Р в R3 (или 53).
Задача. Докажите, что продолжение ф отображения <р : Т2 -* 51 возможно. При
доказательстве используйте следующие факты: кривая у гомологична нулю в H^V,) = Z;
it{(Sl) = 0 при i > 1. Разбейте V1 на клетки и продолжайте отображение сначала на
одномерный остов (это тривиально), затем с одномерного на двумерный (это требует
анализа) и затем на трехмерный с двумерного (используйте здесь равенство x2(S ) — 0).
Определение 2. Минимальный род гладкой несамопересекающейся поверхности Р с
границей 7 в К3 (или S3) называется родом узла у.
В ряде простейших примеров узлов дополнительное пространство V7 с границей
dV-, = Т2 оказывается расслоением над окружностью
причем на границе Т2 это расслоение превращается в тривиальное расслоение
tp : Т2 —> S' со слоем S1 — малой окружностью в нормальной плоскости к узлу,
зацепленной с узлом. Топологически можно представлять себе картину так: задано
гладкое расслоение p:V -+ S1 над окружностью со слоем Р — поверхностью рода g ^ 0
с границей 51 (рис. 96); на границе это расслоение тривиально: 8V — Т — SlxSl —> S1.
Рассмотрим заполненный тор D2 x S1 с той же границей d(D2 x S1) = S[ x S1 = Т2.
Склейка многообразий V и {D2 x S1) по общей границе dV - dD2 x S1 дает замкнутое
трехмерное многообразие М. Если М = S3, то V = V7 есть дополнение к узлу у,
лежащему в области D2 x S1 как кривая 0x5'.
Простейшие примеры: .--- ^^
а) Если g = 0 и V = 51 х D2, f \
Р - D2, то кривая 7 не заузлена. / / \ е& /^ "ч~/^ "\
б) Пусть з = 1 (см. рис. 96, а). ( 1 И ( *—' О 1
Многообразие V получается из прямого \ \^^у W V—^^V__X^
произведения поверхности Р на отрезок \ /ЪР = 5' дР — S'
I - [0,1] склейкой (i,0) = (Л(х),1) верх- \^_^/
него и нижнего оснований. Предположим, д=\ д=2
что склеивающее отображение h : Р -» Р а) б)
таково, что на группе Н^(Р и D2) =
Я|(Т2) = ZeZ индуцируется преобразо- Рис. 9Ь.
вание а у-* ma + nb, b i-> la + kb, mk - nl = 1 (a, b в Н{(Т2) — образующие). На границе
будем иметь прямое произведение dV = S1 x S .
Задача. Вычислите гоуппу тг,(У) и тг,G U (d2 x 51)). Подберите склейку так, чтобы
получилась сфера 5 с узлом у С 53. Получите этим способом трилистник при
m = 2, п = 3.
; Рассмотрим интересный пример: пусть задан многочлен в С : f(z,w) = zm+wn,
где m и п взаимно просты. Рассмотрим сферу S] = {|z|2+|w|2 = 5 > 0}. Пара уравнений
zm + w" = 0,
2 2 C)
\z\2 + \w\2 = 6>0
кщает кривую у С Sg.

198
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
Задача. Докажите, что для взаимно простых т, п кривая C) связна (узел).
Рассмотрим дополнение к узлу у С Sg, обозначаемое через W7. Построим
расслоение
следующим образом:
p(z,w) =
\f(z,w)\
D)
Задачи. 1. Покажите, что отображение D) имеет всюду ранг 1 и является расслоением
с базой S'. Вычислите род слоя.
2. Докажите, что формулы C) задают «торические узлы» у С Т2 С Sj, где узел у
ten, несамопересекающаяся кривая на торе Т' (рис. 97), определяющая в гомологиях
Я,(Т2) = Z в Z элемент у-та-г пЬ.
3. Покажите, что узел на рис. 94, в не является торическим.
4. Зацепления. Перейдем теперь к зацеп-
зацеплениям bIj и в 53. Пусть задан набор окружно-
окружностей 7ь • • • >7* С 53, не пересекающихся попарно,
несамопересекающихся и имеющих ненулевые
касательные векторы. Тривиальное зацепление
показано на рис. 98, а, нетривиальное — на
рис. 98, б.
Естественным инвариантом зацепления
Gь->7*) является группа зацепления — фун-
фундаментальная группа ir,(S3 \ Gi U ... U 7*))-
/
/
/
У
/
/
/
1 2
т = 2, я
3
= 3
а)
Рис. 97.
о
О
Уг
о
Уз
Тривиальное зацепление
а)
Нетривиальное
зацепление
6)
Рис. 98.
о
а)
Рис
Задача. Вычислите группу зацепления для случаев а,б,в, изображенных на рис. 99
(* = 2).
Мы знаем инвариант зацепления — матрицу коэффициентов зацепления {7i,7j}
(см. § 15). Однако даже при к = 2 это — неполный инвариант. На рис. 99, в показан
пример, где к = 2, {71, 72} = 0, обе кривые индивидуально незаузлены, но «расцепить»
их нельзя. Это показывает группа зацепления.
Алгоритм вычисления группы зацепления тот же самый, что и для узла: надо
спроектировать зацепление на «экран» и указать образующие и соотношения, как и
выше для узлов. Интересные примеры зацеплений дают уравнения (/ — многочлен):
f(z,w) =
=<5>0.
E)
§ 26. Узлы и зацепления. Косы
199
Задача. 1. Пусть f(z,w) = zm + wn. Найдите число компонент зацепления.
2. Докажите, что как и для узлов, отображение 53 \ G1 U ... и 7*) -» S1, определяемое
формулой D), является расслоением. Вычислите род слоя. Найдите группу зацепления в
этом случае. Рассмотрите случаи:
а) f(z,w) = z2 + w6;
б) f{z,w) = z2w + w4.
5. Косы. Рассмотрим теперь группу кос. Зафиксируем на плоскости R набор
из п точек Рь ... ,Р„ и рассмотрим произведение R х I, где I = [0,1].
Определение 3. Косой называется набор гладких кривых ju... ,у„ ъ R2 х I, несамопе-
несамопересекающихся, не пересекающихся попарно, имеющих ненулевые касательные
векторы 7j Ф °> трансверсальные к слоям R2 x t для всех t. При t = 0,1 мы
должны иметь
7j(l) = (РефЛ), j = i ¦¦¦',*,
где а — перестановка индексов 1,...,п (рис. 100).
Коса называется крашеной, если а есть тождественная перестановка, a(j) = j.
Классы эквивалентности кос относительно изотопии образуют группу: произ-
произведение кос К{К2 получается приставлением нижнего основания косы К] к
верхнему основанию косы Кг (рис. 101, б).
Р, Р2
У|
_А23\
-\2\Ъ)
Единичная коса
а)
Произведение кос К,К2
6)
Рис. 101.
Р3
Рис. 100.
Обратная коса — это та же коса, но идущая в обратную сторону по t.
Единичная коса имеет вид, показанный на рис. 101, а. Имеется гомоморфизм
группы кос в группу перестановок:
К .-> <х(К).
Ядром этого гомоморфизма (косы К, для которых сг(К)= 1)
и являются крашеные косы.
Набор образующих <п (г = 1,..., п. — I) в груп-
группе кос соответствует элементарным транспозициям в\ =
(¦¦-.'! ! + 1-Л в группе перестановок 5П (рис. 102).
Соотношения таковы (проверьте):
i-1 i i+l i+2
2-1
2 2+1 2+2
Рис. 102.
при |i - j\
F)
Задача. Докажите, что сг,- — образующие, а F) — полный набор соотношений.
Представляют интерес замкнутые косы, описываемые так. Рассмотрим за-
заполненный тор D1 х 51 С R3 и рассмотрим узлы и зацепления — наборы из

200
Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
нескольких несамопересекающихся и непересекающихся попарно замкнутых кривых в
области D2 х S1:
{7|,...,7,}СД2х51СЙ).
Потребуем, чтобы касательные векторы всех кривых 7ь-,7? были ненулевыми и не
касались направлений дисков D2 x (s), 0 ^ s ^ 2тг. Рассмотрим эти «трансверсальные»
узлы и зацепления в области D2 x S1.
Задача. Докажите, что каждый узел или зацепление указанного вида определяет класс
сопряженных элементов в одной из групп кос. Покажите, что классы трансверсальной
изотопии в области D х 5' таких узлов и зацеплений точно соответствуют классам
сопряженности в группах кос.
Замечание. Можно показать, что любой узел или зацепление в R3 изотопией приводится к
трансверсальному узлу или зацеплению в области D1 х 5'. Однако это не помогает
классификации узлов и зацеплений в R3, так как один узел, например, может
производиться к многим замкнутым косам.
Группа кос имеет другую интересную интерпретацию. Рассмотрим множество Un
всех комплексных многочленов степени п (со старшим коэффициентом 1)
f = z"+alzn
корни которых zi,...,zn все различны.
... +an,
Задача. Докажите, что группа x\(Un) совпадает с группой кос.
Рассмотрим пространство Vn, где
У„ = Е2 х. х 1^\А,
Д состоит из набора (z\,...,zn), где zs = Zj для какой-нибудь пары (i,j).
Задачи. 1. Докажите, что группа т{(У„) изоморфна группе крашенных кос.
2. Докажите, что пространство Vn/Sn имеет группу v,(Vn/Sn), изоморфную полной группе
кос. Здесь 5„ — группа перестановок из элементов, действующая на Vn перестановкой
координат (г,,..., z») Д (*„<„,..., г„(п)).
Глава 7
Некоторые примеры динамических
систем и слоений на многообразиях
§ 27. Простейшие понятия качественной теории
динамических систем. Двумерные многообразия
1. Основные определения.
Определение 1. Динамической системой (или, как говорят, автономной динамической
системой) называется гладкое векторное поле ? на многообразии М.
Локально динамическая система записывается в виде
d, — 5 V-ь , • ¦ •, J- !¦ \Ч
Интегральные траектории — это решения уравнения A) или кривые 7@ = {xa(t)},
вектор скорости которых -у в каждый момент времени t совпадает с ((j(t)). Интеграль-
Интегральная траектория всегда существует локально, на конечном отрезке времени, согласно
теореме существования. Для гладких полей ? интегральная траектория единственна. На
некомпактных (открытых) многообразиях возможна ситуация, что за конечное время
траектория j(t) «уходит в бесконечность», и поэтому траектория существует только на
конечных интервалах значений t.
На (компактных) замкнутых многообразиях каждая траектория неограниченно
продолжаема по t и существует для всех значений времени -оо < t < oo. Векторное
поле ? определяет оператор дифференцирования функций по направлению ? (см. § 23
тома I)
/
и ^ дха
Экспонента от оператора
B)
определяет сдвиг функций вдоль интегральных траекторий поля ?:
St(f) = f(St(x)), C)
где St(x) = j(t), -у — ? и 7@) = х- Напомним, что коммутатором полей (,?/ на М
называется поле [?,»;], локально определяемое формулой (см. том I)
или
D)

200 Глава 6. Гладкие расслоения (косые произведения)
нескольких несамопересекающихся и непересекающихся попарно замкнутых кривых в
области D1 х S1:
{7l,...l7,}CD2x5'cR3.
Потребуем, чтобы касательные векторы всех кривых 7i, • • ¦, 7? были ненулевыми и не
касались направлений дисков D2 х (s), 0 ^ s ^ 2тг. Рассмотрим эти «трансверсальные»
узлы и зацепления в области D2 x S1.
Задача. Докажите, что каждый узел или зацепление указанного вида определяет класс
сопряженных элементов в одной из групп кос. Покажите, что классы трансверсальной
изотопии в области D2 x 51 таких узлов и зацеплений точно соответствуют классам
сопряженности в группах кос.
Замечание. Можно показать, что любой узел или зацепление в R3 изотопией приводится к
трансверсальному узлу или зацеплению в области D1 х 5'. Однако это не помогает
классификации узлов и зацеплений в R3, так как Один узел, например, может
производиться к многим замкнутым косам.
Группа кос имеет другую интересную интерпретацию. Рассмотрим множество Un
всех комплексных многочленов степени п (со старшим коэффициентом 1)
f — п о- п~' -1- 4-
корни которых Z|,..., zn все различны.
Задача. Докажите, что группа V\(Un) совпадает с группой кос.
Рассмотрим пространство Vn, где
У„ = К2 х... х127\Д,
п
Д состоит из набора (zb..., zn), где Zi = Zj для какой-нибудь пары (i,j).
Задачи. 1. Докажите, что группа *i(Vn) изоморфна группе крашенных кос.
2. Докажите, что пространство V^/Sn имеет группу ir,(V|,/5n), изоморфную полной группе
кос. Здесь 5„ — группа перестановок из элементов, действующая на Vn перестановкой
координат (г,,..., г„) Д (г,,,,,..., z,(n)).
Глава 7
Некоторые примеры динамических
систем и слоений на многообразиях
§ 27. Простейшие понятия качественной теории
динамических систем. Двумерные многообразия
1. Основные определения.
Определение 1. Динамической системой (или, как говорят, автономной динамической
системой) называется гладкое векторное поле ? на многообразии М.
Локально динамическая система записывается в виде
i, -; D,...,4j. \i)
Интегральные траектории — это решения уравнения A) или кривые 7@ — {xa(t)},
вектор скорости которых -у в каждый момент времени t совпадает с ?G(?)). Интеграль-
Интегральная траектория всегда существует локально, на конечном отрезке времени, согласно
теореме существования- Для гладких полей ? интегральная траектория единственна. На
некомпактных (открытых) многообразиях возможна ситуация, что за конечное время
траектория j(t) «уходит в бесконечность», и поэтому траектория существует только на
конечных интервалах значений t.
На (компактных) замкнутых многообразиях каждая траектория неограниченно
продолжаема по t и существует для всех значений времени -оо < t < оо. Векторное
поле ? определяет оператор дифференцирования функций по направлению ? (см. § 23
тома I)
Экспонента от оператора
St == Qxp{td^) —У — t (o^) B)
определяет сдвиг функций вдоль интегральных траекторий поля ?:
St(f) = f(St(,x)), C)
где St{x) — j(t), 7 — ? и 7@) = х- Напомним, что коммутатором полей (,i) на М
называется поле [?, rj], локально определяемое формулой (см. том I)
или
%,,] = [д^,д^\. D)

202 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях
Введем некоторые общие понятия.
Определение 2. I) Предельным множеством ш±G) интегральной траектории j(t) на-'
зывается совокупность всех предельных точек последовательностей y(tj), где
U -* ±оо. Объединение ш+G) U ш~G) называется и—предельным для j и
обозначается через ш(у).
2) Инвариантным (±) множеством (многообразием) динамической системы A)
называется такое подмножество (подмногообразие) JV С М, что для любой
точки х € N траектория j(t) лежит в JV для t > 0 (t ^ 0), если 7@) = х (или
S{(x) СЛГдля?>0(+)и?^0 (-)).
Особо интересен случай, когда множество JV инвариантно и для 1H и для
t ^ О, это — инвариантные множества или подмногообразия динамической
системы в М.
3) Замкнутое инвариантное множество JV С М называется минимальным, если
внутри JV нет меньших замкнутых инвариантных множеств. Примерами ми-
минимальных множеств являются: а) особая точка ха поля ?, где ((ха) = 0;
б) периодическая траектория поля ?. Позднее мы познакомимся с примерами
более сложных минимальных множеств.
4) Говорят, что траектория ^(t) захвачена множеством N С М, если j(t) лежит
в N для всех t ) ?0.
5) Гиперповерхность Р С М называется трансверсалью динамической системы,
если поле ? не касается гиперповерхности Р ни в одной ее точке. Гипер-
Гиперповерхность Р называется замкнутой трансверсалью, если это — замкнутое
подмногообразие многообразия М. При этом возможны два случая, а) Замкну-
Замкнутая трансверсаль Р разделяет М на две части: W, U W2 = М, Wx Л W2 = Р;
в этом случае каждый из кусков W\ и W2 захватывает все траектории поля ?
или все траектории поля -? (проверьте!), б) Замкнутая трансверсаль Р не
разделяет многообразие М на две части. Здесь особо выделяется случай, когда
все траектории, начавшись в любой точке х ? Р, возвращаются еще раз через
конечное время t(x) к многообразию Р и его пересекают. Очевидно, что функ-
функция времени пересечения t(x) гладко зависит от х ? Р; тем самым определено
гладкое отображение ¦ф : Р -* Р, ф(х) = j(t(x)), 7(°) = х-
Задача. Докажите, что все многообразие М диффеоморфно склеенному многообразию
M = Nx ДО, 1)/(х,0)~(ф(х),1).
Докажите, что многообразие М диффеоморфно косому произведению с базой —
окружностью 5' и слоем N.
Кроме динамических систем весьма полезно строить качественную теорию для
так называемых «одномерных слоений», задаваемых полями направлений (или «дирек-
«директоров») ?(ж) ~ -?(?). Конечно, локально (в окрестности неособой точки ?(ж0) Ф 0)
одномерное слоение записывается в виде A), но при этом надо иметь в виду два
обстоятельства: во-первых, для любой скалярной функции / Ф О система х = ?(х)
определяет то же самое слоение, что и система х = /?(x); во-вторых, запись в виде A)
глобально не всегда возможна; поэтому одномерное слоение может не допускать
корректного введения даже знака времени (рис. 103). Причины, требующие рассмо-
рассмотрения «одномерных слоений», могут быть различны. Например, в теории жидких
кристаллов направление («директор») ? ~ (-?) есть ось некоторого осесимметричного
(в данной точке) тензора второго ранга, определяющего оптические свойства среды.
В теории динамических систем с алгебраическими правыми частями в R" для изучения
§ 27. Простейшие понятия качественной теории динамических систем
203
качественных свойств траекторий, уходящих далеко от начала координат, приходится
«пополнять» пространство R" бесконечно удаленными точками, превращая его в ЕР" ;
оказывается, система продолжается на ЕР" как гладкое поле направлений, теряя знак
времени. В случае п = 2 (двумерные многообразия) одномерное слоение задается
1-формой. Локально, в области U С М2 с координатами (х,у), имеем
E)
многочлены
Точка (х,у) неособа, если Р или Q # 0. Пусть Р(х,у) и Q(x,y)
степени т. Тогда сделаем обычную проективную замену
Х-—,
и0
У=щ
Мы получим 1-форму в однородных координатах
F)
¦ щ&щ). G)
Уравнение О = 0 задает слоение на всем многообразии ЕР
Т — трансверсальный отрезок
'„(О — предельный
цикл
Рис. 103. В центре —
особая точка А; име-
имеется седло — особая
точка В на грани-
границе Г. На отрезке В А
нет знака времени
Рис. 104. Функция Пуанкаре г —» /(г)
для т ?Т определяется траекторией j(t)
такой, что 7@) = т ? Т и ~/(t) = /(г) €
Т; при этом в отрезке кривой между 7@)
и f(t) нет пересечений с Т. При г = 0
имеем точку цикла 7о
Рис. 105.
Задача. Покажите, что бесконечно удаленная прямая RP1 С RP2(u0 = 0) является
интегральной траекторией одномерного слоения п = 0. Покажите, что слоение П = 0
не допускает введения знака времени. Исследуйте особые точки слоения п = 0 на
бесконечности (щ = 0) при m = 2.
Определение 3. Предельным циклом называется периодическая интегральная траектория
динамической системы или слоения на двумерном многообразии, в достаточно
малой окрестности которой нет других периодических решений.
В этом случае, как нетрудно видеть, картина интегральных траекторий около
предельного цикла имеет вид, показанный на рис. 104.
Предельные циклы систем на плоскости Е2, входящие в замкнутый диск D
сквозь трансверсаль Г = dD1, рассматривались в § 14 (см. теорему Пуанкаре—
Бендиксона). Фактически эта теорема относится к слоениям на сфере S , где верхний
полюс является выталкивающей особой точкой (рис. 105). Векторные поля общего по-
положения на сфере обязательно имеют выталкивающую или втягивающую особую точку;
см. § 15. Это — следствие теоремы о сумме особенностей векторного поля. Фактически
это — единственная эффективная теорема, гарантирующая существование предельного
цикла. Уже число циклов систем с полиномиальными правыми частями на Е (даже

204 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях
степени 2), сводящихся к слоениям на ЕР2, неизвестно. В каждом индивидуальном
случае их отыскание является нетривиальной задачей. Особый (вырожденный) случай
представляют собой бездивергентные динамические системы на плоскости R2 (или'
поля ? = (?',?2)) такие, что |^ = 0. В этом случае преобразования St сохраняют
площадь области (см. §23 тома I). Эти системы все гамильтоновы с одной степенью
свободы; поэтому они имеют интеграл энергии и интегрируются до конца.
2. Динамические системы на торе. В силу теоремы о сумме индексов особенно-
особенностей векторного поля (см. § 15) единственной замкнутой ориентируемой поверхностью,
допускающей векторные поля, нигде не обращающиеся в нуль, является тор Г2. К та-
такого рода системам на торе приводит, например, задача о качественном исследовании
уравнения с периодическими коэффициентами: пусть задано уравнение
x = f(x,t) (8)
с периодической по обоим аргументам правой частью f(x + 1,?) = f(x,t) = f(x,t + 1).
Уравнение (8) определит нам на торе Г2 с координатами z(mod I), i(raod 1) динами-
динамическую систему вида
± = f(x,t), t=l. (9)
Система (9) допускает замкнутую трансверсаль S1 С Г2, задаваемую уравнением t = t0.
Трансверсаль S не разделяет тора Г2; в силу уравнения (9) каждая траектория (x(t), t)
возвращается к трансверсали S1 через время t(x) — 1. Мы получаем отображение
(диффеоморфизм степени 1)
^:S'->S\ A0)
где ф(х) = 7(*о 4-1), 7(*о) = (?, *о) € Т2. График числовой функции у - ф(х), задающей
отображение ¦ф (т.е. такой, что ф(х) = -ф(х) (mod 1)), изображен на рис. 106. Из
равенства ф(х + 1) = ф(х) + (степень -ф) следует ф(х + 1) = ф(х) + 1. Можно считать,
что ф@) ^ 0. Пусть фп(х) - ф(ф(... ф(х)... )) при п > 0 и ф.п - (fay1 (обратное
отображение). Рассмотрим выражение
(ф„(х)-х)/п
(здесь числитель есть угол поворота точки х при
и-кратном применении диффеоморфизма ф). Имеет у
место следующее утверждение. 4
Лемма 1. а) Величина (ф„(х) - х)/п имеет предел при
п -* оо, не зависящий от точки х. б) Этот
предел называется «числом вращения» отобра-
отображения ф и обладает свойством: число вращения
рационально тогда и только тогда, когда у ф
имеется периодическая точка, т. е. такая точ-
ка х0, что ф"(хп) — х0 или фп(х0) -хо + т.
Локазательство части а). Пусть а„(х) = фп(х) - х —
угол поворота точки х при и-кратном приме-
применении диффеоморфизма ф. Имеем неравенство
A1)
V
I
Л
(Л
1 2 3 х
Рис. 106.
A2)
оно очевидно при \х\ - х2\ < ], а в общем случае нужно воспользоваться
периодичностью функции а„(х).
§27. Простейшие понятия качественной теории динамических систем
205
Пусть целое число го„ таково, что справедливо следующее неравенство:
т„ ^ а„@) < т„ + 1. A3)
Тогда для любого х из A2) и A3) вытекает, что \ап(х) - тп\ < 2, т.е.
2лМ -ПЬ. < 1, Но апк(х) есть среднее арифметическое к величин ап(ф{(х)),
i = 0,..., к — 1. Поэтому верно неравенство
апк(х)
пк
т„
п
2
п
Итак, при всех к величина апк(х)/пк принадлежит отрезку
симметричности апк(х)/пк по п п к получаем, что все отрезки вида
Из
т
а >-
п
A5)
попарно пересекаются; длина этих отрезков стремится к нулю. Их единственная
общая точка и есть число вращения а. Утверждение а) доказано.
Часть б). Пусть имеется периодическая точка х0; если фп(х0) — х0, то
ф„(х0) - ха + т. Отсюда фкп(х0) = х0, фы(хо) = х0 + km, ¦^(¦фы(х0) - х0) =
^р = —. При к —» оо получаем а = ^.
Обратно, пусть а = ^. Тогда функция фп имеет вид
фп(х) = х +т + 0A) = х + т + Д(х). A4)
Если А(х) > 0 при всех х, то верно и более сильное неравенство: А(х) > До > 0.
Тогда для числа вращения будем иметь
До то
п п
Действительно, достаточно рассмотреть номера, кратные п, для которых получим
фкп(х) = х + km + кА0. A6)
Аналогичные рассуждения показывают, что неравенство А(х) < 0 также не
может выполняться при всех х. Таким образом, найдется точка ж0, в которой
функция Д(ж) меняет знак. Это и есть периодическая точка. Лемма доказана. ¦
Следствие. Если число вращения а иррационально, то порядок точек х, ф(х), ф (х), ... ,
¦ф1* (х) на окружности при любом х такой же, как в случае поворота на угол а.
Локазательство. Из доказательства леммы (часть б)) видно, что фп(х) > х + m тогда
и только тогда, когда a > m/n. Это и означает сохранение порядка при
соответствии х + (па (mod 1) <-* ф"(х). Следствие доказано. ¦
Периодические точки отображения ф дают нам периодические решения урав-
уравнения (9). Таким образом, наличие у уравнения (9) периодических решений согласно
лемме 1 равносильно рациональности числа вращения а для отображения ф. Рассмо-
Рассмотрим теперь случай, когда число вращения а иррационально и периодических решений
уравнение (9) не имеет.
Лемма 2. Если число вращения иррационально, то для любой точки х окружности S
предельные множества ш+(х) и ш~(х) совпадают и инвариантны относительно
преобразования ф; они не зависят от точки х ? S .
(Здесь множество ш±(х) определяется на окружности 51 как совокупность
предельных точек последовательности фп(х) при п -* ±оо. Множество ш (х)
совпадает, очевидно, с пересечением ш±G) П 5', где S' — окружность,

