в. с. лютиклс
ШКОЛЬНИКУ
О ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебное пособие
по факультативному курсу
для учащихся 8—10 классов
Рекомендовано
Министерством просвещения РСФСР
ИЗДАНИЕ 2-е, ДОПОЛНЕННОЕ
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1983

БВК 22.171я72
Л96
Лютикас В. С.
Л96 Школьнику о теории вероятностей: Учеб. пособие по фа-
культативному курсу для учащихся 8—10 классов. — 2-е
изд., доп. — М.: Просвещение, 1983.—127 с.
Цель данного пособия—понятно изложить самые элементарные сведения из теории
вероятностей, научить юного читателя применять их при решении практических
задач.
4308020400—321 ББК 22 171я72
Л инф. письмо — 83 ЬЬ* -, * о/п?й
103@3) — 83 517.8@75)
(О) Издательство «Просвещение», 1976 г.
© Издательство «Просвещение», 1983 г-, с дополнениями.

СЛОВО К ЧИТАТЕЛЮ
Эта небольшая книга раскроет перед вами, если вы проявите
достаточно желания и упорства, мир случайного. Собственно, мир
остается таким, каков он есть, но показывается он не совсем с обыч-
обычной стороны.
"Оказывается, только пользуясь языком науки о случае — тео-
теории вероятностей, можно описать многие явления и ситуации.
Постепенно при чтении этой книги вы углубите свои знания в
теории и сможете с ее помощью решать задачи практического содер-
содержания, к которым недавно не знали, как и подступиться. На этом
этапе задачи объясняют, иллюстрируют теорию.
Понятно изложить самые элементарные сведения из теории ве-
вероятностей, научить юного читателя применять их при решении
практических задач — такова основная цель, которую преследовал
автор. А для того чтобы эта цель была достигнута, автор, не претен-
претендуя на оригинальность в математических рассуждениях, старался
исходить из возможностей и интересов школьников.
Настоящее издание дополнено новым разделом о непрерывных
случайных величинах и их характеристиках. В связи с введением
в школьный курс математики понятия определенного интеграла ока-
оказалось возможным ознакомить учащихся с нормальным распреде-
распределением и теоремой Ляпунова, имеющими важное значение в при-
прикладных математических дисциплинах.
Автором использованы соответствующие книги по теории вероят-
вероятностей для студентов: Б. В. Гнеденко «Курс теории вероятностей»,
Е. С. Вентцель «Теория вероятностей», Н. Я. Виленкин «Комбина-
«Комбинаторика» и др.
Теория вероятностей, изложенная здесь, доступна ученику
VIII—X классов, учащемуся техникума и каждому читателю, уже
получившему среднее образование, но еще не успевшему забыть
школьную математику.
Книга написана так, чтобы старшеклассник мог ею пользоваться
как материалом для внеклассного чтения по математике и для
подготовки к факультативным занятиям, а учитель как конспектом
для проведения факультативных занятий по теории вероятностей.
Термин «Упражнения» здесь означает большее, чем просто набор
учебных примеров для тренировки по усвоению прочитанного мате-
материала. В действительности здесь содержатся и некоторые задачи
для размышлений, самостоятельного поиска.

I. КОЕ-ЧТО ИЗ ПРОШЛОГО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников
«вероятность» поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного.
Поэтому и охотились тогда коллективно.
Неосновательно было бы думать, что такие древние полковод-
полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь
к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.
Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного
руководства умели как-то оценить «вероятность» своего возвраще-
возвращения «со щитом» или «на щите», знали, когда принимать бой, когда
уклониться от него. Они не были рабами случая, но Еместе с тем
они были еще очень далеки от теории вероятностей.
Позднее, с опытом, человек все чаще стал планировать случай-
случайные события — наблюдения и опыты, классифицировать их исхо-
исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что
случайностями не так уж редко управляют объективные закономер-
закономерности. Вот простейший опыт — подбрасывают монету. Выпадение
герба или цифры, конечно, чисто случайное явление. Но при много-
многократном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что
появление герба происходит примерно в половине случаев1.
Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и явля-
является случайным событием, при неоднократном повторении подвласт-
подвластны объективному закону. Для тех, кто обладает склонностью к ис-
исследованиям, появляется соблазн накопить побольше таких законо-
закономерностей и попытаться построить из них теорию.
Рассмотрим другой, более сложный пример — эксперимент
с так называемой доской Гальтона2 (рис. 1). Доска размещена вер-
вертикально. Из верхнего резервуара стальные шарики катятся
(на отдельных участках падают) вниз и накапливаются в нижних
гнездах. Каждый шарик, встретив на своем пути очередное препят-
препятствие, отклоняется или влево или вправо, а затем падает
вниз. Шарик, конечно, может попасть в любое из гнезд. Меж-
Между . тем правильное расположение шариков (симметричнее,
1 Кю и когда впервые проделал опыт с монетой, неизвестно. Естествоиспы-
Естествоиспытатель Ж- Л. Л. Бюффон в восемнадцатом столетии 4040 раз подбрасывал моне-
монету — герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале нынешнего столетия
подбрасывал ее 24 000 раз—герб выпал 12 012 раз. Лет 20 назад американские
экспериментаторы повторили опыт. При 10 000 подбрасываниях герб выпал 4979
раз.
2 У Ф. Гальтона A822—1911) прибор выглядел значительно проще — деска
со штифтами.

при котором в центральных
гнездах их много, а в крайних
мало), повторяющееся от экс-
эксперимента к эксперименту, убе-
убедительно свидетельствует о су-
существовании объективного за-
закона их распределения. Когда
шариков много, то говорят, что
они распределены по нормаль-
нормальному закону.
Итак, случайности могут под-
подчиняться относительно простым
и более сложным закономернос-
закономерностям. Но, спрашивается, где же
математика, где математические
задачи?
Наиболее интересные для на-
начинающих задачи теории вероят-
вероятностей возникли в области азарт-
азартных игр1, хотя формированию
основ теории вероятностей спо-
способствовали также выяснение
длительности жизни, подсчет
населения, практика страхова-
страхования. Мы начнем, естественно,
с простых задач.
К азартным играм относили
бросание шестигранных играль-
игральных костей (рис. 2). Слово «азар»
по-арабски означает трудный.
Так, арабы называли азартной
игрой комбинацию очков, кото-
которая при бросании нескольких
костей могла появиться лишь
единственным способом. На-
Например, при бросании двух кос-
костей трудным («азар») считалось появление в сумме двух или две-
двенадцати очков.
В 1494 году итальянский математик Л. Пачиоли A445—1514)
опубликовал энциклопедический труд по математике, где разби-
разбирал следующую ситуацию.
Два игрока договорились играть в кости до момента, когда одно-
одному из них удастся выиграть т партий. Но игра была прервана после
того, как первый выиграл а (а < т), а второй — Ь (Ь < т) партий.
Как справедливо разделить ставку?
Рис. 1
Рис. 2
1 Этому, по-видимому, способствовало наличие таких «наглядных пособии»,
как монета или игральная кость.
5

Сам Пачиоли верного решения не нашел. Он предлагал разде-
разделить ставку в отношении а : Ь, не учитывая числа партий, которые
нужно еще выиграть, чтобы получить всю ставку.
Спустя без малого пятьдесят лет другой итальянский математик
Д. Кардано A501—1576) подверг рассуждения Пачиоли справедли-
справедливой критике, но и сам предложил ошибочное решение.
Прошло еще 100 с лишним лет, и в 1654 году задача была, на-
наконец, решена в ходе переписки между двумя выдающимися фран-
французскими математиками Б. Паскалем A623—1662) и П. Ферма
A601—1665).
Посмотрим, как решал Б. Паскаль задачу в случае т =■ 3,
а = 2 и Ъ = 1.
Допустим, что игра прервана, когда у игрока А две выигранные
партии, а у игрока В — одна. Как делить ставку, пока неясно.
Но все упростилось бы, если бы игроки сыграли еще одну партию.
В самом деле:
1) если эту партию выигрывает игрок А, то он, как набравший
заветное число т = 3 выигрышей, получает всю ставку;
2) если партию выиграет игрок В, то справедливо разделить всю
ставку пополам, так как у каждого по две выигранные партии.
Возможности у каждого из этих исходов одинаковы.
Таким образом, А может выиграть всю ставку или — ставки,
т. е. в среднем1
ставки.
У В возможности поскромнее: он может или ничего не выиграть,
или выиграть — ставки, т. е. в среднем
_ _1_
4
ставки. Поэтому ставка должна быть разделена в отношении 3 : 1
(а не 2 : 1, как предлагал Пачиоли).
В 1718 году в Лондоне вышла в свет книга со странным по тем
временам названием «Учение о случая^, Её дшир — французский
математик А. Муавр (Ш67—1751). Самое большое его достижение —
открытие закономерности, которая очень часто наблюдается в слу-
случайных явлениях. Он первым заметил и теоретически обосновал
роль «нормального» распределения2 (вспомните опыт Гальтона).
1 Здесь мы сталкиваемся впервые с математическим ожиданием случайной
величины. О гом, что это такое, рассказывается в конце книги.
2 Смысл понятия «распределение» будет раскрыт позже.
6

200
155 160 165
Рис. 3
180
Муавр измерил рост у 1375 случайно выбранных женщин. Ре-
Резу ЛБТат схематически изображен на рисунке 3. Колоколообразная
кривая, которая приближенно «накрывает» диаграмму распределе-
распределения роста, близка к графику функции
где
'2л
= Пт!\ + 1)"
~2
2,71828 ...
A.1)
Закон нормального распределения имеет важное практическое
значение. Оказывается, что так распределяется скорость газовых
молекул, вес новорожденных и много других случайных событий
физической и биологической природы.
Впервые основы теории вероятностей были изложены последо-
последовательно французским математиком П. Лапласом A749—1827) в
книге «Аналитическая теория вероятностей».
В предисловии автор писал: «Замечательно, что наука, которая
началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее
важным объектом человеческого знания... Ведь по большей части
важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь зада-
задачами из теории вероятностей».
П. Лаплас не мог предусмотреть, что пройдет несколько десяти-
десятилетий и интерес к теории вероятностей снизится. А так на деле и

случилось. Во второй половине XIX века и в начале XX века неко-
некоторые математики перестали интересоваться теорией вероятностей
как математической дисциплиной.
Чем объясняется такое безразличие некоторых математиков к
теории вероятностей? Причин много. Но здесь мы раскроем только
одну.
Вероятность события была определена Лапласом так:
Р(А) =
т
п
A.3)
где п — общее числб равновозможиых событий, а т — число тех
событий, когда происходит нужный исход («благоприятствующее
событие»). Например, пусть следует вычислить вероятность собы-
события А — «при бросании двух костей выпало 8 очков».
При бросании двух костей могут получиться следующие равно-
возможные результаты:
I II
1
[ 2
[ 3
I 4
[ 5
6
I
2
2
2
2
2
12
II
1
2
3
4
5
61
I
3
3
3
3
13
3
II
1
2
3
4
5|
6
I
4
4
4
14
4
4
II
1
2
3
41
5
6
I
5
5
|5
5
5
5
II
1
2
3|
4
5
6
I
б
16
6
6
6
6
11
1
2|
3
4
5
6
Как видно, всего возможных вариантов 36. Специально выделя-
выделяются те случаи, когда произошло событие А. Таких случаев 5 —
все они равновозможны. Если договориться вероятность события А
обозначить Р (А), то, следуя Лапласу, будем иметь
36
Кажется, что все в порядке — к лапласовскому определению
вероятности события никак не придраться. Но вот вопрос: когда
и какие случайные события можно считать равновозможными?
Рождается ребенок. Мальчик или девочка —■ кажется, равное
возможные события (одно из двух, как и при бросании монеты).
Но оказывается, что статистика рождений не вполне согласуется с
нашим «кажется».
Она может быть, например, такой:
Польша
Швеция
Год
1927
1935
Число родив-
родившихся детей
958 733
88 273
Число родив-
родившихся
мальчиков
496 544
45 682
Число родив-
родившихся
девочек
462 189
42 591
Частота
рождения
мальчиков
0,518
0,517

Если в разное время в разных странах мальчиков рождается
больше, чем девочек, значит, вероятности рождения мальчика или
девочки неодинаковые: вероятность события «родился мальчик»
больше —.
2
Вспомним о подбрасывании монеты (см. об этом на стр. 4).
Откуда у нас уверенность, что вероятность выпадения герба, когда
подбрасывание неограниченно повторяется, равна —?
Факты, обнаруживающие, что объективная реальность не обяза-
обязательно совпадает с человеческим «кажется», послужили причиной
сомнений в правомерности понятия «равновозможные события».
Возникла потребность «перепроверять» вероятности, которые вы-
вычислялись по лапласовской формуле Р (А) — —, экспериментами.
п
Эта «перепроверка» привела к следующей статистической оцен-
оценке возможности появления события. Пусть в результате некоторо-
некоторого опыта может произойти или.не произойти событие А. В ходе /
опытов событие Л произошло к раз. Тогда частотой события А на-
называется
РЛА) = ±. A.4)
За вероятность события Л щннтлаееея неетея-нная ©едишша,
около которой группируются наблюдаемые значения частоты. Это
определение вероятности называют статистическим.
Противоречия, которые проявились при оценке вероятности
некоторого события и частоты того же события формулами A.3) и
A.4), не могли понравиться многим математикам, которые заботи-
заботились о строгости науки. Вместе с тем распространению «антивероят-
«антивероятностных» взглядов способствовало опубликование ряда парадоксов1.
Один из наиболее характерных парадоксов — парадокс Бертрана,
в котором читатель разберется, если дочитает эту книгу до конца.
Стойко защищали позиции теории вероятностей русские мате-
математики. В 184й щду Петербургская Академия наук издала книгу
В. Я- Буняковского A804—1889) под названием «Основания мате-
математической теории вероятностей». Это был первый русский учебник
по теории вероятностей. По нему учился и выдающийся русский ма-
математик П. Л. Чебышев. Хотя он по теории вероятностей написал
ие так уж много трудов, но все они сохраняют первостепенное зна-
значение вплоть до наших дней. Так называемое неравенство П. Л. Че-
Чебышев а на веки веков вошло в сокровищницу математической
науки.
Ученик П. Л. Чебышева А. А. Марков4 развил труды своего учи-
учителя. Ему принадлежит слава открывателя важной области приме-
Парадокс — факт, по виду противоречащий здравому смыслу.

нения теории вероятностей — теории вероятностных, или стоха-
стохастических, процессов.
Наследие русских математиков получило развитие в работах
советских математиков Е. Е. Слуцкого A880—1948), С. Н. Берн-
штейна A880—1968), А. Я. Хинчина A894—1959), Ю. В. Линнпка
A904—1972) и особенно академика А. Н. Колмогорова (род. в
1903 г.). Созданная А. Н. Колмогоровым советская школа теории
вероятностей завоевала всеобщее признание и сегодня занимает
ведущие позиции в мировой науке.
II. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
1. СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
Если читатель внимательно прочел первый раздел книги, ему
пришлось поразмышлять над такими терминами, как «вероятность»,
«случай», «событие». Для наглядности и доходчивости они иногда
заменялись разными синонимами, но суть их не менялась. Оттенок
они получили вполне определенный. Теперь пора договориться,
что как назвать.
Подбрасываем монету. Появился герб. А ведь могла появиться
и цифра. То, что появился герб, — случайное событие.
Охотник стрелял в волка. Попал. Но мог и не попасть (произош-
(произошла осечка, подвел глаз, дрогнула рука). Попадание — событие слу-
случайное.
Школьник каждый вечер выходит па прогулку. Во время про-
прогулки, в понедельник, он встретил трех знакомых. Конечно, это
дело случая: он мог встретить только одного знакомого, четырех или
вообще не встретить знакомых.
То, что он встретил именно трех, — случайное событие.
В этих примерах случайные события — последствия определен-
определенных действий или результаты наблюдений при реализации комплекса
условий (подбрасывание монеты, выстрел, прогулка).
На основании только что разобранных примеров можно составить
следующую характеристику случайного события.
Случайным событием называется такой исход эксперимента или
наблюдения, который при реализации данного комплекса условий
может произойти, а может и не произойти1.
Кратко «случайные события» называют «событиями». Выделим
два частных вида событий.
Проведем вначале (мысленно, разумеется) следующий экспери-
эксперимент: стакан с водой перевернем дном вверх. Если этот опыт прово-
проводить не в космосе, а дома или в классе, то вода выльется. Это досто-
достоверное событие.
Дощшерным событием называется такое событие, которое при
реализации данного комплекса условий непременно произойдет.
1 В аксиоматике теории вероятностей понятие случайного события не яв-
является первичным, а строится из более элементарных-понятий; как увидим, слу-
случайные события — подмножества множества элементарных случайных событий.
10

Произведено три выстрела по мншени. «Произошло пять попа-
попаданий» — невозможное событие.
Бросаем камень вверх. Камень остается висеть в воздухе — не-
невозможное событие.
Буквы слова «антагонизм» наугад переставляем. Получится сло-
слово «анахронизм» — невозможное событие.
Невозможным событием называется такое событие, которое за-
заведомо не может произойти при реализации данного комплекса
условий.
Случайные события принято обозначать большими буквами ла-
латинского алфавита Л, В, С с индексами или без них1. Достоверное
событие будем обозначать V, невозможное — У. Надеясь, что чи-
читатель разобрался в терминологии, предлагаем ему несколько упраж-
упражнений для ее усвоения.
Упражнения
1. Какие из следующих событий достоверные:
А — «два попадания при трех выстрелах»,
В — «появление не более 18 очков при бросании трех играль-
игральных костей»,
О — «наугад выбранное трехзначное число не больше 1000»,
Е — «наугад выбранное число, составленное из цифр 1, 2,
3 без повторений, меньше 400»?
2. Какие из следующих событий невозможные:
А — «опаздывание ленинградского экспресса в субботние
дни»,
В — «появление 17 очков при бросании 3 игральных костей»,
С — «появление слова «мама» при случайном наборе букв
а, а, м, м»,
О — «появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и крат-
кратного 9 числа при случайном однократном наборе ука-
указанных цифр»,
Е — «появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и крат-
кратного 3 числа при произвольном однократном наборе
указанных цифр»?
3. Укажите достоверные и невозможные события:
А — «появление не более 12 очков при однократном броса-
бросании двух игральных костей»,
В — «появление сразу 3 лайнеров над аэропортом»,
С — «попадание в мишень при 3 выстрелах»,
^ — «появление в окошке счетчика трехзначного числа,
составленного из цифр 1, 2, 3 и кратного 5».
1 Некоторые из больших букв латинского алфавита, как увидим дальше,
имеют фиксированные значения. Среди них Е, О, М и другие.
11

Допустим, что при бросании игральной кости нас интересует
появление определенного числа очков.
Выпадение конкретного числа очков I (/ = 1, 2, 3, 4, 5, 6) мы
назовем элементарным событием и обозначим еь.
Осуществление одного элементарного события в качестве ре-
результата испытания, очевидно, исключает реализацию других.
Ясно, что при бросании игральной кости непременно произой-
произойдет одно из элементарных событий:
е1у ^2» ^3» ^4» ^6' ев'
Будем считать, что все эти элементарные события образуют
множество элементарных событий Е; Е — достоверное событие (по
определению).
Рассмотрим события:
1) А — «появление четного числа очков при бросании играль-
игральной кости». Этому событию благоприятствуют элемен-
элементарные события е2, е4, ев. Разумеется, множество этих
событий является подмножеством Е, .
2) В — «появление числа очков не больше четырех». Этому
событию благоприятствует подмножество множества
элементарных событий Е:
^1» ^2» ^3» ^4»
3) С — «появление числа очков, которое делится на 3».
Зтому событию благоприятствует подмножество множества
элементарных событий Е:
Таким образом, событие А может быть представлено подмножес-
подмножеством элементарных событий (е2, е4, ев), событие В—подмноже-
В—подмножеством элементарных событий {еъ ег> е3, е4), а событие С—под-
С—подмножеством элементарных событий (е3, е6).
Представляя события как подмножества множества элементар-
элементарных событий, обозначим А (е2, е4, е6), В (ег, е2, е3, е4), С (е3, ев).
Бросаем монету. Событие Г — «появление герба» и событие
Ц — «появление цифры» тоже образуют множество элементарных
событий.
Если события А, В и С можно сравнить в смысле возможности
их появления, то сравнение, например, событий А и Г смысла не
имеет, потому что они представляются подмножествами разных
множеств элементарных событий.
3. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ
Сравним следующие события:
А — «появление двух очков при бросании игральной кости»,
12

В — «появление четного числа очков при бросании игральной
кости».
Замечаем следующее отношение между событиями: если про-
произошло Л, то тем самым произошло и В. Тот факт, что «Л влечет за
собой /?>; (или «В является следствием Л»), запишем:
А а В или В 13 Л. B.1)
Событие Л является частью события В, поскольку событие В
состоит в осуществлении трех элементарных событий: «появление
2 очков», «появление 4 очков», «появление 6 очков», а событие Л —
одним из них — «появлением 2 очков».
Представление событий подмножествами множества элементар-
элементарных событий может быть осуществлено в геометрической форме
(рис. 4).
Сопоставим события:
Л — «появление герба при подбрасывании монеты»,
В — «непоявление цифры при подбрасывании монеты».
Если же монета не может укатиться и застрять в щели пола или
встать на ребро, тогда если произошло Л, то произошло и В и
в то же время если произошло В, то произошло и Л. (В символиче-
символической записи АсВиВаА.) Тогда запишем: Л = В и будем го-
говорить, что события А я В равносильны.
Еще раз подчеркиваем, что Л будет частью события В только
в том случае, когда элементарные события, представляющие собы-
событие Л, принадлежат подмножеству элементарных событий, представ-
представляющих событие В.
Пусть имеем множества элементарных событий:
1) появление герба и появление цифры при подбрасывании
монеты;
2) появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной
кости;
3) появление шаров с номерами 1, 2, 7 при вынимании одного
шара из ящика, содержащего 10 перенумерованных от 1 до 10
одинаковых шаров.
Для каждого из множеств характерно, что ни одно из его эле-
элементарных событий не является .объективно
более возможным* ч^^шщ^ое^Хакие события
называются давновазмпжмьши
Упражнения
4. Какие из событий являются частью
другого события:
Л «попадание в мишень первым вы-
выстрелом»,
«попадание в мишень по меньшей
мере одним из 4 выстрелов»,
«попадание точно в мишень од-
одним из 2 выстрелов»,
у
а) Л
В
Рис. 4
13

О — «попадание в мишень не более, чем 5 выстрелами»;
б) Л — «появление 3 очков при бросании игральной кости»,
В — «появление не более 3 очков при бросании игральной
кости»,
С — «появление не более 4 очков при бросании игральной
кости»?
4. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ
Мы уже убедились в том, что между событиями соблюдаются
отношения, аналогичные отношениям «больше», «меньше» или «рав-
«равно», как и между числами.
Теперь естественно ввести и операции над событиями.
Сложение
По мишени произведено 4 выстрела. Рассмотрим события:
Л 0 — «попаданий нет»;
Аг — «одно попадание»;
Л2 — «два попадания»;
Л3 — «три попадания»;
А — «не больше трех попаданий».
Разумеется, Ло а А, Аха Л, Л2 с: Л, Л3 с: Л.
Вместе с тем событие Л не содержит никаких других событий,
кроме Л 0, Ах, Л2, Л3. Поэтому естественно событие Л считать сум-
суммой событий Л о, Л2, Л 2, Л3.
Суцимой событий Ль Л2, Л3, ..., Ап называется событие Л, со-
состоящее в появлении хотя бы одно&о из событий Ль Л2, Л3, ..., Ап
(или Ль или Л2, .., или Ап, или нескольких из них, или всех).
Символически:
Л = Ах + Л2 + Л3 + ... + Ап. B.3)
Рассмотрим три события:
Л — «появление одного очка при бросании игральной кости»,
В — «появление двух очков при бросании игральной кости»,
С — «появление не больше двух очков при бросании игральной
кости».
Нетрудно заметить, что событие С является следствием Л или В,
поэтому С = Л + В.
Ясно, что события Л и В не могут произойти одновременно.
Поэтому, представляя их разными секторами круга, получаем
следующее графическое изображение события С == А + В (рис. 5).
Приведем теперь графическое представление суммы событий:
Л — «появление больше чем 4 очка при бросании игральной
кости»,
В — «появление больше чем 3 очка и меньше чем 6 очков при
бросании игральной кости»,
С — «появление больше чем 3 очка при бросании игральной
кости».
и

Рис. 5
Рис. 6
Ясно, что С = А + В. Так как событию А соответствует «появ-
«появление или 5, или 6 очков», а событию В — «появление или 4, или
5 очков», то, изображая эти события разными полукругами, получа-
получаем иное представление события С = А + В (рис. 6). То, что в рисун-
рисунке суммы А + В одна четверть круга принадлежит и событию А и
событию В, не является случайностью: частью обоих этих событий
является событие «появление 5 очков».
События Л и В могут быть подмножествами одного и того же мно-
множества элементарных событий Е следующим образом: А (еъ, <?б),
Я (е4> еь)- Тогда сумма этих событий А + В представляется
объединением этих подмножеств (<?4, е6, ев). Вообще, если событие А
представлено подмножеством Л* множества элементарных собы-
событий Е, а событие В — подмножеством В* того же множества элемен-
элементарных событий, то сумма А + В будет представлена объединением
Л* II В*.
Графическое представление суммы событий позволяет устано-
установить следующие закономерности1:
1) А + В = В + Л;
2) (Л + В) + С - А + (В + С). B.4)
Упражнения
5. Событие Л — «попадание в мишень первым выстрелом»,
событие В — «попадание в мишень вторым выстрелом».
В чем состоит событие Л + В?
6. Событие А — «лотерейный выигрыш 10 руб.»,
событие В — «лотерейный выигрыш 20 руб.»,
событие С — «лотерейный выигрыш 25 руб.».
В чем состоит событие А + В + С?
7. Событие А — «лотерейный выигрыш 1 руб.»,
событие В — «лотерейный выигрыш 2 руб.»,
событие С — «лотерейный выигрыш 3 руб.»,
событие Б — «лотерейный выигрыш 4 руб.».
В чем состоит событие А + В + С + О?
8. Событие А — «появление двух гербов при подбрасывании
двух монет».
1 Доказав эти и другие равенства для событий А, В, С, являющихся под-
подмножествами множества элементарных событий, можем не возвращаться при ре-
решении конкретных задач всякий раз к рассмотрению элементарных событий.
15

Событие В — «появление герба и цифры при подбрасывгпни
двух монет».
В чем состоит событие А + /??
9. Событие А.-1 — «поражение мишени одним выстрелом»,
событие Л2 — «поражение мишени двумя выстрелами»,
событие А3 — «поражение мишени тремя выстрелами»,
событие Л100 — «поражение мишени сотней выстрелоЕ».
В чем состоит событие Ах + Аг + А3 + . . . + Агоо?
10. Событие А — «появление 6 очков при бросании игральной
кости»,
событие В — «появление 5 очков при бросании игральной
кости»,
событие С — «появление 4 очков при бросании игральной
кости».
В чем состоит событие А 4- В + С?
11. Выясните смысл событий V + V, V + V, V + V*
Умножение
Произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем со-
события:
А — «выбранные числа кратны 2»,
В — «выбранные числа кратны 3»,
С — «выбранные числа кратны 6».
Событие С происходит, если одновременно происходят события
А и В. Если одно из событий А или В не произойдет, то не про-
произойдет и С. Принято такое событие С называть произведением
событий А и В.
В общем случае произведение событий определяется так:
ПдЛ ЛЛ9,. .., Ап называется событие А,
А А
р п
состоящее в одновременном исполнении всех {и Аи и Аг, и А3
и Ап) событий Аъ Аг, А3, . . ., Аа.
Символически:
А = АхАпЛЛ. • .Ап. B.5)
Рассмотрим еще пример:
А — «входящий в подъезд человек — мужчина»,
В — «входящий в подъезд человек светловолосый»,
С — «входящий в подъезд человек — светловолосый мужчина».
Событие С происходит только при одновременном исполнении
событий А п В, поэтому С — АВ.
Пусть события А и В представлены подмножествами одного и
того же множества элементарных событий Е так: А (еъ еъ е3),
В (е2, е3, е4).
Тогда произведение А В будет представлено пересечением этих
подмножеств А [\ В — {<?,, е3}-
16

Вообще, если событие А представлено подмножеством Л* мно-
множества элементарных событий Е, а событие В — подмножеством
В* того же самого множества элементарных событий, то произве-
произведение А В будет представлено пересечением Л* П ^*-
Изображая события А и В разными полукругами, получим сле-
следующую геометрическую интерпретацию события С = АВ (рис. 7).
Сравнивая события
А — «появление герба при первом бросании монеты»,
В — «появление цифры при первом бросании монеты», выяс-
выясняем, что совместное осуществление этих событий невозможно.
Символически это записываем так:
АВ = V.
B-6)
Геометрическая интерпретация приведена на рисунке 8.
Дед, события АлЛ> прп"жд<тие КШРРЫХ- — невозможное собы-
тие (АВ — У)} называются несбвмесиишыш- событиями.
Произведение несовместимых событий представляется пустым
множеством. Для таких событий А и В определение суммы событий
формулируется так:
Суммой дзух несовместимых событий А и В назьжет&ишбытае С,
осуществляющееся в появлении лиЛпубытия. А, либо события В.
Разберемся в таких событиях:
Л1 — «появление одного очка при бросании игральной кости»,
Л2 — «появление двух очков при бросании игральной кости»,
Л3 — «появление трех очков при бросании игральной кости»,
А — «появление не больше трех очков при бросании играль-
игральной кости».
Имеют место следующие зависимости:
1) Л = Аг + Л2 + Л3; 2) АхАг = V; А,А3 = V; А2А3 - V.
Если события Ль Л2, Л3 и Л удовлетворяют условиям A) и B),
то событие Л составлено из событий Ль Л2, Л3.
Рассмотрим следующие пары событий:
\АХ — «выпадение герба при подбрасывании монеты»,
А2 — «невыпадение герба при подбрасывании монеты»,
{Вх — «выздоровление больного»,
[В2 — «иевыздоровление больного»,
\СХ — «появление новой кометы в текущем году»,
|С2 — «непоявление новой кометы в текущем году».
17

