КЛАССИКИ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

I S А А С I
NEWTONI,
Ε QJJ IT I S AU R AT I,
OPUSCULA
MATHEMATICA, PHILOSOPHICA
Ε Τ
Ρ Η I L О L О G I С Α.
Colkgit partlmque Laurie vertit ac recenfilt
JOH. CASTILLIONEUS
JURISCONSULTUS.
TOMUS PRIMUS
Continent
MATHEMATICA.
AcceffitCommentariolusdeVitA Atjctoris.
LAUSANNE & GENEViC,
Apud Marcum-MichaelemBousqjltet
& Socio*.
Μ D С С X L I V.

ИСААК НЬЮТОН
(1643-1727)

ИСААК
НЬЮТОН
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
РАБОТЫ
ПЕРЕВОД С ЛАТИНСКОГО
ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
И КОММЕНТАРИИ
Д. Д. МОРДУХАЙ-ГОЛТОВСКОГО
ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НКТЛ СССР
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1937 ЛЕНИНГРАД

Τ 12-5-4
ΤΚΚ № 101
Переплет, титул и шмуцтитула художника В. И. Смирнова

Д. Д. МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОЙ
В В ОД Η АЯ
СТАТЬЯ

Настоящий перевод Ньютона сделан с латинского издания Кастильона1 и
снабжен мною обширными комментариями. После того как перевод был закончен, я сличил
его в некоторых местах с французским и немецким переводами, которыми я располагал,
а именно: перевод „Метода флюксий"—с переводом Бюффона 2, „Рассуждение о
квадратуре кривых" и „Метод разностей" — с переводами Ковалевского3.
Из первого тома „Opuscula" издания Кастильона я взял не все: я исключил
его введение, затем биографию, недостаточно ярко написанную.
Я нашел также излишним помещать все письма Ньютона и выбрал только те ,
из них, которые непосредственно относятся к математике и по своей конструкции
приближаются к типу научной статьи. Таковы знаменитые два письма к Ольденбургу
[Opusc. X, XI (III)] и очень важное письмо Валлиса (Opusc. XIII), дающее изложение
мыслей Ньютона.
Наиболее значительной из помещенных в настоящей книге работ Ньютона
является „Метод флюксий". Определить влияние „Метода флюксий" на развитие
математической мысли того времени довольно трудно. Было бы неправильно ставить
в тесную от нее зависимость необыкновенно быстрый прогресс анализа бесконечно
малых, так как эта работа была опубликована только после смерти Ньютона, когда
формальный аппарат диференциального и интегрального исчислений благодаря работам
братьев Бернулли уже находился на ступени развития, значительно превышающей те
совершенно элементарные операции, которые мы находим в „Методе флюксий" Ньютона.
Но, с другой стороны, было бы большой ошибкой совершенно исключить эту работу
из числа тех, которые руководили математической мыслью того времени. Прежде всего
значительная часть содержания этой работы входит в книги, опубликованные уже во
время Ньютона, так что теория флюксий стала известна раньше опубликования „Метода
флюксий"; например, книга по теории флюксий Чейяа4 вышла раньше теории флюк-
1 Isaaci Newtoni, Opuscula mathematica, philosophica et philologica, t. I, Lausannae et
Genevae 1744. (Математике посвящен т. I.)
2 Newton, La methode des fluxions, 1740, trad. Buffon.
3 Newton, Abhandlung iiber die Quadratur der Kurven, 1704. Ub. von G. Kowalewski,
Leipzig 1908.
3 Newton, Cotes, Gauss, Jacobi. Ub. von G. Kowalewski, Leipzig 1911.
4 George Cheyne, Fluxionum methodus inversa, 1704.

VIII
ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
сий самого Ньютона. О флюксиях, далее, можно было узнать из „Математические
начал натуральной философии" и из „Рассуждения о квадратурах". Затем следует
учесть и деятельную переписку Ньютона, которая содержала наиболее существенные*
элементы теории флюксий, а также то, что его письма не оставались тайной для многих
математиков. Наконец, „Метод флюксий" содержит, кроме формального аппарата
анализа, в отношении которого можно действительно считать опубликование
запоздавшим, еще богатый комплекс идей, с помощью которых обосновываются операции,
анализа и которые имели очень важное значение для эволюции основных понятий анализа
бесконечно малых, представляя переходную ступень от точки зрения актуально
бесконечно малых к точке зрения потенциально бесконечно малых, т. е. к теории пределов^
Последним главным образом и объясняется интерес к этой работе, вызванный
во Франции переводом ее, сдеданным Бюффоном.
Необходимо сказать несколько слов,о судьбе этой работы. Ньютон, написавший,
ее в промежутке 1664—1671 гг., обнаружил крайнюю нерешительность в отношение
ее опубликования. Что лежало в основе этой нерешительности? Сейчас трудно решить
этот вопрос. Ньютон сперва намеревался поместить свою работу в исправленной, но
не переизданной им „Алгебре" голландского математика Кинкгуйзена. Много позже-
Пембертон получил у Ньютона согласие на напечатание „Метода флюксий". Однака
и этого не удалось осуществить. Смерть Ньютона наступила раньше, чем эта работа
была опубликована. И все же судьба „Метода флюксий" оригинальна. Ньютон,
прекрасно владея латынью (как бакалавр словесных наук), пишет работу на латинском
языке. В то время для знающих латынь было легче писать на латинском языке, так
как именно на этом языке, а не на французском или английском, существовала
хорошая, вполне фиксированная математическая терминология. Но это верно только
для лиц, хорошо знающих латынь. Вышло же так, что рукопись Ньютона попала
в руки Кользону, который недостаточно хорошо владел латынью, и хотя мог хорошо
переводить с латинского на английский, но затруднялся переводить обратно с
английского на латинский. Решив издать ценную работу Ньютона со своими большими
комментариями, Кользон освободил себя от трудной работы перевода этих комментариев,
с английского на латинский и перевел книгу на английский язык.
Следующий издатель „Матода флюксий" уже располагал не латинской
рукописью Ньютона, а только английским переводом. Бюффон сделал перевод на
французский язык не с латинского, а с английского языка. Кастильон перевел ее с английского*
опять на латинский. Однако нет никакого сомнения, что именно этот латинский,
а не английский перевод, должен быть взят для перевода на русский язык, так как
латинский перевод в некотором отношении является исправлением английского^
именно вследствие указанной выше большей определенности и фиксированности
латинской математической терминологии.
Главное содержание „Анализа с помощью уравнений с бесконечным числом
членов" входит целиком в „Метод флюксий". Для историка эта маленькая работа
представляет интерес как первоначальная форма, в которой появилась теория
флюксий, а также и для изучения хода мысли самого Ньютона. И эта работ, так же как.
и „Метод флюксий", не была во-время опубликована. Написав „Метод флюксий",.
Ньютон уже не считал нужным опубликовывать эту работу. Издана она была в 1711 г...

ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
IX
Говоря о математических работах Ньютона, нельзя не коснуться их общего
характера.
Как ни велики заслуги Ньютона в чистой математике, но они меньше, чем
в прикладной. У Ньютона на первом плаце стояло исследование природы, и уже на
втором — абстрактная наука. гНаиболыпей его заслугой в области чистой математики
является открытие исчисления бесконечно малых, которое он разделил с Лейбницем.
Было бы неправильно приписывать Ньютону все основные идеи анализа.
Конечную величину как сумму бесконечного числа бесконечно малых уже
рассматривал Кеплер, а конечная величина как отношение бесконечно малых мыслилась
Декартом, Ферма и Паскалем.
Под исчислением бесконечно малых мы должны разуметь не эти основные
идеи анализа, которые могут [быть использованы без диференцирования и
интегрирования, а именно исчисление, технику вычислений, основанную на этих идеях.
Эта могучая техника, позволяющая на клочке бумаги решить, например,
архимедову задачу об определении площади сегмента параболы — одну из труднейших
задач античной математики, — начинается с момента приведения определения предела,
суммы бесконечно малых, выражающей площадь, к задаче, обратной диференциро-
ванию, или на современном (не ньютоновском) языке, — с момента установления
зависимости определенного интеграла
ь
ff(x)dx
а
от неопределенного интеграла, определяющейся формулой
ъ
$f{x)dx=[<»{x)]ba,
а
где
ω(#)= \f(x)dx.
Можно сказать, что эта простая идея является центральной и наиболее
важной в теории флюксий Ньютона. До него площадь и длину дуги рассматривали только
как суммы бесконечно малых (конечно, актуальных).
Суммы .эти старались определить, пользуясь искусственными методами
суммирования. Ньютон же избегал этого суммирования, заменяя его нахождением
первообразной функции, а задача эта в простейших случаях решается просто с помощью
таблицы производных простейших функций.
Техника нахождения по флюэнтам флюксий и по флюксиям флюэнт, т. е.
диференцирования и интегрирования, представляется у Ньютона в сравнении с эйлеров-
скими1 методами очень примитивной. Но тем не менее она представляет большой
шаг вперед по сравнению с методом, которым пользовались математики до Ньютона.
1 L. Euleri, Institutiones Calculi Integralis, 1768—1770.

χ
ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
Здесь следует отметить некоторую невязку в его обосновании тех или иных операций
и некоторых его идей, в которых частично предвосхищается современное исчисление
потенциально бесконечно малых. Производная у по х, которая у Ньютона является
у · · /
отношением флюксий %·, т. е. скоростей изменения у ж χ I по нашему производных
χ \
dij dx\ „ , ·
-~- и -тг I, находится заменой в уравнении, связующем у и х, у через у -\- уо>
at clz j
χ через χ + χο, где о означает момент времени. В уравнении, получаемом после
вычитания данного уравнения и после разделения на о, просто вычеркиваются члены,
содержащие еще о. Собственно говоря, эти операции вполне аналогичны тем,
которые встречаются, скажем, у Ферма, и обоснованы они тем же принципом
исчезновения бесконечно малого перед конечным. Но у Ферма нет производной (по
Ньютону— флюксии), и поэтому у Ферма нельзя еще видеть диференцирования. Операции
Ферма, можно сказать, случайны. Они не выводятся из общих понятий. Только
Ньютон определенным образом сознает приводимость основных задач геометрии
и механики к задачам о нахождении флюксий (производных) и флюэнт
(первообразных) и намечает общую схему дальнейших исследований анализа бесконечно малых.
Проблему интегрирования Ньютон не ставит как проблему интегрирования
с помощью элементарных трансцендентных функций, так как их еще нет в
современном анализе. Даже логарифм определяется чисто геометрически, и символа его
нет среди символов, которыми оперирует анализ. Ньютон и его современники
стараются выразить интегралы только алгебраически. У них нет уверенности и в том,
что I — не выражается алгебраически, но, не будучи в состоянии выразить его
алгебраически, они, полагая х = а-\-у, выражяют его с помощью разложения по
степеням у.
Следует отметить, что конструктивная точка зрения вообще чужда Ньютону,
чего нельзя сказать о Лейбнице. Первый так же мало интересуется построением
интеграла с помощью алгебраических функций, как и решением уравнений в
радикалах.
Можно отметить три эпйхи, которым отвечают различные точки зрения на
анализ. У Ньютона и его современников, для которых чистая математика является
орудием вычисления, причем грубого, примитивного, не ставящего вопроса о степени
приближения этого вычисления, — выдвигается чисто вычислительная точка'зрения
и требуется определение разложения, дающего последовательные приближения
функции для данного значения переменного. Эта точка зрения у Эйлера заменяется
вполне определенно другой, при которой вычисления и вывод сочетаются со
сведением более сложных функций к более простым. Это — конструктивная
точка зрения. Наконец, в современную эпоху выступает чисто
функциональная точка зрения, при которой весь интерес сосредоточивается на общих
свойствах функций, определяемых из сходящихся и асимптотических разложений.
Ньютон доволен, когда интеграл диференциального уравнения выражен степенным
разложением, с помощью которого он его и вычисляет. Эйлер ищет выражения его
в конечном виде в элементарных трансцендентных функциях или в квадратурах. Он

ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
XI
приготовляет выражение, которое давало бы возможность и вычислить и определить
законы чисто числового характера. А Пуанкаре исследует особенные точки интеграла,
он интересуется не числовыми законами, но общим характером различных изучаемых
объектов и не только метрического, но и топологического рода. Исследуется ли
определение площади или просто решается уравнение, определяющее у через х,
Ньютон везде пользуется разложением у в ряд по степеням х. Метод разложения,
правда, не вполне совпадает со способом неопределенных коэфициентов.
Подстановка в
f(*,y) = 0 (1)
вместо у разложения
а0 + агх -f- а2х2 +... (2)
π приравнивание нулю коэфициентов в результате: А0 -J- Αλχ -f- А2х2 -f-... — О для
определения а0, αν α2, ..., — можно сказать, вполне соответствует духу Ньютона.
В настоящее время все это представляется очень простым. Если уравнение (1) не
удовлетворяется разложением вида (2), если нельзя получить а4 так, чтобы А{ = 0,
то приходится это разложение заменять другим, уже с дробными степенями. Это
Ньютон вполне сознает и дает метод определения показателя, т. е. целых чисел ji, ν
в разложении
Я / 11
у = х" [ао + а1'*+а^+···
известный под названием параллелограма Ньютона.. Каждому математику хорошо
знакомо, какую роль сыграл этот параллелограм в теории алгебраических функций
(этим мы больше всего обязаны В. Пьюзэ), теории, которая лежит в основе одного
из прекраснейших отделов анализа, — теории абелевых интегралов и абелевых
функций, связанной с разнообразными и внешне, как будто, совершенно от нее
оторванными отделами анализа.
Но ньютонов способ разложения в ряды заключает в себе больше чем одну
вычислительную технику. Здесь мы должны видеть наряду с двумя первыми
принципами еща третий принцип анализа. Величина конечная мыслится иногда как
отношение бесконечно малых, иногда как сумма бесконечно большого числа
бесконечно малых. Но ее можно еще мыслить как сумму бесконечного числа убывающих
конечных величин, так что только бесконечно удаленные слагаемые будут бесконечно
малы. Если нельзя сказать, что Архимед мыслил именно так, то все же его метод
исчерпывания в применении к определению площади сегмента параболы выявляет
точку зрения, которая по создании алгебраического аппарата должна была привести
к бесконечным рядам. Архимед имеет дело с последовательным сложением убывающих
по величине площадей некоторых вписываемых в сегменты треугольников. Это
сложение дает последовательные приближения и, исходя из него, с помощью
апагогического доказательства метода исчерпывания, можно получить точное значение
площади. Именно ряды больше всего подводят математическую мысль к потенциально
бесконечно малому. Ньютон им еще -не овладел вполне, но подошел к нему близко.
Разности между величиной, определяемой рядом и суммой членов этого ряда, у него
(3)

XII
ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
нет, но она готова уже сделаться таким бесконечно малым. И ближе всего к этому
Ньютон подходит в своем методе решения уравнений. От грубого приближения хх = а
для корня уравнения f{x)==o он идет к лучшим, полагая %2 = а-\-у и отбрасывая
в уравнении
Ъ0 + Ъ1у + Ъя* + ... = 0
все члены высшего, чем первый, порядка, т. е. члены Ъ2у2 + Ъгу3 -f-... Формула Тэй-
лора, еще неизвестная Ньютону, позволяет представить метод Ньютона в обычной
для нас форме.
Я уже говорил, что понятие предела выросло из ньютоновых идей. Конечно, было
бы большой ошибкой утверждать, что у Ньютона уже имелось понятие предела
в современном смысле. Это понятие возникло в полной своей определенности только
в середине XVIII в. Но бесспорно, что у Ньютона есть кое-что, чего нет в философско-
математической мысли рационалистов XVII в. В этом отношении он идет дальше
Лейбница, у которого понятие предела выступает лишь в чисто метафизическом
смыслех. Прежде всего у него выступает понятие переменного, хотя и изменяющегося
только во времени. Универсальным переменным является, таким образом, время. Еще
смутная идея предела и приближающейся к нему переменной в сочетании с
актуальной бесконечностью, крепко продолжающей владеть умами этой эпохи, порождают
понятие предела, но не в форме Даламбера, а в особой форме, которая у Ньютона
подвергается математизации. Некоторый объект, причем вовсе не обязательно величина,
изменяется. Конечный результат изменения А достигается в бесконечном во времени
процессе. При этом то время, в продолжение которого совершается этот процесс,
мыслится как актуально бесконечный промежуток времени. Предел А мыслится
достигнутым. А и рассматривается как одна из форм, последняя форма изменяющегося.
С этой идеей может быть связано и основное свойство пределов, именно сохранение
в пределе тех свойств, которые остаются в наличности при всех изменениях
переменной, выраженное Лейбницем еще в метафизической форме: „Если данные известным
образом упорядочены, то таким же образом упорядочены и искомые", что им
выводится из его принципа непрерывности: „природа не делает скачков".
Читатель увидит в „Методе флюксий", а также в „Рассуждении о квадратурах
кривых" зарождение идеи предела именно в этой чуждой нам форме. Является
необыкновенно интересным проследить ее историю вплоть до Даламбера, дающего пределу
определение, если не вполне совпадающее, то близкое к тому, которое мы
употребляем, так сказать, в первом концентре обучения анализу бесконечно малых.
Ньютон сыграл очень важную роль также в истории арифметизации
математики, которая шла вместе с расширением понятия числа. Здесь следует указать на
его „Универсальную арифметику", содержащую много оригинального, но в общем
представляющую для того времени нечто в роде больших курсов алгебры настоящего
времени.
У Эвклида математическое отношение не есть число. Это один из видов
арифметического отношения. Эвклид дает ему определение: „Некая взаимная зависимость
См. мою работу „Генезис и история теории пределов", „Известия СКГУ", 1928, 3 (15).

ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
XIII
двух однородных величин1", и обратно, число отнюдь не представляет собой
отношения, оно результат счета, а не измерения.
В дальнейшей эволюции математической мысли число становится отношением
и отношение становится числом. Оба понятия сливаются между собою потому, что
законы соответственных формальных операций над ними оказываются теми же. Здесь
начинается математический формализм, противоположный направлению, в котором
центр тяжести заключается в анализе понятий, а не в формальных операциях.
У Арно2 отношение становится, правда, еще ife числом, а только величиной,
да еще с эпитетом „относительной". Ньютон3 всякое число рассматривает как
отношение: „Под числом, — говорит Ньютон, — разумеется не собрание многих единиц,
а скорее абстрактное отношение одного количества к другому количеству того же
рода, которое рассматривается как единица". Как только всякое отношение
обращается в число, начинается арифметизация математики.
Обычно недостаточно сильно подчеркивают геометрические заслуги Ньютона.
Между тем именно ему обязана аналитическая геометрия своим развитием.
Заслуга открытия аналитической геометрии принадлежит Декарту4 или по
справедливости и Декарту и в некоторой мере Ферма5. Но у Декарта аналитическая
геометрия является больше средством геометрической интерпретации алгебраических
операций, чем средством решения чисто геометрических проблем. Центральной
проблемой у него является проблема о графическом решении уравнений, так что можно
сказать, что у него больше изучается функция с помощью графика, чем график
с помощью функции. Если в первой, чисто аналитической части диференциального
исчисления, славу открытия Ньютону приходится делить с Лейбницем, то диферен-
циальная геометрия почти всецело ведет свое начало от Ньютона. Типы
особенных точек у алгебраических кривых вполне определены Ньютоном. Он
устанавливает понятие не только качественное, но и количественное о кривизне. В его
исследованиях о кривых третьего порядка мы впервые имеем исследование форм,
разделение по форме на типы. Более того, правда, без доказательства (которое
впрочем он, вероятно, имел, хотя, может быть, и в неотделанной форме) он говорит о
возможности спроектирования кривых третьего порядка в пять типов расходящихся
парабол, в чем мы имеем зародыш приложения проективного преобразования к
исследованию кривых, первую попытку вскрыть инварианты такого преобразования.
Следует отметить, что в геометрических работах Ньютона мы находим также
и начало двух направлений в высшей синтетической геометрии. С одной стороны,
1 Эвклид, Начала, кн. 5, опр. 3; см. также мою работу: Из прошлого пятой книги
„Начал" Эвклида, „Математическое образование" № 7—8, 1916.
2 A. Arnauld, Nouveaux elements de geometrie, 1667 (анонимное).
3 Newton, Arithmetica universalis, 1707.
4 Descartes, La Geometrie, 1637.
5 P. Fermat, Ad locos pianos et solidos isagoge, немец, перевод: Einfuhrung in die nbenen
und korperlichen Orter (перев. Η. Wieleitner, 1923).

XIV
ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
его понятие о диаметре как геометрическом месте среднеарифметических центров
точек пересечения кривой с параллельными прямыми, его основная теорема об
отрезках на сторонах параллельно передвигаемого угла являются началом теории транс-
версалей, развиваемой Карно*, Понселэ2 и Шалем3, т. е. метрического метода высшей
геометрии; с другой стороны, его органическое образование кривых, где кривые
второго, третьего и четвертого порядка определяются как геометрические места точек
пересечения двух пучков, дает первые теоремы проективной геометрии Штейнера4
и Штаудта5.
Несколько слов о переводе. Перевод старых математических произведений
дело нелегкое. Если переводчик переводит дословно, придерживаясь всех оборотов
подлинника, перевод получается тяжелым для читателя. В латинском языке есть
много выражений, которые режут слух читателя, так как эти выражения в латинском
языке давно получили переносный смысл, которого на русском языке они не имеют.
Но, кроме того, существует еще много специальных математических терминов,
которые ставят переводчика в затруднение. Так, уже с самого начала у Ньютона мы
встречаем слово Species. Можно было бы его перевести дословно — вид, — и употреблять
выражение „видовая алгебра" вместо „буквенной алгебры". Однако читатель в этом
случае окажется в большом затруднении, так как этот термин, совершенно не
употребляемый в современной литературе, явится для него загадкой. Но перевод
„буквенная алгебра", строго говоря, неверен. „Видовая алгебра" определяется не
характером знаков (которыми могут быть не только буквы, но что-либо другое), а характером
изучаемых объектов, каковыми являются неопределенные индивидуальные числа
и их виды6.
Вюффон в своем переводе пользуется термином „буквенная алгебра", но
употребляет также слово „вид", не разъясняя его. Мне представляется в этом и в других
аналогичных случаях позволительным отклониться от дословного перевода в тексте,
но в комментариях разъяснить это затруднение и объяснить, в каком смысле берутся
слова „вид" и „видовой".
Еще большее затруднение встречает, например, перевод слова „affectae". Есть,
впрочем, затруднения, возникающие прямо вследствие некоторого недостатка в формах
выражения того времени, который родит псцюй смешение понятий, но только при
переводе, так как на латинском языке за этими выражениями уже закреплен вполне
определенный смысл, несмотря на то, что здесь слово не вполне отвечает понятию.
Так, Ньютон и другие авторы его времени говорят „constructio aequationum", т. е.
1 L. Carnot, Essai sur la theorie des transversales, 1806.
2 V. Poncelet, Traite de proprietes projectives des figures, 1822.
3 M. Chasles, Traite de geometrie superieure, 1852, также Ch. J. Brianchon, Application
a la theorie des transversales.
4 J. Steiner, Systematische Entwickelung der Ahh'angigkeit Geometrischen Gestalten von
einander, Berlin 1832, издано также в Ostwaid's Klassiker.
5 Chr. St audi, Geometrie der Lage, 1847.
6 Если слово „Species" употребляется здесь в смысле „изображения", то и тогда
перевод „буквенная" неверен, ибо речь идет не о букве, а о знаке общего типа.

ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
ХУ
дословно—„о построениях уравнений", когда дело идет о графическом построении
корня уравнения или, как теперь говорят, „о графическом решении уравнения". Далее,
на русском, или латинском языке употребляется одно слово „radix" — корень и тогда,
когда извлекают корень из числа, и тогда, когда решают уравнение. В обязанности
переводчика не входит улучшение русской математической терминологии, но он
должен избегнуть тех недостатков, которые имеет латинская терминология, согласно
которой корень извлекается и из числа и из уравнения, — избегнуть, заставляя корень
во втором случае определяться, а не извлекаться. Этих примеров достаточно.
Должен заметить, что „Перечисление кривых третьего порядка" (опубл. в 1704 г.)
было очень трудно комментировать. Ведь это просто резюме исследования Ньютона,
в котором положения большей частью не доказаны.
Пришлось отказаться от того, чтобы все было вполне разъяснено, и
ограничиться тем, что имеет значение в смысле сближения ньютоновой аналитической
геометрии с современной. Но в своих комментариях я стараюсь быть понятнее читателю,
чем сам Ньютон, говоря с ним на несколько ином языке, сближающем прошлое с на·
стоящим, пользуясь и обозначениями, более для него привычными.
Все таблицы чертежей читатель найдет в конце книги.
В заключение считаю необходимым отметить, что часть труда, потраченного
на перевод и комментарии сочинений Ньютона, принадлежит А. П. Юшкевичу. Я
приношу ему благодарность за ряд вполне правильных поправок в переводе, за сличение
перевода ,Метода флюксий" с английским изданием, которое я сам не имел в своем
распоряжении, а также за ряд ценных указаний, использованных мною в комментариях.

ИСААК НЬЮТОН
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
РАБОТЫ

АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ С БЕСКОНЕЧНЫМ
ЧИСЛОМ ЧЛЕНОВ
Здесь ты имеешь весьма тщательно доказанный и кратко изложенный общий методу
который я некогда придумал для определения площадей с помогцью
бесконечных рядов.
Пусть к основанию АВ (фиг. 1, табл. 1) какой-либо кривой AD будет
приложен ^ перпендикуляр BD. Принимаются обозначения АВ = х, BD = y\ пусть а, 6, с
будут известные величины, а т, η — целые числа. Затем следует:
КВАДРАТУРА ПРОСТЫХ КРИВЫХ
ПРАВИЛО 1
т т+п
Если ах п = г/, то =— χ п = площади ΑΒΌ.
J т-\-п
Это разъясняется примерами:
2
1. Если ж2( = 1ж1) = ?/, тоа=1 = ?г и ш = 2, то — х* = ABD,
о
2.Если 4уТ( = 4я?"2) = у, то — af* ( =—· ]/~хА =ABD*).
з — — 3 — / ° з —\
3. Если 1/.яб( = я?3) = [/, то — х*1 =-|-1/ж»)=и4Б2).
4. Если — ( = аГ"2) = //, то а = 1 = 7& и т== — 2.
В этом случае ί -χ т = j — яГ * ί == J = αΒΌ; площадь aBD
простирается в бесконечность по направлению к а (фиг. 2, табл.1) и при вычислении
получается отрицательной, потому что она лежит с другой стороны линии ВВ.
1 _А / 2 -~ \ 2
δ. Если _—( = я 2) = 2/, то ж 2 =) — = В1)а.
У х'д \ 1 1 — V χ
о
6. Если — (= ж"*) = у, то — ж * = — х° = — χ ι = _ — бесконечности,
χ и U О U
какова площадь гиперболы с обеих сторон линии BD 3>.
1*

4
АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
КВАДРАТУРА СЛОЖНЫХ КРИВЫХ С ПОМОЩЬЮ ПРОСТЫХ4)
правило л
Если выраоюение у слагается из многих членов этого рода^ площадь тоже слагается
из площадей, которые получаются от отдельных членов.
Примеры первые
- 12-5-
Если х2 + χ 2 = у, то — хъ -f- — χ 2 = ABD.
о О </·
В самом деле (фиг. 3, табл. I), если всегда χ* = Βί их2 =FD9 то по пре-
1 2 -
дыдущему правилу— хъ = поверхности AFB, описанной линией BF, а — x* = AFD,
о О
1 9 ±
описанной DF. Вследствие чего — ж8 + — я?2 = всей J.£i>.
о о
— 12 —
Также, если ж2 — хг =?/, то —ж8 — х 2 = ABD.
J 8 о
3 2 1
А если З.г — 2.x·24-х3 — 5.г4 = ?/, то -4т ж2 ^-^3 + -г %*—хЬ = ^.jBD.
1 J 2 3 ' 4
Примеры вторые
_ JL _Л
Если аГ2-|-# 2 =у, то (фиг. 6, табл. I) — х~х— 2х 2 = aBD, или если
_ JL _ J_
аГ~2—χ 2 =у, то —x_1-]-2x 2 = aBD. Изменив знаки членов, ты получишь по-
1_ 1
ложительное значение (х~1-\-2х 2 или яГ"1— 2а? 2) поверхности aBD, если только
она вся лежит над основанием АВа.
Если же некоторая часть попадает ниже (что произойдет, если кривая
перекрещивает свое основание между Б и а, как ты это видишь здесь (фиг. 4), в о), то,
вычитая эту часть из верхней, будешь иметь значение разности. Если же ты желаешь
иметь их сумму, то найди каждую поверхность5) в отдельности и сложи их. Я хочу,
чтобы это имелось в виду в других примерах на указанное правило.
Примеры третьи
Если х2-\-х~2 = у, то — я3— х~г = описанной поверхности. Здесь необходимо
о
отметить, что наиденные таким образом части указанной поверхности лежат, по
различные стороны линии BD.
Действительно, полагая (фиг. 5, т&бл. I) х- = BF и х~~2 = FD, имеем — хъ = ABF
о
поверхности, описанной BF, и —х~х = DFa, поверхности, описанной DF.

АНАЛИЗ О ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
/ т -|- η \
И это всегда происходит, когда показатели I !— 1 степеней основания χ в
выражении для искомой поверхности стоят с различными знаками. В такого рода случаях
какая-нибудь промежуточная часть поверхности BDl$ (которая только и может
определяться, так как поверхность с обеих сторон бесконечна) находится следующим
образом:
Вычти поверхность, находящуюся над меньшим основанием А$, из поверхности,
находящейся над большим основанием А В, и ты получишь поверхность $BDo,
стоящую на разности оснований. Так, если в данном примере (см. предыдущую фигуру)
АВ = 2 и Ай = 1, то ВШ>8=^.
6
В самом деле, поверхность, находящаяся над А В (ABF — DFa), будет -^ —,
13 1 2
т. е. —, а поверхность, находящаяся над А$(А®& — οφα), будет— 1, т. е. ~,
Ό О О
ί о 9 17
а их разность (ABF— DFa — Ау$ -\- δφα = $ВВЪ) будет — -f- -^-, т. е. —.
6 о о
2' 1 з —ι
Таким же образом, если -4(3 = 1, АВ = х, то $BDb = — -\-—x —χ .
о о
И если 2.К3 — Зх5 ^-λΓ*-|-·τ_Τ =У ж А$ = 1, то ^BDo=-^-xi ^- ж6+
Наконец, молено отметить, что если бы в выражении для у оказалась
величина х"1, то этот член (как порождающий поверхность гиперболы) следовало бы
рассматривать отдельно от других.
Так, если (фиг. 6, табл.1) х2-\-х~в-\-х~г = у и x~1 = BF, а х1-\-х~г — FD
и .4β=*1, то oyFD = —г -f- — хд — х~2, как происходящая от членов х2-\-х~'6.
о
Вследствие чего, если с помощью какого-либо вычисления будет известна
остающаяся гиперболическая поверхность fiyFB, то будет известна и вся поверхность [ЗШЖ
КВАДРАТУРА ВСЕХ ДРУГИХ КРИВЫХ6 7)
ПРАВИЛО III
Если выражение для у или какой-либо его член слоэ/спей предыдущих, то он
должен быть приведен % более простым членам, причем действовать над
буквами следует совершенно таким оюе образом, как действуют в арифметике,
когда делят, - извлекают корни или решают уравнения, пользуясь
десятичными числами; из этих членов ты с помогщью предыдущего правила
выведешь затем искомую площадь кривой.

6
АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
Примеры с делением
аа
Пусть 7 } = у; кривая является именно гиперболой (фиг. 11, табл. II).
и ' I ■ X
Для того чтобы освободить это уравнение от его знаменателя, я делю
следующим образом:
7 , ч , I аа аах , аах2 аах3
о -{- х) аа -j- о I -
Ъ № ' Ь* Ь*
аах
и т. д.8)9>
аа-\
0-
ь
аах .
аах
Ъ
0-
-0
аах'1
&2
, <ш#2
■ι ρ
f сш#2
' δ2
0-
И
. аахг
Ι ψ
аах3
аахг
Ιβ
<Ч
ho
δ*
* аах*-
hi
и т. д.
аа
Итак, на месте у = оказывается новое выражение
а2 а*х . а2х* аЧ*
это — бесконечно продолжающийся ряд. Далее (по второму правилу) искомая площадь
ABCD будет равна
а2х а2х2 . а?хь а^х*
~~& 2р ' ~3р 4δϊ" Ж Т* Д*
Это — тоже бесконечный ряд, однако для любой цели достаточно точно взять небольшое
число его начальных членов, если только χ в несколько раз меньше Ъ.
Таким же образом, если -— = у, то деление даст
1 -{- хх
у = 1 — х2 -f- χ* — я6 -(- х8 и т. д.10),
откуда (по второму правилу)
ABDC =х — хъ 4~ — хь — х1 + — #9 и т. д.
о О / У
Если взять в делителе первым членом хх и делить на (хх-\-1), то для
выражения у получится
— 2 —4 ι —6 —8
X X -\~Х X и т. д.,

АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
7
«откуда (по второму правилу)
тут\ —1 ι 1 —3 1 —5 ι 1 — 7
BDz = — х + — ^ ё- # +-^γ"^ ИТ-Д-
О О Υ
Первому способу следуй в том случае, если χ предполагается достаточно
малым, второму — если достаточно большим п).
Наконец, пусть
«откуда
Посредством
1
2х2 -
1
\-\-x2-
деления получается
2х2 -
ABDG =
-2х -\-7х2 ■
4 i
— х2 — χ2
3
-X 2
9 -у.
— 13х*
= ?/·
; + з
_L 14 Т
!4#2 и
-— X*
т.
и
д.,
т. д,
Примеры с извлечением корня
Если Yaa -{-хх — у, то я извлекаю корень следующим образом12):
\ -}- хх ί α ■
6 χ8
1 \ ' 2а 8α3 ' 16α5 128а<
О -j- хх
π
χ*
4α2
ж*
0 4α»
χΑ
ΧΌ
4α2 8α4 ' 64α6
+ ■
ν.6
χ*
8α4 64α6
χ
10 ,ν.12
8α4 .' 16α6 64α8 ' 256α10
0-
Ьх8 , a;i° #12
64α6 ' 64α8 256α10
и т. д.
Таким образом вместо уравнения Yaa + яя = у получается новое уравнение
. X2 X1 , xQ ох8
щ (по правилу 2) искомая площадь (фиг. 7, табл. I)
ABDC будет =
-Это — квадратура гиперболы,
^Ш)С будеТ = ^+-|— l^ + T^-iS^ И Т· Д·

8
АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
Таким же образом, если Yaa — хх = у, то корень будет равен
х* #4 х& эх8
°'~ ~2а~~~ "δα3" — 7б^_128а? И Т,Д'
и искомая площадь ABDG (фиг. 12, табл. II) поэтому будет равна
Xs ХЬ X1 эх9
(ту) И Τ Л
6α 40α3 112α6 11α2α7
Это — квадратура круга.
Или если положить Υ χ — хх = у, то корень будет равен бесконечному ряду
JL χ JL 1 ± ι J. 5 —
χ2-Ύχ2~~8 2-ΰχ2~Ύ28χ2 ИТ-Д·'
А искомая площадь ABD (фиг. 1, табл. I) будет равна
2 ± ι ± ι -1 ι ± 5 -
_Ж2 _а.а__а.2__а.а____а.. ит„д.
или ,
Τ 2 ! · ! ч г * δ к
* на—х-т^__жз__ж4___а;о ат. д.
Это — тоже квадратура площади круга.
Если = = У (квадратура этой кривой дает длину эллипса) ;;, то по
у 1 — Ъх2
извлечении обоих корней получишь
111 5
1 + -т>-^2 g- а2я4-4-—α3#6 — a%s
и т. д.,
1 — 1-Ъх* \- δ2^ —i δ3^ -^ δ%*
2 8 Ιο 128
а по делении, произведенном как над десятичными дробями, будешь иметь
14 5 4^
1 +— δ^ + Ί- δ^4 + ϊ6 ^6+W Ь%8 и τ· д·
+il·2 -аа2&-йй2г>2
5 a*
128
Поэтому искомая площадь равна
1 3
ж + -£- for3 -f· — δ2#δ и т. д.
1 ι ! j.
40

АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
Однако следует заметить, что нередко действие сокращается, если подготовить
уравнение надлежащим образом.
Так, если в приведенном выше примере, где
У 1 + ах* _
у 1 — Ъх*~У>
умножить обе части дроби на ]/l — bxx, то получится
1 — Ъх2
■■у>
и все остальное выполняется путем извлечения корня только в числителе и деления
затем на знаменатель.
Из этого, я думаю, достаточно ясен способ приведения любого выражения для у
(при каких угодно сложных радикалах или знаменателях, вроде, например,
У χ — Vl — xx V
#34-2#5 — х3
—' — у)
fa* + * Vx + x*-Y~ 2χ-Λ
в бесконечные ряды простых членов, из которых искомая поверхность определяется
по второму правилу.
Примеры решения уравнений
ЧИСЛОВОЕ РЕШЕНИЕ НЕЯВНЫХ УРАВНЕНИЙ 1δ)
Ввиду того что все затруднение заключается в решении, я прежде всего
выясню способ, которым пользуюсь в случае числового уравнения.
Пусть требуется решить уравнение
у3 — 2у — 5 = 0
и 2 представляет 1в) то число, которое отличается от искомого корня меньше чем а
свою десятую часть. Тогда я полагаю 2-\-р = у и подставляю это выражение в
уравнение, причем получается новое:
у которого следует определить корень р, чтобы прибавить его к первому результату.
Отсюда (пренебрегая p3-f-6_P2 по малости) имеем приблизительно
10р— 1 =0
или
V = од.
Поэтому я пишу в результате 0,1 и полагаю 0,1-}-<Ζ=-Ρ; это выражение я
подставляю, как и раньше, причем получается
23+6,3i2 + 11,23а -f 0,061 = 0.

10
АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
А так как уравнение
11,23а+ 0,061= О
почти соответствует истине или q почти равно —0,0054 (деление производится до тех
пор, пока не определится столько знаков, сколько отделяет первые знаки этого и
основного результатов1?), и так как — 0,0054 отрицательно, то я пишу его в нижней
части результата.
Полагая — 0,0054 + г — q, я это выражение подставляю, как раньше, и
продолжаю эти операции сколько угодно раз. Если я желаю продолжать действия до тех
пор, пока не получится в результате вдвое больше цифр, чем находится во всем уже
полученном результате, то в 6,3g2 + ll,23g +0,061, где, конечно, первый член <f
отброшен вследствие его ничтожности, я вместо q подставляю —0,0054 +г и
получаю приблизительно
6,3г2 +11Д6196г + 0,000541708 = О
лли (отбрасывая 6,3г2) приблизительно
что и пишу в отрицательной части результата. Наконец, вычитая отрицательную часть
результата из положительной, я имею искомый результат 2,09455147.
1/— 2у —
2+р = у
0,l + g=i>
— 0,0054 +-r = g
5=0
— 5
Сумма
+i>3
+ 6p2
+ 10JD
— 1
Сумма
+w
+ ll,23g
+ 0,061
Сумма
+ 2,10000000 1
— 0,00544853
+ 2,09455147 = 1/
+ 8 + 12p+6jp2 + p3
— 4— 2jp
— 5
_l_[_10p + 6i?2+jp3
+ 0,001+ 0,03g+0,3£2 + g3
+ 0,06 + 1,2 +6,0
+ 1 +10
— 1
+ 0,061 + ll,23g + 6,3g2 + g3
+ 0,000183708 — 0,06804r + 6,3r2
— 0,060642 +11,23
+ 0,061
+ 0,000541708 + ll,16196r+6,3r2
— 0,00004853 + 5 = r

АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
11
Уравнения высших степеней решаются совершенно так же, и дело будет
ж концу облегчено, как это было сделано здесь, если ты будешь постепенно
отбрасывать первые его члены18) 19) 20).
Кроме того, следует отметить, что если бы я в этом примере сомневался в том,
достаточно ли подходит к истинному значению 0,1 =р, то я вместо Юр— 1 =0 взял бы
уравнение 6p2-f-lQP—1 = 0 и написал бы первый знак его корня в результате.
Определять вторэй или третий знаки результата таким путем следует только тогда, когда
в последнем полученном уравнении квадрат коэфициента предпоследнего члена не более
чем удесятеренное произведение последнего члена на коэфициент предпредпоследнего.
С другой стороны, ты большей частью облегчишь труд, в особенности в случае
уравнений высоких степеней, если все знаки, вводимые в результат, будешь определять
указанным образом (т. е. определяя меньший корень уравнения, получаемого из трех
последних членов нового уравнения); при этом ты получишь в результате вдвое больше знаков.
Этот метод решения уравнений, — не знаю, опубликованный или нет, — мне
кажется в сравнении с другими более простым и удобным для употребления.
Доказательство его явствует из самого способа действия, на основании чего его легко
в случае необходимости вспомнить.
Почти с одинаковой легкостью исследуются как те уравнения, в которых
отсутствуют некоторые члены, так и те, в которых налицо все члены. Всегда получается
уравнение, корень которого вместе с полученным уже результатом равняется корню
первоначально предложенного уравнения.
сэтому действия можно производить так же, как в других частях арифметики
а именно, отнимая результат от корня первого уравнения (приемами, известными
аналитикам) и выводя из этого следующее уравнение или только два или три его члена.
Весь труд заключается здесь в подстайовке одних величин вместо других.
Ты можешь выполнять это разными способами, но я считаю наиболее быстрым
следующий способ, в особенности когда коэфициенты — многозначные числа.
Положим, что следует подставить ρ + 3 вместо у в следующее уравнение:
у4 _ 4уЗ _|_ 5^2 — 12у +17 = 0.
Так как оно может быть представлено в виде
У^Х^+б χ у — 12 Ху +17 = О,
то новое уравнение получается таким образом:
Р=1ХР + 3=Р* + 2р — 3,
и
р2 4-2р + 2 на_р + 3=.Р8 + 5р2 + 8р + 6,
ж
2?3 + 5р2 + 8Р — 6 на ρ + 3 =i?4 + 8р3 -4- 23i>2 + 18р — 18,
И ^4 + 8P3 + 23JP2 + 8p—1 = 0,
а это и требовалось найти.
БУКВЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЯВНЫХ УРАВНЕНИЙ
Это выясняется в следующем порядке.
Ilycib следует решить буквенное уравнение
2/3 + а2У — 2а3 + ахУ — °°ъ = °21)-

12
АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
Прежде всего я нахожу выражение 22) у для х, равного нулю, т. е. .определяю
корень следующего уравнения:
Ув + а2у — 2α3 = О,
и нахожу, что он есть -\-а. Итак, пишу в результате + а и, полагая ~^-а-{-р = у>
подставляю вместо у его значение и полученные таким образом члены
(ρ3_ι_3αρ2 + 4α2ρ и т. д.)
у = а-
!/3 + я22/ — 2а3 + я^У — х3 = О
, х2 , 13Дх3 . 509^4
" 512а2 +16 384а3
64а
и т. Д/
+ а+_р = У
+ Г
+ аху
— 2а3
■а3+3а2^ + 3а^2+р3
j- αύ -j- а*р
{- а2х -j- a'ri>
- 2а3
-г3
x~\-q =р
+JP3
+ 3а#2
-\-axp
-|- я2#
— а*х -f 4а2д
— —ах2 -f- ал-g
-f- а%
64а
-r = q
+ Зад2
-f 4а2д
— тг ατ(1
^16 *
--а,*2
~^3
64
4^+.|,^ + 3-2
1
+— ах2 +4а2г
16
12S
Зл4
#°
а#г
1024а + 16'^
16
65
"64
ах*
+ 4а2-
1 ι 9 fi
131
128
15#* / . 1
096а \+ 5
\lxs
509#4
512а2 ' 16 384а3

АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
13
пишу с края. Из них я беру только -f~ 4α*ρ -\- а2х, где ρ и χ в отдельности суть
в низших измерениях, и предполагаю, что это почти равно нулю или что
приближенно ρ = — χ или ρ = — χ -|~~ q. Написав в результате — х', я подставляю
■ x-\-q вместо р. Полученные.отсюда члены я опять пишу с края, как ты видишь
па прилагаемой здесь схеме, а отсюда беру выражение + 4а2д— —ах2, где q и χ
16
хх
суть каждое в отдельности в низших измерениях, и полагаю приближенно q — —-л—
64а
/yi у* /уч у» /у· γ
или g ==-|~ ~тгг—\-т. Прибавляя к результату -f- '' , я подставляю —^- \-г
23)
вместо q и так продолжаю сколь угодно \
Если я желаю прибавить к результату еще вдвое больше членов, чем уже
получено, то в только что полученном уравнении я опускаю первый член (#3), а также ту
часть второго I — q2), в которой χ входит в том же измерении, что и в
предпоследнем результате. В остальные члены (3aq2-\-4:0?q и т. д,), выписанные с краю,
х2
я, как ты видишь, подставляю -— \-г вместо q и из последних двух членов
(15.г* 131 9 1 \
q i~os~^3 "^" ^ χ2κ ¥ ахг ~^~ 4а2г) полУчающ.егося отсюда уравнения я,
1 9 \ 131 15#* /
произведя деление 4а2 ах + — х2 I -f -γ^"^3 — 4 Q% , вывожу Ι
ι
131ж3
512α*
509r4
16 384α3
, что и следует прибавить к результату.
(X XX \
а 7""Ь ал и т* Д·) согласно второму правилу
даст для искомой площади
х2 . а?3 . 131 χ4 , 509 j?s
аХ 8 + 192а + 2048а2 + 81 920а3 И Т' д"
что тем ближе подходит к ее истинному значению, чем меньше х.
ДРУГОЙ. СПОСОБ РЕШЕНИЯ ТОГО ЖЕ
Теперь пусть требуется, чтобы получаемое значение для площади подходило
к истинному ее значению тем больше, чем χ больше. Примером послужит
у2 -f- аху -{- х2у — а3 — 2хг = 0 2ί) .
С целью решения задачи я выделяю члены
уг -j- х2у — 2хг,
в которых χ и у или в отдельности или в произведении имеют высшие и равные
измерения ш°, и, приравняв их сумму нулю, нахожу отсюда корень.

14
АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
Корень оказывается равным х, и его я пишу в результате. Или, что сводится
к тому же, я определяю корень у3-]-у — 2 (подставляя единицу вместо х), который
оказывается 1, умножаю на него χ и пишу произведение {х) в результате.
Наконец, я полагаю χ -\-р = у и продолжаю так же, как в первом примере,
пока не получаю результат:
а , аа , 131α3 , 509а4
и т. д.,
а затем и площадь
х2 ах
64х ' Ы2х2 ' 16 384я·3
131а3 509а4
аа
Мх
Ы2х 32 768.x·2
и т. д.26).
О таких выражениях смотри в третьих примерах ко второму правилу.
Я привел именно этот пояснительный пример, отличающийся от предыдущего»
только тем, что χ и а переставлены местами, для того чтобы не было необходимости
давать еще другой пример на решение уравнения.
Площадь ( — — -^ -f
аа
~64дГ
и т. д. ограничивается здесь кривой, которая
простирается в бесконечность вдоль некоторой асимптоты; первые члены (χ а\
полученного выражения для у всегда оканчиваются на этой асимптоте, откуда легка
найти часть асимптоты.
То же следует отметить и относительно всех тех случаев, когда площадь
выражается членами, получаемыми последовательным делением на х, кроме тех
случаев, когда .асимптотой вместо прямой является коническая парабола или другая,
более сложная кривая.
Но я выделяю метод этот как частный, так как он не приложим к кривым,
изогнутым в овал наподобие эллипса. О втором способе, разъясненном выше на примере
у3 + а-у + яш/ — 2а3 — хъ = О,
(когда именно степени χ в числителях результата постоянно возрастают), я сделаю
следующие замечания.
1. В тех случаях, когда значение у при ж, равном нулю, оказывается
иррациональным2/) или совсем не известно, следует его обозначить какой-нибудь буквой.
Так, если бы в примере
у3 -|- а2у -{- аху — 2а3 — хъ = О
корень уравнения
у3 + а2у —2а3 = 0
оказался бы иррациональным или неизвестным, то я принял бы вместо него некое (Щ
и завершил бы решение, как показано ниже. Написав Ъ в результате, я. полагаю
Ъ —|—jp = у и это выражение, как ты видишь, подставляю вместо у; а отсюда выводится
новое уравнение ^3-|-3&р2 и т. д., причем отбрасываются члены &3 + α2δ— 2α3,
равные нулю, в силу того, что Ъ предполагается корнем уравнения уЯ-{-а2у — 2а3 = 0„

АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
15·
Затем члены 3№р -|- a2jp -f- <d>x дают
аЪх
аЪх
Далее я подставляю
3δ2 + α2
362 + а2
q вместо ρ и т. д,
, что следует прибавить к результату..
у3 4- <*>Щ + я^У — 2а3 — хг = 0. Пусть ее = ЗЬ2 -J- а2.
г/ = Ь-
+-ir+
а3Ь3#3 α5δ#3 , 6абЬ3#3
С*
сю
и т. д.
Ъ+Р = у
аЪх
ее
f V=P
+ У*
-\-axy
+ аау
— х*
— 2а3
+i>3
+ 3ty>2
-j-азф
-\-eep
— Xs
~\- abx
+ Ь3 + ЗЬ2р + 3¥* + Ρ3
-j- яь# Η- αχρ
— λ;3
— 2α3
а3Ь3г·3
сб
. За*Ых*
' с4
α2δ,τ2
Ιο Γ
И т. д.
6аЪ*х
с*
axq
q и т. д.
- аЬ# -)- ccq
-\-abx
е2-\-ах ■
6а№х\ а*Ъх*
ее
7 с4
а3Ь3#3 / a*bx2 хъ аЯ)ъхг
и т. д.
Выполнив действия, я беру для а какое-либо числовое значение и это
уравнение yz-\~a2y— 2а3 = 0 решаю уже как числовое, как показано выше, и корень его
^подставляю вместо Ъ.
2. Еслд указанное значение есть нуль 28), т. е. если в разрешаемом уравнении
имеются только члены, содержащие множителем # или у, как, например, в следующем
у*— аху-\-х3 = 0, то я выбираю члены (— аху-\-хъ\ в которых только х, а также
. только у, если это возможно, или же у, умноженный на х, находятся в низших степенях.
Х1С
В качестве первого члена результата они дают -{-— и вместо у следует подставить
XX
+jp. В уравнении
уъ — а2у -f- аху — хд = О
придется первый член результата извлекать или из
а*у-
хъ или из ув — а2у.

16
АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
3. Если значение это мнимо, как, например, в уравнении
У* + 2/2 — 2г/ 4- 6 — χ4β — 2х -f х2 + х* = О,
то я увеличиваю или уменьшаю значение х, пока названное значение не обратится в
вещественное.
Так, на прилагаемой фигуре (фиг. 8, табл. II), когда АС (х) равна нулю, CD (у)мнимая. -
Пусть АС уменьшается на известную величину АБ, так что ВС сделается х.
Если теперь принять ВС{х) за нуль, то CD (у) будет вещественным и будет иметь
четыре значения (СЕ, CF, CG или СН). Любой из этих корней (СЕ, CF, CG или
СИ) может быть первым членом результата, смотря по тому, какая из площадей
BEDC, BFDC, BGDC или BHDC имеется в виду.
Встречаясь с такого рода затруднениями в других случаях, ты сможешь
выпутаться из них тем же способом. Наконец, если показатель степени χ или у дробный,
1 4
то я привожу его к целому29). Например, в уравнении уъ — ху2-\-х*=о я пола-
гаю y2=v и х% — ζ и вывожу уравнение г8 — ζ4 + ζ* = 0, корень которого ν =
i 1
= z-\-zb и т. д., откуда (восстановляя значения) у2 =х* -\-х и т. д. и, возводя
в квадрат, у = χ 3 -|- 2х 3 и т. д.
Сказанного об определении площадей кривых достаточно.
С другой стороны, вследствие того что все задачи о длине кривых, о величинах
и поверхностях тел и о центрах тяжести могут быть сведены в конце концов к
определению плоской поверхности, ограниченной кривой, то нет необходимости что-либо
прибавлять специально о них. Я лишь кратко укажу, каким образом я поступаю в этих случаях.
ПРИЛОЖЕНИЕ ВЫШЕИЗЛОЖЕННОГО К ДРУГИМ ПРОБЛЕМАМ ТОГО ЖЕ РОДА
Пусть ABD (фиг. 9, табл. II) есть какая-либо кривая, а АНКВ —
прямоугольник, у которого сторона АН или ВК есть единица. Представь себе, что прямая DBK
движется равномерно от АН, описывая площади ABD и АК, и что ВК (1) и BD (у)
суть моменты30), на которые постепенно увеличиваются АК(х) и ABB; тогда по
постоянно заданному моменту BD ты сможешь с помощью указанных правил определить
описываемую им площадь ABD или сравнить ее с площадью АК(х), описанной
моментом, равным единице.
Таким же образом как по предыдущим правилам выводится из своего
постоянно задаваемого момента площадь ABD, так любая другая величина определяется
из своего момента. Сказанное станет яснее из примера.
Найти, длины кривых
Пусть ADLE (фиг. 10, табл. II) есть круг31) и требуется определить длину
его дуги AD. Проводится касательная DHT, достраивается неограниченно (indefinite)
малый прямоугольник HGBK и полагается АЕ=1 = 2АС.
Тогда ВК или GH, момент основания АВ(х), относится к HD, моменту
дуги AD, как
: : BT-.DT : : BD(Vx~^Tx~x) : Del—\ : : 1 (ВК) : —_ l (DU) 32>.
\ 2 / 2 у χ — хх

АНАЛИЗ О ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
17
1 1/ Ύ хх
Поэтому —-г—_- или — — есть момент дуги AD. А это приводится к
2 у χ—хх 2х — 2хх
1 -τ ι 1 4 . 3 4 ι 5 4 , 35 4- ι 63 4
—- χ 2 -\ χ 2 4- —^ х 2 -+■ 7ΓΖ х 4- -т^тг- # а Ч # 2 и т. д.
2 '4 '16 ~32 · 256 ~ 512
Поэтому по второму правилу длина дуги AD будет
4,14,34, 5 4, 35 4 , бз 4
жли
4 ιΐ1 , 3 «, . δ , . 35 63 .
* на 1+_, + _^ + ЛЙ-я.+Ш5-а!*+281б-^ и т· *·
Таким же образом, полагая СВ равным х, а радиус СА равным 1, найдешь, что
дуга LD равна
, 1 . ι 3 - . 5
Л' + "б" +40 "'—П2~*' И Т* Д'
Следует при этом заметить, что единица, полагаемая вместо момента,
представляет собой поверхность, когда речь идет о телах, линию, — когда о поверхностях, и
точку, — когда о линиях (как в этом примере).
Я не боюсь говорить о точечной единице или о бесконечно малой линии, так
как еще при употреблении метода неделимых33) геометры имели в виду только
отношения.
Отсюда получаются соображения, относящиеся к поверхностям и величинам тел,
и также к центрам тяжести.
Исследовать обратное вышеизложенному
Если, наоборот, по данной площади или по длине и т. д. кривой желательно найти
основание АВ, то из уравнений, полученных по предыдущим правилам, извлекается
корень х.
Нахооюдение основания по данной площади
Если, например, я желаю по данной площади гиперболы ABDG (фиг. 11, табл. Б)
[ = у J определить основание А В, я, обозначив эту площадь через ε, определяю
корень уравнения
z(ABCD) =х \- χ2 Η—g- хъ — х* и т. д.,
пренебрегая членами, в которых χ находится в высшей степени, чем те, в которых
желательно иметь β в результате.
Так, например, если я хочу, чтобы ζ доходило в результате не выше чем
до пятой степени, то я пренебрегаю всеми членами: — х* -\-— xi г-^и.т. д.
и определяю корень только из уравнения
— х° —— я·4 -J- -Q х —тг х 4 х—* = о.

18
АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
X =
1
г-\-Р = х
1 » 1
1-,-+.
-+т-+т*ч-
ι ι -
—Iх"
Ч"
+ *
+ *Р2
»2
2^
-^
+ s2P
—«Ρ
+J>
+т-
4 "
- г .Η
1 -·
2 '
2 * / 6 * 8
ι , , ι - Ι
24 ~ 120 Д
-4- — -~?" и т. д.
η
— ~-4 — г3/? и т. д.
+ — ε*-\-г*р-{■ zp* и т. д.
2~"'°" — ερ 2 Р~
+ -"+/>
1 - I
-^-~"° и т. д.
1 -4 ! е
-г··» и т. д.
-b4^'b~2<z
-т-—
+т"2+?
_1_J_,5
1 δ ~
----
4 ~
+4-
--l··
1 20 \ 6 ' 24 т 120
Я, как ты видишь, произвел анализ, соблюдая следующие два правила.
1. При подстановках я всегда опускаю те члены, которые, как я предвижу, не
будут иметь никакого употребления. Для этого имеет место правило, что за первым
членом, происходящим из какого-либо выражения, находящегося в той же строке, я*

АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
19
прибавляю направо члены в числе, не большем, чем то число единиц, на которое
отличается показатель степени этого первого члена от показателя высшей степени.
Так, в приведенном выше примере, в котором высшая степень 5, я опустил все члены
после 2Ъ9 после .г4 поставил один и два — после ζ*.
Если извлекаемый корень χ оказывается только в четных или только в
нечетных степенях, то имеет место следующее правило: за первым членом, происходящим
из какого-либо выражения, находящегося в той же строке, я прибавляю направо
члены в числе, не большем, чем то число двоек, на которое отличается
показатель степени этого первого члена от показателя высшей степени, или чем
число таких троек, если показатели степеней χ везде отличаются друг от друга на
три, и аналогично в других случаях.
2. Если же р, q или г в получаемом уравнении имеются только в первых
степенях, то их выражения, т.. е. прочие прибавляемые к результату члены, я нахожу
делением. Так это, как ты видишь, и выполнено.
Нахождение основания по данной длине кривой
Пусть (фиг.. 12, табл. II) требуется найти по данной дуге <xD синус АВ.
Корень вышенайденного уравнения
1 Ч 5
^^-.г^^Н-^^ит. д. щ
(где положено ЛВ = х, aD = .z и Ла = 1) будет
1 о , 1 .к 1 ... , 1
£9 И Ϊ. Д.
6 ' 1 120 5040 ' 362 880
Если, кроме того, ты желаешь по той же данной дуге найти еще косинус А$, то
возьми
О продолжении прогрессирующего ряда
Здесь следует попутно заметить, что, зная 5 или 6 членов этих корней, ты
большей частью можешь по аналогии их продолжать сколь угодно
Так,, ряд
*+ 2 * ^ 6 ~ + 24~ + 120 ~ И Т* Д*
ты продолжаешь, деля последний-член на числа в следующем порядке: 2, 3, „4, 5, 6,
7 и т. д.
А ряд
1
г·· и т. д.,
1
6~';
1 -
гЗ 1 go
' ^ 120
5040^
деля на следующие: 2X3, 4X5, 6X7, 8X9, 10 X 11 и т. д.

20
АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАШЕНИЙ
А ряд
г = 1 ~*·2 + — £'4 — .ε6 и т. д.,
2 ^24 720 А>
деля на следующие: 1X2, 3X4, 5X6, 7X8, 9 X 10 и т. д.
А ряд
1 X 1 3X8 5X5 7X7
умножая на —, —, ^, _ ж г. д.
Аналогично обстоит дело в других случаях.
Приложение вышеизложенного к механическим кривым
Мною уже достаточно сказано о геометрических кривых. Даже и тогда, когда
кривая — механическая87), наш метод ни в коем случае не должен быть отвергнут.
Возьмем для примера (фиг. 13, табл. II) трохоидуOS) ADFG, вершина которой А
ж ось АН; ΑΚΗ есть круг, описывающий кривую. Ищется площадь ABD.
Положив АВ=х, BD^=tj, как выше, и АН = 1, я прежде всего ищу
длину BD. По определению трохоиды KD — дуге АК. Вследствие этого всегда
BD = ВК+дуга АК.
Но
1 „4 14 1 4
BK{ = Vx — xx) = #2 5г а"2 jr л*2 — Λ λ· 2 и т. д.
и (на основании изложенного выше) дуга
_L , ι 4- f -3 Λ- . о -1
41Г==*»>-^**+^*я
2
х - И Т. Д.
6 " ' 40~ ' 112
Таким образом вся
-1 1 ± 1 - 1 -
BD = 2x* - х2 —^ х2 —Т77 я2 и т. д.
3 20 об
И (по правилу 2) ? ^
площадь^БЯ^ аГ^-А *т-^ х2"--~ ^ 2 и т* д'
Еще короче можно поступить следующим образом. Так как прямая АК
параллельна касательной TD, то АВ относится к ВК, как момент линии АВ к моменту
линии ВВУ т. е. как
χ \V х—хх :: 1 : — V*— хх=х 2 — —.г·2 -я? з — —х* -—- х1 ит.д.
Поэтому (по правилу, 2)
Б!) = 2я а L д. 2 _ 1 -а __ 1. ; _ 5 д. а и т. д.
3 20 56 570
и
яоверхность ΑΒΏ = - Г* - γ^ _ i х « _ _L_ ЖТ _ _^_ г Τ и т. д.

АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
21
Аналогичным образом (принимая С за центр круга и СВ = х) получишь
площадь CBBF и т. д.
Пусть теперь требуется найти (фиг. 14, табл. П) площадь ABBV квадратрисы^
VDE (вершина ее V, А есть центр внутреннего круга VK, к которому она прилагается).
Проведя произвольную прямую АКВ, я опускаю перпендикуляры ВВ, DC, KG.
χ V AG
Тогда KG : AG : : АВ(х) : ВВ(у) или \\Q =у.
Но по природе квадратрисы В А ( = ВС) = дуге VK или VK—x.
Поэтому, если положить AV=1, то на основании вышеизложенного получится
OR = χ — χ·> +-|^- х° и т. д.
и
(^ = 1—1 ^ + 1 ^-^- * и Т. Д.
Далее:
1
χ
[ xXAG\ 2 { 24 .720
" ( —^6-)-—-. „ L 1 ,, !— " '■ *
1 ^- д*
6 '120 5040
или, по произведении деления:
11 2
?/ = 1 — — ^ — т~ χί ^Т^- xQ и т- Д·
О 40 (J 4 О
Тогда (по правилу 2)
1 1 ^
площадь AVDB = x - χ'λ г—- о;0 —-- х1 и т. д.
У 225 6615
Таким же образом можно определить дугу квадратрисы VBy хотя и с помощью
более сложного вычисления.
И\ я не знаю· случаев такого рода, на которые не распространяется этот метод
в его различных выражениях.
С помощью этих же действий проводятся также и касательные к механическим
кривым (если это не делается как-либо иначе)40).
Все, чего обычный анализ достигает (когда это возможно) при помощи уравнений
с конечным числом членов, здесь всегда достигаеюя при помощи бесконечных
уравнений. И я не колеблюсь употреблять и здесь термин: анализ. Действительно,
рассуждения в нем не менее достоверны, чем в первом, и уравнения не менее
точны, хотя мы, люди конечного ума, и не в состоянии ни обозначить, ни воспринять
все их члены так, чтобы точно узнать из них искомые величины. Подобно этому нельзя
представить ни в числах, ни каким-либо другим аналитическим приемом
иррациональные корни конечных уравнений так, чтобы какая-либо одна из этих величин,,
отличная от других, была установлена точно 41)
Наконец, к заслугам анализа следует отнести (когда это возможно) точное и
геометрическое определение площадей и длин кривых и др.
Но здесь не место говорить об этом42). Оглядываясь назад, мы встречаем две
вещи, требующие доказательства в первую очередь.

♦о о
АНАЛИЗ О ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ -
I
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КВАДРАТУРЫ ПРОСТЫХ КРИВЫХ ПО ПЕРВОМУ ПРАВИЛУ
Приготовление η доказательству первого правила^
Пусть (фиг. 15, табл. II) АВ, основание некоторой кривой ADb, есть х; пусть,
далее, к нему приложена перпендикулярно BD = ?/, а площадь ABD = .?, как прежде *4).
Пусть также В$ — о, ΒΚ = ν и прямоугольник В$НК (ον) равен пространству B$W.
Таким образом А$ = х~\-о и Ab$ = z-\-ov. Предпослав это, я из произвольной
зависимости между χ и ζ ищу у нижеизложенным способом.
„ 2 -i 4
Возьмем хотя бы — χ 2 = ζ или — ж3 = zz. Тогда, подставив χ -f- о (А$) вместо t
4
ж ζ -j- ov (АЩ вместо ζ, ты получишь, что — на хъ -|т Зя2о + Злю2 -f- о3 = (по при-
роде кривой) z2 -f- 2#ог> -}- о2^2· Если отбросить равные члены ( — х? и zz \ и
4
делить остальные на о, то останется —- на 3χ2~\-3χο-\~ο''ί = 2ζν-{-ον-. Если теперь
9
предположить, что В$ бесконечно убывает и исчезает или что о является нулем, то ν
и у делаются равными и члены с множителем о исчезают. Поэтому остается только
4 2 9JL J_ / хч
— X Зхх = 2ζν, или γ хх ( = zy) = γ χ 2 г/, или ,г- - ( = -' 3 ^ = //.
- 2 -
Поэтому и обратно, если χ 2 = //, то — χ 2 = .г·.
Ь
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 4δ>
Пусть вообще
X агг w = *
по-
па 2-
Если положить . = с и т-\-7ь = р, то a,w =^* или cnxp = zn. Тогда по
подстановке # -|- 0 вместо &· и £* -|- о?; (иди, что то же, ζ -{- оу) вместо ζ получается сп
на хр -\-рохр" и т. д. = /г -j- ж)^2,~~1 и т. д., причем я опускаю остальные члены,
которые в кОпце концов исчезают. Далее, если отбросить равные спхр и zn, а остальные
разделить на о, то остается
' fpxv-^nyz-1 f^-^f- = Hy0%f
или, по разделении на cV:
ν — Η
_ ι Щ -
Рх = —~- или рех п = пу.
сх~

АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
23
па ,
Заменяя вновь с его значением ; , а тА-п его значением р, т. е. ставя т
т -\- η 1
т
вместо ρ — η и па вместо рс, ты получишь ахп — у. Поэтому и обратно, если
w т 4- η
αχ п =//, то \ ατ ν = ζ. Что и требовалось доказать46).
Разыспамье кривых, допускающгсх квадратуру
47)
Здесь мы попутно укажем прием нахождения любых кривых с данными
площадями. А именно, определив каким-либо уравнением зависимость между площадью ζ
основанием х, следует отсюда найти ординату у.
Так, если ты предположишь, что Υαα-\-χχ — ζ, то вычислением найдешь,
что , =г == у. Аналогично обстоит дело в других случаях48*.
\aa-\-xx
II
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РЕШЕНИЯ НЕЯВНЫХ УРАВНЕНИЙ
Далее следует еще обосновать решение буквенных неявных уравнений, а именно
то, что чем далее развертывается при достаточно малом χ результат, тем более он подходит
к истинному значению, так что разность (р, q или гит. д.), на которую он
отличается от точного значения у, делается, наконец, меньше всякой данной величины; и что
при бесконечном продолжении результат становится равным самому у. Это будет ясно из
следующего:
1. Так как при каждом действии в последнем члене уравнений, корнями
которых являются р, q, г и т. д., постоянно отнимается та величина, в коаорой χ
находится в наименьшей степени (т. е. больше половины этого последнего члена, если считать χ
достаточно малым), то этот последний член (по пр. 1, кн. 10 „Начал"), наконец,
становится меньше всякой данной величины и совершенно исчезает, если действие
продолжается бесконечно.
Например, если х = — , то χ будет половиной всех χ -f- х2 -J- хд + %* и т. д.
и ,х2 половиной всех х- -J- χ3 -ρ χ* -f- хь и т. д. Если χ меньше, чем — , то х будет
больше половины всех х-\-х- -\-хъ-\-х* и т. д. и х2 больше псловины всех х2-\~
X 1 х^
-\-У*-{-х1 и т. д. Если ~г меньше, чем —, ίο χ больше половины всех^-j—=-.-[-
+ "77" и т- Д· Т° же и в других случаях. Числовые ксэфициенты, которые при этом
встречаются, большей частью беспрерывно убывают. В случае &е, если бы они
начали возрастать, достаточно χ предположить еще в несколько раз меньше.
2. Если последний член какого-либо уравнения беспрерывно убывает, пока>
наконец, не исчезает, то один из его корней также убывает, пока не обращается вместе с
лоследним членом в нуль.

Μ
АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ , УРАВНЕНИЙ
3. Поэтому одно из значений величин р, q, г и т. д. беспрерывно убывает, пока,
наконец, при бесконечном продолжении действия не исчезает совершенно.
4. Но значения р, q или г и т. д. вместе с последним полученным результатом
равняются корням предложенного уравнения. (Так, при вышеприведенном решении
уравнения ιβ -\- аау -\- аху— 2а3 — #3 = 0 получаешь
1 Ί осх
у = а-Агр=а -xJrq = a — — х-\--^--{-г и т. д.).
Отсюда достаточно ясно, что бесконечно продолженный результат будет одним из
значений у.
То же обнаруживается, если подставить вместо у этот результат в предложенное
уравнение. Ты увидишь, что все члены с меньшими степенями χ постоянно взаимно*
49) 50)
уничтожаются ;.

метод флюксий и бесконечных рядов с приложением;
ЕГО К ГЕОМЕТРИИ КРИВЫХ
ВВЕДЕНИЕ
О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Я заметил, что многие из современных геометров, пренебрегая сингетиче-
ским методом древних, отдались преимущественно обработке искусства анализа,
С помощью его они оказались в состоянии разрешить так много трудного, что
представлялось, будто ими рассмотрены и исчерпаны всевозможные геометрические
изыскания, кроме квадратуры кривых и некоторых других аналогичных вопросов,
исследованных и изученных еще не в достаточной мере. Поэтому я нашел нелишним
написать для молодых геометров эту книжку, в которой я пытаюсь раздвинуть
пределы анализа и развить дальше учение о кривых.
Действия, производимые над буквами , и действия над обыкновенными числами
крайне сходны между собой и представляются различными только по тем
характеристикам, которыми они выражаются, причем в первом случае характеристики
неопределенные и общие, во втором же они определенные и частные. Меня удивляет поэтому,
что никто (если только не исключить Николая Меркатора52) в открытой им
квадратуре гиперболы) на направил своего внимания на приложение к буквам принципов
недавно открытого учения о десятичных дробях, особенно потому, что при этом
открывается путь к более трудным и более важным открытиям.
В самом деле, это учение о буквенных выражениях находится в таком же
отношении к алгебре, как учение о десятичных дробях к обыкновенной арифметике.
Поэтому тот, кто знаком с десятичной и с буквенной арифметикой53) и кто учитывает
аналогию, существующую между десятичными числами и бесконечно продолжающимися
алгебраическими выражениями, сможет тогда легко изучить сложение, вычитание,
деление, умножение и извлечение корней. Ибо то, что случается с числами, именно,
что, чем дальше они отступают вправо, тем больше убывают в десятичном отношении,
то же имеет место и для букв, когда они, как это всего чаще будет в дальнейшем,
расположены в бесконечную однородную прогрессию по степеням какого-либо
числителя или знаменателя.
И так же как десятичные дроби обладают тем преимуществом, что выраженные
в них обыкновенные дроби и корни приобретают в некоторой степени свойства целых
чисел, так что с ними можно обращаться как с последними, так и буквенные
бесконечные ряды приносят ту пользу, что всякие сложные выражения (дроби с составным:

ίτ>
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
знаменателем, корни составных величин или неявных уравнений и т. д.)54) можно
с их помощью привести к роду простых количеств; именно, их оказывается возможным
привести к бесконечному ряду дробей, у которых числители и знаменатели суть
простые члены, и таким образом с небольшой затратой сил удается преодолеть трудности,
в другом виде представляющиеся почти неодолимыми.
Поэтому я сперва покажу, как следует производить вти приведения или же
как можно приводить сложные количества к простым членам, — преимущественно в тех
случаях, когда метод вычисления не элементарен.
Затем я приложу этот анализ к решению проблем.
Способ приведения посредством деления и извлечения корней станет ясным
из нижеследующих примеров, в которых можно сравнить между собой методы,
употребляемые в десятичной и буквенной арифметике.
Примеры приведения посредством деления
Если дана дробь , то раздели аа на Ъ-\-х по следующей схеме.
и -~г~ X
, . / аа аах , аахх αανη . аах*
ь+х)аа+о\—ъ ^+ — ъ^+нг ит-д-
аах
αα-γ
0-
Ь
аах
аах
Ь
0 -
fo
аахх
ЪЪ
. аахх
, аахх
' ЪЪ
0
1
1
аах9.
Ъ* .
аах'6
Ъ*
ααχλ
0 -
L0
ι '
аахх
, аах* t
Ι Λ4 1
О и т. д.
Таким образом частное есть
аа аах , аахх aaxz , аах*
Ь ЪЪ ' 6» Ы ' Ь5
аа
и т. д.,
и ряд этот, продолженный до бесконечности, равен
Ь + х'

МЕТОД ФЛЮКСИЙ II БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 27
Если же ты возьмешь за первый чяен делителя х, т. е. будешь делить так:
χ -\- Ъ) аа -}- 0, то частное будет
аа aah . aahb aab?>
= -— и т. д.
.Г XX X* X*
Это находится, если действовать так же, как выше.
Равным образом дробь —у- превращается в
JL -т~ XX
1 PCX -}- <^4 — xQ-\~x8 — χ10 и т. д.,
или в
— 2 — 4 ι —0 —8 ι —10
χ — χ -\-эг —х -\-х и т. Д.
А дробь
— 2.
2х 2 — χ 2
_1_
1 + χ 2 — ?>х
превращается в
2.x·2 —2x^-lx2—13xv-{-S4:X 2 —73а'3 и т. д.
Здесь следует кстати отметить, что вместо
1 1 1 1
X ' х2 ? х'л ' tr4
и т. д.
я употребляю
вместо
употребляю
и вместо
употребляю
χ 1, χ 2, <г *, χ 4 и т. д.,
V~x, Ϋ*?> V*b, Vjo, Vхх и т. д.
1 3 _5_ _1_ 2
X 2 , X 2 , X 2 , Χ ν> , Χ '* и т. д.
1 1 1
у г у хх у V
1 2 _ 1
X
При этом я основываюсь на аналогии, как ты можешь это видеть из следующей
или же подобной ей геометрической прогрессии:
— - — -А _2 __£.
Таким же образом вместо
аа a~b а2Ь-
~~х жТ"*" х*~ л т. д.
-можно написать
α2χ-ι _ α%χ~2 4- «2/^~3 и т. д.

28
МЕТОД ФЛЮКСИЙ II БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Равным образом следует писать аа— хх
квадрата аа— хх и
а№
■У*
вместо
вместо У а? — .г2 и аа
XV
вместо·
~ab* — y*
то же относится и к другим
Ъу-ГУУ I г %+</2
выражениям.
Итак, по существу можно различать положительные и отрицательные,
целые и дробные степени.
II РИМЕРЫ ПРИВЕДЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КОРНЯ
Если дана величина аа-\-хтсу то квадратный корень из нее можно извлечь
следующим образом:
аа-\-хх
аа
la
ох°
7.г10
2\х^
2а
8аЛ
16 а5
1280*
256а9
1024а11
и т. д.
О -\- хх
4α α
4аа
i'4
4αα
8α4
64α*5
j«6
.г*
8α4
.г6
64α6
,.ιο
8α4
16α6
64α*
5 Xs
χ
10
256α10
*12
64α6
5.r8
"64α6"
64α8
5.τ10
128α6'
256α1υ
5#12
512α10
7#10
1χ^
128α8
7.r10
δ12α10
7.^2
и т. Д
И Т. Д.
128α8
256α10
21ж12
Итак, найденный корень есть
XX
2α"
8α3~~^ 16αδ
512α10
и т. д.,
и т. д
причем можно заметить, что в конце действия я пренебрегаю всеми членами, степени:
которых превосходят степень члена, который я желаю принять за последний^.
№ ад)
например —- * .

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
29
Порядок членов можно обратить следующим образом, взяв %х-\-.аа; тогда корень
, аа а4- . а6 5а8
(окажется χ -l· — . _ ,t 4- 1Г, R ■ лс%0 „ и т. д.
1 2х &х° ! 16-х·5 12S.T4
Равным ооразом корень из аа— χ χ есть α --- — ΐ¥ΊΓ и т* Д·
ν 4 " 1 4 1 4 1 4
Корень из .г? — хх есть .г χ ·/· - —— л1 и т. д.
_.. , 7 , Ьх хх ЬЬхх
Для аа-т-Ьх — хх он равен а-А—г — ^-—— и т. д.
1 1 1 2а 2а 8ал
А Ί /ΪΤ^ +~ΐ аШ ~~* ^' +ΊΊΓ ^ и τ· *
1 — Ъ.г.г ЬЬхА — frU·6 и т. д.
что далее (по разделении) будет:
1 3 5
1 + — Ъхх+-^- ?^/4 + Τβ Ь3·**6 и т· Д·
+ Ύ« -ЬТ^ +uahh
Эти операции, однако, часто можно бывает сократить, надлежащим
образом подготовив величины. Если бы, как, например, в вышеприведенном примере, в кото-
/1 -f- ахх , * s *
— , форма числителя и знаменателя была бы не одинакова, то
я умножил бы их оба на )/~ Г— Ьхх, откуда получил бы
, / 1.-\~ахх— аЪх*
V -ι.
1 — Ьхх
после чего достиг бы дели, извлекая корень только из числителя и деля затем на
знаменатель.
Я думаю, теперь уже достаточно ясно, каким образом можно извлечь всякие
другие корни и как приводятся к бесконечным рядам простых членов сложные
величины с любым числом радикалов или знаменателей вроде, например,

30
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
G приведении неявных уравнении
Теперь я приступаю к объяснению того, как можно разлагать в бесконечные
ряды корни неявных уравнении. Этот вывод мне придется провести более подробно,
ибо то, чему математики учили относительно числовых уравнений до сих пор, очень
сложно и связано с лишними операциями, так что оно не может служить для нас
образцом для проведения этих действий в буквах.
Поэтому я сперва укажу, как можно коротко решать числовые неявные
уравнения, а затем этот же метод перенесу и на буквы.
Пусть предложено решить уравнение
if — 2у — 5 = 0
и пусть 2 представляет собой (каким-либо образом найденное) число, которое
отличается от верного значения корня меньше чем на свою десятую часть.
Я принимаю тогда 2 -\-р = у и подставляю 2 -\-р вместо у в указанное
уравнение, причем получается новое уравнение:
i>3 + 6j?p + 10j? —1 =0,
у которого нужно найти корень, с тем чтобы прибавить его к результату. Если
отбросить jp3 + 6p2B силу малости этих членов, то останется уравнение 10jp —1 = 0
или ρ = 0,1, каковое значение очень близко к истине. Поэтому я прибавляю его
к прежнему результату, полагаю
0,1+ q=p,
л составленное таким образом значение подставляю, как и раньше, вместо р, что даех
23 + 6,3^ + 11,23^ + 0,061 = 0.
Отсюда выводится, что
ll,23j + 0,061=0,
что приблизительно верно, или приближенно
q = —0,0054.
Последнее получается при делении 0,061 на Л 1,23 до тех пор, пока не получится
столько знаков, сколько заключается мест между первыми знаками этого и главного
результатов 5б>. Так, здесь между 2 и 0,005 имеется два места. Поэтому я ниже
результата пишу — 0,0054, так как это величина отрицательная. Положив
— 0,0054 +г = д
и подставив, как выше, я продолжаю таким образом действия сколь угодно, как это
можно видеть из прилагаемой таблицы 57>.
Но действия в конце могут быть значительно сокращены, в особенности, если
уравнения будут высоких степеней.
Примечание. Будем име/гь:
— 0,0000001ДЯГЯ£ + О,ООО0&М8> +fgjdl«£r* + г3
+ 0,000183708: — 0,06804 +#Д
Но так как перечеркнутые числа следует отбросить и вместе с тем они бы загромоздили
таблицу, то мы их отбрасываем уже -здесь.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
31
?/3 —2// —5=0
1 2+jp = f/ +г/
— 2у
— 5
! Сумма
| 0,l + g=j> + ^
! ■+· еда
+ юя
— 1
| Сумма
j.- — 0,0054 + r = q + ?з
+ 6,3??
Г + и,23а
+ 0,061
j Сумма
+ 2,10000000
— 0,00544852
+ 2,09455148 и т. д. = /у I
+ 8 + 12р+6^ + р3
— 4— 2р
— 5
— 1+10р + 6#р+^3
+ 0,001+ 0,03? +0,3??+ ?3
+ 0,06 + 1,2 +6
+ 1 +10
— 1
0,061 + 11,23?+ 6,3?? + ?s
— 0,0000001*+ 0,000* г**
j . + 0,0001837*— 0,068* *
— 0,060642 +11,23
+ 0,061
+ 0,0005416 +11,162г
— 0,00004852+ s = г
Определив, до каких пор ты желаешь продолжить вычисление корня, установи,
сколько мест остается заполнить в результате, и столько же и возьми (после первой цифры)
в коэфидиенте предпоследнего члена уравнения, образующегося в правой части таблицы,
и отбрось все последующие десятичные знаки. Для. определения десятичных
знаков, которые должны быть отброшены в последнем члене, прибавь к числу мест
высшего знака столько мест, сколько мест уже заполнено в результате. Но в предпред-
последнем члене отбрось те, которые находятся за столько мест, сколько остается по
исключении числа заполненных мест из незаполненных, и так далее, следуя
арифметической прогрессии с разностью, равной последнему интервалу. Или же, что то же
самое, следует всегда отбрасывать столько знаков, сколько в предпоследнем члене, так,
чтобы последние места образовали ряд в форме арифметической прогрессии, причем
(в ином случае) они должны быть заполнены кружками ^\

•32
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Так, если в настоящем примере угодно продолжить действие до восьмого
десятичного знака, то, положив 0,0054+ г вместо q (причем четыре десятичных места в
результате заполнены и столько же остается незаполненных), я смогу отбросить знаки,
которые занимают пять последних мест, что я отметил перечеркиванием, а также
отбросить первый член г3, хотя коэфициент при нем 0,99999 и т. д., По уничтожении
таким образом этих знаков, дальнейшие действия дают сумму
0,0005416 + 11,162 г,
откуда с помощью деления, продолженного до того места, которое указывается членом,
выводится, что
— 0,00004852 = г,
каковое значение и приводит нас к желательному результату. Отняв затем от
положительной части результата отрицательную, мы получим в качестве корня предложенного
уравнения 2,09455148.
Можно заметить также, что если бы я усомнился в начале действия в том,
достаточное ли приближение для корня дает ОД =р, то вместо Юр—1 = 0 я взял бы
6йР + 10р —1 = 0
и для результата взял бы первый знак корня этого уравнения, как более близкого к нулю.
Правильно сделав это, я найду и второй, а также четвертый знаки результата, если
только в рассматриваемом вспомогательном уравнении квадрат коэфициента
предпоследнего члена будет не более чем удесятеренное произведение последнего члена
на коэфициент предпредпоследнего. Ты весьма часто облегчишь себе труд, в
особенности в случае уравнений высоких степеней, разыскивая все знаки, которые следует
прибавить к результату, с помощью этого приема, т. е. определяя,наименьший корень
из трех последних членов вспомогательного уравнения. Таким образом ты по большей
части будешь в состоянии получить удвоенное число знаков результата.
Теперь мы переходим от решения числовых уравнений к решению буквенных.
Однако предварительно нужно иметь в виду следующее.
Во-первых, что какой-либо (и безразлично какой) буквенный или видовой
коэфициент при наличии многих коэфициентов может быть от других отделен или же
предположен либо много большим, либо много меньшим, чем все остальные, т. е. более
близким к данному количеству. Основание этому заключается в том, что, так как его
степени в числителях или знаменателях членов результата все возрастают* то эти
члены последовательно убывают и потому результат непрестанно подходит к искомому
корню, как можно усмотреть из того, что мы выше отметили о букве χ в примерах на
приведение посредством деления и извлечения корней.
В последующем я буду обозначать такие виды величин обычно через и· или г\
а У> р, q, г, s и т. д. буду употреблять для определяемых корневых видов 59).
Во-вторых, отметим, что в тех случаях, когда в предлагаемых уравнениях
встречаются сложные дроби или иррациональные выражения или же когда они
возникают в самом процессе решения, то их следует удалять приемами, хорошо знакомыми

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
33
аналитикам. Если, например, ты имеешь 2/3 + т \УУ— #3 = 0, то уйножь это урав-
Ό ■ X
иение на Ь — χ и из произведения
— χ -j- х±
определи значение у.
и
Можно еще положить у χ Ъ — х = и; написав вместо у, найдешь
и ~~—— х
и* + ЬЬии — ЪЧ* + ЗЪЪх* — ЗЪх* + а* = 0.
Отсюда ты извлечешь и, а чтобы получить у, результат разделишь на Ъ — х.
Таким же образом, если предлагается уравнение if — ху2-\-х'6 =0, ты
можешь принять у 2 =гс я χ д ~г; тогда по подстановке ии вместо у и гв вместо
дополучается w6 — Λ -J- «гг* == 0. По разрешении этого уравнения следует вернуться к χ и у.
А именно, мы находим корень M^s-j-^-f-e.?3 и т. д. и, возвращаясь к у и z9 имеем
у ^ — # з _|_ ^^_ бл:3 и т. д.; возводя затем в квадрат, имеем у = хп-\-2х*-\-13## и т. д.
Равным образом, если имеются отрицательные степени χ ж у, они могут быть
удалены посредством умножения на χ или у. Так, если дано уравнение х^-^-Зхху-1—
— 2я~1— 1б?/~~3 = 0, то умножь его на χ и на у3, после чего получится #4?/3-)-
1оч9ло1/.лт, «^ 2^3 ι За4
-J-3#d£r— 2у*—16х = 0. Если же заданное уравнение есть а? = - \~—у,
д:о умножь его на у3, и ты получишь худ = <мда— 2a3y-j-3a4, и так же обстоит дело в
других случаях.
В-третьих, когда уравнение таким образом уже подготовлено, следует начать
действие с определения первого члена результата. Когда оба неизвестных (х или ζ)
предполагаются малыми, то к определению этого и следующих членов приведет общее
правило. К этому случаю могут быть приведены и два остальных.
Правило же это таково: из всех членов, в которых отсутствуют буквенные корни
(У> Р> Ь г и т· Д-)> выбери тот, в котором неизвестная буквенная величина (х или г
ж т. д.) входит в наименьшей степени; затем выбери другой член, который содержит
этот корневой вид и таков, что прогрессия, составленная из измерений каждого из
упомянутых выше неизвестных, при продолжении ее от члена, принятого за первый,
до этого члена либо возрастает настолько, насколько это возможно, либо убывает
столь мало, насколько это возможно; и если имеется несколько таких членов,
измерения которых принадлежат этой прогрессии, сколь угодно далеко продолженной, то
их все следует брать Q0\
Приравняв, наконец, сумму выбранных таким образом членов нулю, найди
значение неизвестного корня и припиши его к результату.
Для лучшего уразумения этого правила поясню его на следующей диаграмме 61>.
3 Зак. Э29в. Ньютон.

34
МЕТОД ФЛЮКСИЙ'И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Построй прямой угол БАС, стороны его Б А, АС раздели на равные части и^
восставив перпендикуляры, раздели угловую площадь на равные квадраты или парал-
лелограмы, которые отметь вписанными в них измерениями букв χ и у:
! Я*
Xs '
XX
X
1
xhj
х*у
хху
ху
У
х±уу
хЧуу
ххуу
хуу
УУ
х*уъ
χζιβ
ххуъ
Щъ
У*
xhj4*
х3у*
хху1
ху*
У'
xhjb
xbjb
χχιβ
хуь
х*у6 и т. д.
x3yQ и т# д#
ххгр и т. д.
χιβ и т. д.
ψ уб и т. д. |
Затем, когда дано уравнение, отметь каким-либо знаком параллелограмы,
соответствующие всем его членам, и приложи линейку к двум или же, что случается
иногда, к нескольким из отмеченных таким образом параллелограмов, из которых один
является самым нижним в столбце АБ слева, другой попадает на линейку справа,
а все остальные, не касающиеся линейки, находятся над ней. Затем возьми все те
члены уравнения, которые содержатся в параллелограмах, задетых линейкой, и найди
из них величину, которую следует положить в результате. Так, если следует определить
х^
корень уравнения у6 — Ьхуъ -) у4 — ^аа хх УУ + 6я3^3 + ЬЬх* = 0, то я обозначаю, как
а
видишь (фиг. 1, табл. HI), параллелограмы, соответствующие членам этого уравнения,
звездочкой #-. Затем я прикладываю линейку DE к самому низшему из отмеченных
параллелограмов в первом столбце слева и вращаю линейку снизу вверх в правую сторону, пока она
не пройдет через какой-нибудь один ели несколько различных отмеченных
параллелограмов. При этом я вижу, что липейка заденет те места, в которых содержатся члены
х3, ххуу и yQ. Поэтому я составляю из них уравнение у6 — Тааххуу ~+- 6а3хв = 0 62)
(которое, если угодно, я затем, полагая у = гь]/ах, привожу к uQ — 7ии-\-6 — 0) и из
него нахожу у, который имеет четыре значения, а именно: -f- Υ ах, — Υ ах, *-f- Y2ax,
— Υ2 ах. Из этих значений я могу взять за первый член искомого количества любое,
но в различных случаях следует выбирать то из них, которое соответствует тому
корню, который мы желаем найти.
Так, если дано уравнение уь— byy~{-9bxx — #з = 0, то я собираю члены
— Ъуу-\-9Ьхх и для первого члена результата получаю у = 3х. А если дано ув-\-
-\-axy-\-aay— хь — 2а3 = 0, то я беру уъ-\-аау — 2а3> корень которого есть -f-α 68),
и с него я и начинаю писать искомое.
Равным образом, если бы я имел ххуъ — Зс4хуу — сьхх -|- с1 = 0, то я выбрал бы
из него ххуъ-\-с1, откуда вывел бы у — —1/ —, каковая величина и представляет
первый член искомого результата. И так далее.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
35
Но если этот найденный член содержит какую-либо отрицательную степень, то
я делю уравнение на ту же степень неизвестной буквенной величины, для того чтобы
не пришлось делить на нее в самом решении. С этим согласуется нижеизложенное
общее правило об уничтожении излишних членов. Так, если дано уравнение
8Λ/3 + az*yy — 27а9 = О,
За3
корень которого начинается с члена ——, то прежде, чем приступить к его решению,
я делю его на zzy так что получается
8*V + aAjy — 27α9 г~2 = 0.
Затем таким же образом находятся из различных вспомогательных уравнений
и остальные члены, которые следует прибавить к результату, причем большей частью
с меньшим усилием, так как все дело здесь сводится к тому, что низшие из этих
членов, которые содержат бесконечно малые^величины (х, хх, я8 и т. д.) и не содержат
буквенных корней (р, q, г и т. д.), делятся на выражение, которое стоит при
буквенном корне в первой степени и уже не содержит неизвестной величины; то, что
получается отсюда, записывается в результат. Так, в приводимом ниже примере члены
х хх 131#3 1 131 Q
—, -7ГГ- , ~тчт>— и т· Д· производятся путем деления ахх, -—ахх, -т^яР и т. Д-
4 64а 512аа » 16 128 *
на 4αα.
После установления этих предпосылок остается показать практику решения.
Пусть требуется решить уравнение ув + аау -}- аху — 2а3 — #3 = 0. Из нескольких его
членов я составляю уравнение уъ -f- аау — 2а3 = 0 (согласно тому, что мы предпослали
в третьем указании), откуда получаюty— α = 0. Поэтому я пишу в искомом
результате + а- Однако, ввиду того что -\- а не представляет точного значения у, я полагаю
а-\-р — у и в членах уравнения, написанных с края, полагаю а~\-р вместо у;
происходящие отсюда члены я снова записываю с края (ръ-\-Ъарр-\-арх и т. д.). Из них
я на основании предпосланного .в третьем указании вновь выбираю члены, из которых
составляется уравнение 4аар + <*>а>х = 0, дающее р = — х. В искомом результате
4
1 1
я записываю х, но так как —а? не равно точному значению р, то я полагаю
4 4
x-\-q=p и в членах, написанных с края, вместо ρ подставляю —"Т"^ + 3.
Полученные при этом члены (д3 ■—qqx-\r3aqq и т. д. J я снова выписываю с края,
а из них согласно предыдущему правилу опять выбираю члены для образо-
1 Λ хх
—— ατχ — O, которое дает # = ——;
16 64α
1 Λ хх
вания уравнения 4aaq— — ατχ — O, которое дает q = -——; эту величину я при
ставляю в результате.
XX
Таким же образом, так как —— не есть точное значение q, я полагаю
XX XX
— a-\-r = q и в членах, написанных с края, вместо q подставляю -)- г и тав
продолжаю сколь угодно, как это видно из следующей таблицы:
ч3*

36
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
yi -{- аау — 2а3 -f- пху
-\-*+р=*у
1 1
— -ζχ + 4 = Ρ
I . XX
1 -1 - .-!.. *· — га
^ Ua^r~q
— χ·> = 0
+ >/3
+ ^;</
-|- aaij
— χ*
— 2α?
+ρ
4~ Зарр
-\~apx
+ 4ада
-\-aax
Xs
+ <?3
-тшх
-j- 3aq(j
+ — qxx
1
-j- 4aag
65 »
64
1
_ _ (a/XJL
lb
I A l ( 9 \ ! 1
# , xr 13 Lr3 509j·4
У~а 4 + 64a + 512aa+16384^ * T*
-\- a3 -j- 3aap -f~ Зада -Kp3
-j- aa# -j- apj*
-j- a3 4" aaP
— x·1
— 2a3
1 4 ^
"""64 χ6 +^(*χν — γΜχ + (1Β
-f- γ^- я*^ — 17-a(F' + 3agg
1 ,
j-axx ~f~ aqx
— aax -j- -iaaq
-J- aax
— x*
*
*
0 γΛ °
+ 4ок-*+-з¥г"'+3агг
Зж* , 3
1 3 l
4- -— axx -j- 4aar
1 lb
-S-*3
_ia«
31 15.r* / 13 Li* , 50"9л?4
28 X 4096 a \ *+" 512aa "■" 16 384a3
Д.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
37
Когда результат следует довести только до определенного места, так, чтобы,
например, в последнем члене χ не был выше определенной степени, то, совершая подстановки
в членах, я опускаю те 64), которые, как я предвижу, не войдут в употребление. Для
этого имеется такое правило: к первому члену, получающемуся для какой-либо величины
в смежном с ней столбце, присоединяется столько членов справа, на сколько единиц
показатель степени, которая должна быть высшей в искомом результате, превосходит
показатель степени этого первого члена.
Допустим, что в настоящем примере я хочу, чтобы результат (или же буква χ
в результате) не превосходил четвертой степени. Тогда уя опускаю все члены после х4
и беру один после #3, и таким же образом нужно уничтожить все члены,
следующие за знаком * 6δ\
Так действия продолжаются до тех пор, пока ты не придешь к членам
16хА 131#3 1
'—-\-4:ааг —агх, в которых р, q, г или s, означающие дополнения
4096а 128 ' 2
к искомому корню, находятся в первой степени и из которых посредством деления
ты сможешь получить столько членов, сколько их показалось нужным для заполнения
/ 131#3 . 509^ \
результата ^именно: ^^ +____j .
Таким образом ты, наконец, получишь
1 , хх . 131л·3 , 509.Z4
ν = α-Τχ-Τ~6ά +ΤΪ2^+Ί6384^ М Τ· Д'
Для лучшего уяснения предмета я прибавлю еще другой пример решения.
Дано уравнение
3.1,1,1
η-У0 — ТУ ТУ ^УУ + У —
потребуется найти решение вплоть до пятой степени. Ненужные, отбрасываемые
ъаены обозначаются через „и т. д.".
Равным образом, если предложено найти решение уравнения
63 35 Ъ 3 1
вплоть до девятой степени результата, то ты можешь еще до начала действия отбро-
63
сить о о^.?/11' В ходе же самого действия ты можешь отбросить все члены, прево-
сходящие j9, и взять лишь один после г1 и лишь два после гъ, ибо легко усмотреть, что
в решении показатели равномерно повышаются на интервалы в две единицы, именно так:
z, z%, zb, ,~7 и т. д. В конце концов ты получишь
Отсюда обнаруживается тот прием, с помощью которого можно решать
бесконечные неявные уравнения или же уравнения, состоящие из бесконечного числа
членов. Ясно, что прежде, чем приступить к действию, следует отбросить все не

38
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
1 .
5 9
1 , . 1 s
г+Р = У
1 ,
Ι—ε —
~уу+у—? = °
,+i*/3
о
-\уу
+ У
+ΡΡΖ
-\рр
—ρζζ
+ρζζ
—ρζ
+JP
1
2 ZZ
HW-н
у='4ч^+^+^"
-f- —·?δ и Т. Д.
1 4
— — ζ^ —ρζ° и т. д.
1
+ — ζ*-\-ρζζ-\-ρρζ и т. д.
о
1 1
— γ*2—ρζ——ρρ
-\-z-\-p
— ζ
+ J^9 и т. д.
— — zL——qzz и т. д.
1 -
— — zb и т. д.
— — **_д*
Δ
+ -j^ + 2
-т-
+4--
О
1
- — ,5·5 (— £3-f — ^4 + -1—3*
20 V 6 ^24 ~ 120
д.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
39
содержащие буквенного корня члены, в которых измерение бесконечно малой
величины превосходит высшую, требуемую в решении степень, или же члены, от
которых после подстановки вместо буквенного корня первого члена, найденного с
помощью параллелограма, как это показано [выше, могут получиться только высшие
члены. По этой причине в последнем примере я отбросил все члены выше, у9, хотя
их и бесконечно много.
Таким же образом, чтобы определить 66) кубический корень уравнения
— 8 + яз· — 4^-f 9^ — 16г8 и т. д.
-\-у на zz— 2ζ±-ί-3ζ6— 4г8 и т. д.
0 = { —у у на zz— z*-\-zQ— ~8 и т. д.
+ ?/3 на Z2 — γ2* + — zQ — — ζ* и т. д.
до четвертой степени ζ, я опускаю все до бесконечности члены, высшие, чем те,
которые ^составлены из
+ ?/ на ** —_£4 + _*в
Δ О
и из
и из
и из
— уу на zz-
1 + *«,
-\-у на zz — 2ζι,
1 на —S-\-zz— 4.3-4.
Поэтому для решения я беру только уравнение
j ζψ — \ ζψ + zzif — s*yy + zhjy — zzyy — 2z4j -f zzy — is* -f-^_8 = 0.
Действительно, первый член решения
(ζ* О
при подстановке его вместо у
в отброшенную нами и сокращенную на ζ3 часть уравнения дает всегда степени выше
четвертой.
Можно приложить и к квадратным уравнениям то, что было сказано о высших.
Так, если корень уравнения
0 =
УУ
хх
х-\ Ь— и т. д.
1 а ' аа ' а3
#4
4аа
ищется до х% то я отбрасываю все до бесконечности члены, высшие, чей
•у на а-\-х-{-
хх
ш беру только уравнение

40
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
жоторое разрешаю либо по обычному правилу, дающему
1 ,1 , хх , ί 1 ,1 , 3 . х\
либо короче и легче—по уже изложенному способу для неявных уравнений,, с помойные»
которого получается
Хк хь
где последний требуемый член исчезает или равен нулю.
После того как корни получены с достаточно большим числом членов, иногда
бывает можно найти сколько угодно дальнейших членов, если только правильно
подметить общий закон составления рядов.
Так можно продолжать до бесконечности следующий ряд:
j который представляет корень бесконечного уравнения #=у—- у у -{-— у3— ■— у4 и т. д. К
если постоянно делить последний член на ряд чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д.
А ряд
можно продолжать, беспрестанно деля на числа 2X3, 4X5, 6X7, 8X9 и т. д.
Далее, для ряда
, хх х1 xQ Ьх8
α+^~8^+Ϊ6^_ 1280* И Т· Д*
мвжно найти сколько угодно членов, умножая уже найденные соответственно на дроби
113 5 7
-х-, —, -г-, -ζ-, —-т--; то же относится и к остальным.
А 4 Ь о 10
Однако при определении первого члена решения, а иногда также второго^ или
третьего, может возникнуть требующее разрешения затруднение, а именно:
выражение его при нахождении по вышеуказанному способу может оказаться иррациональным
или неизвлекающимся корнем неявного уравнения высшей степени. Если встретится
етот случай, то такой корень (если только он не мнимый) 67> можно заменить какой-
либо буквой. Сделав это, мы следуем дальше обычным порядком, как если бы этот
корень был известен.
Так, если бы в примере
if -j- аху -f- ciay — χ3 — 2α3 = θ
корень уравнения
уъ + аау — 2α3 = О
оказался иррациональным или неизвестным, то я мог бы вместо него поставить какую-
либо букву (например Ъ) и, полагай, что результат требуется найти до третьей степени,,
провести решение, как показано ниже:,

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
41
ys -f- аау -f- аху — 2а3 — Xs = 0.
Положи аа-\-ЗЪЪ = ее. Тогда
аЪх , а4Ъхх , #3 , а3Ь8#3 а56г·3 а5&.г>3 . abb3zs
у = Ъ-
ее
се
сю
и т. д.
Ь +Р = У
-\-axy
-\-aay
— .г3
> — 2а3
-ffe3 -f ЗЬЬр+З^-fi^3
-(- аЬ# + арх
-j- ааб -4- аар
— χ·3
— 2а3
абл;
ее
-Н = Р
+^3
+ ЗЬдр
-{-рос
— «τ3
4~я6<£
а363а;3
3ααδ3#.£
и т. д.
6а62#
с4
aabxx
q и т. >д.
ее
— afo#
-f-afrr
, баЪЪх \ Ъ*Ъхх
се -\- ах I : h χό
ее
'-)'
а3Ь3.г;3 / а^Ъхх
с*
с*
tf
ее
а3Ь3#3
и т. д.
Здесь, вводя в решение Ъ, я полагаю Ъ-\-р = у и затем подставляю это
выражение вместо у, откуда, как видно, получается р* -|- ЪЬрр и т. д.; члены Ъъ-\-ааЬ— 2а3
отбрасываются как равные нулю, ибо мы предположили, что Ь есть корень уравнения
ув -\- аау — 2а3 = 0.
Члены же ЗЪЪр -f- аар -\- аЪх дают
Р = -
аЪх
ЗЪЪ-\-аа'
и это количество следует ввести в результат, а вместо ρ положить
аЪх
366 + аа
JL
Б целях сокращения я вместо ЗЪЪ-\-аа пишу ее. Но это выражение ЪЪЪ-\-аа
восстанавливается, как только я замечаю, что при этом члены получаются короче. По*

42
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
завершении действия, взяв для а некоторое числовое значение, я решаю уравнение
уъ -{- аау — 2а3 = О
так, как это было указано выше для числовых уравнений, и, если уравнение имеет
три корня, вместо Ъ ставлю какой-либо из его корней.
Но лучше при помощи изложенных выше приемов освободить это уравнение
{насколько это возможно) от букв, главным образом от тех, которые остаются
неопределенными, а вместо остальных букв, если еще остаются такие, которые не поддаются
исключению, положить числовые значения. Так уравнение
ув 4~ ааи — ^а3 = о
можно освободить от а, разделив корень на а 68), откуда получается
*/ + !/ — 2 = 0;
найдя из этого уравнения корень и умножив его на а, ты примешь его за Ь.
До сих пор мы предполагали буквы неопределенно малыми. Если же можно
полагать, что они очень близки к данным величинам, то я обозначаю какой-либо буквой их
неопределенно малую разность, ввожу ее в уравнение и затем решаю его, как ранее.
Допустим, например, что я знаю или предполагаю, что в уравнении
1111
~§yb—х'У'+уг/3—γνυ + υ—^+α = ο
χ почти равно какой-нибудь величине, например а. Тогда я обозначаю разность их
через ζ 69) и, полагая вместо χ α~\-ζ или а — ζ, получаю
1111
что можно решить уже изложенным методом.
Если же эта неизвестная буква предполагается неопределенно большой 70> 71),
то я обозначаю какой-либо буквой обратную ей величину, которая тогда будет
неопределенно малой и, вводя эту букву, дальше продолжаю решение обычным методом.
Положим, например, что
У* + УУ + У — ^'3 = 0,
и пусть мы знаем или думаем, что χ—очень большая величина. Тогда вместо обратной
малой величины — я полагаю ζ; подстановка — вместо χ дает
2/3 -+- 2/г/ Н— г/ —^- — о,
корень чего есть
1 1 2,7 , 5 о
у-т-т-т*+ж^+ж* й т·д·
Это выражение после восстановления в нем, если угодно, χ превращается в
1 2.7,5
у = х г И т. д.
3 9r 81г.г 81 г3

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
43
Если ни один из этих приемов, повидимому, не приводит к успеху, то мржно
прибегнуть к другим. Например для уравнения
у4 — xxyy + xyy+tyy — 2у + 1=0
первый член корня должен определяться из предположения, что
У1 + 2УУ — 2у + 1 = 0.
Но это уравнение не имеет ни одного вещественного корня, и поэтому тебе следует
испытать, что можно получить каким-либо другим способом. Ты можешь, например,
предположить, что χ мало отличается от -\- 2 или что 2 -\- ζ = х. Подставив тогда 2 -{- ζ
вместо х, ты найдешь
у± —zzyy — 3zy у —2у-\-1=0,
и решение начнется с единицы.
Ты можешь также предположить, что χ — величина неопределенно большая и что
1
— = г, откуда выведешь, что
У1—^ + -^- + 2</У-2у+1=0;
Ζ& Ζ
тогда цепь членов результата начнется с ζ.
Таким образом, действуя в соответствии с различными предположениями, мы
можем определять и выражать корень различными способами.
Если ты хочешь определить, сколькими способами можно это осуществить, то
следует посмотреть, сколько [существует таких величин, которые при подстановке
их в уравнение вместо неизвестного делают уравнение делящимся на у -\- или —
некоторая величина пли просто на у. Например с уравнением
ίβ -\- аху ~\- аау — Xs — 2ав = О
это происходит, если вместо χ в него подставить -j-α или —а или —2а или
1
— 2αό | 3 и т. д. Вследствие этого ты цожешь предположить, что количество χ мало
1_
отличается от -}- а или — а или — 2а или — 2а? \ а ; столькими же приемами ты
сможешь найти корень данного уравнения, а может быть, и еще столькими же приемами,
если положить эти разности неопределенно большими.
Кроме того, ты можешь иногда притти к той же цели другими путями, принимая
.за неизвестное ту или другую из букв, выражающих корень, а также подставляя
вместо неизвестного любым образом сконструированные выражения вроде
a a~\~cz
az -\- bzz,
Ъ+s9 & + ^2
и т. д.72) и оперируя с получаемым таким образом уравнением, как и раньше.
Для того чтобы убедиться в истине этих выводов, т. е. в том, что найденные
таким образом и сколь угодно продолженные результаты приближаются к корню
уравнения так, что под конец отличаются от него на величину, меньшую всякой
величины, и что поэтому при продолжении до бесконечности они совсем от него

44
МЕТОД ФЛЮКСИЙ II БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
не отличаются, следует заметить, что величины, которые находятся в крайнем левом
столбце правой стороны таблицы, суть последние члены уравнений, корнями которых
являются jp, q, г, s и т. д. При их исчезновении исчезают также и корни _р, q, г, s
и т. д., т. е. разности между результатом и искомым корнем, так что результат тогда
ничем не отличается от истинного корня. Поэтому если ты в самом начале действия
усмотришь, что члены, находящиеся в указанном столбце, все взаимно уничтожаются,
то отсюда следует заключить, что доведенное до этого места решение и есть точный
корень уравнения. Если же дело обстоит иначе, то ты все-таки усмотришь, что все
члены, в которых неопределенно малое неизвестное стоит в малых степенях, т. е. все
наибольшие члены выпадают из этого столбца так, что либо их, наконец, совсем не остается,
либо же остаются только те, которые меньше любой назначенной величины и поэтому
при продолжении действия до бесконечности оказываются не больше нуля. И таким
образом продолженное до бесконечности решение будет в конце концов истинным корнем*
Пусть, наконец, предполагается, что буквы, которые до сих пор для ясности
предполагались неопределенно малыми, — сколь угодно велики; решение и тогда
остается верным, хотя не будет так быстро сходиться к истинному корню, что ясно
из аналогии вещей.
Здесь следует рассмотреть еще границы корней или их наибольшие и наименьшие
величины. Свойства их — общие и у конечных и у бесконечных уравнений. Корень
у них принимает наибольшие или наименьшие значения, когда становится наибольшей
или наименьшей разность между . суммами положительных и отрицательных членов;
корень ограничен, когда неопределенная величина (которую вследствие ее
неопределенности можно предполагать всегда весьма малой) не может стать большей без того,,
чтобы величина корня не стала сразу бесконечной, т. е. невозможной.
Для пояснения этого возьмем (фиг. 2, табл. III) полукруг ACD1 описанный на
диаметре AD, и пусть ВС есть ордината. Положи АВ=х, ВС = у, AD = a. Тогда
tj = Υ αχ — хх = У ах ^— У ах ^— У ах —— У ах и т. д.,
2а 8α 16а*
как выше. Поэтому ВС или у становится наибольшим, когда У ах превосходит
другие члены
XX ., г— , хв
X г XX г X* г
на наибольшую величину, т. е. когда х = — а. Ограничивается же у при х== а, ибо
если положить χ большим а, то сумма всех членов
X лг XX г Χό г
-7--у ах —у ах —-^- у ах и т.д.
2а 8аа 16а8 г
возрастает до бесконечности. Но существует и другая граница, а именно г==0
вследствие невозможности У — ах, и этим границам, или пределам, соответствуют
пределы, или, границы полуокружности А и Ό 73).

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
45
ПЕРЕХОД К МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ
До сих пор речь шла о методе вычисления, который будет часто употребляться
в последующем. Теперь для пояснения искусства анализа остается привести некоторые
образцы задач, причем преимущественно. таких, которых больше всего доставляет
природа кривых. Но прежде всего следует заметить, что все заключающиеся в них
затруднения можно свести к двум следующим проблемам относительно пути,
описываемого местным движением 74), как либо ускоренным или замедленным 7δ).
τ
1
Длина проходимого пути постоянно {т. е. в каждый момент времени) дана;
требуется найти скорость движения в предлооюенное время.
Π
Скорость движения постоянно дана) требуется найти длину пройденного
в предложенное время пути.
Если, например, в уравнении хх = у у представляет длину пути, пройденного
к определенному моменту времени, а время измеряется и представляется описываемым
с помощью другого пространства х, возрастающего с равномерной скоростью ху
то 2хх представляет собой скорость, с которой будет проходиться путь у в этот момент
времени, и наоборот. Поэтому я буду в последующем рассматривать величины как
порождаемые посредством непрерывного нарастания, подобно пути, который описывает
тело или какая-либо движущаяся вещь.
Но так как мы здесь привлекаем к рассмотрению время лишь в той мере,
в которой оно выражается и измеряется равномерным местным движением, и так как-
кроме того, сравнивать друг с другом можно только величины одного рода, а также
скорости, с которыми они возрастают или убывают, то я в нижеследующем
рассматриваю не время как таковое, но предполагаю, что одна из предложенных величин,
однородная с другими, возрастает благодаря равномерному течению, а все остальные
отнесены к ней как ко времени. Поэтому по аналогии за этой величиной не без
основания можно сохранить название времени. Таким образом повсюду, где в
дальнейшем встречается слово время (а я его очень часто употребляю ради ясности
и отчетливости), под ним нужно понимать не время в его формальном значении,
а только ту отличную от времени величину, посредством равномерного роста или
течения которой выражается и измеряется время ™)π)™).
В дальнейщем я буду называть флюэнтами, или текущими величинами, величины,
которые я рассматриваю как постепенно и неопределенно возрастающие; обозначать я их
буду последними буквами алфавита и, у, χ я г, чтобы их было возможно отличать от других
величин, которые рассматриваются в уравнениях как известные и определенные и которые
поэтому обозначаются первыми буквами алфавита а, &, с и т. д. Скорости, с которыми
возрастают вследствие порождающего их движения отдельные флюэнты (и которые
я называю флюксиями, или просто скоростями или быстротами), я буду обозначать
теми же буквами, но пунктированными, например и, у, ζ, χ, т. е. для скорости
величины и я пишу и, аналогичным образом для скоростей других величин х, у и ζ я
соответственно пишу х, у, ^7д)80>81>а

46 МЕТОД ФЛЮКШЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Предпослав это, я тотчас приступлю к изложению предмета и прежде всего
дам решение двух только что предложенных проблем82) 83).
ПРОБЛЕМА I
По данном!] соотношению между флюэнтами определить соотношение между
флюксиями.
РЕШЕНИЕ
Расположи уравнение, которое выражает данное соотношение, по степеням какой-
либо из входящих в него текущих величин (например х) и члены его помножь на
X
какую-либо арифметическую прогрессию, а затем на —-. Это действие произведи
отдельно для каждой из текущих величин. Затем положи сумму всех зтих произведений
равной нулю, и ты получишь искомое уравнение 84> 85>.
Пример I
Если соотношение между текущими величинами χ и у выражается уравнением.
хь — ахх ~\- аху — ув = О,
то сперва расположи члены по х, а затем по у и помножь их, как указано ниже.
Помножь
на
Л* —
Зх
-ахх-\-аху-
2х л χ
X ' X '
-ιβ
О
— ах
— 2/3 + й%У
% . У . 0
У ' У9
Это даст Зххх — 2ахх -J- аху* [ — 3 уух -j- аху ·*.
Сумма произведений есть
Зххх — 2ахх -}- аух — Зууу -}- аху == О,
и это уравнение показывает, какое соотношение существует между флюксиями χ и у „
Действительно, если взять χ произвольным образом, то уравнение хг-\-аху—ахх—уъ = О
даст у, по определении чего ты получишь
х — у :: Зуу — ах : Зхх— 2ах-\-ау.
Пример Π
Соотношение между величинами х9 у и #86> выражается уравнением
2ys -f- хху — 2cyz ~-\- 3yzz — zb = 0.
•\-xxy
Помножь 2 у3 — 2cz — £3
-\-3zz
на -^-; 0; ^~
будешь иметь 4ууу*
ухх
2х
X
— 2cyz
-\~3yzz
О
-*+8у**-2су* + ^
3£
2# ζ'
— · — · О
2г/##
3zzz -+- 6 £#у — 2£гу -х-

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
47
Вследствие этого соотношение между скоростями флюэнт или флюксиями х, у
и г выражается через
^УУУ Ч — + %УХХ — 3^£г -\- 6yzz — 2oyz = 0.
У
Так как в этом втором примере имеются три флюэнты х, у, я, то^для тога^
чтобы можно было полностью определить соотношение между флюэнтами х, у и ζ
и их флюксиями, необходимы еще другие уравнения. Предположим, например, что
х-\-у — # = 0. Тогда по тому же правилу найдется другое соотношение между
флюксиями:
х + У — s = 0.
Сопоставь это с предыдущим уравнением и исключи какую-либо из трех
величин и какую-либо из трех флюксий; тогда получится уравнение, вполне определяющее
соотношение между остальными.
Если в каком-либо предложенном уравнении имеются сложные дроби или
иррациональные величины, то я вместо них пишу какие-нибудь буквы и предполагаю, что
они выражают текущие величины, и затем действую по вышеуказанному способу»
Потом я исключаю введенные мною буквы, как ты это сейчас увидишь.
Пример III
Пусть соотношение между величинами χ и у будет
у у — аа — х]/"аа — хх = 0.
Вместо Υ аа — хх я пишу ζ и тем самым получаю два уравнения;
уу — аа — # = 0,
аахх — <г4 — ζζ = О,
из которых первое в качестве соотношения между скоростями у й г дает по
вышеизложенному
2tjy — z = 0,
другое же в качестве соотношения между скоростями χ и ζ дает
2аахх — ±хъх — 2ζζ = О
или
аахх — 2хдх
Теперь исключи ζ\ тогда
^ · аахх , 2хъх
%уу г- + ~т = 0;
</ ζ
подставляя χ У аа — хх вместо я, ты получишь в качестве искомого соотношения
между у и χ
. аах—2ххх
2уу — == 0 87>88).
у аа — хх

48 МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Пример IV
Пусть уравнение
хъ — ayij -j—-ц хх У ay -\-хх = О
выражает соотношение между χ и у; я полагаю
ЬУЪ ι г i
—■— = # и хх у аи-+-хх = и
а + у J^
и получаю три уравнения:
Xs — ау у -\~z — и = О,
azA-yz — by6 = О
ж
ах*у -]-xQ — ии = О.
В качестве соотношений между скоростями и, х, у и ζ первое дает
Ъххх — 2ауу -\-ζ — и = О,
второе —
αζ + у ζ + zy — ЪЪууу = О,
а третье —
Ащ&х -[- ах^у -j- 6хьх — 2ии = 0.
Значения и и г, найденные из второго и третьего уравнений, а именно
Щуу — гу
а-\-у
для ζ и
4=ахдух -j- α г*// -{- 6#5j*
для η, я подставляю в первое уравнение; тогда получится
• , ЗЬиии — zu Aaiix?jx4-arAtj-\-6xbx
?>ххх — 2аун J ^г J- - Цг——] = 0 .
^ ' a + y 2u
Далее, вместо ζ и и поставь их значения j и хх У ay -f- хх, и ты получишь
уравнение
Ъххх - 2ауу + ЪаЬт> + 2ЬУ'?- _ 4^ + e^+^j/ в 0>
1 aa-\-2ay-j-yy щ 2Уау~\-хх
которое и выражает соотношение между скоростями χ и у .
Я думаю, что отсюда ясно, как следует производить действия и в других
случаях, например, если в предложенном уравнении содержатся иррациональные
знаменатели, кубические корни, корни из корней вроде у аг -{- У аа — хх или какие-либо.
иные сложные члены такого же рода.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ рядов
49
Даже тогда, когда предложенное уравнение содержит величины, которые нельзя
«определить или выразить геометрическим путем, каковы, например, криволинейные
площади или длины кривых, все же можно найти соотношение между их флюксиями, как
это показывает нижеследующий пример.
Подготовление к примеру V
Пусть (фиг. 3, табл. Ill) BD есть ордината, восставленная под прямыми углами
к АВ, и ADH—кривая, природа которой определяется соотношением, которое существует
между АВ и BD и выражается некоторым уравнением. Обозначим А В через х, а
площадь кривой ABD, отнесенную к единице,—через е. Восставь перпендикуляр АС9
равный единице, а через С проведи СЕ, параллельную АВ и пересекающую BD в Е.
Теперь представь себе, что обе эти площади ADB и АСЕВ производятся движением
прямой BED; тогда очевидно, что их флюксии (а именно флюксии величин 1 χ г и
1 χ χ или величин ζ и х) находятся между собой в том же отношении, что и
производящие прямые BD и BE. Следовательно,
г : χ :: BD: BE или 1,
ж поэтому
z = xXBD.
Отсюда видно, что 2 может входить в какое-либо уравнение, выражающее
соотношение между χ и другой текущей величиной у, и что при этом все же можно бывает
лайти соотношение между флюксиями χ и у \
Пример V
Допустим, например, что уравнение, выражающее зависимость между χ ж у, есть
32 -J- ах2 — i/4 = 0.
Положим Υ ах — xx = BD; этим определяется кривая, которая, таким образом,
будет окружностью. Уравнение
22 -f- ах2 ί/4 = О
на основании изложенного для соотношения между скоростями х, у и 2 даст
222 -(- ах2 -j- аях — Ц)ъу = 0.
И так как 2 = χ X J3D или =х Υ ах — хх, то вместо 2 подставь это
значение. При этом получится уравнение
22Х -\- ахх Χ Υ ах — хх-\- αζχ — 4у3у == О,
-которое и определяет соотношение между скоростями χ и у .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РЕШЕНИЯ
Моменты текущих величин (т. е. те неопределенно малые их части, благодаря
прибавлению которых в неопределенно малые части времени беспрерывно
увеличиваются сами величины) находятся в том же отношении, что и скорости, с которыми
«они текут или возрастают.
4 Ньютон.

