/
Text
ISSN 0130-9358
научно-теоретический и методический журнал
в школе
О прикладной
ориентации курса
математики
Строение
базовой системы
уроков
шит
Новая
аттестация
по геометрии
Уважаемый коллега!
Шестой номер журнала мы открываем статьей
Виктора Васильевича Фирсова «О прикладной ори-
ентации курса математики». Это дань памяти недав-
но ушедшему от нас крупному ученому-педагогу.
Тему практической направленности математики
продолжает статья В.И.Рыжика «Геометрия и прак-
тика».
*
Обратите внимание на материал С.Г.Манвелова
«Строение базовой системы уроков», где наряду с
традиционными формами организации учебного
процесса рассматривается целая палитра «нестан-
дартных» уроков.
В номере есть две дидактические статьи. Первая
адресована учителям, работающим с учебником по
алгебре А.Г.Мордковича для 9 классов с углублен-
ным изучением математики, ее авторы Л.И.Звавич,
И.И.Кулагина и А.Р.Рязановский. Во второй —
продолжение статьи М.П.Нечаева.
*
Рекомендуем прочитать статью А.Д.Блинкова и
Т.М.Мищенко «О новой форме проведения государ-
ственной итоговой аттестации по курсу геометрии
основной школы».
*
И в заключение отметим полемическую статью
молодого учителя В.М.Бусева «О профессиональ-
ном методическом сообществе учителей математи-
ки», где автор не только говорит о необходимости
такого сообщества, но и размышляет о статусе пе-
дагога в нашей стране.
• Министерство образования Российской Федерации • ООО «Школьная Пресса» •
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
Издается с мая 1934 г.
Выходит 10 раз в год
6
2006
МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ
2 [Фирсов ЕВ]
О прикладной ориентации курса математики
9 Рыжик В.И.
Геометрия и практика
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
52 Виситаева М.Б.
Олимпиада по математике в Чеченской
Республике
58 Емельянов Л.А.
Точка Шиффлера
КОНСУЛЬТАЦИЯ
18 Манвелов С. Г.
Строение базовой системы уроков
математики
28 Звавич Л.И., Кулагина И.И., Рязановский А.Р.
О преподавании курса алгебры в IX классах
с углубленным или предпрофильным
изучением математики
33 Нечаев М.П.
Планирование и контрольные работы
по геометрии в IX—XI классах
ЗАДАЧИ
61
МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР
65 Тимофеева И.Л.
Замечания о задачах на отрицание
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
67 Петров В.А.
Репетитор глазами экзаменатора
ВЫПУСКНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ В ШКОЛЕ
37 Блинков А.Д., Мищенко Т.М.
О новой форме проведения государственной
итоговой аттестации по курсу геометрии
основной школы
ВОПРОС? - ОТВЕТ!
74 Дорофеев Г. В.
Понятие группы в школьной математике
ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ
43 Бусев В.М.
О профессиональном методическом
сообществе учителей математики
ХРОНИКА
76 Вавилов В.В., Часовских А.А.
VI Школьные Колмогоровские чтения
78 Шапкина В.Н.
Научно-методический семинар «Передовые
идеи в преподавании математики в России
и за рубежом» в 2005—2006 учебном году
Рукописи, поступившие в редакцию, не рецензируются и не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы
Главный редактор А.И. Верченко Заместитель главного редактора А. А. Лаврентьев Редакторы отделов Н.М.Карпушина, Е.В.Неискашова Младший редактор Е.А. Шевчук Отдел задач С.И.Токарев Заведующая редакцией Н.А. Мишвеладзе Компьютерная верстка В.Н.Бармин Издательство ООО «Школьная Пресса» Адрес издательства: 127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3 Телефоны: 619-52-87, 619-83-80 Факс: 619-52-89 Адрес редакции: 127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3 Телефоны: 619-52-87, 619-52-89 (факс) E-mail: mathematics@schoolpress.ru Журнал зарегистрирован Министерством РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций Свидетельство о регистрации ПИ № 77-9829 от 17 сентября 2001 г. Формат 84x108 1/16 Тираж 34 000 экз. Изд. № 1002. Заказ 1880. Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени «Чеховский полиграфический комбинат» 142300, г. Чехов Московской области Тел./факс: (501) 443-92-17, (272) 6-25-36 E-mail: marketing@chpk.ru © «Школьная Пресса» © «Математика в школе», 2006, № 6
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Запрещается воспроизведение всего журнала
или любой его статьи без письменного разрешения издателя. Любая попытка нарушения закона будет преследоваться в судебном порядке
2
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ
|В.В.Фирсов|
О ПРИКЛАДНОЙ ОРИЕНТАЦИИ
КУРСА МАТЕМАТИКИ
От редакции. Этот номер журнала мы открываем первой частью статьи
Виктора Васильевича Фирсова. Это дань памяти недавно ушедшему от нас
крупному ученому-педагогу. Предлагаем вам ознакомиться с его взглядом
на проблемы математического образования. Затронутые в статье проблемы
до сих пор актуальны, несмотря на то, что она была написана почти трид-
цать лет назад. Отметим, что текст статьи приводится без сокращений и
дополнительной редактуры. Мы только добавили сноски, поясняющие мо-
лодым учителям смысл некоторых терминов.
Введение
Школы и классы с углубленным изучением ма-
тематики возникли и развивались в направлении
подготовки будущих математиков. Для выпуск-
ников этих школ наиболее естественным путем
был либо путь продолжения математического об-
разования, либо работа в областях, существенно
связанных с применениями математики и, как
правило, с использованием ЭВМ1 2. Вместе с тем
заметная доля таких учащихся связывала свою
судьбу не с математикой, а с техникой. Сейчас, в
момент значительного расширения системы уг-
лубленного изучения отдельных предметов, эта
доля возрастает, притом не только абсолютно, но
и относительно. Это ставит вопрос о специфике
математической подготовки таких учащихся в
рамках углубленного изучения в школе.
Уровень математического развития, достигае-
мый в школе при обучении будущего математика,
не может и не должен совпадать с подобным уров-
нем для будущего инженера или техника. При этом
объем усваиваемой будущим инженером матема-
тической культуры должен заметно отличаться от
подобного объема для будущего математика вклю-
чением тех ее компонентов, которые наиболее су-
щественны в инженерно-технической практике.
В первую очередь, это означает перенесение ак-
цента с качественных выводов на количественные,
усиление внимания к изучению формализующих
и интерпретирующих этапов, показывающих рам-
ки ограниченности математических моделей. Уро-
вень формализованности развиваемых математи-
ческих моделей здесь необходимо отличается от
1 ЭВМ — электронно-вычислительная машина.
традиционного, в большей мере допустимы и по-
лезны наивно-интуитивные рассуждения, основан-
ные на здравом смысле. Меняется также отноше-
ние к глубине усвоения ряда разделов, традицион-
ных в обычном и углубленном изучении. Углуб-
ленное изучение математики, проводимое на та-
кой основе, в большей степени, чем это имеет
место сейчас, может и должно связываться с изу-
чением физики, черчения, технического модели-
рования, предметов трудового обучения.
Вместе с тем углубленное изучение математики,
организуемое на новой основе, необходимо тре-
бует соответствующей прикладной ориентации
курса математики, вопросам осуществления ко-
торой (по отношению к общему курсу) посвяще-
на настоящая статья.
Принципиальная реформа среднего и высшего
математического образования, проводимая сей-
2
час во многих странах мира , является не только
отражением новых педагогических идей. В гораз-
до большей степени эта реформа связана с изме-
нением той роли, которую играет математичес-
кая наука в решении задач, возникающих в про-
цессе развития общества.
Наше время характеризуется бурным проник-
новением математики во все сферы человеческой
деятельности. Появление новых наук, базирую-
щихся на математических представлениях и ме-
тодах исследования, проникновение математики
в традиционно далекие от нее области знания и
практической деятельности, все более развиваю-
щаяся математизация естествознания — все это
2 Имеется в виду реформа, основанная на теоретико-мно-
жественном подходе.
МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ
3
поставило математику в положение науки с уни-
версальной сферой приложений. Научно-техничес-
кая революция необычайно ускорила этот про-
цесс и выдвинула математику на первое место в
ряду тех «фундаментальных» наук, развитие ко-
торых определяет перспективы научно-техничес-
кого прогресса.
Становление математики как науки происхо-
дило на сложном и диалектически противоречи-
вом пути. Возникнув как чисто опытная естест-
веннонаучная дисциплина, изучающая и обобща-
ющая практику измерения и счета, математика
получила в трудах великих греческих ученых из-
вестную независимость от практики и трактова-
лась иногда как творение чистого разума. В этом
направлении были получены результаты, во мно-
гом определяющие стиль и метод даже современ-
ных математических исследований. Второй круп-
нейший взлет математической мысли, которому
человечество обязано открытием дифференциаль-
ного и интегрального исчислений, снова был
обязан своим рождением проблематике, возник-
шей в сфере приложений. Анализ бесконечно
малых в своем начальном состоянии — в трудах
Кеплера, Ньютона, Лейбница, Эйлера — не удов-
летворял критериям логической строгости, выра-
ботанным великими греками; однако практичес-
кая ценность полученных здесь результатов с
лихвой окупала временный отход от традиций.
Уложенный Коши и его последователями в про-
крустово ложе теории пределов, анализ бесконеч-
но малых стал впоследствии вполне традицион-
ным финитным методом3, пока развитие теории
множеств и математической логики не пошатну-
ло всего здания математики и не потребовало ре-
шительной его перестройки на базе чисто логиче-
ских конструкций, развивавшихся Гильбертом,
3 Финитизм — идущая от Д. Гильберта методологическая
точка зрения на то, какие объекты и способы рассуждений
в математике следует считать абсолютно надежными. Основ-
ные требования финитизма таковы:
1) объекты рассуждений — конструктивные объекты, на-
пример цифровые записи натуральных чисел, формул в сим-
волическом языке и их конечные совокупности;
2) применяемые операции однозначно определены и
принципиально выполнимы (вычислимы);
3) никогда не рассматривается множество всех предме-
тов х какой-либо бесконечной совокупности; всеобщее
суждение Л(х) есть высказывание о произвольном объекте
х, которое подтверждается в каждом конкретном случае;
4) утверждение о существовании объекта х, обладающе-
го свойством А(х), означает либо предъявление конкретно-
го такого объекта, либо указание способа его построения.
Расселом и др. В последние годы математика ис-
пытала новый взлет, вызванный открытием новых
ее приложений и связанный с именами Н.Винера,
А.Н.Колмогорова, К.Шеннона, Дж. фон Нейма-
на. Однако одновременно возникла и чисто ло-
гическая школа Бурбаки, старательно избегающая
в своих трудах каких бы то ни было упоминаний
о связи математики с реальным миром. Этот про-
цесс, по-видимому, будет продолжаться бесконеч-
но, но крайне важно отметить наличие двух про-
тивоборствующих и взаимно оплодотворяющих
его тенденций.
Развитие математики во все времена определя-
лось двумя движущими силами. Одна — «внешняя
сила» — связана с потребностями человеческой
практики, понимаемой не в узко утилитарном
смысле, но широко — как совокупности умствен-
ной и физической деятельности людей. Другая —
«внутренняя сила» — вытекает из необходимости
систематизации и обобщения накопленного ма-
териала, приведения его в порядок в соответст-
вии с канонами математики. Эти силы и проеци-
руют два направления в математике, которые ус-
ловно можно назвать «прикладным» и «теорети-
ческим». Принципиальные достижения матема-
тической мысли всегда были связаны с обоими
этими направлениями. Так, казалось бы, чисто
«теоретическое» исследование независимости
пятого постулата Евклида от остальных аксиом
геометрии, предпринятое Лобачевским, Бойяи и
Гауссом, привело к существенному изменению
наших представлений о мире и легло в основу
работ, сделавших возможным открытие принципов
относительности. С другой стороны, появление
электронных вычислительных машин, целиком
обязанное чисто практическим целям, открыло
пути к развитию фундаментальных теоретических
исследований, связанных с изучением математи-
ческих объектов дискретной природы.
Любая объективная картина состояния мате-
матики не может не описывать этих направлений
развития науки, не может определять приоритет
той или иной тенденции безоговорочно и на все
времена. Пренебрежение прикладной стороной
математики может привести к отрыву теории от
практики, к возникновению псевдотеорий, един-
ственной положительной чертой которых явля-
ется их логическая непротиворечивость. Не ме-
нее опасно пренебрежение теоретической сторо-
ной математики, утилитарный подход к науке,
ведущий к забвению фундаментальных исследо-
4
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
ваний и в конечном итоге вредящий практике.
Вульгаризация картины науки, забвение одних ее
черт ради других, хотя бы и очень важных, —
недопустимы. Единство математики проявляется
во взаимопроникновении прикладного и теоре-
тического направлений, в их взаимном обогаще-
нии и влиянии.
Математическое образование всегда создает в
умах учащихся некоторую картину состояния и
развития математики. Важно, чтобы эта картина
соответствовала реальности, отражала на доступ-
ном для учащихся уровне действительные взаи-
мосвязи математики с окружающим миром.
Математическое образование в своем развитии
не могло не отразить диалектической сложности
характера самой науки. До сих пор еще встреча-
ются апологеты рецептурного изучения матема-
тики по Ахмесу: «делай, как предписано». Тем не
менее в столь явно выраженной форме подобная
методика уже не пропагандируется. Повсеместно
принят курс на обучение, основанное на пони-
мании изучаемого материала. Таким образом, не
вдаваясь в анализ лежащих здесь проблем, мож-
но констатировать, что теоретическое направле-
ние математики находит свое место в математи-
ческом образовании.
Показательной в этом отношении является но-
вая программа по математике для средней обще-
образовательной школы. В содержание этой про-
граммы включены многие важные и новые для
школы математические понятия и факты, отра-
жающие на доступном для учащихся уровне ма-
тематику сегодняшнего дня. Отвлекаясь от не-
принципиальных в математическом отношении
частностей, составители программы пошли по
линии повышения теоретического уровня школь-
ного математического образования, приближения
его содержания к содержанию математической
науки. Заметим, что этот процесс представляется
безусловно необходимым не только со стороны
теоретического, но и со стороны практического
направления математики: практические приложе-
ния науки связаны с идейно богатыми математи-
ческими концепциями и отражают их уровень.
Можно даже сформулировать некую общую за-
кономерность, выражающую тот факт, что повы-
шение научного уровня образования всегда приводит
к расширению сферы его возможных приложений.
Однако проводимая во всем мире реформа
среднего математического образования иногда
вызывает протесты представителей естественно-
научных и технических дисциплин. Это происхо-
дит в тех случаях, когда учащимся предлагается
чисто теоретический курс математики, методоло-
гически оторванный от практики. Содержатель-
ное изложение математики в таком курсе подме-
няется построением формальной модели, мало
связываемой с приложениями. При этом даже
такие богатые в прикладном отношении разделы
математики, как дифференциальное и интеграль-
ное исчисления, теория вероятностей и т.п., час-
то излагаются формально. Включение в подоб-
ные курсы прикладного содержания происходит
на декларативном уровне, создающем лишь ви-
димость насыщения его прикладным материалом.
Поэтому сейчас, в процессе перехода на новое
содержание школьного математического образова-
ния, крайне важно методически правильно изло-
жить это содержание, связав воедино теоретиче-
скую и прикладную линии в едином курсе матема-
тики. Еще более важной становится эта задача
при разработке будущего содержания курса мате-
матики в школе.
Методическая наука имеет в своем активе зна-
чительное число работ, в которых рассматрива-
ются проблемы, связанные с изучением в школе
приложений математики. Исследования в этих на-
правлениях, бесспорно, обогатят курс математи-
ки в школе, доставив большие возможности во-
влечения в процесс обучения знаний, навыков и
умений, характерных для «прикладной» матема-
тики. Легко видеть, однако, что введения новых
прикладных областей в объем среднего матема-
тического образований совершенно недостаточ-
но, ибо возможности подобного введения прин-
ципиально ограничены. Пожалуй, еще более су-
щественным является то обстоятельство, что ог-
раничены также и возможности введения в
школьный курс математики непосредственных
иллюстраций практического применения матема-
тики к решению внематематических задач. Дей-
ствительно, само изучение математической тео-
рии и развитие умения пользоваться ею для ре-
шения чисто математических задач — дело весьма
трудоемкое, занимающее львиную долю времени,
отводимого на математику в школе.
Таким образом, возникает проблема отраже-
ния прикладного направления математической
науки при изучении разделов математики, для
которых возможности практической иллюстрации
в школьном курсе принципиально ограничены и
иногда невелики. Исследование этой проблемы
МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ
5
необходимо предполагает анализ математической
науки как инструмента познания и выявление
характерных особенностей процесса применения
математики к решению практических задач. На
базе такого анализа можно будет выявить специ-
фику прикладного направления в математике и
понять, каким образом прикладные аспекты мо-
гут быть вовлечены в процесс изучения теорети-
ческой математики.
Естественно предположить, что математике
можно учить так, чтобы полученным в процессе
изучения математическим аппаратом было бы
удобно и естественно пользоваться. Иными сло-
вами, цель заключается в разработке методики
такого обучения, в результате которого (при воз-
никновении у человека необходимости применить
к решению конкретной практической задачи по-
лученные на школьной скамье знания, навыки
или умения) эти компоненты математической
культуры оказались бы подготовленными к тако-
му применению еще в школе. Логично восполь-
зоваться по отношению к гипотетическому курсу
математики, обладающему такими особенностя-
ми, следующей терминологией: мы будем гово-
рить о прикладной направленности
курса математики. Настоящая работа не претен-
дует на исчерпывающий анализ всех возникаю-
щих здесь весьма сложных задач. Наша цель
скромнее: мы предпримем попытку обосновать
возможность прикладной ориентации среднего
математического образования, выявив некоторые
основные черты, характеризующие прикладную
направленность курса математики в школе. Нам
представляется, что дальнейшая работа в указан-
ном направлении может способствовать совер-
шенствованию среднего математического образо-
вания, заняв свое место в решении общей про-
блемы политехнизма4 в школьном образовании.
Математика как инструмент познания
1. Решение общих содержательно-методичес-
ких задач обучения математике должно быть ос-
новано на исследовании закономерностей, свя-
4 Политехническое образование можно определить как
принцип организации содержания и преподавания общеоб-
разовательных учебных предметов — вариант практической
реализации идеи трудовой школы. Предполагается ознаком-
ление учащихся в теории и на практике с принципами со-
временного производства и лежащими в их основе законами
развития природы и общества, формирование трудовых уме-
ний и навыков учащихся. Политехническое образование —
фундамент последующей профессиональной подготовки.
занных с характером функционирования матема-
тической науки. Это обстоятельство делает необ-
ходимым анализ роли и места математики как
инструмента познания объективной действитель-
ности, ее взаимосвязей с другими науками и фор-
мами человеческой деятельности,. Для этого уточ-
ним вначале достаточно известные положения
научной философии.
В основе материалистической теории познания
лежит признание внешнего мира, существующе-
го независимо от познающего его субъекта, в со-
знании которого отражается этот мир. Это отра-
жение имеет достаточно сложный характер, не
связанный только с тем, что воспринимает чело-
век посредством своих органов чувств. Сознатель-
ная деятельность человека позволяет ему не толь-
ко упорядочивать эти показания, но и создавать
модели, не связанные прямо с непосредственным
восприятием. Однако признание первичности
объективной действительности в многообразии ее
форм и закономерностей необходимо предпола-
гает, что эти закономерности, возможно, и не
понятые пока человеком, все же отражаются ка-
ким-то образом и на результатах его сознатель-
ной функции, т.е., в частности, и на создаваемых
им умозрительных моделях.
Наука представляет собой один из самых мощ-
ных инструментов познания. Существо всякой на-
уки заключается в том, что она являет собой ор-
ганизованное знание о мире. Сама совокупность
знаний еще не дает науки. Накопление таких
знаний, не объединенных в организованную си-
стему, характерно для донаучных стадий разви-
тия тех или иных дисциплин. Наука возникает
тогда, когда исходная описательная совокупность
фактов логическим образом организуется: в этой
совокупности выявляются взаимосвязи, позволя-
ющие логически упорядочивать исходные данные
и выводить утверждения, относящиеся к множе-
ствам таких фактов и к новым фактам.
Разумеется, математическая наука также не ми-
новала стадии донаучного знания. Греки, возмож-
но, первыми заметили, что организация матема-
тических фактов, т.е. методы их сопоставления
между собой, представляют исключительный по
идейному богатству интерес. Не исключено, что
это открытие обязано в определенной мере тому,
что исходная совокупность фактов была не так
велика и, в силу их общности, не так многооб-
разна. Тем не менее в математике (особенно это
относится к геометрии) организация исходного
6
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
материала оказалась в описываемый период на-
столько плодотворной, что удалось не только
произвести абстрагирование на базе исходных
фактов, но и построить дедуктивную систему их
взаимосвязи.
Переход к строго дедуктивному мышлению в
математике диктовался в значительной степени
тем обстоятельством, что проверка истин-
ности математических утверждений наталкива-
лась на серьезные трудности. Достаточно вспом-
нить, в каких муках рождалось представление о
неограниченности натурального ряда чисел, ес-
тественно, не подтверждаемое никаким наблю-
дением. Здесь можно указать на замечательный
и, возможно, самый последний в своем роде при-
мер подтверждения математической истины хотя
и мысленным, но все же физическим экспери-
ментом — работу Архимеда «Исчисление песчи-
нок», в которой существование больших чисел ос-
новывалось на подсчете числа песчинок, которые
могут заполнить мыслимую вселенную.
Именно в этом месте и возникло отличие
классической математики от других наук о при-
роде. Любая естественнонаучная дисциплина, ор-
ганизуя свои исходные данные или, как теперь
принято говорить, строя модель окружающего
мира, имеет способ проверки степени адекватно-
сти этой модели исходному явлению, способ про-
верки правильности своих утверждений. Этот
способ сводится к сопоставлению полученных ут-
верждений с теми фактами, которые не вовлека-
лись в процесс получения этих утверждений. Если
эти факты опровергают теорию, то, независимо
от того, насколько эта теория удачно связывала
между собой старые факты, она отбрасывается.
Достаточно привести почти современный пример:
теория эфирного моря была опровергнута экспе-
риментом Майкельсона, уступив место специаль-
ной теории относительности Эйнштейна.
Бесспорно, что в античные времена ученые рас-
сматривали математику как естественную
науку, понимая под прямой — траекторию све-
тового луча, под конусом — материальный конус
(«шишку» — как переводится греческое слово
«конус»), и т.п. Однако стройность и точность ге-
ометрической структуры — по существу единст-
венной в те времена подлинно научной органи-
зации фактов — казались настолько неопровер-
жимыми и самодовлеющими, что, наверное, если
бы греки обнаружили, что вычисленный геомет-
рически объем конуса не совпадает с реальным,
т.е. что математическая теория не совпадает с экс-
периментом, они все-таки сохранили бы теорию.
Действительно, их вера в математическую теорию
была столь велика, что обнаружение парадоксаль-
ных, по их мнению, моментов внутри теории (мы
имеем в виду открытие несоизмеримости сторон и
диагоналей квадрата) нанесло античной матема-
тике такой удар, от которого ей удалось оправить-
ся лишь через столетия. Таким образом, матема-
тика эллинской эпохи сформировала представле-
ние о ценности собственно математической тео-
рии, и это представление осталось в веках.
Представление о математике как о естествен-
нонаучной дисциплине, утверждения которой до-
ставляют нам знания о свойствах окружающего
нас реального, а не идеализированного простран-
ства, а поэтому могут быть подвергнуты экспери-
ментальной проверке, оказалось значительно по-
дорванным после открытия неевклидовых геоме-
трий. Именно работы Лобачевского, Гаусса, Бой-
яи, а позднее и Римана, послужили отправным
пунктом возникновения формалистической точ-
ки зрения, творцом которой, бесспорно, можно
считать Гильберта. В его трудах и в трудах его
последователей возникла и оформилась концеп-
ция математики как строго дедуктивной науки,
оперирующей по заданным правилам над неко-
торыми неопределяемыми понятиями и отноше-
ниями. Программой этого направления могли бы
служить слова Рассела: «Математика есть докт-
рина, в которой неизвестно, о чем мы говорим и
верно ли то, что мы говорим». Популяризаторы
развили этот тезис до сравнения математики с
шахматной игрой: в шахматах тоже некоторые
неопределяемые понятия (конь — что это такое?)
вступают в заранее заданные правилами игры
соотношения. Подобное сравнение уместно раз-
ве что при объяснении идеи формального мето-
да: по отношению же к математике оно является
бесспорным искажением существа вопроса.
В рамках указанной концепции естественно
возникает вопрос о степени произвольности «пра-
вил игры», а также о том, откуда они возникают.
Некоторые ученые, вдохновленные появлением
неожиданных приложений математического ап-
парата к тем явлениям, о которых не мыслилось
в процессе его построения, задают себе вопрос:
«Почему «природа» играет в математическую
игру?» [1].
По всей видимости, вопрос этот неправильно
поставлен. Природа не играет с нами в игры, но
МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ
7
люди открывают ее законы и взаимосвязи таких
законов. Произвольность выбора правил в мате-
матике только кажущаяся. В конце концов
она ограничена хотя бы тем, что исходные по-
сылки возникают в голове человека, а следова-
тельно, в определенном смысле детерминирова-
ны законами мышления. Кроме того, эти посыл-
ки возникают при попытках описать свойства
реально существующих объектов (реален не толь-
ко паровоз, но реально и дифференциальное урав-
нение). Сказанное, разумеется, не следует пони-
мать так, что невозможно измыслить абсолютно
дикие «правила игры». Однако такие правила, во-
первых, не будут все же вполне произвольны и,
во-вторых, не приведут к содержательной струк-
туре, связываемой с другими разделами матема-
тики, и поэтому погибнут за ненадобностью. Сам
же факт обнаружения взаимосвязей различных
теорий и появления новых сфер их приложения
является иллюстрацией существования некото-
рого более общего правила или закона, пока не
познанного людьми.
2. В процессе обоснования формалистической
доктрины удалось показать неосуществимость ее
идеала. Возникли иные направления и школы, от-
вечающие на вопрос, какой следует быть матема-
тике. Число их продолжает расти. Пожалуй, наи-
более поразительным является то обстоятельство,
что итоги их работы сравнительно мало затронули
материал математической науки. Более того, ре-
комендации даже влиятельных логико-математи-
ческих школ без энтузиазма воспринимаются ма-
тематиками «традиционного направления».
Поучителен пример огромной роли в тополо-
гии и современном анализе утверждений экзис-
тенциального характера, отвергаемых многими
направлениями в математической логике и осно-
ваниях математики.
В чем же причина того, что, пожалуй, боль-
шинству из ныне работающих математиков нет
дела до многих «новаций» математического ха-
рактера и их мало беспокоит тревожное положе-
ние самих основ математической науки, вскры-
ваемое парадоксами Рассела или теоремами Ге-
деля? Вряд ли ответ на этот вопрос можно найти,
ссылаясь на специализацию, характерную для
науки XX века. Причина должна лежать глубже,
и, что более важно, она не может зависеть от
широты математического кругозора того или ино-
го специалиста или специалистов. Причина долж-
на иметь объективный характер. Нам представ-
ляется, что правильное объяснение может прояс-
нить следующая аналогия.
Попробуем сравнить математику с языком, тем
более, что это сравнение не столь уж произволь-
но — вспомним выражение Гиббса: «Математи-
ка — это язык!» Тогда свод формально-граммати-
ческих правил естественно отождествить с набо-
ром формальных математических методов, при-
емов и утверждений. Но сводится ли язык только
к грамматике? Наука о языке давно отрицатель-
но ответила на этот вопрос: знаменитая «глокая
куздра» Л.В.Щербы показывает это вполне явст-
венно, хотя в то же время и наводит на мысль,
что правильная грамматическая конструкция со-
общает нам что-то и о существе дела. Наоборот,
нетрудно придумать фразу, понятную даже ребен-
ку, но грамматически неверную. Разумеется, эти
факты ничего не объясняют, но показывают, что
семантика не сводима к грамматике. Аналогично
положение и в математике: формальное построе-
ние и обоснование какой-либо теории не состав-
ляют всего содержания этой теории, хотя и непо-
средственно с ним связаны.
Естественно, что в историческом плане содер-
жание развитой математической теории предше-
ствовало ее логическому и формализованному из-
ложению. Так, труды Ньютона, Лейбница, Эйле-
ра в анализе изложены «грамматически неверно»,
что не мешало им тем не менее нести всеми при-
знанное, а теперь уже и формализованное содер-
жание.
Это-то содержание, если угодно, «с е м а н т и -
к а» математической теории и обеспечивает цель-
ность всего здания математики, позволяет откры-
вать новые факты, не связывая себя пока жест-
кими правилами математической «грамматики».
Реальность, лежащая в основе семантики мате-
матики, и позволяет математикам, образно гово-
ря, игнорировать споры о том, через какую букву
следует писать математического «зайца».
Что же лежит в основе этой реальности или,
иными словами, что изучает математика? По сло-
вам видного американского ученого Р. Куранта,
математика изучает модели, т.е. мысленные конст-
рукции реального мира [2]. К примеру, геометрия
предлагает модели, описывающие или отражающие
различные стороны окружающего нас пространст-
ва. Все эти модели в определенном смысле адек-
ватны отражаемому ими объекту: этот смысл оп-
ределяется существенными качествами объекта,
положенными в основу построения модели.
8
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
По этой причине бессмыслен вопрос о том, ка-
кая из моделей более истинна, подобно тому, как
бессмысленно спрашивать, сколько «на самом
деле» прямых, параллельных данной, можно про-
вести через данную точку плоскости. Такой во-
прос неверно поставлен.
Математика предлагает набор моделей, каж-
дая из которых отражает те или иные стороны
действительности. Вопрос о том, какой из этих
моделей следует воспользоваться для того, чтобы
с ее помощью получить достоверное знание об
интересующих нас реальных объектах, лежит вне
сферы математики. Его решение существенно
зависит от того, с какой целью мы стремимся
получить те или иные конкретные знания, каки-
ми средствами для их получения можем распола-
гать и т.д.
Настал момент, когда мы можем охарактери-
зовать математику не просто как отдельную на-
уку, но и учитывая ее взаимодействие с другими
науками и формами познания. Математика пред-
лагает другим наукам совокупность моде-
лей действительности, обладающих заме-
чательной общностью и применимостью. Если
конкретная область знания сумеет уложить свои
исходные данные в рамки той или иной матема-
тической модели, она автоматически получает в
свои руки мощный аппарат, доставляющий ей
новые знания об исходных фактах и обнаружива-
ющий ранее не познанные закономерности. Тем
самым математическая модель становится как бы
инструментом, используемым той или иной кон-
кретной наукой. Силу и мощь этого инструмента
прекрасно характеризует известное изречение:
«Наука только тогда достигает совершенства, ког-
да ей удается пользоваться математикой». Заме-
тим, что в этих словах уже заложено представле-
ние о математике как об универсальном инстру-
ментарии познания мира.
3. Некоторые исследователи подразделяют весь
описанный инструментарий на две взаимосвязан-
ные части — математику теоретическую и мате-
матику прикладную. Как правило, подобное раз-
деление производится на основе того, использу-
ется или нет тот или иной раздел науки для ре-
шения задач, возникающих вне математики. Та-
ким образом, если данный раздел науки приме-
няется для решения возникающих вне математи-
ки задач, то его относят к прикладной математи-
ке; если же он работает внутри математической
теории, его относят к «чистой» математике. Лег-
ко заметить, что отнесение математической мо-
дели к прикладной или теоретической математи-
ке в зависимости от того, имеет она или нет ре-
альный прообраз, является лишь перефразиров-
кой описанного выше правила.
Указанное правило, быть может, и годится для
разговорной практики, но не может использовать-
ся в научном исследовании. Действительно, мы
уже отмечали, что для многих разделов науки, по
сути дела наиболее важных и значимых, указан-
ный критерий неприменим, ибо эти разделы свя-
заны с обоими направлениями в математике. С
другой стороны, использование подобного кри-
терия привносит в классификацию фактор вре-
менной необъективности: один и тот же раздел
науки может относиться то к теоретической, то к
прикладной математике (ярчайшим примером
может послужить теория групп).
По этим причинам многие математики отвер-
гают указанное выше членение, отстаивая тем
самымтезисо единстве математической
науки. Последовательными сторонниками тако-
го взгляда являются крупнейшие французские ма-
тематики, объединившиеся в группу Н.Бурбаки, и
их последователи. Концепция математики, при-
надлежащая Н.Бурбаки, получила значительное
развитие и поддержку многих педагогов матема-
тики. Так, в программной книге [3] П.Виссио,
президента французской Ассоциации преподава-
телей математики и сторонника концепции Н.Бур-
баки — самым решительным образом отстаивает-
ся тезис о единстве математической науки. Это
единство, по мнению автора, обеспечивается сле-
дующими чертами математического метода:
а) единообразием способов рассуждений, при-
меняемых к основным математическим
структурам;
б) доминирующей ролью аксиоматического ме-
тода;
в) использованием простого, точного и адек-
ватного языка.
Заметим, впрочем, что указанные черты мето-
дологии математики вовсе не являются присущи-
ми лишь этой науке. Многие разделы других, как
естественнонаучных, так и гуманитарных дисцип-
лин, оперируют внутри себя с аксиоматическими
дедуктивными системами, описываемыми в точ-
ных и однозначных терминах. В качестве приме-
ров можно бы было привести, скажем, классиче-
скую механику или, что менее тривиально, тео-
рию порождающих грамматик Н.Хомского. Од-
МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ
9
нако несмотря на то, что иные науки прибегают
к методам, обладающим теми или другими черта-
ми из перечисленных выше черт математическо-
го метода или даже всеми этими чертами, все же
эти науки не входят в математику, хотя часто
получают эпитет «математическая» — например,
математическая лингвистика, математическая
биология и т.п. Бесспорно, конечно, что для ма-
тематического метода описанные выше черты
характерны в наибольшей степени, однако этого
все же мало, чтобы можно было говорить на этой
основе о единстве математической науки.
По существу все эти черты вытекают из одного
положения, которое, как мы уже отмечали, дей-
ствительно выделяет математику из ряда есте-
ственнонаучных дисциплин, — возможности отка-
за от обязательной экспериментальной проверки
математических утверждений. Именно подобный
отказ приводит к необходимости уделять значи-
тельное внимание логике точного математичес-
кого рассуждения, которая становится единствен-
ным критерием его корректности. С этой точки
зрения, математику можно бы было определить
как науку, которая изучает модели реального мира
методом, заменяющим характерную для естест-
венных наук экспериментальную проверку ут-
верждаемых положений апелляцией к определен-
ным логическим конструкциям.
Литература
1. Вигнер Е. Непостижимая эффективность матема-
тики в естественных науках. «Успехи физических
наук», т. 94, вып. 3, 1968.
2. Курант Р. Математика в современном мире, в сб.
«Математика в современном мире». — М., «Мир», 1967.
3. Vissio Р. Aujourd’hui les mathematiques. «Pour un
nouvel enseignement mathematique». — Paris, 1972.
4. Александров П.С. Математика как наука. «Извес-
тия АПН РСФСР», № 92, 1958.
5. Мышкис А.Д. Что такое прикладная математика,
в сб. «Проблемы преподавания математики во втузах»,
вып. 1. — М., «Высшая школа», 1971.
6. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. — М., Изд.
МГУ, 1972.
7. Колмогоров А.Н. Простоту — сложному. Газета
«Известия» от 31 декабря 1962 г.
В. И. Рыжи к
(С.-Петербург)
ГЕОМЕТРИЯ И ПРАКТИКА
От редакции. Математическое и методическое наследие академика АН
СССР Александра Даниловича Александрова невероятно обширно. Об алек-
сандровском понимании практической составляющей геометрии рассказы-
вает Валерий Идельевич Рыжик, учитель математики лицея «Физико-тех-
ническая школа» из Петербурга, один из авторов школьных учебников под
редакцией А.Д.Александрова. Также весьма интересен его анализ совре-
менного развития этих идей А.Д.Александрова.
Александровское понимание
практической составляющей
геометрии
В своей программной статье «О геометрии» [1]
А.Д.Александров выделил (наряду с логикой и вооб-
ражением) практическую составляющую геометрии
как нечто, отвечающее сущности самой этой науки:
«При всей своей абстрактности геометрия возникла
из практики и применяется в практике. Поэтому
преподавание геометрии обязательно должно связы-
вать ее с реальными вещами, с другими дисципли-
нами, особенно с физикой (и через приложения, и
в иллюстрациях геометрических понятий и утверж-
дений, и в определениях основных понятий)».
А в статье [2] он высказал положение, имею-
щее принципиальное значение для математичес-
кого образования:
«Связь с физикой, с практикой — это не просто ме-
тодическое требование, а выражение сущности на-
уки и задач образования, ибо наука не существует
иначе как в связях, во взаимодействии с другими
науками, с задачами техники, с жизнью; образова-
ние должно давать элементы науки в этом ее пони-
мании, а не формальные знания, которые заучива-
ются ради отметок».
Понимание геометрии как единства трех ее со-
ставляющих — логики, воображения и практики -
не является общепринятым. Известны учебники
геометрии, в которых нет ни одного рисунка, а
потому нет места и воображению. Существуют по-
собия, в которых не содержится и намека на связь
геометрии с практикой, а основная цель геомет-
рического образования сводится к обучению ре-
шению задач на треугольники и окружности. На-
2 Математика в школе № 6
10
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
конец, в некоторых учебниках вообще нет дедук-
тивно выстроенного курса, а есть только набор
фактических сведений.
Однако о практике. Ученые-математики, не
чуждые проблемам образования, методисты и
учителя неоднократно подчеркивали важность
связи геометрии и практики. Увы, практическая
составляющая в наших учебниках геометрии и по
сей день остается сирота сиротой.
Но что понимать под практикой? По этому по-
воду высказывались разные мнения. Так, Г.Монж,
а позже и Ф.Клейн считали обязательным в кур-
се геометрии вести конкретную чертежную рабо-
ту — это одно толкование. Известны учебники, в
которых вся геометрия строится не аксиоматиче-
ски, а как обобщение конкретного практическо-
го опыта детей, например опыта землемерных
работ (можно вспомнить, что довольно долго в
нашем школьном курсе геометрии велись изме-
рительные работы на местности) — это второе
толкование. Предлагалось также изготовление в
школьных мастерских наглядных пособий по гео-
метрии — это третье понимание. Возможно и чет-
вертое, и пятое, и шестое...
