/
Author: Манин Ю.И.
Tags: алгебра математика алгебраическая геометрия квантовые группы
ISBN: 978-5-94057-635-8
Year: 2012
Text
Ю. И. Манин
Введение в теорию схем
и квантовые группы
УДК 512.7, 512.667
ББК 22.147
М23
Манин Ю. И.
М23 Введение в теорию схем и квантовые группы / Под ред.
ДА. Лейтеса и СМ. Львовского. — М.: МЦНМО, 2012. —
256 с.
ISBN 978-5-94057-635-8
Язык «пучков с нильпотентами» — неотъемлемая часть багажа современ-
ного математического физика, особенно изучающего или использующего при-
ложения суперсимметрий.
Книга содержит обработанную запись двухгодового курса лекций Ю. И. Ма-
нина по теории схем Гротендика — геометризации коммутативной алгебры. Из-
ложение исключительно прозрачно и доступно студентам второго курса мате-
матических факультетов и чуть более старших курсов — физических.
Несуществующая пока некоммутативная геометрия — наука, изучающая
некоммутативные алгебры «функций на том, что мы пока не умеем опреде-
лить». Третья глава книги излагает введение в теорию квадратичных алгебр
и квантовых групп — раздел некоммутативной геометрии, возникший из при-
меров и теории интегрируемых динамических систем. Квантовые группы опи-
сывают (до этих лекций неизвестные) симметрии обычных пространств, гораздо
большие, чем те, что описывают группы Ли.
ББК 22.147
Манин Юрий Иванович
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СХЕМ И КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499)241-74-83
Подписано в печать 23.05.2012 г. Формат 60 x 90 /16· Бумага офсетная. Печать
офсетная. Печ. л. 16. Тираж 1000 экз. Заказ № 777
Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП «Типография „Наука"».
121099, Москва, Шубинский пер., д. 6.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499)241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru
http:// biblio.mccme.ru
ISBN 978-5-94057-635-8
©Ю.И. Манин, 2012
© МЦНМО, 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 5
Предисловие к новому изданию 6
Глава 1. Аффинные схемы
Введение 7
§1.1. Уравнения и кольца 8
§ 1.2. Геометрический язык: точки 13
§ 1.3. Геометрический язык (продолжение). Функции на спектрах и топология
Зарисского 16
§ 1.4. Основные свойства топологии Зарисского 21
§ 1.5. Аффинные схемы 32
§ 1.6. Топологические свойства некоторых морфизмов 36
§ 1.7. Замкнутые подсхемы и примарное разложение 45
§ 1.8. Теорема Гильберта о нулях 53
§ 1.9. Отступление: дзета-функция 57
§1.10. Расслоенное произведение 63
§1.11. Отступление: аффинные групповые схемы 67
§1.12. Векторные расслоения и проективные модули 77
§1.13. Нормальное расслоение и регулярные вложения 86
§1.14. Дифференциалы 90
§1.15. Отступление: проблема Серра и теорема Сешадри 94
§1.16. Добавление. Язык категорий 98
Глава 2. Пучки, схемы и проективные пространства
§2.1. Общие сведения о пучках 108
§2.2. Структурный пучок на Spec Л: случай кольца без делителей нуля ... 114
§2.3. Структурный пучок на Spec Л: общий случай . 116
§2.4. Схемы: склеивание и бирациональная эквивалентность 119
§2.5. Морфизмы схем 124
§2.6. Проективные спектры 126
§2.7. Алгебраические инварианты градуированных колец. Многочлен Гиль-
берта 131
§2.8. Характеристические функции и теорема Безу 137
4 Оглавление
§2.9. Предпучки и пучки модулей: обзор 141
§2.10. Квазикогерентные пучки над аффинными схемами 145
§2.11. Обратимые пучки и группа Пикара 148
§2.12. Когомологии Чеха 155
§2.13. Когомологии проективного пространства 163
§2.14. Теорема Серра 169
§2.15. Пучки на Proj R и градуированные модули 172
§2.16. Приложения к теории многочлена Гильберта 175
§2.17. Группа Гротендика: первые сведения 180
§2.18. Резольвенты и гладкость 186
Глава 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
Введение 192
§3.1. Квантовая группа GL^(2) 194
§3.2. Биалгебры и алгебры Хопфа 199
§3.3. Квадратичные алгебры как квантовые линейные пространства 205
§3.4. Пространства квантовых матриц I. Категорная точка зрения 209
§3.5. Пространства квантовых матриц II. Координатный подход 212
§3.6. Добавление потерянных соотношений 217
§3.7. От полугрупп к группам 221
§3.8. Фробениусовы алгебры и квантовый детерминант 225
§3.9. Комплексы Кошуля и скорость роста квадратичных алгебр 228
§3.10. *-алгебры Хопфа и компактные матричные псевдогруппы 235
§3.11. Уравнения Янга—Бакстера 237
§3.12. Алгебра в тензорных категориях и функторы Янга—Бакстера 241
§3.13. Некоторые открытые проблемы 246
Литература 248
Литература, добавленная редактором 250
Предметный указатель 253
Предисловие редактора
Мне давно хотелось сделать доступными манинские «Лекции по алгеб-
раической геометрии» [19, 15*] — мою первую любовь.
Написанные практически одновременно с брошюрой И. Макдональда
[33*] и лекциями Мамфорда [42], манинские лекции поразительно отли-
чаются от них прозрачностью и доходчивостью. Даже появившаяся позже
книга Атьи и Макдональда «Коммутативная алгебра» [1] и еще более на-
глядное изложение геометрии коммутативной алгебры М. Ридом в книге
[17*], которую я рекомендую как дополнение к этой книге, не смогли за-
менить эти лекции. О пучках можно теперь прочесть не только довольно
скучноватую книгу Годмана (в переводе с французского превращенного
в Годемана) [8], но и интересную (хотя и толстую) книгу [10*].
Я счастлив, что уговорил, наконец, автора переиздать эти лекции. За
прошедшие 40 лет они совсем не устарели. Наоборот! Лишь теперь их
важность стала доходить не только до математиков, но и до физиков-тео-
ретиков. Без элементов теории категорий, особенно понятий представимого
и копредставимого функторов, сейчас невозможно внятно (и верно) изло-
жить многие результаты (а то и понятия) современной физики (например,
связанные с суперсимметриями). Книги [34*, 7*]—замечательные учеб-
ники теории категорий, но все-таки толстоватые. Студента или физика они
могут и отпугнуть. Вкратце (слишком кратко) нужный материал был из-
ложен по-русски разве лишь в переводе первого издания учебника Ленга
по алгебре, откуда к третьему изданию [31*] категории были как бы из-
гнаны (видимо, чтобы объем книги не перевалил за 1000 страниц), но без
(ко)представимого функтора обойтись не удалось. А в книге, которую вы
держите в руках и первые издания которой ([19] + [15*]) вышли лишь
в 200 + 500 экземплярах и давно исчезли, все абсолютно необходимое из-
ложено (с примерами!) на нескольких страницах.
Третья глава содержит, среди прочего, потрясающее естественное опи-
сание квадратичных алгебр и связанных с ними «скрытых» огромных
квантовых симметрии многих «коммутативных» классических объектов.
(Через полгода после того как я слушал двухчасовую лекцию Ю. И. Ма-
нина о них в зимней школе под Москвой, я эту лекцию воспроизвел по
памяти в Мичиганском университете: все действительно замечательное —
просто.)
Тем удивительнее, что эти симметрии никто до сих пор не изучает.
Д. Лейтес
6
Предисловия
Предисловие к новому изданию
В этой книге собраны под одной обложкой записи двух курсов лекций,
читанных автором в 1966—68 и 1988 гг. соответственно.
Первый из них был посвящен в основном аффинным схемам, т. е. объ-
яснению того, как любое коммутативное кольцо можно рассматривать
в качестве кольца функций на некотором пространстве.
Одной из центральных тем второго курса было распространение это-
го подхода на теорию некоммутативных колец: квантовые группы в этом
курсе рассматриваются как симметрии «некоммутативных аффинных про-
странств».
Я надеюсь, что элементарное педагогическое введение в алгебраиче-
ский язык двух геометрий, коммутативной и некоммутативной, все еще
может быть полезным молодому читателю, тем более что вторая часть его
существовала до сих пор лишь в виде малодоступного издания на англий-
ском языке. Конечно, читатель должен иметь в виду, что обе геометрии
бурно развивались в течение последних десятилетий и есть много книг,
излагающих новые результаты и точки зрения.
Я органически неспособен редактировать мои старые тексты: если я на-
чинаю это делать, то меня охватывает непреодолимое желание выкинуть
всё и переписать полностью заново. А интереснее сделать что-нибудь
новое.
Поэтому я хочу от души поблагодарить Д. А. Лейтеса и СМ. Львов-
ского, избавивших меня от этого неблагодарного занятия, и добавить лишь
несколько слов о квантовых группах.
Хорошее введение в эту многогранную структуру — книга Касселя
[11*]. Мой подход постепенно развивался в направлении, следуя которому,
один и тот же основополагающий принцип — построить матрицу с неком-
мутирующими элементами, удовлетворяющими лишь абсолютно необходи-
мым коммутационным соотношениям — оказался применим во все более
широком контексте некоммутативных геометрий.
В моей книге [36*] показано, среди прочего, что ограничиваться квад-
ратичными алгебрами (как это сделано в гл. 3 этой книги) совершенно
необязательно.
В статье [25*] показано, что история о квадратичных алгебрах обобща-
ется на операды, а в статье [22*] —что соответствующая теорема из моей
принстонской книжки [36*] проходит в очень широком контексте операдо-
подобных объектов.
Опуская дюжину работ в том же духе, хочу обратить внимание читателя
на недавние препринты arXiv :0711.2236 и arXiv :0901.0235.
Ю. И. Манин
ГЛАВА 1
АФФИННЫЕ СХЕМЫ
Введение
В первой главе наша цель — практически научить читателя геометриче-
скому языку коммутативной алгебры. Необходимость излагать алгебраи-
ческий материал отдельно и затем «применять» его к алгебраической гео-
метрии постоянно обескураживала геометров: О. Зарисский и П. Самюэль
очень выразительно пишут об этом в предисловии к книге «Коммутативная
алгебра» [11].
Появление теории схем А. Гротендика открыло счастливую возмож-
ность вообще не проводить границу между «геометрией» и «алгеброй» —
они выступают теперь как дополнительные аспекты единого целого, по-
добно многообразиям и пространствам функций на них в других геометри-
ческих теориях.
С этой точки зрения коммутативная алгебра совпадает
с теорией локальных геометрических объектов — аф-
финных схем (вернее, функториально ей двойственна).
Расшифровка последней фразы и составляет содержание главы. Я по-
пытался последовательно объяснить, какого рода геометрические пред-
ставления должны быть связаны, скажем, с примарным разложением, мо-
дулями и нильпотентами. По словам Г. Вейля, пространственная интуиция
«неоценима, если сознавать ее ограниченность». Я хотел учесть оба члена
этой изящной формулировки.
Конечно, геометрический акцент оказал сильное влияние и на выбор
материала; в частности, эта глава должна подготовить почву для введения
глобальных объектов. Поэтому в параграфе о векторных расслоениях на
«наивном» уровне изложены конструкции, принадлежащие по существу
уже теории пучков.
Наконец, мне хотелось как можно раньше ввести категорные понятия,
которые не так важны в локальных вопросах, но играют все большую роль
в дальнейшем. Читателю рекомендуется заранее просмотреть добавление
«Язык категорий» и возвращаться к нему по мере необходимости {К
1) Сегодня можно посоветовать читателю также и книги [34*] и [7*]. — Здесь и далее
примечания редакторов.
8
Гл. 1. Аффинные схемы
Следующий небольшой список литературы не претендует на полноту.
Он должен помочь читателю быстрее войти в рабочие аспекты теории,
которые в этих записках отложены, быть может, слишком надолго.
Общие курсы: [25], [19], [42], [10], [3]-[5].
Более специальные вопросы: [19], [18], [20], [21].
§ 1.1. Уравнения и кольца
Изучение алгебраических уравнений—древнейшая математическая на-
ука. В новые времена мода и удобства диктуют обращение к кольцам.
Рассмотрим систему уравнений X:
Fi(T) = 0, где /€/, T=(Tj)jeJ.
Здесь Τ = (7)) — независимые переменные, /, / — некоторые множества
индексов, Fi — многочлены из кольца К[Т]. Кольцо К, в котором лежат ко-
эффициенты, считается фиксированным, оно называется основным коль-
цом или кольцом констант. О системе X говорят, что она определена
над К.
Таким образом, система уравнений, по определению, состоит из сле-
дующих объектов: 1) кольцо констант /С; 2) «неизвестные» Г; 3) много-
члены Fi («левые части»).
Что следует называть решением системы X?
Одно определение напрашивается: решение есть набор элементов t =
= (tj)j£j кольца К такой, что Fi(t) — 0 при всех / € /. Однако это определе-
ние слишком ограничительно: нас могут интересовать решения, не принад-
лежащие К, например, комплексные корни многочлена с вещественными
коэффициентами. Более общо, пусть L — некоторое кольцо. Чтобы рас-
сматривать решения системы X в кольце L, мы должны уметь подставлять
элементы из L в многочлены с коэффициентами из /С, в частности, уметь
умножать L на элементы из К. Класс таких колец L выделяется следующим
определением.
1.1.1. Определение. К-алгеброй L называется множество L, снаб-
женное структурами /(-модуля и кольца, которые связаны следующими
аксиомами:
а) внешнее умножение К х L —> L дистрибутивно относительно сло-
жения слева и справа;
б) k{l\k) = (kl\)l2 для всех k G К, /ь h € L.
1.1.2. Лемма. Пусть L — некоторая К-алгебра, тогда отобра-
жение К —> L: k н-> kit, где Ц — единица в L, является гомоморфиз-
мом колец.
§1.1. Уравнения и кольца
9
Наоборот, пусть L — некоторое кольцо, f: K-+L — гомоморфизм
колец. Тогда умножение К х L —> L, определенное формулой
(fe, /) ь-> /(&)/ оля любых k G /С, / G L,
определяет на L структуру К-алгебры.
Доказательство, сводящееся к автоматической проверке аксиом,
мы оставляем читателю. D
Гомоморфизмом К-алгебр /: Ц —► Z,2 называется отображение, кото-
рое одновременно является гомоморфизмом /(-модулей и колец.
1.1.3. Пример. Любое кольцо L является Z-алгеброй (Z всегда обо-
значает кольцо целых чисел). Эта структура определена однозначно гомо-
морфизмом Ζ —> L, при котором единица переходит в единицу.
Теперь мы можем определить, что такое решение системы X.
1.1.4. Определение. Решением системы X со значениями в К-ал-
гебре L называется семейство элементов t = (i/)/e/, tj € £, Для которого
F;(/) = 0 при всех / G /. Множество таких решений обозначается X(L).
По предыдущему замечанию, для системы с целыми коэффициентами
можно рассматривать ее решения в любом коммутативном кольце.
Пусть /: L\ —>L<i — гомоморфизм /(-алгебр. Сопоставляя каждому ре-
шению t = (tj) системы X со значениями в L\ решение (/(//)) этой же систе-
мы со значениями в L2, получаем отображение множеств X{L\) —> Xfa).
Следующее старинное рассуждение содержит в зародыше обе эти идеи.
1.1.5. Примеры. 1) Язык сравнений. Пусть η — целое число вида
Am -f 3. Вот классическое доказательство того, что η не является суммой
двух квадратов целых чисел: иначе было бы разрешимо сравнение
Γ{4 7|ξξ3 (mod 4);
простейший перебор показывает, что это не так.
С нашей точки зрения это означает следующее. Пусть X — уравнение
Т\ + Т\ = л, где К = Z.
Мы хотим доказать, что X(Z) = 0. Рассмотрим гомоморфизм Ζ —► Ζ/(4)
(редукция по модулю 4); он определяет отображение множеств решений
Χ(Ζ)-»Χ(Ζ/4Ζ).
Если бы Χ(Ζ) было непусто, то и Χ(Ζ/ΑΖ) было бы непусто, что не так.
Более общо, для любой системы уравнений X с целыми коэффициента-
ми и любого целого числа m мы можем рассматривать множества X(Z/mZ)
10
Гл.1. Аффинные схемы
и пытаться извлекать отсюда сведения о X(Z). Вообще, если X(L) = 0 для
какого угодно нетривиального (1^0) кольца L, то и X(Z) = 0. (Прак-
тически обычно проверяют конечные кольца Ъ/тЪ и поле вещественных
чисел R.) Ряд самых глубоких результатов теории диофантовых уравне-
ний связан с вопросом, когда верно обратное утверждение. Прототипом
их является теорема Лежандра: пусть X — уравнение
αϊ 7f + a27f + a37f = 0, где /( = Ζ;
если X(Ζ) = {(0, 0, 0)}, то хотя бы для одного из колец L — Ъ/тЪ, где
т^0, 1, или L = R имеем ВД = {(0, 0, 0)} [2, гл. 1, §7].
2) Пусть К = К, число неизвестных конечно и равно п. Тогда Х(Ж) С Жп
есть алгебраическое множество над Е, Jf(C) С С" — его «комплексифи-
кация». Из-за алгебраической замкнутости поля С изучение множества
Х(С) часто оказывается более легким и в большинстве случаев состав-
ляет необходимый первый этап исследования, даже если мы в основном
интересуемся чисто вещественными вопросами.
Яркий пример доставляет следующая теорема Харнака.
Пусть F(To, Γι, Γ2) — форма степени d с вещественными коэффициен-
тами. Уравнение F = 0 определяет на вещественной проективной плоскости
кривую Х(Ш). Теорема Харнака утверждает, что число связных компо-
нент этой кривой не превосходит
(d-\)(d-2)
+ 1.
F = 70 7-2 - Г2(Г2 - 7Ь)(72 - 27Ь)
Х(М) на проективной плоскости
Рис. 1.1
х(Ш) с х(С)
Метод доказательства теоремы основан именно на вложении Х(Щ в
Х(С), а не в проективную плоскость, где она банально помещается с самого
начала. Ограничимся для простоты случаем, когда кривая Х(С) «неособа»,
то есть является компактным ориентируемым двумерным многообразием.
§ 1.1. Уравнения и кольца
11
Его род, то есть «число ручек», равен тогда ~ (на рис. 1.2: d —
= 3, Х(С) —тор). Доказательство теоремы основано на двух утверждениях.
Прежде всего, автоморфизм комплексного сопряжения действует на
Х(С) непрерывно, и Х(К) является в точности множеством неподвижных
точек этого автоморфизма. Кроме того, если «разрезать» Х(С) вдоль Х(Щ,
то Х(С) распадется в точности на два куска, как распадается сфера Ри-
мана, разрезанная вдоль вещественной оси (случай d — 1). Отсюда оценка
Харнака получается уже несложными чисто топологическими соображе-
ниями; см., например, [24, § 44].
3) X — уравнение 0 · Τ + 2 = 0, где К = Z. Очевидно,
X(L) = i0' если2,1^0'
1 |L, если2-Ц = 0.
Пример нарочито искусственный, но подобные ему встречаются в «ариф-
метической геометрии»: дискриминанты и дифференты появляются именно
так.
1.1.6. Определение. Две системы уравнений Χ, Υ с одними и теми же
неизвестными, заданные над кольцом /(, называются эквивалентными,
если X(L) = Y(L) для любой /(-алгебры L.
Среди систем уравнений, которые эквивалентны данной, мы можем
рассмотреть «самую большую», которая однозначно определяется.
Именно, пусть Ρ — идеал в кольце многочленов К[Т], где Τ = (7})уе/,
порожденный левыми частями {F/(7) | / G /} системы уравнений X. Легко
понять, что система уравнений, полученная приравниванием к нулю всех
элементов идеала Р, эквивалентна данной системе уравнений F(T) = 0. В то
же время построенная система максимальна в том смысле, что если к ней
добавить еще одно уравнение f(T) = 0, в ней не содержащееся, то полу-
чится новая, неэквивалентная данной, система. Чтобы в этом убедиться,
достаточно в качестве /(-алгебры L взять факторкольцо К[Т']/Р, где V —
= (T-)j£j — независимые переменные. В этом кольце L решением исходной
системы будет t = (tj), где tj = Tj (mod P), в то время как f(t) Φ 0, потому
что f £Р.
1.1.7. Предложение. X(L) = HomK(A, L), гдеА=К[Т]/Р, T = {Tj)jeJ,
a Horrid — множество гомоморфизмов К-алгебр.
Доказательство. Пусть t = (tj)eX(L). Существует гомоморфизм
/(-алгебр K[Tj] —> L, который на К совпадает со структурным гомоморфиз-
мом K-*L (см. п. 1.1.2), а 7) переводит в tj. По определению множества
X(L), P принадлежит ядру этого гомоморфизма, так что его можно прове-
сти через гомоморфизм А = К[Т]/Р —> L.
12
Гл. 1. Аффинные схемы
Наоборот, пусть дан гомоморфизм /(-алгебр А —► L. Он однозначно
определяет сквозной гомоморфизм К[Т] -+A—>L. Пусть tj — образ 7} при
этом гомоморфизме; тогда (tj) е X(L), потому что все элементы идеала Ρ
переходят в нуль.
Легко проверить, что построенные отображения X(L) τ± Нот/((Л, L)
взаимно обратны, что доказывает предложение. D
Система X над кольцом К называется совместной, если X(L) φ 0 для
некоторой ненулевой /(-алгебры L, и несовместной в противном случае.
Предложение 1.1.7 показывает, что система X несовместна лишь в случае,
когда ее алгебра А нулевая, иными словами, 1 Ε Р.
Резюмируем основной результат обсуждения. Мы установили эквива-
лентность двух языков: систем уравнений (который используется во всех
конкретных вычислениях) и теории колец. Точнее говоря, следующие по-
нятия соответствуют друг другу:
система уравнений Χ λ (/(-алгебра А
с выделенной системой
.1
над кольцом К > <=> I
с неизвестными Τ = (7})/е/J [ образующих t = (tj)j^j J
решение системы Χλ ί гомоморфизм
в /(-алгебре L } 1 /(-алгебр А —>
Заметим, наконец, что при использовании языка колец нет никакой необ-
ходимости рассматривать фиксированную систему образующих t — (tj).
Опуская ее, мы отождествляем системы уравнений, получающиеся друг из
друга взаимно обратимой заменой множества неизвестных. Каждый эле-
мент кольца А играет роль одной из «неизвестных»; значение, которое эта
неизвестная принимает в данном решении системы, совпадает с ее образом
в L при соответствующем гомоморфизме.
1.1.8. Упражнения. 1) Система 2Т - 4 = 0 эквивалентна системе
Τ - 2 = 0, если и только если 2 обратима в кольце констант /(.
2) Система (Т - I)2 = 0 не эквивалентна системе Τ - 1 = 0.
3) Пусть система {Fi(X) — 0 | X — (Xj)j£j, i € /} несовместна. Тогда у нее
есть конечная подсистема, которая также несовместна.
4) Пусть Т\, ..., Тп — неизвестные; Si(T) — /-й элементарный симмет-
рический многочлен от них. Определите, над какими кольцами констант
эквивалентны системы уравнений
Х{: $,(7) = 0, /= 1, ..., k, k^n,
(Указание. Использовать формулы Ньютона.)
§ 1.2. Геометрический язык: точки
13
5) Любая система уравнений над кольцом К от конечного числа
неизвестных Т\, ..., Тп эквивалентна конечной системе уравнений, если
и только если кольцо К[Т\, ..., Тп] нётерово.
6) Пусть X — система уравнений над /С, А — соответствующее ей коль-
цо. Отображения L ь-> X(L) и L н-► Ногп/((Л, L) определяют ковариантные
функторы на категории /(-алгебр со значениями в категории множеств.
Проверить, что предложение 1.1.7 определяет изоморфизм этих функто-
ров (см. § 1.16).
§ 1.2. Геометрический язык: точки
Пусть по-прежнему К — основное кольцо, X — некоторая система
уравнений над К с неизвестными Т\, ..., Тп.
Для любой /(-алгебры L мы представляем себе множество X(L) как
некоторый «график» в Ln — координатном пространстве над кольцом L.
Точки этого графика суть решения системы X. Учитывая результат преды-
дущего параграфа, мы можем ввести следующее определение.
1.2.1. Определение. 1) Точками /(-алгебры А со значениями в /(-ал-
гебре L (или просто L-точками А) называются /(-гомоморфизмы А —► L.
2) L-точка называется геометрической, если L — поле.
Пример. Пусть К — поле, V — некоторое конечномерное линейное
пространство над ним.
Покажем, что существует /(-алгебра, /(-точки которой находятся
в естественном взаимно однозначном соответствии с элементами простран-
ства V. Обозначим через V* пространство линейных функционалов на V
со значениями в К. Построим симметрическую алгебру S(V*) пространства
V* над К (см. [12, гл. XVI, § 7]). Так как Sl(V*) = V* составляет систему
образующих алгебры S(V*), любой /(-гомоморфизм S(V*) —> К определяет
линейный функционал на V*, который можно канонически отождествить
с точкой из V.
Наоборот, любой функционал на V* однозначно продолжается до го-
моморфизма S(V*) —► К в силу предложения 13 в главе XVI книги [12],
согласно которому S(V*) есть кольцо многочленов от элементов любого
базиса пространства V*. Это показывает требуемое.
Вернемся к определению 1.2.1. Если мы хотим отделить свойства са-
мого кольца А от свойств переменной алгебры L, разумно рассматривать
вместо гомоморфизмов их ядра. Ядро гомоморфизма А -* L, соответствую-
щего геометрической точке, является, очевидно, простым идеалом !). По
^Напомним, что идеал ρ в коммутативном кольце А называется простым, если рфАи Α/ρ
не имеет делителей нуля.
14
Гл. 1. Аффинные схемы
многим причинам следует ограничиться ими, вводя основной геометриче-
ский объект, связанный с кольцом А.
1.2.2. Определение. Множество всех простых идеалов кольца А (от-
личных от А) называется спектром А и обозначается Spec Л. Элементы
Spec Л называются его точками.
В дальнейшем мы обогатим множество Spec Л дополнительными струк-
турами, превратив его в топологическое пространство и построив на нем
пучок колец: это приведет к определению аффинной схемы. Схемы, то
есть топологические пространства с пучком, локально изоморфные аффин-
ным схемам, являются основными объектами алгебраической геометрии.
Приступая к изучению спектров, мы прежде всего должны убедиться
в их нетривиальности.
1.2.3. Теорема. Spec Л φ 0, если А ф {0}.
Для доказательства этого и ряда других фактов нам понадобится
Лемма Цорна. Всякое частично упорядоченное множество М,
в котором каждое линейно упорядоченное подмножество N с Μ
имеет верхнюю грань в М, обладает максимальным элементом.
Доказательство см., например, в книге [9, с. 17] ^.
Упорядоченные множества, удовлетворяющие лемме Цорна, называ-
ются индуктивными.
Доказательство теоремы 1.2.3. Обозначим через Μ множе-
ство всех идеалов кольца Л, отличных от Л; оно содержит (0) и пото-
му непусто. Множество Μ частично упорядочено по включению. Возьмем
в Μ произвольное линейно упорядоченное множество {ра}, где ра— иде-
алы кольца Л. Тогда (Jpa — тоже идеал Л (учесть линейную упорядочен-
ность), отличный от Л (единица, разумеется, не принадлежит (J pa). Отсюда
a
следует индуктивность множества М. Обозначим через ρ его максималь-
ный элемент. Очевидно, что ρ — максимальный идеал, а потому и простой;
в факторкольце Л/р всякий ненулевой идеал (в том числе все главные)
совпадает с Л/р. Значит, каждый ненулевой элемент из Л/р обратим, так
что Л/р является полем. Теорема доказана. Π
По пути мы получили
Следствие. Каждый простой идеал кольца содержится в неко-
тором максимальном идеале.
^См. также [13*] или [29*], где лемма Цорна доказана вместе с ее эквивалентностью ак-
сиоме выбора, принципу полной упорядоченности и нескольким другим утверждениям. Новое
интересное добавление к списку эквивалентных утверждений см. в [21*].
§1.2. Геометрический язык: точки 15
Из доказанной теоремы, в частности, следует, что всякое ненулевое
кольцо Л имеет геометрические точки (например, гомоморфизм Л —> Л/р,
где р С А — максимальный идеал).
Назовем центром геометрической точки А —> L ее ядро как элемент
Spec Л. Из определений легко следует
1.2.4. Предложение. Геометрические L-точки К-алгебры А с цен-
тром χ £ Spec Л находятся во взаимно однозначном соответствии
с К-гомоморфизмами k(x) —> L, где k(x) — поле частных кольца А/рх,
а рх С Л — идеал, соответствующий х.
Доказательство. В самом деле, гомоморфизм Л —> L разлагается
в последовательность Л —► А/рх —► &(*) —► L (ибо L — поле). Первые две
стрелки этой последовательности определены раз и навсегда. D
1.2.5. Пример. Пусть К — совершенное1* поле, L— алгебраически
замкнутое поле, содержащее /С; Л — /(-алгебра, χ £ Spec Л, px с Л — со-
ответствующий идеал.
Если degx = [k(px) : К] < оо, то в силу теории Галуа имеется ровно
degx геометрических L-точек с центром в х.
Если же k(px) неалгебраично над /С, а в L достаточно много трансцен-
дентностей над /С, то геометрических L-точек с центром в χ может быть
бесконечно много.
Вот совсем частный случай.
Рис. 1.3
Рассмотрим R-алгебру ЩТ]. Множество ее геометрических С-точек
есть комплексная плоскость С. Множество SpecR|T]—это множество
всех неприводимых многочленов над R со старшим коэффициентом еди-
ница плюс еще нулевой идеал. Каждый такой многочлен степени 2 имеет
^Поле К называется совершенным, если либо оно имеет нулевую характеристику, либо
характеристика равна ρ > 0 и Кр := {хр \ х € К} совпадает с К· (Символом Кр обозначают
также и р-кратное произведение К на себя.)
16
Гл. 1. Аффинные схемы
два комплексно-сопряженных корня, соответствующих двум разным гео-
метрическим точкам.
Вообще для любого совершенного поля К геометрические точки /(-ал-
гебры К[Т] со значениями в алгебраическом замыкании К — это просто
элементы из К, а их центры — это неприводимые многочлены над /(, то
есть наборы, состоящие из всех элементов /(, сопряженных над К одному
из них.
1.2.6. Замечание. Рассматривая Spec Л, мы можем забыть при же-
лании о том, что А — /(-алгебра; любой идеал кольца А выдерживает
умножение на элементы из /С. Когда же мы интересуемся геометрическими
точками (или, более общо, любыми L-точками), указание К существенно,
ибо приходится рассматривать /(-гомоморфизмы А -> L. Любые гомомор-
физмы являются, очевидно, Z-гомоморфизмами, так что этот «абсолют-
ный случай» можно рассматривать как специализацию «относительного»
(над К).
Для систем уравнений переход к абсолютному случаю означает, что мы
забываем о различии между «неизвестными» и «коэффициентами» и мо-
жем придавать переменные значения и тем и другим.
1.2.7. Упражнение. Слабая форма теоремы Гильберта о нулях.
Рассмотрим систему уравнений {Fi(T) = 0}, где Τ — (7))/еу, над кольцом /(.
Тогда либо эта система имеет решение со значениями в некотором поле,
либо существуют такие многочлены G; €/((71] (конечное число которых
отлично от нуля), что
Указание. Применить теорему 1.2.3 к кольцу, соответствующему си-
стеме.
§ 1.3. Геометрический язык (продолжение). Функции
на спектрах и топология Зарисского
Пусть X — система уравнений над К от неизвестных Τ = (7})/€/. Каждое
решение t системы X — элемент из X(L) — определяет «значения» неиз-
вестных Т[. элементы tt e L. Таким образом, каждую неизвестную 7/ есте-
ственно рассматривать как функцию на X(L) со значениями в L. Эта функ-
ция, конечно, зависит лишь от класса 7} по модулю идеала, порожденного
левыми частями уравнений. Этот класс является элементом /(-алгебры Л,
связанной с системой Х\ вообще все элементы А являются функциями на
X{L) — Нот#(Л, L): для всякого φ: Л —> L и f е А «значение / в φ», по
определению, равно φ(/). Классическое обозначение функций не очень хо-
§ 1.3. Функции на спектрах и топология Зарисского
17
рошо приспособлено к передаче фундаментальной двойственности
пространство <—► функции на пространстве.
В применении к Spec Л это приводит к рассмотрению любого элемента
/ е Л как функции на Spec А. Пусть χ е Spec А и пусть рх с А — соот-
ветствующий идеал. Тогда, по определению, f(x) = / mod рх; мы считаем,
что f(x) принадлежит полю частных k(x) кольца А/рх. В дальнейшем,
говоря о функциях на Spec Л, мы обычно подразумеваем элементы
из А.
Таким образом, всякой точке χ € Spec Л приписано свое поле k(x),
и этим полям принадлежат значения функций на Spec Л.
Я попытался нарисовать график первых четырех положительных целых
чисел, рассматриваемых как функции на Spec Ζ. Он не очень убедителен;
нужно добавить, что по разным причинам прямую над полем Ζ/ρΖ — вер-
тикальную ось над точкой (р) — следовало бы рисовать «свернутой в коль-
цо», то есть в виде правильного р-угольника, что нисколько не облегчило
бы задачу художника.
1(0) (2) (3) (5) Spec 2
Рис. 1.4
Разным элементам кольца Л могут соответствовать одинаковые функ-
ции на спектре; их разность тогда представляет нулевую функцию, то есть
принадлежит f] рх. Все нильпотенты заведомо содержатся в этом пе-
jc€Spec A
ресечении; докажем обратное.
1.3.1. Теорема. Функция, обращающаяся в нуль во всех точках
спектра, представляется нильпотентным элементом кольца. Ина-
че говоря, Ρ) ρ — нильрадикал, то есть идеал всех нильпотентных
р прост
элементов.
Доказательство. Достаточно установить, что для каждого не ниль-
потентного элемента существует простой идеал, который его не содержит.
18
Гл. 1. Аффинные схемы
Пусть h е А и hn Φ О при любом натуральном п. Пусть Μ — множество
всех идеалов кольца Л, не содержащих hm при любых т. Очевидно, что
Μ непусто: в нем есть нулевой идеал. Индуктивность множества Μ дока-
зывается так же, как и в теореме 1.2.3. Пусть р — максимальный элемент
в М. Докажем, что он прост.
Пусть /, g е А и /, g ¢ р. Докажем, что fg¢p. В самом деле 1\
p + (/)Dp и p + (g)Dp.
Так как ρ максимален в М, при некоторых тип имеем ρ + (/) Э hn
и ρ + (/) Э hm. Тогда hm+n € ρ + (fg), но hm+n £ р. Поэтому и fg£p. Тем
самым, ρ — простой идеал, и теорема доказана. D
Этот результат может создать впечатление, что нильпотентам нет места
в геометрической картине. Это неверно: нильпотенты доставляют адек-
ватный способ описания дифференциально-геометрических ситуаций ти-
па «касание», «кратность пересечения», «бесконечно малая деформация»,
«слой отображения» в точках, где нарушается регулярность.
1.3.2. Примеры. 1) Кратные точки пересечения. Рассмотрим в аф-
финной плоскости над R параболу Т\ — 7| — О и прямую Т\ — t = 0, где
t G R — параметр. Их пересечение задается системой уравнений
ί7Ί-7| = 0,
{ Ά -/ = 0,
которой соответствует кольцо
At = R[Tu T2]/(Ti-Ti Ъ-t)
(см. рис. 1.5). Легкое вычисление показывает, что
(R χ Е, t > 0;
At = l ЩТ]/(Т2), t = 0;
(с, t<o.
Геометрические Ш-точки кольца At: при / > 0 их две, при / = 0 — одна,
при t < 0 их нет. Геометрические С-точки: их всегда две, кроме случая
/ = 0 («касание»). Желая сохранить утверждение, что С-точек пересече-
ния всегда две, если приписать им надлежащие кратности, мы должны
считать, что при t = 0 точка пересечения имеет кратность 2. (Отметим,
что ditriK At = 2 независимо от t. Равенство dimR Л* «числу» точек пере-
сечения неслучайно; мы сможем доказать теорему об этом, когда введем
Запомним, что (/) — идеал, порожденный элементом /. Аналогичный смысл имеет обо-
значение (/ь ...,/л).
§ 1.3. Функции на спектрах и топология Зарисского
19
Ί
\
Γι =0
Г, = Ц
(R-точки)
г,
Г| = (>0
Рис. 1.5
проективное пространство, что позволит учитывать и точки, ускользнув-
шие на бесконечность.) Совпадение точек пересечения, соответствующее
касанию, приводит к возникновению нильпотентов в кольце До-
2) Одноточечные спектры. Пусть Spec Л состоит из одной точки,
отвечающей идеалу ρ С А. Тогда А/р— поле, а р состоит из нильпотентов.
