msh1935-6

Similar

Элементарная геометрия. Часть 1. Планиметрия.

Что такое неэвклидова геометрия

Математические работы

Геометрия. Часть вторая. Стереометрия. 9-10 класс

Text

ЛЕН HE НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ LLI КОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР *

ATEMATHKAs
И ФИЗИКА
( _ .....
УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

I
I

М АТ ЕМ АТ И К А

НОЯБРЬ 1935 ДЕКАБРЬ

СУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

НАУЧНЫЙ И НАУЧНО - ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ОЧЕРКИ ПО ГЕОЧЕТГПИ ЛОБАЧЕВСКОГО
м

Проф. Н. НОВ ЛЕВ (Москва)

Очерк первой

Геометрия Лобачевского считается одной
из самых трудных областей математики. Проис-
ходит это оттого, во-перзых, что многие
свойства пространства Лобачевского прямо
противоположны наиболее „очевидным" свой-
ствам пространства Эвклида, к которым мы
настолько привыкли, что отрицание их кажет-
ся абсурдным, а существование простран-
ственных форм, обладающих такими „отри-
цательными" свойствами, — немыслимым и
противоречащим всякому здравому смыслу
и очевидности. Доказательства же всех этих
свойств, самые строгие, кажутся вначале про-
сто математическими фокусами и софизмами.

Недаром сам Н. И. Лобачевский назвал
сначала свою геометрию „воображаемой гео-
метрией". Между тем, без знания элементов
геометрии Лобачевского нельзя понять и основ
геометрии Эвклида. Однако, эта абсурдность
геометрии Лобачевского исчезает, если по-
дойти к изучению этой геометрии несколько
с иной стороны, и вместо того, чтобы сразу
„строго" доказывать все эти свойства, начать
изучение ее с разбора некоторых из попыток
доказать „постулат Эвклида" о параллель-
ных линиях, на отрицании которого постро-
ена геометрия Лобачевского; при этом нас
будут интересовать, главным образом, не самые
доказательства, а те „самоочевидные истины"
и часто скрытые допущения, на которых все
эти доказательства основываются.

Другой причиной „непонятности" геомет-
рии Лобачевского служит относительная слож-
ность и трудность ее построений и выводов
по сравнению с геометрией Эвклида.

§ 1. Как известно, в основе геометрии
Эвклида лежат определения, постулаты и
аксиомы — общие и собственно геометриче-
ские. Приняв их за истинные, геометрия вы-
водит из них все остальное свое содержание
как необходимое следствие.

У Прокла (IV в. нашей эры) дано три
разных определения аксиомы и постулата.

Согласно первому определе-
нию, различие между аксиомой и постула-
том такое же, как между теоремой и задачей.
Постулат только утверждает возможность того
или иного основного построения; все
остальные построения приводятся к тем ос-
новным, возможность которых допускается
постулатами.

По второму определению, пост)-
лат есть недоказуемое предложение геомет-
рического характера, аксиома же относи гея
вообще к величинам.

По третьему определению (Ари-
стотеля), аксиома есть то, что истин-
но само по себе, в силу самого
значения слова; постулат же, не
обладая очевидностью аксиомы,
принимается на веру в силу необ-
ходимости.

Это определение Аристотеля было принято
до последнего времени. Но в настоящее время
очевидность уже не считается необхо-
димым признаком аксиом, и за аксиомы гео-
метрии (или другой науки) принимают сово-
купность истин, выбранных таким образом,
чтобы число их было возможно меньше и
чтобы из них наиболее просто и строго
выводилось все остальное содержание гео-
метрии (или другой науки). При этом аксиомы
должны удовлетворять трем условиям:

1) непротиворечивости: аксиомы
не должны противоречить друг другу;

2) независимости: аксиомы дол-
жны быть совершенно независимы одна от
другой;

3) постулату полноты: аксиом
должно быть достаточно для того, чтобы все
остальное содержание геометрии (или дру-
гой науки) можно было вывести из них и из
определений и доказать чисто мате-
матически.
Тут возникает вопрос: что называет-
ся математическим доказатель-
ством?

Для математического доказательства како-
го-нибудь положения не нужно никаких опытов,
наблюдений или приборов. Различные вычис-
ления и геометрические построения также не
вполне определяют математический характер
доказательства.

> В самом деле, в математике сплошь и
рядом доказывают теоремы, не производя
никаких вычислений и геометрических по-
строений.

С другой стороны, при многих дока-
зательствах путем опыта и наблюдения поль-
зуются очень часто весьма сложными мате-
матическими вычислениями и построениями,
но это еще не делает самые доказательства
математическими.

Математическое доказательст-
во представляет из себя цепь вы-
числений, геометрических постро-
ений и логических умозаключе-
ний, которые основываются на
определениях, постулатах и акси-
омах, а также на теоремах, ранее
математически доказанных на ос-
новании исходных определений
и аксиом.

Математические вычисления и преобразо-
вания формул представляют из себя те же
логические умозаключения, только записан-
ные в символической форме.

§ 2. В основание своих „Начал геомет-
рии" Эвклид положил следующие аксиомы
и постулаты.

Требования (Postulate)

Допускается: 1) что от одной точки
до другой какой-нибудь можно провести
прямую;

2) что конечную прямую можно продол-
жить неопределенно;

3) что из какой-нибудь точки, как из
центра, произвольным радиусом можно опи-
сать круг.

АкСЦоЖЫ

1. Величины, равные одной и той же
величине, равны между собой.

2. Если к величинам равным придадим
величины равные, то суммы получим равные.

3. Если от величин равных отнимем вели-
чины равные, то остатки получим равные.

4. Если к величинам неравным придадим
величины равные, то суммы их получатся
неравные.

5. Если от величин неравных отнимем вели-
чины равные, то остатки получим неравные.
4

6. Величины, двойные одной и той же
величины, равны между собою.

7. Половины одной и той же величины
равны.

8. Величины, которые по наложении сов-
мещаются, равны между собой.

9. Целое больше своей части.

10. Все прямые углы равны между собой.

11. Если две прямые линии пересекаются
третьей так, что сумма внутренних углов,
лежащих по одну сторону третьей, меньше
двух прямых углов, то две прямые, по до-
статочном продолжении, встретятся по ту
сторону третьей прямой, на которой сумма
внутренних углов меньше двух прямых.

Короче эту аксиому можно выразить так:

Если сумма внутренних односторонних
углов меньше 2d, то прямые пересекаются.

12. Две прямые линии не могут заключать
пространства.

Аксиомы 1—7 и 9 называются общими,
так как относятся вообще к величинам, аксио-
мы же 8, 10, 11 и 12, определяющие свой-
ства пространства, называются геометри-
ческими. Первые 28 предложений „Начал"
Эвклида доказаны им без помощи 11-й
аксиомы, или так называемого „V постулата
Эвклида", и потому определяют свойства,
общие и эвклидову пространству и простран-
ству Лобачевского, построившего свою гео-
метрию на отрицании постулата Эвклида.

Кроме перечисленных, мы будем в даль-
нейшем изложении пользоваться так назы-
ваемой „аксиомой Архимеда".

Аксиома Архимеда. Как бы ве-
личина а ни была мала по сра-
внению с однородной ей величи-
ной А, но, повторив ее (а) слагае-
мым достаточное число (л) раз, мы
всегда получим величину па~^> А.

§ 3. В планиметрии без помощи
постулата Эвклида доказываются
следующие теоремы:

1. Теоремы об измерении отрезков, дут
и центральных углов.

2. Теоремы о смежных и вертикальных
у1лах.

3. Условия равенства треугольников и
противоположные им теоремы.

4. Теоремы о перпендикуляре и на-
клонных.

5. Теоремы о хордах и их расстояниях
до центра; о касательной и ее перпендику-
лярности с радиусом точки касания.

6. Условия пересечения прямой и окруж-
ности и двух окружностей.

7. Прямые теоремы о параллель-
ных линиях.
Прямые линии параллельны:

а) если внешние (ил« внутренние) накрест-
ле^кащие углы равны;

б) если соответственные углы равны;

в) если сумма внешних ('или внутренних)
односторонних углов pai на 2d.

Но доказательство обратных
теорем о параллельных линиях
без постулата Эвклида уже не-
возможно.

В стереометрии без помощи посту-
лата Эвклида доказываются:

1) теоремы об определении плоско-
сти тремя ее точками, о пересечении двух плос-
костей, имеющих одну общую точку, и плос-
кости с прямой, имеющей с ней общую точку;

2) теоремы о плоскостях и прямых, пер-
пендикулярных между собою, и о перпенди-
кулярах и наклонных к плоскости;

3) теоремы о двугранных углах (линей-
ном измерении их углами, о смежных и
вертикальных двугранных углах) и некото-
рые другие.

Замечание. Теорема о том, что „внеш-
ний угол треугольника более каждого из
двух внутренних, с ним не смежных", дока-
зывается без постулата Эвклида, но то, что
внешний угол треугольника равен сумме внут-
ренних с ним несмежных, а сумма всех внут-
ренних углов треугольника равна 2d, дока-
зать без помощи постулата Эвклида невоз-
можно. Можно только доказать, что сумма
внутренних углов треугольника
не может быть более 2d (см. ниже
„Первая теорема Лежандра")..

§ 4. Постулат Эвклида очень часто упот-
ребляется в несколько иных формах.

1. Перпендикуляр и наклонная
к одной и той же прямой всегда
пересекаются.

Этот постулат есть непосредственное
следствие постулата Эвклида. В самом деле,
сумма внутр< нних односторонних углов, обра-
зуемых прямой АВ с перпендикуляром ВВ’
и наклонной к ней АА', будет меньше 2d,
а потому АА' и ВВ’ должны пересечься.

2. Через точку вне данной пря-
мой можно провести только одну
прямую, параллельную этой пря-
мой.

В этой форме постулат Эвклида обык-
новенно и приводится в учебниках, а самый
постулат доказывается, как теорема.

§ 5. 11-ю аксиому Эвклид ввел потому,
что без нее невозможно доказательство тео-
рем, следующих за первыми 28.

Однако постулат Эвклида не обладает
совершенно той очевидностью, как осталь-

ные его 11 аксиом. По всей вероятности, это
обстоятельство явилось причиной того, что
геометры, в том числе самые знаменитые,
в течение двух тысячелетий напрягали все
усилия доказать постулат Эвклида при помощи
остальных аксиом его „Начал".

Несмотря на неверность всех этих дока-
зательств, рассмотрение постулатов, на кото-
рых они основаны, может принести очень
большую пользу при изучении начал геометрии
Лобачевского. Дело в том, что каждое такое
доказательство, в конце концов, основыва-
лось на каком-нибудь „очевидном" свойстве
пространства, а это свойство, на самом деле,
оказывалось само следствием постулата Эв-
клида. Таким образом, все эти доказательства
содержат „порочный круг".

Но раз из какого-нибудь свойства про-
странства вытекает постулат Эвклида, и,
наоборот, это свойство является следствием
постулата Эвклида, то ясно, что пространство,
не удовлетворяющее этому постулату, должно
обладать как раз свойствами противополож-
ными.

Это вытекает из того, что, „если спра-
ведливы теоремы — прямая и обрат-
ная ей, то должны быть справед-
ливы и противоположные им тео-
ремы".

Например, в геометрии Эвклида доказы-
вается, что:

Теорема 1. Если справедлив постулат
Эвклида, то сумма внутренних углов во всяком
треугольнике равна 2d.

Докажем, что справедлива

обратная теорема 2. Если сумма
углов треугольника равна 2d, то постулат
Эвклида справедлив, т. е. сумма внутренних
односторонних углов, полученных от пере-
сечения двух не встречающихся линий третьей,
равна 2d.

Для доказательства этой теоремы допустим,
что она неверна, и покажем, что подобное
допущение приведет нас к нелепости.

В самом деле, возьмем две не пересе-
кающиеся прямые АВ и CD, пересечем
их третьей прямой АС и допустим, что сум-
ма внутренних односторонних углов ВАС и
АСЕ меньше 2d, т. е. (рис. 1).

Z_BAC-\-/_ACE = 2d — a, где а>0. (1)

Затем проведем через точку С другую
секущую СВ так, чтобы она образовала

с АВ /_СВА~а... (2)

По условию теоремы, сумма внутренних
углов в треугольнике равна 2d, а потому

/_ВАС-\-/_ АСВ-\- £CBA=2d. (3)
б
Подставляя сюда вместо 2d их значе-
ние из равенства (1), получаем:

/ вдс-}- лев 4- z св а = вас±

откуда по сокращении находим:

/ А СЕ = /_ А СВ + (/ СВ А - а).

Но равенство (2) показывает, что разность
углов СВ А — а = 0, а Потому

/ АСЕ = / АСВ,

т. е. целый угол АСЕ равен своей части —
углу АСВ, что невозможно. Таким образом,

ваше предположение, что теорема неверна,
привело к отрицанию одной из аксиом: целое
больше своей части. А так как из истин-
ного положения нельзя вывести ложного
заключения, то, стало быть, наше предположе-
ние неверно, а верна теорема прямая (1) и
обратная ей (2); следовательно, должны быть
справедливы и противоположные им теоремы:

Теорема 3 (противоположная!).
Если постулат Эвклида неверен,
то сумма углов в треугольнике не
равна 2d.

Теорема 4 (противоположная 2).
Если сумма углов в треугольнике не равна 2d,
то постулат Эвклида не имеет места.

Поэтому предложение: „Сумма углов
в треугольнике равна 2d“ равно-
сильно постулату Эвклида.

Следствие. Предложение: „Сум-
ма углов в четы реугольнике рав-
нa 4d“ также равносильно посту-
лату Эвклида.

Перейдем теперь к рассмотрению „дока-
зательств" постулата Эвклида.

§ 6. Возьмем, например, доказательство
Джона Валлиса (1616 — 1703 гг.), ко-
торый принял за очевидное, что „для
каждой фигуры’можно построить
подобную ей фигуру произволь-
ной величины" (рис. 2).

В самом деле, нам надо доказать, что
две прямые А А’ и ВВ' непременно
6

пересекутся, если сумма внутренних одно-
сторонних углов а и р, полученных от пере-
сечения этих линий третьей прямой АВ, мень-
ше 2d. Чтобы доказать это, Джон Валлис,
оставляя угол [J неизменным, передвигает пря-
мую ВВ' к АА' до тех пор, пока она не
пересечет АА' в какой-нибудь точке D. Так
как, согласно допущению Валлиса, для тре-
угольника ADC можно построить подобный
треугольник любой величины, то таковым
может 'быть треугольник, построенный на
основании АВ со сторонами АА' и ВВ',
образующими с АВ углы а и р. Отсюда
следует, что АА' и ВВ' непременно пересе-
кутся, если a-|-p<C2d, что и требовалось
доказать.

Итак, справедлива следующая

1-я теорема. Если для каждой фигуры
можно построить подобную ей фигуру любой
величины, то постулат Эвклида справедлив.

Но из геометрии Эвклида мы знаем, что
справедлива —

2. Обратная теорема. Если верен
постулат Эвклида, то для каждой фигуры
можно построить подобную ей фигуру любой
величины.

А раз справедливы теоремы — прямая
и обратная ей, то должны быть справед-
ливы и противоположные нм тео-
ремы:

3. Если подобных фигур не существует,
то постулат Эвклида несправедлив.

4. Если постулат Эвклида не-
справедлив, то подобных фигур
быть не может.

§ 7. Прокл (410—485 гг.) доказывает
постулат Эвклида, принимая за очевидное та-
кое предложение:

Расстояние между параллель-
ными прямыми АВ и CD конечно.

В самом деле, без постулата Эвклида до-
казывается теорема: „Если сумма внутренних
односторонних углов ACD и САВ равна 2d,
то прямые АВ и CD не пересекутся".

Чтобы доказать постулат Эвклида, доста-
точно показать, что всякая прямая АЕ, про-
веденная внутри угла САВ, пересечет прямую
CD (рис. 3).

Но АЕ должна пересечь CD, так как
стороны / ВАЕ расходятся до бес-
конечности, а расстояние между АВ и CD
— конечно.

Из геометрии Эвклида мы знаем, что рас-
стояние между двумя параллельными линиями

везде одинаково и потому конечно Сле-
довательно, на неэвклидовой плоско-
сти, где постулат Эвклида не имеет
места, расстояние между двумя не-
пересе кающимися линиями, при
их продолжении в одну и ту же сто-
рону, вообще может быть сделано
сколько угодно большим.

§ 8. Нассир-Эддин (1201 — 1274 гг.),
арабский математик, основывает свое дока-
зательство на таком „очевидном" свойстве
перпендикуляра и наклонной:

„Перпендикуляр и наклонная к
данной прямой сближаются в од-
ном направлении и расходятся до
бесконечности в другом".

Мы не станем здесь приводить доказатель-
ства Нассир-Эддина, потому что из его допу-
щения непосредственно вытекает положение,
равносильное постулату Эвклида, а именно,"
что сумма углов в четы реуголь-
нике равна 4rf (рис. 11)

В самом деле, восстановим к прямой АВ
с одной ее стороны два равных перпендику-
ляра ВС и AD и соединим их концы С и D.
В полученном четыре} гольнике углы ADC
и BCD должны быть, очевидно, равны.

Но, кроме того, они должны быть и пря-
мы е. В самом деле, если бы они были острые,
то AD и ВС не могли бы быть равны в силу
допущения Нассир-Эддина.

Отсюда заключаем, что:

Если постулат Эвклида неспра-
ведлив, то перпендикуляр и на-
клонная могут иногда сближаться
до известного предела, а потом
снова расходиться.

Легко видеть, что на нашем чертеже, если
равные углы С и D — острые, то прямые
АВ и DC сближаются до середины Н

отрезка DC, а затем расходятся. Легко также
видеть, что прямая НМ, перпендику-
лярная к АВ, будет перпендику-
лярна и к DC. Для этого стоит только про-
вести НМ | АВ и перегнуть по НМ чертеж.
Тогда правая сторона совпадет с левой.

§ 9. Вольфганг Больяи (1775 —
1856 гг.) доказывал постулат Эвклида, счи-
тая очевидным, что:

Через всякие три точки, не ле-
жащие на одной прямой, можно
провести окружность.

Между тем, легко убедиться в том, что это
положение равносильно постулату Эвклида
в форме: перпендикуляр и наклон-
ная пересекаются. В самом деле, пусть
три точки М, М' и М” не лежат на одной пря-
мой; согласно постулату, через них всегда
можно провести окружность; отрезки
ММ' и ММ’’ буду! хордами этой окружности,
а перпендикуляры В В' и АА', восстановленные
из середин этих хорд, будут ее радиусами и
всегда встретятся в центре окружности. Но
ВВ' | АМ, а АА' — наклонна к ней, причем
расположение их произвольно меняется вместе
с положением точек М, М' и М'1 *.

Итак, справедливы следующие предло-
жения :

1. Если через три точки, не лежащие на од-
ной прямой, всегда можно провести окруж-
ность, то перпендикуляр и наклонная к одной
и той же прямой всегда пересекаются, т. е.
постулат Эвклида справедлив.

* Если дана прямая АВ и к ней — перпенди-
куляр ВВ’ и наклонная А А1, тс, взяв на АВ ка
кую-нибудь точку М, всегда м о ж н о п о-
строить точку М', симметричную с М относи-
тельно ВВ', и точку Al", симметричную с М отно-
сительно АА'. Тогда прямые ВВ1 и АА', прохо
дя.пие через середины ММ' и ММ" перпендикуляр!
но к ним и будут, очевидно, радиусами квуга, про
ходящего ч. рез точки М, М' и М".
2. Обратно, на плоскости Эвклида * через
три точки, не лежащие на одной прямой, всег-
да можно провести окружность.

Но если справедливы предложения — пря-
мое и обратное ему, то должны быть справед-
ливы и противоположные предло-
жения:

Если постулат Эвклида неспра-
ведлив, то не через всякие три
точки плоскости, не лежащие на
одной прямой, можно провести
окружности, и наоборот.

Из этого положения непосредственно вы-
текает чрезвычайно важное следствие.
Именно,возьмем на неэвклидовой плос-
кости прямую ВС и построим окружность,
касающуюся ВС в точке А. Центр этой окруж-
ности будет лежать на перпендикуляре АА',
восстановленном к ВС из точки А.

Если мы станем радиус этой касательной
окружности неограниченно увеличивать, уда-
ляя ее центр по перпендикуляру АА! в бес-
конечность в направлении от Л к А', то
окружность начнет приближаться к касатель-
ной ВС, но не сольется с ней, как это имеет
место в геометрии Эвклида.

В самом деле, если через три точки плоско-
сти не всегда можно провести окружность, то
мы можем выбрать точки Е и F, симметричные
относительно прямой АА', настолько близко к
прямой ВС, что наша окружность через эти
точки не пройдет, как бы мы ее радиус ни
увеличивали.

Другими словами, на плоскости Лобачев-
ского пределом окружности, радиус
которой неограничен но увеличи-
вается, будет не прямая линия, а

* Т. е. па плоскости, где имеет место посту-
лат Эвклида.

кривая, которая называется поэтому пре-
дельной линией или предельным
кругом (ороциклом; „орос“—по гречески
— предел).

Так как переменная величина в одно и то
же время может стремиться только к одному
пределу, то все предельные линии
тождественны.

То обстоятельство, что предельная линия
есть предельный круг, является причиной того,
что она имеет целый ряд свойств, аналогич-
ных свойству окружности, как мы это
очень просто докажем в следующем очерке.

В заключение мы рассмотрим доказатель-
ства постулата Эвклида, данные знаменитым
французским математиком Лежандром
(1752—1833 г.) и итальянским патером Дже-
роламо Саккери (1667—1733 гг.)

Начнем с доказательств Лежандра, так
как они значительно проще.

§ 10. Лежандр старался подойти к до-
казательству постулата Эвклида исследуя во-
прос о сумме углов в треугольнике. Мы уже ви-
дели, что теорема: „Сумма углов в тре-
угольнике равна 2rf“ — равносильна по-
стулату Эвклида. Отрицая постулат Эвклида,
мы тем са.лым утверждаем, что сумма углов
в треугольнике не равна 2d.

Но тут возможны два предположе-
ния:

1. Сумма внутренних углов в треугольнике
более 2d.

2. Сумма внутренних углов в треугольнике
меньше 2d.

Лежандр чрезвычайно остроумно и просто
доказывает, что первая гипотеза не-
верна.

Первая теорема Лежандра: „Во
всяком треугольнике сумма углов
или меньше 2d или равна 2du.

Доказательство. Пусть на какой-ни-
будь прямой отложено последовательно п рав-

Рис. 6.

них отрезков: Д1Д2, Д2Д3, • • • ^лЛг'+Ц на
этих отрезках по одну и ту же сторону пря-
мой построено п равных треугольников,
третьи вершины коих находятся в точках
В>, в2, В3,..., Вп (рис. 6).

Отрезки В2В3,..., Вп_г Вп, соеди-
няющие эти вершины, также будут равны
между собою, и их можно рассматривать как
основания других п—1 равных треугольников:
В}А2В2, B.2A3Bs,......... Вп_-,АпВп.

Пополним наш чертеж треугольником
ВдАя+1 ВП4 , равным предыдущим.

Обозначим через {j угол при вершине Вг
в треугольнике и через S—угол при

вершине Д2 в следующем треугольнике B1AiBz.

Докажем, что угол

С этой целью допустим противоположное,
т. е., что

Но у двух треугольников Л1В1Д2 и BjA2B.,
две стороны, заключающие углы и 8, равны,
а третьи — неравны, так как против большего
угла р будет лежать и ббльшая сторона, т. е.

Al ^2 >^1^2’

С другой стороны — ломаная линия
А1В1В2 ... Вя+]Дл+1 больше прямой Л,Дя+1
(соединяющей концы этой ломаной), т. е.

в,в2 -}- • • -+впв„+, 4- вя мдя+1 >

> А1А2 + A2Al "F • • • "Г ЛВ4»+Г

или *

п-В\В2 4~ вл+1 дя+1 n AjA2,

или еще *

2 Afiy > n(AjА2 — В^).

Разность АгА2 — ВУВ2 у нас конечна,
а число треугольников п — ничем не ограни-
чено, и мы можем сделать это число сколь угод-
но большим. Но тогда ** и правая часть нера-
венства иожет быть сколь угодно большой,
между тем, она меньше 2Л1В1. Итак, наше
предположение,что [J 8 привело к нелепости;
следовательно, / р может быть или меньше
или равен углу 8.

Но / 8, вместе с двумя другими вну-
тренними углами а и у треугольника А1А2В]
образует два прямых угла, т. е. а4~у4~$ = 2^>
а так как, по доказанному, [5^8, то
а 4- у 4- Р 2d, что и требовалось доказать.

Вторая теорема Лежандра. Если
сумма внутренних углов = 2d или
< 2d в к а к о м-н ибудь одном тре-
угольнике, то эта сумма будет со-
ответственно = 2d или <^2d и во
всяком другом треугольнике.

Доказательство.

1. Докажем сначала, что если сумма углов
в треугольнике АВС равна 2d, то она равна

* По построению, В{В2 = В2В3~
AiBl=A,l+lBn+t.

** По аксиоме Архимеда-

=впв.

2d и в каждом из треугольников, отрезанных
от тр’лолыника АВС.

В самом деле, проведем из вершины тре-
угольника С прямую CD. Она разделит тре-
угольник АВС на два треугольника ACD и
CDB Предположим, что в одном из треуголь-
ников, ACD, сумма внутренних углов меньше
2d и равна 2d — а, а в другом (CDB) равпи 2d;

тогда сумма углов в треугольнике АВС будет
равна 2d — а4- 2d — (ADC-]-CDB) = 2d — а
(так как ADC и CDB смежные углы и их
сумма = 2d).

Таким образом, наше предположение при-
вело к противоречию и потому — неверно,
т. е. сумма углов и в треугольнике ACD
равна 2d.

2. Теперь докажем, что если сумма
углов в одном треугольнике (АВС)
равна 2d, то она будет равна 2d иво
всяком треугольнике любой вели-

чины.

С этой целью разделим наш треугольник
АВС высотою на два прямоугольных треуголь-
ника ACD и CDB, и один из них, напри-
мер ADC, дополним равным ему тре-
угольником ЛЕС до четыреугольника ADEC,
в котором, очевидно, все углы будут прямые
(рис. 8).

Легко видеть, что,
приставляя к прямо-
угольнику ADCF.
равные ему прямо-
угольники, можно
построить прямо-
угольник HJCF лю-
бой величины. Этот
прямоугольник раз-
деляется диагональю

FJ на два треугольника, причем сумма углов
в каждом из этих треугольников равна 2d.
А так как от каждого треугольника, в котором
сумма углов равна 2d, можно отрезать сколь
угодно малый треугольник с той же самой сум-
мой углов, то первая часть теоремы доказана.

3. Остается доказать, что если сумма
углов в одном к а к о м-н ибудь тре-
угольнике АВС окажется меньше
2d, то она будет меньше 2d и во
всяком другом треугольнике.

В самом деле, если мы допустим, что
в каком-нибудь треугольнике сумма углов
равна 2d, то (в силу доказанного в п. 1 и 2)
она должна быть равна и во всяком другом,
в том числе и в треугольнике АВС, что про-
тиворечит условию.

Теорема доказана.

Теперь посмотрим, как Лежандр пытался
доказать самый постулат Эвклида.

Рассмотрим д в а из его доказательств

§ 11. Первое доказательство Ле-
жандра основывается на таком „очевид-
ном" допущении (постулате):

„Через произвольную точку,
взятую внутри угла, всегда можно
провести прямую, пересекающую
обе стороны этого угла".

Возьмем треугольник АВС и предположим,
что сумма его внутренних углов равна 2d — а.

Прибавим к треугольнику АВС равный
ему треугольник BCD и через его вершину D
проведем прямую EF так, чтобы она встре-
тила обе стороны / А, именно: продолже-
ние стороны АВ в точке Е, а продолже-
ние стороны АС—в точке F.

Предположим, что в полученных таким
образом треугольниках BDE и CDF суммы
внутренних углов равны соответственно
2d — р и 2d —у. Тогда очевидно, что сумма

углов в треугольнике AEF будет равна сумме
углов во всех четырех треугольниках, из ко-
торых он состоят, без суммы углов при
точках С, D и В, т. е. равна:

2 (2d — а) 4- 2d — р 4- 2d — у — 3. 2d =
= 2d — 2а — р — у < 2d — 2а.

Повторяя то же построение еще раз, мы
получим треугольник AHJ, в котором сумма
углов будет меньше 2d — 4а = 2d — 2'“а.
После третьего построения получим треуголь-
ник с суммой ywioB меньше 2d — 8a = 2d —
— 23а, и т. д. После n-ого построения мы

получим, очевидно, треугольник, сумма углов
которого меньше 2d — 2"а

Но как бы мал ни был „недостаток" до
2d (т. е. угол а), однако, будучи повторен
слагаемым достаточное число раз, он может
быть* сделан больше 2d; поэтому после не-
которого числа построений мы получим тре-
угольник, в котором сумма углов будет

2d —2'*a<0 (2d < 2я-а),
т. е. будет величиной отрицательной, что не-
возможно уже потому, что она не может быть
меньше / А, который является общим для всех
наших треугольников

а) Рассматривая это доказательство Ле-
жандра и постулат, на котором оно основано,
мы прежде всего убеждаемся в том, что по-
стулат Лежандра — это только за-
маскированная форма постулата
Эвклида.

В самом деле, возьмем какой-нибудь угол
АСВ и проведем его биссектрису CD. Если
постулат Лежандра справедлив, то
перпендикуляр к биссектрисе, восстановлен-
ный из любой ее точки D, должен встретить
обе стороны угла — наклонные СВ и АС

Таким образом, из постулата Лежандра
непосредственно вытекает положение: пер-
пендикуляр и наклонная к одной
и той же прямой всегда пересека-
ются. А это и есть одна из форм постулата
Эвклида.

б) Обращаясь к самому доказательству
Лежандра, мы видим, что если в каком-либо
треугольнике сумма внутренних углов меньше
2d, то сумма внутренних углов треугольника i
уменьшается по мере того, как возрастает его
площадь.

Если мы приставим друг к другу равными •
катетами два одинаковых прямоугольных тре-
угольника ACD и BCD с суммою углов
2d — а в каждом из них, то получим треуголь-
ник АВС, сумма углов которого = 2d — 2а,
а площадь — вдвое больше площадь каждого
। из этих треугольников. Таким образом, с воз-
растанием площади треугольника вдвое, и
„недостаток" (или „дефицит") суммы его
углов увеличился вдвое (2a вместо а). Это
наводит на мысль, что площадь тре-
угольника пропорциональна „де-
фициту" суммы его внутренних
углов (если постулат Эвклида несправедлив).

Это предложение было доказано еще до
Лежандра И о г а н н о м-Г енрихом Лам-
бертом (1728—1777 гг.) в его „Theorle der
Parallelinien" (1766 г.), где он пытался дока-
зать постулат Эвклида.

* В силу аксиомы Архимеда.
§ 12. Другое доказательство постулата
Эвклида, данное Лежандром, также свя-
зано с исследованиями Ламберта. Ламберт
показал, что если сумма углов в треугольнике
меньше 2d, то должна существовать так на-
зываемая „абсолютная единица дли-
ны". Постараемся выяснить, что называется
абсолютной единицей длины.

Конкретные геометрические фигуры имеют
определенные размеры, которые могут изме-
няться. Но есть такие „основные неиз-
меняемые геометр и чески е образ ы“,
которые остаются всегда и при всех построе-
ниях неизменными. Таковы, например, прямые,
плоскости, пучки лучей и плоскостей и т. д.
„Полный пучок лучей", заполняющий всю
плоскость, т. е. угол 4d, является таким
„основным неизменяемым обра-
зом". Он является абсолютной единицей для
измерения углов, так как может быть всегда
и везде построен.

Совершенно иначе дело обстоит с едини-
цей для измерения длин на плоскости Эвклида.
В самом деле, такой меры, которая зависела
бы от какого-нибудь основного неизменяемо-
го геометрического образа, подобно тому как
прямой угол зависит от „полного пучка
лучей", нет и быть не может, вследствие
существования на плоскости Эвклида подоб-
ных фигур.

При отрицании же постулата Эвклида (т. е.
при допущении, что сумма углов в треуголь-
нике меньше 2d) подобных фигур на плоско-
сти не будет, а следовательно, должна суще-
ствовать и „абсолютная единица длины".

Второе доказательство Лежанд-
ра основывается на утверждении (поступате),
что абсолютной единицы для изме-
рения отрезков не существует.

Приняв этот постулат за истину, мы пред-
положим, что в треугольнике АВС сумма внут-
ренних углов меньше 2d. Затем через точку
D на стороне АВ проведем секущую DE так,
чтобы j/_ADE был равен (соответственному)
£АВС. Тогда / АСВ должен быть мень-
ше / AED (рис. 10).

В самом деле, если бы и эти соответствен-
ные углы были равны, то сумма углов в че-
тырехугольнике CBDE была бы равна 4d (а в
TpeyroabHHKe=2d); она была бы больше 4d,
если бы AED<^ACB.

Каждому положению точки D на стороне
АВ будет соответствовать свой / AED, и вза-
имно, — каждому значению углов AED, ВАС
и АВС (выраженному в прямых углах) будет
соответствовать одно вполне определенное чи-
сленное значение длины AD и это значение
будет зависеть только от 4d, т. е. будет а б-

солютной мерой отрезка. А такой
меры, согласно постулату Лежандра, быть
не может.

§ 13. Теперь перейдем к доказательству
постулата Эвклида Саккери. Саккери по-
свящает этому доказа- /

тельству большую часть
своей работы „Euclides ,
abomnenaevo vendicatus \

etc." (Милан, 1733 г). \ .

Для доказательства -------&----А___

истинности постулата л D В

Эвклида и ложности Рис. 10-
его отрицания Саккери
применяет метод, называемый „анализом
Э в кл и да".

„Предложение доказывается аналитиче-
ски, — говорит Эвклид, — если искомое при-
нимают за известное и на основании выведен-
ных отсюда следствий получают известные уже
истины. Напротив, предложение доказано син-
тетически, если с помощью известных истин
доходят до искомого"*.

Из определения Эвклида и тех примеров,
которые он приводит, видно, что он считает
теорему доказанной, если из нее вытекает,
как необходимое следствие, какое-нибудь уже
доказанное или приш тое за истинное пред-
ложение.

Таким образом, по методу Эвклида, из
данного предложения (М) выводят ту теорему
(N), которая служит ее ближайшим следствием.

Если это следствие есть аксиома или пред-
ложение, ранее доказанное, то на нем и оста-
навливаются; если же нет, переходят к даль-
нейшему следствию О, и т. д. — продол-
жают до тех нор, пока не дойдут
или до предложения (Р), уже доказанного, или
до такого, котороепротиворечит
предложениям, уже доказанным.

Если последнее предложение
неверно, то и данное неверно, так
как неверное следствие нельзя по-
лучить из верного предложения**.

* См. „Начала” Эвклида, перев. проф.
В а щей к о-З ахарчеико, стр. 538.

** Но если последнее предложение (Р) верно,
то, вопреки Эвклиду, для доказательства верности
данного предложевия (М) этого еще недоста-
точно. Дело в том, что, как заметил еще Арис-
тотель, верное следствие можно получить и
из неверного предложения. Например, из заведомо
неверного предложения, что в каждом треуголь-
нике углы пропорциональны сторонам, вытекает
(как необходимое следствие) верное предложе-
ние: равным углам противолежат равные стороны.
Поэтому, чтобы доказать теорему Р по способу
Эвклида, надо доказать в цепи следствий
М -> N -> О -> Р обратиость каждых двух рядом
стоящих теорем.
Вот на этом положении Саккери и осно-
вал шсвое доказательство. Он принимает пер-
вые 28 предложений первой книги „Начал"
Эвклида, допускает затем ложность по-
стулата Эвклида и старается из этого
предположения вывести такое следствие, ко-
торое противоречило бы сделанным допуще-
ниям и, таким образом, показало бы ложность
отрицания постулата
v О С' Эвклида.

х . Н Основной фи-

Тг» г у р о й у Саккери явля-

ется четыргугольник с

Р\ <1 двумя прямыми углами

д f j q и с двумя равными
сторонами, прилежа-
Рис. 11. щими к этим углам.

Саккери рассматривает
три предположения относительно непрямых
равных углов С и О своего четыреугольника:

1) /С= /Р-= 90° (гипотеза прямого
угла),

2) /_С= /Д~>-90° (гипотеза тупого
угла),

3) / С— /D<Z 90° (гипотеза острого
угла),

и доказывает, чю если какая-н ибудь из
этих трех гипотез справедлива от-
носительно одного „четыреуголь-
ника Саккери", то она будет вер-
на и относительно остальных его
четы реугольников, причем при ги-
потезах прямого, тупого и острого
угла сумма углов в треугольнике
соответственно:

равна 2d, более 2d и менее 2d.

В предложении ХШ Саккери доказывает,
что постулат Эвклида справедлив при гипо-
тезе прямого и тупого угла. Но если постулат
Эвклида справедлив, то сумма углов в четыре-
угольнике равна 4d, т. е. углы С и D должны
быть прямые, а не тупые. Таким образом, Сак-
кери показал, что гипотеза тупого угла ведет
к противоречию.

Все эти предложения доказаны были го-
раздо проще Лежандром (см. выше), приняв-
шим за основную фигуру треугольник. Поэ-
тому на выводах Саккери мы останавливаться
не будем.

В дальнейшем Саккери старается привести
к противоречию и гипотезу острого
угла

Прежде всего он отмечает, что при этой
гипотезе перпендикуляр и наклон-
ная могут и не пересекаться и тогда
они имеют общий перпендикулярам, выше§8).

Далее он доказывает, что если двене-
пересекающиеся прямые не имеют
12

общего перпендикуляра, то они
асимптотически приближаются
друг к друг у, т. е. расстояние между ними
может быть сделано сколь угодно малым. Эта
теорема представляет для нас существенный
интерес. Для доказательства существования
асимптотических прямых Саккери проводит
к прямой АВ перпендикуляр ВВ' и наклон-
ную АА', которые друг друга не пересекают.
Затем он врап .ает перпендикуляр АВ около
точки А по направлению к АА' до их совпа-
дения (рис. 12).

Очевидно, что вращаемая прямая сначала
будет пересекать ВВ', а затем точка пересе-
чения уйдет в бесконечность; начиная с этого
положения AQ, вращаемая прямая перестает
пересекать ВВ'. Таким образом, /BAQ яв-
ляется высшим пределом для углов BABV
ВАВ„. ВАВ3...

Очевидно, что с другой стороны
перпендикуляра АВ существует
асимптотическая прямая AQ', сим-
метричная с AQ. Эти две прямые
AQ и AQ* 1 2 3 разделяют все прямые,
исходящие из точки А на пере-
секающие ВВ' и на имеющие с ней
общий перпендикуляр.

Наконец, Саккери доказывает, что при
гипотезе острого угла прямая ВВ' и асимпто-
тическая с ней прямая AQ имели бы на
бесконечности общий перпендикуляр*, что,
по мнению Саккери, противоречит природе
прямой линии.

Исследования Саккери важны потому, что,
стараясь доказать ложность отрицания посту-
лата Эвклида при помощи анализа Эвклида,
он вывел из этого отрицания целый ряд ин-
тересных теорем геометрии Лобачевского и

выяснил понятие о параллельных и непересе-
кающихся прямых в этой геометрии.

§ 15. Выводы.

Подведем теперь итоги тем выводам, кото-
рые мы можем сделать о свойствах простран-
ства Лобачевского на основании рассмотрения

* Восстановленный в их общей, бесконечно
удаленной точке.
некоторых попыток доказать „постулат Эв-
клида".

На плоскости Лобачевского:

1. Параллельные линии не являются рав-
ноотстоящими друг от друга, но асимптоти-
чески сближаются друг с другом в направле-
нии их параллельности и расходятся до бес-
конечности в направлении противоположном.

2. Перпендикуляр и наклонная к одной и
той же прямой не всегда пересекаются друг
с другом. Только часть из наклонных, про-
ходящих через данную точку, встречает пер-
пендикуляр; две из них „асимптотически"
приближаются к нему, а остальные сближаютс?
до известного предела (где они имеют общий
перпендикуляр), а затем снова расходятся до
бесконечности.

3. Из (2) вытекает, что две прямые, пер-
пендикулярные к третьей, на плоскости Ло-
бачевского расходятся по мере продолжения
их в обе стороны до бесконечности (а не рав-
ноотстоят друг от друга, как на плоскости
Эвклида).

4. Геометрическое место точек, находя-
щихся с одной и той же стороны и на
одном и том же расстоянии от данной пря-

мой, есть линия кривая (а не прямая, парал-
лельная данной прямой, как на плоскости
Эвклида).

5. Через точку вне данной прямой можно
провести к этой прямой две параллельных
линии (асимптотически приближающихся к
данной прямой в противоположных направ-
лениях).

6. Сумма внутренних углов в треугольнике
меньше 2d, причем „недостаток" (дефицит)
этой суммы до 2d возрастает пропорциональ-
но площади треугольника.

7. Подобия фигур на плоскости Лобачев-
ского не существует.

8. Вследствие отсутствия подобия фигур
на плоскости Лобачевского существует „аб-
солютная единица длины".

9. Через три точки, не лежащие на одной
прямой, не всегда можно провести окруж-
ность.

10. Если увеличивать до бесконечности ра-
диус круга, касающегося данной прямой в
одной ее точке, то круг не сольется в пре-
деле с этой касательной, а обратится в так
называемую „предельную линию" или „пре-
дельный круг".

КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ЯПОНИИ

Проф. И. ЧИСТЯКОВ

До начала текущего XX в. история раз-
вития математических наук в Японии не только
не была известна в Европе, но даже недоста-
точно знакома и японским математикам, кото-
рые уделяли ей мало внимания. Лишь в по-
следние десятилетия, благодаря выдающимся
работам некоторых японских ученых, в осо-
бенности члена японской Академии наук М и-
ками, наука обогатилась исследованиями,
позволяющими составить понятие о ходе раз-
вития математики в Японии. При эгом оказа-
лось, что эта история в некоторых отноше-
ниях представляет выдающийся интерес, так
как, ввиду многовековой изолированности
Японии от других стран, японские математики
разрабатывали математическую науку само-
стоятельно и пришли ко многим своеобразным
методам и весьма замечательным результатам.
Настоящий очерк и имеет в виду вкратце
познакомить читателей с историей японской
математики на основании новейших исследо-

ваний японских, американских и английских
ученых.

Эти исследования обнаруживают, что за
2 века до нашей эры японцы были знакомь
с десятичной системой нумерации и имели
числительные имена для названия десятичных
разрядов чисел, впрочем, не далее 10 000.
Невидимому хозяйственная жизнь страны
тогда еще не требовала расширения знаком-
ства с натуральным рядом чисел за этот
предел. В этом отношении, следовательно,
Япония не отличается от многих других стран,
долго стоявших на той же границе счисле-
ния, как, например, древняя Греция, где слово
„мириада", обозначавшее 10 000, было в то
же время синонимом самого большого числа,
или древняя Русь, где слово „тма“, или
„тьма", которое обозначало тоже 10 000,
имело подобное же значение предела число-
вого ряда. В ту же эпоху у японцев были
собственная система мер и весов и лунно-
солнечный календарь. Но с введением в на-
чале VI в. н. э. в Японии буддизма в нее
сильно стало проникать через Корею китай-
ское влияние. Японцами было введено письмо
по китайскому образцу, принят китайский
календарь, стали изучаться китайские сочине-
ния по всем отделам науки и литературы.
В области математики были введены так
называемые „пять классических книг". В этих
книгах элементарные сведения из математики
переплетались с различными мистическими
толкованиями и числовыми суевериями, заим-
ствованными из китайской религиозной фило-
софии. Тем не менее, китайское влияние
сказалось благоприятно на развитии в Японии
просвещения вообще и математики в частно-
сти. В Японии быстро усвоили начатки мате-
матических знаний и даже выдвинулся ряд
знатоков науки; так, в 600 г. н. э. получил
известность своими арифметическими зна-
ниями Шотоку-таши, получивший впослед-
ствии название отца японской арифметики.
Постепенно, под китайским влиянием, в Япо-
нии были открыты общеобразовательные
школы, в частности в 607 г. — школа мате-
матических наук, а в 701 г.—даже универ-
ситет и обсерватория В этих учреждениях
по математике изучалась знаменитая китайская
энциклопедия математических наук, известная
иод названием „Десять классических
книг"-/В этих книгах излагались основы
арифметики, в частности — действия над це-
лыми числами и дробями, сведения о про-
порциях, тройных правилах и• о правиле
ложного положения, а также разные прило-
жения арифметики к торговому делу. Из обла-
сти алгебры давались сведения о решении
уравнений первой степени с одним и несколь-
кими неизвестными, о решении квадратных
уравнений, об извлечении квадратных и куби-
ческих корней и некоторые способы для
решения неопределенных уравнений. По гео-
метрии сообщались сведения об измерении
площадей прямоугольных фигур и круга,
причем число п принималось, как и у вави-
лонян, равным 3; излагалась теорема Пифа-
гора, которая в Китае была известна за
500 лет до Пифагора; давались сведения об
измерении поверхностей и объемов призм,
пирамид, цилиндров и конусов. В эту же
эпоху японцы познакомились с китайским
способом инструментального счета и произ-
водства арифметических вычислений при
помощи каменных счетных палочек, называе-
мых санги, и счетного столика, называемого
сампан. Именно для обозначения чисел пер-
вого десятка употреблялись каменные палочки
с квадратным сечением, причем числа 1—5
представлялись с помощью 1, 2, 3, 4, 5 та-
ких палочек, положенных рядом вертикально;
14

числа же от 6 до 9 изображались тем же
способом с прибавлением сверху горизон-
тально положенной палочки:

I II III ПП IIIII Г IT Ш ПИ
1234 5 6789

Счетный столик был разграфлен на по-
лосы, соответствующие десятичным разрядам
нумерации: единицам, десяткам, сотням и т. д.
Для обозначения числа в каждую графу кла-
лось соответствующее число палочек санги.

В случае, если единиц какого-либо десятич-
ного разряда в числе не было, соответствую-
щая графа на сампане оставалась пустой.
Отсюда видно, что сампан представляет боль-
шую аналогию с „абаком"—счетным сто-
ликом, который применялся у европейских
народов в древности и в средние века для
представления чисел и производства арифме-
тических действий, и способы для этого
производства были, очевидно, те же, что и на
абаке, т. е. сводились к соединению в соответ-
ствующих столбцах единиц одинаковых деся-
тичных разрядов. В связи с представлением
чисел при помощи палочек на сампане воз-
никла и система письменной нумерации, на
основании принципа положения, как это де-
лается теперь у нас, с той разницей, что
цифры, изображаемые вышеприведенными зна-
ками, писались не в горизонтальных строчках,
а в вертикальных столбцах. В случае отсут-
ствия единиц какого-либо разряда на соответ-
ствующем месте ставился кружок, заменявший
наш нуль. С помощью пластинок санги и сам-
пана японцы приобрели большое искусство
в производстве арифметических вычислений,
а также усвоили начальные сведения из гео-
метрии, алгебры и астрономии.

II.

Вышеизложенное успешное развитие мате-
матических и других наук, возникшее под
влиянием экономического подъема страны и на
основе усвоения китайской науки, продолжа-
лось, однако, лишь до конца XI в. Начиная
с этого времени, образованность в стране
и, в частности, математические знания стали
быстро падать.

Подобно тому как в Европе в средние
века незначительные математические знания
сохранялись лишь среди монахов, вынужден-
ных производить вычисления для определения
времени празднования пасхи и других празд-
ников, в Японии тоже знание математики
сохранялось с XI по XVII в. лишь в буд-
дийских монастырях, где духовные лица зани-
мались календарными вычислениями. Лишь
в малой степени изучались и комментировались
самые элементарные китайские математиче-
ские сочинения, преимущественно с мистичес-
кими и суеверными целями; так, в эту эпоху
получило начало изучение в Японии магиче-
ских квадратов и кругов, которым приписы-
вались таинственные и волшебные свойства.

Этот застой просвещения продолжался
в Японии до 1603 г.

Начиная с XVII в., в Японии снова распро-
страняется китайское влияние; японские уче-
ные командируются в Китай для ознакомления
с его наукой. В частности, предание говорит,
что в Корею и Китай был послан знаменитый
ученый того времени Мори (1598—1672 гг.),
который вывез оттуда счетный прибор суан-
пан, получивший у японцев название соро-
б а н, и научил пользованию им своих со-
отечественников. Этот прибор, который, как
известно, явился родоначальником многих дру-
гих счетных приборов, в частности русских
торговых счетов, представляет собою прямо-
угольную раму с натянутыми шнурками, по
которым передвигаются просверленные ша-
рики. Каждый шнурок соответствует особому
десятичному разряду, так что прибор позво-
ляет представлять числа по принципу положе-
ния, что облегчает производство над ними
арифметических действий. Введение соробана,
пользование которым Мори изложил в осо-
бом сочинении в двух томах, имело большой
успех в Японии; он получил массовое рас-
пространение среди японского народа и повел
к повышению у японцев уровня математиче-
ских знаний. Повидимому, однако, суан-пан
уже и до Мори частично был известен
в Японии, и заслуга последнего состоит,
главным образом, в издании вышеназванного
руководства. Одновременно с соробаном
среди научных работников Японии вновь стали
распространяться методы числовых вычисле-
ний с помощью каменных счетных пластинок,
т. е. санги. Эти методы, достигшие к тому
времени большого совершенства в Китае и еще
более усовершенствованные японскими уче-
ными, привели последних к самостоятельной
разработке и решению многих вопросов, кото-
рые мы относим к алгебре. Начало этой
работе японских ученых было положено изу-
чением ими китайских сочинений алгебраичес-
кого содержания, посвященных, главным об-
разом, решению численных уравнений. Китай-
ские математики к этому времени уже.
разработали приемы решения уравнений, в
том числе даже приближенные способы для
вычисления корней уравнений 6-й, 7-й и 8-й
степени, решали системы уравнений первой
степени со многими неизвестными; были зна-

комы с треугольником Паскаля и решением
в целых числах уравнения ах — Ьу=Л.
В 1247 г. китайский математик Чин предло-
жил способ приближенного вычисления кор-
ней алгебраических уравнений, по существу
совпадающий со способом Горнера, опубли-
кованным в 1819 г. Этот способ получил
у китайцев название тенген. В то же время
китайские, ученые начали уже применять спо-
собы сокращенных и символических обозна-
чений, чему способствовал характер принятой
в Китае иероглифической письменности. Япон-
ские ученые ревностно изучали китайские
математические трактаты, а затем и сами
принялись работать над теми же и новыми
проблемами науки.

Наиболее знаменитым из японских мате-
матиков рассматриваемой эпохи был Секи
Кова, родившийся в 1642 г., т. е. в год
смерти Галилея и рождения Ньютона, и умер-
ший в 1708 г. Одаренный блестящими мате-
матическими способностями, он создал школу
учеников и последователей, которые под его
руководством изучали тензан, т. е. вообще
способы для численного решения уравнений.
Подобно пифагорейцам, ученики Секи многие
его открытия должны были держать в секрете,
вследствие чего из его сочинений лишь не-
многое дошло до потомства. Решение уравне-
ний по методам Секи производилось частью
письменно, частью при помощи палочек санги.
Для письменного решения он ввел ряд сокра-
щенных и символических обозначений, сход-
ных с обозначениями у нас алгебраических
количеств, но члены уравнений, согласно
с принятыми в Китае и Японии способами
письменности, располагались вертикально
Так, выражения, соответствующие нашим

а 4- Ь, а — b, ab, 2а5

1 Ь

должны были изображаться так:
Ift Xft № а 'аЪ^ и ПР' (где вместо а и ь
стоят, конечно, японские иероглифы).

Чтобы привлечь интерес японских ученых
к математике, Секи часто опубликовывал
различные задачи, а несколько времени спустя
сообщал их решение; условия и решения
вывешивались в храмах.

В одной задаче, предложенной им в 1695 г ,
читателям пришлось решать уравнение 1458-й
степени, причем один из решивших должен
был покрыть счетными палочками весь поч
своей комнаты. Для решения систем уравне-
ний и исключения неизвестных Секи в 1683 г.
ввел в употребление пользование детерминан-
тами, которые, таким образом, были им от-
крыты ранее, чем Лейбницем и Крамером
в Европе. Он же ранее Декарта пользовался
методом неопределенных коэфициентов. Спо-
собы Секи для решения уравнений были
изложены в семи книгах одним из лучших
его учеников, Араки, но это сочинение сохра-
нялось учениками Секи в тайне и было опуб-
ликовано Математическим обществом в Токио
лишь в 1907 г. Следует, однако, отметить,
что японские ученые интересовались почти
исключительно числовыми значениями корней
уравнений высших степеней, но не пытались
разработать их теорию. Точно так же они
почти не делали никаких приложений своих
способов к решению конкретных задач из
области естественных наук или хозяйственной
жизни, чем сводили математичек .не проблемы
исключительно к абстрактной игре ума. Осо-
бенно это следует сказать о решении неопре-
деленных уравнений, которое не могло иметь
никаких практических приложений, но кото-
рое с большим увлечением разрабатывалось
японскими учеными, причем они в этой обла-
сти достигли многих результатов ранее евро-
пейских математиков. Так, один из учеников
школы Секи Кова Аида (1747—1817 гг.)
дал будто бы решение общего неопределенного
уравнения 2-й степени

М+ргх1 4- • • •+Рпх2п =У2-

К сожалению, большинство сочинений
этого ученого погибло во время столь частых
в Японии пожаров. Некоторые частные виды
вышеприведенного уравнения были решены
в сочинениях также крупного японского уче-
ного Мацунага в начале XVIII в.; тогда
же появились решения и других видов не-
01 ределенных уравнений высших степеней.

III.

Подобно тому как японпы мало интере-
совались теоретическими вопросами ал1ебры,
они мало занимались теми же вопросами
и в области геометрии. Ознакомившись со
свойствами геометрических фигур и тел путем
опыта или интуиции, они не стремились
их логически обосновать и доказать. Хотя
в начале XVIII в. перевод „Начал" Эвклида
(с китайского языка) появился в Японии, но
он не возбудил никакого интереса и не имел
никакого влияния на развитие в Японии тео-
ретического изучения геометрии. Но в то же
время решение вопросов практической и из-
мерительной геометрии возбуждало огромный
интерес среди японских математиков, и их
работы в этом направлении повели к созда-

нию замечательного особого исчисления
„й е н р и", близкого по существу к интеграль-
ному исчислению.

Как и у всех других народов, особенный
интерес из геометрических ьопросов и наи-
большее внимание японцев привлекли: тео-
рема Пифагора и величина отношения длины
окружности к диаметру. Для теоремы Пифа-
гора уже в одном из сочинений Секи нахо-
дится следующее оригинальное доказатель-
ство, очевидное из чертежа (см. чертеж)

Черт. 1.

Действительно:

i^AEL '-= £\ADE-== £\KJC‘,
&FEG=£\MNC;

£^KGJ=f\JLM

(соответствующие треугольники равны, так
как имеют по равному острому углу и по
катету).

Что касается числа п, то первоначально
японцы пользовались заимствованными из ки-
79

тайских источников значениями п=л* (1627 г.)
2о

и п = }^10 (1660 г.), но затем приступили
сами к вычислениям этого числа в связи
с вопросами о длине окружности, площади
круга, объема и поверхности шара. Подобно
европейским ученым, они для этого пользо-
вались вписыванием в окружность правиль-
ных многоугольников с возможно большим
числом сторон. Постепенно точность получае-
мых ими значений числа п все повышалась;
в частности, Секи вычислил для этого пери-
метр правильного многоугольника о 217 сто-
ронах, причем получил: п = 3,14159265359.
При этом, желая достигнуть возможно боль-
шей точности, он за исходный периметр взял
периметр многоугольника:

р -ь I (Ь-а}(с-Ь)
1где а, b, с, — периметры трех последних
правильных многоугольников. 11одооный спо-
соб интерполирования впоследствии часто
применялся японскими учеными в различных
вычислениях.

К вышеупомянутому исчислению йенри,
которое буквально означает „круговая тео-
рия" , японцы пришли при попытках вычис-
лить объем шара. Первоначально они для
этого делили диаметр шара d = 1 на воз-
можно большее число равных частей, прово-
дили через точки деления параллельные плос-
кости и вычисляли объемы полученных шаро-
вых слоев, допуская, что объем шарового
слоя равен полусумме объемов двух цилиндров,
построенных на его основаниях. Таким обра-
зом, японские ученые XVII в. получили не-
сколько значений дяя объема шара с различной
степенью точности: 17=0,51; V= 0,5625
и пр., но они первоначально не установили
никакой зависимости между величиной объема
шара и его диаметра. Эта последняя зависи-
, мость была открыта Секи, который, вычислив
объем шара при делении его на 50, 100
и 200 слоев, применил к полученным трем
результатам свою вышеприведенную формулу
интерполирования; она дала в результате
355

а так как в эт0 вРемя Уже было
355
известно выражение числа п = , то Секи

lio

правильно вывел теорему, что объем шара
,, nd® . ,

V=~6~. 'м образом, правильное заклю-
чение был». .елано на основании остроумных,
но частных результатов, и потому последую-
щие ученые стремились дать теореме об объеме
шара более строгое обоснование. С этой
целью они самостоятельно пришли к тому
способу вычисления, основу которому поло-
жил еще Архимед в III в. до н. э. и кото-
рый употреблялся европейскими учеными
в эпоху, предшествующую открытию анализа
бесконечно малых, и повел к открытию инте-
грального исчисления. Именно, разделив ра-
диус шара /? на п равных частей, они делили
полушар плоскостями, параллельными его
основанию, на п слоев, причем в каждый из
этик слоев вписывали цилиндр. Выражая объем
аждого из этих цилиндров и суммируя полу-
ченные объемы, они получали все более и бо-
ее точные значения величины объема полу-
шара, от которых они сумели интуитивно
перейти к пределу полученной суммы при
п = оо и получить правильную формулу для
выражения объема полушаоа и шара. Следова-
тельно, ход их вычислений был тот, который
и сейчас можно встретить в наших учебниках
2 Математика и физика в средней школе, № 6.

для получения объема шара, именно: высота
каждого из вписанных в полушар (п—1)
р

цилиндров равна —; радиусы их оснований:

а потому сумма их объемов

LM2M3.+...+ .

12 2з 4- з2 . .4- (/и +

(эту формулу японские ученые знали ранее
европейцев), то выражению для V можно при-
дать вид:

Полагая в пределе я—оо, имеем

Pin V—п7?3 ( 1 —

п '

или

Иш У= —тг7?з,
О

откуда объем полушара

Г=1Я/?2==_^1Т^

а объем шара раген , где d — диаметр
шара.

Японское исчисление йенри и было постро-
ено на схеме, использованной в приведен-
ном примере вычисления объема полушара.
Именно: какую-либо из величин, входящих в
вычисление, они делили на несколько равных
частей, вычисляли элементы определяемой ве-
личины, находили сумму таких элементов цля
возможно большего числа делений и, наконец,
переходили к пределу для бесконечно боль-
шого числа делений, причем находили его,
руководясь неполной индукцией. Переход к
пределу не всегда было возможно произвести,
и потому японские ученые составили миоже-
ство таблиц, содержащих числовые резуль-
таты суммирования различных выражений, фи-
гурирующих в получаемых ими результатах.
Эти таблицы позволяли вычислять искомые
величины с огромной степенью точности.
Так,. знаменитый ученый Т а к е б е, ученик
Секи, дал, например, для выражения квадрата
длины дуги Z2 в окружности диаметра d, когда
хорда, стягивающая эту дугу, имеет длину
s, — ряд, сумма членов которого при наших
обозначениях может быть представлена в виде:

Такебе произвел вычисление членов этого ряда
до п =10 и, руководствуясь неполной ин-
дукцией, дошел до общего выражения Чи-
словые таблицы для суммирования многих ря-
дов по их общему члену были даны ученым
Вада Неи (1787—1840 гг.), но возможно,
что они употреблялись уже и ранее. В тех
случаях, когда предел суммы членов ряда
мог быть получен в конечном виде, то в
упомянутых таблицах он и помещался; так,
например, в таблицах Вада Неи даны значе-
ния для пределов выражений

Г=1

при п—> оо . Таким путем японские матема-
тики, в сущности, нашли значения многих
определенных интегралов, не будучи знакомы
с интегральным исчислением. В частности,
они применили метод йенри не только к вы-
числению длины окружности и площади круга,
поверхности и объема шара и его частей, но
и к гораздо более трудным и серьезным во-
просам вычислительной геометрии, каковы:
определение площади и длины дуги эллипса,
позерхности и объема эллипсоида; вычисле-
ние объема общей части двух пересекающихся
тел, начиная с пересечения двух цилиндров;
длины циклоиды, архимедовой спирали и
многих других вопросов. Особенно многочи-
сленны исследования способом йенри различ-
ных свойств эллипса; так, упомянутый ученый
Аида (1747—1817 гг.) написал об эллипсе
работу в 20 томах. В то же время японцы
до середины XIX в. не занимались свойствами
параболы и гиперболы и, повидимому, даже
не были с ними знакомы. Своим вычислитель-
ным методом они открыли многие разложения
функций в ряды, которые мы теперь получа-
ем при помощи диференциального исчисления,
хотя они с этим исчислением совершенно не
были знакомы,—например, ряд для sinx.
18

Тот же метод они с успехом прилагали к
решению некоторых задач на построение, на-
пример известной задачи Мальфа гти: в дан-
ный треугольник вписать три окружности,
касающиеся сторон треугольника и друг дру-
га, а также ряда других задач на касание
окружностей. Метод йенри применялся япон-
скими учеными еще для вычисления положе-
ния центров тяжести фигур и тел.

IV.

Развитие метода йенри продолжалось в
Японии до середины XIX в., когда в нее стали
все более и более проникать европейские
влияния, сначала через Китай, а затем и не-
посредственно, вплоть до 1868 г., когда страна,
наконец, была открыта для иностранцев. Ме-
тод йенри представляет, таким образом, выс-
пее достижение национальной японской мате-
матики. По существу он близок, как было
выяснено, к интегральному исчислению, или
вернее, к тем методам, на основе которых
выросло это исчисление: „методу исчерпания"
Архимеда, „методу неделимых" Кавальери,
способу суммирования рядов Валиуса и дру-
гих математиков — предшественников Ньюто-
на, Лейбница, братьев Бернулли и других
основоположников анализа. Является вопрос:
почему японские ученые не открыли диферен-
циального исчисления? Ответ на него, пожа-
луй, можно дать, учтя характер японской на-
уки рассматриваемой эпохи в сравнении ее с
европейской математикой. Японские ученые
пришли к своим открытиям вне связи с раз-
нообразной практикой, тогда как европейские
ученые стремились прилагать математику к
проблемам естествознания, что и привело их
в первую очередь к понятию о функциональ-
ной зависимости величин, о бесконечно малых
их изменениях и о пределе огношений этих
изменений. В частности, европейские ученые
прилагали свои математические знания к во-
просам физики, механики, астрономии и таким
путем изощряли и расширяли метод анализа.
Японцы же совершенно не стремились при-
лагать математику к изучению природы; она
была у них предметом кабинетной учености
небольшого круга интересующихся специали-
стов. Поэтому, хотя достигнутые ими резуль-
таты говорят об одаренности, трудолюбии и
глубоком интересе к математике японских
ученых, они не могут по своему значению
игги в сравнение с достижениями европейских
математиков. Естественно поэтому, что когда
им стала доступна европейская наука, они
поспешили ее усвоить и оставили исчисления
йенри.
Так, с 50-х годов XIX в. в Японии начало
распространяться применение логарифмов при
вычислении. С 1855 г. японцы с огромным
интересом начинают изучать европейскую выс-
шую математику под руководством некоторых
голландских ученых. В 1857 г. уже появля-
ется первая книга по анализу на японском
языке. В 1865 г. в Японию были приглашены
иностранные профессора математики, и зна-
ние основ современной европейской высшей
математики стало быстро распространяться
среди японских математиков. Однако, остава-
лись еще долго ученые старой школы, кото-
рые отдавали предпочтение способу йенри
перед анализом бесконечно малых. Последним
из них был ученый Хативара (1828—
1909 гг.), который, познакомившись с евро-
пейской наукой, находил, что она не выдер-
живает сравнения с японской, так как будто

бы не может решать те труднейшие вопросы»
которые ставила себе и решала эта последняя
и, в частности, решил он сам. Однако, для
большинства преимущества европейских мето-
дов были совершенно очевидны, и с 1868 г. в
Японии высшая математика получила полные
права существования. В 1877 г. был открыт
университет в Токио по европейскому образцу
с физико-математическим факультетом, а в
1879 г. — Академия наук с математическим
отделением. С 1888 г. стал выходить в Токио
журнал Математического общества для изу-
чения кватернионов. В конце XIX и начале
XX в. многие японские ученые заявили себя
крупными научными работами в области
математики, и в настоящее время япон-
ская математическая наука стоит на таком
же уровне, как и в государствах Западной
Европы.

ПРОСТОЙ СПОСОБ ВЫВОДА
ПРАКТИЧЕСКИ УДОБНЫХ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ
НА ВСЕ НЕЧЕТНЫЕ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ПЕРВОЙ СОТНИ (КРОМЕ 5)

•

В. КОСТИЩ (Ленинград)

Признаки делимости одного числа на дру-
гое, как известно, выражаются совокупностью
тех необходимых и достаточных условий, на-
личие которых позволяет утверждать, что
первое число делится на второе. При этом в
качестве делителя обычно рассматриваются
только простые числа. Общий способ вывода
признака делимости на любое простое число
можно найти в подробных курсах арифметики.
Так как он, за редкими исключениями, не
ведет к получению практически удобных при-
знаков делимости, то представляет интерес
вопрос, нельзя ли в этот способ ввести из-
менения, которые позволят получить более
удобные признаки.

Сначала напомним, в чем состоит сущность
общего способа вывода признаков делимости.

Пусть a = bq, где делимое есть число,
выражаемое k цифрами U,b-V Цк_2,...Ц0,
так что а есть многочлен
4-Z(-10ft-2-j-...ZZ1.10j-Z(0 Делитель b —
любое простое число (кроме 2 и 5).

Составим ряд остатков от деления после-
довательных целых положительных степеней
числа десять (к которым присоединена и ну-
2* *

левая степень числа десять) на рассматрива-
емый делитель Ь’.

16°( = 1), 101, Ю2,. ..10ft-2, 10ft-i. (1)

Пусть эти остатки (степенные вычеты) бу-
дут соответственно’

r0(=l)> rft_r (2)

Для любого нечетного простого делителя b
(кроме 5), как указывает теория чисел, остат-
ки в ряду (2) периодически повторяются,
причем число членов в периоде, в зависимо-
сти от вида числа Ь, есть или h — 1 или же
один из делителей (/) числа b— 1*.

Обозначив число членов в периоде через/,
разобьем соответственно этому ряд (2) на
группы по / членов в каждой:

Г„, Гд, r2...rf^ rf, rf+1, rf+2,...r2f_^...-
rmf rmf+y' • • • где в последней группе может
быто и неполное число членов.

* В ,,Disquls4iones arithmeticae" (art. 313—318)
Гауссом указаны все числа первой сотии е дли-
ной периода f=b — 1. Это числа 7, 17, 19, 23,
29, 47, 59, 61 и 97.
Тогда числу а можно придать вид.

