Практические занятия с логарифмической линейкой - Богомолов Н.В.

Глава 1. Основные сведения об устройстве логарифмической линейки
§ 2. Основные части счетной 250-миллиметровой логарифмической линейки и ее шкалы
Вычислительные шкалы 19-шкальной линейки.
Вычислительные шкалы 10-шкальной линейки
§ 5. Понятие о порядке числа
§ 6. Умножение двух чисел
§ 7. Последовательное умножение ряда чисел
§ 9. Комбинированное умножение и деление
§ 12. Вычисления с применением обратной шкалы Di
§ 20. Вычисление числовых значений показательной функции е-х
§ 21. Нахождение натурального логарифма числа и числа по его натуральному логарифму
Глава VII. Вычисление десятичных логарифмов
§ 25. Вычисления с применением шкалы L
§ 26. Устройство тригонометрических шкал
28. Вычисление натуральных и десятичных логарифмов тригонометрических функций
Глава IX. Решение пропорций. Решение прямоугольных и косоугольных треугольников
§ 30. Решение прямоугольных треугольников
§ 31. Решение косоугольных треугольников
§ 35. Вычисление площадей поверхностей и объемов круглых тел
Глава XI. Вычисления с комплексными числами
§ 37. Преобразование комплексного числа из алгебраической формы в показательную
§ 38. Преобразование комплексного числа из показательной формы в алгебраическую
Глава XII. Обоснование устройства логарифмической линейки
Author: Богомолов Н.В.
Tags: теория чисел математика
Year: 1980
Similar
Логарифмическая линейка в радиотехнических расчётах
Счетная линейка
Счетная логарифмическая линейка
Text
                    Н. В. БОГОМОЛОВ
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
С ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ
ЛИНЕЙКОЙ
«ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1980

Н. В. БОГОМОЛОВ
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
С ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ
ЛИНЕЙКОЙ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для техникумов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1980

ББК 22.1
Б74
УДК 511+518.2
Рецензент: препод. И. М. Смычкович
Богомолов Н. В.
Б74 практические занятия с логарифмической линей¬
кой: Учеб, пособие.— 2-е изд., доп.— М. Высш, шко¬
ла, 1980.— 144 с., ил.
20 к.
Пособие является руководством по изучению разнообразных при
емов вычисления на современных логарифмических линейках. Подробно
описаны приемы вычислений с применением шкал показательной функ
Ции (возведение чисел в дробные степени) на двусторонней логариф
мической линейке с 19-ю шкалами.
Во втором издании добавлены главы: «Решение пропорций. Реше
ние прямоугольных и косоугольных треугольников», «Решение геометри¬
ческих задач», «Вычисления с комплексными числами», «Обоснование
устройства логарифмической линейки».
Предназначается для учащихся средних специальных учебных за¬
ведений. Может быть полезно лицам, желающим самостоятельно изу¬
чить приемы вычислений на логарифмической линейке.
„60602—267
Б—■	■ 203-80	4306020400
001(01)—80
51
ББК 22.
(6) Издательство «Высшая школа», 1977
(6) Издательство «Высшая школа», 1980, с изменениями

ПРЕДИСЛОВИЕ
Назначение пособия — помощь учащемуся в корот¬
кий срок самостоятельно изучить разнообразные приемы
вычислений на 19-шкальной, 10-шкальной или других
логарифмических линейках при минимальном времени
классных занятий (в основном — зачетных)..
Материал в пособии разделен на пункты — неболь¬
шие дозы учебного материала. Сообщение нового ма¬
териала в основном изложено в виде алгоритмов. Под
алгоритмом понимается точная инструкция, предписы-
вающаЯ" выполнение последовательных определенных
действий по формальным правилам. При алгоритмиза¬
ции пособия преследовались цели:
1)	помочь учащемуся правильно понять и точно вы¬
полнить очередное задание;
2)	выработать навыки быстрых и точных действий
по указанным правилам;
3)	прочно запомнить эти правила и безошибочно
применять их впоследствии.
Каждая доза учебного материала представляет
собой законченный вопрос. Новый учебный материал
излагается в основном в виде алгоритма — описания
нового приема вычисления. Теоретические обоснования
правил даны в гл. 12. Закрепление учебного материала
дается в виде упражнений для выработки твердых и ус¬
тойчивых навыков. Наконец, зачетные упражнения поз¬
воляют провести самоконтроль по усвоению материала.
Такая структура пособия позволяет изучить весь ма¬
териал самостоятельно при незначительной затрате вре¬
мени.
Упражнения по каждому новому приему вычислений
даны в таком объеме, который позволяет учащемуся не
только изучить, но и прочно закрепить вычислительные
навыки.
Необходимо отметить, что двусторонняя логарифми¬
ческая линейка с 19 шкалами по своим вычислительным
возможностям, простоте и удобству работы на ней зна¬
чительно превосходит другие ранее выпускавшиеся
з

логарифмические линейки. Нет сомнения, что эта линейка
займет в вычислительной работе учащихся подобающее
ей место.
В пособии даны ответы ко всем тренировочным и за¬
четным упражнениям. Пользоваться ответами рекомен¬
дуется только после выполнения очередного задания.
Работать с методическими указаниями надо с ли¬
нейкой в руках, выполняя на линейке все упражнения.
Во втором издании добавлены следующие главы:
«Решение пропорций. Решение прямоугольных и косо*
угольных треугольников»; «Решение геометрических
задач»; «Вычисления с комплексными числами»- «Обос¬
нование устройства логарифмической линейки»,
Автор

ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ УСТРОЙСТВЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКИ
§ 1.	Краткая характеристика
современных логарифмических линеек
1.	На протяжении нескольких десятилетий в нашей
стране имела широкое применение обыкновенная
250-миллиметровая логарифмическая линейка. Обладая
целым рядом положительных качеств, эта линейка
имела и свои конструктивные недостатки. Например,
вычисления с применением тригонометрических шкал
во многих случаях были связаны с перевертыванием
движка. Возведение чисел в дробные степени выполня¬
лось с применением шкалы мантисс логарифмов, что
было связано с довольно громоздкими вычислениями.
На двусторонних 250-миллиметровых логарифмиче¬
ских линейках, выпускаемых у нас и за рубежом, эти
недостатки устранены. Широкое распространение полу¬
чила двусторонняя 250-миллиметровая линейка «Ленин¬
град» с 19-ю шкалами. Эта линейка, которую в даль¬
нейшем будем называть «19-шкальная линейка», отли¬
чается от обыкновенной следующим: шкалы на линей¬
ке расположены с двух сторон, поэтому при тригоно¬
метрических вычислениях нет необходимости в перевер¬
тывании движка; на тригонометрических шкалах вмес¬
то деления градуса на минуты даны его десятичные
деления, что для технических расчетов представляет
несомненные удобства; возведение чисел в дробные
степени упрощено и выполняется с применением шкалы
показательной функции с основанием е. На этой линей¬
ке имеются и другие шкалы, которых нет на обыкновен¬
ной линейке.
19-шкальная линейка удобна и полезна как в вы¬
числительной работе инженеров и техников, так и для
учебных целей в техникумах и во втузах.
5

В средней школе и в некоторых техникумах для вы¬
числительной работы учащихся предпочитают линейку
общего назначения с 10 шкалами (в дальнейшем будем
ее называть «10-шкальная линейка»). Конструктивно
эта линейка оформлена, как и 19-шкальная: двусторон¬
няя, с одинаковым расположением и устройством шкал;
На этой линейке отсутствует шкала показательной
функции с основанием е. Поскольку, однако, учащиеся
средней школы производят возведение чисел в дробные
степени сравнительно редко, указанная операция может
быть выполнена с применением шкалы мантисс лога¬
рифмов, как это и производится на обыкновенной ли¬
нейке.
Нашей промышленностью выпускаются и другие по
конструкции линейки. Выпускается 11-шкальная одно¬
сторонняя линейка, которая имеет шкалу показательной
функции и десятичные деления градуса. Конструктивно
же эта линейка оформлена как обыкновенная. Напри-
Mepi движок при некоторых тригонометрических вычис¬
лениях надо переворачивать.
Круглые и 125-миллиметровые линейки в учебной
практике широкого распространения не получили.
2.	Погрешность вычислений на логарифмической ли¬
нейке. При вычислениях на логарифмической линейке
стандартного образца длиной 250 мм мы получаем чис¬
ла с тремя-четырьмя верными знаками, что соответству¬
ет, при одном действии, относительной погрешности, не
превышающей 0,5%. Для большинства технических рас¬
четов такая точность вычислений вполне доста¬
точна.
§ 2.	Основные части
счетной 250-миллиметровой логарифмической линейки
и ее шкалы
3. Основные части двусторонних 250-миллиметровых
линеек с 19 и 10 шкалами. К основным частям линеек
относятся: корпус, движок, двусторонний визир (бегу¬
нок с визирной линией). В дальнейшем, для краткости,
вместо слов «визирная линия» будем говорить
«визир».
6

4. Вычислительные шкалы 19-шкальной линейки.
№
шкал
п. п
Наименование шкалы
(сверху вниз)
Формула для
вычисления
по отношению
к числу X
основной
шкалы
Обозначение
и расположение
корпус
движок
Лицевая сторона
1
Шкала кубов
АГ3
К
—»
2—3
Шкала квадратов
X2
А
в
4
Шкала синусов
—
—
s
5
Шкала синусов и танген¬
сов малых углов
—
—
sτ
6
Шкала тангенсов
<—
—
т
7—8
Основная шкала
X
1
D
с
9
Обратная шкала
1
X
D1
Обратная сторона
10
Шкала мантисс
⅛*
L
*-
11
Шкала	показательной
функции от 1,01 до 1,1
eo,oix
LLi
—
12—13
Шкала, сдвинутая на л
Л X
1
DF
CF
14
Обратная шкала, сдвину-
1
Л X
CiF
тая на л
15
Обратная шкала
1
<4
X
16—17
Основная шкала
X
D
С
18
Шкала показательной
г
Щ
—»
функции от е до 20000
19
Шкала показательной
функции от 1,1 до а
e0∙l x
Щ
5.
Вычислительные шкалы 10-шкальной линейки
Формула
для вычисле¬
Обозначение
№
Наименование шкалы
ния по отно¬
и расположение
шкал
(сверху вниз)
шению к числу
X основной
шкалы
п. о.
корпус
движок
Лицевая сторона
1
Шкала кубов
X3
X
2—3
Шкала квадратов
X2
А
в
4
Шкала синусов
——
s
5
Шкала синусов и танген¬
сов малых углов
—•
—
sτ
6
Шкала тангенсов
—
—•
т
7—8
Основная шкала
X
D
о
9
Обратная шкала
1
Di
и
Обратная сторона
X
10
Шкала мантисс
lg*
L
—
7

ГЛАВА II
ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ
ОСНОВНОЙ ШКАЛЫ (О и С)
§ 3.	Устройство основной шкалы (D и С)
6.	Основная шкала (D и С) разделена на девять
крупных неравных промежутков, отмеченных удли¬
ненными штрихами. В начале каждого из этих про¬
межутков проставлены числа 1, 2, 3,..., 9 и в конце
последнего промежутка 1 или 10. Эти деления будем
называть делениями первого разряда. Они соответству¬
ют первой значащей цифре устанавливаемого или читае¬
мого числа. Найдите эти деления.
7.	Каждый промежуток между делениями первого
разряда разделен на десять более мелкн$ неравных
промежутков. Это деления второго разряда, соответ¬
ствующие второй цифре числа. На шкале они отмечены
средними по величине выступающими штрихами. В про¬
межутке же от 1 до 2 они отмечены цифрами меньшего
размера. Найдите эти деления.
8.	В промежутках между делениями второго раз¬
ряда нанесены деления третьего разряда. Этй деления
обозначают третью цифру числа. На шкале они отме¬
чены самыми короткими штрихами.
9.	В промежутке от 1 до 2 каждое деление второго
разряда разделено на десять неравных частей. Следо¬
вательно, каждому делению третьего разряда соответ¬
ствует единица. Поэтому говорят, что в промежутке от
1 до 2 цена деления третьего разряда равна единице
третьего разряда.
10.	Найдите на основной шкале в промежутке от 1
до 2 деления третьего разряда.
11.	В промежутке от 2 до 5 каждое деление второго
разряда разделено на пять неравных частей.
Соответственно в указанных промежутках делению
третьего разряда соответствуют две единицы третьего
разряда, т. е. цена деления в этих промежутках равна
двум единицам третьего разряда. Для отсчета одной
единицы третьего разряда промежуток между двумя
смежными делениями третьего разряда делят на глаз
пополам.
12.	Найдите на основной шкале в промежутке от 2
до 5 деления третьего разряда.
8

13.	В промежутке от 5 до 10 каждое деление треть¬
его разряда разделено на две части.
Соответственно в указанных промежутках делению
третьего разряда соответствует пять едийй'й третьего
разряда, т. е. цена деления в этих промежутках равна
пяти единицам третьего разряда. Для отсчета единицы
третьего разряда промежуток между двумя смежнымй
делениями третьего разряда делят на глаз на пять час¬
тей. Для отсчета» например, трех единиц третьего раз¬
ряда берут на глаз отрезок, чуть больший половины де¬
ления третьего разряда.
14.	Найдите на основной шкале в промежутке от 5
до 10 деления третьего разряда.
15.	В промежутке от 1 до 2 можно произвести от¬
счет и четвертой цифры числа (так как цена деления
здесь равна единице). Для этого нужно деление треть¬
его разряда на глаз разделить на десять частей, тогда
получим деления четвертого разряда. Например, для от¬
счета 5 единиц четвертого разряда берем половину де¬
ления третьего разряда. Следовательно, можно произ¬
вести отсчет четырехзначного числа, если его первая
значащая цифра единица.
16.	Чтобы найти цену деления, нужно заметить, на
сколько частей разделен промежуток между двумя де¬
лениями второго разряда. Если этот промежуток разде¬
лен на десять частей, то цена деления равна единице;
если он разделен на пять частей, то цена деления рав¬
на 2; если же он разделен на две части, то цена деления
равна 5. Чтобы каждый раз не заниматься прикидкой
цены деления, необходимо запомнить устройство основ¬
ной шкалы.
Нельзя переходить к изучению следующих вопросов,
пока не усвоены цены деления основной шкалы.
17.	Цены делений основной шкалы (D и С).
Промежутки шкалы
Цена деления
первого разряда
второго разряда
третьего разряда
1—2
1
1
1
2—5
1
1
2
5-10
1
1
5
18. Совместив визир (визирную линию) с произволь¬
ным делением основной шкалы, ответьте на вопрос:
цифры каких разрядов соответствуют этому делению?
9

§ 4. Установка и чтение чисел на основной шкале
(О и С)
19.	Каждому положению визира на основной шкале
соответствует не одно число, а все числа, получающие-
ся из него умножением на любую степень 10, т. е. от
переноса запятой в данном числе отсчет числа на шка¬
ле не изменится. Так, одному и тому же отсчету на
основной шкале соответствуют числа 256; 2,56; 0,256;
2560 и т. д. Поэтому при установке данного числа на
основной шкале не обращают внимание на положение
запятой и на нули в конце этого числа.
20.	Устанавливая на основной шкале какое-нибудь
число, например 187, мы читаем его как телефонный
номер 1—8—7. Первый разряд числа—один, второй
разряд числа — восемь и третий разряд числа — семь,
Находим соответствующие этим цифрам деления основ¬
ной шкалы и совмещаем визир с положением цифры
третьего разряда. Мы произвели отсчет числа 187. Это¬
му же положению на шкале будут соответствовать чис¬
ла 1,87; 0,187; 1870; 18,7; 0,000187 и т. д.
21.	Установите на шкале D числа 164; 248; 352; 42,5;
574; 6,26; 73500; 0,895; 966.
22.	Начинающие изучать линейку часто допускают
ошибку при отсчете чисел, в которых цифра второго
разряда нуль, например, при установке чисел вида: 104;
2,08; 30,5; 401; 0,503; 60,7; 7090; 802; 0,0909.
Установим на шкале D число 104. Читаем 1—0—4.
Первый разряд числа — один, второй разряд числа —
нуль, третий разряд числа — четыре. Поскольку второй
разряд числа есть нуль, оно будет установлено между
единицей первого разряда и единицей второго разряда,
т. е. после единицы первого разряда устанавливают
сразу четыре единицы третьего разряда.
Произведите самостоятельно отсчет на шкале D ос¬
тальных чисел, данных в этом пункте.
23.	Об округлении чисел. На основной шкале мь
можем производить установку и отсчет трехзначных и
четырехзначных чисел, если они начинаются с единицы
Если число содержит большее число цифр, чем можнс
установить на соответствующей шкале, то его предва
рительно округляют, руководствуясь следующими пра
вилами:
1)	если первая (слева) из отбрасываемых цифр О, 1,
2, 3, 4, то последняя оставляемая цифра не изменяется
10

2)	если первая (слева) из отбрасываемых цифр 5, 6,
7, 8, 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается
на единицу,
3)	если отбрасывается только одна последняя циф¬
ра 5, то она или просто отбрасывается, или же преды¬
дущая цифра увеличивается на единицу.
Примеры:
235 337≈235 ООО;	5,4754≈5,48ι
19,414≈ 19,41	83,692≈83,7j
70,809≈70,8j	0,127651≈0,1277;
15,465≈ 15,46 или 15,47; 0,004939 ≈0,00494.
Установите на шкале D числа:
24. 15,3;	25. 234;	26. 3,58,
189;	2,52;	3,94;
1,21;	290;	322;
0,114;	2,7;	3,55;
1475;	2,43;	3,9;
1753;	28,7;	38,7;
105;	2,06;	0,399;
10,3;	20,1;	3,04;
1,08;	2,09;	30,1;
106,5.	20,7.	0,303.
27. 4;	28. 5,5;	29. 6000;
4,8;	555;	6,5;
4,95;	0,00575;	625;
48,5;	5;	0,694;
4,94;	0,54;	0,681;
4,22;	0,523;	6,24;
4,53;	54,7;	632 000;
405;	0,505;	6,05;
0,401;	0,501;	0,602;
0,409.	50,8;	609.
30. 76,5;	31. 82,5	32. 9,95;	33. 37,4;
0,75;	8,6;	0,95;	0,0901;
777;	0,815;	92,5;	1,234;
0,00734;	0,813;	9,17;	5,67;
0,0719;	894;	0,000934;	809;
0,799;	863 000;	0,966;	6,99;
θ,701∙,	8,21;	99,1;	40,4;
70 500;	888;	999;	299;
7,04;	0,802;	0,905;	70,9;
709.	80,4.	0,909.	551000.
11

34.	Чтение чисел на основной шкале (D и С). Ecιg
на шкале D визир установлен в некотором положении
то нужно уметь прочитать число, соответствующее это
му положению визира. Читая число, мы не знаем по
ложение запятой в этом числе или количество нулей
конце числа. Прочесть число — это назвать в послед о
вательном порядке его цифры, например 3—4—8. ПрР
чтении цифр третьего или четвертого разряда с учетов
цены деления мы вынуждены читать эти цифры ∏4
глаз, так как часто визир не будет совпадать с деления!
ми третьего разряда. Быстрота чтения чисел на шкала|
линейки достигается только практикой.
35.	Установите произвольно визир йа основной шка
ле последовательно в разных местах участков этой
шкалы от 1 до 2, от 2 до 3, от 3 до 4 и т. д. Убедите ⅛
в том, что можете быстро и безошибочно производит!
отсчет цифр каждого из произвольных положений вл
зира.
§ 5.	Понятие о порядке числа
36.	При чтении чисел на основной шкале мы може\
назвать лишь первые три-четыре значащие цифры f
этом числе.
Для определения места запятой в этом числе вве
дем понятие о порядке (значности) числа.
Определение. Порядком числам ↑ {целого и.и
смешанного) называется число цифр целого числа им
число цифр в целой части у смешанного числа, взятп
со знаком плюс.
Порядком числа <1 {правильной десятичной дроби}
называется число нулей после запятой до первой знача
щей цифры, взятое со знаком минус *.
* При записи числа в стандартном виде, т. е. в виде α∙ Юл (гд*
l<α<10), п также называют порядком числа. Например, поряди
числа 0,000072 по нашему определению равен —4, а при записи ∣
стандартном виде 0,000072 =7,2-10—5 порядок равен *—5, т. е. в опре
делении, данном в тексте, порядок числа всегда на единицу больи
порядка этого же числа, записанного в стандартном виде (порядо
числа, записанного - в стандартном виде, и характеристика его лога
рифма выражаются одним и тем же числом). В настоящем пособии н
используется определение порядка числа при его записи в cτa∏fiapτHj
виде.
12

Примеры:
Число
Порядок его |	Число
Порядок его
9
24
387
4503
20 000
3,1
12,05
50,00
37. Укажите
1)	256;	6)
2)	19;	7)
3)	6,21	8)
4)	1000;	9)
5)	13,6;	10)
+ 1	128,07
+2	0,4005
+3	0,02Q4
. +4	0,0015
+5	0,00074
+1	0,00001
+2	0,10001
+2	||	1,00001
порядок, следующих чисел:
4,96;	И)	0,8;	16)
128,3;	12)	0,08;	17)
20 900;	13)	0,0008;	18)
19,03;	14)	0,0101;	19)
464 000;	15)	0,00209;	20)
+3
0
—1
—2
-3
—4
0
+1
0,000725;
0,001001;
0,594;
0,000071;
0,1002.
38.	По данному отсчету числа и его порядку мы
можем назвать число, соответствующее этому отсчету.
Примеры:
Данна*
отсчет
Порядок
числа
Число
Данный
отсчет
Порядок
числа
Число
7—2—1
1
7,21
6—4—1
0
0,641
4—3—2
2
43,2
5-1—1
-1
0,0511
1—7—5—2
3
175,2
3—4—5
-2
0,00345
4—8—9
4
4890
2—0—1
—3
0,000201
3—1—2
5
31200
8-0—0
—4
0,00008
39.	По данному отсчету числа и его порядку запи¬
сать число, соответствующее этому отсчету:
Данный
отсчет
Порядок
числа
Число
Данный
отсчет
Пор яда
числа
Число
1)	4—3—5
2)	4—3—5
3)	4—3—5
4)	1—6—5—2
5)	5—7—2
6)	8—1—2
7)	3—0—4
8)	6—2—0
9)	2—0—9
10)	1—7—0—2
2
4
0
5
—3
0
—4
0
—3
4
И) 8—0—6
12) 6—0—0
13) 1—0—0—1
14) 4—8—9
15) 5—2—4
16) 7—8—5
17) 3—3—0
18) 9—9—9
19) 9—9—9
20) 1—7—0
5
—3
О
—1
3
0
—2
0
—2
5
13

§ 6. Умножение двух чисел
40.	Первый случай. Умножение двух чисел пре
помощи начального штриха движка.
Пусть требуется умножить 2,4-17,5.
Умножение выполняем в следующей последователь
ности:
1)	совмещаем начальный штрих шкалы С с отсче
том 2—4—0 на шкале D',
2)	устанавливаем визир на шкале С на отсчете
1—7—5;
3)	под отсчетом 1—7—5 на шкале С читаем на шка
ле D отсчет ответа 4—2—0;
4)	порядок произведения находим прикидкой.
Сущность прикидки заключается в нахождении про
изведения при округлении сомножителей с недостат¬
ком или с избытком:
2,4-17,5≈2∙ 17=34 и 2,4-17,5≈3∙ 18=54.
Следовательно, 34<2,4∙ 17,5<54.
Прикидка показывает, что порядок произведения
равен 2, что по отсчету на шкале D соответствует двух
аначному числу 42. Прикидку производят в уме. Для
быстрого нахождения порядка произведения прикидку
производят или только с недостатком, или только ⅛
избытком.
41.	Выполните умножение. Порядок произведения
найдите прикидкой:
1)	3,21-15,9;	5)	1,06-2,33;	8)	21,8-4,56;
2)	2,27-2,05;	6)	11,2-17,4;	9)	1,183-43,2;
3)	2,13-3,15;	7)	1,54-3,26;	10)	0,476-1,33.
4)	9,51-1,02;
42.	Правило о порядке произведения двух чисел для
случая, когда умножение производится при помощи на¬
чального штриха движка. Это правило записывается
Фак:
~Pab=(Pa+Pb)-i,	О)
где стрелка → показывает, что движок выдвинут вправо;
Ра — порядок сомножителя а; Pb — порядок сомножи¬
теля Ь; Pas — порядок произведения ab.
Если умножение двух чисел производится при по¬
мощи начального штриха движка (движок выдвину?
Н

вправо), то порядок произведения равен сумме поряд¬
ков сомножителей минус единица.
Вернемся к примеру из п. 40. К произведению
2,4-17,5 применим правило (1). Имеем:
P2.4=l,∙ P17,5 = 2j P2,4 i7,5 = (l+2)-1 = 2.
Порядок произведения равен 2, следовательно, от¬
вет 42.
Рассмотрим еще один пример. Пусть требуется умно¬
жить 0,00376-0,0238. Отсчет произведения 8—9—5, дви¬
жок выдвинут вправо. Находим порядок произведения
по правилу (1):
Р = 0,00376 0,0238 = (—2) + (—1) — 1 = — 4.
Ответ: 0,0000895.
При применении записи числа в стандартном виде
порядок произведения устанавливается непосред-ч
ственно:
0,00376 • 0,0238 = 3,76 • 10-3.2,38 • 10~2 =
=(3,76∙2,38)∙10-β=
= 8,95-10-’= 0,0000895.
Правило о порядке произведения применяется в тех
случаях, когда трудно быстро установить порядок про¬
изведения прикидкой.
43.	Выполните умножение. Порядок произведения
найдите по правилу (1) :
1)	18,4-42,7’	6)	7,93-0,00122;
2)	10,4-0,0464;	7)	0,0183-0,504;
3)	0,00384-0,0241;	8) 0,00359-0,0265;.
4)	0,605.0,0131;	9)	0,0409-0,0105;
5)	2,07-0,00299;	10)	0,262-0,0195.
44.	Второй случай. Умножение двух чисел при
помощи конечного штриха движка.
Пусть надо умножить 1,65-8. Выполнить умножение
1,65∙8 с помощью начального штриха движка нельзя,
так как отсчет 8—0—0 на шкале С выходит за конеч¬
ный штрих шкалы D (проверьте на линейке). В этом
случае умножение производится с помощью конечного
штриха движка.
19

Умножение выполняется в следующей последова.
тельности:
1)	совмещаем конечный штрих шкалы С с отсчетом
1—6—5 на шкале Р;
2)	устанавливаем визир на шкале С на отсчет?
8-0-0;
3)	под отсчетом 8—0—0 на шкале С читаем на rnκa∙
ле D отсчет ответа 1—3—2;
4)	порядок произведения находим прикидкой:
1,65∙8≈ 1,6-8= 12,8; 1,65∙8≈2∙8=16.
Следовательно, 12,8< 1,65∙8< 16. Порядок произве
дения равен 2, что по отсчету на шкале Ь соответствует
числу 13,2.
45.	Выполните умножение. Порядок произведена
найдите прикидкой:
1)	4,35*9,42;	6)	0,541.7,09;
2)	8,43-6,51∣	7)	0,035.3,66;
3)	7,77.5,62;	8)	92,6-0,821;
4)	3,06.5,52;	9)	7,08-19,9
5)	0,627-3,05;	10)	0,583∙31,6.
46.	Применение правила о порядке произведён!»
двух чисел для случая, когда умножение производите!
при помощи конечного штриха движка. Это правило зт
писывается так:
*Pab≈Pa+Pb>	(2
где стрелка ÷-показывает, что движок выдвинут влево
Ра — порядок сомножителя а; Р6 —порядок сомножи
теля Ь; Р_6 —порядок произведения ab.
Если умножение двух чисел производится при по
мощи конечного штриха движка (движок выдвинут вле
во), то порядок произведения равен сумме порядке!
сомножителей.
Вернемся $ примеру из п. 44. К произведению 1,65 1
применим правило (2). Имеем:
^,t,65=lj Рв=1; Pι,65∙8 =1+ 1 =2.	ι
Порядок произведения равен 2, следовательно, от
вет 13,2.
Рассмотрим другой пример. Пусть надо умножит
0,00925-0,0505. Отсчет произведения 4—6—7, движо1

выдвинут влево. Находим порядок произведения по пра¬
вилу (2):	j
^,0t00925"0,0505=(-2)+(—1)= — 3. Ответ". 0,000467.
При применении записи числа в стандартном виде
получим
0,00925 «0,0505 =9,25 ∙ 10~M,05.10~a=
=(9,25∙5,05). 10~s=46,7-10-6 =0,000467.
Правило (2) рекомендуется применять, как и пр а-
вило (1), в тех случаях, когда прикидкой трудно быст¬
ро установить порядок произведения.
47.	Выполните умножение. Порядок произведения
найдите по правилу (2):
1)	5,62-0,0324}	6)	0,01915.0,0905}
2)	0,0362.0,428}	7)	2,07-0,00705)
3)	0,00963-20,9;	8)	0,00351.9,06;
4)	4,01-0,507;	9)	7,84-0,000603}
5)	716-0,00612)	10) 0,00403∙0,00804.
48.	Упражнения на закрепление правил (1) и (2):
1)	1,93-0,0504;	6)	0,707-0,299}
2)	0,647-0,0404)	7)	2,48-0,0545;
3)	5,16∙π}	8)	0,0501-0,111}
4)	35,9-29,8;	9)	43-19;
5)	0,699-0,131}	10)	5,71-1,75.
49.	Зачетная работа № 1 (итоговая на умноже¬
ние двух чисел).
1) 9,91-0,223;	4) 0,0778-0,329}
?) π-4,01}	5) 19,6-0,0556.
3) 0,00201-0,301}
§ 7. Последовательное умножение ряда чисел
60.	При вычислении произведения нескольких со¬
множителей промежуточные результаты не читают, от¬
мечают их только визиром.
51.	Правило о порядке произведения нескольких со¬
множителей. Это правило записывается так;
Pai∙a,∙...∙an =f α, + Λτ,4*.. ∙ + Pa∏ — <7>	(?)
где a1,a2, .,.,an- сомножители; Pα,, Ра	, Pa∏ ~ πoPs,A*
ки сомножителей; q — число выходов движка вправо.
2 Заказ № 733
17

Порядок произведения нескольких сомножителей ра
вен сумме их порядков, уменьшенной на столько еди
ниц, сколько раз движок выдвигался вправо.
62.	Перемножить, не читая промежуточных резул ь¬
татов, числа 1,8 • 2,6 • 1,7.
При умножении этих чисел последовательно выпол
няем следующие операции:
1)' совмещаем начальный штрих шкалы С с отсче¬
том 1—8—0 на шкале D (конечный штрих совместить
нельзя, так как отсчет 2—6—0 шкалы С выйдет за
шкалу D). Фиксируем первый выход движка вправо;
2)	устанавливаем визир на шкале С на отсчете
2—6—0 (отсчет на шкале D не читаем);
3)' совмещаем начальный штрих шкалы С с визиром
(конечный штрих совместить нельзя, так как следую,
щий отсчет на шкале С Г—7—0 выйдет за шкалу D)∣
Фиксируем второй выход движка вправо;
4)’ совмещаем визир с отсчетом 1—7—0 на шкале C∣
5)’ под отсчетом 1—7—0 на шкале С читаем па
шкале D отсчет ответа 7—9—6;
6)	подсчитываем порядок произведения с учетом
двух выходов движка вправо {q=2) ,.
Pl ,g∙2>c∙ι,7 “ 1+1 +1 2=1.
Порядок произведения равен 1;
7)	ответ: 7,96.
53.	Перемножить, не читая промежуточных резулы
татов, числа 5,8 • 7,9 • 2,1 ∙1,6.
При умножении последовательно выполняем следую
щие операции:
1)	совмещаем конечный штрих шкалы С с отсчетов
5—8—0 на шкале D (начальный штрих совместил
нельзя, так как отсчет 7—9—0 на шкале С выйдет з
шкалу О);
2)	устанавливаем визир на шкале С на отсчет
7—9—0 (отсчет на шкале D не читаем);
3)	совмещаем начальный штрих шкалы С с визиром
4)	совмещаем визир с отсчетом 2—1—0 на шкале
Фиксируем первый выход движка вправо;
5)	совмещаем конечный штрих шкалы С с визиром
6)	совмещаем визир с отсчетом 1—6—0 на шкале с,
7)	под отсчетом 1—6—0 на шкале С читаем и
шкале D отсчет произведения данных чисел 1—5—4
18

8)	подсчитываем порядок произведения с учетом од*
ного выхода движка вправо (q = l)∙.
P5.8∙7.9∙2,1∙ 1,6 = l + l + l + l — 1=3.
Порядок произведения равен 3;
9)	ответ: 154.
54.	Найдите следующие произведения. Порядок про2 3 4 5
изведения определите прикидкой или по правилу (3):
1)	1,6.2,12-1,99;	6)	0,905-8,25-5,06-0,595;
2)	1,07-2,02-44;	7)	1,69-0,322-7,15-4,24;
3)	0,112-0,242.2,18-1,32;	8)	5,15-0,139-1,08-7,3-0,51;
4)	9,45-7,24-0,31;	9)	0,278-2,52-7,5;
5)	7,65-0,805-5,01-0,73;	10)	0,00855-61,4-8,95.
55.	1) Вычислите вес дубового сухого бруса дли¬
ной 2,75 м, толщиной 8,5 см и шириной 12 см. Удельный
вес дуба 0,9.
2) Вычислите вес цилиндрического бетонного стол¬
ба длиной 2,8 м и с радиусом основания 11 см. Удель¬
ный вес бетона 2,35.
56.	Зачетная работа № 2 (итоговая на последо¬
вательное умножение ряда чисел).
1)	5,95-0,804-0,668; 4) 18,1-0,0214-0,545-0,705;
2)	л-9,18-6,65;	5) 6,91 • 0,515• 0,405• 0,372.
3)	1,22-0,0233-3,07;
§ 8. Деление
57.	П е р в ы й случай. Деление при помощи на¬
чального штриха движка.
Пусть требуется разделить 6,4 :2,5.	'
Деление выполняется в следующей последовательно¬
сти:
О на шкале D устанавливаем визир на отсчете
2) совмещаем отсчет 2—5—0 на шкале С с визиром;
3) под начальным штрихом шкалы С на шкале D
читаем отсчет ответа: 2—5—6;
4) прикидкой устанавливаем, что порядок частного
равен 1, следовательно, ответ 2,56.
2*	19

58.	Выполните деление. Порядок частного найдите
прикидкой:
1)	4,9:3,8;	6)	329:185;
2)	5,04:2,05;	7)	9,05:2,08;
3)	0,585:0,195;	8)	48,4:0,414;
4)	0,0842:5,14;	9)	9,25:0,0705;
5)	52,5:0,312;	10)	0,0815:0,507.
59.	Правило о порядке частного двух чисел для слу¬
чая, когда деление производится при помощи началь¬
ного штриха движка. Это правило записывается так:
Λ6=(pβ-pft)+ι,	(4)
где стрелка → показывает, что движок4 выдвинут вправо;
Ра — порядок делимого а; Pb — порядок делителя b',
Paib — порядок частного а/Ь.
Если деление двух чисел выполняется при помоши
начального штриха движка (движок выдвинут вправо),
то порядок частного равен разности порядков делимого
и делителя плюс единица.
Нельзя пользоваться правилом о порядке частного,
если выполняется деление 1/Ь при движке, выдвинутом
вправо. При делении 1/Ь движок выдвигаемся влево,
т. е. применяется правило (5) (см. ниже, п. оЗ).
Вернемся к примеру из п. 57. Применим'правило (4)
к частному 6,4:2,5. Имеем?
f,6t4 = l. ^2,5=1» Рб,4/2.5 = 1—1 + 1 = 1.
Порядок частного равен 1, следовательно, ответ 2,5'3«
Рассмотрим другой пример. Пусть надо разделись
0,0825:0,00224. Отсчет.частного 3—6—8, движок выдви¬
нут вправо. Находим порядок частного по правилу (4):
Ро,0825/0,00224" = (—1) — (—2)+l=2. Otnββtm 36,8.
При применении записи числа в стандартном виге
получим
0,0825:0,00224=8,25-10~а:2,24∙ 10~8=
=(8,25:2,24). 10=3,68-10=36,8.
Правило (4) рекомендуется применять в тех случаях,
когда прикидкой затруднительно быстро установить по¬
рядок частного.
20

60.	Выполните деление. Порядок частного найдите
по правилу (4):
1)	44,5:0,256;	β)	0,000614:0,00232;
2)	7,34:188;	7)	79,5:1275;
3)	0,0174:0,161;	8)	19,9:0,0188;
4)	0,00286:0,016;	9)	0,394:0,00204;
5)	0,0925:0,00208;	10)	38,9:282.
61.	Второй случай. Деление при помощи конец*
ного штриха движка.
Пусть требуется разделить 5,75:0,081.
Деление выполняется в следующей последователь»
ности:
1)	на шкале D устанавливаем визир на отсчете
5—7—5;
2)	совмещаем отсчет 8—1—0 на шкале С с визиром;
3)	под конечным штрихом шкалы С (начальный
штрих движка вышел за шкалу D) на шкале D читаем
отсчет частного 7—1—0;
4)	прикидкой устанавливаем, что порядок частного
равен 2 (5,75:0,081=575:8,1), следовательно, ответ 71.
62.	Выполните деление. Порядок частного найдите
прикидкой:
1)	118:443;	6)	2,02:6,05;
2)	53,5:6,95;	7)181:815;
3)	18,7:0,208;	8)	0,0402:4,26;
4)	0,465:7,1;	9)	8,15:91,5;
5)	0,0304:4,45;	10)	412:8,08.
63.	Правило о порядке частного для случая, когда
деление производится при помощи конечного штриха
движка. Это правило записывается так:
P^alb≈Pa-Pb,	(5)
Где стрелка *- показывает, что движок выдвинут влево;
Ра — порядок делимого а; Рь — порядок делителя Ъ\
Ра/ь — порядок частного а/Ь.
Если деление двух чисел выполняется при помощи
конечного штриха движка (движок выдвинут влево),
то порядок частного равен разности порядка делимого
и делителя.
Вернемся к примеру из п. 61. Применим правило (5)
к частному 5,75:0,081. Имеем:
∕55,75 = 1. Λ>.081 =— 1, Рб,76/0,081 = 1 —(—1) = 2.
Порядок частного равен 2, следовательно, ответ 71.
21