Иногда под практикой понимают исключитель-
но решение задач. А ведь есть еще и прикладная
математика, и проблема политехнического об-
разования. В моей библиотеке ни одна книжка
[3—7] описывает разнообразный опыт работы в
этом направлении. Хочется большей ясности.
Следуя А.Д.Александрову, будем под практи-
кой понимать все виды человеческой деятельно-
сти, среди которых особо выделим интеллекту-
альную. Таким образом, практическая составля-
ющая геометрии проявляется в различных при-
менениях последней как в других науках1, так и в
реальной жизни, и в искусстве, и в ремесле.
В ее реализации можно двигаться в следующих
направлениях.
• Применение геометрических сведений.
• Конкретное «рукоделие» — изготовление мо-
делей, чертежей и т.д.
1 Замечу, что связь геометрии и физики сопровождается
небольшим «трением». Не найдя контакта с математиками,
именно физикам приходится иногда вводить математичес-
кие понятия, что Г.Фройденталь квалифицировал как свое-
го рода шизофрению (как и курс математики без практиче-
ских применений). Например, чисто геометрическое поня-
тие нормали к поверхности, необходимое в некоторых раз-
делах физики, в школьной геометрии даже не рассматрива-
ется. Встречное движение математиков и физиков в сред-
нем образовании просто необходимо.
• Формирование исходных геометрических по-
нятий и методов на основе практики.
Далее я попытаюсь показать, как это сделано в
школьных учебниках [8—13]. В одном из них
АД.Александровым написано:
«Геометрия возникла из практических задач, ее пред-
ложения выражают реальные факты и находят мно-
гочисленные применения. В конечном счете в осно-
ве всей техники так или иначе лежит геометрия,
потому что она появляется везде, где нужна малей-
шая точность в определении формы и размеров...
Установлено, что каждое десятое изобретение сде-
лано с применением геометрии, за счет выбора под-
ходящей формы, удачного размещения и т.п. А ведь
изобретений миллионы2.
Математика, геометрия в частности, представляет
собой могущественный инструмент познания при-
роды и создания техники».
В качестве примера значимости геометрии
А.Д.Александров приводил деятельность инжене-
ра Сайреса Смита в романе Ж. Верна «Таинствен-
ный остров»; именно инженера, а не геометра или
физика.
Практическая составляющая
в теоретической части
александровских учебников
геометрии
В самом начале систематического курса геоме-
трии А.Д.Александров указал, что задачи геомет-
рии как науки состоят:
• в сравнении фигур (на практике — в сравнении
формы и отдельных размеров предметов);
• в том, чтобы обосновывать правила построе-
ния фигур с заданными свойствами',
• в выявлении новых свойств фигур на основе
уже известных;
• в нахождении расстояний до недоступных пред-
метов, определении их размеров и формы (как,
например, впервые люди нашли расстояние
до Луны и определили ее размеры?).
Снова процитирую статью [1]:
«Изложение любого элемента курса — будь то акси-
ома, определение, теорема, задача — должно начи-
наться с наглядной картины, которую учащиеся и
должны усвоить в первую очередь».
Добавлю: эта наглядная картина возникает из
реальных ситуаций. Рассмотрим это положение
А.Д.Александрова на конкретных примерах.
2 Добавлю: насколько мне известно, самый большой секрет
подводной лодки — геометрия ее гребного винта. (Прим, авт.)
МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ
11
Пример 1. Введение аксиомы параллельности.
Сначала даются пояснения. Никакой плотник
не продолжает краев доски до бесконечности, как
и строители даже мысленно не продолжают меж-
этажные перекрытия. На самом деле в параллель-
ных прямых и плоскостях важны и имеют реаль-
ный смысл те их свойства, которые относятся к
их конечным частям. На основании этих же
свойств производится построение параллельных
прямых и плоскостей, а в действительности — их
конечных частей.
Потому аксиома параллельности заменена ак-
сиомой прямоугольника', постулируется существо-
вание прямоугольника, который получается в
результате откладывания от концов данного от-
резка в одну полуплоскость перпендикуляров
равной длины и соединения их концов отрез-
ком.
Пример 2. Знакомство с понятием равных фи-
гур.
Рассказывается о том, что равные фигуры в ре-
альности есть одинаковые предметы. Вся совре-
менная промышленность с ее массовым произ-
водством основана на изготовлении больших пар-
тий таких предметов. И очень важно, чтобы ни в
одной из них предметы ничем не отличались друг
от друга, так как только при этом условии можно
заменить в машинах (станках) испорченные де-
тали такими же новыми.
Чтобы выяснить, одинаковы ли предметы, их
сравнивают со стандартом, предварительно из-
мерив их основные (достаточные для установле-
ния равенства) размеры. Так и о равенстве гео-
метрических фигур определенной формы мож-
но судить, зная, что у них равны расстояния
лишь для некоторого конечного множества пар
соответствующих точек (например, у треуголь-
ников должны быть равны длины соответствую-
щих сторон).
Пример 3. Изучение теорем стереометрии.
1. Утверждение о единственности плоскости,
проходящей через три точки, не лежащие на од-
ной прямой, поясняется примером с дверью, за-
крепленной на двух петлях косяка и замке.
2. Признак перпендикулярности прямой и пло-
скости предваряется описанием процесса уста-
новки мачты, а само доказательство как бы вос-
производит этот процесс.
3. Теорема о параллельности перпендикуляров
к плоскости снабжена картиной с вертикальны-
ми столбами и сопровождается таким текстом:
«Мы постоянно видим, что перпендикуляры к од-
ной и той же плоскости параллельны. Например,
вертикальные отрезки параллельны между собой.
Эти отрезки могут представляться параллельно сто-
ящими столбами или мачтами, стволами сосен в
«корабельном» лесу, колоннами зданий и т.д. Эта
изящная геометрия выражается в теореме, которую
мы сейчас докажем».
4. Перед теоремой о трех перпендикулярах до-
казывается общая теорема о ближайшей точке'.
точка фигуры, лежащей в плоскости а, явля-
ется ближайшей к точке М, не лежащей в этой
плоскости, тогда и только тогда, когда она явля-
ется ближайшей к проекции точки М на плос-
кость а.
А иллюстрирует ее такая ситуация: чтобы по-
дойти поближе к сидящей на дереве белке, фото-
охотник подходит ближе к его основанию.
5. Вывод формулы объема прямого цилиндра
предваряется — совершенно неожиданно — рас-
сказом о том, как бревна пилят на чурки, а чурки
колют на поленья.
Не осталась без внимания и чисто просвети-
тельская сторона вопроса. Так, в разговоре о по-
верхностях упоминается о составлении карт Зем-
ли. Ортогональное проектирование широко ис-
пользуется в черчении. Только для нужд физики
рассказано о векторном произведении. Даже та-
кой «стандартный» объект, как перпендикуляр к
плоскости, поясняют примеры, иллюстрирующие
его роль в физике и технике.
Для молодых людей, оканчивающих школу,
большое значение имеют заключительные разде-
лы учебников: в них речь идет о современной
геометрии и действительности, о геометрии ок-
ружающего нас пространства.
Практическая составляющая
в заданном материале
александровских учебников
геометрии
Практическая составляющая геометрии, как ее
понимал А.Д.Александров, отражена не только в
теоретической части учебников, но и в задачах.
Практические задачи с геометрическим содер-
жанием необычайно разнообразны. Их можно
увидеть в науке, технике, производстве, искусст-
ве и — косвенно — в самой математике. Вот дале-
ко не полный список сфер деятельности челове-
ка, где встречаются практические задачи (приве-
ду по одному примеру).
г
12
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6'06
В математике: номография (для приближенных
вычислений); начертательная геометрия (разно-
образные способы проектирования).
В науке: физика (механика — расчет траекторий;
оптика — проектирование оптических призм);
строительная механика (расчет деформаций и на-
пряжений); кристаллография (симметрия кристал-
лов); астрономия (солнечные и лунные затмения);
космонавтика (расчет орбиты спутника); киберне-
тика (распознавание образов); химия (строение мо-
лекул); биология (строение белковых молекул).
В науках о Земле: география (работа с глобу-
сом); картография (составление карт); геодезия
(измерение расстояний между пунктами); топо-
графия (определение местонахождения).
В технике: технические измерения (угольник,
шаблоны, угломерные инструменты); проектиро-
вание механизмов и машин (шарнирные механиз-
мы); нахождение величин (линейные размеры,
площади, объемы, углы); проектирование формы
(конструкторский дизайн) или взаимного распо-
ложения (наиболее экономная укладка чего-либо).
В производственной деятельности: плотницкое,
слесарное, токарное, фрезерное, горное и даже
колокольное дело.
В архитектуре и строительстве можно привес-
ти массу примеров; особо выделим золотое се-
чение: оно проявляется повсеместно, начиная со
строения человеческого тела и заканчивая элек-
тросвязью.
В искусстве: живопись (создание изображений);
дизайн (перебор вариантов расположения объектов);
декоративное искусство (узоры и орнаменты).
Практические задачи, решаемые средствами
геометрии, встречаются также в военных науках
(артиллерия); в навигации (морской - прокладка
курсов с учетом разных условий; воздушной -
заход на посадку); в полиграфии (выбор оптималь-
ных форматов); в стандартизации (создание ра-
зумных стандартов).
И, конечно же, в обычной жизни. Даже рас-
становка мебели в комнате требует некоторых из-
мерений (каких именно?).
Как бы это богатство отразить, хотя бы час-
тично, в школьном математическом образова-
нии? Ведь хорошо известно: практические зада-
чи многократно повышают интерес к самой ма-
тематике. Одно дело — заучить разные теоремы
о шаре, и совсем другое — объяснить, почему
футбольный мяч имеет форму шара, а регбий-
ный мяч — нет.
Поговорим теперь о практических задачах, со-
держащихся в учебниках.
Практическая составляющая геометрии в сис-
теме задач проходит по четырем линиям. И каж-
дый учитель может выбирать ту из них, которая
больше соответствует его личным вкусам — в учеб-
никах достаточно задач для этого.
Первая линия связана с реализацией межпред-
метных связей геометрии с физикой и черче-
нием.
В учебниках нашлось место для задач с выра-
женным физическим содержанием. Например:
«Объясните, почему радуга имеет форму окруж-
ности». В раздел «Векторы» включены задачи (по
кинематике и статике) на определение усилий в
стержнях некоторой конструкции. А в главе «По-
верхности» в качестве задачи приведена теорема
Паппа—Гюльдена3.
Среди задач, иллюстрирующих связи геомет-
рии и черчения, особо выделю задачи, связанные
с ортогональными проекциями фигур. Они появ-
ляются уже в курсе планиметрии при работе с
кубом. Как показывает практика, изображение в
трех проекциях частей куба и обратная задача
(восстановление части куба по его проекциям)
вполне доступны ученикам даже до начала изуче-
ния систематического курса.
Вторая линия выражается в том, что в задачах
предполагается конкретная деятельность учени-
ка по созданию (построению) тех или иных гео-
метрических фигур - как плоских, так и прост-
ранственных - в виде рисунка на бумаге или ре-
альной фигуры, например модели (каркасной или
полученной из развертки).
В задачах на построение не стоит ограничивать-
ся работой с циркулем и линейкой. Такие пост-
роения носят скорее академический характер и
полезны для формирования понятия алгоритма.
На практике же мы пользуемся любыми подруч-
ными инструментами, в том числе транспорти-
ром и измерительной линейкой.
Отмечу также задания на преобразования фи-
гуры, в частности на ее «перекраивание», а также
расчетные задачи, связанные с конкретными из-
мерениями геометрической фигуры (в обоих слу-
чаях ученик работает с чертежом или моделью).
3 Площадь поверхности, образованной при вращении не-
которой плоской кривой вокруг оси, при условии, что линия
лежит в одной плоскости с осью и по одну сторону от нее,
равна произведению длины линии на длину окружности, опи-
санной при этом вращении центром тяжести линии.
МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ
13
Третья линия — решение собственно практиче-
ских задач. Например, такой: «Как определить
глубину реки, не заходя в нее?»
Однако многие задачи имеют одну из двух не-
приятных особенностей. Первая из них заключа-
ется в том, что практическое содержание служит
незатейливой оболочкой для чисто математичес-
кой задачи. Скажем, предлагается выяснить объ-
ем воды в аквариуме, имеющем форму куба, если
задано его ребро. На таких задачах нет смысла
останавливаться.
Вторая неприятная особенность в том, что
практическое содержание требует специальных
знаний. Приходится выбирать: растолковывать
ученикам, о чем идет речь, или быстрее перево-
дить задачу «на математические рельсы», так и не
разобравшись в ситуации. Отсюда вывод — хоро-
ших практических задач для школьников не так
уж много.
Четвертая линия — решение прикладных задач4,
сюжет которых имеет внематематический харак-
тер, но напрямую не связанных с человеческой
деятельностью, например: «Как отметить на ре-
альном шаре два полюса?»
Они могут появиться в школьном учебнике из
дидактических целей и бывают в основном двух
типов: задачи, решения которых ограничивается
математическим моделированием, и задачи, в ре-
шении которых используются рациональные рас-
суждения.
Решение задачи первого типа характеризуется
следующими основными этапами.
1. Поскольку ее условие описывает реальные
объекты, как-то: летящий самолет, три населен-
ных пункта, земной шар и т.д., задачу необходи-
мо перевести на математический язык (говорят
также - надо составить ее математическую мо-
дель), т.е. найти математический эквивалент для
указанных в условии объектов и связей между
ними.
2. Решение собственно математической зада-
чи, чаще всего уравнения или неравенства.-
3. Интерпретация полученного результата
(«предответа»), например решения уравнения, в
соответствии с условием.
И только после этого формулируется оконча-
тельный ответ на поставленный вопрос.
В прикладной задаче не всегда бывает ясно, что
4 Упоминавшиеся выше практические задачи — частный
случай прикладных задач.
именно «дано», чем можно пренебречь, а что не-
обходимо оставить, что разрешается делать с ре-
альными объектами для получения математичес-
кой модели. Например, требуется, находясь на
земле, найти высоту, на которой летит самолет.
Вопрос «А что дано?» — нормальный для учени-
ка, решающего эту задачу. Обычно я отвечаю:
«Для начала считайте, что у вас есть любые под-
ручные средства, а затем постепенно сужайте соб-
ственные возможности». Так развивается изобре-
тательность.
Поскольку прикладной задаче изначально при-
суща некоторая неопределенность, можно вводить
ее и в сугубо математические задачи — из дидак-
тических соображений.
Разговор о прикладной задаче естественно при-
водит к разговору о прикладной математике или,
если угодно, о прикладной стороне математики.
О неформальных соображениях,
допустимых в школьном курсе
геометрии
Поскольку характерной особенностью решения
прикладных задач является составление матема-
тической модели и проверка ее адекватности, в
самом решении невозможно ограничиться лишь
формальными соображениями (ссылками только
на определения, теоремы и аксиомы), необходим
еще и здравый смысл, а иногда — эксперимент.
Возникает вопрос: какие неформальные (ина-
че говоря, рациональные) соображения допусти-
мы при решении геометрических задач? Мы, учи-
теля математики, привыкли к некоторому при-
нятому уровню строгости и все, что так или ина-
че ему не соответствует, считаем подозрительным.
Однако, как писал А.Д.Александров, строгость в
геометрии — всего лишь инструмент для получе-
ния достоверных результатов; она относительна,
так как относительно само понятие доказатель-
ства.
Приведу только один пример: четкое опреде-
ление многогранника появилось в геометрии
сравнительно недавно в связи с уточнением до-
казательства теоремы Эйлера, однако это не ме-
шало до поры до времени самим математикам
и совершенно не мешает нашим ученикам ре-
шать всякие задачи, связанные с многогранни-
ками.
Перечислю рациональные соображения, кото-
рые, на мой взгляд, вполне допустимы в школь-
ном курсе.
14
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6'06
1. Отношение к существованию объекта. В тео-
ретическом материале учебников существование
основных геометрических фигур постулируется в
аксиомах, а остальные фигуры определяются либо
конструктивно, либо дескриптивно (описатель-
но). При этом если дается описательное опреде-
ление, оно затем подкрепляется соответствующим
построением фигуры.
В этой линии логика строга. Тем не менее уже
на первых страницах учебников изображаются
призмы и пирамиды; они определяются как мно-
гогранники, у которых грани обладают соответ-
ствующими свойствами. Школьники видят мо-
дель многогранника, могут сконструировать его
из развертки - для детей он существует5.
Такой подход к существованию геометричес-
ких объектов можно было бы назвать прикладным.
Конечно, в данном случае нарушается строго де-
дуктивная сторона курса геометрии, тут уж ниче-
го не поделаешь. Но при этом заданный материал
сразу же становится содержательнее и богаче, а
представления школьников о призмах и пирами-
дах расширяются. Логический же «долг» (общие
определения призмы и пирамиды и их коррект-
ность) при дальнейшем обучении будет «погашен».
По этому поводу позволю себе сделать шутли-
вое замечание в стиле законов Мерфи. Наряду с
известными законами сохранения массы и энер-
гии следует учитывать и два других. Во-первых,
закон сохранения качества', если что-то улучшает-
ся, то что-то и ухудшается. А во-вторых, закон
сохранения трудностей: если что-то становится
легче, то что-то становится и труднее.
Такой прикладной подход к существованию
объектов позволяет в рамках курса геометрии ос-
новной школы заниматься стереометрией совме-
стно с планиметрией. И с перпендикуляром к
плоскости, и с различными многогранниками, и
со сферой учащиеся знакомятся уже в VII-IX
классах. Соединение планиметрии со стереомет-
рией необыкновенно важно для развития у детей
пространственного мышления.
А.Д.Александров, имея в виду нечто подобное,
писал, что если в школьном учебнике геометрии
логика вступает в противоречие с воображени-
ем, то логикой можно временно пожертвовать.
Ситуация напоминает шахматный гамбит: мы
5 Они видят реальный прототип идеального многогран-
ника, а потому считают, что существует и сам математичес-
кий объект.
чем-то жертвуем, чтобы впоследствии эта жерт-
ва окупилась.
Искусство в преподавании геометрии требует
сочетания «педагогического такта» и «педагоги-
ческого цинизма». С первым более или менее
понятно - надо постоянно учитывать возраст и
интересы ребенка. А что понимать под «педаго-
гическим цинизмом»? А то, что нельзя же в кон-
це концов все объяснять на уровне строгого ло-
гического следования, мы ведь не основаниями
геометрии занимаемся!
2. Отношение к доказательству. Прикладная ма-
тематика позволяет использовать при доказатель-
стве более мягкие, что ли, средства, нежели ис-
пользуются в строго дедуктивном курсе, стандарт-
ном для самой математики.
К таким средствам можно отнести доказатель-
ные утверждения, основанные на применении не-
прерывности, симметрии, механической интер-
претации, эксперимента и наглядной очевиднос-
ти. Скажем об этом подробнее.
Соображения непрерывности
Они могут реализовываться в двух видах.
1. Использование метода «малых шевелений».
Его суть такова: если фигуру чуть пошевелить,
то сохраняются те ее свойства, которые сущест-
венны для решения задачи.
В теоретической части этот метод применяется
для доказательства теоремы Эйлера. А задачу при-
веду такую (предлагаю ее в самом начале курса
стереометрии): «Можно ли расположить в прост-
ранстве четыре точки так, чтобы все попарные
расстояния между ними были различны?»
Интуитивно ответ очевиден, но как его пояс-
нить? А вот как. Существование четырех таких
точек на прямой не нуждается в стереометричес-
ких обоснованиях. Три точки оставим на месте, а
четвертую чуть пошевелим и уберем с этой пря-
мой, при этом все расстояния останутся различ-
ными. Теперь одну из ранее фиксированных то-
чек выведем малым шевелением из плоскости,
которую задают оставшиеся точки. В результате
получим пространственную конфигурацию, удов-
летворяющую требованию задачи.
2. Использование непрерывного изменения ве-
личины.
Пусть при движении точки X по некоторой
линии величина V(X), зависящая от положения
этой точки на линии, при одном положении X
(обозначим его XJ меньше А, а при другом
(обозначим его Х2) - больше А. Тогда на участке
МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ
15
линии от X, до Х2 найдется такое положение
(хотя бы одно) точки X (обозначим его %0), при
котором V(X0) = А.
Соответствующая теорема хорошо известна из
курса математического анализа, как и ее приме-
нения в геометрии. Почему же здесь мы считаем
это рассуждение не вполне строгим? Дело в том,
что представление о линии как таковой для
школьника ясно только интуитивно. Разумеется,
в каком-либо конкретном случае (например, ког-
да речь идет о прямой или окружности) все рас-
суждение можно довести до вполне привычного
уровня доказательности. Но практичнее оставить
его на интуитивном уровне.
Примером такого доказательства является объ-
яснение существования правильного тетраэдра
(рассматривается в начале X класса). Возьмем пра-
вильный треугольник и проведем через его центр
прямую, перпендикулярную его плоскости. На
этой прямой найдутся две точки: расстояние от
одной из них до вершин будет меньше стороны
исходного треугольника, а расстояние от другой
точки до вершин - больше ее. Значит, найдется и
такая точка, расстояние от которой до вершин
взятого треугольника будет равно его стороне.
Соображения симметрии
Использование симметрии имеет доказатель-
ную силу. Опять же в педагогическом отношении
гораздо важнее, что ученик видит ту или иную
симметрию в конкретном многограннике, неже-
ли то, что он владеет ее формальным определе-
нием и умеет аккуратно ее доказать. Например,
центр сферы, описанной около правильной пи-
рамиды, можно сразу искать на ее оси поворот-
ной симметрии.
Кинематические соображения
На них полезно опираться при решении задач,
в которых спрашивается, какие сечения много-
гранника могут получиться, если секущую плос-
кость двигать параллельно ей самой или повора-
чивать относительно некоторой оси, при этом
формальные определения таких движений еще не
даны.
Можно использовать и свободное механичес-
кое движение, скажем, отрезка фиксированной
длины с закрепленным концом. Пусть, к приме-
ру, требуется найти наибольшее значение объема
тетраэдра, у которого четыре ребра равны 1. Если
три из них образуют треугольник, то четвертое
ребро может принять такое положение, при ко-
тором оно перпендикулярно его плоскости. Так
как высота тетраэдра, проведенная к плоскости
выбранного треугольника, не может быть больше
этого четвертого ребра, именно при указанном
положении мы получим наибольшее значение
объема многогранника. Традиционное решение с
применением производной заведомо длиннее!
Соображения, основанные на наглядности
В некоторых случаях соображения, продикто-
ванные рисунком, столь наглядно очевидны, что
не нуждаются в каких бы то ни было пояснениях.
Кто из нас когда-либо доказывал школьникам,
что две пересекающиеся прямые делят плоскость,
в которой они лежат, на четыре части? Делят — и
все тут.
Другой пример. Известна такая задача: «Квад-
рат повернули вокруг центра на 45°. Какую часть
от его площади составляет площадь фигуры, по-
лучившейся при пересечении исходного и полу-
ченного квадратов?» Кому придет в голову дока-
зывать, что в пересечении получился восьми-
угольник? Мы просто считаем число-сторон мно-
гоугольника, который видим на рисунке.
Соображения, основанные на эксперименте
Они касаются прежде всего компьютерного мо-
делирования: проведения на основе геометриче-
ского материала численного и визуального экс-
периментов (измерения расстояний, площадей,
углов, нахождения координат получающихся то-
чек, наблюдения взаимного расположения фигур
и т.д.) с последующей обработкой их результатов.
Остановимся на этом вопросе подробнее.
Компьютерная математика
В последнее время в школьное образование все
больше входит компьютер, точнее, программные
средства (или иначе - компьютерные инструмен-
ты). Со временем использование компьютера ста-
нет повсеместным и существенным, поэтому не-
обходимо вписать его в ту или иную имеющуюся
педагогическую систему.
Компьютер в школьном математическом обра-
зовании не только справочник, в котором можно
найти формулу, график, рисунок или ответ к за-
даче. Он может восприниматься так же, как вос-
принимается прибор в физике.
Применительно к геометрии сие означает вот
что.
Во-первых, на дисплее легко воспроизводится
не только статическая картина, но и динамичес-
кая; не только результат, полученный определен-
ным построением, но и сам процесс построения.
16
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
Это имеет огромное значение для восприятия и
понимания ситуации в целом.
Итак, мы можем видеть процесс, а не только
его итог. Но тогда косвенно в решении задачи
появляется такой фактор, как время, в течение
которого этот процесс происходит. А время —
это параметр, которого в самой математике нет,
он «упрятан» в вещественное число. Таким об-
разом мы опять выходим на математику при-
кладную.
Во-вторых, возникает проблема: как относить-
ся к тому, что видим на экране дисплея (к кар-
тинке или численным результатам)? Можно при-
нимать полученную от компьютера информацию
как окончательную истину и в дальнейшем поль-
зоваться ею. Например, увидев, что все медианы
треугольника пересекаются в одной точке, опи-
раться на этот факт при решении задач, не под-
вергая его сомнению.
Но можно задаться вопросом: «А почему они
пересекаются»? (Аналогичное отношение у фи-
зика к любому прибору: если амперметр показы-
вает определенную силу тока, то либо мы исполь-
зуем его показания для дальнейших расчетов,
либо начинаем думать, почему он показывает
именно такое число.) Здесь стоит заметить: во-
прос «почему?» по неведомо каким причинам
ученику более приятен, эмоционально более ок-
рашен, чем вопрос «откуда это следует?».
Если мы считаем полученный на компьютере
результат доказательным, то впору задуматься о
том, что такое доказательство (в школьном кон-
тексте), и чем отличается строгое доказательство
от нестрогого. Можно говорить о трех видах до-
казательства: компьютерном, рациональном и
логическом и их педагогически оправданном со-
гласовании. Эти разговоры могут завести нас в
нескончаемые дебри. Поэтому согласимся, что
необходимым, а потому основным показателем
доказанности в нашем деле является психологи-
ческая убедительность. И вспомним слова А.Пу-
анкаре: доказательство — это проверка.
Вернемся к компьютеру. И будем толковать по-
казанное им на экране дисплея именно как про-
верку некоторого сделанного нами предположе-
ния, а потому нет принципиальных барьеров
тому, чтобы считать увиденное доказанным.
Кто-то может возразить: когда мы аккуратно
строим три медианы в треугольнике и видим, что
они пересекаются, то почему бы не считать, что мы
имеем дело с достоверным фактом? Тут мы сталки-
ваемся с разными возможностями человеческого
«рукоделия» и компьютерных инструментов.
Ну сколько раз мы можем повторить опыт с
медианами — 10, 100, 1000? И всегда этот опыт
ограничен конечным числом испытаний, а пото-
му будет оставаться место для сомнения. А ком-
пьютерные инструменты дают результат в беско-
нечном числе ситуаций, ибо на экране можно как
угодно менять форму треугольника, получая тем
самым континуум (в психологическом смысле)
ситуаций, в каждой из которых три медианы пе-
ресекаются. Убедительность компьютерного экс-
перимента настолько превосходит убедительность
конечного «ручного» эксперимента, что она чуть
ли не автоматически приводит к мысли о верно-
сти полученного результата.
Компьютер позволяет не только проверять ги-
потезы, но и генерировать их, если разумно орга-
низовать эксперимент: мы видим что-то на экра-
не и на основе наблюдений формируем некие
предположения. Проблема в том, можно ли на
этом остановиться?
Использование компьютера позволяет осуще-
ствить более насыщенную деятельность в реше-
нии прикладной задачи. Теперь это выглядит так.
Берется какой-то объект, не имеющий математи-
ческой природы, и про него спрашивается что-
то. Сначала задача формулируется на математи-
ческом языке. Затем проводится наблюдение за
объектом при разных условиях, в результате чего
появляется гипотеза. Компьютер может сыграть
свою роль уже на этом этапе.
Далее гипотеза проверяется, и здесь снова воз-
можен компьютерный эксперимент. Если гипо-
теза подтверждается, начинается поиск ее рацио-
нального, а затем и логического доказательства.
Когда оно получено, добытый результат соотно-
сится с исходной задачей, при этом обязательно
учитываются все ограничения, которые наклады-
вает на него реальность.
Разумеется, выдвинутые гипотезы могут ока-
заться неверными. Например, мы можем пред-
положить, что высоты треугольника пересекают-
ся внутри него. Компьютерный эксперимент мо-
ментально покажет ошибочность этого предпо-
ложения. Подобная проверка только укрепляет
наше доверие к компьютеру. Но если мы доверя-
ем машине, когда она нас опровергает, почему
бы не доверять ей и когда она подтверждает наши
предположения?
Еще одно соображение «за компьютер». Когда
МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ
17
нас интересует, чему равно, например, тс2, то
вряд ли возникнут сомнения относительно полу-
ченного компьютером результата. А какова прин-
ципиальная разница — в психологическом аспек-
те? Я ее не вижу.
До сих пор было «рго». А теперь — «contra».
Конечно, где-то в нашем сознании все равно
будет сидеть мысль о том, что компьютер как лю-
бой физический прибор может исказить инфор-
мацию, сломаться, и погрешности в его работе
неизбежны, да мало ли чего еще.
А потому где-то «за кадром» должна присутст-
вовать мысль о разумности его использования.
Приведу пример. Известна задача: найти траекто-
рию середины отрезка постоянной длины, концы
которого движутся по двум взаимно перпендику-
лярным прямым. Компьютер покажет окружность.
Но точно такой же ответ можно усмотреть и тогда,
когда мы возьмем точку, достаточно близкую к
середине отрезка. Компьютер просто не покажет
разницы, хотя во втором случае нужная траекто-
рия является уже не окружностью, а эллипсом.
Идеология прикладной математики хорошо
увязывается с тенденциями общего образования,
благодаря ей математика обретает, как иногда го-
ворят, «человеческое лицо».
Гуманитаризация образования во многом обус-
ловлена наличием прикладных задач, в их реше-
нии возможны более «мягкие» методы доказатель-
ства. Говоря о логике в курсе геометрии, мы долж-
ны все время помнить о том, что логика изложе-
ния систематического курса мало похожа на то,
как на самом деле добываются знания, какова при
этом роль геометрического воображения, прагма-
тической и интеллектуальной интуиции.
Вернемся к одному из вопросов, поставленно-
му в начале: а какой предмет под названием «гео-
метрия» мы преподаем в школе? Ясно, что не ос-
нования геометрии. И не высшую геометрию. Мы 3
преподаем элементарную геометрию, которая
представляет собой конгломерат из элементов ос-
нований геометрии (аксиоматика, причем непол-
ная) и прикладной математики. А значит, при-
кладные задачи, в частности практические, явля-
ются неотъемлемой частью школьного геометри-
ческого образования.
Литература
1. Александров А.Д. О геометрии // Математика в
школе. - 1980. - № 3.
2. Александров А.Д. Что же такое вектор? // Матема-
тика в школе. - 1984. - № 5.
3. Орехов Ф.А. Графические лабораторные работы
по геометрии.- М.: Просвещение, 1967.
4. Калиткин Н.М. Теория и практика при решении
геометрических задач. - М.: Учпедгиз, 1953.
5. Трунов И.П. Измерительные работы на местности в
курсе математики средней школы. - М.: Учпедгиз, 1956.
6. Трухан Т.Л. Изготовление и применение нагляд-
ных пособий по планиметрии. — Минск: Народная
асвета. — 1970.
7. Трубецкой М.Н. Политехническое обучение и
связь с жизнью в преподавании геометрии. // Сб.
Методика преподавания геометрии / Под ред. А.И.Фе-
тисова. - М.: Просвещение, 1957.
Учебники
8. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Гео-
метрия 10—11. - М.: Просвещение, 1998—2005.
9. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Гео-
метрия 10. - М.: Просвещение, 1999—2005.
10. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Гео-
метрия 11. - М.: Просвещение, 2000—2005.
11. Александров АД., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Гео-
метрия 8. - М.: Просвещение, 2002.
12. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Гео-
метрия 9. - М.: Просвещение, 2004.
13. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Гео-
метрия 7—9. - М.: Просвещение, 2003.
3 Математика в школе № 6
18
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
С.Г.Манвелов
(Армавир)
СТРОЕНИЕ БАЗОВОЙ СИСТЕМЫ
УРОКОВ МАТЕМАТИКИ
От редакции. При подготовке так называемого поурочного планирования
годового курса каждый учитель прикидывает примерное распределение
часов, что делать на том или ином уроке. Однако, к сожалению, не каж-
дый преподаватель задумывается над тем, какой тип урока предпочтитель-
нее, рассчитывая лишь интервалы для проведения вводных уроков и кон-
трольных проверок.
Для того чтобы помочь в выборе типа урока, предлагаем Вам ознакомиться
с базовой типологией современных уроков, предложенной С.Г.Манвеловым.
В ней наряду с традиционными формами организации учебного процесса
рассматривается целая палитра «нестандартных» уроков.
В современной школе основной формой обу-
чения математике, главным связующим звеном в
интеграции различных организационных форм
обучения по-прежнему остается урок.
В педагогической литературе понятие «урок»
сводят к целостному, логически завершенному,
ограниченному определенными рамками време-
ни отрезку образовательного процесса, в котором
учебная работа проводится с постоянным соста-
вом учащихся примерно одинакового возраста и
уровня подготовки.
Любому уроку присущ ряд признаков:
— наличие образовательных, воспитательных и
развивающих целей;
— отбор в соответствии с поставленными целя-
ми учебного материала и определение уровня его
усвоения;
— достижение этих целей путем подбора под-
ходящих средств и методов обучения;
— организация соответствующей деятельности
учителя и учащихся.
При этом урок математики имеет свою специ-
фику. Для него характерны и наиболее сущест-
венны следующие признаки.
• Содержание урока математики, как правило,
не является автономным, оно разворачивается с
опорой на ранее изученное, подготавливая базу
для освоения новых знаний, что связано со стро-
гой логикой построения курса математики.
• В процессе овладения математическими зна-
ниями, по сравнению с другими учебными пред-
метами, уделяется большее внимание развитию у
учащихся логического мышления, умений рассуж-
дать и доказывать.
• При обучении математике должны быть со-
зданы условия для того, чтобы каждый ученик мог
усвоить на каждом уроке главное в изучаемом ма-
териале, поскольку без базовой математической
подготовки постановка образования современно-
го человека невозможна. К тому же математика
служит опорным предметом для изучения смеж-
ных дисциплин.
• В процессе обучения математике теоретиче-
ский материал осознается и усваивается преиму-
щественно в процессе решения задач, потому на
уроках математики теория не изучается в отрыве
от практики.
В педагогической теории и практике уроки де-
лят на типы по различным признакам. Наиболее
распространены типологии уроков:
1) по основной дидактической цели;
2) по основному способу их проведения;
3) по основным этапам учебного процесса.
Для более полного охвата разнообразных по
своему назначению уроков для каждого типа про-
водят классификацию по видам. Чаще всего в
основе деления лежит характер деятельности учи-
теля и учащихся. Так, контрольные уроки, буду-
чи одним из типов в классификации по основ-
ным этапам учебного процесса, в свою очередь
подразделяются на следующие виды:
— уроки устного опроса;
— уроки письменного опроса;
— зачеты;
— лабораторные и практические работы;
— самостоятельные и контрольные работы;
— сочетающие разные виды.
Однако подразделение уроков на типы и виды не
КОНСУЛЬТАЦИЯ
19
является исчерпывающим, подтверждением чему
служит прослеживаемая направленность на их даль-
нейшую детализацию. При обучении математике
ныне используются сотни различных наименова-
ний уроков. Потому учителя и даже методисты да-
леко не всегда могут указать отличия одного урока
от другого и свободно в них ориентироваться.
К тому же в практике обучения конструирова-
ние учителем систем уроков по различным темам,
как правило, не укладывается в рамки какой-то
одной типологии; приходится решать также про-
блемы, связанные с выбором или компоновкой
той или иной системы уроков. Существенную
помощь в этом может оказать знание специфики
строения совокупности уроков, сочетающих наи-
более характерные конструктивные элементы
остальных уроков. Нами выделены в этой связи
девятнадцать их типов:
♦ урок ознакомления с новым материалом;
♦ урок закрепления изученного;
♦ урок применения знаний и умений;
♦ урок обобщения и систематизации знаний;
♦ урок проверки и коррекции знаний и умений;
♦ комбинированный урок;
♦ урок-лекция;
♦ урок-семинар;
♦ урок-зачет;
♦ урок-практикум;
♦ урок-экскурсия;
♦ урок-дискуссия;
♦ урок-консультация;
♦ интегрированный урок;
♦ театрализованный урок;
♦ урок-соревнование;
♦ урок с дидактической игрой
♦ урок — деловая игра;
♦ урок — ролевая игра.
Перечисленные уроки образуют базовую систе-
му уроков математики'. Рассмотрим специфику
построения каждого из уроков этой системы.
Урок ознакомления
с новым материалом
Структура этого урока определяется его основ-
1 Отметим, что выделение данной системы уроков вовсе
не связано с созданием еще одной типологии, а обусловле-
но необходимостью решения проблем, поставленных сами-
ми учителями. Они касаются поиска и выявления такой си-
стемы уроков, знание особенностей строения которых не
только позволит ориентироваться в их многообразии, но и
поможет в творческой разработке современного урока.
ной дидактической целью: введением понятия, ус-
тановлением свойств изучаемых объектов, пост-
роением правил, алгоритмов и т.д. Его основные
этапы:
— сообщение темы, цели и задач урока, моти-
вация учебной деятельности1 2;
— подготовка к изучению нового материала че-
рез повторение и актуализацию опорных знаний;
— ознакомление с новым материалом;
— первичное осмысление и закрепление свя-
зей и отношений в объектах изучения;
— постановка задания на дом;
— подведение итогов урока.
Урок закрепления изученного
Его основная дидактическая цель — формиро-
вание определенных умений, а общая структура
такова:
— проверка домашнего задания и акцентиро-
вание внимания учащихся на материале, изучен-
ном на предыдущем уроке;
— сообщение темы, цели и задач урока, моти-
вация учения;
— воспроизведение изученного и его примене-
ние в стандартных условиях;
— перенос приобретенных знаний и их первич-
ное применение в новых или измененных усло-
виях с целью формирования умений;
— подведение итогов урока;
— постановка домашнего задания.
