Text
                    ПРАКТИЧЕСКАЯ НОМОГРАФИЯ
Л. С. БЛОХ
ПРАКТИЧЕСКАЯ НОМОГРАФИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА» МОСКВА 1971
УДК 518
Б™ 13 - 70S Блох Л. С.
Б70 Практическая номография. М., «Высшая школа»,
1971, 328 стр.
С ИЛЛ.
В книге излагается методика построения номограмм различными способами, которые уже получили широкое применение или могут быть с успехом использованы для разных технических расчетов.
Даны примеры построения соответствующих инженерных номограмм.
Особое место занимает содержание графических методов обработки опытных данных, где раскрывается сущность графических методов и даются указания о тех направлениях и возможностях, которые в них заложены.
Приведены численные примеры, где показаны как определяют постоянные эмпирической формулы, когда общий вид ее найден, а также приведена методика и примеры определения по опытным данным общего вида эмпирической формулы графическими методами для случаев однофакторной зависимости, а также двухфакторной раздельной и нераздельной зависимости, рассмотрен также и случай нераздельной зависимости.
Книга предназначается в качестве учебного пособия для студентов втузов.
Она может быть использована также научно-техническими работниками, исследователями, связанными с работами, где используются методы приближенных вычислений.
Рецензенты: д. т. н. В. А. Олевский и профессор И. И. Котов.
Разрешено к изданию Министерством высшего и среднего специального образования СССР.
2—2—4 40—71
518
ЛЕВ САМУИЛОВИЧ БЛОХ
Практическая номография
Редактор А. М. Суходский
Художник А. И. Демко Художественный редактор В. И. Пономаренко Технический редактор Г. Г. Киселева Корректор 3. Г. Карабанова
Сдано в набор 26/11—71 г.	Подп. к печати 21/VII—71 г.
Формат 84Х108Уз2. Объем 10,25 печ. л. 17,22 усл. п. л. Уч.-изд. л. 16,58 Изд. № ФМ—337 Тираж 20.000 экз.	Зак. 2661. Цена 74 коп.
План выпуска литературы издательства «Высшая школа» (вузы и техникумы) на 1971 г. Позиция № 40. Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14, Издательство «Высшая школа»
Московская типография № 8 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР, Хохл<	й лл)
МГУ
ПРЕДИСЛОВИЕ
На Первом международном математическом конгрессе (Париж, 1890 г.) номография была выделена как отдельная математическая дисциплина, занимающаяся графическим решением различных видов уравнений и графическими методами вычислений по формулам.
Такое выделение объясняется прежде всего тем, что уже ко времени созыва конгресса построение и применение номограмм для различных инженерных расчетов получило значительное развитие. К тому времени были уже известны логарифмические шкалы и их применение для построения номограмм. В последующие десятилетия количество различных типов номограмм значительно увеличилось.
Из чисто математической дисциплины номография превратилась в прикладную науку, знакомство с которой в большой степени облегчает и упрощает любые инженерные расчеты.
В настоящее время знание номографии необходимо не только при построении расчетных инженерных номограмм, но и для определения зависимости между изучаемыми переменными факторами при проведении различных исследований.
Нахождение эмпирической формулы на основе опытных данных аналитическим методом представляет собой задачу весьма сложную, так как она решается чаще всего методом подбора.
Обычно исследователь, ознакомившись подробно с табличными данными и графиками, отвечающими результатам опытов, выбирает наиболее вероятный, по мнению исследователя, вид эмпирической формулы. Затем подставляет последовательно все опытные данные в эмпирическую формулу и получает серию уравнений, неизвест-
3
ними которых являются постоянные величины выбранной эмпирической формулы.
Решая полученные уравнения исследователь находит эти постоянные величины, а следовательно и первый вариант эмпирической формулы.
Следующим этапом является проверка соответствия найденной формулы всем опытным данным. Для этого по найденной формуле вычисляют значения искомой величины для всех опытных данных и сопоставляют результаты по формуле с результатами опытов.
Если отклонения оказались в своем большинстве незначительными, то найденная эмпирическая формула считается приемлемой. В противном случае надо выбрать второй вариант эмпирической формулы и повторить все вычисления. Подбор новых вариантов продолжается до тех пор, пока найденная эмпирическая формула не будет приемлемой для всех опытных данных. Такой способ подбора формулы очень сложен и требует от исследователя выполнения значительного объема вычислительных работ.
Задачу подбора вида эмпирической формулы можно во многих случаях облегчить, если применить графические методы обработки опытных данных.
Сущность этих методов заключается в том, чтобы найти, какие надо построить на осях координат функциональные шкалы, чтобы при построении на графиках результатов опытов получить прямые линии или близкие к ним. Если такие шкалы будут найдены, то будет известен общий вид эмпирической формулы.
В последнее время любая исследовательская научно-техническая работа считается законченной лишь в том случае, если найденная между изучаемыми факторами зависимость выражена эмпирической формулой.
В данном руководстве рассматриваются две задачи: 1) составление расчетных номограмм, 2) графический метод обработки опытных данных.
Решение этих задач способствует внедрению в инженерную практику различных счетных и вычислительных машин.
Любая построенная номограмма представляет собой расчетный инструмент, пользуясь которым можно без вычислений быстро определить результаты расчетов по заданной формуле при любых значениях переменных. Если на необходимые вычисления для построения номограммы, 4
и на ее графическое изображение нужно затратить много времени, то это все оправдывается лишь в том случае, когда номограмма будет использована для постоянных многократных вычислений.
Наибольшую затрату времени для построения номограмм вызывает наличие на ней кривых и особенно криволинейных шкал, поэтому в настоящем практическом руководстве описаны только те типы номограмм, которые не требуют криволинейных шкал, а тем более бинарных полей.
На построение наиболее сложной номограммы любым из описанных далее методов требуется не более 1,5—' 2 часов, а в тех случаях, когда можно использовать готовую основу номограммы, или готовые функциональные сетки, или заготовленные шаблоны различных неравномерных шкал разных модулей, потребное на построение номограмм время значительно уменьшается.
Как будет видно из второй части, при обработке опытных данных также широко применяются разнообразные функциональные сетки, на построение которых приходится расходовать достаточно много времени. Поэтому в конце книги в качестве приложения дается набор функциональных сеток с наиболее часто применяемыми неравномерными шкалами, построенными в удобных для практических целей масштабах. Они могут быть использованы как при построении номограмм, так и при обработке опытных данных.
ВВЕДЕНИЕ
Номографические методы расчетов имеют по сравнению с аналитическими, значительные преимущества:
1.	Составление практически удобных справочных таблиц требует обычно весьма большой затраты времени на вычислительные работы, в особенности в тех случаях, когда пределы изменения переменных величин велики, причем с увеличением этих пределов увеличивается и затрата времени на вычисления.
Построение номограммы требует значительно меньшей затраты времени, чем составление справочной таблицы, причем построение весьма мало зависит от пределов изменения переменных.
2.	Справочные таблицы дают обычно зависимость лишь между двумя или тремя переменными.
Добавление в справочной таблице четвертого переменного во много раз осложняет составление таблиц и увеличивает затрату времени на вычислительную работу.
Номограммы могут быть построены для технических формул с любым числом переменных.
3.	Справочные таблицы дают зависимость между переменными величинами только для их определенных значений. Промежуточные значения, не имеющиеся в таблице, могут быть найдены интерполированием. Для этого требуются знания законов изменения значений переменных. Вычисления, сопряженные с интерполированием, могут быть столь сложны, что приходится либо ограничиться приближенным определением, либо следует отказаться от пользования таблицами.
По номограмме не представляет затруднений найти зависимость между любыми значениями переменных, проведя графическое интерполирование, которое не требует особых вычислений.
6
4.	Если значения переменных величин, ДЛЯ которых определяется зависимость, находятся вне пределов значений, данных в справочных таблицах, то таблицы не дают в таких случаях никакого упрощения в расчетах.
Номограмма же дает возможность выявить в таких случаях зависимость между переменными или путем эк-строполирования, т. е. продолжая на глаз кривые номограммы, считаясь с характером изменения их кривизны, или путем «удлинения» номограммы, требующей незначительных дополнительных расчетов и построений.
5.	Справочные таблицы при решении «обратных задач» для функций с двумя и тремя переменными дают лишь приближенные значения, а при большем числе переменных решение «обратных задач», пользуясь справочными таблицами, обычно не представляется возможным.
Пользуясь номограммой, можно решить любую «обратную задачу» независимо от числа переменных, входящих в техническую формулу, для которой построена номограмма.
6.	Если справочные таблицы составлены для технической формулы, вычисления по которой требуют метода подбора, то каждый подбор для своей проверки вызывает необходимость различных подсчетов, часто весьма сложных, и при значительном числе подборов на решение задачи приходится затратить много времени.
Номограммы благодаря их наглядности на много облегчают технические расчеты, требующие применения «метода подбора», и уменьшают число необходимых подборов.
7.	Справочные таблицы, составленные в результате проведенных экспериментальных опытов для переменных, функциональная зависимость которых изучается, обычно не помогают установить характер этой зависимости и если это удастся, то в результате весьма сложных и продолжительных вычислений.
Графики, построенные по таким же данным, дают во многих случаях возможность определить характер зависимости переменных, т. е. найти общий вид эмпирической формулы.
Что же касается вопроса о том, что аналитические методы расчета могут дать любую желаемую точность, а при номографических методах расчета эта точность в большинстве случаев может быть весьма ограничена, подробно будет рассмотрено ниже.
7
1. Погрешность технических расчетов при аналитических методах вычислений. В результате вычисления полученные числа, с которыми приходится иметь дело при инженерных и научно-исследовательских работах, делятся на точные и приближенные. К точным относятся ®се числа счета, а к приближенным — все результаты, полученные от измерения величин.
Измерения могут быть проведены с большой степенью точности, но с некоторым приближением.
Если среди исходных данных, принятых для расчета и вычислений, имеется хотя бы одно приближенное число, то полученный результат, независимо от выбранной точности, с которой проведены вычисления, будет приближенным, причем погрешность результата, как правило, будет больше погрешности наименее точного приближенного исходного числа, входящего в заданные расчеты.
Это утверждение — основной закон теории приближенных вычислений.
Следует также учесть, что производя различные действия над точными числами, далеко не всегда получаются числа точные.
В результате сложения, вычитания, умножения и возвышения в целую степень точных чисел получаем всегда числа точные.
В результате деления точных чисел и извлечения из них корней получаются точные числа лишь в том случае, если это действие совершается нацело.
В результате логарифмирования точных чисел получаются всегда приближенные числа, за исключением случаев, когда логарифмируется (при основании десять) число, представляющее собой единицу с последующими или предшествующими нулями.
Таким образом, даже при действии только над точными числами результаты могут быть приближенными.
Но и в тех случаях, когда результат получается точный, не всегда целесообразно сохранить в нем все цифры. Например, от деления 39 на 128 (двух точных чисел) получаем:
39:128=0,3046875.
Это число точное, но для обычных технических расчетов такая точность излишняя. Можно откинуть последние четыре знака и так как первая из откидываемых цифр больше пяти, то увеличиваем последнюю сохраненную
8
цифру на единицу, и принятый результат будет 0,305. Как видим, из точного он превратился в приближенный.
Часто в формулы входят такие постоянные величины как л = 3,14159 (отношение длины окружности к диаметру), 9,80665 (ускорение силы тяжести на уровне моря и для широты 45°) и е=2,71828 (основание натуральных логарифмов). Эти иррациональные числа — приближенные и, следовательно, результаты, которые получаются по формулам, их содержащим, всегда будут тоже приближенные, а точность их будет зависеть от числа значащих цифр, принятых в формуле для этих постоянных.
Часто считают, что заданные исходные данные следует рассматривать как числа точные. В действительности это далеко не так. Если, например, производят расчет деревянной балки прямоугольного сечения и принято, что размеры ее 26X18 см, а пролет 4,5 м, то в действительности окажется, что размеры сечения уложенной балки будут колебаться в ту или другую сторону от принятых до 2—3 мм, а фактический пролет балки колеблется даже до 3 см. Следовательно считать, что заданные исходные данные всегда обеспечивают получение точного результата нет никаких оснований.
Вычислители часто пользуются справочными расчетными таблицами, где данные приводятся с четырьмя, пятью и даже шестью значащими цифрами. Но все эти цифры являются верными лишь в тех случаях, когда исходные данные числа — точные. Между тем, как видно из приведенного выше примера, входящие в формулы технического расчета исходные величины в большинстве своем числа приближенные, поэтому только первые цифры табличных данных будут верными.
Часто вычислители не учитывают эти обстоятельства и с исключительной добросовестностью выписывают из справочных таблиц, приведенные в них с большой точностью необходимые для расчетов величины. Очевидно, что это лишь усложняет вычислительную работу, но не увеличивает точности результата.
Многие формулы технического расчета имеют поправочные коэффициенты или коэффициенты запаса прочности. Эти коэффициенты всегда числа приближенные и чаще всего однозначные, реже двухзначные. Результат вычислений по таким формулам не может иметь более двух верных цифр, а обычно всего одну.
В последние годы во всех областях техники, в резуль
9
тате проводимых в большом масштабе различных научно-исследовательских работ, выведено значительное число эмпирических формул, которыми и пользуются для дальнейших расчетов. В этих формулах все коэффициенты и показатели степеней, отличные от единицы, обычно числа приближенные и имеют чаще всего не более двух, реже трех верных цифр.
Необходимо, чтобы каждый вычислитель умел определить точность любого приближенного числа, входящего в расчет, а это позволит установить возможную точность как промежуточных, так и окончательных результатов, что избавит от весьма значительных излишних вычислительных работ.
Каждое приближенное число имеет какую-то . погрешность.
Различают погрешность абсолютную, которая равна разности между истинным значением величины и ее принятым приближенным значением, и погрешность относительную, которая равна частному от деления абсолютной погрешности на истинное значение величины. Если эту величину помножить на 100, то получаем значение относительной погрешности. Она выражается в процентах.
Для технических расчетов, при сопоставлении точности полученных результатов, обычно принимают в качестве единицы измерения точности значение относительной погрешности в процентах.
В приведенном выше примере деления двух точных чисел дан точный результат, а принято для него приближенное значение. Абсолютная погрешность последнего будет
0,305 — 0,3046375=0,0003125,
а относительная погрешность
0,0003125 ЛЛП1ПОС пю/
—?--------= 0,001025 или 0,1%.
0,3046875
Такая относительная погрешность является обычно допустимой для большинства технических расчетов.
Округление приближенных чисел как заданных так, тем более, полученных в результате математических действий над приближенными числами, приходится производить почти во всех технических расчетах, чтобы сократить вычислительную работу.
10
Для того, чтобы обеспечить наименьшую ошибку при округлении как приближенных, так и точных цифр необходимо придерживаться следующих правил:
1 Если первая из отбрасываемых или заменяемых нулями цифр равна или больше пяти, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на единицу. В этом случае будет иметь место увеличение числа, ио не больше чем на 0,5 единицы того разряда, которому отвечает последняя сохраненная цифра.
Округляя, например, число 37,24762 до четырех значащих цифр, получим 37,25, это число превышает заданное на 37,25—37,24762 = 0,00238, что меньше 0,005, т. е. меньше 0,5 единицы того разряда, которому отвечает последняя сохраненная цифра.
2. Если первая из отбрасываемых или заменяемых нулями цифр меньше пяти, то последняя сохраняемая цифра не изменяется. В этом случае будет иметь место уменьшение числа, но и в данном случае не больше, чем на 0,5 единицы того разряда, которому отвечает последняя сохраненная цифра.
Округляя, например, 0,29724 до трех значащих цифр, получим 0,297. Это число меньше заданного на 0,29724— —0,29700=0,00024, что меньше 0,0005, т. е. меньше 0,5 единиц того разряда, которому отвечает последняя сохраняемая цифра.
Следовательно, для приведенных примеров справедливы следующие неравенства:
37,245 <37,25 < 37,255,
0,2965 <0,297 < 0,2975.
Подобные же неравенства могут быть написаны для любого приближенного числа, даже если неизвестно, какие цифры были отброшены при его округлении.
В то же время такие неравенства определяют предел возможных погрешностей для данного числа.
Определяем максимальную возможную относительную погрешность для принятого нами приближенного числа 37,25. Для этого используем первое неравенство
37,25 — 37,245	0,005 п пплюи А П1
— ----—— = -—=0,000134 или 0,01%.
37,25	37,25
Она будет одна и та же по любому из указанных пре
11
делов. Аналогично, используя второе неравенство, получим
0,297 — 0,2965	0,0005 n nrnco л оЛ,
—------1---=-J——=0,00168 или 0,2%.
0,297	0,297
Из сравнения относительных погрешностей обоих полученных приближенных чисел можно установить следующее: чем больше верных значащих цифр в приближенном числе, тем относительная погрешность меньше. Но и при одном и том же числе верных цифр в приближенном числе относительная погрешность может изменяться в девятикратном размере. Покажем это на примере.
Пусть имеются два двухзначных приближенных числа 9,9 и 11, удовлетворяющих следующим неравенствам:
9,85 <9,9 <9,95,
10,5 <11 <11,5.
Определяем максимальные возможные относительные их погрешности:
9,9~9’.8L=°^=0,00505 или 0,5%, 9,9	9,9	’
11-1°,5==2^=0,0454 или 4,5%.
11	11
Во втором примере относительная погрешность оказалась в девять раз больше. Следовательно при одном и том же количестве верных значащих цифр в приближенных числах их погрешность тем меньше, чем больше значение первой значащей цифры.
Из приведенных примеров видно, что по количеству значащих цифр приближенного числа и по значению его первой цифры можно определить с достаточной для практических целей точностью относительную погрешность любого приближенного чиСла.
В табл. 1 приведены соответствующие данные для приближенных чисел с равным количеством значащих верных цифр.
Данные этой таблицы показывают, что получение в результате вычислений трех верных цифр является в большинстве инженерных расчетов совершенно достаточным, а во многих случаях даже две верные цифры дают необходимое решение.
12
Таблица 1
Относительная погрешность в процентах приближенных чисел
Первая цифра числа	Относительная погрешность, в %			
	однозначные числа	двузначные числа	трехзначные числа	четырехзначные числа
1	50	ОТ 5	ОТ 0,5	ОТ 0,05
2	25	> 2,5	> 0,25	> 0,025
3	17	» 1,7	> 0,17	> 0,017
4	12	> 1,2	> 0,12	> 0,012
5	10	> 1,0	> 0,10	> 0,010
6	8,3	> 0,83	> 0,083	> 0,0083
7	7,1	> 0,71	> 0,071	> 0,0071
8	6,2	> 0,62	> 0,062	> 0,0062
9	5,6	> 0,56	> 0,056	> 0,0056
В то же время таблица показывает, что каждая дополнительная значащая цифра приближенного числа уменьшает относительную его погрешность в десять раз.
Но увеличение во всех исходных приближенных данных числа верных значащих цифр значительно усложняет и увеличивает вычислительную работу, поэтому в большинстве технических расчетов чаще всего ограничиваются тремя значащими цифрами для исходных данных. Рассмотрим на численных примерах, какая может получиться в этих случаях относительная погрешность результатов вычислений, если для промежуточных результатов, в целях получения большей точности, сохранить все полученные значащие цифры.
Пример. 1. Требуется перемножить четыре приближенных числа с тремя верными цифрами в каждом, а именно:
W = 2,16-0,145-0,854-2,37.
Выполним умножение с максимальной точностью, т. е. с сохранением в промежуточных результатах всех значащих цифр:
2,16-0,145 = 0,31320,
0,854-2,37 = 2,02398, 0,31320-2,02398 = 0,6339105360.
Для того, чтобы установить, какие цифры в полученном числе считать верными, найдем между какими предельными значениями будет находиться численная величина полученного результата.
13
Так как все заданные четыре числа приближенные, то истинные их значения должны находиться между следующими пределами:
2,155 <2,16<2, 165
0,1445 <0,145 <0,1455,
0,8535 <0,854 <0.8545,
2,365 <2,37 <2,375.
Определим возможные минимальное и максимальное значения искомого числа:
Л^мин. = 2,155.0,1445-0,8535-2,365 = 0,3113975*2,0185275 =
= 0,62856441718125;
^макс. 2,165*0,1455-0,8545*2,375 = 0,3150075-2,0294375 ==
= 0,63928803328125.
Следовательно имеем
0,62856441718125 < 0,6339105360 < 0,63928863328125.
Сопоставляя полученные значения 2УМин. и Ломакс, с найденным значением N, видим, что в последнем можно принять верной только первую значащую цифру шесть и, следовательно, W=0,6.
Очевидно, что результат с такой же точностью можно получить, воспользовавшись даже карманной логарифмической линейкой с длиной модуля шкал 6,25 см, и никакой пользы от наших столь точных вычислений в данном случае не получилось.
а №
Пример 2. Определить число W ~ при следующих при-с d
ближенных значениях: а=6,43; 6=27,4; с=3,81 и d=4,32 и найти число верных цифр в результате.
Сохраняя в промежуточных вычислениях по три значащие цифры, получим:
__ 6,43*27,42 _ 6,43-751 _ 4890 _ “3.81-VT32 ~ 3,81-2,08 - 7,92“ ° ’ ’
Сопоставим этот результат с максимально и минимально возможными значениями числа N, определенным путем непосредственных вычислений, сохраняя в промежуточных результатах для большей точности все полученные значащие цифры, и тогда определяем число верных цифр значения N.
__ 6>435*27,452 __ 6,435*753,5025 __ 4848,7885875
МаКС’~ 3,805-ГТ315 “ 3,805-2,0772 ” 7,9037450 “ 13Д
_ 6,425-27,352 _ 6,425-748,1225 _ 4866,6870625_
мин’ ~ 3.815-/4125 “ 3,815-2,0797 ~ 7,9340555 - °5’ '
14
Следовательно,	605 8 < 609,8 <613,5.
Убеждаемся, что в полученном числе 609,8 верна лишь первая цифра, но с учетом правила дополнения, получим 61-10.
Т В обоих приведенных примерах было только по четыре приближенных числа. Если их в расчетной формуле будет больше, то точность результатов будет еще меньше.
Следовательно, утверждение, что аналитические методы расчетов могут обеспечить любую желательную точность, не соответствуют действительности.
2. Погрешность технических расчетов при номографических методах вычислений. При применении номографических методов расчета начинают обычно с построения шкал для исходных данных и искомой величины.
Шкалой называется прямая или кривая линия с нанесенными на ней по определенной математической зависимости штрихами, против всех или части которых имеются числовые пометки. Линия, на которой строится шкала, называется носителем шкалы.
Расстояние между соседними штрихами называется делением шкалы, а разность численных пометок, отвечающих двум соседним штрихам, называется ценой деления.
Надписание числовых пометок против всех штрихов не всегда представляется возможным и в этих случаях ряд штрихов остаются без пометок. Такие штрихи называются немыми. Цена деления между немыми штрихами, расположенными между двумя ближайшими штрихами с пометками, должна быть одинаковой.
Если расстояния между каждой , парой последовательных штрихов равны между собой и соответственно равны между собой все разности числовых пометок против этих штрихов, то такая шкала называется равномерной. Цена деления на всем протяжении равномерной шкалы постоянная, а следовательно, одинакова и абсолютная погрешность отсчетов по всей шкале.
Примерами равномерных шкал могут быть шкалы миллиметровой линейки, применяемой при черчении, шкала обычного термометра, шкалы на лимбах геодезических приборов и т. д.
Если деления шкалы, имеющие одну и ту же цену на всем ее протяжении не равны, а изменяются по определенной математической зависимости, то такая шкала называется неравномерной и абсолютная погрешность отсчетов по ней по всей длине различная.
15
Примером неравномерной шкалы, наиболее часто применяемой при построении номограммы, может служить логарифмическая шкала.
При графических методах обработки опытных данных часто кроме логарифмических шкал применяют также квадратичные шкалы, обратные шкалы и другие.
Каждая шкала, как равномерная, так и неравномерная, выражает закон изменения величины, для которой построена шкала. Этот закон изменения обычно выражают формулой, которую называют уравнением шкалы.
Длина шкалы зависит от предельных значений величины, для которой она построена, но очевидно и от выбранного масштаба для ее построения. Этот масштаб называется модулем шкалы и равен длине отрезка, отвечающего значению единицы нашей величины. Модуль шкалы измеряется обычно в миллиметрах.
В уравнении шкалы Л — модуль, он входит здесь в виде множителя. Изменяя его, увеличиваем или уменьшаем длину шкалы, а следовательно и точность отсчетов по ней.
Общий вид уравнения прямолинейной равномерной шкалы может быть записан так:
у=\(х — xj (мм),	(1)
где % — выбранный модуль шкалы, мм\
Xi — численное значение нижней пометки шкалы;
х — численное значение величины, для которой определяют положение штриха.
Если х будет численным значением верхней пометки шкалы, то у по формуле (1) определяет длину шкалы в миллиметрах. Пользуясь формулой (>1), можно определить модуль шкалы, если задана ее возможная длина у и значения предельных пометок х и хь
Имеем:
Х=ТГ^(Л€И)-	(2)
При нижней пометке Xi=0, получаем:
Х=±-(.ил).	(3)
16
Для нижней пометки с отрицательным знаком ( —Xi) формула принимает следующий вид:
X——— (мм).
X 4- Х1
Приведем несколько примеров построения равномерных шкал с разными предельными пометками для шкал одинаковой длины и определим относительные погреш-ности отсчетов по ним.
«7-q
<f-е
7^
г?-Ё /4
4<-е
J-f
2-Е
7-ё
Рис. 1. Равномерная шкала от О До 10 с модулем Х= = 10 мм
790-^
ffO-x Л л
J л л И
4 о!
Рис, 2. Равномерная шкала от 0 до 100 с модулем %= = 1 мм
1000
900^
809-4.
799^
6004
590^.
1/09-4
Ъ004
290\
7ОО-{ 0^
Рис. 3. Равномерная шкала от 0 до 1000 с модулем %=0,1 мм

W-E
35^
30 4
25--
10 -Э
Рис. 4. Равномерная шкала от 20 до 45 с модулем А,— =4 мм
На рис. 1, 2, 3 и 4 даны построения четырех разных равномерных шкал длиной у = 100 мм.
Определяем значения модулей для каждой из них.
1) Для шкал по рис. 1, 2 и 3 определяем длину модулей по формуле (3), где х — верхняя пометка.
Для шкалы по рис. 1 получаем:
1	X = —= — == 10 (ми).
х 10
Для шкалы по рис. 2 имеем:
,	100	, , х
Х=— = 1 (мн).
100 v
Для шкалы по рис. 3 имеем:
2) Для шкалы по рис. 4 определяем длину модуля по формуле (2), где х — верхняя пометка, a Xi — нижняя.
100 юо . , v _=4 (мм), /о
х — *1	.45 — 20
Далее определяем относительную погрешность отсчетов по этим шкалам в разных их частях, приняв, что на глаз можно достаточно точно разделить 1 мм шкалы пополам, а это определяет величину абсолютной погрешности отсчетов.
В табл. 2, 3 и 4 даны величины относительных погрешностей отсчетов в процентах по шкалам на рис. 1, 2 и 3 в разных их местах.
Для каждой шкалы даны ее модуль и абсолютные погрешности отсчетов.
Относительные погрешности отсчетов определялись по формуле:
8= — . 100 (%),	(4)
X
где Л — абсолютная погрешность отсчета;
х — значение пометки, для которой определяется погрешность.
18
Таблица 2
Относительные погрешности отсчетов в процентах в разных местах шкалы на рис. 1
Модуль шкалы %=10лм/, абсолютная погрешность отсчетов А=0,05
Значения пометки х	1	2	4	6	8	10
Относительная погрешность, %		5	2,5	1,25	0,83	0,62	0,5
Таблица 3
Относительные погрешности отсчетов в процентах в разных местах шкалы на рис. 2
Модуль шкалы /.=1 мм абсолютная погрешность отсчетов А=0,5
Значения пометки х	10	20	40	60	80	100
Относительная погрешность, %		5	2,5	1,25	0,83	0,62	Д 5
Таблица 4
Относительная погрешность отсчетов в процентах в разных местах шкалы на рис. 3
Модуль шкалы %=0,1 мм, абсолютная погрешность отсчетов А=5
Значения пометки х	100	200	400	600	800	1000
Относительная погрешность,	5	2,5	1,25	0,83	0,62	0,5
Из сопоставления данных, приведенных в таблицах 1, 2 и 3 заключаем:
1) увеличение значений пометок в несколько раз при той же длине шкалы не увеличивает относительную погрешность отсчетов;
2) на одной и той же шкале относительная погрешность отсчетов уменьшается с увеличением значений пометок, причем может оказаться, что для нижних пометок
19
относительная погрешность чрезмерна и для практических целей низ шкалы не годится, в то время, как верхняя часть шкалы дает вполне достаточную точность.
Например, из табл. 2 и рис. 1 видим, что отсчеты по шкале до пометки 1 дают относительную погрешность более 5%. То же имеет место для отсчетов до пометки 10 шкалы на рис. 2 и до пометки 100 шкалы на рис. 3. Такая относительная погрешность обычно чрезмерна и поэтому использовать номограмму в этих частях шкалы нельзя. Если требуется, чтобы номограмма давала отсчеты с достаточной относительной точностью и для этих частей шкалы, то следует увеличить модуль шкалы до необходимых размеров. Но это не всегда представляется возможным. В таких случаях следует строить две самостоятельные номограммы — одну, на которой шкала изменений переменной будет, например, от 0 до 10, а вторую, на которой шкала изменений той же переменной будет от 0 до 100, тогда допустимая относительная погрешность будет иметь место для всех значений переменной от 1 до 100.
Обычно, для упрощения построения таких двух номограмм их объединяют в одну, но с двойными шкалами для переменных. Пример построения такой номограммы будет дан в главе II.
Если нижние значения пометок шкалы не имеют практического значения, то целесообразно эту часть шкалы не строить и за ее счет увеличить модуль шкалы, от этого уменьшится относительная погрешность отсчетов по шкале.
На рис. 4 дана шкала длиной 100 мм с предельными значениями пометок от 20 до 45.
Модуль ее, определенный по формуле (2), равен 4 мм.
Относительные погрешности отсчетов по этой шкале будут изменяться в следующих пределах: от 0,62% для х==20 до 0,23% для х=45, следовательно погрешность отсчетов по всей шкале рис. 4 не превышает практически допустимую, а если эти данные сопоставить с данными табл. 1, то оказывается, что шкала рис. 4 дает в своих отсчетах три верные цифры.
Остается сопоставить данные табл. 2, 3 и-4 с данными табл. 1 и убедиться, что отсчеты шкал на рис. 1, 2 и 3 дают две верные значащие цифры.
Из всего изложенного видно, что равномерные шкалы, несмотря на их основной недостаток (различная от-20
носительная погрешность отсчетов по ее длине), пр. надлежащем выборе модуля могут всегда дать отсчет с двумя и даже тремя верными цифрами и, следовательно, по точности своей не уступают точности аналитических методов технических расчетов.
Из неравномерных шкал приводим прежде всего построение логарифмической шкалы, которая очень часто применяется как при построении расчетных номограмм, так и при графических методах обработки опытных данных.
Уравнение логарифмической шкалы будет:
z/=Mgx (мм),	(5)
где X — модуль шкалы, мм.
Для построения логарифмической шкалы, как видно из формулы (5), надо определять по таблице логарифмов значения логарифмов для разных х, умножать их на выбранную величину модуля шкалы и полученные числа миллиметров откладывать от начальной точки носителя шкалы, отмечая полученную точку штрихом и пометкой, которая отвечает значению х, а не его логарифма.
Так как 1g 1=0, a 1g 10=1, то по формуле (5) получаем:
r/i=Xlgl=0,
</io=Mg ю=х.
Поэтому в начале логарифмической шкалы ставят пометку 1, а на расстоянии 1 от нее — пометку 10. Следовательно, длина логарифмической шкалы от штриха с пометкой 1 до штриха с пометкой 10 равна ее модулю.
В табл. 5 приведены найденные по формуле (5) различные значения у при 1=100 мм для разных значений х от 1 до 10.
На рис. 5 на прямой АВ по данным табл. 5 построена логарифмическая шкала длиною в один модуль, равный 100 мм. На том же рисунке дан шаблон для построения логарифмических шкал любого модуля в пределах до 100 мм.
Для этого на расстоянии, равном модулю шкалы, т. е. на расстоянии 100 jwjw, от шкалы АВ, взята на середине точка О, которую соединяем тонкими линиями со всеми делениями шкалы. Затем в точках А и В шкалы восстанавливаем к ней перпендикуляры, на которых строим
21
Таблица 5
Данные для построения логарифмической шкалы с Л =100 мм
X	1g х	yt мм	X	1g X	у, мм	X	1g X	у, мм
1,0	0	0	2,4	0,380	38,0	4,8	0,681	68,1
1,1	0,041	4,1	2,6	0,415	41,5	5,0	0,699	69,9
1,2	0,079	7,9	2,8	0,447	44,7	5,5	0,740	74,0
1,3	0,114	Н,4	3,0	0,477	47,7	6,0	0,778	77,8
1,4	0,146	14,6	3,2	0,505	50,5	6,5	0,813	81,3
1,5	0,176	17,6	3,4	0,531	53,1	7,0	0,845	84,5
1,6	0,204	20,4	3,6	0,556	55,6	7,5	0,875	87,5
1,7	0,230	23,0	3,8	0,580	58,0	8,0	0,903	90,3
1,8	0,255	25,5	4,0	0,602	60,2	8,5	0,929	92,9
1,9	0,279	27,9	4,2	0,623	62,3	9,0	0,954	95,4
2,0	0,301	30,1	4,4	0,643	64,3	9,5	0,978	97,8
2,2	0,342	34,2	4,6	0,663	66,3	10,0	1,000	100,0
равномерные шкалы длиной также по 100 мм, причем штрихи с пометками нуль на этих шкалах должны совпадать с вертикалью, проходящей через точку О.
Пользуясь таким графиком легко построить логарифмическую шкалу с любым модулем, меньшим 100 мм. Предположим, что требуется построить на какой-то прямой от какой-то точки логарифмическую шкалу с модулем 75 мм. Тогда проводим карандашом вертикаль через штрихи с пометками 75 на обоих горизонтальных шкалах рис. 5. Затем берем полоску плотной бумаги с прямым ровным краем, прикладываем ее к этой вертикали и через все точки пересечения полоски с лучами рис. 5 проводим на краю полоски штрихи, против которых пишем отвечающие им пометки.
Далее полученную полоску со штрихами прикладываем к заданной прямой так, чтобы крайний штрих полоски с пометкой единицы совпал с заданной точкой. Остается только все штрихи перенести на заданную прямую и надписать отвечающие им пометки. Полученная шкала будет логарифмическая с модулем 75 мм. Полоску бумаги с построенной логарифмической шкалой будем называть подвижной логарифмической шкалой. Она может быть использована многократно, а поэтому рекомендуется на каждой полоске вычерчивать штрихи аккуратно тушью и для удобства пользования надо шкалы вычерчивать с обеих сторон полоски бумаги и надписывать на ней значение модуля шкалы.
22
В тех случаях, когда требуется построить логарифмическую шкалу на кальке построение значительно упрощается. Проводят ма кальке прямую и затем накладывают кальку на рис. 5 так, чтобы прямая на кальке прошла через пометки на обоих равномерных шкалах, отвечаю-
Рис. 5. Шаблон логарифмических шкал разных модулей (до %= 100 мм)
щие размеру требуемого модуля логарифмической шкалы, и отмечают штрихами все точки пересечения этой прямой с лучами графика, а против штрихов пишут пометки, отвечающие пометкам лучей.
23
Рассматривая построенную на рис. 5 логарифмическую шкалу на прямой АВ, видно, что цена делений на протяжении шкалы изменяется, а именно: между пометками 1 и 2 она равна 0,1, между пометками 2 и 5 равна 0,2, а между пометками 5 и 10 равна 0,5.
Если для построения логарифмической шкалы принять больший модуль, то цены делений между всеми пометками можно соответственно уменьшить. При этом точность отсчетов, очевидно, увеличится.
Так как в практике построения номограмм приходится строить логарифмические шкалы и с большими, чем 100 мм модулями, то рекомендуем построить на плотном листе бумаги график, аналогичный приведенному на рис. 5, но на прямой АВ построить логарифмическую шкалу в один модуль длиною 200 мм и точку О выбрать на расстоянии 200 мм от прямой АВ и соответственно верхнюю и нижнюю равномерные шкалы построить длиной по 200 мм каждую. Цифры этих шкал, как указано выше, определяют положение на графике логарифмической шкалы, длина которой в миллиметрах соответственно равна этим цифрам.
Для построения логарифмической шкалы для значений х от 1 до 100 надо составить таблицу, подобную 'табл. 5 для соответствующих значений х от 1 до 100, задавшись значением модуля шкалы %. Такая таблица была нами составлена для Л=75 мм и на основе ее данных на рис. 6 приведена построенная логарифмическая шкала * для значений х от 1 до 100. Для облегчения построения сперва была построена равномерная шкала с модулем А.=75 мм в пределах от 0 до 2, что соответствует 1g 1=0 и 1g 100=2. Очевидно, модуль логарифмической шкалы будет также А,=75 мм. Полученная нами шкала по длине равна 2 модулям. Пометка в начале и конце второго модуля 10 и 100, т. е. в десять раз больше, чем в начале и конце первого модуля.
Рассматривая логарифмическую шкалу, приведенную на рис. 6, легко заметить одно из важнейших свойств логарифмических шкал. Расстояния до штрихов с пометками 2, 3, 4 и т. д. от штриха с пометкой 1 соответствен-
* При воспроизведении клише рис. 6 его оригинал был уменьшен в 0,55 раз, соответственно уменьшились и модули всех шкал этого рисунка.
24
но равны расстояниям до штрихов с пометками 20, 30, 40 и т. д. от штриха с пометкой 10.
Это значит, что расположение штрихов на протяжении каждого модуля для чисел, отличающихся десятикратностью повторяется.
Такое свойство логарифмических шкал значительно упрощает построение, когда длина их в несколько модулей, и, кроме того, позволяет на любой логарифмической шкале изменять значения пометок, увеличивая или уменьшая их в десяти, сто и т. д. кратном размере.
Пометка «ноль» на логарифмической шкале быть не может, (эта пометка располагается в бесконечности).
Необходимо помнить, что отрицательные числа не имеют логарифмов и поэтому на логарифмической шкале могут быть только положительные пометки.
Логарифмическая шкала, как и всякая неравномерная шкала, отличается от равномерной тем, что абсолютная погрешность отсчетов по ней разная по всей ее длине. В то же время она отличается от всех шкал тем, что относительная погрешность отсчетов по всей ее длине одинаковая. Докажем это свойство.
Пусть е та погрешность в любом отсчете, которая определяется величиной отрезка шкалы, не учитываемой на глаз. Длина этого отрезка очевидно будет одинаковой для логарифмических шкал любых модулей, но если его измерять в долях модуля шкалы, то значение погрешности будет постоянной для шкал одного и того же модуля и различной для шкал разных модулей.
Если по логарифмической шкале сделан отсчет х, это значит, что ответная точка находится от начала шкалы на расстоянии 1g х, отложенном в долях модуля. Если погрешность отсчета равна е (исчисленная также в долях модуля), то истинное положение ответной точки будет на расстоянии
lgx-)-e = lgx-|-lg 10e = lg(x-10s)
от начала шкалы. Следовательно значение истинной пометки будет 10* х, а абсолютное значение погрешности измерения
Д = Юх-х=л(10е- 1).
25
Соответственно относительная погрешность измерения будет равна:
5= /L10*"1) = цу—1.	(6)
X
Как видно, относительная погрешность измерения не зависит от хи, следовательно, будет одна и та же на всем протяжении логарифмической шкалы. Но так как погрешность в измеряется в долях модуля, шкалы, то, очевидно, относительная погрешность логарифмической шкалы тем меньше, чем больше модуль шкалы.
Найдем относительную погрешность отсчета по логарифмическим шкалам разных модулей, приняв погрешность отсчета х, сделанного на глаз, равную 0,5 мм.
а)	Для шкалы с модулем % = 50 сж = 500 мм имеем значения погрешности в долях модуля шкалы:
s=^=0,001.
500
Соответственно относительная погрешность по формуле (6) равна:
8=И05 -1 = 10г,,сс' —1= 1.С0233— 1= 0,С0^33- 0,23%.
б)	Для шкалы с модулем Х = 25 <ш=250 мм
е=—=0,002.
250
5 = ЮЕ — 1 = 10°’002 -1 = 1,0046 -1 = 0,0046 = 0,46%.
в)	Для шкалы с модулем %= 12,5 см —125 мм
о = 10£ — 1 = Ю0’004 -1 = 1,0093 - 1 = 0,0093 - 0,93%.
г)	Для шкалы с модулем %=10 см—100 мм
£=2^=0,005.
100
8=Юе—1 = IO0’™5 - 1 = 1,0116- 1=0,0116=1,2%.
26
rQ Для шкалы с модулем X —5 см — 50 мм Е=^ = 0,01.
50
8 = 10! - 1 = 1О0’01 -1 = 1,0233 - 1 =0,0233 = 2,3%.
е) Для шкалы с модулем Х = 3 сл^ = 30 мм
£=^ = 0,0166.
зо
а== ЮЕ - 1 = Ю°’01бе- 1 = 1,039 - 1 =- 0,039=3,9%.
Сопоставляя полученные значения относительных погрешностей в процентах для отсчетов логарифмических шкал с данными табл. 1 видно, что даже логарифмическая шкала с модулем %, равным всего 3 см, обеспечивает по всей своей длине точность большую, чем одна верная цифра. Относительная погрешность этой шкалы равна 3,9%. Такая точность вполне достаточна для многих технических расчетов. Следует учесть, что логарифмические шкалы со столь малыми модулями применяются для графических построений лишь в тех случаях, когда пределы изменения переменных не менее чем 105, что на практике имеет место весьма редко.
Применяя при построении расчетных номограмм логарифмические шкалы с модулем 100 мм и выше, получаем для искомой величины две-три верных цифры, т. е. столько же, сколько при обычных аналитических методах вычислений.
При графических методах обработки опытных данных часто приходится строить кроме логарифмических шкал и другие неравномерные шкалы, поэтому приводим описание построения шкал у=х2, y = Vх и у=— и данные об относительных погрешностях отсчетов по ним в разных местах по длине шкал.
Квадратичная шкала. Уравнение этой шкалы будет У—кх2, где Л модуль шкалы в мм. Опишем ее построение для значений х от 0 до 10. В табл. 6 приведены значения квадратов чисел от 0 до 10 и соответствующие значения У, вычисленные по уравнению шкалы для %=0,75 мм.
Построение квадратичной шкалы, пользуясь данными табл. 6, можно выполнить двумя способами.
27
Первый способ. От начальной точки носителя шкалы откладываем на ней значения у в миллиметрах из табл. 6, полученные точки отмечаем штрихами и против них пишем соответствующие значения х, взятые из табл. 6.
Таблица 6
Данные для построения логарифмической шкалы при модуле к=0,75 мм
X	X2	у, мм	X	' X2	У' мм	X	X2	У' мм
0	0	0	4,4	19,36	14,5	7,4	54,76	41,0
1	1	0,75	4,6	21,16	15,9	7,6	57,76	43,3
1,5	2,25	1,7	4,8	23,04	17,3	7,8	60,84	45,6
2	4	3	5	25	18,7	8	64	48
2,2	4,84	3,6	5,2	27,04	20,3	8,2	67,24	50,4
2,4	5,76	4,3	5,4	29,16	21,8	8,4	70,56	52,9
2,6	6,76	5,1	5,6	31,35	23,5	8,6	73,96	55,5
2,8	7,84	5,9	5,8	33,64	25,1	8.8	77,44	58,1.
3	9	6,7	6	36	27	9	81	60,7
3,2	10,14	7,6	6,2	38,44	28,8	9,2	84,64	63,4
3,4	11,56	8,6	6,4	40,96	30,7	9,4	88,36	66,3
3*6	12,96	9,7	6,6	43,56	32,6	9,6	92,16	69,1
3,8	14,44	10,8	6,8	46,24	34,7	9,8	99,04	72
4	16	12	7	49	36,7	10	100	75
4,2	17,64	13,2	7,2	51,84	38,8			
Второй способ. Строим равномерную шкалу с модулем Х=0,75 мм для значений у от 0 до 10. По этой шкале находим точки, отвечающие значениям х2 из табл. 6, переносим эти точки на параллельную прямую, отмечаем их штрихами и против них пишем пометки соответствующих значений х из той же табл. 6.
На рис. 6 второй график сверху изображает построение квадратичной шкалы по второму способу.
Этот график показывает, что квадратичная шкала с модулем Х=0,75 мм дает недостаточную относительную точность только в самом ее начале, а на остальном протяжении, равном 0,9 ее длины, дает точность, обеспечивающую две и даже три верные цифры.
Шкала корней квадратных. Уравнение этой шкалы будет у=%Ух, где X модуль шкалы. Ее построение выполнено для значений х от 0 до 100. Для этого были определены значения корней квадратных из чисел от Одо 100
28
И соответствующие значения у, вычисленные по уравнению шкалы при Х=15 мм.
Результаты вычислении были вписаны в таблицу, подобную табл. 6, и по ним построена шкала корней квадратных, приведенная на рис. 6 (вторая снизу). Она показывает,’что относительная погрешность отсчетов для пометок больше х = 2 выше б %, а для пометок больше х= = 10 уменьшается до 2,5% и следовательно до значений
0.4	0,6	0,8	1.0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0 
КШЖШЛШ1*
5 4 5 6 78310	20	30 40 50 60 708090100
0	0,1	0.2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
1,5 1,4 1,3 125
™ 20 10 86 5 4	3 2,5	2
Рис. 6. Построение шкал функций у = 1g х (длиной два модуля), у=х2, у = У~хиу= —
х=10 обеспечивается (при модуле шкалы Х= 15 мм) верной только первая цифра отсчета, а выше десяти и вторая.
Шкала обратная. Уравнение этой шкалы будет У~^- где % модуль шкалы. Для ее построения были определены величины у для значений х от 1 до оо, приняв модуль шкалы Х=150 мм. Пользуясь этими данными была построена обратная шкала (см. нижнюю шкалу рис. 6). Обратная шкала при ее модуле X=150jhj« Дает практически допустимую погрешность на протяжении 4/5 своей длины, обеспечивая от одной до трех верных Цифр в отсчетах.
29
Неравномерные шкалы с изменяющейся относительной погрешностью отсчетов по ним применяются в основном при графических методах обработки опытных данных, которые чаще всего содержат не более двух верных цифр. А если учесть, что эти методы обработки опытных данных имеют своей задачей лишь определение общего вида эмпирической формулы, соответствующей изучаемым опытным данным, то очевидно, что верности двух, а в некоторых случаях лишь одной цифры в отсчетах совершенно достаточно для выявления вида эмпирической формулы.
Все приведенные выше данные и примеры показывают, что получение двух верных цифр в результате вычислений, обычно достаточное для большинства практических расчетов, вполне обеспечивается графическими методами расчетов.
Нет необходимости доказывать, что графические построения значительно проще вычислительной работы, менее утомительны и более наглядны.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ .
ПОСТРОЕНИЕ НОМОГРАММ ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ
Глава I
НОМОГРАММЫ ИЗ СОПРЯЖЕННЫХ ШКАЛ
Для уравнения вида y=f(x), если f(x) является непрерывно возрастающей или непрерывно убывающей функцией (т. е. монотонной) может быть построена номограмма из двух сопряженных шкал.
Такие номограммы очень компактны, занимают мало места, отличаются наглядностью и всегда могут быть построены такого размера, чтобы отсчеты по шкалам давали требуемую практическую точность. Если имеется серия уравнений:
у—f(x)f z=<f (х),' ъ = $[(х) и т. Д.,
причем все функции монотонны, то и для этих уравнений может быть построена одна общая номограмма, состоящая из нескольких сопряженных шкал.
1. Уравнения вида у=f(x). В зависимости от вида уравнения y=f(x) номограммы из сопряженных шкал могут быть построены: из двух равномерных шкал одинаковых модулей, из двух равномерных шкал разных модулей, из одной равномерной и одной неравномерной шкалы и из двух неравномерных шкал равных или разных модулей.
Приведем несколько примеров построения номограмм из двух сопряженных шкал.
Пример 3. Построить номограмму для уравнения у=х+5 при значениях х от 0 до 10.
Сперва надо построить равномерную шкалу переменной х. Урав-нение этой шкалы будет
где — модуль шкалы х в мм.
31
Затем находим предельные значения z при Xi=0 и х2= 10.
Имеем:
= ХЛ-0 = (Пи г2 = ХЛ-10 ~ 10Хх.
Следовательно, длина шкалы х
lx*= z2—zi = 10ХЛ.
Уравнение шкалы переменной у
Zf =\уу = \д (х + 5),
где Ху — модуль шкалы у.
После чего находим предельные значения г' при Xi=0 и х2=10. Имеем
г1 = 5Хг/ и ^2= 15Х^.
Следовательно, длина шкалы у
ly = z2 —	— 15X# — Ь\у = 1 ОХ//.
Так как lx=lVt то
10Хх= 10Х|/ или \х~'ку.
Это значит, что модули шкалы переменных х и у уравнения t/=x+5 равны между собой.
На рис. 7 построена номограмма из двух сопряженных равно-мерных шкал одинакового модуля для уравнения г/=х+5. Шкала х построена слева, а шкала у справа.
Против нижнего штриха шкалы х имеется пометка нуль, а против соответствующего нижнего штриха шкалы у пометка 5. Против верхнего штриха шкалы х имеется пометка 10, ей соответствует на шкале у штрих с пометкой 15. Модуль обеих шкал принят А,х=%у = = 10 мм. Расстояние между крайними штрихами /х=/у=10 см— = 100 мм. Оно разделено на 100 частей. Цена одного деления на обеих шкалах одинакова
0,1х и 0,1г/.
Точность отсчета на глаз на обеих шкалах примем равной 0,5 мм, что соответствует абсолютной погрешности 0,05 отсчетов по шкалам. Тогда относительная погрешность отсчетов по всей шкале х изменяет-
0,05	0,05
ся от -100 — 50% до —--------------100 = 0,5%, а по шкале//
0,05 ’	0,05
от —------100 = 1 % до——— ‘ 100 ==; 0,33%.
5	15
Здесь относительная погрешность отсчетов по всей длине шкалы у практически вполне допустима, чего нельзя сказать о шкале х, отсчеты по которой в нижней ее части (примерно четвертая часть) дают чрезмерную относительную погрешность.
Из приведенного примера видно, что равномерные шкалы, нижняя пометка которых нуль, не дают достаточную точность отсчетов в своей нижней части.
32
Поэтому для нижних их частей целесообразно строить самостоятельные номограммы с большим модулем шкал.
Пример 4. Построить номограмму для уравнения # = 5х+10 при значениях х от 10 до 100.
X ' у
Рис. 7. Номограмма из сопряженных равномерных шкал для уравнения */=х+5
X У
юо.
т—510 ~‘’:~500
W-Y- л
-.-.-450
W-----~-.\-чОО
50
20
Рис. 8. Номограмма из сопряженных равномерных шкал для уравнения #=5х+10
10
УРавнение шкалы переменной х будет z=Xxx, где Хх модуль шкалы X в мм.
г.-1п?еДельны.еЛЛ?начения 2 ПРИ Х| = |° и *2=100 следующие: 1 и г2== ЮОЛх, а длина шкалы х равна:
zx = ^2 - ^1 = 100Хх — 10Хх = 90 лх
2—2661
33
I.
I.
Уравнение шкалы переменной у будет
z'=Xy *	(5х+10),
где Ху модуль шкалы у в мм.
Находим предельные значения г' при Xi = 10 и Хг=100.
•	z\ = 60X// и ^2 = 510X^,
*	следовательно, длина шкалы у будет
1у =	= 510Х^ — 60Х^ — 450Х^.
Так как/х = /у, то
90Хх = 450X# или Хх — 5Х^.
Это значит, что модуль шкалы х в 5 раз больше модуля шкалы у. Если принять длину шкалы х равной 90 мм, тогда /х=90Хх = = 90 мм, откуда Хх=1 мм, а соответственно Ху=0,2 мм.
На рис. 8 дана номограмма уравнения #=5х-Ы0.
Слева построена равномерная шкала переменной х от пометки 10 до 100 при модуле Хх = 1 мм. Справа построена равномерная шкала переменной у от пометки 60 до 510 при модуле Ху=0,2 мм.
Штриху с пометкой 10 шкалы х отвечает штрих с пометкой 60 шкалы у, а штриху с пометкой 100 шкалы х отвечает штрих с пометкой 510 шкалы у.
Абсолютная погрешность отсчетов по шкале х будет 0,5, а по шкале у в пять раз больше, т. е. 2,5.
Соответственно относительные погрешности отсчетов по шкалам х и у изменяются в следующих пределах:
0,5	0,5
1)	по шкале х от — *100 = 5% до — • 100 = 0,5%;
2 5	2 5
2)	по шкале у от -—•100 = 4,2% до • 100 = 0,5%.
60	510
Для обеих шкал погрешности отсчетов практически допустимые, но в нижней части избыточные.
Примеры построения номограмм из сопряженных шкал, из коих одна — равномерная, а вторая — неравномерная, приведены во введении (см. рис. 6 номограммы уравнений)
*/=lgx, У=хг, y=Vx и у=— •
Построенные на рис. 6 четыре номограммы из сопря* женных равномерных и неравномерных шкал отличаются компактностью, простотой пользования и наглядностью, требуют большой затраты времени на вычисления и построения.
34
Кроме того, относительная погрешность отсчетов по всей длине шкал разная и изменяется в значительных пределах. Этот существенный недостаток присущ всем неравномерным шкалам за исключением логарифмических шкал, которые отличаются тем, что относительная погрешность отсчетов по всей их длине одинакова и тем меньше, чем модуль шкалы больше. Во введении было показано, что относительная погрешность отсчетов по логарифмической шкале с модулем всего 5 см равна 2,3%. Такая погрешность для многих технических расчетов вполне допустима. Поэтому для всех уравнений у — ~f(x), имеющих логарифмический вид, следует рекомендовать построение номограммы из сопряженных логарифмических шкал.
Рассмотрим для каких уравнений надо строить логарифмические шкалы одинакового модуля и для каких разных модулей. Наиболее простое уравнение с двумя переменными, имеющее логарифмический вид, будет
У = ах,	(7)
где а — постоянная величина.
Логарифмируем его, тогда получим: lgZ/=lga + lg*-
Пусть х изменяется в пределах от Xi до х2-
Уравнение логарифмической шкалы переменной х будет
2=Xxlgx,
где Кх модуль шкалы х в мм.
Длина шкалы х определится из равенства:
lx=z2 — zi=Xx lg х2 — Хх lg Xi = кх (lg х2 — lg Xi).
Уравнение логарифмической шкалы переменной у будет:
z' = К 1g У=(lg а + 1g л), где Ху — модуль шкалы у, мм.
Длина шкалы у соответственно равна
ly = z2 — zi=Ху (1g а -р lg х2) — Ху (1g а ф- lg xt)=
= Xy(lgx2-lgXi).
2*
35
Так как lx = ly, то
К (Ig *2 - ’g *1) = \ (1g *2 - 1g *i)«
Откуда Хх=^у, т. е. модули логарифмических шкал переменных х и у уравнения (7) равны.
Следовательно, в номограмме из сопряженных логарифмических шкал для уравнения вида у=ах модули логарифмических шкал равны и все построение сводится к тому, что шкалу х надо сдвинуть по отношению к шкале у вверх на отрезок 1g а, если а>1, или на тот же отрезок вниз, если а<1.
Пример 5. Построить номограмму уравнения #=6,28х при х от 10 до 500.
Прежде всего задаемся размером номограммы.
В данном случае она определяется длиной шкал. Принимаем lgx=lg//=160 мм и определим длину модуля шкал, который для обоих одинаков. Предельные значения у будут:
= 6,28х! = 6,28-10 = 62,8, у2 = 6,28х2 = 6,28-500 = 3140.
Длина шкалы у определяется уравнением
ly = h 0g ^2 — 1g У1) = 160 ЖЖ.
Откуда
160	160	160
Хи =-----------=-------------------=------------= 94.1 мм.
lg«/2-’gJ/i	lg3140 — lg62,8	3,50- 1,80
Принимаем %у=95 мм, а модуль шкалы переменной х будет такой же. Построение номограммы производится в следующей последовательности (рис. 9).
На носителе шкалы у выбираем точку Л, через которую проводим штрих и даем ему пометку 60 (ближайшее число к значению #1=62,8 меньшее кратное десяти), затем, пользуясь рис. 5, строим на полоске плотной бумаги логарифмическую шкалу с модулем 95 мм и переносим на носитель шкалы у от точки А все штрихи от пометки 6 до пометки 10, с изменением их на 60 до 100, затем еще полный модуль шкалы, т. е. от пометки 1 до пометки 10, с изменением их на 100 до 1000 и, наконец, штрихи от пометки 1 до точки, отвечающей пометке 3, 2 с изменением их на 1000 до 3200, что будет перекрывать значение #2=3140. Таким образом, будет построена логарифмическая шкала с модулем 95 мм от пометки 60 до пометки 3200. Отметим на этой шкале точки, отвечающие пометкам 62,8 и 3140, и проведем через них штрихи влево от носителя шкалы у, и против них сделаем пометки 10 и 500 (предельные значения х). Остается построить между этими штрихами соответствующую часть логарифмической шкалы также с модулем 95 мм, что совершается в два приема — сперва от пометки 1 до пометки 10 с изменением пометок на 10 до 100 и затем от пометки 1 до пометки 5 с изменением пометок на 100 до 500.
36
Построенная номограмма приведена на рис. 9, где левая шкала для переменной х, а правая — для переменной у. Этой номограммой можно, конечно, пользоваться и для решения обратной задачи, т. е. задавшись значением у, можно определить отвечающее ей значение х.
Относительную погрешность отсчета по построенным нами логарифмическим шкалам определяем по формуле (6)
е =	= 0,00526,
95
8 - ю8 — 1 = 1 о0’00526 — 1 = 1 ,0122 — 1 = =0,0122= 1,2%.
Точность для практических целей обычно вполне достаточная.
Как видно из приведенного примера, построение номограммы из сопряженных логарифмических шкал для уравнения вида у=ах весьма просто, если иметь готовые логарифмические шкалы одного и того же модуля.
Номограммы подобного типа вполне заменяют таблицы зависимости вида у = ах и избавляют от необходимости производить кропотливые вычисления при составлении таких таблиц. В таблицах, конечно, можно сделать записи с большой точностью, но для большинства технических расчетов две-три значащие цифры вполне достаточны, а логарифмическая шкала с модулем 250 мм обеспечивает такую точность.
Из уравнений с двумя переменными часто в технических расчетах приходится иметь дело с уравнениями вида
у=хт,	(8)
где показатель степени т больше или меньХпе единицы, положителен или отрицателен.
Рис. 9. Номограмма из сопряженных логарифмических шкал для уравнения г/=6,28х
X
500 —
500
200 —
150 —
100 —
90 4
80 —
70 —
60 —
50 —
50 —
20 -
15 —
10 —
У
_ 5200 —5ООО
—2000
—1500
— 1000 —900 "—800
— 700
—600
—500
~-УОО
—500
—2ОО
—150
—1ОО
—90
—80
— 70
37
Это уравнение имеет логарифмический вид и, следовательно, для его решений может быть построена номограмма из двух сопряженных логарифмических шкал, но для этого надо определить зависимость между модулями этих шкал.
Логарифмируя уравнение (8), получим lgz/=mlgx.
Пусть переменная х изменяется от X] до хг.
Уравнение логарифмической шкалы переменной х будет:
z=Axlgx,
где — модуль шкалы х, мм.
Длина шкалы х определяется из равенства:
lx=Z2 — Zl=^x lg*2 —	—
Уравнение логарифмической шкалы переменной у будет
=	=	1g-*.
где ку — модуль шкалы у, мм.
Соответственно длина шкалы у определяется из равенства:
ly=z<i~ zi=\ytn 1g х2—Xvm\% x^lytn (lgx2— 1g x^, но lx — ly, следовательно
Mlg-*2—lg *i) = Vй (lg *2 - lg-*1) или
—mXy9
т. e. модули логарифмических шкал переменных х и у уравнения (8) будут разные, причем модуль шкалы искомой переменной у в т раз меньше модуля шкалы переменной х, если m> 1 и в т раз больше, если т<\.
Пример 6. Построить номограмму уравнения
для значений х от 1 до 10.
При значении х=1 имеем #=1, а при х=10 получаем, пользуясь таблицей логарифмов, что у=5,25. Следовательно, штрихи с пометками 1 на обеих шкалах совпадают, а против штриха с пометкой х=10 на шкале у будет штрих с пометкой 5,25. Пометки обеих шкал 38
возрастают в одном направлении, так как показатель степени переменной х положителен.
Из заданного уравнения имеем, что Zx=0,72 т. е. что модуль шкалы х равен 0,72 модуля шкалы у.
Приняв модуль шкалы у равным 80 мм, получим, что модуль шкалы х равен 57,6 мм.
Построение шкалы с таким модулем не представляет особых затруднений, если воспользоваться логарифмическим шаблоном, приведенным на рис. 5.
1 а 2	3	4 5 6 7 8 9 10 х
L i I I i LujAI I । i i I и ill i nil i I i,,|,il । Ii|
Г. 11 i“ | iTTii । i i i i । i i ii|iiii,|l
1	b 2 .	3	4	5 у
Рис. 10. Номограмма из сопряженных логарифмических шкал для уравнения у = X0,72
Номограмма уравнения у=х°-72 дана на рис. 10. Шкалы расположены на ней горизонтально. Если в заданном уравнении (8) показатель степени т отрицателен, то в этом случае возрастание значений пометок на обеих шкалах будут в разных направлениях.
Например, для уравнения у— — имеем, что при х=1 значение z/= 1, а при х=0,1 значение у =100, следовательно, в то время как значения пометок шкалы у возрастают, значения пометок шкалы х уменьшаются.
Наиболее распространенные в технических расчетах уравнения из двух переменных имеют следующий вид:
у~ахт,	(9)
где а — постоянная величина.
И для такого уравнения можно построить номограмму из сопряженных логарифмических шкал.
Определим, какая зависимость будет между модулями этих шкал.
Логарифмируем формулу (9): lgy~lga-{-mlgx.
Пусть х изменяется от до %2-
Уравнение логарифмической шкалы переменной х будет:
z=lx\gx, где кх — модуль шкалы х, мм.
39
Длину шкалы х находим из равенства
/x=z2 — £, = Хх 1g х2 - f.x 1g Х1=\х (1g х2 — lg X
Уравнение логарифмической шкалы переменной у будет
z'=\и 1g у=(lg а + т 1g х),
где Ку — модуль шкалы у, мм.
Соответственно длина шкалы у находится из равенства
lu=z2 — zi=(1g а 4- т 1g х2) — (lg а + т 1g хг) =
=X^m(lgx2—IgXj);
но lx—ly, следовательно
Mte *2 - lg хд=кут (lg х2 - lg Xi),
откуда '/.x=mly, т. е. модули логарифмических шкал переменных х и у уравнения (9) всегда разные, причем и в данном случае модуль шкалы искомой переменной у в т раз меньше модуля шкалы переменной х, если /п>1, и в т раз больше, если т<Л.
Следовательно, наличие коэффициента а в уравнении (9) не влияет на соотношение модулей шкал переменных х и у.
Какое же влияние он оказывает на построение номограммы?
Примем в уравнении (9), что х=1, тогда у=а. Это значит, что логарифмические шкалы переменных х и у надо сопречь так, чтобы штрих, отвечающий пометке единица шкалы для х, совпадал с точкой, отвечающей значению а шкалы для у.
Приведем пример построения номограммы уравнения (9).
Пример 7. Построить номограмму уравнения
у =4,43 V”*2,
для значений х от 1 до 60. Соответственно переменная у изменяется от 4,43 до 67,9.
Из заданного уравнения имеем, что zn=2/3, следовательно, если модуль логарифмической шкалы для переменной х примем равным
40
Хх=60 мм, то модуль логарифмической шкалы для переменной у будет больше, а именно:
\и =	= 1,5Хх == 90 мм.
т
Далее имеем, что при х=1 значение #=4,43. Следовательно, шкала для переменной у должна быть так сдвинута относительно шкалы для переменной х, чтобы точка, отвечающая значению #=4,43, совпадала со штрихом с пометкой единица на шкале для х. На рис. 11 дана номограмма уравнения #=4,43 j/'x2 для значений х от 1 до 60.
Если в интересующих нас пределах изменений переменных хи# значения #=1 или х=1 не совпадают, то сопряжение шкал можно сделать
60— -10
50^	60
по любым значениям хи#, отвечающим заданному уравнению.
В тех случаях, когда переменные хи# формулы (9) входят в нее в разных степенях, нельзя, увеличивая или уменьшая в 10, 100 и т. д. раз переменную х, соответственно увеличивать или уменьшать переменную #. В этих случаях сопряженные шкалы должны быть построены для тех пределов изменения переменных, которые могут
30— 2
3 ~—чо
2О-_ I = — 30
встретиться при расчетах.
2. Серии уравнений вида	z=
=ф(х), у=Чг(х) и т. д. Среди математических и технических таблиц, часто встре-
чаемых в различных справочниках и специальных руководствах, имеется много таких, в которых приводятся значения разных функций в зависимости от одного и того же аргумента или сравнительные таблицы пересчета единиц измерения разных стран, принятых для одной и той же величины.
Составление таких таблиц требует большой затраты времени, а между тем в большинстве случаев они могут быть заменены номограммой из нескольких сопряженных шкал.
В описанных выше случаях очевидно имеются следующие зависимости:
</=/(*);
v-E Z
2 ~—з 2-z — 7
— —6
Рис. VI. Номограмма из сопряженных логарифмических шкал для урав-
*=?(*);
(Ю)
нения з________
#=4,43 У х2
41
г> = Ф(х);
Для каждой из этих зависимостей может быть построена номограмма из двух сопряженных шкал, но так как в каждой паре сопряженных шкал одна шкала будет для одной и той же переменной х, то при построении общей номограммы для всей серии уравнений (10) очевидно шкалу переменной х достаточно построить один раз.
Приводим пример построения подобных номограмм.
Пример 8. Построить номограмму для определения квадратов чисел, длин окружностей, площадей кругов и обратных величин.
Эти данные определяются по следующим формулам: а) б)
в)
квадраты чисел: х=л2;
длины окружностей: £=лл=3,14л;
Глл2
площади кругов: 5 = —-— == 0,79л2;
4 1 обратные величины: у = —. п
г)
Все эти величины зависят от числа я, поэтому для него строим одну общую шкалу.
Номограмму строим для значений чисел п от 1 до 10.
Если модуль шкалы для чисел п примем Хп==100 мм, то соответственно получим величины модулей для остальных шкал:
\х = 50 мм для
= 100 мм
Х$== 50 мм
\у = ЮО мм
х = п2;
£ = 3,14л;
5 = 0,79л2;
шкалы
» »
Определив модули шкал, находим, какие пометки на всех шкалах должны быть против штрихов, противолежащих штрихам с пометками 1 и 10, на первой шкале для чисел л.
Для шкалы х=и2 при и=1 имеем х=1, при л=10 получаем х— 100.
Для шкалы £=3,14 п при л=1 имеем £=3,14, а при п=10 получаем £=31,4.
Для шкалы 5=0,79 п2 при л=1 имеем 5=0,79, а при л=10 получаем 5=79.
1
Для шкалы у= — при и=1 имеем £=1, а при и=10 получаем п
£=0,1.
Сопрягая шкалы с учетом найденных значений пометок против первого нижнего штриха, получаем искомую номограмму, приведенную на рис. 12.
Следует отметить, что возрастание значений пометок на всех / 1 \
шкалах, кроме шкалы для обратных величин	иДет снизу
42
вверх Шкалу же дЛя обратных величин следует приложить предва- • рительно перевернув ее, так как показатель степени числа отрица-
ЯП1 ч
1 п
—1“^/
П пг
10 “Г «Т
ЯП 30~г
-- 10--
9 -- 80
6	60
60~~
W--
20—
40 —
50—
6 -----
30
го--
5-----
— — 0,2
20----
Ч------
телен.	„ , 1Л
Если продолжить построение этих шкал для значении от 10 цо 1000, для чего потребуется лишь дважды повторить модуль первой шкалы и соответственно повторить модули остальных шкал, то по полученной номограмме можно определять значения переменных по приведенным четырем формулам для числа до 1000 и эта номограмма вполне заменит два десятка страниц табличного набора, обычно печатаемых в инженерных справочниках для определения этих величин.
3.	Подвижные логарифмические шкалы и принцип построения логарифмической линейки. На примере 5 показано, как пользуясь двумя логарифмическими шкалами равного модуля, можно умножить (или разделить) заданное число на любое другое. Для этого оказалось достаточным сопречь две логарифмические шкалы равных модулей, сдви-
10
--0.5
10
10-----
8
3 —
77 д __ g --
-- 7--
8
6
----Оч
6
4 —
—
-- g — з --
-- 5 -г
2 --	--
2------
— — 0,5
3 --
-----0,6
2------
--0]
Ч------
— — 0,8 — —0,9
/ — —