Рассмотрим другой пример. Пусть надо разделит!
0,000435:0,0725. Отсчет частного 6—0—0, движок вы
двинут влево. Находим порядок частного по правилу (5)
Pq,ooo435∕o,o72S=(—3) — (—1)=—2. Ответ: 0,006.
При применении записи числа в стандартном виде
получим
0,000435:0,0725 = 4,35-10~4:7,25∙ 10~2=
=(4,35:7,25)-10-2= 0,6-10~2=0,006.
64.	Выполните деление. Порядок частного найдите по
правилу (5):
1)	50,5:0,605|	6)	6,14:0,00703}
2)	3,22:410;	7)	0,00709:8,75;
3)	0,0174:0,705;	8)	27,3:697;
4)	0,00425:0,0766;	9)	418:67,8;
5)	0,0262:0,00505;	10)	89500:91,5.
65.	Упражнения на закрепление правил (4) и (5)<
1)	22,2:0,185;	6)	0,0602:0,752;
2)	0,00645:0,089;	7)	0,535:0,175;
3)	0,425:0,0715;	8)	2,64:208;
4)	0,00308:0,0243;	9)	0,0148:0,0191;
5)	0,0415:0,00185;	10)	0,0151:0,0107.
66.	Зачетная работа № 3 (итоговая на деления
двух чисел):
1)	2,81:0,0181; 4) 0,00232:0,0398;
2)	4,04:0,0535; 5) 0,0405:0,00605.
3)	2,16:0,0143;
§	9. Комбинированное умножение и деление
67.	В технических расчетах формулы для вычисде
ний часто представляют собой частное от деления одно
группы сомножителей на другую, поэтому следует э
ратить особое внимание на овладение приемами таю
вычислений.
Так как промежуточные результаты в подобных в1
числениях обычно не требуются, то их и не читают, а о
мечают визиром их отсчеты и далее переходят к следу!
щим действиям.
При комбинированных вычислениях последоватеп
ность действий умножения и деления влияет на то
ность конечного результата, поэтому их выполню
(если это представляется возможным) при одном п
ложении движка и без его переброски. От удачно
выбора этой последовательности зависят скорость
точность вычислений.
22

Выходы движка вправо при умножении и делении
обязательно фиксируются и учитываются при подсчете
порядка частного. При каждом выходе движка вправо
в случае умножения записывается — 1, а в случае де¬
ления + 1.
68.	Комбинированное умножение и деление без вы¬
хода движка вправо.
Пусть требуется вычислить ——•
Вычисление выполним по схеме:




с
1)	на шкале D устанавливаем визир на отсчете
2—4—0;
2)	совмещаем отсчет 6—2—0 на шкале С с визиром.
Отсчет частного на шкале D под конечным штрихом
шкалы С не читаем и визиром не фиксируем;
3)	совмещаем визир с отсчетом 3—6—4 на шкале С;
4)	против отсчета 3—6—4 на шкале С читаем на
шкале D отсчет частного 1—4—0—9;
5)	подсчитываем порядок частного как разность
сумм порядков делимого и делителя с учетом зафикси¬
рованных выходов движка вправо (в данном случае
выходов движка вправо не было):
Р=(ЬН)-(+1)=1;
делимое делитель
6)	ответ: 1,4.
Решим по этой же схеме еще один пример.
Вычислить Λ<≡∙<M×≡-,
0,0000655
Отсчет частного 1—3—2. Выходов движка вправо
ιe было. Находим порядок частного:
Р=(_2)4-(-3) — (—4)=—1. 0mβemι 0,0132.
Используя запись числа в стандартном виде, полу-
[ИМ
0,00235.0,000368	2,35.10~». 3,68-10-« _
0,0000655	~	6,55∙10~⅛	=
2,35-3,68, jф_2= 1 32 j0_2=0 oι32>
6,55
23

69. Упражнения на комбинированное умножение ч
деление без выхода движка вправо (по схеме п. 68)ι
1,9∙4,4,	3,64-0,00845. θ. 52,7-19,1.
7,2 ’	'	0,382	’	0,0866 ’
2,48-3,96.	g, 7,24∙98,5.	9.	1,43-6,08.
9,45 ’	'	81,5 ’	’	0,073 ’
0,0785-2,92.	~	0,189-52,4	.	.θ.	293-0,0764
0,925	’	2,89	’	'	0,303
0,505-4,85 .
0,0615	’
70.	Комбинированное умножение и деление с выхп,
дами движка вправо.
π	*	3,7-5,4
Пусть требуется вычислить ■.
Z,<j
Вычисление выполним по схеме:
1)	на шкале D устанавливаем визир на отсчете
3—7—0;
2)	совмещаем отсчет 2—3—0 на шкале С с визиром
Фиксируем выход движка вправо при делении (4-1)
Отсчет частного на шкале D под начальным штрихом
шкалы С не читаем и визиром не фиксируем;
3)	совмещаем визир с отсчетом 5—4—0 на шкале С
Фиксируем выход движка вправо при умножении (—1)
4)	против отсчета 5—4—0 на шкале С читаем на
шкале D отсчет частного 8—6—9;
5)	подсчитываем порядок частного как разности
сумм порядков делимого и делителя с учетом зафикси
рованных выходов движка вправо:
0+1) -1+9+ (+l>+bl)-1ι
делимое делитель выход выход
движка движка
вправо вправо
при де- при ум-
лении ножении
6)	ответ: 8,69 ≈ 8,7.
71.	Упражнения на комбинированное умножение и
деление с выходами движка вправо (по схеме п. 70)
24

1)
1,8-6,1 .
1,6	’
5)
4,18.0,0216,
0,0308	’
8)
0,0814-30,6
0,00586
2)
2,92-2,12.
1,75 ’
6)
0,372-51,5 .
2,08
9)
444»л,
297 ’
3)
0,0332-4,15.
0,145	’
7)
0,00127.696.
107
Ю)
1,31.706
11,2 *
yl4 0,514.1,14 .
4) —ς	ς—;
0,0242
72.	Комбинированное умножение и деление с пере¬
броской движка влево.
π	*	7,45-5,73
Пусть требуется вычислить 	—.
2, 18
Вычисление выполним по схеме:
1)	на шкале D устанавливаем визир на отсчете
7—4—5;
2)	совмещаем отсчет 2—1—8 на шкале С с визиром.
Фиксируем выход движка вправо при делении (4-1);
3)	совместить визир с отсчетом 5—7—3 на шкале С
нельзя (этот отсчет вышел за конечный штрих шка¬
лы D), поэтому совмещаем визир с начальным штри-
ом шкалы С;
4)	производим переброску движка, совмещая ко¬
нечный штрих шкалы С с визиром;
5)	совмещаем визир с отсчетом 5—7—3 на шкале С;
6)	против отсчета 5—7—3 на шкале С читаем на
шкале D отсчет частного 1—9—6;
7)	подсчитываем порядок частного:
p=(i÷i) - (+o+(+υ=2ι
делимое делитель выход
движка
вправо
при де¬
лении
8)	ответ: 19,6.
73.	Упражнения на комбинированное умножение и
деление с переброской движка влево (по схеме п. 72),
25

1- 5,25-8,65.
’	3,18 ’
2× 28,4-0,396 .
'	1,08	’
gv 0,0154-8,25.
,	0,122	’
.v 305-0,00805.
'	0,0198 ’
0,00525-0,715 .
di 	:
496∙615
∣ ■■ ∙
1,41-9,05
1,09 ’
π∙97,6
149 ’
0. 0,00815-0,0785.
’	0,0000525	’
Ф 8,65-0,0596
'	232
74.	Комбинированное умножение и деление без пе
реброски движка.
π	л	7,45-5,73.
Пусть требуется вычислить	——— •
2∣ 1о
Вычисление выполним по схеме:
1)	совмещаем конечный штрих шкалы С с отсчетом
7—4—5 на шкале D∖
2)	устанавливаем визир на шкале С на отечем
5—7—3;
3)	совмещаем отсчет 2—1—8 на шкале С с визиром
Фиксируем выход движка вправо при делении (+1)
4)	под начальным штрихом шкалы С читаем
шкале D отсчет частного 1—9—5—8;
5)	подсчитываем порядок частного:
Р-(1+1)-(+1)+1-2;
6)	ответ'. 19,58« 19,6.
75.	Выполните упражнения п. 73 по схеме п. 74.
76.	Комбинированное умножение и деление с пере
броской движка вправо.
∏	й	4,15-1,82
Пусть требуется вычислить ■ ,	-
Вычисление выполним по схеме:
86

1)	на шкале D устанавливаем визир на отсчете
4—1—5;
2)	совмещаем отсчет 8—3—5 на шкале С с визиром;
3)	совместить визир с отсчетом 1—8—2 на шкале С
нельзя (этот отсчет вышел за начальный штрих шка¬
лы D), поэтому совмещаем визир с конечным штрихом
шкалы С;
4)	производим переброску движка вправо, совме¬
щая начальный штрих шкалы С с визиром;
5)	' совмещаем визир с отсчетом 1—8—2 на шкале С.
Фиксируем выход движка вправо при умножении (— 1);
6)	' против отсчета 1—8—2 на шкале С читаем на
шкале D отсчет 9—0—5;
7) подсчитываем порядок частного;
Р=(1 + 1)-(+1)-1 = 0;
8)' ответ; 0,905.
77. Упражнения на комбинированное умножение и
Деление с переброской движка вправо (по схеме п. 76)
или без переброски движка (по схеме п. 74).
2,94-1,12.	~	795-107	.
'	3,52 ’	'	855	’
2' 0,182-0,0202.	~ 0,404-0,00144 .
'	0,405	1	'	0,000594	’
0,0805-1,18.	g,	2,78-11,5.
7	0,0955	’	’	0,815	’
4) 565-1,71.	д.	1,21-14,9.
7	995 ’	7	0,184	’
~ 1,34-42,5.	.θ.	4,08-1,41
,	825	’	'	83,5
78. Выполните комбинированное умножение и деле*
ние по схемам (п. 68, 70, 72, 74, 76) з
η 1,9-0,465.
7 0,075 ’
2) 0.0505-1,18.
7	0,0226 *
oλ 1,58-0,806
1,24	’
.. 0,0051-7,22.
'	0,208
еч 542-17,2
6)	0,985 ’
„ 3,22-70,5.
6)	15,9 ’
27

408∙129 . д) 0,00196∙87,5.
l' 572	’	,	0,134	’
8)
64,5∙0,216	jθ. О,0149.0,000541
9,75	’	0,00864
Т9. Выражения вида
∙^-	-(в делителе на од'н
e∙f∙g
множитель меньше, чем в делимом) удобно вычисли и»
по следующей схеме:
Делители можно брать в любой последовательности
и, если возможно, располагать так, чтобы избежать
перебросок движка.
Порядок частного равен разности сумм порядков
делимого и делителя с учетом выходов движка вправо
при умножении и делении.
80.	Вычислить U1A⅛≡±≡S,
3,73-0.0305-13,05
Вычисление выполняем по схеме п. 79:
3	Р ⅛a шкале & устанавливаем визир на отсчете
2)	совмещаем отсчет 3—7—8 на шкале С с визиром;
3)	совмещаем визир с отсчетом 6—6—5 на шкале С;
4)	совмещаем отсчет 3—0—5 на шкале С с визиром.
Фиксируем выход движка вправо при делении (+1);
5)	совмещаем визир с отсчетом 1—0—1—5 на шка-
ле С. Фиксируем выход движка вправо при умноже¬
нии (—1);
6)	совмещаем отсчет 1—3—0—5 на шкале С с визи¬
ром.^ Фиксируем выход движка вправо при делении
7)	совмещаем визир с отсчетом 4—2—8 на шкале С.
Фиксируем выход движка вправо при умножении (—1);
8)	против отсчета 4—2—8 па шкале С читаем па
шкале D отсчет частного 6—6—0;
9)	подсчитываем порядок частного
P=(l+0÷2+l) - (L- l+2)+l - 1 + 1- 1=2;
делимое делитель	выходы
движка
вправо
10)	ответ: 66.
28

Используя запись числа в стандартном виде, полу¬
чим
3,44∙6,65∙10- 1∙l,015∙10∙4,28 _ 3,44∙6,65.1,015.4,28 .β
3,78-3,05-10-«-1,305.10	3,78∙3,05.1,305	' ‘
Порядок частного с учетом выходов движка вправо
равен 1; таким образом, ответ 6,6-10=66.
81.	Упражнения на комбинированное умножение и
деление по схеме п. 79.
. '8,65-1,025-6,15-22,8.
’	5,15-0,00345-1250 ’
103,5-7,75-0,248-77,5.
'	3,14-0,00225-1805 ’
θ, 8,65-101,5-0,0204-3,23 .
'	10,7-0,00208-1305	’
3,75-1,065-0,388-4,45.
'	28,7-0,405-2,24 ’
ех 0,00364-1,035-18,5-7,9 .
?	38,6-0,905-103,5	’
β, 0,108-0,00348-13,7-7,45
о) — 		—*	- 1
51,5-0,0915.10,4
уч 6,45-18,3-0,106-0,00356.
,	18,7-0,725-0,00624 1
θx 529-703-456-79.
287-149-975 ’
дч 0,0284-0,00107-197-0,00735.
5,73-0,0805-1,13	’
10ч 0,961-74,5-29,8-57,1
6,73-0,0426.71,5 *
82.	Упражнения на комбинированное умножение и
деление по указанным схемам.
0,8-7,2-2,05 а Ъ с
0,9-130	\ У
« е
4) 2,64-0,00225-4,08
’ 36,2-0,348-0,024
29

9)
14,65∙5,15∙0,075∙2,67
0,085∙2,8
7,8-0,00028-9,05
О,129-1,72-6,55
5
19,6-0,428
139-3,12-2,18-4,26
14,9∙5,9
19,4
82,5-4,15-0,55
83.	Зачетная работа № 4.
0,00258∙ 1,045-12,5-8,4 .	..	3,12-0,00245-1,08.
56,6-0,705-102,5	’	' 8,26-4,44-0,0105 *
8,7-7,65-2,18 .	~	13,6-4,85-0,08-3,72
0,875-128 ’	'	0,0081-29
43,5-0,405 .
8,55-2,96 ’
§ 10. Процентные вычисления
84.	Основные задачи на процентные вычисления.
I.	Найти р% от числа N,
80

Вычисление выполняем по формуле
p~N-P%
100 ’
(6)
где Р — проценты от числа N.
II.	Найти число N, если р% его равны Р.
Вычисление выполняем по формуле
λ,"⅛∙100∙ <7>
III.	Найти процентное отношение чисел М и N (узнать,
сколько процентов составляет число М от числа 2V).
Вычисление выполняем по формуле
f>4rloo∙	да
где р — процентное отношение чисел М и N.
В первой задаче производится умножение чисел N∙p,
а во второй и в третьей — деление чисел — и —.
р N
Деление в формуле (6) на 100 сводится к умень¬
шению порядка результата на 2 и соответственно в
формулах (7) и (8) умножение на 100 — к увеличению
порядка результата на 2.
85.	Нахождение Р по данным N и p0∕0.
Найдите
1)	5,8% от 560;	4) 205% от 3,15;
2)	28,7% » 1200;	5) 0,75% » 645.
3)	109,5% » 485 000;
86.	Нахождение N по данным Р и р%.
Найдите число, если:
1)	0,6%	его	равно	72,5;	4)	118,4%	его	равно	0,805;
2)	0,09%	»	»	12,6;	5)	218%	»	»	760.
3)	54,8%	»	»	214;
87.	Нахождение р% по данным М и N.
Найдите, сколько процентов составляет:
1)	5 от 72;	4) 0,485 от 605;
2)	81 » 486;	5) 4,5	» 0,326.
3)	9,5 » 85,5;
88.	Зачетная работа № 5 (итоговая на процент¬
ные вычисления):
1)	найдите 2,5% от 179;
2)	найдите 87% от 384;
31

3)	найдите число, если 0,8% его равно 84,5;
4)	найдите число, если 33% его равно 281;
5)	сколько процентов составляет 75 от 625?
ГЛАВА III
ВЫЧИСЛЕНИЯ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ОБРАТНЫХ ШКАЛ (Cι и Dt)
§ 11. Вычисления с применением обратной шкалы С,
(на 19-шкальной линейке)
89.	Обратная шкала есть основная шкала с де. а.
ниями, нанесенными в обратном порядке (справа на-
лево). Деления один, два, три и т. д. нанесены на шка-
ле Ci с правого конца. При отсчете чисел на этой шка-
μe деления второго и третьего разряда отсчитывают, я
влево от делений первого разряда.
90.	Вычислить произведение 5,35∙28,4 с примене¬
нием шкалы Ср
Умножение выполняем в следующей последователь¬
ности:
1)	на шкале D устанавливаем визир на отсчет
5—3—5;
2)	совмещаем отсчет 2—8—4 на шкале Cι с визиром
(деления расположены справа налево);
3)	на шкале D под начальным штрихом шкалы С
читаем отсчет произведения 1—5—2 (этот же отсчет
читаем на шкале Ci у конечного штриха шкалы D)∙,
4)	прикидкой устанавливаем, что порядок произве¬
дения равен 3:
140<5,35∙ 28,4 <174;
5)	ответ: 152.
91.	Правило о порядке произведения двух чисел с
применением шкалы Ci.
Если умножение двух чисел производится при помо¬
щи начального штриха шкалы С (движок выдвинут
вправо), то порядок произведения равен сумме поряд¬
ков сомножителей:
Kt>≈Pa+Pi∙	(9)
Если умножение двух чисел производится при по¬
мощи конечного штриха шкалы С (движок выдвинут
32

влево), то порядок произведения равен сумме порядков
сомножителей минус единица:
‰-W-l.	(10)
92.	Выполните умножение с применением шкалы Ci.
Порядок произведения найдите по правилам (9) или
l(10) =
1)4,05-17,9;	6) 7,15-0,346;
2)	3,72-0,166;	7)	0,00531-0,424;
3)	0,292-60,5;	8)	0,815-0,103;
4)	0,0138-0,965;	9)	62,4-0,0302;
5)	9,25-0,146;	10)	1,99-0,114.
93.	Вычислить с применением шкалы Ci произведе¬
ние
0,0334 -1,49- 0,435 ■ 0,0595 • 1,99.
Умножение выполняем в следующей последователь¬
ности:
1)	на шкале D устанавливаем визир на отсчете
3—3—4;
2)	совмещаем отсчет 1—4—9 на шкале C1 с визи¬
ром. Фиксируем выход движка влево (—1);
3)	совмещаем визир с конечным штрихом шкалы С;
4)	совмещаем отсчет 4—3—5 на шкале Ci с визи¬
ром;
5)	совмещаем визир с начальным штрихом шка¬
лы С;
6)	совмещаем отсчет 5—9—5 на шкале Cι с визи¬
ром;
7)	совмещаем визир с начальным штрихом шка¬
лы С;
8)	совмещаем отсчет 1—9—9 на шкале С] с визи¬
ром. Фиксируем выход движка влево (—1);
9)	на шкале D, под конечным штрихом шкалы С,
читаем отсчет произведения 2—5—6;
10)	подсчитываем порядок произведения с учетом
двух выходов движка влево:
p=(-l)+l+0+(-l)+l-H-2)= —2;
11)	ответ1. 0,00256.
Рекомендуется выход движка влево отмечать над
соответствующим сомножителем стрелкой (-<-):
0,0334 -1749 • 0,435 - 0,0595 ∙∏)9.
3 Заказ № 733
33

В данном случае произошло два выхода движИ
влево, поэтому к порядку произведения прибавили —3
94. Вычислите произведения с применением шка
лы Cι'.
1)	4,35-1,09-1,68;	6)	3,08∙0,57-7,85-0,972;
2)	3,08-5,05-7,91;	7)	61,4-1,49-0,0103-1,04;
3)	4,09-3,18-4,51;	8)	2,18-0,318-12,9-0,232-6,97;
4)	11,9-0,111.8,85;	9)	91,5-0,505-7,25-0,494-1,32;
5)	25,2-0,0342-2,04;	10) 1,04-7,05-0,119-15,1-6,55-0,013а
§ 12. Вычисления с применением обратной шкалы Pι
95.	Обратная шкала D↑ устроена точно так же, к;31!
и шкала Ср На 10-шкальной линейке имеется толы^
одна обратная шкала Di.
96.	Вычислить произведение 5,35-28,4 с примен •-
нием шкалы Di.
Умножение выполняем в следующей последовател ь-
ности:
1)	на шкале D1 устанавливаем визир на отсчете
5—3—5 (деления расположены справа налево),;
2)	совмещаем отсчет 2—8—4 на шкале С с визиро4^
3)	на шкале Di под конечным штрихом шкрлы r-,
читаем отсчет 1—5—2 (этот же отсчет читаем на шк^ '
ле С у начального штриха шкалы D)∙,
4)	ответ: 152 (см. п. 90).
97.	Правило о порядке произведения двух чисел 3
случае применения шкалы Dl.
Если умножение двух чисел производится, при по¬
мощи конечного штриха шкалы С (движок выдвину
влево), то порядок произведения равен сумме порядкоь
сомножителей:
*Pab = Pa+Pt,-	(1 1∙
Если умножение двух чисел производится при по
мощи начального штриха шкалы С (движок выдвинут
вправо), то порядок произведения равен сумме поряд¬
ков сомножителей минус единица:
~Pab=Pa+Pb-^	(12)
98.	Выполните с применением шкалы Dl упражне¬
ния п. 92.
34

99.	Выполните с применением шкалы D∖ упражне¬
ния п. 94.
100.	Нахождение числа, обратного данному.
Пусть требуется вычислить ■	:
1)	совмещаем шкалы D и С;
2)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете
2—5—0;
3)	под визиром на шкале Di читаем отсчет ответа
4—0—0;
4)	порядок частного подсчитываем, как и при деле¬
нии, при выходе движка влево:
Р l =P1-P2,6 = 1 -1=0.
2.5
Ответ: 0,4.
Замечание. На 19-шкальной линейке отсчет от¬
вета может быть прочитан и на обратной шкале Cι<
На 10-шкальной линейке ответ читается на шкале D↑.
101.	Вычислите:
1)	3)_!_;	5) 1; J∖	9)
385	0,0049	'	80	’	4,2	!	128
2)	—;	4) —1—;	6) —-—; 8)	—;	10) —.
23,7	0,0951	' 0,00595	10,8	’ 0,21
102.	Зачетная работа № 6 (итоговая на вычис¬
ления с применением обратной шкалы)
1)	4,05-3,06;
2)	—;
’ 0,0605
3)	0,765-0,464∙l,26∙2,08j
4)	3,08-0,298-0,102-41,5-1,61;
5)	0,535 1,17- 0,202 • 0,765-19,1- 5,05 • 10,2.
ГЛАВА IV
ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ ШКАЛЫ
КВАДРАТОВ (А и В)
§ 13.	Устройство шкалы квадратов (А и В)
103.	Шкала квадратов составлена из двух логариф¬
мических шкал (левой и правой), каждая из которых
вдвое меньше основной шкалы.
104.	Левая и правая шкалы квадратов делятся на
девять крупных неравных промежутков, отмеченных
удлиненными штрихами.
з*	35

105.	На левой и правой шкалах в начале каждого
из промежутков проставлены числа 1, 2, 3,	9.
.Конец левой шкалы квадратов служит началом ∏Pa<
вой шкалы. Эти деления, как и на основной шкале,
будем называть делениями первого разряда*. они соот¬
ветствуют первой значащей цифре устанавливаемого
или читаемого числа. Найдите эти деления.
106.	Каждый из промежутков между делениями пер'
вого разряда разделен на 10 неравных частей. Это-"
деления второго разряда, соответствующие второй зна¬
чащей цифре числа. Найдите эти деления.
107.	В промежутках между делениями второго pa3'
ряда нанесены деления третьего разряда. Они обозна¬
чают третью значащую цифру числа и на шкале отме¬
чены самыми короткими штрихами.
108.	Найдите деления третьего разряда шкалы ква*
дратов.
109.	Цены делений шкалы квадратов (Л и В):
Промежутки шкалн
Цена деления
первого разряда
, второго разряда
третьего разряда
1—2
1
1
2
2-6
1
1
5
6—10
1
1
ПО. В промежутке шкалы от 6 до 10 нет делении
третьего разряда. Следовательно, в указанных интер*
валах одно деление второго разряда содержит 10 еди¬
ниц третьего разряда.
111.	Установите на шкале квадратов (на любой из
частей шкалы) визиром отсчеты:
1)	1-2-4;	5)	1-8-4;	9)	1-0-1;
2)	1—3—5;	6)	1—9—1;	10)	1—2—5;
3)	l-5-7∣	7)	1-0-8;	11)	1-0-5;
4)	1-9-2;	8)	1-4-9;	12>	1-5-0.
112.	Установите на шкале квадратов (на любой из
частей шкалы) визиром отсчеты!
1)	2-2-5; 5) 4-0-5;	9) 2-0-1;
2)	3-5-5; 6) 2-5-7; 10) 3-0-5;
3)	4-2-6; 7) 3-0-4; 11) 4-1-1;
4)	2-9-4; 8) 4-3-3; 12) 3-6-0.

113.	Установите на шкале квадратов (на любой из
частей шкалы) визиром отсчеты:
1)	5-6-0; 5) 7-6-3;	9) 7-1-5;
2)	9-3-0; 6) 5-0—5; 10) 9-9-0;
3)	8—4—5; 7) 6-0-2; 11) 9-0-5;
4)	5—9—9; 8) 5—1—5; 12) 8-0-9.
114.	Назовите на шкале квадратов цену деления
третьего разряда в промежутках от 1 до 2, от 2 до 6 и
от 6 до 10.
§ 14.	Возведение чисел в квадрат
115.	Основное назначение шкалы квадратов — воз¬
ведение чисел в квадрат и извлечение из чисел квадрат¬
ного корня.
При возведении чисел в квадрат движок не приме¬
няется, поэтому нужно совместить точно начальный
штрих шкалы В и начальный штрих шкалы А, так как
совмещенные шкалы В а А делают шкалу квадратов бо¬
лее четкой в работе.
Возведение в квадрат производится при помощи
основной шкалы, шкалы квадратов и визира. На основ¬
ной шкале производится отсчет числа, возводимого в
квадрат, напротив данного числа на шкале квадратов
читаем отсчет квадрата числа. Совмещение этих чисел
производится визиром.
116.	Возведение в квадрат чисел, квадраты которых
имеют отсчет на левой шкале квадратов.
1)	192. На шкале D производим визиром отсчет
1—9—0. На шкале А читаем под визиром отсчет квадра¬
та числа 3—6—1. Прикидкой устанавливаем, что поря¬
док квадрата числа равен 3. Ответ: 361.
2)	2052. На шкале D производим отсчет 2—0—5.
На шкале А читаем отсчет квадрата 4—2—0. Прикидкой
устанавливаем, что 1002< 2052<3002, т. е. 10 000<2052<
<90 000. Порядок квадрата числа равен 5. Ответ: 42 000.
3)	0,262. На шкале D производим отсчет 2—6—0.
На шкале А читаем отсчет ответа 6—7—6. Прикидкой
устанавливаем, что 0,l2<0,262<0,32, т. е. 0,01 <0,0262<
<0,09. Ответ: 0,0676.
Используя запись числа в стандартном виде, получим
0,262=(2,6 • 10-1)2=6,76 • 10-2=0,0676.
37

117.	Найдите квадраты чисел, отсчеты которых
читаются на левой шкале квадратов:
1)	172;	5)	2042;	9)	0,302*
2)	24*.	6)	302*	10)	0.00292;
3)	31*.	7)	0,18*	11)	0,026*
4)	154*;	8)	0,27*,	12)	0,1952.
118.	Возведение в квадрат чисел, квадраты которых
имеют отсчет на правой шкале квадратов.
1)	372. На шкале D производим визиром отсчет
3—7—0. На шкале А читаем под визиром отсчет его
квадрата 1—3—7. Прикидкой устанавливаем: 352<372 <
<402, т. е. 1225< 372< 1600. Порядок квадрата равен 4.
Ответ: 1370.
2)	7052. На шкале D производим визиром отсчет
7—0—5. На шкале А читаем отсчет квадрата 4—9—7.
Прикидкой устанавливаем: 7002<7052<8002 т. е. 490 000<
<7052<640 000. Порядок квадрата числа равен 6.
Ответ: 497 000.
3)	0,0812. На шкале D производим отсчет 8—1—О.
На шкале А читаем отсчет квадрата 6—5—6. Прикидкой
устанавливаем: 0,072 <0,0812<0,092, т. е. 0,0049<0,0812≤
<0,0081. Ответ: 0,00656.
Используя запись числа в стандартном виде, по¬
лучим
0,0812 = (8,1 ∙ 10-2)2 = 65,6-10~* = 0,00656.
119.	Найдите квадраты чисел, отсчеты которых чи¬
таются на правой шкале квадратов:
1)	432;	5)	9,8*	9)	0.0722;
2)	892;	6)	0,652*	10)	0,00412;
3)	905*	7)	0,32*	11)	31,82∙,
4)	515*	9)	5,052;	12)	3,332.
120.	Найдите квадраты чисел:
1)	1,63*,
2)	0,302*
3)	9,15а;
4)	0,0063*,
5)	23,62;
6)	0,509*
7)	7,19*
8)	0,0037*,
9)	1,01*
10)	40,3*
11)	0,0905*
12)	5,552.
121.	Применение правила о порядке квадрата числа
для левой шкалы квадратов.
Это правило записывается так:
Pa.=2Pβ-l,
(13)
38

где стрелкапоказывает, что квадрат числа находится
на левой шкале квадратов; Ра— порядок числа а, воз¬
водимого в квадрат; Paa — порядок квадрата числа а.
Если квадрат числа читается на левой шкале квад¬
ратов, то его порядок равен удвоенному порядку осно¬
вания минус единица.
1)	15,92. Отсчету 1—5—9 на шкале D соответствует
отсчет 2—5—3 на шкале А. Порядок квадрата находим
по правилу (13). Порядок числа 15,9 равен 2, тогда
Pi5,9∙ =2-2 —1=3.
Порядок квадрата равен 3, следовательно, 15,92=
■=253.
2)	0,2362. Отсчету 2—3—6 на шкале D соответствует
отсчет 5—5—7 на шкале А. Имеем.
Pθ,236* =2 ∙0 — 1 = — 1.
Порядок квадрата равен (—1), следовательно,
0,2362=0,0557.
При записи данного числа в стандартном виде по¬
лучим
0,2362=(2,36∙ 10-1)2=5,57∙ 10~2=0,0557.
3)	0,00308a. Отсчету 3—0—8 на шкале D соответствует
отсчет 9—4—9 на шкале А.
Ро,00308« =2 (—2) —1 = —5.
Порядок квадрата равен	(—5), следовательно,
0,003082 =0,00000949.
Используя запись числа в стандартном виде, имеем
0,003082=(3,08-10-2)=9,49∙ 10-β=0,00000949.
122.	Найдите квадраты чисел, отсчеты которых чи¬
таются на левой шкале квадратов. Порядок квадратов
определите по правилу (13):
1)	1,822;	5)	0,002582∙,	9)	2282;
2)	0,1732;	6)	0.00262;	10)	12,22;
3)	0.01072;	7)	0.03092;	11)	2,922;
4)	0.2012;	8)	1,1052;	12)	0,03082.
123.	Применение правила о порядке квадрата числа
для правой шкалы квадратов.
Это правило записывается так:
ζ'=2Pa,	(14)
где стрелка → показывает, что квадрат числа находит¬
ся на правой шкале квадратов; Ра — порядок числа а,
39

возводимого в квадрат; Pβ2 — порядок квадрата чис¬
ла а.
Если квадрат числа читается на правой шкале квад,
ратов, то его порядок равен удвоенному порядку осно-
вания.
1)	3,562. Отсчету 3—5—6 на шкале D соответствует
отсчет 1—2—7 на шкале А. Порядок квадрата находим
по правилу (14)«
p3 66, =2-1=2.
Порядок квадрата равен 2, следовательно, 3,562≡
= 12,7.
2)	0,3452. Отсчету 3—4—5 на шкале D соответствует
отсчет 1—1—9 на шкале А. Далее,
Pβ, 345∙ =2-0=0.
Порядок квадрата равен 0, следовательно, 0,3452=
= 0,119.
При записи числа в стандартном виде имеем
0,345a=(3,45∙ 10~1)2=ll,9∙ 10~2=0,l 19.
3)	0,000705a. Отсчету 7—0—5 на шкале D соответ¬
ствует отсчет 4—9—7 на шкале А. Находим
Pθ,OOO7O6∙=2(-3)= —6.
Следовательно, 0,0007052=0,000000497.
Используя запись числа в стандартном виде, по¬
лучим
0,000705a=(7,05∙ 10-4)2=49,7∙ 10~8= 0,000000497.
124.	Найдите квадраты чисел, отсчеты которых чи¬
таются на правой шкале квадратов. Порядок квадратов
определите по правилу (14):
1)	3,482;	5)	0.006662;	9)	70,5я;
2)	0,751а;	6)	0,0071я;	10)	9,63я;
3)	0,901я;	7)	0.08042;	11)	0,322я;
4)	0.04052;	8)	4252;	12)	0,055a.
125.	Найдите квадраты чисел. Порядок квадратов
установите прикидкой или по правилам о порядке
квадрата:
1)	18,92;	5)	0,001052>	9)	5152j
2)	4,352;	6)	0,006042{	10)	44,22;
3)	0,1982;	7)	0,2082;	11)	0,0962⅛
4)	0,905я;	8)	3,15я*	12)	79,4a.
40

126.	Вычислите:
1)	0,027∙47,8a∙6,75j n 0.436*.3,64*,
,	0,065
2)	0,0061 ∙77,5a.5,84®;	8) 5,ι*-4,88∖
' 3,45’ ’
3)	36,4a∙7,752 • 0.0622;	9× 0,0705>∙80,5.
’	0,0364’ ’
4)	°’76*∙	10\ 0,288»-14,6’ .
, 8,35’	υ,	0,565-4,18’ ’
Б)	4*θ •	1 п I
' 0,735’ ’	1'	0,208’-0,181’’
~ 0,42’-74.	12∙	0,705
'	565 ’	'	0,402’-3,26’’
127.	Зачетная работа № 7 (итоговая на возведе¬
ние чисел в квадрат).
1)	0,001952;	4)	0,02142;
2)	0,3012;	5)	3,76’
3)	0,795®;	’	о,705’-2,84’’
§ 15.	Извлечение квадратного корня
128.	Извлечение квадратного корня — действие, об¬
ратное возведению в квадрат, поэтому оно производит¬
ся на тех же шкалах, что и возведение в квадрат, но в
обратном порядке.
Подкоренное число устанавливается визиром на
шкале А, а квадратный корень из него находится под
визиром на шкале D.
Чтобы решить вопрос, на какой из двух шкал квад¬
ратов (на левой или правой) нужно устанавливать под¬
коренное число, вспомним, что при возведении в квад¬
рат число находилось на левой шкале квадратов, если
его порядок был равен 2Pa—1 (т. е. нечетному числу),
и на правой шкале квадратов, если его порядок был
равен 2Pa (т. е. четному числу).
Отсюда следует, что при извлечении квадратного
корня числа, имеющие нечетный порядок, устанавлич
ваются на левой шкале квадратов, а имеющие четный
порядок или порядок, равный нулю, —на правой.
Квадратный корень из этих чисел в обоих слунаях
читается на основной шкале.
41

Извлечение квадратного корня и нахождение по-
рядка результата производится по следующим прави-
лам (п. 129).
129.	Правила извлечения квадратного корня.
I.	Подкоренное число следует представить в виде
однозначного или двузначного числа, умноженного на
степень числа 10 с положительным или отрицательным
показателем степени, кратным двум.
II.	Подкоренное число устанавливается:
1)	на левой шкале квадратов, если оно представлен
но однозначным числом (порядок числа равен еди¬
нице);
2)	на правой шкале квадратов, если оно представ¬
лено двузначным числом (порядок числа равен двум;-
III.	Квадратный корень из однозначных и двузнач¬
ных чисел — всегда число однозначное. Полученное
после извлечения квадратного корня однозначное число
умножается на квадратный корень из степени числа Ю-
130. Извлечение квадратного корня из чисел, отсчет
которых читается на левой шкале квадратов (порядок
подкоренного числа равен единице).
1)	V 4,45. На левой шкале квадратов производим
визиром отсчет 4—4—5. На шкале D под визиром чи¬
таем отсчет корня 2—1—1. Таким образом, получаем
ответ 2,11.
2)	pr177. По правилу Г (п. 129) представим подко¬
ренное число в виде произведения:
V l,77∙102=]Λl,77∙10.
Это преобразование выполняется в уме.
Отсчету 1—7—7 на левой шкале квадратов на шка¬
ле D соответствует отсчет квадратного корня 1—3—3,
следовательно, V 1,77=1,33.
По правилу III (п. 129) находим произведение
1,33-10=13,3.
3)	у 60 500. По правилам I и III получим
V^60500 =]∕λ 6,05∙104=]∕6,05∙102=2,46∙102=246.
4)	]/ 0,0461. По правилам I и III получим
V 0,0461 ≈y4,61 ∙ 10-2=]Λ4,61 ∙ 10-1=2,15∙ 10~1=0,215.
42

Можно обойтись и без применения отрицательного по¬
казателя:
l∕θ,O461 =1/ —
v	1/юо
4,61 У 4,612,15 =
5)	]∕θ,000151. По правилам I и III получим
0,000151 =∣∕rb51 ∙ 10-4=∣∕l, 51 ∙ 10^2 =
= 1,23∙ 10-2=0,0123.
Без применения отрицательного показателя:
131. Найдите квадратные корни, отсчет которых чи-»
тается на левой шкале квадратов:
1) ∕h98∙	5)	/7,46;	9)	/129,9;
2) /346;	6)	/0,000445; 10)	/0,0335;
3) /о,0416;	7)	/9,99;	11)	∕θ,0000019;
4) /71 800;	8)	/в,08;	12)	/9750000.
132. Извлечение квадратного корня из чисел, отсчет
которых читается на правой шкале квадратов (порядок
подкоренного числа равен двум).
1) /72,5. На правой шкале квадратов производим
визиром отсчет 7—2—5. На шкале D читаем отсчет
корня 8—5—1. Таким образом, получаем ответ: 8,51.
2) /1260. По правилам I и III (п. 129) получим
^]∕ 1260=}∕ 12,6∙102=]∕ 12,6 ∙ 10=3,55∙ 10=35,5.
3) j∕245 000. По правилам I и III получим
}∕245 000 =l∕^24,5∙10* 1 =]∕24J. 102=4,95∙ 102=495.
4) /о,366. По правилам I и III получим
}∕θ,366=}∕36,6∙10-2=j∕36√Γ • 10-1=6,05 • 10“1=0,605.
43

Без применения отрицательного показателя:
1∕V366=1∕^= l∕^=l^=^=0,605.
v υ,<3tx> у 100 у 10,	10	10
5)	/0,00295. По правилам I и III получим
0,00295 =]∕" 29,5∙ 10-4=]Λ29j ∙ 10~2 =
=5,43∙ 10~2=0,0543.
Без применения отрицательного показателя:
l∕θ∞295 =1Λ≈∑- ]∕≡3-∕∞l-5-J≡-0,0543.
у u,uuzao - у 10 000	у 1θ4	10,	100
6)	0,000061. По правилам I и III получим
у0,000061 ≈ ∣∕r61∙10-β = ]/б! • 1о-3=
=7,81 ∙10~3=0,00781.
133.	Найдите квадратные корни, отсчет которых чи¬
тается на правой шкале квадратов:
1)	/78,3}	4)	/0,174)	7)	∕θ,000074}	10)	/ 0,0012}
2)	∕5ξ⅜	5)	√ 0,88}	8)	/1140;	11)	/780000;

3)	/7670}	6)	/ 0,0059)	9)	/0,105;	12)	/о, 00000041.
134.	Правила о порядке квадратного корня.
Для извлечения квадратного корня подкоренное
число устанавливается на левой шкале квадратов, если
его порядок — нечетное число, и на правой шкале квад¬
ратов, если его порядок — четное число или нуль.
Порядок квадратного корня находится по приведен¬
ным в еледующей таблице формулам:
Подкоренное число установлено
на левой шкале квадратов на правой шкале квадратов
(15)	Ра = 'Т’ <,6>
а	z
где Pβ,-порядок подкоренного числа; Ра— порядок корня.
44

Если число устанавливается на левой шкале квадра-
тов, то его порядок равен полусумме порядка подкорен¬
ного числа и единицы.
Если число устанавливается на правой шкале квад¬
ратов, то его порядок равен половине порядка подко¬
ренного числа.
135.	Применение правил о порядке квадратного
корня.