Естественно, события в каждой из пар считать противополож-
противоположными.
Установим два свойства, которым удовлетворяет любая из этих
пар событий:
1. Сумма событий каждой пары — достоверное событие:
Аг + Аг= V,
Вх + В2= I/,
С, + Сг = Ц.
2. Произведение событий каждой пары — невозможное собы-
событие:
А,А2=У,
ВгВ2 = V,
СгС2 = V.
Теперь можно ввести определение:
Если сумма событий А и В — досщжцшш события* а произве-
произведение — Яшозможио&лойшшш* сабыжия*.А~и В называются противо-
противоположными.
Если А и В — противоположные события, то символически за-
записываем это так:
А = В~, или В = А".
Тогда АА = V, а А + ~А = V.
Упражнения
12. Событие А — «попадание первым выстрелом»,
событие В — «попадание вторым выстрелом».
В чем состоит событие А В?
13. Событие А — «появление нечетного числа очков при броса-
бросании игральной кости»,
событие В — «непоявление 3 очков при бросании играль-
игральной кости»,
событие С — «непоявление 5 очков при бросании играль-
игральной кости».
В чем состоят события А ВС, АВ, АС и ВС?
14. Докажите: 1)У = V.
15. Событие Ах — «появление четного числа очков при броса-
бросании игральной кости»,
событие Л2 — «появление 2 очков при бросании игральной
кости»,
событие А3 — «появление 4 очков при бросании игральной
кости»,
событие Л4 — «появление 6 очков при бросании игральной
кости».
1.8

Докажите:
1) АГА, = Аг + Л3; 4) ЛИ3Л4 = Л2;
2) А2А3 - V; 5) /М2Л3 = Л4;
3) АХА2 = Аг\ 6) ЛИаЛз^* = V.
16. Докажите: Л Л = Л.
17. Рассмотрев конкретные события Л, 5, С, убедитесь в том,
что:
АВ = ЯЛ;
Л (ВС) = (Л В) С;
Л (В + С) = АВ + ЛС>
л -ьес = (Л +_в) (л + с),
= Л + В;
Л + В = АВ;
(А + В) (А + С) (В + С) = АВ + ЛС + ВС.
18. Наудачу отобранная деталь может оказаться или первого
сорта (событие Л), или второго (событиеВ), или третьего (событие С).
В чем состоят события:
А Л- В; А Л- С;
АС;
АВ + С?
19. При каких условиях имеет место:
а) Л + В = АВ; б) Л + Л = Л; в) АА = Л?
20. Справедливы ли равенства:
а) ~АЛ-~В^ ЛТВ;
б) Л_-ИВ_+_С== ЛВС;
в) Л + В + С = ЛВС?
21. Упростите выражения:
а) (Л + В) (Л + 5);
б) (Л + В) (В + С) (С + Л);
в) (Л +- в) В + А (АВ).
22. Пусть Л, В и С — случайные события, выраженные подмно-
подмножествами одного и того же множества элементарных событий. За-
Запишите такие события:
а) произошло только Л;
б) произошло одно и только одно из данных событий;
в) произошло два и только два из данных событий;
•г) произошли все три события;
д) произошло хотя бы одно из данных событий;
е) произошло не более двух событий.
Вычитание
Будем рассматривать события:
Л — «наугад остановленный мужчина — брюнет»,
19

В — «наугад остановленный
мужчина — высокого роста»,
С — «наугад остановленный
мужчина — невысокий брюнет».
Нетрудно заметить, что со-
событие С означает то, что про-
произошло Л, но не произошло #.
Принято такое событие С считать
ис' разностью событий А и В.
Вообще разностью грбытиг! А иЦ напч^СПСЛ гпКыщио Сг состоя-
состоящее в том, что гщоизоииш те элементарные события^ которые вхо-
входят в А, но не входят в В.
& тагаЖ случае пишем:
С=А-В. B.7)
Если это определение выразить символами уже известных вгм
соотношений, то
А— В = АВ. - B.8)
Пусть события А и В представлены подмножествами одного
и того же множества элементарных событий Е, А = {е1, е%, е3, е4) и
В = [ег, <?4}- Тогда разность событий А — В представляется подмно-
подмножеством {<?ь <?3}.
Геометрически разность событий изображена на рисунке 9.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача. Пусть А, В и С — события. Доказать, что А (В — С) —
- АВ — АС.
На языке теории множеств а ^ А (В — С). Получим отсюда
как следствие, что
а {А (В - С);
4
А, а е В — С;
а
4
а $ А, а € В, а $ С;
а $ АВ, а 4 АС;
а (Е АВ — АС.
Теперь пусть а ^ АВ — АС. Приведем рассуждения в обрат-
обратном порядке:
а $ АВ — АС;
а € АВ, а 4 АС;
а С А, а С В, а 4 С;
а { А,а { В — С;
а С А (В — С).
20

Следовательно, равенство А (В — С) — АВ — АС действитель-
действительно имеет место, поскольку множества А (В — С) и АВ — Л С со-
состоят из одних и тех же элементарных событий.
Упражнения
23. Событие А — «попадание в мишень»,
событие В — «попадание в мишень первым выстрелом».
В чем состоит событие А — В?
24. Событие А — «получение достаточней для сдачи экзамена
оценки»,
событие В — «получение пятерки».
В чем_состоят события А — В, А — В, А — В, А — В и
Л —В?
25. Докажите, что
(А — С)(В — С) = АВ — С,
А — (В + С) = (А - В) — С. B.9)
26. Событие А — «появление 3 очков при бросании игральной
кости»,
событие В — «появление нечетного числа очков»,
событие С — «появление не больше 5 очков».
В чем состоит событие А В — С?
27. Докажите, что А — ВС = (А — С) + (А — В); (А — В) -\-
+ С = {{А + С) - В) + ВС; (А-В)-{С-О) = {А-
( С)) (ЛО)
5. ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ
Пусть имеем события:
Л —* «появление четного числа очков при бросании игральной
кости»,
В — «появление нечетного числа очков при бросании играль-
игральной кости»,
С — «появление 5 очков при бросании игральной кости»,
О — «появление 2 очков при бросании игральной кости».
Ясно, что при бросании игральной кости хотя бы одно из упо-
упомянутых событий непременно произойдет, т. е. А-}-В-\-С-\-О =
= 0. Введем понятие «полная группа событий».
Если сумма событий Аъ Л2, Л3, ..., Ап — достоверное событие
Ах + АгЛ- Л3 + ... Л- Ап^^у B.10)
то говодилилтп события А1г Ай, Аа,—уЛ1г^брпр.щщ. цпшут ?руп-
пу событий.
Множество элементарных событий есть полная группа событий.
Пусть имеем события:
21

Лг — «появление 1 очка при бросании игральной кости»,
Л2— «появление 2 очков при бросании игралы-юй кости»,
Л3— «появление 3 очков при бросании игральной кости»,
Л4—«появление 4 очков при бросании игральной кости»,
Лб — «появление 5 очков при бросании игральной кости»,
Лв — «появление 6 очков при бросании игральной кости».
Нетрудно заметить, что эти события образуют полную группу
событий, ибо Аг + Л2 4- Л3 + Л4 -Ь Аъ + Л6 = V.
Но, кроме этого свойства, они обладают еще одним: эти события
попарно несовместимы, т. е. А1А2^ V, А1А3= V, АХА± = У,
А±АЬ = У, ЛИ6 = V, А2А3 = У, Л2Л4 = У, АгАь = У, А2Ав = V,
А3А, = У, . . ., АъАв = V.
Вообще, если события Аи Л2, . . ., Ап обладают следующими
двумя свойствами:
1) Аг + Л2+ . . . + Ап= ТО\ 2)АгАк=У при 1фк,
то они образуют полную группу попарно несовместимых событий.
Упражнения
28. Образуют ли полные группы событий следующие события:
а) Ах — «появление герба при подбрасывании монеты»,
Л2 — «появление цифры при подбрасывании монеты»;
б) Вг — «появление гербов при подбрасывании двух монет»,
Вг — «появление цифр при подбрасывании двух монет»;
в) в цель выпущено два выстрела. Известно, что:
Ло — «попаданий нет»,
Ах — «попадание одно»,
Л2 — «попадания два»;
г) в цель выпущено два выстрела. Известно, что:
Сг — «попадания не менее одного»,
С2 — «промаха не менее одного»?
29. В каких пунктах задачи 28 представлены полные группы по-
попарно несовместимых событий?
30. Какие из следующих событий несовместимые:
а) Ах — «появление герба при подбрасывании монеты»,
Л 2 — «появление цифры при подбрасывании монеты»;
б) Вг — «появление герба при подбрасывании первой из двух
монет»,
В2 — «появление цифры при подбрасывании второй из двух
монет»?
31. Придумайте три события, которые образовали бы полную
группу несовместимых событий.
III. НАУКА О ПОДСЧЕТЕ ЧИСЛА КОМБИНАЦИЙ-—
КОМБИНАТОРИКА
Комбинаторикой называется область математики, в которой
изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчи-
подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов,
22

принадлежащих заданному множеству. Иногда комбинаторику
рассматривают как введение в теорию вероятностей, поскольку ме-
методы комбинаторики очень помогают в теории вероятностей осуще-
осуществить подсчет числа возможных исходов и числа благоприятных
исходов в разных конкретных случаях.
В теории вероятностей принято говорить не о комбинациях, а
о выборках. Поэтому мы будем придерживаться термина «выборка».
В комбинаторике рассматриваются виды выборок — переста-
перестановки, размещения, сочетания. Как увидим дальше, выборки мо-
могут в отличие от множеств включать повторно тот или иной элемент.
1. ОБЩИЕ ПРАВИЛА КОМБИНАТОРИКИ
Рассмотрим два общих правила, с помощью которых решается
большинство задач комбинаторики, — правило суммы и правило
произведения.
Допустим, в ящике имеется п разноцветных шариков. Произ-
Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами мож-
можно это сделать? Конечно, п. Теперь эти п шариков распределим по
двум ящикам: в первом — т шариков, во втором — к. Произволь-
Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем одиц шарик. Сколькими раз-
разными способами можно это сделать? Из первого ящика шарик мож-
можно вынуть т разными способами, из второго — к разными способа-
способами. Всего п = т + к способами. C.1)
Если некоторый объект А можно выбрать т способами, а объ-
объект В — к способами {не такими, как Л), то объект «.либо Л,
либо Ву> можно выбрать т + к способами.
Зто так называемое правило суммы.
Перейдем к правилу произведений. Рассмотрим следующую
задачу.
Задача. Сколько можно записать двузначных чисел в десятич-
десятичной системе счисления?
Поскольку число двузначное, число десятков может принимать
одно из девяти значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число единиц может
принимать те же значения и может, кроме того, быть равным нулю.
Если цифра десятков 1, цифра единиц может быть 0, 1, 2, ... —
всего 10 значений. Если цифра десятков —2, то вновь цифра еди-
единиц может быть равна 0, 1,2, ... . Всего получаем 90 двузначных
чисел.
Обобщим полученный результат. Пусть данное множество из
п — т + к' элементов разбито на два подмножества, состоящие
соответственно из т и к элементов. Пусть из подмножества, содержа-
содержащего т элементов, выбирается один элемент и независимо из под-
подмножества, содержащего к элементов, выбирается один элемент.
Спрашивается, сколько различных пар элементов при этом образу-
образуется?
Ответ на поставленный вопрос дает таблица.
23

«А; афг, пгЬз, . . .; ахЪк
афъ афг; а2Ь3; . . .; афк \ т строк
3; . . ■; атЬ
тЬк
к пар в каждой строке.
Таким образом, если общее число всевозможных пар обозначим
Л/, то
N - тк. C.2)
Сформулируем теперь правило произведений.
Если объект А можно выбрать т способами, а после каждого
такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от вы-
выбора объекта А) к способами, то пары объектов А и В можно еы-
брать тк способами.
2. ВЫБОРКИ ЭЛЕМЕНТОВ
Пусть имеем некоторое множество из п элементов аъ а2, а3, ...,
ап. Из этого множества можно образовать разные выборки1, каж-
каждая из которых имеет г элементов
(О < г < л).
Выборки могут быть упорядоченными — размещениями. Напри-
Например, из элементов а, Ь и с можно образовать такие выборки-/?дзл?<?-
щения по 2 элемента:
аЬ, Ъа, са,
ас, Ъс, сЪ.
Этих выборок 6, и они одна от другой отличаются либо элемента-
элементами, либо их порядком.
Попробуем из 4 элементов а, Ъ, с\\й образовать подобные выбор-
выборки по 3. Вот они:
аЬс, ■
аЬй,
асЬ,
айЬ,
асй,
айс,
Ьас,
ЬаА,
Ьса,
Ьйа,
Ьсй,
Ьйсч
саЬ,
сЬа,
сай,
сйа,
сЬй,
сйЬ,
ааЬ.
йЪа,
йас,
йса,
йЬс,
йсЬ.
Всего 24 выборки. В обоих примерах мы имеем дело.с выборками,
которые называются размещениями. В первом случае мы имеем дело
с размещениями из 3 элементов по 2, во втором — из 4 по 3.
Размещениями из п элементов по т называются такие выборки,
которые, имея по т элементов, выбранных из числа данных п элемен-
1 Не всякая выборка является множеством (и может быть поэтому под-
подмножеством). Далее нам встретятся выборки с повторениями, они множествами
ле являются.
24

шов, отличаются одна от дру?-п" либо г.пг.тпйпм ялецелтоц,. либо
порядком их расположения.
Число размещений из п элементов по т договоримся обозначать
А%. Попробуем определить это число.
Пусть имеем п элементов. Первый элемент можно выбрать п
способами. Второй приходится выбирать из оставшихся п — 1
элементов, поэтому второй злемент-можно выбрать п — 1 способом.
Тогда по формуле C.2) пары двух элементов можно образовать
п (п — 1) способами. Третий элемент придется отбирать из числа
оставшихся /2 — 2 элементов. Это можно сделать п — 2 способами.
Тогда опять по формуле C.2) тройки элементов можно образовать
п (п — 1) (п — 2) способами. Аналогично четверки можно обра-
образовать п (п — 1) (п — 2) (п — 3) способами, а размещения по т
элементов п (п — 1) (я — 2) ... {п — (т — 1)) способами. Таким
образом,
А™ - п (п — 1) (п — 2) ... (п — т + 1). C.3)
С помощью этой формулы решим следующую задачу.
Задача. Допустим, в высшей лиге по футболу 18 команд.
Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Скольки-
Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?
Ясно, что нужно найти число размещений А^. По формуле C.3)
Л?8 = 18 • 17 • 16 = 4896.
Если кто-то в начале сезона, не зная, как укомплектованы и под-
подготовлены команды, ручается, что золотые медали будут у киевских
динамовцев, серебряные — у араратовцев, а бронзовые — у мо-
московских спартаковцев, то он смельчак — называет одну комбина-
комбинацию из 4896 возможных. (Возможны случаи, когда команды делят
места.)
Если в формуле C.3) т = п, то Л" — число таких размещений,
которые отличаются только порядком расположения элементов,
но не самими элементами. Такие размещения называются переста-
перестановками. Их число по формуле C.3)
Апп = п (п — 1) (п — 2) . . . 3 • 2 • 1 - п\ - Рп.
Рп - А1 =-- п\ C.4)
Число п может принимать не только натуральные значения, оно
может также равняться нулю. Пустое множество (выборка) явля-
является подмножеством любого множества, и естественно считать, что
оно может быть упорядочено только одним способом. Принято счи-
считать, что 0! = 1.
На практике не всегда важен порядок расположения в выбор-
выборках. Например, если в полуфинале первенства СССР по шахматам
участвуют 20 шахматистов, а в финал из них попадут только трое,
то участнику безразлично (если им не руководят соображения пре-
престижа), какое из первых трех мест запять. Ведь были случаи, когда
занявший третье место в полуфинале в финале был первым.
25

Если требуется установить, сколькими способами может образо-
образоваться финальная тройка, то надо посчитать только те выборки из
20 элементов по 3, которые одна от другой отличаются хотя бы одним
элементом.
Вы, конечно, узнали в неупорядоченных выборках сочетания.
Напомним, что число-сочетаний1 из п элементов по т обознача-
обозначается
МП
Ап л!
т
- . C.5)
(п — т)\ /га! У '
Шрименяя эту формулу для решения задачи о шахматистах,
получим число возможных финальных троек
С1о= 20 ■ '° ' ге =1140.
3- 2 • 1
Формулы C.3), C.4) и C.5) могут быть применены для опреде-
определения числа случайных событий — результатов испытаний или на-
наблюдений.
Примеры
1. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько
может быть образовано тренером разных стартовых пятерок?
Так как при составлении стартовой пятерки тренера интересует
только'состав пятерки, то достаточно определить число сочета-
сочетаний из 12 элементов по 5
12- 11 • 10. 9
С\2 =
8
= 792.
5 • 4 • 3 • 2 • 1
2. Сколькими способами можно расположить на
они не могли
доске 8 ладен (рис. 10) так, чтобы
друга?
шахматной
взять друг
Ясно, что в этом случае на
каждой горизонтали и каждой
вертикали шахматной доски мо-
может быть расположено только
по одной ладье. Число возмож-
возможных позиций — число переста-
перестановок из 8 элементов:
Р8 = 8! = 8 • 7 . 6 • 53- 4 • 3 х
X 2 • 1 - 40 320.
3. Для полета на Марс необ-
необходимо укомплектовать следую-
следующий экипаж космического кораб-
корабля: командир корабля, первый
Рис. 10
1 Значения Седаны в таблице 1.
26

его помощник, второй помощник, два бортинженера и один врач. Ко-
Командующая тройка может быть отобрана из числа 25 готовящихся к
полету летчиков, два бортинженера — из числа. 20 специалистов,
в совершенстве знающих устройство космического корабля, и врач —■
из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплекто-
укомплектовать экипаж исследователей космоса?
При выборе командира и его помощников важно определить,
какой из военных летчиков лучше других справляется с теми или
иными функциями в управлении кораблем. Значит, здесь важен не
только персональный состав командующей тройки, но и- соответ-
соответствующая расстановка подобранных людей. Поэтому ясно, что ко-
командующая тройка может быть укомплектована А\$ способами.
Обязанности у обоих бортинженеров примерно одинаковые.
Они могут выполнять их по очереди. Следовательно, пара борт-
бортинженеров может быть укомплектована С10 способами. Аналогич-
Аналогичное положение и с врачом — его можно подобрать С1& способами.
В силу формулы C.2) весь экипаж может быть укомплектован
Аго ■ С|о • С\ = 20 976 000
способами.
Упражнения
32. В кружке юных математиков 25 членов. Необходимо избрать
председателя кружка, его заместителя, редактора стенгазеты и
секретаря. Сколькими способами можно образовать эту руководя-
руководящую четверку, если одно лицо может занимать только один пост?
33. Школьная комсомольская организация, в которой насчи-
насчитывается 150 членов, выбирает 6 делегатов па районную конферен-
конференцию. Сколькими способами может быть избрана эта шестерка?
34. Сколько разных трехзначных чисел можно составить из
цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?
35. В одной арабской сказке речь идет о такой задаче. Вокруг
костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит
двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное необхо-
необходимо выделить пять разбойников. Сколькими способами атаман
может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распри?
36. В колоде 32 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть
случаев появления одного туза'среди розданных карт?
37. В пионерском отряде 4 звена по 8 пионеров. Выбираются
4 делегата на дружинный сбор. Что можно сказать о числе случаев
избрания в делегаты хотя бы одного представителя первого отряда?
38. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1,
2, 3, 4 и 5, если цифры могут повторяться?
39. Укротителю диких зверей предстоит вывести на арену цирка
один за другим 5 львов и 4 тигров. Сколькими способами он может
сгруппировать зверей так, чтобы ни разу два тигра не следовали
один за другим?
27

40. На книжной полке плотно уставлены п книг. Сколькими спо-
способами можно взять с полки к книг при условии, что ни разу не бу-
будут вынуты рядом стоящие книги?
3. ВЫБОРКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ
Из букв с, т, е, я, а можно образовать Рь = 5! = 120 разных
слов. Сколько разных слов можно образовать из букв слоса «гам-
«гамма»? Столько же? Оказывается, нет! Только 30. Знакомая формула
числа перестановок в данном случае бессильна, ибо элементы в
«перестановках» повторяются: в слове «гамма» при перестановке
местами букв а и м никаких изменений не происходит — остается
то же самое слово. Мы ввели новый вид выборок — перестановка
с повторениями.
Пусть даны к элементов. Построим выборку из этого множества
элементов. Первый элемент повторим пх раз, второй п2 раз, . . .,
к-й повторим пк раз: п^ + п2 + . . . + пк = п. Если бы все эле-
элементы были различными, то по формуле C.4) у нас получилось бы
п\ перестановок.
Но так как некоторые элементы в выборке повторяются и при
их перестановке новой перестановки не получим, то понятно, что
число перестановок с повторениями меньше /г!, но во сколько раз
меньше?
Пусть имеется выборка
ааа . . . а ЬЬЬ . . . Ь ....///.../.
Элементы а можно переставить Рщ — {пх)\ способами, элементы
Ь — Рп, = (п2У- способами, ..., элементы — Рп^ = (пк)\ способами,
но число перестановок с повторениями от этого не изменится.
Значит, число перестановок с повторениями меньше числа пере-
перестановок без повторения в пх\ пг\ . . . пк\ раз. Поэтому число переста-
перестановок с повторениями
■ Рп1, п2, . . . , п, = — ; ;. C.6)
к п^.п^ . . . пк\
В примере с выборкой букв из слова «гамма» /2 = 5, п{ = 1,
п% = 2, п3 = 2. Поэтому, как мы уже убедились, можно образовать
51 =30
1! 2! 2'
разных слов (не все они имеют смысл).
Рассмотрим следующую задачу.
Задача. В гастрономе имеются конфеты трех наименований.
Конфеты упакованы в коробки трех видов — для каждого наимено-
наименования своя коробка. Сколькими способами можно заказать набор
из 5 коробок?
28

Здесь необходимо установить число выборок, которые составля-
составляются из 5 элементов и отличаются (хотя бы одним элементом). В
составе каждой выборки непременно будет повторение элементов.
Каждый заказ зашифруем теперь нулями и единицами. Сначала
напишем столько единиц, сколько заказали коробок конфет первого
наименования. Потом напишем нуль. Дальше напишем столько еди-
единиц, сколько заказали коробок конфет второго наименования.
После этого опять нуль и столько единиц, сколько заказали коро-
коробок конфет третьего наименования. Если конфет второго или
третьего наименования совсем не заказали, то этот факт в нашей
шифровке окажется отмечен двумя нулями. Если не заказаны кон-
конфеты первого или последнего наименования, пишем один нуль.
Например, событие «заказано 2 коробки конфет первого наиме-
наименования, 1 —второго наименования, 2— третьего наименования»
зашифруем так:
1101011,
событие «заказано 2 коробки конфет первого наименования и 3 —
третьего»:
1100111,
событие «заказано 4 коробки конфет второго и 1 — третьего»: •
0111101.
Нетрудно заметить, что каждый зашифрованный заказ пред-
представляет комбинацию пяти единиц и двух нулей. Это перестановки
с повторениями, где 1 повторяется 5 раз, нуль — 2 раза. Применяя
формулу C.6), устанавливаем число всевозможных наборов конфет:
Р — 7! — 91
5J 5! 2!
Встретившиеся в рассмотренной задаче выборки, составляемые
из элементов одного и того же множества, не отличаются по своему
объему, но отличаются по составу (хотя бы одним элементом). Та-
Такие выборки называются сочетаниями с повторениями.
Подсчитаем теперь число сочетаний Скп с повторениями, если
объем каждой "такой выборки равен /г, а множество, из которого
строятся выборки, содержит п элементов.
На основании проведенных рассуждений получаем:
п — 1)! . ,~ ~
1)Г' { ' °
так как (Ь + п-\I __ (к + п-1) (к + п-2).. .(п + \)п(п-1)\
к\(п— 1)! к\(п—\)\
(п + к-1)(п + к-2)...(п + 1)п _ рк
Сп = Сп+и~1. C.8)
29

Теперь полезно решить еще такую задачу.
Задача. Сколько разных трехзначных чисел можно составить
из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если одна и та же цифра может повториться
несколько раз?
Если бы не.было повторений, то задача нам уже известна — при-
пришлось бы вычислять А$. Но в данном случае элементы могут по-
повторяться. Значит, мы имеем размещения с повторениями.
Первую цифру трехзначного числа мы можем выбрать пятью
способами: одну из цифр 1, 2, 3, 4 и 5. Вторую — также пятью спо-
способами. Тогда по формуле C.2) двузначное число можно образовать
5 • 5 = 52 = 25 способами. Третью цифру опять можно выбрать
пятью способами, и поэтому трехзначное число может быть образо-
образовано 5 • 5 • 5 = э3 = 125 способами.
Аналогичные рассуждения помогут нам определить число раз-
размещений с повторениями и в общем случае.
Пусть данное множество содержит п элементов, из которых не:
обходимо образовать размещения по к элементов с повторениями,
т. е. водном размещении тот же самый элемент может повториться
2, 3, . . ., к раз. Сколько таких размещений?
Первый элемент какого-нибудь из упомянутых размещений мы
можем выбрать п способами (одного из данных п элементов). Второй
элемент тоже п способами. Тогда в силу формулы C.2) пару эле-
элементов можно образовать п • п = п2 способами. Третий элемент
опять можем выбрать п способами, четвертый также и т. д. Понятно,
что в таком случае размещения из п элементов можем образовать
п • п • . . . - п — пк способами. Если договоримся число размеще-
размещений с повторениями обозначать Акп> то
Акп = пк. C.9)
Примеры
1. Мать купила 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Девять дней
подряд она каждый день предлагает сыну по одному фрукту. Сколь-
Сколькими способами она может выдать сыну фрукты?
Обозначим: яблоко — я, грушу — г, апельсин — а. Напишем
одну из возможных выборок:
ггягааяаа
Все остальные выборки можно получить перестановкой ее эле-
элементов. Следовательно, приходится вычислять перестановки с по-
повторениями. В нашей задаче п ■-— 9, П\ — 2, пг = 3, п3 — 4.
Поэтому число всевозможных способов раздачи фруктов
р =—^ = 1260.
2»з,4 п? 3' 4!
2. В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими
способами можно образовать набор -из 12 открыток? из 8 открыток?
30

В данном случае нам приходится; считать сочетания с повторе-
повторениями
С\1 = -^- = 293 930,
12! 9!
? ^ = 24 310.
8! 9!
3. Сколько разных четырехзначных чисел можно составить из
цифр 0, 1,2, если та же самая цифра может повториться несколько
раз?
Из цифр 0, 1, 2 можно составить Лз = З4 четырехзначных числа.
Но числа, записанные четырьмя цифрами, первая из которых нуль,
не являются четырехзначными. Значит, из числ*а размещений с по-
повторениями надо вычесть число таких выборок, которые-начинаются
нулем. Последних столько, сколько трехзначных чисел можно со-
составить из цифр 0, 1, 2 при повторении цифр. Таких чисел будет
А\ = З3.
Поэтому ответ:
З4 — З3 = 54.
Упражнения
41. Сколько разных слов можно образовать при перестановке
букв слова «математика»?
42. Сколько разных слов можно образовать при перестановке
букв слова «соединение»?
43. Для несения почетного караула из 10 человек могут быть
приглашены офицеры пехотных войск, авиации, погранвойск,
артиллерии, офицеры морского флота и ракетных войск. Сколь-
Сколькими способами можно избрать состав почетного караула?
44. Докажите:
~рк—т
45. На школьный вечер танцев собрались ребята VIII, IX и
X классов. Вести хоровод приглашаются 10 школьников. Сколь-
Сколькими способами можно составить хоровод при условии участия в
нем хотя бы одного десятиклассника?
46. Настуденческий вечер-собрались юноши и девушки 8 факуль-
факультетов университета (в том числе математического и филологического).
Для исполнения танцев народов Латинской Америки приглашаются
10 студентов. Сколькими способами можно выбрать эту десятку
при условии участия в ней хотя бы одного студента математическо-
математического и хотя бы одного студента филологического факультета?
47. На Всемирный фестиваль молодежи в Москву прибыла
молодежь пяти континентов мира. Возникла необходимость орга-
организовать делегацию из 8 представителей разных стран для оглаше-
оглашения клятвы борцов за мир. Сколькими способами можно было обра-
31

зовать делегацию при условии участия в ней представителей всех
континентов?
48. Сколько пятизначных чисел можно образовать- из цифр
1, 2, 3, если допускается повторение этих цифр?
49. Сколько пятизначных чисел можно образовать из цифр 0 и 1?
50. В одном государстве (сказочном) не найдется двух человек,
у которых оказался бы одинаковый состав зубов: либо у них разное
число зубов, либо зубов нет в разных местах. Оцените наибольшую
численность населения в этом государстве, если максимальное число
зубов у одного человека 32.
51. Сколькими способами можно отослать 6 писем разным адре-
адресатам, если их будут разносить 3 курьера и заранее неизвестно,
какому курьеру какое достанется письмо?
52. Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть вари-
вариантов распределения оценок, если известно, что так или иначе все
они экзамены сдали?
53. Три парня и две девушки решили после окончания школы
поступить на работу в своем родном городе. В городе имеются 3 за-
завода, на которые набирают мужчин, 2 — где нужны женщины,
и 2 — которые принимают на работу и мужчин и женщин. Сколь-
Сколькими способами пять выпускников могут распределиться по заво-
заводам города?
4, СЛОЖНАЯ КОМБИНАТОРИКА
Изученные нами до сих пор приемы комбинаторики позволяют
решать немало разных задач, если удается правильно определить
вид выборок, о которых идет речь в той или иной задаче. Мы сове-
советуем читателю каждый раз строить из элементов данного
множества несколько конкретных выборок соответственно
условиям задачи. Обзор таких выборок помогает раскрыть при-
принадлежность их к определенному типу выборок и, следователь-
следовательно, подводит к формуле, которой надлежит воспользоваться.
Упрощенная схема рассуж-
рассуждений приведена на рисунке П.
Когда в задаче фигурируют
выборки разных видов, недоста-
недостаточно их обнаружить. Необходи-
Необходимо установить связи между ними,
характер математических законо-
закономерностей, которым они подчиня-
подчиняются, их логическую и комбина-
комбинаторную природу. По-видимому,
невозможно представить все-
Рис 11 «
возможные ситуации одной схе-
/ — выборки; 2 —выборки без повторений; ,,_» ,ТГ1Т1 „ пл.тчтгт гчпогчй п^
3 - выборки с повторениями; 4 - перема- МОИ ИЛИ С ПОМОЩЬЮ ОДНОЙ 00-
новки; 5 - сочетания; 6 - размещения щеи заДЭЧИ'. ПОЭТОМУ МЫ Не МО-
32

