п. т. джонстон
ТЕОРИЯ
топосов
Перевод с английского
А. П. ГАГАРИНА я В. В. ШОКУРОВА
Под редакцией
Ю. И. МАНИНА
та
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 98G

ББК 22.152
Д42
УДК 515.12
TOPOS THEORY
Р. Т. Johnstone
ACADEMIC PRESS
London New Yoik San Fiancisco 1977
Джонс τ он П. Теория топосов: Пер. с англ./Под ред. Ю. И.
Манила.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.— 440 с.
В книге излагается теория топосов, приобретающая в последнее время
важное значение не только в логике, но и в геометрии н топологии.
Существенно дополняет вышедшую в 1983 г. в издательстве «Мир» книгу Р. Голд-
блатта «Топосы. Категорнын анализ логики».
Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов
университетов.
Библиогр. 251 назв.
1702040000—100 г
Д 053 (02)-86 ΰ86
1977 by Academic
Pi ess 1Л'С (London)
LTD
Перевод па русский
языь, дополнение
Пздаге ilctbo «Наука»,
Главная редакция
физико-математической литературы, 1986

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 6
Предисловие 1
Введение 9
Заметки для читателя 19
Глава 0. Предварительные сведения .... 21
0.1. Теория категорий 21
0.2. Теория пучков 28
0.3. Топологии Гротендика 32
0.4. Теорема Жиро 35
Упражнения к главе 0 39
Глава 1. Элементарные тоносы 44
1.1. Определение ,и примеры 44
1.2. Отношения эквивалентности и частичные отображения . . 48
1.3. Категория с?°р 52
1.4. Функторы замены базы . 56
1.5. Эшшоноразложеппя 61
Упражнения к главе 1 64
Глава 2. Внутренняя теория категорий 67
2.1. Внутренние категории и диаграммы 67
2.2. Внутренние пределы и копределы 70
2.3. Диаграммы в топосе 73
2.4. Внутренние профупкторы 79
2.5. Фильтрованные категории 85
Упражнения к главе 2 92
Глава 3. Топологии и пучки 96
3.1. Топологии 96
3.2. Пучки 100
3.3. Функтор ассоциирования пучка 103
3.4. shj(6?) как категория частных 110
3.5. Примеры топологий 113
Упражнения к главе 3 120
Глава 4. Геометрические морфизмы 123
4.1. Теорема факторизации 123
4 2. Конструкция склепки 127

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
4 3. Теорема Днаконеску 132
4 4. Ограниченные морфпзмы 139
Упражнения к главе 4 152
Глава 5. Логические аспекты теории топосов 156
5.1. Булевы топосы 156
5.2. Аксиома выбора 160
5.а Аксиома (SG) 165
5.4. Язык Мнтчела— Бенабу 172
Упражнения к главе 5 181
Глава 6. Объекты натуральных чисел 185
6.1. Определенно π основные свойства 185
6.2. Конечные кардиналы 193
6.3. Классификатор объектов 199
6.4. Алгебраические теории 209
6.5. Геометрические теории 217
6.6. Объекты вещественных чисел 230
Упражнения к главе 6 240
Глава 7. Теоремы Делння и Барра 243
7.1. Точки 243
7.2. Пространственные топосы 249
7.3. Когерентные топосы 252
7 4. Теорема Делшш .260
7 5. Теорема Барра 269
Упражнения к главе 7 274
Глава 8. Когомологии 279
8.1. Основные определения 279
8.2. Когомологии Чеха 286
8.3. Торсоры 292
8.4. Проконечпые фундаментальные группы 303
Упражнения к главе 8 311
Глава 9. Теория т.оносов и теория множеств 317
9.1. Конечность по Куратовскому 317
9.2. Транзитивные объекты · · 325
9.3. Теорема равнонепротпворочнвостн 334
9.4. Построение фплг.тра-степепи .... 340
9.5. Независимость континуум-гипотезы 345
Упражнения к главе 9 351
Приложение. Локально BiijTpeiniiie категории 355
Список литературы 367

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Дополнение (В. А. Любецкий). Некоторые применения теории то-
посов к изучению алгебраических систем 376
§ 1. Метод пестапдартного анализа: оценки, пучки и теоремы
переноса 377
§ 2. Универсальная оценка и универсальный пучок .... 403
§ 3. Некоторые применения нестандартного анализа .... 425
Список литературы
Предметный указатель
Именпой указатель
430
434
436

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Топос — это категория, на которую наложены
дополнительные условия, делающие ее «похожей на категорию множеств».
Однако аксиомам топосов удовлетворяют не только обычные
множества, но также булевозначные модели или пучки
множеств над топологическим пространством. Таким образом,
понятие топоса доставляет, с одной стороны, естественный универсум
для алгебраической топологии и гомологической алгебры, а с
другой — альтернативные, по отношению к
теоретико-множественным, рамки для оснований математики, очень естественно
включающие разнообразные модельные интерпретации
математических теорий логиками.
Современная концепция топосов, изложенная в книге,
является результатом объединения идей, восходящих к Гротендику,
с одной стороны (пучки и гомологии), и к Ловеру — с другой
(логика). Автор приложил большие усилия по объединению и
унификации довольно большого материала по общей теории
топосов; многие результаты и/или доказательства принадлежат
ему. В содержательном дополнении В. А. Любецкого описаны
приложения топосов к теории алгебраических систем.
Стиль книги довольно жесткий: «теорема — доказательство—■
пример». Читатель, желающий войти в теорию по более легкой
дороге, должен будет обратиться сначала к гораздо более
популярной (и содержащей гораздо меньше результатов) книге
Р. Голдблатта «Топосы. Категорный анализ логики» (М.: Мир,
1983).
Теория категорий, или, скорее, категорное мышление как
альтернатива теоретико-множественному мышлению все в
большей степени становится распространенным среди
профессиональных математиков. Судя по тому, что трудные классические
задачи решаются (и новые задачи ставятся) в этих рамках,
книги, которые квалифицированно и содержательно излагают
такие вещи, необходимы. Книга Джонстона является весьма
заметным вкладом в этот цроцесс.
Ю. И. Малин

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга восходит к серии из шести семинарских докладов,
которые я прочел в Кембридже зимой 1973/74 г. и которые
составили ядро глав 1—6. Остальные доклады этой же серии,
охватывающие по материалу части глав 0, 7 и 9, были
прочитаны Барри Теннисоном и Робертом Сили. По настоянию
слушателей записи этих семинаров были приведены в порядок и
получили ограниченное распространение. Летом 1974 г. я начал
пересматривать и расширять эти записи с мыслью, что
когда-нибудь они могут составить книгу. В течение зимы и весны
1975 г., находясь в Ливерпульском университете, я смог
прочесть курс лекций, охватывающих материал глав 0—5 и 8 в
некоторых деталях. К концу этого периода у меня сложилось
довольно ясное представление о форме этой книги, и,
ободряемый Майклом Батлером, фактически я начал ее писать в июле
1975 г. С октября 1975 г. по март 1976 г. я работал в
Чикагском университете, где проводился еженедельный семинар по
теории топосов, организованный Сондерсом Маклейном и мною.
Материал, проработанный за этот период, был взят, главным
образом, из глав 2, 4, 5, 6 и 9, и докладчиками, кроме меня,
были Кети Эдварде, Стив Харрис и Стив Лендсберг. В течение
этого периода я также написал текст глав 2—5 и большую
часть главы 6. Остальной текст был завершен за май — июль
1976 г. после моего возвращения в Кембридж.
Эти лекции и семинары оказали весьма непосредственное
влияние на текст данной книги, и все посещавшие их
(особенно те, имена которых были упомянуты) заслуживают моей
благодарности за участие в его формировании. Я также
пользовался менее официальными контактами со многими математиками
на конференциях н но другим поводам. К тем, чьи идеи (боль-
шеи частью не опубликованные) я охотно заимствовал,
относятся Джулиан Коул, Раду Диаконеску, Майк Фурмап,
Питер Фрейд, Андре Жуаяль и Крис Малвей. Джон Грей дал мне
ценные советы в области 2-категорий, а Джек Даскнн и
Барри Теннисои помогли мне лучше понять когомолопш. Я
должен поблагодарить Жана Бенабу за многие идеи, которые я
намеренно пли ненамеренно у него позаимствовал, а также
Тима Брука за его помощь в составлении библиографии.
Остаются четыре математика, которым я но отдельности
должен выразить свою признательность. Миль Тьерне своими

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
лекциями в Варение в 1971 г. ввел меня в теорию топосов.
Просматривая опубликованный вариант этих лекций [TV], я по-
нрежпему нахожу невероятным, как он сумел научить меня так
многому в восьми коротких лекциях. Очень много значили для
меня помощь и одобрение Гевина Рейта, а его лекции в
Бангоре [WB] служили мне моделью для некоторой части этой книги.
Как каждый, работающий в теории топосов, я чрезвычайно
обязан Биллу Ловеру в общем плане за его проницательность
первопроходца, но я также пользовался его идеями и беседами
на более личном уровне. Кроме того, я должен выразить
признательность Сондерсу Маклейпу; для него я никогда не был
только теоретиком в области топосов, и забота, с которой
он прочитывал машинописные оригиналы и предлагал
улучшения почти в каждом параграфе, была совершенно
исключительной. Если же в тексте еще остались круппые ошибки или
неясности, то они бесспорно свидетельствуют о моем упрямстве,
а не о его невнимательности.
На другом, но не менее значительном уровне я должен
поблагодарить университеты Ливерпуля и Чикаго, а также
колледж Св. Иоанна в Кембридже за поддержку во время
написания этой книги; Пола Кона за принятие ее к публикации в
серии монографин по математическим наукам (L. M. S.
Monographs series) и штат служащих издательства Academic press —
за высокий профессионализм, проявленный ими для
превращения моей любительской рукописи в книгу, которую вы видите
перед собой.
Кембридж, июнь 1977
П. Т. Дж.

ВВЕДЕНИЕ
Теория топосов восходит к двум самостоятельным линиям в
развитии математической науки, сохранявшим свою
обособленность в течение почти десяти лет. Чтобы избежать
одностороннего представления о предмете данной книги, я считаю
необходимым рассмотреть историю этих двух линий и понять,
почему они в конце концов сошлись вместе. Поэтому я начинаю
это введение с исторического обзора (отражающего личную
точку зрения и, несомненно, весьма пристрастного).
Более ранняя из этих двух линий возникает с появлением
теории пучков, основы которой заложил Лере в 1945 г. и
которую развивали, наряду с другими, А. Картан и А. Вейль.
Своей высшей точки она достигла в опубликованных работах
Серра [107], Гротендика [42] и Годемана [TF]. Как и большая
часть гомологической алгебры, теория пучков была
первоначально задумана как инструмент алгебраической топологии с целью
аксиоматизации понятия «системы локальных коэффициентов»,
что было важно для хорошей теории когомологий неодносвяз-
ных пространств. Полное название книги Годемана показывает,
что в таком свете она виделась еще в 1958 г. Но задолго до
этого силу теории пучков распознали специалисты по
алгебраической и аналитической геометрии. В последующие годы
влияние теории пучков распространилось на многие другие области
математики. (Смотри два крайних примера в [49] и [106].)
Однако в алгебраической геометрии скоро обнаружили, что
топологическое понятие пучка не вполне подходит в том
отношении, что единственная топология, имеющаяся на абстрактных
алгебраических многообразиях или схемах, т. е. топология За-
рисского, не располагает «достаточным количеством открытых
множеств», чтобы обеспечить хорошее геометрическое понятие
локализации. В своей работе по технике спуска [43] и этальной
фундаментальной группе [44] Гротендик заметил, что замена
«включения двух открытых по Зарисскому множеств» понятием
«этального морфизма» было шагом в правильном направлении.
Но, к сожалению, в общем случае схемы, являющиеся эталь-
ными над данной схемой, не образуют частично упорядоченного
множества. Поэтому, чтобы подвести базу для развития эталь-
ных когомологий, оказалось необходимым изобрести понятие
«топологии Гротендика» на произвольной категории и
обобщенное понятие пучка для такой топологии.

to
ВВЕДЕНИЕ
Основания этой теории были доложены на семинарах по
алгебраической геометрии, проводившихся в 1963—64 гг. Гро-
тендиком с помощью Артина, Жиро, Вердье и др. (Труды этого
семинара были опубликованы восемью годами позже в
пересмотренном и значительно расширенном варианте [GV],
включающем некоторые важные дополнительные результаты П. Де-
линя.) Среди наиболее важных результатов самого семинара
была теорема Жиро, которая показала, что категории
обобщенных пучков, возникающие на этом пути, можно полностью
характеризовать свойствами точности и ограниченности. Скоро в
свете этого результата стало ясно, что эти категории пучков
являются более важным объектом изучения, чем возникшие из
них сайты (= категория + топология). Ввиду этого, а также
потому, что категория с топологией виделась как «обобщенное
топологическое пространство», любой категории, удовлетворяющей
аксиомам Жиро, было дано (несколько неудачное) название
«топос».
Тем не менее топосы все еще рассматривались главным
образом как подсобное средство для теории когомологий, причем не
только этальиой, но также «fppf», кристалльной и других-
Значение метода, развитого Гротендиком, было в полпой мере
продемонстрировано существенными геометрическими
результатами, полученными с использованием этих теорий когомологий
в последующие годы. Высшей точкой явилось доказательство
Делинем [159] знаменитой гипотезы Вейля — mod-p-аналога
гипотезы Римана. А сама техника развивалась дальше, например,
в работе Жиро [38] о неабелевых когомологиях. Но вся глубина
высказывания «топос важнее чем сайт», кажется, никогда не
была оценена школой Гротендика. Например, хотя они знали
о декартово замкнутой структуре топосов ([GV], IV 10), они
никогда не использовали это обстоятельство во всей полноте, как
это предлагали Эйленберг и Келли в [160]. Поэтому было
необходимо, чтобы элементарная теория топосов стимулировалась
другой линией развития.
За исходную точку второй линии обычно принимают
новаторскую работу Ловера [71] по элементарной теории категории
множеств, появившуюся в 1964 г. Однако мне кажется, что
необходимо отойти дальше: к доказательству теоремы Любки-
на — Херона — Фрейда — Митчела о вложении для абелевых
категорий [АС]. Именно эта теорема, показавшая, что имеется
явное множество элементарных аксиом, из которых вытекают
все (конечные) свойства точности категорий модулей, по-па-
стоящему проложила путь для автономного развития теории
категорий как основания математики.
(Между прочим, теорема вложения Фрейда—Митчела часто
рассматривается как кульминация, а не как начальная точка;
это как раз, как мне кажется, неправильное понимание (нли,

ВВЕДЕНИЕ
11
по меньшей мере, обращение) ее истинного значения. Ее
обычно понимают как высказывание: «Если вы хотите что-то
доказать об абелевой категории, вы можете с успехом допустить,
что это категория модулей», в то время как ее истинный смысл,
по моему мнению, заключается в следующем: «Если вы хотите
что-то доказать о категориях модулей, вы можете с тем же
успехом работать в абелевой категории». Так как теорема о
вложении гарантирует, что ваш результат будет истинным в такой
общности, и, забыв явную структуру категорий модулей, вы
можете сосредоточиться на существенных аспектах проблемы. В
качестве примера вы можете сравнить теоретико-модульное
доказательство леммы о змее в [НА] с ее абелево-категорным
доказательством в [CW].)
Вскоре за этой теоремой последовала работа Ловера [71],
в которой был представлен список элементарных аксиом,
достаточный, если добавить неэлементарные аксиомы полноты и
локальной малости, для описания категории множеств. (В
последующей работе [72] Ловер привел аналогичную
аксиоматизацию категории малых категорий, а Шломюк [105] сделал то же
самое для категории топологических пространств.)
Вполне можно спросить, почему за этой работой
немедленно не последовал фейерверк активности, которым было встречено
появление элементарных топосов шестью годами позже. С
ретроспективной точки зрения ответ состоит в том, что аксиомы
Ловера слишком специализированы: категория множеств —
крайне полезный объект в качестве основания математики, но как
предмет аксиоматического изучения она не особенно интересна
(да пребудут в мире работы Мартина, Соловея и других!);
она слишком «жесткая», чтобы иметь внутреннюю структуру.
Аналогично, если бы аксиомы абелевой категории были
применимы только к категории абелевых групп и 'не применимы к
категориям модулей и абелевых пучков, то па них бы тоже
никто не обратил внимания. Поэтому нужна была
аксиоматизация, которая охватывала бы категории функторов со
значениями в категории множеств и категории пучков множеств,
т. е. как раз аксиоматика элементарного топоса.
В своих последующих работах ([73], [75]) Ловер начал
исследовать идею, состоящую в том, что двухэлементное
множество {истина, ложь) можно рассматривать как «объект
истинностных значений» в категории множеств. В частности, он
заметил, что наличие такого объекта в произвольной категории
позволяет нам свести аксиому свертывания к элементарному
утверждению о сопряженных функторах. Та же идея легла в
основу работы Фольгера ([125], [126]) о логических и
семантических категориях.
Между тем направление, связанное с теоремой о вложении,
было продолжено Барром [2], который сформулировал понятие

12
ВВЕДЕНИЕ
точной категории и использовал его как базис для неаддитивной
теоремы о вложении. Близкое понятие регулярной категории
независимо сформулировали Грипе [41] и Ван Осдол [122],
которые использовали его в своих исследованиях по общей теории
пучков. Сам Барр заметил, что теорема Жиро утверждает лишь
немногим больше, чем специальный случай его теоремы о
вложении. Это, вероятно, является (логически, если не
хронологически) первым схождением двух упомянутых выше линий
развития.
Однако примерно в то же время внимание Ловера привлекли
также топосы Гротендика. Он заметил, что каждый топос Гро-
тендика имеет объект истинностных значении Ω и что понятие
топологии Гротендика тесно связано с эндоморфизмами этого
объекта Ω (см. [LH]). В течение 1969—70 гг. Ловер и Тьерпе,
которые ранее внесли вклад в теорию точных категорий,
начали исследовать следствия принятия утверждения «существует
объект истинностных значений» в качестве аксиомы.
Результатом явилась элементарная теория топосов. Удивительно, что
большая часть основ этой теории была разработана в течение
12-месячного периода, как это будет видно из большого числа
теорем в главах 1—4 этой книги; их доказательства
принадлежат Ловеру и Тьерие.
Как только эти теоремы стали широко известны
математикам (т. е. после лекций Ловера в Цюрихе и Ницце [LN]) летом
1970 г. и на конференции в Далюзи [LH] в январе 1971 г.),
их немедленно подхватили и стали развивать несколько
человек. Одним из первых и наиболее значительных из них был
П. Фрейд, в лекциях которого в университете Нового Южного
Уэльса [FK] была исследована теория вложепия топосов. С
нынешней точки зрения, она кажется кое в чем тупиковой;
именно, обращение стандартной метатеоремы, которая упоминалась
в связи с абелевыми категориями, применимо в еще большей
мере к теории топосов; в самом деле, элементарность является
большим достоинством аксиом для топосов и не следует
прибегать к неэлементарной теореме о вложении для доказательства
элементарных фактов о топосах. (Теорему Фрейда о вложении
вы не найдете в этой книге, но наиболее важная и
элементарная ее часть, которая показывает, что любой топос можно
вложить в булев топос, доказывается в § 7.5.) Тем не менее,
работа Фрейда содержала очень много важных технических
результатов; в частности, его характеризация объектов натуральных
чисел является теоремой особой важности.
Среди тех, кто с самого начала работали над теорией
топосов, следует упомянуть в Париже Бенабу и его ученика Селей-
ретта и в Орхусе Кока и Рейта [KW]. Миккелсен, ученик Кока,
первым доказал, что одна из аксиом Ловера — Тьерне, а именно
аксиома о конечных копределах, может быть выведена из дру-

ВВЕДЕНИЕ
13
гих. Его диссертация [84] содержит интересный вклад в теорию
решеток в топосе.
В свете доказательства независимости континуум-гипотезы,
принадлежащего Ловеру и Тьерне [117], возникла существенная
потребность определить точную связь между элементарной
теорией топосов и аксиоматической теорией множеств. Ответ был
найден независимо Коулом [18], Мптчелом [85] и Озиусом [92].
Митчел также предложил идею, которая с тех пор стала
центральной для данного предмета: каждый тоиос позволяет
породить внутренний язык, который можно использовать для
образования «квазитеоретико-множественных» высказываний об
объектах и морфизмах топоса. В то время как первоначальная
идея принадлежала Митчелу, ее наиболее восторженным
сторонником, несомненно, стал Бенабу, и его ученики в последние годы
интенсивно пользовались внутренним языком.
Следующий важный шаг вперед сделал Диаконеску, ученик
Тьерне, диссертация которого была завершена в 1973 г.
Теорема Диаконеску [30] была важна не только своим
проникновением в 2-категорную структуру категории £ор, но и тем, что
стала первым значительным применением теории внутренних
категорий. (Эта теория развивалась на протяжении ряда лет
довольно случайным образом, в основном в неопубликованных
работах Бенабу.) Диаконеску, как бы «на бис», доказал
относительную теорему Жиро. Сам Жиро неэлементарными
средствами доказал относительный вариант своей теоремы [39] для
тоносов Гротендика, а Митчел нашел ее правильную
элементарную форму. Но Митчел смог доказать ее только в особом
случае, когда «объект образующих» (см. определение 4.43)
представляет собой 1. Оказалось, что теорема Диаконеску является
важным инструментом, необходимым для доказательства общего
случая.
Примерно в то же время Джонстон [52] также
использовал внутренние категории при доказательстве того, что
введенную Гротендиком конструкцию функтора ассоциирования
пучка можно перенести в элементарную теорию.
Последующее развитие (которое фактически перекрывалось
с предыдущим) состояло в понимании топосов как теорий и во
введении понятия классифицирующего топоса. В некотором
смысле эти идеи восходят к работе Ловера [176] по
алгебраическим теориям, но их связь с теорией топосов началась с
исследований Хаким [45], ученицы Гротендика, по относительным
схемам. В этих исследованиях она построила классификаторы
для колец и локальных колец, а также установила их
фундаментальные свойства. В 1972 г. Жуаяль и Ренес [RM]
выделили понятие «когерентной теории» (финитарной геометрической
теории в нашей терминологии) и доказали, что у каждой такой
теории имеется классифицирующий топос. Их работа была поз-

14
ВВЕДЕНИЕ
же расширена Рейесом и Маккаи [82], чтобы охватить пефинй-
тарные геометрические теории.
Именно Ловер [LB] первый заметил, что в свете работ
Жуаяля и Рейеса теорема Делиня о точках когерентных топо-
сов является точным эквивалентом теоремы Гёделя — Генкина
о полноте для финитарных геометрических теорий. Ловер также
высказал теорему о булевозначной полноте для нефинитарных
теорий, теоретико-топосный эквивалент которой был доказан
Барром [4].
И снова теорема Диаконеску дала ключ к «релятивизации»
результатов Жуаяля и Рейеса. Решающий шаг был сделан в
1973 г. Рейтом, который построил классификатор объектов над
произвольным топосом с объектом натуральных чисел. Отсюда
до общей теоремы существования для классифицирующих топо-
coi! оставалось выполнить почти что формальные процедуры.
Это было сделано независимо Жуаялем, Тьерне [119] и Бе-
набу [8].
Это приводит наш исторический обзор к текущему моменту,
по меньшей мере в том, что касается главных результатов.
Теперь рассмотрим современное состояние теории топосов и ее
перспективы.
Во-первых, следует сказать, что базисная теория
элементарных топосов (т. е. содержание глав 1—5 данной книги)
кажется почти полностью разработанной. Действительно, мне известен
только один существенный открытый вопрос, возникающий в
этих пяти главах (а именно, вопрос о существовании конечного
(псевдо) копредела в £ор, затронутый в § 4.2). Несомненно,
имеется много менее важных вопросов, нуждающихся в
выяснении, и ряд теорем, доказательства которых будут со временем
усовершенствованы и упрощены; однако основания предмета
кажутся вполне устоявшимися. Это, конечно, плохо в том
смысле, что для благополучия такой базисной области, как теория
топосов, жизненно важно, чтобы ее основы подвергались
постоянному пересмотру и улучшению, и мне неудобно сознавать,
что написанием этой книги я способствовал канонизации этих
основ. В свое оправдание я могу сказать только то, что, как
мне кажется, это произошло бы так или иначе, и лучше, чтобы
.это случилось в печатной форме, чем в форме
неопубликованного фольклора, доступного лишь для посвященных.
Типичный математик, который рассматривает теорию
категорий как «обобщенную абстрактную бессмыслицу», склонен
рассматривать теорию топосов как обобщенную абстрактную
теорию категорий. (Нет сомнений, что она унаследовала эту
репутацию от подхода своего родителя — Гротендика к
алгебраической геометрии.) Тем не менее Маклейн [179] рассматривает
расцвет теории топосов как симптом упадка абстрактности в
теории категорий и вообще в абстрактной алгебре. Я убежден,

ВВЕДЕНИЕ
15
ч^о Маклейн прав и что его интуиция указывает путь к
наиболее вероятному будущему развития теории топосов, поскольку
почти все современные значительные работы по теории топосов
занимаются топосами не как абстрактной и изолированной
областью математики, а как вспомогательным средством для
понимания π прояснения понятий в других областях (см. на-
пример, [36], [57], [63], [79], [88], [90], [112], [130]).
В качестве конкретного примера рассмотрим общую теорему
существования для классифицирующих топосов (теорема 6.56).
Первая реакция на эту теорему — это восхищение ее
элегантностью и общностью; вторая реакция, появляющаяся
существенно позже,— это понимание ее фундаментальной бесполезности —
особенности, которую она, между прочим, делит с общей
теоремой о сопряженных функторах. Единственно возможное
использование такой теоремы состоит в том, что она позволяет
свести изучение конкретной геометрической теории к изучению
ее общей модели (или, наоборот, свести изучение конкретного
топоса it изучению теории, общую модель которой он
содержит) ; однако теорема, как она доказана в § 6.5, просто не
обеспечивает эффективных средств для перехода от одного к
другому. Поэтому «синтаксическое» доказательство той же
теоремы в § 7.4, хотя оно заметно сложнее, имеет гораздо
большую практическую ценность. Именно это доказательство (а не
более позднее, приведенное в одной из предшествующих глав)
явилось истопником многих работ в дайной области.
Говоря, что будущее теории топосов заключается в
прояснении различных областей математики путем применения теоре-
тико-тоиосных идей, я не считаю, как Гротендик, теорию
топосов машиной для разрешения нерешенных проблем в
алгебраической геометрии пли для решения открытых проблем еще
где-либо. Наоборот, я думаю, что вряд ли элементарная теория
топосов сама по себе решит какую-нибудь важную,
выдающуюся проблему в математике. Но я все-таки верю, что
распространение теоретико-топосной точки зрения на многие области
математической деятельности неизбежно йриведет к более
глубокому пониманию подлинных особенностей этих проблем, что
является существенной предпосылкой к их правильному
решению.
Что же в таком случае представляет собой теоретико-топос-
ная точка зрения? Коротко, она состоит в отбрасывании идеи о
существовании фиксированного универсума «постоянных»
множеств, среди которых может и должна развиваться математика,
и в признании того, что работать с переменными величинами
в универсуме непрерывно меняющихся множеств удобнее, чем
в рамках традиционной (после возникновения абстрактной
теории множеств) методики, когда отдельно
рассматривается носитель (т. е. топологическое пространство) и последвва-

16
введгниЕ
тельность постоянных структур, привязанных к точкам этого
носителя. Ловер [LB] писал: «Каждое понятие постоянства
относительно, оно возникает чувственно или мысленно как
предельный случай изменения, и бесспорное значение таких понятий
для получения ясного представления об изменении всегда
ограпичено этим своим происхождением. Это, в частности,
относится к понятию постоянного множества и объясняет,
почему так много из наивной теории множеств переносится в
том или ином виде в теорию переменных множеств». Именно
переход от постоянных множеств к переменным множествам
является душой теории топосов! Читатель, который будет видеть
в этом конечную цель, сумеет многое понять.
Далее, несколько слов о том, что не сделано в этой книге.
(1) В определении топоса декартова замкнутость и
существование объекта Ω взяты как две отдельные аксиомы вместо
того, чтобы объединить пх в одну аксиому об
объектах-степенях, как предложил Кок [66]. (Их эквивалентность аксиоме
Кока является предметом упражнений к главе 1.) На практическом
уровне я бы отстаивал это решение но двум причинам: (а) в
этой книге, особенно в главе 2, приведен ряд результатов,
использующих только декартову замкнутость, но не все аксиомы
топоса, а некоторые из них (например теорема 1.47)
используют в доказательстве экспоненциалы и Ω существенно
различными способами; (б) если использовать определение объекта-
степени, то окажется необходимым (как в [WB]) немедленно
приводить довольно техническое доказательство того, что
это определение влечет декартову замкнутость; в этот момент
возникает опасность потерять читателей. На более
философском уровне я бы добавил еще следующее: (в)
определение с помощью объекта-степени является на самом деле
теоретико-множественным, а не теоретико-категорным определением
топоса; это .проявляется в том, что оно подчиняет понятие
«функции» понятию «подмножества» посредством теоретико-мно^
жественного приема отождествления функции с ее графиком.
Одной из принципиальных особенностей теории категорий
является то, что она принимает «морфизм» как первичное понятие
на одном уровне (между прочим, не более высоком) с
понятием «объект». Поэтому правильно, что определение топоса
должно включать его декартовость.
(2) Язык Митчела—Бенабу вводдтся в книге довольно
поздно, в конце главы 5. Я знаю, что есть люди, для которых
идеальный учебник по теории топосов должен начинаться с
определения и некоторого развития свойств точности,
достаточного для введения этого языка и доказательства корректности
его стандартной интерпретации. После этого все
доказательства должны проводиться на этом формальном языке. Я не
согласен с этим подходом. Я не верю, что можно осознать всю

ВВВДЕНПЕ
17
сплу языка Митчела — Бенабу, пока не получишь некоторого
опыта доказательств без него (ото почти единственное место в
книге, где я сознательно упорядочил материал по
педагогическим, а не логическим соображениям). Можно отметить также,
что формально-логический подход не работает при столкновении
с относительной теоремой Жиро (теорема 4.46), В то время
как язык Мптчела — Бенабу является очень сильным
инструментом в доказательствах внутри одного топоса, он
недостаточно приспособлен к доказательствам, в которых мы должны
переходить от одного топоса к другому (и обратно) с помощью
геометрических морфизмов. (Возможно, что доказательство
теоремы 4.46 можно сократить, используя язык локально
внутренних категорий, но это другое дело.)
(3) Я уже упомянул, что в книге отсутствует теорема
Фрейда о вложении [FK]. Вследствие этого фрейдовское понятие
точечного топоса играет относительно слабую роль, оно не
вводится до § 9.3.
(4) Я не включил ссылок на более современные (еще не
опубликованные) разработки Фрейдом теории аллегорий. Как
предполагается, эта теория будет для категорий множеств н
отношений тем же, чем теория толосов служит для множеств и
функций. Как известно, Фрейд утверждает, что она
предоставляет более простой π естественный базис для многих идей,
развитых в этой книге, чем теория топосов, но лично я не убежден
в этом.
(5) Я не упомянул исследования Бурна [13], Стрита f 113],
[1ί4] и других по развитию 2-категориой аналогии теории
топосов. Однако мне кажется, что основы этой теории еще не
достигли столь определенного состояния, чтобы включать их в
книгу.
(6) Одним из обобщений теории топосов, об отсутствии
которого в книге я слегка сожалею, является введенное Пеноиом
[99] понятие кваштопоса. Однако я чувствую, что появление его
в начале книги привело бы к дополнительному усложнению
доказательств π не дало бы новых, важных примеров, а появление
его в конце книги повлекло бы повторение материала. Тем не
менее, я надеюсь, что ожидаемые заметки Уаплера о квазитопо-
сах (обещанные в [130]) помогут восполнить этот пробел.
(7) В этой книге преднамеренно нигде не употребляется
словосочетание «универсум Гротендика». Я сознательно не уточняю
свойств теории множеств, которая используется (за
исключением § 9.3), так как это в действительности не имеет значения.
Теория топосов — это элементарная теория, т. е. теория первого
порядка, и ее основные теоремы не зависят (или не должны
зависеть) от темных аксиом теории множеств. (На самом деле
я полноправный член «освободительного движения
математиков», основанного Конвеем [157].) Однако если этого настойчиво

18
ВВЕДЕНИЕ
потребуют, я допускаю использование теории множеств типа
Гёделя — Бернайса, различающей малые категории (множества)
и большие категории (собственно классы), но я также хочу
рассматривать некоторые «очень большие» 2-категорип
(особенно ©at π Sop), объектами которых являются сами большие
категории. Если бы я хотел при этом быть строго формальным, то
нужно было бы ввести по меньшей мере один универсум Гро-
тендика. Но так как все утверждения, которые я хочу
высказывать о ©at π £ор, являются элементарными (или
эквивалентными им), то в этом нет реальной падобпостн. Чтобы соблюдать
некоторые теоретико-множественные приличия, я ограничился
рассмотрением пучков только на малых сайтах. Это неудобно в
том отношении, что мы не можем сформулировать теорему
Жиро в ее самой блестящей форме (категория является топосом
Гротендика тогда и только тогда, когда она эквивалентна
категории канонических пучков на ней самой), но не так скучно,
как полагали авторы [GV].
Наконец, я должен сформулировать свою позицию по
наиболее спорному вопросу во всей теории топосов: как образовать
множественное число от слова «топос». Читатель уже заметил,
что я использую английское множественное число*). Я поступаю
так потому, что слово топос (в своем математическом смысле)
не является производным от своего греческого корня, а
образовано разложением слова «топология». Мне нечего больше
добавить, кроме как спросить тех топософов **), которые настаивают
на слове «топои», берут ли они горячий чай с собой в «термои»,
когда отправляются на прогулку в холодную погоду.
*) В подлиннике toposes нами переводится русским множественным
числом <<топосы». Некоторые англоязычные авторы рассматривают слово
«топос» как греческое и образуют от него множественное число по
правилам (древне) греческого языка — τόποι.— Примеч. пер.
**) Я признателен Майллу Риду за то, что он предложил термины <<то-
пософ» и «топоЪофия» и призываю моих коллег-топософов принять их.—
Примеч. авт.

ЗАМЕТКИ ДЛЯ ЧИТАТЕЛЯ
В книге попользуется единая система нумерации
определений, лемм, теорем, замечаний и τ. π : номер п. pq обычно
обозначает пункт q в параграфе ρ главы п, на исключением
отдельных параграфов, в которых имеется более девяти пунктов. В них
номера последовательно увеличиваются, начиная с п. р9. Так,
8.20—это десятый пункт в § 8.1, а 5.51 — одиннадцатый в § 5.4.
К счастью, наложения не происходит. Хотя эта система может
показаться не очень логичной, в ней сочетаются простота и
хорошая запоминаемость номеров с легкостью нахождения
материала по ссылкам. Α. η обозначает пункт η в Приложении.
В конце каждой главы находится несколько упражнений:
около десяти в каждой из первых глав и больше в
последующих. Они значительно различаются по трудности: одни вполне
шаблонны, в то время как другие совершенно нетривиальны.
Я никак не указывал, какие упражнения считаю более
легкими (порядок упражнений отражает расположение материала в
той главе, к которой они относятся), но дал щедрые указания
для большей части трудных. Во многих случаях результат
упражнения используется в упражнениях или в тексте последующих
глав. Эти упражнения выделены звездочкой.
Следующие сведения о логической связп глав между собой
могут быть полезны читателю, интересующемуся одним
конкретным вопросом. В главе 0 содержится сводка
предварительных материалов, нужных либо для обоснования определения
топоса, либо для построения примеров. Главы 1 — 5 образуют
сердцевину книги, из них главы 1—4 образуют более или
менее короткий путь (с незначительными отклонениями, как в
§ 4.2) от определения топоса (и. 1.11) к относительной
теореме Жиро (п. 4.46) π к существованию расслоенных
произведений в Э£ор/<!Г (п. 4.48). Отношение логической зависимости в
этих четырех главах весьма близко к линейному порядку.
Однако большая часть материала в главе 2 (о внутренних
категориях) посит чисто технический характер, и некоторые
читатели могут найти ее при первом чтении довольно трудной.
Я посоветовал бы таким читателям пропустить всю главу 2,
за исключением теоремы 2.32 (которая важна и применяется не
только в теории внутренних категорий), и перейти к главе 3.
(В § 3.3 имеется несколько ссылок на главу 2, которыми
можно пользоваться только по мере надобности.) Затем можно
изучить первый параграф (и только) главы 4, всю главу 5 (за
исключением некоторых частей § 5.3) и даже первые два
параграфа главы 6, прежде чем вернуться к главе 2.

20
ЗАМГ.Т1Ш ДЛЯ ЧИТАТЕЛЯ
В главе 5 вводится ряд понятий, которые хотя и относятся
к магистральному направлению развития теории топосов, но не
вовлечены в доказательство относительной теоремы Жиро. В
частности, в ней содержится описание внутреннего языка топосов,
широко используемого во второй половине книги.
Последние четыре главы представляют различные
расширения н применения основной теории. Сначала я надеялся
сделать их логически независимыми, так, чтобы можно было их
читать в любом порядке, однако неизбежно установились
определенные взаимные связи. Следующая таблица показывает
наиболее важные из них:
Перед чтением рекомендуется читать
7.4 6.3 и 6.5
8.1 7.5
8.4 6.2
9.1 6.2 и 6.4
Имеются также взаимные связи между упражнениями этих
четырех глав (см., например, упражнения 6.11, 8.7, 9.6 и 9.14).
В Приложении представлен материал, поначалу
предназначенный для включения в главу 2. Он был вынесен из нее
потому, что хотя, по всей вероятности, этот материал в
недалеком будущем станет составной частью основного направления
развития теории топосов, базисные определения «локально
внутренней категории» не достигли, возможно, своей окончательной
формы. Приложение можно читать в любой момент после
главы 2, хотя в нем много ссылок на более поздние главы.
Во всей книге ссылки на библиографию заключены в
квадратные скобки. Сама библиография состоит из четырех разделов:
раздел Λ состоит из «стандартных ссылок» к другим областям
математики (например, к теории решеток, алгебраической
топологии), которые используются, когда в тексте цитируются
теорема или определение, относящиеся к одной из этих
областей. В разделе Б содержатся общие работы по теории топосов
и некоторые вводные статьи, написанные для неспециалистов
(например, [MB], [W].) Раздел В содержит остальные ссылки
по теории топосов и ряд примыкающих работ по теории
категорий, теории пучков и т. п. Разделы Б и В претендуют на
полный перечень статей, опубликованных до настоящего
времени по теории топосов. Однако я не включал короткие тезисы
выступлений и диссертации, если они не содержат важных
результатов, не опубликованных где-либо еще. Раздел Г
содержит остальные работы, на которые имеются ссылки в тексте.
Работы в разделах А и Б обозначаются с помощью двухбуквен-
ного кода, работы в разделах В и Г последовательно
нумеруются. Во всех четырех разделах я указывал номера рефератов в
Mathematical Reviews, если они существуют.

ГЛАВА О
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
0.1. Теория категорий
Настоящий параграф не есть сколько-нибудь обстоятельное
введение в основные идеи теории категорий. Скорее, его
назначение — указать некоторые понятия и теоремы, которые
будут предполагаться известными, и ввести некоторые
стандартные обозначения. Читателю, который сочтет, что он
недостаточно знаком с этими основными понятиями, лучше обратиться к
превосходной книге Маклейна [CW] или к любому другому
стандартному руководству по теории категорий прежде, чем
продолжать дальнейшее изучение этой книги.
Для обозначения «больших» категорий обычно будут
использоваться заглавные рукописные латинские буквы (Ψ, ЗУ, <§, .. .).
Утверждение ν,Ψ есть категория», без каких-либо
дополнительных указаний, означает, что Ψ есть модель элементарной
теории категорий [72], т. е. Ψ является метакатегорией в смысле
главы 1 [CW]. Это значит, что мы не предполагаем категорию Ψ
определенной формально в некоторой частной модели теории
множеств; в частности, если X и У — объекты из Ψ, то мы не
требуем, чтобы морфизмы категории Ψ из X в Υ составляли
множество.
Однако всюду, кроме главы 9, как правило, предполагается
заданной некоторая (фиксированная) модель нодходяшей
теории множеств (включаюшей, при надобности, аксиому выбора).
Получаемая из нее категория· множеств и функций
обозначается через 9>'. Малыми называются те категории, морфизмы
которых образуют множество. Если С — малая категория, то через
3? обозначается категория предпучков на С, т. е. контрава-
риантных функторов из С в Я'. Среди объектов категории &
имеются представимте функторы h, где U — объект из С; по
определению hu (У) = homc(F, U). По типографским причинам
мы пишем иногда h(U) вместо hv; кроме того, мы используем
обозначение hu для ковариантного представимого функтора
homc ({/,—). В дальнейшем часто используются следующие
два результата.
0.11 Лемма (Йопеда [187]). Пусть U и X — объекты
категорий С и Я соответственно. Тогда имеется (естественная

22
ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
по обеим переменным) биекция между морфизмами 1ги -»- X
категории ^С° и элементами множества X(U). □
с°р
0.12 Лемма. Любой объект категории Я' представим
в виде копредела диаграммы, вершинами которой являются пред-
ставимые функторы.
С°Р
Доказательство. Пусть X — объект категории У
Обозначим через (С-1-Х) (малую) относительную категорию,
объектами которой являются пары (U, а), где U — объект из С,
С°Р
a a: hv -*- X — стрелка из У . Морфизмами этой
относительной категории являются коммутативные треугольники
К >hv
X
из У
Тогда имеется очевидная «стирающая» диаграмма (С \ X) ->
-> 9* , заданная на объектах по правилу (U, a) <-*hu-
Непосредственная проверка показывает, что X является копределом этой
диаграммы. □
Предполагается, что читатель знаком с понятиями предела,
копредела и сопряженных функторов. (Запись Τ —\ G
обозначает, что функтор Τ сопряжен слева к функтору G.)
Предостережение: говоря, что категория имеет пределы определенного
типа, мы подразумеваем существование канонического выбора
предела для каждой диаграммы соответствующего типа. Так,
например, фразой «в 91 имеются бинарные произведения» мы
хотим сказать, что для дапных множеств X и Υ существует не
просто множество, элементы которого находятся во взаимно
однозначном соответствии с упорядоченными парами (х, г/>, а
каноническое множество, т. е. множество всех упорядоченных пар.
Однако говоря, что функтор сохраняет пределы, мы не
подразумеваем, что он сохраняет канонический выбор предела, и
утверждение, что данный объект есть некоторый предел определенной
диаграммы, не подразумевает его каноничность.
Если Ψ — категория с конечным объектом (т. е. некоторым
пределом для пустой диаграммы), то мы обозначим его через 1,
π для всякого объекта X из ψ мы также через X обозначаем
единственный морфизм Х->-1, а через ίχ (или просто 1)
—единичный, или тождественный морфизм на X. (Некоторая
нечеткость, свойственная таким обозначениям, легко оправдывается
тем, что морфизм 1Х является конечным объектом категории
97Х объектов над X и для любого объекта Υ -»X этой катего-

0.1. ТЕОРИЯ КАТЕГОРИИ
23
рии морфиам / также является единственным морфизмом
категории Ψ/Χ из / в ίχ.) Если категория Ψ имеет произведения
и/или расслоенные произведения, то буквой η обозначается
каноническая проекция произведения или расслоенного произведения
на один из его сомножителей с индексом 1, 2, 3, . . .,
обозначающим первый^ второй, третий, ...сомножитель. Аналогично, мы
обычно (но не исключительно) пользуемся буквой ν с
соответствующими ипдексами для обозначения канонического
включения сомножителя в копроизведение.
Также предполагается знакомство с понятиями монады (или
тройки), комонады и алгебры над монадой. Нам понадобится
теорема «грубой тройственности» Бека [153] в ее «рефлексивно-
коуравнительном» виде. Напомним, что параллельная пара
f
Xt-Y из категории Ψ называется рефлексивной, если суще-
8 А
ствует морфизм Υ-» X с jh = gh = lr. [В случае Ψ = 91 это эк-
Бивалентно тому, что образ отображения X —*■ Υ Χ Υ является
рефлексивным бинарным отношением на У.]
ρ
0.13 Теорема. Пусть Ψ =*=* М- — пара функторов, F—\U
и }-) — монада на Ψ, индуцированная этим сопряжением.
Предположим, что в категории М- имеются коуравнители
рефлексивных пар, U сохраняет их и отражает изоморфизмы. Тогда U —
монадический функтор, т. е. функтор сравнения К: ls#-*-<<?
является эквивалентностью категорий, где Ψ обозначает
категорию \\-алгебр. Π
Нам понадобятся также следующие теоремы о категориях
алгебр.
0.14 Теорема (Эйленберг — Мур [162]). Пусть
щ = (Н, Ц, μ) — монада на Ψ и функтор И имеет правый
сопряженный функтор G. Тогда на Ψ существует единственная
структура комонады С = (G, ε, 6) такая, что категория С -ксал-
гебр %'с изоморфна категории *<? относительно изоморфизма,
который отождествляет два соответствующих стирающих
функтора. Π
0.15 Теорема (о подъеме сопряжения; см. [54]). Пусть
щ, К — комонады на категориях ψ, 2ΰ соответственно, Τ: Ψ -*■
-*■ S) — функтор, α Τ: Ψ -> j?5 — некоторый его подъем,
входящий в коммутативный квадрат
<#Н 1 ► 0К
где через U обозначены стирающие функторы. Предположим

24
ГЛ О ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
также, ню в ¥> имеются коураенители рефлексивных пар.
Тогда, если Τ имеет левый сопряженный функтор, то и Τ имеет
левый сопряженный функтор. □
0.16 Теорема (Линтон [178]). Пусть щ — монада на
категории Ψ. Предположим, что в категории ^н имеются
коураенители рефлексивных пар. Тогда, если в ψ имеются все
конечные (соответственно все ^-индексированные) копроизведения,
то и в Ч?' имеются все конечные (соответственно все
^-индексированные) копроизведения. □
Из теорем 0.13, 0.15 и 0.16 видно, что коуравнители
рефлексивных пар (рефлексивные коуравнители) играют важную роль
в теории монад. Поэтому сейчас самое время упомянуть одну
лемму, которая несмотря на то, что имеет очень широкий круг
приложений (как будет видно из главы 6), пока не попала в
стандартные руководства по теории категорий.
0.17 Л е м м а. Пусть
X,
/.
ΖΧ2
Гг
-*х
Ζ,
Ζζ2
hi
-П
-*ζ,
— диаграмма в произвольной категории, удовлетворяющая
«очевидным» условиям коммутативности (г. е. β^ = gp.i при i = 1, 2,
/ = 1, 2 и т. п.), все строки и столбцы которой являются коурав-
нителями, а пары (ju /2) и (<хи а2) рефлексивны. Тогда диа-
гональ Х^ ,. Υ2—** %з является коуравнителем.
Доказательство. Прежде всего отметим, что
43=coeq(4,, γ2)
= coeqifja, Чг/з) (поскольку /з — эпистрелка)
= coeq(g3p,, g3$2).
Поэтому нижний правый квадрат кодекартов, в силу чего мор-
Θ 7чгч
физм Υ г" Τ пропускается через Υ2—*" Zq тогда и только
тогда, когда он коуравнивает обе пары (gu g,) и (βι, β2). Но
если эти условия выполнены, то Q$Ji = θβ2/ι = ®gi<x>2 = 6g2a2 =
= θβ2/2. Обратно, если θβ1/1=θβ2/2 π X2-*Xt—общее расщеп-

0 1. ТЕОРИЯ КАТЕГОРИИ
25
ление для стрелок /, и /2, то θβι = θβ^,β = θβ2/2δ = θβ2;
аналогично, Ggi = Gg2. Поэтому У2 ->- ^з-коуравнитель стрелок β(/, ж
β2/2. Π
В заключение упомянем две области теории категорий, не
освещаемые в [CW]. Одна из них — теория 2-категорий; 2-кате-
гория S есть категория, <(1ют-мпожества» которой обладают
структурой категории (не обязательно малой). Это значит,
что для каждой пары объектов (Χ, У) из (5 имеется категория
S(X, У), объектами которой являются все морфизмы (или
l-стрелки) категории © из X в У и морфизмы которой
называются 2-стрелками категории ©. Композиция 1-стрелок из <5
функториальна по обоим переменным. Введение в теорию
2-категорий можно найти в [155], [167] и [172].
Следует предупредить читателя, что при обсуждении
2-категорий мы обычно используем такие термины, как «функтор» и
«предел», и такие обозначения, как Е/Х, к чему австралийская
школа [172] добавила бы «в псевдосмысле»; при этом
диаграммы, коммутирующие «па конце», меняются на диаграммы,
коммутирующие с точностью до (указанного) 2-изоморфизма.
Например, категория Е/Х есть 2-категория, объектами которой
являются 1-стрелкп Υ -* X из 6 и 1-стрелками которой являются
треугольники
у 1 >- у
К /
X
коммутирующие с точностью до указанного 2-изоморфизма а;
2-стрелка категории Е/Х из (gt, at) в (g2, α2) есть 2-стрелка
ёх ~* §2 из @ такая, что (/2 * β) ■ α( = α2. Аналогично, говоря
о функторе Т: @ -»- S между 2-категориями, мы не
подразумеваем, что Τ точно коммутирует с композицией 1-стрелок, а лишь
с точностью до согласованного естественного 2-изоморфизма.
(Подразумевается, что обычная категория Ψ отождествляется с
локально дискретной 2-категорией, объектами и 1-стрелками
которой являются объекты и морфизмы категории Ψ, а
2-стрелками — только единипы.)
Наш отход от австралийского обычая в терминологии
объясняется тем, что на практике чаще всего появляются именно
«псевдононятия». Если же мы хотим подчеркнуть то, что
отдельно взятый функтор точно коммутирует с композицией
1-стрелок (т. е. является функтором в австралийском смысле),
то мы называем его строгим функтором. В одном из параграфов
(4.2) у нас будет повод ввести еще менее ограничительное
понятие слабого функтора, 2-стрелки которого, с точностью до

26
ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
которых коммутируют диаграммы, не обязаны быть даже
обратимыми; все эти слабые понятия будут определены в точности
тогда, когда они нам понадобятся. Кроме того, в § 2.4 мы
столкнемся с примером бикатегории, которая1 есть «псевдо-2-катего-
рия» в австралийском смысле; т. е. она определяется теми же
данными, что и 2-категория, однако законы тождества и
ассоциативности для композиции 1-стрелок в ней верны лишь с
точностью до согласованного естественного 2-изоморфизма.
И, наконеп, следует познакомиться с понятием категории
частных. Пусть Ψ — категория, а Σ — некоторый класс морфиз-
мов из Ф. Тогда категорию частных ΨΣ~ι можно определить
(с точностью до эквивалентности) требованием существования
универсального функтора ΡΣ: Ψ -»- ΨΣ~ι среди функторов вида
Ψ -»- 3ΰ, переводящих все морфизмы из Σ в изоморфизмы.
0.18 Определение. Класс Σ морфизмов из Ψ называют
допускающим исчисление правых частных, если:
(i) Σ замкнут относительно композиции и содержит все
единичные морфизмы категории Ψ.
(ii) Для диаграммы вида
Υ У
\ /
Ζ
с σ е Σ существует диаграмма
Τ
/Ч
X У
с τ s Σ такая, что /τ = ag. (Замечание. Τ не обязан быть
расслоенным произведением.)
^ σ
(iii) Для диаграммы вида X^Y-*Z с σ^Σ и σ/ = σ# cy-
1
ществует такая стрелка Τ — X из Σ, что /τ = gx. Π
0.19 Теорема (Габриель и Цисман [CF]). Пусть %?
—категория с конечными пределами, α Σ — класс морфизмов из Ψ,
допускающий исчисление правых частных. Тогда категория
частных ΨΣ~ι существует, имеет конечные пределы и функтор ΡΣ
их сохраняет.
Доказательство. Покажем, что категорию ΨΣ~ι можно
описать следующим способом: ее объектами являются объекты
из Ψ, а морфизмами Х->Ги ΨΣ~ι являются классы эквивалент-

0 1. ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
27
яости диаграмм
Ζ '- "Υ
Χ
из Ψ(σ^Σ) по отношению «диаграмма (σ„ /,) эквивалентна
диаграмме (σ2, /2) тогда π только тогда, когда существует
диаграмма
Τ
/\
ζ* χ
такая, что σιτ1=σ2τ2<ΞΣ π /ιΤ1=/2τ1». (Нетрудно проверить,
что так определяется действительно отношение
эквивалентности.) Чтобы задать композицию двух морфизмов
Τ U
XX XX
χ γ ζ
в ΨΣ~\ образуем коммутативный квадрат
V -* »U
Г «2
с те 2 (ц0 0.18 (И)) и положим (σ2, /2) (σ,, fi) = (aix, f2g).
Снова легко убедиться, что это определение не зависит от выбора
представителей и выбора продолжения до V, откуда также
получается ассоциативность данной композиции. Функтор ΡΣ
определяется по правилу
ΡΣ(Χ) = Χ, ΡΖ(Χ —^— У) = χ L ^ у
1
\
X
и его универсальность проверяется непосредственно. Теперь
покажем, что в категории ΨΎτ^ имеются уравнители и функтор
Pi их сохраняет. (Подобное рассуждение и даже более простое

28
ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
годится для конечных произведении.) Пусть
Z.· - »Y (i = 1.2)
Χ
— параллельная пара морфизмов из ΨΣ~ι; при подходящем
выборе представителей можно считать, что Zt — Ζ2 и σ( = σ2. Пусть
Ε >-*- Ζ — уравнитель стрелок /t и /2 в Ψ. Рассмотрим теперь
произвольный морфизм
-*Х
т
из ΨΣ~ι, уравнивающий (σ, /() и (σ, /2). Тогда при подходящем
выборе коммутативного квадрата
с тре2 можно считать, что jji = f2h в Ψ, а потому h факторп-
k
зуется через q с помощью некоторой стрелки V -> Е. Но в этом
случае морфизм (τ, g) факторизуется в ΨΈΓ1 через Ps(aq) с
помощью
Τ
и, как нетрудно проверить, однозначно. Значит, Pz(aq) н есть
уравпитель морфизмов (σ, /,) и (σ, /2) в ΨΣ~\ откуда также
получается, что ΡΣ сохраняет уравнители. Π
0.2. Теория пучков
Как и в предшествующем параграфе, в наши намерения не
входит представление сколько-нибудь обстоятельного
изложения «классической» теории пучков на топологических
пространствах; все это читатель может найти в одном из стандартных
руководств по данному предмету, например, в [ST] или [TF]. Одна-

0 2 ТЕОРИЯ ПУЧКОВ
29
ко хотя бы краткий обзор этой классической теории необходим
для понимания основ более общей теории в случае топологий
Гротендика, которая будет описана в следующем параграфе.
Пусть (X, Т) — топологическое пространство. Множество Τ
открытых подмножеств в X частично упорядочено по
включению, а потому его обычным способом можно трактовать как
малую категорию: а именно, объектами Τ считаются открытые
подмножества, в Τ существует не более одного морфизма из U в
V и такой морфизм определен тогда и только тогда, когда
0.21 Определение. Предпучком (множеств) на
пространство X называется предпучок на данной категории Т, т. е. конт-
равариантный функтор из Τ в &. Итак, предпучок Ρ
определяется заданием для каждого открытого подмножества U ^ X
некоторого множества P(U) и заданием отображения ограничения
р£: P(U)-»P(V)
для каждого открытого V ^ U, подчиненных очевидным
условиям совместимости. Морфизм предпучков есть попросту некоторое
естественное преобразование этих функторов. Π
Понятие предпучка включает ряд примеров, связанных с
известными представлениями из элементарной топологии.
0.22 Примеры, (i) Любое множество А определяет
постоянный предпучок А, для которого A(U) = A, Pv = 1д при всех
(ii) Любому открытому подмножеству U ^ X соответствует
представимый предпучок hv, где
[— одноэлементное множество, если V ^ U,
hv(V)\
I— пустое множество в противном случае.
Отображения ограничения очевидны.
(iii) Для любого топологического пространства Υ имеется
предпучок CY непрерывных У-значных функции. По определению
Cr(U) — множество непрерывных функций U -»- Υ и р^ (/) = /1 V.
(iv) Другой предпучок Ω: Q(U) — множество открытых
подмножеств в U и р^ (W) = W Π V.
(ν) Аналогично определяется предпучок /: J(U) — множество
открытых покрытии для U и Pv ({Uа | а ^ А}) = {Uа Π V | а е
е4 D
Сверх того, многие из этих примеров удовлетворяют
дополнительному условию «точности», которое состоит в том, что
элементы из P(U) можно строить при помощи «склеивания»
элементов из P(Ua), где {С/сЛ — некоторое открытое покрытие
множества U. И это приводит к определению пучка.
0.23 Определение. Пусть Ρ — предпучок на X. Тогда
Ρ называют пучком, если для любого открытого множества U,

30
ГЛ 0. ПРЕДВАРИТ5-:ЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
любого его открытого покрытия {Ua\a^А) и любого семейства
iaa\a^A) элементов пз P(Ua) такого, что для всех пар (α, β)
выполняется равенство аа = а» при ограничении в Р(Е/а Л Е/„),
существует ровно один элемент σ е P(U), для которого при
каждом а. его ограничение в P(Ua) совпадает с σα.
Соответственно, Ρ называют отделимым предпучком, если
для него выполнено предыдущее условие с заменой «ъ точности
один» на «не более чем один».
Через Shv(X, Τ) (или просто Shv(X)) мы обозначаем пол-
п Т(,Р г
ную подкатегорию в У1 , объектами которой являются все
пучки. Π
С диаграммной точки зрения иредпучок Ρ является пучком
тогда и только тогда, когда для всякого покрытия {Ua}
открытого множества U диаграмма
P(U) — Π пи.) =2 Π ρ(ν* η uf)
α χ. β
является уравнителем, где все отображения очевидным способом
индуцируются ограничениями. Легко проверить, что в примерах
0.22 (ii), (iii) и (iv) предпучки в действительности являются
пучками.
0.24 Теорема. Пусть esp обозначает категорию
топологические пространств и непрерывных отображений. Существует
пара сопряженных функторов W ** esp/(X, Τ), ограничива-
г
ющаяся до эквивалентности категории Shv(X, T) и полной
подкатегории в esp/(X, T), объектами, которой являются локальные
ρ
гомеоморфизмы Ε -* X.
Дока зательство. Пусть Ρ — предпучок на X и ιεϊ,
Слой предпучка Ρ в точке χ определяется как копредел
Px = limP(U);
U3X
если a^P(U) для некоторого U э χ, то через σχ мы обозначаем
образ σ в Рх. Определим теперь пространство L(P) как
множество пар (х, t) с ieX, t^Px, топологизированное следующим
способом: V^L(P) открыто тогда и только тогда, когда для
любого открытого подмножества U ^ X и любого элемента a^P(U)
множество {х^ ЕЛ (х, ох)е V} открыто в X. Имеется естественная
проекция L (Р) -» X, задаваемая сопоставлением (·£, t) ·->- χ, и,
как легко проверить, морфизм предпучков Ρ -+ Q индуцирует
непрерывное отображение L(P)-+ L(Q) над X. Более того, про-
екция L (Р) -»X является локальным гомеоморфизмом; для
каждой пары (х, t)^ L(P) можно указать окрестность U точки
χ и элемент a^P(U) такие, что / = ах, а тогда множество

О 2. ТЕОРИЯ ПУЧКОВ
31
V == {(ι/, 0Z/)lj/e U} открыто в L(P) и отображается гомеоморф-
но на U относительно р.
Обратно, пусть Ε -»X — пространство над X. Тогда
определим предпучок Г(Е, р) так: Г(Е, р) (U)—множество
непрерывных отображений U -* Е, являющихся сечениями проекции р,
т. е, ps совпадает с включением U -»- X, а для ограничений
Pv (s) = s IV. Далее нетрудно проверить, что на самом деле
Г(Е, р)—пучок (называемый пучком сечений отображения р).
Теперь укажем естественное преобразование η: 1 -»- YL. По
определению ηΡ есть морфизм предпучков, переводящий элемент
σ е P(U) в сечение
σ: 17-+ЦР); х~(х, ах).
Кроме того, имеется естественное преобразование ε: LT -*■ 1
такое, что ε(Ερ, переводит точку (х, t) из LT(E, p) в точку
s(x), где s^r (Ε, ρ) (U)—некоторое сечение отображения ρ
над окрестностью U точки χ с sx = t. (Легко проверить
независимость этого определения от выбора окрестности U и сечения s,
а также непрерывность отображения ε(Ε,Ρ)). Более того,
преобразования η и ε удовлетворяют известным «треугольным
соотношениям», откуда получается сопряженность (L -\ Г).
Предположим теперь, что Ρ—пучок и s^FLP(U). Тогда
существует единственный элемент a^P(U), для которого σ = s.
Действительно, σ можно построить локально в каждой точке из
U, а затем склеить требуемый элемент по аксиоме пучка.
Поэтому ηΡ — изоморфизм. Аналогично, если ρ — локальный
гомеоморфизм, то е(В-р> — гомеоморфизм. Следовательно, наше
сопряжение ограничивается до эквивалентности категорий, что и
требовалось. □
0.25 Следствие. Функтор включения Shv(X)-><<P
имеет левый сопряженный, а именно композицию YL, рассмат-
тОР
риваемую как функтор Ψ -*-Shv(X). Этот функтор
называют функтором ассоциирования пучка. □
Из 0.24 видно, что пучки на X можно рассматривать двояко:
либо как предпучки, удовлетворяющие некоему условию
точности (как в 0.23), либо как пространства, оснащенные локальным
гомеоморфизмом в X. Многие возможности теории иучков
выявляются в плодотворном взаимодействии этих двух идей,
например:
0.26 Предложение. Пусть (Χ,Ί) ■* (У, U) — непрерывное
отображение. Тогда существует пара функторов Shv (Χ, Τ) =*
1*
** Shv (У, U) такая, что f* —| /*, и функтор /* точен слева.

32
ГЛ О ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Доказательство. Функтор /* определяется по
предпусковому представлению. Заметим, что поскольку отображение /
непрерывно, обо индуцирует функтор (т. е. монотонное отобра-
Т('р
женпе) /"': U -»- Т. Композиция с /"' и задает функтор /*: & ->
-*■ & , очевидно, переводящип пучки в пучки.
Чтобы определить /* (Е) для пучка Ε на Υ, мы
рассматриваем Ε как локальный гомеоморфизм над Υ и строим по нему
подъем
/*(£) >Е
+ +
х—-—►г
в esp. Снова легко проверить, что проекция /*(/?)-»-Х будет
локальным гомеоморфизмом. То же рассуждение показывает, что
включение категории (локальные гомеоморфизмы над X) в
esp/X сохраняет расслоенные произведения, а потому и любые
конечные пределы, откуда легко выводится левая точность /*.
Сопряженность /* —| /* устанавливается с помощью
рассуждений, подобных рассуждениям из доказательства теоремы 0.24. □
0.3. Топологии Гротендика
Понятие топологии Гротендика возникло из желания
алгебраических геометров изучать объекты, имеющие свойства пучка,
однако определенные на более общей категории, чем решетка
открытых множеств топологического пространства. Из § 0.1 мы
знаем, что определение предпучка без труда обобщается на
любую малую категорию С, по для того чтобы передш к пучкам,
необходимо понятие покрывающего семейства в С, которое затем
используется вместо обычного покрытия, как в 0.23.
0.31 Определение. Пусть С — малая категория с
расслоенными произведениями. Предтопология Гротендика на С
определяется заданием для каждого объекта U из С множества P(U)
семейств морфизмов вида \С/{ — С'\ i e //, называемых
покрывающими семействами данной предтопологии, причем должны
выполняться следующие условия:
(i) Для любого объекта U семейство с единственным
элементом U-+U принадлежит Ρ(U).
(ii) Если V -»- U — морфпзм из С. a {Uj-+ U\i^ 1} —
семейство из Ρ(U), то \V χ и Uι~+ V \ i ^ Ij — семейство из Ρ(V).
(iii) Если \Ui%U\i^l}e=P(U) и {у{ } — С/{ | j e= /J εξ Ρ (С/{)
для каждого г, то \Уц + U\i s /, / e /J <= Ρ (U). Щ

О 3. ТОПОЛОГИИ ГРОТЕНДИКА
33
Определим теперь пучок в предтопологии Ρ как предпучок F
такой, что для каждого покрывающего семейства [Ut -*■ U\i^I)
диаграмма
Fill)—*!] F(U,)=Xl] F(t/,. xv Uj)
является уравнителем. Более того, если F — пучок, то вместе
с каждым покрывающим семейством R = {Ut-+ U) указанному
условию удовлетворяет любое семейство S морфизмов в объект U,
содержащее R. Обратное верно для любого R, если каждый
морфизм из S пропускается через некоторый морфизм Ut -*■ U из R.
Поэтому в определении предтопологии Гротендика ощущается один
явный недостаток, состоящий в том, что две разные
предтопологии могут иметь одни и те же пучки. Чтобы его устранить,
ограничимся семействами R, насыщенными в следующем смысле:
если <ξ R для любого морфизма
W^> V. Такое семейство называют решетом на объекте U.
Теперь, используя понятие решета, мы можем улучшить
определение 0.31.
0.32 Определение. Пусть С — малая категория.
Топология Гротендика на С определяется заданием для каждого
объекта U из С множества J(U) решет на U, называемых
покрывающими решетами данной топологии, при этом
(i) для любого объекта U максимальное решето {а| конец
(а)= U} принадлежит J(U);
(ii) еслиДе/(£/) vlV~*U — произвольный морфизм из С, то
решето
f*(R) = {w^V\faeaR]
принадлежит J(V);
(iii) если f?e J(U), а решето S на U таково, что для
каждого V-i-U изД верно, что /*(5)e/(V), то S^J(U).
Малая категория, снабженная топологией Гротендика,
называется сайтом. □
Заметим, что из свойств 0.32 (i) и (iii) следует, что если
R^J(U) и S — решето на U, содержащее R, то S^J(U).
Очевидно, всякую предтопологию Ρ на С можно заменить
топологией, имеющей те же самые пучки; решето считается /-покрытием
этой топологии в том и только в том случае, когда оно содержит
Р-покрывающее семейство.
Переход от определения 0.31 к определению 0.32 имеет еще
одно преимущество, кроме устранения упомянутой выше
неопределенности. Читатель, вероятно, заметил, что попутно мы
освободились от предположения о том, что в С имеются расслоенные
произведения. Это стало возможным благодаря тому, что решето

34
ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
всегда поднимается вдоль морфизма из С (согласно 0.32 (ii)),
даже если это невозможно для каждого индивидуального
морфизма. Причина этого кроется в том, что каждое решето R на
U можно отождествить с подпредпучком представимого
функтора hu, а именно, с предпучком Ун.{аеЛ| начало (a)=V), но
С°Р
в категории предпучков & , конечно, имеются расслоенные
произведения. Это отождествление решет с подпредпучками пз
hu мы используем для определения пучков в топологии.
0.33 Определение. Пусть (С, /)—сайт, a F — предпу-
чок на С. Предпучок F называют пучком (в топологии /), если
для любого объекта U из С и любого R^J(U) каждый мор-
физм Д -»- F из *& имеет ровно одно продолжение до
морфизма h„ -»- F; F называют отделимым предпучком, если
предыдущее условие выполнено с заменой «в точности одно» на
«не более чем одно».
Через Shv(C, /) (или просто через Shv(C), если топология /
очевидна из контекста) мы обозначаем полную подкатегорию в
91 , объектами которой являются все /-пучки. Π
Нетрудно убедиться, что 0.33 эквивалентно нашему
предварительному определению пучка в предтопологии. Действительно,
в силу 0.11 морфизмам hv -»- F отвечают элементы множества
F(U), а задание морфизма R—>F, как легко проверить,
равноценно заданию «совместимого» семейства элементов f(a)^F(V)
для каждого V —» U из Д.
В общем случае на отдельно взятой категории можно ввести
много различных топологий Гротендика. Две из них
заслуживают особого упоминания: максимальная топология, всякое решето
для которой является покрывающим, и минимальная топология,
единственными покрывающими решетами которой являются
решета из 0.32 (i). Все предпучки в последней топологии являются
пучками; в первой же топологии единственными пучками
являются конечные объекты из Ψ° . Топологии на С частично
упорядочены по включению и верна
0.34 Лемма. Пусть {Ja\a^A} — множество топологий
Гротендика на С. Тогда
(ΐ) Π ^а — топология, являющаяся наибольшей нижней
гранью всех Ja;
(ii) существует топология 2 J αϊ являющаяся наименьшей
верхней гранью всех Ja.
Доказательство, (i) следует непосредственно из
определения.
(ii) Надо применить (i) к множеству {К\К—верхняя грань
для всех /α}. π

0.4. ТЕОРЕМА ЖИРО
35
0.35 Лемма. Для любого предпучка F существует
(единственная) наибольшая топология /*·, для которой F — пучок.
Доказательство. Топологию JF определим так, что
R e JF (f/)-*=*- для каждой стрелки V —*U всякий морфизм вида
f*(R)-+F имеет единственное продолжение до морфизма
hv —*■ F. Легко проверяется, что это действительно топология и
F является пучком в ней. Кроме того, если F — пучок в
топологии /, то каждое /-покрывающее решето удовлетворяет
предыдущему условию. □
Комбинируя утверждения 0.35 и 0.34 (i), получаем, что для
каждого класса предпучков существует единственная
наибольшая топология, в которой они являются пучками. В частности,
определим каноническую топологию на С как наибольшую
топологию, в которой все представимые предпучки являются
пучками, и назовем топологию / субканонической, если она меньше
канонической, т. е. если все представимые предпучки являются
/-пучками. Следует отметить, что естественная топология Гро-
тендика, вводимая на решетке Τ открытых множеств
множества X из § 0.2, будет на самом деле канонической.
Один из аспектов теории пучков на топологических
пространствах, не имеющий обобщения для пучков на сайтах,
заключается в их ином представлении (0.24) локальными
гомеоморфизмами. Тем не менее эквивалент следствия 0.25 остается
верным, т. е. функтор включения имеет левый сопряженный
функтор, функтор ассоциирования пучка L: 9" ->Shv(C,/).
Подробности конструкции функтора L в этом случае мы
откладываем до главы 3 (где фактически будет рассмотрена еще более
общая ситуация); здесь мы только отмечаем его существование, а
также важный фактор его точности слева (3.39).
0.4. Теорема Жиро
0.41 Определение. Категория & называется топосом
Гротендика, если существует такой сайт (С, /), что &
эквивалентна Shv(C, /). Π
Заметим, что топосы Гротендика включают любую категорию
вида ir (возьмите в качестве J минимальную топологию);
в частности, они включают Q7 (возьмите в качестве С
тривиальную категорию 1). Эту главу мы закончим наброском
доказательства замечательной теоремы Жиро ([GV], IV 1.2), которая
показывает, что топосы Гротендика полностью характеризуются
некоторой комбинацией «свойств точности», связанных с
существованием и свойствами пределов, и «условий ограниченности».
Позже (в § 4.4) мы сможем дать более подробное доказательство
этой теоремы; однако его значение таково, что уже сейчас важно
показать, как оно работает.

36
ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Для формулировки данной теоремы нам понадобятся еще
некоторые определения.
0.42 Определение. Пусть & — категория с расслоенными
произве де ниями.
(i) Пусть X— копроизведение семейства объектов (Xjae
ε4) из &. Оно называется дизъюнктным, если
(a) каждое каноническое включение να: Χα -*- X является
мономорфизмом;
(b) для каждой пары (α, β) разных индексов расслоенное
произведение Ха X xXt является начальным объектом в &.
(ii) Пусть (Ха -+ Χ\<χ<ξΑ)—конус под диаграммой в & с
вершинами Ха. Объект X называют универсальным копределом,
если для каждого морфизма Υ -*■ X конус (Υ X хХа -*■ F| a e А)
является копределом «поднятой» диаграммы с вершинами
Υ Χ χΧα. °
0.43 Определение. Пусть &" — категория с конечными
а
пределами, а R^tX — параллельная пара морфизмов из <§. Та-
ъ
кая пара (а, Ъ) называется отношением эквивалентности на X,
если
(a,b)
(i) R —»■ Χ χ Χ — мономорфизм;
Δ
(ii) подобъект—диагональ Хн-ХхХ пропускается через
стрелку (а, Ь) [т. е. пара (a, b) рефлексивна, ср. 0.13];
(iii) существует морфизм τ: R -»- R с Ьх = а и ατ = δ [т. е.
отношение (а, Ь) симметрично];
(iv) для расслоенного произведения
Τ « *R
ρ α
(ар.ВД , ,.
стрелка Ι >- α χ λ пропускается через (α, о) [т. е. (а, о) тран-
зитивно]. □
Отметим, что для любого морфизма X —* Υ ядерная пара
морфизма / (т. .е. расслоенное произведение / на себя) всегда
будет отношением эквивалентности на X. Отношение
эквивалентности, являющееся ядерной парой некоторого морфизма,
называют эффективным.
0.44 Определение. Пусть Ж — категория, а & — некоторый
класс объектов из <§. Его называют классом образующих
категории & ([CW], с. 123), если для любой параллельной пары
/ л
Χ ζ% Υ с / ¥= s существуют объект Ge^ н стрелка G—>X та-
ε
кие, что fh Φ gh. Π

0.4, ТЕОРЕМА ЖИРО
87
0.45 Теорема (Жиро). Пусть <§ — категория. Следующие
утверждения равносильны;
(i) <% — топос Гротендика;
(И) & удовлетворяет следующим условиям:
(a) в & имеются конечные пределы;
(b) для каждого множества индексов в & существуют
дизъюнктное и универсальное копроизведения;
(c) отношения эквивалентности в <§ имеют универсальные
коуравнители;
(d) каждое отношение эквивалентности в & эффективно, и
каждый эпиморфизм в <§ является коуравнителем;
(e) все (shom-множества» категории & малы (т. е. для
любых двух объектов X и Υ все морфизмы категории & из Χ β Υ
образуют множество);
(f) & имеет множество образующих.
Доказательство, (i) =>(ii). Условия точности (а)"—(dj
с°р
очевидны для Я', а тогда они выполнены для & , поскольку
пределы и копределы в Э' строятся «поточечно» ([CW],
с. 112). В общем топосе (а) верно, так как в аксиоме пучка
(0.33) появляются лишь морфизмы с областью значений F;
поэтому предел любой диаграммы пучков в 91 будет снова
пучком. Чтобы построить копроизведения в Shv(C, /), мы строим
их вначале в ЗР , а затем применяем функтор
ассоциирования пучка; их дизъюнктность и универсальность вытекает из
того, что функтор ассоциирования пучка сохраняет расслоенные
произведения и мономорфизмы.
Аналогично доказываются существование и универсальность
коуравнителей, а также эффективность отношений
эквивалентности. Далее, если X —»■ Υ — эпиморфизм в Shv (С, /), то
нетрудно проверить, что Υ тогда будет пучком, ассоциированным с
образом / морфизма / в Э' , но поскольку X —» / является
коуравнителем в & , то и / — коуравнитель в Shv (С, /).
Условие ограниченности (е) очевидно для любого топоса
Гротендика. В качестве образующих из (f) можно взять пучки,
ассоциированные с представимыми предпучками; в силу 0.12 пред-
ставимые предпучки задают множество образующих категории
С°Р
9" , и нужный результат для Shv (С, /) вытекает из
отмеченной выше сопряженности между функторами включения и
ассоциирования пучка.
(ii)=>(i). Пусть С — полная малая подкатегория в <%,
объекты которой порождают категорию &'. (Такая подкатегория суще··
ствует в силу (е) и (f).) Рассмотрим функтор Т: &-*-^ ι

38
ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
сопоставляющий объекту X предпучок U *+ hom(i/, X);
так как объекты из С порождают &, то, очевидно, этот
функтор унивалентен. Кроме того, он полон, так как
каждый объект из & представляется в виде копредела объектов
из С. (В доказательстве последнего утверждения используется
то, что эпиморфизмы категории & являются коуравнителями.)
Снабдим теперь категорию С наибольшей топологией Гро-
тендика /, для которой все предпучки из образа функтора Τ
являются пучками. (Заметим, что топология / субканонична, ибо
образ функтора Τ содержит все представимые предпучки.)
Остается показать, что каждый /-пучок на С изоморфен
некоторому пучку из образа функтора Т; это докажет, что & ^ Shv(C, /).
Но с помощью условий точности (Ь) — (d) можно показать, что
функтор Т: & -»- Shv(C, /) сохраняет копроизведения по
множествам индексов и коуравнители отношений эквивалентности, а
так как представимые пучки порождают Shv(C, /), то каждый
/-пучок можно получить из представимых с помощью этих двух
конструкций (ср. 7.40 ниже). Поэтому требуемый результат
установлен. □
0.46 Следствие. Пусть & — топос Гротендика. Тогда
существует «.сайт определения» (С, /) топоса & (т. е. такой сайт,
что & ^ Shv(C, /)) такой, что в С имеются конечные пределы,
а топология / субканоническая.
Доказательство. Достаточно в предыдущем
доказательстве импликации (ii) =*- (i) подобрать категорию С с конечными
пределами. Действительно, пусть С0 — любая полная малая
подкатегория в &, объекты которой составляют множество
образующих. Определим категорию С„ (и > 1) как полную
подкатегорию, объектами которой являются все (канонические) пределы
оо
в & конечных диаграмм из Cn-i, и положим С» = U Сп. Тогда
п=0
по конструкции ясно, что в категории С», имеются конечные
пределы. Но по условию (е) в каждой из категорий Сп имеется
лишь множество конечных диаграмм, а потому категория С„
мала. □
На самом деле результат доказанного следствия можно
несколько улучшить; Барр ([2], с. 116) показал, что если категория
С замкнута относительно выделения подобъектов в &', то
указанная топология / в действительности канонична, а не только
субканонична. Но поскольку в категории пучков на сайте все
объекты малы ([CW], с. 126), то категорию С можно выбрать так,
чтобы она также обладала этим свойством. Однако этот более
тонкий факт нам не понадобится за исключением одного
специального случая (теорема 5.37 ниже), который будет доказан
явно.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ О
39
Упражнения к главе О
1. Пусть Ψ — такая категория с конечными произведениями,
что для каждого объекта X из Ψ функтор (—)ХХ :Ф -+Ф сохра-
няет коуравнители. Докажите, что если X1'^tY1-^Z1 и
#1
Xi ^t У2 ^ Z2 — два рефлексивных коуравнителя, то коуравни-
s2 *
телем будет и их произведение
f\Xfl I: x/l. „ --,
х, χ χ 2 Γ γι χ y- -^^zyxz2
У\ "92
2. Пусть Φ — категория, Σ — класс морфизмов из Φ, а X —
объект из Ф. Обозначим через (Σ Ψ Χ) полную подкатегорию в
ΦIX, объектами которой являются морфизмы Υ-+Χ из Σ.
Докажите, что если Σ допускает исчисление правых частных на Ф,
то категория (Σ Ι Х)ор фильтрована для каждого X.
[Определение фильтрованности см. ниже в 2.51 или в [CW], с. 207.]
3. (i) Почему предпучок А из 0.22 (i) в общем случае не
является пучком?
(ii) Опишите пучок, ассоциированный с Ж.
4. Докажите, что пучок Ω из 0.22 (iv) изоморфен пучку Св,
где S — пространство Серпинского, т. е. двухточечное
пространство с единственной замкнутой точкой.
5. Пусть R обозначает вещественную прямую с обычной то-
р
пологией. Определим топологическое пространство Ε —> R над
О? следующим способом: как множество Ε есть произведение
К X {t, f, г, I, Ь} (где t, /, г, I, Ъ — пять абстрактных символов),
ар — проекция на первый сомножитель. Топология на Ε такова,
что базис открытых множеств в каждой точке имеет следующий
вид:
(х-δ, х + 6)ХШ для <х, t> (δ>0),
(х —δ, ж+б)Х{/) для <х, />,
(χ-δ, x)X{t)Ui<x, r»U(x, χ+δ)Χφ для <х, г>,
(х-δ, x)X{f}U{<x, Z» U (ж, χ + δ)Χ{β для <х, D,
(χ-δ, x)X{t) U {<х, Ь» U (χ, χ + δ)Χ№ для <х, Ь>.
Докажите, что ρ — локальный гомеоморфизм и что пучок Г(Е, р)
можно естественно отождествить с подпучком пучка Ω из
0.22(iv). [Указание. Отождествите s e Г(£, Р)(Щ с
множеством {же U\s(x) = <x, ί>}.] Покажите, что открытое
подмножество V из U лежит в Г(Е, р) (U) тогда и только тогда, когда
граница множества V не имеет точек накопления в U.

40
ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
6. Пусть Ft> *■ G— мономорфизм в Shv (X), а σ — элемент из
£?(£/) для некоторого открытого подмножества U^X. Двкажи-
те, что существует единственное наибольшее открытое
множество V^U, для которого Ру(а) лежит в (образе) F(V).
Выведите отсюда инъективность пучка Ω из 0.22 (iv) в Shv(X), т. е.
покажите, что для каждой диаграммы вида
F> - >-G
г
Ω
в Shv(X) существует (не обязательно единственный) морфизи
G Л Ω с gs = /.
7*. Пусть X — топологическое пространство. Докажите
эквивалентность следующих утверждений:
(i) X локально связно.
(ii) Для каждого локального гомеоморфизма Е->Х про·
странство Ε локально связно.
(iii) Для каждого локального гомеоморфизма Е->Х
пространство Ποί-Ε) компонент связности пространства Ε дискретно.
(iv) Для каждого открытого множества U ^ X пространстве
П„(Е/) дискретно.
Выведите отсюда, что пространство X локально связно тогда и
только тогда, когда функтор i?-»-Shv (X;, сопоставляющий
множеству S постоянный пучок A(S) (т. е. пучок, ассоциированный
с пр1едпучком S, или, эквивалентно, пучок сечений проекции
X X S —> X, у где S берется с дискретной топологией), имеет
левый сопряженный функтор П0.
8. Пусть С — малая категория, a R > >- hv — решето на
объекте U из С. Назовем решето R эпиморфным, если для каждой па-
α ν
ры V^tW из С с а¥= $ существует стрелка V —>U из R
β
с αγ Φ βγ, и назовем R универсально эпиморфным, если для
каждого V-*U из С эпиморфно решето f*R на V. Покажите, что
универсально эпиморфные решета образуют топологию на С и
что это наибольшая топология, в которой отделимы все предста-
вимые предпучки.
9*. Пусть G — группа, a G-esp — категория топологических
пространств с G-действием и непрерывных G-эквивариантных
отображений. Пусть X — объект из G-esp. Определим категорию
Shvc(X) G-эквивариантных пучков на X как полную
подкатегорию G-esp/X, состоящей из локальных геоморфизмов. Покажите,

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ О
41
что Shvc(^)—топос Гротендика. [Указание. Постройте его
сайт определения (UG, /0), где объектами категории U0
являются открытые подмножества пространства X, а морфизмы V —*■ U
в U0 соответствуют элементам g ^ G с g (V) ξ £/.] Обозначим
через X/G факторпространство пространства X по действию
группы G. Покажите, что подъем локальных гомеоморфизмов
вдоль отображения факторизации X —*■ X/G задает функтор
U
Shv(X/(r)—>Shvc(X), который является эквивалентностью,
если G действует эффективно*) на X (т. е. если стабилизатор
каждой точки пространства X является тривиальной подгруппой в
G). Покажите также, что верно и обратное последнему
утверждению в предположении собственности действия группы G на
X (т. е. если G-орбита любой точки пространства X является
замкнутым подмножеством в X).
10* (Джонстон [57]). Пусть С — полная подкатегория в esp,
объектами которой являются одноточечная компактификация IN+
дискретного пространства IN натуральных чисел и
одноточечное пространство 1. Покажите, что каноническую топологию / на
С можно описать следующим способом: 1 покрывает только
максимальное решето и решето R покрывает М+ тогда и только тогда,
когда (а) 1 —»· М+ <= R для каждого ieN+ и (Ь) для каждого
бесконечного подмножества Г Ξ Ν существует такой
мономорфизм М + -^М+в R, что im(/) — T\i {оо}. [Указание.
Убедитесь, что каждый морфизм М+->-М+ из С бесконечным
образом разлагается в композицию эпистрелки и монострелки.]
Покажите, что если X — произвольное пространство, то предпучок
homesp(—, X): Сор -+-^ является пучком в этой топологии.
Следовательно, определен функтор F: esp->-Shv(C, /). Покажите,
что функтор F унивалентен и что его ограничение на
подкатегорию 2Г секвенциальных пространств полно.
(Топологическое пространство X называется секвенциальным,
если его топология определяется сходимостью
последовательностей, т. е. если каждое незамкнутое подмножество Α ξ Χ
содержит последовательность, сходящуюся к точке из X — А;
ср. [GT], с. 71. Отметим, что секвенциальные пространства
включают пространства, для которых выполнена первая аксиома счет-
ности (а потому все метрические пространства); они также
включают все CW-комплексы ([AT], § 7.6).)
Покажите, наконец, что если {Си ..., Сп) — конечное
замкнутое покрытие пространства X, то каноническое отображение
η
Π F (C{) -»- F {X) эпиморфно в Shv (С, /)'. [Указание. Пусть
1=1
/ > > F (X) — образ морфизма Π F (Ci) -+F(X)b 9>c°*; за-
*) Обычно такое действие называют свободным.— Примеч. пер.

42
ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
метьте теперь, что для каждого элемента α из F (X) (IN )
можно указать такое /-покрывающее решето R на IN*, что квадрат
/ι(Ν+)—^ВД
коммутативен, а отсюда выведите, что F (X) — пучок,
ассоциированный с /.]
11*. (В этом упражнении кольцо означает коммутативное
кольцо с 1, а апп обозначает категорию колец.)
Гомоморфизм колец А—>В называется этальным, если
(а) В — конечно представимая 4-алгебра и (Ь) для любой
диаграммы
А L > В
9 *
с -—>cjK
где N — нильпотентный идеал в С, a q — каноническая
проекта
ция, существует единственный гомоморфизм В—*-С такой, что
qk = h и kf = g. (Также говорят, что В — эталъная А-алгебра.)
Докажите, что
f a
(i) если А-^-В-^С — диаграмма с этальным /, то g эта-
лен в том и только в том случае, когда этальная композиция gf;
(ii) спуск этального гомоморфизма этален;
(iii) если 5 — конечно порожденный мультипликативный под-
моноид в А, то каноническое отображение А -*- А [<5-1] этально
(■4[iS-1] обозначает обычное кольцо частных);
(iv) если К—поле, а р — непостоянный многочлен от одной
переменной ί над К, то включение К -*■ K\t\/ (p) этально тогда
и только тогда, когда многочлен ρ сепарабелен (т. е. имеет
различные корни в некотором расширении поля К). [Указание:
рассмотрите диаграммы вида
К "K[t]/(p),
L[£]/(£2) ί-L
где L — некоторое расширение поля К. В общем случае ЛГ-ал-
гебра А = K[ti, ..., tn]/I этальна над К тогда и только тогда,

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ О
43
когда идеал / порождается η многочленами pt, ..., рп, для
которых якобиан det(dp«/dij) обратим в Α.]
Фиксируем теперь кольцо А и обозначим через С категорию
двойственную категории этальных Л-алгебр. Отметим, что
категорию С можно считать малой, выбрав по одному
представителю для каждого конечного представления этальной Л-алгебры.
Используя (i) и (ii), докажите, что в С имеются конечные
пределы. Проверьте также, что если определить покрывающие
семейства как семейства гомоморфизмов (С -*- DM e /), для
которых всякий простой идеал в С является обратным образом
простого идеала некоторой алгебры D{, то они зададут предтополо-
гию на С. Покажите, что соответствующая топология Гротенди-
ка на С субканонична. [Указание. Если
(С—*-Ds\i^I)—покрытие, то ядро гомоморфизма С-*-\J_Di является нильпотент-
ным идеалом в С В действительности верно более общее
утверждение: предпучок hom {В,—) будет пучком на С для любой
(А/апп)
Л-алгебры В (не обязательно этальной) [43]. Топос Shv(C)
называют этальным топосом кольца А и обозначают через Aet.

ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
1.1. Определение и примеры
В § 0.4 было показано, как определение топоса Гротендика
можно свести к набору аксиом, в которых речь идет
непосредственно о свойствах точности самого топоса, но не о
каком-либо сайте его определения. Это важный шаг вперед, так как
ясно, что один и тот же топос можно определить (по крайней мере
с точностью до эквивалентности) с помощью многих различных
сайтов. Однако определение топоса Гротендика все еще явно
зависит от модели теории множеств, которая предполагается
заданной. Если мы изменим нашу модель теории множеств, то тем
самым изменим и наше понятие топоса Гротендика.
Определение элементарного топоса было введено Ловером и
Тьерне [LN], {TV]. Они считали, что можно будет
охарактеризовать класс категорий, которые «внутренне» ведут себя, как
должны вести себя, по нашим представлениям, топосы
Гротендика, и в то же время определяются «элементарными»
аксиомами, независимыми от теории множеств.
1.11 Определение. Категория <§ называется
(элементарным) топосом, если:
(i) & имеет все конечные пределы (т. е. в <§ имеются
расслоенные произведения и конечный объект).
(ii) 8 декартово замкнута, т. е. для каждого объекта X
имеется экспоненциальный функтор (—)х: &—*■ 8, который
сопряжен справа к функтору (—)Х X.
(iii) В & имеются классификатор подобъектов, т. е. объект Ω
и морфизм 1 —*Ω (называемый «истина») такие, что для каж-
σ
дого мономорфизма У > *■ X в & имеется единственный
морфизм Ф0: X—>-Ω (называемый классифицирующим отображением
морфизма а), образующие декартов квадрат
Неформально в 1.11 (iii) утверждается, что 8 содержит об-
t
щий подобъект, т. е. мономорфизм £ > *Ω такой, что любой мо-

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ
45
номорфизм в & может быть представлен единственным способом
как подъем t. Нетрудно доказать, что область определения
общего подобъекта представляет собой объект в <У, и притом
конечный; наоборот, любой морфизм с областью определения 1
является мономорфизмом, что эквивалентно определению 1.11.
Хотя важность декартово замкнутых категорий, т. е. категорий,
удовлетворяющих условиям 1.11 (i) и 1.11 (И), была понята за
некоторое время до совместной работы Ловера и Тьерне (см.
[71], [160]), введение ими понятия классификатора подобъекта
явилось весьма важным шагом вперед, сделавшим возможным
элементарное развитие теории топосов.
1.12 Предложение. Любой топос Гротендика является
топосом в смысле определения 1.11.
Доказательство, (i) Существование конечных пределов
было установлено в доказательстве теоремы 0.45.
(ii) Для <? определим Y* как множество функций вида
X -*■ Y; при этом сопряженность видна непосредственно.
В & функтор Yx определяется согласно 0.11;
следовательно,
YX(U)= hom(fc«7, Ух)=Ьот(^ХХ, Υ)
для каждого объекта U в С. Если принять правую часть в
качестве определения, то требуется доказать, что сопряженность
hom(Z, Yx)^ horn (Ζ XX, Υ)
верна не только для представимых, но и для всех предпучков
Ζ. Но ввиду 0.12 Ζ можно выразить как копредел lim (ha)
представимых функторов ha и провести следующее доказательство:
hom(Z, Yx) ~ horn Aim (ha), Yx\
s< lim (horn {ha, Yx))
^ lim (horn {ha χ X, Y)) (по определению Yx)
^ horn /lim (ha χ X),Y\
^hom/Ylim (haj\ X X, Y\ (так как функтор (—)ХХ
сохраняет копределы в 9" и, следовательно, в 9Р с J
^ hom (Ζ χ Χ, Υ).

46
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
Наконец, можно показать, что если Υ — пучок для топологии /
на С, то таковым является и предпучок Υχ для любого X (ср.
предложение 3.24 ниже); следовательно, экспоненциальные
функторы существуют в Shv(C, /).
(iii) В категории 9" классификатором подобъектов Ώ является
двухэлементное множество (ί, /), а классифицирующим
отображением Фа — характеристическая функция подмножества Υ, т. е.
В 9* объект Ω опять-таки определен с помощью леммы 0.11:
Q{U)=hoxsx{hu, Ω)={подпредпучки для hO} = Ш-решета).
Опять с помощью леммы 0.12 можно непосредственно показать,
что это определение удовлетворяет необходимым условиям на
классификатор подобъектов любого предпучка X.
Аналогично для Shv(C, /) находим, что Ω(£/) является
множеством таких подобъектов ассоциированного пучка L{hv),
которые сами являются пучками. (Можно легко проверить, что
таким образом как раз определяется пучок.) В частности, для
категории Shv(X) над топологическим пространством X объект Ω
является пучком, который определен в 0.22 (iv). О
Предложение 1.12 позволяет получить много примеров топо-
сов, с помощью которых мы можем иллюстрировать основные
моменты в развитии нашей темы. Однако не всякий топос в
смысле определения 1.11 является топосом Гротендика; здесь мы
дадим несколько примеров, которые будут важны позже.
1.13 Пример. Категория 9Ί конечных множеств и
функций удовлетворяет определению 1.11 так же, как 9", но она не
является топосом Гротендика, так как не имеет бесконечных
копределов, требуемых по теореме 0.45. Аналогично, если С — ко-
г»С°Р
нечная категория, то категория у f предпучков конечных
множеств на С является топосом. О
1.14 Пример. Пусть G— группа; рассмотрим ее обычным
образом как малую категорию G с одним объектом, морфизмы
которой (элементы этой группы) все обратимы. Тогда
предпучок над G является (левым) G-множеством, т. е. множеством,
на котором G действует перестановками. Применяя предписа-
ния доказательства 1.12, находим, что в топосе ir имеются
Ω — двухэлементное множество с тривиальным G-действием и
Υχ — множество всех (не обязательно G-эквивариантных)
отображений X -*■ Υ, на которое G действует посредством
сопряжений. Отсюда легко следует, что категория (^V) конечных
G-множеств является топосом, даже если сама G бесконечна. О

1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ
47
Дальнейшие примеры могут быть построены с
использованием следующего утверждения:
1.15 Лемма. Пусть 8U 8 ζ— топосы. Тогда декартово
произведение lf,X^2 — топос.
Доказательство. Легко проверить, что конечные
пределы в 8 ι Χ 8г могут быть вычислены отдельно по каждому
множителю, что (Ух, У2) * 2 = [γ11, Y22j и что (Ω,, Ω2) является
классификатором подобъектов для 8 t X 82- □
Теперь следует ввести подходящее понятие морфизма топо-
сов. Может показаться, что морфизмом топосов мог бы быть
просто функтор, сохраняющий конечные пределы, экспоненциалы и
классификатор подобъектов. На самом деле так определяется
понятие логического функтора; примеры логических функторов
играют важную роль в теории топосов. Например, функтор вклю-
лг
чения 9Ί —*■ 9", как и проекции 8х X 82 —*■ 8{, являются
логическими функторами. Но имеется другое понятие — а именно,
понятие геометрического морфизма, во многих отношениях
гораздо более важное.
1.16 Определение. Пусть 8, 2F—топосы.
Геометрический морфизм SF —>8 состоит из пары функторов /„.: SF -*-&%
/*: ё? -*■ &~, называемых прямым и обратным образами
морфизма /, таких, что /*-]/* и функтор /* точен слева. Если ^~zt8 —
два геометрических морфизма, то естественное преобразование
η: f-*■ g имеет смысл естественного преобразования функторов
η
/* —* g*, которое, конечно, индуцирует путем сопряжения един-
ственное преобразование g* ~> /#· Топосы, геометрические мор-
физмы и их естественные преобразования, очевидно, образуют
2-катеторию, которую будем обозначать £ор.
Говорят, что геометрический морфизм &~ —* 8 является
существенным, если функтор /* имеет сопряженный слева /, и
сопряженный справа /*. D
1.17 Примеры, (i) Пусть Χ, Υ* — топологические
пространства. Тогда, как мы уже видели в 0.26, каждое непрерывное
отображение X-*■ Υ определяет геометрический морфизм Shv(X)-»-
->Shv(7); таким образом, операцию образования категорий
пучков можно рассматривать как функтор esp -»- £ор.
(ii) Пусть (С, /)—сайт. Тогда из замечаний, приведенных в
конце § 0.3, следует, что функтор включения Shv (C^ /) -*- 9>
представляет собой прямой образ геометрического морфизма, а
его обратный образ — функтор ассоциирования пучка.
(iii) Пусть 8,, 8г — топосы. Тогда проекция 8г X 82 —» 8Г
является обратным образом геометрического морфизма, а его

48
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
прямой образ — функтор X <-*■ (X, 1). Если <§х имеет начальный
объект 0 (что на самом деле всегда верно, как мы увидим в
§ 1.3), то этот морфизм является существенным, причем
сопряженный слева к π( задается сопоставлением X ь* (X, 0). Π
Дальнейшие примеры геометрических морфизмов будут часто
встречаться в последующих параграфах.
1.18 Предостережение. В некоторых работах
(особенно в [GV]) при определении стрелок категории £ор принимаются
соглашения, «двойственные» соглашениям определения 1.16;
в них за естественное преобразование / —»■ g принимается
естественное преобразование /* ->■ g* или g* —*■ /*. Мотивы
принятия соглашений определения 1.16 станут очевидными в § 4.3.
1.2. Отношения эквивалентности π частичные отображения
1.21 Лемма. В топосе любой мономорфизм является
уравнителем.
Доказательство. Морфизм 1 —*·Ω является расщепи-
мым мономорфизмом и, следовательно, уравнителем для 1а и
Ω ->■ 1 —> Ω. Но каждый мономорфизм является подъемом мор-
физма t. Π
1.22 Следствие. Топос уравновешен (т. е. морфизм,
являющийся мономорфизмом и эпиморфизмом, является
изоморфизмом). □
1.23 Предложение. В топосе отношения эквивалентности
эффективны {ср. 0.43).
а
Доказательство. Пусть R^tX — отношение эквива-
ь
лентности, Χ χ Χ -*■ Ω — классифицирующее отображение для
R > >- Χ χ X, а. X—> Ω — его экспоненциальная
транспозиция. [Заметим^ что в 9? объект Ωχ является множеством
подмножеств X, а Φ — отображением, которое переводит элемент из X
в его класс эквивалентности по модулю_Д.] Покажем, что R^tX
является ядерной парой отображения Ф.
Пусть U^tX — пара морфизмов, коуравненных посредством
Ф. Применяя затем экспоненциальное сопряжение, получим
0 (/ Χ 1χ) = 0 (g X lx): U X X -*■ Ω, а устраивая композицию с
U >ϋχΧ, получим 0(/, g)=Φ(g, g). Но так как отноше-
ние R рефлексивно, U —»■ XXX пропускается через R, и,
следовательно, Φ (g, g) классифицирует максимальный подобъект
ι
U > >- U. Значит, Φ (/, g) также классифицирует этот
подобъект; поэтому (/, g) пропускается через R.

1.2. ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
49
В обратную сторону следует показать, что Фа = ФЪ, или, что
то же самое, что подобъекты из RXX, классифицируемые
посредством Ф(аХ1х) и Ф(ЬХ1х), изоморфны. Но если
осуществить композицию этих подобъектов с мономорфизмом R X
(а,Ь)Х1
χΧ> >-ХХ XXX, то в силу симметричности и транзитивности
отношения R в каждом случае получим «объект Д-эквивалент-
ных троек», т. е. пересечение подобъектов из XX XXX,
полученное подъемом морфизма R > >ΧχΧ вдоль (πι, π2) и
(л2, π3). Π
1.24 Определение. В частности, определим синглетонное
отображение {): X—*■ Ωχ как экспоненциальную транспозицию
классифицирующего отображения δ: XXX—*■ Ω для диагональ-
д
ного отображения X > *■ Χ χ X. Из предложения 1.23 следует,
что { } — мономорфизм, так как (1х, 1Х) является его ядерной
парой. Π
1.25 Определение. Частичное отображение X —»■ Υ в
категории & — эта диаграмма следующего вида:
X' —*υ
1'
X
Будем говорить, что частичные отображения с областью
значения Υ представимы, если существует такой мономорфизм
Υ > >-Υ, что для любого Χ—-Υ существует единственный
X —*■ Υ ι позволяющий образовать декартов квадрат
х· L—*ύ
ά 1
χ ι—>Ϋ
(Заметим, что частичный случай Υ = 1 сводится к определению
Ω.) □
1.26 Теорема (Ловер — Тьерне). Все частичные
отображения в топосе представимы.
Доказательство. Пусть Φ: ΩΓ Χ Υ —*■ Ω
классифицирует график синглетонного отображения, т. е. мономорфизм
(<>,1у) _
Υ > >- Ω χ У, и пусть Φ: ΩΓ —*■ ΩΓ — его экспоненциальная
транспозиция. Определим Υ > >-Ω как уравнитель Φ и 1(Ων)·
[Можно представлять, что Ϋ является «совокупностью
подмножеств Υ, имеющих самое большее один элемент».]

50
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
Теперь поскольку { } — мономорфизм, легко убедиться, что
диаграмма
(0.1 у)
Ух У
0*ir
+ Ω χ У
представляет собой декартов квадрат, но это означает, что
Φ ({ } X 1у) классифицирует диагональный подобъект Υ Χ Υ, и,
следовательно, Φ . { } = { }. Таким образом, { } пропускается
через У > >-Ω , давая нам мономорфизм Υ > >-У.
Теперь пусть X —»· Υ — частичное отображение. Тогда
график / (т. е. мономорфизм X' > ' > Χ Χ Υ) классифицируется
морфизмом ψ: XX Υ—*■ Ω. Мы желаем показать, что ψ: Χ—*-ΩΓ
пропускается через Ϋ, но это равносильно проверке того, что
X'-
-+Υ
(Ί.Λ
((}· 1 V)
φ X 1
■>ПгхУ
ХхУ-
— декартов квадрат или, что то же самое, что декартовым
квадратом является диаграмма
В самом деле, предположим, что заданы морфизмы U—>X, U—>Y
с ·ψα = { )Ь\ тогда получим ψ (о, b) = 6(b, b) = (U—*■ 1—»■ Ω),
так как (Ь, Ь) пропускается через Υ > *■ Υ χ Υ. Следовательно,
(α, Ъ) пропускается через Х_> —L^- Χ X У единственным образом.
Поэтому квадрат (/, d, { >^_ -ψ) декартов, и мы имеем
факторизацию f: !Х —+Ϋ морфизма ψ через Υ > *ΩΥ.
Из предыдущего также следует, что квадрат

1.2. ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
51
декартов; остается только показать единственность /.
Предположим, что f ι и ft удовлетворяют этим условиям; тогда, двигаясь
в обратном направлении по вышеприведенному доказательству,
можно показать, что обе экспоненциальные транспозиции ком-
позиций X —> Υ >—»■ Ω классифицируют один и тот же под-
объект произведения Χ Χ Υ, а именно, график /. Следовательно,
они равны, а так как Υ > >- Ώ является мономорфизмом, то
Ϊ1 = f 2.
Заметим, что из утверждения единственности в определении
1.25 следует, что У>-» Υ является на самом деле функтором
& -*■ & и η — естественное преобразование.
1.27 Следствие. Объекты Ϋ, построенные в теореме 1.26,
инъективны; следовательно, топос, в частности, имеет
достаточно много инъективных объектов, т. е. для любого X имеется
мономорфизм Υ > *■ Ε с инъективным Е.
Доказательство. Предположим, что дана диаграмма
А> + Х
Образуем декартов квадрат
Х"> * X
У> " *Ϋ
тогда у нас имеется такой единственный Χ-+-Ϋ, что квадрат
Х"> * X'
1 . 1 .
у> η- ► γ
тоже декартов. А треугольник
Χ·> у X
коммутативен, так как оба пути представляют одно и то же
частичное отображение X' -- Y. Q

52
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
1.28 Следствие. Допустим, что нам дана амальгама
X *■ Υ
S v
ζ ► τ
« топосе, причем / — мономорфизм. Тогда g — также
мономорфизм, а квадрат, кроме того, является декартовым.
Доказательство. Пусть Z-^Y представляет частичное
отображение
X *Υ
s
Ζ
Тогда конус \У-*■У, Ζ —> у) пропускается через амальгаму Т,
и, в частности, мономорфизм η пропускается через g.
Следовательно, g — мономорфизм, а значит, квадрат
X *Y
S ч
является декартовым, как и исходный.
1.3. Категория #ор
Исходное определение элементарного топоса, как оно было
дано Ловером и Тьерне, включало условие, что & должна
обладать конечными копределами и конечными пределами. Миккелсен
[84] первым показал, что эта аксиома на самом деле может быть
выведена из аксиом определения 1.11; доказательство, которое
кратко излагается в данном параграфе, предложено Паре [96].
Пусть Р: &°р -*■ & обозначает «контравариантный функтор
множества-степени», т. е. ΡΧ = ΩΧ, и если /: 'Х-*- Υ, то Pf: ΩΓ -»■
-*- Ωχ является транспозицией композиции
ΩγχΧ^ΩγχΥ^Ω
{ev обозначает функцию значения, т. е. коединицу
экспоненциального сопряжения). Будем писать Р* для тех же данных,
рассматриваемых как функтор & -»· &ор.
1.31 Лемма. Имеется сопряжение (Р% -j P).
Доказательство. Это утверждение означает, что у нас
имеется биекция (естественная по X и Υ) между морфизмами

1 3. КАТЕГОРИЯ S
53
Χ -*- Ωγ и морфизмами Υ -*- Ωχ. Но и те и другие естественно
соответствуют морфизмам Χ Χ Υ -*- Ω, так как ХХУ^УХХ D
Теперь, если /: X—>-У—мономорфизм, то можно определить
морфизм 3 / : Qx —»- ΩΓ, а именно, как транспозицию
классифицирующего отображения мономорфизма
qx > >ΩΧ χΧ>^ΏχχΥ
(€х — подобъект, классифицируемый морфизмом Ω χΧ-^-ζΐ).
1.32 Лемма («условие Бека»). Пусть квадрат
будет декартовым с мономорфизмами g, h. Тогда диаграмма
qy р-1 *ωχ
Ω
Pk
3»
Ωζ
коммутативна.
Доказательство. Легко проверить, что оба внешних
пути, будучи транспонированы, представляют собой
классифицирующие отображения одного и того же подобъекта Ω,7 ΧΖ, а
именно, Е> ,ЙГХХ>^ЙТХ Ζ, где
Ε >-€,,
I I
является декартовым квадратом.
1.33 Следствие. Если X)-*Y— мономорфизм, то Pj. 3/ =
= 1(о*)·
Доказательство. Применим лемму 1.32 к декартову
квадрату
X >Х
s a

54
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
1.34 Теорема (Паре). Функтор Ρ является монадическим,
т. е. <§** эквивалентна категории алгебр для монады над &,
индуцированной сопряжением леммы 1.31.
Доказательство. В силу теоремы 0.13 достаточно
показать, что &"ор имеет коуравнители рефлексивных пар, что Ρ их
сохраняет и что Ρ отражает изоморфизмы. Но первое из этих
условий тривиально, так как коуравнители в <1Гор как раз
являются уравнителями в &.
f e
Пусть X —*■ Υ =5 Ζ — диаграмма корефлексивного уравнителя
в &, т. е. рефлексивного коуравнителя в dfcp. Так как имеется
d
морфизм Z-+Y такой, что dg — dh = ir, то g и
h—мономорфизмы, а диаграмма
-+Y
I' . I
-+Z
является декартовым квадратом. Применяя к нему лемму 1.32,
имеем Э/.Р/ = Ph3g, а поскольку / и g — мономорфизмы,
имеем Pf. 3/ = l(Qx). Pg. 3g = l(Qyj. Таким образом, диаграмма
-^>ΩΧ
э9 эу
образует расщепимый коуравнитель в &, в частности, является
коуравнителем Pg и Ph.
Пусть теперь X —* Υ — морфизм в &. Тогда композиция
Υ —->· У —> li j как легко видеть, является транспозицией
классифицирующего отображения графика /. Следовательно, если
X^tY — такая параллельная пара, что Pf = Pg, то графики /
и g изоморфны как подобъекты Χ Χ Υ, откуда легко следует, что
f = g. Таким образом, Ρ унивалентен и, в частности, отражает
мономорфизмы и эпиморфизмы, следовательно, по лемме 1.22 он
отражает изоморфизмы.
Итак, условия теоремы 0.13 выполнены. О
1.35 Замечание. В частном случае &—5Р теорему 1.34
можно рассматривать как следствие теоремы Линденбаума—Тар-
ского ([ВА], теорема 25.1) о том, что 9"°* эквивалентна категории
полных атомарных булевых алгебр; она является вариетальной
(varietal) категорией в смысле [177] и, следовательно, монади-
ческой над 9". Подобное «алгебраическое» описание &'9 для
случая произвольного топоса & было дано Миккелсеном [84] (см.
также [23]). □

1.3. КАТЕГОРИЯ <S"op
55
1.36 Следствие. Τ опое имеет конечные копределы. Более
того, если он имеет бесконечные пределы конкретного типа, то
он имеет соответствующие копределы.
Доказательство. Хорошо известно, что стирающий
функтор категории алгебр над 8 задает все типы пределов, какие
существуют в <§. Но пределы в <1Гор как раз являются копределами
в *. Π
1.37 Следствие. Пусть Т: &—*■&" — логический функтор.
Тогда
(i) T сохраняет конечные копределы',
(п) если имеется функтор, сопряженный к Τ слева, то
имеется также функтор, сопряженный к Τ справа.
Доказательство. По определению Τ коммутирует с
точностью до изоморфизма с сопряженными функторами леммы 1.31
и сохраняет конечные пределы. Поэтому (i) вытекает
непосредственно из следствия 1.36, а (И) получается в результате
применения теоремы 0.15. Ε
На самом деле можно показать (см. [54]), что также верно
утверждение, обратное утверждению (ii) следствия 1.37; итак,
если обратный образ геометрического морфизма является
логическим, то этот морфизм является существенным.
1.38 Пример. В завершение параграфа покажем, как
можно использовать лемму 1.31 и теорему 1.34 для явного
построения коуравнителен в 0%.
Предположим, что дана параллельная пара X^tY',
8

построим диаграмму
РХТ
4
Р)
PY*-
РРРХХ
РЯ
PPPf
pPPg
PPPY+-
♦
ι
I '
I
PPZ
где τη — уравнитель Pf и Pg, α — единица сопряжения (Ρ* -| Ρ),
а г существует как факторизация через уравнитель. Теперь
построим диаграмму
ΡΡΥ-
-+Е
-+ΡΖ
ρρρργΙΣΐ^ ρρρζ
где s — уравнитель Р, и αΡΖ', тогда q существует как
факторизация через уравнитель и является коуравнителем / и g. □

56
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
1.4. Функторы замены базы
Пусть X —*■ Υ — морфизм в топосе S. Поскольку S имеет ка*
ионические подъемы, операция подъема вдоль / дает нам
функтор замены базы /*: S/Y -+S/X.
1.41 Лемма. В любой категории S с расслоенными
произведениями функтор f* имеет сопряженный слева функтор Σ/3
SIX -*■ SIX.
Доказательство. Определим Σ/\Ζ—>XJ = [Ζ ->X—>Y).
Сопряженность тривиальна. Π
1.42 Теорема (Ловер — Тьерне). Пусть S — топос и X —
объект из S. Тогда SIX — топос и функтор
X*:S-+S/X;Y~[yx X^-x)
(т. е. функтор замены базы вдоль X -*■ 1) является логическим.
Доказательство, (i) Произведения в SIX соответствуют
расслоенным произведениям над X в S, а уравнители те же
самые, что и в S (т. е. их задает Σχ). Из леммы 1.41
непосредственно следует, что X* сохраняет пределы.
(ii) Так как мономорфизмы в SIX те же самые, что и в S,
то очевидно, что Χ* (Ω) является классификатором подобъектов
для SIX.
( е \{т+х)
(ш) Чтобы образовать в SIX экспоненту [Ζ—*-X) 3
допустим, что Θ: ЗГ Χ Υ —*■ X представляет частичное
отображение
/
■*Х
(/, ir)
ХхУ
Теперь построим декартов квадрат
тогда для любого Т—>Х имеется последовательность естествен-

1.4. ФУНКТОРЫ ЗАМЕНЫ БАЗЫ
57
ных биекций:
-*-Е наи X
-> ζΎ над т-^ X -^'Х1
ТхУ >-ZHafl ТхУ-^ХхУ-^-Х
ТхУ-
Z над ТххУ-
ТхУ
->Х'
ТххУ-
Z над X.
Следовательно, Ε -*■ X является искомым экспоненциалом, и
легко проверить, что если Υ, Ζ имеют вид А XX, В XX, то
Вл X X также обладает свойствами экспоненциала и, таким
образом, изоморфен Е. Следовательно, X* сохраняет
экспоненциалы. Ε
1.43 Следствие. Для любого Χ—>Υ β <% функтор замены
базы /*: S/Y—+&/Х является логическим, и к нему справа
сопряжен П,: SIX -+ SIY.
Доказательство. Рассматривая / как объект SIY,
можно отождествить SIX с категорией (SlY)lf. Поэтому, переходя к
топосу SJY, мы сводим задачу к случаю Υ = ί. Но уже
известно, что в этом случае по теореме 1.42 /* является логическим, и
существование Hf следует из леммы 1.41 и утверждения (ίί)
следствия 1.37. О
1.44 Пример. В случае & = 9" объекты из 9ΊΧ удобно
рассматривать как «семейства множеств, помеченных
элементами Хъ. В терминах такой интерпретации функтор /* можно
описать как «переставляющий метки вдоль /», т. е.
f*(Sv]ye:Y) = (Snx)]x^X).
А функторы Σ/ и Tlf соответствуют тем, которые образуют ко-
произведения и произведения по слоям функтора /. т. е.
Σ/(5ϊ|ιεΧ) = (ί Π Sx)
nf(Sx\xe=X) = (( Π Sx
y^Y)
yezY). О
1.45 Пример
рить с помощью
классифицирует
Рассмотрим морфизм 1 -
что П,(Х).
D
теоремы 1.26
-> Ω. Легко
-(*-ω),
прове-
где Φ

58
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
1.46 Следствие. Любой морфизм X—*-Y в 8
индуцирует геометрический морфизм 8/X —> 8/Υ, где /„. = П^ и /* —
функтор замены базы. Таким образом, у нас имеется функтор
8 -»- Xof/8 для любого топоса 8, определенного на объектах
выражением
Следует отметить две особенности геометрических морфизмов
8IX -»- 8/Υ, производных от морфизмов 8: они существенны и
их функторы обратного образа являются логическими. На самом
деле справедлива следующая обратная теорема.
1.47 Теорема. Пусть SF-><%— существенный
геометрический морфизм такой, что /* — логический морфизм и морфизм /,,
сопряженный слева к /*, сохраняет уравнители. Тогда
существует такой объект X топоса 8 (единственный с точностью до
изоморфизма), что ff" эквивалентен SIX и это отношение
эквивалентности отождествляет /,, /* и f% с Σχ, Χ* и П*
соответственно.
Доказательство. Так как /* сохраняет Ω, у нас
имеется естественная биекция между морфизмами У—*■ Ω в &" и мор-
физмами /,У -»- Ω в 8, т. е. между подобъектами У в ff" и под-
Ό
объектами /,У в 8. Поэтому, если Y—>Y— такой морфизм в ST,
что /ι(σ) является изоморфизмом, то функтор замены базы σ*
индуцирует биекцию между подобъектами У и подобъектами У,
и, в частности, если σ — мономорфизм (так что σ* (σ) ^ ly» ^
^о*(1У) как подобъекты У), то мы имеем о=1У, как подобъ-
α
екты У, т. е. σ — изоморфизм. Теперь пусть Υ^Ζ—
параллельная пара в &", так что /ι(α) = /,(β); тогда, применяя предыдущее
рассуждение к уравнителю У > *■ Υ морфизмов α и β, выводим,
что α = β. Итак, /, является унивалентным функтором, и, в
частности, он отражает мономорфизмы и эпиморфизмы,
следовательно, в силу следствия 1.22 он отражает изоморфизмы.
Пользуясь утверждением, двойственным теореме 0.13,
получаем отсюда, что /, является комонадическим функтором, т. е.
что &~ эквивалентен категории 8G коалгебр для комонады С,
индуцированной сопряжением (f\ -\ /*). Теперь определим
X — f\f*{i^y. достаточно показать, что <Б изоморфна комона-
Де С, функторная часть которой представляет собой (-)ХХ:
8 —»■ 8 с коединицей и коумножением, заданным посредством
п1 1ΧΔ
U χ X —*U и U χ X —*■ U Χ Χ χ Χ соответственно, так как
можно легко увидеть, что 8ς, ^ 8/Х.
Но имеется очевидный морфизм комонад θ: <ε-*-([). который
задан тем, что компонентами морфизма Qv'· fJ*U -*■ U X Χ яв-

1.4. ФУНКТОРЫ ЗАМЕНЫ БАЗЫ
59
ляются коединица сопряжения (/ι Ч/*) ПРИ U и ftf*(U -*■ 1)
соответственно. Поэтому достаточно построить двустороннюю
инверсию для Θ. Этого можно достигнуть следующим выводом:
f*U-^+f*f,f*U
1 »(/*/./* 1У*17 a f*{(f,f*V)u) (так как /* сохраняет
экспоненциалы)
xg/,ι—nf,f*uf
где α —единица сопряжения (/ι Ч /*)· Доказательство того, что ψ
является двусторонней инверсией для θ^, состоит в
утомительном, но бесхитростном диаграммном поиске. □
1.48 Замечание. Как показывает следующий пример, для
того чтобы доказать теорему 1.47, необходима гипотеза, что f,
сохраняет уравнители (эта гипотеза, конечно, верна для
геометрических морфизмов, возникающих, как в следствии 1.46).
Пусть G — нетривиальная группа, и рассмотрим существен-
ный геометрический морфизм 9 -^д*, определенный
равенством i*(S) = S, причем G-действие тривиально, γ* (Μ) —
множество G-фиксированных элементов из Μ, γ, (Μ) — множество
G-орбит из М. Сопряженность (vj4 7*4 V*)легко проверить, и из
примера 1.14 непосредственно следует, что γ* — логический
функтор. Но ясно, что 9° не эквивалентна 9ΊΧ ни для
какого X. (Читатель может проверить, что функтор γι сохраняет
корефлексивные уравнители; поэтому в теореме 1.47
недостаточно только допустить, что /ι сохраняет корефлексивные
уравнители.) □
Особенно важным следствием теоремы 1.42 является то, что
она позволяет свободно пользоваться в рассуждениях
«обобщенными элементами». По аналогии со случаем йГ = 9" будем
называть элементом (или иногда глобальным элементом) объекта X
категории йГ любой морфизм 1 —»■ X. Но ясно, что в общем
случае топоса объект 1 не является образующей, и поэтому объект
не определяется заданием его глобальных элементов;
следовательно, мы пришли к тому, чтобы по принципу леммы Йонеды
рассматривать «элементы объекта X, определенные над U», т. е.
морфизмы U -*■ X для переменного объекта U. (Если у &
имеется набор образующих, мы можем ограничиться теми U, которые
лежат в этом наборе, но для текущего рассмотрения эта
возможность не важна.)
Теперь из леммы 1.41 сразу следует, что морфизмы U -*- X
биективно соответствуют глобальным элементам объекта U*X в
топосе &/U, а так как U* — логический объект, такие элементы
можно интерпретировать точно так же, как глобальные элемен-

60
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
ты X в 8. Так, например, когда мы говорим об Ωχ как об
объекте подобъектов из X, мы имеем в виду не только то, что его гло-
бальные элементы биективно соответствуют морфизмам lies
^IXX—*-Ω и, следовательно, подобъектам X в 8, но и то, что
его [/-элементы U—*■ Ωχ соответствуют подобъектам U*X в 8/U
и это соответствие естественно по U.
Особенно важным обобщенным элементом объекта X
является его общий элемент х, который можно описать в 8 как
тождественный морфизм Х-*- X или в 8IX как глобальный
элемент
ν * *ХхХ
из Х*Х. Он обладает следующим универсальным свойством: для
любого обобщенного элемента U-^X из X имеем /*(#) = /;
поэтому, если имеется высказывание об обобщенных элементах из
X, истинность которого сохраняется функторами замены базы и
которое истинно для общего элемента, то оно истинно для всех
обобщенных элементов и, в частности, для всех глобальных
элементов из X.
1.49 Примеры. Приведем пару типичных примеров
применения общих элементов на практике.
(i) Построим морфизм Υ Χ Υ -» Ω , который «интерна-
лизует» операцию образования уравнителя параллельной пары
морфизмов X ^tY. Будем писать Ζ вместо Υχ Χ Υχ; тогда в то-
посе 8/Ζ имеем общий элемент Ζ*Ζ ^ Ζ*ΥΖ*Χ χ Ζ*ΥΖ*Χ%
который можно рассматривать как общую параллельную пару
Ζ*Χ^Ζ*Υ. ^Построение ее уравнителя в 8ΙΖ дает нам подобъ-
ект из Ζ*Χ, который можно рассматривать как глобальный
элемент из Ωζ*χ =έ Ζ* (Ωχ). Но такой элемент согласно лемме 1.41
соответствует морфизму Ζ—*■ Ωχ в 8; он и есть искомый
морфизм. Поскольку функторы замены базы сохраняют
уравнители, можно легко увидеть, что отображение, индуцированное мор-
физмом eq на {/-элементах Υχ Χ Υχ, совпадает с отображением,
индуцированным при образовании уравнителей параллельных
пар в 8/U.
(ii) Аналогично, можно интернализовать операцию
образования пересечения (расслоенного произведения) пары подобъектов
объекта топоса 8 с помощью единственного морфизма Ω χ Ω—>Ω.
Для этого возьмем общую пару подобъектов объекта 1 в
8/Ω Χ Ω (т. е. подобъектов, которые классифицированы двумя
проекциями произведения ΩΧΩ—»-Ω), образуем их пересечение
/■

1 5. ЭПИМОНОРАЗЛОЖВНИЯ
61
и затем возьмем их классифицирующее отображение. Можно·
также описать Д более явно как классифицирующее отображе-
ние для 1 > >-ъ£ X "; нетрудно проверить, что это
отображение обладает нужными свойствами. О
Мы вернемся к идее общих элементов в более формальном
контексте языка Митчела — Бенабу в § 5.4.
1.5. Эпимоноразложения
1.51 Лемма. В топосе копределы универсальны, т. е.
сохраняются функторами замены базы (см. 0.42(ii)).
Доказательство немедленно следует из существования
функторов П/ (следствие 1.43). Ε
Из леммы 1.51 могут быть введены многие важные свойства
точности, например,
1.52 Теорема (Келли—Тьерне). Любой морфизм в
топосе можно разложить на эпиморфизм, за которым следует
мономорфизм. (Это разложение единственно с точностью до
изоморфизма, как следует из 1.22.)
Доказательство. Пусть дан Χ—*-Υ1 образуем
диаграмму
R-
где (а, Ь) является ядерной парой /, a q— коуравнителем (а, Ь).
Нужно показать, что i — мономорфизм. Предположим, что име-
id. Образуем де-
ется пара морфизмов
картов квадрат
Т:
*<?
S
Ах
(9. Μ
Λ
такая,
е
1 хЯ
что ic
—►Г
> π
1 Υ
<«\ d)
*Q
тогда fg — iqg = ice = ide — fh, поэтому (g, h) факторизует по-
(а.ь) k . /£
средством R>—»■ Χ χ X (скажем, посредством морфизма S -»'
Теперь се = qg = qak = qbk = gh = de, но q X q — эпиморфизм^
следовательно, мы можем разложить его в виде (q X 1Q) (ljtX?),
причем оба сомножителя являются эпиморфизмами согласно
определению 1.11 (ii). Таким образом, е является эпиморфизмом а
силу леммы 1.51 ис = А □

62
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
1.53 Следствие. В топосе каждый эпиморфизм является
коуравнителем.
Доказательство. Предположим, что / в диаграмме
теоремы 1.52 является эпиморфизмом. Тогда эпиморфизмом
является также г, и, следовательно, г является изоморфизмом в силу
следствия 1.22. Таким образом, / — это коуравнитель своей
собственной ядерной пары. □
1.54 Замечание. Теорема 1.52 и ее следствие 1.53 в
сочетании с высказыванием 1.23 доказывают, что топос — это
точная категория в смысле Барра [2]. Π
Поскольку топос содержит копроизведения и допускает эпи-
моноразложения, видно, что можно образовать конечное объеди-
нение подобъектов, т. е. пусть заданы подобъекты Хг >-
> >■ Υ, Х2 > >■ Υ, тогда образ Х1 w Х2 > >- Удля Хг и Х2
ω
является наименьшей верхней гранью а и Ь в частично
упорядоченном множестве подобъектов объекта Y. Но то обстоятельство,
что копроизведения универсальны, позволяет нам дать другое
описание Χι ^-> Х2, во многом более удобное.
1.55 Предложение. Пусть Хх> > Υ, Х2 > >■ Υ — два
подобъекта в топосе &. Образуем их пересечение (расслоенное
произведение)
XtnX2>
-X.
-> У
х2>
и их объединение, как было сделано выше. Тогда квадрат
Х,пХ2> : ►*,
ά
χ2> -χ^χ2
представляет амальгаму.
Доказательство. По определению амальгамой с и d
является уравнитель морфизмов
Хх г\ Х9 ζΞζ. Х-, и X.
2—* 'ЧЦл!1
v2c
в то время как эпиморфизм Хх π Х2 —»*■ ^i w ^2 но построе-
еию теоремы 1.52 является коуравнителем для R ^5 Хг η Х2, где
(ь)
R — ядерная пара для Хх π Х2 —*■ Υ. Но так как в с? копроиз-

1.5 ЭПИМОНО РАЗЛОЖЕНИЯ
63
ведения универсальны, декартов квадрат
R ^Х,мХ2
f (ι)
С) ^
XluX2 ^— У
можно разложить в копроизведение четырех объектов RiS (1 ^ it
/<2),где -Rf, — это подъемХ{ в X,·.Записывая е;,·, /fJ для
композиций е, / с включением R{j -*- R, имеем, что Х^ Х2—»■ -*Х\ ^ Х^
является общим коуравнителем четырех пар (е«, /у). Но а и Ъ—
мономорфизмы, поэтому еи =/и и е22 = /22; следовательно, эти
две пары не влияют на коуравнитель. Итак, Д12 = Д21 = Х1'~>Х2,
причем е,2 = ViC = /21, e2l — v2d = /i2, так что общий коуравнитель
(ei2, /i2) и (е21, /21) является просто коуравнителем v^ и v2d, т. е.
амальгамой end. □
1.56 Лемма. Начальный объект 0 β топосе является
строгим, т. е. любой морфизм X -*■ 0 является изоморфизмом.
Доказательство. Предположим, что дан такой морфизм;
тогда по тривиальным причинам диаграмма
X »-0
к *о
является декартовым квадратом. Но 10 — начальный объект в
с?70, поэтому в силу леммы 1.51 \х является начальным
объектом в SIX, из чего следует, что X — начальный объект в <§. О
1.57 Следствие. Копроизведения в топосе дизъюнктны
{см. определение 0.42(i)).
Доказательство. По определению квадрат
0 >Х
.г
γ—-—>-xu υ
является амальгамой. Но в силу леммы 1.56 0—*■ X и 0—*■ Υ
тривиально являются мономорфизмами; следовательно, согласна
следствию 1.28 данный квадрат является декартовым. О
1.58 Замечание. Сочетание утверждений 1.23, 1.36, 1.51,
1.53 и 1.57 позволяет убедиться, что, исходя из аксиом
определения 1.11, можно доказать истинность всех тех условий теоремы
Жиро (0.45), которые не зависят явно от теории множеств.
Таким образом, мы убедились, что определение 1.11 можно
рассматривать как подходящее «элементарное» обобщение понятия
топоса Гротендика. □

64
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
Упражнения к главе 1
1* (Кок [66]). Покажите, что аксиомы (ή) и (ш)
определения 1.11 можно заменить одной аксиомой: «Для каждого
объекта X категории 8 существует объект-степень РХ и подобъект
£х > >■ РХ X X такие, что для каждого объекта Υ и каждого
подобъекта R > *■ Υ χ Χ существует такой единственный мор-
физм Υ-*- РХ, что квадрат
!—+ РХхХ
декартов».
[Метод. Определите отображение 1 *■ РХ так, чтобы оно
соответствовало X > *■ X ^ 1 X X, и определите синглетонное
отображение X -^ РХ так, чтобы оно соответствовало X > —*■
А т
> *■ Χ χ X. Теперь пусть Ρ (Χ χ У)хХ-> ΡΥ соответствует
подобъекту б(ХХУ) произведения Ρ(ΧΧΥ)ΧΧΧΥ, пусть
Q ** Υ
(1
Р(Х χ У) χ λ' —* ΡΥ
— декартов квадрат, а Р (Χ Χ Υ) —*■ РХ соответствует
подобъекту Q. После этого постройте декартов квадрат
Ух у\
"ν
■ г
Р(Х χ У) г—► РХ
и докажите, что Υχ обладает свойством универсальности
экспоненты. Наконец докажите, что ^(1)—классификатор подобъ-
ектов.]
2. Покажите, что аксиому (i) определения 111 можно свести
к утверждению, что у 8 имеются конечные произведения и
конечный объект и что всегда существуют расслоенные произведе-
R
УхХ-

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1
65
ния диаграмм следующего вида:
->Ω
[Метод. Постройте уравнитель для Χ^}Υ и образуйте его
классифицирующее отображение X -*- Ω.]
3. (Хиггс). Пусть Ω > у Ω — мономорфизм в топосе, a U > »■
> *-Ω—подобъект, классифицируемый посредством а.
Рассматривая подобъект U, классифицируемый посредством т,
докажите, что диаграмма
коммутативна, и выведите, что диаграмма
ι
является декартовым квадратом. Тем самым покажите, что
а2 = 10.
4 (Энджинс [33]). Пусть On означает класс ординальных
чисел, рассматриваемый как (большая) категория, в смысле его
обычного упорядочивания. Докажите, что Э' является то-
посом, но Э' — не топос. [Сравните с примером 1.14]
5*. Докажите, что объект топоса йГ инъективен тогда и
только тогда, когда он является ретрактом Ω* для некоторого X.
Выведите, что если Ε инъективен, то функтор Ζ?(-): &°р—*■ &
сохраняет рефлексивные коуравнители.
6. По аналогии с примером 1.38 покажите, как можно
использовать теорему 1.34 для построения копроизведений в топосе.
7. Пусть X — топологическое пространство, а Е-^Х —
локальный гомеоморфизм. Докажите, что топос Shv(X)/r(#, p)
эквивалентен Shv(Z?).
8*. Пусть ё — категория с конечными пределами. Докажите,
что 8 декартово замкнута тогда и только тогда, когда для
каждого морфизма X с областью значений 1 с функтором замены
5 П. Т. Джонстон

66
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
базы X* справа сопряжен некоторый функтор Их. [Указание:
если 8 декартово замкнута, покажите, что ΐΙχ[Υ-^ X) можно
определить с помощью декартовой диаграммы
Ux(h) -1 ]
■ г ■ г
ух - »χ*
9. Пусть &~—> <§—геометрический морфизм, X—объект <8%
a Y — объект &~. Рассматривая обобщенные элементы,
покажите, что объекты /# (Υ**χ) и {f*Y)X изоморфны в &.
10*. Пусть X —> Υ — морфизм в топосе <§. Используйте эпи-
моноразложение, чтобы определить морфизм 3 /: Ωχ -*■ ΩΓ без
допущения, принятого в § 1.3, что / — мономорфизм. Покажите,
что X»Qx,f~3f является ковариантным функтором & -*■ <%
и что лемма 1.32 остается истинной, если устранить
ограничение, что g и h — мономорфизмы. Покажите, что если / —
эпиморфизм, тоЗ/. Pf=ipr, и что функтор / ь-»- Э/ сохраняет
декартовы квадраты следующего вида:
X !- -У
I- I·
ζ -—*-т
где g, h — мономорфизмы.