50
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Поэтому если выразить момент одной из них (например х) через произведение
из ее скорости χ на неопределенно малую величину (т. е. через хо) 90), то моменты
других и, у, ζ выразятся через ио, уо, го, так как гоо, хо, уо и во относятся между
собой, как и, х, у и ζ.
Так как моменты, например хо ж уо, суть неопределенно малые приращения,
на которые возрастают текущие величины χ ώ. у в неопределенно малые промежутки
времени, то из этого следует, что эти величины χ и у по истечении неопределенно
малого промежутка времени возрастут до х-\-хо и у-\-уо. Поэтому уравнение,
во всякое время равно выражающее соотношение между текущими величинами, будет
также выражать соотношение между х-{-хо, у-\-уо, как и между χ и у, так что
вместо χ и у в это уравнение можно подставить х-\-хо и у-\-уо.
Пусть, например, дано уравнение
хь — ахх -j- аху — уь = 0.
Подставь в него х-\-хо и у-\-уо вместо χ и у, ты получишь
хъ -j- Зхххо -]- Зххох о + #3о8
— ахх — 2 аххо — а хохо
-\-axy -\-ayxo -\-axoyo } = 0.
+ аху о
— уь— Зууу о — Зууоуо — 2/3о3
Но по предположению
xs — ахх -f- аху — уъ = 0.
Поэтому вычеркни эти члены, а остальные раздели на о. При этом останется
Зххх — 2ахх -\- аух + аху — Зууу -\~ Ъхххо — аххо -\- ахуо — Зуууо -\- хъоо — у3оо = 0-
Но так как мы предположили о бесконечно малой величиной, для того чтобы
она могла выражать моменты величин, то те члены, которые на нее умножены, можно
считать за ничто в сравнении с другими. Поэтому я ими пренебрегаю, и остается
Зххх — 2ахх -\- аух -j- аху — Зууу = О,
как мы и нашли выше, в примере I.
Здесь следует заметить, что всегда исчезают как те члены, которые не
помножаются на о, так и те, которые помножаются на о во второй или х в высших степенях.
Остальные члены после деления на о всегда принимают тот вид, который они должны
иметь согласно вышеприведенному правилу. Что и требовалось доказать.
Доказав это, легко вывести и все остальное, что содержится в правиле, а
именно, что данное уравнение может содержать несколько текущих величин и что
члены можно умножать не только на показатели степеней текущих величин, но такжо
и на какую-либо другую арифметическую прогрессию, но, впрочем, так, чтобы при
действии в последней соблюдалась та же разность между членами, что и между пока-

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
51
зателями при отдельных флюэнтах и чтобы прогрессия располагалась по порядку
степеней каждой флюэнты. По установлении этого становится достаточно ясным то, что^
было изложено в примерах Ш, IV и V91).
ПРОБЛЕМА II
По данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между;
флюэнтами.
ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ
Так как эта проблема обратна вышеизложенной, то ее можно решать с помощью*
противоположных действий, а именно: члены, помноженные на х, должны быть распо-
χ
ложены по степеням χ и поделены на —, а затем — на показатели их степеней или же
χ
на какую-либо другую арифметическую прогрессию. После того как эти действия будут
произведены и для членов, помноженных на и, у или #, получившуюся при этом сумму
по отбрасывании лишних членов следует положить равной нулю.
Пример
Предложено уравнение
Зххх — 2ахх + аух — Зууу + аху = 0.
Действие производится следующим образом:
Дели Ъххх — 2ахх -|- аух
X
на
X
Частное будет Зхг — 2ахх-\-аух
дели его на 3; 2; 1
Частное будет xs —ахх -\-axy
Дели —Зууу #- -]- аху
У
на ~^—
У
Частное будет —3ys*-j-axy
дели его на 3; 2; 1
Частное будет — г/3 * -\-axy
Поэтому сумма
хъ — ахх + аху — уъ = О
выражает искомое соотношение величин χ ж у.
Здесь следует заметить, что хотя член аху встречается дважды, я все же не
выписываю его дважды в сумме
#3 — ахх + аху — уъ = О,
но один из них отбрасываю как лишний. Таким образом, если какой-либо член
встречается дважды (или еще больше раз в том случае, если он получается от различных
флюэнт), то в сумме членов его следует выписывать лишь один раз.
Прочие необходимые замечания я оставляю на долю проницательности самого
мастера, тем более, что было бы излишним чересчур долго останавливаться на этом
предмете, так как этим приемом проблема может быть решена не всегда. Я добавляю
4*

52
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
только одно замечание, а именно, что, найдя таким методом зависимость между флюэн-
тами, ты можешь затем согласно проблеме I вернуться к предложенному уравнению,
содержащему флюксии, и тогда наверное узнаешь, правильно ли произведено действие
или нет. Так, если в предложенном примере я по найденному уравнению
х3 — ахх -f- аху — у3 = О
буду искать согласно первой проблеме соотношение между флюксиями χ и у, то приду
к предложенному уравнению
Ъххх — 2ахх + аух + аху — Зууу = О,
откуда следует, что уравнение
хъ — ахх -\- аху — уъ = О
есть как раз то, которое мы желали получить.
Однако в случае уравнения
хх — ух -\- ау — О
изложенный метод дал бы
1
— хх — ух -f- ay = 0 ,
и это уравнение должно было бы выражать соотношение между χ ж у. Однако оно
для этого не годится, так как здесь согласно проблеме I получается
хх — ух — ху -f- Щ = О,
а это уравнение отличается от предложенного92).
Предпослав все это беглым образом, я приступаю к общему решению.
ПОДГОТОВЛЕНИЕ К РЕШЕНИЮ
Прежде всего следует заметить, что в предложенном уравнении знаки флюксий
в отдельных членах должны быть одинакового измерения (ибо флюксии суть величины
иного рода, чем те, для которых они служат флюксиями). Если в каком-либо случае
дело обстоит иначе, то флюксию какой-либо флюэнты следует принять за единицу и
помножить на нее низшие члены столько раз, сколько требуется для того, чтобы знаки
флюксий привелись во всех членах к одинаковому числу измерений.
Пусть дано, например, уравнение
χ -j- хху — ахх = 0.
Тогда следует принять за единицу флюксию ζ некоторой третьей текущей величины s и пред.
ставить себе, что первый член χ помножен на нее один раз, а последний ахх — дважды.
Это делается для того, чтобы флюксии в них получили измерение второго члена хху,
как если бы предлагаемое уравнение получалось из
xz -f- хху — axxzz = О
посредством положения з = 1. Точно так же в уравнении
ху=уу
единицей, на которую помножается член уу, следует считать χ 93).

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
53
Уравнения, которые содержат только две флюэнты, имеющие везде одинаковое
число измерений, всегда можно привести к такому виду, чтобы в одной части находилось
отношение флюксий ( например -^ или — или -f- и т. д. ), а в другой —-значе-
\ х у χ '
ние этого отношения, выраженное в простых алгебраических членах, как, например,
Л- = 2-\-2х — у.
χ
В том случае, когда не может быть применено приведенное выше частное решение,
уравнения всегда следует представлять в этой форме.
Поэтому когда в значении этого отношения имеется какой-либо член с составным
знаменателем или радикалом или когда это отношение представляет собой корень
неявного уравнения, то прежде чем приступить к действиям, ты должен совершить
приведение либо посредством деления, либо с помощью извлечения корня, либо
с помощью решения неявного уравнения, как мы это объяснили выше.
Пусть, например, предложено уравнение
• · . . ·
ау — ху — ах -+- хх — ух = 0.
Прежде всего приведение его дает
У-=1 + -У-
х а — χ
или
χ а — χ
у а — хАгу
При первом предположении я обращаю выражение —-— , у которого знаменатель
есть составное выражение а — х, в бесконечный ряд простых членов:
у , ху . хху . х*у
(приведение это производится делением числителя у на знаменатель α — χ), откуда
получаю
У- =1+Х + ^. + ^Е+^- и т. д.,
χ а аа а3 а4
с помощью чего и следует определить соотношение между χ и у.
Таким же образом, если данное уравнение есть
• · · · . ·
уу = ху-\-хххх,
или
XX

54
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
или после дальнейшего преобразования
χ 2 V 4
то я извлекаю квадратный корень из членов — -|- хх и получаю бесконечный ряд
~^-\-хх— #4 + 2#6—Ьхъ-\-Ых10 и т.д.
При подстановке его вместо ± Л/ —-\-хх я буду иметь
у
-£-=1-\-хх — χ*-\-2χδ—5#8-{-14#10 и т. д.
χ
или
-^- = — χχ-^χΐ — 2xQ-\-6x3— 14#10 и т. д.,
X
омотря по тому, прибавляю ли 1/ — -f- хх к — или вычитаю из нее.
Совершенно так же, если предложено уравнение
ψ -f- аххху-\- аахху — х*хъ — 2а3#3 = О
или
Х^ + ах^ + ааЯ— χ* — 2α3 == О,
Xs χ χ
то я определяю корень кубического уравнения, причем получаю, что
у χ , хх , 131#3 . 509л:4
4- = а и т. д.,
χ 4 64α 512 α2 16 384а3
как мы это уже находили94).
Следует заметить, что я считаю составными только те члены, которые
являются составными по отношению к текущим величинам. Те же величины, которые
являются составными только по отношению к данным величинам, я считаю простыми,
ибо их можно привести к простым величинам, если положить их равными некоторым
другим данным величинам. Так, выражения
ах-\-Ъх χ Ъсс Ь4
с ' а -{- Ъ ' ах-\-Ъх ' ахх -j- Ъхх
для меня простые, ибо я могу всех их свести к простым величинам:
, У ах + Ъх
ех χ Ъсс Ь4 ,/— , т~ "о\
, У ех (или е2 х2),
с е ех ехх
полагая а + Ь = е.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
55
Далее, чтобы легче было отличать одну из флюэнт от других, можно с
достаточным основанием ту из флюксий, которая находится в числителе отношения, назвать
'величиной отнесенной, а ту, которая стоит в знаменателе и с которой сравнивается
первая,—соотнесенной; и этими же терминами можно соответственно называть и флюэнты.
Для лучшего понимания дальнейшего можно представлять себе, что соотнесенная
величина есть время или, лучше, какая-либо равномерно текущая величина, с помощью
.которой выражается и измеряется время, а другая, именно отнесенная, величина есть
пространство, проходимое за это время вещью или точкой, обладающей некоторым
ускоренным или замедленным движением. Сущность проблемы заключается тогда в определении
пройденного за все время пути, если известна скорость для любого момента времени.
Уравнения, относящиеся к этой проблеме, можно привести к трем родам.
В первый входят те уравнения, в которых имеются две флюксии величин и
только одна из их флюэнт.
Во второй — те, которые содержат обе текущие величины вместе с их флюксиями.
Наконец, в третий входят те, в которых имеются флюксии больше чем двух
ъеличин95).
Предпослав это, я перехожу к решению проблемы в указанных трех случаях.
РЕШЕНИЕ ПЕРВОГО СЛУЧАЯ
Прими единственную имеющуюся в уравнении флюэнту за соотнесенную
величину и, преобразовав уравнение в соответствии с этим допущением (т. е.
установив отношение флюксии второй величины к флюксии первой и значение этого
отношения, выраженное через простые члены), помножь значение отношения флюксий
на соотнесенную величину. Затем раздели каждый член этого выражения на
показатель степени, в которую возведена в не\г соотнесенная величина; то, что ты таким
образом получишь, и будет равно другой текущей величине.
Так, если предложено уравнение
уу =ху-\- χχχχ,
то я предполагаю, что χ есть соотнесенная величина. Совершив преобразование
уравнения соответственно принятому»предположению, я получаю
-?- = 1 -f- хх — xi -f- 2#6 и т. д.
X
Далее, я умножаю значение Λ- на х, причем получаю
χ
х-\-хъ — #б + 2#7 и т. д.
Деля каждый из этих членов на показатель его степени, я получаю
# + —#3 — хь-\~— X1 и т. д.
О О ι
ж эту величину полагаю = у. Этим уравнением определится соотношение между χ
гж у, которое и требовалось найти.

56
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Равным образом, пусть дано уравнение
у χ . хх . 131ΛΓ3
А- = а 1 1 и т. д.
χ 4 64а Ы2аа
Здесь в качестве уравнения, определяющего соотношение между χ и у, тье
получишь
хх . Xs . 131#4
уав«—г+—+1Щ_ и т. д.
Таким же образом уравнение
-•-ι 18
-4- — — Η—г— *2+*2
/у» /у»0 /у/у __
X 2
дает
ί/==— - 1 \-2ax 2 — χ 2 +-г- # 2 ·
* 2## ' а? ' 3 1 5
В самом деле, при умножении значения -4- на χ получается
χ
11 ± J- ±
1-ах 2 — χ 2 -\- χ 2
## χ
ИЛИ ι
_1 JL JL
х~2— χ"1-{-αχ 2 — χ 2 -j- λ? 2 ;
по разделении этих членов на показатели степеней выводится как раз выше
найденное значение у.
Совершенно так же из уравнения
χ 2ЪЪс . Ъуу . ../-τ—ι
-*-βΪΤ=Η ут + УЪу + су
у уауъ α + δ
я вывожу, что
4:ЪЪс . уъ , 2 ,
Действительно, значение -г-, умноженное на у, дает
У
или
1_ _J_ о _3^
2ЪЪеа *у * + -— у* + уъ+с<Ху * .
Значение χ получается отсюда путем деления на показатели степени каждого члена,-
JL
у — 3 — у аЪ ЗаЪх 3
Аналогичным образом 4=# 3 дает у = —#3,а-?- =—- дает у — —-—.
ζ 5 χ —- 2с
сх 3

МЕТОД ФЛЮКСИЙ-И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
57
/ч У а а ^ а
Однако уравнение -4- = — дает у =—, ибо если — умножить на х, то
хх О χ
получается а, и если а разделить на^ показатель степени х, а именно 0, то
получится —; эта бесконечная величина и должна быть значением у.
У
Вследствие этого, если в значении для -4- встречается член, подобный только
χ
что указанному, т. е. дробь, знаменатель которой содержит соотнесенную величину
в первой степени, то ты вместо этой соотнесенной величины подставь сумму или
разность из нее и какой-либо данной величины, которую можно взять произвольно.
При этом в полученном уравнении сохранится то же отношение течения флюэнт^
которое имелось и в первоначально предложенном уравнении, а отнесенная
бесконечная величина уменьшится на свою бесконечную часть и станет конечной, хотя
и будет выражаться через бесконечное число членов.
На этом основании, если в.уравнении
У_,= ±
X X
вместо χ написать Ъ-\-х, где Ъ взята произвольно, то ты получишь
j/ = а
χ Ъ-\-х
и посредством деления найдешь
у а αχ λ ахх ахъ
χ Ъ ЪЪ Ъ* Ы
и т. д.
А теперь вышеприведенное правила в качестве соотношения между χ и у дает
ах ахх . ахъ ах^
У~ Τ — "Ш + W ~ 4F И Т# д'
Таким же образом, если бы ты имел уравнение
У 2 . о
-т- = \-3 — хх
X X
и положил бы (.ввиду наличия члена —) 1+# вместо х, то получилось бы
ν 2
■ — ' ° — 2х — хх.
χ 1 -\-х
2
Разлагая затем 1 , в, бесконечный ряд
JL ] X
2 — 2х-\-2хх — 2х*-\-2х* и т. д.,
ты получишь, β что
у
-г-= 4— 4х~\-хх — 2xs-\-2x* и т. д.,
χ

58
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
я в качестве соотношения между χ ж у согласно правилу найдешь
112
y=z4x — 2хх-\-—-хъ — x*-\--z- хь и т. д.
3 2 5
Точно так же, заметив в уравнении
-1 (или -1), я
J/ --=- ■ -ι
f- = α; 2 -\-χ — χ2
член # I или — I, я заменяю а; на 1 — χ и отсюда получаю
Далее, член дает
1 —χ
а член Υ\—χ равен
У ^_ ι +^
α? |/Ί X 1 — #
\-\-х-\-хх-\-хъ и т. д.,
Vi^
1 1 1 о
1 — х о" ДМ7 — 16 и т* Д''
и поэтому —- или
Vl—x
X — XX — X6 и т. д.
о 16
-есть 4
1+— а? + —яж + — я3 и т. д.
Подставляя эти выражения, ты получишь
У ι . о ι 3 ι 27 ч
-4- = 1 + 2# -J аисч #3 и т. д.
χ ■ 2 16
и согласно правилу
ι ι 1 , ι 27 ι
3/ = я-}-аи?-]—2~^3 + ^ х* и т· Д·
Подобным же образом обстоит дело и в других случаях.
Также и в других случаях подобная замена текущей величины иногда приводит
к уравнениям более удобного вида. Так, если дано уравнение
у ссх
χ с3 — Ъссх -[- 3 схх — хъ
то я вместо χ пишу с — χ и получаю
у съ— ссх съ ее
-4- — дли
Χ6 Χό XX

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
59
откуда согласно правилу получаю
с3 . ее
° 2хх χ
Впрочем, употребление подобных замен лучше выяснится из последующего.
РЕШЕНИЕ ВТОРОГО СЛУЧАЯ
ПОДГОТОВЛЕНИЕ
До сих пор речь шла об уравнениях, которые заключают одну флюэнту.
Когда же в уравнении появляются обе, то уравнение прежде всего следует привести
а уже указанному виду, полагая с одной стороны отношение флюксий, а с другой —
равную ему сумму простых членов.
Кроме того, если какой-либо член преобразованного таким образом уравнения
представляет дробь с флюэнтой в знаменателе, то он должен быть освобожден от
подобного знаменателя при помощи вышеприведенной замены текущей величины.
Таким образом, если дано уравнение
аху + хух — аах = О
или
χ а χ
то в силу наличия члена — я беру произвольное Ъ и вместо χ пишу 6 + χ или
X
96)
Ъ — χ или χ — Ъ . Если написать Ъ + х, то получается
у = У__ , а
что
χ а Ъ-\-х
Обращая затем при помощи деления член —■— в бесконечный ряд, я вывел бы,
О —р- X
у у . а ах . ахх ах*
χ а Ъ ЪЪ Ъъ Ы
Совершенно так же, если дано уравнение
х у хх
х %У
и если я в силу присутствия членов — и —— напишу 1 — у вместо у и 1 — χ
у XX
вместо х, то получится
-4- = 1 — Зу +- 2х -| [ ^ .
χ 1 — у 1—2х-\-хх
\ х
Но член при помощи бесконечного деления дает
if
ι—χ + у — ху+уу—хуу+уъ — хуъ И Т. Д.,

60
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
а член
2у
при помощи подобного же деления дает
• бхх -\- 8х*у — 8хг + Ю#4г/— Юл;4 и т. д.,
1 — 2х-\-хх
2у — 2-|-4#г/— 4сХ-\-Ъхху-
следовательно,
у
-4-= —3# + 3#г/-|-?/2/— хуу-\~Уъ — Щъ И т. д. +
X
Аг§хху — 6хх-\-8х*у — 8хд-{-10х*у—Юл?4 и т. д.
ПРАВИЛО
Подготовив таким образом (если это нужно) уравнение, расположи члены по
степеням флюэнт, сперва ставя те, которые не содержат отнесенной величины,
затем те, которые содержат ее в наименьшей степени, и т. д. Таким же образом
распредели по отдельным родам члены согласно степеням соотнесенной величины и
члены, которые образуют первый род (именно, которые не содержат отнесенной
величины), запиши в виде горизонтального ряда слева направо, а остальные выпиши
в левом столбце так, чтобы они образовали нисходящий ряд, как это показано
в нижеприведенной таблице.
Приготовив таким образом ряды, помножь первый или низший член первого
рода на соотнесенную величину и раздели произведение на показатель его степени и то,-
что при этом получится, введи в результат. Это будет первый член значения
отнесенной величины. Затем подставь это значение вместо отнесенной величины в те
члены уравнения, которые расположены в левом столбце; второй член результата ты
получишь из следующего низшего члена по тому же способу, каким добыт первый
член результата. Повторяя эти действия, ты можешь продолжить результат сколь,
угодно. Это станет еще ясней из рассмотрения нескольких примеров.
Пример I
Пусть дано уравнение
У
-4- = ι — зх -j- у -f- хх -f- ху.
X
Члены его 1 — Зх-^хх, не содержащие отнесенной величины ^расположены, как
видишь, в первой строке, а остальные члены у ж ху — в левом столбце.
+ У
Сумма
У
-f- 1 — Зх-\-хх
* -f- х -\~хх— х% Λ—Т#4 ?г#б+™#6 И Т. Д.
о о 30 1
+ 1 — 2х-{-хх χ*-\- — χ4:— — #б и т. д.
= ~\-χ — хх + у*8- Т^4~^30^б — 45 ^ И Т' Д'

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
61
Прежде всего я помножаю первый член 1 на соотнесенную величину χ и
полученный при этом х, поделенный на показатель степени 1, я помещаю в выписанном
ниже результате. Затем, подставляя этот член вместо у в находящиеся с края члены
-{-уж -\-%у, я нахожу -\-хъ -\-хх, которые записываю против -\-у и -\-ху направо.
Затем из оставшихся членов я выбираю низшие, —Ъх и -\-х, сумма которых —2х,
умноженная на х, обращается в —2хх, а это по делении на показатель степени 2 дает
— хх, что и следует вписать в выражение для у в качестве второго члена. Далее,
я точно так же применяю этот член для подстановки в значения находящихся с края
членов -j- У и + ХУ> причем получаю члены — хх и — xs, которые следует присоединить
к уже вписанным ~\-х и -f-аи?.
Затем я вновь выделяю оказывающиеся низшими члены -\-хх, —хх и -\-хх,
собираю их в один -\-хх и отсюда (действуя, как раньше) нахожу -+--q- хЪ — третий
член выражения для у. Подставляя опять этот член -—xs
о
в значения находящихся
с края членов, я, сложив очередные низшие члены + —#3 и —хъ9 в качестве четвер-
о
того члена выражения для у получаю
— х*. И так далее до бесконечности 97)98).
Пример II
Точно так же, если требуется определить соотношение между χ и у из уравнения
-?-! +
X
У
ху , хху
х*у
и т. д.,
а аа а3 а4
в котором ряд предполагается продолжающимся до бесконечности, то наверху я
пишу 1, остальные члены выписываю в левом «голбце и затем произвожу действие
так, как это видно из представленной таблицы.
+ 1
У
а
ху
аа
хху
If
хгу
х±у
X
5
а'
и т. д.
Сумма
У = х·
а
* +
χ
1+-Н
XX
2аа
аа
ό·Χ/Χ
2аа
х*
х*
2а3"
Xs
~2а?
X*
~2а*
х*
2а*
х*
~2а*
х*
"о4
2аъ
2аь
хь
~2αϊ
и т. д.
и т. д.
и т. д.
/ν·5
+-б- и т· д·
2а ' 2аа
2хъ
х±
~2Ф
5#4 , %хь
2а*
+
2а4
χΌ
~2сР
и т. д.
и т. д.

62
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Предполагая, что мне предложено было найти выражение для у лишь до
шестой степени а;, я в силу этого опускаю при действии все члены, которые, как я
предвижу, не будут использованы; это отмечается знаком „и т. д.", который я ставлю
вместо отсеченных частей рядов.
Пример Ш
Совершенно так же, если предложено уравнение
-Д- = — Ъх-\-ЪхуАгУу — хуу-\-уъ—ху* + у*—ху* и т. д.+
X
+ бхху — бхх -[- 8хву — 8а;3 -|- 1 ОхАу — 1 Ох* и т. д.
и если определение значения у следует довести до седьмой степени х, то я
располагаю члены в порядке, указанном в прилагаемой таблице. Далее я произвожу
действие по обычному способу, с тем лишь отличием, что, так как в левом столбце
находится у не только в первой, но и во второй и в третьей степенях (или еще выше,
чем в третьей, если кому-либо будет желательно продолжить выражение у за седьмую
степень х), то я заменяю и вторую и третью степени у и так продолжаю до тех
пор, пока при подставлении их значений в столбец справа не получатся члены таких
степеней, какие, как я предвижу, потребуются для следующей операции.
+ Ъху
-|- бхху
1 + 8х*у
1 + 10х*У
1 и т. д.
+ УУ
— хуу
и т. д.
+ У3
Сумма
— Зх—6хх-^-8х* —10а?4—12а;5 —Ых6 и т. д.
9 , о а 75 к 273 А
* * —Xs —6#4 —Хъ WK~X и т. д.
Δ о ΔΌ
75
* * * —9а;4'— 12а;6 а;6 и т. д.
4
* * * * — 12а;6 — 16а;6 и т. д.
* * * -х- * — 15а^ и т. д.
1 9 а 1 а R . 107 а 1
■к * ■# -|—— a;4 -j- 6хь -J — а;6 и т. д.
4 8
9
* -х- * * —-а;6 — 6а;6 и т. д.
27 α
■х- -х- ■* -х- * — — а;6 и т. д.
8 |
25 . 91 . 333 5 367 л
— За; — К)хх —х6 —а;4 — хь —- а;6 и т. д.
δ 4 о 5
3 0 о 25 4 91 111 367 . |
У= — —хх — 2х* — — х*——хъ — afi — — x4 и т. д.
ι 9 л г η к ι 107 а
\уу=+ — #4 + 6#бН — а;6 и т. д.
27
уъ = — а;6 и т. д. 1
8 |

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
6&
При помощи этого метода я нахожу, наконец, что
У=-
3 а ч 25 а
■^г-ХХ—6#3 — — X* И Т. Д.,
Δ О
что и представляет собой искомое уравнение. Так как это значение отрицательное,
то отсюда можно заключить, что когда одна из величин χ и у убывает, другая
возрастает. То же можно сказать, когда одна из флюксий положительна, а другая
отрицательна.
Пример IV
Уравнение можно решать по этому способу и тогда, когда отнесенная величина
входит в дробных степенях, например, если требуется отыскать значение χ иа
уравнения
1 5
-?- = — У — £УУ + 2У%2 -хх + 7у2 +tys,
2/2 5
в котором имеется член 2ух2 (или 2у Yx) с дробной степенью — .
Δ
1 ·
+ 2ух2
-г XX
о
Сумма
1 5
+ ТУ * ~4сУУ^г7у 2 +2^3
7 1
* * Л-УУ * —22/3 + 4у2—2у4 и т. д.
-κ- -κ- #-. -* -х- -κ- ——у4 и т. д.
— 7
ι +У^* —3УУ + 7У2 * +%2— "go»4 и т. д.
7 9
■I _ Q — АЛ
х = + Τуу—Уъ+ 2У2 * +Т у2 + Тоо"уб и т· д·
1 ι L
χ2 = + jy — уу+2у2— Уъ и т· д· 1
•ι ! 4
\ XX = + ~ у4 и т. д.
Из значения # я постепенно нахожу значение #2 (путем извлечения
квадратного корня), как ты можешь видеть в нижней части таблицы, и это значение посте-

«34
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И' БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
пенно переносится и вносится в стоящее с края выражение члена 2ух . Таким
образом я в конце концов получу уравнение
1 ϋ.
х = ^УУ — 2/3+ V-b -д У2 — ~ϊμ уЬ и т' д"
которое дает в бесконечной форме выражение # через у. Так же можно поступать
и во всех прочих случаях.
Я выше сказал, что эти решения можно получать бесконечным множеством
способов. Это можно сделать, беря произвольнйм образом не только начальную
величину первого ряда, но принимая еще за первый член результата какую-либо
данную величину, а далее поступая, как раньше. Так, если в первом из приведенных
примеров принять за первый член значения у единицу, подставить единицу вместо
у в находящиеся с края члены -j- У и + ХУ и провестц затем действия,
как раньше (образец этого я здесь привожу), то ты получишь другое
Л-у
Агху
Сумма
+ 1 — Зх-\~хх
+ 1 + 2х ^ +^+7^ ит' А*
-*-}-# -\-2xx * -{-х1 и т. д.
5
+ 2 * + Ъхх + хъ + — х± и т. д.
ι 1
у = 1 -f- 2х * -{- хъ -| #4 -\- — хъ и т. д.
выражение для у, а именно
1 -\-2χ-\~χΖ-\~—χι и т. д.
При допущении, что первый член результата есть 2 или 3 или какое-либо
другое число, опять-таки получаются другие результаты. Если для выражения
первого члена в неопределенном виде взять какой-нибудь знак, например а, то с помощью
того же способа (который я здесь привожу) ты найдешь, что
1 2
у = а-\-х-\-ах — хх-(-ах% + — хъ-\- — ахъ и т. д.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
65
^Заменяя здесь а через 1, 2, 0, -— или любое другое число, ты сможешь получить
бесконечное число различных соотношений между χ и у .
+ У
-УХУ
Сумма
-4-1 — Ъх-\-хх
—|— ^—|— χ— %% -\- -р- #3 и т. д.
о
Ι ι 2 3
-\-αχ-χ-ахх-\—— ахъ и т. д.
о
·*. -\- ах-\-хх — хъ и т. д.
-f- ахх -\- ахъ и т. д.
2
-f-1 — 2х -f- ## — — #3 и т. д.
5
-j-α 4-2a#-j-2a##-f-~F а;г3 и т. д.
у = а -\- χ — хх -|—- хъ #4 и т. д.
-\-ах -\- ахх -f- — <^3 +То αχί и τ· Д·
О 1 Δ
Следует отметить, что когда определяемая величина находится в дробной
степени (как в четвертом из вышеприведенных примеров), то в качестве первого
члена хорошо брать единицу или какое-нибудь другое удобное для оперирования
число. И это даже бывает необходимо, когда для получения значения этой дробной
аегеьи нельзя иначе извлечь корень вследствие наличия отрицательного знака, а также
Еогда нет таких членов, которые можно поместить в первом или верхнем ряду, из
которого находится этот первый член.
Теперь я довел до конца эту весьма сложную и сравнительно со всеми
другими самую трудную задачу, когда в уравнении имеются только две флюэнты вместе
€ их флюксиями. Однако, кроме этого общего метода, который охватывает все
затруднения, существуют другие, которые вообще короче и с помощью которых действие
нередко производится легче. Для читателя будет небезынтересно, если я приведу
несколько образцов этих многочисленных приемов.
I
Когда подлежащая нахождению величина содержит где-либо отрицательные
степени, то вовсе не обязательно придать сперва уравнению другую форму.
5 Зак 329С —Ньютон

66
МЕТОД' ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Пусть, например, дано уравнение
1
J У
в котором у находится в отрицательной степени. Ему, конечно, можно .придать
другой вид, написав, например, 1+У вместо у, но решение выполняется скорее при
помощи метода, который приведен на прилагаемой таблице.
1
Сумма
-т^ ·τ^ "~~™~ tK/tL·
1 — а;-|--ю и т. д. 1
ι 1
1 X -\- — XX и т. д.
y=l-Jrx --жж-|--ж3 и т. д.
1 1 1 3
— = 1 — х + — ## и т. д.
у
В качестве первого члена выражения для у я взял единицу, другие члены
я нашел, как и раньше; попутно я постепенно выводил (посредством деления) выраже-
1 юо)
ние для , которое подставлял в значение члена, стоящего с края \
У
II
Равным образом, нет необходимости в том, чтобы были всегда положительны
степени другой текущей величины. Действительно, из уравнения
и без предписанного приведения члена -^- можно получить, что
у = Зх — — хх -}- 2xz и т. д.
А из уравнения
У= —у +
можно в качестве значения у получить

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
67
если провести действие по прилагаемому образцу.
— у
Сумма
XX * X
1
X
--i- о
1
Мимоходом следует отметить, что среди бесконечного числа возможных решений
уравнения чаще всего существует такое, которое определяет искомое значение в
конечном виде, как в приведенном выше примере. Такие решения нетрудно получить, если
обозначить первый член каким-либо символом и, получив решение, придать этому
символу какое-либо значение, которое делает весь ряд конечным.
Из уравнения
III
V 1
-7Г- +1 — 2x4- — хх = у
2х J '2 J
можно также довольно просто найти значение у без приведения члена
У
2х
Для этого следует предположить, что то, что ищется, дано (как поступают
аналитики). Так, в качестве первого члена выражения для у я принимаю 2ех,
предполагая 2е неизвестным пока числовым коэфициентом. Написав 2ех вместо
у в члене, стоящем с края, я получаю е, и эту величину помещаю направо;
при этом для того самого первого члена, который раньше я обозначал
символом 2ех, сумма l-f-е даст х-\-ех. Вследствие этого я полагаю 2ех = х-\-ех и
отсюда вывожу, что е=1. Таким образом 2ех, первый член выражениям/, есть 2х.
Для представления второго члена выражения у я точно так же употребляю гипоте-
2
тически принятый член 2fxx, откуда для значения f получается -, так что
о
второй член есть
хх,
Совершенно так же гипотетически принятый коэфициент д
третьего члена даст —, а /г, коэфициент четвертого члена, будет 0.
Так как других членов уже более не остается, то я заключаю, что действие
4 1
закончено и что значение у в точности равно 2х -~хх-\-·—хг.
3 5
5*

МЕТОД ФЛЮКОИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Всэ эти действия изображены перед тобой в таблице:
У
2х
Сумма
с . ι 1
1 — 2х -\- — хх
1
е + fx -J- ### -f- fe#3
+ 1 — 2x -\- —хх
-\- e-\-fx -f~ ДОЯ? -j- for3
По предположению
у = 2ех -\- 2fxx + 2дхъ -(- 2hx4<.
Следовательно,
ι г/ = -[- ж — хх -|-— хв; -j-■ — /г.#4 -|-
+ ex+ — fxx + — #г3.
Истинное значение
у = 2х — — хх-]—- хг.
о о
Аналогично, если
У-
ix '
то положи y = exs, где е означает неизвестный коэфициент, а 5 —
показатель степени, тоже неизвестный. При подстановке exs вместо у получается,
что у-
дешь, что
Зех*
S—ι
-, а отсюда у-
Зех*
4s
Сравнивая эти два выражения для у, ш най-
4
= е, вследствие чего s = ~, а, е остается неопределенным. Таким
4$ 4
образом, выбирая е по произволу, ты будешь иметь, что
3101)
4
у = ех
IV
Иногда можно начинать действия с высшей степени равномерной величины
и постепенно спускаться к низшим степеням. Так, если бы было дано уравнение
υ XX ' XX
_4
X
и ты пожелал бы начать с высшего члена 2х, то следовало бы расположить верхний

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БШКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
ряд в порядке, обратном тому, который мы. употребляли до сих пор. Тогда в конце
концов ты по представленному здесь способу получишь, что
у=гХХ-\-4Х'
и т. д.
* XX
Сумма
4 1
+ 2я?4- 3— —4- —
' ' /у» /γ/γ»
1 ' χ
+ 2ж + 4 *-fl_
1 ' XX
y=zxx-{-4:X * f- — —-·
\ и ' χ [ 2хх Ьх*
1
хъ '
~χτ"~
и т.
1
~ 2х*
1
2#4
д.
и т. д.
и т. д.
Заметь попутно, что в ходе действия я мог бы вставить вместо
промежуточного члева, отсутствующего здесь между членами 4х и , любую данную
величину; при этом можно было бы получить бесконечное число значений у
102)
Если отнесенная величина имеет какую-либо степень с дробным показателем,
то его можно привести к целому, полагая, что величина с дробным показателем равна
некоторой третьей флюэнте, и подставляя вместо отнесенной величины и ее флюксии
выражения ее и ее флюксии, выведенные из принятого уравнения.
Пусть, например, предложено уравнение
2
2/= Зху*+у,
в котором при отнесенной величине имеется дробный показатель. Взяв любую
1_
флюэнту ζ, положи у3 =0 или y = z3; зависимость между флюксиями согласно
проблеме I будет у = Szzz. Поэтому подставь Szzz вместо у, ζ* — вместо у и ζζ — вместо
у ; ты получишь тогда, что
или
Szzz — Sxzz -j- zs
ζ = χ-γ—ζ,
где. ζ играет роль отнесенной величины.

70
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Найдя затем значение ζ, а именно:
1 , х* х1
поставь вместо ζ опять у0, и ты получишь искомую зависимость между χ и ?/,
которая, очевидно, будет
ι
г/ ^ — χχ^ — χΖ^-^χ* и т. д.
или, по возвышении всего в третью степень,
^t^+it^+w*8 ит·д·
Аналогичным образом, если дано уравнение
у =V4y + Vx~y
или
L λ _L
г» 2 ι 2 2
у = 2у +х у ,
1 х
то я полагаю z = y2 или гз — у и отсюда согласно проблеме I вывожу, что 2гз = у
λ L
вследствие чего 2ζ2 = 2ζ-\-ζχ2 или z=l-\-—-x2.
Следовательно, согласно первому случаю этой проблемы,
з
2 = Х-\ X
О
или
2 ι 1 2
у = χ -μ у а:
и, возводя в квадрат,
I 2 £ ! ! ,
?у = хх -| — χ -f- "ТГ ^ ·
3 9
Если же ты желаешь получить для у бесконечное число значений, то положи
3
z=c-\-x-\- —X ,
где с — первый член — взят произвольным образом; ты получишь тогда, что
5
,2
3 „ , — , з - | g
О — О — 1
#£ (т. е. у) = ее -{- 2 or -J- -тг с^ 2 + ## ~Ь "о* х 2 + тг^3 ■
Однако может показаться, что я, исследуя случаи, редко встречающиеся на
практике, занимаюсь чрезмерными мелочами.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
71
РЕШЕНИЕ ТРЕТЬЕГО СЛУЧАЯ
Теперь мы решим проблему для того случая, когда уравнение содержит три
жли более флюксии величин.
Действительно, если в постановке задачи не определена зависимость между
какими-либо двумя из этих величин, то для решения достаточно допустить наличие
между ними какой-либо зависимости, благодаря чему можно будет вывести
зависимость между их флюксиями и станет возможным исключить одну из этих величин,
а также ее флюксию. Поэтому когда имеются флюксии трех величин, то следует ввести
лишь одно уравнение; если флюксий четыре, то уравнений следует ввести два, и
так далее, так что в конце концов предложенное уравнение преобразуется в другое,
в котором имеются только две флюксии. Решив это уравнение, как выше, можно
будет найти зависимости между другими величинами.
Пусть предложено уравнение
2х — ζ -\- ху = О.
Чтобы получить соотношение между величинами х, у, г,' флюксии которых
-х, у и ζ входят в это уравнение, я устанавливаю какую-либо зависимость, скажем,
между χ и у у полагая, например, что χ = у или что 2у = а -\- χ или же что χ = уу
и т. д. Допустим, что х = уу и, следовательно, χ = 2уу.
Если положить 2уу вместо χ ж уу вместо х, то предложенное уравнение
превращается в следующее:
*УУ — 2 + УУУ = 0,
^откуда выводится зависимость между у и я, именно:
%УУ — * + ^~2/3 = 0.
Поставив здесь обратно χ вместо уу и х1 вместо у3, ты найдешь, что
2#+ — х2 =sg.
о
Из бесконечного числа способов, которыми можно устанавливать попарные
зависимости между х, уж г, найден, таким образом, один, который выражается
следующими уравнениями:
х = уу, ЪууЛ--^Уъ = * и 2х-\~—х2 =з 103).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Таким образом проблема решена, но доказательство еще отсутствует. Однако
проблема эта по своему содержанию столь сложна и разнообразна, что ясное и
простое синтетическое доказательство ее, исходящее из естественных оснований, мы
дать не могли бы, и поэтому будет достаточно вкратце указать аналитическое
доказательство.

72
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Если дается какое-либо уравнение, то можно, завершив действия, попытаться^
исходя из найденного уравнения, вернуться к данному согласно проблеме I. При этом
из найденного уравнения между величинами получится соотношение, существующее
между флюксиями в данном уравнении, и обратно. Что и требовалось доказать.
Так, из заданного уравнения у = χ выводится, что у= — хх, а отсюда согласно
проблеме I получится вновь, что у — хх или же у = х, так как χ принимается за
единицу. Таким же образом из
у = 1 — Зх-\-у-\-хх-\-ху
получается
, 1 . 1 . , 1 к 1 А
у = х — хх-\- — х* — — #4 + зох 45 х и т· д*>
а отсюда согласно проблеме I вновь находится, что
у = 1 — 2х-\-хх х3 -[- -— х1 — -— хь и т. д.
о О 10
Это значение у совпадает с предыдущим, что легко видеть, подставив в первое»
. 1 . 1 . . 1 R
значение вместо у величину χ — xx-j- — χ3 тгх ~\~WFiX и τ· Д·
Однако при приведении уравнений я применяю действие, которое считаю
необходимым обосновать. Оно состоит в изменении флюэнты путем присоединения к ней
данной величины.
Пусть АЕ (фиг. 4 , табл. III) и ае суть бесконечно продолженные в обе стороны
прямые, по которым перемещаются два движущихся издалека предмета или две точки, кото-,
рые, как мы себе представляем, приходят в места А и а, В и Ъ, С и с, D и А и т. д..
одновременно. Допустим, что расстояние от точки В служит мерой движения точки,
движущейся по АЕ так, что —ВА, -\-ВС, -\-BD, ~\-ВЕ будут последовательно
представлять собой текущие величины, когда движущаяся точка будет находиться в
местах A,C,D,E.
Допустим также, что Ь представляет собой подобную же точку на другой линии.
Тогда —В А и —Ъа будут двумя одновременными флюэнтами, так же как-[--ВС и
-\-Ъс, -\-BD и-f-bd, -\-ВЕ и-{-Ье и т. д. Если затем вместо точек В и Ъ принять
за неподвижные точки Ае с ж отнести движение к ним, то одновременными флюэнтами
окажутся 0 и —са, +АВ и —сЪ, -\-АС и 0, -f-AD и -\-cd, -\-АЕ и +се.
Отсюда видно, что хотя при вычитании из флюэнт и прибавлении к ним данных
величин АВ и ас они изменяются, но как скорости их движения, так и взаимное
отношение между флюксиями сохраняются прежними. Действительно, порождаемые
одновременно части АВ и аЪ, ВС и Ъс, CD и cd, DE и de при обоих предположениях
104
имеют одну и ту же длину
Таким образом в уравнениях, содержащих эти величины, их абсолютные
величины можно увеличивать или уменьшать на данную величину, не изменяя их
одновременно порождаемых частей. Отсюда становится ясным выставленное утверждение^.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
73
ибо цель задачи состоит лишь в определении описываемых одновременно согласна
данному закону течения частей или разностей абсолютных величин и, х, у, з.
Каковы абсолютные значения этих величин — не важно, лишь бы их
одновременные или соответственные разности соответствовали заданной зависимости между
флюксиями.
Сказанное можно изложить также в алгебраической форме. Пусть предложено-
уравнение
у = ухх.
Положи χ = 1 -|- з. Согласно проблеме I
х = з.
Вследствие этого вместо
у = у хх
можно написать
у = ух + узх.
Далее, так как х = з, то ясно, что хотя величины χ и з и неодинаковой
длины, но по отношению к у. протекают одинаковым образом, и что одновременно
порождаемые их части равны.
Почему бы я не мог, таким образом, обозначать одним символом величины, для
которых закон течения одинаков, и для определения одновременных их разностей вместо >
у = у хх
писать
у = ух~\~ узх!
Наконец, ясно, -как можно определить одновременные части из уравнения
содержащего флюэнты.
Пусть дано, например, уравнение
1 .
У = ~х~ + Х>
когда я = 2, у = 2—, а когда х = 3, у = 3-^. Поэтому, когда χ протекает от 2.
до 3, у протекает от 2— до 3—. Следовательно, одновременно описанные части будут
3 — 2 = 1 и з£ — 2-J-— I-·
Присрединив это к основам тсго, что излагается да^ее, я перехожу к более
частным проблемам.
ПРОБЛЕМА III
Определить наибольшие и наименьшие значения величин.
Когда величина есть возможно наибольшая или возможно наименьшая, то в этот
момент времени она не течет ни вперед, ни назад 105). Действительно, если бы она
могла еще течь вперед, т. е. возрастать, то это значит, что до того она наверное была
меньше, чем стала, а п<*сле того станет больше, чем она есть. Дело обстояло бы.
обратным образом, если бы она текла назад или убывала. Поэтому найди ее флюксию
согласно проблеме I и положи ее равной нулю.

74
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Π Ρ II Μ Ε Ρ I
Требуется найти наибольшее значение χ из уравнения
хп — ахх -\- аху — уъ = 0 .
Определяя зависимость между флюксиями χ и у, ты найдешь
Зххх — 2ахх -\- аух -]- аху — Зууу = 0.
Положи х — 0. Тогда останется
аХу _ sijtjij = О
или
Зуу = ах.
С помощью этого уравнения ты исключишь одну из двух флюэнт χ и у из
начального уравнения; другую ты определишь из получившегося при этом уравнения,
а затем найдешь и обе с помощыа уравнения
— Зуу -j- ах = 0.
Этот прием не отличается по существу от умножения членов предложенного
уравнения на показатели степеней другой флюэнты у. Отсюда можно вывести
хорошо известное правило Гудде 106), согласно которому для определения наибольшего
или наименьшего значения отнесенной величины следует расположить уравнение по
степеням соотнесенной величины и умножить члены его на какую-нибудь
арифметическую прогрессию. Но ввиду того, что ни это, настолько мне известно, ни какое-
либо другое доныне обнародованное правило не распространяется на уравнения,
содержащие иррациональности, без предварительного их приведения, то я укажу
пример, относящийся к этому случаю.
Пример II
Требуется определить наибольшую величину у из уравнения
bift /
χλ — αιη/А г хх у аи-4- хх= 0.
JJ ' а-\-у '
Определи флюксии χ жу107); это даст уравнение
Зххх 2ауу 1 3аЪУУУ + 2ЪУгУ _ ^аухх + 6xzx + ахху = ^
аа-\-2ау -\-уу 2\/Гау-\- хх
Так как по предположению у = 0, то отбрось все члены с множителем у
(которые для сокращения труда ты мог бы опускать в самом ходе действий), а остальные
раздели на хх; окончательно ты получишь
2ау + Зхх
Зх /* =0.
У ау-\- хх
После приведения ты найдешь отсюда, что
• 4ш/ -j- Зхх = О,
ό помощью чего сможешь исключить одну из двух величин χ и у из данного урав-

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
75
нения. Из получающегося при этом уравнения (которое будет кубическим) ты
сможешь найти значение другой величины.
С помощью метода решения этой проблемы можно получить решение
следующих проблем108):
I
Б данный треугольник или сегмент данной кргьвой вписать наибольший
прямоугольник.
И
Провести наибольшую или наименьшую из прямых, которые можно провести
меоюду данной точкой и заданной по положению кривой. Или из данной точки
провести прямую, встречающую кривую под прямыми углами.
III
Провести наибольшую гьли наименьшую из прямых, которые проходят через
данную точку и лежат между двумя другими прямыми или кривыми линиями.
IV
Из данной на параболе точки провести прямую, пересекающую параболу под
наиболее наклонным к ней углом. Сделать то оюе для других кривых.
V
Определить вершины кривых, их наибольшую и наименьшую ширину, точки,
··# которых пересекают друг друга заворачивающиеся части кривой и т. д.
VI
Найти точки кривых^ в которых они наиболее или наименее искривлены.
VII
В данном эллипсе найти наименьший из углов, под которыми ординаты
пересекают соответствующие им диаметры.
VIII
Из всех эллипсов, которые могут проходить через данные четыре точки,
определить наибольший или оюе тот, который наиболее близко подходит к кругу.
IX
Определить ту часть шаровой поверхности на более отдаленном полушарии,
которую может осветить луч, идущий из дальнего расстояния и преломленный
более близким полушарием.
Многие другие подобные задачи бывает легче предложить, чем решить, в силу
трудностей, встречающихся при вычислениях.
ПРОБЛЕМА IV
т-г 109)
Провести касательные к кривым
ПЕРВЫЙ СПОСОБ
Проводить касательные можно, пользуясь различными способами в зависимости
от различных соотношений, которые существуют между прямыми и кривыми линиями
<фиг. 5, табл. III).

76
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Допустим сперва, что ВВ есть прямая или ордината, образующая какой-нибудь
данный угол с другой прямой АВ (которая является основанием или абсциссой) и
заканчивающаяся на кривой ЕВ. Пусть ордината переместится на бесконечно малое-
пространство до места bd, причем она возрастет на момент cd, когда АВ возрастет
на момент ВЬ, которому равно и параллельно Вс.
Продолжим Bd до встречи с АВ в Т; прямая эта будет касаться кривой в 1>
или d и треугольники dcD, ВВТ будут подобны, вследствие чего
ТВ : ВВ : : Вс (или ВЬ): cd.
Так как зависимость между ВВ и АВ выражается уравнением, определяющим
природу кривой, то из него согласно проблеме I можно найти зависимость между
флюксиями.
После того следует взять ТВ в том же отношении к ВВ, в каком флюксия АВ'
находится к флюксии ВВ, и проведенная таким образом прямая ТВ коснется кривой
в точке Вш)111).
Пример I
Если обозначить АВ = х и ВВ = у и если зависимость между ними
выражается уравнением
хъ — ахх -)- аху — уг = О,
то зависимость между флюксиями будет:
Зххх — 2ахх -\- аху ~\- аух — Зууу = О,
так что
у : χ : : Зхх— 2ах -\- ау : Зуу — ах : : ВВ (у) : ВТ.
Поэтому
ВТ= Зу* — аху
Зхх — 2ах-\- ау'
Так как точка В дана и, значит, даны ВВ и В А или у и х, то данной будет
и величина ВВ, с помощью которой определяется касательная ТВ,
Примененный прием можно упростить следующим образом. Положи члены,
данного уравнения равными нулю, умножь их на соответствующие показатели степеней
ординаты и результат поставь в числителе выражения для ВТ; затем умножь члены того
же уравнения на соответствующие показатели степеней абсциссы и результат,
разделенный на абсциссу, поставь в его знаменателе. При этом Б?7 направлено в сторону А,.
если значение ее положительно, и в обратном направлении, если оно отрицательно.
Так, уравнение
0 0 13
.г3 — ахх -{- ахУ — !/3 = О,
3 2 10
будучи умноженным на написанные сверху числа, дает аху — Зг/3 для числителя
значения ВТ, а будучи умноженным на нижние числа и поделенным на х, дает
Зхх — 2ах-\-ау для его знаменателя.
Равным образом уравнение
ув — Ъуу — cdy -f- bed -{- dxy = О

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
77
{выражающее природу параболы второго рода112), с помощью которой Декартш
построил уравнения шестой степени, см. его „Геометрию", стр. 42, Amstel. Ed. An,
1659) по тому же правилу дает, что
W-Myy-cdy + dxy или ЧУ_Щ_С + Х_БТ^
ay ad1
По тому же способу уравнение
г
аа хх — уу = о
(соответствующее эллипсу, центр которого есть А) дает, что
=МХ или WL вБг.
Г гх
и так далее в других случаях.
Можешь заметить, что величина угла ABD, образуемого ординатой с абсциссой,
значения не имеет.
Однако так как это правило не распространяется ни на уравнения,
содержащие иррациональности, ни на механические кривые, то в этих случаях следует
пользоваться общим методом.
Пример II
Допустим, что уравнение, выражающее зависимость между АВ и BD, есть
ЬуЗ .
#3 — ЩУ-У ^ητ^ яяу ш/ + а?# = 0.
Тогда согласно проблеме I зависимость между флюксиями будет
гххх 2ауу | 8аЬУУУ + 2Ъу*у *аУх* + 6х*х + аххУ = ρ.
аа -j- 2ау -\-уу 2 Υ ay -|- хх
Поэтому
4аух4-6хг Λ ЗаЪг/у — 2бг/3 . ахх · · ч ^^ _^
Ъхх ; τ — : 2ау ^ - 1 - : :(г/:#: :) BD : DT:
2 у ау -|- хх аа-\- 2ау -\-уу 2 у ay -\- хх
Пример III
Пусть (фиг. 6, табл. Ill) ED есть конхоида Никомедаш), полюс которой G,
асимптота AT и образующий отрезок LD, и пусть AG = Ъ, LD = с, J.2? = χ и J5Z> = у.
Из подобия треугольников DBL и DMG следует, что
LB:BD: : DM: MG,
то-есть
V«* — УУ :У: : я?: Ь + у,
и, следовательно,
Ь-\-у X V^c — УУ = ху.
Получив это уравнение и полагая

78
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
я нахожу два уравнения
bz -\-yz = xy и ее — у у — ZZ,
с помощью которых согласно проблеме I определяю флюксии величин х, у и .
Первое уравнение дает
bz-\-yz-\-zy = yx~\-xy9
а второе—
— 2 у у = 2zz или zz 4- у у = О.
Исключая из них ζ, ты найдешь, что
— у у ууу . _j_ ^ = ух -μ ху,
ζ ζ
а решение этого уравнения дает, что
у: г —Ж Ъ-^- — х: : (у : χ : :) BD : ВТ.
ζ ζ
Но BD — это у; следовательно,
ζ
и значит,
BL·
где знак — при ВТ означает, что точка Τ должна быть взята с обратной стороны по*
отношению к точке А.
ПОУЧЕНИЕ
Отсюда, между прочим, видно, как можно найти на конхоиде точку, отделяющую
выпуклую часть от вогнутой. Это именно будет иметь место тогда, когда AT станет
наименьшей. Поэтому положи АТ=и9 и так как
1 ' ζ
ТО
ивва-в + 2х + *У±Ж.
Ζ
тг « bzA-y2
Для сокращения действия подставь вместо χ выражение ——, вытекающее
из вышеизложенного; при этом ты получишь
2bz . . ЪуА-уу
У
Отсюда можно согласно проблеме I найти флюксии и, у и s9 а полагая
и = 0, ты согласно про0леме Ш получишь
2bz 2bzy : , Ьу + 2уу Ъуе + гуу ·
' - ζ -\ =з U = U.
ί/ί/ * **

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 79
Подставляя, наконец, в это уравнение — вместо ζ и ее — уу вместо ζζ (эти
ζ
значения мы уже нашли ранее) и произведя должное преобразование, ты получишь, что
уг -\- ЗЪуу — 2Ъсс = 0.
Построение этого уравнения определит у или AM, и линия MD, проведенная
через точку Μ параллельно АВ, попадет в точку перегиба D 115)116).
Если кривые, к которым требуется провести касательные, являются
механическими, то флюксии следует определять, как в примере V проблемы I; все же остальное
делается, как указано выше.
Пример IV
Пусть (фиг. 7, табл. IV) АС и AD суть две кривые, пересекающие в точках С
и D прямую BCD, приложенную к абсциссе АВ под данным углом. Пусть АВ = ху
^ _ площадь АС В ^ , . т
BD = у и = ζ. Тогда (согласно проблеме I, подготовлению к
примеру V)
г = хХВС.
Пусть, далее, АС есть круг или какая-либо другая известная кривая, и
допустим, что для определения другой кривой AD дано уравнение, содержащее ζ, например
ζζ -|- αζχ = у4.
Тогда согласно проблеме I
2zz -j- αχζ -\- αζχ = 4у3у.
Написав χ X ВС вместо ζ, мы будем иметь
2ζχ X jBC+ аосх X ВС~\- azx = ±ify
и, следовательно,
2zXBC-\-axXBC-\-az:4:yZ: :(у:х: :) BD : ВТ.
Поэтому, если природа кривой А С известна и даны ордината ВС и площадь АС В
или ζ, то будет дана также точка Т, через которую проходит касательная DT.
Аналогично, если уравнение, соответствующее кривой AD, есть Sz = 2у, то
(Зз) Зх ХВС=2у
и, следовательно,
ЗВС : 2 : :(у:х: :)BD:BT
117)
и так далее в других случаях '.
Пример V
Пусть, как прежде, АВ = χ и BD = у и длина некоторой кривой АС = ζ. Проведя
какую-либо касательную Ct, мы будем иметь, что
Bi:Ct: :x:z
или
_xXCt
ε~ Bt

80
МЕТОД ФЛЮИОИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Допустим, что другая кривая АВ, к которой требуется провести касательную,
определяется некоторым уравнением, содержащим я, например уравнением z = y.
Тогда ζ —у и, следовательно,
Ct: Bt: : (у : χ: :) ВВ : ВТ.
Найдя точку Г, можно провести касательную ВТ.
Точно так же, если принять, что xz = yy, то
xz -\- zx = 2уу.
« · · xXCt
.Если здесь заменить ζ через —=— , то получается, что
Bt
xxXCt · .
\-гх = 2уу,
отсюда следует, что
Bt
xXCt
' . Bt
: 2у : : BD : ВТ.
Пример VI
Пусть (фиг. 8, табл. IV) АС есть круг или какая-либо другая известная
кривая, касательная которой есть Ct. Допустим, что AD — другая кривая, к которой
нужно провести касательную и которая определяется тем, что АВ берется равной
дуге А С. Пусть, далее, СЕжВВ суть ординаты, проведенные под данным углом к А В,
и зависимость между BD и СЕ или ЕА выражается некоторым уравнением.
Обозначь АВ или АС = ху BD = y, AE = z и СЕ = и. Ясно, что и, χ я г,
флюксии СЕ, АС и АЕ находятся между собой в том же отношении, что СЕ, Ct жШ.
Поэтому
хХСЕ . xXEt ·
■ = и и
Ct ~ Ct
Допустим теперь, что дано какое-либо уравнение, определяющее кривую AD,
например y = z. Тогда у = я и, значит,
EtitC: :{у = х: :) ВВ : ВТ.
Если бы было дано уравнение
у = ζ -j- и X,
ίο получилось бы, что
• ... . . ^CE+Et—tC
ш, значит,
CE + Et—Ct: Ct: : (у : χ: :)ВВ: ВТ.
Наконец, если бы было дано уравнение
ауу = «*,

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
81
то из него следовало бы, что
СЕ
Ъауу = (Згши = ) Зиих χ -ψ- ,
откуда получилось бы, что
SuuXCE:2ayXCt: :BD = BTm.
Пример VII
Пусть (фиг. 9., табл. IV) FC есть круг, которого CS касается в точке С, a FD—кривая,
которая определяется некоторой зависимостью между ординатой DB и дугой FC,
ограничиваемой линией AD, проведенной через центр. Проведя СЕ—ординату круга,
прими АС или AF=l, АВ = х, BD = yy AE — z, ЕС = и и CF = t. Ты получишь
тогда, что
. /. ЕС \ ·
ш
(τις* \
Я полагаю здесь, что ζ— величина отрицательная, так как АЕ при
возрастании СЕ убывает.
Далее,
АЕ : СЕ : : АВ : BD,
так что ztj — iix, и поэтому согласно проблеме I
3У Н~" У3 = их Н~~мх-
По исключении ζ, и и и отсюда следует, что
ху — yyt — xxt = ух.
Допустим теперь, что кривая DF определяется некоторым уравнением, из
которого можно получить значение t, которое надлежит вставить в полученное выше
уравнение.
Положим, например, что t = y (уравнение первой квадратрисы). Тогда, согласно
проблеме J,t = y и
ху—УУУ—ХХУ = Vх-
Отсюда
у:—х + уу + хх: :(у:—х: :) BD {у) : ВТ.
Следовательно,
ВТ — хх-{-уу — χ
AT=xx + yy = ~^jjL.
Совершенно так же, если tt —by, то мы будем иметь
2ti = Ъу,
и, значит,
Л1 - 2t Х AF~
я так далее 120>.
6 Зак. 3296. — Ньютон.

82
МЕТОД ФЛЮ'КОИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Пример VIII
Если принять теперь (фиг. 10, табл. IV), что AD есть прямая, равная дуге FCy
то кривая ADH окажется спиралью Архимеда121).
Для линий мы сохраним те обозначения, которые установили выше. Так как
угол ABD прямой, то
хх -f- у у = tt
и, значит (согласно проблеме I),
хх -f- у у = tt.
Далее,
AD : АС : : DB : СЕ,
так что
tu = у,
и, следовательно (согласно проблеме I),
tu -J- ui = у.
Наконец, флюксия дуги FC относится к флюксии прямой СЕ, как СА к АЕ, или
как .41) к АВ, т. е.
ί: и : ί: χ,
и, значит,
#ί = tu.
Сопоставив только что найденные уравнения, ты увидишь, что
ut -j- xt = ί/,
откуда следует, что
ty
хх + УУ = (М = )
и-\-х
IBDQ,
DQ: QP: :(DB:BT: :y: — x: :)x:y—·
Поэтому, если, дополнив параллелограм ABDQ, ты примешь, что
t
%ь-\-ху
т. е. если отложишь
t
АР-
и-\-х 9
то PD будет перпендикуляром к спирали.
Я полагаю, что отсюда достаточно ясно, с помощью каких приемов можно
проводить касательные ко всякого рода кривым.
Однако я считаю не лишним показать, как можно решить задачу в тех случаях,
когда кривые отнесены к прямым каким-либо другим способом. Имея под руками
большое число различных методов, ты всегда сможешь воспользоваться более легким
и более простым.
ВТОРОЙ СПОСОБ
Пусть (фиг. 11, табл. IV) на кривой взята точка Z), из которой проведена к данной
точке G субтенза DG, и пусть DB есть ордината, проведенная под каким-либо
дачным углом к абсциссе АВ. Допустим, что точка D перемещается на бесконечно

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
S3
малый отрезок кривой Bd, возьмем на GB отрезок Gh, равный Gd, и достроим паралле-
лограм dcBb. Тогда ВЬ и Вс будут одновременно порожденными моментами величин GD
и ВВ, на которые они обе уменьшаются, когда В переносится в d. Продолжим прямую Dd
до пересечения АВ в Τ и из У опустим на субтензу GD перпендикуляр TF; при
этом образуются подобные трапеции Bcdk и DBTF122) и, следовательно,
BD :BF: : Be : BJc.
Так как уравнение, определяющее кривую, представляет собой зависимость
между ВВ и BG, то тебе следует определить отношение флюксий и ваять DF
как четвертую пропорциональную к ВВ, флюксии GD и флюксии ВВ. Затем в F нужно
восстановить перпендикуляр FT; прямая, соединяющая В и Т, коснется кривой в В;
ВТ следует брать по направлению к G, если она положительна, и с обратной стороны,
если она отрицательна 123> 124>.
Пример I
Положи GB = χ ж В В = у\ пусть зависимость между ними выражается уравнением
хл — ахх -\~ аху — ψ = 0.
Зависимость между флюксиями будет
Ъххх — 2ахх -f- оух -f- α## — Зууу = 0.
Поэтому
Ъхх — 2ах -f- ш/: Зг/2/ — а# : : (У : ж : ·) -D-B (?/) : &F.
Следовательно,
д/?== Зу*~гаху
Ъхх — 2ах-\-ау '
Если на кривой задана точка D, а вместе с тем ВВ и BG или г/ и л?, то
определится также точка F. Поэтому если в F восстановить перпендикуляр FT, пересекающий
абсциссу АВ в Т, то можно будет провести касательную ТВ.
Очевидно, что здесь сохраняет силу то правило, которое мы нашли в первом
случае. А именно, перенеся все члены данного уравнения в одну сторону, перемножь
их на показатели степеней ординаты у и результат поставь в числителе дроби. Затем
перемножь члены по отдельности на показатели степеней субтензы х, полученное
раздели на субтензу χ и частное запиши в знаменателе выражения BF. При этом бери
линию BF по направлению к G, если значение ее положительно, и в обратную
сторону, если оно отрицательно. Можешь заметить, что при всех этих действиях ни
расстояние точки G от абсциссы АВ, которое может даже свестись к нулю, ни угол ABB,
который ордината ВВ составляет с абсциссой ВА, не имеют никакого значения.
Так, вышеприведенное уравнение
х* — ахх -J- αχν — Уъ — О
для числителя выражения BF тотчас дает аху — Ъу3, а для знаменателя Ъхх — 2ах -J- ау.
Равным образом уравнение
а-\г—х — у = 0,
6*

84
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
соответствующее коническим сечениям, дает — у для числителя значения DF и для
а
его знаменателя, так что само это значение будет-
b *
Точно так же если обозначить в конхоиде (для которой задача может быть
рейена таким путем скорей, чем это было сделано выше) (фиг. 6, табл. Ш) GA = by
LD = c, BG = x, ВВ^уу то
BB (у) : DL (с) : : AG (Ъ) : GL {χ —с),
вследствие чего
ху — су — be
или
ху — су — be = 0.
Это уравнение согласно правилу дает
Щ — су
У
, т. е. χ— c — DF.
Проведем GD до F так, чтобы DF — LG, в F восстановим перпендикуляр FT,
который встретит асимптоту АВ в точке Г; прямая ТВ тогда коснется конхоиды.
Если в уравнении окажутся иррациональные или составные величины,
то следует прибегнуть к общему методу, если только ты не предпочитаешь произвести
125)
приведение уравнения
Пример II
Если (фиг. 11, табл. IV) для выражения зависимости между GD и В В дано
уравнение
Ь + у X Усе — уу = ху,
то определи зависимость между флюксиями, согласно проблеме I, полагая, например,
Ycc—ijy = z,
причем получаются уравнения:
Ьг -f- у ^ = ху,
со — уу = zz.
Зависимости между флюксиями будут тогда
b8 + y* + &y = xy + ijx
— 2уу — 2zz.
Исключив затем з и ζ, ты получишь, что
Ьуу+ууу
yVcc — yy~J/^~™J.— x'y==yx.
У м — уу

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
8
Следовательно,
у:У.сс — уи-У^^ — х::(у:х::)ВВ(у):Ш.
усс — уу
ТРЕТИЙ СПОСОБ
Если (фиг. 12, табл. IV) кривая отнесена к двум субтензам АВ и BBi2Q), которые
проведены из двух данных точек А ж В и сходятся на кривой, то представь себе, что
точка В пройдет вдоль кривой бесконечно малый отрезок Bd, и на АВ и ВВ
возьми AJc, равное Ad, и Вс, равное Bd. Тогда ~кВ и сВ явятся одновременно
порожденными моментами линий АВ и ВВ. Поэтому возьми FB так, чтобы она
относилась к ВВ, как момент Вк к моменту Вс (или, что то же, как флюксия
прямой АВ к флюксии ВВ), и восстанови к ВВ и АВ перпендикуляры ВТ и TF,
которые сойдутся в Т. Трапеции BFTB и BJcdc будут подобны, и поэтому
диагональ ВТ коснется кривой.
Таким образом из уравнения, определяющего зависимость между АВ и ВВ,
определи, согласно проблеме I, отношение между флюксиями и затем возьми OF,
находящуюся в том же отношении к ВВ.
Пример I
Положим АВ = х и ВВ — у и допустим, что зависимость между ними есть
. ех '
а + -^ У = 0.
Это уравнение эллипсов второго порядка, свойства которых, связанные с
преломлением света, были показаны Декартом во второй книге его „Геометрии" 127>.
Зависимость между флюксиями будет
вследствие чего
то
На том же
основании,
мы будем иметь
В первом
случае
e:d :
если
а
е:
следует
ех
~d~
: {у: χ
ех
— d::
брать
у = о,
::) BB:BF.
-у = о,
BB:BF.
BF по направлению
к А, во
втором— в обратную сторону.
Коро ЛЛАРИЙ I
Если d — e, причем кривая обращается в коническое сечение, то FB = BB,
вследствие чего треугольники В FT и ВВТ оказываются равными и угол FDB
рассекается касательной пополам.
Королларий II
Отсюда непосредственно очевидно все то, что так сложно доказывал
о преломлении света этими кривыми Декарт.

86
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
В самом деле, если DT есть луч света, то DF и DB (находящиеся в данном
отношении d: е) оказываются синусами углов DTF и DTB, образуемых падающим на
поверхность кривой лучом AD и его отраженным или преломленным лучом DB. Точно
так же следует рассуждать в случае преломления света коническими сечениями, если
одна из точек А или В берется на бесконечном расстоянии.
Нетрудно видоизменить это правило по вышеприведенному образцу и. привести
многочисленные примеры таких видоизменений. Если кривые отнесены к прямым
каким-либо другим способом и привести их к указанным уже видам зависимостей
трудно, то зато весьма легко будет, если потребуют обстоятельства, найти по образцу
.приведенных новые приемы.
ЧЕТВЕРТЫЙ СПОСОБ
Допустим (фиг. 14, табл. V), например, что прямая линия BCD вращается
вокруг данной точки В и одна из ее точек D описывает некоторую кривую, в то
время как другая ее точка С всегда находится на пересечении прямой BCD и
другой заданной по положению прямой АС. Пусть дано также уравнение, выражающее
некоторую зависимость между СВ и BD. Проведи BF параллельно АС и продолжи
ее до встречи в точке F с FD, перпендикуляром к BD. Проведи затем FT под
прямым углом к FD и найди FT так, чтобы она относилась к ВС, как флюксия DB
к флюксии ВС.
Построенная таким образом линия DT касается кривой 128).
ПЯТЫЙ СПОСОБ
Если при заданной точке А уравнение выражает зависимость между АС и
BD, то следует провести CG параллельно DF и определить FT так, чтобы она
относилась к BG, как флюксия BD к флюксии АС.
ШЕСТОЙ СПОСОБ
Далее, если уравнение выражает зависимость между АС и CD и прямые
АС и FT пересекаются в Н, то следует определить НТ так, чтобы она относилась
ις BG, как флюксия DC к флюксии СЛ. Аналогично обстоит дело и в других случаях.
СЕДЬМОЙ СПОСОБ
ДЛЯ СПИРАЛЕЙ
Точно так же поступают, когда кривые относятся не к прямым, а к другим
кривым, что обычно бывает с механическими кривыми.
Допустим (фиг. 15, табл. V), что BG есть окружность круга с радиусом AG.
Представим себе, что при вращении радиуса вокруг центра А, точка D как-либо движется,
описывая некоторую спираль ADE.
Предположи, что Dd есть бесконечно малая часть кривой, на которую
перемещается точка D, и на AD возьми с А = Ad. Тогда cD и Gg будут одновременно
порождаемыми моментами прямой AD и окружности BG. Проведи поэтому At
параллельно cd, т. е. перпендикулярно к AD, и пусть касательная TD пересекает At
в точке Т. Тогда
Deed ::])А:АТ.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
87
Далее, пусть Gt параллельна касательной DT, тогда ты получишь, что
cd:Gg::(Ad или AD : AG :: )AT:At.
Поэтому если дано уравнение, выражающее отношение между BG и AD, то
иайди согласно проблеме I отношение их флюксий и возьми tA к AG в том же
отношении. Прямая Gt будет параллельна касательной 129>.
Пример I
Обозначим BG = x и AD = y, пусть зависимость между ними будет
хъ — ахх -[- аху — г/3 = О.
Согласно проблеме I,
Зхх — 2ах + ау: Ъуу — ах :: (у: χ ::) DА : At.
Найдя таким образом точку /, проведи tG и параллельную ей DT, которая
и коснется кривой.
Пример II
Если'
ах
(что представляет собой уравнение спирали Архимеда), то
ах
т=у,
и поэтому
а : Ь :: (у: χ ::) DА : At.
Отсюда попутно заключаем, что если продолжить AT до Ρ так, чтобы
РА:АВ::а:Ъ,
то прямая, соединяющая Ρ с D, будет перпендикуляром к кривой.
Пример III
Если
XX = Ъу,
ТО
2хх = Ъу
ж
2х:Ь ::DA:Ai.
Таким же образом можно легко провести касательные ко всяким спиралям130).
восьмой спосов
ДЛЯ КВАДРАТРИС
Пусть природа кривой такова, что когда через центр А проведена какая-либо
прямая AGD (фиг. 16, табл. V), пересекающая дугу круга в G и кривую в Ό, то зависимость
между дугой BG и прямой DH, ординатой, проведенной к основанию или к абсциссе АН
под данным углом, определяется некоторым уравнением.

88
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Представь себе, что Ό продвинется по кривой на бесконечно малый
отрезок Od, дострой параллелограмм dhHh и продолжи Ad до с так, чтобы с А = ΑΌ.
Тогда Gg и Ok будут одновременно порожденными моментами дуги BG и
ординаты DH. Проведи затем прямую Bd до Т, где она встречает АВ и опусти оттуда
перпендикуляр TF на BcF. При этом получатся подобные трапеции ВЫс и DHTF
и, следовательно,
nB:Bc::BH:BF.
Если, далее, перпендикулярно к AG провести Gf, пересекающую AF в /,и
то (в силу параллельности BF и Gf)
Bc:Gg::BF:Gf;
следовательно, если сравнить эти пропорции,
Bk:Gg::BH:Gf,
то-есть как моменты или флюксии линий ВН и BG.
Поэтому по уравнению, выражающему зависимость между BG и ВН,.,
определи (согласно проблеме I) отношение флюксий, a Gf, касательную к кругу BG, возьми
к ВН в том же отношении. Затем проведи линию BF, параллельную Gf и
пересекающую продолженную прямую Af в F. В F восстанови перпендикуляр,
встречающий АВ в Г; прямая, соединяющая В с Т, касается квадратрисы.
Пример I
Обозначим BG = χ и ВН = у и пусть
XX = Ъу,
тогда (согласно проблеме I)
2хх = by,
откуда
2х:Ь::(у:х::) ВН : Gf.
По определении точки f остальное совершается, как показано выше.
Иногда, однако, это правило можно проще представить в таком виде.
Возьми х:у:: В А : AL,
тогда
AL:AD::AD:AT\
прямая, соединяющая В с Т, коснется кривой. Действительно, равновеликие
треугольники AFB и ΑΤΌ дают, что
AOXOF=ATXOH
я, значит,
ΑΤ:ΑΌ:: I OF мля ^-X Gf: Ш или JL Gf :ΛαΌ: (Χ- AG или J AL·,

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
89
Пример II
Если χ = у (это уравнение квадратрисы древних), то χ = у, поэтому
AB.AD:: ΑΌ.ΑΤ.
Пример III
Если
ахх = ys,
то
2ахх = Зууу.
Положи
3yt/: 2ах :: (ж: у :: )АВ: AL
и
AL:AD::AD:AT.
Таким образом можно быстро определять касательные ко веяким другим ква-
дратрисам, как бы они ни были сложны.
ДЕВЯТЫЙ СПОСОБ
Допустим, наконец (фиг. 17, табл. V), что ABF есть какая-либо заданная
кривая, которой касается прямая Bt, и что ΒΏ, часть прямой ВС (представляющей собой
ординату, проведенную под каким-нибудь углом к абсциссе АС)У заключенная между
данной и другой кривой DE, находится в некоторой выраженной уравнением
зависимости с частью кривой АВ.
Касательную DT к этой второй кривой можно провести, взяв на касательной
к первой кривой отрезок ТВ, который относится к BD, как флюксия кривой АВ'
к флюксии прямой BD.
Пример I
Обозначим АВ = х и BD==y, и пусть
ах = уу
и, значит,
ах = 2уу.
Тогда
а:2у::{у:х::) ΒΌιΒΤ.
Пример II
Пусть — х = у (уравнение трохоиды, если ABF круг). Тогда
4-x=ij и а:Ь::ВП: ВТ.
Так же легко можно проводить касательные и в том случае, когда выражена
каким-либо уравнением зависимость между BD ж АС или СВ, или же когда кривые
относятся каким-либо образом к прямым или к каким-либо другим кривым.
С помощью тех же принципов можно получить решение некоторых других
задач, вроде, например, следующих.

90
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
I
Найтгь на кривой точку, в которой касательная параллельна или
перпендикулярна ила наклонена под данным г/глом к абсциссе или какой-либо другой задан-
ной по положению прямой.
II
Найти точку, в которой касательная наиболее или наименее наклонена
к абсциссе или к какой-либо другой заданной по положению прямой, или, что то
же, найти границы противоположных изгибов. Пример такого исследования мы уже
дали для конхоиды 131\
III
Из точки, данной вне периметра кривой, провести прямую, которая с кривой
образует либо угол касангья, либо прямой, либо вообгце какой-либо данный угол,
т. е. из данной точки провести к кривой касательную, или перпендикуляр, или как
угодно наклоненную к ней прямую 1з2>.
IV
Из точки, данной внутри параболы, провести прямую, образующую с нею
наибольший или наименьший возможный угол. То же сделать для любых других кривых.
V
Провести прямую, касающуюся двух данных по положению кривых или одной
кривой в двух точках, когда это возможно.
VI
Провестгь при данных условиях кривую, касающуюся в данной точке другой
данной по положетью кривой.
VII
Определить преломление луча света, падающего на поверхность какой-
либо кривой.
Решение этих или других подобных им проблем не столь уж трудно, — если
не говорить об утомительности выкладок, — чтобы стоило здесь на них останавливаться,
и, полагаю я, геометры одобрят, что я только указал на них.
ПРОБЛЕМА V
Определить величину кривизны какой-либо данной кривой в данной точке
Существует мало проблем в учении о кривых, более изящных и более глубоко
вскрывающих их природу. Решению этой проблемы я должен предпослать
следующие общие соображения:
I
•Всякий данный круг имеет везде одинаковую кривизну, а в различных кругах она
обратно пропорциональна диаметрам. Если диаметр одного круга есть половина диаметра
другого, то кривизна первого вдвое больше кривизны второго. Если диаметр пер.вого
есть треть диаметра второго, то кривизна первого втрое больше кривизны второго и т. д.
II
Если круг касается кривой в ее вогнутой части в данной точке и величина
-его такова, что внутри угла их касания нельзя вписать ни одного другого касаю-

МЕТОД ФЛЮКСИИ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
91
щегося круга, то этот круг имеет ту же кривизну, что и кривая в точке касания.
Действительно, круг, который бы проходил между кривой и другим кругом через точку
касания, отличался бы от кривой менее, чем этот другой круг, и более, чем он, подходил
бы по кривизне к этой кривой. Следовательно, ближайшим по кривизне из всех
кругов будет тот, между которым и кривой нельзя вписать ни одного другого круга.
Ш
Поэтому центр кривизны кривой в любой точке есть центр круга, имеющего
равную ей кривизну; вместе с тем радиус или полудиаметр кривизны — это часть
нормали к кривой, заключенная между кривой и этим центром 13Ш.
IV
Отношение кривизны в различных точках определяется по отношению кривизны
кругов, искривленных в этих точках одинаково с кривой, или по обратному отношению
радиусов кривизны.
Таким образом задача сводится к определению радиуса или центра кривизны.
Для этого представь себе, что (фиг. 18, табл. V) в трех точках кривой δ, D, d
проведены нормали, причем те, которые проведены в δ и D, сходятся в точке Н, а те,
которые проведены в D и d, — в h. Точка D пусть находится между δ и d. Если
кривизна на участке Db больше, чем на участке Dd, то DH будет меньше dh.
Но чем более нормали оЫ и dh приближаются к средней нормали DH, тем меньше
становится расстояние между точками Huh. Наконец, когда эти нормали сольются,
то совпадут и эти точки. Допустим, что совпадение произойдет в точке С, тогда она и
будет центром кривизны кривой в точке D, в которой остановятся нормали. Это
очевидно само собой 134).
Эта точка С обладает рядом признаков, или свойств, которые не бесполезны
для ее определения.
I
В ней сходятся нормали, проведенные с обеих сторон от DC и бесконечно
мало отстоящие от нее.
II
Эта точка разделяет и отделяет пересечения нормалей, находящихся с обеих
сторон- на конечном и как угодно малом расстоянии, причем те, которые находятся
на более искривленной части кривой DS, сходятся ближе в точке ff, а те, которые
находятся на менее искривленной части Dd, сходятся далее в точке 1ι.
Ill
Если представить себе, что DC движется, оставаясь всегда нормальной
к кривой, то ее точка С (если исключить движение, благодаря которому она
приближается к точке стояния или удаляется от нее) передвигается менее других и
представляет собой как бы центр движения.
IV
Если описать из центра С радиусом CD круг, то через точку касания нельзя
провести ни один другой круг, лежащий между ним и кривой.

92
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
V
Наконец, если центр Η или А другого соприкасающегося круга постепенно
подходит к центру С данного круга, пока под конец с ним не совпадет, то всякая;
точка, в которой этот первый круг пересекает кривую, совпадет с точкой касания В.
Каждое из этих свойств может дать особый способ решения проблемы; но мы
выберем из них первое, как простейшее.
Допустим, что в некоторой точке В кривой (фиг. 19, табл. V) проведены
касательная ВТ и нормаль ВС. Пусть, как и раньше, С есть центр кривизны. Кроме того,
пусть АВ есть абсцисса, к которой ВВ прилагается под прямым углом и
которую DG пересекает в Р. Лроведи DG параллельно АВ, GC—перпендикулярно
к ней, на GC отложи отрезок Сд какой-либо данной величины и проведи к
последнему перпендикуляр дЪ, который пересечет CD в δ. Тогда 136)
Сд:дЪ:: (ВТ: BD):: флюксия абсциссы к флюксии ординаты.
Представив себе далее, что точка В бесконечно мало передвинулась по кривой
до d, проведи de перпендикулярно к BG, а также нормаль к кривой Cd, пересекающую
BG в F и до в /'.
Тогда Be будет моментом абсциссы, de — моментом ординаты, а δ/ —
одновременно порождаемым моментом прямой дЪ. Далее
DF = De + dl>^mi
1 Be
Таким образом, найдя отношение этих моментов или (что то же) флюксий,,
порождающих эти моменты, ты вместе с тем получишь отношение CG к данной,
линии Сд (которое то же, что и отношение BF к δ/) и отсюда определишь точку С.
Поэтому, если
АВ = х, ВВ = у, Сд=1, gl = 3,
то
lis:: χ: у,
или
1С
Далее, пусть of, момент s, есть о Χ ζ (т. е. произведение из скорости на
бесконечно малую величину о), тогда моменты
Be = о X #, de = о X у.
Следовательно,
DP = U + AL.
х
Поэтому
Сд (1) : CG :: (of: BF :: ) ог: ох + -^- ,
χ
т. е.
CG=**±yy .
XZ

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
93
Так как флюксии абсциссы х, к которой как к равномерной флюксии могут
быть отнесены остальные, можно приписать любую скорость, то положи
х = 1.
Тогда
следовательно,
y==z и CG = i-b
GZ) = l+i3
137) 138)
Ζ
Поэтому, если для определения кривой дано уравнение, содержащее
зависимость между DB и ВА> ты сперва найди отношение между χ я у согласно
проблеме I и вместе с тем поставь 1 вместо χ и ζ вместо у. Затем из получившегося
при этом уравнения выведи согласно той же проблеме I отношение между х, у и ζ
ж вместе с тем подставь, как раньше, 1 вместо χ и ζ вместо у. При этом первое
действие дает выражение для ζ, а второе для ζ.
Найдя их, продолжи BD до Η в направлении вогнутой части кривой, так
чтобы DH= ~\ , и параллельно АВ проведи КС, которая пересечет нормаль CD
ζ
в С; С и будет центр кривизны кривой в точке 2>.
РТ
Или, так как l-\-zz= -г—, то возьми
В1
ΡΊ
ВН= .
zXBT
или
ЯР3
DC=t-
zXDB*
Пример I
Допустим, что дано уравнение
ах -j- Ъхх — г/г/ == О
(принадлежащее гиперболе с продольной стороной а и поперечной стороной
Мы будем, иметь (согласно проблеме I)
а -\- 2Ъх — 2zy = О,
(полагая в получившемся уравнении ах-\-2Ьхх — 2уу = 0, 1 вместо χ я ζ вместо у),
а отсюда в свою очередь найдем
2Ъ — 2zz — 2yz = О
•(причем снова вместо χ ж у пишутся 1 и ζ).
ь г

94
МЕТОЙ ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Из первого уравнения ты найдешь, что
а -f- 2Ь.г
3 =
2у
а из второго, что
У
Поэтому если на кривой дана какая-либо точка В и, значит, даны χ и у, то опреде-
лятся также з и з, зная которые, ты отложишь CG или ВН ——·— и проведешь НС.
з
Если взять числовые значения а=3 и 6 = 1, так что выражающее природу
гиперболы уравнение будет
' " Зх-{-хх = уу,
5 · 9 1
и если принять х = 1, то у = 2, £ = —-,£= — — и ВН — — 9 — .
4 62 9
Найдя точку Я, восстанови перпендикуляр 7ГС, который пересечет раньше
построенную нормаль CD, или (что то же) возьми
ВН:НС::(1:з::) 1: -J,
тогда прямая, соединяющая С л В, будет радиусом кривизны.
Если ты рассчитываешь, что вычисления не будут слишком сложны, то
1 А-33 ^~ · . _
в—L.—, значение С'Сг, можно подставить вместо з и г их общие выражения. Так,
з
в настоящем примере ты после должного приведения получишь:
РН=у + ^ + ^-.
J ' аа
Однако, как это видно из числового примера, вычисления дают для ВН
отрицательное значение. Это обстоятельство указывает только на то, что ВН следует
провести по направлению к Б. Если бы значение ВН было положительным, то
прямую эту следовало бы провести в обратном направлении.
Королларий I
Если изменить здесь знак при -f- Ъ, так что получится ах — Ъхх — уу = О
(уравнение эллипса), то
т^тг 4/у3— 4&г/3
аа ' J
Королларий II
Если 6 = 0, то уравнение превратится в ах — уу~0 (уравнение параболы);
тогда
4у3
DH = y-
аа
DG = -Ι α -j- 2х.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
95·
Королларий Ш
Из этих выражений легко можно вывести, что радиус кривизны любого
конического сечения всегда есть
аа
Пример II
Допустим, что хг = ауу— хуу (уравнение циссоиды Диоклеса) ш); согласно
проблеме I сперва получится
3 хх = 2azy — 2xzy — уу9
а затем
6х = 2ayz + 2azz — 2zy—2xyz — 2xzz — 2zy,
так что
Зхх -f- уу
2ау — 2ху
• Зх — azz -f- xzz -\- 2zy
"~ Щ — Щ
Поэтому, если на циссоиде задана какая-либо точка и значит даны χ и у, то будут
даны также ζ и ζ. Зная эти величины, отложи CG = —-.—.
Пример III
Если Ь-\-уУ^Усс — уу — ху (мы уже видели на стр. 77, что это уравнение
конхоиды), то положи Υ ее—у у —и; тогда Ъи-±-пу = ху. Первое из этих уравнений
(именно ее — уу = ии) дает (согласно проблеме I), что
— 2уу = 2ии = — 2уг
(если написать ζ вместо у), другое же, что
Ъи -f- уи -\- zu = у -р xz.
Эти уравнения, при подходящем расположении, определяют и и ζ. Для
определения же ζ следует исключить из последнего уравнения флюксию и, подставив
υζ
вместо нее — — , причем получится
buz yyz ,
* ^— -f uz = y-Uxz,
т. е. уравнение, содержащее одни текущие величины и свободное от флюксий, как это
полагается при решении первой проблемы. Поэтому ты найдешь отсюда (согласно
проблеме 1), что
bzz by ζ . by ггь 2yzz η у ζ . yy su · . Λ ,
2- + — ^- 4- — h us 4- z\b = 2ζ4- xz.
и U ' ии и It ' Ull ' '
Это уравнение после приведения и расположения по порядку даст s. А зная з и ?,
ты возьмешь GC-—4-^-.

m
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Если ты разделишь последнее уравнение только на ζ, то (согласно проблеме I)
получишь для определения ζ более простое, чем найденное уравнение
bz Ъуи 2уг ууи ^ = 2 yz ^
и * ть и * ии ' zz
Я привел этот пример для того, чтобы ты мог видеть, как следует выполнять дей*
ствие, когда даны уравнения, содержащие иррациональные выражения. Но кривизну
конхоиды можно найти и более простым способом. Части уравнения
Ь + уХ Ую—уу = ху
по возведении в квадрат и делении на уу дают
ЪЬсс . 2Ъсс-\-сс
\ ■ /,—2Ьг/ —ни — хх;
уу у —ЬЬ υ JV
поэтому, согласно проблеме I,
2bbccz 2bccz Λ7
. 2bz—2yz=-2x,
У* УУ
яш bbcc Ьсс . χ
У* УУ ζ
Отсюда, опять-таки согласно проблеме I,
Sbbccz , 2bccz 1 xz
■ζ — -
у1 Уъ ζ ζζ '
С помощью первого уравнения определяется #, с помощью второго з.
Пример IV
Допустим (фиг. 20, табл. VI), что ADF есть трохоида (или циклоида),
соответствующая кругу ALE, диаметр которого АЕ. Предполагая, что ордината BD встречает
круг вХ,обозначь АЕ = а, АВ = xf BL = и, BD = у> дугу AL = t, а флюксию этой дуги
через t. Далее, прежде всего (если провести радиус PL) флюксия основания или
абсциссы АВ будет в том же отношении к флюксии дуги AL, как BL $ LP, то-есть
χ или 1: i:: и·: — а, и потому — = i. Затем в соответствии с природой круга
и поэтому, согласно проблеме I,
или
ах — хх = ии
а — 2х = 2ии
а — 2х
2и
= и.
Кроме того, в соответствии с природой трохоиды, LD равно дуге LA, то-есть
u-\-t — y, откуда (согласно проблеме I)
u-\-t = z.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
97
Написав вместо флюксий t и и их значения, ты получишь
а — χ
и '
и отсюда, согласно проблеме I, выведешь, что
аи . хи 1
= £.
ии ' ии и
1 \ Ζ Ζ
Найдя это, отложи —*ЛН——-ζ-— и проведи перпендикуляр НС.
ζ
Королларий I
Отсюда следует, что DH=2BL и НС = 2ВЕ, то-есть что EF рассекает
в точке N радиус кривизны CD пополам. Это станет очевидным, если подставить
*» · 1 —I— В'Z -~ тт.
только что наиденные значения ζ и ζ в уравнение ! = DH, и над результатом
ζ
произвести надлежащее приведение.
Королларий II
Вследствие этого кривая FCK, неограниченно описываемая центром кривизны
линии ADF, представляет собой другую, равную ей трохоиду. Вершины ее I и F
примыкают к остриям первой. Допустим, что Fk есть круг, равный кругу ALE и
расположенный подобно ему, и что CJ3 прямая, параллельная EF, встречает круг в λ.
Тогда дуга Fk равна (дуге EL, равной прямой FN, которая равна) Ск.
Королларий Ш
Прямая CD, которая нормальна к трохоиде IAF, касается трохоиды IKF
в точке С.
Королларий IV
Отсюда выводится следующее. Допустим в случае обращенных трохоид, что
к острию верхней трохоиды Ε привешен на нити груз на расстоянии КА или 2ЕА,
и предположим, что нить (при колебании груза) прилегает к частям трохоиды FK
и ΚΙ, которые с обеих сторон препятствуют нитке вытянуться по прямой и
заставляют ее (лишь только она отойдет от нормали) постепенно загибаться и принимать
сверху форму трохоиды, между тем как ее нижняя часть CD, расположенная ниже
последней точки касания, будет всегда оставаться прямой. Тогда этот груз будет
двигаться пр периферии нижней трохоиды, ибо нить CD всегда остается к ней
перпендикулярной.
Королларий V
Вследствие этого вся длина нити КА равна периметру трохоиды KCF, а часть
ее CD равна части GF этого периметра.
Королларий VI
Так' как колеблющаяся нить движется вокруг движущейся точки С, как вокруг
центра, то поверхность, которую непрерывно пробегает вся линия CD, относится
к поверхности, которую проходит за то же время часть CN, расположенная над
7 Ньютон.

98
МЕТОД ФЛШОИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
прямой IF, как CD2 к CN2, т. е. как 4 к 1. Поэтому площадь CFN есть четверть
площади CFD, а площадь KCNE — четверть площади AKCD.
Королларий VII
Далее, так как хорда EL равна и параллельна CN и вращается вокруг
неподвижного центра Е, между тем как CN вращается вокруг подвижного центра G,.
то описываемые ими одновременно поверхности будут равны, т. е. площадь CFN будет
равна сегменту круга EL. Вследствие этого площадь NFD окажется равной трем
таким сегментам, а вся площадь EA.DF будет втрое больше полукруга.
Королларий VIII
Когда груз D придет в точку is то вся нить навернется на периметр
трохоиды KCF, а радиус кривизны обратится в нуль. Поэтому трохоида IAF
более искривлена в острие F, чем какой-бы то ни было круг, и образует с
продолженной касательной F$ угол касания бесконечно больший, чем тот, который может
образовать с прямой линией какой бы то ни было круг 141>.
Однако существуют углы касания, бесконечно большие, чем любые углы,
образуемые трохоидой, а также другие углы, еще бесконечно большие, и так далее до
бесконечности; и все же даже самые большие из них бесконечно меньше, чем
прямолинейный угол. Так, уравнения хх = ау, х* = Ъуу, х* = су*, #5 = d?/4 и т. д.
определяют собой последовательность кривых, из которых каждая следующая образует
с абсциссой угол касания бесконечно больший, чем те, которые могут образовать*
с той же абсциссой все предыдущие кривые. Углы касания, образуемые первой
кривой, определяемой уравнением хх = ау, того же рода, что круговые; те углы,,
которые образует вторая кривая хд = Ъуу, того же рода, что трохоидные, и хотя
углы последующих кривых всякий раз бесконечно превосходят углы предыдущих, все
же они никогда не могут) достигнуть величины прямолинейного угла.
Таким же образом уравнения х = у, хх — ау, х3 = ЪЪу, х* = сду и т. д.
обозначают ряд линий, из которых последующие образуют у своих вершин с абсциссами
углы бесконечно меньшие, чем те, которые образуют предыдущие. Кроме того, между
углами касания, которые образуются какими-либо двумя из этих родов кривых, можно
найти еще бесконечное число других углов касания, из которых одни бесконечно
больше других. ^
Теперь таким образом ясно, что углы касания одного рода бесконечно больше,,
чем углы какого-либо другого рода, так как кривая одного рода, как бы велика она
ни была, не может пройти через точку касания между касательной и кривой другого
рода, как бы мала ни была эта последняя. Или же угол касания одного рода по
необходимости не может содержать в себе угол касания другого, как целое содержит
в себе часть. Например, угол касания кривой х* = суъ или угол, который она образует
с ее абсциссой, по необходимости заключает в себе угол касания кривой хг = Ъуу и
никогда не может в нем содержаться. Ибо углы, которые могут взаимно превосходить
друг друга, суть того же рода, как это происходит с упомянутыми углами трохоиды.
и кривой, природа которой выражается уравнением хъ = Ъуу.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Отсюда ясно, что в некоторых точках кривые могут быть бесконечно более
выпрямленными или более искривленными, чем любой круг, хотя и не теряют от того
формы кривых Ы2\ Впрочем, об этом я упоминаю лишь мимоходом.
Пример V
Допустим Сфиг. 21, табл. VI), что ED есть квадратриса круга, описанного
из центра А. Опустив перпендикуляр DB на АЕ, положи АВ — х, BD = y, АЕ = 1.
Тогда, как и раньше,
ху — ууу — хху = ух.
Напиши 1 вместо χ и ζ вместо у; уравнение тогда превращается в
xz — yyz — xxz = у,
а отсюда согласно проблеме I ты получишь
zx -j- xz — yyz — 2zyy — xxz — 2zxx = y.
Отсюда же, произведя приведение и снова заменив χ через 1 и у через ζ, ты
найдешь, что
• 2zzy -|- 2zx
X — хх — у у
• 1 1 £я
Найдя таким образом ζ и ζ, положи —ζ— = DH и проведи НС, как и выше.
ζ
Если ты хочешь теперь получить построение, соответствующее этой проблеме
то найдешь его крайне просто. Проведи перпендикулярно к DT линию DP,
пересекающую А Τ в точке Р, и возьми затем
2АР:АЕ::РТ:'СН.
Действительно
·-( * -)-т£
\ χ — хх — уу } JS1
и
■azij-\-x = — APii , умноженное на zy-\-x= „,, умноженному
ОС —~"— OCX ■—"~- У У ^XJ2j /\ Jjj. i£
на —ΑΡ = ζ ι*»).
Кроме того
и потому
Наконец,
, , ,,. РТ (-Л ι ВРд_РТд\
ί-Τ-— ВТ\~ ~Т~ BTq — BTq )
β — 2BD X АР
ВТ:ВВ::ВН:НС= P^*ff .

100 МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Отрицательное значение указывает здесь лишь на то, что СН следует брать
с той же стороны от DH, что АВ.
Таким же образом можно с помощью весьма кратких выкладок определять
кривизну спиралей и каких-либо других кривых.
Этот метод может быть приспособлен к определению кривизны без
предварительного приведения и тогда, когда кривые отнесены к прямым каким-либо другим
образом (подобно тому, как мы поступали при проведении касательных). Но так как
все как геометрические, так и механические кривые (в особенности, если, как мы
покажем ниже, определяющие их условия выражены через бесконечные уравнения)
могут быть отнесены к перпендикулярным ординатам, то я думаю, что об этом вопросе
сказано уже достаточно.
Всякий, кто пожелает большего, сможет самостоятельно восполнить сказанное,
особенно после того, как я, для лучшего пояснения этого предмета, присоединю еще
метод, относящийся к спиралям.
Допустим (фиг. 22, табл. VI), что ВК есть круг, А — его центр, В— данная
точка на его окружности. Пусть ADd есть какая-нибудь спираль, DC—нормаль
к ней, а С пусть будет центром кривизны в точке D. Проведи прямую ADK,
параллельную и равную ей CG и наверху восстанови перпендикуляр GF,
пересекающий CD в F. Положи А В или AK=l = CG, ВК = х, AD = y и GF=z.
Представь себе теперь, что точка D продвинулась по спирали на бесконечно
малый отрезок Dd, через d проведи радиус Ak, а через С прямую Сд, равную
и параллельную радиусу Ah; проведи также gf перпендикулярно к дС. Прямая,
соединяющая Cud, пересекает gf в f и GF в Р. Продолжи GF до φ так, чтобы
Gy = gf, и проведи de перпендикулярно к АК и продолжи ее до пересечения с CD в L
Одновременно порожденными моментами ВК, AD и Go тогда будут Klc, De, Fv, которые
я поэтому обозначу через ох, оу и oz.
Далее,
АК: Ае (AD):: KJc: de = оу,
причем я беру, как раньше, х=1.
Равным образом
CG:GF::de:eD = oyz
л поэтому
yz = y 1и\
Далее,
GF: CF:: de: dD = oyX CF:: Dd: dI=oyX CFq.
Кроме того, так как угол РСср (равный углу GCg) равен углу DAd, а угол СРо
(равный углу Cdl, т. е. равный сумме углов edD и прямого), ра£ен углу ADd, то
треугольники СРо и ADd подобны, вследствие чего
AD:Dd:: CP(CF):Pv = o χ CFq.
Если отсюда отнять Fo, то останется
FP=oXCFq — oXz.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
101
Наконец, опустив перпендикуляр СН на АВ, имеем:
FP:dI::CG:eH или НВ = У Х CFq. .
CFq — z
Подставляя l-\-zz вместо CFq, ты найдешь, что
Ш= У + У™ щ 145).
\-\- ZZ — ζ -
Здесь следует заметить, что в такого рода вычислениях я принимаю равными
величины, отношение которых (как, например, АВ и Ае) лишь бесконечно мало
отличается от отношения равенства.
Отсюда вытекает следующее правило. Если ты имеешь уравнение, выражающее
зависимость между χ и у, то отыщи (согласно проблеме I) зависимость между
флюксиями χ и у и положи 1 вместо χ ж yz вместо у. Затем из найденного таким образом
уравнения снова найди (согласно проблеме I) зависимость между х, у и ζ, причем
вместо χ опять напиши 1. Первый результат даст после надлежащего приведения у
и ζ, а второй £г. Зная их, восьми
1 -f- ζ ζ — ζ
и проведи перпендикуляр НС, встречающий ВС, нормаль, предварительно построенную
к спирали, в точке С. Точка С будет центром кривизны. Или же (что сводится
к тому же) возьми CH:HB::z:l и проведи CD.
Пример I
Допустим, что дано уравнение ax—ty (соответствующее архимедовой спирали).
Тогда (согласно проблеме I) ах = у или (ставя 1 вместо х, а у ζ вместо у) a = yz.
Отсюда в свою очередь (согласно проблеме I) получается 0 = ^г/ + ук Поэтому, если
на спирали задана какая-либо точка D и вместе с тем дана длина прямой AD
* а ' I zy \ az „
или у, то будут даны и z= — и z=\ ~ или . Зная их, возьми
У \ У I у
\-\-zz — z:l~\- zz::AD(y):DH
и
l:z::DH:HC.
Отсюда непосредственно вытекает следующее построение. Проведи АВ до Q
так, чтобы А В относилось к дуге ВК, как дуга ВК к BQ, и возьми
AB + AQ:AQ::AB:DH::a:HC^\
Пример II
Если бы уравнение, определяющее отношение, существующее между ВК и АВ,
было ахх = у*, то (согласно проблеме I) ты получил бы, что
2 ахх = Syyy, или 2ах = 3yBz,

102
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
а отсюда в свою очередь
Таким образом
ζ
Определив эти величины, возьми
IJ^gg — s: l-\-&z::AD:DH.
Или же, приводя действие к лучшему виду, возьми
Пример III
Точно так же, если бы зависимость между ВК и AD определялась уравнением
ахх — Ъху = уг,
ты нашел бы
2ах — Ъу 2а— 2bzy— bzzxy— 9zzys ·
Ъху -f- 3ί/3 Ъху -f- Зу3
Отсюда определяются, как выше, DH и затем точка С.
Таким же образом легко определяется кривизна любых других спиралей или же
по образцу тех правил, которые мы привели до сих пор, находятся правила для
любых других родов кривых.
Теперь мы покончили с этой проблемой. Но так как мы употребили здесь метод,
довольно отличный от обычных методов, и так как сама проблема принадлежит к числу
тех, с которыми геометры встречаются не очень часто, то я считаю не лишним
привести для пояснения и подтверждения данного решения образец другого приема,
который более прост и менее отличен от обычного метода проведения касательных.
Вообразим себе круг (фиг. 23, табл. VI), описанный из некоторого центра
каким-либо радиусом так, что он пересекает кривую в нескольких точках. Если
представить себе, что этот круг стягивается или расширяется до тех пор, пока две точки
пересечения не совпадут в одну, то он коснется кривой в этой точке. ЕсЛи мы
предположим далее, что его центр будет приближаться к точке касания или удаляться
от нее до тех пор, пока третья точка пересечения не совпадет с первыми в точке
касания, то получившийся круг будет искривлен так же, как кривая в этой точке
касания. Я это отметил уже в последнем из пяти вышеприведенных свойств центра
кривизны, каждое из которых, как я утверждал, открывает путь к своеобразному
способу решения проблемы.
В соответствии с этим (фиг. 23) из центра С радиусом CD опишем круг,
пересекающий кривую в точках d, D и δ, и на абсциссу АВ опустим перпендикуляры db,
DB, δβ и CF. Положи АВ = х, BD = y, AF=u, FC = t и CD = s. Тогда BF=u — x
и BD -j- FC = у -f-1. Сумма их квадратов равна квадрату DC, т. е.
ии — 2их -\-xx-\-yy-\~ 2ty -j- tt = ss.
2ах = Зу% + Уяууу-
2 ах
~W
И 2 =
2а — 9zz уъ

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
103
Для сокращения этого выражения положи
uu-\-tt — ss = qq
{знак q я беру произвольно); тогда вышеприведенное уравнение будет
хх — "lux -\-yy-\- Щ -|- qq = 0.
После определения t, и и qq ты получишь, что
s = y uu-\-tt — qq.
Допустим теперь, что дано какое-либо уравнение, определяющее кривую, у кото·
рой требуется найти кривизну. С помощью этого уравнения ты сможешь по своему
выбору исключить одну из величин χ и у, причем получится уравнение, корни
которого {db, Db, Щ и т. д., если исключить х, и АЪ, АВ, А$ и т. д., если исключить у)
соответствуют точкам пересечения, d, D, Ь, и т. д. Когда три корня становятся равными, круг
касается кривой и кроме того имеет ту же степень кривизны, что и кривая в точке
касания. Как показал Декарт, три корня можно сделать равными, сравнивая это
уравнение с некоторым другим, имеющим ту же степень и три одинаковых корня.
Но это можно сделать быстрее, если дважды помножить его члены на некоторую
арифметическую прогрессию.
Пример IV
Допустим, что дано уравнение ах = уу (соответствующее параболе). Исключив χ
/т. е. положив в вышеприведенном уравнении вместо χ его выражение — ), ты
получишь другое, написанное здесь ниже уравнение, три корня которого у следует сделать
равными. Для выполнения этого я дважды умножаю его члены на какую-либо
арифметическую прогрессию, как ты это видишь здесь:
(ЛИ (Л/
+ УУ
4 * 2 10
3 * 1 0—1.
Отсюда я вывожу, что
*УУ ι 1 „
' Ну
или
а
откуда легко получается, что BF= 2х-\-— а, как и раньше.
Таким образом, если на параболе дана какая-либо точка D, то проведи
к кривой нормаль DP, возьми на оси PF=2AB и восстанови к AF
перпендикуляр FC; FC встретит DP в С, и точка С будет искомым центром кривизны.
Точно так же можно поступить для эллипса и гиперболы, но только выкладки
будут довольно сложными и для других кривых они вообще очень утомительны.

104 МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
О вопросах, имеющих некоторое родство с предыдущей проблемой
Из решения предыдущей проблемы можно извлечь решение некоторых других,,
как например:
I
Найти точку, в которой кривая имеет данную степень кривизны.
Допустим, например, что требуется найти на параболе ах = уу точку, в которой
радиус кривизны будет данной длины f. Найдя, как выше, центр кривизны, ты опре-
а 1 А-х /-
делишь радиус, который ты найдешь равным —£- у^уаа-^-Аах. Но он должен
Δα
быть равен f; поэтому после приведения получится, что
π
Найти точку прямизны.
Ά называю точкой прямизны ту точку, в которой радиус кривизны бесконечен,
или для которой центр кривизны находится на бесконечном расстоянии, как это имеег
место в вершине параболы адх = у4. Эта точка по большей части является границей,
противоположных изгибов, способ определения которой мы уже изложили выше. Другой,
способ ее определения, довольно изящный, можно вывести на основе настоящей
проблемы.
Именно, чем больше радиус кривизны (фиг. 19, табл. V), тем меньше угол BCd и
вместе с тем момент δ/; вместе с ним уменьшается флюксия величины ζ, а когда радиус
будет бесконечен, она совершенно исчезает. Поэтому найди флюксию ζ и положи ее
равной нулю и1К
Допустим, что ты хочешь найти границу противоположных изгибов в* парабола
второго рода, с помощью которой Декарт строит уравнения шестой степени. Уравнение*
этой кривой есть
хъ — Ъхх — cdx + bed -j- dxy = 0.
Отсюда (согласно проблеме I) получается, что
• · · · ·
Зххх — 2Ьхх — cdx -f- dyx -}- dxy = 0.
Это уравнение (после замены χ через 1, у через ζ) обращается в
Ъхх — 2Ъх — cd-\-dy-\- dxz = О,
ткуда в свою очередь (согласно проблеме I) получается
бхх — 2Ъх + dy -j- dzx -j- dxz = 0.
Полагая здесь снова 1 вместо χ и ζ вместо у и 0 вместо ζ, ты будешь иметь
6# — 2b-\-2dz = 0.
Поставь в уравнение
Ъхх — 2Ьх — cd~\-dy-\- dxz = О

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
105-
вместо dz его значение Ъ — Ъху и ты найдешь, что
— Ъх— cd + dy = 0
или ,
, ох
Если подставить это значение вместо у в уравнение кривой, то получится
nfl + bcd*=0,
откуда и определяется граница противоположных изгибов.
Таким же образом можно определять точки прямизны и в том случае, когда,
они не находятся между противоположно изогнутыми частями кривой. Допустим, что»
природа кривой выражается уравнением
#4 — 4ах3 -f- баахх — Ъву = 0.
Отсюда (согласно проблеме I) ты получишь, что
4#3 — 12ахх-\- 12аах -*- Ь% ■= О,
а отсюда в свою .очередь
12##— 24α#+12αα— Ъ*е = 0.
Теперь я полагаю z = 0 и посредством приведения вывожу, что х = а. Отложив;
поэтому АВ = а (фиг. 24, табл. VI), я восстанавливаю перпендикуляр BD, который
встречает кривую в точке прямизны D, что и требовалось.
ΙΠ
Найти точку бесконечной кривизны.
Найди радиус кривизны и положи его равным нулю. Так, у параболы второго*
рода, уравнение которой afl = ayy, радиус есть
CD = *а + 9х χ у4ах + 9хх,
Ьа
что и обращается в нуль, когда х — 0.
IV
Определить точку наибольшей или наименьшей кривизны.
В этих точках радиус кривизны становится наибольшим или наименьшим..
Поэтому центр кривизны в этот момент времени не приближается и не удаляется от
точки касания, но остается совершенно неподвижно на месте.
Поэтому (фиг. 25, табл. VI) найди флюксию радиуса CD или, что короче, одной
из линий ВН и АК и положи ее равной нулю 148).
Допустим, например, что соответствующая задача относится к параболе второго
рода xs = аау. Прежде всего определи центр кривизны. При этом ты найдешь, что*
Ώττ аа-\-9ху
~ 6х
и поэтому , Λ„
тэтг aa-4-lbxy

106
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Положи ВН — и, так что ——\~ — у — Щ тогда (согласно проблеме I)
ΌΧ δ
аах , 5 ·
Теперь положи и или флюксию ВН равной нулю и затем (ввиду того что, по
предположению хъ = аау и, значит, согласно проблеме I, Ъххх = аау = Зхх, если положить
• · Зхх
χ = 1) вместо у подставь ; ты получишь тогда, что 45#4 = а4. Поэтому отложи
(л (л
ΑΒ = α]/ΓΊ5=α
1_
Х45 4;
восстановленный в В перпендикуляр BD встретит кривую в точке с наибольшей
кривизной. Или, что то же, возьми
AB:BD::SVb:l.
Точно так же можно найти, что (фиг. 26, табл. VI) гипербола второго рода,
представляемая уравнением хуу = аь, наиболее изогнута в точках D и d, которые ты
определишь, взяв абсциссу AQ=1, восстановив перпендикуляр QP=y ь и, с другой
стороны, равный ему перпендикуляр Qp и, наконец, проведя АР и Ар. Построенные
таким образом прямые пересекут кривую в искомых точках Dud.
V
Определить геометрическое место центров кривизны или описать кривую, на
которой всегда находится этот центр.
Выше мы доказали, что центр кривизны трохоиды всегда находится на другой
трохоиде. Точно так же центр кривизны параболы находится на другой параболе, но
только второго рода, определяемой уравнением ахх = уг, что тебе легко покажет
вычисление.
VI
При падении света на пакую-либо кривую найти фокусы кривой или точку
схода лучей, преломленных всеми ее точками.
Найди кривизну кривой в данной точке и опиши круг с центром и радиусом
кривизны. Затем найди точку схода лучей, преломленных этим кругом около этой
точки. В этой же точке сойдутся лучи, преломленные данной кривой.
Можно еще присоединить особый метод определения кривизны в вершинах
кривых, в которых они пересекают абсциссы под прямыми углами. Именно, точка, в
которой нормаль к кривой пересекает в конце концов абсциссу, есть ее центр кривизны.
Поэтому если дана зависимость между абсциссой χ и ординатой у, образующими между
собой прямой угол, а вместе с тем (согласно проблеме I) зависимость между флюксиями χ
и у, то значение уу, после того как ты в нем положишь 1 вместо χ и 0 вместо у,
даст радиус кривизны ш).
Так, для эллипса
а
ах — хх = уу

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
107
имеет место
ах а
Txx = tjy,
и это значение уу (если положить у = 0 и, следовательно, х = Ъ) по подстановке 1
1
вместо χ даст для радиуса кривизны значение — а. Таким же образом ты найдешь,
что радиус кривизны в вершинах гиперболы и параболы всегда равен поперечной
стороне.
Аналогично, в конхоиде, определяемой уравнением
ЪЪсс , 2Ъсс +сс "
,, —2ох — хх = г/и
хх ι χ —ЪЪ ϋυ
значение уу (найденное согласно проблеме I) будет
ЪЪсс Ъсс
XX
Ъ — х.
Положив в нем j/ = 0· и поэтому х = -\-с или —с, ты получишь для радиуса кри-
ЪЪ о* ЪЪ оь ,
яизны 2& — с или 2& + с.
с с '
Возьми поэтому (фиг. 6, табл. III)
AE:EG::EG:EC
и
Ae:eG::eG: ее;-
точки С ж с будут центрами кривизны в вершинах Еже сопряженных конхоид.
ПРОБЛЕМА YI
Определить качество кривизны в данной точке какой-либо кривой.
Под качеством кривизны я разумею ее форму, а именно ее большую или
меньшую неравномерность, или большее или меньшее различие в различных частях кривой·
Так, если спросить: каково качество кривизны у окружности, то я отвечу, что она
равномерна или неизменна. Равным образом, если спросят о качестве кривизны
спирали, которая (фиг. 22, табл. VI) описывается точкой D, ускоренно движущейся
по AD исходя из А, в то время как АК равномерно вращается вокруг центра А,
причем скорость точки D возрастает так, что прямая АЛ относится к дуге ВК,
описанной из данной точки Д как число к своему логарифму, если, говорю я,
спросят о качестве кривизны такой спирали, то следует ответить, что она равномерно
изменчива или равномерно неравномерна. Про другие кривые можно также сказать, что
они в различных точках неравномерно неравномерны в соответствии с изменчивостью их
кривизны.
Таким образом ставится вопрос о неравномерности или изменчивости кривизны
в отдельных точках кривой. Относительно этого я замечу:
I
Что там, где кривые подобны, они имеют в подобно расположенных точках
подобную неравномерность или изменчивость кривизны.

108
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Π
Что моменты радиусов кривизны в этих точках пропорциональны одновременна
порожденным моментам кривых, а флюксии пропорциональны флюксиям.
ΙΙΓ
Что поэтому там, где флюксии не пропорциональны, там нет подобия в неравно-
мерности кривизны.
Неравномерность тем больше, чем больше отношение флюксии радиуса
кривизны к флюксии кривой. Поэтому это отношение флюксий можно с достаточным
основанием считать показателем неравномерности, или изменчивости кривизны.
Проведем (фиг. 19, табл. V) в бесконечно близких точках Dud кривой ADd
радиусы кривизны DC и dc; если Dd будет моментом кривой, то Сс будет одновременно
Сс
порожденным моментом радиуса кривизны, а -угг показателем неравномерности
кривизны. Действительно, можно сказать, что эта неравномерность тем больше, чем
Сс
больше величина отношения -утт* или же что она тем больше отличается от рав-
номерной кривизны круга.
Опустив перпендикулярные ординаты DB и db на прямую АВ, пересекающую
DC в Р, положи АВ = х, BD = у, DP = t, DC = и, тогда ВЪ = ох и Сс = огь и
BD:DP::Bb:Dd = ~— т
У
и
С с у и yut
Dd tx t
если положить х=\.
Когда зависимость между χ и у представляется каким-нибудь уравнением, можно
(согласно проблемам IV и V) найти нормаль DP или t, радиус кривизны и и (согласно
проблеме I) его флюксию и, и значит будет известен показатель неравномерности
кривизны У— 1б1>> 1б2>,
V
Пример I
Допустим, что дано уравнение параболы 2ах = уу. Тогда (согласно проблеме IV)
ВР=а и, следовательно, DP = Yaa -J- yy = t. Далее (согласно проблеме V),
ВК
Уравнения
BK = a^2x^BP:PD::BK:DC^-^^^^u^\
1 ' η
at-\-2tx
2ах = уу, aa-f-yy = tt и ! = и
дают (согласно проблеме I)
Λ . . . at4-2xt4-2tx
2ах = 2уу\ 2уу = 2tt; ! - = и.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
109
Произведи в них приведение и вместо χ напиши 1. Тогда ты найдешь, что
а f уу \ а · at A- 2xt-\-2t
Определив таким образом у, t и и, ты получишь показатель неравномерности
уи
кривизны ■—-,
V
Если ты примешь численные значения а = 1 или 2х = уу и # = —- ,
то j,e(V2£=)i; у=^=у; t = (V-^Tmi = )Vz; ι = (·ι = )\/~τ;
Поэтому У— = 3, что и представляет собой числовое значение показателя
неравномерности.
Если же ты возьмешь χ = 2, то у = 2, у — —, t = Υ 5, i = 1 / -г-, ^ = 3 ]/" 5.
Поэтому показатель неравномерности будет
(4-)
Таким образом неравномерность кривизны параболы в точке, в которой
ордината, проведенная перпендикулярно к оси, равна поперечной стороне, вдвое больше
неравномерности кривизны той же кривой в точке, в которой ордината, проведенная как и
выше, равна половине поперечной стороны; т. е. кривизна в первой точке вдвое
больше отличается от кривизны круга, чем кривизна во второй точке.
Пример II
Пусть дано уравнение 2ах—Ъхх = уу; тогда (согласно проблеме IV) а—Ъх = ВР
и поэтому
U =ζαα — 2аЪх -\- ЪЪхх -\-уу = аа — Ъуу -{- уу.
Далее (согласно проблеме V),
J 1 аа
если вместо у у — Ъуу ты здесь положишь tt — аа, то получишь, что
а
Но
BD : DP :: DH : DC = — = и
аа
f3
и (согласно проблеме I) уравнения 2ах — Ъхх = уу, аа — byy-{-yy — tt и —=м
аа

110
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
дают а — Ъх = уу, уу— byy=tt я =и. Поэтому известно и, а значит и показа-
Cfid
7/ · U
те ль неравномерности кривизны
t
Так, если для эллипса 2х— Зхх — уу, у которого а = 1 и 6 = 3, взять # = —-,„
то у=-~2, у = — \, t = l/ у, i =Y~2 и u = sy/ — и значит-^-= γ; эта
дробь и выражает показатель неравномерности кривизны. Отсюда ясно, что.
неравномерность кривизны эллипса в указанной точке вдвое меньше (или вдвое более подобна
кривизне круга), чем кривизна параболы в точке, в которой ордината, опущенная на
ось, равна поперечной стороне.
Если сравнить выводы, полученные в этих примерах, то ты усмотришь, что
(уи_=\М9
для параболы 2ах — уу показатель неравномерности есть 1-^т—— ) ~а~ > Для эллипса
2ах — Ъхх = уу он есть( -^- = 1— ХВР и значит, по аналогии, для гиперболы
2ах-\-Ъхх=уу показатель будет ( У— = ) —— X ВР.
Отсюда ясно, что в различных точках какого-либо рассматриваемого отдельно^
конического сечения, неравномерность кривизны пропорциональна прямоугольнику
BD χ ВР, а что в различных точках параболы она пропорциональна ординате BD~
Так как парабола есть простейшая из неравномерно искривленных фигур и
о
так как неравномерность ее кривизны определяется легко I а именно показатель
последней равен 6 X — ι, то естественно сравнивать кривизну других
кривых с кривизной параболы.
Допустим, что требуется найти кривизну эллипса 2х — Зхх = уу в той точке
его периферии, которая определяется значением х — — , 1ак как показатель его
кривизны есть, как мы уже нашли, —, то можно ответить, что кривизна эта подобна
кривизне параболы 6# = уу в той точке, в которой проведенная от нее перпенди-
3
кулярно к оси ордината равна —.
Аналогично, так как флюксия спирали ADE (фиг. 15, табл. V) находится к
флюксии хорды AD в некотором данном отношении, например, в отношении d к б, то проведи
перпендикулярно к AD и в сторону вогнутости кривой АР= —== X AD. Тогда Ρ
у U/Cv 66
АР β
будет центром кривизны|и -j=- или /. показателем ее неравномерности164).
Поэтому спираль повсюду имеет кривизну, по неравномерности подобную кривизне

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
111
параболы 6х = уу в той точке, в которой проведенная перпендикулярно к оси
е
ордината равна величине
У dd — ее
Точно так же (фиг. 20, табл. VI) показатель неравномерности кривизны трохоиды
в точке D мы найдем равным -^ψ-. Следовательно, ее кривизна в этой точке D также·
неравномерна или в той же степени отличается от кривизны круга, что и кривизна какой-
либо параболы ах = уу в точке, в которой ордината есть -—αχ т .
6 JDU
Я думаю, что смысл проблемы разъяснен этими соображениями в достаточной
мере; всякий, кто хорошо понял ее, сможет, основываясь на изложенном выше
материале, сам дать достаточное число примеров и изыскать в случае необходимости
приемы действия, отличающиеся от этих. И для него будет либо не очень трудным,
либо просто легким (если только его не оттолкнут докучливые и утомительные выкладки)
решение аналогичных проблем, вроде следующих:
I
Найми на какой-либо кривой точку, в которой неравномерность кривизны
есть нуль или бесконечность, или является наибольшей или наименьшей 156) 1б6>.
Так, например, неравномерность кривизны равна нулю в вершинах конических
сечений, бесконечна — в остриях трохоид, и она наибольшая — в тех точках эллипса,
в которых прямоугольник BD X ВР есть наибольший, т. е. в которых эллипс
пересекается диагоналями описанного около него параллелограма, стороны которого касаются
кривой в главных вершинах.
Π
Определить кривую некоторого определенного вида, например, коническое
сечение, в котором кривизна в данной точке равна и подобна кривизне в данной точке
какой-либо другой кривой.
III
Определить коническое сечение, в любой точке которого кривизна и положение
касательной (относительно оси) подобны кривизне и положению касательной в
данной точке какой-либо другой кривой.
Значеше этой проблемы заключается в том, что на основании ее вместо
эллипсов второго рода, свойства которых, связанные с преломлением света, были
объяснены Декартом в его „Геометрии", можно употреблять конические сечения,
дающие почти совершенно то же самое. И то же самое относится и к другим кривым.
ПРОБЛЕМА VII
Найти сколько угодно кривых, площади которых можно представить с помощью
конечного уравнения.
Пусть АВ (фнг. 27, табл. VII) есть абсцисса кривой, в вершине которой А
восстановлен перпендикуляр АС=1; затем проведем СЕ параллельно АВ. Кроме того,
пусть BD есть приложенная под прямым углом ордината, которая встречает прямую СЕ
в Ей кривую AD в Ό. Представь себе, что площади АСЕВ и ADB порождаются

112
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
движением прямых ЕВ и BD, пробегающих прямую АВ. Тогда приращения этих
площадей или же их флюксии будут всегда в том же отношении, что и описывающие
жх линии ЕВ и BD. Возьми поэтому параллелограм АСЕВ или АВ X 1 = χ и обо-
знать площадь кривой ADB через ζ. Флюксии χ и ζ будут в том же отношении,
что BE и J3D, так что, если ты положишь χ = 1 = ЕВ, то ζ = BD.
Взяв теперь произвольное уравнение, определяющее зависимость между *х и ζ,
ты из него (согласно проблеме I) найдешь ζ; таким образом получатся два уравнения,
из которых второе определит кривую, а первое ее площадь 1б7> 1б8>.
Примеры
Пусть хх = ζ; отсюда (согласно проблеме I) 2хх = ζ или (так как χ = 1)
2χ = ζ.
χ* Нхх ·
Пусть — =з\ отсюда следует, что = 2, что представляет собой урав-
О/ а
нение параболы.
1 - 3 - - ·
Пусть ах* = 22 или α2 χ2 = ζ; отсюда следует, что — а2 х2 =2 или
Δ
9 ·· *
— ах = 22, что есть также уравнение параболы.
Пусть а*х~~2 =22 или а3^_1=^; отсюда следует, что—а3#~2 = £ шж ав-\-ххг=0.
Отрицательное значение ζ означает здесь лишь то, что BD следует взять с
противоположной стороны относительно BE.
Точно так же если ты возьмешь аасс -{-. ссхх = zz, то выведешь, что 2ссх = 2zz,
откуда по исключении ζ найдешь, что = =2.
у аа -+- хх
тх аа-\-хх лГ : лГ г м3
Или же, взяв у аа -J- хх = ζ, положи у аа -f- хх = и, тогда — = ζ,
, . тч Зиии ·4 __ , Λ ·
а отсюда (согласно проблеме I) —-—= 2. Уравнение <м-|-а%*; = гш дает 2# = 2гш,
с помощью чего ты исключишь и и найдешь, что
Зш; · Вх -г ;
—-— = ζ = —г- V аа ч- хх.
о Ъ 1
2
Если, наконец, ты возьмешь 8 — 3χζ-\--—ζ = ζζ, то получишь —Sz — 3xz-{~
о
, 2 .
"τ" "g- г? = 2^. Сперва следует из взятого уравнения найти площадь ζ, а затем
из получающегося уравнения ординату ζ.
Таким образом по площадям, каковы бы они ни были, всегда можно определить
ординаты, которым соответствуют эти площади.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
113
ПРОБЛЕМА VIII
Найти сколько угодно кривых, площади которых связаны с площадью какой-
либо данной кривой зависимостью, выраоюаемой конечным уравнением.
Пусть данная кривая (фиг. 28, 29, 30, 31,32, 33, 34, 35, табл. VII) есть FDH, а
искомая кривая GEL Представь себе, что их ординаты BD и ЕС движутся, оставаясь
перпендикулярными к их абсциссам или основаниям АВ я АС. Тогда приращения или
флюксии описываемых таким образом: площадей будут находиться в том же
отношении, что и ординаты, умноженные на скорости их перемещения, т. е. на
флюксии соответствующих абсцисс. Положи АВ = х, BD = u, AC = z и СЕ = у,
площадь AFDB — s, а площадь AGEC = t. Флюксии этих площадей будут й in,
значит, их : у ζ :: s : t; следовательно, если ты положишь, как раньше, χ = 1 и и = s,
. . i
то получится yz = t и, значит, — = у.
ζ
Таким образом если даны два уравнения, из которых одно выражает
зависимость между площадями s и t, а другое — зависимость между их абсциссами χ и ζ,
то найди из этих уравнений (согласно проблеме I) флюксии t и ζ, а затем возьми - = j/.
ζ
Пример I
Допустим, что данная кривая FDH есть круг, определяемый уравнением
ах — хх = ии, и что ищутся другие кривые, площади которых равны площади круга.
Согласно предположению s = t и поэтому s = i и у = -Г=-Г . Остается еще
ζ ζ>
определить #, приняв какую-либо зависимость между абсциссами χ и ζ.
Положим, например, что ах = ζζ; тогда (согласно проблеме I) а = 2ζζ. Поэтому
г а · \ и ^ 2uz
подставляя — вместо ζ ) у = г будет =
^ 2z J ζ а
2ζζ
Но и = (Υах—хх = ) — л/аа—ζζ, следовательно уравнение V аа—ζζ = //
а аа J
и есть уравнение кривой, площадь которой равна площади круга.
Точно так же, если положить, что xx = z, то получится, что 2x — z\ а значит,
у = ( Ц- ;== ] —; отсюда, исключив и и х, ты найдешь, что
\ ζ J 2х
У az*-
αζΔ —ζ
,2/ = - Г"
2ζ2
Если ее = χζ, то 0 = χζ -\- ζ и = у= - у αζ — ее.
ζ ζ6
s
Равным образом для уравнения ах-{- — = z будет (согласно проблеме I)
a +V — %zy и поэтому и и
= У
a-f-s a-f-u
это — уравнение механической кривой 1б9>160) 161).
8 Зак. 3296. Ньютон.