1
нув одну относительно другой на заданное множимое (или делитель) . •
Если изменить за-
Рис. 12. Номограмма из сопряженных логарифмических шкал для чисел от 1 до 10, их квадратов, соответствующих длин окружностей, площадей кругов и обратной
данное число на дру-	величины
гое, то нужно вычерчи-
вать новое сопряжение тех же логарифмических шкал, которое будет отличаться от предыдущего лишь тем, что шкалы будут сдвинуты на другое расстояние. Это на
толкнуло на мысль сделать одну из шкал подвижной от-
43
носительно другой. Очевидно, что имея такого рода инструмент, представлялось возможным без всяких вычислений, а просто механическим путем, производить умножение (и деление) любых чисел. *
Так возникла логарифмическая линейка — этот замечательный, простой и удобный счетный инструмент, пользуясь которым можно значительно сократить время на вычислительные работы по сравнению с обычными вычислениями на бумаге.
Рассмотрим краткое описание обычной логарифмической линейки, но только в той части, которая наглядно поясняет методику построения сопряженных логарифмических шкал с одинаковыми и различными модулями.
Современная логарифмическая линейка с длиною шкал 250 мм состоит из трех частей: корпуса, подвижной линейки, передвигающейся по внутренним пазам корпуса, бегунка, передвигающегося по внешним пазам корпуса и имеющего стекло с визирной линией.
На корпусе линейки обычно нанесены четыре шкалы, каждая длиной 250 мм.
Первая шкала (шкала I), считая снизу вверх, представляет собой равномерную шкалу с модулем 250 мм. Левая крайняя пометка на этой шкале нуль, а крайняя правая — единица*. Цена деления 0,002. Эта шкала называется шкалой логарифмов.
Вторая шкала (шкала II) представляет собой логарифмическую шкалу с модулем также 250 мм. Шкала II в сочетании со шкалой I дает возможность определять значения логарифмов чисел с точностью третьего знака. Сопряжение таких двух шкал было показано на рис. 6.
Третья шкала (шкала III) логарифмическая с модулем 125 мм и длиной в два модуля. В сочетании со шкалой II она дает возможность возвышать в квадрат числа и извлекать корень квадратный из чисел. Шкалу III часто называют шкалой квадратов.
Четвертая шкала (шкала IV) логарифмическая с модулем 83,3 мм и длиной в три модуля. В сочетании со шкалой II она дает возможность возвышать в куб числа и извлекать корень кубичный из чисел. Эту шкалу называют обычно шкалой кубов.
На подвижной линейке нанесены также различные шкалы.
* На некоторых линейках для упрощения написания вместо пометок 0,1; 0,2 и т. д. написано 1; 2 и т. д.
44
На лицевой стороне имеются две шкалы:
а)	нижняя логарифмическая (шкала V) с модулем 250 мм, т. е. такая же, как и шкала II (корпуса), с которой она соприкасается;
б)	верхняя логарифмическая (шкала VI) с модулем 125 мм, длиной в два модуля, т. е. такая же, как и шкала III (корпуса), с которой она соприкасается.
Эти две пары соприкасающихся подвижных логарифмических шкал с равными модулями (шкалы II и V и шкалы III и VI) используются для умножения и деления чисел, причем нижняя пара (шкалы III и VI) дает в два раза меньшую относительную погрешность при отсчетах.
Шкалы V и VI на подвижной линейке, представляют собой сопряженные шкалы, позволяющие возвышать в квадрат и извлекать корень квадратный из чисел.
На оборотной стороне подвижной линейки имеются три шкалы синусов и тангенсов:
средняя для синусов и тангенсов малых углов (от 0° до 5О45Э;
верхняя для синусов углов от 5°45' до 90°;
нижняя для тангенсов углов от 5°45' до 45°.
Наличие на логарифмической линейке четырех неподвижных шкал и пяти подвижных шкал делают логарифмическую линейку своеобразным прибором для построения различных номограмм из сопряженных фукциональ-ных шкал.
4.	Примеры инженерных номограмм к главе I.
Номограмма № 1. Построить номограмму взаимного пересчета градусов Цельсия, Реомюра и Фаренгейта в пределах от 0° до 100° С.
Решение. Зависимость между градусами Цельсия и градусами Реомюра и Фаренгейта выражается формулами:
°Р = 4/5°С,	(11)
°Ф = 32 -Ь 9,5 °C.	(12)
При изменении шкалы Цельсия от 0 до 100°, шкала Реомюра изменяется от 0 до 80°, а шкала Фаренгейта от 32 до 212°. Эти данные используются при сопряжении шкал.
Из равенств (11) и (12) видно, что все шкалы равномерные.
Если принять модель шкалы Цельсия %с=1 мм, то модуль шкалы Реомюра Хр = — =1,25 мм, а модуль шкалы Фаренгейта ои
1 100
ЛФ 777®= 0,555 мм, loU
45
На рис. 13 приведена Построенная номограмма.
Она дает достаточную для практических целей точность й очень
удобна для взаимных пересчетов.
Номограмма № 2. Построить номограмму для взаимного пересчета кинематической вязкости в см2!сек, градусов Энглера, секунд Сейболта-Универсаль, секунд Редву-°О 0(Р да-Торгового, секунд Редвуда-Адми-
/ДО-ej-
90 - =
80 -Е
10 -!
60 -Ё
50 - =
40 -Ё
ЪО I
Z0 - \
10 -I
О J.
8О-\		—		-272
			-	'2ОО
70-				
				•180
60-				
				-160
50"				
				-140
40-	-			‘ПО
30"				•100
				- 80
20-				
				- 60
10-				
				-40
0 -				-32
ралти, градусов Барбье и секунд Сей-болт-Фурол.
В разных странах для определения вязкости применяют различные системы вискозиметров, поэтому единицы измерения вязкости в большинстве стран получились разные. Для возможности сравнения всех этих единиц вязкости для каждой из них имеется формула пересчета в кинематическую вязкость г) в см2!сек.
Приводим эти формулы.
Градусы Энглера (°Е):
0,0.631
-п = 0,0731°£——-----
1	°Е
(13)
Секунды Сейболт-Универсаль
1,80
т) = 0,002207'— -у-.	(14)
Секунды Редвуда-Торгового
1,72
7] = 0,002607 — -у.	(15)
Секунды Редвуда-Адмиралти 0,403 т) = 0,0239 7—-у—.	(16)
Градусы Барбье (°В)
Рис. 13. Номограмма №1 для взаимного пересчета градусов Цельсия, Реомюра и Фаренгейта
Секунды Сейболт-Фурол
2,03
т) = 0,2207--у.	(18)
Здесь г) — кинематическая вязкость в см2!сек, 7 — время истечения определенного объема испытуемой жидкости из вискозиметра в секунду.
Так как наиболее часто встречающиеся на практике значения кинематической вязкости колеблются от 0,01 до 8 см21сек, то для нее целесообразно построить логарифмическую шкалу. Модуль ее принят 50 мм.
46
niiiimrn iiiiiHiiiiiiiiiirimii 11 iiiiiiiiiiuiniiim гтгпгтт градусы Знглера. /	11	1,2 1,3 1,4 1,5	2	2.5 3	4	5 6 7 в 9 10	15	20	30	40 50	70	100			
iiiiiii iiiiiiiiiiiiiiii 32 J4 36 38 60	50 60 П 	1	1	т—т-Ч—гт"Т"Н—1—		III 1ДЦ IJ llllllll! Секунды Сеидолт -Униоерсаль 80 90 100	150 200	300	illlllilll I шин 500	1000	2.000	3.000 t i 1 i 1 11H iH-i—i—г i 1 г i-i fl—
llillliri ШГ1 III llllllll 30	32 34 36 38 40	50		60	Jt0 | 1 1 rli Illi i i 111 11 ihinlinil 111	lltlirilllillllll 400 500	800 1000	2.000 2500 III 1 I’I 1 rhl ll I—I 1 1 +-i 1 I 1
Illlllilll 1 1 llIlllllHII 5	6	7 	,	j	1			Illi II UUIllllllll Секунды PeiMa- Адмцралти 8 9 10	20	30	6 	1	 1 1 I' 1 1 1 1 IT 1 II llllllll ' "T-	1)11 lllll'l Illlllilll 0 50	80 100	200	300 1 1 I'I l 1 r-Ttrt—I T I ill l lll~
Illlllilll 1 1 llllllllllllll 4000 3 000 2 000	1000	500 —1—г—i—i	Н—i	Н		hr*		iiliijff itm ipaoucbi Барбье 300	200	100 b-i—1—i	H't-i	т-I i'i 		Illlllilll TTIinif 50 60 30	20	10
III 11 1 1 1 Hill llllllll 10	11	12 	 ...						1—r-  		Illi 111,1. 1J llllllll! Секунды CcuoMtn-Vupop 13 16 15	20	30	60	iiiiininirmw so 6g go, igo	200 зоо
	J-	J—-J ....I.,- —1— —L- y-.A-		
0,01
2 J
0,02	003 0.04 0.05
0,1	0,2	0,3 0,4 05
Кинематическая вязкость, £ек
Рис. '14. Номограмма № 2 для взаимного пересчета кинематической вязкости в градусы Энглера, секунды Сейболт-Универсаль Редвуд-Торговый, Редвуд-Адмиралти, Сей-болт-Фурол и градусы Барбье
Построение номограммы проведено в следующей последовательности.
Сперва построена логарифмическая шкала с модулем 50 мм для кинематической вязкости от значений 0,01 до 8. Все штрихи логарифмической шкалы продолжены до носителя шкалы «секунды Сейболт-Фурол». Затем по формуле (18) определены значения кинематической вязкости для разных значений секунд Сейболт-Фурол и на основе этих данных построена шкала «секунды Сейболт-Фурол».
Далее продолжаем штрихи логарифмической шкалы кинематической вязкости до носителя шкалы «градусы Барбье». Вычисляем по формуле (17) значения кинематической вязкости для разных градусов Барбье и строим шкалу «градусы Барбье».
Таким же путем строятся и другие шкалы номограммы, используя остальные формулы. На рис. 14 приведена построенная номограмма. Она вполне заменяет много страниц таблиц взаимного пересчета значений вязкостей жидкостей, измеренных вискозиметрами разных систем, применяемых в разных странах мира. Точность отсчетов по всем шкалам для практических целей вполне достаточная.
Глава II
СЕТЧАТЫЕ НОМОГРАММЫ С РАВНОМЕРНЫМИ ШКАЛАМИ ПО ОСЯМ КООРДИНАТ
1. Уравнения с двумя и тремя переменными. Любое уравнение с двумя переменными может быть изображено графически, если использовать для его построения прямоугольную систему координат. Для этого нужно на осях координат построить для каждой из переменных по равномерной шкале одного и того же модуля. Затем задаваясь последовательно значениями одной переменной определять по заданному уравнению значение второй переменной и для каждой пары соответствующих значений обеих переменных находить, пользуясь построенными шкалами, отвечающую им точку. Полученные точки соединяют плавной линией, которая может быть прямой или кривой в зависимости от вида уравнения.
На рис. 15 дано построение следующих уравнений с двумя переменными:
у=1,3х,
z/=0,7x -f- 3,
у=0,5х2—ЗхЧ-9,
у=-0,1х24-х4- Ю,
9-4+2л+1’
#=0,1х24-0,2х.
Первое уравнение изобразилось на номограмме прямой линией, проходящей через начало координат, второе уравнение — также прямой, но проходящей, минуя начало координат. Остальные четыре уравнения изобразились кривыми линиями. Вид кривых линий зависит от вида уравнений, но не малое влияние на вид кривых оказывают и значения коэффициентов уравнения. (Подробнее см. гл. II второй части книги.) При графическом изображении уравнений в прямоугольных координатах модули равномерных шкал по осям координат следует принимать равными, чтобы вид полученных линий в точности отвечал заданным уравнениям. Но для технических формул
49
часто не представляется возможным выполнить это условие или вследствие значительной разницы в пределах изменений переменных, или из-за ограниченности размеров чертежа. В этих случаях модули шкал выбирают с таким расчетом, чтобы номограмма получилась компакт-
ной, а построенные на ней линии — не очень крутыми или прлогими, так как иначе точность отсчетов значительно уменьшается.
Необходимо учесть, что применение различных модулей для шкал, построенных на осях координат — это наиболее простой случай замены одной из переменных. Если требуется построить функцию r/=f(x) и модуль шкалы для переменной х принят в п раз больше, чем для переменной у, то это равносильно тому, что переменная х заменена новой переменной хн=пх и на номограмме построена не функция y=f(x), а функция y=f(nx). Но так как против делений шкалы для, переменной х в этих
Рис. 15. Номограмма уравнений #=1,3х; #=0,7x4-3;
у = 0,5х2 — Зх + 9;
у == — 0,1x2 + х + 10;
у — 0,1x2 4- 0,2х и у == — 4-
4-2х+ 1
случаях надписываются всегда значения величины х, а не лх, то на номограмме получаем все ту же линию, изображающую функцию */—f (х), правда в искаженном виде. Однако это ни в какой мере не мешает пользоваться такой номограммой для определения переменной у по заданной переменной х или решать обратную задачу.
Графическое построение уравнений с тремя переменными сводится к построению серии уравнений с двумя переменными. Для получения такой серии надо задаться определенными значениями одной из переменных в пределах ее изменений, подставить их в заданное уравнение и, получив серию уравнений с двумя переменными, по
50
etpdHtb их в Прямоугольной системе координат. Йа иомд-грамме получится семейство прямых или кривых, причем на каждой из них надписывается значение третьей переменной, которой она отвечает. Эту третью переменную называют параметром уравнения. Так как в правой части уравнения с тремя переменными, представленного в явном виде, две переменных, то очевидно, что каждое из них может быть выбрано за параметр.
Если общий вид уравнения с тремя переменными
y = f{x, z),	(19)
то принимая переменную z за параметр уравнения, получим после соответствующих подстановок его значений в заданное уравнение серию уравнений вида г/=<р(х), а принимая переменную х за параметр уравнения получим соответственно другую серию уравнений вида у=^(%).
Каждая из этих серий уравнений может быть построена на номограмме и следовательно для каждого уравнения с тремя переменными можно построить две номограммы, которые будут весьма отличаться по характеру и расположению на них семейств построенных линий *.
Если за параметр уравнения принята переменная г, то построенное на номограмме семейство линий называется семейство по z, а если принята переменная х, то семейство по х.
Может оказаться, что оба семейства линий состоят из прямых, или одно из семейств состоит из прямых, а другое из кривых, но может быть и так, что оба семейства состоят из кривых линий. (Подробнее см. в главе II второй части книги).
Прежде чем приступить к построению номограммы для уравнения с тремя 'переменными, следует решать, какую из переменных целесообразнее принять за параметр уравнения, чтобы номограмма была проще при построении и удобнее для пользования. Обычно за параметр принимают ту переменную, которая изменяется в меньших пределах или принимает лишь несколько определенных значений.
* Если за параметр уравнения принять переменную у, то можно построить и третий вид номограммы, но в этом случае придется все полученные уравнения с двумя переменными привести сперва к виду x=f(z) или к виду г=<р(х), на что потребуется дополнительная вычислительная работа.
51
Иногда за параметр принимают ту из переменных, исключение которой из уравнения дает при построении заданного уравнения семейство прямых линий, что конечно упрощает построение номограммы.
Вторым действием является выбор модулей шкал переменных, построенных на осях координат. От этого вы
Рис. 16. Номограмма уравне-ний у = 2 /х3 + с равномерными шкалами одинакового модуля
Рис. 17. Номограмма уравнения у — 2
с равномерными шкалами разных модулей
бора зависит точность, ясность и удобство пользования номограммой. Предположим^что требуется построить номограмму формулы у = 2 У х3 + 2, в которой переменная х изменяется от 0 до 4, а переменная z принимает только три определенных значения: 1; 5 и 9.
Для искомой переменной у ограничиваемся пределами от 0 до 16. Очевидно, что наиболее целесообразно принять за параметр переменную г.
На рис. 16 построена номограмма заданного уравнения с равномерными шкалами равных модулей. Она оказалась малоудобной для пользования и недостаточно точной.
52
На рис. 17 дана номограмма того же уравнения, но модуль шкалы переменной х увеличен в три раза. Номограмма получилась удобной для пользования, четкой и достаточно точной. Отсюда ясно, что надлежащий выбор модулей шкал является одной из основных задач при построении сетчатых номограмм.
Когда при .построении уравнений с тремя переменными получаем на номограмме семейство прямых, пересе-
Рис. 18. Номограмма уравнения у=0,25x2
кающихся в одной точке, или семейство параллельных прямых, целесообразно построение шкалы и для третьей переменной. При наличии такой шкалы упрощается построение прямой, отвечающей любому промежуточному значению заданной третьей переменной, не отмеченной пометками на прямых. Покажем преимущества построения шкалы для третьей переменной.
Пример 9. Построить номограмму уравнения #=0,25xz при изменении переменных х и z от 0 до 10. За параметр примем переменную z.
Подставляя в заданное уравнение целые значения г от 1 до 10, получим 10 уравнений с двумя переменными, которые и строим в прямоугольной системе координат, приняв абсциссу за ось переменной х, а ординату за ось переменной у. На рис. 18 дана построенная номограмма. Модули шкал на осях координат приняты разные. Все прямые полученного «семейства по z» пересекаются в начале координат. Отметим штрихами точки пересечения этих прямых с верти-
53
кйлью, проведённой через штрйх с пометкой 10 шкалы Для переменной х. Против всех штрихов напишем значения параметров, которым отвечают наклонные линии, и получим шкалу третьей переменной z. Она оказалась равномерной, так как переменная z входит в заданное уравнение в первой степени. Если бы переменная z была бы в квадрате, то шкала оказалась бы квадратичной. Если бы из переменной z надо было бы извлекать корень квадратный, то получили бы шкалу корней квадратных и т. д. На полученной равномерной шкале для переменной z делим расстояния между штрихами с пометками на пять равных частей. Это дает возможность провести с достаточной точностью наклонную прямую для любого заданного промежуточного значения переменной г. На рис. 18 дан пример пользования номограммой при №7,6 и г=8,3. Так как наклонной прямой с пометкой z=8,3 нет на номограмме, то предварительно соединяем точку на шкале для г, отвечающую значению 8,3, с началом координат (точкой пересечения прямых семейства по z). Затем через точку горизонтальной шкалы для х, отвечающую значению х=7,6, проводим вертикаль до проведенной ранее наклонной линии, а далее горизонталь до пересечения шкалы для у, где и прочтем #=15,8. Вычислением находим #=15,77. Точность трех значащих цифр обычно вполне достаточна.
Если семейство прямых, полученное при построении уравнений с тремя переменными состоит из параллельных линий, то построение шкалы для третьей переменной производится в следующей последовательности. Через последний штрих горизонтальной шкалы проводят вертикаль, затем все параллельные прямые семейства продолжают до пересечения с этой вертикалью и у точек пересечений проводят штрихи, для которых пишут соответствующие значения, пометок параметра. Расстояния между штрихами с пометками делят на более мелкие деления. Если при решении уравнения пользуясь номограммой нет прямой с требуемой пометкой, то через соответствующее деление шкалы проводят предварительно прямую, параллельную прямым семейства. Дальнейшее построение такое же, как в ранее приведенном примере. В тех случаях, когда при построении уравнений с тремя переменными получаем на номограмме семейство кривых или прямых, не пересекающихся в одной точке, нельзя построить шкалу для переменной, принятой за параметр. Точка, отвечающая промежуточному значению параметра определяется на глаз, что уменьшает точность определений по номограмме, поэтому в этих случаях рекомендуется строить возможно большее количество линий для третьей переменной.
При построении сетчатых номограмм для технических формул с тремя переменными часто получаются семей
54
ства кривых. Построение каждой кривой на номограмме требует значительной затраты времени на вычисление координат ее точек. Чем больше кривых требуется построить на номограмме, тем больше требуется времени на вычислительную работу. Но чем больше точек кривых будет вычислено и построено, тем больше точность построенной номограммы.
Для тех уравнений с тремя переменными, которые могут быть представлены в виде

(20)
объем вычислительной работы для построения номограммы может быть значительно сокращен.
В этом случае заданное уравнение разбивают на два путем введения вспомогательной переменной t и тогда
получим:
y = t-<?(z).
(21)
(22)
Сперва строят уравнение (21) с двумя переменными, для чего на одной оси координат строят шкалу для переменной х, а на второй оси — для вспомогательной переменной.
Затем, используя другую систему координат, строят на ней уравнение (22) с тремя переменными, приняв переменную z за параметр уравнения, причем на одной оси координат строят шкалу для той же вспомогательной переменной t с тем же модулем, с каким такая шкала построена на первой системе координат, а на второй оси координат строят шкалу для искомой переменной у. Далее сопрягают обе системы координат так, чтобы совпали начала координат и оси со шкалами вспомогательной переменной t.
Такое построение номограммы называется построением в двух квадрантах.
Если оси вспомогательной переменной t на обеих системах координат вертикальны, то такое сопряжение называется горизонтальным; а если эти оси горизонтальны, то сопряжение будет вертикальным.
Покажем, как строятся такие сопряженные номограммы.
Пример 10. Построить номограмму уравнения у=0,2х2угz в двух сопряженных квадрантах для х от 0 до 10 и г от 0 до 25.
55
На обычной сетчатой номограмме заданное уравнение изобразится семейством кривых независимо от того, какое из переменных х или z принять за параметр, а поэтому целесообразнее построить это уравнение в двух сопряженных квадрантах.
Разобьем наше уравнение на два, вводя вспомогательное переменное t. Тогда получим:
t = 0,2x2,	(23)
,-</7	|2*>
В верхнем квадранте строим уравнение (23), приняв вертикальную ось за ось х, а горизонтальную — за ось t. Полученная кривая — парабола. В нижнем квадранте строим уравнение (24), приняв горизонтальную ось за ту же ось t, а вертикальную — за ось у.
Очевидно, что построение номограммы заданного уравнения в сопряженных квадрантах проще и точнее, чем построение на обычной номограмме, так как пришлось строить только одну кривую.
Во втором квадранте семейство по z состоит из прямых, пересекающихся в начале координат, поэтому для этой переменной дана своя шкала. Она оказалась шкалой корней квадратных, так как переменная z входит в заданное уравнение в виде У г.
На рис. 19 приведена построенная номограмма.
Покажем, как ею пользоваться. Дано х=7,6 и z=10.
Через деление с пометкой 7,6 на вертикальной оси х проводим горизонталь до пересечения с параболой, а из полученной точки проводим вниз вертикаль до пересечения с наклонной прямой, отвечающей z= ГО, и из полученной точки проводим горизонталь до пересечения с осью у, по шкале которой найдем, что #=36. Вычислением получаем #=36,5.
2. Уравнения со многими переменными. Построение номограмм для уравнения со многими переменными задача сложная и далеко не всегда разрешимая.
Сетчатые номограммы с равномерными шкалами по осям координат для уравнений со многими переменными могут быть построены для уравнений, имеющих вид *
1/=/(х)‘<р(г).<|»(г>)-Ф(«).	(25)
Такие уравнения называются уравнениями с раздельной функциональной зависимостью переменных. В них функция каждого переменного входит в уравнение самостоятельным множителем.
* Один из множителей может быть функцией двух переменных. Тогда начинают построение номограммы с этой функции, строя ее в первом квадранте,
56
Построение номограмм для уравнений (25) производится путем введения в заданное уравнение вспомогательных переменных и разбивки его благодаря этому на несколько отдельных уравнений, каждое с тремя пере-
Рис. 19. Номограмма у = 0,2х2 Vz в двух сопряженных квадрантах
менными. Затем строят для каждого из полученных уравнений сетчатую номограмму и последовательно сопрягают их по общим шкалам для 'вспомогательных переменных. Полученная номограмма будет представлять собой сопряжение нескольких квадрантов. Для получения бо-
57
лее компактной номограммы рекомендуется применение ; четного числа квадрантов.
Предположим, что требуется построить номограмму для уравнения с четырьмя переменными вида г/=/(х)<р(г)ф(-п).	(26)	j
Разбиваем	заданное уравнение на два	путем	введения	1
вспомогательной переменной t. Получим
*=/(х)<Р(г),	(27)	1
у=/ф(х>).	(28)
Уравнение	(27)	строим в прямоугольной	системе	коор-	I
динат, приняв за параметр переменную х или z. Уравне-ние (28) строим во второй прямоугольной системе коор- 1 динат, приняв за параметр переменную v. Сопряжение обеих систем координат производим по шкалам вспомо-  гательной переменной t, которые должны быть одинако- ’ вых модулей. Получим сопряженную сетчатую номограмму в двух квадрантах, подобную той, которая была выше описана. Для уравнений с пятью переменными введение вспомогательных переменных производится с таким расчетом, чтобы заданное уравнение разбилось на четыре самостоятельных уравнения и тогда построение номограммы будет выполнено в четырех сопряженных квадрантах.
Пусть задано уравнение вида	<
£/=а/(х)<р(г)ф(й)Ф(т>).	(29)
Вводим три вспомогательных переменных t, з и р и pa- i зобъем уравнение (29)	на	следующие	четыре отдельных	|
уравнения:	J
t=af(x),	(30)	|
s=/<p(z),	(31)	j
p=sty(u),	(32)	j
y=p®(v}.	(33)	j
Для построения этих четырех уравнений потребуется	1
четыре сопряженных квадранта.	Схема	номограммы	да-	1
на на рис. 20.	<
В первом квадранте (верхнем правом) изобразится уравнение (30), для чего на его внешней вертикали 58	]

строим шкалу переменной х, а на горизонтальной оси шкалу вспомогательной переменной t. Уравнение (30) изобразится прямой или кривой линией.
Во втором квадранте (нижнем правом) строим уравнение (31), приняв переменное z за параметр, причем на вертикальной оси строим шкалу для второй вспомогательной переменной s и используем горизонтальную шка-
Рис. 20. Схема номограммы из четырех сопряженных квадрантов
лу вспомогательной переменной t. Уравнение (31) изобразится семейством прямых линий, пересекающихся в начале координат.
В третьем квадранте (нижний левый) строим уравнение (32), приняв переменное и за параметр, причем на горизонтальной оси строим шкалу для третьей вспомогательной переменной р, и используем вертикальную шкалу вспомогательной переменной $. Уравнение (32) изобразится также семейством прямых линий, пересекающихся в начале координат.
В четвертом квадранте (верхний левый) строим уравнение (33), приняв переменное v за параметр, причем на
59
внешней вертикали квадранта строим шкалу для искомой переменной у и используем горизонтальную шкалу вспомогательной переменной р.
На рис. 20 показан стрелками ход решения. Так как шкалы вспомогательных величин при построении. хода решений не нужны, то при окончательном вычерчивании номограммы их обычно не вычерчивают.
Уравнение с шестью переменными вида
^=/(х)Т(г)ф(й)Ф(^)9(«>),	(34)
или
у=/(х, г)ф(«)Ф(г|)9(ш)	(3’)
может быть также построено в четырех квадрантах.
При построении номограммы уравнения (34) в первом квадранте строят уравнение
/=/(х)<?(г),	(36)
а при построении уравнения (35) —строят уравнение /=/(А г).	(37)
За параметр при построении уравнений (36) и (37) можно принимать как переменное х, так и переменное г. В результате построения этих уравнений в первом квадранте получаем семейство прямых или кривых.
Дальнейшее построение номограммы производится как описано было выше.
К достоинствам описанного типа номограмм из сопряженных квадрантов следует отнести:
1) возможность строить кривые обычно только в первом квадранте, в остальных квадрантах все построенные линии — сходящиеся в начале координат прямые, что значительно упрощает как вычисления, так и построение номограммы;
2) простоту и наглядность хода решения, что особенно ценно для расчетов, выполняемых «методом подбора».
К недостаткам этого типа номограмм надо отнести:
1)	возможность построения шкал только для двух переменных и, следовательно, необходимость для каждого значения остальных переменных производить соответствующие вычисления и построения;
2)	при отсутствии линий, отвечающих заданному значению переменной, необходимо точку перелома хода решения определять путем интерполяции, что существенно влияет на точность хода решения;
60
3)	относительная погрешность отсчетов по обеим равномерным шкалам изменяется в значительных пределах и в нижней части шкал часто недостаточна для практических целей. В этих случаях следует построить двойные шкалы, что значительно уменьшит относительную погрешность отсчетов по шкалам, не увеличивая размеров номограммы. Этот прием может быть широко использован при построении описанного типа номограмм. Рассмотрим примеры построения номограмм с двойными шкалами.
3. Примеры инженерных номограмм к главе II.
Номограмма № 3. Построить номограмму для определения скорости равномерного движения воды в реках и каналах по формуле Шази	__
v == С V PZ в м/сек.	(38)
Принимаем следующие пределы изменения переменных, входящих в формулу:
С — эмпирический коэффициент, от 10 до 70;
R — гидравлический радиус, от 0,1 до 8;
i — уклон дна, от 0,001 до 0,02.
Для скорости v ограничиваемся значениями до 10 м/сек.
В формулу Шази входят четыре переменных, следовательно, ее можно построить на номограмме из двух квадрантов. Для этого формулу (38) надо разбить на два отдельных уравнения, введя вспомогательное переменное. Обозначим его
Возможны три варианта значения /:
t = УШ,	(39)
t = cVR,	(40)
i = cVT.	(41)
По первому варианту, принимая за параметр R или г, в обоих случаях придется строить семейство параболических кривых. По второму и третьему вариантам, принимая С за параметр, придется так же строить семейства параболических кривых, но если во втором варианте принять за параметр R, а в третьем варианте принять за параметр f, то в обоих этих случаях надо будет строить семейство прямых, проходящих через начало координат, что конечно проще, чем строить по точкам кривые. Следовательно, первый вариант отпадает.
Второй и третий варианты приводят к построению одинаковых по виду уравнений.
Принимаем	_
/ = сУ	(42)
тогда второе уравнение будет
V = z//?.	(43)
Каждое из этих двух уравнений строим в своем квадранте. Сопряжение квадрантов принимаем вертикальное. В верхнем квадранте
61
строим уравнение (42), приняв за параметр переменное i, для его значений 0,001; 0,004; 0,008; 0,01; 0,015 и 0,02. В нижнем квадранте строим уравнение (43), приняв за параметр переменное R, для его значений 0,1; 0,5; 1; 2; 4; би 8.
На рис. 21 дана построенная номограмма.
Шкала вспомогательной переменной t строилась на общей горизонтальной оси для значений от 0 до 8, но так как при пользовании
Рис. 21. Номограмма № 3 для определения скорости равномерного движения воды в реках и каналах по формуле Шази
номограммой она не нужна, то при окончательном оформлении номограммы ее исключили.
На номограмме дан пример построения хода решения при С=40, /=0,008 и jR=2. Ответ по номограмме 5, а вычисление по формуле (38) дает 5,04. Относительная погрешность меньше 1%. Для тех значений переменных и i, для которых нет прямых на номограмме, точка поворота хода решения определяется на глаз интерполированием и это увеличивает погрешность ответа. Поэтому число значений и I, для которых построены прямые, рекомендуется увеличить до удобной для пользования их плотности.
62
Для грунтовых каналов и рек значения коэффициента С при малых значениях гидравлического радиуса R, а такие случаи бывают часто на практике, не превышают С>25, а соответствующие значения скорости v бывают и меньше 1 м!секл Для таких случаев номограмма № 3 дает слишком большую относительную погрешность. Для ее уменьшения следует рекомендовать применение способа двойных шкал. Он состоит в том, что на построенной номограмме добавляют еще пару шкал с меньшими или большими пределами изменения заданной и искомой переменной.
На номограмме № 3 потребуется построить шкалы с меньшими пределами изменений переменных С и v. Из формулы (38) имеем, что зависимость между переменными Сии линейная, следовательно, во сколько раз уменьшим модуль шкалы С, во столько же раз надо уменьшить модуль шкалы v. Вторую пару шкал можно расположить также слева номограммы, как и первую, но можно расположить и справа, что будет удобнее для пользования.
На рис. 21 вторая пара шкал расположена справа, и чтобы ее не путать с левой парой, буквы С и v снабжены штрихами (С' и и').
Второй пример дан на номограмме для значений С—17, Я=0,2 и £=0,012. Для его построения пришлось провести пунктиром лучи, отвечающие /=0,012 и Я=0,2. Интерполирование сделано на глаз. Ход решения для второго примера отмечен цифрой 2. По номограмме получено v=0,85, вычислением находим 0,83. Относительная погрешность 2,4%. Эта погрешность получена при условии, что обе точки перегиба хода решения определялись на глаз.
Номограмма № 4. Построить номограмму для определения мощности при фрезеровании серого чугуна по эмпирической формуле
N = 2,57-10“5 s0g<72t0finzD-°>l4By<u кет,	(44)
где sz — подача на зуб фрезы, мм\ t — глубина резания, мм\ п — число оборотов шпинделя в минуту; г — число зубьев фрезы;
D — диаметр фрезы, мм\ В — ширина фрезерования, см.
В заданной формуле семь переменных и, следовательно, для ее построения потребуется шесть квадрантов.
Разбивку формулы (44) на уравнения с тремя переменными выполняем путем введения последовательно пяти вспомогательных переменных, причем первое уравнение, так как переменных всего семь, будет только с двумя переменными.
Полученные после введения вспомогательных переменных х, у, и, v и w уравнения, подлежащие построению, будут следующие:
х = 2,57-10—5-s®’72,	(45)
у	(46)
и = уп,	(47)
v — иг,	(48)
w = vD~°'14,	(49)
N = шВ’-14.	(50)
63
Рис. 22. Номограмма № 4 для определения мощности при фрезеровании серого чугуна