Если кольцо А к тому же нётерово, стандартное рассуждение показы-
вает, что ρ — нильпотентный идеал. Действительно, пусть f\, ..., fn — его
образующие и пусть ff1 = 0 (/ = 1, ..., η). Тогда для любых ац G А, где
i = 1, ..., az, / = 1, ..., тп, имеем
тп / η ч
Π Σ^Ν-
7=1 \ /=1 /
потому что в каждом одночлене произведения по крайней мере один из
элементов /; входит в степени ^ т. Следовательно, ртп = 0. Факторы ряда
A D ρ D р2 D ... D ртп = (0) являются конечномерными линейными про-
странствами над полем А/р. Поэтому А как модуль над собой имеет ко-
нечную длину (см. [12, гл. IV, § 4]).
В вопросах теории пересечений длина локального кольца А играет роль
кратности единственной точки Spec Л, как мы видели в предыдущем при-
мере. Кратность точки равна единице, если и только если кольцо А
является полем.
3) Дифференциальные окрестности. Пусть χ G Spec A — некоторая
точка, рх е А — соответствующий идеал. Мы определили значение / е А
в точке χ — это элемент кольца А/рх (или его поля частных). В диф-
ференциальной геометрии часто рассматривают «m-ю дифференциальную
окрестность точки х», то есть учитывают, кроме значений функций, значе-
ния ее производных до m-й включительно. Это равносильно рассмотрению
ее разложения Тейлора, в котором «бесконечно малыми» порядка выше т
пренебрегают.
20
Гл.1. Аффинные схемы
Алгебраически это означает, что мы рассматриваем класс / mod p™+1.
Элементы из рх являются бесконечно малыми «не ниже первого порядка»;
в кольце Л/р™"4-1 они как раз превращаются в нильпотенты.
(На самом деле Spec/l/p^+1 естественно считать дифференциальной
окрестностью точки х, лишь когда идеал рх максимален; в общем случае
интуитивная интерпретация не работает.)
4) Редукция по модулю рп. Рассматривая диофантовы уравнения, то
есть факторкольца колец Ζ[7Ί, ..., Тп], часто пользуются редукцией по
модулю степеней простого числа. Это немедленно приводит к нильпотен-
там; мы видим, что с алгебраической точки зрения этот процесс ничем не
отличается от рассмотрения дифференциальных окрестностей в предыду-
щем примере.
(Сравнение 35ξ7 (mod 5)3 означает, что «функции З5 и 7 в точке (5)
совпадают до второй производной включительно». Этот язык не кажет-
ся особенно экстравагантным в теории чисел после введения Гензелем
р-адических чисел.)
Превратим теперь Spec А в топологическое пространство. Минималь-
ное естественное условие согласованности топологии с имеющимся на-
бором функций состоит в том, чтобы множество нулей любой функции
было замкнутым.
1.3.3. Определение-лемма. Для любого семейства элементов
Ее А обозначим через V(E) С Spec А множество всех точек χ € Spec Л
для которых f(x) = 0 при всех f еЕ.
Множества V(E) составляют систему всех замкнутых мно-
жеств в некоторой топологии множества Spec Л.
Эта топология называется топологией Зарисского или спектраль-
ной топологией.
Доказательство. Достаточно проверить, что множество всех мно-
жеств вида V(E) замкнуто относительно конечных объединений и произ-
вольных пересечений, потому что 0 = V(l), Spec Л = V(0).
Обозначим Е\Е2 = {fg | / £ £i, g € £"2}· Предоставляем читателю про-
верить, что
V(Ei)\JV(E2) = V(E{E2),
P| V(Ει) = ν( \J Ei) для любого множества /.
Этим все доказано. D
Пользуясь теоремой 1.3.1, мы можем описать множество функций, об-
ращающихся в нуль на V(E). Очевидно, ему принадлежат все элементы
§ 1.4. Основные свойства топологии Зарисского
21
идеала (£), порожденного Е, а также все элементы / G А такие, что fn G (E)
для некоторого п. Это и всё.
1.3.4. Теорема. Пусть
г(Е) = {/ G А | существует целое п^О такое, что fn G (£)}.
£ош /(х) = 0 для всех χ G V(E), то f G г(Е).
Доказательство. Условие «/(х) = 0 для всех χ G V(E)» означает,
что / G Π рх, то есть что / mod (Ε) G А/(Е) принадлежит пересечению
PxDE
всех простых идеалов кольца A/(E). Поэтому fn mod (Ε) = 0 для некото-
рого η по теореме 1.3.1, что доказывает требуемое. D
Идеал г(а) называется радикалом идеала α (в частности, нильрадикал
кольца (см. с. 17) — не что иное, как радикал нулевого идеала). Идеалы,
совпадающие со своим радикалом, называются радикальными. Из теоре-
мы 1.3.4 вытекает
1.3.5. Следствие. Отображение αι-> V(a) устанавливает взаим-
но однозначное соответствие между радикальными идеалами коль-
ца А и замкнутыми подмножествами его спектра.
1.3.6. Упражнения. 1) Пусть αϊ, ..., ап С А — идеалы. Доказать, что
1/(θι...αΛ) = Κ(αι(Ί...ΠαΛ).
2) Пусть /i, ..., fn G Л, a mi, ..., mn > 0 — целые числа. Если (/ι, ...
3) Элементы / G А, не обращающиеся в нуль ни в одной точке Spec Л,
обратимы.
§ 1.4. Основные свойства топологии Зарисского
Пространства Spec А имеют очень неклассическую топологию: они, как
правило, неотделимы. Изучение разных аспектов неотделимости приводит
к выделению топологических понятий, характерных для алгебраической
геометрии. Начнем с обсуждения двух типичных явлений.
1.4.1. Незамкнутые точки. Пусть хе Spec Л—любая точка; как
устроено ее замыкание? Имеем:
{Т}= Π V(E) = V( U E) = V(px) = {yeSpecA\pyDpx}.
ЕСРх Ч ЕСРх '
Иначе говоря, пространство {х} изоморфно Spec/l/p*, и только точки,
соответствующие максимальным идеалам, замкнуты.
22
Гл.1. Аффинные схемы
Специфическое отношение у Ε {х} между точками иногда выражают,
говоря, что у есть специализация точки х\ оно равносильно включению
РхСру.
Если кольцо А не имеет делителей нуля, то {0} Ε Spec A —точка, за-
мыкание которой совпадает со всем спектром.
Таким образом, точки спектра А лежат как бы на разных уровнях.
Выше всех находятся замкнутые точки; на следующем уровне — точки,
специализации которых замкнуты, ..., на /-м уровне — точки, специали-
зации которых принадлежат уровням с номерами < / — 1. Вершина этой
перевернутой пирамиды — «общая точка» (0), если А не имеет делителей
нуля, или конечное число точек, если А — любое нётерово кольцо (дока-
зательство см. в п. 1.4.6).
(Р)·
(0)*
SpecZp
а)
общие
точки
кривых
Рис. 1.6
На рис. 1.6 изображены спектр кольца целых р-адических чисел Ър
и спектр С[Т\, 7½]. Стрелки указывают отношение специализации. Рису-
нок спектра Spec Zp не нуждается в комментариях, стоит лишь отметить,
что Spec Л может быть конечным, но не дискретным пространством.
Рис. 1.6 б) основан на следующем утверждении.
Предложение. Пусть К — алгебраически замкнутое поле. Следу-
ющий список исчерпывает простые идеалы кольца К[Т\, Тг]:
а) максимальные идеалы (Т\ — t\, 7½ - /2), где t\, /2 £ К — любые
элементы,
б) главные идеалы (F(T\, T2)), где F пробегает все неприводимые
многочлены;
в) (0).
§ 1.4. Основные свойства топологии Зарисского
23
Доказательство будет дано ниже.
Наглядные представления, связанные с этой картинкой, можно поло-
жить в основу рабочей теории размерности в алгебраической геометрии;
мы ограничимся предварительным определением и двумя простыми при-
мерами.
Последовательность точек хо, ..., хп топологического пространства X
называется цепочкой длины η с началом Хо и концом хп, если х-ь φ Xi+\
и х/+1 является специализацией x-t для всех 0 < / ^ /г.
Высотой точки хЕХ называется верхняя грань длин цепочек с на-
чалом х.
Размерностью dim X пространства X называется верхняя грань вы-
сот его точек.
Пример. В пространстве X = Spec К[Т\, ..., Тп] (где К — поле) име-
ется цепочка длины п, соответствующая цепочке простых идеалов
(0)С(Т{)С...С(Ти..., Тп).
Поэтому ахтХ ^ п. Аналогично dim Ъ[Т\, ..., Τη] ^ η + 1: есть цепочка
(р)С(р, Г,)с(р, Ти Г2) с...
На самом деле, как мы увидим позже, в обоих случаях имеет место точное
равенство.
Истоки этого определения размерности можно проследить у Евклида:
(замкнутые) точки ограничивают линии, линии ограничивают поверхности
и т.д.{)
1.4.2. Большие открытые множества. Для всякого элемента fEA
положим
D(f) = Spec A \ V(f) = {*I/W ^0}.
Множества D(f) называются большими открытыми множествами; они
составляют базис топологии Spec Л, потому что для любого Ее А
SpecA\V(E)={JD(f).
Рассмотрим, например, SpecC[r]. Его замкнутые точки соответствуют
идеалам (Т - t), t Ε С, и составляют, тем самым, «комплексную плос-
кость»; непустые открытые множества состоят из (0) и всех точек ком-
плексной плоскости, кроме конечного числа. Замыкание любого откры-
того множества совпадает со всем пространством!
^Подробнее см. в [16*, 37*].
24
Гл. 1. Аффинные схемы
Более общо, если Л без делителей нуля, / φ О, то множество D(f) всюду
плотно в Spec Л. Действительно, D(f) содержит (0), так что D(f) — (0) =
= Spec Л. Тем самым, все непустые открытые множества спектра
кольца без делителей нуля всюду плотны. Анализируя этот тип неот-
делимости, мы выделим важный класс топологических пространств.
1.4.3. Определение-лемма. Топологическое пространство X на-
зывается неприводимым, если выполнено одно из следующих экви-
валентных условий:
а) любое непустое открытое множество в X всюду плотно;
б) любые два непустые открытые множества в X имеют непу-
стое пересечение;
в) если X = X\U Х2, где Х\, Χ2 — замкнуты, то либо Х\ — X, либо
Х2=Х.
Доказательство эквивалентности: а) и б), очевидно, экви-
валентны. Если в) неверно, то есть представление X = X\UX2, где Х\, Х2 —
собственные замкнутые подмножества X; тогда Х\Х2 = Х\\(Х\ Π Х2) —
неплотное открытое множество, так что а) не выполняется. Наоборот, если
а) не выполняется и UсХ — неплотное открытое множество, то
X = UU(X\U). Ώ
Заметим, что хаусдорфово пространство, имеющее больше одной
точки, не может быть неприводимым. Пусть теперь Л —любое коль-
цо, N — его нильрадикал. Следующая теорема устанавливает, когда про-
странство Spec Л неприводимо.
1.4.4. Теорема. Spec Л неприводим, если и только если N— про-
стой идеал.
Доказательство. Пусть N прост, χ — соответствующая ему точка
в Spec Л. Так как iV содержится в любом простом идеале, Spec Л гомео-
морфен Spec A/N, a A/N не имеет делителей нуля.
Наоборот, пусть N не прост. Достаточно проверить, что Spec A/N при-
водим, то есть можно ограничиться случаем, когда Л не содержит нильпо-
тентов, но содержит делители нуля.
Пусть f, g¢A,cifg = 0,mfφO,gφO.
Очевидно, Spec Л = V(f) U V(g) = V(fg). Стало быть, fug обращают-
ся в нуль на замкнутых подмножествах всего спектра, вместе покрываю-
щих пространство (это — естественный способ появления делителей нуля
в кольцах функций).
Нужно лишь убедиться, что V(f), V(g) Φ Spec Л, но это очевидно, ибо
и /, и g — не нильпотенты. D
§ 1.4. Основные свойства топологии Зарисского
1.4.5. Следствие. Пусть асА — некоторый идеал; замкнутое
множество V(a) неприводимо, если и только если г(а) прост.
Мы получаем, следовательно, взаимно однозначное соответствие:
„ неприводимые замкнутые
точки спектра А <—► r J Л
г подмножества спектра А.
Каждой точке χ Ε Spec А соответствует замкнутое множество {х}, и χ на-
зывается общей точкой этого замкнутого множества; у каждого непри-
водимого замкнутого подмножества есть единственная общая точка.
1.4.6. Разложение на неприводимые компоненты.
1.4.6а. Теорема. Пусть А — нётерово ^ кольцо. Тогда простран-
ство Spec Л однозначно представляется в виде конечного объеди-
нения \JXi, где Χι—максимальные замкнутые неприводимые под-
множества.
Множества Χι называются неприводимыми компонентами Spec Л.
В доказательстве используется лишь геометрическое следствие обрыва
возрастающих цепочек идеалов в кольце А: каждая убывающая цепоч-
ка замкнутых подмножеств в Spec Л стабилизируется. Так как нам
встретятся пространства с таким свойством, не гомеоморфные спектрам,
введем
Определение. Топологическое пространство X называется нётеро-
вым, если любая убывающая цепочка замкнутых подмножеств в нем ста-
билизируется.
1.4.66. Теорема. Пусть X — нётерово топологическое простран-
ство. Тогда X является конечным объединением своих максимальных
замкнутых неприводимых подмножеств.
Эти подмножества называются неприводимыми компонентами про-
странства X.
Доказательство. Рассмотрим упорядоченное по включению мно-
жество неприводимых замкнутых подмножеств в X. Покажем, что оно ин-
дуктивно: если (Ха) — линейно упорядоченное семейство неприводимых за-
мкнутых подмножеств в X, то в качестве верхней грани для него можно
взять (υ^ία). Неприводимость его вытекает, например, из того, что если
ίΛ» ^2 С U Х<х — непустые открытые множества, то U\ Π Χα и 6¾ Π Χα непу-
сты для некоторого α, а потому непусто пересечение U\ Π ί/г, так как Ха
неприводимы.
') Напомним, что кольцо называется нётеровым, если каждая возрастающая цепочка иде-
алов в нем стабилизируется.
26
Гл. 1. Аффинные схемы
Отсюда следует, что X является объединением всех своих максималь-
ных замкнутых неприводимых подмножеств: Х= (J Χι.
До сих пор мы не пользовались нетеровостью.
Пусть теперь пространство X нётерово и пусть Х = Х\ UX2, где Х\, Х%
замкнуты. Если Х\ или Х% приводимы, мы можем снова представить их
в виде объединения двух замкнутых множеств и т. д.; этот процесс закон-
чится — иначе мы получили бы бесконечную убывающую цепочку замкну-
тых множеств («принцип нётеровой индукции»). В получившемся конеч-
п
ном объединении оставим лишь максимальные элементы: X = [j Χι. Это
/=1
разложение совпадает с предыдущим: если Υ — любое (абсолютно) макси-
п η
мальное подмножество в X, то Υ С (J Χι, следовательно, Υ = (J Χι, откуда
/=ι /=1
ΧιΓ\Υ'=Υ для какого-то i, а следовательно, У = Χι. Если /' с / — некото-
рое собственное подмножество индексов, то (J X-t уже не совпадает с X:
iei'
пусть X] — выброшенная компонента, то есть / ¢. Г; если бы Xj С (J Χι, то
/€/'
мы имели бы Xj = (J (Χι Π Xj) и в силу неприводимости Xj мы имели бы
Χι Π Xj = Xj для какого-то i E /': противоречие. D
1.4.6в. Следствие. Пусть А — нётерово кольцо; тогда число ми-
нимальных простых идеалов в А конечно.
Действительно, минимальные простые идеалы в Spec Л дают общие
точки максимальных замкнутых подмножеств, то есть неприводимых ком-
понент Spec Л. D
1.4.6г. Следствие. Пусть А — нётерово кольцо. Если все точки
пространства Spec А замкнуты, то пространство Spec А конечно
и дискретно.
Кольца с этим условием называются артиновыми. Спектры артино-
вых колец наиболее близки к конечным множествам обычной топологии.
Как отмечено в п. 1.3.2(2), каждая точка такого спектра дополнительно
снабжена кратностью.
Следующая теорема дает полезную геометрическую интерпретацию де-
лителей нуля в кольце; она будет уточнена в п. 1.7.14.
1.4.6д. Теорема. 1) Элемент f e Л, обращающийся как функция
в нуль на одной из неприводимых компонент Spec Л, является дели-
телем нуля в А.
2) Наоборот, если f mod N является делителем нуля в Α/Ν, где
N — нильрадикал кольца А, то f обращается в нуль на одной из
неприводимых компонент Spec Л.
§ 1.4. Основные свойства топологии Зарисского
27
Замечание. Из утверждения 2) теоремы нельзя исключить упомина-
ние о нильпотентах: если / является делителем нуля лишь в Л, а не в A/N,
то / может не обращаться в нуль на неприводимой компоненте. Вот при-
мер: пусть А = В Θ α как группа, где В — подкольцо без делителей нуля,
α с А — идеал с нулевым умножением. Пусть α как β-модуль изоморфен
В/р, где ρ С В — ненулевой простой идеал. Тогда элементы из ρ являются
делителями нуля в А — они аннулируются умножением на а. С другой сто-
роны, очевидно, Spec Л = Spec β неприводим, и ненулевые элементы из ρ
не могут обращаться в нуль на всем Spec Л.
Доказательство теоремы. Пусть 5ресЛ=ХиУ, где X —
неприводимая компонента, на которой обращается в нуль / £ Л, a Y — объ-
единение остальных неприводимых компонент. Так как Υ замкнуто и!^У,
существует такой элемент g£A, который обращается в нуль на У, но не ра-
вен тождественно нулю при ограничении на X. Тогда fg обращается в нуль
во всех точках Spec Л, так что (fg)n = 0 для некоторого п. Следовательно,
f(fn~lgn) = 0· Это еще не доказывает, что / является делителем нуля, ведь
возможно, что fn~lgn — 0, но тогда мы снова можем отщепить / и про-
должать до тех пор, пока не получим, что fmgn = О, но fm~xgn φ 0. Этим
всегда кончится, ибо gn φ 0 — иначе g обращалсячйы в нуль и на X.
Пусть теперь / = / mod N— делитель нуля в A/N, т. е. jg = 0. Тогда
Spec Л = Spec A/N = V(f) U V(g).
Разлагая V(f) и V(g) на неприводимые компоненты, мы получим, что по
крайней мере одна из неприводимых компонент V(f) является неприводи-
мой и для Spec Л: иначе все неприводимые компоненты Spec Л содержа-
лись бы в V(g), а это противоречит тому, что g Φ 0, то есть g£ N. Значит,
/ обращается в нуль на одной из неприводимых компонент Spec Л, что
и доказывает теорему. D
Примеры. 1) Пусть Л — кольцо с однозначным разложением, /б Л.
Пространство Spec A/(f) ~ V(f) неприводимо тогда и только тогда, когда
f = zpn, где ρ — неразложимый элемент, а ε обратим. Это непосредственно
следует из теоремы 1.4.4. В частности, пусть Л = К[Т\, ..., Тп], где К —
поле. Тогда 1/(/) соответствует гиперповерхности (в аффинном простран-
стве), которая задана одним уравнением / = 0. Мы получаем естественный
критерий неприводимости такой гиперповерхности.
2) Пусть К — поле, char К φ 2, feK[T\, ..., Tn] — квадратичная фор-
ма. Уравнение / = 0 определяет приводимое множество, если и только если
ранг / = 2. Действительно, приводимость равносильна тому, что / = l\h, где
/ι, /2 — непропорциональные линейные формы.
1.4.7. Связные пространства. Следующее общетопологическое опре-
деление связности пространства вполне годится для наших нужд.
28
Гл. 1. Аффинные схемы
Определение. Пространство X называется связным, если его нельзя
представить в виде объединения двух непересекающихся непустых замкну-
тых подмножеств.
Неприводимое пространство, очевидно, связно. Всякое пространство X
однозначно разлагается в объединение своих максимальных связных под-
пространств, которые попарно не пересекаются и называются связными
компонентами.
Каждая неприводимая компонента пространства целиком принадлежит
одной его связной компоненте. Из теоремы 1.4.66 следует, в частности, что
у нётерова пространства число связных компонент конечно.
Пространство Spec Л может не быть связным. В обычной топологи-
ческой ситуации кольцо непрерывных функций на несвязном объединении
Х\ U X2 естественно распадается в прямое произведение колец функций на
Х\ и Х2 в отдельности.
То же самое происходит со спектрами.
1.4.7а. Разложение пространства Spec Л, отвечающее разложе-
нию кольца А. Пусть Ль ..., Ап — некоторые кольца, а их произве-
п
дение Л := \[ Αι снабжено структурой кольца с покоординатными сложе-
нием и умножением. Множество элементов Л, у которых все координаты,
кроме /-й, нулевые, образуют идеал а, кольца Л, причем α/α/ = 0 при / ф].
Положим Ь/ = Σ uk и Χι = V(bi) С Spec Л. Тогда имеем:
Xir\Xi = V{bi\Jbi) = V(A) = 0 при Ϊφ1
η
Стало быть, Spec [] Л/ разлагается в несвязное объединение замкнутых
подмножеств V(bi) ~ Spec Л/b/ = Spec Л7·. (Для бесконечных произведений
это не так: см. упражнение 1.4.11 (7).)
1.4.76. Разложение кольца Л, отвечающее разложению простран-
ства Spec А.
η
Предложение. Пусть X — Spec Л = (J Х[, где Χι — замкнутые, по-
парно непересекающиеся множества. Тогда существует такой изо-
п
морфизм А = γ[ Αι, что в обозначениях предыдущего пункта Χι =
= V(bi). /=i
Доказательство. Рассмотрим подробно случай η = 2.
§ 1А. Основные свойства топологии Зарисского
29
Пусть Xi = V(bi). В силу следствия 1.4.5 имеем:
X{UX2 = X <=> V(bib2)=* <=> bib2cyV,
Х{ПХ2 = 0 <=> K(bi + b2) = 0 <£=> bi + Ь2 = -4,
где N — идеал нильпотентов. Поэтому существуют такие элементы /,· Ε Ь;
и целое число k > О, что
В силу упражнения 1.3.6 (2) для некоторых gi Ε Л имеем
Положим е,- =g//f. Тогда
ei+e2 = U βι^2 = 0.
Поэтому элементы e-t E b/ являются ортогональными идемпотентами, ко-
торые определяют разложение кольца А:
A -^+Л ι χ Л2,
Остается показать лишь, что V(Aei) ~ Xt. Но V(Aei), очевидно, не пе-
ресекаются и в объединении дают всё X; кроме того, Лe-t С Ь/, так что
К(Ле;) э ^-, откуда следует требуемое.
Теперь нетрудно завершить доказательство индукцией по п\ подробно-
сти мы оставляем читателю. D
1.4.8. Пример. Пусть Л — артиново кольцо (определение см. в
п. 1.4.6г). Так как Spec Л является объединением конечного числа замкну-
тых точек, кольцо Л изоморфно произведению конечного числа локальных
артиновых колец. В частности, любое артиново кольцо имеет конечную
длину (см. пример 1.3.2(2)).
1.4.9. Квазикомпактность. Обычный термин сопровождается при-
ставкой «квази», потому что определение относится и к нехаусдорфовым
пространствам.
Определение. Топологическое пространство X называется квази-
компактным, если из любого его открытого покрытия можно выбрать
конечное подпокрытие.
Следующий простой результат несколько неожидан, потому что не на-
кладывает никаких условий конечности на кольцо Л:
1.4.10. Предложение. Пространство Spec Л квазикомпактно.
30
Гл.1. Аффинные схемы
Доказательство. Любое покрытие Spec Л можно измельчить до
покрытия большими открытыми множествами: Spec Л = (J £)(//). Тогда
р| 1/(//) = 0, так что (..., /;, ...) =Л. Поэтому существует разбиение единицы
в котором лишь конечное число индексов / G / С / таково, что g; φ 0. Стало
быть, Spec A = (J £>(//), что и доказывает требуемое. D
1.4.11. Упражнения. 1) Назовем мультипликативную систему ^ S
полной, если /g G 5 =4> / G 5 и gG5. Каждая мультипликативная систе-
ма S имеет однозначно определенное пополнение 5: минимальную полную
мультипликативную систему, содержащую 5.
Показать, что D(f) = D(g) & Й^о = (gn)n^
2) Показать, что пространства D(f) квазикомпактны.
3) Связны ли пространства:
а) Spec К[Т]/(Т2 - 1), где К — поле;
б) SpecZ[7]/(r2-/)?
4) Неприводимые компоненты каждой из плоских кривых
7Ί(7·,-7|) = 0,
72(7-,-7f) = 0
в SpecC|Ti, T2] состоят из прямой и параболы и поэтому попарно изо-
морфны. Точка пересечения двух компонент в обоих случаях есть вершина
параболы. Доказать, что, тем не менее, кольца этих кривых неизоморфны.
5) Пусть А — нётерово кольцо. Построим граф, вершины которого вза-
имно однозначно соответствуют неприводимым компонентам пространства
Spec Л, а две вершины соединены, если и только если соответствующие
компоненты имеют непустое пересечение. Доказать, что связные компо-
ненты пространства Spec Л находятся во взаимно однозначном соответ-
ствии с линейно связными компонентами графа.
6) Закончить доказательство предложения 1.4.76. Однозначно ли опре-
п
делено разложение А = γ[ Л/, существование которого утверждается?
7) Пусть {Kj)iei — некоторое семейство полей. Положим А = \[ /С/
и обозначим через щ: А —> /Q гомоморфизмы проекции. ieI
а) Пусть α С Л — некоторый собственный идеал. Определим по нему
систему подмножеств Фа множества /, положив:
, ф существует такой / G а, что π;(/) = 0,
0 если и только если / G L.
!)То есть 1 € S и /, g £ S => fg G S; см. определение 1.6.5 ниже.
§ 1.4. Основные свойства топологии Зарисского
31
Показать, что подмножества L непусты и что система Фа обладает следу-
ющими двумя свойствами:
α) £ιΕΦα, 12еФа <=> игм2еФа,
β) ^еФа, L2DL{ =ф Ι2^Φα.
б) Система Φ непустых подмножеств множества / со свойствами аир
называется фильтром на I.
Пусть Φ — некоторый фильтр; поставим ему в соответствие множество
αφ С Л, положив:
/€θφ Φ=Φ {/|π/(/) = 0}€Φ.
Показать, что множество αφ является идеалом в кольце А.
в) Показать, что отображения α ι-> Φα и Φ ι—► αφ определяют взаим-
но однозначное соответствие между идеалами кольца А и фильтрами на /.
Далее, αϊ С а2 О Ф01 С Фа2- В частности, максимальным идеалам соответ-
ствуют максимальные фильтры; они называются ультрафильтрами.
г) Пусть / 6 /, Φ(ί) = {L С / | / Ε L}. Показать, что Ф(/) —ультрафильтр.
Показать, что если множество / конечно, то любой ультрафильтр имеет вид
Φ(ί) для некоторого /. Какие идеалы в А отвечают фильтрам Φ(ί)? Каковы
факторы кольца А по этим идеалам?
д) Показать, что если / бесконечно, то на / существует ультрафильтр,
отличный от фильтров Φ(ί). (Указание. Пусть Ф = {К С I \ 1\К конечно};
пусть Ф —какой-нибудь максимальный фильтр, содержащий Ф. Прове-
рить, что Φ φ Φ(ί) для всех / Ε /.)
е) Пусть А = Yl Z/qZ, где / — множество всех простых чисел. Пусть
р С А — простой идеал, отвечающий некоторому ультрафильтру, отличному
от всех Ф^. Показать, что А/р — поле нулевой характеристики.
8) Алгебра математической логики^ в геометрических терми-
нах. По двум высказываниям Ρ и Q, каждое из которых может быть либо
верным, либо неверным, определим сумму и произведение, положив
р + Q = (Ρ ν Q) А (Р V ¢), PQ = PAQ, (1.4.1)
где символ с чертой означает отрицание высказывания под чертой, Λ озна-
чает конъюнкцию, а V — дизъюнкцию.
Относительно этих операций пустое высказывание 0 является нулем,
а 0 — единицей. Ясно, что Р2 — Р, а 2Р = Ρ + Ρ = О при всех Р. Булевым
кольцом называется любое кольцо R (с единицей), в котором Р2 = Ρ при
всех Ρ g R. Ясно, что из
P+Q = (P+Q)2 = P2 + PQ + qp+qZ = p + pq + qp+ Q (1.4.2)
^Изложение математической логики с позиций алгебраиста см. в [35*].
32
Гл. 1. Аффинные схемы
следует, что PQ + QP = 0. Поскольку кольцо R по определению коммута-
тивно, то 2PQ = 0; более того, из
2Я = Р + Я = Я2 + Р2 = 0 (1.4.3)
следует, что Р= —Р. Таким образом, каждое булево кольцо — коммутатив-
ная алгебра над F2 = Z/2. Нетрудно показать, что каждый простой идеал
в булевой алгебре R является максимальным, а стало быть, каждый эле-
мент Ρ е R можно представить себе как Рг-значную функцию на Spec R.
§ 1.5. Аффинные схемы
В топологии любому непрерывному отображению пространств X -» Υ
соответствует гомоморфизм колец непрерывных функций, направленный
в обратную сторону. Для нас первичным объектом являются «функции»,
то есть кольца; поэтому важные (в данном подходе) отображения про-
странств — это те, которые получаются из гомоморфизмов колец.
Пусть φ: А —► В — некоторый гомоморфизм колец. Каждому простому
идеалу ρ С В поставим в соответствие его прообраз φ-1(Ρ)· Идеал φ_1(Ρ)
прост, потому что φ индуцирует вложение Л/ф_1(р) —► β/ρ, а так как В/р
не имеет делителей нуля, то и Α/φ~ι(ρ) не имеет делителей нуля.
Соответствие ρ ь-> φ-1(ρ) задает отображение αφ: Spec β —► Spec Л,
где значок а слева над φ — от слова «аффинный».
1.5.1. Теорема. 1) Отображение αφ непрерывно как отображе-
ние топологических пространств (относительно топологий Зарис-
ского на них).
2) α(φψ) = αψο αφ.
Доказательство. Достаточно проверить, что прообраз замкнутого
множества замкнут; на самом деле
(a<t)-l(V(E)) = V(9(E)).
Действительно,
y£V(tf(E)) *=* <?(Е)сру
^ EC^l(py)^pa<t{!))
<=^ >(*/) € V(E)
«=» уе(УГ1(У(Е)).
Второе утверждение очевидно. D
Итак, Spec есть (контравариантный) функтор из категории
коммутативных колец в категорию топологических пространств.
§ 1.5. Аффинные схемы
33
Топологическое пространство Spec Л само по себе является довольно
грубым инвариантом кольца Л: см. примеры ниже. Поэтому единым гео-
метрическим объектом естественно считать пару (Spec Л, Л), состоящую
из пространства Spec Л и элементов кольца Л, более или менее точно со-
поставляемых с функциями на Spec Л.
1.5.2. Определение (предварительная форма), а) Аффинной схе-
мой называется тройка (Χ, ос, Л), состоящая из топологического простран-
ства X, кольца Л и изоморфизма пространств а: X -^ Spec Л.
б) Морфизмом аффинных схем (У, β, В) -»(Ху а, Л) называется пара
(/, Θ), состоящая из гомоморфизма колец Θ: Л —► В и непрерывного отоб-
ражения пространств /: У —> X, для которой диаграмма отображений
У—^ Spec β
/ αθ
Τ τ
Χ —%* Spec Л
коммутативна.
Композиция морфизмов определяется очевидным образом. (Конечно,
это очень важное определение: оттого-то оно такое чопорное.)
Каждому кольцу Л отвечает аффинная схема (Spec Л, Id, Л) (Id—тож-
дественное отображение), которую мы для краткости будем чаще всего
обозначать просто Spec Л. Любая аффинная схема изоморфна такой. Аф-
финные схемы образуют категорию. Двойственная к ней катего-
рия эквивалентна категории колец.
Определение, которое мы дали, не является окончательным, потому что
оно плохо приспособлено к глобализации — склеиванию общих схем из
аффинных. Впоследствии оно будет изменено: дополнительным элементом
структуры, превращающим пространство Spec Л в схему Spec Л, будет
не кольцо Л, а пучок. Но в аффинном случае эти кольцо и пучок одно-
значно восстанавливаются друг по другу, и пока мы не выходим за пределы
категории аффинных схем, нынешнего определения хватит для всех нужд^
Для того чтобы оценить различие между множеством Нот(Л, В) (един-
ственно важным для нас) и множеством всех непрерывных отображений
Spec β —► Spec Л, рассмотрим несколько простых примеров.
1.5.3. Примеры. 1) Л = В — Z. Множество Spec Ζ состоит из замкну-
тых точек (р), где ρ пробегает все простые числа, и (0). Замыканием идеала
(0) является все пространство; остальные замкнутые множества состоят из
конечного числа замкнутых точек. Топологическое пространство Spec Z
имеет много автоморфизмов: можно как угодно переставлять замкнутые
точки. Между тем Hom(Z, Z) содержит лишь тождественное отображение.
34
Гл. 1. Аффинные схемы
2) В = Z, Л = К[Т]У где К — конечное поле. Очевидно, Spec Л и
Spec В изоморфны как топологические пространства, тогда как множество
Нот(Л, В) пусто.
Эти примеры наводят на мысль, что морфизмов аффинных схем гораздо
меньше, чем непрерывных отображений их спектров. Возможен, однако, и
обратный эффект.
3) Пусть К — поле. Spec К состоит из одной точки, так что множество
автоморфизмов пространства Spec К состоит из единственного тожде-
ственного отображения; между тем автоморфизмы схемы Spec К соответ-
ствуют автоморфизмам поля К и потому могут образовывать даже беско-
нечную группу.
Тем самым одноточечные схемы могут иметь «внутренние степени сво-
боды» подобно элементарным частицам. Присутствие нильпотентов еще
увеличивает число этих степеней свободы.
4) «Причесывание нильпотентов». Пусть А — некоторое кольцо,
В = A[T]/(T2), t = Τ mod (Τ2). Естественный гомоморфизм ε: Β —► Л, где
ε (α + bt) = α, индуцирует изоморфизм топологических пространств
аг: Spec Л —► Spec β, но, конечно, не схем. Схема (Spec β, Id, β) «бога-
че» схемы (Spec Л, Id, Л) нильпотентами tA. Чтобы уяснить, как это про-
является, рассмотрим всевозможные «проекции» απ: Spec В —» Spec Л, то
есть морфизмы схем, отвечающие гомоморфизмам колец Л —> В с условием
επ = Id. Тогда π(/) -feAt.
Spec Б
Векторное поле
на Spec A
Рис. 1.7. Причесывание нильпотентов
Для каждого такого π определим отображение дп: А^ А формулой
π(/)-/ = ^(/)/.
Из того, что π — гомоморфизм колец, вытекает, что dK(f) удовлетворяет
условиям
dK(fg) = dn(f)g + fdn(g),
§ 1.5. Аффинные схемы
35
потому что π(/)π(£) - /g = (/ + dK(f)t)(g + dK(t)) - /g и /2 = 0. Стало быть,
q (/) является дифференцированием, кольца Л.
Легко убедиться, что и наоборот, для любого дифференцирования
β: А —> А отображение π: А —> β, для которого π(/) = / + df t, является
гомоморфизмом колец и определяет проекцию ак.
В дифференциальной геометрии каждое дифференцирование кольца
функций на многообразии интерпретируется как «векторное поле» на этом
многообразии. Удобно представлять себе, что схема Spec β, по сравнению
со схемой Spec Л, снабжена полем векторов, «торчащих вовне». Морфизм
а% «приглаживает» их, превращая в векторное поле на Spec Л.
В частности, если К — поле, то схема Spec К есть точка, а схема
Spec КЩ/СГ2) — «вектор», исходящий из этой точки.
Мы и в дальнейшем будем иногда изображать на чертежах нильпотенты
стрелками, хотя очевидно, что даже для схем Spec К[Т]/(Тп), где η > 2, или
Spec /С[Гь Т2]/(Т2, Т\Т2, 7|), или, наконец, SpecZ/(p2), где ρ — простое
число, такие картинки имеют лишь очень ограниченную информативность.
5) Нежесткость аффинных пространств. Пусть К — поле (для
простоты), V — линейное пространство над ним, Л = S^(V). Рассмотрим
группу G автоморфизмов /(-схемы Spec Л. Эта группа инверсна ^ группе
/C-автоморфизмов кольца многочленов К[Т\, ..., Тп], где η = dim V. В ней
содержится подгруппа невырожденных неоднородных линейных преобра-
зований:
η
Т[ ь-» Σ c4Ti + d<> где с<7' di е К>
то есть обычная аффинная группа Go-
При η = 1 легко видеть, что Go = G. Это далеко не так при η ^ 2.