114
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Пример II
Допустим, что снова дан круг ах— хх = ии и требуется найти кривые,
площади которых находятся с площадью круга в какой-либо другой данной зависимости.
• ♦
Так, если ты положишь cx-\-s = t и ах = вв, то (согласно проблеме I) c-\-s=t и
a = 2zz. Поэтому
\ 2cz + 2zs
у = - = ! ;
ζ а
ΖΖ
-г · во
после подстановки у ах — хх вместо s и — вместо χ получится, что
2cz . 2ζζ
у = 1 Υ аа — ζζ.
υ а 1 аа r
_, 2иъ л ^ · 2иии ·
Если ты возьмешь s — = t и ζ = χ, то будешь иметь s = t к
За а
l=g. По этой причине
t · 2иии 2иии
y = -r=s или =и .
8 а а
Для исключения и возвратись к уравнению ах — хх = ищ которое (согласно
• 2/uir
проблеме I) даст а — 2х = 2ии, так что у = ; если ты исключишь теперь и ях>
подставив их значения У ах — хх и #, то получишь, что
2z. г
у = — у az — 88.
J a v
Если бы ты взял ss = t и χ = ζζ, то нашел бы 2ss = t и 1 = 2zz и потому
у = — = 4ssz; подставив Υ ах — хх и ζζ вместо s и х, ты получил бы, чта
у = 4szz Υ а — ζζ ,
что представляет собой уравнение механической кривой.
Пример III
С помощью того же приема можно находить фигуры, которые имеют
определенное отношение к какой-либо другой заданной фигуре. Допустим, что дана
гипербола сс-\-хх = ищ если ты примешь $ = t и xx = cz, то будешь иметь s = t и
2x = cz, так что ?/ = -- =—. Теперь подставь Υ ее-\-хх вместо s и с2 ζ2 вместо #г
8 2х
тогда с
У= 2J У ев + вв.
Точно так же, если ты положишь хи — s = t и хх = cz, то найдешь и-\-хи — s = t
• тт : t си π
π 2х = cz. Но и = s, значит хи = t и, следовательно, у = -г = —. Далее, уравнение
8 2

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
115
• сх
се-\-хх = ии дает (согласно проблеме Ι) χ = ии, так что у = -^- , а это уравнение
ι 1
после подстановки γ ее -\-хх вместо и и с2 я2 вместо х, обращается в
ее
У·
lYcz-\-zz
Пример IV
Шшл бы данной фигурой, с. которой сравниваются искомые другие, была
XX ι
циссоида — = и и если бы для определения последних ты взял уравнение
У ах — хх
х 2 х г
— у ах—хх-\~ — s = t и положил -тгуах— хх = h, а флюксию этого h, то имело бы
3 3 °
место уравнение
A-f|-i = *.
Но уравнение
дает
и поэтому (по исключении Ъ)
Далее, так как
3
то
s
ахъ —
9
Sax χ—
9~
Sax —
вУах-
2
3 и'
-х*
Лхг
Лхх
— XX
6/
ах
=к.
4хх
ах —
= 1
XX
2 Υ ах — хх
Для определения ζ и ζ возьми Уаа — ах = ζ; тогда (согласно проблеме I) — а = 2ζζ
нли е = —. Вследствие этого
ΔΖ
ft ζχ Г ZZX _/—- \ г
У — [-г = — ,/- = Ι/ = У ах = у aa — zz.
\z у αχ—хх У а—χ J
Так как это — уравнение круга, то ты имеешь здесь соотношение между площадями
круга и циссоиды.
Если бы ты взял — У ах — xx-{-—s = t и х = е, то и здесь получилось бы
у = У аа — ее, т. е. опять-таки уравнение круга.
8*

116
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Если бы была дана какая-либо механическая кривая, то тем же способом можно
было бы найти другие механические кривые, сравниваемые с первой.
Однако для получения геометрических кривых следует выбрать одну из
зависящих друг от друга геометрическим образом прямых линий за основание или
абсциссу, а площадь, которая дополняет параллелограм, определять, полагая ее
флюксию равной абсциссе, умноженной на флюксию ординаты.
Пример V
Допустим (фиг. 20, табл. VI), что предложена трохоида ADF. Я отношу ее
к абсциссе АВ и, достроив параллелограм ABDG, определяю дополняющую площадь
ADG, предположив, что она описана движением прямой GD и что поэтому ее
флюксия равна линии GD, умноженной на скорость ее движения, т. е. равна χ χ и.
Ввиду того, что AL параллельна касательной ВТ, АВ относится к BL, как флюксия
той же АВ к флюксии ординаты BD, т. е., очевидно, как 1 к%. Поэтому ^ = ——
АВ
и, значит, χ и = BL. Следовательно, площадь ADG описывается флюксией 162> BL, и
так как та же флюксия описывает круговую площадь ALB, то эти площади равны.
Таким же образом, если представить себе, что ADF есть фигура, составленная
из дуг или из синусов-верзусов, т. е. такая, что ее ордината BD равна дуге AL, то
флюксия дуги AL будет находиться в том отношении к флюксии абсциссы АВ, что
PL к LB, т. е. ^
и : 1 :: — а : Υ ах — хх,
Δ
вследствие чего
I - 163)
а хи, флюксия площади ADG, равна
^Уах —хх
ах
2γαχ —
хх
Поэтому, если представить себе, что прямая длины — . приложена
2 у ах — хх
как перпендикулярная ордината к какой-либо точке В прямой АВ, то она будет
ограничена некоторой геометрической кривой, площадь которой, прилежащая к абсциссе
АВ, равна площади ADG.
Таким же путем можно находить геометрические фигуры, равные другим
фигурам, образованным посредством приложения (под любым углом) дуг круга, гиперболы
или какой-либо другой кривой к прямым синусам или к синус-верзусам этих дуг или
к каким-либо другим прямым, которые можно определить геометрическим образом164) 165).
Очень просто обстоит дело у спиралей. А именно (фиг. 36, табл. УШ) из центра
вращения А опиши каким-нибудь радиусом AG дугу DG, пересекающую прямую AF в G,
а спираль в D. Так как эта дуга в качестве линии, движущейся вдоль абсциссы AG,
описывает площадь спирали AHDG, то флюксия этой площади относится к флюксии
прямоугольника 1 X AG, как дуга GD к 1. Перпендикуляр GL, равный этой дуге и
также движущийся вдоль той же линии AG, опишет площадь AILG, равную
площади спирали A HDG; при этом кривая AIL будет геометрической. Если, далее, провести

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
117
хорду AL, то окажется, что треугольник ALG = — AG X GL=^r AG У, GD =
= сектору AGO. Поэтому дополнительные сегменты ALI и ADH также будут равны.
Это относится не только к архимедовой спирали (в каком случае AIL есть
парабола Аполлония), но и ко всякой другой, так что любая из них может быть
столь же легко превращена в равную геометрическую кривую.
Я мог бы привести больше образцов построений, разрешающих эту проблему,
но и приведенных уже достаточно, ибо они носят столь общий характер, что как бызаклю-
чают в себе как все, что было до сих пор открыто относительно площадей кривых,
так (думаю я) и все то, что еще можно найти в этой области; вместе с тем все
это определяется здесь по большей части легче и без обычных хлопот.
Но главное значение этой и предыдущей проблем состоит в том, что если
взять конические сечения или какие-либо другие кривые известной величины, то они
позволяют найти кривые, которые можно сравнить с этими кривыми и определяющие
уравнения которых можно расположить по порядку в каталоге или таблице. Когда
такая таблица будет построена, то если потребуется найти площадь какой-либо кривой,
нужно будет посмотреть, не находится ли определяющее ее уравнение непосредственно
в этой таблице или же, по крайней мере, не может ли оно быть преобразовано
в другое, там находящееся; в этом случае площадь будет найдена. Кроме того этот
каталог или таблица может служить для определения длин кривых, нахождения их
центров тяжестей, объемов их тел вращения, поверхностей этих тел и всяких других
текущих величин, порождаемых флюксиями, подобными этим.
ПРОБЛЕМА IX
Определить площадь какой-либо заданной кривой.
Решение этой проблемы зависит от определения отношения флюэнт по
заданному отношению флюксий (как в проблеме П). Допустим прежде всего, что (фиг. 27,
табл. УП) прямая BD, при движении которой описывается искомая площадь AFDBy
перемещается под прямым углом вдоль заданной по положению абсциссы АВ. Представь
себе (как раньше), что в то же время линия, равная единице, описывает под АВ
параллелограм АВЕС. Если положить, что BE есть флюксия этого параллелограма,
то BD будет флюксией искомой площади.
Поэтому, возьми АВ = х и вместе с тем АВЕС=1Хх = х и ВЕ=х.
• ζ ·
Обозначь такз^е площадь AFDB = ζ, тогда BD = s и вместе с тем = %-, так как χ = 1.
χ
Следовательно, уравнение, выражающее BD, вместе с тем выражает и отношение
флюксий -, а отсюда (согласно проблеме II, случай Г) можно вывести зависимость
X
между флюэнтами χ и #.
Пример I,
где BD или ζ равна какой-либо простой величине.
XX · ζ
Пусть — = 0 или =- (уравнение параболы). Отсюда (согласно проблеме II)
а χ

118
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
лолучается —-=ζ. Поэтому площадь параболы AFDBравняется — или — ABXBD.
Пусть — = z (уравнение параболы второго рода); отсюда получается
(л(л
#4 1
= g и очевидно, что площадь AFDB есть — АВ X J5D.
4=аа 4
Пусть — = 'z или aV~2 = £ (уравнение гиперболы второго рода); отсюда
XX
получается—ax~x = z или = z. Значит (фиг. 37, табл. VIH), прямоугольник
χ
АВ X BD равен площади HDBH, распространяющейся в бесконечность и лежащей
за ординатой BD, на что указывает ее отрицательное значение.
а4 а4
Точно так же, если дано — = ζ, то мы получаем — = ζ.
Χ ΔΧΧ
Если предложено уравнение αχ = ζζ (которое опять соответствует параболе)
1 λ . 2 - - 2
или, что то же, α2 χ2 = ζ, то получается —-а2#2=£, и значит, - i5 X 5J9 ==
о о
= площади AFDB,
з £ JL
Пусть — = zz; тогда + 2α2 χ2 = ζ или 2АВ χ BD = AFDB,
χ
Пусть -^ = **; тогДа ΊΓ = £Γ или 2^SXBD = HDBH.
χ2
3 i — 3
Пусть, наконец, α## = ζ; тогда — α3 а;3 = ζ или "г АВ X J5D = AFDB.
Пример II,
где ζ равна сумме простых величин.
.,ρ-. ι JUJb * XX . χ
Пусть χ-\- — =ζ; тогда — + ._ = *.
гт . α3 · os
Пусть а -) = г\ тогда аж = г.
XX χ
-52· £ б i
Пусть За;2 Г — ** Т0ГДа 2ж2-| 4#2 = *.
Я/О/ χ
X2
Пример III,
где предварительно следует произвести приведение посредством деления.
Дано ^ | = ζ (уравнение аполлониевой гиперболы). Продолжающееся до
бесконечности деление приводит к уравнению
аа аах . аах2 аахв

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
119
Отсюда (согласно проблеме II), как во второй группе примеров, ты получишь, что
аах аахх , аахь аах*
Ь 2ЬЪ ~ ЪЪ* 4Ь±
Дано —т-— = #; после деления получится
ζ = 1 — хх-\-х^ — xQ и т. д.
яли также
1 1.1
и т. д.
XX #* ' Χ**
и т. д.
Поэтому (согласно проблеме II)
жли
z = x—-z-%bJr-rxb wxl и т. %. = AFDB
о О ι
λ 1
2χ2 χ2
Пусть - = в. Деление дает
1 + хТ— Зх
I 1 £
ζ =2#2— 2# + 7#а — 13## + 34#2 и т. д.
Отсюда (согласно проблеме II)
* τ ι и τ 13 , . 68 т
ζ = —χ2 ХХ-\~ — X* ~х3 + —ж2 и т. д.
Пример IV,
где предварительно следует произвести приведение посредством извлечения корня.
Дано з = Уаа -j- хх (уравнение гиперболы); извлечение корня с бесконечным
числом членов дает
хх х* , х8 Ъх8
z = a -f-
Отсюда, как выше,
*=α+____ + ______ И Т. д.
, Χζ ^5 _ι χ1 5х9
* = аХ + ~Ь^~~40^~ + ΪΪ2^ 1008а? И Т' Д'
Таким же образом, если бы было предложено уравнение (круга) ζ = γαα — хх,
то из него получилось бы
хд хь х1 bxQ
* = αΧ~Ύά~Ί^~ΪΪ2Φ 1008α? И Τ· Д'

120
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Если бы мы имели z = Yx— хх (опять-таки уравнение круга), то путем
извлечения корня получили бы, что
i ι 2 ι 1 ι 1
Ζ=Χ 2__#2__#2 __ χ2 и τ> д?
и поэтому
2 2 1 i l 1 ι 2
Уравнение ζ = Υ аа -f- 6л? — ## (снова уравнение круга) дает по извлечений
корня
Ъх хх ЪЪхх
*=α + -2Ϊ-Ί^—ΜΤ*Ί·Ά·
Отсюда получается, что
дает
Точно
так
же
после должного
£ = α# +
уравнение
приведения
s=l-f
Ъхх
~1а
ι/
V
хъ
1 + α##
1 — fora?
ТЬжг+Т
1
1
8
ЪЪх3
~ 24as
г £
δδ#4 и
и
т.
т.
д.
д.
откуда следует, что
1 3
ζ = χ -J- — Ь#3 -(- т^ ЬЬ^5 и т. д.
Если, наконец, ζ =\/аъ-\-хв, то путем извлечения кубического корня получится
, хъ χ6 , 5л;9
вследствие чего (согласно проблеме П)
я?4 х1
12аа ~ 63α5 ι 162а8
Λ?4 /^7 ΛΣ*9
или также
. а3 а6 . 5«э
^Ж+3^~9^ + -81^ И Т'Д·'
откуда
1 а3 . а6 5а9 тгтътэтг
г = —## « l·-^—; »„„ „ и т. д. — HDBH.
2 3# ~ 36#4 567 л:7 А

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
12Г
Пример V,
где предварительно следует произвести приведение посредством решения
пененного уравнения.
Если кривая задана уравнением 166>
ζ* -]- aaz -f- axz — 2а3 — хъ = О,
то, определяя корень, ты найдешь, что
• X | XX л. о J. X
*=а__ + _ + __ И т. д.,
а отсюда с помощью уже часто употреблявшегося приема получишь
хх , хъ . 131#4
,_„.__+_._!-__. ит. д.
Если бы уравнение кривой было
яъ — czz — 2xxz — ccz + 2хъ -|- с3 = О,
то решение дало бы три различных корня, а именно или
XX . Xs
, = C+*__ + __ ИТ. д.,
или
, Зхх \Ъх*
или, наконец,
XX хг . хь
Отсюда получаются значения трех соответствующих площадей, а именно
,1 хъ . я4
*=СЖ+_^___ + __ И Т. д.
или
1 , хв 5#4
,==сж__^ + ____ И ,. д.,
или, наконец,
Xs х* , х§
6с Sec ' 24с4
Я ничего здесь не прибавляю о механических кривых, так как дальше изложен
метод приведения их к форме геометрических кривых 167).
Так как найденные здесь значения ζ соответствуют площадям, которые
прилегают иногда к конечной части абсциссы АВ, иногда к части ВН, бесконечно
продолженной в направлении к if, иногда, в соответствии с различными членами, к обеим
таким частям, то для получения должного значения площади, прилежащей к
некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений гу
соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади.

122
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Например, кривая (фиг. 37, табл. VIII), выражаемая уравнением —г-—= гш f
X —г— X X
имеет (как уже найдено) площадь
г = χ — хъ -f- — хъ и т. д.
Для определения величины площади bdDB, прилежащей к части абсциссы
ЬВ, я из значения г, которое получается при АВ = Х, вычитаю значение ζ при
АЪ = х; в качестве значения площади bdDB остается
X -Х3+ — X5 и т. д. —х4-—х* -я5 и т. д.
3 5 '35
Отсюда ясно что если АЪ или χ положить равным нулю, то величина всей
площади AFDB будет X -Х3 + — Хб и т. д.
о о
Для этой же кривой было найдено также, что
1 | ♦ 1 1 169)
*~~ χ ~Г Ъх*~ Ьх* И Т· Д' '
Отсюда, согласно сказанному, в свою очередь получается, что
площадь foWB-i-^ + JL ит'Д-~Г+а-а ИТ-Д-
Поэтому, если положить АВ или X бесконечным, то прилежащая площадь
>&<Ш, продолженная в направлении к Л" и также простирающаяся до бесконечности,
будет равна
1_ 1_ , _1_
χ Зх* "*" Ьхь И Т* Д*
Б самом деле, второй ряд
_J_ J 1_
X + ЗХ3 5Хб И Т· Д'
исчезнет в силу бесконечности знаменателей.
Для кривой, определенной уравнением
, а3
а Η = ^
1 хх
мы находим, что
ζ = ах —
X
Это показывает, что
а3 , а3
площадь bdDB = аХ ~- — ах-\ .
.Л. X
Площадь становится бесконечной, когда χ полагается равным нулю или X
бесконечным. Поэтому каждая из площадей AFDB и bdH бесконечна, и определять здесь

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
123
можно только промежуточные части, как bdDB. То же самое происходит всегда,
когда абсцисса χ находится как в числителях одних членов выражения ζ, так и в
знаменателях других. Но когда χ находится только в их числителях, как в
первом примере, то значение ζ соответствует площади, прилежащей к АВ с
одной стороны ординаты. Когда же χ имеется только в знаменателях, как во втором
примере, то значение это, после изменения знаков всех членов, соответствует всей
площади, бесконечно продолженной в сторону за ординатой.
Если кривая (фиг. 38, табл. VIII) пересекает абсциссу где-либо между точками Ъ и В,
например, в точке Е, то вместо площади ты получишь разность (bdE—BDE)
площадей, расположенных по разные стороны абсциссы. Прибавив к этой разности
прямоугольник BDGb, ты получишь площадь dEDGm.
Здесь особенно важно заметить, что когда в выражении ζ некоторые члены
поделены на χ в первой лишь степени, то площади, соответствующие этим
членам, принадлежат коническим гиперболам и поэтому должны быть отдельно
представлены через них в виде бесконечных рядов, как ты увидишь из нижеследующего.
т.. „ а3— аах
Допустим, что уравнение кривой есть -г-
(XX —г- XX
Деление дает:
аа Λ , Λ· 2## , 2хъ
z = 2α-{-2а? г-77- и т· Д·
·==£.
аа
Отсюда
Яоэтому площадь
аа
χ
— 2ах -{- хх ·
2х*
х*
За
2аа
и т. д<
bdDB =
—
аа
X
и
аа
аа
X
аа
2£- — 2аХ+ХХ
2Х3
За
и т. д.
— — 4-2а# — хх А-
Ι /ν» I 1 ·
2х*
#4
За 2аа
и т. д.
г» аа аа
Знаки — и -=- выражают здесь малые площади, соответствующие
аа аа
членам — и -==г.
χ ■ X
Для определения
аа
χ
аа
я полагаю АЪ или χ определенно ЪВ
неопределенной или текущей линией, й обозначаю поэтому последнюю через у; таким
образом I , I есть величина, равная площади гиперболы, прилежащей к ЪВ,
т. е.
)М
с
аа
ш
Г
—
eci
аа
X

124
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Делением я нахожу, что
аа аа аау , аауу аау*
ХЛ~У х хх хв х*
и т. д.,
и поэтому
аа
х-\-у
или
аа
X
—
аа
X
аау аауу . аау3 аау4'
χ 2хх ' Зхв 4#4
и т. д.
«значит вся искомая площадь
bdDB = ^-М + ^я, д.
х 2хх Зхг
— 2аХ +ХХ
2х*
За
и т. д.+
I Λ ι 2а:3 171ч
+ 2а# — хх +-Ζ— и т. д. '.
1 ' За
Точно так же, если бы я взял за определенную линию АВ или X, то»
имел бы:
аа
X
—
аа
X
аау . аауу , аауг , аау4'
"Х""1"^ХХ+"ЗХГ + 4Х
и т. д.
Если (фиг. 37, табл. VIII) разделить ВЪ пополам в О, взять АС определенной,
длины, а СВ и СЪ неопределенной и если положить АС = е, а ЪО или СВ = у, то
получится, что
bd =
аа
аа
аау аауу
аау*
аау41
и т. д.,
е — у е ' ее е* е* ι в5
вследствие чего гиперболическая площадь, прилежащая к части абсциссы ЬС, будет
равна
aav . aawu . ааФ , ααν* . ааф
и т. д.
Вместе с тем
BD-.
аа
2ее
аа
Зе3
4е*
5еб
аау
аауу аау3
аау41
е + У
ее
е*
и т. д.
Значит площадь, прилежащая к другой части абсциссы ВС, будет равна
аау аауу
аау6
аау* . аау6
2ее
Зе3
4^
5еб
и т. д.
π „ 2аау . 2аауъ ,, 2аауь
Поэтому сумма этих площадей = —-\—^-γ- -}——|- и т. д., что и равно*
аа
X
—
аа
X

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
125
корень
Точно так же у определяющего природу некоторой кривой уравнения
2Ъ -J- 2 Ζ -f- Ζ Χ* = О,
7 , 5
• L_1j
Ζ Χ 3 9χ~*~ 81λ?λ? "^ 81я3
И Т. Д.
Отсюда получается, что
1 χ
2
9л;
5
и площадь
Δ О
2
9Х
81ж \№хх
7 5
и т. д.,
81Х 162Х
и т. д.
1 ι 1 I
2
9а;
81ж
162ж
и т. д..
т. е. =-ХХ-
4у 4j/3
3
4уб
X
81Х
и т. д.
и т. д.
1 ι 1
— —ХХ+-Х-
81я
и т. д.
9е 27е3 45еб
Однако по большей части от этих гиперболических членов можно весьма
удобно избавиться посредством изменения начала абсциссы, т. е. посредством
увеличения или уменьшения абсциссы на некоторую данную величину. Так, если бы
а% — аах
в первом примере, в котором уравнение кривой было
ах I XX
ζ, я поместил
1
начало абсциссы в точку Ъ и, взяв АЪ какой-либо данной длины, например —^-а,
Δ
принял бы остающуюся абсциссу ВЪ равной х, то, очевидно, что при уменьшении абсциссы
на величину —а и замене χ через # + —а, уравнение превратилось бы в
1
а3 — аах
• аа -f- 2ах + хх
и путем деления получилось бы
2 28
τα~τχ'
200##
27а
и т. д.,
откуда
_ 2 14 , 200
3_-ax — — xx-t-Qla
хь и т. д. = площади bdDB.
Ввиду того, что начало абсцисс можно помещать в различных точках, площадь
кривой можно выражать бесконечным числом способов.

126
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
а? — аах
Уравнение -г- = ζ можно было бы также разложить в два бесконеч-
(XX I хх
ных ряда
а3 а4 , а5 . хх . х3
г = ς-Η—г и т· Д· —a-j-x и т. д.,
в которых нет члена, поделенного на первую степень х.
Но такие виды рядов, в одном из которых степени χ возрастают до
бесконечности в числителях, а в другом — в знаменателях, непригодны для определения из них
значения s с помощью арифметического вычисления, когда от букв переходят
к числам.
Вряд ли у кого-либо встретятся затруднения при числовом расчете после того,
как было получено буквенное значение площади. Однако для лучшего пояснения
вышеизложенного я все же прибавлю один-два примера.
Дана (фиг. 39, табл. VIII) гипербола AD, уравнение которой есть Υ χ -\-χχ = ζ;
вершина ее есть А, а каждая из осей равна единице.
Согласно сказанному выше площадь
2 £ ι JL ι Ι ι JL 5 L1
т. е. равна
- 2 ι 1 1 , . 1 . 5 .
*2 ™тх + гхх-Г8х+т2х шх и т· д-;
ряд этот можно продолжать до бесконечности, постоянно умножая последний член на
последовательные члены следующей прогрессии:
1-3 1-5 3-7 5-9 7-11
*; —■тт*-*; —-тг-тг*; — -ег-гт*; —ттг-тъх и т· д·
2-5 ' 4-7 ' 6-9 ' 8-11 ' 10-13
2—1*3 1 —
Таким образом первый член — х2 X ——— χ дает второй член —- х2. Этотг
о 2 · 5 5
1-6 1 -
умноженный на —-=-х9 дает третий ——- ^2. Этот, в свою очередь умноженный
на ——х, дает четвертый —-х2 и так далее до бесконечности.
о · У Ί 2
Припишем теперь АВ какую-нибудь данную длину, например —, и напишем
1 I
это число вместо χ и его квадратный корень, -— вместо х2.. Тогда первый член
2 ~ 2 1
—- х2 или —- X — по обращении в десятичную дробь будет 0,083333333 и т. д.,
1-3
что, по умножении на —-—-, даст второй член 0,00625, который опять-таки,
2 · 4 · 5
1 · 5
по умножении на ————--, даст третий член — 0,0002790178 и т. д. По мере того

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
127
как я нахожу члены, я располагаю их в две таблицы, записывая в одной из них
положительные, а в другой отрицательные; затем, как ты видишь, я их складываю..
Далее, из суммы положительных я вычитаю сумму отрицательных, при этом
остается 0,0893284166257043, что и представляет собой величину гиперболической
площади ADB, которую и требовалось найти.
+ 0,0833333333333333 — 0,0002790178571429
62500000000000 34679066051
271267361111 834465027
5135169396 26285354
144628917 961296
4954581 38676
190948 1663
7963 75
352 4
16 —0,0002825719389575
1 +0,0896109885646518
+ 0,0896109885646518 0,0893284166257043
172)
Допустим теперь, что дан (фиг. 39, табл. VIII) круг AdF, который определяется*
уравнением Υ χ— хх = ζ , т. е. диаметр которого равен единице; тогда (согласно выше·
изложенному) его площадь AdB будет
2 I 1 - 1 - 1 i
_*.__*.__*.__*. и т. д.
Ввиду того, что в этом ряду члены отличаются от членов ряда, полученного
выше для площади гиперболы, только знаками + или —, то остается лишь
соединить те же числовые члены с другими знаками и вычесть сумму, составленную из обеих
сумм вышеприведенных таблиц, 0,0898935605036193, из удвоенного первого члена
0,16666666666666666 и т. д.; остаток, именно 0,767731061630473, будет частью AdB
круговой площади, причем предполагается, что прямая АВ есть четверть диаметра.
Здесь можно заметить, что хотя с геометрической точки зрения круговую площадь
сравнивать с гиперболической нельзя, но что их обеих мы находим с помощью одного
арифметического расчета.
Найдя таким образом часть круга AdB, можно отсюда вывести и всю
площадь. В самом деле, проведи радиус dC и умножь Bd или — У 3 на ВС или ■—;.
половина произведения/т. е. — ]/*3 или 0,0541265877365275, даст величину
треугольника CdB; прибавь это к площади AdB, и ты получишь сектор ACd =
= 0,1308996938995747, ушестерив который найдешь всю площадь равной
0,7853981633974482.
Отсюда попутно посредством деления площади на четверть диаметра выводится-
длина окружности (которая будет 3,1415926535897928) 173).

й28
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
К этому, если угодно, можно прибавить вычисление площади, заключенной между
гиперболой dFD (фиг. 40, табл. VIII) и ее асимптотой С А. Пусть С есть центр
гиперболы; если принять С А = a, AF = Ъ и АВ = АЪ = х, то , = BD и = Ъ&.
(λ ~~т-т Χ (Χ —·" Χ
Поэтому площадь
,πΤΛΤ1 7 Ъхх , δ#3 δ#4
AFJDB = bx \-- —г- и т. д.,
2α ι 3αα 4α3
а площадь te ^3 fo*
1 2α ' 3αα ' 4α3
сумма их 2&tf3 , 2Ь#б . 2Ъх^
аЬБВ = ш+1ш+^ + -1*г * т. д.
Теперь положи AC = AF=\ и АВ или J.& = --; так как тогда (76 = 0,9 и
♦ £72? = 1,1, то при подстайовке этих чисел вместо а, Ъ и # первый член ряда обратится
в 0,2, второй в 0,00066666666 и т. д., третий в 0,000004 и т. д., как это показано
в прилагаемой таблице
0,2000000000000000
6666666666666
40000000000
285714286
2222222
18182
154
1
Сумма 0,2006706954621511= площади bdDB.
Если ты хочешь иметь части площади Ad и AD отдельно, то вычти меньшее
AD из большего Ad, в остатке ты найдешь
Ъхх . Ъх^ , Ъхб , Ъх8
а ~ 2а* ~ За5 ~ 4а6
и т. д.;
написав здесь 1 вместо α и δ и — вместо χ и обратив члены в десятичные дроби,
ты получишь
0,0100000000000000
500000000000
3333333333
25000000
200000
1667
14
Сумма 0,0100503358535014 = Ad — AD.
Если эту разность площадей прибавить к уже найденной их сумме или
вычесть из нее, то половина суммы 0,1053605156578263 даст большую площадь Ad,
,а половина разности 0,0953101798043248 даст меньшую площадь AD.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
129
Если положить АВ и АЬ = —— или CJB == 1,01 и Gb = 0,99, то эти площади,
ΑΌ и Ad ты сможешь получить из тех же таблиц, если только правильно
перенесешь числа на низшие места, как это показано здесь:
0,0200000000000000
6666666666 0,0001000000000000
400000 50000000
28 3333
Сумма 0,0200006667066694 = ЬВ Сумма 0,0001000050003333 = Ad — AD
половина суммы половина разности
0,0100503358535014 = Ad 0,0099503308531681 = AD.
Точно так же, если ты возьмешь АВ еАЬ= или СВ = 1,001 и СЪ =0,999,
то получишь, что площадь Ad = 0,0010005003335835, a AD = 0,0009995003330835.
Равным образом (при АС и AF==1), если принять АВ и АЪ = 0,2 или 0,02,
или 0,002, то получатся площади
Ad = 0,2231435513142097 и AD = 0,1823215567939546,
или
или
Ad = 0,0202027073175194 и AD = 0,0198026272961797,
Ad = 0,0020002 и AD = 0,001.
Из этих, найденных таким образом, площадей можно легко вывести и другие
- т - 1,2
с помощью одних сложении и вычитании. Действительно, так как —, умноженное
О,о
1 2
-на ~ = 2, то 0,6931471805599453 — сумма площадей, соответствующих отношениям
и,У
IS 12
-^ и -^— (т. е. расположенных над частями абсциссы 1,2 — 0,8 и 1,2 — 0,9), пред-
0,8 0,9
ставит собой площадь AFofi, где, как известно, 6τβ = 2.
1,2
Далее, так как -^, умноженное на 2 = 3, то 1,0986122886681097, сумма
0,о
1 2
площадей, соответствующих ^ и 2, будет равна площади АРЩ если Οβ = 3.
О,о
2X2
Далее, так как з"~ = 5 и 2χ 5 = 10, то с помощью надлежащего сло-
0,8
жения площадей ты найдешь, что 1,6093379124341004 = AFbfi, при С(3 = 5 и
2,3025850929940457 = АЩ, при <7β = 10.
Равным образом 10 X 10 = 100 и 10 X 100 = 1000 и V 5 X 10 X 0,98 = 7
,1000X1,001 ,0 100X0,998
и 10X1,1 = 11 и ! 7Си = 13, и ^~ = 499; ясно, что площадь
AFbfi может быть найдена через соединение выше найденных площадей при
9 Зак. 33%. Ньютон.

130 МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
6'β = 100, 1000, 7 или любому другому из указанных выше чисел, причем лишь
постоянно АВ = DF = 1.
Все это показывает, что отсюда можно вывести весьма подходящий метод
построения канона логарифмов 1Л\ определяющих гиперболические площади (из.
которых легко получаются логарифмы) и соответствующих любым простым числам*
причем только с помощью двух довольно несложных действий.
Так как мне представляется, что с помощью этих принципов таблицу можно
получить удобнее, чем с помощью каких-либо других, то я считаю уместным привести
здесь это построение.
Приняв прежде всего по обычаю 0 за логарифм числа 1 и 1 за логарифм
числа 10, следует определить логарифмы простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37
посредством деления уже найденных гиперболических площадей на число
2,3025850929940457, выражающее площадь, соответствующую числу 10, или (что
то же) посредством умножения этих площадей на обратную ему величину
0,4342944819032518.
Так, например, если 0,69314718 и т. д. есть площадь, соответствующая числу 2,
то по умножении на 0,43429 и т. д. она даст 0,3010299956639812, логарифм числа 217δ).
Логарифмы других чисел, заключающихся в таблице и получающихся при
перемножении этих чисел, следует по обыкновению найти с помощью сложения логарифмов,
соответствующих последним. Остающиеся пустыми места интерполируются затем
с помощью следующей теоремы.
Теорема I
Пусть η есть число, логарифм которого требуется найти, а χ — разность
между этим числом и двумя ближайшими числами, которые расположены с двух
сторон от него на равных расстояниях и логарифмы которых уже найдены. Пусть
d есть половина разности логарифмов. Тогда искомый логарифм числа η получится
посредством прибавления к логарифму меньшего числа величины
, . dec . dx'd
В самом деле, пусть числа выражаются через Gjp, Cj3 и CJP (фиг. 40, табл. V1J1)
и пусть, как и раньше, прямоугольник CBD или Cj36 = l. Проведем 'ординаты pq и
PQ и напишем η вместо С§ и χ вместо ,3р или ;ЗР. Площадь jpqQP или — -f-
2%» 2хъ
")"ТТ"1"7Т и т* д· будет находиться в том же отношении к площади pqlj3 или
X XX ОС
-—J- — г "FT и т· Д-> как Разность между логарифмами крайних чисел или
d к разности между логарифмами меньшего и среднего, которая поэтому будет
dx , dx2 t dxs
г И Т. Л.
η ■ "2пп i 3η1*

Таблица I, построенная согласно проблеме VII и содержащая некоторые криволинейные площади,
отнесенные к прямолинейным фигурам.
Роды кривых
I
II
III \
IV·
1
2
3
4
1
2
3
4
1
V.
1
2
vr
2
VII
11
2
.
VIII
1
\
2
IX
X
^η-1 = ί/
di1-1 Ι
ee+2ef/l-{-ff/1> υ |
άζΆ iye_±f^ = y
df* ^e + fs^y
df" ^e + ff^V
d*<*-lVe+fe* = y
di1 ' 1
= ?/
Ve + f**
d** l
—7/
Ve + f? "
df* г
. — у
Ve-j-fz1
d*4* X
Ve + fg* V
26e*e_14-26/se+4~1 на ±-V c-\-fz4 = y
4-3η/
2θβ/-1+2β/+η-1+2θ^9+2°-1 на i-Vc + /i,, + ^/4 = i/
+ 3η/ 4- 6η^
2θβ£Γ·_1+ 2Θ +ηΧ fe^*-1 4- 2Θ 4- 2η Χ gj+b-1
2Ve+fe* + gg*> ~У
Ι 2θβ*'~χ + 2θ — ηχ^'-1 _
Μ-/*ηΧ 2/e + f*4
2θβ**_1+ 2Θ — η Χ />'+η-1+ 2Θ — 2η Χ gg'+**-1
I e + A" + ^ Χ 2 Ve+fiP'+ge** ~У
2θββ0-1 + 2θ — 2η Χ /ί'+ι-1
ee + 2efe4 + ffe*4 ~ "У
2θββτ6-χ + 20 - 2η Χ //+"-*4-2θ - 4η Χ ρ*"'-*'-1
| ее 4- 2β/*4 4- //·+ 2^ χ. 27> + 2/У + ggB<* ~ У
l/ ι /· η
2θe/^0-i + 2θ + ЗηXA^ + "-i-j-2θ + 4ηX/i/■t-a,1-1 на. ' " Ι Г" =у
2 κ Α 4-1'»11
Ι +2θ + η χ β» '
2Muhl 4- 2θ4-3η Χ ββ'+^ί4- 2θ4-2η Χ /ϊβ"^"1 на __ ' '" = у
}i-Li^ ν У Α-4-ί "η
4-26 —η χ ei + /4^-1-»-
Выражения их площадей
Λ»4 , — d ,
= t или = t
2d
15η// J
1 бее-24в/У 4- 30/jfc* ддз _ f
105η/3
— 96e3 4-144ee/>4—1806/·/·/η4-210/νη ^.^
945η/4
Tf
WάΒ~* Ι
16ee —8e/*4 + 6/]f/'
Ϊ5ηΡ dR==t
— 96e3 4- 48ββ/*η — Збе/jr/4 4- 80/V
ΪΟδηΤ* :
*'ϋ" = ί
-*v=*
a*R — t
Лв = *
4"
ί-
& / Η \
τΓτϊ или ι / — ι
ΒΒ \e+f*nJ
\ J θ
ИЛИ "■■"■ ■ - ί
Ι яд e+fe^ + gg*4 " Ι
sblfp = t
Ρ
Зяте.
329G. — Ньтотои.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
131
т. е. (после деления)
_ , dx , dx3
d + - г-гтгт" и τ· Д-
' т 12w3
Я полагаю, что два первые члена этого ряда d-\-— достаточны для
построения логарифмической таблицы, даже если бы нужно было получить
логарифмы до четырнадцатого или пятнадцатого знака, но только числа, для которых
находятся логарифмы, должны быть не меньше 1000 .
Вычисление вряд ли будет утомительно, так как χ обычно бывает то единицей,
то двойкой. Однако не все места необходимо интерполировать по этому правилу.
В самом деле, логарифмы чисел, которые получаются посредством умножения и
деления уже найденных чисел, можно получить, исходя из чисел, логарифмы которых
уже найдены, — именно посредством сложения и вычитания этих логарифмов. Кроме
того пустые места можно еще быстрее заполнять с помощью первых, и если
придется, вторых и третьих и т. д. разностей логарифмов. Приведенное же выше правило
следует применять только тогда, когда отсутствует много мест подряд, с тем чтобы
найти таким образом их разности.
С помощью этого же метода можно найти также правила для 'вставки логарифмов
в том случае, когда из логарифмов трех чисел даны логарифмы среднего и наименьшего
или среднего и наибольшего, даже если эти числа не образуют арифметической прогрессия.
Следуя этому же методу далее, легко обнаружить правила, пригодные для
построения таблиц искусственных синусов и тангенсов без помощи их натуральных
таблиц. Но об этом я упоминаю лишь мимоходом.
До сих пор речь шла о квадратуре кривых, которые выражаются уравнениями
состоящими из сложных членов, посредством их приведения к другим уравнениям
составленным из бесконечного числа простых членов. Однако квадратура этих кривых
может быть иногда найдена также с помощью конечных уравнений или же эти
кривые иногда можно бывает сравнить с другими кривыми, площади которых можно
считать некоторым образом известными, каковы, например, конические сечения. Поэтому
я счел небесполезным привести здесь два обещанных ранее каталога или две таблицы
теорем, которые следуют ниже и которые я построил с помощью вышеприведенных
положений VII и VHI 177).
^ Первая из этих таблиц дает площади кривых, квадратура для которых
возможна. Вторая же таблица содержит кривые, площади которых можно сравнить
с площадями конических сечений. В обеих таблицах буквы с?, е, f, д, h обозначают
какие-либо данные величины, χ и ζ— абсциссы кривых, и и у — параллельные
ординаты, s и t — площади, как и раньше. Буквы η и Θ, стоящие при ζ,
обозначают показатели степени ζ, безразлично — целые, дробные, положительные или
отрицательные. Так, если η == о, то ζΆ = /, /η = /, ζ~η = ζ~3 или -^, .^+1 = ^и
.. ζ
Далее, в выражениях для площадей я вместо входящих в выражение ординаты у
радикалов.у^-}- Αη или У е-\- fzb-\-yz-^ пишу ради краткости 7?, а вместо pa;iw
кала У~к^-1г —пишу р.
9"

132
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Я мог бы прибавить еще и другие вещи этого рода, но пора перейти к
другому роду кривых, которые можно сравнивать с коническими сечениями.
Все кривые, к которым относится нижеследующий каталог или таблица,
представляются (фиг. 41, табл. VIII) линиями QEyR. Абсциссы их начинаются от А
и равны АС, ординаты суть СЕ, начало площади есть αχ, а вся описываемая
площадь сг/ЕС.
Начало площади, или первая граница ее (которая большей частью начинается
с начала абсцисс А или отстоит от него на бесконечный промежуток), получится,
если найти длину абсциссы Аа при значении площади, равной нулю, и
восстановить перпендикуляр αχ.
Точно также конические сечения (фиг. 42, № 1, 2, 3, 4, табл. VIII) изображены
линией PDG с центром А, вершиной а, перпендикулярными полудиаметрами Аа и АР;
начало абсцисс есть А, а или а, абсцисса — АВ или аВ, или аВ, ордината BD,
касательная, встречающая АВ в точке Т, есть DjP, хорда — aD и вписанный
или описанный прямоугольник — ΑΒΌΟ.
Сохраняя установленные выше обозначения, возьмем AC = s, СЕ==у, αχΕΟ = ί,
АВ или аВ = х, BD = u, ABDP или aGDB = s. Далее, если для определения какой-
нибудь площади понадобятся два конических сечения, то вторая площадь обозначается,
через σ, ее абсцисса — через ξ, ордината — через о. Кроме того вместо Vff—4ед
пишется jp.
Прежде чем перейти к примерам, иллюстрирующим теоремы об этих классах
кривых, я считаю необходимым заметить, что:
I
Так как в уравнениях, определяющих кривые, я всегда беру при величинах
d, е, f,g,hn г положительные знаки, то всякий раз, когда встретятся
отрицательные знаки, следует изменить знаки у следующих далее абсцисс и ординат конического
сечения, а также знак значения искомой площади.
II
Когда знаки числовых символов η и θ отрицательные, то их следует изменить
также в значениях площадей. Кроме того при таком изменении знаков теоремы могут
принять новый вид.
Так, если изменить знак η, в четвертой форме табл. II, то третья теорема
примет вид:
d 1
т. е.
dz\~x
d
s-^Ye + fz-* ζ-τ<
у; ζΆ = χ ; Υ fx -γ exx = и;
Χ 2ux — Ss = i.
ηβ
Так же обстоит дело и в других случаях.

Таблица II, построенная сохла'сно проблеме Till и содержащая некоторые криволинейные площади, отнесенные к коническим сечениям
Формы кривых
Конические сечения
Абсциссы
Ординаты
Выражения площадей
Фиг.
41
И { 2
III I
IV
d*4
— ι
е + №
d^-1
е+А"
■У
ds8""1
е + №
d^71'1
е+№
= У
= У
d^4-1
е+№
- = У
d_
ζ
Уе+/у = ;
или так:
ТТГ^ + ^ = :
или так:
^УеЦ-fz^y
m^H-/·*4-
3η +
У
,Уе-\-№
— У
или так:
e4 + iyre + /*4
или так:
= У
s*n + iye + f2-*
B*-WYe+fe-*
= У
d^~x
β + /*η+^
Л1 L„»2l4
или так:
**-]
,^_L/,»2ll
e + f*4+i»:
= У
ίτη = ίΡ
£η = Ж
*η = ;τ
V e-\-f^
V-
e+fs*
ν-
d
e + fz*
- = XX
■ — χ
ζ'1
1
• = xx
■ = x
• = x
-x
■XX
- = x
- = XX
• = x
• — X
•=sX
Л» _L Λ Λ
е + № + 9*
Υ
ι/ ** -,
V e + f^+g^
e-\-fx
Ά
■s = t
O.GDB
e-\-fx
= «
d η e
ч -nf
e-\-fx
2η/·
J*l
de γ, , ее
-' ' -s = i
V3T* + η/У
№ 1
/·
f f
## = W
= t ев — ADGa
η η
/d б
/d β
—2Г- ^ -^ = t
2d ~η 2de ~η . 2eeux— 4ees
3η/
-ζ
riff
*» ч +
•nff
№3,
4
Yf-\-exx =u
Yfx -\- exx = и
ide . . w8
8dee
e#
-S=*:
4de
η/*
на aGDT или
на APDB-^TDB
w Λ 1 fu . ffu
—η? X s ~ их — - \- -LL— = t =
iff · 2 4e ' 4ee#
n&AGDa·1
•rff
keex
№2,
3,4
№3,
4
Yfx -{- e## = ω
Yfx -\- exx = и
—^S==t = ^-APDB или —aGDB
η η η
2 2β η/^
η/*
№2,|
3,4
|jfe3,4l
1//^ + ел7^ = /
V/α; -]- exx = ^
— ~s = t = —X — aGDB или BDPK
η η ^
№ 4
Sdfs — 2du*
6ηβ
У7# -f~ exx = г
Yfx -{- e## = w
—7Г- X -77- xu η-s = t = —2Г- на P-42) или aGDA
8de 1 /% 8de nrk A
"t?fX5—?r^^ — -τ— = i = —?тг на aGDA
f\ff .2 4e η//
2d
2d
X s — aw = t = на POD или на AODGa
ηβ ηβ
~~τ~ Χ -7Γ жг* ~- 5 = ί = —2τ на aDGa
η/ 2 η]Τ
Yfx -J- e## = '
Yfx ~j- ежж='
— X Ss4r-2xu = t= — на 3aDGa-+-aDB треуг.
ηβ ηβ
I JSfo 2, ι
3,4
4
№2,
3,4
K>3,
4
|№ 3,
Α
lOdfxu — lbdfs — 2de##w
6ηββ
V e-\-fz^-
+ f** + 9**
= Ж
/ϊ
ff-4eg
*99
χχ — и
Vl*
ff—4eg
±99
1
o:a? = w
λ:^ — 2s
η
25 — xu
= t
da 41 2/s — fxu
2^
= i
Зак. 3296 —Ньютон,

Таблица ϊί продолжение)
Формы кривых
Конические сечения
Абсциссы
Ординаты
Выражения площадей
фиг.
VI {
dz*
ч-1 >
2η
e + f* + 9*
e + f^ + gz*1
= У
+ 2^η
/τΞ
2dg
p + 2g^
= ξ
= У
l/—-
ψ *V> _L_ „„Ч
^η.+ 2«
■ = #
fg*+ps*+2e
■=ξ
'+=£=*«-
j/.H—g2** —
■f-P
%X=zU
-f-p
2e
й-о
2aw— 4s — 2ξυ-}-4σ
η5
45 т~ 2#м — 4<з — 2ξυ
= f
ηρ
, где ί? = у /*/*+ 4ад
VII
Ye + /i? + ^ = y
&η-
й^-
-^
-^
+/·/
+№
+^
+<^
=2/
= У
d^-1Ve + f^+g^ = i
η
■=е
zn = x
ζ* — χ
ζ*1 = χ
У"е -\-f%-\- gxx =
и
У>+Л + еК = о
"|/"e -j-/#-J-<7## = w
V^ -{- fx -\- gxx = и
У^е -\-fx-\- gxx = и
-\- Adegu
ЫееЬ -f 2dgjfo — 2dfgux — 2d/jfe — Sdeeo -{- 4d/gs _ ^
4η<# — η/jf
,*-JLs=t
3*qg 2r\g
6dgx— bdf . bdff—Ыед
24tf\gg
Wv\gg
s = t
2,3,
4
№
3,4
№2,
3,4
Jb
3,4
VIII
«4-1
ν^+Αη+^2η
d*2l>-
Ve + f^+g^
Ve + № + gZ^~V
,*4-l
Ve + Zy-f^
:2/
*η = α
#' = #
*η = #
]/"е + /# -{-gxx = ι
Ι^β -j- /# -f- gxx ='
l/e -j- fx -J- ### = г*
Ye -|- fa; -}- ### = w
8d#s — Ыдих — 2dfu
Sdg
^eg — tiff
±en\g — 4[ff
XaGDB±.DBA треуг.
3,4
— idfs -j- 2d/w# -j- dei*
4ηβ# —η/7
+Bdff 2dffux
_—4ae# -|- 4 eg
*i\egg—rffg
= t
+ bUefg + 8<feW +10*/» + 10*#
— 16*/*- S — 2*/ft — 28deft — 16deeej *
2Ar\egs — β-nffgg
= f
IX
X
<7 + ^η
= y
<fev
^+л*4 Ve+/*4
■y
ife2"-1
g + hz* Ve + ft*
= У
XI t
/
<&ч-ч/ 6 + />η
ί?+^η
У
d^-i-ш/ e + f я*
g + hs*
V
• = x
g-^hz71
/
d
^ + Λ«η
•=ж
l/'
df , efe — fg
λ ■ h
V
df , eh — fg
r\fh
= 1
-\-Ugh —2egh 2 и* и
a/ s ι о/ МЛ7 + -Гdh—г — 2dfg —
/7
+v
■ = x
/=
+^η
= ж
/f+
eh — fg
h
XX = U
ν·
df eh — fg
XX = и
2ux — 4:S 4
_ = ^ = —-rrAOGa
4=gs — 2gux ■
2di*
a;
Y|A
У^ + fc»4 =ж
Vg + hP =x
feh — fg . f
У 9 ' g
/eh — fg , f
h ^ h
-feh-fg f
\/ h "*" h
XX = U
2du* xz~ η — 4dfs — Ыео
ffg — Wh
= t
2d s_
f\h
dhu*x 7 7 5
' —delfi
2rifhh
• = t
йак. 3296. — Ньютон..

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
133
III
Ряды различных родов, кроме второго в табл. I, можно продолжать до
бесконечности в обе стороны. В самом деле, в рядах третьего и четвертого родов
табл. I числовые коэфициенты начальных членов (2,—4,16, — 96, 768 и т. д.)
образуются посредством последовательного умножения на числа — 2, — 4, — 6, — 8, — 10
и т. д. Коэфициенты же следующих членов в третьем роде выводятся из начальных
коэфициентов ряда посредством последовательного умножения на —3/2, —5/4,
— 7/6, —9/8, —11/Ю, 13/12 и т. д*, в четвертом роде — посредством умножения
на —1/2, —3/4, —5/6, —7/8, —9/10, —11/12 и т. д. Коэфициенты знаменателей
1, 3, 15, 105 и т. д. получаются последовательным умножением друг на друга чисел
1, 3, 5, 7, 9 и т. д.
Во второй таблице ряды первого, второго, третьего, четвертого, Девятого
и десятого родов развертываются до бесконечности с помощью одного только
деления.
Например, в первом роде ты имеешь:
dz^
— ι
произведя здесь деление до надлежащего места, ты получишь
de*
й 3Tj_! de 2η_! dee η_χ /3
.ч-i
f ff ' f3 e + f** *'
Три первые члена принадлежат первому роду табл. I, а четвертый — к первой
форме этого рода. Отсюда ясно, что площадь есть
d зт) de 2tj , dee ъ β3
:Z ' η „Ζ ' Η -^ ΖΧ τ^-5,
3η/- 2η/Τ W3 'ψ '
где через s обозначена площадь конического сечения, абсцисса которого x = z'^,
d
а ордината и = , п .
e + fx
Ряды пятого и шестого родов можно продолжать до бесконечности с помощью
двух теорем пятого рода табл. I и надлежащего сложения и вычитания, ряды
седьмого и восьмого родов — с помощью теорем шестого рода табл. I и ряды
одиннадцатого — с помощью теоремы десятого рода той же табл. I.
Допустим, например, что требуется продолжить ряд третьего рода табл. II;
положи θ = — 4η; тогда первая теорема пятого рода табл. I будет:

134 МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
5η/
Согласно четвертой теореме об этом продолженном ряде мы, написав —
вместо d, получим:
_ 6η.^-3η-ι yeJrf^ =lj9 \^=х, Vfx-\-exx = u
и
ЮЛ*8 —16/jfc
12β ~~
Но вычитании отсюда первых значений для у и t остается:
,3
12е 2г*
Умножив это на —— и написав (если угодно) и6х вместо — , мы получим
пятую теорему о продолжаемом ряде, а именно
*-Уе + № = у, ± = х, VJx~+exx
Wdfu* — lbdffs du*x
48ηββ 4η^
IV
Некоторые роды можно вывести из других родов также и по другому. Так,
в табл. II пятый, шестой, седьмой и одиннадцатый роды можно вывести из восьмого,
а девятый из десятого, и я не опустил их лишь потому, что они могут быть в
некоторой степени полезны, хотя и вовсе не необходимы. Тем не менее я все же
опустил некоторые роды, которые мог бы получить из первого и второго, равно как из
девятого и десятого рода, из-за большой сложности их знаменателей, вследствие
которой они едва ли могут быть полезны.
Если определяющее кривую уравнение состоит из нескольких уравнений
различных родов или различных видов одного рода, то площадь ее равным образом
будет состоять из соответствующих площадей. Нри этом всегда следует иметь в виду,
чтобы они соединялись соответствующими им знаками. Ибо площади складываются или
вычитаются не всегда так же, как соответствующие им ординаты с ординатами;
иногда случается, что при образовании новой ординаты или соответствующей площади
для одних следует брать сумму, для других — разность. Это должно иметь место тогда,
когда составляющие площади прилегают к противоположным частям ординаты. Для
того чтобы осторожный геометр легче мог избежать этих препятствий, я проставил
при отдельных выражениях площадей надлежащие знаки, — ибо они иногда могут
быть отрицательными, — как это сделано в пятом и седьмом родах табл. II.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
135
VI
Относительно знаков площадей следует отметить еще, что -\-s означает либо,
что к прочим величинам, стоящим в значении /, следует прибавить прилежащую к
данной абсциссе площадь конического сечения (смотри первый из нижеследующих
примеров), либо, что следует вычесть площадь, расположенную с другой стороны ординаты.
Наоборот, —s означает либо, что должно вычесть площадь, прилежащую к абсциссе,
либо, что следует прибавить площадь, расположенную с другой стороны ординаты,
смотря по тому, что будет подходящим. Равным образом, если значение t
положительно, то оно означает, что площадь кривой прилежит к абсциссе; если, наоборот,
оно отрицательно, то оно представляет площадь, расположенную с другой стороны
ординаты.
VII
Для более точного определения этой площади ты должен найти ее границы.
Что касается границ абсциссы, ординаты и периметра кривой, то здесь не может иметь
места неопределенность. Но начальная граница, у которой кривая начинает
описываться, может занимать различные положения. В последующих примерах эта граница
либо находится в начале абсциссы, либо отстоит от него на бесконечное расстояние,
либо, наконец, помещается в точке, в которой кривая встречает абсциссу. Впрочем
она может быть взята в любом месте и, где бы она ни была, ее можно найти, определив
длину абсциссы, когда значение t равно нулю, и проведя там ординату.
В самом деле, проведенная таким образом ордината представит собой искомую
границу.
VIII
Если часть площади лежит под абсциссой, то t означает разность между ней
и той частью, которая лежит над абсциссой.
IX
Если в выражениях х, и ж t измерения членов слишком велики или слишком
малы, то их можно привести к надлежащей степени посредством деления или
умножения членов на некоторую данную величину, которую можно принять за единицу,
причем эти действия производятся столько раз, сколько необходимо для уравнения ко-
эфициентов.
X
Кроме приведенных выше каталогов или таблиц, можно построить также таблицы
для кривые, отнесенных к другим более простым кривым того же рода, как, например,
к Υ a -j- fx3 = и, или χ Υ е -{- fxs — и, или Υ е -\- fx* = и и т. д.
Всегда можно вывести площадь данной кривой на основании более простой
кривой, а также узнать, к каким кривым ее нужно относить. Теперь поясним на при-
иерах то, что было уже изложено выше.
Пример I
Допустим (фиг. 43, табл. IX), что QER есть конхоидальная кривая, природа которой
такова, что если описать полукруг QHA, провести АС перпендикулярно к диаметру AQ,
.достроить параллелограм QACI, провести его диагональ AI, встречающую полукруг

136
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
в точке Н, и опустить из Η на 1С перпендикуляр НЕ, то точка Ε окажется на этой
кривой, для которой требуется найти площадь ACEQ.
Обозначь AQ = a, AC = z, СЕ = у; вследствие непрерывной
пропорциональности IA, AQ, АН, ЕС ты получишь, что
ЕС или у =
а*178)
aa-\-zz'
Чтобы это уравнение приняло форму уравнений, имеющихся в таблицах, положи
η = 2 и напиши в знаменателе ζΆ вместо ζ2, а в числителе aV2 вместо а3 ида
aV"1; при этом получится, что
U-1
3*2
У-
αύζ
aa-l-z71
уравнение первого вида второго рода табл. II. Сравнив члены, ты увидишь, что d = aV
е = аа и /*=!, и поэтому
/■
aa-\-zz
= χ, У аъ — аахх = и, их — 2s = ί.
Для того чтобы привести найденные значения χ и гь к надлежащему числу-
измерений, выбери какую-нибудь данную величину, например а, и в выражении для χ
умножь один раз на нее, как на единицу, а3, а в выражении для и раздели на нее а8
один раз и аахх два раза. При этом ты получишь
/
= χ, Υаа — хх = м, их — 2s = t.
aa~-\~zz
А вот и построение.
Из центра А радиусом AQ опиши квадрант круга QDP, на АС отложи АВ = АН,
восстанови перпендикуляр BD, встречающий дугу в Д и проведи AD. Я утверждаю,,
что удвоенный сектор ADP равен искомой площади ACEQ. В самом деле,
V-.
а*
= (VAQXEC=HA = )AB
aa-\-zz
У аа — хх = (У ADq — ABq = ) BD или и,
и
их — 2$ = удв. треуг. ADB — 2ABDQ или = удв. треуг. ADB -f- 2BDP,
а эта площадь равна либо — 2QAD, либо -f- 2D АР. Из этих значений
положительное -\-2DAP соответствует площади ACEQ до ЕС, а отрицательное — 2QAD—
площади ВСЕВ, продолжающейся до бесконечности за ЕС,
Найдейные таким образом решения проблем .можно бывает иногда изложить более
изящно. Так, если в данном случае провести НВ, радиус круга QHA, то вследствие
равенства дуг QH и DPm) сектор QHB будет половиной сектора DAP и, значит,,
четвертью поверхности ACEQ.

МЕТОД ФЛЮКОИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
m
Пример II
Допустим (фиг. 44, табл. IX), что AGE есть кривая, описанная точкой Ε
находящейся в вершине наугольника AEF, у которого одна неограниченная
сторона АЕ всегда проходит через данную точку А, другая же сторона FE данной длины
скользит по ^^неограниченной прямой заданного положения180*. Опусти на AF
перпендикуляр ЕН и дострой параллелограм АНЕС. Если обозначить АС —я, СЕ = у
н EF — a, то ввиду непрерывной пропорциональности FH, НЕ, НА получится, что
НА или у — ■
V-
аа— zz
Чтобы найти площадь AGEC, положи ζζ = ζΆ или 2 = η, вследствие чего
γ аа— к
Так как ζ имеет здесь в числителе дробную степень, то преобразуй значение
1
восредством деления на ζ-2 ; ты при. этом получишь
ζ^1
ν
= У,
уравнение второго вида седьмого рода табл. II. Сравнивая члены, мы найдем, что
d = l, е = — 1 и f=aa. Поэтому
--(£-)
хх.
, Υ аа — хх = и и s — ux = t.
На основании этого, так как χ и ζ равны между собой и так как Υ аа — хх = и
есть уравнение круга, радиус которого а, опиши из центра А радиусом EF или а
круг PDQ, который СЕ пересечет в D, и дострой параллелограй ACDI. Тогда АС = #г
CD = u, и искомая площадь AGEC = s— их = ACDP—ACDV= IDP.
Пример III
Допустим (фиг. 45, табл. IX), что AGE есть циссоида, соответствующая^
кругу ADQ, описанному на диаметре AQ 181).
Проведем перпендикулярно к диаметру прямую ВСЕ, пересекающую эти
кривые в точках D и Е.
Если обозначить AC = z, СЕ = у и AQ = a, то, вследствие непрерывной
пропорциональности CD, АС и СЕ, получится, что
ZZ
СЕ или у = —,
у az — zz
и (по разделении на ζ)
ζ

138
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОй
Поэтому ζ — ζίι, η= —1 и, значит,
—20—1
Ζ
У = :
Ϋ~αζ"—\
Уравнение это третьего вида четвертого рода табл. II. Сравнение членов поэтому
дает, что d = l, е= —1 и f—a.
Следовательно,
з = —- = #, Υ ах— хх = и и 35—2их = t.
По этой причине АС=х, СВ = и, и поэтому АСВН = s. Значит, ЗАСВН—
— 4 треуг. ADC = 3s — 2их = ί = циссоидальной площади ACEGA. Или (что то же)
утроенный сегмент ADHA равен площади ADEGA или учетверенный сегмент ΑΒΉΑ
равен плоЩади AHDEGA.
Пример IV
Допустим (фиг. 46, табл. IX), что РЕ есть первая конхоида древних, описанная
лз центра G с помощью асимптоты AL и отрезка LE. Проведи ее ось GAP и опусти
ординату СЕ. Обозначь AC = z9 СЕ=у, GA = h и АР = с.
Пропорция
АС: СЕ — AL:: GC : СЕ
даст, что
Ъ-
СЕ или у = —:— Υ ее —
ζζ
ζ
Для того чтобы отсюда можно было вывести площадь конхоиды PEG, следует
отдельно рассмотреть части ординаты СЕ 182).
Если разделить ординату СЕ в точке В так, чтобы
СВ = Ycc — zzy a ED = — Ycc — ge,
ζ
то CD представит собой ординату круга, описанного из центра А радиусом АР.
Поэтому часть площади -СВР известна и остается найти часть ВРЕВ. Ввиду того, что
описывающая ее часть ординаты BE равна — л/fcc _Т?? то, полагая 2 = η, мы
получим уравнение ^
ш = ~У
ее-
т. е. уравнение первого вида третьего рода табл. П. Сравнивая члены, ты найдешь, что
d = b, е = сс и f— — 1, вследствие чего
т-1/7-·' ^=
ы*
1 -j- сехх = и, 2bccs = t.
По нахождении членов их следует привести к надлежащему числу измерений,
умножив слишком низкие и разделив слишком высокие на какую-нибудь данную
величину. Если сделать это при помощи с, то получится
ее л/- -1— 2bs Zm3
— = х у — се + хх = и, = /.
ζ г ι с ех

МЕТОД ФЛЮКСИИ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 13 Π
Это уравнение можно построить так:
Опиши гиперболу РК с центром А> главной вершиной Ρ и параметром 2АР. Затем из
точки С проведи прямую (Ж, касающуюся гиперболы в К. Тогда площадь СКРС будет
относиться к искомой площади DPED, как РА к удвоенной AG ш)184).
Пример V
Наугольник (фиг. 47, табл. X) GFE вращается около полюса G так, что
вершина F скользит по прямой AF данного положения. Представим себе, что какая-нибудь
точка Е, взятая на другой стороне ΕΈ, описывает кривую РЕ.
Чтобы определить площадь этой кривой, опусти перпендикуляры GA к ΈΗ
на прямую AF и, достроив параллелограм AHEG, обозначь GA = b, АС = 2, СЕ = у
u EF = с. Тогда, вследствие пропорции FH: НЕ: : GA : AF, ты получишь, что
У СС 22
Поэтому
СЕ или у= Ы У се —22 185).
У ее— 22
Далее, ввиду того что Усе — 22 представляет собой ординату круга, описанного
радиусом с, из центра А описывается такой круг PDQ, который продолженная
прямая СЕ пересекает в точке D. Тогда
У СС 22
С помощью этого уравнения следует определить площадь PDEP или DEBQ.
Ь*Тг_1
Поэтому положи η = 2 и 6 = &, тогда получится, что РЕ= , т. е. полу-
У ее — #г»
чится уравнение первого вида четвертого рода табл. I.
Посредством сравнения членов ты найдешь, что Ь = й, сс = е и — 1 = /', так
ЧТО Ъ УсС 28 = — ЪЕ =t.
Так как значение t отрицательно, то площадь, представленная /, лежит за
линией DE. Для того чтобы найти начальную границу, определи длину ζ, когда /
обращается в нуль,; ты найдешь ее равной с. Поэтому продолжи АС до Q так, чтобы
AQ = c, и восстанови ординату QE; тогда DQRED и будет той площадью, только
что найденная величина которой выражается через — Ь Усе — 22.
Если ты хочешь знать величину площади PDE, прилежащей к абсциссе АС и
простирающейся вместе с ней, не зная границы QB, то ты можешь определить ее
следующим образом.
Из значения, которое имеет t, когда абсцисса есть АС, вычти значение, которое
имеет t при начальной абсциссе, т. е. из —ЬУсс — 22 вычти — Ъс\ при этом ты
яайдешь искомую величину Ъс — ЬУее — 22. Поэтому дострой параллелограм PAGK
и проведи к АР перпендикуляр DM, встречающий GK в М. Параллелограм PKML
будет равен площади РВЕ.

140 МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Если уравнение, определяющее природу кривой, нельзя ни найти в таблицах,
ни привести делением или другими приемами к более простым членам, то его следует
преобразовывать в другие уравнения кривых, отнесенных к этой кривой, как мы
показали в проблеме Vtll, пока не получится какая-нибудь кривая, площадь которой можно
найти из таблиц. Если же и по исчерпании всех попыток такую кривую все-
таки найти не удастся, то можно считать достоверным, что предложенная кривая не
может быть сравниваема ни с прямолинейными фигурами, ни с коническими
сечениями.
Точно так же, когда дело идет о механических кривых, их прежде всего следует
преобразовывать в равновеликие геометрические фигуры, как это показано в той же
проблеме VIII; площади этих геометрических кривых следует затем находить по таблицам.
Вот пример этого.
Пример VI
Допустим, что требуется определить площадь фигуры, полученной из дуг какого-
либо конического сечения, приложенных как ординаты к их прямым синусам. Пусть А
есть центр конического сечения, AQ и АВ — полуоси, CD— ордината к оси АВ,
а PD— нормаль в точке D (фиг. 48, табл. X). Пусть, далее, АЕ есть указанная
механическая кривая, встречающая CD в Έ; согласно ее природе, определенной выше, СЕ
равно дуге QD. Ищется площадь АЕС или, если достроить параллелограм ACEF,
избыток AEF. Для этого положим, что а есть поперечная сторона конического
сечения, a b или 2AQ — продольная сторона. Положим также, что АС = г и CD = yB.
Тогда
что, как известно, есть уравнение конического сечения. Далее, РС = — ζ, и поэтому
V 4 ι ' аа
Так как флюксия дуги QD относится к флюксии абсциссы АС, как PD к DO
то, положив флюксию абсциссы равной единице, мы получим, что флюксия .дуги QD
или ординаты СЕ равна
V 4 ' аа
Умножая ее на FE или £, ты найдешь, что флюксия площади AEF равна

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
141
Поэтому, если на ординате CD отложить
186)
с /?
Ь — 2 - -=
66 + ah
ЪЪ -А ! zs
ее, ■ i
/>+Ь
а
то площадь ACG, описываемая движущейся вдоль АС линией CG, будет равна
площади AEF, и кривая AG будет геометрической кривой.
Итак, остается найти площадь AGC. Для того чтобы выполнить это, подставь
в последнее уравнение ζΆ вместо ζ~\ оно при этом обратится в
.,-/]
/:
4 "» = с.Ст:
4 ' а
т. е. в уравнение второго вида одиннадцатого рода табл. II. Сравнивая члены, ты
получишь, что
л л 1 77 . ЪЪ-{-аЪ , Ъ
i=l, е = — ЪЪ=д, f= —. и А = —-,
4 ал
так что
К 4 ' а у 4а ' а
а
Очевидно, что CD = x, DP=n и —s = 1. Построение можно выполнить
следующим образом:
Восставь в точке Q перпендикуляр QK, равный QA, и через точку D
проведи HI, параллельную QK и равную DP. Линия KI, на которой оканчивается HI,
будет коническим сечением, и ограниченная им площадь HIKQ будет относиться к
искомой площади AEF, как Ъ к а или как PC к С А.
Заметь, что если изменить знак Ъ, то коническое сечение, дуге которого равна
прямая СЕ, обращается в эллипс, а если кроме того взять еще Ъ — — а, то эллипс
обратится в круг, причем линия KI становится прямой, параллельной AQ.
После того как таким образом найдена и построена площадь какой-либо кривой,
следует найти доказательство построения, чтобы очищенная, насколько это возможно, от
алгебраических выкладок теорема стала отделанной, изящной и достойной
опубликования. Существует общий метод доказательства, который я попытаюсь пояснить на
следующих примерах.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОСТРОЕНИЯ: В ПРИМЕРЕ V
На дуге PQ (фиг. 47, табл. X) возьми точку d, бесконечно близкую к D,
ή проведи de и dm, параллельные DE и DM и пересекающие DM и АР в ρ и l·
DEed будет моментом площади PDEP, a LMml — моментом площади LMKP. Проведи

14-2
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
радиус AD и прими бесконечно малую дугу Dd за прямую. Тогда треугольники Dpd
к ALD будут подобны, вследствие чего
Dp : pd :: AL : LD\
но
FH :HE::GA: AF,
т. e.
AL : LD : : ML : DE,
и, следовательно,
J)p :pd:: ML : ##.
Поэтому
pBxOE=pdXML,
т. е. момент Z^ed равен моменту LMml.
Так как доказанное справедливо для всех одновременно порожденных моменюв,
то ясно, что все моменты площади PDEP равны всем одновременно порожденным
моментам площади PLMK, а поэтому равны составленные из этих моментов самые
площади, что и требовалось доказать.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОСТРОЕНИЯ В ПРИМЕРЕ III
Пусть (фиг. 45, табл. IX) DEed есть момент поверхности AHDE, a AdDA
одновременно порожденный момент сегмента ADH. Проведи радиус DK и пусть de
пересечет АК в с. Тогда
Cc:Dd::CD: DKm.
Кроме того
DC : QA (2DK) : : AC :DE;
значит
Сс : 2Dd : : CD: 2DK : : AC: DE,
ж
CcXDE = 2DdXAC.
Опусти иа продолженный момент периферии Dd, т. е. на касательную круга, перпендикуляр
Αϊ: тогда ΙΑ будет равно AC18S). Итак, 2DdXAC=2DdX ΑΙ = учетверенному
треугольнику AdD. Поэтому учетверенный треугольник AdD=CcXl)E = моменту DEed.
Таким образом любой момент пространства AHDE вчетверо больше одновременно
порождаемого момента сегмента ADH, в силу чего все это пространство вчетверо
больше всего сегмента, что и требовалось доказать.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОСТРОЕНИЯ В ПРИМЕРЕ IV
Проведи (фиг. 46, табл. IX) се параллельно и бесконечно близко к ,СЕ\ проведи
также касательную к гиперболе ск и опусти на АР перпендикуляр КМ: На основании
природы гиперболы
С А :АР: : РА : AM 189),
м поэтому
AGq : GLq : : CAq : LEq (или APq) : : APq : AMq,
откуда посредством деления
AGq : ALq (DEq) : : APq : AMq — APq (MKq).
и посредством обращения
GA : АР : : DE : MK Ш).

МЕТОД ФЛЮКОИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ,РЯДОВ
143*
Но площадка DEed относится к треугольнику СКс, как высота DE к половине
высоты КМ, т. е. как iG к —AT?. Поэтому все моменты пространства PDE отно-
сятся ко всем одновременно порожденным моментам пространства РКС, как AG
к — АР; следовательно, в том же отношении будут и целые пространства, что и тре-
191)
оовалось доказать '.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОСТРОЕНИЯ В ПРИМЕРЕ VI
Проведи dc параллельно и бесконечно близко к DC (фиг. 48, табл. X) и
пусть dc встречает кривую АЕ в е. Проведи также hi и fe, пересекающие DC в ρ и д.
По предположению dD = Eq,, и поэтому из подобия треугольников Ddp и DCP ты
будешь иметь:
pD : (Dd) Eq::CP: (PD) HI,
так что Dp X HI = EqX СРж, следовательно, DP χ HI (т. е. момент HIih) : Eq χ AC
(моменту EFfe) : : EqXCP : EqXAC : : CP : AC.
Ввиду того что PC и С А находятся в определенном отношении, а именно
в отношении поперечной оси конического сечения DQ к поперечной стороне, то в том
же отношении находятся моменты HIih и EFfe площадей HIKQ и AEF; следовательно, -
в том же отношении находятся и самые площади, что и требовалось доказать.
В доказательствах этого рода следует иметь в виду, что я считаю равными
величины, между которыми существует отношение равенства. При этом отношение
принимается за отношение равенства, если оно отличается от равенства на отношение
неравенства меньшее, чем какое угодно данное. Так, в последнем доказательстве я
предположил, что треугольник EqX АС или FEqf равновелик пространству FEef вследствие
того, что между ними нет отношения неравенства (ибо разность Eqe будет
бесконечно мала или равна нулю по сравнению с этими пространствами). По той же
причине я принял, что DP X HI = HIih, и аналогично в других случаях192).
Я использовал метод доказательства, в котором равенство или наличие данного
отношения между площадями кривых выводится из равенства или наличия данного
отношения между их моментами, потому что он имеет некоторое сродство с методами,
обычно применяющимися при таких обстоятельствах. Однако мне представляется более
естественным и согласным с природой вещей тот метод, который основывается на
порождении поверхностей посредством движения или флюксий 193). Основываясь на нем,
доказательство построения в примере II можно, например, провести следующим
образом.
По природе круга (фиг. 44, табл. IX) флюксия прямой DI относится к флюксии
прямой IP, как AI к ID, а по природе кривой AGE:
AI:ID::DI:CE1M)ld5).
Поэтому
CEXID = DIXIP^K
Но СЕ χ 7Z) равно флюксии площади ACEG, a D1 χ IP равно флюксии площади PDF

ш
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Поэтому площади эти, порожденные посредством равных флюксий, должны быть
равны, что и требовалось доказать.
Чтобы лучше пояснить это, я добавлю доказательство построения, с помощью
которого мы определили площадь циссоиды в примере Ш. Мы предполагаем, что линии,
обозначенные на чертеже (фиг. 45, табл. IX) пунктиром, стерты.
Проведи хорду DQ и прямую QR, представляющую собой асимптоту
циссоиды. По природе круга DQq = AQ χ QC. Поэтому (согласно проблеме I)
2DQ XQD = AQXQC, вследствие чего
AQ :QD:: 2DQ : QC.
Далее по природе циссоиды
ED:DA::AQ: QD;
следовательно,
ED:DA:: 2DQ : QC
И
ЕОХ№ = АВХ2Щ = ±Х±АВХЩт.
Так как DQ перпендикулярна к вращающейся вокруг А линии AD в ее конце
и — AD X QD равняется флюксии, производящей площадь ADOQ,. а вчетверо боль-
шее ЕВ X GQ равняется флюксии, производящей циссоидальную площадь QREDO,
то простирающаяся до бесконечности площадь QREDO оказывается в четыре раза
больше другой площади ADOQ, что и требовалось доказать.
ПОУЧЕНИЕ
С помощью приведенных выше таблиц по флюксиям их можно определять не
только площади кривых, но и величины другого рода, порождаемые посредством сходного
течения; основой при этом служит следующая теорема:
Величина какого-либо рода так же относится к единице того же рода, как
площадь некоторой кривой к единице поверхности, если флюксия, производящая эту
величину, так же относится к единице ее рода, как флюксия, производящая площадь,
к единице ее рода, т. е. как прямая, движущаяся перпендикулярно вдоль абсциссы и
описывающая площадь (или ордината), к линейной единице. Поэтому, если какая-
либо флюксия выражается через такую движущуюся ординату, то величина,
произведенная этой флюксией, выразится через площадь, описанную этой ординатой,
или же, если флюксия выражается через те же алгебраические члены, что и ордината,
то произведенная ею величина выразится через те же члены, что и описанная площадь.
На основании этого в первом столбце таблиц следует отыскать уравнение, выражающее
флюксию некоторого рода, тогда значение t, находящееся в последнем столбце,
представит собой произведенную ею величину.
1 -|- т~" пРеДставляет собой флюксию некоторого
рода. Положи ее равной у и, чтобы привести ее к форме уравнений, имеющихся

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
145
ш ааблицах, напиши ζΆ вместо #; тогда
"ГТ~9~Т
Ύ^+^"-
Это уравнение первого вида третьего рода табл. I. По сравнении членов получается,
9
что d = l, е = 1, f=—- и значит
4а
8α+18. Ζ" _9f_ = ^ _
27 У '4а 3V
Поэтому флюксией 1/ 1+-т— порождается величина ^— 1/ 1 -f-
4α
Точно так же, если бы флюксия выражалась через \/ 1-\ ^-, то после
9ат
2_
надлежащего приведения этого выражения (а именно вынесения ζ 3 за знак радикала
2^
и замены ζ 3 через £η) получится
/
А' |/
η , 16
^η+ι 1/ * "Ι ΊΓ = 2/·
9α3
Это уравнение второго вида пятого рода табл. П.
Сопоставление членов дает, что d = 1, е = и f = 1. Поэтому
9α :
2
£ = **, ι/"1
„ / , , 16жж 3 —2d
17 9а^ 2 η
По определении этих величин мы узнаем и величину, производимую флюк-
/
■■ τ/ ιΐ 16*3
сиеи: 1/ 1 -j ^—, взяв еег в том же отношении к единице ее рода, в каком нахо-
9а1"
дится площадь —s к единице поверхности, или (что сводится к тому же) предпо-
ложив, что t означает уже не поверхность, но величину другого рода, которая
относится к единице своего рода, как эта поверхность к единице поверхности.
\П
16#3
Так, допустив, что 1/ ι _|_ γ- выражает собой линейную флюксию}
daJ
я буду считать, что t выражает собой более не поверхность, но линию, которая, например/
находится в том же отношении к линейной единице, что и площадь, выражаемая (согласно
10 Зак. 3296. Ньютон.

146 МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕШЮНЕЧНЫХ РЯДОВ
таблицам) через t, к единице поверхности, или которая получится, если приложить эту
площадь к линейной единице. Если эту линейную единицу положить равной е, то длина,,
произведенная вышеуказанной флюксией, будет —.
Основываясь на этом, наши таблицы можно столь же хорошо применять при,
определении длин кривых, объемов производимых ими тел и всяких других величин,,
как и при определении площадей.
О ВОПРОСАХ, СВЯЗАННЫХ С ЭТОЙ ПРОБЛЕМОЙ
I
Приближенно определить плогщади кривых механическим путем.
Метод заключается в таком сочетании значений площадей двух или более
прямолинейных фигур, чтобы они образовали значение, по возможности близкое к
криволинейной площади.
Так, например (фиг. 49, табл. X), найдя для площади AFDB круга AFD,.
выражаемого уравнением χ — хх = ζζ, значение
2- 1 -1 1 — 1 -
ύχ*-ύΧ*--χ*--χ* η т. д.,
следует найти значения нескольких прямоугольников, как значение прямоуголь-
А Ι ± ι Ζ ι ±
ника BDXAB или хУ χ — хх или х2 — х2—"ё"^2—Ττχ2 и т· Д·* и зна~
чение прямоугольника AD X АВ или хУ х, или χ 2.
Затем все эти значения следует умножить на различные буквы,
выражающие собой неопределенные числа, сложить их вместе и сравнить члены этой суммы
с соответствующими членами выражения для площади AFDB, стремясь к тому, чтобы
оба эти выражения стали насколько возможно близкими к равенству. Например,
приведенные выше параллелограмы умножаются на е и /*; сумма их будет:
+ е Ύ 1 ί 1 Τ
Из сравнения членов этой суммы со следующими:
2 -L 1 -5- ι -L
получается, что ^
, * 2 1 1 2^2 4
о 2 5 о 3 1о
9 А ·
Поэтому -у DB χ В А -\- — Ό А X АВ почти = площади AFJDB. Действительно*.
-γ!>ΒχΒΑ + ±ΌΑχΑΒ = -1-χ* — *.χΤ—±χΙ — jU» и т. д.
2

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
147
По вычитании этого выражения из площади A FOB останется в качестве
ошибки только
1 Σ ι J_ 9
70*2+90;
™Х2+7ГпХ2 и т.д.
Точно также (фиг. 49, табл. X), если бы АВ была разделена в точке Ε
пополам, то значение прямоугольника АВ X DE было бы
хух~т
i- 3 — 9 — 27 —
хх или х2 — -g-#2 — ~Ϊ28Χ,2 — ~Υο2Ϊχ2 ж τ· Д·-
а это в сочетании с прямоугольником Ό А X АВ дает, что ~ на АВ =
χ О
1 - 1 ^
= площади AFDB; при этом ошибка есть лишь ——— χ2 -4- χ2 и т. д., что
560 о7ЬО
всегда меньше, чем всей площади даже в том случае, когда AFDB есть
четверть круга.
Теорему эту можно сформулировать так:
Прямоугольник, построенный на АВ и на DE вместе с пятой частью разности
между AD и BE, относится к площади AFDB9 почти как 3 к 2.
Комбинируя таким образом два прямоугольника АВ X ED и АВ X BD или
три прямоугольника, или беря еще большее число прямоугольников, можно
получить и другие правила, тем более точные, чем больше берется прямоугольников. То же
относится и к площади гиперболы и любых других кривых. Нередко площадь можно
бывает очень удобно выразить даже с помощью одного прямоугольника. Так, если
в круге, о котором мы говорили выше, взять ЕВ к ВА, как ]Ао к 5, то
прямоугольник АВ X ЕВ будет относиться к площади AFBB, как 3 к 2, и ошибка будет
всего
1 7 11 Я
198), 199)
1 ± , 11 JL
П5Х2+-2260Х2 ИТ-Д/ ■
Π
По данной площади определить абсгщссу и ординату.
Когда площадь выражается конечным уравнением, то в этом нет ни малейшей
трудности. Когда же площадь выражается бесконечным рядом, то для этого следует
определить'корень уравнения, выражающий абсциссу.
Так, например, для гиперболы, определяемой уравнением . =ζ9 ты най-
' ., Ъхх , Ъхъ Ъх*
я = Ъх \-~ —т и т. д.;
2а ' Ъаа 4а3
если ты пожелаешь теперь по данной площади найти абсциссу х, то определи корень
этого уравнения; ты получишь при этом
е . гв . гъ г* zb
Х~ X + "2abb"^6^P+ 24а3Ь± "·" 9б^65 И Т' Д*
10*

148
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Если тебе угодно найти также ординату я, то раздели аЪ на а -\- х, т. е. на
, Ζ , ΖΖ . 2Ъ Ί £4
а + — + ШЬ+ШЛ* + йШ И Т· Д·' ПРИ ЭТ0М ««учшся, что
£ ΖΖ Ζ6 Ζ*
ζ = 6 — и т. л
α 2aab 6а*ЬЪ 24а*Ь8 Д
Точно так же, найдя в случае эллипса, определяемого уравнением ах хх — zzy
что площадь
2 4-' 4- а2 #2 а2 #~2~ а2 х2
ζ = Ύα~χ ^-- ^з" "·^
3^ -
яапиши и3 вместо —— и t вместо χ2; тогда
2а2
з v^ 3*5 3*7 /9
<ϋδ = ίδ — и т. д.
Юс 56сс 48с3 А
Определив корень
+ ~ТоГ+ 1400сс + 25200с3 И Т' Д"
чгы найдешь квадрат его
, м* . 22uQ , 823^8
^ + ^ + Й57с+-7875^ ИТ-Д-
который и равен х.
Подставив это выражение вместо χ в уравнение
а
ах хх = ζζ
с
ж определив корень, ты получишь, что
J_ ' JL -i_
4~ 2а2 и* 38а2 м5 407а2 я7
'^ * Ьс 175^ 2250^ Ж Т· Д'
Так, зная площадь, следовательно, ζ и и или *■ / ——, определяются абс-
/ 3ζ
\1л
цисса χ и ордината ζ. Все это можно применить и к гиперболе, изменив только знак
200)
величины с в тех членах, в которых с входит в нечетных степенях '.
ПРОБЛЕМА X
Найти сколько угодно кривых, длину которых можно выразить с помощью
конечного уравнения.
Путь к решению этой проблемы открывают следующие положения.
I
Если (фиг. 50, табл. X) вообразить себе, что прямая DC движется так, что всегда
остается перпендикулярной к кривой ΑΏ, то все ее точки G-, г, g и т. д. описывают
другие кривые GK, rs, gk и т. д., которые все эквидистантны и перпендикулярны
к этой прямой 201).

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Ш
II
Если эту прямую неопределенно продолжить в обе стороны, то концы ее будут
двигаться в противоположных направлениях. Поэтому будет существовать какая-то
промежуточная точка, которая совершенно не участвует в движении и которую поэтому
можно назвать центром движения. Эта точка вместе с тем есть центр кривизны кривой AD
в точке D, о чем мы уже говорили выше. Пусть эта точка будет С.
Ш
Если линия AD не есть круг, но искривлена неравномерно, так что, например,
ее кривизна больше в направлении кои меньше в направлении к Δ, то центр будет
непрерывно менять свое положение, ближе подходя как в точке К, к более искривленным
частям и удаляясь, как в точке &, от менее искривленных, и таким образом он будет
описывать некоторую линию KCJc.
IV
Прямая линия DC всегда касается линии, описываемой центром кривизны.
В самом деле, если точка D на этой прямой движется по направлению к δ, то ее точка G,
расположенная с той же стороны от центра С и приближающаяся в то же время
к точке К, движется согласно положению II в том же направлении, что точка D.
Наоборот, если та же точка Ό движется по направлению к Δ, то точка д,
расположенная по другую сторону центра С и приближающая к й, движется в
направлении, обратном тому, в котором движется Д т. е. в том направлении, в котором
двигалась точка G при первом предположении, когда она приближалась к К. Таким образом
точки К и 1с лежат с одной стороны линии DC\ но точки К π к выражают собой ьсе
без исключения точки, поэтому ясно, что вся кривая лежит по одну сторону прямой
линии DC и поэтому не пересекается ею, а только касается ее202). Мы предположили
здесь, что линия οΰΔ постояв но все более искривляется в направлении ко и все менее
в направлении к Δ. Если бы в точке D кривизна была наибольшей или наименьшей,
то прямая DC пересекала бы кривую СК, но под углом меньшим, чем какой бы то
ни было прямолинейный угол, а это то же самое, что сказать, что прямая касается
кривой. В этом случае точка С есть граница или острие, в котором две части этой
кривой касаются друг друга, сходясь под наименьшим наклоном, поэтому лучше
говорить, что прямая DC, разделяющая угол касания, касается кривой, а не пересекает ее.
V
Прямая линия CG равна кривой СК. В самом деле, представь себе, что все
точки этой прямой г, 2г, Зг, 4г и т. д. описывают дуги кривых rs, 2r 2s, Ъг 3s, 4r 4s
и т. д., вместе с тем как благодаря движению прямой они подходят к кривой СК.
Так как эти дуги (согласно положению I) перпендикулярны к прямым, касающимся
кривой СК (согласно положению IV), то они также перпендикулярны и к этой кривой.
Вследствие этого части линии (Ж, которые гаключены между этими дугами и которые
вследствие бесконечной малости их можно считать прямыми, равны расстояниям между
этими дугами, т. е. (согласно положению I) равны отдельным частям прямой CG.
Прибавляя к равным равные, мы получим, что вся линия СК равна всей линии СО203) 204).

150
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Ты получишь то же самое, заметив, что всякая часть линии CG последовательно
накладывается при движении на некоторую часть кривой СК и поэтому измеряет ее
точно так, как обод катящегося по плоскости колеса измеряет расстояние, которое
беспрерывно описывается точкой касания.
Отсюда ясно, что проблему можно решить, взяв произвольным образом какую-
нибудь кривую AbDL и определяя для нее другую кривую КСЬ, на которой всегда
находится центр кривизны взятой кривой. Опустив перпендикуляры DB и CL (фиг. 51,
табл. X) на данную по положению прямую АВ, возьми на АВ какую-нибудь точку А
и, обозначив АВ = χ, a BD = у, выбери какую-либо определяющую кривую AD зависимость
между χ ж у. Затем согласно проблеме V отыщи точку С, с помощью которой сможешь
определить кривую КС и ее длину CG.
Пример
Допустим (фиг. 51, табл. X), что уравнение кривой есть ах = уу, так что
кривая будет аполлониевой параболой. Согласно проблеме V ты найдешь, что
AL = ^-a + 3x, CL— *У*
аа
DC = —! XI/ —г-аа-Х-ах.
а у 4
По установлении этих величин кривая КС определится с помощью AL и LC9
а длина ее с помощью DC. В самом деле, так как мы можем взять точки К ж С
на кривой КС где угодно, то допустим, что if есть центр кривизны для вершины
параболы. Предположив поэтому, что АВ и BD, т. е. χ и у, равны нулю, мы выведем
что DC = -^-a.
Это и есть длина АК или DG, после вычитания которой из неопределенного
выражения для DC останется
η η гм- а-\-Хх w, Г 1 . 1
СгС или СК= ■ XI/ -ζ-αα·\-αχ — α.
а у 2 2
Если тебе угодно теперь узнать, что это за кривая и какова ее длина безотно-
1_
2~
ы м ^ = п. т. = 1ш ТТлатлмтг
3 3
сительно к параболе, прими обозначения KL = z и LC = u; тогда z = AL —а
О 1 aZ гт
= ох или — # = х и —— = ах = уу. Поэтому
г
ν
21а аа
или
Ш3
iMi=cz =
—: ни,
27а

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
151
ъ это уравнение показывает, что кривая КС есть парабола второго рода209). Длина же
ее, если в выражении CG написать — ζ вместо #, будет
За + 4я
3α
Эту проблему можно также решить, зная уравнение, выражающее отношение
между АР и PD205), где предполагается, что Ρ есть точка, в которой пересекаются
абсцисса и нормаль к кривой. В самом деле, обозначив ЛР = х и PD = y, представь
себе, что СРВ, продвинувшись на бесконечно малое пространство, приходит, скажем,
в положение Cp>d. Отложи на CD и Cd части С А ж СЗ одинаковой длины, например = 1,
и опусти на CL перпендикуляры Ад и δγ, из которых первый Ад оторый я
полагаю = #) пересекает Cd в f. Достроив параллелограм д*$е и обозначив, как раньше,
через #, у, ζ флюксии величин х, у в. ζ, мы будем иметь:
βΔ:Δ/·::^Δ|2:Δδ"|2::^Ί2:^Δ|2::^|2:ΔΟ206>
ΟΔ
и
Af:Pp::AC:CP.
Поэтому после перемножения будет
to:Pp: :%£}*: СР.
6Δ
Но Рр есть момент абсциссы, увеличиваясь на который она становится Ар,
Ае— одновременно порождаемый момент перпендикуляра Ад, уменьшаясь на который
•он становится δγ. Поэтому Ае и Рр относятся как флюксии линии Ад (ζ) и АР (х),
т. е. как ζ и χ и, следовательно,
z:x::%$:CP.
СА
Но ак как
Щ2 = СК\2—Щ2=1—ы и <7Δ = 1,
QP— х ззх
ζ
Далее, какую-либо из трех флюксий х, у и ζ можно принять за равномерную,
.к которой я относятся другие; пусть χ будет эта флюксия, которая приравнивается
единице; тогда
1 — ζ ζ
Сверх того
и значит
а следовательно,
СР--
ζ
CA(l):Ag(z)::CP:PL
АС(1): Сд (V 1—zz) ::СР: CL207),
PL = :— и CL = — у 1—zz.

152
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Наконец, если провести pq параллельно бесконечно малой дуге Dd или
перпендикулярно к DC, то Pq будет моментом DP, с прибавлением которого последняя
становится dp, в то время как АР обращается в Ар. Поэтому Рр и Pq относятся
как флюксии АР(х) и PD(y), т. е. как 1 к у. Так как в силу подобия
треугольников Pjpq и Скд, СА и kg или 1 и^ находятся в том же самом отношении, то у = г»
Отсюда получается следующее решение проблемы.
Из данного уравнения, выражающего зависимость между χ и у, определи
(согласно проблеме "I) зависимость между флюксиями χ π у. Положив х—1, ты
получишь выражение для у, которому равно ζ. Написав затем ζ вместо у, найди с помощью
йоследнего уравнения (согласно проблеме I) зависимость между флюксиями х, у и г»
после чего, вновь подставив 1 вместо х, ты выведешь отсюда в* Найдя эти величины ^
возьми
1— УУ =ар, zXCP=PL
CPxVl—yy =CL;
С и будет точкой кривой, любая часть СК которой равна прямой линии СО,
представляющей собою разность касательных, проведенных в точках С я К я
перпендикулярных к кривой Dd 208).
Пример
Допустим, что уравнение, выражающее зависимость между АР и PD, есть
ах = уу; тогда прежде всего (согласно проблеме I) ах = 2уу или а = 2yz. Затем
В'Z ·
2yz-\-2zy = 0 или = 2. Отсюда получается, что
аа
PL=zX СР=±-а-^
2 а
CL = 2а~ χν Щу — я* ·
По вычитании из СР я PL соответственно у и χ останется
аа 2 а
Я вычитаю у я χ потому, что, когда СР я PL имеют положительные значения^.
то они попадают от точки Ρ в сторону D и А я тогда их нужно бывает уменьшить
путем вычитания положительных величин DP и РА. Когда же они имеют
отрицательные значения, то они попадают по другую сторону от Ρ и тогда их нужно
увеличить, что также произойдет при вычитании положительных величин DP я РА.
Теперь для определения длины кривой, на которой находится точка С,
заключенной между двумя ее точками К я С, следует найти длину касательной в точке К

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Ш*
и вычесть ее из CD. Пусть, например, К есть точка, в которой заканчивается
касательная, когда равны СА и kg или 1и^ что имеет место, когда абсцисса есть АР; напиши
тогда 1 вместо s в уравнении о — 2уг и ты найдешь, что о = 2у или —а —у.
4г/3 1
Поэтому в выражении CD, т. е. в — вместо у напиши —- а, причем полу-
ОО Jj
чится —а. Это и есть длина касательной в точке К или линии DG. Величина,
на которую отличается от нее найденное выше неопределенное значение CD, т. е
4?/3 1
— — а, и есть GC, которой равна часть кривой КС.
00) Δ
Для того чтобы узнать, что это за кривая, ты поступишь следующим образом:
От AL (предварительно изменив ее знак, чтобы она стала положительной) отними АК,
т. е. -т-я; при этом останется KL = Та> что обозначь через L Затем в
выражении для линии CL, которую я обозначаю и, вместо 4=уу — ось напиши —— . Отсюда по-
о
лучится, что
2* , ί 4 . Ш3
_τ/_α*==« или ш = «*,
т. е. уже найденное выше уравнение параболы второго рода209).
Если для зависимости между t и и вывести уравнение неудобно, то достаточно .
найти длины СР и PL. Так, например, если для выражения зависимости между АР"
и PD берется уравнение
Зоах -f- Заау — уъ = 0;
то из него (согласно проблеме I) прежде всего получается
ао -j- яя£ — yyz = 0;
тогда, далее,
Поэтому
Отсюда находятся
aaz — 2zyy — у у ζ = 0.
2zyy
PC
аа
уу—
_ 1-
аа
-УУ
И ζ =■
аа — уу
и PL = zXPC,
ζ
а с помощью этих выражений определяется точка С, лежащая на кривой; длина же
кривой, заключенная между двумя точками, определяется разностью двух
соответствующих касательных, DC или СР—у210).
Если, например, положить о = 1 и взять (для определения на кривой какой-
нибудь точки С) у = 2, то АР или χ обращается в
у* —Заау _ 2 1 :__ 4 _ 2

/154
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Если с целью определить другую точку взять у = 3, то
АР =6, * = 4~' * = Йб~' РС = — 84 и PL = — 10-ί.
Зная уже эти величины, отними у от PC, причем в первом случае получится — 4,
а во втором — 87, что и будет представлять собой длины обеих линий DC, разность
которых 83 и есть длина кривой между двумя найденными точками.
Сказанное относится к кривым, у которых между точками Сие или С и К
не имеется тех концов или границ, которые мы назвали остриями. В том же случае,
когда между этими точками имеется одно или несколько остриев (которые можно найти,
определяя наибольшие или наименьшие значения PC или DC), то следует по
отдельности найти длины частей кривой, заключающихся между такими концами и точками С
и К, а затем сложить эти длины друг с другом.
ПРОБЛЕМА XI
Найти сколько угодно кривых, длины которых можно сравнить при помогци
конечного уравнения с длиной какой-либо данной кривой или же с ее площадью,
приложенной к данной линии.
Проблема решается посредством подстановки выражения длины или площади
предложенной кривой в уравнение, которым мы пользовались в вышеразобранной
проблеме для определения зависимости (между АР и PD. Но для того чтобы вывести
отсюда (согласно проблеме Ι) ζ и в, следует прежде определить флюксию длины или
площади.
Для определения флюксии длины ее следует положить равной корню
квадратному из суммы квадратов флюксий абсциссы и ординаты. В самом деле (фиг. 52,
табл. XI), пусть ΒΝ есть ордината, перпендикулярная к абсциссе, ΜΝ и движущаяся
вдоль ΜΝ, и пусть QR есть предложенная кривая, на которой заканчивается ΕΝ.
Обозначив MN=s, NR = t и BQ = u, а флюксии их соответственно s, t, и,
представь себе, что прямая NE переходит в положение пг, бесконечно близкое к
первому, и опусти на пг перпендикуляр Es. Тогда Es, sr и гЕ будут одновременно
порождаемыми моментами линий ΜΝ, NE и BQ, с присоединением которых последние
«обращаются в Мщ пг и rQ. Но эти моменты относятся между собой как флюксии
тех же линий, и так как угол Esr прямой, то
или
У ss -}- U = и .
Но для определения флюксий s и i необходимо иметь два уравнения. Одно из
них должно определять зависимость между MN и NE или между s и t и из него
выводится зависимость между флюксиями s π i. Другое уравнение должно определять
зависимость между MN или NE данной фигуры и РА или χ искомой, и из него можно вывести
.зависимость, существующую между флюксиями s или i и флюксией χ или 1.

МЕТОД ФЛЮ1ЮИЁ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 155
Когда и найдено, j/и^ следует определить из третьего принятого нами
уравнения, с помощью которого определяется длина PD или у. Затем следует взять, как
в предыдущей проблеме,
РС = 1~УУ , PL = yXPC и DC=CP—y.
Пример I
Допустим, что as— ss — tt есть уравнение данной кривой QR, представляющей
2
собой круг; xx = as выражает зависимость между АР и MN и — и = у— зависи-
8
жость между длиной данной кривой QR и прямой PD.
тт · Λ · · а — 2s - ·
На основании первого уравнения as — 2ss = 2tt или —— s = t и поэтому
Δι
as -./-.. ;·
2t
На основании второго 2# = as и значит — = w, а на основании третьего
2х
= г, и поэтому
2#£
— и —у, т. е. — = £, и поэтому
о ot
St Stt
Найдя эти величины, ты должен взять
РС= г—УУ 9 PL = yXpc и DC = CP—y или PC \-QB.
Отсюда явствует, что длину данной кривой QR нельзя найти прежде, чем не
будет дана длина прямой DC и значит длина кривой, на которой находится точка С>
и обратно.
Пример II
Пусть дано попрежнему уравнение as — ss = U\ положи χ = s и uu — 4α# = 4α?/.
лх , as - , ·
Из первого уравнения ты, как и выше, выведешь, что -\- — = и, из второго, что 1=5
Δι
и значит — i=M? а из третьего, что 2гт — 4а = 4ш/ или (исключая и) ——1 = ^.
Следовательно, ττ — z 2И)·
4ί Ш
Пример Ш
Даны три уравнения: aa = st, a-\-3s = x и χ -f- и = у.
* · · ts ·
Первое, соответствующее гиперболе, дает, что O — ts-f-st или = £, откуда

156
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
а из второго 35 = 1, так что
-— Υ ss~\-tt = и.
3s '
Наконец, третье дает, что 1 +и = У или же
l+-^Vss + tt=*.
Поэтому, если допустить, что го означает флюксию корня -z~Vss-\-W, причем.
1 , и
- = ww, α
2tt 2Us
он тогда = w, а — -f· —— = ww, το %v = ζ, а отсюда
о %jSS
= 2 ww.
9ss 9s3
ts · 1
Если подставить сперва вместо t, затем — вместо s и разделить на 2ιν, то^
о О
получится
— 2й_ · _ .
21w&~W~Sm
Когда у и £ уже найдены, остальное выполняется, как в первом примере.
Допустим теперь, что из какой-нибудь точки кривой Q опущен на MN
перпендикуляр QV и требуется найти кривую, длина которой определяется длиной,
возникающей при приложении площади QBNV к данной линии. Обозначим эту данную линию
QRNV
через Е, длину ——, полученную посредством указанного приложения, через и,.
Ε
а ее флюксию через и.
Так как флюксия площади QENV относится к флюксии площади прямоугольного
параллелограма, построенного. на VN с высотой Ε как ордината или подвижная
линия "Ш? = £, описывающая криволинейную площадь, к подвижной линии Е,
описывающей в то же самое время прямоугольник, и так как флюксии и и t линий и и MN
(или s) или длины, которые возникают при приложении этих площадей к данной линии Е,
находятся в том же самом отношении, то и = ^=-. Поэтому следует определить при
Ε
помощи этого правила выражение щ остальное выполняется, как в предыдущих
примерах.
Пример IV
CLSS
Допустим, что QE есть гипербола, определяемая уравнением аа-] - = tt.
&SS ' CISS
Отсюда (согласно проблеме I) следует, что — = tt или — = t.
С Со
Если ты в качестве двух других уравнений теперь возьмешь уравнения x = s?
is t
и у = и, то из первого выведешь, что 1 = s, откуда % = — = -—.
Ε Ε

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ 157
t t _
Последнее же дает, что и = у или £==—-, вследствие чего £ = -— Подставив здесь
JtL Л/
*ass as · as · тт „
-η— или — вместо /, ты получишь, что -=— = г. Найдя у и ζ, возьми, как прежде,
QZ OZ J2jL/L
1 — W
7-^- = СР и у X СР = РЦ тем самым определятся точка С и кривая, на которой
ζ
находятся все такие точки.
Длина этой кривой определится на основании длины DC, равной СР—и, что
мы уже достаточно разъяснили.
Существует еще другой метод решения этой проблемы, сводящийся в общем
к тому, что определяются кривые, флюксии которых либо равны флюксии предложенной
кривой, либо же состоят из флюксий этой и других линий. Метод этот иногда может
быть полезен при преобразовании механических кривых в равные геометрические кривые.
Замечательный пример этого мы находим в спиральных линиях.
В самом деле (фиг. 53, табл. XI), пусть АВ есть заданная по положению прямая,
DB — дуга, движущаяся по АВ как по абсциссе и имеющая центр в точке А
ADA — спираль, на которой всегда заканчивается эта дуга, bd— дуга, бесконечно близкая
к первой, или же ближайшее место, в которое приходит при движении дуга BD, DC —
нормаль к дуге bd, dG— разность этих дуг, АН—другая кривая, равная спирали AD,
JBH — прямая, которая движется перпендикулярно вдоль АВ и заканчивается на
кривой АН, Ыь— ближайшее место, в которое приходит при своем движении линия
ВН, и НК — перпендикуляр к Ыь. Так как в бесконечно малых треугольниках DCd
ή HKh стороны DC и НК равны одной и той же третьей линии ВЪ и значит равны
между собой, a Dd и Н1г (по предположению) суть соответствующие части равных
кривых и значит тоже равны, и углы при С и К прямые, то равны также и третьи
стороны Cd и Kh. Затем, так как
AB:BD ::АЪ:ЪС::АЪ — АВ (ВЪ) ihc — BD (CG),
-то
BDXBb
АВ
Вычтя это из dG, мы получим, что
= CG.
АВ
Обозначь AB = z, BD = u и ВН=у, а флюксии их соответственно через
.s, и и у. Так как ВЪ, dG, hK суть одновременно порожденные моменты линий АВ,
BD и ВН, от прибавления которых они обращаются в Ab, bd π bh, то эти моменты
находятся между собой в том же отношении, что и флюксии. Поэтому поставь в
последнем уравнении флюксии вместо моментов и буквы вместо линий и ты получишь, что
UZ

• 158
МЕТОД ФЛЮШЖЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Если принять теперь ζ за равномерную флюксию или единицу, к которой
относятся другие флюксии, то уравнение будет:
и
ζ J
Поэтому, если зависимость между АВ и BD (или между ζ я и) выражается
уравнением, определяющим какую-либо спираль, то будет дана флюксия и (согласно
проблеме I), а также флюксия у, которая полагается равной и . А это (согласно
ζ
проблеме II) даст линию у или ВН, для которой у является флюксией.
Пример 1212)
ΖΖ
Если дано уравнение спирали Архимеда — = и, то (согласно проблеме I)
2Я * -о U Ζ Ζ · тт /
— = м. Вычти отсюда — или—, при этом остается — = ?/. Поэтому (согласно
α ζ о» О/
ΖΖ
проблеме II) —- = у. Это уравнение показывает, что кривая АН, которой равна
спираль ΑΏ, представляет собой аполлониеву параболу, поперечная сторона которой
есть 2а, и ордината ВН всегда равна половине дуги ВВ.
Пример II
Если бы была предложена спираль, определяемая уравнением zB = auu или
JL —
ζ 2 Sz 2
и = —j-, то мы получили бы отсюда (согласно проблеме I) и = ——, откуда, вычтя
аТ 2а*
лу & 2 βί ,
— или —j—, получили бы —— = у. Отсюда мы (согласно проблеме II) найдем, чта
ат 2ат
ζ* 1
— =2/, т. е.— ВВ — ВН; АН будет параболой второго рода.
За<
Пример III
/О I ' ζ
= и, то (согласно проблеме I)
2α-\-3ζ - и _ Г а А-е
мы имели бы — ' = и; если ты вычтешь отсюда — или. 1 / ! , то
2 yac-\-cz ζ V с
ζ
в остатке получишь —_ —у.
2Yac-\-cz *

МЕТОД ФЛЮКОИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
159'
Ввиду того что величину, порождаемую флюксией у, нельзя найти с помощью,
проблемы II иначе, как разлагая эту флюксию в бесконечный ряд, я согласно схолии
проблемы IX привожу ее к форме уравнений, находящихся в первом столбце
таблиц, подставляя ζΆ вместо ζ. При этом предыдущее уравнение переходит
^η-1
= У> уравнение второго вида четвертого рода табл. I. По сравнении.
членов получится, что d = —-> е — ас, f=c, так что
•2а
X V ac-\-cs = t = y.
Зс
Это и есть уравнение геометрической кривой АН, равной по длине спирали AD.
ПРОБЛЕМА XII
Определить длины кривых.
В предыдущей проблеме мы доказали, что флюксия кривой линии равна
квадратному корню из суммы квадратов флюксий абсциссы и перпендикулярной к ней
ординаты. Поэтому, приняв флюксию абсциссы за равномерную и определенную меру
или за, единицу, к которой относятся все остальные флюксии, и найдя затем из
уравнения, определяющего кривую, флюксию ординаты, мы будем иметь флюксию кривой,
по которой (согласно проблеме II) сможем вывести ее длину.
Пример I
Допустим, что дана (фиг. 54, табл. XI) кривая FDH, определяемая
уравнением
£3 , аа
Ία^"Ϊ2Τ~ У'
где, конечно, мы обозначили абсциссу ΑΒ = ζ, а подвижную ординату BD = y*
Из данного уравнения ты (согласно проблеме I) выведешь (положив единицу вместа
флюксии ζ ж у вместо флюксии у), что
3ζζ аа
= 2/.
аа 12ζζ
Сложив квадраты флюксий, ты найдешь, что
9г4 , 1 , а*
144?4
= U,
а по извлечении корня, что
3ζζ , аа
аа ' 12zz
Отсюда (согласно проблеме II)
= t.
аа
* - V ,
аа 12z
Здесь t представляет собой флюксию кривой, & t—ее длину.

160
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Поэтому, если требуется найти длину какой-либо части dD этой кривой, опусти
на АВ из точек d и D перпендикуляры db и DB и в выражение t подставь порознь
вместо з значения АЬ и АВ. k Разность получающихся при этом результатов
и будет искомой длиной dD. Например, пусть АЪ = — а и АВ = а. Написав -^гУа
Δ Δ
а . ± На
вместо #, ты найдешь, что t = — —; написав затем а вместо ζ, ты получишь, что t = -—— ;
23
из этого значения вычти первое; разность —а и будет длиной dD. Если бы было
дано только АЪ = — а, а АВ оставалось неопределенным, то мы имели бы для dD
£3 аа , а
выражение гтг -4- ?гт ·
г αα 12£ ' 24
Если ты хочешь узнать ту часть кривой, которая выражается через t, то
. положи выражение t равным нулю. Тогда ты получишь, что
а4 а
Поэтому возьми
АЪ = Т7=:
У 12
8 CLUL
и восставь перпендикуляр bd. Тогда длина дуги dD и будет t или —-. Тоже
самое относится вообще ко всем другим кривым.
Тем же путем следовало бы итти и в том случае, если бы была предложена
другая кривая с уравнением
г* аъ _
W + ЪЪгв ~ У'
Отсюда получалось бы, что
#* α3
α3"- 32^ = "
Точно так же, если бы было дано уравнение
Λ 1 - -1
3
а2
то отсюда получилось бы, что
з
! 9а'*'=У,
*т , ι 4-4-
α
Вообще, если
2
2-е
θ
где θ означает любое целое или дробное число, то

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И ББОКОНБЧНЫХ РЯДОВ
161
Пример II
Допустим, что дана кривая, определяемая уравнением
2αα + 2** ч/ лГ ; ■
Тогда (согласно проблеме I)
У~ 3^
дли (по исключении if)
2ζ ,
У~тУ <*<* + **·
Прибавив квадрат этой величины к единице, ты получишь
' <ш ' α4 '
корень квадратный из этого будет
1 аа
Отсюда ты выведешь (согласно проблеме II), что
При мер III
Допустим, что дана парабола второго рода, уравнение которой
з* = ауу или ^-г = у.
Последнее уравнение дает (согласно проблеме I)
—г = У-
2а2
Поэтому
/:
ι±*.-Κ7ϊ*~*
Но так как длина кривой, порождаемая флюксией \, не может быть здесь найдена
о помощью проблемы II без разложения в бесконечный ряд простых членов, то я
обращаюсь к таблицам проблемы IX π согласно относящейся к ней схолии нахожу, что
_8а+18,
7х/'+й
27
По такому же способу можно найти длины парабол, определяемых уравнениями
л5 = ш/4, ^ = аг/6, £9 = ш/8 и т. д.
11 Зак. 31296. Ньютюя.

162
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Пример IV
Допустим, что дана парабола, уравнение которой
ζτ
я* = αιβ или —- = г/.
Отсюда (согласно проблеме 1) получается, что
όα
Поэтому
_1_
/
1 К* 3 / 7~Г
1+^=|/ i+yy=t.
9а1
Найдя эти величины, я согласно вышеупомянутой схолии обращаюсь к таблицам и по
сравнении этих членов с членами второй теоремы пятого рода табл. II нахожу, что
ϊ-χ,γ
16 хх 3
1- = п и ~2*
9ат
Здесь χ обозначает абсциссу гиперболы, у — ординату, s — площадь, а/ — длину
3 м „
которая получается из площади — s посредством приложения ее к линейной единице.
Таким же путем можно привести к площади гиперболы длины парабол ζ6 = ауъ„
г% — ayi^ ^ю = αιβ и т< дш
Пример V
Допустим, что дана (фиг. 55, табл. XI) циссоида древних, уравнение которой,
аа — 2αζ-\-ζζ ф 2гз)
лГ =У '
у αζ — ζ ζ
Отсюда (согласно проблеме I)
а + 2ζ \Г
и поэтому
α /*α-}-3ζ \Г · · ·
Если написать ζΆ вместо — или «гГ1, то это выражение обращается в;
т. е. уравнение первого вида третьего рода табл. П.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
163
Сравнивая члены, я нахожу, что — — d, 3 = е и a — f, так что
== — = хх, У а -\- Зхх = и
ζ
ζΆ
х r\f 2ех
Если принять а за единицу, с помощью умножения или деления на которую эти
величины можно привести к должному числу измерений, то получается
ае = хх, Уаа-\-Ъхх=и, — — — = *·
Построить это можно следующим образом.
Пусть DFecTb циссоида, VA диаметр соответствующего круга, AF асимптота
циссоиды и DB— перпендикуляр к AV, пересекающий кривую в D. Опиши гиперболу
FkK с полуосью FA = AV и полупараметром GA = -«- AV, возьми АС средней
о
пропорциональной к В А и AV и в точках С ж V восставь к AV
перпендикуляры Ск и VK, пересекающие гиперболу в к и К. Пусть прямые Ы и КТ
касаются гиперболы в этих точках и пересекают AV в t и Т. На AV построй
прямоугольник AVNM с площадью, равной TKkt. Я утверждаю, что длина
циссоиды равна ушестеренной высоте VN2U).
Пример VI
Допустим (фиг. 39, табл. VHI), что Ad есть эллипс, уравнение которого
У az— 2zz = y, и что предложена механическая кривая AD, природа которой
такова, что если продолжить Bd или у до встречи с кривой в точке D, то BD будет
равно дуге эллипса Ad 215\
Для определения длины этой кривой я беру флюксию уравнения ]/ az— 2zz — yp
т. е.
а — 4z
2 V' az —
прибавив квадрат этого выражения к единице, ты получишь в качестве квадрата
аа — 4az 4- 8zz
флюксии дуги Ad величину ——q— .
Прибавив к этому вновь единицу, ты будешь иметь —, корень квадратный
из чего
а
2У az — 2zz
представляет собой флюксию кривой AD.
11*

164
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Если вывести за знак радикала ζ и вместо ζ написать ζΆ, то это выражение
примет вид
2гУаг*—2'
т. е. флюксии первого вида четвертого рода табл. II. Сопоставляя члены, ты
обнаружишь, что d = — a, е = — 2 и /*=а, вследствие чего
1
= хщ ν ах — 2хх = ι
Τ ' ¥
8s 4ьпх , Sde к, 1 fu
a a ' r\ff 2 4е
Вот построение этой величины. Проведи прямую dC к центру эллипса С, на АС
построй параллелограм, равновеликий сектору ACd; удвоенная его высота будет
равна длине кривой ΑΌ.
Пример VII
Допустим (фиг. 56, табл. XI), что A$ = o(Nil) и αδ есть гипербола, уравнение
которой Υ — α + δφφ = βδ, а ТЬ касательная к ней.
Допустим, далее, что дана кривая VdD, абсцисса которой АВ есть —, а
перпендикулярная ордината которой BD равна длине, получающейся при приложении
площади αδΤα к линейной единице.
Для определения длины этой кривой VD я ищу флюксию площади аЬТа, предпола-
а г
гая, что АВ течет равномерно, и нахожу ее равной —τ- у Ъ — αζ (принимая, конечно,
ΑΒ = ζ, а ее флюксию = 1).
Действительно, AT= — =^-Y ζ, а флюксия ее —. Половина произ-
*? Ь Ύ 2b Υ ζ
ведения этой величины на высоту βδ или Л/ —а-\-— представляет собой
флюксию площади αδΤ, описанной касательной δΤ. Поэтому эта флюксия равна—у- Yb — αζ,
что по отнесении к единице и будет флюксией ординаты ВВШ\
Прибавив квадрат этого — - — к единице, квадрату флюксии АВ, ты получишь
lb buzz
aab — adz —|— 16 bbzz
' Wbbzz '
корень квадратный из чего
—г- Υ aab — adz -4-16 bbzz
4b? {
и есть флюксия кривой VD. Но — это флюксия первого вида седьмого рода табл, II.

МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
165
Сопоставив члены, ты найдешь, что — = d, ааЪ = е, —a2 = f, 1бЪЪ = д и поэтому
z = x и У ааЬ — Фх -4-16 ЪЪхх = w
. (это уравнение конического сечения, скажем HG (№ 2), площадь которого EFGH есть 5
и в котором EF = x и FG = u). Далее,
-L = £ и V1666 —α8ξ + άϊ*Κ = ο
(это уравнение другого конического сечения, скажем il/Z (№3), площадь которого
IKLM есть σ и в котором /ΛΓ=ί и JCL = t>). Наконец,
2а#ЬЫ;о — а3Ьи — а% — ^ааЪЪо — 32abbs
= бШ — а* "
Поэтому, чтобы узнать длину какой-либо части Dd кривой VD, опусти на АБ
перпендикуляр db и положи Ab = z. Затем с помощью только что найденного
определи значение t. Далее, возьми AB = z и при этом снова определи t. Тогда
искомая длина Dd выразится разностью этих двух значений ί.
Пример VIII
Допустим, что дана гипербола с уравнением Уаа-\- bzz = у.
Отсюда ты будешь (согласно проблеме I) иметь, что у==— или
У Уаа + Ъгг
Прибавь квадрат этого выражения к единице. Корень квадратный из этой
суммы будет
/:
аа + bzz -j- bbzz
act -\- bzz
Так как этой флюксии в таблицах нет, то я обращаю ее в бесконечный ряд.
Деление сперва дает
t= 1/ I ~\ S3 Ί^-\-—-Ζ* --.2s И Т. Д.,
У ' аа a* l aQ as
а извлечение корня затем приводит к уравнению
ί ===== 1 —ί ζζ - ζ* -\ ' · ZQ и т. д.
1 2аа За* ^ 16а6
Отсюда находится (согласно проблеме II) дуга гиперболы:
ЬЬ . 4Ь84-6* .. . sb*4-4b~°+bQ ,
£° Η ! £-! ,2 < И Т. Д.
6αα 40а* ' 112а6
Если бы был предложен эллипс Уаа — bzz = у, то следовало бы всюду изменить
знак при b и для длины его дуги получилось бы
ЬЬ
"* 6aa
, . 4&8 —Ь* . . 8Ь* —4й5 + Ь6 7
^ + "4(кйГ-^+ 112а6 ** И Т· Д*

166
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
Подобным же образом, если положить вместо Ъ единицу, получится длина дуги круга,
ВМеНН° , * , 8* , б,*
**~ баа "■" 40α* ~>~ 112а6 И Т' Д'
Все числовые коэфициенты этого ряда можно без конца находить с помощью
непрерывного перемножения членов следующей прогрессии:
оо зхз 5_хь 7^X2 9X9 дт М7>
2X3' 4X5' 6X7' 8X9' 10 X 11 ' А' "
Пример IX
Допустим, наконец, чфо дана (фиг. 57, табл. XI) квадратриса VDE, вершина
которой есть V; пусть А— центр и AV—радиус соответствующего внутреннего круга,
а угол VAE прямой. Проведем через А какую-нибудь прямую AKD, встречающую
круг в К, а квадратрису в D, и опустим на АЕ перпендикуляры KG и DB. Обозначь
KV = x, VA = a, AG = z, BD=y.
Тогда, как в предыдущем примере,
. з* . З^5 . 5^7
* = * + 1^ + ^+ш* ит-д-
Определив отсюда корень, ты получишь, что
хъ хь х1
*^х~-^"Г !20д4~~ 5040а6 И Т* Д'
Вычти квадрат этого выражения из AKq или аа. Тогда квадратный корень
из остатка, т. е. а
XX . X* хь,
будет равен GK. Так как согласно природе квадратрисы
ЛВ=ГК = х
и так как
AG:GK::AB:BD(y),
то, разделив АВ X GK на AG, ты получишь, что
хх х1 2xQ
Следовательно (согласно проблеме I),
2х 4.г3 4#5
V = я ^ И Т. Д.
J За 45а3 315а° д
Прибавь квадрат этого выражения к единице и найди корень из суммы, который
будет равен , I** . «О**6
+ 9αα "^Οδα*-^ 127575а6 И Т' Д'
Отсюда (согласно проблеме II) можно получить дугу квадратрисы ί, а именно:
2г·3 14жб . 604ж7
— * + ~27αα + 2025α* + 893025а6 И Т< Д<

РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
ВВЕДЕНИЕ
Я здесь рассматриваю математические величины не как состоящие из крайне
жалых частей, но как описываемые непрерывным движением. Линии описываются и
производятся описыванием не через приложение частей, но непрерывным движением точек,
поверхности — движением линий, тела — поверхностей, углы — вращением сторон,
времена— непрерывным течением, и также обстоит дело и в других случаях. Эти
образования поистине коренятся в сущности вещей и ежедневно наблюдаются нами в
движении тел. Таким же образом объясняли и древние образование прямоугольников
посредством движения подвижных прямых вдоль неподвижных 218) 219).
Заметив, что возрастающие и производимые возрастанием в равные времена
величины оказываются большими или меньшими в зависимости от большей или меньшей
скорости, с которой они возрастают или производятся, я стал искать способ определения
величин по скоростям движения или приращений, с которыми они производятся. Назвав
эти скорости движения или приращений флюксиями, а величины, ими
производимые,— флюэнтами, я постепенно нашел в- продолжение 1665 и 1666 гг. метод
флюксий, которым здесь пользуюсь при квадратуре кривых220).
Флюксии—относятся почти как приращения флюэнт, произведенные в равные и
крайне малые частицы времени и, точнее говоря, находятся в первом отношении
зарождающихся приращений. Однако их можно представить любыми пропорциональными
им лилиями.
Пусть, например (фиг. 1, табл. XII), площади ABC, ABDG описываются
ординатами ВС\ BD, перемещающимися равномерным движением вдоль основания АВ. Флюксии
этих площадей будут относиться между собой как описывающие ординаты ВС и BD,
и могут быть представлены этими ординатами, потому что эти ординаты находятся
•в том же отношении, что рождающиеся приращения площадей.
Пусть ордината ВС перемещается со своего места ВС в какое-нибудь новое
место Ъс.
Достроим параллелограм ВОЕЪ и проведем прямую VTH, касающуюся кривой
•з С и встречающую продолжения прямых Ъс и В А в Τ и V. Только что порожденные
лриращения абсциссы АВ, ординаты ВС и кривой линии АС с суть ВЪ, Ее и С с;
νΒ первом отношении этих рождающихся приращений находятся между собой и стороны

168 РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
треугольника СЕТ. Поэтому флюксии линий АВ, ВС и АС находятся в том же
отношении, что стороны СЕ, ЕТ и ТС этого треугольника СЕТ, и могут быть выражены
этими сторонами или, что то же самое, сторонами подобного треугольника VBC.
Дело сведется к тому же, если взять флюксии в последнем отношении
исчезающих частей. Проведем прямую Сс и продолжим ее до К. Если прямая Ъс вернется
в свое прежнее место ВС, то при совпадении точек С л с прямая СК совпадет
с касательной СИ и исчезающий треугольник СЕс в последней своей форме станет
подобным треугольнику СЕТ и его исчезающие стороны СЕ, Ее и Сс окажутся,
наконец, между собой в том отношении, в котором находятся СЕ, ЕТ и ТС, стороны
другого треугольника СЕТ. Следовательно, в этом отношении находятся и флюксии
линий АВ, ВС и СА. Если точки С и с отстоят друг от друга на какой-либо малый
промежуток, то прямая СК мало отстоит от касательной СН. Для того чтобы прямая СК
совпала с касательной СН и нашлись бы последние отношения линий СЕ, Ее и сС,
необходимо, чтобы точки С ж с сошлись и совершенно совпали. В математике
не следует оставлять без внимания и самые малые ошибки 221) 222J 223К
Подобное же рассуждение показывает, что если вдоль абсциссы А В равномерно
движется под прямым углом к ней круг, описанный из центра В радиусом ВС,
то флюксия произведенного тела ABC будет пропорциональна производящему кругу,
а флюксия его поверхности — окружности этого круга, умноженной на флюксию
кривой АС. В самом деле, в то самое время, когда тело ABC образуется движением
этого круга вдоль абсциссы АВ, движением окружности этого круга вдоль кривой АС
образуется также и его поверхность. Вот также нижеследующие примеры применения
этого метода.
1
Прямая {фиг. 2, табл. XII) РВ, вращаясь вокруг данного полюса Р, пересекает
другую прямую АВ, заданную по полооюению. Ищется отношение флюксий этих·
прямых А В η РВ.
Пусть прямая РВ передвинулась со своего места РВ в новое РЬ. На РЬ
берется PC, равная РВ, ж л А В проводится PD так, что угол ЪРВ равен углу ЬВС.
Вследствие подобия треугольников ЬВС и ЬРВ приращение ВЬ будет относиться
к приращению СЬ, как РЬ к bD.
Если теперь РЬ вернется на свое первоначальное место РВ, так что нти
приращения исчезнут, то последнее отношение исчезающих величин, т. е. последнее*
отношение РЬ к ВЬ, будет равно отношению Ρ В к DB при прямом угле PDB. Поэтому
в том же отношении находится флюксия АВ к флюксии РВ 224).
II
Прямая {фиг. 3, табл. XII) РВ, ерахщаясь вокруг данного полюса, пересекает
две заданные по полооюению прямые АВ и АЕ в В η Ε. Ищется отношение
флюксий этих прямых АВ η АЕ.
Пусть вращающаяся прямая РВ передвигается со своего места в новое РЬ,
пересекающее прямые А В ж АЕ в точках Ь и е. Проводится прямая ВС,
параллельная АЕ и встречающая РЬ в С. Тогда ВЬ будет относиться к ВС, как Ао к Ае,
а ВС к Ее, как РВ к РЕ, и, если перемножить отношения, ВЬ к Ее, как АЪ X РВ

РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
169
к Ае X РЕ. Если теперь прямая РЬ вернется на свое первоначальное место Ρ Б, то
исчезающее приращение ВЬ будет в том же отношении к исчезающему приращению Ее,
как АВ X РВ к АЕ X РЕ. Поэтому в том же отношении находится флюксия прямой АВ
к флюксии прямой АЕ.
Отсюда следует, что если вращающаяся прямая РВ пересекает в точках ВжЕу
какие-либо заданные по положению кривые, а подвижные теперь прямые А В и АЕ
касаются этих кривых в точках пересечения В и Д то флюксия кривой, которой
касается прямая АВ, относится к флюксии кривой, которой касается прямая АЕ, как
АВ X РВ относится к АЕ X РЕ. Это же будет происходить и в том случае, если прямая РВ
постоянно ъасается какой-либо заданной по положению кривой в подвижной точке Ρ 22δ).
Ill
Величина χ течет равномерно. Требуется найти флюксию величины хп.
В то же время, когда величина χ в своем течении обращается в х-\-о,
величина хп переходит в х-\-оп, т. е. согласно методу бесконечных рядов в
η \ п — 1 ι п]Ь п η — 2 ,
χ -f- пох -| -— оох -f- и т· Д·
Приращевия
0 и пох -) — оох -J- и т. д.
относятся между собой, как
71-1 τ ЯГС П п_2 .
1 к пх -\ -— ох -|" и т. д.
Если теперь эти приращения исчезают, то последнее их отношение будет Г
к тгж""""1, и поэтому флюксия величины χ относится к флюксии величины хп, как 1
к ην""1 226λ
Пользуясь методом первых и последних отношений, можно с помощью
аналогичных рассуждений получить в любых случаях флюксии как прямых, так и кривых
линий, а также флюксии поверхностей, углов и других величин. Подобное построение
анализа посредством конечных величин и исследование первых или последних отношений
нарождающихся или исчезающих конечных величин согласно с геометрией древних 219),
и я желал обнаружить, ч:то в методе флюксий нет необходимости вводить в геометрию
бесконечно малые фигуры.
Можно, правда, провести анализ на каких: угодно фигурах, и конечных и
бесконечно малых, которые представляют себе подобными исчезающим, так же как и на
фигурах, которые в методах неделимых обычно считаются бесконечно малыми, но
только при этом следует действовать с должной осторожностью 227).
Найти по флюксиям флюэнты — задача более трудная и первый шаг решения
равнозначен квадратуре кривых, о. которой я некогда и написал нижеследующее 228).
РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
Неопределенные величины я рассматриваю ниже, как возрастающие или
убывающие в непрерывном движении, т. е. как притекающие или утекающие. Их я обо-

170
РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
значаю буквами #, у, «г, м, а их флюксии или скорости возрастания — теми же буквами,
но пунктированными: ζ, у, х, и. У этих флюксий также существуют флюксии или более
или менее быстрые изменения, которые можно называть вторыми флюксиями ζ, у, х, и
и обозначать следующим образом: #, у, х, и; первые флюксии этих величин или третьи
флюксии ζ, у, х, и можно обозначать ζ, у, х, и, а четвертые — я, у, #., и. Подобно
тому как#, у, х, и суть флюксии величин ζ, у, х, и, а, эти — флюксии величин ζ у, х, и,
а эти — флюксии первоначальных величин ζ, у, х,, и, так и эти
величины можно рассматривать как флюксии других величин, которые я обозначаю через
I Г Г Г It It It It
z9 у, ху и, а эти — как флюксии других ζ, у, х, и, и эти опять — как флюксии других
ζ, у, х, и. Таким образом ζ, ζ, ζ, ζ, ζ, ζ, ζ, ζ к т. д. обозначают ряд величин, из
которых каждая последующая есть флюксия предыдущей и каждая предыдущая есть флюэнта,
имеющая своей флюксией последующую.
Таков ряд
У αζ — ζζ, У'αζ — ζζ, Υ αζ—ζζ, Υ αζ — ζζ, ]/αζ— ζζ, Υαζ— ζζ,
а также ряд
αζ -{-ζζ αζ-\- ζζ αζ -\-ζζ αζ -f- ζζ αζ -{-ζζ αζ-\- ζ ζ
It ι
> У У " J
a — ζ a — ζ a — ζ a — ζ a — ζ a — ζ
Следует отметить, что всякая предыдущая величина в этих рядах выражает
площадь криволинейной фигуры, для которой прямоугольной ординатой служит
последующая величина, а абсциссой ζ. Например, Υ αζ— ζζ есть площадь кривой,
ордината которой есть Υ αζ — ζζ и абсцисса ζ. К чему все это — выявится из нижеследующих
.положений -29).
ПОЛОЖЕНИЕ I
ПРОБЛЕМА I
По данному уравнению, заключающему сколько либо флюэнт, найти флюксии,
РЕШЕНИЕ
Каждый член уравнения умножается на показатель степени каждой содержащейся
в нем флюэнты и при отдельных умножениях одно основание степени заменяется на
свою флю-ксию. GyMMa всех произведений со свойственными им знаками составит новое
уравнение.
Объяснение
Пусть а, Ъ, с, d и т. д. — величины определенные и неизменные и предла-
тается какое-либо уравнение, содержащее флюэнты ζ, у, χ к т. д., например:
хв — xxjij -J- ααζ — Ъ3 = 0.
Сперва члены умножаются на показатели степеней χ и при отдельных
умножениях вместо основания степени или χ в первом измерении пишется х; сумма
произведений тогда будет Зххх — хуу. То же делается в отношении у и получится — 2хуу.

РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
171
То же делается в отношении ζ и получится aaz. Сумма произведений полагается
равной нулю и получается уравнение:
Ъххх — хуу — 2хуу -f- aaz = 0.
Я утверждаю, что этим уравнением определяется отношение между флюксиями.
ДОКА ЗАТЕЛЬСТВ О
В самом деле, пусть о есть очень малая величина и пусть oz, оу, ох суть моменты,
т. е. мгновенные одновременные приращения величин ζ, у, х. Если теперь флюэнты
суть ζ, у, х, то через момент времени по возрастании на свои приращения oz, оу, ох
они обращаются в z-\-oz, у-\-оу, х-\-от, каковые после введения их в
первоначальное уравнение вместо ζ, у, χ дают уравнение:
хъ -J- Ъххох -{- Ъхоохх ~\- оорхъ — хуу — охуу — 2хоуу —
— 2хооуу — хооуу — хоооуу -|- ααζ-\-ααοζ — Ьъ = 0.
Отсюда вычитается первоначальное уравнение и остаток делится на о. Тогда
Ъххх ~\- Зххох -\- хъоо — хуу — 2хуу — 2хоуу — хоуу — хооуу -\- aaz = 0.
П^сть величина о бесконечно уменьшается; тогда по пренебрежении исчезающими
членами останется
Ъххх — хуу — 2хуу -j- aaz = О,
что и требовалось доказать230).
Более полное объяснение
Таким же образом, если бы уравнение было
Xs — хуу -\- аа Χ Υ ах — у у — Ьг = О,
то получилось бы
Ъххх — хуу — 2хуу ~\~ аа χ Υ ах — у у = 0.
Если ты хочешь здесь освободиться от члена Υ ах— у у, то положи Υ ах — уу = ζ;
тогда ах — yy = zz и согласно приведенному положению
• · ах — 2уу
ах — 2уу = 2zz или JJ — ~
2z
т. е.
Поэтому
ах — 2уу _ г— . —
ηΊ./- -=V ах — уу
2уах — уу
с * Λ ' ι °^х — 2 ааУУ
Ъххх — хуу — 2хуу -| —^- = 0.
2 Υ ах — у у
Повторяя операцию, переходят ко вторым, третьим и дальнейшим флюксиям.
Пусть уравнение будет:
Ч!ъ — £4 + а4 = 0.

172
РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
Первая операция дает:
• · · >
zy* + Szyyy — 4zz* = 0;
вторая
zif + Щуу + 3zyyy + Щуу — 4^3 — 1 2zzzz = 0;
третья
гуъ + Щуу + 9* уде/ + ISzyyy + 3*г/до + 18*дегу +
Н~ ЪяуУУ — 4.р3 — 36zzzz — 24zzzz = 0.
Когда таким образом переходят ко вторым, третьим и последующим флюксиям,,
то удобно рассматривать какую-либо величину как равномерно текущую и вместо ее
первой флюксии писать единицу, а вместо второй и следующих — нуль. Пусть
уравнение будет, как и выше,
ζ\β — zl -j- ai = О
и ζ течет равномерно, а ее флюксия есть единица. С помощью первой операции
получается
уЪ + З&ууу — 4s3 = 0;
с помощью второй
ЪУУУ + 3*У У У + 6*УУУ — х 2** = °ϊ
с помощью третьей
*УУУ + ЫУУУ + **УУУ + 1^УУУ + 6^3 — 24* = 0.
Относительно этого рода уравнений следует иметь в виду, что флюксии в
отдельных членах бывают одинакового порядка, т. е. или все первого: у, ζ, или
все второго: у, уу, yz, zz, или все третьего: у, у у, у z, //3, yyz, yzz, ζ3 и т. д. Там, где
дело обстоит иначе, следует пополнить порядок с помощью подразумеваемых флюксий
непрерывно текущей величины. Так, последнее уравнение по дополнении до третьего
порядка будет:
$*УУУ + 1 teiliiy + Згу у у + 1 Szijyy + б*//3 — 24^3 = 0.
ПОЛОЖЕНИЕ II
ПРОБЛЕМА II
Найти кривые, допускаюгщие квадратуру.
Пусть (фиг. 1, табл. XII) ABC есть искомая фигура, ВС—прямоугольная
ордината, а АВ — абсцисса. Продолжим СВ до В так, чтобы ВВ=\, и достроим
параллелограм ABBG; флюксии площадей ABC, ABBG будут в том же
отношении, что ВС к ВВ. Пусть будет взято теперь какое-либо уравнение, определяющее
зависимость между площадями; тогда согласно первому положению будет дана также
зависимость и между ординатами ВС и ВВ, что и требовалось найти.
Примеры этому имеются в двух последующих положениях.

РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
173
ПОЛОЖЕНИЕ III
Теорема I
Если вместо абсциссы АВ и площади AD или АВ X 1 писать без различия
ζ и вместо
e + fz -\-gz ~\-hz -J- и т. д.
писать В и если площадь кривой есть ζ В , то ордината
+θ
+9
+Θ
ВС=Ье fzn gz™ hzZn + и т. д. на z^B1'1
231)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
В самом деле, если z<iBK = u, то согласно положению I получится
t^-1Bx+lzbBB)-1 = u.
Вместо В1 в первом члене уравнения и вместо zb во втором напиши ВВ!"*1
.zz ; тогда
Но
bzB + λ^Ε на /_1 ί?λ_1 = м.
д = е + /*п+0**| + Л/п и т. д.
Отсюда согласно положению I
В = nfzz4'1 + 2ngzz2n~1 + ЗиЛа*8""1 + и т. д.
Если подставить эти выражения и написать .BZ) или 1 вместо ζ, то получится
4-θ 4-Θ 4-9 4- и т. д. -
Ье /У gtT Ыгп на г*-1 &-1 = ч = ВС.
4-λη +2λ» -f 3λ^ +«τ· д·
Что и требовалось доказать.
ПОЛОЖЕНИЕ IV
Теорема II
Если АВ, абсцисса кривой, есть ζ и если вместо е -j- fzn -\-gz2n -|- и т. д, пишется
В, вместо k-\-lzn-\- mz2n -f- и т. д. пишется JS, а площадь кривой есть zbBkS[K, то
ордината ВС =
+ в" +в
дк \ . . . * * . . .
Ьек . fk
-j- λη
-и
ei
+ 2λί»
+λ» /г J- ^2» -j- о
em
4-μ*
-f- 2\m
-\-\nfm J
-|-2[Ш
/ на ^
e-i^-i^
i ζ
-(- 2\ngmz^n
-\- 2\m
Доказывается по образцу предыдущего положения232\

174
РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
ПОЛОЖЕНИЕ V
Теорема Ш
Если АВ, абсцисса кривой, есть гг, вместо e-\-fzn' -\-gsfn'-\-\in-\- и т. д.
пишется И, ордината же есть Ζ"1 J?x_1 на α + &** + с*2* + ώ3" + и т. д. и если положить
А
— = λ, г-\-λ = s, s4-λ = t, t-\-\ = u & т. д.,
гь
то площадь будет гь R1 па
1
— а
η
re
— Ъ — sfA
+ -» ?
r + IXe
l-c—\I+ixfB — tgA
4- Λ /»
r-f-2 Xe
- d— |5 + 2X/*C — U4-1 XgB — uhA
Ϊ _ /"
r + 3Xe
— 15 + 3 X /!D — 1 H- 2 X gC — I ц + 1 X KB j4»
' r + 4 Χ β
+ и т. д.
А, В, С, D означают здесь полные-по порядку полученные коэфициенты отдельных
членов с их знаками -)- и —, а именно:
А — коэфициент первого члена
1
а
η
В — коэфициент второго члена
С — коэфициент третьего члена
re
1
Ъ — sfA
η
r+ΐχβ
lc_|7+ix^-/^'233)234)
IV
г + 2Хв
и т. д.
ДОК A3 А ТЕЛЬСТВО
Пусть будут согласно третьему положению

РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
175,
Ординаты кривых
1. be fAzn gAz*1 hAz3n
-}-λβ -\-2λη -\-3kn + и т. д
2.
+θ +θ 0 +9 ο + и т. д.
eJ3/1 +л fBz2n+n gBzSn + и т. д.
-fn
+2λη
+ и Т. Д.
•f и Т. Д.
+2?г -Η^ + и т. д.
eDz3n
+3w + и т. д.
на /-'В1-1
Площади кривых
1- Аг*в\
2. Jfee+Wi?\
3. СгВ+2пВ\
4. DzB+ZnB\
Если положить сумму ординат равной ординате
а4-Ь^п + ^2п + ^8п+ и т. д. на ^ Вк~\
то сумма площадей
гьВх на ^ + J3^ + G/W + D/W+ и т. д.
окажется равной площади кривой, имеющей эту ординату. Поэтому приравняем coois
ветствующие члены в ординатах; тогда получается:
а = ЪеА,
и т. д.; отсюда
G = b^2lnXgA + b^n~\-XnXfB + b-]-2nXeC
а
А =
Ье '
В =
b — b-{-\nXfA
Ъ-\-пХе
c — b-\-2\nXgA — b-{~n-\-\nXfB
~ Ь-\-2пХе
так далее до бесконечности.
А
Теперь положи — = г, г + Х = 5, s-f-X = i и т. д. ив выражении плоп;адв
η "
ζΒΒλ на A + B*n + C**n + D/n+ и т. д.
напиши найденные выражения для А, Б, С; тогда и получится предложенный ряд.
Что и требовалось доказать.

176
РАССУЖДЕНИЕ- О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
Следует отметить, что каждая ордината разлагается в ряд двумя способами.
/В самом деле, показатель η может быть или положительным или отрицательным.
Пусть предложенаордината
ок ΙΖΖ
^Ykz — lz^-\-mz^
Это выражение можно написать либо так:
5 1
ζ 2 X Зк — IzzXk — lzz-\-mz*\ 2,
либо так: 1
г X — I + 3kz~2 χ т — Ιζ~γ + kz~s\ * .
В первом случае
а = 3£, Ь = 0, с——/, е = к, f=0, д=—/, h=m, λ= —,
Δ
»=1, θ —1=— Α, θ=— А=г, s=—ι, t=— :*-, « = 0.
Во втором
а = — /, 6 = 0, с = Зк, е = т, f= — I, д = 0, h = 1, λ = ,
Δ
»==—1, β—1 = 1, θ = 2, r = —2, s = —1-1, < = —1, « = — -I
^j Δ
Необходимо исследовать оба случая. Если один из двух рядов обрывается и
заканчивается из-за наступающего, наконец, отсутствия членов, то получается площадь кривой
в конечном виде235). Так, в первом случае этого примера по замене в ряде
выражений а, &, с, е, f, дл h, λ, θ, г, s, t, и их значениями все до бесконечности члены
после первого исчезают и для площади кривой получается
■/
к — \zz-\~ т~г
и площадь эта вследствие отрицательного знака прилегает к абсциссе, продолженной
за ординату.
В самом деле, всякая положительная площадь прилегает как *к абсциссе, так и
к ординате, отрицательная же приходится на противоположную сторону ординаты и
прилегает к продолженной абсциссе; при этом, естественно, сохраняется знак ординаты.
Таким образом один из рядов, а иногда оба вместе, всегда заканчивается и
оказывается конечным, если кривая допускает геометрическую квадратуру. Если же
кривая не допускает такой квадратуры, то каждый из рядов продолжается до
бесконечности и один из них будет сходиться и приближенно давать площадь, кроме тех
случаев, когда (вследствие бесконечности площади) г есть или нуль, или число целое и
Ζ т, Ζ
отрицательное, или когда — равно единице. Если — меньше единицы, то сходится
е <*
ряд, в котором показатель η положительный. Если же — больше единицы, то сходится
другой ряд.

РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
177
В первом случае площадь прилегает к абсциссе, проведенной до ординаты, во
втором — к абсциссе, продолженной за ординату.
Заметь вдобавок, что если ордината есть произведение рационального множителя Q
и неприводимого иррационального множителя JT и при этом основание В
иррационального множителя не является делителем рационального множителя Q, то λ — 1 = т. и
I?~l===JR~. Если же основание В иррационального множителя является однократным
делителем рационального множителя, то
χ — ΐ^,π + ΐ и j^-^iT*-1,
^сли двукратным делителем, то
λ —1=π + 2 и В)~1 = В^\
-если трехкратным делителем, то
λ —1=т:+ 8 и В1~1 = ВГ'+3
и т. д.
Если ордината есть неприводимая рациональная дробь со знаменателем,
составленным из двух или многих членов, то следует разложить знаменатель на все его
простые делители. И если среди них имеется какой-нибудь такой делитель, что между
.другими ему нет равного, то квадратуру кривой получить нельзя 236> если же существует
два или больше равных делителя, то следует один из них отбросить, и если еще
другие два или больше окажутся между асобой равными и неравными первым, то
•следует и из них отбросить один; так же надо поступать и со всеми другими равными
делителями, если их будет еще несколько. Затем остающийся после этого делитель
или произведение всех остающихся делителей, если их существует несколько, следует
положить вместо В и его обратный квадрат ВТ2 вместо it>-1, а в тех случаях, когда
это произведение есть квадрат или куб, или биквадрат и т. д., то основание следует
принять за i?, aj взятый отрицательным показатель степени 2, 3 или 4 принять
.за λ. А ордината должна быть приведена к знаменателю В2, В'\ В1 или Въ и т. д.
Например, пусть ордината есть
z*-\-z± — 8#3
go —I— g± — 5.5^ — ζζ -4— Sz 4 '
ъвиду того что дробь неприводима и знаменатель имеет равные делители, а именно: ζ— 1
ζ — 1, ζ— ί и -s?—I—2, z-\-2, я отбрасываю по одному" делителю каждой из величин
и произведение остальных ζ — 1, ζ—1, £-f-2, т. е. ζ* — 3ζ-\-2, полагаю вместо В,
а его обратный квадрат — или ВТ2 вместо J?)_1. Затем привожу ординату к
знаменателю В2 или В1"1 и тогда получается
ze — 9z* -f- 8^
т. е.
ζ3 X 8 — 9.? + .ζΑ X 2 — &? + *»! ~*.
12 Зяк. 32% —Ньютон.

178
РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
Поатому
а = 8, & = —9, с = 0, d = — 1,
е = 2, /= — 3, # = 0, /ι=1, λ—1 = — 2, λ = —1, η = 1, θ —1 = 8,
6 = 4 = r, s = 3, ί = 2, η = 1.
Если подставить эти значения в ряд, то площадь будет
& — з^+2'
так как во всем ряду все члены после первого исчезают.
Если, наконец, ордината — неприводимая дробь и ее знаменатель представляет·
собой произведение рационального множителя Q и неприводимого иррационального·
множителя Вг", то следует определить все простые делители основания В и отбросить
по одному делителю каждой величины, а на остальные делители, буде таковые
окажутся, следует умножить рациональный множитель Q. Если результат окажется равным
основанию JR, или какой-либо его степени с целым показателем, который пусть будет т, то>
λ —1<= —π —m и i^"1 = В"М№ .
Так, например, если ордината есть
Зд5 — q*x -J- 9g3#.£ — qqx* — $qxA
"ΖΖΙΖΖΓΊ з >
qq — xx Χ Υ φ -f- qqx — qx £ — χ*
то основание В иррационального множителя или
23 + Шх — Я.хх — х*
имеет делителями величины двоякого рода
q-\-x, q~\-x, q — x.
Поэтому я отбрасываю по одному делителю каждой величины и на остающийся делитель,
q-\-x умножаю рациональный множитель qq — хх. Вследствие того что произведение-
q*-\-qqx — qxx— χ* равно основанию В, я полагаю т = 1, и отсюда, так как π есть.
4
14 ~ з
—, получается λ <— 1 = —. Поэтому я привожу ординату к знаменателю В и
о о
получается
4
х° X SqQ + 2дбл* + 8д4л?ж + SqHxo — Iqqx* — 6qxb X (f -\- qqx — qxx — χό — qxx — xs\
Отсюда a = 3qQ, b = 2qb и т. д., e = q*, f=qq и т. д., Ь—1=0, Ь = 1 =»,
1 2 1
λ = —, гг=1, 5 = —-, £ = тг, ю = 0. Если подставить эти значения в ряд, то>
о о 3
площадь будет
?>qqx + Зх3
*> ~~ >
W ~Ь яях—(ix г — χλ
так как во всем ряду все члены после третьего исчезают.

РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
179
ПОЛОЖЕНИЕ VI
Теорема IV
Пусть АВ, абсцисса кривой, есть ζ и вместо е + fzn -j- gz2n'-f- h/n и т. д.
пишется В, а вместо k-{-lzn-\-mz2n-{-pzSn и т. д. пишется S. Пусть, далее, ордината.
есть ζ ~х В _1 X 8^~г на a -j- bz11 -j- cz^n -\- dz3n -|~ и т. д. Прямоугольники, образуемые-
членами в, /", #, /г. и т. д. и к, /, ???, |ит. д., пусть будут
ек fk дк hk и т. д.,
el fl gl hi и т. д.,
em fm gm hm и т. д.,
ер fp др hp и т. д.
Численные коэфициенты при этих прямоугольниках будут соответственно:
—- = г, г~\- λ = S, 5 + λ = /, ί-{-λ = Μ и т. д.;
r-\-\L = s', S-\-\i> = f, i^-\-y.= u\ u-]-\b = W/ И Т. Д.,
.s'-f- μ = <", // + μ. = ^', 1/ + JI, = !(;", «;'-J-μ, = ίΐ/' И Т. Д.,
Г -f и, = г*"', и" + α = t(7w, to" + μ = χ'\ χ" + μ- = //" и Т. Д.
Площадь кривой получится такая:
1
/i?\S*· на
а
η
1 τν&
Lb — sfkA
Yb
+ -^»
r+lXd
— tf#& J.
— с — 7+ϊ X fkB — ffl
η
— sr-\-\Xcl —fern
r + 2 X ek
■ vhkA
-t -\-\XgkB — v'gl
— d —* + 2X*C—*'4-l Χ/Ϊ — tf'fm
-s' -\-2Xel — t" -\-\Xem —v"'en
r + 3Xek
•f и т. д.
1
*8д
α
Здесь А означает данный коэфициент первого члена —— со своим знаком^
-j- или —; В — данный коэфициент второго; С — данный коэфициент третьего и т.д.-
12*

180
РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
Из членов а, Ъ, с π т. д., е, f, д и т. д., 1с, I, т и т. д. могут отсутствовать один
или многие.
Доказывается это положение по образцу предыдущего и сделанные там
замечания имеют силу и для него.
Ряд таких положений можно продолжать до бесконечности; способ их
продолжения очевиден 237> 2В8>.
ПОЛОЖЕНИЕ VII
Теорема V
Вместо e-\-fzn-\-gz2n и т. д. напишем, как выше, 1Ϊ, в выражении для
ординаты какой-нибудь кривой zb±n*Rl±~ значения для θ, η, λ, с, f, д я т. д. оставим
те же, а в качестве σ и τ будем последовательно писать все целые числа. Если дана
площадь одной из кривых, которые определяются бесконечным множеством таким
образом получающихся ординат, когда ординаты содержат корни из двух членов, или
если даны площади двух из кривых, когда ординаты содержат корни из трех
членов, или если даны площади трех· кривых, когда ординаты содержат корни из
четырех членов и т. д. до бесконечности, то я утверждаю, что во всех, этих случаях
определятся площади всех кривых. Членами я здесь считаю все члены, стоящие под радикалом,
как недостающие, так и имеющиеся в наличности, показатели степени которых образуют
арифметическую прогрессию. Так, ордината "]/ а4— ахь-\-х*-, у которой между а4 и
— ахъ недостает двух членов,; олжна приниматься за пятичленную, но ]/ a4 -j—г4 за дву-
/ х*
членную, а Λ/ а4-{-#4—1— за трехчленную, ибо здесь прогрессия возрастает на
большие разности. Положение это доказывается следующим образом:
случай ι
Пусть ординаты двух кривых суть
p^ir-1 и g^+^xtf-1,
а площади рА и qB, причем II есть трехчленное выражение
e + fa +дг .
Так как, по положению III, ζ it есть площадь кривой, ордината которой есть
Ьс fzn gz2'1 на /~ι I?-1,
то вычти первые ординаты и площади из последних ординаты и площади. Тогда в
качестве новой ординаты кривой останется
jz gz на ζ В ,
—ρ + κη +2Ы
а в качестве площади zHRK—ρ А— qB.
Полагаем Ье=р и Qf-\-lnf=q; тогда ордината окажется<£пдз2пнаz*-ljt~\
а площадь ζ It — be А — bfB — IvfB. Раздела обе величины на Ьд-\-2кпд и полу-

РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
181
чееную таким образом площадь обозначь через С. Тогда гС будет при любом г
площадью кривой с ординатой г ζ +2n~lB *~~1. И совершенно так же, как но площадям
рА и qB, мы нашли площадь гС, соответствующую ординате r/+2,l~1JRx"~1
можно
по площадям дБ и гС найти четвертую площадь, положим sD, соответствующую
ординате s3H^n~1IU*~~1 и так до бесконечности. Такого же рода прогрессия ведет
в обратном направлении от площадей В и А.
Если из членов Ь, Ь-\-1п и Ъ-\-2\п какой-нибудь отсутствует и обрывает ряд,
то за начало одной прогрессии берется площадь ρ А, а за начало другой—площадь
qB и из этих двух площадей определяются все площади для обеих прогрессий. И
наоборот, от двух других принятых площадей с помощью анализа можно возвратиться
к площадям А и Д так что по двум данным определяются н все другие. Что и
требовалось получить.
Здесь мы имеем случай кривых, у которых Θ, показатель ζ, увеличивается или
уменьшается через беспрерывное прибавление или вычитание величины п.
Другой случай относится к кривым, у которых показатель λ увеличивается или
уменьшается- на единицы 289).
СЛУЧАЙ II
Ординаты теперь суть ρζ*~χ Βλ и q/^11"'1 Βλ и им соответствуют площади ρ А
и qB. Если ординаты помножить на В или е -f fzl -j~ qz2'1, а затем снова разделить
на В, то они обратятся в
#е+фп-4-рдз
2)1
на
л 1ь
И
Ъп
qez ~\-qfz + qgz на ζ
·1^λ-1
Согласно положению III az В, есть площадь кривой, ордината которой есть
-1
#» η η 2п
Ьае afz agz на
ь-xtf-
и Ын+п11х — площадь кривой, ордината которой есть
4-Θ +8 „ +6
be г'1 +»Ь/г8л+»Ь0г
-\~п -j-λη -\-2λη
:ύη на г9-1!?-1.
Сумма этих четырех площадей есть
ρ А + qB + (и*Ях + Ъг" + п R1,
сумма соответствующих ординат:
Ьае af
-i-λη
-и
ре Ье
-in
+Pf
+ ϊ*
i +{) ι
! ад
-i-ь
. ^J^nbf
+ λη
+P9
-И/' J
iz.1>9 \ /-
-2"+ </</! :
„« 0 —17)λ —1
► на ζ η
Если положить равным нулю отдельно первый, третий и четвертый члены, то первый
даст Ъае-{-ре = 0 или — Ьа =р, четвертый — ЬЬ — пЬ— 2\nb = q, а третий (путем

182
РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
исключения ρ и q)'— = Ь. Поэтому второй коэфициент будет
\naff—4:Кпаде
-f --,
•а значит, сумма четырех ординат будет
\naff — 4\паде о;+ п _ ι λ _ ι
s ' η ,
я сумма стольких же соответствующих площадей
а*#+***+*#-ЫА - 26 + 2^.+ ^ а9В.
.Если разделить эти суммы на
\naff-\- 4ь\паде
1 ^
и обозначить затем второе из обоих частных через D, то D будет площадью кривой,
ордината которой есть первое частное
Таким же образом через приравнивание нулю всех членов ординаты, кроме первого,
может быть найдена площадь кривой, ордината которой есть
Обозначим эту площадь через С. И таким же образом, как по площадями и В найдены
площади С и Ζ), из этих последних можно найти и другие Ε и F, соответствующие
ординатам
Ζ-1^-2 и **+'»-*tf-2
и так далее до бесконечности.
Обратным анализом можно притти от площадей Ε и F к площадям С и D, а от
них к площадям i иБик другим, следующим в прогрессии. Поэтому, если показатель λ
увеличивается или уменьшается путем беспрестанного прибавления или вычитания еди-
~ниц и если из площадей, соответствующих получающимся таким образом ординатам,
имеются две простейшие, то определяются и все другие до бесконечности. Что и
требовалось получить 240) ·
СЛУЧАЙ III
Если имеют место сразу оба эти случая и возрастают или убывают как показатель Ь
путем беспрерывного прибавления и вычитания п, так и показатель λ путем
беспрерывного прибавления и вычитания единицы, то определятся площади, соответствующие
отдельным получающимся ординатам. Что и требовалось получить.
СЛУЧАЙ IV
Если ордината состоит из четырех членов под радикалом и даются три площади,
или если она состоит из пяти членов и даются четыре площади и т. д., то все площади,
которые могут быть образованы путем прибавления или вычитания числа η для
показателя Η или единицы для показателя λ, определятся с помощью подобных же
соображений.

РАСХОЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ 183
То же относится и к кривым, ординаты которых состоят из двучленов, когда
вместе с тем дается площадь одной из этих кривых, которые не допускают
геометрических квадратур. Что и требовалось получить.
ПОЛОЖЕНИЕ VIII
Теорема VI
Вместо е + А,?< + #£2λ* + и т. д. и ~k -j- hn -f- тг2п -f- и т. д. напишем, как выше,
И и S, в выражении ординаты какой-нибудь кривой ζΗ±η* Βκ+τ£?'±Ί данные
значения Ъ, η, λ, |х, e, f, g, 1c, Z, m и т. д. оставим те же, а в качестве σ, τ и ν
последовательно будем писать все целые числа. Если будут даны площади двух кривых,
которые определяются таким образом построенными ординатами, когда В и S двучлены, или
«если будут даны площади трех кривых, когда Я и S вместе состоят из пяти членов,
или площади четырех кривых, если Ιί и 8 вместе состоят из шести членов и т. д.
до бесконечности, то я утверждаю, что во всех этих случаях определятся площади
лсех кривых.
Доказывается это по образцу предыдущего положения.
ПОЛОЖЕНИЕ IX
Теорема VII
Площади кривых, у которых ординаты находятся в обратном отношении с
флюксиями абсцисс, равны между собой.
В самом деле, произведения ординат на флюксии абсцисс будут равны, а
флюксии площадей находятся в том же отношении, как эти произведения.
К о ρ о л л α ρ и й I
Если взять какую-либо зависимость между абсциссами двух кривых, согласно
положению I найти по ней зависимость между флюксиями абсцисс и положить ординаты
обратно пропорциональными флюксиям, то можно найти бесконечное множество кривых
«с равными между собой площадями.
Королларий II
Так, например, всякая кривая с ординатой, равной
Ζ"1 на e+ff + g^ + и т. д.Г,
«если взять любую величину для ν и положить — = s и ζ = х, переходит в другую, ей
ν6—η _____
равновеликую, с ординатой —χ п на е -\- fx ~\- дх^ -}- и т. д.|\
К о ρ о л л α ρ и й III
Всякая кривая с ординатой, равной
/-1 на α + Ъгп + cs2n -f и т. д. χ е -j- /*« + дг*» + и т. д.|>,

184
РАСХОЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
* η 8
если взять любую величину для ν и положить — =s и ζ = χ, переходит в другую, еш
равновеликую, с ординатой
чН—П
:—χ п на a -j- Ъх* + сх2Ί + и т. д. X e-±-fx*-{-gx2'*.-\-' и т. д.|\
К ΟΡΟ Л Л АРИЙ IV
Всякая кривая с ординатой, равной
на а + Ъ*п + cz™ + и т. д. X e + fsn + gfn+ и т. д.р X
X.j + ^.+ wl/»+ н т. д.|^,
если взять любую величину для ν и положить— = .9 и ζ = χ, переходит в другую, ей
равновеликую, с ординатой
vQ—?г. _.... ;
— х п на а -\- Ъх* -А- сх -f- и т. д. X е -f- fx -f- 0#Lv -j- и т. д.] χ
X Λ + ϊ^ + μλΓ* + и Т. д.|*\
КоРОЛЛАРИИ V
Всякая кривая с ординатой, равной
/-1 ше + ^1 + д/}1+ ит.д.|\
1 .. . '
если положить — = х, переходит в другую, ей равновеликую, с ординатой
ζ ,
_2_Xe + />;-re + ^-2re-f и т.д.Г,
^дагХ/· + **"/*.
если под радикалом имеются два члена, или
если их три, и так далее.
Κόρο л л арий VI
Всякая кривая с ординатой, равной
,«-ι на е + /У' + ^»+ и т.д.|1ХН^Ч^Ч и-т.д-f,
1
если положить — = #, переходит в другую, ей равновеликую, с ординатой
9+1
X
^Хс + ^тУ^Ч11 т· Д.|,,Х*+^",Ч^'2П-+ и'т.д.^
т. е.
χ β+1+/*λ+;
-χ/+«*ΊλΧί + *>Γ
если под радикалами имеются два члена, или
7)+ϊ+4+7Γα X flf -h А" η-{-**η\! Χ ϊ + fc*T'

РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
18*>
если под первым радикалом имеются три члена и под вторым два члена. Аналогично-
обстоит дело и в других елучах.
Заметь, что в последних двух короллариях обе равные площади расположены,
с различных сторон ординат/
Если у одной кривой площадь прилегает к абсциссе, то равная ей площадь-
другой кривой прилегает к, продолженной абсциссе241).
Кого л л арий VII
Если зависимость между ординатой у и абсциссой ζ какой-либо кривой
определяется некоторым неявным уравнением следующей формы:
.« _ ! /' П О ι 2)1 2θ ι 7 Άη Зо ι „β 7 ι 7 η ■ δ ι 2п 2о t
у на e+/j/ ζ -\-ду ζ -j-.hy ζ -f и т. д.=*р на lc-j-lyz + *ш/ ζ + и т. д.,.
то фигура эта, если положить
η — о 1 s η — 3
s = ——, x = — s и λ = -——,
η s αο + ρη
переходит в другую, равновеликую ей, абсцисса которой χ определяется по данной
ординате и явным уравнением
γ η) χ e + fnn + gu*n + hu*n+ и т. д.|х Xlc-l-hi'1-±тп2п+ и т. д.[~х = χ ***).
Королларий VIII
Если зависимость между ординатой у и абсциссой ζ какой-либо кривой
определяется некоторым неявным уравнением следующей формы:
α ι η ιι· о ι 2>г 2о · ι
у на e + fy * -j-jfj/ ,- 4- и т. д. ==
= / на й+]^+Тг^й+ и т. д. + ^γ на j> ^ ду V + г*/2'1*23 + и т. д.,.
то фигура эта, если положить
η — о 1 s ао -U 8 η αΖ -f- χη
s = , .χ= — ζ, ρ = Чг- и ν = - !—i-,
w s м— о м— о
переходит в другую, ей равновеликую, абсцисса которой χ определяется по данною
ординате и уравнением менее неявным:
и на е + fun + gw2n+ и т. д.^Л·' на fc + Zw'+W + и т. д. +
+ sY на j? 4~ <2™и + ™2η + и т. Д~
Королларий IX
Всякая кривая с ординатой, равной
χ α + /, χ ^_|_^·"+» + ^+ϊ7ι+ и т.д.' Π

^186
РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
-если взять θ = νλ и положить
a? = fearv4-/>v+n + flf/+2n4- и т. д.|
σ = — и ν = ,
переходит в другую, равновеликую ей, с ординатой
χ χα-f bx9 .
Заметь, что первая ордината в этом королларии упрощается, если положить
λ = 1 или положить τ = 1 и сделать так, чтобы можно было извлечь корень с
показателем ω, или если положить ω == — 1 и λ = 1=τ = σ = ω, не говоря о других
случаях.
Королларии X
Напишем вместо
ve*'-1+'' fz,+n-1 +" д^"-1 + и т. д.,
+-П +2/1
k-\-kn-j-mz2n+ и т. д.
и
nk"-1-\-2nmf"-1-\- и т. д.
соответственно В, г, S и s. Всякая кривая с ординатой, равной
то8г + ФДв на Г'Г'Хй^-]-^ ,
μ — νω г Φ τ λ τ *
переходит, если положить х—-— ==-- = —, _ = а, - = О и R*g* = я, в другую, ей
/- 'З ТС 7Г 73
равновеликую, с ординатой
χ X я -f- ЬсГ5 .
Заметь, что первая ордината упрощается, если положить вместо τ, ν и λ или
μ единицы и сделать так, чтобы можно было извлечь корень с показателем ω, или если
ПОЛОЖИТЬ ω = — ] ИЛИ μ. ===== 0 243>.
ПОЛОЖЕНИЕ X
ПРОБЛЕМА III
Найти простейшие фигуры, с которыми, может быть геометрически сравнена
.любая кривая, у которой ордината у определяется по данной абсциссе ζ явным уравнением·
СЛУЧАЙ I
Пусть ордината есть αζ -1, площадь тогда будет -у- as4, как это легко выводится
согласно положению V, если положить
h = o = c=sd = f=g = h и е = 1.

РАООУЖДВНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ 187
СЛУЧАЙ II
Пусть ордината есть as _1 Xc + ^+F^t и τ· Λ·Ι · Если кривая может
быть геометрически сравнена с прямолинейными фигурами, то квадратура ее выполняется
согласно положению V, если положить Ъ = о — с = d. Если же это не так, то она
преобразуется в другую, ей равновеликую кривую, с ординатой
Ь-п
— я Xe + fx-j-gvx-j- и т. д.|
согласно королларию II положения IX.
^, лттг t. « β — η
Если затем согласно положению VII вычитать из показателей степеней
η
и λ — 1 единицы до тех пор, пока степени не сделаются возможно малыми, то будут
достигнуты простейшие фигуры, которые можно получить таким способом. Затем каждая
из них согласно королларию V положения IX дает другую, являющуюся иногда более
простой. А из сопоставления их согласно положению III и короллариям IX и X
положения IX иногда могут возникнуть еще более простые фигуры. Наконец, из принятых
за простейшие фигур обратно вычисляется искомая площадь.
СЛУЧАЙ III
Пусть ордината есть
Ζ"1 χ а + &*л + с*ал+ и т.д. Χ e + fzn-\-gs?n + и т.д.Г\
Если квадратура фигуры возможна, то она выполняется согласно положению V. Если
же это не так, то следует ординату разложить на части
Λ1 X а X в + ^+^+~и т. д.Г\
/-1 X Ъ*»X в + /У;* + ^+ и т. д.!'"'
и т. д. и найти согласно случаю II простейшие фигуры, с которыми могут быть сравнены
фигуры, соответствующие этим частям. В самом деле, площади фигур, 'соответствующие
ятим частям, соединенные их знаками + и —, составляют всю искомую площадь.
СЛУЧАЙ IV
Пусть ордината есть
ζ"1 Χ а + Ьгп+сг*п + и т.д. X β + /*» + ^Λ + Ή^ΐΓ1 Χ
X к + hn + те2* + и т. д.|'' .
Если квадратура кривой возможна, то она выполняется согласно положению VI. Если же
#то не так, то кривая преобразуется в более простую согласно королларию IV положения IX
я затем согласно положению VIII и короллариям VI, IX и X положения IX сравнивается
с простейшими фигурами, как это имеет место в случаях II и III.
СЛУЧАЙ V
Если ордината состоит из различных частей, то следует рассматривать отдельные
части как ординаты такого же числа кривых и по отдельности выполнить квадратуры
всех тех кривых, которые квадрируемы, и вычесть их ординаты из всей ординаты.
Латем кривая, которая отдельно определяется оставшейся частью ординаты, должна

188 РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
быть (как в случаях II, III и IV) сравнена с простейшими из тех фигур, с которыми
она может сравниваться. Сумму всех площадей следует принять за площадь
предложенной кривой244).
Королларий I
Отсюда следует также, что всякая кривая, у которой ордината представляет
неявный квадратный корень ее уравнения, может быть сравнена с простейшими
прямолинейными или криволинейными фигурами.
В самом деле, этот корень всегда состоит из двух частей, которые,
рассматриваемые в отдельности, представляют собой уже явные корни уравнений.
Пусть будет предложено уравнение
аауу + езуу = 2а3// + 2^3// — ?К
Корень
а3 + г* + аУа* + 2а*» — ^
У-
aa-\-zz
„ а3 + *3 αγά* + 2az — ζ* 24δ>
Его рациональная часть ——γ и иррациональная часть — Ц
aa~\-zz aa-\-zz
суть ординаты кривых, которые на основании этого положения либо могут быть квад-
рированы, либо же могут быть сравнены с простейшими фигурами, с которыми они
геометрически сравнимы.
Королларий II
Всякая кривая, ордината которой определяется каким-либо неявным
уравнением, которое согласно королларию VII положения IX переходит в явное уравнение
либо квадрируется на основании этого положения, если только она квадрируема, либо
же сравнивается с простейшими фигурами, допускающими такое сравнение. По этому
способу производится квадратура всякой кривой с трехчленным уравнением. В самом деле,,
если это уравнение неявное, то оно из неявного преобразуется в явное согласно
королларию VII положения IX и затем, после преобразования согласно короллариям II и V
положения IX в простейшее, либо дает квадратуру фигуры, если последняя
квадрируема, либо же простейшую кривую, с которой она может быть .сравнена.
Королларий 111
Всякая кривая, ордината которой определяется каким-либо неявным
уравнением, которое переходит согласно королларию VIII положения IX в неявное квадратное
уравнение, либо квадрируется с помощью этого положения и его короллария I, если,
она квадрируема, либо же сравнивается с простейшими фигурами, с которыми она
геометрически сравнима.
ПОУЧЕНИЕ
Было бы очень тягостно при выполнении квадратур фигур всегда прибегать
к этим общим правилам. Удобней найти раз навсегда квадратуры простейших и наиболее
употребительных фигур и ввести их в таблицу, и затем обращаться к этой таблице,,
как только явится необходимость определить квадратуру какой-либо такой кривой-

Таблица простейших квадрируемых кривых
U ... , — 1 .
Формы кривых
Первая форма
dsn~l = y
1
2
3
4
1
2
3
4
Вторая форма
dzn~x
ee + 2efsn+ff/n
Третья форма
den-1Ve + fenu=y
d/n 1Ve-\-f/l = y
dJtn-iV-e-\-fzn = y
d2in-1Ve-\-fzn = y
Четвертая форма
= ?/
νβ+/έ·
dz2n-x
—У
Ye + fzn
d/n-'
= у
Ve+fsn
d^'1
Ve + f*n J
Площади кривых
dsn , _d
nee -}- nefs nef-\- nffz
Q Τ . .. I
-^rBb = t, причем B = V e + f* 1
lbnff
nee-2,ef:+SOff^dR9 = t
— 96e3-f Шее/*" — 180effzZn + 2l6fVn jm
945^4 dK ~l
4—-^ΊΙ = t
nf
3w/y
16^-8^ + 6/^^ f
15w/"3
— 96e3 + i8eef0n—36eff/n -f- 30/Vra ,_
-j—■ ЙЛ = t
lObnf
Зак. 3296. —- Дьютон.

Таблица простейших кривых, сравнимых с эллипсом и гиперболой
Формы кривых
Конические сечения
абсциссы
ординаты
Пдощади кривых
dzn~^
е—fzn
= 2/
zn = x
e + fzn ~~У
Zn = X
e-\-fzn
Zn — X
e-\-fx
η η
e + fx'
d e
nf nf
e-^fx
= u
d »+> de ее
2nf nff l nff
Фиг. 6
II
dz~*
e-\-fzn
= У
dz2
-y
iT.
/=
i/:
d
Ά-ftp =
d
= x
— X
= x
Vh
-τ 7Г XX = U
f f
_/ d e
e-j-fzn
Λίά e
2ux -*- 4s ^ л-пп
=a t = — ADGa
η η
2d -r η 4ces — 2eux
nf ' nf
2d 4η 2de in . 2eeux — 4=ees
Snf
nff
nff
= t
Фиг. 6, 7
III
IV
V \
VI l
— V e + f** = y
или так:
τ+rV * + &"=* У
-z = %x
z11
1 _
zn~X
или так:
.2» +
ϊΥ e + f*» =y
Jn +
Ί|/β + /^=ί
£»
Я*
■ = x
Υf-\-exx = u
Yfx-\-exx=.\
Υ fx -j- e## == w
Υ fx-\- exx = w
^n
- = #
Υ fx-\- exx = и
У fx-\- exx = и
*§ на ^-* = * = ^на α<2Ζ>Γ или на APDB + TDB
nf 2ex nf
Sdee
на $—^ux τ^^Α^ = ί = '-Ξ^ на AGDa -j-
8dee
ffu
4e 4=eex
nff
4eex
η η η
^de 1 fu . Ые w лп_
nf 2 2e nf
7 Л
*==* = — χ—aGDB или PDPiT
3dft — 2<fa»
6we
eV e-\-fzn
или так;
sn+ij/ e~\-fzn
или так:
= 2/
£f2n+l|/e^^
z*n^Y e-\-fzn
= У
= xx
zn
— = χ
zn
=:XX
zn
zn
zn
zn~
Υ f-\-exx~u
Υ fx-j- exx = и
Υ f-\-exx = '
Υ fx -j- exx ='
Υ fx-\- exx = и
Υ fx-\- exx = ι
dz™-1
e + /> + #£2w
или так:
dz^n-i
e-\-fzn-\-gz*n
ete2
e+/> + #£2w У
e + ^^,^2
; = У
,/ *
J/ e-yfzn-\-gz*n
/dz*n
e-\-fzn = g^n
= x
V
d
— x
/7+
ff—bg
±99
xx = и
d .ff—\eg
iee
XX = и
/:
1
## = W
—2» на — л?^ -f-5 = t = -^на РЛ-D или на aGDA
nf 2 nf
8de 1 fu 8de „^A
—^ на 5—Kxu—— = f = —7^ на а(Ш4
2d 2d
— на 5 — xu = t=*— на POD или AODQa
me ne
4d 1 , 4d ^n
—ζ на — xu-*~ 5 = i = -^ на aDGa
/7 r7
— на 3s-b2#M = £ = — на SaDGaч-треуг. ai)5
lOdfxu — lbdfs — 2dexxu
6nee
xu-~2s
= t
η
2s*—xu
η
«=<
da + 2A — fxu
2ng
Ί / 2dg
Ι Ί/ 2d9
( V f+P + 29*n
•x
= 1
2dezn
У fzn
/ 2dezn
= ξ
lA
-f+p
29
XX = и
Υ d+=ί=£* = ο
29
V
d -A —- xx = и
2e
yid+—4r—^ξξ=υ
-f-P
2e
2xu — 4g— 2b -j- 4c?
4:S-r-2xu — 4σ -j- ^b
Фиг. δ, 6, 7
Фиг. 5
Вак. 3296. — Ньютон.

Формы кривых
Конические сечения
абсциссы
ординаты
Площади кривых
Продолжение
VII
idzn~1Ve + fzn + gz2n =
TVe + * + *^-!
У\
dz2n^Ye + fzn+gz2n = y\
Idz^Ve + fz^+gz2"'^'*
Zn — X
ζ
zn = x
η
ζ = X
zn = x
Ye-\-fx-\-gxx —и
V9+ft + e% = »
V e-\-fx-\- gxx = и
Υ e -f- fx-\-gxx = и
V e -\-fx-\- gxx = и
ЫееЬ + 2defi) — 2dfgux — 2dffu — Scfeeo -j- 4с%5
4we# — w/*/*
= t
4t=L
t = — на aGD.B
d ч df
Sng 2ng
Ыдх — bdf bdff—Ыед
24:ngg
Wngg
s = t
VIII
dz
n-i
V* + ff + 9**
dz
2П—1
Ve-ffzn+9z2n
У
dz
,8n —1
Ve + fzn +
92
2fl
= y
dz'
4tt —1
Ve + ff+gS*
= У
η
Ζ =X
η
Ζ =x
η
Ζ =χ
η
ζ —χ
Υ e-\-fx -\-gxx = \
Ye -j- fx -j- gxx = и
Υe -\-fx-\-gxx = и
Ye -\-fx -\-gxx = u
8 dgs — Adgux — 2dfu
ineg — nff
= * =
Sdg
£eng — nff
наа(?7)Б=!=треуг. DBA
•4:dfs-\-2dfux-\-4:deu
Ыед — nff
+ 3dff —2dff ., .
1 5 их —2defu
— Ыед -\-kdeg
Amgg—.nffeg
— Ш/3 —Uffg — 2Sdefg — lUeeg
2inegs — 6nffgg
Фиг. 5, 6
Фиг. 5
IX
df^Ve + ff
g-\~hzn
dz2n~lVe-\-fzn
9 + hzn
%f d
I/ = x
V g+hzn
V 9 + hzn '
/df eh — fg
h "f h
XX — '·
/f+·—■
eh — fg
h
*fg
— 4efe +2efc
•2/flf , 2d/*
χ
nfh
A-Ugh —2egh 2 ,7 и* и
1 * s Ό их-]-— dh — — 2dfg —
+ *f99 + *f99 8
Ж3
nfhh
X I
dz»'1 _
g~l^V^j~fi?-y
do
%n—\
g-^hsnVe-\-fz'
% = У
V
9+hzn
/=
+ hzn
■ = x
/f
df eh—fg
h
XX = и
γ Ц-^-^XX^U
eh — fg
2UX 45 . ^ лтлп
jt— = t = —7Г ADGa
nf щ
4tgs — 2gux -
2du
χ
nfh
Фиг. 5,6
XI
dz'1
V
e + f*n
g+hzn
df-* ]/
e-j-fzn
9 + hz1
»=У
Vg-\-hsn =ar
Vg-\-hzn =x
dz2
V
9 + h*n
■У
Vg-\-hzn =x
/eh—fg f
V 9 9
V
eh—fg . /*
λ ' h
■]- —XX =U
Ί feh — fg . f
2du*xz~ n — idfs—±deo
nfg — neh
= t
2d
s = t
dhusx
+ Sdfg
2nfhh
■ = t
Зак. 3296. — Ньютон.

РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ 189
Такого именно рода — две нижеследующие таблицы. В них з означает абсциссу, у —
прямоугольную ординату, a t — площадь квадрируемой кривой; d, е, f> д, fo, η суть
данные величины с их знаками + и —.
Таблица
простейших кривых, сравнимых с эллипсом и гиперболой
Пусть теперь (фиг. 4, 5, 6, 7 табл. XII) aGB или PGD, или GDS, есть коническое
сечение, площадь которого нужна для квадратуры предложенной кривой. Пусть его
центр есть А, ось Ка, вершина а, сопряженная полуось АР, начало абсцисс А или а,
или а, абсцисса АВ или аВ, или аВ — х, прямоугольная же ордината BB = v,
а площадь ΑΒΌΡ или aBDG, или aBDG = s, когда ордината aG находится в точке а.
Соединим KB, AD, aD, проведем касательную ВТ, встречающую абсциссы АВ
в точке Т, и достроим параллелограм ABDO. Если для квадратуры предложенной
кривой требуются площади двух конических сечений, то я обозначаю абсциссу второго
через ξ, ординату через υ, а площадь через σ. Знак -ч- означает разность двух величин,
когда неизвестно, следует ли вторую вычитать из первой или первую из второй.
Б шестой форме вместо Vfl — Аед пишется р.
В этих таблицах ряд кривых каждой формы может быть продолжен в обе
стороны до бесконечности. А именно в первой таблице в числителях площадей третьей
и четвертой форм числовые коэфициенты первых членов (2, —4, 16, —96, 768 и т.д.)
получаются беспрерывным умножением чисел —2, —4, — 6, —8 и т. д., а
коэфициенты последующих членов производятся из начальных умножением их по порядку:
в третьей форме на
о
в четвертой же на
_ _Ь_ __7_ ___9_ 11_
Т' — 4 ' 6 ' Τ' ϊο н т* Д*
JL^ _Z_ 5_ __7_ 9_
2 ' 4 ' 6 ' 8 ' 10 И Т' Д*
Коэфициенты знаменателей о, 15, 105 и т. д. получаются беспрерывным
умножением чисел
1, 3, 5, 7, 9 и т. д.
Во второй таблице ряды кривых первой, второй, пятой, шестой, девятой и
десятой форм могут быть продолжены в обе стороны до бесконечности с помощью одного
только деления, ,а у остальных форм с помощью положений третьего и четвертого.
С изменением знака числа η эти ряды могут даже принимать другие виды. Так, на-
пример, кривая —Ve-}-fen = y обращается в — Yf~\-csn.
~ Т я + 1
ζ-
ПОЛОЖЕНИЕ XI
Теорема VIII
Пусть (фиг. 8, табл. XII) ABIC есть какая-нибудь кривая с абсциссой AB = z
и ординатой ВВ = у, АЕКС — другая кривая, ордината которой BE равна
первоначальной площади ABB, отнесенной к единице, AFLC — третья кривая, ордината ко-

190 РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
торой BF равна второй площади АЕВ, отнесенной к единице, AGMG— четвертая
кривая, ордината которой BG равна третьей площади AFB, отнесенной к единице,
a AHNC — пятая кривая, ордината которой ВН равна четвертой площади AGB,
отнесенной к единице, и так далее до бесконечности. И пусть А, В, С, D, Ε и т. д. суть
площади кривых, имеющих ординаты у, zy, ζ'2 у, zsy, z4j и общую абсциссу ζ 246>.
Дается абсцисса AC = t, и пусть BC = t — z = x, а Ρ, Q, R, S, Τ суть
площади кривых, имеющих ординаты т/, ху, х2у, хду, xiy и т. д. и общую абсциссу х. -
Пусть все эти площади ограничиваются всей данной абсциссой АС и данной
по положению и бесконечно продолженной ординатой CI. Тогда первая из указанных
в начале площадей будет A DIG = А = Р; вторая АЕКС = tA — B = Q; третья:
iT1Tn ttA — 2tB + C 1 1*А — тВ+МС — П 1 ^
AFLG = : = — It; четвертая А ЬЪ1С= = — S;
2 2 G h
л и л^ ^л—и*в+вис—±т+ε ι ,„
пятая JLЯЛ С = —— ! = — У.
24 24
Королларий
Поэтому, если возможна квадратура кривых с ординатами у, zy, z2y, zdy
и т. д. или у, ху, х2у, хъу и т. д., то также возможна и квадратура кривых ADIC,
АЕКС, AFLC, AGMC и т. д. При этом получаются ординаты BE, BF, BG, ВН,
пропорциональные площадям кривых.
ПОУЧЕНИЕ 247)
Мы выше сказали, что у флюэнт имеются первые, вторые, третьи, четвертые и
другие флюксии.
Эти флюксии находятся в том же отношении, что члены бесконечных сходящихся
рядов. Так, если флюэнта есть zn и при своем течении переходит в ζ~\-ο , то она
разложится в сходящийся ряд
ζ -\-noz -| ooz -j 7— ολζ -j- и т. д.
Первый член этого ряда zn будет той флюэнтой, второй nozn~1 — ее первым
приращением или первой разностью, которой при ее зарождении пропорциональна первая
флюксия; третий ooz будет вторым приращением или второй разностью,.
которой при ее зарождении пропорциональна вторая флюксия; четвертый
пь — Зпп-\-2п ?г_з
■ о6 ζ
будет ее третьим приращением или третьей разностью, которой при ее зарождении
пропорциональна третья флюксия, и т. д. до бесконечности 248.
Эти флюксии могут быть также представлены ординатами BD, BE, BG, ВН
и т. д. Например, если ордината BE I = —-— ] будет флюэнтой, то дервая ее флюк--
= ^-——) будет флюэнтой, то цервая ее-

РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
19Г
флюксия представится ординатой BE, а вторая ординатой BD. Если ВН
будет флюэнтой, то ее первая, вторая, третья и четвертая флюксии представятся
соответственно ординатами BG, BF, BE, BD.
Отсюда следует, что из уравнений, содержащих только две неизвестных
величины, из которых одна есть равномерно текущая флюэнта, а другая — какая-либо
флюксия другой текущей величины, можно с помощью квадратуры кривых всегда найти эту
другую флюэнту 249). В самом деле, ее флюксия представляется ординатой BD; если
это первая флюксия, то ищется площадь ADB = BE X 1, если это вторая флюксия, то
ищется площадь ЛЕВ = BF X 1, если это третья флюксия, то ищется площадь AFB =
= BG X 1 и т. д. И найденная площадь будет представлять искомую флюэнту.
Но с помощью квадратуры кривых можно также найти флюэнты из уравнений,
которые содержат флюэнту и ее первую флюксию, не содержа второй флюэнты, или же
содержат две флюксии одной флюэнты: первую и вторую или вторую и третью, или третью
и четвертую и·т. д., не содержа другой флюэнты. Пусть дано уравнение
ааи = аи-\-ии,
АВ ж z = \. Уравнение это при пополнении измерений флюк-
ааи = аиз -\- uuz
ааи
аи~\-ии
Пусть и течет равномерно, так что его флюксия и = 1; тогда
аа ;
аи -\- ии
аа ν
и с абсциссой и получится флюэнта
аи -J- ии
аи -\- ии,
причем u = BF, и=ВЕ, и = BD яг = АВ. Зависимость между АВ и BE
найдется по зависимости между и и и, т. е. BD и BE, как и в предыдущем примере, а
затем по этой зависимости найдется посредством квадратуры кривой АЕВ
зависимость между АВ и BF.
Уравнения, содержащие три неизвестных величины, могут иногда приводиться
к уравнениям, содержащим только две неизвестных. В этих случаях флюэнты
находятся по флюксиям, как выше.
Пусть дано уравнение
а — Ьхт = схуп у -\- άιβη у у.
(-Ψ)
где и=ВЕ, и = BD, ζ =
сии обращается в
ила
Через квадратуру кривой с ординатой
.250)
Возьмем еще уравнение 2δ1)
ааи

292 РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
Положим упу = и; тогда
а — Ьхт = схи -f- da и.
Это уравнение посредством квадратуры кривой, абсцисса которой есть х, а ордината
if, даст ллощадъ % а другое уравнение упу = и, при возвращении к флюэнтам, даст
уп + 1 = и. Отсюда получается флюэнта у 2о2).
Даже в тех случаях, когда уравнения содержат три неизвестных и не могут
свестись к уравнениям только с двумя неизвестными, флюэнты иногда определяются
45 помощью квадратуры кривых.
Пусть дано уравнение
αχ»^-Ъхп\Р = re/" V + sc/yys ~ г - fyif,
причем л; = 1. Вторая часть
гехг ~1 у8 -f sex у if "1 — ftjif,
мри возвращании к флюэнтам, будет
exrUs—f^Y>Jt + i-
Это есть, таким образом, площадь кривой с абсциссой χ и ординатой ахт-\-Ъхп\
Отсюда получается, флюэнта y2oZ).
Пусть дано уравнение
#Χ αχ
Ve + f'f
Флюэнта, флюксия которой есть χ X ахт-{-bxtl \ , представится площадью кривой, абс-
дисса которой есть х, а ордината ахт-\-Ьхп\ .
7 * П — 1
1аким же ооразом флюэнта, флюксия которой есть л: , представится пло-
Ve + f,f
1цадъю кривой, абсцисса которой у, а ордината, J' ■ -, т. е. (на основании первого
Ve + ftf
2d г
случая четвертой формы таблицы I) площадью —— у e-\-fyn,
Щ
2d г —
Положи поэтому —— \ e-\-fyn равным площади кривой, абсцисса которой естьх,
nf
ъ> ордината ахт -j- bxn | , тогда получится флюэнта у.
Заметь, что всякую флюэнту, получаемую из первой флюксии, можно
увеличить или уменьшить на любую не текущую величину. Если же она получается из
второй флюксии, то ее можно увеличить или уменьшить на любую величину, для
которой вторая флюксия равна нулю. Если же она получается из третьей флюксии, то ее

РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
193
можно увеличить или уменьшить на любую величину, для которой третья флюксия
равна нулю, и т. д. до бесконечности204*·
Если после того как флюэнты определены по флюксиям, имеются сомнения
в правильности результата, то следует, наоборот, найти флюксии полученных флюэнт
и сравнить их с флюксиями, предложенными вначале. Если они окажутся равными,
то заключение правильно, если же нет, то следует исправить флюэнты так, чтобы их
флюксии оказались равными предложенным сначала. Ибо флюэнту можно сперва взять
как угодно и затем исправить взятое, полагая флюксию принятой флюэнты равной
предложенной флюксии и сравнивая соответствующие члены.
От этих начал простирается путь к болыпему25о).
13 Зак. S2U6 Ньютон.

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
I
ПОРЯДКИ линий
Геометрические линии лучше всего различать по порядкам 256), соответственно
степени уравнения, которым определяется зависимость между ординатами и абсциссами^
или (что то же) по числу точек, в которых кривые могут пересекаться прямой.
Вследствие этого линией первого порядка будет только прямая, линиями второго, или
квадратного, порядка будут конические сечения и круг и третьего, или кубического, порядка —
кубическая парабола, парабола Нейля257), циссоида древних и другие, которые мы здесь
собираемся перечислить. Кривая первого рода (если только прямую не относить к
кривым) то же, что линия второго порядка, а кривая второго рода то же, что линия
третьего порядка. А линия бесконечного порядка — та, которую прямая может пересечь
в бесконечном числе точек, каковы спираль, циклоида, квадратриса и всякая кривая,,
которая производится через бесконечное число обращений радиуса или круга.
II
СВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ ПРИНАДЛЕЖАТ КРИВЫМ
ВЫСШИХ РОДОВ
Геометры повсюду излагают главным образом свойства конических сечений. Но
свойства кривых второго и других родов аналогичны, как это выяснится из лижееледую-
зцего перечисления их главных свойств.
1. Об ординатах, диаметрах, вершинах, центрах и осях кривы ν второго рода
Если провести в коническом сечении множество параллельных прямых,
ограниченных им с двух сторон, то прямая, пересекающая пополам две из них, пересечет
пополам и все остальные и поэтому называется диаметром фигуры, а пересеченные
лополам прямые называются ординатами, сопряоюенными с диаметром258) 259)·
Точка схода всех диаметров есть г^ентр фигуры, точка пересечения кривой
и диаметра называется вершиной, диаметр является осью, если сопряженные ординаты
стоят к нему под прямыми углами.
Таким же образом, если провести какие-нибудь две параллельные прямые,
встречающие кривую второго рода в трех точках, то прямая, которая пересекает эти парал-

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 185
лелъные так, что сумма двух частей, ограничиваемых кривой с одной стороны секущей,
равняется третьей части, ограничиваемой кривой с другой стороны,—пересечет таким же
образом и все другие параллельные и пересекающие кривую в трех точках прямые,
т. е. так, что сумма двух частей с одной стороны будет всегда равняться третьей
части с другой.
Эти три приравниваемые здесь части можно поэтому назвать сопряоюенными
ординатами, а секущую прямую, с которой эти ординаты сопряжены,—диаметром; точку
пересечения диаметра и кривой—вершиной ж точку схода двух диаметров — центром260).
Диаметр же с прямоугольными ординатами, если только таковой имеется, может быть
также назван осью. В том случае, когда все диаметры сходятся в одной точке, эта
точка представляет общий центра*2 .
2. Об асимптотах и их свойствах
Гипербола первого рода может иметь две асимптоты, второго — три, третьего—
четыре, но не больше, и так же точно в других случаях. И подобно тому как у
конической гиперболы равны части какой-либо прямой, заключенные между гиперболой
и каждой из двух ее асимптот, подобно этому, если провести в случае гиперболы
второго рода какую-нибудь прямую, пересекающую как кривую, так и ее три асимптоты,
в трех точках, то сумма двух частей этой прямой, которые простираются от двух
каких-либо асимптот в ту же сторону к двум точкам кривой, равна третьей части,
которая простирается от третьей асимптоты в обратную сторону, к третьей точке
кривой.
3. О поперечных и продольных сторонах2^
В не параболических конических сечениях квадрат ординаты, т. е.
прямоугольник, построенный на ординатах, проведенных в различные стороны от диаметра,
относится к прямоугольнику на частях диаметра, заканчивающихся в вершинах эллипса
или гиперболы, как некоторая данная линия, называемая поперечной стороной,
к лежащей между вершинами части диаметра, называемой продольной стороной.
Совершенно так же для не параболических кривых второго рода
параллелепипед, построенный на трех ординатах, находится в некотором данном отношении
к параллелепипеду на частях диаметра, отделенных ординатами и тремя вершинами
фигуры.
Если в этом же отношении находятся по отдельности три прямые к трем частям
диаметра, расположенным между вершинами фигуры, то можно назвать эти три прямые
поперечными сторонами фигуры, а эти части диаметра продольными сторонами.
И подобно тому как в конической параболе, которая имеет на каждом диаметре
только одну вершину и у которой прямоугольник, построенный на ординатах, равняется
прямоугольнику на части диаметра, расположенной между ординатой и вершиной
и некоторой данной прямой, называемой поперечной стороной, — подобно этому и для
тех кривых второго рода, которые имеют только две вершины на каждом диаметре,
параллелепипед, построенный на трех ординатах, равняется параллелепипеду на двух
частях диаметра между ординатами и двумя вершинами и некоторой данной прямой,
которую поэтому можно назвать поперечной стороной264).
135·

Г96
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
4+ Об отношении произведений параллельных отрезков
Наконец, если в конических сечениях две параллельные прямые, с обеих сторон
ограниченные кривой, пересекаются двумя параллельными, тоже с обеих сторон
ограниченными кривой, причем первая — третьей и* вторая — четвертой, — то прямоугольник
на частях первой относится к прямоугольнику на частях третьей, как прямоугольник
на частях второй к прямоугольнику на частях четвертой.
Точно так же когда четыре таких прямых встречаются с кривой второго рода
и каждая в отдельности в трех точках, то параллелепипед на частях первой прямой
будет относиться к параллелепипеду на частях третьей, как параллелепипед на частях
второй к параллелепипеду на частях четвертой.
5. О гиперболических и параболически ν ветвях и их направлениях
Все уходящие в бесконечность ветви кривых второго и высших родов, а равно
и первого бывают либо гиперболического либо параболического типа. Гиперболической
ветвью я называю ту, которая бесконечно приближается к какой-либо асимптоте, а
параболической ту, которая лишена асимптоты. Эти ветви лучше всего распознаются с помощью
касательных.
В самом деле, если точка касания уходит в бесконечность, касательная
гиперболической ветви совпадает с асимптотой, а касательная ветви параболической сама
удаляется в бесконечность, исчезает и не находится нигде265). Поэтому асимптоты
какой-либо ветви находятся с помощью определения касательной к этой ветви в бесконечно
удаленной точке. Направление же бесконечной ветви находится с помощью определения
положения какой-либо прямой, параллельной касательной, когда точка касания
удаляется в бесконечность. В самом деле,, эта прямая имеет то же направление, что
бесконечная ветвь.
III
ПРИВЕДЕНИЕ ВСЕХ КРИВЫХ ВТОРОГО РОДА К ЧЕТЫРЕМ ТИПАМ
УРАВНЕНИЙ
Все линии первого, третьего, пятого, седьмого и вообще нечетного порядка
имеют по меньшей мере две бесконечные ветви, простирающиеся в двух прямо
противоположных направлениях266*. Все линии третьего порядка имеют две такие ветви,
уходящие в лротивоположных направлениях, в которых не идет ни одна из других
бесконечных ветвей (кроме декартовой параболы)26'К
ТИП I
Положим, что ветви эти гиперболического типа; пусть GAS (фиг. 1, табл. XIII)
их асимптота и пусть параллельно ей проведена какая-нибудь прямая СВс, которая
ограничена с обеих сторон (если это возможно) кривой и рассекается в точке X
пополам* Тогда геометрическое место точек X будет конической гиперболой (положим Χφ),
одной из асимптот которой является AG. Другая асимптота ее пусть будет АВ.
Уравнение, которым определяется зависимость между ординатой ВС и
абсциссой АВ (если АВ означить через х, а ВС через у), всегда принимает форму:
ХУУ ~~l· еУ = αχΒ + Ъхх -f- ex -\~ d.

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
197
Здесь члены β, а, Ь, с, d означают известные «еличины со своими знаками -|~ и — *
и любые из них могут выпасть, но только так, чтобы вследствие их отсутствия фигура
не обращалась в коническое сечение- Упомянутая выше коническая гипербола может
совпасть со своими асимптотами, т. е. точки X могут оказаться на прямой АВ; в этом
+ 268)
еу
тип II
Если прямая СВс не может быть ограничена кривой с двух сторон (фиг. 2, табл. XIII),
но встречает ее только в одной точке и если провести какую-нибудь данную по
положению прямую АВ, встречающую асимптотуЛ£'в.4, и затем еще какую-нибудь прямую ВС,
параллельную асимптоте и встречающую кривую в точке С, то уравнение,
определяющее зависимость между ординатой ВС и абсциссой АВ, всегда принимает форму:
jcy = ах* -f ЪзР + сх + d269) ·
ТИП III
Положим, что противоположные ветви будут параболического типа. Проведем в
направлениях обеих ветвей прямую СВс (фиг. 3, табл. XIII), ограниченную, если это
возможно, с обеих сторон кривой и делящуюся пополам в точке В. Геометрическое
место точек В окажется прямой-линией. Пусть А В имеет своим концом некоторую
данную точку А. Уравнение, которым определяется зависимость между ординатой ВС и
абсциссой А В, всегда принимает форму:
у у = ахв -f· Ьх2 -\-cx~j- d210\
тип IV
Пусть (фиг. 4, табл. XIII) эта прямая СВс встречает кривую только в одной точке
и поэтому не может ограничиваться кривой с двух сторон. Пусть эта точка есть С
и пусть указанная прямая встречает в точке В некоторую другую данную по положению
прямую J. В, заканчивающуюся в какой-либо данной точке А. Уравнение, которым
определяется зависимость между ординатой ВС и абсциссой АВ, всегда принимает форм у:
у = агР+Ъ& + сх + d271) 272).
Названия форм
Приступая к перечислению кривых этих типов, мы будем называть:
вписанной гиперболой — ту,которая целиком лежит в углу, образуемом асимптотами,
наподобие конической гиперболы;
описанной — ту, которая пересекает асимптоты и содержит в своей впадине
части абсцисс;
смешанной — ту, которая одной бесконечной ветвью вписана, а другой описана;
сходящейся — ту, у которой ветви направлены друг к другу своими
вогнутостями и идут в одном направлении;

198
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
расходящейся — ту, у которой ветви направлены друг к другу своими
выпуклостями и идут в обратных направлениях;
имеющей противополоэюные ветви — ту, ветви которой в противоположных
частях выпуклы и в противоположных направлениях бесконечны;
конхоидальной — ту, которая прилегает к асимптоте вогнутой вершиной и
расходящимися ветвями;
змеевидной — ту, которая пересекает асимптоту противоположными изгибами
и с обеих сторон продолжается в противоположных направлениях;
крестовидной — ту, которая перекрещивает сопряженную ей ветвь;
узловой — ту, которая перекрещивает самое себя, возвращаясь круговым обходом;
остриевидной — ту, две части которой сходятся в углу касания и там
заканчиваются;
точечной — ту, которая имеет сопряженной ветвью бесконечно малый овал,
т. е. точку;
чистой — ту, которая вследствие мнимости двух корней лишена сопряженных
овала, узла, острия и точки.
В этом же смысле мы будем употреблять вг для параболы названия:
сходящаяся, расходящаяся, имеющая противополоэюные eemeu.t крестообразная, узловая,
остриевидная, точечная и чистая.
В случае первого типа, если член ахь положительный, фигура (фиг. 5, табл. XIII)
представляет тройную гиперболу с шестью гиперболическими ветвями, которые уходят
в бесконечность вдоль трех асимптот, среди которых нет параллельных, причем по
две вдоль каждой и в противоположных направлениях.
В том случае, если член Ъх2 имеется в наличности, эти асимптоты пересекаются
в трех точках, образующих треугольник (Ζ>οίδ); если же член Ъх2 отсутствует, то они
Сходятся все водной точке.
В первом случае возьми AD = и Ad = АЬ = —- и соедини Dd
2а 2V а
и Ш, тогда Ad, Dd, Ш будут тремя асимптотами.
Во втором случае (фиг. 6, табл. XIII) проведи какую-либо ординату ВС, параллельную
главной ординате A G, на ее продолжениях в обе стороны возьми BF и Bf, равные между
собой и находящиеся к АВ в том же отношении, что Υ а к 1, и проведи AF и Af.
Тогда AG, AF, Af представят три асимптоты. Такую гиперболу мы называем
изобилующей, так как она превосходит числом гиперболических ветвей конические сечения.
Во всякой изобилующей гиперболе, если член еу налдцо и ЪЪ — 4ас не равно
ае Υ а, кривая не будет иметь диаметра; если же будет иметь место одно из этих
условий, то кривая будет иметь один диаметр, а если оба, то — три. Диаметр всегда
проходит через точку пересечения двух асимптот и делит пополам все прямые,
ограниченные с двух сторон этими асимптотами и параллельные третьей асимптоте.
Абсцисса АВ есть диаметр фигуры, если отсутствует член еу. Я употребляю
слово диаметр в собственном смысле здесь и в последующем как абсциссу, которая везде
имеет с обеих сторон пару равных ординат, стоящих при одной и той же точке273)274) 27δ).

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
199
IV
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ
1. О девяти изобилующих гиперболах, лишенных диаметра и имеющих три
асимптоты, образующие треугольник
Если изобилующая гипербола не имеет диаметра, то ищем четыре корня или
значения χ уравнения
ах^ -f- Ъхъ -f- сх2 + dx -4 ее = 0.
Пусть они будут (фиг. 5 и др., табл. XIII—XIV) АР, Αω, Απ, Ар. Строятся
ординаты РТ, ωτ, πλ, pt, которые касаются кривой в стольких же точках Τ, τ, λ, t и при
касании дают границы кривой, с помощью которых характеризуется ее вид.
В самом деле, в том случае, когда все корни АР, Α<χ>, Απ, Ар (фиг. 5, 7)
вещественные, одинакового знака и неравные, кривая состоит из трех гипербол.(вписанной,
описанной и смешанной) с овалом. Одна из гипербол направлена к D, другая к d,
третья к δ, а овал всегда лежит в треугольнике Ddb, причем между средними
границами λ и τ, в которых он касается ординат πλ и ωτ. Это — первый вид.
Если оказываются равными два больших корня Απ, Ар (фиг. 8, табл. XIV)
или два меньших корня АР, А® (фиг. 9, табл. XIV) и они того же знака, что два другие,
то овал и описанная гипербола соединяются друг с другом вследствие слияния точек
касания λ и t или Τ ж τ; ветви гиперболы, перекрещиваясь, переходят в овал, делая
фигуру узловой. Это — второй вид.
Если равны три больших корня Ар, Απ, А® (фиг. 10, табл. XIV) или три меньших
Απ, J.ω, АР (фиг. 11, табл. XIV), то узел обращается в тончайшее острие, ибо две ветви
описанной гиперболы тогда сходятся в углу касания и дальше не продолжаются.
Это — третий вид.
Если равны два средних корня Аа> и Απ (фиг. 12 табл. XIV), то точки касания τ и λ
совпадают и поэтому промежуточный овал, исчезая, превращается в точку; фигура состоит из
трех гипербол — вписанной, описанной и смешанной с присоединенной точкой. Это—чешш
вертый вид.
Если два корня мнимы, а другие два неравны и одинакового знака (так как
они не могут иметь различные знаки), то получаются три чистые гиперболы без овала
или узла, или острия, или присоединенной τοϊκη, и эти гиперболы прилегают либо
к сторонам треугольника, образованного асимптотами, либо к углам его. При этом они
образуют либо пятый (фиг. 12, 13), либо шестой вид (фиг. 14, 15, табл. XV).
Если два корня равны, а два или мнимые (фиг. 16, 18, табл. XV), или
вещественные (фиг. 17, 19, табл. XV, XVI), имеющие знаки, отличные от знака равных
корней, то получается крестовидная фигура, а именно две из гипербол будут
перекрещиваться между собой либо у вершины треугольника, образованного асимптотами
{фиг. 18, 19), либо у его основания (фиг. 16 и 17). Эти два вида — седьмой и восьмой.
Если, наконец, все корни мнимые (фиг. 20, табл. XVI) или все вещественные и
неравные (фиг. 21) и из них два'положительные, а другие два отрицательные, то будут иметься
две гиперболы в противоположных углах, образованных двумя асимптотами, и
змеевидная гипербола, обвивающая третью асимптоту. Это — вид девятый.

200
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Это — все возможные случаи для корней. В самом деле, если два корня равны
между собой и другие два тоже равны между собой, то фигура обращается в коническое
сечение с прямой линией.
2. О двенадцати изобилующих гиперболах, имеющих только один диаметр
Если изобилующая гипербола имеет только один диаметр и этим диаметром
является абсцисса А В, то отыщи три корня или значения χ уравнения
ахь -\- Ъх2 -\-cx-\-d = 0.
Если все эти корни вещественные и одного знака, то фигура будет состоять из
овала внутри треугольника Ddb (фиг. 22, табл. XVI) и трех гипербол при углах его,.
а именно одной, описанной ойоло угла D, и двух других, вписанных в углах d и δ.
Это — десятый вид.
Если два большие корня равны и третий — того же знака, то ветви гиперболы,
прилежащие к вершине D (фиг. 23, табл. XVI), будут перекрещиваться в форме узла
вследствие соприкосновения с овалом. Это — одиннадцатый вид.
Если три корня равны, то гипербола эта остргшидная и без овала (фиг. 24,
табл. XVI). Это — двенадцатый вид.
Если равны меньшие два корня и третий — того же знака, то овал превращается
в точку (фиг. 25, табл. XVII). Это — тринадцатый вид.
В четырех последних видах гипербола, прилежащая к D, обхватывает в
образуемой ею впадине асимптоты, другие же две гиперболы лежат в углах, образуемых
асимптотами.
Если два корня мнимы, то получаются три чистые гиперболы без овала,
перекрещивания или острия. К этому типу принадлежат четыре вида: а именно
четырнадцатый в том случае, если описанная гипербола прилегает к D (фиг. 25),
пятнадцатый, если прилегает к D вписанная (фиг. 26, табл. XVII), шестнадцатый, если
описанная гипербола прилегает к основанию db треугольника Ddb (фиг. 27, табл. XVII),
и семнадцатый (фиг. 28, табл. ΧΛΤΊ), если к этому основанию прилегает вписанная
гипербола.
Если два корня равны, а третий—иного знака, то фигура будет крестовидной,
а именно две из трех гипербол будут взаимно перекрещиваться, причем либо при
вершине треугольника, образованного асимптотами (фиг. 29, табл. XVII), либо при его
основании (фиг. 30, табл. XVII). Эти два вида — восемнадцатый и девятнадцатый.
Если два корня неравны и одинакового знака, а третий — иного, то получатся
две гиперболы в двух противоположных углах, образуемых двумя асимптотами, и
промежуточная конхоидальная. Конхоидальная ветвь будет лежать либо по ту же сторону
от своей асимптоты (фиг. 31, табл. XVIII), что и треугольник, образованный асимптотами,
либо по другую (фиг. 32, табл. XVIII). Эти два случая образуют двадцатый и двадцать
первый виды.
3. О двух изобилующих гиперболах с тремя диаметрами
Изобилующая гипербола с тремя диаметрами состоит из трех гипербол,
лежащих во впадинах, образуемых асимптотами, и при этом либо при углах треуголъ-

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 201
ника, заключенного между асимптотами (фиг. 33, табл. XVIII), либо же при его сторонах
(фиг. 34, табл. XVIII). Первый случай дает двадцать второй, а последний — двадцать
третий виды.
4. О девяти изобилующих гиперболах с тремя асимптотами, сходягцимися
в одной точке
Если три асимптоты пересекутся в одной точке, то пятый и шестой виды
обратятся в двадцать четвертый (фиг. 6, табл. ХШ), седьмой и восьмой·—в двадцать пятый
(фиг. 35, табл. XVIII), а девятый — в двадцать шестой (фиг. 36, табл. XVIII), в котором
змеевидная ветвь не проходит через точку пересечения асимптот, и двадцать седьмой^
в котором она проходит через эту точку (фиг. 37, табл. XIX), причем в этом случае
отсутствуют члены Ъ и d и точка пересечения асимптот есть центр фигуры, равноотстоящий
от всех ее противоположных частей. Эти четыре вида лишены диаметра.
Далее, четырнадцатый и шестнадцатый виды обращаются в двадцать восьмой
вид (фиг. 38, табл. XIX), пятнадцатый и семнадцатый — в двадцать девятый (фиг. 39,
табл. XIX), восемнадцатый и девятнадцатый — в тридцатый (фиг. 40, табл. Х1Х)>
а двадцатый и двадцать первый — в тридцать первый (фиг. 41, табл. XIX). Все эти
виды имеют один диаметр.
Наконец, двадцать второй и двадцать третий виды обращаются в тридцати
второй вид, у которого существуют три диаметра, проходящие через точку пересечения
асимптот (фиг. 42, табл. XIX).
Все эти обращения можно легко представить себе, уменьшая треугольник,
заключенный между асимптотами, пока он не исчезнет, превратившись в точку.
5. О шести дефективных гиперболах без диаметра
Если в уравнении первого типа член ахъ оказывается отрицательным, то фигура
является дефективной гиперболой, имеющей только одну асимптоту и только две
гиперболические ветви, бесконечно простирающиеся вдоль асимптоты в противоположных
направлениях. При этом асимптотой этой является первая и главная ордината AG.
Если член еу есть, то фигура не имеет диаметра, а если он отсутствует, то она
имеет один диаметр. В первом из этих случаев различаются следующие виды.
Если все корни Аъ, АР, Ар, A<s> (фиг. 43, табл. XX) уравнения
ах* = Ъхъ -|- ex2 -f- dx -| ее
вещественные ,и неравные, фигура представляет змеевидную гиперболу, обнимающую
асимптоту противополсжными изгибами, и присоединенный овал. Это — вид тридцать
третий.
Если два средние корня АР и Ар (фиг. 44, табл. XX) равны, то овал и
шейка соединяются и перекрещиваются между собой в форме узла. Это — вид
тридцать четвертый.
Если равны три корня, то узел обращается в тончайшее острие у вершины
змейки (фиг. 45, табл. XX). Это — вид тридцать пятый.
Если из трех корней одинакового знака два наибольших ΑρτιΑπ (фиг. 47, табл. XX),
равЪы между собой, то овал обращается в точку. Это — вид тридцать шестой.

202 ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Если два какие-нибудь корня Мнимые (imaginariae), то остается только чистая
змеевидная ветвь без овала, перекрещивания, острия .или присоединенной точки. Если
змейка не проходит через точку А (фиг. 46, табл. XX), то получается тридцать
седьмой вид, ъъш же она проходит через эту точку А (что происходит, когда отсутствуют члены
Ъ и d), то точка эта А оказывается центром фигуры, делящим пополам все
проведенные через него прямые, ограниченные с обеих сторон кривой (фиг. 47, табл. XX).
Это — тридцать восьмой вид.
6. О семи дефективных гиперболах, имеющих диаметр
В другом случае, когда нет члена еу и поэтому фигура имеет диаметр и когда
все корни AT, At, Ατ (фиг. 48, табл. XX) уравнения
ахъ = Ъх2 -f- ex -f- d
вещественны, неравны и одного знака — фигура представляв? конхоидальную гиперболу
с овалом против ее выпуклой части. Это — тридцать девятый вид.
Если два корня неравны и одинакового знака, а третий — обратного знака, то
овал окажется против вогнутой части конхоидальной кривой (фиг. 49, табл. XX). Это —
сороковой вид.
Если два меньших корня AT, At (фиг. 50, табл.ХХ) равны и третий Ατ — того
же знака, то овал и конхоидальная кривая соединяются, перекрещиваясь в форме узла.
Это — сорок первый вид.
Если три корня равны, то узел превращается в острие и фигура является
циссоидой древних (фиг. 51, табл. XX). Это — сорок второй вид.
Если равны два больших корня, а третий — того же знака, то к конхоидальной
кривой присоединяется точка против выпуклой части (фиг.52, табл. XX). Это — сорок
третий вид.
1£сли два корня равны, а третий — обратного знака, то к конхоидальной кривой
присоединяется точка против вогнутой части (фиг. 53, табл. XX). Это — сорок
четвертый вид.
Если два корня мнимые, то получается чистая конхоидальная кривая без овала,
узла, острия или присоединенной точки (фиг. 52, 53). Это — сорок пятый вид.
7. О семи параболических гиперболах без диаметра
Если в уравнении первого типа нет члена ахъ, но имеется Ъхх, то фигура
будет параболической гиперболой, имеющей две гиперболических ветви вдоль одной
асимптоты SAG и две параболические, направляющиеся в одну и ту же сторону.
Если член еу есть, то фигура не имеет диаметра, если его нет, то она будет иметь
один диаметр. В первом случае виды таковы:
Если три корня АР, Αω, Ατ (фиг. 54, табл. XXI) уравнения
Ъхв -(- схх -f- dx -\- -- ее = О
неравны и одинакового знака, то фигура будет состоять из овала и двух других
кривых, которые частью гиперболические, частью параболические. А именно параболи-

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
203
ческие ветви при непрерывном продолжении соединяются с ближайшими к ним
гиперболическими ветвями. Это — сорок шестой вид.
Если равны два меньших корня, а третий — того же знака, то овал и одна из
этих гиперболическо-параболических кривых соединяются, перекрещиваясь в форме узла
(фиг. 55, табл. XXI). Это — сорок седьмой вид.
Если равны три корня, узел этот обращается в острие (фиг. 56, табл. XXI). Это — вид
сорок восьмой.
Если равны два больших корня, а третий — того же знака, то овал превращается
в присоединенную точку (фиг. 57, табл. XXI). Это — сорок девятый вид.
Если два корня мнимы, то эти гиперболическо-параболические кривые
становятся чистыми, без овала, перекрещивания, острия или присоединенной точки и
образуют пятидесятый вид (фиг. 57 и 58, табл. XXI).
Если равны два корня, а третий обратного знака, то эти гиперболическо-пара-
болические кривые, перекрещиваясь, соединяются наподобие креста (фиг. 59, табл. XXI).
Это — пятьдесят первый вид.
Если два корня неравны и одинакового знака, а третий — обратного знака, то
фигура оказывается змеевидной гиперболой, расположенной вокруг асимптоты AG
(фиг. 60, табл. XXI), соединенной с параболой. Это — пятьдесят второй вид.
8. О четырех параболических гиперболах, имеющих диаметр*
В другом случае, когда нет члена еу и фигура имеет диаметр и когда оба корня
уравнения
Ъхх -{- ex -\- d = О
мнимы, имеются две гиперболическо-параболические фигуры, равноотстоящие по обе
стороны от диаметра АВ (фиг. 61, табл. XXI). Это — пятьдесят третий вид.
Если два корня этого уравнения мнимы, то гиперболическо-параболические
фигуры соединяются, перекрещиваясь наподобие креста, и образуют пятьдесят
четвертый вид (фиг. 62, табл. XXII).
Если корни эти неравны и одинакового знака, то получаются конхоидальная
гипербола и парабола с одной стороны асимптоты (фиг. 63, табл. XXII). Это —
пятьдесят пятый вид.
Если корни эти обратных знаков, то получается конхоидальная кривая и
парабола по разные стороны асимптоты (фиг. 64, табл. XXII). Это — пятьдесят шестой вид
9. О четырех гиперболизмах гиперболы 276)
В том случае, когда отсутствуют в уравнении первого типа оба члена ах*
и Ъхх, фигура представляет гиперболизм какого-нибудь конического сечения. При этом
я называю гиперболизмом фигуру, ордината которой получается, если взять
произведение из ординаты этой фигуры на данную прямую, поделенное на общую абсциссу.
Таким образом прямая линия превращается в коническую гиперболу и всякое
коническое сечение превращается в какую-либо из фигур, называемых здесь гиперболизмами
конических сечений.

204
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
В самом деле, уравнение фигуры, о котором мы говорим, именно
хуу-{-еу = сх-\-а,
дает
е ± у ее 4- Ых -4- 4схх
у- Тх '
что получается, если взять произведение из ординаты конического сечения
е _μ У ее -\- Ых -f- 4с хх
2т
на данную прямую т, поделенное на общую, абсциссу кривых х.
Отсюда явствует, что образуемая таким образом фигура будет гиперболизм
гиперболы, эллипса или параболы, смотря по тому, будет ли член сх положительный,
отрицательный или нуль.
Гиперболизм гиперболы имеет три асимптоты, из которых одна есть первая и
главная ордината Ad, другие же две параллельны абсциссе АВ и равно отстоят от нее по обе
стороны. На главной ординате Ad возьми по обе стороны Ad, АЪ равными величине
Υ с и через точки d и δ проведи асимптоты dg и δγ параллельно абсциссе АВ.
Когда член еу — налицо, фигура не имеет диаметра. В этом случае, если два
корня АР, Ар уравнения
схх 4- dx -4- — ее = 0
1 4
(фиг. 65, табл. XXII) вещественны и неравны (равными они могут быть только в случае
конического сечения), фигура будет состоять из трех расположенных друг против
друга гипербол, из которых одна лежит между параллельными асимптотами, а другие
две — вне их. Это — пятьдесят седьмой вид.
Если эти два корня мнимые, то получаются две лежащие друг против друга
гиперболы вне параллельных асимптот и змеевидная гипербола между ними. При этом такая
фигура бывает двух видов. А именно, когда есть член d, она не имеет центра
(фиг. 66, табл. XXII), если же его нет, то точка А является ее центром (фиг. 67, табл. XXII).
Первый вид — пятьдесят восьмой, последний — пятьдесят девятый.
Если члена еу нет, то фигура будет состоять из трех расположенных друг
против друга гипербол, из которых одна лежит между параллельными асимптотами, а две
другие лежат вне их, как в виде пятьдесят четвертом, и, кроме того, еще имеет
диаметр, которым является абсцисса АВ (фиг. 68, табл. XXII). Это — шестидесятый вид.
10. О трех гиперболизмах эллипса
Гиперболизм эллипса определяется следующим уравнением:
xyy + ey = cx-\-d
и имеет только одну асимптоту, которой является главная ордината Ad (фиг. 69, табл. XXIII).
Если член еу имеется, то фигура — змеевидная гипербола б.ез диаметра; она
также будет без центра, если имеется и член d. Это — вид шестьдесят первый.
В случае отсутствия члена d фигура имеет центр без диаметра и центром
является точка А (фиг. 70, табл. XXIII). Вид же это — шестьдесят второй.

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
205
Но если член еу отсутствует, а член d имеется, то фигура — конхоидальная с
асимптотой AG (фиг. 71, табл. XXIII) и имеет диаметр без центра, причем диаметром ее является
абсцисса АВ. Это — шестьдесят третий- вид.
11. О двух гиперболизмах параболы
Гиперболизм параболы определяется следующим уравнением:
xyy + ey = d
и имеет ;а;ве асимптоты: абсциссу АВ и первую и главную ординату AG, В этой
фигуре — две гиперболы, расположенные не в противоположных углах, образуемых
асимптотами, но в углах, непосредственно прилежащих друг к другу, т. е. расположенные
но различные стороны абсциссы АВ; при этом при наличии члена еу диаметра
Ήβτ (фиг. 72, табл. XXIII); если же этого члена нет, то диаметр имеется (фиг. 73, табл. XXIII).
Эти два вида — шестьдесят четвертый и шестьдесят пятый,
12. О трезубце 269>
В случае второго типа имелось уравнение
ху = ахъ -f- Ъхх -{- cxr\- d.
В этом случае фигура имеет четыре бесконечные ветви, из которых две
гиперболические, простирающиеся в противоположных направлениях вдоль асимптоты AG
(фиг. 76, табл. XXIII), и две параболические, сходящиеся и образующие с первыми род
трезубца. Эта фигура есть та парабола, с помощью которой Декарт строил уравнение
шестой степени. Итак, это — шестьдесят шестой вид.
13. О пяти расходящихся параболах 270)
В третьем типе уравнение было
уу = ахв -|" Ъхх Л- ex -\- d.
Оно определяет параболу, ветви которой взаимно расходятся, бесконечно удаляясь
в противоположные стороны. Абсцисса АВ есть ее диаметр. Существует пять
нижеследующих ее видов:
Если все корни Ατ, AT, At уравнения
ахъ -\- Ъхх -\- ex -\- d = О
вещественны и неравны, фигура представляет расходящуюся колоколообразную
параболу с овалом у вершины (фиг. 74, 75, табл. XXIII). Это — шестьдесят седьмой вид.
Если два корня равны, то парабола переходит либо в узловую, соприкоснувшись
с овалом (фиг. 77, табл. XXIII), либо в точечную при бесконечно малом овале
{фиг. 78, табл. XXIII). Эти два вида — шестьдесят восьмой и шестьдесят девятый.
Если равны три корня, то парабола является остриевидпой (фиг. 80) в вершине.
Это парабола Нейля, называемая обычно полукубической. Это — семидесятый вид.
Если два корня мнимые, то получается чистая колоколообразная парабола
(фиг. 78, 79, табл. XXIII), образующая семьдесят первый вид.

206
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
14. О кубической параболе 271)
В четвертом типе уравнение было
у = ахъ -{- Ъхх -f- сх -}~ ^·
Это уравнение определяет параболу, имеющую противоположные ветви и обычно
называемую кубической (фиг. 81, табл. XXIII).
Таким образом всего видов семьдесят два277) 278) 279) 280) 281) 282).
V
ОБРАЗОВАНИЕ КРИВЫХ С ПОМОЩЬЮ ТЕНЕЙ
Если на бесконечную плоскость отбрасывать от светящейся точки тени фигур,,
то тенями конических сечений будут всегда тоже конические сечения; тени кривых
второго рода будут всегда кривыми второго рода; тени кривых третьего рода будут
всегда кривыми третьего рода и так далее до бесконечности.
И совершенно так же, как круг при отбрасывании тени производит все
конические сечения, точно так пять расходящихся парабол с помощью своих теней производят
и доставляют все другие кривые второго рода. Так же можно бывает найти более
простые кривые других родов, которые образуют с помощью своих теней, отбрасываемых,
от светящейся точки на плоскость, все остальные кривые тех же родов.
О двойных точках кривых
Мы сказали, что кривая второго рода может пересекаться прямой в трех
точках. Две из них иногда совпадают, например в том случае, когда прямая проходит
через бесконечно малый овал или чер^з пересечение двух пересекающихся между
собой или сходящихся в острие частей кривой.
В том случае, когда все прямые, идущие в направлении какой-либо
бесконечной ветви, пересекают кривую только в одной точке (как это имеет место у ординат
декартовой параболы, кубической параболы, а также у прямых, параллельных абсциссе
гипербрлизмов гиперболы и параболы), следует представлять себе, что эти прямые
проходят через две другие, расположенные, так сказать, на бесконечном расстоянии
точки кривой. Такого рода совпадающие между собой точки пересечения, находящиеся
на конечной или на бесконечном расстоянии, мы будем называть двойными точками.
Кривые же, имеющие двойные точки, мы можем описывать с помощью следующих
теорем.
VI
ОБ ОРГАНИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ КРИВЫХ283} 284)
Теорема I
Если два заданных по величине угла PAD и PBD (фиг. 82, табл. XXIV)
вращаются вокруг заданных по положению полюсов J., Б и Р, точка пересечения их
сторон АР и ВР движется по прямой, то D, точка пересечения двух других сторон
AD, BD, описывает коническое сечение, проходящее через полюса А я В.
Если же эта прямая проходит через один из полюсов А или Били же если углы
BAD и ABD исчезают вместе, точка D описывает прямую линию.

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
207
Теорема II
Если Р, точка пересечения сторон АР, ВР (фиг. 83, табл. XXIV), описывает
коническое сечение, проходящее через один из полюсов А, то D, точка пересечения двух
других сторон AD, BD, описывает кривую второго рода, проходящую через другой полюс В
и в первом полюсе А, через который проходит коническое сечение, имеющую
двойную точку.
Если же углы BAD и ABD исчезают вместе, точка D описывает другое
коническое сечение, проходящее через полюс А.
Теорема III
Но в том случае, когда коническое сечение, пробегаемое точкой Р, не
проходит ни через один из полюсов А, В (фиг. 84, табл. XXIV), точка D описывает кривую второго
или третьего рода, имеющую двойную точку. Эта двойная точка находится в
пересечении описывающих кривую сторон AD и BD там, где вместе исчезают углы ВАР
и АВР. Образуемая таким образом кривая будет второго рода, если углы BAD и
ABD исчезают вместо, в противном случае она будет третьего рода и будет иметь
две другие двойные точки в полюсах А ж В.
Проведение конических сечений через пять данных точек
Коническое сечение определяется пятью его точками и может быть по ним
построено следующим образом.
Пусть даны (фиг. 85, табл. XXIV) его пять точек: А, В, С, D, Е. Из них соединяются
между собой какие-нибудь три А, В, С, и какие-нибудь углы CAB и СВА треугольника ABC
вращаются вокруг своих вершин А ж В. Когда С, точка пересечения сторон АС и
ВС, последовательно попадает в другие две точки D и Е, точки пересечения других
сторон АВ и ВА оказываются в точках Ρ и Q. Далее, проводится и бесконечно
продолжается прямая PQ, а подвижные углы вращаются так, чтобы точка пересечения
сторон А В и В А двигалась по прямой PQ; при этом С, точка пересечения других сторон, опишет
согласно первой теореме искомое коническое сечение285).
Проведение кривых второго рода, имеющих двойную точку, через данные семь точек
Все кривые второго рода, имеющие двойную точку, определяются по семи
данным их точкам, из которых одна есть эта двойная точка, и могут быть построены
по ним следующим образом.
Пусть даны (фиг. 86, табл. XXIV) какие-либо семь точек описываемой кривой А, В,
С, D, Е, F; G, из которых А двойная точка. Точка А соединяется с какими-либо двумя
другими из точек, например Ρ и С, и затем угол CAB треугольника ABC вращается
вокруг своей вершины А, а один из прочих углов, скажем ABC, вращается вокруг своей
вершины Р. Когда С, точка пересечения сторон АС, ВС, последовательно попадает
в остальные четыре точки D, Е, F, G, точки пересечения других сторон АВ и В А
оказываются в четырех точках Р, Q, R, S. Через эти четыре точки и пятую точку А
проводится коническое сечение, и взятые ранее углы CAB и СВА вращаются так, чтобы
точка пересечения сторон АВ и В А двигалась по этому коническому сечению; при этом С}.
точка пересечения других сторон АС и ВС, опишет согласно второй теореме
искомую кривую.

208
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Если вместо точки С задано положение прямой ВС, касающейся искомой
кривой в точке В, то линии AD и АР совпадут и вместо угла DAP получится прямая
линия, вращающаяся вокруг полюса А.
Если двойная точка А бесконечно удалена, то прямая должна постоянно быть
направленной к этой точке и переноситься параллельно самой себе, в то время как
угол ABC будет вращаться вокруг полюса Б286).
Можно эти кривые описывать и несколько другим образом, пользуясь третьей
теоремой, но достаточно привести простейшее построение.
По такому же методу можно описывать кривые третьего, четвертого и высших
1>одов, впрочем не все, а только те, которые можно удобно строить с помощью движения.
Задачу об удобном описании какой-либо кривой второго или высшего рода, не
имеющей двойной точки, должно отнести к более трудным.
VII
ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОПИСАНИЯ КРИВЫХ287)
В геометрии кривые употребляются для решения задач при помощи их точек
пересечения.
Пусть предложено решить построением уравнение девятой степени
x**^bx^cxQ^dx*^ex*-^fx*-\-gxx--\-hx-\-Jc==:0,
где Ъ, с, d и т. д. означают какие-либо известные величины со своими знаками -(- или —
Берется уравнение кубической параболы
afl = tj;
первое уравнение, если подставить у вместо х3, превращается в уравнение
у3 -J- Ъхуу -|- суу -J- dxxy -j- еху -j- ту -f- fxb -j- дхх -}- hx -{- к = 0.
Это уравнение некоторой кривой второго рода.
Здесь т или f может отсутствовать или быть взято произвольно. Посредством
описания этих кривых и нахождения их точек пересечения и определяются корни
уравнения, которое требовалось решить построением. Кубическую параболу
достаточно описать только один раз 288>.
Если решаемое построением уравнение благодаря отсутствию двух последних
членов hx и Jc приводится к седьмой степени, то вторая кривая при уничтожении т
будет иметь двойную точку в начале абсцисс и поэтому может быть легко описана,
как показано выше 289>.
Если решаемое построением уравнение благодаря отсутствию трех последних
членов gxx-\-hx-\-lc приводится к шестой степени, то вторая кривая при уничтожении/7
оказывается коническим сечением.
А если благодаря отсутствию шести последних членов данное уравнение приведется
к третьей степени, то мы придем к построению Валлиса с помощью кубической
параболы и прямой линди.

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
209
Можно решать построением уравнение и с помощью гиперболизма параболы
<€ диаметром. Например, если требуется решить построением следующее уравнение
девятой степени без предпоследнего члена
а -\-cxx + dxd + ex* -\- fxb -j- gxG -J- hx"' -f- kx8 -\- /x9 = 0,
+ m
то берется уравнение, относящееся к этому гиперболизму, хху = 1, и после замены —
*через у решаемое построением уравнение превращается в следующее:
ауъ + СУУ + dxyy + еу -f- fxy + m-\-g + hx-\- Jcxx -\- 1%ъ = 0.
'Это уравнение определяет кривую второго рода, с помощью описания которой и
разрешается задача. Одна из величин т и д может здесь отсутствовать или быть взята
произвольно.
С помощью кубической параболы и кривых третьего рода строятся также все
уравнения не выше двенадцатой степени, с помощью той же параболы и кривых
четвертого рода строятся все уравнения не выше пятнадцатой степени и та,к далее
до бесконечности. А эти кривые третьего, четвертого и высших родов можно всегда
описать путем определения их точек с помощью плоской геометрии.
Так, если следует решить построением уравнение
х12 * + ах10 + bxQ -j- cxs + άχ1 + t'.r6 + />δ + 9& + й-*"3 + **a? + ^ *' + 1=0
& дана уже описанная кубическая парабола, уравнение которой хв = //, гю, написав у
вместо xsf мы обращаем данное уравнение в следующее:
?/4 ~\- α χ ιβ -j- сххуу ~\- fxicy -j- гхх = О,
+ hx
+ е +/г +1
определяющее кривую третьего рода, описанием которой и разрешается задача.
Но кривая эта кможет быть описана посредством построения ее точек с помощью
плоской геометрии, потому что неопределенная величина χ входит только во второй
степени.
3L4 &аь\ 32^ Ньютон

МЕТОД РАЗНОСТЕЙ
положение ι290)
Пусть абсцисса криволинейной фигуры состоит из некоторой известной
величины А и неопределенной величины х, а ордината состоит из известных величин Ъ,
с, d, е и т. д., умнооюенных соответственно на такое же число членов
геометрической прогрессии х, х2, #3, xi и т. д., и пусть во всех точках абсцисс восстановлено
столько же ординат. Я утверждаю, что первые разности ординат делятся на
интервалы их, разности поделенных таким образом разностей делятся на интервалы,
соответствующие парам ординат^ разности поделенных таким образом разностей
делятся на интервалы, соответствующие тройкам ординат, и так далее до
бесконечности.
В самом деле, если вместо неопределенной части абсциссы χ последовательно
положить какие-либо известные величины р, q, г, s, t и т. д. и в концах данных
таким образом абсцисс построить ординаты α, β, γ, δ, ε и т. д., то абсциссы и
ординаты, и разности ординат, деленные на разности абсцисс (которые являются
непременно интервалами между ординатами), и разности этих результатов, разделенные на
разности абсцисс, взятых через одну, и так далее, представляются следующей таблицей.
Абсциссы
А+р
A + q
А~\-г
A-^s
A + t
Ординаты
A-}-bp-\- ср2 -\~ dp* -f- ер4· = α
А + bq + cq* -f- dq* + eg* = β J
A~\-br-\-cr2 -4- drd -f~er4 = γ ι
A -f- bs -f- cs2 -f ds* -j- es* = δ |
A~}-bt-\- ct2 + dfi + ei4 = г

МЕТОД РАЗНОСТЕЙ
211
Делит, разл. пор.
}) — q) а — β
(j — г)Р — γ
г — 5) γ — δ
s — /) δ— ε
β — r)L — η
ί —«)η —θ
r _ /) 6 _ χ
JJ S)K μ
q — t)p — ν
ρ — f)l — π
Результаты деления J
НсХ^+НйХ^+я+дНеХ/+Л+и2 + з3==С
* + ^ X 9 + г + й X м + g*· + rr + е χ g3-f«**· + 2г2+ г3 = ч
6 + cXr+«s + rfXry+^+ ss+eXr3+r2s4-rs2 + s3==6
ft + с Χ « + ί +d X .v5 -f- s/ + « + с Χ s3 + s4+ st* + *e = χ
e + rfX^ + g + r + e xpp+pq-jrqq-{-pr-{-qr+rr = \
с -j- й χ <? -f- *· + $ -f-е X gg -j- дг -+- г* + gs + го + 5S = μ
c + dXr + s^t-^eXrr--!rrs-j-ss*-\-rt--\-st-{-tt==v
d-\-eXp + q-j-r-\-s = t
^^Xg+^ + Hi = ^
| e> = σ
ПОЛОЖЕНИЕ II
При тех же^предполооюениях, а также если число членов Ъ, с, d, е и т. д.
конечно, я утверждаю, что последний из результатов равен последнему из членов
Ь, с, rf, е и т. д. и что с помощью остальных результатов будут дани и другие
члени Ь, с, d, е и т. д., а с помощью их будет дана кривая параболического рода,
проходящая 'через концы всех ординат.
В самом деле, в приведенной выше таблице последний результат σ оказывается
равным последнему члену е. А этот член, умноженный на данную сумму i? + g +
-\-r-\-s и вычтенный из результата ξ, дает предпоследний член d. А по вычитании
теперь уже известных величин
d Xp-hq-)rr-\- е Хрр -\-qp-\-qq +pr + qr -f rr
из результата λ остается предпредпсследний член с. А по вычитании теперь известных
величин
'cXp+q + dXpp+pq+qq + eXp*-)-gpq+pqq-\-q*
14*·

212
МЕТОД РАЗНОСТЕЙ
из результата ζ остается член Ъ. В случае большего числа членов все они
определяются подобным же вычислением с помощью такого же числа последовательных
результатов. Затем, если вычесть данные величины Ър -j- срр -\- dp3 -j- ер* из первой
ординаты а, то останется первый член абсциссы А. А величина A -f- Ьх -{- сх2 -\- dx% -\-
-|-е#4-{-и т. д. выражает ординату кривой параболического рода, проходящей через
концы всех данных ординат при абсциссе А-\-х.
Из этих положений легко могут быть выведены следующие 291) 292) 293).
ПОЛОЖЕНИЕ III
Некоторая прямая АА9 (фиг. 1, табл. XXV) делится па несколько равных
частей АА^ А2А%, АЪА^ А±АЬ и т. д., и из точек деления проводятся параллели
АВ, А2В2, А%В% и т. д. Найти геометрическую кривую параболического рода,
проходящую через концы всех проведенных отрезков В, Д>, JB3 и т. д.
Дли отрезков прямых А В, А2В2, АЬВ3 и т. д. ищи первые разности Ь, f>2, Ь.д
и т. д., вторые с, с2, съ и т. д., третьи d, d2, db и т. д. и так далее, пока не дойдешь
до последней равности, которая здесь будет г.
Тогда, начиная с последней разности, возьми средние разности в столбцах или
в порядках разностей, чередующихся через один, и среднеарифметическую двух средних
в остальных, продолжая таким образом по порядку до ряда первых членов А В, А2В2,
АвВа, и т. д. Пусть эти величины будут
1с, I, т, п, о, р, g, г, s и т. д.,
причем последняя представляет последнюю разность, предпоследняя —
среднеарифметическую двух предпоследних разностей, предпредпоследняя — среднюю трех предпредпо-
еледних разностей и так далее до первой, которая будет или средней из членов А, А2, Аь
и т. д., или же среднеарифметической между двумя средними. Первое имеет место,
когда число членов А, А2, As и т. д. нечетно, второе, — когда оно четно.
СЛУЧАЙ I
В первом случае пусть этот средний член будет АЪВЬ, т. е.
АЪВЬ=% 5±+Ь=/, с, = т,
d4-i-d, А + /з Λ + λο
Восставив ординату FQ, положи АьР=х и перемножь беспрерывно друг на
друга члены следующей прогрессии:
1ΧΤΧΪΧΊΓΧΙΧ"^ΓΧ()Χ Ίχ Х8Х 9χ Χ

МЕТОД РАЗНОСТЕЙ
213
Тогда получатся члены
хх Xs — χ хА — хх хъ — 5а?3 -j- 4% xQ — 5#4 -\- 4хх
1у Х> Т' —6~' 24 ' 120 ' 720 '
χι _ ΐ4Λ·6 -U 49.г8 — З6.г
■ и т. д.
504Θ А
По соответственном умножении на них членов ряда &, Z, т, η, о, ρ сумма
произведений
, , , , хх , #3 — χ , х* — хх , хь — Ьхъ 4- 4«τ .
k-\-xl + -^m-\ — Л+ 24~Н Ϊ20 Р+ И Т* Д*
будет длиной ординаты PQ 294).
случай π
Во втором случае пусть два средних члена будут А4В4, АЪВЪ, т. е. пусть
Α*Β*+Α*Β* = 1ι, bt = l, Ц^ = «, dt=n, е, + с3 = о,
Восставив ординату PQ, рассеки ААА~ пополам в О. Полагая ОР = х, перемножь»
беспрерывно друг на друга члены следующей прогрессии:
1 9 25 49
XX XX — XX XX
χ 4 χ 4 χ 4 χ 4
1ХТХ—-5 X—X—: Х7Х—й ХТХ—Q и т. д.
1 2х :> Ах о 6х 7 8х
Получатся члены
4хх — 1 4хд — ν 16.г4 — 4=0хх -4- 9
1, *, —g—, —й-' 384 И1'-Д-
По соответственном умножении на них членов ряда к, Z, т, п, о, р, q и т. д.
сумма произведений
7 . 7 . 4хх—1 . 4.Г3 — χ . 16л:4 — 40##4-9 ,
к -4- х\ А т 4- -—т; ^ Ч !— ° + и т· Д·
~ ~ 8 ^ 24 ~ 384 '
будет длиной ординаты PQ.
Но здесь следует отметить, что интервалы АА2, А2АЪ, А3А^ и т. д.
предполагаются равными единицам и что разности должны выводиться вычитанием меньших
величин из больших:
А2В2 из А В, АгВъ из А2В2, Ъ2 из Ъ и т. д.,
так что
АВ — А2В2 = Ъ, А2В2— А3В3 = Ь2, Ъ — Ъ2 = с и т. д.;
когда при этом разности эти оказываются отрицательными, следует изменить их знаки.
ПОЛОЖЕНИЕ IV
Некоторая прямая (фиг. 2, табл. XXV) делится на несколько неравных частей
АА2, А2АВ, А8А„ j[ 1 и т. д. и из точек деления проводятся параллели АВ

214
МЕТОД РАЗНОСТЕЙ
А2В2, А^Вг и т. д. Найти геометрическую кривую параболического рода, проходящую
через концы всех проведенных отрезков Ву jB2, Въ и. т. д.
Пусть данные точки суть В, В2, J53, Б4, Бб, Б6, 2?7 и т. д. Проведи
перпендикулярно к каким-либо абсциссам ΑΑΊ ординаты ВА, В2А% и т. д. и положи
к,
-Д^Въ
ААъ ~~
:Ъ,
А^ — А?БВ _ ; АгВг -А,В,_ , А4В, - Af>Br, _
А2Л3
АъВь-А6Вв
Затем
Далее,
ь-К с
ААЪ -С'
АА4 -d·
d— d2
~A~ir~e'
АцАА АААГ>
ABQ — Л1В1 = b Α1Β1 — АЬВЬ = Ъ
α$αί αία$
Ъ9 Ьа L· Ь.
Ч — Η _ д Ч — С4 _ d И Т д
А2АЬ d» Α,Α, й* Т· Д-
d9 — do do — d,
"4ГЗ" β8' ΊΓα^ = °3 ит· д'
Так следует продолжать до последней разности.
Выведя таким образом разности и разделив на интервалы ординат, возьми в их
столбцах или рядах, или порядках, следующих через один, начиная с последнего,
средние/а в остальных столбцах возьми среднеарифметические двух средних,
продолжая так до ряда первых членов АВ, А%В2, и т. д.
Пусть величины эти будут fc, I, ту п, о, p,q,r и т. д., причем последний член
представляет последнюю разность, предпоследний — среднеарифметическую двух
предпоследних, предпредпоследний — среднюю трех предпредпоследних и т. д., а первый h будет
средней ординатой, если число данных точек нечетно, и среднеарифметической двух
средних, если число их четно.
СЛУЧАЙ
В первом случае пусть средняя ордината есть A±BV так что
л τ> 7 ^з + ^4 τ d%-\-da ί-+-ί<>
A±B± = lt, ^L-t=|, c3 = m, 2^ 8 = 7*, e2 = o, ,-^-^=p1 g = q.
Восставив ординату PQ и взяв на основании ААЬ какую-нибудь точку О,
положи ΟΡ^=ζχ и перемножь последовательно друг на друга члены следующей
прогрессии:
1Х*=Ш;хх-ол'+ол*х*-ОА*х*-ОА*хх-ол*+ОА*х и т. д>
х-±ОАя + ОА6
я сохрани получаемую таким образом прогрессию. Или, что то же самое, перемножь
последовательно друг на друга члены следующей прогрессии:
1 χ χ — О А 4 Χ χ — OAz Хх — ОАь X я- — ОА%Х χ — ОА6 X х—ОА Х.х — ОА1 и т. д.,

МЕТОД РАЗНОСТЕЙ
215
а полученные отсюда члены перемножь· соответственно на члены следующей прогрессии:
, г +ОЛ + ОЛ + 0Α2 + 0Α« +ОА + ОА,
ι, л 2 ' ' о > о
тгри этом получатся промежуточные члены; таким образом вся прогрессия будет:
ι,,-0^~-+°*+?^+«4. + <Μ· + 'Μ.χΜ1 ...»
Или же положи
ОА = а, 0А2 = $, ОАъ = ъ 044 = δ, (Мб = е, ОА6 = С,
_ ОАъ + ОАъ_ ОА2 + ОА6 ОА±ОА1_
<АА7 —η, - — <J, - —/, - —λ.
Затем возьми члены из прогрессии
ΐΧχ — ο Χ χ — γΧ ж— г Χ χ— $χχ — ζχ#_αχ# —η и т. д.,
по умножении их на 1, χ — θ, χ — κ, χ — λ и т. д. ты получишь еще другие
промежуточные члены, так что весь ряд будет:
1, χ — δ, хх — δ+θ# + δ^ #3_δ_|_ 2θα^4-ΐδ+2δθ^ — γδε и т. д.
На эти члены умножь ряд Jc, I, т, п, о и т. д. Тогда сумма произведений
Тс-\-х — δχ 1-\-χχ — 8-|-6я — δθ X го-}- И т. д.
будет длиной ординаты Рф.
СЛУЧАЙ II
Пусть во втором случае две средние ординаты будут А±В±, АЪВ-, так что
Следующие через одного коэфициенты при 4, го, о, g и т. д. получаются.
перемножением друг на друга членов следующей прогрессии
lXx — OAi Xx — OAs X x — OAsX x — OAQ Χ χ — ΟΑ2Χχ — ΟΑΊχ
Χ χ — Ο Α χ χ — ΟΑ8 и т. д.
.Коэфициенты остальных получаются умножением их на члены следующей прогрессии
Т_±ОА±±ОАь + ОАъ + ОА9 ±ΟΑί±ΟΛ1
χ 2 ■* 9 ' 2 '
4-04-f (Mo
ж гг и τ· Д·
Таким образом
_1_ЛЛ JL-ПА
k + x —-12^3^2* χ г -fx* — OAi -f ОЛ5 ж + (М4 X 0АЬ χηι и т.д.