Эти шесть уравнений построены в шести квадрантах номограммы на рис. 22.
В квадранте 1 получена кривая, а во всех остальных квадрантах пучки прямых, проходящих через начало координат. Во всех уравнениях за параметры принимали заданные переменные t, п, z, D и В, но лишь для тех их значений и в тех пределах, которые имеют место на практике.
На номограмме дан ход решения для следующего примера: s2=0,31 мм, t=3 мм, п==360 об!мин, г=6, Р=110 мм, В = 60 см. По номограмме определяем JV»3,5 кет; вычислением находим =3,44 кет; относительная погрешность 1,7%.
3—2661
Глава III
СЕТЧАТЫЕ НОМОГРАММЫ С ПЕРЕНОСНЫМИ ШКАЛАМИ
1. Сущность метода «переносной шкалы». Размеры инженерных номограмм выбираются с таким расчетом, чтобы относительная погрешность отсчетов по шкалам не превышала практически допустимой. В то же время эти размеры ограничиваются удобствами пользования, и хранения номограмм.
Поэтому всякий метод построения, который дает возможность при тех же размерах номограмм получить большую точность отсчетов по их шкалам, должен быть использован.
Выше было указано, что одним из таких методов является построение равномерных шкал не от нуля, а только в заданных пределах изменения переменных.
Другим методом, достигающим ту же цель, является описанный в предыдущей главе метод двойных масштабов.
В этой главе дается описание еще одного метода, позволяющего увеличить модули шкал, которые строятся на оси абсцисс. Его можно назвать «методом переноса шкал», так как пользуясь им, шкалу с горизонтальной оси переносят на более длинную вертикальную ось с увеличением модуля шкалы.
Кроме того, при этом методе сетчатые номограммы для уравнений со многими переменными строятся только в горизонтально сопряженных квадрантах, независимо от числа переменных, что представляется более удобным.
Поясним «метод переноса шкалы» на примерах построения сетчатых номограмм с равномерными шкалами на осях координат с равными ш различными модулями для уравнений с тремя переменными.
Пример 11. Построить номограмму уравнения у=2х— z при предельных значениях х от 0 до 25, г от 0 до 35 и соответственно у от О до 25.
На рис. 23 дана построенная номограмма. Переменная z принята за параметр. На оси ординат построена шкала переменной х, на оси абсцисс — шкала искомой переменной у. На номограмме получено семейство параллельных линий, так как заданное уравнение представляет собой алгебраическую сумму.
Из начала координат в верхний правый угол номограммы под -углом 45° проведена жирная пунктирная прямая, которую назовем 66
направляющей прямой, пользуясь ею можно горизонтальную шкалу искомой переменной перенести на правую крайнюю вертикаль номограммы. Так как наклон «направляющей прямой» равен 45°, то очевидно модули горизонтальной и вертикальной шкал переменной у бчдуч равны. Горизонтальная шкала переменной у при пользовании номограммой, как видно из приводимых ниже примеров, не нужна и при окончательном вычерчивании может быть опущена.
Рассмотрим примеры пользования номограммы.
1) Дано х=15 и z=25. Через штрих пометки 15 шкалы переменной х проводим горизонталь до наклонной с пометкой г=25 и через по-
лученную точку вертикаль вниз до пересечения с «направляющей прямой» и далее вновь горизонталь до вертикальной шкалы искомой переменной у, по которой находим у=5. Если бы не было «направляющей прямой», то вертикаль была бы продолжена вниз до пересечения с горизонтальной шкалой искомой переменной у, и по ней так же нашли бы, что z/ = 5. Ход реше-
Рис. 23. Номограмма уравнения у=2х—z
ния отмечен цифрой 1.
2) Дано х=10 и z = 5. Построение проводится с такой
же последовательностью, как и в предыдущем примере, с той лишь разницей, что вертикаль для пересечения ее с «направляющей прямой» проводится вверх. Ответ будет z/= 15. Ход решения отмечен цифрой 2.
Пример 12. Построить номограмму уравнения y=2xz при предельных значениях х от 0 до 50, z от 0,2 до 1,4 и значениях у в пределах от 0 до 50. Заданные размеры номограммы: по высоте 6 см, по ширине 3 см
При построении номограммы принимаем за параметр уравнения переменное z, тогда при указанных размерах номограммы и одинаковых заданных пределах изменений переменных х и у модуль шкалы переменной х будет вдвое больше модуля шкалы искомой переменной у.
Построенная номограмма приведена на рис. 24. На ней получено семейство прямых, пересекающихся в начале координат, так как заданное уравнение представляет собой произведение. «Направляющая прямая» проведена из начала координат в противоположный прямой угол. Она совпала с лучом z=0,5. Наклон ее более 45°, а поэтому модуль шкалы г/, перенесенной на правую внешнюю вертикаль номо-раммы будет больше модуля горизонтальной шкалы у.
Так как вертикальный размер номограммы вдвое больше горизонтального, то очевидно, и модуль вертикальной шкалы искомой переменной у вдвое больше модуля ее горизонтальной шкалы. Следовательно, благодаря проведению «направляющей прямой» и построению вертикальной шкалы искомой переменной у относительная погрешность тех же отсчетов уменьшилась вдвое.
О 10 20 30 40 50 у
Рис. 24. Номограмма уравнения y—2xz при нижнем пределе переменных у и х равном нулю
Рис. 25. Номограмма уравнения y=2xz при нижнем пределе переменных у и х выше нуля
Рассмотрим примеры пользования номограммой.
1) Дано х=38, z=0,35. Ход решения отмечен цифрой 1. По номограмме получаем #=26,8. Вычисление по заданному уравнению дает #=26,6.
2) Дано х = 15, 2=1. Ход решения отмечен цифрой 2. По номограмме получаем #=30,3. Результат вычислений #=30.
Как видно из приведенной на рис. 24 номограммы в результате проведения «направляющей прямой» под углом более 45° и построения, пользуясь ей, шкалы искомой переменной на правой крайней вертикали с боль
68
шим модулем, чем позволяла заданная ширина номограммы, относительная погрешность отсчетов по шкале искомой переменной уменьшилась (для номограммы на рис. 24 в два раза).
Построение «направляющей прямой» и дополнительной шкалы искомой переменной не требует большой затраты времени и следовательно безусловно окупается увеличением точности отсчетов результатов построения хода решения по номограмме.
Предположим, что в заданном уравнении y=2xz переменное х изменяется в пределах от 10 до 50, переменное z как и в предыдущем примере в тех же пределах от 0,2 до 1,4, а искомая переменная у ограничена пределами от 15 до 50. Возможные размеры номограммы те же. Из условий для построения номограммы очевидно, что часть шкалы переменной х от 0 до 10 и часть шкалы искомой переменной у от 0 до 15 при пользовании номограммой не нужны, следовательно, эти части шкал на построенной номограмме могут отсутствовать, а за их счет будут увеличены модули обеих шкал.
На рис. 25 построена номограмма того же уравнения y — 2xz со шкалами переменных в указанных пределах.
И для данной номограммы переменная z принята за параметр. В результате построения уравнения получаем пучок прямых, пересекающихся за пределами номограммы в одной точке (в начале координат с пометками ноль для обеих шкал). Из рис. 25 видно, что для нахождения этой точки достаточно продолжить обе шкалы до штрихов, отвечающих их пометкам ноль, восстановить в полученных концах шкал перпендикуляры к ним, и точка 0 их пересечения будет началом координат. Зная положение точки 0 достаточно для каждой прямой из «семейства по г» определить координаты одной точки и соединить ее с точкой 0. Можно и не определять положение точки 0, но тогда для каждой прямой надо вычислять координаты двух точек. После построения «семейства по z» проводим «направляющую прямую», для чего соединяем вершину нижнего левого прямого угла номограммы с вершиной верхнего правого угла. На рис. 25 эта прямая проведена жирным пунктиром. На номограмме даны ходы решений для тех же двух примеров, что и на предыдущей номограмме.
Для первого примера получаем по номограмме у= =26,7, а вычислением 26,6. Для второго примера имеем
69
по номограмме у=30 и столько же по вычислению. Сопоставляя эти данные с результатами, полученными для тех же примеров по номограмме на рис. 24, видим, что построение шкал только в заданных пределах изменения переменных при сохранении тех же размеров номограммы дает некоторое уменьшение относительной погрешности отсчетов по шкалам, а применение «направляющих прямых» может еще больше уменьшить эту погрешность отсчета по шкале искомой переменной.
2. Уравнения со многими переменными. Построение номограмм с «переменными шкалами» для уравнений со многими переменными возможно в тех же случаях, которые были описаны в главе II, т. е. когда заданные уравнения могут быть построены в сопряженных квадрантах из сетчатых номограмм е равномерными шкалами по осям координат. Но в этом случае благодаря наличию «направляющих прямых», все сопряжения квадрантов будут горизонтальными независимо от числа переменных заданного уравнения. Приводим примеры построения таких номограмм.
Пример 13. Построить номограмму уравнения
^=(3х — z)(]/v + 2)
при предельных значениях х от 10 до 30, z от 0 до 30 и v от 5 до 25, а для искомой величины у от 100 до 500.
Заданное уравнение соответствует следующему виду:
у = /(х, z)<p(v).
Поэтому разбиваем заданное уравнение на два, введя вспомогательное переменное t. В первом квадранте (см. рис. 26) строим уравнение t—f(x, z)=3x— z, а во втором квадранте y=ty(v) и+2). В уравнении /=3х — z за параметр принимаем переменную z и строим «семейство по z» для значений z, равных 0; 5; 10; 15; 20; 25 и 30. Получим семейство параллельных прямых. Шкалу переменной х строим на оси ординат, а переменной t на оси абсцисс. Предельные значения переменной t будут от 20 до 90. Затем проводим «направляющую прямую» в построенном квадранте и переносим шкалу переменной t на правую вертикаль квадранта. Далее, приняв в уравнении y=t 0^+2) переменную v за параметр, строим «семейство по и» во втором квадранте для значений, равных 5; 10; 15; 20 и 25. Шкала t, перенесенная на вертикаль, используется для второго квадранта, на оси абсцисс которого строится шкала искомой переменной у для значений от 100 до 500. Во втором квадранте получаем пучок прямых, точка схода которых за пределами номограммы. Остается провести во втором квадранте «направляющую прямую» и, пользуясь ею, построить равномерную шкалу искомой переменной у на правой внешней вертикали второго квадранта для значения у от 100 до ,500.
70
Ход решения показан на номограмме для следующего примера: х=24, 2=15 и v = 20. По номограмме получаем г/=374; вычисление по формуле дает z/=368,8. Относительная погрешность равна =* = 1,2%, что для практических расчетов вполне допустимо.
При построении номограммы такого же размера для заданного уравнения в сопряженных квадрантах, но без
Рис. 26. Номограмма уравнения
У = (Зх — г) (Кv + 2)
«направляющих прямых», относительная погрешность отсчетов по шкале искомой величины была бы в 2—3 раза больше.
Так как при пользовании номограммой шкала вспомогательной переменной t и горизонтальная шкала искомой переменной не нужны, то при окончательном вычерчивании номограммы их исключают и номограмма приобретает вид, приведенный на рис. 26. Преимущество описанного метода построения сетчатых номограмм перед методом, изложенным в предыдущей главе в том, что при том же размере номограмм построенные на них шкалы могут быть больших модулей, а следовательно, и отсчеты по ним дадут меньшую относительную погрешность для одной и той же формулы.
Этот метод построения номограмм для формулы со многими переменными может быть назван методом гори
71
зонтально сопряженных квадрантов. К его преимуществам следует отнести так же возможность изменения ширины квадрантов в зависимости от пределов изменения переменной данного квадранта, чего нельзя сделать в номограммах с горизонтально и вертикально сопряженными квадрантами для формулы со многими переменными.
3. Примеры инженерных номограмм к главе III.
Номограмма № 5. Построить номограмму для определения длины пути, проходимым движущимся предметом при его равномерно ускоренном движении, если его начальная скорость v м/сек, а ускорение а м/сек2.
Из условия следует, что требуется построить номограмму фор* мулы:
at2
S = vt 4-	, м.
Ограничимся следующими пределами значений переменных: v от 0,5 до 3,5 м/сек, а от 0,1 до 0,6 м/сек2 и t от 0 до 60 сек.
Перепишем заданную формулу в следующем виде
Номограмма для такого уравнения может быть построена в трех сопряженных квадрантах (см. рис. 27).
at
В первом квадранте строим уравнение х=	Приняв
переменное а за параметр и строя на оси ординат шкалу переменной t, а на оси абсцисс шкалу переменной х, которую, пользуясь направляющей прямой (жирная пунктирная линия), переносим на внешнюю ось ординаты первого квадранта, но уже с увеличенным модулем.
Во втором квадранте строим уравнение у—х+у, приняв скорость v за параметр уравнения и используя ранее построенную вертикальную шкалу для х. Шкалу для переменной у строим на оси абсцисс и затем, проведя направляющую прямую во втором квадранте, переносим эту шкалу на внешнюю ось ординат второго квадранта. Модуль ее благодаря этому также увеличится.
Остается построить в третьем квадранте уравнение S—yt, приняв время t за параметр уравнения и используя ранее построенную вертикальную шкалу для у. Шкалу искомой переменной 3 строим на оси абсцисс, а затем, проведя направляющую прямую в третьем квадранте, переносим эту шкалу на внешнюю ось ординат третьего квадранта, что тоже даст увеличение ее модуля.
Пример использования номограммы. Дано: /=47 сек, а=0,4 м/сек2, у = 3,5 м/сек. По номограмме Грис. 27) получаем 3=610 м. Вычислением находим:
а&	0АА12
S = vt + — = 3,5*47 +	---= 606,1 м.
72
Относительная погрешность 0,65%.
Как видно, в приведенном типе номограмм, благодаря имеющейся возможности увеличить модуль шкалы искомой переменной, относительная погрешность расчетов по ней оказалась весьма незначительной,
Другим преимуществом описанного типа номограмм является исключительная наглядность хода решения — легко определяется влияние изменения каждого из переменных на искомую величину.
Рис. 27. Номограмма № 5 для определения пути, проходимого при равномерно ускоренном движении
Так как шкалы вспомогательных переменных х и у, а также горизонтальная шкала искомой переменной S для хода решения не используется, то при окончательном вычерчивании номограммы они исключены. Номограмма получилась весьма компактной и не загроможденной шкалами. Особенно целесообразно применять этот тип номограммы при нечетном числе квадрантов.
Номограмма № 6. Построить номограмму для определения мощности водяного поршневого насоса по формуле
1000-Q(/71+W2) л
/V ------------------ л п
где Q — производительность насоса, мг]мин\
Hi — высота всасывания (от нижнего уровня до центра насоса),
73
Н2 — высота нагнетания (от центра насоса до сливного отверстия), т] — общий коэффициент полезного действия насоса.
Примем следующие пределы изменения переменных: Q от 3 до 20; Hi от 0 до 7 м, Н2 от 0 до 15 м и ц от 0,5 до 1.
Заданную формулу можно построить в трех сопряженных квадрантах (см. рис. 28).
В первом квадранте строим уравнение x^Hi+H^bo® втором квадранте — уравнение #=Q(/7i+#2) и в третьем ЛА —	• — •
/O'b'J у
HZ,M	• И,ЛС
Рис. 28. Номограмма № 6 для определения мощности водяного поршневого насоса
При некотором навыке в построении этого типа номограмм можно обойтись и без построения шкал для вспомогательных переменных, а определять лишь их предельные значения.
Для первого квадранта, в котором строим уравнение х=Я1 + Я2, имеем наибольшее значение х= 15+7—22, поэтому на оси ординат строим шкалу до значений 22, причем принимаем ее шкалой переменной Н2, так как она изменяется в больших пределах, чем переменная Hi. Выбрав ширину первого квадранта, проводим в нем направляющую прямую (жирный пунктир). Она будет одновременно и прямой Hi=0. Далее через деление 15 шкалы Н2 проводим горизонталь и отрезок ее между направляющей прямой и внешней осью ординат первого квадранта делим на семь равных частей и через точки делений проводим прямые, параллельные направляющей прямой. Полученные прямые образуют семейство прямых значений Hi от 0 до 7. Предельное значение х=22, следовательно, верхняя пометка вертикальной шкалы переменной х—22.
Затем выбираем ширину второго квадранта и проводим в нем направляющую прямую, и принимаем ее отвечающей значению Q = 18, тогда, разделив верхнюю горизонталь второго квадранта на шесть равных частей, определим положение прямых, отвечающих 74
значениям 0=3; 6; 9; 12; 15 и 18. Положение прямой Q=20 определяем, отложив на верхней горизонтали за вторым квадрантом 2/3 отрезка, который откладывался для определения положения остальных прямых. Можно было принять направляющую прямую за Q = 20, тогда при кратном делении отрезка было бы получено не более 5 прямолинейных лучей, что уменьшило бы точность номограммы. Предельное значение r/= (7/i+/72)Q=22-18 = 396. Далее выбираем ширину третьего квадранта и проводим в нем направляющую прямую, которая будет одновременно отвечать значению f) = l- Предельное значение N равно:
1000.Q (/71 + Н2)	0,22.18-22
N	Т “ ’ =--------------= 87,78 л. с.
75-бО.т]	1
Принимаем N=88 и строим на внешней ординате соответствующую равномерную шкалу для N. Так как направляющая прямая отвечает т] = 1, то для нахождения положения прямых, отвечающих значениям т], равным 0,9; 0,8; 0,7; 0,6 и 0,5, достаточно всю шкалу N разделить на 10 равных частей и верхние пять делений соединить с вершиной нижнего левого угла, и на полученных прямых сделать соответствующие пометки для т]. Этим заканчивается построение номограммы. Как видим, оказалось возможным ограничиться построением только шкал для переменных Н2 и N и удалось обойтись без построения как горизонтальных, так и вертикальных шкал для вспомогательных переменных.
Пример использования номограммы:
Дано: /71=5 м, /72=12 м, Q—12 м?1мин и т)=0,8. На номограмме стрелками показан ход решения. Находим N=56 л. с. Вычислением по формуле получаем 77=55,6 л. с. Точность вполне достаточная.
Глава IV
СЕТЧАТЫЕ НОМОГРАММЫ
С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ ШКАЛАМИ ПО ОСЯМ КООРДИНАТ
1.	Логарифмические координаты. При построении уравнения с двумя переменными в прямоугольных координатах с применением равномерных шкал равных модулей по осям координат весьма часто сталкиваемся с тем, что пределы изменения одной переменной значительно больше пределов изменения второй. Рассмотрим какие неудобства получаются в таких случаях.
Пример 14. Требуется построить номограмму уравнения «/=х3 + + 2х для значений переменной х от 1 до 10. Соответственно предельные значения переменной у будут: при х=1 у=3, при №==10 «/=1020.
Если модуль равномерных шкал переменных примем %=10 мм, то длина шкалы переменной х будет /ж = 10-10= 100 мм, а переменной у соответственно 1У = 10-1020= 10200 лм4=10,2 м. Очевидно, что построить номограмму такого размера не представляется возможным. В таких случаях приходится модуль равномерной шкалы для переменной, изменяющейся в больших пределах, выбирать значительно меньших размеров.
Предположим, что надо построить номограмму приведенного уравнения размером не более 2 • 6 см.
Очевидно, потребуется принять модуль шкалы переменной х равным Хж=2 мм, тогда /ж=2-10=20 мм—2 см, а модуль шкалы переменной у равным Ху=0,06 мм, тогда /у=0,06-1020=51 мм = 5,1 см.
Построенная номограмма уравнения у—х3 + 2х со шкалами переменных х и у указанных длин дана на рис. 29.
Соотношение модулей обеих шкал 2:0,06=33,3 весьма велико, поэтому построенная кривая оказалась значительно искаженной. Кроме того, относительные погрешности отсчетов в разных местах шкалы у будут изменяться в столь больших пределах, что практическое использование номограммы затруднительно.
В целях устранения указанного недостатка можно для переменной, изменяющейся в значительных пределах, откладывать по оси координат не значения переменной, а значения логарифмов переменной. Такую координату точки будем называть логарифмической координатой.
Покажем для приведенного выше уравнения «/=х3+2х как можно выполнить такое построение, сохранив примерно те же размеры номограммы.
76
Модуль равномерной шкалы для переменной х выбираем так же, как и раньше мм, и тогда	10 ——20 мм.
Модуль для построения логарифмических координат переменной у примем равным Ку=20 мм. Это даст возможность определять значение координаты 1g# с точностью одного десятичного знака мантиссы.
Длина предельной логарифмической координаты у будет, равна /y = 20-lg 1020=20-3,01 = 60 мм.
Построение уравнения #=х3+2х проведем по точкам со следующими координатами:
Xi = 1;	У\ -- 3;	Igyi- 0,48;
х2 = 2;	уч ~ 12;	lgy2 = 1.08;
л3= 4;	Уз = 72;	lgy3 = 1.85;
х4 = 6;	У4 = 228;	lgz/4 = 2,36;
х5 = 8;	г/5 = 528;	lgys=2,72;
л6= 10;	Уб = Ю20;	lgye = 3,01.
На рис. 30 дана построенная номограмма. Так как по оси у откладывались логарифмы чисел, то относительная погрешность отсчетов по всей оси у будет одинаковой.
Для определения по номограмме значений переменной у по заданной переменной х надо через точку, отвечающую заданному значению х на ее шкале провести вертикаль до пересечения с кривой, а из полученной точки провести горизонталь до пересечения с осью у, где и найдем значение 1g у, а потенцируя, пользуясь таблицами логарифмов, и
Рис. 29. Уравнение #=х3+2х при применении равномерных шкал
значение у.
Если в заданном уравнении переменная х также изменяется в значительных пределах, то можно и по оси х откладывать значения 1g х, а не значения переменной х.
Пример 15. Построить номограмму уравнения #=“ + 0,2х для значений х от 0,5 до 100 и значений у от 1! до 100.
На рис. 31 построено это уравнение с применением равномерных шкал. Точность отсчетов весьма незначительна, в особенности для значений от 0,5 до 10. Затем построим это уравнение с применением логарифмических координат. Построение выполнено на рис. 32.
77
Эта кривая получилась со значительным искажением по сравнению с кривой, которая получена на рис. 31 при построении номограммы с применением равномерных шкал одинаковых модулей на обеих осях прямоугольных координат. Но зато все отсчеты можно сделать по обеим шкалам на всем их протяжении с одинаковой относительной погрешностью. Если бы на рис. 30 и 32
Рис. 30. Уравнение г/=х3-Ь2х при применении логарифмических координат по оси у
Рис. 31. Уравнение у= — +0,2х при применении равномерных шкал
при построении шкал 1g х и 1g у против соответствующих штрихов пометки отвечали бы величинам х и у, а не значениям их логарифмов, то построенные шкалы были бы логарифмическими. Строить равномерную шкалу для 1g х или 1g у конечно проще, чем логарифмическую, но пользоваться такой шкалой без таблиц логарифмов нельзя. Для построения любой точки надо найти по заданному уравнению ее координаты, а затем по таблицам логарифмов определить логарифмические координаты точки и только тогда по построенным шкалам можно найти точку. Обратная задача — нахождение значений переменных любой точки кривой также требует примене
78
ния таблиц логарифмов, ибо по номограмме находят лишь значения логарифмов координат, а для определения величин переменных надо эти логарифмы потенцировать.
При построении на осях координат логарифмических шкал нет необходимости в пользовании таблиц логарифмов.
Что же касается сложности построения логарифмической шкалы любого модуля, то при наличии логарифмического шаблона (см. рис. 5) все необходимые вычисления отпадают, и на построение такой шкалы требуется
Рис. 32. Уравнение у= —~+0,2х при при-менении логарифмических координат
ненамного больше времени, чем на построение равномерной шкалы. Несмотря на это ряд авторов, в особенности в статьях, освещающих результаты научно-исследовательских работ, часто используют при построении номограмм логарифмические координаты, чего конечно рекомендовать нельзя.
2.	Построение полулогарифмических сеток. Построение номограмм, пользуясь логарифмическими координатами, требует, как указано выше, значительной затраты времени на их вычисление по таблицам логарифмов. Этого легко избежать, если на осях координат строить логарифмические шкалы, так как нахождение на логарифмической шкале точки, отвечающей значению переменной, равносильно вычислению логарифма переменной.
Если на одной оси координат построена логарифмическая шкала, а на другой равномерная и через все штрихи
79
шкал проведены прямые, параллельные осям координат, то получим сетку, которая называется полулогарифмической.
На рис. 33 приведена полулогарифмическая сетка с логарифмической шкалой по оси абсцисс. Модуль шкалы Zx=75 мм. Длина шкалы один модуль. По оси ординат
Рис. 33. Полулогарифмическая сетка с логарифмической шкалой по оси абсцисс
дана равномерная шкала, но для удобства пользования пометки не надписаны.
На рис. 34 приведена полулогарифмическая сетка с логарифмической шкалой по оси ординат. Модуль шкалы %к=:75 м. Длина шкалы один модуль. По оси абсцисс дана равномерная шкала, но также без пометок.
Полулогарифмическими сетками, приведенными на рис. 33 и 34, пользуются в тех случаях, когда пределы изменения переменных, откладываемых по логарифмическим шкалам, находятся между значениями 10п и 10п+‘. Если пределы изменения не укладываются в этих преде-80
лах, то следует соответственно увеличить число модулей логарифмических шкал.
Если, например, пределы изменения переменной х или у находятся между 10п и 10п+3 (изменяются меньше, чем в 1000 раз), то по их осям надо построить три модуля логарифмической шкалы. Образцы таких сеток даны
Рис. 34. Полулогарифмическая сетка с логарифмической шкалой по оси ординат
ческой сетки, в которой по оси у построена логарифмическая шкала длиной пять модулей и, следовательно, она может быть использована в тех случаях, когда переменная у изменяется в пределах 10п и 10п+5.
На полулогарифмических сетках, приведенных на рис. 33 и 34, а также в приложении,' против штрихов логарифмических шкал имеются численные пометки, начиная с единицы. В тех случаях, когда переменные, откладываемые по логарифмическим шкалам, изменяются в других пределах, пометки на этих шкалах изменяют на 10п раз большие или меньшие.
81
Если численные пометки на логарифмической шкале имеют несколько значащих цифр (более трех), то рекомендуется в начале и в конце модуля писать 10 с указанием показателя степени, а промежуточные пометки писать одной значащей цифрой.
Необходимо заметить, что пометки нуль на логарифмической шкале быть не может, так как 1g 0 = —оо. Нельзя также построить на полулогарифмической сетке такую точку Заданного уравнения, которая имеет отрицательную абсциссу или ординату, если эта абсцисса или ордината откладывается по логарифмической шкале, так как отрицательные числа не имеют логарифмов.
3.	Построение логарифмических сеток со шкалами равных модулей. Если на обеих осях прямоугольной системы координат построены логарифмические шкалы равных модулей и через все штрихи горизонтальной шкалы проведены вертикали, а через все штрихи вертикальной шкалы горизонтали, то полученная сетка называется логарифмической.
Размеры логарифмической сетки зависят от модуля логарифмической шкалы, которую строят на осях координат, и от пределов изменения переменных, так как последние определяют число требуемых модулей каждой логарифмической шкалы.
Построив на осях координат логарифмические шкалы длиной в один модуль, получим логарифмическую сетку, приведенную на рис. 35. Такая сетка может быть применена, когда пределы значений каждой переменной изменяются меньше, чем в 10 раз и, следовательно, укладываются между значениями 10п и 10n+1.
Если пределы изменения одного или двух переменных не укладывают между 10п и 10п+\ то на осях координат приходится соответственно увеличить число откладываемых модулей логарифмических шкал.
В приложении даны три образца логарифмических сеток: с одним модулем по оси х и двумя модулями по оси у, с тремя модулями по оси у и двумя модулями по ОСИ X И С ПЯТЬЮ модулями IIO оси у и тремя модулями по оси X.
Напомним, что на логарифмической сетке нельзя построить точки, координаты которых х = 0 и у=п\ х=п и z/ = 0; х = 0 и г/ = 0. Нельзя также построить такую точку 82
заданного уравнения, которая имеет одну или обе отрицательных координаты.
Пределы изменения переменных, зависимость которых изображается на номограммах, весьма различны и в большинстве случаев не совпадают со значениями, близкими к кратным десяти, поэтому части логарифмической сетки в пределах начала первого модуля и конца послед-
Рис. 35. Логарифмическая сетка со шкалами по осям координат длиною один модуль
него модуля остаются часто неиспользованными. В этих случаях, если нет вычерченной логарифмической сетки и ее надо предварительно построить, можно ограничиться вычерчиванием лишь той ее части, которая отвечает заданным предельным значениям переменных.
4.	Построение номограмм' на полулогарифмической сетке. По виду получающихся на полулогарифмической сетке линий при построении уравнений, последние можно разбить на две группы: уравнения, которые при своем построении дают прямые и которые дают кривые.
83
а)	Уравнения Двух переменных. Общие виды уравнений с двумя переменными, которые при своем построении на полулогарифмической сетке дают прямые, будут следующие:
у = т
lg у = тх + п,
или |g у — ^тхе,
у — атхуп или lgy-=(jnx-\- ri) Igtz, где
е=;2,718 — основание натуральных логарифмов;
т, п а — постоянные величины.
Рис. 36. Построение уравнений с двумя переменными на полулогарифмической сетке с логарифмической шкалой по оси у
Уравнения первого вида требуют для своего построения полулогарифмической сетки с логарифмической шкалой по оси абсцисс, а остальные три вида требуют логарифмической шкалы по оси ординат.
Третье и четвертое уравнения, как видно, легко приводятся ко второму путем их логарифмирования.
84
Все остальные виды уравнения с двумя переменными при построении на полулогарифмической сетке дают кривые линии.
На рис. 36 дано построение уравнения lg £/=0,15 х+ +0,2 на полулогарифмической сетке с логарифмической '^шкалой по оси у. Так как переменная у входит в уравнение в виде 1g у, то при построении получилась прямая. Если в уравнении нет переменной, которая дана в виде логарифма, то при построении такого уравнения на полулогарифмической сетке получим всегда кривые линии. На рис. 36 приведено также построение уравнений: у = =Зх + 2; у=зУх—1,5 и у= —+2. Для всех трех уравнений получены кривые линии.
На рис. 37 дана полулогарифмическая сетка с логарифмической шкалой по оси абсцисс. На ней построены
Рис. 37. Построение уравнений с двумя переменными на полулогарифмической сетке с логарифмической шкалой по оси х
уравнение £/ = 21gx+5, а также три следующие: у= =0,3 х+2, у=3]^х —1,5 и у= — +2. Только для первого уравнения получена прямая, так как переменная х входит в уравнение в виде 1g х. Для остальных трех уравнений при их построении получены кривые.
85
б)	Уравнения трех переменных. При построении на полулогарифмической сетке уравнений с тремя переменными принимаем одну из переменных за параметр и, подставляя в уравнение различные численные его значения, получаем серию уравнений с двумя переменными, построение которых на сетке дает семейство линий. На каждой построенной линии следует надписать значение параметра, которому она отвечает. В зависимости от того, какая из переменных принята за параметр возможны шесть вариантов, а по виду получаемых на полулогарифмической сетке семейств линий возможны три следующих случая:
а)	в двух семействах получаются прямые линии, а в третьем — кривые;
б)	в одном семействе получаются прямые линии, а в остальных двух кривые;
в)	во всех трех семействах кривые.
Рассмотрим на примерах эти случаи.
Рис. 38. Номограмма уравнения #=31g x+4Ig z+2 при параметре z
Пример 16. Построить номограммы уравнения вида у=-т 1g х + +n\gz+'p.
В этом типе уравнений две из переменных входят в виде логарифма. На рис. 38 дано построение семейства по z для уравнения у=3 lg х+4 lg z+2 на полулогарифмической сетке с логарифмической шкалой по оси абсцисс при значениях z, равных 1; 3; 6; 10; 30; 60 и 100. Полученные прямые .семейства по z оказались параллельными. 86
Проводим нормаль АВ к этим линиям и против точек пересечения АВ с параллельными линиями отмечаем соответствующие значения параметра z. Полученная на прямой АВ шкала оказалась логарифмической что легко установить воспользовавшись графиком, приведенным на рис. 5. Если на такой же полулогарифмической сетке построить семейство по х для того же уравнения, то и оно окажется состоящим из параллельных линий, располагающихся также по логарифмическому закону, но модуль логарифмической шкалы для параметра х будет отличаться от построенного на рис. 38 модуля логарифмической шкалы для параметра z.
Рис. 39. Номограмма уравнения
XZ
77" +0>25 при параметре г.
При построении семейств по у заданного уравнения на полулогарифмической сетке получаем семейства кривых для обоих вариантов построения на полулогарифмических сетках.
Пример 17. Построить номограммы уравнения вида lg y=mxz+n,. К такому же виду легко приводится уравнение вида у — emxz^n,
На рис. 39 дана номограмма, на которой построено семейство
XZ
по z уравнения Ig# = “тг- + 0,25 на полулогарифмической сет-10
ке с логарифмической шкалой по оси ординат при значениях 2, равных 0,5; 1; 2; 3 и 4. Полученные линии оказались прямыми, пересекающимися в одной точке. Если за параметр принять переменную х и провести построение на такой же сетке, то и в этом случае получим семейство прямых, пересекающихся в одной точке.
87
При построении семейства по у получаем кривые для обоих вариантов построения на полулогарифмических сетках.
Пример 18. Построить номограммы уравнения вида lgz/=mx+ +nz+p.
На рис. 40 дана номограмма, на которой построено на полулогарифмической сетке с логарифмической шкалой по оси ординат семейство по х уравнения lg #=0,2x+0,lz+0,3 при значениях х, равных 0; 1; 2; 3 и 4. Все линии оказались прямыми и при том параллельными. Проводим нормаль АВ к этим линиям и против точек ее пересечения
с параллельными линиями отмечаем соответствующие значения параметра х. Полученная на прямой АВ шкала оказалась равномерной. Если при построении заданного уравнения за параметр принять переменную г, то и в этом случае получим семейство параллельных прямых, располагающихся по равномерному закону.
При построении семейств по у получаем кривые для обоих вариантов построения на полулогарифмических сетках.
Пример 19. Построить номограммы урав-
Рис. 40. Номограмма уравнения lg !/=0,2х+0,и+0,3 при параметре х
ных значениях параметра z все линии
нения вида у — = mf(z) lgx+n.
При построении на полулогарифмической сетке с логарифмической шкалой по оси абсцисс семейства по z при раз* окажутся прямыми, пересека
ющимися в одной точке. При построении как семейства по х, так и семейства по у получаем кривые или прямые в зависимости от вида f(z).
Пример 20. Построить номограмму уравнения вида y=m\gx+
При построении на полулогарифмической сетке с логарифмиче-ской шкалой по оси абсцисс семейства по z при разных значениях z полученные линии прямые и параллельные между собой. Шкала, построенная на нормали к ним, окажется неравномерной, но и не логарифмической.
При построении как семейства по х, так и семейства по у получаем кривые, или прямые в зависимости от вида f(z).
Если в уравнении с тремя переменными ни одно из них не входит в виде логарифма, или не может быть приведено к такому виду, то при построении таких уравнений на полулогарифмической сетке семейства линий по всем трем переменным будут состоять из кривых,
Но следует помнить, что построение уравнений с двумя И тремя переменными на полулогарифмических сетках целесообразно не только в тех случаях, когда в результате построения номограммы на ней получаются прямые, но и тогда, когда пределы изменений одной из переменных весьма значительны. Строя для этой переменной логарифмическую шкалу получаем одну и ту же относительную погрешность отсчетов по всей длине этой шкалы, и построенная номограмма будет практически более удобной и точной при пользовании ею.
5. Построение номограмм на логарифмических сетках со шкалами равных модулей.
а) Уравнения с двумя переменными. Любое уравнение с двумя переменными, принимающими положительные значения, может быть построено на логарифмической сетке. Если переменные принимают и отрицательные значения, то на логарифмической сетке может быть построена только та часть прямой или кривой, которая соответствует положительным значениям переменных.
Построение уравнений с двумя переменными на логарифмической сетке производится также, как и при применении равномерных шкал, т. е. определяются координаты ряда точек, удовлетворяющих заданному уравнению, производят их построение на сетке и соединяют их плавной линией.
Если обе части уравнения с двумя переменными представляют собой одночлены (причем переменные не входят в показатель степени), то такое уравнение при построении на логарифмической сетке изобразится прямой линией. Все уравнения с двумя переменными других видов изображаются на логарифмической сетке кривой линией.
Общий вид уравнений первой группы будет
у=ахт,	(51)
где а и т числа постоянные.
Докажем, что при построении уравнения (51) на логарифмической сетке оно изобразится всегда прямой линией.
Прологарифмируем уравнение (51)
lgу = т lgx-4-Iga.
Обозначим 1g у через у', 1g х через х' и 1g а через а', тогда получим
у' = тх' -\-а’.
89
Это уравнение прямой, если на осях координат построены шкалы уравнений у'— iXlgz/ и x'=Xlgx.
В этом уравнении т является угловым коэффициентом прямой, т. е.
m = tg<p,	(52)
где <р — угол наклона прямой *.
Следовательно, показатель степени т в уравнении (51) определяет угол наклона получаемой прямой.
Рис. 41. Построение уравнения у=ахт при разных зна-чениях показателя степени т и коэффициента а
Что касается коэффициента а в уравнении (51), то он определяет величину ординаты у для точки прямой с абсциссой, равной единице (при x=il имеем у = а).
На рис. 41 дано построение уравнений у = ахт для значений х, изменяющихся в пределах от 1 до 100, при
* Углом наклона прямой считается правый из смежных углов, образованных пересечением прямой или ее продолжения с осью абсцисс.
90
разных значениях коэффициента а и следующих положительных и отрицательных, целых и дробных значениях показателей степени: m = 4; m=l; т = 0,5; т = —2.
Из рис. 41 видим:
1)	для уравнений, в которых показатель степени т положителен, угол наклона острый;
2)	при значениях показателя степени т=1 угол наклона прямой равен 45°;
3)	если значение показателя степени т>1, то с его увеличением увеличивается крутизна направления прямой, а если значение показателя степени /и<1, но >0, то с его уменьшением увеличивается пологость направления прямой;
4)	при значениях показателя степени т<0, т. е. отрицательном, угол наклона прямой всегда тупой.
Эти правила составитель номограмм должен знать наизусть, ибо тогда он будет легко себе представлять положение прямых на номограмме до их построения.
Теперь рассмотрим построение на логарифмической сетке уравнений других видов.
На рис. 42 дано построение уравнений: у = 15х+28; у=Л2х—10; z/ = 9Kл —15 и у=0,01х2+-~- +0,4 для зна* чений х от 1 до 100 и у от 1 до 1000.
Из рисунка видно, что уравнения z/=il5x+28 и у = = \2х—10, которым при построении в прямоугольных координатах с равномерными шкалами отвечают прямые, при построении на логарифмической сетке оказались кривыми, но следует отметить, что кривизна их незначительна. Уравнения у—ЭХ*—15 и #=0,01х2 + — +0Д
дающие при построении в прямоугольных координатах с равномерными шкалами кривые, дали кривые и при построении на логарифмической сетке, причем со значительным искажением кривизны, если сравнивать с построением при применении равномерных шкал равных модулей на обеих осях координат. Считаем необходимым напомнить, что при построении номограмм с применением равномерных шкал разных модулей на обеих осях координат также всегда имеет место искажение кривизны кривых или угла наклона прямых.
Прежде чем приступить к построению уравнения на логарифмической сетке, надо выяснить пределы изменения переменных, так как это определяет число модулей
91
логарифмических шкал, которые необходимо иметь по осям координат. Модуль логарифмических шкал выбирается в зависимости от~ требуемой относительной точности отсчетов, руководствуясь данными, приведенными во введении.
Рис. 42. Построение разных уравнений с двумя переменными на логарифмической сетке
Преимущества применения логарифмических сеток для построения уравнений с двумя переменными следую* щие:
1. Относительная точность отсчетов по шкалам логарифмической сетки одинакова для обеих переменных на
92
всем протяжении шкал, что представляет особое удобство при больших пределах изменения переменных.
2. При построении уравнений вида у = ахт на логарифмической сетке всегда получается прямая линия, для построения которой очевидно достаточно вычислить координаты лишь двух ее точек.
б) Уравнения с тремя переменными. Все виды уравнений с тремя переменными могут быть построены по логарифмической сетке, руководствуясь теми же правилами, которые применяются при построении этих уравнений на сетчатых номограммах с применением равномерных шкал по. осям координат. И в данном случае каждая из переменных может быть принята за параметр уравнения, и, следовательно, имеются всегда три варианта построения номограмм.
Приняв какую-либо из переменных за параметр и подставляя ряд ее численных значений в заданное уравнение, получим серию уравнений с двумя переменными, которые при построении на логарифмической сетке дадут семейство прямых или кривых.
При этом на каждой линии семейства надписывается значение третьей переменной (т. е. параметра), которому она отвечает.
Если имеем уравнения вида y=f(x, z) или f(x, у, z) = =0, то на номограмме можем получить по первому варианту «семейство линий по г», по второму варианту «семейство линий по х» и по третьему варианту «семейство линий по у».
Все многообразные уравнения с тремя переменными могут быть разбиты на четыре группы в зависимости от вида семейства линий, получаемых в результате их построения на логарифмической сетке по трем вариантам.
Особый интерес представляют также виды уравнений, которые при своем построении дают семейства прямых линий. К рассмотрению таких уравнений и перейдем.
К первой группе относятся уравнения вида
у = axmzn,	(53)
где а, т и п — величины постоянные.
При положительных значениях коэффициента а и при любых положительных или отрицательных, целых или дробных значениях показателей степеней тип эти уравнения при построении на логарифмической сетке дают семейства параллельных прямых во всех трех вариантах,
93
т. е. дают семейства параллельных линий по х, по z и по у.
Ко второй группе относятся следующие уравнения: y — axmzn-[-b.	(54)
y = axmf (z),	(55)
y = aznf(x\	(56)
где a, b, т и n — величины постоянные.
Эти уравнения дают на логарифмической сетке семейство параллельных линий только в одном варианте:
1.	Уравнение (54), если за параметр принять переменную у.
2.	Уравнение (55), если за параметр принять переменную z.
3.	Уравнение (56), если за параметр принять переменную х.
По остальным вариантам получаем семейства кривых.
К третьей группе относятся уравнения вида: у=ахН*\	(57)
y=azf<x\	(58)
где а — постоянная величина.
Эти уравнения дают на логарифмической сетке по одному из вариантов семейство прямых, пересекающихся в одной точке:
1. Уравнение (57), если за параметр принять переменную z.
2. Уравнение (58), если за параметр принять переменную х.
По остальным двум вариантам получаем семейства кривых.
В четвертую группу входят все уравнения с тремя переменными, которые при построении на логарифмической сетке дают семейства кривых по всем трем вариантам.
Приведем пример построения трех вариантов номограмм для уравнений первой группы.
Пример 21. Построить номограммы уравнения:
при следующих предельных значениях переменных: х от 1 до 10; г от I до 10 и у от 0,1 до 10.
94
Для третьего варианта построения номограммы, по которому за параметр принимается переменная у, заданное уравнение должно быть предварительно преобразовано так, чтобы в левой части входила только та переменная, и притом в первой степени, значения которой будут откладываться по вертикальной оси. Если принять х за эту переменную, то для третьего варианта получаем уравнение следующего вида:
3 Л r/z2 з/-------- з
х 1/ оТ ~	=с г?>
где с = 2у.
Подставляя в заданное уравнение значение переменных, принимаемых за параметры, получим для каждого из вариантов свою серию уравнений, которые надлежит построить.
Эти серии уравнений будут следующие:
1)	по варианту Л (семейство по z). Общий вид уравнения у = ах3, 0,5 где а = —.
Z2
На рис. 43 построена номограмма при значениях параметра г-1; 2; 3; 4; 5; 6; 8 н 10;
2)	по варианту II (семейство по х). Общий вид уравнения
&	г
у = — , где 0=0,5 х3.
На рис. 44 построена номограмма при значениях параметра х=1; 2; 3; 4; 5; 6; 8 и 10;
3)	по варианту III (семейство по у). Общий вид уравнения
х = с где с — ^2у.
На рис. 45 построена номограмма при значениях параметра Г1; 2; 3; 4; 5; 6; 8 и 10.
Как видно из рис. 43, 44 и 45 по всем трем вариантам действительно получены семейства параллельных линий, но с различными углами наклона.
Для угла наклона семейства параллельных линий по z уравнения z/=iax3 (рис. 43) имеем tg<pi=3, откуда <pi = = 71°34'. Для угла наклона семейства параллельных линий по х уравнения у= — (рис. 44), имеем tg ф2 =—2, откуда ф2=|П6033/. Для угла наклона семейства параллельных линий по у уравнения х = с (рис. 45) имеем tg фз = 2/3, откуда фз=33°4Г.
Таким образом, величина угла наклона семейства параллельных линий, получаемых при построении уравнения y=\ax™zn зависит только от показателя степени той переменной, значения которой откладываются по горизонтальной оси.
95
Рис. 43. Номограмма уравнения
1. ) с 
У ~	~ при параметре z
ре х
йдйЙЫМЬЙЬ


Если к каждому из полученных на номограммах семейству параллельных прямых провести нормаль и точки пересечения нормалей с прямыми пометить численными значениями параметра, то окажется, что полученные на нормалях шкалы будут все логарифмические, а модули их различны. В этом легко убедиться, воспользовавшись графиком на рис. 45.
Полученные логарифмические шкалы в отличие от логарифмических шкал по осям координат, будем называть логарифмической шкалой параметра z, или х, или у, а семейства параллельных прямых, располагающиеся по логарифмическому закону, будем называть логарифмическим семейством линий.
X
Рис. 45. Номограмма уравнения У ~	— при параметре у
Рис. 46ч Схема для определения* модуля логарифмической шкалы параметра уравнения у= ~axmzn
Выведем формулу для определения модуля логарифмической шкалы, параметра при построении на логарифмической сетке уравнения с тремя переменными вида y=axmzn.
На рис. 46 дано схематичное построение на логарифмической сетке этого уравнения, приняв за параметр переменную z, для чего проведены две параллельные прямые логарифмического семейства по z, отвечающие значениям zi=40 и z2 = 1.
Очевидно, что отрезок АС прямой, перпендикулярной параллельным линиям, будет равен модулю шкалы пара-4—2661	97
метра z. Далее, проведем вертикаль через точку А до пересечения с прямой, отвечающей 2г=1. Получим прямоугольный треугольник АВС, в котором ZBAC = q> (углу наклона семейства параллельных прямых), как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Из прямоугольного треугольника АВС имеем:
АС — АВ cos?.	(60)
Если значения переменных, отвечающие точке А, обозначим Xi, z/i и zb а точке В — соответственно х2, у2, z2, то, очевидно, имеем: Zi = 10, z2=l и Xi=%2-
Если модуль логарифмических шкал, отложенных по осям координат обозначим X, а модуль логарифмической шкалы семейства линий по z обозначим %2, то имеем:
АС=\ и 4£=X(lg^ — 1g у2).
Подставляя значения АС и АВ в формулу (60), полу-чаем:
xz=41g!/i-lg!/2)cos<p,	(61)
где <р — угол наклона прямых логарифмического семейства параллельных линий, следовательно имеем tg<p = m, откуда
1 cos ср=— ......
V т2+ 1
Остается определить разность 1g yi—1g у2. Имеем у^-ах^г^-МУах™, у2 — ах2 z"—axT.
Логарифмируем оба равенства
lgl/i=lga4-/nlg*i+«»
lg//2=lga + "*lg*i-
Вычитая, получим
1g У1 — 1g 1/2=«•
Следовательно, подставляя найденные значения cos ф и 1gУ\—lg#2 в формулу (61), окончательно получим:
1, = ^— .	(62)
Ут2 + 1
98
Это формула для модуля шкалы параметра z уравнения
у=ахтгп<
где т — показатель степени той переменной, значения которой откладываются по горизонтальной оси, п — показатель степени той переменной, которая принимается за параметр при построении логарифмического семейства параллельных линий.
На рис. 43, 44 и 45 построены логарифмические шкалы параметров для всех трех вариантов номограмм заданного уравнения (59).
Рассматривая возрастание численных значений пометок на этих шкалах, видим, что на рис. 44 и 45 они идут снизу вверх, а на рис. 43 сверху вниз. Это понятно, так как показатели степеней переменных, которые принимались за параметры в уравнениях, соответствующих рис. 44 и 45 были положительны, а поэтому с их возрастанием увеличивались значения переменного, откладываемого по вертикальной оси координат, между тем показатель степени переменной, принимаемой за параметр в уравнении, соответствующем рис. 43, отрицателен, а поэтому с его возрастанием уменьшаются значения переменной, откладываемой по вертикальной оси.
Определим, пользуясь приведенной формулой (62), модули шкал для всех трех логарифмических семейств прямых, полученных на рис. 43, 44 и 45 для заданного уравнения (59).
При построении семейства по z (рис. 43) имеем, что п=.—2 (показатель степени параметра) и /и=3 (показатель степени переменной, значения которой откладывались по горизонтальной оси).
Следовательно при модуле логарифмической шкалы сетки Л модуль шкалы параметра z равен:
Хг=----—— ----------0.63Х.
/32 + 1	К10
Знак минус означает, что возрастание численных значений пометок логарифмической шкалы семейства по z идет сверху вниз.
При построении семейства по х (рис. 44), имеем, что п=3 и т=—2.
4*	99
Следовательно модуль шкалы параметра х равен
/.^ = — -Зх	=	= 1,34Х.
/(-2)2 + 1	/ 5
Знак плюс означает, что возрастание численных значений пометок логарифмической шкалы семейства по х идет снизу вверх.
При построении семейства по у (рис. 45) необходимо было преобразовать сперва уравнение (59) к виду, по которому оно строилось, а именно
х=у/Г 2уг2.
В этом случае построения за параметр принималась переменная у, а по горизонтальной оси откладывались значения переменной z, следовательно п='/з и т=?/з. Отсюда модуль шкалы параметра у равен
/ х .
\у=...... ....- = —=0,28Х.
/О‘
Знак плюс означает, что возрастание численных значений пометок логарифмической шкалы семейства по у идет снизу вверх.
Из приведенных трех вариантов номограмм для уравнения вида y=axmzn видно, что везде получаются логарифмические семейства параллельных линий, но с разными модулями.
Все три варианта по простоте'построения номограмм одинаковы, но они будут отличаться по углу наклона прямых и по густоте их расположения, т. е. по модулю шкалы параметра:
а)	для семейства по z (рис. 43)
<р=7Г34', модуль Xz=i—0,63 X;
б)	для семейства по х (рис. 44)
<р=116°33', модуль Хж= 1,34 Л;
в)	для семейства по у (рис. 45)
Ф=33°4Г, модуль Xj,=0,28 1.
100
Сравнение этих данных показывает, что наилучшим вариантом является построение семейства по х. Следовательно, номограмму надо строить только для этого варианта.
Возможность по одному виду уравнения сравнительно легко и быстро определить вполне точно расположение прямых на предположенной к построению номограмме является большим преимуществом логарифмических сеток при их применении для построения уравнений вида g=axmzn.
Эту возможность составитель номограммы должен всегда использовать. Прежде чем начать строить номограмму составитель должен выяснить, какой из вариантов даст наиболее точные отсчеты и будет наиболее удобен для пользования.
Из приведенного примера построения уравнения вида y—ax^zv- на логарифмической сетке видим, что нет необходимости вычислять координаты точек для построения каждой линии семейства параллельных прямых. Достаточно построить одну наклонную прямую, вычислить по формуле (62) модуль логарифмической шкалы семейства параллельных линий параметра и на нормале к построенной наклонной прямой построить шкалу этого модуля, пользуясь рис. 5, учитывая приведенное выше правило определения направления повышения пометок. Затем через штрихи этой шкалы провести прямые, параллельные наклонной прямой, и на них надписать соответствующие значения параметров.
Рассмотрим построение номограмм уравнений второй группы вида у= axmzn + b.
Пример 22. Построить номограмму уравнения
-	0,5x3	„ „
0 = “^—-0,3.	(63)
Это уравнение отличается от уравнения (59) лишь наличием свободного члена. Но этого оказалось достаточным, чтобы изменить виды семейств для всех трех вариантов.
На рис. 47 приведено построение уравнения (63), приняв переменную у за параметр при тех же предельных значениях переменных, что на рис. 43. В результате построения получено семейство прямых и притом параллельных, но располагающихся не по логарифмическому и не по равномерному закону, в чем убеждаемся рассмотрев построенную для параметра у шкалу. Она не логарифмическая, так как расстояние между штрихами пометок 0,1 и 1 не равно расстоянию между штрихами пометок 1 и 10.
101
При построении двух других вариантов номограммы уравнения (63), т. е. приняв за параметры переменные х или z, получаем семейства кривых линий (построенные номограммы не приводятся).
Рассмотрим другой пример уравнений второй группы вида
(64)
y=azmf
Ре У
Построение заданного уравнения при параметре х дает семейство параллельных линий, но как и в предыдущей номограмме, это семейство прямых не логарифмическое и не равномерное. При построении двух других вариантов номограммы для уравнения (64) получаем семейства кривых.
Из приведенных примеров построения номограмм уравнений второй группы видно, что лишь в одном варианте они дают семейство параллельных линий, но не располагающихся ни по логарифмическому, ни по равномерному закону.
Так как построение прямых, а тем более параллельных, значительно проще построения кривых, то, очевидно, что при необходимости построения номограмм уравнения этой группы целесообразно строить только тот вариант, который дает семейство параллельных прямых.
Перейдем к рассмотрению уравнений с тремя переменными третьей группы.
102
Пример 23. Построить номограмму уравнений

(65)
б котором z изменяется от 0 до 10, х от 1 до 100, а для у ограничиваемся значениями от 1 до 100.
За параметр принимаем переменную z.
На рис. 48 дано построение уравнения (65) при следующих значениях параметра: 0; 1; 2; 3; 4; 6; 8 и 10.
Все линии семейства по z оказались прямыми, имеющими общую точку с координатами х=1 и у = 4.
Оба остальных варианта построения этого уравнения принимая за параметры х или у, дают семейства кривых.
ре z
К четвертой группе уравнений с тремя переменными отнесены те, которые при построении на логарифмической сетке дают по всем трем вариантам кривые линии.
103
6 тех случаях, когда на логарифмической сетке прй построении уравнений с, тремя переменными получаются кривые, объем вычислительной работы для определения координат отдельных точек этих кривых будет тот же, как и при построении этих уравнений в прямоугольных координатах с равномерными шкалами по осям координат. Преимущество построения на логарифмической сетке будет в том, что относительная погрешность отсчетов по шкалам одинакова на всем их протяжении, что особенно важно в тех случаях, когда переменные изменяются в значительных пределах.
в) Уравнения с числом переменных более трех. Если у логарифмической сетки продолжить влево или вниз оси координат и на них от начала координат построить логарифмические шкалы того же модуля, как шкалы сетки, то легко получить еще одну, две или три логарифмические сетки, используя при этом также шкалы имеющейся сетки.
Такие логарифмические сетки с общими логарифмическими шкалами на осях координат называются сопря-оюенными.
Сопряженных логарифмических сеток с общим началом координат может быть две, три и четыре.
В приложении дан образец двух вертикальных сопряженных логарифмических сеток и образец четырех сопряженных логарифмических сеток.
Две сопряженные логарифмические сетки могут быть использованы для построения уравнения с четырьмя переменными вида
y—af(x, z) •?(*>),	(66)
или
y = af(x)^(z^(v).	(67)
Эти уравнения отличаются тем, что представляют собой произведение функций отдельных переменных, но один из множителей может быть функцией двух переменных.
Метод построения состоит в том, что заданное уравнение, путем введения вспомогательной переменной, разбивается на два уравнения, имеющие одну общую переменную (вспомогательную). Каждое из полученных уравнений строится в своей логарифмической сетке, но так, 104
чтобы общая логарифмическая шкала была для вспомогательной переменной, входящей в оба уравнения.
Уравнение (66) для построения на двух сопряженных логарифмических сетках разбивают на следующие два уравнения путем ввода вспомогательной переменной
s = af(x, z) и y=s<f(v).
Первое уравнение строим на первой логарифмической сетке, приняв за параметр переменную х или z. На сетке получим семейство кривых или прямых. Второе уравнение строим во второй сетке, приняв переменную v за параметр. Получаем семейство параллельных линий с углом наклона 45°, так как переменная s входит в первой степени.
Для построения уравнения (67) на двух сопряженных сетках надо это уравнение тоже разбить на два путем введения вспомогательной переменной s, например, на следующие:
s=a/(x)<p(z) и у=зф(г>).
Первое уравнение строим в первой сетке, приняв за параметр переменную х или z, и получаем семейство линий. Второе уравнение строим во второй сетке, приняв переменную v за параметр, и получаем семейство параллельных линий с углом наклона 45°.
Здесь в обоих примерах во второй сетке получается семейство параллельных линий с углом наклона 45°, что является достоинством этого типа номограмм.
На двух сопряженных логарифмических сетках целесообразно строить и уравнение с тремя переменными вида
z/ = a/(x)<p(z),	(68)
если f(x) и <p(z) не являются одночленами.
В этих случаях, при построении уравнения (68) с применением равномерных шкал, на номограмме независимо от того, какую из переменных х или z принять за параметр, получается семейство кривых, для построения которых надо проделать значительную вычислительную работу. Задача упрощается, если построение уравнения (68)' выполнить на двух сопряженных логарифмических сетках. Для этого разбиваем уравнение (68):
з=а/(х) и y=s<£(z).
105
Первое уравнение с двумя переменными строим на первой из сопряженных сеток, приняв шкалу их общей оси координат за шкалу вспомогательной переменной s. Получим кривую линию. Далее строим второе уравнение на второй из сопряженных сеток, приняв переменную z за параметр и используя шкалу вспомогательной переменной s. Получим семейство параллельных линий с углом наклона 45°. Очевидно, что проще построить одну кривую и семейство параллельных линий, чем семейство кривых.	—
Приведем примеры построения номограмм в двух логарифмических сетках.
Пример 24. Построить номограмму уравнения
=	+	• (0.5VX +о,2х)
при следующих предельных значениях переменных: z от 1 до 25, х от 0,1 до,10 и у от 1 до 40.
Построение проводим на двух вертикально сопряженных логарифмических сетках (см. рис. 49).
Разбиваем заданное уравнение на следующие два путем введения вспомогательной переменной $.
5 — 0,6-4-—и у = s (0,5'Кх-F 0,2х). \ 12 z /
Первое уравнение с двумя переменными строим в верхней сетке, приняв вертикальную шкалу для переменной г, а общую горизонтальную —• для вспомогательной переменной s. Получим кривую линию.
Второе уравнение строим в нижней сетке, приняв переменную х за параметр. Получим семейство параллельных линий с углом наклона 45°, располагающихся по неравномерному закону, но не логарифмическому.
Ход решения на построенной номограмме показан стрелками.
Для построения хода решения шкала промежуточной переменной s не нужна и ее можно при окончательном вычерчивании номограммы не давать.
Применение двух сопряженных логарифмических сеток особенно удобно для построения уравнения с четырьмя переменными вида:
y^axmznruP.	(69)
При любом варианте построения уравнения такого вида на обоих логарифмических сетках получаются се-106
мейства параллельных прямых, располагающиеся по логарифмическому закону, причем во второй сетке угол наклона прямых всегда 45°, так как показатель степени вспомогательной переменной s в уравнении, которое строится во второй сетке, всегда единица.
Рис. 49. Номограмма уравнения
Но следует помнить, что на нижней сетке возрастание пометок на вертикальной шкале идет сверху вниз и, следовательно, эта сетка как бы повернута на 180°. Это не
107
обходимо учитывать при проверке возрастания пометок на шкале параметра нижней сетки.
Формула (62) для определения модуля логарифмической шкалы семейства параллельных линий для параметра, получаемых во второй сетке, значительно упрощается, так как показатель степени переменной s равен единице, и примет следующий вид
Хп = —	=——-------=-^=0,71/м.	(70)
Vm* +1 Vl2+ 1	/2
где п — показатель степени переменной, принятой за параметр, при построении в нижней сетке;
X — модуль логарифмической шкалы сетки.
При разделении уравнения (69) на два уравнения с тремя переменными путем введения вспомогательной переменной и при выборе параметров первого уравнения, возможен ряд вариантов. При каждом из них будет меняться угол наклона семейства параллельных линий на первой логарифмической сетке и модули логарифмических шкал семейств параллельных линий на обоих сетках. Необходимо выбрать такой вариант, который обеспечит наиболее точные отсчеты по номограмме.
Приведенные выше правила дают возможность решить эту задачу, не прибегая к построению номограмм для всех сравниваемых вариантов.
Пример 25. Построить наиболее точную и удобную номограмму для уравнения
при пределах изменения переменных х от 1 до 20; z от 1 до 25, v от 0,3 до 5 и, соответственно, у от 1 до 50.
Для правой части заданного уравнения возможны три варианта обозначения вспомогательной переменной при его разбивке на два уравнения с тремя переменными. Кроме того, при построении каждого из первых уравнений в верхней логарифмической сетке будут по два варианта в зависимости от того, какая из двух переменных правой части уравнения принимается за параметр. Таким образом, возможны шесть вариантов. Для всех их определяем углы наклона параллельных линий в первой сетке по формуле (52), модули логарифмических шкал семейства параллельных линий в первой сетке по формуле (62) и модули логарифмических шкал семейства параллельных линий во второй сетке по формуле (70). Результаты всех подсчетов приведены в табл. 7.
108
1,2х z
Таблица 7
Варианты для уравнения у =
Варианты	Первой	Второй	Третий	Четвертый	Пятый	Шестой
Вспомогательная переменная	$1 = 1 ,2х]^^		1,2х $2~		1,2^г 53 “	V2	
Принятый параметр	Z	X	V	X	V	Z
1. Верхняя логарифмическая сетка
Построенное уравнение	х _ *1			/ 1,2х	$3v6 z —8	1,1^7
	1,2 fz	2	1,23x3	X —• 1,2	V — 1 / 	 У	S2	1,23	V~
Угол наклона прямых Модуль шкалы парамет-	45°	71°34'	45°	153°26'	71°34'	153°26'
ра	-0,24k	—0,95k	1,41k	0,45Х	1,9k	0,07k
2. Нижняя логарифмическая сетка
Построенное уравнение	*1	У = $2 / г	У = 53Х
Угол наклона прямых (к оси $)	45°	45°	45°
Модуль шкалы параметра	-1,42k	0,24k	0,71k
Рассматривая данные табл. 7, видно, что варианты первый и шестой дают слишком малые модули логарифмических шкал се* мейств параллельных линий, построенных в верхней сетке, а варианты третий и четвертый дают столь же неблагоприятные модули логарифмических шкал семейств параллельных линий, построенных в нижней сетке. Поэтому от этих вариантов следует отказаться. Что же касается второго и пятого вариантов, то отметим прежде всего равенство в обоих вариантах углов наклона прямых семейства параллельных линий в верхней сетке. Что же касается модулей логарифмических шкал семейств параллельных линий в верхней и нижней сетках, то при втором варианте они ближе к значению модуля шкал логарифмических сеток, чем при пятом варианте, поэтому наилучшим из всех вариантов следует считать второй, который и дан на рис. 50.
Табл. 7 показывает сколь целесообразно предварительное рассмотрение всех шести вариантов. Оно избавляет от затраты времени на построение неудачных вариантов номограммы.
Для построения уравнения (71) по второму варианту разбиваем его как указано в табл. 7, на следующие:
з ,— 5==1,2хУ2г,	(72)
S
(73)
Уравнение (72) строим в верхней сетке, а уравнение (73) в нижней. В первом уравнении за параметр принимаем переменную х, переменную z будем откладывать по вертикальной оси, а вспомогательную переменную $ по горизонтальной оси.
Пределы изменения переменной z от 1 до 25, а параметра х от 1 до 20, следовательно, пределы изменения s от 1,2 до 69,8 и для нее потребуется шкала длиной два модуля с предельными пометками 1 и 100.
Из табл. 7 имеем, что для второго принятого варианта угол наклона прямых семейства параллельных линий 7Г34', а модуль шкалы параметра х равен %х——0,95%, где % — модуль логарифмической шкалы сетки.
Для построения логарифмического семейства параллельных линий для параметра х в верхней сетке достаточно построить одну прямую, например для х=1, провести к ней нормаль и на ней построить логарифмическую шкалу с модулем %х = —0,95% с возрастанием значений пометок вниз, так как знак %х отрицательный. А затем, через штрихи этой шкалы провести прямые, параллельные прямой х=1.
Во второй сетке строим уравнение (73), приняв переменную v за параметр и используя имеющуюся горизонтальную шкалу вспомогательной переменной s.
Пределы изменения вертикальной шкалы второй сетки для искомой переменной у принимаем согласно заданию от 1 до 50.
Из табл. 7 находим, что угол наклона прямых к оси во второй сетке 45° (при обычном расположении сетки), а модуль шкалы параметра v равен %« = —1,42%. Построение семейства параметра v выполняем тем же методом, как построение семейства параллельных линий в верхней сетке.
ПО
Построенная номограмма дана на рис. 50. Значения пометок шкалы s на ней не даны, так как при пользовании номограммой они не нужны.
Сопряженные логарифмические сетки могут быть с успехом использованы для построения уравнений со многими переменными, если правая их часть представляет собой произведение множителей, каждый из которых является функцией лишь одной переменной.
Принцип построения уравнений со многими переменными в сопряженных логарифмических сетках тот же, ко-
Рис. 50. Номограмма уравнения
з г—
1, 2х у г
V2
у =
ш
торый описан для уравнений трех и четырех переменных в главе III. И в данном случае вводятся промежуточные переменные для того, чтобы разбить заданное уравнение на ряд уравнений с тремя переменными. Каждое из полученных уравнений требует для построения свою логарифмическую сетку.
Следовательно, для построения, например, уравнения с шестью переменными потребуется четыре сопряженных логарифмических сетки. Пример построения такой номограммы приведен в конце главы.
К достоинствам номограмм из сопряженных логарифмических сеток следует отнести простоту пользования и исключительную наглядность влияния каждой из переменных величин на искомый результат, а также одинаковую относительную погрешность результатов построения хода решения для любых значений всех переменных построенного уравнения-.
6. Построение номограмм на логарифмических сетках со шкалами разных модулей.
а)	Уравнения с двумя переменными. Применение обычной логарифмической сетки для построения уравнения вида у=ахт значительно облегчает вычисления и упрощает построение номограммы, так как на ней всегда получается прямая линия. Но при больших значениях показателя степени т прямая получается слишком крутой, а при малых его значениях (меньше единицы) очень пологой, поэтому точность в определении точки пересечения построенной прямой с заданной абсциссой или ординатой может оказаться столь незначительной, что приходится часто отказываться от построения такого уравнения на логарифмической сетке.
Между тем этот весьма существенный недостаток может быть устранен в значительной степени, если на осях координат построить логарифмические шкалы разных модулей.
Покажем это на следующем примере.
Пример 26. Построить номограмму уравнения г/=0,09х4. Построение этого уравнения на логарифмической сетке со шкалами равных модулей дано на рис. 41. Угол наклона прямой оказался 76° и сделать точный отсчет по номограмме трудно.
На рис. 51 дано построение того же уравнения при разных модулях логарифмических шкал переменных х и у.
Для получения меньшего угла наклона искомой прямой к оси х надо, очевидно, выбрать больший модуль логарифмической шкалы
112
переменной х или меньший модуль логарифмической шкалы пере* менной у.
На рис. 51 модуль шкалы по оси х принят в 2,5 раза больше, чем шкалы по оси у. Как видно, полученный наклон прямой позволяет делать отсчеты с достаточной точностью. Но необходимо помнить,
? У
Рис. 51. Построение уравнения Рис. 52. Схема построе-г/=0,09х4 на логарифмической сет- ния уравнения у—ахт ке со шкалами разных модулей при разных модулях шкал
что при таком построении тангенс угла наклона прямой к оси х не будет равен показателю степени переменной х, и относительная погрешность отсчетов по обеим логарифмическим шкалам будет разная.
Определим значения тангенса угла наклона искомой прямой при построении на логарифмической сетке с разными модулями шкал.
На рис. 52 дано схематично построение уравнения у=ахт при разных модулях шкал, построенных на осях координат.
Из треугольника АВС имеем:
tg-?=-^,	(74)
но
ВС=(lg у2 - lg yi)=Xy [(lg a + mlgx2)-
—(lg a 4- m lg Xi)]=Xytn (lg x2 - lg x,).	(75)
4C=kjr(lgx2-lgxl).	(76)
113
Следовательно:
tgф = — —lym (‘gx2—Igxi) __ 'кут _т_	zyyх
AC Xx(lgx2— Igxj) \x p
где m— показатель степени переменной x;
, p = —— отношение модуля логарифмической шкалы, по-строенной на оси х, к модулю логарифмической шкалы, построенной на оси у.
В примере на рис. 51 имеем:
, , т 4	< ~
tg<?=—=—=1,6.
Р 2,5
Следовательно, хр = 58°.
Как видно, угол наклона прямой приблизился к 45°.
Меняя значение р можно получать различные углы наклона прямой.
Из формулы (77) видим, что при р = т угол наклона прямой всегда будет 45°.
б)	Уравнения с тремя переменными. Ответим на вопрос о том, какое влияние окажет применение логарифмических шкал разных модулей при построении ра логарифмической сетке уравнения с тремя переменными вида y=wcmzn.
Пример 27. Построить номограмму уравнения:
0,5x3
при параметре z и при отношении модулей логарифмических шкал по оси координат, равное р=^х:^=2. Такое построение дано на рис. 53.
Сравним эту номограмму с номограммой на рис. 43 для того же уравнения при том же параметре г, но при равных модулях логарифмических шкал.
Из сопоставления этих номограмм видим, что угол наклона прямых семейства z на рис. 53 уменьшился и стал не таким крутым, а модуль логарифмической шкалы параметра увеличился.
Угол наклона прямых определяем по формуле (77):
, т 3
= — = -7- = 1,5, откуда ф = 56°20/.
Р 2
Затем выведем формулу для определения модуля логарифмической шкалы семейства параметра при построении уравнения вида y~axmzn с применением логарифмических шкал разных модулей по осям координат.
114
ных модулях шкал на осях координат и при параметре z (сравнить с рис. 43)
Рис. 54. Схема для определения модуля логарифмической шкалы параметра уравнения у = axmzn при разных модулях шкал на осях координат
На рис. 54 дано схематично семейство прямых параметра 2 для указанного уравнения при	Нормаль АС между прямыми
семейства <21 = 10 и z2=l будет очевидно модулем семейства прямых параметра z.
Проведем вертикаль АВ. Получим Д АВС, из которого имеем, что АС=АВ cos ф или
— АВ cos ф.	(78)