206 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях
траектория системы (9) на торе Т2,
отвечающая значению t = to, a 7 -
проходящая через точку х при t = to).
Аоказательство. Установим сначала инвариантность
множества ш'*(а:) относительно ф±]. Если
у ? ш±(ж), то найдется последователь-
последовательность п(,П2,... такая, что пк —> ±оо и
фПк(х) —> у. Тогда последовательность точек
фы {фПк(х)) = ф"к±](х) сходится к точке
.,.±1/
Хх)
sin-m), ч
Ф (я)
Рис. 107.
ф±1(у). Поэтому ф±1(у) ? ш±(а;). Во вспомо-
вспомогательных целях установим такой факт: если
точки ф"(х) и фт(х) делят окружность на
дуги ana (рис. 107), то каждая половина
орбиты {фя(у), q > 0} и {фя(у), 9^0} имеет точки на обеих дугах ana. Докажем
это для полуорбиты {i>q(y),q ^ 0}. Пусть, например, m > п и у € 5. Рассмотрим
дуги а, ф"~т(а), ..., ф^"~т)(а) (s > 0). Очевидно, концы этих дуг примыкают
друг к другу (см. рис. 107) и образуют монотонную последовательность точек
окружности.
Указанные дуги покроют всю окружность. В самом деле, в противном
случае концы этих дуг, т.е. точки вида ф^"~т)ф"(х), образуют монотонную и
ограниченную, а потому сходящуюся последовательность. Предел этой последо-
последовательности будет неподвижной точкой преобразования ф"~т, что противоречит
иррациональности числа вращения и лемме 1.
Итак, найдется такое s > 0, что дуга ^s(n~m>(a) покроет точку у : у ?
ф1{п~т\а), поэтому ф^т~п)(у) 6 а. (Для q ^ 0 доказательство идентично; нужно
лишь заменить т— п на п — т.)
Рассмотрим теперь две полуорбиты {ip4(x),q > 0} и {ip4(y),q ^ 0}. Рас-
Рассмотрим точку Хо € ш+(х). Имеется последовательность qk —* 00 такая, что
фЧк(х) —* Xq. На каждой дуге ак = [фп(х), фЯк+1 (ж)] имеется точка из полуорбиты
{фч(у)Л ^ 0}. Пусть это — точка ф*к(у) € ak = [^* (в), ^>*41 (а:)]. Очевидно,
длины дуг ак стремятся к нулю при к —* со, и последовательность точек фн(у)
сходится в точке х0. Итак, совпадение ш+(х) и ш+(у) доказано.
Совпадение ш~(х) с иГ(у) доказывается так же. Лемма доказана. ¦
Теорема 1. Если число вращения иррационально, то предельное множество ш(х) = ш(у)
любой точки окружности S1 может либо совпадать со всей окружностью, либо
быть нигде не плотным замкнутым совершенным множеством (т. е. канторовым
множеством).
(Напомним определение: множество называется нигде не плотным, если
около любой его точки имеется не принадлежащая ему открытая область;
множество замкнуто, если оно содержит свои предельные точки; множество
совершенно, если оно совпадает с множеством своих предельных точек, например,
совершенное множество не имеет изолированных точек.)
доказательство. Предельное множество ш(х) = ш (х) замкнуто по определению
(см. выше). Докажем, что это множество совершенно. Пусть io 6 ш(х). Все точ-
точки фд(х0) принадлежат ш(х) по лемме 2. По той же лемме ш+(ж0) = ш(х0) = ш(х).
Поэтому найдется последовательность qk —> 00 такая, что if)gk(x0) -* х0. В то же
время фЯ1(ха) Ф х0 по лемме 1. Таким образом, х0 есть предельная точка множе-
множества ш(х), т.е. множество ш(х) совершенно. Какие бывают совершенные мно-
§ 28. Гамильтоновы системы на многообразиях. Теорема Лиувилля. Примеры 207
жества на окружности 51? Либо ш(х) = 51 (всюду плотный случай), либо ш(х)
содержит не все точки из S]. Если множество ш(х) заполняет хотя бы маленькую
дугу b на окружности 5 , то можно найти меньшую дугу а С Ъ, у которой края
имеют вид х0 и фт(х0). Тогда преобразование фт обладает тем свойством, что
концы дуг а,фт(а),.. .\ф*т(а),... примыкают друг к другу. Поэтому, как в
доказательстве леммы 2, объединение дуг а I) фт(а) I) ... U ф!т(а)... покроет
окружность 5'. Доказательство теоремы закончено. ¦
Замечание. Можно построить примеры С1-гладких отображений ф : 51 —* 5' и систем на
торе х = f(x,t) вида (9), для которых множество ш(х) будет канторовым. Однако для
С2-гладких отображений (и тем самым для аналитических функций f(x,t), в частно-
частности, для тригонометрических многочленов) имеется теорема (А. Данжуа): если число
вращения иррационально, то предельное множество ш(х) совпадает со всей окружно-
окружностью S1 (т. е. траектории системы всюду плотны на торе Т2).
Несмотря на это, появление среди предельных множеств траекторий в нетривиальных
динамических системах канторовых множеств, по-видимому, неизбежно (начиная с
' размерности 3) даже в случае, когда правые части являются алгебраическими.
Теорема 2. Если предельное множество ш(х) есть вся окружность (т. е. траектории
системы (9) всюду плотны), то отображение ф : S1 —* 5' топологически
эквивалентно повороту. Это означает, что найдется гомеоморфизм h : S1 —* S1
(вообще говоря, не гладкий) такой, что
Ъ.фЪГ\х)=х + а, A7)
где а — число вращения (а иррационально).
Аоказательство. В силу следствия из леммы 1 точки хп = фп(х) на окружности
идут в том же порядке, что и точки na(mod 1) (точки орбиты поворота на
угол а). Точки хп всюду плотны на окружности по условию. Чтобы получить
гомеоморфизм h окружности, переводящий ф в поворот, нужно продолжить по
непрерывности отображение, переводящее точки х„ в соответствующие точки
орбиты поворота:
h(xn) = na (mod 1).
Теорема доказана. ¦
Замечание 1. Гомеоморфизм ft, осуществляющий «линеаризацию» отображения f : Sl —* S[,
построен нами только как непрерывный даже для аналитических или сколь угодно
гладких тр. Исследование гладкости h является нелегкой задачей.
Замечание 2. До сих пор мы исследовали динамические системы на торе, для которых
минимальное множество могло совпадать со всем тором. Для поверхностей рода g > 1
известно следующее: в случае С2-гладких векторных полей минимальное замкнутое
множество динамической системы может быть только либо особой точкой, либо
периодическим решением. Эта теорема обобщает теорему А. Данжуа, упомянутую в
замечании выше. Для С' -гладких систем легко строятся примеры с минимальными
множествами типа канторова множества.
§ 28. Гамильтоновы системы на многообразиях.
Теорема Лиувилля. Примеры
1. Гамильтоновы системы в кокасательиом расслоении. Постановка вариацион-
вариационных задач на многообразиях точно такая же, как и в евклидовом пространстве: пусть
на многообразии М задан лагранжиан — скалярная функция L(x,v), где х — точка

208 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений иа многообразиях
многообразия М, a v — касательный вектор к М в этой точке. Экстремумы действия
на гладких кривых с какими-либо граничными условиями
= / L(x,x
x)dt, v = j = x,
j(t),
приводят к уравнению Эйлера—Лагранжа, локально имеющему вид уравнения второго
порядка на М:
дЬ\ дЬ
В случае невырожденности преобразования Лежандра (см. § 33 тома I), когда уравнение
Ра — ]j~t(x,v) однозначно разрешимо в виде v" = va(x,p), получим эквивалентную
систему Гамильтона
дН
дН
B)
Гамильтонова система B) представляет собой динамическую систему на пространстве
кокасательного расслоения Т*(М) размерности 2п (п = dimM), точками которого
являются пары (х,р), где р — ковектор в точке х ? М.
Дифференциальная форма О = j) dxa A dpa замкнута (и даже точна, т. е. п = Лш,
а
где ш = padxa), определена глобально на всем Т*(М) и невырождена: это означает,
что форма п" — пА ... Аи (п раз, где п — dimM) пропорциональная элементу объема
с ненулевым коэффициентом. Форма п определяет скалярное произведение векторов
(кососимметрическое и невырожденное)
(t,v) = -(v,t) = JaCvb, C)
где а,Ъ = l,...,2n, U — Jabdya /\dyb, координаты у\...,у2п на Т*(М) определяются
по правилу у" = х", у"+а = ра, а= 1,...,п. Уравнения Гамильтона B) имеют вид
«кососимметрического градиента»
У =
ду
_
D)
JabJbc = <5?- Скобка Пуассона {f,g} функций f,g на «фазовом пространстве» Т*(М)
есть скалярное произведение их «градиентов»:
(/.'> = •'•'&& = <'/.** и
В силу замкнутости формы О скобка Пуассона вводит на линейном пространстве
функций структуру алгебры Ли. При этом «градиент» функции {f,g} есть коммутатор
«градиентов» функций / и д:
f -, (V/) = (>|
{/,.<?} -[V/,V5j.
F)
Все эти факты были установлены локально в § 33 тома I. Их перенос на многообра-
многообразия носит автоматических характер, поскольку они представляют собой локальные
тождества.
2. Гамильтоновы системы иа многообразиях. Примеры. При рассмотрении га-
мильтоновых систем на многообразиях надо иметь в виду два обстоятельства:
I. Если ш = Hadya — любая замкнутая 1-форма, то система у — JahHb
определяет группу канонических преобразований St, поскольку локально замкнутая
§ 28. Гамильтоиовы системы на многообразиях. Теорема Лиувилля. Примеры 209
форма ш есть дифференциал некоторой функции; глобально форма ш может не быть
дифференциалом однозначной функции.
2. Гамильтоновы системы возникают не только на многообразиях вида Т*(М)
и при этом форма О не обязана быть точной.
Важны также более общие многообразия — фазовые пространства, на которых
определена скобка Пуассона гладких функций. Пусть уа,а= l,...,N, — локальные
координаты на многообразии У — фазовом пространстве. Скобка Пуассона функ-
функций f(y) и д(у) задается кососимметрическим тензорным полем J (у) = -J (у)
по формуле E). Эта операция обладает очевидными свойствами билинейности и
кососимметричности; легко проверяется также «тождество Лейбница»
}+f{g,h}- G)
Требуется также выполнение тождества Якоби
{f,{9,h}} + {h,{f,g}} + {gAhJ}} = 0. (8)
Гамильтоновы системы на фазовом пространстве по определению имеют вид D),
где Jab = Jab(y) — тензор, задающий скобку Пуассона, а Н — Н(у) — любая
функция, называемая гамильтонианом. Векторное поле VH = (jo4|4), отвечающее
системе D), называется гамильтоновым. Коммутатор гамильтоновых полей связан со
скобкой Пуассона соотношением F) (проверьте!).
В рассмотренном выше важном примере кокасательного расслоения Т"(М)
скобка J была невырожденной (т. е. det (J" ) ф 0) и имела канонический (постоянный)
вид {ха,х^} — {ра,Рр} — 0, {ха,рр} — 6р. Более общий класс фазовых пространств
с невырожденной скобкой Пуассона допускает следующее описание. Пусть N = 2и,
скобка Пуассона Jab невырождена, т.е. det(J) Ф 0; обозначим через Joj обратную
матрицу. Выполнение тождества Якоби (8) для любых функций f,g,h эквивалентно
замкнутости формы (см. том I, теорему 34.2)
1
y" Adyb.
(9)
Многообразия с невырожденной замкнутой 2-формой п называются симплек-
тическими. Таким образом, класс фазовых пространств с невырожденной скобкой
совпадает с классом симплектических многообразий.
Для вырожденной скобки Пуассона имеются функции fq(y) (быть может,
заданные локально) такие, что
{/„<?} = 0 A0)
для любой функции д(у).
Задача. Доказать, что для вырожденной матрицы J"b(y) постоянного ранга функ-
функции /,(;/) с условием A0) локально всегда существуют. (По поводу условий интегрируе-
интегрируемости см. ниже §29, п. 1.)
Если из A0) найдены все такие величины fq(y), то на их общей поверхности
уровня fq(y) — const, q — 1,2,..., скобка Пуассона уже становится невырожденной.
Рассмотрим важный пример: скобки Пуассона—Ли. Так называется класс скобок,
где тензор Jab(y) линейно зависит от координат,
(")
Рассмотрим совокупность L всех линейных функций на фазовом пространстве, которое
мы обозначим через L*. Для базисных линейных функций — координат у" — скобка
^ab/ ч ab d
J (y)=cdy ,
cf = const.

210 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях
определяет операцию коммутирования
..6, .<•'<' _
[У ,У } = cdy ={y ,у }.
A2)
Из косой симметрии df — -c^° и тождества Якоби (8) вытекает, что операция A2)
превращает линейное пространство L в алгебру Ли, причем cjf — ее структурные
константы. Скобки A2), вообще говоря, вырождены.
Пример 1. Пусть L — алгебра Ли группы вращений 50C). Метрика Киллинга на 50C)
евклидова и позволяет не различать L и L* (все индексы считаются нижними). Скобки
Пуассона базисных функций М,- на L* имеют вид
uMj} = ei]kMk,
A3)
A4)
где eijk равно знаку перестановки ijk. Функция М2 = ^Mf такова, что {M2,Mt} = О,
г = 1,2,3. На поверхностях уровня М2 = const (сферы) скобка A3) невырождена.
Гамильтоновы системы на L имеют вид «уравнений Эйлера»
. ( дН \
М=[М,Щ, п = (п')= —- ,
\dMiJ
где квадратичные скобки обозначают коммутатор в L. (При 2# = ахм} + агМ2 -
уравнения A4) совпадают с уравнениями движения твердого тела, закрепленного в
центре масс.) Вывод уравнений верен для всех компактных (и полупростых) групп Ли
(проверьте!). Такие системы на группах SO(n) называются «многомерным аналогом
твердого тела» ([4]), если гамильтониан — квадратичная функция от М.
Пример 2. С алгеброй Ли L группы ЕC) движений трехмерного евклидова пространства
связаны важные системы, возникающие в гидродинамике. Эта алгебра Ли уже не является
полупростой. На фазовом пространстве L* имеется 6 координат М|,М2,М3,р1,р2,Рз и
скобки Пуассона
{Mi, Mj} = sijkMk,
= eijtpk, {pi,Pj} = 0.
A5)
Скобка A5) обладает двумя независимыми функциями /i = 2p*> h = YlP№i такими,
что {/,,<?} = 0 (q = 1,2) для любой функции д(М,р). На поверхностях уровня
/i = р2 > О, }г = ps скобка A5) невырождена. Замена (М,р) —> (<т,р), где <г, = М,- - ^р;,
устанавливает изоморфизм этих поверхностей уровня с кокасательным расслоением T'S2
к сфере (проверьте!).
Задача. Докажите, что на поверхностях уровня {ft = р2 > 0, /2 = ps} ~ T'S2 скобка
Пуассона A5) может быть задана замкнутой формой
fi =
A dxa + Fi2(x) dxl A dx2,
A6)
где z',z2,?i,?2 — координаты на T'S2, x' = в, х2 = ф, р, = pcosScost/>, p2 =
pcos0sini/>, рз = рътв, <Т\ = ^ tg^cost/i - ?i sinS, <г7 = ^2 tg#sin$ + ^ cos^i, <г3 = -fo;
{в,Ф} = U.,V} =-{&,»} = 0, №6) = МЫ = 1. U.,6} = scos0.
Уравнения, являющиеся гамильтоновы ми по отношению к скобке A5) с
гамильтонианом Н, записываются в виде «уравнений Кирхгофа»
р = \р,ш], М = [М,ш] + \р,и], A7)
где и' = |^-, и/ = |^ (квадратные скобки обозначают векторное произведение). Для
квадратичных гамильтонианов Н(М,р) уравнения A7) описывают движение твердого
§ 28. Гамильтоновы системы на многообразиях. Теорема Лиувнлля. Примеры 2!!
тела в жидкости — идеальной, несжимаемой и покоящейся на бесконечности. К ви-
виду A7) приводятся также уравнения движения волчка в осесимметричном поле. Оказы-
Оказывается, естественное ограничение гамильтоновой системы A7) на поверхность /] — р2,
/¦> — ps может быть записано в виде уравнения экстремалей (Эйлера—Лагранжа) SS = О
на сфере 52, где функционал 5 является «многозначным», т.е. корректно определе-
определена лишь его вариация SS — замкнутая 1-форма на функциональном пространстве
траекторий на сфере. Такое сведение можно найти в книге [3].
3. Геодезические потоки. Важнейшим в геометрии классом гамильтоновых
систем являются так называемые «геодезические потоки». Геодезический поток опре-
определяется на многообразии Т = Т(М) касательных векторов к гладкому многообразию,
на котором задана риманова метрика дар; его гамильтониан имеет вид (локально)
х, р) = -
A8)
Этот гамильтониан возникает из лагранжиана L = \ даруат/, задающего геодезические
•линии, параметризованные натуральным параметром. Напомним принцип Мопертюи,
согласно которому, в частности, движение частицы в потенциальном поле сил U{x)
по многообразию М с метрикой дар(х) при фиксированной энергии Е = Н(х,р) =
~{р,р) + U(x) происходит по геодезическим новой метрики
дар(х, Е) = const (E - Щх)) да/3 (х) A9)
(хотя параметр пробегания не определяется из решения экстремальной задачи; см. § 33
тома I). Таким образом, в принципе Мопертюи геодезический поток интересен нам
только как одномерное слоение на М.
Мы будем далее рассматривать геодезические потоки только на многообрази-
многообразиях М с положительной (римановой) метрикой дар и предполагать, что многообразие М
является замкнутым. Задав уровень энергии Е- Н(х,р) = \{р,р), мы получим динами-
динамическую систему на компактном многообразии линейных элементов постоянной длины.
Это многообразие представляет собой расслоение со слоем S"~l (где n = dimM) и
базой М. С точки зрения качественной теории можно сказать следующее: эта система
не имеет особых точек; периодические траектории могут здесь изучаться с помощью
топологической теории критических точек функционала длины в пространстве всех
замкнутых кривых. Особенно интересный случай представляют компактные многообра-
многообразия, имеющие отрицательную кривизну по всем двумерным направлениям. Рассмотрим
для простоты поверхности М, снабженные метрикой постоянной отрицательной гаус-
гауссовой кривизны. Геодезический поток на таком М представляет собой динамическую
систему (векторное поле ?) на многообразии Т - Т(М) линейных (единичных эле-
элементов к поверхности М — уровне энергии Н(х,р) = 1. Оказывается, что каждый
класс сопряженных элементов группы 7Г](М) определяет ровно одну периодическую
траекторию. Характерной особенностью метрики отрицательной кривизны является
«экспоненциальное» поведение геодезических: пусть y(t) — интегральная траектория
поля | на Т (т.е. геодезическая на М). Тогда можно найти семейство геодезических,
экспоненциально быстро приближающихся к f(t) при t -* +оо. Это — поверхность
в Т, содержащая в себе y(t). Обозначим эту поверхность через R+iy). Аналогично
определяется поверхность R-(y) ДЛЯ t —> -со (рис. 108). Точное определение поверх-
поверхностей R+ и R- таково: на универсальной накрывающей поверхности М — плоскости
Лобачевского L1 — поверхность R± состоит из геодезических, входящих в одну и ту
же точку абсолюта (рис. 109) при t -» ±оо.
Пересечение Д_G) п Й+М есть в точности геодезическая -у. Возникает
интересная ситуация: каждая траектория -у С Г лежит на двух поверхностях R+(y) D у

212 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях
Рис. 108.
Рис. 109.
и Л_G) Э 7! таким образом, компактное многообразие Т «расслоено» на два семейства
поверхностей R+ и Д_ со свойствами, перечисленными выше. Однако динамическая
система неинтегрируема, т.е. не имеет первых интегралов (более того, каждая из
поверхностей R+, Д_ и «почти каждая» из траекторий 7 геодезического потока всюду
плотно заполняет Т; мы этого доказывать не будем). Семейства поверхностей Л+ и Л_
на Т дают весьма любопытный пример «двумерных слоений», о которых мы скажем
позднее.
Задача. Докажите, что слои R+ или й_ могут быть (топологически) либо плоскостя-
плоскостями R2, либо цилиндрами 51 х R1. (На слоях R+ и R_ топология строится так: нужно
брать конечные пересечения связных компонент множеств, открытых в R+ или в й_ в
индуцированной топологии.)
4. Теорема Лиувилля. Геодезические потоки иногда допускают «лишние» инте-
интегралы движения, например, если метрика на многообразии М имеет нетривиальную
группу движений (однородные пространства, поверхности вращения) и в некоторых
других особых случаях. При наличии лишних интегралов, разумеется, ни одна траекто-
траектория не может быть всюду плотной в многообразии Т\ единичных касательных векторов
[Е — \{р,р) — const). Аналогичная ситуация возникает и в случае более общих гамиль-
тоновых систем, если имеются «лишние» интегралы, кроме энергии. Важная теорема
Лиувилля изучает тот случай гамильтоновых систем в К с та степенями свободы (или
на произвольном 2п-мерном симплектическом многообразии М с формой ft), когда
имеется ровно п функционально независимых интегралов Я = /ь/г,-•• ,/и, скобки
Пуассона которых попарно равны нулю.
Теорема 1 (Лиувилль). Предположим, что система с гамильтонианом Н имеет п
интегралов /j = H, fa,..., fn с линейно независимыми попарно коммутирующими
кососимметрическими градиентами ?j = J" -^ (Jab определяется равенством
ft = Jab dya Л dyb, где у" — локальные координаты, Jab Jbc — <5°). Тогда:
1) Поверхности уровня интегралов fl — а^ ,...,/„ = ап представляют собой
факторгруппы М" по решеткам ранга ^ щ в частности, компактные неособые
поверхности уровня являются п-мерными торами.
2) Если поверхность уровня f\ = at, ... , /„ = а„ компактна, то в ее
окрестности можно ввести такие координаты st,..., sn, ip},..., ipn @ $ tpt < 27г)
(«действие-угол»), что: (a) ft = ^Z dsQ Л d<pa или {sa,Sp} = {tpatPp} = 0,
or
tpa — координаты на поверхностях
isa,Vf}} - &ap; F) Sa = Sa(/i,...,/„
fj = const; (в) наша система имеет вид
fa = 0 <=> sa = 0,
B0)
§28. Гамильтоновы системы на многообразиях. Теорема Лиувилля. Примеры 213
Локазагельство. Поверхность /, = п\, ... , /„ = ап представляет собой гладкое
n-мерное многообразие; мы обозначаем его через Мп(а,\,... ,а„). Набор косо-
симметрических градиентов (?J) = Jabji по условию линейно независим. При
этом в силу условия {fa,fp} — 0 все векторные поля (j касаются поверхности
М"(п],... ,ап) и попарно коммутируют. Таким образом, на многообразии М
и, в частности, на поверхности Мп{а\,..., ап) и ее окрестности действует
группа К" с генераторами ?;-. Выберем начальную точку хо 6 Мп(а\,... ,а„) и
выделим в К" решетку: вектор d ? К" принадлежит решетке, если d, действуя
на хо, снова дает хо. Возникает подгруппа {d} С К". Эта подгруппа дискрет-
дискретна и поэтому изоморфна решетке, натянутой на к векторов К", где к ^ п.
Очевидно, что лишь при к = п мы получим компактное многообразие Т".
Утверждение 1) доказано.
Для доказательства утверждения 2) сначала выберем начальную точку
xa(ai,... ,an), гладко зависящую от поверхности уровня в малой окрестно-
. сти изучаемой поверхности. На данной поверхности уровня можно составить
такие линейные комбинации щ полей ?,-, 2&}& = Tjj, что вводимые с их
помощью координаты в группе К", действующей на Г" = Мп(а1,..., а„), со-
совпадут с углами 0 ^ tpj ^ 27г (ipj —Q — это точка х<>). Коэффициенты b'j будут
зависеть от набора а],...,а„ в окрестности избранной поверхности уровня.
Таким образом,
Vj = Ь}(/ь •••,/»)&•
Это вводит координаты фи...,фп в целую область около Мп(аи..., ап). В этой
области имеем координаты (/i,... ,fn,<p\,... ,фп) и невырожденную матрицу
скобок Пуассона
B1)
v,/j}=o, {/.-,&•} \ _ ( ° АAУ
>i,fj], {Vi,Vj}) \-AT(f) B(
где det.A Ф 0.
Введем теперь переменные действия s,- = Sj(/b. ..,/„), где г = 1,...,п. Для
фазового пространства К2" с каноническими координатами (gj,..., gn,Pi ... ,pn)
переменные действия имеют вид
: = 1 71.
B2)
Здесь 7i — »-й базисный цикл тора Г",
7.': 0 ^ <Pi ^ 27Г. Vj = const ПРИ 3 Ф i-
Ясно, что попарные скобки Пуассона {s,-,Sj} = 0 при всех i,j, поскольку
{/;,/;} = 0. ¦
Задача. Докажите, что переменные действия su..., sn канонически сопряжены угловым
переменным iplt...,ipn:
U, ft-} = «,,-, i,j=\,...,n. B3)
В произвольном 2п-мерном симплектическом многообразии М с формой
ft = Jab dy" A dyb

214 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях
нужно действовать так: форма п обращается в нуль на торах Г". Поэтому на некоторой
окрестности тора Т" эта форма точная:
п = ды.
Переменные действия имеют вид, аналогичный B2):
1
B4)
Положим теперь
<Pi=<Pi + bi(su...,sn).
Подберем Ь,- из условия {<p>,<Pj} = 0. Это всегда можно сделать, поскольку
Координаты
B5)
,-} = 6ц.
<Pi = tPi + bi(fi,...,fn) B6)
на каждой поверхности уровня /,. = а, ,...,/„ = а„ совпадут с выбранными ранее
углами щ с точностью до сдвига. Матрица скобок Пуассона имеет вид
{з{, Sj} = {<pt, Vj} = 0, {1р{, Sj} = 6{j, B7)
гамильтониан Н = f} имеет вид
H = f1(sl,...,sn), B8)
а форма fi имеет вид Q-J2dsaA d<pa.
5. Примеры. Уже ранее (см. § 32 тома I) мы сталкивались с примерами ситуации,
указанной в теореме Лиувилля.
1. Системы с одной степенью свободы. Пусть по-
поверхность уровня Н(х,р) = Е компактна (рис. ПО). Тогда
мы имеем канонические координаты («действие-угол»)
s(E)= d> pdx, ip,
J
H=E
Q = dsAdip, H-H(s). B9)
2. Частица в сферически симметричном потенци-
потенциальном поле U(г), г = |х|, х1 = х, х2 - у, х3 = z (см.
§32 тома I). Имеем три интеграла:
/.=Я, /2 = М„ Д=М2 = ?>?. C0)
Проверьте, что {/,-, /у} = 0.
3. Геодезические на поверхности вращения (вокруг оси z)
Имеем два интеграла:
см. §31 тома I.
/,=#=- gijV'v3, х1 = г,
х2 =
=V? = M.
C1)
Следствиями этих законов сохранения были, например, теорема Клеро и полная
интегрируемость геодезического потока.
4. Рассмотрим более общие лагранжианы, обладающие высокой симметрией.
Уже раньше, в томе I (см. §29), были найдены геодезические на сфере и плос-
плоскости Лобачевского. Другие примеры сферически симметричных лагранжианов дают
релятивистские задачи: а) движение заряженной частицы в центральном поле сил с
потенциалом а/г в специальной теории относительности (СТО); б) движение массив-
массивной пробной частицы в гравитационном поле Шварцшильда (см. § 39 тома Г) в обшей
теории относительности (ОТО).
§28. Гамильтоновы системы на многообразиях. Теорема Лиувилля. Примеры 215
г B)
а) В трехмерном формализме с лагранжианом VJ при изложении СТО мы для
движения частицы в потенциальном поле будем иметь следующий лагранжиан (см. § 32
тома ():
, / ыЛ '" г»
C2)
Н(р) =
C3)
<? J г
В этом случае гамильтониан частицы имеет вид (см. §§ 32, 39 тома I)
р +т +7'
где р — трехмерный импульс (р\,Р2,Рз)-
Движение в силу сохранения полного момента является плоским. Пусть оно
происходит в плоскости (х, у) с координатами (г, <р).
Пусть М — р9. Тогда (см. §32 тома I)
М2 а
Н = е = с\1рг Ч г- + т2с* Ч— = const.
rz r
C4)
В случае притяжения а < 0. Если Мс > |а|, то из C4) видно, что падение на
центр невозможно, как и в классической механике. Если Мс < \а\, то падение на
центр возможно.
Для точного решения сферически симметричных плоских задач технически
удобно воспользоваться уравнением Гамильтона—Якоби (см. §35 тома I). Пусть
Ра = Jjt, Н = -Щ- Рассмотрим уравнение Е — Н(х,р) в виде
?i-
dt ~
В координатах (г, (р) ищем решение уравнения C5) в виде
S = -Et + M<p + f(r), f = f(r,M,E).
Интегральная траектория r(tp) определится уравнением ^ — const.
Для гамильтониана C4)
dS\2 M2 , ., а
— + — + т2с2+-.
дг / 1
dt у \Ог у г*-
Для S = —Et + М<р + /(г, М, Е) имеем окончательно
[ \/-г (е--)
J у с1 V г/
2 М2 М2
— т?с2 dr.
Траектория г(<р) имеет вид
dS df
= <Р+ -г^т = const.
дМ
дМ
C5)
C6)
C7)
C8)
C9)
as
Зависимость от времени определяется из уравнения -^ = const.
Задачи. 1. Докажите, что при а < 0 и Мс < \а\ решения представляют собой спирали
с радиусом г, достигающим нуля за конечное время.
2. Пусть а < 0 и Е < гас . Покажите, что траектории, вообще говоря, не замкнуты.
Найдите поправку к движению по эллипсам в классической механике.