жем предложить читателю универсальный ключ, который помог
бы легко найти путь решения любой комбинаторной задачи, но
тем не менее разбор некоторых сложных задач раскроет неко-
некоторые способы рассуждений. Надеемся, что это поможет читателю
ориентироваться при решении и других задач повышенной слож-
сложности ..
Примеры
1. Сколькими способами можно расставить п нулей и к единиц
так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом?
Эта задача имеет смысл только при к ^ п + 1.
Убедимся в этом.
Между п нулями имеется п — 1 одноместное «гнездо» для еди-
единицы. Но единица еще может занять одно место впереди всех нулей
и одно место за всеми нулями. Таким образом, для к единиц имеем
п — 1 + 1 + 1 — я + 1 одноместных «гнезд». Задача сводится к
такой формулировке: «Сколькими способами можно к одинаковых
«шариков» распределить по п + 1 одноместным «гнездам», что рав-
равносильно: «Сколькими способами из п + 1 элемента можно образо-
образовать выборки по к элементов, когда их порядок не существен?»
Ответ: разумеется, Сп+% способами.
2. Между четырьмя игроками в домино поровну распределя-
распределяются 28 костей. Сколькими способами могут распределиться кости
домино?
Первый игрок 7 костей может выбрать С\% способами. (Он не
обязательно первым набрал кости, но с него мы начинаем строить
возможные выборки.) Второму игроку приходится свою долю костей
выбирать из числа 21 оставшейся кости. Это он может сделать С[\
способами. Третий — С7ц способами, а четвертый — С] спосо-
способами. Тогда по правилу C.2) кости могут быть распределены
п1 Г1 п1 п1 28!
С-28 * ^21 * С-14 ' С-7 = .
Учащийся может возразить, что число всевозможных выборок
раздачи костей зависит от порядка раздачи. Это не так! Допустим,
игрокам кости розданы в таком порядке:
первый может получить 4 кости С\% способами, после чего
второй может получить 3 кости С\\ способами, после чего
третий может получить 6 костей С21 способами, после чего
четвертый может получить 2 кости С\ъ способами, после чего
первый может получить 3 кости С\ъ способами, после чего
четвертый может получить 5 костей Сш способами, после чего
третий может получить 1 кость С\ способами, после чего
второй может получить 4 кости С\ способами.
2 В. С. Лютикас 33

В силу правила C.2) число всех выборок равно
С 4 /->3 /~>6 /->2 /->3 /->5 ]-А /-,4
28 * ^24 * Ь21 ' Ь15 • Ь1з • О]о • С>5 ' Ь4 =
28! 24! 21! 15! 13! 10! 5! 4! 28!
4! 24! 3! 21! 6! 15! 2? 13! 3! 10! 5! 5! 1! 4! 4! О! 4! 3! 6! 2! 3! 5! 4!*
Но первый игрок кости выбирал два раза, поэтому выборок
7! л
образовалось в ——- раз больше из-за очередности, которая не име-
имеет влияния на окончательный результат. Второй игрок также вы-
бирал два раза, поэтому выборок образовалось в раз больше.
Третий опять два раза, поэтому выборок образовалось в раз
б! 1!
больше. У четвертого получилось в раз больше.
- Следовательно, выборок получилось
28! % G!L
4! 3! 6! 2! 3! 5! 4! 4! 3! 3! 4! 6! 2! 5!
Итак, очередность выбора костей (как это, естественно, и следо-
следовало ожидать) не влияет на результат.
■Упражнения
54. Выпускнику средней школы, поступающему в вуз, нужно
сдать 4 экзамена и набрать на них не менее 17 баллов (двойки при
этом получать нельзя). Сколько существует разных наборов экза-
экзаменационных отметок, дающих ему право поступления?
55. Сколько разных по стоимости браслетов может составить
ювелир из набора в 18 камней, если у него имеются 5 одинаковых
по стоимости рубинов, 6 одинаковых по стоимости алмазов и 7 оди-
одинаковых по стоимости кусков янтаря?
56. У мужа 12 сослуживцев: 5 женщин и 7 мужчин. У жены то-
тоже 12: 7 женщин и 5 мужчин. За семейным столом помещаются 14
человек. Сколько разных компаний из 6 женщин и 6 мужчин могут
они пригласить при условии участия 6 знакомых мужа и 6 знакомых
жены?
57. Все участники туристической поездки владеют по крайней
мере одним иностранным языком. 6 из них владеют английским язы-
языком, 6 — немецким, 7 — французским, 4 — английским и немец-
немецким, 3 — немецким и французским, 2 — французским и английским.
Один турист владеет английским, французским и немецким язы-
языками. Других туристов в группе нет. Сколько туристов владеет
только английским языком, только французским? Сколько туристов
в группе?
58. Отряд из 92 школьников собрался в поход. 47 из них при-
приготовили бутерброды с колбасой, с сыром — 38, с ветчиной — 42,
34

с колбасой и с сыром — 28, с колбасой и с ветчиной — 31, с сыром
и с ветчиной — 26. 25 школьников взяли с собой бутерброды всех
сортов, а некоторые взяли только по бутылке молока. Сколько бы-
было таких, которые взяли только молоко?
59. Найти сумму всех четырехзначных чисел, которые полу-
получаются при перестановке цифр 1234.
60. Сколько чисел, меньших миллиона, можно записать с по-
помощью цифр 8 и 9?
61. Найдите сумму трехзначных чисел, которые можно запи-
записать с помощью цифр 1, 2, 3 и 4?
62. Города А и В соединяются 2 шоссейными дорогами, которые
пересечены 10 проселочными. Сколькими разными способами мож-
до добраться от А до В так, чтобы ни разу не пересекать пройден-
пройденный путь?
63. Имеется неограниченное количество монет по 10, 15 и 20 коп.
Сколькими способами можно образовать набор из 20 монет?
64. На заседании научного студенческого общества присутство-
присутствовало 52 студента: по 13 студентов от 4 факультетов. Сколькими спо-
способами можно избрать правление общества в составе 4 лиц так,
чтобы в состав правления вошли представители трех факультетов?
65. По линейке расположены п предметов. Сколькими способа-
способами можно убрать 3 из них так, чтобы не были убраны рядом стоя-
стоящие предметы?
66. 5 белых шариков, 5 черных и 5 красных надо разложить по
3 ящикам так, чтобы в каждом ящике оказалось по 5 шариков.
Сколькими способами это можно осуществить?
67. При закрытии пионерского фестиваля Прибалтийских рес-
республик в первый ряд президиума (из 9 мест) были приглашены
3 литовских, 3 латышских и 3 эстонских пионера. Сколькими спо-
способами их можно рассадить так, чтобы ни одна тройка представи-
представителей из одной республики не занимала трех соседних мест?
68. Сколько цифр понадобится для записи всех чисел от 1 до
999 999 включительно?
IV. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ
Бросаем игральную кость. Выпасть могут или одно, или два,
или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих
событий элементарное, и вместе они образуют множество элементар-
элементарных событий. Рассмотрим теперь следующие события:
А — «выпадение 5 очков»,
В — «выпадение четного числа очков»,
С — «выпадение не меньше 3 очков».
Событие А — одно из шести равновозможных элементарных
событий.
Событие В означает «выпадение или 2, или 4, или 6 очков», т. е.
оно представляет три из шести равновозможных элементарных со-
событий.
2* 35

Событие С означает «выпадение или 3, или 4, или 5, или 6 очков»,
т. е. оно представляет четыре из шести равновозможных элементар-
элементарных событий.
У нас нет данных, чтобы, бросая кость, предугадать будущий
результат, но кое-какие предположения высказать мы можем. Так,
ясно, что событие А должно происходить реже, чем В (событию А
благоприятствует меньше элементарных событий), а последнее
должно происходить реже, чем событие С (событию В благоприят-
благоприятствует меньше элементарных событий). Как численно оценить воз-
возможности появления событий А, В и С?
Рассмотрим следующие элементарные события, которые при-
бросании игральной кости, как нам уже известно, образуют полную
группу попарно несовместимых событий:
А1 — «выпадение 1 очка», "*"
А2 — «выпадение 2 очков»,
А3 — «выпадение 3 очков»,
Л4 — «выпадение 4 очков»,
Аь — «выпадение 5 очков»,
Л6 — «выпадение 6 очков».
Если имеет место элементарное событие А 2, то имеет место и собы-
событие В. Если имеет место элементарное событие А4,то вновь происходит
событие В. Если имеет место элементарное событие Лв, то опять иъ.е-
ет место В. Значит, элементарные события Л2, Л4 и Ав благоприят-
благоприятствуют событию В, аналогично элементарное событие Аь благопри-
благоприятствует событию Л, а элементарные события Л8, Л4, Л5 и Л6 — со-
событию С. Возможность появления того или иного события удобно
оценивать отношением числа благоприятствующих элементарных
событий к числу равновозможных элементарных событий, которые
образуют полную группу попарно несовместимых событий. В дан-
данном случае возможность появления события А оценивается числом—,
3 1 4 2
события В = —, события С = —. Эти числа называются
6 2 6 3
вероятностями соответствующих событий и обозначаются:
= ~, Р(В) = ~, Р{С)=~.
6» V / 2 » V / 3
Рис. 12
36

Пусть т — число всех тех равновозможных элементарных собы-
событий, которые благоприятствуют некоторому событию Л; п —
число элементарных событий, образующих полную группу равно-
возможных и попарно несовместимых событий. Отношение — назы-
п.
ваем вероятностью события А и обозначаем:
т
п
D.1)
Вероятность Р (А) можно рассматривать как функцию собы-
события А, определенную на множестве элементарных событий Е. Из
определения должно быть ясно, что Р (V) = 1, Р (V) = О1. Если
событие В не является ни достоверным, ни невозможным, то
О <Р(В) < 1.
Иногда мы сталкиваемся с событиями, для которых не можем
определить числа тип для вычисления вероятностей этих собы-
событий, и поэтому не удается непосредственно пользоваться форму-
формулой D.1).
К числу таких событий относятся содержащие бесконечные под-
подмножества множества элементарных событий. Рассмотрим, напри-
например, задачу на отыскание так называемой геометрической вероят-
вероятности .
Задача. Пусть на плоскости задан круг и в нем треугольник
(рис. 12). В круг наудачу бросается точка. Как определить вероят-
вероятность события А, состоящего в том, что точка попадает в треуголь-
треугольник?
При решении этой задачи будем руководствоваться следующим
исходным положением:
вероятность попасть в какую-либо часть круга пропорциональ-
пропорциональна площади этой части.
Если площадь круга составляет п единиц площади, а площадь
треугольника т единиц площади, то в силу пропорциональности
п / л\ т!* един- пл. т
И (А) = — = —.
пк един. пл. п
Отношение —, конечно, в таких случаях совсем не обязано быть
п
рациональным числом, а т и п — положительными целыми числами.
Хотя формально результат и записывается так же, как формула
D.1), смысл он имеет несколько иной.
Примеры
1. В ящике имеются 4 белых и 7 черных шаров. Какова вероят-
вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется белым?
В этом случае т = 4, п = 11. Поэтому Р («наудачу вынутый шар
белый») — —.
1 Если Р (А) — 0, то это не означает, что событие А невозможно, т. е. что
А и V совпадают.
37

2. Первенство по баскетболу оспаривают 18 лучших команд,
которые путем жеребьевки распределяются на две группы, по
9 команд в каждой. 5 команд обычно занимают первые места. Ка-
Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну груп-
группу? Какова вероятность попадания двух лидирующих команд в одну
группу и трех — в другую?
Обозначаем события:
А — «все 5 лидирующих команд попали в одну группу»,
В — «2 лидирующие команды попали в одну группу, 3 — в
другую».
Из 18 команд группы по 9 команд могут быть образованы С%
способами. Таким образом, п = С%. Событию А благоприятствует
столько событий, сколькими способами 5 лидирующих команд мо-
могут образовывать девятки с четырьмя командами из числа остальных
13 команд. Поэтому как первая, так и вторая девятка могут быть
образованы С^3 способами. Следовательно, т =
Аналогичные рассуждения подсказывают нам, что число собы-
событий, благоприятствующих событию В, равно
/-J г~\7 ■ /-K
Поэтому
С6 ]2
С? 17
Наличие лидирующих команд в обеих группах более вероятно,
чем их отсутствие в одной из групп. Любители баскетбола в этом
убеждаются на практике: слабых групп нет!
3. Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании
из 10 человек. Они оба очень хотели сидеть за праздничным столом
рядом. Какова вероятность исполнения их желания, если среди
их друзей принято места распределять путем жребия?
10 лиц могут усесться за стол 10! разными способами. Сколько
же из этих п — 10! равновозможных способов благоприятны для
Тани и Вани? Таня и Ваня, сидя рядом, могут занять 20 разных по-
позиций. В то же время восьмерка их друзей может сесть за стол 8!
разными способами, поэтому т = 20 • 8!. Поэтому Р («исполнение
90 й| о
желания Тани и Вани») = —— = —.
' 10! 9
Не очень-то утешающий ответ.
Формула D.1) для вычисления вероятностей может быть приме-
применена только тогда, когда известно:
1) что результаты всех испытаний или наблюдений равновоз-
можны;
38

2) что все равиовозможные результаты (события) образуют пол-
полную группу попарно несовместимых событий.
Мы уже рассказывали читателю о трудностях, с которыми столк-
столкнулись последователи Лапласа. Как избежать подобных недоразуме-
недоразумении при вычислении вероятности таких событий, равновозможность
которых не удается установить на основании симметрии используе-
используемых моделей? Как действовать в таких случаях, когда не удается
непосредственно убедиться в попарной несовместимости событий?
Пусть стрелок производит выстрел по мишени. Как оценить ве-
вероятность попадания? Если события «попадание» и «промах» равно-
возможны, то ответ получаем сразу:
Р («попадания») = —.
Но они могут быть не равновозможны. Скажем, Алеша постоян-
постоянно посещает тренировки по стрельбе и каждый раз из сотни выстре-
выстрелов попадает в мишень 80—90 раз, а Сережа на стрельбище бывает
редко, поэтому из сотни выстрелов попадает только 30—40 раз.
Ясно, что у Алеши возможность попадания больше, чем у Сережи.
Как оценить эти разные возможности? Из практики, так, как опре-
определяется число появлений герба при подбрасывании монеты.
Произведе. о выстрелов
Число попаданий Алеши
Число попаданий Сережи
10
8
3
20
17
5
30
26
8
40
33
12
50
41
15
60
49
19
70
56
22
80
65
25
90
72
28
100
81
81
Из таблицы видно, что как у Алеши, так и у Сережи отношение
числа попаданий к числу произведенных выстрелов меняется. Эти
отношения в какой-то мере зависят от числа произведенных выстре-
выстрелов. Но вместе с тем заметно, что упомянутое отношение для каждо-
4
го стрелка колеблется около определенного числа: у Алеши около —,
о
3
у Сережи около —. Эти числа логично принять за оценку вероятнос-
вероятности попадания — частоту. Эта оценка тем более надежна, чем больше
проведено опытов с целью установления ее значения.
Пусть / — число испытаний, при проведении которых могло
произойти или не произойти событие А, а. к — число испытаний,
к
при проведении которых событие А произошло. Отношение — на-
называем частотой события А и обозначаем:
Р1 {А} =
к
D.2)
39

Индекс / специально ставим для того, чтобы подчеркнуть зави-
зависимость частоты от числа испытаний. Практика показывает, что
в случаях, когда точно знаем вероятность Р (А) в классическом
понимании, при достаточно большом числе испытаний /,
Р1 {А} « Р(А).
Это приближенное равенство получило теоретическое обоснова-
обоснование, как увидим далее, в законе больших чисел, открытом Яковом
Бернулли. Непосредственно из формул D.1) и D.2) следуют такие
важные выводы:
1) Вероятность достоверного события равна 1, т. е.
1
п
2) Вероятность невозможного события равна нулю, т. е.
п
Замечание: если Р (А) — 0, то это не значит, что событие
А невозможно, т. е. что утверждение, обратное 2-му, неверно.
3) Вероятность любого события А подчиняется неравенству
9 < Р (Л) < 1, ибо т < п.
Примеры
1. Как приближенно установить число рыб в озере?
Пусть в озере х рыб. Забрасываем сеть и, допустим, находим в
ней п рыб. Каждую из них метим и выпускаем обратно в царство
Нептуна. Через несколько дней в такую же погоду и в том же месте
забрасываем ту же самую сеть. Допустим, что находим в ней т рыб,
среди которых к меченых. Пусть событие А — «пойманная рыба
мечена». Тогда по формуле D.2)
Но если в озере х рыб и мы в него выпустили п меченых, то со-
согласно формуле D.1)
Так как
2. Из 1000 произвольно выбранных деталей 4 бракуются. Сколь-
Сколько бракованных окажется среди 2 400 деталей (приближенно)?
Обозначим события:
А — «наугад выбранная деталь бракованная».

Тогда Р {А} = 0,004.
Если среди 2400 деталей х бракованных, то Р (А) = ——. Так
2400
как Р{А}&Р(А), то — « 0,004, откуда х« 10.
Упражнения
69. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга».
Неграмотный мальчик перемешал буквы, а потом их наугад собрал.
Какова вероятность того, что он опять составил слово «книга»?
70. На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3 челове-
человека. Вероятность выхода каждого из лифта на любом этаже одина-
одинакова. Найдите вероятности событий:
А — «все вышли из лифта на 4 этаже»,
В — «все вышли из лифта на одном и том же этаже»,
С — «все выходили из лифта на разных этажах».
71. 10 шаров произвольно раскладываются по 4 ящикам. Чему
равна вероятность того, что в первом ящике окажется один шар,
во втором — 2, в третьем — 3 и в четвертом — 4 шара?
72. 4 зенитных пулемета ведут огонь по 3 самолетам. Каждый
пулемет выбирает объект обстрела наугад. Какова вероятность
того, что все 4 пулемета ведут огонь по одному и тому же самолету?
73. На пяти карточках написано по одной цифре из набора 1,
2, 3, 4 и 5. Наугад выбираются одна за другой две карточки. Какова
вероятность того, что число на второй карточке больше, чем на
первой?
74. В одном ящике 6 белых и 4 черных шарика. Во втором —
7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наугад вынимается по одно-
одному шарику. Чему равна вероятность того, что оба шарика окажутся
белыми?
75. Условия задачи те же. Чему равна вероятность того, что вы-
вынутые шарики разных цветов?
76. Четырем игрокам раздается поровну колода из 32 карт.
Определить вероятность того, что каждый игрок получил карты
только одной масти.
77. Какова вероятность того, что при случайном распределе-
распределении п шариков по п гнездам одно гнездо окажется пустым?
78. На стоянке автомобилей можно поместить 12 машин в один
ряд. Однажды оказались свободны 4 места подряд. Является ли
это событием исключительным или столь же часто бывают свободны
4 не соседних места?
79. В ящике 90 стандартных и 10 нестандартных деталей. Какова
вероятность того, что среди 10 наугад вынутых деталей бракован-
бракованных не окажется?
80. В некотором семействе 4 сестры по очереди моют посуду.
Из каждых 4 разбитых тарелок 3 разбито младшей, и поэтому ее
называют неуклюжей. Справедливо ли это?
41

81. Номер телефона состоит из пяти цифр. Какова вероятность
того, что все цифры наугад набранного номера разные?
82. Замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых
разделен на 6 секторов, отмеченных цифрами. Замок может быть
открыт только в том случае, если все диски занимают определенные
положения относительно корпуса замка, их цифры образуют опре-
определенное число, составляющее «секрет» замка. Какова вероятность
.открыть замок, установив произвольную комбинацию цифр?
83. Два друга условились встретиться в Москве у" памятника
А. С. Пушкину между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет
второго в течение а минут (а < 60), после чего уходит. Чему равна
вероятность встречи?
До сих пор мы использовали для подсчета вероятностей только
определение вероятности. Со следующего параграфа качнем исполь-
использовать некоторые простейшие формулы.
V. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕРОЯТНОСТЯМИ
1. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ НЕСОВМРХТИМЫХ СОБЫТИЙ
Пусть т — число равневозможных элементарных событий,
благоприятствующих событию Л, к— число равновозможных эле-
элементарных событий, благоприятствующих событию В, несовмести-
несовместимому по отношению к событию-Л. Пусть п — общее число равно-
возможных элементарных событий, образующих полную группу
несовместимых событий.
В силу формулы D.1)
Р(А) = —, Р(В)= к
п
п
Согласно определению суммы несовместимых событий А -\- В
означает: «имеет место или Л, или В». Но число событий, благопри-
благоприятствующих такому событию, равно т -\- к, поэтому согласно фор-
формуле D.1)
т-\-к
п.
т к
п п
— к =
Р(А+В)--
Рис. 13
42

Применяя только что рассмотренные равенства, находим:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В). E.1)
На рисунке 13 дана геометрическая интерпретация формулы E.1),
если т, к и п здесь величины площадей нарисованных фигур.
Последнее равенство выражает следующее правило, которое
последовательным применением формулы E.1) может быть распро-
распространено на любое конечное число событий.
Вероятность суммы попарно несовместимых событий равна
сумме вероятностей этих событий.
С помощью этого правила мы можем справиться со многими за-
задачами.
Примеры
!. В лотерее выпущено 10 000 билетов и установлены: 10 выигры-
выигрышей по 200 руб., 100 — по 100 руб., 500 — по 25 руб. и 1000 выигры-
выигрышей '— по 5 руб. Гражданин купил 1 билет. Какова вероятность
того, что он выиграет не меньше 25 рублей?
Обозначим события:
Л — «выигрыш не менее 25 рублей»,
Аг — «выигрыш равен 25 рублям»,
А2 — «выигрыш равен 100 рублям»,
А3 — «выигрыш равен 200 рублям».
Поскольку куплен только один билет, то А = Ах + А2 + А3,
где события Аъ Л2 и А3 попарно несовместимы, поэтому
Р(А) = Р (Лх + Л2 + А3) = Р (А,) + Р (Л2) + Р (Л3),
р (Лх) = 0,05, Р (Л2) = 0,01, Р (Л3) = 0,001,
Р (Л) = 0,05 + 0,01 + 0,001 - 0,061.
2. Военный летчик получил задание уничтожить 3 рядом рас-
расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета
одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01, во вто-
второй — 0,008, в третий — 0,025.
Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и
остальных складов. Какова вероятность того, что склады против-
противника будут уничтожены?
Обозначим события:
Л — «склады уничтожены»,
Лг — «попадание в первый склад»,.
Л2 — «попадание во второй склад»,
Л3 — «попадание в третий склад».
Для уничтожения складов достаточно попадания в один из
упомянутых трех складов. Поэтому
Л = Аг + А2 + А3,
Р{А) = Р {А1 + Л2 + Л3) = Р (Лх) + Р (Л2) + Р (А3) =
= 0,01 + 0,008 + 0,025 = 0,043.
43

3. Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления
хотя бы одного герба?
Обозначим события:
Л — «появление герба при подбрасывании первой монеты»,
В — «появление герба при подбрасывании второй монеты».
Снова предстоит найти вероятность события С = Л + В. Но
в этом случае Р {С)Ф Р (Л) + Р(В), ибо события Л и В совмести-
совместимы. Поэтому формула E.1) не применима. Приходится избрать
другой путь решения.
Пусть событие С — «выпадение герба не состоялось». Ясно, что
Р (С) = —, ибо при бросании двух монет могут произойти только
следующие события, составляющие полную группу несовместимых
событий.
гг,
ЦЦ
, цг, гц.
Событие С -\- С представляет собой достоверное событие, по-
поэтому С + С = Ц.
Р (Ц) = Р (С + С) = Р (С) + Р (С) = 1,
отсюда
Р(С) = 1—Р(С)= 1 —-=-.
4 4
2. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ СОВМЕСТИМЫХ СОБЫТИЙ
Пусть т — число равновозможных элементарных событий,
благоприятствующих событию Л, к— число равновозможных эле-
элементарных событий, благоприятствующих событию В. Допустим-,
что среди упомянутых т + к событий содержится / таких, которые
благоприятствуют и событию Л, и событию В. Если п — общее
число равновозможных элементарных событий, образующих пол-
полную группу, то согласно формуле D.1)
Р(А)= — , Р(В) = -, Р(ЛВ) = ~.
п п п
Запись Л + В означает: «произойдет или событие Л, или В,
или и то и другое вместе». Но такому событию благоприятствуют
(т + к — I) элементарных событий. Поэтому по формуле D.1)
находим:
Р(Д + В) = т + *~< = ~ + ---.
п п п п
Подставляя значение, получим:
Р(Л + В) = Р(Л) + Р(В) — Р (АВ).' E.2)
Ясно, что эта формула представляет собой обобщение формулы
E.1). На основании равенства E.2) формулируем правило.
44

Рис. 14
Вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме веро-
вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществ-
осуществления.
Геометрическая интерпретация формулы E.2) дается на ри-
рисунке 14, где т, к, I, п представляют величины площадей нари-
нарисованных фигур.
Примеры
1. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадания
хотя бы одного герба?
Обозначим события:
А — «появление герба при подбрасывании первой монеты»,
В — «появление герба при подбрасывании второй монеты».
Нам надо определить вероятность события С = А -Ь В.
Так как А и В — совместимые события; то
Р (С) = Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ).
Ясно, что Р(А) = ~,
2
= ±, Р(АВ) = -
2 4
Отсюда Р(С) =
2 2 4 4'
2. Бросают две игральные кости. Какова вероятность появле-
появления хотя бы одной шестерки?
Обозначим события:
А — «появление шестерки при бросании первой кости»,
В — «появление шестерки при бросании второй кости».
Нам надлежит определить вероятность события С = А + В.
Р (С) = Р(А + В) = Р (А) + Р(В) — Р (АВ).
Ясно, что
о
оо
Тогда
45

6 6 36 36
'3. А, В и С — совместимые события.
Доказать:
Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С) — Р (АВ) — Р (АС) —
— Р (ВС) + Р (АВС).
Обозначим А + В = В. Тогда
Р (А + В + С) = Р (О + С) = Р (О) + Р (С) — Р (ОС) =
= Р (Л + В) + Р (С) — Р ((А + В) С)^ Р (А) + Р(В)-~
—Р (АВ) + Р(С)-Р (АС + ВС)= Р (А) + Р(В) + Р (С)—
—Р (ЛВ) — (Р (ЛС) + Р (ВС) — Р (ЛСВС)) = Р (А) +
+ Р(В) + Р (С) — Р (АВ) - Р (ЛС) — Р (ВС) + Р (ЛВС), ибо
ЛСВС = АВС.
3. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Из ящика, в котором а белых и Ь черных шаров, наугад выни-
вынимаются последовательно один за другим два шара.
Рассмотрим события:
Л — «первый шар белый»,
В — «второй шар белый».
Понятно, что Р (Л) = —?—. Какова же вероятность события В?
о + Ь
Если событие Л произошло, то среди оставшихся а + Ь — 1
шаров только а — 1 белых, поэтому вероятность тего, что второй
шар белый а ~—. Если же Л не произошло, то среди оставшихся
а-\-Ь— 1
шаров белых а, поэтому вероятность того, что второй шар белый
, Мы столкнулись с ситуацией, когда вероятность появле-
а -\-Ь~ 1
ния события В зависит от того, произошло или не произошло
событие Л. В таком случае говорим, что событие В зависит от
события Л, а вероятность появления события В условная.
Найдем способ вычисления таких вероятностей.
Условную вероятность появления события В, если событие Л
произошло, будем обозначать Р (В/А).
Пусть из п равновозможных событий А1, Л2, ..., Ап, составля-
составляющих полную группу,
событию Л благоприятствуют т событий,
событию В благоприятствуют к событий,
событию АВ благоприятствуют г событий
(понятно, что г ^ к, г ^ т). Если событие Л произошло, то это
означает, что наступило одно из событий Ар благоприятствующих
"событию Л. При этом условии событию В благоприятствуют г и
только г событий Л у, благоприятствующих АВ. Таким образом,
46

р т,Ал = г = "
' /и т
/и т_
Точно так же
к к_ Р(В)
п
На основании этих формул находим:
Р (АВ) = Р(В) ■ Р (А/В),
Р(АВ) = Р(А) • Р(В/А),
т. е.
Р (АВ) = Р(В) • Р (А/В) = Р (А) ■ Р (В/А). E.3)
На основании E.3) формулируем правило умножения вероятно-
вероятностей.
Вероятность произведения двух событий равна произведению
вероятности одного из этих событий на условную вероятность дру-
другого при условии, что первое произошло. .
Замечание. Формулы E.3) имеют смысл в том случае,
если имеют смысл события А/В и В/А. А они имеют смысл тогда,
когда события А и В совместимы.
Примеры
1. В ящике а белых и Ь черных шаров. Последовательно вынима-
, ются два шара. Какова вероятность того, что оба они белые?
Обозначим события:
А — «первый шар белый»,
В — «второй шар белый».
Нам надлежит найти Р (АВ). Имеем:
а -\-Ь— 1
Согласно формуле E.3) находим:
Р(АВ) =а
2. Из колоды в 32 карты наугад одну за другой вынимают две
карты. Найти вероятность того, что:
а) вынуты два валета;
б) вынуты две карты пиковой масти;
в) вынуты валет и дама.
Обозначим события:
47

А — «первая карта — валет»,
В — «вторая карта — валет»,
С — «первая карта — пиковой масти»,
О — «вторая карта — пиковой масти»,
Е — «вторая карта — дама».
Нам следует найти Р (АВ), Р (СО) и Р (АЕ).
По формуле E.3)
Р (АВ) = Р (В/А) • Р (Л);
Р (СО) = Р (О/С) • Р (С);
Р (АЕ) = Р (Е/А) • Р (Л);
Р (В/А) = ± Р (А) = ^, тогда Р (АВ) = ±;
Р (О/С) = ~, Р (С) = 1, тогда Р (СО) = ^;
Р(Е1А) = 1 Р(А) = 1 тогда Р(ЕА) = I.
3. Доказать:
Р (АгАгЛъ) - Р {Аг) • Р (А2/Аг) • Р (Л3/ЛИ2).
Пусть АхАг = В. Тогда Р (А^^А^) = /> EЛ3). По фор муле E.3)
Р EЛ3) = Р (Л./5) • Р(В)= Р (Л3/ЛИ2) • Р (ЛИа).
Еще раз применяем формулу E.3):
Р (ЛИ2Л3) = Р (Лх) • Р (Л2/Л!) • Р (Л3/ЛИ2).
4. ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
Событие В называется независимым от А, если его вероятность
не зависит от того, произошло или не произошло событие А.
Р (В/А) = Р (В).
Это, конечно, формальное определение независимых событий.
Но независимость можно определять и интуитивно — например,
нетрудно сообразить, что результаты неоднократного бросания
монеты — независимые события.
В случае независимости события В от события А из формулы
E.3) получим:
, Р (АВ) = Р(А) • Р (В). E.4)
Сопоставляя формулы E.3) и E.4), убеждаемся, что свойство
независимости взаимна. Если событие В не зависит от осуществле-
осуществления Л, то и Л не зависит от осуществления В.
На основании E.4) формулируем правило.
Вероятность произведения двух независимых событий равна про-
произведению вероятностей этих событий.
На практике, как мы убедимся при рассмотрении примеров,
для установления независимости событий обычно пользуются со-
48