Согласно формулы (77)	т st--.	следовательно,
cos (Ь = ’ -					1_			 Р	. (79)
у =		 Vtg2<|/4-l	/(т.	\2	1 У m2 + р2
Если обозначим Хх и ух координаты точки А; х2 и у2 координаты точки В, то имеем:
AB^Xy(\gy^\gy^	(80)
где ,,	„„т.п._Л „т 1Пл.
ух — ах\ xj = ах^ • ю ,
у 2 = ax™z“ = ах™ • 1п.
Деля ух на у2, получим (учитывая, что х\=х2):
-^-=10".
У1
Откуда lgr/i —
Следовательно, АВ=пку.
Подставляя найденные величины в равенство (78), находим:
X = п1уР	п1уКх	(81)
/ /п2 4- р2 ]/	4- \2Х
Пользуясь этой формулой, находим модуль шкалы параметра z 0,5лгЗ
на рис. 53 для уравнения у == —“— . Имеем р=2, я= —2 и /п=3.
Отсюда
а	--- —
/94-4 V13
Как видно, этот модуль оказался значительно больше, чем на рис. 43. Следовательно, в результате применения логарифмических шкал разных модулей можно получить более удобный угол наклона параллельных прямых семейства параметра z и больший модуль что делает номограмму значительно более точной при пользовании. Применение логарифмических шкал разных модулей может оказаться целесообразно и в тех случаях, когда на номограмме получается семейство кривых, близко сходящихся в каком-либо направлении.
116

Уравнения со многими переменными могут быть Также построены на сопряженных логарифмических сетках со шкалами разных модулей, но следует помнить, что шкалы на общих осях сопряженных сеток должны быть одного и того же модуля.
7. Примеры инженерных номограмм к главе IV.
Номограмма 7. Построить номограмму для определения сопротивления медной проволоки R в омах при длине ее I в м и поперечном сечении q в мм2.
Формула, по которой определяется сопротивление медной проволоки следующая
/
/? = 0,0175 —, в омах, Q
Пределы изменения переменных принимаем следующие: I от 20 до 1000 м, q от 1 до 10 мм2. Соответствующие значения R от 0,1 до ПО ом. Формула имеет логарифмический вид, содержит три переменных и; следовательно, можно построить ее на логарифмической сетке. Для шкалы искомой переменной q нужны два модуля. Строим ее на оси ординат. Для шкалы переменной достаточно одного модуля и строим ее на оси абсцисс. За параметр принимаем переменную /. Она входит в первой степени и поэтому семейство параллельных линий параметра I будет наклонно к осям координат под углами в 135°, так как показатель степени q равен — 1.
Следовательно, для построения каждой из них достаточно определить по одной точке и провести параллельные прямые под углом 45°. Построенная номограмма дана на рис. 55.
Так как семейство параллельных параметра I располагается по логарифмическому закону, то построение можно упростить. Достаточно построить прямую для одного значения параметра (например, 2=100 м). Затем определить по формуле (62) значение модуля шкалы параметра I. Находим
У zn2 + 1	]/(— 1)2 + 1	У~2
Восстанавливаем перпендикуляр к проведенной прямой и на ней строим логарифмическую шкалу с модулем 0,71% с пометками от 20 до 1000. На номограмме шкала для параметра / построена, но пометки к ней не даны, так как они приведены на прямых. Наличие шкалы для параметра дает возможность провести, если потребуется, прямую для промежуточных значений переменной I.
Пример использования номограммы.
Дано: 7=5,5 мм2, /=600 мм.
По номограмме находим: R =1,92 ом. Вычислением по формуле определяем R = 1,91 ома. Относительная погрешность 0,5%.
Номограмма № 8. Построить номограмму для определения сопротивления R в омах разных проволок длиной I м и диаметром d в мм.
117
Рис. 55. Номограмма № 7 для определения сопротивления медной проволоки в зависимости от ее длины и поперечного сечения
Формула, по которой требуется построить
номограмму сле-
дующая:
4Z
/? = *• ~
ЛУ/2
Для переменных I и d ограничимся пределами I от 10 до 1000 и d от 0,3 до 5 мм.
Коэффициент К зависит от материала проволоки и равен для алюминиевой 0,029, для латунной 0,075, для медной 0,0175 и для стальной 0,17.
Формула имеет логарифмический вид, включает четыре переменных, и поэтому номограмма ее может быть построена в двух сопряженных логарифмических сетках.
В первой сетке строим уравнение х — — • —, приняв пере-Л а2
менную I за параметр и строя шкалу переменной d на оси ординат, а вспомогательной переменной х на оси абсцисс. При наличии готовых логарифмических сеток построение шкал на осях координат сводится к надписанию значений пометок против линий сетки.
Во второй сетке строим уравнение R=xK, приняв переменную К за параметр, используя шкалу вспомогательной переменной х на оси абсцисс и надписав значения пометок шкалы искомой переменной R на оси ординат.
Построенная номограмма приведена на рис. 56.
В обоих сетках получены семейства параллельных линий, располагающихся по логарифмическому закону.
Для определения модуля шкалы параметра I надо преобразовать уравнение
4 * I х =-------
Л ^2
в следующее:
чтобы в левой части уравнения была переменная, и притом в первой степени, шкала которой строится на оси ординат. Тогда для определения модуля шкалы параметра I можно воспользоваться формулой (62). Имеем
Далее, задаваясь значениями /] = 10, /2=100 и Z3=1000, находим положение этих трех прямых в первом квадранте. Расстояние от средней прямой до обоих крайних должно равняться 0,445%, где % — модуль логарифмической шкалы самой сетки верхнего квадранта. Остается, пользуясь шаблоном логарифмических шкал (см. рис. 5),
119
построить логарифмическую шкалу с модулем 0,445Х, которая дает возможность без всяких вычислений определить положение параллельных прямых семейства параметра /, отвечающих значениям Z=20; 40; 60; 80; 200; 400; 600 и 800.
Рис. 56. Номограмма № 8 для определения сопротивления проволок из разного металла в зависимости от их длин и диаметров
В нижнем квадранте для разных значений параметра К получаем четыре параллельных прямых, на которых вместо значений параметра К написано название проволоки, которой отвечает параметр.
120
Пример использования номограммы. Определять сопротивление алюминиевой проволоки при d=0,6 мм и /=400 мм. Ход построения показан стрелками.
По номограмме находим /?=40 ом, вычисление по формуле дает 2?=40,9 ом. Относительная погрешность около 2,5%. В тех случаях когда требуется большая точность, надо увеличить размеры номограммы, а следовательно и модули логарифмических шкал сеток.
Номограмма № 9. Построить номограмму для определения полезного крутящего момента шпинделя станка, пользуясь формулой:
Z)s°’75c«
м- f5:ibT в
в которой:
D—’Диаметр обрабатываемого предмета, мм\
s — подача резца на один оборот шпинделя, мм\
с — коэффициент резания, кг/лш2;
t — глубина резания, мм\
6 — угол резания в градусах.
Номограмму построить для следующих пределов изменения переменных: D от 10 до 800 мм, s от 0,1 до 10 мм*9 с от 30 до 300 кг!мм2’, t от 4 до 40 мм, 6 от 60 до 90°.
В заданной формуле шесть переменных и она имеет логарифмический вид, поэтому целесообразно построить ее на сопряженных логарифмических сетках. Для шести переменных потребуется четыре сопряженных квадранта. Разбиваем заданную формулу на четыре уравнения с тремя переменными путем введения трех вспомогательных переменных х, у, z.
Получим следующие уравнения:
х = £>s0’75,
У =хс, z = yt, . гЪ = 15-104 ‘
Первое уравнение строим в первом квадранте (верхний правый), приняв s за параметр уравнения и строя на ординате шкалу для диаметра D, на оси абсцисс для вспомогательной переменной х. В связи с этим первое уравнение перепишем в следующем виде:
$0,75 ’
Так как за параметр принята переменная s, а вспомогательная переменная х входит в это уравнение в первой степени, то семейство прямых по s будет иметь угол наклона к оси абсцисс равный 45°, а модуль логарифмической шкалы параметра s найдем по формуле:
пк —0,75Х	— 0,75л	' л
/_______—	__ — Г--------------0,53Х,
У /и2 + 1 У 12 + 1 У 2
где % модуль логарифмической шкалы сетки.
121
Знак минус означает, что повышение значений параметра s йа параллельных прямых будет сверху вниз, т. е. в обратном направлении по сравнению с повышением пометок шкалы переменной^.
При построении остальных уравнений в последующих квадрантах получаем, как указывалось выше, семейство параллельных прямых под углом 45° к оси абсцисс.
Рис. 57. Номограмма № 9 для определения полезного крутящего момента шпинделя станка
Далее определяем модули шкал остальных семейств параллельных прямых.
Имеем
ЬХ X
Хс = Х8 =----------=-----= 0,71Х,
у 2
~	— Q.71X.
]/ 12 + 1 У 2
Они оказались все равными 0,71%, но с той разницей, что пометки на шкалах с и у и на шкалах М и б возрастают в одном и том же направлении, а на шкалах t и у в разных направлениях.
122
На основе этих данных построена номограмма заданного уравнения, приведенная на рис. 57. Пометки шкал вспомогательных переменных х, у и z при окончательном вычерчивании номограммы исключены; к ним относятся: х от 10 до 1000, у от 1000 до 100 000 и z от 10 000 до 1 000 000. Пометки шкалы М приняты от 10 до 1000.
Пример использования номограммы.
Дано: £>=150 мм, s=0,4 мм, с=80 кг) мм2, £=10 мм и 6 = 70°.
По номограмме имеем Л4=24,5 кг-м. Вычисление по формуле дает М=23,9 кг-м. Относительная погрешность 2,5%.
При выбранных нами пределах изменения вспомогательных переменных оказалось, что в четвертом квадранте семейство по 6 не помещается в логарифмической сетке с двумя модулями логарифмических шкал, поэтому нижний конец этого семейства продолжен пунктиром в третий квадрант и соответственно удлинена вниз (вдоль вертикали третьего квадранта) шкала искомой переменной М до пометки 4. Благодаря этому не потребовалось удлинять вверх логарифмическую сетку четвертого квадранта еще на один модуль, а следовательно, и первого.
Сравнивая метод построения сетчатых номограмм с равномерными и логарифмическими шкалами, нужно признать преимущества последних, особенно в тех случаях, когда в результате применения логарифмических шкал получаются семейства параллельных линий во всех квадрантах номограммы.
К этим преимуществам следует отнести одинаковую погрешность построения в любых частях номограммы и некоторое упрощение в самом построении номограммы, особенно в тех случаях, когда имеется готовая ее основа в виде логарифмических и полулогарифмических сеток или сопряженных логарифмических сеток (см. приложения).
Глава V
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НОМОГРАММЫ С СОРОКАПЯТИГРАДУСНЫМ ХОДОМ
1. Свойства логарифмического семейства параллельных линий. При построении на логарифмической сетке уравнений с тремя переменными вида
у = axmzn	(82)
можно, как было показано в главе IV, путем построения на осях координат логарифмических шкал переменных у и z разных модулей, изменять угол наклона прямых семейства параллельных линий параметра г, располагающихся по логарифмическому закону.
При этом тангенс наклона прямых к оси х определяется по формуле
tg<P=^-,	(83)
где и %х — модули логарифмических шкал, построенных на осях координат;
т — показатель степени переменной х уравнения (82).
Так как показатель т может быть положителен или отрицателен, то угол <р может быть острым или тупым.
Если принять	где т положительный коэф-
фициент, и подставить в формулу (83), то при показателе степени т положительном:
— 1, т. е. ©=45°, т\у
а при показателе степени т отрицательном
tg<? =	= т_ е_ ? = 135о.
Для модуля шкалы логарифмического семейства параллельных линий параметра z уравнения (82) имеем
Хг =—.	(84)
V
124
При Хх = /пХу, и принимая п=1, получим:
Хг= —= -*£_=0,П„.	(85).
тКуУТ Уч
Оказывается, что модуль шкалы логарифмического семейства параллельных линий не зависит в этом случае от показателя степени т, а зависит только от модуля Ку шкалы у.
Следовательно, если при построении на логарифмической сетке уравнения с тремя переменными вида
y=zxm,
в котором параметр z уравнения входит в первой степени (п=1), принять Кх—тКу, то на номограмме всегда получится для параметра z логарифмическое семейство параллельных линий с модулем Хг=0,7!/ и с углом наклона этих линий к оси х, равным 45° при положительном показателе степени т или 135° при отрицательном показателе. В последнем случае очевидно, что если горизонтальную логарифмическую шкалу сетки повернем на 180°, т. е. так, чтобы пометки шкалы переменной возрастали не слева направо как обычно, а справа налево, то логарифмическое семейство параллельных линий параметра повернется на 90°, и угол наклона этих прямых будет тоже 45°, как и при положительном показателе степени т.
На рис. 58 дано построение уравнения y=vx}’3 при логарифмической шкале переменной у~с возрастающими пометками снизу вверх и логарифмической шкале переменной х с возрастающими пометками слева направо.
На рис. 59 дано построение уравнения	кото-
рое отличается от предыдущего лишь знаком показателя степени т переменной х. Как видим, для того, чтобы получить логарифмическое семейство параллельных линий параметра v с углом наклона также 45° пришлось повернуть шкалу для переменной х на 180°, т. е. так, чтобы пометки этой шкалы возрастали справа налево.
Итак, следующий практический вывод:
1. Всякое логарифмическое семейство параллельных линий с углом наклона 45° к оси х и с возрастанием значений пометок параметра при прямых снизу вверх, может быть использовано для построения номограмм уравнений вида y = vxm.
125
Для этого надо принять kiZ=?7=1,42Xi”	(86)
Хх=т\у.	(87)
2. Возрастание пометок для шкалы переменной у следует принять снизу вверх, а для шкалы переменной х слева направо при т положительном и справа налево при т отрицательном. 3 4 * * * *
Рис. 58. Номограмма уравнения у =
3. Построение производится в следующей последовательности. Сперва строим логарифмические семейства параллельных линий под углом 45° к горизонтальной оси с произвольным модулем логарифмической шкалы этого семейства X® и с возрастанием пометок параметра v снизу вверх.
Затем определяем модули логарифмических шкал переменных у и х по формулам (86) и (87).
4. Расположение вертикальной шкалы у по отноше-
нию к семейству прямых параметра v выбираем произ-
вольно, а расположение горизонтальной шкалы х опре-
деляем путем решения соответствующего численного
примера.
126
5. Всякое уравнение со многими переменными вида
N=zxmvn,wp..(88) путем введения вспомогательной переменной, может быть разбито на ряд уравнений с тремя переменными вида y=vxm, что дает возможность значительно упростить построение номограмм для уравнений вида (88).
2. Построение номограмм для уравнений с четырьмя переменными. Каждое уравнение с четырьмя переменными вида *
z=xzm,vn
(89)
можно разбить на два уравнения с тремя переменными, путем введения вспомогательной переменной. Поэтому логарифмическое семейство параллельных линий, построенное с углом наклона 45°, может быть использовано для построения номограммы уравнения с четырьмя переменными вида (88), если его разбить на два уравнения с тремя переменными.
* Это уравнение отличается тем, что численный коэффициент равен единице и показатель степени одной из переменных правой части также равен единице.
127
Покажем как строится такая номограмма.
Вводим в уравнение (89) вспомогательную переменную s, обозначив xzm=s, тогда y—svn.
Нами получено два уравнения с тремя переменными, в которых за параметры принимаем общую переменную s.
Перепишем эти уравнения так, чтобы в их левых частях были переменные, откладываемые по вертикальной оси. Тогда имеем
х=—~=sz~m	(90)
y—svn.	(91)
Если примем для параметров s обоих уравнений одно и то же логарифмическое семейство параллельных линий (рис. 60), то шкалы переменных х и у следует принять вертикальными и модули их одинаковыми (%х=1в=а),
Рис. 60. Схема номограммы уравнения y=xzmvn
так как обе переменные входят в уравнения в первой степени. Модуль Хв искомой шкалы будем называть основным модулем номограммы. Шкалы переменных г и v принимаем горизонтальными, причем Xz=ma и %v=na, т. е. произведению основного модуля на соответствующий показатель степени.
128
Направление возрастания пометок вертикальных шкал снизу вверх. Направление возрастания пометок горизонтальных шкал определяется, как сказано выше, в зависимости от знака показателя степени соответствующей переменной в уравнениях (90) и (91).
Показатель степени переменной z в уравнении (90) отрицателен, следовательно возрастание пометок шкалы z справа налево, показатель степени переменной о в уравнении (91) положителен, следовательно возрастание пометок шкалы v — слева направо. На рис. 60 дана схема построения номограммы уравнения y=x?mvn.
Положение вертикальных шкал х и у выбиралось произвольно. Для определения положения горизонтальной шкалы z был решен следующий численный пример уравнения (90): при х=1 и s=l имеем z=\. Это определяет положение пометки единица шкалы z. Для определения положения шкалы v был решен следующий численный пример уравнения (91): при у= \ и s=l имеем »=1. Это определит положение пометки единица шкалы v. Направление возрастания пометок всех шкал указано на рис. 60 стрелками.
Пример способа использования номограммы. По уравнению (90), зная х и z, находим s. Для этого через пометку шкалы переменной х, отвечающую заданному ее значению, проводим горизонталь, а через пометку шкалы переменной z, отвечающую заданному ее значению, проводим вертикаль. Точка А (пересечение горизонтали и вертикали) определяет значение вспомогательной переменной 5, хотя знать численные значения s нам не нужно, ибо достаточно провести через полученную точку А прямую с углом наклона 45°, т. е. параллельную прямым семейства параметра s.
Далее приступаем к решению уравнения (91).
Для этого через пометку шкалы v, отвечающую заданному ее значению, проводим вертикаль до пересечения с ранее проведенной наклонной прямой и через полученную точку В горизонталь до пересечения со шкалой искомой переменной у, где и прочтем ответ.
На рис. 60 дан ход решения. Направление стрелок и нумерация у стрелок показывает последовательность построения.
На приведенной схеме горизонтальные и вертикальные шкалы даны попарно, что несколько усложняет ее использование, а поэтому в дальнейшем построении бу-5—2661	129
дем располагать их также сверху и справа, нумеруя их в соответствии с ходом решения, причем шкалу искомой переменной будем всегда располагать вертикально с правой стороны номограммы и давать ей последний порядковый номер.
Ход решения, приведенный на рис. 60, показывает, что нет необходимости вычислять значения вспомогательной переменной s. Требуется лишь, чтобы точка А, определяемая значениями х и z из первого уравнения, и точка В, определяемая значением v из второго уравнения, были бы на одной и той же прямой, расположенной под углом 45° к горизонтали, причем отрезок этой прямой участвует в ходе решения по номограмме.
Следовательно, ход решения на построенной схеме номограммы отличается от обычного хода решения сетчатых номограмм тем, что кроме горизонтальных и вертикальных лучей имеется наклонный луч под углом в 45° к горизонтали. Указанное обстоятельство й определило название «Логарифмические номограммы с сорокапятиградусным ходом», данное нами описываемому типу номограмм.
Так как значения вспомогательной переменной s не определяются при решении по номограмме, то нет никакой необходимости и в построении логарифмического семейства параллельных линий этой переменной.
Это значительно упрощает построение номограмм описываемого типа. Отсутствие необходимости в построении логарифмического семейства параллельных линий говорит о том, что любое перемещение начала шкалы х в вертикальном направлении и начал шкал v и z в горизонтальном направлении, при условии сохранения направления возрастания пометок и порядка хода решения, допустимо. Зависимым является только"положение шкалы искомой переменной у, которое всегда определяется по численному примеру.
Покажем построение номограммы уравнения с четырьмя переменными, не прибегая к построению логарифмического семейства параллельных линий для вспомогательной переменной $.
Приведенная на рис. 60 схема номограммы была построена для уравнения вида y=xz™vn, в которых численный коэффициент равен единице и показатель степени одной из переменных правой части уравнения также равен единице.
130
Рассмотрим какие изменения произойдут в построении номограмм, если эти оба условия будут отсутствовать, и, следовательно, уравнение имеет вид
y~kxPzm'Vn.
(92)
Если первая переменная х, входящая в правую часть уравнения, будет не в первой степени, а в степени, например р, то очевидно, что модуль шкалы переменной х не будет равняться основному модулю номограммы ку= = а. Он будет определяться; как и модули шкал всех остальных переменных, путем умножения основного модуля номограммы на показатель степени переменной х, т. е. имеем 'кх—ра.
Если в заданном уравнении имеется коэффициент, то, очевидно, он должен войти в численный пример, который, делается для определения положения искомой шкалы и, следовательно, наличие коэффициента k вызовет только смещение искомой шкалы вверх или вниз, не отражаясь на построении остальных шкал.
Примеры построения номограммы для уравнения с четырьмя перем е н н ы ми, в котором имеется коэффициент, а показатели степени всехтрех переменных правой части уравнения отличны от единицы.
Пример 28. Построить номограмму для уравнения
при следующих предельных значениях переменных: х от 20 до 150, w от 0,07 до 0,8, v от 1 до 100. Для искомой переменной у ограничиваемся пределами от 50 до 1500.
Вводим в заданное уравнение вспомогательную переменную, обозначив
(94)
Тогда
(95)
где вспомогательная переменная s принимается за параметр в обоих уравнениях.
5*
131
Если требуется для переменной х построить вертикальную шкалу, то первое уравнение надо преобразовать так, чтобы в левой его части было только переменное х. Тогда получим
х1,1 — s-v0,9.	(96)
Из рассмотрения уравнений (94) и (95) определяем:
1)	порядок построения шкал: № 1—вертикальная шкала х, № 2 — горизонтальная шкала v, № 3 — горизонтальная шкала w и №4 — вертикальная шкала у\
2)	модули шкал: за основной модуль номограммы принимаем = 50 мм, тогда %х = 1,1 Xy = l,l • 50=55 мм\ %v=0,9 • %у=0,9 • 50= =45 мм\ %w= 1,4 • Ху = 1,4 • 50=70 мм\
3)	направление возрастания пометок шкал: шкалы х и у снизу вверх, шкала v — слева направо, так как показатель степени этой переменной в уравнении (95) положителен, а шкала w — справа налево, так как показатель степени переменной w в уравнении (94) отрицателен.
Руководствуясь этими данными на рис. 61 построена номограмма уравнения (93) *.
Для определения положения искомой шкалы у в данном случае нецелесообразно взять в качестве примера х=1, и=1 и w=l (тогда #=2,7), так как это вызовет увеличение длины шкалы х и длины шкалы w (значения х=1 и w=l не входят в заданные пределы этих переменных), а это в свою очередь потребует излишнего увеличения номограммы.
Поэтому примем х=70, у=10 й ку=0,3. Получаем
701’1 у = 2.7 •----------------
У io0’9. о,з1,4
= 196.
На рис. 61 построение этого хода решения на номограмме не дается. Здесь приводится ход решения для другого примера: х=52; v=6,5; w=0,5.
По номограмме находим #=100. Вычислением определяем #=102. Совпадение для практических расчетов достаточно точное.
Порядок хода решения должен в точности отвечать порядку построения шкал, т. е. их нумерации. Обязательное выполнение этого требования вызывается тем, что если изменить порядок нумерации шкал, то может измениться и направление возрастания пометок горизонтальных шкал.
Вообще же следует рекомендовать при пользовании номограммой накладывать на нее прозрачную кальку и ход решения вычерчивать на кальке. При таком способе оригинал номограммы не будет загрязняться построением и она сохранится на продолжительное время.
Пример 29. Построить номограмму того же уравнения
Н,1
# — 2,7-
* При воспроизведении клише рисунков 61 и 62 их оригиналы были уменьшены в 0,5 раза, соответственно уменьшились модули всех шкал этих рисунков.
132
при тех же предельных значениях переменных, но при другом обозначении вспомогательной промежуточной переменной $. Обозначим
тогда
^ = 2,7——
У vo,9
(97)
Примем, как и при предыдущем построении номограммы, что шкала х вертикальна, и перепишем первое уравнение в следующем виде:
X1’1 = S-W1’4 .
Рис. 61. Номограмма уравнения у = 2,7 —
(первый вариант)
Из рассмотрения уравнений (97) и (98) определяем:
1)	порядок построения шкал: № 1 — вертикальная шкала х, № 2 — горизонтальная шкала w, № 3 — горизонтальная шкала v и №4 — вертикальная шкала у\
2)	модули шкал те же, что и в предыдущей номограмме;
3)	направление возрастания пометок шкал: для шкал х и у, как на предыдущей номограмме — снизу вверх, для шкалы w — слева направо, так как показатель степеней этой переменной в уравнении (98) положителен, а для шкалы v— справа налево, так как показатель степени переменной v в уравнении (97) отрицателен.
133
Здесь изменение порядка нумерации горизонтальных шкал w и v изменило направление возрастания пометок этих шкал.
На рис. 62 дана другая номограмма уравнения (99). В качестве примера для определения одной пометки искомой шкалы нами принято: х=30, ау=0,1 и v =10. Следовательно,
зо1’1
V = 2,7--------------— = 360.
1Оо,9-О,1114
100 504030 20 10	5 43 2	1
х1’1
Рис. 62. Номограмма уравнения у = 2,7—	-
Vu’aw*’’
(второй вариант)
На рис. 62 дана номограмма при новой нумерации шкал. Для проверки ее- построения на ней дан тот же пример, что и на номограмме рис. 61. Ход-решения соответствует Новой нумерации шкал.
Приведенные нами два примера построения номограмм для уравнения с четырьмя переменными показывают, что направление возрастания пометок горизонтальных шкал зависит от четности или нечетности номера горизонтальной шкалы переменной и от знака ее показателя степени.
При этом:
1. Если порядковый номер шкалы переменной четный, а показатель ее степени в заданном уравнении положительный, то возрастание пометок шкалы будет справа налево,
134
Ёсли порядковый номер шкалы переменной четный, а показатель ее степени в заданном уравнении отрицательный, то возрастание пометок шкалы будет слева направо.
3. Если порядковый номер шкалы переменной нечетный, а показатель ее степени положительный, то возрастание пометок шкалы будет слева направо.
4. Если порядковый номер шкалы переменной нечетный, а показатель ее степени отрицательный, то возрастание пометок шкалы будет справа налево.
Эти условия для удобства их запоминания приведены в виде таблицы 8.
Таблица 8
Определение направления возрастания пометок горизонтальных шкал
Порядковый номер горизонтальной шкалы переменной	Знак показателя степени переменной	Направление возрастания пометок шкалы
Четный	Плюс Минус	Справа налево Слева направо
Нечетный	Плюс Минус	Слева направо Справа налево
Следовательно, направление возрастания пометок горизонтальных шкал может быть определено, не разбивая заданное уравнение на два уравнения с тремя переменными, путем введения вспомогательной переменной. Это значительно упрощает построение номограмм описанного типа и дает возможность, как увидим ниже, руководствуясь указанными правилами, строить логарифмические номограммы с сорокапятиградусным ходом для уравнений с любым числом переменных.
3. Построение номограмм для уравнения с числом переменных более четырех.
а)	Уравнения с четным числом переменных. Всякое уравнение с четным числом переменных большее четырех, путем введения вспомогательных переменных, может быть разбито на несколько уравнений с четырьмя переменными. Следовательно, для уравнения
135
с любым четным числом переменных может быть построена номограмма с сорокапятиградусным ходом.
Покажем это для уравнения с шестью переменными следующего вида *
y~kxmznvpxvqrt.	(99)
Разбиваем заданное уравнение на два уравнения с четырьмя переменными, путем введения вспомогательной переменной. Принимаем
$=kxmzn,vp,	(100)
тогда
y — sw4^.	(101)
Задача сводится к построению объединенной номограммы уравнения (100) и уравнения (101), имеющих общую вспомогательную переменную s.
Пронумеруем шкалы переменных уравнения (100). Пусть № 1 отвечает шкале переменной х, № 2 — переменной z и № 3 — переменной о. Шкалу искомой переменной s, как не входящей в заданное уравнение (99), нумеровать не будем. Руководствуясь данными табл. 8, определяем направления возрастаний горизонтальных шкал № 2 (переменной z) и № 3 (переменной о).
Для шкалы переменной z с положительным показателем степени и с четным порядковым номером направление возрастания пометок будет справа налево, а для шкалы переменной v тоже с положительным показателем степени, но с нечетным порядковым номером направление возрастания пометок слева направо.
Шкала искомой промежуточной переменной (без номера) s располагается вертикально, и возрастание ее пометок, как и шкалы № 1 переменной х, снизу вверх. Построение схемы номограммы уравнения (100) дано на рис. 63 слева.
Рассматривая уравнение (101), видим, что в него входит тоже вспомогательное переменное s, поэтому будем ли нумеровать шкалы переменных уравнения (101) самостоятельно или, продолжая нумерацию по уравнению
* Здесь все показатели степени tn, п, р, q и t положительны.
136
(99), четность и нечетность порядкового номера шкал переменных уравнения (101) будет в обоих случаях одинакова.
Так как единая нумерация всех шкал переменных заданного уравнения более удобна, то принимаем: № 4 — порядковый номер шкалы переменной w, № 5 — переменной г и № 6 — искомой переменной у. Направление возрастания пометок горизонтальной шкалы переменной w будет справа налево, так как ее номер четный, а показатель степени положителен, а для горизонтальной шкалы переменной г — слева направо, так как ее номер нечетный, а показатель степени тоже положителен.
Рис. 63. Схема построения номограммы уравнения у kxmznvPw‘lrt
Шкала искомой переменной у будет вертикальна и возрастание ее пометок идет снизу вверх.
Построение схемы номограммы уравнения (101) с использованием шкалы той же вспомогательной переменной s дано на рис. 63 справа.
Если модуль шкалы искомой переменной у заданного уравнения (99) примем за основной модуль номограммы (Ху—а), то модули остальных шкал определятся умножением этого модуля на значения показателей степени переменных.
Найденные нами данные для построения всех шкал номограммы уравнения (99) приведены в таблице 9.
На рис. 63, руководствуясь данными табл. 9, построена схема номограммы уравнения (99). На ней указаны номера шкал переменных, их расположение, модули шкал и направление возрастания пометок на шкалах.
137
Таблица 9
Данные для построения номограммы уравнения y=kxmznvpw<lrt
Обозна  чение переменной	Номер шкалы переменной	Модуль шкалы переменной	Знак показателя степени переменной	Направление повышения значений пометок шкалы переменной
	Уравнение		s=kxmznvP	
X	№ 1	Хх = та	ПЛЮС	снизу вверх
2	№ 2	\z = па	>	справа налево
V	№ 3	Х^ = ра	>	слева направо
S		Ху = а	»	снизу вверх
	Уравнение		: y — SWqrt	
S	—	Х5 — а	ПЛЮС	снизу вверх
W	№ 4	Х^ уа	»	справа налево
г	№ 5	\r = ta	»	слева направо
У	№ 6	Уу ~ а	>	снизу вверх
Из схемы видно, что сперва следует построить уравнение (100) и, следовательно, найти положение вертикальной шкалы (без номера) вспомогательной переменной s, а затем, используя ту же шкалу s, построить уравнение (101) и найти положение вертикальной шкалы № 6 искомой переменной у.
Приведенный на схеме ход решения показывает, что шкала вспомогательной переменной s в нем не участвует, так как горизонтальный луч проходит, ее пересекая, до следующего первого вертикального луча, и пометка места пересечения не определяется. Это позволяет сделать вывод, что построение шкалы промежуточной переменной s не требуется в этом виде номограмм и, следовательно, нет никакой необходимости разбивать заданное уравнение с шестью переменными на два уравнения с четырьмя переменными, путем введения вспомогательной переменной s.
Если сопоставить приведенные в табл. 9 данные относительно направления повышения пометок горизонтальных шкал заданных переменных с правилами, приведенными в табл. 8 для логарифмических номограмм с сорокапятиградусным ходом для случая уравнений с четырьмя переменными, то увидим, что они полностью им отвечают.
Следовательно, построение логарифмических номо
138
грамм с сорокайятйградусным хбдом для уравнений с шестью переменными выполняется по тем же правилам, что и построение таких номограмм для уравнений с четырьмя переменными. А именно: нумеруют шкалы переменных. определяют их модули и направление возрастания пометок горизонтальных шкал, а затем, произвольно выбирая место их начала, строят все шкалы, за исключением искомой, для определения положения пометок которой надо сделать численный пример и провести его построение. Пересечение последнего горизонтального хода решения с носителем шкалы искомой переменной у определит положение пометки, отвечающей найденному путем вычислений значению у, зная модуль шкалы и положение одной ее пометки, не представляет затруднений построение всей шкалы.
Совершенно очевидно, что переменная заданного уравнения, шкала которой обозначается № 1 и, следовательно, вертикальна, должна быть в положительной степени, причем в тех случаях, когда степень не равна единице, модуль шкалы этой переменной определяется умножением основного модуля номограммы на показатель степени переменной.
Уравнение, для которого строится номограмма, может иметь также любой численный коэффициент. Его значение учитывается лишь при вычислении численного примера для определения положения одной пометки на шкале искомой переменной.
Приведенные правила, очевидно, относятся к уравнениям (99) с любым четным числом переменных.
Номограммы, в которых горизонтальные шкалы переменных располагаются как сверху, так и снизу одна за концом другой, будем называть номограммой в развернутом виде (см. схему на рис. 63).
Так как при построении номограммы для уравнений со многими переменными выбор как начала вертикальной шкалы № 1, так и начала всех горизонтальных шкал произволен, то, очевидно, может быть принята и другая схема размещения горизонтальных шкал, например, расположение четных горизонтальных шкал одна под другой в нижней части номограммы, а нечетных шкал тоже одна под другой, но в верхней части номограммы. Такую схему будем называть свернутой. Ход -решения на ней менее нагляден, но номограмма более компактна и следовательно будет занимать меньшую площадь.
139
б)	Уравнения с нечетным числом переменных. Когда в уравнении, для которого строится логарифмическая номограмма с сорокапятиградусным ходом, число переменных четное, тогда число горизонтальных шкал будет всегда также четное, и последний луч хода решения — горизонтален.
При нечетном числе переменных в заданном уравнении число горизонтальных шкал будет нечетным, поэтому последний луч хода решения окажется наклонным под углом 45°, что дает меньшую точность отсчета по шкале для искомой переменной. Кроме того, в этом случае, всякое отодвигание шкалы искомой переменной вызывает смещение всех ее пометок, а, следовательно, изменение и предельных их значений.
Эти неудобства сами собой устраняются, если предположить, что в заданном уравнении имеется еще одна «дополнительная переменная», которая всегда принимает значение, равное единице.
Строить шкалу для этой переменной, конечно, нет необходимости, но надо выбрать местоположение точки, отвечающей ее пометке единица. Очевидно, что расположение этой точки произвольно.
В зависимости от того, считают ли эту «дополнительную переменную» первой в порядке нумерации шкал, или предпоследней (т. е. последней горизонтальной), схема построения номограммы и сама номограмма получается другой, но в обоих случаях последний луч хода решения будет горизонтален.
Если «добавочную переменную» считаем предпоследней в порядке нумерации шкал, то вся нумерация шкал до «добавочной переменной» будет та же, как и при четном числе переменных, и в построении номограммы до «добавочной переменной» не будет изменений, но за последней верхней шкалой появится точка с соответствующим номером и проходящая через нее вертикаль, которая участвует в ходе каждого решения и изменяет часть наклонного хода последнего луча на горизонтальный.
Пример 30. Построить номограмму для следующего уравнения с нечетным числом переменных:
хо,5
у = 250 •	^777
I’2Z0
при предельных значениях исходных данных: х от 0,5 до 30; z от 25 до 100; v от 1 до 8; w от 6 до 30.
140
только
Рис. 64. Схема номограммы урав-д.0,5 нения у = 250	— -
За основной модуль номограммы принимаем модуль искомой шкалы Ху — 100 мм.
В таблице 10 приведен паспорт номограммы заданного уравнения, а на рис. 64 дана построенная в уменьшенном масштабе схема номограммы по свернутому варианту.
На схеме дано построение хода решения одного примера для определения положения одной пометки искомой шкалы.
Если «добавочную переменную» считаем первой в порядке нумерации, то, очевидно, вместо левой вертикальной шкалы будет точка с цифрой 1, положение которой может быть выбрано произвольно. Целесообразно поместить эту точку, примерно, на середине между верхней и нижней горизонтальными шкалами № 2 и № 3, а расстояния между носителями этих двух шкал выбирать не меньше, чем самая длинная горизонтальная шкала.
В этом случае схема номограммы совсем изменится, так как нумерация, а, следовательно, и расположение шкал и направление возрастания их пометок тоже изменятся.
4. Способ увеличения точности номограммы без значительного увеличения ее размеров. Все типы номограмм, в которых применяются логарифмические шкалы разных модулей, страдают одним и тем же существенным недостатком. В них разница в относительных погрешностях отсчетов по шкалам разных модулей одной и той же номограммы может оказаться столь значительной, что приходится или изменять и усложнять схему номограммы, или значительно увеличивать размеры ее, а в некоторых случаях даже отказываться от ее построения.
К тому же надо учесть, что пропорциональное увеличение размеров номограмм приносит одностороннюю пользу, так как достигнув таким путем желательной точности отсчетов на шкалах с малыми модулями, получа-
141
142
Таблица 10
Паспорт номограммы уравнения
у = 250-
х0*5
V0’8.p'2.^
Обозначение переменной	Номер шкалы переменной	Модуль шкалы переменной, мм	Положение шкалы	Пределы значений переменной	Знак показателя степени переменной	Направление повышения значения пометок шкал	Пример /
X	№ 1	50	верт.	0,5 ДО 30	ПЛЮС	снизу вверх	10
V	№ 2	80	гор.	1 до 8	минус	слева направо	4
Z	№ 3	120	»	25 до 100	»	справа налево	50
W	№ 4	100	»	6 до 30	»	слева направо	15
точка	№ 5	—		—		—	—
У	№ 6	100	верт.	0,017 до 0,2	плюс	снизу вверх	0,126