Урок применения знаний и умений
В процессе применения знаний и умений вы-
деляют следующие основные звенья: воспроиз-
ведение и коррекцию необходимых знаний и
умений; анализ заданий и способов их выполне-
ния; подготовку требуемого оборудования; само-
стоятельное выполнение заданий; рационализа-
цию способов их выполнения; внешний контроль
и самоконтроль в процессе выполнения заданий.
Этим обусловлена возможная структура урока:
— проверка домашнего задания;
— мотивация учебной деятельности через осо-
знание учащимися практической значимости при-
меняемых знаний и умений, сообщение темы,
цели и задач урока;
— осмысление содержания и последовательно-
2 Мотивация учащихся в процессе учебы — вопрос, вы-
ходящий далеко за рамки данной статьи, поэтому специаль-
но здесь мы его не рассматриваем.
20
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
сти применения практических действий при вы-
полнении предстоящих заданий;
— самостоятельное выполнение учащимися за-
даний под контролем учителя;
— обобщение и систематизация результатов вы-
полненных заданий;
— подведение итогов урока и постановка до-
машнего задания.
Урок обобщения
и систематизации знаний
Без уроков этого типа (их еще называют уро-
ками обобщающего повторения) процесс усвое-
ния учащимися материала нельзя считать завер-
шенным. На них выделяют наиболее общие и
существенные понятия, законы и закономернос-
ти, основные теории и ведущие идеи, устанавли-
вают причинно-следственные и другие связи и
отношения между важнейшими явлениями, про-
цессами, событиями.
Процесс обобщения и систематизации знаний
предполагает такую последовательность действий:
от восприятия, осмысления и обобщения отдель-
ных фактов к формированию понятий, их кате-
горий и систем, от них — к усвоению более слож-
ной системы знаний — овладению основными тео-
риями и ведущими идеями изучаемого предмета.
Перечислим структурные элементы самого урока:
— постановка цели урока и мотивация учебной
деятельности учащихся;
— воспроизведение и коррекция опорных зна-
ний;
— повторение и анализ основных фактов, со-
бытий, явлений;
— обобщение и систематизация понятий, усво-
ение системы знаний и их применение для объ-
яснения новых фактов и выполнения практичес-
ких заданий;
— усвоение ведущих идей и основных теорий
на основе широкой систематизации знаний;
— подведение итогов урока.
Урок проверки и коррекции
знаний и умений
Контроль и коррекция знаний и умений осу-
ществляются на каждом уроке. Однако после изу-
чения одной или нескольких тем учитель прово-
дит специальные уроки с целью выявления уров-
ня овладения учащимися необходимыми знания-
ми и умениями и принятия на этой основе реше-
ния по совершенствованию учебного процесса.
Определяя структуру такого урока, целесооб-
разно исходить из принципа постепенного нара-
стания уровня знаний и умений: от уровня осо-
знания до репродуктивного и продуктивного
уровня. При таком подходе возможна следующая
структура урока:
— ознакомление с целью и задачами урока, инст-
руктаж учащихся по организации работы на уроке;
— проверка знаний учащимися фактического
материала и их умений раскрывать элементарные
внешние связи в предметах и явлениях;
— проверка знаний учащимися основных по-
нятий, правил, законов и умений объяснить их
сущность, аргументировать свои суждения и при-
водить примеры;
— проверка умений учащихся самостоятельно
применять знания в стандартных условиях;
— проверка умений учащихся применять зна-
ния в измененных, нестандартных условиях;
— подведение итогов (на данном и последую-
щих уроках).
Комбинированный урок
Для комбинированного урока характерны по-
становка и достижение нескольких дидактичес-
ких целей; их возможным сочетанием определя-
ется разновидность конкретного урока. Традици-
онной является следующая структура урока:
— ознакомление с темой урока, постановка его
целей и задач;
— проверка домашнего задания;
— проверка знаний и умений учащихся по
пройденному материалу;
— изложение нового материала;
— первичное закрепление изученного;
— подведение итогов урока и постановка до-
машнего задания.
Наряду с традиционной в практике обучения
широко используются и другие разновидности
комбинированного урока. Например, комбини-
рованный урок, целью которого являются про-
верка ранее изученного и ознакомление с новым
материалом, может иметь такую структуру:
— проверка домашнего задания;
— проверка ранее усвоенных знаний;
— сообщение темы, цели и задач урока;
— изложение нового материала;
— восприятие и осознание учащимися нового
материала;
— осмысление, обобщение и систематизация
знаний;
КОНСУЛЬТАЦИЯ
21
— постановка домашнего задания.
Аналогичную структуру имеет и так называе-
мый модульный урок. Он также преследует не-
сколько дидактических целей и при этом пред-
ставляет собой вполне завершенную, целостную
конструкцию. Структура такого урока, как пра-
вило, включает:
— мотивационную беседу (организационный
момент или введение в тему урока), заверша-
ющуюся постановкой интегрирующей цели
урока;
— входной контроль (проверка домашнего за-
дания и повторение изученного ранее);
— работу с новым материалом;
— закрепление изученного;
— завершающий контроль (проверка усвоенно-
го на уроке);
— рефлексию3.
Урок-лекция
Как правило, на таком уроке излагается значи-
тельная часть теоретического материала изучае-
мой темы. В зависимости от его логики и от ди-
дактических задач различают вводные, установоч-
ные, текущие и обзорные лекции. По характеру
изложения и деятельности учащихся лекция мо-
жет быть информационной, объяснительной, лек-
цией-беседой и т.д.
Лекционная форма проведения уроков целесо-
образна: 1) при изучении нового материала, мало
связанного с ранее изученным; 2) при рассмотре-
нии сложного для самостоятельного изучения
материала; 3) при подаче информации крупными
блоками; 4) при выполнении определенного вида
заданий по одной или нескольким темам, разде-
лам и т.д.; 5) при применении изученного мате-
риала в ходе решения практических задач.
Структура урока-лекции определяется выбором
темы и цели урока. Приведем ее возможный ва-
риант:
— создание проблемной ситуации при поста-
новке темы, цели и задач лекции;
— ее разрешение при реализации намеченного
плана лекции;
— выделение опорных знаний и умений и их
оформление с помощью памятки «Как конспек-
тировать лекцию»;
3 Она связана с самооценкой учащихся и их суждениями
о работе класса (группы), с мнением об уроке, пожелания-
ми и предложениями по разработке последующих уроков.
— воспроизведение учащимися опорных знаний
и умений по образцам, конспектам, блок-кон-
спектам, опорным конспектам и т.д.;
— применение полученных знаний;
— обобщение и систематизация изученного;
— формирование домашнего задания: постанов-
ка вопросов для самопроверки, сообщение спис-
ка рекомендуемой литературы и заданий из учеб-
ника.
Урок-семинар
Для семинара характерны самостоятельное изу-
чение школьниками программного материала и
обсуждение на уроке результатов их познаватель-
ной деятельности. На нем ребята учатся высту-
пать публично, дискутировать, отстаивать свои
суждения. Все это способствует развитию у них
познавательных и исследовательских умений и
повышению культуры общения.
Уроки-семинары различают по формам прове-
дения, по учебным задачам, по источникам полу-
чения знаний и т.д. В практике обучения получи-
ли распространение семинары-беседы, семинары-
доклады, рефераты, творческие письменные ра-
боты, комментированное чтение, семинар по ре-
шению задач, семинар-диспут, семинар-конфе-
ренция и др.
Организовывать урок в форме семинара пред-
почтительнее в следующих случаях: 1) при изуче-
нии нового материала, если он доступен для са-
мостоятельной проработки учащимися; 2) после
проведения вводных, установочных и текущих
лекций; 3) при обобщении и систематизации зна-
ний и умений учащихся по изучаемой теме; 4) при
проведении уроков, посвященных различным
методам решения задач, выполнения заданий и
упражнений и т.д.
К семинару готовятся все учащиеся. Учитель
заблаговременно определяет тему, цель и задачи
семинара, планирует его проведение, формули-
рует основные и дополнительные вопросы по
теме, распределяет задания между учащимися с
учетом их индивидуальных возможностей, под-
бирает литературу, проводит групповые и инди-
видуальные консультации, проверяет конспекты.
Получив задание, учащиеся с помощью памя-
ток «Как конспектировать источники», «Как го-
товиться к выступлению», «Как готовиться к се-
минару», «Памятка докладчика» оформляют ре-
зультаты самостоятельной работы в виде плана
или тезисов выступлений, конспектов основных
источников, докладов и рефератов.
22
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6'06
Занятие начинается со вступительного слова
учителя, в котором он напоминает задачу семи-
нара, порядок его проведения, рекомендует, на
что необходимо обратить внимание, что следует
записать в тетрадь.
Далее обсуждаются вопросы семинара: в фор-
ме дискуссии, развернутой беседы, сообщений,
комментированного чтения первоисточников, до-
кладов, рефератов и т.д.
Затем учитель дополняет сообщения учеников,
отвечает на их вопросы и дает оценку выступле-
ниям. Подводя итоги, он отмечает положитель-
ное, анализирует содержание, форму выступле-
ний учащихся, указывает на недостатки и пути
их преодоления.
Урок-зачет
Основная цель этого урока — диагностика уров-
ня усвоения знаний и умений каждым учащимся
на определенном этапе обучения3.
Практикуются различные виды зачетов: теку-
щий и тематический, зачет-практикум, диффе-
ренцированный зачет, зачет-экстерн и др. Они
предусматривают разные формы организации
деятельности учителя и учащихся: форму экзаме-
на, ринга, конвейера, общественного смотра зна-
ний, аукциона и пр.
Если учащимся предварительно сообщается
примерный перечень заданий, выносимых на за-
чет, то его называют открытым. Такой зачет про-
водится как завершающая проверка в конце изу-
чаемой темы.
Приступая к ее изложению, учитель сообщает
о содержании предстоящего зачета, об особенно-
стях его организации и сроках сдачи. Для прове-
дения зачета из числа наиболее подготовленных
учащихся выбираются консультанты. Они помо-
гают распределить остальных учеников по груп-
пам из 3—5 человек и готовят учетные карточки,
в которых фиксируются оценки за выполнение
учениками каждого задания и итоговые оценки
за зачет.
Для каждого ученика, кроме консультантов, го-
товятся индивидуальные задания, включающие
основные (соответствующие обязательному уров-
3 Положительная оценка за зачет ставится, когда ученик
справился со всеми заданиями, соответствующими уровню
обязательной подготовки по предмету. Если хотя бы одно из
таких заданий не выполнено, зачет пересдается, причем уче-
ник может пересдать только те виды заданий, с которыми
не справился.
ню подготовки) и дополнительные вопросы и уп-
ражнения (их выполнение необходимо для полу-
чения хорошей или отличной оценки).
В начале урока, пока ученики выполняют за-
дания, учитель проводит собеседование с консуль-
тантами: проверяет и оценивает их знания, а за-
тем еще раз разъясняет методику проверки зада-
ний.
Затем консультанты контролируют выполнение
заданий в своих группах, а учитель выборочно
проверяет работы учащихся, справившихся к это-
му моменту с основными заданиями.
Урок завершается заполнением учетных карто-
чек промежуточными оценками, на основе кото-
рых учитель выставляет в журнал итоговую.
Урок-практикум
Главная задача урока-практикума — усиление
практической направленности обучения. Он дол-
жен быть не только тесно связан с изученным ма-
териалом, но и способствовать его прочному, не-
формальному усвоению.
Основные формы проведения такого урока —
практическая и лабораторная работы, на которых
учащиеся самостоятельно упражняются в приме-
нении полученных знаний и умений4.
Различают установочные, иллюстративные,
тренировочные, исследовательские, творческие и
обобщающие уроки-практикумы. На них преоб-
ладает групповая форма работы, при этом каждая
группа, как правило, выполняет отличающуюся
от других практическую или лабораторную рабо-
ту согласно имеющейся инструкции.
Исходя из опыта, можно предложить следую-
щую общую структуру урока-практикума:
— сообщение темы, цели и задач практикума;
— актуализация опорных знаний и умений;
— мотивация учебной деятельности учащих-
ся;
— ознакомление учеников с инструкцией;
— подбор необходимых дидактических матери-
алов, средств обучения и оборудования;
— выполнение работы учащимися под руковод-
ством учителя;
— составление отчета;
— обсуждение и теоретическая интерпретация
полученных результатов.
4 Их главное различие в том, что на лабораторных рабо-
тах формируются экспериментальные, а на практических —
конструктивные умения учащихся.
КОНСУЛЬТАЦИЯ
23
Урок-экскурсия
На урок-экскурсию переносятся основные за-
дачи учебных экскурсий: обогащение знаний уча-
щихся; установление связи теории с практикой;
развитие творческих способностей учащихся, их
самостоятельности, организованности; воспита-
ние положительного отношения к учению.
Такой урок проводят по одной или несколь-
ким взаимосвязанным темам. По содержанию
выделяют тематические (в рамках одного пред-
мета) и комплексные (по нескольким предметам)
уроки-экскурсии, а в зависимости от этапа изу-
чения темы различают вводные, сопутствующие
и заключительные уроки-экскурсии.
Они могут проводиться в форме пресс-конфе-
ренции с участием представителей предприятия,
учреждения, музея и т.д., как экскурс в историю
предмета, кино- или телеэкскурсия и др.
Общая структура тематического урока-экскур-
сии такова:
— сообщение темы, цели и задач урока;
— актуализация опорных знаний учащихся;
— восприятие особенностей экскурсионных
объектов, первичное осознание заложенной в них
информации;
— обобщение и систематизация знаний;
— подведение итогов урока и сообщение уча-
щимся индивидуальных заданий.
Урок-дискуссия
В основе урока-дискуссии лежит обсуждение
спорных вопросов, проблем, различных подходов
при аргументации суждений, решении заданий и
т.д. В зависимости от числа участников полеми-
ки различают дискуссии-диалоги, групповые, а
также массовые дискуссии.
На этапе подготовки такого урока учитель дол-
жен четко сформулировать задание, раскрываю-
щее сущность проблемы и возможные пути ее
решения, и при необходимости ознакомить уча-
щихся с дополнительной литературой.
В начале урока обосновывается выбор обсуж-
даемой проблемы, выделяются ее ключевые мо-
менты. В центре дискуссии стоит спор ее участ-
ников. Для его возникновения неприемлем авто-
ритарный стиль преподавания, ибо он не распо-
лагает к откровенному высказыванию своих
взглядов. Ведущий дискуссии, обычно учитель,
может использовать различные приемы активи-
зации деятельности учащихся, подбадривать их
репликами: «хорошая мысль», «интересный под-
ход, но...», «давайте подумаем вместе», «какой
оригинальный ответ» и т.п., разъяснять смысл
противоположных точек зрения, размышлять
вместе с учениками, помогая им сформулировать
свои мысли. В ходе дискуссии не стоит добивать-
ся единообразия оценок, однако по принципи-
альным вопросам следует вносить ясность.
Особняком стоит вопрос о культуре дискуссии.
Оскорбления, упреки, недоброжелательность в
отношении к товарищам не должны присутство-
вать в споре. Крик и грубость возникают тогда,
когда в основе дискуссии лежат не факты, а толь-
ко эмоции, при этом часто участники не владеют
предметом спора и «говорят на разных языках».
Формированию культуры дискуссии могут помочь
следующие правила: вступая в дискуссию, необ-
ходимо представлять предмет спора; не допускать
в споре тона превосходства; грамотно и четко
ставить вопросы и формулировать выводы.
По завершении дискуссии необходимо подве-
сти ее итоги: оценить правильность формулиров-
ки и употребления понятий, глубину аргументов,
умение использовать приемы доказательств, оп-
ровержений, выдвижения гипотез, культуру дис-
куссии. На заключительном этапе урока можно
не только систематизировать возможные пути
решения затронутой проблемы, но и поставить
связанные с ней новые вопросы, дающие учащим-
ся пищу для размышления.
Отметим, что дискуссия - один из основных
структурных компонентов урока-диспута, конфе-
ренции, суда, заседания ученого совета и др.
Урок-консультация
На уроке этого типа проводится целенаправ-
ленная работа не только по ликвидации пробе-
лов в знаниях учащихся, но и по развитию их
умений.
В зависимости от содержания и назначения вы-
деляют тематические и целевые уроки-консуль-
тации. Первые проводятся по каждой теме либо
по наиболее значимым или сложным вопросам
программного материала. Вторые входят в систе-
му подготовки, проведения и подведения итогов
самостоятельных и контрольных работ, зачетов,
экзаменов. Это могут быть уроки работы над
ошибками, уроки анализа результатов контроль-
ной работы или зачета и т.д.
На консультации сочетаются различные фор-
мы работы с учащимися: индивидуальная, груп-
повая, фронтальная.
24
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
Готовятся к такому уроку и учитель, и учени-
ки. Учитель анализирует и систематизирует не-
дочеты и ошибки в устных ответах и письменных
работах учащихся и на этой основе уточняет пе-
речень возможных вопросов для обсуждения на
консультации. Ребята готовят вопросы и задания,
вызывающие у них затруднения. При этом допу-
скается использование не только учебника, но и
дополнительной литературы.
Если на первых консультациях учитель не по-
лучит вопросов, ему следует вначале проанализи-
ровать текст учебника и имеющиеся в нем зада-
ния, вскрывая вопросы, которые могли бы воз-
никнуть у учеников, но ускользнули от их внима-
ния, а остальную часть урока посвятить разбору
вопросов, подготовленных им самим.
Когда ученики поймут, как готовиться к уро-
ку-консультации, и у них будет много вопросов,
для ответов на которые не хватит времени на
уроке, учитель обобщает некоторые вопросы или
отбирает наиболее значимые из них, перенося
остальные на последующие уроки.
Иная ситуация возникает, когда вопросы уча-
щихся почерпнуты из дополнительной литерату-
ры. Получая ответы на них, ребята осознают, что
вопросы заранее не были известны учителю, и
имеют возможность заглянуть в его творческую
лабораторию, увидеть попытки учителя найти
верный ответ. Если же ему не удается сделать это
сразу, поиск ответа становится общим делом учи-
теля и учащихся после консультации.
В ходе урока учитель имеет возможность уви-
деть динамику продвижения учащихся в изуче-
нии материала и помочь тем, кто испытывает за-
труднения, применив как индивидуальную, так и
групповую форму работы и привлекая в качестве
помощников-консультантов более подготовлен-
ных учеников.
Интегрированный
урок
Методической основой интегрированного под-
хода к обучению являются формирование у
школьников знаний об окружающем мире (его це-
лостной картины), а также установление внутри-
предметных и межпредметных связей, преодоле-
ние дисциплинарной разобщенности научного
знания.
В этой связи интегрированным (или межпред-
метным) уроком называют любой урок, для про-
ведения которого привлекаются знания, умения
и результаты анализа изучаемого материала ме-
тодами других наук. Формы его проведения -
самые разные: семинар, конференция, путешест-
вие и др.
Наиболее общая классификация интегрирован-
ных уроков по способу их организации входит в
иерархию ступеней интеграции, которая, в свою
очередь, имеет следующий вид:
— конструирование и проведение урока двумя
и более учителями разных дисциплин;
— конструирование и проведение интегриро-
ванного урока одним учителем, имеющим базо-
вую подготовку по соответствующим дисципли-
нам;
— создание на этой основе интегрированных
тем, разделов и, наконец, курсов.
Театрализованный
урок
Выделение этого типа урока связано с при-
влечением в обычный урок театральных средств
и атрибутов. Театрализованный урок привносит
в ученические будни атмосферу праздника, поз-
воляет ребятам проявить инициативу, способст-
вует формированию у них коммуникативных
умений и чувства взаимопомощи. Урок может
проходить в форме спектакля, салона, сказки,
студии и др.
Подготовка к нему, в частности написание сце-
нария и изготовление костюмов, предполагает
совместную деятельность учащихся и учителя, а
на самом уроке последний выполняет функцию
организатора представления. Отметим также, что
наполнение сценария фактическим материалом
требует от школьников серьезных усилий в рабо-
те с учебником, первоисточником, научно-попу-
лярной литературой по теме, что способствует
развитию у них интереса к знаниям.
Представление начинается, как правило, со
вступительного слова ведущего (учителя или кого-
то из учеников) и может быть продолжено поста-
новкой проблемных вопросов, вовлекающих в
активную работу на уроке остальных учащихся.
На заключительном этапе урока подводятся ито-
ги, по возможности повторяется и обобщается
использованный на нем материал, а также оце-
нивается работа учащихся. (Критерии оценок,
которые учитывали бы все виды деятельности
учеников на уроке, продумываются еще на ста-
дии его разработки и должны быть заранее изве-
стны ребятам.)
КОНСУЛЬТАЦИЯ
25
Разумеется, предлагаемая структура отража-
ет лишь один из вариантов конструирования те-
атрализованного урока, многообразие которых
определяется прежде всего содержанием учеб-
ного материала и выбором соответствующего
сценария.
Урок-соревнование
В основе этого урока лежит состязание команд
при ответах на вопросы или решении чередую-
щихся заданий, предложенных учителем, а фор-
ма проведения может быть самой разной: поеди-
нок, бой, эстафета, КВН, «Брейн-ринг», «Счаст-
ливый случай», «Звездный час» и т.д.
В организации и проведении урока-соревнова-
ния выделяют три основных этапа: подготовитель-
ный, игровой и подведение итогов. Для каждого
конкретного урока эта структура детализируется в
соответствии с содержанием используемого мате-
риала и особенностями сюжета состязаний.
В качестве примера рассмотрим специфику ор-
ганизации и проведения боя команд по учебному
предмету.
Для участия в соревновании класс разбивается
на две-три команды. Каждой из них даются одни
и те же задания, число которых равно числу уча-
стников команд. Выбираются капитаны команд,
которые руководят действиями своих товарищей
и распределяют, кто будет отстаивать в бою ре-
шение того или иного задания. Дав время на об-
думывание и поиск решений, жюри, состоящее
из учителя и учащихся, не вошедших в составы
команд, следит за соблюдением правил состяза-
ния и подводит его итоги.
Бой открывается конкурсом капитанов. Он не
приносит баллов, но дает команде капитана-по-
бедителя право бросить вызов или передать это
право соперникам.
В дальнейшем команды вызывают друг друга
по очереди, указывая каждый раз задание, вы-
бранное для боя. Если вызов принимается, то
команда-соперник выставляет участника, рас-
сказывающего решение, а бросившая вызов
команда - оппонента, ищущего в этом решении
ошибки и недочеты. Если же вызов не принят,
игроки меняются ролями: представитель вызыва-
ющей команды объясняет решение, а вызванной
команды - оппонирует.
Жюри начисляет баллы за выступление обоим
участникам боя. Если никто из членов команд не
знает решения, его приводит учитель или член
жюри. В конце урока подводятся итоги команд-
ной, а также индивидуальной работы5.
Урок с дидактической игрой
Речь идет об уроке, в конструкцию которого в
качестве самостоятельного структурного элемен-
та включена дидактическая игра.
Любая дидактическая игра имеет четко постав-
ленную цель обучения и соответствующий ей пе-
дагогический результат. Такая игра обладает ус-
тойчивой структурой, включающей следующие
взаимосвязанные компоненты: 1) игровой замы-
сел; 2) правила; 3) игровые действия; 4) познава-
тельное содержание (или дидактические задачи);
5) оборудование; 6) результат игры.
Игровой замысел обычно отражен в названии
игры, заложен в дидактической задаче, которую
надо решать на уроке. Он придает игре познава-
тельный характер, предъявляет к участникам оп-
ределенные требования в отношении знаний.
Правила игры определяют порядок действий и
поведение учащихся, способствуют поддержанию
рабочей обстановки на уроке. Они разрабатыва-
ются с учетом цели урока и возможностей уча-
щихся.
Регулируемые правилами игровые действия
способствуют познавательной активности уча-
щихся, проявлению их способностей, примене-
нию знаний и умений для достижения поставлен-
ной цели.
Основа дидактической игры - ее познаватель-
ное содержание. Оно заключается в усвоении
знаний и умений, которые применяются при ре-
шении учебной проблемы, поставленной игрой.
Оборудование игры включает в себя техничес-
кие и наглядные средства обучения, а также ди-
дактические раздаточные материалы.
Дидактическая игра имеет определенный ре-
зультат, придающий ей законченность. Он высту-
пает в форме решения поставленной задачи и оце-
нивания действий учащихся.
Целесообразность использования дидактичес-
кой игры на разных этапах урока различна. При
5 Важное значение имеет объективность оценки уровня
знаний. В частности, выставленный участнику (команде)
балл должен соответствовать уровню сложности задания.
При неправильном выполнении задания, списывании или
подсказках следует снимать определенное число баллов.
Опыт показывает: отказ от снятия баллов отрицательно ска-
зывается на предупреждении неверных ответов и организа-
ции урока в целом.
3 Математика в школе № 6
26
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6'06
усвоении новых знаний ее возможности уступа-
ют традиционным формам обучения. Поэтому ди-
дактические игры чаще применяют при проверке
результатов обучения, выработке навыков, фор-
мировании умений. При систематическом ис-
пользовании они служат эффективным средством
активизации учебной деятельности школьников.
Урок - деловая игра
В процессе деловой игры моделируются жиз-
ненные ситуации и отношения, в рамках кото-
рых ищется оптимальный вариант решения рас-
сматриваемой проблемы, имитируется его реали-
зация на практике.
В рамках уроков применяют учебные деловые
игры. Их отличительными свойствами являются:
1) моделирование приближенных к реальной
жизни ситуаций; 2) поэтапное развитие игры;
3) наличие конфликтных ситуаций; 4) совмест-
ная деятельность участников игры, выполняющих
предусмотренные сценарием роли; 5) использо-
вание описания объекта игрового имитационно-
го моделирования; 6) контроль игрового време-
ни; 7) элементы состязательности; 8) правила,
система оценок хода и результатов игры.
Методика разработки деловой игры включает:
- обоснование требований к проведению игры
и составление плана ее разработки;
- написание сценария (включая правила и ре-
комендации по организации игры);
- подбор необходимой информации, средств
обучения для создания игровой обстановки;
- уточнение целей проведения игры, составле-
ние инструкций для всех участников, подбор и
оформление дидактических материалов;
- разработку системы оценки результатов игры
в целом и ее участников в отдельности.
Возможная структура деловой игры на уроке
может быть такой:
— знакомство с реальной ситуацией;
— построение ее имитационной модели;
— постановка основной задачи командам (бри-
гадам, группам), уточнение их роли в игре;
— создание игровой проблемной ситуации;
— вычленение необходимого для решения про-
блемы теоретического материала;
— разрешение проблемы;
— обсуждение и проверка полученных резуль-
татов;
— коррекция;
— реализация принятого решения;
— анализ итогов работы (рефлексия);
— оценка результатов работы.
Урок - ролевая игра
В основе ролевой игры лежат целенаправлен-
ные действия учащихся в моделируемой жизнен-
ной ситуации в соответствии с сюжетом игры и
распределенными ролями.
Уроки — ролевые игры можно разделить на:
1) имитационные (направлены на имитацию оп-
ределенного профессионального действия); 2) си-
туационные (связаны с решением какой-либо
узкой проблемы); 3) условные (посвящены раз-
решению учебных или производственных кон-
фликтов и т.п.). Формы проведения ролевой игры
могут быть самыми разными: путешествие, дис-
куссия на основе распределения ролей, пресс-
конференция, урок-суд и др.
Методика разработки и проведения урока
включает следующие этапы: подготовительный,
игровой, заключительный и этап анализа резуль-
татов игры.
На подготовительном этапе решаются органи-
зационные вопросы: распределяются роли, выби-
рается жюри или экспертная группа, формиру-
ются команды игроков, проводится инструктаж
участников. А также решаются вопросы, связан-
ные с предварительным изучением содержания
игры: знакомство с темой, проблемой и задания-
ми, сбор и анализ материала, подготовка сооб-
щений, подбор реквизита, консультации.
Игровой этап характеризуется «включением»
участников в проблему и осознанием проблем-
ной ситуации. Оно имеет внутригрупповой ас-
пект: индивидуальное понимание проблемы, дис-
куссия в группе, выявление позиций, принятие
решения, подготовка сообщений, а также меж-
групповой: заслушивание сообщений, оценка ре-
шения.
На заключительном этапе вырабатываются ре-
шения по проблеме, заслушивается сообщение
экспертной группы, выбирается наиболее удач-
ное решение.
При анализе результатов ролевой игры опреде-
ляется степень активности участников, уровень
их знаний и умений, вырабатываются рекомен-
дации по совершенствованию игры.
Отметим, что проведение ролевой игры на уро-
ке связано с преодолением трудностей, заложен-
ных в ее противоречивом характере: в игре ус-
ловность должна сочетаться с серьезностью. Кро-
КОНСУЛЬТАЦИЯ
27
ме того, она предусматривает и элемент импро-
визации. Если хотя бы один из этих компонентов
отсутствует, игра не достигает цели и превраща-
ется в скучную инсценировку.
Всякий урок математики можно рассматривать
как элемент базовой системы или как ее произ-
водный элемент, т.е. урок, сконструированный
из структурных компонентов уроков, входящих
в эту систему. Так, урок ключевых задач можно
построить с использованием элементов: 1) уро-
ка-лекции (изложение и конспектирование со-
держания ключевых задач по изучаемой теме,
критериев их отбора, обзор подходов к реше-
нию); 2) урока обобщения и систематизации
знаний (освоение учебного материала путем си-
стематизации знаний и умений); 3) урока-прак-
тикума (использование инструкций по выполне-
нию заданий с применением ключевых задач);
4) урока — деловой игры (рефлексия, связанная
с самооценкой и суждениями учащихся о работе
класса, группы и т.д.).
В целом же использование базовой системы
уроков позволяет полнее задействовать возмож-
ности урочной формы обучения, что способству-
ет повышению эффективности организации ма-
тематического образования в современной шко-
ле. Главное же направление развития теории и
практики конструирования урока математики
выражается в стремлении добиться того, чтобы
он стал результатом творчества не только учите-
ля, но и учащихся.
«Математика для школьников»
Вот уже третий год в издательстве «Школьная Прес-
са» выходит научно-практический журнал «Матема-
тика для школьников», адресованный старшеклассни-
кам.
В каждом номере в рубрике «Иду на экзамен» они
найдут нужные им материалы для подготовки к раз-
личным видам экзаменов — выпускным в 9-х и 11-х
классах, ЕГЭ, к вступительным в вузы. Скажем несколь-
ко слов об авторах некоторых статей.
Например, Юрий Александрович Глазков — автор
различных тестовых заданий, которые он составлял
много лет сначала для централизованного тестиро-
вания выпускников и абитуриентов, а теперь для ЕГЭ.
Сергей Алексеевич Шестаков — учитель с большим
опытом работы в школе, один из авторов сборников
для подготовки и проведения экзаменов 9-х и 11-х
классах.
Игорь Николаевич Сергеев — профессор Московско-
го университета, более 20 лет работает над составле-
нием задач вступительных экзаменов в МГУ.
В рубрике «Советы к уроку» высококвалифициро-
ванные учителя и методисты расскажут ученикам, как
лучше подготовиться к различным зачетам и кон-
трольным работам, подробно разъяснив им все труд-
ные вопросы.
Статьи рубрики «Проверь себя сам» помогут школь-
никам быстро и точно узнать уровень своей математи-
ческой подготовки. Отдельно отметим Задачник «Ма-
тематики для школьников», который ведет Борис Ни-
колаевич Кукушкин, долгое время работавший на олим-
пиадах различных уровней.
Раздел «Академия математики» посвящен наибо-
лее сложным математическим вопросам. Назовем для
примера две фамилии наших авторов, не нуждающих-
ся в представлении — Марк Иванович Башмаков и Ге-
оргий Владимирович Дорофеев.
В статьях рубрики «Неожиданная математика»
перед юными читателями предстанут наиболее яр-
кие грани этой науки — интересные математические
факты, различные области применения математичес-
ких знаний.
В рубрике «Математика на компьютере» журнал
познакомит с новыми компьютерными программами,
которые помогут при изучении математики, а также
расскажет о математических страницах Интернета.
Журнал «Математика для школьников» — надеж-
ный друг для выпускников и абитуриентов. Он от-
кроет перед ними дорогу в прекрасный мир матема-
тики, поможет в учебе. Этот журнал будет также
интересен и полезен учителям.
з*
28
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6'06
Л.И.Звавич,
И.И.Кулагина,
А.Р.Рязановский
(Москва)
О ПРЕПОДАВАНИИ КУРСА АЛГЕБРЫ
В IX КЛАССАХ С УГЛУБЛЕННЫМ
ИЛИ ПРЕДПРОФИЛЬНЫМ
ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ
Предлагаемые ниже материалы ориентированы на учебник А.Г.Мордкови-
ча «Алгебра. 9 класс: Учебник для классов с углубленным изучением ма-
тематики» и задачник Л.И.Звавича и А.Р.Рязановского.
Уже в течение ряда лет во многих школах Рос-
сии углубленное изучение математики в VIII—
IX классах ведется по учебникам А.Г.Мордко-
вича и задачникам Л.И.Звавича и А.Р.Рязанов-
ского, выпущенным издательством «Мнемози-
на». Все эти книги имеют гриф Министерства
образования Российской Федерации. Они пред-
назначены, в основном, для школ и классов с
углубленным изучением математики, в которых
на изучение алгебры отводится 5 ч в неделю.
Из расчета на такое количество часов разработа-
ны тематическое планирование и контрольные
работы.
Учебники могут использоваться как основные
и в IX классах с предпрофильным обучением ма-
тематики, предполагающем меньшее количество
часов математики в неделю. В этом случае пре-
подаватель может внести коррективы в планиро-
вание и контрольные работы, в частности за счет
уменьшения «веса» таких тем, как «Тригономе-
трические функции и преобразования», «Число-
вые последовательности», «Метод математичес-
кой индукции». Как и обычно, контрольные ра-
боты рассчитаны на 2 ч, а их материал, быть мо-
жет, несколько перенасыщен. Разумеется, препо-
даватель, исходя из конкретных условий своей
работы, сможет «разгрузить» контрольную рабо-
ту как за счет упрощения заданий, так и за счет
отнесения некоторых из них к необязательным
(на дополнительную оценку1).
Одним из важных достоинств данных учебни-
ков является удачное сочетание научности и про-
стоты изложения материала. Задачники содержат
большое количество разнообразных заданий по
курсу математики VIII и IX классов; в задачник
IX класса включены отдельным блоком более ста
1 В своей практике за верно выполненное дополнитель-
ное задание (со звездочкой « * ») мы ставим пятерку только
в том случае, когда обязательная часть работы выполнена,
по крайней мере, удовлетворительно.
задач вступительных экзаменов в вузы, доступ-
ных учащимся основной школы.
Кроме того, и учебник, и задачник могут ис-
пользоваться как источник дополнительного ма-
териала (в кружковой работе, при проведении
элективных курсов или занятий с сильными уча-
щимися) учителями, работающими в общеобра-
зовательных классах2.
АЛГЕБРА
(5 ч в неделю, всего 175 ч)
Повторение курса VIII класса (7 ч)
Функции и графики. Квадратные уравнения и
квадратный трехчлен. Линейные и квадратные не-
равенства. Приемы решения алгебраических урав-
нений.
Контрольная работа № 1.
Неравенства с одной переменной.
Метод промежутков.
Системы и совокупности
неравенств(20 ч)
Рациональные неравенства. Системы нера-
венств. Совокупности неравенств. Неравенства с
модулями. Иррациональные неравенства. Задачи
с параметрами.
Контрольная работа № 2.
Системы уравнений (17 ч)
Уравнения и неравенства с двумя переменны-
ми. Графики уравнений с двумя переменными и
приемы их построения. Основные понятия, свя-
занные с системами уравнений и неравенств с
двумя переменными. Методы решения систем
уравнений. Однородные системы. Симметричес-
2 Особенно это относится к классам, обучающимся по
комплекту учебников под редакцией А. Г. Мордковича. Мож-
но также использовать задачник А.Г.Мордковича, Т.Н.Ми-
шустиной и Е.Е.Тульчинской для общеобразовательных уч-
реждений.
КОНСУЛЬТАЦИЯ ,
29
кие системы. Иррациональные системы. Систе-
мы с модулями. Системы уравнений как матема-
тические модели реальных ситуаций.
Контрольная работа № 3.
Числовые функции (12 ч)
Определение числовой функции. Область оп-
ределения, область значений функции. Способы
задания функции. Свойства функций. Четные и
нечетные функции.
Контрольная работа № 4.
Степенные функции.
Степени и корни (18 ч)
Степень с отрицательным целым показателем.
Функции у = хт, те Z, их свойства и графики.
Понятие корня n-ой степени из действительного
числа. Функции y = tfx, их свойства и графики.
Свойства корня n-ой степени. Преобразования
выражений, содержащих радикалы. Обобщение
понятия о показателе степени. Функции у — хг,
г е Q, их свойства и графики.
Контрольная работа № 5.
Тригонометрические функции (17 ч)
Числовая окружность. Числовая окружность на
координатной плоскости. Синус и косинус. Тан-
генс и котангенс. Тригонометрические функции
числового аргумента. Тригонометрические
функции углового аргумента. Функции у = sinx,
у = cosx, их свойства и графики. Формулы при-
ведения.
Контрольная работа № 6.
Преобразование тригонометрических
выражений (20 ч)
Синус и косинус суммы и разности аргумен-
тов. Тангенс суммы и разности аргументов. Фор-
мулы двойного аргумента. Формулы понижения
степени. Преобразование сумм тригонометриче-
ских функций в произведения. Преобразование
произведений тригонометрических функций в
суммы.
Контрольная работа № 7.
Числовые последовательности.
Прогрессии (22 ч)
Числовые последовательности. Свойства чис-
ловых последовательностей. Арифметическая
прогрессия. Геометрическая прогрессия.
Контрольная работа № 8.
Бесконечно убывающая геометрическая про-
грессия. Метод математической индукции. Сум-
мирование.
Контрольная работа № 9.
Практикум по решению комплексных
задач по всему курсу (20 ч)
Повторение.
Подготовка к экзамену (10 ч)
Предэкзаменационная контрольная работа3 (4 ч).
Общее число часов меньше 175, так как в
реалии часы, к сожалению, пропадают по разным
причинам.
Контрольная работа № I4
I вариант
1. Решите уравнение:
а) (х2 - 7х + II)2 - Зх2 + 21х - 37 = 0;
б) Зх2-5д/х^-2 = 0; в) Зх2-5(Тх)2-2 = 0.
„ г, 4-V17
2. Решите неравенство —;------< 0.