В самом деле, в этом случае любая «треугольная» подстановка вида
Ά^Τι+Fu
T2^T2 + F2{TX),
Ti^Ti + FiiTi,..., Τι-χ),
С
где Ft е К[Т[, ..., Γ/-ι] с К[Т\, ..., Тп], очевидно, принадлежит G. Тем
самым, группа автоморфизмов схемы аффинного пространства размерно-
сти ^ 2 содержит нелинейные подстановки сколь угодно большой степени.
Их существование используется для доказательства теоремы Нётер о нор-
мализации.
^Элементы те же самые, а умножение новое: старые сомножители переставлены.
36
Гл.1. Аффинные схемы
Отметим еще, что при η = 2 группа G порождается линейными и тре-
угольными подстановками (В. Энгель; И. Р. Шафаревич). При η ^ 3 это
уже не так (И. Шестаков, У. Умирбаев).
6) Линейные проекции. Пусть ^ С ^2 — два линейных простран-
ства над полем /С, a X-t = Spec SK(Vi). Морфизм Х2 -> Х\, индуцирован-
ный вложением SK(V\) С Sk(V2), называется проекцией схемы Х2 на Х\\
на множествах /(-точек он индуцирует естественное отображение Х2(К) =
= Vg —* ^Г =^iW> ПРИ котором линейный функционал ограничивается
с V2 на 1Л.
§ 1.6. Топологические свойства некоторых морфизмов
В этом параграфе мы исследуем самые элементарные свойства мор-
физмов αφ: Spec В —> Spec Л, дающие частичный ответ на вопрос, какова
структура топологического пространства acp(Specfi).
Любой гомоморфизм φ: А —► β разлагается (см. [12]) в произведе-
ние сюръективного гомоморфизма колец А —► Л/Кегср и вложения
Л/Кегф —> β. Выясним свойства αφ в этих двух случаях. Первый из них
совсем прост.
1.6.1. Предложение. Пусть φ: А —> В — эпиморфизм колец. Тогда
отображение αφ является гомеоморфизмом пространства Spec β
на замкнутое подпространство У(Кегф) С Spec Л.
Это прямо следует из определений, и мы оставляем проверку читателю
(обратить внимание на доказательство непрерывности обратного отобра-
жения О)"1: V(Kercp) -+ Spec β). D
В частности, пусть А — кольцо конечного типа над некоторым по-
лем К или кольцом целых чисел Z. По определению, это означает, что А
есть фактор кольца многочленов К[Т\, ..., Тп] или Z[T\, ..., Tn]. Спектр
кольца многочленов играет роль аффинного пространства (над К или
над Ζ соответственно). Значит, спектры колец конечного типа соот-
ветствуют аффинным многообразиям (соответственно «арифметиче-
ским аффинным многообразиям», если uajxZ): они вкладываются в конеч-
номерные аффинные пространства.
Итак, сюръективные гомоморфизмы колец превращаются во вложения
пространств. Однако вложения колец не обязательно индуцируют сюръ-
ективные отображения спектров: только замыкание acp(Spec β) совпадает
со Spec Л. Это следует из несколько более общего факта.
1.6.2. Предложение. Для любого гомоморфизма колец φ: Α —>β
и идеала ЬеВ имеем:
W(b)) = V(<Tl(b)).
§ 1.6. Топологические свойства некоторых морфизмов
37
(В частности, при Кегср = {0} получаем ay{V{b)) = V(0), то есть об-
раз Spec β плотен в Spec Л.)
Доказательство. Можно считать, что b — радикальный идеал, по-
тому что V{r{b)) = V{b) и φ"1 (r(b)) = r{(?~l{b)). Множество a<f(V(b)) яв-
ляется пересечением всех замкнутых множеств, содержащих аср(К(Ь)), то
есть множеством общих нулей всех функций / Ε Л, обращающихся в нуль
на аф(^(Ь)). Но обращение / в нуль на acp(V(b)) равносильно обращению
φ(/) в нуль на V{b), то есть включению cp(b) G Ь (потому что b радикален)
или, наконец, включению /Ε φ-1 (в)· Поэтому интересующее нас замыка-
ние равно 1/(ф_1(Ь)). D
Теперь приведем примеры вложений колец, в которых действительно
acp(Spec£) не совпадает со Spec Л.
Примеры. 1) Проекция гиперболы на координатную ось. Пусть
К — поле, а
ψ.Α = Κ{Ά)^Κ[Τλ, Т2\/(ТХТ2-\) = В
— вложение. Здесь a(p(Spec В) — D{T\)y в соответствии с рис. 1.8. Действи-
тельно, αφ переводит общую точку в общую. Простой идеал (/(Γι)) С Л, где
Т2
7Ί = 0 SpecR^]
Рис. 1.8
/ Ф сТ\ — неприводимый многочлен, является прообразом простого идеа-
ла (/(Γι) mod (Γι 72 - 1)) С В. Наконец, Т\ вместе с Т\ 7^ - 1 порождают
единичный идеал в К[Т\, Г2], поэтому (Γι) ^acp(SpecS). В этом примере
образ aq>(SpecS) открыт; но он может быть ни открытым, ни замкнутым,
как в следующем примере.
2) Проекция гиперболического параболоида на плоскость. Рас-
смотрим гомоморфизм
φ: Α=Κ[Μ, Ν]<-+Β = Κ[Μ, Ν, Τ]/{ΜΤ - fi).
Читателю предлагается проверить, что
>(Spec В) = D{M) U V(M, N)
38
Гл.1. Аффинные схемы
и что это множество действительно не является открытым (незамкнутость
его очевидна); см. рис. 1.9.
Рис. 1.9
Этот пример иллюстрирует явление, давно замеченное в теории урав-
нений. Образ a(p(Spec В) — это «множество тех значений» коэффициентов
Λί, Ν, при которых уравнение МТ — N = О относительно неизвестной Τ
разрешимо (в какой-нибудь /(-алгебре). Вообще говоря, условием разре-
шимости является неравенство Μ φ О, но даже при Λί = О разрешимость
обеспечена, если также N = 0.
Можно доказать, что если кольцо А нётерово, а Л-алгебра В име-
ет конечное число образующих, то множество acp(Spec В) является объ-
единением конечного числа локально замкнутых множеств (пере-
сечений замкнутого и открытого множеств). Такие множества называются
конструктивными.
Образ конструктивного множества относительно αφ в описан-
ных условиях всегда конструктивен (теорема Шевалле).
В терминах неопределенных коэффициентов (конечной) системы урав-
нений это означает, что условие ее совместности имеет следующий вид:
коэффициенты должны удовлетворять одному из конечного числа утвер-
ждений, а каждое утверждение представляет собой набор конечного числа
полиномиальных равенств и неравенств (нулю).
^ΛίΓ-Λ^Ο:
утверждение 1: Λί φ 0;
утверждение 2: Λί = N = 0.
В разобранных случаях что-то «уходило на бесконечность». Мы опи-
шем сейчас важный класс морфизмов αφ, для которых этого не происходит.
Они подобны «конечнолистным накрытиям» римановых поверхностей.
§ 1.6. Топологические свойства некоторых морфизмов
39
1.6.3. Определение. Пусть В — некоторая Л-алгебра; элемент χ е В
называется целым над Л, если он удовлетворяет некоторому уравнению
вида хп + ап-\ + . ·. + яо = 0 («уравнение целой зависимости»), где щ е Л.
Кольцо В называется целым над Л, если любой элемент В цел над Л.
Есть два важных случая, когда целость В над Л легко установить.
Случай 1. Если В как Α-модуль имеет конечное число образую-
щих, то В цело над А.
Действительно, если кольцо Л нётерово, то для любого элемента g e В
k
возрастающая последовательность Л-модулей В^ = ]P Agl С В стабили-
*-ι /=°
зируется. Поэтому для некоторого k имеем gk e Σ Agly что и доставляет
уравнение целой зависимости. /=0
Общий случай сводится к разобранному с помощью следующего при-
п η
ема. Пусть В = ]Г Л Д. Положим //// = ]Г α^/ь где aki}eA, и пусть g =
= Σ eif'n гДе Si^A- Обозначим через Ло С Л наименьшее подкольцо, со-
ί=1 η
держащее все а\} и g/, и положим йо = Σ ^ο//· Очевидно, Л о есть нётерово
/=1
кольцо, Во — Ло-алгебра и g e Во. Поэтому g удовлетворяет уравнению
целой зависимости с коэффициентами в Ло. □
Случай 2. Пусть G — некоторая конечная группа автоморфиз-
мов кольца В, А = BG — подкольцо G-инвариантных элементов. То-
гда В цело над Л.
Действительно, для любого g € В все элементарные симметрические
многочлены от s(g), где s e G, принадлежат Л, a g удовлетворяет уравне-
нию nte-*te)) = o. α
xeG
1.6.4. Теорема. Пусть φ: Л —>В — вложение колец и В цело над Л.
Тогда >(Spec В) = Spec Л.
Доказательство. Мы сначала докажем два частных случая тео-
ремы, а затем сведем к ним общее утверждение.
Случай 1. Теорема верна, если В — поле.
Тогда flcp(Spec В) = {(0)} С Spec Л, и эпиморфность равносильна тому,
что у Л нет других простых идеалов, то есть Л — поле. Проверим это.
Пусть / G Л, / φ 0; покажем, что элемент f~{ e В принадлежит Л. Он цел
над Л, то есть удовлетворяет уравнению
п~\
Γη + ΣαιΓι = 0, где α/G Л,
40
Гл.1. Аффинные схемы
откуда, умножая на fn {, находим
п-\
/=0
что доказывает требуемое.
Случай 2. Если А — локальное кольцо, то в условиях теоремы
единственная замкнутая точка Spec Л принадлежит a(p(Spec£);
более того, она является ау-образом любой замкнутой точки
Spec В.
Действительно, пусть ρ — максимальный идеал A, q— любой макси-
мальный идеал В. Тогда B/q — поле, целое над подкольцом А/А П q, ко-
торое, по доказанному в случае 1, тоже должно быть полем. Это означает,
что Α Π q — максимальный идеал в Л и, стало быть, А П q = φ-1 (q) = P.
Сейчас (и во многих других местах) нам понадобится понятие кольца
частных.
Пусть А — произвольное кольцо. Мы хотим определить «кольцо дро-
бей» {f/g | g пробегает некоторое множество S элементов из А}; так как
при сложении и умножении дробей обычным способом знаменатели пе-
ремножаются, разумно требовать, чтобы S было замкнуто относительно
умножения, т. е. являлось мультипликативной системой.
Примеры мультипликативных систем:
1) {fn}nez+ — множество всех неотрицательных степеней элемента
feA.
2) А \ р, где ρ — простой идеал.
1.6.5. Определение. Для всякой мультипликативной системы 5 коль-
ца А определим кольцо частных, обозначаемое As, или S~lA, или y4[S-1],
следующим способом.
1) As как множество есть фактор (А х S)/R, где R— следующее отно-
шение эквивалентности:
(/b S\) ~ (/2, 5г) <=3> Существует t e S, ДЛЯ КОТОРОГО t(f\S2 - /2<Sl) = 0.
2) Обозначим класс элемента (/, s) (mod R) через fs~x или f/s. Законы
композиции в кольце As задаются обычными формулами:
f/s + g/t = (ft + gs)/st,
(f/s)'(g/t) = №/st.
Единицей является элемент 1/1, а нулем — элемент 0/1.
Замечание. Отличие от случая кольца без делителей нуля проявля-
ется в определении отношения эквивалентности. Элемент / нужен, что-
бы проверить аксиомы кольца As', «приводя к общему знаменателю», мы
§ 1.6. Топологические свойства некоторых морфизмов
41
оТОЖдествляем дроби f/s и ft/st, t e S. Если ft = 0, то в кольце без дели-
телей нуля автоматически / = 0, но это не всегда так в общем случае.
Мы оставим читателю проверку корректности этого определения.
В случае кольца без делителей нуля отображение а ь-> а/1 вкладывает
д в As- В общем случае, однако, может появиться нетривиальное ядро.
1.6.6. Лемма. Пусть j: A—> As — отображение j(a) = α/1. Тогда
1) j — гомоморфизм колец;
Кег/ = {/ € А | существует s G S, для которого sf = 0};
2) если 0 ^ S, то все элементы из j(S) обратимы в А, в противном
случае As = {0};
3) каждый элемент из As представляется в виде j{f)/j(s).
Доказательство очевидно; следует заметить, как «сжимается»
кольцо As, если мы увеличиваем количество делителей нуля в S. D
Основным фактом о кольцах частных является следующая теорема,
описывающая универсальный характер конструкции кольца As', доказа-
тельство ее мы оставляем в качестве упражнения.
1.6.7. Теорема. Пусть S — мультипликативная система в кольце
А и j: а —► а/1 канонический гомоморфизм А —> As. Для любого гомо-
морфизма f кольца А в кольцо В, при котором каждый элемент из
f(S) обратим, существует единственный гомоморфизм f кольца As
в В, для которого f = /7 о у.
Полезные следствия:
1) Пусть А — кольцо, Τ и S — его мультипликативные системы такие,
что TD S. Тогда коммутативна диаграмма
/5
•A[S-l]Bjs(a)/js(S)
А[Т-1] э/>(а)//>(5).
2) В той же ситуации: A[T-l]=A[S~l][js(T)-1].
1.6.8. Теорема. Пусть А — кольцо, S — мультипликативная си-
стема и /: А —> As — канонический гомоморфизм. Тогда индуциро-
ванное отображение а)\ Spec As -> Spec А гомеоморфно отобража-
ет Spec/Is на подмножество в Spec Л, состоящее из таких точек
х € Spec Л, что рх Π S = 0.
42
Гл. 1. Аффинные схемы
Доказательство. Можно ограничиться случаем 0 ¢ S. Докажем
сначала, что между множествами Spec As и {χ | ρ* Π S = 0} существует
взаимно однозначное соответствие.
Во-первых, пусть у е Spec Л и χ = aj(y). Тогда pxr\S - 0, так как
в противном случае в ру существовал бы образ относительно у одного из
элементов из S, который обратим, и ру содержал бы единицу.
Во-вторых, пусть χ е Spec А и рх Π S = 0. Положим р^ = pjJS"1 ]· Иде-
ал р^ прост: пусть {fs~l)(gt~[) € ру. Тогда fg € ρ* и, в силу простоты р*,
либо / G рх, либо g € рх, так что или //s е р#, или g// Ε р^. Взаимную об-
ратность отображений py*->j~l(py) и ρ* н-> pjJS"1] можно установить так:
рассмотрим {feA\f/le px[S~~{)}. Пусть //1 = /'/s, /' е ρ*. Домножив на
некоторый элемент t eS, получим tf е рх, откуда / € р*.
Теперь осталось показать, что это взаимно однозначное соответствие
есть гомеоморфизм.
Как было доказано ранее, отображение а\ непрерывно. Следовательно,
нам достаточно сейчас доказать, что при этом отображении образ каждого
замкнутого множества замкнут, т. е. верны равенства вида /(V(E)) — V(E').
Мы не будем проводить здесь подробных рассуждений, а лишь укажем
множество Е' для заданного Е. Именно,
Е' = {числители элементов из £}. D
1.6.9. Пример. Множество D(f) гомеоморфно Spec Af (напомним, что
пишем Af вместо ^{/«}rt€Z Y действительно,
Ρ* П {/л}я€г+= 0 <=* fiPx.
Таким образом, Spec А разбивается в объединение открытого и замкнутого
множества, каждое из которых гомеоморфно спектру некоторого нового
кольца:
Spec A = Spec Af U Spec A/(f).
Здесь проявляется некоторая «двойственность» операций взятия коль-
ца частных («локализации») и факторкольца. Рассматривая D(f) как
Spec Af, мы «уводим V(f) на бесконечность». Если 5 порождено конечным
числом элементов /ь ...,/«, то
pxnS = 0 <=* xef] D(fi),
/=1
так что в этом случае образ Spec As открыт в Spec Л; но это не всегда так.
Если S = А \ рХу то образ Spec As в Spec А состоит из всех то-
чек у б Spec Л, специализацией которых является х; нетрудно убе-
диться, что, вообще говоря, это множество не открыто (и не замкнуто)
§1.6. Топологические свойства некоторых морфизмов 43
в Spec Л: оно является пересечением всех открытых множеств, со-
держащих х. Кольцо АА\Рх = Од; имеет единственный максимальный идеал
ρ О*; его спектр геометрически описывает «окрестность точки х» в сле-
дующем смысле: мы можем проследить за поведением всех неприводимых
подмножеств Spec Л, проходящих через х, «вблизи» х\ это «росток окрест-
ностей точки х».
SpecRHr
Т=0
SpecR[H
SpecR[7b72ls,
weS = R[r1,r2]\(rb7'2)
а) б)
Рис. 1.10. a) SpecR[r]r и SpecR[r];6) SpecRlfb T2]s, где S = R[rb T2]\(TU T2)
Вернемся к доказательству теоремы 1.6.4.
Общий случай. Пусть ρ С Л; мы хотим показать, что существу-
ет идеал q С В, для которого q Π Л = р.
Положим S = Л \ р. Это — мультипликативная система, потому что она
состоит из функций, не обращающихся в нуль в точке из Spec Л.
Рассматривая S как подмножество в Л и 5, мы можем построить коль-
ца частных As и Bs. Положим ps = {f/s | / e p, s € S}. Легко видеть, что
Ps С As — простой идеал. Он максимален, так как As \ ps состоит из об-
ратимых элементов.
Кольцо Bs цело над As, потому что если / € В удовлетворяет уравнению
fn + Σ aifl = 0> то f/s € &s удовлетворяет уравнению
(f/sr^ai/s^if/sY^O.
Следовательно, по предыдущему утверждению, существует такой про-
стой идеал qs С BSl что As Π qs = Ps·
Прообраз q идеала qs в β (относительно естественного гомоморфизма
В -» Bs) прост. Остается проверить, что Л Π q = р. Включение ρ С Л Π q
очевидно.
44
Гл. 1. Аффинные схемы
Пусть / Ε Л Π q. Существуют η Ε Ζ и s Ε S, для которых //5" Ε gs·
Поэтому f/sn Ε As Π qs = ps, так что sm/ Ε ρ для некоторого га ^ 0. Сле-
довательно, /Ер. Доказательство закончено. D
В этом доказательстве кольцо частных As появилось как технический
трюк, позволяющий «изолировать» простой идеал ρ С Л, сделав его един-
ственным максимальным идеалом в As. Именно с такими геометрическими
представлениями связан термин «локализация» в применении к конструк-
ции колец частных.
Дальше нам будет полезно следующее дополнение к теореме 1.6.4.
Обозначим через Spm А множество максимальных идеалов в кольце А —
максимальный спектр.
1.6.10. Предложение. В условиях теоремы 1.6.4 имеем flcp(Spm В) =
= Spm Л и аф_1(5ртЛ) = Spm S.
Доказательство. Пусть ρ Ε Spm β; тогда Β/ρ — поле, целое над
А/А Π ρ = Л/ф_1(р). В силу случая 1 теоремы 1.6.4, Л/ср_1(р) тоже поле,
так что φ_1(Ρ) максимален в Л.
Для доказательства второго утверждения рассмотрим простой идеал
q С β, для которого ρ = Л Π q С Л максимален. Кольцо без делителей нуля
β/q цело над полем Л/р; нужно проверить, что оно является полем. В са-
мом деле, любой элемент / Ε B/q, будучи целым над Л/р, принадлежит
конечномерной Л/р-алгебре, порожденной степенями г. Умножение на /
в этой алгебре линейно и не имеет ядра, поэтому является эпиморфизмом.
В частности, разрешимо уравнение fu = 1, что доказывает требуемое. D
1.6.11. Предупреждение. Пусть φ: Л —► В — гомоморфизм колец
и пусть χ Ε Spm 5, а у Ε Spm Л. Вообще говоря, точка ау(х) незамкну-
та, а (а(?)~1(у) содержит и незамкнутые точки, так что предложение 1.6.10
описывает довольно специальную ситуацию. Вот пример.
Пусть Ър — кольцо целых р-адических чисел, а φ: Ър °-»ЪР\Т\ — есте-
ственное вложение. Пусть рх — (1 - рТ) — максимальный идеал в ЪР[Т]\
факторкольцо по нему изоморфно полю р-адических чисел Qp. Очевидно,
cp-V) = Zpn(/-/>r) = (0).
Поэтому a(f(x) ¢ Spm Zp. Более общо, замкнутая точка χ имеет своим об-
разом общую точку в Spec Ър, которая является открытым множеством,
будучи дополнением к (р)\
В частности, Spm Л не является функтором от Л, в отличие от Spec Л.
Пусть теперь р^ = (р) с ЪР[Т], ар, = (р) С Zp. Тогда у Ε ("φ)"1 (χ);
точка χ замкнута, а у — нет. Впрочем, здесь нет ничего неожидан-
ного. Еще очевиднее был бы пример проекции плоскости на прямую
§ 1.7. Замкнутые подсхемы и примарное разложение 45
К[Т\) ^ К\Т\у 7¼]. Прообраз точки Т\ = О на прямой содержит, конечно,
обтую точку 72-оси, незамкнутую в плоскости.
1.6.12. Упражнения. 1) Пусть В— некоторая Л-алгебра. Доказать,
что элементы β, целые над Л, образуют Л-подалгебру алгебры В.
2) Пусть Л С В С С — три кольца, В цело над Л, а С цело над В.
Доказать, что С цело над Л.
3) Пусть Л — кольцо с однозначным разложением на множители. Тогда
Л целозамкнуто в своем поле частных, то есть любой элемент //g, целый
над Л, принадлежит Л.
§ 1.7. Замкнутые подсхемы и примарное разложение
1.7.1. Определение. Пусть X = Spec Л — аффинная схема, α С Л —
некоторый идеал. Замкнутой подсхемой X, соответствующей идеалу
о, называется схема (V(a), α, А/а), где a: V(a) ^ Spec Л/а — канониче-
ский гомеоморфизм пространств, определенный в п. 1.6.1.
Таким образом, замкнутые подсхемы схемы Х= Spec Л находятся во
взаимно однозначном соответствии со всевозможными идеалами коль-
ца Л, в отличие от замкнутых подмножеств пространства Spec Л, ко-
торые отвечают радикальным идеалам (см. следствие 1.3.5).
Мы будем часто обозначать подсхему (V(a), a, А/а) просто Spec A/a
и опускать слово «замкнутый», потому что в этом параграфе никакие дру-
гие подсхемы не рассматриваются.
Носителем подсхемы У = Spec А/а С X называется пространство К(а);
оно обозначается Supp Y.
Каноническому гомоморфизму колец Л —»А/а отвечает мономорфизм
схем Υ —► X, который называется замкнутым вложением подсхемы Υ.
Для любого кольца L мы будем обозначать через X(L) множество
Hom(SpecL, X) = Нот(Л, L) и называть его множеством L-точек схемы
X (ср. с определением 1.1.4). Тогда L-точки подсхемы Υ образуют подмно-
жество Y(L) С X(L), а функтор L н-> Y(L) — подфунктор функтора L н-> X(L).
На множестве замкнутых подсхем схемы X имеется естественная упо-
рядоченность: Y\ С Уг» если СИ Э ci2 (где о£- — идеал, определяющий К/).
Использование знака включения оправдано тем, что
у1СУ2 ^==^ YX(L)CY2(L)
для всех колец L.
Отношение «У есть замкнутая подсхема схемы X» транзитивно в оче-
видном смысле слова.
Для всякого замкнутого множества V(E) С X существует единствен-
ная наименьшая замкнутая подсхема с носителем V(E): она определяется
46
Гл. 1. Аффинные схемы
идеалом /*((£)), и в ее кольце нет нильпотентов. Такие схемы называют-
ся приведенными. В частности, подсхема Spec A/'N (N — нильрадикал А)
является наименьшей замкнутой подсхемой, носитель которой — всё про-
странство Spec Л. Если X = Spec Л, то схему Spec A/N часто обознача-
ют^.
1.7.2. Определение. Пересечением f] У; семейства подсхем У; =
i
= Spec A/di называется подсхема, определенная идеалом Σ α/·
i
Название оправдано тем, что для любого кольца L множество L-точек
(р| Υ ML) естественно отождествляется с р| Yi(L). Действительно, L-точка
/ /
φ: А —► L принадлежит f] Yt{L) в том и только в том случае, когда Кег φ э ft/
ддя всех /, что равносильно включению Кег φ Э ^ 'ft/. Это же рассуждение
показывает, что Supp (f) У/) = f| Supp У/. l
i i
В этом смысле понятие объединения семейств подсхем не определено.
Вообще говоря, для данных У/ не существует замкнутой подсхемы У,
для которой Y(L) = (J Yi(L) при всех L. Однако существует наименьшая
/
подсхема У со свойством
Щ-)ЭУВД ДЛЯ всех L.
/
Она определяется идеалом [) о,·.
i
В самом деле, если Y(L) D |J Yi{L) для всех L, то идеал α подсхемы У
/
удовлетворяет условию: «всякий идеал, содержащий один из идеалов а/,
содержит ft».
Пересечение f] ft/ является, очевидно, наибольшим идеалом, удовле-
/
творяющим этому условию.
1.7.3. Определение. Квазиобъединением V У/ семейства замкнутых
подсхем (У/) схемы X называется подсхема, соответствующая пересечению
всех идеалов подсхем У/.
Важно заметить, что квазиобъединение подсхем У/ не зависит от того,
внутри какой замкнутой подсхемы, содержащей все У/, мы его строим.
Главная цель этого параграфа — построить для нётеровых аффинных
схем теорию разбиения на «неприводимые» в некотором смысле компо-
ненты, аналогичную построенной в п. 1.4.6а— 1.4.6д для нётеровых тополо-
гических пространств. При этом мы будем пользоваться операцией квази-
объединения.
§ 1.7. Замкнутые подсхемы и примарное разложение
На носителях она совпадает с объединением (для конечных семейств
подсхем).
1.7.4. Лемма. Supp ( \/ γι) = U SuPP γι·
M=l ' /=1
В самом деле, включение С уже доказано.
η
Наоборот, если χ ¢. |J Supp У/, то для всех i существует элемент /,· е α/
для которого /,·(*) ^ 0. Поэтому Ц fi(x) φ 0 и, значит, д: не принадлежит
множеству нулей всех функций из f] α/, которое и есть Supp ί V ΥΛ (см.
также упражнение 1 к § 1.3). ' ι={ Ώ
1.7.5. Определение. Аффинная схема X называется приводимой,
если существует представление вида X = ΛΊ V ^2, где ^ι, ^2 — собственные
замкнутые подсхемы X.
Аффинная схема X называется нётеровой, если ее кольцо нётеро-
во. Эквивалентное определение: убывающие цепочки замкнутых подсхем X
стабилизируются.
Нам теперь нужно перенести на подсхемы понятие неприводимости.
Первое, что приходит в голову, — имитировать определение неприводимо-
сти для пространств.
1.7.6. Теорема. Всякая нётерова аффинная схема X разлагает-
ся в квазиобъединение конечного числа замкнутых неприводимых
подсхем.
Доказательство. То же рассуждение, что и в конце п. 1.4.66, при-
водит к требуемому результату. Если X приводима, мы пишем X = Х\ V Χ<ι,
затем при необходимости разлагаем Х\ и Х^ и т. д. Процесс оборвется в си-
лу нётеровости. Π
Это понятие неприводимости оказывается все же чересчур тонким. Бо-
лее полезен класс примарных аффинных схем.
1.7.7. Определение. Идеал q с А называется примарным, если лю-
бой делитель нуля в Л/q нильпотентен.
Замкнутая подсхема называется примарной, если она определяется
примарным идеалом.
1.7.8. Предложение. Всякая неприводимая нётерова схема при-
марна.
Обратное утверждение неверно. В самом деле, рассмотрим кольцо А =
= К х V, где V —- идеал с нулевым умножением, К — бесконечное поле.
48
Гл.1. Аффинные схемы
Идеал (0) примарен, и для любого подпространства V С V идеал (0, V)
примарен. В то же время, если dim/( V> 1, существует бесконечно много
представлений (0) = V\ Π У2, где У/ С V — собственные подпространства,
то есть представлений X = Y\ V Υ2, где X = Spec А. Это непоправимо пор-
тит надежды на единственность разложения в квазиобъединение непри-
водимых подсхем. С примарными подсхемами, как мы увидим ниже, дело
обстоит лучше.
Доказательство предложения 1.7.8. Покажем, что непри-
марная нётерова схема X приводима. Действительно, в ее кольце А есть
такие два элемента /, g, что fg — 0, g φ 0 и / не является нильпотентом.
Положим а/г = Ann fk = {h € A I hfk = 0}. Последовательность идеа-
лов uk возрастает и потому стабилизируется. Пусть ап = art+i.
Тогда имеем: (0) = (fn) Π (g). Действительно,
be (Г)rite) =► h = hxfn = h2g;
но Λι/""^ = /*2g/ = 0, откуда h\fn = 0, потому что α„+ι = о«. Поэтому Υ =
= Y\ V >2, где Κι определяется идеалом (/"), а >2 — идеалом (g). О
1.7.9. Замечания. 1) Носитель примарной нётеровой схемы неприво-
дим. Действительно, радикал примарного идеала прост.
2) Результаты пунктов 1.7.6 и 1.7.8 вместе показывают, что нётерова
аффинная схема разлагается в квазиобъединение своих примарных под-
п
схем: X = \J Y\. Мы могли бы оставить в этом разложении лишь макси-
1=1
мальные элементы, а затем попытаться доказать его единственность ана-
логично тому, как это делалось для пространств в конце п. 1.4.66. Но это
рассуждение не проходит сразу в двух местах. Во-первых, формула
Χη(\/γϊ)=\/(ΧΓΐΥι),
М=1 / /=1
вообще говоря, неверна. Во-вторых, как мы выяснили, наши примарные
подсхемы Xi сами вполне могут быть приводимы. п
Поэтому вместо вычеркивания немаксимальных элементов из \/ У,-
/=1
нужно применить менее тривиальный процесс, и даже после этого теорема
единственности будет сложнее формулироваться и доказываться.
η
Назовем примарное разложение X = У Χι несократимым, если вы-
полнены следующие два условия: /=1
а) Supp Xi φ Supp X} при i φ /;
б) Xk ¢. V Xi для всех k.
§ 1.7. Замкнутые подсхемы и примарное разложение
49
1.7.10. Теорема. Всякая нётерова аффинная схема X разлагает-
ся в несократимое квазиобъединение конечного числа своих примар-
ных замкнутых подсхем.
Доказательство. Начнем с какого-нибудь примарного разложе-
п
нИЯ χ = у Χι (см. выше, 1.7.9 (2)). Пусть У) (/ = 1, ..., т) — квазиобъ-
единения всех тех подсхем X-t, которые имеют общий носитель. Тогда Х =
т т
= У Yj. Если Y\ С V У), вычеркнем Υ\. Продолжая так же, за конечное
/=1 У=2
число шагов мы придем к объединению X = \J Yj, которое удовлетворяет
второму условию в определении несократимости. Остается лишь убедить-
ся, что подсхемы У/ примарны. D
Лемма. Квазиобъединение конечного числа примарных подсхем
с общим носителем примарно (и имеет тот же носитель).
η
Доказательство. Пусть У = \/ У/, Supp У/ = Supp У для всех п.
i=\
Пусть У/ соответствует идеалу а/ в кольце Л схемы У. Тогда f] α, = (0).
/=ι
Рассмотрим делитель нуля / € А. Пусть fg — 0, где g φ 0 и g ¢. α, для
некоторого /; в силу примарности а/ имеем fn e а/ для некоторого п. Но
так как К(а;) = V(0), то о/ состоит из нильпотентов, так что /—нильпотент.
Это завершает доказательство. D
Теперь мы в состоянии доказать первую теорему единственности.
η
1.7.11. Теорема. Пусть Х= \J Χι — несократимое примарное раз-
/=1
ложение нётеровой аффинной схемы X. Система общих точек
неприводимых замкнутых множеств SuppX/ не зависит от выбо-
ра такого разложения.
Система общих точек неприводимых замкнутых множеств Supp Х^ опи-
санная в этой теореме, обозначается Ass X (или Ass Л, если Х= Spec Л)
и называется множеством простых идеалов, ассоциированных с X
(или А).
Мы установим более сильный результат, дающий эквивалентную ха-
рактеризацию множества Ass X. Пусть X = Spec Л, Χι = Spec Л.
1.7.12. Предложение. Следующие два утверждения эквива-
лентны:
1) простой идеал ρ С А соответствует общей точке одного из
множеств Supply;
50
Гл. 1. Аффинные схемы
2) существует такой элемент /Е Л, что идеал
Annf={geA\fg = 0} (1.7.1)
прижарен, ар — его радикал.
Доказательство. 1) => 2). Пусть ру— идеал общей точки Supply,
α, — идеал, определяющий Xj. Очевидно, ру = г(а7). Так как представление
η
X = у Xj несократимо, а/ 7$ Π а,·. Выберем элемент / Ε f] Oy\o/ и покажем,
У=1 \φι ΊΦΊ
что Ann/ примарен с радикалом р/.
Прежде всего, Ann(/ mod α,·) в кольце Л/α/ состоит только из ниль-
потентов, поэтому Ann / С р, (ибо р/ является прообразом нильрадикала
в Л /а/ при естественном гомоморфизме Л —► Л/а;). Кроме того, о£· С Ann /,
потому что по построению /а/ С f| а7 = (0). Следовательно, г(Апп /) = р/.
У
Проверим теперь, что в A/ Ann / все делители нуля — нильпотенты.
Пусть это не так; тогда существуют элементы g, h Ε А такие, что
gh Ε Ann /, h ¢. Ann /, g не является нильпотентом по модулю Ann / и,
стало быть, также по модулю а/.
С другой стороны, fgh = 0; так как g mod α/ не нильпотент, из примар-
ности а/ следует, что fh mod а/ = 0, то есть fg € ( f| ау) Π α/ = (0), отку-
да h e Ann /, вопреки выбору h. Полученное противоречие устанавливает
примарность Ann /.
2) => 1). Пусть /G А—такой элемент, что Ann/ примарен с радика-
лом р. Положим si = (α/:/), где
(* :/):={£€ Λ |g/eaj. (1.7.2)
Из того, что P| щ = (0), легко следует, что Ann / = f] 5/ и далее ρ =
i
= r(Ann /) = Π Φ/)· Если / G α/, то s/ = φ/) = А. Если же f ¢ α/, то
Αηη(/ mod α/) в кольце Λ/ο/ состоит из нильпотентов, так что ф,) = р/.
Следовательно, мы имеем ρ = f] pi, где I = {i\f ¢. a,·}. Отсюда вытека-
ет, что ρ совпадает с одним из идеалов р/. Действительно, К(р) = f] V(pi)
и V(p) неприводимо. Предложение доказано, а с ним и теорема единствен-
ности 1.7.11. D
1.7.13. Самое характерное отличие несократимого примарного разло-
п
жения X=z у Xt от разложения пространства SuppX в объединение мак-
симальных неприводимых компонент состоит в следующем. Хотя среди
носителей подсхем Xt содержатся все неприводимые компоненты SuppX
§ 1.7. Замкнутые подсхемы и примарное разложение 51
по одному разу, носители могут не исчерпываться этим; возможно, что
Supp ^/ c Supp Л/ для некоторых /, /*.
Простой пример доставляет кольцо, описанное в замечании к теоре-
ме 1.4.6д. В обозначениях п. 1.4.6д, в кольце В имеем: (0) = (0, α) Π (ρ, 0),
так что Х = Х\ VX2, где Supp^i = SuppX, a SuppX2 = V((p, 0)). Про-
странство Supp^2 целиком содержится в пространстве Supp Xi, но как
подсхема Х^ выделяется «на общем фоне» своими нильпотентами (см.
рис. 1.11):
Х\ ~ Spec Л,
X2~Spec(A/p)[T]/(T2).
х2
и
Рис. 1.11
Это замечание о нильпотентах имеет общий характер. В самом деле,
пусть SuppX/ С SuppX) в несократимом разложении, X-t ¢ Xj. Тогда
Supp(X,· Π Xj) = Supp Χι, но Xi Π Xj является собственной подсхемой в Xim
Это может быть лишь в том случае, когда нильпотентов в кольце схемы
Xi больше, чем в кольце пересечения Χι ПХу, где они индуцированы ниль-
потентами, «пришедшими» с большего пространства Xj.
Среди компонент Χι несократимого примарного разложения те, для ко-
торых SuppX/ максимален, называются изолированными, остальные —
вложенными. Та же терминология применяется к самим множествам
Supp Xj и к их общим точкам, элементам Ass X.
Пространство вложенной компоненты может принадлежать одновре-
менно нескольким (изолированным или вложенным) компонентам. Кроме
того, цепочка компонент, последовательно вложенных друг в друга, может
быть как угодно длинна.
Таким образом, невинное на взгляд пространство аффинной схемы мо-
жет таить в себе сложную структуру вложенных примарных подсхем, вроде
изображенной на рис. 1.12. Читатель должен привыкнуть к геометрической
реальности этой структуры.
(Конечно, изображая нильпотенты стрелками, невозможно передать де-
тали сколь-нибудь точно. Ясно лишь, что на вложенных компонентах ниль-
потенты растут гуще, что и выдает их присутствие.)