ГЛАВА 2
ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
2.1. Внутренние категории и диаграммы
Одна из главных тем, проходящих через всю теорию
(элементарных) топосов, состоит в том, что топосы следует считать
«универсумом рассуждения», в котором можно производить
всевозможные построения почти так же, как и в категории
множеств, и почти с такой же эффективностью. Некоторые
примеры из этой темы нам уже встречались в § 1.4; в этой главе
нашей целью будет развить теорию категорий в стиле, который
был бы внутренним по отношению к любому топосу. Однако
основные определения внутренней теории категории можно
показать в значительно более общем контексте, чем топос. Поэтому
вначале от категории <§ мы потребуем лишь существования
конечных пределов. Другие аксиомы топоса будут привлекаться в
рассуждениях по мере необходимости.
2.11 Определение. Внутренняя категория С в <%
состоит из:
(i) пары объектов С0, С, (называемых объектом объектов и
объектом морфизмов категории С соответственно);
(ii) четырех морфизмов С1-^*- С0, С1-^- С0, С0-*- Сх и С2 =
= С л.х с 0 Сг -*- Сг );
(ш) при этом d0i = d^ = iC(j, d0m = d0nlt dxm = d^,
m(l X m) =m(mxl): С3 = С1Хс0С1Хс0С1-+С1 и m(ixi) =
= m{i X l) = lc1-
Внутренний функтор (или морфизм внутренних категорий)
' 0 1
/: С -*■ D состоит из пары морфизмов C0-*D0, C1~^D1, комму-
*) Соглашение. Всегда, когда Сг появляется как множитель
расслоенного произведения над С0, мы пишем его слева от символа χ с ,
если оп рассматривается как объект со структурным отображением du и
справа, если он рассматривается как объект со структурным
отображением do Итак, символ Сл X, г Сл означает расслоенное произведение
1 о
t -С.
1- 1-

68 ГЛ 2. ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
тирующих с d0, dt, I и т. Через cat(^f) мы обозначаем категорию
внутренних категорий и функторов в 8. (На самом деле
cat(<?f) есть 2-категория, поскольку можно также ввести
понятие внутреннего естественного преобразования, однако эта
дополнительная структура нам не понадобится. Детальное
изложение теории внутренних категорий с точки зрения 2-категорий
читатель найдет в монументальной работе Грея [168].) С
2.12 Определение. Пусть Cecat(^f).
(i) Категория С называется частично упорядоченным множе-
(do-di)
ством, если Сх *■ С0 χ С0 — мономорфизм.
(и) Категория С называется дискретной, если i —
изоморфизм (откуда вытекает, что d0, dt и m — также изоморфизмы).
(ш) Категория С называется моноидом, если Со — конечный
объект 1.
(iv) Двойственная категория Сор к С определяется
перестановкой морфизмов d0 и dt и перестановкой в определении т. С
2.13 Замечание. Напомним, что если Δ обозначает
категорию (ненулевых) конечных ординалов и их отображений,
сохраняющих порядок, то симплициальным объектом категории
8 называют функтор Δ°ρ—*-8. (Эквивалентно, симплицнальный
объект определяется заданием последовательности объектов
Сп (п>0) и морфизмов ά?1: C„-^-Cn_1(0^ i-^.n), s": Cn~*-
-*- Cn+i (0^ 7 ^ и), удовлетворяющих определенным
соотношениям; cm[CW], § VII.5 или [CF], глава II.) Беря теперь в
качестве Сп (η 5= 2)и-кратное расслоенное произведение Сг χ с0 Сх X
Хс ... Хс Сц можно убедиться, что данные определения 2.11
суть в точности то, что необходимо для превращения
сопоставления (п <-* Cn-i) в симплицнальный объект категории <§. [В случае
8 = 91 объект Сп является множеством компонуемых и-ок
морфизмов из С, морфизмы d™ задаются опусканием первого
или последнего морфизма и-ки (έ = 0 или п) или композицией
двух соседних морфизмов, а морфизмы sj вставляют
тождественный морфизм в одно из га + 1 возможного места его
расположения.] Обратно, симплициальный объект категории 8
можно получить (с точностью до изоморфизма) этим способом
из внутренней категории тогда и только тогда, когда он
точен как функтор Δορ -»- 8. Поэтому категорию cat(^f) можно
отождествить (с точностью до эквивалентности) с полной
подкатегорией категории simpl(^f) симшшциальных объектов
в 8. □
В случае 8 = 9' это симплициальное описание малых
категорий впервые было использовано Гротендиком [43]. Однако в
отличие от 2.11 это описание нельзя превратить в элементарное
определение внутренней категории (так как категория Δ не
конечна и даже не конечно представима), тем не менее читатели,

2.1. ВНУТРЕННИЕ КАТЕГОРИИ И ДИАГРАММЫ 69
уже знакомые с теорией симшшциальных объектов, вероятно,
сочтут его более удобным для работы.
В случае <§ = 9" обычно рассматривают не только функторы
из одной малой категории в другую, но также функторы из
малой категории в большую, в частности, в саму категорию 9"*
Чтобы сделать это понятие внутренним, вводится понятие
внутренней диаграммы. Внутренняя диаграмма на С должна состоять-
из (^-индексированного семейства объектов категории &
(которое согласно идеям § 1.4 мы интерпретируем как объект
относительной категории &/С0), оснащенного морфизмом, который
описывает, как С£ действует на данной диаграмме. Формально,
имеем
2.14 Определение. Пусть Cecat(<?f). Внутренняя
диаграмма F на С состоит из
(i) объекта F0-*-C0 из <1Г/С0,
(ii) морфизма e:F1=F0 Xc0C1-^F0,
(iii) при этом γ0β = d,Jt2, е (1 Χ ι) = 1F и е (е X 1) = е (1 X те):
Морфизмом внутренних диаграмм f : F —>■ G называют мор-
физм F0 -*■ G0 над Со, коммутирующий со структурными морфиз-
мами е. Через & мы обозначаем категорию внутренних
диаграмм на С. □
Меняя ролями d0 и d, в 2.14, приходим к понятию контра-
вариантной внутренней диаграммы на С (обычно называемой
внутренним предпучком на С). Следует отметить также, что
некоторые авторы используют термин «внутренний функтор» для
того, что мы называем внутренней диаграммой.
2.15 Замечание. Пусть F—внутренняя диаграмма на С.
Тогда легко убедиться, что если Fn (и>1) определено как
произведение F0 Xc0Cn, а 7п = л2: Fn-*~Cn, то данных определения
2.14 достаточно, чтобы превратить F во внутреннюю категорию,
для которой γ станет внутренним функтором F -*■ С. (Например,
отображениями d0, d^. F^^^t-F,, будут соответственно Πι и е.)
Обратно, объект F -*■ С из cat(^f)/C изоморфен объекту,
построенному таким способом, в том и только в том случае, когда квадрат
Г о
декартов. (Внутренний функтор, удовлетворяющий этому
условию, называют дискретным корасслоением; в действительности
это специальный случай понятия расщепимого корасслоения, по.
поводу которого см. упражнение 6 в конце настоящей главы.

70
ГЛ 2 ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
Внутренние функторы, которые сопоставляются тем же
способом внутренним предпучкам, называются дискретными
расслоениями.) Итак, категорию & (с точностью до эквивалентности)
можно отождествить с полной подкатегорией в cat(<??)/C,
объектами которой являются все дискретные корасслоения, с
Следующие четыре результата доказываются непосредственно
при помощи диаграммного поиска.
2.16 Лемма, (i) Категория cat(^) имеет конечные
пределы; на самом деле их можно ввести с помощью стирающего функ-
тора cat{8)-+8Х8, С*-(С, С.).
(ii) Категория & имеет конечные пределы и функтор
включения 8 -*■ cat(^f)/C задает их. □
у 6
2.17 Лемма. Пусть C->D->E— морфизмы из cat(<?f).
(i) Если γ и δ— дискретные корасслоения, то и композиция
δγ является дискретным корасслоением.
(ii) Если δγ и δ — дискретные корасслоения, то и γ —
дискретное корасслоение.
2.18 Следствие. Пусть F — внутренняя диаграмма на С,
a F -*■ С — соответствующее дискретное корасслоение. Тогда
категория {&> )/F эквивалентна <§ . и
f
2.19 Лемма. Пусть С~> D — морфизм из cat(^T). Тогда
функтор замены базы /*: cat(<lf)/D -*■ cat(^f)/C сохраняет
дискретные корасслоения, а потому индуцирует функтор j*\8 ->
—><??. [В случае 8 = Я' этот функтор отвечает операции
композиции функтора D -»- & с С-*- D.] π
2.2. Внутренние пределы и копределы
2.21 Предложение. Пусть CeCat(<lf). Тогда стирающий
функтор
является монадическим.
Доказательство. Определим функтор Тс как
композицию
»1С9-*>81СХ-^81С0.
Тогда для любого морфизма X -*- С0 из &/С„ отображения
1 X i:X-+XXc0C1 и iXm: X XcfiXc0Ci~^XXc0C1 задают
морфизмы tiy: у-*-Тс(у) и μν: ТсТс{у)-^-Тс(у) из &/С0,
естественные по γ, а из соотношений 2.11 (Ш) вытекает, что

2 2 ВНУТРЕННИЕ ПРЕДЕЛЫ И КОПРЕДЕЛЫ
7ί
Тс = (Тс, Ц, μ) — монада на <§1Сй. Пусть теперь F = \F0-^C0, e) —
внутренняя диаграмма на С. В этой ситуации первое
соотношение из 2.14(ш) показывает, что е задает морфизм Тс(у0)~^-у0
в <??/Со, а Два других соотношения в точности означают, что это
структурное отображение Тс- алгебры. Поэтому категория &с
изоморфна категории Тс- алгебр. □
2.22 Следствие. В частности, стирающий функтор из
2.21 имеет левый сопряженный функтор R: £?1С0->-&с· Если
Х->С,— объект из &/С0, то диаграмма Λ (γ) соответствует
дискретному корасслоению
"И
Со 1 Со 1 . ' Со 1
яз i\it2
Cl . fC0
Диаграммы, лежащие в образе функтора R, называют предста-
вимыми. □
2.23 Пример. Пусть 8 = 91 и £7—объект малой категории
С, рассматриваемый как морфизм 1 -*■ С0. Тогда, как легко
проверить, диаграмма R(u) соответствует представимому функтору
hu—homc(U,—).В более общей ситуации R \Х-*~С0)
соответствует Х-индексированному копроизведению представимых
функторов. Заметим, что лемма Ионеды (0.11) есть просто
утверждение о том, что функтор R сопряжен слева к рассматриваемому
стирающему функтору, а лемма 0.12 аналогично сводится к
утверждению, что любой объект категории алгебр свободно
представим ([CW], с. 149). □
Предположим теперь, что в 8 имеются рефлексивные коурав-
нители.
2.24 Определение, (i) Определим функтор lira: cat(JP)-»-
d° \
-> 8 соотношением limC = coeq I C1 =? С0 I. (Заметим, что пара
(d0, di) рефлексивна с общим расщепляющим морфизмом i.)
(ii) Определим функтор lime: <!ГС-><!Г соотношением.
limc(F-i-c) = limF. D
2.25 Лемма, (i) Функтор lira сопряжен слева к функтору
Δ: & -*■ cat(dr), переводящему объект X в дискретную
категорию ix^xj.

72
ГЛ. 2. ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
(ii) Функтор lime сопряжен слева к функтору С*: <§ ->& ,
переводящему объект 'X в постоянную диаграмму
Доказательство. Прямая проверка. □
Однако в случае & = & сопряженность 2.25(H) есть в
точности определяющее свойство копредела функтора С -*■ 9" (см.
[CW], с. 67); тем самым для limc вполне оправдано название
функтор копредела для внутренних диаграмм на С. Фактически
2.25 (ii) можно перефразировать, сказав, что категория &
является внутренне кополной.
Следующая техническая лемма имеет ряд важных
приложений:
2.26 Лемма. Пусть Х-+С0— объект из SIC^. Тогда
limc(R(y))^X.
Доказательство. Согласно 2.22 достаточно показать, что
Χ χ . С, χ г С, =: А" χ С, -JLL* X
Со I Го Ι , χ „, ( О 1
есть диаграмма коуравнителя; на самом деле это расщепи-
мый коуравнитель, расщепляемый с помощью
Другое, более идейное доказательство леммы 2.26 можно
получить из наблюдения, что диаграмма
с*
коммутативна. Значит, соответствующая диаграмма
s/c0—-**— s
из левых сопряженных функторов также коммутативна с
точностью до изоморфизма.
Ввиду 2.25 (ii) интересно узнать, когда функтор С* имеет
правый сопряженный limc. Но если С — дискретная категория
(так что & £* SjCu, это эквивалентно вопросу о существовании

2.3 ДИАГРАММЫ В ТОПОСЕ
73
функтора ПСо, определенного в 1.43. Поэтому из
упражнения 1.8 мы знаем, что для этого необходима декартова
замкнутость <£. На самом деле это условие и достаточно:
2.27 Предложение. Декартово замкнутая категория
внутренне полна, т. е. для любой категории С из cat(^T) имеется
функтор lime: <??c-> &, сопряженный справа к С*.
γ
Доказательство. Пусть F-*■ С — дискретное
корасслоение. Определим морфизм h: Пс0 (γη) -*■ П^ (vj так: пусть β—
коединица сопряжения [С* -| ПСо); тогда по определению
транспозицией морфизма h является композиция
С*(Пс0 Ы) si d*0C*0 (ПСо Ы) -^ d*0 (γ0) е*У1.
Определим теперь объект limc(i') как уравнитель диаграммы
пСо(>·»
где ι0, ϊΊ — включения, возникающие в конструкции из
упражнения 1.8. [Заметим, что в случае & = 9> из 1.44 следует, что это
есть в точности стандартная конструкция пределов через
произведения и уравнители ([CW], с. 109).]
Но морфизмы Х->ПС (γ0) в <§ соответствуют морфизмам
X XC9-+F0 над С0, и / пропускается через предыдущий
уравнитель тогда и только тогда, когда коммутативен квадрат
ХхС,
<W ι
■+F.
1 xi,
ХхСп
-*■ F
1 л
-о о
т. е. тогда и только тогда, когда / индуцирует морфизм
диаграмм С* {X) -*■ F. Это и дает требуемую сопряженность. □
2.3. Диаграммы в топосе
В настоящем параграфе исследуются некоторые специальные
свойства внутренних категорий в случае, когда основная
категория & — топос. Однако на самом деле мы не будем использовать
аксиоматику топоса в полную силу; кроме доказательства теоре-

74
ГЛ 2. ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
мы 2.32, все последующие рассуждения верны в любой категории
<5 со свойством, что 8IX декартово замкнута для каждого X.
Такие категории Пенон [100] называет локально замкнутыми,
а Дей [158] — замкнутыми относительно оболочки; помимо топо-
сов важными примерами таких категорий являются разные
декартово замкнутые модификации категории esp.
2.31 Предложение. Пусть 8 — топос, а С — внутренняя
категория в 8. Тогда стирающий функтор U: 8е->Ж'1С„из 2.21
является комонадическим.
Доказательство. Функтор Тс, определенный в 2.21,
имеет правый сопряженный Gq, а именно, композицию
8/с0-*8/с1-*8/с0.
Значит, в силу 0.14 С? с составляет функторную часть
некоторой комонады Сс> для которой категория Сс- алгебр
изоморфна 8е. D
2.32 Теорема (Ловер — Тьерне). Пусть G = (G, 8, δ) —
такая комонада на топосе 8, что функтор G точен слева. Тогда
категория 8'$>- коалгебр является топосом и существует
геометрический морфизм 8 -+8$, прямой и обратный образы
которого являются косвободным и стирающим функторами
соответственно.
Доказательство, (i) Так как G точен слева, то
стирающий функтор 8&-+8 вводит конечные пределы; поэтому они
существуют в<??с·
(и) Для данных коалгебр [X-+GX) и [Y-+GY) построим
их экспоненту (У, Ф){Х·Э) в виде уравнителя диаграммы
г'(* ) >. rztr.vx
G(GY*
+ G(GYGX)
где ρ: G(YX)-+- GYGX — экспоненциальная транспозиция мор-
<ризма
G(Υχ) XGX^G{YXX X) ^lGY.
^Заметим, что этот уравнитель обладает структурой коалгебры,
поскольку все морфизмы данной диаграммы являются
гомоморфизмами коалгебр, все объекты при этом считаются косвободны-
ми коалгебрами.)
Но для любой коалгебры (Ζ, ψ) имеется естественная биек-
ция между гомоморфизмами коалгебр (Ζ, ψ)-*- (G(YX), δ) й 8-
морфизмами Ζ -*■ Υχ, т. е. ^f-морфизмами ΖΧΧ-+ Υ. Однако ут-

2 3. ДИАГРАММЫ В ТОПОСЕ
75
верждение, что Ζ χ Χ->-Υ —гомоморфизм коалгебр,
эквивалентно утверждению о коммутативности диаграммы
Ζ Ί- ►Υ* - »GYX
ψ GY<>
GZ-^G(YX) P—+GYGX
которое в свою очередь эквивалентно утверждению, что
соответствующий гомоморфизм коалгебр Z-+G(YX) пропускается
через уравнитель, определенный выше. Поэтому данный
уравнитель и есть требуемая экспонента.
(hi) Аналогично, классификатор подобъектов Ωσ категории
&g можно отождествить с подкоалгеброй коалгебры (GQ, δ),
а именно, с уравнителем треугольника
СП — ►GQ
где τ — классифицирующее отображение для G (ί): 1 ^ G (1) > >-
> *■ GQ. Теперь гомоморфизмы коалгебр (Χ, Θ) -*■ (GQ, δ)
соответствуют <У-морфизмам X -*- Ω, т. е. произвольным подобъектам
объекта X категории 8. Как и в (ii), находим, что те
гомоморфизмы, которые пропускаются через указанный выше
уравнитель, в точности соответствуют тем подобъектам в !Х, которые
имеют (неизбежно одну) структуру подкоалгебры.
(iv) To, что функторы, указанные в формулировке теоремы,
образуют геометрический морфизм, немедленно следует из (i). Π
2.33 Следствие. Если 8 — топос и Cscat(^f), то 8 —
топос. -
Доказательство. Поскольку функтор Сс имеет левый
сопряженный, то он точен слева. Поэтому требуемое
утверждение выводится непосредственно из 1.42, 2.31 и 2.32. □
Более того, в силу 2.25 и 2.27 функтор С*: 8'-»- 8
обладает левым и правым сопряженным функтором, а потому
является обратным образом существенного геометрического морфизма
8с -*■ 8. В действительности имеем более общий результат.
Прежде чем его формулировать, напомним, что согласно 2.19 для
любой натегории 8 с конечными пределами и любого морфизма
C-»-D из cat(dr) подъем вдоль / индуцирует функтор/*:<? -»~
-+8С.

76
ГЛ. 2 ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
2.34 Теорема, (i) Если категория & имеет рефлексивные
■коуравнители и функторы замены базы в <£ их сохраняют, то
f* имеет левый сопряженный функтор lim^: ^fc->^fD,
(ii) Если & — топос, то /* имеет правый сопряженный
функтор limy.
Доказательство, (i) Из 2.16 легко выводится
коммутативность диаграммы
S° +ёс
и г
£/D0—& -*/С0
Но так как функторы замены базы сохраняют рефлексивные ко-
уравнители, то то же самое верно для функтора ΤΌ] значит,
функтор задает рефлексивные коуравнители, и, в
частности, они существуют в <8 . Теперь ввиду 1.41 и 2.21 мы
можем применить теорему о подъеме сопряжения (0.15) и
получить функтор, сопряженный слева к /*.
Аналогично доказывается (ii) с помощью результатов,
двойственных к 0.15, 1.43 и 2.31. □
2.35 Следствие. Пусть $ — топос. Тогда сопоставление
С I *-&с, f I >■ /Ίίπΐ/, ΙΛ определяет функтор {в смысле 2-ка-
тегорий) cat(^f) —»- sboy/^f. Более того, если топос & вложить в
cat(<?f) с помощью функтора Δ из (2.25 (i) )т то композиция <$'-*·
—*■ cat(Jf)->- ?ор/<1Г будет (с точностью до изоморфизма)
функтором из 1.46. □
В случае & — 9" существование и свойства сопряжений к /*
впервые рассмотрел Кан [171]; по этой причине функторы lira/ и
limy известны как левое и правое (внутреннее) расширения
Кана вдоль /. Заметим, что если в 2.34 в качестве D взять
дискретную категорию I (т. е. конечный объект в cat(^f)), то
получим функторы liroc и limC) определенные в 2.24 и 2.27
соответственно. Значит, эти функторы можно было бы определить
с помощью теоремы 0.15; однако их более явное описание, данное
в предыдущем параграфе, полезно на практике. В следующем
параграфе будет дано более явное описание функторов Пт^
для общих / через тензорное произведение внутренних профунк-

2.3. ДИАГРАММЫ В ТОПОСЕ
77
торов; особенно удобного описания функторов lim, в общем
случае, по-видимому, не имеется.
Несколько другой взгляд на левые расширения Кана дает
следующий результат.
2.36 Предложение. Пусть <§ — категория с конечными
пределами, a D — внутренняя категория в &. Тогда равносильны
следующие утверждения:
(i) Для любого морфизма C-»-D существует левое
расширение Кана Иго/.
(ii) Функтор включения <§ ->-cat (<?f)/D имеет левый
сопряженный функтор L.
Доказательство. Зная Iim^, определим L соотношением
L(c-^D) = lim/(c^c). Тогда
для люоого дискретного ко-
расслоения F -*■ D морфизмы С -*■ F над D отвечают
глобальным элементам подъема /*(γ) в cat(^f)/C (или в <% ), а
потому морфизмам L (/) = limbic)-*-γ в & .
Обратно, если задан функтор L, то определим limf как
композицию
8* ™ cat (g)/C ^ cat (#)/D -*■ Я».
Снова легко проверить требуемую сопряженность. □
Очевидно однако, что для правых сопряженных функторов
нет аналога предложения 2.36. Отчасти это понятно из того, что
функтор замены базы /*: cat(^f)/D -*■ cat(<??)/C не всегда имеет
правый сопряженный, даже если & — топос. Конечно, интересно
знать, когда же такое правое сопряжение возможно;
сформулированная ниже теорема, принадлежащая, по существу, Кондюше
[20], предлагает некоторый ответ на этот вопрос. (Мы опускаем
детали доказательства в силу их некоторой неприглядности и
потому, что этот результат нигде не используется в данной книге.)
2.37 Теорема. Пусть & — топос, а С -*■ D — морфизм из
cat(df). Обозначим через Pf, Qf расслоенные произведения
lxi'xl
соответственно, а через Ct-*- Pf — морфизм, индуцированный

78
ГЛ. 2. ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
С2 *-D2XC1. Тогда функтор замены базы /*: cat(^f)/D -*■
->-cat(^f)/C имеет правый сопряженный функтор П4 в том и
только в том случае, когда диаграмма
Ι χ m
Q,=ZC2-^Pf
является коуравнителем. [В случае & = 9? это условие означает,
что если для морфизма а из С задано разложение /(а) в
композицию двух морфизмов из D, то имеется, по существу,
единственное разложение а в С, отображающееся в заданное
разложение в D.] □
Существование дополнительной структуры на категории
внутренних диаграмм, что видно в частности из 2.33 и 2.35,
показывает одно из преимуществ ситуации, когда в качестве основной
категории & взят топос. Другое преимущество заключается в
возможности строить с помощью аксиом топоса внутренние
категории частного типа, обладающие некоторыми специальными
свойствами. Следующий важный пример, которым мы
воспользуемся в главах 4 и 6, принадлежит Бенабу [7].
2.38 Пример. Пусть 8 — toijoc, a U-*-X — морфизм из 8.
Рассматривая / как «Х-индексированное семейство объектов
категории &t>, мы можем построить внутреннюю категорию
Full^>(/), которая играет роль «полной подкатегории в <§,
объектами которой являются слои /», а именно: Full^ (/)0 = X,
a Full J" (/)г >- Χ Χ X есть экспонента щ (/) 1 ,
построенная в топосе &1Х X X. Поскольку функтор замены базы
сохраняет экспоненты, то задание умножения bFuII^ (/)
равносильно заданию морфизма π* (/)"ι(/) Χ π* (/j"»w -> π* (Ζ)"1 ω в
S/XX XXX, пъ качестве такового мы берем отображение
внутренней композиции. Аналогично, включение единичных стрелок
категории Full^ (/) определяется как морфизм Ιχ —> Ρ в &/Х.
Отметим также, что категория Full^ (/) снабжена
канонической внутренней диаграммой, играющей роль «функтора
включения» ; попросту это объект U -*■ X из SIX, снабженный
структурным отображением относительно подходящей монады,
которое по существу есть отображение вычисления я2 (f)"1 X пг (j)—>-
-> л* (/) в 8/Х XX. Π
Как указал Пенон [100], в действительности 2.38 есть
специальный случай гораздо более общей конструкции, относящейся
и локально внутренним категориям: это обобщение обсуждается
в Приложении.

2 4. ВНУТРЕННИЕ ПРОФУНКТОРЫ
79
Другой более тривиальный (но столь же полезный) источник
примеров внутренних категорий заключается в следующем:
2.39 Пример. Пусть <§ — топос. Тогда каждую конечную
(внешнюю) категорию С можно отождествить с внутренней
категорией 1(C), интернализацией категории С. Для этого
множество из ρ элементов отождествим с ^-кратным копроизведени-
ем 1 в <§, а отображение конечных множеств — с подходящей
смесью канонических включений. Более того, если F -*- / (С) —
дискретное корасслоение, то ввиду универсальности копроизве-
дений в 8 мы можем рассмотреть морфизм F0 -*■ I (С)0 = Ц 1
«ес0
как Co-индексированное семейство объектов F (и) = vu (γ0), а
отображение действия F0 X цс)0Ц Сi) ~*~ F0— как семейство мор-
физмов F (и)—*- F (ν) для каждого и -*■ ν из С. Поэтому
категория эквивалентна категории (внешних) функторов
С -*■ <£". По этой причине конечную категорию и ее интернали-
зацию мы обычно не различаем между собой.
2.4. Внутренние профункторы
В этом параграфе вводится некое обобщение понятия
функтора, восходящее к Бенабу, которое сыграет важную роль в
доказательстве теоремы Диаконеску (4.34). Пока предположим,
что категория & имеет конечные пределы и рефлексивные ко-
уравнители, причем последние универсальны (т. е. сохраняются
при заменах базы).
2,41 Определение. Пусть С и D — внутренние категории
в <о'. Под внутренним профунктором из С в D понимаем
внутреннюю диаграмму на Сор X D. Эквивалентно, профунктор G оп-
ределяется заданием объекта G0 *· С0 X D0 из &/С0 X D0,
наделенного левым и правым отображениями действия
С1 XC(|G0->G0 и G0 Xd0D1-^G0 над C0XD0 такими, что
α и β ассоциативны и унитарны (в смысле 2.14), а также
коммутируют друг с другом. Через G: С—>D мы обозначаем
профунктор G из С в D, а через Prof g (С, D) —категорию ^c°Pxd
профункторов С—>D. Π
Отметим, что профунктор С—>D можно рассматривать
эквивалентно как внутренний предпучок на D*(C) в <8 или
С°Р
как внутреннюю диаграмму на (C0P)*(D) в 8 . В частности,
категории © ор и © можно отождествить с категориями
Profg (С, 1) и Prof,r (l, С) соответственно.

80 ГЛ. 2. ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
2.42 Определение. Пусть В, С, D — три внутренние кате-
F G
гории, а В *"С *"D — два профунктора. Определим про-
функтор
F®G: В—>D
с
следующим способом: (F® G)0 есть коуравнитель пары
с
I ход (
F„xr С, xr G„ >-^ηχί„^η
О Го i 'о о ,f х j о Со и
в ^Г/50 Χ Д,. Поскольку эта пара рефлексивна с расщеплением
^о Хс0^о »" ^о Хсо^"1 Xc0Go! то согласно предположениям
относительно &
ι χ ι χ ас —.
^eoVcoC.XcoGo^^Xeo^Go >Bi4l^.
— коуравнитель, но поскольку 1X аа и β? Χ 1 эквивариантны
относительно а*·, последнее действие индуцирует левое действие
^Х^^^с^о-^^^с^о·
Аналогично, рс индуцирует правое действие категории D на
(F <g)cG)o', легко проверить, что эти индуцированные действия
удовлетворяют нужным соотношениям. Более того, нетрудно
убедиться, что ®с— в действительности бифунктор
Prof g (В, С) X Prof g (С, D) -> Prof g (В, D). Π
2.43 Предложение. Бифунктор ®с ассоциативен с
точностью до согласованного естественного изоморфизма.
f о
Доказательство. Рассмотрим профункторы В—>С—>
с т* н
—>D—>Е. Они задают диаграмму
Fo х с„С, х сА х DoD, χ DoH0 '. Fo х c0G0 x D„D, x Β„ί/0 HF ®CG)0 X „oD, χ „Η0
II II II
I
f0 X C„C, X C0<G ®DH>0 I fo X cJG ®D ")o
Ее первые две строки и первые два столбца являются коуравни-
телями в силу предположений на <%\ поэтому коуравнитель
третьей строки канонически изоморфен коуравнителю третьего
столбца. Но по определению они совпадают с (F <S>c{G ®d#))o и
(F ®cG) ®όΗ) соответственно, а указанный изоморфизм,

2.4 ВНУТРЕННИЕ ПРОФУНКТОРЫ
81
очевидно, является изоморфизмом профункторов В—>Е.
Более того, каноническое происхождение данного изоморфизма
обеспечивает его естественностью по F, G и Я, а также
выполнением обычного пятиугольного условия согласованности ([CW],
с. 158). □
Пусть теперь С -*- D — внутренний функтор. Определим по
нему профунктор /#·' С—>D следующим способом:
(/*)„ = Со XV?i ' С0 X D0
с левым действием категории С, задаваемым так:
Г ν Γ ν П Со"1-"^1"1-"з)) „
Ci Хс0С0 Хг>0#1 >- 60 Xd0#i,
и правым действием категории D, задаваемым так:
lXm
С0 XV>! ХвД-* С0 ХвД.
(сг0л1,л2)
Аналогично, объект D1Xd0Cq >D0XC0 из &/D0XC0
превращается в профунктор / : D —*■ С. В частности,
заметим, что оба профунктора (1с) # и (1с) представляют собой
(do-di)
(с точностью до изоморфизма) объект С1 >- С0Х С0 с
левым и правым действиями, заданными умножением т; этот про-
^унктор мы обозначаем через У (С) и называем профунктором
онеды на С.
2.44 Лемма. Для любой категории В диаграмма
Prof^DJ-^^-Prof^C)
сВ°ру"
<' * Л' . Ub°p-c
коммутативна с точностью до естественного изоморфизма.
Аналогично, функтор /#(8>d(—) отождествляется с заменой базы
(/°РХ1)*.
G
Доказательство. Пусть В—> D — профунктор. Тогда
имеется расщепимый коуравнитель
Go х Во°, х 0oDi х о„Со Км[ ,> С0 χ BoD, х DoCn *G0 χ BoC0 = ((1 x/)*G)0
1 * 1 Μι/ο 1) 1 Mi/o. 1>
Но это есть в точности коуравнитель, определяющий \G (g)D/ )„.
Непосредственная проверка показывает, что действия категорий

82
ГЛ. 2. ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
В и С на {G (g)D/ )0 совпадают с их действиями на
<(1X/*)G).. Π
2.45 Следствие. Профунктор Йонеды У (С) является (с
точностью до канонического изоморфизма) двусторонней единицей
бифунктора ®с. Значит, внутренние профункторы в <§
составляют l-стрелки бикатегории Φΐοί^, объектами которой
являются внутренние категории.
Доказательство. После 2.44 остается проверить лишь
условия согласованности, связывающие изоморфизм единицы для
Υ (С) с изоморфизмом ассоциативности из 2.43; доказывается
это утомительно, но прямолинейно. Π
Рассмотрим теперь профунктор f#®x>f#: С— >С.
Согласно доказательству леммы 2.44 объект объектов этого про-
функтора совпадает со стрелкой г ν η ν г ^,п*)г ^ г
ί-ο Χΰ0^ι Xd0^o *-С-0 X t-os
и морфизм С! ί-Ц X ^ X C0 индуцирует морфизм προ-
функторов
Аналогично, (/* <8>c/#)o есть коуравнитель пары
и морфизм />! Хв0С0 ХиД i—4»i?i пропускается через
него, индуцируя морфизм
/*<8>c/*^r(D).
Непосредственно проверяется, что η и ε удовлетворяют
треугольным соотношениям
У (С) ® /, '- ►/,
η ® I I /
//, ® Я ® Λ ~Ξ+ /, ® (/* ® /,) -^> /, ® Y(D)
и
/* ® у(С) = ► Г
I ® 1| ' '
/· ® (Λ ® Я~^(Г ®Л) 0/*-^^^ У(О) ®/·

2.4. ВНУТРЕННИЕ ПРОФУНКТОРЫ
83
а потому профунктор /* сопряжен слева к /# в бикатегории
5Ptof^, В частности, отсюда получается
2.46 Лемма. Для любой категории В диаграмма
Prof^B, С)-
1-)®сГ,
■* Prof^B, D)
коммутативна с точностью до изоморфизма. (Аналогичное верно
для /#<8>с(-)·)
Доказательство. Так как профунктор /# сопряжен
справа к /* в Φιοί^, то функтор (—) <8> /+ сопряжен слева к
(—)<8>/*. Поэтому требуемое непосредственно вытекает из 2.44. □
Из 2.46 можно вывести следующий технический результат,
важный для § 4.4:
2.47 Следствие. Пусть С-*■ D — внутренний функтор,
G— внутренний предпучок на С, a F—внутренняя диаграмма
на D. Тогда имеется естественный изоморфизм
U*F)®cG^F®OninifC
{limfC\.
Доказательство. Соедините 2.44 и 2.46 с изоморфизмом
ассоциативности {F ®d/#) <S>cG ^ F (g)D (/* ®cG). □
Как видно из 2.44 и 2.46, функторы /* и Нш/ можно описать
с помощью тензорного произведения профункторов. Теперь мы
покажем, что верно и обратное.
G
2.48 Теорема (Бенабу [6]). Пусть С *■ D —
внутренний профунктор. Тогда в cat(<?f) существует диаграмма
D
такая, что G^ γ# (8>gO# в Prof^ (С, D). Следовательно, для
любой категории В функтор (—) (S)cG: Prof^ (В, C)->Prof^> (В, D)
, rrw°Pyr.(lxv>* ~,b°Pxg -^<гхе> «boPxd
изоморфен композиции & * в . '^ &

84
ГЛ. 2. ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
Доказательство. Определим d с помощью декартова
квадрата
+ Gixc„Go
g0x.>,A *Go
a d0, dx: G^r^G,, как композиции лД и π2μ соответственно.
Чтобы определить умножение Gr Xg0Gi~>- &ι, рассмотрим
диаграмму
G1XG„G1
Do'
^C1XC„G1
Co
1 «1
Gi x0oi>i -£П-* С, xCoG0 xDo Dt ^* G0 xDoD1
Cixc0Go-
^Gn
каждый квадрат которой декартов. Тогда ώιΠ2λΠιφ = δοβλπ£φ =■
= δοΠϊ^Πιφ = δοΠιλπζψ = йоЯгЯпг'ф, поэтому (ΠϊλΠιφ, ΠϊλΠϊψ)
отображает (?ι Xg0Gi β D1Xd0D1. Значит, определен морфизм
ρ = (π1λπ1φ, TO(n2Xnt9, π2λπ2ψ)): Gt Xe0Gi-*G0 ХвД.
Аналогично определяется
σ = (/«(π^φ, я^я2г|)), π2μπ2ψ): Gt XGGt-±Ct XCG0%
а вместе они задают умножение т: GiXo0Gi-*-Gi. Его
унитарность и ассоциативность вытекает из соответствующих
законов для умножения в С и D.
Рассматривая теперь γ£ = π£μ: Gi-^-Ci и δ£ = π2λ: С?£ -*- D£
ν б
получаем требуемые внутренние функторы G ->- С и G ->· D.
Чтобы установить изоморфизм G = γ* (g) δ#, нужно проверить, что
диаграмма
^χ,,Ο,χ^Ρ, ( , ^C1xCoG0xDoD1-^-^G0
является коуравнителем. Для этого воспользуемся
рассуждениями, напоминающими 0.17. Прежде всего имеется расщепимый

2 5 ФИЛЬТРОВАННЫЕ КАТЕГОРИИ
85
коуравиитель
1x1*т- 1x0
ClXC0GO^DoDlXDoD^==^^XCoGO^DoDlZZIll^l><C''Go'
ι х~х"(1,и,) ι х(1,/г0)
Но пара (1Х1Хте, ΐΧβΧΙ) пропускается через
предшествующую папу с помощью морфизма
С, XC„G0 Xco^l X0„D1 ίΧτΧί> Cl XC„G1 XDoDl'
где τ — расщепление морфизма λ, индуцированное морфизмом
G0 >CiXcGQ\ поэтому если С1 Xcfc Χυ^χ->-(?= коурав-
нитель рассматриваемой пары, то q пропускается через
1 Χ β. Аналогично, q пропускается через α Χ 1. Значит, q
пропускается через копроизведение
Cixc„GoxOoDi
1 χβ
-"С, yrG
1 С„ " О
G0xBoDi " У°о
Но непосредственно проверяется, что композиция α(1Χβ) κο-
уравнивает рассматриваемую пару, а потому изоморфна q.
Последнее утверждение теоремы вытекает прямо из 2.44, 2.46 и
ассоциативности тензорного произведения ®. Ε
Заметим, что если С = 1 в 2.48 (так что G есть просто
внутренняя диаграмма на D), то G—> D— дискретное
корасслоение, отвечающее G, как в 2.15. Аналогичное верно, когда D = 1.
2.49 Следствие. Если 8 — топос, то бикатегория Φΐθί^>
G
бизамкнута, т. е. для каждой фиксированной l-стрелки С *■ D
функторы (—) <8>cG и G ®D (—) имеют правые сопряженные.
Доказательство. Из 2.34 известно, что функторы
(IX γ)* и lim имеют правые сопряженные функторы
И1Хб)
lim и (IX δ)* соответственно, поэтому требуемое вытекает
ч— (ιχν)
из 2.48. □
2.5. Фильтрованные категории
Из 2.33 мы знаем, что функтор С*: <%-+& является
обратным образом некоторого геометрического морфизма. Можно
спросить: когда функтор С* будет прямым образом
геометрического морфизма? Другими словами, когда его левый сопряжен-

86
ГЛ. 2 ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
ный функтор Нт точен слева? Для & = ЗР хорошо известно
(см. [CW], с. 211), что операция взятия копределов по малой
категории С коммутирует с конечными пределами в том и
только в том случае, когда С фильтрована. В этом параграфе
соответствующий результат будет установлен для внутренних
копределов; всюду предполагается, что <У — топос, хотя на самом
деле все рассуждения проходят в более общей ситуации точных
категорий (см. [40]).
2.51 Определение, (i) Внутренняя категория С из &
называется фильтрованной, если
(a) С0 -»■ 1 — эпиморфизм. [Интерпретация в случае & = 9':
С непуста.]
(b) Для расслоенного произведения
Ρ ^ -С.
С,
-С
отображение
р- *с0хс0
эпиморфно.
[Интерпретация: любая пара объектов U, V вкладывается в диаграмму вида
(с) Для расслоенных произведений
R
■+С,
С,
Μο,Ίι)
(Ίο.Ίι)
С0 х С0
т-
с,
-+С
(it2.m)
2
Ыг.т)
^ClxCl
отображение Τ *" R эпиморфно. [Интерпретация: для
заданной параллельной пары U -£ У можно указать коуравни-
вающий ее морфизм V -*■ W.]
(ii) Категория С называется слабо фильтрованной, если она
удовлетворяет предыдущему условию (с) и условию
(d) Для расслоенных произведений
С,
-С,
■*с„
с,
i
■>с,

2.5. ФИЛЬТРОВАННЫЕ КАТЕГОРИИ
87
(π1π1'π1π2)
отображение S *· Q эпиморфно. [Интерпретация:
любая диаграмма вида
вкладывается в коммутативный квадрат.] □
Всюду в этом параграфе буквы Р, Q, R, S и Τ обозначают
те же расслоенные произведения, что и в 2.51. Если же мы
хотим уточнить категорию, по которой они построены, то мы
пишем ^с и т. д. Заметим, что если С — частично
упорядоченное множество, то условие (с) излишне, поскольку Re ^ С{ и
Тс ^ Са; работая с частично упорядоченными множествами,
обычно используют термин направленное как синоним
фильтрованного.
2.52 Замечание. Условие (Ь) из 2.51 эквивалентно
следующему утверждению: «Для любого объекта U из & и любой
пары tZ-элементов U^ С0 существует эпистрелка У —*■-* U и
V2
V-элементы V ^ Сх такие, что d{ki = ώιλ2 и ά0%{ = γ,ε (ί = 1, 2)».
λ2
Подобным «элементарным» образом можно переформулировать
и условия (с) и (d).
Доказательство. Предположим, что условие (Ь) выпол-
нено и задана пара
ны базы
U z$ C0. Тогда V строится с помощью заме-
(<»1,<Ы
■> Ρ
и-
Ιϊ1.ϊ2>
С0х^о
и ε эпиморфно в силу 1.51. Обратно, если выполнено предыдущее
условие, то, применяя его к общей паре Са χ С0 ^t C0,
получаем коммутативный треугольник
Со х С о
с эпиморфизмом ε; поэтому Ρ -*С9У.С„— эпиморфизм. □

88
ГЛ. 2. ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
В действительности мы будем пользоваться попеременно
«универсальной» формой условий (Ь), (с) и (d), как они даны в 2.51,
π их «элементарной» формой.
2.53 Лемма. Каждая фильтрованная категория слабо
фильтрована.
Доказательство. Предположим, что категория С
фильтрована. Чтобы доказать элементарную форму условия (d), предпо-
ложим, что нам дана пара U^X Cx, коуравниваемая морфизмом
d0 e βχ
Ci -*■ С0. Нужно построить эпистрелку V -**■ U и пару V ^> С,
такие, что d06{ = d^fe (i=l, 2) и ^(γ£ε, δΙ)=τ»(γϊε, δ2). При-
ει
меняя (Ь) к паре (d^i, d^), находим стрелку W -»■ U и пару
λ1
W^Ci такие, что ώολι = ίί£γ£ε£ (i=l, 2) и ώ£λ£ = ώ£λ2. Но мор-
физмы τ»(γ£ε£) λ£) и m(^tBi, ht):W'^.C1 могут не совпадать,
однако они коуравниваются как стрелкой d0, так и стрелкой d£.
ε2 μ
Поэтому, применяя (с), получаем V -». W и V -> Ct такие, что
'»(/»(γΙε£) λ£)ε2, μ)= т^тп^гЪи λ2)ε2, μ). Далее ввиду
ассоциативности m убеждаемся, что ε = ε£ε2 и 6{ = т(К(Вг,
μ)—требуемые морфизмы. Π
2.54 Лемма. Если С фильтрована, то lira С ^ 1.
——>■
τ
Доказательство. Пусть С0~* £ — «конус копредела»
категории С, т. е. коуравнитель стрелок d0 и d£. Тогда в силу
(Ь) для любой пары морфизмов U^$C0 найдутся морфиз-
8 λχ
мы Υ -»■ U τι V^tCi такие, что τγ£ε = τώ0λ£ = τώ£λ£= τώ£λ2 =
= τώ0λ2 = τγ2ε. Но ε — эпиморфизм, откуда τγ£ = τγ2. В
частности, τ коуравнивает ядерную пару стрелки С0 -*■ 1. Значит, в ви-
лу (а) и 1.53 имеется факторизация
► 1
Но σ — эпиморфизм, поскольку т — эпиморфизм, и σ —
мономорфизм, поскольку его область определения есть 1; поэтому
Lsti. Π
Заметим теперь, что для любой категории Cecat(«§T) с
lim С = L морфизмы, задающие С, определены над L, а потому

2 5. ФИЛЬТРОВАННЫЕ КАТЕГОРИИ 89
категорию С можно рассматривать как объект из cat(^f/L). Это
изменение статуса категории С не меняет понятие «дискретного
корасслоения» над С.
2.55 Предложение. Если категория С слабо фильтрована
в cat(<?f), то она фильтрована как объект из ca.t(&/L). Значит,
С фильтрована в cat^f в том и только в том случае, когда она
слабо фильтрована и lim С ^ 1.
>-
Доказательство. Предположим, что С — слабо
фильтрованная категория в &. Но переход от <§ к &IL не влияет на
условие (с), так как функтор St: &/L-*-jg отражает
расслоенные произведения, а условие (а) в SIL есть просто
утверждение об эпиморфности С0 -*■ L. Поэтому остается доказать условие
(Ь) в &/L, которое эквивалентно утверждению, что образ (в <??)
морфизма Ρ *" С0Х С0 есть в точности произведение
C0XLC0. Обозначим через/) >С0хС0 этот образ. Очевидно,
I ^С0 Χχ, С0, поскольку
С0 и Р-
+ Сп
ό — морфизмы над
L. Однако / есть отношение эквивалентности на С0
(рефлексивность и симметричность очевидны, а транзитивность легко
выводится из (d)). Следовательно, в силу 1.23 существует морфизм
Y,
ядерная пара которого совпадает с /. Но / коуравни-
вает пару С1~+С0, так как морфизм (lc,idA: C1-*-P
задает факторизацию этой пары через /, а потому имеется
факторизация
С„
-++L
Значит, Со Xl Со ^ / и первая часть нашего предложения
установлена. Вторая часть легко выводится из этого и двух
последних лемм. Π
V
2.56 Лемма. Пусть В ->■ С — дискретное корасслоение. Если
С слабо фильтрована, то и В слабо фильтрована.
Доказательство. С помощью диаграммного поиска
непосредственно проверяется, что квадраты
■+R.
и
■+R,

90
ГЛ. 2. ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
декартовы, вертикальные стрелки при этом естественно
индуцированы функтором γ. Поэтому требуемое вытекает из 1.51. □
2.57 Предложение. Если категория С фильтрована, то
функтор lime: & -*-& сохраняет бинарные произведения.
>-
. а*
Доказательство. Пусть F*->-C (i=l, 2)—дискрет-
ные корасслоения с копределами FlQ-»- Lx и пусть G = F1 Xc Fa
имеет копредел G0 -**■ Μ. Но проекции G ->- F индуцируют
0
морфизмы Μ-*■ V, а потому имеется морфизм M-^L1 χ ΖΑ
Нужно показать, что Φ — изоморфизм.
Чтобы установить мономорфность Ф, ввиду 1.52 достаточно
Vl
показать, что любая пара морфизмов U =5 G0, коуравниваемая
композицией Φτ, на самом деле коуравнивается τ. Действитель-
τ φ
но, отсюда будет следовать, что диаграмма G0->-M->- L1 χ L2
и есть эпимоноразложение композиции Φτ. Итак, предположим
заданной такую пару. Запишем каждую из ее составляющих в
виде у} = {у), γ|), где у): U-*Fl0.
Компоненты yl и γ2 коуравниваются морфизмом σ1, а
вследствие 2.56 категория F1 слабо фильтрована, поэтому в силу 2.55
, ι
ε1 λι
существует эпиморфизм V1 -»■ U и морфизмы V1 ^ /"Ί такие,
λ2
ε*
что d^i = άχλ2 и d0hj = γ,ε1. Аналогично, существуют У2->-Е/ и
λ° ■
V^^tF^ Рассматривая расслоенное произведение над U,
мы можем предполагать в действительности, что V = У2 = V
и ε' = ε2 = ε.
Рассмотрим теперь четыре морфизма
μ)=αίλ}: V-^C, (i= 1,2, /=1,2).
Для них выполнено соотношение
ά0μ] = ώοαϊλ) = «odoM = αοϊ)ε = «ο7?ε = ύ0μ] (/ = 1, 2),
так как (γ), γ|) отображает в Fq Xc0^o· С помощью
несложного распространения рассуждений из доказательства леммы 2.53
ε ρ1
находим морфизмы W -**■ V и W=^C1 такие, что »ι(μ}ζ, ρ1)=
о2

2 5 ФИЛЬТРОВАННЫЕ КАТЕГОРИИ
91
= т (μ2ξ, р2) одновременно при / = 1 и / = 2. Заметим, что в
силу того, что а,1 — дискретные корасслоения, мы можем поднять
р' до морфизмов 0г: W->-F\ с йо0* = ^λ^ζ = ά^\ζ. Положим
ψ] = πι(λ}ζ, θ*): W-^Fl; тогда αϊψ} - πι{μ}ζ, ρ1) = πι (μ2ζ, ρ2) =
= a\ty), а потому (ψ), ψ2) — морфизм вида W->-F{ Xc Fl = Gx.
Кроме того, dx (ψ}, ψΐ) = (^θ1, ^02) = dt (ψ|, ψ*) и d0 (ψ), ψ2) =
= (ώ0λ}, ά0λ)) ζ = (y\, γ])ε ζ = γ;εζ. Поэтому γιεζ и γ2εξ коурав-
τ
ниваются морфизмом G0-& Μ, но εξ — эпиморфизм, а потому
γ£ и γ2 коуравниваются τ.
Чтобы установить эпиморфность Ф, рассмотрим морфизмы
(«Jit1, «оЯ2): ^i X ^о ^ С0. В силу 2.51 (Ь) имеются мор-
ε , , λ1
физмы V-» F0X F20 и VrZCt такие, что dX = ЙД2 и
λ2
ίί0λ = α0π ε. Поднимем теперь λ1 до морфизмов μ: V —>- 7^4
с ά0μ' — η'ε и определим отображение ρ == (ίί1μΙ, ίίιμ2): V->-
-+KXc0K = G0. Но Фтр=(а1Ха2)р = (аЧф1,аЧф2)^
= (σ'ίίομι, σ2ώ0μ2) = (σΙ Χ σ2) ε — эпиморфизм, откуда Φ —
эпиморфизм. Значит, в силу 1.22 Φ — изоморфизм. Π
2.58 Теорема. Если категория С фильтрована, то функтор
lime*. & —>■ & точен слева.
*-
Доказательство. В 2.54 мы убедились, что функтор lim
>■
сохраняет конечный объект; поэтому достаточно проверить, что
он сохраняет расслоенные произведения. Но соединяя 2.18, 2.55,
2.56 и 2.57, видим, что функтор lime преобразует расслоенные
произведения над ^F —>■ С) в <§ в произведения категории
& /lim F, т. е. в расслоенные произведения над lime (γ) в &. Π
»- >-
В действительности верно и обратное:
2.59 Теорема. Если функтор lime точен слева, то катего-
>-
рия С фильтрована.
Доказательство, (а) Так как lime сохраняет конечный
»-
объект, то lim С ^ 1; поэтому С0 -»- 1 — эпиморфизм.
►■
■>ι
(Ь) Пусть U=£ С0 — пара EZ-элементов из С0. Рассмотрим
представимые диаграммы R(γ4); тогда в силу 2.26 lime (R (γΟ) =

92
ГЛ 2 ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
=; U, откуда limc (R (γ,) X R (y2)) =1 U X U. Пусть теперь
>■
V. £ >{J
— расслоенное произведение, а λ; — композиция
^яЫоХс0ЛЫо-^лЫо= рхс.с^с, (г = 1,2).
Легко проверить, что ε и λι обладают свойствами, указанными
в 2.52.
"Ί
(с) Пусть U^tC1—два {/-элемента таких, что йф = а^г =
= ηι (ί = 0, 1). Тогда γι индуцируют морфизмы представимых
\
диаграмм R (ηχ) ^ R (η0); обозначим через i? > >-Д(^) их
уравнитель в & · Применяя теперь функтор Ншс к морфизмам
γ{, получим \и для каждого из них; поэтому Ншс(£')=1
►■
=; eq (lu, 1ц) = U. В частности , £„ -» £7— эпиморфизм. Пусть
δ есть композиция
Е0> ^R(i[l)0=UXcaC1-lci;
тогда легко проверить, что морфизмы Е0-»- U и δ обладают
свойствами, требуемыми в элементарной форме условия (с). □
Упражнения к главе 2
[В этих упражнениях & обозначает произвольную категорию
с конечными пределами, если не оговорено противное.]
1. Дайте точное определение внутреннего естественного
преобразования. Какому понятию из теории симплициальных объек-
/
тов оно соответствует? Пусть С^£ D— параллельная пара
внутренних функторов. Покажите, что каждое внутреннее
естественное преобразование / -*- g индуцирует (внешнее) естествен-
D/* c
ное преобразование /* -*- g*, где & -*■ о — функтор,
введенный в 2.19. Получите отсюда, что если & — топос, то функтор
cat(<ir)->3;op/<ir из 2.35 продолжается до функтора cat (^f) -»-
-*-%щ18, где cat(^f)—2-категория, объектами и 1-стрелками ко-

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2
93
торой являются объекты и стрелки из cat(<?f), а 2-стрелками —
внутренние естественные преобразования.
2. Определите понятие «внутренний группоид в &■».
Докажите, что если G — группоид, то для любого дискретного
корасслоения F ->- G категория F также будет группоидом.
3. Пусть С — внутренняя категория в 8. Определите
внутреннюю категорию С , «объектами которой являются морфизмы
из С» [Указание. В качестве объекта морфизмов категории
С возьмите объект Sc из § 2.5], и постройте пару внутренних
функторов С =£ С. Для любой пары внутренних функторов
покажите, что внутренние естественные преобразова-
ν0
BruC
t
ния γ0 -*" γι соответствуют внутренним функторам В-»-С с
д0б = γ0 и 5ιδ = γ£. [Поэтому категорию cat(Jf) называют
предал
ставимой 2-категорией.] Покажите, что диаграмма С => С
обладает структурой внутренней категории из cat(<?f).
4. Предположим, что категория 8 декартово замкнута. Для
категорий С Decat(^f) определим «объект внутренних функ-
с с с
торов С -*■ D» как подобъект произведения Da° Χ Ζ^1 X D2 ,
задаваемый пересечением определенных уравнителей. Используя
идеи упражнения 3, покажите, что этот объект являтся
объектом объектов некоторой внутренней категории D из 8;
выведите отсюда, что категория cat(^T) декартово замкнута.
5. Пусть С — внутренняя категория в 8, a D — внутренняя
категория в %> , представленная диаграммой

94
ГЛ. 2 ВНУТРЕННЯЯ ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
(do-ei)
Покажите, что Ех * Е0 Xd0D1 — изоморфизм, а затем опре-
делите на ^(D) = l А X до Еа * Р0 I структуру внутренней
категории. [Умножение задается композицией DiXD Еа X
Xd0A Xd0^0-T*A Χί/ι Хб^о ^-^^Х^^ XD/0X
mxm
Xd0E0 *-!>! Xd0-£O-J Покажите, что морфнзмы (γ0, γ^)
задают внутренний функтор G (D) ->- С, и выведите отсюда,
что G есть функтор cat (<УС) -vcat(<lf)/C. [Категория C(D)
называется категорией Гротендика, отвечающей D; см. [44],
VI.9.]
6. Пусть В-> С — объект из cat(df)/C. Покажите, что /
изоморфен некоторому объекту из образа функтора G в том и
только в том случае, когда существуют морфизмы σ: В0Хс Сх ~^В1
и τ: Bi'+Bi, удовлетворяющие следующим соотношениям:
(i) ίΖ0σ = π,; (ii) /1о = л2; (iii) o(lXi)=i;
(ϊν)σ(1 Χ τη) = m(ojtl2, σ^σπ^, я3)): Β0 XCgC1 Xc.C^;
(ν) ττ = τ; (vi) Λτ = i/0d,; (vii) diT = d1;
(viii) ά0τ = c^a (d0, fj; (ix) Ц = те (σ (d0, /х), τ);
(χ) ta = idia; (xi) xm-= m{xm(nu a(da, /ι)π2), τπ2): Z?2 ->5ι.
[Указание. По σ и τ определите D0 = B0, Z>i = im(o) ж Е0 —
= im(r). Из соотношения (ix) вытекает, что Bt^ D1XD E
Морфизм категории cat (<??), снабженный морфизмами σ и τ,
удовлетворяющими предыдущим соотношениям, называется рас-
щепимым корасслоением] Покажите также, что морфизм /
является дискретным корасслоением тогда и только тогда, когда он
является расщепимым корасслоением и соответствующая
внутренняя категория в & дискретна.
7*. Пусть С, D — внутренние категории, как в упражнении 5.
Установите эквивалентность категорий (<!Г ) ^ <S ,
получающуюся применением функтора G к дискретным
корасслоениям над D.
8. Пусть С — частично упорядоченное множество в &, a D —
частично упорядоченное множество в & ■ Покажите, что G(D) —
частично упорядоченное множество в &.
9. Пусть С — малая категория. Покажите, что С фильтрована
(соответственно слабо фильтрована) в том и только в том
случае, когда для любой конечной диаграммы (соответственно для
любой конечной связной диаграммы) в С имеется конус (не

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2
95
обязательно конус копредела) из данной диаграммы в
некоторый объект категории С.
и
10*. Пусть С — внутренняя категория в 8. Морфизм 1 -*· С^
называют конечным объектом в С, если существует морфизм
А
Cq-^Cj^ такой, что d0h = 1С и квадрат
декартов. Покажите, что если С имеет конечный объект, то она
фильтрована. [С помощью и и h постройте расщепления
эпиморфизмов из 2.51.]
11*. Пусть & — топос. Внутренний функтор C-vD между
фильтрованными категориями из <§ называют кофинальным, если
do"i (я1я1>я1я»)*<го
(а) Ζ>! Χ D С0 *· D0 — эпиморфизм и (Ь) ΤΌ Χ Di C1 ►
("l"l"l"3)A
' 'UdXd Сй — эпиморфизм, где расслоенные произ-
ведения определены для структурных морфизмов 2"d ** Dl и
dl"l
-Rp ** Da соответственно. Запишите условия в элементарной
форме и выведите отсюда, что для компонуемой пары C->-D-*-E
с кофинальным функтором / композиция gf кофинальна тогда
и только тогда, когда кофинален функтор g. Покажите также,
что функтор С -*■ D кофинален в том и только в том случае,
когда диаграмма
коммутирует с точностью до изоморфизма. [Указание.
Поскольку все функторы этой диаграммы сохраняют коуравнители,
коммутативность достаточно проверять на представимых
диаграммах.]

ГЛАВА 3
ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
3.1. Топологии
Напомним, что понятие топоса Гротендика было введено в
два этапа: от «предсуществующей» категории множеств 9> мы
переходим к категории У предпучков на малой категории С,
а затем к категории Shv(C, /) пучков в топологии Гротендика Λ
Из главы 2 мы знаем, как можно сделать первый шаг в
ситуации, когда категория Я7 заменена элементарным топосом <§;
цель настоящей главы — дать аналогичное обобщение
второго шага.
3.11 Определение (Ловер и Тьерне [LH]). Пусть <§ —
топос. Топологией в 8 называется морфизм /: Ω -* Ω такой, что
диаграммы
Ω
-*Ω
ΩχΩ-
-Ω
ι И
Ω ΩχΩ-
-Ω
коммутативны, где Λ — морфизм, определенный в 1.49 (ii).
Если / — топология, то через / > *■ Ω мы обозначаем подобъект,
классифицируемый посредством /, а через Ω^ > *■ Ω —
уравнитель морфизмов / и 1и (эквивалентно, образ /, поскольку / —
иДемпотент). □
3.12 Пример. Пусть (С, /) — сайт (ср. 0.32). Сравнивая
0.32(ii) и 1.12(iii), убеждаемся, что / — подобъект Ω в топосе
с°р
SP ; поэтому ему соответствует классифицирующее отображе-
^ с°р
ние Ω->-Ω в Я? . Более того, нетрудно проверить, что под-
предпучок / из Ω удовлетворяет условиям 0.32(i) и (iii) в том
и только в том случае, когда классифицирующее отображение /
удовлетворяет всем условиям определения 3.11; поэтому имеется
С°Р
биекция между топологиями (в смысле 3.11) в Я? ' и
топологиями Гротендика на С. □
Хотя подавляющее преимущество данного элементарного
определения топологии заключается в его краткости, существует,
однако, и другой, более явный подход к определению топологии,
преимущество которого состоит в его применимости к более
общим категориям, чем топосы.
3.13 Определение. Пусть & — произвольная категория с
расслоенными произведениями. Универсальная операция замы-

3.1. ТОПОЛОГИИ
97
кания на <§ определяется заданием для каждого объекта Х<з&
операции замыкания (т. е. возрастающего и сохраняющего
порядок идемпотентного отображения) на частично упорядоченном
множестве подобъектов из X такой, что замыкание коммутирует
с подъемом вдоль любого морфизма_из &; замыкание подобъек-
та X' > >■ X обозначается через X' > »- X. Таким образом,
/ _
для любой стрелки Y-*-X имеется изоморфизм f*(X')^ f*(X')
подобъектов в Y.
Слова плотный и замкнутый мы используем в их обычном
значении по отношению к универсальной операции замыкания,
т\ е. подобъект X' > *■ X плотен, если Х' = Х, и замкнут, если
X' siX'. □
3.14 Предложение. Пусть 8 — топос. Тогда существует
биекция между топологиями в 8 и универсальными операциями
замыкания на 8'.
Доказательство. Пусть j— топология в 8.
Ассоциированная с ней операция /-замыкания определяется так: если
X ~S*_P' — классифицирующее отображение подобъекта X' > >■ X,
то X' — подобъект, классифицируемый композицией )Ф.
Согласно двум первым диаграммам из 3.11 очевидно, что это
возрастающая (т. е. Х'<Х') и идемпотентная операция; то, что она
сохраняет порядок, легко получается из третьей диаграммы,
поскольку X' < X" тогда и только тогда, когда Х'Г\Х"^Х',
а универсальность очевидна по определению.
Обратно, пусть задана универсальная операция замыкания на
8. Применяя ее к общему подобъекту 1 >——> Ω, получаем под-
j
объект / > *■ Ω с классифицирующим отображением Ω —> Ω,
а тогда вследствие универсальности вся операция замыкания
индуцирована j, как и выше. Для проверки того, что j —
топология, достаточно установить, что всякая универсальная
операция замыкания коммутирует с пересечением подобъектов, откуда
получится третье условие определения 3.11; первые два условия
проверяются непосредственно. _
Очевидно, однако, что подобъект X' однозначно
характеризуется как подобъект в X такой, что X' > *· X' плотен, а X' >—>-
*■ X замкнут. Из диаграммы
Х'ч <Х' глХ"
\ I
Τ« <Т η χ··*- " X"

98
ГЛ 3. ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
оба квадрата которой декартовы, получаем, что подобъект
χ- η Х"> +х- η Χ"
плотен; аналогично доказывается замкнутость подобъекта
X' П Х'> ·- Х.Итак, X' OX" atX'ftX", что и требовалось. □
Следует предупредить читателя, чтобы он не путал
универсальную операцию замыкания, индуцированную топологией в
смысле 3.11, с операцией замыкания по Куратовскому, заданной
на решетке всех подмножеств топологического пространства [175].
Возможно, неудачно, что словом «топология» продолжают
называть результаты многократных обобщений, описанные в § 0.3
и в настоящем параграфе, ибо в действительности
преемственность между топологией в смысле 3.11 и обычной топологией на
множестве весьма слаба. Чтобы подчеркнуть различие этих двух
типов операции замыкания, отметим, что операция замыкания
по Куратовскому всегда коммутирует с конечными
объединениями, но не коммутирует в общем случае с пересечениями, в то
время как мы только что доказали, что универсальная операция
замыкания коммутирует с пересечениями, хотя, как правило, не
коммутирует с объединениями.
3.15 Лемма. Пусть /— топология в &, а X') *-Х — моно-
морфизм с классифицирующим отображением X —> Ω. Тогда σ
j-плотен тогда и только тогда, когда Φ пропускается через
J *■ Ω, и j-замкнут тогда и только тогда, когда Φ
пропускается через Ω,-> *■ Ω.
Доказательство. Очевидное следствие определений под-
объектов / и Ω3·. □
3.16 Пример. Пусть (С, /)—сайт, а / — соответствующая
топология в Я? ■ Тогда подпредпучок R) *■ hy у-плотен в том
и только в том случае, когда он является элементом из J(U)^
т. е. /-покрывающим решетом на U. Рассмотрим, в частности,
классический случай топологического пространства (X, U):
тогда решетом на открытом множестве U ε Χ является
семейство У открытых подмножеств из U_ такое, что верна
импликация V&T, y'ey^y'af, a Т = ]и(У°) является
решетом
[We=V\W!=\Jr);
поэтому У° плотно в hu тогда и только тогда, когда оно
покрывает U, и замкнуто тогда и только тогда, когда оно имеет вид
{y<=U|ysy0} для некоторого V0^U, т. е. тогда и только тогда,
когда оно является представимым решетом. О

3.1. ТОПОЛОГИИ
99
Третий подход, позволяющий описать топологию в топосе <§,
состоит в описании класса всех плотных мономорфизмов в <§.
Если D — произвольный подобъект в Ω, то через 3d мы
обозначаем класс всех мономорфизмов, классифицирующее
отображение которых пропускается через D. (Заметим, что из этого
определения непосредственно следует, что класс ED замкнут
относительно подъемов; при этом нельзя утверждать противоположное,
что любой класс мономорфизмов, замкнутый относительно
подъемов, «классифицируем» некоторым подобъектом из Ω.)
3.17 Лемма. Пусть D — подобъект в Ω, и предположим, что
1 —> Ω пропускается через D {эквивалентно, ED содержит все
изоморфизмы). Тогда класс ED замкнут относительно спуска.
Доказательство. Пусть
X *- ► Υ
σ t
ζ ·-—»τ
— кодекартов квадрат с σ θ 3d. Ввиду 1.28 данный квадрат так-
Ф
же декартов, а потому, если Τ —* Ω — классифицирующее
отображение мономорфизма τ, то композиция <?>g классифицирует
#*(τ)«σ и пропускается поэтому через D. Но Фх
классифицирует τ*(τ)^ίΥ, а потому тоже пропускается через D.
Используя теперь то, что данный квадрат кодекартов, получаем
факторизацию Φ через D. □
3.18 Предложение. Пусть J—подобъект в Ω. Тогда клас-
j
сифицирующее отображение Ω -*■ Ω подобъекта J > *■ Ω
является топологией в том и только в том случае, когда класс В/
представляет собой насыщенную мультипликативную систему
мономорфизмов из <§, т. е. В/ содержит все изоморфизмы и
0ts3;^-aeS; и τεΞ;.
Доказательство. Предположим, что / — топология. Тогда
с помощью 3.14 легко проверить, что класс /-плотных
мономорфизмов удовлетворяет требуемым условиям.
Обратно, предположим, что класс 3/ удовлетворяет данным
условиям. Тогда легко убедиться, что операция замыкания ρ на
подобъектах, индуцированная топологией /, описывается
следующим способом: еслиХ' > *■ X—подобъект в X, то р(Х') есть
единственный наибольший подобъект X" > *· X, для которого
Χ' Π X") + Х" лежит в 3/. Но поскольку В/ содержит 1χ>,
то Х'^р(Х'). С другой стороны, так как композиция Χ'~> >■
> >9{Х')) *р(р(Х'))лежит в Ξ/, то р(р(Х'))^р(Х'). а
потому ρ — идемпотент. Осталось проверить, что ρ сохраняет
порядок; рассмотрим пару подобъектов X'> *■ X, Х"> *■ X таких,

100
ГЛ. 3. ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
что X' <Х", и образуем диаграмму
р(Х') η ρ{Χ")> ► Р(Х")
р(Х')> ► р(Х') и р(Х")
Но поскольку X' <Х" <р(Х"), включение X' > »- Ρ (Χ')
пропускается через σ, а потому σ е В/. Однако указанная
диаграмма задает спуск, поэтому в силу 3.17 teSj. Композиция
Х">—*-ρ(Χ")> *р(Х') у р(Х") также лежит в Ξ/, откуда т —
изоморфизм, т. е. р(Х')<р(Х"). Итак, ρ — универсальная
операция замыкания, и в силу 3.14 / — топология. п
Этот параграф мы закончим одной технической леммой об
универсальных операциях замыкания, которая будет
использована несколько раз в оставшейся части этой главы.
3.19 Лемма. Предположим, что
X *Υ
■ ·
(Г t
ζ ί—» т
— коммутативный квадрат, где σ плотен, α τ замкнут. Тогда Φ
пропускается (однозначно, так как т— мономорфизм) через τ.
Доказательство. Ввиду коммутативности данного
квадрата σ<φ*(τ) как подобъекты в Ζ. Поэтому 1ζ = σ«ί0*(τ) =
^ ψ*^)^ Ψ*(τ), что эквивалентно факторизации Φ через τ. Ο
3.2. Пучки
3.21 Определение. Пусть ;— топология в топосе S, a F —
объект из &.
(i) Объект F называют (j)-отделимым, если для любого
/плотного мономорфизма X' *■ X и любой пары морфизмов
X -£ F с fa = go выполнено равенство f = g.
(ii) Объект F называют (;')-пучком, если для любого
/-плотного мономорфизма X' > *· X и любого морфизма X' —*■ F
существует единственный морфизм X-*-F с ga = f.
Через sh,(^f) обозначается полная подкатегория в If,
объектами которой являются пучки. □
3.22 Пример. Пусть (С, /)—сайт, а / — соответствующая
топология в ЗГ . Тогда, как легко убедиться, определения от-

3.2. ПУЧКИ
101
делимого предпучка и пучка из 033 эквивалентны предыдущим,
если ограничиться случаями, когда предпучок X представим.
Но если в ir предыдущие условия выполнены для предста-
вимых X, то они выполнены для всех X, поскольку в силу 0.12
объект X можно задать в виде копредела представимых пред-
пучков ha, а тогда ввиду универсальности копределов X' есть
копредел объектов X' Хх ha. Поэтому определения, данные в
3.21, согласованы с приведенными ранее, π
Цель настоящего параграфа — доказать, что категория
shj(^f)—топос. Однако следует отметить, что хотя мы и
рассматриваем пучки только в топосах, определение 3.21 имеет
смысл для любой универсальной операции замыкания на
категории с конечными пределами, и в действительности все
результаты этого параграфа, в которых явно не упоминается
определенная структура топоса, кроме предложения 3.29, верны в этой
более общей ситуации.
3.23 Лемма. shj(<?f) имеет конечные пределы и функтор
включения shj (<??)->-^Г сохраняет их.
Доказательство. Все условия из 3.21 включают только
морфизмы с концами в F; поэтому предел в <S любой конечной
диаграммы пучков также является пучком. Следовательно, он
будет пределом и в shj(^f). Π
3.24 Предложение. Если F — пучок, а X — любой объект
из &, то Fx — пучок.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
γ L ► рх
γ
Υ
с плотным мономорфизмом σ. Тогда мономорфизм У X X > *■
[σχι]
> *■ Υ χ л плотен (так как является подъемом σ вдоль
Υ X X —>· Υ), а потому /: У X X -» F однозначно
продолжается до морфизма g: YXX->-F. А тогда g: Y->- Fx есть
единственное продолжение /. π
3.25 Следствие. Категория shj(^f) декартово замкнута и
функтор включения shj(<?f)->- <?Г сохраняет экспоненты.
Доказательство. Непосредственно следует из 3.23, 3.24
и того, что функтор включения полон. С
3.26 Лемма, (i) Подобъект отделимого объекта отделим.
(п) Замкнутый подобъект пучка— пучок.
(ш) Если F — пучок, a G отделим, то любой мономорфизм
F ■ >G замкнут.

102
ГЛ 3 ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
Доказательство, (i) Пусть
Х'^^Х
41·
F'^-'-*F
— диаграмма с плотным σ, F отделим и /σ = go. Тогда τ/σ =
= xga => τ/ = τ#, но τ — мономорфизм, поэтому / = g.
(ii) Рассмотрим диаграмму
Χ' L -F'
Ι- Ι·
Χ F
с плотным σ, замкнутым τ и пучком F. Тогда существует
единит
ственный морфизм X-*-F с ga = τ/, но ввиду 3.19 g
однозначно пропускается через τ. Поэтому F' — пучок.
(Ш) Рассмотрим замыкание F) »- G подобъекта F в G.
Тогда F ——> F плотен, поэтому существует единственный
морфизм г: F-+F с ri = lF. Но iri = i, a F отделим в силу (i),
откуда ir=l-p. Значит, г—двусторонний обратный морфизм к i,
т. е. F замкнут в G. □
3.27 Лемма. Ωά — пучок.
Доказательство. В силу 3.15 морфизмы X-*■ Qj
соответствуют замкнутым подобъектам в X; поэтому достаточно
показать, что если подобъект X')—*-Х плотен, аУ> >-Х' замкнут,
то имеетсяv единственный замкнутый подобъект X > »- X с
Υ П X' йё У. Но если определить Υ как замыкание композиции
У> *-Х'> >-Х, то, очевидно, УПХ'^У, и обратно, если
Ζ) >-Х — любой замкнутый подобъект с Ζ Л X' = У, то
У> »-£ плотен (будучи подъемом подобъекта X'> >-3l)»
а потому Ζ есть замыкание Υ' в X. п
3.28 Следствие, sh(^f) обладает классификатором под-
объектов, а именно Ω,-.
Доказательство. В силу 3.23 мономорфизмы из shj(^f)
будут мономорфизмами и в 8. Значит, ввиду 3.26(ii) и (iii) все
подпучки некоторого пучка суть в точности его замкнутые под-
объекты, а в силу 3.15 они классифицируются морфизмами
в Ω,. Π
Собирая вместе 3.23, 3.25 и 3.28, получаем, что sh^df)—то-
пос, что и требовалось установить.

3.3. ФУНКТОР АССОЦИИРОВАНИЯ ПУЧКА
103
В заключение приведем пару полезных характеризаций
отделимых объектов:
3.29 Предложение. Пусть F—объект из <%. Следующие
утверждения равносильны;
(i) F отделим.
(ii) Диагональ F) »- FxF замкнута.
(ш) Существует мономорфизм F) *■ G в пучок G.
Доказательство. (i)=^(ii). Пусть F)—'—*■ F X F —
замыкание диагонали Δ. Тогда а и Ъ уравниваются^ плотным под-
объектом F) *-F, а потому совпадают; значит, F^F.
(ii)=^(iii). Пусть диагональ Δ замкнута; ее
классифицирующее отображение F χ F -*-Ω пропускается через Ωρ ^-Ω,
а потому синглетонное отображение F> >-Ω пропускается
через Ω^. Но Ω,- — пучок в силу 3.24 и 3.27.
(iii)=^(i) непосредственно в силу 3.26(i). □
Следует отметить, что импликация (ii)=^(iii) из 3.29 не
верна для произвольной универсальной операции замыкания на
категории с конечными пределами (см. упражнение 3 в конце этой
главы); однако эквивалентность утверждений (i) и (ii)
сохраняется и в этом случае. Доказательство импликации (ii) =*■ (i)
получается непосредственно из 3.19.
3.3. Функтор ассоциирования пучка
В этом параграфе мы построим левый сопряженный функтор
L: & -*■ shj(^f) к функтору включения shj ($")-»- <%. Метод,
используемый нами (и впервые описанный в [52]), основан на
предложенной Гротендиком ([GV], II.3.4) конструкции функтора
ассоциирования пучка для пучков на сайте; следует упомянуть
о существовании и другого метода (восходящего к Ловеру)
построения функтора L в элементарном случае, который указан
в упражнении 4 в конце этой главы.
Пусть / — топология в &. Из третьей диаграммы
определения 3.11 легко получить, что Λ: ΩΧΩ->-Ω отображает под-
объект /X/ в /. Определим подобъект/р >-/Х/как уравни-
Λ
тель пары JXJ^tJ; через d: 1>—> J будет обозначаться
"1
общий /-плотный мономорфизм, т. е. морфизм, факторизующий
1> νΩ через /> >·Ω.
/ fi \
3.31 Лемма. J = Ι /χ —* «Μ — внутреннее частично
упорядоченное множество в &. Более того, внутренняя категория Jop
фильтрована в смысле определения 2.51.

104
ГЛ 3 ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
Доказательство. Легко убедиться, что морфизм
X :—*- J X J пропускается через Jt в том и только в том
случае, когда подобъекты У„ У2 из X, классифицируемые морфиз-
мами Φι и Φг, удовлетворяют соотношению У, ^ У2. Используя
это, легко определить морфизмы /-* /, и JlXJJi~^ Λ,
превращающие / в частично упорядоченное множество. Но / -*■ 1 —
эпиморфизм, поскольку его расщепляет d, а с помощью морфиз-
(Λ."ι) (Л,я2)
\юв / X / *■ J χ и J X J »■ J\ можно расщепить морфизм
P~>-JXJ из 2.51(b). Условие 2.51(c) очевидно, поскольку J —
частично упорядоченное множество. □
Пусть теперь X — произвольный объект из &. Обозначим
через X)—>-Х замыкание подобъектаХ) >-Х(см. 1.25), а
через Ф: X-*■ J — классифицирующее отображение плотного
мономорфизма Х> *-Х- Из 3.19 легко выводится, что морфизм
U -*■ X пропускается через X тогда и только тогда, когда область
определения соответствующего частичного отображения U -- X
плотна в U. Отсюда, как и в 1.45, легко получить, что
X <-* (X, ф) ) — на самом деле функтор Ш: йГ -*■ &IJ, и, в
частности, он имеет левый сопряженный функтор d*.
3.32 Предложение. Существует единственное структурное
отображение е; /, X/ X -»X, превращающее X во внутренний
предпучок на J.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
ι
все грани правого куба которой декартовы, как и квадраты
треугольной призмы. Отсюда, в частности, получается плотность
X >-> J γ X j X, поскольку этот мономорфизм есть подъем
композиции плотных морфизмов. Значит, в силу предыдущего
замечания существует единственное отображение е: JtXjX ->~ X,
превращающее верхнюю грань левого куба в декартов квадрат,
ио согласно определению подобъекта Л нижняя грань левого

3 3 ФУНКТОР АССОЦИИРОВАНИЯ ПУЧКА
105
куба также декартова. Поэтому лицевая грань левого куба
коммутативна, так как обе ее композиции классифицируют плотный
подобъект X) *■ /χ XjX- Аналогично, используя единственность
представления частичных отображений, можно проверить, что е
удовлетворяет и двум другим условиям из 2.14(Ш). Ε
Определим теперь функтор +: &-*■&:
Х+= Hmj(£, e).
(Отметим, что здесь по типографским причинам символ limj
обозначает внутренний функтор копредела limj0p по Jop; кова-
риантные диаграммы на J нам не понадобятся.) Идея, стоящая
за этим определением, такова: если (С, /)—сайт, а X — пред-
пучок на С, то для любого U^C0 X(U) есть предпучок на J(U),
переводящий /покрывающее решето Я> *■ hu в множество
hom(/?, X). Следовательно, разница между X(U) и постоянным
предпучком X(U) является мерой невыполнения аксиомы пучка
для X на U. В общем случае имеется следующий результат:
3.33 Предложение. Имеется морфизм предпучков а:
3*(Х)-+(Х, е) такой, что
(i) а — мономорфизм тогда и только тогда, когда X отделим.
(π) α—изоморфизм тогда и только тогда, когда X—пучок.
Доказательство. Пусть морфизм а0: XX /-*■ X
представляет частичное отображение
Г"
А' х У
Легко убедиться, что он продолжается до морфизма предпучков.
Обобщенный элемент U-+ XX J соответствует диаграмме вида
R > >- U-*-X с плотным σ, и нетрудно проверить, что
композиция с а0 переводит предыдущую диаграмму в частичное
отображение
R !~ ►*
U
Поэтому утверждение о том, что а0 — мономорфизм
(соответственно изоморфизм), в точности соответствует определению от-

106
ГЛ 3. ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
делимого объекта (соответственно пучка) из 3.21. Но стирающий
функтор & -"t-SlJ отражает мономорфизмы и
изоморфизмы, а потому α — мономорфизм (соответственно изоморфизм)
в том и только в том случае, когда а0 — мономорфизм
(соответственно изоморфизм). Π
3.34 Следствие. Если X — отделимый объект (соответст-
i ^ +
венно пучок), то композиция X) +Х -**■ X является
мономорфизмом (соответственно изоморфизмом), где X ~*> X —
конус копредела.
Доказательство. Так как внутренняя категория Jop
фильтрована, то lim J^ 1 в силу 2.54, а потому Hmj (J* (X))^ X,
так как ХХ(-) сохраняет коуравнители. Функтор limj
также сохраняет мономорфизмы в силу 2.58; отсюда, конечно,
получается мономорфизм (соответственно изоморфизм) Х-+Х*,
если X отделим (соответственно является пучком). То, что этот
морфизм задается указанной композицией, следует из существо-
IX d ЯХ
вания расщепления X —*■ X X J конуса копредела X X / —*■ X
диаграммы 3*(Х). □
3.35 Следствие. Любой морфизм из X в пучок однозначно
пропускается через морфизм X —*■ X .
Доказательство. Рассмотрим морфизм X-*■ F в
пучок F. Тогда требуемую факторизацию можно получить из
диаграммы
Чтобы установить единственность, предположим, что g£ и g2 —
две такие факторизации; тогда giUi = / = gzui=*- giU = gzu (так
как ί плотен и F—пучок) =*- g£ = gz (поскольку и —
эпиморфизм). Π
Из 3.35 вытекает, что если X — пучок для некоторого
η ^ 0, то это и есть пучок, ассоциированный с X. В отличие от
ситуации, рассмотренной Хеллером и Роу [46], в которой для
получения пучка было необходимо итерировать функтор +
трансфинитное число раз, мы вскоре увидим, что в нашем случае
достаточно взять η = 2.
3.36 Теорема (Джонстон). Объект X* отделим для лю~
бого X.

3 3. ФУНКТОР АССОЦИИРОВАНИЯ ПУЧКА
107
σ Д.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму R >——>- U ^t-X+
с плотным σ и γ£σ = γ2σ. Напишем расслоенные произведения
<2>_—г—»- τ ·· ХхХ
тогда ^ρβιρ =^ισΐϋ = ^σΐϋ = αβ2ρ, откуда (β£ρ, β2ρ) пропускается
через Χ Χχ+Χ) >-ΪΧλ. Но в силу 2.56 категория,
отвечающая (X, е)ор, слабо фильтрована, значит, в силу 2.55 существу-
е в ^-
ют эпиморфизм V-*»· Q и морфизм V-*-X такие, что пары
^ (*.ла) ^ ^
(δ, βιρε) и (δ, β2ρε) пропускаются через JrYsjX >ΧχΧ.
Пусть
s. ь—-х
γ
(i=l, 2, 3) — частичные морфизмы, представленные β,ρε, β2ρε,
δ соответственно, а
■+Х (i= 1,2)
— отображения, представленные β£. Тогда из условий на δ
вытекает, что τ3^Τι, г3 =ζ τ2 и al{S3 = a3:= aziS3 и имеются
декартовы квадраты
+ Л ('=1,2)
Τ
■+ τ
с λ,-ζι — аи Пусть S3-»-P3) *■ Q —г эшшоноразложение компо-
зиции S3) >V-»■ Q; тогда в силу.,3.19 ε пропускается через

108
ГЛ 3. ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
замыкание мономорфизма к, а потому к плотен. Значит,
композиция рк также плотна, но рк ^ μ£ и рк < μ2 как подобъекты
в Г, а композиции
θ
совпадают, поскольку они уравниваются эпиморфизмом S _».
-*>- Рд. Поэтому, если Τ —* X представляет частичное
отображение
Р,>—"Р. —>-Х
1
Τ
то пары (β3, βι) и (β3, Рг) пропускаются через JxXjX >-Χχ
X л, откуда γ,ι; = αβ£ = αβ, = αβ2 = γ2ι>. Но ν — эпиморфизм,
значит, γ£ = γ2. Π
3.37 Теорема. Если объект X отделим, то Х+ — пучок.
Доказательство. Вследствие 3.34 мы знаем, что X—*■
—*Х — мономорфизм, и он плотен в силу 3.19, так как и
пропускается через его замыкание. Следовательно, имеется мор-
физм X —*■ X, представляющий частичное отображение
Но X —* X представляет частичное отображение
Ххх.Х '- -X

3 3. ФУНКТОР АССОЦИИРОВАНИЯ ПУЧКА
109
через которое пропускается
■+Х
(i,l) ^
с помощью X—*-Χχχ+Χ, поэтому пара (1~, 0и)
пропускается через JxXjX >·Χχί. Значит, uQu = u, но и —
эпиморфизм, откуда ид = ίχ+. Рассмотрим теперь диаграмму
R Σ ^χ +
U
с плотным σ; пусть
-*х
— частичное отображение, представленное R—*X, и пусть
U —* X представляет
U
Тогда δσ = θγ, поскольку обе композиции представляют одно и
то же частичное отображение, откуда ибо = αθγ = γ, т. е. иб
продолжает γ по δ. Но, как мы уже знаем, такое продолжение
единственно в силу 3.36. О
Собирая 3.35, 3.36 и 3.37 вместе, получаем, что функтор
++: & -»- & пропускается через включение sh^df)-* $" и задает
функтор ассоциирования пучка L; &-*■ shj(^P).
3.38 Предложение. Функтор + точен слева.
Доказательство. Функтор + определяется как компози-
limj
ция & -*■ & *■ <£. Но фунвдвор limj точен слева в силу
2.58 и 3.31, а функтор &-*-8 точеи слева, так как по отме-

но
ГЛ. 3. ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
ченному выше композиция & -*■ & —* <??// имеет левый
сопряженный функтор, а именно, d* и U задает пределы. □
3.39 Следствие. Имеется геометрический морфизм
shj (&) -»- <§, где i%— функтор включения, a i* = L.
Доказательство. Сопряженность (i* —| i*) следует, как
указывалось, из 3.35, 3.36 и 3.37, а левая точность i* — из 3.38
и из того, что функтор ί* вводит пределы. □
3.4. shj(^r) как категория частных
В этом параграфе приводится другое описание категории
shj(^) как категории частных (см. 0.18), получающейся
обращением определенного класса морфизмов из &. Фиксируем еще
раз топологию / в йГ.
3.41 Определение. Пусть Х-*-Υ—морфизм из <ё.
Построим диаграмму
RZZtX "У
как в 1.52, и обозначим через Х> *■ R факторизацию диагонали
X) >ΧχΧ через R>—:-^X X X. Морфизм / называют (/-)
почти мономорфизмом (соответственно почти эпиморфизмом),
если τ (соответственно i) плотен, и / называют биплотным, если
он почти мономорфизм и почти эпиморфизм. (Отметим, что / —
мономорфизм (соответственно эпиморфизм) в том и только в том
случае, когда τ (соответственно i)—изоморфизм.) □
3.42 Предложение. Пусть X') *-Х—мономорфизм в $'.
Тогда L(a)—изоморфизм тогда и только тогда, когда σ плотен.
Доказательство. Предположим, что σ плотен. Тогда
универсальный морфизм X' -*■ LX' (т. е. единица сопряжения из
3.39) однозначно пропускается через σ; поэтому имеется
морфизм X -* LX', который, в свою очередь, однозначно
пропускается через универсальный морфизм X -»- LX. В результате
получаем морфизм LX -*■ LX', который, как легко убедиться,
является двусторонним обратным к L(a).
Обратно, предположим, что L (а) — изоморфизм. Тогда для
любого пучка F каждый морфизм X' -*■ F однозначно
пропускается через σ. В частности, это верно для пучка Ω5; поэтому
любой замкнутый подобъект в X' является пересечением подобъек-
та X' с единственным замкнутым подобъектом в X. Но подобъект
X'> *-Х' есть пересечение X' с Х> *-Х и сХ'> >Х;
поэтому о = 1*, т. е. о плотен. О

3.4. Sh(g·) КАК КАТЕГОРИЯ ЧАСТНЫХ
111
3.43 Следствие. Пусть Х-*-Υ — произвольный морфизм
из 8. Тогда L (/) — изоморфизм {соответственно мономорфизм,
эпиморфизм) тогда и только тогда, когда f биплотен
(соответственно является почти мономорфизмом, почти эпиморфизмом).
Доказательство. Функтор L сохраняет свойства точности
диаграммы из 3.41; поэтому требуемое вытекает непосредственно
из 3.42. □
3.44 Следствие. Для любого объекта X универсальный
морфизм X -»- LX биплотен. □
3.45 Предложение. Пусть Ξ обозначает класс всех )-би-
плотных морфизмов из 8'. Класс Ξ/ допускает исчисление как
левых, так и правых частных.
Доказательство. Используя характеризацию биплотных
морфизмов, предложенную в 3.43, и то, что функтор L точен,
легко проверить следующие факты:
(i) Композиция биплотных морфизмов биплотна.
(ii) Расслоенное произведение и амальгама биплотных
морфизмов биплотны.
(ш) Для параллельной пары X^tY морфизмы / и g
уравниваются биплотным морфизмом <=*-Z(/) = £(#)<=*- / и g коурав-
ниваются биплотным морфизмом.
Из этого непосредственно вытекают условия определения 0.18
и двойственные им. Π
t# Ε 1
3.46 Предложение. Композиция sh,- (&) —* 8 —* & (Sj)
является эквивалентностью категорий.
Доказательство. Из 3.43 следует, что любой морфизм σ
из shj(^f), для которого ΐ* (σ) биплотен, является на самом деле
изоморфизмом. Поэтому композиция P&-i* унивалентна;
чтобы доказать ее полноту, рассмотрим представитель
X
σ ^ν
γ ^ζ
некоторого морфизма из 8(EJ)~i с пучками Υ, Ζ. Тогда мы
можем заменить объект X ассоциированным с ним пучком, при
этом данный класс эквивалентности морфизма не изменится,
а морфизм σ станет обратимым в 8. Следовательно, (σ, /) лежит
в образе функтора Рз- Наконец, в силу 3.44 очевидно, что образ
композиции Рз-i* пересекает каждый класс изоморфных
объектов из ^f(Sj)-1. □
Следующий результат, хотя и не является прямым следствием
предложения 3.46, тем не менее имеет непосредственную связь
с ним. Он дает полезный критерий того, когда произвольный

112
ГЛ 3 ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
геометрический морфизм пропускается через геометрический
морфизм типа, описанного в 3.39.
3.47 Теорема (Ловер —Тьерне). Пусть ST-+ё? —
геометрический морфизм, a j — топология в &. Следующие условия
равносильны:
(i) Существует геометрический морфизм ^~ —>-shj (<1Г) с
ig = f.
(ii) /* отображает все )-биплотные морфизмы в изоморфизмы.
(iii) /* отображает все j-плотные мономорфизмы в
изоморфизмы.
iv)/*(l> >J —изоморфизм.
(ν) Прямой образ /* (Υ) любого объекта Υ является
)-пучком.
Более того, если существует морфизм g, как в (i), то он
единствен с точностью до канонического изоморфизма.
Доказательство. (i)=^(ii) следует непосредственно из
3.43, поскольку f*s*g*i*. Импликации (ii)=^ (iii)=^ (iv)
очевидны, а импликация (iv)=^(iii) верна, поскольку /* сохраняет
расслоенные произведения.
(iii)=^(v). Рассмотрим диаграмму
X' 4JY)
V
с плотным σ. Транспонируя ее, получаем диаграмму
/*(Г) '- * У
Г(Х)
но α однозначно пропускается через /*(σ). Значит, α однозначно
пропускается через σ.
(v)=^(iv). Предполагая (ν), получаем единственный функтор
£* c i*S* ^ /* и можем тогда определить g* как композицию
*i%, так как имеются естественные биекции
F *яДГ)
iJF) -JJ.Y)
q*(F) ► Υ
для Fezshj(&), Уе^-. Более того, изоморфизм i*g*^if* опре-

3 5 ПРИМЕРЫ ТОПОЛОГИЙ
ИЗ
деляет g^ (а потому и g*) однозначно с точностью до
изоморфизма, поскольку функтор полон и унивалентен. О
3.48 Замечание. Еще одно описание категории пучков
sh^c?) было предложено Ламбеком и Ретреем [70]. Оно
использует идеи из § 1.3. Если в определении пары сопряженных
функторов леммы 1.31 Ω заменить на Ω3-, то их сопряженность
сохранится; обозначим через Cj комонаду, индуцированную
данным сопряжением, на S°v. Тогда категория (^>op)cj Gj- коалгебр
эквивалентна категории sh^c?) относительно эквивалентности,
которая отождествляет функтор сравнения ^-*-(^op)cj с
функтором ассоциирования пучка. О
3.5. Примеры топологий
В этом параграфе описываются некоторые методы построения
топологий в топосе, отличные от тех, которые возникают из
топологий Гротепдика согласно 3.12. Дальнейшие примеры нам
встретятся в следующих главах (см., например, 4.14 и 5.17).
Вначале введем две дополнительные бинарные операции на
классификаторе подобъектов Ω, аналогичные морфизму Д,
введенному в 1.49 (И).
3.51 Определение. (ί)ΩχΩ—>Ω есть
классифицирующее отображение объединения (1.55) двух подобъектов
Ωχ 1>-^ΩχΩ и 1 χΩ>-^>ΩχΩ.
=*-
(ϋ) Ω χ Ω —* Ω есть классифицирующее отображение
отношения порядка Ωχ> >·ΩχΩ (т. е. уравнитель морфизмов л£
и Д. см. 3.31). □
Поскольку функтор замены базы сохраняет объединения, то,
очевидно, морфизм V «интернализует» операцию образования
объединений точно так же, как Λ интернализует образование
пересечений. Внешнее описание морфизма =*■ ненамного
сложнее: если подобъекты Υχ) *-Х и Υ2> >- X классифицируются
морфизмами Ф1 и Ф2 соответственно, то =*-(Φι, Φ г)
классифицирует единственный наибольший подобъект Ζ> >-X с Ζ0
η г, ^ γχ.
Пусть теперь U) *■ 1—подобъект объекта 1 в & с класси-
фицирующим отображением 1-*-Ω. (Подобъект U иногда
называют открытым объектом по аналогии с «классическим»
случаем пучков на топологическом пространстве.)
«XI =Ф-
3.52 Предложение, (i) Композиция Ω—>·ΩχΩ-*Ω
является топологией a S1, называемой открытой топологией,
определяемой по U и обозначаемой через 1ν·

414
ГЛ. 3 ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
«XI у
(ii) Композиция Ω—>·ΩχΩ->Ω является топологией в
2>, называемой замкнутым дополнением топологии ]и и
обозначаемой через ]и-
Доказательство. Согласно внешним описаниям морфиз-
мов V и =*-, приведенным выше, легко проверить, что операции
на подобъектах, индуцированные этими двумя морфизмами,
возрастают, сохраняют порядок и идемпотентны; отсюда в силу 3.14
эти два морфизма являются топологиями. □
Причина наименования «открытые и замкнутые топологии»
кроется в смысле этих топологий при <§ ==Shv(X), где X —
топологическое пространство. Если U — открытое подмножество в X
(т. е. открытый объекте Shv(.X')), то категория пучков из Shv(X)
в топологии fu (соответственно fu) эквивалентна категории
Shv(t/) (соответственно Shv(X — U)) относительно
эквивалентности, которая отождествляет геометрический морфизм
shj(Shv(X))-»- Shv(X) из 3.39 с геометрическим морфизмом,
индуцированным (как в 0.26) отображением включения U -»- X
(соответственно X—U-+X).
В общем случае имеются следующие результаты:
3.53 Предложение, (i) Мономорфизм X'> >■ Х]'Ь-
плотен тогда и только тогда, когда квадрат
А" х L >-
A' xLV
кодекартов.
(ii) Объект X является ju-пучком тогда и только тогда,
когда XXUsaU.
(iii) Ассоциированный ju- пучок любого объекта X есть
амальгама диаграммы
πι
и
Доказательство, (i) По определению σ 7с/-плотен тогда
и только тогда, когда объект X является объединением под-
πι
объектов X'> >-Х и Χχ.υ> *-Х, но это равносильно
утверждению, что указанный квадрат кодекартов.
+ А"
гт
* Л

3.5. ПРИМЕРЫ ТОПОЛОГИЙ
115
(ii) Предположим, что X — некоторый ]и- пучок. Если теперь
πι
Ζ -»- U произвольный объект над U, то Ζ χ U —* Ζ —
изоморфизм, а потому любой подобъект из Ζ (в частности, 0> *■ Ζ)
]и~ плотен. Значит, согласно аксиоме пучка имеется
единственный морфизм Ζ -»- X в &, а поэтому единствен морфизм Ζ -»-
-+XXU в &/U. Следовательно, XXU = U, так как каждый из
этих объектов конечен в &IV. Обратно, если XXU = U и дана
диаграмма
У * X
Υ
с ]ц- плотным σ, то существует единственный морфизм Υ X " ~~*
-*■ А такой, что квадрат
У" χ U
YxU
коммутативен, а именно, композиция YXU—*U^XxU—*X.
Отсюда в силу (i) получается существование единственного
морфизма Y—*-X, продолжающего /.
(iii) Рассуждая, как в (ii), получаем, что любой морфизм
из X в некоторый пучок однозначно пропускается через
указанную амальгаму. Но поскольку функтор (—)XU сохраняет
амальгамы, то легко проверить, что данная амальгама — пучок. Ε
3.54 Предложение, (i) Мономорфизм X'> >■ X jv пло-
(ТХ 1
тен тогда и только тогда, когда X' X U > >■ X XU—
изоморфизм.
(ii) Объект X является ]ц-пучком тогда и только тогда,
У] тт π1
когда транспозиция Х—>-Х морфизма Χ χ U —* X является
изоморфизмом, а функтор ассоциирования пучка для ]и
фактически задается сопоставлением X ·-*■ X .
(iii) Категория sh.0 {<§) эквивалентна категории &/U отно-
сителъно эквивалентности, которая отождествляет функтор
включения с Пи, а функтор ассоциирования пучка с U*.
Доказательство, {i) По определению σ /[/-плотен тогда
и только тогда, когда проекция X XU —* X пропускается че-

116
ГЛ 3 ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
рез σ, но так как квадрат
Х'х (./> - +Х
Хх U> " X
декартов, то, очевидно, это эквивалентно тому, что σ X 1Ц —
изоморфизм.
(ii) В силу (i) очевидно, что любой объект вида Хи
является ju- пучком. Но, как легко проверить, X X U —*■ X X U —
(βν,π2)
изоморфизм с обратным морфизмом X X U *· X X U;
поэтому в силу (i) морфизм η /сгбиплотен. Следовательно, Хи —
пучок, ассоциированный с X, и, в частности, η — изоморфизм, если
X — пучок.
(ш) Так как U -»- 1 — мономорфизм, то Uu = 1; откуда ввиду
конструкции функтора П^, данной в упражнении 1.8, Πσ(Ζ->-
-+ U) = ZU. Поэтому требуемое вытекает из (i) и (ii). О
Другая характеризация открытых топологий, принадлежащая
Тьерне, содержится в следующем результате:
3.55 Предложение. Пусть j — топология в %>. Следующие
утверждения равносильны:
(i) 7 открыта.
(ii) Функтор ассоциирования пучка JT —*- shj (^f) является
логическим.
(iii) Функтор йГ-*-shj (<?Г) сохраняет экспоненты.
О у
(iv) Если подобъект X > *-Х /-плотен, то Χ'γ> >Х j-пло-
тен для всех Υ.
(v)Tlj\l > >J) — j-плотный подобъект в 1.
(vi) Внутреннее частично упорядоченное множество Jop
имеет конечный объект (упражнение 2.10), т. е. существует мор-
и u*i
физм i—>-J такой, что J—»■ / X / пропускается через Jx > *■
> >J Χ /.
Доказательство. (i)=^(ii) непосредственно в силу 3.54
(iii) и 1.42, a (ii)=^(iii) очевидно.
(iii)=^(iv). Если σ /-плотен, то L(a)—изоморфизм в силу
3.42, а потому LX'LY ►· LX — также изоморфизм. Но в
силу (iii) он изоморфен L(X ) *-L(X ); значит, снова в
силу 3.42 σΓ /-плотен.

3.5. ПРИМЕРЫ ТОПОЛОГИЙ
117
(iv)=^(v). Из упражнения 1.8 получаем, что имеется
декартов квадрат
П>/)- >\·
Υ
и dJ плотен в силу (iv), откуда TIj (d) > »- 1 плотен.
(v)=^(vi). Из сопряженности (/* —| Щ) вытекает, что
/*П/ (d) ^ d как подобъекты в /, но первый из них
классифицируется композицией / -> 1 -*■ J, где и — классифицирующее
отображение подобъекта Hj (d) > *■ 1, а второй — тождественным
морфизмом lj. Поэтому и — конечный объект в Jop.
(vi) =»- (i). Пусть U > >-1— подобъект в 1 с
классифицирующим отображением и; непосредственно из 3.54 (i) вытекает, что
/-плотные мономорфизмы суть в точности /[/-плотные
мономорфизмы. Π
В дальнейшем мы не раз встретимся со следующей задачей:
для данного подобъекта D из Ω в топосе %> построить
топологию /, порожденную D, в том смысле, что: (i) все
мономорфизмы, классифицирующие отображения которых пропускаются
через D, /-плотны и (ii) топология / минимальна по отношению
к (i). Мы приведем здесь чрезвычайно элегантное решение этой
задачи, принадлежащее Жуаялю.
Определим сперва для каждого объекта X бинарное
отношение θ на множество подобъектов из X такое, что θ(σ, τ) имеет
место тогда и только тогда, когда для каждого X' > *-Х с
σ Π ρ ^ τ в действительности ρ ^ τ. Из описания операции =»-,
данного выше, очевидно, это эквивалентно утверждению, что
(σ =*- τ)=τ, а потому θ представимо подобъектом θ > »-Ω у Ω,
а именно, таким, которое классифицируется композицией
Ω χ Ω —*· Ω χ Ω χ Ω *■ Ω χ Ω -*■ Ω,
Δ
где О классифицирует диагональ Ω> »-Ω χ Ω. Для данного
подобъекта D > *■ Ω определим теперь новый подобъект .D > >-Ω
как образ
П( π \((я^ =*-©)> *ΩχΩ).
\βχβ—*β'
Кроме того, той же формулой, заменяя п, на пг и наоборот,
определим подобъект D > *■ Ω.
3.56 Лемма. Пусть X' -+-Х — мономорфизм в S. Тогда τ
лежит в ΞβΓ (ср. 3.17) тогда и только тогда, когда для каждого

118
ГЛ 3. ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
Y—>-X и каждого У >——*-Υ из 3d справедливо отношение
θ (σ, α*τ). [Аналогичный критерий имеется для мономорфизмов
из EDi].
Доказательство. Пусть X -*- Ω — морфизм,
классифицирующий т,аО > *■ Ω — заданный морфизм. Тогда в силу
сопряженности ίπ2 —\ Пя ) морфизм Φ пропускается через DT в том
и только в том случае, когда морфизм Ω χ Χ —>. Ω χ Ω
пропускается через {π1ΰ=>θ). В свою очередь по определению
операции =*■ это эквивалентно тому, что морфизм DxX—»-
{ У 0 ,
—>· Ωχ Ω пропускается через Θ. Поэтому если возьмем
а = πζ: DXX-+X, а в качестве σ — подобъект, класси-
π1 i
фицируемый отображением DxX -*■ D > >Ω, то
непосредственно убеждаемся, что указанное условие достаточно. Но оно также
необходимо, поскольку любая указанная в формулировке пара
(α, σ) определяет F-элемент Υ—-*-DxX, где ΐψ —
классифицирующее отображение мономорфизма σ, и θ(σ, α*τ) выполнено
тогда и только тогда, когда композиция Υ —'-*■ DxX —>- Ω χ Ω
пропускается через Θ. α
3.57 Теорема (Жуаяль). (i) Операции D>-*Dr и D>-*D
задают соответствие Галуа решетки подобъектов в Ω с собой,
т. е. эти операции сохраняют порядок и Ώ*ζΏτ1, D^D'T.
j
(ii) Если Ω-»-Ω— топология в &, то JT = Ω3- и (Qj)l = J.
(iii) Подобъект D > *■ Ω замкнут слева для данного
соответствия (т. е. Drl^D) тогда и только тогда, когда
классифицирующее отображение морфизма D > >-Ω является топологией в &.
Доказательство, (i) вытекает непосредственно из 3.56
и его аналога, поскольку D < Ε в том и только в том случае,
когда ΞΒ s Ee.
(ii) Для любой топологии /, если σ /-плотен, а τ /-замкнут,
то из 3.19 легко вывести, что θ (σ, τ) выполнено, так как
σ Π ρ — плотный подобъект в р. Отсюда вытекает, что Jr > Ω} и
(Ω,)ι>1.
Чтобы установить равенство, предположим, что мономорфизм
Х'>->-Х лежит в Sjr. Тогда, применяя 3.56 с α = τ: Χ > >-
> > X и β — {Χ' > >■ Χ ), получаем изоморфизмы σ ^ (σ=ί-σ)=
— '■'χ" Значит, τ замкнут, откуда Jr = Ω. Подобное
рассуждение, использующее аналог леммы 3.56, показывает, что если σ
лежит в Е(й,У, то σ = (σ*=> o)s ix, а потому оеЗ;.

3.5. ПРИМЕРЫ ТОПОЛОГИЙ
119
(Hi) Если подобъект D классифицируем топологией, то
равенство DTl = D следует непосредственно из (ii). Обратно,
предположим, что D'lsiD; тогда для класса 3d остается проверить
условия из 3.18.
Но если σ — изоморфизм, то очевидно, что θ(σ, τ) имеет
место для любого τ; значит, σ е ΞΒι для любого Ε и, в частности,
о е Звг1 = Ξχ>. Предположим теперь, что задана композиция
X" > *-Х' > *-Х с σ, o'eSj,. Тогда для любого Υ > >-Х из
Здг выполнено θ(σ, τ) и θ(σ', σ*τ), откуда простым
диаграммным поиском проверяется справедливость θ(σσ', τ). Это
остается верным при любой замене базы Ζ-*-Χ, поэтому σσ' е SDrl =
= Ξχ>· Рассуждая аналогично, получаем, что если σσ' е: 30, то
σ и о'лежат в Зв. □
3.58 Следствие. ПустъО) >-Ω—произвольный подобъект
в Ω. Тогда в & существует топология j, порожденная D, в том
смысле, что D > *-Ω пропускается через J > >-Ω и j
минимальна относительно этого свойства.
Доказательство. Возьмем J = DTl и применим 3.57(i)
и (ii). □
Применяя 3.58, можно построить ряд интересных примеров
топологий, среди которых следующие:
3.59 Примеры, (i) Пусть ]и /2 — две топологии в <§. Тогда
мы можем построить топологию /ι+/2 (сумму /, и ]г), которая
содержит U и ]'г и минимальна по отношению к этому условию.
Применим для этого 3.58 к объединению подобъектов Jl > >-Ωη
J2 > νΩ.
(ii) Пусть X' > *· Χ —мономорфизм в <5. Тогда существует
единственная минимальная топология ) такая, что мономорфизм
σ /-плотен. Чтобы ее построить, применим 3.58 к образу J > *■
> >- Ω классифицирующего отображения X > *■ Ω
мономорфизма σ.
(iii) Пусть ST-*-jg—геометрический морфизм, a j —
топология в <%'. Тогда существует единственная минимальная
топология j' в &~ такая, что композиция shj» (ST)->-ST-*-&
пропускается через shj(<?f)->- &. В силу 3.42 и 3.47 такая
факторизация существует в том и только в том случае, когда
мономорфизм /* \1 > *J) /-плотен; поэтому достаточно примерить (ii)
к этому мономорфизму в #".
(iv) Пусть Х-*-Υ — морфизм в йГ. Тогда можно построить
единственную наименьшую топологию в с?', для которой L(f) —
мономорфизм (соответственно эпиморфизм); для этого применим
(ii) к мономорфизму τ (соответственно (i)) из 3.41. Беря сум-

120
ГЛ 3 ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
му этих двух топологий, получаем единственную наименьшую
топологию, в которой L (/) — изоморфизм.
(ν) Пусть X' > *-Х —мономорфизм в <§?. Начиная с
противоположной операции соответствия Галуа из 3.57, мы можем
найти единственную наибольшую топологию, в которой τ
замкнут. Беря, например, в качестве τ диагональ объекта F и
применяя 3.29(H), мы можем построить единственную наибольшую
топологию, в которой F отделим. Q
Упражнения к главе 3
(ίνϊ2) д
1. Пусть 7ι и /2— топологии в &. Докажите, что Ω >-ΩχΩ-*·
-> II топология.
2. Пусть & — категория с конечными пределами, a L =
= (L, η, μ)—точная слева идемпотентная монада на <§ (т. е.
такая, что функтор L точен слева, а преобразование μ является
изоморфизмом). Определим операцию рх на подобъектах
объекта X в & формулой 9х(Х' > *-Х) = r\x(LX' > уLX).
Докажите, что ρ — универсальная операция замыкания на &'. Докажите
также, что объект X отделим (соответственно является пучком)
относительно ρ в том и только в том случае, когда η* —
мономорфизм (соответственно изоморфизм). [Указание. Докажите
вначале, что диагональ X > >■ R р-плотна, где R^£X—
ядерная пара морфизма η л], и выведите отсюда, что L — функтор
ассоциирования пучка для р. Покажите затем, что если <§ —
топос, то существует биекция между классами изоморфизма
точных слева идемпотентных монад на & и топологиями в &.
[Используйте 3.42.]
3. _Пусть G—абелева группа, а N—подгруппа в G.
Определим Η £ G как подмножество, элементы которого составляют
кручение по модулю Н, т. е. {ge G]ng^ N для некоторого η > lh
Докажите, что Η — подгруппа в G и что сопоставление Η >-* Η
задает универсальную операцию замыкания на категории абе-
левых групп ab. Покажите, что группа G отделима относительно
этой операции тогда и только тогда, когда она без кручения,
и является пучком тогда и только тогда, когда она без кручения
и делима. Каков здесь функтор ассоциирования пучка?
Ограничивая указанную операцию на полную подкатегорию Igab ко-
нечнопорожденных абелевых групп, покажите, что утверждения
3.29 (iii) и 3.42 неверны для общего случая универсальной
операции замыкания.
4 (конструкция функтора L по Ловеру). Пусть у —топология
в топосе &, а X — объект из <§. Обозначим через MX образ ком-
, Iх
позиции X > *■ Ωχ -» Ω?, а через LX — замыкание MX в Qj.
Докажите, что морфизм X -»■ Μ Χ универсален в классе мор-

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 3
121
физмов из X в отделимые объекты [указание: что является
его ядерной парой?] и что LX — пучок, ассоциированный с X.
5. Пусть X — дискретное двухточечное топологическое
пространство, a U, V — два нетривиальных открытых подмножества
в X. Покажите, что для любого предпучка Ρ на X множество
Р+(Х) есть расслоенное произведение диаграммы
/U')
/'< V) - ► Р(0)
Вычислите затем Р¥ и Р++, когда Ρ определен равенствами
Р(Х) = 0, /?(t/) = /?(F) = /?(0)—двухэлементное множество с
Ρ» = Р0 = 1. Выведите отсюда, что в общем случае Р, Р+, P+t
и MP могут быть различными.
6 (доказательство левой точности функтора L по Фрейду;
см. [FK]).
(i) Докажите прямой проверкой, что функтор L: ^Г-»-shj(^T)
сохраняет конечные произведения. [Указание. Покажите, что
отображение XXY-+LXXLY универсально в классе
отображений из Χ Χ Υ в пучки; при этом используйте 3.24.]
(п) Докажите, что если Υ—пучок, а X—произвольный
объект из &, то пучки Υχ и ΥίΧ естественно изоморфны.
(iii) Докажите, что включение sh;(<?f)->- ё сохраняет инъек-
тивные объекты. [Воспользуйтесь упражнением 1.5.]
(iv) Используя упражнение 1.5, покажите, что функтор
^f-^sbj(^f) сохраняет корефлексивные уравнители.
7. Пусть / — топология в %>. Предположим, что квадрат
Ω χ Ω ► Ω
ι ' ; '
Ω χ Ω ->■ Ω
коммутативен. Докажите, что ретракция Ω -*»■ Ω3- биплотна,
и выведите отсюда, что функтор ассоциирования пучка для j
сохраняет классификатор подобъектов. Проверьте, что это
условие выполнено, когда ] — открытая топология.
8. Пусть F — объект в топосе ё. Пусть морфизм a: F Χ Ω -*-
-*■ F представляет частичное отображение
I « ι
/■ νΩ

122
ГЛ 3 ТОПОЛОГИИ И ПУЧКИ
а морфизм F—>-U классифицирует подобъект F > *-F.
Определим WF > >■ F как «наибольший подобъект, на котором α
однозначно обратим», т. е. как расслоенное произведение
WF ► F χ Ω
н
F —^ ΩΓ~ ^Ω('*Ω>
и определим ./> > *-Ω формулой U0(WF) > F). Покажите,
что мономорфизм X' > *-Х лежит в EjF тогда и только тогда,
когда для любого морфизма Т-*-Х каждый морфизм f*(X')-+
-»- F однозначно продолжается до морфизма Τ -»- F. Выведите
отсюда, что классифицирующее отображение ]'г подобъекта
J ρ > *■ Ω является топологией и что это единственная
наибольшая топология, в которой F является пучком.
9. Пусть /i, jz — две топологии в &. Используя
упражнение 8, докажите, что sbj +J (^) есть пересечение shj {&) и
shjf(#).
10. Пусть / — топология в 8>. Определим внешность ext(/)
топологии j как /-замыкание мономорфизма 0> »-1, а
внутренность int(/) топологии / как уравнитель морфизмов 1-*-Ω и
1 —* Ω . Покажите, что ;' >-*■ ext (;') есть сохраняющее
порядок отображение из решетки топологий в & в решетку под-
объектов конечного объекта 1 и что оно задает правый
сопряженный функтор к U ^ Ju- [Указание. Докажите, что если
i/<ext(/) и подобъект X' > *-Х /[/-плотен, то квадрат
А" х extO') * X'
] ι
Ι σ х 1 I ·
Xxext(/) "X
кодекартов.] Установите аналогичную (контравариантную)
сопряженность между отображениями ΐ ·-*■ int (/) и U ►-*■ ]υ·

ГЛАВА 4
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФИЗМЫ
4.1. Теорема факторизации
Эта глава посвящена более детальному изучению 2-катего-
рии Зд>р, введенной в 1.16.
4.11 Определение. Пусть ЗГ-*-& — геометрический мор-
физм.
(i) Морфизм / называют включением, если выполнено одно
из следующих эквивалентных условий:
(a) /* полон и унивалентен;
(b) коединица сопряжения (/* -1 /*) является
изоморфизмом;
(c) (если морфизм / существен) единица сопряжения
(/'—I /*) является изоморфизмом или /, полон и унивалентен.
(ii) Морфизм / называют сюръекцией, если выполнено одно
из следующих эквивалентных условий:
(a) /* отражает изоморфизмы;
(b) /* унивалентен;
(c) единица сопряжения (/* -\ /*) мономорфна. О
4.12 Примеры, (i) Пусть j — топология в <§. Тогда
геометрический морфизм sh (<??)-»-<?? из 3.39 является включением.
(ii) Пусть ® — точная слева комонада на #". Тогда
геометрический морфизм ^~-*-^~с из 2.32 является сюръекцией.
[Вскоре мы увидим, что примеры (i) и (ii) наиболее общие
из возможных.]
(iii) Пусть X -*- Υ — морфизм из <§. Тогда функтор Σ,:
SIX-*- i§IY всегда унивалентен и полон в том и только в том
случае, когда / — мономорфизм. Поэтому в силу 4.11 (i) (с)
геометрический морфизм &IX-+8IY из 1.46 будет включением в
том и только в том случае, когда / — мономорфизм.
Аналогично, этот морфизм будет сюръекцией в том и только
в том случае, когда / — эпиморфизм. Действительно, если
I) *Y— образ морфизма /, то /* (/ > *·Υ)— изоморфизм;
поэтому, чтобы /* отражало изоморфизмы, необходимо, чтобы /
был эпиморфизмом. Обратно, если / — эпиморфизм и
ζ I >т
\/
Υ

124
ГЛ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФИЗМЫ
— два морфизма из <§IY с одним и тем же образом относитель-
но /*, то композиции ΧχγΖ—*Ζ^ξ-Τ совпадают; поэтому
g и h совпадают, так как π2, являясь подъемом эпиморфизма,
есть эпиморфизм.
(iv) Пусть X-*-Y— непрерывное отображение
топологических пространств. Тогда, рассуждая, как в (ш), можно
показать, что геометрический морфизм Shv(X)-*· Sliv(Y) из 1.IV(i)
будет включением (соответственно сюръекцией), если / —
включение топологического пространства (соответственно сюръектив-
ное отображение), а обратные утверждения верны, если
дополнительно предположить, что X является Го-пространством
(соответственно Υ является ^-пространством). Q
4.13 Лемма. Пусть SF'-*■ &— геометрический морфизм.
Если f — одновременно включение и сюръекция, то (/*, /*) —
эквивалентность категорий (а потому f—эквивалентность в Хоу).
Доказательство. Пусть α, β — единица и коединица
сопряжения (/* Ч /*)■ В силу 4.11 (i) (Ь) β — изоморфизм,
поэтому достаточно проверить, что α — изоморфизм. Но из
«треугольного соотношения))
\. *
/*
следует, что /*а — изоморфизм, но /* отражает изоморфизмы. □
4.14 Теорема (Ловер — Тьерне). Пусть SF'-*■ <§—
геометрический морфизм. Тогда существует разложение
& - *■ g
\ /
(с точностью до естественного изоморфизма) морфизма f такое,
что q — сюръекция, a i — включение; это разложение определено
однозначно с точностью до эквивалентности.
Доказательство. Определим морфизм у. Ω -*■ Ω в %> как
композицию
ω^/^ωΛω,
где Φ классифицирует f*f*(t): 1^/^(1) > */*/*(Ω), а α —
единица сопряжения (/* —| /*). Пусть / > ν Ω— подобъект,
классифицируемый с помощью j.