Зх2+2х-8_______
3. Является ли число 1111-4^/7 -711 + 4V7 ре-
шением неравенства Зх2 — 11х + 4 < О?
4. Решите графически:
/---- 2х + 2
а) уравнение у х + 4 =-;
х-1
I---Т^2х + 2
б) неравенство у х + 4 >--.
х-1
5. Две бригады разгружают вагон за 6 ч. Пер-
вая бригада в одиночку может выполнить всю
работу на 5 ч быстрее, чем одна вторая бригада.
За какое время может разгрузить вагон каждая
бригада, действуя отдельно?
6*. При каких значениях параметра р уравне-
2 1
ние (р -6р + 8)х + 2р+ — = 0 имеет единствен-
ное решение?
II вариант
1. Решите уравнение:
а) (х2 - 2х - 14)2 + 4х2 - 8х - 61 = 0;
3 Желательно договориться с администрацией о переста-
новке в расписании для проведения такой работы. В про-
тивном случае сократить объем работы из расчета 2 ч на ее
выполнение.
4 Приводим по два варианта каждой работы. Нам кажет-
ся полезным составление самим учителем подготовительно-
го варианта контрольной работы и задание его на дом. В
планируемой нами книге для учителя по преподаванию ал-
гебры в VIII—IX классах такие варианты будут приведены.
30
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
б) 2х2-5(Тх)2-3 = 0; в) 2х2-5лС?-3 = 0.
э n 5"V26
2. Решите неравенство —-------->0.
2х2 + х—6
3. Является ли число у 10 - 4-Тб -/10 + ре-
шением неравенства Зх — 5Х2 + 13 > О?
4. Решите графически:
а) уравнение ух -1 =---—;
х-6
б) неравенство у х -1 <---.
х-6
5. Два мастера, работая вместе, могут покра-
сить помещение на 18 ч быстрее, чем первый
мастер в одиночку, и на 32 ч быстрее, чем вто-
рой мастер в одиночку. За какое время может
покрасить помещение каждый мастер, работая
один?
6*. При каких значениях параметра а уравне-
2 1
ние (7 а - а -12)х -7а — = 0 имеет единствен-
» х
ное решение?
Контрольная работа № 2
I вариант
1. Найдите все решения неравенства
6х2 + 7х — 5 > 0,
3
удовлетворяющие условию |х + 1|<—.
2. Найдите промежутки знакопостоянства
функции /(х) = ^—y-
Зх + 1
3. Решите неравенство:
(х + 2)2(х2-9)(х2-5х + 6)
d) -------------------
X
/ 2 по /*+4 х2-2х-2 .
б) (х -25) --->0; в*) —-----—->1.
Yll-x |х—3|
4. При каких значениях параметра а решени-
ем совокупности
(2х-1)(х-п)<0
является интервал (—2; 3)?
5. Найдите все значения х, при каждом из
которых справедливы ровно два из трех нера-
венств:
——— > 0, 3>Vx + 3 и [х| + 2х < 21.
х
II вариант
1. Найдите все решения неравенства
15 + 4х - 4х2 > 0, !
удовлетворяющие условию | х - 21 >—.
2. Найдите промежутки знакопостоянства
2х + 1
функции /(х)= - .
х +3х
3. Решите неравенство:
ч (х2-4х + 3)(х2-10х + 2П А
а)- ----------—-------->0;
~ /04 2ч / л-5 л х2-8х + 3
б) (36-х ) ——<0; в*) —------— >1.
у-9-х |х-1|
4. При каких значениях параметра а решени-
ем совокупности
(Зх + 1)(2-х)>0
^£<0
_х + 5
является промежуток (—5; 2]?
5. Найдите все значения х, при каждом из
которых справедливы ровно два из трех нера-
венств:
^—^>(), V8^x<3 и |х - 1| + Зх < 59.
5-х
Контрольная работа № 3
I вариант
1. Постройте на координатной плоскости ху
множество точек (х; у) таких, что | х — 31 + | у + 11 <
< 1, и определите значения, которые на этом мно-
жестве принимает:
а) х; б) 2х + у; в*) —.
х
2. Решите систему уравнений:
1
--------1- У - 5 г э э
. х + Зу 7 х2+2у2=17
а) <! б)
—2—= 6- I6*2 -лу-12у2 =0;
х + Зу
< х2—|х —у|+у2 =8
2х-у = 5.
в*)
3. При каких значениях параметра а система
]х-1| + |у-1| = 2
х2 +у2 -2х-2у+2-п = 0
имеет ровно четыре решения?
II вариант
1. Постройте на координатной плоскости ху
КОНСУЛЬТАЦИЯ
31
множество точек (х;у) таких, что |х + 2| + |у — 3| <
< 1, и определите значения, которые на этом мно-
жестве принимает:
а) у; б) х + Зу; в*) —.
х
2. Решите систему уравнений:
а) 1
J у г 2х + у У =3. б)
2х +у
Зх2 -8ху + 4у2 =0
х2 +у2 +13(х-у) = 0;
в*)
х2-|у-х| + 2у2 =8
х-2у = 3.
3. При каких значениях параметра а система
х2 + у1 - 2х + 4у +1 = 0
|х-1| + |у + 2| = я
имеет ровно четыре решения?
Контрольная работа № 4
I вариант
1. Найдите область определения функции:
ч , . 5х-х2-4
a) —----ТГ~;
V Н-3|
б) /(х) = д/5-|х-2|+ Л-д/х + 2.
V6-X
2. Найдите множество значений функции:
а) у = 4х — х2 + 5; б) у = ^4х-х2 +5;
1
в) у=
д/4х-х +5
д) у = х4 - 6х2 + 13;
. 2х + 3
г) у=-----
х-1
е) у = х4 + 6х2 + 13;
ж*) у = х-2у[х+3.
3. Найдите множество значений функции
2х + 3 „ г _
у =-----, заданной на промежутке [—3; 2).
х-1
4. Пусть функция у —f(x) является нечетной,
определена на множестве R и возрастает на про-
межутке [—5; 5]. Сравните /(3) с числом 0. Ответ
обоснуйте.
5. Постройте график функции
х2 +4х + 3 при х<0
/Ы= 3+V9-U-3)2 при 0<х<3
2х _
----при х>3
^х-2
и по этому графику определите:
а) область определения функции;
б) множество значений функции;
в) промежутки убывания функции;
г) точки экстремума и экстремумы функции;
д*) количество корней уравнения /(х) — а для
каждого значения параметра а.
II вариант
1. Найдите область определения функции:
. . . /х2 — 10х + 16
а) #(*) = -.—тт;-у—;
V |14-х|
6) /(х) = Jx-3—/_2_=^ + л/|х + 11-2.
л/5-х
2. Найдите множество значений функции:
а) у = —х2 — 6х — 5; б) у = у-х2 -6х-5;
в) у =
1 ч Зх-1
=: ; г) у =------;
-6х-5 х + 2
д) у = х4 — 4Х2 + 8; е) у = х4 + 4Х2 + 8;
ж*) у = х-б4х +10.
3. Найдите множество значений функции
Зх — 1
у =---- на промежутке (—4; 3].
х + 2
4. Пусть функция у =f(x) является четной, оп-
ределена на множестве R, а уравнение /(х) = — 3
имеет ровно семь различных корней. Найдите
/(0). Ответ обоснуйте.
5. Постройте график функции
V-x-1 -1 при х<-1
/(х)= 74-U-1)2-! при -1<х<3
Зх-10 при х>3
и по этому графику определите:
а) область определения функции;
б) множество значений функции;
в) промежутки возрастания функции;
г) точки экстремума и экстремумы функции;
д*) количество корней уравнения /(х) = а для
каждого значения параметра а.
Контрольная работа № 5
I вариант
1. Какое из чисел
на числовой
прямой расположено ближе к 1?
2. Постройте:
а) график функции у = 4 • | Vx -11 - Vx и ука-
32
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
жите промежутки монотонности, точки экстре-
мума и экстремумы данной функции;
б) фигуру, ограниченную графиками функций:
- - Г -Y
у = (х + 1)3, у = (7-х)2 и у — (-х-1)2 .
г3 '
3. Вычислите значение выражения--z при
z=VV3+V2 +VV3-V2.
4. Упростите выражение
{Ь3-Ь3
5. Решите уравнение
х2>/х-ЗЗд/xVx+32х 6=0.
2 J,
6. Решите неравенство 2х3 - Зх6 +1<0.
7. Сравните ^5^2-7 и —=1^
ОТВЕТЫ
Контрольная работа № 1
7 + л/2Т
I вариант: 1. а) 3; 4; —-—; б) ±2; в) 2.
2. (-ос; -2)oly; + oo I. 3. Нет. 4. а)-3; 5;
4
б) [-3; 1) и [5; +оо). 5. 10 ч; 15ч. 6. 2; 4; у.
II вариант: 1. а) —3; 5; l±V10; б) 3; в) ±3.
( 31
2. I -2;- I. 3. Нет. 4. а) 5; 10; б) [1; 2] о (6; 10].
12
5.42 ч; 56 ч. 6. 3; 4; —.
7
Контрольная работа № 2
I вариант: 1.
5 5l fl]
oUk 2./(x) > 0
2 3j [2j
при
xg (-<*>;-l)u —;0 u(l; + °o);
/(x) < 0 при
II вариант
1. Какое из чисел и на числовой
прямой расположено ближе к 1?
2. Постройте:
а) график функции у = 1/х +3 • |1 - Vx | и ука-
жите промежутки монотонности, точки экстре-
мума и экстремумы данной функции;
б) фигуру, ограниченную графиками функций:
xg I -1;-- lu(0; 1). 3. a) (—<
6) [5; 11) u {-4}; в)
—3]u(0; 2] u {- 2; 3};
1-V21.1 + V21
2 ’ 2
u(3;+oo).
4. a g (-2; 3). 5. (-00; -3) о [0; 2] о [6; 7).
II вариант: 1.
з.з
2’2
2. /(x) > 0 при
- - зГ -I
у = 2(х-1)3, у = (3-х)3-1 и у=- (1-х)2 .
I >
3. Вычислите значение выражения х3 + Зх при
x = VV5 + 2-VV5-2.
4. Упростите выражение
xg -со;— о(0; + ос); /(х) < 0 при xg—;0
3. а) (0; 1] и {3}; б) (-9; -6] о {5};
г 1 з
а2 -а2
1
^a + la2 +1
5. Решите уравнение .
6. Решите неравенство
2
7. Сравните . -
74^/3
15 -8xVx^ = 2xVx.
2 2
х3 -5х3 +4>0.
и д/бд/з+Ю.
Контрольная работа № 3
I вариант: 1. а) [—2; 4];
2. а) (-8,5; 3);
2 )
-5-;2 ;
3 )
Г 2
б)[3;7];в) -|;0 .
б) (3; 2); (-3; -2);
2>/2;-— 1; Г-2л/2; —
2 2
к ) к )
в)(3; 1); (0,8;-3,4).
2
2
КОНСУЛЬТАЦИЯ
33
II вариант: 1. а) [2; 4]; б) [4; 10]; в) [-3; -1].
2.а)(-1;3); б)(2;3); (0; 0); (-5,2;-2,6);
в) (—1; —2); [з|;у|. З.я = 2; a = 2jl.
4./(0) = —3. 5.а)(-оо;+оо);
б) [-1; +оо); в) [-1; Ц; [3; +оо); Г) -1; 1,3- ТОЧКИ
экстремума; —1; 1 — экстремумы; д) при а<— 1
корней нет; при а = — 1; а > 1 два корня; при
— 1 < а < 1 четыре корня; при а = 1 три корня.
Контрольная работа № 4
I вариант: 1. а) [1; 3) о (3; 4]; б) [—2; 6).
2.а)(-оо;9];б)[0;3];в)
1
— Ч-оо
3
; г) (—°°; 2) о (2; +«*>);
д) [4; +°°); е) [13; +°°); ж) [2; +<»).
3.
3
4
о(7; + ©о).
4./(3) > 0. 5. а) (-оо;+оо);
Контрольная работа № 5
[Го
I вариант: 1. ZI—. 2. а) Промежуток убывания
(—оо; 1]; промежуток возрастания [1;+°°); 1—точка
1 . 2Д . b
минимума; —1 — минимум. 3. ---. 4. ---.
3 1 — b
б) [—1; +оо); в) (—о°; —2]; [3; +°°); г) —2; 3 — точки
экстремума; —1; 6 — экстремумы; д) при а < — 1
корней нет; при а = — 1; а>6 один корень; при
— 1 < а < 2; а = 6 два корня; при 2 < а < 6 три
корня.
II вариант: 1. а) (—<*>; 2] и [8; 14) и (14; +<*>);
б)[3;5). 2,а)(-~;4]; б) [0; 2]; в)
2
г) (—°°; 3) о (3; +°°); д) [4; +°°); е) [8; +°°); ж) [1; +»=).
5. 1; 8. 6. —;1 . 7. Равны.
64
II вариант:
. 2. а) Промежуток убыва-
5. 0;
ния (—1]; промежуток возрастания [1; +<*>);
2а2
1 — точка минимума; 1 — минимум. 3.4. 4.--.
1-а
6. [0; 1] и [64; +<»). 7. Равны.
М.П.Нечаев
(Москва)
ПЛАНИРОВАНИЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО ГЕОМЕТРИИ В IX-XI КЛАССАХ
Предлагаемые ниже материалы ориентированы на учебники А.В.Погорелова
«Геометрия. 7-9 классы» и «Геометрия. 10-11 классы» (М.: Просвещение, 2005)
IX КЛАСС
(2 ч в неделю)
I. Подобие фигур.......................17 ч
Преобразование подобия и его свойства..2 ч
Подобие фигур...........................1 ч
Признаки подобия треугольников..........4 ч
Подобие прямоугольных треугольников.....1 ч
Обобщение...............................1 ч
Контрольная работа № 1................1ч
Углы, вписанные в окружность............3 ч
Пропорциональность хорд и секущих
окружности............................. 2 ч
Обобщение...............................1 ч
Контрольная работа № 2..................1 ч
II. Решение треугольников..............10 ч
Теорема косинусов.......................3 ч
Теорема синусов..........................3 ч
Решение треугольников....................2 ч
Обобщение................................1 ч
Контрольная работа № 3...................1 ч
III. Многоугольники.....................15 ч
Ломаная..................................1 ч
Выпуклые многоугольники.
Правильные многоугольники................2 ч
Формулы для радиусов вписанных и описанных
окружностей правильных многоугольников...3 ч
Построение некоторых правильных
многоугольников..........................1 ч
Подобие правильных многоугольников.......2 ч
Длина окружности.........................2 ч
Радианная мера угла......................2 ч
Обобщение................................1 ч
Контрольная работа № 4...................1 ч
5 Математика в школе № 6
34
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
IV. Площади фшур.......................15 ч
Понятие площади. Площадь прямоугольника ...2 ч
Площадь параллелограмма..................1 ч
Площадь треугольника. Формула Герона...3 ч
Площадь трапеции.........................1 ч
Обобщение................................1 ч
Контрольная работа № 5...................1 ч
Формулы для вписанной и описанной
окружностей треугольника.................1 ч
Площади подобных фигур...................1 ч
Площадь круга............................2 ч
Обобщение................................1 ч
Контрольная работа № 6...................1 ч
V. Повторение...........................11 ч
Повторение курса планиметрии.............9 ч
Контрольная работа № 7...................1 ч
Обобщение курса..........................1 ч
Тематика
контрольных работ
№ к/р Тема Примерные сроки проведения к/р
1 Подобие треугольников 1 неделя октября
2 Углы, вписанные в окружность 5 неделя октября
3 Решение треугольников 3—4 неделя декабря
4 Многоугольники 4 неделя февраля
5 Площади простых фигур 4 неделя марта
6 Площади фигур 2—3 неделя апреля
7 Итоговая контрольная работа 3—4 неделя мая
Контрольная работа № 1
I вариант
1. Сформулируйте первый признак подобия
треугольников.
2. Определите, подобны ли треугольники АВС
и АХВХСХ, если АВ = 5 м, АС = 4,6 м, ВС = 2,8 м,
АХВХ = 2,5 м, АХСХ = 2,3 м, ВХСХ = 1,4 м.
3. Через точку М стороны КР треугольника ТКР
проведена прямая, параллельная стороне ТК и пе-
ресекающая сторону ТР в точке А. Найдите длину
AM, если ТК = 52 см, ТА = 12 см, АР = 36 см.
4. Высоты параллелограмма ABCD, проведен-
ные из вершины тупого угла В, равны соответ-
ственно 5 см и 10 см. Найдите стороны парал-
лелограмма, если одна из них больше другой на
20 см.
II вариант
1. Сформулируйте второй признак подобия тре-
угольников.
2. Определите, подобны ли треугольники АВС
и АХВХСХ, если АВ — 6 м, АС = 3,9 м, ВС= 1,5 м,
АХВХ = 2 м, АХСХ = 1,3 м, ВХСХ = 0,5 м.
3. Через точку К стороны АВ прямоугольного
треугольника АВС (ХА = 90°) проведена прямая,
перпендикулярная гипотенузе ВС и пересека-
ющая ее в точке М. Найдите длину ВС, если
АС = 20 см, КМ = 8 см, КВ= 10 см.
4. Диагонали трапеции КМРТ пересекаются в
точке О, которая делит диагональ МТ на отрез-
ки Зсм и 1,5 см. Найдите основания трапеции,
если их сумма равна 12 см.
Контрольная работа № 2
I вариант
1. Сформулируйте определение центрального
угла в окружности.
2. Угол АВС вписан в окружность. Чему он
равен, если соответствующий ему центральный
угол равен 66°?
3. Хорды окружности АВ и CD пересекаются.
Найдите угол BAD, если XACD = 40°, XADB — 60°.
4. Точки М и Н делят окружность на дуги,
градусные меры которых пропорциональны чис-
лам 6 и 9. Через точку М проведен диаметр
МК. Найдите углы треугольника МНК.
II вариант
1. Сформулируйте определение угла, вписан-
ного в окружность.
2. Точки А, В и С лежат на окружности с
центром О. Найдите угол АОС, если ХА ВС = 44°.
3. Хорды окружности МН и КР пересекают-
ся. Найдите угол КНР, если ХКМН = 70°,
ХРКН = 30°.
4. Точки А и В делят окружность на дуги,
градусные меры которых пропорциональны чис-
лам 5 и 7. Через точку А проведен диаметр АС.
Найдите углы треугольника АВС.
Контрольная работа № 3
I вариант
1. Сформулируйте теорему косинусов.
2. В треугольнике АВС: АВ — 8 см, ХА = 30°,
ХВ = 105°. Укажите наименьшую сторону тре-
угольника АВС.
3. Найдите длину ВС из условия задачи № 2.
4. Угол М при основании МТ трапеции МКРТ
КОНСУЛЬТАЦИЯ
35
равен 45°, МК =6^2 см, МТ— 10 см, КР — ^ см.
Найдите сумму диагоналей трапеции.
II вариант
1. Сформулируйте теорему синусов.
2. В треугольнике АВС АВ — 9 см, Z.B = 45°,
АА = 75°. Укажите наибольшую сторону треуголь-
ника АВС.
3. Найдите длину АС из условия задачи № 2.
4. Угол между диагоналями параллелограмма
ABCD равен 60°, АС = 20 см, BD = 14 см.
Найдите периметр параллелограмма.
X КЛАСС
(2 ч в неделю)
I. Введение в стереометрию.............6 ч
Аксиомы. Следствия из аксиом...........5 ч
Контрольная работа № 1.................1 ч
II. Параллельность прямых и плоскостей.18 ч
Параллельные прямые в пространстве.....1ч
Признак параллельности прямых..........2 ч
Параллельность прямой и плоскости......6 ч
Параллельность плоскостей..............6 ч
Изображение фигур на плоскости.........1 ч
Обобщение..............................1 ч
Контрольная работа № 2.................1 ч
III. Перпендикулярность
прямых и плоскостей....................18 ч
Перпендикулярность прямых в пространстве.... 1 ч
Перпендикулярность прямой и плоскости
(признак, свойства)....................3 ч
Перпендикуляр и наклонная..............2 ч
Теорема о трех перпендикулярах.........2 ч
Перпендикулярность прямой и плоскости .... 3 ч
Перпендикулярность плоскостей..........3 ч
Расстояние между скрещивающимися прямыми ....1ч
Ортогональное проектирование в черчении ...1ч
Обобщение................................1 ч
Контрольная работа № 3...................1 ч
ГУ. Декартовы координаты и векторы
в пространстве..........................16 ч
Ведение декартовых координат
в пространстве.........................2 ч
Преобразование фигур в пространстве....1 ч
Углы между прямыми и плоскостями.......2 ч
Площадь ортогональной проекции.........2 ч
Обобщение..............................1 ч
Практическая работа «Декартовы
координаты в пространстве».............1 ч
Векторы в пространстве.................5 ч
Обобщение..............................1 ч
Контрольная работа № 4.................1 ч
V. Повторение...........................10
Повторение.............................9 ч
Обобщение курса........................1 ч
Тематика контрольных работ
№ к/р Тема Примерные сроки проведения к/р
1 Аксиомы стереометрии и следствия из них 3—4 неделя сентября
2 Параллельность прямых и плоскостей 4—5 неделя ноября
3 Перпендикулярность прямых и плоскостей 3 неделя февраля
4 Декартовы координаты и векторы в пространстве 4 неделя апреля
Контрольная работа № 1
I вариант
1. Сформулируйте первую аксиому стереомет-
рии.
2. Сформулируйте теорему о прямой и плоско-
сти. Дайте краткое ее доказательство.
3. Докажите, что если прямые МН и ЕК не
лежат в одной плоскости, то прямые ME и НК
также не лежат в одной плоскости.
4. Прямые а и Ь, лис, b м с пересекаются,
и точки их пересечения не совпадают. Лежат ли
прямые а, Ь, с в одной плоскости? Ответ объ-
ясните.
II вариант
1. Сформулируйте третью аксиому стереомет-
рии.
2. Сформулируйте теорему о прямой и точке.
Дайте краткое ее доказательство.
3. Докажите, что если прямые АВ и CD не
лежат в одной плоскости, то прямые АС и BD
также не лежат в одной плоскости.
4. Даны прямая и точка, не принадлежащая
этой прямой. Лежат ли прямые, проходящие че-
рез эту точку и пересекающие данную прямую, в
одной плоскости? Ответ объясните.
Контрольная работа № 2
I вариант
1. Сформулируйте признак параллельности
прямой и плоскости.
36
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
2. Дан треугольник АВС. Через середины его
сторон АВ и ВС проведена плоскость а Дока-
жите, что АС параллельна плоскости а (тре-
угольник АВС не лежит в плоскости а).
3. Дан треугольник МНР. Плоскость, параллель-
ная прямой HP, пересекает сторону МН в точке
Яр а сторону МР в точке Р,. Найдите длину
отрезка МНХ, если PH: РХНХ = 5:4, МН = 40 м.
4. Три прямые, проходящие через точку О, пе-
ресекают данную плоскость в точках А, В, С, а
параллельную ей плоскость соответственно в точ-
ках Ах, Вх, Сг Докажите подобие треугольников
АВС и АХВХСХ, если точка О лежит между пло-
скостями.
II вариант
1. Сформулируйте признак параллельности
плоскостей.
2. Через середины боковых сторон МН и РК
трапеции МНРК проведена плоскость а. Дока-
жите, что основание МК трапеции параллельно
плоскости а {МНРК не лежит в плоскости а).
3. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллель-
ная прямой АС, пересекает сторону АВ в точке
Л„ а сторону ВС в точке Сх. Найдите длину
отрезка ВС, если АХСХ: АС =5:8, ВСХ = 20 м.
4. Три прямые, проходящие через точку О, пе-
ресекают данную плоскость в точках А, В, С, а
параллельную ей плоскость соответственно в точ-
ках Лр Вх, Сх. Докажите подобие треугольников
АВС и Л^С,, если точка О не лежит между
плоскостями.
XI КЛАСС
(2 ч в неделю)
I. Многоугольники.....................19 ч
Двугранный угол. Трехгранный
и многогранные углы....................3 ч
Многогранники. Призма..................4 ч
Параллелепипед.........................3 ч
Обобщение..............................1 ч
Контрольная работа № 1.................1 ч
Пирамида............................. 3 ч
Усеченная пирамида.....................2 ч
Обобщение..............................1 ч
Контрольная работа № 2.................1 ч
II. Тела вращения.....................18 ч
Цилиндр................................4 ч
Конус..................................4 ч
Цилиндр и конус........................2 ч
Шар....................................4 ч
Решение задач «Тела вращения»..........2 ч
Обобщение..............................1 ч
Контрольная работа № 3.................1 ч
III. Объемы тел.......................18 ч
Объем параллелепипеда..................4 ч
Объем призмы...........................2 ч
Объем пирамиды.........................2 ч
Обобщение..............................1 ч
Контрольная работа № 4.................1 ч
Объем цилиндра и конуса................2 ч
Объем шара и его частей................4 ч
Обобщение..............................1 ч
Контрольная работа № 5.................1 ч
ГУ. Площадь поверхности тел вращения..6 ч
Площадь поверхности цилиндра и конуса.2 ч
Площадь сферы и ее частей..............2 ч
Обобщение..............................1 ч
Контрольная работа № 6.................1 ч
V. Повторение..........................7 ч
Повторение.............................6 ч
Обобщение курса........................1 ч
Тематика контрольных работ
№ к/р Тема Примерные сроки проведения к/р
1 Призма 1—2 неделя октября
2 Пирамида 4—5 неделя октября
3 Тела вращения 3 неделя января
4 Объем призмы и пирамиды 2—3 неделя февраля
5 Объем тел вращения 1 неделя апреля
6 Площадь поверхности тел вращения 4 неделя апреля
Контрольная работа № 1
I вариант
1. Сформулируйте определение прямой призмы.
2. Каждое ребро правильной треугольной приз-
мы равно а. Найдите периметр сечения призмы
плоскостью, проходящей через сторону нижнего
основания и противоположную вершину верхне-
го основания.
3. Основанием прямого параллелепипеда слу-
жит ромб со стороной 4 см и углом 60°. Боль-
шая диагональ параллелепипеда образует с плос-
костью основания угол 45°. Найдите площадь
боковой поверхности параллелепипеда.
ВЫПУСКНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ В ШКОЛЕ
37
4. Основанием прямой призмы служит прямо-
угольный треугольник, один катет которого ра-
вен Ь, а противоположный ему угол — <р. Угол
между диагональю большей боковой грани и пло-
скостью основания равен р. Вычислите полную
площадь призмы.
II вариант
1. Сформулируйте определение прямоугольно-
го параллелепипеда.
2. Сторона основания правильной четырех-
угольной призмы равна а, ее боковое ребро —
2а. Найдите площадь диагонального сечения.
3. В прямом параллелепипеде стороны основа-
ния 3 см и 4 см образуют угол 60°. Меньшая
диагональ параллелепипеда образует с основани-
ем угол 45°. Найдите площадь боковой поверх-
ности параллелепипеда.
4. Основанием прямого параллелепипеда явля-
ется ромб со стороной т и острым углом а.
Угол между меньшей диагональю параллелепипе-
да и плоскостью его основания равен р. Вычис-
лите полную площадь параллелепипеда.
Контрольная работа № 2
I вариант
1. Сформулируйте определение пирамиды.
2. Сторона основания правильной треугольной
пирамиды равна 5 см, апофема — 14^2 см. Най-
дите площадь боковой поверхности пирамиды.
3. Высота правильной четырехугольной пира-
миды равна 8 см, сторона ее основания — 12 см.
Вычислите длину бокового ребра пирамиды.
4. Основанием пирамиды MABCD является
квадрат, сторона которого равна а. Боковое ре-
бро MD перпендикулярно плоскости основания.
Угол между плоскостями основания и грани МАВ
равен <р. Вычислите площадь полной поверхно-
сти пирамиды.
II вариант
1. Сформулируйте определение правильной пи-
рамиды.
2. Площадь боковой поверхности правильной
четырехугольной пирамиды 48>/Зсм2. Найдите
длину апофемы, если ребро основания пирамиды
равно 3 см.
3. Высота правильной треугольной пирамиды
равна 6 см, сторона ее основания — 12 см. Вы-
числите длину бокового ребра пирамиды.
4. Ребро МА пирамиды MABCD перпендику-
лярно плоскости ее основания. АВ = АС = а,
Z.BAC = 2<р. Угол между плоскостями основания
и грани МВС равен (р. Вычислите площадь
полной поверхности пирамиды.
ВЫПУСКНЫЕ
ЭКЗАМЕНЫ В ШКОЛЕ
тАм миИНен°ко ° НОВОИ ФОРМЕ ПРОВЕДЕНИЯ
(Москву ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ
ПО КУРСУ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
В издательстве «Просвещение» выходит в свет сбор-
ник заданий по геометрии для подготовки и проведе-
ния итоговой аттестации за курс основной школы.
Целью итоговой аттестационной работы по гео-
метрии является проверка знаний и умений уча-
щихся девятых классов по курсу геометрии ос-
новной школы, полученных ими в процессе обу-
чения по действующим программам и учебникам
геометрии, на основе оценки уровня овладения
учащимися программным материалом.
Таким образом, аттестационная работа рассчи-
тана на выпускников девятых классов общеобра-
зовательных учреждений (школ, гимназий, лице-
ев), включая классы с углубленным изучением ма-
тематики. Поэтому результаты экзамена могут
быть использованы при комплектовании про-
фильных десятых классов, а также при приеме в
учреждения системы среднего профессионально-
го образования без организации дополнительных
испытаний.
38
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
О содержании работы и требованиях
к уровню подготовки выпускников
основной школы
Содержание итоговой аттестационной работы
определяется «Обязательным минимумом содер-
жания основного общего образования по мате-
матике» (приказ № 1276 Министерства образова-
ния от 19.05.98).
Отличие геометрии от всех других образова-
тельных предметов, включая математические, в
том, что ее содержание практически не изменя-
ется в течение многих веков, и основные цели
ее изучения также остаются неизменными: пер-
вая — развитие пространственных представлений,
вторая — формирование и развитие логического мы-
шления. Обе цели реализуются в требованиях,
предъявляемых к умениям учащихся государст-
венным стандартом.
Перечислим эти умения:
• понимать условие задачи;
• выполнять чертежи, сопровождающие усло-
вие и решение задачи;
• читать чертеж, а при чтении чертежа выде-
лять необходимую конфигурацию;
• определить необходимость дополнительных по-
строений при решении задачи и выполнять их;
• различать взаимное расположение геометри-
ческих фигур;
• владеть соответствующей терминологией и
символикой;
• применяя определения, свойства и признаки
фигур и их элементов, отношения фигур, на-
ходить значения линейных элементов фигур:
— длин сторон многоугольников (в частнос-
ти треугольника и четырехугольника);
— высот, медиан, биссектрис треугольника;
— диагоналей четырехугольника;
— радиусов, хорд, отрезков касательных к ок-
ружности;
• применяя определения, свойства и признаки
фигур и их элементов для углов от 0° до 180°,
находить:
— градусную меру;
— значения тригонометрических функций по
заданным значениям углов;
— углы по заданным значениям тригономет-
рических функций;
— значения тригонометрических функций по
значению одной из них;
• применяя свойства и признаки фигур и их
элементов, отношения фигур, вычислять:
— площади основных геометрических фигур;
— площади фигур, составленных из основных
геометрических фигур;
• применяя изученные формулы, вычислять:
— длины линейных элементов основных гео-
метрических фигур;
— градусную и радианную меру углов основ-
ных геометрических фигур;
— площади и периметры основных геометри-
ческих фигур, включая длину окружности
и площадь круга.
• при обосновании решения геометрических
задач уметь применять:
— изученные свойства фигур и отношения
между ними;
— алгебраический аппарат;
— тригонометрический аппарат;
• уметь использовать известные методы дока-
зательств и теоремы;
• уметь использовать известные методы реше-
ния.
Кроме того, задания итоговой аттестационной
работы позволяют проверить уровень сформиро-
ванное™ общеинтеллектуальных умений и навы-
ков; их показателями являются умения:
• понимать прочитанный текст;
• соотносить текст и иллюстрацию;
• подводить понятие под определение;
• правильно оценивать ситуацию.
Специфика геометрии позволяет проверить одно
и то же умение на материале разного содержания.
На следующем примере покажем, как требование
«находить градусную меру углов, применяя определе-
ния, свойства и признаки фигур и их элементов»
можно проверить при изучении различных тем
курса с использованием свойств разных фигур.
Рассмотрим две задачи.
Задача 1. На рис. 1 а || Ь. Найдите градусную
меру угла, составляющего пару односторонних уг-
ВЫПУСКНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ В ШКОЛЕ
39
Задача 2. Треугольник АВС — равнобедрен-
ный с основанием АС (рис. 2). Определите Z3,
если Z2 = 106°.
В первой задаче при нахождении градусной
меры угла используются свойства углов, образо-
ванных при пересечении параллельных прямых
секущей, а во второй — определение и свойство
равнобедренного треугольника. Таким образом,
проверка указанного требования может быть ре-
ализована как при решении задач темы «Парал-
лельные прямые», так и при решении задач темы
«Равнобедренный треугольник». Обе задачи со-
ответствуют базовому уровню сложности.
В то же время, для того чтобы проверить сфор-
мированность того же требования на материале
повышенного уровня сложности, можно вновь вос-
пользоваться задачами из темы «Равнобедренный
треугольник». Например, такой: «В равнобедрен-
ном треугольнике проведена биссектриса угла при
основании треугольника, которая отсекает от него
равнобедренный треугольник. Найдите углы ис-
ходного треугольника».
Итак, задания для проведения итоговой аттес-
тационной работы определяются не содержанием
курса планиметрии, а уровнем требований, предъ-
являемым к ним.
Анализ содержания государственного стандар-
та с точки зрения проверки уровня сформирован-
ное™ перечисленных ранее требований наиболее
четко и в явном виде можно провести на содер-
жании разделов «Геометрические фигуры и их
свойства», «Измерение геометрических величин»
и двух тем из раздела «Геометрические преобра-
зования» «Обязательного минимума содержания
основного общего образования».
Упомянутые выше основные цели изучения ге-
ометрии задают структуру итоговой аттестацион-
ной работы. Последняя состоит из двух частей.
Целью первой и второй частей работы является
проверка уровня сформированности пространст-
венных представлений и логического мышления
(или логической интуиции) соответственно.
О заданиях итоговой
аттестационной работы
Задания первой части соответствуют уровню
базовой подготовки, а проверка уровня сформи-
рованности логического мышления может быть
осуществлена не только и не столько при реше-
нии задач этого уровня, но в значительной степе-
ни при решении задач повышенного и высокого
уровня подготовки. Этим определяется форма
заданий каждой части.
Из сказанного выше следует, что содержание
курса, выносимое на итоговую аттестационную
проверку, одинаково для обеих частей работы.
Поскольку задания первой части направлены на
проверку сформированности пространственных
представлений, то здесь усилена понятийная со-
ставляющая, для чего используются задания на
определение количества решений в задачах на ре-
шение треугольников; задания на определение
количества общих точек при рассмотрении кон-
фигураций, состоящих из двух основных плани-
метрических фигур, и т.д. При этом каждое зада-
ние, как правило, обусловлено применением
свойств одной из фигур планиметрии для опреде-
ления длины отрезка, величины угла, площади,
отношения фигур.
Первую часть работы составляют задания со
свободным ответом или с выбором ответа. Всего
в нее предполагается включить двенадцать зада-
ний, отвечающих базовому уровню сложности
(уровню обязательной подготовки). Их число
было определено опытным путем. Так как экза-
мен по геометрии является экзаменом по выбо-
ру, то это то количество заданий, которое успева-
ет выполнить за один астрономический час уче-
ник, имеющий среднюю аттестационную оценку
(годовые оценки за VII—IX классы) «4».
Цель второй части итоговой аттестационной ра-
боты - дифференцированная проверка повышен-
ного уровня владения материалом - определила
выбор формы заданий. В эту часть включены три
задания с полной записью решения: два из них
отвечают повышенному уровню сложности, а
одно - высокому, причем задания расположены
по нарастанию сложности. Как и в первом слу-
чае, их число определялось опытным путем.
Задания второй части сложнее, их решение тре-
буют более глубокого уровня усвоения изученно-
го материала. Они позволяют проверить владе-
ние методами доказательств, способность к ин-
теграции знаний из различных тем курса плани-
метрии, владение исследовательскими навыками,
а также умение найти и применить нестандарт-
ные приемы рассуждений. При выполнении вто-
рой части работы учащиеся должны продемонст-
рировать умение геометрически грамотно запи-
сать условие (что дано) и заключение (что требу-
ется найти или доказать) задачи, ее решение, со-
провождая последнее необходимой аргументаци-
40
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
ей и доказательными рассуждениями. Кроме того,
учащиеся должны показать умение геометричес-
ки грамотно выполнять чертежи: правильно от-
мечать равные элементы фигур, проводить меди-
аны треугольников, высоты треугольников и че-
тырехугольников, диагонали многоугольников,
радиусы, хорды и диаметры окружностей.
Оценивание экзаменационной работы
На проведение итоговой аттестации отводит-
ся 180 мин. При этом расчетное время выпол-
нения первой части не превышает 60 мин, а вто-
рой - 90 мин, остальные 30 мин составляют до-
полнительное время.
Оценка за работу зависит от количества зада-
ний, выполненных учеником верно, и от уровня
их сложности. Она включает привычную оценку
(«2», «3», «4» и «5») и общий балл (от 0 до 30 бал-
лов) - сумму баллов, полученных учащимся за
выполнение обеих частей работы.
За каждое верно решенное задание первой час-
ти учащемуся начисляется 1 балл. Таким обра-
зом, за первую часть работы можно получить
максимум 12 баллов. Задание считается выпол-
ненным верно, если ученик отметил номер пра-
вильного ответа (в заданиях с выбором ответа)
или вписал правильный ответ в отведенном для
этого месте (в заданиях со свободным ответом).
Задачи второй части работы оцениваются в со-
ответствии с уровнем сложности: первая задача
повышенного уровня сложности — 4 баллами, вто-
рая — 6 баллами, а задача высокого уровня слож-
ности — 8 баллами. При этом задание считается
выполненным верно, если ученик выбрал правиль-
ный ход решения, и из его записи понятен ход рас-
суждений, а все логические шаги решения обос-
нованы; если чертежи соответствуют условию за-
дачи и отражают ход решения, все преобразова-
ния и вычисления выполнены без ошибок и полу-
чен правильный ответ. В случае, когда при верном
ходе решения задачи допущена ошибка, не имею-
щая принципиального характера и не влияющая
на него (имеются незначительные неточности в
чертежах, негрубые вычислительные ошибки или
описки), учащийся получает балл, на 1 меньший.