52
Гл. 1. Аффинные схемы
)
/
/
/
I
\
τ
Пространство Схема
Рис. 1.12
Конечное множество простых идеалов Ass Л, которое мы инвариант-
но связали с каждым нётеровым кольцом Л, имеет ряд важных свойств.
В частности, оно позволяет уточнить теорему 1.4.6д.
1.7.14. Теорема. Элемент feA является делителем нуля, если
и только если он обращается {как функция) в нуль на одной из ком-
понент несократимого примарного разложения Spec Л. Иными сло-
вами, множество делителей нуля в А совпадает с |J р.
pGAss A
Доказательство. Покажем сначала, что если f ¢. \] р, то
Ann f = (0). Легко видеть, что !) (а: Ь) — идеал в Л, ср. с идеалом (1.7.2).
Идеал (0: Ь) называется аннулятором идеала b и обозначается Ann b.
Пусть (0) = f] α/ — несократимое примарное разложение, где р; = г(а/).
i
Пусть fg = 0. Так как f ¢pi, из примарности а,· следует, что g e а,. Это
верно для всех /, следовательно, g = 0.
Наоборот, пусть Апп(/) = (0). Предположим, что / е р/, и придем к про-
тиворечию. Если / е р/, то для некоторого fc^l в силу нётеровости Л по-
лучим fk е pf С а/, то есть (ау: (fk)) = Л. С другой стороны, Ann(/*) = (0).
Отсюда
(0) = Anntf*) = П (α/: (/*)) = П (*/ : (/*)) Э П *l·
ϊ т т
а это противоречит несократимости разложения и завершает доказатель-
ство. D
)Напомним, что частное (а: Ь) двух идеалов а и Ь в А есть множество
(а:Ь):={хеА \xbCa}.
§ 1.8. Теорема Гильберта о нулях 53
Отметим, наконец, что теорема единственности 1.7.11 относится лишь
к носителям примарных компонент несократимого разложения, а не к са-
мим компонентам. О них можно утверждать лишь следующее.
1.7.15. Теорема. Множество изолированных компонент несо-
кратимого примарного разложения нётеровой схемы Spec А не за-
висит от выбора разложения.
Для вложенных компонент это неверно.
Мы опускаем доказательство; читатель может обратиться к книге [11,
т. I, гл. IV, § 5, теорема 8] или книге [12, гл. VI, § 5, теорема 3].
1.7.16. Упражнения. 1) Пусть К — алгебраически замкнутое поле.
Описать все примарные замкнутые подсхемы прямой Spec K[T]. То же
в случае незамкнутого поля. То же для Spec Z.
2) Описать с точностью до изоморфизма примарные замкнутые под-
схемы плоскости Spec/C^i, 7^] с носителем V(T\, Г2), локальные кольца
которых имеют длину ^ 3.
§ 1.8. Теорема Гильберта о нулях
В этом разделе мы установим, что замкнутые подсхемы конечномерных
аффинных пространств над полем или над кольцом имеют много замкнутых
точек.
1.8.1. Теорема. Пусть А — кольцо конечного типа (определение
см. в п. 1.6.1). Тогда множество замкнутых точек спектра Spm Л
всюду плотно в Spec Л.
1.8.2. Следствие. Для любого открытого или замкнутого под-
множества X С Spec А пересечение Χ Π Spm А всюду плотно в X.
Действительно, если X = V(E) и мы отождествим X с Spec Л/(£), то
Spm Л П V(E) совпадает с Spm(A/(E)), a A/(E) является кольцом конеч-
ного типа вместе с А. Отсюда легко следует утверждение и для открытых
множеств.
Пространство Spm Л легче поддается геометрической интуиции из-за
отсутствия в нем незамкнутых точек (все же «большие открытые множе-
ства» остаются). С другой стороны, из следствия 1.8.2 вытекает, что для
колец конечного типа пространство Spec Л однозначно восстанавливается
по Spm А (если считать, что индуцированная топология в Spm А известна).
Рецепт следующий.
1) Точки Spec Л находятся во взаимно однозначном соответствии с
неприводимыми замкнутыми подмножествами в Spm Л. (Тем самым, каж-
54
Гл.1. Аффинные схемы
дому неприводимому замкнутому подмножеству в Spm Л отвечает его «об-
щая точка» в Spec Л.)
2) Каждое замкнутое множество в Spec Л состоит из общих точек всех
неприводимых замкнутых подмножеств некоторого замкнутого множества
в Spm Л.
(Чтобы освоиться с этими утверждениями, читателю рекомендуется до-
казать их.)
Доказательство теоремы 1.8.1. Мы будем последовательно
расширять класс колец, для которых верна теорема.
а) Пусть К — алгебраически замкнутое поле. В SpecK[T\, ..., Тп]
множество замкнутых точек плотно.
Замыкание множества замкнутых точек совпадает с пространством ну-
лей всех функций, обращающихся в нуль во всех замкнутых точках. По-
этому достаточно доказать, что многочлен /\ принадлежащий всем макси-
мальным идеалам кольца К[Т\, ..., Тп], тождественно равен нулю. Но для
такого многочлена F имеем F(t\, ..., tn) = О для всех t\, ..., tn£K', лег-
кая индукция по η показывает, что F = О (здесь, по существу, используется
даже не замкнутость, а лишь бесконечность поля /С).
б) То же утверждение, что в а), но поле К не предполагается алгебра-
ически замкнутым. __
Обозначим через К Э К алгебраическое замыкание поля К. Имеем
А=К[Ти...,Тп]±К[Ти...,Тп]=В.
Кольцо В цело над Л, поэтому в силу результатов 1.6.4 и 1.6.10 имеем:
Spm Л = ai (Spm β) = ai (Spec В) = Spec Л.
в) Теорема 1.8.1 верна для колец без делителей нуля конечного типа Л
над полем К.
Действительно, согласно теореме Нётер о нормализации!) (см. [12,
гл. X, § 4]) существует такая подалгебра многочленов /: В ^ Л, что Л цела
над В. Так как уже доказано, что Spm В = Spec β, в точности такое же
рассуждение, как в предыдущем пункте, показывает, что Spm Л = Spec Л.
г) Теорема 1.8.1 верна для любых колец конечного типа Л над полем.
Действительно, любая неприводимая компонента Spec Л гомеоморфна
8ресЛ/р, где ρ — некоторый простой идеал. Кольцо Л/р удовлетворяет
условиям предыдущего пункта. Поэтому замкнутые точки плотны на всех
неприводимых компонентах Spec Л и, следовательно, на всем простран-
стве.
^Вот ее формулировка. Пусть k[x], где χ = (х\, ..., хп), — конечно порожденное
кольцо над полем k. Тогда существуют такие алгебраически независимые элементы
У\, ■.., у г € k[x], что k[x\ цело над k[y\, ..., yr].
§ 1.8. Теорема Гильберта о нулях
55
д) То же для колец Л конечного типа над Z.
1.8.3. Лемма. Поле нулевой характеристики не может быть ал-
геброй конечного типа над Z.
Доказательство. Если поле нулевой характеристики К является
алгеброй конечного типа над Z, то по лемме Нётер о нормализации суще-
ствуют такие алгебраически независимые над Q элементы t\, ..., tr e /С,
что К цело над R = Q[/i, · · ·, tr\. Ввиду предложения 1.6.10 естествен-
ное отображение Spm К —► Spm Q[/i, ..., tr] сюръективно; так как спектр
поля К содержит только одну замкнтую точку, то же верно и для спектра
кольца многочленов R, что возможно лишь при R — Q. Стало быть, К цело
над Q и тем самым является конечным расширением поля Q.
Пусть Х\, ..., хт — образующие К как Z-алгебры. Каждый из xj явля-
ется корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Если обозна-
чить через N наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициен-
тов, то, как легко видеть, все Nxj будут целы над Z; если у — произведение
т образующих х\, ..., хт (возможно, с повторениями), то тем самым Nmy
цело над Z. Так как все элементы К являются целочисленными линейными
комбинациями таких произведений, для всякого у Ε К существует такое
натуральное т, что Nmy цело над Z.
Пусть теперь ρ — простое число, не являющееся делителем N. Так как
1/Р € Q С /С, получаем, что нецелое рациональное число Nm/p цело над Z;
как известно (см. упражнение 1.6.12(3)), это невозможно. D
Для завершения доказательства в случае д) обозначим через φ: Ζ —► Л
естественный гомоморфизм и покажем, что acp(Spm А) С Spm Z. В самом
деле, если это не так, то найдется такой максимальный идеал ρ С Л, что
φ-^ρ) = (0); следовательно, Ζ вкладывается в поле Л/р, так что это поле
имеет характеристику нуль и получаем противоречие с только что дока-
занной леммой.
Итак, Spm А — (J !/(/?), где ρ пробегает простые числа. Замкнутое мно-
р
жество V(p) гомеоморфно спектру Z/pZ-алгебры конечного типа А/рЛ;
поэтому на нем замкнутые точки плотны. Отсюда следует, что они плотны
на Spec Л.
Теорема доказана. □
1.8.4. Предложение. Пусть ρ С Л —максимальный идеал в кольце
конечного типа над Ζ (соответственно над полем К). Тогда Л/р яв-
ляется конечным полем (соответственно конечным алгебраическим
расширением /С).
Доказательство. Пункт д) доказательства предыдущей теоремы
Показывает, что достаточно ограничиться случаем кольца Л над полем К.
56
Гл. 1. Аффинные схемы
Факторкольцо по максимальному идеалу Л/р, будучи полем, содержит
единственный максимальный идеал. С другой стороны, по теореме Нётер
о нормализации, оно является целым расширением кольца многочленов В
от η переменных над /С. Случай η ^ 1 невозможен, так как тогда кольцо В,
а значит, и Л, имело бы бесконечно много максимальных идеалов. Поэто-
му η = О и Л — целое расширение конечного типа поля /(. Это доказывает
требуемое. □
Результаты пунктов 1.8.1 и 1.8.4 служат основанием для введения дзе-
та-функций колец конечного типа над Ζ. Мы обсудим элементарные све-
дения о них в следующем параграфе.
Сейчас обратимся к случаю алгебраически замкнутого поля К.
Согласно предложению 1.8.4, в этом случае замкнутые точки в Spec Л
находятся во взаимно однозначном соответствии с /(-точками схемы
Spec Л; пространство последних называется «аффинным алгебраическим
множеством» над К в классическом смысле слова. Обсуждение в п. 1.8.2
показывает, что в этом случае Spec Л со спектральной топологией и мно-
жество геометрических /(-точек схемы Spec Л с топологией Зарисского яв-
ляются, по существу, эквивалентными понятиями: переход от одного к дру-
гому не требует никакой дополнительной информации.
Приведем, наконец, классическую формулировку теоремы Гильберта
о нулях на языке систем уравнений.
1.8.5. Теорема. Пусть К — алгебраически замкнутое поле, Fi e
е К[Т\, ..., Тп], где i е /, — некоторое семейство многочленов.
1) Система уравнений Ft = О, где i Ε /, имеет решение в /(, если
и только если уравнение 1 = ^ /¾ неразрешимо в К[Т\, ..., Тп], то
есть идеал (Fi)ie/ не совпадает со всем кольцом.
2) Если многочлен G е К[Т\, ..., Тп] обращается в нуль во всех
решениях системы Fi = О, где i e /, то для некоторого натурального
числа η имеем
Gn = Y^FiGi, гдеаеК[Ти...,Тп].
Доказательство. Если идеал (Z7;)^/ не совпадает со всем коль-
цом, то Spec^fi, . ·., Tn]/(Fi)iei непуст (теорема 1.2.3); поэтому в нем
есть и максимальный идеал, поле классов вычетов которого совпадает с К
(предложение 1.8.4); образы Ть в этом поле дают решение системы урав-
нений Fi = 0 (/ е /).
Если G обращается в нуль во всех решениях этой системы, то его образ
в кольце Spec/(|Tb . ·., Tn]/(Fi)iei принадлежит пересечению всех мак-
симальных идеалов этого кольца и, значит, по теореме 1.8.1, пересечению
всех простых идеалов. Поэтому он нильпотентен в силу теоремы 1.3.1. D
§ 1.9. Отступление: дзета-функция 57
§ 1.9. Отступление: дзета-функция
Назовем кольца конечного типа над полем геометрическими, а кольца
конечного типа над Ζ — арифметическими.
Эти два класса колец имеют непустое пересечение — кольца конечно-
го типа над конечными полями. Сплав арифметических и геометрических
свойств, которым обладают кольца такого типа (и склеенные из них спек-
тры пространств), был продемонстрирован А. Вейлем в его знаменитых
гипотезах о дзета-функции.
Мы введем здесь дзета-функции арифметических колец А и укажем их
простейшие свойства.
Мотивировка введения дзета-функции состоит в том, что замкнутые
точки χ в спектре арифметического кольца имеют естественную «норму»
Ν(χ)— число элементов в конечном поле k(x) (см. п. 1.8.4) и количество
точек данной нормы конечно. Можно ожидать, что прямой подсчет таких
точек доставит интересные инварианты кольца.
1.9.1. Пусть А — арифметическое кольцо. Положим: п(ра) — число
замкнутых точек χ € Spec Л, для которых N(x) — ра\ пусть ν(ρα) —
число геометрических точек кольца А со значением в ¥ра (поле из ра
элементов).
Лемма. Числа п(ра) и ν(ρα) конечны и связаны следующими соот-
ношениями:
v(pa) = J2bn(pb).
Ь\а
Доказательство. Каждая геометрическая ¥ра-точка кольца А
есть гомоморфизм А —> ¥ра. Рассмотрим все геометрические точки с одним
и тем же центром х; тогда рх С А — ядро соответствующего гомоморфизма,
а его образ совпадает с единственным подполем ¥рь —> ¥рач где рь = N(x).
Всего гомоморфизмов с фиксированным ядром и образом имеется ровно Ь,
ибо ¥рь/¥р — расширение Галуа степени Ь. Поэтому
^(л=Х> Σ ι=ΣμΛ
b\a {x\N(x)=pb} b\a
Это равенство имеет очевидный смысл, даже если мы не знаем, конечны
ли v(/?fl) и п(рь).
В частности, п(ра) ^ ν(/?α), и достаточно доказать конечность чис-
ла ν(/?α). Спектр Spec Л отождествляется с замкнутым подмножеством
в Spec Ζ[Γι, ..., Тп] и Ν(χ) не зависит от того, рассматриваем мы точку χ
как принадлежащую Spec А или Spec Z[T\, ..., Тп]. Поэтому в очевидных
58 Гл.1. Аффинные схемы
обозначениях
^(Ра)^^ресщт1,...л)(Ра)=Рт
(рпа — это просто число геометрических точек «-мерного аффинного про-
странства над полем из ра элементов).
Лемма доказана. D
1.9.2. Теперь мы определим дзета-функцию любого арифметическо-
го кольца А сначала как формальное произведение:
1
Ы*):= Π
\-Щх)~*'
x€Sprri/4
Конечно, для А — Ъ получается обычное эйлерово произведение
Ρ
по всем простым числам /?, а Z>z(s) = C(s) называется дзета-функцией
Римана.
Связь дзета-функции с числом п(ра) дается следующим очевидным
тождеством:
Сл(^) = ПП<1 - Р~аТфа) = U^a/pa(s), (1.9.1)
Ρ α=1 ρ
и еще одним, несколько менее очевидным, тождеством дзета-функция свя-
зана с ν(ρα):
1ηζ„(5) = Σ5>(ρα)^. (1.9.2)
ρ α
Доказательство:
\nUs) = -^J^\n(l-p-bs)n(pb) =
Ρ b
oo oo _hbc
ΣΣΣ·**4-
Ρ b=\ k=\
Ρ α=1 b\a
ρ α
в силу леммы 1.9.1. D
Поэтому вычисление ζ-функции равносильно вычислению чисел п(ра)
и \(ра) для всех /?, а.
§ 1.9. Отступление', дзета-функция
формула (1.9.1) показывает, что Z>a{s) разбивается в произведение дзе-
та-функций для колец конечного типа над конечными полями. Отсюда ни
в коей мере не следует, конечно, что изучение ζ-функций к ним сводит-
ся — пример функции Римана показывает, насколько нетривиальным мо-
жет быть поведение глобальной дзета-функции при простейших локальных
множителях.
Однако и отдельные р-множители могут быть достаточно сложно
устроены, если А — нетривиальное кольцо.
Часть гипотез Вейля, доказанная Б. Дворком1*, показывает, однако,
что Сл(5) является рациональной функцией от p~~s для любого кольца
конечного типа А характеристики р.
Для таких колец удобно ввести замену переменной p~s = t и положить
ζΑ(8) = ζΑ(ή.
Тогда формула (1.9.1) показывает, что
\nZA(t) = ^(pa)taa-\
а
ИЛИ
Рациональность Ζ^(/), в частности, устанавливает, что последовательность
να = \(ра) должна удовлетворять некоторому рекуррентному соотношению
типа
п-\
/=0
для достаточно больших а (здесь η и τ/ — некоторые фиксированные кон-
станты). Так как να — числа решений системы уравнений в конечных полях
растущей степени, утверждение о рациональности имеет прямой арифме-
тический смысл.
Для всех исследований дзета-функции колец А характеристики ρ фун-
даментальное значение имеет то обстоятельство, что v(pk) можно предста-
вить как число неподвижных точек некоторого отображения Fk, действу-
ющего на множестве геометрических точек кольца.
1.9.3. Определение. Морфизмом Фробениуса F: А —>Л кольца ха-
рактеристики ρ называется отображение F(g) = gp для всех g € А.
^Об этом доказательстве можно прочитать в книге [14*]. К началу 70-х годов гипотезы
Вейля (и гораздо более сильные утверждения) были доказаны (А. Гротендиком и П. Делинем)
в полном объеме; см. [44], [5*].
60 Гл. 1. Аффинные схемы
Тот же термин (морфизм Фробениуса) применяется к соответствующе-
му морфизму спектров aF, к их степеням Fk и (aF)h и к отображениям,
которые они индуцируют на других объектах. В частности, пусть ¥р — ал-
гебраическое замыкание простого поля характеристики /?. Тогда морфизм
Фробениуса F индуцирует отображение множества Fp-точек в себя, кото-
рое мы для краткости тоже обозначаем F:
F:A(¥P)-*A(¥P).
1.9.4. Предложение. A(¥pk) совпадает с множеством неподвиж-
ных точек отображения Fk.
Доказательство. Пусть φ G А(¥р); тогда φ представлен гомомор-
физмом φ: А —»¥р, a Fa(<p) — гомоморфизмом /ь-> φ(/)ρ для любого / G А.
— k
Условие φ G A(¥pk) означает, что Im φ С ¥pk С ¥р, то есть что cp(f)p =
= φ(/) для всех /. Стало быть, Fa(y) = φ. Обратное утверждение следует
из теории Галуа: ¥pk является полем инвариантов для Fk. Предложение
доказано. D
1.9.5. Если на компактном топологическом многообразии V действу-
ет некоторый эндоморфизм Т7, то для числа v(F) его неподвижных точек
(надлежащим образом определенного) справедлива знаменитая формула
Лефшеца:
dim V
ν(/ο = Σί-1)/ΤΓ/7
/=0
(1.9.3)
(под знаком суммы стоят следы линейных операторов, которые F индуци-
рует на пространствах когомологий V с комплексными коэффициентами).
Мы еще не ввели геометрических объектов, которые были бы «доста-
точно похожи» на компактные топологические многообразия — их роль
играют гладкие проективные схемы. Существенная часть гипотез Вейля
состоит в предположении, что для гладких проективных схем числа v(pa)
всегда выражаются формулами типа Лефшеца (1.9.3).
В заключение остановимся на вопросе о сходимости эйлеровских про-
изведений и рядов Дирихле, с которыми мы оперировали до сих пор чисто
формально.
1.9.6. Определение. Пусть А — арифметическое кольцо, {*;}/£/ — об-
щие точки его неприводимых компонент. Определим размерность коль-
ца Л, положив
max(tr.deg£(jt;)) + 1, если Ζ с Л;
dim A = ( l
max(tr.deg£(*/)) в противном случае.
§1.9. Отступление: дзета-функция
61
(Степень трансцендентности tr.deg вычисляется над простым подполем
п0Ля классов вычетов k(xi). Размерность, которую мы ввели, рассматривал
еще Кронекер.)
1.9.7. Теорема. Эйлерово произведение Ц (1 - N(x)~s)~{ абсо-
лютно сходится при Re 5 > dim A. xe pm
Доказательство. Как в доказательстве теоремы 1.8.1, мы будем
проверять теорему, последовательно расширяя класс рассматриваемых ко-
лец. Мы считаем известной сходимость функции Римана ζζ($).
а) ПустьЛ = Fp[7,i, ..., Тп]. Из формулы (1.9.2) следует, что ряд (1.9.2)
абсолютно сходится сходится при Re 5 > η = dim А к функции ln(l - pn~~s)~l,
потому что v(pa) = pan.
Отсюда вытекает, что в тех же условиях эйлерово произведение для
кольца А абсолютно сходится к (1 — pn~s)~l.
б) Пусть А — кольцо без делителей нуля конечного типа над ¥р. Поль-
зуясь теоремой Нётер о нормализации, найдем такое подкольцо многочле-
нов В = ¥Р[Т\, ..., Тп] С А, что А есть β-модуль с конечным числом об-
разующих. Существует такая константа а, что над каждой геометрической
¥р-точкой кольца В лежит не больше а_геометрических точек кольца А.
В самом деле, пусть гомоморфизм А —> ¥р задан на подкольце В. Чтобы
продолжить его на Л, мы должны задать образы в ¥р конечного числа
образующих В над А, каждый из которых является корнем целого уравне-
ния с коэффициентами в А. Образы этих коэффициентов уже определены,
поэтому корни уравнений определяются конечным числом способов.
Отсюда следует, что »А(Ра) ^ ^^в(Ра) = <*рап> Следовательно, Сл(^), как
выше, абсолютно сходится при Re s > η — dim А. Более того, в этой обла-
сти верна оценка
|1ηζΛ(5)|^α1η(1-/?,,-σΓ1, i*eo = Res. (1.9.4)
в) А — произвольное кольцо конечного типа над ¥р. Пусть pi С А —
все минимальные простые идеалы кольца Л, а Л; — A/pi. Каждая геомет-
рическая точка Spec А лежит на какой-нибудь неприводимой компоненте,
поэтому
ΜΡα)^ΣνΑί(Ρ%
i
так что эйлерово произведение для А сходится при Re 5 > max dim Л; и ма-
Жорируется там
| In tA(s)\ < Σ α<· 1η(1 * РЩ'°УХ, где щ = dim Л/.
62
Гл.1. Аффинные схемы
г) А = Ζ [Γι, ..., Τ η]. Вычисление в пункте а) показывает, что в этом
случае
tA(s) = l[(l-ff-8)-l=l(s-n)
Ρ
— обычная дзета-функция Римана со сдвинутым аргументом, эйлеро-
во произведение которой, как хорошо известно, абсолютно сходится при
Re(s - η) > 1, то есть Re s > η + 1 = dim A.
д) А — кольцо без делителей нуля, содержащее Ζ. Если бы мы могли
найти подкольцо многочленов Ζ[7Ί, · · · > Тп] С Л, над которым А было бы
цело, рассуждение пункта б) привело бы к цели. К сожалению, это не все-
гда возможно, но можно поправить дело ценой локализации по конечному
числу простых чисел.
Точнее говоря, применим теорему Нётер к кольцу A' = Q ® А и най-
ζ
дем в нем подкольцо многочленов Q[T\, ..., Tn], над которым А цело.
Умножив, в случае необходимости, каждое 7/ на целое число, мы сможем
добиться того, что Τι е А. Любой элемент кольца А над Ζ[Γι, ..., Тп] удо-
влетворяет некоторому уравнению, старший коэффициент которого явля-
ется целым числом. Рассмотрим множество простых делителей всех таких
старших коэффициентов для некоторой конечной системы образующих А
над Ζ[Γι, ..., Тп] и обозначим через 5 порожденную ими мультиплика-
тивную систему. Тогда А$ цело над Zs[T\, · · · > Тп]. Далее,
Ш = (HtA/(p)(s)\ (H^a/(p)(s)\ (1.9.5)
\PeS J \p<£S J
Множество peS конечно и, по доказанному выше, ^a/(p)(s) равномерно
сходится для Re s > dim А/р ^ dim A - 1.
При ρ £ S имеем ζ^/φ^) = £as/(p)(s) и константу α для пары колец
Zis[T\, ·.., Тп] С As/(p), определенную в пункте б), можно выбрать не за-
висящей от р. Действительно, класс mod/7 фиксированной системы целых
образующих As над Zs[T\, ..., Tn] дает систему образующих в As/(p)
для всех p£S. Поэтому второе (бесконечное) произведение в (1.9.5) для
σ = Re 5 > dim А/р мажорируется произведением
Ц(1 - р«-°)-«
Pis
и, стало быть, равномерно сходится при σ > η -f 1 = dim A.
е) Наконец, общий случай арифметического кольца А тривиально сво-
дится к уже разобранным с помощью разложения Spec А на неприводимые
компоненты, как в пункте в).
Теорема доказана. D
§1.10. Расслоенное произведение §з
1.9.8. Упражнения. 1) Найти формулы, выражающие п(ра) через
2) Вычислить количество неприводимых многочленов от одной пере-
менной степени d над полем из q элементов.
3) Вычислить Сл($), где А = Ъ[Ти ..., Tn]/(F), a F — квадратичная
форма.
4) Пусть А — кольцо конечного типа над Ζ, Ρ — множество натураль-
ных простых чисел,
5 = {р £ Ρ | существует такой χ G Spec Л, что char k(x) = p}.
Доказать, что либо S конечно, либо P\S конечно. Для области целостно-
сти не конечного типа над Ζ привести пример, когда S и Ρ \ S бесконечны.
§ 1.10. Расслоенное произведение
В этом параграфе нет никаких содержательных теорем. Здесь излагает-
ся конструкция расслоенного произведения аффинных схем. Это понятие,
несмотря на свою простоту, относится к числу самых фундаментальных
и объясняет популярность тензорных произведений в современной ком-
мутативной алгебре. Наша главная цель — связать с ними геометрические
интуитивные представления.
Перед чтением этого раздела мы рекомендуем просмотреть добавление
«Язык категорий», особенно п. 1.16.4, 1.16.9, 1.16.12.
Начнем с общего определения.
1.10.1. Определение. Пусть С — некоторая категория, 5 G Ob С,
Cs — категория «объектов над 5» («Язык категорий», п. 1.16.4). Рассло-
енным произведением двух объектов над S
(f.X^S и ψ: Y-+S
называется их произведение в Cs.
Иначе говоря, расслоенное произведение представляет собой тройку
(2, πι, π2), где Ζ € Ob С, щ: Ζ -> X, π2: Ζ —► У, со следующими свой-
ствами:
а) Диаграмма
Ζ
(1.10.1)
У
ψ
коммутативна. (Тогда (Ζ, φπι) = (Ζ, ψπ2) £ Ob Cs, πι, π2 € Мог С5.)
64
Гл. 1. Аффинные схемы
б) Для любого объекта χ: Ζ' —> 5 (ниже он обозначается просто Ζ1) в
Cs множество Homc5(Z', Ζ) отождествляется с \\omcs{Z',X) x Homcs(Z', Y)
с помощью отображений, индуцированных морфизмами πι, π2· (Иначе го-
воря, (Ζ, πι, кг)—универсальный объект в классе таких троек, делающих
диаграмму (1.10.1) коммутативной.)
Диаграмма типа (1.10.1) со свойствами а) и б) иногда называется де-
картовым квадратом. Объект Ζ в ней обычно обозначается Χ χ Υ и на-
s
зывается расслоенным произведением ΧπΥ над S. Пользуясь этим крат-
ким обозначением, не следует забывать, что в нем опущено явное указание
морфизмов X -> S, Y^SnXx Y->X,Xx Y-+Y.
s s
Обычное прямое произведение, формально говоря, не является част-
ным случаем расслоенного; но это так, если в категории С имеется «конеч-
ный объект» Ε такой, что Ноте(X, Е) состоит ровно из одного элемента
для всех X € Ob С. Тогда Χ χ Υ — по существу то же самое, что и Χ χ Υ.
Ε
Расслоенное произведение существует без ограничений в категории
множеств Sets; мы проиллюстрируем его смысл на нескольких примерах.
1.10.2. Лемма. Пусть X ^ S и Υ —» 5 — отображения множеств;
положим
Z = {(x, y)eXxY\ φ(Λτ) = ф(у)} cX χ Υ
и определим щ: Ζ —> X и π2: Ζ —> Υ как отображения, индуцированные
проекциями XxY-^XuXxY^Y соответственно. Тогда тройка
(Ζ, πι, Κ2) образует расслоенное произведение X и Υ над S.
Доказательство абсолютно тривиально. D
Эта конструкция объясняет название нашей операции: над каждой
точкой объекта S слой отображения Ζ —»S является прямым про-
изведением слоев объектов X и Υ над этой точкой.
Частными случаями этой конструкции являются следующие понятия,
которые встречаются на каждом шагу.
Примеры. 1) Произведение. В Sets множество из одной точки Ε яв-
ляется конечным объектом, и^х Υ = χ χ γ,
Ε
2) Пересечение. Пусть φ, ψ — вложения Χ κ Υ как подмножеств в S.
Тогда, отождествляя Ζ с подмножеством в 5, имеем Ζ = ΧΓ\Υ.
3) Слой отображения. Пусть Υ = Ε, ψ(£) = s eS. Тогда Ζ = cp-/(s).
Более общо, если ψ — вложение, то отождествляя Υ с ψ (У) С S, имеем
Ζ = φ-'(Κ).
4) Замена базы. Эта терминология употребляется в топологии: если
χ Д 5 — расслоение (в каком-нибудь смысле), а ψ: S' —► S — морфизм
§1.10. Расслоенное произведение 65
топологических пространств, то расслоение X' = Χ χ S' называется полу-
чившимся из X —»S «заменой базы» S на S'. Другое название — «индуци-
рованное расслоение».
Эти примеры послужат нам образцом для введения соответствующих
понятий в категории схем (пока только аффинных).
Прежде всего теорема существования.
1.10.3. Теорема. Пусть X = Spec Л, Υ = Spec В, S = Spec С, где А
и В — С-алгебры. Расслоенное произведение схем X и Υ над S суще-
ствует и представлено тройкой (Spec А ® β, πι, кг), где πι (соот-
ветственно τ.2) — отображение, индуцированное гомоморфизмом
С-алгебр A—>A®B:fy->f<g>l (соответственно В—>А® В: g\-^> I ® g).
с с
Доказательство. Мы отсылаем читателя к книге [ 12, гл. XVI, § 4,
предложение 9], где установлено, что в категории колец Ann существуют
«расслоенные копроизведения» и описываются именно так, как указано.
«Обращение стрелок» дает нужный нам результат. D
Отметим, что в категории аффинных схем есть конечный объект — это
Spec Ζ, так что можно говорить об «абсолютном» произведении
* χ Υ = Spec А® В.
ζ
1.10.4. Предупреждение. Множество точек схемы Χ χ У, за редкими
s
исключениями, не является расслоенным произведением множества точек
X и Υ над S. Это верно лишь для точек со значениями в С-алгебрах, где
S = Spec С, или, что то же, для множеств морфизмов над 5: Ζ —► Χ χ Υ.
Вот два типичных примера, показывающих, что может происходить.
1.10.5. Примеры. 1) Пусть/(—поле, S = Spec/С, Х = Spec/([Γι], Υ =
= Spec /С[7г] с очевидными морфизмами. Здесь Χ χ Υ — плоскость над /С,
и на ней есть масса незамкнутых точек — общие точки неприводимых кри-
вых, «непараллельных осям», — которые не представлены парами точек
(*, у), где χ Ε X, у G Y.
2) Пусть L D К — пара полей; будем считать, что это конечное расши-
рение Галуа. Пусть X — Spec L,S — Spec /С; попытаемся описать Χ χ Χ, то
есть L® L.
к
Представим второй из сомножителей L в виде L = K[T]/(F(T)), где
F(T) — неприводимый многочлен. Иначе говоря, выберем в L «примитив-
ный элемент» t = T mod (F) над К.
Из определения тензорного произведения легко следует, что в этом слу-
чае L 0 L ~ L[T]/(F(T)) как L-алгебра, если считать, что структура L-ал-
66
Гл. 1. Аффинные схемы
гебры над L® L определяется отображением /1—► / <S) 1. Но, по предполо-
К η
жению, F(T) распадается в ЦТ] на линейные множители: F(T) = Ц (Τ - *,·),
/= ι
где // — все элементы, сопряженные элементу t над /С, а я = [L : /С].
По общей теореме о структуре модулей над кольцом главных идеалов
[12, гл. XV, § 2, теорема 3] получаем отсюда:
L^ L^L[T)/(f[(T - td) ^f[L[T]/(T - t^L^
\ /= ι / /=i
В частности, Spec L ® L ~ Ц Spec L: хотя Spec L состоит из единственной
κ /=ι
точки, Spec L ® L состоит из η точек!
к
Неприятность другого характера может произойти, если в этом же при-
мере взять в качестве L чисто несепарабельное расширение поля К.
Пусть, например, F(T) = Тр - g, где g G К \ Кр, ар — характеристика по-
ля /С. Тогда в ЦТ] имеем Тр - g = (T - t)p, где / = g[/p, так что
L®L~L[T]/{T-t)~L[T]/(Tp{Y
к
мы приобрели нильпотенты, которых раньше не было. «Зато» SpecL®L
по-прежнему состоит из единственной точки. к
В качестве упражнения читателю предлагается разобрать, как устро-
ено кольцо L ® L для произвольного конечного расширения полей L Э К.
к
В частности, какова структура L-алгебры L0L в вычисленных примерах
относительно отображения / н-> 1 ® /? к
Теперь мы приведем несколько примеров, параллельных теоретико-
множественным конструкциям.
н h
3) Пусть Х= Spec Л, a Y\ —-* X и Υ2 —+X — две замкнутые подсхемы,
определенные идеалами аь а2 С А. В силу 1.7.2 их пересечение Κι Π Ϊ2
представляет функтор Υ\(Ζ) Π Κ2(Ζ), то есть должно совпадать с их рас-
слоенным произведением над X. Так оно и есть: соответствующее утвер-
ждение о кольцах
А/(й[ + 02) ^ А/а\ <8> А/а2
А
легко проверяется непосредственно.
4) Пусть S рее В = К —> X = S рее А — морфизм аффинных схем, χ е X —
некоторая точка, k(x) — алгебраическое замыкание ее поля вычетов. Есте-
ственный гомоморфизм А —> k(x) представляет собой геометрическую точ-
§ 1.11. Отступление: аффинные групповые схемы
67
с центром в х. Расслоенное произведение
Υχ = Υ χ Spec fe(jt)
называется геометрическим слоем Υ над точкой jc, а У χ Spec 6(x)
обыкновенным слоем. х
Частный случай: для любого простого числа ρ и кольца А схема
Spec А/рА является слоем Spec Л над (р) £ SpecZ.
1.10.6. Диагональ. Пусть Spec В = X —> S = Spec A — морфизм аф-
финных схем; коммутативная диаграмма
id
τ Υ
Χ *S
определяет морфизм δ: Χ —> Χ χ Χ (см. 1.10.16), который называется диа-
гональным. s
Предложение. Морфизм δ отождествляет X с замкнутой под-
схемой Αχ схемы Χ χ X, которая называется (относительной) диаго-
5
налью и определяется идеалом
/ = Ker(fi®B-^B),
А
где μφ\ (¾¾) — b\b^
Доказательство. Выписывая все необходимые диаграммы колец,
убеждаемся, что δ = αμ. Так как μ — сюръективное отображение, его ядро
определяет замкнутую подсхему, изоморфную образу δ. D
§ 1.11. Отступление: аффинные групповые схемы
В этом параграфе мы приведем определение и несколько важнейших
примеров аффинных групповых схем. Кроме важности самого понятия, оно
интересно тем, что выпукло показывает роль и возможности «категорного»
и «структурного» подходов. Мы снова пользуемся обозначениями добав-
ления «Язык категорий».
1.11.1. Первое определение групповой структуры. Пусть С —
некоторая категория, X еОЪС. Групповая структура на объекте X со-
стоит в задании на всех множествах hx(Y) — Homc(K, X) групповых струк-
тур (теоретико-множественных), подчиненных следующему условию:
для всякого морфизма Υ\ —> Υ<ι соответствующее отображение
множеств hx(Y\) —>hx(Y2) является гомоморфизмом групп.
68
Гл.1. Аффинные схемы
Объект X вместе с групповой структурой на нем называется группой
в категории С и часто обозначается просто X. Морфизм групповых объ-
ектов Х\ —> Х2 в С называется морфизмом соответствующих групп
в категории С, если все отображения hx{(Y) ~^hx2(Y) — гомоморфизмы
групп.
Группу в категории аффинных схем мы будем называть аффинной
групповой схемой.
Вот список важнейших примеров с их стандартными обозначениями
и названиями.