1)	У595. Порядок подкоренного числа нечетный (3),
следовательно, отсчет 5—9—5 производим на левой
шкале квадратов. На шкале D читаем отсчет корня
2—4—4. По формуле (15)' находим порядок ответа?
Р 	 3-⅜-l п
V^595	2
Ответ: 24,4.
2)	f3170. Порядок подкоренного числа четный (4),
следовательно, отсчет 3—1—7 производим на правой
шкале квадратов. На шкале D читаем отсчет корня
5—6—3. По формуле (16) находим порядок ответа?
Plf	=—=2.
У 3170	2
Ответ: 56,3.
3)	yθ,865. Порядок подкоренного числа равен нулю,
следовательно, отсчет 8—6—5 производим на правой
шкале квадратов. На шкале D читаем отсчет корня
9—3—0. По формуле (16) находим порядок ответа!
Ответ: 0,93.
4)	У0,00074. Порядок подкоренного числа нечетный
(—3), следовательно, отсчет 7—4—0 производим на
левой шкале квадратов. На шкале D читаем отсчет кор¬
ня 2—7—2. По формуле (15) находим порядок ответа:
p~3+i--1
уо, 00074	2
Ответ: 0,0272.
5)	У0,0000248. Порядок подкоренного числа четный
(—4), следовательно, отсчет 2—4—8 производим на
правой шкале квадратов. На шкале О читаем отсчет
43

корня 4—9—8. По формуле (16) находим порядок
ответа:
р 2
У 0,0000248	2
Ответ: 0,00498.
136.	Найдите квадратные корни:
1)	/8^36;	5)	/0,0034;	9) ∕θ,OO483,∙
2)	/37Д	6)	∕θ,O293,∙	10) У 1,85;
3)/\28;	7)	∕θ,000493;	11) ∕θ,0000221;
4)	/0,0724;	8)	/\5;	12) ∕ξθO169.
137.	Вычислите:
1)6,35/^;	5) )/?,19-0,91-4,25; 9)	'■
2)29,4∙∕ξ¾	6) ∙0'095'33∙2ι	Ю)
]/0,055	Vθ.O36
0,045 Кз7?2 . У 0,77∙43.	1
о) о fi. >	')	_	>	11)		>
3,64	7,15	0,0222’У 9,35
4) -¾	8)	17’8	;	12)	bθ8 .
]∕r27,5	Ко,315-4,18	73,5]∕θ, 00256
138.	Зачетная работа № 8 (итоговая на вычисле¬
ние квадратного корня).
1)	/ 0,000795 ; 4) /836;
2)	/0,0000794; 5> 0,00891’Ко,00169
3)	/о,893;	Ко,00025
ГЛАВА V
ВЫЧИСЛЕНИЯ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ШКАЛЫ КУБОВ (К)
§	16. Устройство шкалы кубов (К)
139.	Шкала К состоит из трех одинаковых логариф¬
мических шкал (левой, средней и правой), каждая из
которых втрое меньше основной шкалы.
46

140.	Длина всей шкалы кубов равна 3, так как она
построена в масштабе, втрое меньшем, чем основная
шкала. Поэтому длина всей шкалы кубов, равная 3,
изображает логарифм 1000, общая длина левой и сред¬
ней шкалы равна 2 и изображает логарифм 100, а
длина левой шкалы, равная 1, изображает логарифм 10.
141.	Каждая из трех шкал делится на 9 крупных
неравных между собой промежутков, отмеченных удли¬
ненными штрихами. В начале каждого из этих проме¬
жутков проставлены цифры 1, 2, 3	 9.	Конец левой
шкалы служит началом средней и конец средней — на¬
чалом правой.
Эти деления, как и на основной шкале, будем назы¬
вать делениями первого разряда; они соответствуют
первой значащей цифре устанавливаемого или читае¬
мого числа.
142.	Каждый из промежутков между делениями пер¬
вого разряда разделен на десять неравных между собой
частей. Это — деления второго разряда, соответствую¬
щие второй значащей цифре числа. На шкале они от¬
мечены средними по величине выступающими штри¬
хами.
143.	В промежутках между делениями второго раз¬
ряда нанесены деления третьего разряда. Они обозна¬
чают третью значащую цифру числа и на шкале отме¬
чены самыми короткими штрихами. Найдите эти де¬
ления.
144.	В промежутках от 1 до 2 на каждой из шкал
кубов деления второго разряда разделены на пять не¬
равных частей. Следовательно, цена деления третьего
разряда в этом промежутке равна 2.
145.	В промежутке от 2 до 5 на каждой из шкал
кубов деления второго разряда разделены на две части.
Следовательно, цена деления третьего разряда в этом
промежутке равна 5.
146.	В промежутке от 5 до 10 делений третьего раз¬
ряда нет. Следовательно, цена деления второго разряда
в этом промежутке равна единице второго разряда или
десяти единицам третьего разряда.
147.	Назовите на шкале кубов цену деления третьего
разряда в промежутках от 1 до 2, от 2 до 5 и от 5 до 10.
47

148. Цена делений шкалы кубов (Л)
Промежутки шкалы
Цена деления
первого разряда
второго разряда
третьего разряда
1—2
1
1
2
2—5
1
1
5
5-10
1
1
149.	Установите на шкале кубов (на любой из ее
частей) отсчеты:
1)	1-5—2; 5) 4-9-6}	9) 9-0-9}
2)	1-0-4; 6) 5-9-0}	10) 9-5-0;
3)	2-0—5; 7) 6-0-5}	11)7-5-5;
4)	3-7-5; 8) 8—9—3} 12) 4-0-4.
§	17. Возведение чисел в куб
150.	Возведение в куб производится при помощи
основной шкалы, шкалы кубов и визира. На основной
шкале производится отсчет числа, возводимого в куб,
напротив данного числа на шкале кубов читаем отсчет
куба этого числа. Совмещение чисел производится ви¬
зиром.
151.	Возведение в куб чисел, кубы которых имеют
отсчеты на левой шкале кубов.
1)	l,093. На шкале D производим визиром отсчет
1—0—9. На щкале К читаем под визиром отсчет куба
числа 1—3—0. Прикидкой устанавливаем, что порядок
куба числа равен 1. Ответ: 1,3.
2)	∣3,63. На шкале К читаем отсчет куба числа
2—5—2. Прикидкой устанавливаем, что порядок куба
числа равен 4, Ответ: 2520.
3)	0,2123. На шкале К читаем отсчет куба числа
9—5—0. Ответу 0,0095.
Если использовать запись числа в стандартном виде,
то получим
0,2123==(2,12∙ 10-,)3=9,5∙ 10"8=0,0095.
48

152.	Найдите кубы чисел, отсчеты которых читаются
да левой шкале кубов:
1)
2)
3)
4)
1,053;
1,243;
1,473;
18,13;
5)	0.2043;
6)	2,13;
7)	1,153;
8)	H,lsJ
9)	1,23;
10)	1,793;
11)	2,143;
12)	10,13.
153.	Возведение в куб чисел, кубы которых имеют
отсчет на средней шкале кубов.
1)	2,53. На шкале К читаем отсчет куба числа
1—5—6.
Ответ-. 15,6.
2)	3,143. На шкале К читаем отсчет куба числа
3—1—0.
Ответ: 31.
3)	0,453. На шкале К читаем отсчет куба числа
9—1—0.
Ответ: 0,091.
При записи числа в стандартном виде имеем
0,453=(4,5∙ 10'1)3=91 ∙ 10-3=0,091.
154.	Найдите кубы чисел, отсчеты которых читают¬
ся на средней шкале кубов:
1)	2,183;	5)	3,083;	9)	4,053;
2)	2,33;	6)	О.ЗЗ3;	10)	4,63j
3)	2,93j	7)	3,9»;	11)	2,163;
4)	3,13j	8)	3.983;	12)	0,463.
155.	Возведение в куб чисел, кубы которых имеют
отсчет на правой шкале кубов.
1)	4,83. На шкале К читаем отсчет куба числа
1—1—1.
Ответ: 111.
2)	0,7053. На шкале К читаем отсчет 3—5—0.
Ответ: 0,35.
Записав число в стандартном виде, получим
0,7053=(7,05∙ 10~1)3=350∙ 10-3=≈0,35.
3)	9,853. На шкале К читаем отсчет 9—5—6.
Ответ: 956.
4 Заказ №733
49

156.	Найдите кубы чисел, отсчеты которых читаются
на правой шкале кубов:
1)	4,73;	5)	7,05®;	9)	913;
2)	4,95®;	6)	7,953j	10)	9,53}
3)	5,Об3;	7)	0,813;	11)	8,3®;
4)	0,62«;	8)	8,73,∙	12)	6,5®.
157.	Правила о порядке куба числа.
Порядок куба числа находится по приведенным в
таблице формулам.
Отсчет куба числа производится:
па левой
шкале кубов
на средней
шкале кубов
на правой
шкале кубов
Pα,=3Pα-2 (17) |
Pα,=3P0-l (18)
P>a,=3 pβ (19)
где Ра — порядок числа а, возводимого в куб; Ра, — порядок куба
числа а.
Запомните формулировки правил (17), (18), (19)1,.
Порядок куба равен утроенному порядку основания
минус два, если отсчет куба находится на лерой шкале
кубов (17).
Порядок куба равен утроенному порядку основания
минус единица, если отсчет куба находится на средней
шкале кубов (18).
Порядок куба равен утроенному порядку основания,
если отсчет куба находится на правой шкале кубов
(19).
158.	Применение правила о порядке куба числа для
левой шкалы К.
1)	1,293. Отсчету 1—2—9 на шкале D соответствует
отсчет 2—1—5 на шкале К.
Порядок куба находим по правилу (17):
P{ ,29> = 3P1,29 — 2 = 3 • 1 — 2=1.
Порядок куба равен 1, следовательно, 1,293=2,15.
2)	15,33. Отсчету 1—5—3 на шкале D соответствует
отсчет 3—5—8 на шкале К- По правилу (17) имеем
∕3i5,3>=3Pi5,3 — 2=3-2 — 2=4.
Порядок куба равен 4, следовательно, 15,33=3580.
50

3)	0,01963. Отсчету 1—9—6 на шкале D соответствует
отсчет 7—5—3 на шкале К. По правилу (17) имеем
Ро, 0196’ = 3Po, 0196 — 2=3 (— 1) — 2=— 5.
Порядок куба равен (— 5), следовательно, 0,01968=
=0,00000753.
Записав данное число в стандартном виде, получим
0,01963=(1,96 -10-2)3 = 7,53∙ 10-β=0,00000753.
159.	Выполните упражнения п. 152. Порядок кубов
чисел найдите по правилу (17).
160.	Применение правила о порядке куба числа для
средней шкалы К-
1)	2,243. Отсчету 2—2—4 на шкале D соответствует
отсчет 1 — 1—2 на шкале К. Порядок куба находим по
правилу (18):
Р 2 ,n3~^P2,2i — 1 =3∙ 1 — 1 =2.
Порядок куба равен 2, следовательно, 2,243=11,2.
2)	0,0258s. Отсчету 2—5—8 на шкале D сооответствует
отсчет 1—7—2 на шкале К. По правилу (18) имеем
Ро,О258’ = ЗРо.О258 — 1 =3 (— 1) — 1 =— 4.
Порядок куба равен (—4), следовательно, 0,02583=
= 0,0000172.
При использовании записи числа в стандартном
виде получим
0,02583=(2,58 ∙ 10-2)3= 17,2 • 10~β=0,0000172.
3)	44,53. Отсчету 4—4—5 на шкале D соответствует
отсчет 8—8—1 на шкале К. По правилу (18) имеем
Р n,5a-^>P а — 1 =3-2 — 1 =5.
Порядок куба равен 5, следовательно, 44,53=88 100.
161.	Выполните упражнения п. 154. Порядок кубов
чисел найдите по правилу (18).
162.	Применение правила о порядке куба числа для
правой шкалы К.
1)	4,853. Отсчету 4—8—5 на шкале D соответствует
отсчет 1 — 1—4 па шкале К. Порядок куба находим по
правилу (19):
^*4.85∙ = 3∕,4,85 = 3∙ 1 =3.
Порядок куба равен 3, следовательно, 4,853=114.
4*
51

2)	0,06253. Отсчету 6—2—5 на шкале D соответствует
отсчет 2—4—4 на шкале К. Порядок куба находим по
правилу (19):
Р0,062S> = 3Po.0625 = 3 (— 1) = —3.
Порядок куба равен (—3), следовательно, 0,06258=
=0,000244.
Применяя запись числа в стандартном виде, имеем
0,06258=(6,25∙ 10-2)3=244∙ 10-β=0,000244.
3)	0,00988. Отсчету 9—8—0 на шкале D соответствует
отсчет 9—4—1 на шкале К. Порядок куба находим по
правилу (19):
Ро ,0098’ = ЗРо. 0098 = з (— 2) = — 6.
Порядок куба равен (—6), следовательно 0,00982=
= 0,000000941.
При использовании записи числа в стандартном
виде получим
0,00983≈(9,8∙ 10-3)8=941 ∙ 10~8=0,000000941
163.	Выполните упражнения п. 156. Порядок кубов
чисел найдите по правилу (19).
164.	Найдите кубы чисел:
1)	0,563∙,	5)	1073i	9)	0,0398j
2)	0,0193∙,	6)	843;	10)	4053;
3)	0,00283-	7)	0.04323;	11)	0,2173;
4)	0,00593∣	8)	0,00953∣	12)	0,0718.
165.	Вычислите:
n 4,5e∙8,35e
'	39
2)	≡⅛⅞L3j
]∕γ0,059
.. /о, 77е. 43е.
'	23,4е	’
285-0,0305е;
V 0,064
12,58∙0,3258j
0,75е ∙0,095е’
]Λ, 15.0,955е .
0,083е	’
1,29е.2,76е
]/ 0,0725
52

166.	Зачетная работа № 9 (итоговая на возведе¬
ние чисел в куб).
1)	0,733;	4) 0.00473;
2)	0,01813;	]/0,328-0,0341»
8)	0.002523;	' 41,5»-о,00473» *
§ 18.	Извлечение кубического корня
167.	Извлечение кубического корня есть действие,
обратное возведению в куб, поэтому оно производится
на тех же шкалах, что и возведение в куб, но в обрат¬
ном порядке. Отсчет подкоренного числа устанавлива¬
ется визиром на шкале К, а отсчет кубического корня
читается под визиром на шкале D.
Извлечение кубического корня и нахождение поряд¬
ка результата производится по следующим правилам
(п. 168).
168.	Правила извлечения кубического корня.
1.	Подкоренное число следует представить в виде
однозначного, двузначного или трехзначного числа, ум¬
ноженного на степень числа 10 с положительным или
отрицательным показателем, кратным трем.
II.	Подкоренное число устанавливается:
1)	на левой шкале кубов, если оно представлено
однозначным числом (порядок числа равен единице);
2)	на средней шкале кубов, если оно представлено
двузначным числом (порядок числа равен двум);
3)	на правой шкале кубов, если оно представлено
трехзначным числом (порядок числа равен трем).
111.	Кубический корень из однозначных, двузначных
и трехзначных чисел всегда число однозначное. Полу¬
ченное после извлечения кубического корня однознач¬
ное число умножается на кубический корень из степени
числа 10.
169. Извлечение кубического корня из чисел, отсчет
которых читается на левой шкале кубов (порядок под-
коренного числа равен единице).
1)	∣∕3,31. На левой шкале К производим визиром
отсчет-3—3—1. На шкале D под визиром читаем отсчет
кубического корня 1—4—9. Таким образом, получаем
ответ: 1,49.
53

2)	/5640. По правилу I (п. 168) представим под¬
коренное число в виде произведения:
∕ 5,64∙10s= ∕δ^64 • 10.
Это преобразование выполняется в уме.
Отсчету 5—6—4 на левой шкале К на шкале D соот¬
ветствует отсчет кубического корня 1—7—8, следова¬
тельно, ∕δ^64=l,78.
По правилу III (п. 168) находим произведение
1,78-10=17,8.
3)	/ 3440000. По правилам I и III получим
∕ 3440000=∕ 3,44-10«=/зЛ4-102=l,51 ∙102=151.
4)	/0,00824. По правилам I и III получим
/ 0,00824 = ∕ 8,24∙ 10~8= ∕δ^24 ∙ 10"1=
=2,02∙l О-1=0,202.
Без применения отрицательного показателя:
3 г"
у/ 0,00824 = 1Λ^= l∕'r^= * 8,24 =⅛=0,202.
'	|/ 1000 V 10’	10	10	’
5j 0,00000633. По правилам I и III получим
pz 0,00000633=∕ 6,33∙10-β=∕^33∙ ιo-2=
= 1,85-10-a=0,0185.
Без применения отрицательного показателя':
∕ o,ooooo633= ι∕z-6'33 = ι∕zθ∙33=-L-
Г ’	У 1000000 у 10»	10’
=lι33=0,0185.
10’
Б4

170.	Найдите кубические корни, отсчет которых чи¬
тается на левой шкале кубов:
1)	у'ТзЗ;	5) У8490000j	9) ∕θ,00000245}
2)	у/зД!}	6) jZ0,005;	10) 0,00126;
3)	{/4500;	7) j∕θ,OO45}	11) yf0,0095;
4)	р^6230;	8) y∕^ 0,000007;	12) {/ 7530.
171.	Извлечение кубического корня из чисел, отсчет
которых читается на средней шкале кубов (порядок
подкоренного числа равен двум).
1)	∣∕λ80,6. На средней шкале К производим визиром
отсчет 8—0—6. На шкале D под визиром читаем отсчет
кубического корня 4—3—2. Таким образом, получаем
Ответ: 4,32.
2)	j∕λ23 5OO. По правилу I (п. 168) представим под¬
коренное число в виде произведения:
{∕λ23,5∙ 10*=y∕23^5∙ 10.
Отсчету 2—3—5 на средней шкале К. на шкале D
соответствует отсчет кубического корня 2—8—6, следова.
тельно, ∙j∕ 23,5=2,86. Находим по правилу 111 (п. 168)
произведение 2,86-10=28,6.
3)	42500 000. По правилам I и III получим
у/ 42500000=yz 42,5∙ 10β= {^4^5-102=
=3,49-102=349.
4)	у/"0,0128. По правилам I и III получим
y∕r 0,0128= /12,8-10-3 = y4Iξ8∙10→=
=2,34 ∙10~1=0,234.
Без применения отрицательного показателя:
=^=0,234.
10
55

3 ∕^~ * '""	“
5)	у 0,000061. По правилам I и III получим
∣∕^0,000061 =∣Z61 ∙ 10-β=1X61- ιo-2=
=3,94 ∙10-2=0,0394.
Без применения отрицательного показателя:
, >	 3 /	m—	3 Г7л У*
у 0,000061= 1/ —-—= ]/ -Ц-=±	=0,0394.
y ’	У 1000 000	v 10’	10»
172.	Найдите кубические корни, отсчет которых чи¬
тается на средней шкале кубов:
1)	3/39Д
2)	j∕^79jj
3)	р/ 50000;
4)	18600;
5)	У78400000j
6)	3∕θ,O225j
7)	3∕ξθ7j
8)	j∕ 0,Q25j
9)	У0,000045;
10)	У0,0000152
11)	|/ 93900;
12)	У0,0446.
173.	Извлечение кубического корня из чисел, отсчет
которых читается на правой шкале кубов (порядок под-
коренного числа равен трем).
1)	У114. На правой шкале К производим визиром
отсчет 1—1—4. На шкале D под визиром читаем отсчет
кубического корня 4—8—5. Таким образом, находим
ответ: 4,85.
2)	3∕970000. По правилу I (п. 168) представим под¬
коренное число в виде произведения:
У 970∙ 103= ∣∕970∙10.
Отсчету 9—7—0 на правой шкале К на шкале D соот¬
ветствует отсчет кубического корня 9—9—0, следова¬
тельно, У 970=9,9. По правилу III (п. 168) находим про-
изведение 9,9-10=99.
3)	У250000000. По правилам I и III получим
У250000000=∣<250- 10β=3∕250∙102=6,3∙102=630.
4)	У0,227. По правилам I и III получим
66

'j y^0,227=∕^227 ..10-3=yr227∙ 10"1=6,l ∙ 10~*=0,61.
, Без применения отрицательного показателя:
∕θ^227= 1 ∕^= ∖∕f—=⅛-=⅜Γ=0>61∙
"	у 1000 у 10®	10	10
Б) y∕^ 0,000205. По правилам I и III получим
'	У 0,000205 = ∣∕ 205 ∙ 10~β=∣∕⅞5∙ 10~2=
=5,9 ∙10~2=0,059.
Без применения отрицательного показателя:
3 / ~
у О 000205= 1У —2θL∑=l∕r — =	-05 = 0,059.
V u,uuuxuu у 1000 000. V 10®	10®
174. Найдите кубические корни, отсчет которых чи¬
тается на-правой шкале кубов:
1) У1951
5) /ЗОО 000 000;
9) у 0,000341}
2)’/ВД
6) / 0,527;
10)'7 0,00011;
3) /1180001
7) / 0,25;
11) ↑∕ 0,405;
4) j∕ 205 000;
8) У 0,0005;
12) / 0,27.
175.	Правила о порядке кубического корня.
Из формул (17), (18) и (19) (п. 157) следуют фор¬
мулы для подсчета порядка кубического корня.
Подкоренное число установлено!
на левой
шкале кубов
на средней
шкале кубов
на правой
шкале кубов
(20)
з
Pa=⅞±l (21)
3
Pa=½! (22)
и
где Раз — порядок подкоренного числа; Ра — порядок кубического
корня.
176.	Практическое применение правил о порядке
кубического корня.
Для извлечения кубического корня из числа приме¬
няем правила I и II (п. 168).
57

Порядок кубического корня находим по формуле
(20), (21) или (22) в зависимости от того, на какой из
шкал К установлено подкоренное число.
1)	jΛ 2 750000=j∕2,75-1000000. Подкоренное число
устанавливаем на левой шкале К', 2,75=1,4. Порядок
кубического корня находим по формуле (20):
P3z-	=⅛^=3, β√ 2 750 000= 140.
/ 2 750 000	3
2)	j∕^ 15 000= j∕15∙ 1000. Подкоренное число устанав¬
ливаем на средней шкале K,. ∣∕^15=2,47. Порядок куби¬
ческого корня находим по формуле (21):
Рз.	=⅛=2, ∣∕15 000=24,7.
V 15 000	3	'
3)	j∕^250 000=j∕ 250-1000. Подкоренное число уста-
навливаем на правой шкале /<:	250=6,3. Порядок ку¬
бического корня находим по формуле (22):
Рз,	=—=2, {/250000=63.
/ 250 000	3	'
4)	∣∕θ,OOOO475=∣∕ 47,5∙10-β.	Подкоренное число
з /
устанавливаем на средней шкале К: γ 47,5=3,62. Поря¬
док кубического корня находим по формуле (21):
Рз,	=≡⅛t!=-1 ι∕θ,0000475 =0,063.
√0,0000475	3	’ τ
5)	y∕^0,35 — |/350-10-3. Подкоренное число устанавли¬
ваем на правой шкале /(:{/350 = 7,05. Порядок куби¬
ческого корня находим по формуле (22):
= Т=0,	=0'705∙
177. Вычислите:
68

1)	∣∕8J5j
2)	↑∕ 0,0162;
3)	0,0000434;
4)	yf0^8j
178. Вычислите:
5)	3∕39^51
6)	{∕ 1 370 000;
7)	f∕ 0,00625;
8)	∣∕ 0,0004;
9)	∣∕^400000;
10)	∣∕ξθ4j
11)	3∕θ,000792?
12)	∣∕θ,O792.
1) {Λ13,6∙0,056∙9,62j 2)
о /- -- -	-
3,15’∙√ 0,0085
0,188
•	3,23’•\/ 0,0815
;3) —

7 4,95».73,5 . 5) 7,6» #0,039
У 139	3^—
179. Зачетная работа № 10
ление кубического корня).
1
6)
(итоговая на вычис-
1)	jZθ,OO31j 3)	0,0562;	∣∕θ,852
2)	∣∕ 76 800; 4) J∕ θ,000345;	? 8,7’.∕θ√≡iβ
ГЛАВА VI
ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ
ШКАЛ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
(ДВОЙНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ШКАЛ)
LL1, LL2 и LL3 НА 19-Ш КАЛЬ НОЙ ЛИНЕЙКЕ
§ 19.	Устройство шкал LLl, LL3,LL3
180.	Расположение шкал LLl, LL2 и LL3. Шкалы LLl,
LL3 и LL3 расположены на обратной стороне корпуса
линейки. Шкала LL1 — вторая сверху, шкала LL3 — пер¬
вая снизу и шкала LL3 — вторая снизу.
Все три шкалы являются продолжением одна другой.
Шкала LL1 начинается числом 1,010 и заканчивается
числом 1,105. Шкала LL3 начинается числом 1,105 и
заканчивается числом e=2,718 (основание натуральных
Логарифмов). Шкала LL3 начинается числом е и закан¬
чивается числом 20000 (точнее 22 026).
181.	Устройство шкалы LL1. Шкала LL1 имеет три
Различных промежутка.
59

Цены делений шкалы LL1
№
промежутка
Промежутки
Цена деления
среднего промежутка
Цена деления
малого промежутка
1
1,010—1,02
0,01
0,001
2
1,02—1,05
0,01
0,002
3
1,05—1,105
0,01
0,005
182.	Найдите на шкале LL1 промежутки 1,012—1,02,
1,02-1,05 и 1,05—1,105.
183.	Прочитайте на шкале LL1 цены делений средних
промежутков.
184.	Прочитайте на шкале LL1 цены делений малых
промежутков.
185.	На шкале LL1 можно читать и устанавливать
пятизначные числа.
186.	Установите на шкале LL1 числа;
1,013;	1,0242;	1,0505;	1,0905;
1,014;	1,0296;	1,0605;	1,0915;
1,0145;	1,0354;	1,0745;	1,102;
1,0151;	1,0429;	1,0705;	1,103;
1,0184;	1,0575;	1,0885;	1,0805.
187.	Особенностью в устройстве шкал LL1, LLa и LL3
является то, что числа имеют те значения, которые ука¬
заны на каждой из шкал. Их нельзя увеличивать или
уменьшать в 10я раз.
188.	Устройство шкалы LLa, Шкала LLa имеет пять
различных промежутков.
Цены делений шкалы LL2
№
промежутка
Промежутки
Цена деления
среднего промежутка
Цена деления
малого промежутка
1
1,105—1,2
0,01
0,001
2
1.2—1,4
0,01
0,002
3
1,4—1,8
0,01
0,005
4
1,8—2,5
0,1
0,01
5
2,5—е
0,1
0,02
189.	Найдите на шкале LL2 промежутки, указанные
в таблице п. 188.
190.	Прочитайте на шкале LLi цены делений сред¬
них промежутков
191.	Прочитайте на шкале LLi цены делений малых
промежутков.
60

192.	В устройстве шкалы LL2 необходимо учитывать
следующие особенности:
1)'	деления первого разряда соответствуют второй
значащей цифре числа (первая цифра на шкале LL2
меняется только один раз — это цифра 2);
2)	деления второго разряда соответствуют третьей
Значащей цифре числа;
3)	деления третьего разряда соответствуют четвертой
значащей цифре числа;
4)	деления первого разряда отмечены через 0,1;
5)	началу шкалы соответствует число 1,1052, а не 1,11.
193.	Установите на шкале LL2 числа:
1.111
1.24;
1,45;
1,95;
1,12}
1.26;
1,47;
2,13}
1,14}
1,3;
1,53;
2,45;
1.19;
1.37;
1,82;
2,5;
1,21
1.4;
1,85;
2,68.
194.	Установите на шкале LL2 числа:
1,114;	1,204;	1,425;	1,852;
1,118;	1,268;	1,485;	1,915;
1,159;	1,342;	1,504;	2,225;
1,169;	1,396;	1,515;	2,405;
1,191;	1,405;	1,725;	2,495.
195.	Устройство шкалы LZ,3. Шкала имеет 14 раз¬
личных промежутков. Получив некоторые навыки в ра¬
боте со шкалами LLi и LL2, легко будет разобраться
в устройстве шкалы LL3.
Цены делений шкалы LL3
промеж утка
Промежутки
Цена деления
среднего промежутка
Цена деления
малого промежутка
1
е—4
0,1
0,02
2
4-6
о>1
0,05
3
6—10
1
0,1
4
10—15
1
0,2
5
15-30
1
0,5
6
30—50
10
1
7
50—100
10
2
8
100—200
10
5
9
200—500
100
10
10
500—1000
100
50
11
1000—2000
500
100
12
2000—5000
1000
200
13
5000—10000
100Q
500
14
10000—20 000
5000
1000
61

196.	Найдите на шкале LL3 промежутки, указанные
в таблице п. 195.
197.	Прочитайте на шкале LLi цены делений сред¬
них промежутков
198.	Прочитайте на шкале LL3 цены делений малых
промежутков.
199.	Установите на шкале LL3 числа:
3;
9;
50;
1000;
4;
Ю;
100;
1500;
5;
15;
200;
2000;
6;
30;
300;
5000;
7;
40;
500;
10000.
900. Установите на шкале LL3 числа:
54;
115;
950;
840;
59;
154;
1150;
730;
66;
210;
2200;
920;
78;
390;
7500;
97;
85;
550;
12 500;
104.
201.	Установите на шкале LL3 числа:
3,15;
10,9;
5,51;
3,03;
4,48;
19,6;
17,9;
9,05;
5,34;
3,75;
16,8;
7,09;
6,25;
148;
225;
8,11;
9,65;
9,45;
5,02;
15,1.
§ 20. Вычисление
числовых значений показательной функции е*
202.	На шкалах LL↑, LL2 и LL3 нанесены числовые
значения показательной функции ex при условии, что
числовые значения х берутся на шкале D.
При вычислении числовых значений показательной
функции ex необходимо помнить следующие соотноше¬
ния между числами шкалы D и числами шкал LLu LL2
и LL3.
«2

Если число х шкалы D
принадлежит
промежутку
то соответствующее число ех
читается на шкале
0,01 <х<0,1
ΔL1
0,l<x<l
LLi
1 <JΓ<10
LL3
203.	Соотношение между числом х шкалы D и числом
ex шкалы LLl, LLi или LL3 можно истолковать и другим
способом.
Если число х шкалы D считать соответствующим од¬
ному и тому же промежутку l<x<10, то на шкалах LLl,
LL2 и LL3 будут разные функции, а именно: на шкале
LL1-функция e0∙01x, на шкале LLi-функция e0∙uH на
шкале LLa — функция ajt.
204.	Вычисление ex, если х принадлежит промежутку
l<x<10.
Пусть требуется вычислить а2*6:
1)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете 2—
б—0;
2)	на шкале LL9 (1 <2,5 < 10) под визиром читаем от¬
вет 12,2.
205.	Вычислите:
1) e1∙12∣
5) e4>28j
9) а8-08;
2) e1∙09}
6) aδ∙86j
10) а9-2;
3) а2-48;
7) а8-28;
11) а7-48;
4) e3∙09∣
8) e1>73j
12) а6-08.
206. Вычисление ex, если х принадлежит промежутку
0,l<x<l.
Пусть требуется вычислить а0-28:
1) устанавливаем визир на шкале D на отсчете 2—
5-0;
2) на шкале LL<t (0,l<0,25<l) под визиром читаем
ответ 1,284.
207. Вычислите:
1) eO.153∣	5)	e0,375∣	9)	e0,575j
2) а0-206 207;	6)	e0-905}	10)	β0∙208j
3) e0∙187j	7)	a0∙264j	П)	e0∙308ι
4) e0∙78i	8)	е°>65;	12)	e0∙109.
63

208.	Вычисление ex, если х принадлежит промежутку
0,01<x<0,l.
Пусть требуется вычислить e0∙025ι
1)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете
2-5-0;
2)	на шкале LL1 (0,01 <0,025 <0,l) под визиром чита¬
ем ответ 1,0254.
209.	Вычислите:
e0,0108∙
g) e0.0187j
3) e0,01δ05j
4) e0,01δ9δ∙
б) e<M27δj
6) e0∙0316>
7) e0∙0564j
8) e0.092δj
9) e0.071δj
10) e0∙0102j
11) e0,0109δ.
12) e0-0805.
210.	Если число х принадлежит промежутку 0<х<
<0,01, то ex вычисляется достаточно точно по приближен¬
ной формуле:
ex≈l+x.	(23)
Пусть надо вычислить e0-002s. ∏0 фОрМуЛе (23) получаем
е°. 0026=ι +0,0025 = 1,0025.
211.	Вычисление —.
ex
Пусть требуется вычислить e-2∙6. Имеем
—=—=0,082.
e1 2∙5	12,2	’
212.	Вычислите:
1) e~3∙78j
О\ д“6,1δ •
3) е-о.234.
4) e-0,087l
5)	e~0∙87∣
6)	e-θ.02δ∣
7)	e-7∙8≈
8)	e~4∙84j
9)	е-о.022,
10) e~0∙428∣
11) e-8.°8j
12) e~0∙014.
213.	Зачетная работа №
ление показательной функции ex).
⅛ слить:
j 2) β0∙84β∣ 3) е-o.oi5j
11 (итоговая на вычис-
4) e-8'β8j 5) e→∙88.
§ 21. Нахождение натурального логарифма числа
и числа по его натуральному логарифму
214.	Числу х на шкале D соответствует на одной из
шкал LLl, LL2 или LL3 число y≈ex.
Из определения логарифма следует, что х есть нату¬
ральный логарифм числа y,, x=lny.
64

Примеры.
1)	Числу 2,5 на шкале D соответствует число 12,2 на
шкале LL3, т. е.
e2's=12,2, или 1п 12,2=2,5.
2)	Числу 0,85 на шкале D соответствует число 2,34 на
шкале LL2, т. е.
e0'85 = 2,34, или 1п 2,34=0,85.
215.	С помощью шкал LL1, LLz и LL3 можно непо¬
средственно находить натуральные логарифмы чисел от
.1,01 до 20000.
Необходимо помнить зависимость между установкой
числа у на одной из шкал LL1, LLi или LL3 и проме¬
жутком, в котором заключено число 1пу на шкале D.
Число у устанавливается
на шкале
LLi
LL3
LLi
Натуральный логарифм числа у
на шкале D заключен
в промежутке
0,01 < 1п_у <0,1
0,1 < 1пу < 1
1 < 1пу < 10
216.	Найти 1∏5,45.
1)	На шкале LL3 устанавливаем визир на числе 5,45
(5,45 > е).
2)	На шкале D под визиром читаем отсчет натураль¬
ного логарифма 1—7—0.
3)	1 < 1∏5,45 < 10 (п. 215), следовательно, 1п 5,45= 1,7.
217.	Найдите натуральные логарифмы следующих чи¬
сел:
1)	ln2,92j	5)	1∏45}	9)	ln37j
2)	1пЗ,68;	6)lnl20j	10)	1п 3500}
3)	1∏5,95}	7)	1п 950;	И)	1п 79;
4)	1п 16,5;	8)	ln5000j	12)	1п 1500.
218.	Найти 1п 1,21.
1)	На шкале LLi устанавливаем визир на числе 1,21
(1,105 < 1,21 < е).
2)	На шкале D под визиром читаем отсчет натурального
логарифма 1—9—1.
3)	0,1 <1∏ 1,21 <1 (п. 215), следовательно, lnl,21 =
=0,191.
5 Заказ № 532
65