ем избыточную точность для шкал с большими модулями.
При построении логарифмических номограмм с сорокапятиградусным ходом, указанные недостатки устраняются без особого осложнения номограммы.
Пример 31. Построить номограмму уравнения-
12,7.х°>2 W-5 * * * 9
V ~~	г1>2
(102)
Здесь наименьший показатель степени, в которую возвышается переменная, равен 0,25, соответственно наибольший — 1,5. Следовательно, наибольшее соотношение модулей шкал равно шести. При таком соотношении модулей шкал построение номограммы нецелесообразно.
Чтобы устранить этот недостаток, заменим в формуле (102) пе-X1’25
ременную х°’25 дробью '—-—9	отчего значения искомой
ны
величи-
не изменятся.
Заданное уравнение после замены примет следующий вид
х1’ 2W’9
у = 12,7‘
xz
(103)
Наибольшее соотношение показателей степеней стало равным 1,5
=1,7, что является вполне допустимым. От произведенной замены число переменных уравнения, а, следовательно, и число шкал, увеличилось на одну.
Нумерацию шкал надо делать после замены переменной в заданном уравнении, причем для переменных х1>25 и х надо построить две шкалы соответствующих модулей и каждая должна иметь свой порядковый номер.
Этот метод значительно увеличивает точность расчетов по номограмме при весьма незначительном увеличении ее размеров. Примеры применения этого метода даны в конце этой главы.
5. Практические указания для построения номограмм.
Приведенные примеры построения логарифмических номограмм с сорокапятиградусным ходом дают возмож-
ность привести следующие простые практические указа-
ния для их построения:
1) устанавливаем произвольно порядок нумерации шкал переменных, соблюдая лишь одно условие: — переменная, шкала которой обозначена № 1, и, следовательно, вертикальна,'должна иметь положительный показатель степени;
143
2)	выбираем основной модуль номограммы, обычно его выбирают равным модулю шкалы искомой переменной;
3)	умножая основной модуль номограммы на показатели степеней переменных, находим модули шкал всех переменных;
4)	направление возрастания горизонтальных шкал определяем, руководствуясь правилами, приведенными в табл. 8;
5)	все шкалы, за исключением шкалы искомой переменной, строятся, выбирая их начало совершенно произвольно;
6)	для определения положения одной пометки шкалы искомой переменной вычисляем по заданной формуле один численный пример и строим его на номограмме;
7)	по найденной пометке шкалы искомой переменной строим всю шкалу;	/
8)	для проверки правильности построения номограммы следует рекомендовать вычислить и построить один-два примера на номограмме.
6. Примеры построения инженерных номограмм к главе V. Описанные нами методы построения номограмм как с тремя, так и со многими переменными могут быть во многих случаях применены для одних и тех же технических формул. Задача составителя номограмм в каждом отдельном случае и состоит в том, чтобы решить какой из способов построения номограмм целесообразнее применить для заданной формулы. Поэтому ниже, приводя примеры построения инженерных номограмм для главы V, первую номограмму следует сопоставить с номограммой № 9, главы IV, а вторую — с номограммой № 4 главы III.
Номограмма № 10. Построить номограмму для определения полезного крутящего момента шпинделя станка по формуле:
ср/&£)-$0’75
М =------------ в кг-м.	(104)
15-10*	v
Обозначения и пределы изменения переменных те же, что и для номограммы № 9 главы IV.
В заданном уравнении четное число переменных. Следовательно, две шкалы будут вертикальны, а остальные четыре — горизонтальны.
Проведем нумерацию переменных и соответственно их шкал. Показатели переменных все положительные, следовательно любой можно дать первый номер, но надо выбрать ту, шкала которой будет 144
„	, „ CptbDs0’15
Паспорт номограммы уравнения М =	—
Таблица 11
Обозначение переменной	Номер шкалы переменной	Модуль шкалы, мм	Положение шкалы	Пределы значений переменной	Знак показателя степени	Направление повышений значений пометок	Примеры	
							№ 1 |	№ 2
D	№ 1	60	верт.	10 до 1000	ПЛЮС	снизу вверх	100	150
t	№ 2	60	гориз.	4 до 40	>	справа налево	6	10
S	№ 3	45	>	0,1 до 10	>	слева направо	4	1
Ср	№ 4	60		30 до 300	»	справа налево	150	60
5	№ 5	60	>	60 до 90	>	слева направо	70	80
М	№ 6	60	верт.	2 до 300		снизу вверх	118	48
З.бТх®'72^-9^?^1’14
Паспорт номограммы уравнения N=----------———---------
Таблица 12
Обозначение	Номер шкалы	Модуль	Положение	Предель/ значений	Знак показа-	Направление повышения	Примеры	
переменной	переменной	шкалы, мм	шкалы	переменной	теля степени	значений пометок	№ 1 |	№ 2
п	№ 1	100	верт.	100 до 1000	плюс	сверху вниз	300	400
Sz	№ 2	72	гориз.	0,02 до 0,4	>	слева направо	0,04	0,1
t	№ 3	90	»	3 до 6	>	справа налево	3	4
z	№ 4	100	»	3 до 16	>	слева направо	10	7
D	№ 5	100		50 до 150	>	справа налево	140	80
В	№ 6	114	>	30 до 120	»	слева направо	90	60
_	D	№ 7	114	»	50 до 150 '	минус	слева направо	140	80
£	N сл	№ 8	100	верт.	0,5 до 10	плюс	сверху вниз	1,67	2,76
наиболее длинной, поэтому первым номером помечаем шкалу переменной D — диаметра обрабатываемого предмета. Нумерация остальных произвольна. Последним номером обозначает вертикальную шкалу искомой переменной М и ее модуль принимаем Х=60 мм. Определив модули всех остальных горизонтальных шкал и сопоставив их длины для заданных пределов изменений, находим, что наиболее компактная номограмма получается, если расположить рядом шкалы переменных s и 6 и шкалы переменных t и сР. Первой паре даны нечетные номера, а второй паре — четные номера.
Диаметр обрабатываемого предмета, мм
Глубина резания, мм Коэффициент резания, кг/мм2
Рис. 65. Номограмма № 10 для определения полезного крутящего момента шпинделя станка (уменьшена в 2 раза)
Полезный крутящий момент шпинделя, кг/м
Учитывая все приведенные выше правила, составляем паспорт номограммы, который дан в табл. 11.
Первый пример был использован для построения шкалы искомой величины, а второй — проверочный. Номограмма дана на рис. 65. Проверочный пример показывает, что точность номограммы для практических целей вполне достаточна.
Сопоставляя номограмму № 10 с ранее построенной номограммой № 9 для той же формулы, использовав сопряженные логарифмические сетки, необходимо признать, что построение номограммы с сорокапятиградусным ходом имеет значительные преимущества.
146
При построении в сопряженных логарифмических сетках заданной формулы пришлось проделать значительное число вычислений для определения координат точек прямых в каждом квадранте и для определения модулей логарифмических семейств параллельных прямых в каждом квадранте. К тому же построение всех параллельных прямых и нормалей к ним требовало особого внимания. Номограмма получилась компактной, но загроможденная обилием линий.
Построение в логарифмической номограмме с сорокапятиградусным ходом не потребовало никаких особых вычислений.
Номограмма № 11. Построить номограмму для определения мощности при фрезеровании серого чугуна по эмпирической формуле
г.бТз®’72/0'9^-^1’4
Обозначения и пределы изменения переменных те же, что и для номограммы № 4, главы III.
Из рассмотрения формулы (105) видим, что отношение наибольшего показателя 1,14 переменной В и наименьшего 0,14 у переменной D слишком велико (1,14:0,14=8,1). При таком соотношении модулей логарифмических шкал построение нвмограммы нецелесооб-
D
разно. Но если заменить D-°«14 на^]*4и подставить это выражение в формулу (145), то она примет следующий вид:
2,57«°’72/°’9пг£)В1’14 # =-----------------------.
Ю5©1’14
В ней теперь стало восемь переменных, но отношение наибольшего показателя степени к наименьшему (1,14:0,72=1,58) стало весьма благоприятным для данного типа номограмм.
Первым номером обозначаем шкалу переменной п, так как она будет наиболее длинной, последним № 8 — шкалу искомой переменной N. Переменная D войдет в нашу нумерацию дважды, один раз с модулем X, а другой раз с модулем 1,14 X. В таблице 12 дан паспорт номограммы. Основной модуль номограммы принят Х= 100 мм. Направление возрастания значений пометок вертикальных шкал может быть выбрано произвольно, но одинаково для обоих шкал. В данном примере они приняты сверху вниз. Также произвольно можно расположить шкалы четных номеров сверху, а нечетных внизу.
Пользуясь данными паспорта номограммы, на рис. 66 приведена ее схема в свернутом виде. На ней дано расположение всех шкал, величины модулей и показаны стрелками направления повышений значений пометок на шкалах, а также ход одного примера для определения положения одной пометки на шкале искомой величины.
На рис. 67 дана номограмма в окончательном виде ♦. Горизонтальные шкалы расположены одна под другой по три наверху и внизу. Номограмма получилась весьма компактной и несмотря на то, что занимает небольшую площадь, дает достаточно точные резуль-
* При воспроизведении клише рис. 67 его оригинал был уменьшен в 0,8 раза, соответственно уменьшились и модули всех шкал этого рисунка.
147
таты. Ход решения при развернутой схеме более удобен в построении и более нагляден, но занимаемая номограммой площадь увеличилась бы в 2—2,5 раза.
Приведенные в паспорте номограммы примеры были использованы так: один для построения шкалы искомой переменной N, а второй для проверки точности номограммы. Оба примера на номограмме не приводятся, чтобы ее не затемнять ходами решений.
Рис. 66. Схема номограммы № 11 для определения мощности при фрезеровании серого чугуна
Сопоставляя эту номограмму с номограммой № 4, построенной для той же формулы в сетчатых сопряженных квадрантах с равномерными шкалами, нужно признать, что построение номограммы заданной формулы в шести сопряженных квадрантах, как это выполнено на рис. 22, потребовало весьма много времени как на вычисления координат точек всех прямых в разных квадрантах, так и на их построение. К тому же наличие дробных степеней у некоторых переменных заданной формулы потребовало применение таблиц логарифмов для большинства вычислений. Между тем построение номограммы на рис. 67 при наличии шаблона логарифмических шкал разных модулей не требует особых вычислений и большой затраты времени.
148
Рис. 67. Номограмма № 12 для определения мощности при фрезеровании серого чугуна
Глава VI
НОМОГРАММЫ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРЕУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
1.	Построение треугольной системы координат и ее особенности. Любые три взаимно пересекающиеся прямые могут быть использованы для построения треугольной системы координат. Для этого надо:
1)	каждую из прямых принять за одну из осей координат;
2)	первую из точек пересечения каждой прямой с двумя другими, считая по направлению движений часовой стрелки, считать за начало этой оси;
3)	положительное направление оси принимается совпадающим с направлением движения часовой стрелки, отрицательное — ей противоположно. Следовательно пометки на сторонах треугольника будут всегда положительны;
4)	стороны образовавшегося треугольника делятся на любое одинаковое число частей, и часть каждой стороны, принятая за единицу, является модулем шкалы, построенной на оси, совпадающей с этой стороной, при этом очевидно, каждая разделенная сторона треугольника является „началом шкалы своей оси координат с положительными значениями пометок;
5)	шкалы с отрицательными пометками на каждой оси строятся с тем же модулем от начала координат данной оси в противоположную сторону;
6)	треугольная система координат образует семь разных областей: одна из них это полученный треугольник, три образовались стороной треугольника и продолжением двух других и три только продолжением двух сторон треугольника;
7)	каждая точка, расположенная в системе координат, имеет три координаты. Величина каждой из них измеряется длиной отрезка оси, отсекаемого от начала координат прямой, проведенной из заданной точки параллельно предыдущей оси координат, считая по направлению часовой стрелки. Каждая координата точки может быть положительной или отрицательной. Координаты точек, расположенных в разных областях, отличаются одним или двумя знаками. Точек с тремя отрицательными 150
координатами в описанной треугольной системе координат не бывает.
На рис. 68 дана построенная треугольная система координат. В результате пересечения-трех произвольных прямых получен разносторонний треугольник АВС. Его назовем базисом треугольной системы координат. Оси координат, а следовательно и координаты точек, будем обо-
Рис. 68. Треугольная система координат
значать буквами т, п и р. Так как из каждой.точки требуется провести три координатные луча и при том каждый параллельно соответствующей оси, то целесообразно осям координат дать и цифровую нумерацию (1, 2 и 3) и такую же нумерацию давать координатным лучам каждой точки.
Одинаковое число делений, на которое делятся все стороны треугольника, называем параметром треугольной системы. Параметр всегда число целое. На практике его часто принимают равным ста (процентам). На рис. 68 он принят равным десяти. Примеры определения координат точек, находящихся в трех различных областях треугольной системы координат, даны на рис. 68.
151
1.	Для точки Afo, расположенной внутри треугольника АВС, координаты ее т0=3,7; п0=3,8 и ро=2,5, т. е. все положительны.
2.	Для точки М5, расположенной в области V, образованной стороной треугольника и продолжением двух других сторон, координаты ее «5=14,2; «5=—9,1 и р$ = = 4,9, т. е. одна координата отрицательна.
3.	Для точки М^, расположенной в области II, образованной только продолжением двух сторон треугольника, координаты ее т2=—4,7; п2=17,6 и р2=—2,9, т. е. две координаты отрицательны.
Рис. 69. Основное свойство треугольной системы координат: т+п+р равно параметру системы
Положение всякой точки в треугольной системе координат определяется любой парой координат, но между всеми тремя координатами каждой точки, расположенной в любой области, существует зависимость: алгебраическая сумма трех координат для каждой точки данной системы координат есть величина постоянная, равная параметру системы.
Это свойство треугольной системы координат справедливо для точки, расположенной как внутри треугольника АВС, так и вне его.
Точка Мо расположена внутри треуюльника АВС (рис. 69). Проведем координатные лучи 1, 2 и 3 точки Л40; получим ее координаты: AD = m, ВЕ=п и FC—p. Затем проводим НЕ || АС и DC || M0F || ВС.
152
Получим треугольник ADG со треугольнику АВС, от-КУДЭ AD - AG
АВ АС
Но треугольник ВЕН со треугольнику АВС, следовательно,
BE _ НЕ _ РМ0 _ GF
ВС ~ АС АС АС
Складываем эти равенства:
АР , BE = AG . OF ф АВ ' ВС ~~ АС ' АС ’
FC прибавляем к обеим частям равенства по , тогда
АР	,	BE	,	FC AG	.	GF	. FC	=
AB	'	BC	'	AC	~ AC	'	AC	‘ AC
= ЯС + OF + FC AC = t	, 106)
AC	AC '	(	'
Это равенство показывает, что сумма отношений каждой координаты точки к своей стороне треугольника равна единице. Если число делений, на которое разделены стороны треугольника (т. е. параметр системы), равно а, то имеем:
AD  т .	BE ____ п	FC  Р
АВ	а '	ВС	а	АС	а
Подставляя эти	отношения	в	равенство	(106),	получим
т .	п , р	.I
	1	^_г_ = 15или	р=а, а------------------------а а
т. е.	сумма координат точки	Mq	равна	параметру	тре-
угольной системы.
Для точки, расположенной вне треугольника в области I, образованной стороной ВС треугольника и продолжением двух других, получим
/И । П	Р	л ।
----1	— = 1, т±п — р = а. а а	а
Для точки, расположенной вне треугольника в области VI, образованной только продолжением двух сторон, по< лучим
т	п	р *
----------i- —I,	или	т — п—р~а. а	а	а
153
Таким образом, основное свойство описанной выше треугольной системы координат формулируется так: алгебраическая сумма отношений каждой треугольной координаты любой точки к своей стороне треугольника равна единице, а поэтому алгебраическая сумма всех трех координат любой точки равна параметру треугольной системы, который всегда положителен.
2. Основные свойства треугольников Гиббса. В тех случаях, когда базисом треугольной системы координат является равносторонний треугольник, построение ее
Значения Р
Рис. 70. Координаты различных точек треугольника Гиббса
значительно упрощается и такую треугольную систему будем называть равносторонней. Если параметр такой системы равен ста, и она ограничивается только базисом, причем через деления шкал сторон треугольника проведены прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника, то получим треугольные сетки, которые обычно называют треугольниками Гиббса. Они широко исполь-
зуются для различных графических построений и расче-
тов.
Приводим главнейшие свойства треугольников Гиббса.
1.	Каждая точка, расположенная внутри треугольника Гиббса, имеет три положительные координаты, сумма которых равна параметру треугольной системы.
Треугольник Гиббса с параметром а =100 приведен на рис. 70. Точка М внутри треугольника имеет следующие координаты: /п=33, п=44 и р—23. Проверяем: т+ +«+/>=33+44+23=100.
2.	Каждая точка, расположенная на какой-либо из сторон треугольника Гиббса, имеет одну координату, равную нулю. Это будет та координата, через значение нуль
154
шкалы которой проходит сторона треугольника с заданной точкой.
На рис. 70 дана точка R на стороне АВ. Проводить из точки R координатный луч, параллельный АС, чтобы определить координату т этой точки нет возможности, так как точка R лежит на прямой АВ, и, очевидно, ее расстояние от точки А определяет координату т. Имеем ли = 68. Проводить координатный луч из точки R парад-
нет необходимости, ибо этот луч совпадает с прямой АВ, но так как он пройдет через пометку ноль шкалы значений п, то имеем п=0. Остается провести из точки R координатный луч, параллельный стороне ВС. Он отсечет на шкале стороны АС отрезок р=32. Проверяем: m+n+p=68+ +0 + 32 = 100.
3.	Все точки, расположенные на прямой, параллельной
Значения Р
Рис. 71. Построение в треугольнике Гиббса прямых, для которых отношения двух одноименных координат одинаковы
одной из сторон треугольника Гиббса имеют одну равную координату, именно ту, которую эта прямая отсекает на стороне треугольника, считая по направлению часовой стрелки от стороны треугольника, которой прямая параллельна.
На рис. 70 точки Q и S расположены на одной прямой, параллельной стороне АВ. Следовательно, координаты п этих точек должны быть равны. Действительно, для точки Q имеем т—23, п=25 и р = 52, для точки S находим: т = 62, и=25 и р = 13.
4.	Если через вершину треугольника Гиббса провести прямую, то она будет представлять собой геометрическое место точек с одинаковым отношением значений двух одноименных координат.
На рис. 71 проведена через вершину А треугольника прямая AD. Координаты ее точки D равны; w~60, п=
155
= 40, p=Q. Отношение — =— — — — 1,5. Следова-п 40	2
тельно, для всех точек прямой AD отношение координаты т в координате п равно 1,5.
На том же рис. 71 проведена другая прямая через вершину В. Координаты ее точки Е равны: т = 0; п = = 28,6; р = 71,4. Отношение —=^-^=— = 2,5.
п 28,6	2
Такое же отношение этих координат будет для всех точек прямой BE.
Это свойство прямых, проходящих через вершины треугольника Гиббса, может облегчить расчеты тройных смесей. Если, например, дано, что отношение значений — =1,5, а отношение — =2,5, то точка М пересече- -п	п
ния прямых BE и AD даст искомое решение. Для точки М находим /п = 30, п=20 и р=50. Она действительно удовлетворяет условиям: т : п=30 : 20= 1,5 и р : га= = 50: 20=2,5.
Но' m + n+p=100, следовательно, имеем:
1,5п -|- п -f- 2,5/г=100.
Отсюда п=20, тогда /п=1,5, п=30 и р=2,5 п=50, чему и равны координаты точки.
При расчете шихт очень часто задаются отношением двух каких-либо из компонентов шихты, и указанный графический способ использования этого условия значительно упрощает расчет.
3. Сочетание треугольной системы координат с прямоугольной на плоскости. Если треугольную систему координат расположить в прямоугольной системе координат, то между прямоугольными координатами (хм и ум) любой точки системы, треугольными координатами этой точки (т, п и р) и прямоугольными координатами вершин треугольника («1 и уг, х2 и t/2; и у3) существуют следующие зависимости:.
„  	пх2 к рх2
-;
а
„  myt £ пу2 ± ру3 1
где а — параметр треугольной системы координат. 15§
Докажем это. Точка М расположена внутри треугольника АВС треугольной системы (рис. 72). Проводим лучи 7 2 и 3; треугольными координатами точки М будут т пир. Продолжим луч 1 до пересечения со стороной ВС в точке К. Прямоугольные координаты точки М мо-
Рис. 72. Построение треугольной системы координат в прямоугольной системе координат
гут быть определены как координаты точки, делящей ~ tz	DM п
прямую DK в отношении -----= —, а координаты то-
МК р
чек D и К как координаты точек, делящих прямые АВ и AD КС т
ВС в отношении — —-----—------ .
DB ВК п + р
Следовательно, имеем:
_ тУ1 + (п + р)уг . Ур —
а
„ _ ™У1 4- (п + р) У2 . У к —
а
Гmyi 4- (п 4- р)#з1	Г^i + (n+jP)t/2‘
Рур + пук _ I a J	I	а
п + р	п + р
+	+ р)^2 + jP(/2-b	+ л#2 +/Ц/з
а (Р 4- Р)	а
157
Соответственно для координаты х точки М получим:
_ mxi + пх2 + рх3 хм—	-------
(Ю7)
Для точки N, расположенной в I области, образованной прямой треугольника и продолжением двух других, будем иметь:
_тх1 + пх2—рх3 xN----------------
а
Уы
тух + пу2 — ру3 а
(Ю8)
Для точки Р, расположенной в VI области, образованной только продолжением двух сторон треугольника соответственно получим:
------1 Лг р - ' ... ;
а
_ W1 — пу2 — РУз Ур————--------
(Ю9)
Каждая из этих формул определяет зависимость между семью переменными, поэтому построение номограмм для таких формул представляет большой интерес.
4. Сочетание треугольной системы координат с прямоугольной в пространстве. Предположим, что наша треугольная система координат (рис. 73), определяемая треугольником АВС, расположена в плоскости Р, построенной в пространственной системе прямоугольных координат xyz, причем координаты вершин треугольника АВС соответственно будут: для вершины А—Xi, У\ и Zi, для вершины В — х2, у2и z2 п для вершины С—х3, у3, z3. Очевидно, что эти координаты вполне определяют положение плоскости Р и, следовательно, нашей треугольной системы координат в пространстве относительно сист.емы координат xyz.
Возьмем в нашей треугольной системе координат произвольную точку М с треугольными координатами т, п и р и с пространственными координатами хм, Ум и zM и определим зависимость между этими координатами и пространственными координатами вершин треугольника АВС.
158
Продолжим луч DM до пересечения со стороной ВС в точке г тогда точка М будем делить прямую DF в отношении DM : MF=p:m, следовательно:
(110)
DM-zf + mf-zd P-^P + m?D Zm"~ DM + MF ~ p + m
Рис. 73. Сочетание треугольной системы координат с пря-моугольной в пространстве
159
Точки В и F делят прямые АВ и ВС в отношений п : (т+р), следовательно:
___АР- + DB-г\__n-z2 4 (т + р) zi _
D AD + DB	т + п + р
z _СР- z2 + РВ- <3 __ n- + (m 4- p) z3
F BP + PC	m + n 4- p
Подставляя найденные значения координат Zd и zf в равенство (110), получим:
п-г2 + (т 4- р) z3 п- *2 + (т + р) р,----------------т. ------------------
__	т + п 4- р	т + п + р
ZM---------------------------------------------
т + Р
__ pnz2 + (т+р) рг3 + тпг2 + (т+ р) mzi_
(т + п + р)(т + р)
__ (т 4- р) nz2 +(т + р) рг3 + (т + р) тг}  тгх + nz2 4- pz3 (ffi + n + p)(m + p)	m + n 4- p
(111)
Если мы спроектируем треугольную систему координат, расположенную в плоскости Р и определяемую треугольником АВС, на плоскость хОу, то получим новую треугольную систему координат, определяемую треугольником Д]В1С1, причем масштабы шкал пропорциональны масштабам шкал заданной треугольной системы.
Это значит, что между треугольными координатами точки М и треугольными координатами ее проекции (точки MJ на плоскость хОу существуют соотношения
т  п  р щ pi
Очевидно, что для прямоугольных координат точки Л1] справедливы ранее выведенные соотношения:
„	 miXi 4- nix2 4- Р\х3
«1 + «1 + Pi
_miyi + niy2 +piy3 mi+ni + pi
Но координаты хм и ум являются координатами точки Mi, а численные значения треугольных координат точек М и Mi вследствие пропорциональности обеих тре-160
угольных систем координат равны; поэтому получаем следующую зависимость между пространственными координатами точки и ее треугольными координатами:
х  тхх + пх2 + рх3 .
т + п + р
myi А-пу2 + ру3 .
т + п + р ’
с. mzx + nz2 + pzz
т + п + р
Выведенные нами соотношения дают возможность графического представления системы трех уравнений указанного вида, но такое построение в пространственных координатах весьма сложно. Покажем, как, пользуясь выведенным соотношением (111) для координаты г, можно не только упростить, но и использовать этот метод для одновременного графического представления любого числа уравнений вида
т 4- п -|- р
Предположим, что та же треугольная призма усечена плоскостью Q, причем координаты z точек пересечения этой плоскости с ребрами призмы соответственно равны «1, w2 и м3. Соединив попарно эти три тоИки пересечения, получим верхнее основание новой усеченной призмы и на основе этого треугольника построим новую треугольную систему координат с тем же параметром а, как и предыдущая треугольная система координат. Очевидно, что точка М2 с треугольными координатами т, п и р, лежащая в плоскости Qi, будет находиться на той же вертикали, на которой находится и точка М, а координата ее определится аналогично из равенства
______ __ mat + пи2 + ри3 & — и —	-—т——- -	ф
т 4- п + р
Проведем еще одну плоскость сечения призмы к, координаты z точек пересечения которой с ребрами призмы соответственно равны оь о2 и v3. Построим и в этой плоскости треугольную систему координат с тем же параметром а. Тогда координата z точки М3 с треугольными 6-2661	161