1.11.2. Примеры. 1) Аддитивная группа Ga = SpecZ[r]. Как и вы-
ше, морфизм Spec Л —> Ga однозначно определяется элементом / Ε Л —
образом Ту который можно выбрать произвольно. Аддитивные группы ко-
лец А определяют структуру группы на Ga.
2) Мультипликативная группа Gm = SpecZ[7\ T~l]. Для любой
схемы X = Spec Л морфизм X —► Gm однозначно определяется элементом
teA — образом элемента Τ при гомоморфизме Ζ[Γ, Γ-1] —>Л. Наобо-
рот, / соответствует такому морфизму, если и только если t ЕАХ (группа
единиц или обратимых элементов кольца Л). Поэтому
hGm(SpecA) = Gm(A)~Ax,
и на множествах Л-точек определена естественная групповая структура
(умножение). Далее, любой гомоморфизм колец А—> В, очевидно, индуци-
рует гомоморфизм групп Лх —> βχ. Этим определяется групповая струк-
тура на Gm.
Иначе говоря, Gm представляет функтор Spec Л ι-> Л х (aGfl — функтор
Spec Л |->Л+).
3) Полная линейная группа GL„ = Spec 2[(Г;у)"/=1; y]/(det(7}y·) · Υ - 1
Она представляет функтор
Spec Л н-> (группа обратимых (η χ я)-матриц с элементами из Л).
Очевидно, GLi ~Gm.
4) Группа корней из единицы степени п. Положим
μ, = Spec Ζ[7]/(Γ -1) = Spec Z[Г, Τ~ι]/(Τη - 1).
Эта схема представляет функтор
5ресЛ^{геЛх |*я = 1}.
Схема этой группы является замкнутой подсхемой в Gm. Более общо, пусть
задана аффинная групповая схема X и ее замкнутая подсхема У; если для
всех схем Ζ подмножество Ιΐγ(Ζ) С hx{Z) является подгруппой, то Υ вместе
§ 1.11. Отступление: аффинные групповые схемы
69
с индуииРованной групповой структурой называется замкнутой подгруп-
пой группы X. Тем самым, μη — замкнутая подгруппа в Gm.
Более того, отображение Τ н-> Тп определяет гомоморфизм групповых
схем Gm —> Gm «возведения в степень н», и μη представляет ядро этого
гомоморфизма.
5) Схема конечной группы G. Пусть G — обычная (теоретико-мно-
жественная) конечная группа. Положим А — Z(G) = J\ Ζ. Иначе говоря,
g€G
как группа, А есть свободный модуль 0 Zg с таблицей умножения
geG
egeh = {° ПРИ^'·
\eg npwg = n.
Спектр Х= Spec Л несвязен и состоит из компонент SpecZ, пронумеро-
ванных элементами из G. Для любого кольца S, спектр которого связен,
множество морфизмов Spec В —> Spec А находится поэтому в естественном
взаимно однозначном соответствии с элементами группы G.
Если Spec В несвязен, то морфизм Spec В —> Spec А определяется сво-
им набором ограничений на связные компоненты Spec β; тогда, как мы
показали,
MSpecfi)^(G)ConnB.
Таким образом, схема Х= Spec Л имеет единственную групповую струк-
туру. Она называется схемой конечной группы G.
6) Пусть S = Spec К. Групповой объект в категории аффинных схем
над S называется аффинной 5-группой (или /(-группой). Полагая Gm^ —
= Gm x S, μη,κ — μη χ S и т. д., мы получаем серию групп над произвольной
схемой 5 или кольцом К. Каждая из них представляет «тот же» функтор,
что и соответствующая абсолютная группа, но ограниченный на категорию
/С-алгебр.
7) Линейные алгебраические группы. Пусть К — поле. Замкнутая
подгруппа полной линейной группы GLn^ называется линейной алгебра-
ической группой, определенной над полем К.
Иначе говоря, линейная алгебраическая группа определяется системой
уравнений
/ЭД) = 0, /,/-1,..., я, (*)
которая обладает следующим свойством. Пусть (/£·), (ф — два решения
системы (*) в К-алгебре Л, образующие невырожденные матрицы.
Тогда матрица (?ц)(Ц)~1 также является решением (*).
Место линейных алгебраических групп в общей теории выясняет следу-
ющая фундаментальная теорема (Розенлихт, Шевалле), которую мы при-
ведем здесь без доказательства.
70
Гл.1. Аффинные схемы
1.11.3. Теорема (Розенлихт—Шевалле). Пусть X — аффинная
групповая схема конечного типа над полем /С. Тогда X изоморфна
линейной алгебраической группе.
Напомним, что Герман Вейль (H.Weyl) присвоил полной линейной
группе титул «Ее Всеобъемлющее Величество».
1.11.4. Пример. Группы дают еще один повод поговорить о нильпо-
тентах. Пусть К — поле характеристики ρ -φ 0. Тогда
μ,,* = Spec Κ[Τ]/(π -1) = Spec K[T]/((T - If).
Очевидно, К[Т]/((Т - 1)р)—локальная артинова алгебра длины ρ и ее
спектр должен рассматриваться как «р-кратная точка». Это вполне соот-
ветствует обычной интуиции: корни из единицы р-и степени все склеива-
ются и превращаются в один корень кратности р.
Более общо,
μρηλ = Spec K[T)/(T-if,
так что длина нильрадикала может быть сколь угодно большой.
Оказывается, однако, что наличие нильпотентов в группах существенно
связано с конечностью характеристики.
1.11.5. Теорема (Картье). Пусть X — линейная алгебраическая
групповая схема над полем характеристики нуль. Тогда она приве-
дена, то есть в ее кольце нет нильпотентов.
У нас здесь не хватает технических средств для доказательства этого
результата: см., например, [15, § 25].
Теперь мы приведем второе определение групповой структуры на объ-
екте X категории С, которое оперирует только с самим объектом X, а не
со всеми объектами категории.
Пусть в С существует:
а) конечный объект £;
б) произведения ХхХиХхХхХ.
1.11.6. Второе определение групповой структуры. Групповая
структура на объекте X состоит в задании трех морфизмов:
т: Χ χ X->X («умножение»),
/: X —► X («обращение»),
е: Ε —► X («единица»),
которые удовлетворяют следующим аксиомам.
§ 1.11. Отступление: аффинные групповые схемы
71
Аксиома ассоциативности: диаграмма
XxXxxJ^Uxxx
(\άχ, т)
1
ХхХ
X
коммутативна.
Аксиома левого обращения: диаграмма
ХхХ
& i<W
■ХхХ
X-
X
(δ — диагональный морфизм) коммутативна.
Аксиома левой единицы: диаграмма
ХхХ "'Mtl>£xl *"х),ХхХ
\άχ
коммутативна.
Упражнение. Сформулируйте аксиому коммутативности группы.
1.11.7. В категории множеств Sets это обычное определение группы
на несколько непривычном языке. Пусть X — множество, х, у, ζ Ε Χ; тогда
в стандартных обозначениях ^:
т(х, у) = χι/, i(x) — х~\ е(Е) = 1.
Аксиомы (в порядке их появления) записываются в виде:
{xy)z = x(yz),
х~хх— 1,
\х — х
и, стало быть, превращают X в обычную группу.
^Здесь единица группы обозначена не е, как немного ниже, а символом 1.
72
Гл. 1. Аффинные схемы
1.11.8. Эквивалентность двух определений групповой структуры.
Пусть на X е Ob С задана групповая структура в смысле второго определе-
ния. Тогда для всякого Υ G Ob С морфизмы m, /, e индуцируют структуру
группы на множестве У-точек Ηχ(Υ) в силу предыдущего замечания. Про-
верку совместности этих структур с отображениями hx(Y\) —► Αχ(>2) мы
оставляем читателю.
Наоборот, пусть на X е Ob С задана групповая структура в смысле
первого определения. Мы хотим восстановить по ней морфизмы /п, /, е.
а) В группе Ηχ(Χ χ X) есть «проекции» πι, %2'· X х X —► X· Положим
т = щк2 (произведение в смысле группового закона!).
б) В группе hx(X) есть элемент id*. Обратный к нему (в смысле груп-
пового закона) обозначим /.
в) В группе hx(E) есть единичный элемент. Обозначим его е: Е—>X.
1.11.9. Упражнения. 1) Доказать, что m, /, e удовлетворяют аксио-
мам второго определения.
2) Проверить, что построенные отображения
множество структур группы на ^ Ί ^ Г множество структур группы на X
в смысле первого определения J ~* [ в смысле второго определения
взаимно обратны.
1.11.10. Выясним теперь, как описываются групповые структуры на
заданной аффинной схеме X = Spec А в терминах ее кольца.
Мы будем сразу рассматривать относительный случай, то есть считать,
что А — /(-алгебра.
1.11.11. Определение. Структура биалгебры на /(-алгебре определя-
ется заданием трех гомоморфизмов /(-алгебр:
μ: Л->Л ®Л
к
ι: Α->Α
г:А-^К
(«коумножение»),
(«кообращение»),
(«коединица»),
которые подчинены следующим аксиомам.
Аксиома коассоциативности: диаграмма
a(g)ich
А ®Л®Л ^ — Л (8) Л
(
id^ <8>μ
At
k
δ Л -*—
μ
А
— А
§ 1.11. Отступление: аффинные групповые схемы
73
Аксиома левого кообращения: диаграмма
А®А-
А +
К-
АхА
μ
■А
(левая вертикальная стрелка — умножение: a®b\-+ ab) коммутативна.
Аксиома левой коединицы: диаграмма
А®А^-
.А^-А®А
А^-
\ад
А
(левая вертикальная стрелка — умножение; левая стрелка в верхней стро-
ке: а н-» 1 ® а) коммутативна.
1.11.12. Разумеется, это определение двойственно определению 1.11.6,
так что групповые структуры на К-схеме X = Spec А находятся во
взаимно однозначном соответствии со структурами биалгебры на
К-алгебре Л.
Пример. Выпишем явно отображения μ, ι, ε для аддитивной группо-
вой схемы Ga — Spec Ζ [Γ]:
μ(Γ) = Г ® 1 + 1
1(7) = -7,
ε(η = ο.
7\
Читателю предлагается проделать вычисления μ, ι, ε для остальных
примеров, рассмотренных в п. 1.11.2.
1.11.13. Определение 1.11.11 не только доставляет удобное для вы-
числений описание групповых схем, но также позволяет вскрыть существо-
вание красивой и важной двойственности, впервые замеченной Картье.
Чтобы ввести ее, заметим сначала, что сама структура К-алгебры
на К-модуле А может быть описана данными, близкими к тем, которые
введены в п. 1.11.11. Именно, эта структура задается /(-линейными отоб-
ражениями:
Л, μ(α®&) = α6,
μ: Α ®Α
К
г:К->А,
ё(1/с) = 1л,
с аксиомами ассоциативности и коммутативности для μ и единицы для ε.
74
Гл. 1. Аффинные схемы
Если групповая схема Spec Л к тому же коммутативна, то есть ко-
умножение «симметрично» (μ = 5 о μ, где s: Л ® Л —> Л ® Л переставляет
/с /с
сомножители), то получаем на /(-модуле Л структуру «бикоммутативной
биалгебры», которая определяется морфизмами модулей
А®А ->Л -+А&А,
К-^А^К,
[А^А
(1.11.1)
и списком аксиом, часть которого содержится в п. 1.11.11 (за исключе-
нием коммутативности отображения μ); другая часть получается заменой
направления стрелок на обратные и превращением μ и ε в μ и ε; наконец,
нужно еще потребовать, чтобы μ был гомоморфизмом алгебр с умножени-
ями μ и μ ® μ.
Пусть теперь Л — свободный /(-модуль, Л* = Нот/((Л, /(). Тогда лю-
бая структура биалгебры (1.11.1) на Л определяет структуру биалгебры
на Л*, если перейти от (1.11.1) к двойственным диаграммам, отождествив
(А® А)* сЛ*®Л*,а/(* с/С:
Л* ®А* —>А —>А®А,
к
ε* ε*
К —>Λ-+ /(,
л*^л*^
(1.11.1*)
Проверка аксиом биалгебры для Л* совершенно тривиальна.
1.11.14. Определение. Пусть Х= Spec Л (где Л — свободный /(-мо-
дуль) — коммутативная групповая схема над /(. Тогда групповая схема Xt =
= Spec Л* (со структурой, определенной выше) называется двойствен-
ной, по Картье, к схеме X.
1.11.15. Пример-упражнение. ΠγσΠίΛ^μ,ζ, Υ — схема циклической
группы Ζ/ηΖ. Доказать, что Χ* ~Υ,Υ*~ Χ.
1.11.16. Автоморфизм колец. Фиксируем /(-алгебру К'\ пусть К' яв-
ляется свободным /(-модулем конечного ранга.
Группа автоморфизмов алгебры К' над К является основным объек-
том изучения, например, в теории Галуа (где рассматривается лишь случай
полей К' D К). Однако эта группа может оказаться тривиальной — если
расширение полей ненормально или несепарабельно и т. п.
§ 1.11. Отступление: аффинные групповые схемы
75
функторная точка зрения подсказывает следующую мысль: рассмот-
реть всевозможные замены базы /(, то есть для переменной /(-алгебры L
построить L' — L 0 К' и вычислить группу автоморфизмов Aut(////().
к
Мы одновременно покажем, что отображение L н-> Aut(L'/L) является
функтором и что этот функтор представим.
Выберем раз и навсегда свободный базис модуля К' над К: пусть /(' =
η
= Φ Kei- В этом базисе закон умножения в К' задается системой коэф-
фициентов c\j е К:
η
η
Имеем далее V — 0 Le· (мы пишем е[ вместо \®е{) и любой эндомор-
/=1 к
физм τ L-модуля Ζ/ задается некоторой матрицей / = (/;/), где /^ G L, а 1 < /,
/ < /г.
Условие того, что эта матрица определяет эндоморфизм алгебры, за-
писывается в виде соотношений
η
/г=1
Записывая равенство коэффициентов при e'k слева и справа в терминах
неопределенных коэффициентов Τη, мы получим некоторую фиксирован-
ную систему алгебраических соотношений для Τη с коэффициентами из /С,
выполнение которой необходимо и достаточно для того, чтобы Τη давали
эндоморфизм алгебры L!/L.
Автоморфизмы получаются, если мы введем дополнительную пере-
менную Τ и добавим соотношение
rdet(^)-1- = 0
(ср. пример GLW).
Профакторизовав кольцо К[Т, (7//)^=1] по описанной системе соотно-
шений, мы, как легко видеть, получим /(-алгебру, представляющую функ-
тор L ■-> Aut(L'/L).
Эта /(-алгебра является интересным инвариантом, заменяющим в об-
щем случае группу Галуа расширения К'/К.
Рассмотрим простейший частный случай, когда К — поле, К' = /С(\/#)»
аеКх\(Кх)2.
Мы можем положить здесь ^ = 1, e2 = \/#; таблица умножения сво-
дится к ^2 — α· Заметим, что раз τ — гомоморфизм, то τ(1) = 1. Пусть
т(у/а) = Т\ + Т2\/а.
76
Гл.1. Аффинные схемы
Учитывая, что т(у/а)2 = а, находим уравнения, связывающие Т\, Т2 и до-
полнительную переменную Т:
(Т2 + аТ2 = а,
i 27Ί 72 = О,
[7Т2- 1=0
(последнее обеспечивает обратимость τ). Теперь будем различать два слу-
чая.
1.11.16а. Характеристика К отлична от 2. В этом случае 2 обратимо
в любой /(-алгебре. Функтор автоморфизмов представлен /(-алгеброй
К[Т- 7ь Γ2]/(7? + α7|-α; ΤγΤ2\ 7Т2 - 1).
Если L не имеет делителей нуля, то L-точки этой /(-алгебры устроены
просто: так как 7¾ не должно переходить в нуль, Т\ \-> 0, откуда Т2\-> ±1.
Как обычная группа Галуа, здесь группа изоморфна Z/2: автоморфизмы
просто меняют знак у у/а\ Когда у L имеются делители нуля, группа может
быть гораздо больше.
1.11.166. Характеристика К равна 2. Функтор автоморфизмов пред-
ставлен /(-алгеброй
К[Т\ Ти Т2]/(Т2 + аТ22 - а; 7Т2 - 1).
Иначе говоря, L-точками здесь являются все L-точки окружности
Т\ + аТ\ - а = 0,
в которых значение Т2 обратимо!
Посмотрим на это ближе. Пусть L — поле и пусть (t\, t2) — такая
L-точка; тогда либо t2 = 1, t\ = 0 и мы получаем тождественный авто-
морфизм, либо а— (-—l—) . Значит, нетривиальные L-точки могут суще-
ствовать, лишь если у/а е L; а тогда уравнение окружности превращается
в квадрат линейного (Т\ + л/аТ2 + л/а)2 = 0 и мы имеем целую прямую
автоморфизмов (без точки Т2 = 0)! Группа Aut(L'/L) здесь, очевидно, изо-
морфна Lx (при итерации автоморфизмов коэффициенты при у/а пере-
множаются).
Тем самым несепарабельные расширения в некотором смысле имеют
даже больше автоморфизмов, чем сепарабельные. Причина здесь состоит
в том, что когда у/а G L, алгебра L·' = L 0 К' содержит нильпотенты: дей-
к
ствительно, К{у/а) с L, так что Κ(/ά) ® (у/а) С L'; с другой стороны, это
§1.12. Векторные расслоения и проективные модули 77
произведение изоморфно
КШ[х]/{х2 - а) ~ K(Vt)[y]/(y2)·
Двтоморфизмы просто умножают у на обратимые элементы.
Аналогично можно исследовать случай произвольных конечных несе-
парабельных расширений и построить для них аналог теории Галуа.
§ 1.12. Векторные расслоения и проективные модули
1.12.1. Пусть ψ: У —► X — некоторый морфизм аффинных схем X =
= Spec Л, Υ = Spec В, φ: A —> В — соответствующий гомоморфизм колец.
Мы хотим выделить класс таких морфизмов, подобный локально триви-
альным векторным расслоениям в топологии.
Удобно начать с более широкого понятия «семейства векторных про-
странств» (термин заимствован из книги: М. Атья. Лекции по К-теории.
М.: Мир, 1967). Пример в п. 1.2.1 показывает, что аналог векторного
пространства V над полем К доставляет схема SpecS/((l/*), где V* —
= Ногп/((1/, /С), a Sr(V*) — симметрическая алгебра пространства V*. За-
менив здесь поле К на произвольное кольцо Л, а пространство У* — на
Л-модуль Λί, мы приходим к следующему определению.
1.12.2. Определение. В обозначениях предыдущего пункта пусть
Μ — некоторый Л-модуль, χ: Μ —► В — гомоморфизм Л-модулей. Пред-
положим, что χ индуцирует изоморфизм Л-алгебр Sa(M) ~ В. Тогда пара
(χ: Μ —> β; ψ: Y-+X) называется семейством векторных пространств
над Х = Spec Л.
Иначе говоря, на В должна быть задана явная структура симметриче-
ской алгебры над Л: это определяет послойную линеаризацию морфиз-
ма ψ.
Морфизм семейств векторных пространств над фиксированной базой
определяется очевидным образом. Категория таких семейств двойственна
категории Л-модулей, так что, в частности, семейство определяется сво-
им модулем с точностью до изоморфизма. Для нас важнее сейчас другое
понятие.
1.12.3. Определение. В прежних обозначениях пусть еще дан гомо-
морфизм колец Л —> Л', определяющий морфизм схем
^/ = Spec/l/-*X=SpecA
Рассмотрим семейство векторных пространств (χ', (j/: К7 -*Xf), где Υ' =
= Spec А' % β, а χ' = id <g> χ: Mf = Л' Ο Μ -»Л' 0 В. Это семейство назы-
А А А
вается индуцированным заменой базы X на X'.
78
Гл.1. Аффинные схемы
Спектр X' действительно является семейством векторных пространств,
потому что есть канонический изоморфизм
SA,(A'®M)^A'®SA(M). (1.12.1)
А А
В частности, пусть Af — поле; тогда Y' — «схема» векторного простран-
ства (А* ® М)* над А'. Это означает, что все слои семейства ψ: Υ -* X
А
над геометрическими точками являются векторными пространствами, что
оправдывает название. Размерности слоев могут, конечно, претерпевать
скачки.
Отметим еще, что в силу (1.12.1) схема Υ' отождествляется с расслоен-
ным произведением Χ' χ Υ, так что наша операция замены базы в точности
соответствует топологической.
1.12.4. Определение. Семейство векторных пространств χ: К —► X
называется тривиальным, если определяющий его А -модуль свободен.
Векторными расслоениями естественно называть те семейства вектор-
ных пространств, которые в окрестности любой точки тривиальны. Не'со-
всем ясно, однако, как определить свойство локальной тривиальности: ведь
окрестности точек в Spec А являются лишь топологическими простран-
ствами, но не схемами. Здесь мы впервые сталкиваемся с задачей, кото-
рая будет систематически исследована в следующей главе. Для ближайших
целей естественно принять следующее паллиативное определение.
1.12.5. Определение. Семейство векторных пространств χ: Υ —> Ζ
называется локально тривиальным в точке χ € X, если существует та-
кая открытая окрестность U Э х, что для любого морфизма ψ: X' -»X со
свойством ψ(Χ') С U индуцированное семейство Υ' —> X' тривиально.
Мы заменим сейчас это условие другим, которое легче проверяется.
Прежде всего, специальные открытые множества D{f) (см. п. 1.4.2) обра-
зуют базис топологии Spec Л. Поэтому в определении 1.12.5 достаточно
рассматривать лишь окрестности U = D(f).
Они обладают следующим замечательным свойством.
1.12.6. Предложение. Пусть А — кольцо, f Ε А — не нильпотент,
Af — кольцо частных кольца А относительно мультипликативной
системы (fn)n^o· Положим Xf = Spec Л/ и обозначим через /: Xf —► X
морфизм, индуцированный гомоморфизмом А —> Af, при котором
Выполнены следующие утверждения:
а) / определяет гомеоморфизм пространств Xf и D(/);
§1.12. Векторные расслоения и проективные модули
79
б) для любого морфизма ψ: X' —>Х со свойством ty(X') С D(f) суще-
ствует единственный морфизм χ: Χ' —>Х/, для которого диаграмма
коммутативна.
Все это означает, что большие открытые множества D(f) снаб-
жены канонической структурой аффинной схемы (£>(/), /_1|d(/)» Af)-
Далее, отсюда следует, что семейство векторных пространств Υ —> X ло-
кально тривиально в точке χ е Spec Л, если и только если для некоторого
ненулевого элемента / е А семейство, индуцированное над Xf, тривиально.
Переводя это на язык модулей, находим простое условие, которое будет
использовано позже.
1.12.7. Следствие. Α-модуль Μ определяет семейство векторных
пространств, локально тривиальное в точке χ е Spec Л, если и толь-
ко если существует такой ненулевой элемент f e Л, что Af-модуль
Mt — Af®M свободен.
А
1.12.8. Доказательство предложения 1.12.6. Первое утверждение
является частным случаем теоремы 1.6.8. Второе утверждение выража-
ет универсальное свойство колец частных (теорема 1.6.7). Действитель-
но, пусть ψ: Л —► А1 — такой гомоморфизм колец, что аф(5ресЛ') С D(f).
Это означает, что / не принадлежит ни одному из идеалов ψ—1(ρ), где
р £ Spec Л', то есть ψ(/) не обращается в нуль на Spec Л'. Поэтому ψ(/)
обратим в А'. В категории таких Л-алгебр алгебра Л/ (вместе с гомомор-
физмом Л —► Af) является универсальным объектом (см. [12, гл. II, § 3]).
Это доказывает требуемое.
В частности, если D(f) = D(g), то кольца Л/ и Ag канонически изо-
морфны: ср. с упражнением 1.4.11 (1).
Теперь мы можем сформулировать основное определение и главный
результат этого параграфа.
1.12.9. Определение. Векторным расслоением над схемой X =
= Spec Л называется семейство векторных пространств, локально триви-
альное в каждой точке χ е Spec А.
В остальной части этого параграфа, если не оговорено обратное, мы
рассматриваем лишь нётеровы кольца и модули.
80
Гл.1. Аффинные схемы
1.12.10. Теорема. Α-модуль Μ определяет векторное расслоение
над Spec Л, если и только если он проективен.
Напомним, что модуль Μ называется проективным, если он изомор-
фен прямому слагаемому свободного модуля. Назовем модуль М, удовле-
творяющий условию 1.12.7 для всех точек χ Ε Spec Л, локально свобод-
ным. Теорема 1.12.10 утверждает, что класс локально свободных моду-
лей совпадает с классом проективных модулей. Это мы и будем до-
казывать: сначала включение в одну сторону, затем в другую. Придется
проделать довольно длинную работу; мы воспользуемся случаем и устано-
вим по дороге несколько больше вспомогательных результатов, чем строго
необходимо в этом месте. Они пригодятся нам позже в теории пучков.
1.12.11. Пусть ScA — мультипликативная система, содержащая 1,
но не 0, Μ — некоторый Л-модуль. Пусть As—локализация кольца Л
относительно 5; положим Ms = As ® Λί (но мы пишем Af вместо Л(/«)).
Хотя здесь нам нужны лишь сведения об Л/ и Af/, ничего не стоит получить
их для общих 5.
Элементы из As мы записываем в виде f/s, где / Ε Л, a s Ε 5, причем
выполняются обычные правила действий над дробями. В частности, //1
есть образ элемента / при естественном гомоморфизме Л —> As. Аналогич-
но можно записывать элементы из Ms, положив m/s = (l/s) ® m\ легко
видеть, что tm/ts = m/s, и далее
m/s + m! /s1 = (s'm + sm')/ssf,
(f/s)(m/s')=fm/ssf,
в частности, любой элемент из Λί имеет вид m/s.
1.12.12. Лемма. Имеем m/s = 0 <=> существует такой t Ε S, что
tm = 0. В частности, ядро естественного гомоморфизма
Μ -»Ms', т \-> т/1
состоит из таких элементов т, что Ann Λί Π S φ 0.
Доказательство. tm = 0=> tm/ts = 0 == m/s. Для доказательства
обратной импликации рассмотрим сначала частный случай.
а) Λί — свободный модуль. Пусть {т/}/е/ — свободный Л-базис Λί,
тогда {т\ = m//l}/€/ — свободный Л5-базис Ms. Положим т = Х)Дт,·,
где// е А. Тогда
m/s = 0 => fi/s — 0 для всех / ==>
==> существуют такие // Ε 5, что tifi = 0 для всех /.
Положим t = Yl t[ E S (произведение распространено на конечное множе-
ство индексов /, для которых // φ 0); очевидно, tfi = 0 => tm = 0.
§1.12. Векторные расслоения и проективные модули
81
б) Общий случай. Существует точная последовательность
φ ψ
F\ —-> F0 —-> Μ —> О,
где Fq, F\ — свободные модули. Умножая ее тензорно на As, получаем
точную последовательность
(FOs—►(fob —Ms—0
(см. [12, гл. XVI, § 2, предложение 6]). Здесь мы положили cps = icUs <8> φ
и т.п.
Пусть m/s = О, где т = ф(я), я е /¾. Тогда
<M/i/s) = 0 =» n/s = <ts№ = <?(t)/t,
где / Ε Λ, / £ S. Иначе говоря, (//г - s(p(l))/st = О в (/¾^. Так как F0 сво-
боден, существует г € S, для которого г/я = rsy(l) в /¾. Применяя к этому
соотношению ψ, находим, что
rim — ф(г/я) = Γ5ψ ο φ(/) = О,
что доказывает требуемое. D
Заметим, что мы не пользовались нётеровостью.
1.12.13. Следствие. Пусть Μ — нётеров Α-модуль, f e А. Суще-
ствует такое целое число g > О, что fqm = 0 для всех т е Кег(Л1 —► Mf).
Действительно, нужно выбрать свое значение qt для каждого из конеч-
ного числа образующих ядра и положить q = max qt. D
В доказательстве леммы 1.12.12 мы использовали общее свойство тен-
зорного умножения: оно переводит короткие точные последовательности
в точные всюду, кроме крайнего левого члена.
Однако умножение на А$ обладает более сильным свойством: оно со-
храняет точность полностью. Говоря техническим языком, As является
плоской Л-алгеброй.
1.12.14. Предложение. Для любой точной последовательности
Λ Φ Ψ
Α-модулей Μ —► Ν —> Ρ последовательность As-модулей
Ms-^Ns—^ Ps
точна.
Доказательство. С одной стороны,
ψ ο φ = 0 => ψ5 ο φ5 = 0 => Кег Ψ5 D Im cps-
82
Гл.1. Аффинные схемы
Наоборот, пусть n/s € Ker (|>s; тогда ty(n)/s = 0, отсюда, по предыдущему,
Щп) = 0 для некоторого t e S. Значит, in — cp(m), откуда n/s = tn/ts =
= (f(m)/ts = <ps(m/ts), что доказывает требуемое. П
Пусть теперь / Ε Л, а φ: Μ —> Ν — гомоморфизм Л-модулей. Он ин-
дуцирует гомоморфизм Л/-модулей φ/: Mf —> Λ//, φ/ = 1сЦ Θ φ (мы будем
говорить иногда, что ср/ поднимается до φ).
1.12.15. Лемма. Пусть F — свободный нётеров Α-модуль, Μ — He-
me ров Α-модуль, f Ε Л, Mf — свободный Af-модуль. Тогда для любого
гомоморфизма φ: Mf —► Ff существует такое целое число q, что го-
моморфизм fqy: Mf —> Ff поднимается до некоторого гомоморфизма
ψ: Μ ->/\
Доказательство. Прежде всего, Ff свободен с конечным числом
образующих, так что φ «состоит» из конечного числа координатных Л^-го-
моморфизмов Mf —> Af. Если после умножения на надлежащую степень /
каждый из них поднимается до Μ —> Л, то же верно и для φ. Поэтому мы
будем считать, что F ~А.
Пусть Ш/, где / = 1, ..., я, — система образующих модуля М. Умножив
φ на подходящую степень /, мы можем считать, что cp(m;) = g;/l, где gi 6 A
для всех /.
Напрашивается мысль поднять φ: Λί/ —> /7 до искомого гомоморфизма
ψ: Μ —> Л, положив ф(т,) = g/. Это, однако, может оказаться невозмож-
п η
ным из-за наличия соотношений ^ //^/ = 0, для которых ^ //&/ Φ 0· Но
л /=1 /=1
всегда ^] //(g;/l) = 0, поэтому множество
rt ГС ч
/=1 /=1 J
в силу леммы 1.12.12 образует нётеров Л-подмодуль, принадлежащий яд-
ру Л —► Л/. По следствию 1.12.13, этот подмодуль аннулируется умноже-
нием на fq для некоторого q. Отсюда следует, что существует гомомор-
физм /?ψ: Μ —> Л, для которого fqty(mi) — fqgi. Лемма доказана, потому
что (/*ψ), = /«φ. G
Теперь мы можем установить первую часть теоремы 1.12.10.
1.12.16. Предложение. Локально свободные модули проективны.
Доказательство. Пусть Μ — нётеров локально свободный Л-мо-
Ψ
дуль, F —» Μ —» 0 — некоторый эпиморфизм, где F — нётеров свободный
модуль. Мы хотим доказать, что Μ выделяется из F прямым слагаемым;
§1.12. Векторные расслоения и проективные модули
83
«ля этого нужно найти гомоморфизм — сечение φ: Μ —► /\ для которого
ф о φ = ί^Μ- Более общо, введем Л-модуль
Р={хеНотл(Л1, Λί) | χ = ψ ο φ, феНотл(М, /7)}.
Покажем сначала, что для любой точки χ е Spec А найдется ненулевой
элемент / Ε А такой, что / \ам € Ρ для некоторого g ^ 0.
Для этого выберем / так, чтобы Mf был /^-свободен. Тогда гомомор-
физм ψ/: Ff —► Mf —> 0 имеет сечение φ: Afy —> Ff. В силу леммы 1.12.15
^Γφ поднимается до гомоморфизма χ: Μ —» /7 (для некоторого г ^ 0).
Так как ψ/ ο φ = i(W, отсюда следует, что (ψ ο χ)^ = fr \с\мг в частности,
(ψ ° X - Г ί^Λί)/(ш/) = 0 для конечного числа образующих ть модуля М.
Поэтому для некоторого t ^ 0 имеем /'(Ψ ° X - Г '^м) = 0? так что fr ф icUf =
Теперь выберем из покрытия
Spec Л = U D{fx)
*€Spec A
k
(где fx(x) Φ 0, а Λί^ свободен над Л/х) конечное подпокрытие (J D(//): это
/=1
возможно в силу квазикомпактности Spec Л; см. п. 1.4.10. Найдем число q,
для которого /? idM £ Я при всех /. Так как £>(/?) = £)(//), элементы (/?)
порождают единичный идеал. Из соотношения ]Р g,·/? = 1 следует
/=1
id« =(£>/?) id* € Я.
Это завершает доказательство. □
1.12.17. Теперь мы должны установить, что проективные модули ло-
кально свободны. Сначала мы проверим это для более сильной процедуры
локализации, вплоть до локального кольца.
Следующий простой, но фундаментальный результат известен под на-
званием леммы Накаямы.
1.12.18. Лемма. Пусть А —локальное кольцо, α С Л — идеал, от-
личный от всего Л, и пусть Μ — Α-модуль конечного типа. Если
Μ = αΛί, то Μ = {0}.
Примеры, показывающие необходимость условия конечности.
1) Пусть Л — кольцо без делителей нуля, Μ — его поле частных. Оче-
видно, если α Φ {0}, то αΛί = Μ, но Μ Φ {0}.
84
Гл. 1. Аффинные схемы
2) Пусть А — кольцо ростков С°°-функций вблизи нуля в Е, и пусть а—
оо
идеал функций, обращающихся в нуль в начале координат; Μ = f] an —
идеал функций, плоских в нуле, т. е. таких, что все их производные в ну-
ле равны нулю. Нетрудно установить, что аМ = М. Это следует из того,
что для любой плоской функции / и координатной функции χ частное /Д,
доопределенное нулем в нуле, является плоской функцией.
Доказательство леммы Накаямы. Пусть Μ Φ {0}; выберем
минимальную конечную систему образующих /П[, ..., тг модуля М. Так
г г
как Μ = αΛί, имеем т\ — Σ fimi, где // € α, то есть (1 - f\)m\ = Σ fi^i-
/=1 /=2
Так как f\ лежит в максимальном идеале кольца Л, элемент 1 — f\ обра-
тим, так что т\ выражается линейно через т% ..., тг, что противоречит
минимальности системы образующих. D
1.12.19. Следствие. Если Μ — модуль конечного типа над ло-
кальным кольцом А с максимальным идеалом ρ и если элементы
Ш[ — mt mod pM (/ = 1, ..., г) порождают М/рМ как линейное про-
странство над полем А/ру то элементы т/ порождают А-модуль
М. В частности, если А нётерово, то образующие А/р-простран-
ства р/р2 порождают идеал р.
Доказательство. Пусть М' = М/(Ат\ + ... + Атг). Так как Μ =
= ρΛί + Amy 4-...+ Атп имеем Μ' — pAf, откуда Λί' = 0. D
1.12.20. Предложение. Проективный модуль Μ конечного типа
над локальным кольцом А свободен.
Доказательство. М/рМ — конечномерное пространство над Л/р;
пусть Ш[ — ть mod pM, где / = 1, ..., г, — его базис. По предыдущему,
/nt· составляют систему образующих модуля Λί; покажем, что она свобод-
на. Рассмотрим эпиморфизм F —> Μ —» 0, где F — Аг — свободный модуль
ранга г, свободные образующие которого отображаются в (т/). Так как Μ
проективен, существует сечение φ: Μ —► F. Оно индуцирует изоморфизм
φ: М/рМ —> F/pF, потому что размерности обоих линейных пространств
равны г. Отсюда следует, что F = φ(Λί) -l·/?/7, или F/tp(M) = p(F/(p(M)).
В силу леммы Накаямы F = φ(Λί), так что φ — изоморфизм. Предложение
доказано. D
Мы можем, наконец, закончить доказательство теоремы 1.12.10.
1.12.21. Предложение. Проективный нётеров модуль Μ над нё-
теровым кольцом А локально свободен.