4.1 ТЕОРЕМА ФАКТОРИЗАЦИИ
125
Но если X' > *■ X — мономорфизм в & с классифицирующим
отображением Χ-*-Ω, то
θ пропускается через / > *■ Ω <=*- αθ пропускается через
/*/* (t) <=>■ f* (θ) пропускается через
/* (t) <=*- /* (σ) — изоморфизм.
Из этого легко вывести, что класс Н/ удовлетворяет условиям
предложения 3.18, а потому / — топология в <§. Более того, если
положить ^" = shj (<??), то в силу 3.47 имеется факторизация
q \
&'-*- f морфизма / через включение ? -*■ &.
Предположим теперь, что γ — такой морфизм из /', что
9* (Ύ) — изоморфизм. Тогда /*i* (γ) — изоморфизм, значит, ΐ* (γ)
/-биплотен, откуда в силу 3.46 γ — изоморфизм. Поэтому q —
сюръекция.
τ Ι
Наконец, предположим, что ^~ -*- 3? -*■ <§ — любое другое
разложение / в композицию сюръекции и включения. Так как
г — сюръекция, то I* обращает все /-плотные мономорфизмы,
а потому имеется разложение
J2? ! ► /
Но теперь морфизм t должен быть одновременной сюръекцией
и включением; значит, в силу 4.13 он является
эквивалентностью. О
4.15 Предложение, (i) Пусть &'-*-& — включение. Тогда
существует [единственная) топология J в <S такая, что &" ^
(И) Пусть 3F~ -*■ & — сюръекция. Тогда на 2Г существует
[единственная с точностью до изоморфизма) комонада ® такая,
что <S си ^~с·
Доказательство, (i) получается непосредственно в силу
конструкции из 4.14 топоса /, являющегося образом данного
включения.
(ii) Функтор /* имеет правый сопряженный, сохраняет
уравнители и отражает изоморфизмы; поэтому в силу утверждения,
двойственного к 0.13, он комонадический. □
4.16 Замечание. Следует отметить, что в диаграмме из
4.14 комонады на ^~, индуцированные сопряженными парами
(/* Ч /*) и (я* —\ ?*)> изоморфны, поскольку комонада на /,
индуцированная сопряженной парой (i* -J г*), тривиальна.

426
ГЛ. 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФИЗМЫ
В действительности, используя 2.32, можно предложить
несколько другое доказательство теоремы 4.14; в качестве образа &
берется топос @~с, где С — комонада, индуцированная
сопряжением (/* —\ /*)) затем на основании уточненной теоремы Бека
о тройственности (см. [CW], с. 150, упражнение 2)
доказывается, что функтор сравнения & -*■ ? имеет полный и унивалент-
ный правый сопряженный. □
4.17 Замечание. Также без особых усилий можно
привести другое доказательство утверждения 4.15(i), используя идеи
упражнения 3.2, поскольку монада на <5, индуцированная
сопряжением (/*—|/*), идемпотентна в силу 4.11 (i) (Ь). На самом
деле в более общем варианте теоремы 4.14 монада на <5,
индуцированная (£* —1 ί*), является идемпотентной монадой,
ассоциированной (в смысле Факира [163]) с монадой,
индуцированной сопряжением (/* —| f%); используя эту идею, можно дать
еще одно, третье построение топоса-образа. Q
4.18 Примеры, (i) Пусть X-+Y — морфизм в топосе <§.
Тогда из 4.12(Ш) легко вывести, что топос jf, являющийся
образом геометрического морфизма 8IX -*■ <§IY, есть (с точностью
до эквивалентности) топос SIQ, где Q — образ морфизма / (1.52).
(И) Аналогично, если Χ-+Υ— непрерывное отображение
топологических пространств, то топос, лежащий в образе
морфизма Shv(X)-»- Shv(y), совпадает с Shv(/), где / — образ
отображения / с топологией подпространства в Y.
(iii) Пусть (X, U)—топологическое пространство. Тогда
нетрудно проверить, что имеется геометрический морфизм 9*/Х-*-
—>ί?υ , где /* \Е->~ X) — (пред) пучок всех (не обязательно
непрерывных) сечений проекции ρ и /*(Р) — индексированное
семейство слоев предпучка Ρ (ср. 0.24).
Но образ этого морфизма есть в точности топос Shv (X), и два
описания топоса, являющегося образом в 4.14 и 4.16,
соответствуют двум «классическим» описаниям пучков на
топологическом пространстве (т. е. как предпучков, удовлетворяющих
некоторым условиям точности, или как множеств над X со
структурой коалгебры (т. е. с топологией такой, что проекция есть
локальный гомеоморфизм)). О
С помощью теоремы 4.14 можно распространить
универсальные свойства порождаемых топологий п. 3.59 с пучковых под-
топосов в & на произвольные топосы над &. Типичным
примером является
4.19 С л е дет в и е. Пусть ST'->- & — геометрический морфизм,
X' > *■ X — мономорфизм в &, а ] — топология в <§,
порожденная а согласно 3.59 (ϋ) - Тогда f пропускается через включение
sh,(^r) -*■ & в том и только в том случае, когда
/*(σ)—изоморфизм.

4 2. КОНСТРУКЦИЯ СКЛЕЙКИ
127
Доказательство. Пусть к— топология в &,
индуцированная морфизмом /, как в доказательстве 4.14. Тогда каждое
из указанных условий эквивалентно утверждению, что / «S к в
решетке топологий топоса &. □
4.2. Конструкция склейки
4.21 Предложение. 2-категория £оу имеет начальный
объект (а именно, вырожденный топос 1 с одним объектом и
одним (тождественным) морфизмом) и конечные копроизведения
(категория копроизведения топосов &^ и <£г в действительности
есть их произведение в ©at; см. 1.15).
Доказательство. Прямая проверка. □
Вполне естествен вопрос о том, существуют ли в £о)р более
общие конечные копределы. В общем случае ответ на этот
вопрос, по-видимому, неизвестен; однако он известен для более
грубого понятия — слабого копредела, диаграммы которого
коммутируют не с точностью до 2-изоморфизмов, а с точностью до
не обязательно обратимых 2-стрелок. В этом параграфе вводится
принадлежащая Рейту [129] общая конструкция склейки,
которая позволяет строить слабые копределы, но сначала следует
ввести необходимую 2-категорную терминологию.
4.22 Определение. Пусть © — некоторая 2-категория,
а D — категория.
(i) Слабая диаграмма
данных:
(a) каждому объекту d из D сопоставляется объект T(d) из©;
(b) каждому морфизму d' -*■ d из D сопоставляется 1-стрел-
каГ(/):Г(£1')-*Г(й);
(c) каждому объекту d сопоставляется 2-стрелка ad: 1г<<() -*"
-Г(1„);
D^&
состоит из следующих
dT-Z-d'-
(d) каждой компонуемой паре
2-стрелка щ.г: Г (/) Г (/') -> Г (//');
(e) нри этом выполнены условия согласования:
d сопоставляется
диаграммы
коммутируют.
П/)Г(/')Г(/")
дгягсл
г(/)Г(/Г)
«/,/■/"

128
ГЛ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФИЗМЫ
(И) Слабый конус (X, s, σ) под слабой диаграммой (Г, а)
состоит из
(a) объекта X 2-категории ©;
(b) сопоставления каждому объекту d из D 1-стрелки sd:
(c) сопоставления каждому морфизму d' ->- d из D 2-стрелки
a,: sd* T(/)->-sd,;
(d) при этом выполнены условия согласования: о1(1 · (Sd *®>d) =
= l*d и σ// · (θ/ * Г (/')) = о/// · (sd * α/,//).
В терминологии из [184] слабый конус есть правое слабое
естественное преобразование из (Г, а) в постоянную диаграмму.
Морфизмом слабых конусов γ: (Χ, s, a)-+(X, t, τ) называют
модификацию естественных преобразований, т. е. семейство
2-стрелок γ^: sd -*■ td, совместимых с сопоставлениями σ и τ.
Обозначим через 1сп(Г, а; X) категорию слабых конусов под (Г, а)
с вершиной X.
(ш) Слабым копределом слабой диаграммы (Г, а)
называется объект, представляющий функтор 1сп(Г, а; —): © -*- ©at, т. е.
слабый конус (L, ί, τ) такой, что для любого X функтор
©(L, Х)->-1сп(Г, а; X), hy*{X,ht,h*x), является
эквивалентностью категорий. Q
4.23 Пример (Бенабу [155]). Пусть с? — категория. Тогда
задание монады Τ на & в точности эквивалентно заданию
слабой диаграммы 1 -* ©at, переводящей единственный объект из 1
в & Кроме того, универсальные свойства категорий Клейсли
К1(Т) означают, что она является слабым копределом для этой
слабой диаграммы. (Категория Эйленберга—Мура %> есть
слабый предел для той же диаграммы.) О
4.24 Конструкция. Пусть © обозначает 2-категорию,
объекты и 1-стрелки которой составляют топосы и их функторы,
точные слевк, а 2-стрелками являются противоположные
естественные преобразоваия. (Если a—некоторая 2-стрелка из ©, то
через α будет обозначаться соответствующее естественное
преобразование в противоположном направлении.) Пусть (Г, а) —
слабая диаграмма в © над конечной категорией D. Положим
8 = Ц Г(й); тогда на <§ имеется точная слева комонада
dSD0
&=(G, ε, δ), определяемая соотношениями
G{Xd\deD0) = (Y\ r(f)(Xd.)\deD0),
(4νΠΓ(/)(*,-) -n\d)(Xd)~^^ xr
f

4 2 КОНСТРУКЦИЯ СКЛЕЙКИ
129
(Ыг-ППЖХ,.) ► Π ДЛИЛ№,··)
f
if. Γι
κ</ / )
Γ(//№·-) ——- Γ</)Π η<*,.)
Так как функторы Г(/) точны слева, то и функтор G точен
слева; согласно 4.22 (i) (e) легко проверить, что δ коассоциа-
тивио, а ε — коединица этого преобразования. Поэтому в силу
2.32 имеется топос ^с= G1(T, а), называемый склейкой
слабой диаграммы (Г, а). Объект топоса G1(T, α) можно
представлять поэтому в виде семейства объектов Xd^F(d) (d^D0)
с морфизмами ξ;: Xd-±-T (f)(Xd,) для каждого d'-+d,
удовлетворяющими некоторым условиям согласования,
связывающими сопоставления ξ и а. О
4.25 Теорема (Рейт). 2-категория Хор имеет конечные
слабые копределы.
Доказательство. Пусть (Г, а) — конечная слабая
диаграмма в £ор. Рассмотрим ее композицию со стирающим
функтором £ор ->■ Ε, переводящим геометрические морфизмы в их
прямые образы, и применим конструкцию из 4 24. Поскольку
функторы Г(/)*имеют левые сопряженные, то и функтор G,
построенный в 4.24, имеет левый сопряженный; точнее, его левый сопря-
женньш функтор // задается равенством
H(Xd\d^D0) = (U r(/)*(Xd)|d'e=D0
Поэтому в силу утверждения, двойственного к 0.14, Η имеет
структуру монады hi, и объекты топоса Gl(r, α) можно
рассматривать как Н-алгебры, а не только как ®- коалгебры, т. е.
структурные морфизмы £,)'. Xd-^-r(f)<l.(Xd') можно заменять
их транспозициями \f. Г(/)* (Xd)—*-Xd,.
Обозначим теперь через td геометрический морфизм Г (d) —*
■—»■ %> -*■&§ = G1 (Г, а), где ν<ι — включение копроизведения,
указанного в Sop, т. е. морфизм, как и в 1.17(ш), а через
ту. Г(/)* td->- td' обозначим естественное преобразование,
значением которого на (Χ, ξ) является |f. Очевидно, тогда тройка
(Gl(r, α), t, τ) составляет слабый конус под (Г, а).
Для любого слабого конуса (&~, s, а) под диаграммой (Г, а)
в £ор можно определить геометрический морфизм h\ Gl(r, а)-*-

ISO ГЛ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФПЗМЫ
-*£- с h*(Y) = (X, ξ), где Xd=s*(Y) и Γ, = (σ,)τ, и
где а и b индуцированы композициями
nsd,(A-J — ■>, ,(Xd) ~— ^UfliX,.)
соответственно.
Далее, непосредственная проверка показывает, что функтор
h* точен слева и сопряжен слева к функтору /ι* и, очевидно,
имеется канонический изоморфизм (ST, s, σ) = {ST, ht, h * τ)
в 1сп(Г, α; ST) (а фактически равенство на функторах
обратного образа). Поэтому сопоставление (8Г, s, о) *-+h определяет
обратный (с точностью до естественного изоморфизма) функтор
к функтору £op(Gl(r, α), #")->-1сп(Г, α; &~) из 4.22(iii). □
В некоторых случаях конструкция склейки может быть
использована для построения настоящего копредела (в смысле
2-категорий) в £ор. Один из важных примеров состоит в
следующем:
4.26 Предложение. В £ор существуют амальгамы пар
включений.
Доказательство. Пусть
V
— диаграмма включений в £ор. Применим конструкцию склейки
к слабой диаграмме следующего вида: D — категория id=*ej,
т. е. недискретная категория (или тривиальный связный
группоид) с двумя объектами d и е. Т{а) = Жг, Г(е)=&3, Г(/) =
= ν*ιι*, Г(сг) = η*ν*, r(ld) = 1&г, Г(1е) = 1<Гз, аг = ае=1,~а^
η ~
есть композиция 1 -*- v%v* -^-v*u*u%v* (η — единица
сопряжения (ν* -\ν#)), a ag, t определяется аналогично.
Тогда каждый объект из G1(T, α) состоит из четверки
{Χ, Υ, Θ, Ф), где Хе^г, Уе!1, и морфизмы θ: Χ-^ιι^Υ,
φ: Υ —>■ v%u*X удовлетворяют условиям согласования. Но эти

4 2 КОНСТРУКЦИЯ СКЛЕЙКИ
131
условия попросту означают, что Θ: и*Х -»- v*Y и Φ: ν*Υ ->-
-*■ u*X—взаимно обратные изоморфизмы в «¥\. Следовательно,
Gl(r, α) есть предел в ©at диаграммы
<?2
откуда, рассуждая как и в 4.25, можно получить, что это
копредел в £ор. π
То, что как в 4.21, так и в 4.26 категории копределов в Soy
являются на самом деле пределами в ©at, можно объяснить по
крайней мере для топосов. определенных над 9", тем, что
стирающий функтор (Ϊ0^/^)ορ ->-©at, переводящий геометрические
морфизмы в их обратные образы, представим топосом 9*111}
(см. 4.37(iv) ниже). Поэтому для конструкции копределов более
общих диаграмм в £ор было бы достаточно показать, что
соответствующие пределы в ©at имеют структуру топоса; однако s
общем случае это еще не сделано.
Другое приложение конструкции 4.24 относится к задаче об
артиповой склейке (см. [GV], IV.9.5). Для заданного топоса &
и открытого объекта U в S имеется два пучковых подтопоса
& о, <%с из (S', определяемых открытой и замкнутой топологиями
ju, ju (3.52). Какая нужна дополнительная информация для
восстановления топоса S по &й и <§°с? Напомним топологический
аналог этой задачи, когда & соответствует пространству X, а то-
посы S0, &с соответствуют дополнительным открытому и
замкнутому подпространствам в X. Тогда, очевидно, необходима
некоторая информация о том, как расположена «граница» топоса
&Ό в ёс- Если через &O—>e>, Sc ~^ <% обозначить
соответствующие морфизмы включения, то легко проверить, что композиция
i0ic*' <Sc-*-<8a является тривиальным функтором, переводящим
каждый объект из &\ в конечный объект категории SO. Но
композиция ici0* может быть нетривиальной; она называется
окаймляющим функтором, ассоциированным с открытым объектом U.
4.27 Теорема (Артин — Рейт). Пусть &?и <%г — топосы,
a L: <§°,->-е?2— произвольный функтор, точный слева. Тогда
существует топос <S {единственный с точностью до
эквивалентности), содержащий открытый подобъект U, такой, что &Ί и <?2
эквивалентны соответствующим открытому и замкнутому
пучковым топосам, a L — окаймляющему функтору.
Доказательство. Применим конструкцию склеивания к
диаграмме \&х-^&^) в ©, рассматриваемой как слабая
диаграмма с тождественными α-стрелками. Тогда каждый объект из

132
ГЛ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФИЗМЫ
^ = Gl(r, α) представляется тройкой (Xt, Х2, и), где Χι^&Ί,
Хг^(§г и и: Х2-*- L(Xi) (условия согласования несущественны);
поэтому топос <§° можно описать как относительную категорию
(S"2iL). Открытым объектом U является тройка (1,0,0-»-1);
ва основании 3.53 и 3.54 легко проверить, что jv~ пучки — это
объекты (Xt, Х2, и), для которых Χι = 1 в &Ί, а У^-пучки — это
пучки, для которых и — изоморфизм в &г· Оставшиеся детали
восстанавливаются непосредственно. п
4.28 Пример. Пусть Χ^-Υ— непрерывное отображение
топологических пространств, a S = {а, Ы обозначает
пространство Серпинского, где а — открытая точка. Определим открытый
цилиндр отображения / как факторпрострапство Mf, полученное
из суммы (X X S) α Υ отождествлением для всех х^Х пар
(х, Ь) с одинаковыми образами f(x). Тогда топос Shv (М°)
можно получить, применяя конструкцию из 4.27 к точному слева
функтору Shv(X) —*Shv(F). Аналогично, применяя 4.27 к
Shv (Υ) —* Shv (X), получим топос пучков на замкнутом
цилиндре Mf, который определяется так же, как М°, после
обращения ориентации пространства S. Π
4.3. Теорема Диаконеску
Одним из важнейших инструментов описания структуры
категории £ор является теорема Диаконеску [30], характеризующая
геометрические морфпзмы, область значений которых имеет вид
<% для некоторой категории Се cat (с?). Всюду в этом и
следующем параграфе мы работаем с топосами, определенными над
фиксированным «основным топосом» <% (т. е. с объектами
категории £ор/<§°* для наименования таких объектов также
используется термин (§-топос.
4.31. Определение. Пусть С — внутренняя категория в &,
у
G — внутренний предпучок на С, a G ~*" С — соответствующее
дискретное расслоение. Предпучок G называют плоским, если
категория G фильтрована, а через Flat(Cop, &) обозначают ПОЛ-
ную подкатегорию в в , состоящую из плоских предпучков
на С. Π
4.32. Лемм а. Если G — плоский предпучок на С, то функтор
(—) ® с G: <§-*-<§ является обратным оврагом некоторого
геометрического морфизма.
Доказательство. Ввиду 2.49 мы знаем, что функтор
(—) <2>cG имеет правый сопряженный, а ввиду 2.48 он предста-
вим в виде композиции <% —* <% *■&. Но функтор Ч* то-

4 3 ТЕОРЕМА ДИАКОНЕСКУ
133
чен слева, так как в силу 2.34 он имеет левый сопряженный,
а функтор limG точен слева в силу 2.58. □
4.33 Пример. Пусть С — малая категория, a G: С5Р ->- 9° —
функтор. Если предцучок, соответствующий G, плоский, то
функтор G точен слева, поскольку, как легко проверить, он предста-
вим в виде композиции L —*£л *■ ir , где η — вложение
Йонеды. Обратно, если С имеет все конечные копределы, то
любой точный слева функтор G: Сор -*■ 9" задает плоский предпучок.
Например, пусть x^G(U), y<~G(V) — дпа элемента из G0 =
= J_L G(U); тогда в категории G они оба могут быть отобра-
иес0
жены в один элемент <х, у> из G(Un V) ^ G KU) χ G(V),
поэтому услопие 2.51(b) выполнено. (Рассуждения для 2.51(a)
и 2.51(c) аналогичны.) □
4.34 Теорема (Диаконеску). Пусть С — внутренняя
категория в ё?, a SF ^-<%— топос над &". Тогда существует
эквивалентность между категорией %$$/<%'{&', i?c) геометрических морфиз-
мов над <S иг 9~ в S и категорией Flat(/*Cop, £F), и эта
эквивалентность естественна по &~.
Доказательство, (i) Рассмотрим сначала случай ^~ =
= <% ■ Тождественному геометрическому морфизму
соответствует профунктор Йонеды Υ (С) (2.45), рассматриваемый как
предпучок на С* (С) в <% · Для проверки того, что Υ (С) плоский,
заметим, что поскольку стирающий функтор U: & -*■ S",'Ce
сохраняет и отражает пределы и эпиморфизмы, то достаточно
проверить фильтрованность категории дискретного расслоения
с2 X с,
\Ks.d,n_) ί,ίη.ί )
1
di* 1
с,<с0-=Хс^сЛ
с,
(I
в «У/Со. Но, как легко убедиться, квадрат
г »-с
(1 Mi) i

134
ГЛ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФИЗМЫ
декартов и m(lCl1 id^ = lCl; поэтому lCo-^dl— конечный
объект указанной выше категории в смысле упражнения 2.10.
Значит, она фильтрована и Υ (С)— плоский предпучок.
(И) Пусть g: SF -*-(§ —морфизм cf-топосов. Так как g*
сохраняет расслоенные произведения и эпиморфизмы, то этот
функтор сохраняет дискретные расслоения и фильтрованные
категории; значит, g*(Y(C)) — плоский предпучок на g*C*(C) =
= /*(С) в #". Кроме того, естественные преобразования a: gt -*■
-*■ gi над <§°, очевидно, индуцируют морфизмы предпучков
g* (Y (С)) ->■ g*2 (Y (С)), откуда получается функтор
Φ Хор ${F,£r) >¥\&i(f*C^,^),y' -q'(YlC))
(iii) Пусть G— плоский предпучок на /*С. Определим
функтор Ψ^)* как композицию
где (/ ) обозначает функтор /*, применяемый к дискретным
корасслоениям над С. Но пз 2.16 пемедленно следует, что
функтор (/ ) точен слева; кроме того, он имеет правый
сопряженный функтор (/ )*, описываемый как композиция /* с после-
сс
дующей заменой базы вдоль единицы С-*-/^/*С. Поэтому в
силу 4.32 функтор Ψ(£?)* является обратным образом
геометрического морфизма Ψ(£ί): &~ —^ S . Далее, для любого X из
<о вмеем
Ψ (G)* С* (X) ^ (/*С)* /* (X) ®t*cG
~lim0(G*/*(X))
es /* (Χ) χ lira G
si/*(Х)(в силу 2.54).
Поэтому морфизм ψ (G) определен над &", и, очевидно, Ψ есть
функтор
Flat (/*Сор, &·) ->■ £э?/# (#", <УС).
(iv) Наконец, осталось показать, что функторы Φ и Ψ
взаимно обратны с точностью до естественного изоморфизма.
Нетрудно проверить, что (/Ύ (Υ (С)) ~ Υ (/*С), откуда ΦΨ (G) ^
^YU*C)2>f*cG^G в силу 2.45.

4 3 ТЕОРЕМА ДИАКОИЕСКУ
135
Аналогично, для данного геометрического морфизма g и
объекта F из ё имеем
YO(g)*(F) = (/c)*(F)®g*(F(C))
^(gc)*(Cc)*(F)®g*(Y(C))
^ g* (С* (F) ®c*cY (С)) (поскольку g* сохраняет
тензорные произведения)
si g* (F) (в силу 2.45).
Очевидно, этот изоморфизм естествен по F и g. Π
4.35 Следствие. Квадрат
декартов в £ор, где / — геометрический морфизм, построенный
в 4.34(ш).
Доказательство. Предположим, что задан тонос 9 и
морфизмы $ —*■ &~, $ -+ (о , образующие коммутативный
квадрат (с точностью до изоморфизма). Тогда ввиду 4.34 h
соответствует плоскому предпучку Η на g*f*C, который в свою очередь
соответствует геометрическому морфизму *5 —*■ @~ над ST. Но
так как / соответствует плоскому предпучку F(/*C), то
имеется канонический изоморфизм / ·& = /ι, потому что оба
морфизма соответствуют Η. □
4.36 Следствие. Функтор cat(if)->- £ор/<?? из 2.35
сохраняет конечные произведения.
Доказательство. Нужно показать, что
— диаграмма произведения в £ор/<??, т. е. декартов квадрат в £ор.
Однако, как уже отмечалось в § 2.4, имеются канонические ΗβΟ-
морфизмы о = {& ) = {о ) , поэтому требуемое
вытекает из 4.34. Π
Но, к сожалению, функтор из 2.35 не сохраняет все конечные
пределы, контрпример будет предложен ниже в упражнении 6.7.

J36
ГЛ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФЙЗМЫ
Важность теоремы Диаконвску подчеркивают ее приложения,
которые встречаются всюду в теории топосов. На многие из них
мы натолкнемся в последующих главах этой книги; здесь же мы
обсудим ряд интересных примеров,
4.37 Примеры, (i) Пусть X = ( X^t X )—дискретная ка-
тегория. Тогда & = <% ^S";X, и, так как категория
любого дискретного расслоения G — X также дискретна, то легко
убедиться, что объект G -^ X категории SIX соответствует
плоскому предпучку в том и только в том случае, когда G -*■ 1 —
изоморфизм, т. е. в том и только в том случае, когда γ —
глобальный элемент объекта X. Поэтому категория
эквивалентна дискретной категории глобальных элементов в f*X;
в частности, отметим, что 1^(Х) есть в точности общий элемент
объекта X, как он определен в § 1.4. Следовательно, общие
свойства этих элементов могут быть перенесены с топосов вида &IU
на произвольные <§°-топосы.
(ii) Пусть G = (G^+.1) — внутренняя группа в & (т. е.
моноид е отображением обращения G-+-G). Теперь предпучок на
G есть просто (левый) G-объект, т. е. некоторый объект Μ с
ее
унитарным ассоциативным действием G Χ Μ ->- Μ. Используя то,
что все морфпзмы в G обратимы, можно без труда показать, что
категория [G Χ Μ ζ^. Μ \ удовлетворяет 2.51(b) (соответственно
V π2 /
2.51(c)) в том и только в том случае, когда G действует
транзитивно (соответственно эффективно) на М, т. е. когда
(α,π2)
G Χ Μ *■ Μ Χ Μ — эпиморфизм (соответственно
мономорфизм). Поэтому предпучок на G является плоским в том и
только в том случае, когда он является (левым) G-торсором, т. е.
(α,π·,)
когда G χ Μ >■ Μ Χ Μ — изоморфизм и Μ -*■ 1 —
эпиморфизм.
В § 8.3 мы узнаем, что классы изоморфизма /*С?-торсоров в
^-топосе 3" соответствуют элементам первой группы когомоло-
гий Hi(&~; G), например, если & = &, G = X2 и 5F — топос
пучков на единичпой окружности S1, то имеется два класса
изоморфизма G-торсоров в &", именно: класс (пучка сечений) про-
πι
екции S1 χ G —> S1 и класс двулистного накрытия Sl-+Sl; они
соответствуют двум элементам группы Z2 = H1(S1; Z2)·
Следовательно, в этом случае теорему Диаконеску мояшо
интерпретировать как утверждение, что топос <%' правых С?-объектов
епь классифицирующий топос функтора //'(—; G). Отметим,
однако, что групповая структура па этом функторе не получается

4 3. ТЕОРЕМА ДИАКОНЕСКУ
137
из категорной структуры на £эр/<?° (—, <§ ), по в случае, когда
G абелева, групповая структура получается из того, что &" —
абелев групповой объект в £op/<g°; это вытекает из 4.36 и из
того, что G — абелев групповой объект в cat(<S°).
(iii) Обозначим через 2 (2.39) конечную категорию с
диаграммой (0-»-1). Тогда предпучку на 2 соответствует диаграмма
D1—^Dg в <8\ и, как легко проверить, такой предпучок является
плоским в том и только в том случае, когда D„ -»- 1 — изоморфизм
и / — мономорфизм. Поэтому категория Flat(2op, <S) эквивалентна
частично упорядоченному множеству открытых объектов
категории ё. Итак, <? —классифицирующий топос для открытых
объектов <§°-топосов; назовем его топосом Серпинского над &" по
аналогии с обладающим известными универсальными свойствами
пространством Серпинского в esp. (Отметим также, что топос
<S" может быть получен с помощью артиновой \склейки (4.27)
диаграммы &" -^ &"; это другая сторона того, что он содержит
общий открытый объект.)
(iv) Пусть <§ = 9>, а С — категория 97ί (которую можно
считать малой, выбрав по одному множеству в каждом конечном
кардинале). Но в 9Ί имеются конечные копределы, откуда в
силу 4.33 плоский предпучок на С есть просто точный слева
функтор G: 9'°р—*-9'. Но любой такой функтор определяется
множеством G(i), так как всякий объект из 9?t есть конечное
копроизведение нескольких экземпляров объекта 1, и обратно,
любое множество X определяет точный слева функтор hom(—,
X): Я'^-^-Я'. Поэтому имеется эквивалентность Flat(Cop,91) =* 9",
и, более того, можно показать, что Flat(^*Cop, @~)^ &~ для любого
У С ·
^-топоса W -*~ 9*. Итак, 91 — классификатор объектов ^-топо-
сов, т. е. объект, представляющий стирающий функтор
(1ор,.Лор *Ш.(? " ^)1 "^ Π *1*
Как легко проверить, общий объект U из 9 , классифицируемый
тождественным геометрическим морфизмом, будет фупктором
включения 9Ί -»- 9. Обычно будем обозначать классификатор
объектов через 9'[U], мысля его при этом как «расширение
категории 9, полученное присоединением неопределенного объекта
U»; ниже в § 6.3 мы вернемся к этому примеру в более общем
виде.
(ν) Под интервалом в тоиосе <§ понимается линейно
упорядоченное множество I (т. е. 1г π Ι°ρ->■ /0 X /0— эпиморфизм),
имеющее различные максимальный и минимальный элементы
1-*■/0, 1-»-/0. Морфизмом интервалов называется сохраняющее

38
ГЛ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФПЗМЫ
порядок отображение (внутренний функтор), которое также
сохраняет известные выделенные элементы; через int(i?)
обозначается категория интервалов в <§. Положим /_, = 1. Тогда
сопоставление η«ίη-ι имеет структуру косимплициалъного объекта
S{\) в <?, т. е. ковариантного функтора Δ -»- <g (ср. 2.13).
[Отображениями ковырождепия косимплициального объекта 5(1)
являются отображения грани симплициальиого объекта категории
I; первое и последнее отображение кограни S (l)nz^S (I)?!+i
получаются добавлением / в начале (или t в конце)
упорядоченной ге-ки объектов из I, а остальные отображения кограни
являются отображениями вырождения для I.]
Если топос <S определен над 9* относительно геометрическою
морфизма γ, то S(I) можно рассматривать как внутреннюю
диаграмму на 4*(Δ) (ср. 2.39); легко показать, что эта диаграмма
является плоской как предпучок на γ*(Δ)ορ, и обратно, каждый
плоский предпучок па γ*(Δ)'ορ имеет такой вид. Поэтому топос
9° симплициальных множеств является классифицирующим
топосом для интервалов в ^-топосах, т. е.
2эр/^(^, ^A°P)~int(^)
для любого ^-топоса &.
В частности, возьмем в качестве S топос из упражнения 0.10,
а через 3~ обозначим категорию секвенциальных пространств,
рассматриваемую как полная подкатегория в <S. Из последнего
абзаца упражнения 0.10 вытекает, что единичный интервал / =
= [0, l]sR является интервалом и в <%\ пусть S'—^-ff' — его
классифицирующее отображение. Легко убедиться, что 1п (как
объект &") изоморфен стандартному (п + 1) -симплексу. Поэтому
нетрудно проверить, что для симплициальиого множества К
объект р* (К) есть просто геометрическая реализация для К
([CF], III 1.4). (Заметим, что это CW-комплекс, а потому объект
из ЗГ.) Аналогично, если X—объект из Sf, то Р*
(X)—сингулярный комплекс пространства X. (Этот пример, принадлежащий
Жуаялю, описан с большими подробностями в [57].)
4.38 Замечание. Как специальный случай 4.37(i) отметим,
что категория %ΰ$/<£(<£/Χ, <%IY) эквивалентна дискретной
категории, объектами которой являются элементы объекта Χ*{Υ) в
<87Х, т. е. морфизмы X -»- Υ в <S. Поэтому функтор <§ -»- %щ1<§
из 1.46 является полным вложением (в смысле, подходящем для
2-категорий). Π
Отметим, однако, что 4.38 не обобщается на недискретные
категории и функтор cat (^Г)-»- Zoy/&" из 2.35. Например, если взять
«? = Shv(S'), в качестве G взять постоянный пучок Δ(Ζ2)
(рассматриваемый как внутренняя группа в ё>), а через 1 обозначить
конечный объект в cat(<?f), то в <% имеется ровно один внутреп-

4 4. ОГРАНИЧЕННЫЕ МОРФИЗМЫ
139
ний функтор (гомоморфизм групп) вида 1 -»- G, однако имеется
два непзоморфных морфизма &1 —>■ <§ , соответствующих двум
торсорам из 4.37 (ii). Возвращаясь к примеру 4.37(iv), укажем,
что внутренние функторы 1 -»- С индуцируют только те
геометрические морфизмы <? -»- ^[U], которые классифицируют конечные
мпожества.
Тем не менее можно дать следующее описание категории
4.39 Предложение. Пусть С, D — две внутренние катего-
рии в ё. Будем называть профунктор D—> С плоским слева,
если функтор (—)®dG: <§ -*-&" точен слева. (Легко
показать, что это условие эквивалентно тому, что G является
плоским как предпучок на C*(D) в <? ■) Тогда категория Sojp/^f (^f ,
<% ) эквивалентна полной подкатегории в Prof g>(D, С), объектами
которой являются плоские профункторы. Кроме^того, эта
эквивалентность отождествляет операцию композиции геометрических
морфизмов (о —>■ (о —>■ (о с тензорным произведением про-
функторов.
Доказательство. Получается непосредственно из 4.34. Π
В частности, отметим, что если С—*D— внутренний
функтор, то геометрический морфизм, индуцированный /,
соответствует профунктору /*.
4.4. Ограниченные морфизмы
В отличие от ситуации предложения 4.21, переходя к
построению пределов в £ор, мы сразу сталкиваемся с той трудностью,
что эта категория не имеет конечного объекта. «Лучшим
приближением» конструкции конечного объекта является следующий
результат:
4.41 Предложение. Пусть &"— топос. Если существует
геометрический морфизм & -»■ 9? (или <%-*-9Ί), то он единствен
с точностью до канонического изоморфизма. Более того, морфизм
<5 -»- Я' существует в том и только в том случае, когда в <§
имеются произвольные ^-индексированные костепени и hom-множе-
ства малы, а морфизм & -»- 9Ί существует в том и только в том
случае, когда hom-множества в S конечны.
Доказательство. Предположим, что задан геометрический
морфизм 8-^■9'. Тогда, очевидно, для любого объекта X из 8
элементы множества /* (X) находятся в естественном взаимно
однозначном соответствии с морфизмами 1 е*/*(1)->-X в 8;
поэтому функтор /* (а вместе с ним и /*) определен однозначно
с точностью до естественного изоморфизма. Более того, морфизмы
X-*■ Υ в 8 индексируются множеством f*\Y ), и для любого

140
ГЛ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФПЗМЫ
множества S обратный образ /* (S) является ^-индексированной
костепенью объекта 1 в ^, так что f*(S)XX есть 5-индексиро-
ванная костепень объекта X.
Обратно, если топос S удовлетворяет указанным условиям,
то мы можем определить ]% (X) — множество морфизмов 1 -*■ X
и f*(S) — ^-индексированная костепень объекта 1. Легко
проверить, что эти функторы образуют геометрический морфизм.
Рассуждения для У f аналогичны. п
Сравнивая предложение 4.41 с теоремой Жиро (0.45), видим,
что в одном случае говорится о ^-индексированных костепенях,
а в другом — о ^-индексированных копроизведениях. Однако из
4.41 нельзя вывести, что в любом ^-топосе имеются
^-индексированные копроизведения (см. ниже пример 4.49(ii)), но если
имеется семейство объектов (Ga\a^ А), индексированное
множеством А, и некоторый один объект G, содержащий как подобъект
каждый из объектов Ga, то копропзведение J_f Ga можно по-
αεΑ
строить как подобъект костепени J_L G, прямо выразив его клас-
сс = А
сифицирующее отображение через классифицирующее
отображение подобъектовGa> +G. Более того, если топос*) <% имеет
множество образующих, то, очевидно, достаточно существования
^-индексированных копроизведений образующих, и обратно,
если {Galas A} — множество образующих топоса Гротендика, то
объект G = XJ Ga содержит как подобъект каждую образую-
щую Ga. Поэтому, комбинируя 1.58 и 4.41, мы можем свести
теорему Жиро к следующему утверждению:
Топос <§ является топосом Гротендика тогда и только тогда,
когда он определен над 9* и содержит объект G, подобъекты
которого порождают &".
Теперь мы докажем (снова принадлежащий Диаконеску [30])
относительный вариант этой теоремы, в которой конкретный
топос Я' заменен на произвольный основной топос.
4.42 Лемма. Пусть 3~'-*■ <S—геометрический морфизм,
a G — объект из &~. Следующие утверждения равносильны:
(i) Для любого Хе^~ композиция f*f* {X ) G >- X Х(?^
6V *""-*
—»Х эпиморфна, где β — коединица сопряжения (/* —| /*)·
(ii) Для любого Хе^" существует Y^<g и эпиморфизм
/* (У)Хб-*Х.
(Hi) Для любого Хе^~ существует объект Υ ^ <§, подобъект
S> >f*(Y) XG и эпиморфизм S-» X. _
Доказательство. (i)=^(ii). Возьмем Υ = f* {Χ ).
*) Точнее, ^-топос— Примеч. пер.

4 4 ОГРАНИЧЕННЫЕ МОРФИЗМЫ
141
(ii)=^(iii) получается непосредственно из декартова квадрата
■А*
f*i¥\xG
—»-Х
(iii)=^(ii). Применим (Hi) к объекту X. Тогда получится
диаграмма
S *—»Х
/*( У ) χ G
но ввпду 1.27 объект X ииъективен, поэтому имеется фактори-
р —
зация f*(Y)XG~>X морфизма q через σ, а так как ра = q —
эпиморфизм, то и ρ — эпиморфизм.
(ii)=^(i). Предположим, что задан эпиморфизм/* (У) xG->X.
Транспонируя его относительно сопряженный ((—) X G -\ (— ) )
и (/*-]/*)> получаем морфизм Υ ""*" /* \Х ), π диаграмма
f*(Y)xG
-**Х
г '(ρ) χ ι
ч
J%(XG)xG
коммутативна, откуда и вытекает эпиморфность βν(βΧΙ). Π
4.43 Определение (Митчел). Если объект G
удовлетворяет одному из эквивалентных условий леммы 4.42, то его
называют объектом образующих топоса ST над &. Если ST имеет
объект образующих над &, то геометрический морфизм /
называют ограниченным. □
В случае &— Я' объект f*(Y)XG является 7-индексирован-
ной костепенью объекта G в ЗГ, а потлму диаграмму
с . ». χ
J*(Y)xG
из 4.42 (iii) можно мыслить как «F-индексированное покрытие
объекта X подобъектами из G». Это устанавливает связь 4.43 с
обычным определением множества образующих.

142
ГЛ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФИЗМЫ
4.44 Лемма. Пусть 9 —>- 5F -> <% — два геометрических мор-
физма. Тогда
(i) если fug ограничены, то их композиция fg ограничена;
(ii) если композиция fg ограничена, то g ограничен.
Доказательство, (i) Пусть F (соответственно G)—
объект образующих топоса 3F над <§ (соответственно З над &").
Для любого Xeg можно найти объект 7е^" и диаграмму
S ►* X
g*[V)xG
Далее, находим Zef и диаграмму
Г >*■ Υ
f*{Z)xF
Комбинируя две указанные диаграммы и дополняя их
расслоенным произведением, получаем диаграмму
U н-5 **Х
0*(T)xG—~0*(Y)xG
g*f*(Z)xg*(F)xG
поэтому g*(F)XG — объект образующих топоса 9 над <%.
(ii) получаемые непосредственно в силу 4.42(i), так как
морфием g*f*f*g* {Х°) X G -»- X пропускается через g*g* {XG) X <?->·
— Χ. □
4.45 Лемма, (i) Пусть С — внутренняя категория в <%.
Тогда геометрический морфизм 8 -*■& из 2.33 ограничен.
(ii) Всякое включение ограничено.
Доказательство, (i) Пусть G — внутренняя диаграмма на
di
С, определяемая объектом С1 —*■ С0 из <о/С0, с правым
действием категории С, задаваемыми композицией т. Тогда, если
Х=[Х.
Vo
Са, Х0 Хс0 Сх^> ХЛ

4 4 ОГРАНИЧЕННЫЕ МОРФНЗМЫ
143
— внутренняя диаграмма на С, то имеется эпиморфизм Щуа) -**■
—**■ Хв1 (а именно, коединица сопряжения (R —| U), см.
2.22). Но канонический мономорфизм
Хо Хс0 Сг> Х0 ХС,- (Х0 χ С0) ХСо С,
в ё , как легко убедиться, является морфизмом вида R (Vo)>~
> *■ С* (Х0) X G; поэтому мы получили диаграмму вида,
требуемого в 4.42(iii).
(и) Пусть 3~-*■ <% — включение. Тогда коедипица сопряжения
(/* Ч /*) является изоморфизмом. Поэтому, если взять G = 1,
то /*/* {X ) X G -^ X — изоморфизм для любого Χ. Π
4.46 Теорема (Жиро — Митчел—Дпакопеску). Пусть
Э~ —' (§— геометрический морфизм. Тогда следующие
утверждения равносильны:
(i) / ограничен.
(ii) Существует внутренняя категория С в <% и включение
i с
SF -* <§ такие, что диаграмма
коммутативна с точностью до естественного изоморфизма.
Доказательство. (ii)=*-(i) вытекает непосредственно из 4.45
и 4.44 (i).
(i)=^(ii). Пусть G—объект образующих топ оса SF над 8, а
е0>—*=^*. ωγ- χ g
— отношение принадлежности на G, т. е. подобъект, класспфици-
руемый морфизмом Ω XG^Q. Обозначим через D
внутреннюю категорию Ful \cyr \<Bg "^ Ω J (= cat (if), двойственную к
определенной в 2.38, а через Е—*-D—дискретное расслоение,
соответствующее «функтору включения», определенному там же.
Пусть С = /„. (D) e cat (<??), a/*C-»-D—коединица
сопряжения (/* -)/*). Образуем в cat(^~) декартов квадрат
F - »Е

144
ГЛ. 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФИЗМЫ
тогда ξ — дискретное расслоение в силу 2.19. Прежде всего
покажем, что F фильтрована, откуда в силу 4.34 определен
геометрический морфизм ^~~> <% над $.
Заметим сначала, что имеется диаграмма
f*C0xG-
Dri xG = Ω0, G-
-1
l·
*Ω
состоящая из декартовых квадратов, и в силу 4.42(i)ev (β XI)—■
эпиморфизм с X = 1. Поэтому F0-+ I — эпиморфизм, т. е.
условие 2.51(a) выполнено.
Рассмотрим теперь покрытие
f*A x G
объекта F0XF0 подобъектами из G. Тогда, очевидно,
B-i-^-'^-b\f*C0xf*C0xrAyG^f*(CoxCf,xA)xG
— мономорфизм, поскольку (а, Ь) — мономорфизм; пусть
/* (С0Х С0Х Α)—>Ω — транспозиция его классифицирующего
отображения. Очевидно, морфизм
соответствует подобъекту
Go'e6o)
поскольку β0 соответствует F0 > >~f*C0 X G.
Далее, морфизм
(?1.ζ0Ϊ2·α)
IT >F0X/*(C8Xi)
является морфизмом объектов над f*(C0XC0XA), откуда в силу
конструкции категории Dop как внутренней полной подкатегории
в &~ он индуцирует /*(С0 X С0 X Л)-элемент π в ΖΊ такой, что
^оП = βο ' /* (Πι) И ίίιΓι = p.

4 4. ОГРАНИЧЕННЫЕ МОРФИЗМЫ
145
Аналогично строится элемент /*(C0X^oX^)^^i с d0r2 =
Рг 'f*(nz) и d,r2=p. Также коммутативна диаграмма
/*(С0хС„х 41-
где Л обозначает транспонирование относительно сопряжения
(/* ~\ /*)- и d0ri = ni, Й1П = р.
Так как композиция βν(β0 X 1) (/*р X l) = ev(p X 1)
классифицирует подобт>ект (ξ0<7ι, 5о<Ь, α, &), то имеется подъем
В Ь -F
]
(·οίι. Όί2,ο,ί>) Ι (ίΌ,ίίο)
/*(C0 xC(Jx4|xG ·■ f *C0 χ G
Используя то, что ξ — дискретное расслоение, можно поднять
композицию
В ,>1*(СаХС0хА)^Л]*С1
до морфизма В —> Fx с d,Sj = ρ3· Чтобы найти d0Sj, отметим
прежде всего, что
5odosi = d051si = do/*(ri)(50gi, ξο?2, α) = /*(πί)(ξο9ι, ?0g2, α) = ξ0ςί,·.
Затем из определения действия категории D на Еа (см. 2.38)
легко проверить, что e60d0Si = edQbiSi есть 5-элемент
В т/0Ч2-а) > F0 х/*(С0 χ А) -^- G
(?о,ебо)
объекта G, т. е. eO0d0s, = еб(,д,. Но ^0 * f*G0 XG —
мономорфизм, поэтому d0Si = ji и аналогично d0s2 = <7г· Итак, эпи-
ΙΊ'Ό (ν.2)
морфизм β —»> Fg χ F0 пропускается с помощью В - *■ PF
через морфизм Pp->-F0 χ F0 из 2.51(b); значит, последнее
отображение эпиморфно и условие 2.51(b) выполнено.
Условие 2.51(c) проверяется несколько проще, поскольку при
этом не используется то, что G — объект образующих. Так как
D,p является внутренней полной подкатегорией в &~, то легко
проверить, что ?7-элементы объекта В-т> (соответственно То)

146
ГЛ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФИЗМЫ
определяются диаграммой
А
U*G
ZY
I "G
(соответственно
Ζ
U*G
-*χ:
U*G
Ζυ
с θψ = Φ ψ)
U*G
в ST/U, где горизонтальные стрелки не предполагаются морфиз-
мами над U*G. Но поскольку в ST/U имеются уравнители, мы
можем по диаграмме первого типа построить диаграмму второго
ψ
типа, взяв в качестве Ζ —>- X уравнитель θ и Ф, а в качестве λ
композицию μψ. Примепяя эту конструкцию к общему элементу
объекта ^d в &~/Ro, полупим расщепление oD морфнзма rD->-i?D
из 2.51(c).
Аналогично, {/-элементу из Йе соответствует диаграмма
1,
х:
U*G
ΖΥ
V*G
в ST/U с θχ = у = фх, но тогда, факторизуя а; через уравнитель
θ и 0, получаем диаграмму
1„
-*х:
Ξ г
L*G
L/*G
C/*G
т. е. U — элемент из 7Έ· На языке общих элементов это
означает, что Od поднимается до расщепления σΕ морфизма 7Έ -*■ ЙЕ-

4 4. ОГРАНИЧЕННЫЕ МОРФНЗМЫ
147
Но поскольку функторы /su и /* точны слева, то они
сохраняют конструкции R и Т, поэтому j*j*Gr> есть расщепление мор-
физма Т/*с~>-К/*с- Следовательно, имеется диаграмма
V*c
верхняя и нижняя грани которой являются декартовыми
квадратами, так как конструкции объектов R и Τ коммутируют с
конечными пределами. Значит, по расщеплениям Оо, Ое и /*/ϋ.σο
можно построить расщепление of морфизма Τ ψ -*- Rp, а потому
он является эпиморфизмом и F удовлетворяет 2.51(c).
Половина доказательства теоремы 4.46 позади.
Для того чтобы установить то, что геометрический морфизм
&"—>-<£, построенный нами, является включением, покажем, что
коединица сопряжения (i* —| £*) является изоморфизмом.
Прежде всего заметим, что в диаграмме
* &-*
(-)ВЕ
левый треугольник коммутативен в силу определения функтора
£* (4.34), а правый треугольник коммутативен с точностью до
изоморфизма в силу 2.47, так как F = β*/?. Поэтому имеется
коммутативная с точностью до изоморфизма диаграмма
где Н, К — правые сопряженные функторы ( — )®Е и (—)<E)F

148
ГЛ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФИЗМЫ
соответственно. Также коммутативна диаграмма
г де С —>/„./*С — коедипица сопряжения (/* Ч/*) (в силу
определения функтора \\ )* из 4.34, одного из треугольных
соотношений для α и β и того, что /* сохраняет расслоенные
произведения). Комбинируя эти три диаграммы, получаем
разложение с точностью до изоморфизма функтора i*** в
композицию
Пусть теперь X — некоторый объект из ЯГ. Тогда прямой
проверкой устанавливается, что НХ есть внутренняя диаграмма,
X —»· Ω J (где Φ
классифицирует X) *-Х) со структурным отображением HX0Xd0Dl—*
—»НХ0, интернализующим операцию композиции частичного
отображения
У-
X
с частичным эндоморфизмом объекта G
■* У
Действительно, если W — произвольная внутренняя диаграмма
на D, то морфизм Wg —> НХ0 над D0 = Ω° соответствует мор-
физму W0 XG-+X над Ω, а потому морфизму W0 Хйс^е =
S'
— W0 xDg Е0 ~> X в ЯГ, и несложным диаграммным поиском
проверяется, что g — морфизм внутренних диаграмм в том и только

4 4 ОГРАНИЧЕННЫЕ МОРФНЗМЫ
149
в том случае, когда g пропускается через канонический
эпиморфизм W0XD(jE0-^W 0Ό Ε.
Итак, 1*1^ задается коуравнптелем
где ω обозначает действие категории /*С на F0. Кроме того, ко-
с
единица ί*ϊ^Χ-^-Χ получается факторизацией морфизма
^ и
f*f%X X/*c F0~^~X через ν, где и получается заменой базы
1 х eio \ l?e
β ' 1 ~ ' ev
f */\ ΑΓΓ' χ G ► λ'Γ' χ G ► λ'
Но и — эпиморфизм, так как βν(βΧΙ) — эпиморфизм в силу
4.42(i); значит, с — эпиморфизм. Поэтому остается показать, что
с — мономорфизм.
Пусть
<\ 4 2)
— ядерная пара морфизма и, а
L =- -К
f* \/ χ G
— покрытие объекта К подобъектами из G. Обозначим через N
объект f*X G X f*X X Μ из <g, а через / — морфизм
L P"*-X2K'">/*/,XG xf/,F χ/·Μ =s /*,V
Тогда Ζ/ *■ f*N χ G— мономорфизм, повкольку (h, g)—мо-
ι G
номорфизм; пусть /*ЛГ—>-Ω = D0 — транспозиция его
классифицирующего отображения. Поступая, как и при проверке ус-
Ч
ловия 2.51(b), мы можем построить морфизмы j*N-*-Dx (i =

150
ГЛ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФИЗМЫ
1, 2) с άχ = 1 и
τ 'О 0 '
равенствами, соответствующими диаграмме
L *<'*Л V<-„F<>
О. ν)
/*Л' χ G
I x <·*ο
/"*ΛΤ χ G
в £7/*ΛΤ.
Как легко проверить, согласно определению | композиция
f*N *Х xD0ui
соответствует частичному отображению
LT —* * " f%X° Vc0 F« — X
0,9)
/*JVxG
значит, 1(β/*πι, λ() = ξ(β/*π2, λ2) в силу определения К и после
транспонирования /*Ι(πΐ7 λ^) =/#ξ(π2, λ2). Рассмотрим теперь
диаграмму
L »-F„
γ г
(ζα '*»)
f*NxG >f*C0xC,
Снова легко проверить, что
ω(/*λί/, w3)=WiK: L-^Fo
для ι = 1, 2. Поэтому можно построить морфизм
к; L-
^VVc„f*C,Vc„^>
для которого (1Χω)ϊ(( = (ι„ ю,)к и (/*/*! Χ 1) fci = (/*/*£ X l)fcg.
Отсюда сразу получается, что морфизм /*/*X X/*c Fg-»-&***Д

4.4. ОГРАНИЧЕННЫЕ МОРФИЗМЫ 151
коуравнивает {хи wt)K и (х2, w2)k^ но к — эпиморфизм, значит,
v(Xi, Wt)= V (Χг, 1»ϊ).
Следовательно, ν пропускается через и; поэтому с—
изоморфизм. Π
4.47 Предложение. Пусть
'ϋ
у '■ >δ
— диаграмма в £ор с ограниченным морфизмом g. Тогда
расслоенное произведение &~ X g'S существует в £ор и ограничено над &~.
Доказательство. Поскольку замену базы можно
производить поэтапно, то достаточно рассмотреть два случая: (а)
когда $ имеет вид 8 для некоторого Cecat(<§°) и (Ь) когда g
является включением.
Но (а) верно в силу 4.35; для проверки (Ь) рассмотрим в 8
топологию /, индуцированную g, а в &~ — топологию }',
индуцированную / согласно 3.59(Hi). Тогда из 4.19 легко вывести, что
квадрат
sh;( Л *sh.((f) = У
ч
в £ор декартов. Ε
4.48 Следствие. Пусть ЗЭ£ор/<1Г обозначает полную
подкатегорию в Zoy>/8, объектами которой являются ограниченные
8-топосы. Категория Ъ%&$18 имеет конечные пределы.
Доказательство. Очевидно, конечным объектом катего-
1
рии ЗЭ£ор/<?Г является 8-^8. Но ввиду 4.44(ii) любой морфизм
в 5Э£ор/<?Р ограничен, откуда в силу 4.47 в Zof/8 имеются
расслоенные произведения любой пары морфизмов из 5Э£ор/<?Г, а в
силу 4.44 (i) эти расслоенные произведения ограничены над
8. □
Эту главу мы закончим двумя различными, но тесно
связанными между собой примерами неограниченных геометрических
морфизмов.
4.49 Примеры, (i) Пусть G — бесконечная группа; тогда,
очевидно, в силу 4.41 топос (^/) из примера 1.14 определен
над 9Ί. (В явном виде требуемый геометрический морфизм
можно задать функторами у* (S) — множество S с тривиальным
G-действием и γ* (Μ) — множество G-инвариантных элементов

152
ГЛ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФНЗМЫ
из М.) Но, как видно из замечания после определения 4.43,
^/-топос ограничен в том и только в том случае, когда оп имеет
конечное множество образующих. Пусть теперь G — группа
целых чисел, а М„ — множество целых чисел по модулю η с
обычным аддитивным действием; тогда конечное G-множество X
может быть отображено в Мп тогда и только тогда, когда длина
каждой из его G-орбит делится на п. Поэтому всякое G-множе-
ство X можно отобразить лишь в конечное число G-множеств
вида Мп; значит, топос ν^/) не имеет конечного множества
образующих. Выбирая подходящую «большую» группу (т. е.
группу с собственным классом элементов), можно построить
пример с 9> вместо 9>, (см. [GV], IV 2.8).
(ii) Снова пусть G — группа целых чисел, а <§°—полная
подкатегория в 9° , объектами которой являются G-множества Ш
с тем свойством, что умножение на η тождественно на Μ для
некоторого целого положительного п, т. е. длины G-орбит
множества Μ делят п. Если теперь М( и М2 — два G-множества,
удовлетворяющих этому условию для «ι и η-ί соответственно, то,
как легко убедиться, их произведение Μ, Χ Шг удовлетворяет
этому условию для н. о. к. \пи ге2]; то же самое верно для
экспонент. Значит, (§ — топос и его функтор включения <S —*■ 9°
является логическим. Более того, как легко вывести из 4,41, топос
<% определен над 9", но в <% не существуют все
^-индексированные копроизведения (например, не существует ЦЛ/„, где
11
Мп — G-множества из (i)), а потому это не топос Гротендика.
Это объясняет, почему в рассуждениях после доказательства
предложения 4.41 мы обратили внимание на различие между
копроизведениями и костепенями; отметим также, что <§° имеет
множество образующих (а именно, множество Мп), но не имеет
объекта образующих в смысле 4.43. Ε
Упражнения к главе 4
Ч i
1. Пусть Э7'—>-/'—*-£"—эпимоноразложение геометрического
г
морфизма ^~—>- &'■
(i) Докажите, что если / существен, то q и i существенны.
[Указание. Удобно использовать описание категории f из
4.16 и утверждение, двойственное к 0.14.]
(ii) Докажите, что если /* сохраняет экспоненты, то q* и i*
сохраняют экспоненты. [Используйте то, что в силу 3.24 г*
сохраняет экспоненты.]
(iii) Докажите, что если /* — логический функтор, то q* и
i*—тоже логические функторы. [Используйте (ii) и 3.55.]

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 4
153
2*. Пусть & — топос, а С —>- D — морфизм из cat(^f).
Докажите, что геометрический морфизм <5 —*■ & из 2.35 является
сюръекцией, если /о — эпиморфизм, и является включением, если
/ полон и унивалентен (т. е. если квадрат
С ы'^ , с ,<С
<- ι *- υ *- о
у, /о ' Λ
D,—^ *DU · R,.
декартов). [Указание. В последнем случае, используя
внутренние профункторы, докажите, что коединица сопряжения
{У\Щ -\ /*\ является изоморфизмом.] Выведите отсюда, что для
любого / топос, составляющий образ морфизма %> -+& , может
быть представлен в виде <£ для подходящей внутренней
категории Е.
3. Докажите, что включение всегда является регулярным мор-
физмом в £ор (т. е. является уравнителем своей коядерноп
пары) . Покажите, однако, что не всякий уравнитель в Зд>р является
включением. [Рассмотрите морфизм Э'—>^ > индуцированный
гомоморфизмом 1 ->М «в» нетривиальный монопд М.]
4. Пусть Χ, Υ — две неизоморфных Z2-Topcopa в Shv(5').
Покажите, что существует сюръекция S -*■ Shv (S1) такая, что
и*Х и u*Y изоморфны. Рассматривая морфизмы Shv(51)^>^' ,
классифицирующие X и Υ (см. 4.37 (ii)), установите, что
сюръекция в £ор не обязана быть эпиморфизмом.
5*. Пусть X — топологическое пространство. Покажите, что
пучок X локально постоянен (т. е. локально изоморфен
постоянному пучку) тогда и только тогда, когда его представление в
виде локального гомеоморфизма является накрывающим
отображением в смысле [AT], § 2.1. Выведите отсюда, что если
пространство X линейно связно, то локально постоянный пучок
полностью определяется заданием своего слоя в некоторой точке
ж из X и действием фундаментальной группы G = П( (X, х) на
этом слое, и если X имеет универсальное накрывающее
пространство X -»- X, то каждое £?-множество получается с помощью
предыдущей конструкции из некоторого локального постоянного
пучка. Покажите также, что (пучок сечений) X -*■ X является
G-торсором в Shv(X) и что его классифицирующее отображение
Shv (X) —»- 9"G может быть задано следующими функторами:
и*(М, а) есть локально постоянный пучок на X со слоем Μ и
П|(Х, х)-действием а па нем, а иАЕ^-X] есть множество

154
ГЛ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОРФИЗМЫ
морфизмов X-+Ε в Shv(X) с С?-действпем, индуцированным
автоморфизмами (т. е. накрывающими преобразованиями)
пространства X над X.
6. Пусть Ρ — внутреннее частично упорядоченной множество
в 8, а ££~— топос над <£'. Докажите, что категория ϊορ/^Γ (#", <?ГР)
эквивалентна частично упорядоченному множеству. [У к а з а п и е.
Покажите, что каждый плоский предпучок на Ρ является под-
объектом 1 в ^ ·]
7*. Докажите, что декартов квадрат
pre £ ► ge
ρ s- >S
из 4.35 удовлетворяет условию Бека С*-/*^(/ )*-(/*С)*. Верно
ли то же самое, если <?ГС заменить произвольным ограниченным
^Г-топосом? [Указание. Рассмотрите квадрат
1 >·5πΛ(^)
sh A{S) ► g
где U — открытый объект в %>\
8. Пусть & -*■ 3? — невырожденный 91 — топос. Докажите
равносильность следующих утверждений:
(i) γ* полон.
(ϋ) Υ* сЬхраняет копроизведеиия.
(Hi) %> связен, т. е. если UuVs^i, то либо С/=1 и V = 0,
либо наоборот. (Сравните с определением связности
топологического пространства.)
ν
9*. Пусть 8 -*■ 91 — топос над ζΡ такой, что γ существен.
(По аналогии с упражнением 0.7 такой топос называют локально
связным). Покажите, что \* сохраняет экспоненты. Покажите
также, что имеется биекция между прямыми слагаемыми
конечного объекта 1 в & и подмножествами в X = γ. (1) [используйте
то, что γ, сохраняет копроизведеиия], и выведите отсюда, что
если множество X конечно, то топос & представим в Sop в виде
Х-индексироваиного копроизведеиия связных ^-топосов.
10. Дайте другое доказательство утверждения 4.44(i), исполь-
вуя характеризацию ограниченных морфизмов из теоремы 4.46
(т. е. беря за определение ограниченности условие 4.46 (ii)).

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 4
155
[Указание. Здесь нужно воспользоваться результатом из
упражнения 2.7.]
11. Пусть α — регулярный кардинал. Говорят, что функтор
г
*&—*-£> между кополными категориями имеет ранг <а, если он
сохраняет α-фильтрованные копределы (ср. [165], § 5).
Покажите, что если %> — топос Гротендика, то прямой образ любого
геометрического морфизма 9" -*■ Ж имеет ранг. [Возьмите α >
> card p*G, где G—объект образующих для %> над 9*.]
Выведите отсюда, что если 9"' -*■ 9" — точный слева функтор, то топос
<??, получаемый артиновой склейкой вдоль L, является топосом
Гротендика в том и только в том случае, когда L имеет ранг.
[Покажите, что если ранг <а, то топос & порождается объектом
(1, 0, 0-»- 1) и всеми объектами вида (Y, 1, 1-»-L(У)), где Υ —
множество мощности <а. Существование точных слева
функторов 91 -»- 9" без ранга имеет непосредственное отношение к
существованию измеримых кардиналов; см. [10].]

ГЛАВА 5
ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОПОСОВ
5.1. Булевы топосы
До настоящего момента мы вслед за Гротендиком и его
последователями [GV] рассматривали топос в основном с
геометрической точки зрения как «обобщенное пространство». Так,
например, при определении геометрического морфизма мы отвечали
на вопрос «что произойдет с пучками, если задано непрерывное
отображение соответствующих топологических пространств?»,
хотя позже мы увидели, что геометрические морфизмы естественно
возникают в множестве других ситуаций, не все из которых
явственно относятся к геометрическим. В данной главе мы хотим
представить некоторые черты теории топосов, обусловленные
другой, «логической», точкой зрения на него, а именно, идеей, что
топос — это «обобщение теории множеств»*).
Начнем с детального рассмотрения алгебраической структуры
Ω. Напомним, что в главе 3 мы определили частичный порядок
fij на Ω и три бинарные операции Λ> V и =>-: Ω Χ Ω ->- Ω, а
также выделили два различных элемента из Ω, а именно 1-*-Ω
(являющийся, конечно, классифицирующим отображением 1-»-1)
и 1-*Ώ («ложь»), определенный как классифицирующее
отображение 0> >-1;и определили унарную операцию Ω->Ω как
классифицирующее отображение 1 > >- Ω.
5.11 Определение. Напомним, что решетку можно
определить как множество L, снабженное двумя бинарными
операциями Λ и V, а также двумя различными элементами t и /,
которые удовлетворяют равенствам χ /\ х = х, χ f\t — χ, χ /\ у =
= у /\х, χ Λ (У Α ζ) = (х А У)Α ζ, х Λ (-z\/y)=-x и их
двойственным аналогам для всех i,j,ze L. Ясно, что можно
интерпретировать это определение в любой категории с конечными
произведениями, обычным приемом заменяя вышеприведенные
равенства коммутативными диаграммами. Будем говорить, что решетка
дистрибутивна, если она удовлетворяет дополнительному
равенству х Λ (У V ζ) = (х А У) V (х A z)i хорошо известно, что это
равенство эквивалентно в решетке двойственному равенству. (Мы
отсылаем читателя к [LT] за основами теории решеток.) с
*) «Обобщенный универсум».— Примеч. пер.

5 1, БУЛЕВЫ ТОПОСЫ
15?
Хорошо известно, что на любой решетке L можно определить
частичный порядок Li как уравнитель для LxLz£L (или,
л1
эквивалентно, для V и π2), и наоборот, частично упорядоченное
множество (L1 ^> L) является решеткой тогда и только тогда>
когда оно антисимметрично, т. е. диаграмма
L i—^Ll
' Ida,at)
L," {d] do)» LxL
является декартовым квадратом, и имеет все конечные пределы
и копределы (Д и V представляют собой бинарные операции
произведения и копроизведения, a t и / — конечный и начальный
объекты). Эту эквивалентность легко доказать также в любой
категории с конечными пределами.
5.12 Определение, (i) Гейтинговой алгеброй (также
называемой брауэровой решеткой [LT] или псевдобулевой алгеброй
[ММ]) называется решетка, которая декартово замкнута как
частично упорядоченное множество, т. е. в ней имеется
дополнительная бинарная операция =*-, обладающая свойством: отношение
(xAy)^z выполняется тогда и только тогда, когда x^(y=^z)
(операцию =*■ можно характеризовать также уравнениями^
а именно с помощью условий x=>x=t, χ Д (х=$~у)= χ Д у,
У А (х=*-У) = У и 1^(?Лг) = ИЙ Л(■*=*-ζ); см. [FK],
утверждение 1.22).
(ii) Булеву алгебру можно определить как дистрибутивную
решетку L, снабженную такой унарной операцией П> чт0
х Л (~]х) — ί и ^V(1'r)=i Для всех х е L. □
5.13 Предложение. Пусть %> —топос. Тогда частично
упорядоченное множество Ω = (Ω1^>Ω) с операциями t, f Д, V,
=*-, которые были определены выше, является внутренней
гейтинговой алгеброй в %>.
Доказательство. Очевидно, достаточно проверить, что
для каждого объекта X топоса & заданные операции образуют
класс морфизмов X -»- Ω в геитингову алгебру (внешнюю). Но
это немедленно следует из внешнего описания этих операций,
которое было дано в главе 3. с
Любая булева алгебра становится гейтинговой алгеброй, если
мы зададим операцию =*■ равенством х=ь-у = (~| х) V Vi но
обратное неверно. Легко видеть, что гейтингова алгебра
дистрибутивна (так как χ Д (—), имея сопряженный справа, сохраняет
копроизведения), и поэтому всегда можно определить унарную
операцию ~] равенством ^~| χ = x=$~f', тогда """] χ будет
единственным наибольшим элементом решетки L, удовлетворяющим
равенству χ Д (~~] х) = /, но не обязательно х\/ {~\х)= ί. На самом

158
ГЛ 5 ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОПОСОВ
деле нетрудно увидеть, что последнее равенство будет
выполняться тогда и только тогда, когда —1—\х = χ для всех iei;
дело в том, что оно влечет χ \J (~| χ) = ~~\~\ {χ \/ (~| χ)) =
= ~](~\х Λ ΊΊ·*0 = Ί/=ί' и наоборот,
ПП* = ПП*Л'=ПП*Л(*УП*) =
= (ΊΊ*Λ*) νΠΊ*ΛΊ*) = ΠΊ*Λ*)ν/=ΊΊ*Λ*,
так что ~~| ~~| χ ^ х, но легко видеть, что ^^ПП^ истинно в
любой гейтипговой алгебре.
5.14 Предложение. Пусть %> —топос. Следующие условия
эквивалентны:
(ί) Ω— внутренняя булева алгебра.
(ϋ)ΠΠ = ι0.
(iii) У всех подобъектов в <8 имеются дополнения, т. е. если
дан X' > >Х, то существует такой X" > *-Х, что X' пХ" —»- X
является изоморфизмом.
О
(iv) 1 π 1 *" Ω является изоморфизмом.
Если эти условия выполнены, то будем говорить, что %> яв^
ляется булевым топосом.
Доказательство. (i)-*=*-(ii) немедленно следует из
соответствующего «внешнего» результата.
(i)=^(iii). Пусть Χ—*Ω является классифицирующим
отображением мономорфизма X' > *-Х, а X" —подобъект,
классифицируемый посредством —| Φ · По определению булевой алгебры
имеем тогда Х'ЛХ"=0 и X' U X" = X как подобъекты X, но
это эквивалентно утверждению, что
О > X'
X" ■ > X
является амальгамой, т. е. X' и X" = Х-
(iii)=> (iv). В частном случае у общего подобт>екта 1 > >-Ω
имеется дополнение, им должен быть 1 > *■ Ω, так как он
является самым большим подобъектом, пересечение которого с t
является 0.
(iv)=*-(ii), так как в любом топосе ограничение ~| на под-
(*)
обт>ект 1п 1 > >-Ω представляет собой, очевидно, инволюцию,
которая переставляет компоненты 1 ц 1. с
5.15 Примеры, (i) Пусть X — топологическое пространство;
рассмотрим топос Shv(A'). Для любого открытого U ξ X Q(U)

5 1, БУЛЕВЫ ТОПОСЫ
159
представляет собой решетку открытых подмножеств U. В
частности, для U = X и ν^Ω(Χ) имеем Π F = int(X — V) и поэтому
Π Π У—внутренность замыкания V, которая в общем случае не
совпадает с V. На самом деле, если X — Г0-пространство, то то-
пос Shv(X) является булевым тогда и только тогда, когда X
дискретно.
(ii) Пусть G— моноид, рассматриваемый как малая категория
с одним объектом. Тогда топос & С?-множеств является булевым
тогда и только тогда, когда G — группа. В самом деле, если
G — группа, то любое G-подмножество С?-множества Μ является
просто объединением G-орбит G-множества М, а его дополпение —
объединением остальных орбит, но если G — не группа, то
множество необратимых элементов из G представляет собой С?-под-
множество самого G, и оно, конечно, не имеет дополнения. Чуть
более общо, для любой малой категории С можно показать, что
& является булевым тогда и только тогда, когда С —
группоид, п
Теперь возникает вопрос: если задан небулев топос, то можно
ли найти его «наилучшее приближение», которое является
булевым топосом? Далее предлагается некий ответ на этот вопрос.
5.16 Замечание. Пусть Η — гейтингова алгебра. Будем
говорить, что χ — регулярный элемент Н, если <г~\'г~\х = х. Пусть
В^Н — множество регулярных элементов; тогда частичный
порядок в Н, суженный на В, превращает его в булеву алгебру.
(Операции Λ и "~I в В согласуются с соответствующими
операциями в Н, но Vs = ~|~I(Vh)·) Например, если Η — решетка
открытых подмножеств топологического пространства, то В
является алгеброй регулярных открытых подмножеств. п
5.17 Теорема (Ловер — Тьерне). Пусть £> —топос. Тогда
"~]П является топологией в %>, a shnn {β) — булев топос.
Доказательство. Пусть X—объект топоса %>. Тогда
легко видно, что унарная операция, индуцированная на подобъектах
из X посредством П> обращает порядок и что X'<С ^] X" тогда
и только тогда, когда Х";^-|Х'. Из этого сразу следует, что
X' < η ηΧ' (положить X" = Π X) и что η Χ' ^ η Π η X';
следовательно, П~I индуцирует операцию замыкания на
подобъектах из X. Очевидно, что эта операция универсальна. Таким
образом, в силу 3.14 П~I — топология. Теперь, поскольку ΩΊΊ
определен как уравнитель 1β и ~\~\, пз замечания 5.16 вытекает,
что он является внутренней булевой алгеброй в &, а
следовательно, также булевой алгеброй в shin (&). Π
Следует сказать, что топос shnn(^f) является «наилучшим
булевым приближением» к ^ в очень слабом смысле. Неверно,
например, что он является максимальным булевым подтопосом
пучков из &; в общем случае такого максимального подтоиоса
не существует. Однако можно охарактеризовать ~]~\ следующим
универсальпым свойством.

1G0 ГЛ 5. ЛОГИЧЕСКПЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОПОСОВ
5.18 Предложение. П~I является единственной
наибольшей топологией в S, для которой 0 > И замкнут.
Доказательство. Так как 0> >- 1 имеет дополнение
(а именно, 1-»-1), он, конечно, —|—| -замкнут. Наоборот, пусть
)— топология, в которой 0> >- 1 замкнут, и пусть X' > *-Х
является /-плотным мономорфизмом. Пусть X" > *■ X является
отрицанием X' (т. е. подобъектом, классифицируемым морфизмом
~\ Ф©); тогда из декартова квадрата
С» ► Y
А'"> ► А'
видно, что 0 > у X" является /-плотным. Но он также /-замкнут,
так как
О *0
Υ У
•Г f
X" »· 1
представляет собой декартов квадрат. Следовательно 0 > >- X'
является изоморфизмом, поэтому σ —|—|-плотен; значит, 7 <Ξ
<ΊΊ·π
Отлетим, что утверждение 5.18 можно было бы доказать
иначе, используя идеи теоремы 3.57 и примера 3.59(ν). В частпости,
из утверждения 5.18 вытекает, что 0 всегда является
—1—|-пучком; следовательно, если топос S невырожден (т. е.
удовлетворяет 0 φ 1), то невырожденным является и топос shnn (S).
5.2. Аксиома выбора
Пусть S — топос, X — объект топоса S; будем обозначать
символом 9*Х частично упорядоченное (внешнее) множество
подобъектов объекта X (т. е. множество мономорфизмов с
областью значений X). Тогда имеем функтор включения ix: &Х-+-
-+S/X, а у него имеется сопряженный слева функтор носителя
Охш. S/X -»- 9*Х, который переводит морфизм Υ -*■ X в его образ
(1.52), рассматриваемый как подобъект объекта X.
5.21 Определение, (i) Будем говорить, что носители
расщепляются в S (или S удовлетворяет условию (SS)), если
для каждого X^S расщепляется канонический эпиморфизм
Х-**· Oj (X) (т. е. единица (σχ -) ij)). (Это эквивалентно
утверждению, что каждый подобъект объекта 1 проективен в S.)
(ii) Будем говорить, что S удовлетворяет аксиоме выбора
(АС), если для каждого X носители расщепляются в SIX. (Это

5 2. АКСИОМА ВЫБОРА
161
эквивалентно утверждению, что каждый объект топоса & про-
ективен или что каждый эпиморфизм в <5 расщепляется.) □
5.22 Примеры, (i) Пусть Ρ — вполне упорядоченное
множество. Тогда в топосе 9° носители расщепляются, так как
если X — любая ненулевая диаграмма в Р, то ее носитель
σ,(Χ) = {ρε=Ρ|Χ(ρ) = 0>
имеет минимальный элемент р0, и тогда ясно, что
о1(Х) = {р^р\Ро<р} = ьр°-
Тогда по лемме Йонеды (0.11) любой элемент из Х(р<>)
определяет расщепление для Х-**-о1(Х).
Но в общем случае 9* не удовлетворяет (АС). В самом
деле, пусть Ρ — ординал 2 = {0, 1) и пусть Υ — постоянная
диаграмма 2, Х(0) = 2, Х(1)=1. Тогда очевидный эпиморфизм
Υ -**■ X не расщепляется.
(ii) Пусть X — топологическое пространство. Тогда в общем
случае Shv(X) не удовлетворяет условию (SS), так как если
взять X = S' и Υ — пучок сечений двулистного накрывающего
отображения (пример (ii) в 4.37), то αι(Υ)=ί, но у Υ нет
глобальных элементов. п
Важным следствием аксиомы выбора является следующая
теорема, восходящая к Диаконеску [31].
5.23 Теорема. Если топос удовлетворяет условию (АС),
то он булев.
Доказательство. Пусть Υ > *■ X — мономорфизм в &.
Образуем амальгаму
У> - »Х
χ—^—►ρ
В силу следствия 1.28 qt и q2 — мономорфизмы, и эта диаграмма
также является декартовым квадратом. Теперь ясно, что
с;)
ХпХ *-Q— эпиморфизм; пусть Q > уХпХ— его
расщепление.
Образуем декартовы квадраты для ί = 1,2 и / = 1,2:
т..> »ζ> »х
' Υ Υ
s,j :, ν,
Χ> *β> T—>-XuX

162
ГЛ. 5. ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОПОСОВ
тогда в силу универсальности копроизведений в ёТ имеем Q ^
^Z1uZ2 и X ^T1jnT2j. Теперь можно записать Γ11^ί711π
aU12, T21^U2lnU22, где квадрат
декартов, а потому
U..>-
ч
+ Тп
Т^
-+Х
X^U„nU,„iiU~,nU„
Но пара Х^5ХпХ корефлексивна и имеет общее рас-
щ
щепление, заданное кодиагональным отображением ХпХ-*-Х;
следовательно, равенство ν4Η?4ί4 = T<?jSy влечет w^a = s„. Значит,
квадрат
коммутативен, так как два пути по периметру коуравниваются
морфизмом Zf > >-Х, и нетрудно увидеть, что этот квадрат
должен быть также декартовым.
Таким образом, после того как мы перепишем наш исходный
квадрат амальгамы в виде
у *тиитг1
tii ii 1г1
Т12иТ2г-
fl2U ί22
ZjU Z2
мы получим У" ^ и1г π U22 как подобъект из Т1г π T2i ^ X.
При этом ясно, что этот подобъект имеет дополнение,, а именно,
U12nU21. О
Формулировка 5.21 аксиомы выбора (АС), как легко видеть,
эквивалентна в & любой теоретико-множествешшй форме этой
аксиомы. Однако ясно, что топос 9* удовлетворяет условию·
(SS), если даже мы не принимаем аксиомы выбора, так как у
каждого непустого множества имеется элемент. Оказывается, чта
имеется более слабая форма (АС), применимая к топосам,
которые не удовлетворяют (SS), что часто бывает полезно на
практике.

5.2. АКСИОМА ВЫБОРА
163
5.24 Определение, (i) Ёудем говорить, что объект X то-
поса & внутренне проективен, если функтор {~)х· <%-+<§
сохраняет эпиморфизмы. .
(ϋ)' Будем говорить, что эпиморфизм X~*Y в & локально
расщепим, если существует объект V топоса 8 с глобальным
носителем (т. е. такой, что V -»- 1 является эпиморфизмом), так
что V*(f) — расщепимый эпиморфизм в &JV. О
5.25 Предложение. Следующие условия эквивалентны:
(i) Каждый объект топоса & внутренне проективен.
(и) Каждый эпиморфизм в <§ локально расщепим.
(iii) Если Х-*-Υ является эпиморфизмом в &', то у Пу(/)
имеется глобальный носитель.
Если эти условия выполнены, то будем говорить, что %>
удовлетворяет неявной аксиоме выбора (1С).
Доказательство. (i)=*-(iii). Согласно упражнению 1.8
имеем декартов квадрат
IW) »χγ
1 *γγ
таким образом, Υ внутренне проективен =*-f является
эпиморфизмом =>Пу(/)->- 1 является эпиморфизмом.
(iii)=^(ii). Глобальные элементы из Пт(/) по определению
соответствуют морфизмам 1у -»- / в &JY, т. е. расщеплениям / в
(5; поэтому в топосе <?7Пу(/) имеем такой расщепленный общий
объект.
(ii)=*-(i). Пусть X-*-Y—эпиморфизм в &, а V — такой
объект с глобальным носителем, что V*(f) расщепим. Тогда V*
■сохраняет экспоненты, и для любого Ζ имеем V*(f)z = V*(f)v*z χ
представляющий собой расщепимый эпиморфизм; следовательно,
/ζ — эпиморфизм, так как V* обращает эпиморфизмы в силу
4.12(iii).
5.26 Пример. Пусть G — группа. Тогда топос &
удовлетворяет (1С), так как стирающий функтор & —*-^ сохраняет
экспоненты, а также сохраняет и отражает эпиморфизмы. Но
& не удовлетворяет (АС), если только G не тривиальна. п
5.27 Лемма. Если Ж удовлетворяет (1С), то ей
удовлетворяет SJX для любого X.
Доказательство. Пусть
У L—>*Z
Χ

164
ГЛ 5. ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОПОСОН
является эпиморфизмом в SIX. Тогда, транспонируя
канонический изоморфизм Πζ(/)— TlxTlh(f), можно получить морфизм
X*Tlz(f)-+ Пк(/) в SIX; следовательно, если Πζ(/) имеет
глобальный носитель в S, то Пк(/) имеет глобальный носитель в
SIX. □
5.28 Лемма. (АС) эквивалентна конъюнкции (1С) и (SS).
Доказательство. Предположим, что S удовлетворяет
(1С) и (SS); пусть Χ->-Υ— эпиморфизм в S. Тогда ввиду
(1С) Пг (/)-*" 1 является эпиморфизмом, а ввиду (SS) этот
эпиморфизм расщепим. Поэтому имеем глобальный элемент,
принадлежащий Пг(/), т. е. расщепление / в S. Обратное
тривиально. □
Заметим, что в лемме 5.28 использована не вся сила (SS),
а только то, что 1 проективен. Следовательно, если S
удовлетворяет (1С) и X внешне проективен в S, то из леммы 5.27
вытекает, что SIX удовлетворяет (АС). Заметим также, что теорему
5.23 можно усилить и установить, что (1С) влечет свойство быть
булевым; в самом деле, если отрицание подобъекта Υ > >- X
становится «честным» дополнением после подъема вдоль
эпиморфизма V —**-ί, то оно должно было быть таковым уже
в S.
Пусть теперь Χ—*-Υ является произвольным морфизмом в
S. Функторы /*: SIY-+&ΙΧ и П/: SIX-* SIY сохраняют
конечные объекты и мономорфизмы, поэтому они ограничиваются
до функторов SPY -*■ 9>Х и &Х -*■ iPF, которые мы обозначим /~*
и V / соответственно, и поскольку 3&Х — полная подкатегория
SIX, ясно, что f1 —\ V/. Функтор Σ/ не сохраняет конечный
объект, но тем не менее можно получить функтор 3 /,
сопряженный слева к /~', образуя композицию σΥ.Σ{.ΐχ (т. е. 3f(T) >-
> >- X) = im (T-*X->-Y)). Отметим, что 3/ представляет собой
«экстернализацию» морфизмаЗ>: Qx -*■ Ωτ, определенного в
лемме 1.32 и упражнении 1.10.
Суммируя наши сведения об этой ситуации, имеем
5.29 Предложение. В диаграмме
Σ/
г
ix
■4
П/
3/
"г
»
*/
имеем сопряжения Σ/ -\ /* -\ П/, 3/Н / 1Н V/, a-\i и ком-

5.3. АКСИОМА (SG)
165
мутативные квадраты (с точностью до естественного
изоморфизма)
f*iY = ixf~\ ΐΐ/ίχ = ίγV / (по определению)
и
σγΣτ=3{στ, Oxf* = /_'σΓ (β силу единственности сопряжений).
Далее, Σβχ = ίΥ3{ тогда и только тогда, когда f —
мономорфизм, а также aYUt=V,ax для всех f тогда и только тогда, когда
<£ удовлетворяет (1С).
Доказательство. Только последнее предложение требует
дополнительных пояснений. Но из утверждения 5.25 и
леммы 5.27 легко следует, что %> удовлетворяет (1С) тогда и только
тогда, когда функторы П/ сохраняют эпиморфизмы, а так
как известно, что они сохраняют мономорфизмы, это все
равно, что утверждать, что они коммутируют с функторами
носителя. Π
5.3. Аксиома (SG)
5.31 Определение. Будем говорить, что топос %>
удовлетворяет аксиоме (SG), если подобъекты 1 в ^ образуют класс
образующих (см. 0.44), т. е. если дана пара морфизмов Χ^ΧΥ
таких, что / ^ g, то можно найти U > >-1 и U —*■ X такие, что
fh¥=gh. □
Заметим, что если %> определен над 9*, то аксиома (SG)
эквивалентна утверждению, что 1 — это объект образующих для
<S над 9* (см. 4.43). В более общей форме, если %> удовлетворяет
(SG), то любой геометрический морфизм $> -»- SF ограничен и
имеет объект образующих; однако обратное не обязапо быть
истинным, если &~ не удовлетворяет (SG).
С точки зрения логики значение аксиомы (SG) состопт в том,
что морфизмы U-*■ X, где U — подобъект объекта 1,
соответствуют частичным отображениям 1 -^ X, т. е. глобальным элементам
из X. Поэтому, применяя функтор ~, можно свести «внутренние»
вопросы об объектах и морфизмах топоса к «внешним» вопросам
о глобальных элементах. Следующий результат является другим
полезным следствием аксиомы (SG), отмеченным Борее [12].
5.32 Лемма. Если <§° удовлетворяет (SG), то Ω является
кообразующей для &".
Доказательство. Предположим, что даны X =£ Υ и / ^ g.
h e
Тогда можно найти U > >-1 и U-*-X, причем fh¥= gh. Теперь,
поскольку U -*■ 1 — мономорфизм, мономорфизмом является и
U—> У; пусть У-ί-Ω— его классифицирующее отображение.

166
ГЛ. 5. ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОПОСОВ
В декартовом квадрате
V> '- ►[;
п.
и> >γ
q
имеем р = q, и, следовательно, V > >- U является уравнителем fh
и gh; поэтому q — не изоморфизм. Кроме того, Ф]Ь, Φ 0gh, так
как первый морфизм классифицирует \υ, а второй
классифицирует q; следовательно, Ф] = <t>g. □
Следующие два результата дают примеры топосов,
удовлетворяющих (SG).
5.33 Лемма. Если S булев и удовлетворяет (SS), то <§
удовлетворяет (SG).
Доказательство. Предположим, что даны Χ^ΧΥ ж ίΦ
е
Φ g. Тогда уравнитель Ε > *■ X морфизмов / и g не является
изоморфизмом, а потому его дополнение Е' > *■ X —не нуль.
Пусть U = а1(Е'); тогда в силу утверждения 1.55 U — не нуль,
и в силу (SS) имеем морфизм U ->- £". Пусть h — композиция
U -*■ Е' -*■ X, тогда уравнителем fh и gh является h*(E > >Х)^
= 0 > >■ U; следовательно, fh Φ gh. □
5.34 Предложение. Пусть &" — топос, удовлетворяющий
(SG). Тогда:
(i) Если Ρ является внутренним частично упорядоченным
множеством в <§, то <% удовлетворяет (SG).
(ii) Если } является топологией в &, то shj(<§°)
удовлетворяет (SG).
Доказательство, (i) Предположим, что даны I^F в
ё и / Φ g, где
Х=(хо^Р0,Х0Хро/>А^о),
и т. п. Тогда можно найти U > >- 1 в <§ и U -*■ Х0с f0h Φ g0h;
/ι Τη
пусть δ обозначает композицию U->■ Хп-^-Р0, так что h
представляет собой морфизм δ ->- γ0 в &1Ра. Переходя по сопряжению
следствия 2.22, получаем R(S)-*-X, причем /ЯФ gh. Но из
(d0'dl)
того, что U -»- 1 и Рх »- Р0 X Р0 являются моиоморфизма-
VS
ми в <&, без труда выводим, что {/Xp0^i *~Ро—
мономорфизм, т. е. Д(6)->- 1 является мономорфизмом в <% ·

5.3. АКСИОМА (SG)
167
(ii) немедленно следует из того, что функтор ассоциирования
пучка сохраняет 1 и мономорфизмы. □
Наша следующая цель состоит в том, чтобы доказать
теорему, характеризующую те топосы, определенные над 9', которые
удовлетворяют (SG). Однако прежде следует уделить немного
внимания «нефинитной» структуре внутреннего частично
упорядоченного множества Ω.
Пусть Ρ = (·Ρι =£ Ρ) — внутреннее частично упорядоченное
множество в топосе. Тогда имеем морфизмы tseg: Ρ -»- Ωρ и
Ί-seg: Ρ-+Ωρ, экспоненциальные транспозиции которых являются
классифицирующими отображениями Рг > *■ Ρ Υ. Ρ ж Plv > >-
> >■ Ρ Χ ^соответственно. [Символ Iseg следует читать «сегмент-
вниз»; в 9' это отображение, переводящее р^Р в подмножество
{р' ^Р]р' ^р).] Легко видеть, что Iseg сохраняет порядок (т. е.
является внутренним функтором), a tseg обращает порядок, где
Ωρ частично упорядочено посредством Ω! —»■ (Ω χ Ω) ^ Ω^Χ Ω ·
Если Р—>-Q и Q—>-Р являются отображениями между
внутренними частично упорядоченными множествами, сохраняющими
порядок, то будем говорить, что / внутренне сопряжен слева к
g, если Ρ —L->- Ρ Χ Ρ пропускается через Рг > >- Ρ Χ Ρ, a
Q —'->■ Q X Q пропускается через Ql (Очевидно, вместо этого
следует говорить, что отображения на обобщенных элементах,
индуцированные отображениями fug, сопряжены во внешнем
смысле.)
Будем говорить, что внутреннее частично упорядоченное
множество Ρ внутренне полно, если существует отображение
Ω -»- Ρ, сохраняющее порядок, которое внутренне сопряжено
слева к Iseg. Ясно, что в случае <§ = 91 это эквивалентно
обычному определению полноты решеток, и, как в 91, нетрудно
доказать, что это условие эквивалентно двойственному ему. т. е.
утверждению, что tseg: Рор -»- Ωρ имеет внутреннее
сопряженное слева отображение Π · Чтобы это увидеть, образуем декартов
квадрат
В *ΩΓ
Ω'-χΡ "ч"' >ΩρχΩρ
ρ ubd ρ
и пусть Ω —*■ Ω является транспозицией классифицирующего
отображения для В > *■ Ω Χ Р. Вычисляя затем, как оно
действует на обобщенные элементы, можно легко проверить, что ком-
р ubd ρ η „
позиция Ω —*■ Ω -+F является внутренним сопряженным слева
отображением к Iseg. Аналогично по U можно восстановить [ 1»

168
ГЛ. 5 ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОПОСОВ
5.35 Лемма. Ω является внутренне полным частично
упорядоченным множеством в любом топосе.
Доказательство. Определим U как отображение Ω':
Ω° -»- Ω1 = Ω. Пусть Χ—»-Ω, Χ—»-Ω —любые два обобщенные
элемента, а X'> »- Χ, Υ > >-ΧχΩ —соответствующие под-
объекты. Образуем декартов квадрат
Т> >- 1
Μ'χΩ
так как Ω1 > *ΩχΩ классифицируется посредстом =>-, ясно,
что подобъект Ζ > >-Χ χ Ω, соответствующий Iseg. Φ,
представляет собой (х >·^> Χ Χ Ω) =*- (Χ' χ Ω >-^> Χ χ Ω]. Таким
образом, имеем
ψ ΐζ Iseg. Φ тогда и только тогда, когда Υ^ζΖ как подобъекты из
ΧΧΩ,
тогда и только тогда, когда Υ Л Χ = Τ ^ (Χ' Χ Ω) как
подобъекты из ΧΧΩ,
тогда и только тогда, когда Τ = (ί Χ ί)*Υίζ Χ' как
подобъекты из X,
тогда и только тогда, когда Ω', ψ < Φ.
Следовательно, имеем желаемое внутреннее сопряжение. С
τ
Если <§ —>- З7 — логический функтор и Ρ — внутренне полное
частично упорядоченное множество в <§°, то ясно по определению,
что Т(Р) внутренне полно в ST. Еще важнее следующий
результат.
5.36 Предложение (Миккелсен). Пусть &, &~ — топосы,
τ
а &" —*- @~ — функтор, имеющий сопряженный к нему слева
функтор L, который сохраняет расслоенные произведения. Если Ρ —
внутренне полное частично упорядоченное множество в <э, то
TV внутренне полно в Θ7.
χ
Доказательство. Рассмотрим обобщенный элемент U —>-
—> (Qg-}TP. Он соответствует подобъекту X >^+ U Χ Τ Ρ в Т\
пусть I) >-LUxP обозначает образ LX—'-+■ LU Χ Ρ
в &", где Λ обозначает переход по (L Ч ?)■ Пусть LU X Ρ—>-Ω^,
классифицирует / > >- LU χ Ρ τι пусть U —* Τ Ρ является
транспозицией композиции LU -*-{°lg) -*-P.

5.3. АКСИОМА (SUJ
169
Применяя это построение к общему элементу объекта (Ω^Γ)ΓΡ)
получаем морфизм (ΩΰΓ)'ΓΡ—>- ТР, а поскольку все
использованные конструкции устойчивы при подъемах, выводим, что U г-
действительно композиция χ и (J .
Чтобы доказать, что (J внутрепне сопряжен слева к Iseg,
рассмотрим морфизм U-^-TP как [/-элемент ТР и обозначим
через Υ > >■ U Χ Τ Ρ подобъект, соответствующий Iseg. р. Кроме
того, у нас есть подобъект Ζ > +LU. Ρ, соответствующий
LU-*■ Ρ *■ £r , а поскольку Τ сохраняет расслоенные
произведения, имеем диаграмму
у у τζ у тр „ρ
V χ ТР — ► TLU χ ТР 7'п'1 > ТР χ ТР
в которой α представляет собой единицу сопряжения (L —| Т),
а оба квадрата декартовы. Поэтому
χ ^ Iseg ρ тогда и только тогда, когда Χ^Υ как подобъекты
из U X ТР,
тогда и только тогда, когда LX —'-*■ LU Χ Ρ
пропускается через Ζ > > LU Χ Ρ,
тогда и только тогда, когда / ^ Ζ как подобъекты
из LUXP,
— >"Ч
тогда и только тогда, когда Φ ^ \seg.p,
тогда и только тогда, когда U Φ ^ Ρ в силу
внутренней полноты Р,
тогда и только тогда, когда (J х ^ Р· □
Важнейшее применение утверждения 5.36 относится, конечно,
к случаю, когда Τ — прямой образ геометрического морфизма с
обратным образом L. Однако преимущество слегка более общей
формулировки, данной нами, состоит в том, что ее можно
применить к случаю <o=S?~, T = (—)x, L = (—)XX и вывести, что
если Ρ внутренне полно, то таковыми является и Р* для любого
X. (Это также можно установить, разлагая (~)х в логический
функтор X*, за которым следует функтор прямого образа Их.)
В частности, частично упорядоченное множество Ω* внутренне
полно для любого Х- Стоит отметить, что отображение
внутреннего объединения Ω -*- Ω является фактически
мультипликативной частью структуры монады на ковариантном функторо
множества-степени \Х *—Ω' , f >-+3 f) из упражнения 10 к гла-

170
ГЛ. 5. ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОПОСОВ
ве 1. Единицей этой монады является синглетонное отображение
(1.24). Более того, категория алгебр для этой монады изоморфна
категории, объекты которой являются (антисимметричными)
внутренне полными частично упорядоченными множествами в &,
а морфизмы представляют собой отображения, сохраняющие sup
(т. е. такие морфизмы P^*~Q, что диаграмма
аг И yQQ
|| U
ρ—-—► ρ
коммутативна). Мы отсылаем читателя к [1] или [84] за
деталями доказательства.
5.37. Теорема. Пусть &^*-9> является Я'-топосом. Тогда
эквивалентны следующие условия:
(i) &" удовлетворяет (SG).
(ii) Существует такая полная гейтингова алгебра Η в &, что
& ^ Shv(H, С), где С — каноническая топология Гротендика на
Η (см. 0.35).
Более того, гейтингова алгебра Η из (ii) определена по <S
с точностью до изоморфизма.
Доказательство. (ii)=^(i) немедленно следует из
утверждения 5.34, так как 91 удовлетворяет (SG), а Н — частично
упорядоченное множество.
(i)=^(ii). Предположим, что <% удовлетворяет (SG). Тогда γ
ограничен, так как 1 — это объект образующих для &" над 9*,
а поскольку γ* (Ω^) является полной подкатегорией открытых
объектов в <% (эквивалентен ей), из теоремы 4.46 следует, что
можно записать & ^ Shv (γ* (Ω), /), где / — топология
Гротендика на γ*(Ω), определенная, как в теореме 0.45.
Но в силу утверждений 5.13, 5.35 и 5.36 γ*(Ω) является
полной гейтинговой алгеброй, поэтому остается доказать, что
топология / каноническая. (На самом деле в силу следствия 0.46
известно, что / субканоническая, поэтому достаточно доказать, что
C^J.) Но в любой гейтинговой алгебре конечные пересечения
дистрибутивны над произвольными объединениями
(действительно, для полной решетки это условие по теореме о сопряженных
функторах эквивалентно декартовой замкнутости), и поэтому из
леммы 0.35 легко вывести, что С-покрывающие решета на
γ^.(Ω) — это именно те, которые порождаются семействами
(С/о > vC/|a(= А), для которых С/= (J Ua. Но отсюда следует,
aS A
что Ц Ua—*~ U является эпиморфизмом в If, и поэтому каждый
a = A

5.3 АКСИОМА (SG)
171
объект из <% удовлетворяет аксиоме пучка относительно этою
семейства. Следовательно, каждое С-покрывающее решето
является /-покрывающим.
Наконец, пусть F — подобъект объекта 1 в Shv(H, С), где
Η — полная гейтингова алгебра. Тогда для каждого 1£Я имеем
F (х)= 0 или 1, и из предыдущего описания С-покрывающих
решет на Η легко видно, что F должен быть представимым
посредством объекта \] be H\F(x)= 1} алгебры Η. Поэтому
V*(£!shv(H, с») — Η, т. е. Η определяется по <% с точностью до
изоморфизма. С
5.38 Замечание. Имеется также «относительный» вариант
теоремы 5.37, восходящий к Митчелу; если ЯГ—*-& —
ограниченный геометрический морфизм, имеющий 1 в качестве объекта
образующих, то существует внутренне полная гейтингова алгебра
Η в ё (а именно, Η = /„. (Ω^-))такая, что ^"c^shj \& J, где
/ — внутренний эквивалент канонической топологии на Н. В
частности, взяв /=1 для любого топоса <%, имеем, что <% —
~ shj\if ), и включение S'->-& На самом деле является
тем, которое индуцировано полным и унивалентным внутренним
функтором 1 —»- Ω (см. упражнение 2 к главе 4). С
5.39 Теорема. Пусть S-^-97 является 9,-топосом (примем
аксиому выбора для 9*). Тогда эквивалентны следующие условия:
(i) «Г удовлетворяет (АС).
(ii) <§ булев и удовлетворяет (SG).
(iii) В 9' существует полная булева алгебра В такая, что
<§ ^ Shv(B, С), где С — каноническая топология Гротендика
на В.
Доказательство, (i) =*■ (ii) немедленно следует из
теоремы 5.23 и леммы 5.33, a (ii) -*=*- (iii)—это частный случай
теоремы 5.37. Остается показать, что (ii)=*-(i).
Пусть У —»■ X— эпиморфизм в <§. Назовем частичным
сечением f коммутативный треугольник
X' ^ "У
X*
Тогда ясно, что можно построить «объект частичных сечений /»
как подобъект Ε из Ϋχ и, следовательно, эти частичные сечения
параметризуются множеством 5 = γ^(£). Более того, S непусто,

172
ГЛ 5 ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОПОСОВ
так как всегда имеется частичное сечение
О »У
и если частично упорядочить частичные сечения отношением
(X',g)<(X",g'), если Х><Х" ng'lr=g,
то S удовлетворяет предположениям леммы Цорна, так как <§ —
топос Гротендика и поэтому можно образовать произвольные 9'-
индексированные объединения подобъектов из X. Поэтому у S
имеется максимальный элемент
Предположим, что ί не является изоморфизмом, тогда
дополнение ^ι > >■ X для Хо является ненулевым и, следовательно,
таковым является и подъем
Поэтому оба^ включения в копроизведение Υχ^ΥιτιΥχ
различны, следовательно, в силу (SG) существует ненулевой U > *■ 1
и морфизм U-*■ Υι. Но композиция U -»- Ух -*■ Υ -*■ X является
мономорфизмом, и U Л Х0 < Χι Л Хо = 0. Поэтому можно
продолжить наше частичное сечение (Хо, g) до сечения с областью
определения Х0 nU, а это противоречит допущению, что (Xq, g)
максимально. Следовательно, i должно быть изоморфизмом, a g
является расщеплением для /.
5.4. Язык Митчела — Бенабу
Одним из наиболее важных подходов к формализации идеи
топоса как «обобщенной теории множеств» состоит в том, чтобы
сопоставить данному топосу <% язык Lg, который можно
использовать как удобное средство для построения высказываний об
объектах и морфизмах топоса <§ или даже для доказательства

5 4 ЯЗЫК МИТЧЕЛА — БЕНАБУ
173
теорем о них. Этот замысел впервые был явно высказан Митче-
лом [85]; позже различные «усовершенствованные» описания
были даны Бенабу [24], Озиусом [94] и Фурманом [35], а также
другими. Данное здесь описание не соответствует точно ни
одному из предложенных ранее; оно задумано, чтобы подчеркнуть
удобство Lg как простого математического средства для
описания &, а не как формальной системы для доказательства теорем
о <§.
5.41 О пред еле ние. Язык Lg состоит из следующих
символов:
(i) Типы Χ, Υ, ... все являются объектами топоса &".
(ii) Термы каждого типа конструируются следующим образом:
(а) для каждого типа X имеется запас переменных х, х',
χ", ·..;
{Ь) для каждого морфизма X-^-Y топоса <§ и каждого
терма τ типа X имеется терм /(τ) типа Υ;
(с) если заданы термы а типа Χ, τ типа Υ, то имеется терм
<σ, τ> типа XX Υ.
(iii) Формулы — это термы типа Ω. Более конкретно, имеется:
(a) бинарный предикат «=х» сигнатуры (X, X) для каждого
типа X [если σ, τ — термы типа X, то (σ = χτ) есть δχ(<σ, τ>),
где δχ:ΧΧΧ-+Ω классифицирует диагональный подобъект];
(b) бинарный предикат «sx» сигнатуры (Χ, Ωχ) для каждого
типа X [определяется аналогично с использованием отображения
оценки ΧΧΩΧ -+ Ω];
(c) логические связки /\, V^>1 [индуцируемые
операциями гейтинговой алгебры на Ω].
(iv) Кванторы и описания. Пусть Φ — формула их —
переменная. Тогда:
(a) V хФ и ЗхФ — формулы;
(b) {х]Ф) — терм типа Ωχ;
(c) ιχΦ — терм типа Χ. Π
Понятия свободного и связанного вхождения переменных в
терм Lg определяются как обычно, т. е. переменная свободна,
если она не связана квантором или оператором описания.
5.42 Определение. Определяем интерпретацию языка Lg,
приписывающую терму τ типа X со свободными переменными
(lit, u2, . . ., un), морфизм
t=l
следующим образом:
(a) Каждая переменная типа X интерпретируется как
тождественный морфизм Х-*-Х',
(b) /(τ) интерпретируется как композиция \\Ui—*-X-*-Y',

174
ГЛ. 5. ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОПОСОВ
(c) предположим, что σ имеет свободные переменные ut, ...
..., u„, Vi, ..., vm, a τ имеет свободные переменные ul5 ..., unr
wt, ..., w„ где v; и Wj все различны. Тогда <σ, τ>
интерпретируется как морфизм с компонентами
их vxw^uxv^x
и
UX VXW^UX W^X,
η
где Ζ7= Π Uь и т. п. [Отметим, что мы рассматриваем пере-
менные χ и х' как различные в данном контексте, хотя они
могут быть одного типа. Так, например, интерпретацией <х, х'>
является ΧχΧ~*·ΧχΧ, в то время как <х, х>
интерпретируется как Χ-*·ΧχΧ.\
(d) Предположим, что 0 имеет свободные переменные х,
щ, и2, ..., un. Тогда
\{х\ф}\: Ι[υ>-Ωχ
является экспоненциальной транспозицией морфизма
\Φ\:ΧχΐΙυ^Ω,
а Ιιχ0| является представлением частичного отображения
il_Ui—>-X, заданного декартовым квадратом
Ρ «-Х
Υ ''
о
Пс/,.—"*""' >ах
(e) Опять предположим, что 0 имеет свободные переменные
х, lit, ..., u„. Обозначим через / проекцию произведения X X
XllUi-^YlUi, и пусть
μ«>—»xxUUi
является подобъектом, классифицированным формулой \Ф\ (экс-
тенсионал формулы Ф). Тогда |Vx0l (соответственно 13x^1)
является классифицирующим отображением V/ (II Φ \)—*-ХХ±[_и^
(соответственно 3/(11 Ф\)—>■ -^хП^О (см. 5.29));
(f) если χ не входит свободно в Ф, то Vx0, 3x0, {χ 10} и ιχφ
можно интерпретировать, заменяя 101 на (х = χ χ Д Φ)
(эквивалентно, заменяя 101 на ХхП ^-^Н^г-* Ω). π

5.4. ЯЗЫК МИТЧЕЛА — БЕНАБУ
175
5.43 Определение. Пусть Φ—формула языка J-,g со
свободными переменными ut, ..., un. Будем говорить, что Φ
универсально действительна в <% (и писать 8 N 0), если 101
представляет собой композицию 11 Uχ->■ 1 -*■ Ω (эквивалентно, если
\\ф\\ — максимальный подобъект Ц £/$). □
Отметим, что любой логический функтор Т: & -*■ $Г
индуцирует очевидное отображение из Lg в Lg-, сохраняющее
интерпретацию; поэтому <§\=Ф влечет ЗГ\=Т(Ф). Более того, если Τ
унивалентен, то справедлива обратная импликация.
5.44 Примеры. Следующие утверждения справедливы в
любом топосе & (их доказательство можно рассматривать как
легкое упражнение).
(i) <5Ί=χ = χΧ [но <??|=χ = χχ' тогда и только тогда, когда
X -*■ 1 является мономорфизмом].
(ii) %Η(χ^χ{χ}Φ))<^Φ.
(Hi) Если τ относится к типу Ωχ, то & Η τ =Ωχ{χ\χ^χτ).
(iv) & Η Φ тогда и только тогда, когда <§\=^хф.
(v) dfh=3x0=>3x (χ = χχ) (заметим, что ΙΙ3χ(χ = χχ)ΙΙ
является в точности Oi(X)].
(vi) Если σ и τ имеют одни и те же свободные переменные,
то & Η σ = χτ тогда и только тогда, когда Ισ| = ΙτΙ.
(vii) &\=Ф=>~]~\Ф.
(viii) Если ω — переменная типа Ω, то <% 1= (ω V Τ ω) тогда
и только тогда, когда & булев. Π
В том же духе, что и в (vii), можно доказать, что все
тавтологии интуиционистской логики высказываний (см. [ММ],
глава IX) общезначимы в &'. Более того, можно убедиться в
истинности всех обычных аксиом и правил вывода интуиционистской
логики предикатов за единственным исключением правила modus
ponens: если Η Φ и h=0=^i|5, то Η ψ. Причина, по которой это
правило не сохраняется, состоит по существу в том, что проек-
ция произведения Χ χΥ-+ Υ может не быть эпиморфизмом,
если X не имеет глобального носителя; поэтому формула ψ (у),
которая не общезначима, может быть верной, если мы добавим
«фиктивную переменную» х. В предельном случае, если Φ
содержит свободную переменную тина 0, то <S\=i> и &\=Ф =*-*§ всегда
верны, причем ψ может быть вообще чем угодно!
Одно из решений этой проблемы, предложенное Фурманом,
состоит в том, чтобы работать с «частично определенными
термами», которые рассматриваются как обозначение обобщенных
элементов из X, а не из X. Таким образом, интерпретацией терма
в языке Фурмана становится морфизм x\_Ui->- X. Так как X
инъективен, он всегда имеет глобальный носитель; поэтому в
такой интерпретации правило modus ponens выполняется. Однако
этому подходу присущи значительные дополнительные сложности,

176 ГЛ 5. ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОПОСОВ
и мы приняли более простую интерпретацию, изложенную выше.
По существу она не отличается от интерпретаций Бенабу и Озиу-
са. Заметим, что эта интерпретация все-таки удовлетворяет
правилу вывода, которое Озиус ,[94] назвал ограниченным modus
ponens: если все свободные переменные формулы Φ также
свободны в формуле ψ, & ¥=Ф и £ΉΦ =*■ ψ, то & Ηψ·
Наше описание языка Lg принципиально отличается от
описании Бенабу и Озиуса тем, что формулы у нас отождествляются
с термами типа Ω. С нашей точки зрения это выглядит разумным
упрощением, так как в любом случае мы должны иметь
сохраняющую интерпретацию биекцию между формулами (классами
эквивалентности формул) и термами типа Ω; эта биекция
задается сопоставлениями Ф>-*-{\Ф} и x^i^^). Здесь пробел
означает переменную типа 1; эта переменная единственна, а так как
ее обозначение не влияет на интерпретацию какого-либо терма,
в котором она появляется, кажется чрезмерным выбирать для
нее символ.
5.45 Замечание. Перечислим некоторые общепринятые
сокращения, которыми мы будем пользоваться в языке Lg.
(i) Где возможно, будем опускать индексы при предикатах
(И) Если 1-^Х является глобальным элементом из X, то
вместо терма γ( ) типа X будем просто писать γ. В частности,
если X' > *-Х является подобъектом из X, то будем писать
или σ для соответствующего глобального элемента из Ωχ или
для терма, который его обозначает.
(iii) Если σ — терм типа Υχ, а τ — терм типа X, то можно
писать σ(τ) вместо ev(<o, τ>), где ev: ΥΧΧΧ-+ Υ—отображение
оценки.
(iv) Если Φ— формула, а τ — терм, ни одна из свободных
переменных которого не встречается связанной в Ф, то будем
писать 0[τ/χ] вместо формулы, полученной подстановкой τ вместо
каждого свободного вхождения χ в Ф.
(ν) Будем использовать квантор существования и единствен-
пости 3\хФ в качестве сокращения для Зх(Ф Λ Vx'(0[x7x] =*■
=>χ = χ'))·
(vi) Вообще, будем чувствовать себя вправе использовать зпа-
комые теоретико-множественные сокращения без дальнейших
пояснений. Например, если Р = (Р1=^/)) является частично упо-
рядоченпым множеством и р, р' — две переменных типа Р, то
будем писать ρ < ρ' вместо формулы <р, р'> ερχί Ρχ . Π
5.46 Примеры. Приведем несколько примеров,
иллюстрирующих удобство языка Lg как средства «интериализации»
привычных теоретико-множественных определений.

5 4. ЯЗЫК МИТЧЕЛА — БЕНАБУ
ЦТ
(i) Отображение образа im: Yx -* Qr — это Uyl3x(f (x) = y)}|,
где f представляет собой переменную типа Yx.
(ii) Объект эпиморфизмов Epi(X, У) > >■ Yx' — это |im(f) =
= г1у||,или, что то же самое, HVy3x(f (х) = у)Н, где f — опять,
переменная типа Yx.
(iii) Отображение уравнителя eq: У* Χ Υχ -*■ 0х — это·
|{x|f(x) = f'(x)}| (сравните с определением этого отображения
в 1.49 (ϋ)); отображение ядерной пары кег: Yx -*■ Ωχχχ — это
|{t|f (iti(t)) = f(π2(ΐ))}|, где t относится κ типу XXX.
(iv) Объект мономорфизмов Mono (X, Υ) > *-Υ — это
| ker (f) — ΓΔ~1|, а объект изоморфизмов Iso(X, Υ) > *-Υ
можно определить в силу следствия 1.22 либо как Epi(X, У) Π
ПМопо(Х, У), либо как l!3!g(Cl(<f, g>)= ix Λ M<g, !>)= lr)ll,
где g относится к типу Χγ и Cl: Yx X Xr - Xх, c2: XrXYx- Уу
являются внутренними отображениями композиции. Π
Имеется иная интерпретация формул языка J-,g (Озиус
назвал ее «внешней интерпретацией»), в которой формула Φ со
свободными переменными Χι, Хг, ..., хп интерпретируется как
некоторое утверждение Φ (χι, Хг, ..., хп) об обобщенных элемептах
(Конкретно, Φ (χι, ..., хп) означает «(χι, ..., хп) пропускается
через \\ф\\», или, что то же самое, «.<% Η Φ [Xi (u)/xil?=i*·) В этом
контексте логическая связка Λ интерпретируется как
конъюнкция обычным способом, но другие связки и кванторы привлекают
дополнительный квантор «изменение области определения (χι, ...
.., Хп)». Правила этой интерпретации обычно известны как
семантика Крипке — Жуаяля. Они являютоя развитием исходной
семантики Крипке [173], предназначенной для моделирования
интуиционистской логики в универсуме, который по существу
был топосом предпучков. Эти правила приводятся ниже; для
удобства работа ведется с формулами, у которых имеются только
одна или две свободных переменных.
5.47 Лемма. Пусть Φ, ψ — формулы языка Lg с одной
свободной переменной χ, χ — формула со свободными
переменными (х, у). a U -*■ X — обобщенный элемент из X. Тогда
(ΐ)(Φ Д ψ) (χ) в том и только в том случае, когда Φ (χ) и
(ϋ) (Φ \/ψ) (χ) в том и только в том случае, когда существуют
αι аг
такие Vу —* U и V2 —*■ U, что Vi n V2 -*■ U является
эпиморфизмом и имеют место Φ{χ<Χί) и ty(xa2).
(iii) {Φ => ψ) (χ) в том и только в том случае, когда для всех
ОС
таких V-*-U, что Ф(ха), имеем г|з(жа).

178
ГЛ, 5. ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОПОСОВ
(iv) (~] Φ) (χ) в том и только в том случае, когда для всех
таких V-*-U, что Ф(ха), имеем F = 0.
(ν) (Эух)(ж) в том и только в том случае, когда существуют
эпиморфизм Vx —**■ U и V-элемент V ->-Y такие, что χ(χα, у).
(vi) (Υνχ) (x) в том и только в том случае, когда для всех
ОС у
V->U и всех V-элементов V->-Y имеем %(ха, у).
Доказательство. Проведем рассуждение для (ii) и (Hi);
другие утверждения леммы проверяются аналогично.
(п) Допустим, что (0Vi|))(a;). Образуем декартовы квадраты
WI
и-
\Ф ν Φ\
и-
Μ
\φνψ\\
тогда, поскольку | Φ || π || ψ || ->■ || Φ V "ψ II является эпиморфизмом,
а копройзведения в & универсальны, заключаем, что а4 и а2
обладают требуемыми свойствами. Наоборот, если данные условия
выполнены, то заключаем, что χ должен пропускаться через
образ \ Φ ||n||i|)||-»-X, который есть в точности II0 Vi|)H.
(iii) Если (Ф=^^)(х), то ясно, что (0 =>■ ψ) (χα) для любого
а; поэтому если также имеем Ф(ха), то ха пропускается через
1Ф =*■ ψΙΙ П II011 ^ ΙΙψΙΙ. Наоборот, если данное условие выполнено,
то пусть I > >■ X является образом х. Тогда, если взять
декартов квадрат
-**■ Ι η \\ф\\
11*11
-+Х
композиция ха пропускается через ΙΙψΝ. Отсюда следует, что
/ П II011 < ΙΙψΙΙ, и поэтому / < 110 => ψΙΙ. □
Наблюдательный читатель заметит, что семантика Крипке —
Жуаяля использовалась неформальным образом в
предшествующих главах данной книги. В частности, то, что называлось в
§ 2.5 «универсальной» и «элементарной» формами определения
фильтрованности, было просто внутренней и внешней
интерпретациями определенных формул языка Lg, содержащих кванторы
существования. Лемма 3.56 — просто пример семантики квантора
всеобщности, Ц - функтор, встречающийся в определении Dr,
является, конечно, квантором всеобщности в языке L&.
Доказательство леммы 5.47 ((ν) и (vi)) неявно и в частных случаях
рассматривается в замечании 2.52 и в лемме 3.56.

5 4. ЯЗЫК МИТЧЕЛА — БЕНАБУ
17$
Слёдувт подчеркнуть, что в исходной семантике Крипке
дизъюнкция и квантор существования были интерпретированы сразу
и непосредственно, как для конъюнкции. Причина заключается
в том, что Крипке занимался топосом вида & и поэтому
ограничивался рассмотрением представимых функторов в качестве
объектов U и V. Из леммы Йонеды легко следует, что они про-
ективны в Я' , так что эпиморфизмы, -встречающиеся в лемме
5.47 (ii) и (ν), автоматически расщепляются. Для общего случая
топоса потребность в «локальной» интерпретации существования,
как в лемме 5.47, была впервые подчеркнута Жуаялем; однако
Кок [61] указал, что квантор существования и единственности
все же имеет глобальную интерпретацию. Мы не будем
доказывать этого формально, а приведем иллюстрирующий пример.
5.48 Определение. Пусть F = (P1^$.P)— внутреннее
частично упорядоченное множество в &". Будем говорить, что Р*
вполне упорядочено, если оно антисимметрично (5.11) и
3"N3p(peq)=>(3p(peq) Λ Vp'(p' e q => ρ <ρ'))),
где q — свободная переменная типа Ωρ. □
Используя лемму 5.47, можно перевести это условие следую--
щим образом: «для любого Ζ7—*Ω , если существуют такие
α
V —**■ U и V-*■ Pf что (?а,р) пропускается через ер) >■ Ω х/\
то существуют такие V0—>U и Vt—>P, что (qcc„, p») пропуска--
ется через еР и для всехИ^—>-F0 и всех W—*- Р, если (qa0 ?>,Ρι)
пропускается через ер, то (р0?>, Ρι) пропускается через Ρχ > »-.
> >■ РхР». Надеемся, что этого примера достаточно, чтобы
убедить читателя в нужности такой системы, как язык Lg\
5.49 Предложение. Если Ρ вполне упорядочено, то каж^
дый эпиморфизм Ρ —» X расщепим.
Доказательство. Пусть Χ—*Ώ — интерпретация терма
{ρ|ί(ρ)=χ}, τ. е. транспозиция классифицирующего отображения
графика /. Тогда легко видеть, что (<?/, 1Р) пропускается через
£Ξρ> *■ Ω χ Ρ; таким образом, по определению можно найти та-.
α ρ
кие V —»· X и V—*-P, что «р— минимальный элемент из да».
Теперь пусть W^t V является ядерной парой морфизма а; тогда
qa^i = qa^2, так что оба морфизма определяют один и тот же
подобъект из W X Р. Но p<(i и ръ — минимальные элементы этого,
подобъекта, по условию антисимметрии они равны,
следовательно, ρ пропускается через коуравнитель для γι и Чг. Но в силу
следствия 1.53 этот коуравнитель представляет собой α
(изоморфен ему): поэтому можно писать p = ga, а тогда (q, g)a про-

180
ГЛ. 5. ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОПОСОВ
лускается через ер > >■ Ω χ Р. Но α — эпиморфизм, поэтому
(?> S) пропускается через еР; очевидно, это то же самое, что
сказать, что g — расщепление морфизма /. □
Основная идея, которая стоит за утверждением 5.49,
представляет собой не что иное, как аксиому пучков (0.23),
выраженную внутренним образом. Другими словами, процесс пропускания
юбобщенного элемента У -*- Ρ через эпиморфизм α аналогичен
процессу построения глобального сечения пучка путем
«склеивания» семейства локальных сечений, согласованных на
перекрывающихся частях своих областей определения. Иначе говоря,
лозунг «единственное существование влечет глобальное
существование» можно рассматривать как переформулировку следствия
1.22; так, формула <??h=3x0 утверждает, что определенный мор-
<ризм топоса & является эпиморфизмом (но не обязательно рас-
щешшым эпиморфизмом), <??Н=3!х0 утверждает, что он и
эпиморфизм, и мономорфизм, а значит, изоморфизм.
В завершение параграфа дадим доказательства двух
«теоретико-множественных» лемм, которые понадобятся в следующей
тлаве.
5.50 Лемма (теорема Тарского о неподвижной точке [185]).
Пусть Ρ — антисимметричное внутренне полное частично упоря-
г
•доченное множество в S" и пусть Ρ -+ Ρ — отображение,
сохраняющее порядок. Тогда существует такой глобальный элемент
fa U3 Р, ЧТО гра = ра.
Доказательство. Построим декартов квадрат
У -Р,
, -
ί
Ρ <-±^ΡχΡ
Гг~1 ρ U
•а пусть р0 будет композицией 1—>- Ω —у Р. Теперь имеем
следующие общезначимые формулы:
^(=реФ <=*-р<г(р),
^НрегГ^р<р0,
#h= Ρ<Ρο^Γ(Ρ)<'·Ρο·
В силу ограниченного modus ponens и транзитивности ^
получаем
2Г Η ρ ei rin =>- ρ < rp0,
т. е. ΓίΊ <; jseg. rp0, или, что то же самое, rp0^ (J ΓίΊ = р0.
Но теперь имеем ггр„ 5= гр„, поэтому rp0 e i , н, следовательно,
гро^Ро. □

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 5
181
(а,Ъ)
Пусть X — объект топоеа <S, a S —»■ X X X — бинарное
отношение на X. Будем говорить, что подобъект X' > >■ X S-за-
мкнут, если Χ' Χ χ S —> X пропускается через ί, τ. е. если
^μ(χεΓίΊΛ <х,х'>ег5п)^х'егГ.
5.51 Лемма. Пусть S > ' > ΧχΧ—симметричное отно-
(c,d)
шение на объекте X из 8 и пусть R > *-лхл—ядерная
пара коуравнителя для (а, Ъ). Тогда любой S-замкнутъш под·
объект из X является Я-замкнутым.
Доказательство. Определим бинарное отношение Τ > *■
>■ ' > ХхХ как экстенсионал формулы
Vy (у является 5-замкнутым)=^(х е у <=*- χ' е у), где у
относится к типу Ωχ. Из природы этой формулы ясно, что Τ
представляет собой отношение эквивалентности на X, и поэтому в
силу утверждения 1.23 имеем морфизм Χ-+Υ с ядерной парой
(е,/). Но поскольку S симметричен, очевидно, имеем
& μ (<х, х'> е rS~> Д у является S-зэмкнутым) =>-
=!>(хеу^х'еу)(
откуда выводим
& μ <х, х'> (= Γ5Ί => <х, х'> е ΓΓΊ,
т. е. 5 < Τ как подобъекты из XXX Но теперь имеем ha = hb,
поэтому h пропускается через коуравнитель для (а, Ь) и, следо-
(М)
вательно, R)—*ΧχΧ пропускается через (е,/). А так как
% μ (у 5-замкнут /\ хеау /\ <х, х'} ez rTn)=s*x' еу,
то, очевидно, любой 5-замкнутый подобъект из X также Г-за-
мкнут; и, следовательно, Д-замкнут. О
Упражнения к главе' 5
1. Пусть & — булев топос. Покажите, что любая топология
в ^ и открыта, и замкнута, и выведите, что каждый подтопос
пучков топоеа <£ булев. [Указание. Если / — топология в &,
то обратите внимание на то, что j определяется композицией
l-^Ω-^-Ω.] Наоборот, если каждая топология в & открыта,
то покажите, что & булев. [Указание. Если 'Г~\'г~\ = 1и, то
U)—*■! должен быть Ί]-|-плотен; теперь рассмотрите ]υ·\

182
ГЛ δ. ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОР1Ш ТОПОСОН
2. Пусть С — малая категория, и предположим, что множество
всех морфизмов из С допускает исчисление правых частных.
(Проверьте, что это условие удовлетворяется, если Сор слабо
фильтруется или если С является коммутативным моноидом.)
Покажите, что любые два непустых решета на объекте из С
имеют непустое пересечение, и выведите, что каждое непустое
решето является —| ~~|- покрывающим. Следовательно, покажите,
(СОр\ гор
Я' ) эквивалентна & , где G — свободный
группоид, порожденный категорией С, т. е. категория частных,
полученная обращением каждого морфизма из С.
3. Напомним, что гейтингову алгебру называют стоуновой
решеткой ([LT], с.130)*), если равенство ~\ х\/~\~\ х= t
выполняется для всех х^Н. Если 8 — топос, то покажите, что
эквивалентны следующие условия:
(a) Ω — внутренняя стоунова решетка в 8;
(b) каждый П~Ьзамкнутый подобъект в 8 имеет дополнение;
(с)1)—>. Ω имеет дополнение;
(d) объект X топоса 8 П_|-отделен тогда и только тогда,
когда диагональное отображение X > >- X X X имеет дополнение
(объект, удовлетворяющий этому условию, называется
разрешимым) ; ,
(e) каждый Π ~\- пучок в 8 разрешим;
(f) Ω-,-, разрешим.
С)
(s) 1 и 1 ~^ Ω-ι -ι является изоморфизмом в 8;
(h) Ω-,-, является подрешеткой Ω (в частности, включение
сохраняет V);
(j) (если 8 = 9* ) С1ор удовлетворяет условию (d)
определения 2.51;
(к) (если 8 = Shv(X)) X совершенно несвязен ([GT], с. 106).
[Указание. Для (b)=»-(d) следует использовать 3.29(ii).
Для (f)=*-(g) покажите, что любой глобальный элемент
разрешимого объекта имеет дополнение, образуя соответствующий
декартов квадрат. Для (c)-**-(j) обратите внимание, что в (j)
утверждается, что подъем непустого решета непуст, т. е. непустые
решета образуют предпучок из Ω.]
4*. Напомним, что топологическое пространство называется
сепарабелъным, если в нем имеется счетное плотное
подмножество, и нульмерным, еслн подмножества, одновременно открытые
и замкнутые («открыто-замкнутые»), образуют базу топологии
([GT], с. 109 и 210). Покажите, что оба эти свойства
наследуются открытыми подпространствами, и, следовательно, докажите,
что если X сепарабельно и нульмерно, то Shv(X) удовлетворяет.
*) С. 173 русского перевода — Примеч ред.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 5
183
(SS). [Метод. Если дан пучок F на X, то пусть {х0, xt,
jcz, ...} — счетное плотное подмножество из at(F). Теперь
определите такую возрастающую последовательность
открыто-замкнутых множеств Un^OiiF), что: (1) хп е [/„; (2) у F имеется
сечение sn над С/„; (3) s„\Un-i = s„_,.]
5*. Пусть G обозначает аддитивную группу целых чисел и
пусть 8 обозначает полную подкатегорию категории 9' ,
состоящую из тех G-множеств, в которых каждая G-орбита конеч-
ва. [Предупреждение. Это не тот же топос, что в примере
449(ii).] Покажите, что функтор включения 8'-*-9' не
отражает экспонент, но точен слева и имеет сопряженный справа
Ja именно, функтор, который переводит G-множество в
объединение его конечных орбит]. Выведите, используя теорему 2.32, что
8 — топос, и покажите также, что он булев и определен над 9"
(на самом деле 8— топос Гротендика в силу теоремы 446).
Дайте явное описание экспоненциального функтора в I н,
следовательно, покажите, что 8 не удовлетворяет (1С), даже если
допустить (АС) для 9".
6. Пусть Μ — моноид с двумя элементами 1 и е и ег = е.
Покажите, что топос М-множеств удовлетворяет (SS), но не
удовлетворяет (SG).
7*. Пусть 8— топос, X — его объект, и допустим, что у нас
ямеется мономорфизм Ω > >- X. Докажите, что 8 вырожден.
1У к а з а н и е. Так как Ωχ инъективен, мономорфизм должен
иметь расщепление X —**-Ω' ;теперь рассмотрите {х| ~j(xe/(x))}.]
{Сравните [73].)
8*. Пусть N обозначает множество натуральных чисел, s: N -»-
-*■ N — отображение следования, и пусть 8 = 9* является топосом
Серпипского (иример 4.37(ii)) над 9". Рассматривая объекты
1 5
N -*■ N и N -*· N топоса 8, покажите, что для 8 неверна
теорема Шредера — Бернштейна. Однако докажите, что эта теорема
выполняется в любом булевом топосе. [Используйте теорему Тар-
ского о неподвижной точке.]
9. (Исбел [51]). Пусть / и к являются топологиями в топосе
<£. Пусть Ι: Ω -*■ Ω — интерпретация формулы Vo/ ((а^а'До/ е
где ω, ω' — переменные типа Ω. Докажите,
что I — топология. [Указание. Используйте семантику Крип-
ке — Жуаяля для описания класса SL, а затем используйте
утверждение 3.18.] Выведите, что решетка топологий в 8 является
гейтипговой алгеброй и, в частности, что она дистрибутивна (см.
[GV], IV 9.1.14(a)).
10*. Пусть X — объект топоса 8. Определим отображение
неупорядоченных пар рг^: ΧΧΧ-+Ω* так:
||{xlx = x'Vx = x">l,

184
ГЛ. 5. ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ТОП0С0В
а отображение упорядоченных пар Куратовского крг* — как ком^
позицию
\ х V ► Ωγ χ Ων " " ΩΩ
Покажите, что kpr* — мономорфизм. [Метод: сначала заметьте,
что и · kpry = prjf и Π · кргх = {}. лг. Теперь покажите, что-
«ΉρΓχ(<χ, x'>) = pr(<x, х">)=^(х" =xVx" =х')
и
<ГН(рМ<х, х'>)=ргх(<х, х">) Λχ"=χ)^ι = χ'.]