о = Цо 4” ЩГ14~ ^2Г2 • • • 4~ Ц{-1г)-1 4"

4~ ^/r/4“^/+ir/+i' ^/^2'/+г4" • • 4"

4~ ^2/-1Г2/-1 4-

4-...............................4-

4-...............................+

4-Ю. (3)

Принимая же во внимание периодичность
остатков, в правой части равенства (3) можно
сделать еще упрощение, после которого (3)
примет следующий вид:

а=(^04-^/4 А/4-- • •) + riW/+/^+i4-
4~^2/ьт4~- • •) 4~Г2 %4" ^+2“' ^27+2)+• •
• • •4_/7-i^/-i4"^2/-i4_^3/-i4_- • -)4"^Q- (4)

Правые части обеих формул (3) и (4)
указывают, что необходимым и достаточным
условием делимости а на b является делимость
на b суммы всех слагаемых в правых частях
этих формул, кроме очевидно делящегося
на b последнего слагаемого bQ.

Пример 1. Вывести признак делимости
на 7.

В этом случае Ь = 7‘ г0 = 1; r7 = 3;
/-, = 2; л3 = 6; г4 = 4; г& = 5; и следователь-
но, f—6.

Условие делимости заключается в делимо-
сти суммы:

Цо + ЗЦ, + 2Ц2 + 6Ц3 + 4Ц4 + 5Ц5 +

+ Z/c + 3Z/7 + 2Z4 + 6ZZe+ ..

Замечая, что г0 4- rs = /7 4“ Ц = гг 4~
4 rs —7, преобразуем эту сумму в такую:
ц0+ЗЩ+2Ц2+7Ц3 - ц3 4- 7Ц-3 1Ц 4-
4-7ZZ5-2ZZ64-Z/64-3ZZ74-2ZZ84-7/7s-ZZ94-
4-7Z/io 3zZio4-7ZZn 2ЦП4"- • •

Поэтому

а = 7Q 4- (Цо 4- З/Д 4- 2Цг) -

-(Ц3 4- з//4 + 2Ц5) 4- (Ц6 4- зц7 4- 2Ц8)~

-(Цд4-зц104-2^,)4-...

После этого преобразования очевидно,
что для делимости числа (а) на 7 необходимо
и достаточно, чтобы число:

(Ц+зцг 4- 2Ц2) - (Ц3 4- зц4+2Z4) 4-...

делилось на 7. Отсюда вытекает следующее
правило. Разбиваем данное число а на

грани по три цифры в каждой, начиная от.
правой руки к левой, причем в крайней ле-
вой грани может оказаться и неполное число
цифр. Затем в каждой грани умножаем, счи-
тая справа, первую цифру на единицу, вто-

рую цифру на три и третью цифру на два. Нахо"
дим сумму таких произведений для всех граней-
после чего отдельно складываем суммы этих
произведений для граней, занимающих в числе
нечетные номера мест (считая с правой руки),
и отдельно же — для граней, занимающих
четные номера мест.

Если разность этих последних сумм есть
кратное семи или равно нулю, то число а
делится на 7.

Пример 1.

а = 5 1 значения г 3 1 3 5 4 2 3 1 9 8 1 2 3 1 9 0 2 2 3 1
произведения 15; 1 6; 15; 4 18; 24; 1 18; 0; 2
суммы 16 25 43 20

Так как (16 4 43) — (25 4-20) = 14, то
данное число а=51354981902 делится на 7.

Замечания. 1°. В соотношении

а = Ьд-\-г,''

где численное значение г<Ь, число г назы-
вается остатком (или вычетом) числа а по
делителю (или модулю) Ь.

Два чиста и а2, дающие при делении
на b один и гот же остаток, называются
р а в н о о с т а т о ч н ы м и, или сравним ы-
м и между собой по модулю Ь. Сравнимость
двух чисел обозначается так

П1~й2 (мод- ^)>

причем самое соотношение называется срав-
нением. Например, имеет место сравнение
13=10 (мод. 3). Указание модуля может
опускаться, если это не вызывает недоразу-
мений (например в процессе вычислений по
определенному заранее модулю). Да-
лее, очевидно, что всякое число (а) сравнимо
со своим остатком, если за модуль взять де-
литель (Л). Сравнимость какого-либо числа
с нулем показывает, что это число есть крат-
ное модуля. Например, сравнение 42=0
(мод. 7) равносильно утверждению, что 42
кратно 7.

Этими обозначениями мы воспользуемся
в дальнейшем для сокращения письма.

2°. В тех же целях при дальнейшем из-
ложении введем следующие удобные обозна-
чения для каждого из двух слагаемых, на
которые придется разбивать число а:

1) Через Цо; Ц7Ц0\ Ц2ЦгЦй и т. д.
будем обозначать слагаемое, изображаемое

одной, двумя, тремя и т. д. последними циф-
рами справа в числе а.

2) Полное число десятков, сотен, ты-
сяч, десятков тысяч и т. д., содержащееся в
числе а, т. е. Цк_7Ц}>^2.. .Ц7\ Цк-хЦк-.2.. .Ц2
и т. д. будем обозначать соответственно через
Д С, Т, ДТ и т. д.

Таким образом, число а может быть пред-
С1авлено в одном из следующих видов:
а-д. 1 о 4- ц0=с-1 о2 4- ад0 = т-1 оз +
4-ад1ц0 и т. д.

3°. Возвратимся к примеру 1. Нетрудно
видеть, что значительное число остатков (6),
правда, сведенное при обработке признака
к половине * * их числа (трем), служит главной
причиной, обесценивающей практическое
значение выведенного признака. Еще больше
остатков получится для чисел: 17, 19, 23,
29, 47, 59, 61 и 97. Причины этого могут
быть вскрыты средствами элементарной ариф-
метики.

Немногим лучше обстоит дело и для
остальных простых чисел первой сотни, кро-
ме 3, 11, 37, для которых признаки дели-
мости общеизвестны и на которых поэтому
мы в дальнейшем особо останавливаться не
будем.

Все вышесказанное заставляет искать
такие новые формы признаков делимости,
не упуская из вида общности их структуры,
которые основывались бы на разложении
числа (а) либо на возможно меньшее число
слагаемых, либо на ряд слагаемых с легко
исчислимыми остатками от деления на дан-
ный делитель, для которого выводится тре-
буемый признак делимости. Эти условия
легче всего осуществить, подбирая дяя
каждого отдельного делителя наиболее под-
ходящую форму вида

4-ц„_1ця_2...вд

и переводя ее в форму

a — bQ^a-Ц^Ц^.. .Ц„±:
±Мп_1цп_2...ц1ц0,-
где anf (неопределенные коэфициенты)
некоторые целые числа (желательно однознач-
ные). Также приводит к поставленной пели
нахождение в каждом отдельном случае
(для данного простого делителя р„. или про-
изведения простых чисел p^.-.Pg) наимень-

* Например, при обращении в периоди-
ческую дробь ^ = 0, (0163934423229508196721311
47540983Ь065573770491803е7868852459) получается
аналогичная признаку делимости иа 7 зависи-
мость между шестьюдесятью остатками:

-f- /go 1 -j- 60 - 61; -j- /gi —— 10 -j- 51 61;

*2 -f- /g2=39 -j- 22 = 61;... 29 4" = 6 -f- 55 = 61.

шего значения показателя степени (х), при
котором 10х=+а (мод. рт или мод.
PjP2...ре), где а некоторое целое однознач-
ное число.

Как удовлетворить этим условиям, не
выходя из круга элементарных арифметиче-
ских соображений, будет показано ниже.

Пример 2. Улучшить в практическом
отношении выведенный выше признак дели-
мости на 7.

Выбираем вид: п — Д-10*4-/К.

Так как г1 = 3, то делимость числа а
на 7 обусловливается делимостью на 7 сум-
мы Д-3 4-//0. Но так как число 2 взаимно-
простое с 7, то 2 (Д-3 4-Ц))> равное
(2Z/0 — Д) 4~ 7Д, делится или не делится на
7 одновременно с Д.3 4-/4- Отсюда про-
стой, практически удобный признак делимо-
сти на 7 *.

Признак делимости на 7. Число
делится на 7, если разность между полным
числом его десятков и удвоенной „цифрой"
единиц делится на 7.

Например, число 889 делится на 7, так
как 88—18 делится на 7.

Пример 3. Вывести признак делимости
на 111 (составное число!). Начав составлять
для делителя 111 ряды (1) и (2)

10°=1; 101 —10; 102=100; 103=1000;

го==1>' г1 = 10; '•2=10°; 'з=1='о-
видим, что дальше остатки периодически
повторяются. Поэтому

«-(/44-10/44-100/4)4-

4-(ц3 4-1о/44-1ооцб)4-...,
или, в соответствии с введенными сокращен-
ными обозначениями,

а = Ц21ДЦа + + • • • (мод. 111)

Отсюда вытекает следующий признак
делимости на 111.

Признак делимости на 111. Число
делится на 111, если делится на 111 сумма
всех чисел, изображаемых гранями по три
цифры в каждой, на которые разбивается
данное число от правой руки к левой.

Например, число 84138 делится на 111,
так как 138 4~ 84 = 222.

Замечание. Составное число 111 есть
произведение двух простых чисел 3 и 37;
кроме того, каждое из чисел 3, 37 п 111
делитель числа 1С3—1. Поэтому форма
только что выведенного признака есть об-
щая для делителя 111, делителя 37 и дели-
теля 3.

* Т. е. а~Д — 2Цй (мод. 7). В приведенном
примере: а = + 1 и р = — 2.
Например, 4206 делится на 3, так как
2064*4 = 210 есть число, делящееся на 3.

8066 делится на 37, так как 66 4*8 = 74
есть число, делящееся на 37;

20 535 делится и на 3 и на 37, так как
535 4-20=555.

Этот пример раскрывает возможность
получения признаков делимости обобщен-
ных иа группы простых делителей путем
отыскания признаков делимости на состав-
ные числа.

Пример 4. Число 833 делится на 71
(так как 83 — 6 делится на 7). Узнать, не
делится ли это число на более высокие сте-
пени числа 7.

Так как 100 = кр. 49 4*2, то число (а)
представляется в виде 72.Q4* 2£’4“^G^o>
откуда получаем критерий: „Число делится
на 72, если 2СД-ЦгЦ0 делится на 72“.

Для данного примера получается утверди-
тельный ответ, так как 2 • 8 -|- 33 делится на 72.

Рассмотренных примеров достаточно для
уяснения приемов, с помощью которых полу-
чены следующие вызоцы:

ТАБЛИЦА 1

Делитель

(Первоначальный вид признаков)

Вид просто-
го числа

Что должно быть кратным делителя

Пример

4zi+l 4zi+3

7
П

Сумма десятков числа и Цо

Сумма утроенного числа десятков и Цд

Разность числа десятков и Цд

Разность между учетверенным числом сотеи и

II. Цд

Разность между удвоенным числом сотен и

Ц« Ио

Сумма пятикратного числа сотеи и Цд Цд

Сумма восьмикратного числа сотен и Ц4 Цд

Сумма 13-кратного числа сотен и Цд Цд

Сумма семикратного числа сотен и Цд Цд

Сумма тысяч числа и Ц2 Цд Цд

Сумма сотен тысяч числа и Цд Цд Ц2 Цд Цо

Сумма 11-.<ратного числа тысяч и Цд Цд Цд
Сумма шестикратного числа сотен и Цд Цд
Разность между шестикратным числом сотеи и

Ui L'o

Разность между утроенным числом тысяч ч

Цд Ц, Цо

Разность между учетверенным числом десятков
тысяч и Цд Ц» Цд Цд

Разность между пятикратным числом тысяч и

Ц2 Ц, Цд

Сумма шестикратною числа тысяч и Цд Цд Цд
Разность между десятками тысяч числа и

Ц2 Цд Цд

Разность меж iy 27-кратным числом тысяч и

Цд I'd Ut Uo

Сумма четырехкратного числа тысяч и Цг Цд Цд

Сумма 11-кратиого числа сотен и Цд Цд

Сумма утроенного числа сотен и Цд Цд

741 = 75=12 = 0

6692 = 2009 - 609 = 189 = 0

2662 ^ 264 = 22 ^0

11 128 = 444= 28=416=16-16 = 0

1649 = 49 -32 = 0

1083 = 50 + 83 = 133 = 38 = 0

1081 = 161=69 =0

1189=143 +89 = 232=26 |-32“0
2077=140 + 77 = 217= 14+17=0

3589 = 592 = 592 — 555 = 37 = 0

860 567 = 60575 = 0

2881 = 22 + 881 = 903 = 0

36^1 =235 =0

5141=306 — 41=265=65— 12=0

2537 = 531 =0

52 277 2257 — 427 = 183 = 0

4757 = 737 = 0

6319 = 355 = 0

21243= 1241 = 1241—730= 511=0

44 951 =44 X 27 — 951 = 237 =0

8051=32 + о1=0

5607 = 616 {-7=623=66 + 23 = 0
1067 = 30 + 67 = 0

ПРИМЕЧАНИЯ

3; 11; 7. Из ряда остатков (1) исполь-
зованы только л0 и гг Для делителя 7 при-
знак делимости см, пример 2. Для дели-
теля 3 многократное применение признака,
22

данного в таблице I, приводит к его обычной
формулировке.

13—31. Для этих шести делителей приз-
наки получены с помощью разбиений; 100 =
= кр. 134*4 = кр. 17—2 = кр. 19-j-5 =
= кр. 23-|-8 = кр. 29-|-13 = кр. 31-J-7.
37. См. вывод признака 111.

41. =0,(02439). Так как период пя-

тичленный, то

а=bQ + Ц^ЦЦ.Ца + Ц,Ц8Ц7Ц6Ц,+...

Отсюда легко получить признак (анало-
гичный признаку делимости на 37), который
приложим к числам, состоящим не менее,
чем из шести цифр. Для чисел с меньшим
числом цифр он бесполезен и ниже будет
заменен другим.

Составление остальной части очевидно,
так как основано на вышеприведенных сооб-
ражениях.

Так как в обычной практике разложения
объектами являются числа не более чем

шести-семизначные, то целесообразно боль-
шинству из выведенных признаков придать
более простую форму, специально приспо-
собленную к практическим целям разложения
чисел не более, чем о шести-семи знаках.
Вместе с тем, соображения практического
характера требуют придания выведенным
признакам единообразной для всех их фор-
мы. При переработке таблицы 1 оказа-
лось полезным составление „Таблицы умноже-
ния нечетных простых чисел с выключением
числа 5е.

Самую таблицу, которую здесь излишне
приводить, легко построить, а пары про-
стых сомножителей, произведения которых
близки к целому числу сотен, указаны в конце
статьи.

ТАБЛ И-Ц А II

Делитель

(Окончательный внд признаков)

Вид просто-
го числа

Что должно быть кратным делителя

Пример

4п 1 1 4«+3

13 3 7 11 • • • Д+По . . . Д —2Ц0 . . . С + Ц| По . . . С + ЗП, Ц»
17 . . . С 8 Ц4 По или 2С—И1 По
19 . . . С + 4 Ц, По
23 • . . С + 3 L/q
29 31 ; • ; } с + 9 ц, По
| 37 ... 3 С-7 Ц, Цо или Т + Но Ц( Цс
1 41 . . . 3 С+7Ц, 110 или СТ + Цо П3 Ц2 Ц, Цо
43 . . . С - 3 Ц, Но
47 . . . С + 8 Ц, Цо
53 . . .6 с-ц, ц0
59 . . . 5 С + 3 Щ Ц, или 3 Т - Ца Hj По
61 • ... 7 С+8 Ц, Цо
67 . . . С-2 Ь, Lio
71 . « . 3 С -f- 5 Но или С — 22 Ц| Но
73 ... 3 С-8 Ц, По или ДТ - Ц3 Ц? Ui Цо
79 . . .5 С + 4 а
83 . . • 2 С + 5 ЕЦ Цо
89 . .'.C-ь Hi По
97 ... 3 С h ЦДо

343=34 — 6 — 0

72 039 .-= 759 = 66 = 0

11 141 = 111 + 123 =234 — 2 +

4- 102 SO

1513 = 15 + 104 = 119 = 0; или

1513 = 30-13 = 0
5529=55 + 116= 171 = О
1817= 18-' 51=69 = 0
2407 = 24 + 63 = 87S0
3007 = 30 + 63 = 93=0
2701 =81 — 7 = 74SO; или

742 257 = 742 + 257 = 999 = 0
1517 = 45 + 119= 164 = 0
2881 = 243 — 28 = 215 = 0

3901 = 39 4 8 = 0

2609= 168 - 9= 159 = 0

2537 = 125 + 111 — 236 = 0, или

2537 s 537 — 6 = 531 = о

2501 = 175 +8= 183 s0
1943 = 86 -19 = 67 s0
29Н =87+55 = 142=0; и ш

2911 =242 — 29 = 213=0
2701=81- 8 = 73SO
1101=75 + 4 = 79 = 0
8051 = 160 + 255 = 415 = 0
5607 = 56 — 56=0

1067 = 30 + 67S0

ПРИМЕЧАНИЯ

1) После примеров 2, 3 и 4 и замечания
о выборе общей формы ооработки признаков
делимости, остается только на нескольких
примерах показать детали преобразований,
быстрее всего ведущих к поставленной цели,

Учитывая, что испытуемые делители принад-
лежат к первой сотне, а числа, делимость
которых исследуется, суть обычно четырех-
семизначные, целесообразно формуле

a = *Q±aZW4_2...tf„±
вообще говоря, придать вид

а = bQ ± аЦ^Ц^2. ..Ц2± ^Цо,

ити в вышепри пятом сокращенном обозна-

чении

a = bQ±aC±^U2

и искать значения коэфициелтов а и $ в про-
цессе преобразований правой части послед-
т.ей формулы. Детали этих преобразований
(имеющих общий для всех делителей харак-
тер) легко уяснить из отдельных примеров.

Так, при выводе признака делимости на
13 имеем

а = С.100 + адо = С-(кр. 13-4)4-

4- цгц0=кр. I з 4- (- 4С4- ц1 цоу

Признак уже получен, именно: для де-
лимости числа (а) па 13 необходимо и дос-
таточно, чтобы разность между учетверен-
ным числом его сотен и числом, изображен-
ным цифрами его десятков и единиц, дели-
лась на 13. Для выведенного признака

а = — 4 и р =4~ !•

Но признак тем практичнее, чем меньше
коэфициенты s и fj. Б данном случае замены
их на меньшие можно достичь следующим
преобразованием. Замечая, что — iC-y-Ц^Цд
делится или не делится на 13 одновременно
с 3 (— преобразовываем:

з (- 4С+ад) = - 12С4- зад=
=— 1зс4- (С 4-зад),

откуда видно, что для делимости числа на
13 требуется, чтобы сумма (С-|~ 3ZZjZ/0) де-
лилась на 13. А это и есть выведенный
в таблице II признак.

2) Так как 80С —кр. 17-р1,то 800<?4-
4-8Т(//0=-=кр. 17 4-(С 4-867^). Чтобы
получить второй вид признака делимости на
17, достаточно выполнить преобразование:

2 (C-j- 8ад) = 2С4- 1бад =
= 17ZZ1Z/04-(2C-Z/1ZZ0).

3) Для приведения признака делимости
на 19 из формы, указанной в таблице I,
в форму, данную в таблице II, требуется пре-
образование

4 (5C4-Z/]Z/0) = 19С4- (С-}- 4Ц1Ц0).

4) Для делителя 23 выполнено преобра-
зование 3 (8С4-Ц2Ц0) = 23С4- (6*4- SZ/jZ/j),
результат которого (общность формы приз-
нака делимости на 13 с признаком делимо-
сги на 231) трудно было бы предвидеть без
вышеупомянутой „Таблицы умножения". Пос-
ледняя, очевидно, дает ключ к отбору пар
24

простых чисел, для которых можно дать
одну и ту же форму удобного признака де-
лимости.

Вывод признака, общего для 13 и 23,
является в то же время выводом признака
делимости на их произведение 299 и состоит
в следующем преобразовании: lOOC’-j-Z/jZ/o
заменяется на

3OOC4-3Z/,ZZo=Kp. 2994-(C4-3Z/]Z/0).

Аналогично обобщается признак делимо-
сти для пар (17; 47) и (29; 31).

5) Так как

700 = кр. 37 — 3 = кр. 41 4- 3,

то

формы

(зс-7ад) и (ЗС4- 7ад),

которыми определяются условия делимости
на 37 и на 41, различаются только знаками
(-|4 и (—).

6) Для делителя 53 выполнено преобра-
зование

с.юо4-ад=кр. 53 - (бб?4-ад).

Двойные пргзпаки

Составив „Таблицу умножения простых
чисел", отберем все пары простых чисел,
произведения которых близки к целому чис-
лу сотен. Эти пары разбиваются на следую-
щие четыре группы:

а) 17X23; 17 Х41; 17X47; 17X53
и 17 X 59. Преобразования

17-23 = 391 =400 — 9,

4006’4- 4ЦгЦ0 = 96*4- 4ад;
17-41=697 = 700 — 3,
700С4- 7ад = ЗС4- 7ад;
17-47 = 799 = 800— 1,
800С4-8ад(= 614-8Z/1Z/0;
17-53 = 901=900 4-1,
90СС4- эад = - С4- 9ад;
17-59 = 1003= 1000 4-3,
1000т4-ц2ц.ц0=~ зг 4-ц^Цд,
давая признаки делимости на 391, 697,
799, 901 и 1003, тем самым доставляют
соответственные признаки делимости на пары
группы (а). Эги же признаки могут служить:
первый — признаком делимости на 23, вто-
рой — для 41, третий — для 47, четвертый —
для 53 и пятый — для 59. Кроме того, каж-
дый из них представляет одну из форм при-
знака делимости на 17.

Ь) 7 X 13; 7 X 29; 7 X 43 и 7 X 71.
Преобразования

7.13 = 91 = 100 — 9,
юос4-ад=9С4-ад;
7-29=203=200 4-3,
200С4- 2ЦгЦ0 = - ЗС4- 2Ц^0;
7-43 = 301 =300 4-1,
300С4 - Зад = - С4- 32///О;
7-71 =497 = 500 — 3,
500С4- зс+ 5UiU>

приводят к аналогичным выводам относитель-
но делимости на числа 91, 203, 301 и 497;
на нары группы (Ь) и на делители 7, 13,
29, 43 и 71.

с) 13%23; 13X31 и 13 Х61-
Преобразования

13-23 =299 = 300— 1,

300С4- зад=С4- зад;

13-31=403 = 400 4-3,

40СС4- 4ZZjZZ0 = - зс4- 4ад;
13-61 =793 = 800 — 7,
800 С4- 8ад, = 7С4- 8ЦгЦ0

дают аналогично признаки делимости на чи-
сла 299, 403 и 793 и на их делители.

d) Наконец, для группы 19 X 37, 19 X $3
той же рели служат преобразования:

19-37 = 703 =700-|-3,

700С4- 7ад = — ЗС 4- 7ЦД,;

19-53=1007=1000 4-7;

1000С4- юад0=- 7С4- юад,.

„Таблица умножения" дает еще одно
удобное число 899 (=29-31). Преобразо-
вание 900С4-9ЦгЦ0= С-]- 97/jl/o уже по-
служило для вывода соответствующих при-
знаков в таблице II.

Запомнить все выведенные здесь признаки,
может быть, затруднительно. Однако, многие
из них так просты (признаки делимости на
7; 11; 13 и 23; 97; 19; 17 и 47; 67), что
без труда удержатся в памяти, значительно
обогатив обычный запас признаков дели-
мости.

Кроме того, не следует упускать из виду,
что, пользуясь признаками делимости, мож-
но легко и быстро находить остатки от де-
ления любого числа на заданный делитель,
если только известен соответствующий при-
знак делимости.

О МЕТРИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЯХ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Проф. И. ИЗВОЛЬСКИЙ (Москва—Ярослазль)

В статье С. И. Зетеля „Определение
длин биссектрис внутренних и внешних уг-
лов треугольника („Математика и физика в
средней школе", № 4 за 1934 г.) автор по-
лучает, исходя из соотношений, связывающих
различные отрезки треугольника, известное
равенство для углов треугольника:

sin А sin В 4~ sin С=

. А В С

= 4 cos ту cos .- cos .

Z Z Z

Но возможно итти обратным путем: из
тригонометрических соотношений для углов
треугольника получать соотношения метри-
ческого характера для отрезков, определяемых
треугольником.

В дальнейшем даны примеры, приводящие,
правда, не к очень интересным соотношениям,
но, быть может, этот метод позволит найти
и другие, более интересные, соотношения.

Известно, что если Л4-^4_^=7Г' то

1) tg44-tgB4-tgC=tg A-tgB-lg С;

2) sin А 4-sin В 4- sin С=

. А В С

= 4 COS COS -у cos у -

Пусть в ДАВС (черт. 1) построены вы-
соты AD, ЕЕ и С/7; будем их обозначать
соответственно через hlt h2 и h2. Эти высоты
делят стороны треугольника на отрезки, ко-
торые обозначим через av а2, Ьг Ь2, сг и с2,
как на чертеже. Тогда

tg 4 =

Ла

ei
tgC=-^
6 «1

с2
Лд

Подставляя это в данное выше равенство
для тангенсов, можем получить:

или

Лд । Л8 I Лд ___ЛдЛ^з

Лд "Г Сд Дд д Ас, ’

। СдДд . а1Ь1 __ .

ЛдЛ8 ' h3/zt ' Лд/г2

Так же получим:

Лд ____Лд/гдЛд

Лд д^ЛдСд ’
но нельзя обе части этого равенства разле-
/ h, h«\

лить на • так как эт0 выражение

равно нулю.

Воспользуемся теперь равенством

ЛВС

sin A -f- sin Z?-J~ sin С = 4 cos cos -j cos у.

Если обозначим, как обычно, стороны
треугольника через а, Ь, с, его периметр че-
рез 2р, радиусы вписанного и описанного
кругов через г и /?, то имеем:

• л а Ъ . у-, с

3mA=2R’ ^В = ^, sinC=2/?;

4i рт. 1,
или

I iy2 । аЛг .

Отсюда получаем:

fr<ct — /’дСд clai — Сдйд g1Z’1 — g2fr2
л2л3 “г л3»,

или

<Vi — b2cz) Aj 4- (Cjflj — сга2) /г2 -|-
+ (а,Л1 — а/2)/г3 = О.

2. Складывая все шесть выражений для
тангенсов углов, получим:

___2^|7/'2^з_____2/ц/?2Й3

Aj/'fC] a2b2c2 ’

или, замечая, что а, = а, Ьг-\-Ь2 = Ь
и с1+с2 = с:

hta । Лой , V 2^,/zjOg 2Л(/г2Л3

й|й2 ^1^2 С|С2 ZZj7Z|C| й2&2с2

Но h3a = h2b = hac = 2Q, где Q площадь
треугольника.

Следовательно, получим:

1 । 1 । 1 /’,/1.2'1^ _ hihjtb

ata.2 ' btb.2' с,с2 Qalblci Qa.2b2c.2

Предостерегаем о возможности одной
ошибки.

Мы можем получить:

<7j п с2/ лАса

Вычитанием из этих двух равенств по-
лучим:

hi h2 fig (hi hg

ai b2 qc2\n( b2

для косинусов половин углов получим (см.
черт. 2):

Черт. 2

центра вписанного круга. Тогда, согласно
равенству

sin А —sin В sin С=4 cos ycos~J c0ST ’

получим

g + 6 + с__ г — а р — Ь . р — с

2R с, bt Ci ’

или

Р __ —g)G»- Ь)(р -_с)

R afiiCi

_ А . __4р(р —а)(р— 6)(р — c)-R

ai°ici pi •

или

аАс1 = = 4/е^ = /? (2г)2,

где Q площадь треугольника и Q = рг. Итак:
произведение расстояний центра вписанного
круга от вершин треугольника равно произ-
ведению радиуса описанного круга на квад-
рат диаметра вписанного.
О ТВЕРДОСТИ И ТЕКУЧЕСТИ

Доц. Н. КУЛАКОВ (Москва)

Классические работы Эндрюса и Ван-дер-
Ваальса, имеющие большое значение и по
настоящее время, твердо установили непре-
рывность жидкого и газообразного состояний
вещества и в связи с понятием о критической
точке дали количественное выражение этой
непрерывности. Несколько иначе обстоит дело
с вопросом о связи между жидким и твердым
состояниями. Несмотря на то, что по ряду
свойств, например по плотности, сжимаемости,
теплоте испарения, жидкости ближе к, твер-
дому состоянию, их все же больше принято
сближать с газами, а не с твердыми телами.
Само разделение тел на жидкие и твердые
имеет в основе своей нередко различные при-
знаки. В недавнее время казалось, что в основу
классификации тел можно положить различие
внутренней структуры.

Большинство твердых тел имеет правиль-
ное расположение атомов или молекул, имеет
так называемую кристаллическую структуру,
и эта структура, казалось, резко отличает
твердое кристаллическое тело от жидкого и
газообразного состояний, не имеющих этого
правильного расположения атомов или моле-
кул. Эта точка зрения как будто подтвер-
ждается явлением скачкообразного перехода
кристаллических тел в жидкое состояние при
температуре плавления. Подтверждением эюй
же гочки зрения является как будто и недавно
открытый Бриджменом факт существования
под большим давлением тел в твердом состо-
янии при температурах выше критической,
когда всякое различие между жидким и газо-
образным состоянием уже исчезает. Совер-
шенно ясно, что при такой классификации
все так называемые аморфные тела, не име-
ющие кристаллической структуры и являю-
щиеся по Тамманну переохлажденными жид-
костями, относятся к телам жидким, между
тем как по ряду свойств они ближе к телам
твердым, кристаллическим.

Структурное различие, положенное в ос-
нову классификации тел на твердые (кристал-
лические) и жидкие (аморфные), оказалось
различием лишь кажущимся. Еще в 1888 г.
О. Леман и Рейницер обнаружили при плав-
лении бензойно-кислого холестерина для того
времени странное явление,—это вещество об-
ладало двумя жидкими фазами: при 145° С
оно плавилось и превращалось в мутную жид-
кость, а при 179° С эта мутная жидкость
становилась светлой. При обратном охлажде-

нии явления протекали в обратном направле-
нии. При исследовании в поляризационном
микроскопе мутная фаза оказалась двояко-пре-
ломляющей, т. е. обладающей свойством, в
те времена известным только у кристаллов.
Леман назвал эту мутную жидкую фазу
бензойно-кислого холестерина текучим кри-
сталлом.

Вскоре к бензойно-кислому холестерину
присоединились другие вещества, преимуще-
ственно из производных бензола и родствен-
ного ему нафталина, у которых также на-
блюдалась жидкая фаза, обладающая двояко-
преломляющей способностью. В настоящее
время, благодаря рентгенографическим и эле-
ктронографическим исследованиям, совершен-
но определенно установлено для многих жид-
костей наличие у них правильного кристал-
лического строения, хотя кристаллики этих
жидкостей весьма малы, имеют размытые очер-
тания и разделены значительной по сравне-
нию с размерами кристалликов аморфной
прослойкой. Эта прослойка, возможно, с по-
вышением температуры утолщается, кристал-
лики при этом мельчают, и только при очень
высокой температуре, близкой к критической,
жидкость становится подлинно аморфным те-
лом. Наконец, известно, что в переохлажден-
ных жидкостях имеются центры кристалли-
зации, которые также представляют собою
маленькие кристаллики.

Все это, как говорит Я- М. Френкель
в монографии „Теория твердых и жидких тел",
„делает жидкости подобными микрокристал-
лическому твердому телу и заставляет рас-
сматривать процесс плавления не как переход
кристаллического состояния в аморфное, а как
бы аллотропическую модификацию, сопрово-
ждаемую изменением величины кристаллов и
типа кристаллической структуры".

В обычной классификации гел на газооб-
разные, жидкие и твердые в основе лежит
разделение тел по их упругости формы и
объема, в частности различие между жидким
и твердым состояниями усматривается в отсут-
ствии у жидкости, в противоположность твер-
дому телу, упругости формы.

Согласно этим обычным представлениям
характерной особенностью жидкого состояния
считается ббльшая подвижность частиц жид-
кости и отсюда ее текучесть.

„Текучесть" жидкости определяют как ве-
личину, обратную коэфициенту внутреннего
1’репня, или вязкости, жидкости. Явление вяз-
кости, или внутреннего трения, жидкостей со-
стоит в след} тощем: когда одна часть жидкости
приводится в движение, то соседние части
также вовлекаются в это движение, оказы-
вая при этом большее или меньшее, в зави-
симости от природы жидкости, сопротивле-
ние, Это явление легко объяснимо с точки
-рения кинетической теории: молекулы при-
шедшего в движение слоя жидкости, участ-
вуя в общем движении слоя, сохраняют свои
собственные относительные движения. Те, ко-
торые вследствие теплового движения пере-
ходят в соседний слой, сохраняют здесь свою
скорость, которую они имели в первом слое,
участвуя в его движении, и сообщают по-
средством соударений молекулам нового слоя
некоторую скорость в направлении общего
движения. Вследствие этого все новые и новые
слои жидкости вовлекаются в движение в на-
ноавлении движения первого слоя. Обратно,
молекулы второго слоя, медленнее движуще-
гося, переходя в результате теплового дви-
жения в первый слой, вовлекаются в его дви-
жение, в то же время замедляя его. Таким
образом, между двумя слоями возникают как
бы силы трения.

Теория течения вязкой жидкости дана была
еще Ньютоном. По основному положению
Ньютона величина силы Взаимодействия между
слоями жидкости, движущимися относительно
друг друга, пропорциональна поверхности
„соприкосновения" слоев (S) и градиенту ско-
/ dv \

рости I — I, т. е.

ние давления, под которым протекает жид-
кость, объема протекающей жидкости за оп-
ределенное время и размеров капилляра поз-
воляет определить вязкость жидкости.

Теория течения вязкой жидкости в капил-
лярах была разработана еще в 40-х годах
прошлого столетия Гагеном и Пуазейлем.
Согласно этой теории, объем жидкости, про-
текающей через капилляр, находится в пря-
мой пропорциональной зависимости от вели-
чины давления. Графически эта зависимость
представляется прямой, проходящей через
начало координат. Последнее обстоятельство
особенно важно, так как этим подчеркива-
ется, что жидкость, в отличие от твердого
тела, абсолютно лишена упругости формы и
что в ней при всяком, даже весьма малом,
давлении имеет место распространяющееся по
всему сечению трубки вязкое течение. Дру-
гими методами определения вязкости жидко-
сти являются метод коаксиальных цилиндров
и метод падающих шариков. Подробное из-
ложение как самой методики определения вяз-
кости, так и описание применяемой при этом
аппаратуры можно найти в книге Э. Г а т ч е к а
„Вязкость жидкостей", переведенной с англий-
ского под ред. проф. М. П. Воларовича.

Коэфициент внутреннего трения жидкости
является константой для каждой жидкости,
величина которой, однако, зависит от темпера-
туры и давления. Вязкость всех жидкостей
уменьшается с повышением температуры. На
рисунке 1 приведены кривые зависимости вяз-
кости от температуры для воды и ртути, за-
имствованные из книги Гатчека. Увеличение
давления вызывает увеличение вязкости жид-
кости. На рисунке 2 представлены кривые

где к] — коэфициент, зависящий от рода жид-
кости и называемый коэфициентом внутрен-
него трения, или вязкостью жидкости. Если
Р выражена в динах, S — в слт2, а градиент
скорости в сел:-1, то ц выражается в пуазах.
Употребительна единица вязкости в 100 раз
меньшая, чем пуаз, называемая пентипуазом.
Вязкость воды при 20° С примерно равна
одному центипуазу.

Уравнение Ньютона лежит в основе раз-
нообразных методов определения вязкости
жидкостей. Распространено определение коэ-
фициента внутреннего трения из определения
времени истечения определенного объема жид-
кости через капиллярную трубку. При дви-
жении жидкости по трубке слой ее, непос-
редственно соприкасающийся со стенкой
трубки, остается вследствие прилипания к
стенкам неподвижным, в то время как ско-
рость жидкости вдоль оси наибольшая. Зна-
2Ь
зависимости вязкости от давления для этило-
вого спирта и сероуглерода. С качественной
стороны зависимость вязкости от давления
для всех жидкостей за исключением воды
такова же, как и представленная на рисунке
2. Для воды при температурах ниже 30° С
вязкость с ростом давления сперва убывает,

достигая минимума около 1000 атм., а затем
снова возрастает. При температурах выше
30° С вязкость годы с ростом давления не-
уклонно возрастает.

Итак, распространенное представление счи-
тает характерной особенностью жидкого со-
стояния его текучесть.

Твердому телу, в отличие от жидкости,
приписывается „твердость", т. е. упругость
формы, или свойство сохранять свою форму
и восстанавливать ее, если деформирующие
силы не превзошли так называемого предела
упругости, величина которого и принимается
за меру твердости. Неправильность такого
представления ясна хотя бы из того обстоя-
тельства, что переохлажденные жидкости, ка-
ковыми являются аморфные тела, обладают
значительной твердостью. Эта твердость от-
нюдь не лишает их текучести, хотя вязкое
течение аморфных тел под влиянием внешних
сил происходит так медленно, что трудно
наблюдаемо. Общеизвестно явление течения
сапожного вара даже под действием своего
веса. Если в воронку положить несколько кус-
ков вара, то через день, через два они сами
собою срастаются в один сплошной кусок.
Этот кусок мало-помалу начнет вытекать,
и через 15—20 дней покажется снизу первая
капля, и через несколько месяцев вытечет
большая часть вара. Если на пластинку вара
положить металлический шарик, а под нее

пробки, то через некоторое время пробки
всплывают, а шарик тонет. Вместе с тем, если,
ударить по пластинке из вара молотком, то
она раскалывается на куски. Таков же по
своим свойствам асфальт, который способен
течь и в то же время дает осколки, как стекло
если ударить по нему молотком; по расте-
кающемуся асфальту можно ходить, не остав-
ляя следов, но длительное стояние на нем
оставляет следы. Не менее известны также
явления течения при больших давлениях тел
кристаллических, например металлов. Явление
течения металлов наблюдал Треска. Он на-
кладывал друг на друга ряд металлических
пластинок, помещал их в прочный цилиндр
с отверстием в дне и подвергал давлению в
несколько тысяч атмосфер. Во всех случаях
металл вытекал из отверстия в виде высту-
пающего из цилиндра наружу стержня. Этот
стержень в опытах Треска продольно пополам
распиливался и подвергался шлифовке. Тогда
ясно выступали линии, соответствующие гра-
ницам ранее наложенных пластинок. Форма
этих слоев весьма похожа на контуры выте-
кающей вязкой жидкости. На текучести метал-
лов основан ряд приемов обработки металлов
давлением.

Значительной текучестью обладает лед,
причем его течение также во всех подроб-
ностях напоминает течение вязкой жидкости.
Это течение льда, например, наблюдается на
ледниках, медленно спускающихся с гор.
Массы льда, в зависимости от ширины и фор-
мы русла, то суживаются, то расширяются,
подобно вязкой жидкости. Середина потока
при этом перемещается с большей скоростью,
чем края. Грандиозность этого явления всегда
возбуждала удивление. В свое время еще
Тиндаль много внимания уделил изучению
движения ледников. Во времена Тиндаля пред-
полагали, что ледник плавится в тех местах,
где напряжение делается очень большим и
что образовавшаяся вода уходит прочь, вслед-
ствие чего давление в этих местах уменьша-
ется. Освободившаяся вода попадает в пустое
место или трещину и снова замерзает. Таким
образом происходит приспособление ледника
к форме русла. Такое объяснение встречает
серьезное возражение и неприменимо для
ледников Арктики и Антарктики, где темпе-
ратуры настолько низки, что практически
никакое давление не в состоянии расплавить
лед. Остается допустить, что лед течет, оста-
ваясь в твердом состоянии. Можно было бы
привести еще примеры течения твердых тел,
но и из тех, которые мы привели, совер-
шенно ясно следует, что текучесть не является
качеством, присущим только жидкостям, но,
хотя и не в равной мере, текучестью обла-
дают и твердые тела.

С другой стороны, и так называемая
„твердость", т. е. упруюсть формы, отнюдь
не является качеством, присущим только твер-
лым телам. Еще в 1900 г. Шведов показал,
ч го ряд жидкостей проявляет, правда — в сла-
бой степени, свойства твердых тел. Шведов
ломещал исследуемую жидкость между двумя
концентрическими цилиндрами; внешний ци-
линдр был неподвижен, а внутренний подве-
шивался на металлической нити, являющейся
продолжением его оси. Если закрутить нить
V верхней точки ее прикрепления, то подне-
сенный на ней цилиндр под действием кру-
тящей пары поворачивается вокруг своей оси.
Если жидкость лишена „твердости", она сле-
дует за движением цилиндра, и лишь вязкость
ее несколько замедляет движение цилиндра.
Хилиндр возвратился бы в состояние покоя,
когда угол кручения нити сделался бы рав-
ным нулю. Это действительно и наблюдается
даже для таких вязких жидкостей, как гли-
церин. Шведов производил свои опыты е вод-
ным раствором желатины, и оказалось, что
даже при весьма малой концентрации движение
цилиндра останавливалось раньше, чем он по-
вернется на угол, равный углу кручения
нити.

Следовательно, жидкость оказывает ста-
тическое сопротивление крутящей паре, кото-
рая продолжает действовать со стороны не
совсем раскрутившейся нити, т. е. жидкость
-определенно проявляет упругость формы,
произведенные Шведовым определения твер-
дости 0,5 °/0 раствора желатины дали вели-
чину, правда, малую, но измеримую и сравни-
мую с аналогичной величиной для твердых
тел. Сопоставление найденной величины с уп-
ругостью стали показало, что „твердость"
раствора желатины примерно в 2.1012 раз
леньше, чем для стали.

В описываемых нами опытах Шведову
удалось наблюдать у раствора желатины на-
личие остаточной длительной деформации.
Если после того как нить, на которой под-
вешен внутренний цилиндр, была закручена
ча некоторый угол, а цилиндр, следуя за ней,
повернулся на угол меньший, чем угол кру-
чения нити, возвратить нить обратно к состо-
янию, при котором угол кручения ее был
бы равен нулю, то казалось, что раствор
желатины должен был бы вернуться к
своему первоначальному состоянию, вращая
внутренний цилиндр в обратную сторону.
Однако, когда деформация закручивания
жидкости была достаточно длительной, то
она не раскручивалась полностью, а в ней

ЛО

наблюдалась некоторая остаточная дефор-
мация.

Следует заметить, что раствор желатины
относится к так называемым коллоидным рас-
творам, представляющим собою двухфазные
системы. Исследования последних 30 лет, про-
изведенные рядом исследователей, показали,
что у коллоидных растворов, равно, как и
у грубых дисперсных систем, например сус-
пензий, коэфициент внутреннего трения не
остается постоянным. При измерениях в ка-
пиллярных вискозиметрах вязкости коллоидных
систем обнаруживается уменьшение вязкости
с увеличением скорости истечения коллоид-
ного раствора из капилляра, а в случае
коаксиальных цилиндров вязкость оказывает-
ся уменьшающейся с увеличением угловой
скорости вращающегося цилиндра. Явление
это получило название „аномалии вязкости",
поскольку" такие системы не подчиняются
основному уравнению Ньютона.

Для описания явления „аномалии вяз-
кости" был предложен ряд эмпирических
уравнений, из которых наибольший интерес
представляют те, которые являются попыт-
ками изменить основное уравнение Ньютона.
Таковы уравнения, предложенные исследовате-
лями Бингамом, Букингамом, Рейнером и др.
В основе большинства этих исследований
предлагается для характеристики систем с
аномальной вязкостью принять две константы:
предельное напряжение сдвига и величину,
аналогичную коэфициенту внутреннего трения
в уравнении Ньютона. Согласно этим пред-
ставлениям коллоидный раствор сохраняет
свою форму под действием малых сил, т. е.
испытывает только упругие деформации, не
увеличивающиеся со временем, но после того
как эти силы достигли определенного предель-
ного значения, он легко деформируются и
течет аналогично вязкой жидкости.

Мысль о сочетании в одном теле свойств
текучести и „твердости", т. е. упругости
формы — не новая. Эта идея была сформули-
рована еще Максвеллом в его теории пла-
стичного, или вязко-упругого, тела. Основ-
ное уравнение этой теории имеет вид:

Р = кх-\-^,

где х—элемент деформации, например сдвига,
Р — соответствующее напряжение сдвига,
k— модуль сдвига (или упругости, в случае
иного вида деформации). Уравнение показы-
вает, что результирующее усилие складыва-
ется из усилия, вызывающего упругую де-
формацию, и усилия, обусловливающего собою
вязкое течение. Идеи Максвелла можно вы-
разить и иначе, а именно:

dx 1 dP ! 1 р
dZ k ~dt ' т)

Согласно этому уравнению, деформация
упругого вязкого тела складывается из упру-
гой и вязкой. Если в последнем уравнении
положить x = cosnst., то иочучается следу-
ющее выражение:

о—р .

* —'о

Это уравнение характеризует процесс ре-
лаксации, т. е. расслабления напряжения.
Величина Т называется периодом релаксации,
это—то время, за которое величина напряже-
ния убывает в е раз (е — основание нату-
ральных логарифмов). В описанном выше
опыте Шведова раствор желатины обладал
некоторым модулем сдвига и определенным
периодом релаксации. Время ре таксации свя-
зано в теории Максвелла с модулем сдвига
и вязкостью соотношением:

у. k

Этим соотношением и пользовался Шведов
в описанных выше опытах для определения
k и Т. а отсюда и коэфициента внутреннего
трения желатины. Однако, эти определения
имеют лишь приблизительное значение, так
как закон релаксации для коллоидных систем
не выполняется полностью.

С точки зрения изложенной теории
Максвелла, „твердость" или текучесть тела
зависит от той скорости, с которой совер-
шается деформация.

Если деформация тела возрастает очень
быстро, то второй член уравнения Максвелла
делается ббльшим, напряжение Р может до-
стигнуть величины большей, чем предел проч-
ности данного вещества, и наступает разру-
шение материала; в этом случае говорят, что
тело хрупкое. При медленном же возрастании
деформации тело течет, не разрываясь, т. е.
так, как вязкая жидкость. Отсюда понятие
текучести есть понятие относительное, зави-
сящее от скорости изменения деформации,
и обнаруживается, если деформация возрас-
тает медленно. Также относительно, с этой
точки зрения, и понятие „твердости", кото-
рая проявляется лишь при условии быстрого
возрастания деформации

Изложенные соображег ия, развитые Макс-
везчом применительно к аморфным телам,
применимы, очевидно, и к жидкостям. Раз-
личная текучесть и „твердость" аморфных
твердых и жидких тел целиком об меняется

тем, что период релаксации для жидкостей
мал, в то время как для твердых аморфных
тел он велик. Приведем значения периода
релаксации для воды и канифоли, заимствуя
их из книги Н П. Пескова „Физико-хими-
ческие основы коллоидной науки": период
релаксации воды равен 3-10“6сек., а кани-
фоли, при 12°С, 4-10е сек. Из приведен-
ных значений совершенно очевидно, что вся-
кая практически быстро возрастающая дефор-
мация воды все же будет весьма медленной
по сравнению с величиной ее периода релак-
сации, а потому вода всегда практически
текуча. Для канифоли даже относительно
медленно изменяющаяся деформация оказы-
вается быстрой по сравнению с очень боль-
шим периодом релаксации, отсюда „твер-
дость" и, наконец, хрупкость канифоли.

Приведенные рассуждения находятся в
полном соответствии с явлением, о котором
мы уже упоминали, а именно: с убыванием
вязкости жидкостей при повышении темпера-
туры. С повышением температуры жидкости
мы приближаем ее к газообразному состо-
янию; наоборот, понижая температуру, мы
приближаем жидкость к твердому аморфному
состоянию. По исследованиям Варбурга, вяз-
кость жидкого ангидрида угольной кислоты
вблизи критической температуры будет при-
близительно того же порядка, что и для га-
зообразного, находящегося под давлением,
равным критическому давлению. При этом
интересно, что у газов в обычном состоянии
вязкость не зависит от давления, а при тем-
пературах, близких к критической, наблюда-
ется такая же зависимость вязкости от дав-
ления, как и у жидкостей. Тамманн исследо-
вал вязкость переохлажденных жидкостей.
Он нашел, что с понижением температуры
ниже нормальной температуры затвердевания
вязкость возрастает быстрее, чем она воз-
растала до этого. Для пиперина, например,
при убывании температуры от 95°С до 65°С
вязкость возрастает только в 10 раз, тогда
как с понижением температуры от С5°С до
45°С она увеличивается в 2000 раз. Если
принять, что, согласно теории Масквелла, со-
ответственно возрастает период релаксации,
тогда станет совершенно понятной различная
текучесть и „твердость" жидкостей и твер-
дых аморфных тел. Можно рассматривать
жидкости как аморфные тела с малой вязко-
стью и малым периодом релаксации.

Обращаясь к течению тел кристалличес-
ких и принимая во внимание особенности их
структуры, придется признать, что их теку-
честь иная, чем текучесть аморфных тел. В слу-
чае монокристалла приходится отказаться от
самого понятия вязкого течения. Вязкое тече-
ние предполагает непрерывное изменение ско-
рости от одного слоя атомов к другому. В кри-
сталлах это невозможно без нарушения пра-
вильного расположения атомов или молекул.
В кристалле остаточная деформация может
осуществляться только путем ряда последова-
тельных сдвигов, происходящих вдоль опреде-
ленных кристаллографических плоскостей и по
определенным направлениям. При каждом та-
ком сдвиге целые слои атомов или молекул
мгновенно как бы срываются со своих мест,
переходят по другим атомам, находящимся в
параллельном с ними слое, в новое положе-
нение. Когда переход их в это новое положе-
ние осуществился, восстанавливается однород-
ность кристалла до нового сдвига. Ряд по-
следовательных сдвигов обуславливает изме-
нение формы кристалла. Таков механизм пла-
стических деформаций в кристалле, таков
механизм и пластического течения кристал-
лических тел. Каждый сдвиг, из которых
складывается пластическое течение кристал-
лического тела, представляет собою как бы
законченный процесс, отделенный от другого
такого же процесса определенным проме-
жутком времени. Величина этих промежут-
ков времени зависит от величины прилагае-
мых усилий. При малых усилиях эти про-
межутки, разделяющие сдвиги, могут быть
велики; наоборот, при значительных усилиях
сдвиги совершаются чаще, создается впечат-
ление непрерывного течения. Опыты акад.
Иоффе, Обреимова и др., произведенные в
Ленинградском физическом институте, пока-
зывают, что число сдвигов за единицу вре-
мени пропорционально величине скалываю-
щего усилия. Законченной теории пластичес-
ких деформаций кристаллических тел пока
еще не существует, но приведенные выше
соображения все же позволяют перекинуть
мост между пластическими деформациями
твердых кристаллических тел и вязким те-
чением тел аморфных. Вязкое течение можно
рассматривать как предельный случай пла-
стического течения. Если представить себе,
что промежутки, как пространственные, так и
временные, отделяющие один сдвиг от дру-
гого, делаются все меньше и меньше, то, как
говорит Я. И. Френкель, в пределе мы будем
иметь вязкое течение.

К такому же заключению приводит и изу-
чение зависимости пластичности кристалли-
ческих тел от изменений температуры и дав-
ления. Если твердое кристаллическое тело
нагревать до высоких температур, то пла-
стичность его возрастает, а твердость боль-
шей частью убывает, т. е. требуются мень-
32

шей величины скалывающие усилия, чтобы I
вызвать деформацию. При приближении тем-
пературы к температуре плавления кристалли-
ческие тела становятся часто весьма пластич-
ными. Тамманну удалось показать для многих
силикатов, что величина внутреннего трения
кристаллов силикатов при приближении к
точке плавления становится близкой к вели-
чине внутреннего трения расплава. Многие .
тела, не обладающие пластичностью при тем-
пературах значительно ниже их точки плав-
ления, становятся пластичными с приближе-

нием к точке плавления. Увеличение давле-
ния обычно уменьшает пластические свойства
тел. На прилагаемом рисунке 3 приведена за-
висимость скорости истечения льда из круг-
лого отверстия сечением 0,014 см2 при раз-
личных давлениях и температурах по изме-
рениям Тамманна. Как видно из этого ри-
сунка, скорость истечения льда тем больше,
чем ближе кривая скорости к кривой плав-
ления. То, что кривая плавления (S) льда
загибает влево, в сторону низких температур,
как известно, является одним из немногих
исключений.

Подводя итоги всему сказанному, следует
еще раз отметить трудность разделения тел
на твердые и жидкие. В свойствах, которые
отличают твердые тела от жидких, все за-
висит лишь от степени. Среди различных
веществ всегда можно найти такие, которые
обладают тем или иным свойством в такой
мере, что в совокупности могут составить
ряд с постепенным переходом от свойств
твердого тела к свойствам жидкого. Если
же взять какое-либо вещество, то при плав-
лении всегда имеет место скачкообразное
изменение свойств. Но, как известно, скач-
кообразное изменение свойств имеет месте
не только при плавлении. Переход кристал-
лических тел из одной аллотропической мо-
дификации в другую осуществляется всегда
при определенной температуре, сопровожда-
ясь поглощением или выделением тепла и
скачкообразным изменением многих свойств.
Мы привели выше пример, когда вещество
обладало двумя жидкими фазами, причем
переход из одной фазы в другую также был
связан со скачкообразным изменением свойств.
Все это говорит о том, что вопрос о связи
между твердым и жидким состояниями раз-

решается не так, как он решен для жидкого
и газообразного состояний. Вероятнее всего,
что противопоставление твердого тела жид-
кому неправильно, и, может быть, следует
говорить о едином твердо-жидком состоянии
вещества,

ЛИТЕРАТУРА:

1. Морен—.Физические состояния ма-
терии".

2. И. Обреимов — .Состояние вещества-.

3. Я. И. Френкель — .Теория твердых
и жидких тел".

4. П. П. К о б е к о — ,Аморфное состояние*.

5. Э. Г ат чек — .Вязкость жидкостей*.

ПАРАЛЛЕ.10ГРАМ СИЛ*

Статическое обоснование

•

В. БАКУШПНСКИЙ (Москва}

Определим понятие силы статически как
некоторый эффект натяжения, не связывая ее
ни с какими кинематическими величинами.
При таком определении силы нетрудно до-
казать, что истоки параллелограма сил лежат
в двух простейших постулатах, аксиоматич-
ность которых весьма легко приемлема на-
шим умом.

Перейдем к доказательству.

1-й постулат. Силы, приложенные к
точкам прямой линии твердого тела и на-
правленные вдоль нее, могут быть заменены
одной равнодействующей им силой, направ-
ленной вдоль этой же линии и равной ал-
гебраической сумме их.

2-Й постулат. Две силы, приложенные
к одной точке твердого тела, могут быть
заменены одной равнодействующей, лежащей
в плоскости этих сил и внутри меньшего
угла между ними.

Например, если даны дле силы р и q, то
по нашему условию равнодействующей будет
какая-то сила R, неизвестная нам пока ни
по величине, ни по направлению, но лежа|цая
в той же плоскости внутри меньшего угла
(черт. 1).

* Рецензия на работу, данная профессором
Н. Е. Жуковским летом 1918 г.:

.Доказательство ваше похоже на доказатель-
ство Штурма, но отличается от него тем, что
опирается на лемму о возможности разложения
сил по любым двум направлениям.

Оно заслуживает внимания и мо кет быть
включено в серию многих доказательств по тео-
реме параллелограма сил.

Н. Жуковский".

3 Математика и физика в средней школе, № 6.

Прежде чем производить дальнейший вы-
вод, докажем счедующую лемму, исходя из
тех же постулатов.

Лемма. Равные и параллельные силы,
приложенные к серединам равных отрезков пря-
мой линии твердого тела, имеют равнодей-
ствующую, равную их сумме, параллельную им
и приложенную к середине этой прямой.

Пусть к концам отрезка АВ прямой ли-
нии твердого тела приложены равные и
параллельные силы Р
и Р. Мы ничего не
изменим, приложив к
тем же точкам А
и В равные и проти-
воположные силы Q
(черт. 2). Каждая пара
сил Р и Q сложится
в некоторую равнодей-

ствующую силу R. Для Черт. 1
обеих точек А и В
условия будут симметричны. Перенесем си-
лы R в точку их пересечения С, где снова
каждую из них разложим на Р и Q. Здесь
силы Q взаимно уничтожаются, а силы Р
дадут 2Р. Перенесем 2Р в точку О, кото-
рая в данном случае в силу симметричности
• и будет серединой отрезка АВ. Если бы
силы Р были скошены относительно АВ,
то путем переносов их на линию А'В’ и при
помощи предыдущих рассуждений мы на ней
получили бы точку О’, а затем уже обрат,
ным переносом силы 2Р— точку О (черт. 3)

Если нам будет даня линия АВ (черт. 4)’
состоящая из нескольких равных отрезков’

33
к серединам которых приложены равные и
параллельные силы Р, то каждая паря сил,
равного стоящих от концов А и В, будет
давать равнодействующую в средней точке
О; следовательно, и общая равнодействующая
всех сил будет лежать в этой же точке О и
будет равна сумме всех Р.

Таким образом, лемма доказана и можно
перейти к непосредственному вычислению
равнодействующей.

Теорема направления. Равнодей-
ствующая двух любых по величине и направ-

лению сил, приложенных к одной точке,
проходит по диагонали параллелограма, по-
строенного на силах.

Допустим, что к точке А твердого тела
будут приложены две силы Р = и Q = 5p
(графически Р = АВ и Q = AC) Разложим
нашу силу Р на три отдельных силы р того

Чепт. 4.

же направления и приложенных к серединам
каждого из трех равных отрезков линии АВ.
В свою очередь, каждую из этих сил р раз-
ложим на две силы s и t, причем t — парал-
лельно биссектрисе £\АВС, проведенной из
точки A, s — перпендикулярно к ней. Так же
поступим и с силой О (черт. 5).

Если мы перенесем все восемь сил t на
линию ВС по их направлению, то они лягут
на середины восьми равных отрезков, на ко-
торые разделится линия ВС. Равнодействую-
щая их по нашей лемме будет равна T=8t
и проходить через середину линии ВС, т. е.
через точку О. Три силы s на линии АВ
взаимно уничтожатся с тремя противоположно-
направленными силами s на линии АВ' = АВ.
Две же силы $, остающиеся на линии В'С,
перенесенные на линию ВС, дадут в силу
предыдущих рассуждений для t —- равнодей-
ствующую 2s, проходящую через ту же
середину линии ВС точку О.

Таким образом, две силы Р и Q, имею-
щие равнодействующую где-то в точке А,

Чего. 6.

сводятся к двум силам S п Т, имеющим
равнодействующую в точке О, но так как
эта равнодействующая должна быть одна и
та же, то она проходит и через А и через
О, т. е. идет по линии АО. Линия АО
есть медиана Д АВС, или линия, по кото-
рой направлена диагональ параллелограма,
построенного на АВ = Р и ACi=Q. То, что
мы доказали для Р—?>р и Q = 5/?, таким
же образом может быть доказано и для лю-
бых Р и Q.

Теорема величины. Равнодействую-
щая двух сил по величине и направлению
равна диагонали параллелограма сил.

Допустим, что к точке В твердого тела
приложены две силы ВА= р и BD — ^q.
Равнодействующая этих сил ВК должна пройти
по диагонали BG параллелограма ABDG
(черт 6).

Произведем нахождение этой равнодей-
ствующей следующим путем.

Найдем сначала равнодействующую сил
р и q. Пусть она будет ВМ. Она должна

итти по диагонали BL параллелограма ABCL.
А теперь находим равнодействующую у силы
ВМ и оставшейся силы q, которую будем
считать приложенной в той же точ.^е В Эта
окончательная равнодействующая BF должна
итти по диагонали BNпараллелограма BCNM.
В го же время сила Вр должна представ-
лять собою силу ВК, но ЭТО может быть
лишь в том случае, если отрезок NM
сольется с отрезком GL. В таком случае
сила ВМ — равнодействующая сил р и q -—
будет равна (графически) диагонали BL
параллелограма AECL, построенного на этих
силах.

Силы ри q взяты произвольной величины,
следовательно, теорема параллелограма сил яв-
ляется доказанной в общем виде.

Итак, теорему параллелограма сил можно
вывести из двух примитивных положений.

О ЗАВИСИМОСТИ КРИТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОТ МАССЫ

М. МАРКОВИЧ (г. Алма-Ата)

При прохождении вопроса о критической
температуре в курсе экспериментальной фи-
зики на физических и математических отде-
лениях университетов и пединститутов прихо-
дится сталкиваться с некоторым методическим
пробелом общеупотребительных руководств
в отношении выяснений зависимости критичес-
ких величин (критической температуры, кри-
тического давления и критического объема) от
массы исследуемого вещества.

Прямого ответа на этот вопрос нет ни в
одном из употребительных руководств. Сы-
рым материалом могут послужить ряд сведе-
ний; гак, в ряде руководств (см. хотя бы
Млодзеевский — „Краткий учебник моле-
кулярной физикий, чзд. 1932 г., стр. 145 и
др.), полагая для критического состояния все
три корня уравнения Ван-дер-Ваальса рав.
ными, находятся критические величины. Обще,
известны получаемые в этом случае формулы.

1а 8 а

^-3b; Р* - 27 • £2 и Tk --

Так как величины а, b и R зависят от
массы (следует отметить, что об этой йависи-
мости по отношению к величинам а и б боль-
шинство руководств забывают упомянуть), лег-
3*

ко может создаться впечатление о зависимо-
сти и всех критических величин от массы.
Это представление входит, однако, в противо-
речие с общеизвестными таблицами критиче-
ских температур и давлений, где отсутствие
каких-либо указаний на величину массы ясно
указывает на независимость критических тем-
ператур и давлений от массы Это „противо-
речие" является причиной путаных предста-
влений.

Путаницы этой можно было бы избежать,
если бы руководства дополнили соответству-
ющие главы следующими краткими рассужде-
ниями.

Величины а, b и R действительно зависят
от массы, но количественный характер этой
зависимости различен от различных величин.
В то время как величины R и Ь, по обще-
известным соображениям, пропорциональны
величине массы в первой степени, величина а
пропорциональна величине массы во второй
степени. Действительно, увеличение массы, на-
пример, в 2 раза при неизменном объемедолжно
а
вызвать увеличение поправочного числа -
в уравнении Ван-дер-Ваальса в 4 раза (так как
в 2 раза возрастает плотность, а поправочный
35
член прямо пропорционален квадрату плот-
ности). Увеличение же поправочного члена в
4 раза при неизменном объеме означает увели-
чение и величины а в 4 раза. Возвращаясь,
наконец, к формулам для Vk, Pk и 7\, легко,
учтя сказанное, притти к выводу, что наряду
с зависимостью от массы величины Vk (величина
Vk пропорциональна величине массы в первой

степени) величины Pk и Тк не зависят от массы
(так как числитель и знаменатель соответст-
вующих выражений одинаково изменяются). Из
сказанного следует также и независимость от
массы и величины критической плотности.

Необходимый мостик между уравнениями
и таблицами может быть этими соображениями
перекинут, и путаница устранена.

ПРОСТОЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФАЗЫ Л5НЫ

П. ГОЛУБЕВ (г. Кинешма)

Определение фазы Луны для данного вре-
мени требуется в жизни довольно часто.

Мне лично несколько раз приходилось
пользоваться простым приемом определения
фазы Луны в путешествиях (для расчета воз-
можности продолжать путь ночью, пользуясь
лунным освещением).

Рыбаки-любители говоря-, что щука охо-
тится за добычей по преимуществу в новолу-
ние и полнолуние (т. е. в это время она
лучше ловится на крючки).

Наиболее сильные морские приливы и от-
ливы бывают в новолуние и полнолуние.

Кроме того, этот материал не безынте-
ресен и для школьной астрономии, так как
при разборе этого способа приходится затра-
гивать вопрос о движении Луны вокруг Зем-
ли и Земли с Луной вокруг Солнца.

Для определения фазы Луны нужно запом-
нить только одно постоянное число для одного
какого-нибудь года, ну хотя бы для 1935 г., а
далее уже будет довольно просто определить
фазу Луны в любое число любого месяца и
даже года.

Опишем этот прием.

К постоянному числу прибавляется поряд-
ковый номер месяца и то число, для кото-
рого определяется фаза Луны. Полученная от
сложения сумма и будет указывать возраст
Луны, считая от новочуния.

Если полученная сумма будет больше 30,
то нужно из данной суммы вычесть 30, и
тогда остаток дает возраст Луны. Если в
сумме получится 30, то значит будет послед-
ний день перед новолунием,; если 15—пол-
нолуние, 7 — первая четверть заканчивается
и т. д.

Возьмем пример для числа, в которое я
пишу эти строки, т. е. для 10 августа 1935 г.
36

Постоянным числом для начала 1935 г.
будет 23. Находим сумму этого постоянного
числа, порядкового номера месяца августа (8)
и числа 10

23 + 84-10 = 41;

вычитаем из данной суммы 30 (округленно
синодическое время оборота Луны вокруг
Земли):

41—30 = 11;

полученный остаток 11 и дает возраст луны
на 10 августа 1935 г. т. е. остается 4 дня
до полнолуния, с вечера будет луна, котя и
неполная, или прошло три дня от первой
четверти.

Чем объясняется такой легкий способ
определения фазы Луны?

Дело в том, что Луна делает полный обо-
рот вокруг земли в 27 суток 7 час. 43 мин.
11 сек., т. е. округленно — 27 суток и 8 час.
Земля же вместе с Луною движется вокруг
Солнца в 365 дней 5 час. 48 мин. 46 сек.,
т. е. приблизительно в 365 дней 6 час.

Фазы Луны зависят от взаимного распо-
ложения Солнце — Луна — Земля и за 27 — 28
дней Земля успеет переместиться приблизи-
тельно на 28° (по своей орбите), а потому
для получения известной фазы Луна должна
дополнительно к полному своему обороту
пройти эти 28°.

Так как Луна описывает 360° около Зем-
ли в 27 дней 8 час., то в один день она
приблизительно опишет дугу

360 <,

27,3 ~ ’

а 28° опишет в дня; следовательно, между
одинаковыми фазами Луны проходит 29 дней
12 час. (точнее синодическое время оборо-
та— 29 дней 12 час. 44 мин. 3 сек.).

Если бы продолжительность земного года
была 354 дня 8 час. 48 мин., а продолжитель-
ность месяца равнялась бы синодическому
времени оборота Луны вокруг Земли, тогда
бы одинаковые фазы Луны совпадали с оди-
наковыми числами месяца. На самом же деле
продолжительность земного года почти на
одиннадцать дней больше, а продолжитель-
ность месяца — 30 и 31 день (кроме февраля).

Указанные 11 суток года (лишних по сра-
внению с двенадцатью лунными месяцами) в
приведенном нами выше способе определения
фазы Луны наверстываются из месяца в ме-
сяц порядковым номером месяца, а при пере-
ходе к следующему году эту поправку нуж-
но вносить в постоянное число, увеличивая
последнее при переходе к новому году на 11
единиц. Конечно, и в этом случае, получая
число больше 30, уменьшаем его на 30 и поль-
зуемся остатком. Так, например, постоянное
число для 1936 г. должно быть

23 4-11 = 34

34 30 = 4,

т. е. будет 4.

Определим, например, каков будет возраст
Луны 19 декабря 1936 г.