Другие возможности не предусматриваются.
Для получения положительной оценки ученик
должен выполнить верно не менее девяти зада-
ний первой части работы. В противном случае за
работу ставится оценка «2» и результат учащегося
не компенсируется выполнением заданий второй
части. Однако при выполнении учеником восьми
заданий первой части и верном решении одной
из задач второй части может быть выставлена
оценка «3».
Сумма баллов, набранных учеником за реше-
ние заданий из обеих частей, дает общий балл за
работу. Следующая таблица поясняет, как он фор-
мируется.
Максимальное кол-во баллов за одно задание Максимальное кол-во баллов
Часть 1 Часть 2 за первую часть за вторую часть за всю работу
Задания № Задания №
1-12 1 2 3
1 4 6 8 12 18 30
Наконец, общий балл легко переводится в соот-
ветствующую оценку на основе данной таблицы.
Общий балл Оценка
0-8 2
9-16 3
17-23 4
24-30 5
Таким образом, при положительной оценке за
работу выставляется два ее количественных по-
казателя.
Приведем теперь демонстрационный вариант
экзаменационной работы.
Экзаменационная работа
для проведения итоговой аттестации
за курс геометрии основной школы
Первая часть
1. На рис. 3 21 = 74°, Z3 = 74°, Z5 = 135°.
Найдите Z4.
ВЫПУСКНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ В ШКОЛЕ
41
2. В треугольнике АВС проведена медиана СМ.
На стороне ВС отмечена точка К так, что Z.BKM—
— Z.CBA (рис. 4). Найдите величину угла АКС.
3. Из одной точки окружности проведены ди-
аметр и хорда. Определите, какой из углов боль-
ше: угол, опирающийся на меньшую дугу, стяги-
ваемую хордой, или угол, опирающийся на дугу,
стягиваемую диаметром.
4. В прямоугольнике ABCD отрезок KL пер-
пендикулярен диагонали АС и пересекает ее в
точке Q, CQ = 16 см (рис. 5). Найдите длину
отрезка QK, если АВ: ВС = 4 : 3.
Рис. 5 Рис. 6
5. Хорда АВ, проведенная в окружности ради-
уса 25 см, имеет длину 48 см. Найдите рассто-
яние от хорды АВ до параллельной ей касатель-
ной (рис. 6, D — точка касания).
6. Определите, вершинами какого четырех-
угольника являются середины сторон равнобокой
трапеции:
1) параллелограмма, отличного от прямоуголь-
ника и ромба;
2) прямоугольника, отличного от квадрата;
3) ромба;
4) трапеции.
7. Найдите высоту BF ромба ABCD, если
Z.ADB= 75°, А6 = 5см (рис. 7).
5л/3
1) 2,5 см; 2) -у- см; 3) 10 см; 4) 5 см.
Рис. 7
8. Найдите величину внешнего угла правиль-
ного 45-угольника.
9. Из вершин правильного шестиугольника со
стороной 6 см проведены дуги радиуса 3 см
(рис. 8). Определите длину границы заштрихо-
ванной фигуры.
Рис. 8
Рис. 9
10. Найдите угол BAD четырехугольника
ABCD, вписанного в окружность (рис. 9), если
внешний угол четырехугольника при вершине С
равен 108°.
11. Противоположные стороны выпуклого ше-
стиугольника на рис. 10 равны и параллельны. Его
вершины соединены диагоналями через одну. Оп-
ределите, площадь какой части шестиугольника
больше: заштрихованной или белой.
Рис. 10 Рис. 11
12. Определите, сколько решений имеет следу-
ющая задача. (Решать задачу не надо.)
«В окружности радиуса 10 см проведены две
параллельные хорды длиной 6 см и 8 см. Най-
дите расстояние между хордами».
42
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6'06
Вторая часть
13. Две касающиеся окружности с центрами
и О2 лежат внутри окружности с центром О ра-
диуса R и касаются ее в двух различных точках.
Найдите периметр треугольника 00{02.
14. Треугольник АВС, стороны которого 13 см,
14 см и 15 см, разбит на три треугольника от-
резками, соединяющими точку М пересечения
медиан с вершинами треугольника. Найдите пло-
щадь треугольника ВМС.
15. Каждая высота параллелограмма не меньше
той стороны, которой она перпендикулярна. До-
кажите, что параллелограмм является квадратом.
Решения задач
Первая часть
1. Из условий Z1 = 74° и Z3 — 74° (внутрен-
ние накрест лежащие углы) следует, что прямые
а и b параллельны, значит, Z4 = Z5 = 135°.
Ответ: 135°.
2. В треугольнике АКБ проведена медиана КМ,
которая равна половине стороны АВ. Следова-
тельно, треугольник А КВ — прямоугольный,
Z4O = 90°, тогда ААКС = 90°.
Ответ: ЛАКС = 90°.
3. Из вписанных углов больше тот, что опира-
ется на большую дугу. Диаметр стягивает поло-
вину окружности, а меньшая дуга, стягиваемая
хордой, меньше, чем полуокружность.
Ответ: вписанный угол, опирающийся
на дугу, стягиваемую диаметром.
4. Прямоугольные треугольники АВС и CQK
подобны. Катеты АВ и ВС треугольника АВС
относятся как 4:3. Катеты треугольника QKC
им пропорциональны, поэтому отрезок QK ра-
вен 12 см.
Ответ: QK = 12 см.
5. По теореме Пифагора расстояние от центра
окружности до хорды АВ равно 7 см, а расстоя-
ние от хорды до касательной равно 7 + 25 = 32 см.
Ответ: 32 см.
6. Стороны искомого четырехугольника явля-
ются средними линиями треугольников, основа-
ния которых совпадают с диагоналями трапеции.
В равнобокой трапеции диагонали равны, значит,
у четырехугольника все стороны равны, т.е. он
является ромбом.
Ответ: 3).
7. В прямоугольном треугольнике BFC Z.BCF =
= 30°. Тогда по свойству катета прямоугольного
треугольника, лежащего против угла в 30°, BF=
= 2,5 см.
Ответ: 1).
8. Сумма внешних углов выпуклого много-
угольник, взятых по одному при вершине, равна
360°. Внешние углы правильного многоугольни-
ка равны, отсюда внешний угол 45-угольника
равен 8°.
Ответ: 8°
9. Угол правильного шестиугольника равен 120°,
значит, длина каждой из шести дуг на рис. 8 равна
1 кт
— длины окружности. Поэтому длина границы
данной фигуры равна сумме длин двух окружно-
стей с радиусом 3 см, т.е. 2 • 2тс • 3 = 12л см.
Ответ: 12л см.
10. Угол BCD четырехугольника ABCD равен
72°. Дуга BAD равна 144°, а дуга BCD равна
216°. Тогда ABAD = 108°.
Ответ: 108°.
И. Из рис. 11 ясно, что площади заштрихован-
ной и белой частей равны.
Ответ: площади фигур одинаковы.
12. Два возможных расположения хорд: по раз-
ные стороны от центра окружности или по одну
сторону (рис. 12) определяют два решения.
Ответ: два.
♦
Вторая часть
13. Пусть А и В — точки внутреннего касания
окружностей с центрами в точках и О2 с
окружностью с центром в точке О, а С — точка
внешнего касания этих окружностей (рис. 13).
Рис. 13
ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ
43
Тогда
^ОО]О2 = + ОО2 + ОХО2 =
= ООХ + ОО2 + ОХС + О2С = ОА + ОВ = 2R,
так как ОХС = ОХА, О2С — О2В.
Таким образом,
2 1 2
$ВМС ~~^^АВС =28 см .
Ответ: 28 см2.
Замечание. Равенство S
--5
ВМС ~ 2 ° АВС
можно до-
казать и другими способами.
15. Пусть а и b — длины сторон параллело-
грамма, a ha и hb — длины проведенных к ним
высот. По условию, ha> а и hb> b (рис. 15).
Кроме того, a>hb и b> ha (по свойствам пер-
пендикуляра и наклонной, проведенных к пря-
мой из одной точки). Таким образом,
ha > а > hb > b > ha, откуда ha = а = hb = b.
14. Вычислим площадь треугольника АВС по
формуле Герона:
a + b+с .
Р =----— = 21 (см);
S = у[р(р-а)(р-Ь)(р-с) = 84 (см2).
Медиана BD делит треугольник АВС на рав-
новеликие треугольники ABD и CBD (у них
AD = CD, а высота, проведенная из вершины В, —
общая). Кроме того, так как ВМ: MD = 2:1, то
SBMC = ^dmc (эти треугольники имеют общую
высоту, проведенную из вершины Q.
Рис. 15
Это означает, что высоты данного параллело-
грамма совпадают с его сторонами, причем все
его стороны равны. Следовательно, данный па-
раллелограмм является квадратом.
ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ
В.М.Бусев
(Москва)
О ПРОФЕССИОНАЛЬНОМ МЕТОДИЧЕСКОМ
СООБЩЕСТВЕ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ
От редакции. Все сильнее ощущается в нашей стране потребность в раз-
личных общественных организациях. Создаются они как «сверху», так и
«снизу». О необходимости профессионального методического сообщества
учителей математики и о статусе педагога рассуждает Василий Михайло-
вич Бусев - молодой учитель, аспирант Московского педагогического го-
сударственного университета. И хотя проблема, которую ставит автор, не
нова, свежий взгляд неравнодушного человека всегда интересен.
В последние годы все чаще и настойчивее пред-
принимаются попытки реформирования системы
образования. Компьютеризация школ, идеи диф-
ференциации в обучении, двенадцатилетняя шко-
ла, ЕГЭ, профильное обучение — направления и
доктрины сменяют друг друга в калейдоскопиче-
ском порядке. Реформаторы и их противники с
ожесточением спорят о необходимости тех или
иных действий; по поводу одних и тех же идей и
концепций высказываются диаметрально проти-
воположные точки зрения, обусловленные не
только интересами общего дела, но и личными
44
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
амбициями, и желанием получить материальную
выгоду из конкретного мероприятия. Многие
решения недостаточно продуманы и принимают-
ся в спешке; ошибочные действия корректиру-
ются (часто с большими потерями), а то и вовсе
отменяются.
При этом аргументация идейных вдохновите-
лей реформ нередко сомнительна, а мнение уче-
ных, методистов, преподавателей принимается во
внимание далеко не всегда. Обычно концепции и
проекты реформ утверждаются келейно, как про-
ходит их обсуждение (если вообще проходит),
понять трудно. Иногда, однако, такого рода до-
кументы предварительно публикуются с целью
организации широкого обсуждения, а затем ут-
верждаются с учетом «поправок».
Но сколь широким получается в действитель-
ности подобное обсуждение? Как правило, в по-
лемике участвуют видные ученые и методисты,
известные учителя. И весьма редко можно услы-
шать мнение рядового учителя, а ведь именно ему
придется реализовывать на практике идеи рефор-
маторов.
Видимо, молчание учителей связано с отсутст-
вием у них времени, а также с нежеланием вни-
кать в подробности предлагаемого. Многие уве-
рены: все равно решение примут в том виде, в
котором захотят. Зачем же тратить время и силы
впустую?
К большому сожалению, в таких рассуждениях
много правды. Однако это не означает, что не
нужно бороться за свои права.
Зачем создавать
профессиональное сообщество?
Необходимо, чтобы учительство имело собст-
венное, достаточно четко выраженное мнение по
поводу тех или иных вопросов, диктуемых совре-
менностью, могло его публично высказать и быть
хотя бы услышанным. А это — уже определенный
шаг на пути отстаивания своих прав и интересов.
Мнение широких масс педагогов может быть
сформировано только тогда, когда учителя не пас-
сивны, а активно вникают в суть происходящих в
сфере образования перемен. Мы ставим, таким
образом, вопрос о самосознании учительства, о
формировании созидающей силы, направленной
на позитивные преобразования в области обуче-
ния и воспитания подрастающих поколений.
Речь пойдет о профессиональном сообществе учи-
телей математики, которое должно помочь в ре-
шении насущных проблем математического об-
разования.
Сейчас имеется организация с похожим назва-
нием — профессиональный союз (профсоюз), его
задача — защищать и обеспечивать социальные
права учителей: решать вопросы выплаты зарпла-
ты, предоставления льгот, финансирования отды-
ха учителей и т.п. Но у педагогов есть и другие
права.
Задачи учительского сообщества,
или какие права учителей
оно будет отстаивать
Главное право учителя — право на нормальное
осуществление профессиональной деятельности,
иначе говоря, на качественное обучение детей
предмету. Оказывается, даже это естественное,
всеми подразумеваемое право нуждается сегодня
в защите.
Снижение количества учебных часов на пред-
мет, постоянная смена программ и учебников,
отсутствие качественной методической литера-
туры — все это является прямым посягательством
на право полноценного осуществления профес-
сиональной деятельности. Защитой этого права
занимаются гораздо меньше, чем обеспечением
социальных прав, хотя очевидно, что от качества
подготовки учителя и нормальных условий его
работы зависит качество образования, а значит,
и уровень жизни в стране.
Любой учитель обладает также правом на про-
фессиональное общение, понимаемым в самом ши-
роком смысле. Профессиональное общение — это
совокупность всех контактов конкретного учите-
ля с коллегами, способствующих повышению его
мастерства.
Это может быть личный разговор, выступле-
ние на педсовете или методическом объединении,
участие в конференции или семинаре как в каче-
стве слушателя, так и в качестве докладчика. Чте-
ние специальной (педагогической и методичес-
кой) литературы, в том числе периодики, и напи-
сание статей — также одна из форм профессио-
нальной коммуникации. С развитием информа-
ционных технологий появилась возможность об-
щаться через сеть Internet, участвовать в педаго-
гических форумах, обмениваться письмами по
электронной почте и т.д.
Методическое сообщество учителей предпола-
гает развитую систему профессионального обще-
ния, которое, как мы видели, может проявляться
ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ
45
в самых разных формах. Скажем больше: именно
ее наличие будет способствовать единению педа-
гогов по всей стране и формированию четкой
позиции сообщества по вопросам, касающимся
образовательных процессов в стране. Мнение,
высказанное большинством учителей, имеет шан-
сы быть услышанным и принятым во внимание.
И если мы хотим этого, хотим сохранить и при-
умножить накопленные предшественниками зна-
ния и опыт, хотим учить детей качественно, сле-
дует самим позаботиться о себе, найти желание и
силы, чтобы объединиться и совместно отстаи-
вать свои права и интересы.
Учительское сообщество
как средство коммуникации
Помимо защиты прав педагогов профессио-
нальное общение способствует обмену опытом.
Только посредством связи друг с другом учителя
могут узнавать новое, активно развиваться, по-
вышать свое педагогическое и методическое ма-
стерство, что особенно важно сегодня, когда от
учителя требуется умение быстро адаптироваться
к изменениям, сохраняя при этом накопленный
за годы работы багаж.
Однако не менее значима и чисто человечес-
кая составляющая такого общения. Ведь контак-
тируем мы с живыми людьми, у каждого из них
есть свой город или деревня, своя школа, собст-
венная история, которые накладывают заметный
отпечаток на личность. Очень интересно и даже
удивительно - знакомиться с коллегой из другого
края, быть может, иных традиций и взглядов, но
преследующего ту же цель, что и ты сам, — хоро-
шо обучить детей математике.
И чем больше таких коллег, тем более пестрой
и в то же время единой кажется страна. Тем силь-
нее ощущаешь, что ты не один на сложном учи-
тельском пути; есть и другие, они сталкиваются с
теми же проблемами, что и ты, ищут пути их
преодоления и не отчаиваются в случае неудачи, а
находят собственные способы решения непростых
задач современности. Нужно только набраться тер-
пения, не пасовать перед трудностями, а если что,
всегда можно обратиться к коллеге с вопросом.
Обратиться к коллеге с вопросом... Вот это и
есть начало профессионального общения, первые
ростки единения учительства - людей, сплочен-
ных одной целью, занимающихся одним и тем же
делом, а потому имеющих общие интересы в рам-
ках профессиональной деятельности.
Таким образом, каждому учителю сообщество
даст возможность почувствовать себя полноцен-
ным его членом и получить в любой момент под-
держку множества коллег. Если есть на кого по-
ложиться, легче воспринимаются и решаются
проблемы, экономятся нервные клетки, возника-
ет больше положительных эмоций, продлевается
жизнь.
Помощь молодому учителю
Необходимость в поддержке особенно важна
для молодых педагогов, только вступивших на не-
легкий учительский путь. Не секрет, что многие
выпускники педагогических вузов, столкнувшись
в школе с равнодушным (а иногда и открыто
враждебным) отношением к себе коллег и адми-
нистрации, уходят из профессии навсегда.
Слабая подготовка и неопытность в педагоги-
ческом и методическом отношениях ведут к стрес-
су, который только усиливается от ощущения
одиночества. Вот почему для сохранения в школе
молодых кадров необходимо наряду с социаль-
ными мерами предпринимать и другие меры,
направленные на создание психологически ком-
фортной среды, когда молодой специалист чув-
ствовал бы поддержку старших коллег.
Идеальной представляется ситуация, при ко-
торой будущий педагог еще со студенческой ска-
мьи постепенно входил бы в учительское сооб-
щество: знакомился с профессиональной перио-
дикой, историей преподавания дисциплины, дея-
телями образования прошлого и современности,
посещал конференции и семинары для учителей
и т.д. Как результат - вуз имел бы выпускника, а
школа — молодого специалиста, профессиональ-
но и морально подготовленного к учительской
работе.
Общественный статус учителя
сегодня
Скажем еще об одной функции общения — по-
вышении значимости профессии учителя в гла-
зах общества. Парадоксально, но сегодня работа
учителя, объективно очень важная, ответственная
и творческая, имеет крайне низкий социальный
статус. Прагматичная молодежь не стремится идти
по стопам своих педагогов, ведь профессия учи-
теля не предполагает карьерного роста и не сулит
больших доходов.
Помимо экономической, у профессии учителя
есть и другая сторона, назовем ее морально-эти-
46
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
ческой. Эта сторона характеризует учителя как че-
ловека, а его профессию рассматривает как опре-
деленное культурное явление. Она затрагивает
такие вопросы, как «Должен ли учитель воспи-
тывать?», «Какими нравственными качествами он
должен обладать?», «Преподавание — это искус-
ство или ремесло?», «Учитель — это творец или
транслятор учебника?» и др. Остановимся на по-
следних двух вопросах, имеющих прямое отно-
шение к теме нашего разговора.
Вечный вопрос:
учитель — ремесленник или творец?
Итак, преподаватель — это творческая профес-
сия или нет? Читатель, конечно, понимает, что
вопрос некорректный и в каком-то смысле про-
вокационный. Ясно, что нельзя однозначно оце-
нить нашу профессию как творческую или не-
творческую. Она позволяет проявлять фантазию,
экспериментировать и создавать что-то новое.
Вместе с тем в ней есть повседневная рутина,
сводящая творчество учителя к минимуму.
Однако мы не случайно формулируем вопрос
так, поскольку именно в такой форме его ставят
сегодня родители и чиновники, часто весьма ту-
манно представляющие себе учительские будни.
И не только ставят, но и пытаются активно его
решать, исходя из личного опыта общения с учи-
телями. И опыт этот часто бывает неудачным.
Среди родителей бытует мнение: задача учите-
ля — пересказ учебника, показ решения приме-
ров и проверка знаний и умений. Такая точка
зрения откровенно ставит под сомнение творче-
ский характер учительской профессии, сводя
функции педагога к объяснению материала учеб-
ника с последующим опросом усвоенного.
Можно предположить, что если подобное мне-
ние прочно укоренится в сознании большинства
людей, то профессия учителя потеряет свое бы-
лое значение и будет низведена до профессии, на-
пример, водителя автобуса или даже дворника.
Такая тенденция уже достаточно хорошо просма-
тривается.
Современный вопрос: учитель —
поставщик образовательных услуг?
Часть родителей «нового» типа - представите-
ли так называемого среднего класса, в основном
работники коммерческих структур - рассматри-
вают учителя как представителя сферы услуг (вро-
де парикмахера или продавца-консультанта). В
понимании этой категории граждан учитель — это
человек, который должен за определенную плату
предоставить их детям образовательные услуги,
обеспечивающие некоторый реальный результат
(например, хорошие текущие и особенно итого-
вые результаты, выраженные соответствующими
оценками).
При этом родителей не интересует, как педа-
гог будет добиваться цели — это его личное дело.
Учитель может провести занятие в форме игры,
решать на уроке развивающие задачи, а может
просто «пройти» параграф или тему. И посколь-
ку форма обучения на локальный результат вли-
яет не сильно, то становится ясно, что учитель
выберет последний вариант как самый простой и
требующий минимум усилий.
Эта тенденция крайне опасна. Такие понятия,
как «развитие» и «воспитание», станут в школе
лишними, поскольку их нельзя отнести к разряду
результатов услуг из-за принципиальной невоз-
можности проверки: никто точно не скажет, бла-
годаря кому и чему именно они были достигну-
ты. Получается, что платить за услугу некому, а
стало быть, и незачем.
К тому же развитие и воспитание — это скорее
процессы, а не состояния; они продолжаются дол-
го, — наверное, даже всю жизнь. Часто результа-
ты учебы в школе сказываются лишь спустя мно-
го лет после ее окончания. Школа обычно рабо-
тает на отдаленную перспективу.
Нетрудно понять, что будет, если она станет
работать на ближайшую перспективу — на напи-
сание контрольных, на «прохождение» тем и сда-
чу экзаменов. Дети, которые замечательно чувст-
вуют подобные веяния в настроениях родителей
и педагогов, очень быстро понимают, что от них
хотят не знаний, а результатов, выраженных в
оценках и баллах. И они успешно начинают ра-
ботать на достижение нужного результата.
«Учитель-обслуга» глазами ученика
Казалось бы, это не так плохо — какая разни-
ца, какую цель мы преследуем? Но нет, опыт по-
казывает, что такие дети делают ровно столько,
сколько от них требуется программой или со-
держанием контрольной работы. Их невозмож-
но заставить написать лишнее предложение, их
нельзя заставить решить дополнительную зада-
чу. Требование учителя сделать что-то сверх ус-
тановленного они воспринимают как нарушение
своих прав.
ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ
47
С такими детьми не получится решать нестан-
дартные задачи; их нельзя заинтересовать мате-
матикой, поскольку они относятся к ней, как к
системе этапов, через которые нужно пройти,
чтобы получить результат (оценку).
Таким образом, создается ложное представле-
ние о целях и задачах образования: положитель-
ные ориентиры (радость творчества, познание
нового, личный рост) заменяются отрицательны-
ми (написание контрольных, получение оценок,
аттестата). Ребенок учится отлынивать, качать
права, врать — и все это для того, чтобы макси-
мально обезопасить себя от «обязаловки», т.е. от
своих ученических обязанностей, от повседнев-
ного кропотливого труда.
Думается, что молодой человек, воспитанный
в таком духе, перенесет свои воззрения на всю
последующую жизнь, и в первую очередь на ра-
боту. Получается, что школа при описанном под-
ходе не выполняет одну из важнейших функций —
научить человека систематически трудиться и
получать от труда удовольствие.
Если мы не хотим допустить превращения сво-
ей профессии в обыкновенное ремесло, подоб-
ное ремеслу мойщика окон, то для начала долж-
ны понять, почему в обществе существует тен-
денция относить работу учителя к разряду услуг.
Оказывается, подобное отношение формируем
мы сами, учителя. Действительно, многие ли из
нас подходят к работе творчески: самостоятельно
придумывают каждый урок, используют интерес-
ные детям формы работы, постоянно ищут но-
вое? Нет, так работают, увы, немногие, большин-
ство ограничивается учебником и методичкой к
нему, не желая вникать ни в какие новшества и
менять собственные привычки.
Типичная ситуация такова: учитель преподает
по учебнику слово в слово, объясняет скомкано,
домашние задания не проверяет вовсе, иногда из-
за болезни пропускает целые темы. Часто при
этом он «не в настроении», под горячую руку
ставит двойки в колонку. У такого педагога обыч-
но весь класс (за исключением нескольких чело-
век) пишет контрольные на двойки, а затем хо-
дит на «дополнительные», где их «переписывает»,
с трудом натягивая на тройку.
Что же в результате? В результате, как нетруд-
но догадаться, большинство детей не просто не
любят математику, они ее ненавидят, о чем гово-
рят совершенно откровенно и достаточно жест-
ко, порою даже злобно. Родители таких учеников
искренне хотят помочь своим чадам: заставляют
их «учить» геометрию или арифметику (иногда с
большими скандалами), пытаются сами вникнуть
в хитрости современных учебников и решать за-
дачи вместе с детьми, но обычно ни то, ни другое
не помогает, и тогда вконец расстроенные роди-
тели обращаются к услугам репетитора...
Итог — учитель-репетитор
Вот они и появились, образовательные услу-
ги! Задача перед репетитором обычно ставится
достаточно четко и однозначно: «Вы его натас-
кайте хоть на троечку!» И репетитор выполняет
заказ. И здесь нет места занимательной матема-
тике, нестандартным задачам, экскурсам в исто-
рию науки; математика становится той самой
системой этапов, через которые нужно пройти,
чтобы получить результат — тройку, четверку,
пятерку...
Учителя сами выталкивают из стен своих ка-
бинетов детей, вполне умственно здоровых и спо-
собных к изучению предмета. Иногда это проис-
ходит по недомыслию педагогов, от непонима-
ния ими существа школьной математики, ее
смысла и целей; иногда это происходит от нелюб-
ви к профессии.
Как следствие, и в первом, и во втором случае
дети не получают нужных им знаний, не получа-
ют развития, положительных эмоций, не пони-
мают назначения изучаемого предмета — иными
словами, не получают качественного образования.
Понятно, что здесь не идет речи о каком-то
творчестве учителя; в данном случае он выступа-
ет именно как ремесленник, причем достаточно
плохой ремесленник. Родители и дети вполне
оправданно смотрят на него именно с таких по-
зиций. Как сказала мне одна бабушка: «Да мне
ничего от нее не надо, но пусть она хотя бы на-
учит его дроби складывать!»
Учитель математики
в современной школе
Медленно, но верно мы идем к тому, что в не-
котором будущем родители и дети будут дикто-
вать нам, учителям, свои требования. Сейчас
вполне серьезно обсуждается проблема создания
профильной школы (с 2006 года должен состо-
яться переход на профильное обучение), когда
ученики будут сами выбирать себе те предметы,
которые захотят изучать в старших классах углуб-
ленно. В нашей стране вполне реально можно
48
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
представить ситуацию, когда дети и родители
станут выбирать себе не только предметы для
углубления, но и базовые.
При таком повороте событий есть все шансы,
что математика в старших классах умрет как пред-
мет, как явление. Никто не захочет добровольно
изучать математику с такими учителями. И толь-
ко от учителя будет зависеть, захотят ли ученики
заниматься его предметом дальше хотя бы на ба-
зовом уровне. Поэтому, если мы желаем, чтобы
математику изучали в будущем, мы должны по-
думать об этом уже сейчас.
Необходимо пересмотреть и свое отношение к
обучению, и частично структуру и содержание
курса математики. Этот курс должен стать фак-
тически развивающим курсом для ученика, кото-
рый будет ему интересен и полезен, который даст
не только знания—умения—навыки, но еще и по-
нимание происходящего, и развитие, и положи-
тельные эмоции. Иными словами, назрела необ-
ходимость создать привлекательную систему обу-
чения математике, которая бы не отпугивала де-
тей и родителей, а, наоборот, притягивала краси-
выми задачами и теоремами, соревнованиями и
играми, духом творчества и инициативы.
Учительское сообщество
и статус учительства
Но какое отношение все сказанное имеет к
профессиональному сообществу учителей матема-
тики? Самое прямое. Если мы считаем свою про-
фессию творческой и хотим, чтобы таковой ее
считало общество, нам просто необходимо рабо-
тать соответствующим образом — нешаблонно,
эмоционально, увлекательно. И не просто рабо-
тать, а активно заявлять всему обществу о себе и
своей замечательной профессии.
Если оно будет видеть пользу от школьной ма-
тематики, то можно предположить, что число на-
падок на нее со стороны родителей и чиновни-
ков заметно уменьшится. Вероятно, многие из них
считают математику пустой тратой времени, по-
скольку не понимают ее смысла и назначения.
Отсюда стремление урезать количество часов.
Никто, кроме нас самих, не станет объяснять
людям необходимость изучения нашего предме-
та. Придется самим побороться за право ее пре-
подавания в школе. А это право можно реализо-
вать, только работая творчески и заявляя о себе.
И в этом нам поможет то самое профессиональ-
ное общение.
Сам факт профессионального общения сви-
детельствует о творческом характере учительского
труда. Если мы устраиваем конференции, прово-
дим семинары, публикуемся в специальных изда-
ниях и читаем их, значит, нам есть что сказать друг
другу, есть чем поделиться с коллегами: собствен-
ными находками, нестандартными приемами обу-
чения, интересными разработками уроков и т.д.
У представителей таких профессий, как, ска-
жем, кондуктор, дворник или водитель ничего по-
добного нет. Поэтому им незачем профессиональ-
но общаться, им просто нечем делиться: убирать
снег можно вдоль, или поперек, или наискосок,
но этим творчество дворника и исчерпывается.
Поэтому дворники не собирают конференций и
не имеют специальных средств коммуникации
вроде газеты «Вестник дворника». И поскольку
не существует каких-то особых методик взима-
ния платы за проезд или подметания улиц, кон-
дукторам и дворникам не требуется профессио-
нальное методическое сообщество.
Учителям же оно просто необходимо, иначе
профессия педагога перестанет быть творческой.
Об устных и печатных
средствах общения
Поговорим теперь подробнее о средствах про-
фессионального общения. Самое доступное и
привычное из них - живое слово в рамках мето-
дических объединений, окружных и региональ-
ных семинаров и конференций. Кто и как дол-
жен их организовывать и проводить, на какие
средства — это отдельная тема, заслуживающая
особого разговора. Отметим только, что такая
работа ведется, и не только в крупных городах,
таких, как Москва и Петербург. Подобные меро-
приятия хороши не только тем, что на них можно
узнать много нового и интересного и приобрести
свежую литературу, но и тем, что можно встре-
титься с коллегами и просто поговорить.
Едва ли не самым важным средством профес-
сионального общения было и остается печатное
слово. Учителя всегда общались друг с другом
через периодику, сборники статей и книги. Осо-
бенно хочется сказать о специализированных пе-
риодических изданиях для учителя, как пользую-
щихся наибольшей популярностью среди педаго-
гов. Методическая периодика важна, поскольку
часто задает учителям направление движения:
знакомит с новыми идеями в области преподава-
ния; на страницах прессы учитель может следить
ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ
49
за дискуссиями по современным проблемам об-
разования; хорошей традицией в свое время были
библиографические обзоры и рецензии на новые
книги для учителя. Для педагога журнал или га-
зета — это и советчик, и друг, и собеседник. К
ним учитель обращается, когда готовится к уро-
ку, собирается проводить олимпиаду или занятие
кружка, когда ищет новые формы организации
обучения или обдумывает варианты изложения
какой-то темы, и во многих других случаях. По-
этому от того, какой будет профессиональная
пресса (и будет ли она вообще), в работе рядово-
го учителя зависит очень многое.
Книгоиздание и проблема создания
методической библиографии
Все сказанное можно отнести и к непериоди-
ческим изданиям: книгам по элементарной ма-
тематике, сборникам нестандартных задач, на-
учно-популярным брошюрам, методическим ру-
ководствам и др. Но где взять хорошие книги?
Это и есть главный вопрос, на который ответить
непросто.
Можно лишь предположить, что в ближайшее
время политика издательств не претерпит суще-
ственных изменений, поэтому рассчитывать на
снисхождение книжных «акул капитализма» не
стоит. Естественно подумать о государственном
книжном секторе. Например, разработать феде-
ральную программу по обеспечению учителей
методической литературой. Федеральной про-
грамма может и не получиться (кто захочет тра-
тить столько денег «впустую»?), но на региональ-
ном уровне она вполне имеет шансы быть реа-
лизованной. Непонятно, правда, какая именно
литература и в каком количестве действительно
нужна учителям, откуда она возьмется, и кто
будет заниматься этой проблемой? Тем не ме-
нее, нам кажется, что обсуждать и решать эти
вопросы необходимо, если мы действительно хо-
тим сохранить и приумножить достижения в об-
ласти массового математического образования.
Методическая литература - лишь один жанр
печатного слова. Существуют и другого рода из-
дания, которые могут с пользой послужить делу
единения педагогов. Например, работы по исто-
рии образования. Как известно, в нашей профес-
сии опыт копится долго, часто десятилетиями. Ес-
тественно было бы передать его будущим поко-
лениям учителей, ведь обучение — вещь консер-
вативная: как учили сто лет назад, так во многом
учат и сейчас, хотя меняются и содержание, и
цели, и формы обучения. Наши предшественни-
ки накопили огромный опыт в деле преподава-
ния, и он зафиксирован во множестве текстов.
Однако последние недоступны рядовому учите-
лю: для их прочтения нужно идти в библиотеку,
да не в любую, а в центральную, искать требую-
щиеся материалы... Никакого времени на это не
хватит. К тому же самих текстов - книг, статей,
воспоминаний - существует великое множество.
Для начала их следует хотя бы обозреть, т.е. со-
ставить список всего того, что опубликовано.
Иными словами, необходимо составить библио-
графию по методике преподавания математики (и
вообще педагогики и народного образования).
Допустим, такая библиография существует. Что
делать дальше? Возможны разные варианты. На-
пример, создать энциклопедию «Методика препо-
давания математики», которая включала бы в себя
краткие информационные статьи по самым раз-
ным вопросам и темам, снабженные ссылками на
соответствующую литературу. В нашей стране на-
коплен огромный опыт в области преподавания
математики, но до сих пор он толком никем не
систематизирован. Энциклопедия помогла бы со-
брать воедино, достаточно полно охватить и упо-
рядочить богатейшее методическое наследие. В
дальнейшем на основе подобной работы можно
создавать более значительные проекты: писать
диссертации, книги по истории образования, раз-
рабатывать перспективные направления в практи-
ке обучения и т.д. Таким образом, энциклопедия
могла бы стать справочным руководством, исход-
ным пунктом в исследованиях учителей, методис-
тов, студентов и аспирантов педвузов.
Работы по истории образования полезны нам
не только как сокровищница накопленного опы-
та, но и как источник знаний о конкретных лю-
дях: где они родились, у кого учились, где и кем
работали, что придумали. Ведь каждый учитель —
неповторимая личность, которая не сводится
только к умению дать предмет; учитель — это
живой человек, свидетель и участник своего вре-
мени. Это наша «история в лицах», и не следует
о ней забывать, хотя бы из уважения к предшест-
венникам. Коллеги из прошлого — реальная опо-
ра для нас сегодняшних, и чтобы ощутить их
мощную поддержку сквозь времена и эпохи, нуж-
но собрать воедино и зафиксировать в тексте
знания о них. Почему бы не создать энциклопе-
дию (точнее, биографический словарь) под на-
50
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
званием «Учителя математики России» или, бо-
лее широко, «Деятели математического образо-
вания России»? Такое издание — отражение уже
не виртуального профессионального сообщества,
а вполне реального объединения людей.
Об электронных средствах общения
В настоящее время бурно развивается сеть
Internet. Она позволяет быстро передавать на
большие расстояния различную информацию:
письма, электронные книги, картинки и т.д. К
тому же имеется возможность создать в сети сайт,
чтобы размещать информацию и общаться. По-
нятно, что со временем Internet станет достояни-
ем всех граждан, однако начинать осваивать но-
вые технологии нужно уже сейчас. Фантазия мо-
жет увести нас очень далеко на пути рассуждений
о возможностях компьютеров и сетевых техноло-
гий, поэтому мы остановимся только на двух на-
правлениях их использования.
Вполне реальным представляется создание для
учителей математики профессионального сайта,
который учитывал бы запросы большой учитель-
ской аудитории и содержал самые разные мате-
риалы, касающиеся математического образования
в школе: разработки уроков, планирования, ме-
тодические статьи, публикации по проблемам
образования и т.д. Хотелось, чтобы этот сайт стал
оплотом учителей математики в стране, и не од-
ним из многих, а тем, на который педагог зайдет
в первую очередь. Однако он должен быть рассчи-
тан не только на учителей, но и на студентов пед-
вузов, аспирантов и методистов. Такой электрон-
ный ресурс должен отражать интересы каждой
категории потенциальных пользователей. Конеч-
но, не все учителя смогут им пользоваться (по
разным причинам), но все же есть уверенность,
что сайт будет востребован и популярен, а число
его посетителей будет только увеличиваться.
Уже имеется положительный опыт создания
образовательных сайтов математического направ-
ления. Наиболее обширным из них является сайт
Московского центра непрерывного математичес-
кого образования (www.mccme.ru). Этот ресурс
содержит массу полезной информации: публика-
ции по проблемам математического образования,
материалы и результаты олимпиад, электронную
библиотеку научно-популярной физико-матема-
тической литературы для школьников и препода-
вателей, а также электронную версию журнала
«Квант». Сайт выполнен профессионально и удо-
бен в пользовании. Однако он почти не содержит
методических материалов для учителя обычной
школы.
Сайт «Задачи» (www.problems.ru) представляет
собой базу данных задач по всему школьному кур-
су математики, взятых из разных источников:
книг, журналов, сборников заданий олимпиад.
Как и сайт МЦНМО, он весьма полезен для учи-
теля, но также не является тем типом ресурса, о
котором шел разговор выше. Упомянем еще сайт
www.math.ru: он имеет раздел «Учительская», од-
нако пока здесь содержатся лишь официальные
документы.
Отметим, что в сети существует масса других
ресурсов, ориентированных на учителя матема-
тики. Но все они носят локальный характер: на
одном можно найти разработку по тригономет-
рии, на другом — по избранным вопросам ариф-
метики и т.д. Обычно такого рода материалы
выложены на сайтах образовательных учреждений
(школ, лицеев, университетов) или на региональ-
ных образовательных порталах. К сожалению, эти
сетевые ресурсы никак не систематизированы, что
затрудняет пользование ими. Было бы полезно
создать ежегодный справочник (бумажный или
электронный) под названием «Ресурсы сети
Internet для учителя математики».