ГЛАВА 6
ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
6.1. Определение и основные свойства
6.11 Определение (Ловер [71]). Под объектом
натуральных чисел в топосе & будем понимать такой объект N с мор-
«физмами \-*-N-*-N, что для любой диаграммы 1 —>■ Х~^ X в <5
существует единственный морфизм N-^-X такой, что диаграмма
^коммутативна. О
Пользуясь этим свойством, морфизмы с областью
определения N (или, используя экспоненциальное сопряжение, объект
ьида ΝΧΝ) можно определять «рекурсивно». Например, имеем
6.12 Определение. Арифметические операции +, · и ехр:
JV X N -»- N определяются, если потребовать, чтобы их
экспоненциальная транспозиция N -»- ΝΝ удовлетворяла следующим
коммутативным диаграммам:
[т. е. o + g = g, (sp)+q=s(p+q)],
-+N
+ NN '-'-'-, ΝΝ χ ΝΝ ^ (Ν χ N)N ^ NN

186
ГЛ. 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
[т. е. о ■ q = о, (sp)■ q=(p ■ q)+q] и
->N-
■+N
Ν-
-*NN
Ι„>1,
Ν* χ Ν1" = (Λ'χΝ)Ν-
-*ΝΛ
[τ. e. ϊ°=Ί, g'ap) =(?")·?]· D
«Обычные рассуждения по индукции» (т. е. оговорка о
единственности в определении 6.11) показывают, что эти операции1
удовлетворяют обычным законам арифметики.
Следующую важную характеризацию объектов натуральных
чисел в топосе впервые указал Фрейд [FK].
6.13 Предложение. Пусть N — объект натуральных
чисел в топосе. Тогда;
(i) 1 —■> TV <—TV является диаграммой копроизведения. (Сле~
дователъно, в частности, s — мономорфизм.)
5
(ii) 7V=5 7V->1 является диаграммой коуравнителя.
Доказательство, (i) Рассмотрим морфизмы
l^lnTV^ii-lnTV.
Нетрудно видеть, что они превращают 1 n-/V в объект
натуральных чисел в &", так как если даны 1 —* X ■*— X, то диаграмма
,2's) - 1 ii ГЧ
0)
коммутативна тогда и только тогда, когда / — единственный
морфизм, при котором коммутативна диаграмма
Но из определения ясно, что если объект натуральных чисел
существует, то он единствен с точностью до изоморфизма;
отсюда имеем изоморфизм 1πΝ-+ Ν, который должен
представлять собой L), так как именно последний делает
соответствующую диаграмму коммутативной.

6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Я ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
187
.7
(ii) Пусть ./V ->Х—любой такой морфизм, что js — j. Тогда
должно быть / = \Ν-+\-^Χ), так как оба морфизма
заставляют быть коммутативной диаграмму
Следовательно, / пропускается (единственным образом, так как
N -»- 1 — расщепимый эпиморфизм) через N -»- 1. О
Прежде чем доказывать утверждение, обратное предложению
6.13, введем специальную терминологию.
Предположим, что нам дан объект X с морфизмами 1 -*■ X -*■
—■* А; будем говорить, что иодобъект X' > >- X (х, и)~замкнут,
«ели существуют (обязательно единственные) морфизмы 1-*■
—*л'->а такие, что диаграмма
теперь определить г: Ω*
Гж'х3Г Ω* χ Ω* ^ Ω
ζ
коммутативна, и что X' (χ, и)-рекурсивен, если он (х, и)-
а
замкнут и к тому же ΙτιΧ' *~Χ' является эпиморфизмом. Если
-»- Ωχ как композицию Ω >-
то легко видеть, что X' (х,
и)-замкнут (соответственно рекурсивен) тогда и только тогда, когда
ГХ'~1 ^г· ГХ'~1 (соответственно rX'~t = r-rX'~l). Но очевидно,
что г сохраняет порядок, поэтому по теореме Тарского о
неподвижной точке (5.50) заключаем, что любой объект X,
обладающий вышеуказанными свойствами, имеет рекурсивный под-
объект.
6.14 Теорема (Фрейд). Пусть N—объект топоса &,
снабженный такими морфизмами 1 -*- N -*■ N, что 1 —*■ N -«— N явля-
S
ется копроизведением, aN^N-^1—коуравнителем. Тогда;
(i) Любой (о, s)-замкнутый подобъект из N представляет
собой весь N (т. е. N удовлетворяет пятому постулату Пеано).
(ii) TV является объектом натуральных чисел в <§.

188
ГЛ 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Доказательство, (i) Пусть N' > >-TV является (о, s)-
замкнутым подобъектом. Применяя приведенные выше
рассуждения к 1 ~* iV ~*■ TV', мы имеем право допустить, что сам TV'
(о, s)-рекурсивен.
Пусть теперь S > >- TV χ TV является объединением подобъ-
ектов Ν >-^-h»TV χ TV и TV >——;» TV X TV. Покажем сначала, что
TV' iS-замкнут (в смысле леммы 5.5.1). Однако ясно, что
ё = (n e riV,n ^s(n) e= rTV°)
и
^Hs(n)erTV'n =>- (s (η) = о V 3 η' (η' e= rTV° Д s (η) = β(η'))).
Однако из данной диаграммы копроизведения получаем
# μη(5(η) = ο)
и
* μ (s(n) = s(η')=>-η = η');
поэтому заключаем
8 μ *(п)е= ΓΤν,Ί =^n e rTV'n.
Таким образом, TV' S-замкнут.
α
Теперь TV -»- 1 является коуравнителем для S^ZN, так как
ь
S содержит график морфизма s; следовательно, в силу леммы
5.5.1 TV' замкнут по ядерной паре для TV -»- 1, т. е. по
максимальному отношению TV χ TV > >■ TV X TV. Но поскольку TV' -»- 1
является эпиморфизмом (ведь TV' имеет глобальный элемент), можно»
сразу заключить, что TV' -»- TV должен быть эпиморфизмом.
(ii) Предположим, что дана диаграмма 1->-Х -*~Х. Приме-
(о тс) sχ и
няя к 1 >■ Ν χ X *■ Ν χ Χ рассуждения,
предшествовавшие данной теореме, получаем диаграмму
1 ! ► > ► 5
(ι/ Ь>
Λ χ Λ »· Λ' χ λ"
в которой ( )—эпиморфизм. Покажем, что Υ является
графиком морфизма TV -»- X, т. е., что а — изоморфизм; очевидно,
этого достаточно, чтобы констатировать существование, требуемое
в определении 6.11.
Но то, что а является эпиморфизмом, сразу следует из (i),
так как его образ — это (о, «)-замкнутый подобъект объекта /V;
(а Ь|

6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
189·
чтобы показать, что он является [мономорфизмом, предположим,.
что N') *■ N представляет собой экстенсионал формулы
Э!у(я(у) = п)). Теперь, поскольку im(i;)sS a-1(im(s)),
диаграмма
1 ► V
1 «
является декартовым квадратом, т. е. <?fh=a(y) = о -«=»■ у = у^
и поэтому о е rN'~l. Аналогично можно показать, что <§ h= n e
е rN'~l =$-S (η) е r-/V' ; таким образом, W (о, «)-замкнут яу
следовательно, Λ''' = Ν, т. е. а — изоморфизм.
Наконец, чтобы установить единственность, требуемую в оп-
ределении 6.11, предположим, что оба морфизма N^t-X
рекурсивно определены диаграммой 1-*-Х-*-Х. Тогда легко видно,
что уравнитель морфизмов / и /' (о, s) -замкнут и поэтому
/ = /'· D
6.15 Следствие. Пусть <§ — топос, а X — такой объект
из &, что inX^X. Тогда существует подобъект объекта X,
являющийся объектом натуральных чисел в <5.
Доказательство. Пусть 1-*Ιι Х-*·X — морфизмы,
определяющие данный изоморфизм. Пусть Х-*-Υ является·
коуравнителем для и и ίχ и пусть у обозначает
глобальный элемент hx из Y. Теперь образуем декартов квадрат
Х> »■ .Y
h
1> ] -У
Мы видим, что поскольку и — морфизм над Υ, данный
изоморфизм можпо интерпретировать как изоморфизм h ^ у и h в SIY.
Но у — мономорфизм, поэтому у* (у) — 1; следовательно, после*
применения у* к этому изоморфизму получаем N^lnN в <§.
Но мы имеем также
coeq (у* (и), 1Ν) ^ у* (coeq {и, 1„)) ^ у* (1У) = 1;
поэтому в силу 6.14 (ii) N является объектом натуральных
чисел в &. □
6.16 Предложение. Пусть & и ST — топосы, а Т: & -*-
-*■ & — функтор, сохраняющий 1 и конечные копределы. Если
l-*-N-*-N является объектом натуральных чисел в &', то

190
ГЛ. 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1 ^ 2*1 Л- TN -Л- TN является объектом натуральных чисел в &".
Доказательство. Немедленно следует из 6.13 и 6.14
<ii). D
Необходимо отметить, что если имеется функтор R,
сопряженный справа к функтору Τ (т. е. если Τ является обратным
образом геометрического морфизма), то предложение 6.16
можно доказать непосредственно на основе определения объекта Ν,
не прибегая к теореме 6.14, ввиду того, что если даны 1-»-Х-*-
~* X в &~, то определение можно применить к 1 ei Ж —> RX —*
—> Мл и получить морфизм TV -»- RX, а затем транспозицией
лолучить TN -+Хс требуемыми свойствами.
Важным применением предложения 6.13 является определе-
тгае структуры порядка на объекте TV. Примечательной
особенностью этого упорядочения является то, что если даже топос $
не булев, этот объект натуральных чисел в определенной сте-
лепи сохраняет свойство булевости, состоящее в том, что у всех
-его «интересных» объектов имеются дополнепия. Это станет еще
более очевидным далее, в § 6.2.
(π ,+)
6.17 Предложение, (i) Морфизм ΝχΝ >-TV χ TV
является мономорфизмом (т. е. (Ν, +, о) является моноидом с
сокращением) и определяет антисимметричный частичный
порядок на Ν, который будет обозначаться W) *■ ΝχΝ.
(Яг8 + )
(и) Аналогично, ΝχΝ *- Ν Χ Ν является
мономорфизмом и определяет строгое упорядочение на Ν, которое будет
.обозначаться S > >ΝχΝ.
(Hi) Имеются разложения и копроизведения W ^ R π Δ и
N X N^ SnA п5ор, где А, как обычно, обозначает
диагональный подобъект.
Доказательство, (i) Пусть N' > у N является
расширением формулы
Vn' Vn" ((η + η' = η + η") =*- (η' = η")).
Тогда в силу определения операции + и того, что s —
мономорфизм, можно легко увидеть, что ое ΓΤν/Ί и
<ffh=neHrTV'n=w(n)eHrTV'n,
лоэтому TV' = TV. Но это равносильно утверждению о том, что
(лм +) — мономорфизм.
Чтобы показать, что отношение W рефлексивно, заметим,
1Хо
что TV ^ TV χ 1 —> ΝχΝ обеспечивает пропускание диагонали
через саму себя. Транзитивность аналогично вытекает из
существования отображения

β.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Ш
и ассоциативности операции 4-. А антисимметричность следует
из того, что квадрат
1 Μ
(ου) α
ΝχΝ —► Ν
декартов, а это, в свою очередь, легко следует из разложения
в копроизведения Ν χ Ν^ίπ(Ν χ ί)π(ί X N)u(N Χ Ν).
(ϋ) немедленно следует из (i) и того, что s — мономорфизм.
(iii) Копроизведение Wo+Sn& сразу получается нз
6.13 (i). Из него же и из антисимметричности отношения W
выводим, что три подобъекта s, Δ и Sop дизъюнктны; поэтому
остается доказать, что их объединение составляет NXN
целиком. Будем писать Φ (η, η') вместо формулы
(η< η') V (η = η') V (η > η')
и пусть Ν' > >Ν является экстенсионалом формулы Vn' Φ (η, η').
Теперь нетрудно увидеть, что
<ΤΗ=ΟίΞ=η',
S Ηη > η' =*- s (η) > η',
S Η= η = η' =*- s(n)> η'
и
<ffb=n<n' =>(s'(n)<n' Vs(n)=n'),
откуда легко следует, что N' (о, s)-замкнут. Π
До сих пор мы рассматривали объекты натуральных чисел
в терминах рекурсивного определения морфизмов в топосе, но в
математике часто встречается другой способ использования идеи
рекурсии, а именно, построение объектов в топосе SIN. Точнее
говоря, предположим, что дан объект X из <§ и «процесс» Τ
построения новых объектов из старых. С определенной долей
вольности мы будем называть эти сведения «данньши рекурсии
в <?Г». Тогда мы желаем пайти объект F-+N из SIN, который
интернализует понятие последовательных (X, ТХ, ТТХ, ...),
т. е. так, что o*(F)=X и s*(F)= TN(F), где TN обозначает
процесс Т, «применяемый по слоям» к объектам из SIN.
Теперь о случае топоса 9", который не имеет внутренней
структуры. Ясно, что можно решить данную проблему, если
Τ — любая функция. Но если мы рассматриваем топос S более-
общей природы, то, очевидно, существенно, чтобы Τ «принимал
во внимание внутреннюю структуру топоса S». Далее в § 6.3
будет приведена теорема существования, которая говорит, что
любая проблема рекурсии в хорошо определенном классе имеег
решение; в данный момент мы приводим теорему единственно-

192
ГЛ. 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
«ти (восходящую к Рейту), которая имеет много полезных
применений.
Напомпим, что если S — любая декартово замкнутая
категория, то функтор Т: S -*■ S называется сильным, если он
является <??-функтором в смысле замкнутых категорий [160], т. е.
если нам даны морфизмы ΤΧ,Υ: Υχ -* ΤΥ1* для каждой пары
объектов (Χ, Υ) из S, которые интернализуют действие
функтора Τ на морфизмы из S.
6.18 Лемма. Пусть F ^ N является объектом из SIN,
и предположим, что даны:
(i) глобальный элемент 1-»-ο*(γ) в S,
(п) морфизм у -*■ s* (у) в S/N.
Тогда для γ β SIN существует единственный глобальный
элемент f (т. е. сечение морфизма γ в S) такой, что o*(f) = x и
$* (/) = tf.
Доказательство. Определим / диаграммой
Тогда γ/ = l.v в силу свойства единственности, которое утвержда
ется в определении 6.11, и очевидно, что / — единственный
элемент из γ, удовлетворяющий данным условиям. □
6.19 Теорема (Рейт). Пусть X — объект из S, а Τ
->- SIN — сильный функтор. Тогда, если существует
F-^N из SIN, для которого о*(ч)^Х и в*(ч)^Т(ч),
.единствен с точностью до канонического изоморфизма.
Доказательство. Предположим, что γ, γ' — два
■объекта из SIN. Образуем объект изоморфизмов Iso (γ,
S'/N (см. 4.56 (iv)); ясно, что свойство силы функтора Τ инду
цирует морфизм Гтт: Iso(γ, γ') -*- Iso(2^, Γγ')· Функторы
замены базы о* и s*, будучи логическими, сохраняют объекты
изоморфизмов; поэтому имеем элемент
SIN ^
объект
то он
таких
Tf') в
ΐχ
■в^и морфизм
1 -*· Iso (X, X) ^ о* (Iso (у, у'))
'v.V
в SIN.
Iso (у, у') *- Iso {Ту', Ту') ^ s* (Iso (у, у"))

6.2. КОНЕЧНЫЕ КАРДИНАЛЫ
193
Применяя построение леммы 6.18, получаем канонический
элемент объекта Ιβο(γ, γ'), т. е. канонический изоморфизм
V^-V' B&/N. □
6.2. Конечные кардиналы
Один из важных способов применения объектов натуральных
чисел состоит в том, что они позволяют определить «конечные
объекты» в топосе. В этом параграфе мы исследуем основные
свойства таких объектов.
6.21 Определение (Бенабу [7]). Пусть р: 1 -»- N —
натуральное число в топосе 8 (т. е. глобальный элемент объекта
натуральных чисел). Под кардиналом числа ρ понимаем объект
[р] в декартовом квадрате
[р] *ι
ΝχΝ—+Ν —+Ν
Будем представлять [р] как финитный объект с ρ
элементами; ясно, что в Я' это как раз множество {(a, b> ^ΝΧΝ]α 4-
+ Ъ + 1 = р). На самом деле в любом топосе нетрудно доказать,
Л1
что композиция [р] -*■ Ν Χ Ν -*■ N является мономорфизмом и
отождествляет [р\ с сегментом вниз от ρ для отношения
строгого порядка из предложения 6.17.
6.22 Лемма. Пусть Т: 8 -*■ g~ — функтор, сохраняющий
конечные пределы и копределы (т. е. логический функтор, или
обратный образ геометрического морфизма), а р — натуральное
число в 8. Тогда Г([?])= [Г(р)].
Доказательство. Из предложения 6.16 мы знаем, что
Τ сохраняет Ν; следовательно, он сохраняет рекурсивно
определенные морфизмы, включая +, и поэтому сохраняет декартов
квадрат определения 6.21. Ε
Конечные кардиналы складываются, умножаются и возводят-
ея в степень в соответствии с нашими ожиданиями.
6.23 Теорема. Пусть р, q — натуральные числа в топосе 8.
Тогда имеются изоморфизмы:
(i) [о] ^ О,
(ii) [sp]^[p]ni,
{iii)[p + q]^[p]u[q],
(iv) [p ■ q]^[p]X [q],
(ν) [<?"] ^ [q]M-
Доказательство. Формула (i) немедленно следует из
6.13 (i) и дизъюнктивности копроизведений в 8, Чтобы дока-

194
ГЛ. 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
зать (ii), заметим, что поскольку s — мономорфизм, [sp]
является расслоенным произведением для диаграммы
1
V xN *N
Но спять в силу 6.13 (i) (ν Χ Ν-> Ν) можно заменить на
ijv/
(Νηί) χΝ^(Ν χΝ)πΝ >Ν;
поэтому требуемый результат следует из универсальности копро-
изведений в <%.
Теперь из (i) и (ii) следует, что кардинал общего натураль-
5 +
ного числа η (которое, конечно, является объектом ΝχΝ —* N
категории SIN) удовлетворяет данным о рекурсии
о*[/г] = 0, s%n]^[n]nl.
Так как функтор замены базы р*: SIN -»- S сохраняет ко-
произведения, произведения и экспоненциалы, то, чтобы
доказать (iii) — (ν), достаточно рассмотреть пару натуральных чисел
вида (п, N*q) в S/N, где q — натуральное число в S. Но что
касается утверждения (iii), то видно, что объекты по обе
стороны изоморфизма удовлетворяют следующим данным рекурсии:
о*[п + N*q] ~ [о + q] ^ [q],
S*[n + N*q] ~ [sn + N*q] =
= [s(n + N*q)]^[n + N*q] nl
и
ο* ([η] π [Ν* q]) ^ [ο] π [q] ^ on [q] ^ [q],
s* ([η] π [N*q]) ^ [sn] π [N*q]ei [и] π 1 π [N*q] ^ [η] π [N*q] π 1.
Но легко видеть, что функтор (—)п 1 является сильным в
любом топосе (его .свойство силы Υ -»-(Уп 1) 1 можно
определить как транспозицию изоморфизма
YxX(Xni)^(YxxX)n(YxXl)e^Yn 1,
и, таким образом, по теореме 6.19 получаем изоморфизм
[п + N*q]^[n]n [N*q]
в SIN, как и требовалось.

6 2 КОНЕЧНЫЕ КАРДИНАЛЫ
195
Доказательства утверждений (iv) и (ν) аналогично следуют
из рекурсивных определений умножения и возведения в
степень, которые даны в определении 6.12, и из того, что функторы
(—)п[д] и ( — )Х [q] сильны. □
Одним из свойств конечных кардиналов является то, что
операция возведения в степень, являющуюся кардиналом, ведет себя
во многих отношениях так же, как конечный предел. Два
следующих предложения иллюстрируют это явление.
6.24 Предложение. Пусть S -*■ &~—функтор между то-
посами, сохраняющий конечные пределы и копределы, X—
объект из S, а р —натуральное число в S. Тогда T(Xlpl)^TXTlrl.
Доказательство. Рассмотрим объект (N*X)lnl из SIN.
По теореме 6.23 он удовлетворяет данным рекурсии
o*((N*X)ln1)^ X1"1 as Χ" ~ 1
и
s* ((Ν*Χ)1ηΊ ) *έ (7V*X)(WU1) si (Ν*Χ)ίη] χ Ν*Χ.
Но Τ, рассматриваемый как функтор SIN -»- &~/TN, сохраняет
эти данные, а потому имеем Т( (N*X)ln1)^ T(N*X)™ по
теореме 6.19 и лемме 6.22. Так как Τ сохраняет декартовы
квадраты, квадрат
т
F/TN
<Гр>»
коммутативен с точностью до изоморфизма. Поэтому после
применения функтора (2*р)* к вышеприведенному изоморфизму
получаем требуемый результат. Π
6.25 Предложение. Пусть ρ — натуральное число в то-
посе S. Тогда функтор (— )tpl: S -»- S сохраняет рефлексивные
коуравнители.
Доказательство. Пусть ΧζχΥ-^-Ζ— диаграмма
рефлексивного коуравнителя в S. Как обычно, достаточно
рассмотреть случай ρ = η и затем применить функтор замены базы р*.
Поэтому пусть (Ν*Υ){η) -»- W — коуравнитель корефлексивной
пары (Я*Х)Ы rt (N*Y)lnl в SIN. Теперь в силу упражнения 1
к главе О W удовлетворяет данным рекурсии
o*W £ё coeq (1 z£ 1) ^ 1
и
s*W βέ coeq (N*X[n] X N*X zt N*Y™ χ Ν*Υ) οέ W X N*Z.
Следовательно, по теореме 6.19 W = (N*Z)lnl, что и
требовалось. О
Отметим, что из предложения 6.25 следует, что конечные
кардиналы внутренне проективны (5.24 (i)), так как каждый

196
ГЛ 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
эпиморфизм в <§ можно выразить как уравнитель рефлексивной
пары (конкретнее, его собственной ядерной пары).
«Булевость» отношения порядка на N, как оно описано в
предложении 6.17, проявляется в структуре мономорфизмов
между финитными кардиналами.
6.26 Лемма. Пусть ρ— натуральное число в топосе. Тогда:
(ϊ) [р] разрешим (см. упражнение 3 к главе 5), т. е. диаго-
Δ
налъ [р] > >- [ρ] Χ [р] имеет дополнение.
(ii) Если [р]-+ 1—мономорфизм, то у него имеется
дополнение.
(iii) Любой подобъект из [р], имеющий дополнение,
является (с точностью до изоморфизма) конечным кардиналом.
Доказательство, (i) В 6.17 (iii) мы видели, что
объект N разрешим. Но, как легко увидеть, свойство разрешимости
наследуется конечными произведениями и подобъектами
(последними, так как мономорфизм X > *■ Увлечет то, что квадрат
X S—+Y
ХхХ-^ Υχ Υ
декартов). А по определению [р] является подобъектом из ΝΧΝ.
(ii) Пусть ρ — натуральное число, и определим подобъекты
Ua, Ui, Uг объекта 1 как экстенсионалы формул «р < so», «ρ =
= so» и «ρ > so» соответственно. Тогда из 6.17 (iii) следует, что
U0u U1n U2 ^ 1. Но после подъема к &/иг утверждение р^
~> sso становится истинным, и у нас имеется мономорфизм
U2 [sso] οί Ό2 π U2 > >- [ρ]. Следовательно, если [р] > >■ 1 —
мономорфизм, у нас должно быть С/2 ^ 0, и поэтому U0 π U1 ^ 1.
Но теперь легко видеть, что U1 [ρ] ^ 1 и U0 [ρ] ^ 0; таким
образом, мы должны иметь [ρ] ^ С/±.
(iii) Рассмотрим объект [м^ ν) = (1 π 1)[η1 из 8/Μ.
В топосе SIM имеем общий морфизм у* [п] ->■ 1 π 1 и,
следовательно, общую декомпозицию копроизведений у* [η]=^π Υ.
Потому достаточно найти натуральное число ρ в 8/М, кардинал
которого изоморфен X. Но такое натуральное число соответству-
ет морфизму Μ'-*■ N в 8 или, что то же самое, элементу
объекта N 'в 8/Ν (где мы пишем 2 вместо 1 π 1 и N
обозначает объект натуральных чисел из 8/Ν, т. е. объект Ν*Ν).
Мы можем построить элемент этого объекта по методу леммы
6.18, используя данные
1^Н^№ = о*[ы(*Ы))

6.2. КОНЕЧНЫЕ КАРДИНАЛЫ
197
и
где транспозицией для θ является композиция
ΝαΜ)χ2ι"ιχ2-
У χ /V ,4
Затем можно непосредственно убедиться, что [р] удовлетворяет
тем же данным рекурсии, что и Χ. Π
В § 6.4 мы увидим, что объект М, построенный в 6.26 (Hi),
на самом деле является свободным моноидом, который порож-
деп посредством 1п1, а ρ— это на самом деле гомоморфизм
моноидов Μ-+(Ν, +, 0), индуцированный посредством
С)
1 π 1 *■ N. Следует также отметить, что для любого моноида
(G, т, е) в <§ коединицу сопряжения свободных моноидов,
относящегося к G, можно рассматривать как морфизм N*Gln —*
—> N*G в &IN, и подъем вдоль 1—> N дает морфизм GlP —>G
в <%, который иитернализует операцию «умножения наборов по ρ
элементов из G» в том смысле, что диаграммы
GIpl χ G
μ„ Χ Ι
-с;
t
-+GxG
коммутативпы.
6.27 Теорема. Пусть X~*~[p]— морфизм в <%, область
значений которого представляет собой конечный кардинал. Тогда
X изоморфен конечному кардиналу в <§ тогда и только тогда,
когда f изоморфен некоторому конечному кардиналу в <&/[р\
Доказательство, (i) Положим X = [q] для некоторого
натурального числа q. Теперь декартов квадрат
ы
Ы
(1.Л
И^М^ЫхЫ

198
ГЛ f ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
в <§ можно переинтерпретировать как декартов квадрат
X У
[р]*Ы-^Ы*[р]
в &/[р], где у — общий элемент из [р]. Но в силу 6.26 (i) у
имеет дополнение. Следовательно, дополнение имеется у х,
и поэтому в силу 6.26(ϋϊ) / изоморфен конечному кардиналу
в &/[р].
г
(ii) Обратно, пусть [p]-*-N — натуральное число в <о/\р\,
кардинал которого изоморфен морфизму /. Тогда простая индук-
г
ция по ρ показывает, что X изоморфен кардиналу из 1 -*■
—■> N р -Д. Ν, где μ определяется с использованием моноидной
структуры (Ν, +, о). Π
6.28 Следствие. Расслоенное произведение конечных
кардиналов является конечным кардиналом.
Доказательство. Предположим, что имеется декартов
квадрат
X L .[р]
9 h
Ы !— [г]
в &. Тогда в силу (i) из доказательства теоремы 6.27 h —
конечный кардинал в <§7[г] (изоморфен ему), поэтому в силу
леммы 6.22 g^k*(h) — финитный кардинал в <§7[?].
Следовательно, в силу (ii) из доказательства теоремы 6.27 он же является
конечным кардиналом в <§. п
6.29 Теорема. Пусть S1c обозначает полную подкатегорию
из <%, объектами которой являются конечные кардиналы. Тогда
(§it — топос и удовлетворяет (АС), а функтор включения <§°/с-»-
-г ё является логическим тогда и только тогда, когда S — бу
лев топос.
Доказательство. Из следствия 6.28 и из того, что [so]^
— 1, получаем, что <ofc имеет конечные пределы, а функтор
включения сохраняет их. Согласно же 6.23 (v) <%'fc имеет
экспоненциалы, и функтор включения сохраняет их. Сочетая
6.26 (ii) и (iii) с теоремой 6.27, выводим, что подобъекты
кардинала [/>], являющиеся кардиналами, представляют собой в
точности его подобъекты, имеющие дополнения. Поэтому
so [sso\ si 1 ц 1 — классификатор подобъектов для S"fc. Но 1 π 1

6.3. КЛАССИФИКАТОР ОБЪЕКТОВ
199
является классификатором подобъектов для %> тогда и только
тогда, когда &" булев.
Наконец, из замечания, следующего за предложением 6.25,
вытекает, что <ofc удовлетворяет (1С); поэтому согласно
следствию 5.28 достаточно показать, что 1 проективен в <£'/« т. е.
что любой кардинал с глобальным носителем имеет глобальный
элемент. Но если у [р] имеется глобальный носитель, то в силу
доказательства утверждения (ii) леммы 6.26 легко видно, что
формула <ф > so» верна, и, следовательно, имеется
(единственное) натуральное число q такое, что so + q^=p. Тогда у [р]
Vl
имеется глобальный элемент 1 ^ [so] -*■ [so] π [q] = [ρ], □
Следует, однако, отметить, что даже в случае, когда &"
является булевым, категория &fc не обязательно отражает
внутреннюю структуру $'. Например, если G — группа, то объектом
натуральных чисел в Я' является множество натуральных чисел
с тривиальным G-действием, и поэтому каждый конечный
кардинал в 9* имеет тривиальное G-действие. Таким образом,
(^ )/с эквивалентна Я,, а не (^/) , как можно было бы
надеяться. Чтобы обнаружить такой подтопос в & , следует
использовать либо понятие локальной конечности, развиваемое
далее в § 8.4, либо понятие конечности по Куратовскому,
описанное в § 9.1.
6.3. Классификатор объектов
В предыдущем параграфе категория конечных кардиналов в
топосе &" рассматривалась как внешняя категория; данный
параграф будет посвящен изучению «той же самой» категории,
рассматриваемой как внутренняя категория в <§. Из леммы 6.22
сразу следует, что объект [п] = из &ΙΉ можно
рассматривать как индексированное объединение всех конечных
кардиналов в &", и поэтому категория Full^ ([n])r определенная,
как в примере 2.38, «интернализует» категорию Ж\с из теоремы
6.29 в том смысле, что для любого объекта X из <§ (внешняя)
категория Х-элементбв из Full^ ([n]) изоморфна категории
{<o/X)ft:. Будем писать Efln вместо Full^ ([n]); из теоремы 6.29
следует, что Еца на самом деле является внутренним топосом
в (§ (оставляем точное доказательство этого читателю!).
В данный момент кажется удобным ввести соглашение об
обозначениях, значительно упрощающее выражения, с которыми
мы должны будем работать в этом и последующих параграфах.
Это соглашение состоит просто в том, что когда мы работаем
в 5л?р/<§° для некоторого фиксированного %>', мы больше не
различаем объект X из (§ и соответствующий «постоянный объект»

200
ГЛ 6 ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
f*X в if-топосе [&'->-&'), если это не требуется для устранения
двусмысленности. (Это можно считать аналогичным соглашению,
по которому отождествляют элемепт а кольца А с элементом
а ■ 1В в произвольной Л-алгебре В.) Так, например, объект из
&/N, до сих пор обозначавшийся (N*X)[n\ будет далее
обозначаться просто Х[п1.
6.31 Лемма. Пусть <§ и ST—топосы с объектами
натуральных чисел, а Т: <g-*■ ST — точный функтор. Тогда Τ^Ε^η) — Efln.
Доказательство. Из утверждений 6.22 и 6.24 мы знаем,
что Τ сохраняет [п] и все конструкции, вовлеченные в
определение En,, (в частности, экспоненциал [л2/г]^1П^ ,
использованный для построения объекта морфизмов, см. пример 2.38). С
6.32 Предложение. Имеется эквивалентность категорий:
#~Flat(EHn,#).
Доказательство. Если дай объект X из <%, то
определим предпучок НХ на Еп„ равенством
(ΗΧΰ-+Ν)=Χ1η1
с действием категории Efln, заданным внутренним отображением
композиции
в S'/N'X.N. Тогда можно легко увидеть, что {/-элементы из НХа
(соответственно из HXt) соответствуют морфизмам [р] -»- X
(соответственно коммутативным треугольникам
ω * χ)
в &"/и, где ρ и q — произвольные натуральные числа в &Ш.
Поэтому, чтобы проверить, что НХ фильтруется, достаточно
показать, что <ofc имеет конечные пределы, а функтор включения
<OfC -»- (§ их сохраняет. Теперь должпо быть ясно, что теорема
6,29 влечет справедливость первой половины этого утверждения.
К несчастью, нельзя прямо вывести его вторую половину, если
& не окажется булевым. Однако то, что начальный объект и
коироизведения сохраняются, сразу следует из утверждений (i)
и (iii) теоремы 6.23. Доказательство того, что сохраняются ко-
^равнители, представляет собой бесхитростное, но достаточно
утомительное рассуждение по индукции, подобное рассуждению
из 6.26 (iii). Таким образом, НХ является плоским предпучком
на Efln.

6 3. КЛАССИФИКАТОР ОБЪЕКТОВ
201
Обратно, пусть S является плоским предпучком на Eflll, и
предположим, что V(S) получается подъемом S0-+N вдоль
S0 Ε · °Р
1 "-*" N. Тогда, если применить стирающий функтор <% fin -*■
-+&ΊΝ к изоморфизму S ^Y(Etin)<g)EtinS, то получим
(S0-+N)^G®vtinS,
где TV—> Efin— профунктор из дискретной категории N в Efln,
полученный «стиранием» левого действия категории Efln на
профунктор Йоиеды 7(Еп„). Но теперь нетрудно увидеть, что G =
Ε
= i?(so)[n', где R: <%lN -*-8 tin сопряжеп слева к
стирающему функтору, а поскольку S плоский, функтор (—)® S
сохраняет возведение в степень, являющуюся конечным кардиналом,
по лемме 4,32 и предложению 6.24. Поэтому
(Sf>-^N)^(R(so)®S)ln'1 ^ V(S)ln\
и мы можем изгнать отображения Еп„-действия из всех
вышеприведенных эквивалеитностей и, таким образом, расширить все
рассмотренные изоморфизмы в &IN до изоморфизма S^ Η(V(S))
Ε °Ρ
в (§ tin . Но ясно, что для любого X ■& (§ имеем У(ЯХ)^Хи°л =*
^ X, так что Η и V определяют требуемую эквивалентность
категорий. Π
6.33 Теорема (Рейт). Существует такая внутренняя
диаграмма U на Efln, что функтор
%W/g (У, ^Efin) _* У; g~g* (U)
является эквивалентностью категорий для любого <о-топоса У.
Иными словами, с? η (который отныне обозначается <£[U])
представляет собой классификатор объектов для £ор/<§° (см.
пример 4,37 (iv)). Более того, общим объектом U является
«функтор включения Efln -»- <g°», определенный, как в примере 2.38,
Доказательство. Пусть У-*-<& является <§°-топосом.
Тогда имеем следующие эквивалентности:
£oip/# (У, $ [С/])~ Flat (/*Efin0p, У) (в силу теоремы 4.34)
^ Flat (Ffi„op, У) (в силу теоремы 6.31)
^ У (в силу предложения 6,32).
Эти эквивалентности естественны в У, так как из предложения
6.24 следует, что функтор Н, определенный в доказательстве
предложения 6,32, коммутирует с функторами обратного образа.
Таким образом, остается только обосновать последнее
утверждение данной теоремы, что сводится просто к проведению про-
функтора Йоиеды F(Efln) через эквивалентность теоремы 6,32.

202
ГЛ 6 ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
На самом деле, мы находим, что F(F(Enn)) является предста-
внмой диаграммой R(so), которая, как легко увидеть,
изоморфна функтору включения из примера 2.38. Π
Обозначение <§°[С/], восходящее к Рейту, умышленно
выбрано так, чтобы напоминать обозначения, употребляющиеся для
колец многочленов, ибо понятнее думать о &[17] как о
«свободном <??-топосе, полученном присоединением неопределенного
объекта U». В некотором смысле объекты из <о[Щ можно
рассматривать как «многочлены в U с коэффициентами в <%ι> (см. [58]).
Если X— объект <§°-топоса #", то будем писать 0r-^>-S\U\
вместо геометрического морфизма, который его классифицирует,
а если Τ — объект из <§°[С/], то будем писать Τ ® Χ вместо
объекта из #", классифицируемого композицией
т. е. вместо объекта Х*(Т). В частности, взяв #~=«¥'[Е/], имеем
бифунктор ®: &"[U] X <о[Щ -»- <£Г[С/]; по определению ясно, что
этот бифунктор ассоциативен (с точностью до канонического и,
следовательно, согласованного естественного изоморфизма) и что
общий объект U является ддя него двусторонней единицей (опять
с точностью до согласованного изоморфизма). Поэтому («?[£/],
®, U) представляет собой моноидальную категорию ([CW],
с. 158).
6.34 Следствие. Пусть &" — топос с объектом
натуральных чисел. Тогда следующие понятия эквивалентны (в том
смысле, что они определяют эквивалентные категории):
(i) объекты из i?[U], т. е. внутренние диаграммы Τ на ЕПп;
(ii) левые плоские профункторы Енп ·> Енп (см.
предложение 4.39);
~т
(in) геометрические морфизмы &" [U[->-g? [U] над &;
(iv) естес%венные эндоморфизмы стирающего функтора
(£ор/£?)ор -»-©at, т. е. семейство функторов Τ$-: 5Г—>-&~ для
каждого <§-топоса &", так что диаграмма
7> / t
У ><$
коммутативна с точностью до согласованного естественного изо-
g
морфизма для каждого 91 -*■ St~ над <§.
Доказательство, (i)^(iii) является специальным
случаем равенства &" = ^[U] теоремы 6.33, а (ii)^ (iii) — особый
случай предложения 4.39. По поводу (i) —(iv) предположим, что

6.3. КЛАССИФИКАТОР ОБЪЕКТОВ
203
дан объект Τ из <S"[t/]. Тогда можем считать, что Т&-
является функтором X >— Τ (g) Χ, и естественность стала очевидной.
Наоборот, если дан естественный эндоморфизм (2"gr) как
указано в (iv), то свойство естественности означает, что он
канонически изоморфен эндоморфизму, который индуцирован объектом
Τgm(U)ns &[1Г\. □
6.35 Замечание. Пусть (Еп„)2 является категорией
(внутренней) морфизмов из Efin, построенной, как в упражнении 2.3.
Тогда рассуждения, подобные тем, которые проводятся в
предложении 6.32 и теореме 6.33, показывают, что топос &" ш =
= <о[иг->-и2] является классификатором морфизмов для £ор/<§°
в том смысле, что для любого с?-топоса &~ выполняется
(детали доказательства можно найти в [58], теорема 6.5)._Более
того, нетрудно проверить, что геометрические морфизмы ΕΛ, Г72:
&\Ui ->■ Uг] -»- <§°[?7], классифицирующие область определения и
область значения общего морфизма, как раз индуцированы (как
в следствии 2.35) внутренними функторами д0, dt: (ЕПп)2 -»- Ел„,
построенными в упражнении 2.3.
Если теперь образовать подъем диаграммы
Ι ι
Τ
S{L\—>L'J L- ^[L·]
в 33£ор/<?Г (см. следствие 4.48), то получим, очевидно, топос
%> \ϋι -»- t/2 -»- С/3], который классифицирует в <§°-топосах пары
морфизмов, способные образовывать композиции. С еще более
общих позиций можно легко увидеть, что любую конечную
внешнюю категорию D можно выразить как копредел конечной
диаграммы в ©at, вершины которой представляют собой копии
категорий 1, 2 и категории 3 «коммутативного треугольника»;
поэтому путем образования предела соответствующей диаграммы в
Жоу/З с вершинами <Г[Е/], ^[С/, ->- С/2] и S,[Ul -+U2-+ U3] для
диаграмм вида D в <§°-топосах получим классифицирующий топос
8[Щ. □
Теперь вернемся к проблеме определения по рекурсии
объектов из S'/N, которой мы касались в § 6.1. Как мы там
увидели, существенно, чтобы «процесс», используемый нами для
построения новых объектов из старых, должен был быть
совместим с внутренней структурой топоса &". Один (весьма сильный)
способ истолкования этого требования состоит в том, чтобы Τ

204
ГЛ. 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
был эндофунктором топоса &", который естественным образом
расширяется до эндофунктора любого <§°-топоса; т. е. должен
быть естественным эндоморфизмом из (£ор/<§°)ор -»- ©at, как
описано в 6.34 (iv). (Кстати, заметим, что любой такой Τ является
сильным функтором, так как он естественно расширяется до
<§°-топосов вида <§ΙΖ, и, следовательно, применяя функтор
Τ(8ΐγΧ) к общему морфизму (ΥΧ)*Χ -»(ΥΧ)*Υ в &ΙΥΧ и
рассматривая результат как глобальный элемент из (YX)*(TYT*),
можно получить Тх Υ: Υχ -»- ΤΥΤΧ. Поэтому к таким функторам
Τ определенно применима теорема 6.19 о единственности.)
Но если мы требуем, чтобы Τ имел такую форму, то теорема
существования, которую мы стремимся доказать, может быть
сформулирована следующим образом в терминах
классифицирующих морфизмов: если дана любая диаграмма &—>-& [U] _>.
-+<?)[U] в £ор/<§°, то существует такой геометрический морфизм
<8{Ν -*- & [U], что диаграмма
коммутативна с точностью до изоморфизма. Непосредственно
очевидно, что эта диаграмма подобна диаграмме из
определения 6.11.
На самом деле мы будем доказывать более сильный
результат: а именно, что &/N является объектом натуральных чисел
(в смысле 2-категорий) в полной подкатегории 2)£ор/<?Г
категории £ор/<?Г, объектами которой являются топосы вида Ж , Се
ecat(^f). Можно, действительно, показать, что S/N
представляет собой объект натуральных чисел в большей 2-категории
SSop/if ограниченных ^-топосов, определенной в дополнении
4.48, но доказательство этого требует усиления предложения 4.39
для получения «описания профункторов» из Ζϋ^/8{θ~, !?) для
произвольных ограниченных ^f-топосов SF и &. Детали этого
усиления достаточно сложны, и поэтому они здесь не
приводятся. Интересующийся читатель может обратиться к [58],
предложение 3.2.
Пусть С — внутренняя категория в %>. Теперь роль
предложения 4.39 состоит в том, чтобы свести проблему построения
«и-й итерации» геометрического морфизма &-*■<£ над 8 к
проблеме построения «и-й тензорной степени» профунктора
С—> С. Два следующих предложения посвящены этому
построению. Во-первых, рассмотрим случай дискретной категории
SIN ■
6XVY

6 3. КЛАССИФИКАТОР ОБЪЕКТОВ
205
C = (C^Cj; в этом случае просто имеем Profg> (С, С) = $1С X
ХС а ®0 отождествляется с Хс (мы пользуемся
соглашением из определения 2.11 об интерпретации последнего
символа). Кроме того, профунктор Йонеды Υ (С)
отождествляется с диагональю С —*■ С X С.
Пусть ρ — натуральное число в &". Тогда равенства sp ■=>
= so+p = p + so дают с помощью теоремы 6.23 (ш) две
различные декомпозиции копроизведений
М^1п[р]еф]п1.
Будем в данный момент писать μ4, μ2 вместо включений
копроизведений, соответствующих первой декомпозиции, и Vi, v2
вместо включений, соответствующих второй декомпозиции.
(Если мы отождествляем [р] с сегментом вниз от ρ для отношения
строгого порядка, то μ(, μ2, ν ι и ν2 представляют собой
пропускания соответственно морфизмов ί—*-Ν, [ρ] > *-Ν »- iV4
[ρ] > ν AT и 1 -*■ N через [sp] > >- Ν.) Тогда из ассоциативности
операции + можно легко вывести, что для любого ρ диаграмма
1 - - j>] [ρ]
Vl
Μ
1
коммутативна.
6.36 Предложение. Пусть 8 — топос с объектом
натуральных чисел, а С — объект из %>. Тогда существует
{единственный с точностью до канонического изоморфизма) функтор
<—)<">: 8/CXC-+{g/CXC)JN,
обладающий тем свойством, что для любого X 1' > С X С имеем
о*{Х<п>)^(с^СхС)
s* (Х<»>) &. Х<»> ХД-ХХ СХ<">.
Доказательство. Поскольку i —*■ N -«— N является ко-
произведением, Х{п) можно определить заданием отдельно двух
объектов o*(Z<n>) и s*(X<n>). Положим, что первый есть Δ,
4>л]-

206
ГЛ 6 ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
а второй — уравнитель в S/N морфизмов
Xlsn] ~^^
причем проекции s*(X<n>)-+ С X С индуцируются композициями
T£[Srt]
■Vl
■С
[sri] .
vlsn] с г
•>Си X[sn] -?-»■ C[sn] »· С
соответственно.
Тогда первый из изоморфизмов в формулировке предложения
оказывается тривиальным. Чтобы установить справедливость
второго, заметим сначала, что
(so)* (Х<п>) е* eq (X[so] zt cl"]) = Щ (x =£ 1) = x = x XCA^AXCX ,
а затем—что (ss)*(X<n>) можно (используя коммутативную
диаграмму, непосредственно предшествующую доказываемому
предложению) выразить как уравнитель диаграммы
Xlsn] χ X
С["' χ С
С[и1 χ С
С1"' χ С
который, как легко видно, представляет собой s*(X<n))X CX-
Аналогично можно получить изоморфизм (ss)*(X<K))^ XX с s*(X<n)).
Доказательство единственности Х<п> получается, конечно,
применением идей теоремы 6.19. К несчастью, функтор (—)Х сХ
не является в общем случае сильным, как функтор SIC XC-+
-»- SIC X С, но он обогащен над S, и, следовательно, Х(п> можно
выразить как единственное решение рекурсивной проблемы в S'.
Остальные детали не вызывают затруднений. Π
Пусть теперь С — произвольная внутренняя категория в S
и С—>С — профунктор. В диаграмме
ЛГ.Х<.Г.ХГ„ЛвХ(оАГ0
:Х„х(.А»х г.А'о Г~> <* ®СА), х г.* о
*.*сЛхс.(*®с V). =U ^XfJ^cfl.
(.Y®rA®rA\

6.3. КЛАССИФИКАТОР ОБЪЕКТОВ
207
которую мы использовали в предложении 2.43 для
доказательства ассоциативности операции (8>с , строки и столбцы являются
на самом деле рефлексивными коуравнителями, причем
расщепления индуцируются включениями тождеств из С. Таким
образом, по лемме 0.17 (Х®сХ®сХ)о можно вычислить как
коуравнитель единственной пары
1 х я х я
Апхг С. х,- А А χ ,- С, х,- А п ». А п х г А п χ ,- А п,
О Со 1 Со О Со 1 Со о и Со υ (-о и'
где α и β являются левым и правым действиями С на Х0. Все
это обосновывает построение, используемое в следующем
предложении.
6.37 Предложение. Пусть & — топос с объектом
натуральных чисел, а С — внутренняя категория в %>. Тогда
существует (с точностью до канонического изоморфизма) функтор
(-)®n: Vxoiig (С, C)->Prof^ (С, C)/N,
обладающий тем свойством, что для любого профунктораС >С
o*{X®n)^Y(C) и s*(X®n)^X®n®cX^X®cX®n
(следует отметить, что объекты из Prof g (с, C)/N можно
также рассматривать как профункторы N*C >7V*C в
&/N либо как профункторы СХ N >С или С *~CxN
в Ж, где N рассматривается как дискретная внутренняя
категория).
Доказательство. Как и раньше определим Xе" в два
этапа: о*(Xе") = Y(C) и (s*(X9n) )<, является коуравнителем в
#/С, X С„ X N для
^,Χγ,,^,χ,,,Υ,.)"0 ""'" >X»Xc,So(
<*><,ЛгЧЛ> -^-^^ *0<и> *<■„*.
где вертикальная стрелка слева строится рекурсивно с
использованием метода леммы 6.18 для задания морфизма
Δ -> HomCo (Х0 χ Cq (С, XСо Х0)<«>, (Х0 χСо Сх)<»> X с„ Х0).
(Здесь Нотс (X, —) обозначает функтор, сопряженный
справа к (—) Хс Х% т. е. замкнутую структуру моноидальной
категории (<^/С0 χ С0, ХС,А); ее можно рассматривать как
частный случай бизамкнутой структуры на бикатегории ^tofg-
(см. следствие 2.49)).

208
ГЛ 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Левое и правое действия категории С на Хвп очевидным
образом индуцируются посредством α и β.
Доказательство того, что Хвп удовлетворяет заданным
данным о рекурсии, аналогично рассуждению, приведенному в 6.36,
причем лемма 0.17 используется, как уже отмечено, в качестве
индуктивного шага, и доказательство единственности аналогично
тому, которое приведено в 6.36. □
6.38 Теорема (Джонстон — Рейт). Τ опое <SI~N является
объектом натуральных чисел в 2-категории 3>£ор/<?Г.
Доказательство. Предположим, что заданы морфизмы
& -^ ST -^ ST над &, где ST = & . Тогда в силу предложения
4.39 t можно представить левым плоским профунктором
τ
С—> С. Рассмотрим профунктор 71®". Покажем, что Твп
плоский слева и поэтому определяет геометрический морфизм
ST/N -» ST/N над S/N или, эквивалентно, Τ/Ν -*■ Τ над <g. Для
этого достаточно показать, что если имеется конечная
диаграмма в ST с вершинами (Va]a^ А), то каноническое отображение
(HmaVa\ (g>c Т&п~+ Hma (Та ®с Т&п)
является изоморфизмом в ST/N. Но для того чтобы это показать,
используем то, что (—) ®с Τ обогащен над & и точен слева.
Это используется для построения глобального элемента из
limc Iso ((lime Va) <8>c T®n, lima (Va ®ΐ Τ^))
в SIN по методу леммы 6.18, и можно легко увидеть, что
транспозиция этого элемента должна действительно быть
каноническим отображением.
Теперь пусть / — геометрический морфизм, полученный
композицией
x/N t®n
&/N—+ 3Γ/Ν—+3Γ,
где ίφη — морфизм, соответствующий Т®п, а χ/Ν — подъем χ
вдоль SIN -»- &. Тогда из предложений 4.39 и 6.37 легко следует,
что диаграмма
<? - ► S'N ! ► SiN
^\ ι г
ψ ■* .ψ
коммутативна с точностью до изоморфизма. Но в силу
утверждения единственности в предложении 6.37 эта диаграмма на

6 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
20»
самом деле определяет / с точностью до канонического
изоморфизма. □
6.39 Следствие (теорема о рекурсии). Пусть %> —топос-
с объектом натуральных чисел, X — объект из &, а Т —
натуральный эндоморфизм стирающего функтора (£ор/<?Г)ор -»- ©at.
Тогда существует {единственный с точностью до канонического'
изоморфизма) объект F из S/N, удовлетворяющий данным о·
рекурсии
o*F^X, s*F^Tg/N(F).
Доказательство. Следует в теореме 6.38 взять <£" =
= #[£/]. □
6.4. Алгебраические теории
Одно из наиболее важных применений аксиомы
бесконечности в классической теории множеств состоит в построении
свободных алгебраических структур. Поэтому не удивительно, что
и в теории топосов именно существование объекта натуральных
чисел открывает дверь в универсальную алгебру. Мы начнем с
теоремы, которая восходит к Миккелсену и неявно содержится-
во многих уже доказанных результатах, однако мы
воздерживались от ее явного доказательства до настоящего параграфа.
6.41 Теорема. Пусть & — топос и пусть mon(^f)
обозначает категорию моноидов в &. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
(i) & имеет объект натуральных чисел.
(ii) Имеется функтор, сопряженный слева к стирающему·
функтору U: топ(<??)->- g".
Доказательство. (i)=*-(ii). Пусть X — объект из &.
Рассмотрим объект MX = ΣΝ(ΧΜ); покажем, что он является
носителем объекта свободного моноида, порожденного объектом X.
Единица этой моноидной структуры на MX задается подъемом
1 ^ Д'1"1 ► MX ,
I »/V
а умножение — подъемом
MX-к MX ΖΣΝΧΝ(Χ1"'Λ + ''^) = ►ΜΛ-
Νχ Ν *Ν

210
ГЛ 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Поскольку эти квадраты декартовы, драграммы
ассоциативности и единицы для (MX, m, е) немедленно следуют из
соответствующих диаграмм для моноида (N, +, о).
Единица сопряжения (М —| U) получается подъемом
д- > γ(»ι 11 »мх
1 у N
Для получения коединицы допустим, что (G, р, /)' является мо-
ноидом в 8. Нам следует определить (морфизм MG —* G в 8,
или, эквивалентно, G[nl -*■ G в ^f/iV, или, эквивалентно, глобаль-
лый элемент из G в <?T/iV. Для построения последнего ис-
лользуем метод леммы 6.18 и данные
1_Х> G ^ G(Gi-i) ~ o^G^'"1))
и
G<*"'>_^G(№.»xG ~s*(G(Gr^
где транспозиция морфизма θ представляет собой композицию
G'c'"'>xG'"'xG """■'"■GxG-^G
Теперь простой индукцией можно показать, что ε0 является
гомоморфизмом моноидов и что η и ε удовлетворяют
треугольным тождествам.
(ϋ)=*-(ί). Пусть (М, то, е) —свободный моноид,
порожденный объектом 1. Покажем, что J№ = 1 π Л!j откуда в силу
следствия 6.15 следует требуемый результат.
Пусть 1 -> Μ — включение (т. е. единица сопряжения) и
определим s как композицию
Μ = Мх 1 —Х-^ МхМ-^ Μ .
Теперь определим μ как композицию
(1 и Μ) χ (1 и М) s IuMuMu(MxM) ► 1 u M

f 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
211
Легко проверяется, что (1 π Μ, μ, νχ) —моноид, что ί Ι: 1 π Μ->-
—*■ Μ — гомоморфизм моноидов и что 1 и Μ — свободный моноид
с порождающим 1 —* 1 π Μ. Поэтому I ) — изоморфизм.
На самом деле, конечно, из построения, использованного в
первой части, очевидно, что Μ сам является объектом
натуральных чисел, но трудно дать этому прямое доказательство. п
Раз у нас имеется функтор свободы для моноидов,
непосредственно возникает задача построить функторы свободы для
других финитарных алгебраических теорий. В этом контексте
мы считаем (в данный момент) удобным использовать не
«структурно-семантическое» определение алгебраической теории,
введенное Ловером в [176], а старое «универсально-алгебраическое»
определение теории в терминах специального представления
операциями и равенствами (см. [180]). (Вскоре мы окажемся в
состоянии ввести новое определение алгебраических теорий,
идущее от Рейта [58] и более удобное для использования в
контексте теории топосов.)
Финитарная алгебраическая теория, таким образом, состоит
из множества операций, каждая из которых помечена
натуральным числом, или «числом мест», вместе с множеством
финитарных равенств между ними. Будем говорить, что теория конечна
представима, если оба этих множества конечны. Если Τ — такая
теория, в Ψ — категория с конечными произведениями, то под
моделью теории Τ в & мы имеем в виду объект М, снабженный
морфизмом ам: Мт -*■ Μ для каждой то-местной операции α
теории Т, так что каждое равенство теории Τ приводит очевидным
образом к коммутативной диаграмме в Ψ. Будем писать Τ (β)
вместо категории Т- моделей в Ψ.
6.42 Лемма. Пусть &" — декартово замкнутая категория,
а Т—финитная алгебраическая теория. Тогда стирающий функ-
и
тор Τ {Щ —*· <S гадает рефлексивные коуравнители.
Доказательство. Пусть X ^t Y — рефлексивная пара
8
h
гомоморфизмов Т-модели, а Υ —* Ζ — их коуравнитель в 8.
Индуктивно применяя упражнение 0.1, выведем, что Xm^Ym-*-
—*■ Zm является коуравнителем для любого натурального числа
тп, и потому имеется единственный способ определения
структуры Т- модели на Z, превращающий h в гомоморфизм Т-
моделей. Ясно, что h является коуравнителем / и g в Τ (<??). π
Ясно также, что стирающий функтор Τ (<??) -*■ & отражает
изоморфизмы; поэтому, если можно построить функтор,
сопряженный к нему слева (т. е. функтор свободы Г- моделей), то
из теоремы 0.13 будет следовать, что Τ {&) является монади-
ческой над <§.

212
ГЛ. 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
6.43 Теорема (Лесафр [78]). Пусть & — топос с объектом
•натуральных чисел, α Τ — конечно представимая конечная
алгебраическая теория. Тогда
(i) Существует функтор свободы <%-+Ί {<%).
(Li) Τ (<S) является монадической над <§.
(iii) Τ (β) имеет конечные копределы.
Доказательство. Уже было отмечено, что (ii) следует
из (i) леммы 6.42 и теоремы 0.13, a (iii) аналогично следует
из (ii) и теоремы Линтона (0.16).
Чтобы доказать (i), рассмотрим сначала случай, когда Τ
является свободной теорией, порожденной конечным множеством
А = {(Xi, α2, .. ·, От) конечных операций. Как обычно,
отождествляем А с т-кратным копроизведением копий объекта 1 в &
ж записываем А -> TV вместо морфизма, индексирующего
каждую операцию числом ее мест. Теперь пусть X — любой объект
из &, и рассмотрим свободный моноид Μ {Α π X), который
можно представлять как множество всех слов в алфавите aj и
элементов объекта X. Нетрудно увидеть, что М(АпХ) имеет
структуру Т- моделей, причем операции определяются подобно
тому, как в структуре моноидов на MX; чтобы получить
свободную Т-модель на X, нужно уметь идентифицировать подобъект
из Μ (Α π X), состоящий из правильно построенных слов, т. е.
таких, в которых каждая операция применяется в точности к
положенному для нее количеству аргументов.
Для этого определим морфизм
prs: Μ (Απ Χ)-*Ω X TV,
который «разбирает» слово как последовательность правильно
построенных слов следующим образом: сначала определим, что
•отображение предшествования TV —»· TV представляет собой TV s=
si 1 π TV »- TV, а отображение вычитания TV χ TV —* TV
представляет собой морфизм, экспоненциальная транспозиция которого
1 jy _^ pN
удовлетворяет данным о рекурсии 1 -» /νΛ "-* /νΛ. [Следует
отметить, что — (q, r) = r— q, если q ^ r; — (q, r) = 0, если q > г.]
Пусть θ обозначает композицию
ΩχΝχΛ (7" ^νΩχΝχΝ-^^ΩχΩχΝ-^ΩχΝ
тде Φ: ΝΧ.Ν -»- Ω является классифицирующим отображением
(πι·+)
■отношения порядка TVxTV> >- TV X TV. Теперь определим
элемент объекта (Ω X TV) п из &/N, используя метод

6.4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
213
леммы 6.18 и данные
ΩχΝϊ ο,((ΩχΛ')ιΜ,,ϊ )
ж
(Ω χ .Υ)"""1"' x(AuXpx(AuX)-^nxNx{Au
Χ)
S (ΩχΛ'χ^)υ(ΩχΝχ Χ)-
( β )
*ΩχΝ
Транспозиция этого элемента дает морфизм (А π Ху ->
—>■ Ω X TV в df/iV и, следовательно, морфизм Μ (А пХ) —* Ω Χ Ν
в «If.
Определим FX декартовым квадратом
FX
-+ I
/
(!.«>»
->Ωχ/ν
М(АиХ)-
тогда просто проверить, что структура Т-моделей на Μ {Ατι X)
ограничивается до единицы на FX, что включение Х—*АпХ~*
—>М(АпХ) пропускается через FX и что любой морфизм X -*■
-*■ Υ, в котором Υ — Τ- модель, единственным образом
расширяется до гомоморфизма FX -*■ Υ.
Теперь докажем общий случай индукцией по числу равенств
теории Т. Предположим, что Τ получена добавлением одного
га-местного равепства (f = g) к теории S, для которой данная
теорема доказана; пусть F обозначает функтор свободы S-
моделей и пусть Υ — любая S- модель. Тогда / и g можно
рассматривать как параллельную пару морфизмов Ym ^ Υ в &,
которые равны тогда и только тогда, когда Υ является Т- мо-
g ^
делью. Пусть теперь Υ —> Υ является коуравнителем
соответствующей пары F\Ym)^XY в S(<^); тогда в силу леммы 6.42
q является эпиморфизмом в <У, так как чтобы выразить его как
коуравнитель рефлексивной пары, можно использовать
существование копроизведений в %{&).
Теперь рассмотрим диаграмму
<*
->- ул

214
ГЛ. 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Так как q — гомоморфизм S -моделей, очевидно, имеем fqm —
= qf=qgr= gqm^ но поскольку q — эпиморфизм, таковым
является qm, и, следовательно, f = g, т. е. Υ — Τ- модель. Более того,
из построения немедленно следует, что любой гомоморфизм S-
моделей из У в Т-модель (единственным образом)
пропускается через q; поэтому отображение Υ >—Υ определяет функтор,
сопряженный слева к включению Τ ($")-*-S(^")· В частности,
если для некоторого объекта X выполняется Υ = FX, то Υ
является свободной Т- моделью, порожденной объектом Χ. Π
Пусть Τ — финитарная алгебраическая теория, a 2F —> & —
геометрический морфизм. Поскольку /* и /* сохраняют
конечные произведения, их можно поднять до сопряженной пары
функторов между Ί (&~) и Т(^Г). Более того, имеет место
6.44 Лемма. Пусть Τ и S" определены, как в теореме 6.43,
и пусть $-'—*· &—геометрический морфизм. Тогда диаграмма
W)-
Т(^)
в которой буквами F обозначены функторы свободы J-моделей,
коммутирует с точностью до канонического изоморфизма.
Доказательство. Соответствующая диаграмма
сопряженных справа функторов (т. е.
T(.F)-
г.
Ж) )
.?-
коммутирует по определению, поэтому требуемый результат
следует из единственности сопряженных функторов.
Из леммы 6.44 следует, что если Τ и & определены, как в
F U
теореме 6.43, то композиция функторов Τg\ &-*■!(&)—>&
продолжается, как описано в 6.34 (iv), до «естественного
эндоморфизма <?Г-топосов». Более того, этот функтор имеет
(естественную) монадическую структуру, возникающую из
сопряжения (F —\ U). В терминах следствия 6.34 это эквивалентно
приданию Τ моноидной структуры в моноидальной категории
(e?[t/], ®, U), придапию Т* монадической структуры, или
(посредством теоремы 0.14) приданию Т* комонадической
структуры. Так мы подошли к следующему определению.

6 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
215
6.45 Определение (Рейт). Пусть <§ — топос с объектом
натуральных чисел. Под {внутренней) финитарной
алгебраической теорией в <% мы имеем в виду (моноид в моноидальной
категории (&\U\ ®, U). Будем писать alg(^f) вместо категории
таких моноидов. Если Τ = (Τ, μ, η) является конечной
алгебраической теорией в &, a SF-*■ Ж представляет собой <1Г-топос,
то определим, что Т- модель в ST является алгеброй для монады
Тд-, функторную часть которой составляет Тд-. Будем писать
Τ (@~) вместо категории Т-моделей в &~. □
Преимущество этого определения по отношению к
предыдущему, «внешнему», состоит в том, что оно позволяет нам
работать с теориями, в которые «встроена» внутренняя структура
топоса <§. Например, теория колец является внешней, потому
что в области варьирования & ее операции постоянны, но если
R — конкретное (не постоянное) внутреннее кольцо в <?Г, то
невозможно аналогично описать внешними операциями теорию
-R-модулей. Однако не составляет труда так модифицировать
теорему 6.43, чтобы получить функтор свободы й-модулей, и таким
образом мы получаем описание й-модулей как алгебраическую
теорию в смысле определения 6.45.
6.46 Лемма. Пусть Ж — топос с объектом натуральных
чисел, &~-^& — Ж-топос. Тогда
(i) Если Τ — любой объект из &>\U\ то функтор Тд-: &~->-&~
сохраняет рефлексивные коуравнители.
(ii) Если Τ — конечная алгебраическая теория в &", то у
Τ {&~) имеются конечные копределы.
(ш) Стирающий функтор alg(^f)-»- <??[t/] порождает
рефлексивные коуравнители.
Доказательство, (i) Предположим сначала, что Τ
представим как внутренняя диаграмма на Efln, т. е. T — R^) для
некоторого А -> N. Тогда из доказательства предложения 6.32
легко убедиться, что Τ' g- можно описать как композицию
& *■ & Ν ► & Ν ► β" Μ *■ ,F
Теперь ко всем функторам в этой композиции, кроме
второго, имеются сопряженные справа, а второй согласно
предложению 6.25 сохраняет рефлексивные коуравнители. Поэтому
рефлексивные коуравнители сохраняются функтором Тд-.
Вообще, можно построить свободное представление объекта Τ
как алгебру для монады из предложения 2.21, т. е. диаграмму
коуравнители R^X- S ->· Г', где R и S представимы. Так как
для любого ХвУ функтор (Τ >— Ί gr (X)\ = X* сохраняет
коуравнители, по диаграмме легко показать, что Тд- сохраняет

216
ГЛ 6 ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
рефлексивные коуравнители, поскольку то же самое делают
Rap и Sep-·
(ii) Так как Ί'ар сохраняет рефлексивные коуравнители,
стирающий функтор Τ(^~)->·^~ порождает их, поэтому
доказываемое утверждение является простым применением теоремы 0.16.
7 h
(iii) Пусть R^XS-^T является рефлексивной диаграммой
в <^[С/]. Тогда в диаграмме
R ® R Г R ® S -К® Τ
S&R.1. I S®S »· S® Τ
г® я \t®s + т®т
строки являются рефлексивными коуравнителями в силу (i),
а столбцы являются таковыми, потому что (—)®Й = Л*
сохраняет копределы. Поэтому согласно лемме 0.17 коуравнителем
является диагональ R<g)R=£S<g)S->-T<giT. Теперь так же,
как в лемме 6.42, если R и S — ® -моноиды, а / и g —
гомоморфизмы моноидов, то имеется единственная структура ®-моноидов
на Т, делающая его коуравнителем в alg(^f). □
6.47 Теорема (Рейт). Пусть <§ — топос с объектом
натуральных чисел. Тогда:
(i) У стирающего функтора alg(^f)-»- S[U] имеется
сопряженный к нему слева.
(ii) alg(^f) является монадическим над S[U].
(iii) alg(^f) является монадическим над S/N.
(iv) У alg(^f) имеются конечные копределы.
Доказательство, (i) Построение свободного функтора ®
-моноидов в точности аналогично построению из теоремы 6.41 за
исключением того, что функтор (—)[nI заменяется функтором
(—)βη, определенным в предложении 6.37. Детали
доказательства оставляем читателю.
(ii) и (iv) следуют из (i) и 6.46 (iii) так же, как
соответствующие утверждения теоремы 6.43, a (iii) следует из (ii)
и предложения 2.21, так как объектом объектов из ЕПп является
N и предположения грубой теоремы о тройственности устойчивы
относительно композиции. С
В 6.47 (iii) мы возвращаемся к идее представления теории
в терминах объектов операций и равенств, индексированных над
N. В частности, если Τ — свободная теория, порожденная
объектом [Α-*~Ν\ из SIN, a X— объект из S, то находим, что

6.5 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
217
структура ЧГ-модели на X эквивалентна морфизму
ΣΝ(ΧΜΧ4)-+Χ
в Ж, т. е. «^-индексированному семейству конечных операций на
X». Еще один путь интернализации понятия конечной
алгебраической теории мог бы состоять в том, чтобы взять определение
Ловера [176] и непосредственно перевести его на язык теории
«at(ef), заменяя категорию конечных множеств внутренней
категорией Efln. Можно показать (см. [58]), что этот процесс
влечет категорию алгебраических теорий, которая согласно
определению 6.45 эквивалентна alg(^f).
В заключение следует сделать несколько замечаний
относительно возможности распространения идей этого параграфа на
яефинитарные теории. При попытке это сделать немедленно
возникают три трудности: первая и, возможно, наиболее важная
состоит в том, что модели таких теорий обычно не сохраняются
функторами обратного образа. Вторая связана с тем, что
перестают быть применимыми наши рассуждения, касающиеся
рефлексивных коуравнителей. Третья проявляется в том, что
развитые нами методы рекурсии над N обычно оказываются
недостаточными для построения свободных функторов. Однако в этой
области достигнут некоторый прогресс. В частности, Паре [97]
показал, что если Τ — свободная теория, порожденная
единственной «/-местной операцией» (т. е. морфизмом X1 -»- X для
некоторого фиксированного объекта / из Ж), то в любом топо-
се %> с объектом натуральных чисел можно построить функтор
свободы Т- моделей.
6.5. Геометрические теории
В последнем параграфе было показано, как создать
универсальную алгебру способом, который является истинно
«внутренним» по отношению к произвольному топосу с объектом
натуральных чисел. Однако в математике нам часто приходится
рассматривать объекты, структура которых не является чисто
алгебраической, т. е. структура определяется формулами, которые
не являются простыми равенствами. Хороший пример
представляет собой теория локальных колец, которая играет решающую
роль в алгебраической геометрии.
6.51 Определение. Пусть %> —топос, А— внутреннее
(коммутативное) кольцо в &". Будем писать о, е вместо нуля
и единицы кольца А, а Г4> *■ А вместо группы единиц из А,
т. е. расширения формулы За'. (а.а' = е). Будем говорить, что
А является локальным кольцом, если
(i)#H-|(0=e)
и
(ii)^h(ae ГГ4"1 у (е — а) е= ГГАп).

218
ГЛ. β. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Говорят, что гомоморфизм колец А -*- В между локальными
кольцами является локальным^ если квадрат
ΎΑ '- > Уй
декартов. □
Поскольку свойство быть локальным кольцом выражается
формулами из Lg, ясно, что оно сохраняется логическими
функторами. Но на самом деле формулы определения 6.51
принадлежат более ограниченному классу ((геометрических формул»,
истинность которых сохраняется функторами обратного образа.
(Чтобы убедиться в этом, следует заметить, что формула (i)
о
выражает, что О—>-\^£А является уравнителем, а формула (ii)"
выражает, что морфизм ТА ц ТА —>■ А является эпиморфизмом,
но функторы обратного образа сохраняют 0, копроизведения и
эпиморфизмы так же, как и конечные пределы.) Легко,
например, вывести, что в топосе пучков на топологическом
пространстве кольцо является локальным тогда и только тогда,
когда каждый его слой образует локальное кольцо в 9*.
Чтобы формализовать введенное выше понятие
«геометрической формулы», сначала опишем понятие конечного
геометрического языка (также называемого положительным языком
первого порядка), в котором мы сможем выразить понятие
«конечной геометрической теории». Описываемый язык отличается от
того, который введен в § 5.4, тем, что он строится абстрактно,
а не над конкретным топосом S". Однако наш опыт с языком
Митчела — Бенабу позволит, тем не менее, вводить
геометрические языки'более быстро и кратко, чем пришлось бы делать
в противном случае.
6.52 Определение. Конечный геометрический язык J_,
состоит из:
(г) множества типов Χ, Υ, Ζ, ...;
(ii) множества примитивных функциональных символов
α, β, ...; каждый функциональный символ имеет сигнатуру,
являющуюся парой (Χ; Υ), в которой Χ =(Χι, Хг, ■ ·., Хп)
представляет собой конечную (возможно пустую) строку типов,
a Y — тип;
(ш) множества примитивных символов отношений г, s, ...,
каждый из которых снабжен сигнатурой X, представляющей
собой строку типов;
(iv) термов каждого типа, определяемых следующим
образом:

6.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
219
(а) для каждого типа X имеется запас переменных х, х',
_ (Ь) если а — функциональный символ сигнатуры (Χ; Υ) и
τ=(τι, τ2, ..., τη)—строка термов, относящихся к типам Xt,
Х2, ..., Х„_(которую мы будем нестрого называть «термом типа
X»), то α(τ) является термом типа Υ;
(ν) формул языка |_,, определяемых следующим образом:
(a) имеются два атомарных предложения «истина» и «.ложъь;
(b) если σ и τ —два терма одного и того же типа, то σ = τ
является формулой, _
(c) если г — отношение сигнатуры X, а τ — терм типа X,
то г (τ) — формула,
(d) если Φ и ψ — формулы, то £> Л Ψ и Φ V ψ также
являются формулами,
(e) если £> — формула, а х — переменная, то 3x0 является
формулой. Π
Следует отметить, что язык L не содержит символов "~\f
=*- и V; это вызвано тем, что функторы обратного образа в
общем случае не сохраняют интерпретацию этих символов bLg.
6.53 Определение. Пусть J,— конечный геометрический
язык, а & — категория с конечными произведениями. Под
интерпретацией языка L в Ж будем понимать функцию,
приписывающую каждому типу X из \, объект_ Мх из <§, каждому
функциональному символу α сигнатуры (Χ; Υ) морфизм
Μа: ΜΊ = Π Μχί) » Μγ
и каждому символу отношения г сигнатуры X — подобъект
Мт> *■ Μ γ. Морфизм интерпретаций /: Μ -»- TV состоит из
морфизма/х:Л/л;->-./Ул; для каждого X, так что диаграмма
fx
коммутативна для каждого а, и Мг> »- Μ γ —* Ν-^ пропускается
через Nr) *■ Ν γ для каждого г. Таким способом получается
категория L(^) интерпретаций языка JL в &, и если Т: $> -*■
-*■ 3~ — функтор, точный слева, то ясно, что он индуцирует
функтор L(^)-^L(^)· □
Предположим теперь, что дана интерпретация Μ языка L
в топосе & (или, в более общем случае, в любой регулярной
категории с универсальными конечными объединениями лодобъ-

220
ГЛ. 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
ектов; см. [RM]). Тогда мы можем поступать, как в определении
5.42, и интерпретировать каждый терм типа Хв L как морфизм
с областью значений Мх, а каждую формулу Φ со свободными-
переменными (xi( х2, ..., хп) — как подобъект
Μ > >f[Mx..
(В частности, мы интерпретируем «истину» и «ложь» как
максимальный и минимальный подобъекты объекта 1; предикат
равенства интерпретируется как диагональный подобъект из=
Μχ Χ Мх; подстановка термов вместо переменных
интерпретируется подъемом; конъюнкция и дизъюнкция — как пересечение
и объединение подобъектов (после предварительного подъема
вдоль соответствующей проекции произведения), а квантор
существования интерпретируется образованием образов.) Более
того, если Т: & -»- ST является точным функтором (в частности,
функтором обратного образа), то он сохраняет все эти
интерпретации.
6.54 Определение (Жуаяль—Рейес). Пусть
L—конечный геометрический язык. Под секвенцией языка \л будем
понимать выражение, имеющее вид (0bijj), где Φ и ψ —
формулы из L. [Символ Ь можно читать «штопор»; он не является
символом языка L·]
Конечная геометрическая теория — это пара Τ = (][_,> А)> гДе"
L — конечный геометрический язык, а А — множество
секвенций из L, называемых аксиомами теории Т· Будем говорить,
что Τ конечно представлена, если в языке имеется конечное
число типов функциональных символов и символов отношений,
а также конечное множество аксиом.
Если Μ — интерпретация языка I, в топосе &', то будем
говорить, что секвенция (0Ь-г|з) удовлетворяется в М, если (в·
установленной выше системе обозначений) имеем М0 < М$ как
подобъекты ийМ^. (Следует отметить, что если у формул Φ и ψ
не одни и те же свободные переменные, то прежде чем
сравнивать Μ # и Λίψ, необходимо поднять их вдоль соответствующих
проекций произведения.) Будем говорить, что Μ является
моделью теории Τ = (L> ^)> если каждая аксиома теории Τ
удовлетворяется в М, и будем писать Τ (&) вместо полной
подкатегории категории 1М^П> объектами которой являются Т-мо-
дели. □
Ясно, что свойство быть Т-моделью сохраняется любым
точным функтором Т: & -»- #", и если, кроме того, Τ унивалентенг
то он также отражает это свойство.
6.55 Примеры, (i) Пусть Τ — внешняя конечная
алгебраическая теория. Ее можно представить как геометрическую
теорию следующим образом: в языке JL имеется один тип Х„
один функциональный символ α сигнатуры (Хт; X) для каждой

6.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
221
те-местной операции α теории Τ и нет отношений. Для каждого
равенства /(ж,, ..., хп)= g(xlt ..., хп) теории Τ возьмем в
качестве аксиомы секвенцию
{истина)- /(χ,, ..., x»)=g(xlt ..., χ„)).
(ii) Аналогично, как геометрические теории можно описать
многосортные алгебраические теории [58] или существенно
алгебраические теории [FK]. Однако часто оказывается удобным
вводить операцию, у которой область определения не является
просто произведением типов, не с помощью функционального
символа, а с помощью отношения вместе с аксиомами,
выражающими, что это отношение является графиком функции.
Например, теорию cat категорий (2.11) можно описать, как в [72],
как имеющую два типа 0 и 1, три функциональных символа-
d0, dt и i с сигнатурами (1; 0), (1; 0) и (0; 1) соответственно,
и символ отношения Г сигнатуры (1, 1, 1), которые
удовлетворяют аксиомам
истина Ь-й0(г(и)= и Л di(i(u)) = u,
d,(f,)=d0(I«)b3f,r(f„ Ь, f,),
Γ(ί„ f2, f,)hd„(fl)=d„(f,)Ad,(fI)=do(I«) Ad,(M=d,(M,
Γ(ί„ f2, ί.)ΛΓ(ί„ f2, U))rU = K
истина \- Г (f, i {dx (f)), f) ЛГ (i (d0 (f)), f, f),
Г (fi, fa, f4) Л Г (f2, f3, fs) Л Г (f4, fj, fβ) Λ Γ(f1( f6, f7) h *β = f 7·
Здесь и, f обозначают переменные типов 0, 1 соответственно,
(in) Очевидно, что теория локальных колец lann, как он»
определена в 6.51, имеет геометрическое представление.
Достаточно просто взять представление теории колец апп, данное
выше в примере (i), и добавить аксиомы
о = е Ь ложь
и
истина ЬЭ а'(а.а' = е) V3 а" ((е — а)а" = е).
Следует, однако, отметить, что в категории lann(^f) морфизмамж
являются не локальные гомоморфизмы, как они определены в
6.51, а произвольные гомоморфизмы колец между локальными
кольцами.
(ίν) Геометрически можно представить теорию filt
фильтрованных категорий. Три условия из определения 2.51 можно
выразить секвенциями
истина}- 3 u(u = и),
истина |— 3f i3f2 (d0 (fx) = щ /\ d0 (f2) = u2 /\ d\ (f 1^ = di (U)),
Po (f 1) = d0 (f2) Л dx (f,) = d, (f2) h 3f33f4 (Г (f u f3, f4) Л Г (f2, f„ f4)),
которые мы добавляем к аксиомам теории cat.

.222
ГЛ. 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
(ν) Пусть Τ —любая геометрическая теория. Можно
следующим образом сконструировать новую теорию Т*, моделями
которой являются морфизмы Т-моделей: вместо каждого типа X
теории Τ возьмем два новых типаХ0, X' и функциональный
символ γχ сигнатуры (Х°; X'). Вместо каждого функционального
символа α (соответственно символа отношения г) возьмем два
новых символа а0, а1 (соответственно г°, г1) и новую аксиому
истина \- yY (α° (х1( ха, ..., х„)) = α1 (γ.Υι (χ,), γχ2 (х2), . .., ухп(хп))
(соответственно
r° (х1( х2, . .., хп) 1- г1 (γΖι (хг), уХ2 (х2), . . ., уХп (х„))).
Каждая аксиома (Ф -\ ψ) теории Τ дает две аксиомы (Ф° -\ ψ°),
<( Φ1 —1 ψ1) очевидным способом. Тогда легко можно увидеть, что
для любого топоса Ж имеем Т2 (Ж) = (Т (Ж))2· а
6.56 Теорема (Жуаяль, Бенабу [8], Тьерне [119]). Пусть
Τ — конечно представленная конечная геометрическая теория,
а Ж — топос с объектом натуральных чисел. Тогда существует
<§-топос %> (Т), который является Τ классифицирующим топо-
сом в том смысле, что для любого S-топоса ST имеем
Ήθ)ί>/& (&~, $ [Τ]) ^ Τ {&")> причем эквивалентность является
естественной в @~.
Доказательство. Пусть Τ = (L> -^)· Во-первых,
следующим образом построим конечную категорию D: для каждого
типа X (соответственно функционального символа α и символа
отношения г) языка L в D имеется один объект υχ
(соответственно να и vr) и для каждого вхождения X как типа в
сигнатуру формулы α (соответственно отношения г) имеется (в
дополнение к тождественным морфизмам) один морфизм να -»- νχ
(соответственно ντ-+νχ). Теперь по каждой интерпретации Μ
языка L в топосе $Г можно перейти к диаграмме типа D в #",
которая переводит νχ в Мх, ντ в Мг и να в график морфизма
Μа. Наоборот, диаграмма F типа D изоморфна диаграмме,
построенной описанным выше спосбом, тогда и только тогда, когда
F{vr)-±flF(yx.)
является мономорфизмом для каждого г сигнатуры (Х„ ..., Хп), а
является изоморфизмом для каждого α сигнатуры (Хи . ..
• · ·, ^п! Υ)·
Таким образом, мы можем с точностью до эквивалентности
отождествить L(^~) с полной подкатегорией категории ^"D·

C.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
223
Теперь рассмотрим классифицирующий топос <S [D] для
диаграмм типа D, построенный, как показано в замечании 6.35.
Пусть F обозначает общую диаграмму типа D; тогда согласно
3.59 (i) и (iv) имеется единственная наименьшая топология j
в <?f[D] такая, что у 7-пучка L(F), ассоциированного с F,
каждый LF (vr) ->■ JJ LF {νχ^ является мономорфизмом, а каждый
LF {va)-i-\\ LF (νχ^— изоморфизмом. Более того, согласна
следствию 4.19 геометрический морфизм @~-+<£[]}]
пропускается через sh;(^f [J])])->-^f [JJ] тогда и только тогда, когда
диаграмма типа D, классифицированная посредством /,
действительно является интерпретацией языка L; поэтому &Ь.,(Ж [D]) =
= ^[JLJ является классифицирующим топосом для
интерпретаций языка L· (В образной терминологии Тьерне говорится, что
топология / заставляет F быть интерпретацией языка L·)
Пусть Μ = L(F) —общая интерпретация языка L в <?Г(][).
В общем случае Μ не будет удовлетворять аксиомам теории Тг
но мы опять можем вернуть ей это свойство, снабдив на & [JJ
подходящей топологией. В частности, для каждой секвенции
(0 Ь- ψ) в А строим диаграмму
Мф η Мф> Мф
мф> -П^,
и затем определяем, что к является наименьшей топологией в
£'(1Ь)>Для которой каждый М0 Π Μ$> ^-М0 является плотным.
Поскольку функторы обратного образа сохраняют построения
Μ ^, М* и их пересечения, опять можно легко увидеть, что
shft (& [\J) = & [J] является классифицирующим топосом для
Т- моделей, причем общая Т- модель является /с-пучком,
ассоциированным с Μ. Π
Причина, по которой мы требовали конечного представления
теории Τ в доказательстве теоремы 6.56, состояла, конечно,
в том, что мы работали с внешними геометрическими теориями.
Ясно, что следующим шагом в нашем развертывании темы
должно быть введение понятия «внутренней геометрической теории»,
подобно тому как мы в последнем параграфе интернализовывали
алгебраические теории. Мы надеемся, что теперь читатель охотно
примет по крайней мере теоретическую возможность такого
шага. Ясно по меньшей мере, что если у %> имеется объект
натуральных чисел, то можно определить «^"-представленный
конечный геометрический язык», задавая объект Τ типов, объект
F функциональных символов и объект R символов отношений,
а также морфизмы F -*■ ΣΝ(ΤίΒη}), R -*■ ΣΝ(ΤΜ), определяющие

224
ГЛ 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
сигнатуры. Тогда техника теоремы 6.43 может быть
приспособлена к построению объектов формул и,
следовательно, объектов секвенций такого языка. Так можно определить
«<?Г-представленную геометрическую теорию» и модель такой
-теории. Поскольку решетка топологий в топосе внутренне полна
(это легко выводится из следствия 3.58 и внутренней полноты
Ω°), рассуждения теоремы 6.56 можно будет использовать для
построения классифицирующего топоса такой теории, как только
мы научимся классифицировать диаграммы на внутренней
категории D. Это произойдет ниже в примере 6.60 (i).
Однако мы не будем заполнять все детали рассуждений,
представленных только что в виде наброска, в основном потому,
что полученная при этом выгода не оправдывает затраченных
усилий. Вместо этого мы обратим внимание на частный класс
классифицирующих топосов, называемых спектрами и
позволяющих строить «глобальные сопряжения» в ситуациях, в которых
обычные сопряжения могут не существовать.
Пусть Τ — геометрическая теория. Сначала построим
следующим образом «глобальную» 2-категорию Т-^ор Т-
модельных топосов: ее объектами являются пары (&, М), в которых
<э — топос, а М — Т-модель в &, 1-стрелкой (&~, L)-*-^, M)
является пара (ρ, f), в которой 'ST —>- & — геометрический мор-
физм и р*М -*■ L — гомоморфизм Т- моделей, а 2-стрелка
η
(р, /)->-(g, g) является естественным преобразованием ρ -*■ q,
так что диаграмма
р*М -+L
S Я
q*M
коммутативна. Мы обычно будем рассматривать такие Т-
модельные топосы (β, Μ), что у %> имеется объект натуральных
чисел. Будем применять обозначение T-£opjv для
соответствующей полной под-2-категории Т-категории Т-^ор.
6.57 Определение. Пусть S и Τ — две такие
геометрические теории, что Τ является частной теорией по отношению
к теории S, т. е. у этих теорий один и тот же язык и аксиомы
теории S составляют подмножество аксиом теории Т. (Это с
очевидностью влечет, что Τ (&) — полная подкатегория
категории S(^) для любого &.) Предположим далее, что дан
отдельный класс А морфизмов Т- моделей. Будем говорить, что А
является допустимым классом морфизмов (относительно теории
S), если он удовлетворяет следующим условиям:
(i) Свойство принадлежать классу А является
«геометрическим», т. е. сохраняется функторами обратного образа.

6 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
225
(ii)A содержит все тождественные морфизмы, и если име-
ется L -*- Μ ->- Ρ, причем g e А, то /еА тогда и только тогда,
когда g/<=A.
(iii) («Лемма о разложении»). Предположим, что дан мор-
фпзм S-моделей M~*-L, где L является Т-моделью. Тогда су-
ществует разложение M-*-Mf-*-L с Т-моделью Mf и/еА,
которое представляет собой наилучшее возможное разложение
морфизма / через А-морфизм в том смысле, что если дано лю-
r g
бое другое такое разложение Μ'-*■ Ρ -*■ L, то существует такой
единственный морфизм Mf-*-Ρ (в силу (ii) обязательно
входящий в А), что gh — f и hg^=r. Более того, это разложение
сохраняется функторами обратного образа. Π
На самом деле условие (i) определения 6.57 вытекает из
последнего утверждения условия (iii), ибо если применить
лемму о разложении к морфизму M-*-L, который уже входит в А,
то получим разложение М-*- М-*- L. Из (i) и (ii) следует, что
можно образовать под-2-категорию А-*ор 2-категории Т-£ор,
рассматривая только те 1-стрелки (р, /), для которых /еА
Будем говорить, что морфизм S-моделей M~*-L, где L
является Т- моделью, экстремален (по отношению к А), если / —
изоморфизм; в этой ситуации будем также называть L Τ
-частным от М.
6.58 Теорема (Коул [19]). Пусть S и Τ — конечно
представленные геометрические теории, так что Τ является частной
теорией по отношению к S, и пусть А — допустимый класс
морфизмов J-моделей. Тогда функтор включения А-2>орп->
-νΑ-ϊορ.γ имеет сопряженный к нему справа Spec: S-^opjv-»-
->■ Α-εορ.ν
Доказательство. Пусть {Ж, Μ) — S-модельная теория.
dom
Заметим сначала, что у нас имеются морфизмы <?T[S2] -*- <^(S),
классифицирующие область значения и область определения
общего морфизма S-моделей. (На самом деле ^f[S2]=>^[S]
имеет структуру внутренней категории в Ъ%щ/Ж.) Если теперь
образовать декартов квадрат
►*[!-]
3F
Ф21
dom
S a-*#[S]
■>ί
[S]

226
ГЛ 6 ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
в ЗЭЗ;о:р/<?Г, то нетрудно увидеть, что ^f-топос ST содержит общий
пример морфизма S-моделей p*M->-L, где L является Т-
моделью. Разложим этот морфизм, как в 6.57 (iii); пусть /—
топология _в &~, которая принуждает / быть изоморфизмом,
и пусть Μ обозначает /'-пучок, ассоциированный с L. Тогда
shj(^~) является классифицирующим топосом для тоорип
ΊΓ-частных от М, причем Ш является общей моделью этой
теории.
Пусть теперь (9, Р)——>(<£, М) является 1-стрелкой из
5-3>орЛт, где Ρ — Τ- модель. Согласно 6.57 (iii) q*M->-p можно
разложить так: q*M-*-Mg-*- P, где geA яг экстремален. Тог-
да г классифицируется геометрическим морфизмом 'S -*· shj (&~)
над Ж, так что r*(M)= MSl и легко проверить, что
сопоставление (q, g) ►-► (г, g) индуцирует эквивалентность категорий
5-гоЫ(3, П («·, М))ыА-Ъ01я((9, Р), (shy(5T), М)).
Более того, эта эквивалентность является естественной с
точностью до согласованного изоморфизма по всем входящим
переменным, и поэтому Spec(^f, M) = (sh}(&~), M) — требуемый
сопряженный справа функтор. п
Следует отметить, что если в ситуации определения 6.57
первая компонента разложения (согласно лемме о разложении) Μ -*■
-*■ Mf зависит только от Μ (и не зависит от /), то Mf будет
свободной Т- моделью, порожденной моделью М, т. е. М« Mf —
функтор, сопряженный слева к функтору включения А (&) ->■
—>-5(^Г). Так, если мы рассматриваем топосы как модели
«обобщенной теории множеств», то теорема 6.58 утверждает, что если
у нас не будет возможности строить свободные Т- модели,
находясь в фиксированной модели теории множеств, то мы, тем
не менее, сможем сделать это, если согласимся разрешить
изменяться как нашей теории множеств, так и нашим моделям.
Причина того, что свободные объекты оказываются в теореме
6.58 сопряженными справа, состоит в том, что, определяя 1-стрел-
ки из T-ϊίψ, мы ориентировали их в «геометрическом»
направлении, которое противоположно (двойственно)
«алгебраическому ».
6.59 Примеры, (i) «Классический» пример спектра,
послуживший основным мотивом для доказательства теоремы 6.58,
получается, если взять S = aim, Τ = lann, а в качестве А —
класс локальных морфязмов (см. определение 6.51). В этом
случае лемма о разложении доказывается следующим образом: если
дан гомоморфизм колец А -*■ L, где L локально, то образуем

6 5. ГЕОМВТРПЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
227
подъем $ ► TL
А »L
π допустим, что Aj является кольцом частных Л[5-1]. Подробное
изложение построения колец частных в топосе можно найти
в [69] и [118]; в последнем также содержится детальное
доказательство леммы о разложении. Т-частные от А являются,
таким образом, локализациями объекта А, т. е. кольцами частных
Л[5-1], где S — подобъект из А, удовлетворяющий аксиомам,
которые в булевом топосе сводятся к свойству быть дополнением
первичного идеала. Если А — коммутативное кольцо в 9*, то
можно показать, что Spec(^, А) эквивалентен (Shv(spec^l), Ά),
где spec A — первичный спектр для А с топологией Зарисского,
а Ά — его обычный структурный пучок (см. [ST], § 4.2); в то
время как давно было известно, что Ж является в некотором
смысле «свободным локальным кольцом», порожденным кольцом
А, глобальное свойство сопряженности из теоремы 6.58 было
впервые обнаружено (в этом случае) Хаким [45], и она первой
построила Spec(^f, А) для произвольного топоса Гротендика &.
Хаким также указала, что этальный топос кольца
(упражнение 11 к главе 0) является другим примером спектра в смысле
теоремы 6.58, в котором теория локальных колец заменяется
теорией строго локальных колец. Дальнейшие применения
спектров к частным теориям коммутативных колец апп см. в [55].
(п) Пусть L —геометрический язык. Говорят, что морфизм
Μ'-*- L интерпретацией языка L является вложением, если для
каждого типа X fx является мономорфизмом, и квадрат
Μ >Lr
γΓ τr
f]MY, ►ИЧ
декартов для каждого символа отношения г. Несложная
индукция тогда показывает, что если Φ — любая формула, не
содержащая 3, то квадрат ^ „ ^
Φ
\\мх, Ч
декартов; следовательно, если (0Ηψ)—секвенция языка J_,,
не содержащая кванторов, то Μ удовлетворяет секвенции (0Ь-г|з)
каждый раз, когда ей удовлетворяет L.

228
ГЛ. 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Следовательно, если S и Τ — такие теории, что аксиомы
теории Τ не содержат кванторов, то можно всегда получить
спектр, взяв в качестве А класс вложений. Для доказательства
леммы о разложении для морфизма Μ-*■ L положим, что (Mf)x
является образом (см. теорему 1.52) для /*, a (Mf)r является
подъемом Lr. Экстремальные морфизмы, следовательно,— это
такие /, что fx является эпиморфизмом для каждого X. (Этот
пример в своих существенных чертах восходит к Кеннисону [60].)
(Hi) Пусть S= cat, T = filt и возьмем А так, чтобы он
был классом кофинальных функторов (упражнение 11 к
главе 2). Тогда А обладает свойствами, двойственными
соответствующим свойствам из определения 6.57; утверждение,
двойственное свойству (ii), было установлено в упражнении 11 к
главе 2, а лемма о разложении была доказана Стритом и Уол-
терсом [115]. Таким образом, можно построить функтор
коспектра, т. е. функтор, сопряженный справа к включению
Aop-%ovN -*■ catop-£oK
где T°p-^0J) определяется как T-^oj), за исключением того,
что его 1-стрелками являются пары (р, /), в которых L—>-p*M.
Это исключает, что разложение внутреннего функтора
/ W)
C-»-D имеет вид С->£(С)—»■ D, где L(f) является
отражением функтора / в категории дискретных расслоении над D,
т. е. левым расширением по Кану вдоль / дискретного
расслоения тождества над С (см. 2.36). Поэтому экстремальные
морфизмы с областью значений D представляют собой просто
дискретные расслоения над D с фильтрованной областью
определения, т. е. плоские предпучки на D (см. определение 4.31).
Следовательно, теорема 4.34 говорит нам, что Cospec (Ж, D) ~
~(<?TD, Υ (Ό)), α
Мы заключаем этот довольно длинный параграф некоторыми
применениям^ теоремы 6.56 к проблеме построения
экспоненциалов в 2-категорни S3£op/<?f.
6.60 Примеры, (i) Ясно, что теория dofib дискретных
корасслоений (см. замечание 2.15) является геометрической, так
как ее можно представить как фактортеорию теории cat2.
Поэтому, если С — некоторая категория в £?, то подъем
rT[dofib]
<?[«»]

6 5 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
229
представляет собой классифицирующий топос для дискретных
корасслоений над С, или, эквивалентно, для внутренних
диаграмм на С.
(п) Аналогично, если даны две категории С и D, можно до-
бавить общий профунктор D —> С, а затем путем
наложения подходящей топологии можно сделать G плоским в
смысле предложения 4.39. Пусть 36 обозначает топос,
содержащий общий левый плоский профунктор; тогда для любого &-то-
поса [ST-*■ <£) имеем эквивалентности
гор/Я" (£", 36) с^. lfProV(p*D, p*C)
~ Soj)/5T (STp*c, 3Γρ*ό) (в силу 4.39)
~ Щ/& (У X s &С, 8°) (в силу 4.35),
где lfProf обозначает полную подкатегорию категории профунк-
торов, состоящую из левых плоских профункторов. Поэтому
топос 36 является (в смысле, подходящем для 2-категорий)
экспоненциалом
(ш) В еще более общем случае пусть 'S = sh/ {Ж )
является ограниченным ^f-топосом, а С — внутренней категорией в %>.
Тогда из теоремы 3.47 и предложения 4.39 мы знаем, что гео-
метрический морфизм <£—*■& над & пропускается через !?
тогда и только тогда, когда левый плоский профунктор
D >С обладает тем свойством, что (—)®\>G обращает
все /-плотные мономорфизмы. Пусть теперь 36 — %> -топос,
построенный в примере (п), /' — топология в 36 ,
индуцированная посредством /, как в примере 3.59 (ш), и d' — общий
/'-плотный мономорфизм. Тогда, если G обозначает общий левый
плоский профунктор в 36, то можно построить топологию к в 36,
которая делает d'®i>G изоморфизмом, и можно легко увпдеть,
что sh.h(36) является экспоненциалом S^ ' в £ор/<?Г. □
Однако неверно, что можно построить произвольный экспо-
пенциал в 2-категории S3£op/<?f. Причина заключается в том, что
для этого мы должны были бы иметь возможность сделать
/-плотным заданный мономорфизм т в %>, где / — некоторая
заранее существовавшая в %> топология, т. е. находить
единственную наименьшую топологию к в Ж такую, что k + j > /m, где
jm — топология, делающая т изоморфизмом. Если бы мы могли
это делать в общем случае, то из этого вытекало бы, что решетка
топологий в %> была бы гейтинговой коалгеброй (эквивалентно,
что решетка подтопосов пучков из Ж была бы гейтинговой
алгеброй). Но хорошо известно, что это не так. Контрпример
появляется ниже, в упражнении 1 к главе 7.

230
ГЛ 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
С другой стороны, Жуаялю удалось доказать одно важное
расширение примера 6.60 (in). Он показал, что если ^~ = shj(^fc),
где топология / удовлетворяет определенным «условиям
конечности», а 9 — любой ограниченный if-топос, то можно
построить экспоненциал & в Xof/S'. В замечании 7.49 ниже
приводится набросок этого доказательства для частного случая & =9'.
6.6. Объекты вещественных чисел
Как мы уже заметили, «булевость» объекта натуральных
чисел в топосе означает, что его арифметика много ближе к
арифметике стандартной теории множеств, чем поначалу можно было
ожидать. Однако как только мы попытаемся построить
вещественные числа из натуральных, мы натолкнемся на
неклассическую природу внутренней логики топосов; в частности, мы
обнаружим, что имеющиеся в нашем распоряжении различные
классически эквивалентные построения дают неизоморфные
результаты. В этом параграфе мы будем заниматься двумя
конкретными конструкциями, которые обычно называются
«вещественными числами по Дедекинду» и «вещественными числами
по Коши» (хотя фактически ни одно из этих названий не
отражает авторство с полной исторической точностью). Имеется ряд
других изученных возможностей (см., например, [112]), но они
оказываются менее важными для конкретных приложений.
Если в нашем топосе %> дан объект натуральных чисел N,
то прежде всего можно построить объект целых чисел Ζ
посредством амальгамы
1 > ' + Ν
I"'
Pi
N> "Ζ
арифметические операции и отношение порядка Ζ определяются
в терминах тех же операций и порядка на Ν, и легко проверить,
что Ζ является внутренним кольцом. Затем можно построить
объект рациональных чисел Q как кольцо частных Ζ[Ρ_Ι] (см.
пример 6.59 (i)), где (Р) >-Z) = \7V> *■ N > *■ Ζ) является
объектом целых положительных чисел. Еще раз заметим, что
Q наследует отношение порядка от Ζ; он удовлетворяет
свойству <(трихотомичности» (см. 6.17 (iii)) и Q является полем в
том же смысле, что %> Η ~| (о = е) и Ж Η (q = 0) V (q е ГГ(?"1)
(см. ниже теорему 6.65). Более того, поскольку
использованные до сих пор построения включают только конечные пределы
и копределы, нз предложения 6.16 следует, что объекты Ζ и Q

6.6 ОБЪЕКТЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
231
сохраняются точными функторами и, в частности, функторами
обратного образа. Так, в топосе Shv(X) пучков на
топологическом пространстве X Q является просто постоянным пучком
Δ (Q), слой которого в каждой точке представляет собой
множество (^рациональных чисел (в Я').
6.61 Определение. Пусть <S — топос с объектом
натуральных чисел. Вещественное число по Дедекинду в &
представляет собой упорядоченную пару r = (L, U) подобъектов пз Q,
удовлетворяющих следующим условиям:
(ϊ)«· Η Vq (q е= г£Ί <* 3q' (q' e= rХ"1 Д q' > q)),
(ii) ITHVq(qe rV ^ 3q' (q' e= r'£T /\ q' < q)),
(iii) «■ Η VqVq' (qe Γ'Ζ,"1 Λ q'e rt/n =* q < q'),
(iv)<ff h=Vn3q3q'(qerLn hq'e=rUn Лп(ч'-Ч)<е)·
Вместо объекта вещественных чисел по Дедекинду будем
писать Ra> > Ω Χ Ω , т. е. экстенсионал формулы, полученной
подстановкой свободных переменных I, и типа Ω4 вместо
констант ΓΖΓ\Γί/Ί.
тт · л. „(lsei,tBeE)nQ4/„Q
Легко проверить, что морфизм Q *■ Ь2 X ъ£ является
мономорфизмом и что он пропускается через Rd;
следовательно, у нас имеется канонический мономорфизм
Объект Rd, будучи конструкцией «более высокого порядка»,
не сохраняется, вообще говоря, ничем, кроме логических
функторов. Однако аксиомы (i)—(iv), если очистить их от
начальных кванторов всеобщности, можно представить секвенциями на
геометрическом языке, в котором Ν η Q являются типами, a L,
U — первичными отношениями сигнатуры (Q). Поэтому
свойство быть вещественным числом по Дедекинду сохраняется
функторами обратного образа, и на самом деле можно построить
классифицирующий топос <?f[ded], содержащий общее
вещественное число. Нетрудно показать, что ^[ded] является топосом
Shv(K), где К имеет свою обычную топологию (см. ниже
упражнение 2 к главе 7). Поэтому, вспоминая высказывание Гро-
тепдика, что топос — это обобщенное пространство, а
геометрический морфизм — обобщенное геометрическое отображение,
вещественное число по Дедекинду в Ж можно представлять себе
как непрерывную вещественнозначную функцию на &. Первый
из следующих примеров подкрепляет это интуитивное
представление.
6.62 Примеры, (i) Пусть X—топологическое
пространство, a r = (L, U) — вещественное число по Дедекинду в Shv(X).
Тогда для каждой точки χ из X пара (Lx, Ux) является деде-
киндовым сечением множества Q и потому определяет веще-

232
Г Л 6 ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
ственное число г(х) в 9*. [Здесь, как обычпо, Fx обозпачает слой
из F в точке х.] Поэтому г определяет функцию X-»-IR. Теперь
пусть geQ и пусть q e Lx. Тогда, поскольку L является
подпучком пучка Q, существует окрестность ^V точки χ такая,
что q^Ly для всех у е N, т. е. множество ix e X\q < г (χ)}
является открытым. Аналогично, открытым является множество
{х^ X\q>r(x)}, но поскольку открытые интервалы с
рациональными концами образуют базу топологии на IR, этого
достаточно, чтобы доказать, что г представляет собой непрерывную
функцию X -*■ К.
г
Наоборот, пусть X -*- R — непрерывная функция. Тогда
легко проверить, что сопоставление
V -* {q е ΔΟ (V) | q (χ) < г (χ) для всех хеУ}
определяет подпучок L из AQ = Q [при этом используется
отождествление AQ (V) с множеством локальных постоянных
Q-зиачных функций на V] и что если С/ определено
аналогичным образом, то пара (L, U) является вещественным числом
по Дедекинду в Shv(X).
Следовательно, вещественные числа по Дедекинду в Shv(X)
являются в точности непрерывными вещественнозначными
функциями на X. Из этого легко следует, что объект Rd фактически
является пучком Cr непрерывных вещественнозначиых
функций (см. пример 0.22 (iii)). Следует также отметить, что если
модифицировать определение вещественных чисел по
Дедекинду, оставляя лишь аксиомы, включающие нижнее сечение L,
то мы получим пучок полунепрерывных сверху
вещественнозначиых функций на X.
(ii) Пусть (Χ, Σ, μ) — измеримое пространство. Делинь
([GV], IV, 7.4) заметил, что можно построить топос
Meas(X, Σ, μ), взяв частично упорядоченное множество Σ
измеримых подмножеств X как категорию и снабдив ее предтопо-
логией Гротендика (определение 0.31), накрывающие семейства
которой являются счетными семействами включений {Bj->Z?W =
= 1, 2, .. .}, так что В — \J Bi имеет меру нуль. Можно легко
1 = 1
увидеть, что в этом топосе Q представляет собой пучок классов
эквивалентности почти всюду определенных Σ-локальных
постоянных Q-значпых функций на X, связанных отношением
эквивалентности
q ~ q <=*■ q(x)~ q (x) почти всюду.
Пусть теперь r = (L, U) —вещественное число по Дедекинду
в Meas(X, Σ, μ); тогда можно использовать определение 6.61 (iv),
чтобы построить последовательности ((/„), (qn) глобальных
элементов из Q так, что qn еД qn e JJ и q" — qn < \/п для всех п.

G 6. ОБЪЕКТЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
233
Тогда последовательности qn{x) и qn(z) почти для всех х^Х
стремятся к общему пределу г(х), и рассуждения, подобные
тем, которые приведены в примере (i), показывают, что
определенная таким образом на X вещественнозначная функция
измерима. Наоборот, любая измеримая вещественнозначная
функция на X определяет вещественное число по Дедекинду; поэтому
Rd является пучком случайных переменных на X, т. е. классами
эквивалентности измеримых вещественнозпачных функций,
связанных отношением равенства почти всюду. [Этот пример по
существу восходит к Скотту [182].] □
У нас имеется два альтернативных пути для определения
отношения порядка на Rd. Если г, г' — переменные типа Rd,
то будем писать г ^ г' вместо формулы Z(r)^Z(r') и г < г'
вместо формулы 3q (q s и (τ) Д q e I (r')). (Следует отметить,
что из определения 6.61 (i) следует, что <%Ή qe/(r)*> i(q)<r.)
Следует подчеркнуть, что ^ не эквивалентно дизъюнкции < и
=; если, например, в Shv(K) взять г(х)=0 и г'(х) — х2, то
соответствующие вещественные по Дедекинду числа
удовлетворяют соотношениям
Hr=s£r'H = l, Иг < г'Н = fl?-ί0>, Лг = г'П = 0
(так как функции г и г' не согласованы на любом непустом
открытом множестве). Также неверно, что или «S, или <
определяет линейный порядок на Rd (опять Shv (К) дает
контрпример, если взять г{х)— О, г'(х)= х).
Можно просто определить операцию сложения на Rd; положим
ί (г + г') = {q | 3 q'3q" (q' e= I (г) Д q" e I (г') Д q = q' + Ч")}
и аналогично определим ц(г + г'), а также убедимся, что эта
пара термов типа QQ удовлетворяет аксиомам определения 6.61.
Однако ^классический» способ определения умножения путем
подразделения на случаи не будет работать, так как Rd не
является линейно упорядоченным. Чтобы преодолеть эту
трудность, используем идею Конвея [157]. Сначала превратим Rd
в модуль над Q, положив
rq
(Z(r)-q, a(r)-q), если q > О,
i(0), если q = О,
(u(r)-q, Z(r)-q), если q<0,
где
Z(r).q = iq'l 3q'"(q" = *(r) Λ q'= q" -q)}.
(Это подразделение на случаи законно, так как Q
удовлетворяет трихотомии, т. е.
= (q>0)V(q = 0)V(q<0).)

234
ГЛ, 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Тогда определим Z(rr') как терм
{q 13q'3q"(((q' е= (г Aq" е= I (г')) V (q' е и (г) ДЧ"еа (г'))) Д
AqeZ(r'q' + rq"-i(q'q"))}
и аналогично определим u(rr'). Доказательство того, что это
определение превращает Rd в коммутативное кольцо, по
существу совпадает с тем, как это делается в [157].
Однако Rd не является в общем случае полем в том смысле,
в каком мы применяли это слово к Q. Для получения
дальнейшей информации о его алгебраической структуре следует
подробнее изучить связь между двумя определенными выше
отношениями порядка.
6.63 Лемма, (i) 8 Η q e= I (г) -с* 3q' (q' > q Λ Ί (q' е и (г))).
(ii) ^Нг^г'*>и(г)^и(г').
(iii) 1ГНг^г'^Л(г>г').
Доказательство, (i) Из определения 6,61 (iii)
немедленно выводим
^Hq'eZ(r)^n(q'su(r)),
следовательно, импликация слева направо вытекает из
определения 6.61 (i). Наоборот, предположим, что даны вещественное
я
по Дедекинду число r=(L, U) и два рациональных числа i^Q
таких, что q < q' и ~] \q e rU~l). Тогда q' — q —
положительное рациональное число, поэтому его можно выразить локально
как частное двух положительных целых чисел и, следовательно,
α η
можно найти V —^ в V-+N с {q — q)a> \/n. Теперь в силу
β q»
6,61 (iv) можно найти такие W —» V и W^ZQ, что q" eL,
q'"e=U и q" — q" < ΙΜβ. Тогда имеем ~[(q'a#> q'"), и потому
<?'αβ < <?'", так как Q удовлетворяет трихотомии. Таким образом,
ν ςταβ =s= ςτ'αβ - 1/ηβ < g" - 1/ηβ < g",
но g еД поэтому ςταβ е L. Поскольку αβ является
эпиморфизмом, geL.
(ii) Пусть Z(r)=£Z(r'); тогда
^Hqeu (r') =► 3q' (q' < q f\ q' e= u (г')) (в силу 6.61 (ii))
=> 3q' (q'<qA1(q'eI (г'))) (в силу 6.61 (iii))
=*■ 3q' (q'<qA1(q'e' (r))) (согласно допущению)
=> q e u (г) (в силу(1)).
Доказательство обратного утверждения двойственно данному,
(iii) Из r==Sr' и г>г' выводим 3 q(qeu(r')/\qei(r')):
что противоречит 6.61 (ϋΐ); поэтому Й |= г^г' => "^ (г >г').

6 6. ОБЪЕКТЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
235
Обратно, пусть "~|(г>г'). Тогда
^f=qei(r)^3q'(q'>qAqe/ (r)) (в силу 6.61 (i))
=*■ 3q' (q' > q Λ Ifq'eii (г'))) (согласно допущению)
^qe Z(r') (в силу (i)).
Следовательно, г ^ г'. □
Чтобы уточнить, в каком смысле Rd является полем, введем
сейчас определенную терминологию (см. также [55]).
6.64 Определение. Пусть А — коммутативное кольцо в
топосе Ж и пусть %> Η ~] (о = е).
(i) Будем говорить, что А — геометрическое поле, если
«•|=(а= о) V (аегТЛп).
(ii) Будем говорить, что А — поле частных, если
8 нП(а = о)=^(аегГ4п).
(iii) Будем говорить, что А — поле вычетов, если
«•μ Ч(аегГЛп)=*(а = о).
(iv) Будем говорить, что А — целочисленная область
определения, если
^H(aa' = o)=^(a = o)V(a' = o). □
Ясно, что первую и четвертую из этих аксиом можно выразить
как секвенции в геометрическом языке теории колец (отсюда
название «геометрическое поле»). Если А—целочисленная
область определения, то подобъект iV> *■ А ненулевого элемента
замкнут относительно умножения и кольцо .4[iV-1] является полем
частных; двойственно, если А — локальное кольцо, то подобъект
М) »■ А неединиц является идеалом и частное AIM является
полем вычетов. Дальнейшее обсуждение взаимосвязи между этими
аксиомами находится в [55] и [88].
6.65 Теорема, (i)
^Hre rXR? -с* (г > о V г < о).
(ii) R„ является полем вычетов.
(iii) Rd является локальным кольцом.
Доказательство, (i) Пусть г > о. Тогда легко проверить,
что терм
lq|q<oV(q>oAq_1eu(r))}, |q | q > о Д q_1 е= Z (г)})
определяет вещественное по Дедекинду число, обратное г
относительно умножения. Поэтому
g hr>o^re rTR2
и аналогично & hr<o=»-rerYR^.

236
ГЛ. 6 ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Обратно, пусть г — вещественное по Дедекинду число и
V> >-1—экстенсционал формулы (r>oVr<o). Тогда в силу
6,63(iii) имеем F=0 тогда и только тогда, когда г = 0, Но
формула, определяющая V, составлена на геометрическом языке
теории вещественных чисел по Дедекинду; следовательно, V
сохраняется функторами обратного образа. В частности, если i* — это
функтор ассоциирования пучка для замкнутой топологии ]'v, то
i*V = 0, и поэтому i*r — о. Но если г — единица, то единицей
является и i*r, и, следовательно, топос sh.c (Ж) должен быть вы-
рожденным, т. е. V = 1, Применяя это рассуждение к
обобщенным элементам Rd, получаем импликацию
^Нге ГГД,Г =* (г > о V г < о).
(ii) сразу следует из (i) и 6.63 (iii).
(iii) Из 6,61 (iv) получаем
S Η 3q3q' (q е Ζ (г) Λ q' e u (г) Λ q' - q < e).
Но поскольку Q линейно упорядочен, имеем
#|=q'-q<e=^(q>oVq'<e);
поэтому ^fH(oe Z(r)V ее ц(г)), т. е. S\=t> оУт< е.
Следовательно, в силу (i)
*н(геГГД;у(е-геГГЛД □
Однако Rd не является в общем случае полем частных; не
является он также целочисленной областью определения.
Действительно, в Shv (К) для вещественного числа по Дедекинду,
определенного равенством г(х) — х, верно ~](г — 0)»но неверно
(г ^^YRfP), и если определить г' (х) = max (χ, о), г" (х) =
= min(;r, о), то будем иметь г'т" = о, но не (г' —о V г" = о).
6.66 Примеры. Нарушая в какой-то степени содержательную
последовательность оставшейся части текущего параграфа,
приведем два примера, иллюстрирующих независимость аксиом поля,
перечисленных в определении 6.64.
(i) Пусть & = shj(^[ann]), где / — такая топология, что
общее кольцо удовлетворяет аксиоме нетривиальности (о = е \- ложь),
и пусть U обозначает общее нетривиальное кольцо в <8'. Легко
показать (см, [45], [53]), что ^[апп] является топосом & , где
С — категория конечно представленных колец в 9*, причем
носитель общего кольца является стирающим функтором С -»- &. Так
как тривиальное кольцо является строгим конечным объектом в
С, топология / (рассматриваемая как топология Гротендика на
Сор) отличается от минимальной топологии только тем, что
пустое решето покрывает тривиальное кольцо. Теперь рассмотрим
ЛА-элемент hA -*■ U из U, где. А — конечно представленное кольцо;

6 6 ОБЪЕКТЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
237
из определения U следует, что это просто элемент кольца А.
Тогда внешняя интерпретация предложения —| (я = о) состоит,
очевидно, в том, что кольцо А/(а) тривиально, где (а) —идеал,
порожденный морфизмом а, т. е. что а является единицей. Поэтому
V является полем частных в Ε'. Однако U не является полем
вычетов, ибо предложение "~| (я е ΓΓί7Ί) означает, что кольцо
А (я-1) тривиально, откуда следует просто то, что а нильпотентен,
а не то, что а = о. (Этот прпмер восходит к Коку [63].)
(ΐί) Пусть %> = Shv (К) и пусть W является пучком колец на
R, сечения которых над открытым множеством U представляют
собой классы эквивалентности вещественнозначных непрерывных
функций, определенных на плотных открытых подмножествах
множества U, причем отношением эквивалентности является
согласованность на плотном открытом подмножестве. Если w является
{/-элементом из W, то предложение "~| (и? = о) означает, что
множество bs U\w(x) = 0} нигде не плотно, откуда следует, что w
обратим в W(U). Поэтому W является полем частных, но он
также является полем вычетов, так как предложение —\{w e ГГИ7"1)
означает, что не имеется непустого открытого множества, на
котором w принимает ненулевые значения, и, следовательно, w = q.
Однако W не является ни геометрическим полем, ни локальным
кольцом; глобальный элемент W, определенный формулами w(x) =
= о при х<о, w(x) = e при х> о, дает контрпримеры для обоих
утверждений. □
Сейчас мы обратимся к нашему второму определению
вещественных чисел, которое использует известное понятие
последовательностей Коши рациональных чисел.
6.67 Определение. Объект S > *-Q последовательностей
Коши представляет собой экстенсионал формулы
VnV η' (η' > η > о) =*- (-1/η < f (η') - f (η) < 1/η),
где f — свободная переменная типа Q". Подобъект Е>-^-+ SXS
определяем формулой
Vn (n>o)=*-(-2/n^f(n)-f'(n)s£2/n),
а также определяем, что объект Rc вещественных чисел по Коши
а
является коуравнителем для E^t-S. [Следует отметить, что
приведенные выше формулы отличаются от обычно используемых
для определения последовательностей Коши тем, что мы требуем,
чтобы наши последовательности сходились с «одной» скоростью;
эта модификация позволяет сократить количество кванторов, с
которыми мы должны бороться при доказательстве утверждений об
-Rc, и тем самым значительно упростить эти доказательства.] □
Формулы, определяющие S и Е, очевидно, эквивалентны тем,
которые можно выразить на геометрическом языке, имеющем Q"

238
ГЛ. 6 ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
в качестве типа, так как согласно 6.17(iii) формулу (η'5=η)=^ Φ
можно переписать как (n'<n)V^. Следовательно, если /* —
функтор обратного образа, сохраняющий возведение в степень N,
то он также сохраняет эти объекты и, следовательно, сохраняет
Rc. В частности, если %> —*■ 9" — локально связный ^-топос
(например, пучки на локально связном пространстве; см. примеры
0.7 и 4.9), то объект вещественных чисел по Коши в %>
представляет собой просто постоянный объект γ* (R).
Операции сложения и умножения на S можно определить
посредством
(f+f')(n) = f(2n)+f'(2n)
(H')(n) = f(A(f, f».f'(A(f, f»,
где A(f, f) — целое число, большее If (so) I + If (so) I + 2.
Более того, нетрудно проверить, что эти операции
пропускаются через эпиморфизм S —**■ Rc и придают Rc структуру
коммутативного кольца. Ясно, что транспозиция Q-^Q1 морфизма
л1
Q X N -*~Q пропускается через S, и поэтому мы получаем моно-
j
морфизм Q > *■ Rc. Можно определить мономорфизм Rc > *~Ra
следующим образом: если f — свободная переменная типа S, то
терм
(igl3n(q<f(n)-l/n)}, igl3n(q>f(n)+l/n)}),
как легко можно видеть, удовлетворяет аксиомам из 6.61 (для
аксиомы (iv) возьмем q = f(4n)—1/Зп и q' =ί(4η + 1/Зп)). Так мы
получаем морфизм S-*■ Ry, чтобы показать, что он пропускается
через S —**■ Rc, предположим, что (f, f )е ГЕ~> и g(i)> g(V).
Из последнего предположения выводим
3q3b3n'((q<f(n)-l/n)A(q>f (n')+l/n')),
затем имеем
Зп" (η" > η Λ η" > η' Λ (Ι (η) - f' (η') > 1/η + 1/η' + 2/η")),
откуда получаем
■ /(η")-/'(η")>2/η",
что противоречит первому предположению. Поэтому
8 Η (f, f)e= Γ£Ί ^l(g(f)>g(f) V g(»)<
< g (Г)) =^ ^ (f) = g(f')(B силу 6.63 (iii)).
Обратно, из определения g следует, что
*Ь-Чл(Ц1(п)- l/n)< g(t)<l(t(n)+ i/n))t

6.6 ОБЪЕКТЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
239
откуда
#Hg(f) = g(f')=Mf, f')er£n.
Поэтому пропускание Rc ~*~ Ra морфизма g через Rc является
мономорфизмом.
Пример пучков на локально связном пространстве,
упомянутый выше, показывает, что /, вообще говоря, не является
изоморфизмом. Однако все же имеется следующий результат.
6.68 Пример. Пусть X— сепарабельное нульмерное
топологическое пространство (см. упражнение 4 к главе 5). Тогда
j
Rc-*-Rd—изоморфизм в Shv(X), поскольку если r = (L, U) —
вещественное число по Дедекинду в Shv(X), то утверждение,
что Shv(X) удовлетворяет (SS), позволяет нам выбрать
последовательность глобальных элементов (qn, qn) из Q X Q так, что
qn^rL~],qn^rU~l и qn — qn < 1/га. Если рассматривать qn как
морфизм N -»- Q в Shv(X), то соответствующий глобальный
элемент 1~*"@Ь1 как легко можно увидеть, пропускается через S
и удовлетворяет равенству g(f)=r. Поэтому / индуцирует
изоморфизм на глобальных элементах, но, применяя те же
рассуждения к Shv(F), где V—открытое подмножество пространства X,
выводим, что 7, как и требовалось, является изоморфизмом в
Shv(X). □
В этом параграфе мы смогли дать не более чем обзор основных
свойств вещественных чисел по Дедекинду и Коши, а также
связи между ними. Поэтому в заключение мы даем ссылки на
три работы, в которых читатель может найти гораздо более
подробную информацию по аспектам, касающимся вещественных
чисел. Малви [88] изучал вещественные числа по Дедекинду
(конкретнее, модули над Rd) с алгебраической точки зрения. Он
показал, например, что теорема Свана о связках векторов над
компактным пространством X представляет собой не что иное, как
интернализацию на Shv(X) теоремы Капланского о проективных
модулях над локальными кольцами. Стаут [112] рассматривал Rd
как внутреннее топологическое пространство и установил, в каком
смысле можно считать, что известные топологические свойства
\R сохраняются внутренне. Фурман [36] использовал
аналитический подход. В частности, он изучал способ, с помощью которого
понятие «гладкой вещественнозначной функшщ на Жъ можно
определить с использованием подходящего подкольца из Rd,
а также (обобщая пример 6.68, приведенный выше) способ,
с помощью которого, используя различия между Rc и Rd, можно
дать «аналитическое» (как противоположное когомологическому)
определению размерности топоса.