координатами m, п и р, лежащей в плоскости R, будет равна
mvi + nv2 + pvs
т + п + р
Все эти выводы будут справедливы и для любой точки, лежащей в данной плоскости сечения трехгранной
Рис. 74. Основа номограммы с треугольной системой координат
призмы, но вне пределов призмы. В этом случае соответствующие координаты треугольной системы будут отрицательны.
Описанный выше метод построения «пространственной» номограммы может быть значительно упрощен, если вместо изображения в пространственных координатах
162
прямой трехгранной призмы, пересеченной плоскостью с треугольной системой координат, вести все построения, руководствуясь принципами начертательной геометрии.
Для случая правильной трехгранной призмы горизонтальная ее проекция представит равностороннйй треугольник, а вертикальная — три параллельные прямые (проекции ребер призмы). Горизонтальные проекции всех возможных треугольных систем координат, как доказано было выше, совпадают, и для построения их достаточно продолжить стороны треугольника горизонтальной проекции основания призмы.
Эти свойства позволяют заготовить основу номограммы, которая приведена на рис. 74. Параметр треугольной системы принят равным ста.
На вертикальных проекциях ребер призмы построены одинаковые масштабы, но без надписания числовых значений, что дает возможность использовать основу номограммы при любых предельных значениях изменения переменных Zl, Z2 и z$.
Таким образом, на основе номограммы имеются три оси треугольной системы координат для значений т, п и р и три вертикальные оси А, В и С для значений z\, z^ и 2з. В результате построения на номограмме появится еще одна вертикальная ось для значений искомой величины z. Следовательно, на номограмму всегда будет 7 осей, каждая для своей переменной величины, входящей в заданное уравнение. Поэтому разработанные нами номограммы названы «семиосными номограммами».
5. Решение уравнений и систем уравнений вида „ mzi 4-яг?-|-ог,	,	, 4ЛЛ
-------------— 1ри т+п-тр =100 с (использованием tti 4~ п -|- р
готовой основы номограммы. При построении номограммы, пользуясь готовой основой, для этого вида уравнений производят следующие главнейшие операции:
1) по заданным значениям т, п и р определяют в горизонтальной проекции треугольной системы координат положение точки, через которую проходит вертикальная ось для значений искомой величины z\
2) по заданным значениям Zi, Z2 и z3, отмеченным на соответствующих вертикальных осях, определяют положение вертикальной проекции треугольной системы координат.
Остальное построение зависит от характера задачи, которая может быть следующей: '
6*	163
а)	определить значение z, когда в данном уравнении заданы zb z2 и z3, а также /и, п и р;
б)	определить значение т, п и р, когда в данных двух уравнениях известны значения z и г', а также Zi, z2, z3 и z2> ^3.
Приведем пример решения таких задач.
Пример 30. Представить уравнение
т*\ 4- пг2 + z _-----------------
т 4- п 4- р
при следующих данных:
2*1 — 22; z2 = 12; г3 — 47; т — 32; /г = 45; р — 23.
Так как значения ту п и р положительны, то для построения достаточна та часть основы номограммы, которая заключает в себе в горизонтальной проекции треугольник треугольной системы координат. На рис. 75 представлена эта часть основы номограммы.
Максимальное заданное значение переменной z равно 47, поэтому вертикальный масштаб ограничиваем значением z=50.
На вертикали Zi находим точку 41, отвечающую значению 21=22, на вертикали z3— точку отвечающую значению z3=47, и на вертикали Z2 — точку Ci, отвечающую значению z2=12. Соединяем попарно эти три точки и получаем треугольник 4iBiCi, который является вертикальной проекцией треугольника нашей треугольной системы координат.
Далее по заданным значениям /п, п и р находим в горизонтальной проекции треугольника АВС соответствующую точку М. Остается найти величину вертикальной проекции точки М. Для этого продолжим один из координатных лучей точки Му например MD, до пересечения с другой сторойой треугольника АВС. Получим прямую ED, Находим вертикальную Проекцию E1D1 и на ней вертикальную проекцию Mi точки М. Ордината точки Mi по масштабу и дает искомое значение z=23.
Проверяем вычислением
32-22 4- 45-12 4- 23 47 2325
-------32 + 45 + 23	-ЮО-23’25'
Как видим, полученная по номограмме точность для практических целей достаточна.
Примеры построения подобных номограмм для разных технических расчетов приведены в конце этой главы.
В тех случаях, когда заданы два уравнения для тройных смесей и требуется определить значения /и, п и р по остальным известным величинам, то построение ведется в следующей последовательности.
Строят на вертикалях масштаб значений z. Затем по заданным значениям zly Z2 и z3 одного уравнения, откладывая их на соответствующих вертикалях основы номограммы, строим первый треугольник и проводим через него горизонталь, отвечающую значению z первого уравнения. Эта горизонталь пересечет стороны треугольника в двух точках, которые проектируем на нижний треугольник и соединяем прямой полученные горизонтальные проекции. Далее поступаем 164
так же со значениями z2 и г3 второго уравнения. Проводим горизонталь, отвечающую значению г' второго уравнения. Находим точки пересечения этой горизонтали со сторонами второго треугольника, проектируем эти точки на нижний треугольник и соединяем прямой полученные горизонтальные проекции точек. Пересечение этой прямой с ранее проведенной даст точку, треугольные коорди-
.	mz\ 4- лг2 4- pz3
Рис. 75. Номограмма уравнения "Z —-------;---;-----
т -j- п 4” р
наты которой и будут искомым ответом. Если точка пересечения, этих прямых будет внутри треугольника, то значения всех треугольных координат положительны, а если эта точка окажется вне треугольника, то одна или две координаты будут отрицательны.
165
При построении описанным методом номограмм для двух уравнений может оказаться целесообразным верхнюю часть основы разбить на две самостоятельные части, каждую для своего уравнения, и для каждой части дать свои шкалы на вертикалях в пределах изменения переменных. Такое построение хотя и увеличивает размеры номограммы, но облегчает пользование ею.
В конце этой главы приведен пример построения номограммы для технических расчетов, в которой верхняя часть основы номограммы разбита на три самостоятельные части, так как заданы три уравнения.
6. Построение номограмм уравнений вида z=kz™z2z%, пользуясь треугольной системой координат. Всякое уравнение вида z=kz™z"z3 путем логарифмирования и соответствующего преобразования может быть приведено к уравнению вида
, тг, + п 4 4- рг„	,	,	<
z’ =— -------——— > в котором переменные z', zj, z<i
т + п + р
и	представляют логарифмы первоначальных
переменных. А это значит, что если на основе номограммы, приведенной ранее на рис. 74, вместо равномерных шкал на вертикалях построить логарифмические шкалы с одинаковыми модулями, то, очевидно, такую основу номограмм можно использовать для графического представления уравнения вида z = kz™z2z” при любых значениях показателей степени т, п и р — как положительных, так и отрицательных, как целых, так и дробных. Основа номограммы для решения таких уравнений примет вид, указанный на рис. 76.
Нижняя проекция на рис. 76 представляет треугольную систему координат с параметром, равным единице. Верхняя проекция представляет три вертикальные линии, отвечающие вершинам треугольника нижней проекции. На этих вертикалях построены логарифмические шкалы одинаковых модулей.
Для того чтобы уравнение вида z—kzi^z? привести
к уравнению вида
т 4- п + р
надо прологарифмировать первое уравнение и разделить обе его части на (т+п+р). Действительно:
lg z=lg k -f- tn lg Zi -|- n lg z2 -f- p lg z3;
1.66
Igz — lg&=mlg zt-lnlgz2+plgz3;
Igg—lg^  *» lgzi + n lg г2 4-P lg^3 . m+n + p	m + n + p
обозначая
lgJ~lgt =lg»-, m 4- n + p
имеем
lg z> = mlS ^i + nigg2 + plgk3
m + n 4- p
(113)
Сопоставление уравнения (112) с уравнением (113) показывает, что их различие заключается только в том,
Рис. 76. Основа номограммы уравнения вида z—kz^zfe з
167
что значения чисел z1, z\, z% и z3 первого уравнения ; заменены их логарифмами, но так как на основе номо-  граммы, приведенной на рис. 90, равномерные вертикаль- ; ные шкалы, на которых откладываются эти числа, заменены логарифмическими шкалами, то, очевидно, сохраняя ; описанный выше метод, можно построить номограмму для уравнений вида z—kz™z*zz, пользуясь основой . номограмм с логарифмическими шкалами.
Из рассмотрения готовой основы номограммы видно, что ей недостают вертикальная ось с логарифмической шкалой для искомой величины z и немая ось, необходимые в этом типе номограмм.
Покажем, как определяются положения этих двух осей на готовой основе номограммы и как строится логарифмическая шкала требуемого модуля для искомой величины z.	".
Положение вертикальной оси для искомой величины z определяется значениями, показателей степеней т, пир. Для этого величина каждого из показателей степени делится на алгебраическую сумму всех трех показателей степеней. Полученные три величины, выраженные в долях единицы, и будут треугольными координатами 1 точки М, через которую проходит вертикальная ось для искомой величины z.
Если все показатели степеней т, п и р положительны, то точка М лежит внутри треугольника треугольной системы координат, если один или два показателя отрица- ; тельны, то точка лежит вне треугольника треугольной i системы.	:
Для определения положения немой оси надо сиеди- • нить точку М с одной из вершин треугольника треуголь- J ной системы. Эта прямая или ее продолжение пересекает ту ось треугольной системы координат, которая противо- ' положна выбранной вершине треугольника. Через эту точку пересечения и проходит вертикальная немая ось.
В зависимости от того, с какой из вершин треугольника соединена искомая точка М, можно получить три 1 различных положения немой оси, и это дает возможность -выбрать наиболее удобное взаимное расположение искомой оси z и немой.	;
Порядок построения при решении заданного уравнения зависит от того, на какой из осей треугольной системы координат находится точка, через которую проходит ••
168
немая ось. Соответственно этому немую ось следует обозначать двумя буквами, отвечающими тем переменным вертикальными осями которых определяется положение немой оси.
Для построения логарифмической шкалы искомой величины z надо знать:
1)	ее модуль;
2)	в каком направлении возрастают численные значения деления шкалы * вверх или вниз;
3)	положение деления шкалы, отвечающее значению 2=1.
Величина ’ модуля зависит от численного значения суммы показателей степеней (т+п+р). Если эта сумма равна единице, то модуль L логарифмической шкалы для 2 равен модулю логарифмических шкал, построенных на вертикалях основы номограммы. Если же сумма показателей не равна единице, то L=---------, т. е. модуль
т + п+р
L в (т+п+р) раз больше модуля I, если (т+п+р)<1, и, соответственно, меньше модуля /, если (т+п+р)>1.
Направление возрастания численных значений делений логарифмической шкалы для искомой величины z зависит от знака суммы показателей степеней переменных заданного уравнения.
Если эта сумма показателей степеней положительна, то возрастание численных значений против делений шкалы для искомой величины z будет снизу вверх, т. е. как и на логарифмических шкалах для переменных zi, z2 и z3. Если же сумма показателей степеней отрицательна, то возрастание численных значений против делений шкал для искомой величины z будет сверху вниз, т. е. в обратном направлении по сравнению с логарифмическими шкалами для переменных Zi, z3 и z3.
Положение деления, отвечающее значению z=il на шкале для искомой величины z, зависит от численной величины коэффициента k в заданном уравнении.
Если величина этого коэффициента равна единице, то деление, отвечающее единице на шкале для величины z, будет совпадать с прямой, проходящей через деления, отвечающие единицам на всех трех шкалах для переменных Zi, z2 и z3.
Если величина численного коэффициента k в заданном уравнении не равна единице, то деление искомой шкалы для z, численное значение которого равно вели
169
чине k коэффициента в заданном уравнении, должно совпадать с прямой, проходящей через деления, отвечающие единицам на всех трех шкалах для переменных г2 и z3.
Описанный тип номограмм представляет собой частный случай номограммы из выравненных точек с параллельными логарифмическими шкалами для уравнений с четырьмя переменными. Его преимущество перед обычным способом построения номограмм из выравненных точек для таких уравнений в том, что может быть использована готовая основа номограммы, а также в том, что положение шкалы искомой величины и немой шкалы находится графическим путем и что графическое построение дает три варианта положения немой шкалы, а это дает возможность выбрать наиболее удобный вариант.
7. Примеры инженерных номограмм к главе VI. Разработанная нами треугольная система координат и треугольники Гиббса могут быть широко использованы для различных инженерных расчетов, в особенности при определении составов и свойств тройных смесей, при решении системы трех уравнений с тремя неизвестными и при построении номограмм из выравненных точек для некоторых видов формул с четырьмя переменными.
Таблица 13
Зависимость температуры начала плавления титанистых шлаков от их состава
№№ опыта	Содержание в %			Температура	№ опыта	Содержание в %			1 Температура
	о< +	СаО	мэ о и			SlO2 + + А12О3	о и	о	
1	43	45	12	1240	13	23	41	36	1350
2	38	15	47	1310	14	26	25	49	1240
3	57	28	15	1190	15	61	32	7	1205
4	44	52	4	1300	16	48	13	39	1295
5	30	50	20	1395	17	29	31	40	1220
6	58	20	22	1200	18	40	40	20	1190
7	31	27	42	1190	19	52	35	13	1195
8	34	46	20	1305	20	55	42	3	1245
9	25	49	26	1410	21	62	26	12	1190
10	62	15	23	1315	22	23	36	41	1275
11	36	56	8	1385	23	45	25	30	1170
12	36	51	13	1340	24	40	24	36	1210
170
Номограмма № 12. Построить номограмму, определяющую зави-" ь между температурой начала плавления доменных титани-симос^ „ их составом на основе результатов опытов, приведен-стых шла кив ri пл ных в табл. 13.
Данные таблицы 13 для каждого опыта были построены на тре-vrcwibHHKe Гиббса (см. рис. 77) и отмечались крестиками с указанием температуры начала плавления шлака. Шкала основания треугольника отвечает содержанию СаО. в %, шкала правой стороны — Ti2O5 в % и шкала левой стороны — (SiO2+Al2O3) в %. Верхняя и ниж-
Рис. 77. Номограмма № 12 для определения зависимости температуры начала плавки титанистых шлаков от их состава
няя части треугольника Гиббса оказались не использованы, так как на них не попал ни один крестик.
Рассматривая пометки около крестиков, можно довольно точно определить границы области, в которой значения температуры отвечают 1200° и несколько ниже. Принимая, что на коротком отрезке между двумя крестиками температура изменяется пропорционально расстоянию, можно провести с некоторым приближением изотермы для температур 1250°, 1300°, 1350° и 1400°. Номограмма в окончательном виде приведена на рис. 77. Пользуясь ею, можно, зная состав титанистого шлака, определить с точностью до 25° температуру начала его плавления. Например, для шлака состава: 43% (SiO2+ +А120з), 37% Ti2Os и 20% СаО температура начала плавления около 1225° (точка М).
Необходимость в построении номограмм, изображающих зависимость между составом тройной смеси и ее свойствами, встречается часто у теплотехников, металлургов, химиков и обогатителей полезных ископаемых.
Номограмма № 13. Построить номограмму для определения теплотворной способности тройного газа (коксового, генераторного и доменного). Возьмем готовую основу номограммы и примем на ней (рис. 78) сторону АВ треугольника АВС за шкалу процентного содержания в смеси генераторного газа, сторону АС — коксового газа и сторону ВС — доменного. На вертикальных прямых Л, В и С по-
171
стройм масштаб длй Теплотворной способности газов ot 0 до 4000 кал. Этим и заканчивается построение номограммы.
Приведем примеры пользования ею.
1) Предположим, что требуется получить тройной газ с теплотворной способностью 2200 кал из смеси генераторного газа с теплотворной способностью 1450 ккал, коксового газа с теплотворной способностью 4000 кал и доменного газа с теплотворной способностью 1000 кал.
Рис. 78. Номограмма № 17 для определения теплотворной способности тройного газа (коксового, генераторного и доменного)
172
Скроим на верхней части основы «треугольник теплотворной способности смеси» из газов заданных теплотворных способностей.
Точка А треугольника основания отвечает 100% генераторного газа поэтому на вертикали А находим точку Л1} соответствующую 1450’ ккал, т. е. теплотворной способности генераторного газа; точка В треугольника основания отвечает 100% доменного газа, поэтому на вертикали В находим точку Вь соответствующую 1000 кал, т е теплотворной способности доменного газа; точка С треугольника основания отвечает 100% коксового газа, поэтому на вертикали С находим точку Сь соответствующую 4000 кал, т. е. теплотворной способности коксового газа. Соединив точки Ль Вх и Ci попарно прямыми, получим треугольник АХВХСХ, который и будет треугольником теплотворной способности всех смесей, получаемых из газов заданных теплотворных способностей.
Нам требуется составить смесь с теплотворной способностью 2200 кал, поэтому проведем горизонталь через деление 2200 нашего вертикального масштаба, и тогда часть этой горизонтали в пределах треугольника Л1В1С1 и определит все случаи возможного получения смеси с теплотворной способностью 2200 кал. Для того, чтобы определить процентные содержания составляющих смеси,. проектируем прямую DXCX на горизонтальную проекцию треугольника. Точка Dx находится на прямой АХСХ, следовательно ее проекцией будет точка D на прямой АС, точка Ех находится на прямой ВХСХ, следовательно точка Е на прямой ВС будет ее горизонтальной проекцией. Соединим точки D и Е прямой. Очевидно, DE есть горизонтальная проекция DXEX и любая точка на прямой DE определяет одну из возможных смесей, теплотворная способность которой равна 2200 кал. Возьмем на прямой DE произвольную точку М. Она отвечает следующему составу смеси: генераторного газа 51,5%, коксового газа 32,5% и доменного газа J6,0%. Определим теплотворную способность этой смеси:
51,5* 1450 4-32,5-4000 + 16,0-1000	_
К -------------------------------------= 2207 кал.
100
Как видим, смесь удовлетворяет нашему условию. Очевидно, что если задаться процентным содержанием в смеси любого из компонентов, то, пользуясь этой номограммой, легко определить процентные содержания остальных компонентов. Для этого достаточно через соответствующее деление масштаба этого компонента провести прямую, параллельную предыдущей стороне треугольника, до пересечения с прямой DE. Точка пересечения определит искомый состав.
Пользуясь этой номограммой, можно решить и обратную задачу, т. е. определить теплотворную способность заданной смеси.
2) Определить теплотворную способность смеси, составленной из газов с теми же теплотворными способностями, но в составе 46% коксового газа, 26% генераторного газа и 28% доменного газа. Очевидно, «треугольник теплотворной способности газа>< будет тот же, что и в первом примере. Прежде всего определяем в нижнем треугольнике АВС точку N, отвечающую заданным процентным содержаниям газов в смеси. Далее через эту точку проводим произвольную прямую (удобнее всего продолжить один из координатных лучей, например FN, до пересечения со стороной ВС в точке Н). оатем находим вертикальные проекции точек F и Н на одноименных сторонах треугольника АХВ^СХ и соединяем полученные точки Fx и п\ прямой. Проектируя точку N заданной смеси на полученную
173
прямую F\Hit получим точку которая по шкале теплотворной спо* собности определяет искомое значение для заданной смеси, равное 2500 кал. Вычислением получаем 2497 кал. Точность вполне достаточная.
Очевидно, что в верхней части основы можно построить какое угодно число «треугольников теплотворной способности смесей» из газов любых заданных теплотворных способностей, а нижняя часть основы позволяет найти точку, отвечающую любому процентному содержанию составляющих смесь.
Следовательно, пользуясь такой основой номограммы, можно решить любую задачу тройной смеси при всех возможных ее комбинациях.
Номограмма № 14. Построить номограмму для подбора шихты из трех руд, которая точнее всего соответствует заданным содержаниям Fe, (SiOg+AlaOs) и (CaO+MgO). Аналитический метод решения этой задачи состоит в решении системы четырех уравнений с тремя неизвестными: процентными содержаниями каждой из трех руд в шихте. Такое решение возможно лишь в том случае, когда все четыре уравнения совместимы, что на практике обычно не бывает и поэтому аналитическим методом эту задачу решить нельзя.
Покажем/ как она легко и наглядно решается наложенным в этой главе графическим методом.
Предположим, что требуется составить шихту из руд трех классов:
1)	руда класса А с 62,5% Fe, 14,5% (8Ю2+А120з) и 3,9% (CaO+MgO).
2)	руда класса В с 56,5% Fe, 5% (8Ю2+А120з) и 2,2% (CaO+MgO);
3)	руда класса С с 52% Fe, 118,5% (SiOs-b АЬОз) и 1,8% (CaO+MgO).
Желательно получить шихту, содержащую 58% Fe, 12,5% (SiO2+Al2O3) и 2,7% (CaO+MgO).
Учитывая, что имеются три задания для расчета шихты, удобнее будет использовать готовую основу номограммы, в которой вертикальная проекция призмы будет состоять из трех самостоятельных частей.
Для каждой части потребуются самостоятельные вертикальные шкалы и каждая в своих пределах: для Fe от 48 до 68, для (SiO2+ +А120з) от 0 до 25 и для (CaO+MgO) от 0 до 4 (см. рис. 79).
На нижнем треугольнике АВС принимаем шкалу стороны СА за процентное содержание в шихте руды класса А, шкалу стороны АВ — процентное содержание в шихте руды класса В и шкалу стороны ВС — процентное содержание в шихте руды класса С.
Соответственно принимаем левую вертикаль для руды класса А, правую для руды класса В и среднюю для руды класса С. Построение ведем в следующей последовательности.
По заданным процентным содержаниям Fe, (SiO2+А12О3) и (CaO+MgO) в рудах строим (рис. 79) треугольник AiBjCi— «треугольник Fe», треугольник А2В2С2 — «треугольник (SiO24-Al2O3)» и треугольник А3В3С3— «треугольник (CaO+MgO)». Затем в соответствии с заданными условиями содержания Fe, (SiO2-bAl2O3) и (CaO+MgO) в шихте проводим в треугольнике. AjBjCi горизонталь DiEu отвечающую 58% Fe, в треугольнике А2В2С2 горизонталь F2H2, отвечающую 12,5% (SiO2+Al2O3) и в треугольнике А3В3С3 горизонталь K3L, отвечающую 2,7% (CaO+MgO).
174
Полученные горизонтали проектируем на нижний треугольник АВС и соответственно получаем прямые DE, FH и которые, как и следовало ожидать, не пересекаются в одной точке. Это означает, что из заданных руд нельзя составить шихту, точно удовлетворяющую всем трем условиям.
Рассматривая полученные в треугольнике АВС три прямые, видим, что точка S удовлетворяет требуемым условиям содержания he
из трех руд, которая- точнее всего соответствует заданным содержаниям Fe, (SiO2+A!2O3) и (CaO+MgO)
175
и (SiO24-Al2O3), точка R— условиям содержания (CaO+MgO) и (31О24-А12О3), а точка Р — условиям содержания Fe и (CaO+MgO). Очевидно, что точка, наиболее близко удовлетворяющая всем трем условиям, будет находиться внутри треугольника SPR. Выбираем в этом треугольнике точку Af, отстоящую примерно на равном расстоянии от всех трех прямых, и проводим ее координатные лучи, которые определят следующие процентные содержания компонентов в шихте: 39% руды класса А, 36,5% руды класса В и 24,5% руды класса С.
Определим, в какой мере полученная шихта удовлетворяет требуемым условиям.
По содержанию Fe:
39*62,5 4- 36,5*56,5 4-24,5-52 г
-----—------’----— ----------= 57,74% <58%
Погрешность определения 0,5%.
По содержанию (SiO2 4- А12О3):
39-14,5 + 36,5-5 4- 24,5-18,5
SiO2 4- А12О3 =-----——1----------------— = 12,01 % < 12,5%.
Погрешность определения 4,1%.
По содержанию (CaO+MgO):
~	39.3-9 4-36,5-2,2 4- 24,5’1,8
СаО + MgO —------------—-----------------— = 2,76% > 2,7 % .
100
Погрешность определения 2,2%.
Если полученные результаты для одного из элементов или соединений оказались неподходящими, то выбирают новую точку внутри треугольника SPR, которая более соответствует требуемым условиям.
Номограмма № 15. Построить номограмму для определения коэффициента фильтрации песков по следующей формуле Слихтера:
d2em
К = 88,3 ------, м! сутки.
Р-
Покажем, как построить номограмму для этого уравнения, пользуясь готовой основой номограммы, приведенной на рис. 76. Как видно из этого рисунка изменения заданных переменных должны умещаться в пределах одинаковых логарифмических шкал, причем нижние пометки всех трех шкал должны быть одинаковы. Заданные переменные изменяются в следующих пределах: т от 0,0119 до 0,0845, ц от 0,0055 до 0,0178 и de от 0,01 до 5.
Для того чтобы удовлетворить указанному выше условию и уложиться в пределах двух модулей логарифмических шкал для заданных переменных потребуется на шкалах для т откладывать значения 100/п, т. е. от 1,19 до 8,45, для ц откладывать 100 ц, т. е. от 0,55 до 1,78, а для de ограничиться пределами от 0,1 до 5. Если для de желательно иметь и значения от 0,01 до 0,1, то все три шкалы надо удлинить еще на один модуль. Мы ограничились шкалами с двумя модулями (см. рис. 80). Нижняя пометка всех шкал принята 0,1 и пределы переменных: 100 т, 100 ц и de укладываются в два модуля шкал. Замена переменной т на 100 т и переменной р на 100 ц вооб-
|7§
me влияет на значение искомой величины, но так как т входит в Формулу в числитель, а ц в знаменатель и увеличение их- одинаково,’ то величины К от этого не изменятся, и на значения,пометок шкалы К эта замена не повлияет.
Рис. 80. Номограмма № 15 для определения коэффициента фильтрации песков по формуле Слих-тера
Определим модуль шкалы искомой переменной Л. Примем т'— показатель переменной de, п' — показатель переменной тир' — показатель переменной ц, тогда имеем, что алгебраическая сумма показателей переменных равна
т' 4- ri р’ = 2 + 1 — 1 = 2.
Следовательно, модуль искомой шкалы должен быть в два раза меньше модуля остальных шкал.
177
Для получения треугольных координат точки М, через которую проходит искомая шкала, надо показатели степеней переменных разделить на их алгебраическую сумму. Получим:
По этим данным рис. 80 найдена точка Л£ Чтобы найти положение немой шкалы достаточно соединить, например, вершину А треугольника АВС с точкой М и продолжить ее до пересечения с продолжением прямой ВС в точке R. Через эту точку проходит немая шкала, которую обозначаем ц, de, так как точка R лежит на прямой СВ, проходящей через точку С (отвечающей шкале р) и точку В (отвечающей шкале de), Обозначение на немой шкале определяет ход решения: соединяют прямой точки шкалы 100 ц с точкой шкалы de, отвечающие заданным значениям, и продолжают до пересечения с немой шкалой, а полученную точку соединяют с точкой шкалы 100 т, отвечающую ее заданной величине. Точка пересечения этой прямой со шкалой искомой К дает ответ.
На номограмме приведен следующий пример: т=0,045; р,—0,008 и б/е=О,9 мм.
На шкале 100 ц находим точку, отвечающую 0,8, на шкале de находим точку, отвечающую 0,9, соединяем эти точки и продолжаем прямую до пересечения с немой шкалой, обозначенной \kede. Полученную точку соединяем с точкой на шкале 100 m, отвечающей 4,5. Эта прямая пересекает шкалу К в точке, отвечающей значению 410.
По формуле вычисляем К=402. Относительная погрешность 2%.
При решении по* номограмме нижняя ее часть не нужна, а поэтому можно использовать полученную схему номограммы для ее построения в большем масштабе.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
Г л а в а I
СУЩНОСТЬ ГРАФИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
Приступая к постановке опытов, исследователь должен прежде всего проверить правильность всех применяемых им измерительных приборов и точность их калибровки. Совершенно очевидно, что найденная им на основе опытных данных формула, выражающая зависимость между изучаемыми переменными, будет тем точнее, чем точнее определены результаты опытов. С другой стороны, не следует увлекаться чрезмерной точностью в измерениях, в особенности тогда, когда это практически нецелесообразно. Излишнее количество значащих цифр лишь усложняет математические вычисления.
Вопросы, которые приходится решать в различных областях техники на основе данных, полученных в результате произведенных научно-исследовательских работ, чрезвычайно разнообразны. Условия, в которых проводятся исследования, также весьма различны. Их проводят в лабораториях научных институтов, в заводских лабораториях, в производственных условиях, на полупромышленных предприятиях и, наконец, непосредственно в природных условиях. Далеко не всегда экспериментатор имеет возможность произвольно изменять численные значения всех изучаемых переменных величин, как он желал бы. При наличии этой возможности следует выбирать численные значения независимых переменных так, чтобы они равномерно располагались между своими предельными значениями. Этим обеспечивается более точное соответствие найденной формулы опытным данным, ко
179
торые Могут быть представлены в виде таблиц или графиков.
Преимущества таблиц заключаются в том, что записанные в них цифровые данные в точности отвечают результатам измерений, в то время как отсчеты по графикам во многих случаях представляется возможным производить лишь приближенно. В таблицах можно одновременно привести значения изменений нескольких изучаемых переменных, между тем как на графиках трудно изобразить одновременные изменения более трех переменных величин.
Преимущества графиков состоят в том, что они дают наглядное представление о характере изменения зависимости между переменными величинами. Кроме того, пользуясь графиками, легко найти любые необходимые промежуточные значения переменных, а нахождение этих данных из таблиц требует вычислений.
К недостаткам как таблиц, так и графиков следует отнести:
1) необходимость их хранения в тех случаях, когда экспериментатор рассчитывает использовать их для своих дальнейших исследований;
2) необходимость снятия с них копий, если эти данные могут быть использованы другими лицами для своих исследований.
Существует третий способ изображения зависимости между переменными величинами — с помощью уравнений или формул. Этот способ свободен от недостатков двух первых, так как уравнение представляет зависимость между переменными величинами в удобной и ясной форме, весьма легкой как для запоминания, так и для записи.
Вот почему научно-исследовательская работа может считаться законченной лишь в том случае, если найденная между изучаемыми факторами зависимость выражена научно обоснованным уравнением или эмпирической формулой.
Исследовательские работы можно разделить на две группы.
К первой группе следует отнести те из них, в которых изучаемые явления или процессы протекают по известным теоретическим законам, а следовательно, вид формулы, изображающей зависимость между изучаемыми переменными, экспериментатору известен, и его задача состоит в определении постоянных/входящих в эту формулу.
180
Ко второй группе работ, иона знаййтёЛьйй превышает по своему объему первую, надо отнести те из них, в которых изучаемые явления или процессы не подчиняются уже известным теоретическим законам, а поэтому задача исследователя — найти на основе опытных данных сперва вид формулы, а затем и ее постоянные коэффициенты. Такие формулы называются эмпирическими.
Задача нахождения эмпирических формул весьма сложна и объясняется это тем, что до настоящего времени нет определенных разработанных методов, которые позволяли бы сразу установить вид эмпирической формулы на основе табличных данных. Обычный путь, по которому в этих случаях приходится идти, — это путь подбора. Он заключается в том, что экспериментатор, установив характер изменения табличных данных и руководствуясь своей исследовательской интуицией, выбирает определенный вид формулы и путем подстановки в нее ряда значений переменных из табличных данных находит ее постоянные, а путем подстановки в найденную формулу остальных значений переменных проверяет соответствие формулы этим данным. Если проверка приводит к отрицательным результатам, то выбирается другой вид формулы и все вычисления повторяются. Так как разнообразие видов формул чрезмерно велико, то вполне понятно, что метод подбора всегда требует значительной затраты времени на выполнение весьма многочисленных и кропотливых вычислений. Кроме того, далеко не всегда этим методом удается найти практически целесообразную формулу.
Применение графических методов, при обработке опытных данных часто может весьма облегчить задачу нахождения эмпирической формулы.
Для графического изображения зависимости между двумя переменными строят на графике точки, отвечающие всем данным опытов, и соединяют их непрерывной линией. Если линия получилась близкой к прямой или плавной кривой, то имеются основания предполагать наличие закономерной зависимости между изучаемыми переменными.
Число кривых, которые в пределах графика можно провести через одни и те же экспериментальные точки, велико. Каждой кривой будет отвечать свое уравнение, причем эти уравнения могут отличаться не только значением своих постоянных, но и математической формой.
181
Это обстоятельство усложняет подбор эмпирической формулы.
Если на графике с равномерными шкалами по осям координат получилась прямая линия или весьма близкая к ней, то изучаемая зависимость выражается уравнением прямой
у=тх-\-п,
и задача заключается в определении постоянных уравнения т и п. В тех случаях, когда полученная кривая имеет параболический вид, она может отвечать уравнениям, общий вид которых
у=ах^-\-Ьх -\-с или у=ахт-}-Ьхп-\-с, но при этом может оказаться, что в эмпирическую формулу входят не все члены этих уравнений.
Если полученная кривая имеет гиперболический вид, то она может отвечать уравнениям, общий вид которых
л	a I l
Таким образом получение прямой на графике опытных данных помогает определить общий вид эмпирической формулы, а характер полученной кривой лишь облегчает до некоторой степени подбор формулы.
В главе IV первого раздела было показано, какие уравнения с двумя и тремя переменными при построении их на логарифмических и полулогарифмических сетках дают прямые линии. Следовательно, если опытные данные построить на таких сетках и окажется, что линии, соединяющие опытные точки получились прямые, то и в этих случаях общий вид эмпирической формулы определяется точно. Можно на осях координат построить другие функциональные шкалы, например, на оси х квадратичную, тогда уравнение у = тх2>+п изобразить на такой сетке прямой линией, или построить шкалу корней квадратных, тогда уравнение у=тУх+п изобразить на такой сетке также прямой линией.
Из изложенного выше очевидно, что сущность графических методов обработки опытных данных состоит в том, чтобы при построении графиков опытных данных по-182
добрать такие шкалы на осях координат, при которых на графиках получились бы прямые линии или близкие к ним.
В большинстве руководств по обработке опытных данных рассматривается лишь нахождение формулы для случая двух переменных. Учитывая, что среди исследовательских работ, посвященных вопросам Техники, не мало таких, в которых изучается взаимная зависимость трех переменных, мы уделили одинаковое внимание задачам нахождения формул как с двумя, так и с тремя переменными.
Если исследования производятся для определения зависимости между тремя переменными величинами и при этом экспериментатор свободен в выборе численных значений независимых переменных, то все опыты следует разбить на ряд серий, чтобы в каждой серии одна из независимых переменных была постоянной по величине.
Такую зависимость между тремя переменными мы будем в дальнейшем изложении называть раздельной, двухфакторной зависимостью, так как она позволяет раздельно изучать зависимость изменений каждой пары переменных от изменения третьей переменной.
Предположим, что требуется найти зависимость между тремя переменными А, В и С, из которых — А — искомая, причем изменение независимых переменных В и С изучается в следующих пределах:
переменная В — от 25 до 130;
переменная С — от 100 до 700.
Для получения равномерного распределения значений переменных В и С между их предельными величинами в данном случае можно принять для переменной С семь значений, а для переменной В — восемь значений, включая сюда и граничные. Тогда мы получим семь серий опытов, каждая при своем постоянном значении переменной С, и восемь опытов в каждой серии. Результаты проведенных опытов можно записать в виде табл. 14.
Пользуясь каждой парой колонок цифр этой таблицы, можно легко построить на одном графике кривые зависимости искомой величины А от переменной В при соответствующих частных значениях переменной С, т. е. семейство кривых по переменной С.
Если принимаемые значения независимой переменной В во всех сериях будут одинаковы, как это имеет место в данном примере, то очевидно, что запись результатов
Таблица 14
Формы записи результатов опытов по переменной С
С=100		С=200		С = 300		-с=400		С=ь00		с=т		С-700	
в	А	В	А	в	А	В	А	в	А	в	А	В	А
25		25		25		25		25		25		25	
40	. . .	40		40	. - -	40		40		40		40	
55	...	55		55	- -	55		55		55		55	
70		70		70		70		70		70		70	
85		85		85		85		85		85		85	
100		100		100		100		100		100		100	
115	.. .	115		115		115	. - -	115		115		115	
130	. ..	130		130		130	• . .	130		130		130	
Таблица 15
Форма записи результатов опытов по переменной В
В=85
В-115
В-130
100 200 300
400
500 600 700
100
200
300
400
500
600
700
100
200
300
400
500
100
200
300
400
500
600 ... 600
700 ... 700
100	... 100		... 100			100	
200		200		200		200	
300		300		300		300	
400		400		400		400	
500		500		500	. . .	500	
600		600		600		600	
700		700		700		700	
опытов может быть представлена также в виде табл. 15.
По данным табл. 15 легко построить график зависимости искомой величины А от переменной С при соответствующих частных значениях переменной В, т. е. семейство кривых по переменной В.
Следовательно, основная особенность раздельной двухфакторной зависимости состоит в том, что результаты ее изучения могут быть представлены в виде двух таблиц опытных данных или соответственно двух графиков.
Наличие двух графиков облегчает подыскание формулы, выражающей зависимость между тремя переменными (см. гл. V, II ч.).
194
Весьма значительную группу исследовательских работ составляют такие, при проведении которых экспериментатор лишен возможности полностью или в известной степени задаваться значениями изучаемых переменных величин. В эту группу входят многие исследовательские работы, проводимые непосредственно в природных условиях или на действующих установках на фабриках и заводах, а также и те работы, которые хотя и проводятся в лабораторных условиях, но связаны, например, с изучением влияния природных составов тел на свойства получаемых продуктов или на изучаемый процесс.
Такую зависимость трех переменных будем называть нераздельной двухфакторной зависимостью. В этих случаях построенный график будет представлять собой серию точек, против которых написаны значения той переменной, отвечающей этой точке, которая была принята за параметр при построении графика. Чаще всего на таком графике нельзя по построенным точкам провести кривые разнозначной величины параметра, если известен закон изменения параметра от двух других переменных. Однако оказалось, что, применяя разработанные нами графические методы построения, представляется возможным во многих случаях найти как эту зависимость, так и общий вид искомой эмпирической формулы.
На характер кривой, построенной на графике, влияет не только общий вид уравнения, но и значения его постоянных. Этому вопросу посвящен первый раздел следующей главы П.
Сопоставление полученных на графиках опытных данных семейства линии, при изучении зависимости трех переменных, с графиками, построенными для известных уравнений с тремя переменными, может значительно облегчить нахождение вида эмпирической формулы. Поэтому во втором разделе главы III приведены для наиболее часто встречающихся в технике уравнений с тремя переменными графики двух семейств кривых, построенных с применением на осях равномерных шкал с равными модулями.
Возможные варианты получения семейств прямых и кривых при построении уравнений двух и трех'переменных на полулогарифмических и логарифмических сетках подробно рассмотрены в главе IV первой части книги. В ней указаны многие виды уравнений, для которых при построении номограмм получаются семейства прямых линий. Следовательно, если исследователь построит опытные данные, на полулогарифмической или логарифмической сетке и получит прямые или семейство прямых, то нахождение вида эмпирической формулы не представит для него особого труда.
Метод «спрямления» линий, получаемых на графиках опытных данных может потребовать применения на осях координат и других
185
функциональных шкал, как например, квадратичных, обратных и т. д. Использованию таких шкал для спрямления кривых некоторых уравнений посвящена глава IV этой части книги.
Сущность основных графических методов обработки опытных данных состоит в том, что исследователь прежде всего строит графики опытных данных с применением равномерных шкал по осям координат. Если на графиках не получены прямые линии, то начинается последовательный подбор функциональных шкал на одной или обоих осях координат при построении графиков. Обычно сперва применяют полулогарифмические сетки, затем логарифмические. В тех случаях, когда эти графики не помогли исследователю найти вид эмпирической формулы, он делает попытки применения более сложных функциональных шкал.
При некотором опыте использования графических методов обработки опытных данных исследователь даже не получив точного ответа от построенных графиков может по характеру кривых на графиках подобрать наиболее вероятный вид эмпирической формулы.
При аналитических методах нахождения эмпирических формул, отвечающих опытным данным, определение постоянных подбираемой формулы и проверка соответствия ей всех опытных данных производится для каждого варианта эмпирической формулы, а их может быть много. Между тем вычисления по подбору постоянных принятой формулы и по ее проверке для всех опытных данных требует весьма значительной затраты времени, крайне однообразна и очень утомительна.
Графический метод обработки опытных данных состоит в том, что сложная задача по нахождению соответствующей эмпирической формулы разделяется на две:
1) нахождение общего вида эмпирической формулы;
2) определение постоянных, входящих в эмпирическую формулу.
К решению второй задачи приступают лишь после того, как решеца первая зачача, что во много раз уменьшает объем весьма кропотливых и утомительных поверочных вычислений.
Описанные нами графические методы обработки опытных данных далеко не исчерпывают всех применяемых методов, но преимущество их заключается в том, что для усвоения они требуют лишь элементарных знаний по
186
высшей математике, которыми обладают все начинающие исследователи.
На построение каждого графика с неравномерными шкалами приходится затрачивать значительное время, а поэтому рекомендуем исследователю, которому приходится часто производить обработку экспериментальных данных, заблаговременно построить на плотном ватмане целый ряд сеток с различными неравномерными шкалами. Имея такой набор сеток, исследователь в принятой им последовательности накладывает на каждую сетку кальку и, построив на ней опытные точки, сразу выясняет результаты попыток спрямления экспериментальных кривых. Этим приемом можно значительно сократить время, необходимое на обработку опытных данных. В качестве приложения в конце книги дается набор сеток с наиболее часто применяемыми неравномерными шкалами, построенными в удобных для практических целей масштабах.
Глава II
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ УРАВНЕНИЙ
В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ С РАВНОМЕРНЫМИ ШКАЛАМИ
1. Влияние изменения постоянных уравнений с двумя переменными на вид получаемых на графиках кривых. Общее число видов уравнений с двумя неизвестными весьма велико, но один вид уравнений, а именно:
у—тх + и,
при любых значениях своих постоянных при графическом построении дает всегда прямую линию, причем каждой полученной на графике прямой линии соответствует только одно уравнение указанного вида с вполне определенными числовыми значениями постоянных.
Все остальные виды уравнений с двумя переменными при своем построении дают кривые линии. Чем больше постоянных входит в уравнение, тем разнообразнее число видов кривых, получаемых при построении этого уравнения.
Изучение влияния изменения постоянных уравнения на форму полученных кривых не следует производить путем одновременного произвольного изменения значений всех постоянных, а нужно последовательно изменять только одну постоянную уравнения, не изменяя остальных.
Построение уравнений, полученных изменением каждой из постоянных уравнения в отдельности (без изменения остальных), дает на графике семейство однородных кривых.
Уравнение с одной постоянной дает при ее изменениях только одно семейство кривых.
Для построения семейств кривых уравнения с двумя постоянными, например а и Ь, можно задаться определенным значением а, менять в полученном уравнении значения b и строить кривые, отвечающие этим уравнениям. Полученный график представит собой семейство кривых по постоянной Ь, или, короче, «семейство по Ь» для данного определенного значения а. Но так как постоянная а может принимать сколь угодно много различных значений, то можно построить бесконечное число семейств по Ь.
188
Очевидно, можно поступить и иначе. Задаваться определенным значением Ь, менять в уравнении значения а и строить кривые, отвечающие этим уравнениям. Полученный график представит собой семейство кривых по постоянной а («семейство по а») для данного определенного значения Ь. Таких семейств по а можно построить также бесконечное число. Для того чтобы представить себе, как влияет одновременное изменение обеих постоянных на вид кривой, нет необходимости строить обе серии семейств кривых, а достаточно построить одно семейство по а при каком-либо значении b и одно семейство по b при каком-либо значении а.
Уравнение с тремя постоянными, например, а, b и с дает еще большее количество семейств кривых, но для того, чтобы представить себе, как влияет одновременное изменение всех трех постоянных на характер кривой, достаточно построить три графика. Первый — семейство по а при каких-либо постоянных значениях b и с, второй — семейство по b при каких-либо постоянных значениях а и с и третий — семейство по с при каких-либо постоянных значениях а и Ь.
Сопоставляя все три семейства кривых, можно определить влияние изменения как отдельной постоянной, так и их одновременного изменения на характер изменения кривой.
Приведем ряд примеров определения положения прямой или кривой, отвечающей заданному уравнению, в соответствующих семействах прямых или кривых.
Пример 33. Определить положение прямой у=2х4-5 в семействе прямых.
Сперва определим положение прямой </=2x4-5 в семействе прямых р=ах4-5. Для этого примем значения постоянной а последовательно равными: 4; 2; 1 (—1); (—2) и (—4), и построим шесть полученных уравнений (рис. 81). Из графика видно, что все прямые проходят через точку с координатами х=0 и у=5, и чем больше абсолютное значение постоянной а, тем ближе к оси у проходит прямая.
Теперь определим положение прямой </=2x4-5 в семействе прямых </=2x4-6.
Для этого примем значения постоянной b последовательно равными: 25; 20; 15; 10; 5; 0 (—5); (—10); (—15); (—20) и (—25), и построим полученные уравнения (рис. 82). Все прямые — параллельны, а прямая со значением 6=0 проходит через начало координат. Искомая прямая </=2x4-5 на обоих графиках дана пунктиром; она расположена в обоих случаях совершенно одинаково. Очевидно, что, имея два таких семейства прямых, можно определить как ляжет любая прямая с заданными постоянными а и 6.
189
Пример 34. Построить семейство кривых у = хт. Данное урав-
нение имеет только одну постоянную — показатель степени, а по
этому будем иметь только одно семейство кривых. На рис. 83 по-
Рис. 81. Прямая #=2х+5 в семействе прямых у=ах+5
У
Рис. 82. Прямая г/=2х+5 в семействе прямых у=2х+Ь
строено семейство этих кривых для значений /п, равных: 5/2; 2; 3/2; 5/с 1; 2/з; У2 и Уз.
Из рассмотрения графика видно, что в этом семействе кривых имеется одна прямая линия, отвечающая значению т = 1. При значении /п>1 кривые располагаются выше этой прямой, а при значении /п<1—ниже ее. Все кривые, кроме общей точки в начале координат, имеют еще общую точку с координатами х=1 и {/ = 1.
Пример 35. Определить положение кривой t/=2x2+ + 5 в семействе кривых у=ахт+Ь.
В уравнении данного вида имеются три постоянных, следовательно наша кривая будет принадлежать к трем различным семействам кривых. На рис. 84 дано положение этой кривой в семействе кривых у—2х2+Ь. От изменения постоянной b точка минимума кривой перемещается по оси у, но степень кривизны всех кривых сохраняется одинаковой, т. е. вся кривая в целом как бы перемещается вертикально. Осью симметрии всех кривых является ось у.
Положение нашей кривой в семействе у~ах2+5 дано на рис. 85. От измене
ния а точка минимума для положительных значений а не изменяется, но при отри-
цательном значении а кривые имеют не минимум, а максимум, и также в одной точке, которая совпадает с точкой минимума кривых при положительном значении а. С увеличением абсолютного значения коэффициента а ветви кривой становятся более крутыми, т. е. приближаются к оси у.
Осью симметрии всех кривых является ось у. Прямая у=5 является второй осью симметрии для всего семейства кривых.
190
На рис. 86 показано влияние изменения показателя степени на характер изменения кривых, т. е. дано положение нашей кривой в семействе кривых у=2хт + 5. При положительных значениях т все полученные кривые имеют одну общую точку на оси у, кроме того, все кривые имеют еще одну общую точку с координатами х=1 и у=1.	*
Чем больше значение показателя степени т, тем ближе к оси у
располагаются ветви кривых. При значении т=1 получаем прямую линию, проходящую через те же общие две точки.
При значении т<\ кривые проходят через те же две общие точки; с уменьшением значения показателя т ветвь кривой приближается к оси х.
При отрицательных значениях показателя т получаем новое семейство кривых, имеющих гиперболический вид, и это понятно, так как наше уравнение при отрицательном значении показателя принимает другой, отличный от заданного, вид, а именно:
а
у = -^~ + ь-
Наша кривая г/=2х2+5 на всех трех графиках показана пунктиром. Как видим, местоположение ее во всех семействах совершенно одинаково.
Сопоставление рис. 84—89 позволяет выяснить влияние изменения каждой из постоянных нашего уравнения на изменение вида кривой и ее местоположения на графике.
Пример 36. Определить 5 положение кривой у=— 4-+2x4-1 в семействе кривых
//= —4-&Г4-С.
х
Наличие трех постоянных в заданной кривой определяет ее принадлежность к трем различным семействам кривых.
Рис. 84. Кривая #=2х2+5 в семействе кривых у=2х2+Ь
191
Рис. 85. Кривая #=2х2+5 в семействе кривых #=ах2+5
Рис. 86. Кривая z/=2x2+5 в семействе кривых #=2хт+5
2661
Рис. 87. Кривая у — — +2х+1 5
в семействе кривых у =----+ 2х + с
Положение заданной кривой в семействе кривых	+2х+с
дано на рис. 87. От изменения постоянной с кривая перемещается по вертикали без изменения своей формы. Все кривые имеют минимум, отвечающий одному и тому же значению х.
мействе кривых у == —' + 2х 4- 1
Как левые, так и правые спрямляющиеся ветви кривых параллельны.
На рис. 88 приведено положение заданной кривой в семействе 5
кривых +6x4-1. С увеличением коэффициента b точка минимума кривых перемещается вверх и влево. При значении 6=0 кривая не имеет точки минимума. Левые спрямляющиеся ветви кривых — сходящиеся, а правые — расходящиеся.
а
Положение заданной кривой в семействе кривых у= —+2х+1
приведено на рис. 89. С увеличением значения коэффициента а точка минимума перемещается вверх и вправо. Спрямляющиеся ветви кривых как левые, так и правые, — сходящиеся, и приближаются асимптотически: левые —к оси у, а правые — к прямой #=2х+1.
194
5
Кривая, отвечающая заданному уравнению t/=—+ 2х+1, на всех трех графиках дана пунктиром; местоположение ее во всех трех семействах совершенно одинаково.
Из приведенных примеров видно, что если исследователь, построив по экспериментальным данным кривую и задавшись каким-либо видом уравнения, которое по его предположению Должно отвечать виду полученной им кривой, построит семейство кривых при изменяющемся значении каждой из постоянных выбранного им уравнения то полученные графики семейств кривых помогут установить, правильно ли выбран вид уравнения, а в некоторых случаях могут помочь приблизительно определить числовые значения постоянных. Как это делается — будет показано на отдельных примерах последних глав.
2. Изучение графиков уравнений с тремя переменными. Для любого уравнения с тремя переменными, как указано в главе II первой части, можно построить два графика в зависимости от того, какое из переменных правой части уравнения принять за параметр. Сопоставление двух таких графиков позволяет в тех случаях, когда получено семейство прямых, определить вид уравнения, которому они отвечают. Если же на одном графике получилось семейство прямых, а на другом — семейство кривых, или на обоих графиках семейства кривых, то, как это будет показано в последующих главах, сопоставление графиков дает только руководящие указания для определения общего вида уравнения, которому графики отвечают. Для облегчения исследователю такого сопоставления приводим графики для основных видов уравнений с тремя переменными, которые дают при своем построении как семейства прямых в обоих вариантах, так и семейства прямых и кривых или только кривых.
По каждому виду уравнений приводим построение графиков для уравнений с определенными численными коэффициентами, причем во всех случаях все коэффициенты приняты нами положительными и, кроме того, у одноименных членов в различных уравнениях — равными или близкими по своим численным значениям. Это в значительной степени облегчит взаимное сопоставление графиков для уравнений различного вида.
При наличии отрицательных знаков у некоторых или у всех коэффициентов в уравнении расположение всего семейства прямых или кривых на графике, конечно, будет другое, чем при положительных их значениях, но приведенные для каждого вида уравнений основные характеристики их графиков относятся к уравнениям с лю-7*	195
быми знаками у коэффициентов. Во всех уравнениях за искомую переменную принимаем у, а остальные две переменные обозначаем через х и z.
Сперва строим график семейства по г, а затем график семейства по х.
а) Уравнения, дающие графики с семействами пря-
Рис. 90. Семейство по z для уравнения «/=0,5х+ +2z+l
Рис. 91. Семейство по х для уравнения у=0,5х+ +2z+l
менными, которые при двух вариантах их построения дают на обоих графиках семейства прямых.
Уравнение вида y=ax+bz+c.
На рис. 90 и 91 даны графики уравнения г/=0,5х+ + 2 2+1.
Сопоставление графиков для уравнений данного вида показывает:
1) на обоих графиках получаются семейства параллельных прямых;
2) прямые, отвечающие значениям х=0 и г=0, не проходят через начало координат.
Уравнение вида y=axz.
На рис. 92 и 93 даны графики уравнения i/=0,5axz.
Сопоставление графиков уравнений данного вида показывает, что на обоих графиках получаются семейства прямых, пересекающихся в начале координат.
Уравнение вида y=axz+b.
Отличается от предыдущего наличием свободного члена. Графики этого уравнения также дают семейства 196 .
прямых, но точка их схода не в начале координат, а на оси ординат, в точке у = Ь, а х = 0 или z=0.
Рис. 92. Семейство по г для уравнения у—0,5хг
Рис. 93. Семейство по х для уравнения г/=0,5хг
Уравнение вида y=axz + bx+c.
На рис. 94 и 95 даны графики уравнения y = 0,5xz + +%+1.
Рис. 94. Семейство по z для уравнения t/=0,5xz+ +х+1
Рис. 95. Семейство по х для уравнения г/=0,5хг+ +х+1
Сопоставление графиков для уравнений этого вида показывает:
1)	на обоих графиках получаются семейства прямых;
2)	семейство прямых по z имеет точку пересечения на оси у (х=0 и у = с)\
197
3)	семейство прямых по х имеет точку пересечения, но не расположенную на осях координат (у=с;
z= —
а
4)	прямая, отвечающая значению z = 0, наклонная, а прямая, отвечающая значению х = 0, параллельна оси z.
Рис. 96. Семейство по г для уравнения t/=0,5xz+ +0,6*+z+1
Рис. 97. Семейство по х для уравнения y=0,5xz+ + 0,6x+z+1
Уравнение вида y = axz+bx 4-cz+d.
На рис. 96 и 97 даны графики уравнения y=0,5xz + + 0,6х+г+1. Сопоставление графиков для уравнений этого вида показывает:
1)	на обоих графиках получаются семейства прямых;
2)	семейство прямых по z имеет точку пересечения, но не расположенную на осях координат (координаты
be . ,	с \
ее:	—-------\-d и -----;
а	а /
3)	семейство прямых по х имеет точку пересечения, также не расположенную на осях координат
4)	прямые, отвечающие значениям г=0 и х=0, располагаются наклонно, но не проходят через начало координат.
Уравнение вида y = axz+bx + cz.
Отличается от предыдущего отсутствием свободного ’ члена d.
При построении уравнения на обоих графиках получаем семейства прямых, пересекающихся в одной точке.
198
Координаты этих точек определяются по формулам, приведенным для предыдущего уравнения, приняв в них d=0.
б) Уравнения, дающие один график с семейством прямых, а другой с семейством кривых. Из уравнений с тремя переменными этой группы мы здесь приводим только те, которые на графиках дают кривые параболического или гиперболического вида.
ЧРис. 98. Семейство по z /для уравнения t/=0,5xz2+2
Рис. 99. Семейство по х для уравнения t/=0,5xz2+2
Уравнение вида у=axzm+b при т>1.
На рис. 98 и 99 даны графики уравнения y=0,5xz24-2.
Сопоставление графиков показывает:
1)	на графике семейства по z получаются прямые линии, имеющие точку пересечения на оси у,
2)	прямая, отвечающая значению z=0, параллельна оси х;
3)	на графике семейства по х получаются кривые параболического вида, имеющие точку схода на оси у,
4)	осью симметрии кривых при четных значениях показателя т является координатная ось у,
5)	линия, отвечающая значению х=0, прямая, параллельная оси г.
Уравнение вида у=ах£п при /п>1.
Эти уравнения отличаются от предыдущих тем, что в них нет свободного члена Ь. Их графики будут отличаться от графиков на рис. 114 и 115 лишь тем, что точки схода прямых и кривых будут в начале координат.
Уравнение вида y=axzm+bz+c при /п>1. 1 рафики для уравнений этого вида показывают:
199
1)	на графике семейства по % Получаются йряМыё линии, не имеющие общей точки пересечения;
2)	прямая, отвечающая значению z — Q, параллельна оси х;
3)	на графике семейства по х получаются кривые линии параболического вида, имеющие точку схода на оси у;
Рис. 101. Семейство ^по х для уравнения у=0,5 xj/z
Рис. 100. Семейство по _z для уравнения у=0,5х ]/ z
4)	линия, отвечающая значению х=0,— наклонная прямая, не проходящая через начало координат.
Уравнение вида y=axzm при 0</п<1.
На рис. 100 и 101 даны графики уравнения у= = 0,5%У z.
Сопоставление графиков для уравнения этого вида показывает:
1)	на графике семейства по z получаются прямые линии, имеющие точку пересечения в начале координат;
2)	прямая, отвечающая значению z=0, совпадает с осью х;
3)	на графике семейства по х получаются кривые параболического вида, имеющие точку схода в начале координат;
4)	осью симметрии кривых является координатная ось z;
5)	линия, отвечающая значению х=0, совпадает с осью z.
200
Уравнение вида у= — .
6 X
На рис. 102 и 103 даны графики уравнения у= ~~ .
Сопоставление графиков для уравнений указанного вида показывает:
1)	на графике семейства по z получаются прямые линии, имеющие точку пересечения в начале координат;
Рис. 102. Семейство по z 6х для уравнения */= -------
Рис. 103. Семейство по х 6х для уравнения у= —'
2)	прямая, отвечающая значению z==0, совпадает с осью у*,
3)	на графике семейства по х получаются равнобокие гиперболы, асимптотами которых являются оси у и г.
X т	йХ
Уравнение вида у— -----------.
* bz 4- с
2jc
На рис. 104 и 105 даны графики уравнения У~г^_ t •
Сопоставление графиков для уравнения указанного вида показывает:
1)	на графике семейства по z получаются прямые линии, пересекающиеся в начале координат;
2)	прямая, отвечающая значению г=0, проходит наклонно через начало координат;
3)	на графике семейства по х получаются равнобокие гиперболы, асимптотами которых являются у=0 и г= — — •
ь
201
У	ax о
равнение вида у=———
CZ
На рис. 106 и 107 даны графики уравнения z/= —1.
Сопоставление графиков для уравнения указанного вида показывает:
2х для уравнения	;
по z получаются прямые ли-
1) на графике семейства
нии, но не пересекающиеся в одной точке;
Рис. 106. Семейство по z
2х + 1
для уравнения у=---------
Рис. 107. Семейство по х 2х+ 1 для уравнения у=---------
2) на графике семейства по х получаются равнобокие гиперболы, асимптотами которых являются оси координат.
202
ппч’яак:
ЛХ I
Уравнение вида у— -—-\-bz.
На рис. 108 и 109 даны графики уравнения у = — -f-z.
Сопоставление графиков для уравнений указанного вида показывает:
1)	на графике семейства по z получаются прямые линии, не имеющие общей точки пересечения;
2)	прямая, отвечающая значению z=0, совпадает с осью у;
3)	на графике семейства по х получаются кривые, у которых одной асимптотой является ось у, а другой — прямая, проходящая наклонно через начало координат.
в) Уравнения, дающие оба графика с семействами кривых. Число уравнений с тремя переменными, дающими при своем построении в обоих вариантах графики с семействами кривых, весьма велико, поэтому приводим основные из тех, которые дают графики с семействами параболического или гиперболического вида.
Уравнение вида у—axmzn при т>1 и п>1.
На рис. ПО и 111 даны графики уравнения у = = 0,1х2г3.
Сопоставление графиков для уравнений этого вида, показывает:
1)	на графиках семейств по z и по х получаются параболические кривые, имеющие точку схода в начале координат;
2)	линии, отвечающие значениям z=0 и х=0, соответственно совпадают с осями х и z;
203
3)	осью симметрии обоих семейств кривых при четных значениях показателей степеней тип является ось у.
Уравнение вида y = axmzn при т>1 и 0<п<1.
На рис. 112 и 113 даны графики уравнения у = =0,2x1 2]/z.
Рис. ПО. Семейство по z для уравнения у — 0,1 x2zz
Рис. 111. Семейство по х для уравнения у — 0,1 x2z3
Сопоставление графиков для уравнений указанного вида показывает:
Рис. 112. Семейство по z для уравнения #=0,2х2]/2
Рис. 113. Семейство по х для уравнения г/=0,2х2]Лг
1) на графиках семейства по z и по х получаются параболические кривые, имеющие точки схода в начале координат;
2) линии, отвечающие значениям z—О и х=0, соответственно совпадают с осью х и осью г;
204
3)	семейство кривых по z имеет осью симметрии координатную ось у, а семейство кривых по х —координатную ось г.
аХт
Уравнение вида У=~~п—1-6 при т>1 и га>1.
На рис. 114 и 115 даны графики уравнения
-|-1. Графики для уравнения указанного вида у zt показывают:
1)	на графиках семейства по z получаются кривые параболического вида, имеющие точку схода на оси у,
2)	линия, отвечающая значению z=0, совпадает с осью у,
Рис. 114. Семейство по z Рис. 115. Семейство по х
для уравнения 0,5x3
>=—+1
для ^(эавнения у = —+ 1
3)	на графике семейства по х получаются гиперболические кривые, асимптотами которых являются прямые у=Ь и z=0;
4)	линия, отвечающая значениям х = 0, параллельна оси z.
Уравнение вида у= ах  при/п>1ип<1.
zn
Отличается от предыдущего уравнения отсутствием свободного члена Ь. Это следующим образом влияет на вид и расположение получаемых кривых:
1) семейство по z— кривые параболического вида, имеющие точку схода в начале координат;
2) семейства по х — кривые гиперболического вида, асимптотами которых являются оси координат.
205
лхт
Уравнение вида у=-----------\-Ьх при т>1 и
гп
n> 1.
Уравнение его — двучленное. Первый член такого же вида, как предыдущее уравнение, а второй член содержит то же переменное х, что в числителе первого члена, но в первой степени. По сравнению с графиками для предыдущего уравнения существенно изменится только се-мейство, по х. Для него получаются гиперболы, у которых
Рис. 116. Семейство по z
для уравнения 0,5x3
У = ------+ Z
Рис. 117. Семейство по х
для
У =
уравнения ^7Г + г
у, а вторые — разные для
одна асимптота общая — ось
каждой гиперболы, но все параллельны оси z, ахт
Уравнение вида	——\-bz при т> 1 и n> 1.
Это уравнение отличается от предыдущего тем, что второй член двучлена содержит тоже переменное г, что в знаменателе первого члена, но в первой степени.
На рис. 116 и 117 даны графики уравнения у =
= —!--j-z. Сопоставление графиков указанного вида
показывает:
1)	на графике семейства по z получаются взаимно пересекающиеся параболические кривые;
2)	линия, отвечающая значению z = 0, совпадает с осью у\
206
3)	на графике семейства по к получаются кривые, у которых одной асимптотой является ось у, а другой — прямая, проходящая наклонно через начало координат;
И 4) линия, отвечающая значению х=0, проходит наклонно через начало координат и является общей асимптотой кривых.
Приведенные примеры построения графиков семейств по z и семейств по х для уравнений различного вида с тремя неизвестными показывают, что все построенные уравнения по виду графиков этих семейств могут быть разбиты на три резко различные группы:
1)	семейства линий по обеим переменным состоят из одних прямых;
2)	семейства линий по одной из переменных — прямые, а семейства линий по второй переменной — кривые;
3)	семейства линий по обеим переменным — кривые.
Сопоставление характера линий семейств по обеим переменным позволяет сделать следующие выводы для определения вида уравнений, которым они отвечают:
1.	Если семейства линий по обеим переменным состоят из одних прямых, то это значит, что обе переменные входят в искомое уравнение только в первой степени и притом в числитель. По основным характеристикам семейств прямых вид искомого уравнения может быть определен совершенно точно.
2.	Если семейства линий по одной переменной состоят из прямых линий, а по другой переменной — из кривых, то это значит, что одна из переменных входит в искомое уравнение только в первой степени и в числитель, а вторая переменная, по крайней мере в одном из членов уравнения, входит в степени, отличной от единицы, или в первой степени, но в знаменатель. По основным характеристикам семейств прямых и кривых вид искомого уравнения не всегда может быть определен достаточно точно.
3.	Если семейства линий по обеим переменным состоят из кривых, то это значит, что обе переменные входят в степени, отличной от единицы, или в первой степени, но в знаменатель. По основным характеристикам семейств кривых точное определение вида искомого уравнения затруднительно.
Графическое построение экспериментальных данных В прямоугольных координатах с равномерными шкалами
207
является первым этапом при графической обработке результатов опытов.
В тех случаях, когда при определении зависимости между двумя или тремя переменными на графике получились прямые линии или семейства прямых, — вид искомого уравнения, определяющего зависимость менаду изучаемыми переменными, может быть точно определен. Графическая обработка экспериментальных данных в таком случае на этом заканчивается. Остается лишь оп-, ределить численные значения коэффициентов, входящих в найденный вид уравнения, что производится одним из указанных ниже, математических методов.
Если при построении по экспериментальным данным графиков в прямоугольных координатах с равномерными шкалами для случая двух переменных получилась плавная кривая, а для случая трех переменных получились семейства плавных кривых на одном или обоих графиках, то следует продолжить графическую обработку результатов опытов.
Следующим этапом обработки результатов опытов является применение неравномерных шкал при построении графиков опытных данных.
Глава III
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ в ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ С НЕРАВНОМЕРНЫМИ ШКАЛАМИ
Применение неравномерных шкал при построении уравнений с двумя и тремя переменными имеет своей целью «спрямить» кривые, которые получаются при построении уравнений в прямоугольных координатах с равномерными шкалами. Конечно, далеко не все уравнения, построенные с применением неравномерных шкал, могут быть изображены прямыми линиями. Наоборот, каждой неравномерной шкале соответствует вполне определенный вид уравнения, при построении которого с применением этой шкалы на графике получается прямая линия. Следовательно, если при построении графиков по экспериментальным данным применить какие-либо неравномерные шкалы на осях координат и при этом получатся на графике прямые линии, то определение вида уравнения, выражающего зависимость между изучаемыми переменными, не представит затруднений. Найти тот тип неравномерной шкалы, применение которого при построении графиков по экспериментальным данным даст на графике прямые линии, можно лишь методом подбора, т. е. путем последовательного построения нескольких графиков с применением различного типа неравномерных шкал. Некоторые указания для успешного подбора типа необходимой неравномерной шкалы дает характер кривых, получаемых при построении графиков по экспериментальным данным в прямоугольных координатах с равномерными шкалами.
Из неравномерных шкал наиболее часто применяется логарифмическая шкала с построением ее на обеих осях координат (логарифмическая сетка) или на одной оси координат (полулогарифмическая сетка).
Из других неравномерных шкал применяются квадратичная, обратная, шкала квадратных корней и т. п.
Построение уравнения с двумя и тремя переменными в прямоугольных координатах с неравномерными шкалами производится теми же приемами, так как на всех неравномерных шкалах против делений, полученных при их построении, надписываются значения переменных, ко
209
торым они соответствуют. Напомним, что применение неравномерных шкал равносильно замене переменных в заданном уравнении.
1. Построение графиков опытных данных с применением логарифмических шкал. Наибольшее разнообразие видов уравнений с двумя и тремя переменными, которые при построении их графиков с применением неравномерных шкал дают прямые линии и семейства прямых, получаем при применении логарифмических шкал на одной или обеих осях координат. Большинство этих уравнений было подробно рассмотрено в главе IV первой части книги, а поэтому здесь приводим перечень всех уравнений с указанием, на каких сетках и в каких случаях на графиках могут получиться прямые или семейства прямых.
А. Уравнения с двумя переменными. *
а)	Уравнения вида y=a\g х + b изобразятся прямыми при построении на полулогарифмической сетке с логарифмической шкалой по оси х.
б)	Уравнения вида 1g y=ax+b и у = еах+ъ изобразятся прямыми при построении на полулогарифмической сетке с логарифмической шкалой по оси у.
в)	Уравнения вида у = ахт изобразятся прямыми при построении их на логарифмической сетке.
Б. Уравнения с тремя переменными.
а)	Уравнения вида 1g y=ax+bz+c изобразятся семействами параллельных линий, располагающихся по равномерному закону, как при параметре z, так и при параметре х, при построении на полулогарифмической сетке с логарифмической шкалой по оси у.
б)	Уравнения вида 1g y=axz+b и y=eaxz+b изобразятся семейством прямых, пересекающихся в одной точке, как при параметре z, так и при параметре х, при построении на полулогарифмической сетке с логарифмической шкалой по оси у.
в)	Уравнения вида у=а 1g x+b 1g z + c изобразятся семейством параллельных линий, располагающихся по логарифмическому закону, как при параметре z, так и 'при параметре х, при построении на полулогарифмической сетке с логарифмической шкалой для переменной х или z.
210
г)	Уравнения вида y = azm lg x+b изобразятся семейством прямых, пересекающихся в одной точке, только при параметре г при построении «а полулогарифмической сетке с логарифмической шкалой по оси х.
д)	Уравнения вида y=axmzn изобразятся семейством параллельных прямых, располагающихся по логарифмическому закону при любом из параметров при построении на логарифмической сетке.
е)	Уравнения вида z/=axTOzn + & изобразятся семейством параллельных прямых, располагающихся по неравномерному, но не логарифмическому закону, только при параметре у при построении на логарифмической сетке.
ж)	Уравнения вида y=axmf(z) изобразятся семейством параллельных прямых, располагающихся по неравномерному, но не логарифмическому закону при построении на логарифмической сетке, если за параметр принята переменная z.
з)	Уравнения вида у=ахЮ изобразятся семейством прямых, пересекающихся в одной точке, при построении на логарифмической сетке, если за параметр принята переменная z.
Приведенный перечень общих видов формул с двумя и тремя переменными, которые при своем построении на полулогарифмических или логарифмических сетках дают прямые, довольно значителен.
Проверка соответствия любой из приведенных формул опытным данным производится путем построения результатов опытов на полулогарифмической или логарифмической сетках и не требует каких-либо вычислений.
2. Построение графиков опытных данных с применением квадратичной, обратной и других неравномерных шкал. В тех случаях, когда при построении графиков опытных данных с применением равномерных шкал на них получены семейства кривых, то обычно выполняют построение результатов опытов на полулогарифмических и логарифмических сетках. Если и эти построения не дали спрямления кривых на графиках, то приходится для одной или обеих осей применять другие неравномерные шкалы, например, квадратичную, шкалу корней квадратных, обратную и другие.
Приведем несколько примеров применения таких
211
шкал при построении соответствующих уравнений с двумя и тремя переменными.
Квадратичную шкалу целесообразно применять для уравнений с двумя переменными вида: «/= = «их2+п, и с тремя переменными вида: y=mx2f (z) +п или y = mx2+f(z), т. е. для таких уравнений, в которых одна из переменных входит только один раз, притом в квадрате и обязательно в числителе, если правая часть уравнения представляет собой дробь.
На рис. 118 дано построение уравнений г/=0,12х2+ + 0,5 и у=15— 0,13 х2. В каждом из этих уравнений переменная входит один раз и в квадрате, поэтому на оси х строим квадратичную шкалу.
Вводя обозначения х2=х’, получим для первого уравнения
у=»0,12Л’+0Д
т. е. прямую линию.
Аналогично для второго уравнения получим
«/=15—0,13х', т. е. также прямую линию.
Для построения прямой, как известно, достаточно иметь две точки. Так как при любых шкалах на осях координат точки кривой строятся по отметкам на шкалах, то для первой прямой достаточно взять, например, точки х=0, f/=0,5 и х= 10, у—12,50. Для второй прямой можно взять, например, точки х=0, «/=15 и х=10, «/=2. Числа эти определяются по первоначальным уравнениям. На рис. 118 дано построение обеих этих прямых.
Следовательно, если при построении экспериментальных данных для двух переменных была применена квадратичная шкала для одной из них и в результате построения получилась прямая линия, то это значит, что зависимость между изучаемыми переменными выражается формулой вида	;
у = тх2-\- п.
Определять коэффициент т по наклону прямой в данном случае нельзя, так как модуль равномерной шкалы, по которой строится квадратичная шкала, обычно принимается значительно меньшим, чем модуль равномерной шкалы для второй переменной.
212
Но коэффициент т может быть определен по фор-
где Xi, у\ и Х2> У2 — координаты двух любых точек прямой.
Постоянная величина п определяется при значении х=0, т. е. длиной отрезка, отсекаемого прямой на оси у, если квадратичная шкала начинается на графике с нуля.
Построение уравнения с тремя переменными с применением квадратичной шкалы приведено на рис. 119
Рис. 118. Построение уравнений г/=0,12х2+0,5 и у=— 0,13х2+ + 15 в применением квадратичной шкалы для переменной х
Рис. 119. Семейство по z для уравнения «/=0,02x2z+0,3z2 с применением квадратичной шкалы для переменной х
для уравнения у=0,02 x2z+0,3 z2. В этом уравнении переменная х входит один раз и притом в квадрате; следовательно, для нее можно применить квадратичную шкалу и получить семейство по z из прямых линий.
При построении семейства по х мы не получим в данном случае прямых линий, так как хотя переменная z также входит в квадрате, но имеется в уравнении и член, содержащий z в первой степени.
На рис. 119 построено семейство по z данного уравнения при значениях z= 1, 2, 3, 4 и 5.
Из рис. 119 видно, что получено семейство прямых линии, не имеющих для данного уравнения общей точки пересечения.
213
Обратную шкалу можно применять для построения уравнений с двумя переменными вида:
т ।	т + пх
«/=—+«. У =—-—>
1
у =--------
тх 4- п
и у=---—
тх 4- п
т. е. для уравнений гиперболического вида.
Уравнение у= т + пх может быть представлено так:
т , пх т , у=-------И-— = — 4-/г,
т. е. оно приводится к первому виду.
Для построения уравнения последнего вида обратная шкала строится на оси х:
1
Уравнение у=----------——представим в таком виде:
1 .
•— = тх-{- п.
у
Для построения такого уравнения обратная шкала строится на оси у.
Уравнение у =-------- преобразуем так:
тх 4- п
Построение такого уравнения потребует обратных шкал на обеих осях координат.
Для уравнений с тремя переменными применение обратных шкал возможно, например, для следующих их видов:
—=mxf(z)-\-n; —-тх-\-nf (z)\
У	У
±~”Lf(z) + n,t ± = -^4й/(г). у	х	ух
214
При построении всех приведенных выше уравнений в прямоугольных координатах с равномерными шкалами получаются кривые линии, а применение обратных шкал спрямляет эти кривые для семейства по г.
На рис. 120 дано построение уравнений у=-----1--2 и
у=— — 3.В каждом из этих уравнений переменная х х 1
входит только в одном из ее членов и в виде—» по-
этому на оси х строим обратную шкалу для перемен
ной х.
Так как при выбранной шкале на оси х мы должны получить прямую линию, то достаточно найти координаты двух каких-либо точек, чтобы построить прямую.
Для построения первой прямой можно взять, например, точки х=2, у= = 14,5 и х=20, г/=3,25, Для построения второй прямой возьмем точки х=2, z/=12 и х=10, y—Q.
Следовательно, если
Рис. 120. Построение уравнений 25	„	30	„
у —	+ 2 и у —	-—3
при построении экспериментальных данных для двух переменных применена для одной из них обратная шкала и в резуль-
с применением обратной шкалы для переменной х
тате построения получи-
лась прямая линия, то это значит, что зависимость меж-
ду изучаемыми переменными выражается формулой вида:
т ।	1	,
у—----\-п или —=тх-\-п,
X	у
в зависимости от того, для которой из переменных применена обратная шкала.
Определить коэффициент т по наклону прямой и в Данном случае нельзя, так как модуль равномерной шкалы, по которой строится обратная шкала, обычно отли-
215
чается от модуля равномерной шкалы для второй переменной, но коэффициент tn может быть определен по формулам: ((/2 — t/i) Xixo	~	т 1
—у и	—для уравнения у—---------}-п
Х\ Х%	I xj
и т —.—-----------------для уравнения — =тх-{-п,
(х2 —у
где Xi, у\ и х2, У2 — координаты двух любых точек. Постоянная величина п определится для уравнения #=------\-п отрезком, отсекаемым искомой прямой по
оси у, если положение этой оси соответствует значению бесконечности для х (или, что то же, — значению «ноль» равномерной шкалы, пользуясь которой построена обратная шкала). Значение п можно получить и из уравнения
т п^=У1-----,
Xi
подставив сюда вместо т его значение, найденное выше.
Для уравнения — =тх+п величина постоянной п
У
определится отрезком, отсекаемым на оси у, если соблюдены для положения осей те же условия, что были указаны. Но в этом случае значение деления обратной шкалы, отвечающего концу отсеченного на ней отрезка, равно не п, а—. Ясно, что значение п и здесь можно п
будет определить путем вычисления.
Если при построении опытных данных для двух переменных были применены обратные шкалы для обеих переменных и в результате построения получилась прямая линия, то это значит, что зависимость между переменными выражается формулой вида
1 т ,
У X
Определение коэффициента т в этом случае производится по формуле
т  (.</2 — У1) *1*2 (*2 — *1) l/iy2
где хь yi и х2, у2 — координаты двух произвольных точек.
216
Построение уравнения с тремя переменными с применением обратной шкалы для одной из переменных приведено на рис. 121 для уравнения «/ = —+ 5.
л 1
В этом уравнении обратная величина — входит только в один его член, а поэтому для построения семейства по z можно для переменной х применить обратную шкалу. На рис. 121 дано семейство по z при значениях 2=1,2, 3 и 4.
Рис. 122^ Построение уравнения у=5 V х — 3 и # = — 5 ]/д: 4- 20 с применением шкалы корней квадратных для переменной х
Рис. 121. Семейство по г для 2г2
уравнения у— — + 5 с при-
менением обратной шкалы для переменной х
Как видно из рис. 121 построение этих уравнений дало семейство прямых, имеющих общую точку с координатами х= оо; £/=5. Если бы мы пожелали построить для приведенного уравнения семейство по х, то, так как переменная z входит в уравнение только в одном члене и притом в квадрате, для нее нужно применять квадратичную шкалу. В результате построения семейства по х мы получили бы ряд прямых, сходящихся в точке с координатами f/=5, г=0.
Шкалу корней квадратных можно применять для уравнения с двумя переменными вида у = т,У~х+п или
217
для уравнений с тремя переменными вида у=тУх}(г) + +п и у = т]/x+nf(г). Для построения этих уравнений на оси х строится шкала корней квадратных. _
На рис. 122 дано построение уравнения у = $У х—3 и у= —5]/х +20.
Вводя подстановку Ух =х*, получим для первого уравнения у=5х1 — 3, т. е. прямую.
Шкало Ух
Рис. 123. Семейство по г для урав-*	1 /
нения у=5 V х 4- — с приме-
нением шкалы корней квадратных для переменной х
Аналогично, для второго уравнения будем иметь у =—5х’ + + 20, т. е. также прямую. Для построения их достаточно задать две точки, лежащие на них. Для первого уравнения можно, например, взять точки х=1, у=2 и х=9, z/=12. Для второго можно взять точки х=1, у — 15 и х = =9, t/ = 5. По отметкам шкал на осях коорди
нат эти точки легко построить и провести пря-мые. Прямые эти даны на рис. 122.
Следовательно, если при построении экспериментальных дан-
ных для двух переменных была применена шкала квадратных корней для одной из переменных, и в результате построения получена прямая линия, то это значит, что зависимость между переменными выражается формулой вида:
у—т У х-\-п.
Определение коэффициента т может быть произведено по формуле
Щ=-^2-М_>
Ух2 — УУ
где хь у! и х2, у2 — координаты двух произвольных точек.
218
Построение уравнения с тремя переменными с применением шкалы квадратных корней для одной из переменных приведено на рис. 123 для уравнения
г/=5]/'л4-^- .
В это уравнение входит х в одном члене, и поэтому для переменной х принята шкала квадратных корней.
Семейство по z построено для значений z= 1, 2, 4 и 8.
Как видно из рис. 123, нами получено семейство па-раллельных прямых.
Если построить семейство по х для этого же уравнения, то представляется возможным применить обратную шкалу для переменной z и получить также семейство прямых.
Из приведенных примеров видим, что применение различных неравномерных шкал при построении некоторых видов уравнений является часто весьма удобным приемом для спрямления кривых, получаемых при построении этих уравнений в прямоугольных координатах с равномерными или логарифмическими шкалами.
Глава IV
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ ПОСЛЕ НАХОЖДЕНИЯ
ЕЕ ОБЩЕГО ВИДА МЕТОДАМИ ИЗБРАННЫХ ТОЧЕК, СРЕДНИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
И НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
В предыдущих главах излагались те возможные графические методы обработки результатов опытов, которые дают на графиках опытных данных прямые линии, позволяющие найти общий вид эмпирической формулы. Если исследователю удалось решить эту задачу, то перед ним возникает вторая — найти значения постоянных найденной формулы.
Наиболее простой, но и наименее точный, — это способ избранных точек. Если в формуле одна постоянная, то достаточно выбрать одну точку на полученной прямой и, подставив в найденную формулу значения координат этой точки, решить полученное уравнение относительно искомой постоянной. Когда в формуле две постоянные, то избранных точек будет две. Подставляя значения их координат в найденную формулу, получим систему уравнений с двумя неизвестными, которые и решаем. При трех постоянных в искомой формуле потребуется три избранных точки и т. д.
Более точный метод, который чаще всего применяется для определения постоянных эмпирической формулы, это средне-арифметический метод. Если опытные данные какой-либо величины обозначим Bit В2, В3,...,Вп, то средне-арифметическое значение ее будет:
п
В = + #2 + #з + • • • + Вя	1
п	п
ИЛИ
п пв='^1в^ - (114>
1
где п — число переменных значений.
Обозначим отклонения каждого из значений В^ от
220
средне-арифметической величины В соответственно Д, Д2,...,ДП, то, очевидно, имеем
в—в — в2—д2;..............;	в &п—
Складывая эти равенства, получим
пВ — (Bj -]-В2+ • • • -(-Вл)=Д1Н-дг4" " *
или п	п
^-2^=2^
1	1
п	п
но пВ = ^Вь следовательно 2д/ = 0» 1	1
т. е. алгебраическая сумма отклонений равна нулю, что и следует из самого понятия о средней арифметической величине. Поэтому алгебраическая сумма отклонений не может быть мерилом для сравнительной оценки точности результатов, а надо определять средне-арифметическое абсолютных значений отклонений, т. е. величину 2 I 1
п
Более точные результаты сравнения получаются по средне-квадратичной отклонения
e=]/j^L,	(115)
равной корню квадратному из суммы квадратов отклонений, деленной на число измерений.
Метод наименьших квадратов отличается большей точностью результатов по сравнению с методом среднеарифметическим, но вычисления по этому методу значительно сложнее, в чем не трудно убедиться из приведенных ниже примеров. Применение этого метода оправдывается только тогда, когда требуется особая точность определяемой эмпирической формулы.
Ниже приводим методику определения на основе опытных данных постоянных величин найденных эмпирических формул методом средне-арифметическим и наименьших квадратов при наличии в формулах одной, двух или трех постоянных величин.
221
1. Формулы с одной постоянной величиной. Наиболее простыми формулами, которые исследователь подбирает на основе опытных данных, являются такие, в которые входит лишь одна постоянная величина, например:
у = mx
1) у — тх
т
У — — х
3)	у ~ хт
4)	у = т Igx
5)	у = тх
6)	у = етх
lg м - т Igx
\gy=x\gm
\gy — mx\ge
lg x = x„ Igy = Ун lg x = xH \gy ~ У» Igm = mH igy = yH mlge = m„
Ун —
у = mxH
Ун “ MaX
Ун = МнХ
у = mxH
Во втором столбце три из этих формул даны в преобразованном виде. В третьем столбце дана замена некоторых переменных и постоянных на новые, а в четвертом столбце приведен окончательный вид всех формул. Как видно, все рассмотренные формулы, путем соответственной замены одной или обеих переменных, обратились в уравнение прямой, проходящей через начало координат. Об использовании метода замены переменных для спрямления экспериментальных кривых подробно говорится в следующих главах.
Поскольку все шесть формул преобразованы в формулы одинакового вида, представляется возможным найти общий вид уравнения для определения постоянной величины т, входящей в каждую из этих формул. Обычно ее вычисляют средне-арифметическим методом, а при необходимости в большой точности — методом наименьших квадратов.
По средне-арифметическому методу требуется, чтобы сумма разностей между значениями искомой величины, определенными по найденной формуле, и опытными ее значениями равнялась нулю.
222
Для общего вида преобразованных формул имеем: * 2(у-тх)=°; ^у = т^х
ИЛИ	т=-^- .	(116)
С помощью формулы (116), с учетом введенных новых переменных и постоянных, определяется значение постоянной т для любого из приведенных выше уравнений.
По методу наименьших квадратов постоянная величина наших формул определяется из условия, чтобы сумма квадратов разностей между значениями искомой величины, вычисленными по найденной формуле, и опытными значениями искомой величины была минимальной.
Для нашего общего вида формулы это означает, что 2 (у—тх)* 2=минимум. Для определения значения т надо взять производную по т от этой суммы и приравнять
нулю:	
т. е.	2(у — тх)х — 0,
или	^ху=т 2*2.
Отсюда	(117)
Пользуясь формулой (117), с учетом новых переменных и постоянных, определяется значение постоянной т любого из приведенных выше уравнений.
* Обычно эти формулы записываются несколько иначе. Например, первую пишут так:
1—п
2 (yz —mxz) = 0,
1 = 1
где п — число опытов; г/г, Xi — значения переменных в i-м опыте. Но для сокращения записи мы будем придерживаться здесь и в дальнейшем обозначений формулы (116).
223
Выведенные нами по обоим методам формулы для определения постоянной т для удобства пользования приведены в табл. 16.
Покажем на численных примерах, как определяется на основе опытных данных постоянная формулы, если вид ее известен.
Пример 37. Формула А = тВ. Результаты опытов приведены в табл. 17. Построенный график дает основание предполагать наличие пропорциональной зависимости между изучаемыми переменными Л и В.
Если пропорциональная зависимость действительно существует, то должно выполняться условие
At
= const.
Bi
Находим величину этих отношений и вписываем в табл. 17. Сравнение показывает их достаточное совпадение и, следовательно, подтверждает наличие пропорциональной зависимости.
Переходим к вычислению постоянной величины т, которую определяем по средне-арифметическому методу и по методу наименьших квадратов.	•
По средне-арифметическому методу для уравнения вида А—тВ имеем (см. табл. 16):
т =
т —
По методу наименьших квадратов имеем (см. табл. 16):
т ------------
2 в?
Следовательно, для определения т по средне-арифметическому методу надо найти 2^* и 2^* » а для определения т по методу наименьших квадратов — найти 2 Afti и 2 *
Результаты вычислений для определения коэффициента tn по средне-арифметическому методу даны в табл< 17, а для определения по методу наименьших квадратов — в табл. 18.
По средне-арифметическому методу *
99,0 m=	1,790.
2 В/	55.3
* Не следует смешивать значение т, определенное по среднеарифметическому методу, со средним значением тСр, нашего примера определяется по формуле
*”ср — -----------------
п	п
которое для
224