§1.12. Векторные расслоения и проективные модули 85
Доказательство. Пусть χ Ε Spec Л, ρ С Л — соответствующий
простой идеал. Обозначим через Ар локальное кольцо—локализацию Л по
мультипликативной системе Л \ ρ (непоследовательность обозначений —
ср. As и Ар — общепринята). Модуль Мр — Ар <g> Μ проективен и, следо-
вательно, по 1.12.20, свободен. Выберем его Лр -базис; приводя элементы
базиса к общему знаменателю, можем считать, что они имеют вид trii/g, где
гщ £ Μ при / = 1, ..., я, a g Ε Л. Рассмотрим гомоморфизм φ: Ag —» Mg,
переводящий элементы свободного базиса Ag в m//g, и положим К = Кег φ,
С = Coker φ. Умножив точную последовательность Л^-модулей
0—*К—>Akg—>Mg—> С —+ 0 (1.12.2)
тензорно на Ар (это кольцо является также локализацией Ag по Л^ \pg),
мы, по предложению 1.12.14, получим точную последовательность Лр -мо-
дулей. Ее средняя стрелка — изоморфизм, поэтому Лр <8> К = {0} и Лр ® С =
= {0}. Пусть &ь ..., £s и сь ..., сг — образующие Ля-модулей /С
и С соответственно; в силу леммы 1.12.12 существуют такие элемен-
ты hi, h'j E Ag\ pgy что h[ki — 0 и ЛуСу = 0; в частности, элемент h =
= Π ^' Π ^/» лежащий в Ag \ pg, аннулирует К и С. Пусть /ι = //g*, где
/=1 /=1
/Е Л \р; тогда даже //1 аннулирует /С и С. Умножая точную последова-
тельность (1.12.2) на (Ag)f/\ тензорно над Ag и пользуясь изоморфизмом
Л/^-модулей (Mg)f/\ ~ Mfg, находим изоморфизм Л? —> Mfg, потому что
/C//i = {0}, a Cf/\ — {0}. Так как fg(x) φ 0, то Μ локально свободен в точ-
ке χ. Π
1.12.22. Конструкция несвободного проективного модуля с помо-
щью листа Мёбиуса. Пусть Л — кольцо непрерывных вещественнознач-
ных функций / на [0, 1] с условием /(0) = /(1); Μ — Л-модуль таких функ-
ций с условием /(0) = -/(1). Тогда Μ не свободен, ноМфМ^ЛфЛ.
Доказательство. 1) Пусть /ь /2 Ε Λί; тогда /1/2(/2) - /|(/О = 0
и /1/2, fl^A. Поэтому любые два элемента из Λί зависимы над Л. Значит,
если Μ свободен, он должен быть ранга 1. Но Μ φ Л/ ни для какой функ-
ции /Ε Λί, ибо / обращается в нуль где-то на [0, 1], а в Λί есть функции,
не обращающиеся в нуль в любой наперед заданной точке.
2) Элементы / = (sin π/, cos τύ) и g = (- cos π/, sin π/) образуют сво-
бодный базис в Λί Θ Λί: для любых (гаь m<i) Ε Λί Θ Λί система уравнений
{χ sin nt — у cos Tit = m\,
χ cos nt — у sin at = rri2
°Днозначно разрешима в Л. ^
86
Гл.1. Аффинные схемы
§ 1.13. Нормальное расслоение и регулярные вложения
1.13.1. Определение. Пусть У— замкнутая подсхема схемы Х =
= Spec Л, определенная идеалом а. Тогда А /α-модуль α/α2 называется ко-
нормальным модулем к У (относительно погружения Υ ^Χ), а семейство
векторных пространств N = Spec S,4/o(a/a2) — нормальным семейством.
С этим определением связаны наглядные дифференциально-геометри-
ческие представления: α — идеал «функций» на X, обращающихся в нуль
на У, а2 — функции, обращающиеся в нуль «не ниже второго порядка»,
α/α2 — модуль линейных частей этих функций в окрестности У. Каса-
тельный вектор к X в некоторой точке из Υ определяет линейную функ-
цию на таких линейных частях.
Нормальный вектор к Υ (при отсутствии какой бы то ни было есте-
ственной метрики) — это класс касательных векторов к X в точке у е Υ по
модулю тех из них, которые касаются У, то есть обращаются в нуль на
линейных частях функций из а. Поэтому в «достаточно регулярных» слу-
чаях α/α2 образуют (локально) пространство, двойственное к пространству
нормальных к У векторов. Этим объясняется название «конормальный мо-
дуль».
Этот модуль, вообще говоря, отнюдь не является свободным или про-
ективным, но есть очень важный класс подсхем, для которых он таков.
1.13.2. Определение. Последовательность (/ь ...,/л) элементов
кольца А называется регулярной (длины я), если для всех / ^ η элемент
// mod (/ι, ..., /,·_ι) не является делителем нуля в кольце A/(f\, ..., /;_ι).
(Удобно считать, что пустая последовательность регулярна длины 0 и по-
рождает нулевой идеал.)
Замкнутая подсхема У сХ — Spec Л называется регулярно вложен-
ной (коразмерности я), если в А существует регулярная последователь-
ность длины А2, порождающая идеал подсхемы У.
Геометрический смысл регулярности становится вполне прозрачен, если
вспомнить теорему 1.7.14. Мы задаем У, постепенно добавляя по одному
уравнению // = 0. Так получается убывающая последовательность подсхем
X D Y\ Э У2 D ... Э Yn = У. Условие регулярности состоит в том, что У/ не
должна содержать целиком носитель ни одной из компонент несократимого
примарного разложения Υι-\. Иначе говоря, очередное уравнение // = 0
должно быть «трансверсально» ко всем этим носителям (в очень слабом
смысле слова).
Часто о регулярно вложенной подсхеме говорят, что она является пол-
ным пересечением.
§1.13. Нормальное расслоение и регулярные вложения 87
1.13.3. Предложение. Пусть Υ <-+ X — регулярно вложенная за-
мкнутая подсхема коразмерности п. Тогда ее конормальный модуль
свободен ранга п.
В частности, число η не зависит от выбора регулярной системы
образующих идеала, что позволяет называть его коразмерностью.
Доказательство. Пусть а = (/ь ..., /я) С Л,_где /ь ..., fn — ре-
гулярная последовательность. Очевидно, элементы /; = // mod α порож-
дают А /α-модуль α/α2. Поэтому достаточно проверить, что они линейно
независимы. Проведем индукцию по п.
Пусть сначала η = 1. Тогда f\ = /, g = g mod fA. Если g / = О, то gf =
= hf2 для некоторого h e А, откуда f(g - hf) = 0 => g = hf, ибо / — не
делитель нуля в А. Следовательно, g = 0.
Пусть результат уже доказан для регулярной последовательности
η
(/ь ..., /л-1). Допустим, что Σ gift = 0 в α/α2, где & = gi mod α. Можно
η ί==1 η η
считать, что ]Γ] g//; = 0 в А: иначе J] £/// — Σ "//*'» где ^ € а, и можно
/=ι _/=ι /=ι
заменить g,- на gi - щ, не изменив gi.
Так как класс элемента fn не является делителем нуля в кольце
л-1
Л/(/ь ..., /„_!), из равенства #„/„ + ]£ #/,· = 0 следует, что gne(fu
П-\ /2-1
...,/„_ι), то есть я« = Σ Л/Л» откуда £ (&· + Л//я)// = 0. По индуктив-
/=ι /=ι
ному предположению отсюда следует, что gi + hifn Ε (/ι, ..., fn-\) при
/=1,...,/2-1, так что gi Ε α для всех i, то есть g; == 0, что завершает
доказательство. D
Более общее понятие локально регулярно вложенной подсхемы по-
лучится, если имитировать рассуждения п. 1.12.5—1.12.7. Оставляя чита-
телю подробности, заметим лишь, что рабочая форма определения такова:
подсхема Υ <-► X называется локально регулярно вложенной в точке
У Ε У, если существует такая окрестность D(f) Э у, что Υ Π D(f) регуляр-
но вложена в £)(/). Пересечение Υ П £>(/), разумеется, определено идеалом
а/ с Af и совпадает с расслоенным произведением Υ χ Xf (ср. п. 1.12.6).
Нормальные семейства к локально регулярно вложенным подсхе-
мам являются векторными расслоениями, потому что (α/α2)/ = α//α2,
так что Л/а-модуль а/а2 для такой подсхемы локально свободен.
Заметим, что подсхема вполне может быть регулярно вложена локаль-
но, но не глобально. Впервые это выяснилось в теории чисел.
Пример. Пусть А Э Ζ — кольцо целых алгебраических чисел неко-
торого поля К. Если число классов поля К больше единицы, в А есть
88
Гл. 1. Аффинные схемы
неглавные идеалы α С Л (даже простые). Однако любой такой идеал, как
известно, является «локально главным». Поэтому α определяет локально
регулярно вложенную подсхему коразмерности единица.
Пусть теперь χ еХ — замкнутая точка; будем для краткости обозначать
через χ также единственную приведенную подсхему с носителем в этой
точке. Обсуждение в п. 1.13.1 показывает, что конормальный модуль к χ
является аналогом кокасательного пространства к X в этой точке. Это —
так называемое «кокасательное пространство Зарисского».
Замкнутые точки могут быть, а могут и не быть локально регулярно
вложены.
Например, все замкнутые точки пространства A" = Spec К[Т\, ..., Тп]
(К для простоты предполагается алгебраически замкнутым полем) в си-
лу результатов п. 1.8 отвечают идеалам (7^ - /ь ..., Tn - tn), где t[ e К.
Выписанная система образующих такого идеала, очевидно, является регу-
лярной последовательностью.
Чтобы получить примеры нелокально регулярно вложенных точек, до-
статочно рассмотреть спектр локального артинова кольца, но не поля: все
элементы его максимального идеала нильпотентны, и потому не существует
системы образующих, первый элемент которой не есть делитель нуля.
Более содержательные примеры доставляют гиперповерхности, то
есть подсхемы аффинного пространства А", заданные одним уравнением.
1.13.4. Пример. Пусть X С А" — замкнутая подсхема аффинного про-
странства над полем /(, проходящая через начало координат χ и опреде-
ленная уравнением F = О, где F = F\ + /¾ + ..., a Z7/ — форма /-й степени
от Гь ..., Тп.
Утверждение. Точка χ локально регулярно вложена в X, если
и только если F\ φ 0.
Следствие. Пусть F(t\, ..., tn) = 0, tt e /(. Точка χ, определен-
ная идеалом (... (7/ - t{)...), локально регулярно вложена в X, если
и только если существует такое /, что
щ« ,t„)*0.
Действительно, перенесем начало координат в (fb ..., tn)\ тогда ли-
нейная часть F вблизи нового начала будет равна
^)^,,...,^)(7-,-/,),
/=1
и остается применить утверждение 1.13.4.
D
§ 1.13. Нормальное расслоение и регулярные вложения
Этот дифференциальный критерий показывает, что локально регулярно
вложенные точки в точности совпадают с теми, которые в классической
теории называются «неособыми».
Оставляя систематическую теорию таких точек на будущее, ограничим-
ся здесь лишь тем, что нужно для разбора примера 1.13.4.
Заметим прежде всего, что достаточно рассматривать локализованные
кольца. Точнее, пусть ρ = (Гь ..., Тп) С А, а р = p mod (F) С В. Из дока-
зательства предложения 1.12.21 легко видеть, что точка χ локально регу-
лярно вложена в X тогда и только тогда, когда максимальный идеал ло-
кального кольца Вр порожден регулярной последовательностью. Заметим,
4ToBp=Ap/(F/l).
1.13.5. Лемма. В условиях примера 1.13.4, если F\ φ О, mo макси-
мальный идеал в Вр порожден регулярной последовательностью.
В самом деле, сделав невырожденную линейную замену переменных,
можем считать, что F\ = Т\. Теперь для любого элемента G £ К[Т\, ...
... , Тп] обозначим через G класс G/l mod (F/\) в кольце Вр.
Элементы 7^/1, ..., Тп/\ и F/X образуют регулярную последователь-
ность в кольце Ар, потому что
F=Tl+a2T2{+... mod(r2, ..., Тп),
где at Ε К. Из леммы 2.13.6, которую мы докажем во второй главе, вы-
текает, что F/l, 7*2/1, ..., Тп/\ —также регулярная последовательность.
Стало быть, 72/1 > · · · > Тп/1 —регулярная последовательность в кольце
Вр =Ap/(F/l); ясно, что эта последовательность порождает максималь-
ный идеал в Вр.
1.13.6. Для доказательства утверждения, обратного к лемме 1.13.5,
заметим, что если начало координат локально регулярно вложено в X, то
максимальный идеал локального кольца Вр должен быть порожден регу-
лярной последовательностью. Условие F\=0 означает, что F/X принадле-
жит квадрату максимального идеала в Ар. Поэтому остается установить
следующую лемму.
1.13.7. Лемма. Пусть А — нётерово локальное кольцо, ρ С А —
его максимальный идеал, порожденный регулярной последователь-
ностью длины п. Если / € ρ2 и f регулярен, то в локальном кольце
A/(f) максимальный идеал не может быть порожден регулярной по-
следовательностью.
Доказательство. Пусть максимальный идеал в A/(f) порожден
регулярной последовательностью g\, ..., gk, где gi — gi mod (/), a gi G A.
Тогда (/, g\, ..., gk) — регулярная последовательность в А, порождаю-
90
Гл.1. Аффинные схемы
щая р. Так как длина любой такой последовательности равна η (п. 1.13.3),
мы должны иметь k = η - I. Но элементы (/, gu ·.., gk) порождают
в я-мерном Л/р-пространстве р/р2 подпространство размерности < k =
= η — 1, потому что / Ε р2. Полученное противоречие доказывает лемму
и завершает разбор примера 1.13.4. D
§ 1.14. Дифференциалы
Пусть Л, В — кольца, В — Л-алгебра. Как в п. 1.10.6, положим
Ι = ΙΒ/Α=Κετμ,
где μ: ® —> β, μ(/?ι 0 62) = ^1^2- Очевидно, / — идеал в 5 0β и
(β 0 β)// - β.
1.14.1. Определение, β-модуль
Ωβ/Α = hiaI IBjA
называется модулем {относительных) дифференциалов Л-алгебры β
(объяснение названия см. ниже, в п. 1.14.2).
По предложению 1.10.6, идеал / определяет диагональную подсхе-
му Αχ С X х X, где X = Spec β, S = Spec Л. Согласно интерпретации
5
в п. 1.13.1, модуль Ωΐ/^ является конормальным к диагонали. В диффе-
ренциальной геометрии нормальное расслоение к диагонали Αχ изоморфно
касательному расслоению к самому многообразию X: обычное рассуждение
состоит в том, что, снося векторное поле на одном из слоев произведения
Χ χ Χ «параллельно» на диагональ, мы получаем векторное поле, всю-
ду трансверсальное к диагонали (см. рис. 1.13). Поэтому Ωί^ является
кандидатом на роль «кокасательного модуля» к X (вдоль слоев морфиз-
ма X -» S). С другой стороны, при интерпретации нильпотентов в § 1.5
в качестве аналога «касательного модуля» к X (над 5) выступал β-модуль
Db/a дифференцирований Л-алгебры В (касательное поле на X «есть»
дифференцирование кольца функций на X).
В дифференциальной геометрии касательное и кокасательное рассло-
ения двойственны. Здесь это, вообще говоря, неверно: лишь «одна поло-
вина» двойственности сохраняется:
^/л = Нот^/л, β). (1.14.1)
Тем самым, Db/a восстанавливается по Ω^, но не наоборот. Это объ-
ясняет преимущественную роль дифференциалов перед дифференцирова-
ниями.
§1.14. Дифференциалы
91
Χ χ {χ0}
Мы докажем более сильное утверждение, чем (1.14.1), но прежде от-
метим, что в ряде вопросов полезно рассматривать «дифференциальные
окрестности диагонали» более высоких порядков, представленные подсхе-
мами Spec(B ®Β)/Ι*βΐΑ, где п^\. Они заменяют «пространства джетов»
дифференциальной геометрии.
Определим отображение
d — ав/л · В -» Ω в/а
формулой
d(b) = (b®\-\®b) mod Ι2Β/Λ.
1.14.2. Лемма. 1) Отображение d является Α-дифференцирова-
нием, то есть удовлетворяет тождествам:
d(b{ +b2) = dbi + db2,
d{b\b2) = b\db2 + b2db\,
ά(ψ(α)) = 0, a G Л,
где φ: A —► В — структурный гомоморфизм.
2) Пусть (bi)ie/ — некоторая система образующих Α-алгебры В.
Тогда (dbi)ie/ составляют систему образующих В-модуля Ω1β/α-
Доказательство. Утверждение 1 проверяется без труда; ограни-
чимся тождеством для d(b\b2):
b[b2 <g> 1 - 1 <g> bxb2 ^b\®\(b2®\-\®b2) + \® b2(b{ <g> 1 - 1 <g> b\).
(Учесть, что умножение в ΩιΒ,Λ на b индуцировано умножением на b ® 1
или на 1 0/? в ΙΒ/α·)
Для доказательства утверждения 2 заметим сначала, что
]Г bi ®^ = Σ bi ® Ъ\ - Σ b^i ^^=Y^bi^\{\®b,i-b'i® 1).
92
Гл. 1. Аффинные схемы
Отсюда следует, что ΩιΒ/Α как β-модуль порожден элементами вида db
при всех b е В. Так как d — дифференцирование, обращающееся в нуль
на образе А, отсюда легко получается требуемое. □
1.14.3. Пример. Пусть В = А[Т\, ..., Тп]. Тогда Ω[Β/Α —свободный
β-модуль, свободно порожденный элементами άΤ\.
1.14.4. Предложение. Для любого дифференцирования df: B-+ Μ
кольца В в В-модуль Λ4, обращающегося β нуль на образе А, суще-
ствует единственный гомоморфизм В-модулей φ: ΩιΒ,Α —»Af, для ко-
торого
d' = tyodB/A.
Применяя этот результат к Μ = В, получим изоморфизм (1.14.1).
Доказательство. Единственность гомоморфизма ψ немедленно
следует из того, что d'b — <\>(db) для всех b e В, так что ψ однозначно
определен на системе образующих ΩΒ,Α.
Для доказательства существования определим сначала гомоморфизм
групп
χ: β®β->Μ,
А
положив χφ ® Ь') = —Ъ d'b'.
Этот гомоморфизм χ обращается в нуль на l\,A. Действительно, прежде
всего, χ является гомоморфизмом β-модулей, если действие В на В ® В
определить через b \-+ b ® 1. Далее, как было показано выше, элементы
Ь ® 1 - 1 ® b порождают β-модуль 1В/А. Поэтому попарные произведения
(Ь\ ® 1 - 1 ® b\)(b2 ® 1 - 1 ® b2) порождают β-модуль 1\,А. Следователь-
но, достаточно проверить, что χ обращается в нуль на них.
Действительно,
Х((ЬХ 0 1-1® ЬХ)(Ь2 0 1-1® Ь2)) = b\ d'b2 + b2 d'b{ - d\bxb2) = 0.
Поэтому χ индуцирует некоторое отображение φ: ///2 —>Λί. Имеем
(f(db) = tf(b ® 1 - 1 ® b) = d'b,
что завершает доказательство. □
1.14.5. Рассмотрим теперь следующую ситуацию. Пусть /: Υ <—► X —
замкнутое вложение схем. В дифференциально-геометрической модели при
соблюдении некоторых условий регулярности ограничение на Υ касатель-
ного пучка к X содержит касательный пучок к У, а фактором является
нормальный пучок к Υ. Мы хотим выяснить, в какой мере это можно
перенести на случай схем.
Переведем вопрос на алгебраический язык.
§1.14. Дифференциалы
93
Пусть В — некоторая Л-алгебра, Ь С В — идеал. Тогда В = В/Ь также
является Л-алгеброй, и мы имеем относительные (над Spec Л) кокаса-
тельные пучки к Spec В и Spec В, представленные модулями QlB/A и Ql
С ДРУг°й стороны, конормальный пучок вложения Spec В —> Spec В пред-
ставлен 5/Ь-модулем Ь/Ь2. В этой ситуации выполнено следующее.
1.14.6. Предложение. Существует точная последовательность
β/Ь-модулей
b/b2 Λ В/Ь | &В/А Α Ω^ —> 0.
Доказательство. Определение гомоморфизма δ. Пусть ее Ь/Ь2
представлен элементом е 6 Ь; положим
Ьё= 1 ® ав/А^·
Результат не зависит от выбора элемента е, потому что если е — 0, то есть
е € Ь2, то de G Ь ав/А^у так что lg^ е = 0. То, что δ является гомомор-
физмом групп, очевидно; совместимость с действием В/Ь следует из того,
что для любого элемента / = / mod b имеем
bQe) = 1 ® d(fe) = I ® (e df + f de) = f ® de = /δ(β).
в в в
Определение гомоморфизма и. Отображение d1': В —► Ω^, для ко-
торого
d7 = dg/i4(/modb),
очевидно, является дифференцированием над Л. Поэтому (п. 1.14.4) его
можно пропустить через однозначно определенный гомоморфизм β-моду-
лей Ωβ/4 —► Ωβ/Α· ^ак как ВТ0Р°й модуль аннулируется умножением на Ь,
этот гомоморфизм определяет гомоморфизм β/Ь-модулей
который мы и обозначим через и. Легко видеть, что
и(1 ®в dB/Af) = dB/A{f mod b),
и, следовательно, и является эпиморфизмом.
Проверка того, что и о δ = 0:
и о Цё)и(1 ® de) — d(e mod b) = 0.
Точность в среднем члене. Построим гомоморфизм
v:nlE/A—*B®n{B/A/lmb
94
Гл.1. Аффинные схемы
такой, что и и υ будут взаимно обратны. С этой целью определим сначала
дифференцирование d!: В —► В ® П^л/ Im δ, положив
d'(/) = 1 ® dB//4/ mod Im δ, / = / mod b.
Независимость от выбора элемента / следует из того, что 1 <g> dB/Ae G Im δ
в
при всех е Ε b. Это дифференцирование определяет гомоморфизм υ. Так
как
α о v(df) = df,
υ о ц(\ ® d/) mod Im δ = 1 ® df mod Im δ,
whd взаимно обратны на некоторой системе образующих наших модулей,
что доказывает требуемое. D
Отметим отличие от дифференциально-геометрической ситуации; мо-
жет оказаться, что Кег δ Φ О даже в случае, когда подсхема Υ<-» X вложена
регулярно. Вот пример.
Пусть X = Spec Ζ, Υ — Spec Z/pZ, где ρ — простое число; 5 = Spec Z.
Тогда iiL = 0 и Ω{γ5 = 0; между тем b/b2 — одномерное линейное про-
странство над Ъ/рЪ.
Неформально говоря, «в арифметическом направлении» нельзя диф-
ференцировать.
§ 1.15. Отступление: проблема Серра и теорема Сешадри
Серр поставил следующий вопрос: существуют ли над аффинным
пространством размерности η нетривиальные векторные расслое-
ния}
Иначе говоря, любой ли нётеров проективный модуль над кольцом
многочленов К[Т\У ..., Тп] (К — поле) свободен?
При η — 1 кольцо К[Т] является целостным кольцом главных идеалов.
Поэтому любой нётеров модуль без кручения (в частности, всякий проек-
тивный модуль) свободен (см. [12, гл. XV, § 2]).
При η = 2 нетривиальных расслоений также не существует. Эта теоре-
ма принадлежит Сешадри; ее доказательству посвящен этот параграф.
При η > 3 ответ на вопрос Серра до сих пор неизвестен ]). Задача
крайне привлекательна и имеет все черты «классичности»: она очень есте-
ственна, относится к фундаментальным объектам и трудна. Во всяком слу-
чае, десять лет со времени ее постановки не принесли существенно новых
!)В настоящее время уже известен. Утвердительный ответ (любой нётеров проективный
модуль свободен) принадлежит А. А. Суслину и Д. Квиллену [1*, 20*, 38*].
§ 1.15. Отступление: проблема Серра и теорема Сешадри 95
результатов о кольцах многочленов сверх теоремы Сешадри и следующего
(Ьакта, установленного самим Серром.
1.15.1. Теорема. Пусть Ρ — нётеров проективный модуль над
кольцом К[Т\, ..., Тп]. Тогда существует такой нётеров свободный
модуль F, что Я Θ F свободен.
Иначе говоря, векторные расслоения над аффинным пространством
стабильно свободны в терминологии топологов.
Доказательство легко следует из «теоремы Гильберта о сизигиях», речь
о которой пойдет во второй главе.
Мы ограничимся поэтому теоремой Сешадри. Она применима к классу
колец, включающему кроме К[Т{, Т2]ч например, Ъ[Т].
1.15.2. Теорема. Пусть А — целостное кольцо главных идеалов.
Тогда любой проективный нётеров А[Т]-модуль Ρ свободен.
Доказательство будет разбито на ряд лемм. Его движущей пружиной
является простое замечание о том, что если А — поле, то теорема известна.
Из А можно «сделать» поле двумя способами: перейти от кольца А к его
полю частных К или к факторполю k = А/(/?), где ρ — любой простой
элемент. Модули К[Т] <& Ρ и k[T] ® Ρ окажутся свободными. Восполь-
А[Т) А[Т]
зуемся по очереди этими двумя обстоятельствами.
1.15.3. Лемма. Существует точная последовательность А[Т]-мо-
дулей
0—>F—+P—^P/F—*0 (1.15.1)
со следующими свойствами:
а) F — максимальный А[Т\-свободный подмодуль в Р\
б) Ann(P/F)n,4^{0}.
Доказательство. Пусть m\, ..., m!r — свободный К[Т] -базис мо-
дуля К[Т] ® Р. Существует такой элемент О Φ f £ Л, что
mi = fm; eP^K[T]®P.
Подмодуль F' с Р, порожденный элементами т/, где / = 1, ..., г, свобо-
ден. С другой стороны, любой элемент из конечной фиксированной си-
стемы образующих модуля Ρ представляется в К[Т] ® Ρ в виде линейной
комбинации J2i Fi'№)mn гДе РцСП € К[Т]. Общий знаменатель коэффици-
ентов всех многочленов Ру(Т) в А аннулирует P/F''. Теперь в качестве F
Можно взять максимальный свободный подмодуль в Р, содержащий F'\ он
существует в силу нётеровости. Очевидно, Ann(P/F) D Ann(P/F'), так что
Ann(P/F) Π Α φ {0}. Лемма доказана. Π
96
Гл.1. Аффинные схемы
Дальше мы сохраняем обозначения леммы 1.15.3 и намерены при-
вести к противоречию предположение о том, что F φ Р. В таком
случае Ann(P/F) Г) Л = (/) С Л, где / необратим (ибо А — кольцо главных
идеалов). Пусть ρ — простой элемент Л, делящий /. Положим k = A/(p)
и умножим точную последовательность (1.15.1) тензорно на k[T] над Л [Г],
положив F = F/pF = k[T] 0 Fht.ii.:
А[Т]
F-^P—>P/F-^0.
Пусть F\ = Ker ί, F2 = Im i. Так как Р проективен над k[T], F2 не имеет кру-
чения и, значит, свободен. Следовательно, F\ тоже свободен и выделяется
из F прямым слагаемым, так что определена расщепляющаяся последова-
тельность свободных k[T]-модулей:
О—>Λ -^F-^F2—>0. (1.15.2)
1.15.4. Лемма. F{ фО.
Доказательство. В самом деле, j(F\) = (рР Π F)/pF. Пусть / =
= pg. Так как g ^ Ann(P/F) Π Л, имеем gP <£ F => pgP ¢ pF (ибо Ρ не
имеет кручения). Но pgP = fP С ρ Ρ OF, так что, тем более, pPnF ¢ pF.
Лемма доказана. D
Последний шаг требует некоторых дополнительных соображений.
1.15.5. Лемма. Существует свободный А[Т]-подмодуль F\ С F,
имеющий свободное прямое дополнение и такой, что k[T] <S> F\ =
= J(Fi).
Неформально говоря, последовательность (1.15.2) можно поднять до
расщепляющейся точной последовательности свободных модулей над Л [Г].
1.15.6. Вывод теоремы 1.15.2. Пусть F\ CF — подмодуль, суще-
ствование которого утверждается в лемме 1.15.5, /¾ С F — его свободное
прямое дополнение. Так как F\/pF\ = Ker/, все элементы F\ С F С Ρ де-
лятся на ρ внутри Р. Положим
F[ = {meP\pmeF{}.
Очевидно, F[ свободен (умножение на ρ определяет изоморфизм F[ —► F\)
и строго больше F\ (по лемме 1.15.4). Поэтому модуль F' — F[ 0 F2 С Ρ
свободен и содержит F в качестве собственного подмодуля, что противоре-
чит максимальности F и завершает доказательство теоремы Сешадри. □
1.15.7. Доказательство леммы 1.15.5. Любой автоморфизм φ моду-
ля F индуцирует некоторый автоморфизм φ модуля F. Нам понадобится
§ 1.15. Отступление: проблема Серра и теорема Сешадри
97
_едующее вспомогательное утверждение:
Отображение φ: SL(rc, Ayr]) —> SL(tt, k[T\) сюръективно.
Для доказательства воспользуемся классическим результатом о приведе-
нии матрицы над евклидовым кольцом k[T] к диагональному виду «допу-
стимыми преобразованиями». Этот результат содержится в книге [7, § 85],
рде он изложен на языке базисов. Для его формулировки обозначим через /
единичную (η χ я)-матрицу над k[T], через 1^ — матрицу полученную из /
перестановкой /-й и у-й строк, через Ец — матрицу, у которой на (г, /)-м
месте стоит 1, а на всех остальных местах — нули.
Доказательство «теоремы об элементарных делителях» в книге Ван дер
Вардена [7] показывает, в частности, что в фиксированном базисе F лю-
бой автоморфизм с определителем 1 представляется в виде произведения
матриц одного из следующих типов:
а)/ + /£/,·,/еВД
б) hn>
в) диагональные матрицы с элементами из k и определителем 1.
Матрицы первых двух типов поднимаются до матриц из SL(n, A[T])
очевидным образом. Матрицы третьего типа разлагаются в произведение
диагональных матриц с определителем 1, у которых лишь два диагональ-
ных элемента φ 1. Тем самым, задача сводится к подъему матриц вида
(1 _о \
Vo if)'1)
е SL(2, k) до матриц из SL(2, A).
Это можно сделать совершенно элементарно. Легко видеть, что можно
выбрать элементы /, g е А, для которых / = / (mod ρ), (/)-1 = g (mod p)
и (g·, /) = 1 (это вытекает из китайской теоремы об остатках). Теперь fg =
= 1 + ph. Решим в А уравнение fx-\-gy — h\ тогда
(f - py)(g - ρχ) = ι + р2*у*
так что матрица (' рУ Vх J решает нашу проблему
Вернемся теперь к доказательству леммы 1.15.5.
Выберем свободный Л [Г]-базис (га;);€/ модуля F\ его редукция по мо-
дулю ρ даст свободный k[T]-базис (т/),-е/ модуля F. Далее, выберем сво-
бодный k[T]-базис («/)/€/ модуля F, согласованный с расщепляющейся
последовательностью 1.15.2 (в том смысле, что первые rk F\ его элементов
составляют базис F\). Можно считать, что матрица Μ € GL(az, k[T]), пере-
водящая множество (m/)/€/ в множество (az/)/g/, принадлежит SL(/r, k[T]):
если ^то не так, достаточно заменить п\ на (detAf)-1^. Теперь подни-
мем Μ до Μ € SL(az, А[Т}) и пусть (л/)/е/ — это Л[Г]-базис_М-модуля F.
Пусть далее F\ — подмодуль в F, порожденный первыми rk F\ элементами
98
Гл. 1. Аффинные схемы
базиса (#/)/6/, a /¾ — подмодуль, порожденный остальными элементами.
Конструкция этих подмодулей показывает, что они удовлетворяют лем-
ме 1.15.5, что завершает доказательство.
§ 1.16. Добавление. Язык категорий
Общая часть. Язык категорий воплощает «социологический» подход
к математическому объекту: группа или пространство рассматривается не
как множество с внутренне присущей ему структурой, но как член сооб-
щества себе подобных.
«Структурное» и «категорное» описания объекта (через представляе-
мый им функтор) дополнительны. Второе играет все возрастающую роль
в алгебраической геометрии, хотя его содержательность была впервые, ка-
жется, продемонстрирована в топологии — пространствами /С[П, п].
Предлагаемая читателю сводка определений и примеров задумана как
краткий фразеологический словарь языка категорий (построенный, однако,
в логическом, а не алфавитном порядке).
1.16.1. Определение. Категория С состоит из следующих данных:
а) Множество Ob С, элементы которого называются объектами.
б) Для каждой упорядоченной пары Χ, Υ Ε Ob С задано множество
(возможно, пустое) Hom(X, Y) (или Нотс(^, Y)), элементы которого на-
зываются морфизмами (из X в Y).
Вместо φ Ε Hom(Jf, Υ) часто пишут φ: Χ —> Υ или Χ -^ Υ; морфизмы
иногда называют стрелками; X есть начало, а Υ — конец стрелки φ; каж-
дая стрелка из С имеет однозначно определенные начало и конец. Мно-
жество Ц Hom(^, Y) обозначается Мог С.
х,Уеоъс
в) Для каждой упорядоченной тройки объектов Χ, Υ, Ζ категории С
задано отображение
Hom(J, Υ) χ Hom(F, Ζ) -+ Hom(Jf, Ζ).
Паре ψ: Χ —> У, ψ: Υ —► Ζ оно ставит в соответствие морфизм, обозначае-
мый ψφ: X —> Ζ и называемый композицией φ и ψ.
Эти данные должны удовлетворять следующим двум аксиомам:
Ассоциативность. Для любых φ: Χ-> Υ, ψ: Υ —► Ζ, χ: Ζ —► U
(χψ)φ = χ(ψφ)·
Тождественные морфизмы. Для каждого объекта Χ Ε Ob С суще-
ствует морфизм id*: X —> Л", для которого id^ о φ = φ, ψ о id^ = ψ всякий
раз, когда эти композиции определены.
§1.16. Добавление. Язык категорий
99
Легко видеть, что id* определен однозначно. Морфизм φ: Χ —> у на-
зывается изоморфизмом, если существует такой морфизм ψ: Υ -+X, что
фф = 1с!х, φψ = idy.
1.16.2. Комментарии. В ряде текстов Ob С является классом, а не
множеством, а категории, где Ob С — множество, называются «малыми».
Мы не можем рассматривать «большие» категории, потому что очень ско-
ро нам придется ввести фундаментальную для алгебраической геометрии
категорию функторов, которую невозможно определить, если считать Ob С
классом.
С другой стороны, приняв наше определение, мы отказываемся от рас-
смотрения, скажем, категории «всех» множеств, что крайне неудобно.
Из этой ситуации был предложен выход: нужно ввести «универсум» —
большое множество множеств, стабильное относительно всех операций,
какие могут понадобиться, после чего рассматривать лишь категории, при-
надлежащие этому универсуму. Список аксиом «универсума» содержится,
например, в начале записок семинара Гротендика SGA4 [44]. Мы также
будем подразумевать присутствие «универсума» за неимением лучшего.
Однако при современном состоянии оснований математики и вопроса
о непротиворечивости вся проблема представляется автору несколько ака-
демической. Наша позиция близка к точке зрения физика-эксперимента-
тора, не склонного ни фетишизировать, ни ломать свои приборы, пока они
приносят результаты.
Мнение Никола Бурбаки и по этому вопросу отличается галльским
здравомыслием и терпимостью: «Математики, кажется, сходятся на том,
что между нашими „интуитивными" представлениями о множествах и чис-
лах и призванными их описывать формализмами имеется не более чем
поверхностное сходство. Разногласия относятся лишь к вопросу о выборе
между теми и другими».
1.16.3. Примеры категорий. Мы разделили примеры на три группы;
они входили в математический обиход в разное время.
1.16.3а. Первая группа примеров. Объекты — это множества, снаб-
женные тем или иным видом структуры, а морфизмы — все отображения
множеств, сохраняющие эту структуру (по поводу понятия структуры
см., например, добавление переводчика к книге [26, т. И]). Вот список важ-
нейших для нас категорий с их стандартными обозначениями, используе-
мыми в этой книге:
• Sets или Ens — категория множеств и всевозможных отображений;
• Тор — категория топологических пространств и непрерывных отоб-
ражений;
• Gr — категория групп и гомоморфизмов групп;
• АЬ — категория абелевых групп;
100
Гл. 1. Аффинные схемы
• Ann или Rings — категория коммутативных колец и их гомоморфиз-
мов.
1.16.36. Вторая группа примеров. В этой группе объекты по-преж-
нему представляют собой структурированные множества, но морфизмы
больше не являются отображениями этих множеств.
• Основная категория гомотопической топологии: ее объекты —
топологические пространства, а морфизмы — гомотопические классы
непрерывных отображений. Проверка аксиомы ассоциативности про-
водится на первых страницах любого стандартного курса.
• Категория «аддитивных отношений»: ее объектами являются
абелевы группы. Морфизмом /: X-+Y называется любая подгруппа пря-
мого произведения Χ χ Υ. Композиция φ: Λ" —> У и ψ: У -> Ζ определяется
соотношением
ψφ = {(χ, ζ) e X χ Ζ | существует такой у ΕΥ, что (χ, у) € φ, (у, г) € ψ}.
Эта категория изучена, например, в работе [14].
(В алгебраической геометрии существует важный аналог этой кон-
струкции, приводящий к категории соответствий.)
1.16.3b. Третья группа примеров. В эту группу входят некоторые
классические виды структур, которые иногда удобно рассматривать как
категории.
• Пусть /—(частично) упорядоченное множество. С ним сопоставля-
ется категория С(/), в которой Ob С(/) = / и Нот(х, у) состоит из одного
элемента при χ ^ у и пусто в противном случае.