4-|-12-]-19 — ЗЭ = 5,

т. е. пятый день после новолуния. С вечера
Луна недолго будет свыить. При прибавлении
11 дней при переходе к следующему году
мы прибавляем на 3 часа больше, чем следует,
а потому в годах, оканчивающихся нулем
(1930, 1940,1950 и т. д.), лучше прибавлять к
постоянному числу предыдущего года не 11, а
то же округленное число с нулем, т. е. 10.
Например, постоянное число для 1939 г. бу-
дет 7, а для 1940 г. лучше взять не 7-(-11,
а 7 4-10, т. е. не 18, а 17.

При отыскании постоянного числа для ка-
кого-нибудь отдаленного года нет надобности
прибавлять (вперед) или отнимать (назад) по
11 единиц год за годом, а можно фазу рас-
считать умножением одиннадцати на число лет
(вперед или назад). .Например, постоянное
число 1945 г. можно найти так: 1945 г. име-

ет число 23, далее 10 лет по одиннадцати
будет

11 X 10 = 110

1104-23 = 133

133 ИМЧХ
зо = 4(13)

остаток 13 и является искомым числом. При-
нимая во внимание сделанную выше оговор-
ку, при отыскании более точного числа умень-
шаем на единицу и берем число 12.

Пользуясь полученным числом, решим еще
одну задачу.

Найти день, когда будет новолуние в ию-
ле 1945 г.

Так как ищется наступление новолуния,
то сумма должна в этом случае равняться 30
пли кратному 30, т. е. 30 п.

Составляем небольшое уравнение, левая
часть которого состоит из суммы постоянно-
го числа (12), порядкового номера месяца
июля (7) и неизвестного числа (х), а пра-
вая еств 30 или 30 п

12-]-7-]-х = 30

х = 11.

Новолуние будет 11 июля.

Г заключение нужно оговориться, что ука-
занный способ определения фазы Луны был
бы сравнительно точен для практических це-
лей, но ввиду того, что месяцы в году имеют
неодинаковое число дней (январь — 31 день,
февраль — 28), то расчеты наши могут рас-
ходиться на сутки.

В школе можно использовать данный спо-
соб определения фазы Луны как астрономи-
ческую задачу. В этом случае после указа-
ния способа определения фазы Луны можно
не объяснять, почему сумма при сложении
некоторого числа с порядковым номером ме-
сяца и числом месяца дает возраст Луны, а
предложить самим учащимся разъяснить этот
способ по некоторым астрономическим данным,
которые сочтет нужным указать преподава-
тель (время оборота Земли, Луны).

Этот же материал можно использовать на
занятиях астрономического кружка, если он
не будет использован в обычных занятиях.
АСТРОНОЖПЧЕСКПЕ ЯВЛЕНИЯ В ГЕРНОД ДЕКАБРЬ 1935 г.—
ФЕВРАЛЬ 1936 г.

Проф. П. ПОПОВ (Москва)

Наблюдая еще в течение осенних месяцев
последовательное изменение вида звездного
неба, а параллельно с этим — изменение полу-
денной высоты Солнца и долготы дня, мы
в декабре подходим к моменту наименьшей
высоты Солнца в полдень и наиболее корот-
кого дня, т. е. к моменту зимнего солнцестоя-
ния, который наступит 22 декабря в 21 час.
В это время мы будем видеть в полночь со-
звездие Близнецов (по соседству с созвездием
Рака) проходящим через меридиан. Солнце же,
находясь в противоположной стороне небесной
сферы, располагается в созвездии Стрельца
(по соседству с созвездием Козерога). Здесь
уместно напомнить, что в древности, когда
определялись времена года и месяцы по на-
хождению Солнца в том или ином созвездии,
Солнце в момент зимнего солнцестояния рас-
полагалось в созвездии Козерога, а кульми-
нировало в полночь созвездие Рака. Отсюда
сохранившиеся до сих пор названия тропиков
Рака и Козерога на Земле. Около момента
солнцестояния склонение Солнца почти нё
меняется на протяжении нескольких дней, а
вместе с тем почти не меняется полуденная
высота Солнца и долгота дня, и только к 25
декабря эти изменение проявляется некоторой
заметной величиной. Приведем значение скло-

нения Солнца для нескольких дней до и после
момента солнцестояния:

19 декабря

23°23'32"

28 2b 4

23 26 9

23 26 45

23 26 52

23 26 32

23 25 43

23 24 26

Звездное небо в зимний период (де-
кабрь — февраль) особенно привлекает к себе
наше внимание, так как в это время на южной
половине неба сияют наиболее приметные и
самые красивые созвездия: Орион, выделяю-
щийся своими тремя звездами, расположен-
ными в ряд; левее и ниже его — Большой
пес с самой яркой звездой нашего неба —
Сириусом; над ним, влево от Ориона — Ма-
лый пес с звездой первой величины Пропион;
правее и выше Ориона занимает большую
область неба Телец, среди звезд которого мы
выделяем звезду первой величины Альдебаран
и особенно приметную кучку звезд — Плеяды.
Телец относится к зодиакальным созвездиям;
направо от него — другое зодиакальное со-
звездие Овен, состоящее из сравнительно сла-
бых звезд; налево от Тельца — созвездие
Близнецов с двумя яркими звездами Кастор
и Поллукс, а еще левее и ниже — созвездие
Рака, в котором мы совсем не найдем ярких
звезд. По этим зодиакальным созвездиям про-
ходит Солнце в конце весны и начале лета.
Поэтому мы и не находим их на летнем ноч-
ном небе. Но описываемые нами созвездия
не только придают особую красоту вечернему
зимнему небу, но они содержат и целый ряд
таких небесных объектов, которые особенно
интересны в науке и дают много материала
для наших представлений о вселенной и ее
строении. Упомянем знаменитую туманность
в Орионе, окружающую кратную звезду, так
называемую Трапецию, ряц двойных звезд
в том же Орионе, из них особенно красивая
пара Ригель (яркая нижняя звезда Ориона).
В созвездии Тельца мы находим звездные
скопления, Плеяды и Гиады, в которых звезды,
видимо, связаны друг с другом и имеют
одинаковое собственное движение. Изучение
этого собственного движения дало возмож-
ность определить расстояние от скопления
до нас, измерение которого по годичному
параллаксу недоступно вследствие большой
удаленности. Сириус за последнее время
стал известен наличием у него спутника,
обчадающего малой абсолютной яркостью и
относящегося по спектральному классу —
к горячим звездам, так называемым „белым
карликам", плотность которых превосходит
плотность платины в тысячи раз и изучение
которых приводит к интересным и ценным
выводам о развитии звезд.

Планеты

В рассматриваемый период времени можно
наблюдать в той или иной мере (одни лучше —
другие хуже) все планеты, доступные вообще
для любительских наблюдений. Одни из них
видны по вечерам, другие по утрам, перед
восходом Солнца.

Венера. Будучи видима как утренняя
звезда в течение осенних месяцев, Венера
всего выше поднималась над горизонтом
в ноябре. Теперь она уже прошла свое наи-
большее удаление от Солнца. В декабре она
проходит прямым движением по созвездию
Девы и, значит, находится вблизи экватора.
Новый год застает Венеру в созвездии Весов,
а скоро она перейдет в созвездие Скорпиона
и Стрельца и тем самым все приближается
к Солнцу (Солнце в январе находится в Стрель-
це). В начале декабря Венера восходит около
4 час. утра, а в январе — уже около 5 час ,
но так или иначе за час-два до восхода
Солнца ее можно еще хорошо наблюдать
благодаря большой яркости ее.

Марс. В декабре Марс можно найти
в южной стороне неба, невысоко над гори-
зонтом, вечером, как только стемнеет. К концу
декабря он поднимается несколько выше над
горизонтом. Невысокое положение Марса во
весь рассматриваемый период делает неблаго-
приятным наблюдение его в трубу. К этому
присоединяется также то, что Марс находится
в наибольшем удалении от Земли. Марс идет
прямым движением по созвездиям Козерога и
Водолея и в январе заходит около 7 час. вечера.
Юпитер. Юпитер можно найти на
небе только со второй половины декабря
в юго-восточной части утром, перед воЬходом
Солнца. Он в это время расположен левее
и ниже Венеры. В январе произойдет соеди-
нение Венеры с Юпитером. В это время
Юпитер будет заходить около 6 час. утра.
Идет Юпитер прямым движением по созвез-
дию Скорпиона.

Сатурн. Переменив в ноябре попятноа
движение на прямое, Сатурн идет в рассмат-
риваемый период по созвездию Водолея.
В декабре с вечера мы видим его на юге
сравнительно высоко над горизонтом; захо-
дит он около 10 час. вечера. Но чем даль-
ше, тем видимость Сатурна ухудшается, и
в феврале он заходит уже около 7 час.
вечера.

Уран. Можно попытаться розыскать на
небе Уран, который находится в созвездии
Овна и виден как звездочка 6-й ве,г ичины.
Его координаты на 1 января следующие:
прямое восхождение 1 ч. 58,4 м.; скло-
нение 4-11°36'. В январе созвездие Овна
видно высоко над горизонтом и Уран мож-
но видеть простым глазом, а еще лучше в
бинокль.

Луна. Для планирования наблюдений
над Луной приводим календарное распреде-
ление фаз Луны (см. статью П. В. Г о л у-
бева в настоящем номере).

1935 г. 1936 г.

Первая четверть 3 цекабря 1 января 31 января

Полнолуние 10 „ 8 , 7 февраля

Последняя чет-

верть 18 „ 1 I „ 14 „

Новолуние 25 „ -, , 22

В момент полнолуния 8 января произойдет
как раз полное лунное затмение, причем сере-
дина затмения приходится на 21 час. 15 мин.
или в 9 час. 15 мин. по московскому времени.
Так как радиус земной тени значительно боль-
ше радиуса Луны, то затмение Луны продол-
жается обычно довольно долго — несколько
часов. Надо заметить, что при наблюдении
лунного затмения мы никогда не замечаем
резкого надвигания тени на диск Луны, а
постепенное ослабление ее блеска при вступ-
лении в полутень. Но все-таки, когда Луна
уже вступает в самый конус тени Земли, то
можно усмотреть (в трубу или хороший би-
нокль) неровность, зазубренность края тени—
это земные горы проектируются на Луне,
но неровность края земной тени на диске
Луны может получаться и благодаря рельефу
самой лунной поверхности: край тени то
набегает на лунные возвышенности, то спу-
скается вниз; когда уже низкие места в тени,
вершины гор еще освещены, и в этих местах
получается как бы выемка в крае тени. Даже
и во время полного затмения Луна обычно
не темнеет совсем, а видна окрашенной
в темнокрасный или бурый цвет. Эта окраска
Луны во время хода затмения меняется: край
тени окрашен обыкновенно в голубовато-се-
рый цвет, который переливами переходит
в розовый и бурый. Окраска Луны зависит
от атмосферных условий тех стран на Земле,
где солнечные лучи в данное время касаются
земной поверхности. Более подробную ин-
струкцию для наблюдения лунных затмений
можно найти в брошюре „Затмения и их
наблюдения“ изд. Горьковского астрономо-
геодезического общества (быв. Нижегород-
ского кружка), цена 25 коп.
ОБЩАЯ МЕТОДИКА

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В УЧЕБНОЙ
И МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ

•

Ф. ДЗЮБА (Краснодар)

Со времени Великой французской револю-
ции в школы была введена алгебра как у юб-
ный предмет. Одним из первых авторов посо-
бий по алгебре был знаменитый Эйлер. Его
руководство алгебры было долгое время гос-
подствующим в школах Европы и оказало
огромное влияние на позднейших составите-
лей пособий по алгебре.

Влияние Эйлера сказалось и на русских
авторах учебников алгебры. Начиная с таких
авторов, как Сомов и Билибин, и кон-
чая Давыдовым и Киселевым, можно
сказать, чго на их расположении учебного
материала отразилось влияние руководства
алгебры Эйлера. Но особенно большое влия-
ние на русских алгебраистов имел француз-
ский математик Жозеф Бертран, напи-
савший в середине XIX в. свой трактат по
алгебре. Характерным для этих авторов яв-
ляется то, что они в своих пособиях учение об
уравнениях первой и второй степени отодви-
гают на задний план, отводя первенствующее
место отделу тождественных преобразований.

Иной точки зрения придерживался другой
знаменитый автор руководства алгебры —
Ньютон. Он считал, что учение об уравне-
ниях первой и второй степени должно яв-
ляться стержнем алгебры и его необходимо
выдвигать на первый план, как это было и
у знаменитого арабского математика Мога-
меда Бен-Музы Альховарезми — ав-
тора трактата „Альджебр в’аль мукабала".
Этой же точки зрения придерживался и Де-
ка р т. Из русских авторов — сторонников
этой точки зрения — можно назвать Лермон-
това и Лебединцева. Они считаю.', что
целью обучения алгебре является решение
уравнений первой и второй степени, поэтому
действия над алгебраическими выражениями
должны излагаться по мере надобности, лишь
как средство для решения уравнений.

Колец XIX в. и начало XX в. озна» ено-
вались мощным движением в среде математи-

ков за внедрение в школьну ю алгебру идеи
функциональной зависимости, широко исполь-
зуя графическую интерпретацию. Знаменитым
поборником этой идеи был Ф. Клейн. Вид-
нейшим автором руководства алгебры, поддер-
живающим это движение, является Борель.
Среди русских алгебраистов, сторонников
внедрения в школьную алгебру идеи функцио-
нальной зависимости и графиков, следует от-
метить Лебединцева.

Алгебра Бертрана была переведена Би-
либиным в конце XIX в. на русский язык и
с тех пор нашла себе подражателей среди
русских авторов учебников алгебры. Учебники
Давыдова или учебники Киселева, по
которым обучались алгебре в старой школе
несколько поколений, дают представление
о построении учебного материала в курсах
алгебры этого течения. Сухое изложение,
догматическая форма построения курса без
г онхретных примеров и графических иллю-
страций, стремление свести курс к системе
определений и теорем — вот особенности этих
курсов. Правда, учебники алгебры Киселева
за свое долголетнее существование претерпели
несколько переработок, идя навстречу мето-
дическим требованиям эпохи.

Бертран квадратные уравнения начинал
излагать, идя от общего к частному. Рас-
смотрев общий вид квадратного уравнения
ах2Ахс = О, он, положа b — 0, получал
неполное ..вадратное уравнение ах2-]-с = 0,
а положа с —0, получал неполное квад-
ратное уравнение вида ах3-[-Ах — 0. Здесь
же для решения этих неполных квадратных
уравнений он выводил формулы. Для решения
полных квадратных уравнений вывод формулы
давался такой:

ах2 -f- bx -j- с = 0 (умн. на 4а)
4а2х2 -|- 4а6х -f- 4ас = О

4а2х2 -|- 4а6х -]- Ь2=А2 — 4ас
(?ax b)- — b2 — 4ac

c2ax -J- b — -J- j/ b2 — 4ac
2 ax -ф- b = — b2 — Ьас,

отсюда Бертран выводил x, и x„, а потом
— —4ас

давал уже формулу х =-------;--------

Из полученной формулы, положив a — 1,
b — p, c=^q, Бертран выводил формулу для
решения уравнений вида х2 -ф- Рх -ф- q = О
а положа b = 2k, получал и формулу для
решения уравнений вида ax2 -ф- 2Ах-ф-с = 0.
После вывода формулы для решения квадрат-
ных уравнений излагалось исследование квад-
ратных уравнений, свойство их корней и раз-

ложение квадратного трехчлена на множители.

Подобное изложение квадратных урав-
нений находим у Бархова в его „Руковод-
стве алгебры11. Отличие от Бертрана у Бар-
хова в том, что он прежде выводит формулу

для решения квадратного уравнения вида
х2 -ф- рх -ф- q = 0, а потом уже выводит фор-
мулу для решения уравнения вида ах2 - -
- - Ьх -ф- с = 0, приводя его к виду х2 -ф- рх - -

для

--<7 = 0. Вот вывод формул у Бархова
решения этих видов уравнений:

Получивши формулы для решения квадрат-
ных уравнений, Бархов переходит к изложе-
нию зависимости ме;кду корнями и коэффициен-
тами квадратного уравнения, разложению квад-
ратного трехчлена на множители, составле-
нию квадратных уравнений по их корням и
42

исследованию квадратных уравнений. Форма
изложения у Бархова, как и у Бертрана,
догматическая.

Примером пособий по алгебре иного рода,
чем рассмотренные сыше, является „Руковод-
ство алгебры“ Лебединцева. Это руко-
водство получило лестный отзыв в „Большой
советской энциклопедии", где оно названо
одним из лучших пособий по алгебре, имею-
щихся в русской математической литературе.
Свой метод изложения Лебединцев называет
конкретно-индуктивным, а расположение мате-
риала — концентрическим. Сначала на ряде
конкретных примеров он устанавливает общие
положения, а потом у/tie дает доказательства
этих положений. Об алгебраических преобра-
зованиях Лебединцев в предисловии говорит,
что они должны иметь лишь вспомога гельное,
служебное значение для изучения функцио-
нальной зависимости между конкретными ве-
личинами, а алгебраические выражения яв-
ляются лишь способом обозначения этой
зависимости. Уравнения же являются методом
решения конкретных задач, взятых, главным
образом, из различных отраслей математики
и физики. Концентрическое расположение
учебного материала обусловливается требова-
ниями возрастов учащихся. Лебединцев реко-
мендует при исследовании различных функций
широко использовать /рафики. Учебный мате-
риал у Лебединцева расположен в такой по-
следовательности: возведение в степень и из-
влечение квадратного корня из чисел, решение
простейших квадратных уравнений, иррацио-
нальные числа и действия над ними, действия
над иррациональными выражениями и преобра-
зования их, исследование квадратных уравне-
ний, биквадратные уравнения, квадратные
уравнения со многими неизвестными, графики
функций второй степени и графическое ре-
шение квадратных ураьнений.

Квадратные уравнения Лебединцев начи-
нает с частных примеров неполных уравнений,
а потом переходит к частным примерам пол-
ных уравнений. При этом сразу же и решает
эти частные примеры. Вот конкретные при-
меры, с которых Лебединцев начинает знако-
мить с квадратными уравнениями:

х2 — 9 = 0

х2 = 9

хг = |/b =3

х2 = \/ 9 - — 3

х3 — 6х -ф- 5 — 0
х2 — 2-х-3-ф-5-|-4 = 4
х2 —2-х-34-9 = 4

(х —3)г = 4_
х —3=/4 = 2

х —3=/4 = — 2

Xj=24-3 = 5
х2 = 3- 2=1.
После решения нескольких подобных при-
меров неполных и полных квадратных урав-
нений частного вида он обращает внимание
на число решений квадратного уравнения и
делает переход от частного вида неполных
и полных квадратных уравнений к их обще-
му виду. Попутно отмечает, что неполные
квадратные уравнения являются частным видом
полных квадратных уравнений, и дает обший
вид уравнения, у которого коэфициент при
неизвестном второй степени равен единице.
Вывод формулы для решения полного квадрат-
ного уравнения у Лебединцева дается совер-
шенно так же, как и у Бертрана. Уравнение
ах2 -f- bx -f- с = 0 умножается на 4а и т. д.,
пока получится хд и хг, после чего оба резуль-
тата выражаются в одной формуле. Вывод
остальных двух формул для решения уравне-
ний вида х2 -\-px-\-q-Q и вида ох24~
-ф- 2kx —с = 0 тоже делается так же, как это
мы видели у Бертрана, но с той лишь раз-
ницей, что у Лебединцева сначала выводится
формула для решения уравнения вида ах2-]-
4~ 2kx -|- с = 0, а потом уже формула для
решения уравнения вида х2 4 рх -ф- q = О,
тогда как у Бертрана это делается наоборот.
В выводе формулы для решения квадратных
уравнений влияние Бертрана сказалось и на
Лебединцеве, хотя этот вывод в методическом
отношении и является довольно трудным.
После вывода формул для решения квадрат-
ных уравнений Лебединцев останавливается
на решении примеров этих уравнений и на
составлении уравнений с одним неизвестным
по условиям задач, а затем переходит, как
уже отмечалось, к иррациональным числам
и выражениям.

Совершенно так же, как и Лебединцев,
излагает квадратные уравнения Г. С иммондс
в своей „Практической математике" (пер.
с английского под ред. В. В. Доброволь-
ского, Гиз, 1926 г.). Автор этого учебника
в предисловии отмечает, что он ставит своей
целью развитие самодеятельности и индивиду-
альных данных учащихся. Отсюда при по-
строении учебника он кладет в основу кон-
центричность, конкретно-действенный метод
и широкое применение графиков. К квадрат-
ным уравнениям Г. Симмондс идет от кон-
кретной задачи путем составления уравнения.
После этого он берет ряд частных случаев
неполных квадратных уравнений, решает их
и переходит к решению частных случаев пол-
ных квадратных уравнений сначала разложе-
нием на множители, а потом сведением их
к решению неполных квадратных уравнений,
как называет агтор способ перенесения сво-
бодного члена в правую часть и дополнения

левой части до полного квадрата. Этот спо-
соб показан на следующем примере:

4х24*4х—15 = 0;

(2х)2 4~2-2х= 15;
(2х)24-2-2х4-1 = 16;
(2х-|-1)2=16;

2х-{-1=4;

2x4-1 = — 4;

Xj = l,5; х2 = — 2,5.

После самостоятельного решения ряда по-
добных примеров учащиеся знакомятся с вы-
водом формулы для решения квадратных урав-
нений. Эту формулу Симмондс выводит так
же, как выводили ее Бертран и Лебединцев,
и, после ряда упражнений в решении квад-
ратных уравнений, знакомит учащихся с систе-
мами квадратных уравнений и составлением
квадратных уравнений по условиям задач. Да-
лее идут графики. Графиками щедро насыщен,
вся книга.

Широко использованы графики и в кол-
лективном труде американских профессоров.
Л. Карпинского, Г Бенедикта и
Дж. Кальгуна—„Единая математика" (Гиз,
1926 г). Квадратные уравнения авторы из-
лагают, идя от частных случаев к общим.
Формула для решения квадратного уравнения
выводится по аналогии с ходом решения ча-
стного случая квадратного уравнения. Реше-
ние частного примера квадратного уравнения
и вывод формулы для решения квадратных
уравнений они помещают рядом:

2х2 4- 8х 4- 7 = 0

х2 4- 4х = — ~

х2 4- 4х 4 = — -j- + 4

(х 4-2)2 = 0,5

X 4- 2 =S: —I— 0,71

х = — 1,29 или —2,71

ах2 4- Ьх 4- с = 0
, bt с
а^'а

Х2I (A)2 —

‘а >2а/ 4а* а

( . , Ь \2_Ь* — 4ас

\ Х Л- 2а / 4а'2

। b 4z Vb- — 4а г

Х'2а 2с

— Ь -4- — 4ас

х~---------о------

2а

Далее идут исследование квадратных урав-
нений, свойства корней, историческое приме-
чание о квадратных уравнениях и графическое
решение квадратных уравнений. Исторически-
ми примечаниями снабжены все отделы книги.
Остальных двух формул для решения квад-
ратных jравнений авторы не дают, а поль-
зуются одной формулой.

Подобно американским авторам „Единой
математики", одной формулой при решении
квадратных уравнений пользуется Р. Нейен-
до р ф в своей книге „Элементы математики для
техников" (пер. с немецкого, Гиз, 1925 г.). Он
гоже выводит только одну формулу для квад-
ратных уравнений, но эту формулу дает для
решения уравнений вида х2 -ф- рх -ф- q = О,
мотивируя тем, что к этому виду может быть
|риведено любое полное квадратное уравне-
ние. При изложении квадратных уравнений
Нейендорф следует от общих случаев к ча-
стным. Вывод формулы для решения квадпат-
юго уравнения он делает так же, как и Бар-
гов. Позазав свойства квадратного уравнения,
Нейендорф переходит к решению квадратных
уравнений при помощи счетной линейки и
юмограммы.

В известном труде В. А. Юнга „Как
преподавать математику" о квадратных урав-
нениях сказано очень мало. Юнг считает, что
центральным вопросом алгебры являются урав-
нения, а алгебраические преобразования долж-
ны служить лишь вспомогательным средством
для решения уравнений. Концентричность
.« расположении учебного материала и исполь-
зование графиков для уяснения функциональ-
ной зависимости Юнг считает весьма желатель-
;ыми. Метод изложения материала Юнг реко-
мендует конкретно-индукти >ныи. Не говоря
•о том, как должна быть разработана тема
о квадратных уравнениях, Юнг указывает на
желательное расположение материала. Квад-
ратные уравнения он советует начинать решать
уже после систем уравнений первой степени
I извлечения квадратного корня из чисел
1утем разложения на множители. Изучение от-
рицательных и дробных показателей, а также
иррациональных выражений, по мнению Юнга,
должно иметь место в школе уже после ре-
шения простейших квадратных уравнений.
Затем должны быть изучены уравнения, при-
водящиеся к квадратным, системы квадрат-
ных уравнений, а потом уже нужно приступить
к изучению теории квадратных уравнений.

Немного говорит о квадратных уравнениях
и проф. М. Симон в своем замечательном
труде „Дидактика и методика математики".
Симон является сторонником концентрического
расположения учебного материала. Вопросу
об уравнениях он придает большое значение,
считая, что алгебраические преобразования
должны иметь лишь служебную цель. Осо-

•бенно большое значение Симон придает уменью
составлять уравнения по условиям задач и
настойчиво рекомендует не увлекаться реше-
нием готовых квадратных уравнений, а вместо
этого решать квадратные уравнения, полу-
ченные из условий задач. О квадратных урав-
нениях Симон говорит, что они, помимо
практического значения, имеют еще и теоре-
тический интерес, так как дают все то, чем
уравнения высших степеней отличаются от
линейных уравнений, а также служат исход-
ным пунктом для дальнейшего расширения
понятия о числе. При изложении квадратных
уравнений Симон рекомендует «тти от част-
ных случаев к общим, от примеров неполных
квадратных уравнений - к полным квадратным
уравнениям и указывает на необходимость
обратить внимание учащихся на различие
между уравнением /(х) = ии функцией f(x).
Основным видом квадратного уравнения Си
мон советует избрать каноническую фор-
му: х2-|-рх -|~ <7 = 0. Важным моментом он
считает: обратить внимание учащихся на то,
что квадратное уравнение всегда имеет более
общий характер, чем вопрос, который привел
к этому уравнению. Поэтому учащиеся долж-
ны понимать, что не всякий корень квадрат-
ного уравнения должен удовлетворять задаче,
которая выражена этим уравнением. Учащиеся
долгое время не могут свыкнуться с мыслью,
что и отрицательное число может служить
корнем квадратного уравнения наравне и одно-
временно с положительным корнем этого урав-
нения. Чтобы показать учащимся, что отрица-
тельный корень квадратного уравнения может
не только удовлетворять уравнению, но и
условию задачи, из которого составлено это
уравнение, Симон рекомендует давать соот-
ветствующие задачи. Он приводит пример
такой задачи: „В данный прямоугольник впи-
сать другой прямоугольник заданной площади,
всюду одинаково от первого отстоящий".
Вот те немногие сведения о квадратных урав-
нениях, которые дает Симон в своем труде.

Отдельную главу о квадратных уравнениях
находим в книге А. Н. Шапошникова
Основы математической методики" (изд. „Раб.
проев.", 1930 г.). Называя свою методику мето-
дикой исследовательского преподавания, Ша-
пошников требует передачи учащимся знаний
в развивающемся виде с обязательным участием
в этом развитии самих учащихся, чтобы про-
цесс их мысли был близок к процессу мысли
изобретателя и чтобы ум и воображение воз-
буждались, способствуя продуктивной работе.
Шапошников считает, что учение о логарифме
и учение о синусе имеют гораздо более ши-
рокое применение в практической жизни, чем
квадратное уравнение, поэтому в случае необхо-
димости сократить программу, по его" мнению,
нужно в первую очередь из числа этих отделов
сократить или совсем опустить отдел о квадрат-
ных уравнениях. Если все же квадратные урав-
нения приходится прорабатывать, то их сле-
дует отнести к VII или VIII классу, а проработку
неполных квадратных уравнений следует от-
нести даже к VI классу. Вопрос о существо-
' вании двух корней квадратного уравнения
следует показать путем разложения на мно-
жители первой части неполного квадратного
уравнения. Проработку полных квадратных
уравнений Шапошников советует начинать
с решения частных примеров, у которых левая
часть представляет полный квадрат суммы
или разности. Такие примеры легко решаютс!
и легко преобразовываются в иные формы
квадратного уравнения. На эти преобразова-
ния Шапошников рекомендует обратить серь-
езное внимание учащихся, чтобы они после
достаточного числа упражнений в решении
и преобразовании частных случаев квадрат-
ных уравнений могли перейти к аналогичным
преобразованиям буквенного квадратного урав-
нения и к выводу формулы для его решения.
Эту формулу, по мнению Шапошникова,
нужно выводить ,цля уравнения вида ах2 -J-
-|-2Ах-|-с = 0, так как любое полное квад-
ратное уравнение может быть приведено к та-
кому виду путем умножения его частей на
два. Формулу Х'= ^-4- (у)2 — Я можно

дать не ранее, как в VIII классе, и то лишо
потому, что она имеет теоретический интерес.
Для решения же квадратных уравнений Ша-
пошников считает вряд ли целесообразным
давать учащимся более одной формулы. Но
зато эту формулу следует рекомендовать уча-
щимся выводить всякий раз при решении ча-
стных случаев квадратного уравнения. Раньше,
чем выводить формулу для решения квадрат-
ного ураонения, вот какие преобразования
рекомендует проделать Шапошников:

(5х+8)s = 4 4

25х2 4-80x4-64 = 4
25х2 4- 80х 4- 60 = 0
5x2J-lox4-12 = 0 I
(ax-\-b)2 = b2— ас
а2х2 4- ЪаЬх 4 = = Ь2 - ас

а?х2 4~ 2abx -]- ас = 0
ах2 ~2Ьх -|- с = 0

После подобных преобразований уже мож-
но приступить и к решению полученных квад-
ратных уравнений, проделав обратный путь,

показанный на приведенных примерах стрел-
ками. Вот круговое преобразование, плакат
которого Шапошников советует вывесить на
стене и которое нужно проделать при выводе
формулы решения квадратного уравнения:

5х2-|- 16x-f-12 = 0—>ах24-2Ах-|-с = 0

(ах -}- Ь)2 = Ь'1 - - ас
ax-j-5 = 4;|/^2 -ас
ах =— Ь 4-1/4>2— ас

- 8zt j/8»-5-12 v — b±Уb^ —ас

X’,2— 2 — a

9 = 6
b = 8
c= 12

На доске запись решения квадратного
уравнения Шапошников рекомендует произ-
водить так:

Зх2 -|~ — 108 = 0 —> ах2 -р2 Ьх-\-с = 0

— 10 ± । 10* ~ 3— 108 ,
х1,2- 3

х — b ± \/b'*— ас

а=уз
Ь= 10
с = — 168

Проф. Михаловский в своей книге
„Основы методики математики“ (изд. „Ра-
дянська школа", 1931 г.) полемизирует с
т. Шапошниковым, отмечая, что последний

недооценивает значение квадратного уравнения
как в практической жизни, так и в школь-
ном обучении. Не согласен Михаловский
с Шапошниковым и в оценке формулы х =
=— вторую считает

более важной и простой, чем две остальные
формулы. По поводу вывода формулы Миха-
ловский говорит, что Шапошников в этом
отношении ничего принципиально нового не
дает Методическую разработку квадратного
уравнения,по мнению Михаловскы о, хорошо
начинать с изучения уравнения (х — а) (х —
— А) = 0 и установления его корней. После
этого следует развернуть левую часть этого
уравнения и решать его путем разложения на
множители. Проделав до статочное число по-
добных упражнений, уже легко будет вывести
формулу сначала для решения уравнений вида
х24-рх -|—<7=0, а потом и для решения
уравнений вида ах2 4- ax-j- с = 0 путем до-
полнения левой части до полного квадрата.
При решении квадратных уравнений следует
требовать, чтобы учащиеся заканчивали это
решение извлечением квадратного корня. Ми-
хал о веки й является сторонником графического
метода.

Познакомимся еще с методическими сооб-
ражениями о квадратных уравнениях В. Мр о-
чека и Ф. Филипповича, которые в своей
книге „Педагогика математики" вопросу о пре-
подавании квадратных уравнений посвящают
отдельную главу. В. Мрочек и Ф. Филиппович
являются представителями реформаторского
.движения в России начала XX в., движения,
вождем и вдохновителем которого в между-
народном масштабе был Ф. Клейн. „Педа-
гогика математики“ Мрочека и Филипповича
до сих пор не утратила интереса. Эти мето-
дисты считают, что при преподавании квад-
ратных уравнений важно избежать затруднений
в понимании двузначности корня, в нахожде-
нии своими активными усилиями способа ре-
шения частных примеров квадратных урав-
нений и в переходе от этих частных примеров
к решению квадратного уравнения в общем
виде. Лучшим путем к этому служит разло-
жение на множители. В зависимости от
сложности преобразований авторы при реше-
нии примеры квадратных уравнений целят на
пять групп. Вот образцы этих примеров и
способы решения их:

- I. х2-)- 1 = 5

ж2 = 5 — 1
х2=4

х-х = 2-2

х • х ~ ( - 2) • (— 2)

Xj = 2
х = —2;

II. х2 —6х {-9 =«49
х24-2-Зх4-32 = 7-7 или (—7)-(—7);
(х-|-3)2 = 7-7 или (—7)-(—7)

м т. д.

III. х24-10х = — 25
х2 -J- Юх -|- 25 = 0
х24-2.5х-4-52=0
и т. д. (х + 5)2 = 0

IV. X2 4- 6х + 8 = 0
х2 4-6x-f-2-4 = 0
х2 - j-2х-|~ 4х 4~ 2 • 4 = 0
х (х 4-2) 4 - 4 (х 4 2/ = О
(х4-2)(х4-4)=0
х 4-2 = 0
х -1-4 = 0
и т. д.

№

х2 4-6x4-8=
х ]- 6х = — 8
х(х4-6)=(~2).(4-4)
х х-|-6) = 2(—4)
х, ~—2, если х4~6 = 4
х = — 4, если х-|-6 = 2.

V. х26х4-7 = 23

х2 4-2-Зх(7-|-2; = 25
(x-f-3)2=25
и т д.

После этого уже по аналогии можно ре-
шить квадратное уравнение и в общем виде.
Для запоминания учащимся лучше давать,
по мнению авторов, формулу х = —
±|/ (I)(авт°Ры дают эту формулу
в таком виде: х—~ Р—^/р* Авторы

советуют познакомить с геометрическим ре-
шением квадратного уравнения, а потом уже
перейти к графикам.

Учебники алгебры Киселева, как уже
отмечалось выше, за свое существование пре-
терпели много переработок. Поэтому будем
говорить лишь о последней редакции этого
учебника, переработанного при участии проф.
Барсукова в 1933 г. применительно к ста-
бильной программе и утвержденного в качестве
стабильного учебника. Раньше, чем говорить
об изложении квадратного уравнения в учеб-
нике Киселева, мы остановимся на программе
по математике для средней школы (1933 г.)

„Основная задача обучения алгебре на
шестом, седьмом и восьмом годах обучения —
овладение учащимися методом составления и
решения уравнений. Согласно программе: на
шестом году в основном — методом составле-
ния и решения линейного уравнения, на
седьмом и восьмом годах обучения — уравне-
ний второй степени" (из объяснительной за-
писки к программе по математике для сред-
ней школы). Такова задача, поставленная
перед школой и в первую очередь перед
методистами и преподавателями математики.
Составление и решение квадратных уравне-
ний на седьмом и восьмом годах обучения
являются стержневой темой при изучении
алгебры. „Полная теория квадратного урав-
нения с соответствующим исследованием кор-
ней уравнений относится на восьмой год
обучения",—этим в объяснительной записке
к программе по математике указывается, что
в основу изложения учения о квадратных
уравнениях должен быть положен принцип
концентричности. Обзор учебной и методиче-
ской литературы по математике блестяще
подтверждает правильность как основной за-
дачи обучения алгебре, так и принципа кон-
центричности в расположении материала,
которые выдвинул Наркомпрос перед школой.
За этот принцип и эту целевую установку в
преподавании алгебры стоят лучшие методисты.
То же самое можно сказать и об идее функ-
циональной зависимости и графиках, важность
которых при изучении математики подчерки-
вается в объяснительной записке к программе
по математике, где относительно квадратных
уравнений указывается, что „в связи с тео-
рией квадратных уравнений рассматривается
график квадратной функции11. Целесообраз-
ным и удовлетворяющим требованиям педа-
гогики является отнесение проработки учения
о квадратном уравнении к седьмому и вось-
мому годам обучения.

В объяснительной записке к программе
по математике есть еще очень важное указа-
ние, которое, как видно из сделанного об-
зора учебно-методической литературы, боль-
шинство авторов и методистов в своих книгах
упускают. Указание это направлено к тому,
что при проработке различных отделов мате-
матики „должны быть сообщены исторические
факты развития того или иного отдела мате-
матики". История отдельных вопросов мате-
матики при изучении ее играет весьма
существенную роль, помогая учителю нащу-
пать правильный метод преподавания, рас-
ширяя умственный кругозор учащегося и
возбуждая в нем интерес к изучаемым вопросам.

В объяснительной записке к программе
по математике не указаны методы, которыми
следует прорабатывать квадратные уравне-
ния, — эти методы должны быть разнообразны,
но порядок расположения учебного материала
говорит о том, что проработка должна прово-
диться от частных случаев квадратных урав-
нений к общим случаям. Формула для реше-
ния полного квадратного уравнения должна
быть выведена сначала для х2 -]-рх -|- q = О,
а потом уже для уравнения ах2 -j- bx с = 0.
Относительно формулы для решения уравнений
вида ах2 -|-2Ax -с = 0 в программе не сказано
ничего. Составлением и решением квадратных
уравнений заканчивается программа по ал-
гебре в VII классе. Такой порядок располо-
жения учебного материала в квадратных
уравнениях соответствует и их историческому
развитию и требованиям методики.

Вторая, теоретическая часть учения ква-
дратных уравнений отнесена к концу про-
граммы по алгебре на восьмой год обучения.
Расположение учебного материала и в этой

части программы следует признать удачным
и сделанным с учетом требований педагоги-
ческой мысли. Следует только вынести по-
желание, чтобы в дальнейших изданиях про-
граммы по математике для средней школы
вопрос об исторических фактах был больше
уточнен. Хорошо было бы при изложении
программного материала вкрапливать и воп-
росы истории соответствующих разделов
математики, чтобы требование сообщать
исторические факты — превратить в кон-
кретно-обязательное, а учителю указать про-
граммный минимум исторических сведений и
их систематическое расположение. Это поже-
лание тем более уместно, что в стабильном
учебнике алгебры Киселева исторические све-
дения почти отсутствуют, если не считать
тех незначительных выносок, которыми из-
редка снабжена вторая часть учебника. О
квадратных уравнениях в стабильном учеб-
нике никаких исторических сведений не со-
общено даже в выносках. Отсутствие исто-
рического материала в учебнике алгебры
Киселева является одним из его недостатков.
Рассмотрим, как же изложено учение об
уравнениях второй степени в этом учебнике.

Огромный тираж и монопольное положе-
ние в школе учебника алгебры Киселева
делают этот учебник весьма популярным как
среди учащих, так и среди учащихся. По
этому учебнику учатся миллионы людей. Это
обязывает к тому, чтобы стабильный учеб-
ник был во всех отношениях образцовым.
Чтобы помочь стабильному учебнику стать
действительно образцовым, критика должна
предъявить к нему ряд серьезных требова-
ний, отмечая в первую очередь допущенные
в учебнике ошибки и вынося соответствую-
щие пожелания.

Путь изложения материала в учебнике
должен начинаться от частных случаев и
иттч к обобщениям, чтобы потом ученик,
будучи обогащен добытыми знаниями, мог
вернуться снова к частным случаям. Круг
должен быть замкнутым: от практики к тео-
рии и от теории — снова к практике и т. д.
Взаимно обогащаясь, практика и теория
д )лжны дополнять друг друга. На этом пути
учащийся должен быть исследователем. Глу-
боко прав А. Н. Шапошников, когда он
требует, чтобы ум учащегося шел изобре-
тательским путем, обогащаясь, возбуждаясь
и давая продуктивную работу.

Прав Симмондс, когда он, борясь за раз-
витие самодеятельности учащихся, ополчается
против „кормления с ложечки" при препо-
давании, так как такое преподавание тормо-
зит развитие их умственных способностей.
Учебник алгебры Киселева, переработан-
ный с участием проф. Барсукова, является
лучшим учебником алгебры. Он заслуживает
той популярности, которой пользуется в
школе. Но это не исключает того, чтобы
при последующих изданиях в этом учебнике
были устранены отдельные недочеты. В изло-
жении учения о квадратных уравнениях в
этом учебнике не вполне выдержаны те
требования к учебнику, которые изложены
нами выше. Так, глава о квадратных уравне-
ниях вполне правильно начинается с кон-
кретной задачи. Но задача выбрана не со-
всем удачная, поэтому вместо элементарного
решения дается совет „непосредственной
подстановкой “ убедиться в правильности
корней 9 и —1, а также в том, что ответом
на задачу может служить только первый
корень уравнения 7х2— 56х— 63 = 0. Ясно,
что приступить сразу к решению такого
уравнения нельзя и поэтому пришлось при-
бегнуть к совету убедиться „непосредствен-
ной подстановкой “ в правильности неизвестно
откуда появившихся корней и заявить: „Вы-
ведем общее правило для решения квадрат-
ных уравненийхотя такое заявление и
является преждевременным, так как этот вывод
дается в учебнике лишь через шесть страниц.

Лучше было бы главу начать с конкрет-
ной задачи, которая была бы по силам
учащемуся и выражалась бы неполным квад-
ратным уравнением. После этого уже можно
было бы перейти и к задаче, выражающейся
полным квадратным уравнением, которое уча-
щиеся смогли бы уже по аналогии с непол-
ным квадратным уравнением решить само-
стоятельно. Следует отметить и некоторую
небрежность, допущенную в учебнике при
расположении преобразований составленного
по условию данной задачи уравнения, кото-
рое изображено так:

28х—84 28х-{- 84 = 7(*2 — 9) = 7х2—63.

Такая запись дезориентирует учащихся, с
трудом привыкающих к правильным записям, и
путает представление о двух частях уравнения.

Вряд ли можно назвать удачным и за-
главие следующего после конкретной задачи
параграфа — „Нормальный вид квадратного
уравнения “, определение которого к тому же
дается такое: „Общий вид такого уравнения
(нормальный вид) есть следующий: ах2
4-с = 0“. Нельзя считать удачным и получе-
ние неполных квадратных уравнений, которые
даны сразу в общем виде из определений
их, а потом уже приведены частные примеры
этих уравнений и дано их решение. Такой
прием изложения мы уже видели у Бертрана

и Билибина — сторонников пути изложения
материала от абстрактного к конкретному.
Дальнейшее решение частного примера пол-
ного квадратного уравнения, полученного еще
из первоначальной задачи о моторной лодке,
связи с решением неполных квадратных урав-
нений не устанавливает.

Вывод формулы для решения полного
квадратного уравнения путем дополнения пер-
вой части квадратного уравнения до квадрата
следует признать весьма удачным. Такой вы-
вод наиболее употребителен и наиболее понятен
учащимся. Но число корней квадратного
уравнения следовало бы исследовать сначала
на неполных квадратных уравнениях, где
легче можно было бы выяснить трудный для
учащихся ьопрос о двузначности корня ква-
дратного уравнения, тем более, что этого
требует и программа по математике.

Совершенно обойден в учебнике вопрос
о пригодности в некоторых случаях отрица-
тельного корня в качестве ответа на постав-
ленную задачу. В учебнике указано только,
что положительный корень годится, а отри-
цательный корень не годится для задачи,
„так как в задаче отыскивается абсолютная
величина скорости “ (как будто абсолютная
величина должна быть положительной.) В
отношении пригодности отрицательного корня
уравнения для задачи следовало воспользо-
ваться советом Симона и указать, что урав-
нение всегда более обще, чем задача, поэтому
не всегда оба корня удовлетворяют условию
данной задачи, и что отрицательные корне
уравнения бывают пригодны для получения
ответа на данную задачу, поэтому нельзя
игнорировать отрицательный корень, как это
дел; ли в древности и как это деЛают часто
и теперь учащиеся.

Для примера следовало бы привести в
учебнике, как это советует Симон, соответст-
вующую задачу, примерно, такого содержа-
ния: „Длина прямоугольного зеркала 150 см,
а ширина 50 см. Вместе с рамой из прямо-
угольных брусков поверхность зеркала со-
ставляет 9600 см2. Хакова ширина рамы?“.
На подобной задаче ученики убедятся, что и
отрицательный корень уравнения имеет равно-
ценное с положит ельным корнем значение и
может служить ответом на поставленную за-
дачу, почему его игнорировать нельзя.

Воль стабильного учебника в школе огром-
на. Его необходимо с каждым новым изда-
нием совершенствовать, исправляя допущен-
ные недочеты. Необходимо привлечь к уча-
стию в исправлении недочетов в стабильном
учебнике широкие массы квалифицированных
преподавателей, используя их опыт.
БОРЬБА С НЕБРЕЖНОЙ ЗАПИСЬЮ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

В. ПАДУЧЕВ (ст. Лиски)

Во всякой области человеческого труда
поверхностное и небрежное отношение к
делу является величайшим злом. Качество из-
делий в промышленности расценивают не
только по общему их виду, но и по точно-
сти, изяществу выполнения отдельных дета-
лей. Грубо сделанные часы, если даже они
будут показывать верное время, мы признаем
браком как незаконченную, топорную работу
и вернем их в цех для доработки Форма
не отделима от содержания и должна соот-
ветствовать содержанию.

Школа, обучающая нашу молодежь осно-
вам наук и одновременно воспитывающая
будущих строителей социалистического об-
щества, должна считать одной из своих ос-
новных задач планомерное развитие среди
учеников здоровых и полезных трудовых на-
выков: внимательное и добросовестное отно-
шение ко всем частям выполняемой работы,
чистота, аккуратность, точность и-полноцен-
ность §2 всех деталях. Если ученик воспитан
в повышенном чувстве ответственности за
качество своей продукции, и не за качество
„вообще", не только за вещь в целом, но и
за конкретные деловые мелочи результата,—
это послужит фундаментом его дальнейшей
трудовой деятельности на всю жизнь. Из
него выйдет тогда хороший, добросовестный
врач, агроном, мастер цеха, руководитель
предприятия или рядовой работник промы-
шленности. А такие люди смогут и должны
бутут любить свой труд, считать его делом
своей чести, делом славы, делом доблести и
геройства.

Помня об этой высокой воспитательной
задаче, каждый преподаватель должен разви-
вать в учениках критическое чутье и требо-
вательность ко всем элементам работы. Имея
постоянное наблюдение за ученическими тет-
радями и записями, преподаватель должен
систематически добиваться чистоты и акку-
ратности с внешней стороны, четкости чер-
тежа и рисунка, целесообразного и рациональ-
ного использования площади рабочего поля
на листе бумаги. Казалось бы, все это яв-
ляется настолько элементарным и очевидным.
насколько очевидным и элементарным счи-
таем мы требования о санитарном состоянии
любого промышленного предприятия. Но
жизнь говорит о том, что благодушно рас-
считывать на выполнение многих элемен-
тарных положений нельзя, что сиответствую-
4 Математика и физика в средн ей шко.-Ы, № 6.

щее напоминание и разъяснение, бывает иногда
не только полезным, но и совершенно необ-
ходимым.

Сошлемся на факты:

1) Ученик VII класса на уроке алгебры
вызывается к доске и делает такие записи,
которые могут быть воспроизведены в печати
разве только с помощью фотографии. Буква
х принимает самые разнообразные очертания;
знак равенства тянется наклонно то вверх,
то вниз, размеры цифр не выдерживаются,
самые цифры пишутся кое-как, до полной
их неузнаваемости.

После „благополучного" решения заданных
примеров вызванный ученик возвращается
на место, причем не делается никаких заме-
чаний о внешней стороне его работы ни со
стороны преподавателя, ни со стороны
класса.

2) При просмотре проверенных классных
и домашних работ по тетрадям учеников
VIII класса обнаруживаются записи такого
же или еще худшего типа и ни в отметке, ни в
замечаниях преподавателя такая домашняя, с
позволения сказать, работа не находит долж-
ного отражения и должной оценки. Ведь
можно подумать, что это каррикатура для
сатирического журнала.

О чем сигнализируют такие факты? Мож-
но ли за это обвинять одних учеников, про-
вести с ними соответствующую беседу и ду-
мать, что это исправит дело?

Мы полагаем, что такие случаи явной и
недопустимой небрежности в записи матема-
тических символов относятся всецело за счет
преподавателя, который не уделил должного
внимания внешнему оформлению работ.

Дело это не так просто, как может по-
казаться с первого взгляда. Вопрос о внеш-
ней стороне математических работ требует
самого серьезного внимания, так как здесь
прививаются навыки, которые будут сопрово-
ждать человека всю жизнь.

Укажем на те минимальные требования,
которые должны предъявляться ко всем ра-
ботам по математике на протяжении всех лет
обучения от I до X класса.

1. Может показаться банальным, если мы
скажем, что преподаватель математики дол-
жен не только научить, но и следить до
самого последнего класса за правильным
написанием цифр. Обычно считают, что
цифры проходятся на первом году и ника-
кой работы в средних и старших классах в
*>том отношении проводить не требуется. К
сожалению, этот взгляд очень распространен,
преподаватели часто не обращают внимания
। а небрежную запись цифр, считая это „ме-
лочью", делом второстепенным, а в резуль-
тате получается такая неряшливость в напи-
сании цифр, которая создает полную нераз-
бериху и рйзнобой.

Например, при небрежной записи ци-
фра 4 перерождается иногда в 7, иногда
в 9; единицу часто нельзя бывает отличить
от 7, 3 от 8 ит. д. На классной доске и
п ученических тетрадях появляются замысло-
ватые числовые ребусы, разгадать которые
стоит большого труда. Авторами этих ребу-
сов бывают иногда ученики с хорошими ма-
тематическими способностями, но им не было
своевременно внушено, что цифры являются
важнейшими математическими символами и
требуют правильного, четкого написания.
Если поправить у такого ученика небрежно
написанную цифру, он удивится и будет
внутренне убежден, что это простая при-
дирка к несущественным мелочам.

Показав правильное написание цифр, пре-
подаватель должен во всех разделах средней
(да, пожалуй, и высшей) математики требо-
вать их четкого и верного изображения. Ма-
лейшая небрежность, всякий намек на число-
вой ребус должны вызывать соответствующее
методическое воздействие. Но борьба за ци-
фры ни в коем случае не должна превра-
щаться в сухой педантизм. Надо показать
ученикам на живых и наглядных примерах,
что происходит от небрежного обра-
щения с цифрами в различного рода доку-
ментации, при составлении планов, в счетном
деле и т. д. Расскажите, как был заслан за
тысячи километров по другому маршруту
срочный и ценный груз вагона № 383 725,
на котором была сделана небрежная запись цифр
и он был принят за № 333 125. Ученики быстро
поймут эти объяснения и навсегда запомнят,
что цифры являются важнейшими математи-
ческими знаками, что всякая недооценка их
внешней стороны влечет за собой путаницу,
неразбериху, напрасную потерю времени,
лишний труд, явный вред производству.

Надо подчеркнуть, что если неправильно
написанная буква искажает слово, создавая
орфографическую ошибку, то эту ошибку
все же можно обнаружить путем смыслового
значения целой фразы, а небрежная запись
цифр создает головоломный числовой ребус,
разгадать который во многих случаях невоз-
можно. Цифровая небрежность часто бывает
непоправима.

2. Вторым источником числовых голово*
ломок является общераспространенная склон-
ность учеников исправлять ошибочно напи-
санную цифру путем переделки ее в
правильную цифру. Это применяется не
только к цифрам, но и к словам текстовой
записи.

Например, было ошибочно записано чи-
сло 46, вместо которого надо было напи-
сать 53. Ученик старательно переделывает
цифры 4 и 6 на 5 и 3, после чего получается
сплошная мазня.

Преподаватель должен разъяснить па
убедительных и наглядных примерах, что
никакая переделка цифр и слов недопустима,
что исправление ошибок делается только пу-
тем зачеркивания неверного и надписи вер-
ного.

Опыт показывает, что приучить учеников
к исправлению путем зачеркивания, а не
переделки — дело не такое простое, каким
оно может показаться. Зачеркивание написан-
ного всегда требует известного психологиче-
ского усилия и ученик более склонен итти
по линии наименьшего сопротивления, путем
переделки. Но преподаватель может добиться
результата, если он будет внимательно и
терпеливо, последовательно и систематически,
пользуясь каждым конкре гным случаем, де-
монстрировать в классе ту неразбериху, ко-
торая получается от переделки. Насколько
ученики предрасположены именно к пере-
делке, можно проверить на таком простом
опыте: предложите всем записать какое-
нибудь выражение, например: x-f-626. Когда
все запишут, сообщите, что вы оговорились
и вместо -4- 626, над< написать —848. Про-
смотревши тетради, вы увидите, что 9О°/о
исправлений (независимо от возраста учени-
ков) будет сделано путем переделки. Можно
использовать этот опыт для короткой разъ-
яснительной беседы и тут же условиться, что
все исправления записей на доске должны
делаться исключительно путем зачеркивания.

3. В действиях с относительными числами
большим злом является неуменье исправлять
ошибочно записанный плюс (-|-) на ми-
нус (—). Положим, вместо—За ошибочно
записали -|-За. При исправлении этой ошиб-
ки на классной доске или в тетради ученик
добросовестно наращивает горизонтальный
элемент плюса до известного предела (так
поступают и некоторые преподаватели), ду-
мая, что этим цель будет достигнута, что
совершенно неверно.

Кустарная передел ка плюса на минус
всегда столь несовершенна, что уже через
несколько до и нут нельзя понять, как читать
исправленный знак. Этому вопросу следует
уделить особое внимание, так как общепри-
нятая грубая переделка плюса на минус часто
сбивает с толку самого автора переделки,
ставит его втупик и заставляет начинать ре-
шение всего примера с самого начала.

4. Говоря о зачеркивании, необходимо
коснуться широко распространенного дурного
навыка в оперировании с запятой при деле-
нии на десятичную дробь. Покажем это на
следующем примере:

Правильная запись действия: Неправильная запись действия:
74,4:0,024 = 3100 74400124 72 |31ОО 24 24 74^400:0*024 = 3100 72 3100 24 24 0

Выполняя деление на десятичную дробь,
большинство учеников склонны зачер-
кнуть запятую в делителе и в делимом,
поставить новую запятую в делимом (или
добавить соответствующее число нулей),
после чего делить на целое число. Излишне
говорить, что этот нехороший прием является
источником бесчисленного числа ошибок и
напрасной потерей времени в комбинирован-
ных расчетах. Преподаватель должен во всех
случаях требовать от учеников единственно
правильной записи действия — указанной вы-
ше, не разрешая зачеркивания запятой, разъ-
ясняя, что это гарантирует от просчетов и
ошибок, что написание лишней строки вполне
компенсируется возможностью быстро прове-
рить результат.

5. В действиях с обыкновенными дробями,
арифметическими и алгебраическими, следует
поставить жесткое требование о выписывании
дробной черты у дробных компонентов на
одном уровне, не допуская часто практику-
емой расхлябанности и небрежности, как,
например:

Неправильная Правильная

запись запись

5 2 —

6 + 3

_ 10+.8 — 1 17, 5

~ 12 = 12 — 42

^5 2 _ 1-

6 + 3 12~

_Ю + 8 —1_17_5

— 12 12~ 12

Ученики охотно согласятся с этим требо
ванием, если преподаватель покажет им на
наглядных примерах, что неправильная запись
4*

искажает смысл числовых и буквенных выра-
жений, создавая бесформенную толпу цифр
и букв.

6. Перейдем теперь к вопросу о правиль-
ном написании основных, чаще других упо-
требляемых букв математической симво-
лики и к знаку радикала. Если препода-
ватель не уделял этому должного внимания,
здесь имеет место полный разнобой и не-
брежность, переходящие всякие границы.

Буква а часто переходит в d, и наоборот;
вместо z появляется неизвестный символ,
буква v перехидит в отдаленный намек на
знак радикала, а несчастный радикал пре-
вращается в полного инвалида. Высота букв
и коэфициентов часто не выдерживается,
а ученики не имеют представления, что коэ-
фициент пишется .примерно на одну треть
выше буквы.

Если преподаватель уделит несколько ми-
нут для соответствующих разъяснений, по-
кажет правильную запись и б\дет последо-
вателен в своих требованиях выдержанной,
аккуратной и четкой записи, — всякая небреж-
ность быстро исчезнет без следа.

7. Большое значение имеет вопрос
о правильном оперировании знаком равен-
ства при тождественных преобразованиях.
Возьмем пример такой неправильной записи:
x = 2-|-j/29—4 = 25 = 5; х=2ф 5 = 7.

Это — обычная ошибка начинающих, но
она повторяется иногда и хорошими учени-
ками, ссылающимися на то, что „так ко-
роче". Мы считаем, что преподаватель мате-
матики должен в порядке повседневной
работы добиться ясного понимания учениками
смысла знака равенства как одного из важ-
нейших и ответственных математических сим-
волов, жонглирование с которыми недопу-
стимо. Следует использовать для наглядности
числовые примеры с „доказательством" мни-
мых арифметических „парадоксов":

100-f-J^25 = 5 (!), т. е. 105 = 5 или

21 = 1.

Своевременный шарж может быть незамени-
мым орудием в классной работе.

На практике бывают случаи, когда уче-
ники старших классов ставят знак равенства
между алгебраическими выражениями, хотя
по смыслу задачи эти выражения явным об-
разом не равны. А объясняется это тем, чтт
на уроках математики не было проведено
соответствующей разъяснительной работы.

8. В связи с этим должен быть показан
образец правильного расположения действий
при решении уравнений.
Пример 1.
Правильная запись: Неправильная запись:
31x4-2)4-5 = 23 3(х 4-2) 4-5 = 23
3x4-6 4-5 = 23 3x4-6 4-5 = 23
3х = 23 —11 3х=23— 11
Зх= 12 Зх=12
х = 3 х = 3

Пример 2.

Правильная запись:

10 4- 2х2 _ 2х = Зх2 — 5х

10 + 2x2 — 2х — 3x2 + 5х = О

— х2 + Зх + 10 = 0

л2 —Зх—10 = 0

3 +: j/9 + 40_3i7
2 “"2

Х| — 5, Xj — ~— 2

Неправильная запись:

10 + 2хз — 2х = 3x2 — 5х

104-2x2 — 2х— 3x2-|-5х = — х2 + Зх 4- 10 =
= х2-3х—10 = 0; х = 3 =

= 3±7 = 3 + 7=5; Г1 = 5. Xi = _2

Все примеры по решению уравнений дол-
жны выполняться только „столбикомстрой-
ной колонкой, чтобы знак равенства выписы-
вался под знаком равенства. Поняв удобства
и наглядность правильной записи, ученики
будут охотно выполнять это требование.

9. При вычитании многочленов, когда
действие располагается путем подписывания
подобных членов под подобными, чрезвы-
чайно характерным является неправильное
обозначение перемены знаков перед одно-
членами вычитаемого выражения. Покажем
это на примере:

Правильная запись: Неправильная запись

, 5х — 9z 1 5х — 9z

1 цг Зх ± 4z I — Зх ± 4z

2х — 5z 2х — 5z

Если перед первым членом знак плюс,
как подразумевающийся, поставлен не был,
ученик склонен писать новый знак минус,
не показывая старого знака (плюс). Этим
создается явная путаница и недоделка, так
как при проверке приходится каждый раз

снова решать вопрос, поставлен ли минус
взамен подразумевавшегося плюса или минус
является старым знаком, который должен
быть изменен на плюс. Разъяснив неправиль-
ность такого обозна гения, преподаватель
должен поставить обязательное требование,
чтобы во всех случаях перемены знаков пе-
ред алгебраическими выражениями ставился не
только новый, но и старый (первоначальный)
знак.

Мы остановились только на основных,
наиболее типичных и распространенных слу-
чаях проявления неряшливости на уроках
математики. Перечислить все 1 озможньс ва-
рианты небрежной записи в математических
операциях нет никакой необходимости.

Подведем итоги. Небрежность в обраще-
нии с математическими символами недопу-
стима. Преподаватель должен уделять макси-
мум внимания внешнему виду работ, их
форме, правильному написанию цифр, букв,
математических символов и расположению
действий. Здесь не должно быть самотека и
благодушия. Преподаватель должен вести
развернутую, планомерную и систематическую
борьбу за правильность работ не только по
содержанию, но и по форме, пользуясь гаж-
дым случаем, каждой ошибкой ученика,
чтобы лишний раз напомнить, подчеркнуть,
разъяснить и доказать важность правильного
и полноценного внешнего оформления.

Следует всемерно поощргть образцовые
работы, показывая, как делать надо и
как — не надо, составить демонстрацион-
ную классную таблицу характерных случаев
неряшливой записи и реагировать на всякий
случай рецидива неряшливости или нового
вида небрежности.

Если преподаватель проявит последова-
тельность и настойчивость в этой методиче-
ской борьбе, можно быть уверенным, что
она закончится полным и решительным ус-
пехом за короткое сравнительно время. Ос-
новная воспитательная задача на этом пути
заключается в том, чтобы развить среди уче-
ников чувство ответственности и требова-
тельность к внешнему оформлению своих
работ, укрепив полезные трудовые навыки.

Преподаватель должен считать
своей обязанностью и делом своей
чести удачное выполнение этой
важнейшей и благодарной воспи-
тательно-методической работы.
КАК УЧИТЬ ЧИТАТЬ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ КНИГУ

В. РЕПЬЕВ (г. Горьки»1)

Горьковский краевой научно-исследовательский институт
политехнической школы

Борьба за уменье, за навыки
читать книгу должна являться од-
ной из основных задач школы, од-
ной из важнейших задач образования как
в среднем его звене, так и в высшем.

Чтение математической книги имеет осо-
бую значимость еще с другой точки зрения.
Наша страна, строящая социализм, ведет ги-
гантскую работу по овладению современной
техникой. Научиться читать серьезную науч-
ную техническую книгу можно только при
условии умелого чтения серьезной научной
математической книги. Подъем уровня мате-
матического образования также немыслим без
уменья, без навыка читать математическую
книгу.

Кроме того, овладение чтением математи-
ческой книги приобретает на данном отрез-
ке времени особый отпечаток в связи с на-
личием стабильных учебников и требованием
работать по ним.

И, очевидно, перед школой стоит задача
умело использовать учебник, использовать
его методически целесообразно и правильно,
сделать его существенным и неотъемлемым
звеном в общей структуре педагогического
процесса.

А как обстоит дело с навыками чтения
математической книги в средней школе?

Приведем несколько фактов из опыта
школ г. Горького.

Преподавательница математики школы-де-
сятилетки г. Горького отмечает, что даже в
X классе математическую учебную книгу хо-
рошо и сознательно читают приблизительно
80 — 85°/0 учащихся.

Для выявления навыков в чтении матема-
тического учебника один преподаватель про-
извел небольшой эксперимент с учащимися
VIII класса. После выяснения цели экспери-
мента учащимся была предложена для чтения
одна из задач стабильного учебника по сте-
реометрии. Эта задача была связана с про-
рабатываемым материалом по курсу стерео-
метрии. Затем каждый учащийся должен был
написать, понял ли он задачу, должен был
начертить соответствующий чертеж и затем
решить задачу. Из 36 учащихся 27 чело-
век, или 75°/0, заявили, что они задачу по-
няли, 6 человек, или около Y7°la, не были

уверены в правильном понимании задачи или
прямо признались, что задачу не поняли,
(„не очень поняла", „наполовину понял",
„задачу понял плохо" и т. п ), и, наконец,
3 человека, или около 8°/0, не дали ответа.
Таким образом, по признанию самих уча-
щихся, задачу, непосредственно связанную с
курсом геометрии, поняли только 75°/0 уча-
щихся. Контрольные вопросы во время этого
эксперимента о чертеже и некоторые другие
позволяют думать, что это число заслужи-
вает доверия.

Если так плохо обстоит дело с чтением
задачи, то, конечно, с чтением доказатель-
ства георемы дела еще хуже. Часть учащих-
ся этого же VIII класса всегда выражала
испуг и полную неуверенность в своих силах,
когда им предлагали по учебнику геометрии
прочитать дома и усвоить доказательство
несложной теоремы, частично выясненной
в классной работе.

Нельзя не отметить другое явление. Пос-
ле так называемого „бригадно-лабораторного
метода", при котором работа строилась по
заданию с использованием учебника, многие
преподаватели ударились в другую край-
ность: они совершенно забросили работу с
книгой. Об этом говорят и наблюдения за
работой отдельных школ, об этом свидетель-
ствуют чистосердечные признания некоторых
преподавателей. Среди преподавателей встре-
чается даже такое неправильное мнение, что
чтение учебника в классе запрещено.

Таким образом, приходится
констатировать, что в наших шко-
лах работа с математической кни-
гой находится не на должной вы-
соте, что нередко преподаватели
не уделяют внимания этой работе,
или недооценивая ее или не умея
ее наладить.

Умелое чтение серьезной книги — дело во-
обще трудное. Но при чтении математиче-
ской книги эти трудности значительно воз-
растают, усиливаются, появляется ряд труд-
ностей, специфических для математики. В чем
же специфичность этих трудностей?

Математика по своей природе ipeGyer
точност.1 языка; краткость языка, сжатость
изложения являются специфическими чертами
математической книги, создающими трудно-
сти при ее чтении.

Но это далеко еще не все. Математика
широчайшим образом использует в развитии
своих концепций дедуктивный метод. а он
сводится к очень длительной цепи силлогиз-
мов, тончайшим образом связанных между
собой, переплетающихся в сложных комби-
нациях. Он требует развитого интеллекта,
могущего уловить и почять эти длинные и
замысловатые цепи рассуждений. Он требует
навыка в математическом мышлении. Все это
создает новый ряд трудностей в чтении ма-
тематической книги.

Наряду с этим математика часто изла-
гается в книгах так, что в этом изложении
крайне бедно представлен эмоциональный
елемент. Для подростка, для юноши, иногда
и для взрослого отсутствие или бедность эмо-
ционального элемента в изложении матема-
тики также создает трудности в чтении
книги.

Мы здесь можем встретить возражения,
что стройность математических положений,
богатство и сила символики, сжатость и точ-
ность определений, изящество преобразований
дают достаточную зарядку для эмоциональ-
ных переживаний при работе над математи-
ческой книгой. Но надо помнить, что на-
слаждаться этими тонкими переживаниями еще
не вполне доступно для начинающих изучать
математику, для начинающих читать книгу.

Наконец, нельзя не отметить, что при
чтении математической книги в ряде мате-
матических предметов приходится наряду с
таким текстом тщательно следить еще за чер-
тежом. Но это тоже дело нелегкое, требую-
щее большого внимания, вызывающее труд-
ности у начиаающих читать книгу.

Каковы же основные положения, которые
следует иметь в виду при обучении чтению
математической книги?

1. Приучать к чтению математического
учебника надо начинать с того времени, как
только дети научатся читать связный текст,
примерно, со второй половины первого года
«бучения. Это обучение систематически надо
продолжать на протяжении всего обучения
в начальной и средней школе, а заканчи-
вать в высшей школе.

2. Начинать обучение следует с чтения
фразы, двух фраз. Потом надо перейти к
чтению небольшого параграфа, связного от-
рывка учебника, затем целой главы и, на-
конец, книги.