216
МЕТОД РАЗНОСТЕЙ
будет ординатой PQ или
PQ = k + xXl +*Х +*Х»+лХ +«Х +лХ» и т. д..
-^ΟΑ,-ΟΑ, — ОА6 -ОА, -ОАь -\θΑζ-
-\0АЬ -jOA9.
Или же положи
/V»
-\-0At + 0A6
χ 2
о V τ
^ΟΑΆ + ΟΑ6__
, /Ν- 2
-χ^·-
<?Хх-
+ ΟΑι + ΟΑ,_
2
+ ΟΑ + ΟΛ8
τ; /j
χ — (λ44 χ .г — ОАъ = рг
= σ, ρ Χ χ — (λ!3 Χ л— (Μ,
6"
= υ, τΧχ — 0Α2Χχ — 0Α1 = ν,
οχχ— ΟΑχχ — ΟΑ
8 — V»
и тогда будет:
7^4-^ + ρ^4-ση + το + υΡ + ?^ + /^ + Ψ5 = -ρ$ 29δ) 296)·
ПОЛОЖЕНИЕ V
По нескольким данным членам некоторого ряда, расположенным на данных
интервалах, найти приближенно какой-нибудь промежуточный член.
К заданной по положению прямой откладываются под данным углом эти члены,
отделенные данными интервалами, и через их конечные точки, пользуясь предыдущими
положениями, проводится кривая линия параболического рода. Она будет также
ограничивать и все промежуточные чЛены во всем ряду.
ПОЛОЖЕНИЕ VI
Найти приближенную квадратуру какой-нибудь криволинейной фигуры, для
которой можно найтгь несколько ординат.
Через концы ординат проводится с помощью предыдущих положений кривая
линия параболического рода. Она ограничит фигуру, для которой всегда можно найти
квадратуру и площадь которой будет приближенно равняться площади данной фигуры..
ПОУЧЕНИЕ
Эти положения полезны при построении таблиц с помощью интерполирования
рядов, а также для решения проблем, зависящих от квадратур кривых, особенно в тех.
случаях, когда интервалы ординат малы и равны между собой; расчет ведется и
применяется при любом заданном числе ординат.
Так, например, если имеется четыре расположенные на, равных расстояниях
ординаты и А представляет сумму первой и четвертой, В — сумму второй и третьей и В
есть интервал между первой и четвертой, то новая ордината в середине всех будет
9В — А „ А-4-ЗВ 29?)
— -^—, а вся площадь между первой и четвертой будет '- В .
•lb о

МЕТОД РАЗНОСТЕЙ
217"
Заметь, что если в тех случаях, когда ординаты стоят на равных расстояниях,,
взять суммы ординат, которые равно отстоят по обе стороны от средней ординаты, и
удвоенную среднюю ординату, то образуется новая кривая, площадь которой
определяется меньшим числом ординат и равна искомой площади первой кривой.
Точно так же, если за новые ординаты принять сумуу первой и второй ординат,
сумму третьей и четвертой, сумму пятой и шестой и т. д. или если взять сумму
первых трех ординат, сумму трех ближайших, сумму трех следующих затем, или если
взять суммы четырех или пяти ординат, — площадь новой кривой будет равна шгощади
первоначально предложенной кривой.
Итак, если дано любое число ординат кривой, площадь которой следует
определить, то квадратура ее сводится к квадратуре другой кривой с меньшим числом
ординат.
Но через данные в любом числе точки можно проводить не только
кривые линии параболического рода, но и бесчисленные кривые различных других родов.
Пусть (фиг. 3, табл XXV) CDE и FGH — две кривые, имеющие общую абсциссу Л В н
ординаты BD, BG, лежащие на одной и той же прямой, и пусть зависимость между
этими ординатами определяется каким-нибудь уравнением. Пусть будет дано несколько
точек, через которые должна проходить кривая CDE. Тогда этим уравнением
определяется столько же новых точек, через которые пройдет кривая FGH. С помощью
приведенных выше положений описывается кривая FGH параболического рода,
проходящая через все эти новые точки, а с помощью того же уравнения определится кривая,
CDE, которая пройдет через все первоначально заданные точки.

ПИСЬМА
ПЕРВОЕ ПИСЬМО НЬЮТОНА К ОЛЬДЕНБУРГУ
Первое письмо Исаапа Ньютона, профессора математики в знаменитой
Кембриджской академии, к Генриху. Ольденбургу, секретарю Королевского лондонского
общества, от 13 июня 1676 г., подлежавшее сообщению (через него) славнейшему
мужу Готфриду Лейбницу. Послано Лейбницу письмом Ольденбургдм (26 июня).
Хотя в выдержках из писем Лейбница298), которые ты мне недавно прислал,
он по скромности многие исследования о бесконечных рядах, о которых уже пошла
молва, приписывает нашим соотечественникам, я все лее не сомневаюсь, что он пришел
не только (как утверждает сам) к методу разложения различных величин в такие ряды,
но также нашел еще упрощения, иногда подобные нашим, если не лучшие.
Так как ему хочется знать, что в этой области было открыто англичанами 299)
и так как я сам несколько лет тому назад принялся за это исследование, то, чтобы
хоть частично удовлетворить его желание, передаю тебе кое-какие из встретившихся
мне мыслей.
Дроби обращаются в бесконечные ряды посредством деления, радикальные
выражения — посредством извлечения корней; и с буквами следует производить
действия так, как обычно они производятся с десятичными числами. Таковы основы этих
приведений.
Но извлечения корней значительно сокращаются с помощью следующей теоремы:
т . ^ , т—η _„ , т — 2ft ~^ , m — Ъп
Здесь P-j-PQ обозначает величину, для которой следует найти корень или степень, или корень
из ее степени; Ρ—первый член этой величины, Q—совокупность остальных членов, деленных
т
на первый. Далее, —■ есть числовой показатель степени Ρ ~\-PQ, причем либо целой, либо
η
(как я буду говорить) дробной, либо положительной, либо отрицательной. Именно
совершенно так же, как аналитики обычно вместо аа, ааа и т. д. пишут ά2, а3 и т. д., так и я
— з — г — JLJLi- 111
вместо ι/α, ι/α, у а пишу а2, а3, а5 и т. д., а вместо—, —, пишу а~\ а-2, а-3.
¥ ψ у 2 а аа ааа 3

ПЕРВОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
219
Так, например, вместо
аа
VC : α3 + ЬЬх
я пишу
аа χ а3 -|- ЬЬх \
а вместо 7
аао
Ус : а3 + Ь6#Ха3 + Ш
пишу 2
ααδ χ а3 -f ЬЬх | 3.
Если в последнем случае принять а?-\-ЪЪх\ 3 за P-\-PQ\ w, то в приведенном выше
правиле надо взять
Р=«з ρ = —_ w = —2, ю = 3.
α3
Наконец, для обозначения членов, последовательно получаемых в результате с
помощью таких действий, я употребляю буквы А, Б, C,D и т. д. Именно А есть первый
— fit
член Рп, Ρ— второй — AQ и т. д.
Дальнейшее употребление этого правила разъясняется на примерах.
Пример I
1
V , хх х* , #6 5я8 . 7#10
Усс + хх(*л*сс + хх-) = с + — - — + — ~-^+-1^-**.А.
В самом деле, в этом случае
хх "L _|
Р=сс, <? = -^Г, w = l, м = 2, JLf = Pn=^| -)=с,
Ρ =г — J.Q = —-, С = — Р0 1 =з — -7— и т. д.
\ » / 2с ' \ 2w v/ 8с4
Пример И
1
с4χ — хъ 4&χχ-\-№χ*—2х10 ,
У с5-}-с% — хъ (т. е. с5 + с%"—хъ\ )=с~\ — 9 ρ и т. д.
Это будет ясно, если подставить в приведенное правило 1 вместо га, 5 вместо п,
съ вместо Ρ и, наконец, g вместо Q. Можно также подставить — хь вместо Ρ
0,^-Х» | /рб
и * - вместо Q; тогда получится:
г)7. —- , с*# + сб , 2Лгл? + 4&х 4- с10 .
/<* + с*х — & = — *-\ ^ h 25^ ^ И Τ· Д'
Первый прием следует избрать, если χ очень мало, второй — если оно очень
велико.

220
ПЕРВОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
Пример III
N , . .т_ — —7~з\ atw,! } аа t а* , 7 а6
(т. е. NXy* — оау| ) = iVX —+ —-^ + 7T^-f ~^г-?-+ и т. д.
В самом деле
Р=У\ $ = -^> »* = -!, n = 3, ^( = Р^ = у8Х~т)=(ГЛ т.е.-!;
Б(=1Х^-Х7Х1Г)=¥ЕТ-Д·
Пример IV
Кубический корень из квадрато-квадрата d-\-e (т. е. d-\-e | 3) есть
± , 4ed 3 , 2ее 4β3 ,
Й3Н -f—j 1+ИТ.Д.,
Я 9d3 81d3
ибо
е — i
P=d, Q = -r, ш = 4, ю = 3, J.( = Pn) = d3 и т. д.
Пример V
По такому же способу выводятся и простые степени. Например, если угодно
5
найти кубо-квадрат й-j-e (т. е. й-+"в1 или ^ + е1 )> т0 согласно правилу будет:
P=d, Q = 4-y т = э, »=1, A( = Pn) = d*, Bl= — AQ\*Fod*e,
d
и также
С=ШЧе, D = Wdde*, E=bde\ F= еь и G I = w οη *'ρ) = 0.
Таким образом
^Tf-715 = d5 + 5d4e + Ш3ее + 1<Ше8 + ode'" + e5.
Пример VI
Деление (как простое, так и повторное) также выполняется по этому правилу.
Например, если требуется разложить в ряд простых членов (т е> d~j-e\
— 1 '
или d -j- е } *), то согласно правилу
т — 1
P=d, Q = -J-, т = — 1, » = ι и .4(Р* = <?")= «Г1 или -ί-,
•(•тх*)-
х d* d~ dd'

ПЕРВОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
221
точно так же
Таким образом
η ее тл е
С = Ж' ^> = -^ит. д.
1 1 е . ее е3
= -J — -л7-Г-Ж—1й+ и т· *·
d-\-e d dd ' rf» d*
Пример VII
г—3
d-j-e| (т. е. единица, трижды деленная на d-\-e или сразу поделенная
на куб этой величины) обращается в
1 Зе , бее 10е3 ,
Пример VIII
— 1
J χ d-f~el (т. е. Дт, деленная на корень кубический из d -f- е) обращается в
vw 1 е . 2ее 14е3 .
ЛХ"Т А^ Г ^ + И Т· Д'
d* 3d3 9cu3 81d3
Пример IX
—3
^У X d-j-e J ° или xV, деленная на квадрато-кубический корень из куба d-j-e, или
IV
обращается в
■\/ d*-\-bdde-\-bdee + e:*
,TW 1 Зе , 12ee 52es .
^Χ-Χ s- + « ΰ + И Τ· Д·
i5 δίν 25ίδ 125d5
По этому же правилу удобно выполняется умножение степеней, деление на
степени или на радикальные выражения и извлечение корней высших степеней в случае
числовых выражений.
Определение корней неявных буквенных уравнений совершают по образду
решения числовых. Но метод Виеты и нашего Оутреда300> в этом деле менее удобен. Это
привело меня к изобретению другого метода, образцом которого служат следующие таблицы.
Правый столбец таблицы получается с помощью замены у, р, q, г в среднем
столбце их значениями, представленными в левом.
Первая/таблица дает решение числового уравнения:
у* — 2у — б = 0.
Здесь из чисел, написанных наверху, по вычитании отрицательной части корня ив
положительной получается сам корень 2,09455148.
Вторая таблица дает решение буквенного уравнения
у* -J- аху -\- аау — хь — 2а3 = О

222
ПЕРВОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
уЬ — 2у — 5 =
+ 2-\-р = у
+ 0,l + j = p
— 0,0054 -J- г == q
— 0,00004852+s = г
= 0
— 2у
'^
Сумма
+Р*
+ 6рр
+ 10р
— 1
Сумма
+ <Z3
+ 6,3ад
+ п,23а
+ 0,061
Сумма
+ 2,10000000 и т. д.
— 0,00544852 |
+ 2,09455148 и т. д. = Υ \
+ 8 + 12i> + 6£p+p3
— 4 — 2р
— 5
— 1 + 10р+6Л>+р3 J
+ 0,001+ 0,03g + 0,3gg + g3
+ 0,06 + 1,2 +6
+ 1 +10
— 1
+ 0,061 + 11,23« + 6,3gg + g3
— 0,0000001+ 0,000г и т. д.
+ 0,0001837— 0,068
• —0,060642 +11,23
+ 0,061
+ 0,0005416 + 11,162г !
В первой таблице первый член выражений v, g, г в первом столбце находится
путем деления первого члена ближайшей помещенной выше суммы на коэфициент
второго члена той же суммы (например, — 1 на 10 или 0,061 на 11,23) и изменения знака
результата.
Почти по такому же способу находится этот член и во второй таблице.
Но здесь главное затруднение заключается в нахождении первого члена корня.
Это совершается при помощи некоторого общего метода, но я его теперь опускаю ради
краткости, как и все прочее, что относится к надлежащему изложению действия; недосуг
мне говорить и об упрощениях. Скажу лишь вообще, что раз найденный способ
определения корня какого-либо уравнения может служить правилом для решения
аналогичных уравнений; что из нескольких правил этого ^ода можно по большей части
образовать и более общее правило; далее, что для всех как простых корней, так и корней
неявных уравнений можно бывает вывести бесконечное число выражений, и посему
всегда следует обсудить, какое из них является более простым.
Было бы слишком долго описывать, как из уравнений, приводимых таким
образом к бесконечным рядам, определяются площади и дуги кривых, объемы и
поверхности тел или каких-либо отрезков каких-либо фигур и их центры тяжести и как
можно привести к этого рода уравнениям в бесконечных рядах также все
механические кривые и потому решить относящиеся к ним задачи так, как если бы они были геоме-

ПЕРВОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
223
трическими. Достаточно будет рассмотреть некоторые образцы таких проблем.
Краткости ради я буду иногда употреблять в них, как и в начале, для обозначения членов
ряда буквы Л, В, С, Ί) и. т. д.
,/ + α^ + ^-^__2α3 = 0(α-τ + —α+^_
509,έ4
16384α3
и т. д.
+ <*+JP = i/
У8
— Я*
— 2α3
α3 4~ 3aaJP + %αΡΡ +.Ρ3
-f - αα.£ -\- αχρ
-\-as -j- ααρ
— χ*
— 2α3
x-\-q·-
ρ6
-f- 3opj>
-j-a.£p
-}- 4ααρ>
-j- ααχ
~йх3 +Гб^м,'д-
3 3
4- -^r αχχ — axq -j- Заод
lb 2
1 ,
a#j? + axq
4
— aa# -j~ 4aag
-\-aax
XX
"~ 64a
-\-3aqq
-f — xxq
--axq
■iaaq
65
— -rJ
64 ,
1
16
- a.r./;
+ -тт^тгг и т. д.
4096a
3#4
1024a
и т. д.
хч axr
128 2
-Ι axx -\-4aar
'16
65 ,
~64*
1
16
αχ τ
-\-4aa-
τ")
131 3 15s* / 131:г3
"Χ 4096α \ + 512αα
509#4
128
16384aJ

224
ПЕРВОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
Пример I
Требуется найти дугу по данному синусу или синусу-верзусу. Пусть радиус = г,
а синус = х.
Тогда дуга будет =
, г3 , 3-τ5 , эх1
и т. д. Л4),
■ ъг2 ι 40г* ' 112г6
т. е. =
1 X 1 X хх 3 X S хх _ . 4 X бжя; ., 7Х 7а?лг п .
^ + 2х¥>^^ + Тх^Б+бх^ йт-д-
Если d есть диаметр, а .г? — синус-верзус, то дуга будет равна
11-, й
,"2 7, £- . 3 г , 5#
1 7
. 2 к "2
* δχδ+—г + — — +-^г+и1т.д.,
6d2 40d2 112d2
т. е. =
1/^яа1 + ^+^ + тшг+ их. д.
Если, обратно, угодно по данной дуге найти синус, то при радиусе = г и дуге =
= £г, синус будет =
~3 «5 «7 ^9
бгг ι 12он 5040г6 ' 362880г8
т. е. =
ZZ . ZZ
2 χ Ъгг 4 X Ьгг 6 X 7гг
А синус-верзус =
&—ΊΓΓ77, С— И Т. Д.
ΖΖ , ^4 £D £°
и т. д.,
24г> ' 720гб 40320г'
ъ е. =
zz ZZ ZZ ZZ
Л — — г——В— „—С— и т. д.
1 X 2г 3 X 4гг ^ 5 X бгг 7 X 8гг
Пример II
Дуга берется в данном отношении η другой дуге. Допустим, что диаметр = d,
хорда данной дуги = х, а искомая дуга относится к данной, как η к 1. Тогда хорда
искомой дуги будет=
, 1—пп . , 0 — пп ^ , 25—пп ~ , 49 — пп ^ .
w+lxWrri+TxWw5+ Тх73Г^с+8Х932Гтаг/> +
. 81 —пп
+ ιοχ !!*<*'* + "·'·
Заметь здесь, что в том случае, когда η число нечетное, ряд перестает быть
бесконечным и обращается в ряд, который получается с помощью обыкновенной
. алгеоры в случае умножения данного угла на это число η s01>.

ПЕРВОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
226
Пример III
На одной из осей АВ эллипса ABD (фиг. 4, табл. XXV) (центр которого С, а
другая ось DH) дана некоторая точка Е, вокруг которой вращается прямая EG,
встречающая эллипс в G. Требуется по данной площади эллиптического сектора BEG
определить прямую GF, опущенную из точки G перпендикулярно к оси.
Пусть BC=q, DC = r, EB — t я удвоенная площадь BEG = z. Тогда
Ш — tJ 6rri* ^ 120r*** 5040^1° ^ ' Д*
Так можно решить эту астрономическую задачу Кеплера303). Если положить в этом же
эллипсе CB = r, -—L = c и CF = r, то эллиптическая дуга DG будет равна
бес ^ Юге3 ' 14ггс4 ' 18/"3с5 ' 22Исб
1_ 1_ 1 1
40с4 28гс5 24rrce 22г3с7
1 , 1
+
О
112с6 ' 48гс7 ' 88ггс*
5 5
1152с» 352гс^
7
2816с10
Числовые коэфициенты членов, расположенных наверху (т^Тй'тТ и т* *·)'
образуют здесь гармоническую прогрессию, а числовые коэфициенты всех членов,
стоящих ниже, получаются в каждом столбце с помощью постоянного умножения
вышестоящего члена на члены следующей прогрессии:
1 ,3 о5 *7 - 9
— η — 1 -теп — 3 — п — 5 —n—i —η —9
2 3 4 5 6
и т. .д
2 4 6 8 10
При этом w означает показатель степени с в знаменателе вышестоящего члена.
Например, чтобы найти числовые коэфициенты членов, стоящих под 4 6-, я полагаю
^ = 6 и умножаю — I числовой коэфициент в 6 1 на , т. е. на 1; при этом
я получаю —, числовой коэфициент следующего за ним внизу члена. Затем я умножаю —
22 * А
"о" П 3 9 Ω 3
на или , т. е. на —, и получаю ^, числовой коэфициент третьего члена
4 4 4 оо
15 Зак. 3296. — Йьютон.

226
ПЕРВОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
5 _,
3 ТП~6 5
в этом столбце. Таким же образом — X дает ——-, числовой коэфициент чет-
88 b о52
7
— η— 7
5 5 7
вертого члена, а —— X дает -^т-^, числовой коэфициент самого нижнего
о52 8 2816
члена.
Так же поступают и в прочих столбцах, вплоть до бесконечности. Вместе с тем
so приведенному правилу можно продолжить сколь угодно выражение для DG.
γ
Если обозначить FB = x и если г есть поперечная сторона эллипса и е = —=,.
то эллиптическая дуга BG = УТх на
+ 2 1
Ът
• X
-2 \
+ 3е 1
' } XX
5 ι
--ее |
Ъгг
+ 4
— 9е
ι 23
—1-е»
16е
7гз
+
+
ιυ
ЗОе
123
4
91 3
45
ее
128
,τ4.
9г4
Поэтому если желательно иметь длину всего эллипса, то рассеки СВ пополам;
в F и согласно первой теореме определи дугу DG, а согласно второй — дугу BG.
Если, наоборот, по данной дуге эллипса DG ищется ее синус CF, то, обозначив
OD=r,
GBY
CD
= с и самую дугу DG = z, мы получим:
CF = z-
1
бес
Юге3
. 13
14ггс4
71
и т. д.
1 120 с4 ' 420гсб
493
5040с6
Сказанное здесь об эллипсе легко распространяется и на гиперболу, если только*
шменить знаки сие, там где они стоят в нечетных степенях.
Пример IV
Допустим, что СЕ есть гипербола (фиг. 5, табл. XXV) с образующими между собой
нрямой угол FAD асимптотами AD и AF. К AD восстановлены какие-либо
перпендикуляры ВС, DE, встречающие гиперболу в С и Е.
Обозначим АВ = а, ВС = Ъ и площадь BCED = s.

ПЕРВОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
227
Тогда
Ъ "Г 2аЪЬ "1" 6αα&8 "^ 24α3δ4 ~*~ 120а*65 ~1"И Т' Д#
Коэфициенты знаменателей получаются здесь посредством непрерывного
умножения друг на друга членов следующей арифметической прогрессии: 1,2,3,4, 5 и т. д.
С помощью этого можно по данному логарифму найти соответствующее ему
число.
Пример V
Допустим, что VDE (фиг. 6, табл. XXVI)' есть квадратриса, вершина которой в F;
А— центр, ъАЕ—радиус соответствующего круга, VAE—прямой угол. Я опускаю
на АЕ какой-либо перпендикуляр DJB и провожу касательную к квадратрисе DT,
встречающую ее ось^4Б в Т. Обозначь AV=a, а АВ — х. Тогда
^^ хх х* 2xQ
В1}==а--^—4Ь^-йЬ^-Я Т· Д"
XX X* . 2,£6
VT= 3^+W + l89^ + ИТ-Д-
Площадь AVDB^ax-^—^-^^-шт. д.
9^з 14#5 604#7
Дуга ^ = ^ + ^ + -^25^-+893025^ + ИТ-Д-
Отсюда по данному BD или VT или по площади J. VDB, или дуге FD
посредством решения неявных уравнений можно обратно вывести χ или АВ.
Пример VI30i>
Допустим, наконец, что АЕВ (фиг. 7, табл. XXVI) есть сфероид, получаемый при
вращении эллипса АЕВ вокруг оси АВ и рассеченный четырьмя плоскостями: АВ
проходящей через ось, DG, параллельной АВ, GDE, перпендикулярной к оси и
рассекающей ее пополам, и FG, параллельной СЕ. Пусть прямые СВ = а, СЕ = с,
CF = x и FG = ij.
Сфероидальный сегмент CDGF, ограниченный упомянутыми четырьмя плоска
стями, будет:
+ 2сху —^уг--ш*~ш 'у7-5У^9-и т·д·
Ьх3
— и т. д.
схъ
Заа
схь
~ 2004
сх1
X*
18саа
хь
~ 40са4
Ъх1
40с3аа 336сбаа
Зхъ
56а6 ЗЗбса6
бсх9
160с3а4
— и т. д.
•и т. д.
576а8
■и т. д
— и т. д.
1Г*

«228
ПЕРВОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
Числовые коэфициентывышестоящих членов 12, --, — —, — —, — —г и т. д. ι
получаются здесь все до бесконечности посредством непрерывного умножения первого
коэфициента 2 на члены следующей прогрессии:
1XI 1X3 8X5 7X9
2X3' 4X5' 6X7' 10X11 ' Д*
Числовые коэфициенты нисходящих членов в первом столбце получаются все
до бесконечности посредством непрерывного умножения верхнего коэфициента первого
столбца на ту же прогрессию, во втором столбце — посредством умножения на члены
прогрессии
1X1 3X3 5X5 7X7
2X3' 4X5' 6X7' 8X9
в третьем — на члены прогрессии
3X1 5X3 7X5 9X7
и т. д.
2Х31 4X5' 6X7' 8X9
и т. д.;
и т. д.;
в четвертом — на члены прогрессии
5X1 7X3 9X5
2X3' 4XS' 6X7
в пятом — на члены прогрессии
7X1 9X3 11X5
——— ——— -—— и τ л
2X3' 4X5' 6X7 д
и так далее до бесконечности.
Таким же образом можно определять сегменты других тел, и значения их иногда,
бывает удобно бесконечно разворачивать в некоторые числовые ряды.
Отсюда видно, насколько расширяются благодаря этого рода бесконечным
уравнениям границы анализа, ибо с их помощью он распространяется, сказал бы я, почти
на все проблемы (если только исключить числовые задачи Диофанта и им подобные).
Впрочем стать вполне универсальным без привлечения некоторых дальнейших
приемов выводов рядов анализ не может. В самом деле, существуют некоторые
проблемы, в которых нельзя получить ряды посредством деления или извлечений корней,
или решения неявных уравнений.
Однако мне сейчас недосуг рассказывать, как следует поступать в этих случаях,
а также сообщить о том, что я придумал для приведения, когда это позволяет природа
дела, бесконечных рядов к конечным. Я кратко пишу об этом потому, что исследования
давно мне надоели до того, что я не занимаюсь ими уже почти пять лет.
Прибавлю только одно: после того как какая-либо проблема свелась к
бесконечному уравнению, можно почти без труда получить различные приближенные
формулы для механики, изыскание которых при помощи других методов обычно требует
и много труда и большой траты времени.
Примером этому могут служить рассуждения Гюйгенса и других о квадратуре
круга. В самом деле, чтобы вывести приближенно дугу по данной ее хорде А и хорде

ПЕРВОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
229
половины дуги В, обозначь эту дугу = ζ, радиус круга = г; тогда согласно
вышеизложенному А (именно удвоенный синус половины ζ) =
ζ* . zb
■и т. д.,
4Х6гг ' 4Х4Х120И
а
2* 2 X 16Х6*т ' 2 X 16Х16Х120И И Т' А*
Умножь теперь В на некое число η и из произведения вычти J. и, чтобы уничтожить
/ ^23 #3 \
второй член разности! именно rt w/. w /» г-; ^—К положи его =0.
\ 2Х16Х6г ' 4 X 6rr J
Из этого получится что η = 8 ж
8Б-^3^-64Х8^0у4 + ит.д.,
т. е.
8Б —Λ
с погрешностью по избытку, равной только 4 и т. д.
А в этом и заключается теорема Гюйгенса 305).
Допустим, кроме тога, что (фиг. 8, табл. XXVI) требуется на неопределенно
продолженной прямой ΑΏ, стрелке дуги ВЪ, найти такую точку G, чтобы проведенные из нее
прямые GB, Gb отсекали на касательной отрезок Ее, приблизительно равный этой
дуге. Пусть С — центр круга, диаметр AK — d, стрелка AD = x. Тогда
3 5 7
1 1
/2 ίγ % χ2, X"
DB( = Vdx — xx) = d2x2 '— '— —- и т. д.,
2dJ 8dT 16а2
3.5 7
1 1
АЕ ( = JБ) = d^τ2+-2г+^ + -^г+и т. д.
Ы2 40d2 112d2
Далее
Вследствие этого
Возьми
тогда
AE — DB:AD:: АЕ: AG.
^46 = 4 d'
1
AG =
\2хх
"~ Ylbd ~
3 о
- или
х,
+ и
т.
д.
BG (jd — ~-x):I)JB::nA:AE—DB.

ПЕРВОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
Поэтому
2х2 , χ2 , 23,г2
АЕ-ВВ=—Т + -1Г-\ — + к т. д.
Прибавив DB, ты получишь
3d2 bd2 300d2
3 5 7
л Ъх2 , \1х2
AE=d2x2 +-^+^-Ί + -^ι + π т. д.
U2 40d2 1200Й2
Вычтя это из выше полученного значения АЕ, ты найдешь в остатке погреш-
_7_
16#2 f
яость — -+- или —и т. д.
525d2
Поэтому возьми на AG отрезок АН, равный пятой частя DA и KG = HCr
тогда линии GBE, Gbe отсекут на касательной отрезок Ее, приблизительно равный
16#з
дуге ВАЪ. Погрешность будет всего , у dx -f- или — и т. д.; она очевидно
много меньше, чем в теореме Гюйгенса.
Если взять
1АК:ЪАН::ВН:п
ш принять KG = CH — η, то ошибка будет еще значительно меньше.
В том случае, когда требуется механически получить какой-нибудь сегмент
круга ВАЪ, я сперва привожу эту площадь к бесконечному ряду, например
к следующему:
1 3 ~ о - 2
. 4 ,τ τ 2х" χ χ
и т. д.
Затем я ищу механические построения, с помощью которых приближенно
получается этот ряд. Таковы следующие. Проведи прямую АВ; тогда сегмент ВЬА прибли-
2 4
зительно = — АВ -J- BD X — Л D, с погрешностью по недостатку, равной только
о О
■тШ^+ ит-д-
Точнее (если рассечь AD пополам в точке F и провести прямую BF), этот
•сегмент = ^£ χ 4=AD, с погрешностью, которая равна всего Ydx-\-R т. д.
и всегда меньше, чем —— всего сегмента, даже если этот сегмент достигает полукруга *°QK
1500
В эллипсе ВАЪ (фиг. 8, табл. XXVI), вершина которого есть А, одна из осей АК,
яоперечная сторона АР, возьми
- d2x2
о а Х
О
5
2х2
1
5d2
7
3
ш2
9
хг
5
36йТ
—w^^-x--

ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
231
В гиперболе возьми
VC- Х АР I 19ЛК+21ЛР^Тп
Прямая GBE отсечет на касательной отрезок ΑΈ, приблизительно равный дуге
эллипса или гиперболы АВ, правда, если только дуга эта не слишком велика.
Для площади гиперболического сегмента (фиг. 9, табл. XXVI) ВЪА возьмж
на DP отрезок
MD=*ADl
4АК
и в точках D и Μ восставь перпендикуляры Ζ>β, ΜΝ, встречающие полукруг,
описанный на диаметре АР. Тогда приблизительно
Если взять
то, еще точнее,
Кембридж, 13 июня 1676 г.
15
лиг 5АР|*
21 AN + 4.48 ί1Γ=- „, ,
Твой и m. д.
Исаак Ньютон.
ВТОРОЕ ПИСЬМО НЬЮТОНА К ОЛЬДЕНБУРГУ
ИЗВЛЕЧЕНИЕ
ИЗ ПИСЬМА ЛЕЙБНИЦА К ОЛЬДЕНБУРГУ, ПОДЛЕЖАВШЕГО СООБЩЕНИЮ НЬЮТОНУ
27 августа 1676 г. от Р. X.
Славнейшему мужу Генриху Ольденбургу
Готфрид Вильгельм Лейбниц.
Письма твои от 26 июля содержат больше и более замечательные вещи по
•вопросам анализа, чем многие толстые томы, посвященные им.
Поэтому я равно благодарю и тебя, и славнейших мужей Ньютона и Коллинза,
пожелавших приобщить нас к богатству столь замечательных идей.^
Открытия Ньютона достойны его ума; это полностью явствует из его оптических
экспериментов и его ката-диоптрическол трубы.
Ньютонов метод нахождения корней уравнений и площадей фигур с помощью
бесконечных рядов совершенно отличен от моего, и следует удивляться различию
путей, по которым можно притти к одному и тому же.
Меркатор дал квадратуру рациональных фигур 307), т. е. таких, в которых
значение ординат может быть выражено через данные абсциссы рационально (т. е. так,

232
ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
что неопределенная величина не стоит под радикалом), и учил приведению к
бесконечным рядам посредством делений. Ньютон учит этому также с помощью извлечения корней-
Мой же метод есть лишь следствие общего учения о преобразованиях....308).
Я бы хотел, однако, чтобы славнейший Ньютон кое-что разъяснил полнее, как,,
например, обоснование теоремы, приведенной вначале, далее, способ, с помощью
которого он находит при своих действиях величины р, g, г и, наконец, прием, с помощью
которого осуществляется в его методе регресс, например, когда по логарифму требуется
найти число. В самом деле, он не объясняет, как это получается из его метода.
Я еще не смог прочесть его письма со вниманием, которого они заслуживают,
потому что хотел ответить тебе немедленно. Поэтому я не берусь пока решать, мог ли бы я
кое-что из тот, что Ньютон опустил, вывести просто в результате прочтения. Но все же
было бы желательно, если бы это дополнил сам Ньютон; невероятно, чтобы он не смог
это сделать, ибо, будучи (повидимому) мужем, владеющим множеством превосходных
идей, он всегда нам сообщает что-либо замечательное.
Что касается его заявления, что большая часть затруднений (за исключением
задач Диофанта) сводится к бесконечным рядам, то я этого не вижу.
Существуют многие столь сложные и удивительные вопросы, что они не зависят
ни от уравнений, ни от квадратур. Таковы (среди многих прочих) проблемы обратного
метода касательных, которые, как он сам признавался, не был в состоянии решить
даже Декарт.
В Ш томе „Писем" находится одно письмо к Бону 309), в котором Декарт
пытается найти требуемые Боном кривые, из которых одна такой природы 310), что
отрезок директрисы (оси) между карательной, продолженной до оси, и ординатой,
проведенной от кривой к директрисе, всегда одинаков, т. е. прямая эта неизменна. Эту кривую
не нашли ни Декарт, ни Бон, ни (насколько знаю) кто-либо другой.
Между тем только я приступил к исследованию, как решил ее с помощью
некоторого анализа в первый же день, и даже в первый час.
Все же сознаюсь, что я еще не достиг в этой области всего того, чего можно
было бы желать, хотя наиболее существенное мне известно.
Но об этом сейчас довольно.
ИЗВЛЕЧЕНИЕ
ИЗ ПИСЬМА ЧИРНГАУЗЕНА К ОЛЬДЕНБУРГУ
Париж, 1 сентября 1679 г. от Р. X.
Мне доставил большое удовольствие тот обзор, который ты отправил Лейбницу,
и ты весьма обязал меня, пожелав меня приоощить к столь остроумным и столь же
прекрасным, сколь полезным для прогресса геометрии открытиям.
Конечно, мне не может не быть приятным обратиться к весьма остроумным образцам
мысли Ньютона как вследствие столь широкого применения их к измерению всяких
величин и разрешению других трудных вопросов математики, так и благодаря их
доказательствам, исходящим из столь же общих, сколь остроумных оснований. Впрочем я
думаю, что можно иривести и более простые и более общие основания для приведения
какой-либо величины к равносильному бесконечному ряду, чем приведение к таким
рядам дробей и иррациональностей с помощью деления или извлечения корня, что,

ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
233:
как мне кажется, носит только случайный характер, ибо этот прием имеет успех и.
тогда, когда нет ни дробей, ни иррациональных величин. Далее, конечно, следует
упомянуть и то, что по этому предмету дал превосходный геометр Грегори и т. д.
ВТОРОЕ ЛЖСЬМО НЬЮТОНА Ε ОЖЬДЕНБУРГУ,
ПОДЛЕЖАВШЕЕ СООБЩЕНИЮ ЛЕЙБНИЦУ
24 октября 1676 г. от Р. X.
Достойнейший муж.
С трудом могу передать, с каким удовольствием я прочел письма славнейших
мужей Лейбница и Чирнгаузена.
Без сомнения, Лейбницев прием приведения к сходящимся рядам весьма изящен,
и один он достаточно обнаружил бы дарования его автора, даже если бы он не написал
ничего другого. То, что разбросано в разных местах письма в связи с его достойнейшим
именем, также заставляет нас ожидать от него весьма многого.
Мне тем более понравилось разнообразие приемов, которыми достигается один
и тот же результат, что мне известны уже три метода приведения к этого рода рядам,
так что я с нетерпением буду ожидать нового сообщения.
Один из моих методов я уже описал раньше; теперь я прибавлю другой,
а именно тот, с помощью которого я впервые напал на эти ряды. Напал же я на них
еще до того, как мне стало известно деление и извлечение корней, которыми я теперь
пользуюсь. Изложение его объяснения и служит основанием теоремы, поставленной
в начале первого письма, основанием, которое желал от меня получить Лейбниц.
В начале моих занятий математикой я наткнулся при изучении работ нашего
знаменитого Валлиса на рассмотрение рядов, с помощью интерполирования (intercala-
tione) которых он определял площади круга и гиперболы. Именно, если бы для ряда
кривых, у которых основание или общая ось =■ х, а ордвнааы =
JL L· JL — L· JL _L
2
1 — хх \ , 1 — хх \ , 1 — яа? I , 1 — хх | ,1 — хх | , 1 — хх\ ,1 — хх\ и т. д.,
мы могли проинтерполировать площади кривых, следующих через одну, т. е. площади,
равные
1 - 2 1 3 о . 3 . 1 7
X, X — χ3, χ — х6 + — х°, χ — X'д-\- — х° X1 и т. д.,
О 0 0 о О /
-2
то мы получили бы площади промежуточных кривых, из которых первая 1 — хх\
есть круг.
Для их интерполирования я отмечу, что во всех них первый член есть хР
а вторые члены — х3, — х3, -~ #3, — я3 и т. д. образуют арифметическую про-
3 3 о о
грессию, откуда следует, что два первые члена интерполируемых рядов должны быть
— Хъ —ухЪ "7рх%
X :V- > х W~ > х 7Г- И Т. Д.

234
ВТОРОЕ ШЮЬМО К ОЛЬДВНБУРГУ
Относительно остальных интерполируемых членов замечу, что знаменатели 1, 3,
5, 7 и т. д. находятся в арифметической прогрессии, так что остается исследовать
только числовые коэфициенты числителей.
Последние же представляют собой для следующих через одну данных
площадей цифры степеней числа одиннадцать, а именно 11°, II1, II2, 133, II4, т. е.,
во-первых, 1, затем, 1, 1, в-третьих, 1, 2, 1, в-четвертых, 1, 3, 3, 1, в-пятых, 1, 4,
6, 4, 1 и т. д.
Поэтому я принялся искать,»как можно вывести в этих рядах из данных двух
первых цифр остальные, и нашел, что если положить вторую цифру т, то остальные
получаются посредством постоянного перемножения членов следующего ряда:
т — 0 , т — 1 т — 2 т — 3 , т — 4
-^— х—2-х-з-х -г-х-т- и т·д·
γγΐ Ύ
Например, пусть (второй член) т — 4; тогда третий будет 4 X или 6;
Г Ч/ Ш 2 А * Α ν/ Ш 3 1 Л Ч/ Ш 4
6 χ , т. е. 4 будет четвертым, 4 X , т. е. 1 — пятым, 1 X — ,
3 4 о
т. е. О — шестым, чем в этом случае ряд и заканчивается.
Это правило я и применил к вставляемым рядам. Так как для круга второй член был
1 ,
— хъ
, то я положил т = — и тогда получились члены:
3 7 2
1-1 1-2
1 w 2 1 1 ч/ 2 L 1
ТХ—— или--, __Х___Ши + —,
или — ——, и так до бесконечности.
128
Отсюда я и узнал, что искомая площадь кругового сегмента есть
1 . 1 . 1 . 5 Q
2Х 8 Х 16 128
и т. д.
1
16
х-
2
4
3
i
Таким же образом получаются так же вставляемые площади других кривых
как, например, площадь гиперболы и других кривых, следующих друг за другом через
одну в ряду:
0 12 3
2 -2 - -2
l-f-j\r| , 1-|-«гл;| , 1-|-ΧΛ·| , l-f-^Ι и т. д.
Таков же способ интерполирования и других рядов и то же делается в случае
интервалов с двумя или несколькими недостающими членами.
Таково было начало моих размышлений по этому вопросу и, конечно, все это
ушло бы из моей памяти, если бы несколько недель назад я не заглянул в мои черно-

ВТОРОЕ ПИЮЬМО К ОЛЬДШБУРГУ
235
вые тетради. После того как я выяснил это, я приступил вскоре к рассмотрению
членов
JL JL _L
-2 2 -2
1 — хх | , 1 — хх | , 1 —хх \ , 1 — хх | и т. д.,
т. е.
1, 1—ж#, 1 — 2## + #4, 1 — Sxx-\-3xi — я6,
и увидел, что их можно интерполировать таким же образом, как порождаемые ими
площади, причем для этого нужно лишь отбросить в членах выражений для площадей
знаменатели 1, 3, 5, 7 и т. д., так что коэфициенты членов интерполируемой величины
ι з
1 — хх \ или 1—хх \ , или вообще 1—хх\ получаются через непрерывное пере-
. множение членов следующего ряда:
ч .т — 1 ^, т — 2 w т — 3
т X —s— X —-— X — X и т. д.
Поэтому (например) 1 — хх ] равно
3
2
1 — хх 1 равно
1
"7
1 — хх | равно
1 ! X 1 Г
1 хх ^ ~\& И Т* Д*'
3 3 1
1 XJC -f — х* -f -jg я6 и т. д.
1 * 4 5 «
Таким образом общее приведение корней к бесконечным рядам по правилу, которое я
изложил в начале первого письма, мне стало известно раньше, чем я узнал
извлечение корней.
Но т.огда я узнал это, то не могло более оставаться от меня долго скрытым и
остальное.
В самом деле, чтобы проверить эти действия, я умножил на самое себя
ι ι ι χ 1 «
1-Ύχχ~Ύα Ux ит· Д';
при этом получилось 1 — хх, так как все до бесконечности остальные члены при
продолжении ряда исчезали. Точно так же дважды помноженный на самого себя ряд
ι 1 1 4 5 ft
о У ol
давал тоже 1 — хх. Желание подлинно доказать эти заключения привело меня
к попытке рассмотреть нельзя ли наоборот эти ряды, представляющие собой таким
образом корни величины 1—хх, извлечь из нее арифметическим путем. И дело
хорошо удалось.

236
ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
Форма действия при извлечении квадратного корня была следующая
— *x(l—±xx~
1 — хх (1 ^- хх ^- х* —- х* и т. д.
\ 2 8 lb
1
О — хх
хх А—- х4
1 4
4
1 * ι ! « ι 1
4 -г 8 -г 64
_J_ е 1_
8 Х 64
X
Установив это, я совершенно отказался от интерполирования рядов и стал
употреблять только эти действия, как представляющие более естественную базу. Не
упустил я и приведения посредством деления, что представляет собой вещь
значительно более легкую 311>. .
Вскоре я подошел и к решению неявных уравнений и овладел ими. Отсюда я
смог находить по данным площадям и дугам кривых ординаты и отрезки осей и другие
прямые. Действительно, это не требовало ничего, кроме решения уравнений,
выражавших площади или дуги через данные прямые.
В это время внезапно наступившая чума (которая продолжалась в 1665 —1666 гг.)
заставила меня бежать отсюда и мысли мои обратить на другие вещи. Все же вскоре
я изобрел еще некий прием получения логарифмов из площади гиперболы, который
здесь и прилагаю.
Допустим (фиг. 1, табл. XXVII), что dFD есть гипербола, центр которой С,
вершина F и вписанный квадрат CAFE = l. Возьми на АС по обе стороны
прямые АВ и АЪ = —, или 0,1. По восстановлении перпендикуляров BD и &df,
заканчивающихся на гиперболе, окажется, что полусумма площадей AD и Ad равна
Λ, , 0,001 , 0,00001 , 0,0000001
ОД Η Ц: ; 1 η и Т. Д.,
а полуразность равна
0,01 , 0,0001 , 0,000001 . 0,00000001
—о—Ь-Ч—~\ s l·—ξ— и т· *
По приведении это представляется в виде
0,1000000000000 0,0050000000000
3333333333 250000000
20000000 1666666
142857 1250
1111 100
9 1
0,1003353477310 0,0050251679267

ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
237
Сумма этих чисел 0,1053605156577 есть Ad, а разность 0,0953101798043
есть AD. Точно так же если взять здесь АВ и АЪ равными 0,2, то получится, что
Ad = 0,2231435513142 и AD = 0,1823215567939.
Имея таким образом гиперболические логарифмы четырех десятичных чисел
12 12
0,8; 0,9; 1,1; 1,2 и зная, что ~> X -~ = 2 и что 0,8 и 0,9 меньше единицы, можно,
U,о и,У
прибавив их логарифмы к удвоенному логарифму 1,2, получить 0,6931471805597,
гиперболический логарифм числа 2. Прибавив к трем таким логарифмам логарифм 0,8
(2X2X2 \
так как — —=10 1 , будешь иметь 2,3025850929933, логарифм числа 10.
Отсюда посредством лишь сложения получаются логарифмы 9 и 11. Вместе с тем будут
готовы логарифмы всех следующих простых чисел 2, 3, 5, 11. Кроме того с помощью
только понижения десятичных разрядов вычисленных выше чисел и сложения
получаются логарифмы десятичных дробей 0,98; 0,99 и 1,01; 1,02, а.также 0,998; 0,999;
1,001; 1,002. А отсюда путем сложения и вычитания получаются логарифмы простых
чисел 7, 13, 17, 37 и т. д.
Эти логарифмы, вместе с найденными выше, по разделении на логарифм 10
образуют истинные логарифмы, которые и следует вносить в таблицу. Но я потом
получил их быстрее.
Мне прямо стыдно сказать, до какого, числа знаков я довел на,досуге эти
вычисления. Действительно, я тогда, вне сомнения, слишком увлекался этими открытиями.
Но как только вышла остроумная „Логарифмотехника" Николая Меркатора
(который, думаю, первым открыл то, что в ней содержится), я стал этим заниматься
уже меньше, предполагая, что либо он уже знаком с извлечением корней. также, как и
с делением дробей, либо, по крайней мере, что после открытия им деления, другие
найдут остальное, прежде чем я окажусь в состоянии написать об этом.
Все-таки в то же время, когда вышла эта книга, я через друга Барроу (ныне
кембриджского профессора математики) передал Коллинзу сокращенное изложение
метода для этих рядов, в котором привел способ определения по данным прямым
площадей и длин всех кривых, поверхностей и объемов тел, и обратно способ определения
прямых по этим величинам; указанный там метод я проиллюстрировал на различных
рядах.
Когда между нами после того установилась переписка, Коллинз, муж, рожденный
для того, чтобы содействовать успехам математики, не переставал настаивать на том,
чтобы я это представил на обсуждение публики. И пять лет тому назад (1671), когда,
следуя совету друзей, я принял решение издать „Рассуждение о преломлении света
и цветах", которое было уже готово, я снова начал размышлять об этих рядах и
написал о них „Рассуждение", с целью издать эти оба рассуждения вместе.
Но после того как по поводу ката-диоптрического телескопа я послал к тебе
письмо, в котором вкратце разъяснил мои представления о природе света, одно
неожиданное обстоятельство побудило меня спешно написать тебе о напечатании этого
письма. А возникшие тогда же под влиянием различных писем (излагавших
возражения и другое) многочисленные запросы совершенно удержали меня от исполнения

238
ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДВНБУРГУ
моего намерения и привели к тому, что я стал упрекать себя в неблагоразумии ж
в том, что в погоне за тенью я прежде потеряю столь существенную вещь, как свое
спокойствие.
Тем временем Джемс Грегори на основании одного из моих рядов, который
переслал ему Коллинз, после долгих размышлений (как писал он Коллинзу) пришелг
к тому же методу и составил о нем трактат, который как мы надеемся, будет издан
его друзьями, так как благодаря свойственному ему остроумию он не мог не прибавить
со своей стороны многое новое, что было бы важно сохранить в интересах математики.
Я же свой трактат далеко не довел до конца, когда решил бросить им за-
пиматься, и сейчас я не расположен его восполнить.
Так, отсутствует та часть, в которой я хотел объяснить способ решения
проблем, не приводящихся к квадратурам, хотя некоторые основы ее я установил.
Кроме того в этом трактате бесконечные ряды занимают небольшую часть.
Я собрал немало и другого, среди чего имелся и метод проведения
касательных, который тебе сообщил два или три года тому назад искуснейший Слюз и о
котором ты (через Коллинза) написал, что метод этот мне известен. Мы пришли к нему
различным образом. Это не нуждается в доказательстве, так как я действовав
на обычных моих основах и никто не может проводить касательные иначе, если только
не хочет уклониться от правильного пути.
Здесь не место останавливаться на уравнениях, содержащих какие-либо корни
одной или двух неопределенных величин. Впрочем, касательную можно сразу же
провести в этом случае и без какого-либо приведения этих уравнений (которое большей
частью необычайно затрудняет дело). Так же обстоит дело и в вопросах о
наибольших и наименьших величинах, а также в других случаях, о которых я сейчас
не упоминаю.
Сущность этих действий, которую впрочем довольно легко усмотреть, я (ввиду
того, что не могу привести здесь его объяснения) лучше передам в следующем
скрытом виде:
6accdael3e/y7t3/9^4o4grr4s9il2w314
Основываясь на этом, я попытался также упростить исследования о квадратуре*
кривых и пришел к некоторым теоремам более общего характера. Вот, чтобы быть
откровенным, первая теорема.
Для некоторой кривой приложенная в конце абсциссы или основания ζ к
перпендикулярно к ней ордината есть
dz'Xe + fe^.
Буквы d,e,f обозначают здесь какие-либо данные величины, а θ, η, λ —
показатели степеней величин, при которых они стоят.
Положи = г, λ -J- τ = s, —ψ X e -f- /У11 = Q и r*j — η = к.
Площадь кривой будет
β на il_^ix|t + ^x^+l=|xf .т.д.,
s s — 1 fsl s — 2 fsl s — з Τ3

ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДБНБУРГУ
239
где буквы А, В,С, D и т. д. обозначают ближайшие предшествующие члены, именно.
π
А — член — ,
5
-η г — !Ч/^
Б член X —- и т. д.
5—1 /У1
Когда г есть дробь или отрицательное число, этот ряд продолжается до
бесконечности, а когда г — целое и положительное число, то он продолжается лишь на
столько членов, сколько имеется единиц в самом г, и таким образом дает
геометрическую квадратуру кривой. Я поясню это на примерах 313) 314> 31б).
Пример I
Дана парабола с ординатой Υ аз. Приведенная к форме, соответствующей
правилу, последняя будет ζ°χθ-\-αζί\ . Поэтому d=l, θ = 0, 6 = 0, f=a9 η=1^.
λ = —. Вместе с тем r = \, s=l—, Q = — Χα^ζ, π = 0. Искомая площадь
Δ Δ О, '
1 Τ" 1 2 г—
будет — χ as" на——, τ. e. — zyaz. И вообще если ордината будет ez^, то полу-
α χ о
~2
чится площадь с „η +1
Пример II
Если ордината есть — —„ _. 4 ί т<> она приводится к а%Х ее— ζζ\ или
также (λ ζ ζχ χ — \-\-eez 31
В первом случае d = a4, θ = 1, е — се, f= — 1, η = 2, λ = — 2. Вместе с тем
а*
r = \, s = — 1, Q = χ ее — ζζ\ , т. е.— —, π = 0, и площадь кривой
jj JLee ~~~~ ZiSz
есть Q на —, т. е. = — τ—.
45 1 2ее—2ζζ
Во втором случае й = а4, θ = — 3, е = — 1, f=cc, η =— 2, λ =— 2, r = l
* = -l, ρ=___χ_ι+«* I , т.е. 2c4_acew, « = 0, и ллощадь =
^ ^° α*ζζ π
= у, на --, т. е. 4 . Площадь в этих случаях определяется различным
образом ввиду того, что исчисляется от различных границ, получить которые нетрудно
но найденным выражениям площадей.

240
ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДВНБУРГУ
Пример III
а°
Пусть ордината есть — Ybz-\-zz, т. е. по приведении к надлежащей форме либо
1
ζ*
ι
2 Q
otz 2 y^b-\-z\2, либо α5#~4χ l-f-foT"1! . В первом случае d = ab, θ = --,
1 7
е = Ъ, f=l, η = 1, λ = —. Вместе с тем г = — — и т. д. Так как г здесь не
Δ ΔΌ
положительное число, то я обращаюсь к другому случаю. Здесь d = αδ, θ = —4, е = 1,
j*_
1 Ια6 ~л- 2
/ = &, η= — ι, λ = — . Вместе с тем r = S, 5 = 3—, Q = r-Xl-f-6^ |
abz + α5δ /- ——
или rJ ХУzz-\-bz, π = — 2.
Площадь есть
Qna-^- i_x_L_i * X_Z-
т. е. =
ΙΟδοοζζ bzz '
Пример IV
ι
bz~*
Пусть, наконец, ордината есть— — . Это, по
призу 2 4
\ & — Saccz3 -|- Заас#3 — abzz
L· 1
ведении к форме, указанной в правиле, превратится в bz% χ с — αζι
1 2 3 7
Здесь d = b, θ = —, e = c, f= — a, η = -^-, λ = 1-, г =«2, 5==—-, Q =
о о о о
; 5
2
Площадь есть
о
лч^ б*3 5 ч, 5с ЗОаЬ3 +75&С w τ
ехт —ух—^,».«. 2§ί—хс-а"
Если бы в этом случае дело не удалось вследствие того, что г было бы дробью
жли отрицательным числом, я произвел бы испытание второго случая, освобождая
в ординате член — αζΒ от коэфициента ζ3, т. е. приводя ординату к следующей
форме ^
5
1_ _ Ji_
bz 15 χ — a -f- cz 3

ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДБНБУРГУ
241
Если бы ни в том, ни в другом случае г не было целым и положительным, то я
заключил бы, что кривая принадлежит к числу тех, которые не допускают
геометрической квадратуры 316>. В самом деле, насколько я мог заметить, правило это
выражает через бесконечные уравнения площади всех допускающих геометрическую
квадратуру кривых, ординаты которых состоят из степеней, корней или же любых степеней
каких-либо биномов,—хотя и не непосредственно, если показатель степени число целое.
В том случае, когда какая-либо кривая этого рода не допускает геометрической
квадратуры, имеются в распоряжении другие теоремы для сравнения ее с коническими
сечениями, или по крайней мере, с другими простейшими фигурами, с которыми она
может быть сравнена.
Для этого также достаточно одной вышеприведенной теоремы, если только
применять ее надлежащим образом.
Для трехчленов и некоторых других выражений я тоже установил некоторые
правила.
Для простейших и обычно встречающихся фигур я едва ли нашел что-либо
достойное сообщения, что не поддавалось бы стараниям других. Такой можно счесть
разве лишь дугу циссоиды. роится она следующим образом.
Допустим (фиг. 2, . табл. XXVII), что VB есть циссоида, АВ — диаметр
соответствующего круга, V—ее вершина, AF — асимптота, В В— какой-либо
перпендикуляр, опущенный на AV.
Опишем гиперболу FkK с полуосью AF = AV и полупараметром AG =
= — AV, возьмем среднюю пропорциональную АС между AV и АВ и в точках G
о
л V восставим перпендикуляры С1с и VK, встречающие гиперболу в точках & и
X. Проведем прямые КТ и Ы, касательные к гиперболе в точках К и h и
встречающие AV ъ Τ и t, и на AV построим прямоугольник AVNM, равный площади
ТКЫ. Тогда длина циссоиды VB равна ушестеренной высоте VN. Доказательство
весьма кратко; д его свожу к бесконечным рядам.
Остается еще сколько угодно изысканий о способах приближений и о
различных родах приводящих к ним рядов. Но я вряд ли мог бы вместе с Чирнгаузеном317)
надеяться на то, что можно дать более простые или более общие основы приведения
величины к рассматриваемого. рода рядам, чем деление и извлечение корней,
которыми пользуемся я и Лейбниц, во всяком случае — более общие, ибо ведь нельзя
указать на такие употребляемые для квадратуры и спрямления кривых и для
подобных им задач ряды простых алгебраических членов (содержащих только одну
неопределенную величину), которые нельзя было бы получить с помощью этого метода.
Действительно не может существовать больше сходящихся к одной и той же
определенной величине рядов, чем имеется неопределенных величин, из степеней
которых они состоят. И я умею составить новый ряд для всякой неопределенной
величины; думаю, что Лейбниц также в состоянии это выполнить 318).
В самом деле, хотя мой метод позволяет выбирать для построения ряда
какую угодно неопределенную величину из тех, от которых зависит искомое,
а метод, который сообщил он нам, как кажется, состоит в выборе таких
неопределенных величин, с помощью которых дело удобно свести к дробям, которые посред-
16 Зак. 3296. Ньютон.

ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕКБУРГУ
ством простого деления приводятся к бесконечным рядам, но для построения
рядов можно брать и другие неопределенные величины с помощью способа, по
которому решаются неявные уравнения, если они решаются в подходящих членах, т. е.
при условии, что ряд образуется из тех членов, которые содержат уравнение319*.
Далее, я не понимаю, почему утверждают, что эти проблемы решаются
посредством деления и извлечения корней случайно: ведь эти действия в этого рода
алгебре играют ту же роль, что арифметические действия в обычной известной алгебре^
Что же касается простоты метода, то я никогда не думал разлагать в
бесконечные ряды дроби или корни без предварительного приведения. Наоборот, там, где
встречаются сложные выражения, следует испробовать всевозможные приведения,
либо увеличивая, уменьшая, умножая и деля неопределенные величины, либо с помощью
метода преобразования Лейбница, либо каким-либо другим подходящим способом. А затем
уже удобно применять разложение в ряды при помощи деления и извлечения корней.
Главным образом здесь следует стремиться к тому, чтобы знаменатели дробей
я подрадикальные выражения сводились к возможно кратчайшим и простейшим и
кроме тогр к таким, которые переходят в скорее всего сходящийся ряд, хотя бы
эти корни и не были превращены в дроби или уничтожены.
В самом деле, согласно правилу, приведенному в начале другого моего письма,
извлечение корней высоких степеней столь же просто, как извлечение квадратного корня
или деление; при этом ряды, выводимые посредством деления, сходятся меньше всех.
"До сих нор я говорил о рядах, содержащих одну неопределенную величину.
Но с помощью указанного метода можно, если угодно, также образовать ряды из
двух или нескольких указанных неопределенных величин. Далее, с помощью этого
метода можно образовать ряды для всех фигур, родственные тем, которые вывел для
круга и гиперболы Грегори, т. е. таких, у которы^ искомую площадь дает последний
член 32°). Но я не желаю взять на себя здесь эти весьма тяжелые вычисления.
Наконец, с помощью этого же метода можно построить ряды из сложных
/ ^з"
членов. Так, если ордината некоторой кривой есть л/ аа а#_|_'_, то я полагаю
. ,г;3
аа— ax = zz и, извлекая корень из двучлена z\z -[ , получаю
, .Г3 X6
Ζ ~\ - и т. д.
1 2az Haaz:s
Квадратуры всех членов этого ряда можно найти по вышеприведенной теореме.
Но в том случае, когда простые ряды не достаточно удобны, я предпочитаю другой
имеющийся в моем распоряжении, но еще не сообщенный метод, который дает
произвольное приближение к искомому.
В основе его лежит удобное и легкое общее решение следующей проблемы:
Описать геометрическую кривую, проходящую через любое заданное число точек.
Эвклид показал, как провести через три данные точки круг. Коническое
сечение можно провести через пять данных точек, а кривую третьего порядка через
семь данных точек; и я могу описать все кривые такого рода, определяющиеся только
семью точками 321). Это совершается быстро и чисто геометрически, без вычислений.

ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ 243
Но указанная проблема — другого рода, и хотя она с первого взгляда кажется
непреодолимой, однако дело обстоит иначе. Она пожалуй принадлежит к числу
прекраснейших задач, которые я только желал бы решить.
Ряду, предложенному для квадратуры конических сечений Лейбницем,
родственны некоторые формулы, из которых я составил прежде каталог для сравнения
кривых с коническими сечениями.
Во всяком случае я могу геометрически сравнивать с коническими сечениями
все кривые (в бесконечно-бесконечном множестве), ординаты которых суть
аз йг
« + /* + 9<? e + fit ~\-д
П— 1 , ν- tl— 1
ИЛИ , ,η . 51 и τ· Д-
dz2 dz2
— или
>-\-fs +gz e-\-fe -\-g,
либ° . In , ¥n ИЛИ , г η , .m И Τ· Д·.
либо
4 Ve + />» -f <//" или d/1-1 Ve-f /г» + <;/" и т. д.,
dz"-1 άε*-1
либо —, ил к и т. д.,
либо -г ИЛИ ! И Т. д.,
9+h,"' g + hs"
de"-1 rf,-2"-1
либо или . — и т. д.,
д + hs" xVe-\- fzn д + he" xVe + fen
d Ve + fz" dz"-1 Ve + fz11
ЛИб0 — ИЛИ — И Т. Д. *'*#
-> 9 + ks" 9 + Ъ*и
Здесь d, с, /', д обозначают любые данные величины с их знаками-}-и —, &
1 3
ось или основание кривой, а -п, 2п,—η— 1, —η — 1, η — 1/ 2п — 1 показатели
степеней или измерений ζ, положительные, или отрицательные, целые или дробные.
Каждые две рядом стоящие формулы суть первые два члена продолжающегося до
бесконечности ряда.
Б третьей и четвертой формулах 4ед должно быть не больше ff9 если е и д
не противоположных знаков. Для других формул нет ограничений. Некоторые из них
(именно вторая, третья, четвертая, пятая и тринадцатая) состоят из площадей двух
конических сечений. Другие (как девятая, десятая и двенадцатая) составлены
совершенно иначе. И все они при продолжении ряда скоро становятся очень сложными
так что я думаю, что едва ли их можно найти только с помощью преобразования фигур
которыми пользуются ДжЗк Грегори и другие, без применения вышеуказанного приема.
Я не "мог, конечно, получить никак этих общих результатов, прежде чем не
отвлекся от рассмотрения фигур и не свел все просто к исследованию одних ординат.
Но так как я владею всем этим и еще более общим, то, думаю, не станут сомневаться
что также обстоит дело с более простыми биномами, которые содержатся в этих форму-

244
ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
лах и получаются, если положить какую-нибудь из букв е дли f или д = О и η = 1
или 2; и если я не привел ряды, в которые они разлагаются, в первом письме, то
сделал это не случайно, ибо я вовсе не предполагал перечислять все частные случаи
поодиночке, а думал лишь разъяснить метод на том или другом частном материале,
смотря по тому, как это представлялось нужным для выявления его общности.
Кроме того эти формулы дают ряды не одним только способом. самом деле, если
в первой из них положить f—Q, п=1, то получается—-г- , откуда и выводится
е -ή- gzg
сообщенный нами ряд. Если положить 2eg = ff, п=\, то мы получаем затем для
длины дуги квадранта, хорда которой есть единица, ряд
•14-- - — — 4 — 4 — — и т. д.323>,
^ 3 5 7Т9Т11 13 15 Д '
а отсюда выводится для ее половины ряд
1,1 1.1 1
2 ~15 63 ~ 143 25δ Λ
Ты не отвергнешь может быть эти ряды, ибо они столь же простые, как другие и
сходятся больше.
Но я оцениваю дело по другому. То, что полезнее и легче дает разрешение
проблемы, то и лучше. Так, хотя уравнение х* — х = 1 и представляется проще, чем'
2/Ζ/ —2г/ |/^|1-_V"20 = t/20,
но вне сомнения последнее в действительности проще, так как его корень у геометр
определяет легче.
На этом основании я считаю лучшими для определения дуг круга или (что
сводится к тому же),секторов конических сечений ряды, состоящие из степеней синуса.
В самом деле, если кто пожелает определить длину квадранта до двадцати
десятичных знаков простым вычислением ряда
II1 1 х ι ι I
! + Т —-Т+9-+ ИТ*Д"
тому потребуется примерно 5000000000 членов, для вычисления чего потребуются
тысячи лет823). И дело пойдет еще медленнее, если воспользоваться тангенсом
45 градусов. Но если взять синус 45 градусов, то будет достаточно пятидесяти пяти
или шестидесяти членов ряда.
/
ТХ1+Т2 + 4 + 4ит· д"
а вычисление их, как я думаю, может быть выполнено в три или четыре дня.
Но и это не наилучший способ вычисления длины окружности. В самом деле
ряд, составленный с помощью синуса 30 градусов или синуеа-верзуса324> 60 градусов,
дает соответствующую ему дугу гораздо скорее, а эта ушестеренная или соответственно
удвенадцатиренная величина и есть вся окружность. Не больше труда потребует
вывод площади круга по сегменту со стрелкой, равной четверти диаметра. Я приведу

ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДВНБУРГУ 245
здесь имеющийся под рукой образец ее вычисления, прибавив к нему определение
площади гиперболы, получаемой тем же самым вычислением.
Пусть продольная ось = 1, а синус-верзус или стрелка сегмента = х; тогда,
полусегмент
гиперболы \ 9 2 ^_хю хь _^_ хА
круга } ** на ¥^-Т-28-72ИТ-Д·
Этот ряд продолжается до бесконечности следующим образом: пусть
Λ 2. ах Ъх Зсх - odx Тех
2х*=а, —=Ъ, -±=с, -g- = i> -8~ = е> Τθ=^ И Τ· ^
Тогда полусегмент
гиперболы \_£±A_JL + J*_JL-4-Z.
круга ]~ 3 5 7-9 11 13
Их полусумма есть
асе
у-т~й-ит-д·'
а полуразность
Т+.Т+13+ИТ-Д·
Подготовив все это, я полагаю х = —, т. е. четверти оси и получаю, что
/ Μ Λ η* τ / ατ °>25 \ ΛΛΟ,η. / Ъх 0,03125 \
α (--J-)-0,25, &(=-=r^j =0,03125, ^--—^-J-
= 0,001953125, rf ί = ^ = 0,001953125 \ = 0^000244140625>
Так я продолжаю, пока не дойду до низшего члена, который может
участвовать в действии. Затем, разделив эти члены соответственно на 3, 5, 7, 9, 11 и т. д.,
я располагаю их в две таблицы, а именно члены, снабженные обоими знаками, и первый
член в одну, отрицательные же члены в другую; после того я складываю все, как это
показано ниже:
0,0833333333333333
62500000000000
271267361111
5135169396
144628917
4954581
190948
7963
352
16
1
0,0002790178571429
34679066051
834465027
26285354
961296
38676
1663
75
4
0,0002825719389575
0,0896109885646618
Теперь я вычитаю из первой суммы вторую, и получается 0,0893284166257043,
площадь полусегмента гиперболы. Затем я складываю эти суммы и результат вычи-

246
ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
таю из удвоенного первого члена 0Д666666666666666; при этом получается
0,0767731061630473, площадь кругового полусегмента. К этому я прибавляю тре
Ψ *
угольник, дополняющий сегмент до сектора, т. е.
о^Т/з или 0,0541205877365274,
и нахожу сектор для угла в 60 градусов:
0,1308996938995747;
ушеетеревдое значение последнего 0,7853981633974482 и есть площадь всего круга
1
Деление ее на —, т. е. четверть диаметра, дает для длины окружности
5,1415926535897928.
Употребляя другие приемы, я мог бы с помощью того же числа членов
получить много больше десятичных знаков, думаю двадцать пять или больше, но я хотел
показать то, что можно получить с помощью простого вычисления ряда. Это, конечно,
не так трудно, так как при вычислении приходится употреблять множители и
делители по большей части не больше 11 и никогда не больше 41. Можно вычислить
много знаков и с помощью ряда Лейбница, если на последнем месте прибавить
половину члена и применить еще другие подобные приемы, как, например, если
установить, что сумма членов

-Κι 1.1 1.1 1
7 ' *9 15 ' 17 23 « 25 31 ' 33
+ 7^—ТГГ+^> И Т. Д
относится к сумме всего ряда
1.1 1,1 1
3
11
и т. д.,
как 1 -+- У2 к 2. Но его употребление всего полезнее в том случае, когда он либо
комбинируется с двумя другими подобными ему и очень быстро сходящимися рядами,
либо когда сам он применяется к вычислению дуги в 30 градусов, при тангенсе,
равном 1/ —. Тогда этот ряд обращается в ряд
1 ,
1
ЗХЗТ5Х9 7 X 27 "^ 9.Х 71 и т' д"
который сходится быстро. Если же комбинировать с другими рядами, то следует взять
1
диаметр круга = 1 и α·= —; вся площадь круга будет суммой трех рядов:
а а* , аъ а1 а9 а11
о
О
7 +ΊΓ-ΊΓ ит-д·'
аа . а5 а8 а11 . аи . а1"1
I
+ IT + ТГ и *·· Д->
7 ' 9 ■ 11
а* а10 . а16 а22 . а28
3 ■ о
и т. д.
Мы рассмотрели здесь ряды в той мере, в какой они применяются к
вычислению целого круга. Но при вычислении его частей каждый ряд имеет собственное

ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ 247
употребление и является в своем роде лучшим325). Если дан достаточно малый или
достаточно большой тангенс, то не следует прибегать к какому-либо синусу, чтобы по
нему вычислять дуги, или обратно* Ряд, соответствующий данной величине, и является
подходящим уравнением для решения задачи.
Л думаю> что когда славный Лейбниц установил ряд для определения косинуса
по данной дуге, он не заметил, что это и есть мой ряд для определения синуса-
верзуса по той же дуге, ибо они одинаковы.
Он видимо также не следует моему обычаю обозначать одинаковыми буквами
вообще величины, имеющие знаки-\-и —, например, когда производит деление ряда
Т^Ж+W^" 24o*ft* +И Т* Д' ТаК' гипеРболическая площадь (фиг. 3,
табл. XXVII) BE, обозначаемая здесь через ζ, является положительной или
отрицательной, смотря по тому, находится она с одной или с другой стороны
ординаты ВС. Если численная величина площади есть I и если подставить I вместо ζ
в этот ряд, то получится либо
ι , и , Ρ , l·
b ' 2abb ' 6αα/>3' 24α3/^
либо
и т. д.,
и т. д.,
I) ' 2abb бсшб3 ' 24α-Μ
смотря по тому, положительно или отрицательно I. Поэтому если положить а = 1 = Ь
и I принять за гиперболический логарифм, то соответствующее ему число будет
л\1\11\1* ι Ζ4
1+Τ+Τ + Ίί + 24* т-д"
если I положительно и
1 ι и г» /4
1-Т + Т-Т + ^и т.д.,
если I отрицательно. Таким образом я избегаю умножения числа формул, которое иначе
чрезмерно возросло бы.
В самом деле, например, уже одна формула, которую я установил выше для
квадратуры площадей разложилась бы на тридцать две формулы, если бы ее
повторяли в соответствии с разными комбинациями знаков.
Кроме того, я еще не понимаю, почему славнейший муж предпочитает число,
большее единицы, находить по данному гиперболическому логарифму с помощью ряда
I 11 , Ρ μ
и т. д.,
а не ряда
1 1X2»1X2X3 1X2X3X4
I . И . /3 . I*
1Т1Х2Т1Х2ХЗТ1Х2ХЗХ4 А
В самом деле, если ко второму ряду прибавить на один член больше, чем
и первому, то второй ряд дает большее приближение. И наверное меньше работы

248
ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
будет при вычислении одного или двух первых знаков этого прибавленного члена, чек
при делении единицы на даваемое гиперболическим логарифмом число, взятое со
многими десятичными знаками, делении, необходимом, чтобы получить искомое большее
единицы число. Оба ряда (если 'только их можно считать за два ряда) исполняют
каждый свое назначение 326). Ряд
I . У , J*
1 + 1X2X3 ' 1X2X3X4X5 И 1- "
образованный из половины членов предыдущего, может также найти прекрасное
применение; он ^именно дает полуразность двух чисел, из которой, а также из данного,
произведения этих чисел получаются оба числа. Аналогично, ряд
IIй. t
+ 1Х2 + 1Х2ХЗХ41Т,Д·
дает полусумму чисел и по ней сами числа. Отсюда выявляется зависимость,
существующая между рядами, с помощью которой из одного ряда получается другой.
Формула, определяющая дугу по данному косинусу, если положить радиус = 1,.
а косинус =с, с помощью равенства: дуга = V 6— ]/24с+12, дает меньшее
приближение, чем это кажется на первый взгляд.
Если обозначить синус-верзус через ν, погрешность будет
90 ' 194
и т. д.
Можно положить, что 120 — 21 ν относится к 120—11 ν, как хорда (У 2ν) к дуге;
погрешность будет тогда около — , что всегда меньше, чем 51/, секунд, при
44800
условии, что дуга не больше 45 градусов. С помощью одних лишь делений пополам
получается 128 десятичных знаков.
Ряд
а3 аь
1X2X3 1X2X3X4X5+1X2X3X4X5X6X7
н т. д.
можно, как отмечает славнейший муж, прилагать к вычислению таблицы сегментов.
Но это дело лучше решается с помощью таблицы синусов 327). А именно, зная площадь,
квадранта и прибавляя по девятой его части, ты получишь секторы для каждых десяти
градусов в полуокружности. Затем, непрерывно прибавляя по десятой части этого, ты
получишь секторы для градусов; также можно поступать для десятых частей градуса
и дальше.
Положив затем радиус = 1, вычти из. каждого сектора и его дополнения до
180 градусов половину общего их синуса, при этом получатся сегменты, которые и.
следует внести в таблицу.
Впрочем здесь ряд этот не нужен, он находит себе применение в других
случаях. И так как применение его в них достаточно ясно из изложенного, то я не стану более *
утруждать себя рассмотрением других, случаев.

ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДБНБУРГУ
249
Построение логарифмов должно бесспорно проводить только с помощью следующего,
связанного с их свойствами простого процесса. Сперва при помощи вышеизложенного'
метода находят гиперболические логарифмы чисел 10; 0,98; 0,99; 1,01; 1,02; т. е. чисел,
находящихся друг от друга на расстоянии одной или двух сотых долей. Разделив затем
логарифмы последних четырех на логарифм числа 10 и прибавив характеристику 2, мы
получим истинные логарифмы чисел 98, 99, 100, 101, 102, которые и следует внести
в таблицу828). Проинтерполировав их через интервалы в одну десятую, мы получим
логарифмы всех чисел между 980 и 1020. Вторично проинтерполировав через интервалы
в одну десятую логарифмы всех чисел между 980 и 1000, мы получим в этой части
уже готовую таблицу. Далее, отсюда следует получить логарифмы всех простых чисел,
и их кратных меньших 100, для чего потребуется только сложение и вычитание.
А именно:
,10/~ 9984 X1020 _ , У 8 Χ 9963 0 10 „ _ /~98 п 99 П1
V 9945 =2> V 984 = 3' Τ = °' ]/ Υ= 7' Т = П*
1001 _ 202_ _J88_ 9936 986 _
7 Χ11 ' 6 ' 4 Χ13 '16X27 ' 2 χ 17
992 ,81, ™ 87, ^- = 41, -™ 48, -^ = 47, -i£L = 53,
32 '27 '24 '23 '21 ПХИ
9971 9882 9849 994 9928
59> OX/Q1 =61» о χ/ Г7Г — 67> -Τ^^=71' ОЧ/Т7 ="θι
13X13 '2X81 '3X49 '14 ' 8 Χ17
9954 >=79) _996 =835 _^968 _^ 9894 = g?>
7 Χ 18 '12 ' 7 Χ 16 ' 6 Χ 17
Когда в распоряжении будут иметься логарифмы всех чисел, меньших 100, то
их останется только дважды проинтерполировать через промежутки в одну десятую 329) 330>.
В основание построения таблицы синусов, от которой зависят все
тригонометрические вопросы, лучше всего положить постоянное прибавление данного угла либо
к себе самому, либо к другому данному углу. А именно в углу ВАЕ (фиг. 4,
табл. XXVII), который мы и будем прибавлять, вписываются линии HI, IK, KL,
LM, MN, NO, OP и т. д., равные радиусу АВ, и на противоположные сторойы
опускаются перпендикуляры BE, HQ, Ш, KS, LT, MV, NX, ΟΥ и т. д. Разности
углов HIQ, ΙΚΗ, KLI, LMK и т. д. будут равны углу А', синусы их суть HQr
IR, ES, а косинусы IQ, KB, LS и т. д. Если теперь дан какой-нибудь из углов,
скажем LMK, то другие выводятся следующим образом. Опусти на SV и MV
перпендикуляры Та ж Kb; тогда (вследствие подобия треугольников ABE, TLa; KMb9.
ALT, AMV и т. д.)
AB.BE::TL.LA(=SJ^)::KT ( -|/ш) ■ 1 MB ( ,*^*") -
AB.AE::KT.Sa[=SL + LV)::IL.T*{ = ES+Mr).
Отсюда получаются синусы и косинусы KS, MV, SL, LV.

1250
ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
Вместе с- тем выясняется и закон, но которому следует продолжать эту про
• 4
грессию. А именно:
АВ · -2АЕ: : XV · ТМ+-МХ : : MX ■ VN + NY и т. д.: :
TL + XN: : XX■ MV4-0Y и т. д
или
АВ · 2ВЕ : : LV· XN — TL :: MV- ТМ— MX : :31Х ■ OY — MV:: XN · VN—ΝΪ
и т. д.
снов а
АВ · ЧАЕ : : LS · КТ+ВК и т. д.;
положи затем АВ = 1 и возьми BEX TL = La, АЕу^Κι = Sa, Sa — La — LV,
2AEXLV—TM=MX и т. д.
w
Главное затруднение состоит в определении синуса и косинуса угла А. Здесь
и приходят на помощь наши ряды. А именно, определив на основании
вышеизложенного длину четверти окружности, т. е. 1,57079 и т. д. и вместе с тем ее квадрат
2,4694 и т. д., раздели этот квадрат на квадрат числа, выражающего отношение
девяноста градусов к углу А. Если обозначить частное через е·, то три или четыре
члена ряда
.С tC .С ■ *v
3 *4
1 — ~+-
2 ' 24 720 ' 40320
и т. д
дадут косинус угла А.
Так, сперва можно его найти для угла в пять градусов, затем вычислить таблицу
через пять градусов и, наконец, проинтерполировать через градус или полградуса по
I
тому же методу. При этом не следует итти слишком большими скачками. Вычислив
таким образом.две трети таблицы, можно по известному способу с помощью сложения
или вычитания получить и остальную треть. Если взять, например КТ за косинус
• ■
шестидесяти градусов, то AE—SV ж ВЕ==МЬ.
К десятым и сотым долям градуса следует затем переходить уже другим путем, но при
этом можно использовать логарифмы раньше полученных синусов, если угодно иметь
подобную таблицу.
другом письме я изложид основания для вычисления астрономических таблиц
Кеплера. Здесь бывают достаточны три первые члена этого ряда, а иногда д два.
Однако для различных частей эллипса следует применять различные ряды этого рода.
Лучше производить эти вычисления с помощью рядов, которые по данной площади
эллиптического сектора BGE непосредственно определяют площадь кругового сектора,
угол которого есть BEG, а радиус СВ. Если иметь их, то вычисление, с помощью
логарифмов, двух, трех, а иногда четырех членов будет вряд ли труднее, чем обычное
.решение стольких же треугольников при различных условиях. Напротив, оно пожалуй
легче, если ряд предварительно составлен надлежащим образом, а имецно один взятый
из таблицы логарифм определяет все эти члены посредством прибавления его и его
кратного к уже имеющимся наготове логарифмам данных коэфициентов.
Все, что сказано было об этого рода таблицах, можно отнести и к другим, для которых
уже не имеют места умозаключения геометрического характера, С помощью этих рядов

ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
251
~л>
■^
достаточно вычислить тридцать или двадцать или пожалуй еще меньше членов таблицы
чере
з
надлежащие промежутки; при этом промежуточные члены легко вставляются по
некоторому методу, который я бы и описал здесь для пользы вычислителей, если бы
не был должен перейти к другому.
уже отчасти изложил выше то, относительно чего хочет получить от меня
-объяснения славный Лейбниц. Что же касается определения членов р, #, г>
встречающихся при нахождении корня уравнения, то вот как, во-первых, я вывожу р. Начертив
жрямой угол ВАС, я разделяю на равные части его стороны и восстанавливаю
перпендикуляры, разделяющие угловое пространство на равные параллелограмы или квадраты:
χ
о
j*y
о
*"////
J'5//3
о,,4
>< у
X
4
J
•3
-4
XVJ
4
*ΊΙΙΙ
xhj
з
J* У
**УУ
г5//5
-*'0 У
б
t/4,/4
+
4
X4f
XX
XJ'IJ
χ-
Λ
о
rxyy
X"\f
χ
•3j/l
χ4yQ
X6(f
4,/7
rvj
*>
г Ί/
D
<*>3
xA уi
xx If
з
г у
my
t'XIJ
4
XX у
о
г, у
з
УУ
3
гу
4
rif
хху
6
хху
i
ху
6
4
•if
Xlf
6
7
которые представляю себе обозначенными с помощью показателей двух неопределенных
^укв; например χ и у, правильно возрастающих с конца А, они, как ты видишь,
вписаны в помещенной выше таблице. Здесь у означает корень, который следует опре
деяить, а χ другую неопределенную величину, из степеней которой следует составить
ряд.
Если затем предложено будет какое-либо уравнение, то я отмечаю каким-либо
«знаком параллелограмы, соответствующие отдельным его членам, прилагаю линейку
к двум, а может быть и нескольким из обозначенных параллелограмов (из которых один
должен быть наиболее низким в левом столбц
около
АВ
а другие расположены
справа от линейки; все же остальные, не прилегающие к линейке, лежат над ней),
выбираю члены уравнения из тех отмеченных параллелограмов, которые прилегают
к линейке, и отсюда нахожу величину, которую следует включить в результат.
Так, для определения корня у из уравнения
β
Ьхуь-\-
;7
•3
а
4
laaxxyy -р 6аъхн -\- ЪЬх4,
:я отмечаю параллелограмы, соответствующие его членам, знаком
*
как ты видишь это
яа фигуре пятой (табл. XXVII). Затем я прилагаю линейку DE к нижнему из отмеченных
в левом столбце мест и вращаю ее снизу вверх вправо, пока она не коснется еще одного или,
может ^ыть, нескольких, из прочих отмеченных мест. Я вижу, что затронутые таким
образом места суть хп, хху у и у6. Приравнивая поэтому члены ψ — laaxxyy -\-§аъх*

252
ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
нулю (и причем приведя, если угодно, уравнение к виду г'2 — 7vv-\-6 — 0 с помощью»
подстановки y = vYax), я нахожу у, который, оказывается, имеет четыре значения
____ * ____
-j- Υ ах, —Υ ах, -\~Y2ax и — Υ lax. За первый член результата можно принять
любое из них, смотря по тому, какой из корней решено вывести.
Так, уравнение
у3 -j- аху -f- аау — х3 — 2а3 = О,
которое я решил в первом письме, дает — 2а3-{-аау-\-у3 = 0, откуда приближенно
у = а. Поскольку а есть первый член выражения у, то все остальные до
бесконечности я обозначаю через ρ и полагаю а-\-р = у. (Здесь иногда возникают некоторые
затруднения, но их, думаю, Лейбниц разрешит своими силами.)
Последующие члены q, г, s и т. д. получаются из второго, третьего и других
уравнений так же, как первый член ρ из первого уравнения, но уже легче,
ибо остальные выражения для у обьщно получаются посредством деления члена,
содержащего низшую степень неопределенной величины х, на коэфициент корня
р, q, г или s.
Я думаю, что ты из вышеизложенного заметил, что подобное определение
корня позволяет переходить от площадей кривых к прямым линиям.
Однако имеются еще два другие приема, с помощью которых я достигаю того .
же самого.
Один из них родственен с теми вычислениями, посредством которых я вывел
приближенные выражения в конце другого письма; пояснить его можно на следующем
примере.
Дано уравнение площади гиперболы:
# = χ Л хх -L.— χ* -4- — х± + — Хъ И Т. Д.
1 ' 3 4 'о
Если перемножить обе стороны его на самих себя, то получится:
11 5
zz = хх-J-«г3-j- — х±~|—тхь и Т.Д.,
3 7
ζ3 = х3-\- —г1 -[-~ТХ° ж т· Д->
г± = х*-\-2хъ и т. д.,
zb = x6 и т. д.
Из ζ я теперь вычитаю — ζζ\ остается:
Δ
1 1 δ , 13 δ
ζ——·ζζ = χ -ι& — — χ± — — χ° и τ· Д-
2 6 24 60
К этому я прибавляю -τ·ζ*9 и получится:
11 13

ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ
253
ИЛИ
Вычитаю — £·4; остается
Прибавляю тт^£5; получается приближенно
1 . 1 - 1 , . 1 й
ж = 2 — — «+_ 03 — — «а+120 в8* т. Д.
Таким образом ряд с одной неопределенной величиной можно преобразовать
в другой 331>. Допустим, что г есть радиус круга, χ синус дуги ζ332), а
длина этой дуги, и я желаю преобразовать этот ряд от синуса к тангенсу. Я нахожу
fX
длину тангенса — и привожу ее к бесконечному ряду:
угг XX
/γ·3 Зт^
Обозначим эту величину = t. Затем я вывожу ее степени
tb = xd + -2^+ и т· д"
/5 __- ^б _|_ и т д>
Далее, я вычитаю t из z\ остается
1 з 8 5
о 10
Прибавляю к этому — tB; получается
о
ζ— ί + — /3= Tx~oJr и т· Д·
о О
Вычитаю — t6: остается приближенно
.5
Вследствие этого
z=t — -— tB + -г 1Ъ — и т· Д·
о 5
Однако если бы в тригонометрических вычислениях мне потребовалось
выразить дугу через тангенс, то я нашел бы его прямым, а не этим косвенным образом.
Посредством подобных же вычислений выводятся ряды, состоящие из двух
или многих неопределенных величин, а также по большей части извлекаются и корни
неявных уравнений. Но для последней цели я больше предпочитаю метод, описанный

254 ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНВУРГУ
в другом письме, как более общий и несколько более быстрый (причем
используются правила для исключения лишних членов).
Для перехода от площадей к прямым линиям и тому подобных вещей можна
употреблять следующие теоремы:
Теорема ι
Если
то, обратно,
у = ау -[-■ by у -f- суъ -j- d\f -j- еуь и т. д.,
a?
, 2bb — ac β
. babe — 5Ь3— aad
Η - 2k
1 a1
, Saacc — 2labbc 4-6aabd-\- 14b4—asc . ,
-i ^ - *° + и т. д.
Пример. Предложено уравнение площади гиперболы:
* = // кИУ + тУ — т#М- — //0 и т. д.
Ζ о 4 О
Подставляя в формулу 1 вместо а, вместо 6, — вместо с, вместо cL,
12 о 4
— вместо я, выводим обратно, что
5
</ = * + _,* + -£-** +24** "*· Д.
Если
то, обратно,
Теорема II
ζ = ay -f- %n -j~ с?/5 -j- dy1 -j- ^У9 и т. д.,
^=τ
α4
, 366 — ас „
1 α7
, Safe — aad— 126s ^
, 5564— 55а66с-Ι- 10aabd-\-6aacc — aHe Q .
+ ■ ^μ—~ *9+ и τ.
Пример. Предложено уравнение дуги круга:
, if . Sy° . by

ВТОРОЕ ПИСЬМО К ОЛЬДЕНБУРГУ 25гГ
13 5
Подставляя в формулу 1 вместо а, - - вместо Ь, ——· вместо с, ■ ^ свместо с?,
бгг 40г4 112г6
получим:
// = £Г—6г^-+й
20г* 5040 г6
и т. д.
Другой метод перехода от площадей к прямым линиям я решил оставить
в тайне.
Когда я сказал, что разрешаются почти все проблемы, то я разумел в
особенности те, которыми до сих пор занимались математика, или по крайней мере те,
в которых могут иметь место какие-либо математические умозаключения: ибог конечно,
можно выдумать задачи со столь затрудненными условиями, что мы не будем в силах
их даже достаточно понять и тем более не сможем вынести тяжести требуемых ими
огромных вычислений.
Однако я не видел никого, кто сказал бы, что владеет решением обратных
задач о касательных и других более трудных. Для решения их я пользовался двумя
методами: одним более простым, другим более общим. Я считаю уместным записать
здесь их оба с помощью переставленных букв, так чтобы получить их другому
можно было, лишь изменив некоторым образом их расположение, baccdae lOeffh 12г 41 Зт
10w fioqqr Is lit Юи 3x: Uab 3cdd lOeaeg Will 4m In 6o Зр Ц 6r bs lit lux, Засае
4egh 6t 4l 4m bn 8oq 4r 3s 6£ 4uy aaddac eeeec Hi mm nil oo ρ rrr sssss tt uu 33B\
T$ обратная задача о касательных, в которой дается длина касательной между
точкой касания и осью фигуры, не нуждается в этих методах. Однако кривая здесь
механическая и определение ее зависит от площади гиперболы.
Такого же рола и проблема, в которой дается длина оси между касательной
и ординатой.
Все эти случаи я все же вряд ли отнес бы к играм природы 10).
Правда, когда в прямоугольном треугольнике, который образуется этой частые
оси, касательной и ординатой, зависимость между двумя из сторон определяется
каким-либо уравнением, тогда проблему можно решить без моего общего метода. Но
когда часть оси, заканчивающаяся у какой-либо точки с заданным положением,
входит под знаком корня, то дело обычно обстоит иначе.
Мне было очень приятно получить сообщение о решении неявных уравнений
но методу Лейбница, равным образом как и разъяснение, как следует поступать
в случае дробных степеней, например, в случае уравнения
3_ 2 7
20-ί-Λ·7 — г-> —//Ч =0
или в случае иррациональных величин, как в выражении
1"> , Vl \V 3
3/2
где Υ 2 и У 7 означают не коэфицненты х, но показатели степеней, а 1 / ^ — но-
казатель степени бинома χ -f- χ . Дело это ясно, думаю, и в случае моего метода,
иначе я бы это разъяснил.

256
ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ПИСЕМ К ВАЛЛИСУ
Но следует поставить пределы этому длинному письму. Впрочем, письма
превосходнейшего Лейбница вполне заслуживали с моей стороны подробного ответа.
Я решил быть на этот раз пространнее, думая, что не должен часто отрывать тебя
от твоих интересных занятий этой обременительной перепиской 334).
Преданнейший тебе Ньютон.
ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ДВУХ ПИСЕМ НЬЮТОНА К ДЖОНУ ВАЛЛИСУ 33δ)
27 августа и 17 сентября 1692 г. от Р. X.
В посланных ко мне 27 августа и 17 сентября 1692 г. письмах Ньютон пишет,
что ряды формул (относящихся к квадрируемым кривым) продолжаются до
бесконечности, но что все они могут быть включены в такие формулы более общего вида.
Если абсцисса кривой =#, а вместо членов ряда α-[~δ£η + £/η +ds3lQ-f- и т. д.
и ряда e-{-fzri-\-g22ll-{-hzs'ri-\- и т· Д· или вместо любого их числа написать
соответственно Q и Д а именно Q вместо первых членов и В вместо вторых и если
ордината есть #9-1 X QB1"1 и — = г, r-J-X = s,s-f-X = i, t-\-\ — u и т. д., то пло-
щадь кривой будет
1
— а
/В>- на А_
ге
I
1
+
+
1
η
г
1
η
1
.А.
Ь — sfA
лЛ1
-ИХе
cZlfB — tgA
r+2Xe
dZs2fCZ[gB-
^
- vhA
„3η
r -f 3 X e
+ и т. д.
Здесь А, В, С и т. д. обозначают данные коэфициенты членов ряда с их
знаками, а именно:
1
а
А — коэфициент первого члена ^~-,
— Ъ — sfA
В — коэфициент второго -J== и т. д.
г Л- 1 X е
При помощи какого метода дошел он до этого ряда, он совсем не объясняет, но он
привел его в скрытом виде, сообщив ряд букв, которые при правильном расположении
дают следующую фразу: По данному уравнению, содероюагцему сколько-либо текущих
величин, найти флюксии ti обратно. Под текущими величинами он разумеет неопре-

ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ПИСЕМ К ВАЛЛИОУ
257
деленные величины, т. е. те, которые постоянно возрастают или убывают при
образовании кривых посредством местного движения, а под их флюксией понимает
скорость возрастания или убывания. И сколь трудным ни кажется на первый взгляд
понять, что такое флюэпты и их флюксии (ибо новые вещи обычно воспринимаются труднее),
он все-таки думает, что эти понятия получаются легче,чем понятия моментов или
наименьших частей, или бесконечно малых 'разностей, так как образование фигур и
величин посредством непрерывного движения более естественно и легче воспринимается и так
как приемы этого метода обычно проще, чем в методе частей. Однако он все же не
пренебрегает теорией таких частей и пользуется также и ею, поскольку она либо
сокращает работу и разъясняет дело, либо приводит к пропорциям, связанным с
флюксиями. Абсциссу кривой или какую-либо другую флюэнту он принимает за равномерно
возрастающую, ее флюксию принимает за единицу, флюксии же других флюэнт
обозначает так же, как флюэнты, но только пунктированными следующим образом. Допустим,
что флюэнты суть ν, ху у, ζ, тогда их флюксии обозначаются соответственно такими знаками:
ν, х, у, ζ. Так как эти флюксии в свою очередь суть неопределенные величины и
увеличиваются или уменьшаются посредством непрерывного изменения, то он
рассматривает скорости, с которыми они возрастают или убывают, как их флюксии и отмечает
их двумя точками, именно так: ν, χ, у, ζ; непрерывное увеличение или уменьшение
этих флюксий он рассматривает как их флюксии и обозначает их тремя точками:
ν, х, у, г, а флюксии этих величин — четырьмя точками: ?;, х, у, ζ.
Таким образом ν есть флюксия величины ν, ν флюксия г*, а ν флюксия v. Если
флюэнты суть дробные или иррациональные величины, то их флюксии он обозначает
у ~ УУ л г У У г !
следующим образом: флюксии выражении * и у аа — хх суть - : и yaa_Lxx
о X ft — х ?
у у г -
-а флюксии этих флюксий суть —~— и у аа _1 хх и так далее.
Ъ — χ
Изложив это, он обосновывает свой метод в следующих проблемах.
ПРОБЛЕМА I
По данному уравнению, содероюащему сколько-либо флюэнт, найти флюксии.
РЕШЕНИЕ
Каждый член уравнения умножается по отдельности на показатели отдельных
^степеней всех флюэнт, содержащихся в этом члене, и при каждом таком умножении
первая степень одного из сомножителей заменяется на его флюксию. Сумма всех
произведений с их знаками образует новое уравнение, которое выражает соотношение
между флюксиями.
ОБЪЯСНЕНИЕ
Допустим, что а, Ъ, с, d и т. д. суть определенные и неизменные величины и
что дано какое-нибудь уравнение, содержащее флюэнты х, у, ζ и т. д., например
хъ — хуу -f- aaz — δ3 = 0.
17 Зак. 3296 —Ньютон.

258
ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ПИСЕМ К БАЛЛ НОУ
Сперва члены умножаются на соответственные показатели содержащихся в ниг
степеней χ и при каждом умножении вместо первой степени однош из сомножителей
(т. е. вместо χ в первой степени) пишется х; тогда сумма произведений будет7
Зххх — хуу. То же делается и для у, причем получается — 2хууу а также для zy
причем получается -\-aaz. Сумма всех произведений приравнивается нулю и
получается уравнение
Зххх — хуу — 2хуу -f- aaz = 0.
Я утверждаю, что это и будет уравнение, выражающее соотношение между флюксиями,,
ДОК A3 А ТЕЛЪСТВО
Допустим, что о есть бесконечно малая величина, a oz, оу, ох одновременные
моменты или моментальные приращения флюэнт ζ, у и х. Эти величины в ближайший
момент времени путем прибавления моментальных приращении обращаются в ζ~\-οζ,.
У~\-°У> %-{-ох. Если подставить в первое уравнение вместо z}i χ и у последние
величины, то получится следующее уравнение:
х* -\- Зххох -f- Зхоохх 4~ 3#3о3 — хуу — хоуу — 2хоуу — 2хооуу -\- хооуу'-\- хоъуу -f-
-f- aaz -f~ aooz — Ъь = 0.
Вычти первое уравнение, тогда разность, деленная на о, будет:
Зххх -f- Зххох + осъоо — хуу — 2хуу — 2хоуу + хоуу -\- хооуу -J- ааз = 0.
Уничтожь члены, умноженные на о, как бесконечно малые, и у тебя останется,
уравнение
Зххх — хуу — 2хуу -f- aaz = О,
что и требовалось доказать.
Этот же метод для уравнения
Xs — хуу -|- aaY ах — у у — Ь8 = О
Даст
Зххх — хуу — 2хуу-\-aaV ах — уу = Θ.
Если ты захочешь исключить здесь флюксию У ах — уу, то положи*
У ах — уу — я и значит ах — уу = ζζ. Основное положение даст тогда, чте*
г» * Λ ' ах — 2г/г/
ах — 2уу = 2ζζ, т. е. —^- = ζ или
ΔΖ
ах — 2цц -ι/ '-·
™ -= у ах — уу.
2 у ах — уу
Поэтому выше найденное уравнение будет
* · * ι аьх— 2аауу
Зххх — хуу — 2хуу -| - = 0.
2 γ ах — уу

ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ПИОЕМ К ВАЛЛИОУ
259
С помощью того же метода можно переходить ко вторым и третьим флюксиям.
Допустим, что дано уравнение
ζιβ — ζ4 -f- α4 = 0.
Основное положение дает здесь
ζιβ ~\- Szyyy — 4tzz^ = 0.
Из этого уравнения путем повторной операции выводится, что
ζιβ + bzyyy + Szyyy + Ь*УУУ ~ 4^8 — 12 *ггз = 0;
и так далее.
Для приложения этого метода к квадратуре кривых Ньютон флюксию абсциссы,
которая предполагается равномерно изменяющейся, принимает за единицу; ординату
он принимает за флюксию площади. Затем он определяет с помощью какого-нибудь
уравнения зависимость между абсциссой и площадью, и, найдя их флюксии, получает
новое уравнение, определяющее зависимость между абсциссой и ординатой, а потом
для определения квадратур кривых он устраивает так, что это уравнение
приобретает какую-либо желательную форму. И он утверждает, что, пользуясь этим методом,
он нашел приведенные выше формулы с помощью кратчайших и простейших
вычислений. С помощью этого же метода он сравнивает также между собой различные
кривые, именно полагая их ординаты обратно пропорциональными флюксиям
абсцисс.
В конце письма от 1676 г. он пишет, что в состоянии решить задачи об
определении кривых из условий, наложенных на их касательные, а также другие более трудные;
при решении их он, по его словам, пользуется двумя методами, одним более простым,
другим более общим. Оба их он оставляет в тайне, выражая с помощью
переставленных букв, которые по приведении в порядок дают следующую фразу:
Один метод состоит в нахождении флюэнты из уравнения, заключающего
вместе с неге и ее флюксию. Другой же заключается в употреблении вместо какой-
либо неизвестной величины ряда, из которого можно удобно вывести остальные и
в сопоставлении однородных членов результирующего уравнения для определения членов
взятого ряда.
Второй из этих методов может быть понят без дальнейших объяснений уже из
приведенных слов, изложение же первого теперь я получил от автора в следующем виде:
Метод этот, поясняет он, того же рода, что описанный выше метод
определения корней из неявных уравнений. Предположи, что задача, которую требуется
решить, приведется к уравнению, заключающему вместе с флюэнт&ми у и ζ их
флюксии у и #, и что флюксия величины ζ равномерна. Для того чтобы эта флюксия
исчезла из уравнения, положи вместо нее единицу; тогда останется уравнение,
содержащее только у, ζ и у; это уравнение он называет разрешающим. Затем
предлагается найти у в виде бесконечного сходящегося ряда, в который входит только ζ.
Для некоторых уравнений это невозможно, в других оно требует приготовления
уравнения; там же, где его можно выполнить непосредственно, решение таково.
17*

260
ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ПИСЕМ К ВАЛЛИСУ
ПРОБЛЕМА II
По уравнению, заключающему флюксию корня, найти корень.
РЕШЕНИЕ
Первое действие
Все члены, собранные на одной стороне уравнения, приравниваются нулю,
а степени ужу (если необходимо) повышаются или понижаются так, чтобы они
нигде не были отрицательными, а так же так, чтобы они не были выше, чем
требуется для этой цели. Пусть Ык есть член с низшей степенью, который не умножен
ни на г/, ни на его флюксию у, ни на какую-либо их степень. Пусть Ιζψ if if есть любой
другой член. Пробегая по порядку все члены, составь для каждого из них в отдельности число
, ' , так что ты оудешь иметь столько чисел этого рода, сколько всего имеется
членов. Наибольшее из этих чисел обозначь через ν; тогда ζ* будет степень первого
члена ряда. Коэфициентом при этом члене положи айв так называемом
разрешающем уравнении напиши αζ вместо у и ναζ*"1 вместо у. Собрав все
получающиеся при этом члены, в которых ζ содержится в той же степени, что в члене ~kz, с их
знаками, положи сумму их равной нулю. Получившееся уравнение после надлежащего
приведения даст коэфициент а. Так ты получишь первый член ряда аз* 336>.
Второе действие
Обозначь остальные еще не найденные члены ряда через р\ тогда ты будешь
иметь, что
Отсюда (на основании проблемы I) ты получишь уравнение
У= vas^-f-p.
Напиши в разрешающем уравнении вместо у и у эти их значения, ты будешь иметь
новое разрешающее уравнение, в котором ρ играет роль у; решая это уравнение,
ты найдешь первый член ряда ρ таким же способом, каким ты определил из первого
разрешающего уравнения первый член всего у = az*-f-p.
Третье и следующие действия
По тому же способу, каким ты нашел второе разрешающее уравнение, ты найдешь
затем третье разрешающее уравнение и из него выведешь третий член всего ряда.
Совершенно так же ты найдешь и четвертое разрешающее уравнение, а из него —
четвертый член ряда и так далее до бесконечности. Найденный таким образом ряд
и будет искомым корнем уравнения.
Пример
Первое действие
Требуется найти корень у из уравнения
yyzz — zzzy — ddzz -f- dzzz = 0.
Положи & = 1; уравнение обращается в
у у — ζ су — dd -\- dz = 0.

ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ПИСЕМ К ВАЛЛИСУ
261
Это уравнение и является разрешающим. Низший член, в котором нет ни у, ни у,
представляет собой dd; приравнение его к hz дает λ = 0. Положи последовательно
равными Ь*у*г/ остальные члены уу, —zzy. В первом случае ты здесь получишь,
что |а = 0, α = 2, β = 0, а во втором, что μ = 2, α = 0, β=1.
Таким образом в первом случае ' будет равно О, а во втором — 1.
Поэтому ν есть 0, a az и ναζΊ~~ суть α и 0. Если в разрешающем уравнении
написать эти последние величины α и О вместо у и у, то получится aa-\-Ozz— dd-j-dz.
Члены аа и—dd, в которых показатель степени ζ есть λ или О, по приравнении нулю
дают, что a = d. Поэтому первый член ряда аз есть d .
Второе действие
Обозначив остальные члены через р, ты будешь иметь уравнение y = d-\-p.
Отсюда (согласно проблеме I) у =р. По подстановке этих выражений в разрешающее
уравнение вместо ужу получается новое разрешающее уравнение
2dp -\~рр — zzp -}- dz = О,
где ρ и ρ стоят вместо у и у.
Единственный член, в котором нет ни р, ни ρ есть dz, сравнение которого
с Ы дает λ = 1. Положи последовательно равными lz^pap^ остальные члены 2dp,
рр и —zzp; в первом случае ты здесь получишь, что α = 0, α = 1, β = 0, а во втором,
что μ = 0, а = 2, β = θ и в третьем, что μ = 2, а = 0, β = 1.
Таким образом в первом случае *.Т"р обращается в 1, во втором в —
и в третьем в 0. Поэтому ν есть 1, a az и να/-1 суть az и а. Если в разрешающем
уравнении написать два последние члена az и а соответственно вместо ρ и р, то
получится 2daz-\-aazz—azz-\-dz. Члены 2daz и dz, в которых показатель степени ζ
есть λ или 1, по приравнении нулю дают, что а = — . Поэтому αζ\ первый член
1
ряда р, есть — ζ.
Третье действие
Обозначив остальные, еще не найденные члены через q, ты будешь иметь
1
уравнение ρ = — — sj^qm
Отсюда (согласно проблеме Ι) ρ = ?р + <?· По подстановке в последнее раз-
решающее уравнение вместо ρ и ρ этих значений получается новое разрешающее
уравнение
2dq — zq -f- qq -{- — εζ — zzq = О,
где q ж q стоят вместо ужу. Единственный член, в котором нет ни q> ни д, есть
3 λ
■γ- zz9 сравнение которого с Jcz дает λ = 2.

262 ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ПИСЕМ К ВАЛЛИСУ
Положи последовательно равными Ιζψ q q остальные члены 2dq, — zq,
-\-qq, —zzq; в первом случае ты здесь получишь, что μ = 0, α = 1, β = 0; во втором,
что Η· = 1, α = 1, β = 0; в третьем, что μ = 0, α = 2, β = 0; в четвертом, что μ =2,
α = 0, (3 = 1. Поэтому \ Т~ в пеРв0М случае обращается в 2, во втором,
третьем и четвертом в 1. Поэтому ν есть 2, а аг и να/ суть αζζ и 2а^. Если
в разрешающем уравнении написать вместо q и q эти значении, то получится
3 3
2dazz — azs -}- aaz* -\- — zz — 2az3. Члены 2dazz ~\- — zz, в которых показатель степени
3
ζ есть λ или 2, по приравнении нулю дают, что а = — -^ . Поэтому а^, первый
3^.2
член ряда q, есть -^-.
ос*
Четвертое действие
Обозначив остальные, еще не найденные члены через г, ты будешь иметь
уравнения
?>zz . · 3*
Отсюда ты получишь новое разрешающее уравнение
л7 , 9z$ , 9z* bzzr ,
2ar + 7—: — zr -+- ,», ,-. --i—l· rr — zzr = 0;
9^ „ _
с помощью вышеизложенного метода ты найдешь— —первый член ряда г. 1ак вы-
16flitf
числение продолжается до бесконечности.
Таким образом подлежавший определению корень
1 ,1 Szz , 1 3^ 9г3
y = i+.p = «i ψζ+2 = ά— -^-z — -fa+r = d— γ*
Sd Udd
и т. д.
Продолжая действия, можно вывести больше членов корня.
По этому же способу можно, по словам Ньютона, находить корни уравнений,
содержащих вторые, третьи, четвертые и прочие флюксии (у, у, у).
Этого рода определением корней он пользуется там, где не приносят пользы
другие методы. В упомянутом письме от 1676 г. он указывает, что при решении
обратных задач о касательных встречаются некоторые случаи, для которых нет
необходимости в этом общем методе, в частности задачу можно решить без пользования
общим методом в /том случае, если имеется уравнение, определяющее зависимость
между какими-либо двумя из трех сторон прямоугольного треугольника, образуемого
ординатой, касательной и отрезком абсциссы между ними.
Все эти методы как общие, так и частные, взятые вместе, дают решение второй
части проблемы, поставленной Ньютоном в начале этого письма и выраженной в словах:
По данному уравнению, содероюащему сколько-либо флюэнт, найти флюксии и
обратно. Ибо весь метод флюксий и состоит из этих прямого и обратного решений.

Д. Д. МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОЙ
КОММЕНТАРИ И

КОММЕНТАРИИ К „АНАЛИЗУ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ С БЕСКОНЕЧНЫМ
ЧИСЛОМ ЧЛЕНОВ"
1. Координаты. Ньютон, как и Декарт, вместо введенного позднее слова
„ордината" обычно употребляет термин: ordinatim applicata, иногда же просто appli-
cata. Дословный перевод „порядком приложенная" или, если первое слово оставить
в латинизированной форме, то „ординатно-приложенная", причем у Ньютона она
прилагается под прямым углом.
Такая странная терминология выясняется, если понять, что взгляд на абсциссу
и ординату в то время был совсем иной, чем теперь, что понятия о координате
в пашем смысле как о величине, определяемой положением точки не только на кривой,
а вообще на плоскости, в то время не существовало. У всех авторов до Эйлераλ
величины х9 у, уравнение между которыми определяет кривую, только характерные
линии самой кривой. Так, у Аполлония 2 χ 3 это отрезок диаметра от вершины до хорды,
проведенной через точку Μ параллельно касательной в вершине, а у— отрезок этой
хорды от точки Μ до диаметра или, вернее, обратно 4.
Наряду с ординатой к оси у Лопиталя δ функционирует ордината η
диаметру, причем она определяется отдельно для каждой из исследуемых кривых:
эллипса, гиперболы и параболы. Даже у Эйлера подход к пониманию координаты
не тот, что у нас. Он, как и другие, начинает с графика, с представления
функции через у, если χ значение независимого переменного. Слово „координаты"
впервые появляется у Лейбница 6. Декарт употребляет выражение: „appiiquee par ordre"7
1 jEuleri Introductio in Analysin infinitorum 1748, M. Cantor, Vorlesungen iiber Geschichte
der Mathematik (далее везде просто Cantor), т. 3, гл. 119, стр. 809.
2 Apollonii Conica, пер. И. Ягодинского в „Известиях Сев.-Кавк. Гос. Университета",
1928 (переведена только часть первой книги).
3 Обозначение х, у, 2 употребляет впервые Декарт. Ферма пользуется еще буквами А и Ж
4 Даже у Klugel, Mathematisches Worterbuch координата определяется только в
отношении к графику; PayeriU, Darstellende Geometrie, Enc. d. Mat. Wiss., Bd. 3, Heft 17.
5 L' Hopital, Traite analytique de sections coniques, Paris 1707.
6 Acta Eruditorum, 1692.
7 Descartes, Geometrie, 1637.

266
КОММЕНТАРИИ
Термин „Lineae ordinatae" употреблялся римскими агримензорамих для обозначения
параллельных линий.
2. Некоторые замечания о символике Ньютона. Ньютон
употребляет скобки для обозначения промежуточных равенств.
/— 2
Следует читать так: 4 Уж, которые равны 4# , равны у. Вместо наших
скобок Ньютон употребляет черту. Вот выражение из первого письма Ольденбургу 2:
ааЬ а-Ь
лг : по нашему 1~ ·
V С : a3 -j-ьь* Х«Ч ЬЪх ' /3 ι уьх\Т
Здесь мы видим и черточку Ньютона я характерное употребление крестика для
обозначения умножения и, наконец, аа, ЪЪ вместо а'2 и Ъ~. Там же встречается выражение
a3 -f- ЬЬх j ° ; вертикальная черта здесь играет роль скобки. Буква С под знаком корня
обозначает, что имеется в виду кубический корень.
3. Из истории логарифма. Ньютон берет не площадь криволинейной
трапеции, ограниченной кривой, двумя ординатами и осью Ох, а площадь
криволинейного треугольника, ограниченного кривой, осью Ох от точки пересечения с ней
и одной ординатой. Ни понятия интеграла, как предела суммы, ни особого
обозначения интеграла, как функции первообразной, у него нет. При современном
обозначении результат Ньютона пишется так:
χ ^
п+1
s = J^ = ir7· (1)
Формула эта признается Ньютоном универсальной для всех значений п, в
частности % — — ι. Принимая существование интеграла в случае собственной его
расходимости, т. .-е. когда
ъ
lim / f(x)dx— оо,
α
мы должны признать результат этот верным. Замена формулы
J-=oo, (2)
представляющейся.нам неправильной, правильной формулой
1 Cantor, т. I, стр. 675.
2 Помещено в этом собрании сочинений Ньютона, стр. 219.

К «АНАЛИЗУ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ»
267
стала возможной только при введении понятия неопределенного интеграла в нашем
смысле, а именно в смысле наиболее общей формы первообразной с произвольной
постоянной.
Иоганн Бернулли1 первое время выставляет формулу (1) как всеобщую и в его
глазах имеет место и (2) 2.
Уравнение axdij — ydx = 0, которое нами решается разделением переменных:
-Я-/*·
Бернулли не может решить таким образом. Ему приходится пользоваться ΗΗΤβ-
α— 1 Ла — 1
У У
грирующим множителем -——; полученное по умножении на —— уравнение
X X"*
-^——dy—-^- dx==0 он подводит под формулу для дифереяциала дроби. Можно
сказать, что раньше существовал не логарифм, а логарифмы, как ряд чисел, который
соответствует данной геометрической прогрессии и числа которого образуют
арифметическую прогрессию. Когда было замечено, что ряд криволинейных трапеций,
определяемых гиперболой с уравнением ху = № и соответствующих ряду точек на оси,
промежутки между которыми образуют геометрическую прогрессию, обладает
указанным свойством, то естественно было перейти к чисто геометрическому
определению логарифма как площади, а отсюда прийти к lg#, как функции от χ уже в
непрерывной области.
Благодаря логарифму 3 область интегрируемых функций сильно расширяется.
Позднее И. Бернулли интегрирует
Igxdx, xlzxdx, —г— .
χ lg χ
Установление кардинального понятия логарифма сейчас же открывает путь к
интегрированию рациональных дробей в нашем смысле. Большой заслугой Лейбница
считают именно интегрирование рациональных дробей разложением их на простейшие.
Но оценка этой замены несколько умаляется, если заметить, что сама эта проблема
могла быть поставлена только с установлением подятия о логарифме. Следует также
отметить, что метод Лейбница 4 сильно отличается от современного и не допускает
1 Ioh. Bernoulli, Opera, т. 3, стр. 365 — 380.
о
/dx 1 ~Г
— = — ^ =оо. На Стона Бернулли
χ 0 х
нападает в своей критике его курса. У Bougainville, Traite de Calcul Integral, 1754, логарифмы
Г dr
получают все права гражданства и / — = in.r.
3 О логарифме см. Montucla, Histoire des Mathematiques, т. 3, кн. 5, гл. 1, т. 2, кн. 4 и
Я. Успенский, История логарифмов, Петроград, 1923.
* Acta Erud.. 1702, 1703.

268
КОММЕНТАРИИ
обобщения на случай кратных и мнимых корней знаменателя. Он основывается
тождествах:
а а , а
(х + 1)(х + т) (т— /)(ж + 0 ' (J — w) (я + иг) '
а а , а
(з>
(х-\-1) (х-\-т) (х-\-п) (т — I) (п — 1)(х-\-1) ' (I — т)(п—т)(х-\-т)
"*" (l — m)(l — n)(x + m) ^
и других аналогичных этим, содержащих степени χ в числителе первой дроби *.
4. Здесь заключается геометрическое доказательство положения
X XX
f [/"(*) + 9 (*)] dx = f f(x) dx + fg (χ) dx.
δ 0 0
5. О термине „поверхность". Ньютон употребляет два слова
superficies и area. Первое переводится „поверхность", второе — „площадь" *. Во всех
языках наблюдается в этом отношении один и тот же недостаток. Несчастный термин:
„поверхность" имеет двоякий смысл. Это и сам геометрический объект и только
его величина. Говорят и коническая поверхность и поверхность конуса. Конечно,
во избежание этой путаницы здесь было бы лучше говорить „площадь".
Но я этого намеренно не делаю и вот почему. Мне представляется, что
переход от superficies к area у Ньютона связан с отходом от статической точки зрения
и приближением к динамической концепции его кинематического метода, в котором
составление площади и вообще поверхности из элементов заменяется образованием
площади посредством движущейся прямой, при котором уже резко выступают
характерные свойства именно площади (плоской поверхности) 2.
6. О квадратурах. Мы сохраняем иностранный термин: квадратура,
который в дословном переводе означает нахождение квадрата, равновеликого данной
площади или поверхности.
Вне сомнения, античное понимание квадратуры эволюционировало. Задача на
построение — притом с помощью лишь циркуля и линейки (что, впрочем не вполне
ясно выражается древними) — заменяется вычислительной задачей. Если вдуматься
глубже, то сделается совершенно ясным, что Ньютон больше имел прав пользоваться
этим термином, чем мы, когда выражаем / f(x)dx через arcsin, arctg, In и т. д.
Он признает выражение площади только через полиномы, содержащие степени
известных прямолинейных отрезков.
Когда дело идет о целых степенях и даже дробных с 2 в знаменателе, то
такие выражения строятся с помощью циркуля и линейки. Если принять во внимание
взгляды Ньютона и его современников на актуальную бесконечность, то и в случае
1 См. мою статью „Некоторые проблемы школьной математической терминологии"
(Математика в трудовой школе, 1932).
2 См. комментарии к „Методу флюксий" (76 — 83).