обряжениями, основанными на опыте обращения с данными объек-
объектами, а не анализом формул.
Примеры
1. Бросают две игральные кости. Какова вероятность появле-
появления на первой кости нечетного числа очков и на второй пяти очков?
Обозначим события:
А — «появление нечетного числа очков при бросании первой
кости»,
В — «появление пяти очков при бросании второй кости».
Нам нужно найти Р (ЛВ). Так как события А и В совместимы
и независимы, то Р (АВ) = Р (А) • Р (В). Но Р (А) = ~, Р (В)=
= 1 поэтому Р (АВ) = 1.
2. А, В и С — совместимые и независимые события1.
Доказать, что Р (АВС) = Р (А) • Р (В) • Р (С).
Допустим, что АВ = В. Тогда Р (АВС) = Р (ОС) = Р (О) X
X Р(С) = Р (АВ) • Р(С) = Р(А) • Р (В) • Р (С).
Рассмотрение этого примера подводит к обобщению правила
умножения вероятностей для произвольного числа событий. В слу-
случае независимости событий соответствующая формула принимает
вид
Р (ЛИ2 • • • Ап) = Р (А,) - Р (Л2) ... Р (Ап). E.5)
3. Подбрасывают 3 монеты. Найти вероятность выпадения
гербов на всех трех монетах.
Обозначим события:
Аг — «появление герба при бросании первой монеты»,
Л2 — «появление герба при бросании второй монеты»,
А3 — «появление герба при бросании третьей монеты».
Поскольку события Аъ Л2, А3 совместимы и независимы, то на
основании вывода, полученного при рассмотрении второго примера,
получим:
Р D) • Р D) = (}K =
4. Если события А и В независимы, то события А и В так же не-
независимы.
Действительно, поскольку А и В независимы, то Р (В/А) = Р (В)
и Р (В/А) = \ — Р(В) = Р (В).
Аналогично убеждаемся, что в случае независимости событий
А и В независимыми будут события В и А.
1 Несколько событий называются независимыми, если любое из них не
зависит от любой совокупности остальных. Для независимости событий в их
совокупности недостаточно, чтобы они были попарно независимы.
49

Предлагаем вам самостоятельно установить, что в этом случае
независимыми будут также события А и В.
5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть требуется найти вероятность события А, которое про-
происходит вместе с одним из несовместимых событий Въ В2, В3, ...
..., Вю образующих полную группу попарно-несовместимых собы-
событий. Если А произошло вместе с одним из событий Въ Въ В3, ...
..., Вп, значит, произошло одно из несовместимых событий:
АВи АВг> АВ3, ..., АВп.
Таким образом, событие А представляет или событие АВЪ или
АВ2, или АВ3, ..., или АВп> а это означает, что
А = АВХ + ЛВ2 + АВ3 + ... + АВп.
Поскольку события Въ В2, В3, ..., Вп взаимно несовместимы,
то и события АВЪ АВ2, АВ3, ..., АВп обладают тем же свойством.
Поэтому Р(А) = Р (АВг) + Р (АВ2) + Р (АВ3) + ... +
+ Р (АВп). ■ E.6)
По формуле E.3)
Р (АВг) = Р (А/В,) • Р (В,),
Р (АВ2) = Р (Л/В2) • Р (Я2),
Р (АВп) = Р (А/Вп) • Р (Вп).
Поэтому
Р(А)=Р (А/В,) • Р (В,) + Р (А/Вг) • Р (В2) + ...
... + Р (Л/Вп) • Р (Вп). E.7)
Равенство E.7) носит название формулы полной вероятности.
С помощью этой формулы легко находим так называемую формулу
Бейеса
р^/А) = рт.рут 58
У 1' ) Р (А/В,) • Р (В,) + Р (А/В2) • Р (В2) + ...+Р (А/Вп) • Р (Вп)
при I = 1, 2, ..., п.
Особенно широко она применяется при решении задач, связан-
связанных с вероятностной оценкой гипотез.
Докажем справедливость формулы Бейеса.
По формуле E.3)
Р (АВ,) = Р (А/В,) • Р (Вг)
и
Р (АВд = Р (В{/А) • Р (А).
Из последнего равенства находим:
50

Р(А)
Подставляя значение Р (Л), из формулы полной вероятно-
вероятности E.7) получаем формулу Бейеса.
Примеры
1. Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность по-
попадания первым выстрелом0,4, вторым*— 0,5, третьим — 0,7. Одним
попаданием кабана можно убить с вероятностью 0,2, двумя попада-
попаданиями с вероятностью 0,6, а тремя — наверняка. Найти вероятность
того, что кабан будет убит.
Рассмотрим несовместимые события, составляющие полную
группу: Ло, Аи Л2, Л3.
Л о — «промах»,
А^ — «одно попадание»,
А2 — «два попадания»,
Л3 — «три попадания»,
В{ — «попадание с первого выстрела»,
Б2 — «попадание со второго выстрела», .
В3 — «попадание с третьего выстрела»,
А — «кабан убит».
Согласно формуле полной вероятности
Р(А) = Р (Ло) • Р (А/Ао) + Р (Л0 • Р (А/А{) + Р (Л2) X
X Р(А/А,) + Р(А3) • Р (А/А3).
Вспомнив, что события, противоположные событиям Ви В%, В3,
обозначаются соответственно Ви 52, В3, имеем:
Л2 =
2
А3
Поскольку Ви В2, В3 независимы и Ви В2, В3 независимы, то
Р (Ло) - Р(Вд • Р &%) • Р (В3),
Р (А1)=Р(В1) • Р (В2)./> (В3)_-{- Р E0 • Р (Вг) -Р(В^+Р{В±)х
X Р (Вг) Р (В3),
р (Л2) = р E0 ■ я E2). р (в3) + р (яо • р (вгур(В8) +
+ р E0 • р (в,) • р (в3),
Р(А3) = Р(В1)- Р(Вг)- Р(В3).
Из условия задачи известно, что Р (#0 = 0,4; Р (в2) = 0,5;
Р (В3) = 0,7;
отсюда находим Р (В4) = 0,6; Р (В2) = 0,5; Р (В8) = 0,3. Поэтому
61

Р(А0) = 0,6 • 0,5 • 0,3 = 0,09,
р (Ах) = 0,4 . 0,5 • 0,3 +0,6 • 0,5 • 0,3 + 0,6 • 0,5-0,7= 0,36;
Р (Л2) = 0,4 • 0,5 • 0,3 + 0,4 • 0,5 • 0,7 + 0,6 • 0,5 • 0,7 = 0,41;
Р(А3) = 0,4 - 0,5 • 0,7 = 0,14.
Из условия следует
Р (А!А0) = 0; Р{А!АХ) = 0,2; Р (А/А2) = 0,6; Р (А/А3) = 1.
Подставляя эти результаты в формулу полной вероятности,
получим:
р (А) = 0,09 • 0 + 0,36 • 0,2 + 0,41 • 0,6 + 0,14 • 1 = 0,458.
Оказывается, что тремя выстрелами не так просто положить на
лопатки кабана. Охотникам, впрочем, это хорошо известно.
2. В одном из трех ящиков 6 белых и 4 черных шарика, во вто-
втором — 7 белых и 3 черных, в третьем — только 8 белых. Наугад
выбираем один из трех" ящиков и из него снова наугад выбираем
один шарик. Он оказался белым. Какова вероятность того, что
этот шарик вынут из второго ящика?
Обозначим события:
А^ — «наугад выбран первый ящик»,
Л2 — «наугад выбран второй ящик»,
А3 — «наугад выбран третий ящик»,
А — «наугад вынут белый шарик».
Ясно, что
Р (А,) = Р (Л2) = Р (А3) - 1.
Далее легко находим:
з 7
р/Л/Л \ Р/Л/Л \ _ р / Л ) А \ 1
5 10
По формуле Бейеса E.8) искомая вероятность
1 7
Р (Аг1А) =
1
"з '
3
5
3
1
3
10
7
' То
1
~з '{
7
23
3. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике,
трое подготовились отлично, четверо хорошо, двое удовлетвори-
удовлетворительно, а один совсем не готовился — понадеялся на то, что все
помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики
могут ответить на все 20 вопросов, хорошо — на 16 вопросов, удов-
удовлетворительно — на 10 и неподготовившийся — на 5 вопросов.
Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный
первым ученик ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того,
что он отличник?
Обозначим события:
А1 — «приглашен ученик, подготовившийся на отлично»,
52

Л2 — «приглашен ученик, подготовившийся хорошо», ,
Л3 — «приглашен ученик, подготовившийся удовлетвори-
удовлетворительно»,
Л4 — «приглашенный ученик к экзаменам не готов»,
Л — «приглашенный ученик ответил на 3 вопроса».
Согласно условию задачи
Р (Ад = 0,3; Р(Л2) = 0,4; Р (Л,) = 0,2; Р (Л4) - ОД.
Кроме того, ясно:
Р(А/А1) = 1, Р(А/Аг) =1* • 15 . !* « 0,491,
/и 1У 1о
Р (А1Аз) = %-±-±<*0.105, Я (Л/Л) -4 • И « °'°09-
Следует найти Р (А^А).
По формуле Еейеса E.8).
Р (А,/А) = ^-^ « 0,58.
0,3- 1 + 0,4 • 0,491+0,2-0,105 + 0,1 -0,009
Как видно, искомая вероятность сравнительно невелика. Поэ-
Поэтому учителю придется предложить ученику еще несколько допол-
дополнительных вопросов.
Упражнения
84. В ящике 10 белых и 8 красных шариков. Одновременно
наугад вынимают 2 шарика. Какова вероятность того, что они
разных цветов?
85. В ящике 7 белых и 9 черных шариков. Наугад вынимают
один шарик, рассматривают его на свету и кладут обратно в ящик.
Опять наугад вынимают один шарик. Какова вероятность, что оба
шарика белые?
86. 10 участников собрания носят галоши одинакового размера.
Уходя с собрания домой, они вынуждены галоши надевать в тем-
темном коридоре, поэтому не могут отличить своих галош от чужих
галош того же номера. Чему равна вероятность того, что каждый
из участников собрания вернется домой в своих галошах?
87. Из N выпускаемых с конвейера деталей допускаются /ц
нестандартных. С целью контроля качества наугад отобраны п
деталей. Получено указание: если среди них т окажутся нестандарт-
нестандартными, то следует забраковать всю партию. Какова вероятность то-
того, что партия деталей будет забракована?
88. Вероятность обнаружения туберкулезного заболевания при
одной рентгеноскопии —. Чему равна вероятность, что заболева-
заболевание будет раскрыто при трех рёнтгеноскопиях?
89. В лотерее выпущено п билетов, т из которых выигрывают.
Гражданин купил к билетов. Какова вероятность того, что по край-
крайней мере один из купленных билетов выигрышный?
53

90. Из колоды, содержащей 52 карты, наугад вынимают 4 кар-
карты. Найдите вероятность того, что все эти карты разных
мастей?
91. Вероятность, что при нажиме стартера мотор машины за-
заработает, равна —. Чему равна вероятность, что при повторном
6
нажиме стартера выключают мотор?
92. Корабль-мишень обстреливается ракетами. Вероятность по-
попадания каждой ракетой —. Корректировки стрельбы нет, и по-
поэтому попадания — независимые события. Вероятность того, что
попавшая в цель ракета потопит корабль, —. Обстрел ведется до
о
тех пор, пока корабль потоплен или пока не исчерпаны запасы
ракет. Ракетный катер, атакующий корабль, вооружен 5 ракетами.
Чему равна вероятность того, что корабль будет потоплен до того
момента, когда катер использует весь запас ракет?
93. У рыбака есть 3 излюбленных места рыбалки. Эти места
он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что
рыба клюнет в первом месте, —, во втором , в третьем .
3.2 4
Известно, что рыбак забросил удочку 3 раза, а вытащил только
одну рыбу. Какова вероятность того, что он рыбачил в первом
из его излюбленных .мест?
* 94. Путешественник может купить билет в одной из трех касс
железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направится
к первой кассе, —, ко второй — —, к третьей — —. Вероятности
того, что билетов уже нет в кассах, такие: в первой кассе— , во вто-
рой , в третьей. . Путешественник обратился в одну из
6 8
касс и получил билет. Определите вероятность того, что он напра-
направился к первой кассе.
95. В одном из ящиков 10 белых и 6 черных шариков, во вто-
втором — 7 белых и 9 черных. Произвольно выбирают ящик и из
него наугад вынимают шарик. Он белый. Чему равна вероятность
того, что и второй шарик, наугад вынутый из этого ящика, окажет-
окажется белым?
96. Из полного набора костей домино произвольно берутся две
кости. Определить вероятность того, что, следуя обычным правилам,
вторую кость можно приставить к первой.
97. При разрыве снаряда образуются осколки трех весовых
категорий: крупные, средние и мелкие, причем число крупных,
средних и мелких осколков составляет соответственно 0,1; 0,3;
0,6 общего числа осколков.
При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с веро-
вероятностью 0,9, средний — с вероятностью 0,2 и мелкий — с веро-
54

ятностью 0,05. В броню попал один осколок и пробил ее. Найдите
вероятности того, что эта пробоина причинена: крупным, средним
и мелким осколком.
98. Рабочий обслуживает 5 станков. 20% времени он уделяет
первому станку, 10% — второму, 18%—третьему, 25%—чет-
25%—четвертому и 30% — пятому. Какова вероятность того, что случайно
заглянувший в цех мастер найдет рабочего:
а) у первого или третьего станка;
б) у первого или пятого станка;
в) у первого или четвертого станка;
г) у первого, у второго или у третьего станка?
99. Группе студентов для прохождения производственной прак-
практики выделено 30 мест: 15 — в Туле, 8 — во Владимире, 7 — в
Калуге. Какова вероятность того, что студент и студентка, кото-
которые в скором времени собираются справить свадьбу, будут по-
посланы для прохождения практики в один и тот же город, если де-
к?н ничего не знает об их «семейных» делах?
100. Вероятность улучшения спортсменом личного достиже-
достижения по прыжку с шестом равна р. Чему равна вероятность того,
что он улучшит свой результат, если ему предоставлена возмож-
возможность прыгать 2 раза?
101. Два зенитных орудия ведут огонь по одному и тому же
самолету. Вероятность попадания выстрелом из первого орудия
0,2, из второго — 0,6. Первым залпом в самолет попали только
из одного орудия. Какова вероятность того, что промахнулся рас-
расчет первого орудия?
102. Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от ко-
которой в разные стороны ведут пять дорог. Если турист пойдет
по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение
часа составляет 0,6; если по второй — 0,3; если по третьей — 0,2;
если по четвертой — 0,1; если по пятой — 0,1. Какова вероятность
того, что турист пошел по первой дороге, если он через час вы-
вышел из леса?
103. Какова вероятность того, что при п бросаниях игральной
кости хотя бы один раз появится шестерка? Хотя бы два раза пя-
пятерка?
VI. НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
1. ФОРМУЛА Я. БЕРНУЛЛИ
Несколько раз бросаем монету. Появление герба, скажем, при
четвертом бросании, не зависит от того, каковы были результаты
при первом, при втором и при третьем бросаниях. Мы имеем дело
с независимыми испытаниями. Решим теперь такую задачу.
При проведении некоторого однократного испытания веро-
вероятность появления события А равна р, а непоявления —
Я = 1 — р. Какова вероятность того, что при п повторных
55

испытаниях событие Л произойдет т раз? Это событие запишем так:
EЯ - т).
Станем искать
Р EЛ = т).
Обозначим события:
А1 — «появление события А при первом испытании»,
А2 — «появление события А при втором испытании»,
А3 — «появление события А при третьем испытании»,
Ат — «появление события А при т-м испытании»,
Ап — «появление события А при п-и испытании»,
Ап — «непоявление события А при п-м испытании»..
Если так, то событие, вероятность которого Р (8п = т), может
быть представлено записью
+% . . . Ап-\-
• • А п. •" • • • '
Л . . . А
п,
и искомая вероятность, в силу независимости событий Аи Л2,
А3, . . ., Ап и в силу несовместимости событий
. . . Ап,
может быть записана так:
Р (8п =_т) = Р (В, + Я2 + . . О = Р ^
• • • Лп1 ± р (л^ • • • Лт-^тЛт,1Ат+2 . . . Ап) +
+ Р (ЛА . . . Л„_тЛй_т+1 ... Ля) = /?/?... да ... <7 +
+ /7/7 ... /7^/7^ • • • <7 + • • • + ДО • • • ЯРР ..•/?•
У каждого из членов этой суммы т сомножителей р и п — т
сомножителей д, поэтому
Р (8п = т) =
= т) = С^ртя^т F.1)
или
Р EЯ = т) = Срт A - />Гт- F.2)
Это так называемое биномиальное распределение вероятнос-
вероятностей. Рассуждения, которые к нему привели, часто называют схемой
Я. Бернулли, по имени математика, который первым ее рассмот-
рассмотрел.
С помощью формулы F.1) можно найти значение 5П = т0,
56

которому соответствует наибольшая вероятность.
Поскольку
=1 ,
Р (Зп = т — 1) тц
ТО
Р EЯ = т) > Р EЯ = т — 1) при т < (п + 1) р,
Р EЯ = т) < Р EЯ - т — 1) при т >(п + 1) р,
Р {8а = т) = Р(За = т— 1) при т = (п + 1) /?,
если (я + 1)/7 — целое число.
Поэтому вероятнейшее значение 5Я = т0 должно удовлетворять
условию
(п + \)р — 1 < т0 < (л + 1)/7.
Поскольку /7=1 — <7, то
пР — Ц *^ т0 ^. пр -}- р.
Примеры
1. Подбрасываем монету 10 раз. Какова вероятность двукрат-
двукратного появления герба?
В этом случае п = 10, т — 2, р = —) ц = _;
тогда
ЯE„ = 2) = С,2„ (IJ - /I)8 = ^9 ЦУ° = -« « 0,04395.
10 ; \2/ \2/ 1 >2 \ч) 1024
2. Вероятность попадания в мишень одним выстрелом .
8
Какова вероятность того, чж) из 12 выстрелов не будет ни одного
попадания?
1 7
Имеем: п— 12, т = 0, /? = —, <7 = —. По формуле F.1)
8 8
AI2« 0,2514.
3. Подводная лодка атакует крейсер, выпуская по нему одну
за другой 4-торпеды. Вероятность попадания каждой торпедой рав-
равна —. Любая из торпед с одинаковой вероятностью может про-
4
бить один из 10 отсеков крейсера, которые в результате попадания
наполняются водой. При заполнении хотя бы двух отсеков крейсер
тонет. Вычислить вероятность гибели крейсера.
Обозначим события:
Л1 — «попадание одной торпедой»,
Л2 — «попадание двумя торпедами»,
А3 — «попадание тремя торпедами»,
А± — «попадание четырьмя торпедами»,
57

А — «крейсер потоплен».
Согласно формуле F.1)
Р(А/А1) = О, Р(А/А2) = 1 — - = -,
) = 1 — 1. = :», р (Л/4) = 1 - ~ - — •
3 102 100 4/ 10:{ 1000
По формуле полной вероятности
Я 27 Р 27 РР Я1 Рею
Р (А) = .1.0+ — • - + -•— + — • — « 0,9237.
7 С4 128 10 64 100 256 1000
У крейсера противника мало шансов на спасение!
Упражнения
104. В телевизоре 10 ламп. Для любой из ламп вероятность,
что она останется исправной в течение года, равна р. Какова ве-
вероятность того, что:
а) в течение года хотя бы одна лампа выйдет из строя;
б) в течение года выйдет из строя ровно одна лампа;
в) в течение года выйдут из строя две лампы?
105. Юноша, желающий ' стать военным летчиком, должен
пройти 4 испытания. Вероятность успешного выполнения им за-
заданий первого испытания 0,9, -второго—0,95, третьего — 0,8
и четвертого — 0,85. Какова вероятность того, что:
а) юноша с успехом пройдет все испытания;
б) юноша успешно пройдет два,испытания;
в) юноша с успехом пройдет не меньше двух испытаний?
106. С разных позиций по мишени выпускают 4 выстрела. Ве-
Вероятность попадания первым выстрелом 0,1, вторым — 0,2,
третьим — 0,3 и четвертым — 0,4.
Какова вероятность того, что все четыре выстрела — промахи?
107. В квартире 4 электролампочки. Для каждой лампочки
вероятность того, что она останется исправной в течение года, рав-
равна—. Какова вероятность того, что в течение года придется заме-
6
нить не меньше половины лампочек?
108. Проводятся 3 испытания, каждое из которых может за-
завершиться результатом А1 — с вероятностями р1и /?12, /;13, ре-
результатом /42 — с вероятностями /?21, /?22, Ргз> результатом А3 -—
с вероятностями рзи р32, р33 и результатом Л4 — с вероятностями
Р^и Рьъ, /?4з- Какова вероятность того, что при проведении трех
испытаний событие А1 произойдет один раз, событие Л2—два
раза, а события А3 и Л4 совсем не произойдут?
58

109. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Чего
следует больше ожидать: трех побед в 4 партиях или пяти побед
в 8 партиях?
110. Случайно встреченное лицо с вероятностью 0,2 может
оказаться брюнетом, с вероятностью 0,3 — шатеном, с вероятно-
вероятностью 0,4 — блондином и с вероятностью 0,1 — рыжим. Какова
вероятность того, что среди шести случайно встреченных лиц:
а) не меньше 4 блондинов;
б) хотя бы один рыжий;
в) 3 блондина и 3 шатена?
Ш. Мишень в тире состоит из «яблока» и двух концен-
концентрических «колец». Вероятность попадания в «яблоко» одним
1 1 2
выстрелом —, в первое «кольцо» , во второе , вероятность
1и . о о
3
промахнуться —. По мишени выпущено 5 выстрелов. Какова ве-
вероятность двух попаданий в «яблоко» и одного попадания во вто-
второе «кольцо»?
112. В лагере т пионеров. Они зажгли п костров и случайным
образом распределились около них. Какова вероятность того, что
у первого костра сели к пионеров?
113. При проведении некоторого испытания вероятность по-
появления ожидаемого результата 0,01. Сколько раз его нужно
провести, чтобы с вероятностью 0,5 можно было бы ожидать хотя
бы одного появления этого результата?
114. Рабочий обслуживает 12 одинаковых станков. Вероятность
того, что в течение часа станок потребует регулировки, равна —.
О
Какова вероятность того, что в течение часа рабочему придется
регулировать 4 станка?
115. Какова вероятность того, что при 24-кратном бросании
двух игральных костей хотя бы один раз появятся две шестерки
(задача шевалье де Мере)?
116. В учреждении 10 служащих, которые одновременно обе-
обедают в одном из двух кафе, расположенных недалеко от места их
работы. Сколько мест необходимо резервировать в каждом кафе
для сотрудников этого учреждения, чтобы заведующие кафе с га-
гарантией в 95% могли быть уверены, что мест в кафе во время обе-
обеда для сотрудников упомянутого учреждения хватит? .
117. В магазин зашли п лиц. Найдите вероятность события,
состоящего в том, что т из них будут что-нибудь покупать. Вероят-
Вероятность, что любой из посетителей не уйдет без покупки, равна р.
Вычислите значение искомой вероятности, если:
а) п = 8; р = 0,3; т = 3;
б) п = 12; р = 0,2; т = 4;
в) п = 9; р = 0,4; т = 5.
118. Сколько раз придется бросать игральную кость, чтобы
вероятнейшее число появления шестерки было бы 32?
59

119. Чему равно вероятнейшее число ясных дней в сентябре
этого года в данной местности, если наблюдения многих лет по-
показывают, что в среднем 11 дней сентября здесь пасмурны?
120. Из всей продукции обувной фабрики 31 % составляют из-
изделия высшего сорта. Сколько пар ботинок высшего сорта можно
надеяться найти среди 75 пар, поступивших с этой фабрики в
магазин?
121. С помощью автоматического станка изготовлено 90 дета-
деталей. Какова вероятность того, что изготовленная деталь первого
сорта, если в упомянутой партии изготовленных деталей вероят-
вероятнейшее число деталей первого сорта 82?
2. ФОРМУЛА МУАВРА — ЛАПЛАСА
Познакомимся с наиболее важным открытием замечательного
французского математика А. Муавра в теории вероятностей. Ме-
Медиками установлено, что 94% лиц, которым сделаны прививки
против туберкулеза, отличаются иммунитетом против этого за-
заболевания. Какова вероятность того, что среди 100 000 граждан,
получивших прививки, 5800 не защищены от заболевания туберку-
туберкулезом?
Эту задачу можно было бы решать с помощью формулы F.1).
В нашем случае п = 100 000, т = 5800, р = 0,06, ц = 0,94. Если
интересующие нас события обозначим Л, то
Р(Л)=Р (Зш 000 = 5800) = С?оТооо @,06M800 @,94)94 *».
Нетрудно убедиться в том, что попытка получить окончательный
результат непосредственным вычислением — сизифов труд, даже
если воспользоваться логарифмами. Как быть?
Аналогичную задачу для р = — рассматривал Муавр, а для лю-
любого 0 < р < 1 —Лаплас. Проследим путь рассуждений послед-
последнего.
Известно, что
+ -V = е = 2,71828 ... .
п
С помощью формулы F.1) Лаплас доказал, что для достаточно
большого п при р Ф 0 и ц Ф 0
Обозначим
т — по , ч 1 ~ 2
==- = * и я>(*) =7пЕ:е
60

Тогда
F.4)
Значения функции <р (х) представлены в таблице 2 в конце кни-
книги. С графиком этой функции читатель уже знаком (рис. 3).
Примеры
1. Решить задачу, условие которой дано в начале этого пункта.
По формуле F.4)
5800 — 100 000- 0,06
Ф
100 000- 0,06 - 0,94
000 • 0,06 • 0,94
К 000 • 0,06 ■ 0,94 « 75, х « —2,7.
Отыскивая значение ф (х) по таблице 2, не обращаем внимания
на знак х, так.как ф (—х) = ф (х). Находим ф B,7) = 0,0104.
Тогда
Р Eюо ооо = 5800) « 0,000139.
2. Вероятность встретить на улице своего учителя 0,002. Ка-
Какова вероятность того, что среди 1200 случайных прохожих вы встре-
встретите не более 3 своих учителей?
Пусть Л 0 — событие, состоящее в том, что вы своих учителей
не встретите, Лг — событие, состоящее в том, что вы встретите ров-
ровно I своих учителей. Тогда событие Л, состоящее в том, что вы встре-
встретите не больше 3 учителей, равно сумме вышеупомянутых событий,
т. е.
Л =* Ло + Л4 + Л2 + Ав.
Но события Л 0, Аи А 2, А9 несовместимы, поэтому
Р(А) = Р (Ло) + Р (А{) + Р (А2) + Р (Л,).
По формуле F.4)
Р (Ло) = Р (81200 = 0) -
1 ' / 0—1200-0,002 \ п л--с
Ф ,. = 0,0775;
/1200 • 0,002 • 0,998 \/1200 • 0,002 • 0,998 /
^=Ф/1
/1200-0,002-0,998 \]Л200 • 0,002
^0,1719;
1 / 2—1200-0,002 \ л оелй
■ — ф -— , = 0,2505;
)/1200 • 0,002 - 0,998 ^ \/120О • 0,002 • 0,998 /
/3-1200-0,002^ ^
/1200 • 0,002 - 0,998 \/ 1200 • 0,002 ■ 0,998
61

Тогда Р (А) - 0,0775 + 0,1719 + 0,2505 + 0,2389 = 0,7388.
Таким образом, гарантия того, что вы встретите не более 3 сво-
своих учителей, составляет приблизительно 74%.
Упражнения
122. Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных про-
прохожих окажутся 32 женщины (предполагаем, что количество мужчин
в городе равно количеству женщин)?
123. Допустим, что с вероятностью 0,6 изготовленная деталь
будет забракована. Сколько бракованных деталей из 1000 можно
ожидать с вероятностью 0,9?
124. Предположим, что вероятность выздоровления больного
в результате применения нового способа лечения равна 0,8. Сколь-
Сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью
0,75?
125. Баскетболист забрасывает штрафной с вероятностью 0,8.
Какова вероятность того, что все 20 его бросков будут удачные?
126. Бросаем монету. Какова вероятность того, что при 10
бросаниях ни разу не появится герб?
127. Два мальчика играют в кости. Каждый бросает 2 кости.
Мальчик А выигрывает партию, если при 20 бросках 2 раза появ-
появляется в сумме 11 очков, мальчик В — если при 10 бросках 2 раза
появляется в сумме 9 очков. Чья удача более вероятна?
128. Бросаем монету 40 раз. Чему равна вероятность того, что
герб появится 25 раз?
129. По данным телевизионного ателье, в течение гарантий-
гарантийного срока выходит из строя в среднем 12% кинескопов. Какова
вероятность того, что из 46 наугад выбранных кинескопов 36 про-
- работают гарантийный срок?
130. Вероятность рождения мальчика 0,515. Чему равна ве-
вероятность того, что среди 80 новорожденных 42 мальчика?
131. Вероятность попадания в мишень 0,3. Какова вероятность
того, что при 30 выстрелах произойдет 8 попаданий?
132. При проведении некоторого испытания вероятность по-
появления события А равна 0,5. Сколько раз предполагается ожидать
появление А с вероятностью 0,048 при 100 испытаниях?
3. ФОРМУЛА ПУАССОНА
Когда р близко к 0 или 1, формула Муавра дает результаты,
которые значительно отклоняются от результатов, полученных по
формуле F.1). Рассмотрим случай, когда при возрастании п ве-
вероятность р появления интересующего нас события убывает, а
пр = к — постоянное число.
Именно такая ситуация возникает, когда имеем дело с редко
происходящими событиями.
По формуле F.2)
р /с =т)= я(я-1)(я-2)...(я-т+1) A _ )/г_,гг>
62