3. Первой книжкой, которую дети нач-
нут читать еще в первом году обучения,
явится задачник. Задачники используются
54

школой очень широко: вначале — арифме-
тические, затем они сменяются алгебраичес-
кими и геометрическими, а позднее — в треть-
ем концентре — тригонометрическими. На про-
тяжении всех лет обучения задачник должен
служить существенным пособием при обуче-
нии чтению книги.

4. Начиная с третьего года обучения, на-
ряду с задачником, появляется учебник ариф-
метики, с пятого года появляется учебник
по геометрии, с шестого года — по алгебре,
а в третьем концентре — по тригонометрии.

5. Чтобы научить учащихся работать с
книгой, педагог обязан проводить соответ-
с гвующую работу в классе:

а) инструктировать и разъяа ять особен
ности работы по данному учебнику;

б) проводить самостоятельные работы в
классе по учебнику под наблюдением и не-
посредственным руководством педагога;

в) читать текст учебника с соответству-
ющими разъяснениями и т. д.

6. При чтении книги следует учитывать
возрастные особенности учащихся. Пока мы-
шление учащихся еще развито слабо, пока
навыки к абстрактному мышлению находятся
еще в зародыше, чтение математической кни-
ги должно опираться с особенной настойчи-
востью на конкретный материал — вещи, чер-
тежи, рисунки и модели. Позднее конкрет-
ный материал несколько отодвигается, упот-
ребление его ограничивается, но он все лее
не забрасывается, он в необходимых случаях
в подходящих дозах используется и за пре-
делами переходного периода. Однако, в треть-
ем концентре математические абстракции всту-
пают в свою силу, математическое мышление
должно культивироваться полно и достаточ-
но глубоко, а это накладывает своеобразный
отпечаток и на характер работы с книгой.

7. Необходимо учитывать при чтении кни-
ги и особенности математических предметов.
Особенные трудности вызывает чтение гео-
метрических книг, где необходимо устанав-
ливать взаимосвязь текста с чертежом. На-
до учитывать и специфические особенности
того или другого автора книги.

8. Полезно натолкнуть учащихся на по-
пулярные математические книги и организо-
вать внеклассное чтение их.

Теперь остановимся на отдельных прие-
мах обучения чтению книги, иллюстрируя их
разнообразными примерами.

1. Одним из видов использования задач-
ника в интересующем нас направлении яв-
ляется фронтальная работа всего класса над
решением задач с предварительным индиви*'
дуальным чтением задач по книжке.
Работа организуется так.

Учащиеся обеспечиваются задачниками.
Желательно, чтобы у каждого был отдель-
ный задачник.

Преподаватель предлагает учащимся от-
крыть такую-то страницу и прочитать каждому
про себя указанный номер задачи, затем на-
писать кратко числовые данные в тетради, вы-
писать их, если этого требует решение задачи,
так, чтобы удобнее было решать задачу.

После небольшой паузы, однако настоль-
ко длительной, чтобы учащиеся могли сво-
бодно прочитать задачу не менее двух раз
и переписать числовые данные в теградь,
преподаватель начинает проверку, насколько
учащиеся поняли задачу. Проверка заклю-
чается прежде всего в том, что по записи
числовых данных в тетради учащиеся повто-
ряют своими словами условие задачи. В за-
висимости от сложности сюжета это можно
сделать 2 — 3 раза.

Зат ;м преподаватель спрашивает, кому
и что непонятно из условия задачи. На все
недоуменные вопросы даются объяснения.
Эти объяснения могут дать другие учащиеся
по вызову преподавателя, а в крайнем слу-
чае — сам преподаватель.

Не довольствуясь вопросами учащихся о
неясных местах условия задачи, преподава-
тель ставит учащимся, чаще всего слабым,
вопросы, вскрывающие, насколько правильно
понята задача.

Таким образом, происходит после само-
стоятельного чтения задачи достаточное ос-
мысливание прочитанного.

После этого приступают к фронтальной
работе по решению задачи. Вот конспекты
части урока на пятом году обучения с та-
ким анализом условия задачи:

— Дети, откройте задачник на страни-
це 82...

-— Прочитайте про себя и уясните задачу
№ 156. Выпишите чиста, данные в условии,
в тетрадь.

„156. Шкив диаметром в 729 мм, дела-
ющий 143 об/мин, соединен ременной пере-
дачей с другим шкивом, делающим 896
об/мин. Найти диаметр второго шкива”.

(Е. С. Березанская — „Сборник задач
и упражнений по арифметике", 1933 г.)

После паузы, достаточной для трехкрат-
ного чтения задачи и выписывания данных,
преподаватель продолжает:

— Муся Иванова! Скажите условие за-
дачи...

— Вася Романов! Повторите еще раз ус-
ловие задачи...

— Поднимите руки, кому что-нибудь не-
понятно в условии.

— Коля Судаков, что непонятно?

Коля не знает, что такое шкив. Некото-
рые другие дети также не знают шкива.

— Кто может объяснить, что такое
шкив? Соня Шермакова. Объясните.

Соня напоминает, что дети видели шкив
во время экскурсии на завод, кратко расска-
зывает, в чем сущность устройства шкива.

— Кому еще что-нибудь непонятно в ус-
ловии задачи?

Вопросов больше нет. Тогда преподава-
тель ставит сам вопросы, направленные к вы-
яснению встречающихся понятий.

— Петя Спорынин, что такое диаметр
шкива?

— Ваня Ершов, как понимать выраже-
ние „143 об/мин“?

Убедившись, что все встречающиеся поня-
тия в условии задачи учащимися поняты,
учитель предлагает одному из них еще раз
повторить условие задачи и затем приступить
к решению.

Может возникнуть сомнение, что такой
анализ условия задачи занимает много вре-
мени, и отсюда сомнение, стоит ли его де-
лать, не лучше ли обойтись без такого раз-
бора.

Надо иметь в виду, что задача будет
решаться каждым учащимся хорошо только
в том случае, если учащийся понял все де-
тали условия. Таким образом, излишняя
затрата времени на анализ условия по-
кроется экономией времени при решении
задачи.

А главное — такой анализ способствует ов-
ладению книгой, приучает читать и понимать
книгу.

2. Задачник с интересующей нас точки
зрения может быть использован несколько
иначе — от времени до времени полезно ор-
ганизовать по нему самостоятельную работу
по решению задач на уроке.

Часто при таком решении задач полезно
конструировать модели. Модель выполняет
довольно многогранную роль: а) она является
опорой, позволяющей ученику понять усло-
вие решаемой задачи, понять читаемое; б) са-
мостоятельное конструирование модели вызы-
вает чувстве удовлетворения элементами твор-
чества, которым неизбежно сопровождается
конструирование, а это придает всей работе
недостающую математической книге эмоцио-
нальную окраску; в) она вызывает интерес
к работе, делает работу привлекательной;
г) она дает опору для развития простран-
ственного воображения.
Опишем пример, заимствованный из опыта
IX класса школы им. Бубнова в г. Горьком.

Класс, придерживаясь стабильного учеб-
ника Гурвица и Гангнуса „Система-
тический курс геометрии", проработал первую
главу п) стереометрии — „Взаимное положе-
ние прямых плоскостей в пространстве" и вто-
рую главу—„Перпендикуляр и наклонные".

При изучении второй главы в ряде теорем
перед учащимися была вскрыта сущность гео-
метрического анализа (при рассмотрении тео-
рем о двух и трех перпендикулярах). В фрон-
тальной коллективной работе всей группы
были решены несколько задач из „Сборника
геометрических задач по стереометрии"
Н. Рыбкина.

При решении этих задач также подчерки-
валась целесообразность использования ана-
лиза. Как при теоретических вопросах, так
и при решении задач пользовались различны-
ми моделями и чаще всего небольшой доской
из мягкого дерева (12Х18сл), спицами с
заостренными концами, которые употребляют-
ся при ручной кустарной вязке чулок, и шари-
кообразными пробками для скрепления спиц.

Затем в целях овладения техникой реше-
ния задач, а в частности в целях овладения
уменьем читать геометрический задачник, была
проделана индивидуальная самостоятельная ра-
бота учащихся по задачнику Рыбкина.

— Решите на странице 5 задачника Рыб-
кина задачи № 17, 18 и 19.

— При решении придерживайтесь такого
порядка (порядок работы выписывается зара-
нее):

1) прочитать про себя несколько раз эту
задачу;

2) построить, пользуясь дощечкой, спи-
цами и пробкой, пространственную фигуру,
примерно, соответствующую условию задачи;

3) пользуясь полученной моделью, соста-
вить чертеж в тетради;

4) приступить к непосредственному ре-
шению, используя, где целесообразно, анализ.

Если при чтении задачи вы легко п< няли
ее условие и можете начертить нужную фи-
гуру, то пункт второй — составление моде-
ли — лучше опустить.

— Какие имеются вопросы по заданию?

Небольшие группы учащихся в 3—4 че-
ловека снабжаются дощечкой (из липы), на-
бором спиц, примерно, такого размера: 3—
4 спицы длиной 20 см, примерш по стольку
же спин длиною 15 гл, 10 см, 3 см и не-
большой шарикообразной пробкой. На до-
щечку кладется кусок бумаги, и все линии,
которые должны проводиться на плоскости,
вычерчиваются на этой бумаге.
56

Учащиеся приступают к самостоятельной
работе. Преподаватель в случае затруднений
учащихся в понимании сюжета задачи, в кон-
струировании соответствующей модели, в ре-
шении задачи оказывает осторожную и нуж-
ную помощь.

Более подготовленные учащиеся задачу
решают без помощи модели.

Опыт показывает, что работа, организо-
ванная описанным способом, вызывает инте-
рес учащихся. Задачи с помощью моделей
решаются даже слабыми учашимися, а силь-
ные обычно стараются овладеть задачей без
помощи модели.

Вторым типом математической книги, с
каким встречается ученик в школе, являются
учебники по всем математическим дисциплинам.

Можно рекомендовать различные способы,
дающие возможность научить учащихся чи-
тать учебник.

3. В классах, начиная с III и кончая VI,
можно пользоваться фронтальным чтением
учебника, предваряя его проработкой соот-
ветствующего материала с учащимися путем
беседы, эвристическим приемом.

Приведем пример.

Темою урока в V классе является поня-
тие о степени. Учитель на примере выяснил,
что при умножении одинаковых сомножителей
возможно некоторое упрощение записи, по-
казал эту новую запись, сообщил, что умно-
жение одинаковых сомножителей есть новое,
по счету пятое действие, которое называется
возведением в степень. Затем дети решили ряд
примеров, в которых произведение одинако-
вых сомножителей записывали с помощью
показателя степени. При разборе примеров
введены термины: основание степени, показа-
тель степени и степень. Далее решили не-
сколько примеров, в которых степень заменяла
произведением равных сомножителей и под-
считывали результат.

После этого преподаватель предлагает
раскрыть учебник арифметики на странице 32
(И. Попов—„Арифметика") и предлагает про-
читать § 10 „Понятие о степени". Один из уче-
ников, по вызову преподавателя, читает вслух
первые строки, а остальные следят по книгам.

„§ 10. Понятие о степени. При
умножении одинаковых сомножителей возмож-
но некоторое упрощение записи.

I. Например, надо найти произведение:

1) 3-3; 2) 2-2-2; 3) 3-3-3; 4) 5-5-5.

Для таких произведений существуе. осо-
бый способ записи:

1) 3-3 = 32 = 9; 2) 2-2-2 = 23 = 8;
3; 3-3-3-3 = 34=81;4) 5-5-5-5 = 54=625;
5) 10-10-10 = 103 = 1000“.
После этого учитель для возбуждения вни-
мания, активности детей к читаемому пред-
лагает проверить примеры, приведенные в
книжке. Все сомнения подвергаются обсуж-
дению.

Затем второй ученик читает следующий
отрывок учебника.

Учитель спрашивает, кому и что непонят-
но. Ставит контрольные вопросы:

— Что значит возвести четыре в третью
степень?

— Сколько получится?

— Как возвести два в четвертую степень?
Сколько получится?

Далее третий ученик, по вызову препода-
вателя, читает последний отрывок, содержа-
щий определения понятий об основании, по-
казателе и степени.

В последующей беседе проверяются, пра-
вильно ли решены примеры, приведенные в
учебнике, и поняты ли определения и т. д.

В качестве домашней работы предлагается
детям запомнить определения, напечатанные
в § 10 жирным шрифтом, и решить ряд при-
меров из задачника.

Работа с книгой описанного типа интересна
с той точки зрения, что она вселяет в уча-
щегося уверенность в уменье его читать учеб
ник; проводимая постепенно и систематически,
она дает некоторые навыки в этом чтении,
показывает те существенные места прочитанно-
го, которые необходимо запомнить, позволяет
контролировать уменье понимать прочитанное,
дает возможность ученику ориентироваться в
том, на что ему следует обратить внимание
при домашней работе с учебником.

Некоторые преподаватели в Горьком, прак-
тикуя работу с учебником описанного типа,
считают ее целесообразной и полезной.

4. Полезно показать учащимся, как сле-
дует рационально прорабатывать по учебнику
новый материал. С этой целью можно реко-
мендовать фронтальную работу всего класса.

Этот вид работы с книгой следует прове-
сти с учащимися так, как обычно надлежит
читать математическую книгу,— с конспекти-
рованием, вычерчиванием всех чертежей, с
осмысливанием всех деталей изложения, дока-
зательства и, наконец, с последующим вос-
произведением доказательства, независим'' от
книги.

Пример. Шестой класс прорабатывает
основные задачи на построение. Проработан
ряд задач, примерно, в той последовательно-
сти, как они даны в утвержденном учебнике.

На очереди задача о делении данного угла
пополам. С техникой деления угла пополам
дети уже знакомы из курса V класса. Этот

факт только надо вспомнить. Новым является
доказательство.

Учащиеся вооружаются линейками и цир-
кулями.

Преподаватель предлагает раскрыть учеб-
ники планиметрии на странице 33 и объ-
ясняет:

— Будем вместе читать задачу 6 и кон-
спектировать прочитанное.

Учитель предлагает записать:

„Задача 6. Разделить данный угол по-
полам".

После небольшой паузы, нужной для за-
писи, преподаватель ставит вопрос:

— Что следует начертить в тетрадях,
Панова?

— Начертить угол.

— Начертите. Назовите его так, как в
учебнике. Сперанская, как вы назвали угол?'

— Кто назвал иначе? Следите по учеб-
нику. Я читаю... „Дан угол АВС (рис. 70).
Проведем произвольным радиусом дугу с цен-
тром в вершине В', дуга пересечет стороны
угла в точках D и Е“.

— Сделайте это построение в тетрадях.

— Кто не понял, как сделать, пусть про-
чтет еще раз по учебнику.

Оказав помощь не справившимся с пони-
манием учебника и убедившись, что построе-
ние выполнено всеми, учитель предлагает:

— Иванов, читайте дальше... Читайте и
следите за чертежом. j,C центрами в точ-
ках D и Е проводим равными радиусами дуги
так, чтобы они пересеклись; получим точку F.
Соединив затем точку F с вершиной В, по-
лучим биссектрису данного угла АВС“.

— Сделайте в тетрадях это построение.

— Поставьте ге же буквы, что и в книжке.

— Петров, читайте доказательство, сле-
дите по чертежу.

Неторопливо читается доказательство до-
конца.

— Кратко, как мы пишем на доске, за-
пишите доказательство в тетрадях. Читайте
для этого его про себя еще раз, показывайте
карандашом на чертеже и записывайте в тет-
радях.

Убедившись, что громадное большинство-
сделало необходимые записи, преподаватель
чертит на доске тупой угол, предлагает в
тетради сделать заголовок: „Упражнения",
начертить, примерно, такой угол, как на доске,
разделить его пополам и дать доказательство
применительно к новому чертежу.

Эта работа служит контролем понимания
прочитанного и упражнением в технике до-
казательства. Если доказательство встретило
массовое затруднение, его выполнение пере-
57?
:осится на доску. Если оно идет гладко, все
же для слабых учащихся оно дается на доске,
когда большинство группы его закончит в
тетрадях.

Описанный прием чтения книги полезно
применять в VI—VII классах. Его характер-
ен черта в том, что учащиеся под непосред-
ственным руководством учителя читают книгу
так, как ее полагается читать при серьезной
самостоятельной работе. Этот прием демон-
стрирует способ чтения.

5. Если в только что описанном способе
работа по книге велась фронтально, то дру-
гим видом этой работы можно считать инди-
видуальную классную работу по изучению
небольшого задания по учебнику. Наиболее
целесообразно такие задания давать, начиная
с VI класса. Задания должны даваться не-
'Золыпие, с тем расчетом, чтобы они, с по-
следующим разбором их, занимали не более
одного-двух учебных часов. На первых порах
материал для таких заданий надо подбирать
нетрудный, неответственный. Задание в виде
немногих кратких требований и указаний сле-
дует записать на доске; лучше до начала
урока, чтобы сэкономить время. При ггении
книги надо требовать, чтобы учащиеся вели
конспектирование в тетрадях. Если предло-
жена для проработки теорема, то ее прора-
ботка по книге должна закончиться самостоя-
тельным доказательством каждым учащимся
изучаемой теоремы. Проверкой усвоения про-
читанного, проверкой уменья читать книгу
-является доказательство теоремы у доски
одним из учащихся.

Пример. В VII классе темою для такого
самостоятельного изучения может служить
свойство отрезков хорд, пересекающихся
внутри круга.

Задание записывается на доске, примерно,
в таком виде:

1) По учебнику геометрии на страни-
це 132 проработать § 2—„Свойство отрезков
пересекающихся хорд“.

2) Составить конспективную запись теоре-
мы, как обычно записываем на доске условия,
зывод и доказательство.

3) Не пользуясь книжкой и записью, до-
казать самостоятельно изученную теорему.

4) На странице 135 под заголовком „Во-
просы и упражнения" выполнить 1-е и 2-е
упражнения.

Когда учащиеся закончат изучение теоре-
мы, до того как они приступят к решению
задач, надо вызвать одного из учеников
для доказательства теоремы на доске. Это
явится контролем выполнения основной ча-
сти задания — изучение теоремы. А неза-
58

конченные упражнения предлагается докон-
чить дома.

6. Конечно, надо всячески побуждать
учащихся к работе по учебнику дома. Такая
работа может быть уже по изученному мате-
риалу трех видов:

а) по подготовке домашней работы к сле-
дующему уроку;

б) по повторению целой главы или части
главы к письменной или устной контрольной
работе;

в) повторение всего курса к весенним ис-
пытаниям.

Как правило, при втором и третьем ука-
занных видах использования учебника целе-
сообразно устраивать в определенные часы,
широко оповестив об этом учащихся, инди-
видуальную консультацию по всем недоумен-
ным вопросам, какие встречаются у учащихся
при повторении материала по учебнику.

7. Иногда, но не часто, можно поручить
учащимся VII—X классов проработку новых
вопросов дома по учебнику с непременным
последующим повторением этого вопроса в
классе. Но при этом работа, даваемая на
дом, не должна содержат^, в себе ничего
принципиально нового; она должна быть со-
ответственным образом подготовлена во время
классных занятий.

Пример. BIX классе на уроке прорабо-
тана эвристическим приемом теорема о трех
перпендикулярах. Дан анализ теоремы, дан
синтез. Затем вспомнили понятие о прямых
и обоатных теоремах, о том, что обратные
теоремы иногда бывают верны, а иногда нет,
привели примеры того и другого. Поставлен
вопрос об обратной теореме по отношению
к той, которая только что изучена на уроке.

А далее в качестве домашней работы по-
ручено учащимся:

1) научиться доказывать прямую теорему,
изученную в классе;

2) по учебнику (стр. 14) изучить дока-
зательство обратной теоремы.

Следующее занятие по геометрии начи-
нается с поверки результатов выполнения
этого задания — с доказательства учащимися
теорем на доске.

Описанные приемы освоения книги непо-
средственно связаны с учебными занятиями
по математике, с уроками, с подготовкой до-
машней работы.

Но преподаватель математики организует
и внеклассные математические занятия, кружки
юных математиков-моделистов, кружки мате-
матиков, разные доклады, лекции, внеклассное
математическое чтение, вечера занимательной
математики и т. д.
Во всех этих многообразных мероприятиях
математическая книга, овладение этой книгой
должны играть видную роль. Работа с книгой
здесь носит существенно другой характер.
В основу работы, а значит и работы с кни-
гой, положен принцип добровольности; мо-
тивом служит наличие интереса к тому или
другому вопросу, общая заинтересованность
математикой. Преподаватель получает больше
возможности в отношении учета индивидуаль-
ных склонностей учащихся, а это позволяет
давать учащимся такие книжки, которые со-
ответствуют их интересам, нравятся им.

Чтобы конкретизировать эти общие ука-
зания о внеклассной работе с математической
книгой, приведем несколько примеров, заим-
ствованных из опыта школ г. Горького.

Одна из школ организует для учащихся
II концентра кружок юных математиков-моде-
листов. Основная задача такого кружка —
изготовление моделей по различным отделам
математики. Не останавливаясь на этой ос-
новной задаче, как выходящей за пределы
темы настоящей работы, мы расскажем о дру-
гих занятиях этого кружка. В целях культи-
вирования интереса к математике, в целях
усиления интереса к внеучебной математиче-
ской книжке кружок устраивает специальные
занятия, посвященные занимательной матема-
тике. На этих занятиях предлагаются для ре-
шения интересные задачи, задачи-шутки, раз-
бираются математические софизмы, парадоксы,
рассказываются математические анекдоты, чи-
таются рассказы и стихотворения о матема-
тических сюжетах и т. д. К первому занятию
кружка описанного вида преподаватель-руко-
водитель кружка подготовляет материал сам.
Вызвав своими выступлениями интерес, пре-
подаватель рекомендует учащимся соответ-
ствующие книжки и предлагает двум-трем
учащимся к следующему собранию кружка
подготовить материал для выступления. Го-
товясь к следующему собранию, руководитель
кружка тщательно проверяет, что подготов-
лено учащимися, оставляя только действительно
ценный и интересный материал, а вместе с тем
на всякий случай подготовляет материал
и сам.

Этот материал он использует в случае,
если выступления учащихся будут неудачны.
В порядке подготовки к занятиям кружка
вычерчиваются, если надо, чертежи, схемы,
рисунки.

Чтобы приблизить литературу, связанную
с внеклассными занятиями, к учащимся, при
математическом кабинете полезно создать ма-
ленькую библиотечку математической литера-
туры для внеклассного чтения.

В эту библиотечку надо включить доволь-
но многочисленную литературу по заниматель-
ной математике.

Указываем наиболее распространенные
книги:

Литцман—„Великаны и карлики в ми-
ре чисел".

Воронец и Попов — „Математиче-
ские развлечения".

Перельман — „Занимательная арифме-
тика".

Перел ьман — „Занимательная геомет-
рия".

Перельман — „Занимательная матема-
тика".

Перельман — „Занимательная алгебра“.

Литцман и Трир—„Где ошибке?".

Литцман — „Веселое и занимательное
в фигурах и числах".

Конечно, полезно использовать с этой
целью и периодическую детскую литературу,
уделяющую внимание математике (детские
журналы, газеты)

В эту же библиотечку полезно включить
брошюры и книги по истории математики,
биографии великих математиков. Указываем
наиболее желательные книги:

Воронцов и Попов—„О мерах и
счете древности".

Овсянников — „Нуль".

Воронцов и Попов — „Дети и юно-
ши — математики".

Чистяков — „Числовые суеверия".

Лебедев—„Очерки по истории точных
наук" (несколько книжек)

Попов — „Как применялась и применяет-
ся тригонометрия на практике".

Попов — „Памятники математической
старины в задачах".

Попов—„Очерки по истории матема-
тики".

Беллю стин — „Как люди дошли до на-
стоящей арифметики".

Вилейтнер — „Как рождалась совре-
менная математика".

Для развития и поддержания интереса к
внеклассному математическому чтению можно
использовать школьную стенную газету, груп-
повые газеты, школьные журналы, помещая
в них интересно подобранный материал по
занимательной математике. Возможен выпуск
отдельного листка, специально посвященного
математическим развлечениям. Опыт показы-
вает, что такой материал вызывает у учащихся
подъем интереса к школьной газете: число
читателей увеличивается, а свободное от уро-
ков время используется на разбор задач, по-
мещенных в стенной газете.
В математическом кабинете следует пове-
сить художественно оформленный список ли-
тературы для внеклассного математического
чтения.

Можно использовать популярно-техниче-
скую книжку, связанную с математикой.

Примеры:

Идель сон—„Механизация счета

Ленц — „Счетные машины “.

Д р о к и н — „Трактор на уроках физики
и математики".

Добровольский—„Паровоз на уро-
ках физики и математики".

Добровольский—„Самолет на уро-
ках математики

Наконец, возможно использовать литера-
туру по изготовлению наглядных пособий.

Примеры:

Карасев — „Учебные наглядные пособия
по математике1*.

Его же—„Работа с миллиметровой бу-
магой".

Шугар—„Математика в трудовой шко-
ле II ступени".

К сожалению, за последние годы выпуск
литературы, которую можно использовать для
внеклассного математического чтения, совсем

прекратился. Это затрудняет подбор библио-
течек для такого чтения.

Надо пожелать, чтобы на издание попу
лярной математический литературы для под-
ростков и юношей, которую было бы воз-
можно использовать во внеклассном чтении,
было обращено сеоьезное внимание.

В заключение отметим:

1) Педагог начальной школы, педагог-
математик средней школы, работая с классом,
дотжен всегда помнить задачу — научить ра-
ботать с математической книгой.

2) Культивировать чтение книги надо на-
чинать с начальной школы — с I класса, про-
должать на протяжении всего обучения в сред-
ней школе и заканчивать в высшем учебном
заведении.

3) Следует использовать для получе-
ния хороших результатов в чтении матема-
тической книги все многообразие приемов,
связанных с классной и домашней работой
учащихся.

4) Полезно использовать внеклассную ра-
боту с математической книгой

5) Целесообразно организовать соревно-
вание, конкурсы на лучшее уменье читать
математическую книгу.

ИЗМЕРИТЕЛЬ ЗНАНКЙ УЧАЩИХСЯ ПО ТЕМЕ „ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА"

Е. ЗАГОСКИНА (Москва*)

Предлагаемый измеритель является одним
из серии „измерителей" знаний учащихся
средней школы по арифметике, разработан-
ных 1 руппой математики Центрального на-
учно-исследовательского института политех-
нического образования. Данный измеритель
имеет целью помочь учителю учесть знания
и навыки учащихся V класса в области це-
лых чисел; в основу eio лег материал экспе-
риментального измерителя, проведенного в
1933/34 учебном году в нескольких группах
V класса после изучения соответствующего
раздела. Экспериментальный измеритель под-
вергся некоторой переработке в смысле исклю-
чения вопросов, оказавшихся слишком про-
стыми для данной ступени обучения, измене-
ния формы отдельных вопросов и пр. Пред-

* Центральный научно-исследовательский ин-
ститут политехнического образования.

ЬО

лагаемая нами в некоторых вопросах форма
„закончить фразу" или „заменить многотоиие"
требуемым термином, как показало проведе-
ние экспериментального измерителя, не за-
трудняла учащихся V класса. Задачей изме-
рителя является, с одной стороны, — выявить
навыки учащихся в действиях над многознач-
ными числами как в тех случаях, когда тре-
буется выполнить одно действие, так и в слу-
чаях совместного выполнения действий; с дру-
гой стороны — выявить понимание смыспа
отдельных действий, их взаимной связи, зна-
ние свойств действий и уменье сознательно
их использовать при вычислениях; проверить
понимание зависимости между данными и ре-
зультатами действий и уменье применять эти
зависимости. Соответственно этому измери-
тель разбит на две части, причем каждая из
них ставит себе задачей учесть качество ука-
занных навыков или знаний для каждого из
четырех арифметических действий.

Мы предлагаем учителю провести первую
часть измерителя в начале учебного года для
) учета тех знаний, которые имеются у уча-
щихся, перешедших из начальной школы.
Предлагаемые вопросы могут быть предло-
жены учащимся все полностью или разбиты
на несколько отдельных работ. Последние два
вопроса из первой части измерителя (№ 24
и 25), относящиеся к округлению чисел, мо-
гут быть опущены при первом его проведе-
нии. После работы над данной темой, согласно
программе V класса, рекомендуется вновь
полностью провести первую часть измерителя,
также и вторую его часть. Это поможет
учителю выявить, как исправлены учащимися
, те недочеты в навыках, которые имелись
в начале года. Результаты проведения изме-
рителя должны сообщаться учащимися с тем,
чтобы в процессе дальнейшего изучения про-
граммы V класса они исправили выявленные
' недочеты путем повторения отдельных вопро-
сов на уроках и выполнения соответствующих
дополнительных домашних заданий.

Перейдем к рассмотрению содержания из-
мерителя.

Первая часть измерителя содержит 25 во-
просов, из них 1, 5, 8, 9, 13, 15 в каждом
из вариантов А и В проверяют навыки в про-
изводстве сложения, вычитания, умножения
и деления целых многозначных чисел в ряде
наиболее трудных случаев; так, в примере
на сложение (№ 1, варианты А и В) даны
слагаемые разной значности, причем в сумме
получается число, выраженное единицей с ну-
лями, в примере же на вычитание мы имеем
। нули в конце и в середине уменьшаемого;
иа умножение даны примеры № 8 и 9; в пер-
вом случае имеются нули в середине множи-
теля, во втором — для перемножения даны
числа, оканчивающиеся нулями; в пример
№ 8 включены некоторые из наиболее труд-
ных комбинаций таблицы умножения (6X9;
7X8; 7X9).

Для деления (№ 13, 15 и 16) даны слу-
чаи: 1) с нулями в середине частного, 2) с ну-
лями в конце частного и остатком и 3) слу-
чай деления с остатком, когда делимое и де-
литель оканчиваются нулем. Таким образом,
охвачены случаи умножения и деления, обычно
наиболее затрудняющие учащихся.

Примеры № 2, 4, 7, 12 проверяют зна-
ние названий компонентов действий и их ре-
зультатов, примеры № 3, 6, 11, 14, 17—
знание обратных действий и уменье выпол-
нить проверку каждого действия двумя спо-
собами

Целый ряд вопоосов (№ 19— 23) предна-
значен для учета знания учащимися поряды
действий, уменья выполнять действия совме-
стно при записи со скобками и без них.

В конце первой части измерителя даны
примеры на округление целых чисел, причем
пример № 25 проверяет, умеют ли учащиеся
пользоваться при округлении правилом чет-
ной цифры.

Вторая часть измерителя содержит 23 во-
проса, проверяющих знания учащихся в отно-
шении:

а) свойств действий (№ 26—32); б) зави-
симостей между данными и результатами дей-
ствий и применения их к нахождению неиз-
вестных компонентов (№ 33—41); в) измене-
ний результатов действий в зависимости от
изменения данных (№ 42—48).

В этой части измерителя вопросы поста-
влены в различной форме (например, в слу-
чаях нахождения неизвестных компонентов
действий даются примеры со знаком ?, с много-
точием, даются вопросы в различной словес-
ной форме); это имеет целью проверить,
насколько глубоки знания в данной области,
так как часто учащиеся умеют ответить толь-
ко на вопрос, поставленный в одной форме,
привычной для их учителя и для них.

АНАЛИЗ ПРОВЕДЕНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЯ

1. Навыки в действиях с многозначными
числами

Твердые навыки в выполнении действий
с целыми числами учащиеся должны приоб-
рести в начальной школе, но в V классе не-
обходимо проверить их и изжить выявленные
недочеты путем повторения и соответствую-
щих домашних заданий. Практика проведения
измерителя показала, что имеются группы
V класса, где при сложении (прим. № 1)
делают ошибки при переносе разряда или
неправильно подписывают слагаемые. 11ри вы-
читании (прим. № 5) значительное число
ошибок падает на неуменье „занимать" еди-
ницы высшего разряда в уменьшаемом „через
нуль". 3 примере на умножение (прим. К» 8)
лишь незначительное число ошибок зависит
от неверно подписанных неполных произведе-
ний (в середине множителя имеются нули),
большинство же ошибок падает на неверно по-
лучаемые отдельные произведения — недоста-
точное овладение техникой умножения вообще
При решении примера № 9 на умножение
также встречается большое число ошибок ука-
занного порядка; около 10°/о обследованных
учащихся поставили неправильное число нулей
в конце произведения. При решении примера
№ 13 на деление с нулями в середине частного
(лишь 76°/0 решаемости) все ошибки обуслов-
лены отсутствием нулей в частном или по-
становкой неправильного их числа.

ИЗМЕРИТЕЛЬ

ПО ТЕМЕ ,Ц1Лэ1Е ЧИСЛА*

Вариант А

1 я ЧАСТЬ

1. Сложите числа: 894 581, 3005, 10 602, 91 000,
812.

2. Дайте полный ответ на следующие вопросы:
а) Как называются числа, которые даны
для сложения?

б) Как называется результат сложения?

3. Какое действие обратно сложению?

4. Докончите фразы:

а) Уменьшаемым назыиается число . . .

б) Вычитаемым называется число ....

в) Разностью называется число......

5. Найдите разность чисел 2 000010 и 90973.

6. Решен пример 1006 — 987=19.

Выполните проверку вычитания двумя
способами:

1-й способ 2-й способ

7. Впишите вместо точек названия:

а) Число, которое умножают, называется...

б) Число, на которое умножают, назы-
вается .............................

в) Число, которое получается при умно-
жении, называется . ........

8. Найдите произведение чисел 476 и 8009.

9. Умножьте С600 на 2000.

10- Закончите следующие фразы:

а) Если какое-нибудь число умножить на
нуль, то получится..................

6) Если какое-нибудь число умножить на
единицу, то получится...............

И. Закончите фразу:

Действие, обратное умножению, называ-
ется .............. ...

12. Дайте полные ответы на следующие во-
просы:

а) ЧхО называется делимым? '

б) Что называется делителем?

в) Что называется частным?

13. Нт идите частное от деления числа 570285
на 285.

14. Решен пример: 393:15 = 26.

Сделайте проверку деления двумя спо-
собами:

1-й способ

2-й способ

15. Разделите 5690 на 330 и укажите остаток.

16. Выполните деление с остатком 91 234:76.

17. Разделите 219 на 25 н выполните про-
верку деления.

18. а) Уменьшите 25 на 10.

б) Увеличите 32 в 4 раза.

19. а) Назовите действия I ступени

1) 2) ....

б) Назовите действия II ступени

1) 2) . ...

20. Решите примеры:

144:6-3 =

320 + 64:8 = 4-17—8:4 =

21. Запишите в строчку, не производя дей-
ствий, что к числу 40 надо прибавить
произведение чисел 10 и 9.

22. Запишите в строчку, не производя дей-
ствий, что разность чисел 67 и 35 надо
разделить на 8.

23. Решите примеры:

100 +20-(16-6) =
(85—75)-25—15:3 =

24. За десять дней переработано 237 786 я
нефти и 55 128 т мазута.

Округлите до тысяч тонн числа

237 786 т = ..............

551 28 т =..........

25. Следущие числа округлите до сотен:

76 350= ..........................

42 850=...........................

2-я ЧАСТЬ

26. Почему можно написать

2-6-5 = 6-2-5 = 5-2-6?

27. К числу 8 надо прибавить сумму 5-|-9.
Произведите вычисления двумя различ-
ными способами

1-й способ: 1-е действие, 2-й способ: 1-е действие,

2-е действие. 2-е действие,

28. Замените произведение 9-25-7-4 произвс'
дением двух чисел; данные сомножителе
соедините наиболее удобным способом.
9-25-7-4 =

29. Вычислите (40+19)-4 двумя способами:
1-й способ: 1-е действие................

2-е действие........ .

2-й способ: 1-е действие..........

2-е действие...........

3-е действие...........

62
30. К числу 215 надо прибавить разность
чисел 35 и 23. Произведите вычисления,
не находя этой разности.

31. Разделите произведение 250*13 на 50, не
перемножая данных чисел

1-е действие..........................

2-е действие..........................

32. Разделите сумму 190 + 38 на 19, не скла-
дывая данных чисел.

1-е действие .........................

2-е действие..........................

3-е действие..........................

33. Вставьте вместо многоточии пропущенное
число. . . - + 129 = 865.

34. Напишите словами, как найти неизвестное
вычитаемое, если известны уменьшаемое
и разность.

35. Чему равно уменьшаемое, если вычита-
емое 27, а разность 19?

36. 16-5* ?*2 = 640.

Вставьте вместо вопросительного знака
нужное число.

37. С помощью какого действия можно найти
делитель, если известны делимое и ча-
стное?

38. Замените вопросительный знак нужным
числом:

135:? = 5.

39. Чему равно делимое, если делитель равен
9, а частное 12?

40. Делимое 187, частное 15, остаток 7. Най-
дите делитель.

41. Одно из слагаемых увеличено на 27,
а сумма увеличилась на 45. Как изменили
второе слагаемое?

42. Разность двух чисел была 57. Уменьша-
емое уменьшено на 25. Найдите новую
разность.

43. От уменьшаемого отняли 21. Как надо
изменить вычитаемое, чтобы разность не
изменилась?

44. Закончите фразу:

Если и множимое и множитель разделить
на 100, то произведение...............

45. Как изменится произведение, если один
из сомножителей увеличить в 40 раз,
а другой — уменьшить в 8 раз?

46. Делитель увеличили в 7 раз. Как при
этом изменится частное?

47. Частное двух чисел было 62. Делимое
увеличили в 2 раза. Найдите новое част-
ное.

48. Почему при делении 84 000:6000 и 42:3
частное получается одно и то же?

Вариант В

1-я ЧАСТЬ.

1. Сложите числа: 895 642, 2003, 10 904, 91 000,
451.

2. Докончите фразы:

а) Слагаемыми называются числа........

б) Суммой называется число..........»

3. Какому действию обратно вычитание?

4. Впишите вместо точек названия:

а) То число, из которого мы вычитаем, на-
зывается ...............................

б) То число, которое мы вычитаем, назы-
вается ................................

в) Результат вычитания называется . . .

5. Найдите разность чисел 3 000 100 и 90 752.

6. Решен пример: 1003—975=28.

Выполните проверку вычитания двумя спо-
собами:

1-й способ............................

2-й способ.............................

7. Впишите вместо точек названия:

а) Число, которое умножают, называется

б) Число, на которое умножают, назы-
вается ................................

в) Число, которое получается при умноже-
нии, называется........................

8. Найдите произведение чисел 47G и 9008.

9. Умножьте 6800 на 2000.

10. Закончите следующие фразы:

а) Если какое-нибудь число умножить на
нуль, то получится.....................

б) Если какое-ниб}дь число умножить на
единицу, то получится..................

11. Закончите фразу:

Действием, обратным умножению, будет..»
12. Дайте полные ответы на следующие вопросы:
а) Что называется делимым?

б) Что называется делителем?

в) Что называется частным?

13. Найдите частное от деления числа 530 265 на
265.

14. Решен пример: 360:15 = 24.

Сделайте проверку деления двумя спосо-
бами:

1-й способ: 2-й с.юсоб:

15. Разделите 4180 на 290 и укажите остаток.

16. Выполните деление с остатком 98435:82.

17. Разделите 329 на 75 и выполните проверку
деления.

18. а) Увеличьте 40 на 5.

б) Уменьшите 36 в 4 раза.
19. а) Назовите действия I ступени.

1) 2)................

б) Назовите действия II ступени:

1).................2).................

20. Решите примеры: 216 : 4 -3 =

160 4-40:5 =

4 • 18—12:3 =

21. Запишите в строчку, не производя действий,
что от числа 50 надо отнять частное чисел
24 и 6.

>2. Запишите в строчку, ве производя действий,
что сумму чисел 24 и 36 надо умножить
на 5.

23. Решите пример: 120—20: (17—7) =
(75 4-25)-15— 10:2 =

24. За десять дней переработано 237 786 т нофти
и 55 128 т мазута.

Округлите числа до тысяч тонн,
237 78b т.............................

55 128 т..............................

25. Следующие числа округлите до сотен.

84 750 ...............................

32 650 ...............................

2-я ЧАСТЬ

6. Почему можно написать:
4'-3-9 = 3-4-9 = 9-3-4 =

27. К числу 7 надо прибавить сумму 9 4-6.
Произведите вычисления двумя различны-
ми способами:

1-й способ: 1-е действие..............

2-е действие . ...

2-й способ; 1-е действие..............

2-е действие...............

28. Замените произведение 17-25.3-4 произведе-
нием двух чисел; данные сомножители со-
едините наиболее удобным способом:
17-25-3-4 =

29. Вычислите (15-|-27)-3 двумя способами

1-й способ. 1-е действие....... ...

2-е действие...............

2-й способ: 1-е действие..............

2-е действие...............

3-е действие ..............

30. К числу 145 надо прибавить разность чисел
25 и 17. Произведите вычисление, не на-
ходя этой разности.

1-е действие .........................

2-е действие •........................

31. Разделите 240-17 на 60, не перемножая дан-
ные числа.

1-е действие..........................

2-е действие..........................

32. Разделите сумму 170 -f- 34 на 17, не склады-
вая данных чисел.

1-е действие..........................

2-е действие..........................

3-е действие..........................

33. Вставьте вместо многоточия пропущенное
число

. . . 4-137 = 856.

34. Напишите словами, как найти неизвестное
вычитаемое, если известны уменьшаемое и
разность.

35. Чему равно уменьшаемое, если вычитаемое
равно 23, а разность 17?

36. 12-5-?-2 = 360.

Вставьте вместо вопросительного знака нуж-
ное число.

37. С помощью какого действия можно найти де- |
лимое, если известны делитель и частное?

38. Чему равно делимое, если делитель равен 16,
а частное 19?

39. Замените вопросительный знак нужным чис-
лом:

216: ? = 8.

40. Делимое 186, частное 12, остаток 6. Найдите
делитель.

41. Одно из слагаемых уменьшено на 19, а сум-
ма уменьшилась на 34. Как изменено второе
слагаемое?

42. Разность двух чисел была 43. Уменьшаемое
увеличено на 15. Найти новую разность.

43. От уменьшаемого отняли 29. Как надо изме-
нить вычитаемое, чтобы рьзиость ие изме- |
нилась?

44. Закончите фразу:

Если и множимое и множитель помножить I
на 100, то произведение...............

45. Как изменится произведение, если один из I
сомножителей увеличить в 6 раз, а другой
уменьшить в 24 раза?

46. Делитель уменьшили в 8 раз. Как при этом
изменится частное?

47. Частное двух чисел было 75. Делимое увели-
чили в 3 раза. Найдите новое частное.

Отв.:

48. Почему при делении 64 000 :8000 и 32: 4 част-
ное получается одно и то же?

Пример № 16 на деление с нулями в кон-
це частного и с остатком дал среди обследо-
ванных учащихся очень низкий процент ре-
шаемости, причем большинство ошибок падает
на отсутствие нулей в конце частного или
неправильное их число. Как и при умноже-
нии, встречались ошибки, зависящие от не-
достаточного усвоения техники деления (на-
пример остаток при промежуточном вычисле-
нии больше делителя, а деление продолжает-
ся дальше и др.). Полученные результаты
указывают на необходимость в V классе обра-
щать внимание на технику арифметических
действий вообще, а не только в трудных слу-
чаях, выделенных предполагаемым измерите-
лем. Что же касается этих отдельных труд-
ных случаев, они должны быть при повторе-
нии четко выделены учителем V класса, дол-
жны включаться при решении задач. При
решении учащимися примеров на доске необ-
ходимо требовать о1' них четкого объяснения
процесса выполнения действий, полного по-
нимания этого процесса на основе разрядного
строения числа и законов арифметических
действий. В примере №15 даны для деления
числа, оканчивающиеся нулями, при-
чем получается остаток; этот пример ре-
шили правильно лишь 35°/0 обследованных
учащихся. Все учащиеся, зачеркивающие по
нулю в делимом и делителе, получают при
делении неверный остаток (в 10 раз меньший).

Мы не советуем применять указанный
прием, тем более, что он обращается в ме-
ханическое „зачеркивание" нулей, а не в со-
знательное уменьшение делимого и делителя
в одинаковое число раз, но в V классе при
изучении вопроса об изменениях частного надо
остановиться и на изменениях остатка, уясняя
вопрос разбором ряда примеров, в том числе
и данного типа;в стабильном учебнике ариф-
метики имеется соответствующий раздел.

2. Название данных и результатов действии

Проверка знания названий компонентов и
результатов действий дала хорошие резуль-
таты (решаемость: для сложения—99%, для
вычитания — 86%, для умножения — 83%,
для деления—87°/0). Но в дальнейшем при
проведении измерителя были получены указа-
зания, что иногда слову „сумма" учащиеся
не всегда „придают смысл и результат сложе-
ния", а мыслят здесь и „результат любого
действия". Когда внимание учащегося сосре-
доточено только на этих названиях, он отве-
чает правильно; когда же названия встречаются
в более сложных вопросах, они не всегда вы-
зывают у учащегося нужное представление.
Таким образом, ясно, что наго чаще давать
различного рода вопросы и задачи, где встре-
чались бы названия данных и результатов
четырех действий как при повторении целых
5 Математика и физика в средней школе, Тй 6,

чисел, так и при получении дробей. Укажем
здесь, что требование примера № 12 дать
„полный" ответ на вопрос было выполнено
лишь немногими учащимися; большинство на-
чинают со слова „которое" или „который".
Уменье дать правильный и полный ответ на
поставленный вопрос по теории относится к
навыкам математической речи, которые дол-
жны постепенно приобретаться учащимися в
V классе; этого уменья должен добиваться
учитель, и оно подлежит учету наравне с дру-
гими факторами качества знаний учащихся
средней школы.

8. Треве^ка действий

Большинство учащихся умеют проверить
вычитание сложением, а деление—умножением,
и умеют назвать обратные действия, но вы-
полнить проверку вычитания и деления двумя
способами смогли лишь 65% и 68% всех
обследованных учащихся. Учащиеся должны
уметь проверять каждое действие как обрат-
ным ему действием, так и тем же дейст-
вием; это поможет им усвоить зависимость
между данными и результатами отдельных
действий и укажет им различные пути, по
которым они могут проверять сьою работу;
этого же большинство наших учащихся не
привыкли делать. В стабильном учебнике во-
просы проверки действия достаточно подробно
и четко изложены.

4. Умножение па О и 1

Пример № 10 ставит вопрос об умноже-
нии числа (а) на нуль. Около 30% обсле-
дованных учащихся ответили, что при умно-
жении на 0 число не изменится. Полученные
результаты показывают, что учитель должен
обратить больше внимания на указанный во-
прос. Эли соответствующие правила имеются
в стабильном учебнике; путем конкретных
жизненных примеров надо добиться у уча-
щихся полного их понимания: разобрать ряд
числовых примеров, оеря в качестве второго
сомножителя не только однозначные, но и
многозначные числа; рассмотреть примеры на
умножение многозначных чисел, где встречаем-
ся умножение на 0 и 1. При изучении обык-
новенных и десятичных дробей надо также
остановиться на соответствующих примерах.

5. Значение выражений „на сколько44 п „во
сколько44

В экспериментальном измерителе (пример
№ 18 в первоначальном варианте, подверг-
шемся проверке, отсутствовал) был поставлен
вопрос: с помощью какого действия число
увеличивается или уменьшается на столько-то
единиц и во столько-то раз. 34°/0 всех опро-
шенных учащихся ответили, что для того
что^ы увеличить число на несколько единиц,
надо выполнить умножение; 29°/0 учащихся
не могли ответить правильно на вопрос, ка-
кое действие чадо выполнить, чтобы умень-
шить число в несколько раз. В дальнейшем,
во второй части работы при решении примеров
на измерения результатов действий в связи
с изменением данных часто получались ответы:
разность увеличится в 15 раз (при увеличе-
нии уменьшаемого на 15) или: произведение
увеличится на 10 000 > (при увеличении обоих
сомножителей в 100 раз). Эти результаты сви-
детельству гот о том, что вопрос недостаточно
усвоен обследованными учащимися. Конечно,
он должен быть изучен в начальной школе,
но в V классе необходимо проверить, как
усвоили учащиеся смысл выражений „на сколь-
ко" и „во сколько раз"; надо постоянно ре-
шать соответствующие примеры и задачи как
при повторении целых чисел, так и при изу-
чении дробей: иначе недочеты в понима-
нии смысла каждого действия скажутся в даль-
нейшем: при изучении отношений, при
составлении уравнений по условиям задач.
В стабильном учебнике Попова (стр. 36,
изд. 1934 г.) имеется ценное замечание по
данному вопросу: к сожалению, оно напеча-
тано мелким шрифтом, тогда как является
крайне существенным.

6. Действия I и II степе т. Порядок действий

Ответы, полученные на вопросы № 19—
23, показали, что на правила порядка дей-
ствий уитель V класса должен обратить са-
мое серьезное внимание. Мы встретились с
таким, правда, единичным случаем, когда
большинство учащихся группы пишут 100-[-
-[-20 *(16 — 6) =1200 (вместо 300), а учи-
тель считает такой ответ верным. С учащи-
мися V класса надо как при повторении це-
лых чисел, так и при изучении дробей решать
примеры, выявляющие значение скобок и без
них, что можно сделать, беря одни и те же
числа и действия, но выполняя последние в
различном порядке, при записи со скобками
и без них. Упражнения типа № 21 и 22 на
записывание „числовой формулы" по данно-
му ее словесному выражению также помогут
усвоить правила порядка действий. ч

7. Округление чисел

Примеры № 24 и 25 на округление
целых чисел дали в обследованных груп-
пах низкий процент решаемости ^21 и 30°/0);
66

некоторые из опрошенных учащихся совер-
шенно не знали, что значит „округлить"
число, так как совсем отбрасывали низшие
разряды или приписывали нули справа к дан-
ному числу и т. д. Правила округления часто
не соблюдаются, хотя в стабильном учебнике
(изд. 1934 г., § 16) вопросы округления целых
чисел разработаны.

8. Свойства действий

Отвечая на вопрос № 26, учащиеся часто
вместо переместительного закона умножения
ссылаются на сочетательный; это указывает
на то, что название закона не всегда связы-
вается учащимися с его сущностью; примене-
ние того или иного закона па практике при
вычислениях также бывает затруднительно,
как, например, при умножении суммы на
чисто. Для того чтобы законы действий были
лучше поняты учащимися, чадо больше обра-
щать внимания на применение этих законов
при устном счете, при действиях над много-
значными числами, требуя объяснения, какой
закон применялся учащимся в случае решения
того или иного примера.

Отзеты на вопросы № 31 и 32 выявили,
что учащиеся путают деление суммы с деле-
нием произведения: некоторые учащиеся при
делении суммы Аелят одно из слагаемых,
а затем прибавляют второе; при делении про-
изведения, наоборот, делили оба сомножителя.
Эти два вопроса необходимо изучать парал-
лельно, производя сравнение того и другого
случая. Известно, как важны они в дальней-
шем при изучении курса алгебры.

9. Зависимость между данными и результата-
ми де 1стьий

Пример на нахождение неизвестного сла-
гаемого (№ 33) дал сравнительно малую ре-
шаемость — 87°/0. Возможно, что это объяс-
няется отсутствием в стабильном учебнике
Попова ясно выраженного правила для этого
случая: учителю V класса необходимо при-
нять это во внимание и восполнить пробел.
Наибольший процент решаемости в данном
разделе — 96°/0 — дал пример № 39 на на-
хождение неизвестного делителя по делимому
и частному. Результаты, полученные по при-
меру № 40, указывают на недостаточное
усвоение обследованными учащимися зависи-
мости между делимым, делителем, частным и
остатком. В стабильном задачнике Березан-
ской (изд. 1934 г., стр. 23, 24) имеется
целый ряд примеров, уясняющих данные за-
висимости; если учащиеся с трудом разбира-
ются в зависимости при делении с остатком,
полезно разобрать с ними вместо отвлеченных
примеров несколько конкретных задач, при-
водящих к делению с остатком.

10. Изменения результатов действий и зави-
симости от изменений данных

Вопросы ртого раздела з обследованных
группах дали невысокий процент решаемости;
на вопрос № 44 об изменении произведения
более 20% обследованных учащихся дали
ответ: „Увеличится на 1000“; о необходимо-
сти своевременного четкого выяснения смысла
выражений „на сколько", „во сколько раз"
уже указывалось при разборе первой части
измерителя. При изучении данного раздела

надо внимательно следить за речью учащихся,
не допуская отьетов вроде: „Увеличится на
5 раз" и т. п. В ответах на вопрос № 48 лишь
очень немногие из опрошенных учащихся
четко указали, что частное не изменится по-
тому, что делимое и делитель уменьшены в
одинаковое число раз. При делении деся-
тичных дробей им придется применять пра-
вило изменения частного, поэтому необхо-
димо путем решения примеров данного типа
своевременно подготовить их к дальнейшему.
Методика изучения раздела об изменениях
результатов действий, в зависимости от изме-
нения компонентов, подробно изложена в
„Методике арифметики" Е. С. Березан-
ской.

К МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ВОЛНООБРАЗНОЙ ТЕОРИИ СВЕТА
•

А. РАБИНОВИЧ

(Научно-методический сектор при МИНИ)

Среди обширного и разностороннего ма-
териала программы физики в школе вопрос
о волнообразной природе света принадлежит
к труднейшим для усвоения вопросам. Труд-
ности эти имеют различные причины.

Основной трудностью является укоренив-
шееся в сознании учащихся „лучевое" ощу-
щение света, невольно укрепляемое препода-
вателями при прохождении геоме-
трической оптики. Выражения „пу-
чок лучей", „интенсивность лучей" —
вполне законные в качестве условных
терминов — создают, однако, у уча-
щихся впечатление материальности
лучей. Поэтому первейшей задачей
преподавателя является, так сказать,
„дематериализация" луча и отвед
ние ему его настоящей роли — удобного слова
для выражения исключительно направлен
распространения эфирных волн.

Другая трудность заключается в сове}
шенном отсутствии на рынке необходимой
для нашей темы демонстрационной аппара-
туры. В настоящей статье мы надеемся по-
казато. что эта трудность может быть пре-
одолена простыми средствами, при некоторой
настойчивости преподавателя, безусловно не-
обходимой, принимая во внимание высокую
образ нательную ценность разбираемой темы.
„Разоблачение" луча и внедрение основных
5*

представлений о световых волнах проще всего
вести на примере водяных волн. Мы колеб-
лем спокойную водную поверхность в одном
месте и получаем расширяющиеся и удаляю-
щиеся от центра колебания водяные волны.
Волны распространяются по всем направлениям
от центра, по радиусам. Каждый радиус есть
луч. Волны — материальны, мы их можем

Рис. 1.

считать; лучи-радиусы это только геометри-
ческие линии: их мы сосчитать не можем.
Если разрезать водную поверхность нормаль-
ной к ней плоскостью, проходящей через
центр колебаний, то мы получим изображен-
ную на рисунке 1 кривую. Луч — это вооб-
ражаемая полупрямая, изображенная на
чертеже пунктиром; к каждому действитель-
ному волновому явлению мы можем дать
условную, и во многих случаях очень удоб-
ную, лучевую интерпретацию.

Это очень наглядно разъя> шется путем
демонстрации некоторых свойств волн на
водной поверхности. Для этой цели служит
Рис. 2.

прибор, состоящий из волновой ванны, виб-
ратора и осветителя. Волновая ванна (рйс. 2)
представляет четырехугольную тарелку со
стеклянным дном и отлогими бортами. Раз-
меры дна приблизительно 40 см X 60 см.
Борты должны быть отлогими для ослабления
отраженных от них волн, которые могли бы
запутать наблюдаемую картину.

Вибратор устраивается следующим об-
разом.

На вал маленького моторчика (хотя бы
„динамо" типа дд/4) эксцентрически наса-
живается колесико диаметром 15—18 мм.
Расстояние между центром колесика и осью
вала 2 — 3 мм; по окружности вытачивается
неглубокая канавка для того, чтобы рычажок
не соскакивал с эксцентрика. Где-нибудь
между О и А (рис. 3) прикрепляется пру-
жинка, которая должна прижимать рычажок
к окружности эксцентрика. В качестве такой
пружинки можно взять кусок резиновой труб-
ки. Все части вибратора не должны давать
заметных собственных колебаний. Поэтому,
например, в качестве рычажка нельзя брать
тонкую с альную полоску, хотя в других
отношениях такая полоска была бы наиболее
желательной. Резинка по той же причине
должна быть достаточно туго натянута, не
переходя, однако, известного предела, который
обусловливается моментом силы на валу мо-
тора.

К концу В рычага приклепывается вин-
товой зажим, служащий для удержания про-
волочки, погружаемой в ванну на несколько
миллиметров и создающей волны при враще-
нии мотора, Для регулирования числа обо-
ротов в цепь мотора необходимо включить
реостат со скользящим контактом. Для про-
ектирования волн на экран служит стробос-
копический осветитель, дающий возможность
наблюдать движение волн с желаемой степенью
замедления. Осветитель устраивается так.

На вертикальный вал моторчика (рис. 41
насаживается жестяной диск с рядом равно-
отстоящих отверстий, расположенных почти
у самого края диска. Число отверстий должно
быть приблизительно равно отношению нор-
63

мального числа оборотов моторчика вибра-
тора (12 —15 в секунду) к нормальному
числу оборотов освет,>'геля.

В таком случае при вращении обоих
моторчиков с нормальным числом оборотов
волны будут казаться неподвижными. Умень-
шая затем быстроту вращения осветителя или
увеличивая число оборотов вибратора в боль-
шей или меньшей степени, получим картину
замедленного движения волн с желательной
степенью замедления. В цепь моторчика ос-
ветителя также включается реостат со сколь-
зящим контактом.

Для осветителя в качестве источника света
удобна кинолампа на 50 ватт, устанавливае-
мая так, чтобы расстояние от светящейся
нити до отверстия диска было равно 2—3 см.
Патрон лампы зажимается в лапке бунзенов-
ского штатива.

Волновая ванна располагается по двум
краям раздвинутых столов, осветитель — над
ванной на полу, вибратор—на одном из столоь
или, еще лучше, на отдельной стойке. Теневая
проекция волн получается на потолке. Если
есть большое стенное зеркало или, в крайнем
случае, зачерненное с одной стороны оконное
стекло, то, расположив это зеркало под углом
в 45° к поверхности воды, можно проекти-
ровать волны на вертикальный экран. .

При установке осветителя полезно иметь
в виду, что величина изображения и его яр-
кость зависят от взаимного расположения и
размеров ванны, отверстий осветителя, источ-.
ника света и экрана, что видно из рисунка 5.

При помощи описанного прибора демон-
стрируем следующие явления, указывая одно-
временно их лучевую интерпретацию (рис. 6).

Для демонстрации явлений изготовляются
металлические перегородки, имеющие форму,
изображенную на рисунке 7. Ширина пере-
городки 2 — 3 см, высота 3 — 4 см. Для
опыта 1 нужны две перегородки, по длине
равные друг другу и имеющие вместе длину

сантиметров на 5 меньше ширины ванны.
Для опыта 2 необходима перегородка длиной
5 — 7 см.

Отражение волн наиболее рельефно де-
монстрируется при помощи пеоегородки,
имеющей параболическую форму. Парабола
вычерчивается раньше на бумаге (по формуле
у3 = 2рх, удобное значение для р — 12,5 см).
Затем по вычерченной кривой вырезается *
жестяная перегородка, вдоль середины ко-
торой вделывается и припаивается вертикаль-
ный бортик.

Погружением ребра плоской пластинки в
воду создают плоскую волну, которая, отра-
жаясь от зеркала, дает в фокусе колебание
с большой амплитудой (рис. 8). Обратный

Г-ис. 7.

опыт удается так же легко. Погружая палец
в воду в месте, где находится фокус зеркала,
наблюдаем отраженную плоскую волну.

Пользуясь тем обстоятельством, что ско-
рость волн в мелкой воде меньше, чем в
глубокой, можно показать и преломление
волн. Для этого приготовляют жестяную
двояковыпуклую цилиндрическую линзу дли-
ной 15—18 см, с радиусом кривизны обеих
поверхностей тех же размеров. Ее вправляют
в жестяную перегородку, имеющую высоту
на 10—12 мм больше, чем высота линзы
(3 — 4 см). Воды в ванну наливают столько,
ч~обы ее уровень находился над линзой на
2—3 мм. Тогда можно продемонстрировать
опыт, изображенный на рисунке 9.

Указанные демонстрации, базирующиеся

ча оптических представлениях, полученных
учащимися при изучении геометрической оп-
тики, достаточно убедительны, чтобы внушить

им, что луч есть только удобный способ
изображения волнового движения в тех слу-
чаях, когда нас интересует только направле-
ние этого движения.

Вслед за этим можно ввести учащихся в
круг новых, неизвестных им до сих пор яв-
лений оптической интерференции, дифракции
и поляризации.

Начинаем с явления интерференции, по-
скольку его можно наблюдать без усложнений
со стороны других оптических явлений и
поскольку это явление знакомо из темы о
звуке.

Рис. 6.

Pic. 9.
Явление интерференции демонстрируется
в волновой ванне следующим образом.

В зажим Ь вибратора вставляем прово-
лочку, имеющую вид двузубой вилки. Рас-
стояние между зубцами можно изменять про-
стым сгибанием. От такого вибратора мн
имеем два ряда волн, которые, интерферируя,
дают места максимального колебания и места
покоя (рис. 10). Это же явление интерферен-
ции волн мы могли бы трактовать и лучевым
способом.

В точках А, В, С, D и т. д. имеем места
максимального колебания, так как лучи аг А,
аг А, ал В, а2Ви т. д.—одинаковой длины;
в точках Z?vCj, Dr и т. д. колебания
отсутствуют, так как луч короче о2Лл
на г]2 длины волны; короче на
столько же и т. д.*

Наоборот: в точках А2, В2, С2 и т. д.
имеем места максимальных колебаний, так
как лучи а2А2, а1В2, а,С2 соответственно
длиннее лучей а2А2, а2В2, а2С2 на целую
длину волны.

Такой же способ изучения интерференции
мы применяем в ощутимой форме на приборе
Квинке. Этим же удобным способом будем
пользоваться при изучении интерференции
оптических волн.

Оптическую интерференцию следует изу-
чать, начиная с явлений в монохроматическом
свете. Учащимся даются проволочные карка-
сики, блюдечки с мыльной водой и спиртовки.
На вертикальной мыльной пленке в отражен-
ном желтом свете отчетливо видны интер-
ференционные полосы. При объяснении этого
явления полезно указать аналогию со звуко-
вой интерференцией волн в приборе Квинке,
один источник волны: в некотором положении
происходит раздвоение волны; в другом пунк-
те — схождение раздвоенных волн, но уже
с определенной разностью фаз, зависящей от
разности хода лучей.

Вторым опытом, который дает возмож-
ность наблюдать такую же картину, является

* at и ад — источники колебаний, не обозна-
ченные на рисунке.

опыт с двумя кусками стекла, хотя бы окон»
ного, хорошо вытертых и сложенных вместе.
При рассматривании их в отраженном от
спиртовки свете видны интерференционные
кривые разнообразнейшей формы, зависящей
от толщины воздушного промежутка между
стеклами. Необходимо обратить внимание
учащихся, что при незначительном измене-
нии расстояния между этими стеклами, путем
изменения силы их сдавливания пальцами,
заметно резкое перемещение полос. Этот опыт
дает убедительное доказательство высокой,
чувствительности интерференционного метода
измерений, и я не наблюдал никаких особых
затруднений в усвоении учащимися схемы
какого-либо интерферометра, например Жа-
мена (см. Гримзель, 1930 г., стр. 335).
Это же обстоятельство в соединении с крат-
ким перечнем достижений измерительной тех-
ники, основанной на интерференционном
методе, дает учащимся большое удовлетво-
рение.

Для лучшего разъяснения вопроса пб
интерференции белого света полезно при из-
учении прибора Квинке решить пару зада1,
такого типа:

„Одно колено прибора Квинке больше
другого на длину волны камертона в 500 ко-
лебаний. Будет ли при данных условиях
слышен камертон, дающий 400 колебаний
в секунду?"

Такие задачи выясняют учащимся, что
если для волн некоторой длины происходит
совпадение фаз или разность фаз на */2 пе-
риода, то для волн других, близких по вели-
чине периодов мы при тех же об< тоятель-
ствах наверно не имеем этих пограничных
условий (разность фаз, равная 0 или 1/2}.
Отсюда вывод: если потухли (усилились),
благодаря интерференции, волны красного
цвета, то наверно не потухли (не усилились)
волны других цветов.
Демонстрацию цветной интерфе-
ренции можно провести на тех же
приборах, что и демонстрацию моно-
хроматической интерференции. Если
есть время, то можно показать и
классический опыт с зеркалами Фре-
неля Прибор изготовляется следую-
щим образом.

Проявленная до черноты фотогра-
фическая пластинка помещается на
дощечку и прижимается к ней рези-
новыми накладками, прибиваемыми к дощечке
гвоздиками (рис. 11). Пластинка разрезается
пополам проволокой, нагретой докрасна током.

Чрезвычайно важно, чтобы линия раска-
лывания была совершенно ровной, для чего
проволока должна быть во время прохождения
тока натянутой. Угол между двумя зеркалами
можно регулировать при помощи клинооб-
разно заточенной спички, подсовываемой ме-
жду дощечкой и одним из зеркал. Зеркала
устанавливаются так, чтобы линия их раздела
была параллельна сильно освещенной щели.
Лучи от щели должны падать на зеркало,
почти скользя по поверхности. Угол между
зеркалами регулируется так, чтобы мнимые
изображения щели отстояли друг от друга
на 2—3 мм, при расстоянии щели от зеркал
в 2—3 м и расстоянии глаза от зеркала
в 3—4 дм. Эти два изображения рассматри-
ваются через окуляр микроскопа, и тогда не-
трудно заметить цветные интерференционные
полосы. Еслл они оказываются перевитыми,
подобно волокнам веревкч, то это доказывает,
что щель не совсем параллельна общей линии
обеих зеркальных поверхностей.

Изучение дифракции начинаем на примере
водяных волн. Если проделать 2—3 опыта
по рисунку 12, с постепенно уменьшающи-
мися щелями или перегородками, то заметим
отклонение от прямолинейного распростра-
нения.

В предельном случае, при очень узкой
щели, волны будут иметь вид, изображенный
на рисунке 13. Из этого опыта видно, что
колеблющаяся точка А (рис. 13) волновой
пов! рхности ВАС является источником коле-
баний для волн, распространяющихся от А за
преграду. На основе этого опыта можно
было бы сделать принцип Гюйгенса-Френеля
наглядным в части, касающейся рассматрива-
ния любой точки поверхности волны как
самостоятельного центра колебания.

Оптическую дифракцию удобно наблюдать
при помощи тонкой щели, полученной на
фотопластинке, проявленной до черноты,
если бритвой провести по эмульсии черту.
Стекло против щели с другой стороны закра-

Рис. 12.

шивается цветным лаком. Учащиеся, которым
раздаются такие щели, должны быть преду-
преждены, что щель лучше держать у самого
глаза параллельно накаленной нити электри-
ческой лампы, которая устанавливается на
лекционном столе. Вторым опытом по дифрак-
ции света может служить опыт дифракции
от узкой преграды. Опыт демонстрируется
на экране. На расстоянии 3—4 дм от узкой,
сильно освещенной щели помещается тонкая
нить (проволока от катушки телефонного на-
ушника). Экран помещается на расстоянии
2—3 м от проволочки.