К «АНАЛИЗУ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ»
269-
представления площади степенным рядом квадратуру можно мыслить в некотором
смысле решенной. В самом деле актуальная бесконечность мыслится Ньютоном
завершенной, построение — выполненным актуально бесконечно большим числом операций.
Впрочем, в иных случаях Ньютон такого рода квадратуру не*считает в
точном смысле квадратурой. Он доказывает для некоторых случаев невозможность
неопределенной квадратуры* в смысле алгебраической невыражаемости сегмента
или сектора и хорды, причем дело по существу сводится к доказательству
трансцендентности не числа π, а функции arcsin^.
7. История квадратур2. Под квадратурой в узком, первоначальном
смысле понимается построение с помощью циркуля и линейки квадрата,
равновеликого данной площади. Затем квадратура понимается в смысле точного или
приближенного определения лйощади числом. Мы уже говорили, что сохраняется у Ньютона
от первого понимания квадратуры.
История квадратуры в первоначальном смысле — это история квадратуры
круга; мы на ней не будем останавливаться. Первую квадратуру кривой, притом
отличной от круга, мы встречаем у Архимеда 3, при помощи метода исчерпывания
определившего площадь параболы, а также спирали. Квадратуру парабол высшего
порядка ауп = Ъпх методом неделимых дает для целых η Кавальери 4. Аналогичные
методы применяются Ферма δ к случаю любого рационального η и к спиралям ρ = abn;
Роберваль 6 находит площадь улитки и циклоиды; Слюз 7 некоторых кривых,
определяемых уравнением атуп — хш(а — х)п; Паскаль8, продолжая исследования Робер-
валя, Декарта и Ферма, определяет сегмент циклоиды; Гюйгенс9 дает некоторые
общие теоремы, относящиеся к сравнению площадей между двумя ординатами, и
(наряду с Ферма) определяет площадь, заключенную между циссоидой и асимптотой,
а также площадь завитка декартова листа и площадь, прилегающую к его асимптоте.
Грегори 10 дает способ приближенной квадратуры круга и гиперболы,
основанный на разложении в ряды. Валлис п стоит, так сказать, у порога метода
интегрального исчисления. Разлагая площади кривых на слагаемые, он старается свести
определение этих площадей к определению площадей простых парабол у=,ахт и
гипербол ухт = а. Он занимается циссоидой и циклоидой. В направлении дальнейшей
обработки аналитического аппарата для определения квадратур работают Броункер
1 D'Alembert, Opuscules, 4, стр. 66д Gregory, De vera circuliet hyperbolae quadratura, 1667.
2 Moniucla, Histoire des recherches sur les quadratures, 1754 и 1831; Рудио, О квадратуре
зсруга, ГТТИ, 1,934; Beutel, Die Quadratur des Kreises, Leipzig 1920; Teixeira, Traite de courbes spe-
ciales, 1915, т. 3; Appendice, Sur les problemes celebres de la geometrie.
в Archimedis Opera (ed. Heiberg).
4 Cavalierly Exercitationes geometricae sex, 1647. Geometria indivisibilibus, 1635. Sieplianns
de Angelis, De infinitis parabolis, 1654.
5 Fermat, Oeuvres, т. Ill, 1896.
e Boberval, Traite des indivisibles, Mem. de PAcademie des sciences, 1699.
7 Slusii Mesolabium, Miscellanea.
3 Pascal, Oeuvres, тт. VIII — IX, Ш4.
9 Huygenii Opera reliqua, т. 1, стр. 226.
10 Gregory, De vera circ et hyp. quadratura.
11 Wallisii Arithmetica infinitorum, 1655.

270
КОММЕНТАРИИ
и Меркатор *. Но, конечно, больше всего сделали в этой области Ньютон и Лейбниц,
открывшие интегральное исчисление.
8. Отрицательные и дробные степени. Первое появление дробного
показателя, но не при букве, а при числе, мы находим еще у Орезма2, который
вместо г
8 = 4 2 пишет
Первые отрицательные показатели при букве, означающей неизвестное, находим
у Шюке. Валлис, как и Ньютон, пользуется отрицательными показателями, но у него
это только обозначение; действий над отрицательными степенями у него, в
противоположность Ньютону, еще нет, хотя в конце XVII в. они были уже известны.
В истории дробных и отрицательных степеней мы встречаемся с интересным
психологическом отношении явлением, когда обозначение наводит на обобщение
тех поняпггьй, к которым относится это обозначение. Обозначения степеней,
данные Пачиоли {со, се, си, сесе) или Оутрэдом, не могли привести к обобщению степени
в ньютоновском смысле. Скорее могло действовать в этом направлении обозначение
Бомбелли 3 или сходные символы Стевина 4 ©, ©, ® и прямо с необходимостью к нему
влекло обозначение х3, х4, так как здесь число служит для обозначения операции, а не>
(как у Бомбелли и Стевина) порядка в ряду возрастающих степеней. Уже в самом начале
существования диференциального исчисления лейбницевское δ обозначение d2y, dBi/
наводит на понятие дробного диференцирования, мысль о котором, конечно, не могла
явиться у Ньютона, пользовавшегося обозначением χ, χ, χ , . ..
9. Расположение действия при делении. Обращаю внимание
читателя на расположение действия деления. Делитель ставится не направо, а налево
и отделяется скобкой. За скобкой (справа) записано частное; это расположение
действия в учебниках арифметики сохраняется даже во второй половине XVIII в. 6.
10. Расходящиеся ряды при Ньютоне. Этот бесконечный ряд мы
называем бесконечно убывающей геометрической прогрессией и суммируем его по
формуле
Но при этом мы считаем эту формулу правильной только при 1#|<1; ибо только
тогда и имеет место сходимость ряда.
Конечно у Ньютона нет понятия сходимости в современном смысле. Он
мыслит сумму с актуально бесконечным числом членов совершенно так же, как сумму
1 О нем подробнее см. комм. 52.
2 Oresmus, Algorismus proportionum; Max Cwtze, Zeitschrift d. Math, unci Phys., 13,
стр. 22 — 91.
3 Cantor, т. 2, стр. 621.
4 Cantor, т. 2, стр. 614.
5 Leibniz, Mathemat. Schriften, (издание Gerhardt, Halle 1858 и след.)* т. Ill, стр. 228;
Cantor, т. 2, стр. 355; Canter, т. 2, стр. 128.
См. историю арифметических действий у Кэджори, „История элементарной математики*,
1917, а также учебники арифметики Магницкого, Аничкова.
1
1*Т

К «АНАЛИЗУ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ»
271
с конечным числом членов, и, оперируя с первой, как со второй, интегрирует эту"
сумму согласно его правилам интегрирования. Он вовсе не полагает, что формула
эта не всегда верна, а только указывает, что она не всегда применима и что она
лучше, когда члены убывают быстрее, хуже — когда медленнее и, наконец, совершенно
не годится для вычисления, если
Если д= >—1, то
-1=1-1 + 1-1+... (1)
Хотя Ньютон это и не отмечает, но он должен был бы и с этим согласиться, как и его
современники \ Лоран 2 говорит, что совершенно невозможяо понять, как математики
того времени могли допускать равенство (1). Но я скажу, наоборот, что было бы
совершенно непонятно, если бы математики того времени думали иначе. Чтобы
выйти из затруднения, тогда оставался только тот путь, по которому пошел Яков
Бернулли, т. е. признание старой актуальной бесконечности, при котором
бесконечное число понимается как последнее в ряду число.
Он указывает 3, что нельзя вообще писать
т-\-п т т2 т
1пр
забывая про последний бесконечно удаленный член> который равен (—1)*
тр (т -\- п)
Только когда он бесконечно мал, можно, имея в виду исчезновение бесконечно малого
перед конечным, написать (2). Во всех других случаях, например, при т — п,
в конце следует писать не просто многоточие, а этот член:
J_ = J___Z, _+_ I
2т т т ' 2т
МЛН
что, конечно, уже верно.
Не следует рассматривать современное возвращение к расходящимся рядам
как возвращение к старой точке зрения. Лейбниц пытается доказать, что сумма
расходящегося ряда равна среднеарифметическому двух значений, которые могут при-
нимать суммы неполного числа членов (то же делают еще Raabe4 и Prehnδ).
Новейшие авторы дают чисто формальное определение суммы расходящегося ряда.
Можно сказать, что такой ряд вовсе не суммируется, вся теория представляет частицу
формальных операций над упорядоченным множеством его членов, по возможности
1 Ученые, принимавшие участие в горячем споре об этой формуле: Gvido Grandi, I. Ber-
nulli (Opera, I, 536 — 539), Varignon (Acta Eruditorum, 1710, стр. 154), Wolff (Mat. Briefwechsel
Sup., стр. 143 —149), Leibniz, Mathemat Schriften, т. 4, стр. 189, т. 3· стр. 960, 982—984.
2 Laurent, Traite d'Analyse, т. I.
3 Jac. Bernoulli, Post, de ser. inf. 3 (1696), Opera, т. 2, стр. 761.
* Crelle's Journal 15. 1836.
* Там же, 41, 1854.

'272
КОММЕНТАРИИ
аналогичную той, которая производится над членами сходящегося ряда. По Фробениусу 4
зо
сумма расхождения ряда У\а^ определяется так:
о
Пусть
2°* = *»·
о
тогда
hm \αΊχ = hm ,
О
если этот предел существует.
В этом роде выдержана и оорелевская 2 теория расхождения ряда, в которой
# = Hm Г*;.^-".
о
11. Область приложимости ньютонова ряда. Ньютон
рассматривает также и ряды с убывающими отрицательными степенями. Для ряда/с
положительными возрастающими степенями он требует, чтобы χ были малы; для рядов
с убывающими отрицательными степенями, чтобы χ были велики, и говорит, что χ
в первом случае должно быть „достаточно мало", а во втором—„достаточно велико"
Но условие достаточности остается невыявленным. Правда, одно ясно, — что χ
должно быть в первом случае по абсолютной величине так мало, а во втором так
велико, что члены ряда будут убырать, но, конечно, убывание членов ряда не является
достаточным условием их сходимости.
12. Возведение ряда в степень3. Ход действия можно истолковывать так
Квадрат [а0 -j- а{ + а2 -(- а3 + а± -f- · · ·]2 как ПРИ конечном, так и при
актуально бесконечном числе членов равен:
Α0 + Αί-\-Α2-\- ... и т. д.,
-где
А = ао2
-£Le) ——— Qj-t ]~* £ι(λγΛΛω
Аъ = 2ata2 + 2α0α3
Α± — α22 -f- 2a{as -\- 2α0α4
Аь = 2α2α3 + 2α1α4—[— 2α2α3.
1 Chile's Journal, 39 (1880) етр. 262.
2 Journal de Liouvilie, 4 (12), 1896, 103, Compt. Rendus, 122 (1896).
3 Разложением
(ax + bx* + ex* + ...)m
занимался A. Moaep (Abram de Moivre), см. его A method of extracting the Root of an infinit
equation, Philosophical Transactions, 20, стр. 190—193.

К «АНАЛИЗУ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ» 273
Сравнивая с аа -f- хх, имеем Л0 = аа, откуда а0 = α, 2α0αί = хх, а1 = —— ,
А
2а
.α18 + 2α0α3 = 0, а2 = — -^ и т. д.
13. Эллиптические интегралы у Ньютона. Мы пишем
/
-. г—т. w , χ Υ а2 — χ2 , а2 . χ , ^
1/а2 —#2 ^_—ϋ— l arcsm ^С.
Выражения в правых частях мы не можем построить, выражения же, стоящие
далее у Ньютона, строятся. Для Ньютона квадратура кривой
Υ1 4- ах2
V \ — Ьх2
не представляет больших затруднений, чем квадратура круга. А мы вынуждены для
выражения в почечном виде
\±2^^rdx и вообще IF(V 1 + ах2, Υ I — bx2)dx,
где F рационально, расширять область основных трансцендентных функций г,
пополняя их функциями, выражаемыми нормально эллиптическими интегралами Якоби2:
ζ
-ξ*)|(1 — £Ч2)
о
J Κ(ΐ-Π)(ΐ—*ч«)
О
ΐβ(ξ,*,«)= Г
J tf2-«;
2)/(1—ξ3)(1 —Й2 52)
о
14. Приведение задачи о дуге к задаче о площади. Здесь мы у
Ньютона встречаем приведение задачи об определении дуги к задаче об определении
площади. Приведение различного рода задач, зависящих от пределов суммы, к
интегрированию мыслится Ньютоном как приведение к задаче об определении площади.
Интеграл ι ' — ах имеет следующее происхождение:
J 1/ 1 — Ъх2
1 О расширении области трансцендентных см. мою работу: „Интегрирование трансцендент
ных функций" (Известия Варшавского университета, 1913).
2 К. (г. «7. Jacobi, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, 1829; на русском
языке работа Хандрикова сводится почти полностью к переводу Якоби.
18 Зак. 3208. Ньютон.

274
КОММЕНТАРИИ
Из уравнения эллипса —ψ -f- -L·- = 1 имеем у' =
р2Ж
У ! + /«=«
ιΛ-^
«22/
где β2 = α2 —β2.
Было бы более наглядно следующее расположение ньютоновского результата:*.
1+т»
, ι
+ Та
ι + ΐ&
+ Т^2
Xе И т. д.
+ т?а3
15. Aequationes affectae. Очень затруднителен термин aequationes:
affectae. Точный перевод был бы наделенные уравнения, т. е. уравнения, наделенные
неизвестным х, которое следует определить. Можно было бы в употреблении этого *
прилагательного видеть только подчеркивание различия между уравнением и тооюдесшвом
(которое уже не наделено #-ом). Но Ньютон говорит еще о большей и меньшей аффектив-
ности, т. е. уравнениях более или менее наделенных а>ом. Я нахожу возможным
переводить это словами явный и неявный, считая возможным мыслить и степени неявности 5,
так менее явным будет уравнение, в которое χ входит много раз; например, уравнение
Ухч — У2 — х-\-хУ l—Yl—x = 2
будет менее явным, чем уравнение
Гергард 1 переводит aequationes affectae через „уравнения, в которых
неизвестное входит в различных степенях*. Это, конечно, более точный перевод; здесь отмечается
не только неявность, но и характер этой неявности.
Переводить словом алгебраическое нельзя, ибо aequationes affectae — это так^е
и бесконечные уравнения^ с бесконечным числом степеней.
16. Следует думать, что это первое значение у достигается путем проб и подбора
значений, делающих выражение уь — 2у меньше 5, и значений, делающих его больше 5
17. Ньютон хочет сказать, что здесь следует после нуля взять два знака: 5 и 4.
Почему? Потому что по делении на 11,23 ошибка уменьшается более, чем в 10 раз.
1 0,061
Если последний член 0,061 дан с точностью до —г, то
1
ΙΟ3 9 11,23
будет с точностью
до ггтт . Здесь число 2 как раз равно числу мест, отделяющих 2 от 5 (2 и 0,005).,
1 Gerhardt, Die Entdeckung der hoheren Analysis, Halle 1855.

К «АНАЛИЗУ О ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ». 275
18. Regula falsi ц метод Ньютона. Основная идея Ньютона состоит в том, что:
1. Уравнение
а0 + ахх + а2х2 -Ь... + апхп = О (1)
при очень малом χ заменяется уравнением первой степени
^0 + ^ = 0, (2)
дающим
= = а°
2. Зная приближенное значение х = х0 в уравнении (1), полагаем х = х0-\-у,
благодаря чему оно приводится к уравнению
Ь0 + Ьху + \ιβ +... + Ъпу» = 0, (3)
в котором опять отбрасываются все члены, кроме первых двух:
Ъ0 + Ъ1У = 0, (4)
так что
Ьг
У = Уо=>—-+, (5)
и вторым приближением берется х = х0-\-у0 и т. д.
Это и есть основная идея метода решения уравнения, известного под названием
метода Ньютона.
В той форме, в которой мы ее знаем из анализа, 1) в ней даются формулы
для х, у и т. д. через производные левой части уравнения, 2) производится исследование
сходимости полученного этими приближениями ряда и устанавливаются необходимые
и достаточные условия для применения метода (условия Фурье).
У Ньютона же дается только формальная часть решения — о правильности его
результатов свидетельствуют приводимые примеры.
19. К истории метода Ньютона. Фурье1 принадлежит разработка
метода Ньютона приблизительно в том виде, в каком мы его находим в наших руководствах
по высшей алгебре с определением вместе с тем и степени погрешности.
Предположим, что система операции Л(х) разлагается на С(х) и D(x);
уравнение символически представляется в следующем виде:
[С(х), D(x)]=K. (6)
Пусть все затруднения связаны с D(x). Задачу же
С(х) = К (7)
мы решили бы легко.
Конечно, первое, что приходит на мысль, это просто отбросить В(х) и решать
уравнение (7) вместо (6). Этот прием может дать приближенное решение. Но как
1 Fourier, Analyse des equations, 1831, имеется немецкий перевод в Ostwald's Klassiker
der exakten Wissenschaften.
18*

276
КОММЕНТАРИИ
получить более точное? То-еоть, как на основании первого приближенного значения
получить поправку, если не до истинного решения, то до более близкого к истинному?
Вот здесь и выступает следующая благотворная идея. При разыскании более
точного значения χ нужно не отбрасывать D(x\ а производить эту операцию над
первым приближением х = а, т. е. решать уравнение
[С(х), D(a)]=K. (8)
В этом и состоит выправление неточного решения в более близкое к истинному χ = b.
Следующий момент состоит в решении уравнения
[С(х), В(Ъ)]=К
II т. д.
Здесь метод, конечно, обоснован на вере в то.обстоятельство, что ряд а, &, с,...
сходится к корню заданного уравнения (6) (что, вообще говоря, может и не иметь
места).
Для решения кеплерова * уравнения
х — е sin х = и, (9)
тде и, е даны, причем е мало, берут χ = и за первое предположение, за первое грубое
^приближенное х0. Выправление этого грубого приближения совершается с помощью
уравнения
χ — е sin х0 = и,
дающего тоже неточное, по вообще лучшее, чем первое, приближение и т. д.
Если нельзя указать точного значения для х, то естественно довольствоваться
приближенным, которое насколько возможно меньше отличается от первого.
Такое неточное значение χ находится прежде всего примитивным приемом проб.
20. Фальшивое правило (Regula falsi) безусловно уходит своими корнями
ΊΒ самые древние примитивные методы решения задач, состоящие в ряде попыток2:
неизвестное просто подбирается так, чтобы оно удовлетворяло поставленным условиям.
Берется произвольное значение для неизвестного (согласно арабской терминологии3:
предположение) и над ним производятся все те операции, которые должны дать
определенный результат. Если полученный результат не совпадает с данным или, как
говорят арабы, отклонение не нуль, то переходят к другому и так далее, пока не
натолкнутся на решение. Regula falsi дает возможность избежать неопределенного числа
таких попыток,— „отклонение" при первой попытке позволяет сразу сделать и должное
исправление.
1 О кеплеровой задаче см. ниже комм. 303.
2 О египетской математике см. August Eisenlotir, Ein mathematischer Handbuch der
alten Aegypter, Leipzig 1877.
Фальшивое правило у индусов: ishta karman. Как отмечает Μ. Кантор, египтяне
пользовались этим правилом инстинктивно, а индусы вполне сознательно. Cantor, т. 1, стр. 577.
3 Khelasat Hisab ou Essence de Calcul de Behe Eddin. См. Cantor, τ. I, стр. 739. Regula
falsi, называемое также правилом уменьшения и увеличения, находится также у Абраама бен
Езры (1130), Ибн Альбана (1222), Алкалзади (140О); см. о них Либри (Libri, Histoire des
sciences mathematiques, т. I, стр. 304—312). Сочинения Альбана переведены на французский язык
t. Маге.

К «АНАЛИЗУ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ»
27Т
Простое Regula falsi относится к задачам, приводящим к уравнениям типа:
ax-j-bx-\-c (a'x-\-b'x) — d. (1)
Если предположение есть х = х0, то
аж0 + ^о + с (я'#о + Ъ'%о) = d0 (2)
и простое яфальшивое правило" определяется формулой
В сложном Regula falsi на месте уравнения (1) стоит
е [ах -J- Ъх -J- д -)- с {а'х + Ь'# -f- й)] = <L (4)
Обозначая через #19 я2 два предположения, через dv d2— соответствующие им
значения d, через 8Р δ2:
bx = d — dv 82 = d— d2,
мы выразим сложное „фальшивое правило" формулой
(5)
δ1~ δ2
Эта формула — родоначальница приближенных методов вычисления. Сущность
простого „фальшивого правила" можно представить так: полагая в уравнении
А(х) = К,
х = х0у имеем
Л Оо) = к0.
Решение тогда определяется из пропорции
χ К
х0~Щ'
21. Особенные точки алгебраической функции1. Ньютон задает
уравнение вида
где φ4 (ж) — полиномы от х, содержащие еще параметры а, Ъ, с,.;., и находит корень
этого уравнения, в форме разложения
2/ = a0-|-«i^ + a2^2 + · ·· СО
Поскольку такое разложение возможно, обнаруживается полная аналогия с числовым
решением уравнений в десятичных дробях; а0 отвечает целой части, ахх — десятым,
а2х2 — сотым и т. д.
1 Puiseux, Sur les fonctions algebriques, Journal de Liouville, t. 15, 16, 1850—1851.
Перев. на немецкий язык Fischer, Halle 1861; Appell et Goursat, Fonctions algebriques; Picard,
Traite d'analyse, τ. I.

278
КОММЕНТАРИИ
Отбросим параметры а, Ъ, с. Пусть коэфициенты φ4 (χ) будут только числовыми.
Мы теперь прекрасно знаем, что не для всех уравнений х = 0 будет точкой
обыкновенной, для которой возможно разложение (2), голоморфное внутри круга,
окружающего х = 0. Оно, во-первых, невозможно при φ0(0) = 0. Мы тогда имеем полюс
о разложением вида:
У = ^ + ~^+... + ^ + а0 + а1Х+... (3)
X X ж
Но оно невозможно и тогда, когда дискриминант уравнения при# = 0 равен нулю; тогда
мы имеем точку разветвления, для которой
Л £
у = а0~\- α ι χ * + α 2 х * + ... (4)
7 7
Наконец, если к тому же φ0(0) = 0, то мы имеем полюс разветвления:
у = х ν- {а0 + ахх и- + ...). (5)
Если в уравнение на ряду с у ж % входят еще параметры, то ввиду их
произвольности это хорошо известное явление затушевывается. Так как φ0 (0, а) при
произвольном а вообще не нуль, то вообще имеет место разложение (2), а не (3), (4)
или (5). Именно благодаря тому, что Ньютон с самого начала взял уравнения с
параметром, он и упустил случаи не только полюсов, но и разветвлений.
22. Valor. Я считаю необходимым здесь отступить от точного перевода
Valor — значение, заменяя его здесь и во многих других случаях словом выражение.
Valor не вполне отвечает а нашему слову „значение", теперь понимаемому только в
числовом смысле, хотя впрочем иногда к нему и приставляется прилагательное „числовое".
23. Замечание о расположении. См., например, третий сверху
прямоугольник. Отбрасываются члены третьего измерения относительно χ и q, а та*кже
с x2q, с q2 и с xq.
Оставшиеся члены, после приведения подобных членов, помещаются при четвертом
прямоугольнике слева в столбец. Результат же у пишется во второй строке сверху,
В ижней строке выражение за первой скобкой делится на предыдущее; вторую скобку
следует заменить знаком равенства =.
24. Бесконечно удаленная точка. Алгебраическая функция разлагается
в ряд и для χ = оо. Вообще при χ = σο она является голоморфной, так как возможно
1
разложение по степени —:
χ
y-oo+oi (т)+Й2(4У+а*("7)3-ь·· ω
Если в это уравнение входят положительные степени х:
У = «_ге^ + а_и + 1^-1 + ...+«о + ^ + ^ + ···, ■ (2)
то χ = оо является полюсом %-го порядка нашей алгебраической функции, что должно
явиться, конечно, не общим, а исключительным случаем.

К «АНАЛИЗУ О ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ»
Функция, определяемая уравнением
у3 -j- аху -f- х2у — а3 — 2#3 = о,
:которое берет Ньютон, имеет полюсом χ = оо, в чем нетрудно убедиться, заменяя
1
χ через ·— и представляя уравнение в виде:
2ψ + («# +1) гу + (— α¥ — 2) = 0;
отсюда ясно, что полюсом будет # = 0 и # = оо. Это произойдет всегда, если
показатель степени полинома φ0 (χ) при -высшей степени уп будет меньше показателя
степени одного из коэфициентов <?j (х). Ясно, что случай, когда φ0 (%) обращается
в нуль, мог ускользнуть от Ньютона, но случай, когда φ0 имеет степень ниже,
чем φ-, встал, естественно, как простейший случай.
25. Степень и измерение. Мы переводим dimensio в различных местах
различно, то — степень> то — дословно — измерение. Когда имеется одна буква хг, то
мы говорим „ж в третьей степени"; 3 в этом случае показатель степени. Если имеются
две буквы хъу2, то мы говорим не пятая степень, а пятое измерение.
У Ньютона еще употребляется термин dignitas (по-итальянски встречается
впервые у Тартальи) — соответствующий степени, а не измерению.
Кроме того реже употребляется слово potestas (введенное Виетой).
26. Величина |~|. Каким образом Ньютон интегрирует, например,
выражение х2 -f- х~г-f- χ"1 ? Мы его будем интегрировать не от 0 до х, а от 1 до х:
χ
I
(^2 + ^ + 0^===
о —2
X К*
-3- + ΖΓ2 +1пх
хъ , χ 2 . Ί ,1
+ 1ηα? + —.
3 '·—2 ' ' 6
Интеграл / (χ2 + х~~ъ + х~г) dx является для нас расходящимся, не имеющим
о
смысла.
Для Ньютона же / х-1 dx имеет вполне определенное геометрическое значение,
Это актуально бесконечно большая площадь, которую нельзя выразить, но с которой
мы можем оперировать совершенно так же, как с конечной. Она вполне определяется
ординатой начальной точки на оси, кривой и осью ОХ.
Если бы Ньютон пользовался нашим обозначением, то он написал бы:
X XXX
ί[χ2 + χ~3-\- χ'1] dx = jχ2 dx-\- ί χ-ζ dx-\~ ί χ"1 dx.
ο 0 0 0
Но для интеграла в левой части он не имеет обозначения, первый член правой
и с
части есть —, второй — χ , а третий им обозначается позоюе
3 2
1
— или
X
х-1
этим квадратиком он оперирует так, как если бы это был какой-либо χ или а.
.Площадь кривой между двумя ординатами, не совпадающими с ОУ, будет уже

280
КОММЕНТАРИИ
конечной, ибо, вычитая из одной площади, начинающейся с О У, другую, начинающуюся
с ОУ, мы производим сокращение:
= 0.
Так точно ниже получается площадь для
а
у —#-
аа , 131α3 , 509а*
и т. д.
4 ' 64х ' 512^2 ' 16384л3
X
Ньютон для площади криволинейной трапеции ( т. е. для I ydx ) пишет.
х* ах
аа
их
131а3
509а4
Ы2х 32768л;2
и т. д.
аа
их
— это актуальное бесконечное, с которым он затем свободно оперирует.
В письме к Conti .(Конти) от 9 июня 1716 г. Ньютон употребляет символ4
ЪЪ
с точкой внутри квадратика.
а-\-х
27. Немые величины1. Если переводить дословно, то следует сказать
не иррациональное число, как мы говорим, а немое (или глухое, и то и другое по-
латыни означается тем же словом surdus), т. е. не выражаемое в числах; конечно,
при этом слово „число" мыслится как целое число или как рациональная дробь. Во
времена Ньютона понятия иррационального числа в нашем смысле не было.
Следует, между прочим, отличать величину иррациональную от трудно
определимой, имея в виду, например, уравнение^ корни которого, хотя и могут оказаться
целыми числами, но поддаются определению с трудом, а может быть и не могут
быть определены.
В качестве примера можно привести выражение
/7=
V>
12 V3 + 6f9 +}/ 5 + 12 У"3 —6 "|/9
равное 4, что обнаружить довольно трудно.
28. Нуль алгебраической функции. Ньютон здесь сознает, что случаи
„нуля" Фребует особенного исследования. Значение у при х — 0 определяется и&~
уравнения f (0, у) = 0.
Зная у == Ъ мы, подставляя в уравнение f (χ, у) = 0, у = b -\-р, получаем прис
Ъ = 0 тождественное равенство в р.
1 Выражение surdus (немой) впервые употребляется Leonardo Pisano (Liber Abaci, 1202)
и сохраняется даже до XVIII в. (в Англии и до настоящего времени). У Штифеля irratio-
nalis numerus поп est verus numerus, т. е. иррациональное
(Arithmetica integra, 1544).
число не есть истинное числ

К «АНАЛИЗУ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ» 281
Выход из затруднения состоит в том, что полагается у = хз и рассматривается
уравнение f(x,xz) = 0.
Так, если
f(x> у) = у* — аху + х* = 0>
то
хъ%ъ — ax2g _|_ хз _ о9
и, по сокращении на %2,
— аз -f- χ -f-... = 0;
откуда
ж ι
α '
29. Подстановка. Ньютон рассматривает здесь случай иррационального
уравнения
или вообще
α1 α2
f(xVi,xV*,...,y) = 0,
где aJf fa — числа целые.
Такие уравнения приводятся к обыкновенной форме рационального уравнения
подстановкой
j_
я? Ρ =*,
где β—наименьшее кратное всех β^·.
Таким образом та подстановка, которая затем была применена для приведение
f(x^ , яг Ρ»,.. ,,χ) dx
к интегралу от рациональной дроби, сперва применяется для приведения указанного
уравнения к рациональному виду.
30. Моменты. Ньютон мыслит площадь образуемой движением прямой, причем
криволинейная трапеция, образуемая движением прямой изменяющейся длины
(ординатой), сравнивается с площадью прямоугольника с основанием, равным основанию
этой трапеции и описываемого прямой постоянной длины, равной единице.
Моменты времени Ньютон представляет себе как актуально бесконечно малые
частицы времени.
Если в существовании актуально бесконечно малой трапеции еще можно
усомниться,' то в том, что существует момент времени, что между прошедшим и
будущим есть настоящее, которое меньше, чем всякий промежуток времени, но все-
таки не нуль, в этом уже нельзя сомневаться К Все, что образуется в момент времени,
Ньютон и называет в широком смысле моментом этой величины. Ньютонов момент
не совпадает с нашим и более того даже с лейбницевским диференциалом 2 со
стороны его идейного содержания.
1 И у Аристотеля время оказывается в особом положении как относительно своей
вечности, так и в отношении своих неделимых элементов — моментов.
2 См. главным образом статью Лейбница·Nova methodus в Mathemat. Schriften, т. Ъг
стр. 220—226.

282
КОММЕНТАРИИ
Но, во-первых, роль момента в формальных операциях та же, что диференциала.
Кроме того наряду с формальными операциями и с логическими обоснованиями их
всегда выступают еще, так сказать, недозволенные логикой образы и понятия,
смутные, но близкие к донаучному мышлению, которыми мысль оперирует в своей
закулисной работе, одним словом, то, что имеет психологическое значение в научной
работе. В этом смысле, конечно, и момент и диференциал ♦ тоже сближаются, как
зерна теряющего свою непрерывность пространства.
31. Круг и окружность1. Мы переводим circulus—круг, но мыслим круг
не по-эвклидовски, т. е. не как часть плоскости, ограниченную кривой, а как самую
кривую, что часто делается и теперь. Термин „окружность" мы оставляем для длины
дуги или периметра.
32. Дуга и площадь. Ньютон здесь находит момент дуги, а по моменту
ж самую дугу. До этого места он говорил лишь о моментах площадей и
геометрическое обоснование своих правил давал только для площадей. Когда он прилагает
I/ ос ~—~~~ зсоо 1 3
свое правило к дуге и от момента ~ -—приходит к дуге ^+т"^3~Ь—^5~Ь···'
Δ ОС —— JiXX О 4:v/
то ему становится необходимой ,для обоснования этого действия площадь, момент
которой выражен через поверхностные единицы так, как момент дуги через единицы
длины; затем, найдя площадь в этих единицах, он должен |вернуться к выражению
в единицах длины. Впрочем, здесь это не подчеркивается так, как в „Методе флюксий".
33. Момент и неделимое. Ньютон оперирует с моментами дуги HD и
основания KB и в основу кладет пропорцию
GH:DH =BT:TD,
вытекающую из подобия треугольников HDG и TDB.
Фиг. 10 табл. II изображает то, что должно только мыслиться, — отрезок HD
направляется ло кривой, т. е. на бесконечно малом протяжении кривая мыслится
прямой, дуга мыслится совпадающей с хордой. Это — точка зрения метода неделимых^
и она здесь сохраняется Ньютоном, который мыслит дугу здесь не образующейся, как
площадь, но уже образованной. Казалось бы, что Ньютон совершенно сближается
о Кавальери 2 не только в этой технике доказательства, но и в своевд понимании
бесконечно малого, в своем замечании, что моментами тела являются поверхности
моментами поверхности — линии и моментами линии — точки. Но это не совсем верно'
Здесь момент уже не вполне то, что неделимое. Величина не состоит из моментов, но
образуется из них. Кривая не состоит из точек, но образуется из них.
Но мы видим, что оперирование с ними здесь чисто статическое вместо дина-
мического, и это стирает глубокое различие в понимании.
1 См. мою статью „О школьной математической терминологии" (Математика в
трудовой школе, 1932).
2 Cavalieri, Geometria indivisibilibus; Cantor, т. 3, гл. 90; Montucla, Hist, de Math., т.
стр. 27; см. также Kepler, Nova Stereometria. doliorum vinariorum, 1617; Opera 1871, т. 4; Pfleide-
rer, Dissert, quo Kepleri methodus illustrate, Tubingen 1795; Boberval% Traite des indivisibles-

К «АНАЛИЗУ G ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ:
233
34. Ряды для sin χ и arcsin #. Здесь происходит обращение ряда
arcsin x = z
в ряд
χ = sin ζ
Ввиду того, что первый ряд получается простым интегрированием ряда
(1—х) 2, разворачиваемого по формуле бинома Ньютона/то формула (1) мыслится
Ньютоном как более простая, чем (2). В настоящее же время дело обстоит как раз
лаоборот. Закон составления производных высших порядков для sin χ проще, чем для
arcsin χ, и поэтому первая строка очень просто находится по формуле Маклорена:
f(x)=f(0) + xf(0)Jr^jr(0)+ ...
Вывод же второй таким путем труднее.
Формулу для cos χ Ньютон вывел очень громоздко на основании того, что
cos χ = ]/ 1 — sin2 χ. Теперь никто так не будет поступать.
35. Неполная и полная математическая индукция1. Несколько
слов о неполной ж полной математической индукции. Индукция имеет место и
заключает от частичного к общему, когда некоторое свойство Ω усматривается в видах А19
А2,.. ,,Ап и на основании этого приписывается роду А, относительно которого вообще
неизвестно, заключает ли он еще другие виды. Это — обычная форма заключения
в естествознании. В математике такое заключение не может быть признано строгим.
Неполная индукция обращается в полную, когда мы заключение делаем от всех
видов, включающихся в А. В математике представляется иногда возможным, доказав
какое-либо свойство для части видов, перенести его и на все, пользуясь так
называемым принципом полной математической индукции, состоящим в следующем: если
положение верно для значения w = l и, будучи верно для п, будет также верно для
w-j-Ι, то положение верно и для всех значений п.
Ньютон нигде не пользуется этим принципом. Он всегда удовлетворяется
только ссылкой на аналогию.
Нельзя, конечно, считать, что налицо здесь лишь заключение по неполной
индукции. Здесь имеется в виду очевидность последовательного образования из каждого
члена последующего члена. Требование полной строгости заставило бы нас при
нахождении (а?ю,)(я) применять принцип полной математической индукции и из
(яГ){п) = т(т— 1)...(т — п-\-1)хт~п
выводить
(хт){п+1) = т О — 1) ... (т — η +1) (ж — п) χ™~η~\
= #-j-
1 х*
2 3
2 -4
3 х[
' ~5
+1
3 -5 х1
2·4·6 7
1-2-3
*3+т
2-3-4-5
О)
(2)
1 Brtinschvicg, Les · etapes de la philosophie mathematique, стр. 481; Franc. Maurolico,
Arithmetici libri duo (написано в 1557, опубликовано в 1575); G. Vacca, Sur le principe d'induc-
~tion mathematique. (Bull. amer. math. Soc, 1909). Об индукции вообще см. Д. С. Миллъ. Логика.

284
КОММЕНТАРИИ
Но Ньютон здесь просто подчеркивает аналогию, т. е. тот очевидный факт, что при:
всяком диференцировании по основной формуле для хт происходит понижение на
единицу показателя и умножение на этот показатель. Основанный на применении
принципа полной математической индукции (сперва не вполне сознаваемого и
остающегося без точной и определенной формулировки) метод обычно приписывается
Якову Вернулли 1, который применяет его, как это и обычно теперь делается, к
доказательству, основных формул комбинаторики.
М. Кантор отмечает неправильность этого взгляда, находя этот метод не только
у Лейбница 2 и у Ньютона (с чем я не могу согласиться), но и у Паскаля 3.
Обоснование рассуждений по принципу полной индукции, как справедливо
замечает Пуанкаре 4, сводится к заключению из бесконечного ряда силлогизмов и
могло быть признано только, когда математическая мысль вполне свыклась с
бесконечными операциями и установила постулаты, определяющие получение определенных
результатов с помощью этих операций. Следует хорошо вдуматься в цитируемые
Брэншвигом слова из Лейбница (цит. соч. стр.204) „Если... при продолжении
разложения предиката и при продолжении разложения субъекта, никогда не может быть
доказано их совпадение, но и... не получается противоречия, то предложение
следует рассматривать, как возможное. Еели же ясно из такого хода к решению, что дело
приводит к тому, что разность между теми, что должны совпадать, будет меньше, чем
всякая данная величина, то следует признать доказанным, что положение верно".
Здесь вполне определенно признается возможность бесконечных логических операций.
Теорема признается, если мы можем дать актуально бесконечный ряд доказываемых:
друг за другом положений, которые все ближе и ближе подводят к истине.
Заметим, что Рессель5 и другие логисты, формулируя принцип полной
математической индукции в форме: „Если какое-либо свойство верно для 1 и если
установлено, что оно верно для w + l, когда оно верно для щ то оно верно и для
всякого целого числа", возводят его в определение конечного числа. Для современной
мысли это обычный прием — возведение аксиом и недоказываемых положений в
определения. Но этим, конечно, актуальная бесконечность не упраздняется. При таком
определении конечные числа мыслятся как принадлежащие к бесконечному классу чисел,
при этом таких, для которых принцип полной математической индукции имеет место.
36. Разложение ех. Ньютон обращает ряд
вряд
1 Acta Enid. 1686, стр. 360, Jac. Bernoulli, Opera 1, № 24, Ars. conjectandi, стр. 93. См.
Cantor, т. Ill, стр. 341.
2 Generales Inquisitiones de Analysi notionum et veritatum 1686, § 66; Brunschvicg, Les
etapes etc., стр. 204.
3 Pascal, Triangle arithmetique 1665.
4 А. Пуанкаре. „Наука и гипотеза".
5 В, Russell, The principles of Mathematics; его же Einfiihrung in die Math. Philosophie,.
Miinchen 1921.

К «АНАЛИЗУ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ»
285
Он мог бы сказать, что переходит от разложения
к разложению
0 = In (!+#) = # 9-#а + -о-#3 — -τχ4ί
'-1—Г+Т-+Т-+-
только тогда, если бы он употреблял 1) знак логарифма и число β и 2) степени
с иррациональными показателями. Ни того, ни другого у него нет.
37. Кривые геометрические и механические, трансцендент-
лые и алгебраические. Деление кривых на геометрические и механические
не вполне соответствуют делению на алгебраические и трансцендентные. Это деление
не по существу, а только по форме задания. В первом случае даются методы
построения точек кривой, а во втором кривая дается как траектория точки, движение
которой определяется некоторым образом. Но, конечно, одна и та же кривая может быть
определена двояко и механическая кривая может свестись к геометрической. Это
деление кривых аналогично делению функций на явные
я деявные. Такое деление кажется впервые
выдвигается Декартом в „Геометрии". У Ньютона есть
тенденция понимать под механической кривой такую, при
которой геометрическое определение или исключается
или же трудно достижимо. Лейбниц г называет
алгебраическими кривыми те, которые выражаются
уравнением определенной степени. Ранее он употреблял вместо этого другой термин:
аналитическая кривая. В Geometria recondita он вводит для неалгебраической кривой
термин — трансцендентная кривая.
38. Циклоида. Известную кривую, описываемую точкой окружности,
катящейся по прямой, Ньютон, как и Роберваль2, называет не циклоидой (по
Галилею), а трохоидой. Паскаль ту же кривую называет рулеттой 3. Ордината (по-на
шему абсцисса) точки I по определению пдклоиды равняется дуге DI (фиг. 1) и
DI = К Η (если I точка на касательной GH). GH равно всей полуокружности ΗΚΑ
и поэтому DK равняется дуге КА. Вывод параметрических уравнений циклоиды
можно найти в курсах анализа, читатель и сам может найти параметрические
уравнения
х = а(1 — cos φ), (1)
у = а(о — sin φ);
(2)
1 De dimensione figurarum, Mathemat. Schriften, т. 5, стр. 228.
a Boherval, De trochoide. Mem. de Г Acad, de Se. de Paris, т. 6, стр. 361—382; Traite des
indivis., стр. 328. См. также Descartes (письмо к Мерсенну от 1638), Oeuvres, ed. Adam et
Tannery, т. 2, стр. 135, 257; так же Torricelli, Opera Mathematica, 1644; Fermat, Oeuvres, т. 3,
стр. 144; Wallis, De Cycloide, Opera, т. I, стр. 534—537; Htiyghens, Oeuvres, т. 2,стр. 335—343.
3 Pascal·, Traite generate de la roulette, Oeuvres, ed. Hachet, стр. 34.

286
КОММЕНТАРИИ
у Ньютона ,, ч
J у = а (1 — cos φ),
χ = α (φ — sin φ).
Исключая φ из (1) и (2), получаем уравнение
а — χ V2ax — #2] /о\
у = а\ arccos . [?}
' = α
По Ньютону это механическая, по-нашему трансцендентная кривая. Ньютон,
конечно, не мог уравнение ее выразить в форме (3).
Обратили внимание на эту кривую Николай Кузанский в 1454 г. и Галилей
в 1590. Первый занявшийся ей был Роберваль. Самый важный результат Робер-
валя — это определение площади циклоиды в 1634 г.
Кривая эта замечательна тем, что принадлежала к числу тех, на которых,
так сказать, испытывались различные методы проведения касательной сперва
Декартом и Робервалем, затем Ферма.
Спрямление циклоиды производится в 1658 г. Вреном (или Реном, Wren).
Исследования Роберваля в, высокой мере пополняются Паскалем в 1658 г.
Он определяет площадь не только всей циклоиды и ее сегмента, но и поверхность и
объем, образуемые ее вращением и т. д.
39. Квадратриса Динострата. Это типичная с ньютоновской точки зрения
механическая кривая, определяемая как траектория точки. Движение здесь образуется
из 1) вращения AD вокруг А, 2) параллельного передвижения BD. Геометрическое
место точек пересечения этих движущихся линий и является квадратрисой.
Полагая АВ = х, мы получаем
4. Х
y = XCtg—.
По-нашему кривая эта трансцендентная, так как χ ctg χ не определяется
алгебраическим уравнением (хотя бы в силу существования особенной точки ctg о? на со).
История кривой тесно связана с знаменитыми проблемами трисекции угла и
квадратуры круга. Она употреблялась Гиппием (V в. до н. э.) для решения первой иа
этих проблем, а позже Диностратом и Никомедом (IV и II вв. до н. э.) для решения
проблемы квадратуры круга, почему ее и назвали квадратрисой г.
К этой кривой Роберваль прилагает свой метод проведения касательных.
Касательной к квадратрисе занимаются также Гюйгенс 2 и Валлис3.
Термин квадратриса употребляется во времена Ньютона (в особенности
Лейбницем) в очень широком смысле кривой, с помощью которой определяется площадь
кривой y = f(x); именно такая кривая определяется уравнением
χ
Y=ff(X)dX.
о
1 Prodi Comment, lib., 3, 4; ΡσρρΙ Collect, lib. 4, стр. 33 — 34; Teioceira, Traite des courbes
speciales, т. 2, стр. 39.
2 Oeuyres, т. 10, стр. 446.
3 Opera, т. 2, стр. 401.

К «АНАЛИ8У С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ:
28Т
Ньютон применяет к исследованию квадратрисы ряды. Еде в своем письме к Оль-
денбургу от 13 июня 1676 г. он выражает рядами, расположенными по степеням хг
ординату, отрезок оси OY, площадь и дугу квадратрисы Динострата.
40. Следует заметить, что в этой работе задача о касательных не
рассматривается. Читатель найдет ее в „Методе флюксий".
41. Ньютон и интуиционисТчЫ г. Это место тоже имеет очень большое·
значение для суждения о взглядах Ньютона на актуальную бесконечность. В его
глазах она существует как конечное, но только нами не воспринимается и не может
быть выражена. Иррациональный корень также существует, как рациональный, и
указать все знаки после запятой нельзя только потому, что их бесконечное
множество. Обладай я бесконечным умом, я мог бы их дать, как даны все небесные
светила в актуально бесконечной вселенной.
Невозможно не само выражение вообще, а точное выражение в числах (разумея
под числом, конечно, только число рациональное). Взяв для π значение 3,1415926,
мы еще не в состоянии его отличить от другого рационального, отличающегося от
него в 8, 9, 10 знаках, нам пока неизвестных. Эта точка зрения, конечно,
диаметрально противоположна точке зрения современных прагматистов или интуициони-
стов, которые признают в математике только то, что можно построить конечным числом
операций. Непротиворечивость для них постольку лишь является признаком
математического существования, поскольку последнее может быть установлено конечным
числом действий. Для интуиционистов существование становится выразимостью с
помощью конечного числа действий.
42. Теория флюксий в трудах других ученых2. Анализ бесконечно
малых у Ньютона является теорией флюксий, таковым он является и у авторов
некоторых книг, изданных до опубликования ньютоновского „Метода флюксий" (1736), но
после опубликования „Математических начал натуральной философии". Такова работа
Чейна (1703), затем следует Диттон (1726). Позднее сторонниками теории флюксий
были Маклорен (1742), Меерман (1742), Симпсон (1750) и др.
43. Приготовление отличается от самого доказательства тем, что в первом,
берется пример числовой, во втором же буквенный.
44. Мы скажем: взяты прямоугольные координаты
АВ=х и BD = y.
45. Можно сказать, что то, что здесь дает Ньютон, это — первая формула·
интегрального исчисления в форме:
/s 7 MX
ах ах = ——-;
5+1
О
ι В. Baldus, Foimalismus und intuitionismus in der Mathematik, Karlsruhe 1924.
2 Cbeyneus, Fluxionum Methodus; Ditton, Institution of fluxions; Mac-Laurin, A Treatise
of fluxions; Meerman, Specimen calculi fluxionalis; Simpson, The doctrine and application of
fluxions.

~28S
КОММЕНТАРИЙ
второй у него является:
X XXX
I [f(x) Η" 9 0*0 — Л (%)] dx = f f(x)dx-\- I g (x) dx — Γ h (x) dx.
О 0 0 0
Так как он „интегрирует" только степенное разложение, то другие формулы' ему не
нужны. В качестве первой задачи им выдвигается не прямая задача о касательных^
η прямая задача о площадях, и поэтому можно сказать, что первыми у Ньютона
являются формулы интегрального, а не диференциального исчисления.
YYh ■11 η
Ньютон вместо одной буквы s берет ———, где т и η всегда означают
η
целые числа. Все доказательство он ведет для рациональных показателей.
Иррациональных показателей у него еще нет.
46. Формальные операции Ньютона1. Ньютон сделал бы лучше,
если бы выше вместо примера
2 ±
о
взял просто
(1)
Тогда можно было бы еще проще выяснить сущность его метода.
Предполагается, что в момент времени χ изменяется на о (это не нуль,
а актуально бесконечно малая величина, так сказать, около нуля). Обращаю внимание
читателя, что это о в „Методе флюксий" имеет уже другое значение — это момент
времени.
Мы здесь еще флюксии не имеем. Это, можно сказать, диференциальное
исчисление без производной.
В то время когда χ переходит в χ -f- о, ζ переходит в ζ -{- о · у. Почему?
Ньютон это в настоящей работе разъясняет недостаточно. Следует думать,
что, стоя здесь еще ближе к Кавальери, чем к теории флюксий, он определяет
площадь входящего прямоугольника, просто умножая основание на высоту. Далее,
подстановка дает:
(# + о)8 = я-|-о-2/, #3-f 3^2-o + 3^-o2 + o3 = ^-f оу. (2)
Вычитая уравнение (1) из (2), имеем
Зх2 · о + Ъх · о2 + о3 = о · У-
Сокращад на о:
3#2 + 3#· o-f-o2 = y.
Далее следует применение принципа исчезновения бесконечно малого перед конечным;
как Зх · о, так о2 просто вычеркиваются и пишется Зх2 = г/.
Этот принцип еще до Ньютона вполне определенно выставляется Ферма в его
формальных операциях.
1 Cantor, т. 3, стр. 169; о формальных операциях Лейбница см. Cantor, т. 3, стр. 191
Leibniz, Mathemat. Schriften, т. 5, стр. 220 — 226.

К «АНАЛИЗУ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ» 289
Максимум функции χ (α — χ) Ферма находит таким образом; в максимуме и
минимуме функции имеет место стояние, равенство значений двух смежных величин:
(х + Е) {а — χ — Е) = χ (а — х).
Произведя сокращение на Ε (которое означает у Ферма бесконечно малое увеличение
неизвестного) и затем просто вычеркивая члены с Ε и £2 и т. д., мы получаем
решение. Ньютонов нулик играет совершенно ту же роль, что ферматовское Е. Но я
должен ввести некоторый корректив.
Ньютон пишет здесь не ζ -f- о · у, как он это делает в теории флюксий, а ζ -f- о · ν
и затем уже приравнивает ν ж у.
С психологической точки зрения это очень интересное место. Перед Ньютоном
открывались два пути: 1) к его понятию флюксии и 2) к даламберовскому понятию
предела г. Его могучий ум стоит перед препятствиями, которые мы не можем
прочувствовать, так как у нас уже нет тех окристаллизовавшихся понятий, которыми
должен был быть пропитан ум Ньютона, как принадлежащий этой эпохе.
Он заставляет (во времени) уменьшаться основание входящего
прямоугольника до бесконечности, но бесконечность у него, как у ума этой эпохи рационализма,
не может мыслиться только в возможности, она достигается, о не стремится к нулю,
а, достигая нуля, становится, наконец, им. Как будто, ν у Ньютона готовится стать
пределом у и ζ-{~ον приближается к z-\-oy, как к пределу, но в конце концов о
делается нулем. И здесь возникает серьезное затруднение: если о нуль, то и
прямоугольника уже нет и выражение о · у, как будто, теряет смысл. В теории флюксий
Ньютон идет по другому пути, представляющемуся ему более обоснованным.
47. Обратная задача о площадях. Здесь идет речь об обратной
задаче о площадях 2, т. е. об определении кривой по выражению площади
криволинейной трапеции с помощью юординат, которое решается диференцированием, в то
время как прямая задача о площадях решается интегрированием.
В нашем обозначении первая задача решается по формуле
dS
вторая по формуле
χ
S== I ydx.
δ
Можно понимать эти задачи и в более широком смысле определения по
свойствам площади — соответствующей кривой и по данной кривой — свойств ее пло-
1 См. статью Даламбера „Lim'te" в Encyclopedie ou Dictionnaire raisonne des sciences,
т. IX, 1765; см. мою статью „Генезис и история теории пределов", Известия
Северокавказского государственного университета, 1928, т. 3 (15).
2 Ср. Лейбницев Methodus tangentium inveniendi, 11/XI 1673, в приложении к Gerhardt,
Entdeckung der hoheren Analysis. Большое значение при изучении истории идей Лейбница
имеет его Historia et origo Calculi Differentialis (издано отдельно Гергардтом в 1846 г.).
1$ Зак. 3296 —Ньютон.

290
КОММЕНТАРИИ
щади, так же как и прямую задачу о касательной, как определение свойств
касательной для данной кривой, и обратную, как определение кривой по свойствам
касательной. Прямая задача о площадях сводится к обратной о касательных, обратная —
к прямой задаче о касательных.
48. Ньютонов екая флюэнта и л ейбнпцев ское „опте". У
Ньютона нет интеграла как суммы бесконечного числа бесконечно малых элементов..
Его флюэнта — это первообразная функция, производная которой равна заданной
функции. Не мысля площадь криволинейной трапеции как сумму бесконечно малых
элементов, он доказывает, что ее флюксия равна ординате. И здесь Лейбниц гораздо
дальше отстоит от Ньютона, чем это может показаться на первый взгляд. В технике
формальных операций оба математика находятся друг к другу гораздо ближе, чем
в отношении идей. В противоположность Ньютону у Лейбница вполне определенно
выступает уже очень рано примитив интеграла как бесконечная сумма общего вида.
Именно у него получает развитие точка зрения анализа бесконечно малых на
конечную величину как сумму бесконечно большого числа бесконечно малых. Под лейбни-
цевское omne (которое потом обратилось в II1) подводятся все суммы,
рассматриваемые Кавальери, причем суммы эти рассматриваются не только в их отношениях,
как у Кавальери, но и сами по себе в отдельности.
Отпё, которое затем обращается в / // сперва остается еще суммой линий,
как у Кавальери, I здесь еще Нпеае Кавальери 2, а не бесконечно малые входящие
или выходящие прямоугольники.
В противоположность Ньютону у Лейбница криволинейная трапеция не
описывается во времени движением, а состоит из отрезков, которые мыслятся как
бесконечно малые элементы, на которые она разлагается.
В трех формах обозначения ll, I — и I Idx мы можем прощупать
следующий ход мысли.
В первом через I обозначается элемент-линия, и она мыслится в квадратной
мере. Лейбниц здесь еще стоит вполне на точке зрения Кавальери.
Во втором / еще мыслится в квадратных мерах, но как прямоугольник с
высотой, равной ордирате, и основанием, равным 1, а означает здесь актуально
бесконечно большое число, на которое делится /.
В третьем I мыслится в линейной мере, это — высота прямоугольника,
основанием которого .является диференцяал х, обозначаемый Лейбницем через dx.
Лейбниц уже очень рано намечает формулы общего характера, относящиеся
к отпе или интегралу, вроде:
/а1 I'/'-//'■
1 Gerhardt, Entdeekung etc. § 36; Leibmis, Analysis tetragonistica etc. 25, X 1675 (приложение
к Entdeekung).
2 Cavalieri, Goom. indiv., а также Gerhardt, 1. с , стр. 20.

К «АНАЛИЗУ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ)
291
В дальнейшем ньютоновская точка зрения на интеграл обычно берет верх.
Стон г в своем подходе к анализу вообще ближе к Лейбницу, он является продолжателем
Иогана Бернулли и Лопиталя, но интеграл выражает у него количество, диференциал
которого есть данный элемент 2.
49. Доказательство сходимости решения. Здесь мы снова
наталкиваемся на выражение, из которого ясно, что Ньютон мыслит достиоюение предела
в бесконечности.
Он собирается доказать, что результат, полученный его методом, отстоит от у
на величину, меньшую всякой данной, и продолженный до бесконечности,
становится равным ему.
Исходит Ньютон из первого положения X книги Эвклида 3.
То, что дает Ньютон, не представляет доказательства сходимости в нашем
смысле. Это скорей доказательство сходимости к данному числу 4, причем и в этом
отношении сходимость понимается не в нашем смысле.
Следует помнить, что в глазах Ньютона и его современников все ряды имеют
какое-то значение; ряды, расходящиеся в современном смысле, для которых операции,
производимые над сходящимися рядами, являются недозволенными, в то время еще
не мыслятся.
Но Ньютон в положении Эвклида видит, конечно, то, чего сам Эвклид не видел
и не мог увидеть. Но Эвклиду, если из А отнять половину А, из V2 А отнять */4
А и т. д„ то, продолжая таким образом, можно получить величину, которая окажется
меньше всякой данной.
Но что она исчезает, наконец, если действия продолжать бесконечно — этого
у Эвклида, как и вообще у античных математиков, не может случиться, так как
они актуальной бесконечности не признавали.
Если в ряду Ах 4-^2 + ^з+ ·· · -^ι есть половина А2-\- As-\- ..., А2
половина Аъ-\-А±~\- ..., то мы как раз оказываемся при условиях 1 положения книги X
Эвклида.
Это будет в том случае, если
1 _ 1 Л __1^ 1 , _J_
Λι — γ > •^•2 — ^' 3 — 23 9 -^4 = 24 ' ' ' ' ' п — о4 У
1 Stone, An. des inf. petits, 1730.
2 История интеграла очень благодарная тема для исследования. Интересно проследить
в ней борьбу ньютоновского (интеграл — первообразная функция) с лейбницевским
направлением (интеграл — предел суммы). Проф. М. Я. Выгодский в- своем интересном методическом
опыте нового подхода к началам анализа стоит на второй точке зрения. Как у Лейбница
у него сперва имеется сумма, потом разность, сначала интеграл, затем диференциал (М. Вы~
годский, Основы исчисления бесконечно малых, 1932).
3 Эвклид, Начала, кн. X, пол. 1. Если от данной величины отнимем часть, большую ее
половины, и от остатка отнимем часть, большую его половины, и будем продолжать такое
действие неопределенно, то, наконец, получим такой остаток, который будет менее какой
угодно малой данной величины.
4 В этом смысле следует также понимать и лейбницевский термин advergentur; LeibnL,
Mathemal Schriften, т. 3, стр. 923.
19*

^292
КОММЕНТАРИЙ
.как это нетрудно проверить, если принять, что
2 ' 22 ' 23 ~ ""' '
т. е. вообще принять формулу для суммы бесконечно убывающей прогрессии
1
= 1 + Я + Я2···* (1)
ι
и положить в ней q =
1-Я
1
"2"'
К этому простейшему случаю Ньютон предлагает приводить и другие. Но
доказательство для формулы (1) Ньютон может дать лишь делением 1 на 1—q, т. е.
постулируя, что TaKje деление дает результат, который по умножении на 1—q дает
единицу, т. е. разрешая себе производить операции над рядами как сходящимися,
так и расходящимися.
Одним словом, все это „доказательство сходимости" Ньюгона сводится к тому,
что в частном случае доказывается, что, если
£ = ^ + 42 + Л+...> (2)
то разность S—Sn можно сделать как угодно малой, т. е.
\S — S»\<4. (3)
Ньютон из (2) выводит (3), мы же, наоборот, из (3) выводим (2).
Но в дальнейших рассуждениях Ньютона мы видим эмбрион вывода сходимости
степенного ГРяДа И8 сходимости ряда с более простыми членами. Эга мысль лежит
в основе установления понятия о круге сходимости степениjro ряда. А именно Ньютон
берет ряд
X -{- X2 + хд + . . .
1 1 m
при х— —, а затем при χ положительном и меньшем — . Так как здесь *
Δ Δ
и при X <
Δ
ι—χ
ι
хк
< 2х,
1 —χ
то в новом ряде остаток будет уже меньше, чем в первом, и мы еще скорее будем
доходить до величины, меньше любой заданной.

К «АНАЛИВУ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ»
29а
Кастилъон считает, что выражение пх superest—"—опечатка. Я думаю, что это
недостаток оборота речи самого Ньютона: „ж превосходит —" имеет два смысла: при# —
дополнении и —«подлежащем, и обратно. В настоящем случае верно первое, неверно
второе. Я счел необходимым во избежание такого недоразумения поставить в переводе: χ
1
меньше, чем —.
А
За этим можно было бы ожидать вывода сходимости одного ряда путем
сравнения с другими, но его нет, да и быть не может. Ньютон, повторяю,
рассматривает сходимость лишь к определенному пределу, а не сходимость как свойство
существования предела ряда, а для этого вопроса такое сравнение уже не имеет
значения.
Ньютон сворачивает с пути, по которому он начал итти, и приведенное выше
рассуждение о бесконечно убывающей прогрессии оказывается излишним.
Что у = а -\-р -f" Я. + · · · эт0 следует из того, что
1 1 х%
у = а+р = а — — x + q=a — т *-f_+г,
причем этот процесс мыслится до бесконечности, и в бесконечности результат этот
верен.
Сходимость просто следует из того, что _р, q, г .. . убывают и делаются как
угодно малы. А это следует из того, что в то время как коэфициент при высшей
степени остается тем же, свободный член, выражаясь через все более и более высокие
степени х, убывает.
Если последний член некоторого уравнения, говорит Ньютон, беспрерывно
убывает, пока, наконец, не исчезает, то один из его корней также убывает, пока не
обращается вместе с последним членом в нуль. Следует правильно понимать последнюю
фразу Ньютона; он приглашает убедиться в правильности его утверждения простой
формальной подстановкой вместо у получаемого выражения. Здесь бесконечное
продолжение результата является корнем уравнения. С точки зрения Ньютона возможен и
такой ряд, что суммы, составленные из его членов, не приближаются как угодно близко
к его значению* и тем не менее представляют корень уравнения.
50. Ε истории сходимости рядов. Лагранж * для реального
представления какой-либо величины при помощи ряда вполне определенно требует ее
сходимости в конце (il faut qu'elle soit convergente a son extremite), т. е. бесконечной
малости ее последних членов (вернее сказать, суммы этих членов). Вольцано первым,
а за ним Коши 2 (которому не были извествы неопубликованные работы этого
философа) сформулировал условия необходимой и достаточной сходимости ряда. Затем Коши
1 Oeuvres, т. 3, стр. 61.
2 Cours α'Analyse de l'Ecole Polyt echnique 1821, Oeuvres, 2 serie, t. 3.

294
КОММЕНТАРИИ
устанавливает важные теоремы о рядах е вещественными и мнимыми членами. Понятие
о равномерной сходимости рядов с членами, зависящими от х, устанавливается Зейде-
лем * и развивается Вейерштрассом.
КОММЕНТАРИИ К „МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ"
51. Виды. Вполне ли правилен перевод Algebra speciosa2 — буквенная алгебра?
Конечно, Species это — вид, а не буква, но может быть по существу видовая алгебра
совершенно то же самое, что буквенная? Если бы это было так, то Algebra speciosa
противополагалась бы не числовой алгебре — Algebra numerosa, — а цифровой. В слове
Species подчеркивается не обозначение, а общность содержания алгебры. Можно
мыслить видовую алгебру не только как символическую, но и как риторическую,
выражающую не в буквах, а в словах содержание формул. В формуле вроде
(α + δ)2 = α2+2а& + Ь2
буква является скорее характеристикой. Лейбниц следующим образом определяет
характеристику: вещь, которая представляет взаимоотношения различных вещей, с которыми
легче оперировать, чем с этими вещами.
Ньютон понимает характеристику еще шире в смысле вообще символов как
самих вещей, так и их взаимоотношений. Он указывает, что различие алгебраического
вида и числа состоит в том, что в первом характеристики означают общее — виды,
во втором же — частные определенные числа; характеристиками в последнем случае
являются цифры, в то время как в первом — буквы.
Но, конечно, ничто не мешает буквы заменить другими символами. Вместо
(а -j- bf· = а2 -\- 2аЪ -J- Ъ2 можно писать:
[(1) + (2)Р = (1)2 + 2(1)(2) + (2)^
обозначая через (1) первое, а через (2) второе число.
52. Меркатор3 иВаллис4. Меркатор в своей „Logarithmoteclmica" дает
впервые разложение
1п(1+.т) = .г-^ + ^1- ... (1)
Если привести вычисление логарифмов к квадратуре, т. е. к определению
площади, а последнюю к интегралу в современном смысле, то вывод формулы (1) сводится
к разложению ч
—;— =1 — а + а2 — а15 -4- . . .
1 + а ' '
а* а* а* .
т+т—г+ - " ( }
1 Abhandlungen der Miinchener Akademie, т. 2, 1848; Ostwald's Klassiker, № 166.
2 \ ieta, In artem analyticem Isagoge, 1591 и другие его работы; Д". Мордухай-Болтовской.
Первые шаги буквенной алгебры, Изв. Северокавказского Госуд. университета за 1928.
3 Mercator (Kaufmann), Logarithmoteclmica, 1668; Cantor, т. 3, стр. 57.
4 Wallis, Arithmetica infinitorum.
и почленному интегрированию
а а
I = ι (1 — а ~\~ а? — άλ -f- . . .) da = а —

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ» 295
т. е. к тем операциям, которыми Ньютон пользуется в „Анализе с помощью уравнений
с бесконечным числом членов".
1
Что I xmdx = —-—-, т. е., говоря на языке того времени, что площадь криво-
о
линейного четырехугольника, определяемого параболою у = хт, осью ОХ и ординатой,
равна ——г, знали задолго до Ньютона.
Валлис находит площадь кривой
y = a1xWl + a%xfn*+ . . . а^х"ь*, (3)
замечая, что площадь такой кривой сводится к сумме площадей парабол
ij = a5xmK
Меркатору принадлежит идея (получающая дальнейшее развитие у Ньютона)
сведения f (χ) к сумме бесконечного числа степенных функций и оперирования с
последними так, как с конечным числом функций. Но он получает такое выражение для f(x)
только делением, располагая знаменатель по восходящим степеням х.
Так же как получено разложение , можно получить и степенные разло-
JL —— X
жения:
1 1 + 2#
1—я+За;2 ' 1-\-х — Ьх — Ίχ*
ж т. п. и определить площади кривых:
(1 — χ + Зх*) у=1, {1+х — Ьх — 1х*)~у = 1 + 2а?.
Ньютон вместо рациональных дробей берет алгебраические функции общего вида,
т. е. определяемые уравнением
j = Q
тде <Oj(x) — целые многочлены от х. Получение разложений по степеням χ требует
особых методов, неизвестных Меркатору и Валлису1.
53. Видовая арифметика. Для нашего уха выражение видовая (или
буквенная) арифметика звучит очень нехорошо.
Мы говорим буквенная алгебра, а не буквенная арифметика. Но Ньютон здесь
отделяет главную часть буквенной алгебры, трактующую об уравнениях, от той части,
которая занимается действиями над одночленами и многочленами. Следует отметить
что согласно сделанному мной разъяснению я говорю буквенная, а не видовая
арифметика, как требовал бы дословный перевод.
1 Wallis, Arithm. inf.; его же, Logarithmotechnica в Phil. Trans. 17/VIII 1668; см. также
Gregory, Appendiculum ad veram Circ. et Hyp. Quadraturam; N.Mercatoris Quadratura etc. в Exercit.
Geometricae; Cantor, т. 4, стр. 63.

296
КОММЕНТАРИЙ
54. Сложные величины. Complexus — точный перевод „сложный" —
слово несколько неопределенное. Ньютон, конечно, разумеет нечто более определенное-
как под словом „простой", так и под словом „сложный", которое я заменяю иногда словом
„составной". Простой член (terminus) или, лучше сказать, выражение, это — одночлен,,
составной — не только многочлен, но и выражение, содержащее корни многочлена.
Простыми выражениями будут, например
οχψ, -^-, 7*У^;
У £3
выражениями с составным знаменателем:
2xsif 4х V~z
„Приведение сложных величин" по нашей терминологии — это разложение в
степенные ряды. Но здесь необходимо иметь в виду, что наше понятие разложения
в степенной ряд не вполне совпадает с меркатор-ньютоновским разложением в
бесконечную сумму степеней аргумента. Я уже не говорю о том, что мы это разложение
понимаем не только как формальное, а требуем еще его сходимости.
Мы всякое степенное разложение берем обычно по целым степеням χ или же
по целым степеням хш. Меркатор же и Ньютон требуют только актуально
бесконечного числа членов вида аахш$, чтобы возможно было потом почленное интегрирование^
при этом они фактически постулируют возможность такого оперирования с
бесконечным рядом.
55. Различные формы формулы бинома. Полученный здесь результат
представляет собой частный случай так называемой формулы бинома Ньютона.
Доказательства ее нет в этой работе. Оно находится в. письме к Ольденбургу
от 24 октября 1676 г. *.
Заметим, что Ньютон не пишет разложение
(1+^)W=1 + T^H V1<2 'a;g +
а указывает только закон образования коэфициентов в разложении (1 — х2)т.
А, именно, он говорит, что коэфициенты получаются через беспрерывное умно-
оюепие членов ряда
т — О ч , т — 1 v , т — 2 т — 3 т — 4
-γ— X -Т- X -з— X —£- X —г- π т. д.,
так что коэфициент при х2 есть
иг —О
Ϊ '
Имеется в настоящем собрании, стр. 233.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ» 29Т"
при х* есть
т — О т-
; X'
2 '
при xQ есть
т — О v, т — 1 v х т — 2
-^Х-^-Х-З— ит.д.
Ольданбург в своем письме к Лейбницу дает формулу в виде:
В. JUL т т — η __ , т — 2п _^
P-\-PQ" = P" + —AQ-] ^—Щ-V Sn CQ ит.д.,.
а сам Лейбницх — в виде, близком к современному:
ρί+ΐ νε+-*=£.φΑ-'+ °"-3n.t,. 2°"2 β*·"· · ■ Пут**
56. Число знаков при определении приближенного решения
уравнения. Это темное изложение требует разъяснения. Ньютон получает
приближенное уравнение
U+0, а±а2а3 ... αξ+η)+(Б + О, δχ&2... 6η)τ + (Ο + 0, cA...c,)t* + ... = 0,
где -4, Д С — целые числа.
В этом уравнении он должен брать все члены с одной степенью приближения..
Пусть
г _о Ρ Ρ . Ρ ρ ρ
От перемножения
имеем:
Ο,δ^... &η на 0,000... Рш...Рп
0,000... βΛ...β8...βη+υι.
Для того чтобы первый член содержал то же число знаков после запятой,,
необходимо, чтобы т)-}-яг = Ι + η, т. е. £ = т.
Для того чтобы второй содержал то же число знаков, что третий, необходимо,
чтобы
$-]_η = ζ-]-2ξ, т. е.
£ = η — ζ И Т. Д.
57. Поправка в таблице. Тот же пример имеется и в\ Анализе с помощью
уравнений с бесконечным числом членов"; при этом таблички в двух работах
отличаются между собой. В „Методе флюксий" исправлены цифры во второй и третьей
строке. Затем в объяснении указывается экономический прием, позволяющий
исключить лишние цифры в последнем прямоугольнике.
1 Письма Лейбница Ольденбургу и Ольденбурга Лейбницу, Leibniz, Mathemat. Schriften,. т. L.
стр. 100. См. также выше стр, 218.

298
КОММЕНТАРИЙ
58. Место и цифры. Ньютон кружками назървает нули. Не все цифры у него
знаки. Нуль не означает у него члена, поэтому он не является знаком.
59. „Корневые виды". Перевод термина Species radicalis через
„вспомогательное известное" был бы очень вольным. Дословно он означает корневые виды. Такой
перевод, конечно, режет ухо, но зато означает то, что хочет выразить Ньютон. Виды могут
быть известные (datae) и неизвестные (indefinitae), и таким образом, если вид,
определяемый уравнением, представляет его корень, то он—корневой вид. Ниже этот
термин часто переводится через „буквенный корень".
60. Это выражение неясно. Здесь сравниваются не члены с (х, у) между собой,
а результаты подстановок в эти члены вместо у его выражения через #, т. е.
у = ах^ + ...
Если член есть* хтуп, то измерение этого члена относительно χ будет не т,
а \т-{-т. Это и есть прогрессия, о которой говорит Ньютон.
Сперва выбираются члены только с χ (п = 0), намечаются степени, а затем
подбирается μ так, чтобы некоторые члены с у оказались меньше остальных. Если
такой член оказывается один, то его присоединяют к тому, о котором сейчас говорилось,
если же μ оказывается таким, что их будет несколько, то, берут их все.
61. Из истории параллело^грама Ньютона. Ньютон только вкратце
изложил сущность „параллелограма". Но еще при жизни его параллелограм появляется
в „Алгебре" Валлиса в форме письма Ньютона к автору от 24 октября 1676 г. Затем
его комментируют Колсон в своем английском издании „Метода флюксий" Ньютона,
Стирлинг * в комментариях к „Перечислению кривых третьего порядка" Ньютона,
Маклорен 2 в курсе алгебры; де Гюа 3 заменяет параллелограм треугольником, и то
же по его примеру делает Крамер 4. Некоторое видоизменение правила параллелограма
дает Тейлор б. В аналитическую форму он облекается Лагранжем 6.
62. Мнимые корни7. Следует отметить, что это уравнение, будучи шестой
степени, должно иметь 6 корней, а не 4, как это сказано у Ньютона.
Для двух оставленных Ньютоном без внимания корней имеем:
у = ± Υ — Sax.
Ньютон их отбрасывает, признавая только вещественные корни уравнения. Впрочем
Ньютон нигде не оговаривается, что а обязательно должно быть положительно. Хотя
1 Stirling, Lineae tertii ordinis Newtonianae, 1717.
2 Maclaurin, A Treatise of Algebra, 1748, стр. 261. Маклорен называет метод
параллелограма вторым общим методом рядов Ньютона.
3 de Gua, Usage de l'analyse de Descartes, 1740; о нем Cantor, т. 3, стр. 577.
4 Cramer, Introduction a l'analyse des lignes courbes algebriques, 1750.
5 Taylor, Methodus incrementorum, prop. 9, 1715.
6 См. также, Kastner, Anfangsgriinde der Analysis endlicher Grosse, Gottingen, 1744, стр. 469;
S. Gunther, Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der Mathematik, Leipzig, 1876, стр. 136 —
181; Beiff, Geschichte der unendlichen Reihen, стр. 35—57; Cantor, т. 3, гл.. 87, стр. 107.
7 Мнимые корни перестают быть невозможными решениями и подвергаются
исследованию у Даламбера; см. Histoire de Г Acad, de Berlin, 1746, стр. 163 и Reflexions sur la cause
generale des vents, 1746.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
299
Ньютон х и подчеркивает в одном своем письме, что в противоположность Лейбницу
он буквы считает как положительными, так и отрицательными величинами, но здесь
он мыслит, как другие. Если а < О, то придется как раз, наоборот, признать те корни, ·
которые Ньютон отбрасывает, и отбросить те, которые он принимает.
63. Корень и нуль функции. Ньютон часто называет корнем не решение
уравнения f(x)=0, а то значение х, которое обращает в нуль f{x), т. е. то, что мы
называем нулем функции. Это, конечно, настолько же нехорошее выражение, как и то,
^которое употребляем мы, когда говорим: „рациональная дробь с кратным корнем
знаменателя".
64. Лучше сказать—„те степени", которые не должны войти.
65. Здесь налицо полная аналогия с указанным выше правилом решения
числового уравнения (см. комм. 18). Предоставляю самому читателю провести доказательство,
заменяя уравнение (1) (комм. 18) следующим:
ахг+*-\- ... +(&τη+ ...) г+ (***+ ...)г2 + ... = 0.
66. Ньютон говорит об „извлечении"^корня как из числа, так и из уравнения.
Мы же говорим: „извлекать" корень из 2 и „определять" корень из уравнения.
67. Мнимые и невозможные числа. Ньютон говорит не „мнимый",
а „невозможный" (impossibilis) корень. В область чисел он не вводит мнимые числа
и, не признавая поэтому мнимых решений, считает их невозможными.
Кардан считает отрицательные корни fictae — искусственными, а мнимые
невозможными. Этот термин совершенно исчезает, когда комплексные числа получают
полное право гражданства в алгебре. Большое значение здесь имел Даламбер с его
первым (впрочем, не строгим) J доказательством существования у алгебраического
уравнения корня формы p-\-qV — 1 *.
68. Деление корня. „Делю корень на а"—сокращенное ньютоновское
выражение, означающее: „перехожу к уравнению с корнем в а раз меньшим".
Операция эта часто употребляется в современной алгебре.
69. Разложение по степеням (х—а). Ньютон здесь и ниже приходит
к разложению алгебраической функции по степеням (х— а) и —.
1 χ
В формуле Маклорена 2
/■(*) = /(0) + ^) + т^Г(0)+... (1)
/*(0) или /"'(О) могут оказаться мнимые, но в формуле Тейлора
/>·) = /4α) + (*-α)£^ + ^^/"(«) + ... (2)
f(a) может быть вещественной. Если f (х) — функция вообгце вещественная, то всегда
можно подобрать такое а, что операции Ньютона будут протекать в вещественной
области.
1 См. Cantor, т. III, стр. 585—587.
2 О формулах Маклорена и Тейлора см. также комментарий 248.

300
КОММЕНТАРИИ
Ньютон предполагает, что в разложении^) f(a) = 0. Поэтому он принимает
разложение (2) только для корней уравнения f(a) = 0 и определяет число возможных
решений числом вещественных корней этого уравнения.
70. Когда Ньютон говорит „indefinite magna", то это следует понимать не
в смысле актуально бесконечно большого, но и не просто в смысле очень большого.
Это неопределенно большое в том смысле, что оно должно быть велико, но как
велико — это остается неопределенным; границы определяются смотря по
обстоятельствам. И здесь смутно чувствуется необходимость точно установить границу χ как
для сходимости, так и для степени погрешности при вычислении с помощью
разложения.
Теория бесконечных рядов ставит три проблемы: 1) формального разложения,
2) доказательства сходимости, 3) определения степени погрешности при вычислении
с помощью определенного числа членов.
Ньютон разрешает первую задачу, но не выводя общей формулы, каковой
является формула Тейлора-Маклорена. Второй задачи он не решает. Он подходит
к третьей и чувствует необходимость ее решить, но решенпя не дает.
71. Переменное и неопределенное. Большое затруднение представ-,
ляет для перевода слово indefinita, которым обозначается х. Мы говорим, что χ
переменное. Но у Ньютона нет переменного в нашем смысле. Все у него меняется
во времени, универсальным переменным у него является время.
χ — это буква, которая заменяется различными числами, или, вернее, может
быть ими заменена, как только начнет течь во времени. Покуда этого нет, χ остается
неопределенным. На первый взгляд кажется, что это совпадает с ноЕейшим взглядом
на х, при котором χ мыслится как символ множества (значений х). Общее только
в том, что и там и здесь χ мыслится не динамически, а статически, в неподвиою-
носгпи. Но по существу расхожденпе здесь глубоко.
В первом случае χ берется до своего изменения, причем изменение это вполне
определенно; оно непрерывно [проходит через все значенпя, все возрастая или все
убывая и при этом всегда равномерно. Во втором случае никакого изменения нет·
Есть только вполне определенное бесконечное множество, которое может быть весьма
различным. Континуум является только весьма частным его видом.
72. Формула Л а гран ж а 1. Если прием Ньютона, т. е. переход от χ
к χ—а должен привести к формуле Тейлора, то эти приемы можно рассматривать
как содержащие в самом неразвитом виде мысль, положенную в основу известной
формулы Лагратка: 2 = x-{-tf(s)
F(z) = F(x)+ LFWfM + JL· . ±[Р(х)Р(х)] +
,ιι рг-1
+ ■ ·. +-7— J^i [*Ч*)Г (*)] + - - ·
1 · 2 ... η αχ
Histoire de l'Academie de Berlin. 1768, стр. 251; Lagrange, Oeuvres, т. 3, стр. 25.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
301
73. Разложение и мнимые значения функции. Эти рассуждения
Ньютона очень интересны. Если f(x) сугцествует, то
f(jic) = а0 -{- cixx + а2х2 -{-... (1)
Когда же f(x) не существует, то а0-\-а1х-\-а2х2 . . . имеет определенный смысл, но
только уже не может быть f(x), ибо f(x) нет. Если f(x) имеет максимум для# = —-, рав-
ный М, то для. тех значений х, при которых а0 -f- ахх -j- α2#2 -f- ... оказывается
больше ilf, разложение уже неправильно.
Если же само разложение мнимое, то (1) теряет смысл.
Ньютона не смущает то, что при #>а корень Υ ах—хх мнимый, а
разложение вещественное, но дает σο, не смущает, ибо если функция мнимая, то и весь
вывод разложения отпадает. Но при постепенном отвоевании за комплексными
числами прав на те формальные операции, которые производятся над вещественными, это
обстоятельство должно было явиться одним из тех парадоксов, поиски разрешения
которых неминуемо привели к теории сходимости рядов.
74. Роды движения у Аристотеля. Термин -локальное или местное
движение совершенно вышел из употребления. Аристотель понимает движение в очень
широком смысле и движение в обычном смысле, которым занимается механика,
является только одним из его видов. Именно, Аристотель г различает три рода
движения (κινησις), которые мы назвали бы просто изменениями: 1) изменение места
(φώρα), 2) изменение величины — увеличение и уменьшение, 3) превращение (άλλοιωσις).
Первый род движений по схоластической терминологии 2 называется локальным дви-
оюением. Декарт движением называет движение в нашем смысле и определяет его
как перенос тел из соседства непосредственно прилегающих тел, которые мы
считаем находящимися в покое, в соседство некоторых других тел 3.
75. Проблемы первой ступени. Ньютон все геометрические проблемы,
решаемые анализом, сводит к механическим и, таким образом, всякую проблему
рассматривает во времени.
Можно сказать, что его основные проблемы бывают двух ступеней. В конечном
итоге проблемы первой ступени — чисто механические: это определение скорости по
пройденному пути, и обратно — пути-по скорости. Производная, которая у Ньютона
является флюксией, прежде всего есть спорость локального движения,
76.' Время у Ньютона4. Ньютон мыслит χ не как изменяющееся
независимо, а как изменяющееся в зависимости от изменения t. Он еще не в состоянии
мыслить изменение, отвлекаясь от времени. Время у него единственное независимое
переменное. Течет время t и вместе с ним изменяются и х. Всякая величина
рассматривается как произведенная во времени. Величины могут изменяться различно
1 Aristoteles, ed. Didot, Metaphys., 1. 7, с. 2, 1.8, с. 1, 1. 9, с. 11, 12, Phys.1.7, с. 1,1.8, с. 2.
1 Например, Thomas Aquinaiits или Snare ζ.
3 Descartes, Principia, 1. 2.
4 См. Newton, Principia („Математические начала натуральной философии", пер. А. Н.
Крылова, стр. 31, опр. 8).

302
КОММЕНТАРИИ
с течением времени, одни — скорей, другие — медленней. Чтобы судить об этом, мы
должны, измерив пройденные в одно и то же время пути, сравнить их между собой.
При этом единственный способ измерения времени — это равномерное движение. Но
что такое равномерное движение? Если ответить — то, при котором в равные
промежутки времени проходятся равные пути, — то мы будем вынуждены постулировать,
если не измерение этих промежутков времени, независимо от движения, то хотя бы
установление их равенства. Ньютон, видя это затруднение, определяет равномерное
движение, как движение с одинаковой во все время скоростью. Скорость — это простое
неразложимое понятие, характеризующее движение. Наряду с текущим временем он
мыслит и равномерно изменяющуюся во времени величину, его измеряющую.
Скорость χ Ньютон предполагает для простоты равной единице, хотя она могла бы быть
любой постоянной величины.
77. Исключение времени. Математики постепенно освобождаются в
анализе от времени. Мако х определяет переменные как такие, которые, не подвергаясь
никаким другим изменениям (т. е. очевидно качественным), возрастают или убывают
моментальными степенями (gradus).
Здесь резко выступает ньютоновский момент, который имеется и у Вариньова2.
Аньези 3 говорит, что переменные величины—это те, которые способны
возрастать и убывать и которые мы воображаем текущими, и которые некоторым образом
производятся непрерывным движением.
Да-Кунья4 из определения переменного совершенно исключает не только
время, но и непрерывность. Он говорит, что если одно выражение принимает больше
одного значения, между тем как другое принимает только одно, то последнее
называем постоянным, а первое переменным.
Наконец, по Клюгелю-Мольвейде 5 переменная — это всякая величина,
рассматриваемая так, что она может принимать любое произвольное значение, которое
можно произвольно заставлять убывать и возрастать.
Здесь действительное изменение уже заменено только возможным 6.
78. Ньютон и Кавальери (неделимое и время). Для пояснения
сущности неделимых нет необходимости останавливаться на различных проблемах,
разрешаемых Кавальери. Достаточно привести известное доказательство Кеплера
теоремы Архимеда о площади круга, чтобы понять, в чем состоит этот метод. Чтобы
доказать, что круг равновелик треугольнику с основанием, равным окружности, и
с высотой, равной радиусу круга, Кеплер 7 делит окружность на бесконечное число
элементов и, соединяя точки деления с центром, получает бесконечное число
бесконечно малых секторов. Если секторы агОа2У a2Oas и т. д. бесконечно малы, то они
1 Масо, Calculi differential!s et integralis Institute, 1763.
2 Varignon, Eclaircissements sur l'analyse des infiniment pefits, 1725.
3 Agnesi, Traite elementaire de calcul differentiel et de calcul integral, Paris 1775.
4 Cunha, Principes des mathematiques (франц., пер. с португальского издания,
вышедшего в 1787).
5 Klugel, Mathematisches Worterbuch, 1831, V, стр. 715.
6 Д. Мордухай-Болтовскои, Шесть лекций по философии математики, Варшава, 1912.
? Kepleri Nova stereometria doliorum, Opera, 4, стр. 537.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
303;
представляют то же самое, что бесконечно малые треугольники с высотами, равными
радиусу круга Д и основаниями, равными бесконечно малым элементам окружности.
Проводя ЪХС ±_ЬгЬ, причем ЬХС = Д откладываем bjb2 = axa^ Ь2&8 = а2а3. Тогда.
треугольники btCb2, Ъ2СЪЪ равновелики агОа2, а20а3 и площадь круга равна площади
треугольника Cbbv т. е.
СЬХ · ЬЪХ LB _
—!——!-==-—, где L — длина окружности (фиг. 2).
2t Δ
Фиг,
Таким образом в этих математических атомах, на которые разбивается
непрерывность, исчезает различие форм. Здесь, конечно, чувствуется отражение
метафизического учения Николая Кузанского1
о совпадении противоположностей
в сфере бескопечного и бесконечно
малого.
То, что у Кеплера носит
случайный характер, у Кавальери,
отожествлявшего бесконечно малую
криволинейную трапецию с
прямоугольником, обращается уже в
общий метод.
Против метода неделимых
выставлялись возражения 2, причем во всех этих возражениях Кавальери
приписывают отожествление элемента площади с линией в эвклидовом смысле 3. Так,
указывалось, что подобными рассуждениями можно доказать, что длина
полуокружности ВЕС равна диаметру ВС, ибо, если вообразить себе параллельные прямые,
на которые согласно Кавальери делится плоскость, то мы будем иметь на прямой
ВС ровно столько же точек, как на кривой ВЕС (фиг. 3).
Но Кавальери находит путь, который обещает дать
защиту от этих нападок 4. Это—кинематическая точка зрения,
на которую более определенно вступает Ньютон и согласно
которой площадь оказывается не состоящей из прямых,
а описываемой прямыми, объем — не состоящим из плоскостей,
а описываемым плоскостями. Но описание в конечном итоге
сводилось опять к составленности, как только процесс
движения начинали мыслить в виде актуальной бесконечности перемещений,
совершенных в последовательные моменты времени.
Еще до установления понятия о скорости в данный момент (пока не как
предела, а только как отношения двух актуально бесконечно малых и исчезающих
величин) согласно воззрению Ньютона, элемент Кавальери уже мыслится как образован-
1 Nicolaus Cusanus, Opera 1565, Lob, Die Bedeutung der Mathematik in der Erkenntnisslehre
des Nicolaus von Kusa, Berlin 1907.
2 Возражения собраны Knorre, Dissertatio geom. de methodis exhaustionis et indivisibili um
1695 (возражения Taquet и Ceva).
3 Эвклид, „Начала", кн. Ι, опр. 2.
4 См. „Введение" к „Geom. indivisibilibus".

304
КОММЕНТАРИИ
вый движением линии или плоскости в один момент времени. „Скорость" же
позволила выразить этот элемент формулой о · χ, т. е. произведением из времени
(момента 6) и скорости х. Этот, казалось бы, небольшой шаг вперед от Кавальери
является моментом первостепенной важности в истории ньютоновой мысли.
Выгода кинематической точки зрения в том виде, в каком она проявляется
у Ньютона, та, что устраняется анализ этого неуловимого понятия бесконечно малого.
Движение дает возможность в широкой степени пользоваться интуицией, а
последняя выдвигает положения, не содержащие в своих формулировках бесконечно малых
и представляющиеся благодаря своему интуитивному характеру очевидными, хотя
они могут быть доказаны только с помощью элементов Кавальери, для избежания
которых и выдвигается этот метод.
Представляется очевидным, что если линию, описывающую при параллельном
переносе площадь, увеличить в 2 или 3 раза, то во столько же раз увеличится и
описываемая площадь. Если на прямой, подвергающейся параллельному переносу, имеются
два отрезка, то площади, ими описываемые, находятся в том же отношении, что
отрезки. В том случае, когда это отношение меняется, то представляется вполне
естественным эту пропорциональность относить к определенному моменту, т. е.
относить не к самим величинам (площадям или объемам), по Ньютону флюэнтам, а к
скоростям их изменения, т. е. флюксиям.
79. Флюэнта и флюксия. Я сохраняю термин флюэнта, а не ставлю
современный, ему отвечающий термин — функция, ибо ньютоновское понятие флюэнты
ΰ понятие функции,, не говоря уже о формальном несоответствии, не совпадают π
в динамическом ' смысле.
Флюэнта—изменяющаяся во времени величина, изменения же функции мыслятся
вне времени. Здесь скорее имеет место возможность изменения, чем действительное
конкретное изменение.
Точно таким же образом производная не вполне совпадает с флюксией.
Кроме того, я сохраняю ньютоновский термин „течение" величины вместо
изменения, подчеркивая этим и то, что изменение происходит во времени, и то, что
оно непрерывно.
80. Флюэнта у Кавальери. Слово флюэнта (fluens) встречается у
Кавальери 1, когда он становится на кинематическую точку зрения, и «с помощью
движения, или течения, точки образует линии, с помощью движения линии —
поверхности, с помощью вижения поверхности — тело.
81. Флюэнта и функция. Я уже отметил, что современная функция — это
нечто иное, чем ньютоновская флюэнта. Можно сказать, что она имеет двух
родителей: с одной стороны, флюэнту Ньютона, с другой стороны, функцию Лейбница.
Для Лейбница2 и Бернулли 3 функция — это геометрическая величива,
определяемая точкой кривой; это — род, под который подводятся как виды и абсцисса, и
ордината, а также подкасательная, радиус кривизны и т. д. Можно сказать, что
1 Cavcdieri, Geom. indivisibiTbus, кн. 2, стр. 8, 9.
2 Acta Eruditorum 1694, 1692.
3 Acta Eruditorum 1694.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
305
«функция у Лейбница — это скорее эмбрион функции, мыслимой как соответствие, чем
.как величина, изменяющаяся в зависимости от изменения другой.
Но следует прибавить, что соответствие здесь мыслится не в абстрактной
•форме, как в понятии функции Дирихле 1, а в конкретной форме соответствия,
определяемого некоторым построением.
Можно сказать, что и у Лейбница, как у Ньютона, есть только одно
независимое переменное или, правильней сказать, одно первое множество, в соответствие
<с которым приводится второе, это — множество точек на кривой.
Эта геометрическая функция в конструктивном смысле естественно
превращается в функцию алгебраическую, как только геометрическое построение
переводится на язык алгебраической формулы. И мы получаем определение функции как
выражения через х.
Не будучи в силах охватить понятие соответствия во всей его абстрактной
общности, мысль устремляется по пути, указываемому ей Ньютоном, т. е. берет
вместо конкретного построения, определяющего функцию, возможность одновременного
изменения положения точки и функции (в лейбницевском смысле) во времени.
Видимо, только с большим усилием было изгнано время как посредствующее
.звено, и функцию, определяемую выражением, например ' , стали мыслить не
ΔΧ ' J
как то, что меняется вместе с # во времени, а как то, что меняется при изменении х.
Непрерывность функции в эйлеровском 2 смысле, состоящая в том, что
изменение в некотором промежутке функции в зависимости от переменного определяет и
весь ход ее изменения, является наследием ее, так сказать, эмбриональной жизни
в идеях не Ньютона, а Лейбница, у которого построение, данное для одной точки,
являлось и образцом построения для всякой другой. Это понятие непрерывности сыграло
большую роль в знаменитом споре Даламбера3, Эйлера и Даниила Бернулли4 об
уравнении колеблющейся струны, приведшем к следующему этапу в эволюции понятия функции.
82. Проблемы второй ступени. Флюксия есть скорость изменения, но
при этом не только в локальном движении. Последнее будет иметь место только
в том случае, если флюэнта есть пройденное пространство.
Проблемы, стоящие под римскими цифрами I и II, уже более общие, чем
проблемы первой ступени. Но они сводятся к последним потому, что совершенно не
зависят от того, как понимаются флюксии, в узком ли смысле скоростей локального
движения или в широком ньютоновском смысле. Все формальные операции, ведущие
а решению -этих проблем, будут те же самые.
83. Пять эпох в истории анализа бесконечно малых. Фосс 5
различает пять эпох в истории анализа бесконечно малых, которые частью
накладываются друг на друга:
1 P. Lejeune Dirichlet, Journal de Crelle, т. 4, стр. 157 (1829); Werke, т. I, стр 128.
2 Bmnschvicg.bb^ etapes etc.,стр. 325; Euler, Introductio in Analysininfinitorum,1748,T.II,CTp.6.
3 d'Alembert, Mem. de ГАс. de Berlin, 1750, стр. 358.
4 D. Bernoulli, Mem. de ГАс. de Berlin, 1753, стр. 148; см._ Moniucla, Hist, des Math., т. 3,
стр. 612; Brunschvicg, Les etapes etc., стр. 326.
5 *A. *Fosst Eneyclopedie der Mathematischen Wissenschaften, II, A. 2, Differential und
Integralrechnung, стр. 58.
20 Зак. 32%. Ньютон.

306
КОММЕНТАРИЙ
1) Зарождение анализа бесконечно малых в связи с проблемой квадратур,
построением касательных, обратной задачей о касательных (1600—1668 гг.).
2) Теория флюксий Ньютона (1642—1727 гг.) и диференциальное исчисление
Лейбница (1646—1716 гг.).
3) Формальное развитие анализа бесконечно малых Иоганом Вернулли (1667—
1748 гг.), Эйлером (1707—1783 гг.) и Лагранжем (1736—1813 гг.).
4) Логическое обоснование анализа бесконечно малых Коши (1789—1857 гг.).
с помощью теории пределов, частью обоснованной д'Аламбером.
δ) Арифметизация анализа, начиная сРимана (1826—1866 гг.). Развитие
понятия определенного интеграла в связи с общим прогрессом физики (Вейерштрасс, 1815—
1897 гг.) и теорией множеств (Дюбуа Реймонд, 1831—1879 гг. и Георг Кантор,
1845—1918 гг.).
84. Правила Ньютона. Здесь опять встречается обычный прием Ньютона:,
даются 1) точно формулируемое правило, * 2) поясняющие его примеры и 3)
доказательство, приводящееся всегда в конце.
С формальной точки зрения, отрешаясь от внутреннего его содержания,
нахождение флюксии сводится просто к нахождению производной, так как отношение-
-ν, которое ищет Ньютон, сводится к
χ
dy
dt dy
dx dx
~Έ
85. У Ньютона нет других формул, кроме
(хп)'=пхп-\ (1>
Нет у него здесь формул производной произведения, дроби и сложной функции.
(В „Математических началах натуральной философии", впрочем, дается формула для
момента произведения.) Что производная суммы равняется сумме производных
слагаемых— представляется ему совершенно очевидным. Основное правило Ньютона это
не что иное, как правило определения производной полинома f(x, у) 4по t, когда ху
у суть функции от t (t у него время). Мы будем писать, если
ffa У) = χΖ + αχ2 + ахУ — lf = 0, (2>
что
/ = Ьх2 + 2α# + г/, 1 = ах — Зу*.
дх ' ' к ду у
Ньютон предлагает находить этитр χ',-^-y' следующим образом: члены с х3,.
a baf 2xf хг 0 о л 2У' Уг ®
χ2, χ, ху умножаются на —, —, —, —, а члены с у2, у, у0 на -2-, —, —.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
307
Следует обратить внимание на то, что Ньютон в своем правиле говорит не
об определенной арифметической прогрессии 3, 2, 1, 0, а о какой-нибудь вообще.
Возьмем вместо
f(x, у) = а0 (у) хп + аг (у) х1'1 + . .. ап {у)
*f\ , f
ясно, что для определения -т-^аг, где /1==—^, приходится умножать члены на
(п — Jc)x' (η — Jc—ϊ)χ' Οχ' lex'
x ' Χ " '' ~~χ~'' "' х~щ
86. Функции от нескольких переменных1. Для Ньютона не
существует функций от двух переменных. Две изменяющиеся во времени величины х, у
зависят Друг от друга. Если изменяется еще ζ, то ζ зависит от χ и поэтому между
х, у, ζ всегда мыслится, кроме данного, еще другое Соотношение, и ?если оно не
задано, то его следует составить, чтобы задача оказалась определенной.
Задачи с тремя переменными х, у, ζ у Ньютона всегда являются
задачами об определении производных неявных функций, определяемых системой
уравнений.
87.. Ньютоновская [подстановка.; Здесь замечается уже определенный
прогресс в сравнении с „Анализом с помощью уравнений ит. д.". Я сказал, что Ньютон не
пользуется формулой для производной сложной функции, но обходным путем он
находит производную слооюной функции.
В примерах III и IV Ньютон уже не остается при своем примитивном способе
решения с помощью разложения в степенной ряд^и диференцировании ряда.
Основная идея Ньютона в примере Ш состоит в приведении одного уравнения
иррациональной формы к двум рациональным и, таким образом, к задаче примера П.
Пример IV мы решали бы так:
иричем
/ у» у = ЗуУ(а + у)
2/V
|2
Но Ньютон не имеет ни формулы для производной дроби, ни формулы для
производной сложной функции и находит такой выход. Он вводит две буквы ζ, и, полагая
ζ— У , χχΫaij-\- χχ —и, и приводит уравнение к системе трех уравнений. Ньютон
a-j-y
1 Λ. Clairaut, Reeherches sur les courbes a double courbure, 1731; см. Cantor, т. 3, стр. 77&
и след.
2·*

308
КОММЕНТАРИИ
мог бы положить —7— — ζ> Υαί/-\-χ2 =Щ тогда он получил бы уравнения
й —(- у
х* — ау2 + bifz — х2и = О,
az -\-yz=l,
ay -j-J?2 —wa = 0. '
Первое дало бы
Зх2х — 2ayy-\-3by2zy -f- bifz — 2xux — x2u = 0;
а последние
az -{- ay ζ -j- ayz = 0,
ay -[- 2xx — 2uu = 0.
Эти уравнения позволили бы выразить ζ через // и и через х, у. Выкладки при этом
оказались бы проще, чем у Ньютона.
β 88. Regula infusa1 и Ньютон. Но существу всякий метод подстановки,
б частности ньютонов, представляет применение Regula infusa, сводящегося к замене
одного неизвестного χ другим у и к приведению задачи к 1) определению у и
2) определению по у значения .г. Этот метод, как метод алгебры, впервые выступает
у Абраама ибн Эзры. Уравнение
(*-τ*-ή-τ{χ-γχ-ή=2
20 (1)
ибн Эзра решает (если ввести современную символику), полагая
χ -x — 4t = y, (2)
что приводит уравнение (1) к более простому
!/ —j.V = 20, (3)
которое уже нетрудно разрешить.
У Лейбница подстановка играет большую роль, чем у Ньютона. Если Ньютон
всегда чаще склоняется к Regula falsi, то Лейбниц чаще идет по пути Regula infusa.
Конечно, диофантовы 2 методы основаны именно на этом втором, принципе.
Метод решения квадратного уравнения
ах2 -[- Ьх ~\~ с = О
с помощью данной Виетой 3 подстановки χ = т -j- у может быть отнесен сюда же.
Наконец, этот принцип находит наибольшее развитие у Чирнгаузена 4.
1 Mathiessen, Grundzugen der antiken und modernen Algebra der litterallen Gleichungen,
Leipzig 1880; Д. Мордухай-Ъолтовской, Две основные методы решения уравнений, Известия
€ев.-кавк. гос. унив., 19^8, т. 3 (15).
2 См. Cantor, т. 1, стр. 433. Там же указания на издания Диофанта.
3 Vieta, De aequationura recognitione et emendatione. см. Cantor, τ. I, стр. 634.
4 Cantor, т. 3, стр. 112, Переписка Чирнгаузена с Лейбницем; Leibniz, Mathemat.
Schriften, т. 4, стр. 423. В истории подстановок большое значение имеет Introductio in Ana-
lysin infinitorum Эйлера.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
309
От х = т-\-у естественно перейти к подстановкам
х* = тх -\-n-\- у, (4)
х* = тх2 ^j- пх -(- ρ + у
для решения уравнения х^-\-ах^-\-Ьх-\-с = 0.
Последнее приводится тогда к уравнению
y* + Pt/*+QiJ + It = Q, (δ)
т, η определяются из уравнений Р = 0, ф = 0 (первой и второй степени), так что
уравнение (5) сводится к двучленному
89. Прямая задача о касательной и прямая задача о
площади. В этом примере обе прямые задачи скомбинированы так. Следует найти у'
из уравнения
А*, !/,*) = О, (1)
в котором
г = ί Ydx, где φ (χ, Υ) = 0. (2)
Мы здесь не видим никаких затруднений; уравнение (2) предполагает разрешение
1г = е>(я).
Затем в (1) вместо ζ подставляем / <x>(x)dx. Из уравнения
f(x, у, f*(x)dx} = 0 <3>
и определяется г/ через х. Но мы сейчас же поймем затруднение, если обратим
внимание на то, что f и ω у Ньютона обязательно функции алгебраические.
Определение if из (3) — это диференцирование неявной транщендентногс функции.
У Ньютона ставится задача о выражении у' алгебраически не через х, а
через х, у, .ζ. Уравнение (1) дает:
затем, согласно (2),
и, наконец,
fu + ^ + L.o,
дх 1*ду J ' dz
dfdx+dldu+Ydfd;v==()
&x ' dij J ' dz
d±+Yd±
di/ 3τ* -dz
dx df
замена Υ на ω(<£) и дает решение.
90. о и о · х. Я опять подчеркиваю отличие настоящего сочинения от „Анализа
с помощью уравнений". Там о есть момент величины х, теперь о момент времени.
о - χ ' обозначает^ момент времени, умноженный на скорость величины х.

310
КОММЕНТАРИИ
91. Обоснование формальных операций теории флюксий.
Ньютон ведет свое доказательство на числовом примере, предполагая, что читатель
прекрасно понимает, что вывод не зависит от того, какой полином от х, у берется.
Здесь интересно отметить, с какими страшными усилиями приобреталась
способность мыслить теми общими понятиями, которыми мы оперируем теперь так свободно.
Хорошо здесь вспомнить другой пример из истории эйлеровской подстановки.
/dx
—— ,
Vx*+a*
dx
и т. д. к интегралам от рациональной дроби. Собственно говоря,
и т. д.
J {χ — 1)У>+<*2
эйлеровские подстановки были известны еще до Эйлера, но формулировал в общей
форме их только Эйлер 2, который первый начал мыслить интегралы не только
совершенно определенных выражений, но и общих схем: рациональной функции от χ и
— — t w ™ fax _]_ ь
у ах*-{-bx-\-с, рациональной функции от χ и 1 / —-~=
Причиной того, что Ньютон не дает общего доказательства своего правила,
является отнюдь не желание принести в жертву строгость доказательства его
простоте. Для приведения общего доказательства Ньютону пришлось бы пользоваться
общим полиномом m-й степени относительно χ и п-ж относительно у и, заметив, что
флюксия суммы есть сумма флюксий слагаемых, находить флюксии
Ахтг/. (1)
Заменив χ и у через х-\-о · χ и у -f- о · у, он получил бы
Аф+о.£)т-(у + о.<1})* (2)
и должен был бы вычесть (1) из (2), для чего необходимо было бы использовать общую
формулу бинома, которой он в своем доказательстве не пользуется. Затем по
разделении на о и отбрасывании членов со, о2 и т. д. получился бы желаемый результат.
Ньютон в своем доказательстве берет только случай целых степеней χ ж у.
Но его правило вовсе не требует этого ограничения. Как же провести
доказательство в случае дробных степеней? У Ньютона нет прямых указаний на это.
Конечно, наиболее естественным будет прием, основанный на том, так сказать,
бесцеремонном обращении с бесконечными рядами, которым пользуется Ньютон, т. е.
замена χ на χ -(- о · χ в разложениях дробных степеней.
Но следует думать, что сам Ньютон предпочел бы способ подстановки в
следующем виде. Дано уравнение
si/xTj — ^]/x^y + if = 0; (3)
положим
i/x=z, Vy=u\ (4)
1 См. Ioh. Bernoulli, Lectiones mathematicae de methodo integralium, 1748 и Bougainville^
Traite du calcul integral, 1752.
2 Euleri Institutiones Calculi Integralis, т. I, 1768.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
311
тогда (3) заменится следующим:
Ъяи — 4г%3 -f if = О, (δ)
откуда
3uzr — Szu V + 3zur — 12s*u*u' + fyhf = 0. (6)
Далее:
3sV = x'9 ЪФи' = у' (7)
Остается произвести замену s> и, ζ', гь' их выражениями через χ и у. Предлагаю
самому читателю от этой современной формы выражения перейти к ньютоновской.
92. Начало интегрирования дифер енциальных уравнений.
Если содержанием первой проблемы является разыскание производной и при этом
главным образом неявных функций, то настоящая проблема трактует об
интегрировании диференциальных уравнений.
Таким образом общая проблема интегрирования уравнений, как ни странно,
ставится раньше, чем проблема об интегрировании функций. Первую Ньютон не
старается привести ко второй, а ищет общее правило разрешения первой и прежде
всего определения у из уравнения
M+Ny' = 0,
где Μ π N полиномы от (х, у).
Посмотрим в первую очередь, что собой представляет частное решение, которое
Льютон предпосылает общему. Это решение, производимое действиями, обратными тем,
которые Ньютон производил при определении у', через х, у, вполне годится в случае
так называемого отделения переменных, т. е. для
M(x)dx + N(y)dy = 0;
мы тогда имеем
J Ж (х) dx + Γν (у) dy = С.
Но если этого отделения переменных нет—решение вообще не сводится к
интегрированию Μ по χ и N по у.
Чувствуя необоснованность своего частного метода, Ньютон предлагает выводить
получаемый результат с помощью диференцирования 1.
93. Принцип однородности. Виета признает только однородные
выражения. Квадратное уравнение при пользовании нашими символами он ааписал бы
б виде:
ζ* -\-ρζ ± q2 = 0.
Все члены должны быть одного измерения, измеряться теми же единицами.
Нельзя писать ζ2-]-ζ, так как нельзя складывать квадратные меры с линейными.
В этом и состоит принцип однородности -. Но его нет уже у Декарта 3 и у Ньютона.
1 Такое же интегрирование производит и Ньювентит, см. Nieuweyitit, Analysis infinitorum
1695, стр. 132.
2 Lex homogenearum у Vieta, In artem analyticem Isagoge, 1591, стр. 5; Renaldini, Ars analytica,
1644; моя етатья „Первые шаги буквенной алгебры", Изв. Сев.-кав. гос. ун., 1928, т. 3 (15);
Mane, Histoire des sciences mathematiques et physiques, т. 3, стр. 9—19.
3 Descartes, Geometrie, 1637.

312
КОММЕНТАРИЙ
У Декарта х2 вовсе не площадь квадрата со стороной, равной х, а определенным
образом построенный отрезок, и нет ничего невозможного в сложении одного отрезка, х%
с другим х, хъу2 — такой же отрезок, как хьу, и хъу2 можно складывать с хьу. Далее г®
становится таким же числом, как #, и, конечно, тогда' исчезает из алгебры всякое
воспоминание о требованиях однородности.
Но у Ньютона выступает другой принцип однородности. Относительно х, у
уравнение может быть не однородным, по оно должно быть однородно относительно
флюксий.
Собственно говоря, уравнения х-\-хху — ахх = 0 не может быть, если не*
мыслить при χ множителем ζ, а при ахх множителем &зг.
Теперь χ уже не линия, ее измерением служит . Ньютон прибавляет, что &
r г время
можно положить равным 1 (единице скорости).
Отсюда можно видеть, насколько еще далек Ньютон от полной арифметизацви.»
Когда мы пишем
1 + ая/' — ах2 = 0,
у нас 1, х, у', а, ах2 все суть числа; у Ньютона флюксия во всяком случае
выражается единицами скорости.
94. Метод интегрирования дифер енци альных уравнений.
Первый момент общего метода Ньютона1 интегрирования дифер енци альных
уравнений (в нашем обозначении)
/>, У, iO = 0 (!>
состоит в 1) решении этого уравнения относительно у', т. е. в приведении его к виду:
2/'= <?(*,</), (2)
2) приведении второй части к бесконечной сумме простых членов Ахтуп, т. е.
уравнения (2), к виду:
i/ = 2-4*V, (3>
3) нахождении степенного разложения
г/ = 2аж" (4>
удовлетворяющего бесконечному уравнению (3).
95. Типы уравнений Ньютона. Ньютон различает три рода уравнений:.
\.)f{x,]f) = Q f{x,x,y) = o,
2) />,//,//) = О f(*,y,x,y) = 0>
3) fix, II, z> l/, -0 = 0 f(x, y,z, x, t/, i)=0.
Для первого уравнения мы по методу Ньютона получаем у' в форме степенного*
разложения, и все сводится к интегрированию суммы степеней по правилу Ньютона..
1 Об интегрировании диференциальных уравнений у Лейбница см. Leibniz, Mathema^
Schriften, т. 5, стр. 285—288; Cantor, т. 3, стр. 213.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
313
Здесь важно отметить, что Ньютон вообще занимается нахождением не общих?
а частных интегралов г. Кроме примера IV, у него нигде не появляются произвольные
постоянные. Ясного представления об общем интеграле у Ньютона нет. Он не
рассматривает всей совокупности интегралов при всевозможных значениях Ъ. Но
бесконечность числа решений, соответствующих различным 6, им вполне сознается.
Правда, он очень нехорошо выражается, говоря не о числе решений, а о приемах
решения уравнения, как будто бы дело шло об одном решении, полученном
бесконечным числом способов. См. также комментарий 99.
96. Интеграл уравнения ?/' = φ(#, у) при него л оморфной φ(#, у).
Ньютон получает из уравнения
/>, У, 1ft = О О)
уравнение
*/ = ?(*, У) (2)
и представляет о(х, у) суммой конечного или бесконечного числа членов Ахтуп. По
аналогии с уравнением у/ = φ (χ) он ожидает встретить затруднения в том случае,
если т или η равняется—1, и предлагает избегнуть, этого преобразованием
2/ = !/ι + δ, χ = χί-\-α. (3)
Уравнение (2) приводится к виду:
где т и η уже не равны —1. Такое уравнение Ньютон называет подготовленным»
Мы скажем теперь, что уравнение (2) может при неголоморфности φ (а?, у) не
иметь голоморфного интеграла, даже более того, разлагающегося по степеням χ около
точки (0, 0); но существует точка (а, Ь), для которой φ (я?, у) уже голоморфна и
голоморфен также интеграл2.
97. Способ неопределенных коэфициентов. Можно ли метод
Ньютона считать, как это делает М. Кантор3, способом неопределенных коэфициентов?
Можно ли излагать интегрирование диференциального уравнения
у' = 1 — Ъх 4~ у + хх ~\- ху
следующим образом:
Полагаем
у = А0 -f- Агх -\- А2х2 -}- Asxz -f- . ..
Тогда
у' = А1-\-2АэХ-\-ЗА9р*-{- ... ,
ху = А0х -}- А^ъ -}- A2xz + Аьх1 -f- · · · >
Α1 + 2Α2τ + 3Α^+...^1 — 3χ + (Α0 + Αίχ + Α2χ*+...)-\-
+ ^24- Аох + A^-hМх% + · · ■
1 Даже у Иоганна Бернулли обычно в решение не входит произвольная постоянная-
См. его Lectiones math, de meth. integr. (нем. пер. под названием „Die Erste Integralrechnimg"
в Ostw. Klassiker).
2 См. основную теорему Кошп аналитической теории диферендиальных уравнений.
3 Cantor, т. 3, гл. 89, стр. 173; W'eisseriborn, Die Principien der hoheren Analysis, 1856, стр. 36—39~

.314
•КОММЕНТАРИЙ
Отсюда получается, что
^ = ^0 + 1,
2А2= — з + Α, + Α^
3J3 = J2 + 1+A
л т. д.
Из этих уравнений остается выразить Αν А2... через А0, и мы получим общее
решение у, зависящее от произвольного постоянного А0. Различие этого приема от
ньютоновского не только в том, что у Ньютона нет произвольного постоянного, не в том,
что он упорно стоит при условии x = Q, у = 0. Различие глубже. Способ
неопределенных коэфициентов всегда постулирует определенную схему, в настоящем случае
разложение по целым степеням. Ньютон же действует вовсе не постулируя этой схемы,
как при решении числовых или буквенных алгебраических уравнений.
Его мысль такова: Он берет приближенное диференциальное уравнение,
полученное отбрасыванием членов Ъх, у, хх, ху, т. е. уравнение
ι/ = 1.
Последнее дает у = х. Полагая y — x-\-z, он находит, что
Zr = OX -f- (Χ -f- ζ) + XX -\- Χ {Χ -j- ζ),
жли
ζ' = — 2χ -\- ζ -f- χχ -j- χ (χ ~\- ζ).
Так как ζ мало в сравнении с χ, то приближенно
/ — —2х
и
ζ = —XX
и т. д.
98. Алгебраически интегрируемое уравнение. Уравнение у'=
= 1 — Зх~\-у-\-х2-\-ху не интегрируется в конечном виде нив элементарных
трансцендентных, ни в квадратурах г. Уравнение же второго примера легко приводится
к виду:
?/ = Ч —^ т или ?/==! ' У
•Ы)
а — χ
Это линейное диференциальное уравнение вида:
y'+f(x)y = F(x),
1 О методах доказательства неинтегрируемости в конечном виде диференциальных
.уравнений первого порядка см. мою работу в Сообщениях Харьковского математического
общества за 1907 и 1910 гг. Они допускают переработку с заменой элементарных трансцендентных
квадратурами; см. мою большую работу „Интегрирование линейных диференциальных уравнений
в конечном виде", Известия Варшавского университета, 1910 г.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ>
315
«2
2 '
1
а — χ
"а2
2
(а —ж)2
2
где f(x)= ;, F(x) = l, которое легко интегрируется по схеме:
(X ' X
-ff(x)dx\ Г ff(x)dx 1
у = е J \_J е I(x)dxJrC\.
В результате
J а — х\_ 2 J
Для того чтобы при χ = 0 было у— О, следует взять:
Уазлагая в ряд, получим:
Сознает ли Ньютон, что это диференциальное уравнение допускает
алгебраическое гьнтегрирование!
Я думаю, что нет, так как алгебраическое интегрирование здесь оказывается
•чистой случайностью. Ньютон, вероятно, во второй части поставил разложение с
возможно простым законом образования членов.
99. Приближение к идее общего решения. Этот пример о^ень
поучителен.
Во-первых, он совершенно определенно подтверждает то, что сказано в
комментарии 97. Дробные степени не задаются схемой, а постепенно определяются.
Во-вторых,- правда, в смутной форме составляется понятие произвольной
постоянной.
Ньютон замечает, что при решении первого вспомогательного уравнения
Уг = гг (*)
можно брать различные начальные значения у, отличающиеся на величины, не
зависящие от х. По произволу может быть взят первый член ряда, т. е. за первый
результат можно принять любое число, т. е. необязательно брать такое решение, что
при χ = 0, у = 0, но можно взять и: такое, что при χ = О, у = Ь.
Ньютон даже доходит до введения символа а, представляющего
неопределенность первого члена, и дает выражение у через а. Но это решение вовсе не
выставляется как самое общее.
100. Уравнение уг = х- не имеет такого голоморфного интеграла, что при
jx = о, у = 0, но для него можно найти голоморфный интеграл при χ = 0, у = 1, так
как ——х2 для этих значений χ и у уже представляет голоморфную функцию.
У
101. Приближение к идее метода неопределенных коэфи-
У 1
ц и е н τ о в. Рассматривая уравнение — -j- 1 — 2х-\-— ях = у', Ньютон вплотную под-
δΧ £
ходит & способу неопределенных коэфициентов, хотя развертывает его не совсем
в нашей форме.

316
КОММЕНТАРИЙ
Не чувствуя себя вправе считать ^ малым, ов уже не решается в качестве
zoo
приближенного диференциального уравнения брать ?/ = 1, а предполагает, что первым
приближением у является член ех, и видимо из следующего соображения: ~ следует1
/»Х
ожидать того же измерения, что 1 и у'. Он заключает, что в первом цриближении
у = 2ех' и не сразу подставляет
а сперва находит е, замечая, что если подставить это приближенное значение у
в левую часть уравнения, то получается е -f-1 в левой и 2е в правой части, т. е.
2е = е + 1, е=1.
Затем, взяв второй член формы 2fx2, он точно таким же образом определяет и
значение / и т. д.
Собственно метод неопределенных коэфициентов получается, если мы сразу
предположим, что у имеет форму 2ех -}- 2/#2 + 2gx3 -j- 2hxi -f- . .., и подставим ее
в уравнение для определения e,f,g... из уравнений, полученных приравниванием:
в обеих частях коэфициентов при одинаковых степенях х.
Поэтому у Ньютона при соответствующей переработке этот метод появился бы
не в форме приравнивания коэфициентов в уравнениях
Х.+ 1_2* + 1^ = /,
у' = 2е -f 4/а? + 6.^2+ 8/^3 +
а в форме приравнивания коэфициентов уравнений
у = 2ех-\-2fx2-\-2дх* + . ..
X
Л
V ι
— 4-1 — 2х -|~ —- хх
dx.
Таким образом подстановка вместо у его степенного разложения производится
не в заданное диференциальное уравнение, а в то пйтегральное уравнение, к
которому оно приводится.
Следует отметить, что здесь встречается опять случай алгебраического
интегрирования:
1 — 2х + --яА
'-dx + C
dx
ί-
v~<
4 т 1
χ.
о
: 2х — хх -[--ж3-рСУ х
Здесь у не целый полином. Интересно и то, что общее решение таково, что всегда
при χ = 0, у = 0. Этого Ньютон не подозревает. Частное решение, им находимое,,
представляется ему единственным решением, отвечающим тому требованию, что при.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
317
102. Уравнения, интегрируемые в квадратурах. Уравнение
X1 X* 1 * X
у' ^- = -γ -\- 3 -j- 2х имеет общее решение:
Уравнение интегрируется в квадратурах, с помощью элементарных трансцендентных
функций.
В промежуточных выкладках приходится, однако, иметь дело с новыми
основными трансцендентными, именно интегральными логарифмами:
г, Г dk Г exdx _ . х , ^
I ,—= и значит I = Lie -\-С.
Именно:
где
так что
y = Je х ,
J= — β* — 3«7"а — 2J3 + 4JX + (7,
1
e2
J2 = — —-\-Lie\
^з = —^7 6>2 + γ·^2.
—1
у =—1 4~ 4# + χ2 -г CeX
108. Уравнение с двумя неизвестными функциями. Для урав-
яення х^г = — — 2 или
χ · χ
dx dx
мы в настоящее время можем указать не только частное решение вида 1:
где Аш меняется с т, но и общие решения, содержащие произвольную функцию.
. Weissenborn, Principien der hoheren Analysis, стр. 40.