Поскольку р = —,
п
43 =т) = п(п-1)(п-2)...(п-т+1) /куп Л _ *\«
= 2_м_.!у\> пП п> \ п
_±и,_2у. л
т\\ п} I к\т
п)
Если обозначим
-
Р EЯ = /я) = ^аяря- F-5)
Установим предельные значения ап и Ря при неограниченном
возрастании п. Ясно, что
Пт р„ = Нт ^ ^ 11 ^ 1^. = 1,
I к\т
Обозначим Н = ——. Тогда
Поскольку к ^ 0, то при п-> оо, Н-> —со
Нт ап = Нт N 1 -)—"П = / Нт A + —) ) = ( Нт
= / Нт 1Н + 1-1\~Н)~к=( Нт ^1 —
я+1
Пусть /г + 1 = —#, тогда при /г->•—со, #->-оо. Получаем
Нт ая = (Нт A + -V • Нт ^1 + -))"* - е~К
/г-»оо \л-»оо \ X) А->оо \ X})
Значит, когда п велико, то
ап
Подставляя эти значения в F.5), находим формулу Пуассона:
63

РEп = т)ъ~е~К F.6)
Примеры
1. Какова вероятность того, что среди 500 наугад выбранных
человек двое родились 1-го мая?
Естественно считать, что день рождения незнакомого чело-
человека может быть с равной вероятностью любым днем года.
Нам предстоит вычислить Р (Зь00 = 2). Так как п = 500,
т = 2, р = —, то к = -- ж 1,3699. По формуле F.6)
н 365 365 т н ^ V /
О/С 9\ ^ ,-"■'■•''■' ,,-1.3699 г^, с\ ооос
\ 500 — / /™*/ ^^ ^)ЛгООс».
При вычислении этого и подобных выражений полезно поль-
пользоваться таблицей 3. Полезно также запомнить, что
1§ е~к = —к • 0,4342945.
2. Среди 1000 человек приблизительно 8 левшей. Какова вероят-
вероятность того, что среди сотни наугад выбранных человек не ока-
окажется ни одного левши?
В этом случае п = 100, т = 0, р = 0,008. Отсюда к = 0,8-
Р (*\ — 01 ^ г~0,8 ~ О 44РЯ
I)!
'У п ра жнения
133. Какова вероятность того, что среди 500 наугад выбранных
лиц:
а) пятеро родились 8 марта;
б) трое родились 10 июня;
в) ни один не родился 17 сентября?
134. В городе 1900 жителей. Какова вероятность того, что з
году есть 4 дня, когда ни один.житель города не отмечает свой
день рождения?
135. Вероятность попадания в мишень 0,001. Какова вероят-
вероятность того, что при 5000 выстрелов будет не меньше 2 попаданий?
136. Прядильщица обслуживает 800 веретен. Вероятность об-
обрыва нитки на одном веретене в течение часа 0,005. Какова ве-
вероятность того, что в течение часа нитка оборвется не больше,
чем на 10' веретенах?
137. Некачественные сверла составляют 2% всей продукции
фабрики. Изготовленные сверла упаковываются в ящики по 100
штук. Какова вероятность того, что:
а) в ящике не окажется некачественных сверл;
б) в ящике окажется не больше 3 некачественных сверл?
64

Сколько сверл необходимо упаковать в ящик, чтобы с вероят-
вероятностью не меньше 0,9 в ящике было 100 доброкачественных сверл?
138. Частные конторы страхования жизни в капиталистических
странах заинтересованы в получении прибыли за счет своих кли-
клиентов.
В одной такой конторе застраховано 10 000 клиентов одного
возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти клиента
в течение года 0,006. Каждый клиент 1 января вносит 12 долларов.
Если в течение года он умрет, то контора обязана выплатить его
родственникам 1000 долларов. Чему равна вероятность того, что:
а) контора разорится;
б) контора получит не менее 40 000'долларов прибыли?
4. ФОРМУЛА ЛАПЛАСА
Решим следующую задачу.
Задача. Какова вероятность того, что при п испытаниях событие
Л произойдет не менее а и не более Ъ раз?
Вспомним правило сложения вероятностей/
На его основании получим:
Р (а < 5Л < Ъ) = Р {Зп = а) + Р (Зн = а + 1) +
+ ... + Р EН = Ь- 1) + Р EН = Ь).
Применив формулу Муавра F.3), находим
а—пр \2 1 /а+1—пр \а ' '
)
(
е +е
(
2 \ У^я
ь~пр
\2\
" )
Задача как будто решена, но провести указанные вычисления
очень трудно. Лапласу удалось доказать, что при достаточно боль-
большом п
1 /а—пр \% 1 /Ь—пр
\ у прц ) \У прц)
где у = ф (х) — специальная функция. Одно из характерных
ее свойств нечетность:
ф (—х) = —Ф (х).
Таким образом,
(^?)(е3!) F.7,
3 В. с. Лютикас . 65

В таблице 4 приводятся значения функции Лапласа
у = Ф (х).
Примеры
1. Какова вероятность того, что при 200-кратном бросании
монеты число появления герба 5200 удовлетворяет неравенству
95 < 5200 < 105.
В этом случае п = 200, а = 95, в — 105, ц = р = —. Поэтому
95 — 200- —
а~пр 2 «-0,7070,
Упрд
105—200- —
2 .0,7070.
т/яо.1.1
V 2 2
Теперь, используя формулу F.7) и таблицу 4,
Р (95 < 5200 < 105) « Ф @,7070) — Ф (—0,7070) =
= 2Ф @,7070) = 2 • 0,2612 = 0,5224.
2. Вероятность получения по лотерее проигрышного билета
равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 500 наугад купленных
билетов не менее 48 и не более 55 безвыигрышных?
Здесь п = 500, а = 48, Ь = 55, р = 0,1, ц = 0,9. Тогда
а — пр 48 — 500-0,1
Упрц /500-0,1-0,9
Ь — пр 55 — 500-0,1
— 0,298,
0,745.
Упрц /500 • 0,1 • 0,9
Р D8 < 5500 < 55) « Ф @,745) + Ф @,298) = 0,3913.
3. Как установить вероятность того, что наугад выбранный
десятиклассник собирает марки? Можно опросить некоторое число
произвольно выбранных десятиклассников. Если среди п опрошен-
опрошенных окажется 5Л коллекционеров марок, то искомая вероятность
р яз —4. Сколько десятиклассников необходимо опросить, чтобы
п
погрешность вычисления вероятности не превосходила бы 0,005,
если желаем получить правильный результат с. вероятностью 0,95?
Согласно условию задачи
°'005) = °'95«
66

В силу F.7) получаем:
@,005 <^—
-х) = 0,95.
Поэтому 2Ф (х) = 0,95; и по таблице 4, которая на сей раз при-
применяется в обратном порядке, находим х = 1,96-
Тогда
0,005 > 1,96 у У, п > 3922 де.
Приближенно /г ^ 160 000 рц. В силу 0^р^1, 0^^^1,
ро*С—, поэтому /г > 40 000.
Упражнения
139. Телефонная станция А, обслуживающая 2000 абонентов,
соединяет их со станцией В. Устанавливать 2000 проводов от А до
В не рационально. Сколько линий проводов необходимо провести
от А до В, чтобы только один из сотни абонентов станции А, наугад
выбравший момент разговора с абонентом станции В, нашел бы
все линии занятыми? Вероятность того, что при случайном звонке-
линия занята, равна —.
у 30
140. 10 000 шариков произвольно распределяются по 9 ящикам.
Какова вероятность того, что в первом ящике не менее 1100 и не
более 1200 шариков?
141. Игральную кость бросаем 12 000 раз. Какова вероятность
того, что шестерка появится не менее 1900 и не более 2100 раз?
142. Найти такое число к, чтобы при 1000-кратном бросании
монеты число появлений герба 5ю00 удовлетворяло условию
470 < 51000 < к.
143. Из 10 винтовок 4 не проверены в прицельной стрельбе.
Вероятность попадания в мишень из проверенной винтовки 0,9,
из непроверенной 0,3. Из наугад выбранной винтовки выпущено
по мишени 200 выстрелов. Какова вероятность того, что число по-
попаданий 5200 удовлетворяет неравенству 120 ^ 52Оо ^ 15Х)?
144. Найти такое число к, чтобы с вероятностью 0,9 можно
было бы утверждать, что среди 900 новорожденных более к мальчи-
мальчиков. Вероятность рождения мальчика 0,515.
145. 80% изделий, поступающих в магазин со склада, высшего
сорта. Сколько изделий придется наугад взять со склада, чтобы
с вероятностью 0,996 можно было утверждать: вероятность Р собы-
события, что наугад выбранное изделие высшего сорта, удовлетворяет
неравенству 0,75 ^ Р ^ 0,85?
3* 67

146. В каждом из 1000 ящиков 5000 белых и столько же черных
шариков. Из каждого ящика наугад вынимаются по 3 шарика.
Какова вероятность, что число ящиков, из которых вынуты 3 ша-
шарика одного цвета, не меньше чем 200 и не больше чем 310?
147. 70% продукции объединения «Юность» высшего сорта.
Какова вероятность того, что среди 1000 изделий этого объединения
высшего сорта будет не менее 682 и не более 760 изделий?
148. Вероятность рождения мальчика 0,515. Какова вероятность
того, что среди 1000 новорожденных не меньше 480 и не больше
540 мальчиков?
149. Вероятность того, что саженец елки прижился и будет
успешно расти, равна 0,8. Посажено 400 елочных саженцев. Како-
Какова вероятность того, что нормально вырастут не меньше 250 де-
деревьев?
150. При 10 000-кратном бросании монеты герб появился 6000
раз. Можно ли считать монету симметричной?
151. В научно-исследовательском институте земледелия прове-
проверяется всхожесть кукурузы. Сколько семян необходимо посеять
с вероятностью всхожести 0,99, чтобы частота всхожести отлича-
отличалась бы от 0,95 меньше чем на 0,01?
152. Вероятность того, что смерть человека произойдет на
21 году жизни, 0,006. Застраховано 1000 двадцатилетних. Годовой
взнос 15 руб. с каждого. В случае смерти застрахованного его род-
родственникам выплачивается 1200 руб. Какова вероятность того,
что в конце года выплата по страховкам превысит сумму страховых
взносов?
VII. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Одно из самых важных понятий в теории вероятностей — слу-
случайная величина. Рассмотрим следующие примеры.
1. Наблюдая движение городского транспорта, замечаем, что
число машин, проезжающих за один час через некоторый перекре-
перекресток, под влиянием случайных обстоятельств меняется в течение
суток.
2. Стреляя из одного и того же орудия при одном и том же при-
прицеле и постоянных условиях, мы наблюдаем, что снаряды ложатся
в разных местах. Расстояние места падения снаряда от места его
вылета есть величина, которая в зависимости от случайных обстоя-
обстоятельств принимает разные значения.
3. Учет числа писем, поступающих в некоторое почтовое отде-
отделение, показывает, что ежедневное количество писем меняется в
результате каких-то случайных причин.
Эти примеры отличаются по конкретному содержанию, но у
них есть общие черты.
1) В каждом примере речь идет о величине, которая характери-
характеризует некоторое случайное событие.
68

2) Каждая из этих величин может принимать переменное чис-
числовое значение в зависимости от случайного исхода испытания.
Случайной величиной называем переменную, значения которой
зависят от исхода испытаний и для которой определено распреде-
распределение вероятностей.
Такие случайные величины, принимающие только отдельные
друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, на-
называются дискретными случайными величинами. Создадим числовую
модель такой величины.
Пусть несовместимые события Ах, Л2, . . ., Ап образуют полную
группу. Введем понятие случайной величины следующим путем:
если появляется событие Аь то случайная величина ^ принимает
значение х1 (I =1,2,..., п). Таким образом, I является функцией
на множестве событий А1г А2, . . ., Ап, т. е.
Б {Ах) = х1г I (А2) = х2, . . .,| (Ап) = хп.
Вместо того чтобы сказать «имеем событие Л,», мы теперь ска-
скажем «имеем событие I = х-». Пусть Р (Л;) — вероятность появ-
появления события А{. Теперь эту же вероятность мы можем обозна-
обозначать и так: Р (I = Х[) = р(.
В общем случае имеет место:
Р {А-) = Р (I = хд = Р1.
После введения случайной величины |, вместо того чтобы го-
говорить «имеем полную группу несовместимых событий Ль А2, ■■-,
Ап с вероятностями Р (А^, Р (А2), . . ., Р (Ап)», скажем «имеем
случайную величину Н, которая принимает значения хх, х2, . . .,
хп с вероятностями р1г р2, . . ., рп». (При этом, конечно, рх + р2 +...
... + рп= 1.)
Задание случайной величины Н можно осуществлять с помощью
такой записи:
(
\Р1, Р2, • • •, Рп)
Набор р1} р2, • • ., рп называется распределением вероятностей.
Иногда подобную модель представляют в виде таблицы:
р
Ру
Ч
Рг
Хо
Из 1
хп-г
Рп-1
хп
Рп
В частности, при бросании симметричной игральной кости наша
вероятностная модель будет таковой:
/1, 2, 3, 4, 5, 6
I' 1 1 1 1 1 1
\б' б' б' б' б' б
В случае я-кратного бросания монеты случайную величину ^,
буква греческого алфавита «кси».
69

обозначающую число появления герба, обозначим $„. Тогда вероят-
вероятностная модель.
п
G.1)
При решении задач часто приходится пользоваться такими ха-
характеристиками случайной величины, как математическое ожида-
ожидание и дисперсия.
1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
Пусть нам предстоит решать следующую задачу.
Выпущено 100 лотерейных билетов. 40 билетов принесут их
владельцам по 1 руб., 10 — по 5 руб., 5 — по \0 руб. Остальные
билеты безвыигрышные. Какой средний выигрыш соответствует
одному билету?
Выигрыш является случайной величиной ^, которая может
принять значения 0, 1, 5, 10 с вероятностями соответственно
_45_ ^0_ _Ш_ _5_
100' 100' НХГ' 100"
Распределение этой случайной величины можно представить
таблицей:
р
0
0,45
1
0,4
5
0,1
10
0,05
Если покупатель приобретает все 100 билетов, то
0 руб. он выиграл бы 45 раз,
1 руб. он выиграл бы 40 раз,
5 руб. он выиграл бы 10 раз,
10 руб. он выиграл бы 5 раз.
Всего
0 • 45 + 1 • 40 + 5 • 10+10-5 рублей.
Выигрыш, соответствующий одному билету, в 100 раз меньше,
он равен
0 • 45 + 1 . 40 + 5 . 10 + 10 . 5
100
0 ■ 0,45 + 1 • 0,4 + 5 • 0,1 + 10 ■ 0,05
= 1,4 рубля.
Обратите внимание на выделенную рамкой сумму, сравните ее
с таблицей распределения случайной величины \.
Вы должны заметить, как строится среднее значение выигрыша.
70

Перейдем к рассмотрению общего случая.
Пусть при проведении «п» независимых испытаний некоторая
случайная величина | может принимать
тх раз значение хх,
т2 раз значение х2,
тк раз значение хк.
■ Определим среднее значение этой случайной величины |. Со-
Согласно условиям испытаний
^ = р2, G.2)
•V
г E — хк) ~ — — Рк-
п
Просуммируем все значения случайной величины |, которые
она принимает при проведении п испытаний:
х1.-\- Х1 4~»'»Ч~ %1 + Х2 Ч" Х2 4~ • ♦ • + ^2 4" ••• Ч~ хк~\~ хк~^~ ••• 4"^ ==
Ш1 раз т2 раз тк раз
= ххтх 4- лг2т2 4- ... 4- хктк-
Тогда среднее значение случайной величины составит:
ЧЩ + Чтг + - + хктк _ тх , т2 " тк
— X/ • —г ^2' —г ••♦ + л:А • —*
п п п п
Воспользовавшись равенствами G.2), окончательно получаем
среднее значение случайной величины |. Оно называется математи-
математическим ожиданием случайной величины | и обозначается М (|).
Таким образом,
М (I) = ххрх 4- хгр2 4- ... 4- хкРи- G-3)
Поскольку при проведении испытаний случайная величина | не-
непременно принимает одно из значений хх, х2, ..., хк, то
Рх 4- рг 4- ... 4- Рк = 1 •
Если случайная величина | может принимать только одно зна-
значение а с вероятностью 1, то по формуле G.3)
М(а) = а» 1 = а, G.4)
что иначе можно сформулировать так: математическое ожидание
постоянной величины равняется этой величине.
Пусть случайная величина | —.х 4~ у, где х и у тоже случайные
71

величины. Случайная величина х принимает значения ах, а2, ..., ап
соответственно с вероятностями рх, р2, ..., рп, а случайная величи-
величина у — значения Ьх, Ь2, • ••, Ьт соответственно с вероятностями </ь
Яг, ..-, щж
Тогда по формуле G.3)
п,
М (х) = ах.рх + агрг + ... + апрп
М (у) = Ьхцх + Ь2ц2 + ... + Ьтцт. G.5)
Случайная величина \ = х + у может принимать значения ах -Ь
+ Ьх, «1 + Ь2, ..., % + Ьт, а2 + Ьъ а2 + Ь2, ..., аг + Ьт, ...
... ол + Ь1} ап-\- Ь2, ..., ап -г Ьт соответственно с вероятностями
Рп> Рп, ••-, Р\т, Ргг, Ргг, •-•, Ргт\ ••■', Рпх, Рп2, •••» Рпт>
где рц — вероятность того, что х примет значение аь а у — значе-
значение Ьу
По формуле G.3)
М (х + у) = (аг + Ьх)ри + {аг + Ь2)р12 -\- ... + (ах + Ьт)р1т +
+ (а2 + Ьх)р21 + (а2 + Ь2)р22 + ... + (а2 + Ьт)р2т + ... +
+ (ап + Ьг)рп1 + (ап + Ь2)рп2 + ... + (ап + &т)^лт =
= («1 (/>11 + Л2 + ••• + Рхт) + «2 (/?21 + ^22 + ... + р2т) +
+ ... + ап (рп1 + рп2 + ... + рлт)) + {Ьх (р1Х + уо21 + ... + Рщ)+
+ Ьг (рх2 + ^22 + ... + рп2) + ... + Ът (р1т + ^2т + ... + рпт)).
По формуле полной вероятности E.7)
Рп + Лг + ..• + Рхт = Ри Рп + Ргх + Рзх + ••• + Рп\ = Яъ
Р2\ + Р22 + ... + р2т = р2, РП + Р22 + Рз2 + ... + Рп2 = ^2,
Рпт = Рп> Р1т + Р2Я.+ ^Зт + ••• + Рпт=<1т'
Тогда Л1 (х + у) = (ахрх + а2у^2 + ... + а„рп) +
4- ^2^2 + ... + Ътцт), или в силу равенства G.5)
М (х + у) = М (х) + М (у). . G.6)
Получили правило.
Математическое ожидание суммы случайных величин равняется
сумме математических ожиданий этих величин.
Условимся называть случайные величины х и у взаимно неза-
независимыми, если они являются численными характеристиками неза-
независимых случайных событий. Если величины л: и у взаимно незави-
независимы, то рц = р$р где рц — вероятность совместного появления
событий х = х1 и у = уу, рг — вероятность события х = х-1У ^ —
вероятность появления события у = у -}.
Пусть случайная величина ц1 представляет произведение двух
независимых случайных величин л; и у. Величина у\ — ху примет
значения
1 П — греческая буква «эта».
72

афх, аф2, ..., афт, афх, аф2, ..., афт, ,.., апЪх, апЬ2, ..., апЪт,
вследствие независимости х и у соответственно с вероятностями
афтрхц
апЬх
ъ Р&2, •••» Р\Ят> Р
Поэтому по формуле G.3)
М (ху) = афхрхцх
+
= (ахрх
+ ... + апрп
... + апрп) Ф
Ьтдт).
Воспользовавшись формулой G.3), получаем
М (ху) = М (х) • М (у), G.7)
иначе говоря:
математическое ожидание произведения независимых случайных
величин равняется произведению математических ожиданий этих
величин.
В силу формул G.4) и G.7)
М
- сМ Ш,
G.8)
что означает:
постоянный множитель случайной величины можно вынести
перед знаком математического ожидания.
Примеры
1. Мишень (рис. 15) установлена так, что может вращаться
вокруг оси (О). При достаточно большой угловой скорости враще-
вращения стрелок не в состоянии различать цифры, выписанные по одной
на секторах. Он вынужден стрелять наугад. При попадании в сек-
сектор 1 стрелок выигрывает 1 рубль, в сектор 2 — 2 рубля, в сектор
3 — 3 рубля и т. д., в сектор 8 — 8 рублей. Стоит ли ему участво-
участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить
5 рублей?
Поскольку мишень вращается, то способ-
способности стрелка здесь не имеют никакого зна-
значения: попадание — чистая случайность. Слу-
Случайная величина \ выражает возможные вы-
выигрыши. Она может принимать значения
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Так как все сектора одинаковые, то каждое
из этих значений — случайная величина —
принимает с одинаковой вероятностью —.
8 Рис. 15
73

Значит, по формуле G.3)
Я Ж 1<т\ 1 * . Г\ 1
8
+ 3-т
_1_
8
1
8
А 1 I 7 1
о • —\-7 - —
8 -г 8
+ 8 • I = 4,5 (руб.).
о
Итак, математическое ожидание выигрыша 4,5 рубля, а стоимость
выстрела 5 руб. Стрелять много раз явно не выгодно. На основании
подобных расчетов в капиталистических странах организуются
разнообразные азартные игры, приводящие игроков к разорению.
2. Найти математическое ожидание случайной величины, рас-
распределенной по биномиальному закону распределения.
Непосредственное применение формулы G.3) приводит к боль-
большим сложностям. Поэтому задачу мы будем решать иначе.
Случайная величина Е, распределенная по биномиальному за-
закону, определяется числом появлений события А при п испытаниях..
Вероятность появления такого события — р, непоявления — ^ =
= 1-/7.
Пусть |; — число появлений события А при I испытании. Ясно,
что \{ может принять только 2 значения: 1 с вероятностью р и О
с вероятностью ц. Тогда
М (У = 1 . р + 0 . ? - р.
^ 2
По формуле G.6)
М
Упражнения
М (У = пр.
153. Закон распределения случайной величины ^ представлен
таблицей:
\
р
1
. 1
—
6
2
1
—
6
3
1
—
6
4
1
—
6
5
1
—
6
6
1
6
Найти математическое ожидание случайной величины I.
154. У охотника 4 патрона. Он стреляет по зайцу, пока не по-
попадет или пока не кончатся патроны. Найдите математическое
ожидание количества выстрелов, если вероятность попадания 0,25.
155. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в
течение часа первый станок не потребует регулировки — 0,9,
второй — 0,8, третий — 0,75, четвертый — 0,7. Найдите матема-
математическое ожидание числа станков, которые в течение часа не потре-
потребуют регулировки.
156. Монету подбрасываем 7 раз. Сколько раз в среднем может
появиться герб?
74

157. Игральная кость бросается 12 раз. Сколько раз в среднем
может появиться шестерка?
158. У дежурного гостиницы в кармане 8 разных ключей от
разных комнат. Вынув наугад ключ, он попробует открыть дверь
ближайшей комнаты. Сколько раз в среднем ему придется пробо-
пробовать открывать эту комнату, если:
1) проверенный ключ кладется обратно в карман;
2) проверенный ключ не кладется обратно в карман.
159. Стрельба по мишени ведется до второго попадания. Най-
Найдите математическое ожидание числа выстрелов, если вероятность
попадания одним выстрелом 0,2.
160. Автомобиль встретит 4 светофора, каждый из которых про-
пропустит его с вероятностью 0,5. Найдите математическое ожида-
ожидание числа светофоров до первой остановки машины.
161. Стрельба по мишени ведется до к-го попадания. Запасы
патронов не ограничены. Вероятность попадания р. Вычислить,
сколько в среднем патронов будет израсходовано.
162. Закон распределения случайной величины х такой:
X
-
р
0
1
8
1
1
8
2
1
—
8
3
I
8
4
1
8
5
1
—
8.
6
1
8
7
1
—
8
а величины у такой:
у
г>
Г*
1
1
4
2
8
3
1
16
4
1
16
5
1
16
6
1
16
7
1
8
8
1
4
Найти математическое ожидание случайных величин I = х + у,
1Г) = х — у, К1 = ху, где х и у — независимые случайные величины.
163. Мишень (рис. 16) установлена так, что может вращаться
вокруг оси @). При достаточно большой угловой скорости вращения
стрелок не может различить сектора мишени. Он вынужден стрелять
Рис. 16
Рис. 17
Рис. 18
1 К — греческая буква «ламбда». -
'75

наугад. При попадании в первый сектор стрелок выигрывает 1 руб.,
во второй — проигрывает 2 руб., в третий — выигрывает 3 руб.,
в четвертый — проигрывает 4 руб., а в пятый — выигрывает 5 руб.
Стоит ли участвовать в такой игре? Почему?
164. Мишени (рис. 17 и рис. 18) установлены так, что могут
вращаться вокруг оси @). Стрелок вновь вынужден стрелять наугад.
При попадании в первый сектор первой мишени стрелок выигры-
выигрывает 1 руб., во второй сектор — проигрывает 2 руб., в третий —
выигрывает 3 руб., в четвертый — проигрывает 4 руб. При попа-
попадании в первый сектор второй мишени стрелок проигрывает 1 руб.,
во второй — проигрывает 2 руб., а в третий — проигрывает 3 руб.,
в четвертый — выигрывает 4 руб., в пятый — не выигрывает и не
проигрывает. Стоит ли участвовать в такой игре? Почему?
165. Закон распределения случайной величины х такой:
X
р
1
0
величины
У
Р
0
1
12
величины
г
Р
— 12
21
2
1
7
у —
1
1
12
г —
— 11
0
3
0
2
0
— 10
1
24
4
0
8
0
9
1
4
5
1
7
10
1
6
—8
1
24
6
0
11
1
"б"
—7
0
7
0
12
1
6
—6
1
24
8
1
7
13
1
7
—5
1
Й
9
0
,4
0
—4
1
24
10
0
20
0
—3
0
11
1
1
. 30
0
2
1
24
12
0
40
0
1
1
4
Найти математическое ожидание случайных величин ^ = х +
+ у — г, }} = х — у + 2,/к = ху, где х и у — независимые случай-
случайные величины.
166. Баскетболист забрасывает мяч в корзину со штрафного
с вероятностью 0,5. Сколько в среднем штрафных он может за-
забросить подряд?
Вычислим
величины
2. ДИСПЕРСИЙ
"математическое ожидание следующей случайной
1
р
— 10
1
16
—6
1
8
—2
1
4
1
1
16
3
1
4
5
1
16
8
1
8
10
1
16

-10
-6
-2 0 \1
5
ю
-2-\
М(Г))
Рис. 19
Здесь Л1 (|)
_7
~8
А теперь математическое ожидание М (ц) случайной величине
р
—2
1
4
— 1
1
4
0
1
16
1
0
2
1
16
3
1
8
4
1
8
Ъ
1
8
Получаем снова такое же значение М (ц) = —.
Любопытный результат: распределения случайных величин 5 и ц
разные, а математические ожидания одинаковые. Чем отличаются
распределения этих величин, если их математические ожидания
равны? Ответ получаем, рассмотрев рисунок 19, где виден разный
характер сосредоточения значений случайных величин около мате-
математических ожиданий. При втором распределении значения случай-
случайной величины г) компактнее сосредоточены около М (г]),чем при пер-
первом около М A). Как измерить степень этой сосредоточенности?
Можно было измерить средним отклонением случайной вели-
величины | от ее математического ожидания М (|), но такая мера неудоб-
неудобна, так как она может принимать как положительные, так и отрица-
отрицательные значения, которые при суммировании сократятся. Для из-
измерения сосредоточенности значений случайной величины обычв®
применяют математическое ожидание случайной величины
A — М (|)J. Такое математическое ожидание называется диспер-
дисперсией случайной величины 1 и обозначается О (II. Таким образом,
О
= М (I - М
G.9)
сг = У В (|) называется средним (рис. 19) квадратическим от-
отклонением.
Найдем другое выражение формулы G.9):
В(Ъ)=МA-М A)J = М (I2 - 2Щ (I) + УИ2 (I)):
1 Известны и другие обозначения: о I «= М (| — Л1(|)J, где о
буква «сигма».
— греческая
т

Воспользовавшись формулами G.6), G.7) и G.8) и тем, что
М (!) — величина постоянная, находим:
й (I) = м (I2) ~ 2М ЦМ (I)) + М2 (I) =
=М (^) _ 2Ж (I) • М (I) + М2 (I) =
« М (I2) - 2Ж2 A) + М2 A) = Ж (Е2) - Ж2 (Е).
Итак,
О (I) = Л1 (I2) - М2 (I). G.10)
По этой формуле удобнее всего вычислять значения дисперсии.
Если п (|) — сравнительно малое число, то в этом случае значе^
ния случайной величины | близки к ее математическому ожиданик?
М A). Если же п A) — большое число, то значения 1 сильно рас-
рассредоточены около М A).
По формуле G.10) получаем:
п (с) = М (с2) — М2{с) = с2 — с2 = 0, G.11)
откуда следует, что дисперсия постоянной величины равняется
нулю.
Применяя формулу G.10), нетрудно также найти дисперсию
случайной величины с\, где с — постоянный сомножитель. Дейст-
Действительно,
^ (с%) = м (с212) — м* (с%) = &М (I2) — с2м2 (I) =
= с2 (М (I2) - М2 (I)) = сЮ (I), т.е. й (с1) = с2п A).
Если | и у\ — независимые случайные величины, то по формуле
G.7) М {Щ = М (I) • М (л).
0 F + !)) = Л* F + IIJ - М2 A + п) = М (I2 + 2|л +
• + Л2) _ (М(|) + М (л)J = МA2) + 2М( 1) • М (ц) +
+ М (л2) — М2 A) — 2М A) • М (л) — М2 (л) = (М (I2) —
- М2 A)) + (М (л2) - М2 (л)),
или
/>(! + Л) = />(!) + /> (Л), G-12)
что означает:
дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сум-
сумме их дисперсий.
Заметим также, что
Я(Б-Л) = 0(а + 0(Л). G, 13)
ибо О (—ц) = (—\Jй(ц) = О (л).
Примеры
1. Случайная величина | распределена по закону
р
2
1
4
4
1
8
6
1
4
8
1
8
10
1
—
4
78