216 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях
б) Рассмотрим теперь задачу о движении частиц ненулевой массы то > 0 в
метрике Шварцшильда (см. §39 тома I). В координатах t,r,9,<p имеем при г > а
ds2 = (\ - -) cdt2 dr2 - r2(d62 + sin29 dip1).
\ r I 1 — -
Гамильтониан имеет вид
1
ab
Н=-драрь, а,Ь= 0,1,2,3.
D0)
D1)
Далее 5°° = Eоо) ' = A - ~) > п" = (9тт) ' = 1 - ~- Движение плоское. Поэтому
можно положить в ~ |. В координатах t,r,tp,xa = ct получим для уравнения
Гамильтона—Якоби
2 I /8S\2 b
У D2)
8S dS ab
9
„2„2
Константа в правой части может быть отождествлена с величиной то с , так как D2) есть
D3)
уравнение массовой поверхности. Как и в случае а), ищем действие 5 в виде
S = -Et + М(р + /(г, М, Е).
Функции r(t) и r(ip) определятся из уравнений
dS 8S
Подставляя вид D3) в уравнение D2), найдем траекторию:
2 ( М2
D4)
Величина Е = ера может быть отождествлена с энергией частицы (Е > тс2).
Замечание. Устремляя в формуле D4) т к нулю, можно получить движение частиц нулевой
массы — например, световых лучей в метрике Шварцшильда.
Зависимость г от t описывается уравнением
/ а\ -' dr 1 2 2 1/2
V г / cdt E ' '
где U(г) = тос2[A -7) 0 + i^fv)] ¦ Величина
U(r) называется «эффективным потенциалом»
при заданном моменте М. Условие U(r) ^ E
определяет при заданных М и Е допустимые
области движения (по г). График ^ имеет
вид, указанный на рис. 111.
Мы видим, что потенциал U(r) может
иметь максимум при величинах г (порядка)
2а, в зависимости от М. При г —> со имеем
U(г) —> 1. Из рис. 111 видна, в частности,
возможность «захвата» частиц гравитационным
полем, т.е. движение г(?), где г(-со) = со и
г(+оо) конечно.
Рис. 111.
§29. Слоения
217
§29. Слоения
1. Основные определения.
Определение 1. 1) к-мерным распределением на n-мерном многообразии М называется
гладкое поле fc-мерных касательных направлений, т.е. функция, относящая
каждой точке х € М линейное fc-мерное подпространство касательного про-
пространства ТХМ. 2) Распределение называется интегрируемым, если через любую
точку многообразия М проходит к -мерная интегральная поверхность, которая
касается распределения в каждой своей точке. 3) Говорят, что на многообра-
многообразии М задано слоение (размерности к), если многообразие М «расслоено» на
fc-мерные поверхности; это означает, что через каждую точку многообразия М
проходит одна (и только одна) гладкая fc-мерная поверхность, гладко (или
непрерывно) зависящая от точки многообразия. Эти поверхности называются
слоями слоения. Требуется, чтобы локально в многообразии около любой точки
можно было ввести такие координаты х1,..., хк,у1,... ,у"~к, что поверхности
к
1
у"~к
. уровня у1 = at, ..., у"к = on_t задают слои слоения в этой окрестности,
1,..., х* —
а х1
локальные координаты на слоях слоения.
Слоения задаются интегрируемыми распределениями.
Пример 1. Одномерное распределение, которое уже встречалось выше, задается не обра-
обращающимся в нуль векторным полем или полем направлений. Одномерное гладкое
распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и един-
единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом,
одномерное распределение всегда порождает слоение.
Пример 2. Пусть на n-мерном комплексном многообразии задано комплексное векторное поле
(или поле одномерных комплексных направлений). В голоморфном случае, как и выше,
это распределение всегда интегрируемо и порождает одномерное комплексное слоение.
Рассмотрим, например, случай п = 2 и комплексное уравнение
dz _ P{z,w)
dw Q{z,w)
A)
где Р и Q — многочлены степени т. Распределение Qdz — Pdw = 0 порождает
одномерное комплексное слоение на С2. Более того, производя подстановку
Z = —,
«о
«о
получим одномерное комплексное слоение на многообразии СР2 Э С2, задаваемой
формой ш = Qdz - Pdw (см. §27 для RP2). Точки, в которых Р = Q = 0, являются
особыми для слоения (т. е. слоение задано фактически в дополнение к множеству этих
точек).
Задача. Найдите особые точки на бесконечности.
Интересно исследовать поведение слоев комплексного слоения около невыро-
невырожденной особой точки. Имеем
dz = P(z, w) dt, i = P,
dw = Q(z,w)dt, w = Q.
B)
Рассмотрим особую точку Р = 0, Q = 0. Пусть особой является точка г = ш = 0,
и пусть линейная часть
w = cz + dw + ...

AS"
218 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоеиий на многообразиях
невырождена, т. е. ad - be Ф 0. В случае общего положения собственные значения
различны, и мы можем линейной заменой привести систему к виду
i - A|Z + ...,
u) = A2» + ... D)
Пусть А = ^. Исследуем чисто линейную систему j§ = А^. Получим общее решение
вида z = awx, а также два слоя A(z = 0) и B(w = 0). Удалив особую точку @,0),
получим неособое слоение в области С2 \ 0. Слои А и В неодносвязны (оба они имеют
топологию С \ 0).
Задача. Пусть 71 € кх(А) и 72 6 Т|(-В) — образующие. Покажите, что оба элемента 71
и 7з являются предельными циклами слоения. Вычислите представление голономии
(определения см. ниже в этом параграфе).
Замечание. Вопрос о приводимости системы C) к чисто линейному виду комплексно анали-
аналитической заменой координат около особой точки @,0) более сложен, и мы здесь его
не обсуждаем.
Пример 3. Пусть имеется косое произведение (расслоение) с базой М, группой G, слоем F,
пространством Е и проекцией р : Е —» М. Связность в косом произведении задавалась
как семейство «горизонтальных» площадок Rn(y) в каждой точке у 6 Е (см. §24).
Задача. Проверьте, что распределение горизонтальных площадок в Е интегрируемо
(т.е. порождает n-мерное слоение) в том и только в том случае, если тензор кривизны
связности тождественно равен нулю (см. условие интегрируемости ниже).
Если связность порождает интегрируемое распределение, то каждый слой W
этого слоения локально изоморфно проектируется на базу. Таким образом, слои
этого слоения — просто накрытия над М. Группа монодромии этого накрытия
называется в данном случае «дискретной группой голономии»; см. § 19. Если база М
односвязна, то слои W изоморфны многообразию М глобально.
Критерии интегрируемости fc-мерного распределения, например, таковы.
1-я формулировка. Запишем локально задачу об интегрировании fc-мерного
распределения в виде
г\ СИ
^ =/?(*,</), a=i,...,n-fc, /3=1,...,*:, E)
(«уравнения Пфаффа»).
Если слоение интегрируемо, то fc-мерныс слои (локально) изображаются вектор-
функциями
у"(х\...,хк), а=\,...,п-к,
где х ,...,х ,у1,...,уп~к — локальные координаты на многообразии М. Условие
интегрируемости вытекает из условия
вЛ*- а*Я{х'«х)) = а*'*''*'»- F)
2-я формулировка. Рассмотрим два любых векторных поля ?,?/, касательных
к к -мерному распределению в каждой точке. Если слоение интегрируемо, то ком-
коммутатор \(,г]\ тоже должен касаться распределения. Это условие оказывается также
§29. Слоения 219
достаточным (мы не доказываем достаточности сформулированных условий; их необ-
необходимость очевидна; проверьте!).
Задача. Докажите эквивалентность 1-й и 2-й формулировок условия интегрируемости.
Рассмотрим теперь другой особый случай слоений на re-мерных многообрази-
многообразиях — слоений, имеющих размерность слоев к — п — 1 («слоения коразмерности 1»).
Локально такое слоение задается 1-формой (или уравнением Пфаффа)
ш ~ Pt(x) dxi ~ 0; G)
в неособой точке функции Р, не все равны нулю. Если форма ш замкнута, то
распределение G) интегрируемо. Действительно, локально имеем ш = <LH и уровни
Н = const задают слоение. Если /(х) — всюду не нулевая функция («интегрирующий
множитель») и форма /(х)ш замкнута, то распределение также интегрируемо. В самом
деле,.уравнение Пфаффа /(х)ш = 0 эквивалентно ш = 0, так как / ф 0.
Замечание. Более общо, можно сказать, что слоение коразмерности 1 задается в каждой
окрестности Uj из некоторого покрытия многообразия М уравнением uij = 0 вида G), а
в пересечениях U{ П Uj имеем Д,(г)ш; = uij, где Д,- Ф 0.
Далее, заметим, что если d(/w) = 0, то йш = - (-j-) А ш. Отсюда мы имеем два
вывода: 1) du делится на ш; 2) ш Л du = 0.
Задача. Докажите, что условие интегрируемости (неособого) распределения ш — 0
эквивалентно любому из условий:
1) дш делится на ш;
2) iii Л йш = 0.
В трехмерном пространстве R3 форма ш записывается как ковекторное поле Р = (Ра)
и dai — как rot P; условие 2) приобретает вид
<P,rotP) = 0. (8)
2. Примеры слоений коразмерности 1.
1. Пусть на компактном многообразии М задана замкнутая форма ш, йш = 0.
Уравнение ш = 0 задает слоение коразмерности 1. Рассмотрим базис одномерных
циклов zu...,zq из группы Hi(M) = Ji/Tois, где Tors — кручение. Форма ш
определяет набор «периодов»
j>w = ah j = l,...,q.
Конечно, на универсальной накрывающей М -^М, тг\{М) = 1, форма р*(ш) является
точной:
р*(ш) = df. (9)
Имеется, однако, меньшая накрывающая pt : М\ -> М.. уже на которой форма р](ш)
является точной. Пусть А С тп (М) — максимальная подгруппа группы 7г, такая, что
для любого z 6 А
1ш = 0. (Ю)

220 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем н слоений на многообразиях
Очевидно, А содержит коммутант группы 7г,; в частности, А — нормальный делитель.
Рассмотрим такое накрытие pt : М\ —> М, что
7Г1(М,)=р,,7Г|(М,) = 4С7Г,(М) (И)
(см. § 19). Такое накрытие имеет группу монодромии
В = 0-тГ|(М)=7Г,(М)/А. A2)
Очевидно, что форма р](ш) на М\ имеет нулевые периоды. Поэтому р](ш) — dg,
где д — числовая функция на М\. Имеем
/
- / р'Н-
A3)
Интеграл берется по любому пути на М\, соединяющему точки х0 и х, и не зависит
от пути. Таким образом, исходное слоение на М после поднятия распределения на
накрытие становится семейством поверхностей уровня функции д(х), причем группа
монодромии накрытия свободная абелева.
Примеры. 1. а) Пусть М — тор Т" с угловыми координатами ip\...,ipn, 0 ^ ip> ^. 2ж.
Рассмотрим форму
ш-bidtp, Ь{- const. A4)
Задача. Покажите, что минимальное накрытие pt : Mt -* Г", для которого р\ш = dg,
имеет группу монодромии Z +... + Z, где число слагаемых равно рангу набора (Ь{,..., &„)
над полем Q рациональных чисел.
б) Пусть М — компактная риманова поверхность (одномерное комплексное
многообразие) и ш — голоморфный дифференциал, имеющий локально вид ш = f(z)dz,
где f(z) — аналитическая функция (без полюсов). Рассмотрим дифференциал Rew, где
локально
Re ш = Re (f(z) dz) = Re (и + iv)(dx + idy) A5)
(z = x + iy, f = u + iv). Уравнение Reuj = 0 задает одномерное слоение на М.
Задача. Докажите, что особые точки этого одномерного слоения, если они невырождены,
все являются седлами, и их число равно эйлеровой характеристике многообразия М.
Исследуйте интегральные траектории этого одномерного слоения на гиперэллиптических
римановых поверхностях вида
w1 = P2n+<(z) = H(z - za), za
Голоморфные дифференциалы ш (без полюсов) на этом многообразии имеют вид
Q(z)dz
A6)
A7)
где степень полинома Q не превышает п - 1. Покажите, что для почти всех наборов (za)
и почти всех форм ш вида A7) найдется всюду плотная на М интегральная траектория.
Исследуйте слоения, задаваемые формами, имеющими полюса, т.е. формами вида A7), у
которых Q — рациональная функция. Какие особые точки отвечают полюсам формы ш?
2. Более сложные слоения, которые становятся семействами поверхностей уровня
функции на некоторой (но уже неабелевой) накрывающей, мы фактически уже строили
выше. Рассмотрим пространство единичных линейных элементов Т над компактной
§29. Слоеиия
D
221
Рис. 112.
Предельный цикл Непредельный цикл
а) б)
Рис. 113.
поверхностью М] с метрикой постоянной отрицательной гауссовой кривизны. В связи с
геодезическими потоками определялись два слоения (двумерных) R+ и R. на Т. Слои
слоения R+ состояли из геодезических, асимптотически сближающихся друг с другом
при t -» +оо (для R- — при t -* -сю). Пересечение R+ n R. — одна геодезическая. На
универсальной накрывающей над MJ, которая есть плоскость Лобачевского Т}, слои й+
состоят из геодезических, входящих в одну точку абсолюта при t —* +оо (см. рис. ПО).
Для Т соответствующая накрывающая pt : Т\ -* Т не универсальна — это пространство
единичных линейных элементов над Ь2, стягивающееся к слою 51. Поэтому Х|(Т|) = Z.
Задача. Покажите, используя информацию о замкнутых геодезических, что слоение R+
(шш R-) является семейством поверхностей уровня числовой функции только на таких
накрывающих р2 : Тг -* Т, что Г2 накрывает Т\. [Напомним структуру группы 7г,(Г).
В ней имеются образующие а,,..., ад, Ь,,..., Ъд, г и соотношения
»rV = -
Ь,г = тЪ{
A8)
(см. §24). Группа монодромии накрытия Г,-»Г совпадает с группой тг\(М]) = тг,(Т)/(т).
Это — неабелева группа.]
Слоения R+ и Я_ не имеют особых точек. Слои могут иметь разную топологию:
очевидно, что слой R+ стягивается к геодезической 7 при t -» +00. Поэтому R+ ~ R2,
если геодезическая у непериодична, и R+ и S1 x R1, если она периодична. (Перио-
(Периодических траекторий при этом лишь счетное множество, как и классов сопряженности
В 7Г,(М,2).)
Замечание. Наличие пары слоений R+ и Д_ с указанными выше свойствами является
характерным для геодезических потоков на компактных пространствах отрицательной
кривизны и некоторых других. Это свойство является чрезвычайно важным в качественной
теории динамических систем; оно приводит к ряду замечательных следствий, которые
мы здесь не обсуждаем.
3. Укажем геометрически простой пример двумерного слоения (Риба) в запол-
заполненном торе D2 х S[, у которого граничный тор Т2 = d(D2 x S*) является целым слоем^.
Рассмотрим цилиндрическую область U С R3: -сю < х < сю, у +z2^l, U = D2 xR1
(рис. 112). Слои, лежащие внутри цилиндра, получаются друг из друга сдвигом х —» х + a,
где a — любое число. Граница также есть слой. Слои инвариантны также относительно
преобразования
у —* —у, ^ —> —z, х —> х.
Слоение получается из рис. 112 вращением в плоскости (у, z) вокруг оси х.
Производя отождествление (x,y,z) ~ (х + 1,у, г), получим слоение Риба в D x S . Так
как граница d(D2 x S1) есть слой — тор Г2, то можно из двух слоений Риба построить
слоение на сфере
¦ 53 = (D2 х S[) U E1 х D2),
склеивая их по границе.

222 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений иа многообразиях
Для всех xGl^
близких к точке хя=0,
имеем: R()
а)
— —"
Rr(x)^x для х>0,
Ry(xJx для х<0;
х — точка отрезка I=D
б)
Рис. 114.
Укажем важные топологические инварианты слоения — «предельные циклы» и
«исчезающие циклы». Рассмотрим слой W fc-мерного слоения на компактном п-мерном
многообразии М, точку хо ? W и элемент у группы tti(W,Xq), представленный
гладкой замкнутой кривой у на слое. В каждой точке х G у построим трансверсальный
k
к W диск D" , гладко зависящий от точки х (рис. 113 для к — п — 1). Пересечения
1 представляют собой кривые, дающие
близких слоев Wy с семейством дисков
отображения «переноса вдоль 7»,
щ ¦¦ опх;к
A9)
Легко видеть, что отображение Щ не меняется при деформации семейства
дисков D"~k и деформации кривой у, где точка х0 неподвижна (размер дисков мал).
Возникает отображение 7 ^ Rj группы K\(W, Xq) в группу «ростков преобразований»
трансверсального диска D"~k в себя, определенных в достаточно малой окрестности
нуля, размер которой несуществен. Представление у *-* Щ называется «фуппой
голономии» слоения на слое W. Если у € Trt(W) таково, что IL, ф 1, то 7 называется
предельным циклом слоения. В особом случае к = п — 1 имеем отрезок D"~k — I;
точка х0 = 0 разделяет отрезок / на две части. Поэтому здесь для гладких слоений
возможны две ситуации (рис. 114).
В случае а) цикл у называется двусторонним предельным циклом слоения.
В случае б) цикл у называется «односторонним» предельным циклом. Так как гладкость
отображений R1 определяется гладкостью слоения, то в аналитических слоениях
коразмерности 1 случай б) невозможен.
В примерах слоений выше мы имели следующие ситуации (проверьте!):
1) если неособое слоение задано замкнутой формой dw = 0, ш = О, то
предельных циклов оно не имеет;
2) для слоений R+ и Д_ (на пространстве Т линейных элементов компактной
поверхности) неодносвязные слои бывают лишь с 7Ti (W) = Z; при этом образующая
группы tt\(W) = Ъ есть двусторонний предельный цикл слоения R±;
3) для слоения Риба в заполненном торе D2 x S1 на граничном торе Т2 имеется
тг}(Т ) = Z ©Z с образующими 71 и 72 (см. рис. 112); образующая 71 есть предельный
цикл «изнутри» заполненного тора; образующая 72 не является предельным циклом
«изнутри» области.
Для слоения на сфере 53 = (D2 x S1) и E1 х D2), полученного склейкой
двух слоений Риба, оба цикла у\ и 72 на торе Т являются «односторонними
предельными циклами». Таким образом, склейка этих двух слоений не может быть
§ 30. Вариационные задачи с высшими производными
223
аналитической (хотя и может быть бесконечно дифференцируемой). Если элемент
7 6 Ti(W) не является предельным циклом (т.е. если Щ = 1), то его можно «сдвинуть»
на достаточно близкие слои — он останется замкнутой кривой на близких слоях. (Если
к — п — 1, то достаточно, чтобы у не был предельным циклом с одной стороны, и его
можно сдвинуть в эту сторону.)
Определение 2. Элемент у 6 7T](W) называется исчезающим циклом слоения, если сдвиг
на любой достаточно близкий слой делает его гомотопным нулю на этом слое,
в то время как у ф 1 в 7T|(W).
Например, для слоения Риба (см. рис. 112) имеем W = Т2. Элемент 72 можно
сдвинуть на слои внутрь области D2xS] и сдвиг будет гомотопен нулю на всех близких
слоях (все близкие слои диффеоморфны К2).
Замечание. Известны следующие факты: а) любое гладкое слоение коразмерности 1 на 53 имеет
односторонний предельный цикл и поэтому неаналитично. б) Любое гладкое слоение
коразмерности 1 на S2 имеет замкнутый слой, диффеоморфный Т2 и ограничивающий
область D2 х S1 со слоением Риба. в) Если универсальная накрывающая М трехмерного
многообразия М нестягиваема и не диффеоморфна S2 x R, то любое слоение коразмер-
коразмерности 1 на М имеет нетривиальные исчезающие циклы, г) Если слоение коразмерности 1
на трехмерном многообразии М не имеет предельных циклов, то найдется абелева
накрывающая pi : М\ -» М такая, что М, = W x R'(x) и слои слоения на М, —
это поверхности х = const. Таким образом, М = W x R/Z ф ... ф Z. Топологически
эти слоения устроены так же, как слоения, задаваемые замкнутой невырожденной
1-формой (см. выше). Этих фактов мы не доказываем.
§ 30. Вариационные задачи с высшими производными.
Гамильтоновы полевые системы
1. Гамилътонов формализм задач с высшими производными. На любом много-
многообразии в принципе может быть поставлена вариационная задача отыскания экстрему-
экстремумов величины S = J Lit, где лагранжиан L является скалярной функцией не только
скорости v = х, но и высших производных по времени: локально, в области координат
х\...,хп будем иметь L = L(x, х, х,... ,х<т'). Пусть v° = -^-. Следующая лемма
показывает, что в этой ситуации также возникает уравнение Эйлера—Лагранжа.
Лемма 1. Уравнение 65 = 0 эквивалентно следующему уравнению Эйлера—Лагранжа:
(D
.Доказательство леммы производится обычным интегрированием по частям. Имеем
B)
Здесь предполагается, что вариация 6x"(t) бесконечно дифференцируема и
обращается в нуль вне избранной малой окрестности. Далее по определению
vtMp.e.M
C)