Таблица 16
'Формулы для определения одной постоянной величины, содержащейся в уравнении
№	Вид уравнения	Значение постоянной т	
		по средне-арифметическому методу	по методу наименьших квадратов
	у ~ тх		M Sxy
1		т	2х2
2	т	S,	Sf
	У ~~ X	т —	 — V —	т — V-L
		L х	Zj X2
3	у =^хт	S ig у tn — Sig*	2igx-igy m — S(ig*)2
	у ~ m\gx	Sy	Sylgx
4		m — Sig*	tn — 	 20gx)2
5	У =-тх	,	Sigy lgm_- - - - S*	,	2х1®у l6"“
6		Sig У	2x|gy
	у = е"1л	m — lg«2*	tn — 1g e 2^2
Таблица 17
Формула А=тВ (средне-арифметический метод)
№ опыта	At		Проверка Ai m = —- Bi
1	10,0	5,4	1,8
2	12,0	6,6	1,8
3	15,0	8,2	1,8
4	18,0	10,3	1,7
5	20,0	11,5	1,7
6	24,0	13,3	1,8
2	99,0	55,3	—
8—2661
225
Таблица 18>
Формула А = тВ (метод наименьших квадратов)
№ опыта	А1	Bi	AiBi	
1	10,0	5,4	54,0	29,16
2	12,0	6,6	79,2	43,56
3	15,0	8,2	123,0	67,24
4	18,0	10,3	185 Л	106,09’
5	20,0	11,5	230,0	132,25
6	24,0	13,3	319,2	176,89
5	99,0	55,3	990,8	555,19
Таблица 1Ф
Формула А = тВ (сравнение отклонений по обоим методам)
KS	Ai	я	Средне -арифмети ч ес кий метод (т — 1,790)			Метод наименьших квадратов (т = 1,785)		
3S С Q 2		l		Д,	А?		А»	А2 А2
1 2 3 4 5 • 6	10,0 12,0 15,0 18,0 20,0 24,0	5,4 6,6 8,2 10,3 11,5 13,3	9,67 11,81 14,68 18,44 20,58 23,81	•1-0,33 4-0,19 +0,32 -0,44 -0,58 4-0,19	0,1089 0,0361 0,1024 0,1936 0,3364 0,0361	9,64 11,78 14,64 18,39 20,53 23,74	4-0,36 4-0,22 4-0,36 —0,39 —0,53 4-0,26	0,1296 0,0484 0,1296 0,1521 0,2809 0,0676
2	99,0	55,3	—	2,05	0,8135	—	2,12	0,8082
			*1^ = 0,341 6			^-^=0,353 6		
			О=|/	/ 2Д1 6	- = 0,368	e=V	/ 2Д*	- = 0,367
226
По методу наименьших квадратов
т —
990,8
•уд? 555,17
Для того чтобы установить, какой из найденных коэффициентов наиболее соответствует результатам исследования, надо определить по принятой формуле значения Аг для каждого опыта при обоих значениях коэффициента т, затем найти величины отклонений вычисленных значений А от его опытных значений для обоих способов, найти значения квадратов этих же отклонений и сравнить как средне-арифметические абсолютных значений отклонений по обоим методам, так и средне-квадратичные отклонения.
Результаты всех произведенных вычислений даны в табл. 19. Сравнение по средне-арифметическому значению абсолютных отклонений показывает лучший результат для средне-арифметического метода, а сравнение по средне-квадратичному отклонению оказалось, как это и следовало ожидать, в пользу метода наименьших квадратов. Следовательно, окончательная формула будет
Л - 1,785В.
Из табл. 19 видно, что к тем же выводам мы пришли бы, если бы сравнивали суммы абсолютных значений отклонений и суммы их квадратов, так как значение п для обоих методов одинаково. В следующих примерах сравнение будем производить по этим величинам.
т
Пример 38. Формула А= ~ В
Результаты опытов для опре
деления зависимости между А и В приведены в первых двух колонках табл. 20. Теоретические соображения дают основание предпола-т
гать наличие гиперболической зависимости вида А = —. В
Если такая зависимость существует, то
т = А[В[ = const.
Следовательно, для проверки правильности теоретических соображений определяем значения произведений АгВг для каждого опыта, вписываем их в табл. 20 и сравниваем между собой. Все произведения близко совпадают. Следовательно, предположенная нами зависимость имеет место, и остается определить значение постоянной т.
гт	т
Но средне-арифметическому методу для уравнения вида А = —
В имеем (см. табл. 16):
2 т =--
Ху
Bi
8*
227
По методу наименьших квадратов для того же Г— ..At, у— в] ,	т Формула Л = — (средне-арифметический метод)				/равнения имеем	
				Таблица	20
№ опыта	Ai	Bi	Проверка т - AiBl	1 Bi	
1 2 3 4 5 6 7 8	80 100 120 150 180 200 230 250	4,51 3,59 3,01 2,41 1,99 1,80 1,56 1,44	360 359 361 361 358 360 359 360	0,222 0,278 0,332 0,415 0,502 0,556 0,641 0,694	
2=	1310	—	—	3,640	
	Ф	о р м у л а /.	'-1	Таблица	21
	(метод наименьших квадратов)				
№ опыта	Ai	В1	1^	1 В(2	
1 2 3 4 5 6 7 8	80 100 120 150 180 200 230 250	4,51 3,59 3,01 2,41 1,99 1,80 1,56 1,44	17,74 27,85 39,87 62,25 . 90,46 111,12 147,43 173,60	0,0492 0,0776 0,1104 0,1722 0,2525 0,3086 0,4108 0,4821	
2=	—	—	670,32	1,8634	
228
Счедовательно, для определения постоянной т обоими способами надо ” предварительно для каждого опыта вычислить значения
1	1	At
—-, ---- и — • Результаты этих подсчетов приведены в табл. 20
В;	В?	Bi
для средне-арифметического метода, а в табл. 21 для метода наи-меньших квадратов.
Пользуясь ими, получим:
по средне-арифметическому методу
1	1310	™ о-
m^^v=w=359,9’
2-в.
по методу наименьших квадратов
, L в;
670,32
1,8634
359,7.
Чтобы определить, какой из коэффициентов более точно отвечает опытным данным, надо, как было сделано в, примере 1, определить значения А по найденной формуле для каждого опыта при обоих значениях коэффициента т, найти величины отклонений и сравнить как сумму абсолютных значений отклонений, так и сумму квадратов отклонений.
Но в данном примере относительная ошибка между найденными двумя значениями т равна
359,9 - 359,7
359,7
— 0,00055 — 0,055%,
что для большинства практических расчетов обычно не имеет значения. Если даже откинуть десятичный знак в обеих найденных величинах для /п, то и тогда относительная ошибка по сравнению с наиболее точным значением т, определенным методом наименьших квадратов, не превысит 0,08%. Поэтому принимаем /п = 360, и найденная формула будет
360
в 
Пример 39. Исследование производилось с целью определения зависимости между переменными А, В, С и £>, из которых А — искомая. Изучаемое явление подчиняется определенному теоретическому закону, согласно которому искомая А изменяется прямо пропорционально переменной В, прямо пропорционально квадрату переменной и обратно пропорционально корню квадратному из переменной D.
Результаты опытов приведены в табл. 22.
229
Согласно закону, которому подчиняется изучаемое явление, имеем следующую формулу для определения величины А:
А = т
ВС*
Vd
Для вычисления коэффициента т, пользуясь результатами опытов, определяем для каждого из опытов последовательно С2, г—	ВС2
у Dt ВС* и — (эту величину обозначаем буквой Р) и впи-V D
сываем все найденные величины в табл. 22.
Нашу искомую формулу можем представить в следующем виде:
л	ВС2
А — т —— = тР.
Vd
। i
Очевидно, что, пользуясь табличными Данными для каждого из опытов по значениям А и Р, можно найти соответствующие величины коэффициента т. Если опыты проводились с достаточной точностью и изучаемое явление действительно подчинялось предполагаемому теоретическому закону, то все вычисленные значения коэффициента т будут весьма близкими. Результаты вычислений коэффициента т приведены в табл. 22. Расхождение их незначительно, что подтверждает правильность выбраннбй формулы.
Таблица 22
ВС2
Формула А=/п—--
Vd
(средне-арифметический метод)
№ опыта	А1	Bi	С1	Dl		VDi	Brt	/б;	Проверка А1 т — —-
1	21,4	12	2,4	122	5,76	11,05	69,1	6,3	3,40
2	60,5	25	2,6	90	6,76	9,49	169	17,8	3,40
3	124	39	3,6	115	12,96	10,72	389	36,3	3,42
4	456	59	5,1	132	26,01	11,49	1535	133	3,43
5	509	47	6,2	147	38,44	12,12	1806	149	3,42
6	539	75	4,6	101	21,16	10,05	1587	157	3,43
2=	1709,9	—	—	—	—	—	—	499,4	—
230
Для определения более точного значения коэффициента т воспользуемся средне-арифметическим методом.
Наша искомая формула А=тР такого же вида, как и в примере 1, поэтому для средне-арифметического метода (см. табл. 22)
т =
2^*
2^‘
1709,9
499,4
= 3,424.
Если точность двух десятичных знаков для определения значения постоянной т достаточна, то получаем т=3,42 и искомая формула будет
Л = 3,42
ВС2
Vd
Пример 40. Формула Л = Вт. Результаты опытов для определения зависимости между Л и В приведены в первых двух колонках табл. 23. На основании графических построений предполагается зависимость вида Л=Вт. Если прологарифмировать это уравнение, то найдем
1g Л
1g В
Следовательно, для того чтобы убедиться в наличии предположенной зависимости, надо найти логарифмы значений Лг- и В г для каждого опыта и разделить ^Лг на IgB».
В табл. 23 даны результаты вычислений постоянной т для каждого опыта. Они подтверждают правильность предположений.
Определение более точного значения постоянной т производим по средне-арифметическому методу, пользуясь следующей формулой, приведенной в табл. 16 для данного вида уравнения:
т =
2
2ig*/
7,8479
15,7024
= 0,4998.
Так как постоянная т — показатель степени, то целесообразно округлить полученное значение до 0,5. Это значительно упростит пользование формулой и, как показывают величины отклонений всех опытных значений Л» от вычисленных по формуле Л = У В (см. табл. 23), получаемая степень точности практически вполне достаточна. В данном примере очевидно нет необходимости определять постоянную т методом наименьших квадратов.
Таблица 23
Формула А—Вт (средне-арифметический метод)
№ опыта	А1	bz	lg At	ig в.	Проверка lg A • m = 	 lg в.	ArVBi	Ai
1	14,2	200	1,1523	2,3010	0,495	14,14	+0,06
2	17,2	300	1,2330	2,4771	0,498	17,32	-0,12
3	20,1	400	1,3032	2,6020	0,501	20,00	+0,01
4	22,4	500	1,3502	2,6990	0,500	22,36	+0,04
5	24,5	600	1,3892	2,7782	0,500	24,49	+0,01
6	26,3	700	1,4200	2,8451	0,499	26,46	-0,16
2=	—	—	7,8479	15,7024	—	—	—
2. Формулы с двумя постоянными величинами. В технических расчетах часто применяются различные по виду формулы с двумя постоянными величинами. Приведем некоторые из них:
1) у — mx + n		lg# = m Igx + < + Ign	I		lg У = Уп lgx = xH	у — тх + п | У к = тхя + пн	
2) # =	nxm					
3) i/=mtgx+n		—		lg X = XH		у = тха + п
4) > =	Qinx^n	lg# = mxlge+ + nlge		lg# —#h m lg e = znH n lg e — n„		 #н Я1цХ -|- 71н
5) У =	nemx	lg# =mxlge+ + Ign		lg У = #н n lg e = mH lg n = ns		уя — тнх + пп
6) у =	m 	+n X			1 — Xn X		у = тхя + п
7)#= 8)# =	1	1 — = mx + n У 1	m — = — + n < у	x		1		ун = тх + п у„ = тхк + п
	mx + n X			— Ун У 1 у		
	nx + m			1 = хн X		
232
Во втором столбце даны пять из них в преобразованном виде/ В третьем столбце произведена замена некоторых переменных и постоянных на новые, а в четвертом приведен окончательный вид всех формул. Из рассмотрения полученных формул видно, что в результате соответственной замены переменных во всех случаях удалось получить уравнение прямой. Это, в свою очередь, позволяет дать в общем виде решение для определения обеих постоянных, входящих в любую из приведенных выше формул, на основе опытных данных.
По средне-арифметическому методу для уравнения вида у = тх + п имеем:
S [у — (тх 4-«)]=0;
2 У~ tn 2х — 2^=0, или
2У — tn %х—ns = 0,	(118)
где s — число опытов.
Так как для определения тип требуются два уравнения, то разобьем данные наших опытов на две группы с одинаковым числом опытов, если это число четное, и тогда получим в общем виде два уравнения: *
5	5 .
2	2
х—?-=о;	(119)
J у-т £	0.	(120)
Решая эти два уравнения, найдем значения тип.
По методу наименьших квадратов для уравнения ви-да у = тх+п имеем
2 [у — (тх -j- /г)]2=минимум.
Если число опытов нечетное, то в одну группу можно включить на один опыт больше, чем в другую.
233
Приравнивая нулю частные производные от этого выражения по т и п, получим
_ тх~ л)2=Х “ 2х ~ тх =0;
-^-У (z/-mx-«)2=y [-2(г/-тх-я)] = 0, откуда
^ху — т^х2 — п2х= 0	(121)
и
^у — т^х — ns~0,	(122)
где s — число опытов.
Решая полученные два уравнения, найдем постоянные тип.
Выведенные нами по обоим методам формулы для определения двух постоянных вышеприведенных уравнений даны в табл. 24.
Таким образом, определение двух постоянных, входящих в искомую формулу, сводится по обоим методам к решению системы уравнений с двумя неизвестными следующего вида:
{агт bin — ci~Q; a2m-}-b2n--c2=().
Решение этой системы уравнений может быть произведено четырьмя способами:
а)	умножением первого уравнения на — или вто-
Л1
Л]
рого на — для определения величины п;
6^2
\	^2
б)	умножением первого уравнения на —*•	или вто-
*1
рого на — для определения величины т.
^2
В наших уравнениях коэффициенты ai, bit ct и а2, b2, с2 определяются на основе опытных данных, а следовательно, являются числами приближенными, поэтому для получения более точных результатов следует выбирать тот из четырех указанных способов, при котором у р а в-234
Таблица 24
Формулы длй определении двух постоянных, содержащихся в уравнений ($-—число опытов)
№	Вид формулы	Средне-арифметический метод	Метод наименьших квадратов
1	у = тх + п	т^х + ns — ^у =0	/п2х2+л5,*'“2л;^=® ^2^+ ns — 2 г/ =о
2	у — пхт	m^lgx + sign— 2'2^ = °	«y(,g^)2 + ig«y ig-«—2,^х’,8^=0 «2 х+s >g«—2,g^=0
3	у = m\gx + п	zn2lgx + ”s""S«/=0	'»2<lgx)2 + nS	te* =° rn ^Igx + ns—^y >=0
4	у = етх+п	т 1g е 2 х + ns 1g е— У 1g у = 0	mlge^x2 + nlge^x — ^xlgy^-0 m Ige ^x + ns Ige — 2*gJ/ =°
Продолжение табл. 24
№	Вид формулы	Средне-арифметический метод	Метод наименьших квадратов
5	у = nemx		nt 1g е 2-»г2 + lg п 2 х - 2 х !g.V = 0 mlge2Jf + -sIg«—2|8 4/ = 0
6	m у = — + и X	т J] y- + ns-	О II =>| * о > м "1 * 1 И J С	-г +	-| ч - н И м 6 £
7	1 тх п	т	=0	т2х2+яЕх~2т' mJJx + ns-J] у = 0
8	X у ~ пх + т	-St—St-	"St-St-S-t-"S^+”s~S7-
нение умножается на наименьший множитель.
Приведем численные примеры определения двух постоянных, входящих в формулу, на основе опытных данных, когда вид формулы известен.
Пример 41. Формула A = + Результаты опытов для определения зависимости между А и В приведены в первых двух колонках табл. 25. На основе теоретических соображений предпола* гается зависимость вида А = тВ+п.
Для определения постоянных тип воспользуемся средне-арифметическим методом и методом наименьших квадратов.
Так как имеются данные о восьми опытах, то для получения двух уравнений при применении средне-арифметического метода разобьем наши опыты на две группы, с четырьмя опытами в каждой.
Получим следующие два уравнения (см. табл. 24 формула 1):
Z=4	i—4
т 2 Bi + 4/г — 2 Л‘= 0;
i «= 1	i — 1
/=8	Z-8
+ 4п —	Л,- = 0.
i=5	i =5
Подставляя значение 2 и 2^* для каждой группы из табл. 25, получим:
140m 4- 4п — 805 = 0;
300m 4-4л — 1673= 0.
Решая эти два уравнения путем исключения л, находим m = 5,425; /2=11,37.
Для определения т и п по методу наименьших квадратов,имеем следующие два уравнения (см. табл. 24, формула 1):
т 2 в? + «2 в‘ - 2 AtBi=°;
т 2 В t + ns — 2 A i = 0, где s=8 — число опытов.
^^я £оставления этих двух уравнений требуется сперва вычислить Ai-Bi и Bi2 для каждого опыта. Результаты этих вычислений Даны также в табл. 25.	ч
Использовав их, получим следующие два уравнения:
2840m + 44/2 — 15 907 = 0;
440m 4- 8/2 — 2478 = 0.
237
л:>
>•
Таблица 25
Формула А = тВ 4- п
(средне-арифметический метод и метод наименьших квадратов)
№ омыта	А1	В1	AiBi	$	Средне -арифмети ч ес -кий метот т = 5,425 и п — 11,37			Мето i наименьших квадратов т = 5,424 и п - 11,44		
					A'i	Ai.	4	А\	а2	4
1	120	20	2 400	400	119,83	+ 0,17	0,029	119,92	4-0,08	0,006
2	175	30	5 250	900	174,12	4-0,88	0,774	174,16	4-0,84	0,706
3	227	40	9080	1600	228,37	— 1,37	1,877	228,40	—1,40	1,960
4	283	50	14 150	2500	282,62	4-0,38	0,144	282,64	>0,36	0,130
/—4 S /—1	805	140	—	—	—	—	—	—	—	*—
5	337	60	20 220	3600	336,87	4-0,13	0,017	336,88	+ 0,12	0,014
6	391	70	27 370	4900	391,12	—0,12	0,014	391,12	-0,12	0,014
7	445	80	35 600	6400	445,37	-0,37	0,137	445,36	-0,36	0,130
8	500	90	45 000	8100	499,62	4-0,38	0,144	499,60	—0,40	0,160
сл*- 00	1673	300	—	—	—	—	—	—	—	, —
£=8 2 /=1	2478	440	159070	28400	—	3,80	3,136	—	3,68	3,120
Решаем эту систему уравнений, придерживаясь правила умножения на меньший множитель, а поэтому умножаем первое уравне-
ние на == ~ и исключаем т. Получим
т~ 5,424; п = 11,44.
Для определения, какие из найденных значений т и п более отвечают результатам опытов, надо, как это сделано в предыдущих примерах, сравнить суммы отклонений и суммы квадратов отклонений, полученные по обоим способам.
Результаты всех вычислений приведены также в табл. 25. Сравнение их показывает, что сумма отклонений и сумма квадратов отклонений оказались меньшими для метода наименьших квадратов, а поэтому окончательная формула будет
А = 5,424В + 11,44.
238
Пример 42. Формула Л== — +п. Результаты опытов для опоеделения зависимости между А и В даны в первых двух колонках табл. 26. На основе теоретических соображений предполагается т зависимость вида А = — 4- я.
Таблица 26
Формула
т А=~+п
(средне-арифметический метод и метод наименьших квадратов)
св			1	1	А1	Средне -арифметический метод 772 ~ 81,51 И 77 = 24,61			Метол наименьших квадратов т=81,13 л=24,69		
№ опыт:	А1	В1	Bi	4	В1	Ai	*1	4	п А1	Д2	А2 Д2
1 2 3 4	65,4 44,7 38,0 5,3	2 4 6 8	0,500 0,250 0,167 0,125	0,2500 0,0625 0,0279 0,0156	32,70 11,70 6,33 4,41	65,37 44,99 38,22 34,80	+0,03 -0,29 —0,22 +0,50	0,001 0,084 0,048 0,250	65,27 44,97 38,24 34,83	+-0,13 —0,27 -0,24 + 0,47	0,017 0,073 0,058 0,230
2 / =1	183,4	20	1,042				—				
5
6
7
8
32,8
31,2
30,4
29,9
10
12
14
0,100 0,083 0,071 0,063
0,0100 0,0069 0,0050 0,0040
3,28
2,60
2,17
1,87
32,76
31,38
30,40
29,75
+0,04
—0,18
0,00
+0,15
0,002
0,032
0,000
0,023
32,80
31,42
30,44
29,80
0,00
—0,22
—0,04 +0,10
0,000
0,048
0,002
0,010
124,3 52 0,317
307,7 72
1,359 0,3819 64,53
1,41 0,440
1,470,438
Для определения т и п по средне-арифметическому методу разобьем наши опыты на две группы по четыре опыта в каждой. Получаем следующие два уравнения (см. табл. 24, формула 6):
т^4-+4'г-2л'=0; /=1 /=1
239

i=8	,	i=8
mJJ-Г + 4п_^Лг. = °.
i=5
~ 1
Определяем значение — для каждого опыта и
В/	<
уписываем их в табл. 26.
Пользуясь данными табл. 26, имеем
v	1,042m + 4п- 183,4=0.
0,317m + 4п-124,3=0.
Решая эти два уравнения, получим т = 81,52; п = 24,61.
Для определения т и п по методу наименьших квадратов имеем следующие два уравнения (см. табл. 24, ф-ла 6):
где s = 8 — число опытов.
1 Ai
Определяем значения 2 и д. для каждого опыта и впи-Bj D i
сываем их также в табл. 26.
Подставив в наши уравнения значения z . А l> t
V1 —
/ . д* из табл. 26, получим:
0,3819m + 1,359п—64,53 = 0;
1,359m + 8л —307,7 = 0.
Решая эти два уравнения, находим:
т = 81,13; п = 24,69.
>2 »
Для определения, какие из найденных значений т и п более отвечают опытным данным, произведем сравнение по сумме отклонений и сумме квадратов отклонений по обоим способам. Результаты всех вычислений приведены в табл. 26. Сравнение по сумме отклонений — в пользу средне-арифметического метода, а по сумме квадратов от-
240
кюнений, как и следовало ожидать, — в пользу метода наименьших квадратов.
Окончательная искомая формула будет
В практических условиях обычно нет необходимости определять постоянные обоими способами. Так как вычисления по средне-арифметическому методу значительно проще, то метод наименьших квадратов применяют лишь в тех случаях, когда требуется наибольшая возможная точность.
3. Формулы с тремя постоянными величинами. В тех случаях, когда исследователю не удается найти зависимость между изучаемыми двумя переменными в виде формулы с одной или двумя постоянными, он вынужден перейти к подбору формул с тремя постоянными. Количество и разнообразие их весьма велико.
Рассмотрим уравнение с тремя постоянными, которое наиболее часто применяют при подборе эмпирических формул, а именно:
А—аВ2-{-ЬВ-]-с.
Определение постоянных а, b и с такой формулы» пользуясь опытными значениями изучаемых переменных А и В, может быть выполнено как средне-арифметическим методом, так и методом наименьших квадратов.
По средне-арифметическому методу имеем
иди
2.4-a2B2-/»2fi-sc=0,	(123)
где s — число опытов.
Так как для определения трех постоянных а, b и с требуется три уравнения, то данные наших опытов разбиваем на три равные по числу опытов группы и составляем три уравнения. Но предварительно надо вычислить 2а. 2в и 2 В2 для каждой группы опытов.
Решая совместно полученные три уравнения, находим постоянные а, b и с.
По методу наименьших квадратов требуется, чтобы
2 [Л —(а5?*4-65Ц-г)]2=минимум.
241
Приравнивая нулю частные производные по а, Ь и с, получим:
-^£[А-(аВ*+ЬВ + с^=
= 2^{-52[Д-(а5М-йВ+с)]}=-0;
^YAA-(aB*+bB+cW= 00
= 2^{-В[А-(аВ^^ЬВ + с-)}}^
^^[А-(аВ*+ЬВ+с)]*= ОС
= 2^{-[А-(аВ* ±ЬВ + с)]} = 0, или
ЗДВ2-а254-&553-с2В2=0;	(124)
2ЛВ-а253-^2^2-с5В=0;	(125)
^lA—a^lB2—b^B — sc—0,	(126)
где s — число опытов.
Для составления этих уравнений, необходимо предварительно вычислить В4, В3, В2, А • В и А • В2 для каждого опыта, найти их суммы и подставить в формулы (124) по (126).
Совместное решение полученных трех уравнений даст значения постоянных а, b и с по методу наименьших квадратов.
Пример 43. Формула А=аВ2+ЬВ+с. Результаты опытов для определения зависимости между А и В приведены в первых двух колонках табл. 27. На основе теоретических соображений предполагается зависимость вида А=аВ2+ЬВ+с=Ъ.
Для определения постоянных а, b и с по средне-арифметическому методу разбиваем наши опыты на три группы по три опыта в каждой. Составим для каждой группы уравнение, пользуясь формулой (123), определив предварительно для каждой группы	и
2 В/ и вписав результаты в табл. 27.
Получим следующие три уравнения:
19,25а + 7,56 4- Зс —70 = 0;
48,50а 4- 12,06 4-Зе—145 = 0;
91,25а 4- 16,56 4- Зе — 250 = 0.
242
Решая первое со вторым уравнением и второе с третьим, получим: *
29,25а+ 4,56 — 75 = 0;
42,75а+ 4,56— 105 = 0, откуда
13,5а — 30 = 0;
а =2,22.
Подставляя найденное значение постоянной а, получим
6 = 2,24 и с = 3,49.
Для определения постоянных а, b и с по методу наименьших квадратов составляем уравнения (124)—126), для чего предварительно вычисляем значения В?, В/, Л/В/ и Л/В? для каждого опыта и вписываем результаты также в табл. 27.
Получаем следующие три уравнения:
3788,24а + 755,986 + 159с - 10662,6 = 0;
755,98а + 1596 + 36с —2160,5 = 0;
159а + 366 + 9с - 465 = 0.
Решаем эти уравнения, соблюдая правило приближенных вычислений, — вычитать наименьшую величину и умножать на наименьший множитель. Соответственно этому решаем первое уравнение с третьим и первое со вторым, исключая в обоих случаях величину с. Получим следующие два уравнения:
101,67а + 12,156-253,5 = 0;
55,41а + 6,796 - 138,5 = 0.
Решая два уравнения путем исключения величины 6, найдем а = 2,25.
Соответственно получим
6 = 2,04 и с = 3,76.
Для того, чтобы решить, какие из найденных значений постоянных а, 6 и с точнее отвечают опытным данным, надлежит сравнить сумму средних отклонений и сумму квадратов отклонений, вычисленных по обеим формулам, и значений и от опытных значений Ai. Результаты вычислений приведены в табл. 28. Более точ-
* Если исследователь имеет возможность задаваться значением независимой переменной В и выбирает ее так, чтобы ДВ=Вг+1 — В{ = = const и если в каждой группе опытов число их одинаково, то в полученных двух уравнениях коэффициенты у 6 будут всегда равны, что облегчает решение этой системы уравнений.
243
ними, как и следовало ожидать, оказались значения постоянных, определенные по методу наименьших квадратов. Окончательно имеем
А — 2,25В2 + 2,04В + 3,76.
Метод наименьших квадратов в применении к формулам с тремя постоянными весьма сложен, требует значительных вычислений и большой затраты времени, а поэтому используется лишь тогда, когда •формула, найденная по средне-арифметическому методу, дает слишком большие ошибки.
Таблица 27
Формула А — аВ2+вВ + с
(средне-арифметический метод и метод наименьших квадратов)
№ орыга	Ai	Bi	Bl	®z	B*	AiBi	A.B2. * I
1	17	2,0	4,00	8,00	16,00	34,0	68,0
2	23	2,5	6,25	15,62	39,06	57,5	143,7
3	30	3,0	9,00	27,00	81,00	90,0	270,0
Z = 3							
2-	70	7,5	19,25	—.	—	—	—
Z=1							
4	38	3,5	12,25	42,87	150,06	133,0	465,5
5	48	' 4,0	16,00	64,00	256,00	192,0	768,0
6	59	4,5	20,25	91,12	410,06	265,5	1194,7
Z = 6							
2=	145	12,0	48,50	—	—	—	—
Z=4							
7	70	5,0	25,00	125,00	625,00	350,0	1750,0
8	83	5,5	30,25	166,37	915,06	456,5	2510,7
9	97	6,0	36,00	216,00	1296,00	582,0	3492,0
Z = 9							
2 =	250	16,5	/91 >25	—	—	—	—
Z=7							
Z=9							
2=	465	36,0	159,0	755,98	3788,24	2160,5	10 662,6
Z = 1							
В последующих трех главах на численных примерах будут описаны графические методы подбора эмпирических формул при однофакторной зависимости, при двухфакторной раздельной зависимости и при двухфакторной нераздельной зависимости.
244
Таблица 28
Формула А=аВ2+вВ + с (продолжение таблицы 27)
с= с 2	А1	Средне-арифметический метод а = 2,22, £ = 2,24; с=3,49			Метод наименьших квадратов а-2,25, £=2,04; с = 3,76		
		А\	Д1	4	А\	д2	4
1	17	16,85	+0,15	0,0225	16,84	+0,16	0,0256
2	23	22,96	+0,04	0,0016	22,94	+0,06	0,0036
3	30	30,11	—0,11	0,0121	30,13	—0,13	0,0169
4	38	38,52	-0,52	0,2704	38,46	г-0,46	0,2116
5	48	47,97	+0,03	0,0009	47,92	±0,08	0,0064
6	59	58,52	+0,48	0,2304	58,50	±-0,50	0,2500
7	70	70,19	-0,19	0,0361	70,21	-0,21	0,0441
8	83	82,96	+0,04	0,0016	83,04	—0,04	0,0016
9	97	96,85	±0,15	0,0225	97,00	+0,00	0,0000
2=	465	—	1,71	0,5981	—	1,64	0,5598
л а в a V
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОДБОРА ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ ПРИ ОДНОФАКТОРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
Закончив опыты, исследователь составляет таблицу, данные которой показывают как взаимно изменялись изучаемые переменные величины. Если опыты совершались с двух-трехкратной повторностью, то в окончательную таблицу записывают средне-арифметические этих повторных опытов.
Следующим этапом является построение опытных данных на графиках с применением равномерных шкал. Если на них получились линии, близкие к прямым или к плавным кривым, то это говорито наличии закономерной зависимости между изучаемыми переменными и целесообразность нахождения эмпирической формулы, определяющей эту зависимость.
Приводим ряд примеров обработки графическими методами опытных данных для случаев однофакторной зависимости, т. е. зависимость между двумя изучаемыми переменными величинами.
1.	Зависимость вида А = тВ + п.
Пример 44. Найти вид формулы, определяющей зависимость между переменными А и В, на основе результатов опытов, приведенных в табл. 29.
Пользуясь этими данными на графике с применением равномерных шкал (см. рис. 124), построены все опытные точки. Линию, соединяющую эти точки, можно с достаточной точностью принять за прямую.
Необходимо помнить, что мы ищем прямую возможно ближе привыкающую к большинству точек, .найденных на основе опытов. Если из большого числа опытных точек одна-две точки окажутся в некотором расстоянии от полученной прямой или плавной кривой, то они обычно оказываются ошибочными и их следует исключить из табличных данных.
На рис. 124 все опытные данные весьма точно расположились на полученной прямой, следовательно, вид искомой формулы 4 А — тВ+п.
Приблизительное значение постоянных т и п формулы можна определить по методу избранных точек.	,
Выбираем две точки, расположенные наиболее точно на прямой и достаточно далеко друг от друга. Это будут точки с координата-
246
u 4=59 B=26 и 4=96, В = 50. Следовательно, можем составить два уравнения:
□У — ZO7W 4" 72,
96 — 50m 4- п.
Решая эти два уравнения, находим: т=1,54 и п=19.
В первом приближении искомая формула будет:
А = 1,54, B = t19.
Определим относительную погрешность вычислений по этой эмпирической формуле для какого-нибудь опыта, например, 4=78 и В=38. Имеем:
78 = 1,54-38 4-19 = 77,52.
Откуда относительная погрешность для этого опыта равна: 78-77,52
-----т------100 = 0,6%.
/о
Полученная погрешность настолько незначительна для большинства технических расчетов, что нет даже необходимости в более точном определении коэффициентов т и п методом средне-арифметических, а тем более методом наименьших квадратов.
2.	Зависимость вида А=тВп.
Пример 45. Найти вид формулы, определяющей зависимость между переменными А и В на основании результатов опытов, приведённых в табл. 30.
На рис. 125 построен график зависимости А и В на основе этих данных с применением равномерных шкал одинакового модуля. По
Рис. 124. Построение с применением равномерных шкал для примера 44
Рис. 125. Построение с применением равномерных шкал для примера 45
247
лучена вполне плавная выпуклая по отношению к оси В кривая, что указывает на то, что показатель степени переменной В должен быть меньше единицы (см. например, рис. 113).
Второй вариант построения выполняем на логарифмической сетке. Построение дано на рис. 126. Полученная на графике линия весь-
Рис. 126. Построение с применением логарифмических шкал для примера 45
ма близка к прямой, следовательно, имеются все основания считать, что искомая формула имеет вид
А — тВп.
Таблица 29
Опытные данные к примеру 44
л=	51	59	69	78	87	96	105
в-	20 (	26 )пытные д	32 анные к п	38 римеру	44 45	50 Г а б л и	56 ц а 30
А =	200	300	400	500	600	700	800
	16,2	35,9	64,1	99,8	143,7	196,2	256,8
248
Таблица 31
Опытные данные к примеру 46
Л =	3,5	5,5	7,2	8,5	9,6	11,8	13,7	15,0
	1,6	3,2	5,5	8,3	12,3	25,0	47,5	72,5
Прямая линия получилась восходящая. Это значит, что показатель т — положительный, а так как угол наклона к оси меньше 45°, следовательно л<1.
Приближенные значения тип могут быть найдены методом избранных точек.
Выбираем две точки, наиболее близко примыкающие к прямой. Координаты их следующие: Л=200; В =16,2 и Л = 500; В=99,8.
Если бы эти точки лежали на самой прямой, то мы имели бы
200 =/и-16,2я,
500 —/п-99,8я.
Логарифмируя, получим
lg200 = lgт -J- п 1g 16,2, .
lg500 — \gm + п lg99,8, или
2,3010 = lgm+ 1,2095/г,
2,6990 = lgm+ 1,9991/t.
Решая эти уравнения, находим
/п = 50,2 и п = 0,504.
Следовательно, искомая формула в первом приближении будет
А = 50,2В0,504.
Величина показателя степени получилась весьма близкой к 0,5. Поэтому принимаем п=0,5.
Формула будет более удобной для пользования, если ее написать в виде
А = т Ув.
ч Но теперь потребуется найти более точное значение коэффициента т, отвечающее п=0,5, поэтому определяем его по методу средних арифметических. Получаем т=49,98. Принимаем /п = 50, тогда наша искомая формула будет
А = 50 V В.
9-2661
249
Проверка соответствия этой формулы всем семи опытам показала, что относительная погрешность вычислений по ней только для первого опыта оказалась равной 0,6%, а для всех остальных еще меньше.
3.	Зависимость вида А = mlgB 4- п.
Пример 46. Найти вид формулы, определяющей зависимость между переменными А и В на основании результатов опытов, приведенных в табл. 31.
Рис. 127. Построение с применением равномерных шкал для примера 46
Построение этих данных на графике с равномерными шкалами равных модулей дано на рис. 127.
Полученная плавная кривая оказалась параболического вида, но уже после значения В>15 весьма пологая, поэтому второй вариант строим с применением логарифмических шкал. Он приведен на рис. 128.
Рис. 128. Построение с применением логарифмических шкал для примера 46
Полученная плавная кривая значительно спрямилась, но осталась несколько вогнутой по отношению оси В. Поэтому третий вариант целесообразно строить на полулогарифмической сетке, сохранив логарифмическую шкалу по оси В. Результаты построения на такой сетке приведены на рис. 129. На этот раз все точки довольно
точно расположились на прямой линии, поэтому вид искомой фор-мулы будет
Л = т1§В + п.
Для первого приближения определяем значения постоянных по матплу избранных точек. Наиболее близко лежащие точки к прямой имеютУ ктординаты А =7,2; В=5,5 и 4 = 13,7; В=47,5.
Подставив эти значения в искомую формулу, получим:
7,2 = т Ig5,5 + л;
13,7=1547,5 +л,
или
0,7404m + и = 7,2;
1,6767/п + и = 13,7.
Рис. 129.'Построение с применением логарифмической шкалы по оси В для примера 46
Решая эти уравнения, найдем:
/72 = 6,942 и п = 2,060.
Искомая формула в первом приближении будет
Л = 6,942 IgB 4-2,06.
Определим постоянные т и п более точными методами.
По методу средних арифметических для получения двух уравнений надо разбить опытные данные на две группы с одинаковым числом опытов.
9*
251
Общий вид уравнения (см. табл. 24, ф-ла 3)
А —	В — 4п = 0.
Определяем величины IgB и вписываем их в табл. 32 опытных данных; тогда получим:
а)	для первой группы
24,7 = 2,3687m + 4/г;
б)	для второй группы
50,1 — 6,0248/и 4- 4/г.
Решая эти уравнения, находим т — 6,947 и /г = 2,061.
о По методу наименьших квадратов имеем для данного вида искомой формулы следующие два уравнения (см. табл. 24):
S^-lgB-m^agB)2-«SlgB = °;
^А — т SlgB — sn — 0,
где s — число опытов.
Таблица 32
Формула 4 =
№ опыта	А1	Bl		(IgB/ )2	Ai IgB.
1 2 3 4	3,5 5,5 7,2 8,5	1,6 3,2 • 5,5 8,3	0,2041 0,5051 0,7404 0,9191 .	0,0416 0,2550 0,5476 0,8446	0,7143	- 2,7780 5,3309 7,8123
	24,7	—	2,3687	—-	—
5 6 7 8	9,6 11,8 13,7 15,0	12,3 25,0 47,5 72,5	1,0899 1,3979 1,6767 1,8603	1,1879 1,9541 2,8113 3,4607	10,4630 16,4952 22,9728	1 27,9045	J
2=8 2 2=5	50,1	—	6,0248	—	1	. -i —	t •J
•ы	74,8	—	8,3935	11,1028	— .. , 94,4710	j
252					

Решая эти два уравнения, найдем постоянные т и п, но предва-питечьно надо вычислить значения (lgB>)2 и XilgB,- для каждого «пита Они приведены в табл. 32. После подстановки в наши уравнения значения S^lgB,. S(lgB/)2, получим:
94,471 — 11,1028 т — 8,3935л = 0,
74(8 — 8,3935m — 8л = 0.
Решая эти уравнения, находим:
т = 6,964, n = 2,044.
Для определения, какая из полученных трех пар значений постоянных тип наиболее точно отвечает опытным данным, определим все значения А, соответствующие опытным значениям В по каждому из трех найденных уравнений, и сравним величины отклонений и суммы квадратов отклонений.
Результаты вычислений приведены в табл. 33.
Таблица 33
Продолжение вычислений для формулы A = mlg В+п
№ опыта	ai	Метод избранных точек т — 6,942 и л - 2,060		Средне -арифметичес -кий метод т — 6,947 и л - 2,061			Метод*наименьших Гквадратов т = 6,964[и л - 2,044		
		Al	д1 | д:	Al"	Д2	2 А,	АГ	дз	дв
1	3,5	3,48	—0,02 0,0004	3,48	—0,02	0,0004	3,47	-0,03	0,0009
2	5,5	5,57	+0,07 0,0049	5,57	+0,07	0,0049	5,56	+0,06	0,0036
3	7,2	7,20	0,00 0,0000	7,19	—0,01	0,0001	7,20	0,00	0,0000
4	8,5	8,44	—0,060,0036	8,45	-0,05	0,0025	8,45	-0,05	0,0025
5	9,6	9,62	+0,020,0004	9,63	+0,03	0,0009	9,63	+0,03	0,0009
6	11,8	11,76	-0,040,0016	11,77	-0,03	0,0009	11,78	-0,02	0,0004
7	13,7	13,70	0,00 0,0000	13,71	+0,01	0,0001	13,72	+0,02	0,0004
8	15,0	14,95	—0,05 0,0025	14,99	-0,01	0,0001	15,00	0,00	0,0000
2=	—	—	0,26 |о,О134	—	0,23	0,0099	—	0,21	0.0087
Величины суммы абсолютных отклонений и суммы квадратов отклонений получились меньше для метода наибольших квадратов, а поэтому принимаем /п=6,964 и 2,044.
4.	Зависимость вида А=тУ В + п
Пример 47. Найти .вид формулы, определяющей зависимость в^абл здеРеменными и & на основании данных, приведенных
253
На рис. 130 построен график опытных данных с применением равномерных шкал равных модулей. Полученная плавная кривая показывает наличие закономерности в зависимости переменных А и В. Выпуклость ее незначительна, а поэтому второй вариант построения выполняем на логарифмической сетке. Он приведен на рис. 131. Получилась опять выпуклая кривая, которая имеет тенденцию спрямиться при дальнейшем увеличении значений В. Если провести касательную к последним точкам кривой, то тангенс ее угла наклона а к горизонтальной прямой окажется приблизительно равным 0,6. Это дает основание предполагать, что полученная кривая параболического вида, удовлетворяет уравнению 4=тВп4-л, в котором пока-
Рис. 130. Построение с применением равномерных шкал для примера 47
Рис. 131. Построение с применением логарифмических шкал для примера 47
затель степени п меньше 0,6. Поэтому третий вариант построения графика опытных данных выполняем с применением шкалы корней квадратных для переменной В. Такой график приведен на рис. 132. Полученная на нем линия может быть принята за прямую и следовательно, общий вид искомой эмпирической формулы будет:
А = т 1Лв + л.
Определяем коэффициенты т и р по методу избранных точек. Наиболее точно расположились на прямой точки с координатами В=2,5; 4 = 2,8 и В=10,7; 4 = 12,8.
Подставляя эти значения в искомую формулу, получим:
2,8 = т 1^2,5 + л,
12,8 — т ]/ 10,7 + л,
откуда т=5,82 и л = —6,55.
Искомая формула в первом приближении будет
А = 5,92 Ув~— 6,55.
254
Проверим эту формулу для первого опыта, наиболее отклонившегося от прямой.	__ _
Имеем: 0,68=5,92 • У1,5—6,55=0,725—6,55=0,70. Относительна я погрешность для этого опыта будет
М-^-.ЮО-З*.
0,68
Для получения более точной формулы следует коэффициенты т и п определить методом средне-арифметических или наименьших квадратов.
5.	Зависимость вида lgA = mB + n или А = етВ+п
Пример 48. Определить зависимость между переменными А и В на основании результатов опытов, приведенных в табл. 35.
Пределы изменения переменной В значительно больше пределов изменений переменной А и поэтому построение графика с равномерными шкалами хотя и дало довольно плавную кривую (график не
Рис. 132. Построение с применением шкалы корней квадратных по оси В для примера 47
Рис. 133. Построение с применением логарифмической шкалы по оси В для примера 48
приводится), но мало выразительную; поэтому строим график опытных данных на полулогарифмической сетке с логарифмической шкалой по оси В. Этот график дан на рис. 133. Получена плавная кривая, значительно вытянувшаяся по направлению оси А. Следовательно, целесообразно применить логарифмическую шкалу по оси А, а по оси В применить равномерную шкалу. Такой вариант построения дан на РИС’	этот Раз все точки расположились на прямой. Эмпири-
ческая формула, удовлетворяющая нашим опытным данным, будет иметь следующий вид: \%А=тВ+п или А = етВ+п-
255
Эмпирические формулы такого вида получаются весьма часто при разных исследованиях.
Покажем, как определить коэффициенты тип методом избранных точек.
Выбираем точки со следующими координатами: 4 = 9,1; В —1,8 и 4 = 37; В=9,5. Получаем два уравнения
1g 9,1 = 1,8 m+n;
lg 37=9,5 m+n.
Решая их, находим m=0,08 и п=0,8.
В первом приближении искомая формула
1g 4 =0,08 В+0,8.
Более точную формулу следует определить средне-арифметическим методом или методом наименьших квадратов, в зависимости от допускаемой погрешности вычислений по формуле. а
6.	Зависимость вида 4 = — + ЬВ + с.
В
Пример 49. Найти зависимость между переменными 4 и В на основе опытных данных, приведенных в табл. 36.
Построенный по этим данным график с применением равномерных шкал с равными модулями дан на рис. 135. Полученная кривая имеет явно выраженный минимум. В то же время обе ветви кривой стремятся к спрямлению. Если сравнить полученную кривую с семейством кривых на рис. 89, то не трудно обнаружить между ними большое сходство. Следовательно, искомая формула может иметь вид:
а
4 =	+ ЬВ + с»
В
Подобрать такие шкалы, чтобы наша кривая спрямилась, очевидно, нет возможности. В то же время аналитический метод нахождения трех постоянных эмпирической формулы, описанный в предыдущей главе, весьма сложен и применять его целесообразно, когда вид формулы известен. Между тем для определения постоянных предположенного нами вида формулы можно применить следующий графоаналитический метод.
Таблица 34
Опытные данные к примеру 47
4 =		0,68		2,8		8,1		Н,4	12,8	14,4	15,7
		1,5 Oni		2,5 ытные дан		6,2 тые к пр.		9,1 1меру 4	10,7 1 Т 18	12,5 1 . а б л и :	14,6 ц а 35
4=	7,0		9,1		10,0		12,4	17,1	20,0	29,8	37,0
	0,5		1,8		2,3		3,5	5,2	6,2	8,4	9,5
256
Таблица 36
Опытные данные к примеру 49
Л-	22,0	11,1	8,0	7,0	10,9	14,6	22,0	33,7	45,6
в=	0,5	1.0	1,5	з.о	6,0	8,0	12,0	18,0	24,0
Рис. 134. Построение с применением логарифмической шкалы по оси Л для примера 48
Сперва избираем три точки, совпадавшие с нашей кривой. Подставляем значения А и В для этих точек в искомую формулу и. решая полученные уравнения, определяем значения коэффициента а. Затем избираем еще 2—3 точки и составляем еще 2—3 уравнения и во все эти уравнения подставляем найденные значения коэффициента а.
Таким образом получаем 5—6 линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов b я с. Если в этих уравнениях на b и с временно смотреть как на переменные координаты точек плоскости, то при построении этих уравнений получим семейство из 5—6 прямых линий. Если все эти прямые линии пересекутся в одной точке, то это будет означать, что подобранный вид искомой формулы отвечает опытным данным. Действительно, пересечение этих прямых в
257
одной точке будет указывать на существование определенных постоянных а, b и с, при которых уравнение
А =	+ ЬВ 4- с
В
удовлетворяется при 5—6 отдельных значениях А и В, т. е. подтверждается существование кривой с уравнением взятого вида, проходящей через 5—6 точек, отвечающих данным опытов (рис. 135).
Дальнейшая задача будет заключаться в том, чтобы исправить найденные значения at b и с и найти кривую, возможно ближе проходящую через все опытные точки.
В нашем примере для определения коэффициента а выбираем точки с координатами: 4 = 11,1, В = 1 (на левой ветви), А =7, В = 3 (на перегибе) и 4=22, В=12 (на правой ветви).
Получаем следующие три уравнения:
11,1 = а 4- b 4- с;
а
7=— +ЗНс; и
22 = + 124 + с-
Решая эти три уравнения, находим а=12.
Составим еще три уравнения, использовав точки с координатами: 4 = 10,9; В=6; А —14,6; В = 8 и 4=45,6; В = 24. Получим:
а
10,9 = — 4-6* + г;
14,6=	— 4- 8ft 4- с;
45,6= -^-4-24ft 4-с.
Подставим во все шесть уравнений значение а =12, тогда получим
1)	b 4- с = — 0,9;	4) 6* 4- с =8,9;
2)	3* + с = 3;	5) 8* 4- с = 13,1;
3)	12*4-с=24;	6) 24* + с = 45,1.
Построение этих шести уравнений дано на рис. 136 (номера на прямых отвечают номерам уравнений). Все прямые пересеклись довольно точно в одной точке с координатами *=2; с= —3.
258
Рис. 135. Построение с	Рис. 136. Графический способ
применением равномер-	определения коэффициентов b
них шкал для приме-	и с эмпирической формулы 4 =
ра 49	а
— ~+ЬВ+с, если известно о
значение коэффициента а (пример 49)
Следовательно, вид искомой формулы подобран удачно, и в первом приближении она будет следующей:
4 —	+ 22? — 3.
D
Более точное определение постоянных а, Ъ и с производится средне-арифметическим методом или методом наименьших квадратов.
Глава VI
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОДБОРА ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
ПРИ ДВУХФАКТОРНОЙ РАЗДЕЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
Во всех тех случаях, когда при проведении опытов для определения двухфакторной зависимости исследователь имеет возможность изменять хотя бы один фактор по своему усмотрению, он должен использовать эту возможность. Задавшись определенным значением этого фактора и производя серию опытов с изменением только величин, определяющих значения двух других факторов, исследователь значительно упрощает задачу подбора эмпирической формулы, ибо приводит ее фактически к нахождению однофакторной зависимости.
Если исследователь имеет возможность изменять и другой фактор по своему усмотрению, то и эта возможность должна быть использована путем проведения серий опытов при различных постоянных значениях и этого фактора. Полученные зависимости будут снова однофакторные. Вот почему такие зависимости трех переменных названы нами двухфакторной раздельной зависимостью. В этом случае необходимо строить два графика опытных данных, принимая за параметр каждую из переменных, которой можно придавать желаемое значение.
Сперва построение графиков выполняют в прямоугольных координатах с равномерными шкалами. Если ни на одном из графиков не получилось семейство прямых, то графики следует сопоставить с графиками, приведенными в главе III этой части книги. Они могут помочь сделать некоторые предположительные выводы об общем виде формулы и тем самым подсказать, какие функциональные шкалы построить на графиках.
1. Зависимость вида А = аВ + ЬС + с
Пример 50. Предположим, что опыты, проведенные для изучения зависимости между тремя переменными А, В и С дали результаты, приведенные в табл. 37.
На основе этих данных строим график с применением равномерных шкал, приняв переменную С за параметр.
На рис. 137 дан полученный график. Все проведенные линии можно считать прямыми и при том параллельными. Построенная на 260
Таблица 37
Опытные данные к примеру 50 (параметр С)
		С-5		С = 8		С=12		С-15	
В	А	В	А	В	А	В	А	В	А
	2,4	5	6Д	5	9,5	5	14,5	5	18,0
о 10	5,5	10	9,0	10	12,6	10	17,4	10	21,1
15	8,4	15	12,8	15	15,6	15	20,6	15	24,0
ю 20	11,6	20	15,0	20	18,7	20	23,3	20	27,9
25	14,7	25	17,8	25	21,5	25	26,4	25	30,0
30	17,4	30	21,1	30	24,6	30	29,4	30	33,0
нормали к прямым шкала оказалась равномерной. Сопоставление с графиком на рис. 90 дает основание предполагать, что общий вид эмпирической формулы будет А=аВ+ЬС+с. Для проверки строим график опытных данных, приняв за параметр переменную В, но предварительно перепишем табл. 37 так, чтобы ею было удобнее пользоваться при построении графика. В новом виде результаты опыта приведены в табл. 38.
Рис. 137. Построение семейства по С с применением равномерных шкал для примера 50
Рис. 138. Построение семейства по В с применением равномерных шкал для примера 50
Построенный по этим данным график приведен на рис. 138. Полученное на нем семейство по В можно принять состоящим из параллельных линий, а построенную на нормали к ним шкалу равномерной. Следовательно, второй график подтвердил правильность общего вида предположенной эмпирической формулы. Остается определить значения постоянных а, b и с этой формулы.
Для первого приближения определим постоянные формулы по трем избранным точкам, наиболее точно расположившимся на построенных прямых, например, точки А =9; В=10 и С=5; А =20,6;
261
Таблица 38
Опытные данные к примеру 50 (параметр В)
5 = 5		в=1о		В==15		В^20		В = 25		в=зо	
С	А	с	А	С	А	С	А	С	А	с	А
2	2,4	2	5,5	2	8,4	2	П,6	2	14,7	2	17,4
5	6,1	* 5	9,0	5	11,8	5	15,0	5	17,8	5	21,1
8	9,5	8	12,6	8	15,6	8	18,7	8	21,5	8	24,6
12	14,5	12	17,4	12	20,6	12	23,3	12	26,4	12	29,4
15	18,0	15	21,1	15	24,0	15	27,9	15	30,0	15	33,0
В =*15 и С = 12; 4=30; В=25 и С=15. На основе этих данных получаем следующие три уравнения:
9 = 10а + 56 + с\
20,6 = 15а 4“ 126 -И
Решая эти уравнения, получим а=0,57, 6=1,25 и с= —2,95. Следовательно, искомая эмпирическая формула в первом приложении будет
4 = 0,57В + 1,25С —2,95.
Более точное значение постоянных формулы следует определять методом средне-арифметических.
2. Зависимость вида А = аВС + ЬС+с
Пример 51. Найти вид формулы, определяющей зависимость между переменными 4, В и С на основании данных, приведенных в табл. 39.
Таблица 39
Опытные данные к примеру 51
С=2		С=3 ,5		С=4,5		С ==6,0		С=7 5	
А	в	А	в	А	в	А	в	А	в
1,2	1,5	2,1	1,5	2,7	1,5	3,6	1,5	4,5	1,5
3,3	3,0	5,2	3,0	6,3	3,0	8,1	з,о	10,0	3,0
6,9	5,5	10,0	5,5	12,4	5,5	15,7	5,5	18,9	5,5
8,2	6,5	12,1	6,5	14,6	6,5	18,5	6,5	22,6	6,5 :
10,4	8,0	15,2	8,0	18,4	8,0	23,2	8,0	27,9	8,0
262
Данные показывают, что было проведено пять серий опытов при постоянных значениях переменной С для каждой серии и что во всех пяти сериях все значения переменной В избирались одинаковыми. Это дает возможность, пользуясь данными опыта, построить'графики семейства по С и семейства по В. На рис. 139 и 140 построены оба семейства с применением равномерных шкал *. Из рассмотрения полученных семейств линий видно, что семейство по С состоит из прямых линий, имеющих точку пересечения на оси А, а семейство по В также из прямых линий, имеющих точку пересечения, не совпадаю
Рис. 139. Построение семейства по С с применением равномерных шкал для примера 51
Рис. 140. Построение семейства по В с применением равномерных шкал для примера 51
щую с какой-либо осью координат. Сопоставляя полученные семейства линий с приведенными в гл. III примерами построения уравнений различного вида с двумя, переменными, устанавливаем, что они вполне подобны семействам линий, построенных на 4>ис. 94 и 95, отвечающих уравнению вида y=axz+bx+c, следовательно, вид нашей искомой формулы будет:
А = аВС + ЬВ + с.
Для грубого определения коэффициентов искомой формулы можно воспользоваться приведенными в гл. III указаниями о значении координат точек пересечения прямых обоих семейств. Координаты точки пересечения для семейства по г, в нашем случае — семейства по С, будут: Л = с и В=0, а координаты точки пересечения для семей-b ства по х, в нашем случае — семейства по В, будут: А = с, С— —— .
а Определяя по рис. 139 и 140 значения координат точек пересечения
* В этом и последующих примерах при построении графиков с равномерными шкалами не представлялось возможным, ввиду ограниченности^ размеров графиков, применить одинаковые модули для шкал на обеих осях координат. Поэтому следует учесть, что полученные на графиках линии искажены в направлении одной оси.
263
линий семейств, приблизительно находим: по рис. 139 —Л = с = — 1; b
В==0; по рис. 140 — А = с=—1; С =— — = —1,5; следовательно, а
b
с——1 и — =1,5. Для того чтобы определить значения коэффи-а
циентов а и b в отдельности, подставим в найденную искомую формулу значения А, В и -С для одного из опытов, наиболее точно совпавшие с соответствующими прямыми, например,
10,В -= 5,5 и С -3,5;
огда имеем:
10 = 19,25а 4- 5,5b + с.
' b
Подставляя с = —1 и ~~ 1,5, получим
10 - 19,25а 4- 8,25а — 1, откуда
а - 0,4.
Следовательно, Ь — 0,5 и искомая формула в первом приближении будет:
Л - 0,4ВС 4-0,6В — 1.
Более точные значения постоянных а, b и с находят обычно по средне-арифметическому методу.
3.	Зависимость вида 1g А = аВ + ЬС + с и А = еаВ+ьс+с
Пример 52. Найти эмпирическую формулу на основе данных, приведенных в табл. 40.
Таблица 40
Опытные данные к примеру 52
С==0,1		с=о,з		С-0,5		С=0 7		С-0,9	
в	А	в	А	В	А	В	А	в	А
2	1,8	2	3,0	2	4,7	2	7,5	2	12,3
4	2,7	4	4,5	4	6,8	4	Н,2	4	17,2
6	3,9	6	6,2	6	9,8	6	16,3	6	24,9
8	5,6	8	8,8	8	14,1	8	23,0	8	35,0
10	8,0	10	13,5	10	21,4	10	32,2	10	50,0
На построенных по этим данным графиках с применением равномерных шкал получены семейства плавных кривых (они здесь не приводятся). Так как переменная А изменяется в больших пределах, чем переменные В и С, то второе построение опытных данных делаем на полулогарифмической сетке с логарифмической шкалой по оси А. За параметр принимаем переменную С. Построение дано на рис. 141.
264
Соединяя опытные точки, отвечающие одному и тому же значению параметра С, получаем семейство линий, которые можно принять прямыми и притом параллельными между собой. Проводим нормаль к семейству параллельных линий и на ней строим шкалу для параметра С. Шкала оказалась равномерной.
1 о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8
Рис. 141. Построение семейства по С с при-
• менением логарифмической шкалы по оси А для примера 52
Сопоставляя полученный график с рис. 140, можно предположить, что зависимость между изучаемыми переменными выражается формулой
1g А = аВ ЬС 4* с.
Для проверки построим второй график опытных данных, приняв за параметр переменную В.
На рис. 142 дан этот график. На нем получаем также семейство параллельных линий, располагающихся по равномерному закону. Рис. 142 подтверждает предполагаемый вид формулы, определяющей зависимость между переменными.
Определение коэффициентов а, b и с найденной формулы выполняем методом средних арифметических.
Двадцать пять проведенных опытов дают возможность составить столько же уравнений. Для большей точности целесообразно использовать наибольшее число уравнений, но так как требуется определить три коэффициента формулы, то все уравнения разбиваем на три группы, приняв в каждой по 8 уравнений.
Таким образом, одно возможное уравнение не будет использовано, зато упростится, как увидим ниже, решение системы уравнений, а на точности вычислений вряд ли это очень отразится.
Ю—2661	одк
Рис. 142. Построение семейства по В с применением логарифмической шкалы по оси А для примера 52
Выпишем первую группу уравнений и произведем их сложение: lg 1,8 = 2а + 0,1£ + с -- 0,25, lg2,7 = 4а + 0,16 + с = 0,43, lg3,9 — 6а + 0,16 + с = 0,59. Ig5,6 = 8а 4-0,\Ь 4- с — 0,75, lg8,0 = 10а 4- 0,16 + с = 0,90, lg3,0= 2а+ 0,36 +с = 0,48, lg4,5 = 4а 4- 0,36 4- с = 0,65, lg6,2= 6а + 0,36 4- с = 0,79.
42а 4- 1,46 4-8с = 4,84.
Аналогично выпишем и произведем сложение второй и третьей групп. Получим:
а) для второй группы: 50а+3,86 +8с=7,92, б) для третьей группы: 48а+6,46+8с = 10,40. Решая полученные три уравнения, найдем: а=0,08; 6 = 1,016 и с=0,0075.
Следовательно, искомое уравнение будет
1g Л = 0,08В + 1,01667 + 0,0075.
Найдем относительную погрешность, которая получается при вычислении по найденной эмпирической формуле для одного из опытов, например, А = 17,2; В = 4 и С=0,9. Находим:
266
lgyl = 0,08-4 -ь 1,016-0,9 + 0,0075= 1,2419, Л = 17,5 > 17,2.
Относительная погрешность равна:
17,5-17^
17,2 вполне допустимая для большинства эмпирических
Погрешность формул.
4.	Зависимость вида A=mCnf (В)
Пример 53. Найти вид формулы, определяющей зависимость между переменными Л, В и С на основании результатов опытов, приведенных в табл. 41.
Таблица 41
Опытные данные к примеру 17
С-1		С-2		С-4		С«=6		С=8	
А	в	А	в	А	в	А	в	А	в
0,7	2,3	1,1	2,3	1,7	2,3	2,2	2,3	2,7	2,3
1,7	6,8	2,6	6,8	4,1	6,8	5,5	6,8	6,6	6,8
2,4	15,2	3,7	15,2	5,9	15,2	7,8	15,2	9,4	15,2
3,1	34	4,8	34	7,6	34	10,0	34	12,2	34’
3,4	52	5,4	52	8,6	52	и,з	52	13,7	52
3,8	79	6,0	79	9,5	79	12,5	79	15,6	79
На рис. 143 и 144 построены семейство по С и семейство по В с применением равномерных шкал. В обоих случаях получились плавные кривые. На рис. 145 и 146 построены те же семейства в логарифмических координатах. На рис. 146 для семейства по В получились параллельные прямые, причем шкала на прямой MN, перпендикуляр-ной к этим прямым, оказалась неравномерной, но не логарифмической. Это означает, что зависимость между тремя переменными выражается формулой вида
А — mCnf(B)
Значение показателя п для первого приближения может быть определено по углу наклона параллельных прямых. Так как значение тангенса этого угла, определенное по графику, весьма близко к —, о
2
а направление прямых — восходящее, то принимаем п
3
Для семейства по С на рис. 143 и 145 получились плавные кривые. Пробуем спрямить их, применяя полулогарифмическую сетку. Так как значения В при том же значении С возрастают значительно быстрее значения А, то логарифмическую шкалу применяем для переменной В. На рис. 147 построен соответствующий график.
Ю*	267
Рис. 143. Построение семейства по С с применением равномерных шкал для примера 53
Рис. 144. Построение семейства по В с применением равномерных шкал для примера 53
Рис. 145. Построение семейства по С с применением логарифмических шкал для примера 53
Все точки вполне точно располагаются на прямых. Это значит, что зависимость между А и В при постоянных С выражается формулой А = тЛёВ+П1.
Но так как все прямые при своем продолжении довольно точно пересекаются в точке с координатами В=1; Л=0, то это значит, что свободный член п\ в уравнении Л^/nilgB+ni равен нулю. Следовательно, имеем: f (B)=m{\gB.
Искомая формула имеет вид
A — m	IgB.
Для приблизительного определения коэффициента р можно подставить в найденную формулу данные одного из опытов, например: А =2,4; В=15,2 и С=1, тогда
2,4 = />V<i21gl5>2=p.lg 15,2= 1,18/7, откуда р=2,03	2.
Следовательно, для первого приближения получаем:
^ = 2yrC?lgB.
Более точные значения коэффициента и показателя степени следует, определять средне-арифметическим методом или методом наименьших квадратов.
Пример 54. Найти вид формулы, определяющей зависимость между переменными Л, В и С, на основании результатов опытов, приведенных в табл. 42.
Таблица 42
Опытные данные к примеру 18									
с=з		С=6		С=12		С-15		С-24	
А	в	А	в	А	в	А	в	А	в
3,7	40	15,2	40	31	40	38	40	54	40
14,7	80	60	80	125	80	152	80	218	80
23	100	95	100	194	100	237	100	340	100
33	120	137	120	282	120	341	120	490	120
52	150	214	150	436	150	533	150	765	150
На рис. 148 и 149 построены семейство по С и семейство по В. На обоих графиках получились плавные кривые. Характер кривых с учетом разницы в модулях равномерных шкал по осям координат показывает, что переменная В входит в степени выше единицы (кривые на рис. 148 — вогнутые), а переменная С — в степени меньше единицы (кривые на рис. 149 — выпуклые).
На рис. 150 и 151 построены те же семейства в логарифмических координатах. На рис. 150 для семейства по
269
Рис. 146. Построение семейства по В с применением логарифмических шкал для примера 53