219.	Найдите натуральные логарифмы следующих чи-
сел:
1)	1п 1,11;	5)	lnl,55j	9)	lnl,42j
2)	1п 1,145;	6)	lnl,79j	10)	1п2,4;
3)	1п 1,212;	7)	1п 1,95;	11)	1п 2,63;
4)	1п 1,31;	8)	1п2,6;	12)	1∏2,O3.
220.	Найти 1п 1,045.
1)	На шкале LL1 устанавливаем визир на числе 1,045.
2)	На шкале D под визиром читаем отсчет натураль¬
ного логарифма 4—4—0.
3)	0,01 <ln l,045<0,1 (п. 215), следовательно, 1п 1,045=
=0,044.
221.	Найдите натуральные логарифмы следующих чисел;
1)	1п 1,0115;	5)	1п	1,0409;	9)	1п	1,0665;
2)	1п 1,0136;	6)	1п	1,0805;	10)	1п	1,0765;
3)	1п 1,0254;	7)	1п	1,0103;	11)	1п	1,0373;
4)	1п 1,095;	8)	1п	1,0575;	12)	1п	1,0605.
222.	Нахождение натуральных логарифмов чисел, мень¬
ших 1,01.
1)	Найти 1∏O,8.
Числа 0,8 непосредственно на шкале LL1 нет (на шка¬
ле LL1 наименьшее число 1,01), поэтому поступаем так:
ln 0,8= ln —=1п 8 — 1п 10=2,08 — 2,3= -0,22.
10
2)	Найти 1п0,08:
1п 0,08= 1п —=1п 8 - 1п 100=2,08 - 4,61 =-2,53.
100
3)	Найти 1п 0,008:
1∏O,OO8=1∏-=1∏8-1∏ 1000=2,08-6,91 =-4,83.
юоо
223.	Найдите натуральные логарифмы чисел:
1)	1п 0,9;	5)	1п 0,85;	9)	1п 0,455;
2)	1п 0,2;	6)	1п0,15;	10)	1п 0,003;
3)	ln0,02j∙	7)	1п 0,006;	11)	1п 0,004;
4)	1п0,07;	8)	1п 0,065;	12)	1∏O,O5.
224.	Нахождение числа по его натуральному логарифму.
При нахождении числа у по его натуральному лога¬
рифму (1пу), отсчет натурального логарифма производим
на шкале D.
66

Число у читаем на шкале LL1, если 0,01 <lny<0,l,
на шкале L∆a, если 0,1 <lny<l, и на шкале LL,, если
l<lny<10 (п. 215).
225.	Найти у, если lπy=6.
1)	На шкале D устанавливаем визир на отсчете
6—0—0.
2)	Так как l<6<10, то ответ читаем под визиром на
шкале LL3∙. y=400.
226.	Найдите числа по их натуральным логарифмам:
1) lπy=l,12j
2)	lny=l,76j
3)	lπy=2,02j
4)	lny=5,05j
5)	lπy=6,55j
6)	l∏y=7,15j
7)	lπy=9,05j
8)	lny=3,78ι
9) lny=2,22j
10) 1пу = 1,05;
11) lny=9,55j
12) lπy=8,35.
227.	Найти у, если lπ=0,6.
1)	На шкале D устанавливаем визир на отсчете
6-0-0.
2)	Так как 0,1 <0,6<l, то ответ читаем под визиром
на шкале LLaι y=l,82.
228.	Найдите числа по их натуральным логарифмам:
1)	lny=0,14∙,	5)	1пу=0,965;	9)	1пу=0,244;
2)	lny=0,174)	6)	lπy=0,87j	10)	1пу=0,252;
3)	l∏y=0,238j	7)	lny=0,705j	11)	1пу=0,815;
4)	l∏y=0,555j	8)	lny=0,206ι	12)	lny=0,215.
229.	Найти у, если lny=0,06.
1)	На шкале D устанавливаем визир на отсчете
6-0-0.
2)	Поскольку 0,01 <0,06 <0,1, ответ читаем под визи¬
ром на шкале LL1j у=1,062.
230.	Найти у, если l∏y=0,006.
Здесь 0,001 <0,006 <0,01. На шкале LL1 нет числа,
соответствующего логарифму 0,006. В этом случае уве¬
личиваем число у в 10 раз:
1)	ln 10y=lπ 10÷lπy=2,303-f0,006=2,309=2,31|
2)	на шкале D устанавливаем визир на отсчете
2-3-1}
3)	под визиром на шкале LLβ (1 <2,31 < 10) читаем:
10,1. Следовательно, 10y=10,l.
4)	10y=10,l, y=l,01.
231.	Найдите числа по их натуральным логарифмам:
1) 1пу=0,0131;
2)	lny=0,O174j
3)	lπy=0,02391
4)	1п у=0,0501j
5)	lny=0,0967j
6)	lny=0,0892j
7)	1п у=0,0708;
8)	1п у=0,0561
9)	1п у=0,0451;
10)	Iny=0,0392j
11)	1п у=0,0605;
12)	lny=0,0305.
5*
67

232.	Нахождение числа по его отрицательному нату¬
ральному логарифму. Непосредственно на логарифмиче¬
ской линейке найти число у по его отрицательному нату¬
ральному логарифму нельзя. Для этого число у нужно
увеличить в 10, 100 и т. д. раз, чтобы его натуральный
логарифм стал положительным.
Ход вычислений поясним на примерах.
1)	Найти у, если 1пу=—0,26:
ln 10y=ln 10÷lπ y=2,3 — 0,26= 2,04.
Находим Юу по его натуральному логарифму 2,04:
10y=7,7, y=0,77.
2)	Найти у, если 1пу=—1,26:
1п 10y=ln 10÷lny=2,3- 1,26=1,04j
10y=2,83, y=0,283.
3)	Найти у, если 1пу=— 2,26:
1п 10y=ln 10+lny=2,3 - 2,26 =0,04;
10y=l,0408, y=0,1041.
4)	Найти у, если 1пу=—3,26:
1∏ 100y=lπ 100+lny=4,61 —3,26=1,35;
100y=3,86, y=0,0386.
5)	Найти у, если 1пу=—4,26:
ln 100y=ln 100+lπy=4,61 —4,26=0,35;
100y=l,42, y=0,0142.
6)	Найти у, если lny=—5,26:
lnl000y=lπ 1000+lny=6,91 —5,26=1,65;
1000y=5,47, у=0,00547.
233.	Найдите числа по их отрицательным натураль¬
ным логарифмам:	z
1)	1пу=—0,48;	5)	1пу= — 5,25;	9)	1пу=—2,03;
2)	1пу=—3,51;	6)	1пу=—0,35;	10)	1пу=— 3,08;
3)	lny=-2,96;	7)	1пу=-0,85;	11)	1пу=-7,45;
4)	lny=-4,55;	8)	lny=-1,78;	12)	lπy=-6,5.
234.	Нахождение числа по его натуральному логариф¬
му, большему 10. Непосредственно на логарифмической
линейке найти число у по его натуральному логарифму,
большему 10, нельзя.
68

Для этого число у необходимо соответственно умень¬
шить в 10, 100 и т. д. раз, чтобы логарифм его стал
меньшим 10.
Ход вычислений поясним на примерах.
1)	Найти у, если 1пу=12,4:
1п -⅛7=l∏y — 1п 100= 12,4 — 4,61 = 7,79}
—=2400, y=240000∙
ιoo ,
2)	Найти у, если 1пу=10,5:
ln -⅛=1∏ у _ 1п 100= 10,5 - 4,61 =5,89}
100	,
i=360, у=36 000.
ιoo ,
235.	Найдите числа по их натуральным логарифмам:
1)	l∏7-10,8}	5)	1∏7=12,5}
2)	l∏7=ll,51j	6)	1∏7=10,4j
3)	ln 7=13,4∣	7)	1∏7=11,8}
4)	1∏7=15}	8)	l∏7=10,2.
236.	Зачетная работа № 12 (итоговая на нахож¬
дение натурального логарифма числа и числа по его на¬
туральному логарифму).
1)	Найдите 1∏2,32.
2)	Найдите 1п92.
3)	Найдите у, если 1п 7=6,05.
4)	Найдите у, если 1п у=0,228.
5)	Найдите у, если 1пу= — 3,15.
§ 22. Возведение чисел в степень
237. Для вычисления y=Nm по данным N и т после¬
довательно выполняем следующие действия:
I)	lny=mlnWi ∙l"i=-⅛
1 т
2)	устанавливаем визир на числе N на той шкале LL,
промежутку которой принадлежит число /V;
3)	совмещаем начальный (или конечный) штрих шка-
fl∏ С с числом N на шкале LL∙i
4)	совмещаем визир с числом т на шкале С;
5)	напротив числа т на шкале С на одной из шкал
*<L читаем ответ.
69

На какой из шкал LL нужно читать ответ, зависит
от того, какому промежутку принадлежит произведение
∕nlnΛf, так как число у по его натуральному логарифму
находится из равенства lny=∕nlnΛf.
Чтобы найти промежуток, которому принадлежит про¬
изведение т 1п Λf, достаточно подсчитать порядок этого
произведения, не вычисляя его числового значения.
Порядок т находится непосредственно по его число¬
вому значению. Порядок lnΛf находим исходя из следу¬
ющего: логарифмы чисел, читаемых на шкале LL3, имеют
порядок, равный 1, логарифмы чисел, читаемых на шкале
LL2, имеют порядок, равный 0, и логарифмы чисел, чи¬
таемых на шкале LLv имеют порядок, равный —1. При
выходе движка вправо от суммы порядков сомножителей
т и 1∏W вычитаем единицу.
Выводы из сказанного видны из следующей таблицы.
Порядок произведения
с учетом выхода движка
вправо
Число у читается
на шкале
1
О
—1
LL3
я
1
На какой из трех шкал следует читать число у, в про¬
стейших случаях устанавливается непосредственно по
смыслу примера.
238. В п. 238—255 рассматриваются основные 9 слу¬
чаев возведения чисел в степень.
I случай. Основание степени устанавливается и сте¬
пень читается на шкале LL3.
Вычислить 3,5* 1 2 3 4 5 *∙7r
1) положим y=3,51∙7t тогда lny=l,71π3,5.
Число 3,51∙7>e, следовательно, ответ будет читаться
на шкале LL3,
2) устанавливаем визир на шкале LL3 на числе 3,5:
3) совмещаем начальный штрих шкалы С с визиром:
4) совмещаем визир с отсчетом 1—7—0 на шкале С:
5) подсчитываем порядок произведения 1,71п 3,5 с уче¬
том выхода движка вправо:
Р\,71п з,б = 14-1 — 1 = 1,
следовательно, число у по 1пу находим на шкале LL3
(см. п. 237), что было обосновано в первом действии;
70

6)	напротив отсчета 1—7—0 на шкале С читаем ответ
на шкале LL3. Итак, 3,51-7=8,4.
239.	Вычислите:
1)	4,82∙3,∙	5)	9ι8i.63t	9)	29,5θ∙87j
2)	5,92.∙2j	б)	350∙48j	10)	7,20∙88,∙
3)	2,83∙ 18;	7)	8,452.9.	Ц)	5 35i .27;
4)	3,32е;	8)	35*.7;	12)	ЮО0-322.
240.	II случай. Основание степени устанавливается
на шкале LL3, степень читается на шкале LL3.
Вычислить 3,5°-17:
1)	пусть y=3,50-17, тогда 1пу=0,171пЗ,5;
2)	устанавливаем визир на шкале LL3 на числе 3,5;
3)	совмещаем начальный штрих шкалы С с визиром;
4)	совмещаем визир с отсчетом 1—7—0 на шкале С;
5)	подсчитываем порядок произведения 0,171n3,5 с
учетом выхода движка вправо:
Л).17 In 3,5 = 0+l — 1 =0,
следовательно, число у по 1пу находим на шкале LLt
(см. п. 237);
6)	напротив отсчета 1—7—0 на шкале С читаем ответ
на шкале LL3, Итак, 3,50∙17=l,238.
241.	Вычислите:
1)	4 5о,з5з;	5)	7,90.148;	9)	3,40,0м.
2)	8,70∙4j	6)	11°.°90®;	10)	200∙nj
3)	3,220∙6s5j	7)	12,40∙°78;	11)	45<>.°48;
4)	5,30>ss5	8)	6,3°.167;	12)	10°.212.
242.	III случай. Основание степени устанавливается
на шклае LL3, степень читается на шкале LL1.
Вычислить 3,50∙0,7ι
1)	пусть y=3,50∙017, тогда lny=0,0171n 3,5;
2)	устанавливаем визир на шкале LL3 на числе 3,5;
3)	совмещаем начальный штрих шкалы G с визиром;
4)	совмещаем визир с отсчетом 1—7—0 на шкале С;
5)	подсчитываем порядок произведения 0,0171п 3,5
с учетом выхода движка вправо:
Ро.оп 1п 3.5 = — 1 +1 — 1 = —
следовательно, число у по 1пу находим на шкале LLi
(см. п. 237);
6)	напротив отсчета 1—7—0 на шкале G читаем ответ
яа шкале LL1,. 1,0215=1,021. Итак, 3,5°.°17=l,021.
71

243. Вычислите:
1) 3,70∙057ι
2)	4,250 ∙ °35;
3)	5,40■°238;
4)	50° ■ °0506-;
5)	290∙015βj
6)	2,80-°446;
7)	10° ∙ °294;
8)	13,40 ∙ °0762;
9)	1000∙0167j
10) 10000>0138;
11)	300∙00495ι
12)	8,60∙0069.
244.	IV случай. Основание степени устанавливается
и степень читается на шкале LL2.
Вычислить 1,8°'26:
1)	пусть y=l,80∙26, тогда lny=0,261п 1,8;
2)	устанавливаем визир на шкале LL2 на числе 1,8;
3)	совмещаем конечный штрих шкалы С с визиром;
4)	совмещаем визир с отсчетом 2—6—0 на шкале С;
5)	подсчитываем порядок произведения 0,261п 1,8:
Pθ,26 ln 1.8 = 0+0=0,
следовательно, число у по 1пу находим на шкале LL2
(см. п. 237);
6)	напротив отсчета 2—6—0 на шкале С читаем ответ
на шкале LL2. Итак, l,80∙26= 1,165.
245.	Вычислите:
1)	1,52-2;	5)	1,851-49;	9)	1,580-85;
2)	2,50∙252j	6)	1,214-26;	10)	l,311∙31j
3)	1,15®;	7)	1,480∙266j	11)	2,51∙06j
4)	l,391-61≡	8)	l,80-26j	12)	2,45l∙1.
246.	V случай. Основание степени устанавливается
на шкале LL2, степень читается на шкале LL3,
Вычислить 1,82-6:
1)	пусть y=l,82∙6, тогда lny=2,61п 1,8;
2)	устанавливаем визир на шкале LL2 на числе 1,8;
3)	совмещаем конечный штрих шкалы С с визиром;
4)	совмещаем визир с отсчетом 2—6—0 на шкале C∣
5)	подсчитываем порядок произведения 2,61п 1,8:
Ря,б ln 1.8 = l÷0=l,
следовательно, число у по 1пу находим на шкале LLλ
(см. п. 237);
6)	напротив отсчета 2—6—0 на шкале С читаем ответ
на шкале LL3. Итак, l,82∙β=4,6.
247.	Вычислите: .
1)	l,82∙δj	5)	2,451 >9;	9)	1,757;;
2)	1,5е;	6)	1,218;	10)	2,35-4;
3)	2,15∙65!	7)	1,2129∙4∣	11)	2,143∙06}
4)	2,12∙ij	8)	1,755 4;	12)	1,327.
72

248.	VI случав. Основание степени устанавливается
на шкале LLi, степень читается на шкале LL1.
Вычислить l,80∙02βι
1)	пусть y=l,80∙θ2β, тогда lny=0,0261π 1,8}
2)	устанавливаем визир на шкале LL2 на числе 1,8;
3)	совмещаем конечный штрих шкалы С с визиром}
4)	совмещаем визир с отсчетом 2—6—0 на шкале Cj
5) подсчитываем порядок произведения 0,0261п 1,8:
Pθ.026 1п 1,8 = —1+0= — 1,
следовательно, число у по 1пу находим на шкале LLt
(см. п. 237)}
6)	напротив отсчета 2—6—0 на шкале С читаем ответ
на шкале LL1ι 1,01504=1,015. Итак, l,80∙026= 1,015.
249.	Вычислите:
1)	l,60.eβ3Sj	5)	2,l0∙078δ∣	9)	l,74°.i27j
2)	1,150∙204∣	6)	l,35β∙066∣	10)	l,690∙116j
3)	l,550∙19}	7)	l,120∙16δj	11)	l,820∙14δ5
4)	2,50∙0β3δ}	8)	l,21β∙067si	12)	l,930∙0226.
250.	VII случай. Основание степени устанавлива¬
ется и степень находится на шкале LLv
Вычислить 1,02* >64:
1)	пусть y=l,021∙δ4, тогда lπy=l,541п 1,02;
2)	устанавливаем визир на шкале LL1 на числе 1,02;
3)	совмещаем начальный штрих шкалы С с визиром;
4)	совмещаем визир с отсчетом 1—5—4 на шкале С;
5)	подсчитываем порядок произведения 1,541п 1,02
с учетом выхода движка вправо:
∕,1.64 1п 1,02=1 — 1 — 1 = — 1,
следовательно, число у по 1пу находим на шкале LLt
(см. п. 237);
6)	напротив отсчета 1—5—4 на шкале С читаем ответ
на шкале LL.. Итак. 1.02,∙δ4=1.031.
251. Вычислите:
1)	l,0180>72δ∣
2)	l,020∙8δj
3)	l,050∙80δ}
4) 1,O551-441
5)	l,0471∙78∣
6)	l,061∙2∣
7)	l,0422∙1∣
8)	l,0580∙6l∣ .
9)	l,0350∙δ2∣
10) l,0741∙14}
11) l,0490∙82j
12) l,063l∙41.
252.	VIII случай. Основание степени устанавливается
на шкале LL1, степень читается на шкале LL3,
Вычислить 1,02154:
1)	пусть y=l,02lδ4, тогда lny = 1541п 1,02}
73

2)	устанавливаем визир на шкале LL1 на числе 1,02;
3)	совмещаем начальный штрих шкалы С с визиром;
4)	совмещаем визир с отсчетом 1—5—4 на шкале С;
5)	подсчитываем порядок произведения 1541п 1,02
с учетом выхода движка вправо:
Р154 1п 1,02 = 3 — 1 — 1 = 1,
следовательно, число у по 1пу находим на шкале LLa
(см. п. 237);
6)	напротив отсчета 1—5—4 на шкале С читаем ответ
на шкале LL3. Итак, l,02154=21.
253.	Вычислите:
1)
2)
3)
4)
l,0636∙4∣	5)	l,01213°∣
1,02547'2j	6)	1,O16i2°9
l,031111∣	7)	1,015е1'8;
1,0817'7;	8)	l,03582∣
9)
Ю)
П)
12)
1,04434j
l,08329{
1,0341°8j
l,05547.
254. IX случай. Основание степени
устанавливается
на шкале LLi, степень читается на шкале LL2.
Вычислить 1,0218’4;
1)	пусть y=l,0215'4, тогда lny=15,41n l,02∣
2)	устанавливаем визир на шкале LL1 на числе 1,02;
3)	совмещаем начальный штрих шкалы С с визиром;
4)	совмещаем визир с отсчетом 1—5—4 на шкале С;
5)	подсчитываем порядок произведения 15,41п 1,02
с учетом выхода движка вправо:
Р16.4 1п 1,02=2 — 1 — 1=0,
следовательно, число у по 1пу находим на шкале LL2
(см. п. 237);
6)	напротив отсчета 1—5—4 на шкале С читаем ответ
на шкале LL2. Итак, 1,0218,4 =1,356.
255. Вычислите:
1)
1.02449’18;
5) 1.0854’3;
9) 1,18,2;
2)
1,0855е’1;
6) 1,0615е’15;
10) 1.0833'1;
3)
1.01512'8;
7) 1,01322;
И) 1,02323’4;
4)
1,0321;
8) 1.02533’4;
12) l,055l3∙6.
256.
Возведение в
степень чисел,
меньших 1,01.
а) Вычислить 0,351,7:
1) y=0,351'7, lny=l,71п 0,35;
74

2)	ln0,35= ln-=1∏35-ln!00 = 3,56 — 4,61 = — 1,05
'	100
(см. ∏. 222);
3)	lny=l,7(-1,05)=-1,785;
4)	ln 10y=ln 10+lπy=2,303 — 1,785 = 0,518 (см. п. 232)1
5)	10y = l,68, y=0,168, 0,35*'7=0,168.
б)	Вычислить 0.0351’7:
1)	y=0,035*'7, lny= 1,71п 0,035;
2)	ln 0,035 = 1п —— = 1п 35 — 1п 1000 = 3,56 - 6,91 =
1000
	 з 35.
3)	lny=l,7 (—3,35)=—5,7;
4)	ln 1000y=ln 1000+lny=6,91 — 5,7= 1,21}
5) 1000y=3,35, y=0f00335, 0,035*'7=0,00335.
257. Вычислите:
1) O,35o'*7j
5) 0,89δ∣
9) 0,922 3'*j
2) 0,35°'°*7;
6) 0,63°'δ9j
10) 0,3° ’3;
3) О.О350'17;
7) 0,024*'8∣
11) 0,68е;
4) O,O35o'o*7j
8) O,O45o'86∣
12) O,llo'β.
258.	Возведение в степень чисел, логарифмы которых
превышают число 10.
Вычислить 75 0000, *8:
1)	у=750000'*δ, lny=0,151π75000j
2)	ln75 000=ln(75∙1000)=ln75⅛lπ 1000 =4,32+6,91 =
= 11,23;
3)	ln у=0,15 -11,23=1,68;
4)	у=5,39, 75000°'*δ=5,39.
259.	Вычислите:
1)	125OOOo'o8ι	3) 66OOOo'27j	5) 950000 ”;
2)	35OOOo'42i	4) 570000,0611	6) 41 0000,234.
260.	Возведение чисел в отрицательную степень.
Вычислить З,26-*'3:
2) 3,261'3=4,65j
3) —1—=0,215.
4,65
75

261.	Вычислите:
1)	5,8-2'7∣	5)	1,5“7!	9)	1,08^7,88j
2)	ll,5^0,8∕	6)	2,4^0'208∣	10)	4,8^0'66∣
3)	2,9^o∙o52∣	7)	1,O5^o,8j	11)	l,3~5j
4)	l,35"1∙6s∣	8)	l,03-52j	12)	l,04^6.
262.	Вычислить у/ 19,5.
Первый способ:
1)	положим y=∣∕ 19,5, тогда lny=-^- 1п 19,51
2)	устанавливаем визир на шкале LL3 на числе 19,5)
3)	совмещаем с визиром отсчет 5—0—0 на шкале C∣
4)	совмещаем визир с конечным штрихом движка)
5)	подсчитываем порядок частного:
Р1п 19,5=1 — 1 =0.
Ответ читаем на шкале LL2j
6)	на шкале LL2 под визиром читаем ответ: 19,5
= 1,81.
Второй способ:
1)	y = 5∕19,5= 19,5lf5 = 19,50'2)
2)	19,50∙2=l,81} {∕"iξδ=l,81.
6 /*47 4
263. Вычислить 1/ —⅛.
Пер вый способ:
n 8 ∕4‰4 .	1п47,4 —1п 58,5	3,86 — 4,07
-2L±-=-0,035, lny=-0,035)
2) ln 10y=ln 10+lπy=2,303 — 0,035 = 2,268 = 2,27)
β ∕^τr~.
Второй способ:
1)	y=∕>=	0,811/6 =0,81 °’ ,66δ∣
2)	y=0,81°,1'665, lπy=0,16651п 0,81}
3)	lnθ,81=ln- =1∏81 - 1п 100=4,4 - 4,61 =—0,21 j
76

4)	lny=0,1665(—0,21)≈—0,035, дальнейшие дейст¬
вия производим так же, как и при первом способе вы¬
числения.
264.	Вычислите:
1)	½3∙232z5j
2)	О.?”'’' j∕⅛∣
3»lβ∕r Qγκ
31 ∣∕≡i
4)	ψξ>8i,5 j
5)	7∕12,1v5 ∙0,855z8∣
6>∕≡'
265.	Зачетная работа
дение чисел в степень).
№ 13 (итоговая на возве-
1) 29,51 ∙48,
2) l,54'2ξ
3) 9,50∙186j
4) 0,48° ,8∣
§ 23.	Показательные уравнения
266.	Решить уравнение 5Л=125:
1)	устанавливаем визир на числе 5 на шкале LL3!
2)	совмещаем начальный штрих движка с визиром;
3)	устанавливаем визир на числе 125 на шкале LL3∖
4)	на шкале С под визиром читйем отсчет ответа 3—0—0;
5)	находим порядок ответа с учетом выхода движка
вправо:
1п 125	г*	,	, . ,	,
x=^Γ-Ξ-, ^5ι∏ 128 =1 — 1÷1 = 1
1п 5
' 1п 5
(порядок ответа в этом примере и последующих легко
Подсчитывается в уме);
6)	ответ: х=3.
77

267.	Решить уравнение 5x=l,16)
1)	устанавливаем визир на числе 5 на шкале LLt∖
2)	совмещаем конечный штрих движка с визиром)
3)	устанавливаем визир на числе 1,16 на шкале LLt∖
4)	на шкале С под визиром читаем отсчет ответа 9—2—0)
5)	находим порядок ответа:
1п 1,16 л	л «	•
х=—;—, "ι∏ ι,ιβ∕in 5=0— 1=—1|
о
6)	omβemι x=0,092.
268.	Решить уравнение 5*=l,031j
1)	устанавливаем визир на числе 5 на шкале LLs∣
2)	совмещаем начальный штрих движка с визиром;
3)	устанавливаем визир на числе 1,031 на шкале LL1∣
4)	на шкалеСпод визиром читаем отсчет ответа 1—8—9;
5)	находим порядок ответа с учетом выхода движка
вправо:
1п 1,031 п	ι । . ∣	∣
х =			> * ln l,081∕lπ 5 =— 1—14-1=» —1|
6)	otnβemt x==0,0189.
269.	Решите уравнения:
1)	3x=47)	5)	6O*=2,18j
2)	6,4x=13,4j 6) 25x=5,5∣
3)	60x=5,15∣ 7) 8,5x=l,016)
4)	5jt=2∣	8)	13-r=l,08∣
9) 45x=l,l∣
10) 5,25x=115∣
11)	3,16’= 1,52;
12)	4,05’= 1,049.
270.	Решить уравнение 2∙r=l,5ι
1)	устанавливаем визир на числе 2 на шкале LL^
2)	совмещаем конечный штрих движка с визиром)
3)	устанавливаем визир на числе 1,5 на шкале LLt∣
4)	на шкале С под визиром читаем отсчет ответа 5—8—5)
5)	находим порядок ответа:
* = T⅛5-. ^lnl.6∕ln2=0-0=0)
1п2
6) ответ: x≈0,585.
271. Решить уравнение 2’= 1100:
1) устанавливаем визир на числе 2 на шкале LLs,∙
2) совмещаем начальный штрих движка с визиром;
3) устанавливаем визир на числе 1100 на шкале ΔΔ8,∙
4) на шкале С под визиром читаем отсчет ответа 1—0—1;
78

5)	находим порядок ответа с учетом выхода движка
вправо:
..	1∏ 1100 р	ι л ∣ ι о.
х	—, * 1п 1 ιoo∕in 2 = I — 04^ 1 =2}
6)	ответ: χ=10,l.
272.	Решить уравнение 2*= 1,025:
1)	устанавливаем визир на числе 2 на шкале LLz↑
2)	совмещаем конечный штрих движка с визиром;
3)	устанавливаем визир на числе 1,025 на шкале LLlf
4) на шкале С под визиром читаем отсчет ответа 3—5—6;
5) находим порядок ответа:
„ 1п 1,025	„	1 л 1
* =	—	, Γ,∣nl,026∕ln 2 = —1 — 0 = —1|
ш 2
6) ответ! х=0,0356.
273.	Решите уравнения:
1)	1,3*= 1,7;
2)	2,5*=1,5;
3)	l,ll*=l,9j
4)	1,25*=40;
5)	1,7*= 11;
6)	1,22*=80;
7)	1,9*= 1,09;
8)	2,5*= 1,02;
9)	1,15*= 1,05;
10)	1,615*= 1,212;
11)	1,615*=12,4,-
12)	1,615*= 1,0214.
274.	Решить уравнение 1,015*= 1,05:
1)	устанавливаем визир на числе 1,015 на шкале LLl∣
2)	совмещаем начальный штрих движка с визиром;
3)	устанавливаем визир на числе 1,05 на шкале LL1∣
4)	на шкале в под визиром читаем отсчет ответа 3—2—8;
5)	находим порядок ответа с учетом выхода движка
вправо:
1п 1,05
1п 1,015 ’
P∣n l,05∕ln 1,015 = — 1 —(—1)+1 = 1∣
6)	ответ: x=3,28.
275.	Решить уравнение 1,015*=3:
1)	устанавливаем визир на числе 1,015 на шкале LL1f
2)	совмещаем конечный штрих движка с визиром;
3)	устанавливаем визир на числе 3 на шкале LLt∣
4)	на шкале С под визиром читаем отсчет ответа 7—4—0;
5)	находим порядок ответа:
×=	1.nо,, » Pι∏3∕in ι.oi5 = l—(—1)=2;
1п 1,015
6)	ответ: х=74.
276.	Решить уравнение 1,015*= 1,45:
1)	устанавливаем визир на числе 1,015 на шкале LLl,,
79

2)	совмещаем начальный штрих движка с визиром;
3)	устанавливаем визир на числе 1,45 на шкале LL2∣
4)	на шкале С под визиром читаем отсчет ответа 2—5—0;
5)	находим порядок ответа с учетом выхода движка
вправо:
lnl,⅜5
x~ 1п 1,015 ’
=O-(-l)÷l=25
Р lnl,45
1п 1,015
6)	ответ: х=25.
277.	Решите уравнения:
1)	1,02*= 1,07;	5)	l,07*=3,16)	9)	1,01 1*= 1,25;
2)	l,08*=l,012j	6)	1,035*=5;	10)	l,0218*=l,05∣
3)	1,04*= 1,1;	7)	1,02*= 1,6;	11)	1,0218*=9,2;
4)	l,02*=14,4∣	8)	l,065*=l,15j	12)	1,0218*= 1,332.
278.	Решить уравнение 104*=44.
Решается, как и уравнение в п, 266, относительно 4х:
4x=l,64, x=0,41.
279.	Решить уравнение 12-*=70.
Решается, как и уравнение в п. 266, относительно —х:
—x = l,71, х=—1,71.
1
280.	Решить уравнение 9*—1 =41.
Решается, как и уравнение в п. 266, относительно
1
х — 1'
— = 1,69, x=l,59.
х — 1
281.	Вычислить log4100.
Положим log4 100=x, тогда 4* =100; решая получен¬
ное уравнение, находим x=3,32.
Замечание. Нахождение логарифма числа по произвольному
положительному основанию сводится, как показано в этом примере,
к решению показательного уравнения.
282.	Решите уравнения:
1)	2,5β*=10j	5) 2,51λ=13,4}	9) logls8,5=xj
2)	8,42*=50j	6) x"^vz 12,23=26,5} 10) log1.2l,09=x∣
4
3)	150-*= 15;	7) l,8x+' =20;	11) log1,480=x}
1
4) 13-8*=80j	8) li,43~*=35j	12) log113,7=x.
80

283.	Зачетная работа № 14 (итоговая на показа¬
тельные уравнения).
1) 50*=5,25,’
2) l,8-*=13j
3) 15~2*-1,51}
4) 2,42*=l,08,∙
5) * V 14,24=86.
ГЛАВА VII
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ЛОГАРИФМОВ
§	24. Устройство шкалы мантисс логарифмов (!)
284.	Деления шкалы L равномерные. Цена деления
третьего разряда равна двум. На шкале L изображены
мантиссы логарифмов соответствующих (противостоящих)
чисел на шкале D.
285.	Произведите на шкале L отсчеты:
1) 1 — 1—5;
5) 8 — 4 - 2;
9) 9 - 3 - 3;
2) 1-0 — 3;
6) 9 — 9 — 2;
Ю) 2 — 4 — 6;
3) 5-9-7;
7) 7-4-5;
11) 0-0-9;
4) 6-0-1;
8) 6 — 2 — 0;
12) 9-8-2.
§ 25.	Вычисления с применением шкалы L
286.	Все вычисления с десятичными логарифмами
легко производятся на шкалах LLs, LL2 и LLl.
287.	Нахождение десятичного логарифма числа.
Для отыскания десятичного логарифма числа ставят
визир на отсчете этого числа на шкале D и читают на
шкале L отсчет мантиссы этого числа.
Десятичные логарифмы чисел до 1—2—5 включительно
имеют в качестве первой цифры мантиссы нуль. Десятич¬
ные логарифмы чисел, начиная с 1—2—6, имеют отлич¬
ную от нуля первую цифру мантиссы.
288.	Найти десятичный логарифм числа 5,2:
1)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете 5—2—0|
2)	на шкале L под визиром читаем отсчет мантис¬
сы 7-1—6;
3)	⅛ 5,2=0,716.
Характеристика логарифма вычисляется по обычным
правилам без применения линейки.
в Заказ № 733	Й1

289.	Найдите десятичные логарифмы:
1)	lg 40,4j
2)	lg 187;
3)	⅛202j
4)	Ig5,15j
5)	lg80,5i
6)	lg 760;
7)	lg 0,904;
8)	lg9,9j
9)	lg30,6j
10)	lgθ,14)
11)	lg 0,109;
12)	lg 0,028.
290.	Нахождение числа по его десятичному логарифму.
Для нахождения числа по его десятичному логарифму
визир устанавливается на шкале L на отсчете логарифма
(мантиссы логарифма) и на шкале D под визиром читается
отсчет числа, соответствующего этому логарифму. Запятая
в числе ставится в зависимости от характе, истики лога¬
рифма.
Найти число N, если lgJV-1,223:
1)	на шкале L устанавливаем визир на отсчете мантиссы
логарифма 2—2—3;
2)	на шкале D под визиром читаем отсчет числа 1—6—7|
3)	характеристика логарифма равна 1, следовательно,
вапятой отделяем два знака: V=16,7.
291.	Найдите число N по его десятичному логарифму:
1)	lgΛZ=0,932j
2)	lgW= 1,486;
3)	lgW=2,118j
4)	lgW=Γ,504j
5)	lgN=0,324)
6)	lgy=2,644}
7)	lgy=2,518}
8)	lgtf=0,952;
9)	lgtf=T,148j
10)	lg У=0,206;
11)	lgW=3,508j
12)	lgΛΓ=3,115.
292.	Вычислить 102’134.
Пусть Λf=102,134, тогда
lgΛf=2,134∙lg 10=2,134.
Для вычисления выражения 102'134 надо найти чис¬
ло N по его логарифму (по основанию 10) 2,134; в ре¬
зультате имеем jV=136 (см. п. 290).
293.	Вычислите выражения:
1)	101’8;	5)	10°’828;	9)	Ю2 02;
2)	Ю0,95;	6)	1О0’08;	10)	Ю0,75;
3)	102’378;	7)	103’41;	11)	Ю0 09;
4)	102'3®;	8)	10,∙°6j	12)	Ю1’01.
294.	Вычислить Ю-2’8®2.
82

Вычисление произведем с применением обратной шка¬
ля D1∙.
1)	y=10-2,852 = 10~2.10-°,852= 10~2	5—;
l00.852,
2)	устанавливаем визир на шкале L на отсчете 8—5—2
(отсчет мантиссы);
3)	на шкале Dl под визиром читаем отсчет 1—4—1;
4)	N=10-2.0,141 =0,00141.
295.	Вычислите:
1)	10~1∙8s	5)	10-β∙8∙	9)	Ю-3,25;
2)	10"3’6;	6)	10-0∙°5i	10)	10“°’08;
3)	10"2’ 16∣	7)	10~2'2j	11)	10“°’15;
4)	10~β,4j	8)	l(Γl',∣	12)	1О“0’015.
296.	Вычислить 2,18'’25;
1)	положим x=2,18l,25, тогда lgx=l,25∙lg2,18,∙
2)	находим lg 2,18=0,339;
3)	находим произведение 1,25-0,339=0,424;
4)	lgx=0,424i
5)	по логарифму х находим x=2,66.
297.	Вычислите:
1)	5,722>вв;	4)	0,08, •*;
2)	0,9251’44;	5)	12,52'2;
3)	я4-15;	6)	5,61'2.
298.	Вычислить 4,8“2'в;
1)	пусть x=4,8-2'6, тогда lgx=-2,6∙lg4,8j
2)	вычислим lg 4.8=0,681;
3)	находим произведение 2,6»0,68=1,77;
4)	так как lgx=-1,77, то преобразуем логарифм
в искусственную форму! получим lgx=-1,77=2,23;
5)	по логарифму х находим x=0,017.
299.	Вычислите:
1)	2,96’’24; 3) 19,6-2'4;	5) л-218;
2)	8,5“3’6;	4) 3,181'β,∙	6) 0,25^1∙3.
300.	Нахождение натурального логарифма числа по его
Десятичному логарифму на 10-шкальной линейке.
Для перехода от десятичных логарифмов к натураль¬
ным (с основанием e≈2,718) десятичный логарифм умно¬
жают на модуль перехода от десятичных логарифмов
к натуральным, равный 2,303 (так как 1∏W=2,3O3 lgA),
или делят на модуль перехода от натуральных логариф¬
мов к десятичным, равный 0,4343 (поскольку lg(V=
=0,43431п N, т. е. lntf—⅛^-).
0,4343'
301.	Найти натуральный логарифм числа 42,6.
Первый способ:
1п 42,6=2,3∙lg 42,6=2,3-1,63=3,76.
Второй способ:
ln 42,6=⅛≡^=-=3,76.
0,434	0,434
302.	Найдите:
1)	1п5;	3) ln9,8j 5) ln 128∣
2)	lπ3,4j 4) 1п65; 6) 1п 1000.
ГЛАВА VIII
ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ШКАЛ (S, Т и ST)
§	26. Устройство тригонометрических шкал
303.	На лицевой стороне 19-шкальной и 10-шкальной
линеек нанесены шкалы S, Т и ST.
На тригонометрических шкалах даны десятичные де¬
ления градусов, т. е. даны десятые и сотые доли гра¬
дуса, а не минуты и секунды.
При переводе десятичных делений градуса в минуты
и секунды надо учесть, что:
0o,l=-=6'∣ 0o,05=3,∣ 0o,02=l'12"j
ю
0o,oi=^=36'∣ 0o,001=3",6j 0°,005= 18",
а при переводе минут и секунд в десятичные доли гра¬
дуса учесть, что
Γ=0o,0167j l"≈0o,000278.
84