224 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях
Интегрируя q раз по частям слагаемое с множителем Sv°(t), получим
(.4)
Отсюда, как и в §31 тома I, ввиду произвольности вариаций 6ха следует
уравнение A).
Лемма доказана. ¦
Величина
называется вариационной производной.
Замечание. Для лагранжианов в теории поля мы уже встречали вариационный принцип
Гильберта для уравнения Эйнштейна, в котором
'¦ = j Ryf
и R зависит от полей даъ(х) со вторыми производными. Однако здесь вторые производ-
производные входили линейно. Можно избавиться от них с помощью несущественных добавок
под интегралом. Кроме того, все другие лагранжианы, содержащие кривизну, также со-
содержали вторые производные. Например, лагранжианы, имеющие тождественно нулевую
вариационную производную, — характеристические классы (см. §42, том I и §25).
Таким образом, из уравнений A) видно, что они, вообще говоря, имеют
порядок 2т, где т — число производных в L. Оказывается, имеется некоторый
аналог преобразования Лежандра, в невырожденном случае приводящий систему к
гамильтоновой форме на пространстве размерности 2тп, где и — размерность
исходного многообразия М (теорема Остроградского). Имея в виду интересные
приложения вариационных задач с производными больших порядков, мы рассмотрим
лишь случай п = 1, где мы имеем дело с одной координатой и и ее производными
и',...,и{тК Независимую переменную (время) мы будем далее обозначать через х,
и' = ^. Рассмотрим лагранжиан на прямой
L = L(u, и',... Ут)). E)
Введем переменные
dL
dL
~du~"
dL
dL
Ъ~пг'
dL
dL
(m-I)
F)
dL
Pm =
Пусть
Н(р, q) = L- u'Pl - u"p2 - ...- uim)pm
Определение 1. Лагранжиан L(u,u',... ,и(т>) называется невырожденным, если уравне-
уравнения F) могут быть однозначно разрешены в виде
u - u(p, q), u = u(j>, q),
MBm-I) _ UBm-I
G)
§ 30. Вариационные задачи с высшими производными
Лемлда 2. Если лагранжиан L имеет вид
то он невырожден.
225
(8)
Локазательство. Очевидно, что последнее из уравнений F) в данном случае однозначно
разрешимо в виде
Pm = 2a«
(m)
Для рт-\ имеем
dL
dL
(9)
Заметим, что и" = qa+u a = 0, ...,m-l. Поэтому pm_i = f(qu... ,qm)-2auim+i)
или и(т+1) = ^ + f(qu- • •, 9m)- Очевидно, что так мы решим рекуррентно всю
систему F). Лемма доказана. ¦
Наконец, имеет место
Теорема 1 (Остроградский). Для невырожденных лагранжианов уравнение Эйлера—
Лагранжа эквивалентно системе Гамильтона
dH dH
Ча = -^—, Pc = —^-z, a = l,...,m, A0)
dpa dqa'
где Я(р, q) — L - и'р, - u"p2 - ... — «<m)pm.
Локазательство для простоты вычислений дадим в случае m — 2. Пусть L = L(u, и, и").
Уравнение Эйлера—Лагранжа имеет вид
dL d dL d2 dL
du dx du' ds
Канонические переменные таковы:
_ dL d dL
Pl ~~du~'' ~ didl?''
du"
_
dL
dl?
A2)
Потребуем, чтобы из последнего уравнения можно было выразить и" в виде
и" - /(9ь92,?2)
(условие невырожденности лагранжиана). Гамильтониан имеет вид
Я = piu +р2и" - L(u,u',u") =P\q2+p2q2 - L(qbq2,q2) = P\q2 + $(qi,q2,P2).
Из формул A2), очевидно, имеем
, _ , _ _ dH , _ „ _dH
9l _ и _ 92 _ — , 92_tt__,
, _ d f dL \ _ dL _ dH
Pl ~ dx \du") ~ Pl du' ~ dq2 '
Из A1) следует, что ^-J- = Ц; поэтому р\ — -f^, и мы получаем гамильтонову
систему A0) в фазовом пространстве с координатами qi,q2,Pi,P2- Теорема
доказана. ¦

226 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений иа многообразиях
2. Примеры. Пусть С = - Jp + и(х) — оператор Штурма—Лиувилля с гладким
потенциалом и(х). Особенный интерес представляют случаи:
DO
а) и(х) —> 0 при |х| —> со (если J |и(ж)|A + |х|)<2х < оо, то потенциал называют
-00
быстро убывающим);
б) и(х + Т) = и(х) {периодический потенциал).
Рассмотрим пока чисто формально дифференциальное уравнение
Ci> = \i>, i> = i>(x,X\ A3)
где А — «спектральный параметр». Уравнение A3) при замене х(х, А) = —i^^-
приводится к виду Риккати:
**'+ *2 = А - и. A4)
Пусть А — к2. При А —> со уравнение A4) имеет решение в виде формального ряда по
переменной -\А = к:
A5)
Подставляя A5) в уравнение Риккати A4), мы увидим следующее:
а) все Хп(х) являются многочленами от и,и',и",... ,ит с постоянными коэф-
коэффициентами;
б) все X2q(x) являются полными производными и чисто мнимы; это отражает
тот факт, вытекающий из уравнения Риккати A4), что
'¦ " A6)
гае X = X
в) первые из полиномов X2m+i(x) с точностью до полных производных и
несущественных множителей имеют вид
U -1
Xs(x) = у + « + /5,
5 2 ft
- 2tt u
^ 4
2U +
A7)
Введем лагранжианы
?,(«, и', «",...) = Х2Я+з(х) + /2,+з- A8)
Можно показать, что все лагранжианы Lq невырождены. Изучим лагранжианы
Lq = Х2д+з(и!м',м",.¦¦) при q ^ 2. Эти лагранжианы обладают замечательным свой-
свойством: для каждого числа ? ^ 0 найдется дифференциальный оператор Ая поряд-
порядка 2? + 1, коэффициентами которого служат полиномы от и, и,и",... (с постоянными
коэффициентами), такой, что коммутатор [?,АЯ] = CAq-AqC есть оператор умножения
на скалярную функцию fq(u,и',и",...):
ndx.
A9)
Мы не доказываем здесь эти факты в общем виде. При g = 0,1,2 они проверяются
прямым вычислением, которое приводит к следующим результатам:
, д <550 f и2 д
[С,Аа] = СА0 - АаС = /о = и' = — —f-, So = / — Ac, Ao = - —;
дх 6и(х) J 2 дх
§30. Вариационные задачи с высшими производными
[?, А,] = ?Л, - АХС = /, = 6W - и" = А ^-,
дх 6и(х)
д д
227
5, = / ( =г
д SS2
дх 6и(х)'
S2 = I L2dx = / (у
у - \и2ч"
dx,
Таким образом, можно составить «уравнение коммутативности»:
[C,Ag + ciAg-1 + ...+c4Ao] = 0. B0)
Еще в 20-х гг. было открыто любопытное свойство коммутирующей пары операторов:
они связаны алгебраическим соотношением ЩС,А) = 0, определяющим некоторую
риманову поверхность. Уравнение коммутативности является лагранжевым (это —
современное наблюдение):
д 6S
B1)
Окончательно имеем уравнение коммутативности в виде
SS
—— = 0, где S = S4 + c,5,_, + ... +c,So + c,+,5_,,
0U\X)
причем 5_i = -Judx. Исследуем это уравнение при q ^ 2. Здесь лагранжиан L
зависит от и,и',и": L — L{u,u',u"). Итак, имеем лагранжианы
(А) Ь = 10 + с,1_! =2
с1и;
(Б) L — L\
(В)
+ с2и;
+ c2Lo + c3L_i = —— -и и + -и + С| I — + и )+ с2и + с3и.
Уравнение коммутативности
принимает следующий вид:
С]
(А) «=-—, если 9 = 0,
6и(х)
1
Ldx-0
B2)
(Б) и" = .
или
, -V = и3 +
дх
+ cxu
х- ха
J ч/^~
du
== B3)
+ С] и2 + с2и + d
(удвоенная эллиптическая функция Вейерштрасса 2р(х)), если q = 1. Делая замену
и —+ и + const, мы без ограничения общности можем считать С\ = 0.
(В) При 9 = 2 систему удобно записать в гамильтоновой форме, следуя F) и G):
7в*

228 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях
H(p,q)=L-upi-ul'pi- ... -и
(т)р
дН
Р=-1ГГ' 9=^Г- B4)
дН
Для интегрирования необходим еще один интеграл. Оказывается, в уравнениях
коммутативности B1) имеется весьма интересная «скрытая симметрия», приводящая к
полной интегрируемости.
3. Гамильтоиов формализм полевых систем. При отсутствии диссипации энергии
и термодинамической необратимости физические системы являются «консервативны-
«консервативными». Современные представления о физически осмысленных системах состоят в том,
что консервативные системы должны быть гамильтоновы. Однако, как показывают
примеры, гамильтонов формализм может быть нетривиальным, не сводящимся к
лагранжеву формализму. Дадим здесь некоторые сведения о теоретико-полевом га-
мильтоновом формализме. В его основе, как и в конечномерном случае, лежит важное
понятие «скобки Пуассона». Рассмотрим далее функциональные пространства, состо-
состоящие из С00-гладких функций «J(x',...,x") от и переменных, не уточняя их области
определения и граничных условий. При этом будем использовать такое соглашение,
что интеграл по всему пространству /(...) d"x от полной производной (полной дивер-
дивергенции) всегда равен нулю в этом формальном исчислении, так как мы не обсуждаем
граничных условий и все вариации финитны.
Скобка Пуассона определяется для функционалов от полей и\...,ит. Однако,
следуя принятому в теоретической физике формализму, ее удобно записывать через
«точечные функционалы», сосредоточенные на одном из полей в одной точке.
Формально определяем скобку Пуассона как операцию {,}, задаваемую формулой
где кроме обычных i,j имеются непрерывные индексы х,у. Скобка Пуассона должна
быть линейна по каждому аргументу, должна обладать свойством Лейбница B8.7),
быть кососимметричной и, наконец, удовлетворять тождеству Якоби B8.8) (см. § 28).
Напомним, что тождество Лейбница состоит в следующем: {fg, h} = f{g, h} +
g{f, h}. Пусть J = J P(u, V«,...) d"y — произвольный функционал. Вычислим скобку
Пуассона {u'(x),J}. Ввиду линейности имеем
{«'(х), J PdTy} = yV(x), Р(у)} <Гу,
д
Пусть далее для упрощения обозначений в вычислениях рассматривается случай одного
поля и и одной переменной х, хотя это и не важно. Из свойства Лейбница вместе с
линейностью вытекает
ЭР ЭР дР
{и(х), Р(у)} = {«(х), и(у)} —(у) + {и(х), и'(у)} —(у) + ...+ —
Имеем
ди
{и(х),Р(у)} =
пк
Так как (fg)' = f'g + fg', окончательно получим
§ 30. Вариационные задачи с высшими производными-
или
{п''(х), J} = / {«'(*), «*(»)} y~ <f у.
229
B6)
Формула. B6) вернадля1 любого числа полей и любого числа переменных: Доказательство
полностью аналогично.
Из формулы B6) вытекает такая формула для скобки пары функционалов J\,Ji'.
B7)
где
SJ = I —:—5uJ'(x)d"x
J 6u)(x)
(по определению все вариации би3 (х) финитны).
Определение 2. Скобка Пуассона B5) называется локальной, если она задана конечной
суммой
К(х), в» (у)} = Fij(x, у) = V ВЦ дк 6(х - у), B8)
где к = (кь...,к„), kj ^ 0, дх = д*'х ... дк"х, dix = д/дх3. Символ 6(х - у) =
п
Yl S(x' - у') представляет собой обычную ^-функцию (ядро единичного опера-
оператора)
г
f(xM{x-y)dnx = f{y),
f(x)dkx8(x-y)dnx= (-l)*1+"+t"-0*
Мы воспринимаем здесь все эти символы формально-алгебраически, не обсуждая
функциональных пространств. Набор коэффициентов В/; должен зависеть от полей и
только в точке х и от конечного' числа их производных в той же точке («принцип
локальности»).
Обозначим через А дифференциальный оператор
где сумма считается конечной. Из формулы B6) имеем
\U (X), J)— I \U(X),U
8n>(y)
dny =
где A* — сопряженный оператор, {v{x)dj)* = -dj(v(x)...). Учитывая косую симметрию
скобки Пуассона А*'= —А,, получаем
B9)
Аналогично для пары функционалов в силу B7) верна формула
S Зак. 8097 {J], J-Л
:А>3 тттт d"xi
и'(х) 8uJ(x)
C0)

230 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях
где интегрирование по у выполняется тривиально в силу свойств <5-функции. Проверка
тождества Якоби для произвольной скобки Пуассона вида C0), заданной матричным
оператором А = (Aij), сложнее. Ясно, однако, что для операторов А, коэффициенты
которых «постоянны» — т.е. не зависят от полей и и их производных (они могут
явно зависеть от а;), — тождество Якоби выполнено. Это — буквальный аналог скобок
Пуассона с постоянными коэффициентами в конечномерном случае.
Простейшие примеры. Постоянные скобки.
1. Лагранжева скобка. Пусть заданы поля рх,..., р„, g1 ,---,q" со скобками
: {q'(x),<f(y)} = 0. ,-.,•,
C1)
Такая скобка Пуассона возникает из невырожденных функционалов вида
Р0 = П= [т$ dnx = У<Pj4* - A) dnx,
Согласно формулам F), G) можно легко обобщить это и на лагранжианы с производ-
производными больших порядков. Если взять гамильтониан
C2)
C3)
C4)
то уравнения Эйлера—Лагранжа приобретут гамильтонов вид (проверьте!)
Компоненты полного импульса
6П
являются генераторами групп сдвигов по координатам а;", если принять их за
гамильтонианы (проверьте!).
2. Уравнение Кортевега—де Фриза (КдФ). Мы имеем одно поле и(х) и скобку
б'(х-у). C5)
Эта скобка обладает «аннулятором» 10, т.е. таким функционалом, что
{u(s),io} = 0, I0 = judx.
Импульс (генератор сдвигов по х) имеет вид
Гамильтониан вида C7) порождает известное уравнение КдФ
C6)
C7)
§ 30. Вариационные задачи с высшими производными
Уравнение КдФ таково:
д 6П
{()П} в сих.
д 6П
й(х) = {и(х),П} = -— -J-— = виих - uzz
ах Su(x)
ах Su(x)
231
C8)
Задача. Докажите, что асе величины A7) порождают законы сохранения для КдФ, т.е.
для 5, = fL4dx в силу КдФ имеем 5, = 0. Докажите, что {5„ 5J = 0, П = 5, + cS0.
Как и в конечномерном гамильтоновом формализме (см. § 34 тома I), основ-
основным нетривиальным свойством скобок Пуассона, для которого нельзя обойтись без
тождества Якоби (кроме остальных, более простых свойств), является следующее.
Пусть имеются три функционала J\,J2,J3 — {J\, Ji}. Они задают три гамильтоновых
векторных поля («потоки») на функциональном пространстве по формуле
^ {-*(«),J.}, «=1ДЗ.
dta
Тогда коммутатор первых двух потоков равен третьему. Если {J\,Ji} = 0, то поро-
порожденные ими потоки коммутируют.
«Аннулятором» скобки Пуассона называют совокупность функционалов, име-
имеющих нулевую скобку с любым функционалом. Невырожденные скобки не имеют
нетривиального аннулятора.
Интересные примеры скобок Пуассона возникают в гидродинамике. Будем
исходить из алгебры Ли ?„ векторных полей в К", состоящей из полей с нулевой
дивергенцией.
Имеем (см. § 23 тома I)
[v,w]k = ь{д^к-widivk,
где v = v'et, w = w'ei, [e{,ej] — 0. На языке структурных констант для набора
компонент — полей v'(x), w^(y) — их коммутатор таков:
- JJ^j(x,y,z)vi(x)wi(y)ekdnxdny,
C9)
поэтому
су(я, у, z) = 6к 6{х - z) 6{(х -у)- 6? % - z) 6j(y - х). D0)
Сопряженное пространство Ь*н имеет своими координатами поля Pj(x), где выражения
(скалярные произведения)
Jpj(x)vj(x)dnx D1)
J
не меняются при гладких заменах переменных а;. Таким образом, величина
Р = (?!,•¦• iPn) с точки зрения теории тензоров является плотностью ковектора,
которая при заменах а;(а;') дополнительно умножается на якобиан J. Будем называть
величину р плотностью импульса. Скобка Пуассона имеет вид
= J
az = pi(y) 6}{х -у)- Pj(x) 6{(y - x). D2)
Сопряженное пространство Х°* имеет вид фактора:
L°n = L*n/(Pj = dj<p),
так как для плотностей вида pj — dj<p имеем
[(д, <p)vjdnx = - f <p(djvj) dnx = 0
s* J J J
D3)

232 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений иа многообразиях
в силу условия djV3 =0 для v G ?".. Уравнения гидродинамики несжимаемой жидкости
с плотностью р = const задаются гамильтонианом
в2
- dnx D4)
на фазовом пространстве ?°*, %>' =:0, при условии р, — pv в евклидовой метрике.
Эти уравнения пишут обычно на всем ?„ в виде системы
Pi = ;pv' = p(vkdk)Vi + -dipv1 + dtP,
diJ = 0, D5)
где P — давление, определяемое из формулы D5).
Для сжимаемой жидкости следует рассмотреть расширение алгебры Ь„ «внутрен-
«внутренними переменными». На языке полей следует добавить новые полевые переменные —
плотность массы р и плотность энтропии s — со скобками
- р(хN{(х - у),
у}, D6)
{s(x),s(!y)} = {p(x),p(y)} = {s(x),p(y)} = 0.
Гамильтониан имеет вид (в евклидовом пространстве)
§ 30. Вариационные задачи с высшими производными
233
Задачи. 1. Покажите, что {щ(х),Vj(y)} = ^(Э;«,- - djVj)/>(x - у).
2. Рассмотрим подстановку («переменные Клебша»)
Pi = pdiif! + sdta
а размерности п = 2. Покажите, что скобки имеют вид (выписаны все ненулевые)
{р(х),ф(у)} = {s(x),a(y)} = Ч* ~ </)¦
Исследуйте вопрос о возможности глобального задания переменных Клебша.
3. Для п = 3 рассмотрим подстановку
р, = pdif + s Э,а + /3 да
со скобками (выписаны ненулевые)
= {s(x),a(y)} = {/3(i),7(i/)} = 6(х - у).
Покажите, что эта скобка Пуассона согласована с D6). Исследуйте «калибровочную
группу» — неоднозначность введения переменных Клебша,р,ф,в,а,/3,7-
4. Пусть, п — 3 ижидкость баротропна, т. е. г0 = ео(р), и в изучаемых процессах энтропия
исключается как полевая переменная. Пусть р, = рд^ + адф. Исследуйте возможность
глобального введения переменных Клебша p,ip,a,p.
Для любого тензорного поля Т(х) можно ввести скобки Пуассона {pi(x),T(y)},
исходя из такого требования «вмороженности»: любой гамильтониан вида
порождает для поля Т(у) уравнение
Т(х) = {Т(х\Пш} = LwT(x\ D7)
'где правая часть является производной Ли тензорного поля Т вдоль поля го.
Дополняя D7) требованием {Т(х),Т(у)} = 0, мы получим расширение алгебры скобок
Пуассона однозначным образом. Особо интересный случай — это магнитное поле
Т = Hij (замкнутая 2-форма в К3). Плотности массы и энтропии — это 3-формы в К3.
Их отношение sp~l — это скаляр в М3. Гамильтониан D8) вместе с указанной скобкой
порождает уравнения магнитной гидродинамики, где поле «вморожено» в жидкость,
— +so(p,s)+ — )dix. D8)
\*-Р СНГ /
Рассмотренные здесь скобки Пуассона являются частным случаем более общих
«дифференциально-геометрических» скобок.
Определение 3. Однородные дифференциально-геометрические скобки для набора
полей и1 (х),... ,и"(х) имеют вид
{и\х), и3(у)} = gij'a(u(x))da8(x - у) + Ь^"(и(а:))«*5(а: - у), D9)
где ul - даик(х), х = x\...,xm, a= I, ...,m, i,j = I,...,».
Неоднородные дифференциально-геометрические скобки задаются формулой
{и\х),и3(у)} = gij'a(u(x))da6(x -у)+ [^'а(и(х))ика + cij(u(x))] 6(x - у). E0)
Функционалами гидродинамического типа естественно называть величины вида
Н
= Jh(u
)dx
= I г
с плотностью, не зависящей от производных. Такие гамильтонианы вместе со скоб-
скобкой D9) порождают уравнения гидродинамического типа
й{ = {и\х),Н} = ^а(и)и{. E1)
Скобки D9), класс функционалов гидродинамического типа и уравнения вида E1)
инвариантны относительно локальных замен переменных и = u(v), не содержащих
производных.
Лемма 3. При локальных заменах и — u(v) все д'3'а (при фиксированном а) преобразуются
как тензоры типа B,0) в и-пространстве, а компоненты Ь'^'а преобразуются как
символы Кристоффеля b'?'a = д"'"^'", если д'^'а невырождена.
Лемма легко следует из свойства Лейбница.
Рассмотрим более детально одномерный по х случай т — 1. Пусть det g'i Ф 0.
Теорема 2. Скобка Пуассона D9) обладает всеми свойствами (включая тождество
Якоби) тогда и только тогда, когда «метрика» д'3 симметрична, связность Т)к
согласована с этой метрикой и имеет нулевую кривизну и кручение.
Следствие. Скобки Пуассона вида D9) при т — 1 определяются одним инвариантом
(локально) — сигнатурой метрики д'3 — д3' ,* det</v Ф 0. Найдутся локальные
координаты в и-пространстве такие, что д'3 — const, bJ.J =0.
Доказательство этих фактов мы не приводим; оно требует некоторых вычислений.
Оказывается, гамильтоновость систем вида E1) для т — 1 вместе с «диагонализуе-
«диагонализуемостью», т.е. приводимостью матрицы а'^(и) к диагональному виду в целой области.

234 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях
достаточна для интегрируемости уравнений Бида E1) по Ливиуллю в некотором точном
смысле. Для случая п — 2 (двухкомпонентные системы) ряд фактов известен еще с
XIX века (по-видимому, начиная с Римана); они сводятся к простому утверждению:
Задача. 1) Докажите, что для функций.! = x(u',u2), t = Ци',и2) уравнения E1) линей-
линейны (преобразование годографа). 2) Докажите, что при п = 2 .система E1) диагонализуется
локальной заменой «(«).
Для числа ;полей п > 2 обобщение метода годографа найдено совсем недавно и
в отличие от классического случая п— 2 существенно опирается на гамильтоновость.
Рассмотрим две коммутирующих гамильтоновых системы вида (.51) для т= 1:
щ = «].(«)«?,
где v'j диагоналвна, v'j — Sjv'(u), vl Ф v2 Ф ... ф vn. Тогда w'j(u) также диагональна
(проверьте!). Следующая система уравнений:
го\и) = у{(и)х + 1, где toj=to''^, E2)
определяет набор функций
u\x,t), ...,un(x,t). E3)
Оказывается, набор функций E3) — решений системы E2) — удовлетворяет уравнению
и\ = v'j(u)u}x. Это и есть обобщенный метод годографа.
Для неоднородных скобок E0) при.т = 1 и условии det</y Ф 0, верна
Теорема 3. Величина с'3 (и) имеет вид
cij(u) = %чк + <#, E4)
где <?1 — const, <% = const в координатах ик, где </v = const, b'l = 0. При
этом с'/? — тензор структурных констант полупростой алгебры Ли с метрикой
Киллинга g'j, а с$ — коцикл на этой алгебре, т.е. верно тождество
#4к + ##+ $? = 0. E5)
Доказательство этой теоремы несложно провести в координатах, где g'3 = const,
Многомерный случай и другие обобщения этой теории мы здесь обсуждать не
будем.
Г л а в а 8
Глобальная структура решений
многомерных вариационных задач
§ 31. Некоторые многообразия общей теории
относительности (ОТО)
1. Постановка задачи. Задача ОТО с точки зрения геометрии состоит в на-
нахождении четырехмерных многообразий М4 с метрикой даъ сигнатуры (Н ),
удовлетворяющей уравнению Эйнштейна
1 8?rG
Rab-2Rgab--^-Tab, (i)
где Таь — тензор энергии-импульса материи. С общей точки зрения имеется лишь
одно ограничение на тензор Taj: если ? = (?") — любой времениподобный вектор,
С?Ь9<а > 0, то должно быть Taj?"?* ^ 0 (условие положительности плотности энергии).
Фактически мы будем рассматривать главным образом лишь так называемый
гидродинамический тензор энергии-импульса (см. § 39 тома I)
Tab = (j> + e)uaub-pgab, B)
важный для отыскании гравитационных полей макроскопических тел; здесь и = (иа) —
вектор 4-скорости, {и, и) 1, р — давление, е — плотность.
Вообще говоря, анализ уравнений A) представляет собой трансцендентно
сложную задачу. Однако в ряде случаев, когда отыскивается метрика с большой
группой движений G, действующей на М4, уравнение A) в удобной локальной системе
координат приводится к сравнительно простому виду, допускающему точное решение
или хотя бы качественное исследование. При этом всегда возникает вопрос о том, в
какой мере полно мы нашли решение: найдено все многообразие М4 или только область
на нем? Простейшим и весьма фундаментальным случаем, когда чисто координатный
подход привел к нахождению лишь одной области на М4, является релятивистский
аналог поля точечной массы — «решения Шварцшильда» (см. § 39 тома I). Дадим
некоторые определения.
Определение 1. Функция f (х) на М4 называется а) времениподобной; б) простран-
ственноподобной; в) световой или изотропной в точке х ? М4, если:
а) 5^^>0.т.е. {V/,V/)>0;
б) /»|?|?<0,т.е. {V/.V/X0;