Получаем на экране тень проволоки,
в середине которой хорошо заметна светлая
полоса.

Изучение дифракционной решетки затруд-
няется отсутствием этих решеток на рынке
Это тем более удивите/ ьно, что получение
копий таких решеток не представляем особых
трудностей. Привожу способ копирования
дифракционной решетки по Abraham’у:

„Приготовить раствор желатины, содержа-
щий: воды 30 г, твердой желатины 1 г, дву-

Рис. 13.

хромокислого аммония 0,15 г. Этот раствор
сохраняется произвольно долго. Для того
чтобы им пользоваться, распускают его тогда,
когда надо, в водяной тепловатой бане и вли-
вают небольшое количество его в воронку,
снабженную маленьким куском ваты. Псд
фильтрующуюся почти холодную жидкость
подставл! ют стекляную, весьма плоскую,
пластинку, на которой и образуется пленка.
Эта пластинка ставится затем вертикально,
потом помещается в темноту, где она до-
вольно быстро сохнет и становится чузстзи-
тельчой по мере высыхания. Прежде чем
пользоваться пластинкой, соскабливают валик
желатины, который образовался на нижней
ее части. Б₽рут пластинку, приготовленную
таким образом, приставляют к чувствительной
стороне исчерченную сторону стеклянной ди-
фракционной решетки и помещают все в ко-
пировальную рамку. Экспонируют десять ми-
нут на солнце, стараясь держать рамку
нормально к свету. При рассеянном свете
надо держать час и при этом получится менее
хороший результат. Пластинку сначала фикси-
руют в очень горячей воде, а затем промы-
вают холодной водой; на ней получается тогда
решетка, которая может заменить оригинал".

При объяснении определения длины волны
дифракционной решеткой полезно подчерк-
нуть, что: 1) чертеж, приводимый на классной
доске, дает изображение решетки, увеличен-
ное в несколько десятков тысяч раз; 2) сор-
тировка лучей всевозможных направлений
по отдельным’ параллельным пучкам произ-
водится сама собой в линзе, собирающей
в каждом фокусе только лучи, параллельные
соответствующей главной или побочной оси;
3) наблюдая решетку субъективно, мы только
замещаем линзу хрусталиком нашего глаза,
а экран — сетчаткой. Поляризация света пред-
ставляет трудности вследствие сложности про-
странственного представления неполяризован-

ной волны. Все механические иллюстрации
(водяные ванны, обычные волны на веревке
и т. п.), колебания частиц в которых про-
исходят в одной плоскости, являются в сущ-
ности волнами поляризованными, хотя их
обычно так не называют.

Поэтому после демонстрации известного
опыта с волнами на веревке, проходящими
через две деревянных решетки, необходимо
подчеркнуть своеобразие оптических волн
и обратить внимание на сравнительную про-
стоту поляризованного луча по отношению
к естественному. Демонстрация явления про-
ста, если в кабинете имеются турмалиновые
щипцы или николи. В случае же их отсут-
ствия явление можно демонстрировать при
помощи пластинчатых поляризатора и ана-
лизатора, составленных из пачек предметных
стекол для микроскопа. Мы считаем лишним
в этом случае объяснять явление поляриза-
ции при преломлении. Достаточно сказать,
что стопка стеклянных пластинок обладает
тем же свойством, что и турмалин, причем
нет смысла указывать на необходимость опре-
деленного угла падения. Явление вращения
плоскости поляризации легко демонстрируется
при помощи слюдяной пластинки; необходимо
только пробами заранее найти приблизительно
угол между осью поляризатор-анализатор и
плоскостью пластинки.

УЧЕНИЕ О НЕБЕСНОЙ СФЕРЕ В КУРСЕ АСТРОНОМИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Л. КАНДАУРОВ (г. Калинин)

На курс астрономии в средней школе не
может быть отЬедено много времени. Поэтому
особенно важно использовать это время воз-
можно лучше. Для облегчения проработки
наиболее Tpvn,Hbix мест курса следует исполь-
зовать все средства. Таким трудным местом
курса является учение о видимой небесной
сфере с ее кругами, часть которых связана
с местом наблюдения и неподвижна, а часть
связана со звездной сферой и находит :я
в постоянном движении. Все учебники астро-
номии обильно снабжены чертежами, но редко
у кого из учащихся хватает геометрического
воображения, чтобы легко разобраться в этих
чертежах. Звездные глобусы непрозрачны,
малы и педагогически не обработаны. Это
дело еще впереди. Для облегчения усвоения
этого основного и важного отдела астроно-
мии — учения о небесной сФеое мною поец-
72

ложена простая проволочная модель небесной
сферы, описанная в книге Н. Платонова
„Практические занятия по начальной астро-
номии", Гиз, стр. 84.

В настоящее время мною построена мо-
дель этого прибора, легко разбирающаяся,
простая по конструкции, удобная для пере-
сылки. Производство ее должно стоить недо-
рого.

На рисунке 1 изображен прибор в собран-
ном виде, со всеми кругами и дугами. Он
может собираться на глазах учащихся посте-
пенно, по мере объяснения им соответствую-
щих понятий.

Все круги носят особую стандартную
окраску и в собранном приборе легко разли-
чаются: горизонт — зеленый, небесный' мери-
диан— синий. Эти круги неподвижны. Го-
ризонт покоится в четырех точках стран
Нис. 1.

».ьета, а меридиан — в точках юга и се-
вера.

Меридианный круг несет ось мира, и ось
может быть поставлена соответственно желае
мой широте от полюса до экватора.

Для поддержания небесного экватора —
красного круга — ось мира перекрещена до-
полнительной планкой. В центре перекреста
предполагается глаз наблюдателя.

На концах этой дополнительной планки
экватор пересекает под углом в 231/2° эклип-
тика — желтый круг. Таким образом, здесь
в меете пересечения круга получаются точки
весеннего и осеннего равноденствия. Ось мира
вращается и вместе с ней вращаются небес-
ный экватор и эклиптика.

Для объяснения измерения высоты светила
или его зенитного расстояния служит дуга
•олубого цвета, опирающаяся в точках зенита
и надира. Для объяснения измерения склоне-
ния светила служит дуга розового цвета, опи-
рающаяся в точках полюсов мира (северного
и южного).

Для изображения Солнца, Луны, планеты
или звезды применяют пробковые кружки,
соответственно окрашенные, например: Солн-
це — желтое, Луна, Венера или звезды—белые.

Помещая кружок на эклиптику (рис. 2),
для чего в пробке делают вырез сообразно
тэлщине проволочного круга, вращают за ось
мира и наблюдают путь светила над гори-
зонтом.

Постепенное перемещение Солнца по эк-
липтике с запада на восток покажет соответ-
ствующее изменение по временам года высо-
ты Солнца в кульминации, изменение точек
восхода и захода Солнца. Перемещая ось
мира по широте, можно легко показать, что
происходит в течение года с Солнцем для
полюса, полярного круга, средней широты,
тропика и экватора.

Имея з виду, что Луна в своем собствен-
ном движении лишь немного отклоняется от
эклиптики, помещая ее на этот круг, легко
выяснить, почему летом в средних широтах
полная Луна ходит низко, а зимой высоко.
Почему Луна в первой четверти весной вы-
сока, а осенью низка, а в последней четверти —-
наоборот.

Трудно исчерпать все разнообразные при-
менения этой проволочной модели. Препода-
ватели, пользующиеся ею, объясняют как эле-
ментарные понятия, так и более сложные.
Д ьже учащихся начальной школы интересует,
как движется Солнце в разное время года,
как делятся сутки на день и ночь. Для по-

Рис. 2.

каза этого стоит только слегка передвигать
по желтому кругу пробочку — Солнце — и
вращать ва ось мира.

Размеры модели достаточно велики (около
60 см) для пользования в классе, но в разо-
бранном виде прибор занимает немного места.
ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА

| К ВОПРОСУ МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ*

И. ГАЛАЙ (Киев)

1. Роль геометрической задачи в курсе
геометрии средней школы

Геометрическая задача играет весьма важ-
ную роль в систематическом курсе геометрии.
Она: а) воспитывает у детей способности на-
ходить и осознавать функциональную зависи-
мость между величинами вообще, ибо эта
зависимость и величины выступают здесь бо-
лее выразительно и ярко, нежели в задачах
других разделов математики; б) развивает
уменья применять приобретенные теоретичес-
кие положения геометрии к решению практи-
ческих заданий; в) развивает у них простран-
ственные представления и конструкторские
способности; г) воспитывает у детей уменье
доказывать, четко определять и классифици-
ровать математические понятия; д) содействует
развитию точности мышления и математиче-
ского творчества.

Между тем, в предыду цие годы работы
по математике в средней школе, значение
геометрических задач недооценивались. В по-
революционные годы по вопросу методики
решения геометрических задач вышла одна
оригинальная работа М. Берга—„Приемы
решения геометрических задач на построение"
и переиздана известная книжка Александ-
рова— „Методы решения задач на построе-
ние". Но и в этих книжках и в известной
старой литературе, которая трактует вопро-
сы решения геометрических задач (как П е-
терсон, Адлер и др.), вопросы методи-
ческой техники решения этих задач, вопросы
организации и структуры урока не рассмат-
риваются. А между тем, эти именно вопросы
сейчас являются для практического работни-
ка чрезвычайно актуальными, важными и
интересными.

* При обработке настоящей Статьи мне сде-
лал ценные указания проф. А. М. А с т р я б
(Украинский научно-исследовательский институт
педагогики).

Условия журнальной статьи не дают воз-
можности глубже осветить вопросы методики
решения геометрических задач. Поэтому здесь
мы остановимся только Tia некоторых, более
важных вопросах методики геометрических
задач, причем в качестве иллюстративного
материала будем пользоваться выдержками
из трех застенографированных нами уроков.
Эти уроки были посвящены решению трех
задач: одной на построение и двух на вы-
числение, причем одна — из отдела стерео-
метрии (VIII класс). Содержание их таково:

1. „На данном огрезке АВ построить
сегмент, вмещающий данный угол а".

2. „В прямоугольном треугольнике АВС
из вершины С прямого угла опущен перпен-
дикуляр на гипотенузу и на нем, как на
диаметре, описана окружность, которая на
катетах СА и СВ дает внутренние отрезки
т и л. Определить катеты (лг —12, л= 18)“.

3. „Два равнобедренных треугольника
имеют общее основание, а плоскости их от-
клонены на 60°. Общее основание равно
16 см; боковая сторона одного треугольника
равна 17 см, а боковые стороны другого —
взаимно-перпендикулярны. Определить рас-
стояние между вершинами треугольников".

Задачи по характеру и содержанию взяты
типичные.

2. Особенности геометрических задач

Геометрические задачи по своему харак-
теру и целеустремленности можно разделить
на три основные группы: а) на доказательство
теорем, б) на вычисление и в) на построе-
ние. Во всех геометрических задачах есть
особенные характерные черты, которые резко
отличают их от задач арийметических и ал-
гебраических. В этих последних связи между
данными и искомыми величинами даются или
непосредственно или в форме неявных функ-
ций в самом тексте задач. В геометрических
же задачах для выявления подобных связей
необходимо находить соответствующие тео-
ремы и нужные геометрические формулы,
которых непосредственно в тексте задачи не
дано, и взять те из них, которые полностью
обнаруживают особенности и взаимные связи
отдельных элементов, данных в составе гео-
метрических построений задачи. Эта особен-
ность геометрической задачи требует от уча-
щегося достаточных знаний из области соот-
ветствующего раздела гёометоии и уменья
решать уравценйя_первой и второй степени.
Яркой иллюстрацией, этому будут служить
приведенные нами задачи: в первой необхо-
димо применить теорему об измерении впи-
санных углов и перпендикуляре, проведенном к
хорде через её середину и к касательной в точ-
ке касания; в другой — теорему о перпендику-
ляре, проведенном из вершины прямого угла
на гипотенузу; в третьей — теорему о свой-
стве стороны треугольника, которая лежит
против острого угла, и свойстве катета пря-
моугольного треугольника, который лежит
против угла в 30°.

Вторая особенность геометрической за-
дачи есть ее неотъемлемый атрибут — чертеж.
Опыт целого ряда педагогов-практиков сви-
детельствует, что одной из важных причин
ученических „провалов" при решении гео-
метрических задач я зляется неуменье сделать
и полностью осознать геометрический чертеж
задачи, в особенности из отдела стереометрии.
Чертеж конкретизт рует, правильно отражает,
делает наглядными вс₽ величины, которые
входят в состав задачи. Он помогает ученику
находить взаимозависимость между величина-
ми и подбирать нужные для задачи теоремы
геометрии, ассоциируя их с отдельными эле-
ментами чертежа.

Особенно важную роль играет чертеж
в задачах на построение. Процесс решения
таких задач требует пользоваться не одним,
а несколькими чертежами, р зависимости от
отдельных этапов решения, как это имеет
место в задачах на построение.

В нашей задаче — на данном отрезке АВ
построить сегмент, вмещающий угол а,— мы
разбиваем чертежи на три группы и разме-
щаем их на отдельных местах классной доски
(черт. 1, 2 и 3).

Первая группа чертежей — это данные
условия задачи: отрезок АВ и угол а. Эту
группу чертят отдельно вверху слева. Вто-
рая группа — полный чертеж условно решен-
ной задачи, на котором производится деталь-
ный анализ. Помещаем его тоже вверху, но
справа. Третья группа — готовый чертеж
достроенной задачи, на котором производят-

ся заключительные этапы: проверка и иссле-
дование. Этот чертеж надо помещать посре-
дине доски, на главном месте.

Часто при решении сложных задач (осо-
бенно задач стереометрии) является необхо-
димость из целой геометрической фигуры
выделить отдельные составные ее элементы
для лучшего понимания свойств этих частей.
Эти, уже дополнительные, чертежи нужно
размещать около основной фигуры, из кото-
рой они выделены. Из приводимых нами за-
дач такой дополнительный чертеж мы выде-
лили в третьей задаче, когда явилась необ-
ходимость в выяснении свойств стороны тре-
гольника, лежащей против острого угла.

Остальные свободные места классной доски
отводятся для арифметических и алгебраичес-
ких операций решения. Эта внешняя плано-
вость и опрятность в расположении чертежей
и записей помогают учащемуся лучше воспри-
нимать и внутреннюю суть задания. Чертить
с помощью циркуля и линейки должны сами
ученики, роль учителя здесь сводится к ока-
занию помощи и исправлению допущенных
учениками неточностей и ошибок. В задачах
на вычисление чертежей меньше, но роль их
в процессе решения задач так же значительна.
Верно построенный по условию чертеж в этих
задачах является базой, из которой рождает-
ся и окончательно формируется идея реше-
ния задачи.

Отсюда следует, что педагог должен до-
биваться полной четкости и ясности в выяв-
лении данных и искомых величин геометри-
ческой задачи через интерпретацию их в
форме правильного чертежа.
Подобную же роль в решении неметри-
ческой задачи играет и модель. Хорошо из-
готовленная и своевременно продемонстриро-
ванная модель помогает более глубокому
пониманию содержания, особенно стереоме-
трической задачи. В задачах из планиметрии
модель играет значительно меньшую роль,
ибо двухмерные фигуры, вмещающиеся в од-
ной плоскости, своим содержанием элемен-
тарнее и доступнее для детского восприятия.
При использовании модели необходимо одно-
временно пользоваться и чертежом на доске.
При этом чертеж должен целиком отображать
размещение плоскостей и линий на модели,
все соответствующие точки чертежа и модели
.олжны быть обозначены одинаковыми бук-
вами. При решении задачи в таких случаях
необходимо всякий раз указывать и на модель
л на рисунок.

Вот, например, как была использована,
нами модель во время решения стереометри-
ческой задачи.

Учитель. Я хочу показать вам еще
модель, которая изготовлена мною к этой
задаче. Посмотрите — вот треугольник, сто-
эоны которого имеют по 17 см. а это — тот,
у которого стороны взаимно-перпендикуляр-
ны. Вот его прямой угол С. Основания, как
зы видите, у этих треугольников равны.

Теперь смотрите, как образуется угол
между плоскостями: он может быть ббльшим
и меныпим, плоскости этих треугольников
можно ставить в разные положения относи-
тельно друг друга. В нашей задаче они рас-
положены так, что этот, посмотрите, угол
равен 60°. Ищем в этой задаче расстояние
между вот этими вершинами. Я тут повесил
ниточку, вам ее хорошо видно. На нашем
чертеже, обратите внимание, это расстояние
•обозначено буквами DC...

Злоупотреблять моделями, перегружать
ими задачи нецелесообразно, но типичные
задачи из каждого раздела показать на на-
глядных пособиях безусловно нужно.

3. Формы подачи ученикам
условия задачи

Без полного и глубокого ^осознания уче-
бниками содержания условия, без четкой ди-
ференциации данных и искомых величин в ней,
решение задачи невозможно. Поэтому всесто-
роннее усовершенствование приемов, отыска-
ние самых экономных путей, ведущих к над-
лежащему усвоению условия, является также
чрезвычайно важным вопросом методики ре-
шения геометрических задач.

Уб

Ваилучшим способом, по нашему мнению,
подачи ученикам условия задачи будет такой:
вначале учитель сам читает условие задачи
перед всем классом, четко и ясно, с целью
познакомить учащихся с условием задачи
в целом. Следующим этапом будет повторе-
ние задачи учителем или учениками отдель-
ными, логически законченными частями. Это
повторение нужно связывать с одновременным
исполнением соответствующего чертежа одним
учеником на классной доске, а остальными —
в своих рабочих тетрадях. Учитель должен
внимательно следить, чтобы чертеж полностью
соответствовал содержанию условия задачи,
и наоборот. В дальнейшем, в зависимости
ог сложности задачи, она повторяется одним
или несколькими учениками в целом; иногда
же это делает сам педагог с вторичным под-
черкиванием самых трудных и сложных мест
условия. Наконец, заключительным этапом
будет окончательное фиксирование данных и
искомых величин задачи и постановка основ-
ного вопроса: что же в задаче нужно опре-
делить?

Вот, например, как мы разбирали в клас-
се условие первой задачи.

Учитель. Послушайте, условие задачи
таково:

„На данном отрезке прямой АВ построить
сегмент, вмещающий данный угол а".

Вот и все условие, правда, очень краткое.

Но решается эта задача не особенно
легко.

Рая, иди к доске. Разберем подробно
условие задачи, данные в ней величины за-
пишем на доске, а вы все — в своих тетра-
дях. (Ученица выходит к доске, остальные
внимательно слушают.)

Теперь я буду читать условие задачи
отдельными частями, и одновременно будем
пополнять чертеж. „На данном отрезке пря-
мой АВ построить сегмент"... Что ты, Рая,
запишешь на доске из этой части условия?

Ученица. Я начерчу отрезок АВ, ко-
торый дан в условии.

Учитель. Хорошо (обращается к классу).
Кто скажет, какой длины должен быть этот
отрезок? (Ученики поднимают руки.) Скажи,
I (илык.

Ученик. Длина этого отрезка нам не-
известна, его можно взять любой длины.

Учитель. Верно. Отрезок этот нам дан
не числом, а в натуральном виде, просто
отрезок некоторой длины. Начертим на доске
любой длины отрезок и будем считать его
данным. В тетрадях вы начертите тоже от-
резки определенной длины. (Ученица на доске
с левой стороны с помощью линейки и цир-
куля чертит данный отрезок, остальные уче-
ники чертят в тетрадях )

Учитель. Продолжаем... „на данном от-
резке АВ нужно построить сегмент, вмещаю-
щий данный угол а".

Скажи, Рая, что еще дано в условии за-
дачи?

Ученица. Дан угол а.

Учитель. Начертим этот угол Ct на клас-
сной доске, а вы — у себя в тетрадях. (Уче-
ники чертят.) Повтори, Рая, какие данные мы
имеем в этой задаче.

Ученица. Нам дан отрезок АВ и угол а.

Учитель. Кто теперь скажет, что же
на основании этих данных мы должны по-
строить?

Ученица. На основании этих данных
мы должны построить сегмент... и т. д.

В третьей задаче этот процесс сложнее
и проходил он у нас так:

Учитель. Читаю условие, слушайте вни-
мательно: „Два равнобедренных треугольника
имеют общее основание"... и т. д. (условие
читается до конца). Теперь один из учеников
пойдет к доске, я буду читать условие задачи
по частям, и одновременно будем исполнять
чертеж. Иди к доске, Ш. Читаю первую часть
условия: „ Два равнобедренных треугольника "...
и т. д. (Ученик чертит на доске два равно-
бедренных треугольника с общим основанием,
как требуется по условию.)

Теперь укажем отклонение плоскостей
треугольников на 60°. Кто скажет, как обо-
значить этот угол, указать его величину?

Ученик. Это сделать нетрудно — надо
провести перпендикуляры с вершин равно-
бедренных треугольников на их общее осно-
вание АВ. Эти перпендикуляры упадут в одну
общ} ю точку, потом] что треуголы ,ики рав-
нобедренные.

Учитель. Хорошо. Скажи, Ш., для чего
же проводить эти перпендикуляры?

Ученик. Эти перпендикуляры образуют
линейный угол, который будет служить мерой
двугранном угла, образованного плоскостями

треугольников. Этот именно угол и будь ~
равен 60°.

Учитель. Ш., проведи перпендикуляры
и обозначь буквами полученный линейны;»
угол. (Ученик исполняет.)

Так. Заканчиваем условие: „Общее осно
вание равно 16 см; боковая сторона одного
треугольника равна 17 см а стороны друго-
го — взаимно-перпендикулярны. Ш., запиши
эти данные на нашем чертеже.

(Ученик пишет АВ= 16 см, а на чертеже
записывает на стороне AD и DB—П см'

Учитель. Какие стороны у тебя, LL1
взаимно-перпендик] лярны?

Ученик. Перпендикулярны стороны АС
и СВ, уюл С — прямой. Второй треугольник.
ADB — тоже равнобедренный, стороны кото-
рого имеют по 17 см.

Учитель. Хорошо. Заканчиваем... „опре-
делить рассгояние между вершинами треуголь-
ников". На нашем чертеже, как вы видите,
это расстояние будет DC. Ш., соедини вер-
шины прямой.(Ученик соединил и обозначил
это i расстояние через х )

Учитель. Обращаю ваше внимание, что
решить с успехом задачу можно лишь при
одном непременном условии: хорошо понять
содержание задачи, правильно сделать чертеж,
из которого была бы видна взаимная связь
между данными ве шчинами и искомыми. По-
этому условие задачи надо повторить еще
раз. Повтори первую часть условия. (Ученик
повторяет.) Продолжай.

Ученик. Плоскости этих треугольников
отклонены на 60°.

Учитель. Назови этот угол и скажи, что-
он здесь показывает.

Ученик. Угол этот на чертеже обозначен
DMC. Он обраг зван перпендикулярами из
вершин равнобедренных треугольников на
общее основание и является мерой двугран-
ного угла, образованною плоскостями эти’
треугольников.

Учитель. Хорошо. С условием задачи
закончили...

На этом уроке при разборе условия
демонстрировалась и модель, но ее роль была
второстепенная, основной же базой анализа
у слония, а потом и решения, был чертеж.

Этот порядок можно применять тогда,
когда у учащихся налицо достаточно развиты
пространственные представления и когда сам
чертеж не особенно сложный. В противном
же случае целесообразнее делать наоборот’
начинать разбор условия на стереометриче-
ской мидели и только после этого приступать
к исполнению чертежа на классной доске и
в тетрадях.
Sth примеры показывают, как серьезно
и внимательно нужно проводить разбор усло-
вия задачи, выполнение чертежей и исполь-
зование моделей.

4. Процесс решения задачи

Решение геометрической задачи на по-
строение, как известно, проходит такие этапы:
а) анализ, когда представляют искомую
фигуру построенной и с помощью ряда со-
ображений изучают взаимозависимость со-
ставных элементов данной фигуры, с целью
найти тот путь, которым задача может быть
решена;

б) построение, когда на основании уста-
новленных связей, применяя соответствующие
методы, исполняют построение;

в) проверку, когда проверяют правиль-
ность полученной сЬигуры, т. е. соответствует
ли она данным условия, и

г) исследование, когда выясняют, при
каких условиях задача возможна и сколько
она может иметь решений.

Основным этапом здесь будет анализ, где
детально анализируются все связи между со-
ставными элементами задачи. Из целого ряда
комбинаций, возможных путей и методов по-
строения искомой фигуры выбирается и
обосновывается наиболее простой и в то же
время наиболее эф фективный.

Приводим образец анализа первой задачи
на построение.

Учитель. Чтобы легче было обнаружить
способы построения этого сегмента, допустим,
что задача наша уже решена. Сделаем справа
новый чертеж условно решенной задачи и
будем искать связей между данными нам
в задаче величинами и тем сегментом, по-
строить который нам нужно. П., иди к доске.
Возьми произвольным радиусом окружность
и начерти в нем сегмент. (П. с помощью
циркуля чертит окружность и проводит

Скажи, Г., что такое сегмент?

Ученик. Сегмент — это часть круга,
ограниченная хордой и дугой.

Учитель. Покажи, П., какая именно
часть круга будет сегмент. (П. показывает.)
78

Гак. Начерти, 11., в этом сегменте yfwi,
который вмещался бы в нем, как об этом
сказано в задаче. (П. чертит вписанный угол,
который опирается на хорду АВ, и обозначает
его через F.)

Учитель. Скажи, где должна лежать
вершина этого угла?

Ученик. Вершина этого угля должна
лежать в какой-нибудь точке окружности, ибо
эта дуга есть геометрическое место точек, из
которых хорда АВ видна под углом F.

Учитель. Б., как называется угол F и
чем он измеряется?

Ученик. Этот угол называется вписанным
и измеряется половиною дуги, на которую
он опирается, половиною дуги АВ.

Учитель. Обратите внимание на вели-
чины, данные нам в задаче, и на полученный
чертеж, не найдете ли вы в нем данных
в задаче элементов? (Ученики поднимают руки.)
Скажи, Ш.

Ученик. Мне кажется, что в этой окруж-
ности такие элементы есть: вот эта хорда АВ
есть данный нам в задаче отрезок АВ, а угол
F есть данный в задаиг /гол а.

Учитель. Ты сказал верно: в этой
окружности есть данный нам в задаче отре-
зок АВ — это хорда АВ, а данный угол а
есть вписанный угол F. Значит, мы построили
тот самый сегмент, который вмещает в себе
данный угол. Теперь давайте будем искать
связей между данными в задаче величинами
и искомым сегментом.

Вы видите, что для построения сегмента
нам нуждэ построить окружность. Это первый
и основной вопрос, который мы должны бу-
дем с вами решить.

Ученик. Для построения окружности
нужно прежде всего найти центр.

У ч и т е л ь. Это совершенно верно, лам ну-
жно сейчас искать центр. Как же это сделать?

Ученик. Необходимо две хорды разде-
лить пополам, из этих середин провести к
хордам перпендикуляры и там, где перпен-
дикуляры пересекутся, будет центр окруж-
ности.

Учитель. Правильно. Иди, К., и найди
центр этой окружности (К. выходит и находит
центр, как было сказано.) Хорошо. Садись.
Скажите, обе ли хорды нам даются в задаче?

Ученик. Нет, нам дана лишь одна
хорда АВ.

Черт. 7.

Учитель. Одной хорды будет достаточно
для отыскания центра?

Ученик. Нет. Надо иметь две хорды.

Учитель. Верно, но дается-то нам лишь
одна хорда. Не припомнит ли кто из вас
другого способа отыскания центра окружности?

Ученик С. Центр окружности можно
на,.™ с помощью одной хорды и касательной.
Для этого нужно провести касательную и из
точки касания провести перпендикуляр к ка-
сательной, он тоже будет проходить через
центр.

Учитель. Да, этот второй способ оты-
скания цен_ ра мы в данной задаче используем.

Проведи, К., через точку В касательную к
окружности. (К. проводит.) Обозначь угол,
который образован этой касательной и хор-
дой, через букв) IJ (К. обозначает)*.

Ученик Г. Я не понимаю, как мы мо-
жем проводить касательную, если у нас не
будет окружности?

Учитель. Конечно, к несуществующей
окружности вообще касательной провести
нельзя. Но в данной задаче на основании
данных условия мы такую касательную про-
вести сумеем раньше, нежели будем иметь
окружность. Вот вы обратите внимание на
угол р, который образован хордой и каса-

* Маленькие дуги внутри угла ₽ (черт. 8) и
угла а (черт. 9) ошибочно не доведены до ка-
сательной.

тельной. Вспомните, как измеряется угол,
образованный хордой и касательной.

Ученик Б. Угол, составленный касатель-
ной и хордой, измеряется половиной дуги,
которая заключена в этом угле.

Учитель. Какая же дуга находится
в этом угле?

Ученик С. В нем находится дуга АВ

Учитель. Скажите, какой еще угол
измеряется половиной этой дуги Д8?

Ученик о. Половиной дуги измеряется
еще вписанный угол а.

Учитель. Какая же связь тогда суще-
ствует между углами аир?

Ученик С. Эти углы будут равны, по-
тому что измеряются половиной одной и той
же дуги ziB.

Учитель. Верно Теперь посмотрим,
откуда мы взяли угол а?

Ученик Б. Угол а нам дан в условии
задачи.

Учитель. Так. Угол а нам дан в условии
задачи, а угол р ему равен, значит угол р
может быть заменен углом а.

Теперь вы видите, что с помощью угла а
мы можем провести касательную раньше, не-
жели у нас будет построена окружность.
Скажите теперь, как же это можно сделать?

Ученик М. Теперь это сделать совсем
легко. Нужно провести отрезок АВ и около
одного его конца, допустим В, с помощью
циркуля построить данный угол а, вторая
сторона его будет служить касательной.

Учитель. Правильно. Подведем теперь
итоги нашей беседы. Имеем отрезок АВ,
который в построенной задаче будет служить
хордой. Для пост] оения касательной отложим
при точке В данный угол а. Из середины
отрезка АВ и из точки касания к касатель-
ной проведем перпендикуляры; там, где эти
перпендикуляры пересекаются, будет центр
искомой окружности. Проведя окружность,
получим искомый сегмент, который будет
вмещать в себе данный угол а, потому что
дуга этого сегмента будет геометрическим
местом точек, из которых данный отрезок
АВ виден под углом а..,

Само построение задачи после надлежа-
щего предварительного анализа проходит без
осложнений и довольно быстро. Это ярко
подтвердилось на примере построения пер-
вой задачи, когда ученик Березенко в те-
чение 2 минут выполнил все построение.

Приведем выписку из стенограммы:
Учитель. Иди, Б., сделай построение.
Ученик Б. Отложим данный отрезок
АВ (откладывает). Теперь нам надо перенести
сюда угол а. Перенесем его к точке В (пере-
носит угол а). В полученном угле сторона
угла а BE будет служить касательной. Из
точки касания В проведем один перпендику-
ляр, а из середины отрезка АВ — другой
перпендикуляр. Точка их пересечения О будет
служить центром искомой окружности. Из
центра О радиусом ОВ опишем окружность.
Теперь можно построить угол а. Вершина
его будет лежать в какой-нибудь точке дуги
сегмента, ибо все углы, вершины которых
лежат на этой дуге, будут измеряться поло-
виной дуги АВ, на которую они опираются,
т. е. все они равны между собою и равны
данному углу а. (Зсе сказанное выполняет
циркулем и линейкой.)...

Приведем образцы проведения следующих
этапов решения задачи — проверки и исследо-
вания.

Учитель. Осталось произвести проверку,
все ли требования задачи нами исполнены.

Скажите, есть ли здесь данный в задаче
отрезок АВ?

Ученик П. Да, этот отрезок здесь есть,
это хорда АВ, мы его построили в самом
начале.

Учитель. А угол а?

У че н и к А. У гол тоже есть, мы его по-
строили возле отрезка АВ без изменений,
как дано в задаче.

Учитель. Почему же этот угол, по-
строенный возле отрезка АВ, будет равен
углу, который вмещается в сегменте?

Ученик С. Эти углы равны, потому
что измеряются половиной одной и той же
дуги АВ.

Учитель. Хорошо. Нам осталось отве-
тить еще на два вопроса. Первый: всегда ли
такая задача возможна?

Ученик К. Я думаю, что эта задача
всегда возможна.

Учитель. Посмотрим. Обратите внима-
ние на чертеж. Если вписанный угол будет
острый, он будет измеряться половиной дуги
меньшей полуокружности; если угол будет
прямой, он будет измеряться половиной полу-
окружности; если мы угол будем увеличивать
дальше, то дуга, котовой он будет измеряться,
80

увеличиваясь, никогда не может стать больны
целой окружности, а потому этот вписанный
угол никогда не может стать больше двух
прямых углов, а всегда должен быть меньше
двух прямых углов.

Второй вопрос: сколько решений может
иметь эта задача?

Ученик Ш. Я полагаю, что задача имеет
только одно решение.

Учитель. Да. Для каждого данного угла
сегмент можно построить только один по
величине. Положение этот сегмент может за-
нять и по одну и по другую сторону от-
резка АЗ. К этому нужно прибавить, что
острому углу соответствует больший сег-
мент, прямому углу — полуокружность, тупому
углу — меньший сегмент...

Правда, в этой задаче проверка несложная,
она ограничена 2—3 вопросами. Процесс
исследования ставит перед учащимися серьез-
ные требования в смысле знаний основных
геометрических теорем, хорошо развитых мате-
матических представлений и умений все это
соответствующим образом комбинировать и
использовать для решения данного задания.
Благодаря довольно большим трудностям
в этой области, этап исследования часто со-
всем выпускают из процесса решения. В нашем
уроке, как видно из стенограммы, этот вопрос
проработан тоже недостаточно глубоко.

В задачах на вычисление процесс решения
по своим структурным особенностям значи-
тельно проще. Здесь/ после разбора условия
и изготовления чертежа, приступают непо-
средственно к самому решению. Основным
в решении здесь есть момент подбора нужных
теорем на основании детального анализа со-
ставных элементов чертежа. Дальше нужно
их расположить в определенной логической
последовательности и составить общий план
решения задачи.

Приведем отрывок из стенограммы урока
решения второй задачи (первая половина):

Учитель. Приступайте к решению,
(черт. 10)

т —= 12,
я *=18.

(Ученики наклоняются над тетрадями и
тихо между собой советуются. Проходит пол-
минуты.)

Учитель. Послушайте, я вам помогу.
Соедините точки Е и F с точкой D. Так
советует, между прочим, и Рыбкин в своем
задачнике. (Ученик возле доски дополняет
рисунок новыми отрезками.)

Присмотритесь внимательно к новой фи.
туре, которая образовалась. (Ученики внима.
Учитель. Б., прочитай полученный ре-
зультат. (Ученик Б. читает.) Подумаем, как
же теперь найти весь катет АС.

Ученик П. Надо к полученному резуль-
тату прибавить тот отрезок, который находится
в середине окружности, т. е. отрезок т.

Учитель. Сделаем сложение.

(Ученик пишет: ЛС=—-|-/п

т *

тельно рассматривают рисунок. Решают само-
стоятельно. Проходит 2 минуты. Несколько
учеников поднимают руки.)

Ученик Г. Мы имеем здесь прямоуголь-
ный четырехугольник FCED, в котором сюроиа
FC—FD и обе они равны т, а сторона
FD — СЕ и обе они равны п.

Учитель. Верно. Нам нужно только до-
казать, что этот четырехугольник будет прямо-
угольный, т. е., что у него все углы прямые.

Ученик С. Эти углы будут прямые, по-
тому что угол С прямой по условию, а угол F
и Е прямые потому, что опираются на диа-
метр. Значит и четвертый угол D тоже будет
прямой.

Учитель. Правильно. Имеем прямоуголь-
ный четырехугольник с равными, конечно,
противоположными сторонами. Соболь, обо-
значь, что FD = n, a ED —tn (С- обозначает.)

Продолжайте дальше сами. (Пауза.)

Ученик Б У нас здесь создалось такое:
треугольники CFD и CED, имеющие по
одному равному углу и одну общую сторону,
будут подобны, а если они подобны, то
из отрезков можно будет составить про-
порцию.

Учитель. Этот путь, Б., не даст нам
нужных результатов, так как искомые от-
резки AF и ЕВ в названные тобой треуголь-
ники не входят. Ищите других способов.
(Пауза.)

Рекомендую обратить внимание на тре-
угольник ACD и отрезок в нем FD.

Ученик М. Это прямоугольный треуголь-
ник, так как угол около точки D—прямой,
отрезок FD будет перпендикуляром к АС.

Учитель. Очень хопошо. Нам именно
это и нужно.

Давайте этим путем будем двигаться
дальше. Треугольник ACD — прямоугольный,
из вершины прямого угла D провели перпен-
дикуляр FD на гипотенузу. Теперь припом-
ните свойства этой высоты и т. д.

Составляе гея пропорция

AF.FD = FD'.FC, откуда AF= -.
т

6 Математика и физика в средней школе, № 6.

Учитель. Таким оОразом, один катеа
прямоугольного треугольника нашли. Теперь
таким же путем ищите другой катет и т. д...

Приведем еще отрывок из процесса реше-
ния третьей задачи (черт. 4):

Учитель. Приступайте к решению. (Уче-
ники начинают работать. Проходит около
1 минуты. Несколько человек поднимают руки.)

Учитель. У тебя, Н., есть какое-нибудь
предложение?

Ученик Н. Да, по-моему, здесь надо
прежде всего определить высоту DAt из прямо-
}сольного треугольника ЛЕМ.

Учитель. Правильно. Кто же скажет
как найти высоту DM?

Ученик М. Найдем прежде отрезок АМ.
Опущенный перпендикуляр делит основа-
ние АВ пополам, а потому АМ=^8 см, ибо
все АВ = 16 см После этого применим не-
поередст пенно георему Пифагора и найдем
катет АМ.

Учитель. Хорошо. Ш., сделай вычис-
ления.

(Ш. пишет: DM2-~ AD2—А№;

DNP—M2 - 82 = 289 — 64 = 225;

DAf = /225 = 15 см)

Учитель. Так. Высота DM у нас ест».
Будем искать высоту гториго треугольника МС.
(Ученики работают самостоятельно.)...

Роль учителя

Не приводя далее разбора третьей задачи,
укажем, что в наших примерах мы хотели
подчеркнуть, как в зависимости от сложности
задачи и возраста учащихся (первая и вторая
задачи давались в VII классе, а третья в VIII)
в процессе организации урока могут то усили-
ваться, то уменьшаться активность и само-
деятельность учащихся. Но учитель неизменно
остается центральной фигурой на уроке, руко-
водителем педагогического процесса. Если
в первой задаче на построение в течение
целого урока инициатива находится в руках
учителя, то в другой и особенно в третьей

S1
задачей заметно усилена роль учеников. Здесь
учитель лишь организует и направляет инициа-
тиву учеников на правильные пути решения
и только в более трудных местах берет на себя
инициативу и ускоряет процесс решения. Со-
ответственно с этим в первой задаче превали-
рует форма эвристическая, и урок проходит
довольно напряженно, в другой и особенно
третьей задачах форма эвристическая приме-
няется значительно реже, ученики много рабо-
тают самостоятельно, и урок проходит гораздо

спокойнее. Чтобы полностью использовать
в решении геометрических задач, а это без-
условно необходимо, инициативу и самодея-
тельность учеников, нужно рассчитывать со-
держание задач соответственно развитию и
общей подготовке учащихся. Здесь полезно
будет провести одну интересную мысль, вы-
сказанную известным старым педагогом — ме-
тодистом Шохор-Троцким: „Работа, которую
должны преодолеть учащиеся, не должна быть
выше их сил, но она не должна быть и ниже их“.

ОБ ОДНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ МНОГОЧЛЕНОВ, СОДЕРЖАЩИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

•

Г. ГАПГНУС (Москва)

I. При прохождении раздела о приведении
многочленов, содержащих тригонометрические
функции, к виду, удобному для логарифми-
рования, обычно учащимся дают для преобра-
зования многочлены

sina-j-sin^ + siny и tg а -J- tg -J- tg у
при условии, что а 4-₽4"у=п.

Этим и ограничивается все преобразование,
и полученные результаты не находят затем
никакого приложения. Между тем, учащиеся
без всякого труда запоминают симметричный
результат этих преобразований:

(1) sin a sin р + sin j =

= 4cos^ cos cos — I при a4-f 4-7 = п.
(2) tga + tg? + tgy = tga tg? tgf J

а потому немалый интерес представляют и
ге вопросы, которые быстро и изящно ре-
шаются на основании полученных формул.

И. Рассмотрим некоторые приложения на-
званных формул.

Пусть требуется преобразовать в одночлен
выражение

1. sin asin 2a 4-sin За.

Заменяя последний из членов выражения
минусом положительного угла, имеем

S’n a sin 2а sin 3a =
з= sin a-f* sin 2a-]- sin (tt — 3a),

после чего на основании формулы (1) оче-
видно получаем:

. a ! п За\

4 cos - cos a cos (j =

=4 cos -% cos asm- ,

ибо a-]-2a-)-7r — 3a —тг, и условие, при
котором указанные формулы имеют место,
выполнено.

Сопоставим обычное решение с только что
полученным:

sin a 4- sin 2a 4- sin 3a ~

= 2 sin 2a cos a 4- 2 sin a • cos a J

= 2 cos a ;sin 2a 4- sin a) =

о о - ° a

= 2cosa.2sm —cos -= =

a . 3a

= 4 cos - - cos asm .

Получен тот же результат, но быстрее.

Таким же образом легко преобразовать
в одночлен сумму трех синусов, при условии,
что очин из аргументов равен сумме двух
остальных. Например:

2. sin 3 a 4- sin 7a 4- sin 10a = sin 3a 4- sin 7a 4-

T sin(n - 10a) =

. 3a 7a . _

= 4 cos -% cos sm 5a.

3. sin mx -|- sin nx -]- sin (m -|- n) x =
— sin mx -]- sin nx -]- sin [rr — (m —|— n) x] —

. mx nx . (m 4- n) x

— 4 cos 2 - cos 2 sin '—2 •

Так же просто решаются следующие при
меры, приводящиеся к формуле (1):

4. cos а Ц - cos 2asin За =
= sin^—a^.-|-sin^2 — 2a^4“sin3a —
= 4 cos (-J —cos (-J - a) cos 32“.

5. sin 2a — sina — sin3a =
= sin 2a sin (тг -]- a) sin (— 3a) =
. a 3a

= — 4 cos a sm — cos -% .
Таких примеров можно подобрать очень
много.

III.* Весьма удобно также использовать
формулу (1) при решении тригонометрических
уравнений. Так, например, уравнение

1. sin 2x-|-sin3x-|-sin5x=0

на основании формулы (1) легко решить путем
разложения левой части на множители:

sin 2хsin Зхsin (п — 5_v) == 0;

4 cos х-cos sin у =0,

откуда

1) cosx = 0; 2) ces-*—0; 3) sin^ = 0,

а потому

1) x=^(2fe-|-l); 2) ^=A(2fe4-l);

3) 5* = kn,
откуда

xJ='(2fe4-l); x2 = -J(2fe4-l)
и

9
х,— “ fen.

3 5

Все полученные решения, как нетрудно
убедиться, удовлетворяют данному уравнению.

Решим еще несколько уравнений:

2. sinx-f- cosх — cos2x = 0.
sin (180°—x)4~sin (90°—x)-}-sin ;2x—90°)=0;
4cos(90°—J-)cos(46°—cos (x—45°)=0,

откуда

1) cos(90°- * ) = 0; 2) cos (145°— -0=0
и

3) cos (x — 45°) = 0,

И, таким образом, решение данного урав-
нения сводится к решению трех простейших
уравнений.

3. cos Зх-] cos 2х— sinx = 0;
sin^^-4-Зх^ 4-sin (“2‘ — 2х) 4Ljin(~x)=°;
4cos (-J + y )cos (J —x) cos^^O,

откуда

|) cos ( фД*) =0; 2) cos — x) = 0
я

3) cosy = 0

I' T. Д.
u

4. cosx-4-cos2x—sfn3x = 0;
sin (90°-{-x) sin(90o-|-2x)4-sin (— 3x)—0;

4 cos (45° -J- *) cos (45° -J- x) cos 3l = 0,
откуда

1) cos (45°4 J) =0; 2) cos(45°-|-xj = 0
и

... 3x „

3) cos -2 =0
и T. Д.

И таких примеров можно подобрать
сколько угодно, лишь бы сумма аргументов
трех синусов, получаемых после замены, рав-
нялась 18U° или тг.

IV. Все сказанное в равной мере относится
и к применению формулы (2)

tga4 tg34-tgY^=tgatg^tgY
при

« + N-Y = «-

Так, например,

1. tg 2a tg За — tg 5a —
= tg2a4-tg3a4-tg(7r -5a) =
= — tg 2a tg 3a tg 5a.

2. etg a — etg 2a — tg a

= tg(-J -«)4-‘g (y+2a) -rfg (- =
= tg(^--a)tg^4^2a)tg(-a) =

-- etg a etg 2a tg a = etg 2a.

3. etga 4~ etg 2a 4-tg 3a =

= tg (90° — a) tg (90° — 2a) tg 3a =

= etg a • etg 2a • tg 3a.

Точно так же решаются уравнения:

4. ctgx4~ctg2x4~tg3x = 0.

На основании предыдущего примера имеем:
etg х etg 2х ig Зх = О,

•а потому

1) ctgx = O; 2) ctg2x=0, и 3) tg3x—О
и

x1=-^(2fe4-l); 2x2LA (21-4-1)
И - - ^TTj
откуда

x1=J(2fe4-l); x2 = J(2fe4-l)
ь

и Хч = -5-ТГ;

остается только проверить полученные ре*
шения.
5 tgx-]- tg3x — tg4x = 0,
tg v. ig ?>x Ц- tg (n — 4x) = 0;

tg x tg 3x tg 4x = 0

а потому

1) tgx = 0; 2) tg3x = 0
и 3) tg4x = 0

и т. л.

V. При достаточных навыках в преобра-
зованиях можно учащимся предложить еще
доказать, что

ctg-^4-ctg4-+ct£ J =

а В -v

^Ctg-^ctg yctgj,

если а jJ Y — или 1SO°>

или §‘Н~‘|‘4_у=="5’> или 90°. Тогда на
основании формулы (3) легко решить, напри-
мер, уравнение

etg х 4- etg Чх 4- tg Зх = 0;

etg х 4- etg 2x 4- etg = 0;

etg x etg 2x tg 3x = 0.

Результат этот мы получили в разделе IV,
пример 4.

VI. Подобного рода преобразования могут
быть продолжены еще дальше, если пользо-
ваться легко доказуемыми тождествами

а В । у

cos -g- 4-COS -t-cos-2 =

= 4 cos ^45°--5“)cos cos ^45° ~t)

tg2a4-tg2p 4-tg2y = tg22tg 2? tg2y

при условии, если a 4“ P 4“Y= 180°, или я>
или тождеством

sin а 4- sin sin у 4- sin 8 —

= 4 sin -sm sin —2 ;

cos a 4~ cos [14- cos у 4"cos ® —

. а 4 В а+т ₽ + Y
— 4 cos cos cos

при условии, если а -}~ Р 4" Y 4" $ == 360°,
или 2тг.

Останавливаться на этом, однако, мы сей-
час не будем. Вполне достаточно, если уча-
щиеся применят при решении уравнений или
при преобразованиях многочленов, содержа-
щих тригонометрические функции, первые
две формулы (1) и (2), приведенные в самом
начале.

ПРОСТЫЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ
(В помощь школьному кружку по физике)

М. ГРАБОВСКИЙ (Москва)

Первое сложное физическое понятие, ко-
торое учащиеся усваивают до знакомства
с физикой в школе, конечно, — время. Год,
месяц, шестидневка, сутки, минута и секунда
известны школьникам как единицы, служащие
для измерения времени. В подавляющем числе
случаев ребята без преподавателя физики
научились определять время по часам, по
солнцу, умеют разбираться в различных ци-
ферблатах (арабские и римские цифры, деле-
ние циферблата на 12, на 24), некоторые знают
правила обращения с часами, а иногда с се-
кундомерами. Этих сведений средняя школа
почти не расширяет. Разве при прохождении
системы CGS преподаватель физики сообщит
о существовании понятия солнечных и звезд-
ных суток и ласт определение единицы вре-
мени — секунды.

Нам кажется, что этого мало. Если от
молодого человека, окончившего среднюю
школу, никто не потребует определения вре-
84

мени с точки зрения теории относительности,
го знать учащемуся о возможных приемах
измерения времени необходимо.

Естн последнее трудно сделать в классной
обета! овке из-за обилия программного мате-
риала по курсу физики, то мы считаем воз-
можным перенести тему „Как измерять врем;."
в школьный кружок любителей физики. Э<а
гема дает много простых демонстраций, само-

стоятельная постановка которых вполне по

силам школьникам старших классов.

Исходя из вышесказанного, мы в настоя-
щей статье опишем ряд периодических про-
цессов, которые, вследствие постоянства их
периода, могут быть использованы для и.’ме-
рения времени. Помимо периодических про
цессов в этот перечень будут отнесены 8l

явления, продолжительность которых при
неизменных условиях постоянна. Некот

демонстрации,

описанные

ниже,

известны чи-1

тателю, но все же мы считаем необходима
хоть вкратце о них упомянуть с точки зре-
ния возможности использования последних
для измерения определенных промежутков
времени. Некоторые демонстрации имеют исто-
рическое значение. Показ последних в кружке
будет неплохой иллюстрацией истории раз-
вития техники измерения времени.

I. Бремя вылзряпия жидкости из сосуда
или время заполнения жидкостью
сосуда — единица времени

1. 3 дне или сбоку у дна любой фпрмы
сосуда (бутылка, банка) делается отверстие,
закрывающееся пробкой. Затем сосуд запол-
няется до определенной метки водой. Открыв
пробку с одновременным пуском метронома
или секундомера, демонстратор определяет
продолжительность выливания воды из сосуда.
Опыт повторяется еще не менее двух раз для
установления постоянства во времени этого
явления.

Подбирая различные сечения отверстий
сосудов и изменяя уровень метки, до кото-
рой будет заполняться водой сосуд, возможно
получить такой сосуд, из которого вода выли-
вается ровно в 15, 40, 60 минут. Если сосуд
имеет форму, например, цилиндра, то проще
предварительно произвести такой расчет;

t = (1)

-а ’ g

где t—гремя опоражнивания сосуда, <5^ —
площадь сечения сосуда, S2 — площадь сече-
ния струи, Н — расстояние между уровнем
жидкости и уровнем отверстия и g — уско-
рение поля тяжести. Рекомендуем на боковой
поверхности цилиндрического сосуда отме-
тить ряд уровней, соответствующих времени
вытекания в 5, 10, 15 минут. Следует заме-
тить, что отложенные отрезки не пропорцио-
нальны промежуткам времени выливания.

2. Этот опыт возможно изменить таким
образом. К отверстию сосуда прикрепляем
различные насадки, имеющие различные сече-
ния (цилиндрические, конические и т. д.).
Последнее обстоятельство вызовет изменение
площади сечения струй у самого отверстия.
Так как в формулу, определяющую время
зытскания воды, входит S2 (см. формулу 1),
то нетрудно сделать такой вывод, что время
выливания воды при одинаковом Н и S\
(мнение сосуда) обратно-пропорционально
сечению струи.

Следовательно, если взять два сосуда
знаковой формы и сечения, с равными
по сечению отверстиями, но с насадками
азного типа, то такие сосуды будут опо-

рожняться в разные про-
межутки временилишь при
условии заполненья их во-
дой до различного уровня.

Практически смену на-
садок следует осущест-
влять таким образом: от-
верстие сосу да Л (рис. 1)
закрывается пробкой ab,
сквозь которую проходит
стеклянная трубка, имею-
щая всегда одно сечение
с внутренней стороны и
разное — с внешней.

Рис. 1,

Последние опыты помимо интереса, свя-
занного с темой статьи, имеют также гидро'

динамическое значение.

3. Возьмем металлическую чашку (или
другой формы сосуд), устойчиво плавающую
на поверхности воды. В центре дна сделаем
маленькое отверстие, сквозь которое будет
поступать вода, вызывающая погружение
чашки в воду. Подбирая резмеры отверстия
и снабжая чашку в верхней части предметами,
удельный вес которых меньше воды (пробка
и т. д.), возможно создать такие условия,
что время погружения сосуда в воду в точ-
ности равно 5, 10 и т. д. минутам. Этот и
первый опыт этой главы имеет историческое
значение. В древней Греции описанным мето-
дом регулировали время, предоставленное
защите и обвинению для произнесения речей
в суде, устанавливали время явки на собра-
ния, отмечали время между двумя поливками
полей * и т. д.

4. Все три описанных опыта относятся
к воде. Демонстрация, однако, изменится, если
следить за вытеканием разных жидкостей.
Вязкость вызовет изменение скорости выте-
кания жидкостей, несмотря на сохранение
прочих равных условий (объем, форма со-
суда, площадь отверстия).

Для демонстрации этого опыта (рис. 2)
следует взять небольшой сосуд с капиллярной
трубкой в нижней части сосуда и с воронкой
в верхней. В двух наиболее узких местах
сосуда поставить метки. Заполнив воронку а
водой, следят за тем моментом, когда по-

верхность воды при вытекании проходит
метку Ь. В этот момент пускают секундомер.
Второй отсчет секундомером следует сделать
при прохождении понижающегося уровня
воды мимо метки с. Разности отсчетов вре-
мени укажут на продолжительность вытекания
воды в объеме части сосуда между метками

* Дильс— «Античная техника”. Государст-
венное технико-теоретическое издательство,1434 г.
Рас. 2.

b и с. Опыт повторяется еще два раза и
устанавливается постоянство времени этого
процесса, В условиях демонстрационного
опыта это показать нетрудно. Вели сосуд
мал, то возможно этот опыт показывать
в проекции. Затем тот же сосуд заполняется
спиртом или раствором поваренной соли
в воде, и опыт повторяется аналогично пер-
вому. Экспериментатор убедит аудиторию,
что время вытекания для другой жидкости
изменилось. В зависимости от диаметра трубки
следует брать жидкости с большей
или меньшей вязкостью, чтобы полу-
чить заметное в демонстрационном
отношении изменение прпдотжитель-
ности процесса. Из последней де-
монстрации можно сделать два вывода:
1) время вытекания жидкости из сосу-
да определенной формы и объема
является критерием вязкости, жидко-
сти. Прибор для определения вязко-
сти, основанный на' этом принципе,
называется вязкозиметром; 2) явление
вытекания любой жидкости из сосуда
может служить приемом для измере-

ния времени.

5. Далее следует остановиться на рассмо-
трении песочных часов, которые по устрой-
ству принципиально ничем не отличаются от
„водяных" часов (рис. 3). Песок, применяе-
мый для этой цели, должен быть мелким,
тщательно просеянным от крупных песчи-

нок. Песочные часы, отрегулированные на
1, 2, 5 и т. д. минут, можно приобрести
в магазине наглядных пособий. Задержать
внимание ребят на песочных часах необхо-
димо, так как за последними большая и
почетная история. Время на судах в течение
нескольких столетий измерялось песочными
часами, отмечавшими полчаса, 1 час. В момент
пересыпания всего песка из верхнего сосуда
в нижний матрос, стоящий на вахте, ударял
в колокол, отбивал „склянку".

6. Наряду с песочными часами в средние
века применялись ртутные. Вместо пересы-
пающегося песка пользовались ртутью *. Мы
выделяем вопрос о ртутных часах отдельно,
так как прием измерения времени при помо-
щи ртутных часов можно несколько обновить
современной техникой и сделать этот прибор
предметом изготовления школьного кружка.

На рисунке 3 изображен сосуд, в узкую
часть которого впаяны два электрода: а иЬ
(желательно платиновые). Располагать элек-
троды рекомендуется возможно ближе дру1
к другу.

Электроды соединены с электромагнитным
источником постоянного тока (4-вольговый
аккумулятор). Описываемый сосуд, подобно
песочным часам, заполняется чистой ртутью,
переливание которой из верхней части сосуда
в нижнюю (при данной площади сечения
соединительной трубки) происходит в опре-
деленный промежуток времени. При перели-
вании ртути последняя осуществит контакт
между впаянными электридами, и цепь элек-
тромагнита М будет замкнута. Следовательно,
про толжительность переливания ртути равна
времени замыкания электрической цепи. Это1

прием контактирования при помощи ртутной
струи распространен в технике; желательно
обратить внимание участников кружка нг

* Ртутными часам: i впервые пользовался при
наблюдениях Тихо-де-Браге.
это обстоятельство. Что же касается даль-
нейших деталей этого опыта, то они могут
быть весьма разнообразны. Мы предлагали
такой вариант. Цепь электромагнита и ртут-
ных часов является лишь реле к другой цепи,
состоящей из электрической лампы и дру-
гого источника тока. При полном вытекании
ртути ток в электромагните прекратится,
пружина с отойдет от электромагнита и замк-
нет цепь лампы. Повертывание сосуда „вверх
дном" повторит процесс в том же порядке.
Так как впаивание электродов в соединитель-
ную шейку сосуда А проделать довольно
трудно, а также представляет некоторые
трудности осуществление контакта при по-
мощи ртутной струи, то возможен другой
вариант. Четыре электрода впаиваются в уз-
кие части конусов (рис. 4), и контакт в дан-
ном случае осуществится просто заполнением
ртутью всего пространства между двумя верх-
ними действующими электродами. Все осталь-
ные детали опыта остаются неизменными.

II. Измерение времени методом капли

Если жидкость вытекает из тонкой трубки,
го сплошная струя жидкости разбивается на
капли, частота образования которых зависит
от ряда причин. К последним относятся:
диаметр трубки, из которой вытекает жид-
кость; силы поверхностного натяжения, вели-
чина которых в свою очередь зависит от тем-
пературы; степень чистоты жидкости и т. д.

Особенно важно в данном опыте под-
держивать постоянство гидростатического дав-
ления в сосуде. Последнее достигается: 1) зна-

чительными размерами сосуда, из которого-
вытекает по каплям жидкость или 2) попол-
нением на протяжении всего опыта объема
жидкости в сосуде в такой степени, что
уровень жидкости остается практически по-
стоянным. Скорости вытекания можно удобно
регулировать краном, впаянным в стеклянную
трубку *. Демонстрация образования капель
вообще весьма поучительна. Однако, не оста-
навливаясь на приемах демонстрации этого
опыта, мы обращаем внимание читателя на
другую сторону дела.

7. Явление образования капель при опре-
деленных условиях происходит почти пери-
одически. Время нарастания капли, образова-
ние „шейки" капли и, наконец, отрыв капли
от края трубки остается одним и тем же на
протяжении всего опыта.

Демонстратор без труда отрегулирует кра-
ном такой ток жидкости (воды), что время
обпазования капли, например, равно 2 секун-
дам. Методически правильно будет задержать
внимание аудитории на 1 минуту и вслух
сосчитать 30 капель, образовавшихся в тече-
ние этого времени. Для того чтобы в ауди-
тории не только была видна работа такого
„водяного секундомера", но и слышна, мы
рекомендуем натянуть на открытый конец
широкой трубки тонкую резиновую пленку
и расположить трубку таким образом, чтобы
капли падали на натянутую резину. Аудито-
рия в этом случае услышит „тиканье секундо-
мера".

8.-----Практическим применением такого „водя-
ного секундомера" будет установка, изобра-
женная на рисунке 5. На основании последней
проф. Ребиндер предложил определять величи-
ну поверхности натяжения любой жидкости,сра-
внивая ее с величиной поверхностного натяже-
ния воды. На принципе определения поверхно-
стного натяжения этим ме одом мы здесь лише-
ны возможности останавливаться. Из сосуда А,
плотно закрытого стеклянной пробкой с, выте-
кает через трубку с краном по каплям вода
(рис. 5). Вследствие этою во всей систе-
ме—в том числе и над водой—сосуда В будет
наблюдаться уменьшение атмосферного давле-
ния. В сосуд В, где может быть налита любая
жидкость, погружена трубка I, кончающаяся
тонким капиллярным кснииком. Этот конец
должен быть погружен в жидкость не глубже
1—2 мм. До начала опыта, т. е. до выте-
кания воды, жидкость сосуда В поднимается
на некоторую высоту в капилляре k. Если
------- J

* См. „Демонстрации по молекулярной фи-
зике" А. Б. М л о д з е е в с к о г о, Гос. техник»
теоретическое издательство.
Рис. 5.

определенный промежуток
времени. Это обстоятель-
ство использовано было
в средние века для устрой-
ства водяного будиль-
ника*.

Описание этого бу-
дильника мы сохраняем в
том виде, в каком оно
сделано в рекомендованной
читателю книге. „У Лео-
нардо (Леонардо да-Вин-
чи — знаменитый итальян-
ский живописец, механик,
архитектор и ученый) вода
канала в чашу, которая
с помощью рычага сое-
динялась с другой чашей,
куда была налита вода.
Когда количество воды,
назначенное до времени
вставания, вытекало, пер-
вая чаша опускалась, вто-
рая поднималась, вода из
нее тоже выливалась в пер-
вую чашу, и силы этого
давления было достаточно,
чтобы поднять за ноги че-

ке теперь открыть кран, то, вследствие ука-
танного уменьшения давления в системе, уро-
тень жидкости в капилляре k будет опускаться
то тех пор, пока он не опустится чуть-чуть
ниже уровня жидкости в сосуде В.

В этот момент пузырек воздуха по трубке I
прорвется в нашу систем у и повысит давление
л такой степени, что жидкость вновь несколько
войдет в капилляр. Продолжающееся вытекание
воды из сосуда А вызовет вновь разрежение
цавлгния, которое создает явление, только-что
рассказанное.

Регулипуя скорости вь текачия воды и под-
бирая толщину капилляра, возможно создать
такие условия, что через каждые, например,
тридцать капель, вытекших из сосуда А,
в сосуд В прорывается один пузырек воздуха.
Опыт представляет некоторые трудности: ско-
рость вытекания воды может в течение времени
изменяться. Поэтому прибор нельзя отрегу-
лировать на продолжительное время. Однако,
дать члену кружка задание создать такой при-
Вор. работающий при определенных условиях,
мы считаем целесообразным для получения
школьником определенных экспериментальных
навыков.

9. Если капли воды при неизменных усло-
виях образуются в определенное время, то,
видимо, пополнение каплями определенного
объема будет также происходить в строго

ловека, спавшего в постели, и тем самым за-
ставить его встать" (Дильс, стр. 175).

Оставляя в стороне некоторую неясность
в описании конструкции водяного будильника,
мы можем все же сказать, что основная идея
прибора ясна. Мы, конечно, не собираемся
рекомендовать в кружке воспроизводить то,
что описано в цитированном нами отрывке,
но использовать общую идею для простого
водяного реле нам кажется целесообразным.

На рисунке 6 изображена схема такого
реле. На пружинных весах находится сосуд d,
который заполняется водой, поступающей кап-
лями из трубки М. Ток воды следует отрегу-
лировать таким образом, чтобы вода, посту-
пившая в сосуд в течение, например, часа,
вызвала растяжение пружины до соприко-
сновения стержней b и с друг с другом
(рис. 6). Последние соединены через лампу
с осветительной сетью. Следовательно, лампа
загорится или звонок зазвонит ровно че-
рез час.

Следует указать на некоторые предосто-
рожности при постановке этого опыта. Напря-
жение в 120 вольт при сырости, которая
возможна при демонстрации этого опыта,
представляет некоторую опасность для экепе-

* Г. Дильс— „Античная техника", пер. с не-
мецкого языка.
риментатора. Рекомендуем пользоваться низким
напряжением до 12 вольт.

10. Еще один вариант той же идеи.
В сосуд А поступает вода через трубку М.
В сосуде устойчиво плавает пробка (рис. 7).
На последней укрепляется металлическая пла-
стинка в виде скобы. По мере поступле-
ния воды в сосуд пробка всплывает и че-
рез определенный, нами отрегулированный,
срок касается пластинок 5 и t, к которым
подведен электрический ток. Последнее обсто-
ятельство вызывает тот или иной внешний
эффект. Необходимо пластинкам 5 и t придать
вид довольно широких дуг, чтобы при воз-
можном вращении пробки скоба обязательно
коснулась пластин и тем самым произошел

Рис. 7.

Рис. 8.

з контакт. Возможно по-
дачу воды производить
через отверстие в ниж-
ней части сосуда, что
обеспечит более спокой-
ное всплывание пробки
Способ всплывающих
пробок как прием регу-
лировки нашел себе до-
вольно широкое рас-
пространение в лабо-
раторной и технической
практике.

11. В начале этой
главы мы указывали,
что получение капель,
отрывающихся от труб-
ки в строго определен-
ный момент, возможно
при соблюдении ряда
условий, в том числе
и при сохранении на
протяжении опыта по-
стоянства гидростати-
ческого давления. По-

следнее возможно достичь способом поплавка-
регулятора. На рисунке 8 изображен сосуд
А, из дна которого вытекает вода. На поверх-
ности воды плавает пробка, верхней части
которой придан вид конуса. Конус своей
вершиной входит в отверстие трубки. Из
трубки М поступает в сосуд А вода.

Принцип работы регулятора прост: умень-
шение уровня воды в сосуде вызовет выход
конуса из конца трубки и тем самым создаст
увеличенный приток воды в сосуд. Последнее
обстоятельство поднимет пробку вверх, и конус
закроет отверстие.

В данном случае для поплавка следует взять
полый металлический цилиндр (материал —
тонкая листовая латунь) с площадью основа-
ния, равной внутреннему сечению сосуда.
Этот способ применяется в моторе внутреннего
сгорания для регулировки поступающего в
карбюратор бензина, для автоматического за-
крывания воды в водопроводных трубах и т. д.
Следует обратить внимание членов кружка
на последнее обстоятельство.

III. Измерение времена при помощи
сифона

Развивая мысль, чго любой, периодически
повторяющийся процесс может быть исполь-
зован для измерения времени, преподаватель
может показать такой занятный опыт.

12. В сосуд А (рис. 9) через боковое
отверстие В пропущена резиновая трубка.
Рис 9.

Огням концом трубка почти доходит до дна
еосуда (расстояние между концом трубки и
дном сосуда 1 — 2 см), вторым концом трубка
опущена в раковину водопровода. Отметим,
что второй конец трубки должен быть ниже
уровня дна сосуда. Сверху в сосуд через
’рубку с краном С равномерно поступает вода
из водопровода или из какою-либо емкого
сосуда, поднятого на достаточную высоту для
обеспечения некоторого, и притом постоянного,
притока воды. Количество воды, поступающее
в сосуд А. можно регулировать краном С
(зажим Моора).

Кран следует оставить в таком положении,
чтобы вода, равномерно поступая в сосуд,
заполняла его до соска В в течение опреде-
ленного промежутка времени (15, 30 или
60 минут). Когда уровень воды в сосуде поды-
мется выше сос..а В, то вся трубка заполнит-
ся водой. Так как конец трубки, опущенной
в раковину, расположен ниже дна сосуда,
то вода начнет вытекать из сосуда (сифон).
Следовательно, через некоторое время вода
в сосуде вся выльется через трубку В, водя-
ной столб в сосуде разорвется, и дальнейшее
вытекание воды прекратится, несмотря на не-
прерывное поступление воды по трубке С
в сосуд. Описанное явление автоматического
вытекания будет повторяться в определенные
моменты времени, cooi ветствующие заполне-
нию водой сосуда А выше отростка В. Для
того чтобы описываемое явление получалось
наиболее четко, необходимо: 1) осуществление
равномерного поступления воды в сосуд А,
2) резиновая трубка, проходящая через боко-
90

вое отверстие сосуда, должна быть возможно
большего сечения. Последнее обстоятельство
обеспечит вытекание воды из сосуда за время,
значительно (в 30, 40 раз) меньшее, нежели
время наполнения сосуда. Если ввести доста-
точно толстую трубку (1—1,5 см диаметром)
невозможно, то можно рекомендовать впаять
с противоположной стороны еще один отро-
сток (на уровне первого), через который
пропустить трубку, подобно первой.