Рис. 148. Построение семейства по С с применением равномерных шкал для примера 54
Рис. 149. Построение семейства по В с применением равномерных шкал для примера 54
Рис. 150. Построение семейства по С с применением логарифмических шкал для примера 54
С получен ряд параллельных прямых, причем шкала, полученная на прямой MN, перпендикулярной к параллельным линиям, неравномерная, но не логарифмическая. Следовательно, зависимость между переменными А, В и С выражается формулой вида
A—mBnf(C).
Рис. 151. Построение семейства по В с примене-, нием логарифмических шкал для примера 54
Значение показателя п, в первом приближении определяемое по углу наклона параллельных прямых, можно принять равным 2.
Для семейства по В на рис. 151 получились плавные кривые, имеющие тенденцию при увеличении значения С спрямиться, причем тангенс их угла наклона_дает некоторое основание предполагать, что f(C) =а^ С-Ь&, поэтому на рис. 152 построено семейство по В с применением шкалы корней квадратных. Так как точки довольно точно легли на пучок прямых, то это означает, что вид f (С) оп-
272
ределен правильно. Следовательно, искомая формула имеет следующий вид:	_
Д = т (a /C-^)52=(ai'/C-|-/>1)B2, где ах=та-, Ьг = =mb.
Для приближенного определения значения постоянных а\ и Ь\ подставим значения А, В и С для двух опы-
Рис. 152. Построение семейства по В с применением шкалы корней квадратных из С по оси х для примера 54
тов, например, Д = 23; 22=100; С = 3 и Л = 341; В=120; С= 15. Получим:
23 = (ai VT4- 61) 1002;
341= (ajKlS + bi) 1202,
ИЛИ
23= 17300aj + 10 00062;
341 = 55 728a, + 14 4006,.
Решая уравнения, находим: «1=0,01 и = —0,015. Следовательно, искомое уравнение в первом приближении будет:
.	(/C-1,5)-B2
Более точное значение коэффициентов следует определить средне-арифметическим методом или методом наименьших квадратов.
5.	Зависимость вида А = аВтСп
Пример 55. Найти вид формулы, определяющей зависимость между переменными А, В и С на основе результатов опытов, приведенных в табл. 43.
273
Построенные по этим данным два графика с применением равномерных шкал дали семейства кривых, причем для семейства по С полученные кривые параболические (рис. 153), а для семейства по В— гиперболические (рис. 154). Учитывая, что переменные изменяются в одинаковых пределах и что как параболические, так и гиперболические кривые часто «выпрямляются» при их построении на логарифмических сетках, применяем для второго построения логарифмические шкалы на обеих осях координат.
Рис. 153. Построение семейства по С с применением равномерных шкал для примера 55
Рис. 154. Построение семейства по В с применением равномерных шкал для примера 55
Соответствующее построение по опытным точкам приведено на рис. 155 и 156. На обоих графиках получены семейства параллельных линий, а построенные на нормалях к ним шкалы для значений параметров оказались логарифмические, но разных модулей. На основании этих графиков находим, что общий вид искомой эмпирической формулы будет:
А = аВтСп.
Приближенное значение постоянных этого уравнения можно определить по графикам, так как каждый график построен с применением логарифмических шкал одинакового модуля.
Таблица 43
Опытные данные к примеру 55
С = 2		С=4		С=6		С=8		С=10	
В	А	В	А	в	А	В	А	В	А
2	0,95	2	0,23	2	0,1	2		2	
4	8,1	4	2,0	4	0,85	4	0,5	4	0,32
6	—	6	6,5	6	2,8	6	1,7	6	1,1
8	—	8	—	8	7,9	8	3,9	8	2,5
10	—	10	—	10	—'	10	7,5	10	5,0
274
Рис. 155. Построение семейства по С с применением логарифмических шкал для примера 55
Рис. 156. Построение семейства по В с применением логарифмических шкал для примера 55
Из графика рис. 1$5 находим, ч!о тангенс угла йаклойа п^йМых семейства по С равен довольно точно трем, следовательно показатель степени переменной В будет равен трем, т. е. /п=3.
На графике рис. 156 угол наклона прямых семейства по В тупой, следовательно показатель степени переменной С отрицателен. Так как тангенс этого угла наклона довольно точно равен двум, то имеем п= —2.
Откуда искомая эмпирическая формула имеет следующий вид
Рис. 157. Построение семейства по С с применением равномерных шкал для примера 56
Приближенное значение коэффициента а можно определить, использовав, данные какого-нибудь опыта, например: 4=5, В=10 и С=10. Имеем
5 = а-
1Q3
102
= 10а,
откуда а=0,5.
Следовательно, эмпирическая формула в первом приближении следующая:
Вз
4 = 0,5 — . С2
Так как по графикам получилось довольно точно, что /п=3 и п=—2, то определять их более точно по методу средне-арифметических или методом наименьших квадратов нет необходимости, так как формула с целыми показателями удобнее в пользовании. Но не-
Таблица 44
Опытные данные к примеру 56
С=1		(7=2		С=4		С-10	
А	в	А	в	А	в	А	в
252	10	625	20	900	30	2650	70
1105	21	1925	35	2500	50	—	—
2250	30	5650	60	—	—	.—	—
4010	40	—	—	-—	—	—	—
5500	46	—	—	—	—	—	—
276
обходимо одним из этих методов определить более точное значение коэффициента а при принятых значениях тип.
Пример 56. Найти вид формулы, определяющей зависимость между переменными Л, В и С, на основа- 1 нии результатов опытов, ( приведенных в табл. 44.
Количество опытных данных, казалось бы, со- -вершенно недостаточно даже для приблизительного установления вида искомой формулы. Построив на рис. 157 эти данные в пря- ,‘ моугольных координатах с ; равномерными шкалами, по- • лучаем довольно плавную кривую для С=1, а для значений С=2 и С—4 можно лишь весьма приближенно провести кривые. Точка для значения С=10 никаких дополнительных указаний не дает.
Если построить эти данные в логарифмических координатах (рис. 158), то оказывается, что этот график дает данные для определения вида искомой формулы. Все пять точек для значения С=1 достаточно-точно располагаются на ; прямой, так же, как той • точки для значения С—2, причем эти прямые оказываются параллельными. Соединив две имеющиеся точки
для значения С=4, получаем прямую, также приблизительно параллельную двум первым прямым. Тогда проводим через точку для значения С ==10 прямую, параллельную остальным, и ко. всем этим прямым восстановим перпендикуляр MN, на котором против точек пересечения с полученными прямыми отмечаем соответствующие значения переменной С. Теперь определим, какая шкала для С получилась на перпендикуляре MN. Для этого перечерчиваем эту шкалу на кальку и, пользуясь рис. 5, найдем, что шкала па прямой MN получилась логарифмическая. Таким образом устанавливаем, что вид искомой формулы следующий: А=тВпС?. Так как прямыё получились восходящие, то это значит, что показатель степени переменной В — положительный. Его значение определяется тангенсом угла наклона этих прямых. Для первого приближения определяем его из графика. Получаем, что п~2.
Для определения показателя степени р переменнрй С имеем следующие данные. Шкала на перпендикуляре MN будет ниспадающая,
277
так как повышение значений С на ней идет вниз. Это означает, что показатель степени р — отрицательный.
На основании изложенного искомую формулу можем представить в следующем виде:
, m-IP
А — —-—.
СР
Для определения приблизительного значения коэффициента т и показателя степени р достаточно из графика или опытных данных взять значения переменных Л, В и С для двух опытов и подставить в найденный вид искомой формулы. Возьмем Л = 252; В=10; С=1 и Л = 1925; В = 35; С=2/Тогда имеем:
252 =
т-102
1
= 100/п;
/п>352
2Р
1225m 2Р
Из первого уравнения имеем /п=2,52. Подставив это значение во второе уравнение, получим:
1225-2,52 n	1g 1,6	0,2041
2Р =------— ----=1,6 или р^=	—7- =	-=~2/3.
1925	1g 2	0,3010	1
Следовательно, искомая формула в первом приближении будет:
2,52В2
Л = —о----
Vci
Для более точного определения коэффициента т и показателей степени пир следует применить средне-арифметический метод или метод наименьших квадратов, использовав для вычисления все опытные данные, так как в данном эксперименте их не так уж много.
Приведенный пример показывает, что, пользуясь графическими методами обработки экспериментальных данных, иногда можно найти зависимость между изучаемыми тремя переменными даже в тех случаях, когда число данных весьма ограничено и когда определить эту зависимость другими методами не представляется возможным.
Считаем необходимым отметить, что в тех случаях, когда в результате графической обработки опытных данных для значений показателей степеней получаются числа, весьма близкие таким, как 1112	2
—, —, —, —,	1, 2, 3 и т. д., и это подтверждается мате-
4	5	2	5	3
матической проверкой, — следует принять величину показателя степени равной этим числам и произвести новые вычисления для определения соответствующих им значений остальных постоянных, входящих в формулу, как это было проведено в примере 44 главы V.
Это делает формулу более простой и удобной для вычислений, а степень точности в большинстве случаев оказывается достаточной для практических целей.
278
Глава VII
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОДБОРА ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ ПРИ ДВУХФАКТОРНОЙ НЕРАЗДЕЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
1.	Сущность метода. Среди исследовательских работ, изучающих двухфакторные зависимости, особую группу составляют те, при проведении которых исследователь лишен возможности менять по своему желанию значения переменных. Такие зависимости названы нами нераздельными. В этих случаях на построенном по опытным данным графике не будет семейства линий, а будут лишь разбросанные точки с указанием значения переменной, принятой при построении графика за параметр. Пользуясь таким графиком до сих пор не удалось найти общий вид эмпирической формулы, отвечающей построенным опытным данным.
Очевидно, что если бы представилось возможным на основе построенных на графике разбросанных точек провести на нем линии равных значений параметра, то такой график мог бы помочь исследователю найти эмпирическую формулу, удовлетворяющую опытным данным.
Нами установлено наличие такой возможности в ряде случаев, и ниже дается описание разработанной методики построения линий, равных значений параметра при изучении двухфакторной нераздельной зависимости.
Предположим, что на графике, построенном с применением равномерных шкал, получено семейство параллельных линий, а на нормали к ним получилась равномерная шкала значений параметра. Если на таком графике соединить прямой любые две точки, расположенные, например, на крайних параллелях, и на этой прямой построить шкалу значений параметра, то шкала будет всегда тоже равномерная, но с большим модулем, чем шкала, полученная на нормали к семейству параллельных.
Следовательно, для того чтобы 'проверить, можно ли на графике опытных данных, построенном с применением равномерных шкал и состоящем из серии опытных точек, получить параллельные линии равных значений параметра, надо соединить ряд отдаленных точек пря
279
мыми и по значениям пометок крайних точек построить на каждой прямой равномерные шкалы, которые будут, конечно, разных модулей. Затем нужно 'соединить линиями все точки с одинаковыми пометками, и если получатся параллельные прямые,*то это определит характер зависимости изменений двух ту^угих переменных при постоянном значении параметра; При этом, конечно, надо проверить, как расположились все остальные опытные точки, не участвовавшие в построении семейства линий равных значений параметра.
Теперь рассмотрим график уравнения трех переменных, построенных на логарифмической сетке, на которой получено семейство параллельных прямых, а на нормали к ним логарифмическая шкала. Если на этом графике соединить прямой две любые точки, расположенные на крайних прямых и построить на ней шкалу значений параметра, то эта шкала будет тоже логарифмическая, но большего модуля, чем шкала на нормали. Значит, чтобы проверить возможность получения на графике, построенном на логарифмической сетке и состоящем из разбросанных опытных точек, семейства параллельных линий равных значений параметра, надо соединить несколько пар отдаленных точек прямыми и по значениям пометок их крайних точек построить соответствующие логарифмические шкалы, которые все будут разных модулей. Затем соединить линиями все точки с одинаковыми пометками, и если они окажутся прямыми и параллельными, то это уже дает некоторые данные о виде эмпирической формулы. Затем надо провести нормаль к полученному семейству параллельных линий и построить на ней шкалу значений параметра. Если шкала оказалась логарифмической, то общий вид эмпирической формулы будет следующий: А = аВтСп.
В построении линий равных значений параметра обычно участвуют не все опытные точки, а поэтому после построения семейства параллельных линий и шкалы значений параметра на нормали к ним надо проверить, достаточно ли точно расположились все остальные опытные данные. Только в том случае, когда значительное большинство опытных точек с соответствующими пометками достаточно точно расположились по отношению к прямым семейства параметра, можно считать подобранный общий вид эмпирической формулы правильным и приступить к определении? постоянных найденной фор
мулы. Очевидно, что такой же метод проверки возможности получения на графике опытных данных линий равных значений параметра может быть применен и тогда, когда для построения графика применены любые функциональные шкалы (квадратичная, обратная, шкала корней квадратных или любая другая).
Следовательно, методика графического способа определения общего вида эмпирической формулы при изучении двухфакторной нераздельной зависимости будет следующая. За параметры принимают последовательно каждую из переменных. Затем опытные точки строят сперва на графике с применением равномерных шкал по осям координат и потом путем построения линий равных значений параметра проверяют, имеет ли место линейная зависимость между изучаемыми факторами. Если линии равных значений параметра не оказались прямыми, то графические построения приходится продолжать. При этом надо в некоторой последовательности изменять одну или обе шкалы на осях координат новых графиков, на которых строят те же опытные точки. Например, равномерные шкалы заменяют логарифмическими. Снова строят на графиках линии равных значений параметра и проверяют будут ли они прямыми и при том параллельными. Если и эта попытка не увенчалась успехом, то заменяют логарифмические шкалы на другие функциональные шкалы, например, квадратичные, обратные и т. д. и вновь строят линии равных значений параметра. Когда эти линии на графиках окажутся прямыми и параллельными между собой для двух параметров, подбор общего вида эмпирической формулы можно считать законченным.
Часто бывает, что полученные линии равных значений параметра не точно прямые, но весьма близки к ним и не вполне параллельны, но отклонения незначительны. Тогда следует линии спрямить и выровнить их параллельность, учитывая, однако, пометки шкалы, построенной на нормали к семейству параллельных. После этого следует определить постоянные предполагаемой формулы, а затем проверить погрешность для наиболее отклоняющихся от прямых опытных точек.
При описанном методе требуется обычно построить значительное число равномерных и различных неравномерных шкал разных модулей по заданной длине и по известным значениям пометок крайних штрихов шкалы.
Определение модуля каждой такой шкалы и построение ее требуют значительных вычислений и, следовательно, большой затраты времени, поэтому приводим ниже описание простого графического метода построения любых шкал разных модулей без всяких вычислений.
Метод этот состоит в том, что исследователь вычерчивает заблаговременно шаблоны для различных шкал, например, равномерной, логарифмической, шкалы квадратов и других, которые могут ему понадобиться.
Каждый шаблон представляет собой вертикально построенную необходимого вида шкалу определенного модуля. На некотором расстоянии от этой шкалы против ее середины выбирают точку, которую соединяют прямыми с точками на шкале, отвечающими всем штрихам и пометкам шкалы. Полученный график и представляет собой шаблон данной шкалы. Пользуясь им легко вычертить такую же шкалу, но любого модуля.
Способ пользования шаблонами шкал для определения предполагаемого расположения линий равных значений параметра на графиках с серией опытных точек следующий.
Берут полоску плотной бумаги и прикладывают ее к прямой, соединяющей на графике пару опытных точек. Отмечают на полоске штрйхами положение обеих точек и значения их пометок. Затем накладывают полоску вертикально на соответствующий шаблон и перемещают ее все время строго параллельно, пока ее крайние штрихи не совпадут с теми лучами шаблона, которые отвечают пометкам этих точек*. Далее переносят на полоску точки пересечения всех промежуточных лучей с краем полоски, отмечают их штрихами и надписывают значения пометок, отвечающие пометкам лучей. Остается полоску со штрихами и пометками приложить снова к прямой на графике так, чтобы совпали крайние штрихи с обеими точками, перенести все штрихи на прямую и надписать против штрихов их пометки.
Когда изучается двухфакторная нераздельная зависимость, то при построении графиков опытных данных необходимо использовать возможность принимать за параметр каждый из изучаемых факторов, даже если
* Если на шаблоне нет лучей, отвечающих пометкам крайних точек прямой, то положение этих точек на шаблоне определяют методом интерполяции.
282
первый график дал благоприятный результат, ибо каждый из вариантов графиков, на котором будут получены прямые линии равных значений параметра поможет определить характер зависимости параметра от искомой величины.
Ниже приведены примеры применения описанной методики подбора общего вида эмпирической формулы в случае изучения двухфакторной нераздельной зависимости.
2.	Зависимость вида А = аВ + ЬС+с. При наличии зависимости указанного вида линии равных значений параметра на обоих графиках опытных данных, построенных с применением равномерных шкал, представляют собой семейство параллельных линий, а шкала значений параметра, построенная на нормали к параллельным линиям, будет равномерной. Следовательно, для проверки наличия приведенной выше зависимости между изучаемыми тремя переменными достаточно построить графики опытных данных с применением равномерных шкал и на них, описанным выше методом, провести линии равных значений параметров.
Пример 57. В результате проведенных опытов для определения зависимости между тремя переменными А, В и С получены данные, приведенные в табл. 45.
Таблица 45
Опытные данные к примеру 57
А	в	с	А	в •	с	А	в	с
160	2	7	130	16	2	190	11	6
80	7	1,5	245	14	8	230	3	10
165	10	5	175	21	3	180	18	4
Из табл. 45 имеем, что переменная А изменяется от 80 до 245, переменная В от 2 до 21 и переменная С от 1,5 до 10. Так как переменная С изменяется в наименьших пределах, то первый график строим приняв эту переменную за параметр.
На рис. 159 дан построенный график. На нем получена серия разбросанных точек, против каждой из которых написано соответствующее значение переменной С, принятой за параметр.
Глядя на этот график, трудно определить, как должны расположиться на нем линии равных значений параметра С. Для того, чтобы проверить располагаются ли эти данные параллельно, проведем на графике следующие построения (см. рис. 160).
283
Соединим прямой точки с Пометками 16 и 7, разделим эту прямую на 3 части (10—7=3) и отметим точки, отвечающие значениям 8и9
чек на графике с равномерными шкалами для примера 57
Соединим точки с пометками 10 и 6, разделим эту прямую на 4 части (10—6=4) и отметим точки, отвечающие значениям 7, 8 и 9.
Далее соединяем прямыми точки с пометками 8 и 6; 8 и 3;
6 и 2; 5 и 2; 7 и 1,5. Делим и их на соответствующее число частей и
Рис. 160. Построение семейства по С с применением равномерных шкал для примера 57
против точек деления надписываем отвечающие им значения параметра С. Затем соединяем все точки с одинаковыми пометками прямыми. Как видно из рис. 160 на графике получилось семейство линий, которые можно без большой погрешности признать прямыми и параллельными.
284
При пос!роении линий равного Зйачёййя Параметра t были использованы все опытные точки. По значениям своих пометок они расположились достаточно точно по отношению к полученному семейству параллельных линий. Следовательно, можно считать, что зависимость между переменными А и В при постоянном значении переменной С будет линейная. Далее проведем нормаль к параллельным линиям и построим на ней шкалу значений параметра С. Эта шкала оказалась равномерной. Значит, общий вид эмпирической формулы будет
А = аВ -|- ЬС	с.
Рис. 161. Построение семейства по В с применением равномерных шкал для примера 57
Для проверки правильности нашего вывода построим график опытных точек, приняв переменную В за параметр. Такой график построен на рис. 161. На нем также проведены линии равного значения параметра В, для чего соединены прямыми точки с пометками 2 и 7; 3 и 10; 10 и 16. Линии равных значений параметра проведены для пометок 3; 7; 11 и 14. Прямые оказались параллельными. К ним построена нормаль и на нее опущены перпендикуляры из опытных точек с пометками 14; 16; 18 и 21, не участвовавшими в построении линий равного значения параметра В. Полученная на нормали шкала значений параметра В может быть признана с достаточной точностью равномерной. Это подтверждает правильность выбранного общего вида эмпирической формулы.
Остается лишь определить на основе всех опытных данных значения коэффициентов а, b и с, что было сделано по средне-арифметическому методу. Полученные значения следующие: а=4,85; 6=20,3 и с=12,9. Таким образом, искомая эмпирическая формула будет
А =4,85В-j-20,3(7 + 12,9.
285
Проверим точность подобранной эмпирической формулы для двух каких-либо опытов, например:
1-й опыт: /4 = 165; В=10 и С=5.
Подставляя эти данные в найденную формулу, имеем:
165 = 4,85-10 + 20,3-5 + 12,9;
165 = 48,5 + 10,15 + 12,9 = 162,9.
Относительная погрешность
165— 162,9
Д =------——~-100 = 1,3% .
165
2-ой опыт: Л = 190; В=11 и С=6.
Подставляя эти данные в найденную формулу, имеем: 190 = 4,85-11 +20,3-6+ 12,9,
190 = 53,35+121,8+ 12,9= 188,05.
Относительная погрешность
190— 188,05
,	Д-—190	-100 = 1,1%.
Полученные погрешности для обоих опытов вполне допустимые.
Из сравнения построенных на рис. 160 и 161 графиков видно, что на рис. 160 как параллельность линий равного значения параметра, так и равномерность шкалы параметра на нормали к параллельным линиям более четкая и точная, чем на рис. 161, что объясняется более удачным расположением опытных точек на этом графике. Поэтому следует рекомендовать всегда строить два графика опытных данных, используя каждую из переменных в качестве параметра. В приведенном примере значения переменных В и С изменялись в незначительных пределах и выражались в основном целыми числами, поэтому при делении прямых, соединявших две опытные точки, на равные части, оказалось возможным обойтись без использования шаблона равномерной шкалы. В следующих примерах будет показано, как пользоваться шаблонами, шкал для построения на прямых, соединяющих пары опытных точек, разные шкалы требуемых моделей.
3.	Зависимость вида lg4 = аВ + ЬС+с или А = еаВ+ьс+с. Покажем вывод такой формулы на следующем численном примере.
Пример 58. Результаты проведенных опытов, определяющих зависимость между переменными А, В и С, приведены в табл. 46. Сперва проверяем, существует ли между изучаемыми переменными линейная зависимость вида:
А ~ аВ + ЬС + с.
Для этого строим опытные данные на двух графиках с применением равномерных шкал на осях координат, приняв для первого переменную С за параметр (см. рис. 162), а для второго переменную В (см. рис. 163). На них получены серии точек с соответствующими значе-286
A
Рис. 162. Построение семейства по С с применением равномерных шкал для примера 58
Рис. 163. Построение семейства по В с применением равномерных шкал для примера 58
Таблица 46
Опытные данные к примеру 58
А	в	с	А	в	с	А	в	с
1,9	0,9	2,5	6,5	3,0	3,8	37	6,6	4,3
17	6,2	1,3	21	4,2	7,0	20	6,4	1,6
5,9	2,3	5,0	11	1,8	9,6	36	4,7	8,8
ниями параметров. На каждом из графиков построены линии равных значений параметров.
На рис. 162 проведены три прямые, соединяющие опытные точки с пометками: 5 и 9,6; 1,6 и 7; 4,3 и 8,8.
Для того чтобы на этих прямых построить равномерные шкалы, удобнее всего построить шаблон равномерных шкал для модулей
Ю 9876543 210
Модули шкал, 8 мп
Рис. 164. Шаблон для построения равномерных шкал с модулями до 10 мм
2§8
rt0 X=7,5 мм. Такой шаблон приведен на рис. 164. Проведённые на нем две горизонтальные шкалы определяют без вычислений модуль любой равномерной шкалы, полученной на вертикали, проведенной на шаблоне. Но обычно в этом нет даже необходимости. Пользуясь полосками бумаги описанным выше способом, все три отрезка прямых были перенесены на шаблон (см. рис. 164), на полосках были
Рис. 165. Построение семейства по В с применением логарифмической шкалы по оси А для примера 58
построены соответствующие шкалы, а затем эти шкалы были перенесены на рис. 162 со своими пометками, что дало возможность провести линии равных значений параметра С для пометок 5, 6 и 7. Все три линии оказались ломаными. Следовательно, линейной зависимости между переменными А и В нет.
На втором графике (см. рис. 163) проведены также три прямые, соединяющие опытные точки с пометками 6,2 и 3; 6,6 и 4,2; 4,7 и 1,8. Воспользоваться шаблоном равномерной шкалы, приведенным на рис. 164, оказалось невозможным, так как наибольший модуль шкал шаблона не превышает 10 мм, а это оказалось недостаточным для расстояния между крайними пометками наших прямых. Поэтому был вычерчен шаблон, наибольший модуль шкалы которого был равен 20 мм (он здесь не приводится). Пользуясь им на всех трех прямых графика были построены равномерные шкалы требуемых модулей, причем шкала между пометками 1,8 и 4,7 была продолжена до по
289
метки 5, а шкала между пометками 4,2 и 6,6 до пометки 3. Это далб возможность провести линии равного значения параметров В для пометок 3; 4 и 5. Они оказались ломаными.
Таким образом, оба построенных графика показали, что зависимости вида А=аВ+ЬС+с между изучаемыми факторами нет.
Следующее построение и подбор эмпирической формулы делаем в предположении, что она имеет такой вид:
1g Л = аБ+ ЬС + с.
Рис. 166. Построение семейства по С с применением логарифмической шкалы по оси А для примера 58
Наличие lg^4 в предполагаемой формуле побуждает построение опытных данных сделать на полулогарифмической сетке, приняв логарифмическую шкалу для переменной Л.
На рис. 165 дано построение опытных точек, приняв за параметр переменную В.
Прямыми соединены точки с пометками 6,2 и 0,9; 6,6 и 2,3; 4,7 и 1,8. На этих прямых построены равномерные шкалы соответствующих модулей, причем шкала, соединяющая точки с пометками 6,6 и 2,3 продолжена до пометки 1, а шкала, соединяющая точки с пометками 1,8 и 4,7 продолжена до пометки 6. Это дало возможность провести линии равного значения параметра В для пометок Г, 2; 3; 4; 5 и 6. Все построенные линии можно считать прямыми и при том параллельными.
290
Следовательно, зависимость между lg^ и С при постоянном значении В будет линейной.
На рис. 166 построен второй график с логарифмической шкалой для переменной Л, приняв переменную С за параметр. На нем соединены прямыми точки с пометками 9,6 и 3,8; 8,8 и 1,3 и на них построены соответствующие равномерные шкалы, причем обе были продолжены до пометок единица. Затем проведены линии равных значений параметра С для пометок 1; 3; 5 и 7. Все линии можно считать параллельными. Остальные точки с пометками 2,5; 5; 7; 1,6 и 4,3 расположились в полном соответствии с параллельными ли-
ниями.
Следовательно, зависимость между lg4 и В при постоянном значении С также линейная.
Таким образом на основе рис. 165 и 166 можно утверждать, что общий вид эмпирической формулы, отвечающей опытным данным, будет следующий: lg4 = aB+&C+c.
Остается найти коэффициенты этой формулы на основе опытных данных. Они были определены методом средних арифметических и получено: а — 0,2; b « 0,086 и с = —0,12. Искомая формула будет lgMI=0,2B + 0,086C- 0,12.
Весьма точное расположение всех опытных точек на рис. 165 и 166 по отношению к семействам параллельных линий исключает, конечно, необходимость в проверке правильности выведенной эмпирической формулы.
4.	Зависимость вида A = alg В + Z>lgC+с.
Покажем вывод такой формулы на следующем численном примере.
Пример 59. Результаты проведенных опытов, определяющих зависимость между переменными Л, В и С, приведены в табл. 47.
Подбор эмпирической формулы начинаем с самого простого варианта построения графиков опытных данных с применением равномерных шкал по обеим осям координат.
Таблица 47
Опытные данные к примеру 59.
А	В	С	А	в	С	А	в	с
14,8	80	1,2	12,5	2,0	3,5	17,5	5,7	10,0
10,3	1,4	2,0	15,1	8,0	4,0	15,1	1,2	10,0
15,9	35	2,5	17,8	23	5,6	16,9	2,0	14,0
12,6	8,4	1,7	20,2	80	6,8			
На рис. 167 построен такой график, где за параметр принята переменная С, а на рис. 168 — за параметр принята переменная В. На обоих графиках сделано построение предполагаемых линий равных значений параметров. На рис. 167 соединены точки с пометками 1,2 и 6,8; 2,5 и 5,6, а на рис. 168 с пометками 1,2 и 8; 2 и 8,4. На всех
291
прямых построены равномерные шкалы и соответствующие им линии равных значений параметров. Сопоставляя пометки этих линий с пометками остальных точек видно, что никаких линий равных значений параметров на графиках провести нельзя и, следовательно, линейной зависимости между переменными А /и В, а также А и С не существует.
Второй вариант построения графиков опытных данных проводим на полулогарифмической сетке для проверки зависимости вида
Рис. 167. Построение семейства по С с применением равномерных шкал для примера 59
Рис. 1168. Построение семейства по В с применением равномерных шкал для примера 59
A=algB+^lgC,+c. Поэтому для переменной А принята равномерная шкала, а для переменной В логарифмическая. За параметр принята переменная С.
На рис. 169 даны построенные на полулогарифмической сетке опытные данные. Пометки около них означают соответствующие значения переменной С. Для построения линий равных значений параметра, соединяются прямыми точки со следующими пометками: 10 и 3,5; 14 и 1\7; 10 и 4; 5Д и 2,5; 6,8 и 1,2. На каждой из этих прямых потребовалось построить логарифмические шкалы разных модулей. Эти построения сделаны при использовании шаблона логарифмических шкал, приведенных на рис. 170, длина которого равна двум модулям. Воспользоваться логарифмическим шаблоном в один модуль, приведенный на рис., 5, не представилось возможным, так как для прямой, соединяющей точки с пометками 1,2 и 14, он недостаточен.
На рис. 170 показано как пять прямых с графика на рис. 169, пользуясь полосками плотной бумаги, переносились на логарифмический шаблон, и как на них строились логарифмические шкалы разных модулей. Затем, пользуясь теми же полосками плотной бумаги, все пять шкал были перенесены на рис. 169, и против штрихов шкал надписаны значения соответствующих пометок, после чего были проведены линии равных значений параметра. Как видно из рис. 169, все они могут быть принятыми за прямые и притом между собой параллельными. К семейству этих параллельных линий была проведена 292
нормаль. Полученную на ней шкалу можно с достаточной точностью считать логарифмической. Таким образом семейство параллельных прямых, полученных на рис. 169 показывает, что зависимость между Л и 1g В линейная, а полученная на нормали логарифмическая шкала убеждает в том, что переменная С в свою очередь изменяется
Рис. 169. Построение семейства по С с применением логарифмической шкалы по оси В для примера 59
по логарифмическому закону и, следователыно, общий вид эмпирической формулы, удовлетворяющей опытным данным, следующий
А --= a IgB-f- b lgC + с.
Вычисление постоянных этой формулы, на основе приведенных в габл. 47 опытных данных, было выполнено методом средних арифметических.
Получены следующие значения: а=3,49; 6 = 7,15 и с=7,66. Искомая формула будет:
Я = 3,49 IgB 4-7,15 IgC + 7,66.
Определим степень погрешности полученной формулы для одного произвольного опыта:
Имеем: А = 16,9; В ^35 и С — 2,5.
293
Подставляя в найденную формулу, получаем:
15,9 = 3,49-1,544 4- 7,15 0,398 -И 7,66,
15,9 =-- 5,32 + 2,75 4-7,66 — 15,73.
Относительная погрешность 15,9 - 15,73 0,17 л _ —-----------------------— =	= 0,017	1,7%.
15,9	15,9	
д =
Полученная погрешность в пределах практически допустимой.
Рис. 170. Шаблон логарифмической шкалы длиной два модуля с примером его использования
294
5.	Зависимость вида А = аВтСп.
Зависимость указанного вида встречается весьма часто при различных исследованиях.
Пример 60. Результаты проведенных опытов определяющих зависимость между переменными А, В и С, даны в табл. 48.
Таблица 48
Опытные данные к примеру 60
А	в	с	А	В	С	А	в	с
94	0,15	0,2	6,8	0,45	1,3	4,3	1,8	3,3
85	1,5	0,65	13,5	1,2	1,5	15	9,4	4,0
17	0,31	0,7	66	8,1	1,75	1,6	2,7	6,5
3,7	0,15	0,95	1,5	0,38	2,5	1,5	5,1	9,0
Первый вариант построения опытных данных выполняем на графике с равномерными шкалами по осям координат. Он приведен на рис. 171. За параметр была принята переменная С. На рис. 171 видно,
Рис. 171. Построение семейства по С с применением равномерных шкал для примера 60
к чему привела попытка построения линий равного значения параметра С. Такая же неудача получилась при построении графика опытных данных с применением равномерных шкал, когда за параметр принята была переменная В.
295
Следовательно, линейной зависимости между переменными А, В и С нет.
Следующий вариант построения выполняем на полулогарифмической сетке.
Сперва проверим, существует ли зависимость вида
1g Л = аВ + ЬС + с.
Для переменной А принимается логарифмическая шкала, так как она изменяется в значительно больших пределах, чем остальные переменные.
Рис. 172. Построение семейства по С с применением логарифмической шкалы по оси А для примера 60
На рис. 172 дано построение опытных точек на полулогарифмической сетке, где переменная С принята за параметр. Для построения прямых равного значения параметра С выбираем две пары точек с пометками 0,65 и 9; 1,75 и 4. Строим на них с правой стороны равномерные шкалы и проводим линии равного значения для пометок 2; 3 и 4 (сплошные прямые). Они оказались не параллельными и, кроме того, все остальные точки расположились в полном несоответствии с этими прямыми.
Следовательно, зависимость вида 1g Л =*аВ-|-&С+с не отвечает опытным данным.
Далее, пользуясь тем же графиком на рис. 172, можно проверить зависимость вида:
В^ a]gA + b IgC + с.
296
Для этого на тех же двух прямых, проведенных между точками с пометками 0,65 и 9; 1,75 и 4 надо построить (с левой стороны) логарифмические шкалы соответствующих модулей для параметра С. Такое построение выполнено на рис. 172 й на нем же проведены пунктиром линии равных значений параметра С, пользуясь построенными логарифмическими шкалами. Они проведены для тех же пометок 2; 3 и 4. И эти линии оказались не параллельными, к тому же остальные опытные точки расположились в полном несоответствии с пометками этих линий.
Следовательно, возможность наличия зависимости вида В — = alg4 + blgC+c также исключается.
Переходим к проверке зависимости вида:
А^аВтСп. •
Для этого построение опытных точек проводим на логарифмической сетке.
Такое построение выполнено на рис. 173, где за параметр принята переменная С.
Прямыми были соединены следующие опытные точки: 0,2 и 0,95; 0,95 и 2,5; 2,5 и 9; 0,2 и 1,5; 1,5 и 3,3; 3,3 и 9; 0,2 и 0,65; 0,65 и 4; 4 и 9. На всех этих прямых построены логарифмические шкалы соответствующих модулей и, пользуясь ими, проведены линии равных значений параметра С. Все они оказались прямыми и притом между собой параллельными. Шкала, построенная на нормали к этим линиям оказалась логарифмической. Точки, не участвовавшие в построении логарифмических шкал, расположились вполне точно по отношению к семейству параллельных линий.
Следовательно, найденная эмпирическая формула имеет вид: А = аВтСп.
Остается найти коэффициент а и показатели тип этой формулы. Так как эмпирическая формула выведенного вида получается весьма часто для двухфакторной зависимости, то приводим для данного численного примера как методом средне-арифметическим определить значения коэффициента а и показателей степеней тип.
На основе опытных данных, приведенных в табл. 48, можно получить двенадцать уравнений вида
A^aBfC?.	(127)
Если этц двенадцать уравнений разделим попарно одно на другое, то получим шесть уравнений вида:
(128)
At \ Bi ) \ Cl )	у
В этих уравнениях коэффициента а уже нет.
Подставив в уравнений (128) численные значения А, В и С всех опытов и произведя соответствующие деления, получим шесть уравнений вида:
= (В')т((У)п.	(129)
Прологарифмировав эти уравнения, получим шесть уравнений вида
А” = тВ" +пС".	(130)
11—2661	297
Разбиваем эти уравнения на две группы по три уравнения и склады-ваем уравнения каждой группы. В итоге получаем два уравнения с двумя неизвестными /пип, которые и решаем. Проведенные вычисления по указанной схеме дали с достаточной точностью /п=1 и п= —2.
Рис. 173. Построение семейства по С с применением логарифмических шкал для примера 24
Остается найти значение коэффициента а. Для этого во все 12 формул (127) подставляем опытные данные и определяем значение коэффициента а при показателях степени т=1 и п— — 2. По полученным его двенадцати значениям было найдено, что а=25,1. Следовательно, искомая формула .
4 = 25,1 • тт-С2
6.	Зависимость вида А = -^--|—
Вывод такой формулы покажем на следующем численном примере.
Пример 61. Результаты проведенных опытов, определяющих зависимость между переменными А, В и С, даны в табл. 49.
Как и в предыдущем примере сперва были построены графики опытных данных с применением равномерных шкал по осям коорди-298
нат для проверки наличия линейной зависимости между переменными, но такой не оказалось. Далее были построены графики с применением одной и двух логарифмических шкал по осям координат, но
Таблица 49
Опытные данные к примеру 61								
А	в	с	А	в	с	А	в	с
4,2	2,0	2,2	6,2	2,5	1,2	4,2	4,5	1,7
5,8	1,8	1,4	4,8	6,0	1,4	1,8	3,0	7,0
4,0	. 3,0	2,0	6,3	3,5	1,1	3,4	1,8	3,5
2,0	10	3,5	3,2	15	2,0	1,4	8,0	6,0
и эти построения не дали благоприятного результата. Тогда построены были графики опытных данных с применением одной и двух обратных шкал в разных вариантах. Только вариант с обратными шкалами
Рис. 174. Построение семейства по А с применением обратных шкал по осям В и С
для переменных В и С оказался удачным, когда за параметр была принята переменная А.
На рис. 174 дано построение опытных точек на сетке с двумя обратными шкалами. Прямыми были соединены точки с пометками 3,4 и 5,8; 1,8 и 6,2; 1,4 и 4,2. На всех прямых были построены равномерные шкалы разных модулей, что дало возможность провести линии равных значений параметра А для пометок 2; 3; 4;
11*	299
5 и 6. Их с достаточной точностью можно считать параллельными, а все опытные точки расположенными в соответствии с пометками семейства параллельных линий. Следовательно, график на рис. 174 подтверждает наличие зависимости вида
. а b
А = ~в+~с-
Коэффициенты а и b этой формулы были вычислены средне-арифметическим методом и оказались равными а=2,8 и 6=6,1. Следовательно, искомая эмпирическая формула будет:
А="2~в +^‘
D U
Проверка относительной погрешности вычислений по этой формуле не превышала 2,5%.
Приведенные нами пять примеров определения эмпирических формул по опытным данным для случаев исследования двухфакторной нераздельной зависимости показали, что разработанный нами графический метод дает столь же широкие возможности, какие имеются при подборе эмпирической формулы в случае исследования двухфакторной раздельной зависимости. Правда, он несколько сложен, вследствие необходимости строить на прямых, соединяющих отдельные опытные точки, шкалы разной функциональной зависимости и при том разных модулей, для проведения линий равных значений параметра, но при наличии шаблонов различных шкал эта задача упрощается.
Графические построения менее утомительны, чем математические вычисления, поэтому при всех обстоятельствах описанный нами графический метод нахождения эмпирической формулы в случае двухфакторной нераздельной зависимости проще применяемых в этих случаях математических способов их подбора.
Применение описанного нами способа значительно упрощается, если использовать как различные функциональные сетки, так и шаблоны разных функциональных шкал, приведенные в приложении.
Глава VIII
ВОЗМОЖНОСТИ НАХОЖДЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ ОШИБОК В ОПЫТНЫХ
ДАННЫХ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДВУХФАКТОРНОИ НЕРАЗДЕЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
Во всех приведенных примерах нахождения эмпирических формул на основе опытных данных предполагалось, что все исследования выполнены с надлежащей тщательностью с двух-трехкратной повторностью и приведенные в таблицах результаты опытов являются средними значениями и поэтому вполне достоверными. Этим объясняется, что на всех графиках, изображавших опытные данные, все точки располагались достаточно точно на проведенных кривых и прямых.
На практике это весьма часто бывает далеко не так или вследствие сложных условий проведения опытов, или вследствие недостаточной опытности и внимания исследователей. Плохо проверенные измерительные приборы также часто являются причиной появления ошибок в результатах проводимых опытов.
Между тем каждая неверная цифра в опытных данных является источником больших неприятностей для исследователя. При аналитических методах обработки результатов опытов найти ошибку обычно не представляется возможным без проведения повторных опытов. В то же время каждое ошибочное данное, даже в большой серии опытов, отражается в какой-то степени на точность выведенной формулы. А отдельные грубые ошибки при небольшом числе опытов обычно не дают возможности найти эмпирическую формулу.
При графических методах обработки опытных данных уже на первом графике их построения с применением равномерных шкал, при наличии некоторой закономерности в изменениях зависимости между изучаемыми переменными, явно выделяются не только грубые ошибки в опытных данных, но и любой не закономерный скачок, что дает возможность . сразу исключить из серии опытных данных как грубо-ошибочные, так и подозрительные по точности данные.
Таким образом, при графических методах обработки опытных данных как в случае изучения однофакторной,
301
так и двухфакторной раздельной зависимости исследователь имеет возможность на первых же построенных графиках опытных данных с применением равномерных шкал определить по плавности опытных кривых, существует ли закономерность между изменениями изучаемых факторов, и если существует, то имеются ли опыты с ошибочными и подозрительными данными.
При графических методах обработки опытных данных в случае изучения двухфакторной нераздельной зависимости вопрос о нахождении ошибочных опытных данных сложнее, так как на первом графике с равномерными шкалами нет опытных кривых, а имеется лишь серия разрозненных точек с пометками соответствующих значений параметра. По характеру расположения этих точек, как указано было ранее, нет возможности определить, существует ли какая-либо закономерная зависимость между изучаемыми факторами, а тем более нет возможности по такому графику найти ошибки в опытных данных. Но когда на этих графиках строятся линии равных значений параметра, то такая возможность появляется. Если ошибочные опытные точки расположились так, что их не использовали при построении линий равного значения параметра, а полученные линии можно считать прямыми и параллельными, то отдельные ошибочные опытные точки легко определяются тем, что их пометки не согласуются с пометками семейства параллельных прямых.
Значительно сложнее обстоит дело с обнаружением ошибочных опытных точек, если они участвовали в построении линий равного значения параметра, но и в этих случаях такая ошибка может быть весьма часто обнаружена. Покажем это на следующем примере.
Пример 62. Результаты проведенных опытов, определяющих зависимость между переменными Л, В и С, приведены в табл. 50.
Эти опытные данные были построены на графиках с равномерными шкалами, а затем на графиках с одной логарифмической шкалой в разных вариантах, но прямых линий равного значения параметров на них получить не удалось, даже в отдельных частях графиков.
Когда же был построен график опытных данных на логарифмической сетке, приняв за параметр переменную С, и на нем были построены линии равного значения параметра С, то картина получилась несколько неожиданная. График построения дан на рис. 175. На нем соединены прямыми точки с пометками 1,9 и 7,8; 2 и 9,9; 0,9 и 21; 3,6 и 27. На них построены логарифмические шкалы соответствующих модулей, причем первая верхняя шкала продолжена до помет-
302
Таблица 50
Опытные данные к примеру 62
А	В	с	А	в	с	А	в	с
2,4	1,3	1,9	6,7	5,2	7,8	0,13	50	8,3
1,4	1,7	2,0	1,5	6,0	4,7	0,39	80	27
0,55	1,7	1,6	2,8	12,0	9,9	1,10	70	21
0,15	1,5	0,9	0,13	14,0	3,6	3,9	79	39
ки 10, а вторая до пометки 40. Построенные в верхней части графика линии равных значений параметра прямые и параллельные, а в нижней части получился перелом линий. Точки с пометками 1,6; 4,7
по С с применением логарифмических шкал для примера 62
и 39 — не участвовавшие в построении верхней части графика — расположились в полном соответствии с пометками линий равных значений параметра, а точки с пометками 3,6 и 8,3 нижней части графика весьма близки к соответствующим линиям верхней части графика. Но точка с пометкой 27 нижней части графика расположилась между продолжением прямых с пометками 20 и 10. Очевидно она ошибочна. Поэтому исключаем ее из построения.
303
На рис. 176 дан новый график на логарифмической сетке без участия этой подозрительной точки в построении линий равного значения параметра. Точки с пометками 3,6 и 8,3 расположились в полном соответствии с пометками прямых линий.
Таким образом, линии равных значений параметра С оказались па рис. 176 прямыми и параллельными, а на нормали к ним получи-
Рис. 176. Второй вариант построения семейства по С с применением логарифмических шкал для примера 62 *
лась логарифмическая шкала, поэтому отвечающая опытным данным эмпирическая формула имеет вид: А=аВтСп.
Приведенные во второй части книги примеры графических методов определения эмпирических формул на основе опытных данных показали, что эти методы имеют значительные преимущества перед аналитическими способами. К этим преимуществам следует также отнести возможность обнаружения ошибочных опытных данных при графических построениях.
ПРИЛОЖЕНИЕ
																											
																											
																											
																											
																											
																											
																											
																											
													1														
																											
																											
																											
																											
																											
																											
																											
1	2, 3 4 5 6 8 10 -	2 3 4 5 6 8 102х
Рис. 1. Полулогарифмическая сетка с логарифмической шкалой по оси х длиной два модуля
305
Рис. 2. Полулогарифмическая сетка с логарифмической шкалой по оси х длиной три модуля
306
Рис. 3. Полулогарифмическая сетка с логарифмической шкалой по оси у длиной два модуля
Рис. 4. Полулогарифмическая сетка с логарифмической шкалой по оси у длиной три модуля
308
Рис. 5. Полулогарифмическая сетка с логарифмической шкалой по оси. у длиной пять модулей
309
Рис. 6. Логарифмическая сетка со шкалами длиной один модуль по оси х и два модуля по оси у
310
Рис. 7. Логарифмическая сетка со шкалами длиной два модуля по оси х и три модуля по оси у
311
Рис. 8. Логарифмическая сетка со шкалами длиной три модуля по оси х и пять модулей по оси у
312
313
Рис. 10. Четыре сопряженные логарифмические сетки
314
Рис. 11. Сетка с квадратной шкалой по оси х и равномерной по оси у
co
СП
CO
СП
Рис. 12. Сетка со шкалой корней квадратных по оси х и равномерной по оси у
																			
																			
																			
																			
																			
								1											
																			
												к							
																			
																			
4 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 73	74 15	16	77	18	19	20X
Шкала хУх
Рис. 13. Сетка со шкалой xfx по оси х и равномерной по оси у
																											
																											
																											
																											
																											
																											
																											
																											
																											
																											
О 1 2 3 95678910 15 20 25 30 35 90 95 50	60	70	80 90 100т
з.— Шкала кг2
Рис. 14. Сетка со шкалой ]/х2 по оси х и равномерной по оси у
																								
																								
																								
																								
																								
																								
																								
																								
																								
																								
<^40201510	6 5 4 3,5 3 2,5	2 1,9 1,81,7 1,6 1,5 1,4- 1,3 1,2	1,1 lx

Шкала X wG
Рис. 15. Сетка с обратной шкалой . — по оси х и равномерной по оси у
to
У 1,7 1,8 1,9 2,0
2,5
Ч=* 3
Ci 4 C3 k: 5
4
5
6
8
10
15
20
40
																								
																								
	*																							
																								
																								
																								
																								
																								
																								
																								
																								
																								
																								
																								
																								
																								
																								
																								
<^40 15 10 8 6 5 4 3,5 3	2,5	2 1,91,8 1,7 1,6 1,5
Шкала 1
Рис. 16. Сетка с обратными шкалами — и
1,4 1,3 1,2	1,1 Тх
i
У
Рис. 17. Треугольная сетка Гиббса.
321
323
324
ЛИТЕРАТУРА
# первой части
1.	Проф. Астафьев А. Ф. Инженерная справочная книга. ОНТИ, 1937 г. Разные инженерные номограммы: том I, стр. 364, 399 и 485; том II, стр. 57, 83, 289, 300, 384, 385, 392 и 470.
2.	Блох Л. С. Графические методы технических расчетов (Номография). Униздат, 1929 г.
3.	Б л о х Л. С. Треугольная система координат. Металлургиз-дат. 1-е изд. 1952 г., 2-е изд., 1962 г.
4.	Г а в р а Д. Л. Основы номографии с примерами из машиностроения. 1962 г.
5.	Г л а г о л е в А. А. Номография для школьника. 1959 г.
6.	Д е н и с ю к И. Н. Что такое номограмма и как ею пользоваться. 1934 г.
7.	Мелентьев П. В. Построение номограмм. 1930 г.
8.	Пентковский И. В. Считающие чертежи. 1959 г.
9.	Проф. Соколов П. П. Номография. Гостехиздат, 1925 г.
10.	Ш в е р д т Г. Введение в практическую номографию. 1935 г.
Ко второй части
1.	Блох Л. С. Основные графические методы обработки опытных данных. Машгиз, 1951 г.
2.	Б л о х Л. С. Руководство к пользованию логарифмическими сетками. 1930 г.
3.	Б р а д и с В. М. Средства и способы элементарных вычислений. III изд. 1954 г.
4.	Бронштейн И. Н. и Семендяев К- А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов, М., 1945 г.
5.	Виньерон А. Обработка результатов физико-химических наблюдений. Перевод с французского. ОНТИ, 1934 г.
6.	И д е л ь с о н Н. И. Способ наименьших квадратов. Л., 1932 г.
7.	Семендяев К. А. Эмпирические формулы. Составлено по Липка и Рэннингу, ГТТИ, 1933 г.
8.	Уореинг А. и Геффнер Дж. Методы обработки экспериментальных данных. Перевод с английского. М., 1949 г.
9.	Цуккерман М. Л. Эмпирические формулы. М., 1932 г.
10.	Фихтенгольц Г. М. Математика для инженеров, т. 2. М., 1933 г.
11.	Яковлев К. П. Математическая обработка результатов измерений. ГТТИ, 1950.
325
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ........................................... 8
Введение............................................... °
1. Погрешность технических расчетов при аналитических методах вычислений................................ 8
2. Погрешность технических расчетов при номографических методах вычислений...........................15
Часть первая
ПОСТРОЕНИЕ НОМОГРАММ ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ
Глава I. Номограммы из сопряженных шкал................31
1.	Уравнения вида y~f(x)..........................31
2.	Серии уравнений вида #=f(x), z==<p(x), и = ф(х) и т. д........................................    41
3.	Подвижные логарифмические шкалы и принцип построения логарифмической линейки..................43
4.	Примеры инженерных номограмм к главе I........45
Глава II. Сетчатые номограммы с равномерными шкалами по осям координат......................................49
1.	Уравнения с двумя и тремя переменными..........49
2.	Уравнения со многими переменными..............56
3.	Примеры инженерных номограмм к главе II.......61
Глава III. Сетчатые номограммы с переносными шкалами 66
1.	Сущность метода «переносной шкалы».............66
2.	Уравнения со многими переменными..............70
3.	Примеры инженерных номограМм к главе III . . . . 72
Глава IV. Сетчатые номограммы с логарифмическими шкалами по осям координат..................................76
1.	Логарифмические координаты.....................76
2.	Построение полулогарифмических сеток..........79
3.	Построение логарифмических сеток со шкалами разных модулей ..................................... 82
4.	Построение номограмм на полулогарифмической сетке .............................................. 83
а)	Уравнения	двух переменных.................84
б)	Уравнения	трех переменных.................86
5.	Построение номограмм на логарифмических сетках со шкалами равных модулей.........................89
а)	Уравнения	с двумя переменными.............89
б)	Уравнения	с тремя переменными.............93
в)	Уравнения с числом переменных более трех . . 104
6.	Построение номограмм на логарифмических сетках со шкалами разных модулей........................112
а)	Уравнения с двумя переменными............112
б)	Уравнения с тремя переменными............114
7.	Примеры инженерных номограмм к главе IV . . .117
326
Глава V. Логарифмические номограммы с сорокапятиградусным ходом .....................................124
1.	Свойства логарифмического семейства параллельных линий .	    124
2.	Построение номограмм для уравнений с четырьмя переменными .	. . .........................  127
3.	Построение номограмм для уравнений с числом переменных более четырех . . .j.j.i...............135
а)	Уравнения с четным числом переменных .... 135
б)	Уравнения с нечетным числом переменных . . 140
4.	Способ увеличения точности номограммы без значительного увеличения ее размеров.................141
5.	Практические указания для построения номограмм 143
6.	Примеры построения инженерных номограмм к главе V ....................................... ...	144
Глава VI. Номограммы с применением треугольной системы координат . ..I......................................150
1.	Построение треугольной системы координат и ее особенности . ...... L....  .......................150
2.	Основные свойства треугольников Гиббса .... 154
3.	Сочетание треугольной системы координат с прямоугольной на плоскости...........................156
4.	Сочетание треугольной системы координат с прямоугольной в пространстве.........................158
5.	Решение уравнений и систем уравнений вида mz\ + nz% + pz3
г ==----------------- при т+п+р= 100, с ис-
т -|- п 4- р
пользованием готовой основы номограммы.........163
6.	Построение уравнений вида	пользуясь треугольной системой координат	166
7.	Примеры инженерных номограмм к главе VI . . . 170
Часть вторая
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
Глава I. Сущность графических методов обработки опытных данных..............................................179
Глава II. Построение графиков уравнений в прямоугольных координатах с равномерными шкалами......................188
1. Влияние изменения постоянных уравнений с двумя переменными на вид получаемых на графиках кривых 188
2. Изучение графиков уравнений с тремя переменными 195 а) Уравнения, дающие графики с семействами прямых . . ...........................................196
б) Уравнения, дающие один график с семейством прямых, а другой с семейством кривых . . . 199 в) Уравнения, дающие оба графика с семействами кривых........................................203
327
Стр.
Глава III. Построение графиков в прямоугольных координатах с неравномерными шкалами..................... 209
1. Построение графиков опытных дачных с применением логарифмических шкал ................'......... 210
2. Построение графиков опытных данных с применением квадратичной, обратной	и других	неравномерных
шкал............................................ 211
Глава IV. Определение постоянных эмпирической формулы после нахождения ее общего вида методами избранных точек, средних арифметических и наи-
меньших квадратов...........................  220
1.	Формулы	с одной	постоянной величиной.......... 222
2.	Формулы	с двумя	постоянными величинами........ 232
3.	Формулы	с тремя	постоянными величинами........ 241
Глава V. Графические методы подбора эмпирической формулы при однофакторной зависимости...................... 246
1.	Зависимость вида А=/пВ+п . . . .................. 246
2.	Зависимость вида A = mBn........................  247
3.	Зависимость вида A=migB+n........................ 250
4.	Зависимость вида А=т ]/В + п • . • • ............ 253
5.	Зависимость вида lgA=mB+n или А =етВ+п 255
6.	Зависимость вида А=^~+ЬВ+с........................256
В
Глава VI. Графические методы подбора эмпирических формул при двухфакторной раздельной зависимости . ............................................  260
1.	Зависимость вида А=аВ+ЬС+с ...................... 260
2.	Зависимость вида А=аВС+ЬС+с...................... 262
3.	Зависимость вида lgA=aB + bC+c и Д=еаВ+ьс+с 264
4.	Зависимость вида А=тСп[(В)........................267
5.	Зависимость вида А — аВт+Сп.......................274
Глава VII. Графический метод подбора эмпирической фор-
мулы при двухфакторной нераздельной зависимости . .............................  279
1.	Сущность метода	.............................. 279
2.	Зависимость вида	А=аВ+&С+с .	............... 283
3.	Зависимость вида	lgA=aB+&C+c	или А=еаВ+ьс+с 286
4.	Зависимость вида	A==algB+blgC+c	. ............. 291
5.	Зависимость вида	А—аВтСп . .................... 295
а b
6.	Зависимость вида А= ~	............... 298
Гла ва VIII. Возможности нахождения графическим способом ошибок в опытных данных при изучении двухфакторной нераздельной зависимости ...	301
Приложение......................................   305
Литература..................................*.*.**	325
328
Б?05