234 Глава 7. Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях
достаточна для интегрируемости уравнений Бида E1) по Ливиуллго в некотором точном
смысле. Для случая п = 2 (двухкомпонентные системы) ряд фактов известен еще с
XIX века (по-видимому, начиная с Римана); они сводятся к простому утверждению:
Задача. 1) Докажите, что для функций.! = x(u',«2), t = Ци\и2) уравнения E1) линей-
линейны (преобразование годографа). 2) Докажите, что при п = 2 .система E1) диагонализуется
локальной заменой u(v).
Для числа шолей п > 2 обобщение метода годографа найдено совсем недавно и
в отличие от классического случая и— 2 существенно опирается на гамильтоновость.
Рассмотрим две коммутирующих гамильтоновых системы вида (.51) для т— 1:
щ - v)(uLg,
где v'j диагоналвна, v'y— <5]г»'(и), v1 Ф v2^ ... ф v". Тогда toj(«) также диагональна
(проверьте!). Следующая система уравнений:
w\u) = v\u)x + t, где w) = го{6), E2)
определяет набор функций
ul{x,t), ...,un(x,t). E3)
Оказывается, набор функций E3) — решений системы E2) — удовлетворяет уравнению
и} = v'j(u)ui. Это и есть обобщенный метод годографа.
Для неоднородных скобок E0) при.т-~ 1 и условии det(/y ф 0, верна
Теорема 3. Величина cIJ(u) имеет вид
г\и) = 4V + $, E4)
где с%1 = const, с<? = const в координатах и*, где g*' — const, b'? = 0. При
этом cl — тензор структурных констант полупростой алгебры Ли с метрикой
Киллинга д'1, а с? — коцикл на этой алгебре, т.е. верно тождество
c&'cj*+ <?•<:?+ДО =0. E5)
Доказательство этой теоремы несложно провести в координатах, где g'i = const,
b'l = 0.
Многомерный случай и другие обобщения этой теории мы здесь обсуждать не
будем.
Глава 8
Глобальная структура решений
многомерных вариационных задач
§31. Некоторые многообразия общей теории
относительности (ОТО)
1. Постановка задачи. Задача ОТО с точки зрения геометрии состоит в на-
нахождении четырехмерных многообразий М с метрикой даь сигнатуры (Ч ),
удовлетворяющей уравнению Эйнштейна
1 8?rG
2 <Г
где Таь — тензор энергии-импульса материи. С общей точки зрения имеется лишь
одно ограничение на тензор Toj: если ? = (?") — любой времениподобный вектор,
С?Ь9аЬ > 0, то должно быть ТаьС?Ь ^ 0 (условие положительности плотности энергии).
Фактически мы будем рассматривать главным образом лишь так называемый
гидродинамический тензор энергии-импульса (см. § 39 тома I)
Tab-(p + ?)uaub-pgab, B)
важный для отыскании гравитационных полей макроскопических тел; здесь и = (иа) —
вектор 4-скорости, {и, и) — 1, р — давление, е — плотность.
Вообще говоря, анализ уравнений A) представляет собой трансцендентно
сложную задачу. Однако в ряде случаев, когда отыскивается метрика с большой
группой движений G, действующей на М4, уравнение A) в удобной локальной системе
координат приводится к сравнительно простому виду, допускающему точное решение
или хотя бы качественное исследование. При этом всегда возникает вопрос о том, в
какой мере полно мы нашли решение: найдено все многообразие М4 или только область
на нем? Простейшим и весьма фундаментальным случаем, когда чисто координатный
подход привел к нахождению лишь одной области на М4, является релятивистский
аналог поля точечной массы — «решения Шварцшильда» (см. §39 тома I). Дадим
некоторые определения.
Определение 1. Функция f (х) на М4 называется а) времениподобной; б) простран-
ственноподобной; в) световой или изотропной в точке х Е М , если:
а> /*|?1?>0'т-е- <V/,V/)>0;
6) д*|?!? <0, т.е. {V/.V/X0;

236 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
в) даЬ?: |? = 0, т. е. {V/, V/> = 0. Здесь V/ = grad/.
Например, если / (а;) = х", то
df
Скалярный квадрат (V/, V/) мы будем часто обозначать через д11.
2. Сферически симметричные решения.
Определение 2. Многообразие М4 с метрикой Эйнштейна даь называется сферически
симметричным, если оно обладает группой движений G = SO C) с двумерными
орбитами 52. Эти орбиты обязательно пространственноподобны, так как ста-
стационарная подгруппа группы SO C) действует на касательном пространстве к
точке сферы 5 изотропно, в то время как времениподобное направление одно-
одномерно. Факторпространство M4/SO C) обозначим через М2 — это двумерное
пространство параметров, нумерующих орбиты группы. Получаем расслоение
р : М4 -> М2 C)
со слоем 52 = р~1(х), а; ? М2, где S2 — орбиты группы 50C) на М4. На
расслоении C) имеется связность: горизонтальные площадки этой связности по
определению ортогональны к слоям — орбитам 50C) в метрике д^.
Лемма 1. Эта связность тривиальна, т. е. интегрируема.
Аоказательство. Рассмотрим точку у € М4. Пусть Ну С 50C) — стационарная
подгруппа точки у. На орбите группы SO C) неподвижная точка у группы Ну
изолирована. Неподвижные точки группы Ну образуют двумерную поверхность
в М4, ортогональную к слоям. Тем самым мы «проинтегрировали» семейство
ортогональных площадок к слоям (орбитам). Лемма доказана. ¦
Пусть U С М2 — окрестность точки базы х ? М2 с координатами г, R и
метрикой вида
goodT2 + gudR2, gm > 0, дп < 0 D)
(т.е. т и R ортогональны). Такие координаты в области на М2 всегда можно выбрать.
Пусть в, <р — стандартные координаты на сфере 52, в которых <ffi2 = d$2 + sin2 6d<p2 —
метрика единичной сферы, инвариантная относительно SO C). В силу леммы 1 во всей
области p~l{U) С М4 вводятся координаты т, R, в, <р такие, что метрика Эйнштейна
имеет вид
goodT2+gudR2-r2dU2, r = r(R,r), E)
где goo и </п зависят только от (R, т) иг — «размер орбиты». В силу леммы 1
формула E) дает локально общую SO C) -симметричную метрику на М4, так как
метрику базы М2 всегда можно записать в виде D).
При выводе решения Шварцшильда уравнения Эйнштейна A) с Го6 = 0 мы
полагали (пусть с = 1)
r = t, R = r F)
и получили ответ в виде (см § 39 тома I)
a 1
goo - 1 - ¦
G)
Эта формула действует корректно только при г > а («область внешнего наблюдателя»).
Формально можно рассмотреть эту формулу и при г < а. Здесь мы имеем:
§31. Некоторые многообразия общей теории относительности (ОТО)
237
./ <0-
а) функция г (радиальная координата) становится времениподобной: дтт > 0;
б) функция t (временная координата) становится пространственноподобной:
При г -* а из внешней области имеем
а.
(8)
Таким образом, функция t на М вообще не может иметь смысла при г = а.
Функция г на М4, если имеет смысл, является световой при т — а. Впрочем,
формулы G) показывают, что сами координаты t, г, в, <р при г — а не имеют
смысла. Однако координаты т, R на базе М2 можно выбрать иначе, чем в решении
Шварцшильда G). Решая уравнения Эйнштейна в пустом пространстве
или
-R.* - j R9ab = О
Rab = О,
(9)
можем, без ограничения общности, выбрать т так, чтобы </оо = 1- Этот выбор
возможен, поскольку любая метрика на базе М2 может быть приведена к виду
dr2 + gt\dR2, gn < 0. Решение уравнений (9) не вызывает затруднений. Выписывая
символы ГХ- и R^ по общим формулам (см. §§29, 30 тома I), получим уравнения на
параметры и, А, ц (см. A7))
л
2
г -
dtp
— = <р, доо = 1.
—9\\ — ^
dtp
Решение удобно записать в параметрическом виде:
\lR]_
A0)
г 1 /J
а 2 \ а/-
г _ 1 /R2
а~ 2 W "
О ^ п ^ 2тг.
-C0SJ7),
3/2
(я-- 77 + sin 77),
A1)
Устройство полного «многообразия Крускала» М4 показано на рис. 115. При г = 0
орбиты группы SO C) сводятся к точкам.
В этих точках метрика М4 имеет особенность. Мировая линия внешнего
наблюдателя в области I (области Шварцшильда) имеет вид
г = г0 > а,
в = 60,
- оо < t < +оо,
<р = <рй.
A2)
Внешний наблюдатель может получить сигнал из области J/ («белая дыра»), но не
может послать обратно сигнал в II1. Напротив, внешний наблюдатель может послать
сигнал в область II («черная дыра»), но не может получить сигнал из II. Никакая
посылка сигналов из / в I' и обратно невозможна. Нарисуйте самостоятельно световые
конусы на (т, R) -плоскости.
Важным применением решений Шварцшильда—Крускала является задача о
коллапсе сферически симметричной массы (коллапсирующая звезда, или «коллапсар»).
Рассмотрим времениподобную мировую линию -у частиц в координатах т, R (при

238
Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
Г
-а
Мировая
линия
внешнего
наблюдателя
г=а
Рис. 115. Изображена (й,т)-
ллоскость. Заштрихована «бессмы-
«бессмысленная» область т ^ 0. Жирными
линиями показаны кривые уров-
уровня г(Д, г) = const. Пунктирными
линиями показаны кривые уровня
t(R, т) = const. При т = а имеем
\t\ = оо, исключая точку пересече-
пересечения двух линий (еедловую). Здесь
имеется неопределенность — сюда
входят все линии t = const. Точка
г = О, В. = 0 седловая; здесь |р,
jg = 0. На линиях т = а имеем
(Vr, Vr) = 0. Области I и I' изо-
метричны (В. —» — Я); области Л
и ХГ также изометричны (г -> -г).
всех 9, tp) вида, показанного на рис. 116. Это объединение мировых линий 7
при всех 9, tp дает трехмерную поверхность 57 С М4, разделяющую М4 на две
ббласти: А — внешняя и В — внутренняя. Коллапс звезды описывает сферически
симметричное решение уравнений A) со следующими свойствами:
а) даь такое же, как в многообразии Крускала в области А,
Ваь = 0;
б) даь удовлетворяет уравнению A) с гидродинамическим тен-
тензором энергии-импульса B) в области В, где задано «уравнение
состояния» ? — е (р);
в) граница звезды (кривая j на (т, R)-плоскости) пересекает
при Ч —> +оо «яинию горизонта» г = а, на которой дгт = 0; при
t —* —во граница звезды ни разу не пересекала линию горизонта.
Итак, мы должны решать уравнение A) в области В, где ТаЪ Ф 0.
Из сферической симметричности следует, что могут быть ненулевыми
только
Bic. 116.
Г,0,
Го1,
A3)
Выберем сопутствующую систему координат, в которой и = A,0), Tq = Г,0 = 0. Тогда
A4)
и метрика будет иметь вид E).
Замечание. Вообще говоря, сопутствующая система отсчета, в которой временная координата г
ортогональна пространственным координатам R, в, tp, не является «синхронной»,
т.е. зоо Ф 1.
Законы сохранения
= 0 дают: если (/оо = е", </п — -«Л> "г1 — е>*, то
A5)
§ 31. Некоторые: многообразия обще» теории: относисельножтв (ОТО) 239
Из соотношений A<5> следует
de. л
A6)
= ехр|-2 / |ф^Р0г
= ехр{-2 / —?-} ехр^т).
5оо
Выбор функций tp{R) и ф{т) в A6) окончательна фиксирует локальные координаты т, Д
и позволяет исключить с, р из уравнений A).
После вычисления символов Д^ и Г?- в координатах у0 = т, у1 = R, у2 = 0,
jC — ip уравнения A) приобретут вид
а) -
б) _
<r 4
+ - e'A(Ai> + jiu - \(i - 2A - A2 - 2Д - /i2);
A7)
в)
с4
Положим дгт = I - f, ще а = a(r,R). Для решений Шварцшшшда мы имели
а — const = 2MG/c2, где М — масса тела. В общем: случае уравнение
„ / т>\ м /_ r>\ / t O\
Л\ТуХЬ) = I yTyJX) \AOJ
задает «горизонт» д" =0, где r(r,R) становится изотропной функцией, {VryVr) =
дтг = о.
Замечание. Уравнения Эйнштейна (см. A7)) после подстановки связи A6) с tp = ф = 0 могут
быть получены из лагранжиана «двумерной теории поля»
5 =
где Л = Л (А, ц, А, А, Л', ^') = Т, + Т2 + U,
Формальный тензор энергии-импульса для функционала 5, определенный в § 37 тома I,

240 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
имеет такой вид:
-а ~ ¦ дИ дК
T» A/iTW
ш
\ е"А(
ЭА
afi
Уравнения Эйнштейна A7) сферически симметричной материи с гидродинамическим
тензором энергии-импульса приобретут вид SS = 0 на поверхности связей То' = Tf = 0.
Использование функционала 5 удобно для исследования решений, не зависящих от
г = ? или R = {'. Если А ф 0, А' ф 0, >i # 0, ft ф 0, то уравнения То' = Т? = 0
решаются, и уравнения Эйнштейна A7) сведутся, как мы увидим, к системе первого
порядка B4).
Из уравнений A7) вытекает (проверьте!)
da(T,R) _ 2drUG
«i- 2*L^? A9)
dR ?Г dR c4 '
где ? и р связаны с метрикой соотношениями A6). Так как г — плотность энергии, то
4тг?г2 dr e~x — энергия сферического слоя. Сумма энергий сферических слоев имеет
вид
е x
dr.
Однако, из A9) видно, что интегралом системы является другая величина
J
= J4vsr2dr,
B0)
совпадающая на поверхности связи Го = if = 0 с гамильтонианом двумерной теории
поля с лагранжианом Л (выше). Итак, мы получили «гравитационный дефект энергии»
Дголн Ф/,-
Рассмотрим случай р = 0 (пылевидное вещество). Тогда из A9) и A6) имеем
a-a(R); дж - const.
Пусть дт = 1. По определению имеем (см. A6))
B1)
дт = ехр^ -
de
§31. Некоторые многообразия общей теории относительности (ОТО)
241
где
Отсюда получаем (¦ф (т) = I, дт -
B2)
Мы знаем, что а = -^грг*г = 0 (см. A9)).
Это уравнение интегрируется одной квадратурой и дает известное «решение
Толмена», приводящее либо к коллапсу, либо к разлету пылевидной материи, так как г
не может менять знак при 1 — ° > 0, если метрика неособа. В области вне горизонта
имеем
г = у*(г,Л) = vVr + is'V2! # 0, /г>0. B3)
Отсюда следует, что при отсутствии особенности метрики и плотности энергии
0 < s < со вне горизонта знак величины г меняться не может.
Для общих уравнений A9) при р = ке, 0 ^ к ^ 1, из A6) имеем
2 ,
a=?rr
~,
B4)
1__=Г2?1ТГ _г«г4?*й,
г
если <р = -ф=О. Исключая е, представим уравнения в виде
г =
|r'2r4?2/*+I|)
B5)
r'
0<fc<l.
Таким образом, решение (кроме знака г) полностью определяется заданием r(R, 0)
и а(Д,0). Вне горизонта д" > 0 имеем тот же вывод, что и для р = 0: неизменность
знака г ввиду Ф ^ дТТ > 0.
Вывод. Если метрика и плотность энергии е > 0 не имеют особенностей, происходит
монотонный коллапс (или разлет) материи.
Замечание 7. Более простой вид уравнения B5) имеют в случае «предельно жесткого уравнения
состояния», т. е. при к = 1. Здесь
-- = e(f'-rV).
B6)
Замечание 2. Уравнения B4) при 1р = ф = 0 обладают группой масштабных преобразований:
г -» Аг, a -* Aa, г -» ar,
R-+PR, е - ye, р - 7Р.
где ^ = А-ГГГ,Т = А-2.
Можно искать «автомодельные решения», инвариантные относительно однопа-
раметрических подгрупп этой группы, имеющих вид a = /3s, А = ДТ, 7= ( ~ 4t + •

242 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
Эти инвариантные решения имеют вид
7, а = Д7а,(Л), е = Д~27?,(Л), *=^-
B8)
Уравнения B4) имеют решения вида B8) только при s = j^. В этом случае
уравнения B4) определяют систему обыкновенных уравнений (динамическую систему)
dai 2 / dr] \ SnG
7a, -sA—- =?lTl[jrl -s\ — \ ——,
ал \ ал i с
_
Исследование стационарных решений (не зависящих от т) и решений, не зависящих
от Д, также приводит к динамическим системам, которых мы здесь не приводим.
Постановка краевой задачи для уравнений B4) может быть такова. В начальный
момент т = 0мы требуем выполнения следующих условий:
а) г' > 0, а' > 0 (сферические слои материи упорядочены по радиусу г и е > 0).
б) На краях должно быть г (До) = 0, а (До) = 0
и г —> оо, а —> а0 при Д —> R\. Тогда допустимая
область изменения сопутствующей (лагранжевой) ко-
координаты Д есть До ^ Д < Дь в то время как
0 ^ г < оо. Возможно, интервал по Д также бес-
бесконечен (это несущественно). Уравнения B4) вер-
верны всегда, но эквивалентны уравнениям A7) лишь
при г^О, г' ф 0, г Ф 0. При г -> оо от-
отсюда следует е —> 0, так что интеграл сходится:
0
ao = ^jr J sr2 dr < оо, поскольку ао = .
• const.
R
Рис. 117.
в) При т = 0 должно быть г (Д) = г (Д, 0) > а (Д), Д > До.
Условие в) возникает из требования, чтобы в начальный момент т = 0 вся
материя была наблюдаемой (рис. 117).
3. Аксиально симметричные решения. Рассмотрим теперь аксиально симметрич-
симметричное стационарное решение, описывающее гравитационное поле «вращающейся черный
дыры», — так называемое «решение Керра».
Определение 3. Метрику даь сигнатуры (Ч ) на многообразии М4 назовем
аксиально симметричной и стационарной, если в некоторой локальной системе
координат она не зависит от времени t и угловой (пространственноподобной)
координаты 0 ^ р $С 2п. В частности, на многообразии действует коммутативная
группа движений G = Ш. х S1, где орбиты К х (so) времениподобны, а орбиты
t0 х Sl пространственноподобны.
Решение Керра уравнений A) в пустом пространстве Таь = 0 определяется в
координатах, обозначаемых через г, в, <р, t, формулой (с = 1)
ds2 = dt2 - [dr2 + la sin2 9drd(p + (r2 + a2) sin2 в dip2 +
2тг
Р2
B9)
§ 31. Некоторые многообразия общей теории относительности (ОТО) 243
где р2 = г2 +¦ a2 cos2 в, а = const. Обычные координаты x,y,z G К3 имеют вид
а; = \Jr2 + a2 sin в cos f (p - arctg- J,
у = Vr2 + a2sin0sin(^ - arctg-V C0)
z = rcos0, 0 ^ 9 ^ я-, 0 ^ р ^ 2я\
Таким образом, поверхности уровня г = const, ? = t0 — это сплюснутые по оси z
эллипсоиды. Поверхности 9 = во, t = to — это однополосные гиперболоиды вида
•*_ __ 1 /-5 1\
a2sin20 a2cos20
В частности, координата г может быть отрицательной, как будет видно ниже.
Введем обозначения
Д = г2 - 2тпг + а2,
dt* = dt- 2mr —,
t adr
dip = d(p+ ——.
В новых координатах г, t*, (р*, в метрика B9) приобретет вид (проверьте!):
C2)
ds2 = -— dr2 - p2d62 + (г2 + a2) sin2 9(d(p*J - -^ (а sin2 в dip" + dt*J + (dt*J. C3)
Группа G действует преобразованиями
t* —> t* + const, <p* —* (p* + const.
При a = 0 из формул C3) получим метрику Шварцшильда F), G).
Задача. Покажите, что при m = 0 эта метрика эквивалентна метрике Минковского.
Для ненулевых компонент даЬ метрики C3) имеем (с= 1, G = 1)
|4(-'+"'
4тга
C4)
Как и для решения Шварцшильда, горизонт определяется условием дТТ = 0 или Д = 0:
C5)
Возникает два случая:
1) а > m — корни т± комплексны;
2) а < m — корни г± вещественны и положительны.
Разберем сначала случай 1) (быстрое вращение). Здесь Д ф 0 для вещественных г
и метрика C3) всегда имеет смысл. Горизонт отсутствует, так как дгг < 0 для всех г.

244 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
Всегда имеем дии > 0. Метрика имеет особенности при г — 0, cos2 в = 0 (и любых t*
и fp*). В координатах х, у, z множество особенностей задается уравнением
х2+у2=а2, г = 0, t* любое. C6)
Эта особенность наблюдаема извне (т.е. из области г —» оо) — она «голая». Вне
особенности метрика регулярна. Уравнение д9 v = 0 дает
г2 - Ъпт + a2 cos2 в - Q, г = m ± \/m2 - a2 cos2 в.
Это — «эргосфера». Внутри эргосферы градиент функции <р* времениподобен.
Линия г = const, 9 = const, t* = const координаты <р* являются замкнутыми и
временшгодобиыми в области
C7)
¦ линии г2 — т1< та.
При cos в — 0 это
Рассмотрим теперь случай 2) (а < т). Область внешнего наблюдателя — это
область
(I)
функция г в этой области пространственноподобна. Имеются также области
(II) г_ < г < г+
(г времениподобна),
(III) - оо < г < г_
.00
C8)
C9)
D0)
(г пространственноподобна). Если г-»г+ из области I, то дм —* оо. Поэтому время
внешнего наблюдателя t* имеет смысл лишь в области I. Координата г является
световой при г = г± (на горизонте).
Метрика имеет особенность в области III. В области III цикл изменения <р*
(г — г0 < 0, в = const, t* — const) является замкнутым и времениподобным (проверьте!).
Построение полного многообразия М4 склейкой областей типа I, II, III можно
произвести по аналогии с многообразием Крускала (см. A1)). 1) К области I при г —> г+
могут быть приклеены 2 области типа II («белая дыра» при t —* -оо и «черная дыра»
при t -* +оо, как и для решения Шварцшильда выше); 2) к области типа II могут быть
приклеены: а) две области типа III, где г —> г_, б) две области типа J, где г —* г+;
3) к области типа III могут быть приклеены две области типа II при г-»г_. Склейка
условно рисуется диаграммой (рис. 118).
Координаты в каждой четверке типов I-II и II-III (см. рис. 118) аналогичны
координатам Крускала (см. рис. 115). Аналитически здесь, однако, более утомительно
производить склейку, но она может быть проведена по аналогии со сферически
симметричным случаем. Заметим, что преобразование В, переводящее Vn в Fn+1 и Wn
в Wn+1, является движением. Мы можем поэтому построить «неодносвязное решение
Керра», полагая
Ж4 = м4/в
для любой точки х 6 М4. Набор возможных переходов в будущее по времениподобным
линиям таков:
область (Vn,I) —> область (Wn+\,II) = область (Vn, IT),
область (Wn,II) —> область (Fn, I),
область (Wn,III) -* область (Wn,II) = область (Vn, II).
§31. Некоторые многообразия общей теории относительности (ОТО)
245
Локальные системы
координат Vn, Wn
охватывают
внутренности четверок
область
jf?4\ (тип 11-111)
(пу область W,
Область I
(линии
уровня г)
Область II
(линии
уровня г)
Область III
(линии
уровня г)
Г=—а>
Рис. 118.
Таким образом, в неодносвязном многообразии М** имеются времениподобные
циклы, начинающиеся и кончающиеся в области I внешнего наблюдателя.
Замечания. Решения Шварцшильда и Керра (а случае 2) обладают таким свойством: поверхность
горизонта не является особенностью метрики а М4. Как говорят, в этих решениях нет
«голой сингулярности», которая бы непосредственно могла наблюдаться. Имеются
теоремы, показывающие единственность этих метрик в определенных классах решений
уравнений Эйнштейна Д„4 = 0 с указанным свойством: метрика Шварцшильда —
единственное решение среди статических метрик в координатах х, у, z, t, где до„ = 0,
асимптотически тривиальное при г —» оо и имеющее неособую поверхность горизонта
в (х, 1/,г)-пространстве, вне которых они определены; метрика Керра — единственное
решение среди стационарных метрик got. Ф 0, неособых вне поверхности горизонта. Мы
не приводим здесь доказательства этих важных теорем единственности.
Существует гипотеза, согласно которой всякая коллапсирующая масса конечной
величины асимптотически по времени при t —> оо создает метрику Шварцшильда или
Керра (в области внешнего наблюдателя). При этом предполагается, что начальная
метрика при t = 0 не имела особенностей.
4. Космологические модели. Другой класс задач ОТО связан с построением и
изучением свойств эволюционных моделей, которые могли бы дать определенные
представления об эволюции глобальной метрики Вселенной «в целом». Соответству-
Соответствующие четырехмерные многообразия М4 с метрикой </о* называются космологическими
моделями. Ввиду трудностей, связанных с невозможностью сформулировать какие-ли-
какие-либо универсальные граничные условия для уравнений Эйнштейна в этом случае, мы
ограничимся рассмотрением так называемых однородных космологических моделей,
где предполагается, что метрика (в данный момент времени) в некотором смысле
одинакова во всех точках пространства. Более точно это формулируется так.
Определение 4. Четырехмерное многообразие М4 с метрикой д„ь, удовлетворяющей
уравнению Эйнштейна A), называется однородной космологической моделью, если
задана группа движений G, действующая на М4 (пусть слева) и имеющая
трехмерные пространственноподобные орбиты.