804. Таблица перевода минут в десятичные доли градуса
1'0°,0167
2' 0o,0333
3, 0®,0500
4' 0®,0667
5' 0o,0833
6' 0°,1000
Т 0®,1167
8' 0®,1333
9' 0®,1500
10' 0®, 1667
11' 0o,1833
12' 0®,2000
13' 0®,2167
14' 0®,2333
15' 0®,2500
16' 0®,2667
17' 0°,2833
18' 0°,3000
19' 0®,3167
20' 0®,3333
21'0®,3500
22' 0o,3667
23' 0®,3833
24' 0®,4000
25' 0°,4167
26' 0®,4333
27' 0®,4500
28' 0®,4667
29' 0®,4833
30' 0®,5000
31' 0®,5167
32' 0®,5333
33' 0®,5500
34' 0®,5667
35' 0o,5833
36' 0®,6000
37' 0®,6167
38' 0°,6333
39' 0o,6500
40' 0®,6667
41' 0®,6882
42' 0o,7000
43' 0® ,7167
44' 0® ,7333
45' 0®,7500
46' 0o,7667
47' 0®,7833
48' 0®,8000
49' 0®,8167
50' 0®,8333
51' 0®,8500
52' 0®,8667
53' 0®,8833
54'0®,9000
55' 0®,9167
56' 0®,9333
57' 0®,9500
58' 0®,9667
59' 0®,9833
60' lo,0000
305.	Устройство шкалы синусов (3). Шкала синусов
неравномерная, на ней нанесены деления от ≈50,73
(≈5044,) до 90°.
№ проме¬
жутков
Промежутки
шкалы
Цена деления
первого
разряда
второго
разряда
третьего
разряда
1
5е,8—10°
1®
0®,1 (6')
0o,05 (3')
2
10°—20°
1®
0o,l (6')
—
3
20’—40°
1®
0o,2 (12')
4
40’—70’
1®
0o,5 (30')
5
70’—80’
1®
—-
—
6
80’—90’
штрихом отме¬
чен угол 85°
—
—
306.	Визиром произведите отсчеты на шкале S сле¬
дующих углов из промежутка 5°,8—10°:
1)	60,8∣	5)	60,75∣	9)	9°,9}
2)	6°,95j	6)	60,9∣	10)	7°,06)
3)	60,2j	7)	7е,15)	11)	6°,89)
4)	6°,45,	8)	8°,05)	12)	9°,25.
307.	Произведите визиром на шкале S отсчеты сле¬
дующих углов из промежутка 10°—20°:
1)	10°,2)	5)	13°,05)	9)	19°,2)
2)	10°,95)	6)	16°,6)	10)	10°,1;
3)	11°, 5;	7)	19°,4;	11)	12°,2;
4)	12°,75)	8)	20oj	12)	14°,75)
85

308.	Произведите визиром на шкале 8 отсчеты сле¬
дующих углов из промежутка 20е—40е.
1)	20°,6; 5) 36o,5j	9)	25е,31
2)	24°,5) 6) 39е,5 j 10) 30°, 1|
3)	29β,9? 7) 40*∣	11) 30е,9?
4)	33е,3| 8) 22°, 1| 12) 35°, 1.
309.	Произведите визиром на шкале S отсчеты сле¬
дующих углов из промежутка 40е—80е:
1)	42e}	5) 50°,5∣	9) 770∣
2)	42е,5, 6)59e,9∣ 10) 40е,41
3)	45е,2} 7) 650,5∣ 11) 45°,61
4)	47е, h 8) 66е,5} 12) 61°,3.
310.	Устройство шкалы тангенсов (Т). Шкала танген¬
сов неравномерная, на ней нанесены деления от началь¬
ного штриха ≈5e,73 (5e44,) до 45е.
№ проме¬
жутков
Промежутки
шкалы
Цена деления
первого
разряда
второго
разряда
третьего
разряда
1
2
3
5°,8-10°
Ю°—30°
30°—45°
1°
1°
1°
Ы S
сч
ООО
ООО
0е,05 (3')
311. Произведите визиром на шкале Т отсчеты сле-
дующих углов:
1) 6e,25ι 5) I2e,9∣	9) 44e∣
2) 8*,95j 6) 27е,4∣ 10) 19e,05j
3) 9e,6j	7) 33е,31	11) 20е,4?
4) 11е,11	8) 42e,5∣ 12) 25°, 15.
312.	Устройство шкалы синусов и тангенсов (ST).
Шкала ST также неравномерная, на ней нанесены деле¬
ния от 0е,573 (0o34',38) до 5°,73 (5e44'), т. е. до тоге
места, с которого начинается шкала S.
Деления на шкале ST идут по всей ее длине чере?
0o,02 (1' 12^).
313.	Произведите визиром на шкале ST отсчеты сле¬
дующих углов:
1)0°,75; 5) 3e,15j	9) 5e,6j
2)	lo,55,∙ 6) 4е,05; 10) 2е,01?
3)	Iе,97; 7) 4е,55; 11) 3е,01;
4)	2°,02; 8) 5°,05; 12) 0o,61.
86

§ 27.	Тригонометрические вычисления
(шкалы S, Т и ST)
314.	Нахождение синуса угла а, если 5o,8<α<90o.
На шкале S деления нанесены с таким расчетом, что ее
конечным штрихам соответствуют конечные штрихи 0,1 и
1 на шкалах D и С, так как
siπ 5β 43',77-0,0998≈0,100j sin 90е-1.
Поэтому каждому углу а шкалы S будет соответство¬
вать только единственное число шкалы D или С из про¬
межутка от 0,1 до 1. Отсюда следует, что порядок чисел
шкалы S равен нулю.
Найти siπ 30°:
1)	устанавливаем визир на шкале S на угле 30°;
2)	на шкале C(D) под визиром читаем отсчет синуса
угла: 5—0—0;
3)	порядок отсчета равен 0. 0mβem,. sin30o=0,5.
315.	Найдите:
1)	sin20o,lj
2)	sin7β,4j
3)	siπ90,5j
4)	sin9β,25j
5)	sin320∣
6)	siπ50o∣
7)	siπ640∣
8)	sin 42°;
9)	sin330,5j
10) sin 12°,3;
И) siπ 17°,75;
12) siπ 70°.
316.	Нахождение угла а по его синусу, если 0,1 <
<siπa<l. Нахождение угла по его синусу выполняется
как действие, обратное нахождению синуса по его углу
(п. 314).
Найти а, если sina=≈0,766z
1)	устанавливаем визир на шкале C(D) на отсчете
7-6-6;
2)	на шкале S под визиром читаем угол 50*. Ответ»
a≡50o.
317.	Найдите угол а по его синусу:
1)	sin<x- 0,145;
2)	siπa=0,195j
3)	sina=0,222j
4)	siπa=0,455∣
5)	sina=0,7∣
6)	sina=0,9j
7)	sina=0,378∣
8)	siπa=0,119j
9)	siπa=0,235j
10)	sina≡0,107j
11)	sina=≡0,127j
12)	sina=0,142.
318.	Нахождение косинуса угла а, если 0<a<90o —
~~50,8. Косинус угла находится как синус дополнитель¬
ного угла: cosa=sin(90β — а).
Найти cos38°z
cos 380=sin (90° — 380)=sin 52o=0,788.
87

319.	Найдите:
1)	cos28°,6j
2)	cos53°,2j
3)	cos55o,5j
4)	cos77°,75}
Б) cos70°,3j
6) cos65°,5j
7) cos 10’}
8) cos70β,6}
9)	cos39o∣
10)	cos 18*;
11)	cos29°,3∣
12)	cos 15’.
320.	Нахождение угла а по его косинусу, если
0,l<cosα<l. По формуле cosa=sin(90° — а) преобразуем
косинус в синус.
Найти а, если cosa=0,5j
sin (90* — а)=0,5:
90° - a=30o, а—90° — 30°=60’.
321.	Найдите угол а по его косинусу:
1) cosa=0,129j
2)	cosa=0,16)
3)	cosa=0,47∣
4)	cosa=0,565}
5)	cosa-0,675}
6)	cosa-0,755}
7)	cosa=0,875∣
8)	cosa-0,77}
9)	cosa=0,141}
10)	cosa=0,426j
11)	cosa=0,65r
12)	cosa=0,316.
322.	Нахождение тангенса угла а, если 5°,8<a<45*.
На шкале Т, как и на шкале S, деления нанесены так,
что конечным штрихам шкалы Т соответствуют конечные
штрихи шкал D и С (т. е. 0,1 и 1), так как
tg 5’ 43',77≈0,1003≈0,100, tg45o=l,000,
т. е. шкала тангенсов охватывает углы от 5*,8 (5’43',77)
до 45°. Отсюда следует, что порядок чисел шкалы Т
равен нулю.
Найти tg20*t
1)	устанавливаем визир на шкале Т на угле 20o∣
2)	на шкале C(D) под визиром читаем отсчет танген¬
са угла: 3—6—4;
3)	порядок отсчета равен 0. 0mβemι tg20o=0,364.
323.	Найдите:
1)	tg6o∣	5)	tg370,6∣	9)	tg440,5∣
2)	tg7o,75}	6)	tg390,2∣	10)	tgl30,4}
3)	tgl90,8}	7)	tg40o,6}	11)	tg290,2}
4)	tg250,5j	8)	tg420,3j	12)	tg310,6.
324.	Нахождение угла а по его тангенсу, если
0, l<tga<l. Нахождение угла по его тангенсу выпол¬
няется как действие, обратное нахождению тангенса по
его углу (п. 322).
88

Найти а, если tg<x=0,675r
1)	устанавливаем визир на шкале C(D) на отсчете
6—7—5?
2)	на шкале Т под визиром читаем угол 34°. Ответ:
a=34o.
325.	Найдите угол а по его тангенсу:
1) tga=0,135j
2) tg a=0,198}
3) tg а=0,304;
4)	tg а=0,445}
5)	tga=0,9}
6)	tga-0,7-
7)	tga=0,262}
8)	tg а=0,139;
9)	tga=0,298
10) tga=0,105,
11) tga=0,52j
12) tga=0,655.
326.	Нахождение тангенса угла а, если 5o,8<a<45o.
Для углов, больших 5°,8 и меньших 45°, котангенсы
имеют значения между 10 и 1, следовательно, порядок
котангенсов этих углов равен единице.
Так как ctga=l∕tg<x, то котангенс угла находим с
применением обратной шкалы D1.
Найти ctg30or
1)	устанавливаем визир на шкале Т на угол 30oj
2)	на шкале D1 под визиром читаем отсчет котанген¬
са угла 1—7—3 (читаем справа налево);
3)	порядок отсчета равен 1. Ответ: ctg30o=l,73.
327.	Найдите:
l)ctgl0o∣	5) ctg41β}	9)	ctg6oj
2)	ctgl30∙	6) ctg320,8}	10)	ctg5β,85j
3)	ctg42o,5∣	7)ctgl8o}	11)	ctg21o,2j
4)	ctg34,,9j	8)ctgl5β}	12)	ctg29β,5.
828. Нахождение	угла а по	его	котангенсу, если
1	<ctga< 10.
Найти а, если ctga=2,75r
1)	устанавливаем визир на шкале Dt на отсчете
2—7—5 (отсчет справа налево)}
2)	под визиром на шкале Т читаем угол 20°. Ответ:
a=20o.
329.	Найдите угол а по его котангенсу;
1)	ctga=2,3}
2)	ctga=8,14j
3)	ctga=4,7}
4)	ctga=3,84j
5)	ctga=3,08∣
6)	ctga=2,58}
7)	ctga=l,ll∣
8)	ctga=2,05}
9)	ctga=l,2j
10)	ctga=l,51}
11)	ctga=l,4,,
12)	ctga=9,25.
330.	Нахождение тангенса угла а, если 45o<a<90o —
—∙50,8. Порядок тангенсов углов 45° < а < 90° — 5°,8,
как и котангенсов углов 5o,8<a<45o, равен единице.
89

Найти tg660ι
1)	tg660=ctg24β=l∕tg240∣
2)	устанавливаем визир на шкале Т на угол 24°$
3)	под визиром на шкале D1 читаем отсчет 2—2—5j
4)	порядок отсчета равен 1. Ответ", tg66o=2,25.
331.	Найдите:
1)	tg49o∣	5)	tg82o∣	9)	tg75β,5j
2)	tg66o,5j	6)	tg470f	10)	tg73o,6j
3)	tg 73o∣	7)	tg65o,5)	11)	tg50β,6j
4)	tg770∣	8)	tg80o∣	12)	tg46β,4.
332.	Нахождение угла а по его тангенсу, если
l<tgα<10.
Найти а, если tga=2,9r
1)	устанавливаем визир на шкале Dt на отсчете
2-9-0;
2)	на шкале Т под визиром читаем дополнительный
искомому угол 19βj
3)	a=90°- 19o=71o. Ответ: a=710.
333.	Найдите угол а по его тангенсу:
1)	tga=l,6j 5) tga=3,73j	9) tga=2,75j
2)	tga=8,15j 6) tga=l,llj 10) tga=4,l,∙
3)	tga=4,17j 7) tga=l,73j 11) tga=l,03j
4)	tga=2,24∣ 8) tg<x=2,l}	12) tga=9.
334.	Нахождение котангенса'угла а, если 45o<a<90o-
— 5°,8.
Найти ctg70β.
Котангенс угла находится как тангенс дополнитель¬
ного угла: ctg70o=tg20oj далее, как в п. 322.
335.	Найдите:
1)	ctg80o,4∣
2)	ctg80o∣
3)	ctg73o,3∣
4)	ctg47o,8j
5)	ctg46oj
6)	ctg58β,5
7)	ctg80o,75∣
8) ctg820,15j
9) ctg60o,3∣
10) ctg70o,7∣
11) ctg64o,l∣
12) ctg570,6.
336.	Нахождение угла а по его котангенсу, если
0,l<ctga<l.
Найти а, если ctga=O^
1)	ctga=tg(90o-a)=0,3}
2)	90° — a=16o,7, a=90o- 16°,7=73°,3. Ответ: а=
=73°,3.
90

337.	Найдите угол а по его котангенсу:
1)	ctgα=0,57j	5)	ctga=0,2j	9) ctga=O,9ι
2)	ctga=0,382j	6)	ctga=0,4l∙	10) ctga=0,107,∙
3)	ctga=0,157,∙	7)	ctg<x=0,6j	11) ctga=0,112,∙
4)	ctga=0,127j	8)	ctga=0,71j	12) ctga=0,13.
338.	Нахождение синуса (тангенса) угла а, если
0o,575<a<5o,8.
Нахождение синусов (тангенсов) углов 0o,575<a<5o,8
производится на шкале ST.
Левый штрих шкалы ST соответствует числу 0,01 на
шкалах 6 и Dt так как siπθ°,575 = 0,01, или в градус¬
ной мере:
sin 0o 34' ,38≈0,0099998) θ θθ00
tg0o34',38≈0,0100003 J ‘
и соответственно правый штрих шкалы ST соответствует
числу 0,1 на шкалах С и D, так как sin5o,8=0,l, или
в градусной мере:
sin 5o 43',77≈0,0998≈0,100,
tg5β 43',77≈0,1003≈0,100.
Отсюда следует, что порядок числа шкалы ST равен
минус единице.
Для углов, меньших, чем 5е,8 (5° 44'), в пределах
точности линейки имеет место соотношение
sinx≈tgx≈x,
где х — радианная мера угла.
Поэтому для нахождения синуса или тангенса угла,
меньшего 5°,8, достаточно угол х выразить в радианной
мере.
Найти sin3o (tg 3°):
1)	устанавливаем визир на шкале ST на угол 3°;
2)	на шкале С под визиром читаем отсчет 5—2—4;
3)	порядок отсчета равен (—1). Ответ: sin30=0,0524,
и, следовательно, tg30= 0,0524.
339.	Найдите:
1)	sinl0,5j	5)	tg4o∣	9)	sinθ°,7∣
2)	sin50,5j	6)	sin50,2j	10)	siπθ°,82j
3)	tg30,5j	7)	tg40,4j	11)	sin0o,98j
4)	siπ2°,75;	8)	sin2o,4j	12)	sinl0,l.
340.	Нахождение угла а по его синусу (тангенсу), если
0,01 <siπa<0,l (0,01 <tga<O,I).
7*
91

Найти а, если sina=0,077i
1)	устанавливаем визир на шкале в на отсчете
7-7-0;
2)	под визиром на шкале ST читаем угол 4°,42.
341.	Найдите угол а по его синусу или тангенсу:
1) siπa=0,022∣
2)	tg а=0,0286;
3)	tga=0,0175j
4)	sin а=0,0157;
5)	tg<x=0,0715j
6)	siπa = 0,089j
7)	tga=0,05ι
8)	sina=0,06}
9)	sina=0,03j
10)	tga=0,0192j
11)	siπa=0,0244j
12)	sina=0,029.
342.	Нахождение тангенса угла а, если 90° — 5°,8 <
<a<90o-0o,575.
Для углов 90° — 5°,8 < а < 90° — 0°,575 имеем
10 < tga < 100, следовательно, порядок тангенсов этих
углов равен 2.
Найти tg860=
1)	tg86o=ctg4o=l∕tg4oj
2)	устанавливаем визир на шкале ST на угол 4°;
3)	под визиром на шкале D1 читаем отсчет 1—4—3;
4)	порядок отсчета равен 2. Ответ', tg 86°= 14,3.
343.	Вычислите;
1) ∣∕δδsiπ 18βtg320j
7)
cos9°t5
дч sin 340,2∙tga 40°,7.
'	14slna18o,5 ’
0,8sina 24o,5tg 38°.
sin 12°	*
l0) 8Oo>35 cos21°,5.
pr sin65o
Н) siπ 410,7∙tg8 52°i
, 0,6sinl6°,5 ’
12)	^с03140
2 sin 72° — tg 12°'
2) 7,50∙93∙cos47β,5∙ctg38oj
3)		:	;
siπ ll0,5cos520
4)	6∕tg53ocos37°j
2,50*7sin 15°,7 .
∕tg270^
6)
kθ,75cos63°,5
19,6° •15 ctg67β
92

§ 28.	Вычисление натуральных
Л десятичных логарифмов тригонометрических функций
344.	Вычисление натурального логарифма синуса.
Найти lnsin41oι
1)	sin 41°=0,656;
2)	1п 0,656 = 1∏	1п 6,56 — 1п 10= 1,88—2,3=-0,42.
10
345.	Вычисление натурального логарифма тангенса.
Найти ln tg 60°:
1) tg60o=ctg30o=l∕tg30o=l,73j
2) 1п 1,73=0,548.
346.	Характеристики десятичных логарифмов тригоно¬
метрических функций.
Характеристики логарифмов синуса
Угол в градусах
и минутах
Угол с десятичными
долями градуса
Характеристи¬
ка логарифма
синуса
0o<α<3'
0<a<0°,05
Т
3,<a<34'
0o,05<a<0o,5667
3
34'<a<5o44'
0o,5667<a<5o,7333
2
5o44,<a<90o
5o,73<a<90o
1
X арактеристи
ки логарифмов тангенса
Угол в градусах
и минутах
Угол с десятичными
долями градуса
Характеристи¬
ка логарифма
тангенса
0o<a<3'
0<a<0o,05
7
3'<a<34*
0o,05<a<0o,5667
-3
34'<a<5o42'
0o,5667<a<5o,7
2
5o 42'<a<45o
5o,7<0<45o
1
45o<a<84o 17'
450<a<84°,2833
0
840 17'<a<89o25*
84o,2833<a<89o,4167
1
89o 25'<a<89°56'
89o,4167<a<89o,9333
2
89° 56'<a<89o 59'
89o,9333<a<89o,9833
3
347.	Вычисление десятичного логарифма синуса.
Найти lgsin410ι
1)	совместив начальные штрихи шкалы D и движка,
Устанавливаем визир на шкале S на угол 41
93

2)	перевернув корпус линейки, читаем на шкале L
цод визиром отсчет мантиссы логарифма синуса угла
41°: 8-1—7;
3)	характеристика логарифма равна (—1). Ответ
lgsiπ 410=l,817.
348.	Вычисление десятичного логарифма тангенса.
Найти lgtg60o!
1)	tg60o=ctg30o=l∕tg30o∣
2)	устанавливаем визир на начальный штрих шкалы D
и совмещаем с визиром угол 30° шкалы Т;
3)	устанавливаем визир на конечный штрих шкалы С|
4)	перевернув корпус линейки, на шкале L под ви¬
зиром читаем отсчет мантиссы логарифма тангенса угла
60°: 2-3-9;
5)	характеристика логарифма равна 0. Ответ»
lgtg 60°=0,239.
349.	Найдите:
1)	lgsiπ 16°,5; 4) lgsin490,5j
2)	lgsin20o,7,∙ 5) lgsin61oj
3)	lgsin30o,3,∙	6)	lgsiπ3o.
350.	Найдите:
1)	lgtg250j	4)	lgtg30,5j
2)	lgtgl0o,5,∙	5)	lgtg20,∙
3)	lgtg40o!	6)	lgtg40.
351.	Зачетная работа №15 (итоговая на тригоно¬
метрические вычисления).
1)	siπ 28° - tg 52°;	4) Z⅛ 58° cos 18°;
’	в >	∕ sin,72o
О) c⅛120 Vrsln630 . 5) 7,51∙7 lgsin50o
' cos8q ’	' tga48β
3) 	;
' siπ 73o∙ctg, 42е

ГЛАВА IX
РЕШЕНИЕ ПРОПОРЦИЙ.
РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ И КОСОУГОЛЬНЫХ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
§ 29. Решение пропорций
352. Шкалы D и С обладают следующим свойством.
Если совместить начальный или конечный штрих шкалы С
с любым штрихом шкалы D, то получится ряд равных
отношений, составленных из чисел, взятых на шкале С,
и соответствующих им чисел на шкале D.
Например, совместив начальный штрих шкалы С
с числом 2 на шкале D, получим ряд равных отношений!
1/2=1,5/3 = 2/4=2,5/5=3/6 = 45/90 и т. д.
853. Найдите xlt x2, xa, xi, если:
l∕l,20=x1∕l,62=x2∕2,l=x8∕4,2=x√6,3.
354.	Правило о порядке в пропорциях. Для каждой
пары чисел а и Ь, стоящих друг против друга (а — на
шкале С и Ь — на шкале D) и образующих равные отно¬
шения, разность порядков чисел а и Ъ при одном и том
оке положении движка одна и та же. Этим правилом
пользоваться нельзя, если одно из отношений имеет вид
а/1 при движке, выдвинутом вправо, когда единица —
конечный штрих шкалы D (см. п. 59).
355.	Стороны шестиугольника равны 16, 24, 28, 40,
56 и 64 см. Меньшая сторона подобного ему шестиуголь¬
ника равна 12 см. Найдите остальные стороны много¬
угольника.
356.	Решите пропорции:
1)	x∕7,75= 18/4,5;	2) 4,6/3,44=х/7,4;
3)	62∕x = 0,35/0,131;	4) 40/25,4 = 63/х;
5)	4,08∕26,8=x∕56,5∙,	6) 0,15∕x = 0,33/0,515.
357.	Найти х из равенства tgx∕tg 32° = 1,76/3,6: 1) пе¬
репишем пропорцию в виде tgx∕l,76 = tg320∕3,6ι 2) против
отсчета 3—6—0 на шкале D устанавливаем 32° на шка¬
ле Т; 3) против отсчета 1—7—6 на шкале D читаем
искомый угол 17° на шкале Т.
358.	Найдите х из равенства: 1) sinx∕sin 42° = 5/8;
2) tg 150∕tgx = 4∕3.
95

§ 30. Решение прямоугольных треугольников
359.	Основные соотношения в прямоугольном треуголь¬
нике (рио. I).
1)	4+B=90o— сумма острых углов в прямоугольном
треугольнике равна 90°;
2)	α=csiπ А — катет равен гипотенузе, умноженной
на синус противолежащего угла;
3)	b=ccosA — катет равен гипотенузе, умноженной
на косинус прилежащего	угла.
д	Из формул 2)	и	3)	следуют
соотношения:
rs'	4)a=btgA∙,
*	5) b≈actgA∙,
6) с=α∕sin А = b∕cos А.
	⅛ Рассмотрим четыре случая
й	решения прямоугольных тре-
puc∙ 1∙	угольников.
360. Решение прямоугольного треугольника по гипоте¬
нузе и острому углу.
Дано) c=645, 4 = 410,5. Найти: В, а, Ь.
Вычисление угла Bι В =90° — 41°,5=48°,5.
Вычисление катета а. Первый способ:
1)	подставляем в формулу α=csin4 числовые значе¬
ния: α = 645 sin 41°,5;
2)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете
6—4—5;
3)	совмещаем о визиром конечный штрих движка;
4)	устанавливаем визир на угол 4Г,5 шкалы 5;
5)	под визиром на шкале D читаем отсчет 4—2—8;
6)	порядок отсчета равен 3. Ответ: а=428.
Второй способ:
1)	запишем пропорцию sinΛ∕l=α∕c и подставим в нее
числовые значения: sin410,5∕l =а/645;
2)	устанавливаем визир на конечный штрих шкалы D,,
3) совмещаем с визиром угол 41°,5 шкалы 5;
4)	перемещаем визир на отсчет 6—4—5 на шкале D∙,
5)	под визиром на шкале С читаем отсчет 4—2—8.
Ответ: а = 428.
Вычисление катета Ь. Подставив в формулу 6=fsi∏B
числовые значения, получим 6=645siπ480,5 (или запишем
пропорцию sin 48°,5/1=6/645). Проделав тоже операции,
что и при нахождении катета а (первым или вторым
способом), получим ответ: 6=484.
96

361. Дано! c=358, 4 =5°,5. Найти! В, а, bt
Вычисление угла Bι B=90°-5o,5=84o,5.
Вычисление катета а:
1)	α=csin А = 358sin5β,5j
2)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете
0—5—8;
3)	совмещаем с визиром конечный штрих движка;
4)	устанавливаем визир на угол 5°,5 шкалы ST∙,
5)	под визиром на шкале D читаем отсчет 3—4—4;
• 6) ПОРЯДОК ОТСЧеТЭ! Рз58 sin 5∙.5 = P35s+Λln 6∙.5 =
= 3-∣-(—1)=2. Ответ', α = 34,4.
Вычисление вторым способом выполняется, как и
в п. 360, только отсчет угла производится на шкале ST.
Вычисление катета Ь. Подставив в формулу 6=csinB
числовые значения, получим 6 = 358 siπ 84е,5 (или
pin 84°, 5/1 =6/358). Проделав те же операции, что и при
нахождении катета а (только отсчет угла производится
на шкале В), получим ответ: 6 = 356.
362.	Решите прямоугольные треугольники!
1)	c=12,6, B=67°,5j	6) c=720,	В=67°,5;
2)	c=8,25,	4 = 36°,3;	7)	c=0,575,	4 = 35°,8;
3)	c = 216,	4=37°,3;	8)	с = 1260,	B=38o,9'
4)	c=28,4,	В = 47°,7;	9)	c=61,4,	4 = 5°,7;
5)	с=325,	4 = 38°,5;	10)	с=248,	4 = 5°,5.
363.	Решение прямоугольного треугольника по катету
и острому углу.
Дано: a=635, 4 = 35°,3. Найти! В, с, 6.
Вычисление угла В: B=90o— 35°,3=54°,7.
Вычисление гипотенузы с. Первый способ,
1)	подставляем в формулу c=a∕sin4 числовые значе¬
ния: c=635∕sin 35°,3;
2)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете
6—3—5;
3)	совмещаем с визиром угол 35°,3 шкалы В;
4)	совмещаем визир с начальным штрихом движка;
5)	под визиром на шкале D читаем отсчет 1 — 1—б;
6)	порядок отсчета равен 4. Ответ: c=1100.
Второй способ:
1)	запишем пропорцию siπ4∕l=a∕c и подставим в нее
Числовые значения: sin 35°, 3/1 =635/с;
2)	устанавливаем визир на начальный штрих шкалы В;
3)	совмещаем с визиром угол 35°,3 шкалы В;
4)	перемещаем визир на отсчет 6—3—5 на шкале С;
Заказ 733	97

5)	под визиром на шкале D читаем отсчет 1—1—о.
Ответ: c=1100.
Вычисление катета Ь. Подставляем в формулу b=s
=csi∏β числовые значения: Ь= 1100sin 54°,7 (или
sin 540,7∕l = bj∖ 100). Проделав те же операции, что и при
нахождении катета а в п. 360, получим отвели 6=897,
364. Решите прямоугольные треугольники:
1)6=8,35, 4=58o,3∙,	6)α=I72,	B=22β,9j
2)	6 = 386,	Л=72°,2;	7)	α=0,695,	Л = 42°,5;
3)	α=705,	Л = 35°,7;	8)6=4,25,	B = 380,4j
4)α=1200,	В=17°,8;	9)	а=6,85,	Л = 5°,1;
5) 6=69,4,	Л=62°;	10)	6=24,8,	В = 5°.
365. Решение прямоугольного треугольника по двум
катетам.
Дано: а = 264, 6 = 535. Найти: Л, В, с.
Вычисление угла А. Первый способ:
1)	подставляем в формулу tg A=a∕b числовые значе¬
ния: tg Л = 264/535 (0, l<α∕6< 1);
2)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете
2—6—4;
3)	совмещаем с визиром отсчет 5—3—5 на шка¬
ле С;
4)	совмещаем визир с конечным штрихом движка;
5)	совмещаем конечные штрихи шкалы D и движка;
6)	под визиром на шкале Т читаем угол 26°,3. Ответ:
Л=26°,3.
Второй способ:
1)	запишем пропорцию ⅛ Л/1 =264/535;
2)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете
5—3—5;
3)	совмещаем о визиром отсчет 2—6—4 на шка¬
ле С;
4)	перемещаем визир на конечный штрих шкалы D∖
5)	под визиром на шкале Т читаем угол 26°,3. От¬
вет: Л = 26°,3.
Вычисление угла В: В=90° — 260,3=63o,7.
Вычисление гипотенузы с. Подставляем в формулv
с=а/$1пЛ числовые значения: c=264∕sin 26°,3 (или
sin260,3∕l=c∕264). Проделав те же операции, что и при
Нахождении гипотенузы с в п. 363, получим ответ
c=596.
366.	Дано: α=2,46, 6 = 5⅛5. Найти: Л, В, с.
Вычисление угла Л:
98

1)	подставляем в формулу tgA=a∕b числовые значе¬
ния: tg А =2,46/52,5 (0,01 <α∕⅛<0,1); следовательно,
отсчет угла А производим на шкале ST∙,
2)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете
2—4—6;
3)	совмещаем с визиром отсчет 5—2—5 на шкале С;
4)	совмещаем визир с конечным штрихом движка;
5)	совмещаем конечные штрихи шкалы D и движка;
6)	под визиром на шкале ST читаем угол 2°,69;
А = 2°, 69.
Вычисление угла В: В=90° — 2°,69 = 87°,31.
Вычисление гипотенузы с. По формуле c=α∕sinΛ, как
и в п. 363, находим c=52,5 (для малого угла Л =2°,69
гипотенуза c=52,5 и катет 6 = 52,5 в пределах точности
отсчетов на линейке оказались равными).
367.	Решите прямоугольные треугольники:
l)α = 22,8,6=28,6∙,	6) а = 4,82, 6=11,6;
2)	α = 28,4, 6=18,6;	7) α = 0,428, 6 = 0,645;
3)	а=6,65, 6 = 4,87;	8) а = 565, 6 = 368;
4)0 = 44,5,6=18,2;	9)α=15,6, 6 = 65,4;
5)	a = 42,4, 6 = 6,85; 10) 0 = 4,24, 6 = 76,5.
368.	Решение прямоугольного треугольника по катету
и гипотенузе.
Дано: o = 328, c=685. Найти: А, В, Ь.
Вычисление угла А. Первый способ:
1)	подставляем в формулу sin A=a∕c числовые значе¬
ния: siπ А = 328/685;
2)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете
3—2—8;
3)	совмещаем отсчет 6—8—5 на шкале С с визиром;
4)	совмещаем визир с конечным штрихом движка;
5)	совмещаем конечные штрихи шкалы D и движка;
6)	под визиром на шкале S читаем угол 28°,6. Отчет:
Л =28°,6.
Второй способ:
1)	запишем пропорцию siπΛ∕l=a∕c и подставим в нее
числовые значения: sin Л/1 =328/685;
2)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете
6—8—5;
3)	совмещаем отсчет 3—2—8 на шкале С с визиром;
4)	совмещаем визир с конечным штрихом шкалы О;
5)	под визиром на шкале S читаем угол 28°,6. Ответ:
Л =28°,6.
7
99

Вычисление угла В: jB=90°— 28°,6=61°,4.
Вычисление катета Ь. Подставляем в формулу 6 =
≡=csi∏β числовые значения: 6=685sin61o,4 (или
sin61o,4∕l = 6/685). Проделав те же операции, что и при
нахождении катета а в п. 360, получим ответ'. 6=601.
369.	Решите прямоугольные треугольники:
1)	6=19,8,	с = 32,5;	6)	а = 28,4,	с=34,3;
2)	6 = 21,6,	с=48,4;	7)	6 = 575,	с=815;
3)α=146, c=207∙,	8) 6=0,462, с=0,714}
4)	6 = 21,6,	c=48,4∙,	9)	α = 28,4,	с=36,8;
5)	а= 1200,	с= 1260;	10)	α=7,l,	с=74.
370.	Зачетная работа № 16 (итоговая на решение
прямоугольных треугольников):
1)	c=152, В = 44°,2; 4) а = 328, с=685;
2)	6 = 72,4, 4 = 67°, 1; 5) c=24,8, А =5°,4.
3)	α=25,8, 6=19,8;
§ 31.	Решение косоугольных треугольников
371.	Основные соотношения в косоугольном треуголь¬
нике.
При решении косоугольных треугольников применя¬
ются теорема синусов и теорема косинусов.
Теорема синусов. В любом треугольнике стороны про¬
порциональны синусам противолежащих углов!
α∕sin А = 6∕sinB=c∕sinC.	(24)
При решении треугольника по формуле (24) один из
углов может оказаться тупым, например 90o<4<180o,
но на шкале S отсчитываются только углы из промежутка
от 5°,73 до 90°, поэтому в формуле (24) синус тупого
угла приводим к синусу острого угла по формуле sin А =
= sin(180o-4); так, sin 110o = sin(180o- 110o) = sin70°.
Если углы А, В и С отсчитываются на шкале S,
т. е. принадлежат промежутку от 5°,73 до 90° (или синус
одного из тупых углов приводится к синусу острого угла,
принадлежащего этому же промежутку), то порядок каж¬
дого из чисел а, 6 и с один и тот же. Действительно,
так как порядок каждого из отношений (24) один и тот
же, а порядок чисел шкалы S равен нулю, то и порядок
чисел а, 6 и с выражается одним и тем же числом.
Если два из углов отсчитываются на шкале ST,
т. е. принадлежат промежутку от 0o,573 до 5°,73, поря¬
100

док чисел которой равен —1, то числа, пропорциональ¬
ные этим углам, также имеют один и тот же порядок.
Таким образом, в случае отсчета углов данного тре¬
угольника на двух шкалах S и ST порядки чисел а, Ь
и с, отсчитываемых на шкале D, не совпадают. В п. 373
и п. 374 будет показано, как вычисляются порядки чисел
а, b и с при одновременном применении шкал S и ST.
Теорема косинусов. В любом треугольнике квадрат
стороны равен сумме квадратов двух других сторон без
удвоенного произведения этих сторон на косинус угла
между ними:
cP≈b2+ci — 2bccos А,
ba=α2⅛c2 — 2ac cos В,	(25)
c3=α2+62 — 2ab cos С.
Из формул (25) получаются формулы для вычисления
углов треугольника по его данным трем сторонам:
cos Л =—-	,
2bc
ct,ss.≤+i^i.	(эд
2ас	' 1
cosC-at+bi-c2
2ab
При этом необходимо учитывать, что: 1) если c2<
<α2-(-fe2, то cosC>0 и 0<C<90o∙, 2) если c2>α2+b2, то
cosC<0 и 90°<C<180°.
Рассмотрим четыре основных случая решения косо¬
угольных треугольников.
372.	Решение косоугольного треугольника по стороне
и двум углам.
Дано: а=62,5, B=110°, C=28°. Найти: Ь, с, А.
Вычисление угла А: 4 = 180° — (110°4-28o) = 42°.
Вычисление сторон b и с. Замечаем, 4τosiπll0°=
= sin70o. Подставляем в формулу (24) числовые значения:
62,5∕siπ 420=Z√sin 70°=c∕sin 28°.
В этом примере порядок чисел Ь и с равен порядку чис¬
ла а, т. е. 2.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
6—2—5;
2)	совмещаем с визиром угол 42° на шкале 5;
3)	перемещаем визир по шкале S на угол 70°;
101