24Θ
ГЛ 6. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Упражнения к главе 6
1. Дайте формальное доказательство того, что Н-
ассоциативна и коммутативна и что · дистрибутивна по отношению к -К
2. Пусть %> — топос с объектом натуральных чисел и ©—
точная слева комонада на %>. Задайте единственный морфизм
θ: Ν -*■ GN так, что диаграмма
*GN
коммутативна. Докажите, что (Ν, Θ) является © -коалгеброй и
что он представляет собой объект натуральных чпсел в <£g-
3. Пусть end обозначает алгебраическую теорию,
порожденную единственной одноместной операцией, причем без равенств.
Докажите прямо (т. е. не используя теорем 6.41 и 6,43), что
существование объекта натуральных чисел в %> эквивалентно
существованию функтора свободы end-моделей. [Обратите внимание
на то, что end-модели эквивалентны iV-объектам, где N
рассматривается как моноид.]
4*. Пусть ρ и q — натуральные числа в %> такие, что ρ < q.
Покажите, что Epi([ρ], [<?])= 0. [Указание. Сначала покажите,
что Epi([w], [src]) = 0 в ff/N.] Выведите, что если [/>] = [<?], то
p = q.
5. Используйте лемму 6,18, чтобы задать факториальное
отображение (!): N-»- N как элемент из N в S/N и теорему 6.19,
чтобы установить изоморфизм Iso([re], [и])— [nl] в &/N,
Используя теорему 6,29 и упражнение 4, выведите, что если X и Υ —
финитные кардиналы, то Iso(X, Υ)—подобъект объекта Υχ,
имеющий дополнение,
6*. Пусть 2F->-& — геометрический морфизм. Покажите, что
/* ограничивается до логического функтора Sa -*■ STtc. Является
ли этот ограниченный функтор обязательно обратным образом
некоторого геометрического морфизма?
7. Пусть ST обозначает уравнитель для & [U1 -*-U\^9' [U]
в S3£op/i?\ Покажите, что ЗГ классифицирует теорию end,
определенную в упражнении 3. Заметьте, что ST можно описать как
2^, где С — категория конечно представленных end-моделей в 91,
и выведите, что функтор cat(^f)-»- £ор/<?Г следствия 2,35 не
сохраняет уравнители,
8. Пусть с обозначает наименьшую верхнюю грань
последовательности кардиналов (tf0, 2 «л 2 »,...) и пусть 9Ό обозначает

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 6
241
категорию множеств мощности <с и функций между ними.
Покажите, что 9Ό — топос и что у него имеется объект
натуральных чисел, но что имеется рекурсивная проблема (X, Т), не
разрешимая в Я'с, несмотря на то, что Τ является сильным
функтором, [Возьмите в качестве Τ ковариантный функтор множеств-
степеней,]
9*. (Йонсон и Тарский [170], Фрейд). Пусть jt2 обозпачает
алгебраическую теорию, порожденную двумя одноместными
операциями I, г и двуместной операцией Ъ, удовлетворяющий
равенствам
Ь(1х,гх)=х, 1(Ь(х,у))=х, г(Ь(х,у))=у.
Покажите, что ^-модель в %> является объектом X в I,
снабженной специфическим изоморфизмом X -+ XXX, и выведите,
что свободные модели F(i) и F(lnl) изоморфны. Покажите
также, что jt2(^f) является топосом, [Указание; пусть Μ
является свободным моноидом с двумя порождающими Ζ и г;
покажите, что ]Ч2-модели можно рассматривать как пучки для
определенной топологии в <?ГМ.]
10. Покажите, что внутренняя алгебраическая теория Τ в if
эквивалентна некоторой слабой диаграмме (определение 4.22)
1 -»- Xoy/ff, которая переводит единственный объект из 1 в ^Г[С7].
Покажите также, что слабые конусы над этой диаграммой с
вершиной &~ соответствуют Τ-моделям в #", и выведите, что
классифицирующим топосом для Τ является слабый предел этой
диаграммы. Аналогично, покажите, что если D — любая
конечная категория, то классифицирующим топосом для диаграмм типа
D является слабый предел постоянной диаграммы D -»- Xof/ё1 со
значением ^[С/],
11. Пусть Τ —внутренняя алгебраическая теория в булевом
топосе %>, Покажите, что функтор Τg\ %>-*-%> сохраняет
мономорфизмы, и выведите, что стирающий функтор Τ (<?Γ) -*■ <S
σ
сохраняет инъективные морфизмы. [Метод, Пусть Х>—*■ Υ
является мономорфизмом в &. Рассматривая эпиморфизм
Τ g (X)nV —». 1, где V является дополнением носителя объекта
Τ g (X), сведите рассуждения к двум случаям; а) Τg (X)
имеет глобальный элемент; б) Τ g (Χ) ^ 0, В первом случае
постройте пропускание σ через единичное отображение X-^-Tg(X)
и выведите, что Τ g (σ) является расщепленным
мономорфизмом. Те, кто уже прочитал приложение, поймут, что это
рассуждение работает для любой локальной внутренней монады Τ на
%> (Рейт предлагал рассматривать такие монады как
«внутренние неконечные алгебраические теории»), но для частного
случая конечной алгебраической теории мы можем обойтись без
гипотезы, что %> является булевым топосом, используя предложение

242
ГЛ. G. ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
7.54, приведенное далее. Но на произвольном топосе результат
для локальной внутренней монады неверен; см. [58].]
12. Пусть А — коммутативное кольцо в 9*. Представьте
«теорию локальности А» как конечную геометрическую теорию.
[Указание. Возьмите каждый элемент А как тип.]
13. Пусть Τ—любой представимый функтор (£ор/<?Г)ор -»-
-»- (Sat. Покажите, что Τ (ёг) ~ (Т ((о))~ [используйте то, что
<§" является слабым копределом в £ор]. Выведите, что если Τ —
конечно представленная геометрическая теория, то %> [Т2] экви-
валентна экспоненциалу %> [Т] в %ϋ]ί%>.
14. Пусть / — непрерывная вещественнозначная функция,
определенная на открытом подмножестве из К. Покажите, что
существуют непрерывные функции g, h, определенные на всем
К,; такие, что h(x) — o тогда и только тогда, когда f(x) неопре-
делена, и f(x) = g(x)/h(x) каждый раз, когда f(x) определена.
Выведите, что кольцо W из примера 6.66 (ii) является кольцом
частных i?tf[iV_I], где N — подобъект ненулевых элементов Rd.
Покажите также, что W является ""^-пучком, ассоциированным
с Л* BShv(J?).
15. (Фурман [36]). Пусть X— топологическое пространство.
Покажите, что Re изоморфен постоянному пучку Δ (К) в Shv(X)
тогда и только тогда, когда для каждого открытого U ^ X
решетка замкнуто-открытых подмножеств множества U является
счетно полной. Покажите, что если X удовлетворяет второй аксиоме
счетности, то это условие эквивалентно локальной связности.
16. Каким аксиомам поля, приведенным в определении 6,64,
удовлетворяет (если вообще им удовлетворяет) Rc в произвольном
топосе?

ГЛАВА 7
ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И БАРРА
7.1. Точки
Всюду в этой главе и в главе 8 мы работаем с топосами,
определенными и ограниченными над фиксированным основным
топосом 91; мы продолжаем предполагать для удобства, что 9* —
стандартная категория множеств, хотя фактически большинство
из доказываемых результатов остается верным для любого топоса
91, который удовлетворяет (АС) и имеет объект натуральных
чисел. Детали этого обобщения мы оставляем заинтересованному
читателю.
ν
7.11 Определение. Пусть %> -*■ 9Р — некоторый ί?-топос.
ν
Под точкой в %> мы понимаем геометрический морфизм 91 -*- &
над 9'. Класс К точек из %> называют достаточным, если
семейство функторов (р*\р<^ К) консервативно, т. е. если любой
морфизм Х-*-Υ из %> такой, что p*(f)—изоморфизмы при всех
ρ е К, обязательно является изоморфизмом. Про топос %> говорят,
что он имеет достаточно много точек, если класс всех точек из
%> достаточен. Π
Отметим, что если К — множество, то топос 9ΊΚ есть /С-ин-
дексированная костепень топоса 91 в 35Ζθ$/9' (ср. 4.21), а потому
для топоса Гротендика %> мы можем собрать все точки из К в
один геометрический морфизм 9ΊΚ-*- Ε', обратным образом
которого является функтор (X >—■ (р*Х \р^ К)), а прямым
образом—функтор ((Sp\p^ К) --* JJ р% (9,р)). В этом случае, оче-
Р = К
видно, утверждение о достаточности К равносильно утверждению
о том, что q — сюрьекция (4.11 (ii)).
7.12 Примеры, (i) Пусть o=Sb\(X), где
X—топологическое пространство. Тогда каждая точка χ из X соответствует
непрерывному отображению Ρ-*■ X, где Ρ—одноточечное
пространство, а потому (согласно (0.26)) — точке из S'. Более того,
множество всех точек из %>, которые получаются таким способом,
достаточно в силу 4.18 (ш). В § 7.2 мы установим один
результат, позволяющий охарактеризовать все точки в &.
(ii) Пусть $ = &\ϋ\ (см. 4.37 (iv) и 6.33). Тогда, как мы
уже знаем, категория точек в & эквивалентна 9", так что эта

244
ГЛ 7, ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И БАРРА
категория даже в случае ограниченного топоса %> не обязательно
эквивалентна малой категории. Однако & обладает достаточным
множеством точек, а именно тех, которые соответствуют
конечным множествам, поскольку любое множество представимо в
виде фильтрованного копредела конечных множеств (ср. с 7.17
ниже).
(Ш) Пусть X— хаусдорфово пространство, а Ж =
= sh ΊΊ (Shv(X)). В § 7.2 мы узнаем, что каждая точка топоса
Shv(X) определяется точкой пространства X с помощью
соответствия из примера (i); значит, в силу 3.47 точками & будут в
точности те точки ιεϊ, для которых функтор слоя в χ обращает
все ~\ ~\ -плотные мономорфизмы. Но легко убедиться, что это
условие выполнено тогда и только тогда, когда χ —
изолированная точка пространства X, т. е. множество {х} открыто. Поэтому,
если X не имеет изолированных точек (например, если X = R),
то топос & не имеет точек. Но, очевидно, %> невырожден*);
однако он не всегда имеет достаточно много точек. □
Следующий результат позволяет охарактеризовать точки
топоса Гротендика %> в терминах некоторого его сайта определения.
Однако данный результат удобнее сформулировать в более
общем виде, который применим к геометрическим морфизмам
между произвольной парой топосов Гротендика. Напомним, что в
любой категории S семейство морфизмов (Υχ —* X \ i e I) с общим
концом называют (совместно) эпиморфным, если для любой
8
пары морфизмов Χ'Ξξ.Ζ с g^= h существует i e / с gfi ^ hft.
(Если в & существует копроизведение XI У,, то, конечно, это
эквивалентно эпиморфности морфизма Ц^г"-*"^·) Если (С, /) —
сайт, то функтор С-**? называют (/-)непрерывным, когда
каждое /-покрывающее решето из С он переводит в эпиморфное
семейство категории Ж'. (Эта терминология восходит к Гротендику
([GV] III, 1.2); однако для согласования с употреблением слова
«топология» в других частях теории категорий ([CW], с. 112)
здесь был бы уместнее термин «конепрерывность».) Через I: С ->■
-»- Shv(C, /) обозначается композиция вложения Йонеды
h c°P
С-*-^ и функтора ассоциирования пучка; отметим, что эта
композиция всегда непрерывна.
7.13 Предложение. Пусть &—топос Гротендика, (С, /) —
сайт такой, что С имеет конечные пределы, а Ф: Shv(C, /)-»-
-»- Ж — некоторый функтор. Тогда следующие условия
равносильны:
(i) Φ — обратный образ некоторого геометрического морфизма
#-^Shv(C, /).
) Если X непусто.— Примеч. пер.

7 1. ТОЧКИ
245
(ϋ) Φ точен слева и сохраняет ЗР-индексированные копределы.
(Ш) Существует точный слева непрерывный функтор Р: С -»-
-*■ <§° такой, что Φ есть (с точностью до изоморфизма) левое
расширение Кана функтора Ρ вдоль C-^Shv (С,/). Более того,
функтор Ρ из (Ш) определяется по Φ однозначно с точностью до
изоморфизма.
Доказательство. (i)=^(ii) очевидно.
I (й
(ii)=^(iii). Обозначим через Ρ композицию C-*-Shv(C, /)-»-£\
Тогда, конечно, Ρ точен слева, а его непрерывность следует из
непрерывности I и из того, что Φ сохраняет копроизведения и
эпиморфизмы. Пусть X— произвольный объект из Shv(C, /);
тогда в силу 0.12 X ai limh,x.hu в Я' , откуда получается
изоморфизм X^lim ί(Ρ) в Shv(C, /), поскольку
относительная категория (h \ X) изоморфна категории (1\Х), а функтор
ассоциирования пучка сохраняет копределы. Применяя функтор
Ф, приходим к изоморфизму φ(Χ) = Ищцх) Ρ (U), который
является в точности формулой, а задающей левое расширение
Кана (см. [CW], с. 236).
(iii)=^(i). Функтор Ρ можно отождествить с дискретным рас-
слоением ^-*-/(С)ор, где /(С) обозначает пнтернализацию
категории С в топосе %> (ср. 2.39). Так как С имеет конечные
пределы, а Р сохраняет их, то рассуждение из 4.33 показывает, что
γ — плоский предпучок, откуда в силу 4.34 определен геометри-
ческий морфизм %> -*- Э' . Легко проверить, что обратный образ
этого морфизма задается сопоставлением X <-*■ Ищщх)Р (U);
в частности, если R — решето на объекте U из С, то р*(Щ—
образ соответствующего семейства в %> с концом в P(U).
Поэтому в силу непрерывности Ρ функтор р* обращает
/-покрывающие решета; значит, ввиду 3.47 ρ пропускается через включение
Shv (С, J)-*-!? и обратный образ данной факторизации,
очевидно, изоморфен Ф.
Чтобы доказать последнее утверждение данного предложения,
нужно показать, что любой точный слева непрерывный функтор
Р: С-+Ж изоморфен ограничению своего левого расширения
Кана вдоль Ф, т. е. что каноническое отображение
ι ни)) P(V)
является изоморфизмом. Если топология / субканоническая, то
это очевидно даже без предположений на Р, поскольку тогда
функтор I есть просто вложение Йонеды и, следовательно, полон

246
ГЛ. 7 ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И НАРРА
и унивалентен; поэтому (U, ίι(υ>) — конечный объект категории
(Ul(U)). В общем случае не всякий морфизм l(V)-*- l(U) в
Shv(C, /) происходит из некоторого морфизма категории С;
однако для всякого такого / решето
W->-V\f-l(a)— образ функтора Ц ,
очевидно, является /-покрытием, откуда η — эпиморфизм по пепре-
α
рывности Р. Аналогично, если V^t-U — два морфизма такие, что
β
Ζ(α)=Ζ(β), то решето, порожденное уравнителем α и β, будет
/-решетом, а потому Ρ(α) = Ρ(β); отсюда легко вывести, что η —
мономорфизм. Π
Отметим, что равносильность утверждений (i) и (п) можно
получить непосредственно из теоремы о специальном
сопряженном функторе ([CW], с. 125). (Существование множества
образующих для Shv(C, /) гарантирует выполнение существования
правого сопряженного к Ф.) Однако знание явного описания
геометрических морфизмов с помощью непрерывных и точных
слева функторов полезно на практике.
7,14 Следствие. Пусть & и $Г—топосы Гротендипа. Тогда
категория Xof/9(&~, &) имеет малые hom-множества и
фильтрованные 9*-индексированные копределы.
ρ
Доказательство. Пусть ^~^£<?Г— два геометрических
я
морфизма. В силу 7.13 функтор р* изоморфен левому
расширению Кана своего ограничения на подходящую малую полную
подкатегорию С в %>. Значит, любое естественное преобразование
η: ρ* -*■ q* полностью определяется своими значениями на
объектах из С, а так как hom-множества в &" малы, то имеется лишь
множество возможных выборов этих .значений.
Предположим теперь, что (p,\i^I) — фильтрованная система
геометрических морфизмов ST -*■ <§. Тогда в силу 2.58 (пообъектно
построенный) копредел функторов рх: &-*-$Г сохраняет
конечные пределы, а также произвольные ^-индексированные коире-
делы. Следовательно, в силу 7.13 он является обратным образом
некоторого геометрического морфизма, который, очевидно, и есть
копредел системы р{. О
Пусть теперь С — малая категория с конечными пределами,
а Р: С -»- Я' — точный слева функтор. Если F-*-Cop
—соответствующий плоский предпучок (см. 4.33), то лемму 0.12 можно
интерпретировать как утверждение о том, что имеется
естественный изоморфизм
Ρ ^ limF (homc (γβ (U), —)),

7.1, ТОЧКИ
247
т. е. функтор Ρ представим в виде фильтрованного копредела
представимых функторов. Обратно, в силу 2,58 любой
фильтрованный копредел представимых функторов точен слева.
Определим поэтому псевдоточку в С как обратную фильтрованную
систему объектов в I, т. е. как (малую) фильтрованную категорию
I с функтором I -»- Сор, t -* t/j. Если P = (t/,Uel)—псевдоточка
в С, то через Ρ мы также обозначаем точный слева функтор
lim^homdtfi, —)): С-* У.
7.15 Предложение, Пусть (С, /) —такой сайт, что С
имеет конечные пределы, a P = (C/,-lieI)—псевдоточка в С. Тогда
точка предпучкового топоса З7 , определяемая функтором Р,
с°р
пропускается через включение Shv (С, /) -*■ Я в том и
только в том случае, когда выполнено следующее условие: для
каждого объекта V из С, каждого R^J(V), каждого ί^Ι0 и каждого
Ut-*- V из С существует морфизм i-*- k в I такой, что композиция
Uh-*- Ut-*- V лежит в R(Uh). Псевдоточка, удовлетворяющая
этому условию, будет называться псевдоточкой сайта (С, /).
Доказательство. Указанное условие есть просто
утверждение, что функтор lim1(homc(C/ri,—)) переводит каждое
решето в эпиморфное семейство топоса 9*; поэтому данное
предложение вытекает непосредственно из 7.13. О
Следующая теорема разрешает трудность, возникшую в
примере 7,12 (ii), а именно то, что топос Гротендика может иметь
собственный класс изоморфных точек. Если в духе § 6.5 каждый
топос Гротендика %> рассматривать как классифицирующий
топос некоторой теории, моделями которой являются точки в <5,
то читатель, знакомый с теорией моделей, может узнать в этой
теореме теорему Лёвенгенма — Скулема для полученного класса
теорий.
7.16 Теорема. Пусть <% — топос Гротендика. Тогда в &
существует такое множество точек К. что любая точка из &>
представила в виде фильтрованного копредела точек из К,
Доказательство. Пусть (С, /)—такой сайт определения
топоса %>, что С имеет конечные пределы, а а — кардинал
3s max (No, card С,). Обозначим через К множество точек в $,
которые определяются псевдоточками (Ut\i^l) в (С, /) с
card /, < 2". Пусть теперь ρ—произвольная точка в & и (t/ilie
el)—определяемая ею псевдоточка в (С, /). Определим на
частично упорядоченном множестве подкатегорий в I операции
Q, R и S:
(а) Для каждого i е /0, каждого Ui~*-V из С и каждого R -*■
-*■ hy из J(V) выберем морфизм и< а, в: ΐ->-1' такой, что U-г> —*■

248
ГЛ 7 ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И БАРРА
—>■ С/{ -»- V лежит в R (t/i')> и положим
3(0 = К*,н I uiЛ V е= Си R е / (F)}.
(Отметим, что card 5 (i)^ card Cj X 2car 1^2α). Определим
теперь для каждой подкатегории Ι'ξ Ι подкатегорию Q(lr) как
наименьшую подкатегорию, содержащую I' и U ?
(Οίε ιό
(b) Для каждой конечной диаграммы d в I обозначим через
r(cZ) множество морфизмов некоторого конуса под данпой
диаграммой (см. упражнение 9 к главе 2). Тогда для I'— I,
обозначая через D множество всех конечных диаграмм в I',
определим подкатегорию Д(1') как наименьшую подкатегорию,
содержащую I' и [I r{d).
(c) Наконец, для любой подкатегории Ι' ξ Ι положим
5(Г)=- О (№(Г)·
11=0
Поскольку 5(1') есть объединение возрастающей
последовательности подкатегории в I, то это также подкатегория, а поскольку
любая конечная диаграмма в 5(1') лежит в (QR)n(I') при
некотором копечном п, то, очевидно, по определению операции R
категория 5(1') фильтрована. Аналогично, по определению Q
ограниченная псевдоточка (i/Jis 5(1')) удовлетворяет условию из
предложения 7.15.
Но так как всякая подкатегория в I, порожденная множеством
морфизмов мощности к, имеет мощность <Х0"&, то легко
убедиться, что все три операции Q, R и 5° сохраняют свойство
категории иметь мощность <2"; поэтому, если 1\ ^ 2°, то точка из
%>, определяемая системен (f/Jie 5(1')), лежит в К. Но,
очевидно, категория J является фильтрованным объединением конечно
порожденных (а потому счетных) подкатегорий, а потому также
и подкатегорий {5(1') II'ξ 1; I' счетна}; значит, точка ρ есть
фильтрованный копредел соответствующих точек из К. О
7.17 Следствие. Если топос Гротендика & имеет
достаточно много точек, то он имеет достаточное множество точек,
т. е. имеется сюрьекция 9ΊΚ -»- Ж для некоторого К из 9*.
Доказательство. Пусть К — множество точек из %>,
построенное согласно теореме 7.16, а / — такой морфизм из &", что
Р* (/) — изоморфизм для всех р^К. Рассмотрим произвольную
точку q из %>; тогда, представляя точку q в виде фильтрованного
копредела точек р{&К, мы можем представить морфизм q*(f)
в виде копредела изоморфизмов р^ (/), откуда q* (/) —
изоморфизм. Поэтому, если <§ имеет достаточно много точек, то / —
изоморфизм в &. Π

7.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТОПОСЫ
249
7.18 Следствие. Пусть & — топос Гротендика. Тогда
существует единственная наименьшая топология ) в & такая, что
топос shi(^T) имеет достаточно много точек.
Доказательство. Пусть К — множество точек топоса %>,
построенное в 7.16, а /— такая топология, что топос shj(^f)
является образом геометрического морфизма 9ЧК-+$ (см. 4.14).
Тогда для любой точки ρ топоса %> функтор р* является
(фильтрованным) копределом функторов, каждый из которых обращает
/-плотные мономорфизмы; значит, р* обращает /-плотные
мономорфизмы, т. е. ρ пропускается через shj(ef). Итак, любой
геометрический морфизм костепени топоса 3? в Ж пропускается
через shj(^f).
Пусть теперь shft(^f) —произвольный пучковый подтопос в <?Г,
имеющий достаточно много точек, a L — достаточное множество
точек топоса §hk{l£). Тогда топос shk(^f) можно описать как
образ геометрического морфизма ff'/L -»- %>, но этот морфизм
пропускается через sh3(^f), откуда shft(^f)s sh^c?) или,
эквивалентно, j <k. □
7.2. Пространственные топосы
Пусть (X, U) — топологическое пространство. В этом
параграфе мы выясним, в какой мере пространство (X, U)
восстанавливается по топосу Shv(X, U). Напомним сначала некоторые
определения из общей топологии.
7.21 Определение. Пусть (X, U)—топологическое
пространство.
(i) Замкнутое множество С ξ Χ называют неприводимым,
если оно не представимо в виде объединения двух собственных
замкнутых подпространств. (Так, например, для точки χ
пространства X замыкание одноточечного множества {х) неприводимо.)
(ii) Пространство X называют трезвым, если каждое
неприводимое замкнутое множество С ξ Χ имеет ровно одну общую
точку (т. е. точку х^С, для которой С —{χ}). Π
Считая, что две различные точки с общим замыканием
двоятся в глазах (а неприводимое замкнутое множество без общей
точки—разновидность зеленого змия!), читатель уяснит выбор
термина «трезвое пространство». Отметим, что каждое хаусдор-
фово пространство трезво (неприводимые замкнутые пространства
в этом случае одноточечны), так же как и спектр
коммутативного кольца с топологией Зарисского (см. [AG], с. 22).
7.22 Предложение. Пусть sob обозначает полную
подкатегорию в esp, объектами которой являются трезвые пространства.
Тогда функтор включения sob -»- esp имеет левый сопряженный.
Кроме того, функтор esp -»- £ор из 1.17 (i) пропускается через
этот левый сопряженный функтор.

250
ГЛ. 7. ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И БАРРА
Доказательство. Пусть (X, U) — произвольное
топологическое пространство. Обозначим через X множество неприводимых
замкнутых подмножеств из X. Для замкнутого множества С ξ Χ
определим подмножество С — Х как множество {F ^X\F sC).
Легко проверить, что (Сг U C2)A = C1UC2 и / Π СсЛЛ = Π Са,
поэтому все С являются замкнутыми множествами некоторой
топологии U на X. Более того, решетка U изоморфна U, а потому
неприводимые замкнутые подмножества из X составляют в
точности множество {FIF&X}. Значит, {X, U)—трезвое
пространство. Далее, имеется непрерывное отображение η: Χ-*-Χ, х<-*{х},
и если /: X-*■ Υ—непрерывное отображение пространства X в
трезвое пространство, то можно определить отображение /: X -»-
-»- Υ, переводящее F ^Х в единственную общую точку множества
f(F) (которое, очевидно, неприводимо в Y). Отображение /
является единственным непрерывным отображением, для которого·
/η = /. Требуемая сопряженность установлена.
Наконец, заметим, что отображение η индуцирует изоморфизм
Shv(X, U)=Shv(X U), так как по определению топос Shv(X,U)
зависит лишь от решетки U. Ε
7.23. Определение, Пусть (X, U) —трезвое пространство.
Определим на точках множества X следующий частичный
порядок:
χ < у тогда и только тогда,
когда же {у} (эквивалентно, {х}^{у}).
Если χ < у, то точку χ называют специализацией точки у, а
точку у — обобщением точки х. Аналогично определяется частичный
порядок па множестве непрерывных отображений Υ -*■ X для
любого пространства У:
f<g тогда и только тогда, когда f(y)<g(y) при всех у е У. Π
7.24 Теорема. Пусть X и Υ — топологические пространства
и X трезво. Тогда категория £ор/'<?(Shv(У), Shv(X))
эквивалентна, частично упорядоченному множеству непрерывных
отображений Υ-*■ X, упорядоченному согласно 7.23.
Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда У —
одноточечное пространство, так что Sh\(Y) = 9*.
Пусть ^-^Shv(X) — точка в Shv(X). Обозначим через Up
объединение всех открытых множеств Ε/ξΧ таких, что p*(U) =
= 0; тогда, поскольку р* сохраняет копределы, p*(Up) = 0.
Кроме того, если Vi, Vi — открытые множества, строго содержащие
Up, то p*(Vl) = p*(Vt)=i; значит, p*(Vl(\Vt)=l ввиду левой
точности р*, откуда V, Π V2 ¥= Up. Но это означает, что замкнутое

7 2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТОПОСЫ
251
множество X—Up неприводимо; пусть х—его общая точка.
Тогда, очевидно, функторы р* и (—)х совпадают на всех подобъек-
тах объекта 1 в Shv(Z), но поскольку оба они сохраняют
копределы, они совпадают всюду. Итак, точка ρ определяется точкой
пространства X, т. е. непрерывным отображением Υ -»- X.
Пусть теперь р, q — две точки из Shv(X), и предположим,
что имеется естественное преобразование η: ρ -»- q. Тогда имеется
отображение р* (Uq) -*■ q* (Uq) = 0, откуда ρ* (Uq) = 0; значит, Uq =
= Up, т. е. ρ «£ q в смысле порядка из 7.23. Обратно, если ^ «£ q,
то для любого U > *1либо />*(С/) = 0, либо q*(U)=l; поэтому
имеется единственное отображение p*(U)-+q*(U) (очевидно,
естественное по U). Но в силу 7.13 р* изоморфно левому
расширению Кана своего ограничения на частично упорядоченное
множество подобъектов в 1; следовательно, это отображение одно-
значпо продолжается до естественного преобразования р* -»- q*.
Рассмотрим теперь случай общего пространства Y. Пусть
Shv (Y) —> Shv (X) — геометрический морфизм. Тогда каждая
у f
точка у пространства Υ задает точку 9* -> Shv (Υ) -*■ Shv (X)
топоса Shv(X), т. е. точку (обозначаемую через) g(y)
пространства X, Поэтому / определяет функцию из множества Υ в
множество X, и если U — открытое подмножество в X, то
g-' (U) = {у е 71 (f*U)y = 1) = f*U.
Следовательно, g непрерывна и геометрический морфизм,
индуцированный ею, изоморфен /. Рассуждения с естественными
преобразованиями аналогичны предыдущим. Π
7.25 Теорема. Пусть топос &, определенный над 9", имеет
достаточно много точек и удовлетворяет (SG) (5.31). Тогда
существует топологическое пространство (X, U) такое, что Ж
эквивалентен Shv(X, U).
Доказательство. Из 5.37 мы уже знаем, что & —
^ Shv(H, С), где Η — полная гейтингова алгебра в 9" (а именно,
Η = 7*(Ω^)) и С — каноническая топология на Н, Поэтому
достаточно найти пространство (X, U) с решеткой топологии U,
изоморфной Н. Пусть X — достаточное множество точек в %>
(существующее в силу 7.17, так как топос Ж ограничен над 91); для
любого подобъекта U > >-1 в <В определим подмножество Φ (Ϊ7) —
si как множество точек {р е X\p*(U)= 1). Так как функторы
р* сохраняют конечные пределы и произвольные копределы, то
отображение φ: γ* (Ω^>) -*-(Ω^,) сохраняет конечные
пересечения и произвольные объединения; поэтому образ Φ является
топологией (обозначим ее через U) на X. Но раз множество X
достаточно, то Φ — мономорфизм, ибо если Ui^U2, то (без
потери общиосп п) C^i Π С^2 > * Uχ не есть изоморфизм, а потому
существует точка р&Х такая, что p*(Ul (1 С/2) = 0, а />*(Е/,) = 1,

252
ГЛ 7 ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И БАРРА
иначе говоря, /?е0(Е/,), но /><= 0 ({/2), Значит, имеется
изоморфизм решеток U &. γ* (Ω#). а потому и гейтинговых алгебр. D
7.26 Определение. Топос, удовлетворяющий
предположениям теоремы 7.25, называют пространственным. Через ©£ор
обозначается полная под-2-категория в £ор/^, объектами которой
являются пространственные топосы. □
7.27 Следствие. Имеется эквивалентность между 2-кате-
гориями ©£ор и sob, где последняя превращается в 2-категорию
с помощью частичного порядка на Ъош-множествах,
определенного в 7.23.
Доказательство. В силу 7.24 функтор sob -»- ©£ор,
(X, U)->-Shv(X', U) является полным вложением, а в силу 7.25
и 7.22 он представителен (т. е. сюръективен с точностью до
изоморфизма) на объектах. Π
7.3. Когерентные топосы
В этом параграфе будет введено одно важное условие малости
для топосов Гротендика, которое (как мы увидим в § 7.4) имеет
непосредственное отношение к геометрическим теориям,
обсуждавшимся в предыдущей главе.
7.31 Определение. Пусть & — топос, а X — объект из &.
(i) Объект X называется компактным, если любое эпиморфное
семейство \Y{ —* X) с концом в X содержит конечное
эпиморфное подсемейство.
(И) Объект X называется стабильным, если для любых мор-
физмов S -»- X ■*- Τ с компактными S и Τ расслоенное
произведение S Xjr T компактно.
(ш) Объект X называется когерентным, если он
одновременно компактен и стабилен. □
7.32 Примеры, (i) Пусть S"—Shv(X), где X —
топологическое пространство. Так как образ любого локального
гомеоморфизма открыт, то легко убедиться, что объект топоса S
компактен в том и только в том случае, когда пространство определения
Ε соответствующего локального гомеоморфизма Ε —> X
компактно в обычном топологическом смысле. Аналогично, если Ε хаус-
дорфово, то соответствующий объект в & стабилен; однако
обратное утверждение в этом случае не обязательно верно. Например,
в Shv (J?) единственным компактным объектом является
начальный объект, а потому все объекты стабильны.
(И) Пусть $ — 9" , где G — группа. Так как любое под-G-
множество в G-множестве Μ представимо в виде объединения
G-орбит из М, то легко убедиться, что Μ компактно в том и
только в том случае, когда множество lim (М) G-орбит из Μ
конечно. В частности, группа G, рассматриваемая как G-множест-

7 3. КОГЕРЕНТНЫЕ ТОПОСЫ
253
во, компактна. Если X—произвольное G-множество, то элемент
х^Х можно рассматривать как G-эквивариантное отображение
G -*■ X; тогда G-орбиты расслоенного произведения GXXG
находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами
стабилизатора Gx элемента χ в G. Поэтому, если X стабильно, то
стабилизатор Gx должен быть конечен при всех ιεΧ; на самом
деле, как легко проверить, это условие не только необходимо, но и
достаточно. Так, например, если G = Ζ, то G-множество
стабильно тогда и только тогда, когда оно не имеет кручения, поскольку
каждая ненулевая подгруппа в G бесконечна. Но если G = Ci x\
то каждая собственная подгруппа в G конечна, а потому
G-множество X стабильно тогда и только тогда, когда в нем нет G-ин-
вариантных точек, т. е. lim (X) = 0. α
-i G
7.33 Лемма. Пусть (G, /) —некоторый сайт, a U — объект
из G. Тогда пучок l(U), ассоциированный с предпучком hv,
компактен в Shv(C, /) в том и только в том случае, когда каждое
J-покрывающее решето на U содержит конечное подсемейство
{ V{ —*· U | i = 1, 2, ..., η) такое, что решето, порожденное морфиз-
мами at, является J-покрывающим.
Доказательство. Предположим, что требуемое условие
выполнено. Пусть \Yi —> ' (С/) | ί е // — эпиморфное семейство.
Тогда решето \V-^U\l(a) пропускается через /< при
некотором i) должно быть /-покрывающим; пусть аь а2, · · ·, ссп —
конечное подсемейство, порождающее некоторое покрывающее
решето. Выберем одно /ί; соответствующее каждому а, в
отдельности; эти отображения образуют эпиморфное подсемейство в
{/ilie/}.
Обратно, предположим, что пучок l(U) компактен. Тогда, если
R — произвольное /-покрывающее решето на U, то семейство
{Ца)\а&Ю эпиморфно в Shv(C, /), и если ЩаО, ..., 1(ап))—
его конечное эпиморфное подсемейство, то решето, порожденное
{аи ..., ап), должно быть /-покрытием. О
7.34 Лемма, (i) Пусть Χ, Υ — объекты топоса 8. Тогда
объект Χ π Υ компактен в том и только в том случае, когда X
и Υ одновременно компактны.
(И) Эпиморфный образ компактного объекта компактен,
(iii) Копроизведение стабильных объектов стабильно.
(iv) Подобъект стабильного объекта стабилен.
Доказательство, (i) Предположим, что сумма XuY
компактна, а \Ζ·% —* Х\ — эпиморфное семейство. Тогда семейст-
во, составленное из морфизмов Z\ *■ Χ π У и морфизма
Υ —* Χ π Υχ эпиморфно, поэтому оно имеет конечное эпиморфное

254
ГЛ. 7. ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И БАРРА
подсемейство. Отбрасывая морфизм v2, мы снова получаем
конечное эшшорфное подсемейство, но в семействе /;.
/ *г
Обратно, предположим, что л и Υ компактны, a \Z$ —>
-* X ц Υ | i e // —эпиморфное семейство. Пусть /, К — конечные
подмножества в /, индексирующие эпиморфные подсемейства в
[vl (/j)|ie/} и {v2(/{) I ie /}; тогда JUK индексирует
конечное эпиморфное подсемейство для /,·.
(ii) Рассмотрим эпиморфизм X —» Υ с компактным X и
эпиморфное семейство \Z{-> Y\ ie //. Тогда семейство {/*(£,·) lie/}
также эпиморфно, а потому оно имеет конечное эпиморфное
подсемейство (с индексами г,, ..., i„, например). Предположим те-
h
перь, что пара У^ Τ уравнивается каждым из морфизмов
h
gi , . . ., gin\ тогда она уравнивается и морфизмом /, но / — эии-
морфизм, а потому h = k.
(Hi) Предположим, что X и Υ стабильны и задана диаграмма
S —fXnY-^T с компактными S и Т. Обозначая v{ (S) через
St и т. п., получаем изоморфизмы S ^ Sj π S2 и Τ = Ttn T2\ но
в силу (i) все объекты S{ и 7\ компактны. Значит, S^XxTi и
S2 Xy Т2 компактны; однако произведение SXxnYT изоморфно
копроизведению этих двух объектов.
Это доказывает требуемый результат для конечных копроиз-
веденнй; что касается бесконечных копроизведений, то для них
отого достаточно, поскольку для всякого морфизма S -*■ \ \ X,
с компактным S имеется лишь конечное число индексов i e /
с ненулевыми v4 {S).
(iv) Рассмотрим диаграмму
где S, Τ компактны, а Υ стабилен. Поскольку / — мономорфизм,
то S Хх Τ si S Χγ Τ, а последний объект компактен, поэтому X
стабилен. Π
7.35 Теорема (Гротендик). Пусть (С, /) —такой сайт, что
С имеет конечные пределы, а топология J порождена некоторой
предтопологией (0.31), каждое покрывающее семейство которой
конечно. Тогда для каждого U&C0 пучок l(U) в Shv(C, /),
ассоциированный с предпучком hv, когерентен. Топос, который
обладает некоторым сайтом определения, удовлетворяющим этим
условиям, называется когерентным.

7.3 КОГЕРЕНТНЫЕ ТОПОСЫ
255
Доказательство. Из 7.33 мы уже знаем, что l(U)
компактен. Предположим, что в Shv(C, /) задана диаграмма
/ ё
X —»· I (U) ^~Y с компактными X и Υ. Но всякий пучок X
представим в виде копредела пучков, ассоциированных с представи-
мыми предпучками, значит, в силу компактности имеется
конечное эпиморфное семейство
{ЦУ,)^Х\1^1, ...,„}.
Аналогично, имеется конечное эпиморфное семейство
{l(Wj)%>Y\j = i ι»}.
fPi
Если топология / не субканоническая, то композиции I (V^ —*-
—* I (U) и I (Wj) —» I (U) могут не получаться из морфизмов
Vi —* U и Wj —* U в С, но это верно локально, т. е. заменяя
каждое Vt и W) последующим (конечным) эпиморфным семейством,
можно считать, что это выполнено. (Сравните с конструкцией
функтора ассоциирования пучка из § 3.3.)
Произведение l(V,) X,(t7) 1{W^)^ ΐ\ν{ Χν Wj) компактно в силу
7.33, но конечное семейство
\l(V{)xKO)l(W}) »-Хх,(и)У|» = 1, ..., n,j = l, ...,τη)
эпиморфно, откуда в силу 7.34 (i) и (и) ΧΧι{υ)Υ компактно*
Итак, пучок l(U) стабилен. □
Даже в когерентном топосе класс когерентных объектов не
обязан быть замкнутым относительно образования произвольных
коуравнителей (см. упражнение 8 ниже). Однако согласно
следующему результату он замкнут относительно образования
коуравнителей отношений эквивалентности.
7.36 Лемма. Пусть & — топос, порожденный компактными
объектами, X — когерентный объект в <%, a R^XX — отношение
эквивалентности с коуравнителем X —»· Y- Тогда Υ стабилен
в том и только в том случае, когда R компактно.
Доказательство. Если Υ стабилен, то, очевидно, R =
^ X Ху X компактно.
Обратно, предположим, что R компактно и задана диаграмма
S -»- Υ ■*- Τ с компактными S и Т. Так как топос & порождается
компактными объектами, то имеется эпиморфное семейство
\Ка —» »SxyX| α(= А) с компактными Ка. Но поскольку / —
эпиморфизм, то композиции Ka—*SxYX—*S задают
эпиморфное семейство; пусть {αϊ, ..., aj — индексы его конечного эпи-
морфного подсемейства. Так как R компактно, а X стабилен, то

256
ГЛ 7 ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И БАРРА
произведение KaXYX = K^XxR компактно, а семейство
Г π та.·XI 1
{Κα{ΧγΧ~ >SxYX\i = i, ..., η)
эпиморфно. Значит, в силу 7.34 (i) и (ii) SXYX компактно;
аналогично, компактно TXYX. Произведение (SXYT)XYX =
ss(S Xr X) ХХ(Т ΧγX) также компактно, поскольку X стабилен,
но так как X —»· Υ — эпиморфизм, то S XYT — эпиморфный
образ (S Χ ΥΤ) χ ΥΧ. Следовательно, S Χ ΎΤ компактно в силу
7.34 (ii). Π
7.37 Предложение. Пусть <% — когерентный топос, a «fcoh
обозначает полную подкатегорию когерентных объектов в <§.
Тогда ^fcoh обладает следующими свойствами:
(i) SOob имеет конечные пределы.
(ii) SOqk. имеет конечные копроизведения, которые
дизъюнктны и универсальны (см. 0.42).
(ш) &соь. имеет коуравнители отношений эквивалентности,
и они универсальны.
(iv) Каждое отношение эквивалентности в &Соь эффективно
и каждый эпиморфизм в <£саъ является коуравнителем.
(ν) Категория S"coh существенно мала, т. е. эквивалентна
малой категории.
Доказательство. Пусть (С, /) —сайт определения то-
поса <§, как и в 7.35, а стрелка С —* S обозначает композицию
вложения Йонеды и функтора ассоциирования пучка, как и выше,
(i) Конечный объект из <§, очевидно, является конечным и в
<??coh, поскольку он лежит в образе функтора I, а потому остается
проверить существование в <?Гсо11 расслоенных произведений. Пусть
р "X
+ *
γ »ζ
— декартов квадрат в ё", и предположим сначала, что Χ, Υ и Ζ
компактны. Тогда имеется конечное эпиморфное семейство
U(Ut) -»- Ζ\ί — 1, ..., η}; представляя затем подъемы l(U{)XzX и
l(Ui)XzY в виде копределов представимых пучков, мы находим
для каждого ί конечное число коммутативных квадратов
Щ) " X Щ„) ► У (/ = 1. . mt. k = 1,. , Pi)
\ i
1(U) у Ζ /(U) ► Ζ

7.3 КОГЕРЕНТНЫЕ ТОПОСЫ
257
таких, что семейства
{l(Vv)-*X\i=l, ..., η, 7 = 1, ..., τη,)
il(Wlh)-+Y\i = i, ..., η, k = i, ...,ρ,}
эпиморфны. Тогда, очевидно, эпиморфно и семейство
[ЦУц) X i(Pi)Z (Wift) -> Ρ Ι ί = 1, . . ., η, j = 1, . . ., mf, λ; = 1, . . .
• · ·, Pi},
но произведения I (Vy) Χ ΐ(υ4)ί (Wis) компактны в силу 7.35, а
потому и Ρ компактно.
Предположим теперь, что Χ, Υ и Ζ стабильны и задана
диаграмма S -»- Ρ ■*- Τ с компактными S и Т. Тогда легко убедиться,
что квадрат
S χ Т> >- S χ γ Τ
S χ , Τ> S χ , Τ
декартов; поэтому в силу приведенного выше рассуждения
произведение SXpT компактно. Значит, Ρ стабильно.
(ii) Существование конечных копроизведений вытекает из
7.34 (i) и (iii); их дизъюнктность и универсальность следует из
соответствующих свойств в & (1.57 и 1.51).
(iii) Аналогично, существование коуравнителей отношений
эквивалентности вытекает из 7.36, а их универсальность — из 1.51.
(iv) Снова эффективность отношений эквивалентности
вытекает из 1.23, поскольку мы уже знаем, что их уравнители лежат
в cfcotT, второе утверждение можно вывести из 1.53, предполагая
доказанным, что каждый эпиморфизм из 8соъ является
эпиморфизмом в &'.
f
Пусть Χ—>Y— эпиморфизм в <§°«>ΐι, a Y^XQ— его коядер-
ная пара в <S. Тогда ядерная пара эпиморфизма Υπ Υ-» @
изоморфна Υπ In I uY, где / — образ / в S (см. 1.55), но /
компактен в силу 7.34 (ii), поэтому Q стабилен, а значит, и
когерентен в силу 7.36. Следовательно, пара морфизмов Y^tQ лежит в
<??c0h, откуда получается их совпадение, т. е. эпиморфность /в<??.
(ν) Из 7.36 вытекает, что каждый когерентный объект в &
изоморфен каноническому коуравнителю некоторого компактного
отношения эквивалентности на конечном каноническом
копроизведений объектов из образа функтора I. Но имеется лишь
множество таких канонических пределов; поэтому мы можем их
использовать для конструкции малой полной подкатегории в ^"соь
такой, что ее функтор включения является эквивалентностью
категорий. Π

258
ГЛ 7. ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И БАРРА
7.38 Определение ([GV], VI 3.11). Малая категория,
удовлетворяющая первым четырем условиям из 7.37, называется
предтопосом. На предтопосе Ε определим предканоническую
топологию как топологию, порожденную предтопологией (0.31),
покрывающими семействами которой являются все конечные
эпиморфиые семейства из Е. (Предположения универсальности
из 7.37 (ii) и (iii) гарантируют выполнение для этих семейств
всех условий из 0.31.) □
Отметим, что предтопос является точной категорией в смысле
Барра [2], поскольку эпимопоразложение произвольного морфиз-
ма может быть получено способом из 1.52. Обратно, (малая)
точная категория Ε будет предтопосом в том и только в том случае,
когда Ε имеет конечные копроизведения, которые дизъюнктны и
универсальны, и каждый эпиморфизм в Ε является коуравните-
лем. А так как каждый эпиморфизм в предтопосе есть коуравни-
тель, то легко проверить, что предканоническая топология
является субкаиоиической, и в действительности она может быть
охарактеризована как наибольшая субканоническая топология на Е,
для которой каждый представимый предпучок компактен.
7.39 Лемма. Пусть Ε — предтопос, а Р — предканоническая
топология на Е. Тогда вложение Йонеды Ε —> Shv (Ε, Ρ)
сохраняет конечные копроизведения и коуравнители отношений
эквивалентности.
Доказательство. Отметим сначала, что начальный объект
категории Ε (т. е. пустое копройзведение) Р-покрывается пустым
решетом, а потому h сохраняет его.
Пусть теперь U —»· W <— V — диаграмма копроизведения в Е,
a R > у hw— (очевидно, Р-покрывающее) решето, порожденное
α и β. Так как квадрат
О » U
I > * .И'
декартов, то, очевидно, морфизм Л-+Х из 91 определяется
произвольной парой морфизмов hv -»- X, hv -»- X, совпадающих
при ограничении на h0, т. е. квадрат
■ ■
К ► R
кодекартов в Ρ · Применяя функтор ассоциирования пучка,

7.3. КОГЕРЕНТНЫЕ ТОПОСЫ
259
получаем кодекартов квадрат
+ 4·
в Shv(E, Ρ), т. е. hw есть копроизведение пучков hO и hv.
α ν
Аналогично, если U ^t V —* W — коуравнитель отношения
Ρ
эквивалентности в Е, a R > *■ hw— решето, порожденное γ, то
R является Р-покрытием; с помощью рассуждений, аналогичных
предыдущим, получаем, что оно совпадает с коуравнителем пары
Е°Р
hu^hy в Я' . Поэтому hu ^* hv -*- hw — коуравнитель в
Shv(E, P). □
7.40 Теорема (Гротендик). Пусть <§ — топос Гротендика,
Следующие условия равносильны:
(i) & когерентен.
(И) Существует предтопос Ε такой, что df^Shv(E, P), где
Ρ — предканоническая топология на Е.
Более того, предтопос Ε определяется по & однозначно с
точностью до эквивалентности.
Доказательство. (ii)=*-(i) очевидно, поскольку сайт
(Ε, Ρ) удовлетворяет условиям из 7.35.
(i)=»-(ii). Пусть Ε — малая подкатегория категории <??COh,
построенная согласно 7.37 (ν). Тогда в силу 7.37 Ε — предтопос,
поэтому достаточно показать, что топология / на Е,
индуцированная &, является предканонической. Но, очевидно, J^P, так как
/ субканоническая и каждый объект из Ε компактен. Далее,
если (V, -»- U) — конечное эпиморфное семейство в Е, то в силу
рассуждения из 7.37 (iv) оно также эпиморфно в <§, а потому
каждый объект из <% удовлетворяет аксиоме пучка для этого
семейства. Значит, Ре/.
Чтобы установить последнее утверждение теоремы, нужно
показать, что если Ε — предтопос, то каждый когерентный объект
топоса Shv(E, P) изоморфен представимому пучку. Но если
пучок X когерентен в Shv(E, P), то имеется конечное эпиморфное
семейство {fe(E/4)->- XI i = 1, ..., η), а значит, и эпиморфизм
h (п^) = Пм^) -'—х.
\i=l / »=1
Обозначим JJ U\ через U, а ядерную пару морфизма / — через
а
R=Zh(U); тогда в силу 7.36 R компактен, а потому имеется
ь
g
еще один эпиморфизм h(V) —»■ R. Ядерная пара для?совпадает

260
ГЛ 7. ТЕОРЕМЫ ДЕЛПНЯ II БАРРА
с ядерной парой композиции
h (V) -1 R >^ h (U) X h (U) ^h(UX U),
но эта композиция получается из морфизма V -»- U X U категории
Е, так как функтор h полон и унивалентен. Следовательно,
ядерная пара морфизма g лежит в образе h, а потому R и X лежат
в образе h. Итак, предтопос Ε эквивалентен категории Shv (E, P)coh,
а значит, определен по & однозначно с точностью до
эквивалентности. Π
7.4. Теорема Делиня
Теперь мы докажем одну важ(ную теорему Делиня ([GV], VI,
9.0), утверждающую, что каждый когерентный топос имеет
достаточно много точек. Пусть (С, /) — некоторый сайт,
удовлетворяющий предположениям из 7.35; мы будем работать с классом
псевдоточек в С (7.15), которые задаются фильтрованными
частично упорядоченными множествами. Пусть Ρ = (Ui\i&I\ и
Q = (Vh\k^K)—две такие псевдоточки. Псевдоточку Q
называют измельчением псевдоточки Р, если существует сохраняющий
порядок мономорфизм / > >К такой, что диаграмма
I -► сор
К
коммутативна. Поэтому наша цель — показать, что любая
псевдоточка из С имеет подходящее измельчение, которое уже
является псевдоточкой из (С, /). Если Ρ = (E/(Ue I) — псевдоточка,
то для удобства той же буквой Ρ обозначается функтор обратного
образа, ею определяемый:
5с°Р->^, X ~ limi (X (£/,)).
Существенный индукционный шаг требуемой конструкции
содержит следующая
7.41 Лемма. Пусть Ρ = (U{\i e I) — псевдоточка в С, X —
некоторый J-пучок на С. а х, у — два различных элемента из
Р(Х). Пусть (Vj —»- VI/ == 1, ..., η) — конечное J-покрывающее
семейство в С, α ν — элемент из P(hv). Тогда существует такое
измельчение Q псевдоточки Р, что: (а) образы элементов χ и у
при естественном отображении P(X)-+Q(X) различны и (Ь) об-
п
раз элемента ν в Q(hr) лежит в U im{Q(ftv})-*-Q(flv))·

7 4 ТЕОРЕМА ДЕЛИнЯ
261
Доказательство. По определению элемент ν происходит
из морфизма вида Uio~*-V при некотором ioeL Для каждого
i 5= ί0 и каждого / образуем декартов квадрат
U.. ► V.
•j j
- ■
и—> и. —► ν
I III
тогда семейство (Uti■,-+■ Ut\j = 1, ..., η) является /-покрытием,
η
а потому X (Ui)-*■ \J_ X (Uij) — мономорфизм. Но фильтрованные
j=i
копределы сохраняют конечные произведения и мономорфизмы,
поэтому имеется мономорфизм
Ρ {X) -^Нпц X (Ut) - Hm(,o/I) X (Ut) > * Π (Ita(yi) X (^ ϋ))·
В частности, можно указать такой номер к, что элементы χ я у
имеют разные обзоры в lim^ /^ X (Uik). Пусть К — множество
вида / X (0) U(i0//)X {1} с упорядочением произведения (т. е.
(ΐ, /)<(Γ, /') тогда и только тогда, когда ίίϊ и /</'); тогда
соответствующая категория К фильтрована и сопоставление
(i,0)~t/b (t,l)~Uih
определяет лсевдоточку Q с индексами в К. Очевидно, для
любого предпучка Υ на С имеется изоморфизм Q (Y) =
^ Нпь{ j\\ Y (Uih); поэтому псевдоточка Q обладает требуемыми
свойствами. □
7.42 Лемма. Пусть К, Χ, χ и у таковы, как в 7.41. Тогда
существует такое измельчение Q псевдоточки Р, что: (а) образы
элементов χ и у при естественном отображении P(X)-+Q(X)
различны и (Ь) для каждого объекта V из С, каждого J-покры-
вающего решета R на V и каждого ve,P(hv) образ ν в Q(hv)
лежит в образе мономорфизма Q(R)> *-Q(hv).
Доказательство. Обозначим через Ζ множество троек
(V, й, ν), где V^zCo, R — конечно порожденное /-покрывающее
решето на V, a v<^P(hv). Вводя на Ζ структуру некоторого
вполне упорядоченного множества, мы можем индексировать его
элементы некоторым ординалом а. Теперь по трансфинитной
индукции определим последовательность псевдоточек (ζ)ρ|β=£α):
Q0 = P.

262
ГЛ 7 ТЕОРЕМЫ ДЕЛИИЯ II БАРРЛ
Если β = γ + 1, то точка Qd получается из точки @т примене-
пием леммы 7.41 к конечному порождающему семейству
(Vy. ->- Vy I / = 1, ..., «ν) ретета й,ак образу νΊ в Qy (^νν)·
Если β — предельный ординал, то Q» есть единственное общее
измельчение точек @т (γ<β), фильтрованное частично
упорядоченное множество которого является копределом частично
упорядоченных множеств для Q·,.
Тогда легко убедиться, что образы элементов χ и у в Q»(X)
различны при всех β и что при γ < β образ элемента ит в @ρ(^νν)
лежит в образе множества @9(йт). Следовательно, Qa и есть
требуемое измельчение точки Р. □
Псевдоточка Q, построенная в 7.42, не обязана удовлетворять
условию ил 7.15, поскольку некоторые элементы из Q(hv) могут
не лежать в образе отображения P(hv)-+ Q(hv). Однако это
можно исправить последующей индукцией длины ω.
7.43 Лемма. Пусть Ρ, Χ, χ и у таковы, как в 7.41. Тогда
существует псевдоточка Q в (С, /), являющаяся измельчением Ρ
и такая, что образы элементов χ и у в Q(X) различны.
Доказательство. Зададим последовательность псевдоточек
Р„, полагая Р0 = Ри определяя Рп+1 как измельчение Рп,
построенное согласно 7.42. Пусть Q — копредел последовательности Рп\
тогда, очевидно, Q(Y) = limPn(Y) для любого предпучка У
на С. Значит, элементы χ и у имеют различные образы в Q(X),
и если R > >hv — некоторое/-покрывающеерешето, то каждый
элемент в Q(hv) происходит из некоторого элемента в Pn(hv)
при некотором п, а потому — из элемента в Pn+i(R).
Следовательно, в силу 7.15 Q является псевдоточкой в (С, /). □
7.44 Теорема (Делинь). Каждый когерентный топос имеет
достаточно много точек.
Доказательство. Пусть <?? = Shv(C, /), где (С, /) —
сайт, удовлетворяющий предположениям из 7.35. Достаточно по-
1
казать, что для любой параллельной пары Υ^ίΧ в & с /^ g
имеется точка q в <§ такая, что ?*(/)^ q*(g). Но, конечно, можно
найти и^Сп и y&Y(U) с fu(y)^gu(y); применим теперь 7.43
к этой паре элементов к X(U), беря в качестве Ρ псевдоточку в
С, задаваемую тривиальной фильтрованной системой (С/). Тогда
получим псеидоточку Q в (С, /), а потому и точку q в & такую,
что образ элемента у в q*(Y) имеет различные образы
относительно ?*(/) и q*(g). □
Точно так же, как теорема 7.16 является категорным
вариантом теоремы Лёвеигейма — Скулема, доказательство теоремы 7.44
должно напомнить теорему Гёделя— Генкина о полноте для
финитарных теорий первого порядка. В действительности, как
показали Маккаи и Рейес ([MR], [RM], [82]), этой связи между
теоремой 7.44 и теоремой о полноте можно придать более явную

7 4. ТЕОРЕМ К ДЕЛИНЯ
263
форму; сейчас мы приведем достаточно подробный набросок их
рассуждений.
Пусть J = (?]L A) — финитарная геометрическая теория.
Прежде чем обсуждать теорему о полноте для такой теории Т»
необходимо уточнить понятие доказуемости в Т", иначе говоря,
задать множество L секвенции языка L, называемых логическими
аксиомами, и множество правил вывода, которые позволяют из
одних секвенций получать другие. Для экономии места мы не
приводим здесь полного списка аксиом и правил вывода
(интересующийся читатель может найти его в [22]); отметим только,
что в правиле силлогизма (из (0^~ψ) и (ψ^χ) выводится
(0^""ЗС)) предполагается, что каждая свободная переменная
формулы ψ встречается либо в Ф, либо в χ. (Это соответствует
ограничению на правило modus ponens в § 5.4 при обсуждении языка
Митчела — Бенабу.) Секвенцию (Φΐ-ψ) языка JL называют
доказуемой в Т, если она получается из множества секвенций
L U А применением конечного числа правил вывода, а две
формулы Φ и ψ с одним и тем же множеством свободных переменных
называют доказуемо эквивалентными, если секвенции (Ф\-^) и
(ψΗ-0) доказуемы в Т·
Теперь мы переходим к построению категории Ст,
называемой синтаксической категорией теории Т". объект категории С-р
есть класс эквивалентности формул языка Ζ по отношению
Φ ~ ψ, которое выполнено в том и только в том случае, когда
формула ψ получается из формулы 0 (сохраняющей тип)
заменой переменных в Ф. Чтобы определить морфизмы Φ -»- ψ в С-р,
прежде всего предположим, что Φ и ψ не имеют общих свободных
переменных (пусть (х,, ..., хп)—свободные переменные
формулы Ф, а (у,, ..., у„,) — свободные переменные формулы ψ). Тогда
морфизм Φ -»■ ψ определяется как класс доказуемо эквивалентных
формул θ таких, что:
(a) свободные переменные формулы θ суть в точности (хь ...
(b) θ «доказуема на графике функции из Φ в ψ», т. е. в Г
доказуемы секвенции
θ(χ„ .. ., х„, у„ ..., ym)h- Ф(хи ..., х„) Λ Ψ(Υι, ···, У™),
Φ (χ,, ..., χη) Η 3 yt... 3ym6 (Χι, ..., χ„, у,, ..., ym)
и
Ό (Xl7 . . . , Χη, Ух, · · ·, Ym
)Λ Θ(Χ1' · ··' Χ™' Уь ·· ·, y'm) l·
7*1
h Λ (у< = уД
[Во избежание путаницы мы обозначаем через {Ф) класс
эквивалентности формулы Ф, рассматриваемый как объект категории

264
ГЛ 7 ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И БАРРА
Cj, а через [Ф] — класс эквивалентности Ф, рассматриваемый как
морфизм.]
Определим композицию двух морфизмов
μ (χ)} >- {ψ (у)} —— {χ (ζ)}
в Ст как класс [3у0(х, у) Λη(Υ, ζ)]; тождественным морфиз-
мом на {Ф(х)} является морфизм
(л ι \1 [х=х'Лг>«] ,, . ,.-.
{Ф (X)} ν {Ф (X )}.
Непосредственно проверяется, что Су — действительно категория.
Более того, С^ имеет конечные пределы; объект {истина}
является конечным (так как для любой формулы Φ морфизм \Ф\ как
легко убедиться, является единственным морфизмом из ίΦ) в
{истина}, а расслоенное произведение диаграммы
['1(4 ')]
ΐφ{Χ))—± -'/(ζ)!
задается объектом {3ζ(θ(χ, ζ)Λη(Υ, ζ))}. (В действительности
категория Су регулярна и имеет универсальные конечные
объединения подобъектов; однако эта дополнительная информация в
дальнейшем нам не понадобится.)
Семейство морфизмов
( Γθ(Χ;,)Λ1 \
\{Φά*ϊ))——-Жу)}|»' = 1, ...,nj
называется доказуемо эпиморфным, если в Τ доказуема
секвенция
Ф(У)Ь- V Эх{0г(Х|,У)·
г=1
Снова непосредственно проверяется, что конечные доказуемо эпи-
морфные семейства задают предтопологию на Су; через Jy
обозначается порожденная ею топология. Отметим, что топология Jy
субкаионическая, ибо если
— совместимое семейство морфизмов относительно доказуемо
эпиморфного семейства ([Gi(Xi, у)]), то любая факторизация
морфизмов Цг через Qt доказуемо эквивалентна
V 3χ{(θ(χί^)Ληί(χί,ζ))

7 4 ТЕОРЕМА ДЕЛШТЯ
265
В тех случаях, когда категория С^ оказывается предтопосом,
топология /т является просто предкапонической топологией в
смысле определения 7.38.
7.45 Теорема (Жуаяль—Рейес). Пусть Τ — финитная
геометрическая теория. Тогда топос Shv(CT, Jj\ является
классифицирующим топосом для 1-моделей в топосах Гротендика.
Доказательство. Пусть <§ — топос Гротендика, а М —
некоторая Т-модель в <%. Конструкция интерпретации любой
формулы Φ языка L объектом МФ в <%, данная в § 6.5,
фактически определяет функтор C^-^^· (Для доказательства этого
нужна теорема когерентности для теории Т, т. е. доказательство
справедливости в каждой модели теории Τ секвенции, которая
доказуема в Т, а это получается непосредственной индукцией.)
Более того, этот функтор точен слева и преобразует доказуемо
эпиморфные семейства из Ст в эпиморфные семейства в с?;
поэтому в силу 7.13 он определяет геометрический морфизм
<§ —>■ Shv (Ст, J jλ. Обратно, предположим, что задан точный слева и
непрерывный функтор Т: Су-^ё?. Тогда можно определить
интерпретацию Μ языка L в &", положив
М* = Г({х = х}), ЛГ„=-Г([а(х1? ..., Хп) = у]),
Мг = Г({г(х„ ..., хп)>);
непосредственная индукция показывает, что МФ = Т({Ф)) для
любой формулы Ф. В частности, из этого вытекает, что
Μ—модель теории Т, и функтор Сх~>■ &', индуцированный ею,
естественно изоморфен функтору Т. Отсюда получается
эквивалентность категорий Τ (<§) ~ Хоу/З* ( cf, Shv (С-ц-, J'v))· D
На первый взгляд кажется, что теорема 7.45 не имеет никаких
существенных преимуществ перед семантической конструкцией
классифицирующего топоса теории Τ из 6.56. Конечно, эта
теорема показывает, что9"[Т]—когерентный топос; однако на самом
деле эту информацию можно также извлечь тщательным
анализом «топологий вынуждения», использованных в доказательстве
теоремы 6.56. Реальное же преимущество синтаксической
конструкции топоса 91 [Т] заключено в возможности получить теорему
о полноте для финитарных геометрических теорий прямо из
теоремы 7.44:
7.46 Следствие. Пусть Τ—финитарная геометрическая
теория. Тогда секвенция (Φ \- ψ) доказуема в Τ в том и только
в том случае, когда она верна в каждой Τ -модели в 9?.
Доказательство. Обозначим через Μ общую Т-модель
в S1iv(Ct, /t)· Поскольку точный слева непрерывный функтор
Ct->-S1iv Ct, Jt), соответствующий М, есть просто вложение
Йонеды, то легко убедиться, что секвенция (^Ηψ) верна в Μ

266
ГЛ. 7 ТЕОРЕМЫ ДЕЛИИЯ И БАРРА
тогда и только тогда, когда она доказуема в Т. Но топос
Shv (С]г, /τ) когерентен, а потому в силу 7.44 он имеет
достаточно много точек; значит, секвенция верна в Μ тогда и только
тогда, когда она верна в каждой Т-модели в Я?. □
Следует отметить, что предыдущее рассуждение можно
обратить и вывести теорему Делиня из теоремы о полноте. Наиболее
существенным шагом в этом направлении является следующий
результат:
7.47 Предложение. Пусть <§ — когерентный топос. Тогда
существует финитарная геометрическая теория Τ такая, что
Доказательство. Пусть df^Shv(C, /), где (С, /)
—некоторый сайт, удовлетворяющий предположениям из 7.35. Мы
дадим геометрическое представление «теории точных слева
непрерывных функторов на С»; в силу 7.13 этого достаточно для
доказательства.
При конструкции языка JL возьмем в качестве типа каждый
объект из С, а в качестве функционального символа сигнатуры
ее
(U; V) каждый морфизм U—>-V из С. В качестве аксиом теории
Τ берутся следующие секвенции:
(a) секвенция истина 1-1^(11) = и для каждого объекта U;
(b) секвенция
истина \- βα(ιι) = β (α (и))
для каждой компонуемой пары;
(c) секвенции истина hi = i' и истина Ьл1 (i = i), где i, i' —
переменные типа 1;
(d) секвенции
γ(ιι) = δ(ν)Η3ρ(α(ρ) = ιιΛ β(ρ)=-ν)
α(Ρ) = α(Ρ')Λβ(ρ)=β(Ρ')Ι-Ρ='Ρ'
для каждого декартова квадрата
Ρ ►(/
V + W
(e) секвенция
η
u = uh V 3vi(ai(vi) = u),
ί=ι
где дизъюнкция справа интерпретируется как ложь при η = О,
для каждого конечного /-покрывающего семейства
(ν^υ\ί = ί η).

7 4 ТЕОРЕМА ДЕЛННЯ
267
(Отметим, что если сайт (С, /) является предтопосом с его
предканонической топологией, то аксиомы группы (е) можно
заменить аксиомами, относящимися к конечным копроизведениям
и коуравнителям отношений эквивалентности, поскольку эпи-
морфных семейств, ассоциированных с ними, достаточно для
порождения нужной топологии.)
Теперь легко проверить, что интерпретация теории Τ в
некотором топосе &~, удовлетворяющая аксиомам (а) и (Ь), есть
просто функтор С ~+ &~, и этот функтор удовлетворяет аксиомам
(с) и (d) тогда и только тогда, когда он точен слева, и аксиоме
(е) тогда и только тогда, когда он непрерывен. Π
Из доказательства предложения 7.47 очевидно, что если
обобщить наше определение геометрического языка, допустив
бесконечные дизъюнкции формул (но с ограничением, что число
свободных переменных любой формулы конечно), то каждый топос
Гротендика будет описышаться как классифицирующий топос неко-
которой обобщенной геометрической теории. На самом деле имеется
и обратный результат; подходящее изменение конструкции
синтаксического сайта (Ст, /■?) позволяет построить
классифицирующий топос для любой обобщенной геометрической теории.
Конечно, существуют топосы без точек, поэтому мы не смеем надеяться
получить теорему о полноте для этих обобщенных теорий,
близкую к 7.46; однако теорему Барра, которую мы докажем в
следующем параграфе, можно рассматривать как булевозначную
теорему о полноте, т. е. как утверждение, что доказуемость
равносильна истинности в каждой булевозначной модели. .Здесь
мы не будем развивать эту идею; гораздо более подробный обзор
теории топосов Гротендика с этой точки зрения читатель может
найти в [MR].
Этот параграф мы закончим двумя замечаниями, относящимися
к финитарным геометрическим теориям; второе из них выполняет
обещание, данное в § 6.5.
7.48 Замечание. Предположим, что когерентный топос &
удовлетворяет (SG). Тогда в силу 7.44 топос %> имеет достаточно
много точек, а потому в силу теоремы 7.25 он пространствен,
т. е. существует такое топологическое пространство X, что $ —
— Shv(^). Из описания компактных объектов в Shv(X), данного
в 7.32 (i), нетрудно вывести, что топос Shv(^) когерентен в том
и только в том случае, когда множество компактных открытых
подмножеств в X замкнуто относительно конечных пересечений
и задает базис топологии пространства X. Если потребовать
дополнительно трезвость .Y (7.21 (и)), то это будет в точности
определением спектрального пространства по Хохстеру [169].
Ввиду примера 6.59 (ί) мы можем теорему Хохстера о том, что
каждое спектральное пространство гомеоморфно простому спектру
некоторого коммутативного кольца, интерпретировать как
утверждение, что каждая финитарная геометрическая теория, класси-

268
ГЛ 7. ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И БАРРА
фицирующий топос которой удовлетворяет (SG), эквивалентна по
Морите теории локализаций некоторого коммутативного
кольца. Π
7.49 Замечание. Пусть (С, /)—сайт, удовлетворяющий
предположениям из 7.35. Из 7.47 мы знаем, как представить
теорию точек в Shv(C, /) в виде финитарной геометрической
теории; также имеется следующее представление теории пучков на
(С, /): снова в качестве типа мы берем каждый объект из С,
а в качестве функционального символа сигнатуры (V; U) на этот
ос
раз берем каждый морфизм U—*-V из С. В качестве аксиом
берем:
(a) секвенцию истина \- iu(u) — u для каждого объекта U;
(b) секвенцию
истина h βα(\ν) = α (β (w))
для каждой пары компонуемых морфизмов U -*■ V -*■ W;
(c) для каждого конечного /-покрывающего семейства
[Vi ~*-U\ i = 1, ..., η) секвенции
Λ (оц (и) = Щ (и')) h» = «'
ί=ι
Λ (Ρ« (νί) = Ία Κ)) l· Эй Λ αί (") = vt),
i,i \ ί=ι
где квадраты
W.
ч
ι''
ν
β.j
■+V.
->υ
декартовы.
Обозначив через S предыдущую теорию, убеждаемся, что
S--модель в топосе Гротендика &~ есть просто пучок ^"-объектов
на (С, /), т. е., функтор Сор -»- #", удовлетворяющий аксиоме
пучка (в диаграммной форме) для каждого /-покрывающего
семейства. Но из 4.35 и 4.47 легко вывести, что категория таких
пучков есть просто расслоенное произведение 9" X ^Shv (С, /)
в 55£ор/^; поэтому имеются эквивалентности
Sop/S? (Ρ, 9> [$]) ~ & X д, Shv (С, /) ~
~5:op/^(^X^Shv(C, /), 94U]),
т. е. топос ^[S] является экспонентой !?[U] v( в Xof/9".

7.5. ТЕОРЕМА БАРРА
269
Более того, если D — произвольная малая категория, а Ю —
теория диаграмм типа D, то экспоненту 9* [D]Shv[ ' можно
построить как классификатор теории диаграмм типа D в Shv(C, /).
Но тогда для любой топологии к в 9* [ D] мы можем, используя
топологии вынуждения, как и в 6.60 (iii), получить экспоненту
shk(9' [D]) v ' . Но топос 9' представим ввиду пучкового
подтопоса в 91 [D] относительно включения, которое представляет
теорию плоских предпучков на Dop как частную теорию диаграмм
типа D, откуда можно получить экспоненту Shv (D, /,)δ1ιν'χ·'ί]
для любого топоса Гротендика Shv(D, L). □
7.5. Теорема Барра
Как мы уже знаем из § 7.1, существование достаточного
множества точек ^-топоса %> эквивалентно существованию сюръек-
ции 9ΊΚ -»- (g для некоторого множества К. Однако для многих
целей достаточно потребовать выполнение более слабого
предположения, а именно, что существует сюръекция <£*-*-^Г,где топос
SF удовлетворяет (АС). Например, если мы хотим доказать
коммутативность определенной диаграммы в %> или то, что некоторая
ее часть является конечным пределом или копределом, то
достаточно (поскольку функтор /* точен и унивалентен) доказать
нужный результат для соответствующей диаграммы в &~, а при
его доказательстве в #" может оказаться полезным то, что
эпиморфизмы расщепимы, а мономорфизмы имеют дополнения.
Существование такой сюръекции для произвольного топоса
Гротендика впервые доказал Барр [4]; однако первый шаг его
рассуждений мы слегка упростим, следуя Диаконеску.
7.51 Теорема. Пусть %> — топос Гротендика. Тогда
существует сюръекция такая, что топос &" удовлетворяет (SG).
Доказательство. Пусть <?f=Shv(C, 7). Сначала мы
докажем требуемый результат для предпускового топоса 91 , а
затем для самого топоса %>.
Пусть Ρ — частично упорядоченное множество, объектами
которого являются все конечные компонуемые последовательности
морфизмов из С (т. е. и-ки (а,, а2, ..., а„) с й,(а;) = ώ0(αί+ι) при
i^i<Cn), упорядоченные так, что Wi^w2 в том и только в том
случае, когда w2 заканчивает wt (т. е. когда существуют мор-
физмы «ι, ..., ak такие, что Wi=(a,i, ..., ak, w2)). Отображение
d; Ρ -»- Со, переводящее (at, ..., a„) в dB(ai), очевидным образом
продолжается до функтора (Р->-С), и этот функтор очевидно
сюръективен на объектах. Значит (см. упражнение 4.2), он инду-
рор d -_.c°P
цирует геометрический морфизм 91 -*■ 9* , являющийся сюръ-
рор
екцией; но в силу 5.34 (i) топоса удовлетворяет (SG).

270
ГЛ 7. ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И БАРРА
Определим теперь топологию Гротендика К на Р, считая
решето S >——»- hw /ί-покрывающим тогда и только тогда, когда для
всех ιν' =ζ ιν множество
id(w")-*d(w')\w" <ш'и w" sS}
является /-покрывающим решетом на d(w'). To, что указапные
решета удовлетворяют первым двум условиям из 0.32,
проверяется непосредственно; для проверки третьего условия рассмотрим
два решета S и Τ на ιν такие, что S — ^-покрывающее решето и
для каждого ιν' <= S решето {ιν" ^Τ\ιν" ζ»'} является Я-покры-
вающим на ιν'. Тогда для любого ιν0^ ιν решето
{d(w')-+d(w0)\w' ζζιν0 и !c'eS)
является /-покрывающим, и для каждого такого ιν' решето
{d(w")-+d(w')\w" =ζυ>' и ιν" ef)
является /-покрывающим на d(w'). Отсюда в силу условия 0.32
(ш) для / решето
{d(w")-+d(w0)\w" *ζιν0τι w" ef)
является /-покрывающим, а потому Τ является ^-покрывающим.
Теперь утверждается, что мономорфизм R > >■ X из ^с
/-плотен в том и только в том случае, когда ^-плотен его обратный
образ d*R > >■ d*X в Э' . Очевидно, при доказательстве этого
можно предполагать, что объект X представим, т. е. X=*hu;
поэтому остается показать, что R является /-покрывающим
решетом на U в том и только в том случае, когда для каждого
иеРи каждого d(w)-*-U из С решето
{ψ' < ιν | d{w') -^d(iv)-^U^R(d(w'))}
является ^-покрывающим. Но если решето R является
/-покрывающим, то /-покрывающим будет и подъем a*R, а потому
решето, указанное выше, является ^-покрывающим. Обратно, если
указанное выше условие выполнено, то возьмем w—(lu) и a=iu,
откуда сразу получим, что решето R должно быть
/-покрывающим.
Согласно предыдущему и 3.47 композиция
Shv(P,*)-><?'p0p4-^op
пропускается через включение Shv(C, /) -^Э' , и
факторизация Shv (Ρ, K)-*-Shv (С, /) является сюръекцией, ибо если
d*a — изоморфизм в Shv(P, К), то морфизм Ζ* (σ)/-биплотен в

7 5 ТЕОРЕМА БАРРА
271
9" , а потому σ —изоморфизм в Shv(C, /). Но топос Shv(P, К)
удовлетворяет (SG) в силу 5.34. □
7.52 Замечание. Нетрудно проверить, что квадрат
Shv(P, К) - ► Shv (С, J)
декартов в £ор, т. е. К — топология подъема, определенная в 3.59
(iii). Однако в общем случае неверно, что если имеется такой
декартов квадрат с сюръекцией d, то d — сюръекция (см.
упражнение 1 ниже); именно поэтому в 7.51 нам понадобилось явное
описание топологии К. Π
На следующем этапе доказательства теоремы Барра нам
потребуется результат, утверждающий, что для любого
(элементарного) топоса %> имеется сюръекция &—>-<£ с булевым топосом
&. При доказательстве этого факта мы следуем рассуждению
Фрейда [FK].
7.53 Лемма. Пусть Χ^Υ— параллельная пара морфизмов
g
в топосе <§° такая, что f^g, Тогда существуют булев топос 38 и
ρ
геометрический морфизм &-*■& такие, что p*f¥=p*g.
Доказательство. Предположим, что X = 1, так что / и
g — глобальные элементы в Y. Пусть £/>->1—их уравнитель;
тогда £7=^1, а потому топос sh.c & невырожден, так как U
являли
ется /^-пучком. Обозначим через ρ композицию включений
^ = 8hnn (She («·)\·^8ΐΐ.Ε (&)ij*&,
\ W 1 W
но eq(i*/, i*g)=i2*^ = 0 в sh C (<£), откуда eq (p*f, p*g) ^ г*0 ^
iu
= 0 в Μ. Но так как 0 является —]—j-пучком в любом
топосе (5.18), то топос Я невырожден, а значит, p*f^p*g.
Рассмотрим теперь общий случай, Если применить
предыдущие рассуждения к морфизмам / и g, рассматриваемым как
глобальные элементы / и g объекта X*Y в топосе SIX, то получим
геометрический морфизм !% -*· Ж/X с булевым топосом 3! и
p*f¥=p*g. А так как / есть композиция i~*-X*X—*■ X*Y, где
χ — общий элемент объекта X, то p*X*f¥=p*X*g; поэтому
композиция морфизмов $ -*■ &/X -> %> обладает требуемыми
свойствами. Π

272
ГЛ. 7 ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И БАРРА
Конечно, композиция включений shn nish.c (S)\-*-sh c (&)-*■
-*■ S, построенная в первой части доказательства леммы 7.53,
в силу 4.15 (i) может быть задана одной топологией в S.
В действительности, как легко убедиться, эта топология является
интерпретацией формулы (((ω V и) =>- и) =>- и) языка Lg, где ω —
переменная типа Ω, а 1 -*- Ω — классифицирующее отображение
подобъекта U) >-1. Действительно, в силу 3.53 некоторый под-
объект объекта X /и-замкнут в том и только в том случае, когда
л1
он содержит подобъект X X U —> X; значит классификатор Ω с
iu
замкнутых подобъектов есть в точности сегмент | seg (и) > >-
> »■ Ω и, в частности, его минимальный элемент является
факторизацией 1 -*■ Ω через tseg(u). Эта топология называется
квазизамкнутой топологией, определяемой U, и обозначается через qv.
7.54 Предложение. Пусть S— топос. Тогда существует
сюръекция Я ~*~ S, где $— булев топос. Более того, если S
удовлетворяет (SG), то топос 38 можно выбрать также
удовлетворяющим (SG).
Доказательство. Рассмотрим общий подобъект 1 > >■ Ω
как подобъект в 1а топоса S/Ω, обозначим через 31 топос
sh?( (S/Ω), а через ρ композицию геометрических морфизмов
shqt (S/Ω)-*■ S/Ω-*■ S. Тогда, конечно, топос $ булев;
покажем, что ρ — сюръекция.
Пусть (/, g) —параллельная пара морфизмов в <§ такая, что
f¥=g; тогда в силу леммы 7.53 существует S -топос вида
sh?IJ(^f/X), где X — объект из S, a U — подобъект 1Х в SIX,
φ
в котором / и g остаются различными. Пусть Х-*-Ω —
классифицирующее отображение подобъекта U, рассматриваемого как
подобъект объекта X в S, так как функтор замены базы Ф*
является логическим, то легко убедиться, что 0*(?ί)= ?ϋ> а потому
любой д,-плотный мономорфизм из S/Ω переходит при замене
базы Ψ* в <7п-плотный мономорфизм топоса SIX. Следовательно,
в силу 3.42 и 3.47 имеется коммутативная диаграмма
sh<( \i Χ) ► ό;χ * g
в Zof, где морфизм SIX -*■ S/Ω индуцирован Φ. Значит, fug
должны оставаться различными в shq^S/Ω), т. е. p*f^p*g.
<Τ/Ω

7 5. ТЕОРЕМА БАРРА
273
Последнее утверждение доказываемого предложения вытекает
непосредственно из 5.34, так как категорию e?/Q можно
рассматривать как топос внутренних диаграмм на дискретной
категории Ω. Q
Попутно из 7.54 получается доказательство известной в теории
решеток теоремы о вложении, восходящей к Фунаяме f 164]:
7.55 Следствие. Пусть Η — полная гейтингова алгебра
(в 9*). Тогда существует булева алгебра В и вложение Н) >
> *-В, которое сохраняет конечные пересечения и произвольные
объединения.
Доказательство. Применим 7.54ктопосу & = Shv(H, С),
где С — каноническая топология. Тогда получим сюръекцию·
$->-<£, где топос $ булев. Ограничивая функтор р* на подобъ-
екты объекта 1 в ^, приходим к сохраняющему порядок
отображению алгебры Η в булеву алгебру подобъектов объекта 1 в £
Но поскольку р* отражает изоморфизмы, то это отображение
является мономорфизмом, и оно сохраняет конечные пересечения
и произвольные объединения, так как р* сохраняет конечные
пределы и произвольные копределы. О
7.56 Замечание. В действительности, используя идеи из
7.53 и 7.54, можно предложить доказательство теоремы Фуная-
мы, не выходящее за рамки теории решеток. Для гейтинговой
алгебры Η обозначим через /ίΊ1 булеву алгебру регулярных
элементов в Η (5.16) и для каждого це# рассмотрим отображение
Ρ (и): #->( | seg(u))-,-,; χ -*■ (((χ \/ и) =>и)=> и).
Нетрудно проверить, что отображение Ρ (и) сохраняет конечные
пересечения и произвольные объединения (последнее верно,
поскольку оно сопряжено слева к включению ( | seg (и))-, -, -*■ Η)
и что морфизм #->IJ ( f seg(u))-,-,, и-я компонента которого
иен
есть Ρ (и), является мономорфизмом.
Отметим также, что 7.54, по крайней мере в случае, когда
топос %> определен над 9* и удовлетворяет (SG) (что вам и
нужно в 7.57 ниже), может быть получено в качестве следствия из
7.55. Действительно, в силу 5.37 можно считать, что топос &
имеет вид Shv(H, С), где Η—полная гейтингова алгебра, а С—ее
каноническая топология, а тогда условия на вложение Н-*-В
из 7.55 гарантируют левую точность и непрерывность композиции
ρ ι
функторов Η -*-B-*-Shv(B, С) для канонической топологии на
Η (а потому эта композиция индуцирует геометрический морфизм
Shv(B, C)->-Shv(H, С) в силу 7.13). Наконец, этот морфизм
является сюръекцией, так как ρ — мономорфизм, но в силу 5.39
топос Shv(B, С) булев и удовлетворяет (SG). α
Теперь мы готовы к доказательству основной теоремы этога
параграфа:

274
ГЛ 7 ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ И БАРРА
7.57 Теорема (Барр [4J). Пусть Ж— топос Гротендика (и
предположим, что (АС) выполнена в Я'). Тогда существует топос
3S, удовлетворяющий (АС), и сюръекция $-*-<§.
Доказательство. В силу 7.51 имеется сюръекция &"-*■&,
где &~ удовлетворяет (SG). Но тогда в силу 7.54 имеется
сюръекция ^?-»-#", где J? булев и удовлетворяет (SG), откуда в силу
5.39 ^удовлетворяет (АС). □
7.58 Замечание. В силу 4.15 (ii) теорему 7.57 можно
перефразировать, сказав, что каждый топос Гротендика имеет вид
■$Ci гДе & — топос, удовлетворяющий одному из условий
теоремы 5.39, а С—точная слева комонада на Я. При этом
возникает вполне естественный вопрос: всякий ли топос вида ЗВ&
является топосом Гротендика? На самом деле, как можно
установить методами, близкими к методам, введенным в упражнении
4.11, этот топос будет топосом Гротендика в том и только в том
случае, когда функторная часть комонады С имеет ранг. □
Упражнения к главе 7
1. Пусть К — множество точек топ оса Ж, а / — топология в Ж.
Докажите, что квадрат
94L ► sb{4)
!
1
1 i
У /К ► S
декартов, где L — множество точек в К, которые пропускаются
через фупктор sh3(<?f)-> <¥\ Используя 7.12 (iii), выведите
отсюда, что подъем сюръекцип в £ор не обязан быть сюръекцией.
Покажите также (используя тот же пример), что решетка пучковых
подтопосов в Ж де обязана быть гейтинговой алгеброй.
2. Докажите, что топос Shv (R) является классифицирующим
для вещественных чисел по Дедекипду в топосах Гротендика.
Воспользуйтесь 7.13, беря за сайт определения топоса Shv (IP)
сайт, определенный на категории, представляющей собой
частично упорядоченное мпожество открытых интервалов с
рациональными концами.
3. (Роос [104]). Пусть Ж — топос Гротендика. Покажите, что
Φ
функтор Ж'-*■ & имеет левый сопряженный тогда и только тогда,
когда он представим. Выведите отсюда, что функтор Φ является
обратным образом существенной точки из Ж тогда и только тогда,
когда он имеет вид homg= (Ρ, —), где объект Ρ проективен,
связен (т. е. не разложим в нетривиальное копроизведение) и не
изоморфен 0. (Такой объект Ρ называют существенным объектом
в Ж.) [Указание. Если Ρ существен, то, используя идеи уп-

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 7
275
ражнения 4,8, покажите, что функтор hom^ (Ρ, —) сохраняет
копроизведения, а значит, и все пределы; затем воспользуйтесь
7.13.1 Покажите, что если объект Ρ существен, то семейство
Xi~>-P\i ^ I) эпиморфно в том и только в том случае, когда
один из /i является расщепимым эпиморфизмом, а потому
следующие условия эквивалентны:
(i) Класс существенных точек в %> достаточен,
(ii) Существенные объекты составляют класс образующих
топоса &.
(Ш) Существует малая категория С такая, что %> ^ &
Покажите затем, что если дополнительно потребовать расщепи-
мость идемпотентов в С, то категория С будет определяться
однозначно с точностью до эквивалентности. [Бандж [16] установил
относительный вариант этого результата, характеризующий <?Г-то-
посы вида ϊ£ .]
4. Пусть (X, U) и (Υ, V) —два топологических пространства,
а В — частично упорядоченное множество открытых
прямоугольных подмножеств в XX Υ (τ, е. подмножеств вида UXV, где
U — открытое множество в X, а V — открытое множество в Υ),
упорядоченных по включению. [Заметьте, что В есть замкнутая
по пересечению база топологии произведения на X X F.]
Определим на В топологии Гротендика /,, /2 такие, что .^-покрывающие
решета имеют вид (Ζ7( Χ F -*■ UXV\i^ /), где (Ut -» UI i e /) —
открытое покрытие U в Х; апалогично определяется /2-покрывае-
мость по открытым покрытиям в Υ. Покажите, что если /3
обозначает сумму топологий /, и /2, то топос Shv(B, /3) эквивалентен
Shv(X)x^Shv(Y). [Используйте 4.35 и 4.47.] Предположим
теперь, что пространство X локально компактно, a R —
произвольное открытое прямоугольное покрывающее (в
теоретико-множественном смысле) решето на прямоугольном множестве ί/ХУе
ξ Χ Χ У. Покажите, что R является /3-покрывающим.
[Указание. Для каждой точки ιεί/ выберите компактную окрестность
KX^U, затем покройте каждое произведение (intKx)XV
открытыми прямоугольниками (int KX)X Lx „, каждый из которых может
быть покрыт конечным числом прямоугольников из R вида
MXLX у.] Выведите отсюда, что если пространство X или Υ
локально компактно, то канонический морфизм
Shv (Χ χ Υ) ->· Shv (X) χ ^Shv (V)
задает эквивалентность категорий.
5. Топос Гротендика & называют локально пространственным
([GV] IV 9.8.2), если в & существует такой объект X с
глобальным носителем, что топос SIX пространствен. Покажите, что
локально пространственный топос имеет достаточно много точек ж

276
ГЛ 7. ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ II БАРРА
что категория его точек существенно мала. Покажите, что топос
^-эквивалентных пучков ShvG(X), определенный в упражнении
с°р
9 к главе 9, локально пространствен, а топос Я' является
локально пространственным в том и только в том случае, когда
каждый морфизм из С является мономорфизмом. [Указание.
Используя 2.18, покажите, что топос 9" локально
пространствен в том и только в том случае, когда существует дискретное
γ
расслоение F -*■ С такое, что γ0 — эпиморфизм, a F — частично
упорядоченное множество.]
6. Обозначим через К канторов дисконтинуум,
рассматриваемый как декартово произведение (в esp) счетного числа копий
дискретного двухточечного пространства z = {l, r) (так что точки
из К можно считать бесконечными последовательностями из
элементов I и г). Пусть Μ обозначает свободный моноид с двумя
образующими из 2. Для каждого элемента w^M определим U„
как множество точек в К, начинающихся с конечной
последовательности w. Покажите, что совокупность множеств В = {Um]we
е М) есть замкнутая по пересечению база топологии канторова
дисконтинуума К. Вводя на В обычную структуру частично
упорядоченного множества, постройте дискретное корасслоение
Вор -*■ М, а затем покажите, что квадрат
Shv(K) -у*""
Цг(У) -.9'"
декартов в £ор, где jt2 — алгебраическая теория, определенная в
упражнении 9 к главе 6, а горизонтальные стрелки — включения.
Выведите отсюда, что топос jt2(^) локально пространствен.
7. Напомним, что элемент i полной решетки L называют
недостижимым ([LT], с. 186*), если для любого фильтрованного
частично упорядоченного подмножества Ρ в L с (J Ρ = ί элемент
i е Р. Покажите, что объект X компактен в топосе & в том и
только в том случае, когда максимальный элемент (внешней)
решетки подобъектов в X недостижим.
8. Пусть X — множество, a R — бинарное отношение на X
(предполагаемое рефлексивным и симметричным). Обозначив
через Rn и-кратную композицию R с собой, а через R„ — объеди-
оо
нение U ^п> покажите, что R„ есть отношение эквивалентности,
71=1
*) С. 243 русского перевода,— Примеч. ред.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 7
277
порожденное R. Выберем некоторое бесконечное множество X и
отношение R па нем такое, что последовательность (Rn) строго
возрастает; обозпачим затем через Ε малую полную подкатегорию
в Я', содержащую X и R, а также замкнутую относительно
конечных пределов π копределов. Обозначим через & топос пучков
на Ε в предка ионической топологии. Покажите, что отношение
эквивалентности на ЦХ), порожденное отношением I (R)l> *·
> >- l(X)xl(X), является объединением отношений l(Rn) (что we
есть l(R„)), и выведите отсюда, что оно некомпактно. Покажите
затем, что категория ^fCOh не замкнута относительно образования
коуравнителей в $'. [Используйте 7.36.]
9. Пусть &" — когерентный топос. Установите равносильность
следующих условий:
(i) Каждый эпиморфный образ когерентного объекта в &
когерентен.
(И) Каждый подобъект когерентного объекта в Ж когерентен.
(ш) Каждый объект в & стабилен.
(iv) Каждый компактный объект в & когерентен.
(ν) Если X — когерентный объект в 1£, то решетка подобъек-
тов в X удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей.
[Указание. Для импликации (i)=*-(ii) используйте 7.36. Для
равносильности (ϋ)<=*"(ν) используйте упражнение 7.]
Когерентный топос, удовлетворяющий этим условиям, называют нётеро-
вым. Покажите, что если А — нётерево коммутативное кольцо в
5^, то топос Shv(spec^l) нётеров. Верно ли обратное?
10. Пусть & — нётеров топос, a j — топология в &. Покажите,
что топос shj(^f) нётеров. [Указание. Если X—объект в <S
с ассоциированным пучком LX, то решетка подобъектов пучка
LX в shj(<?f) изоморфна решетке замкнутых подобъектов
объекта X в <?Г.]
11. Пусть Т\ 9Ί -*■ 91—функтор. Покажите, что Τ компактен
как объект категории 9%U] (см. 4.37 (iv)) в том и только в том
случае, когда выполнепы следующие условия:
(a) Для каждого конечного множества X множество Т(Х)
конечно.
(b) Существует такое натуральное число и, что для любого
множества X мощности >п и любого элемента х^Т(х) имеется
отображение X' —* X с card(X')^w и такое, что χ лежит в
образе отображения T(f).
Выведите отсюда, что топос ^[Щ нётеров.
12. (Барр [5]) Малая категория С называется атомной, если
она удовлетворяет следующим условиям:
(а) Каждый морфизм U~>V в С является совместным коурав-
/ i*. . \
нителем некоторого семейства пар морфизмов I Wi ^t-U\i e / I.

278
ГЛ. 7 ТЕОРЕМЫ ДЕЛИНЯ II БАРРА
(Ь) Каждая диаграмме
может быть дополнена до коммутативного квадрата в С.
Покажите, что если X — бесконечное множество, то моноид эпиэндо-
морфизмов множества X является атомной категорией. Покажите
также, что если С — атомная категория, не эквивалентная 1, то
каноническая топология и топология двойного отрицания на С
совпадают.
13. Пусть %>'—* &—некоторый ^-топос. Установите
равносильность следующих условий:
(ί) γ*— логический функтор.
(ii) Категория %> локально связана (упражнение 4.9) и
булева.
(iii) Каждый объект из %> представим в виде
^-индексированного копроизведения атомов (т. е. ненулевых объектов, не
имеющих нетривиальных подобъектов).
(iv) (если морфизм γ ограничен) Существует атомная катего-
( с°р^\
рия С такая, что %> ~ sh-, -, {З* ).
[При доказательстве импликации (iii)=*-(iv) возьмите в качестве
категории С категорию, эквивалентную полной подкатегории
атомов в <1Г.]

ГЛАВА 8
когомологии
8.1. Основные определения
Эта глава посвящена изучению гомологической алгебры в
категории ab(^f) внутренних абелевых групп топоса %> (обычно
топоса Гротендика). Многие из доказываемых результатов без
труда обобщаются на категорию й-модулей, где R — внутреннее
кольцо в %>; однако здесь эти обобщения не изучаются. Мы
предполагаем, что читатель знаком с основами гомологической
алгебры в абелевых категориях (см., например, [НА]).
8.11 Теорема, (i) Для любого топоса & категория ab(^f)
абелева.
(И) Если топос $ имеет объект натуральных чисел, то
категория ab(^f) является монадической над Ε'.
(in) Если %> —топос Гротендика, то в категории ab(^f)
выполнена аксиома Гротендика АВ 5 [42] и она имеет образующую.
Доказательство, (i) Очевидно, категория ab(^f) имеет
конечные пределы, задаваемые стирающим функтором ab(^f)-*-
-*■ &. Далее, как и к случае & =9', проверяется, что каждый
конечный объект из ab(^f) является также начальным и что
произведение двух объектов в ab(^f) является также их копроиз-
ведепием. Чтобы построить коядро морфизма А—>В,ъ ab(^f) до-
/XI 4-
статочно взять коуравпигель композиции ΑχΒ —> ΒχΒ -*■ В
π,
и морфизма ΑχΒ-^-Β в %>. (Отметим, что эта пара рефлексив-
0X1
на с расщеплением В —► Αχ В, что можно использовать вместе
с 6.42 для введения групповой структуры на указанном коурав-
нителе.) Теперь легко проверить, что любой мономорфизм в
ab(<g°) является ядром своего коядра; отсюда вытекает, что
мономорфизм, эпиморфный в ab(^f), в то же время эпиморфен и в %>,
а потому (так как образ в & любого гомоморфизма абелевых
групп обладает абелевой групповой структурой) каждый
эпиморфизм из ab(<?f) является эпиморфизмом в Ж. Из 1.53 легко
выводится, что каждый эпиморфизм в ab(^f) является коядром.
Итак, все аксиомы абелевой категории ([CW], с. 194) проверены.
(ii) есть частный случай утверждения 6.43 (ii).
(in) Аксиома АВ 5 может быть сформулирована и так:
категория ab(^f) имеет все ^-индексированные копределы и фильт-

28U
ГЛ 8. КОГОМОЛОГИИ
рованные ^-индексированные копределы универсальны. Но
существование копределов следует из (ii) и теоремы Линтона
(0.16), поскольку они имеются в &, а так как фильтрованные
копределы коммутируют с конечными пределами в %> (2.58), то
стирающий функтор ab (<?Г)->-<?Г и задает их. Задает он также и
замены базы, но поскольку все копределы в %> сохраняются при
заменах базы (1.51), то фильтрованные копределы в ab(^f) тоже
сохраняются при заменах базы.
Наконец, легко проверить, что если {GJa^A}— множество
образующих топоса &, то свободная абелева группа F I JJ Ga\
\asA J
является образующей категории ab(^f). □
Из 8.11 (Hi) и теоремы Гротендика ([42], 1.10.1) вытекает,
что если %> —топос Гротендика, то категория ab(^f) имеет
достаточно много инъективных объектов. Однако имеется более
прямое доказательство этого важного факта, которое использует
теорему Барра. Прежде всего нам понадобится один результат о
геометрических морфизмах; отметим, что если if-+Ж—
геометрический морфизм, то функторы /* и /^ поднимаются до пары
сопряженных функторов между соответствующими абелевыми
категориями ab(^f) и аЬ(^"), поскольку они точны слева.
8.12 Лемма. Пусть 8F'->%>' — геометрический морфизм.
Тогда:
(i) функтор /„: ab (&~)->-аЪ(<£) сохраняет инъективные
объекты;
(ii) если f—сюръекция и категория ab(££~) имеет достаточно
много инъективных объектов, то категория ab(^f) имеет
достаточно много инъективных объектов.
Доказательство, (i) Пусть Ε—инъективный объект в
аЬ(^") и предположим, что в ab(^f) задана диаграмма
А- 4JE)
В
Тогда транспонированную диаграмму
1*(А) "fi
τ
можно дополнить до коммутативного треугольника; транспонируя
еще раз, получаем дополнение исходной диаграммы до
коммутативного треугольника.

8 1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
281
(ii) Пусть А— абелева группа в &\ тогда в ab(£F~) имеется
мономорфизм /* (А) > ν Ее инъективным объектом Е. Но
единица сопряжения (/* -| /„.) является мономорфизмом в силу 4.11
(ii)(c); поэтому композиция^) *-/*/* (А) > >f*(E)
вкладывает А в инъюктивный объект категории аЬ(^Г). □
8.13 Теорема. Пусть & — топос Гротендика. Тогда
категория ab(^f) имеет достаточно много инъективных объектов.
Доказательство. Согласно 8.12 (ii) и 7.57 нужный
результат достаточно установить в случае, когда топос Ж
удовлетворяет (АС), т. е. когда <£f=Shv(B, С), где В — полная булева
алгбера, а С — каноническая топология.
Но в этом случае мы можем точно подражать обычному
доказательству для & =9' (см. [НА], с. 31—33). Сначала
доказывается теорема Бэра [151], что объект Ε категории ab(^f) инъекти-
вбн тогда и только тогда, когда он делим (т. е. когда Е(Ъ)
—делимая абелева группа для всех Ье5). Затем доказывается, что
рациональная циклическая группа Q/Z (которая строится либо
внутренним способом, как в § 6.6, либо переходом к
ассоциированному С-пучку постоянного предпучка Q/Z) является кообра-
зующей в ab(^f), а так как & (а потому и ab(^f)) имеет
^-индексированные произведения, мы получаем отсюда, что любой
объект категории ab(^f) вложим в степень группы Q/Z·
Дальнейшие подробности остаются читателю. Π
Однако в общем случае категория ab(^f) не имеет достаточно
много проективных объектов; это едва ли удивительно, ибо
невыполнение аксиомы (АС), имеющее место в общем топосе,
означает, что сам топос %>, как правило, не имеет достаточно много
проективных объектов (в то время как в силу 1.27 он всегда
имеет достаточно много инъективных объектов).
Из 8.13 вытекает, что для любого аддитивного функтора
ab(<?f)-> ,s$ в абелеву категорию s$< можно обычным способом,
использующим образование инъективных корезольвент, построить
правые производные функторы. Теория когомологий в топосах
заключается, по существу, в изучении этих производных
функторов; теперь мы готовы к введению следующего
фундаментального определения.
8.14 Определение. Пусть %> —топос Гротендика, А —
абелева группа в %>. Тогда q-й группой когомологий топоса %> с
коэффициентами в А называется группа Нч {Ж; А) = Ri (y^) (А),
где γ# — функтор вида hom^ (1, —): аЬ(Ж)~уаЬ(9'), т. е.
прямой образ геометрического морфизма <£-*■&. Эквивалентно,
группа Hq(S\ А) описывается как Εχΐ^(^) (Ζ, А), где Ζ—
свободная абелева группа, порожденная объектом 1, в &.
В более общей ситуации, когда X — произвольный объект из
&, через Hq{&, X; —) (или просто через Н"(Х; —), если топос &
очевиден из контекста) обозначается g-й правый производный

282
ГЛ. 8. КОГОМОЛОГИИ
функтор функтора hom^> (X) —у (Отметим, что группа
#"(<?Γ, X; А) естественно изоморфна группе Eq(JSIX\ Х*(А)),
так как функтор X*: ab(^f )-*■ аЪ(<£/Х) точен и сохраняет инъек-
тивные объекты.) □
8.15 Примеры, (i) Пусть & = Slrv(X), где
X—топологическое пространство. Тогда группа когомологий Ε" (β; А) суть
в точности группы когомологий пространства X (в обычном
смысле) с коэффициентами в пучке А (см. [ST], § 5.3).
(ii) Пусть <ΙΓ = 5ρο, где G— группа. Тогда категория ab(^f)
является категорией (правых) модулей над целочисленным
групповым кольцом XG для G; в частности, Zeab(^f) является
группой целых чисел с тривиальным С?-действием. Поэтому
когомологий топоса Ж совпадают с когомологиями Эйленберга — Мак-
лейна (161] группы G.
(ш) Рассмотрим теперь более общую ситуацию, когда G —
топологическая группа. С?-множество Μ называют непрерывным,
если его G-действие MXG -*■ Μ непрерывно в дискретной
топологии на М; как легко проверить, это эквивалентно утверждению,
что стабилизатор каждой точки из Μ является открытой
подгруппой в G. Обозначим через <§ категорию непрерывных G-множеств
и их G-эквивариаптных отображений; тогда, как и в упражнении
5.5, легко проверить, что функтор включения S-^-U''* точен
слева и имеет правый сопряженный, а потому <S — топос. В
общем случае когомологий топоса %> отличны от когомологий
Эйленберга — Маклейна группы G; в частности, если G проконечна (см.
8.41 ниже), то они совпадают с когомологиями Галуа группы G
(см. [1831).
(iv) Пусть X—проективный объект топоса $'. Так как
эпиморфизмы из ab(^f) являются эпиморфизмами в <?Г, то функтор
hom^(X,—): ab (<?f)-*-ab {9") сохраняет их, а потому точен.
Значит, Hq(&, X; А) = 0 для всех g >0 и всех А^&Ъ(&).
Отметим, в частности, два важных случая, относящихся к этому:
(а) если Ж удовлетворяет (АС), то НЧ(Ж, X; А) = 0 для всех X
С°Р
и А и всех <?>0; (Ь) если & = %> для некоторой малой
категории С, то II"(<£, hui A) = 0 для всех £/еС0, всех A eab(^f)
и всех q > 0. О
Теперь мы исследуем функториальность групп когомологий по
отношению к геометрическим морфизмам. Сначала приведем без
доказательства формулировку одной известной теоремы Гротен-
дика ([42], 2.4.1) о спектральных последовательностях; подробное
доказательство читатель сможет найти в [НА], VIII 9.3.
8.16 Теорема. Пусть si-, 9& и Ψ — абелевы категории такие,
что категории s4- и 38 имеют достаточно много инъективных объ-
S Τ
ектов, a st> —*■ 3§ —> Ψ— два функтора, точных слева*). Предпо-
*) Достаточно левой точности второго из них.— Примеч пер.

8 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
283
ложим, что функтор S переводит инъективные объекты
категории si в Ί-ациклические объекты категории & (т. е. в объекты
из ядра функторов R4T для всех q > 0). Тогда имеется
спектральная последовательность Е^'9 функторов вида М- -*■ Ψ
{называемая спектральной последовательностью композиции TS)
такая, что Ev2'9 ^i(RpT)(R9S), и сходящаяся к функтору Е^9>
задающему фильтрацию в Rr+q(TS). □
8.17 Предложение. Пусть 5F'—> Ж — геометрический мор-
физм топосов Гротендика. Тогда
(i) Если А — абелева группа в <?Г, то имеется гомоморфизм
f* a
Η (β; А) —> Η (5Г, f*A) для каждого q, функториальный по f
и естественный по А.
(И) Если А — абелева группа в £Г', то имеется спектральная
последовательность (спектральная последовательность Лере)
Н" (8; R?U (В)) =*. Нр+9 (ST; В), естественная по В.
ν б
Доказательство, (i) Пусть Ж-^-У^-^"—
геометрические морфизмы из %> и &~ в 9*, а а обозначает единицу
сопряжений (/* —| /з). Так как функтор /* точен, то последовательность
функторов (i?g(65t!)·/*: ab (^f)->ab(^)| g^O) точна и связна;
значит, ввиду универсальности производных функторов
естественное преобразование у* (α): γ* -*■ y*f*f* ^ δ*/* однозначно
продолжается до естественного преобразования R9 (у%)->-R9 (δ*)·}*.
Значение этого преобразования в А дает требуемый гомоморфизм.
(И) Примените спектральную последовательность из 8.16 к
композиции
(аЬ (5Г) Д. ab (&) ^ ab (£?)) = (аЬ (£") ^ ab (£?)). а
Из 8.17 (i) вытекает, что группы №{<£, X; А) задают контра-
вариантный функтор по переменной X, ибо если Χ -*-Υ — мор-
физм в <?Г, то SjY—^&jX—функтор обратного образа. Ввиду
8.17 (И) удобно иметь явное описание функтора Rqf; его дает
следующая лемма.
8.18 Лемма. Пусть 5Г-*-Ж — геометрический морфизм и
<§ ^ShviC, /). Тогда для любой абелеввй группы А из $Г и
любого q пучок R4f*A является ассоциированным J-пучком пред-
пучка
U~ H9{9", f*l(U);A)
на С, где С -»- Shv (С, /) — введенный выше канонический
функтор.

284
ГЛ 8. КОГОМОЛОГИИ
Доказательство. Предположим сначала, что / —
минимальная топология, а потому %> = 9° . Тогда в силу 8.15 (iv)
функтор «значение в U»: ab(^f) -»- аЬ(^) точен, откуда функтор
R4f*{ — ){U) есть g-й правый производный функтор функтора
/* (-) (U) ~ hom^ (hv, /, (-)) ~ hom^ (/* (hv), -) ^
^ H° (!Г, f* (hv);-): ab(iT) —аЬ(П
Это дает нужный результат в этом частном случае; в общем
случае пусть S-^-9' —включение, a g— обозначение композиции
морфизмов if. Тогда i*g* = i*i*f* = /*, но функтор i* точен,
а потому Д9/,. si R9 (i*g%)^i*-Rqgit:. Так как i* — функтор
ассоциирования пучка, то общее утверждение леммы вытекает
теперь из указанного частного случая и того, что g*(hu) =
= f*i*(h„) = f*l(U). □
Существование в категории ab(^f) достаточно большого числа
инъективных объектов дает нам теорему существования для
производных функторов; однако для реальных вычислений групп
когомологий совсем не обязательно пользоваться только инъек-
тивными корезольвентами. Часто более удобно воспользоваться
корезольвентой из абелевых групп, которые ацикличны для
рассматриваемого функтора, а теорема Барра фактически позволяет
делать это функториально. Абелева группа А из топоса %>
называется слабой, если #"(<?Γ, X; А) = 0 для всех объектов X из S"
и всех q > 0. (Слово слабый есть перевод английского термина
flabby, который в свою очередь является переводом французского
flasque*), введенного Годеманом [TF] для пучков на
топологических пространствах.)
8.19 Лемм а. Пусть @~ -*■ Ж — геометрический морфизм, а А —
слабая абелева группа в 3F. Тогда
(i) Группа А ациклична для функтора f*. ab (£?")->· ab (β).
(ii) }%(Α)— слабая группа в $'.
Доказательство, (i) следует непосредственно из
описания функторов Rqf*, данного в 8.18.
(ii) Рассмотрим спектральную последовательность Лере для
морфизма /. Тогда
для ζ?>0 (в силу г),
/„ (А)) для q = 0.
Но все дифференциалы данной спектральной последовательности
вырождены, а потому E\'q = Elf. Так как последние группы
задают фильтрацию на Hp+q(i¥~; А) и тривиальны при ρ + q > 0,
то Η" {&; /„ (А)) = 0 при ρ > 0.
φ = *>{*: FPU(A)) - fρ {g.u
*) Обычно переводимого на русокий словом вялый.— Примеч пер.

8 1. ОСНОВПЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
285
Поэтому группа f*(A) ациклична для функтора hom^^ _)
Чтобы получить тот же результат для hom^> (X, —). применим
fix
предыдущее рассуждение к геометрическому морфизму 5F(\*Х—*■
—*~ Ж/Х и воспользуемся тем, что
X*U(A)^(f,'XU(f*X)*(A)
по условию Бека на расслоенные произведения в £ор
(упражнение 7-к главе 4). □
Пусть снова 5F -*■ <S — геометрический морфизм; обозначим
через Τ композицию функторов /*/*, а через α — единицу
сопряжения (/* —\ /*). Тогда для любого объекта А из Ж имеется
пополненный косимплициальный объект вида
A JLi-> ТА ДТ< ; ТТЛ > ТТТА ΞΞ5
и если объект А обладает структурой абелевой группы, то, беря
альтернативные суммы отображений грани, мы превращаем его
в коцепной комплекс F' (А). Но коединица сопряжения (/* —| /*)
задает стягивающую гомотопию пополненного комплекса
f*A -> f*TA -> f*TTA -> ...
в (ab)(£F~); поэтому, если /—сюръекция (так чго /* отражает
свойство иметь нулевые когомологии), то последовательность
О -> А -> ТА -> ТТА -> . ..
точна в ab(^f), т. е. F" (А) — корезольвента группы А.
8.20 Теорема. Пусть & — топос Гротендика, а 3~~*- Ж —
такая сюръекция, что топос Э~ удовлетворяет (АС). (Ее
существование было установлено в 7.57.) Тогда когомологии топоса %>
совпадают с когомологиями комонады G на &~, индуцированной
сопряжением (/* —!/*) (см. [152]).
Доказательство. Пусть X—произвольный объект пз Ж,
а А — абелева группа в Ж. По определению группа когомологии
Hq(G, X; А) указанной комонады является g-ii группой
когомологии комплекса hom^{X, F' (А)) в ab(^). Но все
эпиморфизмы из ab(£F~) расщепимы в &~, а потому функтор /*их
сохраняет и точен; функтор /* гакже точен, а потому F' есть точный
функтор из ab(^f) в категорию коцепных комплексов категории
&Ь(Ж). Кроме того, каждая абелева группа из &~ является
слабой в силу 8.15 (iv), откуда в силу 8.19 (ii) все группы
комплекса ^'(^1) слабы в <5, значит, функтор hom^. (X, F' (—))

286
ГЛ. 8. КОГОМОЛОГИИ
точен. Итак, функторы Ня (G, X; —) = Н" (hom^ (X, F' (—)))
образуют точную связную последовательность.
<
Пусть теперь А — инъективный объект в ab(^f), а ТА —»■ А —
произвольное расщеплепие мономорфизма А ->- ТА. Тогда,
применяя подходящие степени функтора Τ к s, получаем в ab(<?T)
стягивающую гомотопию пополненного комплекса A—*-F'(A),
откуда II4 (G, X; А) = 0 при q > 0. Поэтому функтор Hq(G, X;—)
есть (с точностью до изоморфизхш) q-Ά правый производный
функтор для
Я° (G, X; -) = Я0 (horn^ (X, f (-))) ~ horn^ (X, -). α
Если %> = Shv(X) для некоторого топологического
пространства, то в 8.20 можно взять &~ = 9ΊΧ в силу 4.18 (ш). В этом
случае F' {А) является известной корезольвентой Годемана
[TF] для вычисления пучковых когомологий. Аналогично, если
& = 9° или является топосом из 8.15 (ш), то можно взять
Э~ = 9°\ в этом случае получаем так называемую коинцуцирован-
ную резольвенту. (А именно, Fn(A) есть множество всех
непрерывных (но не обязательно G-эквивариантных) отображений
Qn+i _+. д со структурой абелевой группы, индуцированной
сложением на Л, a G действует перемещением каждой координаты
области определения.)
8.2. Когомологий Чеха
В этом параграфе развивается техника вычисления
когомологий топоса Гротендика в терминах его подходящего сайта
определения. Фиксируем топос <?f = Shv(C, /); обозначим через 3*
соответствующий топос предпучков 9? , а через i: <§ -*■ 3* —
каноническое включение. Пусть И?: ab(<ff)->-ab ($») обозначает
g-й правый производный функтор для i*.
8.21 Лемма. Пусть А — абелева группа в &. Тогда
(Ня (А))+ = 0 для любого q > 0, где +: & -+ 9* — функтор полу-
пучкования, определенный в § 3.3.
Доказательство. Рассмотрим спектральную
последовательность композиции
(аЬ (8) ^ аЬ (£») -^ ab (&)) = (аЬ {&) -^ ab {&)).
Так как функтор i* точен, то E%'q=0 при р>0 и Е°г'" =
= i*Rq (iq)-=i*Hq. Но функтор 1вь(|Г) также точен, а потому
Eliq = 0 при всех ρ + q > 0. Так как в данной последовательно-

8 2 КОГОМОЛОГИИ ЧЕХА
•^87
сти нет ненулевых дифференциалов, то обязательно Е\'4 = О
при д>0. Значит, (Ня(А))++ = ί,ί* (н?(Л))= 0 при q > 0.
Но в силу 3.36 предпучок (Н?(Л))+ j-отделим, а потому в
силу 3.34 каноническое отображение (Нч (А))+-*■ (№я (А))++
является мономорфизмом. Следовательно, (Н?(Л))+ = 0. □
Предположим теперь, что в С имеются расслоенные
произведения. Пусть °U =(t/T ~* U\γ е Г)— семейство морфизмов из С
с общим концом; для каждого σ=(γ0, γ,, ..., γ„)ε pl+I
определим объект Ua как (?ι + 1)-компонентное расслоенное
произведение Uy^XyUy^Xy ... XuUyn. Тогда в 5* можно определить
пополненный симплициальный объект вида
=3 1J νΞ3 U ν, —Π*,, —ν,
отображения грани которого получаются композицией с
каноническими проекциями С/т -*■ С/„, где σ — грань симплекса τ. При-
ζ
меняя функтор свободы ^-^ab(^), получаем симплициальный
объект в ab(5*), который можно превратить, беря
альтернированные суммы отображений грани, в цепной комплекс.
Обозначим этот комплекс через
8.22 Лемма. Последовательность ... -*■ МЬ{Щ)-+NZ(°U)~+
-+Ni(aU)-^No{aU) точна в &(&).
Доказательство. Достаточно показать, что для каждого
V е Со последовательность
... - Nz (Ш) (V) - N, (It) (V) - No (<Ш) (V)
точна в ab(^). Но так как функтор «значение в V» является
функтором обратного образа, то он коммутирует с функтором
свободы в категорию абелевых групп, а потому группа
Nq(°U)(V) является свободной абелевой группой, порожденной
множеством J_[ (hom(F, Ua)). Для каждого морфизма V->-U
σεΓβ+ι
из С обозначим через S 0 множество II(homc/[/(0,0Y));
vsr
тогда, поскольку объект Ua определяется как расслоенное
произведение,.легко проверить, что
Π (homc(F, иа))е* Π ($*)Я+1-
Но так как абелева категория ab(^) удовлетворяет аксиоме АВ4,
го копроизведение точных последовательностей точно. Поэтому
остается доказать, что последовательность вида ,,,-*■ Z(S3) -*■
-*■ Z(52)-> Z(S) точна, где отображениями являются альтерни-

288
ГЛ 8 КОГОМОЛОГИИ
рованные суммы отображений, индуцированных проекциями
Sq+i -»- S4. Однако если S пусто, то это очевидно; в противном
случае можпо построить стягивающую гомотопию этого
комплекса, выбрав некоторый элемент ie S и рассмотрев гомоморфизмы
Z(Sa) -*■ Z(Sq+i), индуцированные отображением (su ..., sq) >-►
<-* (t,Su . .., Sq). Π
Пусть теперь А — произвольная абелева группа в £Р.
Обозначим через С {fU; А) коцепной комплекс homab^) (_/у\ (Ш), А)
из ab(^). Поскольку все группы комплекса N. (Ш) свободны,
хо он представим в виде
П^(£М- II А(иа)-± П>(£М-···
ν£Γ σΞΓ2 τ=Γ3
Через Hq(°U\ А) обозначается q-я группа когомологин этого
комплекса, называемая <?-й группой когомологий Чеха семейства Ш
с коэффициентами в А. Мы также пользуемся известными
терминами коцепь Чеха, коцикл Чеха и т. п. для элементов групп
Cq(°U; А). Отметим, в частности, что
Н° (Ш; А) = щ (Ц A (Uy) =£ A (Ua)\ ££ hom^ (Д, А),
W=r σΞΓ2 j
где R — решето на U, порожденное семейством °U\ поэтому
Η"(Ш\ A)s* A(U) в том и только в том случае, когда предпучок
А удовлетворяет аксиоме пучка для °U.
8.23 Предложение. Hq(°U; —) есть q-й правый
производный функтор для Η0(1ί; —).
Доказательство. Так как представимые предпучки про-
ективны в ^, то в>се группы комплекса N. (°U) проективны
в ab(^), а потому функтор А >-»· С (Ш; А) из ab(^f) в
категорию коцепных комплексов в ab(^) точен Следовательно,
функторы Hq(°U; —) образуют точную связную
последовательность. Но еели объект А инъективен, то из 8.22 вытекает, что
комплекс С {Ш, А) точен в положительной размерности,
откуда Hq{°LL\ Л)=0 при q > 0. Поэтому требуемый результат
получается из теоремы единственности для производных
функторов. □
Пусть теперь <U = (С/Т -» f/Ιγ <= Г) и Τ =(V» -> ϋ\δ е- Δ) —
два семейства морфизмов из С с одним и тем же концом. Под
отображением измельчения г: Ψ -*■ °ll понимается функция
г: Δ -*■ Г вместе с семейством факторизации
V.
д
* LU

8.2. КОГОМОЛОГИИ ЧЕХА
289
для каждого δ е Д. Очевидно, каждое отображение измельчения
F-»- ^ индуцирует морфизм V„ -» Ε/Γ(σ) над С/, а потому и
цепное отображение г.: Ν. (Τ)-^-Ν. (Ш). α
8.24 Лемма. Пусть г, s — два отображения измельчения
У-+°U. Тогда их цепные отображения т. us. цепногомотопны.
Доказательство. Для каждого σ=(δο, δ£, . .., δ,)εΑ,+Ι
и каждого i е {0, 1, . . ., q) обозначим через tlq морфизм
(гво, ..., гв1, s6., .. ., s6g): V„-*-U(r(6o),....τ(βι).«(βι), . .«(β,))
над С/; пусть ί,: Nq(F)~^ Νς+1(°ίί) — гомоморфизм групп,
индуцированный морфизмами tla. Тогда непосредственно
проверяется, что альтернативная сумма 2(— 1) 4 является g-й ком-
i
понентой цепной гомотопии между г. и s.. □
8.25 Следствие. Пусть Ш = (С/Т -*■ С/| γ е= Г)— семействе
морфизмов из С, a R >—-> /iy — решето над U, порожденное
семейством Щ. Тогда группы Η4{°ίΙ· А) и Hq(R; А) канонически
изоморфны для любых А е ab(^).
Доказательство. Так как каждый морфизм из R
пропускается через некоторый морфизм U-, -»- U, то имеется
отображение измельчения R -»- ^2/, но, очевидно, отображение
включения задает измельчение °И -»- й. Поэтому в силу 8.24 комплексы
N. (Ш) и 7V. (й) эквивалентны в смысле цепной гомотопии;
значит, комплексы С (41; А) и С (R; А) тоже эквивалентны
в смысле цепной гомотопии, откуда вытекает изоморфизм их
групп когомологий. Более того, этот изоморфизм не зависит от
выбора отображения R -»- °U, поскольку два различных выбора
индуцируют коцепные отображения С' (11; А)->■ С (R; А),
отличающиеся на гомотогшю. Π
Теперь мы можем дать определение когомологий Чеха сайта
(С, /); в этом определении встречаются группы Hq(°U; А)
только в том случае, когда °LL является /-покрывающим решетом, но
согласно 8.25 мы можем всегда заменить покрывающее решето
на семейство, его порождающее, если это упростит вычисление
требуемых групп когомологий. Отметим мимоходом, что если
R и S — два решета на С/, то отображение измельчения R -»- S
существует в том и только в том случае, когда R ^ S, при
этом в качестве такого отображения можно взять включение.
Поэтому комплексы С (R; А) (и тем более группы Hg(R\ A))
образуют диаграмму над частично упорядоченным
множеством J(f/)op.
8.26 Определение. Пусть (С, /) —такой сайт, что
категория С имеет расслоенные произведения, U — объект из С,
а А — предпучок абелевых групп из С. g-я группа когомологий
Чеха объекта U с коэффициентами в А определяется как (филь-

290
ГЛ, 8, КОГОМОЛОГИИ
трованный) копредел
H*(U;A)= lim H"(R;A), □
вели)
Так как функтор lim j(U) точен, то функторы Hq(U;—)
образуют точную связную последовательность на аЬ(^) и
обращаются в нуль на инъективных объектах при q > 0. Обычно
рассматриваются группы когомологий Чеха с коэффициентами в пучке;
однако в общем случае функторы H"(U; —) не образуют точной
связной последовательности на ab(^f), поскольку функтор
включения £*: ab(<?f)->· ab^), как правило, не точен. Отметим, что
Н° (U; A) ^ lim hom<r (R, A) = А+ (U)
—*-J(U)
(ср, 3.33), а потому функтор ab (9*) -»- ab (^), переводящий А
в предпучок U <-+ Н9 (U; А), является q-u правым производным
для +. (Конечно, мы не доказали, что группа Hq(U; А) функто-
риальна по переменной U, но сделать это нетрудно — см,
упражнение 6 ниже.)
8.27 Теорема. Пусть df = Shv(C, /), U — объект из С,
а А — абелева группа в <§. Тогда существует гомоморфизм
Hg(U; А)-+ Нч(&, l(U); А), который является изоморфизмом при
g = 0u 1 и мономорфизмом при q = 2. (Здесь I обозначает
канонический функтор C->-Shv(C, /).)
Доказательство. Рассмотрим спектральную
последовательность композиции
(ab {&) -U- ab (0>)i ab (9s)) = (ab (#) -U- ab (&)),
скомпонованную с точным функтором «значение в U»; ab(^)->-
-*аЬ(^). Тогда E\'q = Нр (С/; И4 (Л)) непосредственно в силу
предшествующих замечаний, и группы Е^9 составляют
фильтрацию (p + q)-ro правого производного функтора для
hom$> (hu, i# (—)) = hom^ (I (U), —) с коэффициентами в А.
Поэтому имеется краевой гомоморфизм
Hv (U; А) = Εν2'° —*► Е™ > * Яр (», I (U); А).
Однако в силу 8.21 El'q = Н° (U; Η" (А)) = (Н? (А))+ (U) = О
при q > 0. Значит, при ρ = 0, 1 и 2 каноническое отображение
Ер2'° —»· Е^° является изоморфизмом, поскольку ни на одной
из этих групп не действует ненулевой дифференциал, а при
р = 0 и 1 отображение Е^° > >- Ην (£?, I (U); А) является
изоморфизмом, поскольку El;" — единственный ненулевой член
соответствующей фильтрации. Π

8 2, КОГОМОЛОГИИ ЧЕХА
291
В общем случае обычные когомологии и когомологии Чеха
не обязаны совпадать в размерности выше 1. Однако они
совпадают в большинстве из часто встречающихся случаев; следующий
результат А. Картана весьма полезен при этом.
8.28 Предложение. Пусть S = Shv(С, /), а А — абелева
группа в <§. Предположим, что в С0 имеется такое
подмножество К, что:
(i) Hg(V; А)=0 для каждого V^K при q > 0.
(ii) Для каждого U е С„ существует J-покрывающее
семейство (V-t-*■ ?7ΙγΞ Г), каждое начало FT которого лежит в К.
(Ш) Если V и W лежат в К, то и любое расслоенное
произведение вида VX.uW лежит в К.
Тогда каноническое отображение Ня(11; А)-»- Нч(&, l(U); A)
является изоморфизмом для всех U еС, и всех q.
Доказательство. Поскольку покрытие любого покрытия
само является покрытием (0.31 (iii)), то из (ii) вытекает, что
любое /-покрывающее семейство 4/=(С/е->- U\$^-B) может быть
измельчено до покрывающего семейства У =(FT -»- ί7ΙγΞ Γ), где
каждое FT лежит в К; значит, каждый элемент из Hq(U; А)
получается из некоторого элемента группы НЯ(У; А) для
семейства У указанного вида. Кроме того, если У — такое
семейство, то из (iii) вытекает, что все объекты Va (σ е Γ,+Ι)
лежат в К.
Докажем теперь наше предложение индукцией по q.
Предположим, что требуемый результат уже установлен для всех q < η,
и рассмотрим комплекс С (У; Ня (А)), где 0 < q < η, а У
является покрывающим семейством типа, рассмотренного выше.
Из 8,18 мы знаем, что^ Ня (А) есть предпучок U <-* Нч{&, I (U); А),
но Hq{<%, l(U); A)^Hq(U; А) в силу предположения индукции,
а потому СР{У; Н9 (А)) = 0 при всех р, поскольку объекты,
в которых нужно вычислять предпучки Н? (А), лежат в К,
Следовательно, HP(U; Н"(Л))=0, т. е. в спектральной
последовательности из 8,27 E\'q = 0 при 0 < q < η и всех р. Так как мы
знаем,, что Е\п = 0, то отсюда следует, что Е\'°, 0 *£ ρ «£ η,—
единственные ненулевые группы ниже диагонали ρ + q = η;
отсюда, как и в 8.27, колучается, что канонические отображения
Е\л —>■ Е^0 —>■ Нп {&, l(U); А) являются изоморфизмами,
Поэтому требуемый результат установлен для q = η, О
8,29 Пример, Пусть X — открытое подпространство
евклидова и-пространства, а К — множество выпуклых открытых
подмножеств в X. Так как каждое (непустое) выпуклое множество
стягиваемо, то можно показать, что первое условие из 8,28
выполнено для любого пучка А на X; второе условие выполнено,
поскольку открытые шары выпуклы, а третье условие выполнено,

292
ГЛ. 8. КОГОМОЛОГИИ
поскольку пересечение двух выпуклых множеств выпукло.
Поэтому обычные когомологии и когомологии Чеха пространства X с
коэффициентами в любом пучке совпадают. О
Дальнейшие примеры совпадения когомологии Чеха и
обычных когомологии приводятся в упражнениях 8 и 9 в конце этой
главы.
8.3. Торсоры
В этом параграфе вводятся методы, позволяющие
представлять 1-мерные классы когомологии торсорами (ср. 4.37 (п))т
и дается набросок того, как можно продолжить такое
представление на высшие классы когомологии. Значение этого
представления заключается не только в том, что оно дает совершенно
ясную картину для классов когомологии, но и в том, что оно
позволяет расширить определение когомологии до случая, когда
группа коэффициентов неабелева.
Напомним, что если G — внутренняя группа топоса &, то
G-торсором называется плоский предпучок на внутренней
категории G, т. е. левый G-объект \G χ Τ -*■ Τ) такой, что Τ -»- 1 —
(α,π2)
эпиморфизм, э. G X Τ >- Τ Χ Τ — изоморфизм. (Второе
условие, очевидно, эквивалентно существованию отображения деления
Τ Χ Τ ~*-G, для которого треугольники
коммутативны.
8.31 Лемма, (i) Категория G-торсоров Flat(Gop, &) в &
является группоидом.
(п) G-торсор изоморфен тривиальному торсору (GXG-+G)
тогда и только тогда, когда он имеет глобальный элемент.
Доказательство, (i) Пусть Τ и U — два G-торсора,
а Т-+ U — их G-эквивалентное отображение. Тогда квадрат
GxT »GxU
(«."2)
(«. *2>
f *f
TxT -UxU

8.3. ТОРСОРЫ
293
коммутативен, а потому коммутативен и треугольник
но квадрат
-> ι
δ +
ΤχΤ ►С
декартов, откуда получается декартовость квадрата
τ —*υ
Υ Τ
ΤχΤ JX/> UxU
что влечет мономорфность /. Также легко проверяется
коммутативность диаграммы
U хТ-
-+U
■UxU -+GxU
ΙΜ/,1)
Ux UxT-
ίχ ι
ΐχ/
-+Gx Τ-
-*-T
но Τ -»- 1 — эпиморфизм, а потому и U Χ Τ ~*-U
Значит, / — эпиморфизм.
эпиморфизм.
1-*2Г.
(ii) Предположим, что Τ имеет глобальный элемент
Тогда, очевидно, морфизм G—*GxT-*-T G-эквивалентен;
поэтому в силу (i) это изоморфизм. Обратное тривиально. О
Предположим теперь, что группа G абелева. Тогда, если
α ( (π2» πι)
(G X Μ-*- Μ) — произвольный левый G-объект, то \М X G >-
(π3·πι) „ а \
*· G χ Μ -*- Μ) — правый G-объект и на самом деле левое
и правое G-действия на Μ коммутируют, так что Μ можно
рассматривать как профунктор G—> G. Поэтому имеется полная

294
ГЛ 8. КОГОМОЛОГИИ
подкатегория в Prof^(G, G), изоморфная как df0, так и 8й \
профункторы из этой подкатегории будут называться
симметрическими.
8.32 Лемма, (i) Пусть L, Μ — симметрические
профункторы вида G—> G. Тогда их тензорное произведение L<g>GM
(2.42) симметрично и изоморфно Μ (8>g^·
(ii) Пусть Τ— предпучок на G. Тогда Τ будет плоским
в том и только в том случае, когда, рассматриваемый как
симметрический профунктор, он является плоским слева (4.39).
Доказательство, (i) Рассмотрим диаграмму
LxMxG
->*(L®GM)xG
T.xGxM f/,νΜ-
01. х 1
GxLxM■
-» L®GM
w (G χ (L ®c M)
где а и β обозначают левое и правое действия группы G.
Поскольку L и Μ симметричны, то оба треугольника слева
коммутативны, а средняя строка является коуравнителем; поэтому две
возможные композиции Ly.MX.G-*-L®GM совпадают. Но
L χ Μ XG —»■ {L (g) G Μ) X G — эпиморфизм, потому правый
1реугольник коммутативен, т. е. профунктор L (g)G M симметричен.
Рассмотрим теперь диаграмму
1 хам
г* а* м * Lx M-
/3i.x 1
Ч i I
Μ xG xL
fM* 1
MxL
L®GM
(
M®GL
строки которой являются коуравнителями и оба квадрата слева
коммутативны в силу симметричности L и М. Из нее получается
изоморфизм L (g) с Μ £> Μ (g) GL, который, как легко убедиться,
является изоморфизмом профункторов.
(ii) вытекает непосредственно из того, что стирающий
функтор 8 ->■ <§ задает пределы; оба условия на Τ эквивалентны
тому, что функтор (—)®GT сохраняет конечные пределы, с той
лишь разницей, в какой категории берутся эти пределы. О
Но тензорное произведение профункторов, плоских слева,
очевидно, является плоским слева; поэтому из 8.32 вытекает, что
бифунктор (8>g ограничивается в симметрическую моноидальную

8.3. ТОРСОРЫ
295
структуру на Flat(Gop, 8). (Единицей этой структуры является
тривиальный торсор (GxG-^G), который соответствует
относительно указанного изоморфизма профунктору Йонеды 7(G).)
Более того, любой торсор имеет (giG-обратный Т,
который имеет тот же самый носитель, что и Г, с G-действием
GxT—*GxT-*-T (i обозначает отображение обращения
G-+G), ибо отображение деления TXT-+G индуцирует G-
эквивариантное отображение Τ <&gT-*-G, которое обязано быть
изоморфизмом в силу 8.31 (i). Поэтому классы изоморфизма
объектов (т. е. связные компоненты) группоида Flat(Gop, 8)
образуют абелеву группу, которая обозначается через Tors'i^f; G).
8.33 Теорема. Пусть 8— топос Гротендика, a
G—абелева группа в 8. Тогда
Н1(8; G)=TorsI(^f; G).
Доказательство. Пусть Ζ обозначает свободную абелеву
группу в 8, порожденную объектом 1. Тогда, поскольку
Нг(8; G) ^ Extab/^) (Ζ, G), известно, что элементы группы
Hl{8\ G) соответствуют классам изоморфизма коротких точных
последовательностей 0-+G-+E-+Z-+0 в ah(8).
Предположим, что нам дана такая последовательность; образуем в 8
декартов квадрат
Τ м
Ε >Ζ
где и обозначает включение образующей в группу Ζ. Так как
квадрат
G *1
о
■ г ■ г
Ε +Ζ
также декартов, то сложение в Ε ограничивается до G-дейсгвия
на Т. Но Τ -»- 1 — эпиморфизм, поскольку Ε -»- Ζ — эпиморфизм,
и легко проверить, что композиция ΕχΕ-^-ΕχΕ-^-Ε
ограничивается до отображения деления Τ XT -»- G, так что Τ
является G-торсором.
Обратно, предположим, что задан G-торсор Т. Определим
группу Ε как копроизведение ЦЗН", где Τ ®ρ обозначает р-ю

296
ГЛ. 8. КОГОМОЛОГИИ
степень торсора Τ относительно произведения ®g· Тогда,
объединяя канонические отображения
получаем морфизм, который, как легко проверить, задает абелеву
групповую структуру на Е. Кроме того, каноническое
отображение И Т®р -*■ И 1 является гомоморфизмом Ε -*■ Ζ абеле-
pSZ pSZ
вых групп, который эпиморфен (так как каждое отображение
Т®р -*■ 1 эпиморфно) и ядром которого является группа Tm & G.
Итак, мы построили короткую точную последовательность
0->G->£->Z->0b ab(#).
Чтобы показать, что две указанные выше конструкции
взаимно обратны с точностью до естественного изоморфизма, нужно
показать, что если 0-+G-+E-+Z-+0 — произвольная короткая
точная последовательность, а ТР — подъем морфизма Ε -»- Ζ
вдоль р-тк степени образующей группы Ζ, то ТР ^ Т9р. Но это
простая индукция по р, так как сложение в Ε ограничивается до
отображения ТРХ Tq-+ TP+q, а потому индуцирует изоморфизм
Τ ρ ®GTq ^ Tv+q для каждой пары (р, q).
Итак, мы установили биекцию между множествами #'(<?Г; G)
и Tors1 (Й*; G). Согласованность аддитивной структуры на
Ех*аь(^г) (^i G) с аддитивной структурой на группе торооров,
индуцированной тензорным произведением, доказывается
достаточно скучно, но прямолинейно. Ε
В действительности эквивалентность между G-торсорами и
расширениями группы Ζ с помощью G имеет место в любом то-
посе с объектом натуральных чисел, поскольку здесь можно
воспользоваться внутренней конструкцией и-й тензорной степени
из 6.37 вместо внешнего Z-индексированного копроизведения,
использованного выше. Однако в общем случае у нас нет гарантии,
что классы изЪморфизма G-торсоров в <§ можно параметризовать
множеством.
8.34 Следствие. Пусть G — абелева группа в топосе Гро-
тендика &. Тогда топос & является классифицирующим топо-
сом для 1-мерных когомологий с коэффициентами в G, т. е.
представляющим объектом функтора
Н1\ — ; G): (33£0p/«lf)°p-^ab(S?)- D
Вернемся теперь к случаю неабелевой группы G. Ввиду
теоремы 8.33 представляется разумным определить #'(<??; G) как
множество классов изоморфизма G-торсоров в &'. Это определение
предполагает, конечно, что эти классы изоморфизма в
действительности параметризуются множеством; согласно следующей
лемме это предположение выполняется в любом топосе Гро-
тендика.