Другим направлением работы, не связанным с
сетью Internet, является выпуск CD- и DVD-дис-
ков с материалами для учителя. Попытки созда-
ния подобного электронного ресурса уже есть.
Например, издательский дом «Первое сентября»
выпускает диски с разработками учителей, при-
сланными на фестиваль педагогических идей
«Открытый урок». Участие в фестивале платное,
но учителей это не останавливает: если в первый
год проведения в нем участвовали около 2600
педагогов, то во второй — почти 4700.
Ведущие педагогические газеты и журналы
(«Народное образование», «Психологическая на-
ука и образование» и др.) стали выпускать диски
с подшивками материалов, опубликованных за
определенный промежуток времени. Наиболее
«продвинутые» издания выкладывают старые но-
мера на собственных сайтах (см., например,
www.kvant.mccme.ru). Пора подумать об этом и
методической прессе для учителей математики.
Наличие электронной версии издания (например,
диска) стало бы для педагога реальным подспо-
рьем в повседневной работе. Ведь далеко не все
журнальные и газетные публикации прошлых лет
ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ
51
устарели. Напротив, предыдущими поколениями
учителей, методистов и ученых накоплен уникаль-
ный материал в области элементарной математи-
ки и ее преподавания; он может и должен быть
использован в условиях современности. Кроме
того, старые номера сохранились далеко не у всех,
поэтому электронная версия периодического из-
дания просто необходима. Сказанное в первую
очередь относится к журналу «Математика в шко-
ле» — кладезю методических жемчужин и алма-
зов элементарной математики.
С чего начать? Первые шаги
Завершая разговор о механизмах формирова-
ния профессионального методического сообще-
ства учителей математики, отметим, что рассмо-
тренные выше возможности — далеко не все, что
можно придумать в рамках обсуждаемых идей.
Но сколько бы ни было идей, кому-то придет-
ся воплощать их в жизнь. Хотелось бы, конечно,
заручиться поддержкой государства в лице Ми-
нистерства образования и науки. Последнее
должно делать все для сохранения и развития об-
разования в России, поэтому формирование про-
фессиональных сообществ — его прямая обязан-
ность.
Однако мы не будем тешиться иллюзиями на
этот счет. Если удастся заинтересовать высказан-
ными мыслями представителей власти, хорошо,
если нет, — рассчитывать придется только на себя.
Как бы там ни было, начинать движение должны
мы сами.
В качестве первого шага напрашивается созда-
ние организации, которая занялась бы формиро-
ванием профессионального методического сооб-
щества. И такая организация уже существует -
это «Ассоциация учителей математики», появив-
шаяся в начале 1990-х гг. Она поставила перед
собой задачи, тесно перекликающиеся с изложен-
ными выше идеями.
В частности, речь шла о книгоиздательской де-
ятельности (была даже учреждена фирма «Кван-
тор», успевшая выпустить ряд книг), говорилось
и об обмене опытом, и о защите права учителя на
творчество, и о многом другом (см.: Математика
в школе. — 1990. — № 3). Ассоциация существует
до сих пор, однако в последние годы о ней ниче-
го не слышно, и остается неизвестным, ведется
ли сейчас какая-то работа по реализации заяв-
ленных положений.
Нам кажется целесообразным идти в обратном
направлении: не от слов к делу, а от дела к сло-
вам, т.е. заниматься не разработкой устава буду-
щей организации, ее юридическим оформлени-
ем, декларацией целей и т.п., а начать делать ка-
кое-то реальное дело.
Например, создать библиографию по методи-
ке преподавания математики, затем заняться эн-
циклопедиями, параллельно работать над сайтом.
Мы уверены, что по мере продвижения дел к за-
явленным проектам станут присоединяться заин-
тересованные лица. Когда появится нечто мате-
риальное, будет вокруг чего объединяться. Тогда
уже можно подумать и о создании какой-то орга-
низационной структуры.
Предлагаем всем желающим начать что-то де-
лать, не дожидаясь лучших времен, которые все
равно никогда не наступят. Важно только держать
связь друг с другом, чтобы направления работы
были по возможности согласованы.
52
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
М.Б.Виситаева
(Грозный)
ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
В ЧЕЧЕНСКОЙ РЕСПУБЛИКЕ
Республиканская олимпиада по математике
проходила 23 января 2005 г. Ее участниками ста-
ли школьники IX—XI классов — победители рай-
онных олимпиад. Варианты заданий, каждый из
которых содержал 8 заданий, были подготовле-
ны М.Б.Виситаевой и утверждены заведующим
кафедрой математики ЧИПКРО профессором
С. - А. В. Исраиловым.
Максимальное количество баллов, которое
можно было получить за верно решенное зада-
ние, равно 5. При оценке решения учитывались
полнота, обоснованность и оригинальность, но
оценка не снижалась, если было предложено не-
рациональное решение.
Обратим внимание на то, что уровень подго-
товки участников (а соответственно и уровень
предлагаемых заданий) несколько ниже, чем на
других республиканских олимпиадах, что обуслов-
лено известными неординарными условиями,
сложившимися в республике. По традиции при-
ведем задания, предлагавшиеся на олимпиаде, и
их решения.
IX класс
1. Какое наибольшее число воскресений мо-
жет быть в году?
2. Население города к концу года было
312 000 человек. Годовой прирост населения 4%.
Найдите численность населения города в начале
года.
3. Сформулируйте отрицание высказываний:
а) все числа, делящиеся на 3, нечетные;
б) вертикальные углы равны;
в) равные углы вертикальны;
г) каждому натуральному числу предшест-
вует одно натуральное число.
4. Упростите выражение
7 20а + 92+у/a4 + 16а2 + 64.
5. Существует ли приведенное квадратное урав-
нение х2 + рх +q = 0, у которого сумма коэффи-
циентов р и q равна —13, а разность корней 6?
6. Существует ли два последовательных нату-
ральных числа таких, что сумма цифр каждого из
них делится на 125?
Найдите наименьшую пару таких чисел или
докажите, что их не существует.
7. Найдите сторону ВС в треугольнике АВС,
где АС =11 см, AD = 10 см (AD — медиана),
площадь треугольника АВС равна 66 см2.
8. Периметр ромба равен 20см, сумма длин
диагоналей 14 см. Найдите площадь ромба.
Ответы
и решения
1. О т в е т: не более 53 воскресений.
Решение. Для любых семи последовательно
идущих дней всегда встречается одно воскресе-
нье, а так как 365 = 52-7 + 1, 366 = 52-7 + 2,
то в году 52 воскресенья или 53 (если 1 января —
воскресенье; для високосного года — суббота или
воскресенье).
2. Ответ: 300000 человек.
Решение. Пусть х человек составляло насе-
ление города в начале года, тогда к концу года
оно стало равным х + 0,04х, что по условию
равно 312000. Отсюда, х = 300000.
3. О т в е т: а) существует число, делящееся на
3, которое является четным; б) существуют та-
кие вертикальные углы, которые не равны; в) су-
ществуют такие равные углы, которые не явля-
ются вертикальными; г) существует натуральное
число, которому не предшествует ни одно нату-
ральное число.
4. О т в е т: |а + 10|.
Решение. V20a + 92 + 7a4+16а2+64 =
= д/20а+92+7(а2+8)2 = 720а+92 + |а2+8| =
=^20а+92+а2+8 = 7(я+Ю)2 =|а+10|.
5. О т в е т: не существует.
Решение. Приведенное квадратное урав-
нение, удовлетворяющее указанным условиям,
существует, если выполняются следующие ус-
ловия:
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
53
р1 -4#>0
^+<7 = -13
< х2 ~Х1 = 6
X] +Х2=~Р
(1)
х, -х2 =q
(где х„ х2 — корни этого уравнения).
Из третьего и четвертого уравнений системы
... -6-р 6-р
(1) следует, что х( =--—, х2=-------, откуда
р2-36 2 2
xi ’ х2 — и значит, из второго и четверто-
го уравнений этой системы, получим р2 + 4р + 16 =
= 0. Последнее уравнение не имеет действитель-
ных корней, и, следовательно, система (1) несо-
вместна.
Таким образом, не существует приведенного
квадратного уравнения х2 + рх + q — 0, сумма
коэффициентов которого равна —13, а разность
корней равна 6.
6. О т в е т: существуют.
Решение. Наименьшая такая пара состоит из
чисел N и N— 1, где
N = 8999999999999900000000000000
(13 девяток и 14 нулей),
сумма цифр равна 13 • 9 + 8 = 125,
N - 1 = 8999999999999899999999999999;
сумма цифр равна 2-8 + 9- 12 + 9- 14 = 250.
7. О т в е т: 6-J5 см.
Решение. Так как треугольники CAD и DAB
равновеликие (5ДС4О = 5^), то SMDC = 33 см2.
Проведем высоту DE в треугольнике ADC (рис. 1),
По теореме Пифагора из треугольника ADE
найдем АЕ = 8 см, а из треугольника DEC (ЕС =
= 3 см) найдем DC = 3-75 см. Так как AD — меди-
ана треугольника АВС, то ВС = 2 DC = 6^5 см.
8. Ответ: 24 см2.
Решение. Пусть dx, d2 — длины диагоналей
ромба, тогда
(а — длина стороны ромба).
Согласно условию
Z \2 Z \2
рД +|Ч?| =25
•V 2 ) V 2 )
dx+d2 —14.
Решив систему, получим
4=8
< или
4=6
откуда
^=+6'8 = 24 (см2).
Наибольшее число баллов — 15 из возможных
40 получил Абдулхажиев Магомед — ученик Урус-
Мартановской СШ № 1 (с 01.07.2005 г. преобра-
зована в гимназию); II место заняла Газимагома-
ева Малика (Серноводская СШ № 4 Сунженско-
го р-на); III место — Тутуев Рустам (из Алироев-
ской СШ № 2, Курчалоевского района).
X класс
1. Вычислите М= /44^4-88^8.
V 200 100
~ _ sin!0,5x
2. Доказать тождество 1 + 2 cos 7х =----.
sm3,5x
3. В библиотеке имеются книги на английском,
французском и немецком языках. Книги на анг-
лийском языке составляют 36% всех книг на ино-
странных языках, на французском — 75% книг на
английском, а остальные 185 книг на немецком
языке. Сколько книг на иностранных языках в
библиотеке?
4. Решите в натуральных числах систему урав-
нений
X + у = Zt
z+t=xy.
5. Руководитель математического семинара
Эльби Арсбиевич нашел ошибку в совместной
работе трех студентов: Имрана Исраилова, Мов-
сара Висхаева и Росамбека Мандиева. На заседа-
нии семинара они стали оправдываться.
54
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
И.И. 1) Не я ошибся. 2) Ошибку допустил Ро-
самбек. 3) Я написал другую часть работы.
М.В. 1) Ошибку сделал Росамбек. 2) Я знаю,
как ее исправить. 3) Ошибались и великие мате-
матики.
Р.М. 1) Не я ошибся. 2) Я давно подозревал,
что здесь что-то не то. 3) Имран действительно
написал другую часть работы.
Эльби Арсбиевич знал, что два из трех утверж-
дений каждого верны, а одно неверно. Кто из сту-
дентов допустил ошибку?
6. Существует ли возрастающая геометричес-
кая прогрессия, у которой первые десять членов —
целые числа, а все остальные не являются целы-
ми числами?
7. От прямоугольника со сторонами 324 см и
141 см отрезают несколько квадратов со сторо-
ной в 141 см, пока не останется прямоугольник, у
которого длина одной стороны меньше 141 см. От
полученного прямоугольника отрезают квадраты,
стороны которых равны по длине его меньшей
стороне, до тех пор, пока это возможно, и т.д.
Какова длина стороны последнего отрезанного
квадрата?
8. Дан куб ABCDAXBXCXDX с ребром а. Найди-
те угол и расстояние между прямыми АХВ и АСХ.
Ответы и решения
1. Ответ: 66...6.
100
Решение.
М = /^40^-44^4 =
V 200 100 V 100 100 100
= ,44^4-10100-44^4 = /44_4(10100-1) =
V юо юо V юо
= /4ЩТТ?ТШ = 2-ЗН^==6^.
V 100 100 100 100
2. Р е ш е н и е. Обозначим а = 3,5х, тогда 2а =
= 7х; 10,5х = За, и надо доказать тождество
, _ _ sin За
1 + 2 cos 2а =-.
sin а
sin За _ sin(a + 2а) _ sin a cos 2а + cos a sin 2а _
sin a sin a sin а
_ 2sinacos2a 2
=cos 2а+----------=cos 2а+2 cos а =
sin а
= cos 2а + (1 + cos 2а) = 1 + 2cos2a.
3. О т в е т: 500 книг.
Решение. Пусть в библиотеке х книг, тогда
х-36
количество книг на английском равно -----, а
100
. х-36-75 х-9-3 п__
книг на французском — --------=------= 0,27х.
100-100 4-25
Так как 36% + 27% = 63%, то 37% книг,
имеющихся в библиотеке, составляют книги на
немецком языке, количество которых, по усло-
вию, равно 185. Значит, 0,37х=185 и х= 500.
4. О т в е т: (2; 3; 1; 5), (3; 2; 1; 5), (2; 3; 5; 1),
(3; 2; 5; 1), (2; 2; 2; 2), (1; 5; 2; 3),
(1; 5; 3; 2), (5; 1; 2; 3), (5; 1; 3; 2),
Решение. Сложив первое и второе уравне-
ния системы, получим
х + у + z + t = zt + ху,
x + y + z + t — zt — ху = §,
Zt + ху — х — у — z — t + 2 — 2 = 0,
z(t - 1) - (/ - 1) + х(у - 1) - (у - 1) = 2,
(z- l)(t- D + (x- 1)(у- 1) = 2
и, следовательно, исходная система равносильна
системе (x + y = zt
\(z-l)(t-l)+(x-\)(y-l)=2.
Так как оба слагаемых в левой части второго
уравнения системы неотрицательны, то возмож-
а)
Если
если
если
если
х = 2
ны три случая:
(г-1)(Г-1) = 0
(х-1)(у-1) = 2.
z = 1
Z = 1,
t = 1,
/ = 1,
х = 2
х = 3
Z
Z
б)
U-i)(r-D=i
(x-l)(j-l) = l
в)
у=3
У = 2,
У = з,
У = 2;
t = 5;
t=S-
= 5;
= 5.
то
то
то
то
Z-1 = 1
Г-1 = 1
х = у> = £ = / = 2.
[у-1 = 1
t= 3,
t = 2
t = 3.
t = 2.
то
то
то
то
У = 5;
У = 5;
х = 5;
z = 2
z = 3
z = 2.
z = 3.
У = 1
У = 1
U-l)(/-l)-2
(х-1)(у-1) = 0.
Если
если
если
если
5. О т в е т: ошибку допустил Мовсар Висхаев.
Решение. Из предположения, что ошибся
первый участник семинара (И.И.), мы получаем
противоречие с условием, так как в этом случае
неверны сразу два его высказывания.
Предположив, что ошибся второй участник се-
минара (М.В.), мы не получаем противоречия с
условием, следовательно, он и мог ошибиться.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
55
Из предположения, что ошибся третий участ-
ник семинара (Р.М.), мы получим, что третье вы-
сказывание участника неверно (так как в этом
случае верны два первых его высказывания), а
значит, неверным является и третье высказыва-
ние третьего участника (оно точно такое же), но
тогда верно первое высказывание (Р.М.) (только
одно из его высказываний — третье — является
неверным), а это противоречит предположению.
Итак, ошибиться мог только второй участник
семинара.
6. О т в е т: существует, например, прогрессия,
3
у которой Ьх = 29; <? =—.
7. О т в е т: 3 см.
Решение. Так как 324 = 2 • 141 + 42, то при
отрезании двух квадратов со стороной 141 см,
останется прямоугольник, длины сторон которо-
го равны 141 см и 42 см.
От полученного прямоугольника можно отрезать
три квадрата со стороной 42 см (141 = 42 • 3 +
+ 15) и получить прямоугольник со сторонами
42 см и 15 см, отрезав от которого 2 квадрата
со стороной 15 см (42 = 15 • 2 + 12), получим
прямоугольник со сторонами 15 см и 12 см. И
наконец, отрезав от полученного прямоугольни-
ка квадрат со стороной 12 см (15 =12-1+3),
получим прямоугольник со сторонами 12 см и 3 см,
который состоит из четырех квадратов со сторо-
ной 3 см (т.е. от него можно отрезать четыре
квадрата со стороной 3 см).
8. О т в е т: 90°;
уб
Решение. 1) Так как АХВ ± АВХ, а отрезок
АВХ проекция АСХ на плоскость ВВХАХ (рис. 3),
то АХВ1АСХ (согласно теореме о трех перпенди-
кулярах). Следовательно, АХВ ± АСХВХ (признак
перпендикулярности прямой и плоскости), и,
кроме того, мы доказали, что угол между скре-
щивающимися прямыми АХВ и АСХ равен 90°.
2) Пусть О — точка пересечения прямых АВХ и
АХВ. Проведем из точки О перпендикуляр ОК к
прямой АСХ, тогда ОК — искомое расстояние
между скрещивающимися прямыми АХВ и АСХ.
3) Прямоугольные треугольники АОК и Л^С,
ОК ОА
подобны, следовательно, --=---- и
ВХСХ АСХ
ОК =
cbjl
ОАВ£,_~а
ACt ./Зй
Замечание. Угол между скрещивающимися пря-
мыми можно было найти иначе.
1) Через точку Dx проведем прямые DXD, и
DXC, параллельные прямым АС, и Ах В соответ-
ственно (рис. 2), тогда угол D2DXC будет являть-
ся утлом между скрещивающимися прямыми АХВ
2) Пусть длина стороны куба равна а, тогда
D2D=AC=aj2, СхС=а, DxC=aJz, D2Dx=ACx=aj3.
Из треугольника D2DC (Z.D2DC = 90° + 45° =
— 135°) по теореме косинусов найдем
3) Поскольку D2C2 = D2Dx + DxC2, треуголь-
ник D2DxC прямоугольный (AD2DXC = 90°) и,
следовательно, скрещивающиеся прямые перпен-
дикулярны.
Победу одержала Гадаева Мадина — 37 баллов
(Самашкинская СШ № 2 Ачхой-Мартановского
района); II место заняла Шахбулатова Малика —
18 баллов (СШ № 20 г. Грозного) и на III месте
Эльбиев Магомед — 16 баллов (Ойсхарская СШ № 2
Гудермесского района).
56
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
XI класс
1. Решите неравенство:
—х— 2
а) методом интервалов ------->0,
х
б) рассуждая логически |х3 — 1| (х2 — 9) < 0.
2. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты
с 10%-ным и получили 600 г 15 %-ного раствора.
Сколько граммов каждого раствора было взято?
3. Найдите уравнение прямой, проходящей че-
рез точку Л(0,5; 2), касающейся графика функ-
ции /(х) — —0,5х2 + 2 и пересекающей в двух
различных точках график функции g(x) = 74-х2.
4. Докажите, что при любом целом п число
п5 -5п3 + 4п
---------- — целое.
120
5. Решите уравнение
Vcosx(4-5sinx-2cos2 х) = 0.
6. Найдите наименьшее натуральное число,
обладающее такими свойствами: его половина
есть квадрат целого числа, его третья часть — куб
целого числа, его пятая часть — пятая степень
целого числа.
7. Дана замкнутая пространственная ломаная
Некоторая плоскость пересекает все
ее звенья: А}А2 в точке Вх, Лу43 в точке В2, ...,
А„А} в точке Вп. Докажите, что:
ЛД АД ДА
ДА ДА ДА ВпА\
8. Диагональ меньшей грани прямоугольного
параллелепипеда равна большей стороне основа-
ния. Высота параллелепипеда равна 2 см, диаго-
наль основания равна 14 см. Найдите объем
параллелепипеда.
Ответы и решения
1. Ответ: а) [-1; 0) и [2; ~); б) (-3; 1) u (1; 3).
Решение, а) Данное неравенстворавносиль-
(х-2)(х + 1)
но неравенству --------->0, решив которое
х
методом интервалов, получим хе [—1; 0) и [2; +<*>).
б) Так как |х3 — 1| > 0 при любом действитель-
ном х, то наше неравенство равносильно системе
х2-9<0
х^1,
решением которой является объединение интер-
валов (—3; 1) и (1; 3).
2. Ответ: 150 г, 450 г.
Решение. Пусть 30%-ного раствора было
взято хг, а 10%-ного раствора — у г. Тогда из
условия следует, что х + у = 600. Поскольку в
первом растворе содержится х • 0,3 г кислоты, а
во втором — у • 0,1 г кислоты, то в полученной
смеси содержится 0,Зх + 0,1у г кислоты, что по
условию задачи составляет 90 г (600 • 0,15).
Решив систему уравнений
Гх + у = 600
|0,Зх + 0,1у = 90,
получим х = 150, у = 450.
3. О т в е т: у = —х + 2,5.
Решение. Запишем уравнение касательной к
графику функции у = —0,5х2 + 2 в точке с аб-
сциссой х0:
у = -0,5х2 + 2+(—х0 )(х -х0)
или
у = -хох + 0,5xq + 2.
Учитывая, что касательная проходит через точ-
ку >4(0,5; 2), получим 0,5х(2 -О,5хо =0, откуда
х0 = 0 или х0 = 1. По условию задачи подходит
только х0 = 1, поэтому у — —х + 2,5.
4. Решение.
п5 — 5п3 + 4п = п(п4— 5п2 + 4) =
= п(п - 2)(п - 1)(л + 1)(л + 2) =
= (п - 2)(л - 1)«(л + 1 )(л + 2).
В результате получилось произведение пяти по-
следовательных целых чисел, одно из таких чи-
сел обязательно делится на 5, а одно из трех
последовательных чисел делится на 3, а произ-
ведение четырех последовательных чисел делит-
ся на 23. Таким образом, произведение пяти по-
следовательных чисел делится на 23 • 3 -5 = 120.
Я я
5. О т в е т: —+ пп, пе Z, х = —+ 2як, ке Z.
2 6
Решение. Данное уравнение равносильно
совокупности:
cosx=0
[cosx > 0
4-5sinx-2 cos2 х = 0
х=—+ ял (ле Z)
cosx > 0
2sin2x-5sinx + 2 = 0
x = ^-+7in (ne Z)
cosx > 0
sinx = 2
1
smx=—
2
Я Z X
х = у+ял (ле Z)
cosx > 0
< . 1
sinx=—
2
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
57
х =—4-тсл (we Z)
х=^+2як (ке Z).
6. О т в е т: 215 • 3ю • 56.
Решение. Запишем искомое число в виде
а = 2к • 3й • 5й.
Так как —=2*-1 • Зт • 5й — квадрат целого чис-
ла, то числа к — 1, т и п делятся на 2, ана-
логично числа к, т — 1 и п делятся на 3, а
числа Л, т и п — 1 делятся на 5.
Итак, к — нечетное число, которое делится на
3 и на 5. Наименьшим из таких натуральных
чисел является 15. Аналогично получаем: т = 10,
п = 6. Следовательно, искомое число имеет вид:
2’5 • З10 • 56.
7. Доказательство. Для доказательства тожде-
ства л,л, л2д2 АД, 4А=1 (1)
АД АД АД АД
можно обозначить через Л2,..., hn — расстоя-
ния от точек Л], А2, ..., Ап до данной плоскости.
Тогда значение выражения, стоящего в левой
части (1), равно
АДАЛ-А-гА = 1
т.е.
ДА . ДА. ДА ДА _ ।
АД АД АД АД
8. Ответ: 80д/б см3.
Р е ш е н и е. По условию DCX = AD, ССХ = 2 см,
Из треугольника АССХ найдем
АСХ = ^АС2 + СС2 = V200 = Ю-Л (см).
Из условия задачи следует, что треугольник
ADCX прямоугольный равнобедренный (ZADCX =
= 90°, AD= DCX) и, следовательно, AD = 10 см.
Из прямоугольного треугольника ADC найдем
DC = JaC2-AD2 =7196-100 =4л/б см.
Итак,
К = 5ОСН ССХ= 10-476-2 = 80Тб (см3).
I место занял Арсанукаев Инал — 38 баллов
(Ачхой-Мартановская СШ № 3); II место занял
Алиев Магомед — 33 балла (Наурская СШ № 1);
на III месте Довкаев Расул — 18 баллов (Аргун-
ская СШ № 3).
В заключение приведем статистику олимпиады.
IX класс
"^-^(JucHKa № задаши^-^^ 5 4 3 2 1 0
1 15,4* — 15,4 23,1 — 46,2
2 — — 15,4 7,7 — 23,1
3 — 7,7 23,1 — — 15,4
4 — 53,8 — 7,7 46,2 15,4
5 7,7 — — 23,1 15,4 56,8
6 — — 23,1 — 15,4 23,1
7 — 7,7 — 15,4 7,7 15,4
8 7,7 — 7,7 — 15,4 7,7
X класс
Оценка № задачи" 5 4 3 2 1 0
1 7,7 7,7 — 7,7 7,7 23,1
2 — 7,7 7,7 15,4 23,1 7,7
3 30,8 — — 7,7 — 23,1
4 — 7,7 — 23,1 15,4 15,4
5 53,8 7,7 7,7 7,7 7,7 23,1
6 7,7 — — 7,7 — 15,4
7 30,8 7,7 — — 15,4 23,1
8 — 7,7 — — 7,7 15,4
XI класс
^'"""-^(Эценка № задачи 5 4 3 2 1 0
1 27,3 18,1 9,1 9,1 9,1 45,5
2 18,2 — 27,3 — 9,1 54,5
3 9,1 — 18,2 — — 18,2
4 18,2 — — 18,2 — 27,3
5 — 27,3 9,1 9,1 9,1 18,2
6 — 9,1 9,1 — 9,1 36,4
7 — — — 9,1 — 18,2
8 27,3 9,1 — — 9,1 36,4
* Процент школьников, получивших указанное количе-
ство баллов за решение соответствующей задачи.
58
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6'06
Л.А.Емельянов
(Калуга)
ТОЧКА ШИФФЛЕРА1
Памяти И.Ф.Шарыгина
Какие характерные точки треугольника изве-
стны школьнику? Их можно, что называется, пе-
ресчитать по пальцам: центр тяжести, центры
вписанной и описанной окружностей, ортоцентр,
центр окружности девяти точек. Более искушен-
ные вспомнят точки Жергонна, Нагеля, Лемуана,
Брокара. Вот, пожалуй, и все. А между тем харак-
терных точек треугольника (в современной гео-
метрической литературе они называются центра-
ми треугольника) насчитывается уже более полуто-
ра тысяч! Главным энтузиастом этой «коллекции»
является канадский геометр Кларк Кимберлинг.
Ознакомиться с этим массивом нетрудно, доста-
точно зайти через Интернет на страницу http://
faculty.evansville.edr/ck6/encyclopedia/ETC.html,
где располагается «Энциклопедия центров треу-
гольника», но разобраться в этом море информа-
ции очень сложно, тем более что многие точки
определены не геометрически, а скорее алгебра-
ически.
В дальнейшем речь пойдет об одном из центров
треугольника, в упомянутой энциклопедии ему от-
водится почетное 21-е место. Точка эта имеет чи-
сто геометрическое определение и очень богата на
красивые свойства, не зря ее называют одним из
самых заманчивых открытий геометрии XX в. К
сожалению, мне неизвестно авторское доказатель-
ство существования этой точки, но подозреваю,
что оно счетное, а не геометрическое.
Наверное, я уже утомил читателя вступлением,
перейдем к определениям.
Прямой Эйлера треугольника называется пря-
мая, проходящая через центр описанной около
него окружности О и центр тяжести М.
Как известно, на этой прямой также распола-
гаются ортоцентр треугольника Н и центр ок-
ружности девяти точек О0, причем в любом тре-
угольнике центр тяжести делит отрезок НО в
отношении 2:1, а центр окружности девяти
точек находится в середине этого отрезка.
Существование точки Шиффлера устанавлива-
ется следующей теоремой.
Основная теорема. Пусть I— центр вписанной
окружности треугольника АВС. Прямые Эйлера
1 Kurt Schiffler (1896—1986) — американский инженер, биз-
несмен, геометр-любитель.
треугольников AJB, BIC и CIA пересекаются в
одной точке, находящейся на прямой Эйлера тре-
угольника АВС.
Точка пересечения этих четырех прямых Эй-
лера и называется точкой Шиффлера треуголь-
ника АВС. На рис. 1 она обозначена Sh, цен-
тры тяжести треугольника AIB, BIC и CIA от-
мечены точками, но не обозначены буквами,
пунктирные линии — это прямые Эйлера этих
треугольников.
О точке Шиффлера я рассказал на одном из се-
минаров И.Ф.Шарыгину. Факта этого он не знал
и очень им заинтересовался. При следующей встре-
че Игорь Федорович сообщил, что решил эту за-
дачу с помощью площадей. Как он сказал, реше-
ние непростое. Но вполне геометрическое. К со-
жалению, я так и не узнал этого решения, но то
дополнительное свойство точки Шиффлера, ко-
торое, по словам Игоря Федоровича, следовало из
его решения, позволило найти совсем несложное
доказательство более сильной теоремы, чем та, что
была сформулирована выше.
Идея доказательства состоит в том, чтобы най-
ти на прямой Эйлера исходного треугольника
такую точку, через которую проходят три указан-
ные прямые. Однако в отличие от Н и О0 отно-
шение, в котором точка Шиффлера делит отре-
зок ОМ, зависит от вида треугольника. Какова
эта зависимость? Ответ на этот вопрос, а заодно
и на вопрос о существовании точки Шиффлера,
дает следующая теорема.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
59
Теорема.Прямые Эйлера треугольников AIB,
BIC и CIA проходят через точку, делящую
отрезок ОМ в отношении 3R: 2г, где Виг
— радиусы описанной и вписанной окружнос-
тей треугольника АВС.
Для доказательства нам понадобятся две тео-
ремы.
Теорема Менелая. Точки А,, Вх, Сх, лежащие
на прямых ВС, СА, АВ соответственно, лежат
на одной прямой тогда и только тогда, когда
АС, ВАХ СВ, 1
На рис. 2 изображено одно из возможных по-
ложений точек Ах, В, и Сх на сторонах треу-
гольника. Именно такое расположение (две точ-
ки на сторонах и одна на продолжении третьей
стороны) нам и встретится в дальнейшем. Заме-
тим также, что если характер этого расположе-
ния известен, то можно отказаться от векторной
формулировки и перейти к отношению длин от-
резков, заменив «—1» в правой части на 1.
Лемма Мансиона (о середине дуги). Пусть Р —
середина той дуги АС описанной окружности
треугольника, которая не содержит точку В.
Тогда длины отрезков РА, PC и PI равны меж-
ду собой.
Рис. 3 демонстрирует лемму Мансиона. Посмо-
трев на него внимательно и посчитав углы треу-
гольника API, нетрудно убедиться, что он рав-
нобедренный. Однако не будем останавливаться
на доказательствах теоремы Менелая и леммы
Мансиона — они просты и достаточно распрост-
ранены в литературе.
Перейдем к доказательству основной теоремы.
Из леммы следует, что середина дуги (точка Р) —
это центр описанной окружности треугольника
AIC, а именно через нее и должна пройти одна
из трех прямых Эйлера. Как же задать эту пря-
мую? Ортоцентр треугольника AIC «поймать»
непросто, проще найти центр тяжести — точку,
делящую отрезок между I и серединой стороны
СА в отношении 2:1.
Теперь рассмотрим треугольник OMBQ, где Во —
середина стороны АС (рис. 4). Пусть Sh — точка
пересечения прямых МО и РМ2 (М2 — центр
тяжести треугольника AIC). Прямая Эйлера тре-
угольника AIC пересекает стороны треугольника
ОМВ[} в точках Sh, Р и некоторой точке К,
лежащей на стороне МВй — части медианы BBQ
треугольника АВС. Про эту точку мы мало что
знаем - роль ее вспомогательная, но нам пона-
добится отношение, в котором она делит отрезок
В{}М, чтобы, записав теорему Менелая для треу-
гольника OBGM, найти отношение CSh : ShO.
Для этого запишем еще одну теорему Менелая:
теперь для треугольника BIBQ и точек Р, М2, К,
принадлежащих сторонам (или их продолжени-
ям) этого треугольника и лежащих на одной пря-
Рис. 4
во
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
После изложения идеи доказательства перей-
дем к ее реализации.
1. В треугольнике В1В0
ВК В0М2 IP
О0' М2Г РВ~ ’
а так как ВйМ2: М21 =1:2 заключаем, что
ВК _ 2РВ
КВ0 ~ IP '
Прежде чем перейти к треугольнику ОМВ{}, пе-
ВК МК
ресчитаем отношение ---- в отношении -----,
KBQ кв0
воспользовавшись тем, что М делит отрезок BBQ
в отношении 2:1:
ВК _ 2МВ0 +МК _ 2(МК + КВ0) + МК МК
КВ0~ КВ0 ~ КВ0 ~КВ0+ '
следовательно,
^МК ВК 2_1РВ 2 2(РВ-1Р) 2В1
5КВ0~КВ0 ~ IP ~ IP “ IP'
Из этого следует, что
МК _2 BI
КВй ~ 3 IP
2. Теперь настала очередь треугольника 0MBG.
Теорема Менелая для точек 5Л, К, Р выглядит
так:
MSh OP В0К
ShO РВ0 КМ ~ ’
значит,
МУЛ МК_=РВ± 2 BI___2_ BIPBG
ShO ~ OP КВй ~ OP 3 IP ~ 3R IP
Вспомним лемму Мансиона: IP = АР. В пря-
моугольном треугольнике АВ{}Р отношение кате-
та РВй к гипотенузе АР равно
sin ABqAP = sin ZCBP=sin—.
2
в
Но из треугольника ABC следует BI • sin— = r.
Окончательно получаем:
MSh 2 BI PB0 2BI PB0 2 пт . В 2r
ShO 3R IP 3R AP 3R 2 3R
Чтобы завершить доказательство, достаточно
заметить, что мы рассматривали прямую Эйлера
треугольника AIC, но получили отношение, не
зависящее от стороны АС, а равноправное для
всех сторон треугольника АВС. Значит, для пря-
мых Эйлера треугольников BIC и AIB будет
реализовано то же отношение, т.е. все четыре
прямые пересекаются в одной точке — точке
Шиффлера треугольника АВС.
Итак, доказательство окончено. Оглядываясь
на его этапы, мы видим, что оно совсем неслож-
но и складывается из двукратного применения
теоремы Менелая и леммы Мансиона. Но самое
главное в нем не это, а, конечно же, точно сфор-
мулированная задача, что является следствием
незаурядной геометрической интуиции Игоря
Федоровича Шарыгина.
В заключение приведем без доказательства два
свойства точки Шиффлера, показывающие ее тес-
ную связь с более привычными объектами пла-
ниметрии.
1. Окружность, проходящая через основания
чевиан, порождаемых точкой Шиффлера на сто-
ронах треугольника, проходит через точку Фей-
ербаха этого треугольника.
Для доказательства надо найти отношение, в
котором прямые ASh, BSh и CSh делят стороны
треугольника, а затем воспользоваться критери-
ем принадлежности точки Фейербаха окружнос-
ти, описанной около оснований чевиан. Этот кри-
терий содержится в статье «Семейство Фейерба-
ха» (Л.Емельянов, Т.Емельянова. «Математическое
просвещение». № 6, 2002).
2. Пусть О, Ia, 1Ь, 1С — центры описанной и
трех вневписанных окружностей треугольника
АВС. Точки пересечения прямых OIa, О1Ь, 01 с с
соответствующими сторонами треугольника явля-
ются основаниями чевиан, порождаемых на этих
сторонах точкой Шиффлера треугольника АВС.
Доказательство этого свойства содержится в ста-
тье «А Note on the Schiffler Point». L.Emelyanov
and T.Emelyanova, Forum Geometricorum Volume 3
(2003) 113—116. (http://forumgeom.fau. edu/
FG2003volume3/FG200312index.html).
ЗАДАЧИ
61
Решения задач этого номера должны быть отправлены в редакцию не позднее 30 сентяб-
ря 2006 г. О правилах оформления решений см. в № 1 за 2006 г.
Новые задачи
4898. Крокодил Гена и Чебурашка написали на
1000 карточек числа от 0 до 999, после чего
разделили карточки между собой. Каждый из них
выложил свои карточки в ряд и получил длинное
число. Могут ли длинные числа у Гены и Чебу-
рашки совпасть?
ФЛ.Бахарев (С.-Петербург)
4899. На плоскости даны четыре прямые, ог-
раничивающие параллелограмм. Построить ква-
драт, все вершины которого располагаются на
данных прямых, по одной на каждой прямой.
В.В.Ню (Ханты-Мансийск)
4900. В клетках квадратной таблицы 7x7 за-
писаны 49 различных чисел. Может ли оказать-
ся, что в любом квадрате 2 х 2 и в любом квад-
рате 3x3 сумма чисел равна 0?
В.Н.Замков (Липецк)
4901. Назовем тропинкой замкнутую траекто-
рию на плоскости, состоящую из дуг окружнос-
тей и проходящую через каждую свою точку ров-
но один раз. Существуют ли тропинка и такая
точка А на ней, что любая прямая, проходящая
через А, делит тропинку пополам, т.е. сумма длин
всех кусков тропинки в одной полуплоскости
равна сумме всех кусков тропинки в другой полу-
плоскости?
С.В.Маркелов (Москва)
4902. Число а > 0 таково, что неравенству
10<ях< 100
удовлетворяют ровно пять натуральных значений
х. Сколько решений в натуральных числах х мо-
жет иметь неравенство 100 < ах < 1000?
А.К.Толпыго (Киев, Украина)
4903. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF
выполнены равенства AD = ВС + EF, ВЕ=AF+ CD
гт АВ CD EF
и CF=DE + AB. Доказать, что —— =------=----.
DE AF ВС
Н.М.Седракян (Ереван, Армения)
Решения задач,
помещенных в № 1 за 2006 г.
4868. Есть 6 монет, одна из которых фальши-
вая (она отличается по весу от настоящей, но ее
вес, как и вес настоящей монеты, неизвестен).
Как за 3 взвешивания на весах, показывающих
общий вес взвешиваемых монет, найти фальши-
вую монету?