4)	под визиром на шкале D читаем отсчет 8—7—8.
Ответ: 6 = 87,8;
5)	перемещаем визир по шкале D на угол 28°;
6)	под визиром на шкале D читаем отсчет 4—3—9.
Ответ: с=43,9.
373.	Дано: c=24,8, Л =50,5, C=120o,8. Найти: а,
Ь, В.
Вычисление угла В: В =180o-(5°,5÷ 120°,8) = 53°,7.
Вычисление сторон а и Ь. Замечаем, что siπ 120°,8=
= sin590,2. Подставляем в формулу (24) числовые зна¬
чения:
24,8∕sin 590,2=α7siπ 50,5=6∕siπ 53°,7.
В этом примере порядок числа b равен порядку числа с,
т. е. 2. Порядок числа а подсчитывается отдельно, тай
как отсчет угла 5°,5 производится на шкале ST.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
2—4—8;
2)	совмещаем с визиром угол 59°,2 на шкале 5;
3)	перемещаем визир по шкале ST на угол 5°,5;
4)	под визиром на шкале D читаем отсчет 2—7—7.
Порядок первого отношения равен 2, следовательно, по¬
рядок второго отношения также равен 2, т. е.
2 = Pα∕si∏ 5o.5 =>2 = Pa — Ps∣n 5∙,5=>2 = Po — (—1)≈> Pa≈ 1.
Ответ: a = 2,T7∖
5)	перемещаем визир по шкале S на угол 53°,7;
6)	под визиром на шкале D читаем отсчет 2—3—3.
Ответ: 6=23,3.
374.	Дано: а=42,6, А =4°,6, В = 5°,2. Найти: Ь, с, С.
Вычисление угла С: С= 180°—(40,6+50,2)= 170°,2.
Вычисление сторон b и с. Замечаем, что sin 170°,2 =
= sin90,8. Подставляем в формулу (24) числовые значе¬
ния:
42,6∕sin 4o,6 = 6∕sin 5β,2 = c∕sin 9° ,8.
В этом примере порядок числа b равен порядку числа а,
т. е. 2. Порядок числа с подсчитывается отдельно, так
как отсчет угла 9°,8 производится на шкале S.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
4—2—6;
2)	совмещаем с визиром угол 4°,6 на шкале ВТ;
3)	перемещаем визир на шкале ST на уг&л 5°,2;
4)	под визиром на шкале D читаем отсчет 4—8—1.
Ответ: 6 = 48,1;
102

б) устанавливаем визир на конечном штрихе движка;
6)	совмещаем с визиром начальный штрих движка;
7)	перемещаем визир по шкале S на угол 9е,8;
8)	на шкале D под визиром читаем отсчет 9—0—4.
Порядок первого (и второго) отношения равен 3 (движок
выдвинут влево). При установке визира на шкале S на
угол 9°,8 движок вышел вправо, поэтому
3 = Pc∕sfn 9∙.8=> 3=∕5f — Рs∣π 9∙,β4^l =>
=>3=Pc-0+i=>Pf=2.
Ответ.} с = 90,4.
При некотором навыке порядок ответа легко подсчи¬
тывается в уме.
375.	Решите косоугольные треугольники по стороне
и двум углам.
1)	c=92,4, Л = 50°,2, B = 62o,¾
2)	а = 59,7, Л=52в,3, В = 48°,4;
3)	с = 256, Л =67°,9, B = 480,lj
4)	6=28, Л = 125°, В = 35°;
5)	α=46,4, Л = 42°,5, C=1150,2j
6)	6=54,4, Л=50°,3, В = 49°,4;
7)	6 = 364,	B=58β,8, С=52°,4;
8)	6 = 0,565, Л = 62°,4, С=68°,5;
9)	α = 56,5, Л =40,7, C=125o,⅜
10)	c≈38,6, В = 5o,2, C=4o,8.
376.	Решение косоугольного треугольника по двум
сторонам и углу, заключенному между ними.
Дано: а = 42,8, 6 = 35,8, С=62°,6. Найти: с, А, В.
Вычисление стороны с. Замечаем, что cos62β,6 =
≈sin27o,4. Подставляем в формулу (25) числовые значе¬
ния и производим на линейке вычисления:
ca=42,88+35,82 — 2-42,8- 35,8 sin 27°,4 =
= 4,282∙ 102+3,582∙ 102— 1410 =
= 1830+1280— 1410=1700;
c=V 1700 = ]∕17∙102 =4,13-10 = 41,3.
Вычисление углов А и В. Подставляем в формулу (24)
числовые значения (см. п. 372):
41,3∕sin 62°,6 = 42,8∕siπ Л = 35,8∕stn В.
На шкале S отсчитываем углы: Л = 67° и В = 50°,4. Конт¬
рольное вычисление: 67o+50o,4+62o,6= 180°.
377.	Дано: α = 61,8, c = 87,6, B = 4,9. Найти: 6, Л, С.
103

Вычисление стороны Ь. Замечаем, что cos4°,9 = sin85°,l.
Подставляем в формулу (25) числовые значения и произ¬
водим на линейке вычисления:
62 = 64,82+87,62 — 2 ∙ 64,8∙87,6 sin 85е, 1 = 6,482∙ 102+
+8,762∙ 102 — 11 310 = 4200+7670 — 11 300 = 560∣
5 =∕560 =∕δ,6 ∙ 102 =2,37-10 = 23,7.
Вычисление углов А и С. Подставляем в формулу (24)
числовые значения:
23,7∕slπ 4o,9 = 64,8∕siπ А =87,6∕slπC.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете 2 —
8—7;
2)	совмещаем с визиром угол 4°,9 на шкале ST∣
3)	устанавливаем визир на конечный штрих движка;
4)	совмещаем с визиром начальный штрих движка;
5)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете 6 —
4 — 8;
6)	под визиром на шкале S читаем угол 4 = 13°,5;
7)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете 8 —
7 — 6;
8)	под визиром на шкале D читаем угол 18°,4. Учи¬
тываем, что найден угол, смежный с искомым (угол С —
тупой, так как он лежит против большей стороны с);
C=180°- 18°,4= 161°,6;
9)	контрольное вычисление: 13°,5+4°,9+16Г,6= 180°.
378. Решите косоугольные треугольники по двум сто¬
ронам и углу, заключенному между ними.
1) а=56,4,
6 = 48,2,
С = 48°,4;
2) а = 385,
с =765,
В =72°,8}
3) 6=1,96,
с = 12,4,
4 = 32°,7j
4) α=0,426,
с =0,895,
В =24°,9;
5) 6 = 29,6,
с =41,5,
4 = 118°,2j
6) а = 8,65,
6 = 5,43,
С = 120°;
7) 6 = 286,
с = 628,
4 = 115o∣
8) α=0,731,
с =b,925,
В = 28°,4;
9) α=428,
6 = 623,
С = 150°,6;
10) 6=1,16,
с = 1,94,
А =4°, 8.
379. Решение косоугольного треугольника по двум
сторонам и углу, лежащему против одной из них.
104

Рассмотрим задачу в общем виде. Дано: а, Ь, А. Най¬
ти: с, В, С.
По теореме синусов находим sinB=(6sin А)/а. При
различных значениях а, Ь, А могут представиться три
случая:	-
1)	sinB>l— решения нет;
2)	sin В = 1 — угол В = 90°, треугольник — прямоуголь¬
ный;
3)	sinB<l-угол В находится по линейке.
Так как существуют два угла между 0° и 180°, для
которых синус имеет одно и то же значение, меньшее
единицы, то могут существовать два угла, удовлетворяю¬
щие условиям задачи (один угол острый, а другой —
тупой).
Если α>6, то задача имеет одно решение.
Если α<6, то задача может иметь два решения.
380.	Дано: а = 32,4, 6=18,5, Л =68°,5. Найти: с, В, С.
1.	Из пропорции 32,4∕sin 68°,5 = 18,9∕sin В находим
B = 320,l. Так как a>b, то задача имеет одно решение;
2)	вычисляем угол С: C=180o— (68°,5+32°,1) = 79°,4;
3)	из пропорции 32,4∕sin 68°,5=c∕sin 79°,4 находим
с =34,2.
381.	Дано: α = 46,8, 6=52,5, Л =58°,5. Найти: с, В, С.
1)	Из пропорции 46,8∕sin 580,5 = 52,5∕sln В находим
B = 730,l. Так как α<6, то задача имеет два решения:
β1 = 730,l и B2 = 180° —73°, 1 = 106°,9.
Дальнейшее решение проводится для двух случаев.
Первый случай: β1 = 730,l.
2)	Вычисляем угол Сх: Cι = 180o — (58°,5+73°,1)=48°,4;
3)	из пропорции 46,8∕sin 58°,5 = cx∕sin 48°,4 находим
с — 41.
1 Второй случай: B2 = 106°,9.
2)	Вычисляем угол С2: C2 = 180° — (58°,5+106°,9) =
= 14°,6;
3)	из пропорции 46,6∕sin58°,5=c2∕sin 14°,6 находим
c2=13,8.
Otnβemι c=41, B = 73o,l, С—48°,4 или c=13,8, В =
= 106°,9, C=14°,6.
382.	Решите косоугольные треугольники по друм сто¬
ронам и углу, лежащему против одной из них:
1)	α=364,	6 = 272,	Л =69°,5;
2)	6 = 4,85, c = 3,28, В =45°,9;
3)	а=575, 6 = 724,	Л =44°,5;
105

4)	6=19,8, c=28,4, В =25°,6;
5)	α = 0,364, c=0,578, С =22°,4;
6)	6=48,4, с = 32,6, С = 4°,6;
7)	а=264, 6=196,	Л = 70°,5;
8)	6 = 482, с = 585, C = 1410,2j
9)	6 = 5,15, c=8,18, В = 5°,2;
10)	α=118, c=224, 6= 120°,4.
383.	Решение косоугольного треугольника по трем сто¬
ронам.
Дано: α=264, 6 = 196, c=254. Найти: А, В, G.
Подставляем в формулы (26) числовые значения и на
линейке производим вычисления:
c0s А = f,a+c2 ~ αa = 196a+254a ~ 264* α
26с	2-196-254	“
38400+64 500 — 69700	332 n ОО4.
=	' ≡ = v. Oθ2±∣
99600	996
cosΛ = sin(90o-Л), sin(90o-4)=0,334, 90β-Λ = 196,6,
А=70°, 5j
0»+с« — 6*	264«+254» — 196*
COS D

2ас	2-264.254
69 700+64 500 — 38 400 _ 958 _п 71-
“	134 000	1340	'
B = 90o- 45c,6 = 44∖4.
__ _ z, α2⅛ba — ca	2642÷ 1962 — 2542
COS С. “ ι .∣.. .		а ■■ ⅛
2ab	2-264-196
69 700+38 400 у 64 500 . 436
103500	“ 1035 =
= 0,421, G = 90o-24°,9=65°,1.
Контрольное вычисление! 70o,5+44o,4+65o,l = 180°»
384. Даног a=62,5, 6=87,8, c=43,9. Найти» А, В, С.
Подставляем в формулы (26) числовые значения й на
линейке производим вычисления:
⅛2+c2^-aa	87,8«+43,9« —62,5«
COS А ““ ——————— Х= ——	-fcS2-	■ ≡≡
2bc	2-87,8.43,9
-77l.+ 1930 - 39.0 ,g3,	Λ.9o∙..48..42",
7700	770
о aa+c*- 6«	62,5«+43,9« —87,8«
COS В  		 " ■ 	:!—
2ас	2-62,5-43,9
3910+1930 — 7710 ■	J87
~	5490	~	549=
106

=—0,342; 90° —B=	20o∣ B = 90°+20o= 110oj
n α2+62 — <:2	62,52+87,82 — 43,92
cos c< — ■	—	—
2αb	2∙62,5∙87,8
= 3gl2+7710- 1930 = 969 = 0 883. С = 90° — 62° = 28°.
11 000	1100
Контрольное вычисление: 42°4-110o+28o= 180°.
385.	Решите косоугольные треугольники по трем сто-
ронам;
1)	a = 324,	6 = 286,	с=298;
2)	a=55,l, 6 = 54,4, с=70,6;
3)	a = 0,662, 6 = 0,565, с=0,696;
4)	а = 56,5, 6 = 528, с = 563;
5)	a=80,l, 6 = 41,8, с=38,6;
6)	a=42,8, 6=35,8, с=41,3;
7)	a=64,8, 6=23,7, с = 87,6;
8)	а = 385,	6 = 748,	с=765;
9)	a=61,3, 6=29,6, с=41,5;
10)	а = 792,	6 = 286, с=628.
386.	Зачетная работа № 17 (итоговая на решение
косоугольных треугольников):
1)	a = 56,4, Л = 75°,7, В = 55°,9;
2)	6 = 886, c=924, Л =50°,2;
3)	a=2,64, 6=2,12, Л = 67°,9;
4)	а = 466, 6 = 535, Л = 56°,5;
5)	a = 65,2, 6=48,5,	c=32,8.
ГЛАВА X
РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
§ 32.	Перевод градусной меры в радианную и обратно
387.	На шкалах D и С нанесены штрихи со значками
pβ, р' и р'. Эти штрихи обозначают величину одного ра¬
диана р в градусах (р°), в минутах (p') и в секундах
(р")> т. е.
р°=—= 570ι3 (570,29578j порядок 2))
2л
р, = 36^б0 = 3440, (3437∕ 747l порядок 4),
2л
р"=3602^∙6°=206000' (206 264',8; порядок 6).
107

Учитывая, что на тригонометрических шкалах совре¬
менных линеек даны десятичные доли градуса, пересчет
радианной меры в минуты и секунды не требуется.
Перевод градусной меры в радианную производится
по формулам
а = αo∕p o=a'∕p' = a"∕p".	(2 7)
Перевод радианной меры в градусную производится
по формуле
ao=a∙pβ.	(28)
388.	Дано a=15o. Найти радианную меру.
Вычисление производим по формуле (27):
a=ao∕po= 15∕p0.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
1 — 5 — 0;
2)	совмещаем штрих р° на шкале С с визиром;
3)	на шкале D у конечного штриха шкалы С читаем
отсчет 2 — 6 — 2. Порядок частного: Pi5∕po = Pχ6 — Л>» ≡
=2— 2=0. Ответ: а=0,262.
389.	Дано а=54'. Найти радианную меру.
Вычисление производим по формуле (27):
a=a'∕p' = 54'∕p'.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
В —4 — 0;
2)	совмещаем штрих р' на шкале С о визиром;
3)	на шкале D у начального штриха шкалы С читаем
отсчет 1 — 5 — 7. Порядок частного: P54∕p∙ = Ры — P0' +
+ 1=2 — 4+1= — 1. Ответ: a=0,0157.
390.	Дано a=54'38". Найти радианную меру.
Находим a=54'38"=54∙60"+38"=3278". По формуле
(27) получим
a=a7p"= 32787ρ" ≈ 3280*∕p7
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
3 — 2 — 8;
2)	совмещаем штрих р" на шкале С с визиром;
3)	на шкале D у начального штриха шкалы С читаем
отсчет 1 — 5 — 9. Порядок частного: Рз2во/Р”= P32βo~~
— Pp" = 4 — 6+1= — 1. Ответ: a = 0,0159.
391.	Переведите градусную меру в радианную: 1) 28°,2;
2) 87o,4j 3) 2°,9; 4) 11°,8; 5) 120°; 6) 0°,8; 7) 0°,35;
8) 52'; 9) 19',8; 10) 55° 18'.
108

392.	Дано <z=0,391. Найти градусную меру.
Вычисление производим по формуле (28):
α=α∙po = 0,391 ∙po.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
3 — 9— 1;
2)	совмещаем с визиром конечный штрих шкалы С
(начальный штрих совмещать нельзя, так как штрих р°
выходит за конечный штрих шкалы D)∙,
3)	совмещаем визир со штрихом р° на шкале С;
4)	на шкале D читаем отсчет 2 — 2 — 4. Порядок про¬
изведения: Po,39i∙p° = ∕,o.39i +Pp∙=≡ 0+2 = 2. Ответ: а=
= 22°,4.
393.	Переведите радианную меру в градусную: 1)0,171;
2	) 1,33; 3) 1,48; 4) 0,79; 5) 0,0524; 6) 0,0157; 7) 0,0035;
8) 1,55; 9) 0,412; 10) 0,00436.
§	33. Вычисление длины окружности и площади круга
В § 33—35 предполагается, что параметры выражены
одной и той же единицей длины.
394.	Вычисление длины окружности С по данному ди¬
аметру d. Дано </=3,54. Найти С.
Вычисление производим по формуле C≈nd,.
1)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете
3-5 — 4;
2)	совмещаем конечный штрих шкалы С с визиром
(если штрих л на шкале С выходит за шкалу D, то сов¬
мещаем начальный штрих шкалы С);
3)	перемещаем визир на шкале С на штрих π∣
4)	под визиром на шкале D читаем отсчет 1 — 1—2.
Порядок отсчета устанавливается по правилу о порядке
произведения. Ответ: С = 11,2.
395.	Вычислите длину окружности С по ее диаметру d,.
1) с1=0,930; 2) </=12,5; 3) <∕ = 4,50∣ 4) </=0,405; 5) </ =
=25,6; 6) </=2,15.
396.	Вычисление диаметра d по данной длине окруж¬
ности С. Дано С = 12,5. Найти </.
Вычисление производим по формуле d=C∣πι
1)	устанавливаем визир на шкале на отсчете 1—2 — 5;
2)	совмещаем с визиром штрих л шкалы С;
3)	перемещаем визир на конечный штрих шкалы С;
4)	под визиром на шкале D читаем отсчет 3—9 — 8.
Порядок отсчета находим по правилу о порядке частного.
Ответ: </ = 3,98.
109

397.	Найдите диаметр d по длине окружности С:
1) С= 14,9; 2) С = 6,66; 3) С = 90,5; 4) С*=3,52; 5) С =
= 0,456; 6) C = 0,171.
398.	Вычисление площади круга 5 по данному диамет¬
ру d. Дано d = 5,35. Найти S.
Первый способ:
1)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете 5 —
3—5 (при совмещенных начальных штрихах шкал D и С);
2)	на шкале А под левым красным штрихом визира
читаем отсчет 2 — 2 — 5. Порядок отсчета находим по
правилу о порядке квадрата числа для правой шкалы
квадратов. Ответ: S = 22,5.
Второй способ. При вычислении площади круга
можно использовать значение c=tf 4∕π= 1,128 (на шкалах
D и С), которое получается в результате следующих пре¬
образований:
s = πda = da = / _d \2 = ∕ d
~4 4'π 1У4М / Vе/
Поэтому площадь круга можно вычислить по формуле
S=(4∕c)≡.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
5-3-5;
2)	совмещаем с визиром штрих с на шкале С;
3)	на шкале А под левым красным штрихом визира
читаем отсчет 2 — 2 — 5. Ответ: 5=22,5.
399.	Вычислите площадь круга S по данному диамет¬
ру d∙. 1) (/ = 4,12; 2) d = 16,l} 3) 4 = 0,342j 4)4 = 6,75;
5) 4=23,2; 6) 4 = 0,402.
400.	Вычисление диаметра круга d по его площади <5.
Дано S=1420. Найти 4.
1)	На правой шкале А устанавливаем визир на отсчете
1 — 4 — 2 (число устанавливается на правой шкале, если
его порядок четный, и на левой шкале А, если его поря¬
док нечетный);
2)	совмещаем с визиром начальный штрих шкалы С;
3)	на шкале D под правым красным штрихом визира
читаем отсчет 4 — 2 — 5. Порядок ответа равен 2. Ответ:
4 = 42,5.
401.	Вычислите диаметр круга 4 по его площади 5:
1) 3 = 2690; 2) 5 = 38,6; 3) 5 = 76,2; 4) 5 = 0,528; 5) 5 =
= 8,71; 6) 5 = 9,35.
ПО

§ 34. Вычисление площади поверхности и объема куба
402.	Вычисление площади полной поверхности куба S
по длине его ребра а. Дано а = 4,86. Найти S.
Площадь полной поверхности куба вычисляется по
формуле $=6а2:
1)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете
4 — 8—6 (на шкале А под визиром находится отсчет
квадрата этого числа);
2)	совмещаем конечный штрих шкалы В с визиром;
3)	совмещаем визир с отсчетом 6 — 0 — 0 на шкале B"i
4)	на шкале А читаем отсчет ответа 1 — 4 — 2. Поря¬
док ответа находится по правилу о порядке произведения
при выходе движка влево. Ответ: S=142.
403.	Вычислите площадь полной поверхности куба S
по данной длине его ребра а; 1) а=5,45; 2) а=87,1;
3) α=0,214,∙ 4) а = 1,16; 5) а=12,4; 6) α=31,2.
404.	Вычисление объема куба V по длине его ребра а.
Дано <z = 6,35. Найти V.
Объем куба находится по формуле V=a3i
1)	на шкале D устанавливаем визир на отсчете
6 — 3 — 5;
2)	на шкале К читаем отсчет 2 — 5 — 6. По правилу
о порядке куба для правой шкалы кубов получим 256.
Ответ: V = 256.
405.	Вычислите объем куба V по длине его ребра а:
1) а = 1,53; 2) а=18,1; 3) а=0,232; 4) а=32,3; 5) о =
= 4,85; 6)α = 9,55.
§ 35. Вычисление площадей поверхностей и объемов
круглых тел
406.	Вычисление площади боковой поверхности цилинд¬
ра S по данным диаметру d и высоте h. Дано; <1 = 4,86;
h = 3,52. Найти S.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется
по формуле S≈ndh, т. е. S=π∙4,86∙ 3,52. Обычным при¬
емом находим произведение трех сомножителей. Ответ:
S=53,8. .
407.	Вычислите площадь боковой поверхности цилинд¬
ра S по данным d и Л: 1) <1=12,8; /1=15,6; 2) <1 = 8,75;
Л = 9,35; 3) <1 = 0,426; /< = 5,15; 4) <1 = 232; й = 468; 5) <1 =
= 15,3; /1 = 5,65; 6) <1 = 7,15; ∕ι = 4,26.
111

408.	Вычисление объема цилиндра V по данным диа¬
метру d и высоте Л. Дано: </=2,16; /1=8,15. Найти V.
Объем цилиндра вычисляется по формуле V = -d2h=>
4
1)	устанавливаем визир
2—1 — 6;
2)	совмещаем с ним штрих
на шкале D на отсчете
с на шкале С (на шкале А
под левым красным штрихом получим отсчет площади
круга);
3)	устанавливаем визир на левой шкале В на отсчете
8—1 — 5;
4)	на шкале А читаем отсчет 2 — 9 — 9. Порядок от¬
вета находим грубой прикидкой. Ответ: V=29,9.
409.	Вычислите объем цилиндра V по данным d и hι
1) </ = 3,64; Л = 9,15; 2) </=0,525; й=1,48; 3) <∕=16,8}
Л=24,2; 4) </ = 5,35; /1 = 9,15; 5) </=62,4; Л = 78,5; 6) </ =
= 0,243; ∕ι=0,985.
410.	Вычисление площади боковой поверхности конуса
5 по данному диаметру основания d и длине образую¬
щей I. Дапо: </=24,8; / = 32,6. Найти S.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по
формуле S = π,Rl, т. е. S=π∙ 12,4∙ 32,6. Обычным приемом
находим произведение трех сомножителей. Ответ: S= 1270.
411.	Вычислите площадь боковой поверхности конуса
S по данным d и /: 1) </=4,16; /=8,24; 2) </=12,2; / =
= 18,6; 3) </=0,575; /=0,912; 4) </ = 6,05; / = 8,66.
РУ
412.	Вычисление объема конуса V по данному диамет-
d и его высоте Л. Дано: </=24,6; ∕ι = 36,9. Найти V.
Объем конуса вычисляется по формуле V≈-nR2h.
3
Произведем следующие преобразования:
1 Da .	1 ∕ D \2 .	1 ∕D∖2 ,
	п = — /	] п = — । — /г,
3 4/л	3k∕4M∕	3^c'
Как и в п. 408, подставив числовые значения, произве¬
дем вычисления:
∣∕ = - plιθV.36,9 = f2fιθV. 12,3.
3 \ с /	\ с )
Ответ: И = 5850.
112

413.	Вычислите объем конуса V по данным d и Л:
1) 4=25f4i /1=37,8; 2) 4=5,14; /1=8,25; 3) 4=0,322;
Л = 0,612; 4) 4=73,6; ∕ι = 91,5.
414.	Вычисление площади поверхности шара 5 по дан¬
ному диаметру d. Дано 4=4,56. Найти S.
Первый способ. Площадь поверхности шара вы¬
числяется по формуле S=ncPι
1)	устанавливаем визир на шкале D на отсчете 4—5—6;
2)	совмещаем с визиром начальный штрих шкалы 5;
3)	совмещаем визир со штрихом л шкалы В;
4)	на шкале А читаем отсчет 6—5—3. Ответ:
S=65,3.
Второй способ. Площадь поверхности шара равна
учетверенной площади большого круга. Следовательно,
c . n, .	4* л/ 4	№	л/4\а	.∕4,56∖l
S=4∏R2=4∏∙- = 4 —	 = 4 — = 4∕-l-I .
4	∖√4∕π∕	'c'	'∙ c '
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
4—5—6;
2)	совмещаем штрих с шкалы С с визиром;
3)	совмещаем визир с отсчетом 4—0—0 шкалы В,
4)	на шкале А под визиром читаем отсчет 6—5—3.
Ответ: S = 65,3.
415.	Вычислите площадь поверхности шара S по дан¬
ному диаметру 4: 1) 4=3,28; 2) 4=14,6; 3) 4 = 0,885;
4) 4=9,15; 5) 4 = 29,1; 6) 4=1,25.
416.	Вычисление объема шара V по данному диа¬
метру d. Дано 4=4,25. Найти V.
1	тг ftd3 π∙4,25a
Объем шара вычисляется по формуле V≈- =	:
6	6
1)	устанавливаем визир на шкале О на отсчете 4—2—5;
2)	на шкале К читаем отсчет куба числа 7—6—8;
d8=76,8j
3)	устанавливаем визир на шкале D на штрих л;
4)	совмещаем отсчет 6—0—0 на шкале С с визиром;
5)	перемещаем визир на шкале С на отсчет 7—6—8.
Ответ: V=40,2.
417.	Вычислите объем шара по данному диаметру 4:
1)4 = 3,75; 2)4=16,8; 3) 4=0,246; 4) 4 = 0,785; 5) 4 =
=8,15; 6) 4=42,5.
418.	Зачетная работа № 18.
1)	Вычислите площадь круга, если 4 = 4,25.
2)	Вычислите объем цилиндра, если 4 = 2,12 и h = 8,35.
3)	Вычислите объем конуса, если 4 = 3,16 и ∕ι=4,32.
8
Заказ 733
113

4)	Вычислите площадь поверхности шара, если
d=3,52.
5)	Вычислите объем шара, если d= 12,2.
ГЛАВА XI
ВЫЧИСЛЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
§ Зв. Способ деления двух чисел при отсчете частного
на шкале С
419.	Для упрощения вычислений желательно при де¬
лении отсчеты делимого и делителя устанавливать на
шкале D, а отсчет частного читать на шкале С. В п. 420
и 421 показано, как производится деление этим способом.
420.	Разделить 18,6:68.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
1—8—6;
2)	совмещаем конечный штрих шкалы С с отсчетом
6—8—0 на шкале D,,
3)	на шкале С под визиром читаем отсчет ответа!
2—7—4;
4)	порядок ответа: Pi8.β∕β8 = Pιβ.6-Рее = 2 — 2 = 0.
Ответ: 0,274.
421. Разделить 0,825:3,08.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
8-2-5;
2)	совмещаем начальный штрих шкалы С с отсчетом
3—0—8 на шкале О;
3)	на шкале С под визиром читаем отсчет ответа!
2—6—8;
4)	порядок ответа: Ро,825/з.о8 = Ро,825 — Рз.ов + 1 =
= 0— l-f-l=0. Ответ: 0,268.
422. Выполните деление, применив способ, изложен¬
ный в п. 420 и 421:
1)	2,88ι 7,55;	6)	0,076:8,7;
2)	0,75:0,815;	7)	8,9:1520;
3)	2,48:153;	8)1,12:6,35;
4)12,8:122;	9)	5,25:7,55;
5)	9,7:25,8;	10)	0,085:2,72.
114

§ 37. Преобразование комплексного числа
из алгебраической формы в показательную
423. Запись комплексного числа в виде z=a+bi на¬
зывается алгебраической формой записи комплексного
числа, где а — называется действительной частью комп¬
лексного числа, а b — мнимой частью. Модулем комплек¬
сного числа называется число fr∣ = ∣α -f- Ы\ = ∣∕^αa-}-ba
Комплексное число z=a-∖-bl
изображается точкой плоскос¬
ти с координатами (а; Ь) (рис. 2).
Комплексное число z=a-}-bl
можно также изобразить век¬
тором ОМ = г. Угол φ между
действительной осью ОХ и век-
тором ОМ, отсчитываемый от
положительного направления
действительной оси, называется
z≠0. Если отсчет ве¬
аргументом комплексного числа
дется против движения часовой стрелки, то величина угла
считается положительной, а если по движению часовой
стрелки, то отрицательной.
Аргумент φ и модуль г находятся из соотношений
tgφ = ∣⅛∕α∣5 φ = arctg | Ь/а |; r=p∣∕sinφ.
Представление комплексного числа а+Ы в виде
e=r(cosφ-∣-isinφ), где r>0, называется тригонометри¬
ческой формой записи комплексного числа.
Комплексное число может быть также представлено
в показательной форме: z=reif.
■ 424. При переходе от алгебраической формы комплекс¬
ного числа z==a+bi к показательной форме z=ret⅛ аргу¬
мент φ находится 'по данным значениям | а | и ∣ b |. При
этом могут представиться два случая: |а|>|&| и ∣α∣<∣b∣.
Первый случай: ∣α∣>∣fe∣.
1.	Если 0,l<∣b∕α∣<l (0,l<tgφ<l), то угол φ нахо¬
дится на шкале Т, где 5o,8<φ<45o, т. е. если порядок
числа ∣ b]a | равен нулю, то отсчет угла φ производится
на шкале Т (порядок чисел шкалы Т равен нулю).
Модуль г находится из соотношения r=t>∕siπφ. Поря¬
док числа sinφ равен нулю (порядок чисел шкалы 3
Равен нулю).
β*	115

2.	Если 0,01 <∣b∣a∣<0,1 (0,01<tgφ<0,1), то φ нахо¬
дится на шкале ST, где 0°,575<φ< 5°,8, т. е. если
порядок числа ∣ b∕a | равен минус единице, то отсчет
угла <р производится на шкале ST (порядок чисел шкалы
ST равен минус единице). Модуль г принимается рав¬
ным |а |.
3.	Если 0<∣⅛∕α∣<0,01 (O<tgφ<0,01), то 0<φ<
<0o,575, в этом случае φ принимается равным нулю,
равным ∣α∣.
Модуль г принимается
425. Привести комплексное чис¬
ло z=4+3t к показательной фор¬
ме (рис. 3).
Аргумент φ вычисляем, при¬
менив прием деления, изложен¬
ный в п. 420.
1)	Устанавливаем визир на
шкале D на отсчете 3—0—0;
2)	совмещаем конечный штрих
шкалы С с отсчетом 4—0—0 на
шкале D∙,
3)	порядок частного 3/4 равен нулю; следовательно,
отсчет аргумента производим на шкале Т;
4)	на шкале Т под
мента: φ=360,9. Мо¬
дуль г вычисляем по
формуле г=b∕sin φ=
= 3∕sin36o,9j
5)	совмещаем с ви¬
зиром угол 36°,9 на
шкале 5;
6)	на шкале D у
конечного штриха шка¬
лы С читаем отсчет
модуля 5—0—0;
7)	порядок модуля
равен 1; следовательно,
r=5. 0mβem,. z=5et'36°∙9.
визиром читаем значение аргу-
426. Привести комплексное число г= 157+ 3,78/
к показательной форме.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
3-7-8;
2)	начальный штрих движка совмещаем с отсчетом
1—5—7 на шкале О;
3)	находим порядок частного:
116

^,3,78∕IS7 = ∕33,78 —	= 1 — 3ψl =—1[
следовательно, φ отсчитывается на шкале ST∙,
4) на шкале ST под визиром читаем значение аргу¬
мента: φ=l0,38j
5) модуль принимаем равным большему по абсолют¬
ной величине числу, т. е. r=157. Ответ', z = 157ez,1*-38.
427. Привести комплексное число 2 = 8,75 +0,0751
к показательной форме.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
7-5—0;
2)	конечный штрих движка совмещаем с отсчетом
8—7—5 на шкале О;
3)	находим порядок частного:
Ро, 075/8,75 = Ро. 075 — Рв, 75 = — 1 — 1 = —2‘,
так как 0<0,00857<0,01, то в этом случае φ принима¬
ется равным нулю, а модуль — равным большему из чи¬
сел, т. е. r=8,75. Ответ', z = 8,75e60°.
428.	Приведите следующие комплексные числа к по¬
казательной форме:
1)	2 = 7,09+2,581;	6)	2 = 0,545+0,4780
2)	2=80,7+48, И;	7)	2=0,125+0,1190
3)	2=38,6+6,251;	8)	2 = 770+12,10
4)	2=1,11+0,9250	9)	2=5,05+0,4840
5)	2 = 785 + 3400	Ю)	2=530+3,210
429.	Привести комплексное число 2=—7+51 к пока¬
зательной форме (рис. 4).
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
5—0—0;
2)	совмещаем конечный штрих шкалы С с отсчетом
7—0—0 на шкале D,i
3)	порядок частного 5/7 равен нулю; следовательно,
отсчет вспомогательного угла <рвсп производится
на шкале Т;
4)	на шкале Т под визиром читаем вспомогательный
угол: <рвсп=350,6;
5)	находим аргумент (р: φ= 180o- <рвСП = 180°—
—35°,6= 144°,4;
6)	совмещаем с визиром угол 35°,6 на шкале 5;
7)	на шкале D у конечного штриха шкалы С читаем
отсчет модуля: 8—6—0;
117

8)	порядок модуля r=5∕sin 35°,6 равен 1; следова¬
тельно, r=8,6. Ответ-. z=8,6ez'144°,4.
430.	Приведите следующие комплексные числа к по¬
казательной форме]
1)	z=-54-4ι∖∙	6) z=-3,12 + 0,3280
2)	z	635+168«;	7) z=-5,46 + 0,3910
3)	z=-33,1 + 19,50	8) г =—478+2280
4)	z=—12,4+8,250	9) z = -24,1+0,4210
5)	г-	115+96,50'	10) г=2,16+0,1490
431. Привести комплексное число г=—4,88—3,05Z
к показательной форме (рис. б).
.	1) Устанавливаем визир
1	на шкале D на отсчете
M(-4β8i-3J)5)
Рис. 5
.3-0-5;
2)	совмещаем конечный
штрих шкалы С с отсчетом
4—8—8 на шкале D∙,
3)	порядок частного
3,05/4,88 равен нулю; сле¬
довательно, отсчет вспомо¬
гательного угла <рвсп про¬
изводится на шкале Т;
4)	на шкале Т под визи¬
ром читаем отсчет вспомогательного угла: <рвсп = 32°;
5)	находим аргумент <р: φ = 180° + <рвсп = 180°+
+320=2120j
6)	совмещаем с визиром угол 32° на шкале 5;
7)	на шкале D у конечного штриха шкалы С читаем
отсчет' модуля: 5—7—6;
8)	порядок модуля r=3,05∕siπ 32° равен 1, следо¬
вательно, r=5,76. Ответ: z=5,76ez∙212*.
432.	Приведите следующие комплексные числа к по¬
казательной форме:
1)	г=-982-8250	6) z=-11,9-7,150
2)	г=—156—22,60	7) г = — 115—5,03г;
3)	г= —93,5—87,20	8) г=—16,7—0,4640
4)	г=—0,745- 0,2710	9) z=-414-39,61;
5)	г =—27,2—8,060	10) z = -9,81-0,8250
433.	Привести комплексное число z=6,02-5,01/
к показательной форме (рис. 6).
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
5-0—1;
118

2)	совмещаем конечный штрих шкалы С с отсчетом
6—0—2 на шкале Э;
3)	порядок частного 5,01/6,02 равен нулю; следо¬
вательно, отсчет вспомогательного угла <рвсп производим
на шкале Т;
4)	на шкале Т под визиром читаем отсчет вспомога¬
тельного угла: фвсп = 39°,8;
5)	находим аргумент <р:
φ = 360° — φβcπ = 360° —
— 39°,8 = 320°,2;
6)	совмещаем
ром отсчет угла
шкале 5;
7)	на шкале
вечного штриха
комплексные числа к по-
с визи-
39°,8 на
D у ко-
шкалы С
читаем отсчет модуля: 7—
8—3;
8)	порядок	модуля
r=5,01∕sin 39°,8 равен 1;
следовательно, г=7,83.
Ответ: 3 = 7,83e6320°∙1 2 3 4 5.
434.	Приведите следующие
казательной форме:
1)	3 = 55,9—47,6/;
2)	3=143-358/;
3)	3=172—18,1/;
4)	3 = 9,01—8,05/;
5)	3 = 0,811-0,311/;
435.	Приведите следующие
казательной форме:
6)	3 = 5,21—4,01/;
7)	3 = 7,16—6,01/;
8)	3=186—3,25/;
9)	3 = 86,9—3,03/;
10)	3 = 86,4—4,52/.
комплексные числа к по¬
1) з=	12,8+7,51/}
2) 3 = 5,39—4,52/;
3) 3=14,1 + 5,14/;
4) z=—935—165/;
5) 3=160 — 5,59/;
6)	3=0,685+0,575/;
7)	з =—785 —41,1/;
8)	з=—154+27,2/;
9)	3=797+69,5/;
10)	з = —166 —60,5/.
, 436. Второй случай: ∣α∣<∣ &|.
Абсолютное значение угла φ больше 45°, но на
шкале Т нанесены углы, не превышающие 45°, поэтому
по данным ∣ a | и ∣ b | вычисляют не угол φ, а дополни¬
тельный к нему угол а (рис. 7).
Аргумент φ и модуль г находятся из соотношений
tga=∣a∕∕>∣j	a = arctg∣a∕6∣j	φ=90o — aj г=|а|/зта.
119