Найти О (I). -
Сначала находим М (|). Согласно формуле G. 3)
^И(|) = 2.- + 4--+6--+8. — +10---= 6.
^ь/ 4 ~ 8 ~ 4 ^ 8 ~ 4
Теперь можно выразить закон распределения случайной величины
(Е-л*©J
р
16
1
—
4
4
1
8
0
1
—
4
4
1
—
8
16
1
—
4
Наконец, используя формулу G.9),
V (I) = М (I
= 16 •' I + 4 • 1 + 0 .1 4- 4
4• 16 • \ = 9.
, Эту же задачу можно решать другим путем.
Используя формулу /> (|) = Л! (|2)—Л12 (|), представим рас-
распределение случайной величины |2 с помощью следующей таблицы:
4
1
4
16
1
8
36
1
4
64
I
8
100
1
—
4
По формуле G. 3)
М (|2) = 4 • 1 4- 16 • | + 36 • 1 + 64 • 1 + 100 . | = 45.
Тогда 0 A) = Л1 (I2) — Л12 A) = 45 — б2 = 45 — 36 = 9.
Сравните, какой способ требует меньше вычислительной работы.
2. Случайная величина | распределена так:
р
1
0,01
2
0,1
3
0,2
4
0,3
5
0,08
6
0,2
7
0,1
8
0,01
Случайная величина ц распределена так:
Ч
Р
1
0,3
2
0,2
3
0,1
4
0,1
5
0,2
6
0,01
7
0,08
8
0,01
Найти дисперсию случайной величины х = | 4- Я» гДе
независимые случайные величины.
Согласно формуле G.12) О (| 4- и) = О (I) + О (т|).
Так как
» Т1
79

М {%) = 1 • 0,01 + 2 • 0,1 + 3 • 0,2 + 4 • 0,3 + 5 х
X 0,08 + 6-0,2 + 7-0,1 + 8 • 0,01 = 4,39,
то распределение случайной величины (| — М (|)J имеет вид:
р
11,4921
0,01
5,7121
0,1
1,9321
0,2
0,1521
о,з
0,3721
0,08
2,5921
0,2
6,8121
0,1
12,0321
0,01
Поэтому
/>(§) = 11,4921 • 0,01 +5,7121 • 0,1 + 1,9321 • 0,2 + 0,1521 х
ХО,3 + 0,3721 • 0,08 + 2,5921 • 0,2 + 6,8121 • 0,1 + 13,0321 х
X 0,01 - 2,47789.
Поскольку
М (ц) = 1 • 0,3 + 2 • 0,2 + 3 • 0,1 + 4 • 0,1 + 5 • 0,2 + 6х
X 0,01 + 7 • 0,08 + 8 • 0,01 = 3,1,
то распределение случайной величины (ц — М (ц)J запишется:
р
4,41
0,3
1,21
0,2
0,01
0,1
0,81
0,1
3,61
0,2
8,41'
0,01
15,21
0,08
24,01
0,01
Находим
О (ц) = 4,41 • 0,3 + 1,21 • 0,2 + 0,01 • 0,1 + 0,81 • 0,1 + 3,61 X
X 0,2 + 8,41 • 0,01 + 15,21 • 0,08 + 24,01 • 0,1 = 3,91.
Значит, О (х) = 2,47789 + 3,91 = 6,38789.
3. Найти дисперсию случайной величины, распределенной по
биномиальному закону.
Случайная величина |, распределенная по биномиальному за-
закону, представляет нам число событий А при п независимых испы-
испытаниях, когда вероятность появления события А есть р, а непоявле-
непоявления — ц = 1 — р.
Пусть %1 — число событий А при 1-ом испытании. % может при-
принять два значения: 1 с вероятностью р (А произошло) и 0 с вероят-
вероятностью <7 (А не произошло). Тогда М
По формуле G.10) находим:
О (%) = М (|?) - М* (У =р-
= I2- /7 + 02- ^ =
= рA-р)=рй.
Поскольку | = 1{ + !2 + ... + |я и Ъ)Ь — независимые случай-
случайные величины, то п (|) = п (|4 + |2 + ... + |Л) = О A4) +
2. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА И ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Пусть математическое ожидание случайной величины | равно а.
Распределение | выразится с помощью таблицы:
80

1
р
Х1
Рг
х2
Р-2
Рг
ХП-1
Рп-1
хп
Рп
Дисперсия случайной величины | определяется из формулы:
О (I) = & - аУр, + (х2 - аJр2 + ... + (хп - а)*рп. G.14)
Вычислим теперь вероятность события || — а\ > 8, где е > 0 —
наперед заданное число. Пусть я^, х^, .... хк — те значения
|, для которых имеет место \хк. — а \ ^ е, I = 1,2, ..., т. Тогда
ясно, что
# (I) > (**, — аJу0Й1 + (^ — аJу0Й2 + ... + (хкт — аJ^йт,
ибо это неравенство получается путем отбрасывания из правой
части неравенства G.14) тех слагаемых, для которых || — а\ < &.
Тем более
= е2
Но
поэтому
а
I),
/> /1 е д I > с) < ^ G.15)
е2
Это знаменитое неравенство Чебышева. Оно позволяет оценить
вероятность отклонения случайной величины | от ее математическо-
математического ожидания. С помощью неравенства Чебышева выведем закон
больших чисел, который впервые был сформулирован Я. Бер-
нулли.
с
Допустим, что I = —, где 5„ — число появления события
п
А при п независимых испытаниях. Обозначим Р (А) = р. Нами
доказано, что М (8п) — пр \\ О EЛ) = прц. Используя эти резуль-
результаты, находим:
п
п / пй
Теперь в силу неравенства G.15)
пе*
При п
оо,
рд
пе2
О, поэтому при любом е > О
■о.
81

Этому равносильно:
п
<
1,
G.16)
где — — частота появления события А при п независимых испы-
п
таниях, р — вероятность события А в отдельном испытании.
G.16) — не что иное, как запись закона больших чисел:
С вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверж-
утверждать, что при достаточно большом числе независимых испытаний
частота появления наблюдаемого события как угодно мало отличает-
отличается от его вероятности при отдельном испытании.
Упражнения
167. Распределение случайной величины | имеет вид:
1
р
1
0,15
2
0,2
3
0,15
4
0,1
5
0,15
6
7
0,05 | 0,15
8
0,05
а распределение величины г|:
Г)
р
9
0,15
8
0,1.
7
0,15
6
0,1
5
0,15
4
0,1
3
0,15
2
0,1
Найдите дисперсию случайной величины | и дисперсию слу-
случайной величины г].
168. Три случайные величины распределены так:
1)
1
р
—1
0,1
-^-2
0,1
—3
0,1
— 10
0,09
— 12
0,3
—20
0,009
—30
0,3
.—40
0,001
2)
ч
р
3)
К
р
1
0,001
20
0,001
2
0,2
10
0,2
3
0,001
5
0,009
4
0,3
2
0,29
5
0,008
1
0,001
6
0
—2
0,009
7
0,09
—5
0,2
8
0,4
— 10
0,29
Найдите
МBц), м(-
82

169. Найдите дисперсию суммы независимых случайных вели-
величин, распределения которых даны в задаче 167.
170. Независимые случайные величины |, ц и А, распределены
так, как указывается в задаче 168. Найдите дисперсию случайной
величины
х = I + ц — I.
171. Производятся испытания, каждое из которых может за-
завершиться одним из 20 равновозможных исходов. Результаты ис-
испытаний таковы:
Ис-
пы-
та-
ние
Ре-
зуль-
зультат
1
4,4
2
6,1
3
5,1
4
4,9
5
5,9
6
4,1
7
5,6
8
6,8
9
4,3
10
5,0
11
7,7
12
4,0
13
4,2
14
5,8
15
2,0
16
6,5
17
3,2
18
4,8
19
5,2
20
2,6
Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случай-
случайной величины.
172. Ведется стрельба по мишени. Вероятность попадания —.
О
Найдите дисперсию числа попаданий.
173. Производятся 3 выстрела по мишени. Вероятность попа-
попадания 0,4. Случайная величина | — число попаданий. Найдите
М A) и О (I).
174. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попада-
попадания. Вероятность попадания равна 0,6. Найдите математическое
ожидание и дисперсию числа бросаний.
175. Найдите дисперсию случайной величины X, представля-
представляющей собой число появлений события А в двух независимых
испытаниях, если вероятности появления события в этих испыта-
испытаниях одинаковы и известно, что М (X) = 1,2.
176. Из всей выпускаемой заводом продукции 95% составляют
стандартные изделия. Наугад отобраны 6 деталей. Пусть | — чис-
число стандартных деталей среди шести отобранных. Найдите О (|).
177. Человек находится в начале системы координат. Он под-
подбрасывает монету. При появлении герба делает шаг направо, при
появлении цифры — шаг налево. Пусть \ — абсцисса положения
человека после п бросаний. Какой вид имеет распределение случай-
случайной величины |? Найдите М (|) и О (|).
178. Пронумерованы п одинаковых карточек. Потом эти кар-
карточки наугад поменяли местами. Пусть 5Л — число карточек, ко-
которые и после перестановки остались на своих местах (например,
карточка с номером 7 осталась на седьмом месте от начала). Най-
Найдите М (Зп) и О (8п).
179. Закон распределения случайной величины | такой:
р
—1
0,2
0
0,1
1
0,3
2
0,4
83

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной ве-
величины г) = 2^.
180. Дискретная случайная величина X имеет только два воз-
возможных значения: X! и Х2, причем Х2> Х^ Вероятность того, что
X примет значение Хь равна 0,6. Построить закон распределения
величины X, если М (X) = 1,4 и О (X) = 0,24.
181. Математическое ожидание случайной величины М A)=а,
а дисперсия О (|) = Ь. Найдите математическое ожидание и дис-
дисперсию случайных величин х = —|, г = \ -\- 2х — 1, м = 3| —
— х + 2г — 3.
182. Дискретная случайная величина X принимает только
три возможных значения: Х^ 1, Х2 и Х3, причем Х1<Х2<Х8.
Вероятности того, что X примет значения Х^иХа, соответственно
равны 0,3 и 0,2. Постройте закон распределения величины X, зная,
что М (X) = 2,2 и Э (X) = 0,76.
183. Пусть событие А — появление двух гербов при бросании
трех монет. Производится я-кратное бросание 3 монет. Найдите
математическое ожидание и дисперсию случайных величин \ и ц,
где | — число появления события А при п испытаниях, г) = -—
л
частота события А.
184. В ящике 2 белых и 3 черных шарика. |— число белых ша-
шариков среди двух, вынутых наугад. Найдите М (|) и О (|).
185. В ящике а белых и Ь черных шариков. Наугад вынимают
к шариков {к ^ а + Ъ). Найдите математическое ожидание и дис-
дисперсию числа вынутых белых шариков.
4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
В разделе У1-3 формула Пуассона F.6) служила удобным при-
приближением для биномиального распределения в случае большого
■п и малого р. Существуют также и другие распределения вероятно-
вероятностей, которые приводят в пределе к формуле Пуассона F.6). Мы
сталкиваемся здесь с проявлением того факта, что существует не-
несколько распределений большой общности, встречающихся в разно-
разнообразных задачах. Тремя чаще всего встречающимися распределе-
распределениями являются биномиальное (оно нами рассмотрено в главе VI),
нормальное и распределение Пуассона, которое мы теперь рассмот-
рассмотрим более основательно.
Будем говорить, что случайная величина | распределена по
закону Пуассона, если она принимает значения т (т = 0, 1, 2, 3,...)
с вероятностями
РA = т) = ^е-ь. ' G.17)
Математическое ожидание такой величины может быть пред-
представлено бесконечным рядом:
84

~
1! 21 (т —1)!
Но
Поэтому М (|) = к и О (|) = к.
Значит, в формуле G.17) к представляет среднее значение слу-
случайной величины |, распределенной по закону Пуассона.
Рассмотрим такие последовательности случайных событий, при-
примерами которых могут служить вызовы, поступающие на телефон-
телефонную станцию, заходы судов в порт, испускание а-частиц радио-
радиоактивным веществом и т. д. Каждое событие можно изобразит-ь точ-
точкой на оси времени, тогда получаем случайное распределение точек.
Покажем, что на величину
пи
можно смотреть как на вероятность иметь пг точек (пг событий)
внутри интервала определенной длины.
Пусть условия опыта остаются неизменными во времени н не-
неперекрывающиеся интервалы времени независимы в том смысле,
что число событий на одном интервале не зависит от числа событий
на других интервалах.
Представим единичный интервал времени, разделенный на а
интервалов (п — большое число), длина каждого из которых —.
л
Пусть любой из интервалов либо пуст, либо содержит по крайней
мере одну случайную точку, т. е. интервал не пуст. Пусть событие
А — «интервал не пуст». Поскольку длина всех интервалов одина-
одинакова, то для любого из интервалов вероятность события А должна
быть одной и той же. Обозначим Р (А) = рп. Пусть прп -*■ к прм
неограниченном возрастании п. Тогда по формуле F.6) вероят-
вероятность того, что среди п неперекрывающихся интервалов т непустых!
кт _
~ т\
Здесь, конечно, пг не означает числа случайных точек на единично*!
интервале, ибо в любом из непустых интервалов мы можем иметь
несколько случайных точек. Однако естественно ввести дополни-
дополнительное допущение, что вероятностью появления двух или боле!
событий в течение очень короткого промежутка времени можно
в пределе пренебречь. Таким образом, вероятность иметь в единич-
единичном интервале времени пг случайных точек получается как предал
Р {8п ~ пг) при п ->~ оо. Если эту вероятность обозначим р (т, к)9
85

то
р(т; к) = Х\тР{8п = т) = —е-К G.19)
П-юо ГП-
Если вместо единичного интервала мы возьмем произвольный
интервал длины I и снова воспользуемся разбиением на интервалы
длины —, то мы получим испытания Бернулли с той же самой ве-
п
роятностью рп, но количество испытаний будет равно уже не п,
а ближайшему к п1 целому числу. Переход к пределу такой же,
только вместо к мы получим Ы. Это приводит к истолкованию ве-
величины
р(т; Ы)=(^-г-м G.20)
как вероятности иметь т случайных точек на фиксированном интер-
интервале длины I. В частности, вероятность'того, что на интервале дли-
длины г не будет ни одной точки, равна
р @; Ы) = е~м. G.21)
Параметр к определяет плотность точек на оси I. Из формулы
G.21) видно, что, чем больше к, тем меньше вероятность события,
состоящего в том, что интервал @, I) пуст. Формула G.20) может
быть применена при решении разных задач.
Примеры
1. Автоматическая телефонная станция получает в среднем
за час 540 вызовов. Какова вероятность того, что в данную минуту
она получит ровно 20 вызовов?
Так как вызовы независимы друг от друга, число вызовов за
промежуток времени А2 = 1 мин распределяется по закону Пуас-
Пуассона. Произведение Ы мы можем рассматривать как среднее число
точек, приходящееся на интервал времени длины I. Таким образом,
по условию задачи
60
По формуле G.20), зная, что т = 20, находим
О20
рB0; 9) = — е~\
^ ' 20!
По таблице 3
р B0;9) = 0,000617.
2. В аэропорту производят посадку в среднем 3 самолета в ми-
минуту. Какова вероятность того, что в течение 2 мин произведут
посадку не меньше 4 самолетов?
Пусть событие А — «произвели посадку не меньше 4 самолетов».
Противоположное ему событие А — «произвели посадку меньше
4 самолетов». Обозначим события:
86

Ло — «не было ни одной посадки»,
А! — «состоялась одна посадка»,
Л2 — «состоялись две посадки»,
Л3 — «состоялись три посадки».
Понятно, что
А = Ло + А, Л- Л2 + Ля.
Поскольку события Л 0, Ль Л2, Л3 несовместимы, то
Р(А) = Р (А0) + Р (ЛО + Р (Л2) + Р (Л3).
Соответственно условию задачи I = 2, к = 3, т = 0, 1, 2, 3.
Поэтому по формуле G.20) и таблице 3
• р (Л0) = р @; 3 • 2) = р @; 6) = 0,002479,
Р (Л0 = р A; 3 . 2) = р A; 6) = 0,014873,
р (Л2) = /? B; 3 • 2) = /? B; 6) = 0,044618,
Р (Л3) = /> C; 3 • 2) = р C; 6) = 0,089235.
Получаем: Р (Л) = 0,151205. Поскольку Р (Л) = 1 — Р (Л), то
Р (Л) = 0,848795.
3. На прядильной фабрике работница обслуживает по несколь-
нескольку сотен внешне практически ничем не отличимых веретен. При
вращении веретена пряжа из-за неравномерности натяжения и
других причин рвется в случайные моменты времени. Для произ-
производства важно знать, как часто могут происходить обрывы пряжи
в зависимости от тех или иных условий (сорт пряжи, скорость
вращения веретен и т. д.).
Пусть работница обслуживает 800 веретен и вероятность обрыва
пряжи в течение одной минуты 0,0005. Найти вероятность того,
что в течение 10 мин произойдет не более 2 обрывов.
Пусть событие Л — «произойдет не более 2 обрывов». Обо-
Обозначим события:
Л 0 — «обрывов не произошло»,
Аь — «произошел один обрыв»,
Л 2 — «произошли два обрыва».
Ясно, что Л = Ло + А^ + Л2. Согласно условию задачи
I = Ю, к = 800 • 0,0005 = 0,4, т = 0, 1, 2.
По формуле G.20) и таблице 3:
Р (Ло) = р @; 0,4 • Щ = р @; 4) = 0,018316,
Р (Л0 = р A; 0,4 • \0) = р A; 4) = 0,073263,
Р 04 а) = р B; 0,4 • 10) = р B; 4) = 0,146525.
Поскольку Р(А) = Р (Ло) + Р (Л0 + Р (Ла), то
Р (Л) =* 0,238104.
87

VIII. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Случайные величины, возможные значения которых непрерыв-
непрерывно заполняют некоторый интервал, называются непрерывными
случайными величинами.
Пусть % — непрерывная случайная величина, возможные зна-
значения которой представляют точки интервала [1; 3[. Какова
вероятность того, что I = 2?
Для решения этой задачи попробуем применить формулу
D.1). Поскольку на интервале бесконечно много точек, то я = со.
Число 2 представляет только одна-единственная точка, поэтому
т = 1. Тогда
Р<5 = 2) = 1 = 0. (8.1)
И вообще, вероятность появления любого отдельного значения не-
непрерывной случайной величины равна нулю.
Но разве | = 2 — невозможное событие?! Оно все же может
состояться! Читателю следует запомнить следующее правило:
вероятность невозможного события равна нулю, но если вероятность
некоторого события равна нулю, то это не значит, что событие не-
невозможное: нулевую вероятность могут иметь и возможные события.
Результат (8.1) приводит к мысли, что для непрерывных слу-
случайных величин нельзя построить закон распределения в такой
форме, какая была удобна для дискретных случайных величин.
Так и есть. К закону распределения непрерывной случайной вели-
величины будем подходить иначе.
Вероятность того, что % < х, будем называть функцией распре-
распределения непрерывной случайной величины | и обозначать
Р(Кх) = Р (х).
Очевидны следующие свойства Р (х):
1) Р (х) — неубывающая функция.
Действительно. Пусть хг < х2 (рис. 20).
Событие «| < х2» представляет собой сумму событий «| < Х{»
и <ах ^ I < х2». Поэтому, в силу несовместимости их,
Р (I < Х2) = Р (I < Хг) + Р (X, < К Х2).
Поскольку Р {хх <! I < х2) !> 0, то
Р (I < *1)< Р {I < х2), т. е.
Р {ху) < Р (х2).
2) Р (х) — непрерывная слева.
Выберем какую-нибудь возрастающую последовательность
#1 < х2 < х3 .... < хп < ..., сходящуюся к х. Пусть Ап событие
. ж «хп ^ | < я». Тогда в силу свойства 1
*' Хг х Р(Лп)= РA<х)~РA<хп) =
Рис. 20 = Р (х) — Р (ха).
88

Пт Р (Ап) = Пт (Р (х) — Р (хп) = Р (х) — Пт Р (хп) = Р (х) —
П-»ос П-уоо П->оо
— Р (х — 0) = 0, что и требовалось доказать.
3) Р(оо)= 1.
Событие «| < оо» достоверное, поэтому
РA <оо) = Р (оо)= 1.
4) Г(—оо) = 0.
Событие «| < —оо» невозможное, поэтому
Р(Ъ< —оо) = Р (—оо) = 0 .
Примечание: когда известно, что случайная величина может
принимать только значения интервала [а\ Ь[, то достоверным со-
событием является событие «| < Ь», а невозможным «| < а». В таком
случае
= 1, (8.2)
Когда известна функция распределения Р (х), можно найти
вероятность попадания случайной величины на заданный интервал.
Именно:
Вероятность попадания случайной величины на заданный интер-
интервал равна приращению функции распределения на этом интервале,
т. е.
Р(а^КЬ) = Р(Ь)-Р(а). (8.3)
Доказать это нетрудно. В результате несовместимости событий
Р (I < Ь) = Р (I < а) + Р (а < I < Ь), т. е.
Р (Ь) = Р (а) + Р (а < I < Ь), откуда и следует (8.3).
Примеры
1. Функция распределения случайной величины
Р(х) =
0 при х^—1
1 при х > 2
Найти вероятность того, что в результате испытания % примет
значение, заключенное в интервале [0; 1[.
По формуле (8.3)
( о^Т о о *
I Х-\ \° 0/^=0 °
89

2. Функция распределения случайной величины
О
Р (*) = |
1
— E1П X
О
при
при
при
X
X
<
л
2
>
—
- -<
т
п
~2
■^ X ^
^ л ,
Найти вероятность того, что в результате испытания | примет
Г я Г
значение в интервале 0; —.
По формуле (8.3)
3. Доказать, что
Р(а<| <Ъ) = Р(а < К Ь) = Р(а <Ъ^Ь) = Р(а < 1< Ь) (8.4)
Р (а < I < Ь) = Р {I = а ) + Р (а < I < Ь). Но Р (| =а) = 0,
поэтому
Я (а < Б < Ь) = Р (а < I < Ь).
Также Р (I — Ь) = 0, поэтому
Р (а < Б < 6) = Р (а < К Ь) + /> A = Ь) =
«- Р (а < I < 6).
Наконец
Р(а < § < 6) = Р (I = а) + /> (а <Ъ < Ъ) + Я A = 6) =
=Р (а < I < Ъ).
Равенство вероятностей (8.4) полезно запомнить для изучения
следующих разделов книги.
1. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
У читателя, возможно, мог возникнуть такой вопрос: каким пу-
путем, наблюдая случайные значения |, построить функцию рас-
распределения Т7 (х). Оказывается, что к этой функции практически
проще подходить через другую функцию.
Пусть Р (х) — непрерывная и дифференцируемая функция рас-
распределения случайной величины |. Вычислим вероятность попада-
попадания значений на интервал от х до х + Ах. По формуле (8.3)
Р (х < I < х + Ах) = Р (х + Ах) — Р (х).
Рассмотрим отношение этой вероятности к длине интервала,
т. е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины,
и будем Ах приближать к нулю.
,. Р (х < | < х 4- Длг) 1. Р (х + Длг) — Р (х) г-/ / ч /о с\
пт 1 ^ь^—х—'-— Ьт —■*—!— ~=гр'(х), (8.5)
д*->о А* д*-»-о Д*
Полученная производная Р'{х) = р (х) называется плотностью
распределения случайной величины 1.
90

Оказывается, что на основании испытаний практическое по-
построение плотности распределения I более удобное, чем построение
самой функции распределения.
Пусть непрерывная случайная величина | принимает значе-
значения на интервале \_а\ Ь\_. Разделим интервал на п равных частей
точками х1у х2, х3, ..., хп_г.
Проводим N испытаний и следим за появляющимися значения-
значениями |. Пусть
/^значении
т2 —»—
оказались принадлежащими интервалу [а; х^_\
тп —»-
—»-
Тогда мы можем делать вывод, что при испытаниях относи-
тельная частота появления | на интервале [а; хх[ равна —;
__»_ _»__ __„>_ на —,>— 1хг, х21 —«— —,
, Ц ч\ у\ ЦО ЧЧ ._ Р V • V Г » ^*
и 2 3 Л/
на
-»— [х„ ■,; Ъ\ —« -.
Построим диаграмму относительных частот (рис. 21). Такая
диаграмма называется гистограммой. Она с определенной точнос-
точностью дает представление о плотности распределения значений \ на
интервале [а; Ъ\_. При увеличении числа делений п и числа испы-
испытаний гистограмма все точнее отражала бы плотность распреде-
распределения, графиком которой вырисо-
вырисовывалась бы кривая плотности.
Из (8.5) непосредственно
следует
1(г)(И, (8.6)
т.е., зная плотность распределе-
распределения, можно найти функцию рас-
распределения. Из (8.6) следует
(х) йх^ Р ф) — Р (а) =
| ОгПносительиьх
т частоты
Рис. 21
^ККР). (8.7)
Таким образом вероятность
попадания | на интервал [а; р[
представляется заштрихованной
площадью на рис. 22.
91

Примеры
1. Плотность распределения случайной величины
Р {х) =
2
О
при х ^ О
51П X При 0 < X ^ Л
при х > я
Найти вероятность попадания % на интервал —; —.
По формуле (8.7)
я
я
г"
= СО8 X
2
л
2. Плотность распределения
случайной величины 1
Р (*) =
О при х <
н ^ 2
1 я .
— СО5 X При < X
О
при
> —
п
Найти вероятность того, что с
По формуле (8.7)
я
"б"
6
я
я
б"
\
2"
я
СО5 Х^Х =
— 51П X
я
1 ♦ я 1 . / я \
= — 31П 81П 1
2 8 2 V 2/
1 . я , 1 . я 3
— 51П 51П — = —.
2 6 Г 2 2 4
92

. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
Пусть непрерывная случайная величина I распределена на
интервале \_а\ Ь{_ с плотностью р (х). Разделим интервал [а; 6[ на
п необязательно равных частей [а; хг1; [_хг\ лг2[; ... 1хп_г\ Ъ\_.
Случайная величина | принимает
значения из интервала [а\ хх\_ с вероятностью Р (а ^ 1<Хц)\
—»— » —»~ [_хх; х2 [» —»— Р(^1<|)
—»— » —»— [х2; х3 [ » —»— Р(х2 ^
—»— » —»— [^й-11, Ь\_ » —»— Р {хп_х ^
Пусть |2 ^ [Лф л;/+1 [. Тогда по аналогии с формулой G.3) ма-
математическое ожидание случайной величины | приближенно равно:
п-1
Разумеется, что
п-1
(I) = \ш 2 &
тах <*г+1—хр-*0 1=0
при /г->- оо. Обозначим хг+1 — хг = Ахг, а тах Ал:^ = X.
Тогда
п-1
Л*(» = Ит2 |
^-►0 1=0
В силу формулы (8.3)
Х-ьО 1=0
По формуле Лагранжа
следовательно,
п-1 6
• Х-+0 1=0 " ^
О
В случаях, когда область распределения I, не указана,
оо
М 1Ъ\ — Г м (х\Ах (8 9)
—оо
Последний интеграл представляет собой
Р
\\т [хр {х)йх,
а-*—оо^
В й
93

поэтому его решение не вызывает осложнений.
Примеры
1. Плотность распределения случайной величины % Р (х) =е~ах.
Найти М (I) для х ^ О и а >0 •
По формуле (8.9)
оо
М (|) = Г хе~ах их. Рассмотрим последовательно вычисление
этого интеграла.
Г хе~ах их =г Г и(к), где и = х, а <&; = е~ах их.
Известно, что А (ии) = пАи + и&и. Проинтегрировав последнее
равенство, находим
Г иАю = ио — Г Ыи.
В нашем случае Аи — Ах, V = е~ах. Поэтому
а
хе~ах А (ах)
—ах А у
—е~ах +
а
<-
. оо
а )
г~ахАх =
-я-
X
(>
а
■ -е-ах) Ах =
а )
—ах _
а
_ —е~ах
а2
Таким образом М (I) = (* хе~ах Ах = Нт Г хе ах Ах —
Нт [~~е~ах -егах
а-»оо V а а2
О О
а = Нт /_ ^-«а _ ±е~а* + 2
о а->-со \ а а2 а2
2. Плотность распределения случайной величины
—-. Найти неизвестный параметр а.
а
ех 4-
По формуле (8.7) и в силу C) и D) свойств Р (х)
—оо
I = I — агс1§ ех. Тогда
|
Г *.— _ нт Г
*
—оо р-»-ооа р->-оо ОС
94

— Пт агс!§ еа = агс!§ оо — агс1§ 0 = —.
а-*~ со 2
п л 1 2
Значит, — = —, откуда а — —.
2 а л
3. ДИСПЕРСИЯ
Согласно формулам G.9) и (8.9) дисперсия
оо
О F) = М (I - М Ш = | {х-М(Ъ)У р (х) Ох,
оо
а согласно формулам G.10) и (8.9) —
1
= | х2р (х) Лх — 1 §хр (х) их I (8.11)
оо \ —оо
Пример
Плотность распределения случайной величины 1
(О при х ^ О
2х2 при 0 <х < 1
О при х > 1
Найти й (I).
По формуле (8.11)
I
= | х2р (х) йх — 1 ^хр{х)йх\ = | х2 • О • их +
— оо у — оо / —оо
оо /О I оо
+ (У • О ♦ их — Г д: • 0 • их + Гл;-2л2ад: + ^х-О-
и2.4
) 5
4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Нормальным называют распределение непрерывной случайной
величины | с плотностью
(х-аJ
Определим вероятностный смысл параметров а и а.
оо (х—аJ
ау2л ^

Р<Ш
Введем новую переменную
= ^=1?. Отсюда х = о{ + а,
а
их = айг. Учитывая, что новые
пределы интегрирования равны
старым, получаем
*1
2
<и
Рис. 23
оо
У~2п }
о(е 2 <и
оо
^_ г
/2л ]
Поскольку под знаком первого интеграла нечетная функция и
пределы интегрирования симметричны относительно начала коор-
координат, то этот интеграл равен нулю.
Так называемый интеграл Пуассона
оо -^
поэтому
М (I) = а,
т. е. параметр а означает математическое ожидание нормально
распределенной случайной величины ^.
(х-а)*
РШ
поэтому параметр сг означает
среднее квадратическое отклоне-
отклонение нормального распределения.
Когда а=0 и сг2= 1, то нор-
нормальное распределение с плот-
плотностью
_*>
р (х) — -т=^е
называют нормированным. Гра-
График плотности нормального рас-
распределения представляет собой
колоколообразную кривую. Точ-
Точкой максимума плотности явля-