318
КОММЕНТАРИЙ
Они получаются суммированием частных решений для различных значений т.
Если положить Ат = φ (т) Am и перейти от суммы к интегралу, то получится:
оо
у = [ ^w-+1 ? {т) Vl^1 dm + Д
^у Jlffb * J.
— оо
со
г= ίψ (т) V x2m+1 dm -f 2х + В.
ОО
Совершенно таким же образом для
Аз , Ац
а -^—= о-г- — с
ад; а#
получаем
ψ (в) |/Гв + -^ + l-da + ^y+C,-
— CO
104. Еще о произвольной постоянной. Это рассуждение сводится
к тому, что скорость не может вполне определить пройденное расстояние, ибо
последнее зависит от начальной точки его отсчета, которая может быть взята где^
угодно. Мы сказали бы, что вследствие этого в решение диференциального уравнения
первого порядка обязательно входит произвольная постоянная.
105. Максимум и минимум1. Этот принцип остановки в максимуме и
минимуме — чисто схоластический, выдвинутый еще Орезмом2 в его учении о
широтах и долготах и применяемый Ферма 3.
Его следует понимать шире: при всякой перемене направления изменения,
т. е. движения не только локального, но всякого движения в аристотелевском смысле
слова, происходит остановка, наступает момент, когда нет никакого изменения.
Из этого общего принципа и вытекает приравнивание флюксии (скорости
движения) нулю. Это общее правило впервые мог выдвинуть только Ньютон, первый
овладевший понятием производной в форме флюксии.
Почему же Ньютон не пользуется обычным в наших современных кратких,
курсах анализа приемом, обнаруживая на графике, что в максимумах и минимумах
касательная параллельна оси #-ов?
Казалось бы, достаточно проследить, пользуясь наглядным методом, изменение
угла, образуемого касательной с осью Ох, тангенс которого равен производной, чтобы
тотчас же вывести признаки, когда имеет место максимум и когда минимум.
1 Первые задачи о наибольших и наименьших величинах имеются в „Конических сечениях"
Аполлония; см. Yiviani, De maximis et minimis geometrioa divinatio in quintum librum Apoll.
Perg., Florentiae 1659; Cantor, т. 3. стр. 174.
2 Cantor, т. Π, гл. 47, стр. 128; Curtze, Zeitschr. d. Mat. u. Phys., 13 Suppl. стр. 92 — 98.
3 Fermati Varia Opera, 1679 или Oeuvres, т. I (или т. Ill), Methodus ad disquisitionem.
i»axima et minima.
-/

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
31&-
Причину следует искать в том,. что этот наглядный прием совершенно не
в духе рационалистической мысли ХУП в., стремившейся всегда опираться не на
чувство, а на разумг.
Интересно отметить, что еще долго после Ньютона метод определения
максимума и минимума, идущий через приравнивание производной нулю, не считается
лучшим, чем другие пути 2.
В истории Maxima и Minima сыграли некоторую роль работы Веста 3, Кест-
нера 4, Хультена 5.
Теория Maxima и Minima функций от двух переменных впервые развивается
Эйлером 6, а затем Лагранжем 7.
Если хорошо уяснить различие между
ньютоновской флюксией и нашей производной, то видно, что
теорема Ньютона значительно общей условия у' = 0.
Когда мы имеем в точке Ж точку возврата
с касательной, параллельной OF, то г/ = оо и у = 0.
Ведь у/ = -4-, и хотя у, χ здесь единовременно
образа
щаются в нуль, но χ оказывается более высокого
порядка, чем у (фиг. 4).
Остановка движения в Μ действительно имеет место. Момент нахождения
движущейся точки в Μ есть момент перехода от возрастания к убыванию ординаты
ж вместе с тем остановки.
Фиг. 4
Если t есть время, то
так что
Ы2, Ъ ,
х = ct*-\-dt*-\- ·· ·»
dB dtl
* = — + — +..., χ = αγτ/*-\-.
106. Правило Гудде8. Это правило заключается в составлении по
уравнению f(x, у) =±= 0, где f полином от х, у, уравнения, которое при нашем обозначении
1 Характерно введение Арно к его курсу Nouveaux elements de la Geometrie, 1683.
2 Первая литература по приложению анализа бесконечно-малых к Maxima и Minima
Hudde, Правило'(о котором будем говорить ниже), в комментариях к лат. изд. „Геометрии*
Декарта; см. также Leibniz, Nova methodus, Acta Eruditorum, 1684, стр. 842; Ioh. Bernoulli, Opera,
т. I, № 10; Jac. Bernoulli, Opera, т. 1, № 53; т. 2, стр. 1075. Различение признакоя Maxima от
Minima впервые встречается у Лейбница.
3 West, Mathematical introduction to the doctrine of fluxions 1762.
4 Kdstner, Dissertationes mathematicae et physicae, Altenburg 1771, Diss. HI.
5 And. Hulten, Methodus Huddenii de maximis et minimis cum calculo fluxionum com-
parata, Greifswald, 1797.
6 Euleri Institutiones Calculi Differential, 1755, гл. II.
? Lagrange, Recherches sur la methode de maximis et minimis, Misc. Taur., 1,1759, Oeuvres-
т. I, Paris 1867, стр. 3 — 20.
8 Montucla, т. 3, стр. 155; Cantor, т. 2, стр. 919; Huygens, Oeuvres, τ. I, стр. 507 — 516.

320
КОММЕНТАРИЙ
сводится к -~ ==■ 0. Поэтому обычный метод нахождения Maxima и Minima путем при-
ОХ
равнивания производной нулю некоторые математики называли методом Гудде.
107. Эта задача решена в примере IV проблемы I.
108. Геометриче с кие задачи Ньютона. Эти задачи дают богатый
материал для размышлений. При том уровне, на котором находилась теория флюксий,
яе выходящая из области совершенно элементарных операций, трудно представить
решение некоторых из этих задач в то время. Довел ли Ньютон решение их до конца
или только в общих чертах выяснил себе путь их решения? Если принять во
внимание их очень общий характер, то придется склониться ко второму
предположению.
Так, в задаче I о вписании в сегмент наибольшего прямоугольника Ньютон,
следует думать, только усмотрел возможность сведения (я беру простейшее
расположение осей координат, ось ОХ направляется по хорде) выражения
S=(x2 — хх)у,
пользуясь уравнением кривой f (х, у) = 0, к функции от одного у
Но для Ньютона, не имевшего общих формул диференциального исчисления,
доведение до конца задачи во многих случаях было делом трудным, не сводившимся
к простому диференцированию, как для нас.
Вероятно Ньютон, исследуя задачу II, убеждается в эквивалентности задач
(фиг. 5) о наименьшем и наибольшем расстоянии точки М0 от кривой МХММ2 и о
проведении из М0 нормали и кривой; убеждается в этом он не аналитически, а
чисто геометрически, что достаточно ясно из прилагаемого чертежа (фиг. 5).
Расстояние точки М0 от кривой выражается с помощью одной координаты кривой
дополучается опять задача о минимуме функции одного переменного.
В задаче III можно расстояние d сперва выразить через абсциссы xv х2 точек
на двух кривых, а имея в виду колинеальность точек М0, Mv М2, свести d к функции
одного xv
В задаче IV речь идет об угле между М0М и касательной МТ к параболе.
Этот угол легко выразить через одну координату точки Μ (фиг. 6).
Под номером V стоит задача об определении таких точек Μν Ж2, чтобы
расстояние МгМ2 (по Ньютону ширина) было бы наибольшим, и определении таких точек
Мг и М2, чтобы оно было наименьшим (фиг. 7).
Овальная форма кривой предполагает уравнение вида:
?oWl/4?iW!/+?2W==0·
Далее,
# = (*2 —^P + iib —УО*,
Vi—f(*i)> Уа = /,(а?а);

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
321
d2, как симметрическая функция от xv х2, yv у%> выражается через xv х2, так что
.здесь мы уже имеем функции от двух переменных.
Как же здесь поступал Ньютон, никогда не мысливший функций от двух
независимых переменных и не пользовавшийся частными производными?
Фиг. 5
Фиг. 6
Следует думать, что решение осуществляется в два приема: сперва
находится для #2 Maximum или Minimum, выражаемый через хг, именно ω (xj, а затем
жщется xv при котором ω (хх) 'имеет наибольшее значение.
Сюда же входит и задача о разыскании двойных точек кривой (т. е. точек
.где пересекаются ветви кривой). Этот пункт в
особенности интересен. Задача, видимо,
представляется Ньютону проще, чем последующим
математикам. Но как Ньютон мог вести исследование
без частных производных, когда основное условие,
чтобы точка (х, у) для кривой f {χ, у) = О была двой-
df
ной, выражается уравнениями -^- = о,
:0?
Фиг. 7.
д£
-дх w ду
Вероятней всего ;гак:
Точка, двигаясь по AM и затем по МБ, меняя свое направление, остана·?
вливается (в силу орезмовского принципа) по отношению как к х, так и у, и поэтому
в двойной точке х — 0, у = 0 (фиг. 8).
Двойные точки определяются посредством приравнивания обеих этих" функций
нулю.
Задача VI поставлена в тексте" преждевременно. Она может получить решение,
конечно, после того, как будет выведена общая формула для кривизны плоской кривой.
Задача VII того же типа, что IV.
Относительно задачи VIII можно особенно усомниться в доведении решения
до конца в общем виде. Может быть Ньютон рассмотрел какие-либо численные
примеры. Конечно, здесь была использована теорема Паппа г. Эллипс был представлен
1 Pappi Collectiones lib. 7.
21 Зак 3296 —Ньютон

322
КОММЕНТАРИИ
уравнением =-± = а, где р, q, г, s — расстояния от противоположных сторон
четырехугольника, который может считаться заданным, если заданы четыре точки, через
которые проходит эллипс. Через эту постоянную а выражается и площадь эллипса ъаЪ
и эксцентриситет
/
а* — №
109. Задача о касательной. Наше определение касательной, конечно.,
вырастает с понятием предела.
Когда мы мыслим касательную как предел секущей, то мы мыслим предел
еще не в арифметизированной форме. Это не предел величины, а предел
геометрической формы. Мы мыслим его так, как мыслил его
женевский математик Бертран, когда говорил, что
окружность есть предел расширения многоугольника
с η сторонами.
Для рационалистов касательная — это прямая,
проходящая через две бесконечно близкие точки,
причем бесконечная близость понимается в смысле
актуально бесконечно малого. Изгнание актуально
бесконечно малого и актуально бесконечно большого
приводит от этого определения к определению каса-
Фиг. 8 0 ν
тельной как предела секущеи.
Нет сомнений, что эта форма архаична и должна быть заменена другой,
находящейся в согласии с арифметизированным понятием предела, формой более
громоздкой. Мы должны говорить не о пределе секущей, а о пределе угла, образуемого
секущей с какой-либо прямой, например с осью ОХ, и определить касательную как
прямую, проходящую через точку Μ и образующую угол, равный пределу угла,
образуемого секущей.
В школе мы оперируем с лежандровым х определением касательной к
окружности как прямой, имеющей с ней только одну общую точку. Такое определение
является единственным выходом из затруднения, которое возникает от того, что
учащийся не имеет понятия предела. Собственно говоря, такое определение идет
совершенно в разрез с тем представлением о касательной, которое уже может быть
в смутной форме имеется у нас еще до начала изучения геометрии и которое
определяется уже самим словом „касательная", т. е. прямая, которая касается.
С точки зрения определения Лежандра прямая ΜΝ9 как имеющая с кривой
не одну, а три общие точки, уже не будет касательной. Но едва ли можно отрицать
то, что касание имеется, разумеется, не в точках Ν, Р, где имеется пересечение,
а в точке Μ (фиг. 9). Конечно, в аналитической геометрии лежандрово определение
совершенно неприемлемо.
В алгебре следует строго различать единственное решение и решение кратное*
1 Legendre, Elements de la geometrie; о нем ВоЪупт в Cantor, т. 4.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
323
Когда, желая избегнуть применения диференциального исчисления, в уравнение
кривой второго порядка
/>,*/) = 0 (1)
мы подставляем у из уравнения прямой
у = ах -f Ь, (2)
то условия касания выводятся на основании требования, чтобы получаемое уравнение
второй степени
Px*-\-Qx~\-R = 0 (3)
имело бы два равных, а не различных корня.
Следует отметить, что касательная Эвклида нечто совершенно иное, чем
касательная Лежандра.
Эвклид говорит, что прямая пасается окруэюности, если она ее встречает, но
будучи продолоюена ее не пересекает х. При этом следует добавить, что слово
„встречает" в эвклидовском определении не может быть
заменено словом „пересекает".
Если прямая дважды встречает кривую, не
пересекая ее, то по Эвклиду она должна быть
касательной; по определению же Лежандра она не будет
касательной, так как имеется не одна, а две общие
с кривой точки.
Конечно, и эвклидово определение касательной в аналитической геометрии
неприемлемо.
' Мы видим, что само определение касательной связано и с нашим, так сказать,
доматематическим представлением о касании и с указанным алгебраическим приемом
Лежандрово определение явно противоречит первому. Эвклидово совершенно
неприемлемо для второго.
Задача о касательной, если понимать касательную в нашем смысле или в таком,
который она приобретает с эволюцией понятия предела, могла родиться только вместе
с аналитической геометрией.
Однако нельзя сказать, что Декарт и Ферма смотрели на касательную
совершенно так же, как смотрим мы. Понятия предела у них нет, они мыслят актуально
бесконечно малыми. Впрочем у Декарта замечается тенденция обходить это казавшееся
ему парадоксальным понятие. Касательная ему представляется чем-то само по себе
уже понятным, не требующим определения.
Вместе с тем выставлялось как совершенно очевидное положение, что если
двигать и определенным образом деформировать кривую, так что в известный момент
две точки пересечения с другой кривой обратятся в одну, то в этот момент произойдет
касание этих кривых.
1 Эвклид, Начала, пер. Петрушевского или Ващенко-Захарченко, кн. III, опр. 2.
21* .
Μ N1 \Р

324
КОММЕНТАРИИ
Необходимое при изучении касательной понятие предела здееь также
затушевано, как в том обычном приеме элементарных курсор аналитической геометрии,,
о котором мы только что упомянули.
Но почему же Декарт не поступает при разыскании касательной именно таким
образом, т. е. полагая у из уравнения прямой равным ах -J- Ъ и определяя условие
кратности корня уравнения (3)?
Просто потому, что Декарт не имел
обгщего уравнения прямой. Он вовсе не
интересуется уравнением касательной, а только ее
построением.
Его первый х метод (фиг. 10),
излагаемый в „Геометрии", состоит в следующем: на
оси #-ов берется точка О и описывается
окружность из О как центра, пересекающая кривую
в двух точках В и Ъ. Умевыпая радиус
окружности, мы достигаем слияния В с Ъ в одну
точку Е. Тогда радиус ЕО оказывается
перпендикулярным к касательной к окружности, которая вместе с тем является и
касательной к кривой. Декарту приходится оперировать с более сложным чем (3) уравнением,
определяющим точки пересечения кривой с окружностью переменного радиуса.
Второй 2 метод Декарта уже ближе к нашему, хотя с ним и не совпадает (фиг. 11).
Фиг. 10
Фиг. 11
На оси ОХ берется точка Ρ и вокруг нее вращается прямая, пересекающая
кривую в точках В и Ъ до совпадения В и b в точке Е. И здесь Декарт тоже не
пользуется общим уравнением прямой. Точка Ρ берется не на кривой, как мы это
делаем, а в определенной точке на оси с тем, чтобы, задав еще угол ВРХ = а,
найти точки В и Ъ (вовсе не упоминая об уравнении прямой). Координаты этих точек
определяются уравнением. Остается только определить условия, при которых
получаемое уравнение имеет кратный корень.
стр. 180
ι Descartes, Geometrie, кн. 1, стр. 40; Cantor, т. 2., стр. 852; Brunschwicg, Les etapes etc.,
λ
2 Второй метод Oeuvres (изд. Cousin) т. 7, стр. 62 — 69, письмо от 1638 г.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
325'
Метод Ферма г (фиг. 12) отличается от метода Декарта так, как элементарный
метод нахождения уравнения касательной отличается от метода диференциального
исчисления. Ферма отмечает момент, который следует признать основным принципом
анализа бесконечно малых в примитивной форме, а именно исчезновение бесконечно
малого ω перед конечным а, если α-[-ω = &, то а = Ъ.
Мы остановимся только на определении Ферма касательной к эллипсу. Пусть TR
касательная, Μ точка касания,
АР=х, РМ=у, AQ = x+.e, QAi=z, TP=f,
где е — бесконечно малое. Из подобия треугольников ТМР и TRQ имеем:
t V
f-f-e QR'
(±)
Но актуально бесконечно малая дуга MN мыслится совпадающей с прямой MR,
отрезком касательной, и поэтому пропорция (4) заменяется следующей:
У
t-\-e г '
Но для эллипса
а*у* = Ъ*(2ах — х*);
для точки {х -J- е, ζ)
Ф& = Ь2 [2а> + е) — (χ + в)2],
так что пропорция (5) дает:
Ρ 2ах — х*
(5)
(t + е)2 2а {х + е) — (х — в)2 "
Замечая, что в получаемом отсюда уравнении
Ρ (2а — 2а? — е) = (2* + е) (2а% ~ χ2)
е исчезает в сравнении с другими членами, получаем:
ί2 (а — х) = t (2ах — х*)
и, наконец,
2ах—х2
а — χ
Упрощенная общая форма этого метода вырабатывается Гюйгенсом 2, который
приходит к общему формальному правилу нахождения подкасательной,
непосредственно вытекающему из формулы
df
У УЭу
у'" JfJ
дх
жолечно, самому Гюйгенсу неизвестной.
1 Fermat, Oeuvres т. 1, стр. 171, Note 1.
2 Huygensf*Qj)eT&, 1691, т. 1, стр. 493.

326
КОММЕНТАРИИ
Правило его заключается в следующем: переносятся все члены уравнения
кривой в левую часть, умножаются каждый на число измерений относительно у, это
дает числитель искомого выражения. Умножаются все члены на число измерений
относительно χ и делятся на χ— это даст знаменатель.
У Барроу 1, конечно, тоже еще нет касательной в нашем смысле. У него
актуально бесконечно малая дуга отоо/сествляется с хордой.
У него впервые выступает диференциальный треугольник, причем Барроу
(фиг. 13), оперируя временем в форме актуально бесконечно малого момента и
движением во времени, приближается к понятиям переменного и потенциально бесконечно-
малого, но останавливается на полдороге. МК и ΚΝ мыслятся им как пути,
пройденные проекцией точки Μ на ОХ и ΟΥ в Момент времени.
Существенное значение имеет то, что, тогда как у Декарта и Ферма основным
элементом является подкасательная, у Барроу таковым является угол, образуемый
касательной с осью ОХ, или, вернее, тангенс этого
угла, т. е. то, что у Ньютона появляется как флюксия
, dx · dy
при наших обозначениях χ = -^-, у = -j-, где
at at
У
0
]
f
/
' ί
Η
1
ч
χ \
У _ аУ
t время, &~^-dx~
Отметим важное значение в дальнейшей истории
диференциального исчисления характеристического 2
(по терминологии Лейбница) или (по нашей терми-
Фиг. 13 ч ν
нологии) диференциального треугольника, дающего
геометрическую интерпретацию диференциала независимого переменного и ди-
ференциала функции, долго еще отожествляемого с бесконечно малым
приращением функции. Интересно отметить, что обычный элементарный метод определения
уравнения касательной, избегающий употребления производной, возникает в той
форме, в какой мы находим ее в учебниках, только в XIX в., и вызван был к жизни
исключительно методическими интересами.
Методы определения касательной развиваются в зависимости от развития
диференциального исчисления. Современная техника диференциального исчисления
создается гораздо раньше, чем заканчивается оформление современных идей
диференциального исчисления. Иоган Бернулли 3 совершенно так же, как мы, диферен-
цирует при определении тангенса угла, образованного с осью.ОХ касательной к параболе,
эллипсу, гиперболе, циклоиде, конхоиде, циссоиде и квадратрисе.
Но как мы сейчас увидим из приводимого ниже абзаца, он мыслит совершенно
иначе, мыслит актуально бесконечно малыми, пользуясь вторым своим постулатом: всякая
кривая состоит] из бесконечного множества прямых, которые сами бесконечно малы
1 Barrow, Lectiones geometricae, 1670, стр. 80—81; Cantor, т. 3, стр, 133; Brunschwicg, Les etapes
etc., стр. 190.
2 О характеристическом треугольнике см. Leibniz, Mathemat. Schriften, т. I, стр. 154,
т. V, стр. 132 и Cantor, т. 3, стр. 190.
3 Ioh. Bernoulli, Lectiones mathematicae de calculo differentialium (по-немецки Ostwald's
Klassiker, № 211).

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
327
Задача 1. Найти касательную к параболе. Уравнение параболы есть ах = у2,
так что adx = 2ydy или а : 2ψ=-β, и так как по второму постулату принимается,
что каждая кривая состоит из бесконечного множества прямых линий, то бесконечно
малый кусок DF параболы BJDQ будет прямой. Если провести DG параллельно
диаметру АЕ, то Δ OGFco Δ ACD (фиг. 14). Поэтому FG:GD = CD: АС, и если 8
означает подкасательную, то
dy у а о %У2 %ах о>„
_А — j£- = _. и поэтому 8 = -ζ— = = 2а?.
dec 8 2у * а а
Отсюда, если взять АС вдвое больше, чем абсцисса ВС, и через точку
кривой D и через А провести прямую AD, то она и будет касательной, которую
следовало найти.
110. Кинематические методы исследования касательной.
Необходимо отметить еще основные моменты истории внесения
в геометрию времени, т. е. истории кинематического метода.
Трудно впрлне определенно указать, когда образовалось
понятие о скорости в данной точке или в данный момент,
которая, конечно, раньше мыслилась в виде отношения актуально
бесконечно малых, как скорость равномерного движения
в бесконечно малый промежуток времени, или момент. Но, вне
сомнения, у Барроу г это понятие выступает уже вполне ясно.
Образование кривых у него протекает во времени.
Можно было бы сказать, что и у Декарта выступает фиг 14
элемент движения точки. Его механгьческие кривые образуются
движением точки. В руководствах аналитической геометрии XVH и начала XVIII в.
-х и у мыслятся не как координаты, определяющие положение точки на плоскости,
а как отрезки — один пробегаемый точкой по прямой, другой — концом прямой,
движущейся параллельно самой себе вдоль оси ОХ 2.
Но это точка зрения форономическая, а не кинематическая. Это та точка
зрения, которая защищается современной методикой: Трейтлейном, Борелем и др.3.
Здесь движение рассматривается отвлекаясь от времени и скорости. Барроу
тоже рассматривает такие соединения движения (compositio), но при этом у него
выступают скорости по директрисе (ОХ) и по генератрисе — прямой,
параллельной OY'.
Основная теорема Барроу состоит в том, что отношение этих скоростей равно
отношению лодкасательной к ординате.
Роберваль 4 не имел ясного представления о скорости, он сводит построение
касательной к построению параллелограма сил. В случае равномерного движения он
1 Barrow, Lectiones geometricae, Lect. 4.
2 См. еще De la Hire, Nouveaux elements des sections coniques, 1679.
3 Henrici und Treuilein, Lehrbuch der Geometrie; Борелъ - Штежелъ, Элементарная
'математика.
• 4 Roberval, Observations sur la composition des mouvements, Mem dePAc. des. Sc, 1730, т. 6.

328
КОММЕНТАРИИ
складывает те силы, которые своим моментальным действием вызывают это движение.
Такое построение является очень простым для параболы, когда движение по радиусу-
вектору должно иметь ту же скорость, что и движение, параллельное оси
(касательная будет направлена по биссектрисе).
Заслуга Ньютона состоит в том, что он связал идеи Еавальери с идеями
Барроу. Можно сказать, что χ ж у есть уже у Барроу (хотя и без таких обозначений),
но у Барроу нет χ · о и у · о, представляющих те изменения, которые возникают
в момент времени о и которые получаются как произведения из скоростей на время.
111. Ньютон и задача о касательной. Как мы уже имели случай
заметить, Ньютон оперирует с подобными треугольниками, просто отожествляя
бесконечно малую хорду с бесконечно малой· дугой кривой, стоя, таким образом,
полностью на точке зрения метода неделимых.
Новым у него является сведение отношения этих актуально бесконечно малых
к отношению флюксий и решения простой задачи о касательной к нахождению флюксий
или, вернее, их отношения. Касательная у Ньютона строится по подкасательной.
Мы пишем: БТ = -~. Если уравнение кривой есть
f(?,y) = o,
то
У' =
чт —
к.
дх
~~df
ду
df
ту-у
дх
Нетрудно видеть что в случае если f{x, у) есть полином, имеет место правило,
указываемое Ньютоном (но известное до Ньютона) Ч
112. Род и порядок кривой. Ньютон здесь не считает прямые линиями
первого порядка (а тем более кривыми) и противопоставляет кривые прямым как
понятие противоположное. То, что мы называем кривыми второго порядка, у него—эта
кривые первого рода. Кривые четвертого порядка — третьего рода и т. д. Но в
перечислении кривых третьего порядка Ньютон наряду с этой классификацией проводит
еще нашу классификацию линий по порядкам, так что кривые первого рода
оказываются вместе с тем и линиями второго порядка, второго рода — третьего порядка'
и т. д. См. также комментарий 256.
113. Декартова парабола. Эта кривая получается следующим
образом: парабола переносится параллельно самой себе, а вместе с нею и точка J.,,
неизменно с ней связанная. Геометрическое место точек пересечения прямой FA
(где F неподвижная точка) с движущейся параболой и дает эту кривую. Кривая
х См. комментарий 109.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ» 329^
эта впервые была исследована Декартом1. Упомянутое название дано ей
Ньютоном в „Перечислении кривых третьего порядка". Кривая также называется
параболической конхоидой. Исключая из двух уравнений:
2/2 = 2р(а? + а),
У
Уо
= 1,
параметр а, нетрудно вывести общее уравнение декартовой параболы
уЧу — Уо)
2р
<х + е)(у — у0) + у0х = 0.
114. Конхоида Никомеда. Так называется геометрическое место точекг
получаемое таким образом:
Прямая ОР вращается вокруг точки О
(полюса) и берется точка на этой прямой на
постоянном расстоянии от точки пересечения
вращающейся прямой с неподвижной осью, т. е.
МР = е (фиг. 15). Уравнение конхоиды в
полярных координатах
+ е,
r cos Ь
где а = ОС, а в декартовых:
(х — а)2 (ж2 + ί/2) — ex*- = о.
(1)
(2)
Фиг. 15
Конхоида — кривая четвертого порядка, при этом циклическая, т. е. проходящая через
циклические точки (мнимые точки в бесконечности, через которые проходят два
круга).
Полюс представляет собой узел при е > а, точку возврата при е = а и
уединенную точку при е < а.
Открытие конхоиды приписывается Никомеду 2 (II век до н. э.), который с
помощью нее решил задачу о трисекции угла, а также задачу о двух среднепропорцио-
нальных, к которой приводится удвоение куба.
Ферма 3( определяет в ней касательную.
К ней прилагают свои методы и Декарт 4, а также Роберваль б. Точки
перегиба определяются Гюйгенсом 6, Хейретом и Слюзом. Квадратуру дают Роберваль 7,
1 La Geometrie, стр. 189; Gino Loria, Spezielle algebraischs und trans zendente ebene Кит-
Yen, гл. 6.
2 Cantor, т. 1, стр. 334—336.
3 Fermat,Oexmes, т. 3, стр. 142—293.
4 Schooten, Comm. ad Geom. de Descartes.
5 Roberval, Observ. sur la сотр. des mouv., Mem. del·Ac. des. Sc, τ.6,1730, стр. 32.
6 Iluygens, Oeuvres, т. 1, стр. 245, т. 2, стр. 164.
? Boberval, Traite des indivisibles, стр. 284.

330
КОММЕНТАРИЙ
Валлис х и Иоган Бернулли 2. Этой кривой занимается и Ньютон s, изыскивая с ее
помощью методы графического решения уравнений третьей и четвертой степеней.
Понятие конхоиды можно обобщить. Конхоида Никомеда является конхоидой
прямой линии. Если прямую, служащую осью, заменить какой-либо кривой, то получим
конхоиду кривой.
115. Точка перегиба. В точке перегиба выпуклость переходит в
вогнутость или обратно. Ньютон ищет точку перегиба для конхоиды Никомеда. Флюксии
второго порядка, отвечающей н^шей второй производной, у него здесь еще нет. Но он
вынужден здесь употребить как раз тот прием, который употребляем и мы, чтобы
совершенно элементарно без формулы Тейлора вывести, что у" < 0 в случае
максимума и if > 0 в случае минимума, а что при у" = 0, у'" ^ 0 нет ни того, ни другого.
Именно он отмечает, что в точках перегиба подкасательная имеет максимум или
минимум.
Останавливаясь на уравнении третьего порядка, он предлагает решать его
графически. Для полноты решения следовало бы исследовать, когда это уравнение имеет
один и когда три вещественных корня.
Наличие точки перегиба у конхоиды отмечается еще Ферма.
116. Мнимая ошибка Ньютона. Ньютон в основу своего решения ставит
положение, что перегибу отвечает минимум отрезка между началом и пересечением
с осью, т. е. минимум
У
У
Это, конечно, верно, если только исключать случаи точки перегиба на ОХ и точки
перегиба с касательной, перпендикулярной ОХ, ибо
и если у не 0 и у/ не оо, то у" = 0.
Тут нет грубой ошибки А чисто случайного схождения результата, полученного
Ньютоном из неверных предпосылок, с истинным результатом, получаемым из
уравнения
„ 2а*Ъ — ВЪу* — у* Λ
у = — = О
J (а*Ь + у*)*
как это думает Вейсенборн 4.
Если мыслить неделимыми, как и сам Ньютон часто мыслит, сливая бесконечно
малую хорду с касательной и дугой, то мы, направляя касательную последовательно
по элементам кривой, заметим (фиг. 16), что конец касательной будет сперва
двигаться в одну сторону, затем станет и пойдет в обратную сторону.
1 Wallisii, De curvarum rectificatione et compianatione, 1659.
2 Ioh. Bernoulli, Opera, т. 3, стр. 400.
3 Newtom Arithmetica universalis, стр. 52, Cantor, т. 3, стр. 175.
* Weissenbom, Principien der hoheren Analysis, стр. 48.

К «МЕТОДУ" ФЛЮКСИЙ»
331
117. Касательнаяк трансцендентной криво &, определяемой
уравнением, разрешенным относительно у. Этот пример .можно
рассматривать как пример проведения касательной к кривой, определяемой уравнением: .
у = Ф(а?,6),
где Φ — алгебраическая функция χ и функции 0, основной трансцендентной первого
класса, или вообще уравнением
у = Ф(хи θ1? θ2,...θ,),
т. е. выраженной трансцендентной первого класса (согласно классификации Лиувилля г).
Если площадь сегмента
- х) У~2гх — х2
~г 2 '
ОМР= сект. ОМС-
■ ЖРС = ·£ arccos -—-■■ ^
Фиг. 16
уравнение кривой получается в форме
Q (ху у, arcsin χ) = О,
.arcsin # выражается через площадь АСВ.
Но вместо arcsin # можно взять
.и \пх, т. е. логарифм выразить через
•площадь гиперболы.
Задача о проведении касательной
к такой трансцендентной кривой
сводится к нахождению подкасательной
в алгебраической зависимости от - χ и у
и еще arcsin # и In χ, которые мыслятся как площади известных кривых.
Тот же arcsin χ можно мыслить и как дугу круга, отвечающую Ханной абсциссе.
Получается задача, аналогичная только что упомянутой.2.
118. Касательная к кривой, заданной параметрическим
уравнением. Здесь по существу проводится касательная к кривой, заданной
параметрическим уравнением
# = ? (О* У = Ψ (0>
но только при геометрическом определении φ (0- Именно φ (0 есть дуга круга или
другой кривой AC, a t — абсцисса АЕ этой кривой.
TaKqBbi, например, параметрические уравнения
х = arc sin t,
Если взять
f (χ, yy t) = О,
1 Liouville, Memoire sur la classification des transcendantes, Journal de Liouville, т. 1
1837, т. 2, 1838. См. мою работу: „Об интегрировании трансцендентных функций", Известия
Варшавского университета за 1913 г.
' 2 Эволюцию круговых функций можно видеть после Ньютона у Rog. Cotes (Harmonia
raensnraruin), у Stone и, наконец, у Эйлера, Institutiones calculi integralis.

332
КОММЕНТАРИЙ
то здесь получится случаи, когда в уравнение входят тригонометрические или
показательные функции, т. е. функции, обратные тем, с которыми мы столкнулись в
предыдущих примерах.
Собственно говоря, Ньютон рассматривает более общий тип:
*=φ(Χ),
2/ = ψ(Χ,Γ,*),
где Υ—ордината другой кривой. Если задать зависимость между Χ, Υ
2 (X, Г) = О
алгебраической, то введется трансцендентная функция через X.
119. ADq означает квадрат AD, — у нас AD2.
120. Касательная к трансцендентной кривой, определяемой
уравнением, не разрешенным относительно у. Здесь мы имеем кривую
типа
Ф(х,у,Ъ(х,у)) = 0, (1)
где Φ — алгебраическая функция, θ (χ, у) — трансцендентная первого класса от (х, у).
Задачу VII можно формулировать как задачу о проведении касательной к
кривой, заданной алгебраическим уравнением в координатах:
У — ордината
6 — долгота
(или вернее дуга, измеряющая эту долготу).
Здесь θ = arcsin ~ и уравнение вида:
χ
Q I х,у, arcsin — 1 = 0.
Простейшими уравнениями являются
и вообще
у = αθ 4- b.
Очевидно, к этой общей проблеме Ньютона привела частная задача о
проведении касательной.
121. Архимедова спираль. Кривая, определяемая полярным уравнением
г = αθ, называется архимедовой спиралью.
Первый ее изучил Архимед 1, великий сиракузский математик (открытие ее
некоторые приписывают Конону). Он дает выражение для полярной подкасательной
(дуга соответствующей окружности) и определяет площадь завитка кривой.
1 Archimedes, Opera; Pappi Collectiones Mat., 1. 4, prop. 221; Montucla, Histoire des mathe-
matiques т. 1, стр. 226.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
333
К выводу площади ее Кавальери г применяет свой метод неделимых, за ним
по тому лее пути идет и Валлис 2. Роберваль 3 прилагает к этой кривой свой метод
построения касательных.
К построению нормали к спирали. Принимая а = 1, Ньютон пишет
Отсюда
X* -j- у* = t2t
хх -j- уу = tt.
(i)
(2)
Между (χ, t) и (χ, и), координатами точек вспомогательного круга, устанавливается
соотношение:
tu = у. (3)
Отсюда
ut-\- ut = y (4)
Xt =.Ы.
(5)
Из (4) и (5) определяются и, t и затем хх -f- уу выражается через у, и, х.
122. Диференциальный четырехугольник Ньютона. О подобии
Dcdh и DBTF Ньютон заключает из того, что две стороны JcD и cD с FD и DB
лежат на тех же прямых, a dk \\ TF и dc \\ ЪБ (табл. IV, фиг. 11). Последнее вытекает
из построения, ибо Ньютон строит параллелограм dcbB, т. е.
проводит dc || ЪВ. Первое же следует из того, что
треугольник GM по построению равнобедренный и поэтому можно
считать угол dbD прямым.
Можно вообще выставить лемму о диференциальном
четырехугольнике и пользоваться ею в дальнейшем. В двух
четырехугольниках, со сторонами, образующими между собой
бесконечно малые углы, стороны пропорциональны, т. е.
,. α а ,. α а ,. γ с
"Т"»"' hm7 = T; 11ЮТ = 7·
Для доказательства следует последовательно поворачивать
стороны α,β,γ,δ и доказывать, что предел остается тот же, если от
четырехугольника ABCD перейти к A BCD', в котором сторона AD повернута на
бесконечно малый угол. Нетрудно видеть, что в бесконечно малом треугольнике
ADI/ (фиг. 17) при бесконечной малости стороны AD сторона против угла А
будет бесконечно малая второго порядка и такова же разность заключающих ее
сторон AD' — AD.
1 Cavalieri, Geometria indivisibilibus.
2 Wallis, Arithmetica infinitorum, Opera, т. 1, стр. 375.
3 Roberval, Mem. de Г Ac. des Sc, т. 6, стр. 50.

3B4
КОММЕНТАРИЙ-
А если это так, то на основании первой леммы исчисления бесконечно малых,
позволяющей заменять в отношениях величины бесконечно малые эквивалентными им
величинами
lim~ = lim —.
о О
123. Декарто-полярная система координат. Ньютон пользуется
большим разнообразием в системах координат. Сейчас берется уравнение /*(?/, г) = 0
где г — радиус-вектор, но с полюсом не обязательно на ОХ или ΟΥ.
Ньютон эту вторую координату называет хордой: „subtensa". Мы сохраним за
ней латинский термин субтенза по аналогии с абсциссой. Ясно, что некоторые
уравнения алгебраических кривых могут быть в значительной мере упрощены переходом от
обычной системы координат (абсцисс и ординат) к системе ординат и субтенз.
Почему же следующие примеры решаются не обычным методом? Ньютон
определяет характер своих методов вовсе не применяемой системой координат, а той
геометрической величиной, с помощью которой строится касательная. Обычный метод
дает построение касательной по подкасательной. Здесь мы имеем построение по DFy
проекции касательной на субтензу.
Формулы Ньютона в современном обозначении напишутся так:
у ; и = dy : dr ,
dr yr'
&J У
если Зерез г обозначена величина, которую Ньютон называет х9 так что г' = 1, то
У
и = —Ту т. е. получается правило Ньютона.
124. Геометризация диференциального исчисления. Ум Ньютона
по преимуществу геометрический и обладает могучей пространственной интуцией.
Мне кажется, что синтетический характер его. доказательств вызывается не только
слабым развитием анализа, но и склонностями Ньютона.
Обращаю внимание читателя на особое искусство Ньютона оперировать с
бесконечно малыми трехугольниками и четырехугольниками и советую ему облечь
ньютоновские доказательства в современную форму, мысля на месте равенства — эквивалент·
ностъ и обнаруживая последнюю путем определения порядка малости элементов. Ньютон
является если и не творцом, то тем человеком, которому мы больше всего .обязаны
синтетическим методом, которому и теперь следуют многие авторы, спасая себя от
выкладок, нередко связанных с аналитическими методами.
Наследником Ньютона является Тейлор, который в основу своих выводов
ставит некоторые геометрические по характеру леммы Ньютона. Но особенное значение
в развитии этого метода имеет Ньювентит *. Этот ученый совершенно отвергал
1 Nieuwentiit, Analysis infinitorum seu curvilinearum proprietatum ex polyogoni natura deducta,
Amstelodami, 1695.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
335
существование введенных Лейбницем бесконечно малых въьсмщх порядков; для него»
они просто ничто (nihil).
Исчезновение бесконечно малого перед конечным, т. е. равенство
А+а = А,
у него является следствием того, что Аа -J- а2 = Аа, так как а2 есть ничто.
Разыскание того, что является ничем, сводится с нашей точки зрения к разысканию элементов
порядка выше первого.
У Аньези г этого рода исследования обращаются уже в исследование порядков
бесконечно малых элементов.
В учебниках XIX в. мы находим тоже доказательства ньютоновского типа,
например, у Бертрана 2 и Лорана 3. В особенности я обращаю внимание читателя на
курс Бертрана. Очень типичным является построение касательной к подэре 4 данной
кривой, т. е. к геометрическому месту оснований перпендикуляров, опущенных на
касательные кривой из некоторой точки О.
На того же рода соображениях основывается и Ньювентит δ, стараясь показать, что
кривая представляет многоугольник с бесконечным числом бесконечно малых сторон.
125. Преобразование к декарто-полярным координатам. Я уже
отметил (комментарий 123), что преобразование к ординате и субтензе иногда
значительно упрощает уравнение алгебраической кривой. Уравнение шестого порядка
(** + У2) V*2 + У2 + а (х* + у2) + α \/& + ψ> (у — ъ) — (у — ъу = 0
или
(Х* + г,2) [я* + у2 + а (у — Ь)]2 = [а (& + у*) — (у — &)3]2
дало бы в прямоугольных декартовых координатах очень сложное выражение для
подкасательной -4-; здесь удобнее перейти к декарто-полярным координатам. Это можно
У
рекомендовать для всякой кривой
<?(%2 + у2, у) = о,
где φ — полином от величин, стоящих в скобках. Так, уравнение конхоиды Никомеда
(у _ а)2 (Х2 ^_ у2) _ еу2 = о
приводится к виду:
(у — а)2 г* — еу2 = О и (у — а)г = ±:у\/е
(для каждой ветви берется свой знак).
ι Agnesi, Traite elementaire du calcul differentiel et integral (Instituzioni analitiche7v
1748), гл. 1.
2 Bertrand, Calcul differentiel, гл. I.
3 Laurent, Traite d'analyse, τ. 2·
4 Laurent, цит. соч. т. 2.
5 Weissenborn, Principien d. hoheren Analysis, § 16, Die Theorie Nieuwentit's, стр. 123.

:336
КОММЕНТАРИЙ
Ньютон дает .это уравнение в форме:
уг — су— Ъс = 0.
Это уравнение составлено так же, как уравнение гиперболы ху — су — Ъс = О
в декартовых координатах.
Уравнение Аг-\-Ву-\-С = 0, которое выражает известное свойство
конического сечения, что расстояние от точки (фокуса) находится .в постоянном отношении
г
к расстоянию от прямой (директрисы), можно переписать в виде = с.
126. Биполярная система координат. Ньютон здесь пользуется
биполярной системой координат. Касательная в этом методе строится но проекциям какого-
либо отрезка касательной на ось и радиус-вектор.
127. Декартовы овал ы. Первым примером Ньютон берет знаменитые
овалы Декарта1. Декарт сам дает очень сложное определение.
Биполярное уравнение овала очень просто:
^r -|- vrx = е.
Уравнение это можно обобщить; в общем случае оно будет иметь вид:
j = 71
где г- — расстояния точек кривой от т данных точек.
128. Координаты одного направления. Обычно координатами точек
являются отрезки прямых (или прямой и окружности). Точка определяет не только
их числовое значение, но и направление, так что они могут рассматриваться как
векторы. Ньютон наталкивается на такие системы, в которых направления координат
совпадают.
Я дам в возможно общем виде такую систему.
Положение точки на плоскости может определяться следующими величинами:
р и р', являющимися отрезками радиуса-вектора М, заключенного между О й двумя
кривыми L, I/ (фиг. 18).
В частном случае одна из кривых обращается в данную кривую, а в качестве
второй берется прямая, как это и имеет место у Ньютона.
129. Полярные координаты. Этот метод пользуется полярными
координатами и дает известное построение касательной по полярной поднормали.
130. Декартово уравнение кривой 62 = Ьг/ легко получить с помощью
известных формул перехода к декартовым координатам.
131. Проведение касательных, параллельных данной
прямой, и другие задачи. Первая задача, входящая теперь во все курсы
аналитической геометрии, — это задача о проведении касательных параллельно данной
прямой.
1 La Geometrie, стр. 41; Gino Loria, Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven,
1902, гл. IX; Teixeira, Courbes speciales, стр. 9; Newtoni Principia, кн. 1. предл. 47.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
337
Вторая задача — об определении перегиба.
132. Задача о проведении из данной точки прямой, пересекающий кривую под
данным углом, решается так: Уравнение кривой пусть будет:
я, уравнение искомой прямой:
f(x>y) = О,
У — Уо = ч\(% — %о)>
(1)
(2)
где х0, у0 — координаты заданной точки. Требуется
определить координаты точки встречи Μ (χν у,). Угловой коэ-
фициент касательной в точке Μ будет:
2/1
У Οι» Уд
дх1
dlli
м но условию
r^-j——. = COnst.
(3.)
Фиг. 18
Тогда xv у ι определяются уравнением (1) и вытекающим из (2) и (3) уравнением (4):
Ч , ч,, ч df
(У1 — Уо) + (х1 — хо)
дУ1
дх1
\%1 хо)'
df
■ const.
дх1
Ο/ι —?/о>
<*)
После этого легко определяется угловой коэфициент η.
133. Кривизна по Ньютону. Ньютон не определяет кривизну так, как
мы, именно как предел отношения угла смежности к соответствующей дуге. Он
предполагает понятие кривизны так о/се само собой понятным, как и понятие пря-
мизны,. Количественная характеристика кривизны не выводится им чисто формально,
а выводится из качественного понятия. Им выставляются следующие постулаты1.
1. Рассматривая сперва кривизну круга, он утверждает обратную
пропорциональность его кривизны и радиуса. Постулат этот не доказывается, а признается
Ньютоном очевидной истиной. Но в этом постулате не следует видеть определение
кривизны круга.
2. Можно ли видеть определение кривизны во втором постулате, утверждающем,
что кривизна кривой та же, что круга, касающегося кривой так, что между этим
кругом и кривой уже нельзя провести другого касающегося круга? Вне сомнения, нет.
Нельзя предполагать, что, считая кривизну круга само собой понятной, Ньютон желает
определить через нее кривизну другой кривой. Круг у Ньютона только получает при-
1 См. у Лейбница об угле касания Mathemat. Schriften, т. 1, стр. 190—192.
22 Ньютон.

338
КОММЕНТАРИИ
вилегированное положение, круг определяет кривизну так, как прямая определяет
направление. Нам важно только то, что это не определение, а положение, в
правильности которого он старается убедить читателя.
3. И третье положение не следует понимать как определение.
Ньютон далее определенно подчеркивает, что центр кривизны — это г^ентр-
врагцения. От одной точки кривой к другой, бесконечно близкой, переход совершается
с помощью бесконечно малого вращения около некоторой точки. Это и есть центр
кривизны, который следует мыслить в центре [соприкасающегося круга.
Кривая мыслится состоящей из бесконечно малых дуг кругов, центры которых
являются центрами кривизны.
η 4. Четвертое положение — только следствие первых двух..
У 134. Перпендикуляр и нормаль. Слово перпен-
£—^ у/ дикуляр мы переводим нормаль. Слово нормаль иногда упо-
j}S требляет и сам Ньютон. Ньютон еще мыслит смешанными
/ \ углами \ Угол, образованный прямой с кривой, еще не обра-
jr J тился у него окончательно в угол между этой прямой и каса-
If ^ тельной к кривой. Можно говорить в этом смысле о перпенди-
9 куляре к кругу, т. е. о такой прямой, для которой смежные
углы СВА и ABD, образованные с кругом, равны (фиг. 19)..
Конечно, перпендикулярность к кругу вовсе не влечет перпендикулярности круга
к прямой, так как о равенстве или одинаковости СВА и CBI можно спорить 2.
Перевод словом „нормаль", конечно, совершенно уничтожает следы, сохранившиеся
еще в ньютоновской мысли от схоластических споров его предшественников в XVI в.
135. Подобие треугольников BTD и Cog следует из
перпендикулярности их сторон.
136. DF = De-\-eF, a eF-De = de2 (как высота из вершины прямого угла).
137. Из истории круга кривизны. Хотя понятие об эволюте установил
Гюйгенс 8, но длина нормали от кривой до эволюты не служила ему еще, видимо, для
измерения кривизны. Мысль эта, кажется, впервые высказана была Лейбницем 4,„
который говорил, что совершенно таким же образом, как прямая служит для
определения направления, круг может служить для определения кривизны, ибо кривая эта
во всех точках одинакова. Таким образом измерителем кривизны служит, так еказатъ
ближайший к кривой круг, и не только касающийся, но соприкасающийся, так чи
между кривой и кругом уже нельзя провести другого круга. Любопытна ошибка
Лейбница 5, в этих размышлениях подошедшего к понятию о касании высшего порядка.
Он мыслит в точке касания соприкасающегося круга не три, а четыре
совпадающих точки. Впрочем, в ошибочности этого он убедился в процессе обсуждения
вопроса с другами математиками.
1 О смешанных углах см. у Аристотеля доказательство теоремы о равнобедренном
трехугольнике, Analytica priora, 1. 1, с. 23; Эвклид, кн. Ш/опред. 7, 11.
2 P. Rami Geometria, 1569; Scholarum mathematicorum, lib. 31, 1569.
3 Huygens, Horollogium oscillatorium, 1673; Cantor, т. 3, стр. 138 и след.
4 Acta Eruditorum, 1686.
5 Acta Eruditorum, 1692; Commercmm epistolicum, т. 1, стр. 83.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
339
Формула для радиуса кривизны в форме
л__(1+я)т*.
впервые дается Яковом Вернулли \
138. Формула для радиуса кривизны без ^второй
производной. Ньютон не пользуется здесь флюксиями второго порядка2. Его построения дают
вполне определенное геометрическое значение флюксии от отношения флюксий
ζ = Л-, и он может говорить о ней, забывая, что она есть флюксия от флюксии (еслж
χ
х = 1). Получаемая им формула для радиуса кривизны такова:
_ 1+гг X V \~\-zz.
Ρ — · >
в нашем обозначении
№
Vt xt Vt %t
Нетрудно установить геометрический смысл входящих в формулу для кривизны?
выражений. Именно 1 -f- 02 = е · DH, НС = ζ · DH; поэтому НС — 1 -\- я2, причем
1 -j— ^2 имеет геометрическое значение ЗС2. Далее:
ВТ_ _TD_. РТ_ _ ВТ-РТ _ TW
TD~ РТ; ВТ~ Ш'2 "~БР;
DB Cg
139. Продольная и поперечная стороны. Уравнение конического
сечения, отнесенное к оси и к касательной в вершине ιβ = 2]рх -j- qx2, в обозначении
Ньютона имеет вид:
у2 = ах-\- Ъх2.
При этом
В2 В*
L А' *- А*'
где J. и В—полуоси.
1 Acta Eruditorum, 1695, стр. 371.
2 Они появляются в „Рассуждэпии о квадратуре кривых".
22л'

340
КОММЕНТАРИИ
Величину ρ мы теперь называем параметром. Древние называли 2р latus
rectum, что в переводе значит прямая (я скажу поперечная) сторона. Величина 2А
называлась latus transversum (продольная сторона).
Ньютон сохраняет эти античные названия г.
140. Циссоида Диоклеса. Это—кривая, которую применял еще в III в.
до н. э. Диоклес к решению задачи об удвоении куба.
Кривая определяется таким образом (фиг. 20):
1. От А, конца диаметра круга, откладываются две
равные дуги АЕ и AF. Пересечение прямой ОЕ е FG\\AB
дает точку циссоиды.
2. Или же от пересечения с касательной в конце
диаметра DK откладывается КМ= хорде ОЕ.
В декартовых координатах уравнение циссоиды
будет ψ
2а-
Гюйгенс 2 определил площадь между кривой и ее
асимптотой, объем сегмента тела вращения. К выводу результатов
Гюйгенса Валлис 3 применял метод неделимых. Касательной
к циссоиде занимались Ферма 4 и Роберваль б. Ньютон 6 дает
органическое образование циссоиды. Прямой угол FGH со сто-
Фпг. 20 роной GF определенной длины движется так, что точка F идет
по прямой OF; в то время как сторона GH проходит при
движении через неподвижную точку Е, находящуюся от О на расстоянии, равном
FG, середина отрезка FG описывает циссоиду.
141. Угол касания. История угла касания начинается с 16-го положения
III книги „Начал" Эвклида: „Прямая, проведенная от конца поперечника круга под
прямым к нему углом, падает вне круга; в пространстве между прямой и окружностью
не может упасть другая прямая; и угол полуокружности более всякого
прямолинейного угла, остающийся меньше" 7.
Представляет ли величину такой угол, меньший всякого прямолинейного угла?
Такова математическая проблема XVI в., при решении которой пользовались
чисто схоластическим методом. Речь шла о возможности подведения угла касания
под класс величин.
Но самый класс величин не определялся, не строился, а просто извлекался путем
своего рода рефлексии уже в готовом виде, различные же его свойства извлекались,
так сказать, по мере надобности. Тут я должен отметить, что большим заблуждением
1 См. Apollonii Pergae Opera (ed. Heiberg); Teixeira, Courbes speciales, т. 1, стр. 1 —11.
2 Ruygens, Oeuvres, т. 2, стр. 144—151, 164, 170, 178.
8 Wallis, Tractatus duo, Opera Math., Oxoniae, 1695, т. 1, стр. 575.
4 Fermat, Oeuvres, т. 3, стр. 248.
5 Boberval, Mem. de ГАс. des Sc, 1730, т. 6, стр. 67.
6 Об органическом образовании кривых см. конец „Перечисления кривых третьего
порядка
? Эвклид, Начала, в дерев. Ф. Петрушевского.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
341
является та мысль, что решение схоластических споров сводится лишь к
надлежащему выбору терминов.
Чисто схоластическая задача об угле касания — более серьезна, чем это может
нам теперь показаться. Если мы теперь не рассуждаем об угле касания, то вовсе не
потому, что мы нашли уже исчерпывающее решение этой проблемы, так волновавшей
Клавия, Пелетье, Кардана и многих других математиков, а просто потому, что мы такие
проблемы исключили из области математгьческого исследования, хотя в нематема-
тизированном мышлении мы и производим сравнение прямолинейных и
криволинейных углов.
Нельзя здесь считать решением ссылку на то, что угол между прямой и кривой
есть по определению угол между этой прямой и касательной к кривой, на основании
чего все углы касания равны.
То, что мы называем до начала математического изучения (и, следовательно, то^
что дается упомянутой рефлексией) углом между кривыми (хотя бы мы и не были
в силе выразить это словами), конечно, не тожественно углу между касательными
к кривым.
Эти два угла равны только в том случае, если признать угол касания равным
нулю, так что упомянутый выше аргумент порождает ложный круг. „Угол между
кривыми— это угол между касательными". Это чисто номинальное определение термина
угла употреблено в смысле, безусловно, расходящемся с тем определением, которое уже
находилось раньше в нашем уме, так же как положение, выдаваемое за аксиому,
' а именно, что наклонение двух кривых измеряется наклонением их касательных.
Вне сомнения, эта формулировка содержит гораздо больше, чем то, что может
быть признано очевидным. Очевидна здесь не пропорциональность этих наклонений, что
невозможно было бы установить, ибо для этого оказывается необходимым третье:
наличие меры наклонения двух кривых, соответствующей дуге как мере наклонения двух
прямых. Очевидно только то, что с возрастанием наклонения касательных возрастает
наклонение и кривых и обратно. К сожалению, мы не можем здесь останавливаться
на интересных аргументах, выставлявшихся Клавием и Пелетье в пользу их тезисов.
Пелетье 1 доказывает, что в кругах углы, образуемые диаметром с окружностью,
равны. Угол касания по Пелетье не представляет величины. Над ним невозможны те
операции, которые предполагают понятие величины. Он, видимо, соглашается с тем,
что все углы — величины, но настаивает на том, что угол касания — не угол.
„Всякий угол, — говорит он, — состоит в сечении, а не в касании". Заставляя прямую АС
вращаться вокруг точки кривой А, он старается убедить, что в момент совпадения
этой прямой с касательной в точке А мы должны говорить об исчезновении угла.
Иначе думает Клавий 2, по которому угол состоит из одной точки и
наклоненных линий (безразлично—прямых или кривых), которые лежат не в одном направлении,
1 Peletarii Elementa Euclidis, 1557, ad. Ill, 15—16, стр. 297; Cantor, т. 2, стр. 533; Моп-
tucla, т. 1, стр. 504.
2 Clami Elementa Euclidis, Romae 1574, т. 1, Sch. ad III, 16, стр. 110—116, ad V, 5, стр. 181,
ad III, 31, стр. 126; 1589; т. 1, ad. Ill, 16, стр. 565; Cantor, т. 2, стр. 556; Moniucla, т. 1, стр. 506;
Cardani De Subtilitate, 1550. De Scientia lib. 16, стр. 980 (в его Opera); Cantor, т. 2, стр. 489:.
Newiom Principia, пер. Крылова, Поучение к лемме 11, кн. I, отд. I.

342
КОММЕНТАРИИ
как это ясно из эвклидового определения угла1. Но Клавию приходится обобщать
понятие величины, может быть, и незаметно для себя, принимая за величины и те,
которые не удовлетворяют так называемому постулату Архимеда.
142. Бесконечно малое высшего порядка. Для Ньютона еще
существует актуально бесконечно малое и поэтому для него есть и угол касания. В угле
касания, образуемом касательной к кривой и ее дугой, нельзя провести дуги кругов
меньшей кривизны.
Ньютон, в противоположность Пелетье, принимает углы касания за величины,
как и прямолинейные углы, но только относит их к различным классам, так что
действия над величинами различных классов производятся по другим законам, чем
действия над величинами одного класса. Ньютон здесь подходит к понятию бесконечно
малых высших порядков, которым вполне овладевает Лейбниц. Ньютон указывает, что
углы касания для одних кривых оказываются бесконечно меньше, чем для других.
Порядок малости угла касания является порядком малости бесконечно малых в
современном смысле.
143^ Синкопированная алгебра. Ньютоновское „in", которое стоит на
месте нашего „умноженного на"—это интересный остаток синкопированной (нолу-
оимволической) буквенной алгебры, каковой она является все первое время
существования. Чтобы ознакомить с ней читателя, я приведу выдержку из Виеты: Si А
quadr. -j- В2 in A aequantur Ζ piano. A~\~ В est Ε. Igitur Ε quadr. aequalitur Ζ piano +
-\-B quadr. Consectarium. Itaque \/Z plan. -\-B quadr. — В est A.
В русском переводе:
„Пусть А квадр. -\-2В на А равняется Ζ плоскому. A -j~ В естъЕ. Значит, Ε
жвадр. равняется Ζ плоскому -|- В квадр.
Следствие. Итак:
Υ Ζ плоек. + В квадр. — В есть Аи.
144. Это следует понимать так:
AJc: Ае = Kk: de,
1: у = о · χ: de;
юткуда
de = о · χ · у;
а так как
χ =1, то de = o · у;
затем
CG:GF=de:eD;
откуда
1: ζ = оу : eD, eD = о · у ζ
ж так далее.
Эвклид, Начала, кн. I, опред. 8.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ» 433
145. Первая лемма анализа бесконечно малых. Это значение
получается не для HD, а для
у X (Ж2
Яе =
CF*-
Б =
+ Р =
а: Ъ =
_АЪ
>
а
=в,
= А:В.
Но Ньютон вместо Не просто подставляет HD, говоря, что on принимает
за равные величины, отношение которых бесконечно мало отличается от единицы.
Это принятие одной величины за другую прогшодится в пропорции:
а:Ъ = А:(В-{-р),
где S-j-β заменяется В.
Эта операция, конечно, может обосновываться на цринципе исчезновения беско-
нечно малого перед конечным, а именно из В-\-р =— следует:
а
т:ак как
и затем
Эта форма вывода сближает Ньютона с .современной математикой. Наряду
ю исчезновением бесконечно малого перед конечным выступает и эквивалентность
величин, отношение которых бесконечно мало отличается от отношения равенства
и которые могут заменять друг друга в членах отношения. Ясно, что мы здесь имеем
в еще смутной эмбриональной форме первую лемму анализа бесконечно малых *.
Очень характерно выражение Ньютона: „отношение а: Ъ отличается бесконечно
мал:о от отношения равенства", а не от единицы, как скажем мы2. Чем объясняется
такое выражение?
Для Ньютона всякое число можно рассматривать как отношение, но еще не
всякое отношение является числом. Отношения уже могут быть меньше и больше,
можно их даже сравнивать вычитанием и над ними производятся все формальные
действия, но они все-таки еще не являются числами3.
146. Ошибка Ньютона. Эта пропорция ошибочна. Из пропорции АВ:ВК=
= ВК: BQ вытекает, что
1 :х = х: BQ,
-пропорция
\-\-гг — г\ 1 +** :: AD(y): DH
1 Впервые у Duhamelr Elements du calcubinfinitesimal, Paris 1860.
2 Bob. Simpson, Opera reliqua, Glasguae 1776, De limitibus.
3 Newton, Arithmetica universalis, 1707.

344
КОММЕНТАРИИ
дает:
или
AD:DH^j^:(l + -^\ = BQ:(AB + BQ) = BQ:AQ.
147. Точка прямизны. Ньютоновское понятие точки прямизны не. вполне
совпадает с понятием точки перегиба. Это — та точка, в которой касательная имеет
касание порядка выше первого. Если ?/" = 0 и у"'SO, то мы имеем точку перегиба.
Если у" — О, у'" = 0, y(IV) ^0, то нет точки перегиба, а есть точка прямизны. Поэтому
Ньютон и говорит, что точка прямизны большей частью (но отнюдь не всегда) является
границей противоположных изгибов. Не владея производными высших порядков,
Ньютон, однако, не дает условий, соответствующих различным случаям. В скрытом виде
ζ это у"9 и правило Ньютона для разыскания точек прямизны, состоящее в
приравнивании ζ нулю, сводится к решению уравнения у" = 0. Но это решение должно быть
восполнено исследованием у'".
148. Проверк
\1±ί1 ι ,/Г- W2-(i + ?/%
-н/=
з>/У'2 — ц-Н/%"
у
"2
%У2-
£±гЭ£/Т+7*
149. Радиус кривизны в вершине кривой. Теорема Ньютона можег
быть выражена так:
ρ = lim уу'
у = 0
у' —со
Ее можно вывести, применяя известное правило Лопиталя. Так как здесь при г/ = 0,»
у' = ос, то обязательно и /у" = оо; если ρ конечно, то
2
Р = lim у jpfr-J2 im ^ = lim (|ί ),
но вместе с тем
lim Ι ψ/
= Jim
y = 0
Ο/Γ1
= lim
У
У
'2
'3
= lim ~г
\У
Конечно, Ньютон свою теорему выводил иначе. Вероятно, это было какое-либо чисто*
синтетическое доказательство вроде, например, следующего:
Из подобия треугольников ABC и DBA (фиг. 21) следует:
JC:AB = AB:AD,
АС:у = у:х,
у
АС = у--4» и при х = \\ АС = уу.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
345
Но вследствие того, что отношение AC:JC бесконечно мало отличается от отношения
равенства, то
JC = ijy.
Это доказательство можно провести по-современному (введя понятие об
эквивалентности бесконечно малых и первую лемму анализа бесконечно малых).
150. В этом обозначении последний член пропорции, определяемый пропорцией.
^ DP-ВЪ
Da = —=-=г—, соединяется со своим значением знаком равенства.
Ъ1)
151. Кинематическое понятие о кривизне второг о порядка.
Ньютон не довольствуется кривизной в обычном смысле,
кривизной первого порядка, и устанавливает понятие
о мере изменения кривизны, что можно назвать
кривизной второго порядка.
За показатель неравномерности изменения он
принимает не скорость изменения радиуса кривизны ρ
а ее отношение к скорости изменения дуги s, т. е.
—, для нас -~. Если бы показатель неравномерности
ι .9 dS
был определен чисто формально дробью x = J-, то положения Ньютона тотчас
следовали бы из равенств:
Фиг. 21
По Ньютону
Если
то
или
dp dp' ч dp ds
ds ds' dp' ds''
о · s
о · ρ' о · s'
ρ = jfep',
s = Ics',
dp dp'
ds ds'
o-p
0 · s
o-p'
о · sr
Ньютон эти положения помещает раньше определения, чтобы по аналогии
с ускорением, обнаруживающим те же свойства, не доказать, но убедить читателя
принять эту величину за числовую характеристику неравномерности изменения кривизны
152. Кривизна высших порядков. Определение различных элементов
соприкасающихся кривых второго порядка было сделано Амперомг (изучена соприка-
1 Ampere, Sur les avantages qu'on peut retirer dans la theorie des courbes de la
consideration des paraboles osculatrices, Journ. de ГЕс. Polyt, t. 7, ch. 19, стр. 159, 1808.J

340
КОММЕНТАРИИ
оающаяся парабола согласно идее Ньютона) и Эннепером * (общий тип кривых
второго порядка). Конечно, не все параметры соприкасающейся кривой принимаются за
юпределяющие кривизну, а только те, которые не зависят от выбора координат,
т. е. представляют собою инварианты; остальные определяют положение заданной
жривой. Формула для ньютонова показателя неравномерности кривизны следующая:
■=з [*/-
ds ~ L %"2
ж,· как следует из самого его определения, зависящего от ρ (радиуса кривизны, не
зависящего от осей координат) и от s (дуги, тоже не зависящей от них); эти величины
инвариантны при преобразовании координат, что легко проверить и непосредственно.
"Выражение, стоящее в скобках, — это tgo, тангенс угла, образуемого осью
отклонения с нормалью к кривой. Ось отклонения согласно Трансону 2 определяют так:
точка кривой Μ соединяется с серединой хорды, бесконечно близкой к касательной и
ей параллельной; δ можно рассматривать как кривизну второго порядка.
Понятие о кривизне более высоких порядков и теоремы, относящиеся к ним,
можно найти в моих работах 3.
153. На основании того свойства пропорции
а : Ь = с: d,
что
а : Ь = {а -j- с): (Ь -\- d),
где а = ВР, Ь = PD, с = РК d = PC.
154. Эта формула, конечно, найдена Ньютоном синтетически.
АР Dc
Из подобия треугольников APD и cdD выводится, что . л = —j—, но
Dd d ш dc* + Dc* _ d* dc* _ d* — e* Dc _ e__
Dc e ' Dc* e* ' D& e* ' dc yW— e*
155. Ньютон употребляет вместо термина „показатель неравномерности
кривизны" просто „неравномерность".
d^rj _ d»p _
156. Maximum и minimum определяются из условий:^-— ° йли ^г — и·
157. Обратная задача о площадях. Так можно называть задачу об
определении уравнения кривой по выражению для площади криволинейной трапеции
я = <р(#), (1)
1 Enneper, Uber die Oscul. Kegelschnitte. Zeit. f. Math, und Phys., 1874, стр. 138.
2 Transon, Recherche sur la courhure des lignes et des surfaces; Journ. de Liouville, 1841,
τ. 4, стр. 191; Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie der heheren ebenen Kurven.
» Д. Мордухай-Болтоаской, О кривизне плоских кривых, „Известия Варшавского
политехнического института", 1907.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
347
которая основана на формуле ζ = г/ (по-нашему / = у) и решение которой
определяется формулой:
У = ?' 0*0-
Так как диференцирование конечного выражения дает опять конечное, то
согласно Ньютону можно дать сколько угодно кривых с площадью, выраженной
конечным образом. При этом „конечное выражение" можно понимать и в смысле
алгебраического и в лиувиллевском *■ смысле трансцендентного конечного класса. Ньютон, не
владея всеми формулами диференциального исчисления, не старается доказать свое
утверждение даже для алгебраического случая, хотя своим методом подстановки (без
явного употребления формулы для производной сложной функции) он уже дает все
для такого доказательства.
158. Жизненный нерв интегрального исчисления. Следует резко
отличать основные идеи анализа бесконечно малых от его вычислительного аппарата.
Можно пойти очень далеко, пользуясь двумя принципами: 1) заменой в пределе
суммы элементов эквивалентными им величинами, 2) принципом Кавальери2.
Первая ступень определения объема цилиндра или конуса — это разделение
его на бесконечно малые элементы (ломтики, ограниченные гранями, проходящими
через ось), замена их эквивалентами (входящими или выходящими пирамидками) и
сузширование.
Вторая ступень — доказательство равновеликости двух объемов по принципу
Кавальери вследствие равенства величин, эквивалентных элементам объемов (таким
образом доказывается, что полусфера равновелика цилиндру без вставленного в него
конуса). Затем мы можем снова применять первый принцип, заменяя элементы
эквивалентами уже более сложного типа, для которого формула объема устанавливается
с помощью принципа Кавальери. Затем возможно опять прибегнуть к принципу
Кавальери и т. д.
Мы получаем ряд типов:
А§, Aq, Aqq, Aqq, Aqqq, A00q, . . .
Переход от A0 к A0 определяется принципом замены в пределе суммы (точка зрения
потенциального бесконечно малого) или в сумме (точка зрения актуального бесконечно
малого) элементов их эквивалентами; переход А0-+ А00 определяется применением
принципа Кавальери;.
Аппарат интегрального исчисления приводится в движение, как только
обнаруживается возможность сведения определения суммы бесконечного числа бесконечно
малых (по-нашему предела суммы), к которому сводятся основные задачи об
определении площади (а затем дуги, объема, поверхности), — к задаче, обратной диферен-
цированию, т. е. нахождению по производной (флюксии) — первообразной функции
(флюэнты).
1 Classification des transcendentes, Journal de Liouville, т. 1, 2; см. мою работу „Об
интегрировании трансцендентных функций", Известия Варшавского университета, 1913.
» '2 Heinze, Genetische Stereometrie, Leipzig 1886.

348
КОММЕНТАРИИ
Вывод основной формулы:
ъ
ff(x)dx = F(b)-F(a), (1)
а
где
ff(x)dx = F(x) + C,
или, верней, некоторого ей эквивалентного положения, и представляет наиболее
важный момент в теории флюксий.
Что является особенно характерным,—это искусное для того времени избежание
разложения площади на актуально бесконечно малые элементы с помощью приемов
Кавальери и Кеплера.
В современных учебниках рассмотрение интеграла как предела суммы является
неизбежным. Если это не возводится в определение, то доказывается. У Ньютона
интеграл есть только первообразная функция, и он вовсе не доказывает, что это—
сумма бесконечного числа бесконечно малых. Ньютон рассматривает образование
площади посредством движения изменяющей свою длину прямой.
В основу своих рассуждений Ньютон кладет положение, которое он не
доказывает, но которое представляется и ему и другим очевидным без проникновения
в зернистое строение пространства, предполагаемое методом неделимых.
Это основное положение определяет отношение скоростей описания
площадей или их флюксий. А именно, они относятся, как длины описывающих
прямых.
Описанная в момент времени площадь мыслится Ньютоном не как линия и не
как бесконечно малый входящий или выходящий прямоугольник, а как бесконечно
малая криволинейная трапеция. При этом площадь S равна у · хо вовсе не потому,
что она равна (или эквивалентна) прямоугольнику с высотой у и основанием хо,
а потому, что имеет место пропорция:
S у
отношение скорости образования площади S к скорости образования прямоуголь-
м - DB у __
ника с высотой 1 равно отношению jp=- = ~. Если взять один момент
времени, то следует этот момент умножить на скорость и получится у · χ. Формула
более простая, 3 — у, получается, если положить х = 1, т. е. принять скорость
изменения абсциссы равной единице.
159. Обобщенная обратная задача о площадях. Если пользоваться
более удобным и привычным для нас обозначением, то речь здесь идет об определении для
данной кривой:
<Р (*,#) = 0, (1)

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
349
другой кривой
Ф(*,у) = 0, (2)
так, что
Ψ (£,*) = О, (3)
где S и s — площади кривых (2) и (1).
Задача, конечно, неопределенная. Если взять еще
Х = Ч*), (4)
где относительно 6 ставится только то ограничение, что она выражается в конечном
ъиде, то, имея в виду, что
s = b(x) (5)
"известна нам, остается только с помощью (3) и (5) найти
S = <*(x) (6)
ш для отыскания Υ подставить значения X и S из (4) и (6) в уравнение
dS
— =У (7)
dX 1л (i)
dx
160. Псевдоэллиптические интегралы. Примеры Ньютона
соответствуют подбору псевдоэллиптических интегралов.
В настоящем случае, имея в виду, что площадь круга выражается через
функцию arcsin, мы имеем разыскание интегралов, выражаемых через arcsin *.
Например, из трех уравнений, которые при пользовании нашим аппаратом
символов напишутся так:
а2 . 2х — а . 2х — алГ _
ах -}- —— arcsm ( —у ах — х2 = А,
а
а
ах-
Г —
У
— х* =
8
Y,
у\
X выразится в конечном виде через Υ с помощью круговых функций. Кривая —
трансцендентная.
161. Дальнейшее обобщение задачи о площадях. Ньютон далее
берет вместо уравнения (3) комментария 159 уравнение S=Q(x,s).
1 О псевдоэллиптических интегралах см. мою работу „Об интегрировании в конечном
виде линейных днференциальных уравнений", Известия Варшавского университета, 1910,
Введение, стр. 39.

350
КОММЕНТАРИИ
162. Флюксия как свободный вектор. Ньютон употребляет
выражение : описывается флюксией. В этом смысле флюксия является не отвлеченным
числом и не скаляром, а геометрическим объектом, именно отрезком прямой, имеющим
столько единиц длины, сколько единиц в флюксии, параллельным движением
которой образуется площадь.
163. Обычным синтетическим методом Ньютона эта пропорция
выводится из подобия /\ЬШ и /\1ЪР— kLBP (фиг. 22).
164. Обобщение основного кинематического принципа Ньютона.
Здесь Ньютон впервые употребляет свой принцип отношения скоростей площадей
в обобщенной форме. Площадь у него описывается не прямой неизменной формы,.
но деформирующейся дугой, причем меняется не только
ее длина, но и кривая. Сравнение относится к сектору
спирали и прямоугольнику в квадрате.
165. Тригонометрические разложения.
Ньютон, вероятно, имеет в виду кривые, определяемые-
параметрическими уравнениями:
Фиг. 22
# = ^_j_ V a,j sin β-^-S\ ^-cosjf,
ύ ά
ί/ = J3* + J Cj sin β + ^ dj cos β.
Возможность нахождения площади такой кривой основывается на том,
Ньютон в скрытой форме находит производные синуса и косинуса.
В самом деле, из подобия треугольников LIK и LBP (фиг. 22) следует, что
что*
d(l — cosf).
dt
= smt 1.
166. Ньютон уравнение кривой пишет в виде f{x, ^) = 0; г следует мыслить
замененной через у (ординату кривой).
167. Сведение механической кривой к алгебраической. Все
сводится к преобразованию координат, например, к замене уравнения полярного·
f(r,$) = 0 декартовым f{x, ?/) = 0, также построенным относительно (х, у), как первое
относительно (г, Θ).
168. Версьера Аньези. Кривая у— 2 2 называетея версьерой Аньезк-
в честь исследовавшей ее женщины — математика Аньези 2. Кривая пзвестна была
и Ферма 3.
1 Геометрический вывод производных sin χ и cos χ у Котеса см. Cotes, Aesthnationes
errorum in mixta mathesi per variationes partium trianguli plani et sphaerici, 1722 -T Cantor, т. 3>,
стр. 360, 412.
2 Μ. Agnesi, Institution!, analitiche; Cantor, т. , стр. 823.
3 Oeuvres, de Ferimt, т. 1, стр. 278; т. 3, стр. 233, 284.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
351,
169, Ρ аз л о жение арктангенса. Ньютон дает не только разложение*
но и
1С Έ
arctg χ = χ %— -)—— -
о о
тг 1 1.1
- — arctg х = -ТТ+ тт
/2 χ Зхг ' Ъхъ
Последняя формула следует из того, что
8
оо
-J 1+Ж2-'
Χ
ια.1
— arctg -
170. Если
У = ао + 2 S^'> ' mi > °>
χ
то / y<i.r равен площади криволинейной трапеции bdBD.
о
оо а
Если же ш^.<0, то / ydx = — / ydx, т. е. площади между дугой кривой m
а со
асимптотой.
Если у меняет знак в промежутке от а до Ъ, то интеграл равен
bdE—BDE.
Площадь dEDG получается преобразованием координат, если перенести ОХ
вниз параллельно самой себе, т. е. если положить
х = хх, у = У1 + с,
ъ ъ ъ ъ ь
8=1 yxdx= I (y — c)dx= I ydot—с dx = / ydx — с (b — α).
Далее,
aa
/aadx I aa I iaadx
где
и
X = X-\-y
aa
1С
—
aa
X
= ln
х + У
if 1. Ряд Лорана 1. Один из этих рядов будет сходящимся, другой
расходящимся. В комплексной области, как известно, такие двойные ряды имеют значение.
Теорема Лорана определяет область применимости такого ряда.
1 P. Laurent, Comptes Rendus de ГАс. des. Sc. de Paris 17 (1843), стр. 938; Weierstrass,
Werke, т. 1, стр. 51.

КОММЕНТАРИИ
172. Недосмотр Ньютона. Ньютон не craisi.T определенно вопроса, за
яакие десятичные знаки можно поручиться. При сложении ошибка нарастает. Действие
производится над 19 числами, вследствие чего в результате следует отбросить не
один, а два последних знака.
Результат следует брать только с 14 знаками после запятой.
173. Лейбницевское и ньютоновское вычисление тт. Лейбниц дает
разложение:
τ~ι 3 + 5 + ···'
-которое выводится из выражения для площади версьеры:
1
Ньютоновское разложение получается из
/ут.
' XX (XXу
о
т. е. из интеграла, выражающего сегмент круга.
174. Канон. Канон представляет собой сперва общее пушило решения
геометрических или алгебраических задач. В этом смысле этот термин употребляется
старыми авторами. Затем канон — это уже таблица величин, расположенных в
определенном порядке г.
В этом смысле натуральным каноном треугольников (Canon naturalis triangu-
lorum) будут по-нашему таблицы натуральных тригонометрических величин,
искусственным каноном треугольников (canon artificialis triangulorum)—логарифмические
таблицы тригонометрических величин. Также существовал канон (sexagenarius) для
приведения шестидесятиричных дробей к десятичным. В астрономии имелись: canon
ascensionum rectarum, canones aequalium motuum et prostaphaeresiorum и т. д.
175. Это геометрическая формулировка перехода от натуральных логарифмов
к десятичным:
10lgl0*=iY; elnN = N;
In 10 · lg10 Ν = In Λτ; lg10 Ν = In Ν. lg10 e;
In 10 = 2,302585..., lg10 e = 0,43429...
176. Формула интерполирования для логарифмов. Разность
t = ]gn — lg(n — χ)
сводится κ d -}- — (-···> гДе
АП
ι ·4--^-4-
, lg(n-\-x) — lg(n — χ) ξ ' 2η χ ,
2 ' 1 ~ χ* — 1+"2^~·"'"
1 Klugel, Worterbuch.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
353
177. Это — зародыш метода интегрирования в расширенной новыми
трансцендентными функциями области. Таковы, например, исследования Серре * о выражении
дуг алгебраических кривых с помощью эллиптических функций.
178. Интегрирование рациональных дробей приведением к
интегралам от иррациональных выражений. Этот пример очень характерен.
Не владея функцией и знаком арктангенса, Ньютон не поступает, как мы, он не
пишет
'-/■
asdx Λ ι α χ , .,
^arctg (-С,
α2 + #2 / \х* « ' (О
но приводит к площади криволинейной трапеции, ограниченной дугой круга ABCD,
ζ
т. е. к функции λ(ξ)= Υ а?—£2dSi, выражаемой через алгебраические функции и
>е
арксинус. Известно, что
λ (ξ) = —^—^ Ь Τ arcsm Τ ' ( }
тогда
,!=:ξ|/α2— ρ_ 2λ (ξ),
лричем
α2
_ ]/α*-\-χ2 ' ■
Выходит, что Ньютон интегрирует рациональные дроби, приводя их к
интегралам от иррациональных выражений.
Другие авторы, например Бугенвиль, делают это и более откровенно, совершая
.это приведение с помощью подстановки2.
179. Доказательство этого утверждения элементарно.
180. Кривая каппа. Кривая у2(а2 — х2) — х±— известная каппа — кривая
или кривая ван-Гутшовена, ученика Декарта, который первый отметил эту кривую
в письме к Гюйгенсу. Этой кривой занималось много математиков. Построение
касательной дал Слюз3.
Эту кривую Ньютон, вероятно, заимствовал у своего учителя Барроу 4.
/x-dx
- через
у а2 — х2
•арксинус.
Результат, полученный Ньютоном, найден быА.' раньше Гюйгенсом.
х^
181. Площадь циссоиды. Уравнение циссоиды у2 = .
а ~~~~~ χ
1 Serret, Journal de l'Ecole Poly technique, 35; также Serret, Calcul integral, стр. 252.
2 Bougainville, Traite de calcul integral, 1754.
3 Oeuvres de Huygens, 4, стр. 207; Gino Loria, цит. соч., гл. 9, стр. 122.
4 Barrow, Lectiones geometricae,
"23 Заю. 3296. Ньютон

354
КОММЕНТАРИИ
Площадь выражается интегралом
/·/;
dx хорошо известного типа.
Ньютон не упоминает о теореме Ферма г, еще раньше доказанной Гюйгенсом
в 1658. г., что площадь части, ограниченной циссоидой и асимптотой, втрое больше·
площади образующего круга.
Другая теорема Гюйгенса2 состоит в том, что площадь CMANC=SCLANO
(фиг. 23).
Читатель может это проверить, заметив, что полярное уравнение циссоиды
2r'sin2 ω
тт ттатпгя·
2
есть ρ = ■
cos ω
и найдя
У- Чтг2
sin*a>da> = — 2г2.
Здесь CMANC=3 ( г* — ^),
кг*
Фиг. 23
CLANC = r*-
182. Площадь выражается суммой интегралов:
/ yV — ^cte-fb Ι
dz
из которых каждый берется в конечном виде в круговых и логарифмических
функциях.
Первый имеет определенное геометрическое значение, выражая отрезок
сегмента СВР. Второй дает выражение площади ВРЕВ. Аналитически приведение
второго к площади гиперболы производится подстановкой z =—.
X
183. Это выводится опять из рассмотрения подобия /\РВС и бесконечно малого
треугольника, который строится проведением BBr J_P-A ВК J_CB и В'К \_ВК
(фиг. 24).
184. Спрямляющие кривые. Как квадратрисам в общем смысле,
ординатами которых определяются площади заданной кривой, так и кривым с ординатами,
равными дуге данной кривой, математики эпохи Ньютона приписывали слишком большое
значение. Если уравнение данной кривой y = f (χ), то уравнение такой
спрямляющей кривой будет:
X
1 Fermat, Oeuvres, т. 2, стр. 454.
2 Hnygens, Oeuvres, т. 2, стр. 170 — 173; т. 1, стр. 85; т. 3, стр. 238; Wallisii, Tractatus duo.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
355
площадь ее есть;
8= J if У i-[-f2(a?) dx\ dx.
о о
185. Уравнение кривой здесь есть:
Ъх
У-
■Ус2 — х2
или
У&— X2
У2 (с2 — х2) = (х2 — & + Ъх)*.
Из двух интегралов Υ с2 — ζ2 dz первый выражается

алгебраически, второй приводится к круговым функциям.
186. Здесь фигурирует интеграл, который
приходится вычислять и при определении поверхности
вращения. Заметим, что интеграл
v\
ЪЪ
ЪЪ-\-аЪ
аа
V
4 а
dz
Фиг. 24
псевдоэллиптическии; к нему следует применить
подстановку z2 = t
187. Для большей ясности следует провести Df\\Cc и рассматривать подобные
треугольники
/\Ddf и /\DCK.
188. Прямоугольные треугольники AID и ADC имеют общую гипотенузу
и равные острые углы, как имеющие взаимно перпендикулярные стороны.
189. Из уравнения касательной _
а2
УУх
СА = х--
а?
хл
, 2 = 1 при у = О получается:
и СА:АР=РА:АМ.
190. Ньютон и книга V „Начал" Эвклида. Ньютон здесь, как
и в своих „Началах" * не везде, но местами старается придерживаться образцов
античных математиков. С пропорциями он оперирует, как Эвклид в книге V „Начал",
т. е. мысля члены отношений не как числа, а как геометрические величины.
Как и в анализе бесконечно малых, его формальные операции отстают от его
идей, здесь идущих в направлении арифметизации. Термины, которые он употре-
1 Ньютон, Математические начала натуральной философии, т. I, перев. А. Н. Крылова»
примечание на стр. 69.
23*

356
КОММЕНТАРИИ
бляет здесь, вполне эвклидовские (конечно, в переводе с греческого на латинский,
данном переводчиками и комментаторами Эвклида).
Если
а: Ъ = с: d,
то дозволенные преобразования этой пропорции получают названия:
permutando, или alternando a:c = b:d,
invertendo (я перевожу: обращение) b:a = d:c,
componendo (α + Ъ): Ъ = (с + d): d,
dividendo, или divisim (я перевожу: деление) (а — Ъ): Ъ = (с — d):d,
convertendo а: (а — Ъ) = с:(с — d),
mixtim (α + Ъ) : (α — 6) = (с + d): (с — d).
Валлис Η комбинируя эти термины, создает составные термины для 52
преобразований.
191. Здесь Ньютон мыслит, конечно, в духе Кавальери, хотя мог бы придать
этому месту текста и другую форму, более соответствующую его идее образования
площади движущейся прямой во времени. EeDd просто мыслится отожествленной
с бесконечно малым параллелограмом со сторонами ED и Сс.
192. Уже здесь встречаются идеи, легшие в основу метода последних и первых
отношений, подробно развитого Ньютоном в „Математических началах натуральной
философии". См. комментарий 221.
193. Ньютон здесь вполне сознает, что во всех только что приведенных
доказательствах он примыкает к прошлому; он действует так, как его современники или,
вернее, как предшествующее ему поколение. Теперь он делает шаг вперед и
старается говорить на своем языке.
194. Уравнение окружности представляется в виде:
у:а — х: :х:у.
195. В прямоугольном треугольнике AEF высота ЕН перпендикулярна к
гипотенузе. Следует отметить, что AD = EF и поэтому
AI = HF (AADC<£ &HEF).
196. Ньютон здесь вводит новое обозначение:
ID означает флюксию ID. Если ID = у, то это то же, что у.
197. Диференцирование при геометрических обозначениях
Эти линии нужны были для проведения вывода статическим.приемом,
основывающимся на расположении подобных прямоугольников.
Wallisii Algebra, 1685.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
35
В динамическом приеме (с помощью движения) они уже не нужны. Основы
выведены рассмотрением геометрических объектов во времени, но дальше идут чисто
формальные операции.
Переход от
DQq = AQXQC,
т. е. от
DQ* = AQ.QC,
где AQ— постоянная, к
2DQXQD = AQ'QC
по существу представляет собой диференцирование (хотя и при неудобных
геометрических обозначениях).
198. Основной принцип при выводе приближенных
квадратур. Выше Ньютон занимался точным выражением неизвестной площади S через
другие известные
А, В, С, D,
причем всегда в линейной форме:
где λ,μ,ν, ρ — известные постоянные.
Теперь ставится задача о приближенном выражении S через А, В, С, Ιλ
Основная идея состоит в разложении А, В, С, D в степенные ряды:
j — co J^ j=co j_
А= ^ ajx* , С=2 cjXd,
j=0 j=0
в= 2 bjXa, ί>=2 *?*>
в подборе λ, μ, ν, ρ так, что
ajk + fyji + Cjv + djp = 0,
„ λ μ ν
и определении отсюда отношении — ,—,—·.
Ρ Ρ Ρ
Что касается А, В, С, D, то Ньютон берет их так, что они выражают собой
некоторые прямоугольники.
199. Приближенная квадратура круга1. Ньютон дает решение
задачи о приблиэюенной квадратуре круга, которая интересовала математиков эпохи
возрождения.
1 0 приближенных квадратурах см. УаШещ Konstruktionen und Approximateonen.

358
КОММЕНТАРИИ
Формулы Ньютона таковы:
AFXDB _2
3'
ABx\l>E-t-j- (AD—DE)]
т. е.
AFX DB 2_
3
ΑΒχ[^ DE+±Ad}
200. Обращение интеграла. Интересно отметить, что мы, располагая
знаками логарифмических и показательных функций, вместо предлагаемого Ньютоном
решения первой задачи будем брать следующее:
. = „Μ„(ί±£),
х = а(еаЬ— 1); у = Ъе аЬ.
Для второго случая
X X
ζ= I Л/ ах dx = -_ · I Vex — χ2 dx.
Выражение χ через г получается обращением интеграла
fVl
сх — х2 dx
и не выражается в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных.
201. Параллельные кривые. Рассматриваемые здесь кривые Лейбниц1
называет параллельными. О них смотри в курсе Бертрана2. В простейшей форме
доказательство общности нормалей у параллельных кривых должно состоять в том,
что в случае перпендикулярности прямой к первой кривой 8Δ углы при δ и Δ можно
принимать за прямые.
Так как δί? = Δ6τ и Дбг||8А, то прямыми будут и углы при В и G (фиг. 25).
При таком доказательстве мы всецело находимся на точке зрения метода
неделимых.
Если же ввести сюда понятие предела, но не в даламберовском, а в ньютоновском
смысле, то можно исходить не из того, что углы при δ и Δ принять за прямые,, а из
того, что углы при δ и Δ будут равны. Они останутся равны и тогда, когда Δ совместится
с δ, т. е. угол при δ окажется равным своему смежному, т. е. будет прямой. От равенства
углов δ и Δ делается заключение к равенству углов при R и G и к перпендикулярности
прямой к кривой в В.
1 Acta Eruditorum, 1692; Mathemat. Schriften, т. 5, стр. 270.
2 Bertrand, Calcul differentiel, Paris 1864, стр. 12, 13.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
359
202. Касательные по Ньютону. Для Ньютона касательная здесь вовсе
же является пределом секущей. Ньютон вполне сознает негодность ныне
называемого лежандровым* определения для кривой третьего порядка, которая может иметь
общую с касательной точку, кроме точки касания. Он заменяет эта определение другим:
касательная—это прямая, имеющая одну общую точку с кривой и, прибавляет Ньютон,
расположенная вблизи нее по одну сторону, чем он исключает касательную в точке
перегиба. Последняя остается только прямой, наиболее близко примыкающей к кривой.
Ньютон предполагает в своем определении, что точка не представляет собой
острия. В этом случае ньютоновская касательная не
отсутствует, как в точке перегиба, а их имеется
бесконечное множество. Все прямые, проходящие через эту
точку, должны быть сочтены за касательные. Если ввести
ограничение, что молча и делает Ньютон, и прямую
проводить только внутри острия, то, так как острие
образует угол меньше, чем любой прямолинейный, найдется ^
только одна такая прямая, которая и будет единствен- Фиг. 25
ной касательной в ньютоновском смысле.
При настоящем исследовании Ньютона получается точка возврата, а не узловая
точка; это, конечно, вытекает из непрерывности изменения угла, образуемого
касательной с ОХ (или непрерывности вращения). Но Ньютон этого не подчеркивает.
203. Эволюта и эвольвента. Геометрическое место центров кривизны
данной кривой мы называем эволютой, а саму кривую — эвольвентой. Ньютон
доказывает, что нормаль эвольвенты касается эволюты.
Ньютон вводит эволюту для построения спрямляемых кривых. Идея сведения
-задачи об определении длины дуги кривой к изысканию эвольвенты и определению
радиуса кривизны последней принадлежит не Ньютону, а Гюйгенсу 2.
Чирнгаузен 3 исследовал эволюту эпициклоиды,' Яков Бернулли 4 —
логарифмической спирали. Исследование кривых с подобными эволютами принадлежит Крафту6
ж Эйлеру 6.
204. Отклонение в сторону неделимых. Здесь Ньютон уклоняется
особенно резко в сторону точки прения метода неделимых 7. Не только отожествляются
прямолинейные отрезки с дугами, но и устанавливаются равенства величин вследствие
равенства элементов, из которых они получаются (элементов, являющихся
единовременно произведенными моментами), устанавливаются при этом как следствия аксиомы
Овклида: если к равным прибавлять равные, то получатся равные 8.
1 Жежандр, „Основания геометрии" кн. 2, опред. 8.
2 ITuygens, Horologium oscillatorium; Cantor, т. 3, стр. 140.
3 См. Cantor, т. 3, стр. 245.
4 Jac. Bernoulli, Acta Eruditorum, 1692.
5 Kraft, Comm. Petrop. Ac, т. 2, 1727.
6 Euleri, Investigate curvarum quae evolutione sui similes producunt, Comm. Ac. Petrop.,
tr. 12, Nova Acad. Petr., т. 1, 1783.
3 См. письмо Валлиса в конце этой книги.
8 Эвклид, Начала, кн. I, акс. 2.
j*.

360 КОММЕНТАРИИ
205. Тангенциальные координаты. Кривая по принципу взаимности
определяется не только уравнением между координатами ее точек, на и уравнением
между координатами прямых*, которые она несет, например, касательными или
отрезками на ОХ и OF, или величинами, им обратными, или длиною касательной,
и отрезком и т. д. Если взять вместо касательной нормаль, то получим настоящую
форму определения кривой Ньютоном.
Длина нормали v\ = y ]Α+?/2; отрезок 6 = а? + 2/г/'.
Переход к декартовым координатам представляет интегрирование диферен-
циального уравнения первого порядка.
Данная кривая определяется декартовым уравнением, а та, с дугой которой
проводится сравнение, — уравнением в ξ и η:
Φ (ξ, η) = 0.
При решении произвольно берутся:
1) зависимость между χ и (ξ, η):
χ = ω (ξ, η);
2) выражение дуги S через ξ, η, — обязательно в конечном виде:
S=»(S, η).
206. Конечно, это уже чисто интуитивное доказательство и едва ли Ньютов
его считает равноценным первому:
βΔ βΔ · еД еЛ2
207. В скобках помещены значения величин, входящих в пропорции. Читать
следует таким образом:
АС (которая равна 1): Сд (равной У 1 —#2) = PC: CL.
208. Ньютон выражает координаты центра кривизны с помощью своих
тангенциальных координат (ξ, η):
Χ = αβ η), .(1)
Γ=Ρ(6, η), (2)
а также радиус кривизны
л = т& η)· (з>
Если уравнение эвольвенты есть 2 (ξ, η)(3), то исключение ξ, η из уравнений (1)г
(2) и (3) дает уравнение эволюты:
Я(Х, Г) = 0.
209. Парабола Нейля. Согласно Валлису определение дуги
полукубической параболы уъ = х* было совершено Вильямом Нейлем в 1657 г. Результат
1 Plucker, Theorie der algebraischen Kurven.

К «МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ»
361
опубликован Валлйсом в 1659 г. 1. Этим занимались и ван-Хейрэт 2 и Ферма 3. Мы при
нахождении дуги параболы Нейля найдем: / 1/1+^г7" &х подстановкой.
4а
ν
1 ! 9*
1 + —- = и.
1 4а
Крэг4 утверждает, что Нейль дает не определение кривых, а спрямляющую
кривую. Он выставляет теорему: если ордината кривой относится к нормали, как
данная прямая к ординате второй кривой, то площадь этой второй кривой
равняется прямоугольнику, построенному на этой прямой, и другой, равной дуге
первой, и приводит полукубическую параболу как пример. Ср. комментарий 184.
210. Дуга эволюты выражается через PC, которая выражается в Χ, Υ
(координатах данной вспомогательной кривой Φ (Χ, Υ) = 0), и через QB — дугу этой
кривой. Эволюта предполагается определенной в тангенциальных координатах
эвольвенты Q (ξ, η) = 0.
211. Задача не окончена, остается еще выразить ζ через s, t, подставив сюда
значения у и t То же следует сказать и об у. Дальше следует итти, как и в
предыдущем примере.
212. Здесь мы имеем преобразование кривой, определяемой уравнением:
Ф(*, х) = 0, (1)
в кривую
Ψ (Г, Х) = 0, (2)
определяемую уравнениями:
— =Г, х = Х. 3)
χ '
Но ^ (дуга) = ρθ (θ — долгота в радианах, ρ — радиус-вектор), а х = р. Уравнения (3)
принимают вид:
Θ = Γ, р = Х,
и дают из данной кривой другую, уравнение которой получается простой заменой
полярных координат декартовыми.
213. Уравнение циссоиды берется обыкновенно в следующей форме:
УЛ= * у= =-.
а — χ у χ (а — х)
Преобразование координат
χ = а — х19 у = Ух
приведет к форме Ньютона.
1 Opera, т. 1, стр. 551.
2 Descartes, Geometria, лат. изд. Schooten, 1659.
3 Dissertatio de linearum curvarum cum lineis rectis comparatione (Oeuvres, т. 1, стр. 21L.
1660; Тегхегга, Courbes speciales, т. 1, стр. 124.
4 Craig, Methodus fig. lineis rectis et curvis compar., etc. 1685; Cantor, т. 3, стр. 195.

.362
КОММЕНТАРИИ
214. Дуга циссоиды. Дуга определяется интегралом:
где 2г = а,
s = a (з — 2)-
«V», (^-VS) (2 + /3)
-In
2 (*+Vs) (2-V"3)
=7-, ^
■2 —
4α — α?
α — χ
215. Дуга спрямляющей кривой. Кривые строятся таким образом:
уравнение данной кривой есть у = φ (#), а спрямляющей:
X
= xf Y=f УТ+^Чх9
тогда
1+Г'а = 2 + у'*,
дуга спрямляющей кривой будет:
Фиг. 26.
30
S= ί V2-\-ij'4x.
Может случиться, что S выражается в конечном виде и при невыражаемости Y.
216. Момент площади равен ι^Γα.γβ (фиг. 26).
Та, момент ЛТ= (флюксии AT) · о.
γε принимается равно δβ вследствие того, что отношение их бесконечно мало
отличается от отношения равенства *.
217. Неспрямляемые кривые. Дуга гиперболы выражается в
эллиптических интегралах, не сводимых к элементарным трансцендентным.
В истории эллиптических функций огромное значение имеет исследование,
относящееся к сравнению неспрямляемых дуг, т. е. изыскание дуг с разностью или
отношением, равным таковым для дуг известных. Сперва здесь берутся дуги параболы,
затем эллипса, гиперболы и лемнискаты. Эллиптические и гиперболические дуги
постепенно переходят в то положение, в котором оказываются площади конических
сечений, обращающиеся в логарифмические круговые функции. Они становятся
♦особыми функциями, новыми трансцендентными, которыми пополняется область основных
трансцендентных, в которых производится интегрирование в конечном виде. Сперва
происходит приведение интеграла к дугам эллипса 2, т. е. к эллиптическим интегралам
.второго рода, затем приведение гиперболических дуг к эллиптическим 3 и, наконец,
исследование эллиптических интегралов как особого класса функций.
1 См. комментарий 145.
Sfac-Laurin, Treatise of fluxions, стр. 798; Euler, Nov. Comm. Petrop., т. 10.
3 Landen, Philos. Transact, 1775

К «РАССУЖДЕНИЮ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ»
363
За этим следуют обращение эллиптического интеграла й изучение
эллиптических функций, соответствующих функциям тригонометрическим так же, как
эллиптические интегралы отвечают функциям круговым х.
КОММЕНТАРИИ К „РАССУЖДЕНИЮ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ"
218. Учитель и ученик. При анализе метода флюксий Ньютона выступает
явление, наблюдавшееся и во многих других случаях: великие идеи, которые мы
всецело приписываем великому человеку, оказываются существующими до него в
головах людей, так сказать, более мелкого калибра. Заслугой гения оказывается не
открытие их, но приведение их из состояния неподвижности в движение. И есть доля
правды в выражении Вюффона: „гений—это само прилежание".
Одно превосходство ума еще не создает Ньютона. Для приведения в движение
и к жизни идей, которыми иногда уже, так сказать, пропитана окружающая атмосфера,
необходима настойчивость и работоспособность Ньютона, которых не было ни у Барроу,
ли у других.
Учитель Ньютона—Барроу рассуждает так же, как Ньютон. Он рассматривает
величины, как и Ньютон, текущими во времени. Разрешение схоластического
парадокса об изменении вещи, которая и остается той же и вместе с тем сейчас одна,
а затем вследствие изменения своих свойств другая, он находит в правильном понимании
.времени.
Вещь, изменяясь, может остаться той же, если это изменение происходит во
времени. „Время,—говорит Барроу,—есть сохранение какой-либо вещи в своем
существовании" 2.
X, принимая значения А, В, С, D, не будет оставаться тем же X, если мы
ле будем иметь течение этого X во времени.
Отсюда и вытекает то, что мы имеем в зачаточном состоянии у Барроу и в
развитом у Ньютона: время как универсальное независимое переменное. В связи с этим
время приобретает то абсолютное значение, какое занимает оно вместе с
пространством 3 у Ньютона, вместо того относительного, которое им придает Аристотель *>\
считающий их только свойствами: пространство — свойством тела, а время —
свойством движения. Барроу же резко подчеркивает, что понятие времени совершенно
самостоятельно и не включает в себя понятия движения и что последнее служит
только средством для измерения времени. Таким образом взгляд Аристотеля
оказывается перевернутым.
Не время является мерой движения, а движение — мерой времени; бесконечное
время, как и бесконечное пространство, существует как вместилище, хотя бы и пустое, —
вместилище, части которого мы не можем измерять, пока нет событий, пока нет
движения в этом вместилище.
1 Legendre, Traite des fonctions elliptiques, 1825 —1828.
2 Взгляды Барроу на время см. Barrow, Lectiones geometricae, стр. 23; Cantor, т. 3,
л\л. 38, стр. 132; т. 3, стр. 279—285.
3 См. конец его „Оптики*.
4 Аристотель о времени: Phys., кн. 4, гл. 9; о пространстве: Phys., кн. 4, гл. 4.

364
КОММЕНТАРИИ
Для Аристотеля беспрерывно продолжается бесконечное (при этом не актуально,
а лишь потенциально), и только движение создает время; где нет движения, там нет
и времени.
Ньютон математизирует воззрения Барроу. Взгляд на время как на
универсальное независимое переменное приводит к скорости изменения во времени, к флюксии.
Но t остается в сущности величиной, не имеющей конкретного значения, эта величина
непосредственно не может быть дана, ибо непосредственно t мы не можем получить.
Ньютон сознает, что мы всегда должны иметь дело не с у, а с А-, т. е. с отноше-
х
нием скоростей у ж х. Если мы будем для χ брать равномерное изменение во
времени со скоростью χ = 1, то с помощью χ мы можем измерять время и в этом только
смысле считаем χ за время и называем χ временем. Можно, как делает Ньютон,
У
заменять -4- через у, но при этом следует хорошо помнить, что это у нечто иное,
X
чем у, с которого он начинает.
219. Форономический прием древних. Конечно, здесь у Ньютона
содержание богаче, чем у древних. Древние имеют в виду при определении
движением геометрическое определение объектов,—например у Эвклида сфера * есть
поверхность, образованная вращением полуокружности вокруг диаметра. Но у них эта
поверхность не состоит из полуокружностей или же бесконечно малых колец. Кроме того,.
у древних нет самого процесса описания этой сферы, растянутого во времени и
происходящего с той или другой скоростью, определяемой числом. У них сфера скорей
дается как описанная окружностью, чем ею описываемая. Эту точку зрения никак
нельзя назвать кинематической и с трудом можно назвать форономической.
220. История квадратур. См. комментарий 7.
221. Эволюция взглядов Ньютона. Ньютон отходит здесь от
кинематической точки зрения и при этом сближается с Лейбницем, который, наоборот, запутываясь
в противоречиях актуально бесконечно малого, привлекает к рассмотрению время2
Между тем как Лейбниц не может выпутаться из старого актуально бесконечно малого·
Ньютон создает новое бесконечно малое, величину зарождающуюся и исчезающую,
величину в момент своего возникновения и в момент своего исчезновения3. Актуально
бесконечно малые величины, как неделимые — это, поскольку их рассматривать отдельна
от конечных величин такие же величины как конечные; их можно складывать,
вычитать, делить и умножать. Только в присутствии конечнойf величины они исчезают, как
свет свечи перед светом солнца. Величины же зарождающиеся и исчезающие еще*
не вполне величины и уже не вполне величины. Они не складываются и не
вычитаются. Единственно, что еще остается, — это их отношение, которое существует·
и тогда, когда они исчезают и зарождаются.
1 Эвклид, Начала, кн. XI, опр. 14.
2 См. Weissenbom, Principien der hoheren Analysis, § 8.
3 „Математические начала натуральной "философии*; первые 11 лемм. Cantor, т. 3, гл. 90„
стр. 199; см. Богомолов, „Общие основания ньютонова метода первых и последних отношений",.
Сообщения Казанского математического общества, 1916.

К «РАССУЖДЕНИЮ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ» 365
Эта точка зрения первых и последних отношений — точка зрения „Начал
натуральной философии" Ньютона, — безусловно, новая.
Это — резкий перелом в мысли Ньютона, это — шаг вперед дальше Лейбница
в направлении к даламберовскому понятию предела1. Но совершенно так же, как и
в „Методе флюксий", Ньютон не всегда мыслит флюксиями, а также и неделимыми,
благодаря чему его формальный аппарат сближается с аппаратом Ферма (значительно
более примитивным); здесь еще в большей мере идет отставание аппарата от того,
которым он пользуется в „Методе флюксий".
222. Гегель и Ньютон. У Гегеля2 нет бесконечно малого. Если Эйлер3
актуально бесконечные малые своих предшественников обращает в нуль, то для Гегеля
бесконечно малое уже не количество. Количественная определенность снята. Она
остается только в отношении бесконечно малых. По Эйлеру dx и dy — это нули,
причем возможно геометрическое отношение этих нулей:
2:1 = 0:0
имеет по Эйлеру определенный смысл.
Бесконечно малая разности — это нуль по количеству, а не качественный нуль,
но как нуль по количеству она есть лишь чистый момент отношения. Гегель видит
в учении Ньютона о последних и первых отношениях свое учение. Но это, конечно,
неправильно. Ньютон, следует помнить, все рассматривает во времени. Гегель же
отвлекается от времени. Как и у Шеллинга, вся его система является окристалли-
зованной мыслью до вступления абсолютного духа в историю. По Ньютону
производная (т. е. правильнее сказать: флюксия) — это отношение двух величин в момент их
исчезновения или в момент их появления. Здесь обе величины — и числитель и
знаменатель— мыслятся изменяющимися во времени. Когда же Гегель говорит, что
бесконечно малые величины не суть определенные величины, что они существенны лищь
как определение в косвенной форме, то он, конечно, мыслит эти моменты вне
времени.
223.Исчезнов ение диференциального треугольника. Характерна
сама форма выражения Ньютона. Треугольник С ТЕ уже не называется бесконечно
малым; треугольник СсЕ тоже не бесконечно мал.
Ньютон вычерчивает теперь не то, что может только мыслиться, а то, что
действительно может быть вычерчено. СЕ, Ее не равны флюксиям, а их только
представляют, причем в момент исчезновения флюксия дуги или, как говорит Ньютон,
.кривой представляется касательной. Это еще не я представление касательной как
предела секущей, но мы уже стоим к этому близко.
224. Первая лемма. Ньютон доказывает то, что мы бы выразили так:
прир. АВ _ РВ
1Ш прир. РВ~ BD*
1 См. „Encyclopedic ou dictionnaire raisonne des sciences", т. IX, статья „Limite".
2 Гегель, Наука логики (дерев. Дебольского), I, стр. 172.
3 Euleri Institutiones calculi differentialis, 1755; также Torelli, De nihilo mathematico, 1758.

366
КОММЕНТАРИИ
О помощью диференцирования (которое нетрудно переложить на язык теории флюксий^
имеем, полагая δ = ΡΖ), x = DB, Ъ — РВ:
значит
2δαίδ = 2xdx.
Следовательно,
db χ
1χ~Ύ'
но
db χ
dx = dAB и
dAB δ '
225. Вторая лемма. Полагая АВ = т, АЪ — а, АЕ—п,-Ае = Ъ, ΡΒ = ζ„
ΡΕ=ύ\ для случая двух взаимно перпендикулярных прямых, имеем: ( = ],
2 (пг — a) drn = 2£<#,
2 (η — Ъ) dn = 2r\d-i\.
(m — α)2 + 62 = ί2,
a2 + (w—Ь)2 = η2,
, Из последних двух уравнений имеем:
dm ξ (η — Ъ) dt
dn η (m — α) οίη
По этому образцу рассматривается аналитически и общий случай.
226. Вывод производной степенной функции. При выводе
флюксии хп в „Методе флюксий" Ньютон заставлял исчезать бесконечно малое перед
конечным.
Формальные операции для хп были бы таковы:
/~ 1· ~\™ « ι - п — 1\М\п 1) ГС —2 ι
(# -f- о) = χ -\-п · о · χ -\ ^— оох + · · ·
Δ
те_1 · . п\п—1) те_2 · .
у о = ?го# · ж -| ^— · оо# л; -]- .. .
Далее, производилось деление на о (момент времени):
■i^^i.ec»-1) 0*»-»+...:
ж 2 '
подчеркнутое мыслилось исчезающим.
Теперь же берется
Г=Ю"-Ч),('>"1) м-ч...
жо 1 · 2
% игцется последнее отношение, т. е. то, что будет, когда о обратится в нуль.

К «РАССУЖДЕНИЮ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ» 367
Это уже близко к тому, что мы делаем, когда находим (хпу, записывая
и переходя к пределу
lim -—■—-Ί = пх ,
h = o h
что дает:
(хп) = пх
П — 1
227. Как только эта новая ньютоновская флюксия изображается конечным
отрезком, бесконечно малого как будто уже нет. Но в сущности оно только
замаскировалось, покрывшись актуально бесконечно большим масштабом.
228. Рекомендуем читателю для сравнения ознакомиться также с изложением
метода первых и последних отношений Ньютона по его „Математическим началам
натуральной философии", кн. I, разд. I и кн. II, разд. П.
229. Производные высших порядков. Ньютон устанавливает понятие^
соответствующее нашему понятию производных высших порядков. Интересно, чта
лейбницевское обозначение цифрами приводит к тому, к чему не привело Ньютона
его обозначение, именно к производным отрицательных порядков.
Вместо (—т—- ) Ньютон берет неудобное обозначение —- » —. Это проис-
\ а-\-ζ J а-\-&
ходит потому, что Ньютон (см. комментарий 2) употребляет вместо скобок черту. Обоз-
' ъг/
начение ; , вероятно, не берется из страха, что значок " будет отнесен к #2.
Обозначение ——^—, конечно, дало бы флюксию не дроби, а флюксию числителя^
деленную на знаменатель.
230. Ньютон здесь возвращается к „Методу флюксий". Появляются даже
моменты, т. е. бесконечно малые, от которых он намеревался отказаться.
231. Находится производная χΎϊί [ΐ{χη)Ϋ.
232. Находится дроизводная хт [f{xn)f [g (xm)f\
233. Одночленный биномиальный интеграл1. Ньютон занимается
тем, что можно назвать одночленным биномиальным интегралом, но, правда, в обобщеь-
ном смысле.
Задача ставится в такой форме:
1 О биномиальных интегралах имеется большая литература, начиная с Лежандра.
В особенности см. работы: Konigsberger, Allgemeine Untersuchungen der Theorie der Differentialglei-
chungen, Leipzig 1882, стр. 28; Ueber die Beziehung der compl. multiplication. Crelle's Journal,,
т. 68, 1879., работы Pick und TJngar, Sitzungsoer. der Wien. Akademie, 1880, и мою работу „О
приведении абелевых интегралов к низшим трансцендентным", Известия Варшавского
политехнического института за 1906 г.

:368
КОММЕНТАРИИ
Уравнение кривой есть
y = xm-1[f(xn)f-ig(xn). (1)
Требуется найти ее площадь, т. е. интеграл:
I = JX™~1 [f (хп)]р-1 д (хп) dx. (2)
Он оказывается равным:
xm[f(xn)YQ(xn),
где Ω — есть ряд, расположенный по целым степеням хп. Ньютон сперва выводит:
[^+V(^]=^W + fe-1[f(^)]i?-1-w + ,(^: (3)
тде
ш ,fc здесь вполне определяются.
Нахождение I сводится к разложению д(хп) по полиномам <s>m + j(%n):
j=oo
j = 0
Коэфициенты λ^ определяются приравниванием коэфициентов в правой и левой частях
равенства (4).
Если
0(^)=Λ + Λ*η + Λ^+···>
то
3=8
9в = Σ [m +^w +(5 —^ ^ λΐ ?* - i * ^*
В настоящем случае
fo = 0> fi^cO, /2 = 0, /} = 0, s>4,
3 1
(5)0 дает #0 = ml0f0,
(5)j дает λ1==0,
(5)2 дает λ2 = 0, но при s!>4 получаем значения уже не равные нулю,
(5)3 дает λ3 = 0,
(5)4 дает λ4 = О, при 5 > 4, gi = 0, а в правой части все члены, кроме
содержащих множитель λ2, равны нулю.

К «РАССУЖДЕНИЮ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ» 369
234. Интеграл хт 1[f(xn)]p 1d%. Эта общая ньютоновская форма
интегралов долго не выходят из мысли математиков XVIII в. Лакруа1 занимается, как
Ньютон, формулами, относящимися к этому интегралу. Ими занимаются Фонтана?
Лорньа3 и Фризи4; Джанелла6 от ньютоновской формы переводит к более общей:
f xm[f(x)Y dx,
где
/* 0*0 = Σ fj xmi; mo>mi>m*> ·*-° или шо < т\ < Ш2 < · · - О,
j = l
и старается найти достаточные условия выражаемости в конечном виде.
Интеграл диференциального бинома является той частной формой, на которую
математики прежде всего обращают свое внимание. Уже Ньютон в своем письме
к Ольденбургу дает достаточное условие его интегрируемости (конечно, алгебраи-
m4-l w+1 ,
ческой), состоящее в том, что !— или \-р суть целые положительные числа.
История этой части ньютоновского исследования идет и по другому руслу —
в направлении к приведению эллиптических, ультраэллиптических, вообще
биномиальных интегралов к определенным нормальным формам. При этом следует отметить:
1) переход от ньютоновского метода неопределенных коэфициентов к интегрированию
по частям; 2) постепенное выделение эллиптических и ультраэллиптических интегралов
в особенные трансцендентные элементы, сперва определяемые геометрически, а затем
уже независимые от геометрического значения6.
235. Алгебраическое интегрирование биномиального
дифференциала. Ньютон, исследуя случай выражения биномиального интеграла в
конечном виде, конечно, имеет в виду только алгебраическое выражение7.
Он обнаруживает, что в этом случае обязательно
J хт~г [fix")]*-1 g{xn) dx = xm[f(xn)Y Q (хп). (1)
Очевидно он в своей формуле разумеет и g (хп) обрывающимся. Ньютон этому
положению не дает полного доказательства. Можно мыслить 2 (хп) необрывающимся и тем
не менее выражающимся алгебраически с помощью радикалов.
Только Лиувилль строго доказывает эту схему в смысле алгебраического
интегрирования 8.
1 Lacroix, Traite de calc. integral, стр. 395.
2 Fontana, Analyseos sublimioris, Opuscula, Венеция 1763.
3 Lorgna, Opusc. Math, et Physic, 1770, Op. 5.
* Frisi, Opusc, т. 1, Милан 1782.
5 Gianella, De integr. indefinitimi, Misc. Taur, 4, 1766—1769, т. 2, стр. 253—271; De
fluxionihus, earumque usu, Милан 1771.
6 Историю эллиптических интегралов см. у Cantor, т. 4, Vivanti, Infinitesimalrechnung,
стр. 790.
7 Позднейшие авторы, например Бугенвиль, называют это абсолютным интегрированием.
s Liouville, Les integrates dont la valenr est algehrique, Crelle's Journal, т. 10 1833, стр. 342.
24 Зак. 3296. Ньютон.

370
КОММЕНТАРИИ
Из лиувиллевской схемы вытекает
т — 1
ίζη [φΜ1Ρ"1λ(^)Λτ=[Ψ(^)]ρ»(^)0η
Ньютоновская получается, если положить в = хп. Что 2 (хп) есть не только рациональная
функция, но полином, вытекает из того, что если бы Q{xn) имело полюс, отличный
от нуля и бесконечности, то этот же полюс был бы присущи
lf(xn)\p-l9{xn).
Но д (хп) не имеет таких полюсов, а (хп — α)Ρ-χ может иметь только в том
случае, если ρ — 1 = — μ есть целое отрицательное число.
Тогда порядок его на основании правой частиц—1, а левой—jp + 1.
Мы должны иметь Тс—jp—f—Ί ==—_Р+Ь т. е. & = 0.
Это следует понимать так: в первом случае, когда д{хп) не делится на f(xn),
следует брать форму:
<если же
но удобнее брать форму:
Если же
то следует брать:
у-*--1[Г(*")]'*Ю.
9(xn) = [f(xn)]k9k(xn),
y = xm-1[f(zn)f + k~19k(xn).
236. Трансцендентность интеграла рациональной дроби.
Ньютон останавливается на случае рациональной дроби:
φ (ж) φ (χ)
ψ (χ) ~ΑΐΙ(χ — α^'
Он утверждает вполне правильно, что I ' { ах не выражается алгебраически,
^если хотя бы один из показателей равен 1, ибо тогда функция имеет логарифмическую
точку и в ее выражение входит член Α 1η (χ — а)...
Строгое доказательство этого устанавливает, что алгебраическая функция не
имеет существенно особенных точек, элементарное доказательство основывается на
том, что In (а? — а), и вообще
2 Aj]i\(x — aj)
j = l
же приводится в алгебраической функции. Ньютон такого доказательства не дает.

К «РАСЮУЖДЕНЙЮ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ»
а?1
237. Обобщение биномиального интеграла. Таким обобщением
является:
ff[x, V*@)> VW)\dx,
где В (х)9 Q (х) — сперва полиномы, а затем степенные разложения. Одночленная форма
такова:
Ньютон рассматривает
1=У xm-1\f{xnyf-i\g(xn)],i-iHx)das (ί)
л доказывает, что
I = χ* [f{x«)Y [д (*·)]« J] Ajx*\ (2)
J = 0
— h
η ° mh0
238. Дальнейшие обобщения. Таким же образом можно исследовать и
Возможно и дальнейшее обобщение, каковым является
j=r
feaxxm~' Π ft^F'"1 *(*)**·
i=i
Оно возникает только с введением экполярных функций, но, вне сомнения, находится
люд прямым влияние^ Ньютона1.
ι Daniel Melmderhjelm (1726—1810), Integratio formulae differentials:
Nmxmdx (a+bx + cx* + etc) (e + fx + gx*-f etc)? (h + rx-f to* -f e*c)getc.
Nova Acta Acad. Petrop., XII, 1794 (pub. 1801), стр. 114—124; о нем см. Vivanti, Infinites*-
malrechnung в Cantor, т. 4, стр. 733.
24*

372
КОММЕНТАРИИ
239. Формулы приведения без формулы интегрирования по»
частям. Ньютон берет:
I=fxw-1[f(xn)]^1g(x)dx = xm[f(xn)f,
I0 = f x™-1[f(x«)f-1dx = xm[f(xn))n(xn),
It = J хт+п~г [f(xn)f -1 dx = xm [f(xn))p L (xn)
и сводит при надлежаще выбранных А0 и Ах
1 —А010 Αί11
к интегралу
I2 = f x^+^^^fix^f-Ux.
Мы таким образом здесь сталкиваемся с формулами приведения, но без формул инте*-
грирования по частям.
240. Другие формулы приведения. Речь идет об определении по
J0=/*"[/>")]* Л*
и
Jl = fxm + n-1[f{xn))pdx
интегралов:
f xm+1 [f(xn)f+1 dx, j xm + n-1 [f(xn)]p+1 dx.
Берется
h = f хт-г [fix")]*-1^ (x) dx = xm [f(xn)f,
Ix = j ^+^-J [f^)f -ιτω (X) dx = xm+n [f(xn)f.
Рассматривается
I = A0I0 -f A, Ix + 1J0 + IJi,
где A0, Av A0, Ax подбираются так, чтобы I обратился в
f xm~1[f(xn)]p-1dx
или
f xwl+n'1[f(xn)f-1dx.
241. Подстановка в интеграле. Если в / ydx положить χ = α>(Χ):
y = f(x) = f[<»(X-)]>
то он обращается в / f [α> (χ)] ω' (χ) dx, т. е. в / Ydx, где Υ = /* [ω (#)] ω' (χ) = j/ω' (а?)^
так что — ί= ω' (X).
У

К «РАССУЖДЕНИЮ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ»
373
Ньютон здесь подходит к формальному интегрированию с помощью подстановки.
Интеграл / xm"1[f{xn)]pdx подстановкой xn = w преобразуется в
Если χ = —, то
и
1
далее, при х = —
«* [f(^)fdu.
f xm-\f{xn)]*dx= г- j -L- \f(vTn)fdu;
«ели λ, μ — степени f и д.
242. Преобразование алгебраических кривых. Абелев интеграл (т. е.
днтеграл от алгебраической функции)
J= f F(x,y)dx, W
определяемый алгебраической кривой
f(x,y) = О, (2)
упрощается двояко:
1. Когда рациональная функция F вполне определена, то подстановкой χ = Ь(х) или
вообще
х = а (Х,Г), y = $(XyY) (3)
он приводится к более простому или к элементарным трансцендентным.
Таковы упрощения, о которых выше говорил Ньютон1.
2. Когда F остается неопределенной, пишут преобразования:
я = а(Х,Г), у = р(Х,Г), Ф(Х,Г) = 0, (4)
упрощающие кривую (2).
Этого рода упрощением Ньютон сейчас и занимается; у определяется через χ
уравнением формы:
ymf(yn,*?) = xq9(yn, О- (5)
Ньютон показывает, что если положить
упхр = ип, ξ = #«, (6)
то ξ выразится явно через и:
тп« Г f(un) ~\pm+qn
Г f(un) ~\pm+qn
1 О рациональном преобразовании алгебраической кривой см. Appell et Goursat, Theorie
4es fonctions algebriques, а также мою работу „О приведении абелевых интегралов к низшим
трансцендентным", Известия Варшавского политехнического института за 1906 г.

374
КОММЕНТАРИИ
Аналогичное этому преобразование приводит
уmf(if, х>) = х*'д(?/, а?) 4- хгК{уп> хр)
к виду:
u*f(un) = х^д (и") + х% (ип).
243. Интегралы, приводящиеся к интегралам от диферен-
циальных биномов. Такими интегралами являются:
J= j хш*&(хп) [a + bxn<p(xn)]pdx
с подстановкой # = #αφ (#п).
Ньютону представляется, что именно к интегралу диференциального бинома
придется чаще всего совершать приведение. Здесь выступает проявляющееся в
большей степени в „Рассуждении о квадратурах", чем в „Методе флюксий", отклонение
в направлении к конструктивной точке зрения. Теперь строится подинтегральное
выражение интеграла, причем за элементы построения принимаются не элементарные
трансцендентные функции, а различные степенные, бесконечные или конечные, т. е.
обрывающиеся ряды, иначе говоря, полиномы, причем над ними производятся операции .
сложения, вычитания и возведения в целую и дробную степени.
Рассматриваются и интегралы, приводящиеся к интегралам диференциальных
биномов с помощью более сложной подстановки:
*=[φ(*)]Ρ[η(*)Γ.
Ньютон отмечает приводимость / хт"1 [f (хп)]р~1 dx подстановкой хп = и к
iV-VWf"1^ где g = ^.
Затем в довольно неопределенной форме предлагается с помощью формул приведения
понижать показатель с указанием на возможность; достижения таким образом
простейших форм и на возможность в иных случаях приведения их к интегралам от
диференциальных биномов.
244. Интегрирование в конечном виде в расширенной
области. Возможность квадратуры здесь следует понимать в том смысле, что
интеграл будет алгебраическим (понимая, конечно, алгебраичность в узком смысле—
выражаемости с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления,
возведения в степень и извлечения корня). Если алгебраическое интегрирование не
выполняется на основании положения VI, то следует интеграл
fx^gixWix^-'dx
представить в виде суммы
2/xm+in-1[f{x)]p-1dx
J
и привести интегралы, стоящие слагаемыми, к простейшим. Таким образом в случае1
невозможности алгебраического выражения интегралов предлагается то, что
соответствует интегрированию в области, расширенной новыми основными трансцендентными,

К «РАССУЖДЕНИЮ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ»
375
в случае неинтегрируемости в конечном виде в области элементарных
трансцендентных * (которых у Ньютона еще нет). Эти простейшие интегралы Ньютон рассчитывает
выразить через площади и дуги круга и других конических сечений.
245. Интегралы IF (χ, Υ ~B)dx. Это — хорошо известная операция
приведения I — ^ —dx, где Ρ, Q, В—полиномы, к интегралам рациональной дроби
1
и / Р/З""1 В2 dx, т. е. типу, рассматриваемому Ньютоном.
Ньютон, да и все математики вплоть до Эйлера не рассматривали общих
форм с произвольной рациональной функцией. Если бы Ньютон дошел и до нее, то
он распространил бы все здесь сказанное на
fF{x, V~B)dx.
Ньютон еще не сознает, что случай, когда ί2 = /ο + /ι#+/*2#2> должен быть выделен
как такой, при котором в ньютоновском смысле всегда возможно приведение к площади
эллипса и гиперболы.
246. Кратное интегрирование. Ньютон рассматривает ряд кривых:
X XX
y — f{x)\ У= ff(x)dx; у = f f f(x)dx* и т. д.
О 0 0
Таким образом здесь в скрытом виде выступают интегралы различных порядков
и графическое представление решения уравнений:
y" = f(x); y'" = f(x) и т. д.
Более того, нетрудно видеть, что тут же дается приведение
XXX χ
dt.
Понятие о кратном интегрировании явилось, конечно, раньше, чем понятие
о двойном и тройном интеграле, как пределе суммы или (если не включать понятия
предела) как сумме бесконечного числа бесконечно малых элементов, зависящих от
двух координат. В самом деле, это понятие может возникнуть только, когда вполне
ассимилировано понятие функции от двух переменных, что является возможным только
при условии исключения времени как универсального независимого переменного. Здесь,
конечно, первую роль играет Клеро 2, которого привела к функциям от двух
переменных теория поверхностей. А за Клеро следует Эйлер3, который занимается
J f f(x> y)dxdy.
1 См. мою работу „Интегрирование трансцендентных функций", Известия Варшавского
университета за 1913 г.
2 Clairaut, Recherches sur les courbes a double courbure; Cantor, т. 3, стр. 779.
3 Cantor, т. IV, стр. 738.