Решение. При помощи взвешиваний нахо-
дим величины
. х.+х, _ х3+х4 _ х,+х,+Хс
А = —!В = — и С = —
2 2 3
где х, — вес /-й монеты, i = 1, ..., 6.
Если А = В = С, то, очевидно, хх = х2 = х3 =
= х4 = х5 Ф х6, т.е. фальшивой является 6-я мо-
нета.
В случае А = В Ф С фальшивой является 5-я,
при А Ф В = С — 2-я, а при А = С * В — 4-я
монета.
Если же величины А, В и С попарно различ-
ны, то монеты с номерами 2, 4, 5 и 6 — настоя-
щие. Вес настоящей монеты равен 24 + 2В — ЗС =
= х2 + х4 - х5, и, если А Ф х2 + х4 - х5, то фаль-
шивой является 1-я, в противном случае — 3-я
монета.
4869. Доказать, что существуют два стозначных
палиндрома, разность которых равна ПО. (Па-
линдромом называем натуральное число, десятич-
ная запись которого слева направо читается так
же, как и справа налево.)
Решение. Так как
1200^0021-1199^11 = 110,
96 нулей 96 девяток
то утверждение задачи справедливо.
4870. На плоскости лежал куб. Его перекатили
несколько раз (через ребра) так, что куб снова ока-
зался на исходном месте той же гранью вверх.
Могла ли при этом верхняя грань повернуться на
90° относительно своего начального положения?
Ответ: нет.
Решение. Введем декартову прямоугольную
систему координат Oxyz так, чтобы куб лежал
на плоскости z — 0, причем одна из вершин
куба в исходном положении имела координаты
(0; 0; 0), а противоположная вершина — коорди-
наты (1; 1; 1).
Рассмотрим два последовательных положения
куба. Пусть куб с вершинами в точках
62
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6'06
А(т; п\ 0), В(т + 1; л; 0), С(т + 1; п + 1; 0),
D{m\ п + 1; 0), Л,(/и; л; 1), Вх{т + 1; л; 1),
Сх(т + 1; л + 1; 1), Dt(m; л + 1; 1)
перекатили через ребро АВ.
Тогда вершины А и В остались на месте, а
вершины С, D, Ах, В}, Сх и Di переместились
в точки (т + 1; л; 1), (/л; л; 1), (т; л - 1; 0),
(т + 1; л - 1; 1) и (/я; л - 1; 1) соответственно.
Легко видеть, что для каждой вершины сумма всех
ее координат либо не изменилась, либо измени-
лась на 2. Это, очевидно, выполнялось бы и при
перекатывании куба через любое другое принад-
лежащее плоскости z — 0 ребро.
Следовательно, вершина, находившаяся в точ-
ке (1; 1; 1), всегда будет попадать в целочислен-
ную точку с нечетной суммой координат. А пово-
рот верхней грани на 90° относительно началь-
ного положения означал бы перемещение верши-
ны из точки (1; 1; 1) в точку (0; 1; 1) или в точку
(1; 0; 1). Сумма 0+1 + 1 = 1 + 04-1 четна,
поэтому ответ на вопрос задачи отрицательный.
4871. Острые углы а, р и у таковы, что
since + sinP + siny = 1.
Доказать неравенство
tg2a+tg2p+tg2 у>-.
О
Решение. Сначала отметим два известных
неравенства.
111 9
Г. Если а, Ь, с> 0, то —+—+—>-----.
а Ь с а+Ь+с
(Для доказательства достаточно дважды приме-
нить неравенство Коши:
1113^3 9 ч
а Ь с Ijabc а + Ь + с а+Ь+с
3
2°. Если а + Ь + с = 1, то а2 +Ъ2 +с2 >—.
3
(В самом деле: а2 + Ь2 + с2 =
Теперь докажем утверждение задачи. В силу тож-
2 1
дества tg <р=—=-1 и неравенства Г имеем
cos ф
tg2a+tg2p+tg2 у=—Т7Г+~~~2—3~
cos a cos р cos у
>________9_______з,
cos2 a+cos2 p+cos2 у
апоскольку sin2 a+sin2 P+sin2 y> — (всилуусло-
вия since + sinp + siny= 1 и неравенства 2°), то
______________________9_________=
cos2 a+cos2 p+cos2 у
____________9_____________> 9 =27
3-(sin2 a+sin2 p+sin2 y)__8
3
tg2 a + tg2 p+tg2 у > 3=|.
О о
Поэтому
4872. Могут ли 100 различных действитель-
ных чисел ах, а2, ..., aI00 удовлетворять уравне-
нию
(х2 -а1х+а2)х
x(x2-a3x+o4)-...(x2-d99x+a100)=0?
Ответ: нет.
Решение. Допустим, что такие числа
ах, а2,..., а100 нашлись. Тогда многочлен
50
Р(*) = П(* -«2*-i*4-a2J
k=l 100
совпадает с многочленом С(х) = П(х~й/)- Совпа-
/=1
дение коэффициентов при х" означает равенство
50 100
Xfl2Jt-l=X°/» (О
к=1 i=l
а совпадение коэффициентов при х98 — равенство
50
Z«2* + Z«2*-lfl2/-l= ZWj- (2>
*=1 lSJt</S50 1Si</S100
50
Из (1) следует равенство ^а2к =0, которое
вместе с (2) дает к=х
Sfl2Jt-lfl2/-l ~ H,aiaj> О)
lSJt</S50 1£<</$100
кроме того, при возведении обеих частей равен-
ства (1) в квадрат получим
50 „ 100 „
2>2*-1+2 E^A-i=2>/+2 (4)
к=\ \^к<1<5$ 1SZ</S1OO
ЗАДАЧИ
63
50 100
Но из (3) и (4) вытекает равенство X °2*-i =Е ai,
к=\ i=\
возможное только при а2 = а4 = ... = я100 = 0.
Равенства же а2 = а4 = ... = а1(Х) противоречат
предположению о том, что числа ах, а2, ..., а100
различны.
4873. а) В круге отмечена точка А и прово-
дятся все возможные хорды PQ, для которых
Z.PAQ — 90°. Найти геометрическое место проек-
ций А на прямые PQ.
б) Дан шар, в котором отмечена точка А. Че-
рез А проводятся три попарно перпендикуляр-
ных луча, пересекающих границу шара в точках
Р, Q, R. Найти геометрическое место проекций
А на плоскости PQR.
Ответ: а) окружность с центром S и радиу-
сом -i-sfer2-а2, где Se [ОА], OS =
= SA, О — центр круга, г — его ра-
диус, а = ОА\
б) сфера с центром S и радиусом
|л/Зг2-2я2, где Se [ОА], OS:SA =
= 2:1, О — центр шара, г — его
радиус, а — ОА.
Решение, а) Пусть О — центр круга, S —
середина отрезка ОА, а К, L и М — основания
перпендикуляров, опущенных на PQ из точек А,
S и О соответственно. Тогда KL = LM (по
теореме Фалеса), откуда SK = SM. Покажем, что
SM =^2г2 -а2, где г — радиус круга, а — дли-
на отрезка ОА.
Для этого рассмотрим треугольник АМО, в
котором отрезок SM является медианой, прове-
денной к стороне ОА, и воспользуемся извест-
ной формулой (т2 = (2Ь2 + 2с2 - а2 )/4).
Имеем SM2 = (2 • ОМ2 + 2 • AM2 - ОА2)/4,
причем ОМ2 = OP2 - РМ2 (по теореме Пифаго-
ра) и AM = РМ (поскольку медиана AM в пря-
моугольном треугольнике PAQ равна половине
гипотенузы PQ). С учетом равенства ОР = г
SM =~^2г2-а2.
2
получаем
Итак, длина отрезка SK (равная длине отрез-
ка SM) не зависит от выбора хорды PQ. Иско-
мое геометрическое место принадлежит, следо-
вательно, окружности с центром S и радиусом
—л/2г2 -а2. Остается отметить, что любая точка
этой окружности служит проекцией точки А на
соответствующую хорду PQ. В самом деле: угол
PAQ, непрерывно вращаясь, делает полный обо-
рот вокруг точки А, поэтому точка К должна
описывать замкнутую кривую.
б) Введем систему координат, в которой пря-
мые АР, AQ и AR совпадают с координатны-
ми осями. Пусть 0(хо; у0; z0) — центр шара, г —
его радиус, тогда точки Р(х,; 0; 0), 0(0; у2; 0) и
R(0; 0; г3) равноудалены от точки О:
OP2=OQ2 =OR2 =(х, -х0)2 +л2 + г2 =
=*о +<Л-л)2 + Zo = *0 + +(z3 ~Z0)2 =r2- (1)
Обозначив длину отрезка ОА через а, полу-
чим
О42 = х2 + у2 + zl = а2, (2)
ниже нам понадобятся равенства
х2 - 2х0х, = у2 - 2уоу2 = г32 - 2zoz3 = г2 - а2, (3)
которые легко выводятся из (1) и (2).
Покажем, что расстояние от точки J ~ '>
до проекции А на плоскость PQR не зависит от
выбора лучей АР, AQ и AR.
Плоскость PQR имеет уравнение
х у z , ,Л\
—=1, (4)
Xi у2 z3
а перпендикулярная этой плоскости прямая, про-
ходящая через Л(0; 0; 0), может быть задана па-
раметрически:
t t t
х =—, у=—, z = —
Xi У2 х3
(5)
Из (4) и (5) находим, что проекцией точки А
является точка
У ^0 . ^0 . *0
*1 У2 z3
. xiy2z3 а
где /0 =-2 2 2 2 2 2 - АТ0ГДа
xfy2+y2z3+z3xf
J_ 1 J_
у2 + z3,
2*0 ^0 j ^0 ! Zp
3 1*1 У2 Z3>
. х2 +Уо +Zq _4 2tQ fx0 . Jo , Zq Y a2
—/р Г“ I T
9 3 ^X! y2 z3) 9
64
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
~-------!—_±—2------X
2 2 2 2 2 2
+ Т2^3 +
xf 1 - 2<хо^з+^Уо^з+^У2^о)>|+^_ =
I З^Уз^з J 9
3x2j2z32-2x0x1y22z32-2x2y0y2z3-2xl2y22z0^3 аг
3(х2у2 + ->й + ^з2^2) 9
(х2-2xQx^y2zl +(У2 -2у0у2к32х2 +(z3 -2^z3)x2y22
Xx2y2+y2z3+z3x2)
Используя (3), получаем
st2 = —~fl2 +—=3f2~2fl2
3 9 9’
т.е. точка Т принадлежит сфере с центром S и
радиусом -1-л/Зг2-а2.
Верно и обратное: если Н — произвольная
точка указанной сферы, то на сфере, ограничи-
вающей данный в условии задачи шар, найдут-
ся точки Р', Q' и R', для которых АР' ± AQ',
AQ' 1 AR', AR' ± АР', а точка Н является проек-
цией точки А на плоскость P'Q'R'. В самом деле,
положим АН = h и введем систему координат
так, чтобы точка А имела координаты (0; 0; 0),
точка Я—координаты (0; 0; Я), а точка О (центр
шара) - координаты (£; 0; v), где £ < 0 и v —
некоторые числа (существование такой системы
координат очевидно). Тогда можно проверить, что
нужными свойствами обладает тройка точек
Р'(р + 0; h),
где p=yjr2 -(Л-v)2 - радиус окружности, опи-
санной около треугольника P'Q'R'.
Замечания к решениям задач
Задача 4868, представляющая собой симпатич-
ную головоломку, решена многими читателями.
Двое из них прислали работы, где группы монет
для каждого взвешивания назначены, как и у нас,
вне зависимости от результатов других взвеши-
ваний.
Для решения задачи 4869 достаточно найти
хотя бы одну подходящую пару чисел. Но можно
и углубиться в вопрос; так, А.В.Каплиёв из Но-
гинска доказал, что существует ровно 81 пара
стозначных палиндромов с разностью ПО.
Задача 4870 - задача «на четность», и это об-
стоятельство проглядывало в каждом читатель-
ском решении. Хотя внешне решения были раз-
ными. (В них использовались, например, сведе-
ния из теории перестановок, черно-белая раскра-
ска и т.п.)
Вместо слов «острые углы ос, 0, у» в условии
задачи 4871 можно поставить «а, 0, у, для ко-
торых тангенсы существуют». Кроме того, круж-
ком Дагестанского ФМЛ указано следующее обоб-
щение неравенства: если
|sinoCj + ... + sinaj — а < п,
2 а па2
то tg oc1+...+tg 0Cj> —--.
п -а
Нами приведено наиболее короткое (из изве-
стных) решение задачи 4872. Его предложил
А.Ю.Эвнин из Челябинска; интересно, что Алек-
сандр Юрьевич в прошлом был наставником ав-
тора этой задачи.
Решение задачи 4873-а есть в книге И.Ф.Ша-
рыгина «Геометрия. 9-11 классы» (задача 544), о
чем сообщил Н.К.Ермолаев из Ульяновской обла-
сти. А 4873-6 имеет «родственницу», указанную
С.С. Тасмуратовым из Астрахани: найти множест-
во точек D, если D — вершина параллелепипеда,
определенного отрезками АР, AQ и AR, диаго-
нально противоположная к А. Это — задача М539
из задачника журнала «Квант» (решение - в № 11
за 1979 г.).
С.И.ТОКАРЕВ (Иваново)
Сводка решений
задач по № 1 за 2006 г.
Абашеева Т.Б. (с. Н. Торей, Бурятия) — 4873-а.
Александрова М.Б. (С.-Петербург) — 4869.
Алиев Я.Н., Гейбатов Т.Р. (Баку, Азербайджан) —
4869-71, 73-а.
Арутюнян В.Х. (Курганинск) — 4868—71, 73-а.
Афанасьев А.Н. (Якутск) - 4868, 69, 71.
Безденежных Н.П. (Нижний Тагил) — 4868-71.
Белова М.Ю. (Караганда, Казахстан) — 4874,78.
Болотский Ю.В. (с. Б. Елань Пензенской обл.) —
4868, 69, 71.
МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР
65
Водопьянов И.П. (с. Староивановка Белгород-
ской обл.) — 4868-71.
Габибулаев Г.О. (Махачкала) — 4868, 69, 71.
Гаджиева X., Магомедова 3. (Махачкала) -
4868-71.
Гасанов К.Н. (с. Дылым, Дагестан) — 4868-72.
Дмитриева Н.Д. (д. Гыя, Удмуртия) - 4868, 71,
72.
Ермолаев Н.К. (р. п. Кузоватово Ульяновской
обл.) - 4869, 73-а, б.
Завалишина Т.И. (Кингисепп) — 4868.
Зассеев И.С. (Владикавказ) — 4871.
Знак Е.И. (С.-Петербург) — 4868—71, 73-а, б.
Баланчина Е.Ф. (р. п. Малиновое Озеро Алтай-
ского края) — 4869.
Каплиёв А.В. (Ногинск) — 4868-71.
Кожухов А.Е., Кожухова И.Н. (с. Здоровей Ор-
ловской обл.) — 4868-70.
Куприхина Н.М. (Москва) — 4868, 69, 73-а.
Лейкина Т.Н. (С.-Петербург) — 4869, 69, 72.
Мавлявиев Р.М. (Казань) — 4868, 69, 71.
Макаров М.Ф. (с. Сп.-Лутовиново Орловской
обл.) - 4868, 69, 71.
Макарова Ю. (с. Кривчиково Орловской обл.) —
4869.
Мамедов А.О. (Шеки, Азербайджан) — 4868, 69.
Мигачева Г.А. (Лаишево) — 4868, 69.
Наибова 3., Рабаданова Р., Шахова Д. (Махач-
кала) — 4868—71.
Пиркулиев Р.Ш. (Сумгаит, Азербайджан) -
4871.
Потлова О.А. (с. Речица Орловской обл.) —
4869.
Притуляк Р.А. (Винница, Украина) — 4869.
Пыркова Э.Я. (Киржач) - 4869.
Саратовкина Н.Г. (Махачкала) — 4868,69,71,72.
Сефибеков С.Р. (с. Кашкент, Дагестан) — 4869.
Смирнова Р.И. (Новосибирск) — 4868, 69.
Таранова М.В. (Новосибирск) — 4868, 71, 73-а.
Тасмуратов С.С. (Астрахань) — 4868—72, 73-а,б.
Тунеков А.Г. (с. Урюпино Алтайского края) —
4871.
Хандин А.И. (с. Гремячка Рязанской обл.) —
4869.
Челябов И.М. (Махачкала) — 4869, 71, 72.
Эвнин А.Ю. (Челябинск) — 4868—72, 73-а.
Математические кружки
Дагестанского ФМЛ, Махачкала (рук. Ш.Г.Га-
мидов, А.Ф.Аскеров) — 4868—72, 73-а.
«Сигнум» Чувашского РЛИ, Чебоксары (рук.
С.А.Иванов) - 4868-71.
Школы № 8 г. Сальяны, Азербайджан (рук.
Ю.А.Кулиев) - 4868, 71, 72.
«Интеграл» школы № 2 с. Ботлих, Дагестан
(рук. У.Д.Таймасханов) — 4869, 71.
«Эврика» ФМШ № 32 и студентов ФМИТ АГУ,
Астрахань (рук. С.С.Тасмуратов) — 4868—71.
«Великолепная пятерка» лицея № 67, Иваново
(рук. А.В.Шеронова) — 4868, 69.
При Курганском госуниверсистете, Курган
(рук. О.И.Южаков) — 4868 — 71, 73-а.
МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР
и Л ТИГмТГ) I ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧАХ НА ОТРИЦАНИЕ
Вчерашние школьники, придя в вуз, проявля-
ют полную беспомощность, когда на первых же
лекциях и семинарах по математике сталкивают-
ся с кванторами. Поэтому, начиная со средней
школы, необходимо уделять особое внимание
задачам, связанным с кванторами. Здесь возни-
кает много разных проблем.
Одной из этих проблем является обучение так
называемому «построению отрицания» в случае
предложений с одним и несколькими квантора-
ми. Так принято называть задачу на построение
предложения в позитивной форме, равносильно-
го отрицанию данного предложения с квантором.
Однако название «построение отрицания» нару-
шает представление учащихся о логической опе-
рации отрицания. Как известно, отрицанием
предложения А называется предложение «невер-
но, что А» (—1/4). Иногда для построения отрица-
ния достаточно частицы «не» в начале предложе-
ния («не А») в зависимости от структуры предло-
66
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
жения А. Например, отрицанием предложения
«Всякое простое число нечетно» (символически:
Vx(P(x) -> —iQ(x)) ) следует считать предложение
«Неверно, что всякое простое число нечетно»
(«Не всякое простое число нечетно»):
-iVx(P(x) -> —iQ(x)). Таким образом, задача на
построение отрицания данного предложения
весьма тривиальна, и вовсе не ее имеют в виду,
говоря о «построении отрицания».
На самом деле речь идет о более сложной зада-
че, состоящей в построении позитивного пред-
ложения (т.е. не имеющего форму —1Р), логиче-
ски равносильного отрицанию данного. Чтобы не
нарушать представление учащихся о логической
операции отрицания, считаем, что задачи такого
типа можно называть, например, задачами «на
преобразование отрицания». В нашем случае ре-
зультатом может служить предложение «Сущест-
вует простое четное число» или предложение
«Найдется хотя бы одно простое четное число».
Оба предложения имеют одинаковую логическую
структуру: 3x(P(x)&Q(x)).
Как известно, в задачах такого типа одной из
основных трудностей для учащихся является пре-
образование отрицаний предложений следующих
двух видов:
1. Неверно, что всякий объект (из М) облада-
ет свойством Р, что символически записывается
так: —iVxP(x) (или -Л/хХбМР(х)).
2. Неверно, что существует объект (из Л/), об-
ладающий свойством Р, что символически за-
писывается так: -i3xP(x) (или -13хлеА/Р(х)).
В первом случае вместо правильного ответа
«Существует объект, не обладающий свойством
Р», обычно дается ошибочный ответ: «Всякий
объект не обладает свойством Р». Во втором слу-
чае вместо правильного ответа «Всякий объект не
обладает свойством Р» обычно дается ошибочный
ответ: «Существует объект, не обладающий свой-
ством Р».
По-видимому, такая ошибка является резуль-
татом привычки строить отрицание предложений
с помощью частицы «не» перед сказуемым. Дей-
ствительно, отрицанием предложения вида «Чис-
ло 7 обладает свойством Р» принято считать
предложение «Число 7 не обладает свойством
Р». Например, отрицанием предложения «7
является четным числом» обычно считают пред-
ложение «7 не является четным числом».
Привыкнув именно таким образом строить от-
рицание, учащиеся часто при построении отри-
цания предложения вида «Всякий объект облада-
ет свойством Р» по аналогии ошибочно ставят
частицу «не» перед сказуемым, получая предло-
жение «Всякий объект не обладает свойством Р».
Например, отрицанием предложения «Всякое
натуральное число является четным» учащиеся
ошибочно считают предложение «Всякое про-
стое число не является четным» (или «Всякое
простое число является нечетным»). При этом
они даже не замечают, что данное предложение
и построенное ими предложение — оба являют-
ся ложными!
Как же обучать «строить отрицание» (точнее,
преобразовывать отрицание) в случае предложе-
ния с кванторами? Часто преподаватель ограни-
чивается тем, что сразу выписывает на доске обоб-
щенные законы де Моргана:
—iVxP(x) = 3x-iP(x) и —i3x/*(x) = Vx-iP(x).
Рассматривая эти законы в качестве рецепта,
учащиеся начинают применять их механически,
не задумываясь. В результате многие довольно
быстро обучаются выдавать правильные ответы.
Однако неясно, в какой степени такой путь спо-
собствует развитию логического мышления,
«здравого смысла».
Другой путь заключается в том, чтобы приучать
учащихся получать ответ не механическим путем,
а с помощью рассуждений. Например, для пре-
образования предложения вида «Неверно, что
всякий элемент из М обладает свойством Р», в
конкретных ситуациях (при заданных множестве
М и свойстве Р) следует призывать учащихся
проводить («проговаривать») следующее рассуж-
дение: «Неверно, что всякий элемент из М об-
ладает свойством Р. Это означает, что по край-
ней мере один элемент из М этим свойством не
обладает. Таким образом, существует элемент х
из М, для которого неверно Р(х), т.е. верно
—1Р(х)». Довольно быстро такая цепочка сокра-
щается до следующей: «Неверно, что всякий эле-
мент из М, обладает свойством Р. Это означа-
ет, что существует элемент х из М, такой что
—iP(x)». После неоднократного проведения таких
рассуждений можно выписать и сами обобщен-
ные законы де Моргана, но не для механическо-
го применения.
Разумеется, второй путь более сложный и дол-
гий. Однако не вызывает сомнения, что повторе-
ние подобных рассуждений закрепляет опыт гра-
мотного оперирования с кванторами и способст-
вует развитию логического мышления учащихся.
67
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
В А-Петров I РЕПЕТИТОР глазами экзаменатора
(Смоленск) I
Утверждаемые ежегодно Рособрнадзором «Спе-
цификация» и «Демонстрационный вариант» со-
держат как требования к характеру заданий ЕГЭ,
так и критерии оценки их решений. Удовлетво-
ряют ли этим требованиям всевозможные посо-
бия (их стали называть репетиторами) для под-
готовки к ЕГЭ? Проанализируем наиболее попу-
лярные из них [1—5], ставшие уже периодичес-
кими ежегодниками. В них в основном даны об-
разцы настоящих или придуманных (от одного до
десяти) вариантов ЕГЭ с образцами решений за-
дач одного из вариантов.
Единый государственный экзамен
по математике. Демонстрационный
вариант 2006 г. // www.ege.edu.ru
Собственным требованиям не полностью удов-
летворяет даже демоверсия ЕГЭ. Во-первых, са-
мое трудное задание С5 представляет собой ме-
ханическое соединение двух независимых задач,
причем решение только первой из них (неравен-
ства) не принесет экзаменующемуся даже одного
балла из четырех, что вряд ли правильно. Заме-
тим также, что приведенное в демоверсии реше-
ние задания С5 является очень тяжелым в своей
первой части и громоздким во второй. Можно
дать более прозрачное решение.
Задача 1 ([1], С5). Шесть чисел образуют воз-
растающую арифметическую прогрессию. Пер-
вый, второй и четвертый члены этой прогрессии
являются решениями неравенства
(!)
х-8)
а остальные не являются решениями этого нера-
венства. Найдите множество всех возможных зна-
чений первого члена таких прогрессий.
Решение (сравните с решением в [1]). Вна-
чале решим неравенство (1). Сделаем это мето-
дом интервалов. С этой целью найдем область оп-
ределения функции у = log0 5x_i w (где w = log41,
х—11 , 3 . , -
t =----=1-----) и точки, где эта функция об-
х-8 х-8
ращается в нуль.
Область определения задается условиями:
0,5х — 1 > 0, 0,5х —1^1 и w > О,
т.е. х > 2, х Ф 4 и w > 0.
_ Л _ Л .
-О О 1 • о—»
2+4 — 7 + 8 х
Рис. 1
Для логарифмической функции w = log41 име-
ем: если w > О, то t > 1. Следовательно,
3 3
1---— > 1 <0 <=> х <8.
х-8 х-8
Значит, область определения — интервал (2; 8)
без точки х = 4.
Пусть теперь у — 0. Отсюда следует, что w = 1,
а значит, t = 4 и потому
Изобразим на числовой оси область определе-
ния функции у(х) и ее нуль (рис. 1). На интер-
валах J,, J2, Jу функция у(х) сохраняет знак.
Определим его с помощью пробной точки и гра-
фика функции у = log,w (рис. 3).
Возьмем из Jx точку Х] = 3. Так как в таком
случае tx = | < 4, то wx = log4|<log44 = l,
3 — о э 3
а потому (см. рис. 2) ух — log0 5 W] > 0.
Возьмем из /2 точку х2 = 5. Так как
t2 = 11 = 2, то w2 — log42 < 1, а потому у2 =
= log, 5w2 < 0.
68
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
Из 73 можно взять точку х3 = 7,5. Тогда /3 = 7,
w3 = log47 > 1, у3 = log275 w3 > 0.
Итак, если At — множество решений неравен-
ства (1), то (2; 4) о [7; 8).
Пусть теперь ot, а2, а3, а4, а5, а6 — возрастаю-
щая арифметическая прогрессия с первым чле-
ном а(ах = а) и разностью d (J > 0). Число а}
не может принадлежать промежутку [7; 8), так
как тогда этому промежутку принадлежало бы и
а4, а значит, а3 принадлежало бы At, что про-
тиворечит условию.
! ft. , ft,________ft________ft
0 2 4 7 8 х
Рис. 3
Значит, ах е (2; 4). Этомуже промежутку при-
надлежит и а2, но а4 е [7; 8).
Покажем, что при таком расположении чисел
ах, а2 и а4 остальные члены последовательности
автоматически располагаются нужным образом.
Действительно, так как (см. рис. 3)
а4 — а2 = 2J > 7 — 4 = 3,
то d > 1,5, а потому
а3 — ах + 2d > 2 + 3 > 4,
as = а4 + d > 7 + 1,5 > 8,
«6 > а5 > 8.
Осталось показать, что а3 < 7. Если бы оказа-
лось, что а3 > 7, то расстояние от а3 до а2 (оно
равно d) было бы больше 3, а значит, получи-
лось бы, что а2 = а, + d > 2 + 3 > 4, что невоз-
можно.
Итак, для выполнения условий задачи необхо-
димо и достаточно выполнение следующих усло-
вий: ( . э
а> 2
<a+d<4
a + 3d>7.
Решим эту систему графически. Для чего постро-
им прямые а = 2 (линия /,), a + d — A (линия /2),
а + 3d — 7 (линия /3) и отметим полуплоскости,
определяемые соответствующими неравенствами
(рис. 4). Полученный рисунок показывает, что для
значений and, являющихся координатами
точек заштрихованного треугольника (и только
для них) искомая прогрессия существует. Так как
абсцисса точки А (она находится из решения
системы уравнений, определяющих прямые /2 и
/3) равна 2,5, и сама точка А не принадлежит
полученному треугольнику (прямая /2 «порожда-
ет» полуплоскость без границы), то получаем, что
2 < а < 2,5.
Ответ: (2; 2,5).
Рис. 4
и
Во-вторых, приведенные решения заданий С2
СЗ не являются достаточно обоснованными.
Так, в решении задания С2 при переходе от нера-
, 1 3-х _
< 1 к неравенству — <---< 2
2 х
, 3-х
венства log2---
х
вместо традиционного знака следствия немоти-
вированно поставлен знак равносильности, а най-
денные решения не проверены на принадлеж-
ность ОДЗ. Если в исходном неравенстве взять
вместо знака меньше знак больше, то при таком
решении получится неправильный ответ.
В решении же задания СЗ допускается очень
распространенный недостаток: без необходимой
аргументации точка минимума отождествляется
с точкой, где функция принимает наименьшее
значение на промежутке.
Экзаменационные материалы
для подготовки к единому
государственному экзамену.
ЕГЭ-2006. Математика. - М.:
Федеральный центр тестирования,
2005
В указанном пособии имеется небольшой раз-
дел «Работа над ошибками, допущенными на
ЕГЭ». К сожалению, и в этом разделе и во всем
остальном тексте книги также много ошибок.
Например, в варианте 1 неправильный ответ к
задаче С1, ошибка в условии задачи В10, некор-
ректна задача В8 (вместо слова «период» следует
писать «основной период»), двусмысленна зада-
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
69
ча В9 (не все согласны считать, что «гусеница
побывала» на звене ломаной, на которое она за-
ползла и там пребывает). Бессмысленны графи-
ческие задания В6 в вариантах 2, 3, 5, 6, 8, так
как в двух из них не там поставлены буквы а и
Ь, а в других не дорисованы графики.
Задания С5 из этой книжки вряд ли обладают
необходимым показателем трудности, который
позволил бы выявить, как пишется в Специфи-
кации, наиболее подготовленных учащихся для
зачисления в вузы. Не требуется большого «уме-
ния логически мыслить», чтобы найти сумму це-
лых значений параметра а, при которых число
сх-30
целых решении неравенства -------> 29 не ме-
ле
нее 2 и не более 14, особенно при решении с
помощью графиков.
В самом деле, данное неравенство равносиль-
1 «-29 г- ж ж
но такому: —<т, где т =-------. График функ-
j х 30
ции у = — (рис. 5) показывает, что при т > 0
х
неравенство имеет бесконечно много решений.
Пусть дл = -<0. Тогда решениями неравен-
ства являются числа из промежутка [Z; 0). На
нем будет искомое количество целых чисел, если
—14 < t < —2. Значит,
14+ ... + 26 = -^-(14+ 26) 13 = 260.
В книге [2] при решении задач приводятся
очень странные определения точки максимума
(«те точки непрерывной функции, в которых воз-
растание функции меняется на убывание» — с. 77)
и периодической функции («наименьшее число
Т > 0 (если такое существует) называется пери-
одом функции...» — с. 78), которые в случае их
использования школьниками приведут экзамена-
торов в замешательство.
Этот «репетитор» позволяет себе выражения
«положительный знак» (с. 77), «вершина парабо-
лы равна а» (с. 92), а при решении задачи В6
варианта 4 использует утверждение, что прямая
будет касательной к параболе тогда и только тог-
да, когда эти линии имеют единственную общую
точку. В одну сторону это утверждение вообще
неверно, а в другую — хотя и верно, но не встре-
чается ни в одном школьном учебнике. Задача
легко решается на основе имеющегося во всех
учебниках уравнения касательной.
Задача 2 ([2], В6). Через точку (—1; —4) про-
ходят две касательные к графику функции f (х) =
= х2 — 2х + 5.
Найдите сумму ординат точек касания.
Решение. Пусть t — абсцисса точки каса-
ния. Тогда уравнение касательной таково:
У ~f(t) = fV)(x - t),
у - (Г2 - 2t + 5) = 2(t - 1)(х - t).
Подставив в это уравнение х = — 1, у = —4, полу-
чим: t2 + 2t — 11 = 0, / = -1±2л/з, Д/) = 20±8л/3.
Ответ: 40.
Отметим, что некорректное решение этой зада-
чи содержит еще и три арифметические ошибки.
Многие задания в этом пособии экзотичны и
не соответствуют сложившимся традициям ЕГЭ.
Лаппо Л.Д., Попов М.А. ЕГЭ.
Математика. Практикум
по выполнению типовых тестовых
заданий ЕГЭ. - М.: Экзамен, 2009
Серьезные претензии у экзаменаторов вызыва-
ет и рассматриваемое пособие. В нем даже не про-
изведена перегруппировка заданий по структуре
вариантов ЕГЭ прошлого года. В качестве очень
сложного задания С4 (оно должно иметь номер
С5) приведены вполне стандартные несложные
задачи, а решение, данное к одной из них, край-
не странно.
Требуется найти все значения параметра а, при
которых множество решений неравенства
х(х — 6) < {а + 3)(|х — 3| — 3)
содержит число, равное сумме квадратов корней
уравнения х2 — 4х + 1 = 0.
70
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
Найдя с помощью теоремы Виета контрольное
число 14, авторы зачем-то решают в общем
виде заданное неравенство, рассматривая, в том
числе, и случай х < 3 (?!). А ведь для решения
задачи достаточно в данное неравенство подста-
вить х = 14. Получаем:
14 • 8 < (а + 3)(11 - 3) о 14 < а + 3 <=> а > 11.
В решении этой задачи в книжке допущены еще
и три описки.
К решению задания С2 из этого пособия: «Сто-
роны прямоугольника равны 5 и 14. Через каж-
дую точку на его меньшей стороне провели пря-
мую, отсекающую прямоугольный треугольник с
периметром 18. Найдите наибольшее значение
площади этого прямоугольного треугольника»,
данному в книжке, много претензий. Во-первых,
в связи с некоторой неопределенностью задачи
необходимо отметить, что при решении достаточ-
но ограничиться рассмотрением прямых MN,
проходящих через стороны AD и АВ, так как в
других возможных случаях получаются треуголь-
ники, равные рассматриваемым.
Рис. 6
Во-вторых, приведенное в книжке решение
совсем не использует длину прямоугольника. Воз-
никает вопрос: не является ли эта деталь условия
излишней? Отнюдь; если бы длина равнялась,
например, 5,2, то приведенное решение дало бы
неправильный ответ. В самом деле, в ответе ут-
верждается, что наибольшую площадь имеет пря-
моугольный треугольник с катетом 5. Второй
72
катет такого треугольника равен —, т.е. больше
большей стороны (5,2) прямоугольника (рис. 6),
что невозможно. Решение необходимо несколь-
ко усложнить.
В рецензируемом решении есть и явная ошиб-
ка: областью определения функции s(x) — пло-
щади треугольника MAN, где х — абсцисса точ-
ки М, объявлен отрезок [0; 5], что неверно —
при х = 0 прямая MN не отсекает треугольника.
Довольно громоздко вычисляется и исследуется
производная (решается квадратное уравнение с
иррациональным у/Ъ, применяется метод интер-
валов). Можно все сделать проще, предваритель-
но преобразовав функцию s(x).
Решение. Как отмечалось выше, достаточно
рассмотреть случай, когда отсекающая прямая
проходит через стороны AD и АВ. Пусть эти
стороны лежат на осях координат (рис. 7) и пря-
мая проходит через точки М(х\ 0) и 7V(0; у). Нас
интересует площадь s треугольника MAN. По
теореме Пифагора х2 + у2 = (18 — (х + у))2, от-
куда следует, что
Так как функция у(х) на промежутке (—°°; 18)
убывает, то у(х) < у(0) = 9 при х g (0; 5]. Это
означает, что точка N принадлежит стороне АВ
прямоугольника. Итак, прямая MN отсекает от
прямоугольника треугольник при любом М, от-
личном от А. Значит, областью определения ин-
тересующей нас функции s(x) служит промежу-
ток (0; 5]. Далее имеем:
. . У о 162 Л 1 , 162
5(х) = 9 х + 9+---, — у(х) = 1-------
( х-18/ 9 (х-18)2
Так как функция у = (х — 18)2 убывает на (0; 5],
ТО
(х-18)2 >(5-18)2 =169; 0< 162 <^<1,
(х-18)2 169
а значит, $'(*) > 0 на (0; 5]. Отсюда следует, что
функция s(x) возрастает на промежутке (0; 5], а по-
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
71
тому наибольшего значения достигает при х — 5.
Итак, площадь самого большого по площади тре-
угольника с периметром 18, который можно от-
180
сечь от данного прямоугольника, равна 5(5) =-.
Корешкова Т.А. и др. ЕГЭ 2006.
Математика. Типовые тестовые
задания. - М.: Экзамен, 2006
Это пособие «прославилось» тем, что в его про-
шлогоднем издании стереометрическая задача С4
в девяти из десяти вариантов оказалась некор-
ректной. Эти задачи либо допускали бесконечно
много решений (например, вариант 6) или не
имели решений (например вариант 4).
В издании 2006 г. геометрические задачи заме-
нены, но приведенное в книге решение одной из
них очень громоздкое. К этим задачам (а они од-
нотипные) можно указать другой, более прозрач-
ный способ решения.
Задача 3 ([4], С4). Сфера касается трех ребер
куба, содержащих общую вершину, и проходит
через вершину, противолежащую первой вершине.
Найдите ребро куба, если радиус сферы равен R.
Решение. Пусть А} — вершина трехгранного
угла, ребер которого касается сфера, С — верши-
на куба, через которую проходит сфера, О — центр
сферы. Множество точек пространства, равноуда-
ленных от сторон угла DXAXBX, очевидно, при-
надлежит биссекторной плоскости1, которая пер-
пендикулярна плоскости этого угла и проходит
через его биссектрису AtCt, т.е. это плоскость
AAtCtC. Множество точек, равноудаленных от
сторон угла AAjD,, принадлежит плоскости
A'fyCD (рис. 8). Значит, точка О лежит на диа-
гонали куба АХС.
Рис. 8
Рис. 9
Рассмотрим прямоугольник A^CD. Пусть Р —
точка касания сферы (рис. 9). Тогда ОР 2_АХВХ и
ОР= R — ОС. Пусть х — ребро куба. Тогда по
теореме Пифагора ВхС = х42, АхС = х4з.