ется М (%) =а, высота «колокола» равна —-рг=-. Полезно запомнить
следующие зависимости:
1) Если при равных дисперсиях М (х) = а < М (у) = 6, то
графики плотностей распределения случайных величин х и у по
форме и высоте одинаковые, но график плотности распределения
правее (рис. 23).
2) Если при равных математических ожиданиях п (х)< О (у),
то графики плотностей максимумов достигают в той же самой точ-
точке, но график плотности распределения у ниже и шире (рис. 24).
Мы уже знаем, что если случайная величина ^ 'распределена
с плотностью р (х), то вероятность того, что \ примет значение,
принадлежащее интервалу [а; {$[, равна:
Пусть случайная величина \ распределена по нормальному
закону, тогда вероятность того, что I примет значение, принадле-
принадлежащее интервалу [а; C[, равна
а
Введем новую переменную г = . Отсюда х — ог -+- а и
а
их = а^. Когда а; = а, то / = ^~^-} когда а; = Р, г ==» Ё_^1?. Под-
о а
становка новой переменной и новых пределов интегрирования дает
ч
4 В. С. Лютикас
0
- ! Г
/2л )
а—а
а
/2л
а—о
о .
р-«
о 1г
0
V -__
/21
р-а
' ! Г ^
а—о
о
0
( о
0
а—о
-ст
97

функция Лапласа, значения которой представлены в таблице 4.
Следовательно, для нормально распределенного ^ имеет место
/><«<!< Р) = Ф(^)-Ф(^5). 48.13)
Примеры
1. Случайная величина ^ распределена по нормальному закону,
М (I) «= 40, О (I) = 100. Найти вероятность того, что I примет
значение, принадлежащее интервалу [20; 60[.
По формуле (8.13)
= ФB)+ФB) =
По таблице 4 Ф B) = 0,4772.
Отсюда искомая вероятность
Р B0 < | < 60) = 2 • 0,4772 = 0,9544.
2. Случайная величина ^ распределена по нормальному закону.
М (I) = а; О (I) = а2. Найти вероятность того, что I примет
вначение, принадлежащее интервалу [_а — Зо; а + Зет].
По формуле (8.13)
а / \ а
= Ф C) — Ф (—3) = 2Ф C).
По таблице 4 ФC) = 0,49865. Отсюда Р (а — Зо < I < а + Зсу)=
«= 2 • 0,49865 = 0,9973, что равносильно
Р{\1 — а\ < За) = 0,9973.
Нами доказано так называемое правило трех сигм: если случай-
случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина
ее отклонения от математического ожидания не превосходит
утроенного среднего квадратичного отклонения. Такое событие
происходит почти наверняка.
5. ПОНЯТИЕ О ТЕОРЕМЕ ЛЯПУНОВА
Мы уже упомянули, что нормально распределенные случайные
величины широко встречаются на практике. Чем это объяснить?
Выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым была до-
доказана центральная предельная теорема теории вероятностей, из
которой вытекает следующее следствие: если случайная величина %,
представляет собой сумму очень большого числа взаимно независи-
независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму
ничтожно мало, то § имеет распределение, близкое к нормальному.
98

Примеры
1. Производится измерение некоторой физической величины.
Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой
величины, так как на результат измерения оказывают влияние
многие независимые между собой факторы (влажность, слой пыли
на приборе, температура, вибрация прибора и т. д.). В результате
влияния каждого из этих факторов рождается ничтожная слу-
случайная ошибка. Поскольку число этих факторов велико, совокуп-
совокупное их действие порождает уже заметную суммарную ошибку.
Эту суммарную ошибку мы можем рассматривать как сумму боль-
большого числа взаимно не зависимых ошибок, т. е. суммарную ошибку
| можем рассматривать как случайную величину, которая распре-
распределена по закону, близкому к нормальному. Практически это зна-
значит, что
Примером, практического применения вышеизложенного след-
следствия теоремы Ляпунова может послужить такая задача:
Известно, что среднее значение случайной погрешности весов
х — 0,03 кг, дисперсия о 2 = 0,0016.
1. Какова вероятность того, что при очередном взвешивании
погрешность показания весов |а|^0,04?
2. Найти доверительный интервал погрешности этих весов с
гарантией в 95%.
Пусть | — случайная погрешность. Можно считать, что | рас-
распределена по закону, близкому к нормальному. Поэтому
р (_0>04 < I < 0,04) « Ф ( О.М^ЦИ ) , ф ( -ОЛИ^О.
V , \ь\ / ^ /0,0016 / \ /0,0016
= Ф@,25) — Ф(—1,75) = Ф@,25) + ФA,75).
По таблице 4 Ф @,25) = 0,0987, а Ф A,75) = 0,4599.
Поэтому
Р (—0,04 < |< 0,04) « 0,5586.
На второй вопрос ответ находим так:
Поскольку а и Ь симметричны в отношении 0,03, то а — 0,03 — в,
а Ь = 0,03 + е. Значит, ф/'-М — ф(—) = 2О>/'—^-\ = 0,95. От-
^ 1,0,04/ 10,04/ 1,0,04/
— =0,475. Такому значению Ф(х) в таблице 4 соот-
0,04/
ветствует х— 1,96. Таким образом -^- = 1,96 и 8 = 0,0784. Тогда
0,04
а = 0,03 — 0,0784 = — 0,0484; 6 = 0,03 + 0,0784 - 0,1084. Значит,
4* • 99

с гарантией в 95% доверительный интервал случайной погрешности
весов [—0,0484; 0,1084].
Упомянутое следствие теоремы Ляпунова позволяет также оце-
оценить вероятность события по экспериментальным данным.
Пусть исследователь при проведении п независимых испытаний
обнаружил, что его интересующий факт А имел место в т случаях.
Он фиксирует, что относительная частота появления факта А раз-
га Тт
на —. Но исследователя интересует сама вероятность появления
п
факта А при одном испытании. Он знает, что р « — , но какая тут
п
степень приближенности.
Относительная частота — есть случайная величина |, матема-
п
тическое ожидание которой М (%)= р, а дисперсия В (|)= ~ .
п
При достаточно большом п (п ^ 30), | распределено по закону,
близкому к нормальному, поэтому согласно формуле (8.13)
Р
т
р
п
\о
<е «2Ф-. (8.14)
Последняя формула может быть использована для решения
ряда практических задач. Несколько из них представляем читателю.
2. 15% продукции фабрики представляют изделия второго
сорта. Магазин получил 1000 изделий. Какова вероятность того,
что в полученной партии продукция второго сорта составит
15% ± 2%?
По условию задачи р = 0,15, 8 = 0,02, п = 1000. Пусть а —
ожидаемая доля продукции второго сорта. Находим а.
о* в 1±=Л. = °'15A-°'15> = 0,0001275. Следовательно,
п 1000
а = К0ДЮ1275 = 0,0113. Тогда
По таблице 4 ФA,77) = 0,4616, поэтому
Р (| а — 0,15 | < 0,02) « 0,9239.
Ответ можно сформулировать и так: с гарантией в 92% в полу-
полученной партии изделия второго сорта составят 15% ±2%.
3. Исследованиями установлено, что 20% школьников не знают
правил уличного движения. В случайной выборке 1600 учеников.
Сколько учеников знают правила уличного движения с гарантией в
95%?
По условию задачи п — 1600, р — 0,8. Пусть а — доля уча-
учащихся этой «выборки», знающих правила уличного движения. Тог-
Тогда Р (|а — 0,81 <е)^ 2Ф (^\ = 6,95.
100

/
0,8A—0,8) л л,
\600 = 0.01. П0Э™У
2Ф (-1_\ = 0,95; Ф (—) = 0,475.
40.01/ 10,01/
о
По таблице 4 значению 0,475 соответствует х — 1,96, т. е.
= 1,96 и е = 0,0196. Значит, с вероятностью 0,95
0,8 — 0,0196 < а < 0,8 + 0,0196;
0,7804 < а < 0,8196
или приближенно 0,78 ^ а ^ 0,82. Но 0,78 от 1600 составляет
1248, а 0,82 от 1600 — 1312. Значит, с гарантией в 95% число
учеников, знающих правила уличного движения, принадлежит
интервалу [1248; 1312].
4. При массовом производстве обуви брак составляет 4% вы-
выпускаемой продукции. Сколько изделий нужно отобрать для про-
проверки качества продукции, чтобы с вероятностью 0,9 можно было бы
утверждать, что в случайном наборе обуви доля брака го абсолют-
абсолютной величине отличается от 4% не более чем на 1%?
По условию задачи р = 0,04, е = 0,02, п неизвестно. Пусть
а — доля "брака в случайной партии изделий. Случайная величина
а распределена по закону, близкому к нормальному, поэтому
Р(\ а — 0,04 | <0,01) « 2Ф №^\ = 0,9.
Отсюда
= о,45 и по таблице 4 °-^ = 1,65.
а ) о
Но а2 = рA~р) = 0.04A-0,04) = 0,04-0,96 ^ ^ = -./р" 04-0,96
п п /г V п
т-т - 0,01
Подстановкой сг в предыдущее уравнение находим 1^=^ =
/0,04-0,96
я
= 1,65, откуда л= 1045.
Упражнения
186. Математическое ожидание нормально распределенной слу-
случайной величины | равно 10, а дисперсия 4. Найти вероятность
того, что в результате испытания случайная величина | примет
значение из интервала [12; 14].
187. Случайная величина | распределена нормально.
М Ц) = 20, /> A) = 25. Найти Р A5 < К 25).
188. Прорвводится измерение диаметра вала без системных
ошибок. Случайные ошибки | подчинены нормальному закону с
В (|) = 100 мм. Найти Р (\\\ < 15).
101

189. Для замера напряжений используются специальные тен-
зодатчики. Определить среднюю квадрэтическую ошибку тензодатчи-
ка, если он систематических ошибок не имеет, а случайные распре-
распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят
за пределы ±0,2 мк.
190. Браковка шариков для подшипников производится сле-
следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диамет-
диаметром йи но проходит через отверстие диаметром &% > йи то его раз-
размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не
выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика
| есть случайная величина с такими числовыми характеристиками:
М (I) — * "^ 2» В (I) — . Определить вероятность р того,
что шарик будет забракован.
191. При массовом производстве 5% выпускаемой продукции
выходит в брак. Сколько изделий нужно отобрать для проверки
качества, чтобы с вероятностью 0,95 можно было бы утверждать,
что в случайной партии изделий брак составляет 5% ± 2%?
192. Какой величины должно быть поле допуска зубчатого ко-
колеса, чтобы с вероятностью не более 0,003 изготовленное колесо
с контролируемым размером оказалось вне поля допуска. Случай-
Случайные отклонения размера | от середины поля допуска подчинены
закону нормального распределения с характеристиками М (|) =0
и п Ц) = 25.
6. ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Показательным называют распределение вероятностей, которое
описывается плотностью распределения
= B *Т 1л (8
\ ке~кх при х > 0,
где е — Нт (\,-\ ) , а к — положительная константа.
Читатель заметит, что с возрастанием х плотность р (х) убывает
Это значит, что х можно представить как время, а р (х) — как ве-
вероятность безотказной работы какого-нибудь устройства: со вре-
временем эта вероятность в результате износа устройства постепенно
убывает.
Согласно формуле (8.7) вероятность того, что случайная вели-
величина | , распределенная по показательному закону, примет значе-
значение из интервала ]а; Ь\_, равна
ь ъ ъ
Г ке~кх ах = — Г е~кх й (~кх) = — ё~кх = е~ка — ё~кЬ. (8.16)
а а а
Функция распределения такой случайной величины
102

= 1— е~к* (8.17)
означает вероятность того, что отказ наступит до момента вре-
времени х. Поскольку
Р СИ <? у\ 4- Р (Ъ. *> х\ == 1
* \.я ^ л) I * \Ъ ^ л) — *»
ТО
Р (I > х) = 1 - Р (I < х) = е~кх (8.18)
означает вероятность того, что отказ до момента х не наступит.
Логично вероятность Р (| ^ х) называть функцией надежности
устройства. Итак
К{х) = РA^х) = е-кх. (8.19)'
Какой смысл константы к?
Вычислим математическое ожидание величины |.
М (|) = Гхр (х) их = \хке~кхйх = — ^хе~кхй (—кх).
оо о
Пусть х = и, е~кх й (—кх) == дю. Тогда йи = их, V = е~кх. По
формуле Г ийх) = ш) — Г
оо оо
г 1 1. -,
1
о б
1 к к
Таким образом — означает среднее время исправности до от-
к
каза, а к — интенсивность отказов (число отказов на единичный
интервал времени).
Примеры
1. Время безотказной работы электронной лампы | распределе-
распределено по закону р (х) = 0,03е~°»03х, где х означает время в часах. Най-
Найти вероятность того, что лампа проработает безотказно не меньше
100 часов.
По формуле (8.19)
Р Ц > 100) = # A00) = е-о.оз-100 = е-з = 0,0498.
2. 98% топливных насосов дизельных тракторов выходит из
строя после 3000 моточасов. Какова вероятность того, что насос
выйдет из строя в интервале времени от 2000 до 2500 моточасов?
Пусть \ — время безотказной работы насоса. По условию
задачи Р Ц > 3000) = # C000) = ё~ъшк = 0,98.
103

Из этого уравнения находим к — 0,0000067. Значит, плотность
распределения равна р (х) = 0,0000067 е-°уШ0Шх. По формуле
(8.16) Р B000 < 1< 2500)=е-2С00>0»0000067 — е-2боо.о,ооооов? =0,0033.
IX. НЕМНОЖКО СТРАННО, НО ИНТЕРЕСНО
1. УМНАЯ ИГЛА (ЗАДАЧА БЮФФОНА)
Читателю, конечно, известна формула длины окружности
С = 2лЯ, где п — трансцендентное число, значение которого с
точностью до сотых равно 3,14. Известны многие способы определе-
определения числа л с большей точностью. Один из этих способов исполь-
использует обыкновенную швейную иглу.
Проведем на листе бумаги ряд параллельных прямых, соблюдая
следующие правила:
1) расстояние между этими параллельными одинаковы;
2) расстояние между двумя соседними параллельными боль-
больше длины иглы;
3) построенный чертеж (похожий на бумагу в линейку) доста-
достаточно большой, чтобы случайно брошенная игла не упала за пре-
пределы чертежа (рис. 25).
Пусть расстояние между параллельными прямыми равно а и
длина иглы / (/ < а). Положение случайным образом брошен-
брошенной на чертеж иглы определяется расстоянием х от ее сере-
середины до ближайшей прямой и углом ср, который игла образует
с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближай-
ближайшую прямую (рис. 26).
Ясно, что О^л;^—, —— <Гср^—.
Изобразим графически (рис. .27) функцию х = — соз ср.
Определим вероятность события А — «брошенная случайно
на чертеж игла пересекает одну из параллельных прямых»:
_ г
т '
V
Т
C
Рис. 25
104

где т — общее «число» возмож-
возможных положений брошенной иг-
иглы, а г — «число» тех возмож-
возможных положений, когда игла
пересекает одну из параллелы
ных прямых. Ни т, ни г непос-
непосредственно сосчитать не можем:
таких положений бесконечно
много. Но в случае пересече-
пересечения иглой одной из паралле-
параллелей должно иметь место не-
неравенство:'
<р
\
Рис. 26
X
I
— СО8 ф,
2
Такому условию удовлетво-
удовлетворяют координаты тех точек,
которые расположены на учас-
участке ВЕА. Вместе с тем всевоз-
всевозможные расположения иглы
характеризуются точками, ко-
которые расположены на участке
АВСй.
Таким образом, вспомнив, как вычисляют геометрические ве-
вероятности, находим, что *
пл. ВЕА
Рис. 27
Р(А) =
пл. АВСВ
л
Но пл. АВСВ = -, а пл. ВЕА = Г -
2' ] 2
л
2~
л
= — 5Ш ф
2 у
л
Т
Тогда
пл. ВЕА = /
и
откуда
Р (Л) =
аи
л =
21
аР (А)'
105

Но вероятность Р (А) можно приблизительно определить мно-
многократным бросанием иглы. Если, например, иглу бросали на
чертеж 5 раз и к раз она упала, пересекая одну из параллелей, то
при достаточно большом .5
к
откуда
2/5
.
ак
Мы нашли формулу, позволяющую определить число п. Извест-
Известны такие опыты:
Ученый-испытатель
Вольф
Фокс
Лазаринни
Год проведения
испытаний
1850
1834
1901
Число бросаний
иглы
5000
1120
3408
Полученное
значение
3,1596
3ГН19
3,1416
Предлагаем читателю самому убедиться в «мудрости» иглы.
2. ЗАДАЧА ШЕВАЛЬЕ ДЕ МЕРЕ
В средние века среди феодальной знати были широко распро-
распространены азартные игры. Большим любителем азартных игр был
французский шевалье де Мере, которому посчастливилось дру-
дружить с замечательным математиком Б. Паскалем. Де Мере не толь-
только играл в кости, но и подмечал некоторые закономерности, объ-
объяснить которые не мог, и в таких случаях обращался к Б. Паскалю.
Де Мере предлагал партнерам следующие условия игры: он
будет бросать 2 кости 24 раза и выиграет, если хоть один раз по-
появятся 2 шестерки. Его соперник бросает 4 кости один раз и выиг-
выиграет, если появится хотя бы одна шестерка.
С первого взгляда кажется, что шевалье де Мере схитрил, из-
избрав себе более благоприятные условия: все-таки он бросает 24 ра-
раза, а его соперник только один раз. Но он чаще проигрывал, нежели
выигрывал. Удивленный де Мере обратился к Б. Паскалю.
Разберемся и мы с вами в том, что ответил Б. Паскаль.
Пусть событие А — «одновременное появление хотя бы одной
пары шестерок при 24-кратном бросании 2 костей».
Пусть событие В — «появление хотя бы одной шестерки при
однократном бросании 4 костей».
106

Событию А противоположно событие Л — «ни разу не появи-
появилась пара шестерок при 24-кратном бросании 2 костей».
Обозначим событие Лг- — «не появилась пара шестерок при
1-м бросании». Ясно, что
А = А \А 2Л 3...Л24.
Поскольку события Аи Л2, ..., Аи независимы, то
Р (А) = Р (Л Д2...Д;4) = Р (А,) • Р (А,) ... Р (Л24)„
Также ясно, что
Р (ЛО - Р (Л2) = ... = Р (Л24),
поэтому вероятность Р (А) может быть выражена так!
Р (А) = (Р (А,)Г.
Вычислим Р (Л;). При бросании двух костей может произойти
п = 36 разных событий. Событию А1 благоприятствуют т — 35
событий. Поэтому
Вероятность удачи шевалье де Мере:
Р(А) = 1 — (-)и « 0,491 404.
Вычислим вероятность удачи соперника. Пусть событию В про-
противоположно событие В — «не появилась ни одна шестерка при
сднократном бросании 4 костей».
Пусть событие В1 — «не появилась шестерка на 1-й кости». Тогда
В == В1 • В.г ■ В3 • В4. ^ _ __ _
Поскольку события В^, В2, В3, В4 независимы, то
Р(В) = Р (В^В.В,) = Р (В,) ■ Р (В2) • Р (В3) • Р (Б4).
Ясно, что Р (В,) = Р (Вг).= Р (В3) = Р (В,), Р (В) = (Р (В,)L.
При бросании одной кости может произойти п = 6 разных событий.
Событию Вг благоприятствуют т = 5 событий. Тогда
Таким образом, вероятность удачи соперника
Р(В)= 1 — (-Ц4^ 0,517747,
Оказывается, что Р (Л) < Р (В). Действительно, наблюдение по-
получило научное объяснение.
107

3. ОТДАЙТЕ МОЮ ШАПКУ
В один из январских вечеров члены общества охотников собра-
собрались обсудить итоги прошедшего сезона. В помещении было про-
прохладно, и они заходили в зал в пальто, а шапки оставляли в гарде-
гардеробе.
Собрание длилось до сумерек, и вдруг погас свет. Пришлось
расходиться, но в темноте трудно узнать свою шапку. Председа-
Председатель собрания предложил каждому надеть наудачу любую шапку, а
завтра каждый вернется за„&воей шапкой. Все с этим предложением
согласились, а один охотник в утешение собравшимся сказал:
«Надеюсь одному из нас и сегодня досталась своя шапка». Разбе-
Разберемся, насколько обоснованным является его предположение.
Пронумеруем участников собрания: 1, 2, 3, ..., п. Пусть собы-
событие А1 — «1-й участник собрания надел свою шапку». Тогда со-
событие
А = А1+-А, + А,+ ... + Ап
означает — «по крайней мере один участник надел свою шапку».
Поскольку события Ль А2, ..., Ап не являются несовместимыми,
то вычисление Р (А) осложняется.
Пусть Ах и А2 — совместимые события, тогда по формуле E.2)
Р (Л, + Л2) = Р (ЛО + Р (Л2) - Р (ЛИ2).
Если Ль Л2 и Л3 — совместимые события, то
Р (А1 + Л2 + Л3) = Р {А,) + Р (Л2) + Р (Л3) -
-Р (ЛИ,) - Р (/Мз) - Р (Л2Л3) + Р (А{А2А3).
Сравнение Р (А1 + Л2) и Р (А1 + Л2 + Л3) подсказывает, что
Р {Ах + Л2 + ...+Л„) = 51я -52„ + 53„ -54Я + ... ± 5ЯЯ, (9.1)
где 51я = Р (ЛО + Р (Л2) + ... + Р (Ап),
82п = Р (ЛИ2) + Р ИИз) + - + Р (ЛЯ_ИЯ),
53„ = Р (А.А.А,) + Р (АХА2А,) + ... + Р (ЛЙ_,ЛЯ_И«).
Проверим истинность предположения методом математической
индукции. Допустим, что формула (9.1) справедлива, и определим:
Р (Л
Пусть события: В —
Р = (Л4 + Л2 Н
! + Л2 + ..
А1 + Л9 +
г-..Л-АпЛ
• +
... *
- Л
Ап
-Ь ^4
«и)
+ л^).
„. Тогда
= Р (В 4
( 2 п а+1 я+1
= Р (В) + Р (Апл1) - Р (ВАя+1) = 51Я - 5ЯЯ + ... ±
±8пп + Р (Ая+1) - Р (ВАя+1) = E1я + Р (Ля+1)) -
- Eгя + Р (Л^я+1) + Р (АгАЯА1) + ... +
+ Р (АяАя+1)) + E,я + Р {А,АгАм) +
+ Р(А1А3Ап+1) + ... + Р(Ап_1АпАп_п)) -
— ... 4= Р (ЛИ2 ...АпАп+1) = _
108

что и доказывает справедливость формулы (9.1).
Поскольку п шапок могут быть надеты на п голов п\ способами,
то в случае, если 1-й участник надевает свою шапку, остальные
п — 1 шапки могут быть надеты на п — 1 голову (п — 1)! способ-
бами. Поэтому
Р(Л/) = ^=-^ = 1.
п\ п
Если же два участника, 1-й и /-й, надевают свои шапки, то осталь-
остальные шапки могут быть переставлены (п — 2)! способами.
/„ о\1 1
Следовательно, Р (Д-Лу) = 1 ; —
Соответственно
я!
р (ЛИЛ) =
п(п—П
1
п (п— 1)(я — 2)'
Р (АгАг... Ап) = —.
12  я!
Сумма <$!„ имеет п членов, поэтому
« 1_ __ .
п
Сумма 52„ имеет С\ членов, поэтому
о, 1 п(п — 1
2/2
п (П _
2!
Аналогично
с * с А
ЯЛ~~ зГ' 4Л~1Г
_1_
я!
Подставляя полученные значения в формулу (9.1), находим:
111 1
2! 3! 41 я! '
Какова зависимость Р (А) от л?
п
Р(А)
3
0,66667
4
0,62500,
5
0,63333
6
0,63196
7
0,63214
100
0,63212
Результаты неожиданные: вероятность, что свою шапку полу-
получил хотя бы один из 3, почти такая же, как и вероятность, что свою
шапку получит хотя бы один из 100. И в том и в другом случае
вероятность около —. Так что надеяться, что хотя бы одному охот-
О
нику досталась его собственная шапка, действительно можно было.
109

4. МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС 1 = 1,7
Одна метеорологическая станция правильно предсказывает
погоду 9 раз из 10, другая— 8 раз из 10. На ближайшее воскре-
воскресенье первая станция предсказывает событие # — «дождь», вто-
вторая — событие # — «ясная погода». Разберемся теперь, в чем
софизм. Поскольку # + /? = Ц — достоверное событие,
Р (/?+/?) = 1. Но события # и # несовместимы, поэтому Р (/?+/?) =
= Р {К) + Р (#). Значит, Р (#) + Р (#) = 1.
Пусть событие А — «правильно предсказывает погоду первая
станция», а событие В — «правильно предсказывает погоду вторая
станция».
Тогда Р (А) = 0,9 и Р (В) = 0,8.
Если так, то выходит, что в воскресенье надо ожидать дождя
с вероятностью Р (/?) = 0,9, а ясной погоды — с вероятностью
р (#) = 0,8.
1 = Р (# + #) = Р (#) + Р (#) = 0,9 + 0,8 = 1,7.
Парадокс 1 = 1,7.
Где ошибка? Приходится признать, что допустили ее не метео-
метеорологи, а мы с вами.
Нельзя принимать, что Р (/?) = Р (А), Р (%) = Р (В). Ведь
Л и Б не являются несовместимыми!
5. ЧТОБЫ ПОКУПАТЕЛИ БЫЛИ ДОВОЛЬНЫ
Колхоз продает огурцы в ящиках, по 100 огурцов в каждом
ящике. Выяснилось, что в каждой партии из 1000 огурцов приблизи-
приблизительно 15 некачественных: гнилые, лопнувшие и т. д. Перед правле-
правлением колхоза встал вопрос, сколько огурцов надо положить в каж-
каждый ящик, чтобы с вероятностью 0,8 удовлетворить запросы поку-
покупателя, иначе говоря, чтобы в ящике было не менее 100 хороших
огурцов с вероятностью 0,8.
По условию вероятность того, что купленный наудачу огурец
окажется некачественным, 0,015. Находим постоянную Пуассона
к = 100 • 0,015 = 1,5.
По формуле F.6) вероятность, что среди 100 наугад отобранных
некачественных огурцов не встретится, равна е^ « 0,22313.
Допустим, что 100 + х является тем числом огурцов, при котором
покупатель с вероятностью 0,8 получит 100 хороших. Пусть собы-
событие А — «среди 100 + х огурцов 100 качественных». Пусть собы-
событие Ак— «среди 100 + к огурцов ни одного некачественного».
Тогда
Л = Ло + А{ + Л2 + ... + Ах.
По формуле Пуассона F.6)
^, к = 0, 1, 2 х.
110

Поскольку
Р(А) =
то
(Л0)
Р (Л2)
~г • • •
Р (Ах),
1! 2!
Переменная х должна удовлетворять неравенству:
A,5)*
2!
х\
Ясно, что левая часть неравенства возрастает с ростом х. Испы-
Испытаем некоторые конкретные значения х.
При х = 1 Р (А) = е-Ь5 . 2,5 « 0,56, а это меньше 0,8.
При х = 2 /> (Л) =
1
е'1>ъ - 3,63^0,809.
1! 2!
Поскольку 0,809 > 0,8 для х = 2, покупатели останутся удов-
удовлетворены, если в каждый ящик упакованы 102 огурца.
Принцип решения данной задачи может широко использо-
использоваться для расчета запасов промышленных товаров, продуктов
питания и т. д.
6. ПАРАДОКС БЕРТРАНА
Начертим окружность. Положив лист с чертежом на стол, бро-
бросим на него достаточно длинный стержень так, чтобы дуга окруж-
окружности отсекла от стержня хорду (рис. 28).
Вычислим вероятность того, что отсеченная хорда окажется
длиннее стороны вписанного правильного треугольника. Парадокс
Бертрана проявится в том, что при разных способах решения по-
получим разные ответы.
Первый способ решения.
Допустим, дуга окружности отсекает от стержня хорду Л В.
Построим диаметр СЭ, перпендикулярный к этой хорде. Построим
также параллельно хорде сторону правильного вписанного тре-
М
/V'
Рис. 28
111

л/
м
Рис. 31
угольника | МЫ\ (рис. 29). Те хорды, которые пройдут через точки
отрезка диаметра /С/С', длиннее | МЫ |.
Следовательно, вероятность, что случайная хорда длиннее сторо-
стороны вписанного правильного треугольника, равна—. Это первый ответ.
Второй способ решения.
Допустим, что один конец стержня прикреплен к точке М окруж-
окружности. Те хорды, которые дуга.отсекает при попадании во внутрен-
внутреннюю область угла а (рис. 30), будут длиннее стороны МЫ правиль-
правильного треугольника.
Можно предположить, что все хорды, которые можно провести
через точку М, одинаково «плотно» распределены по углу ^МР =
= я. Поскольку а = —, то вероятность, что случайная хорда пре-
О
вышает по длине сторону вписанного правильного треугольника,
равна —.
Как видите, второй ответ не совпадает с первым.
Третий способ решения.
Чтобы установить положение хорды, достаточно знать положе-
положение ее середины. Понятно, что хорды, середины которых располо-
расположены в круге, вписанном в данный треугольник, превышают сто-
сторону по длине вписанного правильного треугольника (рис. 31).
Если случайно брошенный стержень упадет так, что середина С
хорды А В окажется внутри меньшего круга, то хорда оказывается
больше |М/У|. Таким образом множество хорд, длина которых
больше |МуУ|, может быть представлено площадью меньшего кру-
круга, а множество всех хорд, пересекающих данный круг, — пло-
площадью большего круга.
Поскольку \ОР\ = — \ОМ\, то площадь меньшего круга состав-
112