376
КОММЕНТАРИИ
Кратное же интегрирование мы видим сейчас у Ньютона. Интересна в этом
отношении переписка Лейбница и Иогана Бернулли *, содержание которой относится к дифе-
ренцированию с дробными и отрицательным показателями, получающему свое развитие
только у Лиувилля.
Я приведу из этих писем формулы в обозначении Бернулли, режущем наш глаз:
*_1Т2^; J 2 *—1.2-3 Э*» ; J 3^_ 1.2. 3-4^3 *
Мы напишем:
Iff
У Бернулли, во-первых, берется определенный интеграл:
III
0 0 0
во-вторых, он, считая bz* за постоянное, выносит его за знак суммы и делит на него
обе части уравнения. Правда, / яъ — тогда бесконечность, но математики того времени
бесконечности не боялись. У Бернулли есть такие формулы:
247. Формула Маклорена. Ньютон близко подходит к формуле Маклорена*
Он совершенно определенно говорит, что в разложении
f(x) = A0 + Atx + AJ*+ ...
коэфициенты выражаются через флюксии (по-нашему производные) различных порядков,
но общей формулы не пишет, а демонстрирует свое утверждение на примере. Ньютону
оставалось только снабдить восьмую теорему подробным доказательством и более
подробно развить свое рассуждение, выразив А, В, С через флюксии, чтобы иметь
доказательство формулы Тейлора-Маклорена, по существу совпадающее с ее выводом из
формулы, выражающей / / I ... J f(x)dxn через определенные интегралы, взятые
по параметру.
248. Формула Маклорена и ошибка Ньютона. Ньютон, рассматривая
(У + °)л> обращает внимание на то, что коэфициенты при о, оо, ооо Ьыражены через
флюксии (по-нашему через производные), т. е. подходит для этого частного случая
к формуле Тейлора. Мы бы записали ее в форме:
βΛΗ-ΪΤ2 + Τ7278
или
Διι = wax + -—-- -L--.—-—-
~ 1 . 2 ' 1.2-3
1 Commerc. epist. Leibnitii et Ioh. Bernoulli, т. 1, стр. 75, 76.

К «РАССУЖДЕНИЮ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ» 377
Но он делает большую ошибку: · oozn~~2 вовсе не incrementum secundum,
т. е. второе приращение, или по-нашему диференциал второго порядка, а его
половина. Точно так же следующий член для правильности утверждения Ньютона
необходимо умножить на 3! и т. д. Эта ошибка заставляет Иогана Бернулли утверждать
в письме к Лейбницу, что Ньютон не имел ясного представления о флюксиях высших
порядков. В экземпляре, присланном Д. Бернулли1, вписано „nt", что заставляет
думать, что эта ошибка была потом замечена Ньютоном.
Такая ошибка находится и в „Principia" 2 изд. 1687 г.
249. Ньютон говорит о возможности интегрирования диференциального
уравнения y{n) = f(x).
250. Замена переменной при интегрировании
диференциального уравнения f (у, у') = о. Это — по существу замена одной переменной
через другую. Диференциальное уравнение
аУ = Лу + уа
1 а2
ясть уравнение Бернулли; но если, замечая, что хг= —у, его переписать так: — , 9 =%',
то задача сведется к нахождению χ через у путем простого интегрирования.
251. Уравнение f(x, у', у") = 0. Уравнение а2у" = ау' + у'2 приводим
к уравнению первого порядка подстановкой y' = z; у затем находится по г — <э(х)
с помощью квадратуры.
То же предлагается и для уравнения общего типа:
Пх,*Г\ уп~2) = о.
252. Преобразование φ (у, у') = и\ Уравнение
а — Ьхш = схг/ г/ -f dy2n у'2 (1)
подстановкой г/ч/ = и' приводится к
а — Ъхш = cxuf -\- du'2,
юпределяющему и' через х. Затем уже из уравнения
определяется у.
Можно сказать, что общая схема решения такова: уравнение f(x, у, у') = 0
подстановкой φ (у, у') = иг приводится к ω (χ, и') = 0.
Такая подстановка теперь не применяется, и Ньютон ей приписывает больше
значение, чем она заслуживает.
Но в форме if = ζ подстановка, наоборот, находит большое применение,
например, при интегрировании уравнения Бернулли:
1 Commercium epistolicum., т. 2, стр. 294.
2 Principia, 1687, стр. 263. Commerc. epist., т. 2, стр. 294, письмо И· Бернулли к Лейбницу.

378
КОММЕНТАРИИ
253. Подстановка Ъ(х, у) = и. Берется уравнение F(x, у, у') = 0, для
которого приведение к виду f(u', #) = 0 совершается подстановкой типа Ъ(х,у) = иг.
Ньютон берет простейший случай, когда в уравнении
$(x) = Q(x, у, г/)
правая часть есть полная производная.
254. Произвольные постоянные в диференциальном
уравнении второго порядка. Ньютон, конечно, еще не имеет ясного представления
о конструкции у в отношении произвольных постоянных для уравнения:
Пъ У> у!> у") = о.
Он только знает, что, если у" = а>(х), то решения у отличаются на cx-{-cv
где с, сг — произвольные постоянные (не текущие) величины и т. л.
255. Отделение переменных. Здесь следует отметить, что отделение
переменных, которое в более позднее время получает особенно большое значение*
и к которому потом стараются привести диференциальное уравнение первого порядка,,
при зарождении интегрирования диференциальных уравнений не привлекает к себе
большого внимания (хотя встречается, например у И. Бернулли). Это, конечно, вполне
находит себе объяснение в том, что представление уравнения в виде
J φ (х) dx = J ψ (у) dy (iy
большей частью не может дать того, что требовалось при той постановке проблемы,
которая тогда имела место. Приведенное к такому виду диференциальное уравнение
математик того времени не мог считать проинтегрированным по той же причине, почему
и теперь уравнение Эйлера
dx = Ду (2)
Υ ах* + Ъх3 -f- ex* -J- dx -f- e YayA -f- by? -\- cy* -)- dy -[- e
не считают проинтегрированным по приставлении к обеим частям знака / , и считают
интегрированием уравнения Эйлера — определение алгебраической зависимости между
у и х. Даже в том случае, если обе части уравнения (1) могли выразить через х, у
с помощью элементарных трансцендентных, такое интегрирование не могло бы тогда
удовлетворить, так как в конечном итоге всегда ожидалось явное выражение у через χ (или.
χ через у), которое надеялись получить для всякого алгебраического уравнения и на что
почти не возлагалось надежды в случае такой трансцендентной зависимости. Правда,
во многих случаях такая трансцендентная зависимость приводится к алгебраической
путем подбора формы для произвольной постоянной, но тогда или совсем не было
произвольной постоянной, или с ней еще не умели оперировать. Вот почему при
интегрировании диференциального уравнения
(dr V
Тейлор, вместо того чтобы совершить отделение переменных
± dx dy
2xYx—l ~~ 1 + у2
V2

К «ПЕРЕЧИСЛЕНИЮ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА»
37Г
и, представив общий интеграл в виде
arctg (± Υ χ — 1) = arctg у + arctg С,
гдеС=— ,
У 1—а2
перейти к
(ау + У~1—а*)*'
употребляет крайне сложную искусственную процедуру, состоящую из подстановки*
1-1-1/2
х — —L_z_ и диференцирования полученного таким образом уравнения.
Только в 1722 г. Рикатти обращает свое внимание на отделение переменных,,
которое он понимает также в смысле „половинчатого отделения", когда уравнение-
представляется в виде:
2 [φ {χ, у)] du (χ9 у) = Ь (χ) dx.
КОММЕНТАРИИ К „ПЕРЕЧИСЛЕНИЮ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА"
256. Определения рода и порядка. Ньютон сперва классифицирует
кривые, как Декарт, по роду, относя кривую второго порядка к первому роду,,
третьего—ко второму и т. д. Конечно, такая классификация должна быть
обоснована. Следует доказать, что порядок кривой не меняется при преобразовании
декартовых координат. Но Ньютон этого не делает. Он как будто заключает о
независимости порядка т от выбора системы координат из того, что порядок определяется
числом точек пересечения с произвольной прямой. Но, если принять во внимание,,
что уравнение, определяющее абсциссы точек пересечения, может иметь и мнимые
корни, то можно признать только, что μ (число точек пересечения) ^т (порядка).
257. Уравнения этих кривых при надлежащем выборе координат:
ур* = ж8, у2 =рхъ.
258. Диаметр алгебраической кривой. Ньютоново определение
диаметра, конечно, эквивалентно современному. Ныне вводится понятие
арифметического центра точек:
как точки, координаты которой определяются формулами:
Σ* Σν
η J η ν J
Геометрическое место среднеарифметических центров точек пересечения кривой,
системой параллельных хорд и называется диаметром.

.380
КОММЕНТАРИИ
Доказывается, что это место точек есть прямая. Понятие диаметра обобщается
еще в следующем смысле. Различаются центры системы точек различных порядков.
Для центра ν первого порядка геометрическое определение очень просто: произведение
ΠΜ,ν = ΜΓν·Μ2ν... -Ж^
з
имеет максимальное значение. Если координаты Μν... ,Ы2,... суть χν х2,..., то χ
определяется из уравнения:
Г(£) = 0. (2)
Центр второго порядка определяется из уравнения f" {χ) = О и т. д.; вообще
щентр ^-го порядка из уравнения
f(P)&) = 0. (2')
Среднеарифметический центр отвечает р = п—1, т. е. есть центр η— 1-го порядка.
Если уравнение кривой f(x, у) —0, а пучок параллельных секущих у = тх -{- λ,
где т постоянно, а λ переменно, то для диаметра первого порядка получаем уравнение:
/*'(*, У) + *ГУ(*> 2/) = 0, (3)
второго:
и т. д.; вообще для диаметра ^-го порядка имеет место символическое уравнение:
(/·.'+4,Ύ = о». (3)
259. Теорема Котеса. Теорема Ньютона допускает естественное обобщение:
Если в ней берутся параллельные прямые, иначе говоря, пучок лучей с вершиной
в бесконечности, то в теореме Котеса2 берется пучок с вершиной на конечном
расстоянии. Теорема Ньютона дает геометрическое место среднеарифметических центров
точек пересечения лучей; в теореме Котеса имеются среднегармонические центры точек
пересечения, вырождающиеся в среднеарифметические, если вершина уходит в
бесконечность. Таким образом: если для точек MVM2, ...,Мп пересечения кривой с пучком
прямых в вершине С
см мхм^ м2м^'" мпм9
то геометрическое место точек Μ—прямая.
260. Центр кривой. В настоящее время центр понимается в общем смысле
центра симметрии кривой, причем, конечно, не все алгебраические кривые, в частности
не все кривые третьего порядка, имеют центр.
То, что теперь называется центром, Ньютон называет общим центром.
Центр у него — это пересечение двух диаметров. Это понятие, поскольку дело не
идет о взаимно перпендикулярных диаметрах специального характера, — совершенно
бесплодно.
ι Cantor, т. III, стр. 801.
2 Lucas, Courbes planes, Paris 1864.

К «ПЕРЕЧИСЛЕНИЮ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА»
381
261. Принцип взаимности и центр кривой третьего порядка..
Понятие центра следует строить так, чтобы оно являлось взаимным понятию диаметра-
Центром кривой третьего порядка явится точка пересечения всех
среднеарифметических осей, параллельных касательным к кривой (т. е. таких, расстояния которых:
от какой-либо им параллельной прямой равны среднеарифметическому расстояний от
нее этих касательных).
I. Если кривая не имеет двойных точек, то, так как она относится к шестому
классу, таких касательных будет 6.
П. В случае двойной точки или уединенной она — четвертого класса и
касательных 4.
III. В случае точки возврата она—третьего класса и касательных 3.
262. Теорема, взаимная теореме Ньютона. Мы получим теорему v
взаимную теореме Ньютона, если будем заменять в ней понятия в декартовых коор"-
динатах соответствующими им понятиями в плюкеровых ( т. е. возьмем^£ = -=г-,
\ ОА
η===____> Где А и В — точки пересечения прямой с ОХ и ΟΥ ). А именно: средне-
ОБ )
арифметический центр заменяется среднеарифметической осью, координаты которой*
определяются формулами и положение которой не зависит от направления осей:
координат ОХ я ΟΥ-
η ' η
Получается теорема: среднеарифметические оси касательных, проведенных из-
точек на некоторой прямой, все проходят через одну точку (диаметральную).
В случае удаления этой прямой в бесконечность получается теорема: все
среднеарифметические оси параллельных касательных проходят через одну точку.
263. Latus rectum и latus transversum. Мы уже отметили, что в
современной терминологии это будут удвоенный параметр и большая ось (в случае
прямоугольных осей координат). Они вполне достаточны для построения конического
сечения и ими пользовались еще древние. Аполлоний1 употребляет для первой прямой,
термин: 'όρθια (прямостоящая). Математики нового времени переделали латинский
термин, отвечающий термину Аполлония, latus erectum в latus rectum. Только в XVII в.
введен термин параметр (см. также комментарий 139).
264. Начало теории трансверсалей. Это место имеет большое
значение. Здесь мы имеем зерно метода трансверсалей.
Теорема о том, что отношение
оЩ ^ Ш2 (Щ
щ * ш2 * * * шС
для всякой алгебраической кривой не зависит от положения точки О, а зависит только
от направления хорд, Ньютону известна.
1 Zeuthen, Die Lehre von der Kegelschnitten im Alterthum, Copenhagen 1893.

382
КОММЕНТАРИЙ
265. Асимптота параболы. При нашей терминологии и при наших
понятиях следует сказать, что параболическая ветвь имеет асимптотой бесконечно
удаленную прямую, иначе говоря, касается последней. Но так можно сказать, только
мысля асимптоту как касательную, а не как прямую, для которой расстояние от
кривой исчезает в бесконечности, а также представляя себе бесконечно удаленную
-прямую как геометрическое место бесконечно удаленных точек плоскости. .
Первое понятие у Ньютона есть, хотя и не в вполне ясной форме, второе ему
u чуждо. Вот почему Ньютон говорит, что у параболической ветви асимптота исчезает.
266. Две бесконечно удаленные точки на прямой. Ветви Ньютон
"понимает иначе, чем мы. Прямая у него имеет две ветви. Он мыслит две
бесконечно удаленные точки. Прямая не замкнута, как н;ша проективная прямая.
267. Классификация кривых третьего порядка по бесконечно
удаленным точкам. Мы в настоящее время прежде всего классифицируем
кривые по бесконечно удаленным точкам. Если ц — угловой коэфициент асимптоты, то
для кривой третьего порядка
f(x, у) = ах* -{- ЪЪх*у + Ъсху* + *ί/3 + ex* + 2fxy + gy* + hx -f Jcy + e = 0, (1)
μ = μ, +-j- определяется из уравнения:
►которое, смотря по тому, будет ли
^отрицательно, положительно или нуль, имеет:
1) корни вещественные и неравные,
2) два мнимых и один вещественный корень,
3) два или три равных.
Если Η < О, кривая имеет в бесконечности три вещественных и различных
сточки, которым отвечают гиперболические ветви.
Это — тип гиперболический.
При Η > О кривая имеет в бесконечности только одну вещественную простую
"Точку, отвечающую гиперболической ветви. Кривая вообще состоит из бесконечной
ветви и своего рода овала, вроде эллипса.
Это—тип эллиптический.
При Н = 0 кривая касается на одной ветви бесконечно удаленной прямой иг
^кроме того, имеет еще ветвь с асимптотой или же имеет касание второго порядка
с асимптотой.
Это — тип параболический.
268. Приведение уравнения кривой третьего порядка к
каноническим формам в случае эллиптического и гиперболического
типов асимптоты. Прежде всего нетрудно видеть, что у гиперболической ветви
асимптоту представляет собой диаметр, первого порядка (а не ньютонов диаметр),
отвечающий ее направлению.

К «ПЕРЕЧИСЛЕНИЮ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА»
383
Отсюда и выводится, что для направления асимптоты гиперболической ветви
«диаметром служит коническая гипербола, для которой указанная асимптота тоже
«является асимптотой.
Поэтому за ось Г-ов берем асимптоту гиперболической ветви, а за ОХ — дру-
тую асимптоту диаметра, отвечающего направлению этой прямой.
Уравнение
К = Ыу* + ЪЩ + 3^2 + 29У + 2/а? + Ъ
бу
представляет уравнение диаметров, сопряженных направлению оси Y-ов. При нашем
выборе осей координат оно сводится к уравнению ху = const., так что h — d = f =
= g = 0, и уравнение кривой третьего порядка принимает вид:
ахъ + Зсху2 + е«а + Ьл + Jcy -\-1 = 0. (1)
Η в этом чае равно (если изменить χ на у и у на х):
и, ввиду того что Η < 0, ни а, ни с не равны нулю, но имеют различные знаки.
В результате для гиперболического типа мы имеем следующую каноническую форму
уравнения кривой третьего порядка
ХУ2 + *У = α2^3 + β#2 + ψ + δ· (2)
Для случая эллиптического типа выбор осей координат тот же. Из
неравенства if>0 выводим формулу
ху* + еу = — <х*х* + $х* + Т# + δ. (3)
Ньютонов случай объемлет оба эти случая, так как у него а2 может иметь
скакой угодно знак.
Но в него входит и случай параболического типа, отвечающий а = 0, т. е.
уравнению
ху* + еу = β#2 _μ γ# ^_ g# (4)
В этом случае имеется только одна гиперболическая ветвь.
Тогда за OF принимаем асимптоту этой ветви и ось выражаем также из
условия Я = 0, получаем а = 01.
269. Кривая ху = ахъ -f- \х2 -f- δ 2. Если имеется тройная точка на
бесконечности (касание второго порядка), то за ось F-ов принимается какая-либо прямая,
параллельная асимптоте, а за ОХ— произвольная прямая. Так как уравнение,
определяющее μ, имеет три бесконечных корня, то Ь = с = й = 0 и уравнение кривой
-есть:
ах* -f ех* + 2fxy + jyM-'fo-Hty-M = 0. (1)
1 Фактическое проведение см. Велъмин, О кривых линиях третьего порядка, Известия
^Киевского университета 1906.
2 Вельмиц, гл. 10, 11, 13.

384
КОММЕНТАРИИ
Диаметр, сопряженный с направлением оси Y, имеет уравнение:
2fx + 2gy + k = 0. (2)
Эта прямая:
1) может быть наклонена к оси,
2) ей параллельна,
3) оказаться в бесконечности.
Второй ньютонов случай совпадает со вторым из сейчас указанных, так как
условие параллельности ВС асимптоте AG— это условие параллельности ВС ж AG
За ось Υ-ов принимаем эту прямую, являющуюся диаметром, отвечающим
направлению асимптоты. При д = к = О уравнение (1) принимает форму:
ax*-+-ex2-+-2fxy-\-hx + l = 0. (3>-
Ось ОХ выбирается так, что получается и дальнейшее упрощение.
Уравнение диаметра, отвечающего направлению т, сводится к
Ъах* -f- 2 О + mf) χ -f 2fy + h = 0.
Если взять m = ψ-, будем иметь уравнение диаметра:
Зоа?» + 2/у + А = 0, (4)
а здесь не нуль, иначе кривая сводилась бы к коническому сечению, коэфициент-
при у тоже не нуль, ибо иначе кривая свелась бы к системе параллельных прямых.
Диаметр — парабола. Помещая начало координат в точке пересечения OY и
этой параболы, а за ОХ принимая касательную в этой точке к параболе, мы будем
иметь fo = 0 и получим каноническое уравнение, еще более простое, чем то,
которое указывает Ньютон:
ху = ах3 -f- (to2 -f δ. (5>
270. Кривая г/2 = α#3-f-β#2 + γ# ι. Это — первый из только что указанных
в предыдущем комментарии случаев. За ОХ принимается прямая (2), за начало —
точка пересечения ее с кривой, ось Х-ов направляется к бесконечно удаленной точке
кривой. Тогда lc = f=l==0 и общее уравнение приводится к форме:
у2 _ αχ3 _j_ β#2 _|__ γ## (1)
271. Кривая у = ах3-f-β#2 —J— γ^;-j— δ 2. Этот случай — третий извышеупомяну-
тых. Тогда f=# = 0 и уравнение приводится к
ахъ + сх* + кх + ку -f-1 = 0.
При надлежаще выбранных осях координат, на чем мы не будем
останавливаться, уравнение приводится к еще более простому виду.
ι Велъмш, гл. 12.
2 Велъмин, гл. 14.

К «ПЕРЕЧИСЛЕНИЮ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА»
385
Отметим, что случаи Ньютона следует пополнить исключенным нами в ходе
нашего изложения случаем системы трех прямых.
272. Таблица канонических форм уравнений кривых третьего
л о ρ я д к а.
Гиперболический тип. Изобилующие гиперболы
ху- —{— зг/ ===== α%3 -|- β#2 -|~ Ίχ + &·
Эллиптический тип. Дефективные гиперболы
χψ + гу = — а?х* _}.. β#2 _|__ ^ _j_ g
Параболический тип.
Первый класс
Гиперболы параболические
^г/2 _|_ гу — $х2 _|_ т^ _!_ §#
Гиперболизмы конических сечений
^2/2 -[- s2/ = Т^ "Ь ^·
Второй класс
Расходящиеся параболы
г/2 = αχ3 -f- $х2 -|- γ#.
Трезубцы
#г/ = ос#3 -j- β#2 -j- δ.
Кубические параболы
у = arc3.
Параллельные прямые
ο = #34-ϊ#+δ.
273. Латинская терминология. Привожу латинские термины, которые
я, как и проф. Вельмин, считаю более удобными для пользования, чем
русские (аналогично ботаническим и зоологическим терминам).
1) Изобилующие гиперболы — Hyperbolae redundantes.
2) Дефективные гиперболы — Hyperbolae defectivae.
3) Параболические гиперболы — Hyperbolae parabolicae.
4) Гиперболизмы конических сечений — HyperbJismi sectionum conicarum.
5) Расходящиеся параболы — Parabolae divergentes.
6) Трезубцы — Tridentes.
7) Кубические параболы — Parabolae cubicae.
274. Типы ветвей. В основе таких характеристик лежат совершенно
различных родов принципы.
Прежде всего имеем характеристику по особенным точкам: узловая — с двойной
точкой, остриевидная — с точкой возврата и точечная — с уединенной. Кривая
третьего порядка, имеющая такие ветви, как известно, уникурсальная (х, у
выражаются рационально через параметр) и в ней. род равен классу. К этой характери-
25 Зак 32S6 Ньютон.

КОММЕНТАРИИ
стике примыкает расположение замкнутых и разомкнутых ветвей, но только если
понимать ветвь в нашем, а не в ньютоновском смысле. Чистая параболическая ветвь
противоположна овальной.
Чем отличается змеевидная (серпентина) ветвь от конхоидальной (конхоиды)?^
Первая имеет три точки перегиба (фиг. 27), а для конхоидальной ветви имеем на
конечном расстоянии (фиг. 28) две точки перегиба. К ним еще следует прибавить
точку перегиба в бесконечности.
Ньютон, конечно, не может рассматривать точку перегиба в бесконечности,,
что предполагает не только современное понимание бесконечно удаленной точки, но
и представление проективной плоскости как поверхности
односторонней.
275. Срединная гипербола. Читатель
должен обратить внимание на то, что здесь речь идет не
о том диаметре, о котором Ньютон говорит в начале
работы, представляющем диаметр второго порядка.
Здесь фигурирует диаметр первого порядка. Вообще-
говоря, — это кривая второго порядка.
Если он берется в отношении направления
параллельно асимптоте, то одна точка пересечения уходит
в бесконечность и нетрудно видеть, что в этом случае
диаметр первого порядка определяется совершенно так
же, как диаметр конического сечения, т. е.
геометрическое место середин пар точек пересечения кривой системой параллельных прямых;,
поэтому такой диаметр можно называть срединной гиперболой.
Только в частном случае гипербола эта разлагается на две прямые. Тогда^
выражаясь словами Ньютона, можно сказать, что кривая имеет диаметр.
Когда же это будет?
Чтобы решить это, следует вывести уравнения трех срединных гипербол:
2ху-{-2 = 0,
2у — (За%2 — 2$х + т) — а (Щ -f ε) = О,
2у — (За?х*-\-2$х + γ) + а (2ху + в) = О
Фиг. 27
Фиг. 28
и определить условия их разложимости на прямые..
ху
276. Гиперболизмы. Преобразование Г=—-, Х = х называется
гиперболизмом. Построение, с помощью которого достигается это преобразование, очень
просто: через т(х,у) проводится Am параллельно Ох (фиг. 29) и откладывается
АВ = а; О соединяется с Б и продолжается до пересечения с тР, параллельной OY1-
277. Поправки к классификации Ньютона. Ньютон определяет свои
виды (Species) на основании формы кривых в конечном расстоянии, свойств беско-
1 Тегхеггй, Courbes speciales, т. 1, стр. 97; Вельмии, Кривые третьего порядка, гл. 12;,
гиперболизмы конических сечений исследованы были еще Гюйгенсом. Huyghens, (buvres, т. 10*,
стр. 314, 326, 234.

К «ПЕРЕЧИСЛЕНИЮ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА»
387
Ψ
нечных ветвей, а также на основании наличия или отсутствия диаметров. Он
насчитывает 72 вида. Стирлинг1 в первом роде прибавляет еще 4, а Гюа22. Крамер3
же настаивает на том, чтобы четыре вида Ньютона (53—56) сводились к двум.
278. Кривая третьего порядка как
плоское сечение пяти конусов. Приисхождение
ньютоновских форм кривых третьего порядка лучше всего
разъясняется, если доказать предварительно, что все кривые
третьего порядка могут быть спроектированы в
расходящиеся параболы совершенно так же, как кривые второго
порядка проектируются в окружности, что было известно еще
Эвклиду (300 до н. э.), Архимеду4 (287—212 до н. э.) и
послужило основой исследования Аполлония (225 до н. э.).
Ньютон это ни,же утверждает, но не дает этому
доказательства. Это доказывается только Клеро б и Мурдохом 6.
В настоящее время это делается так:
Однородное уравнение кривой третьего порядка приводится к виду7:
Фиг. 29.
xsx22 = axf -
ЪЪх^х% + Зсхххь2 -{- άχ^9
принимая за хх = 0 касательную в точке перегиба, за х2 = 0 другую прямую, через
нее проходящую, а за х3 = 0 поляру. Перенося при проектировании ж3 = 0в
бесконечность, имеем форму:
хъ = axf + ЗЪх^ -\- Зсх1 + d
или
у2 = ахъ _|- зъх2 _j_ Sex + d.
Отсюда вытекает существование пяти различных родов конусов с пятью различными
родами расходящихся парабол в основании, в сечении которых получаются все
кривые третьего порядка.
Если проектировать на бесконечность прямую, пересекающую кривую в одной
точке, то получается кривая с асимптотой; ветвь — змеевидная или конхоидальная.
279. Общие типы Ньютона, как проекции. Является очень
затруднительным комментировать 72 ньютоновских типа. Много места потребовалась бы для
доказательства положений, которые Ньютон высказывает без доказательства.
Мы можем только предложить в очень краткой форме вывод самых общих
типов кривых дервого порядка из проектирования расходящихся парабол, предоставив
читателю самому разыскать у Ньютона отвечающие им формы.
1 Stirling, Lineae tertii ordinis Newtonianae, 1717.
2 Qua de Halves, Usage de Г analyse de Descartes, 1740; Cantor, т. 3, стр. 577.
3 Cramer, Introduction я Г analyse des lignes courbes, 17o0, стр. 364.
4 Opera omnia, ed. Heiberg, т. 1, стр. 290 (Коноиды и сфероиды),
ь Clairaut, Mem. de Paris, 1731.
6 Murdo Λ, Newtoni genesis curvarum per umbras. Leiden 1740; CAosZes, AperQU historique, Bru-
xelles 1837, Note 20, стр. 848.
? A. Salmon, Analytische Geometrie der hoheren ebenen Kurven, Leipzig 1882, гл. б, Кштеи
dritter Ordnung, гл. 3, стр. 211.
25

388
КОММЕНТАРИИ
Прежде всего мы имеем общие типы без особенных точек.
. Первый тип получается при проектировании на бесконечность прямой
пересекающей овал дважды и параболическую ветвь один раз (вид 9, фиг. 21,
табл. XVI).
Если последняя точка простая, то кривая состоит из змеевидной части и
гиперболической пары. Если же это точка перегиба, то вместо серпентины, будет
конхоида.
II. Второй тип. Прямая, проектирующаяся на бесконечность (мы будем ее
обозначать через Лоо), пересекает параболу Ρ в трех точках, из которых ни одна не
находится на овале.
Если все точки обыкновенные, то получается трехсторонняя гипербола,
в простой, перегнутой или дважды перегнутой ветви (вид 1, фиг. 5—7, табл. XIII — XIV)1.
Если же одна из точек есть точка перегиба, то получаются две
простые гиперболы и дважды перегнутая с овалом (вид 10, фиг. 22, табл. XIV).
Имеется овал о простой гиперболой и с двумя просто перегнутыми.
Во всех случаях овал находится внутри асимптотического треугольника и
кривые можно еще различить в отношении расположения гипербол в углах
асимптотического треугольника, как это делает Ньютон.
III. Лоо пересекает Ρ в двух мнимых точках,:—получаются:
овал с серпентиной (вид 33, фиг. 43, табл. XX),
овал с конхоидой (вид 39, 40, фиг. 48, 49, табл. XX).
IV. Лоо касается овала, который проектируется в параоолическую ветвь и при
нем имеются:
серпентина (вид 52, фиг. 60, табл
конхоида (вид 55, фиг. 63, табл.
V. Лоо касается параболической ветви. Тогда овал остается замкнутой частью,
а другая часть проектируется в параболическую ветвь.
#
Если третья точка обыкновенная, то одна ветвь пересекает асимптоту и
имеет две точки перегиба, в то время как вторая имеет только одну.
Если это точка перегиба, то обе части имеют асимптоту с одной стороны
и каждая имеет один перегио.
VI. Лоо пересекает кривую в трех совпадающих точках (вид 67, фиг. 74, 75,
табл. XXIII).
■
280. Уникур сальные кривые третьего π о ρ я д к а V Конечно, Ньютон
не знает* что кривые с особенной точкой, как уникурсальные кривые, должны
признаны за исключительный вид кривых. Не для кривых третьего порядка вообще,
а для этих кривых'или, вернее, для частного случая их, когда класс равен порядку
следует искать систему положений, аналогичных тем, что дает теория конических
сечений. Следует различать кривые с узловой трчкой, с точкой возврата и
уединенной точкой.
1 Мы употребляем здесь не ньютоновскую, а сальмоновскую терминологию: простая
ч
дважды перегнутая, просто перегнутая ветви. См. Salmon, Anal. Geom. d. hoh. eb. Kurven
стр. 221.
2 Salmon, стр. 226.

К «ПЕРЕЧИСЛЕНИЮ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА». 389
. Если Аоо пересекает узел Ρ в двух обыкновенных вещественных-точках, то
мы получаем при проектировании две простые гиперболы и одну перегнутую. Эта
кривая состоит из одной (в нашем смысле) ветви, в чем нетрудно убедиться,
пробегая кривую (вид 7, фиг. 16, 17, 19, табл. XV, XVI). Если третья точка
пересечения Аоо с Ρ есть точка перегиба, то точку перегиба в проекции следует искать
■
в бесконечности, и тогда все гиперболы — обыкновенные (вид 8, фиг. 18, табл. XV).
Точки пересечения А^ с Ρ не лежат на узле. Тогда получаются простые
просто перегнутые и-дважды перегнутые гиперболы, из которых последняя дает узел
внутри асимптотического треугольника. Тут поучаются две разновидности, смотря
по TOMjr, находится ли точка перегиба в бесконечности или нет (вид 2, фиг.
ι
табл. IX).
■
□о пересекает расходящуюся параболу Ρ в двух мнимых точках. Полт
чаются две разновидности, как в предыдущем виде (вид 34, фиг. 44, табл. XX),
4. Аоо касается узла Р. Происходит перекрещивание; часть узла уходит в бес
конечность (вид 51, фиг. 59, табл. X
. Аоо касается другой части Р. Остается узел, но по этой причине кривая
разрывается в другой части (вид 47, фиг. 55, табл. XXI).
—о опять две разновидности, смотря по тому, лежит ли кривая шграз-
ным сторонам или по одну сторону асимптоты (последнее — в том случае, если точка
перегиба находится в бесконечности).
Если двойная точка находится в бесконечности, то асимптоты, касательные
в бесконечности к уединенной двойной точке, параллельны между собой. Третья бес-
конечно удаленная точка получается при пересечении Аот с не узловой или узловой
ветвью.
i
первом случае точка перегиба находится вне полосы, ограниченной асимп
тотйми, в которых проектируется угол (вид 60, фиг. 68, табл.
7. Во втором — как раз внутри полосы (вид 58, фиг. 66, табл
Если точка перегиба уходит в бесконечность, то в первом случае обе ветви
+
будут по одну сторону (вид 59, фиг. 67, табл. XXII) от асимптоты.
8. Если Аоо касается Ρ в точке перегиба, то имеем расходящуюся параболу.
9. Трезубец получается в том случае, когда А^ касается как раз в двойной
точке.
Асимптота будет давать направление к этой точке, ушедшей при проектировании
в бесконечность (вид 66, фиг. 2, табл. XIII, 76, табл. XXIII).
случаю точки возврата переходят, как к случаю предельному, но случаи
■
совсем отбрасываются. Остаются виды:
•3 точки на оо — 2 разновидности;
одна вещественная и две мнимые — 2 разновидности
?
А^ касательная — 2 разновидности;
точка возврата на оо — 2 разновидности;
касание второго порядка;
*
А^ касается с точкой возврата.
_ ■
Виды с уединенной точкой получаются из видов с овалами при стягивании
овала в точку

390
КОММЕНТАРИИ
281. Классификация Ньютона-Стирлинга. Классификация кривых
Ньютона по восполнении ее Стирлингом, давшим также доказательства для
высказанных Ньютоном положений, представляется в следующем виде:
A. Асимптоты
не сходятся
фзго)
B. Сходятся
(β = 0)
I. Изобилующие гиперболы
a) без средней прямой 9 видов
(ε ^0)
b) с ней ί 1 ср. пр 14 видов
(ε = 0) 1 3 ср. пр 4 „
a) без ср. пр 4 „
(з^О)
b) с ней ί 1 ср. пр 4 „
(е = 0) 1 3 ср. пр 1 „
Всего
36 видов
II. Дефективные гиперболы
a) без ср. пр. (е^О) 6 видов
b) с ней (е = 0) 7 „
Всего
13 видов
III. Параболические гиперболы
a) без ср. пр. (s§0) 7 видов
b) с ней (е = 0) 4 „
Всего
11 видов
IV. Гиперболизмы
A. Гиперболы (γ > 0)
B. Эллипса (γ < 0)
C. Параболы (Т = 0)
a) без ср. пр. .... . 3 вида
b) с ней 1 „
a) без ср. пр 2 '„
b) с ней 1 „
a) без ср. пр 1 „
b) с ней 1 „
A. Чистая . .
B. С овалом .
C. Узловая . .
D. Точечная .
E. Заостренная
Всего . . 9 видов
V. Расходящиеся параболы
вид
Всего . . 5 видов

К «ПЕРЕЧИСЛЕНИЮ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА» 391
VI. Параллельные прямые
A. 3 вещественные и различные без оси симметрии.
B. 3 вещественные; одна ось симметрии.
C. Две мнимые и одна вещественная, не образующая оси симметрии.
D. Две мнимые и одна образующая таковую.
E. Двойная и простая прямая.
Р. Тройная прямая.
Всего 6 видов.
282. Из истории кривых третьего порядка. Работа Ньютона
„Перечисление кривых третьего порядка" была комментирована Стирлингом *, доказавшим
теоремы, приведенные Ньютоном без доказательств, а затем еще Николем. Оба они
пополнили классификацию Ньютона. Стирлинг доказывает общую теорему, что при
принятии за ось Г-ов прямой, параллельной асимптоте алгебраической кривой п-то
порядка мы исключаем из уравнения уп, и выводит на основании этого ньютонову
каноническую форму уравнений кривой третьего порядка 2.
Заметим, что характер стирлинговых выводов сильно отличается от современных
Даже доказательство существования диаметра проводится иначе, чем мы это обычно
делаем, т. е. без преобразования координат в нашем смысле 3.
За Стирлингом следует Маклорен 4, который занимается общими свойствами
алгебраических кривых. Ему принадлежит очень важная в теории кривых третьего
порядка теорема: „Всякая прямая, проходящая через точку кривой третьего порядка,
делится гармонически в точках кривой и еще двух точках D, Е, где она пересекается
хордами, соединяющими точки касания двух пар касательных, проведенных к этой
кривой из точки А" б.
Эйлер 6 посвящает девятую и десятую главы своего „Введения в анализ"
кривым третьего порядка, которые он исследует аналогично кривым второго порядка,
кладя в основу разложение на множители ау3 -]- $у2х -|- уух2 -f- δ#3.
В замечательной для своей эпохи работе Крамер, обстоятельно исследуя
алгебраические кривые с эйлеровской точки зрения, изучает кривые третьего
порядка 7.
Но как Эйлер, так и Крамер не уходят далеко от Ньютона.
Конечно, больше всего сделал Плюкер 8, дающий новую классификацию и
пользующийся сильно усовершенствованным аппаратом алгебры для тщательного
исследования большого многообразия форм кривых третьего порядка.
По его пути идет Клебш.
1 Stirling, Lineae tertii ordinis Newtonianae.
2 Ibidem, стр. 44—45, 59.
3 Ibidem, стр. 71—72; Cantor, т. 3, стр. 430—435.
4 Mac-Lamin, Geometria organica, 1720, Cantor, т. 3, стр. 436.
5 Salmon, стр. 170.
β См. Cantor, т. 3, стр. 802.
? Cramer, Introduction a Tanalyse des lignes courbes algebriques, 1750.
8 Plucker, Analytishe Geometrie der algebr. Kurven.

392
КОММЕНТАРИИ
Кривым третьего порядка посвящается впоследствии огромное число мемуаров.
Упомянем имена Штейнера, Сальмона, Сильвестра, Шаля, Гессе, Клебша.
Для обстоятельного изучения кривых третьего порядка служат работы Сальмона,
Дюрежа и Клебша *.
283. Проективное образование конического сечения. Эта глава-
имеет очень важное значение. Здесь находится эмбрион проективной геометрии.
Кривая второго порядка рассматривается в первой теореме Ньютона как
пересечение >двух пучков прямых, находящихся в проективном соответствии.
Проективность пучков AD и BD легко выводится из того, что (AD) проективно (АР), (BD)
проективно (ВР), а что касается (АР) и (ВР), то они проективны ввиду
перспективности, как спускающиеся на один и тот же пунктуал заданной прямой.
Ньютон не дает указания на то, как он доказывает эту теорему. Но, вне
сомнения, он ее доказывает не так, как я сейчас это сделал.
284. Органическое образование кривых 2. Так называлось описание
линии непрерывным движением точки или таким инструментом, что эта точка является
пересечением известных кривых.
Органическое образование кривых находим у ван-Скоутена до Ньютона и у Мак-
лорена после Ньютона.
285. По строение конического сечения по пяти заданным
точкам. Эта задача решается проще с помощью шестиугольника Паскаля 3; причем
решение это выполняется с помощью только линейки, в то время как решение, которое
предлагает Ньютон, требует и линейки и циркуля, так как ему приходится
откладывать углы. Впрочем, Ньютон рассматривает это решение скорей как механическое, чем
как геометрическое.
286. Построение у нику рс ал ьной кривой третьего порядка по
семи данным точкам. Решается и более общего характера задача о проведении
кривой третьего порядка через девять заданных точек. Здесь мы имеем проведение
уникурсальной кривой через семь заданных точек. Кривая третьего порядка
определяется, если определяется образующая кривая второго порядка и углы. Углы известны
и известны пять точек, отвечающих D, Е, F, G и А, через которые проходит кривая
второго порядка,
287. Графическое решение уравнений. Исследуя ход развития
аналитической геометрии, следует иметь в виду, что центр тяжести интереса подвергается
в ней сильному сдвигу. Вначале построение корней является основной задачей, но со
временем эта задача сдвигается с первого плана. И если Декарт с нее начинает,
то уже Лопиталь 4 ею кончает: у него построение корней занимает только девятую книгу.
1 (г. Loria, II passaged ilpresente delle principa li teoria geometriche, Torino 1896, стрЛ1г
Teixeira, Courbes speciales, т. 1, стр. 151.
2 Об органическом образовании кривых: De-ТГг^, ElementacurvaTnmlinearum, кн. 1, также
в скоутеновском издании .Геометрии* Декарта, Mac-Laurin, Geometria organica; Braikenridge,
Descriptio linearum curvarum, London, 1733, Phil. Trans., т. 39, 1735; см. также Ньютон,
Математические начала натуральной философии. Органическое образование кривых второго
порядка, отд. 5.
( з Pascal, Essais sur les coniques, Oeuvres compl., т. 2, Paris 1818, стр. 354—357.
4 L'JTopif-a?, Traite dos sections coniques, Paris 1707.

К «ПЕРЕЧИСЛЕНИЮ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА» 393
К графическому решению .„(построению") уравнений, к которому приводят
геометрические проблемы, открываются два пути:
1) изыскание уравнений, определяющих известные кривые или во всяком случае
кривые, которые вычерчиваются простым непрерывным движением;
2) определение геометрического значения простейших алгебраических уравнений.
По первому пути шел Декарт, по второму (независимо от Декарта) Ферма г.
Задача Паппа („Даны по положению несколько прямых, найти геометрическое
место таких точек, что если от точек провести под данными углами к данным прямым
прямые, то отношение произведения некоторых из них к произведению остальных
будет постоянным".) получает у Декарта особенное значение потому, что те кривые,
которые дают ее решение, включая в себя конические сечения, являются в его
глазах естественным их обобщением. Декарт находит среди них и другие
известные кривые, для которых удается вычерчивание их непрерывным движением.
У Ферма мы уже имеем общий метод приведения уравнения к системе
уравнений, определяющих две величины, и вытекающий отсюда способ построения корней.
Сущность его состоит в том, что уравнение
, φ(.τ) = ψ(.τ)
приводится к φ (χ) = θ (χ, //),
ψ Or) = θ (.г,//),
где θ (α?, у) выбрано так, что по сокращении происходит упрощение. Слюз ? как общий
прием выставляет более простую схему:
θ (.г, ?/) = 0, Λ· = ω(//),
где каждое уравнение определяет известную кривую, которую можно построить
непрерывным движением.
Бесспорно, что в направлении разыскания лучших методов графического
решения уравнения точек многое сделал именно Ньютон, но только не в настоящей работе,,
а в „Общей арифметике", где этот вопрос обстоятельно разбирается. В этом
направлении его учениками являются Крэг 3 и Бекер4.
288. Аппарат решения уравнений. Обращаю внимание читателя, что
одна кривая берется "Ньютоном раз навсегда вычерченной. Ньютон и раньше его
Валлис, решая кубическое уравнение х* — ах-\-Ь с помощью кубической параболы
у = χ·> и прямой у = ах-\-Ь, подходят к аппарату для решения уравнений, в настоящем
случае — к вычерченной параболе и линейке.
овездочка в уравнении обозначает отсутствие члена с какой-либо степенью х,
289. Решение уравнений с помощью унику ρ сальной кривой
третьего порядка. Кривая
у* + ΐχιβ + су* + dx*y + еху + fjfi + gx2 = 0, (1)
ι P. Fermat, Ad locos pianos et solidos isagoge; нем. перев. в Ostwald's Klassiker (Wieleitner
„Einfuhrung in die ebenen und korperliche Orter", Leipzig 1923.
2 Sluse, Mesolabium, London 1659, 1668; Montucla, Ilistoire des mathematiques, т. 3, стр. 159-
3 Craig, De fig. quadrat, et de locis geom., London 1694.
4 Мемуары Backer'&, в Mem. de Г Ac. des. Sc, 1708—1709.

^94
КОММЕНТАРИИ
как нетрудно видеть, имеет в (0, 0) двойную точку, так как для этого значения у
dx~O' ду υ· (2)
Но Ньютон, конечно, этих условий не знал. В существовании двойной точки он, наверное,
убедился, определив последние отношения μ = — в начале координат из
7равнения:
что давало
^2 + ^ + 0 = °>
т. е.
— е±\/е2 — Ш
*= ¥с ·
Конечно, при этом необходимо было предполагать, что е2 — 4с#>0, ибо
в противном случае мы имели бы не двойную, а уединенную точку, что, впрочем, с точки
зрения уникурсальности кривой безразлично.
Можно строить эту кривую по точкам с помощью циркуля и линейки, задавая
у и строя для данного у абсциссу х, определяемую квадратным уравнением.
КОММЕНТАРИИ К „МЕТОДУ РАЗНОСТЕЙ"
290. Наименее отклоняющиеся кривые. Ньютоновское интегрирование
с помощью рядов не следует понимать как интегрирование приближенное. Ньютон
мыслит совокупность всех членов как актуальную бесконечность, как нечто
завершенное. Но это интегрирование дает между прочим и средство приближенного
вычисления при ограничении определенным конечным числом членов. Бесконечное число
членов, для каждрго из которых возможно построение,равновеликого ему прямоуголь-
жика, приводит, как мы уже имели случай отметить, к квадратуре в том смысле, как
эта задача понималась для круга, но с актуально бесконечным числом операций.
Между этим подходом к квадратуре и приближенной квадратурой, исследуемой
Ньютоном в данной работе, имеется глубокая разница. Здесь приближенная квадратура
вполне соответствует тем приближенным квадратурам, которыми особенно охотно
занимались в XVII в.
Основная идея состоит в том, что кривая, ограничивающая криволинейную
трапецию, заменяется другой, близкой η ней, возможно мало от нее отклоняющейся,
и постулируется, что и площадь, определяемая ею, будет мало отклоняться от
площади данной.
Конечно, близость кривой — понятие неопределенное и в большой степени
зависящее от интуиции.
Если стараться освободиться от последней и проводить строго логическую точку
зрения, то приходится близкими считать также кривые, расстояние ω между которыми

К «МЕТОДУ РАЗНОСТЕЙ»
395
(последнее, правда, можно брать различно: по нормали к одной из них или по общему
направлению ординаты) возможно мало или, точнее, наибольшее из расстояний между
которыми будет возможно мало. Если задается определенный класс кривых, то,
стремясь к лучшему приближению, следует брать ту кривую, для которой ω имеет
наименьшее значение. Это уже высшая точка зрения, на которую Ньютон не подымается,—
это точка зрения Чебышева г.
Ньютон же остается, так сказать, еще при „наглядной" аргументации. Он
считает близкой и дающей лучшее приближение ту кривую, которая имеет с данной
кривой наибольшее число общих точек и форма которой поэтому менее всего
отклоняется от формы данной. Ньютон еще в 1676 г. в своем письме к Лейбницу
высказывает мысль о пользовании такими близкими^ кривыми при определении квадратур.
В „Математических началах" (кн. Ш, лемма 5) он предлагает для приближенных
квадратур находить кривую параболического типа, проходящую через произвольное
число точек кривых, и указывает на вычисление последовательных разностей, как на
средство для достижения этой цели.
Я уже сказал, что Ньютон никогда не оперирует с суммой бесконечного числа
бесконечно малых; у него есть мысль, которая должна была превратиться в первую
лемму анализа бесконечно малых, позволяющую в пределах отношений заменять
бесконечно малые их эквивалентами, но у него нет ничего, соответствующего второй лемме,
согласно которой такая замена возможна и в пределах сумм. Этой второй лемме
в приближенных квадратурах соответствует принцип замены в сумме, выражающей
искомую площадь, площадей очень малых криволинейных трапеций входящими или
выходящими прямоугольниками, или вписанными трапециями, или, наконец, вообще
приближенными их значениями, вычисленными согласно вышеизложенным идеям
Ньютона. И эта точка зрения чужда Ньютону. Б направлении к формуле Эйлера
продвигают исчисление разностей математики не ньютоновской, а лейбницевской школы 2.
291. Интерполяционная формула Ньютона. Должен предупредить
читателя, что работа Ньютона очень трудно читается главным образом благодаря
своему совершенно для нас непривычному обозначению.
Конечно, самым важным пунктом ее является знаменитая интерполяционная
формула Ньютона, основная в современной теории конечных разностей.
Мы ее пишем так:
н„\ — П~\Л (χ — χ^ AfOo) ι О — χο)(χ — xo~ *) Δ¥Οο) ,
(x — x0)(x — x0 — h)(x^x0—2h) A*f{x0)
~*~ 1.2-3 № "Г···'
Ля/.
2/ = Уо + 0 — *o)·
или так:
Ay0 , (χ — χ0)(χ — χχ) A*y0 , (χ — χ0)(χ — Χι)(χ — χ^ Δ3ί/0
Ax ' 1-2 Αχ* ι 1-2-3 Ax* l '"'
если xx — х0 = #2 — xi= хь — x2 = x± — xB — h = Ax.
1 См. работы Чебышева о квадратурах и функциях, наименее отклоняющихся от нуля,
в его „Сочинениях".
2 Историю исчисления конечных разностей см. Seliwanoff, Differenzenrechnung, EncycL
ά. Math. Wissenschaften, 1898—1904.

396
КОММЕНТАРИИ
Ньютон же, не владея обозначением Аи//0, ведущим свое происхождение от dny,
введенного Лейбницем, дает эту же формулу в другой, очень громоздкой форме..
Следуя М. Кантору *, я буду писать ее в обозначении современного типа:
У = //о + (х — ^о) *о + (я — #ι) О -*- ^о) w0 + С« — #2) О — *ι) О — #) г?о +
где
. _*Уо_. „ _ J_ ϋ|/ο_. ,. __!_ _*Ч . „, _ * A«y0
*°~~ Δ* ' °~~ 1 - 2 * Δα;» ' °~~ 1 · 2 · 3 " Ал* ' 0_ 1 . 2 . 3 . 4 ' Дж* '
В сложных рассуждениях Ньютона мм находим последовательные операции для
получения коэфициентов z0, и0 н т. д.
292. Конечные разности и формула Тейлор а-Маклорена. Прямым
продолжателем Ньютона является Тейлор 2. Ему мы обязаны дальнейшей разработкой
исчисления конечных разностей. Одно из отличий Лейбница от Ньютона состоит в том,
что последний все стремится мыслить в области непрерывной. Непрерывная область
изменения переменного, изменяющегося во времени с определенной споростью, тоже
непрерывно изменяющейся во времени, у него стоит на первом плане, а изучение
конечных разностей лишь на втором. Он смотрит на них только как на средство
приближенного вычисления того, что дает непрерывное изменение.
Лейбница же, наоборот, к понятиям интеграла (по его более ранней
терминологии — суммы) и диферещиала приводят его исследования по комбинаторике
и теории чисел. Формулы диференциального исчисления строятся по образцу формул
для конечных разностей, через которые он сперва проходит.
Тейлор подходит, можно сказать, к ньютоновским флюксиям с лейбницевской,
а не ньютоновской стороны, а именно от конечных разностей.
Тейлор сперва выводит интерполяционную формулу Ньютона, пользуясь
следующими обозначениями: ζ, χ суть две переменные величины, причем ζ равномерна
изменяется на приращение г, так, что ηζ = ν, ν — z = v', vf — z = v" и т. д.
В то время как ζ возрастает до ζ~\-ν, χ, говорит Тейлор, становится:.
. ν η/ ν · ν' · ν"
Отсюда легко выводится знаменитая формула Тейлора в форме:
x-j-x—j- \-х ^ 0 \- ... и т. д.,
в предположении, что разность ζ бесконечно мала и при замене νν' через г-2, ν · vr · vrr
через ν3 и т. д.
293. Метод разностей в современных обозначениях. В первом
положении Ньютон говорит о величинах, обозначенных нами z0, и0, υ0, ги0.
1 Cantor, т. 3, стр. 372—375. Интерполяционная формула Ньютона в обычном ее виде
находится уже в „Principia" (русск. пер., стр. 544), он пользуется ею при вычислении
положения кометы в данный момент из данных ряда наблюдений.
2 Broolc Taylor, Methodus incrementorum directa et inversa, 1715, Cantor, т. 3, стр. 378 — 383c

К «МЕТОДУ РАЗНОСТЕЙ»
397
Рассмотрим сперва % Пусть уравнение вспомогательной параболической кривой
будет:
у = α0-{- αχχ + а2х2 -{- а3хг -\- а±х^ -j- ... -{-ап_1хп~1:
берем на данной кривой точки
(χν ух)>{х2, г/2), ..., (хп, уп)
в числе, равном числу коэфициентов а{.
Такая кривая будет давать лучшее приближение при вычислении квадратуры.
Мы имеем уравнения:
^=αο + αι^ + ν/+···+%-ι^;/~1· (!)
Они дают для разностей
Ук + i — Ук = *Ук
выражение
к=П — 1
Положение первое говорит о том, что Ау. делится нацело на х,., г — х. (так что
частное s, есть полином от х. и %j+l)- А именно, как нетрудно видеть:
зй = aL + а2 (xJ+1 + xs) + аъ (x2j+1 + a?J+1ar. + *J) +
при j = 0 мы будем иметь коэфициент при хл — аг0.
Затем исследуются коэфициенты ^. = —^4-.
Величина 2Δ# = 3^, 2 — ^ и есть то, что Ньютон называет интервалом,
относящимся к парам ординат (хк, a?fr + 1), ixk+v хк + 2):
Как легко видеть:
*>=«2+Μ^ + 2 + ^+ΐ + *Ρ +
+ «4(^+3 + ^ + 2^+1 + ^+8^ + ^ + ! + ^+ (3)
ТГ Δ^ϊ
Далее рассматривается v. = -—J- и находится, что
о
Δχ
v. = <,, + а4(^+з + ^+з + *i+ χ + *,·) + · · - и т. Д. (4)
Следует отметить, ч;то в положении первом, собственно, не ставится ограничение,
что ряд a0-f- a1a?-j-a2^a+ ... обрывается. Его можно мыслить бесконечным, и в этом
случае мы будем иметь решение системы уравнений с бесконечным числом
неизвестных.
До конца Ньютон проводит выкладки только для η = 5.

398
КОММЕНТАРИИ
В этом случае
а4 = w09
а$ = vo — Оз + ^2 + ^1 + ^0) Щ>
а2 = и0 — (х2 + xt + х0) v0 + (хвх2 + ^з^1 + %^о + Х2Х0 + #2^ι + #1^0) wo>
αι = Ч — (χι + #о) ^о -t- (#2*1 + %^ο + #ιΟ Ч —
(^3^2^1 l ^З^-^О"Τ" %%%\%04~ ^V^l^O/ ^0>
^0 === 2/0 «^0^0 4~ #i#o^o ^2^1^0г,0 I " ^3^2^ 1 ^0^0 *
Ньютон указывает, что сперва следует взять ai = w0; зная а4> он находит %
по формуле
«3 = ^0 — (Χ1 + Χ2 + Χ3 + Χΰ α^
зная же а3 и а4, он вычисляет а2 по формуле
294. Формула Стирдинга. Отмечаемая здесь Ньютоном формула
называется обычно формулой Стирлинга, который ее подробно доказывает. Она
употребляется также Котесом, но забывается вплоть до Лагранжа, который обращает на нее
внимание 2. Дальнейшее ее исследование принадлежит Опольцеру 3.
295. Интерполирование вперед и назад. Общие формулы, из которых
выводится интерполяционная формула Ньютона, если через Л, Д С ... обозначить
значения функции X при х = а, Ь, с ..., можно написать в следующем виде:
Х = А + (х — а) [аЪ] ~\-(х — а) (х — Ъ) [аЪс] -\-(х — а) (х — Ъ) (х — с) [abed] ·+-
4- {00 — а) (χ — Ъ) (х — с) (х — d) [abede] 4~ · · · (1)
[аЪ] =
В —Л
[аЪс] =
Ъ— а
[be] — [ab]
[abed] =
с— а
[bed] — [аЪс]
d — а
а
Ъ
с
d
е
f
л
[аЪ]
В [аЪс]
[be] [abed]
С [bed] [abede]
[cd] [bcde] [abedef]
D [cde] [bedef]
[de] [cdef]
Ε [def]
[ef]
F
Изменяя порядок а, Ъ, с, d, е, f, получаем:
X = D-{-(x — d) [de] -f- (ж —d)(x — e) [cde]-\-(x — d) (x — e)(x — c) [cdef] +
4- (x — d) (x—e) (x — c)(x — b) {bedef) + ...,
а также
X = D + (x — d) [cd] + (x — d) (x — c) [cde] -f (x — d) (x — c) (x — e)[bcde] -f-
-\-(x — d){x — c)(x — e)(x — b) [bedef] -j- . .·.
(2)
(3)
1 Cantor, т. 3, стр. 373 — 376.
2 Cotes, Harmonia mensurarum, 1722; Lagrange, Sur les interpolations, Oeuvres, т. 7, стр. 635.
3 Th. Opolzer, Lehrbuch der Bahnbestimmung, Leipzig 1880.

К «МЕТОДУ РАЗНОСТЕЙ»
399
Замечая, что в случае равных промежутков χ— a = t<*>9
[ab}=—,
Δ3Α
[abed]
1 · 2 · 3 · ω3'
получаем из (1), (2) и (3) три формулы:
χ_Λ+ω+ί^^+ίίϊ=ίΙ?±1Ι«7+.... (5)
хеД-1ас+1£=;1>^С-",-1><'+1>д»Д+... (6)
1 · 2 1 · J · о
Первая формула известна под названием формулы Ньютона. Формула (Ьу
удобна, когда χ находится вблизи d и вообще между d и е, (6) — когда χ находится
между ежа. Формула (5) дает интерполирование вперед, формула (6) — назад.
Интерполированием на середину называется пользование формулой, полученной сложением
(5) и (6):
Ύ_0+Ρ 1 А«Д+А«С . 3 Δ'Λ-fAfE ,
2 8 2 "·" 128 2 +'·'
296. Формула Ньютона-Стирлингав обозначениях Энке. Еслж
ввести употребляемое в теоретической астрономии обозначение Энке:
1 разность 2 разность 3 разность 4 разность.
f(-\) ?-1} Ί°4) С('_,>
I з Л<,+1) з f(a+1>
f'(a+T) f\a + 2) ^ν + Ί) /"'(α + 2)
то формулы (4), (5) и (6) примут следующий вид:
/•(a + «<o) = f(a)H-n/I(a+4-)+W(1W^1)/rII(a + l) +
■ »(я —!)(» —2) щ/ ■ 3\ , п(п —!)(» — 2)(« — 3) /ПГ
Н ГТ2ТЗ f \a+2';"1 1.2-Г3.4 ' (a+2>+··· Р>
1ргумент
а — 2ω
а — ω
а
α-{-ω
α-|-2ω
Функция
/'(a —2)
/>-1)
т
/Ч*-И)
f(a + 2)

400
КОММЕНТАРИИ
f(a + ««>) = /-(a) + »/i(a + |) + W(|t.a1)fII(a) +
Η ΓΤ2Τ3 f \a+2"j+ 1.2-Я.4 f (α)+·
f(a + m) = f(a) + nfl (a - 1) + w(" + 1)f"(«) +
ι (» + !)«(» —1),щ/, 1\ , (w + 2)(« + l)№(».+ l)^,y^4 ,
~! гттз ' \α-γ;-ι 1.2.3-4 ; (a)+·
Складывая и деля на 2 два последние уравнения и принимая обозначения:
И«+т)+^(«-4)
^=; (а + 1),
T[/'U(«)+/U(« + 1)]=fn(«+4)'
i[fI1(a+l) + f1,(« + 2)]=fII(a+|-j)
(2)
(3)
получаем формулу Стирлинга-Ныотона:
f (а + пт) = f (a) + Wf'(«)+1-2-fa(a) + (H+11)^,;-1VU4«) +
(n+l)n ■»(»-!) fly · (н + 2)(ц + 1)«(я-1)(»—2) у t
T" Li. 3-4 ' W+ L2.3-4. δ ' W"T··· 'W
297. Канторавекая реконструкция
рассуждений Ньютона 2. Ньютон приводит здесь
пример квадратуры. Восстанавливаются 4 ординаты на
расстоянии друг от друга -^-. Пусть сумма внешних
О
ординат равна А, а средних В. Ньютон утверждает,
9В—А
что ординат в середине равна —-— , а площадь
— В. Ньютон
не указывает, как им находится
этот результат. Кантор реконструирует рассуждение Ньютона (в современном
обозначении) следующим образом:
Пусть (фиг. 30)
1 Ягьке, Uber mechanische Quadratnr, Berl. Jahrb. 1837 или Ges. Abh. т. 1, стр. 21; Encyclop.
der Math. Wiss., ID,.{, Bauschinger, Interpolation, стр. 807.
2 Canior, т. 3, стр. 375—376.

К ПЕРВОМУ ПИСЬМУ К ОЛЬДЕНБУРГУ
401
«суть упомянутые ординаты, так что
Принимаем О, середину РоР8, за начало координат и откладываем
положительные абсциссы налево, а отрицательные направо, так что
Пусть уравнение кривой будет
тогда получается:
. В . В? . В . в*
Уа = а0-\- — а1-\—-^α^ν\=ζα^ + Ύαι + -^ Ч>
В . В* в . в*
У2 = ао 6"αι ' Зб"а2' ?/з = ао 2~αι + -^α2-
Отсюда выводится, что
J?2 JEJ2
Уо + Уз==л = 2ао + -у- я2> У1 -f 2/2 = -β= 2^0 + -jg- «а-
Из этих уравнений, далее, получается:
А В2 9B — A -
Но тогда а0 = — т~~а2== Тп · *ем самым уравнение кривой приводится
к виду:
9В—А . , 9А — 9В 9
9jB А
и при х = 0 получается, что ОМ=———, как и утверждает Ньютон.
Неопределенность ах не имеет здесь значения. Искомая площадь выражается интегралом
js R_
2 2
Г/ I I 9W I I а1^2 I а2^В I т> I , «2^1 А-\-ЗВ_
J (а0 + а1а?4-ааа?2)Ас-=|а0я; + ---2-Н—|Ч ==*«<Η jg- Η "в '
2 2
опять-таки в согласии с утверждением Ньютона.
КОММЕНТАРИИ К ПЕРВОМУ ПИСЬМУ НЬЮТОНА К ОЛЬДЕНБУРГУ
298. Письмо Лейбница к Ольденбург у. В 1673 г. Лейбниц сообщает
о своем открытии независимо от Мутона формулы для выражения уп через у0, Δ«/0,
Δ2ί/0 ... Апу0 (т. е. начатков исчисления конечных разностей) и о том, как эта
формула привела его ft суммированию рядов. Тогда же он указывает на метод
квадратуры круга, эллипса и гиперболы посредством преобразования их другие кривые,
26 Зак, 3896. Ньнугоя.

402
КОММЕНТАРИИ
квадратура которых дает квадратуру данных, дает свою формулу-!- = ι ^--{--т . - .-
4 о о
Знаки диференцирования он еще здесь не употребляет.
299. Английские ученые, занимавшиеся рядами. Таковыми
являются: Николай Меркатор г со своей „Логарифмотехникой" (1668 г.), дающий
известное разложение lg(l-\-a), Броункер, приведший геометрический вывод формулы
lg 2 = -—- 4- -—τ 4" ё—η + · · · Валлис 2, сделавший добавление к „Логарифмотех-
1 · ζ о · 4 о · о
нике", Дж. Грегори 3 со знаменитой работой „Об истинной квадратуре круга и
гиперболы", содержащей быстрее сходящиеся разложения логарифма и геометрические
доказательства результатов Меркатора.
300. Стевин и Виета. Способ приближенного решения Стевина4 сводится к
к ныне еще употребляемому нахождению промежутков, в которых заключается корень
уравнения
А(х) = В(х),
путем подстановки χ = а, Ъ, с, d...
Если А (с) < В (с), a A (d) > В (d), то корень заключается в промежутке (с Я)..
В этом случае между с и d вставляем еще другие числа и производим такое же-
испытание, суживающее еще больше промежуток, в котором заключается х.
Совершенно иначе поступает Виета δ.
Мы ограничимся только квадратным уравнением. Этого будет вполне достаточно,.
чтобы понять идею этого метода.
Искомый корень уравнения х2-}-ах = а представляется в виде х = хх-\-х2-\-хЬ9.
т. е. суммы трех слагаемых, так сказать, различных порядков малости. Уравнение
принимает вид:
а = х\ -\-сх1 + (2жх -f с) х2 + х\ -f [2 (χι + хъ) + с1 Ч +х\
Как и в методе Ньютона, первое приближенное значение х, т. е. первый член χίΡ,
предполагается известным (его можно найти по способу Стевина). Второй член Виета
предлагает найти следующим образом:
Вследствие малости х\ и хъ Виета позволяет себе считать х2 частным от
деления а — х\ — схх на 2хг-\-с. Затем, зная х2, он на таких же основаниях для
определения #3 производит деление
— [< + ^i + (2^i + c)^2 + #2 — а] на Pfo + tf^-fc].
Здесь повторяется то, о чем Ньютон говорит в „Анализе с помощью уравнений
с бесконечным числом членов"'и в „Методе флюксий".
1 N. Mercator, Logarithmoteehniea (Scriptores logarithmici Masere's, London 1791—1807).
2 Cm. Phil. Trans., 2, стр. 645—649, 13/IV 1668, 17/VIII 1668, Phil. Trans., 17/VIII 1668.
3 У. Gregory, Vera circuli et hyperbolae quadratura.
4 Stevin, L'arithmetique contenant les computations des η ombres arithmetiques ou vulgaires
a»ssi l'Algebre avec les equations, 1585; Cantor, т. 2, гл. 69, стр. 626.
5 Vieta, In artem analyticem Isagoge, стр. 1—12; Cantor, т. 2, гл. 69, стр. 640.

К ПЕРВОМУ ПИСЬМУ К ОЛЬДЕНБУРГУ
403
301. Выражение sin nl через sin ζ. Полагая dsin—- = #, — = ξ, будем
2 ' 2
иметь выражение smw£ через sin ζ:
sm m = η sm ς f—-—^ sm3 ξ +
1 · 2 · о
W(W2_1)(W2_9) n(»«—1)(«й-^9)(»« —26)
^—1.2.3.4.5 sm * 1.2.3.4.5.6.7 sm .*+··.
Таким же образом
cos^=1___sinn+____sln^—1.2.3.;.5.6 sm4+···
С помощью комплексных чисел эти формулы легко выводятся для η целого и
положительного. Принадлежат они Якову Вернул ли. Конечно, находятся они им иначе, чем
мы их устанавливаем,—некоторым весьма искусственным способом К
п^ г, т, 280g3.+ bOaqqt — 225qtt „ Έ
302. Ошибка Ньютона. Вместо —, ^ — в издании Horsley
(Newtom Opuscula, т. 1, стр. 110) стоит — * 0 —·
303. Задача Кеплера. Эта задача самим Кеплером была поставлена как
задача о разделении в данном отношении площади эллипса прямой, проходящей через
фокус. К ней приводится задача об определении положения планеты по времени,
протекшему от момента прохождения ее через перигелий, или, что то же, по средней
аномалии (эксцентрической).
8 самом деле, согласно первому закону Кеплера площадь, описываемая
радиусом-вектором, пропорциональна этому времени t и поэтому находится в отношении ко
всей площади, как t к Τ (времени обращения). Аналитически эта задача сводится к
решению уравнения χ — е sin χ = и относительно х.
Эту задачу Кеплер 2 объявляет непосредственно неразрешимой, он находит
единственный путь в составлении таблиц для средних аномалий и определении по ним
для данного и соответствующего х. Ньютон применяет к уравнению Кеплера метод
„Kegula falsi" в форме, аналогичной той, в которой этот метод им устанавливается
для алгебраических уравнений (эту форму можно найти в любом современном учебнике
теоретической астрономии).
Литература об уравнении Кеплера, начинающаяся с Ньютона, очень велика.
Упомянем имена Валлиса 3, Германа 4, Жеорат б, Клеро 6, Лагранжа 7, Боссю 8?
Лапласа 9.
ι Mem. de Г Ac. des Sc. 1702, Opera, т. 2, № 97.
2 Kepleri Opera, Comment, de Stella Martis; см. Ньютон, Математические начала
натуральной философии, отд. 5, пред. 31, стр. 139.
3 Wallis, Tractatus de cycloide, Opera, т. 1, стр. 540.
4 Hermann, Com. Ac. Petr., т. 1, 1726, стр. 144.
5 Jeaurat, Mem. pres. а ГАс. d. Sc, т. 4, 1763, стр. 564, 601.
6 Clairaut, Theorie de la lune, 1752.
'7 Lagrange, Mem. de ГАс. de Berlin, 1769.
s Bossut, Mem. de ГАс. d. Sc, 1777.
9 Laplace, Theorie du monvement et de la figure elliptique des planetes, art. 9,
26*

404
КОММЕНТАРИИ
304. Двукратный интеграл. Это наиболее удивительное место в письме
представляет собой не вычисление объема тела вращения по формуле
ъ
V = tz ί ιβάχ,
α
а более сложную задачу определения объема, заключенного между четырьмя плоско-,
стями и поверхностью эллипсоида по формуле
* Р
"-•///"-■l-S*'*·
Реконструировать здесь ход мысли Ньютона очень трудно. Можно только с
определенностью сказать, что Ньютон здесь дважды употребляет разложение:
1. Разложение радикала по степеням у, считая χ постоянным, и интегрирование
его от 0 до β.
2. Разложение результата по степеням χ и интегрирование от 0 до а.
305. Формулы Гюйгенса1. Гюйгенс дает не только эту приближенную
формулу для дуги, но и другие, лучшие:
»п = и2п~Г- —
8п = и2п +
3 8 (иъя — ия)*
9 2и2п + 3ип
(2и2п + 3ип)
где ип и гь2п суть стороны η - угольника и 2п- угольника, описанного в круге,
а *Ьп — дуга, стягивающая первую сторону. Эти формулы представляют приближенные
χ
выражения —— в виде:
r sm#
a -f- Ь cos χ -f- с cos2 χ t а-\-Ъ cos x-\-c cos2 x-\-d cos3 χ
e-j-fcos# ' e-(-/'cos χ -\-g cos2χ
χ
306. О приближенных значениях ——:. Результат Ньютона можно пред-
S1I1 X
ставить в форме
χ 14 + oos^·
sin χ 9 + 6 cos χ'
Его предшественником является Николай Кузанский 2, выразивший
приближенное спрямление дуги формулой
χ _ 3
sin χ 2-\- cos#'
1 Huygens, De circuli magnitudine и переписка с van Schooten и Gregorius a S-to Vin-
ceatie; Vahlen, Konstruktionen und Approximation en, стр. 202.
2 De Mathematica perfectione, Opera, Parisii, 1515, Basileae 1565.

КО ВТОРОМУ ПИСЬМУ К ОЛЬДВНБУРГУ
405
которую доказал Снеллий1. Последний (фиг. 8, табл. XXVI) берет KG = 1, и ΑΈ у него
1 г
оказывается приближенно равным дуге. Ньютон же берет KG =1 — sin vers χ.
о
Ньютонова приближенная формула — лучшая из формул типа Τ , . Формулы
С Ι (λ> COS X
для Ньютона и Николая Кузанского можно рассматривать как первые подходящие
значения непрерывной дроби; следующей за ними является
sin χ 51 -(-- 48 cos χ + 6 cos2 χ
χ '~ 80 -|- 25 cos χ "
Формула Ньютона для угла не свыше 45° дает ошибку не больше 19,5'2.
КОММЕНТАРИИ К ПИСЬМУ ЛЕЙБНИЦА И КО ВТОРОМУ ПИСЬМУ НЬЮТОНА
К ОЛЬДЕНБУРГУ
307. Рациональные фигуры. Под этим термином Лейбниц разумеет
кривые, определяемые уравнением у = ф(х), где ψ(χ)— рациональные дроби; он придает
большое значение определению их площадей (или, лучше сказать, следуя терминологии
того времени, — величины этих фигур), что сводится к интегрированию рациональных
дробей.
По Лейбницу выходит, что все необходимое для интегрирования рациональных
дробей было дано Меркатором. Но с нашей точки зрения это дано было не Мер-
катором, а именно самим Лейбницем, так как первый дает только разложение в ряд
интеграла от простейшей рациональной дроби, т. е. то, что при современном
понимании интегрирования рациональных дробей совершенно ненужно, а Лейбниц дает,
что наиболее существенно, — приведение дроби к простейшим.
308. Учение о преобразовании Лейбница. Это по существу метод
подстановки, который Ньютон в „Методе флюксий" не употребляет, но которъш
выступает в „Рассуждении о квадратурах", — весьма вероятно, под влиянием Лейбница.
У Лейбница же и его учеников подстановка играет существенную роль.
Следует помнить, что содержание не только „Метода флюксий", но и
„Анализа с помощью уравнений и т. д." Лейбницу было неизвестно: обо всем этом
он знал только из писем. Далее часть письма пропущена.
309. Задача Дебона. Место это представляется неясным. Может быть
здесь речь идет о неизменном выражении для -fy- и о диференциалъном уравнении
первого порядка, представленном в виде -4- = φ (%, у)·, что представлялось как есте-
У
ственное обобщение типа задачи, которая называется задачей Бона.
г Snellii Cyclometria, 1621; Lambert, Beitrage zum Gebrauch der Mathematik und deren
Anwendung, Berlin 1765, 2, стр. 31G (так же Архимед, Гюйгенс, Жамберт, Жежандр „О квадратуре
круга*, 1934).
2 Т. Vahlen, Konstruktionen und Approximationen, Leipzig 1911, гл. 2, стр. 188; Mathesis, 2;
стр. 7, 9—10, 1897, стр. 129, 153.

406
КОММЕНТАРИИ
Едва ли Лейбницу могла казаться трудной задача определения кривой с
постоянной подкасательной.
Задача же, предложенная Боном1 геометрам, состоит в разыскании такой
кривой, что ордината РЖ находится в том же отношении к подкасательной, что и
данная линия РК=а к разности между ординатой MP и абсциссой ОР (фиг. 31).
Декарт нашел некоторые свойства этой кривой: это линия
с постоянной подкасательной на асимптоте, которая
образует с OF угол в 45°.
Методом диференциального исчисления задача
впервые решается Лопиталем и Иоганом Вернулли2.
Задача приводится к диференциальному уравнению
или
Фиг. 31.
Уравнение приводится к
a(dx— dy)
а + х — у '
и эатем к
In-
dy : dx = а: (у -
adx = y dy -
-dy
a
■χ),
xdy.
a-\-x — у
Если кривая проходит через начало координат, то
In-
а
а-\-х — у
310. „Игра природы". Вместо „той же природы", т. е. „hujus naturae",
в издании Кастильона стоит „Lucius naturae", что следовало перевести „игра
природы".
Это — загадка, которая разрешается просто тем, что слово было неясно
написано Лейбницем и было неправильно понято другими, в том числе и Ньютоном, что
Лейбниц разъясняет в своем письме к Конти. Ньютон же употребляет это выражение,
как высказанное Лейбницем, во втором письме к Ольденбургу.
311. Из истории формулы бинома Ньютона. По утверждению Кест-
нера биномиальные коэфициенты впервые встречаются у Штифеля4, который дает
нх до семнадцатой степени. Он получает их сложением, т. е. по формуле
Ч "гЧ+1 — 4+1 >
но он не знает, как выписать биномиальные коэфициенты для какой-либо степени
независимо от коэфициентов для низших степеней.
1 Cantor, т. 2, стр. 856.
2 Journ. des spavans, 1692; Acta Eruditorum, 1694., 1696; Яков Бернулли обобщает задачу;
см. его Opera, № 72; Klugel, Mat. Worterbuch, т. 1, стр. 240.
3 Kastner, Gesehichte der Mathematik, т. 1, стр. 49; Cantor, т. 3, гл. 85.
4 Stifel, Arithmetica Integra, 1544, кн. 1, гл. 5.

КО ВТОРОМУ ПИСЬМУ К ОЛЬДЕНБУРГУ
407
Этот аддитивный метод заменяется мультипликативным уже Бриггом, только
правило выражается словами, а не формулой. Но он, конечно, ограничивается лишь
целыми положительными степенями. Некоторые, как Иоган Бернулли, приписывают
открытие общей формулы бинома Паскалю \ давшему для вычисления фигурных чисел
свой знаменитый „арифметический треугольник", хотя он и не выявил значения фж-
гурных чисел в разложении {а-\-Ъ)п.
Собственно Ньютону следует приписать обобщение формулы на случай какого
угодно щ его вывод остается также неполной индукцией.
Колъсон в своем комментарии к английскому изданию трудов Ньютона в 1736 р.
дает доказательство формулы Ньютона.
Доказательство привел и Хорслей2 в своем издании. Это доказательство
приписывается Рафсоном Чейну. Оно переработано Кестнером3 в 1758 г.. Формулой
бинома занимались Эпинус4, затем Эйлер6, Лагранж6. Много работ находится в
Philosophical Transactions 7.
312. Анаграмма8. Dat a aequatione quotcunque fluentes quan-
titates involvente fluxiones invenire, et vice versa, т. е. по данному
уравнению, содержащему сколько-либо флюэнт, найти флюксии и обратно.
313. Интеграл диференциального бинома. Ньютон дает достаточное
условие выражаемости алгебраической функцией интеграла диференциального бинома
1= f xm{a + bxnydx, (1)
m-f-1 τι
состоящее в том, что !— равняется целому положительному числу. Ньютону
известно преобразование
I = /* xm+nt> (ах~п + Ъ)р Ах,
т + 1 ι
а поэтому и случаи интегрируемости ! \-р равняется целому положительному числу.
К этим двум случаям следует прибавить еще тот, когда ρ — целое положительное число.
Ньютон выводит это из полученного им выражения, которое можно понимать
так*
Г хт(а + ЪхУах = ^(а-{-ЪхУ+1\-
пхт+1~п
т -Ь пр -|~ 1
ι V (— 1 \jsrm+x-jn гО + гс.Р + 1—jn)T(m + l)
~^Zu^ L> х r(m + np-f 1)Γ(*»+1— jny w
О—2
ι Pascal, Le triangle arithmetique; Cantor, т. II, стр. 749.
2 Horsley, т. 1, стр. 286.
3 Kastner, Anal. d. endl. Grosse
* Aepinus, Nov. Comm. petrop., т. 8, 1760, 1761.
5 См. Nov. Comm. petr., т. 19, 1774, стр. 103.
6 См. Theorie des functions analytiques, № 18.
τ Т. Simpson (1751—1752); Robertson (1795); Sewelle (1796).
8 Cantor, т. 3, стр. 185, 251.

408
КОММЕНТАРИИ
Оно обрывается, если —^— = μ есть целое число. В противном случае μ = σο..
Формула (2) получается интегрированием по частям. Ближе к Ньютону будет
способ неопределенных коэфициентов, приложенный к схеме
Г xm{a + bxnfdx = x
т-\-1—пр
А,
А,
Ло
χ
X
(3)ь
314. Лейбниц об интеграле диференциального бинома. Для
истории элементарных методов интегрирования важной и интересной является приписка
Лейбница на этом письме Ньютона.
Мысль Лейбница идет в направлении эйлеровского интегрального исчисления*.
Он оперирует подстановкой там, где Ньютон оперирует своими примитивными
методами разложения в ряды.
Л привожу (не полностью) это меото, которое интересно еще в отношение
лейбницевской символики
f dz · zm\n\e + fz * ids · Λ>* = θ,
ω = e -{- fz · , d<s> = fhz * dz»
В нашей символике левая часть имеет вид:
J> (е + feh)*ds · f zm<undz
Лейбниц употребляет уже тот же знак, что и мы, а именно / для интеграла.,
вместо ньютоновского словесного выражения: „флюэнта, для которой флюксия равна
тому-тои.
h
Вместо (e-\-fzh)n он пишет \n\e-\-fz·, что читается так: п-я степень e-\-fzh~
Черточкой и точкой (которая не всегда ставится) Лейбниц, вероятно, хочет
подчеркнуть, что· η — показатель.
Далее Лейбниц пишет:
з = ω — е: f
l:ft
и dz = d(s> : fh
1 — h
Ч
l — h + m
ωηά<χ>.
1 Об интегрировании диференциального бинома см. Cantor τ 3, стр. 185—186, 283.

КО ВТОРОМУ ПИСЬМУ К/ОЛЬДЕНЪУРГУ
40$
Таким образом подстановкой θ сводится к более простому выражению
Г<ъ—е\°-\ nj
ι= I —ψ— <owdo>,
откуда, в том случае, если g целое число, имеем абсолютное решение (по-нашему
алгебраическое).
315. Об интеграле диф еренциального бинома. Уже сравнительно
скоро после Ньютона устанавливается достаточность того условия, что одно из чисел
m-4-1 m + 1 ,
—у !—\-Р>Р
η η
есть целое число (а не целое положительное), для приводимости к площадям
конических сечений. Когда вполне входят в употребление логарифмические и круговые
функции, теорема эта обращается в условие приводимости, — не только достаточное,
но и необходимое, — к логарифмическим и круговым функциям. Доказательство
необходимости этого условия было приведено Чебышевым1 (причем из его доказательства
следует и необходимость ньютоновского условия для алгебраической интегрируемости),
но только для рациональных т> п, р. Для случая иррациональных т, η, ρ это было
установлено много позже мною2.
316. Ге о метрическая квадратура. Геометрическая квадратура здесь
означает алгебраическое интегрирование. Теория, конечно, указывает также на
возможность построения, но только уже не с помощью циркуля и линейки, а с помощью
конечного числа геометрических (по-нашему алгебраических) кривых. В этом случае
выражение Ньютона нужно понимать так: построенное сложением и умножением с no-
мощно степеней переменного и степеней бинома. Выражение „не непосредственнои
следует понимать в смысле степени бинома в разложенном виде, например, (а -|- Ъх2)ъ в форме
а3 + ЗаЧх* -f За№х* -J- Ь3^.
В неясной форме здесь намекается, что приведение к более простым
интегралам возможно теми же методами, что и алгебраическое интегрирование, т. е.
способом неопределенных коэфициентов при помощи определенных схем приведения
(а поэтому, — чего сам Ньютон не видит, — интегрирования по частям).
317. Смотри приведенное на стр. 232—233 письмо Чирнгаузена.
318. Единственность степенного разложения. Аргумент в пользу
того, что степенное разложение является единственным, основывается на том, что если
f(x) = а0-{- αντ -J- а2х2 -}- . ..
и
то
aj = br
1 Tschebyscheff, Sur Г integration des differentielles irrationnelles, Journal de Liouville,
т. 12, 1853.
2 Д. Мордухай-Болтовской, Об интегрировании в конечном виде дпференциальных
биномов, Известия Казанского математического общества за 1926 г.

410
КОММЕНТАРИИ
319. Ньютон против метода преобразования. Это несколько неясное
место письма разъясняется так: Ньютон не пользуется подстановкой, а употребляет
методы (параллелограм), непосредственно приводящие к степенным разложениям
относительно любой переменной. Лейбниц же сперва упрощает функции f(x)y полагая £ =
= ω(#) или # = Θ(Ε), так что он разлагает уже не f(x) по степеням х, a f [θ(£)] =
= Ω(ξ) по степеням ζ, так что χ у него уже не любое переменное, как у Ньютона.
Впрочем ниже и сам Ньютон совершает в духе Лейбница подстановку. Однако
не для того, чтобы получить выражение в конечном виде, но бесконечный ряд.
320. Ряды Дж. Грегори. Мы сказали бы не последний член, а
бесконечность членов; в то время бесконечное число рассматривается как число, последнее
в ряду чисел.
Грегори1 доказывает, что если $п и Sn суть площади вписанного и
описанного .около окружности правильных w-угольников, a S2n и S2n — соответственно 2%-уголь-
ников, то
т. е. первая величина — среднегеометрическая между Sn и Sn, а вторая — среднегар-
моническая между Sn и S2n. С помощью этих формул он получает сходящийся ряд
многоугольников, окончание (terminatio) которых есть круг. Здесь заключается ранний
пример зарождения мысли о пределе.
321. Проведение кривой третьего порядка через 7 точек.
Последнее утверждение следует понимать иначе, чем первые два. В первых двух
указывается наибольшее число произвольных точек, через которые проводится кривая.
А для кривой третьего порядка таких точек не 7, а 9. В „Перечислении кривых
третьего порядка" Ньютон строит не вообще кривую третьего порядка, а уникурсаль-
ную, проходящую через 7 произвольно заданных точек.
322. „Гармония измерений" Котеса. Ньютон указывает на возможность
приведения к площадям конических сечений (по-нашему к логарифмам и круговым
функциям) ряда интегралов. Мы видим, что Ньютон ушел очень далеко в формальном
интегрировании. Методы у него, конечно, иные, чем те, с помощью которых мы найдем
все намеченные им интегралы и, более того, иные, чем у Лейбница, который первый
дает метод интегрирования рациональных дробей. При реконструировании их следует
руководствоваться „Рассуждением о квадратурах" Ньютона. Прямым продолжателем
Ньютона в этом направлении является Котес2.
Его работа имеет важное значение не только с точки зрения дальнейшего
развития методов интегрирования и характеризует напор логарифмических и круговых
функций. Интегралы, которыми он занимается, это — те, которые намеченй Ньютоном,
1 James Gregory, Vera circuli et hyperbolae quadratura; Montucla, Histoire de la recherche
sur la quadiature, 1831, стр. 95—101; Cantor, т. 2, гл. 71, стр. 717, см. Huygens, Journ. des
. sea vans, 1668.
2 Cotes, Harmonia mensurarum, 1722.

КО ВТОРОМУ ПИСЬМУ К ОЛЬДБНБУРГУ
411
ш их естественные обобщения. Котес, как и Ньютон, трудится над таблицами
интегралов. Видимо, именно эти таблицы и вызывают необходимость искать краткие
обозначения, а последние приводят к мысли рассматривать выражения для некоторых
простейших площадей конических сечений как основные чисто аналитические
определения, как элементы построения. Обозначения Котеса имеют мало общего с
современным. Он пишет для интеграла от
1
выражение
•где
-η-1
Ζ J
dz
■φ ■ 8
R-
V-t
Τ=Λ\
-/*
s^*< f"-<
f
2 В -L· τ
по-нашему — это — В In —5-—, так что вертикальная черта означает то же, что
логарифм, хотя толкуется иначе, чисто геометрически. Аналогичная форма дается им и
е
для случая -7г- > 0, когда интеграл равен
2 _ГТ .. -Inj/Z,
1/ "-7r-arctg^2 v е
ψ V f
причем знаку | также дается геометрическое определение.
По этому направлению идет и Роберт Смит, издающий по смерти Котеса его
работу. Смит приводит 94 формулы, из которых 18 принадлежат Котесу. За ним
следует в том же духе работа Валмслея1. Отметим длинную историю интеграла
/
ζ λ dz
который сыграл в истории неопределенного интегрирования не менее важную роль,
чем интеграл диференциального бинома.
1 Walmesley, Analyse des mesures des rapports et des angles ou reduction des integrates
aux logarithmes et aux arcs de cercle, Paris 1753; Moivre, Miscellanea analytica, London 1730, 1. 1,
prop, 5, 1. 3, prop. 12 (обобщение результата Котеса); Т. Simpson, Essays on several subjects in
.spec. and. mix. math., London 1740; Ioh. Bernoulli, Acta Eruditorum 1719.

412
КОММЕНТАРИИ
323. Ньютонов, ряд для π. Мы укажем, как получается эта весьма
интересная формула. Конечно, я буду действовать не так, как Ньютон. Легко видеть, что
ι
х = γ~2 [arctgV*2 +1) — aretg 1],
/:
О
1
1 -\-γ~2χ-\-χ*
С % = 1/2" [arctg (/2- 1) + arctg 1].
о
Складывая, имеем:
11 1
>/2"~=2 Г1±-^Ас= f\l—x* + afi+ ...]dx+ f [a!*—afi + x™+...]dx=
•y.6 /y»4 γ·3 /v>7 /y»ll
"5"^Τ + β· * "" 3 7" ' "ΪΓ
о
1
i+JL_J__JL + J_ + I +
^ 3 5 7^9 Tll^
Степень погрешности при пользовании ньютоновым рядом».
Ряд Ньютона можно привести к виду:
1 + Л *-+_*_ - ?
^3-5 7-9^11 · 13 (2λ + 1)(2λ+3)"
Ошибка будет при пользовании η членами этого рода меньше, чем первый
2
отброшенный член, т. е. ——, пч,_—=——. Решая неравенство
г - (2ю + 1)(2м+3)
(2^+1) (2^+3) Ю20'
приближенно получаем:
ΙΟ10 η 1010
yV 2 2|/2"
324. Синус-в ерзу с. Ньютон употребляет ныне совершенно вышедший из
употребления синус-верзус: отрезок на диаметре между перпендикуляром из конца
радиуса и дугой, который выражает так: г — cosy, если cosy понимать в ньютоновском
смысле, т. е.
г — cos у = 2т sin2 -^- = х,
где синус уже понимается в нашем смысле; тогда вторая формула Ньютона
сводится к
у . 1 ^ , 1 · 3 zb ,
2 ' 2 3 ' 2 .4 δ
где ±
у X2
г = sin
|/2r 2

КО ВТОРОМУ ПИСЬМУ К ОЛЬДЕНБУРГУ
413
325. Циклотехника. Так некоторые авторы называют аналитические но
характеру методы вычисления числа π, возникшие при введении в анализ рядов. Старые
методы элементарного характера, которыми мы обязаны Архимеду, указавшему верхнюю
ж нижнюю границы для π: 3 — и 3 — \ применяли Виета2, А. Роменус и Лудольф
ван Цейлен, причем последний доходит до 32 десятичных знаков. Галлей и Шарп
пользуются уже разложением арктангенса, и вычисление доходит до 72 знаков. Ланьи3
довел его до 127 знаков4.
Ньютон, пользуясь разложением arctg —, вычисляет до 14 знаков. В. цикло-
технике огромное значение приобретали формы типа:
-i- = A arctg —\-В arctg —,
4 т η
где А, В, ж, η — целые числа. Формула
J = 4arctg I-arctg J^
позволяет Машину (1706) вычислить τ с 100 знаками.
Вега вычисляет π с 140 знаками по формуле
J = 2 arctg - + arctg -.
Аналогичные формулы даются многими авторами. Штёрмер исследует
возможность формулы общего типа
J=p 1
Приводим список последовательных достижений в вычислении значения т:
Год Числ0
м знаков
Scharp 1699 72
Machin 1706 100
Lagny 1719 127
Vega 1789 126
Vega 1794 140
Rutherford 1841 152
Schulz 1844 200
Rutherford 1853 440
Schanks 1853 530
Richter 1853 500
Schanks . . > 1874 707
1 См. Архимед, Гюйгенс и др., О квадратуре круга, 1934.
2 Vieta, Opera, edL Schooten.
3 Lagny, Mem. de ГАс. d. Sc, 1719.
4 Cantor, т. 3, стр. 618.

414
КОММЕНТАРИИ
326. Ньютон и Лейбниц об определении числа по его
логарифму. Полагая в разложениях:
6 ■ 5* 58
е~' = 1
βξ = 1·
1 ~1 .2 1-2.3
S , S2 . Е8
1 ' 1.2 ' 1-2-3
ξ = In д?,
имеем
1 ]ц* , (In*)2 (Ins)» ,
' ln^ -(hag)» (InaflB
"7_1+ 1 + 1-2 +1.2.3+··· W
Лейбниц для определения χ по In χ пользуется первым разложением, Ньютон же—
вторым. Лейбниц знает степень погрешности при вычислении с помощью
знакопеременного" ряда и поэтому пользуется рядом I. С точки зрения экономии времени
Ньютон прав, давая предпочтение ряду II и отмечая работу, которая требуется для
обращения числа, т. е. перехода от — к х.
χ
327. Элементарные методы и ряды. Ньютон здесь предлагает
производить вычисление синусов на основании формул сложения синуса, вычисленного
с помощью рядов, и этот элементарный метод подробно излагается. Интересно
отметить, что Ньютон, которому мы больше всего обязаны рядами, относится к рядам
с меньшим доверием, чем мы.
Он всегда больше заинтересован практической, чисто вычислительной, а не
теоретической стороной дела. Не обладая общими методами для приведения рядов
к более сходящимся (но чувствуя необходимость этого), он от рядов ожидает всегда
слишком большой затраты труда.
В некотором противоречии с замечанием о неиуоюности этих разложений
Ньютон, далее, определяет синус и косинус угла А, от которого он начинает свои
операции именно с их помощью.
328. Истинные, или правильные, логарифмы — десятичные, бригговы; им
противополагаются натуральные, гиперболические при основании е = 2,718281828...
329. Логарифмотехника. Отметим основные моменты в истории техники
составления логарифмических таблиц. После таблиц натуральных логарифмов Непераг
в 1614 г. следуют тригонометрически-логарифмические таблицы Урсинуса2 и
десятичные логарифмы Вригга3 в 1624 г. Методы вычисления логарифмов совершенствуются
до Ньютона Мернатором в 1668 г., Грегори и Галлеей4 в 1695 г.
330. Метод Ньютона вычисления логарифмов. Ньютон предлагает
вычислять 1п(1-{-#) при # = 0,1 и # = 0,2, так как в этих случаях ряд In (1-{-#) =
1 Жерегг Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, Edinb. 1614.
2 Ursineus, Trigonometria cum magno logarithmorum Canone, Colonia 1625.
3 Brigg, Arithmetics Logarithmica; о ней Cantor, т. 2, стр. 832—850.
4 Halley, Phil. Trans. 1695, см. Cantor, т. 3, стр. 84.

КО ВТОРОМУ ПИСЬМУ К ОЛЬДЕНБУРГУ 415
#2 х3
= х ?Г"Ь"о"*·· является быстро сходящимся, in2 он вычисляет не по формуле
очень медленно сходящейся и требующей для определения второго знака после
запятой 100 членов, а по формуле
In 2 = 2 In 1,2 — In 0,8 — In 0,9.
При таком вычислении, конечно, если In0,8, In 0,9 вычислены с 13 знаками,.
In 2 следует брать лишь с 12 знаками. Последняя цифра в In 2, т. е. 7, является
ео,мнительной.
In 10 Ньютон вычисляет по In 2:
In 10 = 3 In 2 — In 0,8 = 6 In 1,2 — 4 In 0,8 — 3 In 0,9;
так как сумма коэфициентов
6 + 4 + 3 = 13>10,
то нельзя ручаться и за 12-ю цифру In 10:
In 10 = 2,3025850929933.
Дальнейшие операции еще больше сокращают число бесспорных знаков.
Ньютон вообще никогда не производит точного анализа степени погрешности.
и не замечает этого недостатка своего остроумного метода, сильно снижающего его
ценность.
331. Метод обращения рядов. Бэтой форме обращение рядов
встречается только здесь.
Следует отметить, что Ньютон берет всегда разложение по степеням одного
переменного (с коэфициентами, являющимися полиномами от другого). Разложения на
z = a00 + (a0ix + a10y) + (ai2x* + 2a11xy + a21y*)-\- ...
он не знает.
332. Синус геометрический и числовой. Следует помнить, что для
Ньютона синус есть не отношение, а перпендикуляр, опущенный из конца второго
радиуса на первый, причем не обязательно при г=1, а при всяком г; так что для
каждого г имеется свой синус.
Заметим еще, что мы пишем просто
. 1 х* .1 - 3 хь ,1 · 3 · δ χ1 ,
у = arcsm χ = χ -ь — -г- 4- -—- — ■+ — L . ..
, J ' 2 3τ2.45~2.4·67'
Ньютон же 1) не имеет знака arcsin и пишет: дуга будет ==...,
χ
2) вместо χ берет — .
г
333. Анаграмма.
Una methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex aequatione simu
involvente fluxionem ejus. Altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet
incognita, ex qua cetera commode derivari possunt, et in collatione terminurum homulogorum
aequationis resultantis ad eruendos terminos assumptae seriei. (Перевод см. на стр. 259),,

416
КОММЕНТАРИИ К ПИСЬМАМ К ВАЛЛИОСУ
334. Лейбниц об обратной задаче о касательной. На этом письме
рукой Лейбница приписано:
dr
ТВ, t, ВС, у, АВ, х\ ТВ равно -А=- у
dy
(это хорошо известная формула для подкасательной).
Пусть t равно y(v) [мы бы написали ν (у)], dx равно ——~ и χ равно
* у*Чц ТС VlP+ψ _ „
ό г»_ равно -= —. Если ТС дано через у, то у определяется
/
У У dy
рез х, то х^: у :: dx : dy и —^ равно -
У
т^ т (v) j j ^r dy
в· квадратурах. Если /С дано через х, то аг . у :: dx : dy и —^ равно ——, и
определяется в квадратурах.
Отсюда мы видим, что Лейбниц интегрировал (вероятно, так же как мы)
уравнение f{y', у) = 0.
Интересно отметить здесь несколько другой путь приведения решения
обратной задачи о касательной к квадратуре, по которому шел Крэг (1693).
Он брал вспомогательную кривую (ее тоже можно назвать в расширенном
смысле — квадратрисой) с ординатой, равной поднормали уу', и находил ее площадь
X X
J yyfdx= J ydy = ^·.
о о
Таким образом поднормаль дает возможность ему определить не у, а г/2 1.
КОММЕНТАРИИ К ПИСЬМАМ К ВАЛЛИСУ
335. О письме Ньютона Валлису. Кастильон замечает, что экземпляр
этого письма не был опубликован. Валлис делает из него извлечения большей частью
в словах самого Ньютона.
336. Интегрирование с помощью ряда. В уравнении 2 k*W? = О
Ньютон полагает
у = ах -f- Ъх*"^* -р · · · >
что дает
2teWP = **Τβ (α*ν+ ... )>а^·-^ .. .)р -f · · · =
Ньютон приравнивает показатель
To + v(«o + ft) —β
показателю наименьшей свободной степени #, т. е. λ, и из уравнения γ0 -{- ν (α0 -j~ β0) —
— β0 = λ определяет ν. Приравнивая коэфициент при этой степени нулю, он получает
уравнение 2 1а*° baY° = О· Полагая, далее, у = a#v -f-p, он получает 21'χ('0ρ*Ύ^' = О
и с р, jp' поступает так же, как выше с у и у7.
v1 Gerhardt, Die Entdeckung и т. д., стр. 112; Craig, Methodus figur. lineis rectis eompre-
hens., 1685.

ХРОНОЛОГИЯ
Rond
4. Архимед, Archimedes,
5. Барроу, Isaak Barrow,
•θ. Бернулли Иоганн, Johann
Bernoulli
>
7. Бернулли Даниил, Daniel
Bernoulli,
8. Бернулли Яков, Jacob
Bernoulli,
9. .Бертран Жозеф, Joseph Bert-
rand,
10. Бертран Луи, Louis Bertrand,
11. Валлис, John Wallis,
12. Де Витт, Jdhan de Witt,
13. Виета,, Francois Viets,
14. Галилей, Galileo Galilei,
15. Галлей, Edmund Halley,
16. Грегори, James Gregory,
17. Гюйгенс, Christian Huygens,
18. Декарт, Rene Descartes (Car-
19
tesius),
Джонс, William Jtmes,
20. Диоклес, Diokles,
21. Дюгамель, Jean-Marie-Constan-
tin Dun am el,
22. Кавальери, Bonaventura Cava-
lieri,
23. Кантор Мориц, Moritz Cantor,
24. Кардан, Hieronimo Cardano,
:25. Кейль, John Keill,
26. Клавий, Christoph Clavius,
1717
1. Д'Аламбер/ Jean- le
d'Alembert,
1
2. Аньези, Maria Gaetana Agnesi, 1718
-3. Аполлоний, Apollonius,
265
1783
1799
170
ДО Η. э.
287— 212
до Η. э.
1633-167?
1667
1748
1700-1782
1654
1705
1822
1731
1616
1623
1540
1564
1656
1638
1629
1900
1812
1703
1672
1603
1642
1712
1675
1690
1596
1675
1650
1749
II в.дон.э.
1797
1872
1592
1829
1501
1671
1537
1647
1920
1576
1721
1612
27. Клебш, Rudolf Friedrich Alfred
Clebsch,
28. Клер о, Alexis Claud'e Clairaut,
ч
29. Клюгель, Georg Simon Kliigel,
30. Кастильо,н, Jean de Castiilon,
31. Кольсон, John Colson,
32. Кеплер, Johann Eepler,
1
33. Крамер, Gabriel Cramer,
I
31. Лагранж, Joseph Louis
Lagrange,
35. Ламберт, Jobann
HeinrichLambert,
36,. Лаплас, Pierre Simon Laplace,
37. Лежандр, Adrien Marie Le-
gendre,
38. Лейбниц, Gottfried Wilhelm
Leibniz,
39. Лежен-Дирихле, Peter. Gustaw
Lej eune-Dirichlet f
40. Лопиталь, Guillaume Francois
de l'Hopital,
41. Маклорен, Colin Mac-Laurin,
42. Меркатор, Ni,kolaus Kaufmanil
(Mercator),
43. Моавр, Abraham de Moivre,
44.- Монтюкла, Jean Etienne Mon-
tucla,
45. Мурдох, Patrick Murdoch,
46. Нейль, λγϋ^ιη Neil,
47. Henep, John Neper,
48. Ныовентпт, Bernhard Nieuwen-
tiit,
Ньютон, Isaac Newton
49. Оутред, William Oughtred,
50. Папп, Pappos,
51. Паскаль, Blaise Pascal,
1833
1713
1739
1709
1680
1571
/
1704
1736
1728
1749
1752
1646
1805
1661
1693
1620
1667
1725
1872
1765
1812
1791
\
1760
1630
1752
181
3
1777
1827
1833
1716
1859
1704
1743
1687
1754
1799
умер в 1774
1637
1550
1670
1617
1718
1654
1642
1574
*
HI в. н. э.
1727
1660
1623
1662
27· Зак, 3296. — Ньютон

418
ХРОНОЛОГИЯ
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
Пембертон, Henry Pemherton,
Плюкер, Julius Kiicker,
Пелетарий, Peletier,
Ренальдини, Carlo Renaldini,
Роберваль, Giles Personne de
Roherval,
Сальмон, George Salmon,
Слюз, Francois de Sluse»
Снелль, Willehrord Snellius,
Симпсон Томас, Thomas
Simpson,
Скоутен, Franc Schooten,
Стевин, Simon Stevin,
Стирлинг, James Stirling*
Тейлор, Brook Taylor,
Торелли, G. Torelli,
Ферма, Pierre de Fermat,
1694-
1801-
1517-
1615-
1602-
1819-
1622-
1581-
1710-
1615-
1548-
1692-
1685-
1721-
1601-
-1771
-1868
-1582
-1693
-1675
-1904
-1685
-1626
-1761
-1661
-1620
-1770
-1731
-1781
-1665
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
Фурье, Jean Baptiste Joseph
Fourier,
Хорслей, Samuel Horsley,
Худде, Johann Hudde,
Цейлен, Ludolph van Ceulen,
Чебышев, Пафнутий Львович,
Чейн, George Cheyne,
Чирнгаузен, Ehrenfried Wal-
ther von-Tschimhaus,
Шаль, Michel Chasles,
Штейнер, Jacob Steiner,
Штифель, Michael Stifel,
Эвклид, Eukleides,
Эйлер, Leonhard Euler,
Энке, Johann Franz Encke,
1768-
1671-
1628-
1540-
1825-
1671-
1651-
1793-
1796-
1487-
-1830»
-174a
-17041
-1616
-1895*
-174a
-1708'
-1880
-186a
-1567
около 325»
ДО
1707-
1791-
H. Э.
-178a
-1865

предметный указатель
(Цифры означают номера комментариев)
Актуальная бесконечность 6,
актуально бесконечно
малые 109, 111, 221, 290
Алгебра синкопированная 143
Алгебраические интегралы 98
Алгебраическое
интегрирование диференциальных
биномов 235
Анаграммы 312, 333
Английские ученые и ряды 299
Аппарат решения
уравнений 288
Арксинуса разложение 34
Арктангенса разложение 169
Асимптоты 265, 269, 280, 281
Аффективные уравнения 15
Бесконечно малые высших
порядков 142
Бесконечно удаленная точка
24
Бесконечно удаленная точка-
классификация кривых 267
Бинома интегрирование 243,
313, 314, 315
Биномиальные интегралы 233,
234, 235
Бинома формула, 55, 311
Биполярная система
координат 126
де-Бона задача 309
Векторы 162
Ветвей типы 274
Версьера 168
Видовая арифметика 53
Взаимности принцип 261
Виды 51
Возврата точки 2G1
Вперед и назад
интерполирование 295
Время 76, 77, 78, 218
Высшего порядка
производные 229
Гармония измерений 322
Гегелевская философия 222
Геометризация диференциаль-
ного исчисления 124, 197
Геометрические задачи
Ньютона 108
Гиперболический тип кривых
3-го порядка 267
Гиперболизмы 276, 281
Гиперболы, изобилующие и
дефективные 281
Графическое решение
уравнений 287
Гюйгенса формулы 305
Движение по Аристотелю 74
Двукратный интеграл 304
Декарто-полярные
координаты 123, 125
Дефективные гиперболы 281
Диаметры 258
Диференциального исчисления
геометризация 124, 197
Диференциальных уравнений
интегрирование 92, 94—104,
249—255, 336
Диференциальный
треугольник 109
Диференциальный четыре-
угольник 122, 223
Дуг определение 14, 32
Единственность степенного
разложения 318
Замена переменных 250, 308
Знаки при приближенном
вычислении 56
Значение (термин) 22
Значение букв 51
Измерение и степень 25
Изобилующие гиперболы 281
Индукция 35
Интеграл 48, 158, 304
Интегральный логарифм 102
Интегральное уравнение 101
Интегралы общие 99
Интегрирование в
квадратурах 102
Интегрирование
диференциальных биномов 243, 313,
314, 315
Интерполирование 291—297
Исключение времени 77
История кривых 3-го
порядка 282
Иррациональное уравнение
29
Исчезновение бесконечно
малых 124, 145
Исчезновение
диференциального треугольника 223
Канон 174
Канонические формы кривых
3-го порядка 272
Каппа — кривая 180
Картезианская парабола 113
Картезианские овалы 127
Касательная 109, 110, 111
Квадратное уравнение 300
Квадратриса 39
Квадратуры 6, 7, 39, 198, 199
Квадратуры
геометрические 316
Кеплерова задача 303
Кинематический подход 110,
151, 164
Классификация кривых 3-го
порядка 281
Конечные разности 293

420
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Конические сечения 283
Конхоида 114
Координаты одного
направления 128
Координат происхождение 1
Котеса теорема 259
Кратное интегрирование 246
Кривизна по Ньютону 133
Кривизны высших порядков
152, 153
Круг кривизны 137
Круга квадратуры
приближенные 199
Круг и окружносгь 31
Кубическая парабола 272
Лагранжа формула 72
Латинская терминология 273
Логарифмы 3, 26, 326, 330
Логарифмотехника 329
Лейбницевское вычисление т.
173, 323
Маклорена формула 247, 248
Максимум и минимум 105
Механические кривые 37, 167
Мнимые йорнп 62, 67
Моменты 30, 33
Мнимые значения функций 73
Начала Эвклида 49, 78, 109,
141, 190, 204, 219
Неголоморфные интегралы 100
Неделимые 33, 78, 204
Нейля парабола 209
Немые величины 27
Неопределенно большое 70
Неопределенное и^
переменное 71 (
Неопределенных коэфициентов
способ 97
Неспрямляемыа кривые 217
Нормаль 134
Обобщение обратной задачи
о площадях 159
Обратная задача о
касательных 334
Обратная задача о площа-
- дях 47, 157
Обращение интегралов 200
Обращение рядов 331
Ов'ал параболь1 281
Одночленные биномиальные
• интегралы 233
Однородности принцип 93
„Опте" Лейбница 48
Органическое образование кри-
- вых 284
Особенные точки
алгебраических функций 21
Ось отклонения 152
Отделение переменных 3, 255
Отклонение наименьшее
кривых 290
Отклоняющиеся от нуля
функции 2.90
Отношение как число 145
Отрезок 93
Очевидность 35
Парабола Нейля 209
Параболические гиперболы 272
Параболическая кривизна 152
Параболический тии 267
Параллельные прямой
карательные 131
Параллелограм Ньютона,
история 61
3 параллельные прямые, как
кривая 3-го порядка 281
Первые и последние
отношения 221, 226, 289
Переменное 71, 222
Перпендикуляр и нормаль
134
Правильные логарифмы 328
Площадь и дуга 4, 32
Показательных функций
разложение 36
Порядок кривой 112, 256
Подкасательная 309
Полная индукция 35
Полярно-декартовы
координаты 123, 125
Полярные координаты 121
Преобразование
алгебраических кривых 242
Преобразование диференци-
альиых уравнений 252, 253
Предел 109, 221
Приближенное значение, —
sin χ
306
Приведения формулы 239,
240
Проведение кривой 3-го поряд-
. ка через 7 точек 286, 321
Проведение кривой 2-го
порядка через δ точек 285
Продольная и поперечная
стороны 139, 263
Производные 226, 229
Произвольное постоянное 99,
104
Проективное преобразование
кривых 283
Проекции расходящихся
парабол 278, 2/9
Пропорции 190
Псевдоэллиптические
интегралы 160
Радиус кривизны 138, 149
Разности конечные 293
Род кривой 112. 156
Ряды 10, 11, 12, 36, 49, 50, 52,
55, 69, 96, 97, 169, 173, 247,
248, 299, 301, 318, 323, 324*
326, 336
Сечения конусов 278, 279
Символика Ньютона 2
Синкопированная алгебра 143
Спнус-верзус 324
Синуса разложение 34
Синус геометрический и
числовой 332
Сложное выражение 54
Спираль Архимеда 121
Спрямляющие кривые 184, 203,
215
Срединная гипербола 275
Среднеарифметический центр
259
Среднегармонический центр
259
Степени дробные π
отрицательные 8
Степенного ряда
единственность 318
Стпрлинга формулы 294, 296
Субтенза 123
Сходимость 49, 50
Тангенциальные координаты
205
Теорема Ньютона 258, 262
Теорема Котеса 259
Теория флюксий 42", /9
Тейлора формула 69, 292
Термины латинские 273
Точка перегиба Ί15. 147
Точка прямизны 147
Трансверсали 264
Трансцендентных кривых
касательные 117, 120
Трезубцы 269
Тригонометрическое
разложение' 165
Угол касания 141
Узловая точка 280
Унику реальная кривая 280.
Уравнение дифференциальное
с двумя функциями 103
Учитель и ученик (Барроу
и Ньютон) 218
Фальшивое правило 18, 19,
20
Флюксия 46, 78, 162, 221
Флюэнта 79, 80, 81
Формальные операции
Ньютона 46
Формальных операций
обоснование 91
Формула Гюйгенса 305
Формула Лагранжа 72
Формула Маклорена 247
Формула Стирлинга 294, 293
Формула Тейлора 69, 24S

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
421
Формула приведения
биномиальных интегралов 235
Форономические приемы
древних 219
Функция и флюэнта 81
Функции нескольких
переменных 76
Центр кривизны 133
Центры
среднеарифметический и среднегармониче-
ский 259
Центр криврй 260
Циклоида 7, 38
Циклотехника 325
- Циссоида 140, 181, 214
Цифры и места 58
Частные интегралы 96
Чистая парабола 281
Эволюта 203
Эвольвента 203
Эволюция флюксии 221
Эллиптические интегралы 13
Эллиптический тип кривой
267
Эпохи анализа бесконечно
малых 83

ТАБЛИЦЫ ЧЕРТЕЖЕЙ

VA
ТАБЛИЦА I

ТАБЛИЦА И
425
Фиг.Ы

426
ТАБЛИЦА III

ТАБЛИЦА IV
427

42$
ТАБЛИЦА V'

ТАБЛИЦА, VI
429
i
i
ι
•Ι
1
1
•ι
I
т
Фиг. 2 О
Ф/г.22
Фиг. 24
Ф/г. 21
Ψ иг. 21
С
Φζ/г. 2 6
τ
ч
1
.:
ii
Л
"I
•
ι
1

430
ТАБЛИЦА VII
Φυί27
Фиг 28
<Й/г.29
Фиг 32
ФигЖ
Δ β
Фиг Μ

ТАБЛИЦА VIII
431
b с в
Фиг.%
ΨυζΥΙ
Фиги]
Фи* ΑΙ
Τ А сс В Л/
N В а а ТА К

432
ТАБЛИЦА IX
Ψι/гЛЗ

ТАБЛИЦА Χ 433
28 За*. 82Θ6. Ньюфоя.

434
ТАБЛИЦА XI
У
м ν
я
л
I
f
1
1
1
1
I
ι
\n
•Рог 52
*1T
Фиг 53

ТАБЛИЦА XII
435
28*

436
ТАБЛИЦА XIII

ТАБЛИЦА XIV
437

438
ТАБЛИЦА XV

ТАБЛИЦА XVI
409

ТАБЛИЦА XVII

ТАБЛИЦА XVHI
441

442
ТАБЛИЦА XIX

ТАБЛИЦА XX
из
Ц V
U
ρ p\_S(u
\А/К Μ
у Ρ ^~^W
Фиг. 43
Фи?. 44
Фиг. 45
V Ρ
[ос -о^
Ψυζ 46
Фуг. 47 Фиг. 48
Φί/г. 49
А \Г
Win 50 Фиг 51 <Руг 52
<Р</г53

444
ТАБЛИЦА XXI
%,''ω Ρ
*ш
Ψυζ 54
Ψυζ 55
Ψυζ 56
Ψυζ^Ι
Фиг.Ш
Ψυζ.№
Ψυζ. 60
^ί/г 6!

ТАБЛИЦА XXII
445
ΨυζΜ
d
~^ч
"Λ*
ФигШ
^_
9
А
ϊ
Фиг.Ю
ΨυζΜ

446
ТАБЛИЦА XXIII

ТАБЛИЦА XXIV
447
«ft/*. 86

448
ТАБЛИЦА XXV

ТАБЛИЦА XXVI
449
ΨΰΖ,ί
Фиг 9
293ак. 8296. Ньютон.

450
ТАБЛИЦА XXVII
* I I I I
*T Γ71 ι
v^ ι ι ι ι '' i' 1
^ ι ι ι ι ι ι
К *
I *** ) 1 I I i
l^L. J L__|
I ! 1^1 ] 1
1 T^— —
Фиг 5

СОДЕРЖАНИЕ.
Οτβ.
ВВОДНАЯ СТАТЬЯ ПЕРЕВОДЧИКА V
АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ С БЕСКОНЕЧНОМ ЧИСЛОМ ЧЛЕНОВ
КВАДРАТУРА ПРОСТЫХ КРИВЫХ · 3
квадратура^ оложнах КРИВЫХ С ПОМОЩЬЮ ПРОСТЫХ 4
КВАДРАТУРА ВСЕХ ДРУГИХ КРИВЫХ δ
ПРИЛОЖЕНИЕ ВЫШЕИЗЛОЖЕННОГО К ДРУГИМ ПРОБЛЕМАМ ТОГО Ж*Е РОДА ... 16
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КВАДРАТУРЫ ПРОСТЫХ КРИВЫХ ПО ПЕРВОМУ ПРАВИЛУ . . 22
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РЕШЕНИЯ НЕЯВНЫХ УРАВНЕНИЙ 23
МЕТОД ФЛЮКСИЙ И БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ С ПРИЛОЖЕНИЕМ ЕГО
К ГЕОМЕТРИИ КРИВЫХ
ВВЕДЕНИЕ. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ БЕСКОНЕЧНЫХ, РЯДОВ ... .25
ПЕРЕХОД К МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ , 45
Проблема I. По данному соотношению между флюэнтами определить
соотношение между флюксиями ···... 46
Проблема IL По данному уравнению, содержащему флюксии, найти
соотношение между флюэнтами 51
Проблема III. Определить наибольшие и наименьшие значения величин ... 73
Проблема IT, Провести касательные к кривым * 75
Проблема Т. Определить величину кривизны какой-либо данной кривой
к данной точке 90
Проблема TI. Определить качество кривизны в данной точке какой-либо
ν ривой * 107
Проблема TIL Найти сколько угодно кривых, площади которых можно
представить с помощью конечного уравнения 111
Проблема TIIL Найти сколько угодно кривых, площади которых связаны
с площадью какой-либо данной кривой зависимостью, выражаемой конечным
уравнением ИЗ
Проблема IX. Определить площадь какой-либо ваданцой кривой 117
Проблема X. Найти сколько угодно кривых, длину которых можно выразить
с помощью конечного уравнения 148
Проблема XL Найти сколько угодно кривых, длины которых можно сравнить
при помощи конечного уравнения с длиной какой-либо данной кривой или же с ее
площадью, приложенной к данной линии . 154
Проблема XII Определить длины кривых 159

452
СОДЕРЖАНИЕ
РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ
ВВЕДЕНИЕ ♦ 167
РАССУЖДЕНИЕ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ 169
Проблема I. По данному уравнению, заключающему сколько-либо флюэнт,
найти флюксии · 170
Проблема II. Найти кривые, допускающие квадратуру 172
Проблема III. Найти простейшие фигуры, с которыми может быть
геометрически сравнена любая кривая, у которой ордината у определяется по данной
абсциссе ζ явным уравнением 186
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
ПОРЯДКИ линий 194
СВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ ПРИНАДЛЕЖАТ КРИВЫМ ВЫСШИХ РОДОВ . 194
ПРИВЕДЕНИЕ ВСЕХ КРИВЫХ ВТОРОГО РОДА К ЧЕТЫРЕМ ТИПАМ УРАВНЕНИЙ . 196
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИВЫХ 199
ОБРАЗОВАНИЕ КРИВЫХ С ПОМОЩЬЮ ТЕНЕЙ 206
ОБ ОРГАНИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ КРИВЫХ 206
ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОПИСАНИИ КРИВЫХ 208
МЕТОД РАЗНОСТЕЙ
(Стр. 210 — 217)
ПИСЬМА
ПЕРВОЕ ПИСЬМО НЬЮТОНА К ОЛЬДЕНБУРГУ · . . . 218
ВТОРОЕ ПИСЬМО НЬЮТОНА К ОЛЬДЕНБУРГУ · 231
Извлечение из письма Лейбница к Ольденбургу . · 231
Извлечение из письма Чирнгаузена к Ольденбургу 232
Второе письмо Ньютону к Ольденбургу . * · . · · · 233
ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ДВУХ ПИСЕМ НЬЮТОНА К ДЖ. ВАЛЛИСУ. ... 256
КОММЕНТАРИИ ПЕРЕВОДЧИКА
К „АНАЛИЗУ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ЧЛЕНОВ" ... 265
К „МЕТОДУ ФЛЮКСИЙ" 294
К РАССУЖДЕНИЮ О КВАДРАТУРЕ КРИВЫХ* 363
К ПЕРЕЧИСЛЕНИЮ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА» 379
К „МЕТОДУ РАЗНОСТЕЙ' 394
К ПЕРВОМУ ПИСЬМУ К ОЛЬДЕНБУРГУ 401
КО ВТОРОМУ ПИСЬМУ К ОЛЬДЕНБУРГУ ....·...· · 405
К ПИСЬМАМ К ВАЛЛИСУ 416
ХРОНОЖОГИЯ 417
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ · 419
ТАВЖИЦШ ЧЕРТЕЖЕЙ 423
Редактор А. П. Юшкевич. Техн. редактор Я. Я. Костина.
Сдано в производство 7/Ш 1936 г. Подписано к' печати 19/Х 1937 г.
Формат 82χΐ10νιβ- П0ч. л. 28Vr{-8 вкл. Печ. знак, в печ. л. 60.000. Уч.-ав. л. 48,93.
Типография им. Евгении Соколовой. Ленинград, пр. Краен. Командиров^.