тельно, отсчет угла
Рис. 7
438. Привести
Если порядок числа ∖a∕b∖ равен нулю, то отсчет
угла а производится на шкале Т.
Если порядок числа ∣a∕b] равен минус единице,
то отсчет угла производится на шкале ST.
437. Привести комплексное число	г = 2,524-5,05Z
к показательной форме.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
2—5—2;
2)	совмещаем конечный штрих шкалы С с отсчетом
5—0—5 на шкале D∙,
3)	порядок частного 2,52/5,05 равен нулю, следова-
производим на шкале Т;
4)	на шкале Т под визиром
читаем отсчет угла а: α=260,5j
5)	находим аргумент <р: φ≈
= 90° — а = 90° — 26°,5 = 63°,5;
6)	совмещаем с визиром угол
26°,5 на шкале 5;
7)	на шкале D у конечного
штриха шкалы С читаем отсчет мо¬
дуля: 5—6—5;
8)	порядок модуля г=
= 2,52∕siπ26o,5 равен единице! сле¬
довательно, r=5,65. 0mβemι z=
=5,65ez∙63°∙8 .
мплексное число z=2,524-28,9Z к по¬
казательной форме.
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
2-5-2;
2)	совмещаем конечный штрих шкалы С с отсчетом
2—8—9;
3)	находим порядок частного: P2,82∕28,9 = ∙∕,2,ε2-
— ^*28,9= 1 — 2=—1; следовательно, отсчет угла а про¬
изводим на шкале 5Т;
4)	на шкале ST под визиром читаем отсчет угла aι
а = 5°;
5)	находим аргумент <р: φ = 90o — a==90o- 5°=85°;
6)	модуль принимаем равным большему по абсолют¬
ной величине числу, т. е. r=28,9. Ответ: 2=28,9eb8β*.
439.	Приведите следующие комплексные числа
к показательной форме:
1)	г= 1244-150«;	3)2=16,54-71,5«;
2)	2 = 5004-800«;	4) 2=4,524-25,3«;
120

5)	2=8,01 +11,2/;	8) 2 = 2,58+ 74,1»;
6)	2 = 37,5+80,5»;	9) 2=4,23+73,5»;
7)	2=0,725+0,751f, 10) 2 = 0,895+12,8».
440.	Привести комплексное число г=—5,05+12,5» к
показательной форме (рис. 8).
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
5—0—5;
2)	совмещаем начальный штрих шкалы С с отсчетом
1—2—5 на шкале D∙,
3)	находим порядок частного: P5ι 05/12,5 = ∕,5,os-
— 75i2,5+l = l—2+1=0; следовательно, отсчет угла а
производим на шкале Т;
4)	на шкале Т под визиром читаем отсчет угла а:
а=22°;
5)	находим аргумент φι φ=90o+α=90o+22o≈ 112°;
6)	совмещаем с визиром отсчет угла 22° на шкале 5;
7)	на шкале D у начального штриха шкалы С читаем
отсчет модуля: 1 — 3 — 5;
8)	порядок модуля r=5,05∕sin22o равен 2, следова¬
тельно, r=13,5. Ответ. г=13,5еЛП2*.
441.	Приведите следующие комплексные числа к по¬
казательной форме:
1)	z=-3,33+5,55/;
2)	2=—6,02+6,92»;
3)	2=—0,351 + 1,99/;
4)	2=—5,11 + 11,5»;
5)	2=—4,02+6,45»’;
6)	2=—1,52+7,15/;
7)	2=1,65+23,2/;
8)	2=—3,02+173/;
9)			1,11+79,5»;
Ю) г=—78,5+900».
442.	Привести комплексное число 2 = —5,05 — 7,95/
к показательной форме (рис. 9).
191

1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
5 — 0 — 5;
2)	совмещаем конечный штрих шкалы С с
7 — 9 — 5 на шкале D∖
отсчетом
3)	порядок частного 5,05/7,95 равен нулю;
производим на шкале Т;
следова¬
тельно, отсчет угла а
комплексные числа
4)	на шкале Т под
читаем отсчет угла а:
визиром
α=320,4j
5)	находим аргумент <р: <р =
= 270o- a=270o- 32°,4 = 237°,6;
6)	совмещаем с визиром от¬
счет угла 32°,4 на шкале 5;
7)	на шкале D у конечного
штриха шкалы С читаем отсчет
модуля: 9 — 4 — 2;
8)	порядок модуля г=
= 5,05∕sin32°,4 равен единице, сле¬
довательно, г=9,42. 0mβem∖ z =
= 9,42e'∙237'∙β.
443. Приведите следующие
показательной форме:
к
1)	2 = _4,26 — 5,95/;	6)	г = — 98,5 — 10«;
2)	z = -172 —446/;	7)	г= —123 —525/;
3)	г = —53,5 — 147/;	8)	z	5,35— 153/;
4)	г=—9,75—11,3/;	9)	г = —2,24 —58,5/;
5)	г = —13,6 — 93,5/;	Ю)	z=—45,2 — 53,9/.
444. Привести комплексное число г = 2,25 — 4,24/
к показательной форме (рис. 10).
1)	Устанавливаем визир на шкале D на отсчете
2 — 2 — 5;
2)	совмещаем конечный штрих шкалы С с отсчетом
4 — 2 — 4;
3)	порядок частного 2,25/4,24 равен нулю; следова¬
тельно, отсчет угла а производим на шкале Т;
4)	на шкале Т под визиром читаем отсчет угла си
<х=28°;
5)	находим аргумент ср: φ=270o+28o=298o∣
6)	совмещаем с визиром отсчет угла 28° на шкале S∣
7)	на шкале D у конечного штриха шкалы С читаем
отсчет модуля: 4 — 8 — 0;
8)	порядок модуля r=2,25∕siπ280 равен единице; сле¬
довательно, r=4,8. Ответ: z = 4,8βz'298∖
122

445.	Привести следующие
зательной форме:
1)	2 = 4,15 — 6,75/;
2)	2=2,18 — 4,58/;
3)	2=16,8 — 59,5/;
4)	2=64,5 — 228/;
5)	2=8,45 — 43,5Z∣
446.	Привести следующие
зательной форме:
1)	2=12,9+7,15/;
2)	2 = 4,22+8,35/;
3)	г = —9,35+8,55/;
4)	г = —28,8+127/;
5)	г = —117 —29,2/;
комплексные числа к пока
6)	2 = 3,56 — 6,35/;
7)	2 = 565 — 806/;
8)	2=0,117 — 0,955/;
9)	2=3,84 — 73,5/;
10)	2=1,07— 187/.
комплексные числа к пока-
6)	2 = 0,801 —0,408/;
7)	г = — 5,75— 15,8/;
8)	2 = 8,85 — 8,25/;
9)	2=123+6,45/;
10)	2 = 68,5 — 785/.
447.	Зачетная работа № 19 (итоговая на преоб¬
разование комплексных чисел из алгебраической формы
в показательную):
1)	z=2,42+7,91/;
2)	2 = 78,4 — 38,2/;
3)	2=	0,292+2,08/;
4)	2=—8,65 —6,66/;
5)	2=2,56— 163/.
§ 38.	Преобразование комплексного числа
из показательной формы в алгебраическую
448.	При преобразовании комплексного числа из по¬
казательной формы 2=rezφ в алгебраическую z=a-∖-bi не¬
обходимо по данным г и φ вычислить а и Ь.
Рассмотрим два случая.
Первый случай (рис. 11): ∣φ∣<450, а и b нахо¬
дятся из соотношений
b=rsinφ, α = ⅛∕tgφ.
Второй случай (рис. 12): 45o<∣φ∣<90o, а к b
находятся из соотношений
α=rsinα, b=a∕tga,
где а — дополнительный угол.
При всех остальных значениях аргумента φ его вы¬
ражают через дополнительный угол а (или вспомогатель¬
ный угол φ8c∏), применяя одну из следующих формул:
φ=90o±aj φ=180o±aj φ=270o±aj φ = 360°±a,
так чтобы ∣ a | < 45° (φljoπ < 145° |).
123

449.	Привести комплексное число z = 5β,'3β°∙9 к алгеб¬
раической форме.
Вычисление 6(6=rsiπφ = 5sin36o,9)ι
1)	совмещаем конечный штрих шкалы О с отсчетом
5 — 0 — 0 на шкале D',
2)	устанавливаем визир на отсчете 36°, 9 на шкале 5;
3)	на шкале D под визиром читаем отсчет 3 — 0 — 0;
4)	Рь si∏ 36°,э = ^,5÷^,s∣∏ зб«,э = 1 +0 = 1; b≈3.
Вычисление α(α = 6∕tgφ = 3∕tg36°,9):
1)	совмещаем с визиром отсчет 36°, 9 на шкале T↑
2)	у конечного штриха шкалы С на шкале D читаем
отсчет 4 — 0 — 0;
3)	P3∕tg 3β°,9= 1—0=1; α=4.
Ответ : z = 4+3t.
450. Привести комплексное число z = 35e,∙4*∙, к алгеб¬
раической форме.
Вычисление 6(6=rsiπφ = 35sin40,l)r
1)	совмещаем конечный штрих шкалы С с отсчетом
8 — 5— 0 на шкале D∖
2)	устанавливаем визир на отсчете 4°, 1 на шкале $Т;
3)	на шкале D под визиром читаем отсчет 2 — 5 — 0;
4) Р35 sin 4«,1 =∕%5÷^5 * *sl∏ 4%1 =2+(—l)=lj 6 = 2,5.
Вычисление а (α = 6∕tg φ=2,5∕tg 4°, 1):
1) у конечного штриха шкалы С на шкале D читаем
отсчет 3 — 5 — 0;
2) ∕,2,5∕tg4«,1 =^,2.5 — ^5tg4β,ι = l — (—1) = 2; а=35.
Ответ: z = 35+2,5t.
451. Привести комплексное число z= 12,lβ,'53*∙8 к
алгебраической форме (рис. 13).
184

Имеем 450 < 530,8 < 90°; φ = 90°— α=≠α = 90o — φ =
= 90o- 53o,8 = 36o,2.
Вычисление a{a=rsinа = 12,1 sin36°,2):
1)	совмещаем начальный штрих шкалы С с отсчетом
1 — 2—1;
2)	устанавливаем визир на отсчете 36°,2 на шкале S,∙
3) на шкале D под визиром читаем отсчет 7 — 1 — 5;
4)	P12,l-Sin 36%2 = 7*12, l+7*sin 36’.2 ~
— 1 = 2÷0- 1 = 1; a = 7,15.
Вычисление b (b = a∕tga =
= 7,15/ tg 36°, 2):
1)	совмещаем с визиром отсчет
36°,2 на шкале Т;
2)	у конечного штриха шкалы С
на шкале D читаем отсчет 9 — 7 — 6;
3)	T*7.15∕tg 360.2 = T,7, 15 — 7*tg 36’,2 “
= 1—0=1; 6 = 9,76.
Ответ: z = 7,15+9,76t.
452. Привести комплексное чис¬
ло z = 6,15ez∙ 128°∙4 к алгебраической
форме (рис. 14).
Имеем φ=128o,4j φ=90°+<x=>a = φ— 90o= 128°,4 —
— 90o=38o,4} a<0, b > 0.
Вычисление a(a=rsina=6,15∙sin 380,4)ι
1)	совмещаем конечный штрих шкалы С с отсчетом
6—1 — 5;
2)	устанавливаем визир на отсчете 38°,4 на шкале Sj
3)	на шкале D под визиром читаем отсчет 3—8 — 2;
4)	7*6,15∙sln 38’,4 = T,6.15 +
+ 7,sin Зв®,4 = 1+0 = 1∣ a = 3,82.
Вычисление b (b ≈ a∕tga =
= 3,82∕tg 38°,4):
1)	совмещаем с визиром от¬
счет 38°,4 на шкале Т;
2)	у конечного штриха шка¬
лы С на шкале D читаем от¬
счет 4 — 9 — 2;
— ►
3)	T*3.82∕tg 38’,4 = T,3.82	—
— Λg38%4 = 1—0=1; 6 = 4,92.
Omβetnι z=-3,82 +4,92i.
453.	Привести комплексное число z = 4,25ez 220°∙s к
алгебраической форме (рис. 15).
125

Имеем φ=220°,5j φ=180+фвсп=><рвсп = <р—180 =
=220o,5-180°=40°,5; а < О, b < 0; 6=rsinφlιcπ =
=4,25 sin 40°,5=2,76; α=b∕tg φljcπ = 2,76∕tg 40°,5 = 3,23.
Ответ: г =—3,23 — 2,76/.
454.	Привести комплексное число z=3,15ez∙250*∙3 к
алгебраической форме (рис. 16).
ρ=270o— α=>α=270o— φ=
, b < 0; a≈r sina = 3,15×
×sin 19°,7= 1,06; Ь=
-.a∕tga=l,06∕tg 19°,7=2,96.
Ответ:	z = — 1,06 —
—2,96/.
455.	Привести ком¬
плексное число г=
= 4,56ez'336*∙2 к алгебраи¬
ческой форме (рис. 17).
Имеем φ = 3350,2j φ=
=360 — Φbc∏ς^Φbc∏=360° —
a>0, 6 < 0; 6=rsinφ1,al =
⅛∕tgψBc∏≈ l,92∕tg240,8=4,14.
<ое число z= 185ez'36β*∙* к
алгебраической форме.
Имеем φ=356°,5; φ=360° — φβcπ => <рвсп = 360° — φ=
= 360o-356°,5 = 3°,5; a>0, Ь < 0; fr=rsinφ12=
= 185sin30,5=11,3; а=^<рвсп = 1Г^З°,5= 185, т. е.
л равно модулю комплексного числа.
Ответ: г = 185— 11,3/.
Мб

457.	Проверьте справедливость следующих приближен¬
ных равенств:
1)	3,75ez'38°∙6=2,93+2,34г;
2)	28,6ezιs7'∙2 = 15,24-24,27;
3)	72,5ez'140*∙7 =—56,2+45,8г;
4)	0,464ez'240°∙2 = -0,251 — 0,403г;
5)	216ez∙340*=203-73,9i,∙
6)	5,15e'∙lβ4∙ = -4,95+ 1,42г;
7)	4,12ez'288* = 1,27— 3,91ι'j
8)	366e'∙212*=-310— 194t∣
9)	28,2ez∙5, = 28,2+2,46i∙,
10)	15,6ezι78* =—15,6+0,545t
458.	Приведите следующие комплексные числа к алгеб¬
раической форме:
1)	z=22,6ez'208°∙8,∙
2)	z=8,65ez∙285°∙7,∙
3)	z=0,725ez'36°>8j
4)	z = 32,lez∙,l4°>6}
5)	z=28,8βz'184°s
459.	Зачетная работа
разование комплексных чисел
алгебраическую):
1)	z=36,6ez∙36*∙6 ;
2)	z = 42,8ez'72°∙7 ;
3)	z = 6,05ez'*65°-7i
6)	z = 386ez∙273°i
7)	z = 14,3ez∙72°j
8)	z=78,5ez,lδl*∙8∣
9)	z=46,6ez 227*∙9j
10)	z=25, lez'348°.
№ 20 (итоговая на преоб-
из показательной формы в
4)	z=8,15ez∙204°*15
5)	z=117ez3*,
Г Л А В А XII
ОБОСНОВАНИЕ УСТРОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ
ЛИНЕЙКИ
§ 39.	Понятие о построении основной шкалы линейки
460.	Логарифмическая линейка представляет собой простой по
устройству универсальный счетный прибор, основой построения кото¬
рого служит графическое изображение логарифмов чисел.
Основную шкалу логарифмической линейки можно построить сле¬
дующим образом.
На листе миллиметровки построим отрезок длиной 250 мм (длина
основной шкалы) и примем его за единицу измерения. Из четырех¬
значных таблиц мантисс логарифмов выпишем в таблицу значения
логарифмической функции y=lgx в промежутке целых значений аргу-
127

мента х от 1 до 10 и, умножив затем каждое из значений Ig х на
250, получим следующую таблицу:
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
⅛Λ∙
0
0,3010
0,4771
0,6021
0,6990
0,7782
0,8451
0,9031
0,9542
1
250 lgx
(мм)
0
75,3
119,3
150,5
175,8
194,6
211,3
225,8
238,6
250
Построим на взятом отрезке точки, соответствующие числовым
значениям функции 250 lg х (0; 75,3 мм; 119,3 мм; 150,5 мм и т. д.).
Мы получили основную шкалу. На этой шкале отрезками 0; 75,3 мм;
119,3 мм; 150,5 мм и т. д. изображены мантиссы логарифмов чисел
1, 2, 3, 4 и т. д. (первый отрезок имеет длину 0). В конце каждого
из. отрезков проставим соответственно числа 1, 2, 3, 4 и т. д. По¬
этому первым делением на основной шкале служат не нуль, а едини¬
ца (lgl=0) и последним 10(lgl0=l). Таким образом, отрезки на
основной шкале пропорциональны не самим числам 1, 2, 3, . .	10,
а мантиссам логарифмов этих чисел. Деления 1, 2, 3, ..10 соот¬
ветствуют первым значащим цифрам чисел, читаемых на основной
шкале.
X
1,1
1,2
1,3
• • •
2,1
2,2
• • •
lg*
0,0414
0,0792
0,1139
* * •
0,3222
0,3424
• • •
250 lgj*r(MM)
10,4
19,8
28,5
• • •
80,6
85,6
• • ■
Из этой таблицы видно, как получить на основной шкале деления,
соответствующие двузначным числам.
X
2,02
2,04
. . .
4,15
4,20
4,25
. . .
0,3054
0,3096
* . •
0,6180
0,6232
0,6284
. . .
250 lg х (мм)
76,4
77,4
• . .
154,5
155,8
157,1
• • .
Из этой таблицы видно, как получить на основной шкале де¬
ления, соответствующие трехзначным числам.
Если разрезать выполненную на миллиметровке основную шкалу
на две части по ее длине, то мы получим шкалу, нанесенную на
корпусе линейки (шкалу D) и на движке (шкалу С).
461.	С помощью шкал D и С, перемещающихся относительно
Друг друга, умножение и деление чисел выполняются посредством
128

сложения и вычитания отрезков, выражающих мантиссы логарифмов
этих чисел, так как
lg(αδ)≡≡lgα-∣-lgb и lg(α∕6)=lgα-→lgЪ.
462.	Зависимость между характеристикой логарифма числа и
порядком этого числа. Характеристика логарифма числа > 1
есть положительное число, равное количеству цифр в целой части
его минус единица. Порядок этого же числа есть положительное
число, равное количеству цифр в целой части числа.
Порядок числа > 1 больше характеристики его логарифма на
единицу.
Характеристика логарифма числа <J 1 (правильной десятичной
дроби) есть отрицательное число, содержащее столько единиц, сколько
нулей предшествует первой значащей цифре, считая и нуль целых.
Порядок этого же числа —есть отрицательное число, содержащее
столько единиц, сколько имеется нулей после запятой до первой
значащей цифры.
Порядок правильной дроби также больше характеристики ее ло*
гарифма на единицу.
Примеры:
Число
Порядок
его
Характе¬
ристика
логарифма
Число
Порядок
его
Характе¬
ристика
логарифма
1
2
3
4
5
6
8
1
0
0,27
0
—1
46
2
1
0,049
—1
—2
129
3
2
0,00415
—2
—3
3050
4
3
0,000202
—3
к 4
10000
5
4
0,00001
*—4
508000
6
5
0,000008
—5
—6
107,3
3
2
0,815
0
—1
6,97
1
0
0,0672
—1
•—2
28,4
2
1
0,1
0
—1
1001
4
3
0,1001
0
^1
§ 40. Умножение двух чисел
463.	Рассмотрим умножение двух чисел а и Ь о помощью
шкал D и С. Отрезки этих шкал пропорциональны мантиссам лога¬
рифмов чисел а и b (пусть а ~ отсчет на шкале D и b ~~ отсчет на
шкале С).
При умножении чисел а и b достаточно найти сумму логарифмов
сомножителей а и b (сумму отрезков логарифмических шкал D и О
с отсчетами а и 6), а затем на шкале D по формуле lg a+ lg b—lg (ab)
найти число, соответствующее сумме lgo÷lg о.
Длина основной шкалы принята за единицу, поэтому при умно¬
жении двух чисел могут представиться два случая:
1)	сумма мантисс логарифмов меньше единицы (сумма отрезков
шкал D и С меньше единицы);
2)	сумма мантисо логарифмов больше или равна единице (сумма
отрезков шкал D и С больше или равна единице).
9 Заказ № 733
129

464.	Обоснование правила о порядке произведения двух чисел
для случая, когда умножение производится при помощи начального
штриха движка. Введем обозначения: а — первый сомножитель; Ь —*
второй сомножитель; ab — их произведение; Ра — порядок сомножи¬
теля а; Pb — порядок сомножителя Ь; Pab порядок произведе¬
ния ab.
Известно, что lgα÷⅛ 6 = ⅛ (аЬ). Тогда характеристиками lgα,
lgδ и lg (ab) служат соответственно Po-1, Pb — 1 и Pab — 1
(см. п. 462). Следовательно,
Pαδ-l=∕,α-l+∕,b-lJ
Pab = (Pa+Pb)-l∙	(1)
465.	Обоснование правила о порядке произведения двух чисел
для случая, когда умножение произзодится при помощи конечного
штриха движка. В п. 44 было показано, что если отсчет второго
сомножителя выходит за пределы шкалы Dt то отсчет на шкале D
производят с помощью конечного штриха шкалы С. Это вызвано
тем, что сумма мантисс логарифмов сомножителей в данном случае
превосходит единицу, т. е. превышает длину всей шкалы, принятой
за единицу.
Совмещая отсчет на шкале D с конечным штрихом шкалы С,
мы уменьшаем сумму мантисс сомножителей на единицу, поэтому к
порядку произведения (см. п. 464) необходимо прибавить единицу:
Pab≈Pa+Pb-~W≈Pa+Pb,
Pab≈Pa+Pb∙	(2)
В этом случае порядок произведения равен сумме порядков со-
множителей.
§ 41.	Деление
466.	Рассмотрим деление числа а на число Ь с помощью шкал D
и С. Деление с помощью этих шкал сводится к вычитанию отрезков,
изображающих мантиссы логарифмов делимого и делителя. Если на
шкале D производится отсчет делимого а и на шкале С отсчет де¬
лителя 6, то по формуле
lga- ⅛6=lg(a∕6)
получим, что разности отсчетов а и Ь соответствует на шкале D
отсчет частного а/Ь. Частное находится как при помощи начального
штриха движка, так и конечного.
467.	Обоснование правила о порядке частного двух чисел для
случая, когда деление производится при помощи начального штриха
движка. Введем обозначения: а —делимое; 6 —делитель; а/Ь — их
частное; Ра — порядок делимого а; Ръ — порядок делителя b∙t Pa∣b-
порядок частного а/Ь.
Известно, что lgа — ⅛6 = lg(a∕δ). Тогда характеристиками lga,
lgδ и lg (а/Ь) служат соответственно Ра— 1, Р& —1 и Pa∕b^~^^∙
(см. п. 462). Значит,
f,β∕6 -1 =pa -1 - σj6 - i)=po-1 - Рь+1;
Palb=(Pa~Pb)+l.	(4)
130

468.	Обоснование правила о порядке частного двух чисел для
случая, когда деление производится при помощи Конечного штриха
движка. Если деление производится выдвижением движка влево,
т. е. отсчет частного производится с помощью конечного штриха
движка, то разность отрезков шкал D и С, соответствующих ман¬
тиссам делимого и делителя, получается увеличенной на единицу
(на длину всей шкалы)? поэтому от порядка частного (см. п. 467)
необходимо отнять единицу:
i-~	1 — 1 =Pa	Ръ\
Palb≈Pa-Pb-	(5)
469.	Обратная шкала. При любом положении движка (нормаль-
•ном, выдвинутом влево или вправо) два стоящих друг против друга
числа на шкале D и на шкале С± дают одно и то же произведение,
читаемое на шкале D у начального или конечного штриха шкалы С.
Пусть, например, друг против друга стоят число а на шкале D
и число b на шкале Cχ, а движок сдвинут так, что начальный штрих
шкалы Cι (то же, что конечный штрих шкалы С) приходится против
числа с на шкале D∙
Тогда lga+lg6=lgc, или lg(a6)=Igc, т. е. ab≈c∙
Мы получили правило умножения двух чисел с применением
шкалы C1.
При нормальном положении движка (не выдвинутом) возьмем
стоящие друг против друга числа: т на шкале D и п на шкале C∣
(на шкале отсчет справа налево).
Тогда lg∕∏+lg n = l =lg 10, или m∕ι=10, т. е. n = 10∕m.
Числа т и 10/т, стоящие друг против друга, показывают, что
отсчетами на шкале служат обратные величины стоящих против
них отсчетов на шкале D. Множитель 10 в выражении п = 10∕m=≡
=(l∕∕n)∙10 сказывается только на порядке числа, а не на его отсчете
(отсчет числа не зависит от положения запятой), поэтому для любых
противостоящих чисел а и b на шкале D и на шкале C1 между их
отсчетами имеют место соотношения a=l∕6 и b≈∖∕a.
Следовательно, умножение чисел а и b с применением шкалы
есть деление множимого а на обратную величину множителя bt т. е.
ab≈a*.(↑ ∕b)∙ Множимое а устанавливается на шкале D, множитель b
на шкале отсчет произведения читается на шкале D под началь¬
ным или конечным штрихом шкалы С.
§ 42.	Шкала квадратов и шкала кубов
470.	Отрезки шкалы квадратов изображают, как и отрезки ос¬
новной шкалы, мантиссы логарифмов чисел, а не сами числа. Отли¬
чие шкалы квадратов от основной шкалы заключается в том, что
если длина основной шкалы принимается за единицу, то шкала ква¬
дратов, построенная в масштабе, вдвое меньшем, принимается равной
двум. Поэтому длина всей шкалы квадратов, равная 2, изображает
логарифм 100, а длина половины шкалы, равная 1, изображает ло¬
гарифм 10.
471.	Обоснование правил о порядке квадрата числа. При уста¬
новке визира на каком-либо отсчете шкалы D мы получаем отрезок,
длина которого соответствует логарифму ©того отсчета в масштабе
шкалы D, равной единице; в то же время визир на шкале А фикси¬
9*
131

рует отрезок такой же длины, что и на шкале D, но в масштабе,
вдвое меньшем масштаба шкалы D, т. е. отрезку на шкале А соответ¬
ствует логарифм, вдвое больший, чем на шкале D.
Если на шкале D установлено число а, то ему соответствует на
этой шкале отрезок длины lgα, тогда на шкале А числу α2 соответ¬
ствует отрезок длины 21gα, так как lgα2=2 lgα.
Границе разделения шкалы квадратов на левую и правую на
шкале D соответствует отсчет 3 — 1—6, который назовем предельной
чертой.
На шкале D имеется множество пар таких отсчетов, когда один
из отсчетов, входящих в пару, расположен слева от предельной чер¬
ты, а другой справа от неё и каждой такой паре соответствует один
и тот же отсчет квадрата как на левой, так и на правой шкалах
квадратов.
Квадраты с одинаковыми отсчетами на левой и правой шкалах
квадратов отличаются друг от друга тем, что отрезки, соответствую¬
щие логарифмам этих отсчетов, на левой шкале меньше единицы,
а на правой больше единицы и разность между этими отрезками
всегда равна единице.
Из сказанного следует, что и характеристика логарифма числа
и порядок числа, отсчитываемого на правой шкале квадратов, на
единицу больше, чем на левой.
Введем обозначения: Ра — порядок числа а; Pfll — порядок
числа а2. Тогда характеристиками lgα и lgα2 служат Pfl*- 1 и Pat — 1
(см. п. 462).
Исходя из равенства lgα2=21gα, запишем равенство характе»
ристик для каждой из шкал (левой и правой).
1)	Для левой шкалы имеем:
Раг- 1 -2 (Ра - 1); Pat -2Pa - 2+1 ≡2Pβ - 1;
Pβ2≡2Pfl-l.	(13)
Получили правило о порядке квадрата числа для левой шкалы
квадратов.
2)	Для правой шкалы характеристика на единицу больше, чем
для левой, тогда
Pfl2-l-2(Pα-l)+lj Pα,=2Pα-2÷1 + 1 ≡2Pflj
^≡2Pfl.	(14)
Получили правило о порядке квадрата числа для правой шкалы
квадратов.
472.	Обоснование правил о порядке квадратного корня. При
возведении чисел в квадрат было установлено, что квадрат числа Чи¬
тался на левой шкале квадратов, если порядок числа, возводимого
в квадрат, был нечетным числом, т. е. Pfl2≡2Pfl—1, и ответ чи¬
тался на правой шкале квадратов, если порядок числа, возводимого
в квадрат, был четным числом, т. е. Рд2 =2Pa.
Отсюда следует, что для извлечения квадратного корня нужно
подкоренное число установить на левой шкале квадратов, если по¬
рядок подкоренного числа — нечетное число и на правой шкале
квадратов, если его порядок четное число или нуль.
132

Из формулы (13) получаем правило о порядке квадратного корня
из числа, устанавливаемого на левой шкале квадратов (порядок под¬
коренного числа — нечетное число):
pα = (Λz∙÷1)∕2∙	(1б>
Из формулы (14) получаем правило о порядке квадратного кор¬
ня из числа, устанавливаемого на правой шкале квадратов (порядок
подкоренного числа — четное число или нуль):
Pα = Pfl.∕2.	(16)
473.	Обоснование правил о порядке куба числа. При установке
ризира на каком-либо отсчете шкалы D мы получаем отрезок, дли¬
на которого соответствует логарифму этого отсчета в масштабе шка¬
лы D, равном единице; в то же время визир на шкале Д фиксирует
отрезок такой же длины, что и на шкале D, но в масштабе, втрое
меньшем масштаба шкалы D, т. е. этому отрезку на шкале Л соот¬
ветствует логарифм, втрое больший, чем на шкале D.
. Если на шкале D установлено число а, то ему соответствует на
©той шкале отрезок длины lgα, тогда на шкале К числу α3 соответ¬
ствует отрезок длины 3 1gα, так как lgα3 = 31gα.
Кубы чисел с одним и тем же отсчетом на левой, средней и пра¬
вой шкалах К отличаются друг от друга тем, что отрезки, соответ¬
ствующие логарифму этого отсчета на средней шкале Д, на единицу
больше, чем на левой шкале, и на правой — на две единицы больше,
чем на левой шкале.
Пусть Pfl-порядок числа а; Pα8—порядок числа а3. Тогда
характеристиками lga и lga3 служат Р—I и Pa9—1 (см. п. 462).
Исходя из равенства lga3≡31ga, запишем равенство характе¬
ристик для каждой из трех шкал Д.
1)	Для левой шкалы К имеем:
Pa8^l≡3(Pfl-l)j Pa3 =3Pfl — 34-1 ==3Pfl — 2; Pfl,≡3Pfl-2. (17)
Получили правило о порядке куба числа для левой шкалы кубов.
2)	Для средней шкалы Д имеем:
Рд8—1 =3(Pa1)+1; Pfl8=3Pfl-3+l + l=3Pa-lj
Pa,≡3Pfl-l.	(18)
Получили правило о порядке куба числа для средней шкалы
кубов.
3)	Для правой шкалы Д имеем:
Ра, - 1 =3 (Ра - 1 )+2; Pa, =3Pa - 3÷2÷ l =3Pa',
Pa>~Wa.	(19)
Получили правило о порядке куба числа для правой шкалы
кубов.