246 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
В дальнейшем всегда выбираются локальные координаты такие, что х1, х1, я3
направлены касательно к орбитам группы G (они называются «пространственными»),
а временная координата xq направлена трансверсально к орбитам группы G. Если
координата х° = ct ортогональна к орбитам и </оо = 1. то это — синхронная система
отсчета. Мы будем в основном рассматривать однородные модели в синхронной
системе отсчета. Наиболее общие однородные модели имеют трехмерную группу
движений G (классификация их алгебр Ли приведена в §24 тома I).
Совокупность орбит образует одномерное многообразие («временная ось»), и
имеется естественное отображение
р : М4 - N1
слои p~\t0) которого — орбиты группы G. Выбор временной оси, например син-
синхронной системы отсчета, вводит связность в это расслоение, причем кривизны нет
ввиду одномерности базы. Пусть группа G трехмерна. В этом случае удобно выбрать
представление метрики многообразия М4: рассмотрим левоинвариантные векторные
поля (не путать их с генераторами группы G) Хо, Х\, Хг, Хз, где Хо трансвер-
трансверсально, а Х\, Xji Х3 касательны к орбитам группы G. Наложим требования, чтобы
коммутаторы векторных полей Ха имели вид («,/3 = 1,2,3):
[Хо, Ха] = О, [Ха, Х„] = с^Х7; D1)
здесь с*ар — структурные константы алгебры Ли группы G, не зависящие от времени.
При этом (в синхронной системе отсчета) мы требуем, чтобы Хо было ортогонально
орбитам группы и </оо = 1 • Метрика описывается скалярными произведениями
9а/з = (Х„, Хр), дт = 1, дОа = О при а = 1,2,3. D2)
Ввиду однородности модели метрика gap(t) зависит лишь от времени t, где линии
времени идут вдоль поля Хо.
Уравнения Эйнштейна с гидродинамическим тензором энергии-импульса ТаЬ =
(р+?)иащ—рдаь приобретут вид системы уравнений второго порядка на симметрическую
матрицу gap(t), если в них исключить u, e, p посредством законов сохранения и связей
V.2? = 0, {«,«) = 1, р = р(с). D3)
Как и ранее, считаем, что р = ке, где 0 < к < 1 (особенно интересны случаи р = 0
и р — е/3, где Т" = 0). После этого исключения получим динамическую систему
в фазовом пространстве (gap(t), gap(t)) размерности 12, точнее, в области этого
пространства, выделяемой условиями:
1) 9ap?"f? < 0 (пространственноподобность орбит);
2) ?(дар,дар) > 0 (положительность энергии).
Эту область мы назовем «физической областью» в фазовом пространстве
(дар,дар) — К12 и будем обозначать ее буквой 5. Уравнение Эйнштейна будет рассма-
рассматриваться как динамическая система в физической области 5 фазового пространства.
Каждая ее интегральная траектория представляет метрику gap(t) и тем самым од-
однородную космологическую модель с данной (трехмерной) группой движений G,
т.е. многообразие М4.
Среди общих однородных моделей выделяются такие метрики gap(t), для которых
истинная группа движений G, т. е. полная группа движений многообразия М4, является
более широкой: G э G. Рассмотрим максимальную группу движений G Э G, имеющую
те же самые орбиты, что и G. Таким образом, группа G является группой движений
на каждой орбите М3(?) группы G:
M\t) = G/H,
§31. Некоторые многообразия общей теории относительности (ОТО) 247
где Я — стационарная подгруппа точки. Очевидно, что пересечение G П Я трехмерной
группы G с Я дискретно. Для размерностей имеем
dim G - 3 + dim Я.
Замечание. В принципе возможен случай, когда однородная модель М4 с группой G размер-
размерности > 3 имеет трехмерные пространственноподобные орбиты M3(t), но G не имеет ни
одной трехмерной подгруппы G, транзитивно действующей на М U). Мы этот случай
рассматривать не будем.
Задача. Найдите все группы движений трехмерных многообразий, не содержащие
транзитивных трехмерных подгрупп.
В общем случае, зависящем от максимального количества параметров и по-
покрывающем все наиболее интересные примеры, имеется трехмерная транзитивная
подгруппа G С G.
Если размерность dim G > 3, то метрика gap(t) однородного пространства M3(t),
определяемая в силу однородности матрицей скалярных произведений в одной точке
(при данном t), не может быть произвольной. Действие группы Я С G, сохраняющее
эту точку, накладывает ограничения на матрицу gap(t), а также на матрицу gap(t).
Так как gapCf? < 0. группа Я является подгруппой группы 50C) Э Н. Поэтому
возможны два случая:
а) Я = 50C) (полная изотропия);
б) Я = 50B) (аксиальная изотропия в одной плоскости).
Следовательно, размерность группы G может быть равна либо 6 (случай а)),
либо 4 (случай б)).
5. Модели Фридмана. Однородными и изотропными моделями (или моделями
Фридмана) называются модели с группой G размерности 6 (случай полной изотропии).
Эти модели легко изучаются и имеют фундаментальное значение в релятивистской
космологии. Астрономические наблюдения показывают, что на современной стадии
Вселенная «в среднем» имеет однородное и изотропное распределение материи, если
провести усреднение по достаточно большим масштабам, которые тем не менее пре-
пренебрежимо малы по сравнению с Метагалактикой, т.е. наблюдаемой сегодня частью
Вселенной (размер Метагалактики ~ 1028 см; говоря об изотропии в распределе-
распределении материи, следует провести усреднение по масштабам «скоплений Галактик»,
т.е. 1025 —1026 см. Однако анизотропия в реликтовом излучении пока не найдена;
напомним, что на более ранних стадиях эволюции Вселенной плотность энергии
реликтового излучения превосходила плотность материи).
Имеется всего три однородных и изотропных односвязных трехмерных много-
многообразия М2 с группой G размерности 6. Это — сфера 53, евклидово пространство К3
и пространство Лобачевского L (ср. §§9,10 тома I, где рассмотрен двумерный случай).
Метрика этих пространств может быть записана в виде (t — параметр):
dl\t) = a2(t)dl20 = \ a2(d'x2 + x2 <ш у*. „,
[a2(dx2 + sh2Xdu\L')), t44)
dn2 = d92+sin26d^2,
где a2 — масштабный множитель, du2 — обычная метрика единичной сферы 52.
В соответствии с этим метрика многообразия Л/4 в синхронной системе отсчета может

248 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
быть записана в виде
ds1 = cdt2 - dl\t) = (dxV - a\t) dli D5)
Далее, скорость материи и обязана в полностью изотропном случае быть
тривиальной,
« = A,0,0,0),
так как ненулевая пространственная скорость нарушала бы полную изотропию. Введем
новую временную координату т], полагая
cdt = adr). D6)
После этого имеем
ds2 = a(r})(dri2 + До). D7)
Вычисляя До и R в случае сферы 5 по общим формулам (см. §30 тома I),
имеем
a'-du В- 6
a - —, R-- —
I 3 ,2 и
i = ^(<* -ao ).
Так как и — A,0,0,0), имеем
Уравнения Эйнштейна сведутся к одному уравнению
В случае сферы 53 это дает уравнение
1 _^ о
- -Л— —-т-10.
2 с4
8irG
_
3
_
D8)
Из соотношения
VX = О
для всех трех случаев 53, К3, I? имеем
de
или
31по= -
= 3<flno,
tfe
D9)
+ const.
Зная уравнение состояния р(е), из D8) и D9) получаем полное решение задачи об
определении метрики ds2, т.е. функции a(t).
Для случая р = 0 имеем е = fie2, где \х — плотность массы. Величина М — /to3
является интегралом уравнений D8).
1) В случае сферы 53 получаем
o=ao(l-cost?),
t —
При малых временах, т.е. при т) —> О,
t~ — G?-SHIT?).
а-2
E0)
(проверьте!). При о —» 0 метрика имеет особенность.
§31. Некоторые многообразия общей теорни относительности (ОТО)
2) В случае I? аналогично получаем
249
31na = -
de
+ const,
E1)
а = ao(chrj — 1), t=—(shrj — rj).
с
Заметим, что при
тику E0):
0 мы имеем для плотности массы прежнюю асимпто-
асимптоГ2
3) В случае I3 имеем (р = 0)
31na = - / Ьconst,
J P + e
3 /da\2 я
e = "I A7) ' ^a = const'
a2 V dt )
a- const <2/3.
E2)
При т? —» 0 имеем опять
6irG
¦Г2.
Для уравнения состояния р = е/3 легко получить аналогичные формулы, но
интеграл здесь имеет вид ео4 = const. Считается, что при е —> оо надо пользоваться
именно этим уравнением состояния вместо р = 0. Отметим в виде задачи интересное
свойство.
Задача. Докажите, что метрика изотропной модели «конформно плоская» (т.е. кон-
конформно эквивалентна метрике Минковского).
Световые лучи во всех трех случаях, как легко видеть, распространяются по
линиям (tp = в — const)
X = ±т? + const. E3)
В силу нестационарности метрики частота света ш не является интегралом
движения; вместо этого вдоль луча верно равенство ша — const.
Задача. Рассмотрите уравнение Максвелла в изотропной метрике вида ds2=a(t))(dtJ-dl2l),
где a(t)) — произвольная функция. Найдите решения (приближенные) вида
A(x,t) = е"Ч{х), cdt = adT), ш>а~'.
Докажите, что ша = const.
Если ш0 — частота в момент испускания щ = г] - х света, то в момент
наблюдения т] имеем
ш=ш°~^г- E4)

250 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
а = яоA — cos г])
t = -j?(t) — sin rj)
Графики величины о(?;) в трех рассматриваемых случаях
(можно также заменять t —> -i, 77 —> -tj) имеют вид,
показанный на рис. 119. Астрономические наблюдения
показывают, что Вселенная расширяется: непосредствен-
непосредственно наблюдается величина
Н = с
a'(j)) _ d In о
E5)
г-1
размерность времени и сегодняшние ее оценки таковы;
Н
-1
13-10 лет ±25%.
E6)
Отсюда следует, в частности, конечность времени от
момента о = 0 до момента t0, где 1/J5T имеет сегодняшнее
значение E6). Мы можем получить соотношения
- 1)
. ао . . . 1
= —fa- sin т?) =—
С Н
Н
1 sin77G?-sin?7)
Н A-COS7?J
E7)
Н
Так как | < /(т?) < 1, 0 < д(т)) < |, во всех случаях приходим к общему выводу:
время t0 от момента о = 0 до сегодняшнего значения Н не превосходит Н~1 (в изотропной
модели Фридмана с р = 0). Рассмотрение уравнения состояния р = е/3 не меняет
существенным образом этих оценок (проверьте!).
Задача. Покажите, что для /г > — имеем случай S3, для /г = ~ имеем случай R3,
для ft < !^j имеем случай I? (р = 0).
6. Анизотропные вакуумные модели. Возникает естественный вопрос: в какой
мере важнейшие выводы, сделанные при рассмотрении однородных и изотропных мо-
моделей, сохраняются в более общих решениях. С этой целью рассматриваются различные
классы возмущений изотропных моделей. Общие однородные (но анизотропные) мо-
модели — это единственный класс «больших» возмущений изотропной модели, который
является к настоящему времени достаточно хорошо изученным. Наиболее важными
вопросами являются следующие:
1. Имеется ли особенность в общем решении или это специфика изотропной
модели?
2. Можно ли утверждать в каком-либо смысле, что достаточно общие начальные
состояния для метрики в процессе эволюции приведут к «изотропизации», которая
наблюдается на современной стадии?
По поводу существования особенности легко доказать следующее: пусть
0 = det@op(i)) и da = ^gd^x — элемент объема на М4. Из уравнений Эйн-
Эйнштейна вместе с положительностью плотности энергии Too ^ 0 легко выводится, что
существует точка t0, в которой g(ta) = 0. Для некоторых однородных моделей вывод
этого утверждения будет дан ниже. Однако это еще не означает наличие особенности
§ 31. Некоторые многообразия общей теории относительности (ОТО)
251
9аЬ=
- _ -
9аЬ~9Ьа-
E8)
для многообразий М4 с метрикой <ju сигнатуры (-1 ). Мы работали в синхрон-
синхронной системе отсчета, где «пространственная» часть — это орбиты группы и время t
ортогонально к орбитам.
Рассмотри новую временную координату х$, не ортогональную (но трансвер-
сальную) к орбитам, при переходе к которой метрика даь приобретет, например,
вид
- - - л л
500 5<Н « «
д 10 §п дп ди
0 521 522 523
0 hi 5з2 9и,
Пусть 5oi Ф 0- Можно выбрать, например, «световую» координату ж0, для
которой 5оо = 0. Имеем, строго говоря, новые левоинвариантные поля Ха, тоже
удовлетворяющие соотношениям D1). Если Хо — световая геодезическая, то 500 = 0.
да] = -у = COllSt. ЕСЛИ ПРИ t = t0
то ограничение метрики даъ на орбиту М3(*о) будет вырождено. В этом случае, если
перейти к синхронной системе отсчета, будем иметь д = 0. Такая ситуация называ-
называется «фиктивной особенностью» и может возникать уже в аксиально симметричных
возмущениях изотропной модели.
В отличие от изотропного случая для однородных анизотропных моделей имеется
ряд нетривиальных «вакуумных» решений, т.е. решений, в которых е = 0. Приведем
простейшие из них.
1) Решение Казнера. Здесь G = Ж3 (тип I по классификации п. 5 §24 тома I);
метрика имеет вид (с = 1)
; з
Выполнение следующих двух условий равносильно уравнению Эйнштейна в
пустом пространстве:
Задача. Покажите, что метрика Казнера E9) для р^ = 0, р2 — 0, рз = 1 заменой
координат приводится к метрике Минковского. Таким образом, в этом случае особенность
t = 0 «фиктивна». Здесь поля Ха коммутируют и дают координатные оси (х"). Как
выглядит в пространстве Минковского действие группы G = R ?
2) Решение Тауба—Мизнера. Здесь G = 51/B) (тип IX). В синхронной системе
отсчета мы будем считать матрицу gap(t) диагональной: дар = ql6ap. Пусть д, = о,
q\ = 6, q\ = с. Случай Тауба—Мизнера выделяется условиями:
а) аксиальная изотропия, а = b (здесь полная группа G четырехмерна и
изоморфна 51/B) х 50B));
б) ? = 0.
Уравнения Эйнштейна Rat = 0 для такого случая интегрируются точно. Решение имеет
вид (в синхронной системе отсчета)
- 6]) 2 ^р d.T \
1 с = , — = ——.
5j) ch Bрт + О]) dt abc
2 2 _ Р
~ 2
F0)

252 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
Пространственные орбиты — это М3B) = SUB) = S3. При t -+ О линейные
размеры на орбите по одному направлению стягиваются к нулю, как это видно из
формул F0). Это означает, что в синхронной системе отсчета получаем отображение
стягивания
t -> 0, р: S2->S2 = M3@) = SJ/.S' = SU{2)/SOB)
со слоем 51. Это — расслоение Хопфа над 52. Казалось бы, возникает особая сфера 52
при t = 0. Однако можно ввести новые поля X*, удовлетворяющие требованиям D1)
со световой координатой X*, в которых метрика неособа при t — 0 и имеет вид
F1)
Это — метрики Тауба—Мизнера.
Задача. Докажите, что метрики F1) и F0) определяют одно и то же многообразие М4
в области t > 0. Выразите поля X? через Х2 в виде матрицы A(t), ffi > 0.
На орбите t = 0 интегральные линии поля
замкнутыми световыми линиями.
в 51/B) = М3@) являются
Задача. Покажите, что линии старой (синхронной) координаты х° из области t > 0,
t = х°/с наматываются на эти окружности как на предельные циклы. Это — топологи-
топологически бесконечные линии конечной длины («неполнота» индефинитной метрики).
Замечание. Интересно обратить внимание на такое свойство метрик Тауба—Мизнера g[f,
являющихся аналитическим продолжением одной и той же метрики Тауба в синхронном
времени (t) из области t > 0: замена переменных в этой области, переводящая д? в д?,
аналитически не продолжима на все многообразие. Более того, метрики д^] и д^1 вообще
не изоморфны на всем многообразии М4, так как изометрия между этими метриками
в области t > 0 единственна, и матрица A(t) перехода от полей Х? к полям XJ
неаналитична при t = 0 (t — синхронное время). Таким образом, аналитическое
продолжение за фиктивную особенность не единственно.
Удивляться свойствам метрики Тауба—Мизнера не приходится; рассмотрим
простой пример двумерной метрики на двумерном многообразии с координатами х, г
в области г > 0:
ds1 = dr2 dx2.
4
Эта метрика допускает группу G: х —> х+хц. будем считать координату х циклической:
х ~ х + 2ж. Таким образом, здесь G = 50B). Эта метрика синхронна и имеет смысл
только при г > 0. Зададим два продолжения, сделав замены:
т = 2т/тЦ, х — 1пи+ - v+;
т = 2у/п1, х = In u_ + v_.
В координатах (u±,v±) имеем
dsl = ±2du±dv± ~u±(dv±J.
§31. Некоторые многообразия общей теории относительности (ОТО)
253
Матрица
имеет вид
Ь ~ \\ -U+J> УаЪ ~ \-\ -и-)-
д(+)_
9а
Координата v± циклическая, -оо < и± < оо. Замена пе-
ременных от д\ь' к даЬ в двумерном случае существует и
имеет вид
и+ — и_ ,
r=0
Рис. 120.
v+ = — и_ .
Эта замена не обобщается на решение Тауба—Мизнера.
В двумерном примере метрик (ds±J линия и± — 0
есть предельный цикл для линий х = const синхронного времени, ортогональных
орбитам группы G = 50B) (рис. 120).
7. Более общие модели. Известен ряд других, более сложных однородных моде-
моделей с ненулевой материей е ф 0, которые также обладают «фиктивной особенностью»
и продолжаются в область, где орбиты группы не пространственноподобны (там эти
решения могут иметь весьма сложное поведение). Наибольший интерес представляют
однородные модели с группами типов I, V, VII и IX (см. §24 тома I), алгебры Ли
которых описываются следующими формулами:
Ж3 (тип1), [Ха,Х„] = 0;
05 (типУ), [Х1,Х2] = Х2) [Х2,Х3] = 0, [Хз,Х,] = -Х3;
07 (тип VII), [ХьХ2] = аХ2 + Хз, [Х2,Х3] = 0,
IX}, XЛ = Хг -оХ3;
So (тип IX), [X,,X2] = X3l [Х2,Х3] = Х„ [Хз,Х,] = Х2.
Эти модели интересны в первую очередь, поскольку в них содержатся как част-
частный случай изотропные модели Фридмана и имеет смысл говорить об «изотропизации»
метрики при расширении Вселенной. Простейшим решением такого рода, дающим
«наивное» решение проблемы изотропизации в частном случае, является метрика
Гекмана—Шюкинга (тип I)
i=\
F2)
С;>0,
При t —» 0 имеем асимптотику решения Казнера (выше), а при t —> сю асимптотику
решения Фридмана.
Для изотропных моделей алгебры Ли их групп движений имеют вид
G = G6+: [ХиХ^ = ?фХк, [Yi,Yj\ = eijkYk, №,У,-] = 0 (случай S3);
G = G\: \XuXj\ = EijkXk, lXi,Yj] = eijbYk, [Yi,Yj] = 0 (случай!3);
G = Gt= slBQ (случай L3);.
Укажем в этих алгебрах Ли подалгебры G размерности три типов I, V, VII, IX,
которые транзитивно действуют на многообразиях 53, Ж3, L':
I: [yi,yi]=0, »,J = 1,2,3;
V: [XuXi]=X2, [Х2,Х3] = 0, [Х3,Х,] = -Хз;
VII: [ХьХ2] = аХ2 + Х3, [Х2,Х31 = 0; [Х3)Х,] = Х2 - аХ3; ( }
IX: lXi,Xj\ = eijkXk, i,j,к = 1,2,3.

254
Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных
задач
Итак, решения Фридмана для изотропного случая являются частным, случаем
однородных моделей типов I, V, VII и IX, которые благодаря этому пригодны для
исследования их однородных возмущений. (В множестве возможных структурных
констант типы I и V «предельны» для типов VII и IX.)
Оказывается, что решения с фиктивной особенностью не являются общими в
моделях типов I, VII и IX (и, вероятно, V) и исчезают при малых возмущениях (они
«нетипичны»). Имеется целый ряд нетривиальных асимптотик при t —»0, из которых
наиболее сложной является так называемый «осцилляционный режим», открытый
сравнительно недавно. Эта тема интенсивно развивалась с конца 60-х годов, и мы
не будем здесь входить в современные вопросы, связанные с «осцилляционными
режимами», с проблемой возникающей здесь теории уравнений Эйнштейна как
качественной теории динамических систем.
В течение 70-х годов было проведено глубокое исследование эволюции Все-
Вселенной в однородных моделях на ранних стадиях эволюции методами современной
многомерной качественной теории динамических систем. Эти исследования завершили
предшествующие работы физиков, открывших первоначально более элементарными
методами сложный осциллиционный режим эволюции метрики при сжатии Вселенной
к сингулярности, дали классификацию всех других режимов на ранних стадиях и
позволили четко поставить и решить (в рамках теории однородных космологических
моделей) следующий вопрос: как точно определяются «типичные начальные состояния»
метрики на ранних стадиях эволюции (по отношению к процессу расширения) и каким
они фактически являются.
В случае модели типа IX (группа G = SUB)), если материя «в среднем» не
движется, и = A,0,0,0), то метрику пространства можно во все моменты времени
считать диагональной в синхронном времени:
Если р — ке, 0 < к ^ 1, то уравнения Эйнштейна после замены времени t —> т,
qkdr — dt, где q = giftft, приобретут вид гамильтоновой системы с гамильтонианом Я
(проверьте!),
Я =
aqa) + Pi(ql)\ Pi = -(ад,), гф}ф1фг,
F4)
а=]
Замечание. В случае I типа система также диагонализуется и гамильтониан имеет вид
H = H^q) = ^Ftp2(Paqa).
Имеется связь между Я и е:
1+4 ¦ - F5)
' = A = H(p,q)%0.
Поэтому «физическая область» 5СК6 (р,, q) выделяется условиями
qa>0, H(p,qJ 0-
Имеется масштабная группа преобразований:
Ча -» Ча, ра ->¦ Хра, Я -> А3*~'Я.
F6)
F7)
§ 31. Некоторые многообразия общей теории относительности (ОТО) 255
Для элемента объема q = -J^g — qiqiqj имеем
q= ^(Piqi + nqi + pm)- F8)
Отсюда следует, что если g(i0) < 0, то q(t) < 0 для всех t > i0, причем ^г(д'/3) =
-B%ql/i/3 < 0. Поэтому, направляя время в сторону сжатия, неизбежно получим
точку ti, в которой q(t]) — 0 (особенность или «фиктивная особенность»). Направляя
время обратно, в сторону расширения, будем изучать стадию q > 0 и q > 0. Аксиально
изотропный случай получим на фазовой поверхности q2 = ft (или ?2 = 9з, Рг = Рз)-
Используя масштабную группу F7), в этом случае можно свести уравнение Эйнштейна
к трехмерной динамической системе. Выбирая координаты
V =
F9)
мы получим систему
du 11 1
— = й = -ад + 2vz-2uvz + Bu- 1)Я2)
dr
w = w(u- l + 2H2-2v2),
v = -v( - к - A - fc)(« - IJ - (I - k)w2 - 4fc«2),
G0)
w
gi^
при условии положительности метрики и энергии:
Я2 ^ 0, w < 0, v < 0.
G1)
На «границе», где v = 0, получаем в координатах и, iu, v инвариантное многообразие
размерности 2 с координатами u, vi, в которых система имеет вид
G2)
_ 1-.JI:
Я
(l - (и - IJ -
Особые точки имеют координаты:
Ф (седло) и — 1/2, w = 0, w = 0;
С (седла) и - 2, w = 0, w = 0;
3 + fe
JV (фокус)
T (узел)
и =
5-ifc' Ш
и = w = и = 0.
1
-fc
v = 0;
Картина поведения траекторий G2) имеет вид, показан- ~
ный на рис. L2L Общая траектория (при сжатии) в силу
свойства v/v < 0 стремится к поверхности v = 0. Вся
физическая область в координатах и, w, v имеет вид
#2 ^ 0, w ^ 0, v ^ 0. Приближаясь к границе v = 0,
траектория примерно повторяет картину траекторий на гра-
границе v — 0 (см. рис. 121). Сепаратрисы («усы»), входящие
Рис. 121.