8 3. ТОРСОРЫ
297
8.35 Лемма. Пусть 8 — топос Гротендика, а X — объект
в 8. Тогда классы 8'-изоморфизма объектов, локально
изоморфных X (т. е. изоморфных V*X в 8JV для некоторых объектов V
с глобальным носителем), можно параметризовать множеством.
Доказательство. Пусть Υ — такой объект из 8, что име-
α
ется изоморфизм V*Y £*■ V*X в 8JV. Поскольку V имеет
глобальный носитель, то диаграмма
YxVxV^ZtYxV-^Y
является коуравнителем, а потому коуравнителем является и
диаграмма
Χ χ Vx V^zttX χ V-^Д У,
где β — сложный изоморфизм
(Vx V)*(X) '!|I"''(Fx V)*(Y) "'(°">(Ι/χ V)*(X).
Но поскольку топос 8 определен над &, то имеется лишь
множество возможных выборов для β в силу 4.41, а объект Υ
определяется по β однозначно с точностью до изоморфизма.
Рассмотрим теперь возможные выборы для V. Пусть (С, /) —
сайт определения топоса 8 такой, что С имеет конечный объект;
тогда утверждение, что объект V имеет глобальный носитель,
очевидно, эквивалентно утверждению, что семейство {U<^C0\ V(U)
непусто} задает /-покрывающее решето на 1 в С. Обозначим
через R это решето и пусть W = JJ I (U); тогда W имеет
глобальней
ный носитель и в 8 существует морфизм W -»- V- Поэтому
достаточно ограничиться объектами V вида Ц !({/) для некоторого
1/ея
R^J(i), но имеется лишь множество таких объектов. О
Теперь носитель G-торсора Τ локально изоморфен G, так как
Т*Т е« T*G в 8JT; поэтому можем теперь определить Hl(8; G)
(для топоса Гротендика 8) как множество классов изоморфизма
G-торсоров в 8. Конечно, это множество уже не обладает
групповой структурой, так как рассуждения из 8.32 годятся лишь
в том случае, когда группа G абелева, но класс изоморфизма
тривиального G-торсора задает выделенный элемент в Н1(8; G),
а потому #'(<??; —) рассматривается как функтор из gp(^f) в
категорию pt(^) пунктированных множеств. (Чтобы проверить
функториальность, рассмотрим гомоморфизм групп G—>H
и G-торсор Τ; определим тогда торсор f*{T) как тензорное

298
ГЛ. 8. КОГОМОЛОГИИ
произведение /* <S)gT, где f* : Η —■*■ G — (точный слева)' προ-
функтор, определенный перед 2.44.) Аналогично, определим
#°(<lf; G) как группу глобальных элементов группы G в <£,
рассматриваемую как пунктированное множество; тогда имеет место
8.36 Предложение. Пусть G — группа в топосе If, а К —
нормальная подгруппа в G. Тогда существует точная
последовательность пунктированных множеств
1-+№>(&; K)-+H°(g; G)-+IP(8; G/K) 4>
4-Я1 (g; K)-+Hl(g; G)-+Hl{8; G/K).
h q
Доказательство. Пусть K-^G-*GjK — канонические
гомоморфизмы.
Связывающее отображение д строится, как в 8.33, т. е. для
элемента \-*-G/K образуем декартов квадрат
Τ ■—*■ 1
G ►G/K
а действие группы К на Τ зададим с помощью умножения в G.
То, что Τ является /£-торсором, доказывается, как в 8.33.
Точность данной последовательности в членах Н°(£?; К) и
№(£?; G) вытекает из левой точности функтора hom^> (1,—)}
для доказательства точности в члене Н*{&\ G/K) заметим, что
Я-торсор Т = д(и) имеет глобальный элемент в том и только
в том случае, когда и пропускается через G-*-GjK.
Пусть теперь Т = д(и)—некоторый .Κ-ropcop из образа
отображения д. Рассмотрим диаграмму
КхТ "
"2
(im(txh). 1)
1 χι
GxKxT :z=zz
bi(1 x *)x 1
где i, m обозначают обращение и умножение в группе G. Первая
строка в ней является коуравнителем, поскольку Τ — .К-торсор,
а вторая является коуравнителем в силу определения &# (Т).
Поэтому торсор ft* (T) имеет глобальный элемент, а значит,
тривиален. Обратно, пусть Τ — произвольный Я-торсор такой, что
k* (T) тривиален; тогда нетрудно проверить Я-эквивариантность
«XI
композиции Τ —> G χ Τ —»■ k#(T)^:G (где К действует на G
ZT-
-+*■ 1
О'А. 1)
IGxT—
к AT)

8 3. ТОРСОРЫ
299
умножением слева), а потому имеется коммутативная
диаграмма вида
Τ ► 1
G "G/K
(так как факторами Τ и G по соответствующему ^-действию
являются 1 и G/K). Поэтому имеется морфизм Я-торсоров
Τ -»- д(и), который ввиду 8.31 (i) должен быть изоморфизмом.
Итак, наша последовательность точна в члене #'(<??; К).
Так как когомологии Н1(&\ —) функториальны, то
композиция Я'(<?Г; К)-* Н1(&; G)-+Hl{&; G/K), очевидно, является
нулевым отображением. Обратно, пусть V — некоторый G-торсор;
тогда легко проверить, что композиция V—»■ G/K X V —»■ q# {V)
является эпиморфизмом, а потому
KxVZ I V—»cU(V)
— диаграмма коуравнителя. Поэтому, если торсор q# {V)
тривиален, то подъем
Τ -ι
У q*(V)
задает под-Я-объекг в V, который, как легко проверить, является
ΛΓ-торсором, а морфизм
Сх5Г>—>б?Х V-^V
индуцирует G-эквивариантное отображение k+{T)-*-V, которое
должно быть изоморфизмом. Следовательно, изучаемая
последовательность точна в #'(<?Г; G). □
Естественно задаться вопросом: можно ли определить
когомологии топоса с неабелевыми коэффициентами в размерности,
большей 1, так, чтобы при этом продолжалась точная
последовательность из предложения 8.36. Первое значительное
продвижение в этом вопросе принадлежит Жиро [38], который предложил
рабочее, хотя и несколько громоздкое, определение множества
Нг{<§\ G) в терминах классов эквивалентности «расширений
топоса & с помощью G» (см. также [WB], гл. 10). Совсем недавно

300
ГЛ. 8. КОГОМОЛОГИИ
Даскин [32] ввел понятие K(G, и)-торсора, призванное решить
задачу определения множеств #"(<1Г; G) для всех п.
Определение Даскина существенно опирается на теорию сим-
плициальных объектов; сначала для каждого η ~5* 0 он определяет
симшшциальный объект K(G, η), который в симплициальной
теории играет почти ту же роль, что и пространства Эйленберга —
Маклейна в теории гомотопий (в частности, K(G, 1) есть
категория G=(C?l£l), рассматриваемая как симшшциальный
объект (2.13), a K(G, 0)—дискретная категория с объектом
объектов G). Затем определяются K(G, и)-торсоры как симшшциаль-
ные объекты, удовлетворяющие определенным условиям точносги
и расслоенные над K(G, п) в подходящем смысле; в частности,
при η = 0 или 1 K(G, и)-торсор есть просто плоский предпучок
на K(G, η) (что согласовано с нашими первоначальными
определениями функторов Я" и Я1). В общем случае при η > 1
категория K(G, ге)-торсоров не является группоидом (сравните
с представлением Йонеды [187] для Ext-групп), а потому
Я" (If; G) следует определять как множество связных компонент
(а не классов изоморфизма) категории K(G, и)-торсоров.
Выделенным элементом множества Нп(&; G) является компонента,
содержащая определенный симшшциальный объект L(G, n),
который расслоен над K(G, η) со слоем K(G, η— 1).
Чтобы дать полное описание обобщенных торсоров Даскина,
нам потребовалось бы включить в изложение обширный фрагмент
по теории симплициальных .объектов, что заняло бы гораздо
больше места, чем то, которое разумно посвятить этому вопросу в
данной книге. Однако ввиду потенциальной важности этого мы
приведем краткое описание (эквивалентное, но не совпадающее
с описанием Даскина) понятия K(G, 2)-торсора вместе с
некоторыми примерами. (Фактически мы опишем слой K(G, 2)-торсора,
а не сам торсор.)
Пусть Τ = (Zj ΐχ. Τ0) — внутренний группоид в <%. Груп-
*■ (do>di)
поид Τ называется связным, если Тх *~Τ0χΤ0—
эпиморфизм. Образуем декартов квадрат
V "Г,
тогда (ν-*-Γ0)—группа в топосе ^/Т„. Даже если группоид Τ
связен, группа V не обязана быть постоянной (т. е. изоморфной
То№)) Для некоторой группы Gegp ($")), но если такой
изоморфизм имеет место, то мы будем называть G группой вершин
внутреннего группоида Т. Предположим, что группоид Τ имеет

8 3. ТОРСОРЫ
301
группу вершин G, а 1-*· 7\ —глобальный элемент из 7\. Так
как t обратим в Т, то операция сопряжения с помощью t
определяет морфизм из слоя проекции V-*-T0 над d0t в слой над dit,
т. е. морфизм G -»- G в <§. Как легко убедиться, этот морфизм
будет автоморфизмом группы G; поэтому методом общих элементов
можно построить морфизм Γι-»- aut(G) в <1Г, где aut(G)
обозначает (внутреннюю) группу автоморфизмов (внутренней)
группы G. Действие группоида Г на ©го группе вершин называют
собственным, если этот морфизм пропускается через подгруппу
inn(G) внутренних автоморфизмов, т. е. через образ
гомоморфизма G->-aut(G), определяемый сопряжением. (Отметим, в
частности, что G действует собственно на своей группе вершин.)
Следует подчеркнуть, что требование, чтобы действие было
собственным, является в действительности ограничением не на
сам группоид Т, а на данные спуска для V, т. е. на изоморфизм,
с помощью которого мы отождествляем V с GX Г0. Если группа
G абелева, то выбор этого изоморфизма всегда однозначен, если
потребовать, чтобы действие Τ на G было собственным, но если
группа G неабелева, то может быть несколько возможностей для
такого выбора, а потому мы рассматриваем изоморфизм V = G X
X Г0 в следующем определении как часть структуры торсора.
8.37 Определение. Пусть G — группа в топосе <§.
K(G, 2)-торсором в & называется внутренний группоид Т,
имеющий глобальный носитель, связный и действующий собственно
на своей группе вершин, которая изоморфна G. Π
Это определение не функториально для произвольных
групповых гомоморфизмов G-*-H, но функториально для
центральных гомоморфизмов, т. е. для таких гомоморфизмов, которые
отображают центр группы G в центр группы Η (а потому
индуцируют гомоморфизм inn(G)-»- inn(#)). В частности, оно
функториально для эпиморфизмов и произвольных гомоморфизмов
абелевых групп. Отметим, что если эпиморфизмы Г0 —**■ 1 и
Tj—»*■ Γ0χΓ0 расщепимы, то в действительности группоид Τ
эквивалентен G как категория; поэтому, если последний
эпиморфизм локально расщепим (5.24), то Τ локально эквивалентен G.
Это всегда так, когда класс когомологий, представляемый
группоидом Т, является классом когомологий по Чеху.
ft «
8.38 Примеры, (i) Пусть К) >· G —» G/K — короткая
точная последовательность групп, как в 8.36, а Г — некоторый
g(gxi)
(GJK)-торсор. Тогда Gx Τ > Γ — связный группоид в &"
π2
с глобальным носителем и группой вершин К и он
будет К (К, 2)-торсором в том и только в том случае, когда G
действует на К внутренними автоморфизмами, т. е. когда группа G

302
ГЛ. 8. КОГОМОЛОГИИ
представима в виде произведения подгруппы К на ее
централизатор в G. (Из этого условия вытекает, что гомоморфизм к
централен, и если группа К абелева, то верно и обратное.) Если
торсор Τ имеет вид д* (V) для некоторого G-торсора V и
V
канонический эпиморфизм, то диаграмма
=ст(чх 1)
Сх т:
гт
<*2, Г7Г3)
KxGx V
κ:
Χι
связывает группоиды Τ и К в категории К (К, 2)-торсоров.
Поэтому композиция
#'(#; G)-+Hl{8\ GJK)-+H2(&; К)
является нулевым отображением; более того, Даскин и Гленн
показали, что эта последовательность в действительности точна.
(ii) Пусть G— абелева группа в S*, X— топологическое
пространство, а V— некоторый G-торсор в Shv(X). Тогда в Shy^X),
где ΣΧ обозначает надстройку над X ([AT], § 1.6), можно
построить следующий K(G, 2)-торсор Т = о(У): Т„ есть пучок
сечений покрытия надстройки ΣΧ двумя перекрывающимися на X
конусами. Если пересечение этих конусов обозначить через
XX U, то Τι определяется как копроизведение (группы вершин)
Т0 X G и двух копий произведения V X U, которые составляют
морфизмы из Τ между двумя листами покрытия над X X U.
Нижеследующий рисунок иллюстрирует случай X = S\ G = Z/2Z.
V
Τ Τ
11 Ό
(iii) Пусть G — абелева группа в 8. Тогда G — внутренняя
абелева группа в cat(<?f), а потому & — абелева группа в £ор/<?Г
(ср. 4.37 (н)). Пусть Τ— некоторый K(G, 2)-торсор, когда левое
умножение на элементы группы вершин индуцирует внутренний

8.4. 11Р0К0НЕЧНЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГРУППЫ 303
функтор GxT->T, являющийся действием G на Τ в cat (<??).
Поэтому <?Г-топос <§ имеет ^fG-действие. Кроме того, существует
геометрический морфизм &/X -*■ <??т над df, где X — объект из
& с глобальным носителем (возьмите, например, Х = Т0), а мор-
физм & Х*>0 *■ & *·&® является эквивалентностью,
(α,π2)
поскольку функтор G χ Τ >- Τ Χ Τ полон, унивалентен и,
по существу, эпиморфен на объектах (см. упражнение 2 к главе 4).
Представляется разумным назвать такой <?Г-топос & -торсором в
Zty/&. Обратно, Рейт показал, что любой <?Г -торсор ST в "£ор/<1Г
определяет следующий K(G, 2)-торсор в &: пусть X — такой
объект с глобальным носителем, что существует геометрический
g
морфизм &/Х —г &~; тогда рассмотрим композицию
glXxX~glXXg8lXq^&Xg&--+gGXg&-^g<i.
В силу 4.37 (ii) эта композиция определяет G-торсор Τ в &JXX
X X; но поскольку действие группы § на ST ассоциативно и
унитарно, то легко проверить, что имеются изоморфизмы
п^(Т)<8)сЯ^(Т)^л*3{Т) в &/ХХХХХ и Δ*(5Γ) «Х*(С)
в SIX. Это означает, что мы можем определить в <§ группоид
с объектом объектов X и объектом морфизмов ΣχΧΧ(Τ) и этот
группоид является K(G, 2)-торсором. О
8.4. Прокопечные фундаментальные группы
В этом параграфе вводится удобное для многих приложений
определение фундаментальной группы топоса. Исходным
пунктом этого определения является наблюдение из упражнения 5
к главе 4 о тесной связи локально постоянных пучков на
пространстве X с его фундаментальной группой. Однако наше общее
определение фундаментальной группы не совпадает в точности
с тем, которым пользуются алгебраические топологи; причина
этого состоит в том, что в общем топосе, используя локально
постоянные объекты, можно рассчитывать самое большее на
реконструкцию «наилучшего приближения» фундаментальной группы
с помощью ее конечных факторов. Чтобы уточнить, что мы
имеем в виду, начнем с напоминания определения проконечной
группы.
8.41 Теорема. Пусть G — группа. Следующие условия
равносильны:
(i) Существует множество {Η{]ϊ^Ι} нормальных подгрупп
конечного индекса в G, замкнутое относительно пересечений и
такое, что группа G (канонически) изоморфна пределу диаграм-

304
ГЛ. 8. КОГОМОЛОГИИ
мы, вершинами которой являются группы G/Ht, ie I, а
стрелками — факторотображения GJH{ -*■ GJHj, индуцированные
включениями Ht ^ Ну
(ii) Группа G изоморфна пределу диаграммы, в вершинах
которой находятся конечные группы.
(iii) На группе G существует топология U, превращающая ее
в топологическую группу и такая, что (G, V) — стоуновское
пространство (т. е. вполне несвязное компактное пространство, или,
эквивалентно, хаусдорфово спектральное пространство; см. 7.48).
Если эти условия выполнены, то группу G называют про-
конечной.
Доказательство, (i) =*■ (ii) очевидно.
(ii) =*■ (iii). На всех конечных группах указанной диаграммы
введем дискретную топологию и рассмотрим ее предел в
категории топологических групп. Так как класс стоуновских
пространств содержит конечные дискретные пространства и замкнут
относительно образования пределов в esp, то на G получаем
топологию стоуновского пространства, превращающую G в
топологическую группу.
(iii) =*■ (i). Пусть {#,|ie/} — множество открытых
нормальных подгрупп в G. Если теперь К — произвольная открытая
подгруппа в G, то пространство G : К классов смежности дискретно
и компактно, а потому конечно; поэтому все группы Я{ имеют
конечный индекс в G. Покажем, что каноническое отображение
G-^-\imI(G/Hi) является изоморфизмом, т. е. что диаграмма
с — Π (с/я,) =: П (с/я,. я.)
является уравнителем. Пусть (xM^l) — некоторый элемент
данного уравнителя, т. е. xt e G/Ht для каждого ί и Х{ равен х}
по модулю Щ ■ Н3 для каждой пары (ι, /). Базисная открытая
окрестность точки (xt) в \\G/Hi имеет вид
((г/i | i <= /) | yih = xih при k = lt ... , η]
для некоторого конечного подмножества {iu ..., in) в /; если Hio
η
обозначает пересечение Π Н1ь, то элемент (г/i) изучаемого урав-
ft=l
нителя лежит в указанной окрестности в том π только в том
случае, когда yi0 = Χχ0. Поэтому если t ^ G — произвольный
представитель класса смежности XiQt то элемент (tHiU^I) лежит в
данной окрестности. Значит, образ группы G плотен в
уравнителе, но этот образ компактен, а потому и замкнут, откуда
вытекает, что группа G отображается сюръективно на изучаемый
уравнитель.

8.4, ПРОКОНЕЧНЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГРУППЫ 305
Чтобы показать взаимную однозначность отображения
G -+■ 11 G/Hu рассмотрим неединичный элемент χ группы G. Так
как пространство группы G вполне несвязно, то имеется открыто-
замкнутая (а потому компактная) окрестность U точки е, не
содержащая х. Очевидно, достаточно показать, что U содержит
открытую нормальную подгруппу группы G. Рассмотрим для этого
множество F = (G — U) Л U2; поскольку U компактно, F
замкнуто, а пересечение U Л F пусто, то имеется такая открытая
окрестность V точки е, что UV Л F пусто. Очевидно, также можно
предполагать, что V'= V~l и V^U; поэтому UV ξ U2, откуда UV ft
(1(G — U) пусто, т. е. UV^U. Далее по индукции получается,
со
что UV"1 ξ V для всех п, а потому U V — открытая подгруппа
п=1
в G, содержащаяся в U. Эта подгруппа не обязательно
нормальна; однако она имеет конечный индекс в силу рассуждения,
использованного выше, а потому имеется лишь конечное число
сопряженных к этой подгруппе в G. Беря их пересечение,
получаем требуемую открытую нормальную подгруппу. □
Если G — произвольная (дискретная) группа, то ее проконеч-
ное пополнение G определяется как предел диаграммы, в
вершинах которой лежат конечные факторы группы G. В общем случае
неверно, что любая подгруппа конечного индекса в проконечной
группе открыта (поэтому проконечная группа не обязательно
изоморфна проконечному пополнению!), но это верно для про-
конечных групп вида G.
Пусть теперь 8 — произвольный топос с объектом
натуральных чисел. Под локально постоянным конечным *) объектом в 8
понимается такой объект X, что V*X изоморфен конечному
кардиналу в 8JV для некоторого объекта V из 8, имеющего
глобальный носитель. Обозначим через 8ш полную подкатегорию
локально постоянных конечных объектов из 8.
8.42 Предложение, (i) Категория 8ш является
булевым топосом, а функтор включения 8ic!->~8 логический в том и
только в том случае, когда топос 8 булев.
ν
(ii) Если 5Г-+8— геометрический морфизм, то функтор р*
ограничивается до логического функтора 8ш -»- ^~icf.
(iii) Если 8 — связный Я'-топос (см. упражнение 8 к гла-
Ρ
ее А), а Я -*■ 8 — точка в 8, то функтор 8Ш -»- 9Ίκ! = 9Ί,
индуцированный ρ*, отражает изоморфизмы.
(iv) Если 8 — топос Гротендика, то категория 8'к*
эквивалентна малой.
Доказательство, (i) следует непосредственно из 6.29
и из того, что функторы замены базы являются логическими.
*) В смысле теории кардиналов.— Примеч. пер.

306
ГЛ. 8. КОГОМОЛОГИИ
Например, чтобы доказать, что категория ё?ш замкнута
относительно образования экспонент в &, рассмотрим два объекта X и
Υ в <??icf- По определению имеются такие два объекта V, W
с глобальными носителями, что подъемы V*X и W*Y изоморфны
конечным кардиналам. Значит, в силу 6.23 (ν) объект
{ V X W) * (Υχ) изоморфен конечному кардиналу в &/VXW.
(И) получается, как и предыдущее утверждение, из
соответствующего результата для конечных кардиналов (упражнение 6
л главе 6) и из того, что функтор р* сохраняет свойство иметь
глобальный носитель.
(iii) Пусть Х-*· Υ — морфизм из &ш, a U > >-1 — экстен-
сионал предложения
/е=гЬо(Х, У)п
шз Ь&ш· Так как топос S^t булев, то U — дополняемый под-
объект объекта 1 в <??ι0ί, а потому и в &; значит, это либо 0,
либо 1. Но ограничение функтора р* на &ut сохраняет экстенсиона-
лы формул; поэтому, если p*{f)—изоморфизм, то U = I, т. е.
ί — изоморфизм.
(iv) получается непосредственно из 8.35, поскольку имеется
лишь множество натуральных чисел (а потому и конечных
кардиналов) в &. □
8.43 Определение (Гротендик [GV], V 5.1). Категорией
Галуа называется пара {β, F), где $ — малый булев *) (пред) -
топос, a F: 'S -»- 9Ί — точный функтор, отражающий
изоморфизмы. (Как следует из структурной теоремы, доказываемой ниже,
каждая категория Галуа является на самом деле топосом, хотя
при доказательстве этой теоремы используется лишь структура
предтопоса. Из структурной теоремы также вытекает, что
функтор F определяется однозначно .с точностью до
(неканонического) изоморфизма по 'S, поэтому мы имеем право писать
«категория Галуа §"», ^опуская F.) □
Напомним, что объект А булева (пред)топоса называется
атомом (упражнение 13 к главе 7), если он отличен от нулевого
объекта и не разложим в нетривиальное копроизведение
(эквивалентно, не имеет нетривиальных подобъектов).
8.44. Лемма. Пусть 'S — категория Галуа. Тогда
(i) Любой объект из 'S (однозначно) представляется в виде
•конечного копроизведения атомов.
(ii) Любой эндоморфизм атома из 'S является автоморфизмом.
Доказательство, (i) Пусть X — некоторый объект из 9'.
Если X = 0, то он представляется в виде пустого копроизведения;
поэтому предположим, что Хф= 0. Тогда множество F(X)
непусто, гак как F сохраняет 0 и отражает изоморфизмы. Но если
*) В смысле 5.14 (iii).— Примеч. пер.

8.4. ПРОКОНЕЧНЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГРУППЫ 307
X — не атом, то мы можем разложить его в нетривиальное ко-
произведение X = Yx LJ Υ2', оно соответствует нетривиальному
разложению F (X) ^ F (Y^) uF{Y2) в Я',. Однако множество-
F(X) конечно, поэтому процесс расщепления объекта X в ко-
произведение обрывается за конечное число шагов.
(ii) Пусть А-*-А—эндоморфизм атома из &. Поскольку
А отличен от нуля, то и его образ относительно / отличен от
нуля, а потому он совпадает со всем объектом А, т. е. / —
эпиморфизм. Значит, F(f)—эпиморфизм конечного множества F(A) на
себя, и, следовательно, он должен быть изоморфизмом. Поэтому
/ — изоморфизм. D
8.45 Предложение. Пусть (&, F) — категория Галуа.
Тогда функтор F «пропредставим», т. е. имеется обратная
фильтрованная система {AAi^Y) объектов иг 9 и естественный
изоморфизм
F (X) ^ lim, homg. (Ait X).
• >■
Доказательство. Рассмотрим категорию I, объектами
которой являются пары (А, а), где А — атом из 9 и a^F(A)y
а морфизмами {А, а) -*- (В, Ь) — морфизмы А-*- В из 9 такие,
что F(f) (o)= Ъ.
Категория I является частично упорядоченным множеством,
поскольку если два морфизма A z£ В действуют одинаково на
элемент a^F(A), то их уравнитель огличен от нуля, а потому
совпадает с А. Категория 1ор фильтрована, поскольку объектам
(А, а) и (В, Ъ) в I предшествует объект (С, <а, £>>), где С
обозначает компоненту произведения АХ В (для разложения из
8.44 (i)), «содержащую» элемент <а, £>> из F(A)XF(B) =
= F(AXB). (Непустота / вытекает из того, что F(i) = 1ф 0,
а потому 1 φ 0 в 9>.)
Пусть (А, а) — объект из I; согласно 0-11 мы можем
рассматривать элемент а как естественное преобразование hom^ (A, —)->-
-»- F. По определению морфизмов в I эти преобразования в
совокупности индуцируют преобразование
Θ: G = lini! (hom 9 {A, -)) -»- F.
Но θ — эпиморфизм в силу 8.44 (i), так как любой элемент из
F(X) лежит в (образе) F(A) для некоторого атома А > >- Χ,
и θ — мономорфизм, так как если даны элементы х, y^G(X)
с 6(ж)=6(г/), то оба элемента χ η у представимы морфизмами
ΑιχΧ для некоторого (А, а)^ I с F(х) (а) = F(у) (а). Тогда,
у
как и ранее, отсюда вытекает, что уравнитель стрелок χ и у
совпадает со всем А, т. е. χ = у в hom^ (A, X), а потому и в
G(X). □

308
ГЛ. 8. КОГОМОЛОГИИ
Для каждого объекта (А, я)е/ имеется естественное
отображение aut^ (A) = hom^ (A, A) -*-F(A), которое, очевидна, моно-
люрфно, поскольку в указанной обратной системе все
отображения перехода эпиморфны. Назовем объект (А, а) нормальным,
«ели это отображение также эпиморфно. (Замечание: так как это
эквивалентно утверждению, что группа aut(4) действует тран-
зжтивно на F(A), то фактически данное определение
нормальности не зависит от элемента а.)
8.46 Предложение. Для любого объекта X из 'S
существует нормальный объект (А, а) такой, что каноническое
отображение hom(A, X)-+F(X) является изоморфизмом. Поэтому,
в частности, нормальные объекты образуют кофинальную
подкатегорию в I (см. упражнение 11 к главе 2).
Доказательство. Очевидно, имеется элемент (В, Ъ)^1
такой, что каждый элемент χ в F(X) происходит из некоторого
морфизма В-+-Х, так как множество F(X) конечно, а
категория 1ор фильтрована. Рассмотрим теперь образ А канонического
отображения В -*■ \\ X в 'S, х-\\ компонентой которого являет-
F(X)
ся х. Поскольку объект А является фактором объекта В, то он
является атомом; поэтому если а обозначает образ элемента χ
в F(A), то пара (А, а) лежит в /, и снова имеется изоморфизм
Ъот(А, X)^F(X).
Пусть теперь (С, с)—другой элемент из / такой, что каждый
элемент в F(A) происходит из некоторого морфизма С -*- А;
в частности, пусть С-*■ А— такой морфизм, что F(</>) (c)= а.
Чтобы установить нормальность (А, а), надо показать, что для
любого морфизма С-*■ А существует морфизм А-*-А с νΦ = ty.
Но для каждого x^F(X) композиция С-*-4Д-Х определяет
такой элемент х' в F(X), что х^ — х'Ф, и отображение F(X) -»-
-*■ F(X), определяемое сопоставлением х*-*х', очевидно, моно-
морфно (так как ψ — эпиморфизм), а потому оно является
изоморфизмом.
Рассмотрим теперь диаграмму
С w А> ►[] X
С »А> *\[Х
F(X)
где и — изоморфизм, отвечающий перестановке сомножителей;
тогда ввиду функториальности эпимоноразложения получаем
изоморфизм А-*-А такой, что νφ — ψ, а это и требовалось. О

8.4. ПР0К0НЕЧНЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГРУППЫ 309
Если G — произвольная топологическая группа, то обозначим
через 1?(G) топос непрерывных G-множеств (8.15 (ш)), а
через *&i{G)— полную подкатегорию непрерывных конечных G-mho-
жеств (которая, очевидно, является логическим подтчшосом
в 9(G), см. 1.14).
8.47 Теорема (Гротендик). Пусть $ — малая категория,
л З-*-!?/— функтор. Следующие условия равносильны:
(i) (9, F)—категория Галуа.
(И) Имеется топологическая группа G и эквивалентность
9 ^ <e'f(G)t отождествляющая F со стирающим функтором.
Более того, если мы потребуем проконечностъ группы G в (ii),
то она по ($, F) будет определяться однозначно с точностью до
изоморфизма; так определяемая группа называется
фундаментальной группой категории Галуа {$, F).
Доказательство, (ii) =*■ (i) очевидно, поскольку топос
'S'f(G) является булевым, а стирающий функтор 'S'f(G) -*■ 9"t —
логическим.
(i) =»- (ii). Обозначим через N полную подкатегорию в I,
составленную из нормальных объектов. Если (А, о)-*·(В, Ъ) —
морфизм из N, то отображение F(f): F(A) ->~F(B) можно paC-
сматривать как отображение вида aut (A) -*- aut (В), ив
действительности это отображение переводит автоморфизм А-*-А
nw ту
в единственный автоморфизм В-*-В такой, что квадрат
/
А >-В
коммутативен. Из этого описания легко вывести, что в
действительности отображение Φ является гомоморфизмом групп, а
потому группы aut (A) ((A, a)^N) образуют диаграмму над N в
категории конечных групп. Определим искомую группу G как
предел этой диаграммы; тогда, очевидно, группа G проконечна.
Теперь для любого объекта X из *5 получаем непрерывное
G-действие на конечном множестве F(X); для этого выберем
нормальный объект (А, а), как в 8.46, и рассмотрим естественное
действие группы aut (А) (очевидно, являющейся дискретным
фактором группы G) на hom(A, X) = F(X). (Легко проверить,
что так определенное G-действие не зависит от выбора
объекта А.) Поэтому функтор F пропускается через стирающий
функтор 9,(G) -+9>,.
Τ
Чтобы построить обращение <&f(G)-*-W найденной
факторизации, достаточно ввиду 8.44 (i) определить Τ на транзигив-

310
ГЛ 8 КОГОМОЛОГИИ
ных G-множествах (т. е. атомах категории "<?/((?)), а затем
продолжить данное определение, требуя, чтобы Τ сохраняло копро-
изведения. Но любой атом в Ψ}(0) имеет вид G :Н, где Η —
открытая подгруппа в G, а тогда, поскольку Η — окрестность
единицы в G, она содержит ядро проекции G -+ a.ut(A) для
некоторого нормального объекта (А, а). Пусть Η ^a.\it(A) — образ
подгруппы Η относительно этой проекции; тогда, поскольку
категория 9 имеет конечные копроизведения, образы и коуравни-
тели отношений эквивалентности, можно построить факторобъект
объекта А по этой конечной группе автоморфизмов,_т. е.
совместный коуравнитель пар (υ, ίΑ) для каждого »еЯ, Определим
объект T(G : Η) как такой факторобъект; тогда снова
непосредственная проверка показывает, что объект T(G:H) не зависит
(с точностью до канонического изоморфизма) от выбора
нормального объекта (А, а), что Τ функториально на отображениях
транзитивных G-множеств и что Τ обращает ранее построенный
функтор #-* #,(£).
Последнее утверждение теоремы следует из 8.41, ибо всякая
проконечная группа G определяется однозначно с точностью до
изоморфизма своими дискретными факторгруппами, а они
являются в точности нормальными объектами в <&f{G). Π
8.48 Следствие. Пусть {β, F) — категория Галуа, а
F': 'S -»- <?} — другой функтор такой, что (9, F')— также
категория Галуа. Тогда функторы F и F' естественно изоморфны.
Доказательство. Ввиду 8.47 можно предполагать, что
2? = <S>/(G) для некоторой проконечной группы и что F —
стирающий функтор. Так как F' сохраняет копроизведения, то мор-
физм F ^ F' достаточно установить на атомах категории &. Пусть
теперь I' — частично упорядоченное множество, объектами
которого являются пары (А, а'), где А — атом из 3, э. а'^ F'(А)
(ср. 8.45). Рассмотрим в 9* предел
X = lim F (А).
-*
Так как множества F(A) конечны и непусты, категория Гор
фильтрована, а отображения перехода данной обратной системы
эпиморфны, то, используя лемму Цорна, легко показать, что
множество X непусто. Пусть χ— элемент из X, а х(а') обозначает
образ элемента χ в компоненте, отвечающей элементу (А, а')
из /'. Тогда сопоставление а' у-* χ (α') определяет отображение
F' (A)-*-F (А), которое, очевидно, естественно по А. Более
того, это отображение мономорфно, поскольку если х(а') — х(а"),
то можно указать элемент (В, Ь')^Г и морфизмы В^А в 9
е
такие, что F'(f)(b')=a' и F'(g) (b')=a", а тогда / и g
совпадают на элементе х(Ь') из F(B), поэтому они совпадают всюду.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 8
311
Функтор F' сохраняет 1 и конечные копроизведения; значит,
ξ — изоморфизм для любого G-множества с тривиальным
действием. Однако любой объект из ^^S) локально изоморфен G-mho-
ткеству с тривиальным действием, ибо если Η — открытая
нормальная подгруппа в G, стабилизирующая каждый элемент из А,
то сопоставление (a, Hg)<-*- {ag_1, Hg) определяет изоморфизм
Αχ (G/H)-^- A0X (G/H), где А0 обозначает носитель G-mho-
жества А с тривиальным G-действием. Из этого легко
выводится, что множества F'(А) и F'(А0) имеют одно и то же
число элементов, а потому то же число элементов, что и F{A)\
поэтому | — изоморфизм для всех А. □
Отметим, что изоморфизм F'=F из 8.48 не каноничен, ибо он
зависит от выбора элемента х.
8.49 Определение. Пусть & — связный топос Гротенди-
ка, ар — точка в Ж. Определим проконечную фундаментальную
группу Πι(£Γ, ρ) как фундаментальную группу категории Галуа
8.50 Примеры, (i) Пусть X— связное топологическое
пространство, имеющее универсальное накрывающее
пространство X, а х — точка из X. Конечными кардиналами в Shv(X)
являются постоянные пучки на X с конечными слоями; поэтому
локально постоянными конечными объектами являются пучки
сечений конечных накрывающих пространств над X, которые
соответствуют (согласно упражнению 5 к главе 4) конечным
множествам с ΐΙι(Χ, ж)-действием. Поэтому группа n^ShviX), x)
изоморфна проконечному пополнению обычной фундаментальной
группы.
(ii) Пусть S" = Ψα, где G — (дискретная) группа. Тогда
в силу рассуждения из последней части доказательства
следствия 8.48 каждое конечное G-множество локально изоморфно
конечному кардиналу в Ж; поэтому &ы = {9"f) . Значит, про-
конечная фундаментальная группа топоса Ж (с единственно
возможной базисной точкой) совпадает с проконечным пополнением
группы G.
(iii) Пусть S' = <S'(G), где G — компактная топологическая
группа. Как и в (ii), оказывается, что Ж\& = c&'f(G) = '&'f(G/N),
где TV — компонента связности единицы в G; поэтому G/N — про-
конечная фундаментальная группа топоса %>. О
Упражнения к главе 8
1. Пусть &"-*■<£ — существенный геометрический морфизм.
Используя теорему 0.15, определите левый сопряженный /+ для
функтора /*: ab(J") ->-ab(^F). Покажите, что функтор /+
сохраняет проективные объекты, и выведите отсюда, что если / —

312
ГЛ. 8. КОГОМОЛОГИИ
сюръекция и ab(^~) имеет достаточно много проективных
объектов, то ab(<?f) имеет достаточно много проективных объектов.
2. Пусть / — топология в топосе <S и предположим, что
категория ab(<?f) имеет инъективные оболочки, т. е. для каждого
A s аЬ(ё') можно найти мономорфизм А > >- Ε такой, что объект
Ε инъективен и А пересекает нетривиально каждый ненулевой
подобъект в Е. Докажите, что категория ab(shj(^f)) тоже имеет
инъективные оболочки. [Указание. Если А) >Е — внъек-
тивная оболочка в ab(^f) некоторого /-пучка А, то докажите, что
Ε -»- L(E)—мономорфизм, а отсюда выведите, что Ε—пучок.]
3. Пусть %> — топос, а А — абелева группа в Ж. Установите
равносильность следующих условий:
(i) Hl(X; А)= 0 для каждого объекта X пз <£'.
(ii) Для каждой короткой точной последовательности
0-+A-+B-+C-+Q в ab(^f) эпиморфизм В—>-*-С имеет транс-
версалъ (т. е. расщепление в %>).
[Указание. Для (i) =*■ (ii) возьмите в качестве X (носитель
группы) С]
Достаточно ли этих условий, чтобы группа А была слабой?
[Рассмотрите топос 9* t где С — циклическая группа порядка 2,
и возьмите А = Ζ с тривиальным С-действием.]
4. Пусть G—(не обязательно абелева) группа в топосе <§
такая, что Hi(X; G)=0 для всех Хе|. Докажите инъективность
G как объект топ оса $'. [Указание. Для диаграммы
X
рассмотрите неядерную пару X^ZQ мономорфизма σ и,
используя /, постройте в %>1Q такой G-торсор, что любой глобальный
элемент этого торсора определяет продолжение морфизма /
вдоль σ.] Покажите, однако, что обратное неверно, даже если
группа G абелева. [Возьмите в качестве %> топос из уравнения 3
и рассмотрите группу G = Ζ/22 с тривиальным С-действием.]
5. Пусть X — топологическое пространство, а А — пучок абе-
левых групп на X. Докажите равносильность следующих условий:
(i) A — слабый пучок.
(ii) А удовлетворяет эквивалентным условиям из
упражнения 3.
(iii) Пучок А инъективен как объект топоса Shv(X).
(iv) Для каждого открытого множества U ξ χ отображение
ограничения р^: A(X)-*-A(U) сюръективно.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 8
313
[Указание. Для (iv) =»- (i) предположим, что задана короткая
точная последовательность 0-*-А.-*-В-+С-+0; используя лемму
Цорна, постройте транверсаль для эпиморфизма В —»■ С.
Предполагая теперь, что В — слабый пучок, покажите, что пучок С
тоже удовлетворяет (iv).]
6. Пусть С — малая категория с расслоенными
произведениями, <M = [Uy-£U\y^.T\— семейство морфизмов из С с об-
щим концом, а V->~ U— морфизм из С. Обозначая через Ф*Ш
семейство \Uy XuV-Л- V\y^ Г), постройте цепное
отображение Ν4(φ*<Μ)-*-ΝΜ(1£), а затем отображение С {Ш; А)-*·
-*-С'(ф*aU; А) для любого предпучка абелевых jpynn А на С.
Выведите отсюда, что группы когомологий Чеха Hq(U; А) (в
некоторой топологии Гротендика на С) контравариантно функтори-
альны по U. Покажите также, что если θτ — расщепимый
эпиморфизм для некоторого γ е Г, то комплекс N т {°И) стягиваем,
а отсюда получите, что Н9^*^; А) = 0 для любого °U при всех
γ е= Г и всех g > 0.
7. Пусть (С,/) — сайт, удовлетворяющий предположениям 7.35
(так что топос ^' = Shv(C, /) когерентен). Покажите, что
включение Shv (С, J)-^-9'C сохраняет фильтрованные копределы
[т. е. в 9" копредел фильтрованной диаграммы пучков
является пучком], а отсюда выведите, что для любого U^C0 функтор
Hq(U; —) сохраняет фильтрованные копределы. Затем
установите ацикличность для функтора hom^· (1, —) фильтрованных
копределов слабых пучков [используйте 8.28 с К = С0], после чего
докажите, что функтор Н"(&; —) сохраняет фильтрованные
копределы.
8. Пусть А — коммутативное кольцо, а М — некоторый А-ио-
дуль. Покажите, что сопоставление D(f) *+■ Μ ®α^[/_1]
(/е4) определяет пучок М на spec (А) и что Я" (spec (Л); М) =
= 0 для всех q > 0. [Метод: для заданного конечного
открытого покрытия °U =(Z)(/i) lie /) пространства spec (А) базисными
открытыми по Зарисскому множествами выразите пополненный
коцепной комплекс M=M(sj»ecA)-+C' {°U; M) в виде
фильтрованного предела пополненных комплексов
С'п {Ш-М): М-+ПМ-+ Π M-+...(neiN),
пограничные отображения которых определяются
сопоставлениями
т ~ (/Г-то | i е= /), (я», | i е= 7) - (tf-я», - /Г ·ι»,-1 (ί, /) е= / X /)

314
ГЛ. 8. КОГОМОЛОГИИ
и т. д. Затем, используя то, что существуют элементы gn,i^ A
с ^gn.ifi = 1) покажите, что каждый комплекс Сп (°U; M)
i
стягиваем.] Получите отсюда, что если (X, Ом) — схема, э. F —
квазикогерентный пучок Сх-модулей, то когомологии Чеха π
обычные когомологии пространства X с коэффициентами в F
совпадают. [Используйте 8.28; пучок модулей называется
квазикогерентным, если его ограничение на каждое открытое аффинное
подмножество в X изоморфно пучку вида М.]
9. Пусть X — паракомпактное (хаусдорфово) топологическое
пространство, а А — предпучок абелевых групп на X, слои
которого в каждой точке изоморфны 0. Покажите, что Н"(Х; А)=0
для всех q. [Метод. Для заданной коцепи \^Cq[fU\ А), где
°1ί = (C/γΙγ е Г) — локально конечное открытое покрытие
пространства X, рассмотрите сжатие ψ = (7τ1γ ^ Г) ([GT], с. 104)
покрытия Ш, а затем определите измельчение Ж покрытия У,
выбирая для каждой точки χ s X такую окрестность Wx, чго
(a) x^U^WzS f/T;
(b) leVj^^.sV,;
(c) x^U,=^Wxn FT=0;
(d) если x^Ua для некоторого σ^ p+I (так что Wx^ Ua no
(а)), то элемент |σ из A(Ua) ограничивается в 0 из A(WX).
Далее покажите, что ξ ограничивается в нулевую коцепь из
С"<(Ж; А).] Выведите отсюда, что если F — любой пучок
абелевых групп на X, то когомологии Чеха и обычные когомологии
пространства X с коэффициентами в F совпадают.
10. Пусть %> — топос, а Ф — фильтр открытых объектов в Ж
(т. е. множество подобъектов в 1 таких, что 1еф, (С/£еф и
Ut е Ф) =*- Ut П Ut е Ф, и (Ut е φ и tf, = Ut) =*- 1/,е Φ). Пусть
α
А — абелева группа в Ж, а 1 -*- А — глобальный элемент в А;
определим коросителъ элемента а как уравнитель а и нулевого
элемента 1—*-А. Пусть ч<р(А) обозначает множество
глобальных элементов в А с коносителем, лежащим в Ф; докажите, что
Чф(А)—группа и что функтор γΦ: ab(^f) -*аЬ(£^) точен слева.
Покажите, что слабые абелевы группы ацикличны для γΦ
[используйте упражнение 3 и индукцию], (g-правый производный
функтор функтора γΦ обозначается через Н% (β\ —) и называется д-п
группой когомологии топоса %> с коносителем в Ф.)
11 (Диаконеску). Пусть V — объект с глобальным носителем
в топосе &\ обозначим через G = Iso(F, V) группу всех переста-
α
новок объекта V в Ж, а через G X V -*- V каноническое
действие (т. е. отображение значения). Покажите, что в общем
случае α не транзитивно [рассмотрите объект \V0-*■ Vx) в ^2, где
множество Vt> трехэлементно, Vt двухэлементно, а отображение /

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 8
315
сюръективно]. Покажите, однако, что если топос %> булев, то
G X V 2> V X V — расщепимый эпиморфизм [используйте
обобщенные элементы]; пусть V X V (°' > G X V — такое
расщепление. Предположим, что существует такая группа Я в ί,
что группоид IGxV =£ V ] является тривиальным К(Н, 2)-
торсором; покажите тогда, что σ можно выбрать так, что будут
выполнены следующие условия согласованности:
VxVxV — *VxV* V
Τ
GxG ► G « 1
Покажите, что еслп эти условия выполнены, то коуравнитель
G X V —>»■ Τ пары
GxVxV ~ * GxV
- ►
(m(l χ σ),π3)
является G-торсором в &, и что действие G X F -*- F
пропускается через д. Выведите отсюда, что если торсор Τ также
тривиален, то V имеет глобальный элемент.
τ
12. Пусть G ж Η — проконечные группы, a 4?f (G) -*■ Ψ/(H) —
функтор, коммутирующий со стирающими функторами в
категорию множеств. (Заметим, что Τ автоматически точен и отражает
изоморфизмы.) Докажите, что существует (единственный)
непрерывный гомоморфизм H~*-G такой, что Τ индуцирует
«заменой оператора» вдоль /. [Указание. Для каждой открытой
нормальной подгруппы К в G покажите, что
Я 1кГ(" » Я χ T(G/K) ^+ T(G/K)
— гомоморфизм групп.] Выведите отсюда, что фундаментальная
группа П,(1Г, р), определенная в 8.49, является (ковариантным)
функтором из категории пунктированных связных топосов Гро-
тендика в категорию проконечных групп.
13. Пусть К — поле, а & — этальный топос Kei из
упражнения 0.11. Покажите, что локально постоянные конечные объекты
в %> являются в точности этальными пучками, представленными
η
/^-алгебрами вида IJ^j, где η конечно, а каждое L{— конечное
г=1
сепарабельное расширение поля К. Выведите отсюда, что нор-

316
ГЛ. 8. КОГОМОЛОГИИ
мальными объектами в %>\Л являются конечные расширения Га-
луа поля К. Покажите затем, что если К' — сепарабельное
замыкание поля К, то включение К > у Ks индуцирует
геометрический морфизм 9" ^ {Ks)ei-*- &, а фундаментальная группа
Hi(S", p) изоморфна проконечной группе Галуа Ga\{K'/K).
14 (теорема Гильберта 90). Пусть L — конечное расширение
Галуа поля К с группой Галуа G. Рассмотрим группу TL
ненулевых элементов поля L как G-модуль (т. е. как объект
категории ab(5?G)). Покажите, что Н1 (5?G; TL) = 0. [Указание.
Для заданного 1-коцикла G -*■ TL покажите, что элемент
/ (х) = Zi 1(о)-о(ж) отличен от нуля при некотором ж^ГДи вы-
ведите отсюда, что ξ является кограницей 0-коцепи 1 >- TL.j
Покажите затем, чго Hl(Ket; Г)=0, где Г — этальный пучок
на К, переводящий /ί-алгебру в группу ее единиц. Покажите
также, что морфизм Г —* Г, переводящий единицы из L в их
и-ю степень, является эпиморфизмом в Ket) а отсюда выведите,
что если Мп обозначает ядро морфизма Φ (т. е. пучок корней
п-й степени из 1), то №(Ке1; Мп)= ТК/(ТК)п.

ГЛАВА 9
ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
9.1. Конечность по Куратовскому
Первый параграф эгой главы, возможно, не столь
непосредственно связан с общей темой «теория топосов и теория
множеств», чем те, которые за ним следуют. Но он их напоминает
в том отношении, что идеи, которые мы здесь рассматриваем,
вызваны к жизни размышлениями над теорией множеств и что
доминирующую роль играют не геометрические, а логические
функторы. В частности, мы занимаемся здесь другим определением
«конечного объекта в топосе», которое отличается от определения
финитного кардинала (6.21) тем, что нам не нужно пропускать
наличие у этого топоса объекта натуральных чисел. В теорию
множеств это определение было впервые введено Куратовским
[174]; его приложениям к теории топосов мы в значительной
степени обязаны трудам Кока, Лекутюрье и Миккелсена [65].
Пусть Τ — конечно представленная алгебраическая теория.
Если X является Τ -моделью в топосе ^иГ > *■ X — подобъект
из X, то можно (даже без использования теоремы 6.43)
построить под-Т-модель модели Υ, порожденную объектом Υ, применяя
оператор внутреннего пересечения (предложение 5.34) к
«объекту под-Т-моделей для X, содержащих F». В частности, это верно
для теории slat полурешеток ([LT], с. 9)*). Мы определяем, что
К (X) > »- Ω для любого объекта X является под-У-полуре-
шеткой объекта Ωχ, порожденной морфизмом X > *■ Ω .
9.11 Определение. Будем говорить, что X является
конечным по Куратовскому (сокращенно, ^-конечным), если мак-
оимальный элемент 1 >. Ω объекта Ωχ пропускается через
К (X) > ν Ω . Будем писать %> м вместо полной подкатегории
^-конечных объектов из <£'. Π
Следует отметить, что высказывание «X является .ff-конеч-
ным» можно выразить предложением
Vz (г0 > ν ΧΊ е= ζ Λ Vx ({x} e= ζ) Λ VyVy' (у e= ζ Д у' s z =>
^(yVy')e^Vez)
*) См. с. 22 русского перевода — Примеч ред.

318
ГЛ 9 ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
языка Lg, где у и у' — переменные типа Ωχ, a z — переменная
типа Ω . Следовательно, свойство быть /ί-конечным
сохраняется логическими функторами л отражается унивалентными
логическими функторами; в частности, если X локально ^-конечен
(т. е. V*X является ^-конечным в &IV для некоторого V с
глобальным носителем), то X глобально ^-конечен. Следует также
отметить, что X является ^-конечным тоща и только тогда,
когда у частично упорядоченного множества К(Х) имеется
максимальный элемент; действительно, такой элемент должен быть
(внутренней) «верхней гранью для одноэлементных множеств»
б ΩΛ и, следовательно, должен представлять собой 1χ'.
Пусть теперь X —*■ Υ является морфизмом из &'. Тогда
диаграмма
II I)
эг
Ωχ >&
коммутативна, и 3/ (являясь внутренним сопряженным слева)
представляет собой гомоморфизм V-полурешеток; поэтому он
ограничивается до морфизма K(f): К (X) -*■ К (Υ).
Следовательно, К является фактически подфунктором ковариантного
функтора множеств-степеней.
9.12 Лемма, (i) Если X является К-конечным и X —»-У—
•эпиморфизм, то Υ является К-конечным.
(ii)Xn У является К-конечной тогда и только тогда, когда
К-конечны как X, так и Y.
Доказательство, (i) Поскольку Γίχ пропускается через
К(Х),яз замечания выше следует,что 3f(rix~l= Γίπι/Ί= Γ1γη)
пропускается через К (Χ η Υ).
(ii) Предположим, что X и Υ являются ^-конечными. Тогда,
как в (i), элементы Зv1(гl;r~, = Γν1~ι) и 3ν2(Γ1γΊ = Γν2Ί)
пропускаются через К (Χπ Υ), но К (XuY) является
полурешеткой, поэтому rixjIY1 = N/Cvj"1, Γν2Ί) пропускается через
Χ(ΧτιΥ).
Наоборот, предположим, что Χ π Υ являются ^-конечной.
Теперь можно легко увидеть, что квадрат
ΙχυΚ
X и Υ уХ и 1
Ω(Χ и Υ) Ω^ > ΩΧ

9 1. КОНЕЧНОСТЬ ПО КУРАТОВСКОМУ
31*
коммутативен, так как оба пути по периметру соответствуют под-
объекту Х>—>■ (ΧηΥ)χΧ. Но Ω ! является гомоморфизмом
V-полурешеток, поскольку подъем сохраняет объединения под-
объектов, а поскольку К(Х)—полурешетка, он содержит
элемент Г0П. Следовательно, Ωνι отображает К (Χ π Υ) в К (X), и
потому Γίχ~1 = Ωνι·Γ1χΠΥΊ пропускается через К(Х). □
9.13 Следствие, (i) K(X) является «объектом конечных
по Куратовскому подобъектов из X», т. е. если задан подобъект
Y) *■ X, то
£\={Y Я-конечен)^(Т е= ГК (Χγ\.
(и) Для любых двух объектов X и Υ имеем К(Х π Υ)^Κ (Х)УС
X К (У).
Доказательство, (i) Если Υ является /ί-конечным, то
ясно, чтв г/п = 3/. Γίγ~ι пропускается через К(Х).
Наоборот, пусть К'(X) обозначает объект ^-конечных
подобъектов (которые можно построить как истинностное значение-
высказывания «ех является ^-конечным» в языке £(<^/й;г)); тогда
из леммы 9.12 легко следует, что К'(X) является под-V-nony-
решеткой для ΩΛ. Но
(1<Ло)_(1^о)_(1^о),
из чего следует, что 1 является ^-конечной, и потомуX > *■ Ω
пропускается через К'(X). Следовательно, К'(X) ^К(Х), и,
таким образом, (Γ/Ί е ГК (Х)*1) влечет, что Υ является К-ко-
нечным.
(ii) Согласно 9.12 (ii) подобъект S > >-ХпУ является
^-конечным тогда и только тогда, когда ^-конечны \\ (S) и
ν2(5), следовательно, в силу (i) имеем естественную биекцию
между обобщенными элементами объектов .К (Хп Y) и К(Х)Х
XK(Y).
Конечность по Куратовскому оказывается эквивалентной
другому понятию конечности, связанному с фильтрованными
частично упорядоченными множествами и кофинальностью. Напомним,
что если Ρ и Q — внутренние частично упорядоченные
множества, то сохраняющее порядок отображение Ρ -*- Q называется
кофинальным, если Q1 Xq Ρ ° \ Q является эпиморфизмом.
(Второе условие кофинальности, указанное в упражнении 11
к главе 2, избыточно для частично упорядоченных множеств.)
9.14 Теорема (Кок — Лекутюрье — Миккелсен). Пусть
X — объект топоса Ж. Тогда X является К-конечным тогда и
только тогда, когда для каждого фильтрованного частично упо-

320
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
рядоченного множества Ρ в %> кофинален канонический морфизм
Р-*-Рх, индуцированный морфизмом X -»- 1.
Доказательство. Предположим, что X является К-кон&ч-
ным, и пусть Ρ является фильтрованным частично
упорядоченным множеством. Пусть А > >- Ω0 Χ Ρ является экстенсионалом
формулы Vp'(p' е w => ρ' *Sp), где w — переменная типа Ωρ,
π пусть В > ν Ω является экстенсионалом формулы
3pVp'(p'ew^p'^p),
т. е. образом для А > >- Ωρ Χ Ρ Ц* Ωρ. Таким образом, В
является «объектом подобъектов из Р, ограниченных сверху».
Поскольку Ρ фильтровано, можно легко увидеть, что В — под-\/-полуре-
шетка для Ωρ (τ. е. пустой подобъект ограничен, и ограничено
объединение двух ограниченных подобъектов). Более того,
Ρ > *■ Ω пропускается через В, так как Ρ —^ Ω Χ Ρ
пропускается через А; поэтому В^К(Р). Теперь предположим, что дан
С/-элемент U -*■ Ρ ; тогда его можно рассматривать как морфизм
U*X Л-17*Р в топосе <SIU. Но согласно 9.12 (i) образ
/ этого морфизма ^-конечен, поэтому согласно 9.13 (i) он
определяет С/-элемент из К(Р) и, следовательно, из В. Теперь А -»- В
является эпиморфизмом, поэтому подъемом вдоль него получаем
-эпиморфизм V—»-->С/ и F-элемент V-*-P, являющийся верхней
гранью для ε*(/> >U*P). Но это говорит о том, что пара
(γε, hp) пропускается через Pi > *■ Ρ Χ Ρ ; поэтому Ρ -*■ Ρ
кофинально.
Обратно, предположим, что данное условие выполнено.
Поскольку К(Х) является V-полурешеткой, он же является
фильтрованным частично упорядоченным множеством (ср. с
доказательством фильтрованности Jop в лемме 3.31), и потому отобра-
h у
жение К (X)-*■ К (X) кофинально. Рассмотрим глобальный
S у
элемент ί—*·Κ(Χ) , соответствующий включению X > *■ К (Х)>
в силу кофинальности можно найти V —»■ 1 и F-элемент
V-*-К (X), такие, что отображение V >-К (X) ХК(Х)
пропускается через отношение порядка. Но тогда /оконечный
подобъект U > *■ V*X, соответствующий и, должен быть
верхней гранью для одноэлементных множеств из V*X;
следовательно, он представляет собой весь V*X. Потому V*X является К-ко-
нечным, и, следовательно, в силу замечаний, приведенных после
•определения 9.11, X является ^-конечным. □
Интересно отметить, что определение фильтрованности (2.51
(а) и (Ь)) для частично упорядоченного множества Ρ
эквивалентно утверждению о том, что единственное отображение

9 1 КОНЕЧНОСТЬ ПО КУРАТОВСКОМУ
321
Ρ -»- 1 (= Р°) и диагональное отображение Ρ->ΡχΡ(=Ρ )
кофинальны. Поэтому из теоремы 9.14 вытекает, что класс К-ко-
нечных объектов является замыканием двухэлементного класса
{О, 1 π 1} в смысле соответствия Галуа между классами
объектов и классами частично упорядоченных множеств в <?Г,
определенного отношением
h χ
D(X, Ρ) -<=> Ρ-»-Ρ является кофинальным.
9.15 Предложение, (i) Пусть X является К-конечным
объектом Ж, а Р — фильтрованным частично упорядоченным
множеством. Тогда Рх фильтровано.
(ii) Пусть X и Υ являются К-конечными объектами из Ж'.
Тогда Χ Χ Υ является К-конечным.
Доказательство, (i) Рассмотрим диаграмму
hi
pXuX-
рХ
->ρχχρχ
Поскольку согласно 9.12 (ii) XnX является .К-конечным,
то в силу теоремы 9.14 ht и h2 кофинальны. Следовательно, в
силу упражнения 11 к главе 2 кофинально Δ. Аналогичное
рассуждение показывает, что кофинально отображение Рх-»- 1;
следовательно, Рх фильтровано.
(ii) Пусть Ρ — фильтрованное частично упорядочепное
множество, и рассмотрим диаграмму
рХХ Υ .
-(Ρ
рХ
h2
X\Y
Так как Рх фильтровано в силу (i), то hi и h2 кофинальны в
силу теоремы 9.14. Следовательно, ввиду упражнения 11 к главе 2
h3 кофинально; поэтому XXF является ^-конечным в силу 9.14.
На самом деле можно дать аналогичное доказательство
теоремы о копроизведепии (9.12 (ii)), если использовать теорему
9.14 как определение фильтрованности; мы оставляем его
читателю в качестве упражнения.
Мы уже отмечали, что X <-* К (X) является ковариантным
функтором & -»- @~, и можно считать, что он принимает значения
в slat(^f). Несколько удивительпо, но мы имеем следующий
результат.

322
гл а. теория топосов и теория множеств
9.16 Теорема (Миккелсен). К является функтором
свободы для теории slat; следовательно, в частности, slat(ef) является
монадической над Ж, даже если %> не имеет объекта
натуральных чисел.
Доказательство. Пусть L — полурешетка. Определяя от-
V
ношение порядка Lx > >- L χ L как уравнитель для L χ Lz^ L,
мы превращаем L в фильтрованное частично упорядоченное
множество; поэтому, продолжая, как в теореме 9.14, можно
определить объект ограниченных подобъектов из L и доказать, что он
содержит K(L). Но на самом деле мы можем сделать нечто
лучшее. Пусть С) s-Ω X L — экстенсионал формулы
Vl'(l'ew =*l's£l)AVr(VI"(i" ew^l" <1') =*ls£l')
(т. е. формулы «1 является наименьшей верхней гранью для w»),
D) »-Ω —образ для С) >Ω X L >■ Ω . Так как
отношение порядка на L по определению асимметрично, то наименьшая
верхняя грань, если она существует, единственна, и поэтому
С —»■ D действительно является изоморфизмом.
Теперь легко показать, что С — подполурешетка для QL X L
и что L, > у χ L пропускается через нее; следовательно,
K(L)^D как подобъект объекта QL. Пусть Bl обозначает
композицию гомоморфизмов полурешеток
K(L)) >D-^C> >QLX L-^ L;
тогда можно легко увидеть, что композиция Ly >■ К (L) *■ L
является тождеством. Следовательно, если дан морфизм X—>■ L
из объекта X в L, то его можно пропустить через X > >■ К (X)
с помощью гомоморфизма полурешеток
K(X)-+K(L)-* L.
Но это пропускание единственно, ибо если g и g' обеспечивают
пропускание, то их уравнитель является под-\/-полурешеткой для
Ωχ, содержащей X) *■ Ω , и таковым должен быть весь К(Х).
Поэтому К(Х) является свободной полурешеткой, порожденной
объектом Х- Утверждение о том, что теория slat(^f) является
монадической над Ж, выводится, как в доказательстве
теоремы 6.43, так как лемма 6.42 не требует объекта натуральных
чисел. Π
Теорема 9.16 позволяет при установлении дальнейших свойств
конечности по Куратовскому использовать знакомые свойства
конечных алгебраических теорий. Далее приводится пример.

9 1. КОНЕЧНОСТЬ ПО КУРАТОВСКОМУ
323
9.17 Следствие. Функторы обратного образа сохраняют
К-конечностъ.
Доказательство. Пусть &~ -*& — геометрический мор-
физм, X — объект из <8'. В силу теоремы 9.16 и леммы 6.44
р*(К(Х)) и К(р*(Х)) изоморфны как полурешетки в SF и,
следовательно, как частично упорядоченные множества. Но р*
сохраняет свойство иметь максимальный элемент; поэтому К-ко-
нечность объекта X влечет /^-конечность объекта р*(Х). □
9.18 Предложение. Пусть X — объект топоса Ж. Тогда
X является К-конечнъш тогда и только тогда, когда К(Х)
является К-конечным.
Доказательство. Предположим сначала, что К(Х)
является ^-конечным. Из доказательства теоремы 9.16 возьмем
гомоморфизм полурешеток К (К (X)). Ί^Κ(Χ), являющийся
расщепленным эпиморфизмом; тогда, если 1 —*■ К (К (X)) —
максимальный элемент из К(Х), легко можно увидеть, что εκ(Χ) χ—
максимальный элемент из К(Х).
Наоборот, предположим, что X является .К-конечным. Пусть
Q) »-Ω — экстенсиопал формулы «Κ(νν) является К-ко-
печным», где w — переменная типа Ωχ. Покажем, что Q является
V-полурешеткой и содержит X) >- Ω .На самом деле, ясно, что
Q содержит 1—^Ω и ^> >-Ω , так как К(0)^ 1 и Я(1)^1п1
являются /^-конечными; поэтому нужно только показать, что Q
замкнут относительно V или, что то же самое, что если Υχ) *-Х
иУ2>—*-X — такие подобъекты, что K(Yt) и K(Y2) являются
/конечными, то K(Yi\iY2) является /ί-конечным. Но К,
будучи функтором свободы для конечной алгебраической
теории, сохраняет рефлексивные коуравнители (и, следовательно,
все эпиморфизмы в <?Г) в силу леммы 6.42. Поэтому эпиморфизм
ΥΊ и Υ2 —*" Yi U Υ2 индуцирует эпиморфизм К (Уг π Υ2) —**■
—► К (Υ, U У,)- Но К (Υ, ηΥ2)^Κ (Υ,) Χ Κ (Υ2) будет
^-конечным в силу 9.13 (и) и 9.15; поэтому согласно 9.12 (i) К(F, U
U Υ г) будет ΐί-конечным. Следовательно, Q^K(X), и потому
■"ι Ί
/ί-конечность объекта X влечет, что 1 —'—*■ Ω пропускается
через Q, т. е. К(Х) является Я-конечным. □
9.19 Теорема. Пусть & — булев топос. Тогда Жм — топос
и фулктор включения <§ы -*■ %> является логическим.
Доказательство. Из 9.12 (ii) мы знаем, что любой под-
объект ^-конечного объекта ^-конечен; следовательно, если X
является ^-конечным, то из 9.13 (i) следует, что К(Х)
представляет собой Ωχ в целом. Поэтому согласно 9.18 <£ki замкнут
относительно образования объектов^степеней. Но он также замкнут
относительно образования конечных произведений (и,
следовательно, всех конечных пределов) согласно 9.15 (ii), а в силу

324
ГЛ 9. .ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
упражнения 1 к главе 1 достаточно убедиться, что <£hf обладает
полной структурой топоса и что функтор включения сохраняет
эту структуру. □
Для небулева объекта Ж подкатегория Жм может не быть то-
посом; действительно, она может даже не быть замкнутой
относительно образования уравнителей (см. упражнение 2 ниже).
Наконец, докажем результат, восходящий к Ловеру [LC],
который уточняет связь между конечностью по Куратовскому и фи-
нитностью кардиналов в топосе с объектом натуральных чисел.
9.20 Теорема. Пусть Ж— топос с объектом натуральных
чисел, X — объект из Ж. Тогда X будет К-конечным тогда и
только тогда, когда он локально является частным финитного
кардинала, т. е. тогда и только тогда, когда существуют V —»· 1 в Ж,
натуральное число ρ в ЖIV и эпиморфизм [р] —»· V*X.
Доказательство. Сначала покажем, что кардиналы К-ко-
нечны; точнее, что общий кардинал [га] является /^-конечным
Γη ,Ί Γι
в Ж/Ν, Для этого следует построить пропускание 1 —-^— Ω1™1
через К([га]), но это можно сделать по индукции, используя
лемму 6.18 и данные
lilsX([o])so*(X([B]))
и
К ([га]) 1Щ["])Х > К ([га]) χ Ж (1) ~ К ([га] nl)^s* (К ([га])).
Теперь из 9.12 (i) и из замечания, которое следует за
определением 9.11, вытекает, что каждый объект, удовлетворяющий
данным условиям, ^-конечен.
Наоборот, предположим, что X является ^-конечным. Так как
теория slat является фактортеорией теории топ моноидов
(полученной добавлением равенств тп(х,у)= тп(у,х) и тп(х,х) = х),
имеем эпиморфизм из свободного моноида М(х) = ΣΝ(Χ1η}) в
свободную полурешетку К(Х). Поскольку это отображение
представляет собой гомоморфизм моноидов, можно легко увидеть, что
у него должно быть следующее «поэлементное» описание: слово
[р] -»- X переводится в образ отображения [р] -»- X,
рассматриваемого как ^-конечный подобъект объекта X. Теперь образуем
декартов квадрат
V »1
ЩХ) >*■ К(Х)
и пусть ρ — композиция V -Χ Μ (Χ) -*■ N. Тогда w
соответствует слову длины ρ в элементах из V*X, образ которого пред-

§9 2. ТРАНЗИТИВНЫЕ ОБЪЕКТЫ
325
ставляет собой V*X целиком, т. е. эпиморфизму [р] —*»■ V*X
в S/V.
Три идеи, изученные в §§ 6.2, 8.4 и в настоящем параграфе,
никоим образом не исчерпывают возможностей определения
конечности в топосе. В частности, следует упомянуть, что Брук [14]
изучал определение <tX конечен тоща и только тогда, когда
существует такой частичный порядок на X, что X и Хор вполне
упорядочены», а Волгер [127] изучал определение «X конечен
тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр на X является
главным». В топосе общего вида определение Брука кажется
неудобным из-за своей ограниченности (финитные кардиналы не
всегда ему удовлетворяют), а определение Волгера кажется
избыточно слабым (Ω ему всегда удовлетворяет). Причина в обоих
случаях по существу одна и та же, а именно: топос, в котором
не соблюдается (АС), не обеспечивает такого богатства полных
упорядочиваний и неглавных ультрафильтров, как хотелось бы.
9.2. Транзитивные объекты
В этом и последующих параграфах мы собираемся доказать,
что теория топосов (элементарная) с добавлением ряда «множе-
ственноподобных» аксиом логически эквивалентна некоторому
«слабому» варианту теории множеств Цермело — Френкеля.
Такая программа была впервые реализована Коулом [18] и Митче-
лом [85] (независимо), использовавшими идею о том, что
отношение вхождения на множестве можно характеризовать деревом,
имеющим определенные свойства. Мы будем следовать более
позднему доказательству этого же результата Озиусом [92],
который исходил из известного результата теории множеств ZF,
называемого «теоремой Мостовского об изоморфизмах».
Напомним, что множество S называется транзитивным, если
(х^У Ay^S) =>- χ <ξξ S.
9.21 Теорема (Мостовский [181]). Пусть А—множество
и R — бинарное отношение на А. Следующие утверждения
эквивалентны:
(i) R экстенсионально (т. е. {а е A IaRx) = {α <ξ Α \aRy) =>
=*- χ = у) и вполне фундировано (т. е. VB ^(В Φ 0 =>3г/ е
e5Vie5n (bRy))).
(ii) Существует такое транзитивное множество S, что (A, R)
изоморфно (S, {(х, уУ\х е у е S}) в категории множеств,
снабженных бинарным отношением.
Доказательство, (i) => (ii). Рекурсией на вполне
фундированном отношении R определим функцию / с областью
определения А, использовав следующую формулу:
/(о)={/(Ь)|ЬеЛД bRa).

326
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Экстенсиональность R обеспечивает взаимную однозначность
функции /, и потому множество {f(a)\a^A) обладает
требуемыми свойствами.
(ii) => (i) получается непосредственно из аксиом
экстенсиональности и фундирования. □
Сейчас мы продолжаем разрабатывать в рамках теории топо-
сов основные свойства объектов, снабженных бинарными
отношениями, которые подобны отношениям из теоремы 9.21.
9.22 Определение. Пусть X—объект топоса &. Под
отношением на X будем понимать (в данный момент) морфизм
ΧΛ-Ω . Будем говорить, что г экстенсионален, если он
является мономорфизмом, и г индуктивен, если любой подобъект
m Ι γ 3m χ\
Υ) >Χ, удовлетворяющий неравенству г 1 \Ω > >-Ω ) ^mt
на самом деле является всем X.
Под транзитивным объектом из %> мы имеем в виду пару
(X, г), в которой г — экстенсиональное индуктивное
отношение на X.
Как показывает следующая теорема, восходящая к Миккел-
сену [84], индуктивность означает, что мы можем определить
морфизмы с областью определения X «рекурсией на г». (Ср.
теорему 6.14.) Π
9.23 Теорема. Пусть X — объект топоса &, г —
экстенсиональное отношение на X. Тогда г индуктивно в том и только
в том случае, когда (X, г) обладает следующим «свойством
универсальной рекурсии»: для любого объекта Υ и морфизма
Q -*-Y существует единственный /: X -»- Υ такой, что диаграмма
Ωχ ►Ω1'
коммутативна. {Будем говорить, что / r-рекурсивно
определена по g.)
Доказательство, (i) Предположим, что г индуктивно,
и нам дано Ω -*■' Υ. Если f — неремепная типа Ωχχγ, то будем
писать «f: X -- Υ» как сокращение формулы
VxVyVy'(<x, y>ef Л<х, y'>ef) => У = у'
языка L^.Hcho, что экстенсионал этой формулы представляет
собой YX) *-(ΩΥ)Χ ^ ΩΧχγ (и изоморфен ей). Теперь пусть
М) »- Ω х —экстенсиопал формулы
Vf'Vx(f'<fAf: X--yA3n1(f') = r(x))=><x,g(3n2(f'))>ef

9 2 ТРАНЗИТИВНЫЕ ОБЪЕКТЫ
327
и пусть F > >■ Χ χ Υ — внутреннее пересечение для М.
Покажем, что F является графиком морфизма X -*- У с требуемыми
свойствами.
Сначала следует заметить, что
g Η Г < Γί° =*. Vf (f е= rikT =>- f' <f),
из чего легко следует, что F е ГМ~1. Если задать G) >ΧχΥ
как экстенсионал формулы
3f (f < г*° Λ i-X- У Λ 3π, (f) = r(x)Ai (3π2 (f)) = у),
то будем иметь %> Η <х, у> ^rG~] =ф- <х, у> εί, т. е. G < F.
Но это, в свою очередь, влечет, что rGn ρξ γΜ , и потому F ^ £?;
следовательно, F = G.
Теперь рассмотрим подобъект
Х'>_^Х = |Э!у<<х,у>ег-^1;
покажем, что г"'(зт)<Аге, и поэтому т^1х, т. е. F является
графиком морфизма. Пусть 1-*-Х — такой глобальный элемент,
что г£<; гт~>; определим Fx) *Х χ Υ как экстенсионал
формулы <х, у) е Γί'Ί Д χ е п. Тогда можно легко увидеть, что F
является графиком частичного отображения Ϊ-У с областью
определения г.г; поэтому пара (χ, #(3π2 (rFxn))} находится в
ГС и, следовательно, в rFn. Но поскольку Fx является
единственным таким частичным отображением, содержащимся в F,
выводим, что
<ffH<x,y>erF^y = g(3n2(rF^)),
и, следовательно, χ е г тп. А так как это рассуждение работает
так же хорошо для обобщенных элементов из X, получаем
требуемый результат. Чтобы показать, что морфизм / является
единственным, предположим, что имеются два морфизма /„ /2, г-ре-
курсивно определенных по g. Тогда нетрудно показать, что для
их уравнителя X'> *■ X имеет место г~1 (Зт)^ т> п
поэтому /ι = U-
(ii) Обратно, предположим, что г экстенсионально и обладает
свойством универсальной рекурсии. Пусть
9: QJ-±X

328
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
представляет частичное отображение
1
X-
ах
■х
Эчх
Ω*
*1χ
тогда заметим, что X > >- X r-рекурсивно определено по г. Если
теперь дан такой морфизм Y> >Х, что г~Ц^т) < т, то
образуем декартов квадрат
*Ω*
λΥ I
и пусть Ω -*■ Υ представляет частичное отображение
Ζ> " У
+
Ωκ
Ων
Пусть X —*■ Υ рекурсивно определен по g.
Теперь квадрат
>ΩΧ
коммутирует, так как оба пути по периметру представляют

9 2 ТРАНЗИТИВНЫЕ ОБЪЕКТЫ
329
частичное отображение
■X
Ω1
Ω*
следовательно, mf = цх: X -»- X, поскольку оба морфизма г-ре-
курсивно определены по г. Теперь η* — мономорфизм, так что
*]х(*]х) = ίχ, а так как у)х(т) ^т, то применение ηχ.κ
равенству mf = Г[Х дает пропускание 1Х через т. Следовательно,
т является эпиморфизмом. □
9 24 Предложение. Пусть (X, г) и (Y, s)
—транзитивные объекты в Ж. Тогда существует самое большее один /: X -»-' Υ
такой, что диаграмма
ι
коммутативна, и если такой f существует, то он является
мономорфизмом. Будем говорить, что f является включением объекта
(X, г) в объект (Y, s), и будем обозначать &и категорию
транзитивных объектов и включений в &.
Доказательство. Пусть s: Ω
в 9 23 (ii). Теперь диаграмма
• Υ определяется, как
Г
Ω*
э/
+ W
-+Υ
Ω1'
коммутативна, т. е. лу/ r-рекурсивио определено по s.
Следовательно, г и s однозначно определяют композицию η у/, но η у —
мономорфизм, поэтому / определяется однозначно.
Чтобы доказать, что /—мономорфизм, допустим, что Υ~*-Χ
является морфпзмом, который s-рекурсивио определен по г. Тогда
gf r-рекурсивно оиределен по г, следовательно, gf = цх По
ηχ — мономорфизм, поэтому / — мопоморфизм. □

330
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Следующий результат можно считать частичным обращением
предложения 9.24.
9 25 Лемма. Предположим, что имеется коммутативная
диаграмма
Х> : ► У
в которой / — мономорфизм. Тогда, если s экстенсионален
{соответственно индуктивен), то таким же является г.
Доказательство, (i) Тривиально имеем: s —
мономорфизм =>■ sf = 3/. г — мономорфизм =*- г — мономорфизм.
(ii) Пусть Ζ > >-Λ удовлетворяет неравенству r'(3m)<m.
Определим?1» *-Y = V/(Z> *Х):тогда из сопряжения (/_1 —)
—| V/) имеем /_1(и)^ m как подобъекты X. Но согласно
упражнению 10 к главе 1 функтор /■->- 3/ сохраняет подъемы
мономорфизмов, следовательно, (3/)_1(3и)<37п как подобъекты Ωχ.
Поэтому
/-,(г,(Эп)) = г,((3/)-,(Эи))^г,(Зт)<т
и, следовательно, s"'(3n) < V/(m) = и. Но s индуктивен, поэтому
и=1у, следовательно, т> /_1(1У)= 1*. □
9.26 Предложение. Частично упорядоченное множество
%>и имеет бинарные пересечения и объединения.
Доказательство, (i) Пусть (X, г) и (Y, s) —трапзитив-
ные объекты. Чтобы образовать их пересечение в S",r
(неформально обозначаемое (Χ Л Υ, г Π s)), построим декартов квадрат
Χ η Υ ► Υ
где / 7-рекурсивно определен по s. Теперь имеем s. 3/. rq
= fq = ЦгР', поэтому 3/. rq пропускается через
и, следовательно, в частности, через 3ηΓ. Но квадрат
Ωνη,—i".—>с/
lY
3>!v

9 2 ТРАНЗИТИВНЫЕ ОБЪЕКТЫ
331
является декартовым в силу упражнения 10 к главе 1, π потому
rq пропускается через Зд, т. е. Χ—*-Ω' ограничивается до
отношения Χ [}Υ^—* ΩχηΥ на Χ Π У. Теперь (X П У, г П s)
является транзитивным объектом (a q является включением) в силу
9.25. Но ρ — тоже включение, так как два пути по периметру
квадрата
Хп У
коуравниваются морфизмом Ω >- Ω .
Чтобы установить свойство универсальности пересечения
(Χ Π У, rfls), допустим, что (Z, и) — любой транзитивный объ-
ект, a (Z, и) -*■ (X, r)t (Ztu)-^- (Y, s)—два включения. Тогда
композиции fi и Ύ]γ] u-рекурсивно определены по s, поэтому они
равны; следовательно, (i, /) пропускается через подъем Xf\Y.
Ясно, что это пропускание является включением
транзитивных объектов.
(ii) Чтобы образовать объединение (X U У, г Us), построим
диаграмму спуска
Χ η У>-
- У
■■* λ' υ У
и определим, что rUs представляет собой такой единственный
морфнзм, что диаграмма
А-
Ω*·
-> Л и У *-
-> Ох""
Ωκ
коммутативна. Из свойства универсальности спуска немедлен τι >
следует, что rUs удовлетворяет свойству универсальной
рекурсии из теоремы 9.23, поэтому нужно только доказать, что он яи-
ляется мономорфизмом.

332
ГЛ. 9 ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Пусть X [} Υ-^Ύ представляет частичное отображение
У ! >- У
Л' и У
тогда, поскольку диаграмма спуска, определяющая X U У,
согласно следствию 1.28 также является декартовым квадратом, имеем
ινα = /, так как обе части равенства представляют одно и то же
частичное отображение X -- Υ. Но имеем также wb = η у, а так
как пара (а, Ь) совместно эпиморфна, выводим, что w (rUs)·
рекурсивно определено по s.
Vl
Теперь положим, что U ^5 X (J Y коуравнены посредством
rUs; тогда они также коуравнены посредством w = s.3w.(rU s).
Образуем декартов квадрат
V ■
-* У
и \ ι
L' *У
так как
■+У
1иУ
является декартовым квадратом по определению w, то квадраты
V > У
■>1и У
также декартовы (н, в частности, коммутативны) для ί = 1 и
i = 2. Следовательно, γι и γ2 уравниваются посредством ν = 7ι (Ь).
Аналогичное рассуждение показывает, что они уравниваются
посредством γί(α)τ но (а, Ь) совместно эпиморфна, поэтому у нас
должно быть γ, = γ2· Наконец, свойство универсальности для
(X U У, rUs) немедленно следует из свойства универсальности

9 2 ТРАНЗИТИВНЫЕ ОБЪЕКТЫ
333
амальгам в & и из того, что ^ftr является частично
упорядоченным множеством.
9.27 Предложение, (i) (О, 0->-Ω0=1) является
транзитивным объектом,
(ii) Если {ХЛ г) — транзитивный объект, то транзитивным
является (Ώχ, Эг), и (Χ, r)->~(Q , Зг) — .включение.
Доказательство, (i) тривиально.
(ii) Из следствия 1.33 известно, что 3 сохраняет
мономорфизмы, поэтому Зг экстенсионально. Предположим, что дан
ν ё f
Ω -*-Υ. Тогда, если X -*- Υ r-рекурсивно определен по g, то лег-
X 3/ Υ §
ко проверить, что Ω —>■ Ω —*-Υ3 r-рекурсивно определен по g.
Более того, если h также Зг-рекурсивно определен по g, то
должно быть hr— /, и потому h = g. 3h. 3r = g. 3/. Таким образом,
Зг обладает свойством универсальной рекурсии. Остальная часть
утверждения тривиальна. Π
9.28 Определение. Говорят, что объект X из & частично
транзитивен, если существуют транзитивный объект (Y, s) и
мономорфизм Х> >■ Υ в 8. Будем писать <?fptr вместо полной
подкатегории частично транзитивных объектов в <§. Π
9.29 Теорема (Озиус). &ν1ΐ является топосом и функтор
включения Ж'ptr -»- <$ является логическим. Более того, любой
логический функтор <§ -*■ £Г ограничивается до логического
функтора dfptr -*■ ^"Ptr·
Доказательство. Чтобы доказать первое утверждение,
достаточно в силу упражнения 1 к главе 1 показать, что <§vu
замкнута относительно образования (в %>) конечных пределов
я объектов-степеней и что каждый подобъект частично
транзитивного объекта частично транзитивен.
Но если имеется мономорфизм X-*-Y, где (Y, s) транзити-
X 3™ Υ
вен, το Ω > >-Ω выражает Ωχ как подобъект транзитивного
объекта согласно 9.27 {И). Третье утверждение тривиально
следует из определения; значит, <§vU замкнуга относительно
образования уравнителей. А так как ^l,l-*-Qj в силу 9 27 (i) и (ii)
транзитивен, остается рассмотреть произведения пар.
Предположим, что X и Υ частично транзитивны. Используя
i).2G (ii), можпо найти единственный транзитивный объект,
содержащий их обоих как подобъекты. Но тогда согласно
упражнению 10 к главе 5 имеем мономорфизм
ΧχΥ) ^ΖχΖ>^>ΩβΖ.
Поэтому 1X7 является частично транзитивным.
Чтобы доказать второе утверждение теоремы, достаточно
показать, что логические функторы сохраняют как экстенсиональ-
вость, так и индуктивность отношений. Для экстенсиональности

334
ГЛ 9. ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
это тривиально; что касается индуктивности, то следует заме-
rlzi
тить, что определение эквивалентно утверждению, что 1 »■ Ωχ
является единственной неподвижной точкой сохраняющего
порядок отображения
ωχ^ΙωώΧ^ωχ.
Так как построение из теоремы Тарского о неподвижной
точке (5.50) можно использовать для построения наименьшей
неподвижной точки такого отображения, сохраняющего порядок, то
это свойство, очевидно, сохраняется логическими функторами. п
9.3. Теорема равнонепротиворечивости
Теперь мы готовы заняться построением модели теории
множеств из заданного топоса. Используемая нами теория множеств
не является стандартной теорией множеств ZF. Дело в том, что
последняя, как хорошо известно, ие является конечно
аксиоматизируемой и поэтому не может быть логически эквивалентна
никакому конечно представленному расширению элементарной
теории топосов.
9.31 Определение. Слабая теория множеств Цермело
zer0 — это теория, выраженная в (классическом) исчислении
предикатов первого порядка с равенством, имеющая один тип
(термы, относящиеся к этому типу, называются «множествами»),
константу (нульместную операцию) 0, двуместную ©перациго
< —, —> и двуместный предикат е, удовлетворяющие аксиомам
(i) (Экстенсиональности) Vx(xes <=*- xet) => s ■= t.
(ii) (Пустого множества) ~~| (x е0).
(iii) (Неупорядоченной пары) 3zVt(t e ζ <=*-(t = x V t = y)).
(iv) (Упорядоченной пары) <x, y> = <z, t> <=*-(x=z Λ y = t).
(v) (Множества-степени) 3yVz(zey-«-Vt(tez^tex|).
(vi) (Относительного дополнения) 3zVt(tez <=*- (tex Д ] (ts
ey))).
(vii) (Декартова произведения) 3zVt (t e ζ <=*- 3u3v (u e χ Д
Ave у Д t = <u, ν»).
(viii) (Отношения принадлежности) 3yVz (ζ i= у -*=>- 3s31 (se
etAtexAz=(s,t»).
(ix) (Области определения) 3yVz(zey<=»-3t(<z, t>ex)).
(x) (Перестановок) 3yVz(ze у <=*3s3 t(<s, t>ex,\ z =
= <t, s>)),
3yVz(zey<=i"3s3t3u<<s1 t>, u>exAz=<<u, s>, t>)).
(xi) (Фундирования) И (*= 0)^Эу(уехД Vt (t e= у =>-
=>1(le x))).
Из г.ида определепия 9.31 должно быть ясно, что zer0
конечно представлена. Однако уместно отметить, что аксиомы (vi) —
(χ) можно заменить эквивалентными: аксиомой о существовании

9.3. ТЕОРЕМА РАВНОНЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 335
множеств-объединений и ограниченной аксиомой выделения,
утверждающей, что для формулы Φ (χ), имеющей только
ограниченные кванторы (т. е. кванторы вида V s(se t=> ...) и 3s(se
et Д ...)), и любого множества у существует множество
{хе у|0(х)}. (Это установил Тиле [186].)
Следует заметить, что в zer0 недоказуема теорема Мостовского
об изоморфизмах, так как ее доказательство привлекает аксиому
замещения: в zere также недоказуемо, что любое множество
вкладывается в транзитивное множество. Поскольку мы желаем,
чтобы оба эти утверждения выполнялись в нашей модели, мы
добавляем их как аксиомы.
9.32 Определение. Теория множеств zer определяется
добавлением к аксиомам zer„ следующих двух аксиом:
(xii) (Транзитивности) Эу (х^уДу транзитивен).
(xiii) (Аксиома Мостовского) (г — экстенсиональное вполне
фундированное отношение на #)=^3y3f (у транзитивен) Л(ί —
биекция из χ в y)AVsVt(<s, t)er*>/(s)e/(t)). □
Легко доказать (ср. теорему 9.21), что множество у и
биекция f из 9.32 (xiii) однозначно определяются по χ и г.
Аналогично, из 9.32 (xii) можно вывести, что у каждого множества χ
имеется транзитивное замыкание; используя ограниченную
аксиому выделения, последнее можно определить как
{tey|Vzsy(xszAz транзитивен) =*-1 e ζ),
где у — любое транзитивное множество, содержащее х, а затем
доказать, что определение не зависит от выбора у.
Теперь ясно, что для любой модели в zer0 соответствующая
категория множеств и функций является элементарным топосом,
но этот топос обладает некоторыми особыми свойствами, которые
отсутствуют у других топосов. Поэтому, чтобы установить
логическую эквивалентность, на топос нужно наложить
дополнительные условия.
9.33 Предложение (Фрейд [FK]). Пусть & — топос.
Следующие условия эквивалентны:
(i) 1 является порождающим для <§ и <S не вырожден (т. е.
О -»- 1 не является изоморфизмом).
(ii) <g булев и удовлетворяет (SS) (5.21) и аксиоме
двузначности (TV): существуют в точности два морфизма из 1 в Ω.
Доказательство. (i)=*-(ii) Если XфО, то включения ко-
произведения X^tXuX не равны, и поэтому существует мор-
V2
физм 1 —» X с \ιχ¥=\2χ. В частности, X -»-1 является
расщепленным эпиморфизмом, и, следовательно, <S удовлетворяет (SS).
Более того, если U—ненулевой подобъект объекта 1, то U) *■ 1
является изоморфизмом, и потому & удовлетворяет (TV). Чтобы
показать, что & булев, допустим, что X') >■ X является подобъ-

336 ГЛ 9 ТЕОРИЯ ТОПОСОВ II ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
ектом в ё. Тогда для каждого ί—*Χ имеем илиа:е гт~1 или χ Π
Π πι ~ О, т. е. χ е ~~| т . Таким образом, каждый глобальный
элемент из X пропускается через Χ' π (~] Х')> > X,
следовательно, последнее отображение является изоморфизмом, т. е. ~]Х' —
дополнение для X'.
(ii)=*-(i). По лемме 5.32 & удовлетворяет (SG), но
единственными подобъектами объекта 1 являются 0 и 1, а 0 как элемент
любого множества порождающих, очевидно, избыточен. Поэтому
1 является порождающим, и невырожденность следует из
(TV). Π
9.34 Определение. Топос, удовлетворяющий
эквивалентным условиям предложения 9.33, называется точечным. Будем
писать wpt вместо теории точечных топосов, т. е. элементарной
теории категорий [72], плюс (элементарные формы) трех аксиом
топосов (определение 1.11), плюс одно из условий
предложения 9.33. Определим, что теория wtt состоит из теории wpt плюс
аксиомы транзитивности: каждый объект из & частично транзи-
тивен (ср. определение 9.28).
Ясно, что если & — модель теории wpt, то <§vu — модель
теории wtt, и на самом деле теорему 9.29 можно интерпретировать
как теорему относительной непротиворечивости для (РТ)
относительно теории wpt. Чтобы устранить в нашей метатеории
использование аксиомы выбора, будем интерпретировать (РТ)
таким же «конструктивным» способом, как интерпретировали
утверждение о том, что у категории имеются пределы, т. е. что нам
дана операция, которая связывает с каждым объектом I из ^
мономорфизм X) *■ Τ (Χ) и экстенсиональное индуктивное
отношение гх на Т(Х). По той же причине предпочтем допустить,
что для каждого класса изоморфизмов транзитивных объектов
в с? дан канонический представитель, т. е. что дай функтор τ:
<%хт -*■ <§\т, естественно изоморфный тождественному, так что
(A', r) = (F, s) ^влечет τ(Χ, r)=x(F, s). Будем обозначать это
допущение (TR).
9.35 Лемм а. Пусть Μ — модель теории zer0. Тогда
категория 9*(М) множеств и функций в Μ является моделью теории
wpt. Если, сверх того, Μ — модель теории zer, то 9* (М)
удовлетворяет (РТ) и (TR).
Доказательство. Можно легко увидеть, что если χ и
у — множества в М, то можно построить декартово произведение
а: X г/, уравнитель двух функций х ζ5 У и множество всех функций
х-*- у в М, и что они обладают категорными свойствами. Более
того, 1 = {0} является конечным объектом и порождающим для
^(М), а 2 = {0, 1) — классификатором подобъектов. Если теперь
χ — транзитивное множество в М, то в силу 9.31 (i) и (xi)
отношение принадлежности на χ экстенсионально и индуктивно.
Поэтому 9.32 (xii) (вместе с замечанием о транзитивном
замыкании, приведенном после 9.32) влечет, что 9*(М) удовлетворяет

9.3. ТЕОРЕМА РАВНОНЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
ЗЗГ
(РТ). Аналогично, 9.32 (xiii) влечет (TR), так как
транзитивные множества можно взять в качестве канонических
представителей объектов из 9'(М)и. □
Сейчас мы займемся построением модели S(S") теории zer
в произвольном точечном топосе <§. Будем рассматривать тройки
вида (X, г, тп), где (X, г) —транзитивный объект из <§, а τη—
глобальный элемент из ΩΛ.
9.36 Лемма. Пусть (X, г, тп) и (У, s, n) являются
вышеуказанными тройками. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
(i) Существуют транзитивный объект (Z, и) и включения
(X, r)-^(Z, и), (У, s)—>(Z, и) такие, чтоЗа.тп—ЗЪ.п.
(ii) Для всех транзитивных объектов (Z, и) с включениями
(X, r)—>(Z, и) и (У, s)—>(Z, и) имеем За.тп=ЗЪ.п.
(iii) Если (Ζ, u) = (XUF, г Us), как определено в
предложении 9.26, и а, Ъ — канонические включения, тоЗ a.m = 3b.n.
Более того, отношение на тройках, определенное этими тремя·
условиями, является отношением эквивалентности.
Доказательство. Тривиально следует из
предложения 9.26 и из того, что включения являются мономорфизмами
в %. □
Теперь определим, что множествами в S(S") являются
введенные выше тройки с равенством, заданным условиями
эквивалентности из леммы 9.36. Чтобы определить отношение
принадлежности, будем называть множество (X, г, тп) r-элементом, если
ΊΎΙ у 7* у 77Ϊ
1 —* Ω пропускается через X —> Ω морфизмом 1 —» X (который,
конечно, единствен, поскольку г—мономорфизм); будем тогда
говорить, что (X, г, тп)^г(Х, г, п), если тп является г-элементом,
а тп пропускается через подобъект Ν) *■ X, классифицированный
по п. Если теперь (X, г)-*· (У, s) является включением, то
легко проверить, что (X, г, тп)^т(Х, г, п) тогда и только тогда,
когда (У, s, Зг.тп)^ „(У, s, 3i.n); следовательно, можно
определить глобальное отношение принадлежности е так:
(X, г, m)*=(Y, s, η), если (X U У, rUs,3 a.m)e=
erUl(XU У, г Us, 3 b.n).
(Как в лемме 9.36, это эквивалентно утверждению о том, что
<(3а.тп еиЭ6.и» становится истинным в некотором транзитивном
объекте (Z, и), содержащем (X, г) и (У, s), или в каждом таком
транзитивном объекте.)
Пустым множеством в S(&), конечно, является тройка (0, 0-»-
-»- 1, 1-»- 1), а операция образования упорядоченной пары
определяется так: {(X, г, тп), (У, s, ге)> = (ΩΩ , 33(rUs), кргЗо.тге·,.
ЗЬ.п)), где крг—отображение упорядоченных пар Куратовско-

338
ГЛ. 9 ТЕОРИЯ T01IOGOB И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
го, определенное в упражнении 10 к главе 5. Легко проверяется,
что это определение не зависит от выбора представителей для
(X, г, т) и (У, s, п).
Теперь мы готовы сформулировать основополагающую
теорему.
9.37 Теорема (Коул — Митчел — Озиус). (i) Пусть <§—
модель теории wpt. Тогда S{S) является моделью теории zer.
(π) Если, кроме того, & удовлетворяет (TR), то ^(S^S"))
эквивалентна &'ptr.
(in) Пусть Μ — модель теории zer. Тогда S(9'(M))
изоморфна М.
Доказательство, (i) Поскольку подобъект из X в &
определяется (с точностью до изоморфизма) глобальными
элементами из X, которые пропускаются через него, аксиома
экстенсиональности выполняется в S(<§). Аналогично, поскольку в &
отсутствуют морфизмы 1 -»- 0, выполняется аксиома пустого
множества. Неупорядоченной парой {(X, г, тп), (У, s, η)) является
(Q*ur, 3(r U s), pr(3a.m, ЗЪ.п)), где рг — отображение,
определенное в упражнении 10 к главе 5, а упорядоченная пара была
уже определена. Далее, множеством-степенью для (X, г, тп)
является (Ω, Эг, iseg.m), где отображение «сегмент вниз»
определено относительно частичного порядка Ωχ > *Ω Χ Ω ; в каждом
случае легко убедиться, что эти определения совместимы с
нашим определением равенства в S(S") и что они удовлетворяют
соответствующим аксиомам. Убедиться в выполнении остальных
аксиом существования множеств (9.31 (vi) — (χ)) также
несложно, по достаточно трудоемко.
Пусть теперь (X, г, тп)—непустое множество в S(&), а
My—*■ X—подобъект, классифицированный посредством тп.
Поскольку отношение г индуктивно и дополнение к Μ не совпадает
со всем X, можно найти глобальный элемент χ т X такой, что
χ пропускается через М, но подобъект, классифицированный
посредством 1 -»Α->Ω , содержится в дополнении к М. Тогда
(X, г, гх) является е-минимальным элементом из (X, г, т);
поэтому в S(&>) выполняется аксиома фундирования.
Для любого транзитивного объекта (X, г) в <S множество
\Х, г, Γ1χπ) транзитивно в S(<%), поскольку все элементы — это
в точности множества вида (X, г, гх) для некоторого 1 ~* X, и
они поэтому также являются подмножествами множества
(X, г, г1^). Таким образом, аксиома транзитивности (9.32
(xii)) выполняется тривиально. Что касается аксиомы Мостов-
ского, то видно, что экстенсиональное и вполне фундированное
отношение на множестве (X, г, т) определяет экстенсиональное
и индуктивное отношение Μ-*Ω , где Μ — подобъект из X,
классифицированный посредством τη, и тогда тождественный мор-

9.3 ТЕОРЕМА РАВНОНЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
339·
физмΜ —»■ Μ определяет требуемую биекцию (X, г, m)—>-\M,sf
rW).
(п) Будем считать тройку (X, г, т) минимальной, если
г1^ —единственная неподвижная точка (сохраняющего
порядок) отображения
h χ
Для любой тройки (X, г, т) пусть 1 —* Ω является
минимальной пеподвижной точкой этого отображения (она может быть
построена с использованием леммы 5.50); тогда, если X' > >■ X —
соответствующий подобъект из X, нетрудно показать, что г
ограничивается до отношения г' на X', что т пропускается через 3έ
(папример, с помощью 1 —» Ω J и что (X', г', т') являете)*
минимальной тройкой, которая равна (X, г, т) в S(S'). Более·
того, если (X, г, т) и (У, s, η) —две минимальные тройки, рав-
пые в S(S), то (X, г) и (У, s) изоморфны в Su (так как если
Χ Π Υ> *-Χ — каноническое включение из 9.26 (i), то q —
неподвижная точка данного отображения). Поэтому у нас имеется
вполне определенное отображение из множеств в S(&) в объекты
категории <£νπ, которое переводит (X, г, т) в каноническое
расслоенное произведение диаграммы
1
τΧ'-^^Χ' + Q
Ясно, что это отображение расширяется до функторов Фг
91(S(«?))-»- <£vu, так как свойство <(быть графиком функции»
в & можно определить, рассматривая глобальные элементы.
Чтобы определить функтор, обратный (с точностью до
естественного изоморфизма) функтору Ф, мы просто будем перево-
X) *■ У, Υ->Ω J из <§ъи в множество (У, г, т ).
{Следует отметить, что этот обратный функтор можно
определить и доказать, что он полный, унивалентный и логический,
даже не принимая аксиому (TR).)
(Hi) Пусть (X, г, т) является множеством в S(9'(M)).
Используя аксиому Мостовского, можно выбрать представителя
этого множества, для которого X действительно является
транзитивным множеством в М, а г — отношением принадлежности на X.
Тогда можно определить Τ (X, г, т) как подмножество
множества X в М, соответствующее морфизму 1 —*" Ω в Р'(М); легко
проверить, что Τ вполпе определен и что он индуцирует биекцию

4540 ГЛ. 9 ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
между множествами в Μ и множествами в S(9'(M)), которая
сохраняет и отражает отношение принадлежности.
Следовательно, Μ и Si&iM)) изоморфны. □
9.38 Следствие. Теории zer и wtt + (TR) логически
эквивалентны в том смысле, что из модели любой одной из этих
теорий можно построить модель другой теории, а по последней
модели восстановить исходную модель. Более того, теории wtt, wpt
и zer, равно непротиворечивы с вышеуказанными теориями в том
смысле, что существование невырожденной модели для любой из
них влечет существование модели для каждой из остальных.
9.39 Замечание. Конечно, можно получить дальнейшие
логические эквивалентности из следствия 9.38, добавляя другие
теоретико-множественные аксиомы к zer и их теоретико-топосные
эквиваленты к wtt. Например, аксиома бесконечности
эквивалентна теоретико-топосной аксиоме (NN): существует объект
натуральных чисел в <§, а теоретико-множественная аксиома выбора
эквивалентна (АС), как она сформулирована в определении 5.21.
(Следует мимоходом отметить, что добавление (АС) делает
аксиому (РТ) избыточной, так как она влечет то, что у каждого
объекта имеется полное упорядочивание; см. ниже
упражнение 8.) Аналогично можно сформулировать категорный вариант
аксиомы замещения (это сделано в [92]) и таким образом
получить логический эквивалент полной теории множеств Цермело —
Френкеля. Однако этот последний шаг вряд ли представляет
такой интерес, как предыдущие, так как оказывается, что те
логические проблемы, в которых существенно используется
замещение (например, проблемы, захватывающие большие кардиналы),
всегда более' «естественно» решаются теоретико-множественными,
а не теоретико-топосными методами. В проблемах, не
затрагивающих замещение (например, независимость континуум-гипотезы),
теоретико-топосная точка зрения часто является более наглядной,
что мы надеемся показать в двух следующих параграфах. Π
9.40 Замечание. Двигаясь в противоположном
направлении, можно попытаться убирать аксиомы с обеих сторон
эквивалентности, указанной в следствии 9.38, и таким образом
характеризовать с «теоретико-множественной точки зрения» класс
топосов, более общий, чем класс точечных топосов. В этом
направлении окончательные результаты получили независимо Буа-
ло [11], Кост [26] ц Фурман [35], каждый из которых построил
«интуиционистскую теорию более высокого порядка», логически
эквивалентную самой теории топосов. п
9.4. Построение фильтра-степени
В этом параграфе вводится метод построения новых топосов
из старых, который будет играть центральную роль в
доказательствах независимости, рассматриваемых в следующем параграфе.