Так как ОР || СВХ, то (по теореме Терона)
СД _ Л.С х-Д _ хУз 3V2 + 2J3 „
ОР~ Afi R “ хЛ-Я =>Х“ 6
Авторы рассматриваемого пособия излишне ча-
сто решают задачи, «используя понятие равно-
сильности». Таким способом они рекомендуют
даже решать задания типа А (для троечников!), в
том числе (см. с. 70) иррациональные уравнения
(вопреки общепринятой методике перехода к
уравнениям-следствиям). Использование такого
приема при решении сложных задач типа С5 при-
водит к «семиэтажной» совокупности уравнений
и неравенств (см. с. 76). Эти задания в книжке
такие же, как и в предыдущем издании, и вопрос
о их более рациональном решении уже рассмат-
ривался в журнале «Математика в школе» (№ 7 за
2005 г.).
В этом же пособии при решении задачи В8
(с. 72) демонстрируется нередко встречающийся
в литературе некачественный способ нахождения
наибольшего значения функции. Это решение не-
полное! Если мы доказали, что А < f(x) < В, то
отсюда еще не следует, что наибольшее значение
функции f равно В. Легко привести примеры,
решение которых таким методом приведет к не-
правильному ответу.
Задача 4 ([4], В8). Найдите наибольшее целое
значение функции
З-sin 2х+—
у = -33 0,5 1 Ч
Решение. I способ. После очевидных уп-
33
рощений получаем, что у =----2cos2x. Так как
8
Z = cos2x>—1 при любом х, а функция у — 2‘
возрастающая, то
1 зз 33
2<:os2x > 1 ___ 2COS2JC <
~2 8 16'
Наибольшим целым числом из промежутка
I °°’ 16
заданная функция принимает такое значение.
Имеем:
является число —3. Покажем, что
1 Сильные учащиеся, для которых и предназначена эта
задача, заведомо знают про биссекторную плоскость, по-
скольку о ней говорится во многих учебниках (см., напри-
мер, учебник И.Ф.Шарыгина «Геометрия. 10—11 кл.»).
33 Я Я
- 3 = -—• 2cos2jc & 2cos2x = — <=> cos 2х = log и —.
8 11 62 11
72
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
18 8
Так как —< — <2, то — l<log9—<1, апото-
2 11 2 11
му рассматриваемое уравнение имеет решения.
Итак, ответ: —3.
II способ. Так как функция / = cos2x при хе R
принимает любое значение из отрезка [—1; 1], то
нам достаточно найти наименьшее и наибольшее
33
к =--
8
на отрезке
значение функции у = к2‘
[—1; 1]. Замечаем, что производная этой функ-
ции (у' = Л2'1п2) отрицательна при любом /.
Значит, функция убывает на [-1; 1], а потому ее
33
наименьшее значение равно у(1) =--, а наи-
33 4
большее равно _у(-1) = —-. Наибольшим целым
16
33. 33
4 ’ 16
III способ. После очевидных преобразований
f, 33
, ... 8
w = 2х. Функция w = 2x отображает числовую ось
на себя, т.е. w пробегает R. Функция z = cosw
отображает числовую ось на отрезок [—1; 1].
Функция t—2l отображает отрезок [—1; 1], как
1;2
2
числом на отрезке
является —3.
получаем, что у = -kt \ к =--, t = 2\ z - cos w,
видно по рис. 10, на отрезок
у = — kt (рис. 11) этот отрезок "переводит в отре-
-2А:;--
2
данной функции является отрезок
а функция
зок
. Значит, множеством значений за-
зз._зз_
4 ’ 16
Единый государственный экзамен:
математика: контрольные
измерительные материалы:
2005-2006 / Под общей редакцией
Л.О.Денищевой;
Федеральный институт
педагогических измерений. - М.:
Просвещение, 2006
Серьезных замечаний нельзя предъявить лишь
к данной книге. Это официальное издание, кото-
рое является к тому же и самым содержательным.
Кроме реальных вариантов ЕГЭ 2005 г. и акку-
ратно написанных решений одного из них в кни-
ге анализируются и оцениваются (замечательная
идея!) как авторские решения, так и (различные
по качеству) решения, предложенные выпускни-
ками, выполнявшими задания ЕГЭ 2002—2005 гг.
Только это пособие, на наш взгляд, и может на-
зываться репетитором.
Придется все же сказать про два казуса. На с. 59
о приведенной ксерокопии решения говорится,
что «ученик получил правильный ответ, не допу-
стив в решении ошибок» — на самом деле там все
наоборот. На с. 25 что-то странное сделано с от-
ветами: они вроде бы и правильные, но не все на
своем месте.
Отметим также некоторую непоследователь-
ность авторов пособия [5] в отношении одного
способа поиска и обоснования решений. Авторы
заявляют (с. 52), что «правильно изображенные
эскизы графиков (со ссылкой на монотонность)
сами по себе можно принять в качестве обосно-
вания». На наш взгляд, это несомненно так, при-
чем без слов, записанных в скобках, так как та-
кой прием аргументации (как и поиска решения)
бесспорно свидетельствует о математической
компетентности экзаменующегося. Авторы по-
следовательно руководствуются этим принципом
при оценивании ученических решений (см. с. 74,
89, 93), но как бы стесняются его в авторских
решениях. Рассматривая, например, уравнение
ах = 37 — х (а > 1), авторы изображают (с. 51)
графики функций у = а* (а> 1 и = 37 — х, а
затем пишут: «Ясно, что такое уравнение имеет
единственный корень (см. рисунок), надо только
аккуратно обосновать его наличие». И обосновы-
вают его двумя пунктами довольно «тонкого» тек-
ста. Еще тоньше такое обоснование при исследо-
вании уравнения log7 tx — т — 6х (/ > 0) (задача
С5 на с. 34), в то время как все ясно из рисунка с
графиками двух элементарных функций. Следует
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
73
ли нацеливать экзаменующихся на излишнее
мудрствование?
С другой стороны, злоупотребление графичес-
ким методом (в случае непростых функций) ино-
гда усложняет работу, как это видно из учениче-
ского решения (с. 91—92) уравнения
4 cos----= тх - 5.
2х + 1
Было бы полезно привести более рациональ-
ное решение этой задачи.
Задача 5 ([5], С5). Даны уравнения
х2 + 4(2- р)х+(р2 -Зр+10) = х2 _р_4
х2 +р
. ( 2ЛХ ] -
4cos----- =(3 + J р + 3)х-5.
^2х + 1)
Значение параметра р выбирается так, что
р > — 3 и число различных корней первого урав-
нения в сумме с числом 3 + р дает число различ-
ных корней второго уравнения. Решите второе
уравнение при каждом значении параметра, вы-
бранном таким образом.
Решение. 1) Второе уравнение можно при-
вести к виду:
л 5 ,
cos-----= — кх
2х + 1 4
Так как при х < 0 левая часть не превосходит
1 5
1, а правая не меньше —, то неположительных
4
корней уравнение не имеет.
при х > 0, а потому эскиз ее графика имеет вид
линии I на рис. 12. Этот график совместно с
графиком функции у-—-кх (к>0) показыва-
4
ют, что данное уравнение имеет единственный
положительный, а значит, и вообще единствен-
ный корень при любом р.
3) Первое уравнение равносильно квадратно-
му уравнению х2 + tnx + t — 0, где т = 2 — р,
1 1
t- — (2р + р + 10). Значит, оно может иметь от
4
0 до 2 решений.
4) Пусть п — число решений первого уравне-
ния. Тогда, по условию, р = — 2 — п. Рассмотрим
логически возможные случаи:
а)и = 0=2>р = —2=>х2 + 4х + 4 = 0=>
=> (х + 2)2 = 0 => п = 1 (противоречие);
25 ( sY
б) л = 1=>р = -3=>х2 +5х+—=0=> х+— =0
4 I 2J
=> п = 1 (согласуется);
□ 19
в) п = 2 =>/> = -4 ==>х2+6х +— = 0 (/)<())=>
=> п = 0 (противоречие).
Итак, условие задачи выполняется только при
р = -3.
5) При р = — 3 второе уравнение принимает
л 5 3
вид cos-----=-----х и имеет, очевидно, реше-
2х + 1 4 4
ние х = 1, а других решений у него нет.
Ответ: 1.
у = cos
Так как
2л . л
-------Tsin------
(2х + 1)2 2х + 1
и
0<—— <-,
2х + 1 2
то у'(х) > 0, а значит, эта функция возрастает
Литература
1. Единый государственный экзамен по математике.
Демонстрационный вариант 2006 г. // www.ege.edu.ru.
2. Экзаменационные материалы для подготовки к
единому государственному экзамену. ЕГЭ-2006. Ма-
тематика. — М.: Федеральный центр тестирования,
2005.
3. Лаппо Л.Д., Попов М.А. ЕГЭ. Математика. Прак-
тикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ. —
М.: Экзамен, 2006.
4. Корешкова Т.А. и др. ЕГЭ 2006. Математика. Ти-
повые тестовые задания. — М.: Экзамен, 2006.
5. Единый государственный экзамен: математика:
контрольные измерительные материалы: 2005—2006.
Под общей редакцией Л.ОДенищевой; федеральный
институт педагогических измерений. - М.: Просвеще-
ние, 2006.
74
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
ВОПРОС? — ОТВЕТ!
ПОНЯТИЕ ГРУППЫ
В «ШКОЛЬНОЙ» МАТЕМАТИКЕ
В редакцию журнала пришло письмо молодой учительницы математики
Р.А.Гайнуллиной, работающей в школе с углубленным изучением матема-
тики. Один из учеников XI класса задал ей неожиданный, можно сказать,
странный вопрос, который поставил ее в тупик. Он обратил внимание на
то, что некоторые математические утверждения, в которых задействованы
объекты совершенно различной природы, доказываются почти одинаково,
по одной и той же схеме, и спросил, почему это так. Ответить на этот, как
нам показалось, весьма интересный вопрос, мы попросили профессора
Московского городского педагогического университета, доктора физико-ма-
тематических наук Г. В.Дорофеева.
Мне кажется, что любой учитель математики
должен быть просто счастлив, если у него есть
ученики, способные задавать такие тонкие вопро-
сы, замечать общие черты рассуждений в отда-
ленных друг от друга разделах математики. Еще
император Петр I, выдвигая критерии оценок для
навигацкой школы, в качестве требования к от-
личной оценке выдвинул умение сопоставлять и
применять знания, полученные из различных
математических теорий.
В данном случае речь идет о следующем.
Напомним одно утверждение, известное уче-
никам еще с V класса:
1. Сумма и разность любых двух целых чисел,
каждое из которых делится на п, делятся на п,
а если одно слагаемое делится, а другое не делит-
ся на п, то и сумма не делится на п. Сумма двух
чисел, не делящихся на п, может как делиться,
так и не делиться на п.
Если заменить в этом утверждении слова «це-
лое» и «делится на п» на слово «рациональное»,
то — после некоторой чисто литературной обра-
ботки — получим также истинное утверждение:
2. Сумма и разность любых двух рациональных
чисел являются рациональными числами, а сум-
ма рационального и иррационального чисел —
всегда число иррациональное. Сумма двух ра-
циональных чисел может быть как рациональным,
так и иррациональным числом.
А теперь, заменив слова «целые числа» на «не-
прерывные функции» и свойство «делится на п»
свойством непрерывности, снова получаем вер-
ное утверждение:
3. Сумма и разность двух непрерывных функ-
ций являются непрерывными функциями, а сум-
ма непрерывной и разрывной функций всегда
является разрывной функцией. Сумма двух раз-
рывных функций может быть как непрерывной,
так и разрывной.
Точно так же можно получить истинное ут-
верждение:
4. Сумма и разность любых двух функций, име-
ющих период Т, являются функциями с перио-
дом Т, а если одна функция имеет период Т,
который не является периодом другой функции,
то число Т не является периодом их суммы.
Сумма двух функций, для каждой из которых
число Т не является периодом, может иметь
период Т, а может не иметь.
Мы видим, таким образом, что истинны четы-
ре утверждения об объектах совершенно различ-
ной природы, и все они имеют одну и ту же язы-
ковую, логическую структуру. Как же они дока-
зываются?
В каждом утверждении есть «первая часть» —
теорема о сумме и разности. Разумеется, эти те-
оремы во всех случаях доказываются совершенно
по-разному — в зависимости от природы рассма-
триваемых объектов. Ясно, например, что дока-
зательство рациональности суммы двух рацио-
нальных чисел и доказательство непрерывности
суммы двух непрерывных функций не могут быть
похожи друг на друга. Другими словами, «первые
части» указанных утверждений специфичны.
А «вторые части» доказываются почти одина-
ково рассуждением от противного. Если бы сум-
ма рационального числа г и иррационального
числа а была рациональным числом 5, то из
ВОПРОС? — ОТВЕТ!
75
равенства а = s — г в силу доказанной «первой
части» следовало бы, что разность а — рацио-
нальное число.
Но буквально то же рассуждение проводится и
для функций: если бы сумма непрерывной функ-
ции f и разрывной функции g была бы непре-
рывной, из равенства g= (f + g) — f следовало
бы, что разность g — непрерывная функция — в
силу доказанной «первой части».
То же самое можно проделать и с двумя други-
ми рассматриваемыми утверждениями. Именно
этот факт и подмечен учеником Р.А.Гайнуллиной,
который сумел самостоятельно проникнуть в одну
из «тайн» школьного курса математики — объек-
ты, которые фигурируют в этих утверждениях, со-
ставляют группу относительно операции сложе-
ния.
В курсе алгебры и теории чисел в вузе группа
обычно определяется как непустое множество G
с одной операцией *, которая подчиняется ассо-
циативному (по-русски, сочетательному) закону.
В множестве G существует элемент е такой, что
для любого элемента хе G выполняется равенст-
во е*х = х* е = х — (нейтральныйэлемент), при-
чем для каждого хе G существует такой у е G,
что у*х = х*у = е (симметричный элемент к х).
Коммутативный (перестановочный) закон для опе-
рации * в группе G может не выполняться, но
если он выполняется, т.е. для любых Vx, у е G
верно равенство у * х = х * у, то группа называ-
ется коммутативной.
В школьном курсе алгебры обычно встречают-
ся группы, состоящие из чисел или функций, в
качестве операции рассматривается обычное сло-
жение, а нейтральным элементом является соот-
ветственно 0. Симметричный к х элемент назы-
вают, естественно, противоположным к нему.
Поэтому можно сказать, что множество G с
операцией сложения является группой, если оно
содержит сумму любых двух своих элементов, чис-
ло 0, а также вместе с любым элементом х про-
тивоположный к нему элемент — число —х:
1. Vx, у е G (х + у е G).
2. 0 g G.
3. Vx (-х е G).
Указанная в общем определении группы ассо-
циативность операции для числовых групп, есте-
ственно, всегда выполняется — в этих группах речь
всегда идет об обычных операциях сложения и
умножения либо самих чисел, либо числовых
функций.
Свойства 2 и 3 можно заменить одним: опре-
делив, как обычно, разность равенством х — у =
= х + (—у), можно потребовать, чтобы разность
двух элементов множества G также принадлежа-
ла G: „
х, у е G => х — у е G,
т.е. множество G, как говорят, было замкнуто
относительно сложения. При выполнении этого
условия оно и является группой.
Аналогично, если говорить об умножении, то
числовое множество является группой, если оно
замкнуто относительно умножения и деления.
И во всех четырех рассматриваемых утвержде-
ниях «первая часть» состоит в том, что наши объ-
екты составляют группу:
• сумма и разность чисел, делящихся на п, де-
лятся на п;
• сумма и разность рациональных чисел явля-
ются рациональными числами;
• сумма и разность непрерывных функций яв-
ляются непрерывными функциями;
• сумма и разность функций с периодом Т яв-
ляются функциями с периодом Т.
А «вторая часть» означает, что если х е G, а
у е G, то х + у & G, и доказательство везде одно
и то же: если бы эта разность принадлежала G,
то и сумма (х + у) — х = у принадлежала бы
множеству G, а это противоречит условию. Сле-
довательно, х + у <£ G.
Наконец, «третья часть» каждого из рассмат-
риваемых утверждений, казалось бы, снова спе-
цифична: надо отдельно придумывать примеры
двух целых чисел, не делящихся на и, сумма
которых делится на «л»; двух иррациональных
чисел, сумма которых — рациональное число; двух
разрывных функций, сумма которых — непрерыв-
ная функция; двух функций, для которых неко-
торое число Т не является периодом, но являет-
ся периодом их суммы.
Однако и здесь есть один общий аргумент, свя-
занный именно с понятием группы. А именно,
если х— «плохой» элемент, т.е. число, не деля-
щееся на п (иррациональное число, разрывная
функция), функция с периодом, отличным от Т,
то —х также «плохой», а сумма х + (—х) = 0 —
элемент «хороший», т.е. делится на п (рацио-
нальное число, непрерывная функция, функция
с периодом Т). Иными словами, сумма двух «пло-
хих» элементов может быть «хорошим» элементом.
А пример двух «плохих» элементов с «плохой»
суммой во всех четырех случаях также можно при-
76
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
вести «один и тот же». Если, скажем, функция f
непрерывна (имеет период 7), то функция 2/
также непрерывна (имеет период Т). Но этот
аргумент, однако, связан со спецификой объек-
тов группы и не имеет поэтому «общегруппового
характера», иначе он был бы верен в любой груп-
пе, а это не так. Например, для группы четных
чисел «плохие» числа — нечетные, а их сумма —
всегда «хорошая»: она всегда четна.
Отмечу в заключение, что в школьном курсе
геометрии в действительности встречается еще
больше групп. И тем не менее общематематиче-
ское понятие группы остается в школьном курсе
«теневым», даже в системе углубленного изуче-
ния математики. Составители нынешних стандар-
тов, в том числе и профильного курса, считают,
скорее всего, что это понятие, (как понятие и
алгебраической операции) слишком абстрактно
для семнадцатилетних малышей и обрекают их
на освоение таких понятий в вузе. Между тем
известно, что вузовский курс алгебры, хотя и
значительно проще курса математического ана-
лиза, но нявляется трудным для студентов. С ог-
ромным трудом привыкают они к абстрактным
алгебраическим понятиям.
Впрочем, предмет «Алгебра» является, как из-
вестно, конгломератным, вбирая в себя всю
школьную математику, за исключением геомет-
рии. Впрочем, элементы аналитической геомет-
рии в этом предмете также изучаются, но (с со-
временной точки зрения) они входят скорее в
раздел «Линейной алгебры», нежели в раздел ге-
ометрии. Алгебра, как математическая наука вхо-
дит в школьный курс только «теневым образом».
Очень приятно, что общую алгебраическую сущ-
ность рассмотренных рассуждений, приводящую
к «параллельности» их доказательств, заметил
именно ученик.
ХРОНИКА
VI ШКОЛЬНЫЕ КОЛМОГОРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ
Вот уже шестой раз на базе Специализирован-
ного учебно-научного центра МГУ им М.В.Ло-
моносова при участии Российской академии наук
и Российской академии образования проходят
Международные Школьные Колмогоровские Чте-
ния. В этом году они проводились с 4 по 8 мая.
Работа была организована по шести школьным
секциям: математики (36 докладов), информати-
ки (22 доклада), физики (25 докладов), химии
(10 докладов), биологии (12 докладов). Именно
такие специализации обучения имеет школа им.
А.Н.Колмогорова, в стенах которой и возникла
идея о проведении таких чтений. В конферен-
ции приняло участие 124 учащихся из Москвы,
С.-Петербурга, Алматы, Бреста, Владикавказа,
Воронежа, Долгопрудного, Донецка, Екатерин-
бурга, Иркутска, Красноярска, Казани, Коврова,
Косой горы (Тульская обл.), Нижнекамска, Орла,
Рыбинска, Рудакове (Тульская обл.), Сарова,
Серпухова, Ставрополя, Томска, Тулы, Уральска,
Чебоксар, Черноголовки, Эртиля (Воронежской
обл.), Ярославля.
В программу конференции входили посещение
музея МГУ им. М.В.Ломоносова, музея «Коло-
менское», Третьяковской галереи, экскурсия по
Москве. Для участников чтений были организо-
ваны научно-популярные лекции, встреча с пред-
ставителями факультетов МГУ, желающим была
предоставлена возможность принять участие в ма-
тематической олимпиаде «Ломоносов», проводи-
мой естественно-научными факультетами МГУ;
кроме того, было организовано собеседование с
теми, кто выразил желание поступить на обуче-
ние в СУНЦ МГУ. Не забытыми остались, ко-
нечно, спортивные игры и вечера отдыха с дис-
котеками; с большим успехом прошел школьный
концерт.
Нас радует и обнадеживает то, что научный
уровень докладов заметно вырос, а число участ-
ников конференции значительно увеличилось.
Победители конференции показали себя настоя-
щими молодыми исследователями, они могут
решать серьезные проблемы как теоретического,
так и прикладного характера. Качество задач и их
ХРОНИКА
77
научный уровень, учитывающий возрастные и
образовательные возможности, — это заслуга, в
первую очередь, школьных учителей, привлечен-
ных в школу ученых и преподавателей различных
вузов, которые сумели не только правильно по-
ставить задачи, но и оказать в течение значитель-
ного времени поддержку в работе и обеспечить
надлежащую консультационную помощь.
Победителями конференции в секции матема-
тики стали:
Вероника Столбова, ученица XI класса СУНЦ
МГУ (научный руководитель, доцент А.А.Руса-
ков). Доклад «Новый метод контроля над сердеч-
ным ритмом», диплом I степени.
Ильдар Файзов, ученик XI класса лицея № 533
Санкт-Петербурга (научный руководитель, доцент
К.И.Пименов). Доклад «Делимость сумм Мебиу-
са», диплом I степени.
Ярослав Ганин, ученик XI класса ФМЛ № 1511
при МИФИ г. Москвы (научный руководитель
А.Г.Мякишев). Доклад «О некоторых прямых,
связанных с четырехугольником», диплом II сте-
пени.
Анна Москал, ученица IX класса лицея «Вторая
школа» Москвы (научный руководитель А.И.Ша-
фаревич). Доклад «Инверсоры и многочлены»,
диплом II степени.
Илья Иванов, ученик XI класса СУНЦ МГУ (на-
учный руководитель ассистент А.А.Степанов). До-
клад «К 17-й проблеме Гильберта», диплом III сте-
пени.
Антон Севастьянов, ученик XI класса СУНЦ
МГУ (научный руководитель, доцент А.А.Руса-
ков). Доклад «О принципах построения греко-
латинских квадратов. Решение задачи Л.Эйлера
для некоторых л», диплом III степени.
Ксения Черныш, ученица XI класса лицея № 533
Санкт-Петербурга (научный руководитель
А.М.Порецкий). Доклад «Разбиение последова-
тельностей N-x степеней на группы с равной
суммой», диплом III степени.
Отличительной особенностью конференции
этого года стала организация работы секции по
методике профильного преподавания для учителей
и руководителей делегаций, приехавших вместе с
учащимися. Цель ее работы состояла, в частнос-
ти, в обмене мнениями по совершенствованию и
повышению уровня научно-исследовательской
деятельности учащихся именно с теми препода-
вателями, кто уже руководит научной работой
школьников.
Она была многопредметной и на ней было сде-
лано 9 полнокровных докладов: один по матема-
тике (В. Н.Дубровский — СУНЦ МГУ), два по хи-
мии (В.В.Загорский — СУНЦ МГУ, ИА.Черемич-
кина — СУНЦ УрГУ), два по биологии (Е.П.Не-
знамова — Воронеж, Дворец творчества; Н.М. Ры-
жова — г. Ковров), два по физике (В.И.Лобышев —
СУНЦ МГУ; Л.X.Казанцева — г. Томск, лицей при
ТПУ), один по информатике (И.Н:Фалина — СУНЦ
МГУ), один по истории (Д.Е.Рудой, СУНЦ МГУ).
По мнению ее восемнадцати участников, ра-
бота секции была организована своевременно, а
сами доклады вызвали несомненный интерес у ее
участников. С приветствиями и короткими сооб-
щениями перед началом работы секции выступи-
ли выпускники физико-математической школы-
интерната при МГУ (так раньше называлась шко-
ла им. А.Н.Колмогорова) А.М.Абрамов (первый
выпуск, член-корреспондент РАО), Д.Л.Абраров
(выпускник и бывший директор школы),
В.М.Имайкин (выпускник 1968 года, главный ре-
дактор журнала «Математическое образование»).
Постоянно действующий оргкомитет конфе-
ренции «Школьные Колмогоровские чтения» пла-
нирует и в будущем организацию работы подоб-
ной преподавательской секции. Для более содер-
жательной ее подготовки целесообразно предва-
рительно обменяться мнениями и соображения-
ми о тематике возможных докладов и некоторых
возможных формах ее работы. Это лучше всего
(и эффективнее) сделать предварительно в элек-
тронном режиме:
reading@aesc. msu. ru, vvavilov@tochka.ru.
Все предложения и соображения будут встре-
чены с большой благодарностью.
Начиная с юбилея 100-летия со дня рождения
академика А.Н.Колмогорова (2003 г.) на родине
великого ученого XX столетия в Ярославле про-
водятся научные Колмогоровские чтения. Этот
статус получила, работавшая на постоянной ос-
нове, школа-семинар в Ярославле по исследова-
нию проблем профессиональной подготовки учи-
теля математики. Основными организаторами
этих чтений были ректор Ярославского государ-
ственного педагогического университета В. В.Афа-
насьев и ученики А.Н.Колмогорова: член-корр.
РАН А.Н.Ширяев, профессор В.М.Тихомиров,
член-корреспондент РАО Н.Х.Розов, академик
РАН Д.В.Аносов, член-корреспондент РАО
А.М.Абрамов, С.С.Демидов, Е.И.Смирнов и многие
другие.
78
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
Эта конференция (и сборники ее трудов) так
или иначе отражает и продолжает те исследова-
ния, который проводил А.Н.Колмогоров во мно-
гих областях математики, теории и методики обу-
чения математике, истории математики и мате-
матического образования. Во многих докладах
учеников и коллег А.Н.Колмогорова содержались
новые факты его биографии и аспекты научно-
методических интересов ученого. Намеченная
оргкомитетом этих чтений широкая исследова-
тельская программа по восстановлению, изуче-
нию и публикации педагогического наследия
А.Н.Колмогорова дает значимые ориентиры для
будущих участников чтений.
Программы всех прошедших чтений неизмен-
но включали тематику, связанную с деятельнос-
тью СУНЦ МГУ, школы им. А.Н.Колмогорова и
истории ее развития, с научно-методическими во-
просами преподавания математики в этой шко-
ле. На чтениях с пленарными и секционными
докладами выступали многие из ее бывших уче-
ников и преподавателей.
И мы надеемся, что школьные Колмогоровские
чтения в Москве и научные Колмогоровские чте-
ния в Ярославле, их содержательная работа и по-
пулярность отражают важные и огромные этапы
жизни и творческой деятельности Андрея Нико-
лаевича Колмогорова.
В.В.ВАВИЛОВ, А.А.ЧАСОВСКИХ
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР
«ПЕРЕДОВЫЕ ИДЕИ
В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ
В РОССИИ И ЗА РУБЕЖОМ»
В 2005-2006 УЧЕБНОМ ГОДУ
В истекшем 2005—2006 учебном году семинар
провел 9 заседаний.
Первое заседание семинара открылось 8 сентя-
бря 2005 г. докладом Ю.М.Колягина (Москва) на
тему «Проблемы школьного математического об-
разования в России с начала XX в. по настоящее
время», собравшим большую аудиторию слуша-
телей. Ю.М.Колягин выделил 7 периодов (этапов)
в развитии математического образования, четко
охарактеризовал каждый из них и определил в них
место и роль своего учителя проф. И.К.Андроно-
ва (02.06.1894-05.11.1975). В 1959 г. Ю.М.Коля-
гин начал творческое содружество с И.К.Андро-
новым за совершенствование математического
образования в советской школе, отстаивая удер-
жание в нем дореволюционных положительных
традиций.
Заседание 13 октября было посвящено памяти
проф. Льва Васильевича Сабинина (24.06.1932—
06.06.2004), скончавшегося в Мексике, который
в период (1985—1993 гг.) совместно с проф.
О.В.Мантуровым руководил работой нашего се-
минара. Его аспиранты из УДН, где он препо-
давал, не раз выступали с докладами о состоя-
нии математического образования в своих стра-
нах Африки и Латинской Америки1. О.В.Матвеев
(Москва) рассказал слушателям о жизненном и
творческом пути Л.В.Сабинина и представил его
трактат-монографию «Инволютивная геометрия
алгебр Ли», оригинально проиллюстрированную
авторскими рисунками и стихами, изданную в
1997 г.
Широкое обсуждение вызвал доклад В.А.Деля-
нова (Тула) 10 ноября на тему «Использование
визуального мышления в изучении математики
как математического аппарата физики с целью ус-
коренного усвоения учебной информации учащи-
мися физико-математического профиля». Высту-
пившие в обсуждении (АЛ.Гавронский, А.Г.Хар-
мац, В.В.Цукерман) отметили, что преимущест-
во геометрических подходов при изучении физи-
ки докладчик иллюстрирует на узких темах (урав-
нения Максвелла, уравнение Шредингера, урав-
нение Дирака и пр.), доступных лишь одаренным
учащимся. Поэтому предлагаемый материал мо-
жет быть рекомендован для повышенных факуль-
1 См. об этом информацию в журнале «Математика в
школе»: 1985, № 6 (76); 1988 № 1(78); 1989, № 1 (154); 1990
№ 1 (77); № 5 (76); 1993 № 3 (79).
ХРОНИКА
79
тативов и спецкурсов при условии соответствую-
щей его доработки.
8 декабря Т.А.Шашкова (Ступино, М.О.) доло-
жила «О средствах реализации прикладной на-
правленности курса математики в основной шко-
ле». К средствам реализации докладчик отнесла:
1) прикладные задачи; 2) межпредметные связи
математики с другими науками; 3) примеры при-
менения математики в различных сферах челове-
ческой деятельности; 4) практические и лабора-
торные задачи; 5) внеклассную работу, включаю-
щую деловые игры, проведение вечеров межпред-
метного содержания, выпуск математических га-
зет, чтение математической литературы истори-
ческого и прикладного характера.
9 января 2006 г. состоялась авторская презен-
тация Т.П. Кузнецовой (Москва) монографии под
оригинальным названием «Модель выпускника
подготовительного факультета в пространстве
предвузовского математического образования»,
М., 2005 (453—498 стр.), в которой дан повторно-
подготовительный курс школьной и вузовской
математики, представляющий математику как
науку в целом. Методическую основу курса со-
ставляет модульно-организационная интеграция
различных разделов математики, информатики,
черчения и других предметов. Конструирование
курса предоставляет преподавателю широкие воз-
можности для самостоятельного творческого ва-
рьирования.
9 февраля Е.В.Герасъкина (Москва) выступила
с докладом «Определенный интеграл в средней
школе; проблема и варианты ее решения» в за-
щиту изучения определенного интеграла в школе
за то идейное богатство, которое содержат это
понятие и его приложения, и предложила свой
подход. А именно: ознакомить школьников с
понятием определенного интеграла для более уз-
кого класса непрерывных функций — для моно-
тонных функций, имеющих первообразную. Это
позволяет построить достаточно строгую теорию
без преодоления значительных трудностей. Заин-
тересовавшегося читателя отсылаем к публикаци-
ям автора доклада по этому вопросу в ж. «Мате-
матическое образование», 2004 г. № 4 и газете
«Математика» № 41, 46 (2003 г.) и № 2, 3, 11, 13
(2004 г.).
(9 марта Ю.М.Кашицына (Москва) доложила о
разработанном ею спецкурсе «Инновационные
технологии в методической работе начинающего
учителя математики». В основу спецкурса поло-
жены технология развивающего обучения по
Л.С.Выготскому (дидактическим принципом ко-
торой является принцип проблемности) и педа-
гогическое проектирование по В.М.Монахову.
Объекты педагогического проектирования пред-
ставлены технологической картой-паспортом
проекта учебного процесса в классе и двумя ин-
формационными картами: картой-планом урока
с указанием элементов взаимодействия учителя и
ученика и картой развития учащегося с учетом
его психологических особенностей при изучении
математики. Спецкурс проведен с молодыми учи-
телями г. Ногинска и оценен положительно.
13 апреля А.Н.Павлов и Л.В.Шпрангер (Моск-
ва) рассказали «Об интегрированном курсе ма-
тематики и информатики», созданном и апро-
бированном ими на базе лицея г. Лобня М.О.
Суть курса состоит в том, что в содержание обу-
чения математике включены вопросы примене-
ния фундаментальных идей и методов решения
практических задач с привлечением информаци-
онных технологий (программирование и пакеты
символьной математики). При синхронном учеб-
но-тематическом планировании математика ста-
новится базой решения дидактических задач ин-
форматики, получая, в свою очередь, закрепле-
ние на ее уроках. Такая взаимопомощь единства
позволяет экономить время и выстроить цело-
стную линию обучения: от фундаментальных
знаний к математическим методам познания, а
от них к практике.
11 мая В. В. Шелку нова (Москва) в докладе
«Роль теории вероятностей и математической
статистики в профессиональной подготовке офи-
церов-психологов» рассказала о возможностях
использования этих разделов математики при
формировании у курсантов навыков исследова-
ния и решения прикладных задач из теории
стрельбы. При этом были рассмотрены методи-
ческие приемы, позволяющие активизировать
учебную деятельность курсантов, состоящие в
применении опорных конспектов, блок-схем,
графиков и моделей.
В предстоящем 2006—2007 учебном году семи-
нар продолжит работу по вторым четвергам каж-
дого месяца (кроме летних) в 16 ч. по адресу:
Москва, ул. Радио, 10-а (МГОУ), ауд. 44.
Проезд: метро «Красные ворота», тролл. № 24,
ост. «ул. Радио».
Телефон для справок: 581-47-65.
В.Н.ШАПКИНА (Москва)
80
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ 6’06
Уважаемые педагоги!
Обращаем ваше внимание на журналы,
которые могут оказать вам помощь в работе с детьми
Научно-методический журнал (объем 96 с., периодичность 6 номе-
ров в год).
Публикуются материалы ведущих специалистов в области коррекцион-
ной педагогики и специальной психологии по вопросам изучения, обуче-
ния и воспитания разных категорий детей с нарушениями в развитии,
печатаются рецензии на новые книги и методические пособия, публику-
ются и комментируются официальные материалы Министерства образо-
вания и науки РФ, даются ответы на вопросы родителей и специалистов.
Основные рубрики: «Ранняя помощь», «Дошкольное воспитание и обу-
чение», «Специальная психология: исследования и практика», «Комплекс-
ная диагностика отклоняющегося развития», «Советы и консультации»,
«Обучение и воспитание школьников», «Обсуждаем проблемы интегра-
ции», «Наследие», «За рубежом», «Высшая школа», «Начальное и среднее
профессиональное образование», «Работы молодых ученых», «Из опыта
работы».
Осуществляется выпуск тематических номеров, глубоко раскрывающих одно из направлений
дефектологии на современном этапе, либо посвященных проблемам обучения и воспитания детей-
сирот, детей с нарушениями эмоционально-волевой сферы.
Подписные индексы: 70255, 71237
Практический и методический журнал (объем 80 с. + 16 с. цв. вкл.,
периодичность 6 номеров в год). Окажет помощь дефектологам, психоло-
гам, педагогам, родителям в работе с детьми, имеющими различные от-
клонения в развитии.
Публикуются статьи, посвященные проблемам специального образова-
ния: дифференциальной диагностике, психолого-медико-социальному
сопровождению обучающихся, новым коррекционно-развивающим тех-
нологиям, наиболее эффективным методам и приемам работы с детьми
дошкольного и школьного возраста, — а также конспекты уроков, игры и
игровые упражнения, сценарии праздников и комплексных занятий.
Особое место занимают разделы: «Обсуждаем проблему», «Образова-
тельные программы, учебные планы, школьные учебники», «Коррекцион-
но-развивающие технологии и методические находки», «Педагогическая
гостиная», «Медико-педагогическая и социально-психологическая служ-
ба», «Консультируют специалисты», «Ребенок в семье».
Журнал имеет цветную вкладку — дидактические материалы для диагностики развития дошкольни-
ков и младших школьников, увлекательные задания, стимулирующие их познавательную деятельность.
Подписной индекс: 80861
Подписка принимается в отделениях связи по каталогам:
«Газеты. Журналы» и «Почта России»
Уважаемые педагоги!
Предлагаем вам и вашим ученикам
приобрести учебное пссобие:
Литвиненко В.Н., Безрукова Г.К.
Задачи ко стереометрии. 10-1Я классы
Серия «Готовимся к ЕГЭ»
92, [4 к с., ил., 84x108/16, обл. Цена 35 руб.
Авторы доступно па высоком методическом
уровне дают строго систематизированную со-
вокупность задач по курсу стереометрии
средней общеобразовательной школы.
Отличительной, особенностью настоящею
задачника является наличие в нем большого
числа разнообразных задач на построение.
Особое внимание уделяется координатному и
векторно-координатному методам решения
вычислительных задач и задач на построение
в пространстве.
Большая часть задач дается в трех и более
вариациях.
Книга в целом составлена из задач общеоб-
разовательного уровня. Она предназначена
учителям и учащимся старших классов школ и
может быть использована
как задачник к любому учебнику геометрии как для общеобразовательных
классов, так и для классов различных профилей. Исключение составляет
§ 35. Его авторы сочли необходимым дополнить задачами повышенного
уровня сложности.
Это поссбио mi)жно npi шбрестм .в издательстве
или заказать по системе «Кнчга — почтой»
Адрес: ±27254, г. Москва, узь Руставели, д, 10, корп, 3
Издательство Школьная Пресса»
Телефоны: (495) 619-52-87, 619 52-8Я 613-83-80, 639-74-03
ПОДПИСКА - 2007
ISSN 0130-9358
ISSN 0130-9358. Математика в школе, 2006, № 6, 1-80
770130
935008
Математика в школе
70557
71239
I |РК гы
для индивидуальных подписчиков
для предприятий и организаций
Подписка осуществляется по каталогу «Газеты Журналы»
агентства Роспечать»
I полугодие
УВАЖАЕМЫЕ ЧИТАТЕЛИ!
Подписка на журнал
«Математика в школе»
на I полугодие 2007 года
начинается 1 сентября 2006 года.
Подписаться можно по каталогу
«Газеты. Журналы» агентства «Роспечать».
Каталожная цена на полгода:
для индивидуальных подписчиков — 310 руб
для предприятий и организаций — 425 руб.
Внимание!
Каталожная цена не включает почтовый сбор.
Стоимость подписки с учетом почтового сбора
вы можете узнать в своем отделении связи.