Эта интерпретация особенно употребительна, когда / — множество ин-
дексов, скажем, индуктивной системы групп.
• Пусть Ε — некоторое топологическое пространство. С ним связана
категория Тор£, объектами которой являются открытые множества в Е,
а морфизмами — естественные вложения этих множеств.
(Эта тривиальная переформулировка содержит зародыш поразительно
глубокого обобщения понятия топологического пространства — так назы-
ваемых «топологий Гротендика»: см. [32].)
• Категория, связанная со схемой диаграммы. Схема диаграммы —
это формализация следующего понятия: указано некоторое множество вер-
шин и стрелок между ними. Примеры:
Точное определение (Гротендик): схемой диаграммы называется трой-
ка, состоящая из двух множеств / («вершины»), F («стрелки») и отобра-
жения d: F —>/ χ /, которое ставит каждой стрелке из F в соответствие
две вершины: «начало» и «конец» этой стрелки.
Пусть Δ — некоторая схема диаграммы. Удобно связать с ней две ка-
тегории, которые мы сейчас опишем.
§1.16. Добавление. Язык категорий
101
• Ό > ·
• >· ·
Рис. 1.14
Категория D определяется так: ObD = /. Пусть X, Кб/; тогда
Ногп/)^, К) — это «пути по стрелкам» от вершины X к вершине К. Точнее
говоря, если Χ φ К, всякий элемент из Hom(Z, К) — это, по определе-
нию, конечная последовательность стрелок /i, ..., fn £ F такая, что на-
чало стрелки /ι — это X, конец стрелки fn — это К и для любого / конец
стрелки fi совпадает с началом стрелки //+ь Если же X = К, нужно доба-
вить еще тождественный морфизм. Композиция морфизмов определяется
очевидным образом, как композиция путей.
Категория Dq определяется так: Ob Dc снова совпадает с /; кроме то-
го, Hom£)c(J, К) состоит из одного элемента, если Ноп\о(Х, К) не пусто;
Нотос(Ху К) пусто в противном случае. Интуитивная формулировка: «все
пути от объекта X к объекту К определяют один и тот же морфизм»; Dq —
это конструкция категории из коммутативной диаграммы.
1.16.4. Некоторые конструкции. Существует ряд полезных фор-
мальных конструкций, которые позволяют строить из данных категорий
новые. Мы ограничимся описанием трех.
1.16.4а. Двойственная категория. Пусть С — некоторая категория;
двойственная к ней категория С° задается так.
Множество Ob C° находится во взаимно однозначном соответствии
с множеством Ob С: объект X отвечает объекту Х° € Ob С0.
Множество Нотсо(Х°, К0) находится во взаимно однозначном соот-
ветствии с множеством Ноте (К, ^0· морфизм φ: К —»X отвечает морфизму
φ°: Χ°->Υ°.
Умножение морфизмов определяется правилом:
φ°ψ° = (ψφ)°·
Неформально говоря, С0 получается из С «обращением стрелок».
Эта конструкция бывает интересна в двух крайних случаях. Если ка-
тегория С0 «похожа» на категорию С (например, эквивалентна ей, как
в случае конечных абелевых групп), то мы имеем сцену для различных
«законов двойственности».
Наоборот, для С = Ann категория Апп° «есть» категория аффинных
схем, очень далекая от Ann. В результате обращения стрелок в Ann она
102
Гл.1. Аффинные схемы
приобретает неожиданные «геометрические» качества, позволяет произ-
водить склеивание глобальных объектов из локальных и другие операции,
вопиюще неестественные внутри Ann.
1.16.46. Категория объектов надданной базой. Пусть С — катего-
рия, 5 Ε ОЬ С — фиксированный объект. Введем следующую категорию Cs;
Ob Cs состоит из всевозможных морфизмов (X —> S) Ε Мог С;
Нотс5(ф, ψ) (где φ: X —> S, ψ: Υ —» 5) состоит из тех морфизмов
χ Ε Home (^, У), для которых диаграмма
коммутативна.
Композиция морфизмов в Cs индуцирована композицией в С.
Двойственная конструкция исходит из морфизмов 5 —> X.
Примеры: /(-алгебры, где К—фиксированное кольцо; аффинные схе-
мы над 5 (см. § 1.11).
1.16.4в. Произведение категорий. Пусть (С/)/€/ — семейство кате-
горий. Определим категорию ]\ С/, положив:
оьпс/ = поьс/;
/ i
Нот г] d (Π ^' Π ^) = Π HomQ№, Yi) с покоординатной композици-
ей морфизмов. 1
1.16.4г. Полные подкатегории. Пусть С, D — две категории, такие,
что ОЬ С с ОЬ Д Ноте (Я, 10 = Нот£> (*. У) Для всех *. Y € Ob С и ком-
позиция морфизмов в С совпадает с композицией в D. Тогда С называется
полной подкатегорией категории D.
1.16.5. Функторы. Функтор F из категории С со значениями в ка-
тегории D (обозначение F: С —> D) состоит из следующих данных:
отображение ОЬ С —> Ob D: X н-> /^А);
отображения F^y: Homc(^, К) —► Hom^/7^), ^(У)) для всех Χ, Υ Ε
Ε Ob С (чаще всего вместо /^у пишется просто F).
Эти данные должны быть подчинены следующим условиям:
^(φψ) = /7(φ)/7(ψ) для всех φ, ψ Ε Мог С, для которых φψ определен.
Иногда такие отображения F называются ковариантными функто-
рами, а функторы из С° в D — контравариантными функторами из С
в D. Функтор F: С\ х С^ —> D называют функтором от двух аргументов или
бифунктором и т. п.
§1.16. Добавление. Язык категорий
103
Определение. Пусть С, D, Ε — категории, F: С —> Д G: D —> Ε —
функторы. Композиция GF: С —> Ε получается композицией составляющих
f и G отображений в обычном теоретико-множественном смысле.
Если наш «универсум» не слишком велик, существует категория, объ-
ектами которой являются категории, а морфизмами — функторы между
ними.
Примеры функторов. Важнейшие функторы получаются «естествен-
ными конструкциями»: когомологии и гомотопии топологических про-
странств; кольца характеров конечных групп и т. п. Эти примеры слишком
содержательны, чтобы их обсуждать здесь.
Контравариантный функтор из категории открытых множеств Тор£ то-
пологического пространства Ε со значениями в Sets (соответственно Gr,
Ann, ...) называется предпучком множеств (соответственно групп, ко-
лец, ...) на Е.
Пусть Δ — некоторая схема диаграммы, D и Dq — связанные с ней
категории (см. п. 1.16.3). Функтор из D в категорию С — это то, что при-
нято называть диаграммой объектов из С (типа Δ). Функтор из Dq—
подобная же диаграмма с условием коммутативности.
Если / — упорядоченное множество, рассматриваемое как категория,
то функтор из / в С есть семейство объектов из С, пронумерованных ин-
дексами / и связанных морфизмами так, что эти объекты образуют про-
ективную или индуктивную систему в С.
1.16.6. Определение. Пусть F, G — два функтора из С в D. Функ-
торным морфизмом (или естественным преобразованием) F в G (запись
/: F —► G) называется множество морфизмов f(X)\ F(X) —> G(X) по одному
для каждого объекта X € Ob С, удовлетворяющее следующему условию:
для всякого морфизма φ: X —► Υ в категории С диаграмма
F(X) -^ G(X)
F(q>)
G(q>)
F(Y) ^ G(Y)
ν ; f{Y) ν )
коммутативна. Композиция функторных морфизмов определяется очевид-
ным образом.
Функторный морфизм / называется функторным изоморфизмом,
если морфизмы f(X) £ Мог D являются изоморфизмами для всех X еОЪС.
Согласно этому определению, функторы из С в D образуют множество
объектов категории, обозначаемой Funct(C, D).
104
Гл.1. Аффинные схемы
1.16.7. Определение. Функтор F: С —> D называется эквивалентно-
стью категорий, если существует такой функтор G: D —> С, что
функтор GF изоморфен тождественному функтору Idc;
функтор FG изоморфен тождественному функтору Ыд.
Категории С, D называются эквивалентными, если между ними су-
ществует эквивалентность.
Примеры. 1) Категория Aty конечных абелевых групп эквивалентна
двойственной категории АЬ^. Функтор-эквивалентность сопоставляет каж-
дой группе группу ее характеров.
2) Категория Ann0 эквивалентна категории аффинных схем.
Венцом всей этой серии скучных определений является важное понятие
представимого функтора и связанное с ним погружение любой категории С
в Funct(C°, Sets).
1.16.8. Представимые функторы. Положим C = Funct(C°, Sets).
Для любого объекта X категории С обозначим через hx Ε Ob С функтор
hx(Y°) = Homc№ Υ) для всякого Y° е Ob С0,
который каждому морфизму φ°: Υ$ ~+ *7 ставит в соответствие отображе-
ние множеств
Μ>1)-Μϊΐ).
переводящее морфизм Υ<ι —» X в композицию Y\ ^+ Y% —> Χ.
Определение. Функтор F: С° —> Sets называется пред ставимым,,
если он изоморфен функтору вида /г* для некоторого X е Ob С. Объект
JT называется представляющим функтор F{\
Пусть Х\ -^> Х2 — некоторый морфизм в С. Ему соответствует морфизм
функторов Λφ: hxx —> Ηχ2, который любому объекту Υ еОЬС сопоставляет
отображение
h4(Y):hXl(Y)^hx3(Y)
и переводит морфизм Υ -U X в сквозной морфизм У —► ΛΊ -^-¾. Очевидно,
"φψ — /Ζφ/Ζψ.
1.16.9. Теорема. В описанных обозначениях отображение φ ι—► Αφ
определяет изоморфизм множеств
Нотс(Я, У) -^ Hom?(Ax, Ay).
^ Упражнение: дайте определение копредставимого функтора, который часто нужен не
меньше, чем представимый.
§1.16. Добавление. Язык категорий
105
Более того, это изоморфизм функторов от аргументов Χ, Υ. По-
этому функтор h: C-+C определяет эквивалентность категории С
с полной подкатегорией в С, состоящей из представимых функ-
торов.
Следствие. Если функтор из С представим, то представляющий
его объект определен однозначно с точностью до изоморфизма.
1.16.10. Комментарий. Доказательство этой теоремы, которое бу-
дет проведено ниже, сводится к тщательному выписыванию определений
и проверкам коммутативности. Оно никак не проясняет содержательный
смысл этого результата; именно это мы попытаемся сделать сейчас.
Теорема 1.16.9 служит исходной точкой для нескольких идей, которые
можно развивать в разных направлениях.
Первое направление. Функтор hx часто удобно представлять себе
как «множество точек объекта X» (со значениями во всевозможных объ-
ектах К Ε Ob С; часто используется обозначение hx(Y) = X(Y)):
hx— TT hx(Y) с дополнительной структурой.
Уеоьс
Эта дополнительная структура, конечно, состоит в разбиении hx на непе-
ресекающиеся подмножества hx(Y) и в задании множества отображений
hx(Y\) -> hx(Y2), индуцированных всевозможными морфизмами Y% —> Y\.
Тем самым в принципе возможен переход от категорной точки зрения
к структурной, потому что все категорные свойства объекта X точно от-
ражаются в категорных свойствах структуры hx.
Второе направление. Замена X на hx позволяет переносить на
произвольную категорию определения обычных теоретико-множественных
конструкций. Вот самые стандартные примеры.
Примеры. 1) Объект X G Ob С вместе с парой морфизмовр!: X—>Х\,
Р2'. X —> Х2 называется произведением Х\ и А^2, если отображения
hP{: hx —► hx{, hP2: hx —> hx2 отождествляют hx с Ηχ{ χ Ιΐχ2 в теоретико-
множественном смысле.
Несколько злоупотребляя краткостью, можно сказать, что Х\ χ Χ<ι —
это объект, представляющий функтор hx{ x hx2\ в силу теоремы 1.16.9, как
это уже отмечалось, он определен однозначно с точностью до изоморфиз-
ма, если вообще существует.
Оговорка о существовании здесь весьма существенна: проверка его
и составляет обычно содержательную часть «теоретико-множественных»
конструкций в различных конкретных категориях.
106
Гл. 1. Аффинные схемы
2) На объекте X е Ob С можно «задать структуру» группы, кольца
и т. д.: дело сводится к введению соответствующей структуры на каждом из
множеств У-точек hx(Y), которые должны быть согласованы относитель-
но отображений, индуцированных морфизмами Y\ —> 1¾. Более подробное
изложение и примеры содержатся в § 1.11.
Третье направление. Пусть С — некоторая конкретная категория
структур данного типа. Среди функторов С —> Sets, то есть объектов ка-
тегории С, могут существовать естественные функторы, которые априори
строятся не как Ηχ, но в конце концов оказываются представимыми. (К со-
держательным примерам относятся функторы когомологий Х\-+ Н*(Х, П)
на гомотопической категории.) В таких случаях часто оказывается, что
свойства функтора, представимого таким объектом, и являются важней-
шими свойствами самого объекта, которые лишь неявно содержатся в его
структурном определении.
Более того, может оказаться, что некоторые естественные функторы
С —► Sets непредставимы, хотя «хотелось бы» иметь представляющие их
объекты. Чаще всего это бывает, когда мы пытаемся провести некото-
рую обычную теоретико-множественную конструкцию, например факто-
ризацию по группе автоморфизмов (или по более сложному отношению
эквивалентности).
В таких случаях может оказаться полезным добавить соответствую-
щие функторы к категории С, погруженной в С, и рассматривать их как
обобщенные структуры типа С.
В алгебраической геометрии 1970-х годов этот ход мысли привел
к определению так называемых стеков.
1.16.11. Доказательство теоремы 1.16.9. Построим отображение
/: Нот^(/г^, h у) —> Ноте (Χ, Υ),
которое каждому морфизму функторов hx —> hy сопоставляет образ
id^ ε ϊΐχ(Χ) в hy(X) при отображении Ηχ(Χ) —> hy(X), определенного этим
функторным морфизмом. Проверим, что отображения φ *-> Λφ и / являются
взаимно обратными.
1) /(Λφ) = Ηφ(\άχ) = φ в силу определения Λφ.
2) Наоборот, пусть дан функторный морфизм g: hx -+ hy. Он состо-
ит из отображений g(Z): Ηχ(Ζ) —► hy{Z) для всевозможных Ζ € Ob С. По
определению, i(g) = g(X)([dx) и мы должны проверить, что
hiig)(Z)=g(Z).
Согласно определению, h^g){Z) ставит в соответствие морфизму Ζ ^-> X
§1.16. Добавление. Язык категорий
107
композицию Ζ -^ Χ —£-> У. Следовательно, нужно установить, что
g(Z)(y) = i(g) о у.
Воспользуемся коммутативностью диаграммы (см. определение 1.16.6):
hx(X)-^L hy(X)
hx(<?)
h γ (φ)
hx(Z)-^ hY(Z).
Переведем элемент id,Y Ε Ηχ(Χ) двумя разными путями в правый нижний
угол. Верхний путь переводит его сначала в i(g), затем в i(g) о φ. Ниж-
ний путь переводит его сначала в Ηχ(ψ)(\άχ) = φ, а затем в g(Z)(cp). Это
доказывает требуемое.
Тем самым, мы проверили, что образ функтора h является полной под-
категорией в С, поэтому он, очевидно, изоморфен С. Остальные утвержде-
ния проверяются тривиально. Быть может, стоит лишь отметить, что если
к полной подкатегории функторов Ηχ из С добавить представимые функ-
торы, то есть изоморфные уже имеющимся в ней, то новая подкатегория
будет эквивалентна прежней. D
1.16.12. Упражнение. В обозначениях теоремы 1.16.9 пусть F £ Ob С,
X е Ob С. Построить функториальный изоморфизм множеств
Hom£(hx,F)^+F(X).
ГЛАВА 2
ПУЧКИ, СХЕМЫ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§2.1. Общие сведения о пучках
Топологическое пространство Spec Л само по себе является, как мы
видели, довольно грубым инвариантом кольца Л. Поэтому единым геомет-
рическим объектом естественно считать пару (Spec Л, Л), состоящую из
пространства Spec Л и элементов кольца Л, более или менее точно отож-
дествляемых с функциями на Spec Л.
С другой стороны, опыт показывает, что с кольцами связаны лишь ло-
кальные геометрические объекты и что для конструкции, например, про-
ективного пространства нужно уметь склеивать его из аффинных.
Интересующая нас операция «склеивания» в топологии может быть
описана следующим образом: пусть Х\, Χ<ι—два топологических про-
странства, U\ CX\, U2 С^2 — открытые множества и пусть задан неко-
торый изоморфизм /: U\ —► ί/2. Тогда можно построить множество Х =
= Х\ UX2/Rf, где Rf — отношение эквивалентности, отождествляющее точ-
ки, которые соответствуют друг другу относительно /. На X индуцируется
естественная топология; мы говорим, что X есть результат склеивания
Х\ U Х2 С ПОМОЩЬЮ /.
Желая применить эту конструкцию к спектрам колец, мы немедленно
сталкиваемся с тем, что, как было указано выше, топологическая структура
открытых множеств недостаточно полно отражает алгебраическую инфор-
мацию, которую мы хотим сохранить и носителем которой является само
кольцо Л. Теория дифференцируемых и аналитических многообразий под-
сказывает некоторый выход.
Желая склеить дифференцируемое многообразие из двух шаров Х\,
Х2, мы должны потребовать, чтобы изоморфизм /: U\ —> ί/2, задающий
склеивание, был не просто изоморфизмом топологических пространств,
но сохранял бы также дифференцируемую структуру. Это означает, что
отображение /*, переводящее непрерывные функции на И2 в непрерывные
функции на U\, должно индуцировать изоморфизм подколец дифферен-
цируемых функций — иначе склеивание будет «негладким». Аналогично
обстоит дело в аналитическом случае.
§2.1. Общие сведения о пучках
109
Х{~Х2 = Ши U{~U2 = R\{0}
а) б)
Рис. 2.1. Два способа склеить две прямые: а) прямая с раздвоенной точкой
(/ тождественное); б) проективная прямая (f(x) = х~1).
Тем самым нужно привлечь к рассмотрению функции того или иного
класса, которые определены на всевозможных открытых множествах про^
странства X.
Так как функции определены на разных открытых множествах, отноше-
ния между «ограничениями» одной и той же функции естественно аксио-
матизировались. Мы приходим таким образом к следующим определениям.
2.1.1. Определение. Пусть X — топологическое пространство. Пред-
положим, что для каждого открытого множества U С X задано множество
P(U) и для каждой пары открытых множеств U С V задано отображение
r%:P(V)->P(U). Система
{P(U), Гц | U, V — всевозможные открытые множества}
называется предпучком (множеств) на X, если она удовлетворяет следу-
ющим условиям:
1) Р(0) состоит из одного элемента;
2) если U С V с W — открытые множества в X, то
Некоторые замечания: элементы из P(U) называются сечениями пред-
пучка Ρ над U\ сечение следует представлять себе как функцию, опре-
деленную над U. Отображения τνυ называются ограничениями (области
определения функции). Условие 1 удобно по формальным соображени-
ям. Условие 2 выражает естественную транзитивность ограничения. Введя
Тор^ — категорию открытых множеств на X, в которой объектами
являются открытые подмножества в X, а морфизмами — вложения, мы
no
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
можем переформулировать определение совсем коротко: предпучок мно-
жеств на X есть контравариантный функтор из Тор^ в категорию
множеств Sets.
Настоящие функции можно умножать и складывать; аналогично, можно
рассматривать предпучки групп, колец и т. д.
2.1.2. Определение. Пусть Ρ— предпучок множеств на X; если на
каждом множестве P(U) задана алгебраическая структура группы, коль-
ца и т. п., а отображения ограничения Гц являются гомоморфизмами этой
структуры, то Ρ называется предпучком групп, колец и т. д.
Наконец, мы можем рассматривать внешние законы композиции: на-
пример, предпучок модулей над предпучком колец (заданные на одном
и том же топологическом пространстве). Мы оставляем читателю фор-
мальное определение.
Предпучки непрерывных (дифференцируемых, аналитических и т.п.)
функций на пространстве X обладают дополнительными свойствами «ана-
литического продолжения», которые аксиоматизированы в следующем
определении.
2.1.3. Определение. Предпучок Ρ на топологическом пространстве
X называется пучком, если он удовлетворяет следующему условию: для
любого открытого множества U С X, его открытого покрытия U = (J £//
и системы сечений s/ Ε P(Ui), удовлетворяющей условиям ieI
Ги[пи^) = ri/-n£/y(S/) ДЛЯ Любы* *\ / £ Λ
существует одно и только одно сечение s Ε P{U), для которого
Si = Гц. (s) для любых / Ε I.
Иначе говоря, из согласованных сечений на ί// можно склеить сече-
ние над U; всякое сечение над U однозначно определяется набором своих
ограничений на ί//.
Множество сечений P(U) (пред)пучка Ρ обозначают также симво-
лом Γ(ί/, Ρ).
2.1.4. Замечание. В случае, когда Ρ является предпучком абелевых
групп, удобно пользоваться следующей формулировкой: предпучок Ρ яв-
ляется пучком, если для всех U = (J ί/,· точна последовательность абеле-
вых групп
О _ р{Ц) JU Ц P(Ud -^ Π р№ П Ul)>
iei /,/€/
§2.1. Общие сведения о пучках
111
где гомоморфизмы φ и ψ определяются формулами
9(s) = (...,^(s), ...),
ψ(..., sh ..., s/f ...) = (..., r^nUj(Si) - rJ!;n£/.(sy), ...).
В случае общего предпучка абелевых групп можно лишь гарантиро-
вать, что эта последовательность является комплексом (ее естественное
продолжение определяет комплекс коцепей Чеха, который мы исследуем
позже).
Соотношение между пучками и предпучками следующее: естественны-
ми объектами являются пучки, но различные конструкции над ними часто
приводят к предпучкам, которые не являются пучками. Следующий пример
имеет фундаментальное значение для теории когомологий.
Пусть J\ и ?2 — два пучка абелевых групп, причем J\ С 3^, т. е.
7\(U) С !?2({/) и гомоморфизмы ограничения действуют согласованно. На-
бор групп P(U) = 3^((/)/^(60, как легко убедиться, является предпучком,
но, вообще говоря, не пучком. Вот типичный пример из топологии.
2.1.5. Пример. Пусть X — окружность, О — пучок на X, для кото-
рого 0(ί/) — группа М-значных непрерывных функций на (/, а Ζ С 0 —
«постоянный» пучок, для которого Ζ(ί/) — Ζ при всех непустых U {\
Предпучок {P(U) = 0/Z(i/) | U — открытое множество} не является
пучком по следующей причине. Рассмотрим два связных открытых мно-
жества U\, U2 С X, для которых X — U\ U ί/2, a U\ Π 6¾ состоит из двух
связных частей V\, V2 (например, U\,
ί/2 — это немного увеличенные полу-
окружности). Пусть /i 6 0(i/j), /2 £
Ε О (ί/2) — две непрерывные функции,
для которых
^(/1)-^(/2)-о,
^(/l) -^(/2)=1.
Тогда классы f{ (mod Z) e 0(U{)/Z(U{)
и /2 (mod Z) € 0(ί/2)/Ζ(ί/2) согласованы
на ί/ι Π ί/2. С другой стороны, у пучка О
над X нет сечения, которое давало бы
/i (mod Ζ) и J2 (mod Z) при ограничении
на ί/ι, ί/2, потому что нельзя устранить рассогласование на 1^· Причиной
является, конечно, неодносвязность окружности (рис. 2.2).
])Для педантов: на самом деле Ζ— не пучок, а предпучок; читатель^ может проверить, что
описанный в следующем абзаце эффект сохраняется и при замене Ζ на ассоциированный
с ним пучок.
и
h
Рис. 2.2
112
Пл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
С каждым предпучком Р, однако, канонически связан пучок. Сечения
его строятся из сечений предпучка Ρ с помощью двух процессов. Первый
уменьшает количество сечений в P(U), отождествляя те, которые начина-
ют совпадать после ограничения на достаточно мелкое покрытие (J £/; = U.
Второй процесс увеличивает количество сечений в P(U), добавляя сече-
ния, склеенные из согласованных наборов сечений на покрытиях U.
Очевидно, здесь придется прибегнуть к предельным переходам. Техни-
чески удобное здесь и в других вопросах понятие доставляет следующее
определение.
2.1.6. Определение. Пусть Ρ—предпучокна пространствеX, хеХ —
некоторая точка. Слоем Рх предпучка Ρ над точкой χ называется множе-
ство
Px = \\mP(U),
где индуктивный предел берется по направленной (синоним — индуктив-
ной) системе открытых окрестностей точки х.
Элементы из Рх называются ростками сечений над точкой х. Ро-
сток представляет собой класс эквивалентности в множестве сечений над
всевозможными открытыми окрестностями U Э х: два сечения s\ eP(U\)
и 52 G P(U2) эквивалентны, если их ограничения на некоторое общее под-
множество и^Э χ совпадают.
Для всякой точки χ и открытой окрестности U э χ определено отобра-
жение rvx: P(U)-+PX.
Очевидно, Рх несет с собой ту же структуру, что и P(U), т.е. является
группой, кольцом, модулем и т.п., если Ρ есть предпучок групп, колец,
модулей и т. п.
Идея конструкции пучка Р+ из предпучка Ρ состоит в том, что мы
определим сечения Ρ+(ί/) как некоторые наборы ростков сечений, т.е.
элементы из [] Рх, которые в естественном смысле согласованы.
хеи
2.1.7. Теорема-определение. Пусть Ρ — предпучок на топологи-
ческом пространстве X. Для каждого непустого открытого множе-
ства U определим подмножество Ρ+(ί/) С f] Px следующим образом:
хеи
набор (..., sx, ...), где sx е Рх, принадлежит Ρ+(ί/) в том и только
том случае, когда для любой точки xeU существует такая ее от-
крытая окрестность V С U и такое сечение s E P{V), что для всех
точек у е V имеем:
sy = rvy(s).
Далее, для каждой пары открытых множеств V с U определим
отображение ограничения P+(U) —► P+(V) как индуцированное про-
екцией Π Ρχ -> ΓΊ Ρχ·
хеи xev
§2.1. Общие сведения о пучках из
Набор множеств Ρ+(ί/) вместе с описанными отображениями
являемся пучком на X и называется пучком, ассоциированным с Р.
Кроме того, (Р+)х — Рх для всех точек χ еХ.
Замечание, Как и выше, алгебраические структуры на P(U) перено-
сятся на P+(U).
Доказательство теоремы сводится к прямолинейной проверке опреде-
лений, которую мы оставляем читателю.
Эта конструкция пучка Р+ приводит к другому определению пучков;
равносильное предыдущему, в некоторых отношениях оно технически удоб-
нее.
2.1.8. Определение (вариант определения 2.1.3). Пучком У над
топологическим пространством X называется пара, состоящая из то-
пологического пространства Y? и открытого непрерывного отображения
г: Y? —► X на все X, удовлетворяющего следующему условию: для всякой
точки у е Υ $ существует такая открытая окрестность ее в Удг, что г в этой
окрестности является локальным гомеоморфизмом.
Связь между этим определением и предшествующими такова. Задание
отображения г: Υ? —>Х определяет пучок в смысле 2.1.3: 7{U) есть мно-
жество локальных сечений Y$ над ί/, т. е. отображений s: V —> Уу таких,
что г о s = id на U.
Наоборот, если пучок J задан своими сечениями над V для всех U С X,
положим
Y?=\J2X, г:5х-+х
хех
и, наконец, определим топологию на У?, считая всевозможные сечения
s € 5(U) открытыми множествами: мы полагаем
5= U rux(s)C U 3*C U Э-χ-
хеи хеи хех
Нужно иметь в виду, что даже для хаусдорфовых пространств У про-
странства Уу, вообще говоря, нехаусдорфовы. На рис. 2.3 воспроизведена
часть пространства У?, соответствующая пучку непрерывных функций на
(О, 1]. Графику каждой непрерывной функции соответствует открытое под-
Множество в У^; сечения, соответствующие графикам функций, не пересе-
каются в У?, если их графики не пересекаются. Если же Д, /2 совпадают
Над (обязательно замкнутым!) множеством У, то соответствующие им се-
чения Υ? совпадают над внутренностью У. В пространстве Y$ точки на
сечениях 3 и 4, проектирующиеся в точку а (или 6), различны, но любые
Две окрестности этих точек пересекаются.
114
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
4
1
θα Ь 1 0 а Ь \
а) б)
Рис. 2.3. Графики непрерывных функций; часть множества Уу, соответствующая им
§ 2.2. Структурный пучок на Spec А: случай кольца
без делителей нуля
Элементы из А мы рассматриваем как функции на Spec Л; из них мы
должны строить функции с меньшими областями определения. Единствен-
ный процесс, не требующий предельных переходов, состоит в рассмотрении
дробей f/g: дробь f(x)/g(x) имеет смысл для всех χ ¢. V(g). Это приводит
к следующему определению.
2.2.1. Определение. Пусть А — кольцо без делителей нуля, Х =
= Spec Л, К — поле частных кольца А. Для любого непустого открытого
множества U С X обозначим через Qx(U) множество таких элементов а
из К, что а может быть представлен в виде f/g, где g(x) φ 0 для любой
точки χ G U.
Если U С V, то через τνυ обозначим очевидное и естественное отобра-
жение вложения Ox(V) —> Qx{U).
2.2.2. Теорема. Определенный выше предпучок Οχ является пуч-
ком колец. Слой Οχ,χ = Ох пучка Οχ в точке χ имеет следующий вид:
0* = {//г|/,геД, g¢px}.
Для любого ненулевого элемента g G А имеем
T(D(g),Ox) = {f/gn\f£A, 0 0}.
Замечание. Наименее тривиальным является последнее утверждение.
Интуитивно оно означает две вещи:
1) если «алгебраическая функция» определена там, где g^O, то са-
мое худшее, что с ней может случиться на V(g), — это полюс конечного
порядка: «существенно особых» точек не бывает;
§2.2. Структурный пучок на Spec Л Ц5
2) над большими открытыми множествами нет нужды рассматривать
«склеенные» сечения: они задаются одним уравнением.
С Другой стороны, описание слоев О* позволяет отождествить Spec A
с некоторым множеством подколец поля К — точка зрения, проводимая
в работах Шевалле и Нагаты.
Доказательство. То, что Όχ является пучком, устанавливается
тривиальным обращением к определениям; аналогично вычисляется Όχ.
Причина этого состоит в том, что все (¾ вложены в К, так что отношения
«продолжения» и «ограничения» индуцированы тождественным отношени-
ем в К. (Ниже будет дано более длинное определение, годное для любых
колец, когда К может не существовать.)
Второе утверждение мы докажем здесь лишь для g = 1, чтобы более
выпукло показать основную идею. Общий случай см. в следующем пара-
графе.
Мы хотим доказать, следовательно, что если элемент поля частных К
для всякого простого идеала кольца может быть представлен в виде раци-
ональной дроби так, что его знаменатель не принадлежит этому простому
идеалу, то этот элемент принадлежит обязательно Л, т.е. знаменателя нет
вообще. Это очевидно для кольца А с однозначным разложением на мно-
жители.
В общем случае придуманное Серром рассуждение подсказано ана-
логией с дифференцируемыми многообразиями и использует «разбиение
единицы».
Пусть / Ε Т(Х, Όχ) С К. Для каждой точки χ е Spec А положим
f = fx/hx, rjxegx,hxeA, hx£$x.
Пусть Uχ = D(hx)\ очевидно, Ux является открытой окрестностью точки х.
η
Применим к покрытию IJD^) предложение 1.4.10: Х= (J D(hi), где
η /=1
i = 1, ..., я, причем / = g-Jhi в D(hi), 1 = Σ αΛ' для некоторых αϊ, ...
·.. , ап е А. Тогда /=1
η η η
f=ς αΜ=Σ aih%=Σaigi e A'
/= ι /= ι l /=1
что и требовалось доказать. П
2.2.3. Пример вычисления Οχ(ϋ) для открытых множеств, отлич-
ных от больших. Пусть U = D(T{) U D{T2) С Spec К[Ти 72], где/С —по-
ле. Тем самым U — дополнение к началу координат. Так как в К[Т\, 7½]
нет делителей нуля, то
Qx(U)=K[Tu Г2, Т-1]ПК[Т{, 72, 771]·
116
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Пользуясь однозначностью разложения на множители в кольце многочле-
нов, немедленно убеждаемся, что
Ox(U) = K[TuT2].
Следовательно, функция на плоскости не может иметь особенности, сосре-
доточенной в одной замкнутой точке: в ней функция автоматически опре-
делена.
Аналогичное рассуждение применимо к многомерному аффинному про-
странству: если η ^ 2 и элементы F\, ..., Fn е К[Т\, ..., Тг] взаимно про-
сты, то
Oji(y ^№))=^1, .... Trl
т. е. полюс рациональной функции не может быть сосредоточен на множе-
стве, заданном больше чем одним уравнением.
§ 2.3. Структурный пучок на Spec А: общий случай
Если в кольце А есть делители нуля, поля частных у него не существует.
Поэтому алгебраический формализм, необходимый для правильного опре-
деления колец частных и отношений между ними, становится более гро-
моздким. Тем не менее, пучок вводится, по сути дела, тем же способом,
что и для кольца без делителей нуля, и результаты остаются прежними.
2.3.1. Определение. Для всякой точки χ £ Spec Л положим 0Х =
~^л\рх- Для любого открытого множества U С Spec А определим кольцо
сечений предпучка Οχ над U как подкольцо
0X(U) С JJ 0„
хеи
состоящее из элементов (..., s*, ...), sx € Ох, удовлетворяющих следую-
щему условию: для каждой точки xeU существует такая открытая окрест-
ность D(fx) э χ и такой элемент g Ε А/х, что sy — образ элемента g при
естественном гомоморфизме Afx —► (¾ для всех у е U.
Гомоморфизмы ограничения Οχ(Ϋ) —> Οχ(ϋ) определим как гомомор-
физмы, индуцированные проекцией
Πо, - Π °*·
xev x€U
Корректность определения проверяется без труда; естественный гомо-
морфизм Afx —> 0^, о котором идет речь, индуцирован вложением мульти-
пликативных множеств {fx}nez+ cA\py (см. следствия из теоремы 1.6.7).
§2.3. Структурный пучок на Spec Л: общий случай
117
2.3.2. Теорема. Предпучок Οχ является пучком, слой которого
над точкой хеХ изоморфен 0Х, а гомоморфизм гих имеет вид
rux:Ox(U)—♦ J] о,-^0,.
хеи
Далее, гомоморфизм колец
j:A,-+ Ox(D(f)), j(g/f) = (..., jx(g/f), .. .),€<,
является изоморфизмом (где jx: Af —► 0Х — естественный гомомор-
физм колец частных).
Пучок Οχ на Х= Spec Л называется структурным пучком.
Доказательство. То, что 0* является пучком, немедленно следует
из определений и совместности естественных гомоморфизмов колец част-
ных.
Слой Οχj пучка 0Х над χ по определению равен
Ox,x = \\mQx(U)= \\m Ox(D(f)),
ибо множества D(f) образуют базис окрестностей точки х. Естественные
гомоморфизмы Af —> Qx(D(f)) —> О* определяют гомоморфизмы Οχ,χ —> О*.
Эти гомоморфизмы — эпиморфизмы, ибо всякий элемент из О* имеет вид
g/f, где f(x) Φ О, и поэтому является образом соответствующего элемента
из Qx(D(f)). Далее, ядро такого гомоморфизма тривиально: если g/f пере-
ходит в нуль в О*, то по лемме 1.6.6 f\g = 0 для некоторого f\, где f\ (χ) φ О,
так что образ g/f в Aff{ и тем более в индуктивном пределе lim Ox(D(f))
равен нулю.
Остается установить последнее утверждение; заметим, что оно дает
«финитное» описание довольно громоздких колец Οχψ) для больших от-
крытых множеств U.
Прежде всего, Кег/ = 0. Действительно, если j(g/f) = 0, то для каждой
точки χ € D(f) существует элемент tx, для которого tx(x) φ О и txg = 0. Но
это означает, что Ann g ¢ рх, т. е. χ ¢ l/(Ann g) при χ Ε D(f). Следователь-
но, V(Ann g) с 1/(/), т. е. fn Ε Ann g для некоторого п; тем самым g/f = О
Теперь покажем, что / — эпиморфизм.
Пусть s € Ox(D(f)) — некоторое сечение; по определению существует
Покрытие
D(f)= U D(hx)
xeD(f)
такое, что 5 над D(hx) индуцировано некоторым элементом gx/hx. Как
ь предыдущем параграфе (и в доказательстве предложения 1.4.10), по-
118
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
строим «разбиение единицы», или, скорее, обратимой на D(f) функции fn\
v(f) = nv(hx) = v(...,hx,...),
откуда
x£D(f)
Почти все ах равны нулю, и мы перенумеруем те a, g, /г, для которых а ф О,
индексами от 1 до г:
D(f)=\JD(h{), Г = Та^
Рассмотрим теперь наше сечение s, «склеенное» из gi/hi. Согласован-
ность дробей gi/hi и gj/hj на D(hi) Π D(hj) — D{hthj) означает, что образы
дробей gi/hi и gj/hj совпадают во всех кольцах 0Х, где χ € D(/z//zy·); по до-
казанному выше, gi/hi - g}/hj = 0 в А^нг т· е. для некоторого т (его можно
выбрать независящим от /, / благодаря конечности покрытия) имеем
(hihjngihj-gjhd^o.