9.4. ПОСТРОЕНИЕ ФИЛЬТРА-СТЕПЕНИ
341
9.41 Определение. Пусть &, $Г — топосы и L: {§-+& —
■функтор, точный слева. Под фильтром на L будем понимать
гомоморфизм Λ -полурешеток Ф: L (Ω^Λ-*-Ω^- в &~. Φ
называется ультрафильтром, если в действительности он является
гомоморфизмом гейтинговых алгебр. [В случае, когда &~ является
«определенной» категорией множеств, это эквивалентно обычным
определениям фильтра и ультрафильтра на гейтинговой алгебре
Теперь любой фильтр на L определяет (внешний) фильтр
лодобъектов объекта 1 в <§, а именно тех U> *■ 1,
классифицирующие отображения 1 -Д- Ω g которых удовлетворяют
коммутативной диаграмме
в F. Будем называть такие подобъекты Ф-плотными; следует
отметить, что если топос &~ является точечным (так, что подобъект
лз L(Q,g^, классифицированный посредством Ф, определяется
своими глобальными элементами), a L — прямой образ
геометрического морфизма, то любой фильтр подобъектов объекта 1 в &
задает фильтр на L. Поскольку нас обычно интересует именно
этот частный случай, мы осмелимся отождествить Φ с фильтром
<Р-плотных подобъектов из 1, поэтому будем просто писать
«С/еф» вместо <tU является Ф-плотным».
Будем говорить, что морфизм X -*■ Υ в & является Ф-обра-
тилым, если существует такой Ф-плотный подобъект U, что
U*(f) является изоморфизмом в &ΙΌ, и вместо класса Ф-обра-
тимых морфизмов в <§ будем писать Ф. (Следует заметить, что
Φ = (J Ξι0 согласно 3.54 (i).)
С/еФ W
9.42 Лемма. Φ допускает (насыщенное) двустороннее
исчисление частных на <% и замкнут относительно возведения
fz
в степень (т. е. X-4-У е Φ влечет Χζ —>ΥΖ ^Фдля любого Ζ).
Доказательство. Предположим, что имеется композиция
Χ -*-ΥЛ-Z с /, ^еФ. Тогда можно найти такие U и F^O,
что U*(f) и V*(g) являются изоморфизмами, но поскольку Φ —
фильтр, ясно, что ΙΙΠν^Φ и (U f\V)*(gf) —также
изоморфизмы. Аналогично, если gf и / (соответственно gf и g) Ф-обрати-
мы, то таковым же является g (соответственно /). Из того, что
функторы U* являются точными, сразу следует, что подъемы и
спуски Ф-обратимых морфизмов Ф-обратимы и что
параллельную пару Χ ^ Υ можно уравнять посредством Ф-обратимого

342
ГЛ 9 ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
морфизма тогда и только тогда, когда ее можно коуравнять
единицей. Аналогично, замыкание относительно возведения в
степень следует из того, что U* сохраняет экспоненциалы. □
9.43 Определение. Пусть & -*■ $Г — функтор, точный
слева, а Ф—фильтр на L. Определим фильтр-степень топоса <§ по
модулю φ как категорию частных <§ГФ = «^[Ф-1] и будем писать
РФ: %> -»- <?Гф вместо канонической проекции. Обычно будем
использовать слово «ультрастепень» вместо «фильтр-степень», если
Φ является ультрафильтром. □
9.44 Теорема (Ловер—Тьерне). Пусть IS—*- S~ является
левым функтором, а Ф — фильтр на L. Тогда %>ф — топос, а И φ —
логический функтор.
Доказательство, (i) Существование конечных пределов
в &ф и то, что Рф их сохраняет, немедленно следуют из
леммы 9.42 и теоремы 0.19.
(ii) В силу 9.42 <??ф-морфизм XX Υ-»- Ζ можно представить
диаграммой
А'х У
с «еф; а тогда преобразованная транспозицией диаграмма
Χ Ζγ
представляет собой морфизм X -»- Ζγ в %>ф. Наоборот, если мор-
физм X -*■ ΖΎ в Ж φ представляется диаграммой
с и е ф) то ео транспозиция
U χ Υ
представляет собой морфизм ΧΧΥ-+Ζ в <£ГФ. Простое
прослеживание по диаграмме показывает, что оба эти построения сохра-

9 4 ПОСТРОЕНИЕ ФИЛЬТРА-СТЕПЕНИ
343
няют отношение эквивалентности, определяющее морфизмы в &<*
(теорема 0.19), и что они взаимно обратны. Поэтому у йГ*
имеются экспоненциалы, а Р& их сохраняет.
(iii) Пусть Υ -*■ X— мономорфизм в <£ГФ и пусть
Г
У *А'
Я г
— диаграмма в <£, представляющая его. Пусть U —»■ / >—*~ X—
разложение образа /, тогда q должен быть Ф-обратимым, так как
РФ сохраняет разложения образа, а Ф насыщен. Поэтому т
изоморфен (как подобъект из X в $>) «настоящему» подобъекту
Ρφ(ί). Но любой морфизм X-+Ω в <£<ь фактически находится
в образе Рф, так как Ω инъективен в %> и из построения
фильтра Φ ясно, что морфизм X -»- Ω в $"ф можно представить
диаграммой вида
XxU
с U е ф. Два морфизма Χ ^ Ω в & становятся равными в <£<ь
тогда и только тогда, когда их уравнитель Ф-обратим; это
влечет, что классифицируемые ими подобъекты становятся
изоморфными в ё<ь. Поэтому Ρφ(Ω) является классификатором подобъек-
тов для <§°ф. Π
9.45 Пример. Пусть & — топос, X—объект из & с
глобальным носителем, а Φ: Ωχ -»- Ω — ультрафильтр на
Πχ: <§ΐΧ-^-<%. Если с? точечный, то таковым является и {Ж/Х)ф
(см. пиже теорему 9.48), а если мы представляем себе & как
модель теории множеств (на основании теоремы 9.38 о равноне-
противоречивости), то построение {Ж/Х)Ф в точности совпадает
с тем, которое используется для получения нестандартных
моделей апализа в смысле Робинсона. Следует отметить, что компо-
х* ρ φ
зиция S -*-£?/Х—> (&ΊΧ)φ является унивалентной и логической,
так как если U — любой подобъект объекта 1 в <£, то X-*■ ί,
будучи эпиморфизмом, влечет Ux = U, и поэтому РФ · X* (U) ^ 1
влечет U ^ 1, но поскольку РФ · X* сохраняет уравнители и
функторы V j, этого достаточно. Однако Рф · X* в общем случае не
является эквивалентностью категорий; ср. ниже упражнение 12.
Этот пример во всем объеме обсуждается в [67] Коком и Мик-
келсеном, давшими другое построение (&/Х)ф через теорему

344
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МПОЖЕСТВ
разложения для функторов, сохраняющих логику первого пог
рядка. О
При доказательстве независимости континуум-гипотезы в
следующем параграфе в качестве отправной точки будет взята
система аксиом tvm, которая представляет собой усиленную
систему wtt из § 9.3. Сейчас мы введем эту систему и докажем
результат, который показывает, как можно использовать построение
ультрастепени для получения новых моделей теории tvm.
9.46 Определение. Под булевозначной моделью
(категории множеств) будем понимать топос %>, удовлетворяющий (АС)
и имеющий объект натуральных чисел. Если к тому же <S
удовлетворяет аксиоме (TV) из предложения 9.33, то он называется
двузначной моделью. Будем писать bvm, tvm соответственно
вместо теорий булевозначной и двузначной моделей. Q
Из предложения 9.33 и приведенного ниже упражнения 8
следует, что tvm эквивалентна wtt + (AC)+(NN); поэтому можно
использовать следствие 9.38, чтобы интерпретировать
доказательства независимости в tvm в терминах подходящей подсистемы
теории множеств ZFC.
9.47 Замечание. Пусть 91 — двузначная модель. Тогда из
теоремы 5.39 известно, что булевозначные модели, определенные
над 91, соответствуют полным булевым алгебрам в &. Поэтому
любая двузначная модель, определенная над 91, в
действительности эквивалентна 9' как категории. Как указал Тьерне [117],
это является точной формой высказывания Ловера [71]: «если
вы добавили (неэлементарную) аксиому полноты, то вы
охарактеризовали теорию множеств». Следовательно, важно, чтобы при
построении моделей теории tvm использовались конструкции,
выводящие нас за пределы мира геометрических морфизмов.
Именно эту роль играет построение ультрастепени.
γ
9.48 Теорема. Пусть 91— двузначная модель, а <%'-*- 9* —
булевозначная модель, определенная над 91. Пусть Φ —
ультрафильтр на у&: S -> 9" (который существует в 91 по лемме Цор-
на). Тогда ультрастепень <§°ф является двузначной моделью.
Доказательство. В силу предложения 6.16 &ф имеет
объект натуральных чисел, поэтому остается проверить (АС) к
(TV). Пусть X ~>~ Υ — эпиморфизм в && и
Χ Υ
Q
— диаграмма в &, представляющая его. Пусть U —»·/ > >Υ—
разложение образа g, тогда, как в 9.44 (iii), выводим, что i должен
быть Ф-обратимым. Пусть / > *■ U — расщеплепие для q в &\

9 5. НЕЗАВИСИМОСТЬ КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗЫ
345
тогда можно легко увидеть, что
/
У X
— расщепление для / в ёф.
Теперь пусть U > >■ 1 — подобъект из 1 в If с
классифицирующим отображением 1-»- Ω. Поскольку 9> удовлетворяет (TV),
мы должны иметь либо Ф"У*(") = * (в этом случае U является
Ф-плотным, поэтому Ρφ(ϋ)^Ι), либо Φ·Υ*(Μ) = / (в этом
случае Ф-плотно дополнение к U, так что 0 >—*~ U является Ф-обра-
тимым и РФ(С/) = 0). Но поскольку любой подобъект из 1 в &<s>
является образом РФ (и поскольку Φ сохраняет минимальный
элемент из γ* (Ω^), так что 0> >-1 не является Ф-плотным),
выводим, что существуют в точности два таких подобъекта. □
9.5. Независимость континуум-гипотезы
Одним из наиболее поразительных ранних применений эле-
мептарпой теории топосов было категорное доказательство
независимости континуум-гипотезы от аксиом теории множеств. Это
доказательство впервые провел в 1963 г. Коэн [156]; категорные
ддеи содержатся в работе Коэна неявно, и потребовался язык
элементарной теории топосов, чтобы проявить эту связь. На
самом деле желание сделать это являлось одной из основных
движущих сил развития элементарной теории топосов Ловером и
Тьерне. В данном параграфе мы будем следовать доказательству
независимости, представленному Тьерне [117].
Пусть %> — топос с объектом натуральных чисел. Будем
говорить, что объект X отрицает континуум-гипотезу в Ж, если
существуют мономорфизмы N ) >- X > >-Ω" , но объекты
эпиморфизмов Ερί(Λτ, Χ) и Epi(X, Ω") суть 0. (Следует отметить, что
дстипность этого утверждения сохраняется логическими
функторами.) На протяжении оставшейся части параграфа будем
предполагать, что дана двузначная модель 9*, и мы будем искать
построение булевозначной модели &", заданной над 9f и содержащей
объект, который отрицает (СН). Тогда, применяя построение
ультрастепепи к &, получим новую двузначную модель 9"', в
которой (СН) ложна.
Мы позволим себе говорить об объектах из 9°', как если бы
они были «настоящими» множествами; ввиду следствия 9.38 это
разумное упрощение, хотя читателю, до сих пор следившему за
нашими рассуждениями, будет, наверное, немного трудно
переводить все, что мы говорим, на более строгий теоретико-топосный

346
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
язык. В частности, будем обозначать классификатор подобъектов
из 9" символом 2, а не Ω. Так как 9" удовлетворяет (АС), из
теоремы 9.20 легко следует, что определения финитности кардиналов
и конечности кардиналов по Куратовскому совпадают, и поэтому
мы не будем беспокоиться, в каком из этих смыслов
употребляется слово «конечный»; следует также отметить, что благодаря
упражнению 4 к главе 6 мы можем без двусмысленности
говорить о мощности конечного объекта (т. е. о натуральном числе,
индексирующем его элементы).
Пусть 1 г- такой объект из 9', что имеется мономорфизм
2^ > >-/,но Ер1(2'4, /) = 0. (Например, согласно упражнению 7
к главе 5 можно взять 1 — 2 .) Наша цель состоит теперь в том,
ν
чтобы построить ^-топос &" ~*~ Э7, в котором γ*/ становится
подобъектом из Ω^, в то время как еще имеет место
Ερϊ(γ*2^, γ*/) = 0. Теперь пусть Ρ — частично упорядоченное
множество (в 91) частичных отображений / X N -- 2 с конечной
областью определения, упорядоченных отношением f^g -*=*■ g,—
расширяет /, т. е. существует коммутативная диаграмма
G
Будем представлять себе элемент из Ρ как конечное множество
«вынуждающих условий», каждое из которых утверждает, что
конкретный элемепт η из N входит или не входит в конкретный
элемент i из /.
9.51 Лемма. Пусть X — подобъект из Ρ такой, что никакие
два элемента из X не имеют общего расширения в Ρ (т. е. такой,
что
д> н VPVp'Vp"(p е= ΓΧΊ Λ Ρ' e ΓΧΊ Λ Ρ < Ρ" Λ Ρ' < Ρ")=>Ρ =Ρ')-
Тогда Χ счетен, т.е. Х^О или существует эпиморфизм Ν —»· Χ.
(Будем говорить, что Р удовлетворяет условию счетной цепи.)
Доказательс-тво. Предположим сначала, что существует
натуральное число тп, которое является верхней гранью
мощностей областей определения частичных отображений в X. В этом
случае покажем индукцией по тп, что X на самом деле конечен
и его мощность не превышает 2m -ml.
Но это тривиально для m = 0, поэтому можно принять, что
и>0 и что доказываемое утверждение доказано для те —1.
Можно считать, что X непуст, и поэтому взять глобальный
элемент 1 -*■ X. Пусть q обозначает мощность области определения

9 5. НЕЗАВИСИМОСТЬ КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗЫ
347
соответствующего частичного отображения. Теперь, если у —
любое другое частичное отображение в X, то должен существовать
такой (ί, га) в άοια (χ) Γ\ άοτα (у), что x(i, n)¥=y(i, га), так как
в противном случае χ η у имели бы общее расширение в Р.
Поэтому для каждого (i, п)<^ аот(х) пусть Y(i, га)—множество
частичных отображений, полученных, если взять частичное
отображение в X, которое не согласуется с χ на (ί, га), и удалить
(ϊ, п) из его области определения. Тогда ясно, что никакие два
частичных отображения в Y(i, га) не могут иметь общее
расширение в Р, и все их области определения имеют мощность <гаг — 1,
поэтому по индукции
card(F(i,ra))<2m-' (гаг-1)!.
Но имеется морфизм II Υ (г, п) -*-Х, образ которого содер-
(i,n)edom(3c)
жит каждый элемент из X, кроме самого х, и поэтому
card(X)<g -2m~l ■{m-i)\ +1<2"J · т\ + 1 < 2m · те!.
В общем случае пусть Хт — подобъект из X, содержащий те
частичные отображения, мощности областей определения которых
^т. Тогда согласпо проведенному рассуждению Хт конечен, и
поэтому X = (J Хт счетен. □
meiv
Рассмотрим теперь топос В силу теоремы 5.17
и предложения 5.34 %> булев и удовлетворяет (SG); поэтому
в силу теоремы 5.39 он удовлетворяет (АС) и, таким образом,
является булевозначной моделью. Как обычно, мы пишем γ*
вместо обратного образа геометрического морфизма & -*-ЗР. Нам
потребуется следующая техническая лемма.
9.52 Лемма. Пусть S — объект из 9", и предположим, что
дан элемент χ из f*S(p), где ρ — элемент из Р. Тогда в Ρ
существует такой q^p, что образ элемента χ в *(*S(q) содержится
в образе канонического отображения S-*-y*S(q).
Доказательство. Так как 9Р булев, постоянный функтор
S разрешим (сравните упражнение 3 к главе 5), и,
следовательно ,_ | ]-отделен в 91 , а потому γ*5 (будучи ассоциированным
с S пучком) в обозначениях § 3.3 равен (S)+. Поэтому любой
элемент из *(*S(p) является производным морфизма R -»- S в 9? ,
где R — —| Ή-накрывающее решето на ρ в Рор. А так как любое
| Π -накрывающее решето должно быть непустым, то мы, чтобы
получить желаемый результат, должны просто выбрать элемент
(р —д) из R. □
Будем говорить, что объект S из 9" неконечен, если имеется
изоморфизм S X N a S. Не будем обсуждать соотношение между
этим определением и различными определениями конечности,
которые нами рассматривались. Мы просто заметим, что N неконе-

348
ГЛ. 9. ТЕОРПЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
чен в любом топосе (так как сопоставление
(?,?)« j(p + q)(p + q + i)+q
задает изоморфизм NXN-»- N), а Ω^ неконечен в любом булевом
топосе (так как у нас имеются мономорфизмы
tf^Jlz+av у ν>^^ ΩΝ χ Ων s ΩΛυΛ = ΩΝ,
к которым применима теорема Шредера — Бернштейна). (См.
также ниже упражнение 15.)
9.53 Предложение. Пусть Ρ — частично упорядоченное
множество в 9*, удовлетворяющее условию счетной цепи, и пусты
$ — sh-,-ι (9"р). Тогда функтор γ*: Я' -»- & «сохраняет
кардиналы-» в том смысле, что если S неконечен и Epi(S, 7') = 0 в Я, то
Ερί(γ*5, γ*5Γ) = 0 β &.
Доказательство. Предположим, что Ερί(γ*5, γ*?7)1^ 0^
Тогда существуют р^Р и эпиморфизм I (р)* y*S —»· Ι (ρ)* у* Τ
в %>Л{р). Очевидно, что можно допустить, что S и Τ ненулевые;
поэтому у γ*Γ имеется глобальный элемент, и он, следовательно,
инъективен в S. Поскольку 1(р) является подобъектом объекта 1
в %>, / можно расширить до морфизма J: γ*5 —>- γ*?7 (не
обязательно являющегося эпиморфизмом) такого, что I (/>)*(/) = /-
Теперь положим, чтоХ > >PxSx2'—экстенсионал формулы
7p(<*p(s)) = Tp(t)
языка Lg,, где S-+y*S(p) и Τ ->■ у*Τ (ρ) — канонические
мономорфизмы.
Спачала скажем, что композиция X > >-Ρ xSxT —*- Τ
является эпиморфизмом. Чтобы доказать это, допустим, что t —
элемент из Т; поскольку l(p)*(J)= f является расщепленным
эпиморфизмом, можно найти такой x^"(*S(p), что /р(ж)= τΡ(ί).
Тогда в силу леммы 9.52 можно найти такой g 3s ρ, что образ хг
ач
элемента χ в "(*S(q) содержится в образе для S~+ y*S (q).
Пусть s — такой (единственный) элемент из S, что aq(s) = x'i
тогда Jq(Gq(s)) = j,(x')=rq(t), поэтому тройка (q, s, t)
содержится в X.
Пусть теперь Τ > *-Х—расщепление для этого эпиморфизма,,
и рассмотрим композицию
Τ >-^->Х > * PxSxT^S.
Пусть для каждого элемента s из S Тг обозначает слой этого

9 5 НЕЗАВИСИМОСТЬ КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗЫ
349-
отображения над 1-+S, т. е. Т. — множество тех ie T, что h(t) =
— (ρ, s, t) для некоторого p. Пусть ga является композицией
Ts > >Т Ах > >PxSxT^P;
покажем, что gs является мономорфизмом и что ни у каких двух
элементов его образа нет общего расширения в Р.
Для этого предположим, что t и t' являются такими
элементами из Т„ что gs(t)<q> g,(t') для некоторого деР. Тогда,
поскольку тройки (g,(t), s, t)(=h(t)) и (g.(i'), s, t')
содержатся в X, из определения X легко следует, что (q, s, t) и (q, s, t')
содержатся в X. Поэтому τ„(ί) = /o(o,,(s)) = τ,(ί'), но τ,
—мономорфизм (поскольку Т является I I -отделенным),
следовательно, t = t'.
Отсюда согласно условию счетной цепи на Ρ либо Ts = 0,
либо имеется эпиморфизм N —*>■ Тв. Но мы принимаем, что Τ
ненулевой, поэтому можно построить эпиморфизм SxN —»-
—»■ JJ Ts = Т. Но SXNsiS, значит, мы построили эпимор-
seS
физм S —»Т в S, т. е. элемент из Ερΐ(5, Τ). α
Теперь вернемся к конкретному частично упорядоченному
множеству Ρ частичных отображений /XiV-^-2, которое было
определено ранее. Решающая особенность этого частично
упорядоченного множества заключается в следующем результате.
9.54 Предложение. В топосе S" = sh-,-, (^ ) имеется
мономорфизм у*1 > *■ Ω' .
Доказательство. Определим подфунктор R из /XiV
в 9* посредством
R{p)—{{i, n)\p{i, и) = истина).
Сначала утверждаем, что R является | |-замкнутым подобъек-
том из 1XN. Чтобы доказать это, следует показать, что если i, n
и ρ таковы, что для всех q 3s ρ существует r^ q c r(i, ra)=
истина (так, что (i, η) содержится в П-!-за мыкании объекта R(p)),
то (г, n)^R(p). Но если это условие удовлетворено, то у нас
должно быть (i, /г)е dom(p), так как в противном случае можно-
было бы пайти расширение q для ρ с q(i, n)— ложь, и по той же
причине должно быть ρ (г, п) = истина, т. е. (i, n)^R(p).
Поэтому R является Π Π-замкнутым подобъектом;
следовательно, он классифицируется морфизмом / X iV-> Ω-,-, в З7 или,
- 0 "?v
эквивалентно, морфизмом / -*■ (Ω-, -,) . Теперь для любого р^ Ρ
можно отождествить_ (Q-l-l)N(p)c множеством | П-замкнутых
подобъектов объекта NXhp (ср. 1.12); отсюда можно легко
увидеть, что элемент i из 1~Т(р) переводится морфизмом ФР

350
ГЛ. 9. ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
в функтор
\{п е N ]q(i, η) —истина} (q^p),
q~\0 (4>P).
Предположим, что in] — два различных элемента из /; тогда,
поскольку dom(p) конечен, можно пайти натуральное число η
такое, что ни (£, и), ни (/, п) не содержатся в dom(p), и тогда
так зададим расширение q для р, что q(i, η) = истина, но
q(j, η) = ложь. Следовательно, ΦΡ(ϊ)^"Φρ(}), поэтому Φ является
мономорфизмом в & .
Но (Ω-,-,) в силу определения 3.24 и леммы 3.27 является
~1 π -пучком, поэтому после применения к Φ функтора
ассоциирования пучка получим мономорфизм
v*7> *(ΩΊΊ)^ ^Ων*Ν
в sh-,-1(^' ). (Последний изоморфизм был установлен в
упражнении 6 к главе 3.) Это как раз тот мономорфизм, который нам
требуется. Ε
9.55 Следствие. В топосе Ж объект γ*(2^) отрицает
континуум-гипотезу.
Доказательство. Поскольку γ* сохраняет мономорфизмы,
имеем мономорфизмы
N ~ y*N > > γ* {2Ν) > ν γ*/ >^-+ ΩΝ
л S, а поскольку Epi(iV, 2")=Ερί(2", /) = 0 в У, то
Epi (TV, γ* (2")) = Epi (γ* (2"), γ*/) = 0
в ^в силу леммы 9.51 и предложения 9.53. Но поскольку у γ*/
имеется глобальный элемент, он инъективен в булевом топосе &',
д
и поэтому те расщепляется, скажем, с помощью Ω —»у*1. Тогда
композиция с q индуцирует морфизм Epi (γ* (2^), Ω^) -*■
-»- Ερΐ(γ*(2Ν), γ*/) в Ж, следовательно, в силу леммы 1.56
Ερΐ(γ*(2"), Ω") = 0. Π
Сочетая следствие 9.55 с результатами последнего параграфа,
мы доказали следующую теорему.
9.56 Теорема (Коэн—Ловер — Тьерне).
Континуум-гипотеза независима от системы аксиом tvm.
Доказательство. Пусть Я' — модель теории tvm.
Построим, как выше, булевозначную модель Ж над 91 и
предположим, что Φ является ультрафильтром на γ*: &-*-9*. Определим
9"' = ЖФ; тогда в силу теоремы 9.48 9" является двузначной
моделью, а так как γ*(2^) отрицает континуум-гипотезу в Ж, то
объект ΡφΊ*(2ν) отрицает ее в 9*'. Ε
9.57 Замечание. Рассуждения, использованные в данном
параграфе, представляют собой просто частный случай общего

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 9
351
метода доказательства в tvm теорем независимости, подобного
методу «вынуждения по Коэну» в теории множеств. Например,
Бандж [15] использовал этот метод для доказательства
независимости гипотезы Суслина. Этот метод обладает следующими
общими чертами: сначала утверждение, непротиворечивость которого
стремятся доказать (например, «.X отрицает континуум-гипотезу»
или <ίΧ—суслинское дерево»), выражают на внутреннем языке
произвольного топоса (или по крайней мере произвольного
булева топоса). Затем, взяв двузначную модель &, выбирают
частично упорядоченное множество Ρ в Э' (обычно это частично
упорядоченное множество «конечных частичных моделей» того, что
стремятся построить), так что соответствующее утверждение
становится истинным в булевозначной модели S = sh-,n (^ ).
Наконец, используют построение ультрастепени, чтобы «сжать» S
до новой двузначной модели &'. Ε
Упражнения к главе 9
1. Пусть S— топос. Покажите, что объект X = уХ0-*~ Хг)
топоса Серпинского S2 является ^-конечным тогда и только
тогда, когда Ха является ^-конечным в!и/ является
эпиморфизмом. [Указание. Используя то, что «оценить в 0» и «оценить
в 1» представляют собой функторы обратного образа, покажите,
что
к(хо-^Х1)^{к(Х0)^Ик(Х1)).]
Более общо, если С — любая внутренняя категория в S, покажи-
те, что внутренняя диаграмма F -*■ С является ^-конечной в S
то
тогда и только тогда, когда F0 -*■ С0 является ^-конечным в SIC
и действие С на F0 (рассматриваемое как отображение
(с^СоХС0)^(у/^
в SIC„ X С0), пропускается через объект эпиморфизмов
Ερΐ(πί(γ0), nj(vo))·
2. Используя топос S = 9*2, приведите примеры:
(i) параллельной пары X^t-Y в Sk!, уравнитель которой
(в S) не является .К-конечпым;
ν
(И) сюръекции &~-*■ S и объекта X из S таких, что р*Х
является ^-конечным, но X не является ЙГ-конечным;
(iii) такого объекта X, что Ωχ является Я-конечным, но X не
является ^-конечным;
(iv) ^-конечного объекта из S, который не является
внутренне проективным (ср, предложение 6.25);

352
ГЛ. 9 ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
(ν) экспоненциала вида Υ* с Х-конечным X, который не
сохраняется обратным образом геометрического морфизма ЗР -*■ &
(ср. предложение 6.24).
3. Пусть X — /^-конечный объект в топосе %> с объектом
натуральных чисел, ар — натуральное число в <%'. Покажите, что
объект Epi ([/>], X) сохраняется функторами обратного образа.
£У к а з а н и е. Постройте декартов квадрат
Epi([p],X) »хш ]
1 ► К(Х)
Покажите с помощью примера в ^2, что предположение о К-ко-
нечности объекта X нельзя опустить.
4. Пусть & — топос с объектом натуральных чисел, и
предположим, что Etlnepi — внутренняя категория финитных кардиналов
ж эпиморфизмов в Ж, т. е. ее объектом объектов является N, а ее
объектом морфизмов является объект Epi (πι [re], π2 [η]) из
■&ΙΉ Χ Ν. Если Χ — любой объект из &, то покажите, что объект
Epi([re], X) из S/N имеет структуру внутреннего предпучка
Η(X) на Etinepi и что этот предпучок плоский тогда и только
тогда, когда X будет ^-конечным. [Указание. Для первого
условия в определении плоского пучка используйте теорему 9.20,
для второго — то, что финитные кардиналы внутренне проектив-
ны.] Выведите, что S шер является классифицирующим топо-
сом для теории, моделями которой служат /f-конечные объекты,
л морфизмами — эпиморфизмы.
5. Пусть ρ — натуральное число в топосе <£, а [р] —* X —
морфизмы в Щ'. Покажите, что X изоморфен финитному
кардиналу в & тогда и только тогда, когда у диагонального подобъекта
X > >ΧχΧ имеется дополнение. [Указание. Рассмотрите
ядерную пару для /.] Выведите, что если & является булевым то-
посом с объектом натуральных чисел, то подкатегории <£fkf и
*£\л совпадают.
6. Определите · понятие недостижимого элемента внутренне
полного частично упорядоченного множества в топосе и
покажите, что X является /ί-конечиым тогда и только тогда, когда
максимальный элемент из ΩΛ недостижим. [Сравните с
упражнением 7 к главе 7.]
7. Теперь <§ — топос с объектом N натуральных чисел.
Докажите, что (Ν, card) является транзитивным объектом, где
card у
jv —> У — отображение «сегмент вниз» для строгого отношения
порядка из предложения 6.17.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 9
353
8. Пусть X = (Х1^.Х) — вполне упорядоченный объект
(предложение 5.49) в булевом топосе. Пусть Χ^-Ω —
отображение «сегмент впиз» для строгого отпошения порядка,
соответствующего X, (т. е. дополнение к X) > X X X в Хг) >-Х X -X)·
Докажите, что (X, г) является трапзитивным объектом.
9. Пусть So0 обозначает 2-категорию топосов, логических
функторов и естественных преобразований. Покажите, что стирающий
функтор Sog-^ ©at создает фильтрованные (псевдо-) копределы.
Покажите, что топос ё'ф из определения 9.43 можно описать как
фильтрованпый копредел диаграммы в Sog, вершины которой
имеют вид %>1XJ для некоторого Реф,
10 (доказательство Фрейда независимости (АС)). Пусть <S —
топос из упражнения 5 к главе 5, а Р — множество
положительных целых чисел, упорядоченных отношепием делимости (т. е.
ρ < q тогда и только тогда, когда ρ делит q). Покажите, что
функтор &-^-&, переводящий Z-мпожество (М, а) в (М, ah),
является логическим, и, следовательно, постройте диаграмму над
Ρ в йод, вершинами которой являются копии топоса %>. Пусть
ШГ — копредел этой диаграммы. Покажите, что объекты из 2F
можно описать как тройки (М, а, к), где (Λί, α) является
объектом из &, а к — целое положительное число, и что морфизмы
являются такими функциями M~^Q в 91,
что диаграмма
Μ S > Q
коммутативна для некоторого т ^ 1. Следовательно, покажите,
что &~ является точечным, по не удовлетворяет (АС).
11 (Фрейд). Пусть β —булева алгебра в Я' (не обязательно
полная). Покажите, что существует булевозначная модель, у
которой решетка подобъектов объекта 1 изоморфна В. [Выразите В
как (фильтрованное) объединение ее конечных подалгебр, затем
обратите впимание на то, что любая конечная булева алгебра В„
является полной и атомарной (так что Sbv(B0, 0)^-9ΊΧ для
некоторого X), и используйте упражнение 9.]
12. Пусть Φ—неглавный ультрафильтр на множестве
натуральных чисел и пусть & = (9ΊΝ)<ύ. Покажите, что в %>
существуют патуральные числа, которые пе являются образом
функтора 9>^ 9'/Ν^- (9>/Ν)φ.
13 (Фрейд [FK]). Пусть S" — точечпый топос, а 2Г — произ-
т
вольпый топос. Покажите, что любой точный функтор <£~*~&Ί
унивалептен. [Указание. Τ сохраняет образы морфпзмов

354 ГЛ. 9. ТЕОРИЯ ТОПОСОВ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
1п 1 -»- X в (S'.] Выведите, что не существует точного функтора
& -*■ 9", где &" — топос из упражнения 12.
14. Пусть %> — топос Гротеидика, а Ф — фильтр на у*'· Ж -*9'.
Покажите, что функтор Рф: аЬ(1Г)-»- аЬ(<£ГФ) сохрапяет инъектив-
ные отображения, и выведите, что у аЬ(с?ф) имеется достаточно
много инъективных отображений. Если А — абелева группа в &,
то покажите, что имеем точную последовательность
0^7Ф(Л)^Ьот^(1г А)^Ьот#ф(1,Рф(А)),
где γΦ — функтор, определенный в упражнении 10 к главе 8, и
что последний в последовательности морфизм является
эпиморфизмом, если А ипъективеп. Следовательно, покажите, что у нас
имеется длинная точная последовательность когомологических
групп
>Η%{β; A)-*Hq{g; A)-^Hq{&9; ΡΦ(Α))-^Η%+1 (#; А)-*...
15. Пусть (Х0 -»- Xt) обозначает объект ΩΝ из 9''1. Опишите
мпожества Х0 и Xt и выведите отсюда, что ΏΝ не является
неконечным в смысле § 9.5. [Указание. Имеется в точности один
элемепт из Xt, имеющий единственный предобраз в Х0.]

ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛОКАЛЬНО ВНУТРЕННИЕ КАТЕГОРИИ
Если элементарный топос, действительно, можно
рассматривать как обобщенную теорию множеств, то следует попытаться
развить внутри %> теорию математических понятий, как
«больших» по отношению к данному топосу <%', так и «малых». В
частности, нам нужно это сделать для наиболее широко изученного
«большого» математического понятия, а именно, понятия
категории. В то время как методы, развитые в главе 2, позволяют
нам достаточно уверенно оперировать с «малыми категориями»
в тоиосе, потребность в соответствующих методах для больших
категорий подчеркивается встречавшимися нам многочисленными
примерами такого рода категорий (наиболее примечательные
примеры — топосы, определенные над Ж, и категории моделей
алгебраических и других теорий). В качестве типичного примера
возникающих вопросов можно привести следующий: как
сформулировать и доказать аналог следствия 7.14, если конкретный
топос Я' будет заменен произвольным базисным топосом?
При развитии теории категорий с целью изучения больших
категорий «относительно» некоторой базисной категории Ψ
применялись два подхода. Один подход привлекает теорию расслоений
и псевдофункторов [44], [166] и позволяет говорить о семействах
объектов категории Ψ\ индексированных объектами категории Ш.
Второй подход, восходящий к теории обогащенных категорий
[154], [160], позволяет индексировать семейства морфизмов
категории Ψ объектами из <§. Если базисная категория представляет
собой топос, кажется желательным принять точку зрения,
объединяющую оба этих подхода. Первое детальпое исследование этой
точки зрения было предпринято Ловером в [76]. Среди прочих
этой же идеей запимались Бенабу [9], Селерет [17], Пеноп
[100], Паре и Шумахер [97]. В этом кратком обзоре мы будем
следовать в основном терминологии, введепной Пепоном.
Напомним, что если (&>, ®, /) — (симметричпая) моноидпая
категория, то ^-категория Ψ определяется заданием набора Ψ0
объектов и для каждой пары объектов (А, В) объектом Ψ (А, В)
из & (который следует понимать как «объект ^-морфизмов из
А и В»), вместе с морфизмами Ι^-ψ(Α,Α) и Ψ (Α, Β) ®
(g) Ψ (В, С)->^(Л, С), определяющими включение
тождественных морфизмов и умножение в Ψ. Позже мы потребуем,
чтобы они удовлетворяли соответствующим коммутативпым

356
ПРИЛОЖЕНИЕ
диаграммам в &. [Во всех рассматриваемых нами примерах <§
будет категорией с копечными произведениями, а моноидная
структура будет индуцироваться декартовым произведением.]
Если \$?\—обычная категория, то будем называть Y&\
обогащенной над & (или имеющей структуру ^Г-категории), если
существует пекоторая ^-категория Ψ, объекты которой — это
объекты категории ΙίΡΙ, с фупкторной биекцией между
^аморфизмами из А в В и /-элементами из Ψ (А, В). В частности,
заметим, что замкнутая моноидная категория, например, декартово
замкнутая категория обогащепа сама над собой. Подобным
образом можно определить ^f-функторы, «^-естественные
преобразования и т. п. Будем обозначать 2-категорию ^f-категорий через
«Г-(Ш.
Если теперь Т: &-*■ ST — моноидный функтор между моноид-
ными категориями, а Ψ — ^-категория, то с помощью условий
Т(9)0 = 90 и Т(Ф)(А, В) = Т{<8{А, В)) можно определить
^"-категорию Т(*&). (На самом деле Τ индуцирует функтор
^f-©at -»- ^~-©at.) Это приводит к следующему определению.
А.1 Определение (Пенон). Пусть & — топос. Локально
внутренняя категория Ψ над & определяется путем задания для
каждого объекта X из %> некоторой (β IX) -категории Ψ χ
[которую можно понимать как «категорию Х-индексированных
семейств объектов из С»] и для каждого морфизма Χ^·7 из то-
поса с? (βIX)-полного вложения θ/: ί*(&γ)-+ Ό? χ, так что θ/
функторно по / с точностью до согласованного естественного
изоморфизма.
Если Ψ и Я) — локально внутренние категории над топосом
&, то локально внутренний функтор Τ;Ψ-+£ΰ состоит из
(βIX)-функтора Тх: Ήχ-^&χ для каждого X, так что
диаграмма
ГЧ'6\)— J^1*f*(^i)
Of О,
τ
νχ —► <JX
коммутативна для каждого / с точностью до (задапного
согласованного) естественного изоморфизма. Аналогично можно
определить локальпо внутренние естественные преобразования; таким
образом, у нас имеется 2-категория локально внутренних
категорий над &, которую мы будем обозначать ©at(^f). О
Пусть Ψ — локально внутренняя категория пад &. Если
«забыть» обогащенную структуру на категории Ψх, то получим
просто псевдофунктор <?Гор -»- ©at, а применяя «конструкцию Гро-
тендика» ([44], VI 8), получим открыто-замкнутое расслоение

ЛОКАЛЬНО ВНУТРЕННИЕ КАТЕГОРИИ
357
Ψ -*■&. Наоборот, если дапо открыто-замкнутое расслоепие над 8,
то естественно спросить, когда соответствующий псевдофунктор
$°р -*■ gat обладает структурой локально внутренпей категории.
Ответ дается следующей леммой.
А.2 Лемма. Пусть Ψ^~& — расслоение над &, снабженное
расщеплением Θ. Тогда задание структуры локально внутренней
категории на соответствующем псевдофункторе <§°9 -*· ©at
эквивалентно заданию для каждой пары (А, В) объектов категории Ψ
некоторого объекта Ψ (А, В) из <£/р(А)Х ρ (В), а для каждого
(f,g)
объекта Ζ —^-»- ρ (Α) Χ ρ (В) из <§ 1р{А)Хр(В) — биекции (функ-
торной β Ζ) между морфизмами (/, g)-+'&'(A, В) β Ж/р{Л)Хр{В)
и морфизмами Qf(A)-*- θβ(Β) β Ψζ.
Доказательство. Предположим, что Ψ — локально
внутренняя категория; будем писать Χ, У вместо ρ (Α), ρ (В)
соответственно. Определим Ψ (А, В) =■ ΨΧχγ (θπι (Α), θπ2(5)); тогда
морфизмы (/, g)-*-'e'(A, В) в &/XXY соответствуют глобальным
элементам из (/, g)*4?(A, В) в S/Z. Но поскольку θ(/, g>
является {81 Ζ)-полным вложением, имеем изоморфизм
(L g)* («Ά-χγ (θπι (А), о„2 (В))) ~ ψζ (О/ (А), ее (В)),
т. е. требуемую биекцию.
Наоборот, предположим, что это условие выполнено; пусть
X — объект из 8, а А, В — объекты из Ψχ. Определим Ψχ(Α, Β) =
= Л*(<<Р(Л, В)), tr&X^-X X X —диагональное отображение.
Теперь вложим Ψχ в (8/Х) -категорию, используя метод общих
элементов. Например, чтобы определить умножепие ΨΧ(Α, Β)Χ
Χ'&χ{Β,0-^Ψχ{Α,0, запишем (z-4-х) вместо <&х(А, В)Х
ΧΨχ(Β, С), а затем произведем композицию морфизмов 0f(A)-*-
-»- θ/ (В) -»- 0f (С) в Ψζ. Пусть теперь Υ-*-Χ—любой морфизм
с областью зпачепии X; тогда для любого имеем биекцию
между Λ-эломептами из Фг(Ъе(А), 0g(S)) и gfe-элементами из
<&х{А, В), так как и те и другие соответствуют морфизмам
%h(A)-+Qgh(B) βΨτ. Поэтому ΨΥ(%(Α), Qe(B))^g*(<g>x(A, В))
в 8/Υ, т. е. θβ является (^Г/У)-полным вложепием. О
А.З Примеры, (i) 8 сама стаповится локально внутренней
категорией, если положить 8Х = 8IX и 0/ = /*. То, что Θ/
является ^/Z-иолпым вложением, просто иным способом выражает
свойство функторов замены базы сохрапять экспонепциалы.
(ii) В более общем случае пусть ST-*-8— геометрический
морфизм. Тогда для любого объекта X из 8 имеем геометрический
морфизм £Γ/ρ*Χ —» <g/Xt обратный образ которого просто
представляет собой морфизм р*, применяемый к объектам над X,

358
ПРИЛОЖЕНИЕ
а прямой образ является композицией
*
ЗГ/р*Х^&1р*р*Х-+ё?!Х,
где α—единица сопряжения (р* —\ р*). Таким образом, положив
ЗГХ = (р/Х), (ЗГ/р*Х) и Θ/ = (р/Х), ((/>*/)*), мы можем
превратить &~ в локально внутреннюю категорию над &.
То, что Θ/ является вполне определенным, зависит от
выполнения условия Бека для расслоенных произведений в категории
£ор (пример 4.7), т. е. от того, что квадрат
jF/p* У ^—> .^1р*Х
(ptY>. iplX).
gjY 11 „ gjX
коммутативен с точностью до изоморфизма.
g
А если Э ~*~ &~ — произвольный геометрический морфизм над
&, то нетрудно проверить, что <?* и q* индуцируют локально
внутренние функторы над %>\ следовательно, у нас имеются
функторы (£ор/#)со —©at(#) и (£ор/<?Г)ор — ©at(#).
(Показатель «со» обозначает категорию «второго порядка
двойственности» по отношению к некоторой 2-категории, т. е. 2-категорию,
полученную; обращением 2-стрелок.)
ρ
(iii) В еще более общем случае пусть @~ ~*~ <& —
геометрический морфизм, а Ψ — локально внутренняя категория над ST.
Тогда, как в случае (ii), нетрудно проверить, что сопоставление
Χ»{ρ/Χ)*№ρ·χ)
задает локально внутреннюю категорию p^ffi) над %>. Поэтому
р% становится функтором (Sat(iF') -»- ©at(^f), а сопоставление
само функторно на £орсо, так как если у нас имеется
естественное преобразование η: ρ-+q между геометрическими морфизма-
ми &~~ζ.<0>, то очевидное естественное преобразование
ΣηΛ -(р/Х)* -»- (q/X)* дает посредством транспозиции
преобразование
(q/XU^(p/X)^i\x.
Следовательно, у нас имеется ^Г/Х-функтор
(<?* (&))х = (?Д)* («>*) ^ (Ρ/*)* (η* (&я*х)) (Ρ/Χ)*(θη*)
■>
WZ)-m-\ (p/XU (Vp,x) = (р. {Ъ))х.

ЛОКАЛЬНО ВНУТРЕННИЕ КАТЕГОРИИ
359
(iv) Пусть Ψ —локально внутренняя категория над Й\ а Т —
локально внутренняя монада на Ψ (т. е. слабый функтор 1 -*■
->-Sat (<?Г), посылающий единственный объект категории 1 в ^,
сравните с 4.23). Тогда для каждого объекта X из %> Τ χ
представляет собой строгую мопаду на Ψχ, и поэтому категория Тх~
алгебр имеет структуру (&/Х) -категории. А функторы замены
базы в %> сохраняют уравнители, используемые для того, чтобы
определить объекты морфизмов в (&χ) \ поэтому соответствие
X~(Wx) X
задает локально внутреннюю категорию *<? Т- алгебр в *&.
В частности, любая внутренняя финитарная алгебраическая теория
в & (6.45) задает локально внутреннюю монаду на самой &', так
как функтор свободы Τ -модели коммутативен с функторами
обратного образа и, следовательно, с функторами замены базы.
Поэтому если Τ — такая теория, то соответствие
X — Τ {βIX)
задает некоторую локальную внутреннюю категорию над %>. α
Эти примеры показывают, что понятие локально внутренней
категории охватывает большую часть примеров «больших»
категорий, которые мы хотели бы изучать. Далее исследуем его
связь с понятием «малой», т. е. внутренней категории.
А.4 Предложение. Пусть cat(^f) обозначает 2-категорию
внтуренних категорий в &. (Структура 2-категорий была
определена в упражнении 1 в главе 2.) Тогда имеется полное вложение
2-категорий L: cat ($")-»- ©at(^f).
Доказательство. Пусть С является внутренней
категорией в <%. Зададим локально внутреннюю категорию LC
следующим образом: объектами из LCX являются Х-элементы из С0-в <£,
а LCx(d, c2) представляет собой декартов квадрат
I.Cx(cyc2)-~—>Cl
(Jo.</i)
X >C0xC0
Если X —> Υ — морфизм из %>, а с является F-элементом из Со,
то определим 6/(с) как композицию с/; поскольку композиция
декартовых квадратов является декартовым квадратом, Θ/
является (<?7Х)-полпым вложением. Определение L на 1-стрелках и
2-стрелках из cat(^f) тривиально.
Теперь предположим, что дан локально внутренний функтор
Т: LC->-LD. Пусть /„: С0-+О0 обозначает объект Тс0{1с0) из

зео
ПРИЛОЖЕНИЕ
^DC(); тогда, поскольку функтор ТСохс0 является силъпым, он
задает морфизм
(С, -> С0 χ С0) -> (/0 χ /0)* {D1 -> Д, χ £>0)
в <§7С0 X CO, который в свою очередь задает морфизм /(: Ct -*■ Dt
так, что коммутативна диаграмма
Ci h >D}
("Ιο.Ίι!
Теперь нетрудно проверить, что (/0, /ι) является внутренним
фупктором С -»- D и что интернализация L(/) канонически
изоморфна Т. Следовательно, L индуцирует эквивалентность
категорий cat(#) (С, D) =* 6at(#) (LC, LD). □
А.5 Замечание. Как показывает пример, обнаруженный
Паре, эквивалентность tat(S") (С, D) =* @at(i?) (LC, LD), устапов-
ленпая нами только что, вообще говоря, we является
изоморфизмом категорий. Вот этот пример.
Пусть X и Υ—объекты топоса <§° такие, что имеются
мономорфизмы Х> >-У> >Ζ,τιο пет изоморфизма Χ=Υ (ср.
упражнение 8 к главе 5); и пусть С и D — недискретпые категории
(тривиальные связные группоиды), объектами которых являются
X и Υ. Тогда можно легко увидеть, что данпые мономорфизмы
индуцируют изоморфизм LC ~ LD в ©at(^f) каждый раз, когда
С и D просто эквивалентны в cat (<§*).
Таким образом, мы вес же теряем определенную <(1-категор-
ную» информацию, переходя от внутренних к локально
внутренним категориям. Одип из способов, позволяющий устранить эту
трудность, состоит в том, чтобы работать со строгими
функторами, а не с псевдофункторами, т. е. с расщепимыми расслоениями
вместо открыто-замкнутых. Однако «большие» категории,
рассмотренные в А.З, обычно пе имеют такой «строгой» структуры, хотя
их можно «сделать строгими», например, с помощью метода,
предложенного Фрейдом для канонизации конечных пределов
[37]. Поэтому кажется, что правильное отношение к проблеме
состоит в том, чтобы работать в категории cat (<§*), когда
рассматриваются 1-категорные вопросы, т. е. вопросы, зависящие от
изоморфизма, а не от эквивалептпости, и в ©at(^f), когда
рассматриваются 2-категорпыс вопросы. Ε
Важное достоинство локально внутренпих категорий состоит
в том, что они позволяют нам обобщить построение «внутренпе
полной подкатегории», приведенное в примере 2.38, на любой из
рассмотренных выше примеров. В частности, пусть Ψ — локальпо
впутренпяя категория пад Ж, ά А — объект из Ψχ. Тогда
определим кпутрепнюю категорию Full^ (А) в & так, чтобы у нее
("lu.di)

ЛОКАЛЬНО ВНУТРЕННИЕ КАТЕГОРИИ
361
был объект объектов X и объект морфизмов, заданный объектом
Фххх^я^А), вЯ2И) из ШХХ. Умножение из Fu% {A)
задается отображением
^χ.γχ.γ(θπι(4), Β„2{Α))χψΧχΧχΧ(β«2(Α), θ„,μ))-
^^ΧχΧχΧ(θπιμ), θπ,μ))
в Ж/ХХХХХ, и аналогично задается включение тождественных
стрелок. «Функтор включения» из примера 2.38 заменяется
локально внутренним полным вложением L(FulLg> (Л)) ~-*ψ,
которое определено на объектах посредством соответствия
(Y^X)^Qf(A).
А.6 Предложение. Пусть А — внутренняя категория в Ж,
α Ψ — локально внутренняя категория. Тогда любой локально
внутренний функтор LA ->■ *<? может быть разложен на
LA —*- ЬВ —*- ψ, где g— внутренний функтор, тождественный на
объектах, ah — полное вложение, причем это разложение
единственно с точностью до канонического изоморфизма.
Доказательство. Определим В = FulLg, (JAq (1a0))· Тогда
h является просто фупктором включения, определенным выше,
a g — внутренним функтором, задапным на морфизмах
следующим образом:
{Аг -»- А0 χ А0) ^ LAAi)Xau (itlf п3) 1>
Теперь легко построить естественный изоморфизм h; Lg = /;
более того, если / является полным вложением, то g представляет
собой иаоморфизм внутренних категорий, что доказывает
свойство единствеппости разложения. α
Предложения А.4 и А.6 в совокупности позволяют нам
свободно переходить от внутренних категорий к локально
внутренним и обратно. Другой полезный результат в этой области,
позволяет возводить локально внутреннюю категорию в степень,
являющуюся внутренней категорией.
А.7 Предложение. Пусть А —внутренняя категория в &,
α Ψ—локально внутренняя категория. Тогда существует
локально внутренняя категория Ψ , которая обладает универсальностью
экспоненты Ή в&а\((о).
Доказательство. Зададим *<?' следующим образом:
объект из ((ё'А)х является парой (F, а), где F — объект из
^Α0χΧι а α — морфизм

362
ПРИЛОЖЕНИЕ
в ^a-^xi так что θίχι(α)" представляет собой тождественный
морфизм на F, а диаграмма
яз х 1 ч J
коммутативна в <S>a2xx- Чтобы задать объекты морфизмов из
для удобства обозначения примем Х=1; пусть поэтому
(F, а) и (F, β) являются двумя объектами из (ί?Α)ι. Тогда
(VAUF, a), (G, β) представляет собой уравнитель в & пары
морфизмов
nA^Au(F,G))Z=XUAi^Ai(edo{F),edi(G))),
I
из которых первый является транспозицией для
ΑΐΠΑο (ΨΑο (F, G)) ~ dU*onAo (ΨΑο (F, G)) d^X dj (VAo (F, G)) ~
^ vAl (edl (*■), edl (G)) -5- ψΑι (edo (F), edl (G))
(где ε — коединица сопряжения \А0 Ч П^0), а а индуцируется
композицией с а), второй же морфизм аналогично индуцируется
посредством композиции с β.
Проверка того, что *<? образует локально внутреннюю
категорию, длинна, но не является сложной.
Теперь предположим, что дана другая локально внутренняя
категория 55. Тогда с любым локально внутренним функтором
&) X LA -*■ Ψ йожно сопоставить 3) ->Ψ , который переводит
объект V из £ΰχ в объект fAoxx (θπ2 {V), л^) из 1?а0хх,
оснащенный структурным отображением, которое получено применением
ίλχχχ к общему морфизму d0nt -*■ й,л, в LAAlXx. Наоборот, если
дан Sb-^-Ψ , то мы можем задать <25Χ·ίΆ->- ^ с помощью
~gx(VtX±A0) = Q(y,lx)(gx(V)).
Доказательство того, что / и g — действительно локально
внутренние функторы и что соответствия / ·-»■ / и g <-* g индуцируют
эквивалентность категорий @αΐ(<?Γ)(£5 Χ LA, Ψ)^.^αΧ(^')(3),'&χ),
также несложно. α
Заинтересовавшийся читатель может проверить, что функтор
L: cat(^f)->- ©at(^f) сохраняет экспоненциалы (декартово замк-

ЛОКАЛЬНО ВНУТРЕННИЕ КАТЕГОРИИ
363
нутая структура на cat(^f) была определена в упражнении 4
к главе 2) и что если в А.7 взять Ψ = <?Г, то локально внутренняя
категория & , построенная нами, эквивалентна категории,
определенной посредством ^f-топоса (как в примере А.З (и)). Таким
образом, использование локально внутренних категорий позволяет
рассматривать внутренние диаграммы во внутренней категории А
как «настоящие» функторы из А в %>.
Далее мы изучим понятия полноты и кополноты для
локально внутренних категорий.
А.8 Определение. Пусть Ψ является локально
внутренней категорией над <§. Будем говорить, что Ψ имеет кручение
над <£, если для каждого X -* Υ в ё функтор Θ,: l«Vl -* №χ\
имеет (не обогащенный) сопряженный слева функтор О/.
(Отметим, что о{ автоматически является псевдофункторным по /.)
Если, кроме того, для каждого декартова квадрата
Υ - >Ζ
в <о каноническое естественное преобразование σβθ/ -»- 6ftO/,
является изоморфизмом (т. е. σ удовлетворяет «условию Бека»), то
будем говорить, что Ψ имеет сильное кручение над Ш'.
Двойственно, будем говорить, что Ψ имеет (сильное)кокручение над <£,
если у каждого Θ/ имеется сопряженный справа функтор τ{
(и выполняется условие Бека). α
Отметим, что сама & имеет сильное кручение и кокручение
над <S, так же как и любой топос, определенный над &. Если
#~ -> & является геометрическим морфизмом, то функтор /V
©at (#")-»- @at(<§°) сохраняет свойство иметь (сильное) кручение;
если Ψ имеет (сильное) кокручение над %> и Τ —локально
τ
внутренняя монада на Ψ, то *<? имеет (сильное) кокручение.
Читатель может проверить, что если Ρ является внутренним
частично упорядоченным множеством в <?Г, то Ρ является
внутреннее полным (5.34) тогда и только тогда, когда LP имеет сильное
кручение и кокручение над Ж.
А.9 Замечание. Пусть %> и #~— топосы, а Т: %> -»- #~—
функтор. Тогда можно без труда увидеть, что соответствие
X -* 5Г/ГХ
преобразует &~ в локальную внутреннюю категорию над S тогда
и только тогда, когда Τ имеет сопряженный справа функтор; так
как #72" (1) обогащена над &, то мы можем задать сопряженный

364
ПРИЛОЖЕНИЕ
справа функтор соответствием
Y^^Ahu), τ(ψγ),
а доказательство в обратном направлении можно почерпнуть из
примера А.З (ii). Если это условие выполпено, то &~, конечно,
имеет кручение над Ж, по Бенабу указал, что опа имеет сильное
кручение тогда и только тогда, когда Τ сохраняет расслоенные
произведения, поскольку условие Бека Σβ ■ /* = к* · ΣΛ
выполняется для коммутативного квадрата
У * >Ζ
в ЗГ тогда и только тогда, когда этот квадрат декартов.
(Рекомендуется рассмотреть воздействие каждой композиции на объект
1х из 2Г/Х.) Это несомненно является частичпым объяснением
того, почему понятие геометрического морфизма, которое на
первый взгляд может показаться несколько искусственным, служит
«правильным» попятием морфизма топосов. О
АЛО Лемма. Предположим, что Ψ имеет сильное кручение
над %>. Тогда для каждого Χ ~* Υ в %> функтор af на самом деле
является (Ж/Y)-функтором ΐΙ{(Ψχ)-+<δΎ, и сопряжение (of -\ Θ/)
обогащено над &IY в том смысле, что имеется естественный
изоморфизм
П,(9*(А, МВ)))^Фт(о,(А), В)
для объектов А и В из Ψ χ и Ψγ соответственно.
Доказательство. Сначала докажем второе утверждение.
Пусть α и β обозначают едипицу и косдишщу сопряжения
(σ/ ~\ Θ/)· Тогда композиция
/* (ΨΥ (af (Α), Β))^ΨΧ (θ/ϊ, (A), Qf(B)) -5- ψχ (Α, Qf (В))
в результате транспозиции дает естественное отображение
ΨΥ(αί(Α),Β)^τΐί(Ψχ(Α, Οj(В))).
Чтобы задать отображение, обратное этому, обозначим объект
ΙΙί{Ψχ(Α, Qf(B))) из SIY через (V—»У) и построим декартов
квадрат
1> * у у
Ik 9
S
χ —>υ

ЛОКАЛЬНО ВНУТРЕННИЕ КАТЕГОРИИ
365
Тогда коединичное отображение
h = f*Ilt(Vx(A, 9,(B)))-+VX(A, θ,(В)У
индуцирует морфизм
QnW-+QhQf(B)^QkQABj
в ΨΡ. Выполнив транспозицию и применив условие Бека, получим
морфизм
Qeaf(A)=ahQh(A)-+Qe(Bj
в Ψν, который в свою очередь индуцирует морфизм
g-*Vr(a,(Ah В)
в SIY. Доказательство того, что это отображение является
обратным по отношению к построенному, проводится
непосредственной проверкой.
Чтобы показать, что О/ является (^f/F)-функтором,
подставьте B = Of(C) в вышеприведенные выражения; тогда получим
морфизм
Π, (Ψχ (А, С)) -^ nfVz (Λ bfif (С)) ~ VY (af (A), af (С)).
Нетрудно проверить, что этот морфизм обладает требуемыми
свойствами. Π
Пусть теперь А — внутренняя категория в &, а Ψ — локально
впутренняя категория. Тогда у нас имеется локально
внутренний функтор А*: Ч? -+Ч? , который переводит объект V
категории Фх в объект 6л2(^) из Ψа0хх и оснащен тождественным
структурпым отображением. (Очевидно, что это аналогично
функтору А*: & -+& , определенному в 2.25 (ii).)
А.11 Теорема (Селерет). Предположим, что Ψ имеет
сильное кручение над %> и локально внутренние коуравнители
рефлексивных пар (т. е. у каждой Ψ χ имеются &ΊΧ-обогащенные
коуравнители, а функторы Θ/ их сохраняют). Тогда для каждой
внутренней категории А в %> функтор Α*: Ψ -*-Ψ имеет
локально внутренний сопряженный слева Птд. (Будем говорить,
что Ψ является &-кополной.)
Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда А —
некоторая дискретная категория 1-4^>.41; в этом случае
естественно записывать ΨΙΑ вместо *<? · Тогда ("87А)χ представляет
собой просто Н-кгС&Ахх), а (А*)х является транспозицией для
θπ2·. πΙ(Ψχ)->-ψΑΧΧ·, поэтому из А.10 сразу следует, что аЛг
является требуемым сопряженным слева функтором. (Чтобы
установить, что он является локально внутренним, используется

366
ПРИЛОЖЕНИИ
условие Бека для декартовых квадратов вида
АхХ — -Ах У)
П2
Теперь рассмотрим общий случай. Пусть (F, а) является
объектом из у& )χ\ поскольку Ψ имеет кручение над &,
структурное отображение α можно рассматривать как морфизм
"d1xiQd0xi(F)-^-F
в ^α0χχι поэтому, используя доказательство предложения 2.21,
выведем, что у& ) является монадической над (<δ'/Αο)χ.
Поскольку Ψ имеет сильное кручение, нетрудно проверить, что *<?
на самом деле является внутренне монадической над Ψ ιΆ0. Более
того, у *<? имеются локально внутренние рефлексивные коурав-
нители, так как они имеются у *&1Ай и функторная часть
соответствующей монады сохраняет их. Построение функтора Нша
теперь может быть выполнено простым применением теоремы 0.15
о подъеме сопряжения, как в следствии 2.35. α
Рассмотрим более общую ситуацию. Если *<? удовлетворяет
предположению теоремы А.11, то для морфизмов А -> В из
cat(^f) можно построить функторы lim^: ψ ->-ψ левого
расширения Кана, а если Ψ имеет сильное кручение и локально
внутренние (корефлексивные) уравнители, то аналогичным способом
можно построить правые расширения Кана.
Этой теоремой мы завершаем наш обзор локально внутренних
категорий. Мы4 могли бы упомянуть немало других интересных
результатов, в частности, доказательство варианта теоремы о
сопряженных функторах применительно к локально внутренним
категориям, которое было дано Паре и Шумахером [97]. Но все
равно остались бы обширные, по существу, не исследованные
области, относящиеся к данному предмету. Любая попытка их
исследовать потребовала бы другой книги, по меньшей мере такой
же толстой, как эта! Однако мы надеемся, что этот краткий
обзор убедил читателя, что локально внутренние категории
достойны изучения.
Я2
х-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Замечание. Запись MR ρ, p. q в конце ссылки (ρ < 19) означает, что
данная статья реферирована на странице q тома ρ журнала «Mathematical
Reviews». Аналогично, MR p/q (ρ 3* 20) обозначает реферат номер q тома р.
А. СТАНДАРТНЫЙ МАТЕРИАЛ
[AC] Freyd P. Abelian Categories.—Harper and Row, 1964. MR 29/3517.
[AG] Macdonald I. G. Algebraic Geometry: Introduction to Schemes.—
W. A. Benjamin Inc., 1968. MR 39/205.
[AT] Spanier Ε. Η. Algebraic Topology.— McGraw-Hill Inc., 1966.
MR 35/1007. [Русский перевод: Спеньер Э. Алгебраическая
топология.— М.: Мир, 1979.]
[ВА] Si ко г ski R. Boolean Algebras.—Berlin; Heidelberg; Ν. Υ: Springer,
1964. MR 31/2178. [Русский перевод: Сикорский Р. Булевы
алгебры.— Μ.: Мир, 1964.]
[CF] Gabriel P, Zisman Μ. Calculus of Fractions and Homotopy
Theory.—Berlin^ Heidelberg; N. Y.: Springer, 1967. MR 35/1019. [Русский
перевод: Габриел Р., Зисман М. Категории частных и теория
гомотопий.— М.: Мир, 1971.]
[CW] Mac Lane S. Categories for the Working Mathematician,— Berlin;
Heidelberg; N. Y.: Springer, 1971. MR 50/7275.
[GT] W i 11 а г d S. General Topology.— Addison-Wesley Publishing Co.,
1970. MR 41/9173.
[HA] Hilton P., Stammbach U. A Course in Homological Algebra,—
Berlin; Heidelberg; N. Y,: Springer, 1971. MR 49/10751.
[LT]Birkhoff G. Lattice Theory.—Providence (Rhode Island), 1967.
MR 37/2638. [Русский перевод: Биркгоф Г. Теория решеток,—
М.: Наука, 1983,]
[MM] Rasiowa Η., Sikorski R. The Mathematics of Metamathema-
tics.— Warszawa, PWN, 1963. MR 29/1149. [Русский перевод: Р а с ё-
в а Е., Сикорский Р. Математика метаматематики.— М.:
Наука, 1972,]
[ST] Tennison В. R. Sheaf Theory.—Cambridge: Cambridge University
Press, 1975. MR 53/8192,
[TF] Godement R. Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux.— Publ,
Inst. Math. Univ. Strasbourg, 13. Paris: Hermann, 1958. MR 21/1583,
[Русский перевод: Г о д е м а н Р. Алгебраическая топология и
теория пучков — М.: ИЛ, 1961.]
В. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ТОПОСОВ
[All] Art in M. Grothendieck Topologies.—Lecture Notes, Harvard Univer-
siLy, 1962,
[ВС] Benabou J., Celeyrette J. Generalites sur les topos de Lawvere
et Tierney.—Seminaire Benabou, Universite Paris-Nord, 1971,
[FK] Freyd P. Aspects of Topoi.— Bull. Austral, Math, Soc, 1972, 7, p. 1—76,
467-480. MR 53/576. ,_0 , or„
[GB] Giraud J. Analysis Situs.—Seminaire Bourbaki, 1963, expose Δού.
MR 33/1343.

368
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[GV] Grothcndiock A, Vordior J. L. Tlieorie des Topos. (SGA 4,
exposes I—VI).—Second edition,—Berlin; Heidelberg; N. Y.:
Springer, 1972 MR 50/7130—1.
[KS] Kelly G. M„ Street R. Elementary Topoi,—Abstracts of Sydney
Category Seminar, 1972.
[KW] Kock Α., Wraith G. С Elementary Toposes,—Aarhus Universitet
Lecture Notes Series, 1971, 30. MR 49/7324.
[LB] Lawrence F. W. Continuously Variable Sets: Algebraic Geometry =
= Geometric Logic,— In: Proc. ASL Logic Colloquium, Bristol, 1973/Ed.
Η Ε. Rose, J. С Shepherdson. Amsterdam: North-Holland, 1975, p. 135—
156. MR 52/13384.
[LC] LawvereF. W. Variable Sets, Elendu and Variable Structures in Topoi
(notes by S. E. Landsburg).— Lectuie Notes, University of Chicago, 1976.
[LE] Lawvere F. W. Variable quantities and variable structures in topoi.—
In: Algebra, Topology and Category Theory, a collection of papers in
honor of Samuel Eilenberg/Ed. A. Heller, M. Tierney. Academic Press,
1976, p. 101—131.
[LH] Lawvere F. W. Introduction — In: Toposes. Algebraic Geometry and
Logic. Berlin; Heidelberg; N Y: Springer, 1972, p. 1—12 MR 51/12973.
[LM] Lawvere F. W. Introduction — In: Model Theory and Topoi. Berlin;
Heidelberg; N. Y: Springer, 1975, ρ 3—14. MR 51/12982.
[LN] Lawvere F. W. Quantifiers and Sheaves,—In: Actes du Congres
International des Mathematiciens, Nice 1970, p. 329—334.
[MB] Mac Lane S. Sets, Topoi and Internal Logic in Categories,— In: Proc,
ASL Logic Colloquium, Bristol 1973/Ed, H. E, Rose, J. С Shepherdson.
Amsterdam: North-Holland, 1975, p. 119—134. MR 52/5419,
[MR1 Μ a k k a i M„ Reyes G, E. Coherent Logic,
;[RM] Reyes G, E, From Sheaves to Logic,— In: Studies in Algebraic
Logic/Ed, A, Daigneault, MAA Studies in Math, v, 9, Mathematical
Association of America, 1974, p, 143—204, MR 50/13182.
[RW] R о w e K, A. Topoidal Set Theory,— Lecture Notes, University of
Waterloo, 1974,
[SR] Schlomiuk D, Topos di Grothendieck e topos di Lawvere e
Tierney.—Rend Mat, (VI), 1974, 7, p, 513—553, MR 51/3252,
[TV] Tierney M. Axiomatic Sheaf Theory: some constructions and
applications.— In: Proc. CTME conference on Categories and Commutative
Algebra, Varenna, 1971. Edizioni Cremonese, 1973, p. 249—326. MR
50/7277.
[WB] Wraith G. С Lectures on Elementary Topoi.—In: Model Theory and
Topoi. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1975, p. 114—206. MR
52/13989.
[WI] Wraith G. С Logic from Topology: a survey of Topoi.—Bull. Inst.
Math, and its Applications, 1976, 12, p. 115—119.
С ДРУГИЕ СТАТЬИ ПО ТЕОРИИ ТОПОСОВ
И БЛИЗКИМ ПРЕДМЕТАМ
[1] Anghel С, L о couturier P. Generalisation d'un resultat sur le
triple do la reunion.— Ann. Fac. Sci. de Kinshasa (Zaire), Section Math.—
Phys., 1975, 1, p. 65—94. MR 53/582.
[2] В а г г М. Exact categories.— In: Exact categories and categories of
sheaves. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1971, p. 1—120.
[3] В а г г Μ The point of the empty set— Cahiers top. et geom. diff., 1979,
13, p. 357—638. MR 48/2216.
[4] В а г г Μ. Toposes without points.— J. Pure Appl. Algebra, 1974, 5,
p. 265—280.
[51 Barr M. Atomic Sites.—J. Pure Appl. Algebra.
[6] В ё η a b о u J. Les distributees.— Univ. Calli. Louvain, Inst. Math.
Pure Appl., 1973, Rapport no. 33.

спйсой литературы
369
,[7] Benabou J. Problems dans les topos,— Univ. Catli. Louvain, Inst. Math.
Pures, Appl, 1973, Rapport no. 34.
[8] В ё η a b о u J. Theories relatives a un corpus.— С. г. Acad. Sci. Paris,
1975, 281, p. A831—834. MR 52/13990.
[9] Benabou J. Fibrations petites et localement petites.— С. г. Acad. Sci.
Paris, 1981, 275, p. A897—900.
[10] В lass A. Exact functors and measurable cardinals.—Pacific. J. Math.,
1976, 63, p. 335—346.
[11] Boileau A. Types vs. topos.—Universite de Montreal, 1975, preprint.
[12] Borcoux F. When is Ω a cogenerator in a topos? — Cahiers top. ge-
om. dilL, 1975, 16, p. 3—15. MR 52/3277.
[13] Bourn D. Ditopos.—С. г. Acad. Sci. Paris, 1974, 279, p. A731—732,
A911—913. MR 51/639.
[14] Brook T. G. Order and recursion in topoi,—A. N. U. Notes Pure
Math.
[15] Bunge M. C. Topos theory and Souslin's hypothesis.— J. Pure AppL
Algebra, 1974, 4, p. 159—187. MR 51/2908.
[1С] Bunge M. C. Topoi of internal presheaves.—Universidad Nacional
Autonoma de Mexico, Comunicaciones tecnicas, serie naranja, 1976,
no 132.
[17] Celeyrette J. Fibrations et extensions de Kan.—These de 3e cycle.
Universile Paris-Nord, 1974.
[18] Cole J. C. Categories of sets and models of set theory.— In: Proc. Ber-
Irand Russell Memorial Logic Conference, Uldum, 1971/Ed. J. Bell,
A Slomson. Leeds, 1973, p. 351—3991 MR 50/9584.
[19] Cole J. C. The bicategory of topoi, and spectra. J. Pure Appl.
Algebra.
[20] Conduche F. Au sujet de l'existence d'adjoints a droite aux foncte-
urs «image reciproque» dans la categorie des categories.— С. г. Acad.
Sci. Paris, 1972, 275, p. A891—894. MR 46/9136.
[21] Co ste M. F. Construction d'un modele booleen de la theorie des
ensembles a partir d'un topos booleen.— С. г, Acad. Set Paris, 1974, 278,
p. A1073—1076. MR 49/5114.
[22] С о s t e M. F., С о s t e M. Theories colierentes et topos coherenls.— Se-
minaire Benabou, Universite Paris-Nord^ 1975.
[23] С о s I e M. F., С о s t e Μ., Ρ а г e η t J. Algebres de Heyting dans les
topos — Semiuaire Benabou, Universite Paris-Nord, 1974.
[24] Cos to M. Langage interne d'un topos.—Seminaire Benabou,
Universite Paris-Nord, 1972.
[25] С os to M. Logique du premier ordre dans les topos elementairesw—
Seminaire Benabou, Universite Paris-Nord, 1973.
[20] Co ste M. Logique d'ordre superieur dans les topos elementaires.—
Seminaire Benabou, Universite Paris-Nord, 1974.
[27] С о s t о М. Une approchc logique des theories def inissables par limi-
tes projeclives finies.— Seminaire Benabou, Universile Paris-Nord, 1976.
[28] Day B. J. An adjoint-functor theorem over topoi.— Bull. Austral. Math.
Soc, 1976, 15, p. 381—394.
[29] Delate J. P. Ensemble sous-jacent dans un topos,—С. г. Acad. Sci.
Paris 1973, 277, p. A153—156. MR 51/8197.
[30] D i а с о η e s с u R. Change of base for toposes with generators,— J.
Pure Appl. Algebra, 1975, 6, p. 191-218. MR 52/532.
[31] Diaconescu R. Axiom of choice and complementation.— Proc.
Amer. Matli Soc, 1975, 51, p. 176—178. MR 51/10093.
[32] D и skin J. W. Simplical methods and the interpretation of ((triple»
cohomology.—Mem. Amer. Math. Soc, 1975, 163. MR 52/14006.
[33] Ε η g e η e s H. Subobject classifiers and classes of subfunclors.— Math.
Scand, 1974, 34, p. 145—152. MR 51/8200.
[34] Engenes H. Uniform spaces in topoi.— Oslo Universitet Math.
Preprint Series, 1976, no. 5.

370
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[35] Four ma η Μ. P. The logic of topoi.—In: Handbook of Mathematical
Logic/Ed. J Barwise. Amsterdam: North-Holland, 1977, p. 1053—1090.
[Русский перевод: Фурман М. Логика топосов.—В кн.: Справочная
книга по математической логике/Под ред. Дж. Барвайса, ч. IV. Μ:
Наука, 1983, с. 241—277.]
[36] Fourman Μ. P. Comparaison des reelles d'un topos; structures lisses
sur un topos elementaire.—Cahiers top. geom. diff., 1976, 16, p. 233—
239.
[37] Freyd P. On canonizing category theory, or, On functorializing
model theory — Pamphlet, University of Pennsylvania, 1974.
[38] G i г a u d J. Cohomologie non abelienno.— Die Grundlehren dor math.
Wissenschaften, 179. Beriln; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1971. MR
49/8992.
[39] Giraud J. Classifying topos.—In: Toposes, Algebraic Geometry and
Logic/Ed. F. W. Lawvere. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1972,
p. 43—56. MR 50/2300.
[40] Grillet P. A. Directed colimits and sheaves in some nonabelian
categories.— In: Reports ot the Midwest Category Seminar, V/Ed.
J. W. Gray. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1971, p. 36—69.
MR 44/6787.
[41] Grillet P. A. Regular categories.—In: Exact categories and
categories of sheaves. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1971, p. 121—222.
[42] Grothendieck A. Sur quolques points d'algebre homologique.— To-
hoku Math. J., 1957, 9, p. 119-221. MR 21/1328.
[43] Grothendieck A. Technique de descente et theoremes d'existence
en Geometrie Algebrique.—Seminaire Bourbaki, 1959—1962, exposes 190,
195, 212, 232, 236. MR 26/3566.
[44] Grothendieck A. Revetements etales et groupe fundamental
(SGA 1)—Second edition.—Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1971.
MR 50/7129.
[45] Hakim M. Topos anneles et schemas relatifs — Ergebnisse dor Mathe-
matik, 64. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1972. MR 51/500.
[46] Heller A, Rowe К A On the category of sheaves.—Amer. J.
Math., 1962, 84, p. 205-216. MR 26/1887.
[47] Η i g g s D. A category approach to boolean-valued set theory.—
Lecture Notes, University of Waterloo, 1973
[48] Η i 11 e r H. L, Fibrations and Grothendieck topologies.— Bull. Austral.
Math. Soc, 1976, 14, p. 111-128.
[49] Hofmann Κ. Η. Representations of algebras by continuous sections.—
Bull. Amer Math. Soc, 1972, 78, p. 291—373. MR 50/415.
[50] Illusie L. £omplexe cotangent et deformations,—Berlin; Heidelberg;
N. Y,; Springer, 1971—1972
[51] I s b e 11 J. R. Atomless parts of spaces.— Math. Scand., 1972, 31, p. 5—
32. MR 50/11184.
[52] Johnstone P. T. The associated sheaf functor in an elementary
topos.—J. Pure Appl. Algebra, 1974, 4, p. 231—242. MR 50/10002.
[53] Johnstone P. T. Internal categories and classification theorems.— In:
Model Theory and Topoi. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1975,
p. 103-113. MR 53/581.
[54] Johnstone P. T. Ad]oint lifting theorems for categories of
algebras.— Bull. Lond Math Soc, 1975, 7, p. 294-297. MR 52/10845.
55] J о h η s t ο η e P. T. Rings, Fields and Spectra.— J. Algebra.
56] Johnstone Ρ Τ. Automorphisms of Ω.
57] Johnstone P. T. On a topological topos,
58] Johnstone P. Т., Wraith G. C. Algebraic theories in toposes.
59] Ke a n e O. Abstract Horn Theories — In: Model Theory and Topoi.
Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1975, p. 15—50. MR 52/2871.
[60] Kennison J. F, Integral domain type representations in sheaves and
other topoi.— Math. Z., 1976, 151, p. 35—56.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
371
[61] Kock A. Linear algebra and projective geometry in the Zariski to-
pos,— Aarhus Universitet Preprint Series 1974/75, no, 4.
[62] Kock A. Linear algebra in a local ringed site,—Commun. Algebra,
1975, 3, ρ 545-561, MR 52/5690,
[63] К о с к A, Universal projective geometry via topos theory,— J, Pure Appl.
Algebra, 1976, 9, p. 1—24,
[64] Kock A, A simple axiomatics for differentiation.— Math, Scand,
[65] Kock A, Lecouturier P, MikkelsenC J, Some topos-theo-
retic concepts of finiteness,— In: Model Theory and Topoi, Berlin;
Heidelberg; N. Y,: Springer, 1975, p. 209—238, MR 52/2882,
[66] Kock A , Μ i к к e 1 s e n С, J, Non-standard extensions in the theory
of toposes,— Aarhus Universitet Preprint Series 1971/72, no, 25.
[67] Kock A,, Mikkelsen J. C, Topos-theoretic factorization of
nonstandard extensions,— Proc, Victoria Symposium on Nonstandard
Analysis/Ed, A, Hurd, P. Loeb, Berlin; Heidelberg; Ν, Υ,; Springer, 1974,
p. 122—143.
[68] Kock A, Reyes G. E. Doctrines in categorical logic—In;
Handbook of Mathematical Logic/Ed, J, Barwise, Amsterdam: North-Holland,
1977, p. 283—313, [Русский перевод: Κοκ Α., Рейес Г. Э. Доктрины
в категорной логике,— В кн; Справочная книга по математической
логике/Под ред. Дж. Барвайса, ч. I, M.: Наука, 1982, с. 289—319]
[69] L a b е 11 a A, Construzione del monoide dei quozienti in un topos ele-
meutare.—Rend. Mat. (VI), 1974, 7, p, 151 — 168. MR 50/10009,
[70] Lambek J., Rattray B, A. Localization and sheaf reflectors,—
Trans, Amer, Math. Soc, 1975, 210, p. 279—293,
[71] Lawvere F, W, An elementary theory of the category of sets,—Proc.
Nat, Acad, Sci„ 1964, 52, p, 1506-1511, MR 30/3025,
[72] Lawvere F, W, The category of categories as a foundation for
mathematics,— In: Proc, La Jolla conference on Categorical Algebra. Berlin;
Heidelberg; N. Y.: Springer, 1966, p, 1—20, MR 34/7332,
[73] Lawvere F. W, Diagonal arguments and cartesian closed categories,—
In: Category Theory, Homology Theory and their Applications, II,
Berlin; Heidelberg; Ν, Υ.: Springer, 1969, p. 134—145, MR 39/4075.
[74] Lawvere F, W. Adjointness in foundations,—Dialectica, 1969, 23,
p. 281—296.
[75] Lawvere F. W, Equality in Hyperdoctrines and the Comprehension
Schema as an adjoint functor.— In: Proc, New York Symposium on
Applications of Categorical Algebra/Ed. A, Heller, American Mathemaical
Society, 1970, p, 1—14. MR 41/1829.
[76] Lawvere F, W. Teoria delle categorie sopra un topos di base,—
Lecture Notes, University of Perugia, 1973.
[77] Lecouturier P. Quantificateurs dans les topos elementaires.— Uni-
versite Nationale du Zaire, 1972, preprint.
[78] Lesaffre B. Structures algebriques dans les topos elementaires.—
С. г. Acad. Sci. Paris, 1973, 277, p. A663-666. MR 48/8597.
[79] Lo ullis G, Some aspects of the model theory in a topos: Ph, D.
thesis,— Yale University, 1976.
[80] Μ a h ё L. Topos infinitesimal.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1973, 277,
p. A497—500. MR 49/8986.
[81] Ma he L. Theoremes, examples et contre-examples pour certaines pro-
prietes des entiers naturels dans les topos,— С. г. Acad. Sci. Paris, 1976,
282, p. A1273-1276.
[82] Makkai M, Reyes G. E. Model-theoretic methods in the theory
of topoi and related categories.— Bull. Acad. Pol. Sci., 1976, 24,
p. 379—392.
[83] Maurer С Universes in topoi,— In: Model Theory and Topoi. Berlin;
Heidelberg; Ν, Υ,: Springer, 1975, p. 284—296. MR 52/95.
[84] Mikkelsen С J. Lattice-theoretic and logical aspects of elementary
topoi.—Aarhus Universitet Various Publications Series, 1976, 25.

372
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[85] Milch oil W. Boolean topoi and the theory of sets,—J. Pure Appl.
Algebra, 1972, 2, p. 261—274. MR 47/8299.
[86] Mitchell W. On topoi as closed categories.—J. Pure Appl. Algebra,
1973, 3, p. 133—139. MR 50/427.
[87] Mitchell W. Categories of Boolean lopoi.—J. Pure Appl. Algebra,
1973, 3, p. 193—201. MR 50/9585.
[88] Mulvey C. J. Inluilionislic algebra and representalions of rings.—
Mem. Amer. Matb, Soc, 1974, 148, p. 3—57. MR 53/2650.
[89] Mulvey C. J. A generalization of Swan's theorem.—Math. Z. 1976,
151, p. 57—70.
90] Mulvey C. J. Compact ringed spaces.
91 Mulvey С J. The real numbers in a topos.
92] О si us G. Categorical Set Theory a characterization of the category
of sets.—J. Pure Appl. Algebra, 1974, 4, p. 79—119. MR 51/643.
[93] Osius G. The internal and external aspects of logic and set theory
in elementary lopoi — Cabiers top. geom. difl., 1974, 15, p. 157—180.
MR 52/7896.
[94] Osius G. Logical and set-lheoretical tools in elementary topoi.— In:
Model Theory and Topoi. Berlin; Heidelberg; N. Y.; Springer, 1975,
p. 297—346.
[95] Osius G. A note on Kripke-Joyal semantics for the internal language
to topoi.— In. Model Theory and Topoi. Berlin; Heidelberg; N. Y.·.
Springer, 1975, p. 349—354. MR 52/7898.
[96] Pare R. Colimits in topoi.—Bull. Amor. Math. Soc, 1974, 80, p. 556—
501. MR 48/11245.
[97] Ρ a i-e R, Schumacher D. Abstract families and the Adjoint
Functor Theorems.
[98] Penk A. M. Two forms of the axiom of choice for an elementary to-
pos.—J. Symbolic Logic, 1975, 40, p. 197—212. MR 51/5698.
[99] Penon J. Quasitopos.— C. r. Acad. Sci. Paris, 1973, 276, p. A237—A240.
MR 48/11246.
[100] Penon J. Categories localement internes.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1974,
278, p. A1577—1580. MR 51/10435.
J101] Pierce R. S Modules over commutative regular rings.— Mem. Amer.
Math. Soc, 1976, 70, MR 36/151.
[102] Reyes G. E. Sheaves and Concepts: a model-theoretic introduction
to Crotliendieck topoi.—Aarhus Univeisilet Preprint Series 1975/76,
no. 2.
[103] Reyes G. E. Theorie des modeles et faisceaux.— Univ. Cath. Louvain,
Inst. Matli. Pure Appl., 1976, Rapport no. 63.
[104] Roos J. E. Sur la distribulivile des foncteurs lim par rapport
aux lim dans les categories de faisceaux (lopos).— C. r. Acad. Sci.
Paris,"*" 1964, 259, p. 969—972; 1605—1008, 1801—1804. MR 30/4816,
32/5714—5.
[105] Schlomiuk D. An elementary theory of Ibe category of topological
spaces — Trans. Amer. Math. Soc, 1970, 149, p. 259—278. MR 41/3559.
[106] Scott D S, Fourman M. P. Logic and Sheaves.
[107] Serre J. P. Faisceaux algebriquos coherenls.— Ann. Math. (2), 1955,
61, p. 197—278. MR 16, p. 953.
[108] Sols I. Bon ordre dans l'objet des nombres naturols d'un lopos boolo-
en — С. г. Acad. Sci. Paris, 1975, 281, p. A601—003. MR 52/96.
[109] Sols I. Programming in topoi.— Cahiers top. geom. dilf., 1976, 1С,
p. 312-319.
[110] Slo ut L. N. Topological space objects in a topos I: Variable spaces for
variable sets.
[Ill] Stout L. N. Topological space objects in a topos II: ^-completeness
and cocompleleness.— Manuscripta Math., 1975, 17, p. 1—14.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
373
112] Stout L, N, Topological properties of the real numbers object in a
topos,— Cahiers top, geom.. difi, 1976, 17, p. 295—326^
113] Street R, Elementary cosmoi, I,—In; Proc, Sydney Category
Seminar 1973, Berlin; Heidelberg; N. Y,: Springer, 1974, p, 134—180. MR
50/7290.
.114] Street R. Cosmoi of internal categories.—Trans. Amer. Math. Soc.
115] Street R., Walters R. F. С The comprehensive factorization
of a functor.— Bull. Amer. Nath. Soc, 1973, 79, p. 930—941.
MR 49/10753.
116] Street R, Walters R. F. С Yoneda structures on 2-categories,—
J Algebra.
117] Tierney M. Sheaf Theory and the Continuum Hypothesis.—In: Topo-
ses, Algebraic Geometry and Logic/Ed. F. W. Lawvere. Berlin;
Heidelberg; N. Y.: Springer, 1972, ρ 13—42. MR 51/10088.
'118] Tierney M. On the spectrum ol a ringed topos.—In: Algebra,
Topology and Category Theory; a collection of papers in honor of Samuel
Eilenherg/Ed. A. Heller, Μ Tierney. Academic Press, 1976, p. 189—
210.
'119] Tierney M. Forcing topologies and classifying topoi. In; Algebra,
Topology and Category Theory: a collection of papers in honor of
Samuel Eilenberg/Ed. A. Heller, M. Tierney. Academia Press, 1976,
p. 211—219.
[120] Ulmer F. On the existence and exactness of the associated sheaf
functor.—J. Pure Appl. Algebra, 1973, 3, p. 295—306. MR 51/10431.
[121] Van do Wauw-de Kinder G. Arilhmetique de premier ordre
dans les topos.— С. г. Acad. Sci. Paris, 1975, 280, p. A1579—1582.
122] Van Osdol D. H. Sheaves in regular categories.— In; Exact
categories and categories of sheaves. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1971,
p. 223—239.
123] Van Osdol D. H. Coalgebras, Sheaves and Cohomology.— Proc. Amer.
Math Soc, 1972, 33, p., 257—263. MR 45/3517.
124] Van Osdol D. H. Homological algebra in topoi.— Proc Amer. Math.
Soc, 1975, 50, p. 52—54. MR 51/5714.
125] Volger II. Completeness theorem for logical categories.— In: Model
Theory and Topoi. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1975, p. 51—86.
MR 51/12983.
126] Volger H. Logical categories, semantical categories and topoi.— In:
Model Theory and Topoi. Berlin; Heidelberg; N. Y. Springer, 1975,
p. 87—100. MR 51/12984.
127] Volger H. Ultrafilters, ultrapowers and finiteness in a topos.— J.
Pure Appl. Algebra, 1975, 6, p. 345—356. MR 52/84.
128] Wolff H. Flat epimorphisins in Cat.—Math. Nachr., 1975, 69, p. 243—
252.
129] Wraith G. C. Artin glueing.—J. Pure Appl. Algebra, 1974, 4, p. 345—
318, MR 49/9040.
130] Wyler O. Are there topoi in topology?—In; Proc Mannheim
conference on Categorical Topology. Berlin; Heidelberg, N. Y.: Springer, 1976,
p. 099-719.
131] Garb on i Α., Meloni G. С Construzione algehrica dello spazio eta-
lc—Boll. Un Mat. Ital. (4), 1975, 12, p. 192—197. MR 52/13998.
132] Deligne P. (redige par J. F. Boutot). Cohomologie etale: les points
tie depart.— In: Cohomologie etale (SGA 4 1/2). Berlin; Heidelberg;
N. Y.: Springer, 1977, p. 4—75.
133] Diaconescu R. Grothendieck toposes have Boolean points — a new
proof.— Coinmun, Algebra, 1976, 4, p. 723—729.
134] Four man M. P. Sheaves over clla and their logic.—Lecture notes,
Rijksuniversitcl Utrecht, 1977.
135] Guitart R. Calcul des relations in verses.— Cahiers top. geom, diff.,
1977, 17, p. 67—100.

374
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[136] Radu A, Sur les topos do Giraud-Grothondieck — Ann, Fac, Sci.
de Kinshasa (Zaire), Section Math,-Phys„ 1976, 2, p, 108—118.
[137] Rousseau С Topos theory and complex analysis: Ph. D. thesis.—
Universite de Montreal, 1977.
[138] Schumacher D. Absolutely free algebras in a topos containing an
infinite object — Canad. Math. Bull., 1976, 19, p. 323—328.
[139] Van den Bossche G. Relevements conservatifs de morpliismes
conservatifs de topos.— Univ. Catli. Louvain, Inst. Math. Pure Appl.,
1977, Rapport no. 65.
D: ДРУГИЕ СТАТЬИ
[151] Baer R. Abelian groups that are direct summands of every containing
abelian group.—Bull. Amor. Matli. Soc„ 1940, 46, p. 800—806. MR 2,
p. 126.
[152] Вагг М, Beck J. Homology and standard constructions — In:
Seminar on Triples and Categorical Homology Theory. Berlin; Heidelberg;
N. Y.: Springer, 1909, p. 235—335. MR 41/3562.
[153] Beck J. Triples, algebras and cohomology: Ph. D. thesis.—Columbia
University, 1967
[154] В en a bo u J. Categories avec multiplication.— С. г. Acad. Sci. Paris,
1903, 256, p. 1887—1890. MR 20/6225.
[155] Benabou J. Introduction to bicategories.—In; Reports of the
Midwest Category Seminar, I. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1967,
ρ 1—77. MR 36/3841.
[156] Cohen P. J. Set Theory and the Continuum Hypothesis.—N. Y.:
W. A Benjamin Inc, 1966. MR 38/999. [Русский перевод: Коэн П. Дж.
Теория множеств и контпнуум-гипотеза,— Μ : Мир, 1969.]
[157] Conway J Η. On Numbers and Games.—Academic Press, 1976.
[158] Day B. J. Limit spaces and closed span categories — In; Proc. Sydney
Category Seminar 1973. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1974, p. 65—
74. MR 51/10440.
[159] Deligne P. La conjecture de Weil.—Ι. Ι. Η. Ε. S. Publ. Math., 1974,
43, ρ 273—307. MR 49/5013
[160] Eilenberg S, Kelly G. M. Closed categories.—In; Proc. La Jolla
conference on Categorical Algebra. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer,
1966, p. 421—562. MR 37/1432.
[161] Eilenberg S, MacLane S. Cohomology theory in abstract
groups.—Ann. Math. (2), 1947, 48, ρ 51—78, 326—341. MR 8, p. 367; 9, p. 7.
[162] Eilenbeig S., Moore J. С Adjoint functors and triples.—111.
J. Math, 1965. 9, ρ 381—398. MR 32/2455.
[103] Fakir S. Monade idempotente associee a une monade — С. г. Acad.
Sci. Pari.", 1970, 270, p. A09—101. MR 41/1828.
[104] Fun ay am a N. On imbedding infinitely distributive lattices
completely isomorphically into Boolean algebras.— Nagoya Math. J., 1959, 15,
V 71-81. MR 21/0341.
[165] Gabriel P, Ulmer F. Lnkal prasentierbare Kategorien — Berlin;
Heidelberg, Ν. Υ: Springer, 1971. MR 48/6205.
[166] Gray J. W. Fibred and cofibred categories — In: Proc. La Jolla
conference on Categorical Algebra. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1966,
p. 21—83. MR 35/4277.
[107] Gray J \V. Formal Category Theory I: Adjointness for 2-categories.—
Berlin; Heidelberg, Ν Υ.: Springer, 1974. MR 51/8207.
Γ1681 Gray J. W. Formal Category Theory II.
[169] Hocnster M. Prime ideal structure in commutative rings.— Trans.
Amer. Math Sor , 1969, 142, ρ 43—60. MR 40/4257.
[170] Jonsson В.. Таг ski A. On two properties of free algebras.—Math.
Scand., 1961, 9, p. 95—101. MR 23/A3695.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
375
[171] Kan D, М, Adjoint functors,—Trans, Amer, Matli, So с, 1958, 87,
ρ 295-329, MR 24/A1301,
[172] Kolly G, M., Street R, Review of the elements of 2-categories,—
In: Proc, Sydney Category Seminar 1973, Berlin; Heidelberg; Ν, Υ.:
Springer, 1!)74, p, 75—103. MR 50/10010,
[173] Kripke S, A. Semantic analysis of intuilionistic logic I,—In· Formal
Systems and Recursive Functions/Ed, J N. Crossley, M. A, Dummett.
Amsterdam; NorUi-Hollaiid, 1965, p. 92—130, MR 34/1184.
[174] Kuratowski C, Sur la notion d'ensemble fini,—Fundam. math, 1920,
1, p. 130—131,
[175] Kuratowski С Sur l'operation A de l'analjsis situs,—Fundam,
niatli, 1922, 3, p. 182—199.
[176] Lawvere F, W, Funclorial semantics of algebraic theories,—Proc.
Nat. Acad. Sci„ 1963, 50, p. 869—872, MR 28/2143,
[177] Linton F, E, J. Some aspects of equational categories,—In: Proc, La
Jolla conference on Categorical Algebra, Berlin; Heidelberg; Ν, Υ.:
Springer, 1966, p. 84-94, MR 35/233,
[178] Linton F, E, J. Coequalizers in categories of algebras,—In: Seminar
on Triples and Categorical Homology Theory, Berlin; Heidelberg; Ν, Υ,:
Springer, 1969, p, 75—90, MR 39/5656,
[179] Ma с Lane S. A history of Abstract Algebra: origin, rise and decline
of a movement.
[180] Manes E, G, Algebraic Theories,— Berlin; Heidelberg; Ν, Υ.:
Springer, 1976.
[181] Mo stows ki A, An undecidable arithmetical statement.—Fundam.
math , 1949; 36, ρ 143—164. MR 12, p. 2.
[182] Scott D. S Boolean models and nonstandard analysis—In:
Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and Probability/Ed, W, A,
J, Luxemburg, Holt, Rinehart and Winston, 1969, p, 87—92, MR 38/4300,
[183] S e r r β J, P. Cohomologie galoisienne — Berlin; Heidelberg; Ν, Υ.:
Springer, 1964, MR 31/4785,
[184] Street R. Two constructions on lax functors.— Cahiers top. geom,
diff,, 1972, 13, p, 217-264, MR 50/436,
[1S5] Tar ski A, A lattice-theoretic fixpoint theorem and its applications,—
Pacific J, Math,, 1955, 5, p. 285—309, MR 17, p. 574,
[186] Τ h i e 1 e E, J, Uber endlich axiomatisierbare Teilsysteme der Zermelo-
Fraenkel'schen Mengenlehre,— Ζ math, Logik Grundl, Math., 1968, 14,
S, 39—58, MR 36/6283.
[187] Yoneda N, On the homology theory of modules,—J. Fac. Sci, Tokyo,
Sec, 1, 1954, 7, p. 193—227, MR 16, p. 947,

ДОПОЛНЕНИЕ
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ТОПОСОВ
К ИЗУЧЕНИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В. А. Любецкий
При выяснении роли теории топосов в конкретных разделах
математики принципиальным является, конечно, вопрос о
наличии содержательных примеров топосов и о возможности
получения новой ипформации о традиционных математических
объектах на основе исследования таких топосов. Типичным топосом
является совокупность всех полных Ω-мпожеств, где Ω —
параметр, являющийся произвольной фиксированной гейтинговой
алгеброй. Этот топос обозначается ΟΩ-Set. В случае двухэлементной
гейтинговой алгебры Ω = {0, 1) оп совпадает с семейством всех
множеств. Произвольный топос <§° содержит в определенном
смысле «плотный» подтопос & а, эквивалентный топосу ΟΩ^-Set, где
Ω^> — гейтингова алгебра всех подобъектов объекта 1 исходного
топоса %> (см. [60], с. 427). Это, а также то, что топос ΟΩ-Set
изоморфен такому классическому топосу, как совокупность всех
пучков на гейтинговой алгебре Ω (обозначаемому 8η(Ω)),
выделяют топос ΟΩ-Set как точку приложения теории топосов и,
с другой стороны, как пример, с которого можно начинать
изучение общей теории топосов. В контексте математической логики
топос ΟΩ-Set представляет особый интерес, так как он
изоморфен совокупности всех «нечетких множеств» или, иначе говоря,
гейтинговозпачному универсуму Va, который является основой
построения практически всех нетривиальных классических и
интуиционистских моделей теории множеств Цермело — Френкеля
ZFC и других интерпретируемых в ZFC теорий. В этом добавлепии
подробно рассматривается топос ΟΩ-Set (или, что то же самое,
8η(Ω) или V) в связи с его ролью в исследовании таких
традиционных алгебраических систем, как кольцо (ассоциативное,
с единицей) К и модуль SS над таким кольцом К, и совокупность
всех морфизмов одпой полной гейтинговой алгебры Ω± в другую
полпую гейтингову алгебру Ω. Третий из этих объектов
нуждается в пояснении. В любой полной гейтинговой алгебре
рассматривается структура вида<8ир, Д, 0, 1>; совокупность всех
морфизмов Qi в Ω обозначается Ω \ В качестве Ω, будем
рассматривать топологию £Гт (или, короче, &~) некоторого топологиче-

§ 1. МЕТОД НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
377
ского пространства Y. В качестве Ω можно выбрать, например,
топологию £Гχ какого-то топологического пространства X или
произвольную полную булеву алгебру В. Если в Υ имеется
структура топологической группы, модуля, кольца, то она
поднимается в Ω следующим каноническим образом: (p-q)(0) =
Ту
= У {p(°i)Aq(02)\0102^0}, где здесь и далее p, g <ξ Ω
и О, Ои 02 е £Гу, а V обозначает sup в Ω. Аналогично,
(кр)(0)= V {kiOj ApiOjp^O^O}, где teQ^K И 7-модуль
над К, также (р + q) (О) = V {Ρ Ψ ι) Λ q Ψ2) \Οχ + 02^0}
и т. д. Оказывается, что структура Ω при подходящем
выборе Ω и К изоморфна таким кольцам, как С(Х, К)—кольцу
непрерывных функций вида X -*■ К, где К — локально компактное
(здесь и далее недискретное) тело, С(X, К)—кольцу
непрерывных функций вида X -»- К, определенных на открытых плотных
подмножествах вХи рассматриваемых с точностью до совпадения
на пересечении их областей определения, ^-пространству в
смысле Л. В. Канторовича и кольцу измеримых функций вида X -*■ К,
где X — пространство с мерой. Это показывает, что изучение
структуры Ω наряду с кольцами, модулями и другими
алгебраическими системами является уместной иллюстрацией роли
топосов вида ΟΩ-Set.
§ 1. Метод нестандартного анализа:
оценки, пучки и теоремы переноса
1. Оценка со значениями в дискретной булевой алгебре —
простейший пример оценки. Нестандартный анализ, как в
основополагающих работах А. Робинсона ([1], [2], см. также [44]), так
и в его современном состоянии не связан специфически с
математическим анализом. Одна из возможных точек зрения
состоит в том, что нестандартный анализ есть алгебро-логический
метод, основанный на рассмотрении оценок (см. п. 2) ив основном
применяемый для изучения объектов, представимых в виде
множества глобальных элементов некоторого пучка. Такое
понимание нестандартного анализа возникло, конечно, постепенно.
С этой точки зрения А. Робинсон рассматривал следующую
ситуацию. Пусть {Ка} — семейство алгебраических систем, где ае/
и мощность \Ка\^2. Образуем декартово произведение К =^
^ 11 Ка- Операции и порядок в К определим покоординатно.
<xei
Если /, g^K, то положим [/ = g} ^ {а е= / | / (а) = g (а)}.
Аналогичным образом определим If^gj =^{ае /| /(а)<; g(а)} и т. д.
для всех исходных отношений того класса систем, к которому
принадлежат системы Ка. Рассмотрим соответствующий системе

378
ДОПОЛНЕНИЕ
язык, формулы которого определяются по индукции: it = t2,
ti *ζ ί2 и т. д.—формулы, где tu t2 — термы; если Φι, Фг —
формулы и х — переменная, то Ф\ А Фи Φι У Φι, Π0ι> Φι=*-Φν
ΉχΦ, УхФ — формулы. Если Φ — одна из таких формул, то запись
Фк означает, что вместо свободных переменных (если таковые
имеются в Ф) подставлены элементы из К и связанные переменные
в Φ пробегают множество К (г. е. Φ — некоторое свойство К).
Ипогда вместо Φ к пишут К\^Ф. Допуская вольность речи, будем
называть Фк также суждением или формулой; если индекс К
фиксирован и подразумевается, то вместо Φ к можно писать Ф.
Суждение Φ к истинно или ложно в самом обычном смысле.
Множество формул Фк обозначим Як. В данном случае К
фиксировано и меняется только Ф. (Если дан любой класс алгеб-
ро-топологических систем Ж, то точно так же определим
множество всех суждений Фк, где К^Ж. Это множество обозначим
Ά$) Ясно, что Як состоит из всевозможных суждений о системе
К (из всевозможных свойств К). Определим функцию [ J вида
[ ]'· ^κ-^-ίΡ{1) (где 9>{ΐ) — множество всех подмножеств
фиксированного множества /), которую будем называть оценкой.
А именно, чтобы найти значения [ίχ — t2J или [ίχ^ ί2], нужно
сначала вычислить термы ί, и t2 (получатся какие-то элементы
/ и g из К) и затем использовать предыдущие формулы для
[/=g] илиГ/^gJ. Далее {Ф1 ΛΦ^ΙΦΛ П ΪΦ2], {ФЛ/ФД -
=^=[^ι1 Of02l· [Π9s] ^ Π f^L гДе в правой части ~\ —
теоретико-множественное дополнение, \Ф =*-'ψ] ^ (ί0]~> ίψ])> где u-+v
по определению равно(~|" U ^.[(З^кЛ^ U [Ф (/)]. {(\/хФ)к]^
** Л [Φ (/)]·
f=K
Очевидно, ίΡ{1) — полная булева алгебра и в правых частях
предыдущих формул находятся обычные булевы операции в
полной булевой алгебре &{!)■ Если дана какая-то формула Фк, то
1Фк] может равняться 1 (наибольшему элементу в полной
булевой алгебре ^(1), т. е. /), может равняться 0 (наименьшему
элементу в той же алгебре, т. е. пустому множеству Ф) или
может равняться и, где и^9Р(1) и иФ\, и^О. Если [0к] = и, то
говорят, что суждение Φ о структуре К имеет место с
вероятностью и (оценка суждения Фк равна и). Сразу привлекает
внимание случай, когда {Фк] = 1·
Если Фк — формула вида 0(/„ ..., /„), где /„ ..., fn^K, то
обозначим Φка суждение о структуре Ка вида Φ (Д (а), ..., /,. (а)).
В случае алгебры 3*'(I) очевидно, что {Фк} — 1 тогда и только
тогда, когда Va e 1(Фка)- Последнее удобно записывать в виде
{Ка\а^- /} ё Ф, понимая эту запись как общезначимость свойства
Φ в классе {Ка}. Более того, [Фк] = {а<^1\Фка}.
Запись {Фк\ = \ определяет одноместный предикат Ύτ(Φκ)^
=^ ({Фк} = 1); который можно понимать как особый вид
истинности суждения Φ к, а именно, истинность с вероятностью 1.

§ 1 МЕТОД НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
379
Возникает вопрос о том, как обычная истинность суждения
связана с этой истинностью.
Неверно, что Фк => Ύτ(Φκ)· Например, пусть все /£0^К,
/е К и для каких-то а0, а( выполняется /(а0) = 0, /(а^^О; если
Φ =^ (/¥= 0), то имеет место 1—|Тг(0х) и £>к. Если £>—
позитивная формула, т. е. Φ построена из термов с помощью только
связок =,AiVi3,V' T0 выполняется Φκ=>Ύτ(Φκ). Это
проверяется непосредственной индукцией по длине формулы Ф.
Неверно, что Тт(Фк)^~ Фк· Например, если Φ ^(f< g)V
V(g«£/) и для каких-то α0, α, выполняется f{a0)< g(a0),
g(ai)<f(al), το Ύτ(Φκ) и ~~\Фк (все Ка ^ К). Если ?> —хор-
нова формула (см., например, [39]), то выполняется Ύι(Φκ)=> Φ к-
Это проверяется непосредственной индукцией по длине фор-
мульц Ф.
Итак, получена диаграмма 1:
$к -* ΖΖ Ί 1<Рк |= /
Хсрнода формула
//*
Мюдая
ψορΜί/ла
Пусть / — фильтр в &*(1), т. е. / — непустое подмножество
в ^(1), обладающее свойством V це/Уие /Vy, е^(/) ((ufli;e
е /) Л(и< у( =>■ у( е /)). Рассмотрим предикат TrJ5 аналогичный
предикату Тг, определяемый как Тг, (фк) *? {{Фк\ е/).
Возникает еще один вид истинности суждения, а именно, истинность
с вероятностью /. Можно исследовать вопрос о взаимоотношении
двух истинностен (семантик): Фк и Тг3(£>к). в этом дополнении
рассмотрим случай / = {1}. В робинсоновском нестандартном
анализе (т. е. для алгебры 8Р{1)) рассматривается случай, когда
/ — счетно неполный ультрафильтр ([50], с. 347). Первоначально
казалось необходимым (и действительно полезно во многих
вопросах робинсоновского нестандартного анализа) заменить
предикат Ттэ(Фк) обычной истинностью суждения Φ к в некоторой
специально подобранной системе К' (при этом элементы К
соответствуют элементам К').
А. Робинсон обеспечил это следующим образом. Пусть / —
ультрафильтр в &'(/), т. е. j—фильтр, и, кроме того,
выполняется свойство Vu е 9* (I) (и е j V ~~| и е /) (которое эквивалентно
свойству V у, е= £!>(/) Vy2e^(/) ((у, U у2)е / => Vl <ξ/ V у2 е/).
Легко доказать, что любой фильтр /0 содержится в некотором
ультрафильтре j, jo — ]'· Факторизуем К по j, т. е. положим
К\)^К\~,
(1)

380
ДОПОЛНЕНИЕ
где (/ ~ g) *=r ([/ = g\ e /). Непосредственной индукцией по
длине формулы Φ легко доказать, что
Фк\Л\к1 .-..[/η])*Η[0κ(/ι, ...,/„)] е=/), (2)
где fi^K и [/] — класс эквивалентности с представителем /. Это
соотношение называется теоремой Лося. Алгебраическая система
K\j называется улътрапроизведением алгебраических систем {Ка}.
Из соотношения (2) в случае Va (Κα =^ К0) сразу вытекает
((КЦ)^Ф)^(К0£Ф), (3)
хотя ясно, что в общем случае K\j не изоморфно К„ и даже не
биективно с Ко.
2. Общее определение оценки. Ее связь с выводимостью.
Пусть Ω — произвольная полная решетка с нулем и единицей,
в которой определена бинарная операция и -»- υ со свойством
VaeQVi;eQ(iiA(i/-*y)<!;). (4')
Обозначим ~~| и=^ (и -*■ 0). Из предыдущего свойства вытекает
и Д ~~| и = 0. Если усилить это свойство, положив
VuVyVyj ((и Д (ц-»-у)< υ) Д (ц Д ι^ <υ =ф- ^< (и->- ν))),
что эквивалентно свойству
Vi<(u-*- υ) о и Д yi<y, (4)
то получим
~] и = V {у|ийу}, (и->!;)= V {^ι Iм Λ ^ι^^}' (5)
где здесь и далее V обозначает точную верхнюю грань (вместо
suP)i Λ обозначает точную нижнюю грань (вместо inf) в
решетке Ω и udv ^ (и Д ν = 0).
Решетка (не обязательно полная) с нулем и единицей,
обладающая свойством (4), называется гейтинговой алгеброй. Из
свойства (4) гейтинговой алгебры вытекают свойства
дистрибутивности:
и А К V ν*) = {и Д Wi) V (и Λ "г).
и V (νι Λ ^) = (и V "ι) Λ (и V ^)·
Более того, из свойства (4) вытекает бесконечная
дистрибутивность
( V "<*) Λ и = V ("« Λ «)■ (6)
Действительно, ί V иа\ Д и > ua Д и, и, с другой стороны, ua Д и <
< \/ ("α Λ "). Ua<U-^\/ (Ua /\U), i\fUa\^U-^\/(ua/\u),
а а \а ' а
(V *М Λ u^\J(uaAu)· Конечно, в (6) предполагается, что суще-

§ 1. МЕТОД НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
381
ствуют точные верхние грани семейств Ыа} и {иа Д и)· Другой
вид дистрибутивности (Д иа\ V и = Λ (Ua V и) в общем случае
\ а ' а
не имеет места. Гейтингова алгебра с дополнительным свойством
и\/> = 1 (?)
называется булевой алгеброй.
Гейтингова (булева) алгебра, являющаяся одновременно
полной решеткой, называется полной гейтинговой (полной булевой)
алгеброй.
Условие (4) весьма сильное, например, благодаря ему в
предыдущих определениях можно опустить условие существования
единицы (определяя ее как 0 -»- 0) и доказать функциональность
записи у, -»- υг, понимая ее как обозначение произвольного
элемента, удовлетворяющего условию (4). Действительно, если
и <; wx -<^~ и Д υι ^ υ2 и и <С w2 <=>- и Д v-l ^ у2, то u?, = w2.
Подробно гейтинговы и булевы решетки рассматриваются в [41],
[49], [51], [52].
Пусть К—произвольная система (структура). По ее
носителям, операциям и отношениям обычным образом определяются
переменные (соответствующих сортов) и атомарные формулы.
Точно так же, как в п. 1, определяется язык, соответствующий
структуре К (или семейству таких структур Ж), который мы
обозначаем Як (или соответственно Ηχ)·
Ω-значной оценкой в языке Як (или Я^) называется любая
функция вида [ ]: Як -»- Ω, обладающая свойствами, указанными
в п. 1 для связок Д, V' "~1>=Ф"Э> V· При этом операции П > U ι ~Ь
""♦■ι U > Π в #*(/) (в правых частях этих свойств)
заменяются соответственно на операции inf{u, v), sup {и, ν), ~],-*·, V> Λ
в Ω (первые две из них обозначаются соответственно Д и V)·
Отметим, что определение оценки не накладывает никаких
ограничений на ее значения для атомарных формул. В соответствии
с определением оценка однозначно продолжается с множества
всех атомарных формул на множество всех формул.
В п. 1 для атомарных формул оценка определялась с учетом
специфической структуры К. В общем случае она должна
определяться из соображений «внутренней интерпретации» элементов
из К, которая, как мы увидим, возникает в связи с пучками и
так называемыми нечеткими множествами. Поскольку сейчас
К — произвольная структура, то мы не можем конкретно указать,
как вычисляются значения оценки для атомарных формул.
Вместо этого обычно предполагают, что для любой атомарной
формулы Φ к выполняется
Фк**[Фк] = 1- (8)
Произвольную оценку, обладающую этим свойством, назовем
отделимой.

382
ДОПОЛНЕНИЕ
Само определение оценки не предполагает каких-либо свойств
соответствующих операций в Ω. Однако если мы хотим, чтобы
оценка была замкнута относительно хотя бы некоторых правил
вывода, то такие свойства необходимы. Например, поскольку мы
понимаем предикат Тг (Фк) *=* ([0к] = 1) как некоторый вид
истинности, то естественно желать, чтобы для него выполнялось
правило modus ponens:
ЧЦФк),ЧЦФк^^к)
т. е.
Так как [<йк=м|>ж] = 1-«=»- ([0κ]-»-[ψκ] = 1)-ί=ί-(1<([0κ]->[ψκ]))ι то
в силу (4) последнее эквивалентно тому, что [Фк} ^ [0к]. и,
следовательно, из соотношения (4) получаем (9). Фактически
мы использовали не (4), а более слабое условие (4'). Точно так
же желательно, чтобы всегда выполнялось Ύτ(Φκ Д <~\Фк):=0,:
т. е.
[ФкА~\Фк] = 0. (10)
Из того же свойства (4') получаем (10).
Мы будем рассматривать наиболее изученные случаи, когда
Ω — полная гейтингова алгебра, или полная булева алгебра, или
гейтингова алгебра, или булева алгебра. Тем не менее и для
других решеток, например для модулярной или квантовой, или
вообще для решетки, в которой ослаблено свойство (4), многие
из приводимых ниже результатов имеют место. Конечно, в этих
случаях нужно рассматривать соответствующие логики: более
слабые, чем интуиционистская, или промежуточные между
интуиционистской и классической.
Теорема 1. а) Если Ω — полная гейтингова алгебра и Φ —
любая формула, выводимая в интуиционистском исчислении
предикатов с равенством ΗΡΙ, то [Фк] = 1-
β) Если Ω — полная булева алгебра и Φ — любая формула,
выводимая в обычном, классическом исчислении предикатов с
равенством ΡΙ, то [Фк] = 1·
> Здесь не предполагаются никакие условия на значения
оценки [ ] для атомарных формул.
Доказательство состоит в вычислении значений оценки [ ]
для всех логических аксиом (каждый раз получается 1) и затем
проверки того, что если в правилах вывода оценки посылок
равны 1, то и оценки заключения равны 1. Например,[ФУ П^1 =
=[0] У~\[Ф] и по формуле (7) получаем 1 независимо от того,
чему равна оценка[^].П

§ 1. МЕТОД НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
383
Систематическое обсуждение концепции оценки содержится,
например, в фундаментальных работах [61], [49]; в них
приведены дальнейшие ссылки.
В заключение продолжим линию, связанную с позитивными и
хорновыми формулами, намеченную в п. 1 (в п. 4 мы обобщим
диаграмму 1 на случай произвольного кольца).
Предложение 1. Пусть f ]—отделимая оценка со
значениями в произвольной полной гейтинговой алгебре Ω, т. е. [ ]
обладает свойством (8). Тогда
а) Для любой позитивной формулы Φ выполняется
б) Если, кроме того, оценка достижима, т. е.
[(ЗхФ)к] = 1 =* Зк е= К ({Фк(к)] = 1), (11)
то для любой хорновой формулы ψ выполняется
([ψκ] = 1)=*ψκ·
1> Для атомарных формул эквивалентность имеет место в
силу условия (8). Связки Д и у, очевидно, сохраняют
эквивалентность. Для позитивной формулы осталось проверить случаи
связок V и 3; эти случаи очевидны. Для хорновой формулы
осталось рассмотреть случай, когда ψ=^ —| рг V * · ■ V I Рп V Р· Если
fpj = 1, то все доказано. В противном случае [pj< 1- Тогда
Π ΓΡι] V · · · V Π 1Рп}¥=0,и для какого-то слагаемого 1 ΪΡίίΦΟ.
Поэтому, если допустить р,, то [Pi} =1, 0= {pi} Д ~| [р4] =^=0;
получили противоречие. Конечно, доказательство не использует
того, что Ω — именно полная гейтингова алгебра. Ε
Формально говоря, теорема 1 доказывается тривиально.
Однако ее нужно рассматривать в связи с глубокой концепцией
оценки. В работах А. Робинсона и в современных изложениях
робинсоновского нестандартного анализа, например, в [44], [53],
эта концепция содержится неявно: в доказательствах
используется множество (а| 0ка] (которое в робинсоновском случае и
является оценкой [0к]), но чаще всего работают с
ультрапроизведениями, пользуясь формулами (1) и (3). Для некоторых
специальных полных булевых алгебр Ω, отличных от дискретной полной
булевой алгебры 9*(1), оценки рассматривал Коэн. В частности,
таким образом им была решена классическая
континуум-проблема ([40]). Однако здесь оценки фигурируют неявно, в контексте
доказательств, как некоторые конкретные множества.
Рассмотрение оценок со значениями в произвольной булевой
алгебре было начато, по-видимому, в работе Вопенки [54] — здесь
оценка рассматривалась для структуры одного определенного
вида также в качестве технического средства для решения
континуум-проблемы и ряда других специальных вопросов теории

384
ДОПОЛНЕНИЕ
множеств. А именно, она рассматривалась для структуры
<У, е, =>, где V—класс всех множеств, ^ — бинарное
отношение принадлежности одного множества другому и = — бинарное
отношение равенства двух множеств. Теорема 16) для языка,
соответствующего этой структуре, т. е. для языка теории Цермело —
Френкеля (языка ZF), содержится в работах Вопенки.
Изложение результатов Коэна и Вопенки с акцентированным
рассмотрением булевозначных оценок содержится в книге [48].
Рассмотрение гейтингввозначных оценок для структуры анализа (для
языка анализа) и случая, когда Ω — топология на прямой, появилось
у Окотта (см. [55]), а для языка ZF — у Грейсона, а также
Фурмана и Скотта ([56], [49]). Там же содержится теорема 1а).
3. Оценка в произвольном кольце — второй пример оценки.
Сейчас мы приведем второй, принципиально важный пример
оценки и затем увидим, как работают оценки.
Пусть К — произвольное ассоциативное кольцо с единицей 1.
Обозначим B^ldcK множество всех его центральных идемпо-
тентов, т. е. запись к^В означает, что k2 = k~ (<ik — идемпо-
тент») и ν^ι е К (ΛΑι = kik) («Те принадлежат центру кольца К»).
В В имеется естественная булева структура:
u/\v-±*u-v, ~\и±?\—и, uV υ =^ u+v — и -ν
и относительно нее В является булевой алгеброй. Булева
алгебра В может быть полной или неполной. В первом случае назовем
исходное кольцо В-колъцом. Во втором случае нужно перейти к
пополнению В до полной решетки.
Полная решетка Ω называется пополнением решетки Ω, если
Ω— подалгебра Ω (т. е. для них совпадают 0 и 1 и операции Л_^
V»"-]»-*") и Ω — плотная часть Ω (т. е. всякий элемент из Ω
является точной верхней гранью элементов из Ω, меньших его).
Пополнение называется правильным, если точные верхние и
нижние грани подмножеств множества Ω, вычисленные в Ω и
в Ω (если таковые существуют в Ω), совпадают, т. е. V {ц«} —
Ξβ[\/βΐΐοι= V иа, Д йиа= Д иа\, где уа, Дй вычисляются
в Ω и V .Л вычисляются в Ω.
Имеется два естественных способа пополнения булевой
алгебры В кольца К: или пополнить В по Дедекинду до полной
булевой алгебры В (это правильное пополнение и существует ровно
одно правильное пополнение до полной булевой алгебры, см. [51],
[41], [48]), или пополнить В до топологии 3" стоуновского
пространства S булевой алгебры В. Во втором случае пополнение
является полной гейтинговой алгеброй и неправильно (кроме
дискретного случая). Это второе пополнение назовем
топологическим пополнением булевой алгебры В.

§ 1. МЕТОД НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
385
Напомним, что В, как и любую булеву алгебру, можно
отождествить с кольцом, в котором u-v±?u\]v, и + ν *=* "Δ ν =^=
■*»(и Λ 1ι>) V (1 u V ι>)·9το кольцо идемпотентно, т. е. Vu(ua = и).
Наоборот, по любому идемпотентному кольцу образуется булева
алгебра, в которой и /\ v^u-υ, u\j v ^u + v — U'V, "~\ u^i — u.
Соответствующие категории изоморфны. Всякое идемпотент-
ное кольцо коммутативно и имеет характеристику 2. Так как
булеву алгебру можно считать кольцом, то стоуновское
пространство S (В) любой булевой алгебры В можно определить как
спектр Spec β этого кольца В. При этом S(B) будет отделимым
вполне несвязным компактным топологическим пространством.
Совокупность всех его открытых множеств мы и обозначили 3~.
Само В отождествляется с открыто-замкнутыми множествами в
S(B) и, следовательно, В<=3~. При этом В — база топологии
в S(B), состоящая из всех открыто-замкнутых множеств в S(B).
Топология 3~, как и любая топология, является полной гейтин-
говой алгеброй относительно естественных операций:
V 0«- U о«, Лоа^(Г\ оа\°, охуо%^ох\] о2,
а а а \ a J
ο,ΑΟ,^ο^ oa,ο,-^ο,**(Ί0ι)° υ 0„ Ί'Ρ^(S-of,
где ( )" означает внутренность множества. При этом В плотно
в 3", т. е. V0 <=3~ 3 {иа} Ξ В (О = \J иа = U иа\. Единица (нуль)
в В совпадает с единицей (нулем) в 3~ и совпадает с 1 в К и
с S(B) вУ(с0вХис?5вУ).
Положим
[/с1 = А2] ^ V {е е= В | екх = е/с2}, (12)
где V вычисляется в пополнении β по Дедекинду или
топологическом пополнении В. В общем случае \к1= /г2] не
принадлежит В. Для определенности будем рассматривать далее в этом
пункте случай топологического пополнения, когда В
вкладывается в 3". Продолжим оценку (12), как в пп. 1—2, с атомарных
формул на все формулы в языке, соответствующем структуре
кольца К. Поэтому операции над оценками выполняются в 3~.
Отметим, что оценки вида (12) рассматривались в качестве
примера Ω-множества в [49] (с. 366—367); исторически они
возникли в связи с пирсовским представлением кольца как
множества глобальных элементов пирсовского пучка на топологии стоу-
новского пространства S(B); пирсовским и аналогичным
представлениям колец и других алгебраических систем посвящены
оригинальная работа [57] и обзоры, например, [62], [63].
Лемма 1. Определенная таким образом 3~-значная оценка
[ ] β категории колец отделима и достижима (т. е. для нее
выполняются свойства (8), (11)).

386
ДОПОЛНЕНИЕ
> Если kt = кг, то l&i = 1к2. Докажем, что
если [к1 = у = ееВ, тоекг = ек2. (13)
Отсюда, в частности, вытекает: если \кх = к2] = 1, то /с, =/е2.
Поэтому будет выполняться свойство (8).
Соотношение (13) достаточно доказать для случая, когда
кг = 0, т. е. достаточно проверить импликацию (е = |1 еа)А
Л (Va(еак= 0)) =Фек = 0. Пусть p^S, где S^S(B) — стоунов-
ское пространство булевой алгебры В. По определению стоунов-
ского пространства S это означает, что ρ — простой идеал в
кольце В. Множество Ρ =^= рК ^ {efc | е <= ρ Д /с <= /£}образует
нетривиальный идеал в К, так как e±kt + егкг = (е1 V е2) {eikl + ег/сг) и
рКФК; если еЛ = 1, то 1 —е = 0, е = 1, ρ = В, что противоречит
определению простого идеала. Кроме того, если в ρ имеется
какое-то е Φ 0, то 0 Φ el e ^К.
Выполняется
ek = 0oVp^S(B)(e<£p=*k^pK). (14)
Действительно, еЛ = 0 =*■ Л = (1 — е)Л, (1 —е)е^5 и^ наоборот,
Vp^S(B) (ek^pK),eke£ f] />ЛГ, но П рК = I I #Р = 0.
pes pes ^ss
Последнее равенство удобно проверить в более общем случае
модулей над К (конечно, и К — один из модулей над К).
Напомним обозначение
(se-.W^ik^KWksg?), (15)
где SB — подмодуль модуля Щ и оба они являются (правыми)
модулями над К. Напомним, что модуль называется подпрямо
неразложимым, если пересечение всех его ненулевых подмодулей
является ненулевым подмодулем. Следующие условия
эквивалентны: V<3?к ( Π Ζ&κρ = 0] и V'SB'к {SB— подпрямо неразложи-
\p£S /
мый модуль =>ч3ре£(р^(0 :86)), где здесь и далее запись SB к
обозначает произвольный (правый) модуль над К.
Действительно, если дано первое условие, то для подпрямо неразложимого
модуля выполняется Π ^Р = 0=^ BpySBp = 0). Пусть дано вто-
р
рое условие. Для любого $В к, как известно, найдется семейство
{'У J его подмодулей, для которого Π °¥а = 0 и 961^0, — подпря-
α
мо неразложимые модули. Следовательно, найдется семейство
ipj, P*^S, для которого ра,^(0 : SB/<ya) = (®/a: SB) и [\$β~ρΞ.
Р
S Π SSpa^ Π <ψα=0. Воспользуемся доказанной эквивалентностью.
a a
Пусть SB к — подпрямо неразложимый модуль. Пересечение всех
его ненулевых подмодулей имеет вид \К, где ξ Φ 0. Пусть е &
&(0:8?), где е^В. Тогда S3 е — ненулевой подмодуль в S3 и

§ 1 МЕТОД НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
387
%K^See, \ = \е, |(1-е) = 0, е£(0:|Я) и (1 - е)е(0 : \К).
Итак, (0:|Я)ПВ = (0:£?)ПВ. Идеал в В вида р=^(0:£К)ПВ
является максимальным в решеточном смысле, так как если
е&р, то е<£(0:8?), и, как и выше, (i — e)e=p. Следовательно,
ρ — простой идеал, т. е. p^S и p^(Q:SS). Итак, соотношение
(14) доказано.
Обозначим Ое ^ {р^ S\e& ρ}. Как известно, е из В
отождествляется именно с множеством Ое в 3". Тогда в силу (14)
получаем VaVp e <9Ca(fee ρ), Vp^Oe(k^ p), ek = 0.
Предыдущий абзац по существу воспроизводит рассуждение из
фундаментальной работы [57].
Осталось проверить свойство (11), т. е. достижимость нашей
оценки. Пусть дано [(Зхф (х))к] = 1, т.е. (J [ф (к)} = 1. Обо-
hSK
значим uh*=r [φ (/е)]<=£Г.Так как В — база топологии в S, то для
всех к выполняется Щ = \] eh<a, ека^ В. В силу компактности S
а
найдется конечное подсемейство ekva1, ••-,eknian, для которого
η
U efti,ai = S. Обозначим ек. объединение ек.<а при всевозможных
α (если таковые имеются). Ясно, чтое^.^ \ф (Ач)] и (J ек. = ^·
Образуем дизъюнктную подсистему (екЛ из элементов В. Тогда
e'h ^ ΪΦ (кг)} и [J е'к. = 5. Образуем /с0 =^= 2 ^.Л{. Это к0 искомое.
* г г г
Действительно, [к0 = к ι} ^e'k., [Ф (к0)] ^ e'k. (используем
теорему 1а)). Π
Из предложения 1 и этой леммы 1 немедленно вытекает
в точности верхняя часть диаграммы 1 (которая в п. 1 была
установлена только для простейшей полной булевой алгебры,
а именно, для дискретной полной булевой алгебры №(1)). Чтобы
для произвольного кольца К получить и нижнюю часть этой
диаграммы, нужно определить аналог колец Ка, которые в п. 1
были заданы заранее: там К определялось в виде К ^ JJ Ка.
а
Обозначим Кр^К\р, где p^S. Следовательно, роль
множества индексов /из примера в п. 2 играет теперь множество S =
= S(B). Конечно, К не равно Ц Кр. Кольцо Кр естественно
pes
называть локализацией К в точке ρ из S. Локализации (в
разных точках) образуют семейство колец {Kp\p^S}, которое будем
записывать короче {Кр}. Определение Кр содержится в [57].
Напомним, что АЕ-формулой называется любая формула вида
Vi,.., V.rB 3yt ...ЗутФ, где Φ — бескванторная формула.
Назовем нормальным кольцо К, обладающее свойством
V/ce£3e0e BVeeB(d = 0^e<«o).

388
ДОПОЛНЕНИЕ
Очевидно, в таком и только в таком кольце выполняется
Vftx ^K\fk2^K ([kL = fc,] e= В).
Рассмотрим какое-то фиксированное пополнение Ω исходной
решетки Ω. Оценка [ ] со значениями в Ω называется
нормальной, если для всех атомарных формул ф' выполняется [Φ'} εΩ.
Таким образом, оценка, определяемая формулой (12), нормальна
в том и только в том случае, когда соответствующее кольцо
нормально.
Следующая теорема 2в) (вместе с предыдущим построением)
получена автором в [28], см. также [29], [30]. Она докладывалась
на конференциях в Тбилиси и Зальцбурге ([25], [64]).
Утверждение в) этой теоремы сознательно сформулировано в виде серии
примеров — общее утверждение имеет громоздкий вид.
Теорема 2. а) Для 0~-значной оценки в категории колец
(т. е. для оценки, определяемой формулой (12) и вычисляемой
в топологии ST) выполняются утверждения, показанные на
следующей диаграмме 2 {аналогичной диаграмме 1)
Позитивная формула
ΧοΌΗοΒα аэоомила
б) Если кольцо К нормально, то для любой формулы Φ
в предваренной нормальной форме выполняется
(ΪΦκ} = ί)=>({ΚΡ}ΗΦ)
и для любой АЕ-формулы выполняется
({Кр}нФ)^([Фк} = 1).
(Это усиление диаграммы 2 до аналогичной части диаграммы 1.)
в) Пусть формулы Φ и Ф' соответствуют друг другу, как
показано в таблице 1. Тогда выполняется
Φκ^(ϊφ'κ]^ί).
(Это принципиальное усиление соответствующей стрелки на
диаграмме 2 и даже на диаграмме 1.)
Далее переменная к пробегает кольцо К, переменная е
пробегает булеву алгебру В; </с> — главный идеал, порожденный
элементом к, т. е. идеал КкК. Если X — произвольное под-

§ 1. МЕТОД НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
389
множество К, то X* ^ ik\Xk = 0}, т. е. X* — правый аннулятор
множества X. Переменные а, Ъ пробегают множество всех
(двусторонних) идеалов в К и Id К — множество всех идемпотен-
тов кольца К. Будем считать, что в формулу Ф' конъюнктивно
Таблица 1
1
2
3
4
5
0
0 = 0 — произвольное кольцо
V/сЭ «(<&>* = еК) — строго би-
риккартово кольцо
V&3e(<&> = еК) —бирегуляр-
ное кольцо
\АК = Idc K,Vk3t(ktk = k) —
абелево регулярное кольцо
V&3 е (к * = еК) — строго рик-
картово кольцо
0'
Vfc(Vfc, (A.2 = Λ: Λ kk, = k{k) =>
=$~k = 0\/k = l) — кольцо без
нетривиальных центральных
идемпотентов
VfcVfcj (Vt(fcift, = 0) => k = 0 V
V k{ =0) — первичное кольцо
(^-нормальное)
V/i3ii3/>! ... 3pn3qi ... 3ς(„
• · · + Pnkqn) — квазипростое
кольцо
Vklt (k = 0 V kt = tk = 1) —
тело
VftVfc, (M, = 0=i-A = 0\/*i =
= 0) — кольцо без делителей
нуля (анормальное)
добавляется тривиальный сомножитель, который говорит, что
«К — кольцо», т. е. сомножитель вида VfcjVA^Vfra ((kt + кг) + к3 =
= kt+(kz + к})) /\Vk(k + 0 = 0 + к = к)... Легко проверить
(независимо от остального содержания теоремы 2), что значение
оценки [ ] на этом конъюнктивном сомножителе равно 1.
Поэтому, подсчитывая оценки [0'J? можно забыть о нем.
Упомянутые алгебраические понятия содержатся, например,
в [58].
t> а) Осталось доказать нижнюю часть диаграммы. Сначала
индукцией по длине формулы Φ проверим
[0x]>u=>Vpe=u(#PH φ), (16)
где и^В. Для атомарной и, следовательно, для позитивной
бескванторной формулы выполняется более сильное утверждение:
(Р^1Фк})^(КРНФ), (17)
т. е. 1Фк] = {/><ξ S\KP μ 0}(как и в п. 1).

390
ДОПОЛНЕНИЕ
Действительно, если Φ ^ (А, = А2), то Ρ <ξ [Φ κ] = и {es
еВ|еА1 = еА2} влечет р^Ое (т. е. е&р) и ekt = ekz. Поэтому
(1 — е) (А, — А2) = А, — А2, А( — А2 е р. Если [А,]р = [А2]р, то
найдется е из р, для которого A,—A2 = ei, где £е.К. Тогда (1 — е)^^ и
(1 - е) (А, - А2) = О, (1—е)<[А1=А2] и ρ е С»!.,, т.е.ре [Аг = А2].
Если Φ получается из атомарных формул с помощью связок Λ
и V, то эквивалентность (17) и соответствующее равенство,
очевидно, сохраняются.
Для случая связки V формула (16) очевидна. Для случая
связки 3, если ц = 1, то нужно непосредственно применить
свойство (И); для произвольного и нужно сначала доказать (для
и0^В) свойство, подобное свойству (11):
1(Бхф (х))к] > и0=> ЗА0 е= К ({(φ (Α0))κ] ^ и0). (18)
Проверим стрелку, касающуюся АЕ-формул. Если Φ —
позитивная бескванторная формула, то в силу (17) получаем
требуемую импликацию даже при каждом отдельном ρ из S.
Для связки 3 получаем Vp e S (Кр НЗхФ), Vp3Ap (КРН
Η=φ([Αρ]ρ)), множество Ор ^ {р'\ Кр> μ= φ ([АР]Р')} содержит ρ и
открыто (так как Φ бескванторная и в силу (17) это множество
равно значению [ ]). Полученное семейство Юр} открытых
множеств (индексируемое параметром р) покрывает все S. Каждое
открытое множество из этого покрытия заменим на объединение
открыто-замкнутых множеств и в силу компактности выберем
открыто-замкнутое подпокрытие. Превратим его в дизъюнктное
покрытие и объединим те элементы этого покрытия, которые
содержатся в одном Ор; обозначим это объединение Ор. Итак,
θ'ρς=Ορ,ΟρεΞΒ и \0'р} конечно. Склеим кР на {Ор\, т. е.
образуем к0=^ 2л еркР, где еР — элемент В, соответствующий откры-
о'Р
то-замкнутому множеству Ор. Для любого q из S найдется
такое Ор, что g <= (9Р (т. е. ep<£q). Тогда [А0]3 = [Ар]3, так как
еРк0 = еркр, ер(к0 — кр)=0, (1 — ер) (А0 — кр) = А0 — кр и (1 —ер)е
eg. Поэтому Vq^S(Kq<F=Φ([k0]q)), т. е. {Кр} μ Φ (Α„) 'и
1(Ф (*о))к] = 1' [(3*0 (х))к\ = 1.
Для связки V получаем VAV^ (KPH Ф([к]Р)), VA({#P}H 0(A)),
VA([(iMA))K] = l).
Ясно, что такие же стрелки можно получить и на любом
и^В вместо S.
б) Здесь нужно рассмотреть только один новый случай, когда
бескванторная формула Φ содержит связку "]· Все остальные
связки рассматриваются точно так же. Для нормальных колец
оценка атомарной формулы принадлежит В (иными словами,
является открыто-замкнутым множеством). Поэтому [—|0.к] =
= П[0к] = {P*= s\Kp Η ~1 Φ}· Итак, соотношение (17)"
имеет место для любых бескванторных формул.