256 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных зада*]
изнутри физической области в особые точки типов Ф, N, Т, дают решения уравнений
Эйнштейна, где при t -> 0 метрика имеет асимптотику
(Ф) ftS
(в частном случае здесь имеем решения Фридмана q} — q2 = qi);
(Г) qi=C]t2, q2 = q2Zc2
(в частном случае при q2 = <?з здесь имеем решение Тауба);
(JV) g, ?c,*UE, qi = C2f$", g3 = c3Z5ra>.
Таким образом, имеется достаточно много асимптотик типа Т, дающих фик-
фиктивную особенность в том более слабом смысле, что метрика дар может быть лишь
непрерывно продолжена (без вторых производных). Плотность энергии имеет «слабую»
особенность (тип Т) е ~ i~A+i) (e(q}q2qi)l+k = const).
Без гипотезы аксиальной изотропии тип Т уже не будет «общим» в модели
типа IX.
Для более простых I и V типов, если материя не движется (м° = 1 и иа = 0 при
а = 1,2,3), исследование уравнений Эйнштейна без гипотезы аксиальной изотропии
сводится к динамической системе на фазовой плоскости.
Подробное описание этих и других результатов теории однородных космологи-
космологических моделей читатель найдет в книге [8], см. также [9]. Обсуждение ряда важных
физических аспектов релятивистской космологии содержится в книгах [5], [6], [7].
Проведенное выше качественное исследование динамики однородной аксиально
изотропной модели типа IX на ранней стадии эволюции методологически весьма
интересно. Оно показывает, что «типичные» состояния, отвечающие процессу сжатия
(окрестность типа Г), не совпадают с «типичными состояниями», отвечающими
процессу расширения (окрестность типа N). Это сразу же видно из рис. 121, где
стрелки отвечают процессу сжатия. Строго говоря, термин «типичные состояния» здесь
означает следующее. Если взять случайное начальное условие и решать уравнения
Эйнштейна в сторону сжатия, то достаточно близко к особенности с вероятностью 1
мы окажемся в фазовой окрестности типа Т в этой модели. Для процесса расширения
точное определение типичного состояния более сложно. Здесь уместно воспользоваться
построенным выше трехмерным фазовым многообразием в координатах м, v,_w, где
возникают «бесконечно ранние» состояния; им отвечает кусок плоскости v = О, Н2 ^ О,
так как v —> 0 при сжатии пространственного объема к нулю. Учитывая этот ансамбль
бесконечно ранних состояний (которых, строго говоря, нет в физической области
фазового пространства v > О, Н2 > 0), получаем естественный подход к определению
понятия типичного состояния метрики на ранней стадии эволюции Вселенной по
отношению к процессу расширения (а не сжатия!). Следует задать случайное начальное
условие на некотором малом расстоянии е > 0 от границы, например, где \v\ = e.
Затем, решая уравнение Эйнштейна в сторону расширения, нужно посмотреть развитие
компонент метрики; не исключено, что за малое время Ще) компоненты метрики
успевают сосредоточиться в некоторой более узкой части фазового пространства, в
окрестности определенных режимов, где to(s) —> 0 при е —> 0. Выделенные таким
образом режимы (при естественных гипотезах на распределение начальных данных
при I'M| = е) назовем «типичными ранними состояниями», отвечающими процессу
расширения Вселенной в данной космологической модели. Как видно из рис. 121,
после поворота стрелок в аксиально изотропной модели типа IX процессу расширения
будут отвечать типичные состояния в окрестности типа N в отличие от сжатия,
которому соответствует класс типичных состояний в окрестности типа Т.
§ 32. Некоторые примеры глобальных решений уравнений Янга—Миллса 257
Анализ полностью анизотропных космологических моделей приводит к более
сложным динамическим системам. Итоги этого анализа (и он сам) обсуждаются в
книге [8]. Во всех достаточно сложных однородных космологических моделях процессу
сжатия с вероятностью 1 отвечает осцилляционный режим Белинского—Лифшица—
Халатникова (БЛХ) (см. также конец книги [5]), которому соответствует в качественной
теории весьма интересный в некотором смысле «странный» аттрактор динамической
системы Эйнштейна, лежащий на границе (после построения правильных коорди-
координат) физически допустимой области фазового пространства, куда скатываются все
траектории при уменьшении объема (стремлении к особенности).
Заметим, в частности, что в ОТО без космологической постоянной процесс
сжатия не может быть устойчиво изотропным и флуктуации неизбежно выведут на
сложные режимы типа БЛХ, которые упираются в аналитически сложную, никуда
не продолжаемую особенность. Из этого вытекает, в частности, неправомочность
рассмотрения какой-либо «предшествующей» стадии жизни Вселенной, где сжатие
предшествовало расширению.
Процессу расширения, как оказывается, отвечают совсем другие, более регу-
регулярные типичные ранние состояния эволюции; их определение аналогично аксиально
изотропной модели типа IX (см. выше), но более сложно. Среди этих состояний
имеются только степенные асимптотики — квазиизотропные типа Ф, типов N, Т и
некоторые другие. В некоторых случаях эти степенные асимптотики носят промежу-
промежуточный характер и до двух—трех раз успевают сменить друг друга на ранней стадии.
Они довольно слабо зависят от типа однородной модели. Можно утверждать, что в
итоге с большой вероятностью уже весьма рано (в точном смысле, указанном выше)
успевает установиться квазиизотропный режим типа Ф, где темп расширения «почти»,
т.е. в главном члене асимптотики, изотропен, хотя сами компоненты метрики могут
не быть изотропными. Настоящей, точной изотропизации Вселенной — стремления
уже на ранней стадии именно к модели Фридмана с подавляющей вероятностью —
из классической ОТО не следует. Таковы современные итоги теории однородных
космологических моделей.
Общее исследование моделей IX и VII типов приводит к асимптотическим
режимам, которые уже на ранней стадии расширения «изотропизуются» в некотором
слабом смысле [8].
§ 32. Некоторые примеры глобальных решений
уравнений Янга—Миллса. Киральные поля
1. Общие замечания. Решения типа моиополей. Напомним, что поле Янга—
Миллса Aq(x) со значением в алгебре Ли группы G — это просто локальная форма
записи связности в расслоении со структурной группой G. Здесь х — локальные
координаты в области U базы главного расслоения р : Е —> ЛГ, над которой задано
разложение в прямое произведение (см. § 24)
Мы будем рассматривать далее группу G = SUB) и базу V = Ж" = М, где п — 3,4,
причем связность «тривиализуется» при \х\ —> оо. Это значит, что при \х\ -» оо
A)
1
где д(х) — функция со значениями в G. Кроме поля Аа(х), будем рассматривать также
поле -ф(х) со значениями в векторном пространстве V, на котором задано линейное

258 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
представление группы G. Для простоты будем считать, что V — это также алгебра Ли
группы G, на котором алгебра Ли действует по формуле
А *-* ad .4 : ф —> [А, ф]
(присоединенное представление). Лагранжиан поля ф в отсутствие связности должен
иметь вид
где скалярное произведение в пространстве V определяется формой Киллинга (см. § 3),
скалярное произведение (дф,дф) определяется формой Киллинга на V и метрикой
базы дпь(х). В присутствии связности Аа(х) следует сделать замену
a.-»a.-adji.(z) = v(l> C)
и ввести полный лагранжиан полей ф и А (см. § 42 тома I)
Цф,А) = l-
- и(\ф2\) + ^
D)
где
Переходя к постановкам глобальных задач, следует считать поле ф{х) сечением
некоторого векторного расслоения со слоем V и структурной группой G. О базе этого
расслоения, если это не область в Ж", мы отдельно скажем потом.
О функции и мы предположим, что и ^ 0 и ее график имеет вид, показанный
на рис. 122.
Вакуум вырожден
(сфера S2)
а)
\У\'
IVI
Вакуум невырожден
(точка)
6)
Рис. 122.
Нас будут интересовать случаи п — 3 и п = 4.
Рассмотрим сначала случай п = 3. Пусть G = SUB), ф(х) — трехкомпонентное
вещественное поле, операция в алгебре Ли — векторное произведение, база —
евклидово пространство К3. Рассматриваем стационарную задачу для величины
- ч(\ф\2) + j
E)
Определение. Вакуумным решением уравнения 95 = О называется поле (ф, А) такое,
что:
а) F^ = 0;
б) и(|^|2) = min, ф = const = ф0;
в) (
§ 32. Некоторые примеры глобальных решений уравнений Янга—Миллса 259
Поскольку метрики базы Ж3 и слоя V = К3 евклидовы, из этого определения
следует, что для всех х
Эха
), «=1,2,3,
F)
Поэтому поле Аа(х) направлено по оси ф = ф0 в алгебре Ли и является градиентом
числовой функции Аа(х) = аа(х)фй, аа(х) - J^. Добавляя к Аа градиентное
слагаемое, мы сделаем поле Аа нулевым.
Множество вакуумных решений образует сферу 52 векторов ф0 6 V = К3,
задаваемых условием
М1 = 1 G)
в силу свойств функции и. В этом случае говорят, что вакуум «вырожден».
Класс допустимых полей (А,ф) в постановке вариационной задачи SS = О
для функционала E) определяется требованием: при |а;| —> со поля (А,ф) должны
стремиться к «вакуумным» решениям, у которых А = О и ф = фа. При этом вектор ф0
не обязан быть одним и тем же для всех направлений ухода х —> со. Если ф0 зависит
только от направления х = \х\- п, \п\ = 1, фа = фо(п), то имеем отображение
*>: S2 -» 52, (8)
которое направлению п 6 52 сопоставляет точку фо(тг) из «вакуумного» многообразия
14(|^0|2) = min. Отображение фа определяет «граничные условия» на бесконечности
для полей (ф,А). Степень отображения фа : S2 —> S2 дает нам целочисленный
топологический инвариант вариационной задачи в К3.
Лагранжиан E) инвариантен относительно калибровочных преобразований
Аа(х)
i 9д _¦
д(х)Ап{х)д-\х) - ??$(
>д$д ' =¦
где функция <jr(a;) со значениями в G определена на всем К3 и при |ж|
имеет предел:
9(х) -* gm(n): S2 -» G.
Используя этот произвол, можно менять отображение фо : S2
ющее граничные условия на бесконечности.
(9)
оо, х = \x\-n,
A0)
S2, определя-
определя» S2 гомотопны (и только в этом
S2 —+ G, гомотопное нулю (или
Лемма. Если отображения фй . S —» 5 и щ : S
случае), можно найти такое отображение д^
продолжаемое на все R3), что
фB\п) = Т9^п)ф01\п) = доо(п) ф$\п)дЙ1(п), A1)
где п — единичный вектор из S2.
Доказательство. Группа G = 51/B) транзитивно действует на сфере 5 . Рассмотрим
расслоение тт: G х 52 —> 5 х 52, где отображение ir задано формулой ir(j, n) =
ign,n). Определим отображения $o,*i '¦ S2 ^> S2 x S2 следующим образом:
*о(«) =
Ф,(п) =

260
Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
Из гомотопности -фу
Г
ф
вытекает гомотопность отображений Фо и Ф|.
б
фу фц вытекает гомотопность отображений Фо и Ф|.
Гомотопию Ф(, связывающую эти два отображения, можно накрыть гомотопи-
ей Ф; в пространстве расслоения G x S2, причем полагаем (по определению),
отображение Фо : S2 —> G x S2 имеет вид
Тогда отображение Ф1 : S1 -* G x S2 имеет следующий вид: Ф^ге) = (^(и),»))
где () и есть искомое отображение дт : 52 —> С Из построения очевидно,
отопн тб
где
что
) рение дт : 5 > С Из построени
гомотопно отображению в единицу группы. Лемма доказана.
Вследствие леммы 1 отображение тр0 : S2 -* S2 можно заменить на любое
гомотопное ему. Таким образом, граничное условие определяется гомотопическим
классом
* = Ш 6 *2(S2) = Z.
Примеры. 1) При к = 0 калибровочным преобразованием можно сделать фа = consl (|х| —* оо).
Можно считать, что ipt> = @,0,1).
В этом случае говорят о «потере симметрии» теории (остается только группа
SO B) С G вращений в плоскости векторов A,0,0) и @,1,0) — «малая группа вакуума»).
С целью дальнейшего построения теории возмущений около вакуумного состояния,
делают замену ф = фо + ф, Д(г) = (А,(*))\ (В\ = (Аа)\ (В\ = (ЛJ. Получим
новый лагранжиан
Если потенциал u(?) = и(|^>|J имел вид, показанный на рис. 122, а, и
и{{A) = т2 > 0, то получаем (положив ф' = ф2 = 0 и разлагая и в ряд по { в точке
Фо = @,0,1) — см. задачу ниже)
где остаток состоит из членов 3-го порядка и выше по полям /, В, ф = ф}.
Задача. Покажите, что калибровочным преобразованием можно добиться ф' = ф2 = 0.
2) При к = 1 можно считать, что Vo(") = п для отображения фй : S2 —> S2.
Это отображение «сферически симметрично». Физиками найдено интересное сферически
симметричное решение уравнений Янга—Миллса 5S = 0 для функционала E):
А'а =a(r)eaijXj,
(г)-»
1
A2)
gr
при г —> оо u(r)-*ux,
при г —» 0 u(r) -* const ¦ г, а (г) -* const.
Так как граничное отображение на бесконечности
2
имеет степень 1, то его продолжение до гладкого поля ф(х) в R3 = (ж',а;2,х3) должно
иметь точки, где 0 = 0. Итак, существует гладкое решение {Аа(х),ф(х)}, где ф(х)
неизбежно обращается в нуль в К в некоторой точке xq (пусть эта точка одна).
§32. Некоторые примеры глобальных решений уравнений Янга—Миллса 261
Имеется интересное отображение, сопоставляющее паре (Аа,ф) скалярное поле
fa(x), которое удовлетворяет уравнениям Максвелла в пустом пространстве всюду, где
ффО (т.е. вне точки х0):
дх» дх"
A3)
на0 =
Из вида этого отображения и из A2) следует, что интеграл от поля #e/3 = |^ - |^?
по сфере большого радиуса равен 4тг. Поэтому из несингулярного решения уравнений
Янга—Миллса получается так называемый «магнитный монополь». Отображение A3)
сопоставляет паре (Аа,ф) расслоение в области R3\io, где ф (i0) = 0, сабелевой структур-
структурной группой SO B) = S1, причем решение уравнений Янга—Миллса переходит в решение
уравнений Максвелла для стационарного магнитного поля Н = (Нар) = |^ - -^.
2. Уравнение дуальности. Перейдем теперь к случаю п = 4. Вообще гово-
говоря, рассмотрение возникающих в физике лагранжианов требует решения уравнений
Янга—Миллса типа 6S = 0 в пространстве Минковского К4 для полей Аа(х) и
некоторых полей ф (возможно, тензорных или спинорных). Уже само «чистое»
уравнение Янга—Миллса при отсутствии других полей i/j является нелинейным и
довольно сложным в отличие от обычных уравнений Максвелла. Для пространства К4,
нетривиальные вещественные решения этих уравнений неизвестны. В физической
литературе найдены серии решений для евклидова пространства Н4, некоторые из них
мы далее опишем. Считается, что они также могут оказаться физически полезными.
Кроме того, эти решения весьма интересны с чисто математической точки зрения
и имеют глубокий геометрический смысл. Будем рассматривать далее функционал
Янга—Миллса S = J SpiFapF"?) <?x в евклидовом пространстве К1 с евклидовыми
R4
координатами х1, ж2, х3, ж4. При \х\ —» оо мы будем требовать, чтобы
да (х) ,
Fnh -» 0, Аа(х) » -fV <f '(х). A4)
Фактически мы будем требовать, чтобы при вложении К4 в 54 в качестве дополнения
к верхнему полюсу в 54 связность Аа{х) гладко продолжалась в этот верхний полюс;
расслоение со связностью в К4 является частью расслоения с базой 54, рассмотренного
на области К4 С 54. Топологический инвариант расслоения с группой G = SU B)
задается степенью отображения
51/B) =
A5)
где при |х| —> оо и х = \х\ ¦ п имеем
да (х) ,
-~г 9 (*). 9&) "» 9оо(п).
ах"
Другая запись этого числа в виде «характеристического класса» обсуждалась также в § 25:
~FabFcieabcd<?x = Sp J^Fab(*FYVx, A6)
m
= Spj
R'
или
f
sp(F A *F)
A7)

262 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
на языке форм (*F — это «дуальная» форма к F = Fab dxa Л dxb, *F = j ?abciFab dxc Л
dxd). В евклидовой метрике величина
(*F)ab]ctx
является неотрицательной, T ^ 0.
Пусть выполнено уравнение
Fab = (*F)ab;
это равенство равносильно равенству Т = 0. Далее,
A8)
A9)
Т = l-
Sp
- У Sp (Ро6 *
R4
5 {F}
4ir2m
0.
Так как m{F} — характеристический класс, получаем:
1) уравнения ST = 0 и 6S = 0 эквивалентны;
2) более того, так как Т ^ 0, то выполнение уравнения РоЬ = *Р„4 для поля
Янга—Миллса равносильно тому, что мы имеем абсолютный минимум функциона-
функционала S {F} при заданном числе то {F} = m и этот минимум равен то.
Итак, если мы найдем для каждого числа то хотя бы одно решение уравнения
Fab — *Fab, то тем самым мы строго докажем, что минимумы функционала S {F} =
Sp J FabFaid4x при указанных граничных условиях описываются уравнением A9).
R<
Задача. Докажите, что решения уравнения A9) удовлетворяют также уравнениям Янга—
Миллса.
Для то = 0 имеем «тривиальное» решение Fab = 0.
Для m = 1 будем искать «сферически симметричные» решения в виде
(G = 51/B))
Ответ мы окончательно получим такой («инстантон»):
Для любого то > 1 известны решения вида
л —
л/1 —
А?
где р = J2
- SjH + »(X -
B0)
B1)
B2)
<то — матрицы Паули (см. § 14 то-
J2 , ш,
i=, (х- XiY \(х - XiY\
ма I). Общее решение (зависящее от 8то - 3 параметров) пока в хорошем виде
§ 32. Некоторые примеры глобальных решений уравнений Янга—Миллса
263
не получено, хотя здесь имеется ряд глубоких результатов. Заметим, что лагранжиан
Янга—Миллса (точно так же, как и для обычных уравнений Максвелла; см. §42 тома I)
конформно инвариантен. Поэтому можно перейти от М4 к сфере 54, на которой ме-
метрика является конформно евклидовой (группа конформных преобразований сферы 54
изоморфна 0E,1); см. § 15 тома I).
Имеется естественное расслоение
р : СР3 -» 54
со слоем
52 (см. §24). Напомним его построение. Группа 51/B) действует на
со слоем S (см. §24). Нп р
С4 = С2 Ф С2 обычным образом на каждом слагаемом С
По определению
{z\z2,v,\v,2)±(g(z\z2),g{v>\v>2)), g € SUB).
СР3=(С4\{0})/EОB)хД+),
54 = (С4\{0})/E1/B)хД+).
Поскольку 50B) С 51/B), возникает расслоение р : СР3 -> 54. Слои р~\х) = СР1 С
СР3 лежат в СР3 как проективные прямые. Решением «уравнений дуальности» A9)
является связность в некотором расслоении т) над 54 со слоем С2 и структурной
группой G = 51/B). Рассмотрим расслоение p*(rj) над СР3 с поднятой связностью
(тривиальной над слоями p~J(x)). Во всяком комплексном (не обязательно голоморф-
голоморфном) расслоении со связностью над комплексным многообразием (здесь над СР3)
имеется «квазикомплексная» структура. Это означает, что в пространстве Е расслое-
расслоения р'С?) связность естественным образом порождает «горизонтальные» направления
и тем самым операторы «ковариантной» производной, действующие в функциях на Е.
Пусть U — область в базе U С СР3 с комплексными координатами z\z2,z3,
za = x" + гха+г, и операторами дифференцирования j^,j^,-§p- Локально имеем
p~'(t/) С Е, p~\U) = С2 х U. Координаты в С2 обозначим через го1, го2. Имеем набор
операторов, задающих «квазикомплексную структуру»,
д д D D D
Зго1' aw2' Dz1' Dz2' Dz*' ( '
где -§^ = дуг + А^ = з|г - iaJn + Aa - iAa+3. Условие интегрируемости означает,
что все операторы B3) коммутируют. В этом случае в пространстве расслоения Е
возникает структура комплексного многообразия с локальными комплексными ко-
координатами z,w. Само расслоение р : Е —> СР3 окажется тогда голоморфным
(т.е. отображение р голоморфно).
Задача. Покажите, что уравнение дуальности для расслоения tj над S4 эквивалентно
коммутированию операторов B3) в Е над СР3.
Таким образом, задача нахождения решений уравнения дуальности сводится
к теории голоморфных расслоений над СР3, где с успехом применяются методы
алгебраической геометрии.
3. Киральиые поля. Интеграл Дирихле. К числу нелинейных полей, интересных
физически и таких, в которых возникают топологические явления, относятся так
называемые киральные поля. Наиболее общим (локально) киральным полем является

264 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
функция i>(x) на пространстве Шк со значениями в некотором нелинейном много-
многообразии М. Глобально такое поле может быть сечением некоторого расслоения со
слоем М.
Фактически, интересные киральные поля являются в ситуации, когда М —
однородное пространство группы Ли,
М = G/H.
Главными киральными полями называются такие, у которых М = G (группа Ли).
Будем считать эту группу компактной и фиксируем на ней двусторонне инвариантную
метрику. Другой важный тип киральных полей — это случай, когда М = G/H является
симметрическим пространством компактной группы G со стационарной подгруппой
Н С G (см. §6). Простейший пример такого рода:
Будем представлять сферу как множество единичных векторов п ? Шя+>. В этом
случае имеем, как говорят, «га-поле» п(х).
Киральным полям отвечают лагранжианы, имеющие в важнейших случаях
следующий вид:
а) Случай главного кирального поля <jr(a;) 6 G. Положим Аа(х) — ^^г д~1(х)
(это — элемент алгебры Ли),
S = I - (Аа(х), Аа(х)) dx1 Л dx2 Л dx3 Л ... Л dxk.
B4)
B5)
Для G = 50B) поле Аа имеет вид фадиента скалярной функции <р(х):
дш
Уравнение 6S = 0 сводится К уравнению Лапласа.
Для G = 51/B) это уравнение не столь тривиально. Пусть Аа(х) — Х{А1а{х),
где А\ — скалярные функции и Х\, Х2, Хз — базис алгебры Ли, в котором
[Xi,X2] = Х3, [Х2,Хз] = Хь [X3,Xi] = Х2. Можно считать, что поля Аа(х)
составляют связность нулевой кривизны:
B6)
Уравнения SS = 0 сведутся, кроме B6), к такому соотношению:
Эх
= о
B7)
(докажите это). На компактной некоммутативной группе G любой размерности имеется
стандартная двусторонне инвариантная 3-форма П, определявшаяся в точке j= 1 на
алгебре Ли с помощью коммутатора [,] и формы Киллинга (,):
U(X,Y,Z) = ([X,Y,],Z) B8)
(смешанное произведение). Здесь X, Y, Z — элементы алгебры Ли, рассматриваемой
как касательное пространство к группе G в точке д = 1 (см. § 3). Форма U замкнута
(это легко проверить непосредственно; впрочем, это вытекает из ее двусторонней
инвариантности) и никогда не эквивалентна нулю в когомологиях, т. е. п Ф du'. Для
случая G = SU B) форма п есть элемент объема на 51/B), где J п — 1.
5'
§ 32. Некоторые примеры глобальных решений уравнений Янга—Миллса 265
Для главного кирального поля д(х) на М3, у которого д(х) -* д0 при д —» оо,
имеем топологический инвариант
[д] е -*3(G).
(Для G = 51/B) этот инвариант совпадает со степенью отображения К3 U {со} =
S3 -t* S3 и вычисляется по формуле [д] = J д*(п).) Напомним, что функционал
R3
Дирихле Имеет вид
S{g}=l-J(A,A)d3x,
B9)
где
Эх"
и уравнение 6S — 0 таково:
или
8Аа
JL(ELn-
дха \дха "
дАа дАь
'(х)) =
C0)
Для функционала Дирихле B9) нет, однако, никаких «топологических» оценок
на абсолютный минимум при заданном [д], аналогичных случаю Е2 (см. ниже).
Рассмотрим «подправленный» киральный лафанжиан («модель Скирма»)
1,А) + 62AА,А],[А,А]), C1)
где [А, А]аь = [Аа,Аь] — форма степени 2 (кососимметрический тензор) со значе-
значением в алгебре Ли. Как найти минимум при заданном топологическом инварианте
d — deg[p(x): (К3 U оо) —> G] для случая G = 51/B) и функционала 5в? Рассмотрим
новый функционал
Ss+T=~J{Att + 6еаЪс[Аа, Ас], Аа + 6eabc[Ab, Ac\) d3x
КПП
Ss Л- 126{Аа,еаЬс\Аь,Ас\) d3x = Ss + const d > 0.
C2)
Для минимума мы должны иметь (если этот минимум достигается при нулевом
значении C2)):
C3)
Получаем систему уравнений на функцию д(х):
At= - a[A2,A2],
А2= +alAuA3],
9Э A3=-alAltAi],

266 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
где
дАь
Отсюда следует, что Аа(х) = 0, так как А = 6 rot A.
Вывод. Для подправленного кирального лагранжиана минимум (если он достигается
при заданном d) больше, чем он был бы, исходя из «тривиальной» оценки C2).
При отыскании минимумов нельзя заменять оценку на точное равенство в от-
отличие от поля Янга—Миллса в К4 и n-поля в К3 (см. ниже). Подправленный
киральный лагранжиан C1) не является конформно инвариантным, а поэтому
его рассмотрения для 53 и К3 дают различные результаты. Для 53, напри-
например, тождественное отображение 53 -+ 53 дает минимум, удовлетворяющий
равенству C3). Проверьте это.
б) В случае га-поля п(х) 6 Sq С К?+1 имеем простейший лагранжиан («интеграл
Дирихле»)
«¦«>-/<?¦?>'-
C4)
Для случая к — q, вводя граничные условия п(х) —> щ при |а;| —> со, мы получим
топологический инвариант поля — степень отображения Sq —> Sq:
d = degn.
-/¦•<
(см. § 13), где / п = 1 — элемент объема на Sq.
Sq
Рассмотрим случай q = к = 2 и решим задачу на нахождение абсолютных
минимумов действия 5 при заданной степени d. Если иа (а = 1,2) — локальные
координаты на сфере S2 и х" (а = 1,2) — координаты на плоскости К2, то
S{n(x)}
C5)
R2
где д" = 6 — метрика на
а отображение п (х) задается формулой
2 и дар — метрика сферы S2 в координатах и], и1,
= {иа(х],х2), а =1,2}.
Замечание. Формула C5) определяет «интеграл Дирихле» S{n} для любого отображения
п : М —> N, где (х°) — локальные координаты М, даь — метрика в М, (и°) —
локальные координаты в JV, gafl — метрика в JV.
Задача. Если N = G — группа Ли с двусторонне инвариантной метрикой, то интеграл
Дирихле приобретает вид B9) для действия главного кирального поля.
Вернемся к случаю М = R2, N = S1, где х], х2 — евклидовы координаты в Ж2.
Пусть и1, и2 — конформно евклидовы координаты в 52\оо, в которых метрика имеет
§ 32. Некоторые примеры глобальных решений уравнений Янга—Миллса
вид (см. § 13, том I)
0 A(du ) -j-Aldu ) Adzdz
п„я du du = =
УаР i. .1.1 . тл\2 /1 i I_I2\2'
267
где z = u] + iu2, w — x] +ix2. Отсюда
S{n} = 2i
I
• dwdw.
C6)
Степень отображения n : S2 —> S2 вычисляется по формуле
/, f „ / dz Adz \ If uxvv — u,,vr
nWn((TTw) =7/1нП#*в^ C7)
где u = u1, v = u2, x = xl, у = x2. Разность
S{n} - 2irdegn
имеет вид
S - 21rdegra = / (*J У_.Т^2+<>*) dxdy > 0.
J " t" lzl )
C8)
Отсюда имеем вывод:
1) Для отображений п(х) степени d имеется неравенство
S -2ж degn = 5 - 2-wd > 0.
2) Для абсолютных минимумов функционала 5 в гомотопическом классе d ^ 0
это неравенство является равенством S^n = 2ird, которое равносильно равенствам
ux = vv
uv = -vx
vv, uv = -vx C9)
(т.е. уравнениям Коши—Римана). Наоборот, если C9) верно и degn = d, то имеем
минимумы функционала 5 в этом гомотопическом классе. Итак, минимумы функцио-
функционала 5 — это голоморфные отображения n: S2 —> S2 и только они: z = P(w)[Q(w),
где Р, Q — многочлены. Этот важный результат, полученный сначала в геометрии, а
затем в физике, применялся в теории ферромагнетизма.
Разберем тот же самый пример с другой точки зрения. Сфера S2 есть однородное
пространство
S2 = 5ОC)/5ОB) = SUB)IU(\) = G/H,
и, более того, симметрическое пространство (см. § 6). Точно это означает, что алгебра
Ли группы G разлагается в сумму L = L0 + Lu причем [?о,Ьо] = ?<ъ [?о,?]] С Lt
и [1ц,1ц] С ?о; здесь Lo — алгебра Ли стационарной подгруппы И С G. Подпро-
Подпространства LQ и ?| ортогональны относительно формы Киллинга. Другое изложение
теории n-поля таково: рассмотрим поле д (х) С G и будем считать эквивалентными
поля #(а;) и elipix) для любой функции е11р^ 6 Я. Переход д (х) -> е11р(х) д(х) явля-
является «калибровочным» преобразованием. Фактически классы эквивалентности — это
поля п(х) 6 G/H. Рассмотрим «киральный лагранжиан»
S{g(x)}=l-J(A,A)Lldnx,
D0)