Возможно внести в прибор некоторые
детали, которые сделают последний более
интересным для демонстрации. В сосуд В
впаиваются или опускаются через верх два
угольных контакта, расположенных на уровне
несколько ниже (1—2 см) уровня отростка
В. Между контактами оставляется воздушный
зазор не более 1—2 мм. Внешние концы
впаянных электродов соединены с электри-
ческой лампой и сетью городского освещения.
Следовательно, электрическая лампа гореть
не будет. Однако, картина изменится, если
водяные часы пустить в ход. Подымающаяся
вода в сосуде заполнит промежуток между
электродами и обеспечит контакт электри-
ческой сети. Лампа загорится. Она будет
гореть в течение 1—2 минут, именно столы о
времени, сколько необходимо для подъема
воды от контактов до уровня соска В и затем
при выливании воды от соска В до контактов.
Иными словами, лампа будет загораться через
те промежутки времени, на которые отрегу.
лированы часы. К данному случаю относятся
те замечания относительно напряжения в 120
вольт, которые сделаны в описании опыта 9.

* *
*

В заключение мы считаем необходимым
высказать несколько соображений относительно
школьного кружка любителей физики.

„Кружок любителей физики"— весьма ред-
кое явление в наших школах. Причины послед-
него кроются в следующем: отсутствие поме-
щения, опытных руководителей, а также пла-
нов кружка, способных заинтересовать юных
участников.

В лучшем случае кружок занимается дубли-
рованием урока или превращается в кружок
радиолюбителей. Нам кажется, что делу ожив-
ления работы школьного кружка поможет
внедрение в план его работы тем, связанных
с техникой демонстрирования физических опы-
тов. Последняя работа дает большой экспе-
риментальный материал, способный заинтере-
совать членов кружка. Участие в постановке
ряда опытов по физике будет способствовать
закреплению того программного материала,
над которым участники кружка работают в
классе. Кроме того, ряд интересных в демон-
страционном отношении тем, исключенных из
программно1-© материала за недостатком вре-
мени, может быть отнесен для работы в кружке.
Исходя из вышеизложенного, мы предлагаем
одну из тем, которую следует включить в план
работы кружка.

Эта тема может быть проработана в

кружке таким образом: 1) постановка вест»
12 описанных опытов, 2) разработка других,
вариантов этих опытов, 3) изготовление „си-
фонных часов", отрегулированных строго по
часам и установленных в школе (в физическом
кабинете), 4) постановка доклада в кружке
на тему: „Как в древние и средние века люди
измеряли время", с демонстрацией соответст-
вующих опытов.

ПРОСТЕЙШИЙ СПОСОБ ИЗМЕРЕНИЯ ДЛИ-ЦЫ СЛЕТОВОЙ ВОЛНЫ

Проф. В. ШУЛЬГИН (Москва)

Заметка „Определение длины световой
волны при помощи почтовой открытки" (пе-
ревод В. Юськовича), помещенная в № 4
„Матем и физики" за 1934 г., представляет ин-
терес для качественного демонстриро-
вания явления дифракции *.

Опыт удается легко: при визировании на
белый бумажный экран, освещенный сзади
электрической лампой, картина дифракции
хорошо заметна в виде чередующихся тем-
ных и светлых полосок. Но измерить рассто-
яния между полосками крайне трудно. Пред-
лагаемый в заметке способ совмещения свет-
лых полосок с заранее проделанными дыроч-
ками непригоден ввиду того, что расстоя-
ния между полосками очень .малы**, самые
же дырочки должны быть поневоле достаточ-
но велики, чтобы их можно было рассмот-
реть на расстоянии в полметра: относитель-
ная ошибка такого измерения достигает 5О°/о
и более. Длина волны, например, красного
цвета может оказаться меньше, чем длина
волны зеленого цвета. Никаких спектральных
цветов при опыте с белым экраном, пользу-
ясь щелями в открытках, рассмотреть не удает-
ся. Вместе с тем, опыты, подобные описан-
ному в заметке, имеют большое педагогиче-
ское значение, так как в качеств оптиче-
ского прибора, дополняющего установку,
применяется глаз самого учащегося.

* См. также статью В. Бакуши некого —
„Лабораторные работы по физике" в журнале
„Физика, химия, математика, техника в трудо-
вой школе*, № 3, за 1930 г.

* * Необходимо исправить опечатки, вкрав-
шиеся в заметку: в первой колонке вместо d =
= 24 леи, следует читать: d = 0,z5.iMf, а во вто-
2 3

рой колонке вместо 1 следует читать 1.

В физической лаборатории МГМИ мыт
ставим специальную задачу:

„Определение длины световой
волны методом проектирования ди-
фракционной картины на сетчатку-
глаза".

Позволим себе привести описание это'4
задачи:

Принадлежности: прибор, состоящий
из оптической скамьи с двумя щелями Щ.
и Щг (рис. 1). Одна из них (Щ) уста-
новлена на ползунке П и может передвигать-
ся вдоль скамьи; другая (1Ц,) закреплена не-
подвижно в точке А. К щели приложена
вплотную дифракционная решетка Р, имею-
щая 20 штрихов на 1 мм \Ь - 0,05 мм); пол-
зунок /7 снабжен индексом i дли отсчета рас-
стояния iA между щелями. Щель Щ2 осве-
щается сзади лампой с рефлектором. От-
верстие последнего закрывается белой мато-
вой пластинкой * или стеклянным светофильт-
ром, пропускающим свет определенной дли-
ны **.

Теория прибора. Она основана на
ходе лучей, показанном на рисунке 2 (вид.
сверху).

представляет собой попрежнему под-
вижную щель, Щ2— неподвижную; Р—ди-
фракционная решетка; О — отверстие глаза.
Луч света Ai, идущий из освещенной щели
Щ2, падая на решетку Р, претерпевает ди-
фракцию и даег побочные ответвления io,,

* Матовая пластинка может быть заменена
писчей 6j магой.

** Строго монохроматических стекол, конеч-
но, не имеется: всякий фильтр пропускает ряд
волн различных цветов, ио все же мы можем с
некоторым приближением говорить о монохро-
матическом „красном* стекле, „зеленом* и пр.
.о2 по обе стороны основного луча io. Прой-
дя через хрусталик, лучи проектируются на сет-

(атке глаза, где и поручается центральный
максимум а0 и по обе стороны от него ряд
роковых максимумов аг, ач, а3 и т. д., даю-
цих изображения щели Щ2 или в виде ди-
фракционных спектров — в случае белого
света, или в виде одноцветных полос — в слу-
чае света монохроматического. Эти изображе-
ния проектируются обратным ходом из глаза
на фоне пластинки со щелью Щг в местах
aj. ci’ а2 и т- д- Они Довольно отчетливы
благодаря узкой щели играющей роль
диоптра. Следовательно, стоит лишь посмот-
реть сквозь щель Щ1г прикрытую решеткой,
ча освещенную щель Щ2, как мы увидим на
фоне пластинки Щ2 обычную картину ди-
фракции: ряд спектров—в случае белого све-
та, или ряд одноцветных полос —в случае све-
та монохроматического. Длину волны следует
определить по формуле решетки:

X = 6sin<p, (1)

где К — искомая длина волны монохромати-
ческого света, Ъ — постоянная решетка (в на-
шем приборе 6 = 0,05 Мм), <р — угол между
центральным лучом и первым боковым (см.
рис. 2);

г .

tg ? = — > где о — расстояние между со-
седними изображениями, а — расстояние меж-
ду щелями. Ввиду малости 5 по сравнению
с а, все 8 можно считать равными между со-
бой. По этой же причине

tgtp^siQ (f,

оптр, передвигаем ее вдоль скамьи
до тех пор, пока на ширине пла-
стинки СВ не уложится целое
число промежутков ё (например 4),
и в этот момент отсчитываем на
скамье расстояние а между Щг и
Щ2. Измерив ширину пластинки
СВ и разделив ее на число про-
межутков (в нашем примере 4),
получаем 5. Подставляя а и S
в формулу (2), получаем вели-
чину X.

Пример. U!ирина пластинки
СВ =38,5 мм; расстояние между
щелями а = 80 см; число проме-

жутков между изображениями = 4; Ь —
==0,05ллт. Отсюда:

> 38,5 „ „ . 50ц-9,6 _ „

0 = — —9,6мм, У = ~д— =( ,6ц.

Ход работы:

1) Зажигаем лампу, покрываем отверстие
рефлектора белой матовой пластинкой, смот-
рим сквозь щели Щ1 и Щ2 и наблюдаем
на фоне пластинки со щелью Щ2 ряд ди-
фракционных спектров. (В этом опыте ни-
каких измерений делать не нужно, обратим
лишь внимание на порядок цветов в спек-
jpax и разрешим вопрос: почему спектраль-
ные полосы обращены к щели сине-фиолето-
вой стороной, а не красной?)

2) Убираем белую матовую пластинку и
покрываем отверстие рефлектора красным
светофильтром (красной бумагой); смотрим
в отверстие 1Цг, наблюдаем дифракционные
изображения щелей, передвигаем £Ц, до тех
пор, пока на всей ширине пластинки со

щелью Щ2 не уложится целое число проме-
жутков между спектрами.

3) Измеряем расстояние между щелями
а, ширину пластинки СВ, делим СВ на чис-
ло промежутков, получаем величину 5 — рас-
стояние между двумя соседними спектрами.

4) По формуле (2) вычисляем длину волны
X для красного цвета.

5) Передвигая Щ , изменяем а и 5, про-
изводим новый отсчет а при ином числе про-

b — константа решетки, Ina сле-
дует измерить на опыте. Для эгий

пели, смотря в щель Ulv как в ди-

Рис 2.
Схема записей

11остояниая решетки b = 0,05 мм = 50 |»
а) Опыт с красным светофильтром

Расстояние между щелями а (отсчет по скамье) Число проме- жутков между дифракцион- ными полосами
Первый опыт 8G см 4
Второй » 52 , 6

б) Опыт с зеленым светофильтром

Первый опыт — — —•

Второй . ~~ —

Ширина пла- стинки со щелью Щ2 Расстояние между двумя соседними ди- фракционными полосами 5 Длина волнь по формуле 1=^ а
38,5 мм 38,5 . —1 9 6 мм 6,42 , 0,60 |1 0,62 |i

Среднее: 1 = 0,61 ц

Среднее: 1 : — р.

..ежутков о и вновь вычисляем У (для по-
верки).

6) Заменяем красный светофильтр зеле-
ным и таким же способом измеряем У зе-
леного цвета.

Для опыта необходима дифракционная ре-
шетка указанного порядка —20 штрихов на 1 мм

Такую решетку может изготовить любая
мастерская, располагающая делительной ма-
шиной с алмазным резцом. Можно обойтись
без услуг мастерской, если воспользоваться

фотографическим аппаратом. Поместив «а
стене увеличенное изображение решетки в
виде ряда вертикальных линий с равными
промежутками, следует отойти на расстоя-
ние в несколько метров и сфотографировать
это изображение. После проявления полу-
чается пригодная для нашего опыта решетка,
если фотопластинку взять с тонкой эмульси-
ей („диапозитивную*1).

Измерение 1 удается и в комнате с пло-
хим затемнением.

ДИПАМОШ’Ш’01, КАК ГЕНЕРАТОР ПОСТОЯГНЭГО ТОКА
ДЛЯ КЛАССНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

•

Б. ФЛОРИНСКИЙ

(Калипинскьй nej агогическнй институт)

Затрудненья с выбором источника элек-
трического тока для классных демонстраций
в школах, удаленных от электрических сетей,
достаточно велики. В самом деле: аккумуля-
торы обычно неприменимы за отсутствием за-
рядной станции, элементы Леклянше малоудо-
влетворительны из-за непостоянства напряже-
ния и слабости тока; гальванические элемен-
ты мощных типов слишком дороги, непосто-
янны и трудоемки в обслуживании; что же
касается до выпускаемых школьной промыш-
ленностью моделей электрогенераторов, то
они, к сожалению, маломощны и столь не-
совершенны в механическом отношении, что

едва ли могут быть рекомендованы в качестве
практически пригодных источников тока.

Настоящей заметкой я хотел бы обратить
внимание еще на один возможный путь ре-
шения вопроса о питании током, методиче-
ские качества которого были изучены в ла-
боратории Калининского пединститута. Я имею
в виду использование в школьной обстановке
динамомашин, служащих для питания элек-
трических ламп передвижных кинопроекци-
онных аппаратов. Эти машины уже давно по-
лучили широкое распространение в сельских
киноустановках и хорошо оправдыьают свое
прямое назначение. Рынок располагает не-
сколькими типами подобных генераторных
машин; из них, повидимому, наиболее соот-
ветствует школьным требованиям сериэс —
хенератор кинопередвижки ТОМП, так наз.
„динамопривод", представляющий собою тех-
нически весьма совершенно выполненную в
механической и электрической частях ручную
машину, развивающую при нормальной ско-
рости вращения мощность до 50 ватт.

Значения электрических параметров дина-
мопривода являются вполне удобными для
целей классного эксперимента, обеспечивая
возможность получения во внешней цепи на-
пряжения и тока, достаточных для подавляю-
щего большинства экспериментов. Само со-
бой разумеется, чго как форма внешней ха-
рактеристики машины, так и лимиты ее тока,
напряжения и мощности требуют для полу-
чения оптимального педагогического эффекта
соответствующего подбора констант для при-
емников тока, в частности величины электро-
сопротивления приборов, правильный выбор
которых особенно важен для обеспечения ус-
пеха эксперимента. Приводимая ниже диа-
грамма дает руководящие указания по этому

вопросу.

Зависимость напряжения — V, силы то-
ка — I и мощности — Р динамопривода от

величины сопротивления внешней Цепи — R
при скорости вращения рукоятки привода 60
оборотов в минуту.

Оптимальное сопротивление, оказывается,
имеет, вообще говоря, порядок немногих
омов — обстоятельство весьма благоприятное
лля упрощения и удешевления конструкции
приборов.

Далее из диаграммы следует, что для по-
становки экспериментов, требующих наиболь-
шего энергетического эффекта, следует вы-
бирать сопротивление приемников в пределах
от 1 до 4 омов, тогда как наибольшее на-
пряжение развивается при сопротивлении в
5—8 омов (при этом же сопротивлении ма-
шина работает с наивысшим к. п. д).

Например, при калориметрическом изме-
рении джоулевского теплового эффекта поме-
щают в калориметр емкостью в 140 г воды
проволочную спираль с сопротивлением в 3 ома
(1 м никелиновой проволоки диаметром
0,4 мм); при 60 оборотах в минуту рукоят-
ки привода нагревание пойдет со скоростью
5 градусов в минуту.

В опытах, в которых мы заинтересованы
только силой тока, например при демонстра-
ции спектра магнита поля "го.<а, можно брать
сопротивление меньше одного ома, получая
токи свыше 7 ампер, однаио в таких усло-
виях машина работает с большой перегруз-
кой и столь малым к. п. д., что рекомен-
дуется ограничиваться силой тока 6 ампер,
снижая число оборотов привода.

Студентами-дипломантами Калининского
института тт. Веселовой и Пэрн были изучены
условия выполнения классных опытов по
основным законам тока (законы Ома и Джо-
уля), электрохимическим явлениям (электро-
химические реакции, гальваностегия, закон
Фарадея), электромагнетизму (поле тока, маг-
ниты, моторные и индукционные явления) с
динамоприводом в качестве генератора. Было
установлено, что все эти явления, не исклю-
чая и количественных соотношений, могут
быть воспроизведены в весьма убедительных
формах. В случаях переменного состояния це-
пи при некотором навыке не представляется
затруднительным поддерживать постоянство
силы тока или напряжения в течение экспе-
римента, воздействуя на число оборотов ру-
коятки привода. Было установлено также,
что для отчетливого выполнения эксперимен-
тов достаточно давать рукоятке привода все-
го 40 оборотов в минуту, чем значительно
облегчается труд „двигателя"; характеристики
машины при этом, естественно, несколько
снижаются.

Фундаментальный недостаток динамопри-
вода—необходимость иметь в дополнение к
нему живую рабочую силу — заставляет от-
нести привод к числу суррогатных источни-
ков питания; но для правильной оценки прак-
тического значения этого недостатка нужно
учесть, что большинство экспериментов име-
ет длительность порядка одной минуты — жи-
вой двигатель не успеет утомиться; требует-
ся только, чтобы он вращал рукоятку плавно.

В заключение позволю себе заметить, что,
повидимому, даже в шкодах, присоединен-
ных к сети переменного тока, динамопривод
может явиться весьма сильным конкурентом
среди других источников питания экспери-
ментального стола постоянным током.
К ДЕМОНСТРАЦИИ ОБЕРТОНОВ СТРУНЫ

Н. ЕЖЕ!» (Ижевск)

При демонстрации обертонов струны обыч-
но прибегают для уничтожения основного тона
или обертонов к способу искусственного уни-
чтожения колебаний тех точек струны, на
которых находятся пучности тех или иных
обертонов или основного тона. Для достиже-
ния этой цели или касаются бородкой гуси-
ного пера в соответствующей точке струны
или же подставляют под эту точку кобылку,
находящуюся на деке монохорда. В первом
случае приходится вслушиваться в тон стру-
ны, что не всегда удобно, особенно в боль-
шой аудитории При применении второго
способа отделяют кобылкой некоторую часть
струны, а на второй части струны развеши-
вают легкие рейтеры в точках, соответ-
ствующих узлам и пучностям При неуме-
лом действии смычком размещенные на
струне рейтеры слетают не только с точек,
соответствующих пучностям, но и с узлов.
Между тем, можно обнаружить обертоны
струны, не прибегая к искусственному уни-
чтожению того или иного тона струны, что
можно легко осуществить, имея в распоря-
жении набор камертонов с числом колебаний
N, 2N и 4Л/ (например С°, С1 и С2; такой
набор часто встречается в физических каби-
нетах). Струну, находящуюся на монохорде,
настраивают в тон камертона с числом коле-
баний N. Для настройки пользуются неболь-
шим легким рейтером, сделанным из тон-
кой проволоки, например из алюминиевой,
или из бумаги. Регулируя натяжение струны
или изменяя ее длину передвижением ко-

былки, помещают рейтер на средину стру-
ны, и когда струна настроена в тон данного
камертона, она начнет резонировать на коле-
бания этого камертона, поставленного нож-
кой на деку монохорда; рейтер, висящий на
средине струны, моментально с нее слетает.
Если теперь на этой струне разместить три
рейтера таким образом, что один из них бу-
дет висеть посредине струны, а два другие —
посредине каждой половины струны, то, по-
местив на деку монохорда звучащий камер-
тон с числом колебаний 2N, мы увидим, что
рейтер, висящий на середине струны, оста-
нется в покое, а два другие, вследствие ре-
зонанса струны на этот тон, будут сбро-
шены, чем будет обнаружен обертон стру-
ны. соответствующий октаве осповного. По-
мещая на струне семь рейтеров и распо-
лагая их так, что один будет висеть на
средине всей струны, два — на средине каж-
дой половины струны и по рейтеру на се-
редине четверти длины струны, и помещая на
деку монохорда звучащий камертон с чи-
слом колебаний 4N, мы увидим, что все
рейтеры, висящие на средине четверти дли-
ны струны, будут сброшены со струны, что
опять показывает, что струна резонирует
и на этот тон, т. е. она обладает и этим
обертоном.

Чтобы удобнее было наблюдать за рей-
терами, помещенными на струне, можно ос-
ветить монохопд светом проекционного фона-
ря и наблюдать на экране тень струны и по-
вешенных на нее рейтеров.
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ОПЫТ ИА ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА

Б. ЗИНОВЬЕВ (г. Каля «и»)

Ход лучей при переходе из среды опти-
чески более плотной в среду оптически
менее плотную можно продемонстрировать
на следующем простом, но красивом опыте.

Рис. 1.

I. Берется консервная банка и вдоль ее
цилиндрической поверхности вырезается ряд
узких параллельных щелей.

II. В банку вкладывается 30-ватная (12
вольт) кинолампа, соединенная через реостат

или трансформатор с городской сетью. На
шнур, патрон и части лампы надевается ве-
лосипедная камера и тщательно завязывается
прочной ниткой так, чтобы при наливании
воды не смочить шнура, патрона и соеди-
нений.

III. Банка с лампой помещается в плоско-
параллельный сосуд (аккумуляторный сосуд,
аквариум и т. д.) так, чтобы цилиндриче-
ская поверхность банки была перпендику-
лярна к передней стенке сосуда.

Чтобы банка не всплывала, к ней при-
вязывается груз.

IV. Наливаем в сосуд воды и включа-
ем ток.

Чтобы лучше, наблюдать ход лучей, опу-
скаем в сосуд белый экран (лист фанеры,
железа, окрашенный белой краской). На
экране отчетливо виден ход Преломленных
лучей.

Луч, идущий перпендикулярно к поверх-
ности воды, не преломляется. Чем больше
угол падения, тем больше угол преломления.
Луч, идущий под углом, равным предельном»
у глу и большим его, испытывает полное
внутреннее отражение, что также очень хо-
рошо видно на экране (см. рис).

Примечание. Описанный опыт
представляет собой переделку и упрощение
(при равном эффекте) опыта, описанного
в книге: Гримзель—„Курс физики",
ч 3-я, „Оптика", 1932 г., стр. 51.
ИЗ ОПЫТА ШКОЛ

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ФИЗИКЕ
(Пз практики шкод^Горысовского края)

Е. ПЕТРОВ (г. Горький)

При изучении опыта работы школ Горь-
ковского края по проведению и организации
ими самостоятельных занятий по физике мы
установили, что в практике школ Горьков-
ского края имеют место следующие виды этих
занятий:

1. Лабораторные занятия.

2. Конструирование и изготовление само-
дельных физических приборов.

3. Самостоятельные работы нелаборатор-
ного типа.

4. Этсскурсии.

Цадим краткое описание организации и
техники прове цения каждого из этих видов
самостоятельных работ, основываясь на опыте
работы школ г. Горького и края за 1933/34
учебный год и за первую половину 1934/35
учебного года.

I. Лабораторные занятия

Должного внимания со стороны препода-
вателей физики к организации лабораторных
занятий у нас в цепом ряде школ все еще
нет. „Меловая" физика все еще преобладает
в нашей школе. В Горьковском крае есть
такие школы, которые в течение прошлого
учебного года и первой половины нового
учебного года не провели ни одной лабора-
торной работы.

К таким школам надо стнести: Кантау-
ровскую (Борского района), Буяковскую (Вер-
ховечского района) и др.

А такая школа, как Б.-Покровская (Дальне-
константиновского района), имеющая физи-
ческий кабинет, равный физическому кабинету
Варнавинской школы, провела в прошлом
учебном году всего одну лабораторную ра-
боту — определение объема твердых тел.

Не то в Варнавинской школе (Красн.о-
баковский район).

7 Математика и физика в средней школе, № в.

В Варнавинской школе преподаватель фи-
зики т. Комлев при недостаточно оборудо-
ванном физическом кабинете сумел провести
за год до 30 лабораторных работ, охватив
чми все классы школы. Он сумел для прове-
дения лабораторных занятий в школе использо-
вать физический кабинет лесотехникума; он за-
купал все, что появлялось в местных магазинах
райпо для проведения лабораторных занятий.

Школы г. Горького, имеющие большее
и лучшее физическое оборудование по
сравнению со школами края, казалось бы,
должны быть передовиками в этом деле, но
этого на самом деле нет. Есть целый ряд
школ г. Горького, которые должного внима-
ния лабораторным занятия»- не уделяют (По-
кровская, Ленинская — Свердловский район,
Тимирязевская — Канавинский район и др.).
Правда, наряду с подобными школами в г.
Горьком есть и такие школы, которые этому
вопросу уделяли достаточное внимание (Мо-
литовская им. Крупской — Канавинский рай-
он и др.).

В самой же технике проведения лабора-
торных занятий наблюдается целый ряд не-
правильностей. Главные из них:

1. Приступая к лабораторной работе
преподаватель не прорабатывает с учащимися
теоретических основ.

2. Часто бывает, что подготовка к лабо-
раторной работе (расстановка приборов и
материалов) происходит в момент прихода
учащихся на урок.

3. Остаются без поверки составленные
учащимися письменные работы и т. д. .

Всему этому должен быть положен коней:
лабораторные работы должны занять свое
почетное место в преподавании физики в
средней школе.

В тех школах края, где лабораторные
занятия проводятся, распространенной формой

9/
организации лабораторных занятий является
„фронтальнаят. е. такая, когда все уча-
щиеся класса, разбитые на группы в 3—5
человек, получают одно и то же задание и
выполняют одну и ту же лабораторную работу.

Примером такого проведения лаборатор-
ных работ могут служить лабораторные ра-
боты, проведенные в Б.-Мурашкинской и
Варнавинской школах.

В VI классе Б.-Мурашкинской школы ла-
бораторная работа на тему „Условия равно-
весия сил на рычагах" была проведена так:
на лабораторную работу было отведено 2
часа. В начале урока в течение 15 мин.
было повторено, что называется рычагом,
моментом силы и для чего употребляются
рычаги. На доске преподавателем была дала
таблица:

Левое плечо

Правое плечо

Груз Плечо Произведение силы на плечо Груз Плечо Произведение силы на плечо

Перед учащимися преподавателем была
поставлена задача: подвешивая на рычаг
грузы различной величины, добиться такого
расположения грузов на концах плеч, чтобы
рычаг остался в равновесии, и из получен-
ных данных установить: при каком условии
рычаг остается в равновесии, и записать это
в виде правила.

Перед началом работы учащиеся разби-
лись на семь групп по 3—4 человека в группе
(в классе 27 человек).

Разбивка по группам была произведена
учащимися по собственному желанию. Рычаги,
изготовленные учащимися на уроках труда,
масштаб, грузы различной величины, нитки —
все было преподавателем приготовлено зара-
нее на столах класса (отдельного кабинета в
школе нет). Учитель во время работы вни-
мательно следил за работой всех групп, по-
могая и исправляя ошибки учащихся.

Запись результатов производил в свою
тетрадь каждый учащийся. Все записи уча-
щихся преподавателем дома были тщательно
проверены и на заключительном занятии по
этой теме был подведен итог лабораторной
паботе. Работа прошла живо, организованно
и вызвала большой интерес учащихся.

Преподаватель физики данной школы от-
мечает, что „лабораторные работы чрезвы-
чайно помогают прочности усвоения матери-
ала, повышают активность учащихся, а по-
тому я и стремлюсь выполнить все указанные
в программе и возможные для нашей школы
лабораторные работы“.

Преподаватель физики Варнавинской шко-
лы т. Комлев в своем годовом отчете дает
следующее описание проведенной им в VII
классе лабораторной работы — „Измерение в
98

электрической цепи силы тока, напряжения и
сопротивления":

„В краткой беседе учащиеся были озна-
комлены с цепью работы: измерить сопротив-
ление на участке цепи. Для проведения дан-
ной работы мною заранее было оборудовано
семь столов, на каждом из них были поло-
жены следующие измерители и материалы:
три элемента, провода, ключ, два сопротив-
ления, вольтметр и амперметр.

На доске мною были вычерчены, а уча-
щимися записаны в тетоадь, следующие четыре
схемы:

1. Источник тока, оба испытуемых со-
противления, амперметр, соединенные после-
довательно; вольтмето — параллельно к кле-
мам первого сопротивления.

2. Вольтметр — параллельно к клемам
второго сопротивления.

3. Вольтметр — параллельно к клемам
обоих сопротивлений.

4 Испытуемые сопротивления соединяются
параллельно; вольтметр — параллельно к кле-
мам сопротивлений.

На доске учащимся была дана и ими в
тетради записана следующая таблица:

№ схем Сила тока Напря- жение Сопро- тивление Приме- чание

За столом работало 5—6 человек (в клас-
се 40 учеников).

Разбить учащихся на еще более мелкие
группы не позволило оборудование кабинета.
По начерченным cxei 1ам учащимся предлага-
лось: каждому составить цепь; включив ток,
получить нужные показатели, занести их в
таблицу и вычислить сопротивление. При
этом учащиеся были предупреждены, что
сопротивление по каждой схеме надо брать
среднее, повторив опыт не менее трех раз.
Полученные результаты каждый записывал в
свою тетрадь. В итоге проведенной лабора-
торной работы учащиеся дали письменные
ответы на следующие вопросы:

1. Больше или меньше суммы сопротив-
лений общее сопротивление, обоих проводни-
ков, включенных последовательно?

2. Больше или меньше суммы сопротив-
лений общее сопротивление обоих проводни-
ков, включенных параллельно?

3. Что больше: сопротивление одного
проводника или общее сопротивление дв)гх,
включенных параллельно? Почему?

На всю эту лабораторную работу было
затрачено 2 часа.

При даче ответов была соблюдена инди-
видуальность в работе. После работы тетради
учащихся мною были взяты на дом для про-
верки. На заключительном занятии по данной
теме был произведен разбор данной лабора-
торной работы, где я указал на общие для
класса достижения и недостатки, полученные
в результате работы. Ответы учащихся были
вполне удовлетворительны, и это произошло
лишь благодаря тому, что была проведена
лабораторная работа; без нее таких ответов
учащиеся дать не смогли бы“.

Приведенные нами примеры проведения
лабораторных работ в Б.-Мурашкинской и
Варнавинской школах являются показателем
того, как преподаватели физики массовых
школ могут проводить лабораторные занятия.

А ведь Б.-Мурашкинская и Варнавинская
школы — сельские школы, ничем не отличаю-
щиеся от других массовых школ, разве только
тем, что преподаватели физики этих школ,
используя все возможности, проводят и орга-
низуют лабораторные занятия, совершенно
необходимые при проработке курса физики
средней школы.

II. Конструирование и изготовление
самодельных физических приборов

Казалось бы, что недостаточное оборудо-
вание физических кабинетов в целом ряде
школ края должно обгзывать преподавателей
7*

к развертыванию работы по изготовлению
самодельных физических приборов, но этого,
к сожалению, в подавляющем большинстве
школ края нет. Проведенное весной 1934 г.
Горьковским крайоно обследование 20 школ
края показало, что из двадцати школ физи-
ческие кабинеты имеют 12 школ (в пяти
школах кабинеты слабо оборудованы), а в 8
школах их нет совсем.

Из этих двадцати школ конструированием
и изготовлением физических приборов зани-
малось только 8 школ, и* как раз те школы,
которые имели физические кабинеты; школы,
не имеющие физических кабинетов, не зани-
мались изготовлением самодельных физиче-
ских приборов и, очевидно, не намерены за-
ниматься этим делом и впредь. Правда, наш
край имеет и такие школы, которые в изго-
товлении самодельных физических приборов
показывают подлинные образцы. К таким
школам надо прежде всего отнести: Гнилиц-
кую школу Дзержинского района (препода-
ватель т. Лосев) и Б.-Мурашкинскую.

Тов. Лосев, начав изготовление само-
дельных приборов в 1930/31 учебном году, ус-
пешно продолжает эту работу и сейчас. Им
вместе с учащимися изготовлено 47 различных
приборов в количестве 83 штук, при этом
качество приборов безукоризненно: они от-
личаются правильностью и чистотой, аккурат-
ностью и красотой изготовления. Свой опыт
по изготовлению самодельных физических
приборов т. Лосев описывает в своем письме
на имя крайоно так: „В 1930/31 учебном
году, приступая к занятиям по физике, я столк-
нулся с большими трудностями в смысле прове-
дения лабораторных работ, демонстраций, так
как кабинет по физике был оборудован очень
плохо, а средств, отпускаемых на покупку
приборов, было совершенно недостаточно.

Первое, чем пришлось заняться — это из-
готовлением гальванических элементов типа
Гренэ.

Для работы нужно было не менее 20 эле-
ментов. Они стоили очень дорого. Закупил
только стеклянные банки, серную кислоту,
двухромовокислый калий (стоило это 25 руб.).
Цинк и уголь взял из использованных сухих
элементов Лекланше. которые мне принесли
учащиеся от радиолюбителей.

В J93C/31 учебном году я заключил с
учащимися договор по соцсоревнованию,
одним из пунктов которого было обязатель-
ство (обоюдное) по изготовлению приборов.
Работа началась и продолжается до настоя-
щего времени.

Большинство приборов по конструкции
просты, расчеты и чертежи приходилось делать
99
по рисункам приборов различных учебников
физики, каталогов и осмотру продаваемых
приборов.

Требования, предъявляемые к изготовлен-
ному прибору, были следующие:

1. Правильность работы прибора.

2. Чистота, аккуратность и красота изго-
товляемого прибора. Работа по изготовлению
приборов ведется желающими учащимися кол-
лективно, по принципу распределения опе-
раций.

В наиболее ответственных местах работу
провожу я. Кроме того, и сам я делаю при-
боры. Что нужно было для этой работы?
Желание, материалы, уменье владеть простей-
шими столярными и слесарными инструмен-
тами. Трудности были в изыскании материа-
лов, так как нужны были, главным образом,
цветные металлы: олово, свинец, цинк, медь,
провода различного сечения, клей, картон,
угли и т. д. и т. п., что в продаже трудно
достать. Выход был найден в использовании
внутренних ресурсов.

Каждый учащийся приносил, что мог: па-
ру гвоздей, винты, кусочек клея, олово и т. д.

Что касается уменья владеть инструмен-
тами, то в процессе работы пришлось учить-
ся; например, я не умел раньше паять — на-
учился.

Большинство приборов было изготовлено
мною и учащимися школы (VI и VII классов)
под моим руководством, часть же приборов
была изготовлена под руководством препо-
давателя по труду, по договоренности с ним.

К настоящему времени изготовлены и со-
стоят в эксплоатации школы 83 прибора".

Опыт Гнилицкой школы, опыт т. Лосева,
заслуживает большого внимания. Из этого опы-
та преподавателям физики многое можно по-
заимствовать. В школах края организация ра-
бот по конструированию и изготовлению
самодельных физических приборов строится
следующим образом: а) в порядке програм-
мной работы учащихся в школьных мастерских
и рабочих комнатах в часы занятий по труду
под руководством инструкторов труда; б) в по-
рядке домашних заданий отдельным учащим-
;я; в) в порядке кружковой работы учащихся
во внешкольное время, построенной на прин-
ципе свободного выбора объектов работы,
широкого использования инициативы учащих-
ся, их изобретательских способностей, творче-
ства, рационализаторских предложений и т. п.

Работа по создании) приборов — дело не
только преподавателя физики, оно — дело
общешкольное, и эту работу возможно про-
вести лишь в увязке физики с другими дис-
циплинами (математика, изо, труд и др.).
100

В качестве примера правильно проведен-
ной работы по изютозлению самодельных
физических приборов опишем ход работы
по изготовлению приборов для изучения дей-
ствия рычагов 1-го и 2-го рода, проведенной
в VI классе Б.-Мурашкинской школы.

На уроке изо преподаватель дал рисунки
приборов (рычага 1-го и 2-го рода) с указа-
нием основных размеров. Учащиеся разбились
на группы по 3 человека. Каждый учащийся
в своей тетрадке сделал рисунки обеих при-
боров, а затем составил чертежи с указанием
размеров деталей. Здесь учащиеся получили
навыки, соответствующие программе: проек-
тирование предмета на две плоскости, про-
становка размеров, применение масштаба и др.
Чертежи были проверены и исправлены
преподавателем. По готовым чертежам уча-
щиеся под наблюдением и руководством ин-
структора сделали приборы в мастерской.

Всего приборов было изготовлено 18, по
два прибора каждой тройкой учащихся: один
прибор для демонстрации действия рычага
1-го рода и другой—для демонстрации дей-
ствия рычага 2-го рода.

Каждая школа, каждый преподаватель
физики безусловно сумеют сделать многое
в конструировании и изготовлении самодель-
ных физических приборов; для этого нужно
лишь одно: инициатива и желание самого
педагога, уменье использовать все возмож-
ности для этого ценного, важного и безус-
ловно необходимого дела.

Преподаватель физики всегда должен
помнить, что, конструируя и изготовляя при-
боры, учащиеся проникают в самую сердце-
вину понимания законов, на основе которых
действуют эти приборы. В процессе изютов-
ления приборов преподаватель связывает тео-
рию с практикой на такой осноье, когда прак-
тика естественно и целиком вытекает из
теоретических знаний учащихся, когда обще-
ственно-производительный труд действительно
подчинен учебным и. воспитательным целям.

III. Самостоятельная работа нелабора-
торного типа
•

В практике работы школ края имеют
место следующие виды самостоятельных работ
нелабораторного типа: письменные работы,
решение задач физико-математического харак-
тера, работа над учебником; чтение научно
популярных книг по физике; составление
рефератов, таблиц, черчение графиков и т. т .

а) Письменные работы по фи-
зике имеют целью приучить учащихся к
самостоятельному изложению мыслей и осу
сцествить одновременно с этим контроль
над усвояемостью. Письменные работы про-
водятся преподавателями физики, как правило,
после прохождения темы или отдела курса фи-
зики. Преподаватели физики в своих отчетах
указывают, что учащиеся дают лучшие ре-
зультаты в том случае, если они о письмен-
ной работе были заранее уведомлены, и худ-
шие — если этого уведомления не было. На
письменную работу в VI—VII классах отво-
дятся обычно часовые уроки, а для VIII—X
классов — преимущественно двухчасовые. В
содержание письменных работ чаще всего
□ходят или описание физических явлений или
решение задач. Признать нормальным такое
явление нельзя. Письменная работа должна
быть разносторонней. В ее содержание дол-
жны войти: описание физических явлений,
ответы на вопросы, вывод формул и решение
задач. Письменная работа должна возможно
полнее охватить ту или иную пройденную
тему. Письменные работы по физике выпол-
няются обычно на отдельных листочках. Это
не совсем удобно. Для письменных работ по
физике каждый учащийся должен иметь от-
дельную тетрадь. Тетради должны храниться
в делах школы: это даст возможность на-
глядно провести сравнение и наблюдение за
ростом и развитием успеваемости учащихся.
При постановке письменных работ по физике
преподаватель должен добиваться краткости
изложения, четкости и ясности; вывод фор-
мул должен быть с соответствующими разъ-
яснениями; решение задач должно быть пол-
ное, с подробными вычислениями. Работа
должна быть выполнена чисто и аккуратно,
без грамматических ошибок и, самое глав-
ное,— самостоятельно. Письменные работы
по окончании урока собираются и проверя-
ются преподавателем. При проверке обычно
преподавателями исправляется лишь содержа-
ние работы и очень часто остаются неисправ-
ленными орфография и стиль. При раздаче
письменных работ учащимся преподаватель
не всегда проводит беседу об итогах пись-
менной работы. При раздаче письменной ра-
боты преподаватель обязан провести с уча-
щимися беседу, указа!» на общие недостатки
и достоинства работы и как следовало бы
выполнить тот или иной пункт ее.

Оценку письменной работы преподаватели
обычно делают кратко: „оч. хор“, „хор",
„уд", „неуд", и нет совершенно в оценках
указаний, на что тот или иной учащийся
должен обратить внимание в дальнейшем.
Подобные указания имеют очень важное зна-
чение, а потому преподаватели физики при
оценке письменных работ и должны их давать.

б) Решение задач физико-мате-
матическсго характера является важ-
ным элементом учебного процесса, самостоя-
тельной частью углубленной проработки фи-
зического материала. Задачи должны раскрыть
перед учащимися смысл и содержание физи-
ческих понятий, законов и теорий в практике
их применения к решению физических и тех-
нических проблем. Задачи должны оживить
физические формулы и показать их значение
для решения различных практических вопро-
сов. Решение задач должно дать учащимся
навыки в выборе и пользовании формулами,
а также в пользовании таблицами, содержа-
щими постоянные физические величины, и в
производстве необходимых математических
операций. Уменье решить задачу показывает
усвоение и уменье приложить теорию к прак-
тике. Над решением задач также раскры-
вается смысл явлений, который мог бы ускольз-
нуть при изучении теории. Необходимо при
решении задач наблюдать, чтобы физический
и технический смысл их выступал на первое
место и не затемнялся сложными матема-
тическими вычислениями. Поэтому проду-
манный подбор задач имеет огромное значе-
ние. Система задач должна охватить более
или менее полно и всесторонне каждый раз-
дел курса; нужно, чтобы каждый выведенный
физический закон получал свое закрепление
при применении его или к практическим ра-
ботам или к решению практических задач.

Здесь уместно подчеркнуть необходи-
мость построения физических задач на мате-
риале социалистического строительств!, чтобы
преподаватели физики не упустили этого
важного момента. Решение задач преподава-
тели проводят как в классе (на доске), тан
и путем заданий на дом. На дом даются
задачи, как правило, аналогичные решенным
в классе, но беда здесь в том, что решение
задаваемых на дом задач не всегда препо-
давателем проверяется. При самом же ре-
шении задач встречаются следующие недо-
статки:

1) учащиеся приступают к решению за-
дачи, не усвоив хорошо ее условия;

2) решают задачи без соответствующего
чертежа;

3) не всегда производится запись условия
задачи;

4) часто решают задачи, не выразив дан-
ные в одной системе единиц и т. д.

в) Занятия поучебнику надо также
отнести к самостоятельным занятиям учащихся,
проводимым по плану, разработанному пре-
подавателем. Занятия по учебнику должны
проводиться во внеурочное время. Проработка
темы по книге ь классе — явление ненор-
мальное, а оно у нас, к сожалению, еще
имеет место (из 20 школ отмечают прора-
ботку материала в классе по книге 12 школ).
С подобного рода явлениями мы должны
вести борьбу. Учитель должен рассказать
учащимся, как нужно пользоваться учебни-
ком при проработке той или иной темы, а
не заставлять учащихся прорабатывать эту
тему по учебнику в классе.

Нужно организовать занятия так, чтобы
основные знания учащийся получал от пре-
подавателя, а учебник использовал лишь
для закрепления и углубления знаний.

г) Вместе с работой над учебни-
ком надо приучать учащихся к
чтению научно-популярных физи-
ко-технических книг, рекомендуя вся-
кий раз две-три таких книги для прочтения
после проработки того или иного раздела
физики. Чтению физико-технических книг
учащимися школы внимания не уделяют, они
этой работы не организуют, они не знают,
какую физико-техническую литературу чи-
тают учащиеся; школы не учат учащихся
работе с книгой вообще и в частности с
книгой физико-технической.

Научить работать с книгой, это значит —
научить ее читать, понимать общее направле-
ние, уметь отыскать нужное место, процити-
ровать, ответить на вопросы, пользуясь дан-
ной книгой, проконспектировать ее и т. д., а
эти навыки работы с книгой учащиеся как
раз и получат, работая с популярными кни-
гами физико-технического характера.

д; Составление рефератов уча-
щимися имеет место далеко не во
всех школах края. Из изучаемых нами
20 школ составление рефератов имеет место
только в трех школах. В этих школах со-
ставление рефератов поручается обычно одно-
му учащемуся или двум-трем на темы, выхо-
дящие за пределы программы.

Рефераты составляются учащимися, как
правило, на темы, их интересующие, а ре-
фератов, дополняющих и углубляющих обще-
классную проработку, в школах почти нет.
Заслушиваются и обсуждаются рефе{ аты
обычно на кружковых собраниях и, как ред-
кий случай, на классных занятиях учащихся.
Школами не практикуется такое важное ме-
роприятие, как заслушивание рефератов уча-
щихся на родительских и других собра-
ниях, а ведь это явится важным моментом
в общественно-полезной работе школы и
учащихся.

е) В работе школ края имеет
большое место составление таблиц, схе-
102 ,

магических чертежей, вычерчивание графиков
учащимися. Составленным учащимися трафи-
кам, чертежам, таблицам всегда придаете
демонстрационный характер: они школами
используются при классных занятиях и вы-
ставках, устраиваемых школами.

Как общий недостаток всех школ при
проведении и организации самостоятельных
занятий учащихся надо отметить отсутствие
достаточной плановости, согласованности в
проведении самостоятельных работ по всем
предметам школы, а это и приводит либо к
обременению домашними работами учащихся,
либо к невыполнению их совсем.

IV. Экскурсии

На вопрос об организации и проведении
экскурсий преподаватели физики обычно
отвечают: экскурсий в школе не было.

Чем объяснить отсутствие экскурсий в
школе? Очевидно — нежеланием, а может быть
и неумением преподавателей организовы-
вать и проводить их. Чем объяснить такой
факт, когда Семеновская школа (г. Семенов)
при наличии в городе большого лесо-
пильного завода, электростанции, радиоузла,
телеграфа, телефона, водопровода и канали-
зации (в местной больнице), пожарного депо
и колхозных кузниц в течение всего учеб-
ного года провела только одну экскурсию
VI класса и при этом не зафиксировала
материала экскурсии.

Очевидно, и эта экскурсия преподава-
телем физики организована как следует не
была.

Кантауровская школа (Борский район) в
течение целого учебного года не провела ни
одной экскурсии, а рядом со школой —
электростанция, радиоузел, почта, телеграф,
колхоз и т. д. В тех же школах, которые
экскурсионную работу проводят, — экскур-
сии носят преимущественно общий характер
и почти нет экскурсий по отдельным воп-
росам программы той или иной дисциплины
(физики, химии, обществоведения, труда
и др.).

В силу того, что преподаватель физики
учащимся не показывает, как практически
используются на производстве все те физи-
ческие законы, которые они изучают, наи-
более любознательные учащиеся вынуждены
„контрабандным путем" бегать на завод и
расспрашивать рабочих об интересующих их
вопросах. Так и было в школе им. Ленина
(Свердловский район г. Горького). В этой
школе группа учащихся VI класса сама по-
шла в цехи подшефного школе предприя-
тия— фабрики Швейпрома — и там расспра-
шивала рабочих как о самой фабрике, так
и о ее станках и их работе.

Было бы неверным, если бы мы здесь не
отметили тех школ, которые уделяли вни-
мание экскурсионной работе. А такие школы
в крае есть.

Вот они: Молитовская образцовая школа
им. Халтурина (Канавинский район г. Горь-
кого) и др.

В практике этих школ экскурсии обычно
являются завершающим этапом в прора-
ботке той или иной темы и очень редко
служат исходным материалом при изуче-
нии темы.

Работа по стабильным программам резко
повысила требования к самому педагогу. Все
еще слабая методическая подготовка учителя
создает большие затруднения для постановки
образцовой работы в школе.

Беда в том, что не все преподаватели
физики владеют методикой проведения экспе-
риментов, экскурсий и т. д.

Все это требует от преподавателя фи-
зики работы над собой, над повышением
своей квалификации, в чем ему и должны
оказать помощь научно-исследовательские,
индустриальные и педагогические институты
и институты повышения квалификации кадров
народного образования

КАК УСВАИВАЮТСЯ ЗАКОНЫ НЬЮТОНА В ШКОЛЕ

В. ЮСЬКОВПЧ (Москва)

Данные массового обследования школ и
высказывания преподавателей физики говорят
о трудности усвоения законов Ньютона не
только учащимися VI, но и VIII классов. Об
этом же свидетельствует итог опытного изу-
чения данной темы в школе им. Радищева
(Москва). Между тем, значение законов Нью-
тона в курсе физики и механики столь ве-
лико, что указанные трудности должны быть
сведены к минимуму. Одним из путей уста-
новления и изжития этих трудностей явля-
ется опытно-экспериментальное изучение
темы.

Изучение педпроцесса в школе им. Ра-
дищева состояло: 1) в наблюдении всех уро-
ков в двух VI и одном VIII классе; это по-
зволило изучить методы, применявшиеся на
уроках, характер изложения каждого вопроса
темы, характер и качество проводимых экспе-
риментов и т. п.; 2) в проведении начального
теста (в VIII классе), позволившего устано-
вить уровень знаний учащихся по теме до
изучения материала; 3) в проведении конеч-
ного теста во всех классах, что позволило
судить о степени овладения учащимися учеб-
ным материалом. Тесты составлялись на

* Статья представляет краткое резюме ре-
зультатов опытного изучения темы законов Нью-
тона в VI и VIII классах школы им. Радищева
(Москва) группой физики Института политех-
нического образования.

основе анализа программ и учебников со-
ответствующих классов по данной теме. Те-
сты, которые давались в VI классах в ка-
честве конечных, являлись начальными в VIII
классе. Они же давались наряду со спе-
циальным тестом и после проработки мате-
риала VIII классом.

Как в VI, так и в VIII классах препода-
вание вели весьма опытные и квалифициро-
ванные физики (тт. Зотиков и Самгин). Они
спокойно, настойчиво и умело ведут урок,
последовательно методично ставят вопросы,
добиваются четких ответов и прочных знаний,
поддерживают хорошую дисциплину классов.
И, вместе с тем, не все было использовано
ими из богатого педагогического арсена-
ла. Явно недостаточно было число демон-
страций.

В VI классах имели место только три
опыта: 1) опыт с шарами разной массы для
проверки второго закона Ньютона, 2) опыт
с динамометрами (третий закон Ньютона) и
3) опыт с сегнеровым колесом. В VIII классе
единственным прибором при изучении темы
была машина Атвуда. Серия опытов на ней
имела целью экспериментальное обоснование
второго закона Ньютона.

При изложении законов Ньютона ничего
не говорилось о самом Ньютоне, о его пред-
шественниках, об их эпохе и т. п. Все это
преподаватель хотел изложить в конце курса
механики VIII класса.
Приведем средние результаты по одному и тому же тесту (в процентах измерительной
шкалы): VI класс VIII класс VIII класс (начальный (конечный
тест) тест)
Среднее арифм. М 72,5 66,8 77,5
Дециль первый D? 47,2 41,0 62,0
Квартиль перв. Qt 63,4 45,7 67,6
Медиана Md 73,7 61,0 79,6
Квартиль третий Q, 84,5 68,0 84,5
Дециль девятый Dt 88,4 71,5 86,6

Эти данные позволяют сделать ряд за-
ключений:

1) Количественные показатели успешности
по теме в VI классе удовлетворительные
(М = 72,5Э/О). Однако, свыше 25°/0 учебного
материала в этих классах не усвоено,

2) Как VI, так и VIII класс являются
весьма разнородными по своему составу (DT
равно 47,2°/(1, Z?a — 88,4°/0 по VI классам).

3) Начальный тест в VIII классе показы-
вает, что 66,8°/0 знаний ученики сохранили
за два года. Уровень их знаний значительно
ниже, чем даже в слабом классе (VI„6“).

4) После проработки темы законов Нью-
тона знания учащихся VIII класса значи-
тельно возросли, в среднем почти на 21°/0.
При этом для четверти слабых учащихся Эго
увеличение равно 29°/0, для четверти силь-
ных — только 2О°/о. Слабые ученики полу-
чили относительно больший прирост их зна-
ний, чем ученики сильные.

5) Слабые ученики VIII класса дали боль-
ший процент выполнения контрольной ра-
боты, чем тахие же ученики в VI классах
(на 14,8°/0). Сильные же ученики VIII класса
дали процент выполнения работы меньший,
чем сильные учащиеся VI класса (на 1,8°/0).
Этот тест составлялся применительно к про-
грамме шестого года обучения, и тот факт,
что в VIII классе, после проработки учебного
материала своего гола, знания учащихся
мало разнятся от знаний учащихся VI клас-
сов, свидетельствует о том, что сравнитель-
но высокая трактовка вопросов темы в.
VIII классе не обеспечивает правильного
понимания элементарных вопросов динамики.
Это является разрывом между теорией и
практикой в данной теме на восьмом году
обучения.

Для характеристики того, как усвоены от-
дельные части темы приведем следующую таб-
лицу (числа дают процент учащихся, пра-

* О — дециль; Dt — первый дециль, т. е. —
1О°/о учащихся по ранговому расположению до-
стигают 47,2% решаемости теста.

вильно ответивших на тесты соответствую-
щьх разделов): 1. Инерция, первый закон Ньютона VI класс VIII 73,3 : класс VIII класс (нач.) (кон.) 54,6 69,9
2. Масса, ее изме- рение 71,2 30,7 79,1
3. Сила, вес, их изме- рение 62,8 60,4 72,1
4. Второй закон Нью- тона 74,3 77,1 86,7
5. Третий закон Нью- тона 60,7 38,1 68,0
Среднее 68,5 52,2 75,2

Эти данные говорят о том, что наиболее
трудными вопросами темы для учащихся
опытной школы им. Радищева оказались:
третий закон Ньютона, силы и их измерения.
Вся тема проработана удовлетворительно
только 68,5°/0 учащихся VI и 75,2°/0 —
VIII класса. Для одной трети учащихся
VI классов и четверти — VIII класса учебный
материал шестого года оказался непосильным.
Это говорит о большой трудности вопросов
темы для VI класса.

Остановимся кратко на тех неправильных
ответах, которые дают учащиеся на вопрос
о том, что такое инерция, масса и т. п.

Говоря об инерции, учащиеся часто отме-
чают только одну сторону вопроса — сохра-
нение только покоя или только прямолинейно-
го и равномерного движения. Многие ученики
пишут, что инерция есть „свойство тела
сохранять свое прежнее состояние11. Имеются
и более оригинальные ответы на этот вопрос:
„Сохранять состояние относительного покоя
по прямой линии"; инерция есть свойство
„по прекращении действия силы, действо-
вавшей на тело, некоторое расстояние дви-
гаться самостоятельно", „продолжать работу,
т. е. сохранять первоначальное положение
тела", „сохранять в продолжение еще несколь-
ких минут или секунд свою скорость" и т. н.
Так же превратно усвоен этими учащимися
и первый закон Ньютона не только в VI, нс
и в VIII классе. Долг преподавателя — пред-
видеть возможность этих странных искажений,
и не только на словах, в формулировках,
но и наглядно, на опыте, фиксировать вни-
мание учащихся на основных характеристи-
ках данного понятия' или закона.

Не меньшее разнообразие в ответах име-
ется и на вопрос о массе (в VI классах,
главным образом). Масса это и „сила в
движении" и „вес в г или кг", и „движение
по прямой линии" и „скорость". Оказывается,
масса есть и „свойство состояния", и „прой-
денное расстояние (самостоятельно)", и „вели-
чина", и „вес, масса и сила, приложенные к
данному телу", и, наконец, „масса — сила
инерции" и „масса — вес инерции". Таков
диапазон детских представлений о массе после
многократных формулировок в классе, повто-
рений и изучений по учебнику. На труд-
ность усвоения понятия о массе и на конкрет-
ность мышления шестиклассника, на смеше-
ние понятия масса и вес указывает следующий
диалог, имевший место между учителем и
учеником.

У ч и т е л ь. Как узнать, масса которого
шара больше?

Ученик. Шар взвесить нужно.

Учитель. А если нет весов?

Ученик. Нужно купить весы.

На вопросы о силе имеются такие непра-
вильные ответы: причина, вызывающая изме-
нения движения, называется и массой, и инер-
цией, и скоростью, и ускорена вм, и препят-
ствием. Дальше идут — сопротивление (некото-
рые добавляют: сопротивление среды или сила
трения), трение., причина трения, энергия.
Так преломляется в головах многих учащихся
понимание силы.

Если на предыдущий вопрос требовалось
вписать только одно слово в качестве ответа,
то в иной постановке этого вопроса учаще-
муся нужно самому дать определение силы.
Вопрос был такой „Силой называется...";
ответы на этот вопрос дали решаемость (в про-
центах учащихся) на 15°/0 более низкую в VI
классах и на 29°/0 более низкую в VIII классе.
Это значит, что приобретенные знания не
являются достаточно устойчивыми, так как
ответ зависит от формы вопроса. Среди не-
правильных ответов встречаются такие: силой
называется „скорость, с которой тетю при-
велось в движение", „действие на какое-
либо тело", „вес тела", „ускорение, с которым
тело падает к земле", „тело, которое притя-
гивается к земле", „вес действия на тело"
(все это в VI классе); „причина, нарушающая
спокойствие тела", „причина, изменяющая
первоначальное положение тела" (VIII класс).

Формулировки второго и третьего законов
Ньютона оказались также очень трудными
для шестиклассников. Наличие правильной фор-
мулировки в ответе не гарантирует правиль-
ного понимания его учащимся. Ответы на
другие вопросы вскрывают заученность этих
формулировок, без уменья применять их в
частных случаях.

Учащиеся дают высокую решаемость во-
просов, требующих простой констатации явле-
ния, факта и т. п. Лишь половина этих
учащихся могут справиться с вопросом, требу-
ющим объяснения явления, факта и пр. В

качестве иллюстрации приведем один пример:
94°/0 учащихся знают, как нужно насаживать
топор на топорище. Правильное же объяс-
нение этому факту дали только 52°/0 учащих-
ся в VI классах и 9% учащихся в VIII классе.
И это, несмотря на неоднократный разбор
этого примера на уроках в VI классах
74°/0 учащихся VIII класса дали неправиль-
ное объяснение и 17°/0 оставили вопрос без
ответа. Среди объяснений встречаются такие:
„Если ударим по топорищу киянкой, то моло-
ток сядет на ручку", или: „Когда бьют по
топорищу, то молоток наскакивает". Имеются
и другие ответы: „Рукоятка движется по
инерции", бьем по топорищу для того, чтобы
„передать скорость", „передать движение".
Уже в VI классах пытаются объяснить явление
третьим законом Ньютона: „Топорище проти-
водействует действию", „Мы действуем на руч-
ку, а ручка передает силу топору". Такие отве-
ты особенно часты в VIII классе. В этом классе
имеются 4 ответа в начальном и 8 — в конечном
тестах такого содержания: „Сила, с которой
бьем по топорищу, равна противодействию
топора"; три ученика (конечный тест) обос-
новывают действие тем, что топорище имеет
меньшую массу, а топор — большую. Пять
учеников этого же класса, ответив неправиль-
но на первый вопрос, пишут: „Так нужно
делать для того, чтобы не расколоть топо-
рище". Один " ученик (VIII класса) удовлет-
воряется объяснением: „Насаживаем топор на
топорище, а не наоборот". Наконец, четыре
ученика пишут' „Знаю это из практики, но
почему так делают — не понимаю". Этот
пример показывает, насколько своеобразен
процесс детского мышления, сколь неадэк-
ватно преломляются иногда в головах учащих-
ся те понятия, о которых неоднократно гово-
рит учитель в классе и сам ученик читает
в учебнике. Этого ни на минуту нельзя
упускать из виду учителю в процессе пре-
подавания.

В заключение проработки темы законен
Ньютона в VIII классе был проведен специаль-
ный тест, построенный на программе и ста-
бильном учебнике восьмого года обучения.

Тест состоял из вопросов, выявляющих
знания теории (7 вопросов), уменье решать
задачи, в частности задачи, относящиеся к
машине А-вуда (5 вопросов), и вопрос об
истории установления законов Ньютона. Сред-
ние результаты по этому тесту получены сле-
дующие (в процентах измерительной шкалы):

М =68,5 Aid = 65,5

=52,0 Q3 =74,0

=58,3 Dg =81,0
Следует указать, что здесь учтены поло-
винные оценки сомнительных ответов. Только
68,5°/0 учебного материала усвоены учащи-
мися надлежащим образом. Правильные отве-
ты по вышеуказанным группам вопросов
получены следующие (в процентах учащихся):

1. Теория —83,3

2. Задачи — 24,9

3. Машина Атвуда — 45,2

4. История — 8,9

1) Учащиеся лучше всего усвоили вопро-
сы, относящиеся к области теории (84°/0
учеников дали правильные ответы). Как и
следовало ожидать, учащиеся хорошо овладели
определением таких понятий, как импульс
силы, количество движения, единицы и их соот-
ношения в разных системах. Ими хорошо
усвоены размерности величин. Хуже других
единиц силы усвоен стен; многие не усвоили
формулы веса p=mg и пишут ее так:

2) Только четверть учащихся справилась
с задачами (тип задач был взят из стабиль-
ного учебника). 75с/0 учеников задач или
совсем не решили или решили их неправильно;
следовательно, приложить свои знания к прак-
тическим задачам для громадного большинства
учащихся оказалось делом непосильным.

3) Машина Атвуда, объяснение ее устрой-
ства, опыты на ней и т. п. потребовали двух
часов учебного времени, но она не оправдала
своего назначения. Машина Атвуда не по-
нята учениками надлежащим образом. Четыре
простых расчета, касающиеся машины Атвуда
и второго закона Ньютона, решили только
45,2°/0 учащихся. Задачу такого содержания:
„Вес перегрузка на машине Атвуда равен
5 г, масса всех грузов 105 г. С каким ускоре-
нием будут двигаться грузы ?“ — решили толь-
ко 6 учеников—17°/0класса;решили неправиль-
но 49°/0 и оставили без ответа 34°/(. Большой
расход времени, требуемого на опыт с маши-
ной Атвуда, значительная неточность резуль-
татов, малая эффективность ее использования
говорят за то, что вряд ли можно рекомен-
довать этот прибор в качестве основного при
изучении законов Ньютона в средней школе.

4) Мы уже говорили выше, что вопросе
истории возникновения законов Ньютона пре-
подаватель совсем не касался. В результате
у учащихся почти полное отсутствие представ-
ления об истории их установления. Только
9°'о учеников (3 человека) дали верные ответы
на вопрос: „Укажи, в каком веке жили и
какие открытия сделали: Коперник, Кеплер,
Галилей, Ньютон". Из ответов можно узнать,
что Галилей жил в XIV в и установил, что
земля — шар; другой учащийся утверждает,
что Галилей жил в XVIII в., открыл, что земля
вертится и т. п.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ. ХРОНИКА

МЕТОДЫ ПРЕПОДАВАНИЯ П ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ ЗАНЯТИИ
В НОВЫХ РУКОВОДСТВАХ ПО МЕТОДЕКЕ ФИЗИКИ (СОКОЛОВА И „ЛЕНИНГРАДЦЕВ"
ЗНАМЕНСКОГО, ЕЕЛЬЗИ, ЧЕЛЮСТКИНА) *

С. ИВАНОВ (Москва)

Основная идея диалектического материа-
лизма — идея изменчивости, изучения мира в его
изменениях, в динамике. Марксистская педагогика
и, в частности, методика физики должны учиты-
вать изменения, происходящие в сознании уча-
щихся под влиянием как неорганизованного жиз-
ненного опыта, так и планомерного воздействия
педагога.

Марксистская методика физики должна найти
такую систему построения курса, которая обес-
печила бы возможность развить у учащихся
законченный круг физических понятий, необходи-
мых для дальнейшего образования и для актив-
ного участия в социалистическом строительстве.

Все вопросы методики физики: вопрос об
отборе, последовательности и характере изложе-
ния у чебного материала, анализ методов препо-
давания, определение оптимального выбора мето-
дов для каждого конкретного участка программы,
вопросы материальной базы — легко решаются с
точки зрения динамики понятий и представлений
учащихся; только такое построение методики
может быть признано диалектичным.

В обеих книгах этого нет. Все вопросы мето-
дики, и в том числе важнейшие — о принципах
систематизации учебного материала в программе
и о методах работы — решаются интуитивно и
эмпирически, причем часто остаются неисполь-
зованными даже те неполные принципиальные
соображения, которые были высказаны в первых
главах той и тругой работы.

Чтобы обеспечить единство критических за-
мечаний к обзору методов преподавания н органи-
зационных форм занятий по физике, необходимо
предварительно установить роль каждого из
них, с точки зрения динамики представлений
учащихся.

Можно считать, что наиболее типичной (но
допускающей многочисленные варианты) будет
такая схема смены методов, при которой препо-
даватель начинает беседы, мобилизуя, организуя

♦Примечание редакции. В своей
статье С. И. Иванов правильно обвиняет ав-
торов вышедших методик в эмпиризме и ре-
цептурности. Но, требуя, чтобы методики были
построены на основе анализа понятий и их
развития, он сам, тем не менее, зачастую про-
тивопоставляет методическим рецептам авто-
ров свои, которые также являются лишь обоб-
щениями другого опыта или догматическими
утверждениями. Поэтому настоящая статья по-
мещается в порядке обсуждения.

и выправляя уже имеющийся у учащихся запас
пока еще разрозненных, случайных и не всегда1
правильных представлений по данному вопросу,,
или же знакомит их с новыми явлениями и отно-
шениями между ними. При этом, чтобы передать
всю совокупность признаков того или иного
явления, преподаватель демонстрирует его. Со-
вершенно очевидно, что вся совокупность приз-
наков демонстрируемого явления не может быть
осознана учащимися; осознается лишь часть их,,
так или иначе выделенная во время демонстра-
ции или в беседе.

Совершенно очевидно, что созданные во вре-
мя беседы новые физические представления как
обобщенные в физическое понятие или физиче-
ский закон, так и не обобщенные, будут еще
весьма несовершенными. Здесь не место разби-
рать все возможные случаи несовершенства пер-
вых представлений, данных в беседе. Укажем
одно наиболее важное и наиболее частое — от-
влеченность, тесно связанную с вербальностыс
(разрывом между словесной формулировкой и
непосредственным представлением) и со „стериль-
ностью' (с отсутствием ассоциативных связей
между данным представлением и его возможным
использованием в науке и технике).

Выполнение лабораторной работы ставит уча-
щихся лицом к лицу с явлением, м а к с и-
мальио концентрируя внимание на
ограниченном объекте, благодаря чему
круг представлений о данном явлении сильно по-
полняется рядом мелких признаков, упущенных во-
время демонстрации. Это значительно конкрети-
зирует представление о данном явлении. В то же
время сознательная работа в лаборатории над
поставленной экспериментальной задачей не толь-
ко спосооствует развитию у учащихся ряда навы-
ков, но и помогает осознанию ранее упущенных
сторон явлений, вскрытию и устранению оши-
бочных представлений о них.

Отчет по лабораторной работе фиксирует
внимание учащихся на определенных сторонах
явления, одновременно устоаняя или смягчая
вербальность первых представлений. Дальнейшее
вскрытие ошибочных представлений о тех или
иных сторонах явления производится путем много-
кратного применения полученных знаний к реше-
нию задач. Отсюда — огромная важность задач в
методике физики, так как только они способны
обеспечить многократное применение новых по-
чятн Е

Здесь играет роль и многократное повто-
рение и более полное осмысление. Я хочу ска_
•ЗкЛъ, что при этом представления о тех или
иных сторонах данного явления ассоциируются
в сознании учащихся с представлением о воз-
можной области их применения и о методах
этого применения.

Эта сторона изменения в представлениях уча-
щихся может быть резко усилена непосредствен-
ным осмотром производственных установок, осо-
бенно в соединении с определенными задачами,
поставленными для этого осмотра. Отсюда значе-
ние иллюстративных или исследовательских экс-
курсий, производственных кинофильмов, работы
на производстве. При этом часто бывает, что
изменение масштаба явления или включение его
в единый производственный комплекс с другими
явлениями придает представлению учащихся о
данном явлении новое качество.

Многообразие методов нужно нам не для
формального выполнения постановления
ЦК ВКП (б) об обязательности этого многообра-
зия; не только для того, чтобы постоянно стимули-
ровать активность и самодеятельность учащихся;
ак потому, что надо использовать разнообразные
методы, раз уже они появились; не для .ожив-
ления" преподавания. Оно нам нужно прежде
всего для того, чтобы обеспечить необходимую
степень совершенства представлений и понятий
учащихся, связаь°ых с определенным конкретным
отделом курса. Мы должны брать всякий раз те
методы, и только те, какие нужны для этой
цели.