ПРИЛОЖЕНИЯ
СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
Правила подсчета порядка (значности)
результата вычислений
Порядок произведения двух
сомножителей
при выходе
движка влево
при выходе
движка вправо
PabssPa+Pb
РаЪ — Ра+Ръ — 1
Ра и Рь —порядки сомножителей а и b
Умножение (D и С)
Порядок произведения
п сомножителей
^α1∙∙,α1∙∙∙αn"~	^α1"b∙∙,"∣"^αn Я
Pa , Pa ,∙∙∙tPan — порядки сомножителей a1,
a2t***t ani
q — число выходов движка вправо
Умножение (D и C1)
Порядок произведения
двух сомножителей
при выходе
движка влево
при выходе
движка вправо
Pab=P<ι+Pb — 1
Kb≈Pa+Pb
134

Продолжение
Деление (D и С)
Порядок частного
при выходе
движка влево
при выходе
движка вправо
Ра = Рд	Ръ
b
,Ps=Pa-Pb+l
ь
Ра — порядок делимого а,
∕⅛ — порядок делителя b
Возведение в квадрат
(D и Л)
Порядок квадрата числа
Отсчет квадрата числа получился
на левой шкале
квадратов
на правой шкале
квадратов
∕,02≡2Pα-l
P03-2Pβ
Pa ~ порядок основания а,
Pa2 — порядок квадрата числа а
Порядок квадратного корня
Извлечение квадрат¬
ного корня (Л и D)
Отсчет подкоренного числа произведен
на левой шкале
квадратов
на правой шкале
квадратов
Pβa+1
pβ--
,b½
°	2
Pa2 — порядок подкоренного числа;
Pα-порядок квадратного корня из этого
числа
133

Продолжение
Возведение в куб
(А и Я)
Порядок куба числа
Отсчет куба числа получился
на левой
шкале кубов
на средней
шкале кубов
на правой
шкале кубов
Pfl3=3Pα-2
Pa,=3Pa-l
Pa3≈3Pa
Ра — порядок основания;
Pa, — порядок куба числа
Извлечение кубиче¬
ского корня
(К и D)
Порядок кубического корня
Отсчет подкоренного числа произведен
на левой шкале
кубов
на средней
шкале кубов
на правой
шкале кубов
p-^≤+-2
a~ 3
р ∕∙∙+1
°	3
р*
Р ———
a 3
Раз — порядок подкоренного числа;
Ра — порядок корня из этого числа
Нахождение синусов
углов (S и С)
Порядок синусов углов равен нулю
Нахождение синусов
и тангенсов малых
углов (ST и С)
Порядок синусов и тангенсов углов
равен минус единице
Нахождение тангенсов
(углов) (Г и С)
Порядок тангенсов углов равен нулю

ОТВЕТЫ
37. 1) 3; 2) 2; 3) 1; 4) 4; 5) 2; 6) 1; 7) 3; 8) 5; 9) 2; 10) 6;
11) 0; 12) —1; 13) —3; 14) —1; 15) —2; 16) —3; 17) —2; 18) 0;
19) —4; 20) 0. 39. 1) 43,5; 2) 4350; 3) 0,435; 4) 16 520; 5) 0,000 572;
6) 0,812; 7) 0,000 0304; 8) 0,62; 9) 0,000 209; 10) 1702; 11) 80 600;
12) 0,0006; 13) 0,1001; 14) 0,0489; 15) 524; 16) 0,785; 17) 0,0033;
18) 0,999; 19) 0,00999; 20) 17 000. 41. 1) 51; 2) 4,65; 3) 6,71; 4) 9,7;
5) 2,47; 6) 195; 7) 5,02; 8) 99,4; 9) 51,1; 10) 0,633. 43. 1) 786;
2) 0,483; 3) 0,0000925; 4) 0,00793; 5) 0,00619; 6) 0,00967; 7) 0.00922;
8) 0,0000951; 9) 0,000429; 10) 0,00511. 45. 1) 41; 2) 54,8; 3) 43,7;
4). 16,9; 5) 1,91; 6) 3,84; 7) 0,128; 8) 76; 9) 141; 10) 18,4.
47. 1) 0,182; 2) 0,0155; 3) 0,201; 4) 2,03; 5) 4,38; 6) 0,00173;
7) 0,0146; 8) 0,0318; 9) 0,00473; 10) 0,0000324. 48. 1) 0,0973;
2) 0,0261; 3) 16,2; 4)	1070;	5) 0,0916; 6) 0,211; 7) 0,135; 8)	0,00556;
9) 817; 10) 10. 49. 1)	2,21;	2) 12,6; 3) 0,000605; 4) 0,0256;	5)	1,09.
54. 1) 6,75; 2) 95,1;	3) 0,078; 4) 21,2; 5) 22,5; 6) 22,5;	7)	16,5;
8) 2,88; 9) 5,25; 10)	4,7.	55. 1) 25,2 кг; 2) 250 кг. 56.	1)	3,2;
2)	192; 3)	0,0873; 4) 0,149;	5) 0,536.	58. 1) 1,29; 2) 2,46; 3) 3;
4)	0,0164;	5) 168;	6) 1,78;	7) 4,35;	8) 117; 9) 131;	10) 0,161.
60. 1) 168;	2) 0,039;	3) 0,108;	4) 0,179;	5) 44,5; 6) 0,265;	7) 0,0624;
8)	1060; 9)	193; 10)	0,138. 62. 1) 0,266; 2) 7,7; 3) 89,9;	4) 0,0655;
5) 0,006 83;	6)	0,334; 7) 0,222;	8)	0,00944;	9) 0,0891;	10)51.
64. 1) 83,5;	2)	0,00785; 3)	0,0247;	4) 0,0555;	5) 5,19;	6) 873;
7) 0,000 81; 8) 0,0392; 9) 6,17; 10) 978. 65. 1) 120; 2) 0,0725;
3) 5,94; 4) 0,127; 5) 22,4;	6) 0,08;	7) 3,06;	8)	0,0127; 9) 0,775;
10)	1,41. 66.	1)	155; 2) 75,5;	3) 151; 4) 0,0583;	5)	6,69. 69.	1) 1,16;
2)	1,04; 3) 0,248; 4) 39,8; 5) 0,0805; 6) 8,75; 7) 3,43; 8) 11600;
9) 119; 10) 73,9. 71.	1) 6,86; 2) 3,54;	3) 0,95;	4) 24,2;	5)	2,93;
6) 9,21; 7) 0,00826; 8)	425; 9) 4,7; 10)	82,5. 73. 1) 14,3;	2)	10,4;
3)	1,04; 4) 124; Б)	0,00181; 6) 1120;	7) 11,7;	8) 2,06;	9)	12,2;
10) 0,002 22. 77. 1) 0,935; 2) 0,00908; 3) 0,995; 4) 0,971; 5) 0,069;
6) 99,5; 7) 0,98; 8) 39,2; 9) 98; 10) 0,0689. 78. 1) 11,8; 2) 2,64;
3) 1,03; 4) 0,1770; 5) 9460; 6) 14,3; 7) 92; 8) 1,43; 9) 1,28;
10) 0,000933. 81. 1) 56; 2) 1210; 3) 1,99; 4) 0,265; 5) 0,000152;
6) 0,000783; 7) 0,527; 8) 321; 9) 0,0000844; 10) 5950. 82. 1) 0,0995;
2) 10,1; 3) 1,21; 4) 0,0802; 5) 63,6; 6) 0,0136; 7) 0,596; 8) 45,8;
9) 9,71; 10) 0,0383. 83. 1) 0,0000692; 2) 1,3; 3) 0,696; 4) 0,0214;
5) 83,5. 85. 1) 32,5; 2) 344; 3) 531000; 4) 6,46; 5) 4,84.
86. 1) 12100; 2) 14 000; 3) 390; 4) 0,68; 5) 348. 87. 1) 6,95%;
2)16,7%; 3)11,1%; 4)0,08%; 5) 1380%. 88. 1) 4,48; 2) 334;
3) 10600; 4) 852; 5) 12%. 92. 1) 72,5; 2) 0,618; 3) 17,7; 4) 0,0133;
5) 1,35; 6) 2,47; 7) 0,00225; 8) 0,084; 9) 1,88; 10) 0,227.
94. 1) 7,97; 2) 123; 3) 58,7; 4) 11,7; 5) 1,76; 6) 13,4; 7) 0,98;
8) 14,5; 9) 218; 10) 1,08. 101. 1) 0,0026; 2) 0,0422; 3) 204; 4) 10,5;
6) 0,0125; 6) 168; 7) 0,238; 8) 0,0925; 9) 0,0078; 10) 4,76. 102. 1) 12.4;
2) 16,5; 3) 0,93; 4) 6,26; 5) 95,2. 117. 1) 289; 2) 576; 3) 961;
4) 23 700; б) 41600; 6) 91 200; 7) 0,0324; 8) 0,0729; 9) 0,0912;
137

10) 0,00000841; 11) 0,000676; 12) 0,038. 119. 1) 1850; 2) 7920;
3) 819 000; 4) 265 000; 5) 96; 6) 0,425; 7) 0,102; 8) 25,5; 9) 0,00518;
10) 0,0000168; 11) 1010; 12) 11,1. 120. 1) 2,66; 2) 0,0912; 3) 83,7;
4) 0,0000397; 5) 557; 6) 0,259; 7) 51,7; 8) 0,0000137; 9) 1,02;
10) 1620; 11) 0,00819; 12) 30,8. 122. 1) 3,31; 2) 0,0299; 3) 0,000 114;
4) 0,0404; 5) 0,00000666; 6) 0,00000676; 7) 0,000955; 8) 1,22;
9) 52 000; 10) 149; 11) 8,53; 12) 0,000949. 124. 1) 12,1; 2) 0,564;
3) 0,812; 4) 0,00164; 5) 0,0000444; 6) 0,0000504; 7) 0,00646;
8)181000; 9) 4970; 10)92,7; 11)0,104; 12) 0,00303.125. 1) 357;
2) 18,9; 3) 0,0392; 4) 0,819; 5) 0,0000011; 6) 0,0000365; 7) 0,0433;
8) 9,92; 9) 265 000; 10) 1950; 11) 0,00922; 12) 6300. 126. 1) 416;
2) 1250; 3) 306; 4) 0,0692; 5) 8,88; 6) 0,0231; 7) 38,9; 8) 52; 9) 302;
10) 1,79; И) 705; 12) 0,41. 127. 1) 0,0000038; 2) 0,0906; 3) 0,632;
4) 0,000 458; 5) 3,53. 131. 1) 1.41; 2) 18,6; 3) 0,204; 4) 268; 5) 2,73;
6) 0,0211; 7) 3,16; 8) 2,84; 9) 11,4; 10) 0,183; 11) 0,00138; 12) 3120.
133. 1) 8,56; 2) 7,13; 3) 87; 4) 0,417; 5) 0,938; 6) 0,0768; 7) 0,0086;
8) 33,8; 9) 0,324; 10) 0,0346; 11) 883; 12) 0,00064. 136. 1) 2,89;
2) 6,11; 3) 0,529; 4) 0,269; 5) 0,0583; 6) 0,171; 7) 0,0222; 8) 0,707;
9)	0,0695;	10) 1,36; 11) 0,0047;	12) 0,0344. 137. 1) 28,2;	2)	2480;
3)	0,0754;	4) 0,746;	5) 5,27; 6) 13,5; 7) 0,805; 8) 15,5;	9)	40,7;
10) 3,37; 11) 663; 12) 0,29. 138. 1) 0,0282; 2) 0,00891; 3) 0,945;
4)	28,9; 5) 0,000 206.	152. 1)	1,16; 2) 1,91; 3) 3,18;	4)	5930;
5)	0,0085;	6) 9,26; 7)	1,52; 8)	1370; 9) 1,73; 10) 5,73;	11)	9,8;
12) 1030. 154. 1) 10,4; 2) 12,2; 3) 24,4; 4) 29,8; 5) 29,2; 6) 0,0359;
7) 59,3; 8) 63; 9) 66,4; 10) 97,3; 11) 10,1; 12) 0,097. 156. 1) 104!
2) 121; 3) 130; 4) 0,238; 5) 350; 6) 502; 7) 0,7531; 8) 658; 9) 754 000;
10) 857; 11) 572; 12) 275. 164. 1) 0,176; 2) 0,00000G86!
3) 0,000 000 022; 4) 0,000 000 205; 5) 1 220 000; 6) 593 000; 7) 0,000 081!
8) 0,000 000 857; 9) 0,0000593; 10) 66 400 000; И) 0,0102!
12) 0,000 358. 165. 1) 303; 2) 203; 3) 23,5; 4) 0,0149; 5) 0,032!
6) 14 800;	7) 4070; 8) 167. 166.	1) 0,389; 2) 0,00000593!
3) 0,000 000 016; 4) 0,000 000 104; 5) 0,125. 170. 1) 1,1; 2) 1,45!
3) 16,5; 4) 18,4; 5) 204; 6) 0,171; 7) 0,165; 8) 0,0191; 9) 0,0135!
10) 0,108; 11) 0,212; 12) 19,6. 172. 1) 3,4; 2) 4,3; 3) 36,8; 4) 26,5!
5) 428; 6) 0,282; 7) 0,412; 8) 0,292; 9) 0,0356; 10) 0,0248; 11) 45,5!
12) 0,355. 174. 1) 5,8; 2) 8,9; 3) 49; 4) 59; 5) 670; 6) 0,808; 7) 0,63!
8) 0,0794; 9) 0,07; 10) 0,048; 11) 0,74; 12) 0,646. 177. 1) 2,06!
2) 0,253; 3) 0,0351; 4) 0,993; 5) 3,41; 6) 111; 7) 0,184; 8) 0,0737!
9) 73,7; 10) 0,342; 11) 0,0925; 12) 0,429. 178. 1) 4,13; 2) 347!
3) 2,32; 4) 2,35; 5) 128; 6) 5,63. 179. 1) 0,146; 2) 42,5; 3) 0,383;
4) 0,0701; 5) 0,114. 205. 1) 3,06; 2) 2,98; 3) 11,6; 4) 22; 5) 70;
6) 260; 7) 3800; 8) 5,65; 9) 155; 10) 10 000; 11) 1700; 12) 420.
207. 1) 1,165; 2) 1,228; 3) 1,206; 4) 2,12; 5) 1,455; 6)2,47; 7) 1,302;
8) 1,915; 9) 1,775; 10) 1,231; 11) 1,356; 12) 1,115. 209. 1) 1,0109;
2) 1,0189; 3) 1,0152; 4) 1,0161; 5) 1,028; 6) 1,0322; 7) 1,058;
в) 1,097; 9) 1,074; 10) 1,0103; 11) 1,011; 12) 1,084. 212. 1) 0,0235;
2) 0,00578; 3) 0,79; 4) 0,916; 5) 0,418; 6) 0,975; 7) 0,000 555;
в) 0,0096; 9) 0,976; 10) 0,654; 11) 0,0476; 12) 0,985. 213. 1) 59;
2) 1,279; 3) 0,985; 4) 0,0278; 5) 0,522. 217. 1) 1,07; 2) 1,3; 3) 1,78;
4) 2,8; 5) 3,81; 6) 4,78; 7) 6,85; 8) 8,5; 9) 3,61; 10) 8,15; 11) 4,37;
12) 7,31. 219. 1) 0,104; 2) 0,1354; 3) 0,192; 4) 0,27; 5) 0,438;
6) 0,582; 7) 0,668; 8) 0,956; 9) 0,351; 10) 0,875; 11) 0,967; 12) 0,708.
221. 1) 0,0114; 2) 0,0135; 3) 0,025; 4) 0,0905; 5) 0,04; 6) 0,0774;
7) 0,01025; 8) 0,0558; 9) 0,0643; 10) 0,0735; И) 0,0366; 12) 0,0587.
223. 1) —0,1; 2) —1,61; 3) —3,91; 4) —2,66; 5) —0,17; 6) —1,9;
г 138

7) —5,12; 8) —2,73; 9) —0,79; 10) —5,81; 11) —5,52; 12) —3.
226. 1) 3,06; 2) 5,8; 3) 7,5; 4) 155; 5) 700; 6) 1300; 7) 8500; 8) 44;
9)9,2; 10) 2,86; 11) 14000; 12) 14200. 228. 1) 1,15; 2) 1,19;
3) 1,268; 4) 1,74; 5) 2,62; 6) 2,39; 7) 2,02; 8) 1,228; 9) 1,276;
10) 1,286; 11) 2,26; 12) 1,24. 231. 1) 1,0132; 2) 1,0176; 3) 1,0242;
4) 1,0515; 5) 1,1015; 6) 1,0935; 7) 1,0735; 8) 1,0575; 9) 1,0462;
10) 1,04; 11) 1,0625; 12) 1,031. 233. 1) 0,62; 2) 0,03; 3) 0,052;
4) 0,01062; 5) 0,00525; 6) 0,7; 7) 0,425; 8) 0,168; 9) 0,131; 10) 0,046;
11) 0,00058; 12) 0,001 505. 235. 1) 49 000; 2) 100 000; 3) 650 000;
4) 3 300 000; 5) 270 000; 6) 32 500; 7) 133 000; 8) 27 000. 236. 1) 0,84;
2) 4,52; 3) 420; 4) 1,256; 5) 0,043. 239. 1) 37; 2) 43; 3) 26,5; 4) 400;
5) 41; 6) 4,95; 7) 490; 8) 420; 9) 3,5; 10) 3,14; 11) 8,4; 12) 4,4.
241. 1) 1,7; 2) 2,38; 3) 2,15; 4) 2,5; 5) 1,358 ; 6) 1,242; 7) 1,208;
8) 1,36; 9) 1,123; 10) 1,39; 11) 1,2; 12) 1,63. 243. 1) 1,0775;
2) 1,052; 3) 1,041; 4) 1,02; 5) 1,054; 6) 1,047; 7) 1,07; 8) 1,02;
9) 1,08; 10) 1,1; 11) 1,017; 12) 1,015. 245. 1) 2,44; 2) 1,26; 3) 2,01;
4)17; 5)2,5; 6)2,25; 7) 1,11; 8) 1,165; 9) 1,475; 10) 1,425;
11) 2,64; 12) 2,68. 247. 1) 4,35; 2) 11,4; 3) 66; 4) 4,75; 5) 5,5;
6) 26,5; 7) 6,1; 8) 20,5; 9) 50; 10) 90; 11) 10,2; 12) 7. 249. 1) 1,04;
2 1,029; 3) 1,087; 4) 1,06; 5) 1,06; 6) 1,02; 7) 1,019; 8) 1,013;
9) 1,073; 10) 1,063; 11) 1,091; 12) 1,015. 251. 1) 1,013; 2) 1,017;
3) 1,04; 4) 1,08; 5) 1,085; 6) 1,0725; 7) 1,09; 8) 1,035; 9) 1,018;
10) 1,085; 11) 1,04; 12) 1,09. 253. 1) 8,3; 2) 3,2; 3) 29,5; 4) 3,9;
5) 4,7; 6) 6,7; 7) 3,9; 8) 5,95; 9) 4,3; 10) 10; 11) 33; 12) 12,4.
255. 1) 1,246; 2) 1,52; 3) 1,204; 4) 1,856; 5) 1,42; 6) 1,36; 7) 1,328;
8) 2,28; 9) 1,64; 10) 1,28; 11) 1,7; 12) 2,06. 257. 1) 0,84; 2) 0,98;
3) 0,566; 4) 0,95; 5) 0,55; 6) 0,76; 7) 0,0012; 8) 0,069; 9) 0,77;
10) 0,695; 11) 0,0445; 12) 0,266. 259. 1) 2,56; 2) 81; 3) 20; 4) 1,95;
5) 35; 6) 12. 261. 1) 0,0087; 2) 0,48; 3) 0,945; 4) 0,61; 5) 0,0588;
6) 0,832; 7) 0,96; 8) 0,215; 9) 0,568; 10) 0,422; 11) 0,269; 12) 0,79.
264. 1) 2,15; 2) 0,595; 3) 3,92; 4) 1,288; 5) 1,3; 6) 1,288; 7) 1,23;
8) 1,2; 9) 2,52; 10) 0,0176; 11) 1,05; 12) 47,8. 265. 1) 150; 2) 5,5;
3) 1,52; 4) 0,55; 5) 1,192. 269. 1) 3,5; 2) 1,4; 3) 0,4; 4) 0,431;
5) 0,19; 6) 0,53; 7) 0,0074; 8) 0,03; 9) 0,025; 10) 2,86; 11) 0,364;
12) 0,0342. 273. 1) 2,02; 2) 0,442; 3) 6,15; 4) 16,5; 5) 4,52; 6) 22;
7) 0,134; 8) 0,0216; 9) 0,348; 10) 0,401; 11) 5,25; 12) 0,0441.
277. 1) 3,42; 2) 0,155; 3) 2,44; 4) 135; 5) 17; 6) 46,8; 7) 23,8;
8) 2,22; 9) 20,4; 10) 2,26; И) 103; 12) 13,3. 282. 1) 0,505; 2) 0,92;
3) —0,541; 4) —0,57; 5) 0,353; 6) 3,29; 7) —0,215; 8) 2,31; 9) 0,792;
10) 0,472; И) 13; 12) 0,545. 283. 1) 0,424; 2) —4,36; 3) —0,076;
4) 0,044;	5) 3,38. 289. 1) 1,606; 2) 2,272;	3) 2^305;	4)	0,712;
5) 1,906;	6) 2,881;	7) 1,956; 8) 0,996; 9) 1,486;	10) 1,146;	11)	1,307;
12) 2^,447. 291. 1)	8,55; 2) 30,6; 3) 131; 4) 0,319; 5) 2,11;	6) 0,0441;
7) 330;	8) 8,95;	9) 0,141; 10) 1,61; И)	0,00322;	12)	1300.
293. 1) 63,1; 2) 8,91; 3) 238; 4) 224; 5) 6,73; 6) 1,2; 7) 2570; 8) 11,5;
9) 159; 10) 5,6; И) 1,23; 12) 10,2. 295. 1) 0,0159; 2) 0,000 251;
3) 0,0069; 4) 0,39; 5) 0,00159; 6) 0,316; 7) 0,0064; 8) 0,0794;
9) 0,000 564; 10) 0,83; 11) 0,71; 12) 0,965. 315. 1) 0,344; 2) 0,129;
3) 0,165; 4) 0,161; 5) 0,53; 6) 0,766; 7) 0,899; 8) 0,669; 9) 0,552;
10)0,213; 11) 0,305;	12)0,94. 317.	1)	8°,33;	2)	11°,25;	3)	12°83;
4) 27°,1;	5) 44°,4; 6)	64°,2;	7) 22°,2;	8)	6°,83;	9)	13°,6;	10)	6°,13;
11)	7°,3;	12) 8°,17.	319.	1) 0,878;	2)	0,599;	3)	0,566;	4)	0,212;
5) 0,337;	6) 0,415; 7)	0,985;	8) 0,332;	9)	0,777;	10)	9,951;	11)	0,872;
12)	0,966. 321. 1) 82°,6; 2) 80°,8; 3) 62°; 4) 55°,6; 5) 47°,5; 6) 41°;
7) 29°; 8) 39°,6; 9) 81°,9; 10) 64°,8; 11) 49°,5; 12) 71°,6.
11) 0,872;
12) 710,6.
11) 49°,5;
10) 64°,8;
139

323. 1) 0,105; 2) 0,136; 3) 0,36; 4) 0,477; 5) 0,77; 6) 0,816; 7) 0,857;
8) 0,91; 9) 0,983; 10) 0,238; 11) 0,56; 12) 0,615. 325. 1) 7°,7;
2) 11°,2; 3) 16°,9; 4) 24°; 5) 42°; 6) 35°; 7) 14°,7; 8) 7°,9; 9) 16°,9;
10) 6°; 11) 27°,5; 12) 33°,2. 327. 1) 5,67; 2) 4,33; 3) 1,09; 4) 1,43;
5) 1,15; 6) 1,55; 7) 3,08; 8) 3,73; 9)9,51; 10)9,76; И) 2,58;
12) 1,77. 329. 1) 23°,5; 2) 7°; 3) 12°; 4) 14°,6; 5) 18°; 6) 21°,2;
7) 42°; 8) 26°; 9) 39°,8; 10) 33°,5; 11) 35°,6; 12) 6°,17. 331. 1) 1,15;
2) 2,3; 3) 3,27; 4) 4,33; 5) 7,12; 6) 1,07; 7) 2,19; 8) 5,67; 9) 3,87;
10) 3,4; 11) 1,22; 12) 1,05. 333. 1) 58°; 2) 83°; 3) 76°,5; 4) 65°,9;
5) 75°; 6) 48°; 7) 60°; 8) 64°,5; 9) 70°; ГО) 76°,3; 11) 45°,8;
12) 83°,65. 335. 1) 0,169; 2) 0,176; 3) 0,3; 4) 0,907; 5) 0,966;
6) 0,613; 7) 0,163; 8) 0,138; 9) 0,57; 10) 0,35; 11) 0,486; 12) 0,635.
337. 1) 60°,3; 2) 69°,1; 3) 81°,1; 4) 82°,75; 5) 78°,7; 6) 68°,2; 7) 59°;
8) 54°,6; 9) 48°; 10) 83°,9; 11) 83°,6; 12) 82°,6. 339. 1) 0,0262;
2) 0,096; 3) 0,0541; 4) 0,048; 5) 0,0698; 6) 0,0906; 7) 0,0767;
8) 0,0419; 9) 0,0122; 10) 0,0143; 11) 0,0171; 12) 0,0192. 341. 1) 1°,26;
2) 1°,64; 3) 1°; 4) 0°,9; 5) 4°,1; 6) 5°,1; 7) 2°,86; 8) 3°,44; 9) lo,72j
10) 1°,1; 11) 1°,4; 12) 1°,66. 343. 1) 0,832; 2) 5,63; 3) 8,15;
4) 1,012; 5) 0,72; 6) 0,611; 7) 8,41; 8)_0,295; -9) 0,517; 10)_4,53;
11)_8,19; 12)J,34. 349.	1) М53; 2)	1^548;	3) Ь703;	4) ]_,881;
5) Е942; 6)_2,719. 350.	1) 1,669; 2)	1,268;	3) 1,924;	4) 2,786;
5) 2,543; 6) 2,845. 351. 1)	0,6; 2) 4,48;	3) 18,6; 4) 1,2;	5) —2,92.
353. Λ,1 = l,35j Jfa= 1,75; xs=3,5j x1=5,25. 355.	18 см, 21 см, 30 см,
42 см, 48 см. 356. 1) 3,1; 2) 9,9; 3) 23,2; 4) 40; 5) 8,6; 6) 0,234.
358. 1) 24°,7; 2) 11°,4. 362. 1) α=4,82, 6-11,6, 4=22°,5,
2) a=4,87, 6=6,65, В=53°,7; 3) a=131, 6 = 172, В=52°,7;
4) a=19,l, 6=21, 4=42°,3; 5) a=202, 6 =254, В=51°,5; 6) а=276;
6 =665, 4=22°,5; 7) a=0,336, 6 = 0,466, B=54°,2j 8) a=980,
6 = 792, 4=51°, 1; 9) a=0,596, 6 = 5,97, В=84°,3; 10) a=23,8,
6 = 247, B=84o,5. 364. 1) a=13,5, c=15,8, В = 31°,7; 2) a=1200,
c=1260, B=17o,8,∙ 3) 6 =980, c=1210, В=54°,3; 4) 6 =386, c=1260,
4=72°,2; 5) а=131; c=148, В=28°; 6)6=72,4, с= 186, 4 =67°,1;
7) 6 = 0,759, c=l,03, В=47°,5; 8) a=5,43, c=6,85, 4=51°,6;
9) 6=76,8, с=77, В=84°,9; 10) a=283, c=284, 4 =85°.
367. 1) c=36,6, 4=38°,7, B=51o,3j 2) c=34, 4=56°,8, В=33°,2;
3) c=8,25, 4 = 53°,8, В=36°,2; 4) c=48,l, 4=67°,7, В=22°,3;
5) c=43, 4 =80°,8, В=9°,2; 6) c=12,6, 4=22°,7, B=67°,6,∙
7) c=0,774, 4 =33°,6, B=56°,4j 8) c=675, 4 = 56°,9, В=33°,1;
9) c=67,2, 4 = 13°,45, В=76°,55; 10) c=76,8, 4=3°,17, B=86°,83.
369. 1) a=25,8, 4 = 52°,3, В=37°,7; 2) a=43,3, 4 =63°,5, В=26°,5;
3) 6 = 147,	4=44°,9,	В=45°,1;	4) a=43,3,	4=63°,4,	В=25°,6;
5) 6 =376,	4 = 72°,2,	В=17°,8;	6) 6 = 18,6,	4=56°,8,	В=33°,2;
7)	a=578,	4 =45°,1,	В=44°,9;	8) a=0,542,	4 =49°,5,	В=40°,5;
9)	6 = 23,3, 4=50°,7, В=39°,3; 10) 6=73,6, 4=5°,5, B=84°,5.
370. 1) a=109, 6=106, 4 =45°,8; 2) а= 171,5, c=186,l, B=22°,9,∙
3) c=32,5, 4 = 52°,4, В = 37°,6; 4) 6 =601, 4 = 28°,6, В=61°,4;
5) a=2,33, 6=24,6, B=84o,6. 375. 1) a=76,9, 6=88,6, С=67°,5;
2) 6=56,4, c=74,2, С=79°,3; 3) a=264, 6=212, С=64°; 4) а=40,
с=17, С=20°; 5) 6=26,1, c=62,2, В=22°,3; 6) a=55,l, c=70,6,
C=80°,3j 7) a=397, o=337, 4=68°,8; 8) o=0,662, c=0,696, В=49°,1;
9) 6=528, c=563, В=50°; 10) a=80,l, 6=41,8, 4 = 170°.
378. 1) c=43,5, 4 =75°,7, В=55°,9; 2) 6 = 748, 4 =29°,4, С=77°,8;
3) a=10,8. 4=5°,6, С=141°,7; 4) 6 = 0,539, 4 = 19°,4, С=135°,7;
5) a=61,3, B=25°,2, С=36°,6; 6) c=12,3, 4=37°,5, В=22°,5;
140

7)α=792, В=19°,1; С --45с,9; 8) 6=0,447, А -51°, C = 100°6∙
9) с-1020, Λ = ll°,9, В = 17°,5; 10)α = 0,791, β=7°,l, С 168° 1’
382. 1) c = 355, B = 44°,4, С = 66°,1; 2) α = 6,52, 4=105°, С = 29°’|;
3) с-787, B = 61°,9,	С=73°,6; с-245, B = 118°,l, С=17°’4;
4) α=41,2, 4 = 116°,1, C=38o,3,∙ α=10,l, 4 = 12o,7, C=14l°J∙
5) 6=0,897, 4 = 13°,9, В=143°,7; 6) α=80,3, 4 = 168°,6, В = 6° 8:
α = 15,6, 4 = 2°,2, β = 173°,2j 7) c=254, B=44°,4, С=65°,1; 8) 0=125’
4 = 7°,7, В = 31°,1; 9)α=13,2, 4 = 166°,5, C=8°,3,∙ α=3,07, 4 = 3°,1,
С-171°,7; 10) 6 = 140, 4 = 27°, B=32°,6. 385. 1) 4 = 67°,3, B = 54°,6,
6=58°; 2) 4 = 50°,3, B=49°,4, С=80°,3; 3) 4=62°,4, B=49°,l,
C = 68°,5j 4) 4=4°,7, B = 50o, С=125°,3; 5) 4 = 170°, B=5o,2,
С = 4°,8; 6) 4=67°, B=50o,4, С=62°,6; 7) 4 = 13°,5, β=4°,9,
С=161°,6; 8) 4 = 29°,4, β = 72o,8, С=77°,8; 9) 4 = 118°,2, S=25°,2,
С=36°,6; 10) 4 = 115°, B = 19o,l, C=45°,9. 386. 1) 6 = 48,2, c=43,5,
С=48°,4; 2) α=769, β=62o,3, С=67°,5; 3)c=2,56, B=48°,l, С = 64°;
4) c=430, B = 73°,2, С = 50°,3; c=161, B=106°,8, С=16°,7;
5) 4 = 105°, β=45o,9, C=29o,l. 391. 1) 0,492; 2) 1,525; 3) 0,0506;
4) 0,206; 5) 2,09; 6) 0,014; 7) 0,0061; 8) 0,0151;	9) 0,00577;
10)	0,0161. 393. 1) 9°,8; 2) 76°,2; 3) 84°,8; 4) 45°,2; 5) 3°; 6) 0°,9;
7) 0°,2; 8) 89°; 9) 23°,6; 10) 0°,25. 395. 1) 2,92; 2) 39,3; 3) 14,1;
4) 1,27; 5) 80,5; 6) 6,76. 397. 1) 4,74; 2) 2,12; 3) 28,8; 4) 1,12:
5) 0,145;	6) 0,0545. 399. 1) 13,3;	2) 204;	3) 0,092; 4) 35,8;	5) 423;
6) 0,127.	401. 1) 58,5; 2) 7,01;	3) 9,85;	4) 0,82; 5) 3,33;	6) 3,45.
403. 1) 178; 2) 45 500; 3) 0,275; 4)	8,08; 5)	923; 6) 5840 . 405.	1) 3,58;
2)	5930;	3) 0,0125; 4) 33 700; 5)	114; 6)	871. 407. 1) 628;	2) 255;
3)	6,89; 4) 342 000; 5) 272; 6) 95,8. 409. 1) 95,2; 2) 0,32; 3) 53 600;
4) 206; 5) 240 000; 6) 0,0457. 411. 1) 53,8; 2) 356; 3) 0,824; 4) 8,23.
413. 1) 6380; 2) 57,1; 3) 0,0166; 4) 130 000. 415. 1) 33,8; 2) 670;
3) 2,46; 4) 263; 5) 2660; 6) 4,91. 417. 1) 27,6; 2) 2480; 3) 0,00779;
4) 0,253; 5) 283; 6) 40 200. 418. 1) 14,2; 2) 29,5; 3) 11,3; 4) 38,9;
Б) 951. 422. 1) 0,382; 2) 0,92; 3) 0,0162; 4) 0,105; 5) 0,376;
6) 0,00875;	7) 0,00585;	8) 0,1765;	9) 0,695;	10) 0,0312.
428. 1) z=7,55 e7'20°j 2) z=94 e7'30°∙8j 3) z=39,l е79’-2; 4) г =
= 1,44 √ 39°∙8j 5) z=843 ez∙23*∙8j 6) z=0,725 ег'41"-2; 7) г =
=0,156 в6430’6;	8) z=770 e'∙°°-9,∙	9) z=5,05 √∙5°∙5.,
10) z=530 e7*0°.	430. 1) z=6,4 е7-|41°’3;	2) z=660 √∙165-,25;
3)	z=38,5 e6,49°∙5j 4) z=14,9 е7'146’-4; 5) z=150 е7‘140°; 6) г=
= 3,14 √∙174°,∙	7) z=5,46 ?-’75°-9;	8) z=531 c7∙154°∙5j 9) г=
=24,1 е7’179’;	10) z=2,16 ez',76°∙03.	432. 1) z=1282 eh220°i
2) z≈157 e7',88°∙ 25; 3) z=128 e7'223°5 4) z=0,793 с'’200’; Б) г=
=28,4 e7'196°∙5j 6) z = 13,9 е7,211’; 7) z = 115 e7'182° *5; 8) г =.
= 16,7 e7'181°'59;	9) z=414 е7'185’’3;	10) г-9,81 e7' 184°∙f2∙
434. 1) z=73,5 е7’319’-6; 2) z=1480 е7' 346’;	3) z=173 e7,3b4°l
4)	г= 12,1 e7'3l8°, 2;	5) z=0,867 e7' 339°;	6) z=6,58 е7’322”-4!
7)	z=9,35 e7'320°j 8) z=186 е7’359°;	9) z=86,9 е7'358’;	10) г =
= 86,4 с7’357’. 435. 1) z=14,8 е7’149’16; 2) z=7,04 e7'320°,∙ 3) г=
= 15 е7’20’; 4) z = 950 ei' 190°j 5) z=160 е7,358°; 6)z=0,895 ei' 40°i
7) z=785 e7,'83∖ 8) z=156 в7,170’; 9) z=797 е7’5’; 10) г=
-177√∙200°. 439. 1) z=195 е7'50’*4; 2) z=9,45 е7‘58°; 3) г-
=73,4 e7'57°j	4) z = 25,8 e7∙79°∙9j	5) z=13,8 е7'54’-4;	6) г-
141

=88,8 ez'65*j 7) z=l,04 ez,4β°j 8) z=74,l е' 88’; 9) z=73,5ez'8β*∙7l
10) z=12,8 ez'86°.	441. 1) z=6,47 ei'121	2) z=9,17 et l3l°',
3)	z=2,02 ei'100°j 4) z=12,6 et' l,4∖ 5) z=7,59 ei' ,22°; 6)г-
=7,ЗеИ02’;	7) z = 16,7 е' 98’;	8) z=173 е'-91*;	9) г =
=79,5ez'90°,8ι	10) z=900 е695’.	443. 1) z=7,33 e''234°"4J
2) z=476 еЛ248*'9; 3) z=156 е'’250’;4) z=13,l ez,229°∙2j 5)г =
=95,5 ez'261°,8ι 6) z = 143 е6226’-6; 7) z=53,9 ?’256’>8; 8) г =
= 153 e1'268°j 9) z=58,5 <Л267’-8; 10) z=70,4 e',230°. 445. l)z=
=7,92 βz'301°∙6!	2) z=5,02 √'295°∙5,∙	3) z=61,8 et' 285°∙81
4)	z=238 ez'285°,8j б) z=44,3 e,∙281*j	6) z=7,29 √∙299°∙3.∙
7)	z=985 ez'305°j 8) z=0,961 ег’277*; 9) z=73,5 ez'273∖ 10) г =
=187 e''271°. 446. 1) z=15,2 eh 28°; 2) z=9,36 √,63'∙2; 3) г =
= 12,7 ez l37°∙6j 4) z=130 ez'102*,8j	5) г= 121 et' |94°; 6) г =
=0,9 ez'333°j 7) z=16,8 е1',250°; 8) z = 12,l βz'317∖ 9)z=123ez'3°J
10) z=785 ez'275*.	447. 1) z≈8,28 ?’73’;	2) z=87,l ez'334∖
3) z=2,l ez'98° ;	4) z = 10,9 ez∙217°∙βι	5) z=163 ez'269°∙1 •
458. I) г=—19,3—10,97; 2) z = 2,34—8,327; 3) z=0,581+0,4347;
4) z= 13,3+29,27; 5) г=—28,8—2,017; G) z=20,2-3867; 7) г =
=4,42+13,67; 8) z = -69,2+37,17; 9) г=—31,2—34,67; 10) г =
=24,5—5,237. 459. 1) z≈21,8+29,47;	2) г = 12,7+40,87; 3) г =
=—5,55+2,497; 4) г=—7,43—3,327; 5) z⅛=117+6,147.

СОДЕРЖА»И Е
Предисловие . • « • . * ....... ,	3
Глава 1. Основные сведения
об устройстве логарифмической линейки
§ 1.	Краткая характеристика современных логарифмических
линеек	   5
§ 2.	Основные части счетной 250-миллиметровой логарифмиче¬
ской линейки и ее шкалы	 6
Глава //. Вычисления с применением основной шкалы (D и С)
§	3. Устройство основной шкалы (О и С)	 8
§	4.	Установка и чтение чисел на основной шкале (D и С) .	.	10
§	5.	Понятие о порядке числа	12
§	6.	Умножение двух чисел	  14
§	7.	Последовательное умножение ряда чисел	17
§	8.	Деление .	 19
§	9.	Комбинированное умножение и деление	22
§	10.	Процентные вычисления	  30
Глава III. Вычисления с применением обратных шкал (Ci и Di)
§ 11. Вычисления с применением обратной шкалы Cι (на
19-шкальной линейке)	  32
§ 12.	Вычисления с применением обратной шкалы Di .	34
Глава IV. Вычисления с применением шкалы квадратов (А и В)
§ 13. Устройство шкалы квадратов (4 и В) ...... 35
§ 14. Возведение чисел в квадрат	37
§ 15.	Извлечение квадратного корня »	,41
Глава V. Вычисления с применением шкалы кубов (К)
§ 16.	Устройство шкалы кубов (К) .......	.	46
§ 17.	Возведение чисел в куб	  48
§ 18.	Извлечение кубического корня	63
Глава VI. Вычисления с применением шкал показательной
функции ех (двойных логарифмических шкал) LL∖t LL2
и LL3 на 19-шкальной линейке
§ 19.	Устройство шкал LL↑t LL2t LL3 .	  59
§ 20.	Вычисление числовых значений показательной функции еж 62
§21. Нахождение натурального логарифма числа и числа
по его натуральному логарифму .......	64
§ 22.	Возведение чисел в степень .........	69
§ 23.	Показательные уравнения 		  77
Глава VII. Вычисление десятичных логарифмов
§ 24.	Устройство шкалы мантисс логарифмов (!) ....	81
§ 25.	Вычисления с применением шкалы Ь ∣ « . . .	81
143

Глава VIII. Вычисления с применением тригонометрических шкал
(S, Т и ST)
§ 26.	Устройство тригонометрических шкал ....»,	84
§ 27.	Тригонометрические вычисления (шкалы $, Т и ST) . .	87
§ 28.	Вычисление натуральных и десятичных логарифмов три¬
гонометрических функций	  .	.	93
Глава IX. Решение пропорций.
Решение прямоугольных и косоугольных треугольников
§ 29.	Решение пропорций	  95
§ 30.	Решение прямоугольных треугольников .	.	.	»	96
§31.	Решение косоугольных треугольников	100
Глава X. Решение геометрических задач
§ 32.	Перевод градусной меры в радианную и обратно . i . 107
§ 33. Вычисление длины окружности и площади круга ... 109
| 34. Вычисление площади поверхности и объема куба .	.	.	111
§ 35.	Вычисление площадей поверхностей и объемов круг¬
лых тел 		  111
Глава XI. Вычисления с комплексными числами
§ 36.	Способ деления двух чисел при отсчете частного
на шкале С	114
§ 37.	Преобразование комплексного числа из алгебраической
формы в показательную	.115
§ 38.	Преобразование комплексного числа из показательной
формы в алгебраическую  	123
Глава XII. Обоснование устройства логарифмической линейки
§ 39.	Понятие о построении основной шкалы линейки . . .127
§ 40. Умножение двух чисел ..........	129
| 41. Деление	.	130
§ 42.	Шкала квадратов и шкала кубов .......	131
Приложения. Справочные таблицы	134
Ответы . 1 . . .	137
Николай Васильевич Богомолов
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ О ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКОЙ
Редактор Д. М. С У X о Д с к и ¾. Художественный редактор В. И. Понома¬
ренко. Технический редактор Н. А. Битюкойк. Корректор В. О р-
л о в а
ИВ № 2165
Изд. № ΦM-r692t Сдано в набор 12.12.79, Подп. в печать 08.05.80.
Формат 84×1O0,∕32.1 Бур. фирс^ая кн.-журн. Гарнитура литературная. Печать
высокая. Объем 7,56 уел, печ. л. Уч.-изд, л, 7,07x Тираж 350 000 экз. Зак. № 733.
Цена <20 коп.
Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Типография изд-ва «Уральский рабочий», Свердловск, просп. Ленина, 49.