ляет — площади большего круга. При этом способе решения нахо-
4
дим: вероятность, что случайная хорда длиннее стороны правиль-
правильного вписанного треугольника, равна —,
4
Три разных способа решения одной задачи и три разных
ответа.
Вот вам и парадокс!
Казалось бы, во всех случаях мы рассуждали правильно, а
все-таки вероятность одного и того же события оказывалась каж-
каждый раз иной!
Как объяснить этот парадокс?
Разные результаты мы получили потому, что по-разному кон-
конкретизировали понятие «случайно», фактически мы решали каждый
раз новую задачу. Нам только казалось, что это прежняя задача.
В первом случае мы «катили» хорду по диаметру и, принимая
длину отрезка за меру множества точек на нем, вычисляли отношение
длины отрезков.
Во втором случае за-меру множества точек, попадающих в оп-
определенный угол, приняли величину соответствующего угла и вы-
вычисляли отношение двух углов.
В третьем случае за меру множества точек избрали площадь,
в которой эти точки расположены, и вычисляли отношение двух
площадей.
Постановка задач во всех трех случаях, следовательно, разная.
7. СЛУЧАЙНОСТЬ ИЛИ СИСТЕМА!
Некий рассеянный гражданин N 12 раз был оштрафован за пере-
переход улицы в неположенном месте. Известно, что это всегда проис-
происходит либо во вторник, либо в четверг. Объясняется ли это слу-
случайностью или в эти дни милиция усиливает контроль уличного
движения?
Пусть событие Л — «гражданин ./V был оштрафован 12 раз по
вторникам или четвергам случайно». Если событие Ак — «гражда-
«гражданин ./V случайно оштрафован во вторник или четверг к-й раз» (к =
= 1, 2, 3, ..., 12), то
2
Но Р (Ак) = —, ибо 2 дня из 7 для гражданина неудачные. По-
*
скольку
= ... = Р(Л12) = —, то
р (Л) = (|-I2« о.ооооооз.
Теперь сформулируем событие В — «гражданина N 12 раз
113

случайно оштрафовали повторно в одни и те же 2 дня недели». Это
событие является суммой таких событий: «гражданин .Л/ случайно.
был оштрафован 12 раз по понедельникам или по вторникам»,
«гражданин N случайно был оштрафован 12 раз по понедельникам
и по средам», ..., «гражданин N был случайно оштрафован 12 раз
по субботам или по воскресеньям».
Вероятности всех этих событий, так же как и вероятность Р (Л),
равны 0,0000003. Поскольку тдких событий может быть С| =21,
то Р (В) = 21 • 0,0000003 « 0,000006. Видно, что обе вероятности
р (А) = 0,0000003 и Р(В) = 0,000006 очень незначительны. Это
показывает, что как в одном случае, так и в другом случае вероят-
вероятность быть оштрафованным случайно ничтожно мала. Видимо, в
эти дни работники милиции с большей требовательностью следят
за соблюдением правил уличного движения.
8. ПРЕСТУПЛЕНИЕ РАСКРЫТО
В отдел уголовного розыска поступило сообщение о том, что
5 неизвестных лиц взломали сейф кассы колхоза и похитили круп-
крупную сумму денег. Свидетели успели заметить, что грабители сели
в автобус, следующий по маршруту в соседний город. Об этом сразу
же была поставлена в известность милиция. Как только автобус
остановился на автовокзале, к его дверям подошел инспектор
уголовного розыска и запретил кондуктору открывать дверь авто-
автобуса. Тот сообщил инспектору, что в автобусе 40 пассажиров.
Обыск может привести к значительной задержке автобуса. Инспек-
Инспектор успокоил кондуктора: «Мне достаточно проверить человек 6
пассажиров и сможете ехать дальше!». Он предложил шестерым
наугад выбранным пассажирам зайти в кабинет начальника вокзала.
Один преступник был сразу обнаружен — в его кармане
нашли пачку денег. Он назвал сообщников, и дело было закончено.
Что руководило инспектором: риск или трезвый расчет? К этому
вопросу мы вернемся после решения следующей задачи.
Пусть в ящике имеется п шаров: т белых и я — т черных-
Какова вероятность того, что среди г наудачу вынутых шаров ока-
окажется к белых?
"■ Среди г шаров окажется к белых иг — к черных. Поскольку
белых шаров т, то к белых наугад может быть отобрано Скт спосо-
способами. Соответственно, из п — т черных г — к черных шаров может
быть отобрано Са~т способами. Число выборок, благоприятствую-
благоприятствующих исследуемому событию, равно Скт • С^п. Поскольку из п эле-
элементов группы по г элементов могут быть образованы Сгп способами,
то по формуле D.1)
Р («среди г шариков к белых») = т п~т. (9.2)
114

Это так называемое гипергеометрическое распределение. Исполь-
Использование его поможет объяснить действия инспектора по раскрытию
преступления. Пусть событие А—«среди случайно вызванных
6 пассажиров есть хотя бы один преступник». Пусть событие А{ —-
«среди случайно вызванных 6 пассажиров есть I преступников»
A=1, 2, 3, 4, 5). Тогда
А = А1 + Аъ+ А* + Аь + Аь.
Ясно, что
Р{А) = Р (А,) + Р (Л2) + Р (Л3) + Р (Л4) + Р (Аь).
По формуле (9.2)
С1 С5
Р(А) ^ 0,4192,
С40
Я(Л,)= С5'Сз5 -0,1364,
г6
С40
С4 С2
р (Л4) = —^—51 « 0,0008,
С40
с5, с1
/> М) = —5—51« 0,00001
6
Значит, Р (А) « 0,5734. Вероятность, что среди 6 пассажиров
окажется по крайней мере один преступник, оказывается больше —
По-видимому, инспектор умел пользоваться в необходимых
случаях теорией вероятностей.
Гипергеометрическое распределение может с успехом использо-
использоваться во многих практических ситуациях: при исследовании рас-
распространения инфекционных заболеваний, при контроле качества
изделий и т. д.
9. «СРАЖЕНИЕ»
Два мальчика играют в «сражение». У каждого из них 40 спи-
спичек. Бросается монета. При появлении герба откладывает в сторону
спичку Толя — погиб его первый «солдат», при появлении цифры —
то же самое делает Боря — погиб его «солдат». Игра продолжа-
продолжается до тех пор, пока у одного из них погибает последний «солдат».
Какова вероятность того, что при поражении одного из маль-
мальчиков у второго еще останется 20 спичек?
115

Это так называемая конкретизированная задача Банаха, кото-
которую для широкого круга читателей в свое время опубликовал из-
известный польский математик Штейнгауз. Решим эту задачу Банаха
в общем виде.
Пусть в двух коробках имеется по п спичек. Бросаем монету.
При появлении герба удаляем одну спичку из 1-й коробки, при
появлении цифры — одну спичку из 2-й коробки. Какова ве-
вероятность того, что при полном опустошении 1-й коробки во 2-й
останется т спичек?
Пусть событие А — «при опустошении 1-й коробки во 2-й оста-
осталось т спичек».
Обозначим события:
В^ — «спичка удалена из 1-й коробки»,
Б2 — «спичка удалена из 2-й коробки».
Поскольку подбрасываемая монета симметричная, Р (В^ —
= Р (В2) = —. Если при опустошении 1-й коробки во 2-й ос-
осталось т спичек, то при 2п — т бросаниях монеты «„раз появился
герб, п — т раз цифра. Значит, событие В1 произошло п раз при
2п — т испытаниях. По формуле F.1)
Р (А) = С2п-т ' - ' -^Г = СП2п-т -
-т
По условиям игры мальчиков
40
= ^•^«0,01.
Как видно, шансов выиграть сражение с меньшими, чем у противника
потерями, немного. Кстати, история не спичечных, а настоящих
войн это подтверждает.
10. В ГОСТИ К ДЕДУШКЕ
В городе имеются 24 квартала (рис. 32). Вводим буквенные обо-
обозначения:
п
В
Рис. 32
116

5 — вокзал, В — студенческое общежитие и О — дом дедушки.
Из вагона вышел выпускник средней школы,, мечтающий стать сту-
студентом вуза. Город ему незнаком, но он знает, что следует идти толь-
только вперед и повернуть можно только направо, тогда он попадет
либо в общежитие, либо в дом дедушки. И в том и в другом случав
ночлег обеспечен.
Какова вероятность того, что по пути к дедушке он пройдет и
мимо общежития, если с одинаковой вероятностью может пойти
прямо либо направо?
Решим задачу в общем виде.
Пусть в городе пк кварталов. Общежитие в плане города нахо-
находится на перекрестке т-й горизонтали и 1-й вертикали. Еслм
событие А — «юноша нашел общежитие», то
где Ь — число всевозможных маршрутов, по которым юноша мо-
может добраться до дедушкиного дома, а — число тех маршрутов,
которые проходят мимо общежития.
Какой бы путь ни избрал наш знакомый, все равно ему придется
пройти п -\- к перекрестков (включая точку 5, но не включая В).
На каждом перекрестке он решает, идти ли ему прямо или повер-
повернуть направо. Те перекрестки, от которых он идет прямо, закоди-
закодируем цифрой 1, а те, от которых — направо, цифрой 0. Тогда лю-
любой из маршрутов будущего студента будет закодирован выборкой
из к единиц и п нулей. На рисунке 29 указанному маршруту соот-
соответствует выборка:
0110001100.
Число маршрутов от 5 до О — число перестановок с повторениями
ь _ />,„ „ _ <»+*>'.
( ' л! к\
Число маршрутов, проходящих мимо общежития, равно
произведению числа маршрутов от 5 до В и числа маршрутов
от В до Э,
Тогда
п-
Поэтому
Р(А)= (т-г1У-(п+к — 1 — т)]п1к\
(п + кI т\ 1\ (п — I)! (к — т)\
В нашем случае п =* 4, й = 6, / = 3, т = 3.
Следовательно, искомая вероятность
6! 4! 4! 6! 8
10! 3! 3! 1! 3! 21*
117

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бор ель Э. Вероятность и достоверность. М., Физматгиз,
1961.
Вентцель Е. С. Теория вероятностей. 4-е изд. М., Наука,
1969.
ВиленкинН. Я. Комбинаторика. М., Наука, 1969.
Володин Б. Г. и др. Сборник задач по теории вероятнос-
вероятностей, математической статистике и теории случайных функций.
М., Наука, 1968.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., Физмат-
Физматгиз, 1961.
Гнеденко Б. В., ХинчинА. Я. Элементарное введе-
введение в теорию вероятностей. 6-е изд. М., Наука, 1964.
Кордемский Б. А. Математика изучает случайности. М.,
Просвещение, 1975.
Математика в современном мире. М., Мир, 1967.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных
задач с решениями. М., Наука, 1§75.
Нейман Ю. Вводный курс теории вероятностей и мате-
математической статистики. М., Наука, 1968.
Розанов Ю. А. Лекции по теории вероятностей. М., На-
Наука, 1968.
Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее приложе-
приложения. В 2-х т. М., Мир, 1967.

ПРИЛОЖЕНИЕ
I N1
П( (М —
Таблица I
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
1
1
2
1
2
1
3
I
3
3
1
4
1
4
в
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
9
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
10
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
И
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
12
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
13
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
14
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
15
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
16
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
\^ N
п \^
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
17
• 1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
18
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
19
1
19
171
969
3876
11628
27132
50388
75582
92,378
20
1
20
190
1140
4845
15504
38760
77520
125970
167960
184756
21
1
21
210
1330
5985
20349
54264
116280
203490
293930
352716
22
1
22
231
1540
7315
26334
74613
170544
319770
497420
646646
705432
23
1
23
263
1771
8855
33649
100947
245157
490314
817190
1144066
1352078
24
1
24
276
2024
10626
42504
134596
346104
735471
1307504
1961256
2496144
2704156
25
1
25
300
2300
12650
53130
177100
480700
1081575
2042975
3268760
4457400
5200300
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
26
1
26
321
2600
14950
65780
230230
657800
1562275
3124550
5311735
7726160
9657700
10400600
27
1
27
351
2925
17550
80730
296010
888030
2220075
4686825
8436285
13037895
17383860
20058300
28
1
28
378
3276
20475
98280
376740
1184040
3108105
6906900
13123110
21474180
30421755
37442160
40116600
29
1
29
406
3654
23751
118755
475020
1560780
4292145
10015005
20030010
34597290
51895935
67863915
77558760
30
1
30
435
4060
27405
142506
593775
2035800
5852925
14307150
30045015
54627300
86493225
115759850
145422675
155117520
31
1
31
465
4495
31465
169911
736281
2629575
7888725
20160075
44352165
84672315
141120525
206253075
265182525
300540195
32
1
32
496
4960
35960
201376
906192
3365856
10518300
28048800
64512240
129024480
225792840
347373600
471435600
565722720
601080390
119

-^ N
п ^^-^
0
1
2
3
4
5
6
7'
8
9'
10
11
12
13
14
16
16
17
18
33
1
33
528
5456
40920
237336
1107568
4272048
13884156
38567100
92561040
193536720
354317320
573166440
818809200
10^7158320
1166803110
34
1
34
561
6984
46376
278256
1344904
5379616
18156204
52451256
131128140
286097760
548354040
927983760
1391975640
1855967520
2203961430
2333606220
35
1
35
595
6545
52360
324632
1623160
6724520
23535820
70607460
183579396
417225900
834451800
1476337800
2319959400
3247943160
4059928950
4537567650
36
1
36
630
7140
58905
376992
1947792
8347680
30260340
94143280
254186856
600805296
1251677700
2310789600
3796297200
5567902560
7307872110
8597496600
9075135300
37
1
37
666
7770
66045
435897
2324784
10295472
38608020
124403620
348330136
854992152
1852482996
3562467300
6107086800
9364199760
12875774670
15905368710
17672631900
0
1
2
3
4
5
6
7
• 8 .
,9
10
11
12'
13
и
15
16
17
18
19
20
21
38
1
38
703
8436
73815
601942
2760681
1262025С
48903492
163011640
472733756
1203322288
2707475148
5414950296
9669554100
15471286560
22239974430
2878Ц43380
33578000610
35345263800
39
1
39
•741
9139
82251
575757
3262623
15380937
6152374 8
211915132
635745396
1676056044
3910797436
С122425444
15084504396
25140840660
37711260990
51021117810
62359143990
68923264410
40
1
40
780
9880
91390
658008
3838380
18643560
76904685
273438880
847660528
2311801440
5586853480
12033222880
23206929840
40225345050
62852101650
88732378800
113380261800
131282408400
137846528820
41
1
41
820
10660
101270
749398
4496388
22481940
95548245
350343505
1121099408
3159461968
7898654920
17620076360
352!0152720
63432274896
103077446706
151584480450
202112640600
244662670200
269128937220
42
1
42
862
11480
111930
850668
5245786
26978328
118030185
445891810
1471442973
4280561376
11058116888
26518731280
62860229080
98672427616
166509721602
254661927156
353697121050
446775310800
513791607420
538257874440
120

0
1
2
з. •
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
я\
0
1
2
3
4
б
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1
1
2
4
6
9
12
14
16
1
5
15
36
78
151
265
421
608
800
960
052
1
б
17
62
140
341
751
503
741
568
973
762
551
833
123
43
6
32
145
563
917
752
338
576
378
532
182
171
359
472
566
049
47
1
10
62
314
362
178
417
251
676
643
616
232
188
648
199
479
759
897
801
12
123
962
096
224
008
921
334
004
678
848
960
656
149
648
048
431
918
481
1
16
178
633
737
891
457
649
066
133
400
848
774
304
609
875
125
770
679
587
694
841
1
43
903
341
4Ю
598
454
114
513
995
783
349
264
168
360
696
218
758
206
850
220
860
1
47
081
215
365
739
673
499
495
145
751
617
851
445
795
549
098
414
690
790
106
422
226
550
44
1
44
946
13 244
135 751
1 086 008
7 069 052
38 320 568
177 232 627
708 930 508
2 481 266 778
7 669 339 132
21 090 682 613
51 915 526 432
114 955 808 528
229 911 617 056
416 714 805 914
686 353 797 976
1 029 530 696 964
1 408 831 480 056
1 761 039 350 070
2 012 616 400 080
2 104 098 963 720
48
1
48
1 128
17 296
194 580
1 712 304
12 271 512
73 629 072
377 348 994
1 677 106 640
6 540 715 896
22 595 200 368
69 668 534 468
192 928 249 296
482 320 623 240
1 093 260 079 344
2 254 848 913 647
4 244 421 484 512
7 309 837 001 104
11 541 847 896 480
16 735 679 449 896
22 314 239 266 528
27 385 657 281 648
30 957 699 535 776
32 247 603 683 100
1
1
2
3
3
4
1
3
6
11
18
28
39
49
58
63
3
10
28
73
166
344
646
103
715
438
169
773
116
2
8
29
92
262
675
575
348
499
554
851
277
049
699
343
205
45
1
8
45
215
886
190
150
760
006
871
867
626
068
884
362
870
655
715
49
1
13
85
450
064
217
135
263
596
248
580
108
270
258
684
527
918
896
356
303
14
148
221
145
379
553
163
187
595
021
209
334
425
422
603
494
177
830
750
363
1
18
211
906
983
900
978
455
822
916
734
783
872
702
992
398
485
897
346
716
548
817
218
1
45
990
190
995
759
060
620
195
135
286
910
745
045
960
584
970
890
940
020
126
150
800
1
49
176
424
876
884
816
584
066
634
536
264
836
764
536
584
991
159
616
584
376
424
176
424
876
46
1
46
1035
15 180
1 63 185
1 370 754
9 360 819
53 524 680
260 932 815
1 101 716 330
4 076 350 4»1
13 340 733 196
38 910 617 665
101 766 230 790
239 877 544 005
511 738 760 644
991 493 848 554
1 749 695 026 860
2 818 953 098 830
4 154 246 671 960
5 608 233 007 140
6 943 526 580 276
7 890 371 113 950
8 233 430 727 600
50
1
60
1 225
19 600
230 300
2 118 760
15 890 700
99 884 400
536 878 650
2 5(Г5 433 700
10 272 278 170
37 353 738 800
121 399 651 100
354 860 518 600
937 845 656 300
2 250 829 575 120
4 923 689 695 575
9 847 379 391 160
18 053 528 883 775
30 405 943 383 200
47 129 212 243 960
67 327 446 062 800
88 749 815 264 600
108 043 253 366 600
121 548 660 036 300
126 410 606 437 752
121

Таблица 2
X*
1
у = —г=
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
.0
.1
,2
.3
,4
.5
1.6
1.7
1.8
.9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2.8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3.4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0,0540
0440
0355
0283
' 0224
0175
0136
0104
0079
0060
0,0014
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
2
3989
3961
3894
3790
3653
3485
3292
3079
2850
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0040
0030
0022
0016
ООП
0008
0005
0004
0003
0002
1
3986
3951
3876
3765
3021
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0039
0029
0021
0015
ООП
0008
0005
0004
0003
0002
5
, ,3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
ЗОН
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781.
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
ОНО
0084
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001 ,
122

Таблица 3
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,904837
0,090484'
0,004524
0,000151
0,000004
0,818731
0,163746;
0,016375
0,001091
0,000055|
0,000002
0,740818
0,222245]
0,033337
0,003334
0,000250
0,000015
0,000001
0,670320
0,268128
0,053626
0,007150
0,000715
0,000057
0,000004
0,606531
0,303265
0,075816
0,012636
0,001580
0,000158
0,000013
0,000001
0,548812
0,329287
0,098786
0,019757
0,002964
0,000356
0,000035
0,000003
0,496585
0,347610
0,121663
0,028388
0,004968
0,0006951
0,000081
0,000008
0,449329
0,359463
0,143785
0,038343
0,007669
0,001227
0,000164
0,000019
0,000002
0,406570,
0,365913
0,164661
0,049398;
0,011115)
0,002001
0,000300
0,000039
0,0000041
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
0,367879
0,367879;
0,183940
0,061313
0,015328
0,003066
0,000511
0,000073
0,000009
0,000001
135335
270671
270671
180447
0,090224
0,036089
0,012030
0,003437
0,000859
0,000191
0,000038
0,000007
0,000001
,049787
,149361
,224042
,224042
,168031
,100819
,050409
,021604
,008101
,002701
,000810
,000221
,000055;
,000013
,000003
,000001
0,018316
0,073263
146525
195367
195367
156293
104194
0,059540
0,029770
0,013231
0,005292
0,001925|
0,000642
0,000197
0,000056
0,000015;
0,000004
0,000001
0,006738
0,033690
084224
140374
175467
175467
146223
104445!
065278
036266
018133!
0,008242
0,003434
001321
000472
000157
000049
000014
О
0,000004
0,000001
0,002479
0,014873
0,044618
089235
133853
160623
160623
137677
103258
068838
041303
022529
011262
005199
002228
000891
000334
000118
000039
000012
000004
0,000001
0,000912
0,006383
0,022341
0,052129
0,091226
127717
149003:
149003
130377
101405
0,070983
0,045171
0,026350
0,014188
0,007094
0,003311
0,0014481
000596
000232
000085
000030
ООООЮ
0,000003
0,000001
000335
002684^
010735!
028626
057252!
0,091604
0,122138
139587
139587
124007
099262
0,072190
0,048127
,029616
,016924
,009026
,004513
,002124
0,000944
0,000397
000159
000061
000022|
000008
000003
О
0,000001
0,000123]
0,001111
004998
014994
0,033737
0,060727
091090
117116
131756
131756
0,118580!
0,097020
0,072765
0,050376
0,032384
0,019431
0,010930
0,005786
0,00289
0,001370
0,000617
0,000264
000108
000042'
000016
000006
00000
0,000001
123

Таблица 4
у = ф (х)
X
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,69
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,7$
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1.01
№х) || к
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3112
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,Н
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
.41
.42
,43
,44
,45
,46
.47
.48
,49
!50
,51
52
1,53
1,54
Щх)
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3914
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4 032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
1 х
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
1,55
1,56
]
]
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1.74
1,75
1,76
1.77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
,86
,87
1,88
,89
,90
.91
,92
,93
,94
,95
.96
.97
,98
,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
| Щх)
0,0987
0,1026
0,1064
0.1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
- 0.4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
X
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
Мх)
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4908
0,4913
0.4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985 ■
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,49999997
124

ОТВЕТЫ
I. В, Б и Е. 2. В. 3. А — достоверное событие, В — невозможное собы-
событие. 4. а) А с: С с= В с: В; б) А с: В а С. 5. «Попадание 2 выстрелами». 6. «По
лотерее выиграно либо 10, либо 20, либо 25 руб.». 7. «По лотерее выиграно
не больше 4 руб.». 8. «При подбрасывании двух монет появление хотя бы од-
одного герба». 9. «Мишень поражена не больше чем 100 выстрелами». 10. «При
бросании кости появилось не меньше 4 очков». 11. С/, V, I/. 12. «Попадания
первыми двумя выстрелами». 13. АВС—«появление 1 очка», АВ — «появле-
«появление либо 1, либо 5 очков», АС — «появление либо 1, либо 3 очков», ВС —
«появление либо 1, либо 2, либо 4, либо бочков». 18. А + В — «деталь Либо
I, либо II сорта», А-\-С — «деталь I сорта», АС = V, АВ-\-С— С.
19. а) А = В; б) А = V; в) А = У^ 20. Равенство (в) справедливо. 21. а) А;
б) А В + ВС + С А; в) В. 22. а) АВС; б) АВС_+ АВС + ЛВС; в) ЛВС +
+ ЛВС-Ь АВС; г) ЛВС; д) Л + В + С; е) АВС. 26. Появление 3 очков.
28. а) Да; б) нет; в) да; г) да. 29. Полная группа попарно несовместимых собы-
событий в случае (а). 30. а) Да; б) нет. 32. 303 600. 33. С^50. 34. 60. 35. 36.
36. 1512. 38. 125. 39. 43 200. 40. Скп_к+1. 41. 151 200. 42. 151 200.
43. 6006. 45. 55. 46. 6435. 47. 35. 48. 243. 49. 16. 50. Не больше 232.
51. 729.52.81. 53. 2000. 54. 31. 56. 267 148. 57. 1, 3, 11. 58.25.
59. 66 660. 60. 126. 61. 17 760. 62. 2048. 63. 231. 64. 518 184. 65. Съ„ 9.
66. 261. 67. 283 824. 68. 5 788 889. 69. —.70: Р (Л) = —, Р (В) =
120 V ' 216 '
= ^-, Р (С) = -. 71. 4-10 • 12 500. 72. -. 73. 0,5. 74. 0,42. 75. 0,46.
оо Э4 2*1
76. —. 77. С\'~. 78. —. 79. 0,33. 80. Неуклюжая. 81. 0,3024.
С%2 "п 55
602—F0 —аJ 80 49 I
82. 0,00077. 83. ^ —. 84. . 85. —■. 86. A0))-?. 87. г—. X
602 153 256 ; с%
X [С-+1 • С"---1 + С-+2- С-:--2 + ... + С»МСЪ_М ].
( ( к) 5 609 256
88. Л .89. 1 -
(я — т)\ (п —к)\ 5 609 256 864 44
А!Л/ 90 0 106 9, 92 93 94. . 95. -.
1779 85
п\{п — т — к)\ 36 . 625 715 1779 85
96. —. 97. а) 0,5; б) 0,333; б) 0,167. 98. а) 0,35; б) 0,4; в) 0,45; г) 0,45.
18
99.0,331. 100. 2р — р2. 101. —. 102. ~. 103. 1-/-Г. 104. а) 1 —
-A— рI0; б) Юр A — р)9; в) 45р? A — р)*. 105. а) 0,5814; 6H,06965;
19
в) 0,9942. 106. 0,302. 107. —. 108. Р11Р22Р23 + РяРнРгэ +
144
109. 3 из 4. ПО. а) 0,455; б) 0,468; в) 0,181. 111. —. 112. С'Ч—\ ,
46 \п I \ п
113. я > 70. 114. 0,2384. 115. 0,491. 116. 8. 117. а) 0,254; б) 0,133; в) 0,167.
82 83
118. 191 < п < 197. 119.-6. 120. 23. 121. — < р < —. 122. 0,00012.
123. т р= 600. 124. т ж 80. 125. 0,0132. 126. 0,0017. 127. Возможности почти
равные. 128. 0,036. 129. 0,972. 130. 0,009. 131. 0,147. 132. 55. 133. а) 0,0101;
б) 0,1089; в) 0,2541. 134. 0,09. 135. 0,9596. 136. 0,997. 137. а) 0,1353; б) 0,8572.
/60120 60121 6010000\ /60° 60
138. а) е~60 (- + + ... + ; б) е-60 I Н — +
; \ 120! ^ 121! ^ ^10 000!/ ' \ 0! 1!
125

6080 \
+ ... Н .139.86. 140. 0,26. 141.0,985. 142. 511. 143. 0,96.144.583.
80! /
145. 576. 146.0,131.147. 0,9991. 148. 0,929. 149 =: 1. 150. Нет. 151. 31618.
152.0,00217. 153. 3,5.154.2,734. 155. 3,15. 156.3—4.157. 10.158. 8; 4—5.
к
159. 10.160.0,938. 161. —.162.8,-1, 15, 75. 163. Стоит. 164. Не стоит.
Р
165. , — . 166. 2. 167. О Ц) = 4,79. 168. М (|2)= 328,8. 169. 10,03.
170. 182,5. 171. 4,9; 1,8. 172. ~. 173. 1,2; 0,72. 174.-; —. 175. 0,48.
176. 0,285. 177. 0; п. 178. 1; 1. 179. 2,4; 1,99. 180. хг = 1; х2 = 2; рх =»
= 0,6; р2 = 0,4- 181. —а; —а — 1; 2а — 5; Ь\ Ь\ 46. 182. Х\ = 1; Х2 = 2;
Зп 15л 3 15 4 9
^3=3; р1 = 0,3; рг = 0,2; р3 = 0,5. 183. -; —; -; —. 184. -^; -.
а^ ай^ (а 4- Ь — к)
185. ; ^—— -. 186. 0,1359. 187. 0,6826. 188. 0,8664. 189. 0 =
а + Ь (а+ЬJ(а+Ь—1) ^
= 1,0156 мк. 190. р = 0,0456. 191. п = 456. 192. 15 мк.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Слово к читателю 3
I. Кое-что из прошлого теории вероятностей 4
II. Случайные события и операции над ними 10
1. Случайное событие ' —
2. Множество элементарных событий 12
3. Отношения между событиями —
4. Операции над событиями 14
5. Полная группа событий 21
III. Наука о подсчете числа комбинаций —комбинаторика 22
1. Общие правила комбинаторики 23
2. Выборки элементов 24
3. Выборки с повторениями 28
4. Сложная комбинаторика 32
IV. Вероятность события 35
V. Операции над вероятностями 42
1. Вероятность суммы несовместимых событий —
2. Вероятность суммы совместимых событий 44
3. Условные вероятности 46
4. Вероятность произведения независимых событий ....... 48
5. Формула полной вероятности 50
VI. Независимые повторные испытания 55
1. Формула Я. Бернулли —
2. Формула Муавра—Лапласа 60
3. Формула Пуассона 62
4. Формула Лапласа 65
VII. Дискретные случайные величины и их характеристики 68
1. Математическое ожидание 70
2. Дисперсия 76
3. Неравенство Чебышева и закон больших чисел 80
4. Распределение Пуассона 84
VIII. Непрерывные случайные величины и их характеристики 88
1. Плотность распределения 90
2. Математическое ожидание 93
3. Дисперсия 95
4. Нормальное распределение —
5. Понятие о теореме Ляпунова 98
6. Показательное распределение 102
IX. Немножко странно, но интересно 104
1. Умная игла (задача Бгаффона) —
2. Задача шевалье де Мере 106
3. Отдайте мою шапку , , 108
127

4. Метеорологический парадокс 1 =* 1, 7 НО
5. Чтобы покупатели были довольны
6. Парадокс Бертрана . , , 1Ц
7. Случайность или система? , . из
8. Преступление раскрыто 114
9. «Сражение» 115
10. В гости к дедушке П6
Список литературы 118
Приложение 119
Ответы 125
Витаутас Степанович Лютикас
ШКОЛЬНИКУ О ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Спец. редактор В. Н, Березин
Редакторы Ж. П. Данилова и Л. б. Антонова
Художник обложки В. Л. Николаев
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор Н. А. Киселева
Корректоры А. А. Гусельникова, О. В. Ивашкина
№ 7328
Сдано в набор И.08.82. Подписано к печати 07.01.83. Формат 60Х907|з. Бумага тип. М"» 3
Гарнит лит. Печать высокая. Печ. л. 8,0. Усл. кр. отт. 8,25. Уч.-изд. л. 7,61. Тираж 78 5Ш эк*
Заказ 3286. Цена 20 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного ко-
комитета по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й прос
Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с матриц Саратовского ордена Трудового Красного Знамени 1
комбината в областной типографии управления издательств, полиграфии и
торговли Ивановского облисполкома, 153628, г. Иваново, ул. Типографская, о.