§ 1. МЕТОД НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
391
в) 1) Еслире lyik1 (ft2 = к/\ ккг = ftiftjj, то найдется какое-
то 0S(i, где е0^В, для которого />еО{|) (т. е. еаф р) и V/^ (=
е.ЙГ (e0ft2 = е0к Д eoftftj = ft^oft), т. е. e0ft е Ыс К. Если ρ ^ [ft = l]j
то Ve(e(/c-l)=0=>ee/)) и в качестве е выберем е = e0ft.
Так как e0ft(ft — 1) = e0ft2 —e0ft = О, то е0к^р, (1 — еак)Фр,
е, =^ е0(1 — е0к)<£ р, (так как ρ — простой идеал) π (е0 — e0ft)ft = О,
т. в. ре 0в1 и Ов1 < [ft = 0]. Итак, ρ е= [ft = 0J.
В обратную сторону утверждение очевидно.
2) Если pe[Vi (ftift1=0)J, то найдется такое Оед, что р=Ое
и V t(e0ktki = 0). Тогда вД, е (W*. В силу условия
бириккартовости существует е, для которого <ft>* = eK. В
частности, eft = 0 (т. е. е<; [ft = 0]) и e0ki = et. Тогда
(l-e)e0ft, = 0, (l-e)eo<[ft1 = 0J, ей = (1 - е)е0 \J ее0< (1-е)·
•eoVe<[ft1 = 0]\/[A; = 0J. Итак ре [ft, = 0] V [ft = 0).
Рассмотрим обратное утверждение. Условие строгой
бириккартовости можно записать формулой Φ *=? Vft3eVfttVi(e2 — е Д
Д eft, = kxe Д eft = 0 Д (V^ (ft^i = 0) =>ί = ei)). По условию [ft =
=0]<=В, т. о. [ft=0] V {k¥=0j = 1. Оценим снизу [BeVftiVi (e2=e Д
Λ eft1 = ft1eAeft = OA(Vi1(fti1i = 0)=^i = ei))J, подставив е = 1
и е = 0. Первое слагаемое оценивается снизу [ft=0]. Во
втором слагаемом сомножитель оценивается снизу [ft=7^0J, так
как по условию [V^ (ft^i = 0)J < [ft = 0J V [* = 0] и отсюда[/с=^
¥=0JA[Vi1(fti1i = 0)J<[i = 0].
Итак, исходная оценка равна 1. Раскрывая ее, получаем, что
К строго бириккартово.
3) Пусть к^К. В силу бирегулярности К найдутся е пз В
и pi, .. ., рп, <7н ..., qn из К, для которых ft = eft и е = pikqi +...
. ..+ pnkqn. Тогда [3Pj... 3pr3qx ··· 3g„ (ft = 0) V (1 = Pxkq1 + ...
.. · + РпВД>№=0] V [i = Piftgi + · · · + pnft9nj=[ft=oj v [i-
_ e =0] и (1 - e) ft=0, (1 - e)<[ft = Oj, e< [1 - e =0].Поэтому
исходная оценка >,ί, что и означает утверждение из правой
части третьей строки таблицы 1. Наоборот, свойство
бирегулярности записывается формулой
Φ *=?ЧкЭеЭпЭр1 . . . 3pn3q1 . . . 3?nVi (е2= е f\et = te f\k =
= eft Д е = pjft^ + ... + pnkqn),
где и — переменная по всем натуральным числам, и, строго
говоря, вместо Ри ..., Рп и qu .. ., gn соответственно нужно
написать переменные ρ и q нового сорта, пробегающие не К, а
множество всех конечных последовательностей из элементов К.
Следующая лемма при всей ее очевидности часто бывает
полезна.
Лемма 2. Если оценка вычисляется в топологии 3~
квазикомпактного топологического пространства и оценка \3<хф (а)]

392
ДОПОЛНЕНИЕ
является открыто-замкнутым множеством, то
[Заф (а)]г = {Ф (04) V · · · V Φ («к)],
где фиксированные значения а,, ..., аА переменной а
определяется по формуле Ф.
Формально мы не определили язык, которому принадлежит
формула Ф, и оценку [ ] для этого языка. Это легко сделать,
и в дальнейшем будет очевидно. (Конечно [3αςζ5 (а)]= V \Ф (а)]
а
и \У<хф (а)] = Λ [Φ (а)]·) Можно заменить 3~ на любую ком-
α
пактную полную гейтингову алгебру. Действительно, [3αςζ5 (α)] =
= V[0(a)] = [^(a1)JV ··· V[* («*)] = [* (ai)V---V0(afcU α
α
Нам дано \Фк\ = \.· Пусть k^K. Тогда
IBnBpBq ((дл (ρ) = дл (q) = η) /\ (k = 0 V 1 = p1kqi + ...
• · · + Pnftg»))] = 1 = V [3/>3д(...)1 = [3/>3д(дл(р) = дл(д) =
= «ι Λ (· · ·))] V · · · V [ЗрЗд(дл(р) = дл(д) = nk Λ (···)],
где nt<nz<. ..< nk^ m. Отсюда 1 =[3p3g(дл(р)= дл(q) = m/\
A (•••)J<f3pi... ЗртЗд!... Здга(/с=0\/1=,р1А;д1 + ...+рт^дш)].
Согласно свойству достижимости (11) найдутся />(, ..., qm^K,
для которых [А=0 V 1 =Ρι^4ι + · · · + /W^m] =1. Поэтому два
слагаемых в левой части не пересекаются, т. е. являются
открыто-замкнутыми множествами. Пусть е соответствует второму
слагаемому. Тогда ek = k и е = pikqi + ... + pmkqm. Последнее как
раз означает бирегулярность кольца К.
4) Пусть k s К. Нужно вычислить значение оценки
V {[к = 0] V ([** = 1] Λ № = 1]) | ί е= К}. В силу
регулярности К найдется t из К, для которого /ci/c = к. Положим е ^ kt.
Такое е — идемпотент, и в силу условия Id К = Ыс К получаем
eeR Отметим, что е = еи где et^tk. Действительно, еК =
= </с> = еД, e = etp, et = eq, eet = e, ее, = е,, е = е,. Далее, е/г =
= £, (1-е)А = 0, (1 —е)<[А=0], е(1 — Ai) = e(l — е) = 0, е<
<Ξ [1 — Art = 0], е = е1<Ц1 — tkj = 0. Оценим исходную оценку
одним слагаемым, соответствующим выбранному значению t. Это
слагаемое >(1 — е) \J{ef\ e)= 1.
В обратную сторону будем рассуждать по привычной схеме.
Условие абелевой регулярности записывается двумя хорновыми
формулами Φι^ V/c3i (ktk = k) и Фг^ V/cVt{kz = k =* kt = tk).
Формула Фк, выражающая свойство «быть телом», позитивна. Из
утверждения а) этой теоремы получаем, что все локализации Кр
кольца К — тела и, следовательно, абелевы регулярные кольца.
Непосредственная проверка показывает, что тогда оценка формул
Φι и Фг равна 1, и в силу хорновости переходим к К.

§ 1. МЕТОД НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
393
5) Пусть fteК, kt<=K. Обозначим е'*»[**! = 0], е**[к = 0].
Так как кольцо К строго риккартово, то к* = fK и е = /.
Действительно, в силу (13) имеем ек = 0, е = ft, ef = е, е *ζ / и fk =
= 0, / ^ е. Итак, к* = еЯ. Далее, fte'ft, = 0, e'ft, е= к*, e'ft, = ei,
(l-e)e'ftj = 0, (1 — е)е' < [ftx = 0J, е' = ее' \J (1 - е)е' <е V
V (1 — е) е' <; [ к = 0] \/ [fcj = 0]. Наоборот, свойство строгой
риккартовости записывается формулой
Φ *» V/cBeViV^ (е2 = е Λ е* - te Λ (ftfti = 0 -»- ^ = eft^).
Положим е*?[А = 0].По условию элемент ееД и, ·
следовательно, осталось проверить, что для любого kt^ К выполняется
кк1 = 0 -<=> ft, = eft,. Пусть ftft, = 0. Тогда, используя условие
отделимости (8) и условие [0к]= 1, получаем [ft = 0] V {к±= 0] = 1.
Умножением на 1-е получим [fti = 0] ^ 1 — е, т. е. если
[А1 = 0] = /, то (1-е)</, /ft, = 0, (l-e)ft, = 0, ft, = eft,. Пусть
ft, = eft,. Тогда (1 — e)ft, = 0, (1 — e)^ [ftft, = 0] и в силу
выбора е получаем eftft, = 0, e^[ftft1=0J. Согласно свойству
отделимости (8) это означает, что ftft, = 0.
Итак, теорема 2 доказана. Ε
4. Теоремы переноса (и элементарная эквивалентность
теорий) как следствия существования оценок. Теорема 2 в
принципе позволяет получать математические утверждения по
определенной схеме — а именно, она позволяет переносить
утверждения, известные в частном случае, на случай, более общий.
Утверждения, получаемые по этой схеме, иногда называют
теоремами переноса. Изложим эту схему для категории колец.
Общий случай во всем аналогичен этому. Возможны три варианта.
1) Если [0 к] = 1 и, может быть, кроме того, [Vk] = 1, ...
.·., rVi] = l, ПР1 \-(ф'К АгФк А ··,· Λη0κ-*ψ)Γψ —хорнова
формула, то \φ'κΑ1ΦκΑ ·■ -Α φ' Η>ψ]= 1, {ф'к А1$'к А ···
• · ·ΑηΦκ} ^ [ψκ]> [ψκ] = 1> ψκ· Это можно понимать как
«устранимость сечений»: при доказательстве хорнова свойства ψ
кольца К можно пользоваться свойствами Ф', 1Ф', ..., пФ', которыми
кольцо К в обычном смысле заведомо не обладает и
которые являются усилениями свойства Ф, характеризующего
кольцо К.
Недостатком этого варианта является необходимость
пользоваться интуиционистским выводом. (Хотя нужно отметить, что
как раз интуиционистская выводимость простых теорем из
анализа, элементарной геометрии и алгебры хорошо изучена, и
таким образом можно превращать эти выводы в утверждения,
относящиеся к более сложным объектам.)
Чтобы избежать этого, полезно иногда прямо вычислять
значение оценки [ψ], пользуясь ее индуктивным определенней.
Можно проверять не выводимость формулы Φ АгФ' А ···
• · · АпФ' =*" Ψ» а ее интуиционистскую общезначимость.

394
ДОПОЛНЕНИЕ
2) Специальной хорновой формулой называется любая
формула вида
V*!... V*n(/\(0i=^i)),
где Ф( — любые позитивные формулы и Pi — любые атомарные
формулы. АЕ-хорновой формулой называется хорнова формула
с кванторной приставкой вида Уж,.. Μ хп3у^ . Зут. Следующее
утверждение известно в случае специальной хорновой формулы
(см. [50], с. 386); для АЕ-хорновой формулы оно отмечено в
[28], [29].
Следствие 1. Если ψ — специальная хорнова или АЕ-хор-
нова формула и ΡΙ \-(Ф' => ψ), το для любого кольца К,
обладающего свойством Ф, выполняется г|зх, где Φ и Ф'
соответствуют друг другу по таблице 1. Иными словами, теории, состоящие
из формул этого вида, совпадают соответственно для классов
колец Ж и Ж', которые определяются формулами Φ и Ф'.
> Легко заметить, что импликация ([р ] = l)4-VpeS
(Кр\^Ф) имеет место и для ряда формул Ф, содержащих
импликацию после кванторов. В частности, она верна для формул
вида V.r0 => ψ, если оценка ψ — открыто-замкнутое множество и
Φ — конъюнкция или дизъюнкция равенств. Поэтому в Кр
выполняется Ф' и, следовательно, г|з. Отсюда для формул ψ
указанного вида получаем К Ё г|з. п
Заметим, что классы формул, которые фигурируют здесь и
в теореме 2, можно без труда расширить.
Это приводит к совпадению АЕ-хорновых π специальных хор-
новых теорий для соответствующих классов алгебраических
систем. В частности, если 1Ф' выражает свойство, из которого
вместе с Ф' вытекает свойство «быть алгебраически замкнутым
полем» (или «быть вещественно замкнутым полем») и [ 0к]=1,
то так как ψ =^ V а0... V а„_, Зх (а0 + atx +...+ χ" = 0) есть
АЕ-хорнова формула при всех п, то К — алгебраически
замкнутое (соответственно вещественно замкнутое) поле. В [131, [28]
приведены примеры такого сорта. Более широкий пример, когда
применима рассматриваемая ситуация, можно описать
следующим образом: теория Галуа для тел хорошо известна;
переходя к предикату [ ] = 1, мы фактически переходим от
коммутативного кольца К к «телу К» и затем можем превратить
«оценочные свойства К», т. е. результаты вида [ψκ] = ί» в обычные
свойства К, т. е. в результаты вида \$к ([28] — [30]).
Опять-таки, вместо выводимости в PI можно
непосредственно подсчитывать [ψ] или пользоваться общезначимостью или
истинностью в одной модели полной теории.
Конечно, вместо подсчета оценок для АЕ-формул можно
проверять {Кр) Ё ψ, что в ряде случаев бывает сложнее. В работе
[49] приводится результат: если θ — геометрическая формула,

§ 1. МЕТОД НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
395
т. е. θ ^ V^.-.Vхп(Ф =*- ψ), где Φ и ψ строятся из связок = , Д>
V, 3, и θ классически выводима, то интуиционистски также
выводима Θ, т. е. [Θ] = 1.
3) Если рассматривать оценки со значениями в дедекиндовом
пополнении В исходной булевой алгебры В, то интуиционистская
специфика исчезает, но в этом случае, чтобы обеспечить
отделимость и достижимость полученной В-оценки, нужно наложить
некоторые ораничения на кольцо К. Вопрос о том, каковы эти
ограничения, рассматривается в п. 6. Сейчас отметим, что в этом
варианте, если [Фк A гФк А ··· Лв0к]в = 1 иР1 f- (^' Д V'A
Λ · · · Λ ηΦ' =*■ ψ)> гДе Ψ — хорнова формула, то
выполняется ψκ. Образно говоря, хорновы следствия мифических свойств
Ф'', 1Ф\ ..., пФ' кольца К выполняются для К.
Это приводит к совпадению хорновых теорий
соответствующих классов алгебраических систем.
5. Оценка в произвольном пучке — третий пример оценки.
Пусть С — произвольная категория, К — ее объект и К
представим в виде К = &~а (1), где &~а — пучок на гейтинговой алгебре
Ω и 1 — наибольший элемент в Ω. Такой объект К назовем
Q-nped ставимым, а пучок &~а назовем представляющим объект
К. Если любой объект из С является Ω-представимым с помощью
объекта Ω из категории Св, то категорию С назовем С0-предста-
вимой. Например, категория колец представима категорией
булевых колец, т. е. рассматривается функтор из категории
категорий в категорию решеточных категорий.
Напомним понятие пучка на решетке и связанную с ним
терминологию.
Любая решетка рассматривается как категория, объектами
которой являются элементы решетки и в которой морфизмы
определяются порядком решетки:
и < ν=> Нот(и, у)=^ {О, и «$ υ =*■ Нот(и, ν)^ Φ.
Предпучком называется любой контравариантный функтор,
определенный, вообще говоря, на произвольной категории, но в
данном дополнении на категории, являющейся решеткой, и со
значениями в какой-то подкатегории С категории множеств Set.
Классическим примером предпучка является предпучок на
решетке 3", состоящий из всех открытых множеств произвольного
топологического пространства X. Такая решетка 3~ называется
топологией; конечно, (9, ^ Ог =^ Ot ξ Ог. Пучком называется
любой предпучок, обладающий свойством
V {ka} V К} <= ΩΥμ е= Ω (и = \]иа[\ Va(Aaesr(ua)j Λ
Λ VaVp (р„аЛир (ka) = p„aAup (Ар)) =>
=*-3!fte^(«)=i-(Va(p„Jfc) = fca))), (19)

396
ДОПОЛНЕНИЕ
где ρ" (в случае ν*ζιι)—морфизм категории С, являющийся
значением предпучка на единственном морфизме из ι? в и. В
записи р" (к) можно опускать верхний индекс, так как он
однозначно восстанавливается по к, которое обязано принадлежать
&~(и). (Семейство W(u)\u^Q) состоит по определению из
дизъюнктных множеств, т. е. и Φ ν =*- &~(и){) ST(v) = 0.) Иногда
вместо f)v(k) пишут к \ v.
Аддитивным предпучком назовем предпучок, для которого
выполняется условие (19), когда в посылке находится любое
конечное семейство {иа}.
3-предпучком назовем предпучок, для которого выполняется
условие (19) без требования единственности фигурирующего
в нем к.
l-предпучком (отделимым) назовем предпучок, для которого
выполняется часть условия (19), а именно,
V {иа} ξ QVu £Ξ QVfti e= ЗГ (и) V/ca е= ЗГ (и) (и = V иа/\
\ а
АУа(кг \иа=к2 \ иа=^к1 = к2).
Аналогично определяется пучок со значениями в категории,
которая не обязательно является категорией множеств.
Рассматривая произвольный топос <?Г, опять-таки приходим к пучку на
решетке Ω^ (см., например, [60]).
Вместо оценки (12)_рассмотрим следующую Ω-значную
оценку в категории С, где Ω — пополнение Ω до полной гейтинговой
алгебры:
[к, = к2]т ^ [кг = Аа]й ^ V {" е= Ω | pu (кг) = ρ, (А2)>. (20)
Как и в п. 4, Д вычисляется в Ω. Такая оценка по
существу рассматривается в [49].
На случай оценки, определенной формулой (20), хотелось бы
перенести теорему 2. Для этого опишем действующих лиц:
истинностные предикаты ФК и \Фк}^ = 1 уже имеются, нужно
определить аналоги S и Кр.
Если Ω — гейтингова алгебра (или даже только
дистрибутивна верхняя полурешетка с нулем), то по Ω однозначно (с
точностью до гомеоморфизма) строится Го-топологическое
пространство S = S(Q), в котором база 3~й топологии, состоящая из всех
открыто-квазикомпактных множеств, изоморфна Ω (см. [41]).
А именно, S состоит из всех простых идеалов в Ω и
3~о =^ Юи\и е Ω}, Ои =^ {р е S\u <£р). Соответствие и -<-»- Ои
является изоморфизмом Ω и 3~, и обычно и и Ои не различаются.
Поскольку Ω содержит 1, то S = Ои и, следовательно, само S
является Го-топологическим квазикомпактным пространством.

§ 1 МЕТОД НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
397
Отделимость S эквивалентна булевости Ω. Пространство S —
очевидное обобщение спектра кольца и стоунова пространства
булевой алгебры. Его также называют стоуновым пространством.
Точкой в Ω называется любой простой идеал в Ω; по
определению точки образуют множество S. Локализацией (слоем)
в точке ρ из S называется фактормножество &~Р^( U ^~(м))|~р)»
где (k ~pt) ±?3и <=Ω(ρ <= Ou/\Pu{k) = pu{t)). Структура объектов
категории С индуцируется в слой &~р. Обозначим &~ *=?
** U У (и). Тогда ЗГр^ lira <0-, ^р>, где ТР - Юи\р е OJ -
ией >-
база топологии в точке ρ и lim —индуктивный (прямой) пре-
>
дел. Если &~ — вялый пучок (т. е. все отображения р«: #"(1)—>■
-*-ST(v) сюръективны), то в определение @~р вместо &~
можно подставить #~, ^ &~ (1).
Как и в п. 3, рассмотрим сначала топологическое пополнение
Ω, т. е. в качестве Ω выберем 3~^3~{S). Выбор пополнения
индуцирует в Ω, вообще говоря, частично определенную
операцию вычисления точной верхней грани, в данном случае это
теоретико-множественное объединение элементов Ω,
рассматриваемых как множества.
Предпучок ST назовем [) -пучком, если выполняется условие
(19), в котором посылка и=\/иа заменена на посылку и = [}иа·
а а
Так как U иа ^ V ма, то условие и = [} иа влечет существование
α α α
V' иа и равенство и — \] ua — \J ua. Поэтому любой пучок
α α α
на Ω является U -пучком на Ω. Аналогично определяется
понятие Ω-пучка для любого фиксированного пополнения Ω.
Ситуация, рассмотренная в п. 3, полностью укладывается в
приведенную схему, а именно, по произвольному
(ассоциативному, с единицей) кольцу К однозначно определяется предпучок
&~(·) на Q^ldcK, представляющий К, т. е. К = &~Q(l), Ω^=
^&~(S(Q)),l ]= I h и, наконец, ΚΡ = &~Ρ. Здесь Ω — не
только гейтингова алгебра, но и булева алгебра, поэтому вместо
Ω обычно пишут В. А именно, предпучок &~ на В определяется
следующим образом:
&~(е)^еК, e1<^e2=>peeii(k) ^e-Jt, (21)
где е, е„ ег ^ В. Этот предпучок назовем каноническим предпуч-
ком кольца К. Оказывается, что канонический предпучок
независимо ни от каких условий на кольцо К является U -пучком.
Этот результат по существу содержится в [57] и легко
получается из соотношений (13) — (14). Продолжение канонического

398
ДОПОЛНЕНИЕ
предпучка на ST, которое по теореме 3 всегда возможно,
совпадает с пирсовским пучком, определенным в [57].
Назовем пучковым кольцо К, для которого канонический
предпучок является пучком.
Если и яг В отождествить с центральным идемпотентом
U-1 + *^|ΐί·0, то легко проверить, что любой аддитивный пред-
пучок на произвольной булевой алгебре В, представляющий К,
изоморфен сужению канонического предпучка кольца К на
правильную подалгебру IdcK, изоморфную В (см. [28]). Поэтому
изучение произвольного аддитивного предпучка (и тем более
пучка) на булевой алгебре со значениями в категории колец по
существу сводится к изучению канонического предпучка кольца;
последний был рассмотрен в теореме 2.
Укажем еще три примера этой схемы (см. [28] — [30]).
Если 86 — (правый) модуль над кольцом К, В^ЫсК и
ЗГ(е)^&?е, e1^ei=^pe/i(x)= хех, (22)
где е, е,, β^β, то &~ — предпучок на В, представляющий 86,
т. е. 86 = ^"(1). Назовем этот предпучок каноническим предпуч-
ком модуля 86к. Оказывается, что и этот канонический
предпучок без всяких условий на 86 и К является (J- пучком. Это,
по существу, доказано в соотношениях (13)—(14), см. f57].
Следовательно, и для языка, соответствующего структуре модуля
86'к, возникает оценка [ ~\д- — [ ]д, где В — пополнение В,
например, В совпадает с £T(S(B)). Образно говоря, в смысле этой
оценки модуль 86к является векторным пространством.
Назовем пучковым модуль 86к, у которого канонический
предпучок является пучком.
Второй пример. Пусть G — моноид и Ω — множество всех его
правых идеалов, т. е. X ^ G, если V g e G(Xg ^Х). Фиксируем
в G в качестве булевых операций обычные
теоретико-множественные операции и в качестве отношения порядка —
отношение включения. Тогда Ω — полная гейтингова алгебра.
Определим ^" на Ω:
дг(и)^ {/: и - G\ Vg е α Vg0 e G(f{gg0) = f(g)g0)).
В качестве ρΰ выберем ограничение функций. Тогда #"(1) =
= {/: G-*G\^ g^G^ g0^G(f(gg0)=f(g)g0))^G и <<F, p£> -
пучок на Ω, представляющий G. Присоединяя к полугруппе
единицу, получаем представляющий пучок для полугруппы.
Пусть G — группа, содержащая нетривиальное семейство
нормальных делителей, которое относительно включения образует
полную гейтингову алгебру. Для определенности пусть G —
условно полная решеточно упорядоченная группа. Тогда
множество всех ее дополняемых идеалов образует полную булеву ал-

§ 1. МЕТОД НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
399
гебру В (относительно включения). Определим канонический
предпучок F(u)^u и Puig)^ V (8 А и)· Если G —
ортогонально полная группа, то этот предпучок является пучком, который
представляет исходную группу G.
Следующая, по существу, рутинная теорема часто бывает
удобной.
Теорема 3. а) Предпучок на произвольной гейтинговой
алгебре Ω является U -пучком в том и только в том случае, если
он (однозначно) продолжается до пучка на топологии £Г стоу-
нова пространства этой алгебры.
б) Если в условиях утверждения а) Ω — полная решетка,
@~ — исходный предпучок и $Г — его продолжение, то для
любого открытого множества О в топологии &~ выполняется
~W-{0)=&-{\/Q{u<=Q\u<^0}). (23)
в) Предпучок на произвольной гейтинговой алгебре Ω
является пучком в том и только в том случае, если он [однозначно)
продолжается до пучка на произвольном правильном ее
пополнении Ω.
1> а) Предпучок @~ на Ω тривиальным образом переносится
на £Г~0. Чтобы его продолжить до пучка на топологии ST ^
=^ £Γ~(5(Ω)), положим
ОеГ^Г(О)^ lim {ЗГ (и) \ и (ξξ Ω/\ и ^0}ς^ Π ^"("). (24)
-< изо
0!<Оа^Р^(/)^/ \ {UIU^OJ,
где lim —проективный (обратный) предел и [ —сужение
функции на часть области определения.
Скажем, что U -пучок &~ на булевой алгебре В отделим, если
накрывающее пространство Ε отделимо, что в свою очередь
эквивалентно тому, что для любых А„ kz из $Г выполняется
ip^S\ki(p)'=kz(p)} εβ, т. e>.4kl^ff-Vkt<=gr([k1 = kt]9-e=B).
Такой отделимый \j - пучок является пучком в том и только в
том случае, когда для всякого открытого плотного множества О
в S все функции из С (О, Е, п) равномерно непрерывны
(относительно единственных равномерности в S и
равномерности в одноточечной компактификации Е) и отделены от °°
(см. [12]).
Предложение 2. Канонический предпучок кольца К
является отделимым в том и только в том случае, когда К —
нормальное кольцо.
Теорема 2 распространяется на языки второго порядка и
такие категории, как алгебры Ли, групны, топологические
пространства и регулярные топосы.

400
ДОПОЛНЕНИЕ
6. Достаточные условия пучковости кольца. По теореме Зв)
канонический предпучок продолжается с β на ее дедекиндово
пополнение В в том и только в том случае, когда выполняется
условие
V{ea}<=B(l = V eaVpVv(epAeve{ea}K/r^ lim (<Г (еа))\, (25)
ν α -<— ; , - j
где ^ означает естественное отображение, т. е. к<-+ {еак}.
Назовем В-кольцом такое кольцо К, что ЫсК — полная
решетка и, следовательно, Ыс К — полная булева алгебра. Для
β-кольца критерий (25) пучковости кольца К принимает более
простой вид
V {еа} = В (1 = U еа-± К е* Д еаК), (26)
\ a a
где {ea} — дизъюнктное семейство и соответствие ^ такое же,
как в (25).
Хотелось бы описать пучковые кольца и пучковые β-кольца
без использования семейств iea}. Мы приведем достаточные
условия пучковости, которые, по-видимому, значительно сильнее
условия пучковости. Аналогичные условия пучковости для
модуля содержатся в п. 6 следующего параграфа. Для модулей
строится таблица, аналогичная таблице 2 (см. следствие к
теореме 11).
Напомним, что полупервичным называется кольцо, в котором
пересечение всех первичных идеалов равно нулю. Идеал α
называется первичным, если аФК и V5Vc(£> · с = a =*- Ь = a V
V с^а), где Ъ, с — произвольные идеалы в К. Пересечение всех
первичных идеалов кольца К обозначается radii. Поэтому
полупервичность означает, что rad К = 0.
Плотным называется (двусторонний) идеал а, для которого
а* = 0. Для полупервичных колец выполняются важные
свойства: *а = α*, α Π α* = 0, а + а* — плотный идеал. В частности,
а* — (двусторонний) идеал. Правый идеал а называется
плотным, если VA(*(A-1a) = 0), где к~1а =^ {t <^K\kt e а}.
Разумеется, элемент к не обязательно обратим.
В обычных определениях инъективного и рационально
полного кольца, которые мы сейчас напомним, переменная а
пробегает все правые идеалы. Однако мы употребим эти термины
в более широком смысле, считая, что а пробегает только
двусторонние идеалы. А именно, кольцо К называется инъективным,
если VaV0: а-+К(Ф ezRomK(а, К))3 К eiV/c e а(Ф(к) =
= к0 · к). Иными словами, Φ является линейной функцией
из правого модуля а над К в себя. Кольцо К называется

§ 1 МЕТОД НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
401
рационально полным, если для всякого плотного идеала а
выполняется
V0: а-+К(Ф<^Потк(а, i))3fc.eiVfte а(Ф(к)= к0 -к).
Кольцо К называется абелевым, если всякий его идемпотент
является центральным элементом, т. е. ЫК = ЫсК. Простые
факты и определения, относящиеся к кольцам, можно найти,
например, в книге [58]. Следующая теорема фактически
содержится в (28].
Теорема 4. а) Из инъективности (или из
нормальности и рациональной полноты) В-колъца вытекает его 3~пуч-
ковость.
б) Если К — полупервичное рационально полное абелево
кольцо, то К — нормальное В-колъцо. Из нормальности кольца
вытекает его \-пучковостъ.
в) Если кольцо К обладает одним из свойств Ф, указанных
в левой части следующей таблицы 2, то К — пучковое кольцо,
Таблица 2
1
2
3
4
5
0
Нормальное рационально полное
β-кольцо
Строго бириккартово рационально
полное β-кольцо
Бирегулярное рационально полное
5-кольцо
Абелево регулярное рационально
полное β-кольцо
Строго риккартово рационально
полное β-кольцо
*>'
Кольцо без нетривиальных
центральных идемпотентов
Первичное кольцо
Квазипростое кольцо
Тело
Кольцо без делителей нуля
и для оценки [ ], определенной по каноническому пучку этого
кольца, выполняется
Фк^(1Фк} = 1), (27)
где свойства Φ -*=> Φ' соответствуют друг другу по той же
таблице.
> а) Так как ЫсК по условию является полной булевой
алгеброй, то можно считать, что 1 = LI еа. Образуем идеал а *=?
а

402
ДОПОЛНЕНИЕ
^ φ еаК. Это действительно прямая сумма, так как {eiti +...
а
. ..+enin = 0)=»-(e,i, = 0) и т. д. Положим f{eiti ®..,® entn)^
=^ eikiti +.. .■+ enkntn· Это Я-линейная функция вида ак -»- К.
В силу инъективности существует к0, для которого V^ea (/(0 =
= Λ0ί). Отсюда
]\&а ' 1) 6ака — <£оба — 6a/C0,
т. е.
[Ла = /с0] > еа.
Если Я — нормальное кольцо, то идеал а плотен: пусть (е«*
и et = 0 -<=> е *ζ е0. Тогда eai = 0, ea < е0, т. е. е0 = 1. Затем
точно так же воспользуемся рациональной полнотой К.
б) Доказательство первой части утверждения по существу
повторяет доказательство предложения 2.4.4 из [62] (относящееся
к коммутативному случаю) и использует предложение 4.6.4
из [62].
Пусть
1 = \/еа, Va(e„f = 0) и et = 0 -«=> е < е0.
а
Тогда
еа < е0, е0 = 1, ί = 0.
в) Во всех случаях свойство 9s кольца Я обеспечивает, что
К — рационально полное и нормальное В-кольцо. Из уже
доказанных утверждений теоремы следует, что К — пучковое кольцо,
т. е. канонический предпучок на lac К является пучком, и,
следовательно, определена оценка [ ]. Осталось проверить
эквивалентность (27), но вычисление оценок в теоремах 2 и 4
проходит совершенно аналогично. п
Отметим, что эквивалентность (27) справа налево можно
понимать в том смысле, что отделимая и достижимая оценка [ ]
определена для произвольной полной булевой алгебры В. Тогда
В изоморфна ЫсК и пучок на В, соответствующий этой оценке,
изоморфен каноническому пучку.
7. Теоремы переноса (и элементарная эквивалентность
теорий) как следствия пучковости модуля и кольца.
Теорема 5. а) Если К = &~(1), £Г есть (J -пучок на
произвольной гейтинговой алгебре Ω и &~ — топология стоунова
пространства Ω, то выполняются все соотношения, показанные на
диаграмме 2. Если пучок &~ отделим, то выполняются и
соотношения из теоремы 26).
б) Если К = &~(1), &~—пучок на произвольной булевой
алгебре В и полная булева алгебра В является пополнением В,

§ 2 УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОЦЕНКА И УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПУЧОК 403
то имеет место следующее усиление диаграммы 2:
Люда я позитивная groovy "а
Любая хов>,о6а формула
//
Любая
φορΜίίπα
г '/'
{Kp\p<=s}t=<p
Аналогичные построения проходят и для других категорий;
групп, модулей, алгебр, алгебр Ли, моноидов и даже топосов.
Доказательства аналогичны доказательству в случае
диаграммы 2.
В заключение этого параграфа сформулируем явным образом
простую теорему, показывающую возможный характер
применений теорем 2, 4, 5. Для конкретных вопросов эти применения
рассматриваются в [12], [13].
Теорема 6. а) АЕ-хорновы и специальные хорновы
теории соответственно модулей над абелевыми регулярными
кольцами (коммутативными регулярными кольцами) и векторных
пространств над телами (полями) совпадают.
б) АЕ-хорновы и специальные хорновы теории строго рик-
картовых модулей и модулей без делителей нуля совпадают.
в) АЕ-хорновы и специальные хорновы теории классов
колец Ж и Ж' из таблицы 1 совпадают.
г) Хорновы теории соответственно модулей над рационально
полными абелевыми регулярными В-кольцами (рационально
полными регулярными коммутативными В-кольцами) и векторных
пространств над телами (полями) совпадают.
д) Хорновы теории классов колец Ж и Ж' из таблицы 2
совпадают.
Доказательство непосредственно вытекает из
предыдущих теорем 2—5, а в части модулей — из результатов п. 6
следующего параграфа. Содержание п. 6 можно получить и без
использования понятий из § 2 аналогично тому, как
доказывались теоремы 2 и 4. Из теоремы 5 видно, что теорему 6 можно
доказывать прямым переходом от слоев к кольцу глобальных
элементов.
§ 2. Универсальная оценка и универсальный пучок
1. Определение нечеткого (случайного) множества.
Определение категории нечетких множеств (гейтинговозначного
универсума). В предыдущем параграфе можно было заметить, что
использование специальных языков, вроде языка теории колец,

464
ДОПОЛНЕНИЕ
создает трудности. Например, одновременное рассмотрение
нескольких колец, колец и их нормирований и т. п. требует
каждый раз введения нового сорта переменных, соответствующего
расширения языка и соответствующего расширения области
определения оценки [ ]. Поскольку наиболее употребительные
категории являются подкатегориями категории всех множеств V,
то решим задачу универсального определения оценки для этой
категории. Аналогичные построения возможны и для
произвольного топоса. Совокупность всех объектов категории V, т. е.
совокупность всех множеств, будем обозначать также V.
Объекты категории V образуются следующим специфическим
способом, который удобно использовать. Обозначим V„ ^ {0},
Vt+i =^ £Р(У$), Va ±? (J Fp (если α не представило в виде а =
ρ«χ
= β+1), где индекс а пробегает семейство всех ординальных
чисел (ординалов, трансфинитов). Семейство всех ординалов
обозначают On. Тогда V =*=? (J Va. Конечно, в приложениях мож-
asOn
но рассматривать вместо V какое-то одно Va, где a — достаточно
большой фиксированный ординал. Однако неясно, как выбрать
такое а раз и навсегда, поэтому удобно считать его
неограниченно возрастающим. За это приходится «платить»
оперированием с таким не соответствующим обычной математической
практике объектом, как совокупность всех множеств V, но
никаких трудностей при этом не возникает.
Множества Va удобно описать на языке функций: V0 ^ {/<,},
где /о — нигде не определенная функция, V$+1 ±? Z2 , Va = (J Vp,
ρ«χ
где Ζ2 =^ {0, 1) — булева алгебра, в которой 0<1. Иными
словами, элементы V можно представлять себе как
характеристические функции, определенные на множествах
характеристических функций. Функции /из U ^a соответствует множество
а
Ηί)^ ti(g)}g^D(f) Λ f(g)= 1}· Отображение i из семейства
функций в семейство множеств сюръективно, но не инъективно.
Можно считать, что множество Χγ состоит из всех частично
определенных функций вида /: Υ -»- X. В этом случае точно
такое же, как выше определение множеств Va не приводит к
расширению семейства и Va «по существу»: те g, для которых
a
f(g)=0, и те g, для которых f(g) не определено, в равной мере
не включаются в множество, соответствующее /.
Рассмотрим теперь «нечеткие» (или, как иногда говорят,
«размазанные», «расплывчатые», «квантовые», «случайные»)
множества, определяя их как элементы любого из следующих
множеств: V0 =^ {'/J, где /0 — нигде не определенная функция,
Va+1 ±r Ω ρ, Va ±p (J Fp, где Ω — фиксированная гейтингова

§ 2 универсальная оценка и универсальный пучок 405
алгебра. Итак, нечеткое множество (Ω-нечеткое множество) оп-
ределяется как произвольный элемент семейства ν =^= и ν а.
α=Οη
Поскольку Ζ2 <= Ω5 το возникает инъективное отображение
( )Y: V-+Va. Иными словами, элементы V рассматриваются как
характеристические функции, а эти функции непосредственно
являются элементами V0. Если χ е V, то будем отождествлять χ
и х. Поэтому V0 является расширением V.
2. Универсальная оценка — четвертый пример оценки. Язык
теории множеств (язык Цермело — Френкеля, язык ZF) имеет
один сорт переменных (пробегающих V или V°) и атомарные
формулы вида х^у и х — у, где х, у — переменные. Формулы
этого языка, как обычно, строятся из атомарных формул с
помощью связок Λί V' Πί =*"· Э> V. В отличие от оценки из § 1,
оценку для языка ZF, соответствующую структуре (.V, ^, =>
или структуре (V0, е, =>, будем называть универсальной. Как
мы увидим, универсальная оценка похожа по своим свойствам
на оценку [Фк] из § 1, хотя и определяется иным способом.
В п. 5 с помощью универсальной оценки мы по-новому
определим оценку из § 1, соответствующую языку произвольной
алгебраической системы, например кольца.
Пусть /ι, . . ., /„ е V° и выражение 0(Д, . .., /„) получается
из формулы Φ подстановкой в нее вместо свободных
переменных «нечетких множеств» /lt .. ., /„. Тогда определим
«универсальную оценку» [Ф (fi, ..., /„)] индукцией по длине слова Ф:
[/.е/2]^ V fs(g)A[g=f1],
lh = Ul- Λ (Мг)-Пге=/я])Л Л (f2(g)^\g^h])
1Фг/\ФЛ-1Фх1МФгЪ
[Φ1^Φ2]^{Φ1}-^[Φ21
ΙΊΦί^ΊίΦΙ
[3χΦ]^ ν УШ,
{ЧхФ}^ Λ [*(/)]· (28)
Ясно, что {Φ(ίι, ■■·,ίη)1 на неатомарных шагах
определяется так же, как оценка {Фк\ из § 1, если в качестве К выбрать
Ρ и в качестве языка Як — язык, соответствующий структуре
<Va, e, =>. В то же время нужно отметить, что в § 1 изучался
объект К с помощью предиката{Фк] = 1> а здесь не имеется
в виду изучать «объект» V° с помощью предиката [Ф] = 1.

406
ДОПОЛНЕНИЕ
Факторизуем семейство V° отношением эквивалентности
[· = ·] = 1· Полученное факторсемейство обозначим Va и
условимся не различать класс эквивалентности [/] из факторсемей-
ства Va и его представитель / из семейства Va (возможность
этого будет видна из теоремы 4 п. 5).
Множество να+1±?Ω α можно (и часто удобно) понимать
в расширенном смысле, включая в него и все частично
определенные функции вида /: Va -»- Ω. Любая такая функция /
попадает в один класс эквивалентности со своим продолжением
на всё Va — значением нуль. Поэтому такое расширение У3
не приводит к расширению факторсемейства V. Практически
мы имеем дело не со всей совокупностью V0, а с некоторой ее
частью Va. Тогда все функции, содержащиеся в Va, можно про-
должить нулем на все Уа и, следовательно, все
рассматриваемые функции можно считать определенными на одном и том
же множестве.
Функцию / из V° назовем экстенсиональной, если выполнено
условие
Vg e= D (/) Vg2 e= D (/) (/ (g)A[g = g,]</ Ы). (29)
Можно доказать следующее
Предложение 3. а) Для любой функции f из V0
существует экстенсиональная функция g из Va, область определения
которой совпадает с любым наперед заданным множеством X,
где Ι)(/)£Ϊξ V°, и для которой выполняется [f = g] = 1.
(Поэтому в любом классе эквивалентности из Va найдется ровно
одна экстенсиональная функция, определенная на всем Vai
т. е. практически все рассматриваемые функции можно считать
экстенсиональными и одинаково определенными.)
б) Для любых экстенсиональных функций fug выполняется
[g = f]r Λ (g(h)~f(h)),
h=D(g)=D(1)
[ge/] = /(g), если ge D(f), (30)
ke/]= V /(*)Λ Λ (gih^^hfa)),
hsD(f) h1SD(g)=D(h)
где (и -<->- 1>)=^ ((м -»- ι>) Λ (ν -*■ и)).
Эти соотношения можно было бы принять за определение
универсальной оценки на атомарных формулах, считая, что V0
состоит только из экстенсиональных функций. Во всяком случае,
эти соотношения (вместе с теоремами из п. 5) освобождают нас
от необходимости пользоваться громоздкими формулами из
определения универсальной оценки.
В дальнейшем, допуская вольность речи, будем называть
универсальную оценку просто оценкой.

§ 2 УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОЦЕНКА И УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПУЧОК 407
3. Взаимоотношения категорий множеств и нечетких
множеств. Категория V обладает тем свойством, что ее морфизмы
отождествляются с ее объектами. А именно, отображения
отождествляются с их графиками. Удобно использовать эту
особенность. В частности, отображение ( ) V определено на морфизмах
категории V, т. е. является функтором в категорию V0. В
последней категории объектами являются нечеткие множества, т. е.
элементы семейства V0, и морфизмами, соответствующими
объектам g и h,— такие объекты / из Va, что
[/ — функция с областью определения g
и областью значений h] = 1,
где внутри оценки написана обычная формула языка ZF,
выражающая то, что сказано словами. Проверка того, что ( )v —
функтор, является тривиальным упражнением.
Следующие два функтора рассматривались в [6], [7]. Если
множество X является подмножеством VQ и, следовательно,
объектом категории V, то обозначим X функцию с областью
определения X, тождественно равную единице из решетки Ω. Ъ
помянутым выше приемом отображение (_) продолжается и на
часть морфизмов категории V. А именно, если ψ —
экстенсиональное отображение вида ψ: X -»- Υ, где X, Y^Va, т. е.
V/eXVgeX([/ = g]< [ψ(/) = ψ(g)]), (31)
то положим ψ равным подчеркиванию графика ψ. Здесь
«графиком ψ» называется не просто множество {<£, ι/)εΧΧ7|ψ(ι) =
= у) (так как (х, уУ не принадлежит Va), а множество
«х, уУ°\<х, ί,>εΧΧ7Λψ(ι) = Λ где
<х,у>а^{{х[,{х,У}}- (32)
Напомним, что в категории V упорядоченная пара (х, уУ
определяется как (х, уУ =^ {{х}, {х, у}}.
Итак, отображение (_) определено для таких объектов из V,
что X ^ Va, и аналогичным образом — для объектов X со
свойством VxeX (ieF") и т. д. и для соответствующих этим
объектам морфизмов.
Получается (частично определенный) функтор (_) из
категории V в категорию V°. При желании его легко продолжить на
всю категорию V, однако практически он используется только
для множеств и отображений указанного вида. Если / s Va, то
положим /^(geF I [g е /] = 1]. Опять-таки тривиально: если
Г/ — функция с областью определения g и областью значений
h] = 1, то /: g -»- h — экстенсиональное отображение. Здесь /
понимается как «множество пар и подмножество gX-h»; вместо

408
ДОПОЛНЕНИЕ
этого можно написать / ^ {<ж, у}\ х <= g Λ У <ξ h/\ [/ (χ) = у] = 1}
Очевидно, что функторы (_) и ( ) сопряжены.
Можно уточнить определение функторов ( ) и ( ).
Например, второй из них определить как/ ^j^eF |[ge/]e/],
где / — фиксированный фильтр на Ω. В этом дополнении функтор
( ) 3 используется только для случая / = Ш.
Автором предложены также следующие (частично
определенные) функторы, см. [20] и (для случая полной булевой алгеб-
ры) [12].
Пусть (Χ, Σ)— равномерное пространство, где X—множество
и Σ — семейство симметричных окружений для X ([42]). Тогда
[<л, Σ> — равномерное пространство ] = 1. Как известно,
произвольное равномерное пространство (Χ, Σ> имеет единственное
пополнение Xt, на котором определено семейство окружений Σι.
Такое Xi явно описывается (термом) в языке ZF (как
множество всех минимальных фильтров Копти в (Χ, Σ>). Его
существование и единственность выводимы в теории множеств ZFC,
формулировка которой приведена, например, в [40], с. 27, и даже
в теории множеств HZFC, которая отличается от ZFC отсутствием
среди аксиом закона исключенного третьего: φ V Π Φ Для всех
формул Φ (см. [56]). По теореме 7 из п. 4 существует такое /
из Va, что
[/ — пополнение <Х, Σ>β] = 1.
Семейство окружений Σ4 явно описывается своей базой,
элементы которой по определению состоят из всех пар
минимальных фильтров Копти в (Χ, Σ>, имеющих какое-то общее
множество порядка σ, где σ пробегает Σ. Точно так же, как и в
случае /, существует g из V0, для которого
[g — указанная выше база окружений для пополнения
равномерного пространства (Χ, Σ> ] = 1.
Положим X^f и Σ ^ g (или (Χ, Σ>~ =^ </, g>a). При этом
[(Л ёУ — полное отделимое равномерное пространство и
пополнение <Х, Σ>'2] = 1, Назовем <Х, Σ>~ Ω -пополнением
равномерного пространства (Χ, Σ>.
Функтор ( ) является функтором из категории равномерных
пространств (с равномерно непрерывными отображениями в
качестве морфизмов) в категорию «полных отделимых
равномерных пространств в V0». Последняя категория описывается
понятным образом (и в дальнейшем мы не будем явно
формулировать такие определения): ее объектами являются такие </, g>a
из Vй, что [/ — полное отделимое равномерное пространство с

5 2 УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОЦЕНКА II УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПУЧОК 409
базой окружений gj = 1. Ее морфизмами из объекта g в объект h
служат такие / из V°, что [/ — равномерно непрерывное
отображение полного отделимого равномерного пространства g в такое
же пространство fej = 1. Если /: X -»- Υ — морфизм «внешней
категории», т. е. в данном случае категории равномерных
пространств, то Ι/: Χ-*-Υ—равномерно непрерывное
отображение ] = 1, и, как и раньше, существует единственное f из Уа,
для которого [/ — продолжение / с X на -YJ = 1.
С помощью функтора X определяется (см. [12], [20])
функтор Ωχ как композиция функторов X—>■ X—>-(Х) , он пмеет
вид V -»- V. Фупкторы Χ π (X) отличаются областью
значений.
В качестве равномерного пространства обычно выступает
топологическая группа (в которой окружения определяются
окрестностями нейтрального элемента) или метрическое пространство
(в котором окружения определяются метрикой). Компактное
топологическое пространство имеет единственную равномерную
структуру, согласованную с его топологией ([42]). Как быть,
если топологическое пространство не допускает равномерную
структуру, согласованную с его топологией? В этом случае
рассмотрим функтор, который топологическому пространству X
сопоставляет множество всех регулярных фильтров в ЗР(X) или
множество всех вполне регулярных фильтров в ЗР (X) и т. д. Для
таких функторов проделаем то же самое, что и для пополнения
топологического пространства по равномерности. Аналогичным
образом можно рассматривать соответствующие фильтры в
наперед фиксированной полной гейтинговой алгебре вместо полной
гейтинговой алгебры такого определенного вида, как топология.
Еще один существенный функтор рассматривается в п. 5.
А именно, если X — пучковое множество, т. е. Х = #"(1) и &~ —
пучок на Ω, то определяется (см. [20]) Зг' из Va, для которого
X = (&"). Это обратный функтор для функтора ( ): V" -»- V.
Определение V° для полной булевой алгебры Ω идейно
предвосхищено в работах Коэна [40] и явным образом приводится
у Вопепки [54]. Определение ί/Ω для случая полной гейтинговой
алгебры Ω было известно специалистам со времени работ
Вопепки. Если булевозпачпып универсум V для некоторых
конкретных и весьма специальных полных булевых алгебр был
необходим для построения моделей коэновского типа и решения
проблем, подобных континуум-проблеме, то было неясно, зачем
нужно произвольное V и тем более произвольное Va, где Ω —
полная гейтингова алгебра. Некоторое применение гейтингово-
значиын универсум V0 находил при построении
интуиционистских моделей теории множеств, т. е. моделей теории HZFC.
В этом случае практически ограничивались одной определенной

410
ДОПОЛНЕНИЕ
Ω, а именно, топологией бэровской прямой, т. е. топологией
топологического пространства Ζ2. Вообще, универсумы V η V°
мыслились как вспомогательное средство для построения
моделей и во всяком случае исключительно в контексте теории
моделей. Возможность использования Vй для получения
содержательных математических результатов была отмечена в работах
Такеути, Любецкого и Гордона в период с 1970 по 1982 годы.
Можно думать, что универсум Уи (включая оценку [ J для
Va) и универсум Va/j, где / — фильтр на Ω (или
соответствующее топосное оформление этих конструкций), окажутся более
удобными мирами, чем канторовский универсум множеств У,
в частности, в связи с вопросами квантовой теории.
Таким образом, в копце п. 2 § 1 и здесь мы очень кратко
коснулись возникновения двух из трех концепций, лежащих в
основе нестандартного анализа: оценок и нечетких множеств.
Второе из этих понятий — определенное развитие понятия пучка;
исторические аспекты понятия пучка содержатся, например,
в [60].
4. Основные свойства категории нечетких множеств. В этом
пункте приведем свойства гейтинговозначного универсума У",
которые наряду с предложением 3 из п. 2 обеспечивают все, что
нужно при работе с У0. Можно было бы забыть явное
определение У" из п. 1 и рассматривать У° как такое расширение У, для
которого определены функторы (_), ( ) и на котором функция
[ ] обладает свойствами (30) и свойствами из следующих
теорем 7—9. В теореме 7 буквы /, g (возможно, с индексами)
обозначают произвольные элементы Уа, а буква Φ — произвольную
формулу в языке ZF.
Теорема 7.
1) Если g^D(f), то /(?)<[ge/]i если /, g
экстенсиональны, то ([f = gj^u)^^(f/\u = g/\u);
2) I7 = /J-l, f/ = g] = [g = /], f/i = /а]Л[/2 = /а]<[/1 = /,];
3) [/ι = /,] Λ [/ι e= /3] < [/2 e= /3], lh = fA Ai/se/xKf/ae/J;
4) [/ = г] Л [<*(/)]< [0(g)];
5) [(3*6=/)(<*(*))]= V (f(g)AW(g)]);
дева)
[(V*e=/)(φ(*))]= Λ (/(g)-40te)]);
gSD(f)
^ ~ [1, если ф(хи ...,xn),
6) [*<*!,...,*„>l-(0jft54U 1φ{Χι,...,Χη),
где хи ..., xn — произвольные элементы иг V и Ф —
ограниченная формула, т. е. формула, в которую любой квантор входит в
виде(3х^и) или (V.re и), а и — свободная или связанная пе-

§ 2. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОЦЕНКА II УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПУЧОК 411
ременная в Ф. (Таким образом, ( )γ — «почти элементарное»
вложение V в V°.)
7) Семейство Vs - пучок, т. е. V {/„} != V°V {иа} <=
sQ(VaVP(uaAu[^i/a = /p])=^3/0eFQ(Vaa/0= /a]>ua)))
и такое /0 единственно с вероятностью V ua-
a
[Семейство Fa является пучком и в смысле определения из
п. 5 § 1, т. е. является множеством глобальных элементов
отображения и ι-* V /~и, где (/ ~„ g) =^· [/ = g} > и и н < ι> =>
=*- Pu([/]») ^ [/]«, которое является пучком в прямом смысле
этого слова.
Если V иа= 1, то соответствующий по свойству 7) семей-
си
ствам Ыа), {fa} элемент /0 обозначим 2Μα/α·]
a
8) а) Выполняется (3\хф (x)j = [Φ (/0)1, где /„
определяется по формуле Ф(х) однозначно с вероятностью, большей или
равной левой части этого равенства.
б) Если Ω содержит плотное подмножество Ω0, состоящее из
компактных элементов, то
{ЗхФ(хЦ = и е= Ω0=^ З/о е= FQ(!> (/)]>«'),
где и —и' ^ и Д ~~| и' = 0, и е Ω.
[Такое и' назовем плотным в и. Элемент и назовем
компактным, если V {ua} = Ω |"u < V иа =ф- (w < wai V ... V Ч)) Для не~
которых «ι, ..., ап; такие и называются еще финитными
элементами [49]. Полную решетку Ω, обладающую вышеуказанным
свойством, принято называть алгебраической (см., например,
упомянутую статью). Плотное подмножество решетки называют еще
базой решетки. Типичный пример алгебраической решетки —
топология стоунова пространства произвольной гейтинговой
алгебры.]
в) Если Ω — алгебраическая решетка, и, кроме того,
соответствующее Ω0 состоит из открыт о-замкнутых элементов, т. е.
и <= Ω0=Φ-α \J ~\ и = 1, то
[ЗхФ(х)} = и е= Ω0 =* 3/0 е= Va({φ (/)] = и).
[Такую решетку называют нульмерной алгебраической
решеткой. Типичный пример такой решетки — топология стоунова
пространства произвольной булевой алгебры.]
9) Если Ω имеет базу, состоящую из открыто-замкнутых
элементов, и существует /0 из VQ, для которого [Ф (/0)J = 1, mo
[V*(0 (*)=>ψ(*))] = Λ {[^(g)J I [0(g)] = 1}.
При том же условии [(/)- = /] = !.

412
ДОПОЛНЕНИЕ
[Полная решетка Ω с этим свойством называется нульмерной.
Множество X, I £ F° назовем пучковым, если
V{ua}sQ/Vwa = l=^V{/a}QXQ'Sua/ajeX).j
10) Для всякого пучкового множества X выполняется (Х)А=Х.
Теорема 8. Пусть /— произвольный элемент из V.
а) Если Φ — позитивная формула, то
Φ χ χ Γ Γ^ίΙ^γ τ / * ] = IV
б) ЕЪш 9s—хориова формула и Ω—нульмерная
алгебраическая решетка, то
[*/,.· ../J = l=*^ ?m.
Теорема 9. а) Если Ω — полная булева алгебра и ZFCh Φ,
то [0] = 1.
б) Если HZFCh Φ, то Γ0]= 1.
!> Утверждения 1)—8а) теоремы 7, за исключением
определения пучка в утверждении 7) в случае, когда Ω—полная
булева алгебра, а также теорема 9 возникли одновременно с
конструкцией булевозначпого универсума в работах [40], [54].
С этими работами можно познакомиться но более современному
изложению в книге [48], с. 57. Получение тех же свойств для
полной гейтииговой алгебры тормозилось отсутствием идеи
рассмотрения полной гейтипговой алгебры вместо полной булевой
алгебры. Технически утверждения 1)—8) легко доказываются
и для случая полной гейтпнговой алгебры. Теоремы 7—9
содержатся, например, в [20]. В контексте изучения моделей
интуиционистских тсорпй теорема 96), по-вндимому, впервые появилась
в работе [56].
Теорема 8 доказывается аналогично теореме 2 а), б)
из § 1. □
5. Вложение произвольного пучка в категорию нечетких
множеств. В этом пункте мы свяжем подход, который излагался в
§ 1, с нынешним подходом и определим оценки из § 1 с
помощью универсальной оценки, иными словами, докажем
универсальность пучка Va. Одновременно мы построим функтор
#"(1)-^^",_где &г — пупок, Г(1)еУ и &" е У°, обратный к
функтору ( ): V° -»- V. Эти результаты получены автором к
работе [20], см. также [23].
Теорема 10. Пусть Ω — произвольная гейтиигова алгебра и
&~ — пучок на ней со значениями в категории С-

§ 2 УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОЦЕНКА И УНПВГРСАЛЬНЫИ ПУЧОК 413
а) Существует явно описываемое по 9~ нечеткое множество
3" (т. е. 3" е VQ), «.принадлежащее категории С», для которого
(ЗГ')^^ЗГ(1). Более того,
¥ией((Г)л»^^(и)),
где g " для любого g из VQ равно
|/eFs|[/eg] = M}K.
б) Если {/„} — функториальный морфизм двух пучков Э~ и
9 на Ω, то [(h)-· ЗГ' -> 9' — морфизм] = 1 и (/Лл = /!. Более
того, Vu(=Q([/u: 9~' -> S" — морфизм] = и),
в) Если If: Τ'-^■'S' — морфизм} = 1, то if'): ST-^S —
функториальный морфизм и [(/)_= /] ^и.
1> а) Знак = указывает на наличие канонического
изоморфизма. Его определение, как и определение слов, взятых в
кавычки, и описание Sf" приводятся ниже.
Обозначим
Π ^ \Р\ Τ -> Ω | Vi e ^Vij e 3~(P (t) <
<EtA(P (t) Л [ί = ίιV < ^ (ίι)))], (33)
где ^~^ U {?"(u)|ueQ}, ί«= ^~ => (ц = Et)^t^T(u) (такое ιι
существует и единственно, см. с. 396). Поскольку мы
отождествляем χ и х, то, в частности, элементы множества $Г
отождествляются с определенными элементами из Va, т. е. 3~
можно рассматривать как подмножество VQ. Поэтому ПсУ°.
Интуитивно Π состоит из всех нечетких подмножеств четкого
(т. е. принадлежащего V) множества ЗГ. Идея определения 3"
состоит в том, чтобы описать элемент t из 3~ через семейство
нечетких подмножеств &~, указав, какому нечеткому
подмножеству Ρ элемент t принадлежит, а какому не принадлежит.
А именно, положим
Λ^Ρ(ί):Π-Ω, /,еГ;
(34)
3T'(ft)^Et: {/,№<=#-}-*-Ω, ГеГ.
Канонический изоморфизм, о котором идет речь (для случая
и = 1) определяется так:
^: t~fu (35)
где ί€=#~(1) и (по теореме 7.1) [/< е= #"'] = 1, т. е. /,е(#-')Л.
Таким образом, = — изоморфизм вида
= : 3~{i)++ 5Г'.

414
ДОПОЛНЕНИЕ
При этом выполняются три важных свойства:
[/, е= 9~'\ = Et,
\th е= Τ'} Λ Г//2 e ^-'j Λ i/fl = /i2] = it, = i2I-r, (36)
и если Ω — нульмерная полная гейтингова алгебра, то
Г{Ще=£-(1)} = ίΓ'] = 1. (36')
Начнем последовательно доказывать эти утверждения.
Сначала заметим, что функция
Pl(t)^{l^t]g-: Τ-^Ω (37)
принадлежит П.
Если t, Φ U и /ч= /ί2, то Л,(Р(1) = К = t1\Sr= Et, = Лг(Л,) =
= [*ι = *г]#- и аналогично £ia = [ij = iojgr- Поэтому tl = t2.
Получаем противоречие. Итак, = — инъективное отображение,
и в дальнейшем мы ипогда не будем различать t и /(, обозначая
оба эти элемента t.
Функции Р, ft и &" экстенсиональны. Для двух первых
функций это проверяется прямо по соотношению (29). Для
третьей функции нужно проверить соотношение Et /\
Λ ■ Λ (^tWWK^i-TaK как Λ^Π, то (Ρt(t)-*-Pt(tJ)-
РзП
= (Et-^-Pt(tt))^ Λ (Ρ (t)*->-P (tL)), и воспользуемся формулой
Реп
Тогда по формуле (30) lit е= &"] = Т' (ft) = Et.
Изоморфизм, о котором говорится в теореме 10,
определяется так:
~u: t-4/t]u, ~„: 9~{и)-+{&-)Ки. (38)
Очевидно, (=ι ) = ( = ). Это отображение инъективно: если
tu t^T{u) и iftl = fh]>u, то /\(P(i,)~P(i2))>u, Р^Д
/\u = P(t2)/\u для всех РеП. Подставим в это тождество^
и получим Et, Д и = [t, = i2Jgr Λ м. Аналогично, [ίχ = ί2]#- Д
Ди = 2?ί2 Д и, т, е. i?^ = Et2 — [ij= i2J^-. Поэтому ίι = ί2.
Принципиальным шагом в доказательстве теоремы 10
является проверка сюръективности отображения =и. Пусть [7 е£Г"] =
=ц, т. е. [/]„(= (^F") ll. По предложению 3 можно считать, что / —
экстенсиональная функция, содержащая в области определения
множество П, Выполняется ц<С[/еП], так как и — \] Et A
— t^!T
Λ [/ = ft} и If ι — Π] = 1. Отсюда выведем, что [/ = / [П]>и.

§ 2. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОЦЕНКА II УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПУЧОК 415
Действительно, в силу аксиомы объемности достаточно
проверить рашюобъемность этих функции: [ge/ \ П] = V f(P) Д
ρ
A{P=g] = V [Ρ е= /] Д [Ρ = g] < [g e= /] (используя экстенсио-
P
нальность /). В другую сторону:
[g е= /J Д u < [g е= /] Д [/ - Π] < [g e= /J Д V [g = />] =
— ρ
Ρ Ρ Ρ
Λ(/ rn)(P) = [ge/ Г Щ.
Аналогично, экстенсиональная фупкция /0 =^= (/ Ϊ П) Д и равно-
объемна с функцией / \ Π с вероятностью ^и. Поэтому
Г/о = /]>"■ При этом [/0er]=V Et Д [/о = /t] < V (Я* Д
t t
A(£t->/o(ii)))<V/o№K«, и, с другой стороны, и<[/ <=
еПЛ[/ = /оК'[/»еГ]. Поэтому [/0е^']=и и
[/]"= [/»]«■ Иными словами, в произвольном классе
эквивалентности имеется элемент /0, для которого f0(P)^u и /)(/„) = П.
Обозпачим
nv{t)^Et /\v. (39)
Ясно, что Η„(ί)ΞΠ, Определим в Π порядок и решеточные
операции поточечно. При этом Π становится полной гейтинговой
алгеброй с единичным элементом Е. Проверим соотношения
/Ы Au = f(E)AvAu, /(^Л^Л^/ЮЛ/ИЛ",
f(VPa)Au= ν/(Λχ)Λ«- (4°)
Тогда для выбранного элемента /0 те же соотношения
выполняются без обрезания на и.
Обозначим Ω все морфизмы полной гейтинговой алгебры
Ωι в полную гейтингову алгебру Ω вида Ωι -»- Ω, т. е. все
отображения этого вида, сохраняющие конечные пересечения и
произвольные объединения и переводящие 0qx в Oq и 1qx в 1q.
Обозначим |Ω 'ju все квазиморфизмы, т. е. все отображения
вида Ω! -»- Ω, обладающие всеми свойствами морфизмов, кроме
последнего свойства, которое заменяется на свойство: Iqj пере-
ходит в и. В частности, ^Ω Jj = Ω . Например, /0 — квази-
морфизм, т. е. /0e(Qn)u.
Выполняется и — У Et Alfo = /t]"> обозначим слагаемое в
t
правой части ut. Любое /( — квазиморфизм, так как /((^ΊΛΡ8) =

416
ДОПОЛНЕНИЕ
= (Pi Α Ρ*) (t) = Pi(t) Λ P>(t) = h(Pi) A ft(P2) и ft^y ρή =
= \/(Pa(t))=\/ft(Pa)Jt(0)=0,ft(E)=Et,T.<}.t^g-(u)^U^(Qn)u·
a a
Вычислим [π„ = Ε} = Λ (π„ (t)<->- #0 = y' TdK как 1 Λ у *-*■ 1 ^ у.
<
Теперь мы готовы проверить формулу из (40): /ο(π»)ΛΜ = [л«е
s/o] Λ" и f/o = /tJA/o(n»X[iiBe/t) = /t(ne) =nv(t) = Et f\
Av = ft(E)hv = [Ee=ft] h[nv = E\ A [/„ = /,]<[£e/,JA
Л[п,= £], иД/оЫ<|£е /0] Λ [я„= £]; с другой стороны,
/о (πΐ) Ξ** [л« е /о] Ξ5* [■£■ <Ξ /0] Λ [it„ = £], π в левой части можно
добавить сомножитель и, так как {Е е /0] = /0 (i?) <С и. Итак,
fo(nv) Au = fo(E) Λ у Λ и- Пользуясь тем, что левые и правые
части этой и проверяемой формул равны, получаем требуемое
равенство. Проверим вторую формулу из (40): ut А \Р\ А ^2е
е /о] < ΓΛ Λ Ρ г е /<] = /, (ΛΛ ^) = ίΛ е ftj MP^ft] А «*<
<ΜίΛ ГЛе/0]Л[Ле/0], αίΛϊ^ι^/οΙΛ [Л е/0К«( Л
Л ft (Pi А Рг)<utA [Pi Л Л ^ /0). Поэтому щ А /о(Л Л PJ =
= и* Л /о (Л) Л /о (Л), и Л /о (Л Л ^) = и А /о (Л) Л /о (Л),
/о(Л Л Л) =/0(^1) Л fo(P2), и сравним эту формулу с
проверяемой. Точно так же проверяется третья формула.
Положим
g(t)^f0(Pt): 5Γ-^Ω. (41)
Такая функция g(t)— сингле тон, т. е. для нее выполняется
соотношение
g^UA(g(t)Ae(ti)<lt = t1jTl
которое можно переписать в виде (#(0 Л \t = iilgr ^ g(ti))A
A(g(t) Ae(tiX(t = t1]ir). Обозначим v^(t = t1}rr. Тогда
g (t) A It = ί,V = /0 (Pt) Alt = tjr л /о (Ε) = /0 (Ρ*) Л /о Ы =
= /»№Λη»Κ/»(Μ=ί(ί1). так как Р,<£ и (Р4Д «»)(*) =
= Л(0 Л"»(0 = [^ = ί]^-Λ ^ Λ "<[ί = ίι 1^ = ^,(0, т. е,
Pt Α πν^Ρίλ, и /о(·)—монотонная функция. Проверим второе
свойство в определении синглетопа: g(t) A g(ti) = fo(Pt) A
Λ/.(Μ=/.(ί(ΛΜ</ο(«.) = /ο(£)ΛΚ». таккак/„(·)
монотонна и (Λ ΛΑ) (Ζ> = Г1 = *Ь" A U = tjy < I* = гЛт А
A El = ν А Е1 = π» (0, т. е. /\ Д Ptx < π„.
Лемма 1. Предпучок ST на Ω является пучком в том и
только в том случае, если для любого синглетона g(t): &~ -»- Ω
найдется tg из ST, для которого
4t<=&(g(t) = {t = te\a-**Ple(t)). (42)
Согласно этой лемме найдется ttl для которого выполняется
соотношение (42). Тогда /0 и /< совпадают на всех синглетонах,

§ 2. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОЦЕНКА И УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПУЧОК 417
так как синглетон имеет вид Pt ( ) и ftg (Pt) = {t = tg}@- =
— g(t) — fo(Pt), и по формуле (40) для любого семейства син-
глетонов ga /0 ( V go) = V /о (ga) = V ftg (go) = Λ* ί V go).
Следующая лемма по существу завершает доказательство
сюръективности отображения =и.
Лемма 2. В полной гейтинговой алгебре множество всех
синглетонов плотно.
Осталось проверить, что tg^&~(u), т. е. Etg — u. Действитель-
по,Et8 = ftg(E)=[Ee=flg\^\/lEe= ft]A[ftg= ft] = У [EtA[ftg=
= /*] |i] = [/<ge^"j = [/0e^'] = u π Etg = [tg=tg]<r =
=/α^)=/ο(^)<"·
Итак, igi-»[/]u» ^~(и) и (^~') Ли биективны посредством
указанного отображения =и. Проверим вторую формулу из (36):
\1h = ftj = Λ (Ρ(^)**Ρ(ί2))> [ί1= iaV, так как Ρ(ί,) Λ[ίι =
= *г1у" = ^ (*г) Λ [*ι = Уй^ Ит учитывая неравенство 2?ίι Λ
Д Et2^ [tL = t^lg-, получаем требуемое соответствие в
одну сторону. Наоборот, Et, Д Et2 Д {Pt^h^Pt^U)) Д (Ph(h)-*
Итак, например, =ι — изоморфизм структур: <#~(1), [ = ]gr)
и <#"', [ = ]>, что и означает универсальность пучка Va.
Обозначим T1^{fh\k^T(i)}. Очевидно (и часто используется),
что
<Γί = &', (43)
т. е. с точки зрения изоморфизма =t объекты Эг' и #~ι
взаимозаменяемы. Формула (36') вытекает из утверждения 9)
теоремы 7.
Осталось проверить, что биекция = ι (и аналогичным образом
любое =и) сохраняет операции и отношения, имеющиеся в
объектах категории С. В общем виде можно было бы описать язык,
на котором выражаются такие операции и отношения и их
свойства, и затем проверять это утверждение. Однако мы
ограничимся случаем реально полезных категорий групп, модулей, алгебр,
модульных решеток и т. п., учитывая, что эта проверка
происходит совершенно аналогично для всех категорий.
Пусть SF — пучок со значениями в категории алгебр на
пучках колец 'S. Тогда ^"(1)—кольцо, и «операции в #V>
определяются следующим образом:

418
ДОПОЛНЕНИЕ
Легко проверить, что [( + ) —график функции (и в этом
смысле—функция) вида {$~ιΥ -»-#~ί] = 1. Аналогичным образом
определяются и операции на &г', а именно
(/<! + /i2) ^ fll f (Et1/\Et2) + t2 t (EI^Et^i
и подчеркиванием + переносится на все Эг'. Точно так же
определяется операция · и умножение на скаляр из 'S'. Оценки
аксиом кольца (группы, модуля и т. д.) легко вычисляются и
равны 1. После этого очевидно, что
К + К = К ^ Цч + h2 = fh3\ = i, k, < k, ^ iff<l < fhj = ι,
(45)
k-x = y*=> lh-fx = fy\ = 1, ...
Утверждения б), в) теоремы 10 проверяются
непосредственным вычислением. □
Следствие 1. Если множество К представимо в виде К =
= К\ где Я'еУ и с вероятностью 1 элемент К' непуст и
принадлежит категории С, то К является значением пучка &~ на Ω,
на К индуцируется структура объекта К' и выполняются
аксиомы, характеризующие структуру объектов из С, т. е. аксиомы
группы, кольца, модуля, модульной решетки и т. д.
t> Действительно, ST{и)^(К')^и 1~и и операции в К
определяются по формулам (45). Если Ω — вполне несвязная полная
гейтингова алгебра, то [ST' -^.К'] = 1. □
Теорема 10 вместе с этим следствием объясняет понимание
нестандартного анализа как оценок и пучков на гейтинговых
алгебрах. Множество Π и понятие сииглетона определены в [49],
там же, по существу, содержатся леммы 1 и 2.
Следствие 2. Для предикатов Φ к и {1С (= Φ ] = 1
выполняются утверждения, содержащиеся в теоремах 2—5 (и
таблицах 1, 2).
Формула (39) определяет по переменной и, пробегающей
полную гейтингову алгебру, морфизм вида ят: Ω -»- П. Назовем
сечением структуры <П, £Г, π> все морфизмы вида /: Π -*- £Г, для
которых νυ е £Г(/ ° лс„) = ν) (соответственно сечением над и,
если Vu e Ω(/° л(с)'= ν A(f(v)^u))). Множества всех сечений
обозначим C(il, 3~, π) (соответственно С(П, и, я)).
Следствие 3. Выполняется Vu^ Q(&~(u) = С (Π, и, π)).
> Этот канонический морфизм определяется формулой (35),
т. е. f-»/,, где t^ST(u) и f,^P(t): Π ->- и. □
Такое представление ^(и) соответствует реализации пучка
с помощью сечений.
6. Представление кольца и модуля нечеткими простым
кольцом и векторным пространством. Вопрос о том, когда выполнено
условие теоремы 10, т. е. когда объект К из категории С пред-

§ 2 УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОЦЕНКА II УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПУЧОК 419
ставим пучком в виде К = &~Q(l), где &~—пучок на Ω
(особенно в том случае, если мы хотим наложить определенные
условия на Ω,— например, потребовать, чтобы Ω была полной
булевой алгеброй), требует специального исследования.
Например, любое (ассоциативное, с единицей) кольцо К
представимо таким образом на топологии вполне несвязного
компакта. Представление кольца К пучком иа некоторой полной
булевой алгебре предполагает определенные условия на К,
которые были указаны в теореме 4.
В работе [20] этот вопрос решен также для категории
модулей. Приведем соответствующую теорему.
Теорема 11. Пусть *5—пучок колец над какой-то полной
булевой алгеброй В и К = ί?(1).
а) Произвольный {правый) К-модулъ 93 имеет вид 93'', где
93' е VB и 93' — модуль над К', в том и только в том случае,
если
V {иа} ( l цв = 1 => V W = £?Э! χ е= 93Ча(хаиа = хиа)). (46)
Здесь {uj — дизъюнктное семейство и и из β отождествляется
со скаляром и центральным идемпотентом е=%=и-1+ ~] u-Оиз К.
При этом В отождествляется с правильной полной подалгеброй
в lac К. Вместо 'S' будем писать К'.
б) Если кольцо К нормально, то рациональная полнота
модуля 93 влечет условие (46).
в) Если К — рационально полное бирегулярное В-колъцо и
'S — его канонический предпучок, то условие (46) эквивалентно
рациональной полноте модуля 93.
Напомним, что рационально полным называется модуль, в
котором для любого плотного идеала а в К и любого Φ из
Ногак(а, 86) найдется элемент х0 из 93, для которого V/ce
е а(Ф(к) = х0к) (см. [58], с. 142), и для любого плотного
идеала α в кольце К и любого χ из 93 выполняется
ха = 0=>х = 0. (47)
Обычпо а пробегает даже более широкое множество всех правых
идеалов.
t> а) Если 93 имеет вид 93 = 93', то в качестве χ из условия
(46) выберем элемент (единственный с вероятностью 1) из 93'
вида 2 ца#а· Наоборот, пусть 93 удовлетворяет условию (46).
α
Тогда положим
!>! = х2~\д- *=? V {и<=В\х1и = х2и}. (48)
Эта оценка обладает свойствами
[х = у] = [у = х], [* = ?] Λ [? = *]<[*=*] (49)

420
ДОПОЛНЕНИЕ
и индуцирует пучок SF на В, представляющий 83. (Любой
пучок на полной булевой алгебре является вялым.) А именно,
&~(и)^ 83/~и и рЧ([х]и)^ [χ]ώ· В силу теоремы 10 искомым
SB' будет 9".
б) Проверим, что условие (46) вытекает из условия (47).
Будем рассуждать аналогично доказательству теоремы 4. Если
1= U еа, то положим а±?феаК. Такое а — плотный идеал и
α а.
прямая сумма. Положим Φ (elti © ... © entn)^ a;1e1i1 © ... © xaentn.
Это К-линейная функция вида ак -*■ 83. Ввиду инъективности SB
найдется х0 из 83, для которого Viea(/(i) = j0t).
Следовательно, х0еа = /(еа) = .гаеа, т. е. [ж0 = жа] Ξ^ еа для всех а.
Проверим единственность (отделимость): пусть 1 = V еа и хеа^=0
а
для всех а. Опять-таки образуем а *=?■ Θ еа. В силу условия пор-
а
мальности вышеуказанное а является плотным идеалом. Так как
ха = 0, то согласно условию χ = 0.
в) Согласно условию и теореме 4в) выполняется [К' —
квазипростое кольцо J = 1. В силу уже доказанного утверждения а)
этой теоремы и в силу условия (46) выполняется [S3'— модуль
над Κ'] — ί. Нужно получить условие (47). Сначала проверим
инъективность 83. Если а — идеал в К, то (а — идеал в К'} = 1.
Поэтому [а = 0] V (а = К'] = 1, т. е. [а = Ж'] = V [* = 1]. Ис-
пользуя экстенсиональность функции Ф: а -*■ К, положим х0 *=р
=%= [а = 0] -0 + ~Σι [к = ί] Φ (к). Тогда для любого t из а выполня-
ется [φί = х0 t] = i, и поэтому в силу отделимости Φ (i) = x0t.
Если а — плотный правый идеал, то \а — плотный правый
идеал ] = 1. Поэтому {а =К'\ — 1. Если х-а = 0, то [х-а = 0] =
= 1 и [х = 0] = 1, χ =~0. Π
Следствие. Пусть 83 — произвольный {правый) модуль
над кольцом К. Кольцо К представило в виде К = &~(1), где
&~ — пучок на полной булевой алгебре В, и модуль 83к имеет
вид 83', где 83' е VB и [S3'— векторное пространство над телом
[полем) К'1 = 1, (и, следовательно, 8В пучковое) в том и
только в том случае, когда К — рационально полное абелево В-колъ-
цо и выполнено условие (47).
Теорема 12. Пусть G — канонический пучок кольца К и
Ω—топология стоунова пространства Idc/C
а) Произвольный (правый) К-модулъ 83 имеет вид 83', где
83'^Vau 183' —модуль над Ж'] =■ 1. _
б) Произвольный (правый) К-модулъ 83 имеет вид 83', где
SB' e Va и [83' — векторное пространство над телом (полем)
К'1 = 1, в том и только в том случае, когда К — абелево
регулярное (коммутативное регулярное) кольцо.

§ 2 УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОЦЕНКА II УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПУЧОК 421
t> Для SS рассматриваем канонический предпучок (из п. 7
§ 1), который является U" пучком и в силу теоремы 3
продолжается на Ω, и затем применяем теорему 10. Для доказательства
утверждения б) применяем теорему 2. □
Эти теоремы в качестве следствия немедленно дают
эквивалентность хорновых и ΛΕ-хорновых теории, как об этом
говорится в теореме 6.
7. Теоремы переноса для нечеткого пополнения равномерного
пространства. Пусть Ω π Ω, — две полные гейтипговы алгебры.
Обозначим Ω множество всех морфизмов одной из них Ωι в
другую Ω (морфизмы рассматриваются относительно структуры
в полной гейтинговой алгебре вида < \Л Л>0, 1». В частности,
если Υ — произвольное топологическое пространство и 3~ — его
топология, то можно рассмотреть множество Ω (здесь Ω! = &~)·
если в Υ определены алгебраические операции, то они естествен-
но поднимаются в множество Ω . А именно, если p,q^Q ,
то положим
(р + ?) (О) ^У{р (О,) л ч (02) \o1 + o2<= О},
(pq)(0)^\/{p(01)Aq (02) | 0Х. 0а £Ξ 0}.
Тривиально проверяется, что если Υ — топологическая группа,
д-
кольцо, модуль над кольцом К, алгебра, то Ω — соответственно
топологическая группа, кольцо, модуль над кольцом Ω (где
ζΓк — топология в К), алгебра.
Аналогично, предикаты в Υ, например, предикат порядка ^
и Υ, поднимаются в Ω πο формуле
(Pi < А) - ( V А (") Λ Рг Щ = 1.
Далее, равномерно непрерывная функция /: F-*-j? подни-
мается до функции вида Д: Ω -*-Ω , где f1(p) = q и q(u)±=?
^ V {Ρ (ν) Ι / (ν) Ξ и}. Кроме того, положим
iP = g]= A{p(0)^q(0)\0^sr},
где (и+->-υ) ^ (и-+ν) /\(v-+u).
Легко проверить, что структура <Ω , [ = ]> является Ω-
множеством.
Τ
Конечно, структура в Ω гораздо сложнее одноименной
структуры в Υ; однако мы увидим, что многие свойства Υ пе-
реносятся на Ω , а структура в Ω совпадает с рядом
классических структур при различном выборе Ω и Υ. Приведенные
определения и последующие утверждения получены автором для

422
ДОПОЛНЕНИЕ
случая полной гейтинговой алгебры Ω в работе [20], а для
случая полной булевой алгебры Ω в работе [12].
Теорема 13. Пусть Υ — равномерное пространство, полное
со счетной базой окружений или равномерно локально
компактное. Тогда Ω-множества Ω и (У) (последний функтор
вычисляется в V°) изоморфны по формуле: если то
£Г>-* р, где ρ(0)±?{0 (= &~]. Кроме того, Ω-множество Ω^~
является пучковым и этот изоморфизм сохраняет алгебраические
операции и отношения, свойства абсолютной величины и нормы
(в Ϋ они по определению поднимаются с Υ).
t> Пусть \ST ef] = l. Проверим, что соответствующее ρ при-
надлежит Ω . Прежде всего отметим следующее.
1) Р(Ф) = [0е#"] = 0, так как Φ пусто, (φ ψ #Т= 1 и ^;ля
любого σεΣ выполняется V {Р (м) I "2 —J5} = [Зи е Τ (и2 ^ σ'Λ
Λ и е=#~)] = 1, поскольку [Vo<=2 Зи <=^ (в'до Λ " ^ #")] = 1·
2) р(и Π у) = [(и П ")V е= £"] = fu П « е= £"] =
= [ие^]Л[уе^-]-р(и)ЛР(у).
3) Ясно (притом интуиционистски), что ίσ(ιι) |ιι е ^~ Д ое
е Σ} — база некоторого фильтра Коши, содержащегося в &~,
и так как &~ — минимальный фильтр Коши, то это база именно
ЗГ. Поэтому [0еГ^Зое23ие^(иеГ /\а(и)^б)] — 1,
и, следовательно Р(0) = V {Р (") Ι σ (и) Ξ О, а е Σ, и (= £7"}.
Лемма. Если Υ—полное метрическое пространство (т. е. Υ
полное со счетной базой окружений) или Υ—равномерно
локально компактное пространство, то предыдущие условия 1) — 3)
влекут свойство полной аддитивности:
U Ξ V Ua =>- ρ (и)< V Ρ (Ua)·
а а
Последнее условие, конечно, можно заменить на
и = \/иа^р(и)= V Ρ(u„).
W
Из леммы сразу вытекает, что рей . Отображение &~ <-+ ρ
инъективно. Если &Ί Φ &~2 и соответствующие р1 и рг равны, то
[ц е= 5^] = [ц е= 5*~2] для всех иеГ, [Vu_e ^"(ие^^
44ие5Г2)] = 1,[5Г1П#-==5Г2П^] = 1,но 5ГП^— база в 5Г, так
как \а(и)\и<= &~/\ ае Σ]— база в £Г. Поэтому ЗГ1 = &'г, т. е.
получим противоречие. Это отображение сюрьективно. Если
рейГ, то положим &~(и) ^ ρ (и), 3)(&~)= {ιι In е= ^~}. Тогда
[5Г^^]^1 и Гие5П_у{р(у)ЛГу = и]|уе0(£-)}=р(ы).
Кроме того, [#~— база фильтра Коши] = 1, так как [Vue^Vi^e

§ 2 УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОЦЕНКА II УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПУЧОК 423
e=S-(uf>e=S-)]= Λ (p(u)Ap(v)-+p(u{)v)) = l,[te=&] =
= р(ф)=0, [ЭцеГ]= V p(u) = l,[Voe=Z3ue=£-(ua = o)] =
= Λ V {Ρ (w) I "2 — σ, и <Ξ^""} = 1. Более того, #~ — база мини-
σ
мального фильтра Коши (соответствующий фильтр обозначим
#"'). Действительно, ίσ(ιι) \и е £Г Д σ е 2} — база в #", так
как [Vu ef (ие^^Эое 23t' е= Τ (ν е= 5Г Д σ (ν) f= u))] =
= Λ (p(u)— V V (ρΜΛ[Φ)£ί]) = Λ(Ρ(»)->- V ρΜ)=ι,
и вместе с тем, если &~ί — фильтр Коши и &~ί ξ ^~, то для
любых и е #"; α^Σ найдется у е ^~i порядка σ и с вероятностью
[ц = и'] Д [у = у'] получаем a' (I v' eJ, т. е. а'П у' непусто,
и поэтому ΐ)'εο(ϋ'), v^a(u), т. е. (σ(α) |и е^~ Д σ е 2}
содержится в &Ί; следовательно, &~Ξ STU SFl = ST. Отметим, что
[ue^-'] = [3oef3ue^c(i;e^"Ao('')Eu)]= V p(y)=p(u)=[ue=
a(i>)Cu
В дальнейшем мы будем различать ^~е(у)ли
соответствующие ему р. Проверим, что соответствие ^~ ■*->- ρ является
изоморфизмом. Прежде всего [#Ί =^2] = ί#Ί Π ^=^"2 Π ^Ί =
= V (Pi (w) -«-" ρ2 (ц))· Далее [#Ί#*2 = ^~з] = 1 эквивалентно
[Уие^"(ие5Г3^^Зу1е^Зу2е^'(г;1е5Г1Л^е5Г2Д^1.г;2^ц))] =
= 1, т.е. Vu (= ST(pA(u) = V Ριί^ι) Λ P2 (ν2)). Аналогично,
Г#~!<#"а] =1 эквивалентно [ЗиеГЭуе^^е^ Д уе^Д
Ли=у)] = 1, т.е. V Pi И Л Ра И = 1-
Теперь проверим лемму. Выполняется ρ (u) <; V {ρ (σ (я)) | ж е
f=a(u)}, так как V {ρ(σ(#)) # е ^} = 1, Ρ (и) = V {р (и) Д
Л Ρ(σ(#)) 1# еД но если ж^о(м), то ufla(.z)=0. Пусть
ο»ξβ. Тогда Р(у)< V {Р(а(х))\х <=о(у)}·, если а;еа(у), то
о2(х) ^ σ2 (ν) я= и, т. е. ρ (г;) < V {р(0(ж)) |σ3 (ж) ^"} π р{и) =
= V {Ρ (ν) | σ (у) <= и} < V {Ρ (σ (*)) | σ2 (χ) ς= и}.
С другой стороны, σ2(.τ)Ξ и =>■ р(о(х))<р(и), и,
следовательно, р(и)= у {р (а (х)) | σ2 (ж) Ξ и}.
Пусть Υ — полное метрическое пространство и {σ„} — его база
окружений, состоящая из множеств, радиусы которых стремятся
к нулю. Допустим w= [J иа и р(и)^. V Р{иа)· По доказанному
α а
ρ {и) = V (Ρ (σι (а-)) | ог(.г) Ξ и}. Поэтому 3·^ι(σ? {х^и Л Ρ К {χχ))^.

424
ДОПОЛНЕНИЕ
^ V p(Ua)))· Аналогично выберем точку х2, для которой
а
at (^2) — σι (^ι) и Ρ (σ2 (хг)) ^ V Ρ ("«)· Продолжая, получим по-
α
следовательность us ΰι(χι)^ σ2(χ2)— .· · Ее пересечение
содержит некоторую точку х0 и х0 е и. Тогда х0 е ца при некотором а,
и так как иа открыто, то Э°т0 (°т0(·*^) — иа), и, начиная с
некоторого т, имеем ση(.τ„) ξ оП()(х0). Поэтому ρ(σ„(^„))<ρ(ααχ
^V p(ua), что противоречит выбору а„(а;„).
α
Теперь пусть Υ — равномерно локальное компактное
пространство. Сначала проверим свойство
P(u)= V \p(v)\v^u, υ — компакт),
а
где ν—замыкание v. Пусть σ0 — окружение, для которого о0(х)
относительно компактно для всех χ^Υ. В свойстве 3) базу
окружений Σ можно заменить на любую другую базу, в
частности, на базу Σ Л σ0. Пусть α(υ)εΐί, Найдется си для которого
а\(у) ^и; тогда ρ(ν)^\/ {ρ(σ1(χ))\χ^α1(ν)}, но χ^σ^ν)^
=** d(x)^u и ΰι(χ) относительно компактно, т. е. ρ(ν)^
<\/ \p(al(x))\a1(x)^u] ^\/ \p (w) | w — компакт, w ^ и}.
Теперь все вытекает из формулы полной аддитивности для
относительно компактного и.
Последнее свойство проверим сначала для случая двух
слагаемых, т. е. проверим, что p(uU и)=р(и)\/ р(и). Если w^uUv,
то w — компакт. Для любого x^w существует такое сх, что
(ol(x) ^и) V {о1(х) ^ ν). Из этих ах(х) выберем конечное
покрытие Ox^Xj), . .. ,оХп{х„) компакта w и положим σ = οΧχ Π · · ·
... Π σ%. Тогда i/eaji), x^w влечет, что ι/<= ajj (x,), т. е.
ЭоУжегг; (σ(,τ)Ξ и V σ(χ)^ υ). Положим σί ^ σ, wf = {jew]
а(х)^и), w2 = {χ*Ξΐν]σ(χ)^ν}. Тогда w = №f U w2l c(Wi)^u,
c(w2)c=v, o](w,)E!i, ai(w2)^v, a1(w) = al(wl)Uai(w2),
p(w)<V {p(ai(x))\x^a1(w)} = V ip(al(x))\x^al(w1)}\/
V V (ίΙα,ΜΙΙιευ,ίΐί^ίίιιΐν^ΐ))}.
Наконец, если и относительно компактно, и ^ {] иа и w £=и,
а
то ш — компакт, w^uaiU ··· U "αη, P(^)<P(Maj) V· · ·
... Vp(Wan)< V P(Ua). n
Теорема 14. Пусть Ω—алгебраическая нульмерная
полная гейтингова алгебра и Υ — равномерное пространство из
предыдущей теоремы. Кроме того, предположим, что Υ
описывается термом, т. е. Y = clY0u Yo = {y]0(y)}, где Ф — любая
формула языка ZF и терм cl означает пополнение равномерного

§ 3 НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА 425
пространства У0. Также предположим абсолютность формулы Ф,
т. е. Vg([geF0] = [φ (g)]). (Всем этим условиям на У,
например, удовлетворяет любое недискретное локально компактное
тело.)
Если ty—хорнова формула и ΩΗ-ψΓ, то (ψ)η^-· (^το зна"
чит, что выводимое хорпово свойство пространства У
переносится на пространство
t> По УСЛОВИЮ Ω)—l|)ci(y|«5(y)}. ПОЭТОМУ 1 = [фс1(2/|(й(!/)>] =
= Ι'Ψοιυ: IHN'r]· По теореме 86) получаем (У„)Л Η ψ, т. е. Ω h=
h= ψ. Здесь Ω h- означает интуиционистскую или классическую
выводимость в зависимости от того, является ли Ω гейтинговой
или булевой алгеброй. Π
§ 3. Некоторые применения нестандартного анализа
Применения развитого выше метода в случае теории колец
видны из таблиц 1, 2 в § 1 и теорем 2, 4, 6. Как отмечалось
в § 1, аналогичные таблицы и утверждения можно построить
для моноидов, групп и алгебр. Конкретные результаты,
полученные на этом пути, содержатся, например, в работах [28], [32].
Сейчас коснемся приложений, относящихся к другим
структурам. Прежде всего приведем теорему, показывающую класси-
т~
ческий характер структуры Ω . Для каждой из получающихся
таким образом структур применима теорема 14. Прообразом этой
теоремы является следующее очевидное замечание:
если Ω = ίΓ(Χ) и 3~ — топология полного регулярного прост-
ранства У, то Ω есть алгебра С(Х, У) непрерывных функций.
Действительно, каждому ре Ω сопоставим /Р: X -»- У,
jp{x)z^\imp~i{3~x), где £ГХ—семейство всех открытых
окрестностей точки х. Здесь P~i{3~x)—база фильтра Коши, так как
U o(j/) = y,U p(a(y)) = X, х^р(а(у)), c(y)^p-l(STx).
ye у !/
Теорема 15. а) Если Ω—произвольная полная булева
алгебра и У—поле вещественных чисел, то Ω' —расширенное
К-пространство с базой Ω.
б) Если Ω — нормированная полная булева алгебра (т. е. ле-
бегова алгебра пространства с мерой), то Ω есть алгебра
L(Y', К) всех измеримых функций.
в) Если Ω—произвольная полная булева алгебра и
У—полное метрическое или локально компактное пространство, то Ω
есть алгебра С (S, У) всех непрерывных функций на стоунов-
ском пространстве S алгебры Ω, определенных на открытых
плотных подмножествах S, со значениями в Υ (с точностью до
совпадения на открытом плотном множестве).

426
ДОПОЛНЕНИЕ
г) Если Ω—произвольная полная гейтипгова алгебра и Υ —
компактное пространство, то Ω есть алгебра C(S, У) всех
непрерывных функций.
Утверждение а) доказано в работе [8], остальные
утверждения получены в [13], [17], [20].
> в), г) Пусть /)εΩ . Если s — простой идеал в Ω, т. е.
se »S, то положим
fP(s)^limp-l(Q-s).
Обозначим Sp множество тех seS, для которых ^~'(Ω — s)
является базой фильтра Коши. Тогда fP: Sp->-У, так как Υ —
полное пространство. Проверим непрерывность функции fP и
даже ее равномерную непрерывность в равномерных структурах
квазикомпакта S и любой отделимой компактификации Y*
пространства Y. (Если Υ — компакт, то Υ* = Υ.) Множества
η
и и1 образуют базу окружений в Υ (где ~ — оператор замыка-
1=1
η η
ния и U Ui = Y). Поэтому [J p(ui) = S. По окружепию {и^
1 = 1 1 = 1
образуем окружение {р(щ)} в S. Если sf, s2 ^(р(щ) Л Sp), то
щg ρ-1 (Ω - Si), ρ-1 (Ω - s2), τ. e. /„(s,), fP(s2)(= ut,<fP (si), /P(s2)>e
n _ ~n
e U «i = U "I
i=l i=l
Проверим, что Sp — плотное множество. Пусть Υ — полное
пространство со счетной базой окружений, элементы которой мы
будем обозпачать σ. Образуем плотные множества Sa =
= U {Р(и)\и2 — °Ь так как V 0>(") \и2^а} = 1. Если Ω —
полная булева алгебра, то S отделимо, |] S„—плотное множество
(фактически используется, что S бэровское) и Sp ^ ( | Sa, так
σ
как если sg || Sa, то для любого σ выполняется seS,, se
σ
^р(и), где и2 ξ σ, p(u)<£s, u^p~1(Q — s). Если У локально
компактно, то объединение открытых относительно компактных
множеств и дает У. Поэтому U {р(м)} плотно в S и Sp 3
Э U {^(м)}. Действительно, если se U {^(м)}, то s^p(u),
ρ~'(Ω — s) содержит относительно компактное множество и.
Последнее утверждение влечет, что ^_1(Ω — s)—база фильтра
Коши, так как для любого σ существуют точки хи ..., ж„ е ц, для
_ η Ι η \
которых и <U о(ж{), ρ (ι ι) ^ ρ [{] о(ж{) , D^ef'fQ-s)
i=l \ i=l /
и σ(^ί) имеет порядок ог.

§ 3 НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА 427
Продолжим fp на замыкание Sp и затем сузим на открытое
множество, являющееся прообразом У. В результате /„
определено на открытом плотном множестве. (Если исходное /„ имеет
относительно компактный образ в У, то результирующее /„
определено на всем S.)
Отображение ρ ·-> /р из Ω в С (SB, У) или C(Sa, Y) (если
Υ—компакт) инъективно. Действительно, если p^q, то
найдется такое u^2TYl что p(u)^q{u). Поэтому найдется и
такое ν, что v^u и p(v)<q(u). Пусть s*=(p(v)—q(u))i]D(fp)()
nZ)(/,). В утверждении в) множество p(v)~ q(u) открыто и
используется бэровость S. В утверждении г) D(fp) = D(f4) = S.
Тогда fp(s)^v и se"|5(w). Если /„(«) = /<?(«), то /,(«)еи,
g(ii)eQ-s, s^q(u),— получаем противоречие. (Если Ω —
полная гейтингова алгебра и Υ локально компактно, то получаем
только сюръективное отображение Р^* /Р)
Проверим сюръективность отображения ρ <-*■ fp. Если / ^
eC"(»S, У), то положим pf(u)= /"'(&), где ие£Гу. Здесь и
далее черта означает sup семейства открыто-компактных множеств,
содержащихся в открытом множестве О. Ясно, что Ρ/εΩ
В утверждении в) нужно еще убедиться, что SPf^D(f): если
s^D(f), то база фильтра pj1^ — s) = \u\f~1 (u)(£s\ = (u|s(=
^/ (и)] сходится к /(«), т. е. является базой фильтра Коши.
Покажем, что fPf и / совпадают на D(f) и, следовательно,
совпадают как классы эквивалентности. Для этого достаточно
проверить, что для всякого σ найдется такое 61ξ(Ω — s), что
pj (b1)^a(f(s))^=pu. Действительно, в силу непрерывности /
в D(f) найдется такая окрестность Ъ точки s, что f(b)^u.
Поэтому
b,^ Pf(u)^b^(Q-s), Ь.еф-*). Π
ST
Связь Ω и соответствующей алгебры функций самая
тесная. Например, \р~ </]= is]fp(s) = /,(«)}, а также, если X—
метрическое пространство и II — расстояние до фиксированной
точки в X, то
inf (λ е= К 1 [| ρ|< λ] = 1] = sup{| fp (s)11 s e= £>(/p)}.
Замечание. Условие на пространство У в теореме 15 г)
часто бывает излишне сильным. Если в У всякое ограниченное
множество относительно компактно, то любая непрерывная
функция /: S -»- У точно так же отождествляется с некоторым огра-
ничепным в смысле предыдущей нормы ρ е Ω . Если ^
ограничено к том же смысле, то образ /„ ограничен и, следовательно,
/„ — непрерывная функция на S. Поэтому C(S, У) соответствует
множеству ограниченных элементов в Ω .

428
ДОПОЛНЕНИЕ
Предложение. Пусть У — линеал, £Г — его порядковая
топология и У"—пополнение Υ сечениями (в V°). Тогда Y' есть
алгебра Ωχ .
t> Если [t е Г'] = 1, то определим ρ следующим образом.
Если уи ϊ/2<ξ У, тор((г/!,г/0Л ··· АЬп, Уп)) ^ [ί/ι< t < y[\f\ - ·.
• · · Л IX ί < ν'η\· Если и = (J (г/„, г/ά), то p(u)^\Jρ {{уа,
а. а
Уа))· Ώ
Отметим очевидное и весьма частное
Следствие. Если X—вполне несвязный компакт, то в
алгебре С(Х,С) любое алгебраическое уравнение (со старшим
коэффициентом 1) имеет решение, а в случае алгебры С (X, R)
любое такое же алгебраическое уравнение нечетной степени
имеет решение.
> Алгебраическая замкпутость записывается АЕ-хорновой
формулой, а упомянутые алгебры соответствуют полям
комплексных и вещественных чисел, для которых эти утверждения
выполняются. При этом легко описывается структура множества
решений. Π
Следующие несколько теорем относятся к булеву случаю и
получены в работах [13], [15]. В этих работах содержатся и
другие результаты того же сорта.
Все эти теоремы имеют такой характер: более сложному
объекту Τ (морфизму определенного вида) сопоставляется один
определенный объект Т' (более простои морфизм) таким
образом, что хорновы свойства Т' переносятся на Т.
В ближайшей теореме 16 нам потребуются некоторые
обозначения. Пусть S6 — слабо полное банахово пространство ж В —
полная булева алгебра проекторов в нем. Рассмотрим алгебру
Вс , состоящую из всех морфизмов из В с компактным
носителем, где 9~ — топология в поле С Для любого морфизма
ре В легко ^определяется ΰ-значная мера на С, которую
обозпачим также р, а именно, ρ (w) =^ /p (w) (см. [12]).
Такой выбор В позволяет определить по мере ρ действие ρ
η
на ξ, а именно, ρ·1^ιν-Υιτα^ λ{ρ (w{) ξ, где {<w{, λί>ΐΗί<
ίξ η} — интегральное- разбиение С- Таким образом, ρ задает
ограниченный линейный оператор вида р: 93 -»- 93 (ар является,
в сущности, его разложением единицы).
Пусть G — коммутативная абелева локально компактпая
группа. Хорошо известно, что в ней содержится открытая подгруппа
вида G0XRn, где п>0 и G0 — компактная группа. Гомомор-
физм Т: G-*-Bc назовем интегрируемым, если его сужения
на G0 и R|Z (обозначаемые соответственно Т0 и 7\·, где 1<ί<

§ 3 НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА 429
*$п; последние понимаются как (Τ \ $ι)·(Τ (1))~', здесь К^ —
i-сомножитель в Rn, 1 eRj и λ—аргумент) интегрируемы по
Бохнеру. Это означает, что все функции Ti(g)l·,: G-+93, где
ξ е 93, обладают последовательностями почти всюду сходящихся
к ним и счетнозначных измеримых функций («сильпо измери-
мы») и Jir1(g)|||dg<oo.
G
Теорема 16. Если Т: G-*-Bc — интегрируемый
'гомоморфизм, то Т' — однозначное продолжение Τ с G на G в V —
является непрерывным комплекснозначным гомоморфизмом
локально компактной абелевой группы G. Обозначим
множество всех комплекснозначных непрерывных гомоморфизмов
в V. Тогда соответствие Τ »-* Τ' является вложением множе-
ства всех интегрируемых гомоморфизмов вида Т: G->-Bc в
Ε {&,£,). Хорновы свойства гомоморфизма Т' переносятся на
операторнозначный гомоморфизм Т.
Следующая теорема относится в ее весьма частном случае
к непрерывным операторам пространства L2 (Rn) в себя.
Оказывается, что аналогично тому, как это было в предыдущей
теореме, каждому оператору Τ можно сопоставить такую
обобщенную функцию Т', что хорновы свойства Τ
переносятся на Т.
Пусть 96 — векторное пространство, {II II,} — счетное
семейство полунорм на нем, а Щ — ^-пространство с единицей и
базой В. Линейный оператор /: 93' -»- Щ называется кусочно
ограниченным, если существуют разбиение {bj единицы базы В
(т. е. V^i = 1 н Ь{ Λ frj — 0 для всех i^)) и семейство {Kj ^К1,
г
для которых
Vge^Vid/t^lb^Milli-l).
Теорема 17. Если /: 93 -»- Щ — кусочно ограниченный
оператор, то /', являющаяся однозначным продолжением f с 96 на
93,— обобщенная функция в Vs. Обозначим X* сопряженное
пространство к X в V". Тогда соответствие f ■*-* f является
изоморфизмом пространств кусочно ограниченных операторов и {X ) ·
Хорновы свойства обобщенной функции f переносятся на
оператор /.
Эта теорема получена в работах [15], [20], ее более
подробное изложение содержится в первой части работы [35].
Следующая теорема относится к изучению модулей над
кольцом измеримых функций, и, в частпости, она приводит к
интегральным представлениям операторов. Эта теорема по существу
содержится в работе [13].

430
ДОПОЛНЕНИЕ
Пусть (Χ, μ> и (Υ, ν> —пространства с конечной мерой, т. е.,
например, μ — конечная неотрицательная счетно аддитивная
функция на определенной σ-алгебре подмножеств X Обозначим
В факторалгебру, получающуюся факторизацией из упомянутой
σ-алгебры пространства Υ по идеалу из множеств нулевой
меры v. Обозначим L(X) и L(Y) факторалгебры измеримых ве-
щественнозпачных функций на пространствах X и Y. По
теореме 15 L(Y) —кольцо (расширенное К — пространство с базой В),
изоморфное (В)Λ == В' . Так как L(X ® Y) — модуль над L(Y),
то по теореме 11 найдется такое M^VB, что L(X® Y)
изоморфно Μ и \М— векторное пространство над Щ = 1. Более того,
из результатов работы [19] вытекает, что найдутся такие Ζ, κ,
что [<Ζ, κ> —пространство с мерой ] = 1 и [М = L (Z)\ = 1. При
этом (V (Ζ, κ) )Λ э U (X ® Υ) и V/e= L1 (X ® Υ) ([(f / (χ, у) άμ (χ)) =
= ί /d«] = 1)-
ζ
Теорема 18. а) Подмодуль (L'(Z, κ))Λ состоит из всех
функций f(x, у) из L(X®Y), которые при почти всех у0 из Υ
принадлежат ^(Х) (этот подмодуль обозначим L''(X®F), или,
короче, V·) uV/eL'. ([(f f (χ, ν)άμ(χ)) = f /dx] - 1).
Λ" Ζ
б) Пусть Τ: L1· -*■ L(Y) есть Ь(У)-гомоморфизм и Т
непрерывен относительно сходимости почти всюду. Тогда существует
такое /0 ^L1', что
V/eL'.irf^J/ofi.j)/^ и) ίμ (χ)\
В работах [13], [27] аналогичным образом хорновы свойства
алгебры матриц над Ω сводятся к хорновым свойствам матриц
над Υ, а также получаются теоремы типа Минковского — Хассе
для форм с коэффициентами в Ω р, где .T~q — топологии в Qp.
Список литературы
[1] Robinson A. Non-standard analysis.— Proc. Roy. Acad. Sci. Amst,
ser. A, 1961, 64, p. 432—440.
[2] Robinson A. Non-standard analysis,—Amsterdam: North-Holland,
1966.
[3] Л io б е ц к я й В. А. Из существования неизмеримого множества типа
Ач вытекает существование несчетного множества, не содержащего
совершенного подмножества типа СА.— ДАН СССР, 1970, 195, № 3,
с. 548—550.
[4] Любецкий В. А. Случайные последовательности чисел и Лг-множе-
ства.— В кн.: Исследования по теории множеств я неклассическим
логикам. М.: Наука, 1976, с. 96—122.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
431
[5] Л ю б о ц к н й В. Λ. О несуществования эффективного неизмеримого
множества.— В кн.: Математические методы решения инженерных
задач, вып. 4. М.·. МО, 1977, с. 36—40.
[8] Л ю б е ц к π й В. Λ. Области изменения булевозначгшх мер — В кн.:
Математические методы решения инженерных задач, вып. 5. М.: МО,
1978, с. 37—41.
[7] Л ю б е ц к и й В. А. Алгебра значений ц-измеримых функций —
В кн.: Математические методы решения инженерных задач, вып. 5 М.:
МО, 1978, с 41—44.
[8] Г о ρ д о н Е. И. Вещественные числа в булевозначпых моделях
теории мпожеств и ЙГ-пространства.— ДАН СССР, 1977, 237, № 4, с. 794—
736
[9] Takeuti G Two applications of logic to mathematics —Tokyo. Iva-
nami; Princeton: Princeton Univ Pi ess, 1978
[10] Л ίο υ e ц к и й В. А. Булевозпачпые расширения структур.— В кн.:
Математические методы решения инженерных задач, вьш. 6. М.: МО,
1979, с. 67—81.
[11] Л ю б е ц к π й В. А. К вопросу об интегральном представлении
элемента.— В кн.: Математические методы решения инженерных задач,
вьш. 8. М., МО, 1979, с. 81.
[12] Гордон Е. И., ЛюбецкийВ А. Булевозначные расширепия
равномерных структур, I.—Деп. ВИНИТИ 16 12.79, № 711-80 деп.
[13] Гордон Е. И-, Любецкий В. А. Булевозначные расширения
равномерных структур, II—Деп. ВИНИТИ 8 12.80, № 2640-81
деп
[14] Любецкий В. Α., Гордон Е. И. Алгебра булевозначпых мер.—
В кн.: Математические методы решения инженерных задач, вып. 7.
М.: МО, 1980, с- 62—66.
[15] Любецкий В. Α., Гордон Е. И. Некоторые применения
нестандартного анализа в теории булевозначных мер.— ДАН СССР, 1981, 256,
№ 5, с. 1037—1041.
[16] Любецкий В. А Булевозначиый анализ в связи с некоторыми
вопросами теории мер.— В кп.: Математические методы пешепия
инженерных задач, вып. 8. М.: МО, 1981, с. 57.
[17] Гордон Е. II. Измеримые функции и интеграл Лебега в
булевозначных моделях теории множеств с нормированными булевыми
алгебрами.— Деп. ВИНИТИ 13.09.79, № 291-80 деп.
[18] Гордон Е. И. Устойчивость хорновских формул относительно
перехода к алгебрам мер на локально компактных телах,— Деп. ВИНИТИ
19.03 81, № 1243-81 деп.
[19] Гордон Е. И. Алгебры мер па локально компактных группам.—
Канд. дисс, 1981.
[20] Л ю б е д к и й В. Α., Гордон Е. И. Вложение пучков в гейтингово-
значный универсум.— Деп. ВИНИТИ 07.09.82, № 782-82 деп.
[21] Takeuti G. Boolean-valued analysis.—Berlin; Heidelberg; Ν. Υ:
Springer, 1979.
[22] Takeuti G A transfer principle in harmonic analysis—J. Symbolic
Logic, 1979, ΙΛ, N 3.
[23] Takeuti G., Titani S. Hey ting valued universes of intuitionistic
set theory.—In: Lectme Notes in Mathematics, 891. Berlin; Heidelberg;
Ν Υ.: Springer, 1981, p. 189—306.
[24] Вейдар К. И., Михалев А В. Ортогональная полнота.— Доклад
на XV Всесоюзной алгебраической конференции в г. Красноярске,
июнь 1979.
[25] Любецкий В. А. Вложение пучков в гейтинговозиачный универсум
и теоремы переноса — В кн.: Шестая Всесоюзная конференция по
математической логике. Тбилиси, 1982, с. 98.
[26] Любецкий В. Α., Гордон Е. И. Вложение пучков в
гейтинговозиачный универсум.— ДАН СССР, 1983, 268, № 4, с. 794—798.

432
ДОПОЛНЕНИЕ
[27] Л ю б е ц к и я В. Α., Гордон Е. И. Булевы расширения
равномерных структур.— В кн.: Исследования по нестандартным логикам и
формальным системам. М.: Наука, 1983.
[28] Любецкий В. А. Алгебраические аспекты нестандартного
анализа.— Деп. ВИНИТИ 16.09.83, № 9341-83 деп.
[29] Любецкий В. А. Пучкн на гейтянговой алгебре: случай колец.—
Деп,^ВИНИТИ 09.01.84, № 3971-84 деп.
[30] Любецкий В. А. О некоторых алгебраических вопросах
нестандартного анализа.— ДАН СССР, 1985, 280, № 1.
[31] Любецкий В. А. Нестандратньш анализ алгебро-топологическнх
систем.— В кн.: Тезисы 4 Всесоюзной конференции по теории групп. М.,
198/L
[32] Любецкий В. А. Теоремы переноса, и нестандартный анализ.—
В кп" Седьмая Всесоюзная конференция по математической логике.
Новосибирск, 1984.
[33] Α π ο χ я н М. В., Любецкий В. А. Представления абелевых групп
в банаховом пространстве я нестандартный анализ.— В кн.: Тезисы
4-й Всесоюзной конференции по теория групп. М., 1984.
[34] Любецкий В. А. Теоремы переноса и нестандартный анализ.—
Деп. ВИНИТИ, № 9001-В.
[35] Сикорский М. Р. Кусочно ограниченные операторы на счетно
нормированных пространствах как линейные функционалы.— Деп.
ВИНИТИ, № 3395-82 деп.
[36] Антонов В. И. Нормальные кольца и булевозпачный универсум.—
Деп. ВИНИТИ 16 05.83, № 3407-83 деп.
[37] Антонов В. И. Гейтинговозначные оценки в пнрсовскнх пучках
колец.— Деп. ВИНИТИ 09.01.84.
[38] Гордон Е. И. Рационально полные полупервичные коммутативные
кольца как поля в булсвозначных моделях теории множеств.— Деп.
ВИНИТИ 14.04.83, № 3286-83 деп.
[39] Мальцев А. И. Алгебраические системы.— М.: Наука, J970.
[40] К о э я П. Д;к. Теория множеств н континуум-гипотеза.— М.: Мир,
1969.
[41] Г ρ е τ ц е ρ Г. Общая теория решеток.— М.: Мир, 1982.
[42] Б у ρ б а к и J1. Общая топология; осповные структуры.— М.: Наука,
1968. Общая топология: использования вещественных чисел в общей
топологии, функциональные пространства.—· Μ: Наука, 1975. Общая
топология: осповные структуры.— М.: Фязматгнз, 1958.
[43] Г о д о м а н Р. Алгебраическая топология и теория пучков.— М.: Мир,
1969.
[44] Д е в и с М. Прикладной нестандартный анализ.— М.: Мир, 1980.
[45] Б е й д а р К. Н., Михалев А. В. Ортогональная полнота и
минимальные первичные идеалы.— Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 1984,
вып. 10. 227—234.
[46] Бепдар К Н, Латишев В. Н, Марков В. Т., Михалев А. В.,
Скорняков Л. Α., Туганбаев А. А. Ассоциативные кольца.—
Итоги науки и техники: Алгебра. Топология, 1984, 22, с. 3—115.
[47] Lecture Notes in Mathematics, 983.— Berlin; Heidelberg; N. Y.:
Springer, 1983.
[48] Й e χ Т. Теория множеств и метод форсинга.— Μ.: Мир, 1973.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
433
[49] Four m а η М-Р,, Scolt D, S. Sheaves and logic,—Lecture Notes in
Mathematics. 753. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1979, p, 302—
401.
[50] К е й с л e ρ Г.. Ч э н Ч, Ч. Теория моделей.— М.; Мир. 1977.
[51] Сикорский Р. Булевы алгебры.—М,: Мир, 1969.
[52] Η aim os P Lecture on Boolean Algebras,—Toronto; N. Y,: London,
1963.
[53] Nelson E. Interval «ct theory a new approach to non-standard
analysis.— Bull. Amor. Math. Soc, 1977, 83, № 6.
[54] Vopenka P. General theory of ν-models.—Сотщ. Math. Univ.
Carolina e, 1967, 8. p, 147—170
[55] Scott D. Extending the topological. Part I — Compositio math.. 1968,
20, p. 194—210. Part II.— In; Intuitionism and Proof Theory.
Amsterdam: North — Holland, 1970, ρ 235—255.
[50] Grayson R. Heyting-valued models for intuitionistic set theory.—
Lecture Notes in Mathematics, 753. Berlin; Heidelberg; N. Y.; Springer, 1979,
p, 402—414.
[57] Piorce R. Modules over commutative regular rings.—Mem. Amer.
Math. Soc. 1967. 70, p. 1—112.
[58] Л a μ б с к И. Кольца и модули.— Μ : Мир, 1971.
[59] К л и н я С Введение в метаматематику.— М.: ИЛ, 1957.
[60] Гольдблат Р. Топосы.— Μ : Мир, 1983.
[61] Scott I) Identity and existence in intuitionistic logic — Lecture
Notes in Mathematics. 753, Berlin; Heidelberg; Ν Υ,; Springer, 1979,
p. 660—696.
[62] Mulvey C, Representations of rings and modules.—Lecture Notes in
Mathematics. 753. Berlin; Heidelberg; Ν, Υ.: Springer, 1979, p, 542—585.
[63] Keimel K, The representations of lattice-ordered groupes and rings
by sections in sheaves — Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer, 1971.
[64] Ершов Ю. Л„ Л a η ρ ο в И, Α.. Π а в л л ё и я с Р. П.. II е т-
р о в В. В.. Смирнов В. А. Логика, основания математики и
лингвистика,— Вопросы фялософил. 1984 № 1, с. 45—59.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Артян (Artin Μ ) 10, 131 Зарысскпй (Zaviski О ) 9
Банди; (Biingo Μ С ) 275, 351
Барр (Ban· M) 11, 14, 38, 62, 269,
274, 277
Бек (Bock J ) 23, 53, 126
Бенабу (Benabou J ) 12—14, 78, 79,
83, 128, 173, 176, 193, 222, 355, 364
Бериайс (Bernays P.) 18
Борее (Borceux F ) 165
Брук (Brook T. G.) 325
Буало (Boiloau A ) 340
Бурн (Bourn D.) 17
Бор (Baor R ) 281
Ван Осдол (Van Osdol D Η ) 12
Вейль (Weil A ) 9
Вердье (Vordier J L ) 10
Волгер (Volger II) 11, 325
Габриель (Gabriel P.) 26
Генкин (Henkin L ) 14, 262
Гедель (Godel K) 14, 18, 262
Гильберт (Hilberl D ) 316
Гленн (Glenn Ρ ) 302
Годеман (Godement R) 9, 284, 286
Tpeii (Gray J. W.) 68
Грнйе (Grillet P. A ) 12
Гротеидик (Grothendieck A.) 9, 10,
32, 35, 68, 94, 103, 254, 259, 280,
282, 306, 309, 356
Да скин (Duskin J W ) 300, 302
Деп (Day B. J.) 74
Делинь (Deligne P.) 10, 14, 232, 260,
262
Дгконстон (Johnstone Ρ Τ) 13 41
106, 208
Диаконеску (Diaconescu R.) 13, 132
133, 140, 143, 161, 26!), 314
Жиро (Giraiid J ) 10, 13, 35, 37, 140,
143, 299
Жуаяль (Joyal A) 13, 14, 117, 118,
177, 179, 220, 222. 230, 265
Исбел (Isbell J. R) 183
Ионеда (Yonerla N ) 21, 300
Йопсон (Jonsson В ) 241
Кан (Kan D Μ ) 76
Капланскнй (Kaplansky I.) 239
Картаи (Cartan Η ) 9, 291
Келли (Kelly G. Μ ) 10, 61
Кешшсон (Kennison J F ) 228
Κοκ (Kock A) 12, 16, 64, 179, 317,
319 343
Копией (Conway J. II) 17, 233
Кондюше (Conduche F ) 77
Кост (Coste Μ ) 340
Коул (Cole J. С ) 13, 225, 325, 338
Коэп (Cohen P.) 345, 350
Крипке (Kripke S ) 177, 179
Куратовский (Kuratowski C) 98, 317
Ламбек (Lambek J) 113
Лекутюрье (Lecouturier P.) 317, 319
Лере (Leray J ) 9
Лесафр (Lesaftre В ) 212
Лёвенгейм (Lowenbeim L ) 247
Линденбаум (Lindenbanm A.) 54
Линтон (Linton F Ε ) 24
Ловер (Lawveie F. W) 10—13, 16, 44,
45, 49, 56, 74, 96, 103, 112, 120, 124,
159, 185, 211, 324, 342, 344
Любкин (Lnbkin S) JO
Маккаи (Makkai Μ ) 14, 262
Маклейн (Mac Lane S ) 14, 21, 282,
300
Миккелсен (Mikkelscn С J ) 12, 52,
54, 168, 209, 317, 319, 322, 326, 343
Митчел Б. (Mitchell В ) 10
Митчел У. (Mitchell W) 13, 141,
143, 171, 172, 325, 338
Мостовский (Moslowski A ) 325, 335
Мулви (Mulvoy С. J) 239
Myp (Moore J С ) 23

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
435
Озиус (Osius G) 13, 173, 176, 177.
325. 333, 338
Паре (Pare R) 52. 51 217, 355. 360.
366
Иенон (Penon J.) 17. 74, 78. 355. 356
Pefiec (Reyes G Ε ) 13. 220, 262, 265
Рент (Wraith G. С.) 12, 14, 127, 129.
131, 192, 201, 208, 211, 215, 216, 241.
303
Ретрей (Ratliay В.) 113
Рид (Reid Μ Α ) 18
Робинсон (Robinson A ) 343
Роос (Roos J. E.) 274
Poy (Rowe К А ) 106
Сван (Swan R G.) 239
Селерет (Celeyretle J ) 12, 355, 365
Cepp (Serre J Ρ ) 9
Скотт (Scott D. S.) 233
Скулем (Skolem Τ ) 247
Стаут (Stoul L. N.) 239
Стрит (Street R ) 17, 228
Тарский (Tarski A ) 54. 180, 241. 334
Тиле (Thiele Ε J ) 335
Тьерне (Tierney Μ) 12. 14, 44, 45,
49. 56. 61, 74, 96. 112. 116, 124, 159,
222, 342, 344, 345, 350
Уайлср (Wyler О) 17
Уолтере (Walters R. F. С ) 228
Факир (Fakir S) 126
Фрейд (Freyd Ρ ) 10, 12, 17, 121, 186,
187, 241, 271, 335, 353, 360
Фунаяма (Funayama N ) 273
Фурман (Fourman Μ Ρ.) 173, 175,
239. 242 340
Хамш (Hakim Μ.) 13, 227
Хеллер (Heller A ) 106
Херон (Heron A ) 10
Хнггс (Higgs D ) 65
Хохстер (Ilochster Μ ) 267
Цермело (Zermelo Ε ) 334
Цисман (Zisman Μ.) 26
Шломюк (Schlomiuk D ) 11
Шумахер (Schumacher Ό) 355, 366

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома выбора 160
неявная 163
Алгебра булева 157
—гейгиигова 157
— псевдобулева 157
Арифметические операции 185
Атом 278
Включение (морфизм в топосе) 123
— транзитивных объектов 329
Внешность топологии 122
Внутренне полная подкатегория 78,
360
— полное частично упорядоченное
множество 167
— проективный объект 163
Внутренность топологии 122
Геометрический морфизм 47
включения 123
ограниченный 141
существенный 47
сюръекции 123
Глобальный носитель 163
Группа абелева слабая 284
— вершин 300
— когомологий 281
с поносителем 314
Чеха 288, 289
— проконечная 304
Дширамма внутренняя 69
— постоянная 72
— представимая 71
— слабая 127
Дизъюнктивное копроизпедение 36
Доказуемо эквивалентные формулы
263
Дополнение 158
Допустимый класс 224
Замыкание 96
Интерпретация языка 173, 219
Исчисление частных 26
Капюров дисконтинуум 276
Кардинал финитный 193
Категория атомная 277
— внутренне полная 73
— внутренняя 67
— Галуа 306
— Гротепдика 94
— декартово замкнутая 44
— замкнутая относительно
оболочки 74
— локально внутренняя 356
— локально замкнутая 74
— малая 21
— обогащенная Зоб
— синтаксическая 263
— слабо фильтрованная 86
— уравновешенная 48
— фильтрованная 86
Классификатор морфнзмов 203
— объектов 137, 201
— подобъектов 44
Конечность по Куратовскому 317
Копгиуум-гипотеза 345
Корасслоение дискретное 69
— расщепимое 94
Кручение над <В 363
Локально постоянный объект 153,
305
— пространственный топос 275
— расщешшын эпиморфизм 163
Локальное кольцо 217
Модель теории 211, 220
булевозначная 344
двузначная 344
Морфизм бидлотнып 110
— геометрический 47
— локальный 218
— центральный 301
— этальпып 42
Интервал в топосе 137
Интерналнзация 79
Образ геометрического морфизма 124
— обратный 47

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
437
Образ прямой 47
Объект ациклический 282
— вещественных чисел но Дедекип-
ДУ231
Ноши 237
— внутренний строгий 63
— вполне упорядоченный 179
— изоморфизмов 177
— когерентный 2S2
— компактный 252
— локально постоянный 153, 305
— натуральных чисел 185
— нормальный 308
— образующих 141
— общий 137, 201
— объектов 67
— отделимый 100
— открытый 113
— разрешимый 182
— симплициальный 68
— слабый 284
— стабильный 252
— существенный 274
— транзитивный 326
— частично транзитивный 333
— эпиморфизмов 177
Объект-степень 64
Отношение эквивалентности 36
индуктивное 326
экстенсиональное 326
эффективное 36
Отображение классифицирующее 44
— синглетонное 49
— частичное 48
Подобъект замкнутый 97
— общий 44
— плотный 97
Покрывающее решето 33
— семейство 32
Поле вычетов 235
— геометрическое 235
— частных 235
Почти мономорфизм ПО
— эпиморфизм 110
Предпучок 21, 29
— внутренний 69
— отделимый 30, 34
— плоский 132
— постоянный 29
— представимый 21
Предтопология 32
— Гротенднка 32
Предтопос 258
Преобразование естественное
геометрических «орфизмов 47
внутреннее 64
Прокопечное пополнение 305
Пространство нульмерное 182
— секвенциальное 41
— сепарабельное 182
— Сершшского 39
— совершенно несвязное 182
— спектральное 267
— стоуповское 304
— трезвое 249
Профунктор внутренний 79
— Йонеды 81
— плоский слева 139
Псевдоточка 247
Пучок 29, 33, 100
— ассоциированный 31, 109
— постоянный 40
— сеченпй 31
— С-экнпвалентный 40
Ранг функтора 155
Расслоение дискретное 70
Расширение Кана 7С
Рефлексивная пара 23
Решетка 156
— брауэрова 157
— дистрибутивная 156
— стоунова 182
Решето 33
— эшшорфное 40
Сайт 33
Семантика Крппке — Жуаяля 177
Сигнатура 173
Склейка 129
Слабая абелева ipynna 284
Слабый копредел 128
Слой 30
Спектр 224
Спектральная последовательность
Лере 283
Сгоръекция 123
Теория алгебраическая 211, 215
внутренпяя 215
— геометрическая 220
— множеств Церемело 334
Топология Гротенднка 32
— захшпутая 114
— капоническая 35
— квазнзамкнутая 272
— максимальная 34
— хшнилальная 34
— открытая 113
— предкапоническая 258
— субкаиопическая 35
Топос 44

438
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Топос булев 158
— вырожденный 127
— Гротендика 35
— двузначный 335
— классифицирующий 136, 222
— когерентный 254
— локально связный 154
— нетеров 277
—, определенный над Ж 132
— пространствнный 252
— связный 154
— Серпинского 137
— точечный 336
— элементарный 44
— этальный 43
— Τ модельный 224
Торсор 136, 301
Точка в топосе 243
— общая 249
Трансверсаль 312
Ультрастепень 342
Ультрафильтр 341
Универсальная операция замыкания
96
Универсально действительная
(формула) 175
— эпиморфное (решето) 40
Универсальный копредел 36
Упорядоченная пара Куратовского
184
Условие Бека 53, 154. 363
Условие счетной цепи 346
Фильтр 341
Фильтр-степень 342
Фундаментальная группа 309
Функтор ассоциирования пучка 31.
35, 109
— bhj тренний 67
— замены базы 56
— копредела 72
Функтор кофинальный 95
— логический 47
— локально внутренний 356
— непрерывный 244
— носителя 160
— обратного образа 47
— окаймляющий 131
— прямого образа 47
— сильный 192
— строгий 25
Функция значения 52
Целочисленная область определения
235
Частично упорядоченное множество
антисимметричное 157
внутренне полное 167
· внутреннее 68
вполне упорядоченное 179
направленное 87
Экстенсионал формулы 174
Элемент 59
— глобальный 59
— недостижимый 276, 352
— общий 60
Эпимоиоразложение морфизма в
топосе 61
Эпиморфное семейство 244
Язык геометрический 218
— Митчела — Бенабу 173
<^-категория 355
ё?-топос 132
<<?с-торсор 303
G-множество 46
— непрерывное 282
G-торсор 136
Т-модель общая 223, 265

Питер Т. Джонстон
ТЕОРИЯ ТОИОСОВ
Редактор В. В. Донченпо
Художественный редактор Т. Η Колъчепко
Технический редактор Л. В. Лихачева
Корректоры О. if. Березина, Я. Я. Нришталъ
ПБ № 12540
Сдано в набор 11 02 80. Подписано к печати 17 09 86.
Формат ΟϋχΟϋ'/ιβ· Бумага тип Μ 1. Гарнитура
обыкновенная Печать высокая Уел печ л 27,5 Усл. кр,-
отт 27,5 Уч.-изд л. 28,15. Тираж 5270 экз Заказ JV· 44.
Цена 3 р. 60 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск, 77, Станиславского, 25