Методика беседы в обоих руководствах разоб-
рана достаточно подробно и обоснованно, хотя и
не с точки зрения динамики представлений.

Нет в них психологического анализа состоя-
ния учащихся, хотя именно в беседе вопрос
управления вниманием играет огромную
роль. В частности,ни в том, ни в другом руковод-
стве не сказано об обязательности сооггетствия
темпа изложения с темпом восприятия учащихся;
об опасности срыва темпа; о приемах управле-
ния вниманием; об объеме внимания; о внутрен-
неь единстве содержания беседы.

Рассмотрим недочеты той и другой книги
отдельно *.

Хотя Соколов и оговаривает условность своей
схемы беседы (стр. 56), но, как показывает опыт,
и студенты и молодые преподаватели склонны
всегда шаблонно применять ее, почему эти ука-
зания было бы лучше усилить. Особенно важно
было бы уточнить смысл повторения в начале
беседы, так как часто такое повторение не служит
введением к основной теме беседы, а превра-
щается в самоцель и разрушает единство урока.

Советуя вести подобное повторение мелкими
вопросами, Соколов наталкивает на срыв темпа
и не замечает грозной (для молодого преподава-
теля) опасности разменяться на мелочи, упустить
нз виду основную идею урока.

Замечания о деловой установке темы (стр. 57
и 58), хотя и снабжены оговоркой о недопусти-
мости узкого утилитаризма, своим обоснованием
наталкивают на него.

Совет, выделенный курсивом, как особо важ-
ный: „добиваться, чтобы как отдельные частные
выводы, так и общий вывод по всей теме были
сделаны самими учащимися" (стр. 58 и 59), дай
без мотивировки и явно не выдерживает критики.
Он грозит потерей темпа и утратой кон^ентра-

* В данной статье я сознательно концентри-
рую внимание, главным образом, на недочетах.

ции внимания к основному, благодаря равномер-
ному распределению его на частные и общие
выводы.

Это — уравниловка.

Совершенно непонятно, почему Соколов счи-
тает, будто лекция цельнее беседы. Это, конечно,
неверно.

Неверно и то, что Соколов всякое изло-
жение вопроса преподавателем, хотя бы и обо-
снованное доказательствами, считает догматизмом.
Это резко расходится с общепринятым мнением
и может повести к серьезным недоразумениям.

Необходимо отметить как важную заслугу
Соколова большое внимание, которое он уделяет
развитию мышления учащихся и, в частности,
анализу методологических причин их ошибок.

Крайне ценно замечание Соколова о сходстве
требований к лектору и актеру. Хотелось бы
только усилить эти требования, расширить их
на всю работу учителя и обосновать анализом
элементов внушения, всегда имеющихся в уроке.

Изложение Челюсткина (глава о методах напи-
сана им) гораздо менее подробно и почти не
обосновано.

Вызывает недоумение его предложение заме-
нять иногда введение в раздел рассказом. Стран-
но утверждение, что беседа должна вестись
по вопросо-ответному методу (стр. 41); странно
резкое противопоставление ее лекции, которая,
якобы, применяется, начиная с VII класса; странно
утверждение, будто лекция может переходить
в беседу в наиболее трудных местах, тогда как
в школьной практике вполне обоснованно при-
меняется обратное.

Серьезнее недочеты обеих книг в части, пос-
вященной демонстрациям.

Соколов протинопоставляет „беседный метоп"
„демонстрационному- (стр. 63), словно демонстра-
ции не являются лишь одним из элементов бе-
седы. Соколов каким-то образом измеряет сте-
пень активности обучения при разных методах,
забывая ставшую азбучной истину о том, что
нет „активных" и „пассивных" методов.

Роль демонстрации он видит в привлечении
зрительных впечатлений учащихся, в повышении
внимания, активности и, как следствие, в лучшем
запоминании.

Основного, того, что демонстрация показы-
вает учащимся не только главные, но и все вто-
ростепенные признаки явления, апеллирует не
только к сознательному, но и к подсознательному
восприятию, конкретизирует явление, — Соколов
ие замечает. Ведь динамика представлений ему
чужда.

Поэтому же он, как и Знаменский с Челюст-
киным, не делает коренного различия в действии
иа учащихся демонстраций и лабораторных ра-
бот; у него, как и у Челюсткина, демонстрации
нужны прежде всего по чисто внешним сообра-
жениям (бюджет времени, стоимость, сложность
эксперимента и т. д.).

Правда, он признает, что „хорошо поставлен-
ная демонстрация... дает более высокие показа-
тели усвоения" (стр. 64), и требует эксперимен-
тального исследования „сравнительной эффектив-
ности демонстрационного и лабораторного мето-
дов", но эта грубо эмпирическая постановка воп-
роса как раз и показывает, что он не понял
главного, ясного и без специального экспери-
мента, того, что области применения де-
монстраций и лабораторных работ
резко различны. Без этого эксперимен-
тальная проверка эффективности дала бы проти-
воречивые результаты, так как каждый ме~од
дал бы лучшие показатели в своей области. В то
время как демонстрация проходит быстро и за-
держивает на себе внимание учащихся сравни-
тельно немного, — столько, сколько хочет учи-
тель, — и позволяет следить за общей
идеей в изложении преподавателя, — лабора-
торная работа приковывает внимание учащихся
на длительный срок лишь к одному или к
очень ограниченному кругу явлений.

Ни у Соколова, ни у Челюсткина не заострено
требование максимальной выразитель-
ности опыта.

Челюсткин в изложении методики демонстра-
ций ограничивается немногими замечаниями, не
всегда мотивированными и совершенно недоста-
точными.

Большой заслугой его является попытка не-
которых «оргвыводов* из методики в части обя-
занностей школьной администрации и пожеланий
к постановке экспериментальной подготовки бу-
дущих преподавателей физики в педвузах и
по переподготовке уже работающих преподава-
телей.

К сожалению, здесь он не решился выдвинуть
совершенно обязательного требования к ОНО об
организации для учителей практикумов по мето-
дике и технике эксперимента и по адресу Нар-
компроса — не менее категорического требования
об организации действительного контроля как за
учителем (ставит ли эксперимент), так и за ди-
ректорами школы и заведующими ОНО (создают
ли материальную н организационную базу).

Естественным продолжением методики беседы
служит вопрос об иллюстративных наглядных
пособиях (таблицы, макеты, диапозитивы и т. д.).
Челюсткин обошел этот вопрос молчанием. Соко-
лов подробно разбирает его, к сожалению, упу-
стив вопрос о серийности диапозитивов и об
обеспечении требования видимости, постоянно
нарушаемого в отношении к плакатам (размеры,
перегрузка материалом, расположение надписей
и рисунков, шрифт, рассеяние внимания на нес-
колько объектов, «методика* Изогиза и т. д.).

Совершенно особое место в методике беседы
занимает киноурок. То обстоятельство, что фильм
(во всяком случае, целостный) имеет свое содер-
жание, свою систему изложения и свою методику,
резко выделяет его из числа других учебных
пособий.

Все это оправдывает выделение киноурока
в особый тип учебной работы, нуждающийся в
подробном разборе.

Попытку подробного разбора мы встречаем
у Челюсткина. Однако, его положение не '• сво-
бодно от ряда существенных недочетов.

Он не касается вопроса о типах фильмов
(целостная, крупнофрагментарная, дробнофраг-
ментарная), ие указывает различия в методике
работы с каждым типом фильма.

Совершенно ие соответствует действитель-
ности его (и Соколова) утверждение, будто «наи-
более распространенными являются «кольцевые*
(короткометражные)* (стр. 84). В настоящее время
в прокате (а для школы интересен именно
прокат) иет ни одного короткометраж-
ного или кольцевого (это далеко не одно и то
же) фильма.

Все фильмы, указанные Соколовым (стр. 77),
имеются в небольшом числе вузов ине раз-
множались.

Неверно утверждение и^Лк>сткина о возмож-
ности в неограниченных пределах менять скорость
проекции (стр. 84).

На недоразумении основано и утверждение,
будто грубость и ошибки в мультипликации выз-
ваны неграмотностью редакторов фильмов. Как
раз в названных Челюсткиным фильмах консуль-
тантами были проф. Бонч-Бруевич и проф. Та-
расов. Вопрос о мультипликации много сложнее.

Остались невскрытыми специфика «словес-
ного сопроаождения”, область применения кино-
уроков, специфика подготовки к киноуроку,
специфика повторительного киноурока.

В небольшой литературе по кино пропущены
два важных источника: «Справочник по учебному
кино”, составленный киносектором ЦДХВД* и
журнал-сборник «Учебное кино”, издаваемый трес-
том „Союзтехфильм” еще с 1933 г.

Все, что говорит о киноуроке Соколов, н е-
верно от начала до конца.

Одно недоразумение уже было указано. Ука-
жем остальные ошибки.

Неверно, будто применение кино меняет ха-
рактер урока: будто при этом становится невоз-
можной беседа; будто отпадает эвристический
подход; будто киноурок всегда приближается к
лекции. Ведь сам же Соколов только что говорил
о кольцовках. Совершенно очевидно, что как раз
к ним все сказанное не относится. Впрочем, как
может убедиться каждый, просмотрев книгу П о-
лонского «Методика и техника киноработь.
в школе* **, это неверно и для целостной фильмы.

Наибольшее внимание в обеих книгах уделено
методике лабораторных работ.

Здесь прежде всего бросается в глаза тот же
основной недочет, с которым мы уже встреча-
лись,— непонимание различия между лаборатор-
ным и демонстрационным экспериментом и тен-
денция расценивать «лабораторный метод* не по-
его воздействию на динамику представлений у
учащихся, а, нагример, по числу органов чувств,
участвующих в восприятиях учащихся. Основ-
ное — огромная концентрация внимания па ог-
раниченном объекте — ускользает от внимания
авторов.

Отсюда невозможность обосновать ряд пра-
вильных положений: об органической связи ра-
бот г курсом, о преимуществах фронтального
способа проведения работ, о численности звена
и т. д.

Отсюда же и ряд ошибочных утверждений:
предложение давать приборы «в возможно более
разнообразном виде* (Соколов, стр. 85); бух-
галтерские выкладки о процентах времени, нуж-
ных и отводимых для лабораторных работ огульно,
без учета специфики материала (Соколов,
стр. 86); однообразие в определении хода работы
(С о колов, Челюсткин); рассеивание вни-
мания путем включения в «лабораторный урок*
повторения, длительных разъяснений (Челюст-
кин, стр. 61).

Вызывает недоумение утверждение Соколова,
будто большее число ученических наблюдений
может дать большую уверенность в физическом
законе (стр. 81). Только очень тупой ученик мо-
жет изменить степень уверенности в законе на
основании своих опытов.

* Центральный дом художественного воспи-
тания детей.

** Книга вышла после выхода обоих руко-
водств — Соколова и «ленинградцев*.
Напрасно Соколов не различает работ про-
верочных (в смысле проверки закона! и измери-
тельных (определение константы). Отношение к
ним учащихся далеко не одинаковое. Напрасно
он противопоставляет один тип работы другому
1„... где только возможно, лабораторные работы
должны ставиться эвристически *, стр. 83), а не
ищет областей рационального примене-
ния каждого типа. Например, для разви-
тия навыков взвешивания измерительная работа,
концентрирующая внимание на своих операциях,
предпочтительнее каких-либо других .эвристи-
ческих" работ, основанных на взвешивании, но
формально ориентированных на другую цель (хотя
бы на определение удельного веса).

Необходимо решительно возразить против ре-
комендуемой Соколовым методики проведения
работы (стр. 86). Во-первых, в инструкции слиш-
ком много опеки над учащимися, причем недо-
статочно решительно оговорена обязатель-
ность ослабления ее по мере роста развития
учащихся. Во-вторых, совершенно неприемлем
совет на время выполнения работы предостав-
лять учащихся самим себе (?!).

Не говоря уже о необходимости обеспечить
контроль за сохранностью приборов, учитель обя-
зан во избежание закрепления неправильных на-
выков обращения с аппаратурой следить за хо-
дом работы и исправлять замеченные ошибки.
Именно во время работы мысль учащихся напря-
гается и именно тогда руководство ею со стороны
преподавателя особенно важно.

Челюсткин рекомендует такую же дробную
опеку над учащимися (стр. 54). Правда, на сле-
дующей странице он делет оговорку что «план ...
че должен превращаться в рецепт", но помещен-
ные там же рисунки, заменяющие инструкцию,
дают именно рецепт.

Приведенный им пример проведения лабора-
торной работы на закон Ома вызывает серьезные
возражения.

Ни в том, ни в другом руководстве не за-
тронут колоссальной важности вопрос о технике
безопасности при лабораторных работах и де-
монстрациях.

Я уже отмечал совершенно исключительную
роль задач как оселка, на котором оттачиваются
юзпикшие у учащихся представления н понятия.
Между тем, надлежащего освещения этого во-
проса мы не находим ни в той, ни в другой
книге.

Челюсткин даже не выделяет методики задач
в особый параграф, а разб"рает их как частный
случай в параграфе «Значение математики в курсе
физики и вычерчивание графиков". Соколов объ-
единяет методику задач с методикой проведения
других видов «семинарских занятий".

И у Челюсткина н у Соколова решение за-
дач это прежде всего средство для освоения
формул (уменье применять формулы и закрепле-
ние их в памяти), отчасти — средство связи теории
и практики. Правда, Челюсткин пишет, что «за-
дачи предлагаются для более ясного и более проч-
ного усвоения изученного отдела курса физики*
iCTp. 67), но кто знает, что он под этим понимает.

С точки зрения динамики представлений у
учащихся, в первом концентре систематического
курса физики предпочтительнее всюду, где можно,
пользоваться арифметическим, а не алгебраичес-
ким способом решения. Дело в том, ч,о при
арифметическом решении учащийся всякий раз
анализирует существо вопроса, пуская в ход

сумму своих физических представлений; при ал-
гебраическом же решении у чащийся только вспо-
минает формулу и подставляет в нее числовые
значения.

Математики говооят, что за них думают урав-
нения. Именно этой роскоши — не думать — мы
и не можем позволить учащимся.

Правда, есть один тип задач, где именно это
(«не думать") обязательно. Это — задачи на при-
менение эмпирически найденных зависимостей.
Так как эмпиризм «запрещает мышление"*, здесь
думать нельзя; надо лишь применять найденную
зависимость, т. е. пользоваться формулой.

Дишь позже, когда учащиеся настолько ов-
ладеют алгеброй, что сумеют видеть физическую
реальность через ее формальный язык, можно
у веренно переходить на алгебраическое решение.
Это и будет, примерно, в конце первого и в на-
чале второго концентра.

Эта точка зрения, несколько смягченная (ком-
промисс), изложена в объя’нительной записке к
программам 1932 г. Об этой проблеме «арифме-
тически первого концентра*** Челюсткин умалчи-
вает.

Соколов становится на компромиссную точку
зрения объяснительной записки и полемизирует
против последовательной арифметизации. При
этом ои признает, что «механизация действий
составляет цель введения формул в науку, и,
следовательно, с этой же целью формулы должны
вводиться и в преподавание* (стр. 49). Здесь
полное непонимание различия между физикой —
наукой и физикой — школьным предметом. В пер-
вом случае нам важен только результат,
а во втором — наряду с результатом и
процесс его юл учения. Если препода-
ватель и последует дальнейшему совету Соколова,
учтет опасность «утраты физического смысла
формулы* и будет иногда напоминать о нем, он
не достигнет все же главного — длительного уп-
ражнения в применении данных физических по-
нятий и представлений, необходимого для нх со-
вершенствования.

Кроме того, постоянно видеть через формулу
ее физический смысл можно только тогда, когда
внимание ученика не двоится между математи-
ческими трудностями обращения с еще плохо
усвоенными алгебраическими приемами и физи-
ческими трудностями применения новых, тоже
еще не освоенных, понятий и представлений.

Соколов подходит к вопросу узко-практи-
чески, оставляя в стороне все соображения, свя-
занные с психологией учащихся.

Роль задач требует особенной продуманности
их подбора, определенной последовательности,
чего нет пока еще в наших задачниках.

Давая каждую задачу, учитель должен знать,
что именно в представлениях учащегося об явле-
нии он хочет проверить; какие недочеты понима-
ния выявить и исправить; на какие стороны явле-
ния обратить внимание.

Следует учесть, что решение задач является
чрезвычайно мощным средством концентрации
внимания учащихся на узком круге вопросов.
Это средство иногда бывает целесообразно ис-

* Энгельс — , Диалектика природы*, изд.
4-е, 1930 г., стр. 206.

** Термин, предложенный в 1924 г. проф.
Колмогоровым, тогда преподавателем Потыли-
хинской опытно-показательной школы Нарком-

проса.
пользовать для продвижения вперед
11 о курсу (когда надо особо выделить
каждый этап продвижения).

В таком случае, опираясь на наличный фонд
физических понятий и представлений учащихся,
мы путем рассуждения, на ряде задач, шаг за
шагом, постепенно продвигаемся вперед, соз-
давая новый круг представлений и понятий,
время от времени опираясь на эксперимент.

Получается прием, который хочется назвать
расчлененной дедукцией, вполне по-
сильный для учащихся первого концентра и
успешно решающий важную задачу диалекти-
ческого объединения индукции и дедукции еще
в рамках первого концентра.

Классическим примером подобного рода
может служить проработка в VI классе темы
«Простейшие механизмы', если свойства меха-
низма выводятся из закона сохранения энергии,
а не эмпирически. При этом непосредственно из
закона сохранения энергии выводится «золотое
правило' (строго говоря, начало возможных пе-
ремещений).

С этой точки зрения разбираются: любые
машины — по заданным перемещениям и силам,
блоки, ступенчатый полиспаст и тали, ворот,
наклонная плоскость, рычаг как оорезанный во-
рот. При этом от понятий о работе и энергии
' чащиеся подводятся к понятию о моменте силы.
Закон сохранения энергии и понятия о работе и
энергии применяются на всем протяжении темы
самым разнообразным образом; из него выводятся
различные следствия. Поня гное дело, что за эту
тему учащиеся действительно усвоят (и усваи-
вают) закон сохранения энергии, и при.ом н е
как отвлеченную формулу, а как
инструмент исследования, навыки поль-
зования которым они получили.

Об этой очень важной, как видит читатель,
возможности применения задач в обеих книгах
нет ничего.

Не освещен там и частный случай преды-
дущего, когда при помощи задач можно помочь
Оформиться понятию, элементы для осознания
которого уже накоплены учеником из его жиз-
ненного опыта.

Дело в гом, что словесное определение такого
понятия не в состоянии мобилизовать и упоря-
дочить накопленные, но не осознанные запасы
представлений. Оно запоминается, но не приме-
няется. Например, зная словесное определение
понятия «удельный вес', дети не могут еще ре-
шить задачи на определение объема, так как
само понятие нми не осознано. В го же время
аналогичную задачу о числе бараков, нужных для
размещения определенного числа рабочих при
заданной норме, они решают совершенно сво-
бодно.

Чтобы мобилизовать их жизненный опыт и
пробудить у них потребность в новом
понятии (психологически чрезвычайно важ-
ный фактор), полезно еще до словесного опреде-
ления дать решить несколько соответствующим
образом пододранных задач. Для случая удельного
веса это будут задачи на определение веса тела
по объему и весу другого заданного объема с
такими числовыми данными, чтобы напрашива-
лось решение по метолу ..приведения к единице".

Почти совершенно незттоонутым остался в
обоих руководствах крайне важный вопрос
о способах обеспечения самостоятельности н мак-
симальной активности прн решении задач (реше-

ние у доски и на местах *; характер помощи
преподавателя; решение индивидуальное или
звеньями; необходимость в задачниках, кроме от
ветов, завести отдел наводящих указаний; харак-
тер и место ответов и т. д. А между тем, лишь
обеспечив самостоятельность решения, мы можем
рассчитывать на совершенствование связанных
с данной задачей физических понятий и пред-
ставлений.

Также неосвещенным остался вопрос о при-
мерах — качественных физических задачах, где
мы встречаемся с серьезной опасностью привить
учащимся неправильные методологические навыки
искать решения подобных задач только рассуж-
дением, без экспериментальной проверки, и до-
вольствоваться первым найденным решением, не
учитывая возможности иных решений.

Не сказано и о роли задач при повторении,
о задачах как средстве синтеза из разных отде-
лов и тем.

Читатель вправе спросить, что же есть в том
и другом руководстве по вопросу о задачах.

Соколов, в основном, подробно разбирает
вопрос о производственных задачах и, как мне
кажется, разбирает правильно, хотя его понима-
ние того, какая задача является производственной,
не может не вызвать возражений.

По Соколову, настоящими производствен-
ными задачами являются те задачи, которые ста-
вятся н решаются в конторах — цеховых, завод-
ских, технических н т. п. (стр. 99).

Здесь явное пр еувеличение и следы „проект-
ных' увлечений. Цело в том. что «в конторах'
всегда имеют дело с комплексом явлений:
в школе же мы стремимся более илй менее изо-
лировать интересующие нас соотношения. Поэ-
тому школьная производственная задача будет
более или менее схематизирована.

Помимо вопроса о производственных задачах,
у Соколова есть ряд замечаний о содержании
задач, характере записей, решений у доски и на
местах и т. д. Но эти меткие и почти всегда по-
лезные замечания не объединенр какой-
либо общей идеей; они почти что откро-
венно эмпиричны.

У Челюсткина мы найдем лишь попытку
определить место задач в курсе и ряд кратких
догматических указаний по их содержанию и
методике, так же, как и у Соколова, не объеди-
ненных руководящей идеей.

Заслуживает возражения известное .равне-
ние' ленинградских авторов на «политехнический
задачник' Неймана и Соколика, но в этой
части можно направить читателя к руководству
Соколова, где недочеты этого задачника вскрыты
достаточно убедительно.

Непонятно, почему качественные задачи «осо-
бенно желательны" в первом концентре.

Вызывает опасения утверждение, будто во
втором концентре „должны преобладать задачи
на вычисление (это верно. — С. И.) и технические
расчеты разных проектов' (стр. 68). Что материал
для физических задач надо черпать и из
техники, — бесспорно, но что в классе (а не в
клубе) нужны «проекты-, — это более чем сомни-
тельно. Во всяком случае здесь следовало бы
уточнить мысль автора. Уже отмеченная выше
переоценка формальных математических приемов
решения приводит Челюсткина к сильно преуве-

* Это у Соколова есть; нет указаний по
детальным, перечисленным здесь вопросам.
личенному утверждению, будто успех решения
задач в значительной степени будет зависеть от
математической подготовки учащихся. Решающим
моментом все же останется степень осознания
физических закономерностей; для ее выражения
^ожно найти несколько математических пу-
тей в зависимости от степени математической
подготовки учащихся.

Один из этих путей сами „ленинградцы”
(и Челюсткин в том числе) усиленно выдвигают.
Это — широкое применение графиков *. В этом
большая заслуга „ленинградцев”. В то время как
Соколов видит в графиках „еще лишний способ
выражения связи между двумя взаимозависящими
величинами” (стр. 73), признает их большую на-
глядность и рекомендует применять для обра-
оотки результатов лабораторных работ,
„ленинградцы” предлагают использовать
графики как метод исследования, как средство
развития функционального мышления учащихся.

Они не говорят лишь об одном, очень су-
щественном. Применив графиков является вели-
колепным средством обхода математичес-
ких трудностей, возникающих при изуче-
нии явлений,характеризуемых переменными
величинами, вплоть до графического интегри-
рования.

Ошибочным является утверждение Челюст-
кина, будто отдельные приводимые им случаи
использования математики иа уроках физики
могут способствовать подготовке учащихся по
математике. Конечно, ни одни математик для кон-
кретизации представления о прямой и обратной
пропорциональности не возьмет предлагаемого
ему Челюсткиным примера сообщающихся сосу-
дов с разными жидкостями, так как при этом ои
поставил бы успех по математике в зависимость
от ясности представлений по физике. Связь фи-
зики и математики много глубже, чем это ка-
жется Челюсткину. Она — в совместной работе
по развитию математического мышления.

Глубоко неправ Соколов, когда он по пи
что отвергает математический вывод новых фи-
зических законов с последующей эксперимен-
тальной проверкой их (стр. 50). Только при пло-
хой методике такой подход может затемнять фи-
зический смысл явлений. Именно в случае закона
Архимеда (пример, который приводит Соколов)
математический вывод, итолько он, вскрывает
природу выталкивательной силы, тогда как ре-
комендуемый Соколовым эмпирический подход,
строго । оворя, позволяет говорить лишь о „по-
тере веса”.

Большим недочетом книги Соколова явля-
ется отсутствие разбора специфических особен-
ностей етодики задач в профессиональных учеб-
ных заведеинях.

По методике учебной работы с книгой ** каж-
дое из разбираемых руководств дает ряд ценных
указаний. Следует отметить лишь отсутствие воп-
роса о том, каким должен быть учебник по
физике.

Существующий стабильный учебник, как это
видно из других мест той и другой книги, мало

* Большое внимание к графикам мы встре-
чаем не только в общей методике — оно широко
отражено и в специальной части.

** Настоящая статья посвящена вопросам учеб-
ной работы, а потому все относящееся к внеучеб-
иой работе, хотя бы и очень важное, заранее
исключается из поля зрения.

удовлетворяет авторов. Следовало проанализи-
ровать, правильно ли нащупан в нем нужный
современной школе тип учебника.

Странное впечатление производит совет Че-
люсткина держаться возможно ближе к учебнику,
в то время как его соавторы в специальной части
идут на очень большие отступления от него.

В обеих книгах выдвигается требование на-
ряду со стабильным учебником иметь конспект.
Аргументируя за конспект, Соколов учитывает
привлечение „моторного чувства”, явно апелли-
руя к памяти; Челюсткин расширяет это требо-
вание даже на область домашнего чтения по
физике.

Спору нет, составление конспектов полезно.
Однако, авторы забыли проанализировать вопрос
о „стоимости” этого (в смысле трудовых затрат
ученика) и о соответствии этой „стоимости” с по-
лученным результатом; забыли составить конку-
рирующие параллельные проекты использования
учащимися того времени, какое пойдет на состав-
ление конспекта, с тем, чтобы сравнить эффек-
тивность этих форм использования с эффектив-
ностью конспекта. Нет сомнения, что совет
Челюсткина конспектировать всякую книгу при
этом неизбежно отпал бы.

В приложенном у Челюсткина списке лите-
ратуры дли X класса нет там также и аннотаций
научно-популярных журналов для молодежи.

Смысл школьных экскурсий по физике в
обеих книгах понят несколько формально.

Соколов рассматривает экскурсии лишь как
средство связи курса физики с изучением произ-
водства и, следовательно, как средство осущест-
вления политехнизма (стр. 88). Строго говоря,
такое понимание едва ли позволяет говорить об
экскурсиях как об одном из методов преподава-
ния физики. Ив самом деле, в дальнейшем
изложении Соколов говорит об изучении
производства. Может быть, и это было бы
приемлемо, если бы одновременно были указам
физические задачи, разрешаемые экскурсией.

Челюсткин много подробнее характеризует
роль экскурсий (стр. 74), однако, и ои ничего не
говорит о тех качественных измене-
ниях, какие происходят с представлениями уча-
щихся о физическом явлении в то время,
когда они встречаются с ним в производственной
обстановке или в природе (новый масштаб, связь
теории с практикой, воздействие сопутствующих
явлений).

Челюсткин довольно обстоятельно дает мето-
дику иллюстративной (описательной) экскурсии,
совершенно умалчивая о существовании экскур-
сий „исследовательских” (в условно-школьи ,м
смысле этого слова) и тесно примыкающих к ним
обследований, проводимых учащимся самостоя-
тельно, в порядке домашнего задания, на при-
крепленном предприятии, в природе или в му„~е.
Несмотря на участие в составлении книги круп-
нейшего авторитета по экскурсиям „в природу'
проф. Пиотровского, специфика этого рода
экскурсий в ней не затронута.

Совсем уже неприятное впечатление, и имен-
но вследствие наличия в числе соавторов проф.
Пиотровского, производит отсутствие упомина-
ния о роли его гениального предшественника по
методике экскурсии в природу— проф. Цингера.
Об его „Послесловии” нет упоминания даже в
списке литературы.

Список литературы по экскурсиям недоста-
точно полон. Почти нет журнальной литературы;
нет книг, в которые методика экскурсий входит
как составная часть (например Медянцева).

Чтобы нс возвращаться к этому вопросу, от-
ме iy кстати, что у Соколова, где подробнее дана
журнальная литература, пропущены очень инте-
ресные, бесспорно талантливые, хотя и полные
грубых методических ошибок, статьи Григорь-
евен („На путях к новой школе*, 1928 г.,
№ 1, 4, 5—6 и в одном из номеров за 1929 г.).

В обеих книгах чрезвычайно бегло затронут
вопрос о технике безопасности при экскурсион-
ной работе. Оба автора ссылаются на специфику
различных производств, хотя есть ряд общих по-
ложений и мероприятий, актуальных для всякого
производства.

Оба автора слишком охотно идут на пере-
грузку экскурсий и даже на „комплексные*
Э1 :ску( сии (под этим термином в обеих книгах
понимается экскурсия, проводимая одновременно
по нескольким дисциплинам). Видимо, вопросы
концентрации внимания и управления им в
производственной обстановке, где масса факторов
рассеивает внимание, равно как и соображения
об утомлении учащихся в силу неблагоприятной
обстановки (шум, пребывание в верхней одежде,
невозможность присесть, необходимость напря-
гать слух и зрение) и в силу эмоционального
подъема, — все этс ускользнуло от внимания
авторов.

Между тем, все это категорически требует,
чтобы основным принципом экскурсионной работы
было положение о недопустимости перегрузки,
о резком самоограничении при определении
тематики, о безусловной вредности одновре-
менных экскурсий по нескольким дисципли-
нам, может быть, с отдельными исключениями
для труда.

Приведенная Челюсткиным в качестве об-
разца экскурсия перегружена, ведется по двум
предметам (физика и химия) и носит ярко выра-
женный описательный характер (дает описание
технических установок, а не выясняет нх физи-
ческие основы). Эта экскурсия, безусловно, дол-
жна быть разбита на ряд более мелких экскур-
сий— или по физике, или по химии, или по
труду, с четкими заданиями, который (по физике)
вскрывали бы физическую сущность отдельных
процессов. Может быть, понадобилась бы и заклю-
чительная синтетическая экскурсия (скорее всего
не по физике, а по труду).

Соколов подробно разбирает вопросы о про-
работке экскурсии и подготовке к ней, но оста-
вляет в тени особенности работы преподавателя
во время самой экскурсии. Этому вопросу у него
посвящено 15 строчек, причем они целиком
заполнены соображениями о записях на экскур-
сии и о том, кому вести экскурсию.

У него мы наводим скорее аннотированную
классификацию, чем методику экскурсии. А
между тем, вопросы расстановки, выбора марш-
рута, техники ведения объяснений для иллюстра-
тивной экскурсии; вопросы приемов руковод-
ства р юотой при исследовательской экскурсии
и особенно при обследованиях; вопросы приспо-
собления музеев и предприятий к ученическим
обследованиям — все это крайне актуально для
учителя.

Нет всего этого и у Челюсткина.

Подводя итоги изложенному о методах ра-
боты, необходимо подчеркнуть, что в каждом
отдельном случае выбор н последовательность
применения методов определяются конкретным
тематическим заданием ча основании тщатель-
ного анализа наличного фонда навыков, понятий
и представлений учащихся и тех изменений, какие
в них надо внести. В предыдущем изложении
уже было показано, что последовательность раз-
личных методов и форм занятий как в рамках
темы, так и в пределах каждого урока может
быть самой разнообразной. Поэтому нуж-
но самым решительным образом протестовать
против каких бы то ни было категорических
утверждений, хотя бы против следующего поло-
жения, выдвигаемого Челюсткиным: „Каждый
урок должен сос.то 1ть из следующих частей...*
(стр. 90). Прав Соколов, когда он неоднократно
говорит о вреде слишком прямолинейного вы-
полнения даже лучших методических советов.

Оканчивая настоящую работу, хочется рас-
сеять впечатление, которое могло сложиться у
читателя благодаря тому, что его внимание Фи-
ксировалось почти исключительно на недочетах
обеих книг.

Я высоко расцениваю обе этг. книги вместе
взятые (так как одна дополняет и выправляет
другую). В них масса интереснейшего и ценней-
шего материала, приведенного в стройную сис-
тему, — насколько это возможно при эмпириче-
ском построении методики. Именно против эмпи-
ризма в методике я и возражаю; именно его от-
рицательное влияние на качество той и другой
книги я и пытался показать, хотя бы на примере
одного вопроса.

Хочется, чтобы обе эти книги были послед-
ними, наиболее удачными произведениями эмпи-
рической методики. Я осмеливаюсь утверждать,
что с этих методологических позиций нельзя дать
больше, чем дали „ленинградцы* и Соколов.
Мне кажется, что детальный анализ динамики
физических понятий и представлений учащихся,
силу которого я пытался бегло показать, являет-
ся единственно адэкватным диалектическому
материализму методом, спицифичным для мето-
дики физики.

ИЕТ0ДПЕ0-М1ТЕМАТИЧЕ(ЗчЯ ЗЛГ.ЛПОГРАФИЛ ПО ТЕМАМ

В. МОРЕВ

Длина окружности и площадь круга

Вычисление и построение к

1. Навроцкий Н. О спрямлении окружно-
сти круга Сочинение Николая Навроц-
кого, Лейпцигского университета доктора, имп.

(Ленинград)

Счб. Академии наук и во многих ученых обще-
ствах члена-корреспондента. В Универе, тип., М.
1835, 8°, стр. 8.

2. С м и р н о в В. С. О способе измерения
площадей на планах и о системе, как находить
квадрат каждого круга и квадрат поверхности
каждого шара. Соч. Вл. Ст. Смирнова. В тип.
А.. Семина, М. 1855, 8°, стр. 15.

3. ГольденбергА. И. К графическому
выпрямлению окружностей (построения Маске-
реп, и, П и ош и и П. А. Чиркова), „Матем.
♦исток", I, М. 1879, X, стр. 335 -336.

Гольденберг, А. И. Об измерении круга
(по Архимеду), „Матем. листок", I, М. 1879, IX,
стр. 265 -270.

4. Гирш, И о ф е. К графическому выпрям-
лению окружности, „Матем. листок", 1881—1882,
Vil—IX. стр. 149-154.

5. Т а ч а л о в Н. Вычисление отношения ок-
ружностп к диаметру, „Жури. э„емен. матем."
I, Киев, 1885, № 18, стр. 358 362.

6. Воинов А. Построение длины окружно-
сти. „ВОФЭМ"*, сем. II, Киев, 1887, № 21, стр.
220.

7. Построение длины окружности,
„ВОФЭМ", сем. 11, Киев, 1887, № 15, стр. 65—
66.

8. Вощииин С. Приближенное построение
отношения окружности к диаметру, „ВОФЭМ".
сем. IV, 1888, № 41, стр. 112.

9. Ефремов Д. Заметка по поводу задачи
о вычислении я, „ВОФЭМ", сем. IV, 1888, № 47,
стр. 252—254.

10. К л е й б е р И. А. Парадоксальная фоо-
мула для я, „ВОФЭМ", сем. V, 1888, № 57, стр.
196 198.

11. Ржеву цкь й С. Построение длины ок-
ружности, „ВОФЭМ", сем. IV, 1888, № 38, стр.
42 -43.

12. Полтавцев В. К вопросу о построе-
нии иррациональных чисел я и l/я, „ВОФЭМ",
сем. VII, 1889, № 73, стр. 9—14, и № 76, стр.
72—77.

13. П о п р у ж е'н к о М. Об отношении ок-
ружности к диаметру и о квадратуре круга.
„ВОФЭМ , сем. VIII, 1889, № 91, стр. 121—130.

14. Ромер П. Новое выражение для я,
„ВОФЭМ", сем. IX, 1390, № 97, стр. 2—4.

15. Старков А. и Попруженко М.
Письма в редакцию по поводу статьи П. Ромера,
„ВОФЭМ" сем. IX, 189J, № 100, стр. 74—76.

16. Флоров П. Учение о круге, изложен-
ное независимо от понятия о пределе, „ВОФЭМ",
сем. IX, 1890. № 105, стр. 168—173.

17. Эне шт ром Г. Две исторические заме-
ки о числе я, „ВОФЭМ", сем. V11I, 1890, № 94,
стр. Г.6—187.

18. Попруженко М. Погрешность при
вычислении по способу периметров, „ВОФЭМ",
сем. X, Одесса, 1891, № 120. стр. 220—222.

19. Ф. П. В. Площадь круга и длина окруж-
ности, „ВОФЭМ", Одесса, 1891, № 132, стр. 257—
258.

20. Захаров В. К выводу формулы длины
окружности, „ВОФЭМ", 1893, № 174, стр._134—136.
Андреянов П. По поводу ст. Захарова,
„ВОФЭМ". 1893, № 178, стр. 228.

21. Ков а ржи к Ф ’ овый способ выпрям-
ления окружности, „ВОФЭМ", 1893, № 163, стр.
142—144

22. Кричевский С. По поводу парадок-
сальной формулы проф. Никольсона, „ВОФЭМ",
1895, .fe 176, стр. 175—180, № 177, стр. 198—201.

23. В е й е р ш т р а с с. К мемуару Линдемана
„О лудольфовэм числе" (доказательство невоз-

* „ВОФЭМ" — „Вестник опытной физики н
мемент. математики*.

можиости квадратуры круга) Перевод с до ноли.
И. Л. Скалозубов а. Под. ред. проф. А. В.
Васильева, „Известья физ.-математического
общества при Казанском университете" сер. 2,
т. IV, 1894; III, стр. 1—чО (припож.), отд отт.
Казань, 1894, стр. 40, ц. 30 коп.

24. Т р а в ч е т о в И. М. Иррациональные
числа и длина окружности. Для учеников стар-
ших классов гимназий и реальных училищ и
поступающих в высшие учебные заведения. Спб.,
1895, 8°, стр. 38, ц. 50 коп.

Рец.: „Ж. М. Н. Пр." 1896, VI, отд. 3, стр.
87—89.

25. Е ф и м о в М. Ф. Построение я с точно-
стью до 0,0001. „Известия физ.-математического
общества при Казанском университете", сер. 2,
т. V, 1895, IV. стр. 63. Перепечатано: „ВОФЭМ",
1896, № 236, стр. 207.

26. Волжин В. Теория пределов и ее при-
ложения. Для V—VII классов реальных училищ.
Моршанск, 1896, 8°, стр. 19—200.

27. В. С. Графическое построение величины
Vя и я (сообщение Эд. Бинга, помещ, в № 2
„Ъ itschrift des Vereines deutscher lngenerie"),
„Научн. ободрение", Спб., 1899, VI, стр. 1235-1
1237.

28. К а г а и В. Ф. Новое доказательство тран-
сцендентности чисел я и е (доказательство Ф.
Валена), „ВОФЭМ", 1900, № 286, стр. 223—231,
№ 287, стр. 261—266; 1901, № 290, стр. 25—35,
№ 291, стр. 56—63. Отд. сп , Одесса, 1901, стр. 32.

29. П е ь ц о в А. Построение я с точностью

до „ВОФЭМ", 1900, № 277, стр. 12—13.

30. Ф л о р о в П. Зависимость между пери-
метрами правильных многоугольников и вычи-
сление я (тема для учащихся), „ВОФЭМ", 1903,
№ 344, стр. 182 -183.

31. Фоменко Н. Новые способы геометри-
ческого- построения приблизительной величины
я и j/я, „ВОФЭМ", 1904, № 369, стр. 203—211.

32. Ф о м е н к о Н. Механические способы
квадратуры круга и выпрямления окружности
с достаточным приближением, „ВОФЭМ", 1905,
№ 388, стр. 82—87

33. Отчет о работах на тему для учащихся:
„Зависимость между периметрами правильных
многоугольников и вычисление я", „ВОФЭМ",
1907, № 433, стр. 12—18; № 434, стр. 40—44.

34. Флоров П. С. Заметка о вычисленин к,
„ВОФЭМ", 1908, № 457, стр. 12—16; № 458, стр.
34-37.

35. Белянкин И. И. Спрямление круговых
дуг, „Отчеты и протоколы Физ.-мат. общества",
Киев, 1908 (1909), стр. 33—45; „Унив. изв." т. 50,
Киев, 1910, I, стр. 33—45.

36. Мюллер А. Новое предложение о кру-
ге. „ВОФЭМ", 1909, № 488, стр. 183-185. По по-
воду „Нового предложения о круге" замечания
В. Смосарского, И. Чистякоза иД. Еф-
ремова, „ВОФЭМ", 1909, № 493, стр. 16—19.

37. Smosarski W. W sprawie „nowego
twierdzenia о kole" (по поводу будто бы новой
теоремы о круге) — „Wiaciom. matem.", t. 14,
Dodatek, Warszawa, 1910, стр. 87—89.

38. Флоров, П. С. Способ вычисления «
с пятью десятичными знаками, пригодный для
преподавания в средних школах, „Дневник XII
съезда русских естествоиспытателей и врачеи-,
М. 1910, VIII, стр. 316; „ВОФЭМ", 1910, Xs oOj,
стр. 12—15.
39. Рудио Ф. Архимед, Гюйгенс, Лежандр,
Ламберт о квадратуре круга. С при лож. истории
вопроса, состава, проф. Цюрихского политехни-
кума Р 1 ц и о. Пер-в. с немецк. под ред. прив,-
доц С. Бернштейна. Изд. «Матезис", Одесса,
1911, 80, стр. VIII 155, с 21 черт., ц. 1 р. 20 к.

Рец.: «Природа и люди", 1911, № 42.

40. Власов А. К. Квадратура круга и цир-
ку лятура квадрата, «Матем. образов." М. 1912, 1,
стр. 11—21; VII, стр. 293 309.

41. Сорокин П. Новое изложение теории
круга и элементарные приемы вычисления -,
«Педаг, сборник", Спб. 1912, III, стр. 334—356.

42. Песоцкий М. Приближенное выпрям-
ление окружности в связи с вопросом о точности
геометрических построений вообще, „Физ-мат.
> сборник", IV, Тифлис, 1913, стр. 108—125.

43. Синцов Д М. Выпуклый многоуголь-
ник с бескоиечно-большии числом сторон, «Ма-
тем. образов." М. 1913, VII (ноябрь), стр. 303—305.
. 44. С о л о в ь е в а А. В. Урок на тему: «Оп-

ределение длины окружности" и разбор его.
Сборн. «Материалы по улучшению препод, ма-
тематики в Кавказском учебном округе", Тифлис
1913, стр. 142- 144.

45. Извольский Н. А. К вопросу об оп-
ределении длины окружности «Доклады на II
Всероссийском съезде преподавателей матема •
тики", М. 1915, стр. 186—204; «Матем. вестник",
М. 1914, III, стр. 65—73. Отд. изд. (с добавлени-
ями), ред. журнала «Матем. вестник", М. 1914,
стр. 33, ц. 35 коп., 1600.

46. Толкачев Ф. Определение длины ок-
ружности, площади круга, поверхностей и объе-
мов круглых тел, Спб. 1914, стр. 56, с черт. 200.

47. Вычис ле" ие числа к, «Матем. листок",
Ревель, 1915, стр. 15.

48. Соколов В. А. Когда и как проходить
об измерении длины окружности в VII классе
реальных училищ и в средних учебных заведе-
ниях вообще, «Доклады на II Всероссийском
съезде преподавателей математики", М. 1915, стр.
255- 266.

49. Успенский Я, В. Изложение геоме-
трических способов приближенного вычисления
отношения окружности к диаметру, изд. Отд. ма-
тематики Педагогического музея воен.-учебн. за-
ведений, вып. IV, Пгр. 1916, стр. 16,ц. 15 коп., 1000.

Рец. В. Фридман — „Школа и жизнь",
1916, № 30, стр. 12.

50. Гусев Ф. Об элементарном вычислении
числа тс, „Матем. вестник", М. 1917, II, стр. 49—56.

51. Чистяков И. И. К статье об определе-
нии длины окружности и площади круга, „Ма-
тем. образ." М. 1917, I—II (№ 41—42), стр. 19—22.

52. Л е б е д е в В. И. Очерки по истории точ-
ных наук, вып. IV, „Знаменитые геометрические
задачи древности", М. 1917, стр. 79, с рис., ц.
1 р. 25 к. 2000. Изд. 2-е, Пгр. 1920, стр. 72,
с илл., Б. ц., 30 000.

Рец.: В. Г. Фридман — „Школа и жизнь",
1916, № 35, стр. 12; В. И. — „Единая школа",
Псков 1919, II, стр. 85.

53. Попов Г. Н. Об одном способе вы-
| числения к с помощью ряда у математиков
I старой японской школы, „Физ.-мат. сборник",
М 1924, I.

>5 4. Четверухин Н. Ф. О спрямлении дуг
’ окружности, „Физ.-мат. сборник", М. 1924, I.

55. Чистяков Н. Вычисление длины ок-
‘ pj жности и кривых по некоторой новой формуле,
[ Владикавказ 1927, стр. 4, с черт., Б. ц., 150.

56. Лезедов П. Е. Окружность и круг
„Сборн. методьч. статей по метем • ЛООНО Л
1933, стр. 40—48.

57. Адрианов В. В. Вывод формулы длины
окружности, „Горьк. просвещенец", 1934, XI—XII,
стр 62 —63.

58. Рудио Ф Архимед, Гюйгенс, Ламберт,
Лежандр о квадратуре круга. С приложением
истории вопроса. Составил Ф. Рудио. Перев.
с нем. под ред. и с примеч. акад. С. Н. Берн-
штейна, изд. 2-е, Гос. техн.-теор. изд., М.-Л.
1934, стр. 235, ц. 2 р. 50 к., 5002.

К этой же теме примыкает ряд брошюр, ав-
торам которых казалось, что им удалось решить
вековую задачу о „квадратуре круга". Журналы
их не печатали, поневоле приходилось прибегать
к отдельным изданиям.

59. Ш а р у б и н Н. Квадратура круга и уд-
воение куба. Тип. М. О. Вольф., Спб., 1854, 8°,
стр. 16, ц. 50 коп.

60. Флор Оскар. Решение проблемы —
квадратура круга. Поправление постоянной ве-
личины тс, Риг.., 1892, ц. 1 р

Рец.: В. Г.--.ВОФЭМ", 1892, № 157, стр.
12-13.

61. Попов М. Л. д-р мед. Особый метод
выпрямления обвертываемых линий и алгебраи-
ческое выражение их обвертки (квадратура кру-
га). Тип. Гл. у пр. уделов, Спб. 1894, 8°, стр. 23>
ц. 1 р„ 1200.

62. Кирьянов И. И. Ответ математикам,
назвавшим заблуждением вывод, что отношение
окружности к диаметру равно 10, Спб. 1897.
Рец.: „Научн. обозр.", 1397, IV, стр. 151.

63. С ы з р а н с к и й П. И. Решение квадра-
туры круга с математической точностью, Одесса
1897, 8°, стр. 10-)-2 стр. черт., ц. 20 коп., 1000.

64. И к с - п л ю с. Решение квадратуры круга,
Спб. 1898, стр. 15. ц. 5 коп.

65. О о Ians kl, Zwei P.oblene: Dr?ithellnncr
des Winkels uad Quadratur des Kteises, Rewal, 18)9.

66. Савин M. С. Решение вопросов о ква-
дратуре круга и трисекции угла. Построение
квадрата, равновеликого данному кругу, и точ-
ное деление угла на три равные части по пра-
вилам элементарной геометрии, изд. Д. Агапова,
Оренбург 1901, сгр 26, ц. 65 коп , 7090.

67. Лабутин Р. Популярно изложенное
решение квадратуры круга. Спб. 1902. Стр. 1.

68. Ландау Г. Квадратура круга и круг
квадрата. Одесса. 1902.

69. Р и п п а с Вл. Квадратура круга. Спб.
1910, стр. 21, 300.

70. Л и н н и н г П. Приближенное вычисле-
ние Чв части окружности (квадратура круга),
Одесса 1911, стр. 2, ц. 50 коп., 490.

71. Фрей цента ль В. Решение древней-
ших геометрических задач, считавшихся нераз-
решимыми, и формулировка единицы, Симферо-
поль, 1914, стр. 4, ц. 15 коп, 1000.

Формула Героиа

1. ГольденбергА. И. Площадь треуголь-
ника в зависимости от его сторон, „Матем ли-
сток", т. II, М. 1881, стр. 34.

2. Шохор-Троцкий С. И. Заметка о
площади треугольника, «Семья и шкота" (уч-
восп. отдел), Спб 1832, т. I, стр. 48—53.

3. Ващенко-Захарченко М. Е. Выра-
жение площади треугольника в функции его сто-
вон, „Журн. элемент. матем.“ т. I, Киев, 1884,
III, стр. 49—51. J-

4. Николаев Н. О площади треугольника,
.ВОФЭМ', 1890, № 108, стр. 227—228.

5. Сикстель В. Еще способ определения
площади треугольника в зависимости от полупе-
риметра и сторон и доказательства некоторых
формул, легко находимые из рассмотрения чер-
тежа, употребляемого при этом, „Пед. сборник",
Спб. 1897, X, стр. 389—392.

6. Everrett I. Вывод площади треугольник»
по трем сторонам, „ВОФЭМ", 1903,Хе 343, стр. 164.

7. Д м и т р о в с к и й А, А. Вывод формулы
Герина и формулы площади вписанного четыре-
угольнига, „Физ.-мат. сборник", I, М. 1924.

8. Адамович С. Геометрический выво.;
формулы площади треугольника в функции его
сторон, „Матем. образов? М. 1928, III, стр. 343—345.

9. Беневольский М. Простой вывод
формулы Герона, „Физ., хим., мат., технология в
трудовой школе", М. 1930, VI, стр. 82—83.

О РАБОТЕ НАУЧНОЙ СЕССИИ ПО СЕКЦИИ МЕТОДИКИ ФИЗИКИ ГОСУДАРСТВЕННОГО
ИНСТИТУТА НАУЧНОЙ ПЕДАГОГИКИ ПРИ ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ИНСТИТУТЕ

имени ГЕРЦЕНА

II. ЧЕЛЮСТКИН (Ленинград)

Научная сессия ГИНП состоялась с 13 го по
16 июня 1935 г.

По секции методики физики сессия была про-
ведена по следующей повестке:

Доклады: 1) П. А. Знаменского —
„О методике преподавания в X классе" (вводный
доклад); 2) В. А. 3 и б е р а — „Электрическое по-
ле"; 3) П. А. Знаменского—„Природа лу-
чистой энергии"; 4) М. Ю. Пиотровского —
„Управление лучистой энергией".

На первом заседании сессии были заслушаны:

1) Вводный доклад ПА. Знаме нског о—
„О методике преподавания физики в X классе
средней школы".

Курс физики X класса является завершающим
все построение школьной физики. Для тех уча-
щихся, которые не имеют в виду про.,олжать
свое образование в области физико-математиче-
ских и технических дисциплин, он должен закре-
пить ту сумму знаний • какая является необходи-
мой д. я сознательного (участия в социалистиче-
ском строительстве; а для тех, которые переходят
в высшую школу по указанным специальностям,
он должен, сверх того, создать достаточную базу
для успешного продолжения образования в вузе.

Составленные к началу истекшего учебного
года предварительные тезисы и намеченная ги-
потеза проверялись экспериментально на школь-
ной практике, на собраниях преподавателей, уа
заседаниях секции, при обследовании школы.
Полученные результаты от этих экспериментов
и практики подвергались критическому анализу
в секции физики.

Был учтен весь положительный опыт в по-
строении преподавания подобного курса физики
в дореволюционной школе и в практике загра-
ничных школ пос ^революционного периода.

Методика X класса обсуждалась нг заседа-
ниях кафедр педагогического института и частич-
но прорабатывалась на занятиях со студентами
IV курса пединститута. Отдельные вопросы из
этой методики прорабатывались дипломантами
пединститута под руководством сотрудников сек-
ции, работающих в педвузах.

2) Второй доклад В. А. 3 и б-е р а — „Элек-
трическое поле". Из этой темы докладчик выде-
лил некоторые вопросы или как наиболее трудные
в изложении курса физики X класса или .ребу-
ющие более методологически обоснованного под
хода, чем это дается в учебниках физики для
средней школы, вышедших даже в последнее
время.

Докладчик дал методический анализ и ука- 1
зал на возможную и желательную разработк)
следующих вопросов: электризация тел, напря- I
женность поля, силовые линии, потенциал, зна-
чение разности потенциалов, принцип определе-
ния электромагнитного заряда Милликеном и др. I

Этот методический анализ был проведен с I
точки зрения: 1) развития идеи движения мате- I
рпи, 2) понятия о материальности пространства (

Доклад вызвал оживленный обмен мнений I
по затронутым докладчиком вопросам.

II. Г

На втором заседании сессии были заслушаны
и обсуждены следующие два доклада:

1) П. А. Знаменского — „Природа лучн- I
стой энергии". Изучение вопроса о природе света I
дает возможность подвести учащихся к современ-
ному физическому миропониманию, закрепить в I
них основы диалектико-материалистического ми- I
ровоззрения. Докладчик предлагает (вопреки уста-
новившимся традициям) ввести „волновую тео- I
рию“ возможно раньше.

Для этого необходимо рассмотреть некоторые |
примеры интерференции света, а затем передо
дить к постулированию и разъяснению принципа I
Гюйгенса. После этого переходят к дифракции I
и поляризации света. Затем докладчик подчерки- I
вает необходимость обоснования перед учащимися I
представления о свете как о процессе элекгро- 1
магнитном. Изучение явлений испускания и по- I
глощения света приводит учащихся к изучению I
вопроса о строении атома и учения о квантах.

В связи с этими вопросами учащимся дается I
краткий исторический обзор о развитии учения I
о природе света: от механической волновой тео- '
рии Гюйгенса — Юнга, Френеля к электромагнит-
ной волновой теории Максвелла — Герца, к тео-
рии Планка — Эйнштейна и теории строения
1тома Бора. Заканчивается вопрос указанием, что
проблема света далеко еще не разрешена. На этом
историческом обзоре показывается, что всякий
закон, всякая гипотеза и теория представляют
только известное достижение на пути развития
науки, неполно охватывая я> ления природы.

2) Второй доклад — М. Ю. Пиотровско-
го— «Управление лучистой энергией*.

Докладчик отмечает, что вопросы оптической
техники, рассматриваемые с точки зрения их
физического содержания, должны получить в
политехнической школе достаточно полное и
глубокое освещение. Докладчик считает равно-
ценными при изложении данного отдела волновой
и лучевой методы проработки указанных вопро-
сов. На протяжении всего этого отдела отмеча-
ются достижения советской оптической техники.

В заключение докладчик предлагает элемен-
тарно ознакомить учащихся с современным поло-
жением фото! рафии и репродукции в естествен-
ных цветах* под углом зрения Юнга—Гельм-
гольца.

III.

Оба доклада вызвали оживленный обмен
мнений по затронутым вопросам По этим докла-
дам конференция вынесла следующую резолю-
цию:

1) Конференция признает, что данная иссле-
довательская работа проведена целесообразно;
авторы использовали не только личный опыт, но
и лучшие достижения дореволюционной школы,
и особенно считает ценным постановку экспери-
ментальной проверки прорабатываемых положе-
ний в нашей советской школе. Методику
преподавания физики в X классе
желательно в ближайшее время на-
печатать.

2) В главе об электрическом поле необхо-
димо дать не только изложение о положительном
потенциале, по и об отрицательном.

3) В главе о законах электрического тока
много указано опытов, но недостаточно дано ме-
тодических указаний. Есть тишнее, как, например,
электронная теория металла. Это можно было бы
выпустить.

Наряду с этими небольшими недостатками
отмечаются и ценные указания, например п»
вопросу, как надо оешать задачу Джоуля.

4) По темам .Природа лучистой энергии" и
.Управление лучистой энергией" предлагается
авторам выделить, что из предлагаемого матери
ала надо использовать в первую очередь, что
во вторую, пользуясь приемами перенесения
второстепенного материала в мелкий шрифт и
подстрочный текст.

5) Предлагается в этих статьях изменить рас-
положение материала: начать с интерференции,
заменив опыт с двумя щелями зеркалами Френеля
или бипризмой; затем принцип Гюйгенса, явле
ния отражения и преломления; дисперсия, ди-
фракция, испускание и поглощение.

Поляризация представляет определенные
трудности для изложения и усвоения учащимися.
Поэтому этот вопрос можно было бы либо совсем
снять, либо дать указания подстрочно.

IV.

Во время сессии секции методики физики
была организована выставка приборов, сконструи-
рованных сотрудниками секции или по указа-
ниям сотрудников секции:

1) Высокочастотный генератор В. А. Зибера
с набооом приборов к нему.

2) Лабораторные приборы по механике, вы-
являющие политехнизацию в оборудогании и
дающие возможность поставить опыт с учетом
количественных результатов, зубчатые колеса,
подъемный кран с лебедкой, реечный домкрат с
зубчатой пер< дачей и др., сконструированные по
указаниям П. А. Знаменского.

3) Набор приборов по волновой оптике —
установки по дифракции, прор (ботаниые аспи-
рантом Роговым.

4) Образце таблиц по оптике, сделанные по
указаниям М. Ю. Пиотровского.

Во время выставки демонстрировались опыты
на указанных приборах.

Кроме этого, были выставлены печатные и
подготовляемые к печати труды сотрудников,
таблицы и другие материалы, выявляющие на-
учно-исследовательскую и массовую работу сек-
ции методики физики ГИНН.

СТАТЬ ВЛГ1ЖЕ К УЧИТЕЛЮ

Б. ’>АТАГОВ (г. Кирсанов)

(Заметки учителя математики о методических сборниках «Математика и физика
в средней школе")

В прошлом году, наконец, возобновлен был
выход методического журнала по физике и мате-
матике, правда, пока в виде «сборников". За этот
период времени журнал уже дал много ценного
материала учителю физики и математики (осо-
бенно в отделе «Частная методика"). В частности,
можно отметить как наиболее интересные и важ-
ные для учителя статьи (отмечаю только статьи
по математике):

9 Математика и фиалка в средней школе, № 6

1. Отдел научный и научно-попу-
лярный:

Чистяков — «О новейших исследованиях
в области древнейшей истории математики*
(1934 г„ № 1—3); К ре ер — „Алгебраические
vравнения" (№ 2 за 1934 г.); Г р е б е н ч а — «Число
и его значение в естествознании и технике"
1934 г., № 2); М о л о д ш и й — „11 Всесоюзный
математический съезд" (1934 г., № 3); Кастро-

117
ви цк ий - .Общие признаки д.пимости* (1934г.,
№ 3); Крыжа новск ий — „Построение ряда
самостоятельных геометрий* (1934 г., Лг° 4); Из-
вольский — .Геометрическое учение о площа-
дях* (1935 г., № 2).

2. Отдел общей методики.

Наиболее интересна статья Сталькова —
„Домашние задания по математике* (1934 г., № 2).

3. Частная методика.

Они ги рев — „Буквенные выражения*
(1934 г., № 1); Воронов — .Самостоятельное
составление учащимися арифметических задач*
(1934 г., №2); Волковский — „Зависим'гть
между членами арифметических действий*; Са-
пу н о в — „Решение задач методом с оставления
уравнений с одним неизвестным*; Остров-
ский — „Метод составления уравнений первой
степени с одним неизвестным* (1934 г., № 3);
Г р о ш е в — „Геометрические запачи, заимство-
ванные из механики*; Берг— „Обратные круго-
вые функции в средней школе*; Ефремов —
„Первые уроки при прохождении тригонометри-
ческих уравнений*; Волковский — „К вопро-
су о признаке делимости на 8“ (1934 г.. № 4);
Шевченко — „Преподавание 11 концентра три-
гонометрии* (1935 г., № 1); Черняев — ьПрин-
цип двойственности при школьном преподавании
геометрии*; Альтшулер — .Методика ирра-
циональных уравнений* (1935 г., № 2).

Очень интересен раздел задач, особенно ценны
задачи для уча цихся, которые можно использо-
вать и в классной работе и для кружковых за-
нятий.

Наряду с положительными сторонами нужно
отметить и ряд недочетов в журнале, которые
необходимо устранить в дальнейшем.

1. Журнал оторван от массы рядового учи-
тельства средней школы. В нем нет отдела пе-
дагогической консультации, который намечала
организовать редакция (только в № 1 за 1935 г.
есть один ответ на запрос читателя). Между тем,
свою основную задачу — организовать методиче-
скую помощь — журнал может выполнить, лишь
установив тесную связь с учителями. Поток писем
с запросами должен итти к редакции, и редакция,
обработав их, должна давать в каждой книжке
обстоятельные разъяснения по самым злободнев-
ным вопросам методики.

2. Нельзя считать удовлетвори-
тельным библиографический раз-
дел. Нужно в журнале помещать: а) подробные
списки книг по математике, физике, астрономии,
выходящих в издании Учпедгиза, Научно-техни-
ческого издательства (которое, кстати сказать,
издает очень много научной литературы, ценней-
шей для учителя), издательств, выпускающих
физико-математическую литературу для детей и
юношества и т. д. Желательны списки книг с
аннотациями, но если это не всегда возможно, то
хотя бы помещать просто списки книг, и это
очень полезно, так как ставит в известность учи-
теля о том, что можно достать иа книжном рынке.
Списки нужно помещать своевременно, а не после
того как эти книги распроданы, б) Рецензии и
критические обзоры книг и журнальных статей
по математике (этого пока в журнале тоже очень
и очень мало).

3. Отдел .Хроники* незаслуженно не поль-
зуется внимание,» редакции. Ведь учителя не меша-
ло бы систематически информировать: а) о жизни
научных и методических обществ, исследователь-
ских институтов, имеющих отношение к физико-

математическим наукам, о работе физико-матема-
тических факультетов, университетов и педвузов;
б) о съездах и совещаниях физиков и математи-
ков, в) о математических олимпиадах, 4) об ито-
гах приемных испытаний в вузы (по физико-
математическим наукам) и выпускных испытаний
по средней школе, техникумам и рабфакам и т. д

Редакция в одной статье слегка познакомта
с итогами Ленинградской олимпиады и одной
статьей отозвалась на И Всесоюзный математиче-
ский съезд. Маловато. Ждем от редакции в на-
учном отделе статей, излагающих в популярной
форме наиболее важные и интересные доклады
на съезде. Учитель ведь не ремесленник, доволь-
ствующийся Шапошниковым и Вальцевым.

4. В научном отделе желательно помеще-
ние статей по важнейшим основным научным
проблемам, а не случайных этюдов любителей
математики (какое, например, особенное значение
имеют статьи 3 е т т е л ь— „Об о ;ном замечатель-
ном случае неравенства треугольников* или
Демме — „О многолепестковых розах как гео-
метрическом месте точек*?). Нужно в этом раз-
деле уделить большее внимание философии и
истории математики. Политическое просвещение,
выработка марксистского мировоззрения у учи-
теля — задача огромной политической важности,
а чтобы приучиться владеть диалектическим ме-
тодом, чтобы овладеть основами марксизма, нужно
связывать эту учебу со своей практической ра-
ботой. Журнал обязан дать ряд статей по марк-
систской философии математики, освещающих
вопрос о кризисе современной буржуазной мате-
матики, дающих критику важнейших направле-
ний в математике Запада (формалисты, интуици-
оиисты и т. д.). Нужно помещать также в научном
отделе статьи о теории множеств и ее значении в
современной математике, о современной тополо-
гии (вообще целесообразно было бы поместить
ряд очерков „Современная математика и физика';
нужно лишь, чтобы изложение было простым и
рассчитано на лиц, знакомых только с элемен-
тами анализа и аналитической геометрии, так
как иначе большая часть читателей не поймет этих
статей), о теории групп, теории Галуа, об иссле-
дованиях Гельфонда в области трансцендентных
чисел.

5. В разделе общей методики же-
лательны статьи на следующие темы: годовые
производственные планы, методы работы по мате-
матике, учет успеваемости учащихся, поверка
письменных работ по математике, о математиче-
ских кружках (содержание и методы их работы),
о воспитательной работе на уроках математики,
о рабочих тетрадях.

6. В разделе частной методики нуж-
ны статьи: как научить учащихся решать задачи
по геометрии, о решении алгебраических задач
путем составления уравнений (ре дакция помести-
ла в № 3 за 1934 г.; необходимо продолжать раз-
работку этого вопроса), описания отдельных уро-
ков с критическим разбором их, образцы планов
отдельных уроков.

7. Нужно подвести итоги выпускных и пове-
рочных испытаний: дать статью об итогах испы-
таний, а также образцы контрольных письмен-
ных работ из практики работы лучших школ
Москвы и Ленинграда (это дало бы возможность
нам — провинциальным учителям — сопоставить
свои требования и уровень знаний своих уча-
щихся с уровнем знаний учащихся лучших школ).
После осенних приемных испытаний в техникумы
и вузы нужно также дать несколько ста-
тей, подводящих итоги, а также образцы
письменных работ и вопросов на устных испы-
таниях.

8. Нужно увеличить также отдел «Обмен
опытом', в котором необходимо систематически
освешать опыт образцовых школ, а также инте-
ресные достижения и рядовых школ.

9. В заключение необходимо выразить поже-
лание о регулярном выходе методических сбор-
ников и о превращении «методических сборни-
ков” в журнал. Желательно было бы увелпаить
количество номеров, выходящих в год. В буду-
щем 1936 г. нужно добиться, если не ежеме-

сячного журнала, то по меньшей мере 10 но-
меров в год.

Тесная связь редакции журнала с учитель-
ством, отражение запросов современной педаго-
гической и научной мысли, повседневная мето-
дическая помощь учителю-математику и физику,
освещение важнейших научных проблем физико-
математических наук, вооружение учителя диалек
тико материалистическим методом, ознакомление
учителя с новейшими достижениями этих наук,—
вот основные задачи журнала. А для осуществле-
ния их журнал должен стать ближе к рядовому
учителю, должен создать свой актив сотрудников
и корреспондентов.

ОТВЕТ т. ТАРАСОВУ

Из многочисленных отзывов о журнале, по-
лученных от читателей, редакция печатает письмо
т. Тарасова лишь потому, что оно более полно
и подробно поднимает те же вопросы, которые
в большей или в меньшей степени затрагиваются
во всех остальных письмах. Общим для всех пи-
сем является следующее:

1. Высказывается большое удовлетворение
по поводу возобновления методического журнала.

2. Указывается, что журнал и в настоящем
его виде оказывает значительну ю помощь педа-
гогу в повышении его научной квалификации
и в его педагогической работе (для ряда препо-
давателей журнал являлся единственным науч-
ным и методическим пособием).

3. Выражается единодушное пожелание,
чтобы журнал выходил более регулярно и не ме-
нее 10 -12 номеров в год.

4. Одновременно с этим предъявляется целый
ряд требований, сводящихся к расширению те-
матики журнала, к более полному охвату инте-
ресов н запросов педагога, причем одни письма
(очевидно, более подготовленных педагогов) де-
лают упор на углубление научного раздела, дру-
гие, наобооот — на конкретную методическую
помощь начинающему педагогу чуть ли не на
каждом шагу его педагогической работы.

Так, к темам, упомянутым в письме т. Тара-
сова, можно прибавить из других писем такие:
основы теории чисел и ее практическое приме-
нение; обзор геометрических систем; о трансфи-
нитных числах; вопрос существования эфира;
принцип относительности; введение в волновую
механику; теория квант и пр.