268 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
где Аа(х) = -f?r <7"'(ж), {A,A)Ll означает скалярное произведение, совпадающее
на подпространстве Lt алгебры Ли L с формой Киллинга и нулевое на Lo. При
калибровочном преобразовании
ei<pix)g{x)=g{x)
имеем
D1)
где компонента iVip лежит в Lo. Следовательно,
S{g(x)} = S{g(x)}
и лагранжиан D0) корректно определен на классах эквивалентности G/H. В нашем
случае G = SO C), Я = SO B), и поле Аа трехкомпонентно, Аа = Ааей + A\t\ + A2ae2,
где
<eo,eo>i, =0, (еие\)и = l> (e2,e2)L, = 1,
D2)
Вектор во порождает Lo, векторы еь е2 порождают L\. Уравнения Fab — 0 имеют вид
дАа дА1: . . .
где а = 1,2, /3 = 0,1,2, Положим
,о_., , _дАа. дА\
A. -IT; I"»- дхЬ дха-
Из соотношений D3) при /3 = 0 имеем
Tab = const (B\B*2-B2B\)
D3)
D4)
D5)
(напомним, что мы работаем в двумерном пространстве, о = 1,2). Из D3) при /3 = 1,2
получаем
D6)
Введем «ковариантные» производные
д
Очевидно, что
DXB2 - D2B\ = 0, D7)
и, варьируя функционал C4), получаем
дВа _
дх° ~ f" "'
Поле %Та = Аа является калибровочным, так как согласно D1) имеется градиентное
преобразование
D8)
Ва
§ 32. Некоторые примеры глобальных решений уравнений Янга—Миллса
269
Итак, мы свели теорию га-поля к уравнениям комплексного векторного поля (Ва),
взаимодействующего с калибровочным полем /„, где на тензор напряженности Таъ
наложена дополнительная связь:
=const ¦
D9)
Топологический инвариант га-поля определяется в этих переменных интегралом
от напряженности
— Г Tndxi Adx2=— I (/, dxl + T2dx2) = const • I (B,Bj - B2B*)dxl A dx2;
2ж J 2x J J
R2 ГиГ« R2
здесь контур Г,» есть окружность большого радиуса R -* со, а Г = U Г,, где Г; —
i
мелкие контуры размера е —* 0, охватывающие особые точки ж; и имеющие правильную
ориентацию. Допущение особенностей в конечных точках необходимо для соответствия
с теорией и-поля и (ж): точки ж,- = га (со) будут выглядеть как особые в нашей записи.
В этих точках поля (Ва, /„) могут быть не определены, так как отображение п: S2 -* S2
не накрывается глобально отображением g: S2 —> SO C) (или SU B)) — в одной
точке со € S2 сечение расслоения 53 —* S2 становится многозначным и вместе с ним
становятся многозначными функции д(х) для х € и"'(со).
Если z — комплексная координата на 52\со, то 50 (З)-инвариантная 2-форма
имеет вид (см. § 13 тома I)
dzhdz
n=(TW E0)
Форма п*(п) имеет вид
п*(П) = const {В\~В2 - B2~B{)dxx A dx2 = ш А ш,
w = B,dxl +B2dx2.
E1)
Если w = ж1 + гх2 — комплексная координата в R2 и отображение п = z (w)
голоморфно, то
п*(п) =
dz
dw
2 dw A dw
(l + |z(w)|2J
E2)
Можно проверить, что форма ш — Ва dx" имеет вид
dz dw | о
w = ~-z ~ Badx , w = x +ix .
dw 1 + |zp
Действительно, голоморфные га-поля z (w) дают абсолютные минимумы функционала
5= {A,A)L,d2x= BaBadw Adw= I (SiBi +B2B~2)dw A dw E3)
R2 R2 R2
при условии
/ п{п) = A (B{B2 -B2B~\)dw Adw = d.
R2 R2

270 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
Рассмотрим величины
S+
- пЧп) = /
+ В2В2 + i(Bj}2 -
dw Л<Ш =
R2
+ iB2) (В, -
Для минимумов имеем S + j / га*П = 0 или
В, + iB2 = 0.
Отсюда следует, что
Ва dxa = (В, - гВ2) у = В, <te.
Легко проверить равенство
const dz
E4)
E5)
E6)
E7)
Форма /] dxl + f2dx2 является связностью в расслоении n*(rf), где т) — стандартное
хопфовское расслоение 53 -*¦ S2 с группой G - S1.
Рассмотрим теперь уравнение 55 = 0 для всех экстремумов действия S вида C5).
Извлечение из современной литературы: эта задача сводится к теории уравнения «sin-
gordon», уже возникавшего (см. § 30 тома I) как уравнение вложения поверхности
постоянной отрицательной кривизны в евклидово пространство R3. Пусть метрика
плоскости М2 является метрикой Минковского М?. В переменных ?, т/, где ds2 = d?dr),
функционал S имеет вид
E8)
при условии п2 = 1. Выведем уравнение Эйлера—Лагранжа. Пусть ц — произвольная
неизвестная пока функция (множитель Лагранжа). Рассмотрим функционал
R2
^ J A,(n,n{l
Уравнение 5S — 0 имеет вид (см. § 37 тома I)
д
_ —л. д (дАА - дА
при условии (п, п) = 1. Отсюда
n",=/mo, a = 1,2,3,
или ввиду (я, п) = 1
Щт, = {nir,,n) n, p = {
Покажем, что величины |га^|, |п,| являются «интегралами», т.е.
E9)
F0)
F1)
F2)
F3)
§33. Минимальность комплексных подмногообразий
271
Действительно,
Щ^ч1 = { } = { п) {пьп) = 0
2 от/
в силу F2), так как п^ ортогонально п. Таким образом, \щ\ = /(?)> 1^1 = 9(ff)-
Произведя подстановку
coso; =
f(Og(v)'
для величины w получим из F2) уравнение
я2,.,
= fgsinw.
F5)
Локальной заменой ? —> ^'(О. *7 —* ^Ч7/) сведем уравнение F5) к виду «sin-gordon»
F6)
Исследование этого уравнения значительно труднее, чем приведенное выше исследо-
исследование минимумов 5 при заданной степени.
§ 33. Минимальность комплексных подмногообразий
Напомним, что комплексное многообразие М называется кэлеровым, если его
метрика gijdz'dzj определяет замкнутую форму w - jgtjdz' л dzj.
Теорема 1. Пусть М — кэяерово многообразие комплексной размерности п, X С М — его
комплексное к-мерное подмногообразие. Рассмотрим следующий класс вещественных
вариаций Y подмногообразия X в М. Вариация Y — вещественное Ik-мерное
подмногообразие в М, совпадающее с X вне компактной области (на X).
При этом требуется, чтобы была задана «деформация» в виде вещественного
ориентированного Bк + \)-мерного многообразия z с краем 8Z = X U (—Y),
где (-Y) есть Y с противоположной ориентацией (рис. 123).
Тогда объем v (X) многообразия X не более объема v (Y) (если X и Y не
компактны, то имеются в виду объемы тех областей, где X uY различны). Если
объем Y совпадает с объемом X, то Y тоже комплексно.
X
а) 6)
Рис. 123.
Таким образом, в кэлеровых многообразиях компактные комплексные подмно-
подмногообразия являются глобально минимальными подмногообразиями (т. е. экстремалями
многомерной вариационной задачи на минимум объема). Так, например, в СР" гло-
глобально минимальными подмногообразиями являются комплексные подмногообразия.
Кэлеровым многообразием является также комплексное пространство С", а потому

272 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
любое комплексное подмногообразие X в С" минимально относительно возмуще-
возмущений, неподвижных вне некоторой ограниченной области в X. Напомним, что все
комплексные подмногообразия в С" некомпактны.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 1.
Лемма 1. Для произвольной внешней 2-формы ш на R2 можно выбрать такой орто-
нормированный базис ei,... ,ein, в котором форма w имеет вид Ajo^ Л ш2 +
...+ХпШ2п+]Лш2п, где А|,...,А„ — неотрицательные числа, а Ш],...,ш2п —
базис, сопряженный базису в|,..., е2п в М2п.
Аоказательство. Рассмотрим в К2п произвольный ортонормированный базис е\,..., е'2п.
Для заданной 2-формы ш построим матрицу А — (о,;), где а,;- = w(e'ue'j).
Назовем матрицу А матрицей, ассоциированной с формой w. Поскольку
форма ш полностью определяется своими значениями на базисных векторах, то
она полностью определяется своей матрицей А (с указанием соответствующего
ортонормированного базиса е',,.. .,е2п). Ясно, что А — кососимметрическая
матрица. Следовательно, для А существует такой ортонормированный базис
е\,...,в2п, в котором матрица А принимает вид
А-
0
-A,
A,
0
0
0
-A
0
n
An
0
\
где А], , Ап — неотрицательные числа. Пусть
базис к базису е i,..., е2п ¦ Тогда очевидно, что
— сопряженный
= Е
о=1,3,...,2п-1
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть в пространстве М2п = С задана эрмитова метрика (gij). Пусть, далее
ш — внешняя 2-форма, соответствующая метрике д^, т. е. определяемая формулой
u(v\,v2) = (iv\,v2). Положим crk = jsuk = -g уАмА... Аи. Тогда выполнено
k
неравенство \crk(vi,..., v2k)\ ^ l, где v\,... ,vik — произвольная ортонормированная
система векторов в К . Кроме того, равенство |crfc(t)|,..., V2i-)l — 1 достигается
тогда и только тогда, когда v\,..., v2k порождают комплексное подпространство
в М2" (т. е. когда вещественная линейная оболочка векторов V\,..., v2k инвариантна
относительно умножения на г).
Аоказательство. 1. Случай А; = 1. Пусть vuv2 E Ж2я — ортогональные векторы длины 1.
Ясно, что \w (V|, v2)\.= Kivj.i^)! ^ l*vil'lv2l = 1- Равенство достигается тогда
и только тогда, когда ±v2 = iv\, т. е. векторы v\, v2 порождают комплексное
одномерное подпространство (вещественной размерности 2).
2. Общий случай. Пусть V С К2" — подпространство, порожденное
Vi,... ,v2k. Обозначим сужение w\v через ш. Согласно лемме 1 можно выбрать ор-
ортонормированный базис е!,..., e2jt подпространства V и сопряженный ему базис
ш\, ¦ ¦ ¦ -,ш1к такие, что ш — A|O/i Л и2Л-... -4-Айа^2й— i л W2*i Где Аь..., Aj — неотри-
неотрицательные вещественные числа. Ясно, что ш (e2p-i, е2р) = Ар A ^ р ^ к). Отсюда
§ 33. Минимальность комплексных подмногообразий
273
согласно случаю к = 1 получаем, что Ар ^ 1, причем Ар = 1 тогда и только
тогда, когда ie2p_i = ±е2р. Обозначим ограничение формы <тк = к\шк на подпро-
подпространство V через o-fc. Тогда \ёк(е\,... ,elk)\ = ^ш* (е,,... ,е2к) = А, ... Хк < 1;
равенство достигается тогда и только тогда, когда Ар = 1 A ^ р ^ к), т. е. тогда
и только тогда, когда ге2р_] = ±е2р A 4 Р ^ к). Последнее равенство в точности
означает, что V — комплексное подпространство пространства К2п. Лемма 2
доказана. ¦
Аоказательство теоремы 1. Пусть (р — внешняя форма степени I на
пJп .
П>2п
,аУ
линей-
линейное /-мерное подпространство пространства М2п; пусть v\,..., vt и v\,...,«,' —
произвольные ортонормированные базисы пространства V одного класса ори-
ориентации. Из закона преобразования /-мерной внешней формы в /-мерном
пространстве (а именно: умножение на определитель линейного преобразова-
преобразования) сразу следует, что tp(vi,...,vi) - <p (»',,... ,v,'). Поэтому форму (р можно
корректно определить как функцию на множестве классов ориентированных
ортонормированных базисов одного и того же подпространства (при изменении
подпространства будет меняться и функция (р). Другими словами, /-форма <р
на евклидовом пространстве Ж2" определяет функцию (обозначаемую той же
буквой <р) на многообразии Грассмана G2ni ориентированных /-мерных подпро-
подпространств в М2п (см. §5). Класс ориентированных ортонормированных базисов
подпространства 7, т.е. точку из G2n;i, обозначим через V.
T.Y
-Y=X
Y=X—
Рис. 124.
Пусть теперь X — комплексное подмногообразие в М и пусть Y —
допустимая вариация. Обозначим, как и прежде, через ТХХ (соответственно
TyY) касательное пространство к подмногообразию X (соответственно Y) в
точке ж (соответственно у). Пусть Z — подмногообразие в М такое, что
8Z = X U (-Y) (рис. 124). Пусть ш = ^g^dz' /\dz' — определенная выше
замкнутая 2-форма на М, и пусть crk = ^оА Тогда очевидно и dak = 0. По
формуле Стокса
0
= / dak = I ak = I o-k - I <Tk ~ I о-k, т. e. / ak = j
Z dZ XU(-Y) X Y X Y
ak.
Обозначим 2&-мерные внешние формы объема подмногообразий X и У через dx
и dy соответственно. Тогда
J <*к = j <тк {ТХХ) dx; J ak = J ak {%Y) dy.
XX Y Y
Так как X — комплексное подмногообразие в М, т. е. ТХХ — комплексное под-
подпространство в ТХМ = С" = I2" , то согласно лемме 2ак (ТХХ) = 1, o-k(fyY) ^ 1

274 Глава 8. Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
(напомним, что Y — не обязательно комплексное подмногообразие). Отсюда
v(X) = I <te = J (Tk(TxX) dx = J ffk (TyY) dy^ fdy = v (Y).
XX Y Y
Таким образом, первая часть утверждения теоремы доказана. Далее, очевидно,
что равенство v (X) = v (Y) достигается тогда и только тогда, когда на мно-
множестве полной 2&-мерной меры выполнено тождество <г*. (TyY) = 1. Согласно
лемме 2 это последнее тождество равносильно тому, что TyY — комплексное
подпространство для у EY (для почти всех точек у € Y), т. е. Y — комплексное
многообразие в М. Теорема доказана полностью. ¦
Из доказательства теоремы видно, что предположение о неособости подмного-
подмногообразия ХсМне является существенным ограничением. Доказательство (в терминах
подмножеств полной меры) проходит и для алгебраических комплексных поверхностей
X С М (т.е. задаваемых системой полиномиальных уравнений на М) несмотря на то,
что такие поверхности могут иметь особые точки (например типа конусов над гладкими
многообразиями). В этом случае условие бордантности X и Y следует заменить более
общим соотношением: X гомологично Y в группе H2t(M,dX), т.е. X kY определяют
один и тот же элемент в группе HjuW, дХ).
В СР" подмногообразие СР* A ^ к ^ п) реализует образующую в группе
" Z) = Ъ и явл б
р ( ^ ^ п) реализует образующую в группе
ikiC ,Z) = Ъ и является глобально минимальным в этом гомологическом классе.
Можно доказать (это уже менее тривиальный факт), что если Y С СР" — какое-нибудь
2А;-мерное подмногообразие, реализующее образующую 1 € Ъ = ff2s(CP",Z) и такое,
что v(V) = v (СР*), то существует преобразование СР" ->• СР" из группы SU (п + 1),
переводящее Y в СР*. Другими словами, подмногообразие СР* С СР" является
единственным (с точностью до изометрий) решением многомерной вариационной
задачи (на абсолютный минимум) в классе гомологии 1 € Ъ = Я2*(СР",2). Более
того, оказывается, что если Y реализует элемент тн ? Z — H2t(CPn,Ii), m ф ±1, то
v (У) > v (СР*). Мы не будем здесь доказывать все эти утверждения.
Список литературы
1. Зейферт Т., Трельфаллъ В. Топология. — М.; Л.: ГОНТИ, 1938.
2. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. — М.: Наука, 1981.
3. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы теории
гомологии. — М.: Наука, 1984.
4. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1974.
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1973.
6. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977.
7. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. — М.: Наука, 1975.
8. Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических систем в астрофи-
астрофизике и газовой динамике. — М.: Наука, 1980.
9. Нелинейные волны. — М.: Наука, 1979, с. 60-72.

Предметный указатель
Абелев тор, 31
Алгебра Лн, 21
полупростая, 24
простая, 24
Zi -градуированная, 41
Алгебраическое число неподвижных точек
(число Лефшеца), 98
Аннулятор скобки Пуассона, 231
База накрытия, 109
— расслоения, 136,153
Белая дыра, 237
Биголоморфная эквивалентность, 27
Бутылка Клейна, 103
Вакуумное решение, 251
Вариационная производная, 224
Вектор, 10
Вложение многообразия, 61
Времениподобная функция, 235
Гауссово отображение, 73
Гессиан, 68
Гомотопическая эквивалентность, 106
Гомотопия, 77
— относительная, 79
Гравитационный коллапс, 237
Группа Вейля, 187
— голономий, 158
— гомологии одномерная, 118
— зацепления, 194
— изотропии, 35
— когомологий, 190
— кос, 199
— Ли, 16
комплексная, 30
простая, 24
— Мебиуса, 127
— преобразований дискретная, 114
— структурная расслоения, 153
— узла, 194
— фуксова, 124
— фундаментальная, 104
Группы гомотопические, 131
относительные, 133
Двусторонняя гиперповерхность, 16
Действие группы на многообразии, 34
свободное, 154
транзитивное, 34
Динамическая система, 201
Дифференциально-геометрическая
G -связность, 174
Евклидова топология, 7
Замкнутое множество, 7
Замкнутые косы, 199
Изотопия узла, 194
Изотопные вложения, 78
Изотропная функция, 235
Инвариантное подмножество
динамической системы, 202
Индекс критической точки, 69
— особой точки векторного поля, 90
— пересечения, 95
Индуцированная топология, 7
Инстантон, 262
Интеграл Дирихле, 266
— от кососимметрического тензора по
многообразию, 55
Исчезающий цикл особой точки, 169
слоения, 222
Канторово множество, 206
Карта, 6
Картановская подалгебра, 187
Константа Хаббла, 250
Координатные окрестности, 6
расслоения, 153
Космологическая модель, 245
Коэффициент зацепления, 99
Критическая точка, 63
— — невырожденная, 68
Критическое значение, 63
Лагранжиан невырожденный, 224
Лист Мебиуса, 102
Локальные координаты, 6
Магнитный монополь, 261
Метрика на многообразии, 11
Многообразие, 6
— Грассмана, 37
— замкнутое, 13
— комплексно аналитическое, 28
— Крускала, 237
— кэлерово, 271
— линейных элементов, 47
— неориентируемое, 14
— ориентированное, 9,14
— ориентируемое, 14
— оснащенное, 146
с краем, 146
— с краем, 12
— симплектическое, 49
Предметный указатель
277
— флагов, 38
— Штифеля, 36
Многообразия диффеоморфные, 9
Множество меры нуль, 63
Модели Фридмана, 247
Модель Скирма, 265
Монодромия, 114
Надстройка, 148
Накрывающая гомотопия, 110,136
Накрытие, 109
— регулярное, 117
— с ветвлением, 112
— универсальное, 112
Неравенство треугольника, 8
Нормальное расслоение, 49
Одномерное слоение, 202
Однопараметрическая подгруппа, 21
Оснащение, 146
Особая точка векторного поля, 90
невырожденная, 90
Открытое множество, 7
Отображение голоморфное, 27
— многообразий гладкое, 9
— непрерывное, 8
— расслоений, 756
Переменные «действие-угол», 212
Погружение, 12,61
Подмногообразие, 12
Поле киральное, 263
главное, 264
— Янга— Миллса, 257
Полином Александера, 196
Правильное значение, 65
Предельный цикл, 203
слоения, 218
Представление алгебры Ли, 25
— группы, 25
— точное, 25
Преобразование гиперболическое, 127
— годографа, 234
обобщенное, 234
— калибровочное, 176
— локсодромическое, 127
— параболическое, 127
Приведение в общее положение, 67
Проекция накрытия, 109
— расслоения, 136,153
Произведение Уайтхеда, 143
Пространственноподобная функция, 235
Пространство кокасательного
расслоения, 49
— компактное, 8
— линейно связное, 8
— метрическое, 8
— накрывающее, 109
— однородное, 35
главное, 35
— отображений, 9
— паракомпактное, 55
— проективное, 17
— расслоения, 136
— расслоения, 153
— симметрическое, 38
1-го типа, 45
2-го типа, 45
— топологическое, 7
— хаусдорфово, 8
Прямая сумма расслоений, 167
Разбиение единицы, 52
Распределение, 217
— интегрируемое, 217
Расслоение ассоциированное, 155
— векторное, 153
— главное, 153
— гладкое, 153
— индуцированное, 163
— комплексно аналитическое, 167
— путей, 136
— Серра, 136
— универсальное, 163
— Хопфа, 159
— — кватернионное, 162
обобщенное, 159
— га-универсальное, 163
Регулярная точка, 65
Решение Казнера, 251
— Керра, 242
— Тауба—Мизнера, 251
— Толмена, 241
Риманова поверхность, 32
Род узла, 197
Связность в расслоении (общего вида), 156
— гомотопическая, 137
Сечение расслоения, 167
Синхронная система отсчета, 246
Скобка Пуассона, 208
невырожденная, 209
полевая, 228
дифференциально-
геометрическая, 233
локальная, 229
— Пуассона—Ли, 209
Слоение, 217
— Риба, 221
Слой накрытия, 109
— расслоения, 136
Собственное отображение (гомотопия), 79
Сопутствующая система координат, 238
Степень отображения, 79
Сфера Римана, 19

278
Предметный указатель
Сферически симметричное
многообразие, 236
Тензор, 11
Тензорное произведение расслоений, 167
Тождество Бьянки, 183
— Якоби обобщенное, 144
Тор комплексный, 30
Точка ветвления, 112
Точная гомотопическая последовательность
пары, 134
расслоения, 137
Трансверсаль динамической системы, 202
Трансверсально регулярное (t-регулярное)
отображение, 66
Транверсальное пересечение, 67
Тривиальная связность, 176
Тривиальное накрытие, 109
— расслоение, 153
Трубчатая окрестность, 74
Тэта-функция, 32
Уравнение дуальности, 261
— коммутативности, 227
— Кортевега—де Фриза, 230
— состояния, 238
— структурное, 182
Уравнения гидродинамического типа, 233
— Кирхгофа, 210
— Пфаффа, 218
— Эйлера, 210
Усреднение по группе, 59
Фазовое пространство, 208
Фокальная точка, 75
Форма Киллинга, 24
симметрического пространства, 44
— кривизны в пространстве
расслоения, 182
Формула Стокса, 56,59
Фундаментальная область, 121
Функции перехода, 7
— склейки расслоения, 153
Функция Арфа, 151
— высоты, 73
— Морса, 68
Характер представления, 25
Характеристический класс, 185
топологический, 190
Хронологическая экспонента, 178
Центр группы, 25
Черная дыра, 237
Число вращения, 204
— Уитни, 87
Эйлерова характеристика, 97
Эквивалентность расслоений, 156
Элемент объема, //
на группе инвариантный, 60
G-связность, 158,173
Я-пространство, 142
га-поле, 264
Уважаемые читатели!
Уважаемые авторы!
у Издательство «Эдиториал УРСС» специали-
специализируется на выпуске учебной и научной литературы,
в том числе монографий, журналов, трудов ученых
Российской Академии Наук, научно-исследователь-
научно-исследовательских институтов и учебных заведений.
,- Издательство «Эдиториал УРСС» полностью финансирует и
Осуществляет издание переводов книг на русском языке по вышеназ-
вышеназванной тематике на испанский и английский языки.
Издательство «Эдиториал УРСС» проводит допечатную под-
подготовку двух ежемесячных и одного ежеквартального журналов.
Основываясь на широком и плодотворном сотрудничестве с
Российским фондом фундаментальных исследований, мы предлагаем
авторам свои услуги на выгодных экономических условиях. При этом
мы берем на себя весь спектр работ по полной подготовке издания —
от набора, редактирования и верстки до тиражирования и распро-
распространения.
Уважаемые авторы и издатели!
Издательство «Эдиториал УРСС» приглашает авторов,
издательства и другие организации к взаимовыгодному сотрудниче-
сотрудничеству по вопросам распространения печатной продукции.
В настоящее время созданный при издательстве Межизда-
Межиздательский Дистрибьютерский центр полностью или частично ведет
работу по распространению книг ряда авторов и шести издательств,
среди которых московские издательства «Янус» и «Факториал».
Книги издательстве «Эдиториал УРСС» можно приобрести в магазинах
«Библио-Глобус» (м. Лубянка, ул. Мясницкая, 6)
«Дом технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
«Графоман» (м. Павелецкая, ул. Бахрушина, 28)
«/9 октября» (м. Полянка, Г Казачий пер.)
«Гилея» (м. Боровицкая, ул. Знаменка, 10)
«Летний сад» (м. Баррикадная, ул. Б. Никитская, 46)
«Союз Театральных Деятелей" (Страстной б-р, 10)
«Лит. -Худ. салон РГБИ» (ул. Кузнецкий мост, 1)
«С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
а также в книжных киосках МГУ (Воробьевы горы)
По всем интересующим Вас вопросам
Вы можете обратиться в издательство
по телефонам 135-44-23, 135-42-46
или электронной почтой urss@Ipi.ac.ru
Полный каталог изданий представлен
в Internet: http://tds.lpi.ac.ru