С другой стороны, пишут о необходимости
дать подробные методразработки таких тем, как:
первые уроки алгебры, раздел процентов в ариф-
метике, закон Архимеда по физике и пр. Выдви-
гается пожелание, чтобы журнал давад в строгой
последовательности детальные методразработки
(или даже стенографические записи показатель-
ных уроков) по всем темам предмета так, чтобы
годовой экземпляр журнала навал в итоге пол-
ную методику дисциплины (требование явно не-
выполнимое да и нецелесообразное).

Признавая в огромном большинстве случаев
законность требований, выдвигаемых читателями,
редакция тем не меиее считает необходимым ука-
зать иа обстоятельства, неизбежно суживающие
возможности удовлетворения всех запросов чи-
тателей.

1. Журнал охватывает три дисциплины:
математику, физику'и астрономию,— дисциплины,
в свою очередь разбивающиеся на ряд специаль-
ных дисциплин, охватывающих многочисленные
9*

проблемы, подвергнувшиеся особенно глубокой
разработке за последние десятилетия. Одни только
перечень и хотя бы краткая характеристика этих
проблем могут заполнить целиком не один номер
журнала. А ведь надо оставить место и вопросам
методики и опыта школ и вопросам заграничной
педагогики и методики, критике и библиогра-
фии и т. д.

Выход из этого затруднительного положения
может быть только таков: давая в краткой (в пре-
делах журнальной статьи) и возможно популяр-
ной форме сведения по той или иной проблеме,
отсылать читателя для более углубленного изу-
чения ее к имеющейся на кнчжчом рынке лите-
ратуре, с указаниями, о чем именно трактует
данная книга и какой подготовки требует от
читателя. На этот путь и вступает редакция, рас-
ширяя в 1936 г. критико-библиографический раз-
дел, с одной стороны, добиваясь от соответствую-
щих издательств присылки в редакцию контроль-
ных экземпляров книг для своевременной их
аннотации — с другой.

Немалую помощь педагогу оказало бы изда-
ние серии отдельных небольших (но уже выхо-
дящих за пределы журнальной статьи) книжек
по актуальным вопросам математики, физики и
астрономии. К оргачизации этого дела редакция
также приступила. В настоящий момент Учебно-
педагогическим издательством уже принята от
редакции к напечатанию научно-популярная ра-
бота т. Бакушинского — ^Принцип относи-
тельности!.

2. Журналу приходится иметь дело с чрезвы-
чайно разнообразным составом читателей как по
их образовательной подготовке, так и педагоги-
ческой квалификации. Вот почему иногда статья,
вполне удовлетворившая одного читателя, оказы-
вается слишком элементарной для другого и,
наоборот, почти недоступной для третьего. Не
имея возможности дать трактовку темы «на все
вкусы', редакция вынуждена ориентироваться
на «среднего' читателя с некоторой амплитудой
колебаний в ту и другую сторону. В этих целях
редакция старается избегать как тем, слишком
элементарных, так и тем, требующих подготив .и,
значительно превышающей уровень педагога
средней квалификации.

3. Расширение объема н увеличение коли-
чества номеров журнала несомненно несколько
увеличит его возможности, и кое-что в этом на-
правлении будет достигнуто уже в 1936 г., но
все эти возможности останутся ограниченными
в силу высказанных выше соображений.

Считаем нужным отметить, что все изложен-
ное выше нисколько не умаляет ценности кри-
тических замечаний и предложений, излагаемых
в письмах наших читателей. Наоборот, они как
нельзя лучше позволяют нащупать недочеты в
организационной стороне, в структуре, в содер-
жании журнала и наметить пути к их изжити.о.
В частности уже полученные письма заставили
редакцию принять ряд решений иа 1935 г.

От этих высказанных общих соображений
перейдем к частным вопросам, затронутым
в письме т. Тарасова (а также других читателей).

1. Совершенно верно, что раздел „Педагоги-
ческая консультация* не был использован редак-
цией. Объясняется это в первую очередь тем,
тго вопросы читателей по линии этого раздела
не носили такого характера, который мог бы
заинтересовать более пли менее значительную
группу читателей. В лучшем случае это были
просьбы о рекомендации (или присылке) литера-
туры по тему пли иному вопросу, иногда очень
узкому; в больший тве же письма содержали
ьопросы юридически 'лавового характера, прось-
бы о решении задач, с проверке решений, най-
денных автором письма (в том числе между
прочим задач о триссзцпи угла и квадратуре
круга).

Дорожа местом на страницах журнала, редак-
ция предпочитала отвечать на эти письма в инди-
видуальном порядке. За восемь месяцев 1935 г.
таких писем было послано около сорока.

2. О библиографическом разделе говорилось
выше. Тов. Тарасов вполне прав, и этот раздел
в 1936 г. будет расширен.

3. Также прав т. Тарасов и в вопросе о раз-
деле „Хроника*. Сведения по этому разделу
носили случайный и отрывочный характер. В бу-
ду ющем году организация этого раздела пору-
чается определенному лицу, и хроника займет по-
стоянное место в журнале.

4. О научном отделе достаточно сказано
выше. Сделаем лишь два замечания. Во-первых,
все же существуют темы, которые, прн соблю-
дении требования популярности, не смогут уме-
ститься в рамках журнальной статьи или же
потребуют солидных знаний от читателей. Таковы,
например, выдвигаемые некоторыми читателями
гемы: „Векторный анализ*, „Тензорный анализ*,
отчасти выдвигаемые самим т. Тарасовым темы:
„Теория групп*, „Теория Галуа* и др. Во-втэрых,
редакция совершенно несогласна с оценкой, да-
ваемой т. Тарасовым статьям гт. Зеттель и Демме.
Помимо их теоретического интереса, они дают

прекрасный материаг для математических круж-
ков. В частности, статья т. Зеттель была заслу-
шана с большим интересом московскими пед'а
гогами в виде доклада на заседании Московского
математического кружья и после этого принята
к напечатанию в журна-.е

5. Темы, выдвигаемые т Тарасовым для раз-
дела общей методики, частью освещались па
страницах журнала и будут впредь подвергать!
дальнейшей проработке.

6. То же можно сказать о разделе частной
методики. Достаточно просмотреть напечатанное
в этом номеое содержание журнала за 1934 -
1935 гг., чтобы убедиться как в разнообразии
тем, помещавшихся в журнале, так и в некоторо
системе подбора этих тем с упором на наибол ?
грудные темы и с неоднократным возвращением
к ним (пример: задачи на составление уравпе
ний, геометрические задачи и пр.).

7. Итоги выпускных, поверочных и приемных
испытаний освещались и будут в известной мере
освещаться иа страницах журнала. Однако, редак-
ция не склонна придавать этому разделу особо
важное значение.

8. Раздел „Обмен опытом* или „Из школьной
практики* на первый взгляд занял очень неболь-
шое место в журнале. На самом деле это не так
Более внимательный взгляд на содержание раз-
дела методики убеждает, что значительная часть
этого раздела может быть отнесена именно к раз-
делу „Обмен опытом*. Сюда относятся небольшие
заметки о том или ином методическом приеме,
о порядке проведения того или иного опыт),
о конструировании того или иного самодельного
физического прибора и пр.

Может быть, в дальнейшем и следует оста-
вить в разделе частной методики лишь разработки
более или менее крупных тем, относя большин-
ство мелких заметок в раздел „Из опыта*.

9. Совершенно законно пожелание о pei •
лярном выходе журнала. Во втором полугодии
настоящего года эта регулярность была достиг-
нута и необходимо сохранить ее и на будущее.

В заключение редакция еще раз заявляет,
что все присылаемые критические замечания и
пожелания по журналу она считает для себя
чрезвычайно ценными, практически полезными,
ведущими к улучшению журнала, к более полно-
ценному выполнению задач, перед ним постав-
ленных.

Редакция
ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕЕИЫХ В № 2 CEOPHl’KA „МА’ЕМАТЕКА П ФИЗИКА
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ" ЗА 19/5 г.

1. Полагая a f- b + с = 0, вычислить величину
выражения:

\ а b с )\Ь—''с — а а — Ь!

Преобразуем первое выражение
b — с с — а а — Ь _
а ‘ Ь 'с

Ьг (Ь — с) + ас (с — а) 4- ab (а — Ь)
abc

__Ь3с — Ьс3 4- ас3 — а3с 4- а3Ь - ab*
abc

Преобразуем второе выражение, приняв во
внимание, что а + b c = Q

b— с с— а 1 а— b

_ а (ас — д2 — Ъс 4- ab) 4- b (cb — ас — Ь3 4- Ьс) 4-

(Ь — с) (с — а) (а — Ь)

с(Ъс— с3— ab 4- ас)

(Ь — с) (с — а) (а — б)

___д*е — а3 — аЬс 4- а3Ь — аЬ3 — abc — Ь3 4-

~ (Ь — с) (с—а) (а —О)

4* Ь3 с 4- Ьс3 — с3 — abc 4- ас3_

(Ь — с) (с — а) (а — Ь)

__— а3 — Ь3 — с3 — ЗаЬс 4- (а3Ь 4- ab3) 4-

(Ь — с) (с — а) (а — Ь)

4- <а3с 4- ас2) 4" (^£ + be3) _

(b — с) (с — а) (а — Ь)

__— а3 — Ь3 — с3 — "^аЬс 4- ab (а -+- Ь) -4-

(Ь — с) (с — а) (а — Ь)

4- ас(а_+ г) + Ьс(Ь + с) __

\Ъ — с) (с — а) (а — Ь)

____— а3— Ь3 — с3 — ЗаЬс — abc — abc — abc

(Ь — с) (с — а) (а — b)

д3 — js — сз — бабе _дз 4- до 4- fз _|_ babe

~ (b — c)(c— a) (a — b) (c—b)(a—c)(b— a) ~

' аз 4- г» — (д 4- 6)3 4- бабе

(c — b) (a — c)(b — a) ~~

__ — 3ab (a 4* b) 4- бабе _

(c — б) (д — c) (b — a) ~

__ 9abc

b'-c — be3 4- ас2 — a3c 4- a3b — ab3

Перемножив оба выражения и произведя
со {ращения, получим:

\ а б ф с J\b-c + c-a + a-bl~

К. Агрииский (Москва), Е. В е г е м а н
(Курск), А. Егоров (Демянск), В. 3 я б л и ц-
кий (Калинин), Б. Кобылин (Галич), В. Ко-
мендровский (Оренбург), К. Краевски л
(Урусовское), В. Лебедевская (Саратов),
П. Милов (Люблино), М. Носов (Свердловск),
И. Сергачев (Москва), А. Соловьев (Кали-
нин), Е. Соловьев (Одесса).

2. Показать, что

± + _LL_
X ‘ х(х4-1)

х (х г 1)(х4-2) + " ’ +

_________1-2-3...я _

' х(х 4-1)... (х 4- п — 1)

1 Г, 1-2-3...(я 4-1) I

х — 2 L х(х-|-!)...(« 4-д—1)J ’

Покажем, что если равенство справедливо
для некоторого п, то оно справедливо и для
«4-1.

х ~гх(х4- 1)~г"''г хД4 1)...(х 4-л— 1)
1-2-3.. .я(я 4- 1) =

‘л(х+ 1)...(х4-л — 1)(х-ь л)

_ 1 Г,_________1-2-3. ..(«4- 1)_I ,

х— 2[ х(х4- 1)...(х4-я — 1)| f

,_______1-2-3... л (n 4- 1)___ _

х(х+ 1)...(х4-п—1)(х4^)

1 L 1-2-3...(я 4-1)

х — 2[ х (х+ 1).. .(х 4- п — 1)
1-2-3...л(я4-1)(х —2) 1 _

х (x-t-1).. .(<4- п — 1)(х 4- п) | ~

= 1 Г, _ 1-2-3...(я4-1)[(х4-л)-(х-2)] |

х —2 [ х(х4- 1)...(х4-л)

= 1 Г, _ 1-2-3. ..(л+ 1)(л4-2)]

х —2 u x(v 4-1)...(х4- п) J ’

что и требовалось доказать.

Непосредственно убеждаемся, что равенство
справедливо для я=1. Следовательно, онр спра-
ведливо для л = 2, 3, 4 и т. д.

Е. В е г е м а н (Курск), Б. Кобылин (Галич),
К. Краевски й (Урусовское), Н. Сафонов
(Ярославль), А. Соловьев (Калинин).

3. Найти

lim I I4 -Г 2<i 4- о* . .4- я*|
п-»со [ Л£(12 _|_ 22 4-.. .4-У-9 | '

Принимая во внимание формулы:

14+244-ЗЧ- - -. 4-r-4 = i'K'i-h ’- )(2«4-1 )(3л24-3я-1),
ои

12 + 02 4- 32 4-...4-д2 =-А л (Я 4-1) (2Я 4-1),
будем иметь:

В-1-21 +...+п«

П2 (12 4-22-1- . . . 4-I.2)-
_6л(л4- 1) (2п 4- I) (Зл2 + За — 1)
— 30пЗ(Л-|-1)(2«4-1)

_3n» + 3n-l_ 1 / 3 1 \

5«2 5 \ "л tfi!

Следовательно:

,. Г 1* + 2* + - • +”* Г_
„ Ло к(12-г2*4-. . .4-л2)]

,. г 1 , з 11 з

t '?оо L 5 + Л I 5 '

К. А г р и н с к и й (Москва), Е. В е г е м а и
(Курск), А. Велланд (Москва), И. I пиши н
(Осташков), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. К о б ы-
л и н (Галич), В. Комендровск и й (Оренбург),
М. Носов (Свердловск), Ф. Р ы ж к о в (Кашин),
Н. Сафонов (Ярославль), А. Соловьев (Ка-
линин', Е. Соловьев (Одесса).

4. Решить уравнение

1_ _!_+_!___________L_____к.

х l-f-x ' 2-J-x 3-|-х 4-}-х~

+ Г/х — А-* + т~+ х=°’

Группируем:

(* + 7+*) ~ (1 4-х + 6 + х/

^2 + х + 5 + х) ~ (з~+х + 4+х

_ 7 -|- 2х 7 + 2х

х2 -,- 7х ж2 + 7х + 6 +

7 4- 2х 7 4- 2х

+ х24- 7х+Ю х»4-,7х4-12 —

= (7 + 2х) ( ^ + 7л. — Х2 4. 7х 4- 6 "I

1 1 \

+ х24-7х4-10 ха 4-7x4-12/

Отсюда:

1) 7 4- 2х = 0,

2) х2 4- 7х х2 4- 7х 4- 6

х34-7х ю х2 4- 7x4-12

Полагая

х2 -|- 7х = у,

получим:

LL--L-UM________________М =

у 4- 6/ ' ’у 4-10 у 4-12-/

6__________2 _

— у,2 4- бу +>24- 22у 4-120 ""’ °’

или

Зуз 4- ббу — 360 4- у2 4- оу = 4-« 4- 72у 4- 360 ₽= 0,

или

у2 4- 18у 4-90 = 0.

Решая это уравнение, найдем:

У'=9дЕ37.

Подставляя найденное значение у в выра-
жение

х24- 7х=у,

\
получим два квадратных уравнения, решив ко-
торые, найдем

_-7±У1Т+12/

*2.3 —------2-------

— 7 ± /13 — 12/

*w=---------2-------•

Е. Вегеман (Курск), Б. Кобылин (Га-
ли.ч), К. Краевский (Урусовское), П. Милов
(Люблино), Н. Сафонов (Ярославль), А. Са-
ло в ь е в (Калинин).

5. Решить систему уравнений:

/ax4-/fty = -.^ (x4-.y) = a4-Z>.

Имеем:

/ах 4- У by = а + Ь\ х 4- у = 2 (а 4- Ь).

Делаем подстановку:

/х = и; Уу = и.

Будем иметь:

Уа-и + У Ь-v = a-\-b', ifl 4- v2 = 2 (а 4- b',.

Определяем из первого уравнения и:
а 4- b —/У-»
“ /? ’

Подставляем во второе уравнение:
(a+b-vy b> + vi^2(a + b}t

или

а- 4-ft2 4- btfi 4- 2ab — 2 (a-f- b) Уb v 4- av2 =
= 2a(a 4- b)= (a 4- b)n2 — 2 (a 4- b) /Ft> 4-
4- (a 4- fr)2 _ 2a (a 4- b) ~ 0
®2 — 2 Vbv + b — a = 0.

Решая это квадратное уравнение, получим-
v=l/&±//>— b+a; t/ = /fr±/a.

Отсюда:

ц _ a 4- ft — /ft (/Ъ ± У a) _ a + Ь-Ь^У^Ь __
pa _ Уа

= j/a =P j/ft.

Итак, имеем:

x, = ( /a - /Г)2; yt = (/a 4- /fty-
xs = ( j/a4- ]/T)2; y2 = (/a —/ft)2

E. Вегеман (Курск), И. Гришин (Осташ-
ков), Б. Кобылин (Галич), В. Комендров-
ск и й (Оренбург), К. Краевский (Урусов-
ское), Н. М и л к о в с к и й (Нсвозыбков), П. М и-
л о в (Люблино), Н. Сафонов (Ярославль),
И. Сергачев < Москва! А. Соловьев (Кали-
нин).
6. Определить коэфициенты А и В трехчлена

Ах* 4- Вхз 4- 1

так, чтобы он делился иа (х — I )2.

Обозначив частное: ах'* 4" Ьх 4-с, будем иметь
тождество

Ах* 4- Вх* 4-1 = (*2 — 2х 4- 1) (ах* 4- 6х 4- с) =

— ах* 4- (Ь — 2с) к) + (а — 2Ь + с)х^ +

+ (Ь — 2с)х + с.

Приравнивая коэфициенты при одинаковых
степенях х левой и правой части, будем иметь:

с= 1;

Ь — 2с = 0; Ь = 2;

а — 2Ь 4- с — 0; д = 4 — 1 = 3.

В—Ь — 2д = 2 — 6= — 4,

А = д = 3

Итак, искомый трехчлен имеет вид:

ЗЛ — 4х’4-1.

К. Агрииский (Москва), Е. Вегеман
(Курск), А. В е п л а ид (Москва), И. Гришин
(Осташков), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. К о-
б ы л и и (Галич), В. Комендро век ий (Орен-
бург), К. Краевский (Урусовское), Н. М и л-
конский (Новозыбков), М. Носов (Сверд-
ловск), Н. Са ф о н о в (Ярославль), И. Серга-
чев (Москва), А. Соловьев (Калинин).

7. Найти треугольник, стороны которого
выражаются целыми числами, а площадь н сумма
трех высот выражаются одним и тем же числом.

Так как:

2s = aha = bhb = chc,
то из условия задачи будем иметь:

Задача сводится к отысканию целых значе-
ний для а, Ъ и с, удовлетворяющих уравнению (1).

Из всех присланных решений только одно
„ета"ыю исследует вопрос и дает исчерпываю-
щий ответ. Это решение принадлежит 15-л е т-
нему ученику X класса Курской
средней школы № 5 Евгению Веге-
ман у. Все остальные решения или дают одно,
полученное путем подбора, решение, или, давая
верный ответ, не до конца исследуют уравнение
с достаточной строгостью.

Приводим решение Е. Вегемана.

Рассмотрим два случая.

I. Между стиронами треугольника нет рав-
ных.

Пусть

а > Ь > с. (2)

Кроме того, из уравнения (1) следует:

д>2; Ь>2; с >2. (3)

Из уравнения (1) находим:

1 1 1 1 be— 2Ь — 2с

а 2 b с 2Ьс

Так как из (2) а > Ь, то — < = и, следо-
' а Ь

вательно, из (3)

6с — 2ft — 2с _L .

2bc b '

be — 2b — 2c < 2c; b (c — 2) < 4c; b < - .

Отсюда:

Ho no (2) b > с, следова гельно 4 > с - 2,
откуда, приняв во внимание (3), найдем:

2 < с < 6. /б'

Итак, с может быть равно лишь 3, 4 н 5.

Рассмотрим все эти три случая.

а) с=3. Тогда:

J.J.—I —1-J.__________L- — 6

а ' b 2 3 ’ а "* 6 b 66 ‘

Отсюда:

д==

Ь — 6‘

Но а > Ь, следовательно:

6 . 6 .

Ь — 6>Ь’ Ь — 6>1,

6 > Ь — 6,

или

Ь< 12.

Кроме того, выражение

66 _6ft —35 4-36_с , 35

Ь -6“ Ь — 6 + 6 —6

(6)

(7)

должно быть целым числом. Следовательно,
Ь — 6 должно быть делителем 36. Из (6) и (7)
следует, что Ъ — 6 может быть равно лишь 1, 2,
3, 4 [при b — 6= 6 уже нарушается условие (6)]

Гак как с = 3, то, давая b одно из значе-
ний 7, 8, 9, 10, легко вычислим а. Составим таб-
лицу:

6 — 6 С ь а
1 3 7 42
9 3 8 24
3 3 9 18
4 3 10 15

Все четыре решения удовлетворяют уравне-
нию, но не дают решения задачи, так как во всех
случаях мы имеем

а > b 4- с.

1то противоречит основному свойству треуголь-
ника.

в) Пусть с =4. Тогда:

J _ J J 6 — 4.
а 4 6 46 ’

д> ft;

4ft
a~b— 4

Отсюда:

b <8.

Кроме того:

46 46- 16 4- 16 „ , 16

6-4 6-4 6 —4
должно быть целым числом. Следовательно, Ь — 4
является делителем 16, т. е. может принимать
лишь значения 1 и 2, а Ь, соответственно, 5 и 6.

Составляем таблицу:

с Ь а

4 5— 20

4 6 12

Оба решения удовлетворяют уравнению, но
ответа на задачу не дают по той же причине,
что и в случае (а).

с) Исследуя таким же способом случай с —
= 5, найдем два решения уравнения (1), которые
оба непригодны.

Итак, не существует трех различных чисел,
удовлетворяющих условию задачи.

11. Между сторонами треугольника есть
равные.

Пусть
а = Ь,
тогда

1 1 2 а — 4 2а

_—--------—- ----- • с — ---.

с 2 а 2а ’ а — 4

Так как с целое число и

2т _ 2д - 8 4- 8 8

С а — 4 а — 4 'а —4’

то а — 4 делит 8. Следовательно, а — 4 = 1, 2, 4, 8
и а = 5, 6, 8, 12.

Составим таблицу: \

а Ь с

3 5 16

6 6 6

& 8 4

12 12 3

Первое решение не годится. Следовательно
имеем три решения задачи.

Е. Вегеман (Курск), Б. Кобылин (Га-
лич), А. Соловьев (Калинин).

8. Построить треугольник АБС по стороне b
и высоте ha при условии, что сторона вписанного

Отсюда:

Но

откуда:

или

aha — 2ar= 2har,
-^:=r(a+!"a).

S=^ = pr,
pr=r(a-j-ba),
P = a+ ha.

Покажем, что это равенство невозможно.
В самом деле, из чертежа 1 находим:

b<ha + CD\ c<ha + DB;

b 4- с < 2ha + CD + DB,
b + c < 2ha 4- a’,
a + b 4- c < 2ha 4- 2a;

P < ha + °-

Таким образом, треугольник, удовлетворяю-
щий условиям задачи, невозможен.

Е. Вегеман (Курск), А. С оловьев (Ка-
линин), И. Туми некий (Волоколамск).

9. Найти треугольник, у которого сторона и
одна из высот образуют ряд последовательных
целых чисел. Пусть четыре последовательных
целых числа будут:

х; х -|- 1; х 4- 2; х 4- 3.

Так как высота BD, опущенная на сторону АС,
должна быть меньше каждой из остальные сто-
рон, то h может быть равно х или x-f- 1, но при
/I — х 4- 1 будем иметь:

AD— |/(х4-2Я — (х4 И2!

DC= |/(х4-ЗЯ —(х 4- I)2.

откуда: ______________

ZC = /(t4-2)a-(x4-l)2 +
4-/(х 4-З)2 — (х-Н)2 = х.

Последнее же уравнение целых решений не
имеет (в этом легко убедиться, освободив уравне-
ние от радикалов и испытывая в полученном ура-
внении четвертой степени целые делители сво-
бодного члена). Следовательно: h — x.

Вычислим площадь по формуле Герона. В дан-
ном случае:

Р =

Зх 4- 6 х 4* 4

откуда:

(3x4-6)(х 4- 4)(х 4- 2)х'

в этот треугольник квадрата, две вершины ко-
•орого лежат иа ВС, равна диаметру вписанной
треугольник окружности.

Из чертежа 1 находим:

СВ АР

EF~~ АМ'

Или, так как EF= MD = 2r:

2r~ha — 2r‘

В зависимости от того, на какую из сторон:
х4-1; х4-2; х4-3 опущена высота х, будем
иметь:

1 У(3х4-6)(х4-4)(х4-2)х = XSX+V., (1)

ИЛИ

1 /(Зх 4- 6) (х 4- 4) (х 4- 2) х = х(х + 2>, (2)
/(3x + 6)(x-f-4)(x + 2)x = Х(Х24'- . (3)

Исследование этих трех уравнений показы-
вает. что только (2) дает целое решение для х,
именно х=12. Таким образом, иске мый треуголь-
ник имеет: ft—12; а=14; ft=13; с=15 (из
присланных решений полное исследование всех
случаев проведено Е. Всгемачом).

К. Агрииский (Москва), Е. В е г е м а и
(Курск), А. Вепланд (Москва), В. Ефимов
(ст. Сходня), Б. Кобы л чв (Галич), К. Краев-
ский (Урусовское), П. Милов (Люблино),
П.Сергеев (Москва), А. Со л о в ье в (Калинин).

10. Доказать, что если в треугольнике со сто-
ронами а, Ь, с имеет место соотношение ft2 — с2 =
— 2а/?, то В— С=90°.

По известной формуле:

a — 2z?sinA; b—2R sin В; c = 2RsinC.

Подставляя эти соотношения в данное, будем
иметь:

4/?2 sin2 В — 4 R2 sin2 С — 4R1 sin А,
или

sin2 В — sin2 С = sin А.

Преобразуем левую часть:

sin2 В — sin2 С = (sin В -f- S-.i С) (sin В — sin С) =
о . В + С В-С - В+С.В-С
= 2 sin —— cos —2--2 cos —2— sm —=

— sin >В + С) sin (В — С) =

sin (180° — A) sin (В — С) — sin A sin (В — С).

Итак, имеем:

sin A sin (В — С) = sin А,
откуда:

sin(B—С)=1, В — С = 90°.

К. Агрииский (Москва), Е. В е г е м а и
(Курск), А. Егоров (Демянск), В. Е ф и м ов
(ст. Сходня), Б. Кобы л кн (Галич), В. Ко м е и -
дровский (Оренбург), К. Краевски й (Уру-
совское), Н. Милковский (Новозыбков),
П. М и л о в (Люблино), Ф. Рыжков (Калинин),
А. Соловьев (Калинин).

11. Дан круг и вне его течка А. Найти гео-
метрическое место таких точек Л4, чтобы расстоя-

ние МА было равно длине касательной МТ, про
вед :ниой к окружности из точки М.

Проведем из точки А касательные АВ и АС.
Середины отрезков АВ и АС удовлетвоояют
условиям задачи. Покажем, что этому условию
удовлетворяет любая точка прямой, проведенной
через точки М, и М^.

Из Л 0DM находим:

DM2 — OM2 = R2 (1)

Из Д ОЕ И:

ОМ2=ОЕ2 i-ME2 (2)

(так как А8 = АС; AMt = А.Щ; АЕ _]_ЛШ2)

Из △ АЕМ-.

МЕ2 = АМ2 — АЕ2. (3)

Подставляя выражения для ОМ и ME в (I),
получим:

DM2 = ОЕ2 + АМ'2 — АЕ2 — /?2,
или

DM2 — АМ2 = ОЕ2— АЕ'- — /?2 const.

Но для точек Mt и ВМ^— АМ^ = 0 и
СЛ1| — АМ} = 0.

Следовательно: ОЕ2 — АЕ2 — R- = 0 и
DM2 = АМ2.

Откуда:

DM = А И, ч. т. д.

Построение очевидно; оно дано в начале ре-
шения.

Е Вегеман (Курск), А. Егоров (Демянск).
В. Комендровский (Оренбург), К. Краев-
ский (Урусовское), А. Соловьев (Калинин

12. Через середины трех ребер куба, выхо-
дящих из одной и той же вершины трехгранного
угла, проводят плоскость, отсекающую от куба
пирамиду; найти полную поверхность и ооъем
тела, получающегося после отсечения таких пи-
рамид из всех вершин кчба.

S — SKy6a — 24S Ддлс — 8S Ддвс- ^кубя =
о _____________ I а а а2

^/\АВС q ’ 9 2 g *

BC=LB=DC=^~; H=DK=n^-.

_ 1 аУ~2аУб "я/з

Л Лове — ~2 ---~~ ~8~~ ’

а2 а2 Уз*

5 = 6а2 — 24"-)8—У— = бл’—За2 +

+ а2/У=а2(3-{-/3).
Далее:

'Z= Цсуба ~ 8 VAB CD*

V — 1 9 DA= 1 •- —— -

Удвщз—3-Ьдвс л 3 8 2 48'

у— а® — 8--- = а3 4 — — = — а3.

48 6 6

Е. Вегеман (Курск), Б. Кобылин (Га-
лич), В. Комендровский (Оренбург),
Н. М и л к о в с к и й (Новозыбков), Н. Сафонов
(Ярославль), А. Соловьев (Калинин).

13. Доказать формулы:

я У 2 J- /6

C0S12 Г 4

tg J = /2 t/6-/3-2.

Имеем:

л / гс гс \

cos--cos^T-g) =

я я . я я

= C0S -.-COS—т —sin- sin ——

4 b 4 6

_/2]<3 /2 1 _/6 + /2 .

— 2 2 + 2 ’ 2~ 4

1 *

^l-cos-
tg 24 .It '

1П 12

Вычислим sin — :

. * + уем

sml2~' ------4 J =

Теперь имеем:

У6 + У2
it 4 _ 4—(/6 4-/2)^

^24“ j/6 —уТ Уб — /2

4(Уб + У2 ) - (Уб + У2 )2 _

4 ’

= Уб + У2 - 8 + 4tZ = /6 + У 2 - Уз - 2.

К. А г р и и с к и й (Москва), Е. В е г е м а и
(Курск), А. Вейланд (Москва), И. Гришин
(Осташков), А. Егоров (Д е лянск), В. Ефимов
(ст. Сходня), Б. К о б ы л и н (Галич), В. Коменд-
ровский ^Оренбург), К. Краевский (Уру-
совское), Н. Милковский (Новозыбков),
П. Милов (Люблино), Ф. Рыжков (Калинин),
Н. Сафонов (Ярославль), А. Соловьев (Ка-
линин).

14. Показать, что если а4-₽4-у4-8 = 0, то

_tg a + tg ? + tg T + *g 8 = tg a tg ₽ tg у tg 8.

cos a r cos p 4- cos у -f- cos 8 s b r 6 1 6

Так как, кроме условия a 4- ₽ 4- у -f- 8 = О,
на эти углы не наложено никаких ограничений,
то положим:

у = — а; 8 = — р.

Будем иметь

tg a -f- tg В — tg а — tg В . „ . „ ,

—— ———--------------— tg2 a tg2 В.

cos а-|-cos рcos a-f-cos р ь » г»
или

2(coSa0+cospj-tg2atg2p-

При cos а-|-cos р 0 (что мы можем пред-
положить) левая часть равенства равна нулю,
вторая же при a 7^ О и f=£0 не равна нулю.
Р1венство невозможно.

Е. Вегеман (Курск), А. Соловьев (Ка-
линин), И. Тумииский (Волоколамск).

15. Обозначая через г и R радиусы вписан-
ного и описанного кругов около А ЛВС, дока-
зать, что площадь его равна

S = г2 etg -у 4- 2Rr sin А.

Воспользовавшись формулами-

S = гр; ~~r а — etg-^ ; a —2/? sin Л.

будем иметь:

S = rp = r(p — a) 4~ ra = г2 etg — -f-2A>sln А.

К. А г р и н с к и й (Москва), Е. Вегеман
(Курск), А. Вепланд (Москва), А. Егоров
(Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобы-
лин (Галич), В. KoMenflpoBvKHft ^Оренбург),
К. Краевский (Урусовское), Н. Милков-
ский (Новозыбков), П. Милов (Люблино),
А. Соловьев (Калинин).

16. Решить систему j равнений:

a sinx 4” &sin_y= a; a cosx -f- bcosy = b.

Возведем оба уравнения в квадрат и сложим:
a2 sin2 х -j- b3 sin2 у 4- 2ab sin х sin у 4- а2 соь2 х -f-
4- ft2 cos2у 4- 2ab cos x cos у = a2 4- b3,
или

a- (sin2 x 4- cos2 x) 4- &2 (sin2j 4- cos2y) 4-

4- ~ab (cos xcos_y 4- sin xsin_y)= ol4* &2-
a14" b3 4- 2ab cos (x—y) = a3 -f- b3.

Отсюда:

cos (x — y) = 0,
x — у - 90° 4* Ait.

B зависимости от четности или нечетности k
будем иметь

1) х — _у + 90° 4- 2 An; sinx = cosj/;
cos х — — sin у.

Делая подстановку в данные уравнения, по-
лучим:

a cos у 4- b sin у = а,
a sin у 4- b cos у = Ь.

Исключая sinj', найдем (беря наименьшие
значения):

(а3 4- Ь3) cos у = О' 4- Ь3,
cos 1,

_р = 0°, х---у 4-90° = 90°.

2) х—у 4- 270° 4- 2Ait; sin х = — cos у;

cosx = sinjz.
Таким же путем, как и в случае (1), найдем:
2ab . <fi — b*
sinj' —a2^_fr2: sin х — a2+6a

/,я — да 2ab

= COS^ = 5T+P*

откуда определяются х и v.

Е. В е г е м а н (Курск), А. Веплаид (Мо-
сква), А. Егоров (Демянск), К. Д е м и й (Харь-
ков), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобылин
(Галич), В. Комендровский (Оренбург),
К. Краевский (Урусовское), Н. Ми л ко в-
с к и й (Новозыбков), А. Соловьев (Калинин)

17. Определить вид треугольника, в котором

. . sin В -f- sin С
sin A ---------------;

cos ti -f- cos C

имеем

2 sin
sin А =-------

2 cos

4-C B—C
2—cos—2-

y-c°s

B-C

A
cos

. A
sm^-

или

n . A A

2 sin -^cos^

A
cos 2
. A
sm 2

Отсюда:

( 2 sin2 — — 1) cos ~—0;

A A

cos -2' = 0; — = 90°; Л =180° —реше-

ние не годится.

2) sin2^-=-i ;sin A =

A = 45°; Л = 90°.

К. Агринский (Москва), Е. Вегеман
(Курск), И. Гришин (Осташков) А. Егоров
(Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. К о б ы-
л и и (Галич), В. Комендровский (Орен-
бург), К. Краевский (Урусовское), Н. М и л-
к о в с к и й (Новозыбков), И. Сергачев (Мос-
ква), А. Соловьев (Калинин), Е. Соловьев
(Одесса).

18. Доказать, что число вида

72п _ 48л — 1

кий (Калинин), Б. Кобылин (Галич), В. К •-
меидровский (Оренбург), Н. Курицын
Ярославль), Н. Милковский (Новозыбков),
П. Милов (Люблино), Ф. Рыжков (Калинин),
А. Соловьев (Калинин).

19. Найти:

i 1 „

1 — cos х — sin’x
lim ----------------------.

х-»о *|П 1 х

Имеем:

1 — cos х-----s*n2 х

sln3x

2 sin2 *2--2 sin’ — cos- --

8 sin3 * cos1 -^~

sin^K1 - cos9 f) _ 1 - cos2

4 sin3 cos3 4 sin-^- cos’

, „ x . x

sin2 sin —

Л x > x Л „ x

4 sin — cos’ — 4 cos3 —-

2 2 2

Отсюда:

1 — cos x —i sin2x
_________________“__________
lim sin3x
x-»o

, x

г ’З" 0 n

u4.cos3 —

E. Вегеман (Курск), А. Вепланд
(Москва), И. Гриш и н (Осташков), А. Егоров
(Демянск), В. Ефимов (ст. Сходня), Б. Кобы-
лин (Галич), В. Комендровский (Орен-
бург), К. Краевский (Урусовское), Н. Мил-
ко в с к и й (Новозыбков), А. Соловьев (Кали-
нин) Е. С о л о в ь е в (Одесса).

20. Показать, что при целом н положительном
SB = 1 - (л-1) -(4) +

_ (И - 3) (л - 4) (л - 5) / 1 \в

делится на 2304.

Имеем:

72« — 48л — 1 = (48 + 1)п- 48л — 1 =

= [48« + п48«"<+ П(П ~1) .. +

+ 482 + л48 -f- 1] — 48л - 1 =

= 48а рЗ»-2 + л48п-з + ...-(-

Введем обозначения:

$L=2»Sb; S„11 = 2-‘S„_1; SbL2 = 2-2SB_a

Итак, данное выражение делится на 48’= 2304.

К. Агринский (Москва), Е. Вегеман
(Курск), А. Веплаид (Москва), И Гришин
(Осташков), А. Егоров (Демянск), В. 3 я б л и ц-

и т. д.

Вычислим разность

2 51„_1-5^_22Х;_1 = 2"-(л-2)2л-2 +
(л-_3)(л-4)

1-2

(л — 4) (л ~ 5) (л — 6) 9в ||

1-2-3 ~
S],_2 3. 2«-2 + (л - 3)2«-*

__ (н-4)(я-_5)
1-2

2SL 1 -Si_2 = 2»-[(«-2) 2"“ +2Л-21 +

+ 2«-4 + ;п - 3) 2«-* j -

I (п — 4) (и — 5) (я — 6) 9л_с _

| 1-2-3

_ (n-4)(n-5) 9n 1

1-2 “ ] т ’

S1„_1-S1n_2=-2n-(„ -1)2п-б +

(я 2)(Л -3) 9п_„

1-2

(я - 3) (я — 4) (л — 5) _9Л_С ,

1-2-3 “ Г‘“

Сравнивая с данным рядом, имеем:

S,n^2S1„_1^S}l_2.

или

с'__ ci ____с1 с’

° л °п — 1 — ^л — 1 — ° л — 2 •

Таким образом, найдем:

$л ~ — 1 — $л — 1 — $л — 2^ 5* _ 2 — 5Л_ 3 —

= >.. = $’ -S’ = S’- 5}.

Но

S2 — 5i = 2 * *|^2 - 2.^ = 22-— 2-1 = 3 — 2 = I.

Отсюда

S’ = S}+1 = 2 4-1=3; S’ 3 4-1 = 4;

S^ = 5... 5Л= п + 1;

ИО

S1 = 2^5

откуда:

с - S«-l±l
п 2п *2/1

Е. Вегеман (Курску
8АДАЧП

1. Доказать, что если т и п целые положи-

Лльные числа и т > п, то

сдси LnGw-lT слст-2~слс/л-3'Г

+ •••+(- 1)<С”_„+

где С? означает число сочетаний из р элемен-
тов по q.

И. Тумииский (Волоколамск).

2. Решить уравнение

(х9- — 6х + 10) (Xi - 8х 4 17) = /б.

И. Тумииский (Волоколамск).

3. Доказать, что во всяком треугольнике
$=М,

где S площадь, г радиус вписанного круга, а
а, ₽ и у — отрезка сторон, отсекаемые точками
касания вписанной окружности

4. Доказать, что, если биссектрисы двух уг-
лов треугольника равны, то треугольник равно-
бедренный.

5. Доказать, что

6252Д+‘ + 4- 1252?+ ‘ + 150-252? 4 20-52? 4. у

делится на 1296.

6. Решить уравнение

х» 4- 2 1/х»4-6х = 24 — 6х.

7. Решить систему уравнений:

х* -f 4у* = a; jfl 4- 2xj/ 4- 2js = b.

8. Решить систему уравнений:

ху(х4-У — х) = 6; yz(y + z — х)=60;
zx (z 4- х — у) = 24.

9. Задача Архимеда (из трактата .Леммы")*.
Если в круге две хорды пересекаются под пря-
мым углом, то сумма квадратов, получившихся
от четырех отрезков хорд, равна квадрату диа-
аметра.

10. Задача Архимеда (из трактата .Леммы").
Дан полукруг. Точкой А диаметр полукруга де-
лится на два отрезка. На этих отрезках, как на
диаметрах, построены полукруги (по одну сто-
рону с дани .iM полукругом). Доказать, что пло-
щадь фигуры, ограниченной полуокружностями
(арбелон), равна площади кру га, диаметр кото-
рого равен длине перпендикуляра к диаметру
в точке А, до пересечения его с окружностью.

11. Задача Телена. Пять разбойников отняли
у прохожего кошелек, наполненный дукатами. Са-
мый сильный из них взял 81 дукат, каждый из
четырех остальных взял неодинаковую сумму;
вследствие неравного раздела возник спор;
пришедший в то время атаман приказал, чтобы
тот, кто взя I больше всех, удвоил каждому
из остальных число его дукатов и чтобы го же
самое сделал затем захвативший второе по ве-
личине количество дукатов, потом захвативший
третье, четвертое и пятое.

В результате оказалось, что каждый из пяти
разбойников получил одно и то же количество
дукатов. Узнать, сколько дукатов было в кошель-
ке и сколько каждый захватил вначале.

От редакции. Всего за 1935 г. было по-
мещено 100 задач.

* В связи с пожеланием, высказанным в
письмах читателей, помещаем несколько исто-
рических задач.
СОДЕРЖАВ НЕ СБОРНИКОВ „МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ» ЗА 1934 г.

От редакции. Ввиду ряда писем читателей (оче-
видно имеющих или читавших разрозненные номера сбор-
ников) с просьбой дать сведения о содержании всех номеров,
редакция и помещает настоящий список. После названия
каждой статьи указан номер сборника, затем страницы начала
и конца статьи.

I. Научный и научно популярный о.'щл

Математика №

1. Проф. П. Беленовский. О ра-
циональных треугольниках . . . 3

2. Проф. П. Беленовский. Фи-
гурные числа . . . •.........4

3. Р. Бончковский. Заметка
о числе различных форм много-
угольников ......................4

4. Проф. М. Гребенча. Число е и
его значение в естествознании и
технике ........................ 2

5. Ч. Д о м б р о в с к и й. Применение
метода функциональных шкал к
решению треугольника по трем
биссектрисам внутренних углов . 3

6. Доц. С. 3 е т т е л ь. Об опреде-
лении длины биссектрис вну-
тренних и внешних углов тре-
угольника .......................4

7. Доц. С. 3 е т т е л ь. Об одном за-
мечательном случае неравенства
треугольников .................. 1

8. Доц. С. 3 е т т е л ь. Теорема Жер-
гона и следствия из нее..........3

9. Проф. М. Зимин. О тригономе-
трических тождествах вида/(siп)=
=/(cosx).........................1

10. И. К а с т р о в и ц к и й. Общие
признаки делимости...............3

11. Проф. Л. К peep. Алгебраиче-
ские уравнения ................. 2

12. В. К р ы ж а н о в с к и й. Построе-
ние ряда самостоятельных гео-
метрий ..........................4

13. Доц. В. М о л о д ш и й. 11 Все-
союзный математический съезд . 3

14. Проф. С. Поляков. Доказатель-
ство теоремы Паппа — Гульдена
методом неделимых................3

15. Проф. И. Чистяков. Несколько
замечаний о прогрессиях .... 1

16. Проф. И. Чистяков. О квад-
ратных уравнениях .............. 4

17. Проф. И. Чистяков. О но-
вейших исследованиях в об-
ласти древнейшей истории мате-
матики .................... 1

то же (прод.) 2

то же (оконч.) 3

18. П. Я к о в л е в. Обобщение тео-
ремы Пифагора....................2

Стр.

20—27

9-12

12-15

15-29

30-31

15-18

10-14

23 29

14-15

14—20

6-14

4— 8

3— 8

31-34

5-17

18—23

5-10

3- 5
18-13

29-30

Физика

1. Проф. Б. Воронцов-Велья-
минов. Космос и развитие фи-
зики ........................ 3 35— 42

2. Инж. 3. Гинзбург. Основные
идеи телевидения............. 1 38— 44

3. Доц. Ю. К у ш н и р. Фотоэлек-
трический эффект и его приме-
нение ........................1 32— 37

4. Проф. П. Лобко. Из истории
установления метрических мер . . 1 18— 32

5. Е. Островский. Магнитная
дефектоскопия металлов...... 4 29- 35

6. Е. Островский. Ультразвуки
и их применения...............2 56— 60

7. В. П у л ь ве р. Космические лучи. 2 42— 55

8. Асе. И. Туроович. Элементар-
ные частицы ................. 2 30— 42

9. В. Фурдуев. Запись звука в
звуковом кино................ 3 42— 49

10. Про.Ь. К. Чибисов. Физиче-
ские основы фотографии .... 4 23— 29

Астрономия

1. Г. Г у р е в. Конечно ли простран-
ство вселенной................2 61—69

2. Н. Л ь в о в. Измерение звездных
расстояний................... 3 49— 59

3. Проф. П. Попов. Энергия
Солнца и звезд и ее источники . 4 34-41

II. Общая п частная методика

Математика

1. В. А н г р о п о в. О кологарифме . 3 86— 87

2. Е. Бедловский. Идея функ-
циональной зависимости вели-
чин в математике средней шко-
лы .......................... 4 42— 50

3. М. Берг. Обратные круговые

функции в средней школе ... 4 66— 72

4. М. Берг. Учение о мнимых чис-
лах в средней школе . . 2 98-103

5. Проф. Е. Березанская. Алге-
браические дроби с одночлен-
ным.! знаменателями.......... 2 94— 95

6. Д. В о л к о в с к и й. Зависимость
между членами арифметических
действий..................... 3 70— 72

7. Д. Волковский. К вопросу

о признаке делимости на 8 . . . 4 76— 78
Й Д. Воронов. Самостоятельное
составление учащимися арифме-
тических задач...................2 91- 93

9. А. Грошев. Геометрические за-
дачи, заимствованные из меха-
ники ............................4 61—66

10. В. Ефремов. Первые уроки
при прохождении тригонометри-
ческих уравнений................ 4 72— 76

11. Е. Загоскина. Площадь пря-
молинейных фигур................ 1 66— 69

12. Н. Зерченинов. Как прово-
дить поверочные испытания по
математике...................... 1 78— 81

13. Г. К л юча ре в. К вопросу о вы-

воде формул сложения и вычита-
ния углов, основанном па рас-

смотрении площадей........... 3 87— 88

14. П. Ларичев. Годовой произ-
водственный план работы по мате-
матике в средней школе .... 2 77— 81

15. П. Ларичев. Система уравне-
ний первой степени...............1 61— 66

16. П Ларичев. Квадратные урав-
нения ......................... 1 70— 77

17. Н. Островский. Метод со-
ставления уравнений первой сте-
пени с одним неизвестным ... 3 76— 84

18. Д. Павлов. Больше внимания
арифметике.......................4 126—130

19. В Петров. Деление на дробь . 2 87— 90

20. П. С а п у н о в. Извлечение квад-
ратного корня из многочленов
как метод разложения многочле-
нов на множители и решения
уравнений....................... 3 84— 86

21. П. Сапунов. Решение задач
методом составления уравнения
с одним неизвестным............. 3 72— 75

22. В. Скворцов. Один из спосо-
бов построения квадратных кор-
ней .............................2 143-143

23. В. С н н г и р е в. Буквенные выра-
жения ......................... 1 57— 61

24. Г. С т а л ь к о в. Домашние зада-1
ния по математике............... 2 70— 77

25. Е. 3. Способ быстрого возвыше-

ния в квадрат некоторых чисел . 2 143—144

26. Ф. Циглер. Элементы исто-
рии математики в средней шко-
ле ..............................3 122—128

Физика

1. Доц. А. Белогорский. Неко-
торые пояснения к опыту с раз-

борной лейденской банкой ... 4 92— 94

2. Доц. А. Белогорский. Неко-
торые указания при работе с
универсальным мостиком Коль-
рауша ...............• .... 1 84— 85

3. Доц. А. Белогорский. Неко-
торые явления, наблюдаемые во
время кипения под уменьшенным

.давлением............... .3 105—106

4. Доц. А. Белогорский. Опре-
деление коэфицпента поверхно-
стного натяжения..............3 103 -105

5. Проф. Д. Галанин. Как пока-
зать парадокс Паскаля........4 101—104

6. Проф. Д. Галанин. Набор при-
боров для лабораторных работ по
геометрической оптике....... 4 78— 81

t. Е. Г о р я ч к и и. К вопросу б ме-
тодике преподавания трехфазного
тока............................

8. С. Иванов. Как дать характери-
стику и классификацию движе-
ний в VI классе ................

9. Н. Иващенко. Демонстрация
экстратоков ............

Ш. Проф. А. Калашников. Опыт
систематического применения из-
мерителей по физике ... . .

11. Проф. А. Калашников и асп.

В. Юськович. Опыт проведе-
ния хронометража лабораторных
работ по физике ... . .

12. Проф. А. Калашников и асп.

В. Юськов ич. Педагогические
требования к письменным рабо-
там по физике ..............

13. В. К ю н ц е л ь. Определение по-
казателя преломления жидкости .

14. А. Лебедев. Молекулярная фи-
зика газов .....................

15. А. Лебедев. Молекулярная фи-
зика жидкостей .... ...

16. И. Малышев. Модель дей-
ствия генератора постоянного
тока............................

17. М и р о ш н и ч е н к о. Вентильный
выпрямитель Гретца..............

18. Е. Островский. Постоянные
магниты, материал для них и
способы их намагничивания . . .

19. Н. Плешков. Определение
длины световой волны с помощью
проволочной сетки

20. Н. П л е ш к о в. Определение ча-
стоты перемен переменного тока
методом звукового резонанса . .

2'. С. Прокофьев. Демонстрация
геометрического сложения коли-
честв движения при помощи
струек жидкости.................

22. С. Прокофьев. Определение
скорости вращения при помощи
камертона ......................

23. И. П т а ш и н с к и й. Ознакомле-
ние с природой электрического
тока на занятиях по физике . . .

24. П. Ромадин и А. Диденко.
Методические разработки темы
„Законы Ньютона* для VIII класса.

25. А. Романский. Анилин в
демонстрациях молекулярных
свойств жидкостей .

26. В. С и р о ч и и с к и й. Несколько
приборов по физике..............

27. И. С у т ч е в. Стробоскопический
способ определения частоты коле-
баний струны............... ...

28. Г. Фалеев. Демонстрация стоя-
чих волн........................

29. Г. Фалеев. Первые занятия по
физике..........................

Зи. Г. Фалеев. Проработав законов
Ньютона в <11 классе . . . .

31. Б. Флоринский. Демонстра-
ционный фотоэлемент ............

32. Проф. И. Ч е л ю с т к и н. Исто-
рический обзор важнейших на-
правлений в методах и организа-

3 82 88

2 113-117

4 94- 95

4 97-101

4 95— 97

4 56- 60

4 133-133

2 127—130

2 131—133

4 130-132

3 120 -121

2 134-140

3 116 -117

1 82 - 83

3 102-103

3 101—101

2 140-142

3 88—101

4 81- 82

4 105—115

3 106-115

1 83— 83

2 104-112

2 117—127

3 117—120

ш
ции преподавания физики в бур-
жуазной и советской школе ... 4 50— 56

33. Дел. Т. Щербакова. Состоя-
ние преподавания физики в сред-
ней школе в 193: /оЗ учебном
году............................1 45— 52

Астрономия

1. Э. Галлер. Небесный глобус,
заменяющий подвижную карту
неба . . .... 4 88— 89

2. М. Набоков Самодельные мо-
дели и приборы к курсу астро-
номии ......................... 4 89— 92

3. Проф. П. Попов.’ Работа по
астрономии в школе в осенне-
зимний семестр . ....... 2 82— 8'3

4. Проф. П. Попов. Состояние
астрономических знаний в шко-
ле .............................1 52— 56

III. Вопросы преподаванья за границей

I. А. Барсуков. Программа по
математике в средней школе
Франции...........................1 86— 91

2. Проф. И. Кавун. Американская
методика математики и ее библио-
графия ... ..............4 116—123

3. Асп. В. Юс ько в и ч. Матема-
тика на службе Третьей импе-
рии ..............................4 123—124

4. Асп. В. Ю ськович (перев.).
Определение длины световой
волны при помощи почтовой
открытки..........................4 125—125

IV. Критика и библиография

[.А. Белогорский. Бракоделы
за работой.......................3

2. М. Берг. О приемных испыта-
ниях в Л1осковский электро-
институт ........................4

3. А. Б е л е ц к и и. Заметки о ста-
бильном учебнике физики для
V класса ....................... 2

4. Д. Гончаров. Вопросы препо-
давания математики в периодиче-
ской литературе..................4

5. Г. К и л а ч и ц к и и и Ф. До ш и,

1) Курс арифметики, 2) Элемен-
ты алгебры и 3) Задачи и уп-
ражнения по арифметике .... 4

6. Н. Л. Книги по астрономии ... 2

7. . . . . ... 3

8. В. М. Книги по математике ... 2

9. . . . . ... 3

10. В. Море в. Методико-математи-
ческая библиография по темам . 3

11. Н. П а в ш а, Справочные таблицы
по физике проф. А. Н. Бачин-
скогоиК. А. Путилова. . 4

12. В. Поляков. Наглядные посо-
бия по математике................2

13. Д. Сахаров. Я. И. Перельман —
.Знаете ли вы физику?" .... 4

14. Сол ев. Диапозитивные филь-
мы в помощь преподавателю
физики...........................3

15. Проф. И. Ч п с г я к о в. Итоги
Ленинградской математической
олимпиады ..... ................ 4

16. С. Ч у к а н це в. О четырехзнач-
ных математических таблицах
Брадиса..........................3

132-133

135—138

145-148

139-140

147-149

148-150

134-135

150-151

135-136

140-147

151-151

149- 151

136-137

134-136

129—132

СОДЕ?Е1А1ШЕ ЖУРНАЛА „МАТЕМАТИКА И ФЛЗИКА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ"
ЗА 1935 г. № 1—5

I. Научный и научно-популярный отдел

Математика № Стр.

1. Проф. С. Богомолов. Сумма
•’лов вогнутого многоугольника 5 28—29

2. Р. Боичковский. Покрытие
плоскости конгруэнтными четы-
рехугольниками ........ 2 12—14

3. Проф. М. Г ребенча. Решение
неопределенных уравнений пер-
вой степени....................1 3— 8

4. Доц. А. Д е м м е. О многолепеет-
ковых розах как геометрическом
месте точек....................1 8—14

5. Доц. С.Зеттель. О вычислении
сторон и апофем правильных 12-
угольника и 24-угольиика ... 2 14 -16

6. Доц. С. Зеттель. О шестиуголь-
никах, вписанных в треугольник 3 13—18

7. Р. И г л и ш. *4 делении угла на
три равные части............... 5 27—28

8. Проф. Н. Извольский. Гео-
метрическое учение о площадях 2 3—12

9. И. К а с т р о в и ц к и й. Свойство
биссектрисы внутреннего угла
тре} гольника................. 5 29—29

10. Проф. Л. К р е е р. Неопределен-
ные уравнения-.................3 3—13

11. Доц. Ё. Молодший. Энгельс и
математика.....................4 8—14

12. Д-р В. Серпинский. Сечение
(пер. с польского).............4 14—27

13. М. JU а й к е в и ч. Случай появле-
ния посторонних корней в ирра-
циональных уравнениях с ради-
калами третьей степени ..... 5 25—26

Физика

1. Доц. В. Грановский. Движе-

ние атомов и предел точности
физического эксперимента ... 3 18—27

То же (оконч.)....................4 35—44
1 Научн.сотр.И. Касаткина. Тя-
желая вида.......................1 14 —22

i. А. Романский. Поверхностная
энергия твердого тела............2 15—23

I. А. Романский. Процесс кри-
сталлизации .....................5 3—14

5. Научн. сотр. Г. С и дорен ко в.
Получение рентгеновых лучей и
их природа.......................1 23—33

Б. Инж. Г. Т я г у н о в. Катоды элект-
ронных ламп..................... 4 28—36

7. Н. Хлебников. Применение
фотоэлементов и тиратронов . . 5 14—26

8. Н. Хлебников. Фотоэлементы
и их характеристики............. 3 27—38

Астрономия

1. Ппоф. Борон нов - Be л ья ми-
иов. Новая звезда в созвездии
Геркулеса....................... 2 23—32

2. Доц. 11. П а р е и а г о. Новейшие
успехи астрономии................1 33—38

3. Проф. П. Попов. Обзор явлений
на небе в период январь-март
1935 г...........................1 38-41

4. Проф. П. Попов. Астрономиче-
ские явления в апреле-июле
1935 г.......................... 2 32-35

5. Проф. П. Попов. Астрономиче-
ские явления в августе-ноябре
1935 г.......................... 4 45—48

II. Общая и частная методика

Математика.

1. Доц. И. Альтшулер. Методика
иррациональных уравнений ... 2 47—49

2. Дои. И. Альтшулер. Прямые
в пространстве .............. 3 54—59

1. Антропов. Об одном матема-
тическом софизме...............I 63—63

4. Проф. А. А с т р я б. Почему труд-
но решать геометрические задачи
на вычисление................. 5 30—34

5. Проф. Е. Березанская. Крат-
кий отчет о совещании препода-
вателей математики............ 4 49—54

6. А. Берколайко. Теорема о
квадрате стороны, лежашей про-
тив острого или тупого угла . . 5 68—69

7. Р. Бон ч к о в с к и и. Простейший
способ вычисления логарифмов 3 50—52

8. Проф. М Гребенча. Функции
и уравнения................... 4 65—70

.9. И. Г р и ш и н. К вопросу о при-
ложении теории пределов в сред-
ней школе....................... 3 46- 50

10. И. Дуб. По поводу формулиров-
ки задачи о делении отрезка в
крайнем и среднем отношении . . 5 69—70

11. М. Змиева. Опыт подготовки
учащихся к составлению уравне-
ний первой степени...............5 61—65

12. Проф. И. Кавун. Методы пре-
подавания математики............ 4 70—72

13. Л. К а л е ц к и й. О решении не-
которых уравнений высших сте-
пеней через замену неизвестного 2 63—51

14. 3. Костин а. Первоначальные
_ упражнения на составление урав-

нений ...................... 5 66—68

15. Л. Крем е н ш т е й н. К методике
преподавания уравнений .... 2

16. В. М а т ы ш у к. Учение об ир-
рациональных числах в средней
школе...........................5

17. Ф. Нагибин. Развитие глазо-
мера на уроках математики ... 4

18. Президиум совещания.

-к Обращение научно-методического
совещания преподавателей мате-
матики .........................4

19. М. Осмоловский. К прора-
ботке темы о логарифмах . . . . 3

20. М. П е т р о в. Сознательное усвое-
ние и математические пецепты . 5

21. Н. П о п о в. Расположение вычис-
лений при извлечении квадрат-
ного корня.................... .5

22. Е. Р а ч к о. К методике решения
геометрических задач на вычис-
ление ..........................4

23. П. С а п у н о в. Тригонометрия ост-
рого угла.......................1

24. А. Сафонов. К проработке би-
пома Ньютона....................4

25. Г. С т а л ь к о в. Ведение тетради
по математике . . .......3

26. М. Таль. Замечания и дополне-
ния к статье П. Ларичева: «Си-
стема уравнений первой степени* 2

27. Т. Т у м а н ь я н. К методике про-
ведения логарифмических вычис-

лений ........................1

28. Проф. Фурсанко. О математи-
ческой подготовке оканчивающих
среднюю школу....................5

29. Проф. М. Черняев. Принцип
двойственности при школьном
преподавании геометрии .... 2

30. Проф. Н Четверухин. Во-
просы элементарной геометрии
и ее преподавание .............. 4

31. Шевченко. Преподавание вто-
рого концентра тригонометрии . . 1

Физика и астрономия

1. В. Бакунинский. Гигрометр 1

2. Доц. А. Белогорский. Как оп-
ределить, к какой системе отно-
сится измеритель электрического

тока ....................1

3. Доц. А. Белогорский. О под-
боре поплавка и рейтеров к ве-
сам Вестфаля ................1

4. А. Бориславский. Самодель-
ная центробежная дорога . . . . 1

5. В. Васильев. Простой высото-
мер .........................4

6. А. Г е л ь ф е ч б е й н. Закон Ома . 4

7. А. Глазырин. Набор но меха-
нике . ...............4

8. А. Глазырин. Школьный теле-
скоп из стекол бинокля .... 5

9 Е. Горячкин. К вопрос" о ме-
тодике преподавания трехфазного
тока . ............. 2

10. С. Жарков. Метеорология в
школе.................... . 1

И. С. Иванов н В. Смирнова.
Техника безопасности на уроках
физики и химии ................. 2

54—61

72—75

54 -55

54-59

37—39

70-70

76-78

42—49

78-79

40-46

51-55

60-62

35- 37

36-46

56-64

49-60

76-77

79- -80

77-78

74-76

92- 93
80-87

87—91

79-81

69-75

70-74

84—89

133
12. Проф А. Калашников. Поня-
тие механическою и электриче-
ского потенциала . . ... 2

13. Проф. А. Калашников. При-
бор для демонстрации вращения
витка в магнитном поле ... 5

V* 14. Проб). А. Калашников. Сра-
внение общеклассных занятий и
самостоятельных лабораторных
, работ по физике .................. 5

г 15. Л. К а н д а у р о в. Звездная карта . 5

16. Л. К о в а л е в а. О взаимодействии
магнитов с одноименными полю-
сами ............................5

17. Ф. К р а с и к о в. Демонстрирова-
ние волнообразного движения на
шнурковом приборе .............. 2

18. А. Максимова. 1 азмерность
физических величин...............3

19. Л. М о с к а л е в и ч. Геометрия в
приложении к исследованию си-
лы тока батареи ................ 2

20. М. Пиотровский. Элементы
учения о сопротивлении материа-
лов в средней школе..............2

. Тоже (окопч) 3

Г 21. Н. П л а т о н о в. Прибор для изу-
чения закона центробежной силы . 3
22. П. Ромадин. Методические раз-
работки по теле „Механическая
энергия’ для VIII класса .... 1
у 23. Н. Р у т к е в и ч. О графическом
способе изучения равномерно-пе-
ременного движения...................3

24. Б. Спасский. Новая тарелка к
воздушным насосам................1

у 25. Б. С п а с с к и й. Прибор Гримзеля
для определения механического
эквивалента теплоты ................ 2

26. Б. Яковлев. Малый демонстра-
ционный столик...................3

27. Б. Я к о в л е в. Прибор Атвуда, пол-
ностью электрифицированный . . 4

65-68

72—76

39 -53
70—72

76-79

61—65

59-64

81-83

55- 61

65—69

72—75

64-70

70-72

78 - 79

75- 81

75— 76

94-94

III. Из школьной практики

1. Н. К р а в ч е н к о. Выборочное об-
следование знаний по физике . . 5 91—101

2. П. Кузнецов. Дса года работы
школьного математического круж-
ка .............................. 5 88— 91

3. Ф. Курилов. Внеурочные лабо-
раторные работы по физике ... 5 102—104

4. А. Павша. Как „помогают-'
школе......................... 2 90— 91

5. В. Селиванов. Как преподает

физику учитель Кошелев .... 1 95— 99

IV. Вопросы преподавания . а границей

1. Проф. М. Берг. Опыт характе-
ристики школьных программ по
математике во Франции и Герма-
нии ........................... 5 82— 87

2. А. Калашников. Эксперимен-
тальные работы по методик е фи-
зики в Германии.................1 81— 85

3. Ф. Ц и г л е р. Преподавание мате-

матики в средней школе в Гер-
мании ...................... 2 92—105 f |

4. Асп. В. 1О с ь к о в и ч. Методика
физики в Германии...............1 86— 94

5. Асп. В. Ю с ь к о в и ч. Из опыта
германской школы................2 105—104

V. Критика и библиографии. Хроиика

1. Б. Богатков. Недостатки физ-
приборов ....................... 3 88— 89

2. Д. Гончаров. Вопросы препо-
давания математики в периодиче-
ской литература................. 4 99—100

3. А. Лебедев Книги по обору-
дованию физического кабинета 1 102—106

4. И. Лобко, Е. Ляхов, А.
Пятаков. Итоги приемных ис-
пытаний по физике в МЭТИИСС 1 100—102

5. В. Море в. Методико-математи-

ческая библиография..........5 105—107

). Я- Перельман. Почему вверхх

атмосфера холоднее, чем внизу . 4 95— 93

7. И. Соколов. „В. А. Зибер,
Ф. Н. Красиков, И. А. Ч е-
л метки н — Методика и техни-
ка демонстрационных опытов по

физике*..................... 4 96 — 98

8. Г. Фалеев. Оборудование лабо-
ратории по физике в средней
школе........................... 3 83— 87

9. В. Ю с ь к о в и ч. Хроника . . . 2 109—110

10, ЦНИИПО. Ответ на рецензию

Г. Фалеева.................. 3 87— 88
СОДЕРЖАНИЕ

Научный и научно-популярный отдел

П’.оф. Н. Иовлев, Очерки по геометрии Лобачевского 3

Проф. П. Чистяков, Краткий очерк истории математики в Японии............ 13

Б. Костры,, Простой способ вывода практически удобных признаков делимости
на все нечетные простые числа первой сотни (кроме 5).................... 19

Проф. Н. Изво гьский, О метрических соотношениях в треугольнике......... 25

Доц. И. Кулаков —О твердости и текучести.................................27

В. Беку а мский, Параллелограм сил...................................... 33

М. Маркович, О зависимости критический величин от массы..................35

П. Гол'.б в. Простой способ определения фазы луны........................36

Проф. П. Попов, Астрономические явления в период декабрь 1935 г. — фев-
раль 1936 г..............................................................ЗЯ

Общая гето <,гка

Ф. Дзюба, Квадратные уравнения в учебной и методической литературе .... 41

В Падуч в, Борьба с небрежной записью на уроках математики.......... 49

В. Репьев, Как учить читать математическую книгу ...................... ;>3

Е. Загоскина, Измеритель знаний учащихся по теме „Целые числа*...... 60

А. Рабинович, К методике преподавания волнообразной теории света.... 67

Л. Кандауров, Учение о небесной сфере в курсе астрономии средней школы . 7?

Частная методика

И. Галай, К вопросу методики решения геометрической задачи.............. 74

Р Гангнус, Об одном преобразовании многочленов, содержащих тригонометри-
ческие функции.......................................................... 82

М. Грабовский, Простые приборы для измерения времени.................... 84

Проф. В. Шульгин, Простейший способ измерения длины световой волны ... 91

Б. Флоринский, Динамопривод как генератор постоянного тока для классного
эксперимента ......................................................... 93

Н. Ежев, К демонстрации ооертонов струн................................ 95

Б. Зиновьев, Демонстрационный опыт на преломление света .................96

Из опыта школ

Е. Петров, Самостоятельные занятия по физике............................ 97

В. Юськович, Как усваиваются законы Ньютона в школе.....................103

Критика и библиография. Хроника

С. Иванов. Методы преподавания и формы организации занятий в новых руко-
водствах по методике физики (Соколова и „ленинградцев* — Знаменского,
Кельзи, Челюсткина).................................................. 107

В. Морев, Методико-математическая библиография по темам .................ИЗ

И. Челюсткин, О работе научной сессии...................................116

Б. Тарасов. Стать ближе к учителю..................................... 117

Редакция, Ответ тов. Тарасову......................................... 119

Задачи

Решения задач ...................................................... ... 121

Задачи..................................................................129

Содержание сборников „Математика и физика в средней школе* за 1934 и
'935 гг................................................................ 13#