Заменив А/ на /г^+1 и gi на £/А™, мы можем считать, что т = 0.
Таким образом, условия согласованности принимают вид gthj — gjh[.
Теперь
Fgj = Σ aihigi = ( Σ digi) hh
r
откуда следует, что элемент £} aigi/fn из Af имеет в качестве образа
в кольце Ah- как раз gj/hj. l~
Тем самым, согласованные локальные сечения над D(hj) являются
ограничениями одного элемента из Л/, что доказывает требуемое. □
Описанный в определении 1.6.9 пучок на Х = Spec Л мы будем иногда
обозначать Л.
Пара (Spec Л, Л), состоящая из топологического пространства и^пучка
на нем, определяет кольцо Л в силу теоремы 2.3.2: Л = T(Spec Л, Л); эта
пара является основным локальным объектом алгебраической геометрии.
2.3.3. Определение. Окольцованное топологическое пространство
(Χ, Οχ) (τ. е. пара, состоящая из пространства и пучка колец О* на нем)
называется аффинной схемой (а Οχ — ее структурным пучком), если
оно изоморфно пространству вида (Spec Л, Л) для некоторого коммута-
тивного кольца Л.
В § 2.5 мы убедимся, что это определение аффинной схемы равносильно
данному в первой главе.
§2.4. Схемы: склеивание и бирациональная эквивалентность
Замечание. Позже мы дадим формальное определение произвольных
м0рфизмов окольцованных пространств. Чтобы задать изоморфизм двух
пространств с пучками (Χι, ?Ί) и (J^, З2). нужно задать набор отображе-
ний:
а) гомеоморфизм топологических пространств Х\ -^Χϊ,
б) для соответствующих друг другу открытых множеств U\ —► ί/2 изо-
морфизмы 3{U\) —» 7( ί/2), перестановочные с ограничениями.
В следующем разделе будут построены произвольные схемы, а сей-
час мы в качестве приложения теоремы 2.3.2 дадим другое доказательство
утверждения из примера 1.4.8.
2.3.4. Теорема. Всякое артиново кольцо является произведением
конечного числа локальных артиновых колец.
Доказательство. Пусть А — артиново кольцо. Согласно след-
ствию 1.4.6г, Х= Spec Л состоит из конечного числа замкнутых (и потому
открытых) точек. Поэтому в силу теоремы 2.3.2 и аксиом пучка имеем:
Α = Τ(Χ,Ά)*Υ[0Χ.
хех
Теорема доказана. D
§ 2.4. Схемы: склеивание и бирациональная
эквивалентность
Мы построили «локальные» объекты алгебраической геометрии — аф-
финные схемы; определение глобального объекта напрашивается само со-
бой.
2.4.1. Определение. Окольцованное топологическое пространство
(Χ, Οχ) называется схемой, если у каждой точки χ е X есть такая открытая
окрестность U, что (i/, 0^) является аффинной схемой.
Замечание. В первых главах книги Гротендика [37] такие объекты на-
зываются «предсхемами». Слово «схема» отнесено в [37] к так называе-
мым «отделимым схемам».
В дальнейшем мы будем часто называть «схемой» пространство X, не
Указывая явно структурный пучок Οχ.
Один из способов явного описания глобального объекта X состоит в за-
дании локальных объектов, из которых он склеен, и способа склейки. Вот
Формальная процедура.
2.4.2. Предложение. Пусть №, О*.), где iel, — семейство схем
и пусть в Xi заданы открытые множества Иц. Пусть также задана
120
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
система изоморфизмов θ/7·: {Uih Οχ^υ^) -> Ψ μ, Οχ}\υμ), удовлетворя-
ющая условиям
θ/, ο θμ = id; θί7 ο Qjk ο Qki = id.
Тогда существуют схема (Χ, Οχ), открытое покрытие X = (J Ц
α семейство изоморфизмов φ/: (Χ·, 0Х|^/) -»(X/, О*,.), для которых все
отображения
(φ/k-n^·)"1 ° fyj ° (filxtnxj
тождественны.
Мы оставляем доказательство читателю в качестве упражнения, от-
метив лишь один существенный момент. Для любого открытого мно-
жества V схемы X пространство (V, Όχ\γ) тоже является схемой.
Действительно, пусть χ € V; у точки χ существует такая окрестность U
внутри X, что (ί/, Όχ\υ) изоморфно (Spec Л, Л). Пересечение U Π V яв-
ляется непустым открытым множеством внутри Spec Л; так как большие
открытые множества /)(/), где /€ Л, образуют базис спектральной топо-
логии и (D(/), Л 1/)(/)) — (Spec Af, Л/), мы можем найти аффинную окрест-
ность точки х, содержащуюся внутри V.
В примерах (X/, 0^.) чаще всего будут аффинными схемами.
2.4.3. Проективное пространство. Пусть К—некоторое кольцо. Мы
определим сейчас схему Ψηκ — я-мерное проективное пространство над К.
Пусть Tq, ..., Тп — независимые переменные. Положим
1ТГ ""■
Ui = Spec К
Определим изоморфизм схем
i/i
r// = Spec(.
К
τ г
Ti
Tj/Τι
) с uh
Ъц'.Щ
U η
отождествляя соответствующие кольца частных естественным образом
/(То, ..-.Г,,)
татЬ
, где /—форма erne-
с кольцом, состоящим из элементов вида
пени а + b с коэффициентами в К.
Нетрудно проверить, что все условия предложения 2.4.2 выполнены,
так что η + 1 аффинных пространств Ui можно склеить.
2.4.4. Моноидальное преобразование. Пусть снова К — некоторое
кольцо, Tq, ..., Тп — независимые переменные. Положим
Ui — Spec К
Uij = Spec К
7b, ..., Tn;
7b, · · ·, Tn\
П
Ά···
То
т,' ■
ТпЛ
• , Τ" '
Τη]
" Ti
Tj/Ti
§2.4. Схемы: склеивание и бирациональная эквивалентность
i/aK и выше, кольца функций на Д7 и U-μ можно отождествить с кольцом
/(Го, ..., Тп) f
состоящим из элементов вида —^ , где [ — многочлен, у которого
i 1
члены самой младшей степени имеют степень ^ а + Ь. Получившуюся в ре-
зультате склейки схему обозначим через X; отождествляя Д и Иц = Д Π (Л
η
с соответствующими открытыми множествами в X, имеем Х= (J Д.
/=1
Рассмотрим подробнее строение пространства X. Вложение
/([Го,..., Тп]->К
То, ·.., Тп\
То 7^1
Г;' "··' Ti\
определяет обратное отображение спектров, так что все Д проектируются
в Ε = Spec /([Го, ..., Тп]. Очевидно, эти проекции согласованы на Ду·.
Выделим в Д открытое множество Д = D(Ti). Так как
То Тп1
/([Г0, ..., Τη]τί —К
То, ..., Тп\
Τ Г
то Д отображается изоморфно на дополнение к «координатной гиперплос-
п
кости» V(Ti) в Е. Таким образом, в X имеется открытое множество (J Д,
которое изоморфно £\ V(To, ..., Г„); в случае когда К — поле, это просто
дополнение к началу координат.
η
Как устроено дополнительное множество Х\ (J Д? Имеем
/=о
*\U A-=U Ш\ где K(7i) с i/i.
(=0 i=0
Далее
Кольцо К
V(Ti) = Spec К
То
То, ■ ■ ■ , Тп;
То
Тп
/(Τι).
То, · · ·, Тп\
f(T)
состоит из элементов вида '-ψ^, где /—
Г,: ' * " ' Г/
Тп
7/' ' *"' 7/
многочлен, самые младшие члены которого имеют степень ^ а. Поэтому
Идеал (Г/), порожденный Г/ в этом кольце, состоит из таких же элемен-
тов, у которых самые младшие члены числителя имеют степень ^ а + 1.
Поэтому легко вычислить соответствующее факторкольцо:
V(r<) = Spec/c[^, ..., ^].
Аффинные схемы V{Ti) склеиваются, как в предыдущем примере, так
.что с теоретико-множественной точки зрения
х= (у а) и Р£.
122
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Таким образом, схема X получается из (п + 1)-мерного аффинного про-
странства Spec К[Т0, ..., Тп] вклеиванием проективного пространства Р*
вместо «начала координат» V(7o, · · ·, Тп).
к^р"
W
Ε = Spec K[TQJ{]
Рис. 2.4. Моноидальное преобразование
Упражнения. 1) Доказать, что Г(Р^, Ορη) = К. Вычислить Г(Х, Όχ)
для схемы X, построенной в примере 2.4.4.
2) Доказать, что если схема Spec К неприводима, то пространство Ψηκ
неприводимо.
Дадим простое алгебраическое условие, необходимое для того, чтобы
Spec Л и Spec β можно было склеить.
2.4.5. Предложение. Пусть А, В — кольца без делителей нуля.
Если в Spec Л существует такое открытое множество U, что
((/, А\и) изоморфно (V, В\у), где V — открытое множество в Spec В,
то поля частных полей А и В изоморфны. Обратное верно, если Л,
В — кольца конечного типа над полем или над Z.
Доказательство. Рассмотрим изоморфизм (£/, А\и) —> (У, В\у).
Общие точки спектров Spec Л и Spec β переходят друг в друга (они со-
держатся в ί/, соответственно в V). Слой структурного пучка в этих точках
является полем частных кольца Л (соответственно В).
Для доказательства обратного утверждения заметим прежде всего, что
Г/"
если Л не имеет делителей нуля, то у Spec Л и Spec Л1
имеются изоморфные большие открытые множества:
, где /, g £ Л,
Л
fg.
= А
1Г g
=iA\L})
V iglJf/i
Если теперь Л порождено (над К или Z) элементами х\, ..., xn,a В — эле-
ментами г/ь ..., уп, а поля частных колец Л и β изоморфны, то мы можем
перейти к кольцу Л [ί/ι, ..., уп] =В[х\, ..., хп] от Л (соответственное) за
конечное число шагов, присоединяя каждый раз по одному элементу из по-
ля частных на каждом шаге; у спектров двух рассматриваемых колец есть
§2.4. Схемы: склеивание и бирациональная эквивалентность 123
изоморфные открытые множества; учитывая неприводимость как Spec Л,
так и Spec В, получим требуемое. D
2.4.6. Определение. Схемы Χ, Υ называются бирационально экви-
валентными, если существуют такие всюду плотные открытые подмно-
жества UcX, V С У, что (U, 0х\и) изоморфно (1/, Qx\v).
Термин «бирациональная эквивалентность» имеет следующее проис-
хождение. На спектре кольца без делителей нуля элементы поля частных
можно рассматривать как «рациональные функции». Изоморфизм откры-
тых подмножеств из Spec Л и Spec β интерпретировался как «не всюду
определенное» отображение, задаваемое рациональными функциями.
2.4.6а. Пример. Specif] (прямая) и Spec*[7b Т2]/(Т2{ + 7| - 1)
(окружность) бирационально эквивалентны, если k — поле характеристи-
ки, отличной от 2. (Как проверить, что они неизоморфны?)
Действительно, классическая параметризация
_ 1 -Τ2 2Τ
1-1 + Я' 2~1 + Г2
и
и ее обращение Τ = ——— устанавливают изоморфизм колец частных
1 + м
*[ητ«+1=*[7Ί,Γ2]/(7? + 7|-1)1+/ρ
где U = Ti (mod Т\ + 7f - 1).
2.4.66. Обобщая конструкцию предыдущего примера, можно доказать,
что если /(Γι, ..., Тп) — неразложимый квадратичный многочлен над по-
лем k характеристики, отличной от 2, имеющий нуль над k, то пространства
Х= Spec k[T\, ..., Tn]/(f) nY= Spec k[T[, ..., T'n_{] бирационально эк-
вивалентны.
Мы опишем параметризацию геометрически, оставив читателю ее уточ-
нение и описание изоморфных открытых множеств.
Рассмотрим X как подпространство аффинного пространства Ε =
= Spec k[T\, ..., Тп] и вложим Υ в Ε с помощью гомоморфизма колец
Ti ь-> Т[ при /=1,...,я-1, а Тп ь-+ 0.
На геометрических /г-точках пространств X и Υ соответствие, задаваемое
Параметризацией, описывается следующим образом.
Фиксируем /г-точку χ квадрики X. Можно считать, что она не лежит
На У — иначе нужно изменить вложение пространства Υ. Будем прово-
дить через фиксированную точку χ еХ и переменную точку у Ε Υ прямые
в Е. Каждой точке у Ε Υ поставим в соответствие отличную от χ точку
124
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
пересечения ζ прямой Ту с У. Точка ζ существует и определена однск
значно, если у содержится в некотором непустом открытом подмножестве
пространства У.
2.4.6b. Spec k[T] и Spec k[Tu T2]/(Tf + 7f - 1) бирационально неэк-
вивалентны. Для доказательства достаточно установить, что уравнение
Х3 + У3 = Z3 не имеет решений в кольце многочленов k[T], кроме пропор-
циональных «постоянным» решениям (т. е. с X, У, Ζ Ε k). Можно считать,
что кубические корни из единицы лежат в й, и применить классический
спуск Ферма (по степени многочлена), пользуясь тем, что в кольце k[T]
разложение на множители однозначно.
§ 2.5. Морфизмы схем
Пусть X и У — два хаусдорфовых топологических пространства, О*
и Όγ— пучки ростков непрерывных функций на них. Каждому непрерыв-
ному отображению /: X —> У можно поставить в соответствие операцию
перенесения функций с У на X. Точнее говоря, каждому открытому мно-
жеству U С У отвечает гомоморфизм колец
ru:T(U,0Y)^r(f-l(U),Qx),
который ставит в соответствие функции g Ε Γ(ί/, Όγ) функцию
fu(g)(x)=g(f(*)) Для всякого χ G Ζ"1 (ί/). (2.5.1)
Иначе говоря, функция /£}(g) определена на /_1(ί/), постоянна на прооб-
разе каждой точки у Ε U и принимает на этом прообразе значение g(y).
Набор отображений /£} коммутирует с операциями ограничения в пучках
Όγ, Όχ\ мы не будем выписывать соответствующие диаграммы.
Мы рассматриваем схемы — окольцованные пространства, на которых
пучок колец не является в точности пучком функций. Тем не менее, суще-
ственные черты модельной ситуации можно сохранить. Введем следующее
определение.
2.5.1. Определение. Пусть (Χ, Οχ), (У, Όγ) — схемы. Морфизм
/: (Χ, Όχ) —► (У, О у) состоит из следующих данных:
1) непрерывное отображение топологических пространств /: X —> У;
2) набор гомоморфизмов колец
Ги'.ШОг)^Г(Г1(Ц),ох)
для каждого открытого множества U С У.
§2.5. Морфизмы схем \2Ь
Этот набор должен удовлетворять следующим условиям:
а) для любых двух открытых множеств V cU CY коммутативна диа-
грамма
T(U,0Y)-!L»T(f-l(U),Ox)
fV тп/г-1
Υ
T(V, Oy)—^Г(/-'(Ю, 0X).
где вертикальные стрелки — отображения ограничения (с U на V и с /~' (U)
наГ'(Ю)·
б) для любого открытого множества ί/ с У, точки у Ε Υ я сечения
#€Γ(ί/, Oy), обращающегося в ί/ в нуль, имеем
fu(g)(x) = О, как только /(*) = у. (2.5.2)
2.5.2. Сделаем несколько замечаний по поводу этого определения. Два
основных отличия от хаусдорфовых пространств с пучком непрерывных
функций состоят в следующем:
1) мы должны задавать отображения ffi независимо от /;
2) условие (2.5.1) заменяется более слабым условием (2.5.2) — мы тре-
буем лишь сохранения нулевых значений функций.
Оба эти отличия связаны, конечно, с тем, что наши функции «нена-
стоящие» — их области значений меняются, и разные сечения могут пред-
ставлять одну и ту же функцию.
Читателю предлагается проверить, что так определенные морфизмы
схем удовлетворяют аксиомам категории.
2.5.3. Пример. Пусть φ: В —» А — гомоморфизм колец. Мы уже по-
казали, что отображение
/: Spec Л —> Spec В,
определенное условием р^ =у~{(рх), непрерывно. Покажем, что суще-
ствует морфизм аффинных схем (Spec Л, Л) —> (Spec В, В), для которого
отображение пространств совпадает с /, а гомоморфизм /зрес ВВ —> А сов-
падает с φ.
Мы можем определить /£} для больших открытых множеств U = D(g),
Где g G В: снова пользуясь предложением 1.6.1 и теоремой 2.3.2, заклю-
чаем, что /д/ ч есть гомоморфизм колец вида
fu: Bf-*A4>(f)·
Для того чтобы на больших открытых множествах выполнялось условие а)
определения 2.5.1, нужно, очевидно, определить f^g) как локализацию го-
126
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
моморфизма φ, пользуясь универсальным свойством колец частных. Опре-
деление fy для произвольных открытых множеств U с Spec Б — упраж-
нение для читателя.
2.5.4. Мы приведем сейчас без доказательства основной общий ре-
зультат о морфизмах схем.
Пусть (Χ, Οχ) — некоторая схема, Υ — Spec Л — аффинная схема. Для
любого морфизма /: (Χ, Οχ) -»(Κ, Ογ) можно построить гомоморфизм ко-
лец
/?:Г(У, Оу) = Л-Г(*, Οχ)
(см. условие 2 определения 2.5.1; учесть, что f~{(Y) = Х).
2.5.4а. Теорема. Описанная конструкция определяет взаимно
однозначное соответствие множества морфизмов схем
(Χ, Οχ) -> (Spec Л, Л)
с множеством гомоморфизмов колец А —> Т(Х, Οχ).
Иначе говоря, громоздкий набор отображений открытых множеств и го-
моморфизмов колец, фигурирующий в определении 2.5.1, полностью опре-
деляется одним гомоморфизмом колец «глобальных функций».
Частный случай. Пусть (Χ, Οχ) — тоже аффинная схема, X = Spec β;
тогда морфизмы (Χ, Οχ) —► (Υ, Ό γ) взаимно однозначно соответствуют го-
моморфизмам колец Л —► В. В частности, теперь видно, что два опреде-
ления аффинной схемы (1.5.2 и 2.3.3) действительно эквивалентны; вы-
ражаясь более формально, категории аффинных схем в смысле определе-
ния 1.5.2 и определения 2.3.3 являются эквивалентными.
2.5.5. Замечание. Пусть (Χ, Οχ) — схема, Л — некоторое кольцо. До-
пустим, что на Οχ задана дополнительно структура пучка Л-алгебр. Тогда
и Т(Х, Οχ) есть Л-алгебра, так что определен канонический гомоморфизм
Л —> Г(Х, Οχ) и, значит, морфизм схем X —> Spec Л.
Наоборот, если задан морфизм схем /: X —> Spec Л, то для любого от-
крытого множества U С X определен морфизм (£/, Ох\и) -» (Spec Л, Л)
(композиция / с вложением U —> Х\ проверить, что это вложение есть мор-
физм!). Следовательно, Γ(ί/, Οχ) является Л-алгеброй, и легко проверить,
что Οχ превращается в пучок Л-алгебр.
§ 2.6. Проективные спектры
Мы введем сейчас чрезвычайно важный класс схем — проективные
спектры градуированных колец, среди которых будут содержаться ана-
логи классических проективных многообразий и, в частности, описанные
выше проективные пространства.
§2.6. Проективные спектры
127
2.6.1. Определение. Кольцо R (как всегда, коммутативное, с еди-
ницей) называется градуированным, если оно представлено как прямая
сумма R = φ Ri своих аддитивных подгрупп, причем RiRj С /?;+/.
Элементы / е /?/ называются однородными степени i.
Идеал PcR называется однородным, если Р= \J ЯП/?/.
Из определения легко следует, что если /¾ = 0 при / < 0, то /¾ является
кольцом, а /?+ = 0 Ri — идеалом в R.
/>о
Легко проверить, что идеал Ρ с R является однородным, если и только
если он порожден (как /?-модуль) системой однородных элементов. На R/P
дана естественная структура градуированного кольца: (R/P)i = /?//Р/.
2.6.2. Пример. Если /? = /([Γ0, ..., Тп], то /?^— формы степени d от
7Ь> · · ·» Тп·
2.6.3. Определение. Проективным спектром Proj Я градуирован-
ного кольца R с /?,- = 0 при / < 0 называется топологическое пространство,
точками которого являются однородные простые идеалы кольца /?, не со-
держащие /?+, а топология индуцирована топологией схемы Spec/?.
2.6.4. Геометрическая интерпретация. В классической проективной
геометрии проективное многообразие X над алгебраически замкнутым по-
лем К задается системой однородных уравнений Fi(Tq, ..., Тп) = 0, где
/ € / для конечного множества /. Свяжем с X градуированное кольцо R =
а=/С[7о, ..., Tn]/(Fi)iej. Различные схемы, которые можно построить из
кольца /([7ο, ..., Тп], связаны со следующими геометрическими объектами:
• A^+1 = Spec/C[7b, ..., Tn] — (п+ 1)-мерное аффинное простран-
ство (с выделенной системой координат).
• С = Spec/? — подсхема этого пространства, которая является ко-
нусом с вершиной в начале координат. Действительно, характеристическое
свойство конуса состоит в том, что вместе с каждой (геометрической) точ-
кой он содержит образующую — прямую, проходящую через эту точку
и вершину конуса. Прямая, соединяющая точку (/о, ..., tn) с началом ко-
ординат, состоит из точек (Щ, ..., //„), где t € К, и все они лежат на С,
Потому что С задается однородными уравнениями. Меняя /, мы движемся
По образующей. Каждое значение t, кроме того, определяет автоморфизм
Кольца /?, при котором однородные элементы степени / умножаются на tl.
Отсюда легко вывести, что и наоборот, всякий конус задается однород-
ными уравнениями.
• Ψηκ = Proj K[To, ..., Тп] —проективное пространство.
В силу предыдущего обсуждения точкам множества Р^ соответствуют
Неприводимые конусы в А^+1, а замкнутым точкам — прямые, проходящие
128
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
через начало координат. Это обычное определение проективного простран-
ства.
Начало координат /?+ = (7Ъ, .. ·, Тп) в А^+1, хотя и является одно-
родным простым идеалом, но содержит лишь вершину конуса и потому
исключается из числа точек пространства Р£.
С каждой прямой, проходящей через начало координат, удобно свя-
зывать ее бесконечно удаленную точку. Тогда Р^ интерпретируется как
бесконечно удаленная гиперплоскость в А^+1.
• χ = Proj R. Из всего сказанного следует, что X соответствует базе
конуса С, которая лежит на бесконечно удаленной гиперплоскости Р^.
PJ = Proj/C[7b,...,7,„]
Proj/?
С = Spec R
£+ = (70,...,7-,,)
Aj+1 = Spec/C[r0,...,7-„]
Рис. 2.5
2.6.5. Мы хотим ввести на Proj R структуру схемы; для этого нужно
определить структурный пучок и показать, что полученное окольцованное
пространство является локально аффинным.
Для любого элемента / Ε R положим
0+(/) = 0(/) П Proj Я.
оо
Легко видеть, что если /=^//, где /,· — однородные элементы стеле-
но
ни /, то £>+(/) = (J D(//); поэтому множества £>+(/), где / пробегает одно-
родные элементы кольца, образуют базис топологии пространства Proj R.
Мы установим сейчас, что как топологическое пространство /)+(/) изо-
морфно аффинной схеме и что пучки на разных /)+(/) также естественно
склеиваются.
2.6.6. Определение. Для любого однородного элемента / введем
в кольце частных Rf структуру градуированного кольца: элемент из
Rf однороден, если он может быть представлен в виде g/fk, где g Ε R од-
нороден, и тогда
deg(g/f*) = degg-*deg/.
§2.6. Проективные спектры
129
(То, что такое определение задает градуировку, предлагается дока-
зать читателю. Можно воспользоваться изоморфизмом Rf = R[T]/(fT — 1),
условившись, что Τ — однородный элемент степени — deg/.)
В дальнейшем через R^ мы всегда будем обозначать компоненту ну-
левой степени кольца /?/:
%) = te//*|degg = *deg/}.
Дело в том, что в отличие от аффинного случая лишь элементы из R^
могут претендовать на роль «функций» на D+ (/): в классическом случае
только отношениям форм одинаковой степени можно приписать «значе-
ние» в точке проективного пространства, не меняющееся при умножении
всех координат точки на одно и то же число.
2.6.7. Предложение. Пусть /, g — однородные элементы коль-
ца /?. Тогда:
a)D+(f)nD+(g) = D+(fg);
б) существует такой набор гомеоморфизмов ψ/: D+(f) —► Spec R^,
что все диаграммы
D+(f) -^- Spec %
£+(/£)—^ Spec/?(fe)
коммутативны.
(Здесь левая вертикальная стрелка — естественное вложение, а правая
индуцирована естественным гомоморфизмом колец частных R^ —► R(fg).)
Следствие. Пучки ψί(/?(/)), перенесенные на £)+(/) с помощью го-
меоморфизма ψ/, склеиваются и задают на Proj R структуру схемы.
< Говоря о Proj /?, мы всегда будем иметь в виду эту структуру схемы.
Доказательство. Первое утверждение легко следует из того, что
b(f)nD(g)=D(fg).
Для доказательства второго утверждения определим прежде всего ψ/
как сквозное отображение
D+(/) — D(f) -+ Spec Rf — Spec R{f)
(последняя стрелка индуцирована вложением колец /?(/) —> /?/, первая —
естественное вложение, вторая — изоморфизм).
Очевидно, что отображение ψ/ непрерывно. Покажем, что оно взаимно
°Днозначно, построив обратное отображение φ: Spec/?(/) —►£+(/). Пусть
130
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
ρ G Spec /?(/). Положим
ф(р)л = {*€/?„ | TfGp}, rjxefeRd.
Сначала следует проверить, что φ(ρ) = ф φ(ρ)„ — простой однородный
η
идеал. Пусть х, у G φ(ρ)«· Установим, что множество φ(ρ)« замкнуто отно-
сительно сложения; остальные свойства идеала проверяются еще легче:
xd / (x + y)2d (* + y)d
(Надо учитывать, что р — простой идеал в Ryy)
Далее, если xd/fn, yd/fm G cp(p)m+«, то (xi/)rf G p, откуда χ G p и у g p
ввиду простоты идеала р, так что или xd/fn, или yd/fm принадлежит φ (ρ).
Следовательно, φ(ρ) прост.
То, что φ и ψ/ взаимно обратны, предоставляется проверить читателю.
Докажем теперь, что ψ/ является гомеоморфизмом. Достаточно пока-
зать, что отображение ψ/ открыто, так как его непрерывность уже уста-
новлена.
Пусть g G Re- Нужно проверить, что образ D+(/) Π D+(g) при ψ/ от-
крыт:
D+(f) Π D+(g) = D+(fg) —> Spec R{fg) = Spec(Rin)gd/fe — Spec R{f).
Последняя стрелка позволяет также установить возможность склейки
множеств Spec R^ и Spec R^ no D(fg), так как
Spec % D D+(fg) = Spec R{fg) = Spec(R{n)gd/fe =
= Spec(R{g))fe/gd = D+{gf) С Spec R{g). D
2.6.8. Примеры. 1) В п. 2.4.3 было построено проективное простран-
ство Ψηκ. На самом деле это есть Proj К[хо, ·.., Хп]·
2) Схему X из примера 2.4.4 можно было бы получить и следующим
образом. Рассмотрим в кольце /С[7о, ..., Тп] идеал 7= [7о, ..., Тп]. Обо-
значим через Rk множество одночленов JkTk от Г с коэффициентами из &-й
степени идеала /. Проективный спектр соответствующего градуированного
кольца и есть X.
Обобщая эту конструкцию, рассмотрим еще один пример.
3) Пусть А — коммутативное кольцо и / С А — любой его идеал. По-
строим внутри кольца многочленов от одной переменной R[T] некоторое
градуированное подкольцо R = 0 Rk, где Rk = JkTk, т. е. элементы R суть
такие многочлены Σ а^Т1*, что dk€Jk. Говорят, что Proj R есть результат
примененного к Spec Л моноидального преобразования с центром в /.
§2.7. Алгебраические инварианты градуированных колец
2.6.9. Различия между аффинными и проективными спектрами.
1) Не всякий даже однородный гомоморфизм градуированных колец
/: R —► R' индуцирует отображение Proj R! —► Proj R. Рассмотрим вложение
Х[7(ь Т\\ ->K[Tq, Т\, 7¾]. Тогда идеал (7Ό, Γι) не имеет прообраза внут-
ри Proj /С[Го, Γι]. Геометрически это выглядит так: при проектировании
плоскости на прямую (/0, t\, t2) >-> (/о, t\) в точке (0:0: 1) проекция не
оПределена, ибо точки (0 : 0) на проективной прямой нет.
2) Как мы знаем, существует взаимно однозначное соответствие между
кольцами и аффинными схемами: по кольцу А восстанавливается схема
(Spec Л, Л); по аффинной схеме (Χ, Οχ) восстанавливается кольцо А =
ыТ(Х, Οχ). Это утверждение далеко не верно для проективных спектров:
Схемы Proj R\ и Proj R2 могут быть изоморфны для очень различных ко-
лец R\ и /¾. Это указывает на специфику (проективной) алгебраической
геометрии по сравнению с аффинной. Мы изучаем градуированные коль-
ца алгебраическими средствами, но нас интересуют чаще всего лишь та-
кие свойства кольца R, которые одновременно являются свойствами спек-
тра Proj R. Чрезвычайно вычурное с точки зрения алгебраиста отношение
эквивалентности Proj R\ ~ Proj /¾ между R\ и /¾ и придает геометрический
аромат проблеме.
Вот два способа менять кольцо /?, не меняя схемы Proj R.
а) Пусть R С /?', Ri = R\ при всех / ^ /о. Тогда Proj R ~ Proj R'. Для
доказательства нужно заметить, во-первых, что
Proj R = [J Z)+(/) = (J Spec R^ для любого /о,
deg/^/o deg/^i'o
и, во-вторых, что любой элемент из /?(/) можно представить в виде g/fn
с degg* ^ h'· достаточно умножить числитель и знаменатель на большую
степень элемента /.
б) Пусть R — градуированное кольцо, d G Ъ и d > 1; определим градуи-
рованное кольцо R(d\ полагая R^ = Rdi- Тогда Proj R и Proj R{d) изоморф-
ны (на пространствах изоморфизм задается отображением ρ н-> ρ Π R^).
Доказательство аналогично предыдущему.
§ 2.7. Алгебраические инварианты градуированных
колец. Многочлен Гильберта
2.7.1. В этом параграфе, если обратное не оговорено, мы будем рас-
сматривать только градуированные кольца R со следующими свойствами:
1) ft = 0 при / < 0, /?о = К — поле.
2) R\ —конечномерное пространство над К.
3) R\ порождает /(-алгебру R.
132
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Схемы Proj R для таких колец R наиболее близки к классическо-
му понятию проективного алгебраического многообразия над полем К.
В частности, если a\m^R\ = г + 1, то эпиморфизм градуированных ко-
лец К[То, ..., Тг] —> /?, отображающий 7Ь, ..., Тг в некоторый /(-базис
пространства /?ь определяет вложение Proj /?с-^ Proj /С[7о, ..., Тг] = Р£.
Мы введем сейчас некоторые инварианты градуированного кольца R,
следуя простой и красивой идее Гильберта: следить за размерностью Rn
(как линейного пространства над К) с ростом п.
Положим άχ(η) = dim/( /?„.
2.7.2. Теорема. Существует такое число по, что d^(n) = /г/?(я)
az/?w η ^ по, где /г#(/г) — некоторый многочлен с рациональными ко-
эффициентами.
Более общо, /?-модуль Μ называется Ъ-градуированным, если Μ =
= 0 Λίέ· и RtMj С Λί/+/. Гомоморфизм f: M-* N градуированных модулей
/ez
называется однородным степени d, если /(М;) С Ni+d для всех /. Мы
будем рассматривать лишь однородные гомоморфизмы.
2.7.3. Теорема. Пусть Μ — Ъ-градуированный R-модуль с конеч-
ным числом образующих. Тогда существует такое число /го, что
dim/( Мп = Нм(п) при η ^ щ, где Нм(п) —многочлен с рациональными
коэффициентами.
Многочлен Нм(п) называется многочленом Гильберта модуля М.
Доказательство. Проведем индукцию по г = dim#R\.
Если г = 0, то имеем R = К, а М есть обычное линейное пространство
конечной размерности. Ясно, что в этом случае при достаточно большом η
(большем, чем максимальная степень образующих Λί) заведомо dim Мп =
= 0, и искомый многочлен просто нулевой.
Индуктивный переход: допустим, что для dim^ R{=r- I теорема верна.
Пусть R\ содержит χ φ 0. Тогда Μ ^ Μ есть гомоморфизм степени 1.
Рассмотрим следующую точную последовательность:
0 —- Кп —> Мп -^ Мп+{ —+ Сп+{ —+ 0.
Из ядер Кп составляется градуированный /?/(х)-модуль К = Кегх, и из
коядер С, очевидно, тоже: Сокегл: = 0Сп можно рассматривать как
R/(x)-модуль. Но d\m(R/(x))i = dim R\/Kx = dim R{ - 1. По индуктивному
предположению существует такое число щ, что
dM(n +1)- dM(n) = dc(n + 1)- dK(n) = Έ(η) при η ^ п0.
Сложив равенства ам(п + 1) - ам{п) = h(n) начиная с некоторого η — по,
мы и получим то, что требуется, учитывая элементарный результат: сумма
§2.7. Алгебраические инварианты градуированных колец 133
N
]Г η1 как функция верхнего предела есть многочлен от N (степени / + 1).
П=П0 Q
Определение. Размерностью проективного спектра X = Proj R
называется число deg h^(n).
(Мы пока не утверждаем, что размерность зависит лишь от XI) Прежде
чем дать следующее определение, докажем лемму.
2.7.4. Лемма. Пусть многочлен h(x) e Q[x] принимает при це-
т ά и< \ v^ х(х-I) ...(x-i+l) -. ^„
лых χ целые значения. Тогда п(х) = ^ Щ — —ψ -, где at е Z.
Доказательство. Всякий многочлен из Q[x] можно представить
и( \ v^ х(х- I) ...(x-i+l)
в виде п(х) = 2^ at— -—ψ -, где α,- — рациональные числа,
а αο = h(0) — целое число. Применяя индукцию по /, находим
h(i) = щ+ ^2 ai
/...(/-/+1)
Г-
Ki-\
откуда следует, что щ — целое. D
2.7.5. Определение. Старший коэффициент в выражении
ui \ V^ χ... (x-i+l)
h(x) = ^ щ х— S
^dim X
т. е. такое целое число е, что h(n) = e-τ.—тттг + ..., называется степенью
v ' (dimJH)
(или порядком) проективного спектра.
2.7.6. Определение. Число /г#(0) = χ(^) называется характеристи-
кой проективного спектра X.
2.7.7. Определение. Число ра(Х) = (-l)dim*(xW - 1) называется
арифметическим родом проективного спектра X.
2.7.8. Упражнение. Установить, что
dimP^ = r, degPfc=l, ρα(^κ) = 0.
2.7.9. Комментарий. В действительности весь многочлен А#
является (проективным) инвариантом проективного спектра X. Мы выбра-
ли степень h% и два коэффициента по следующей причине: dim^ и χ(Α),
как будет показано ниже, на самом деле зависят лишь от X, а не от /?. Сте-
пень же является важнейшим проективным инвариантом, который (вместе
с размерностью) входит в формулировку теоремы Безу (п. 2.8.4, 2.8.7).
134
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Недавно ^ Р. Хартсхорн доказал красивую теорему, согласно которой
многочлен Гильберта является единственным «дискретным» проективным
инвариантом в следующем смысле: две проективные схемы X и Υ имеют
одинаковые многочлены Гильберта, если и только если они могут быть «ал-
гебраически деформированы» одна в другую внутри данного проективного
пространства.
2.7.10. Проективные схемы. Продолжим рассмотрение проективных
схем X = Proj /?, где Rq = К — основное поле.
В нашем распоряжении находятся сейчас два проективных инварианта
проективной схемы X, определенных через многочлен Гильберта, а именно,
dimJf и degX Ближайшая цель — согласовать все эти инварианты с гео-
метрической интуицией.
Условимся считать, что степень нулевого многочлена равна — 1.
2.7.11. Предложение. Следующие утверждения равносильны:
1) dimX = -l;
2)* = 0;
3) R\ С N(R), где N(R) — нильрадикал кольца R.
Доказательство. Импликация 1) => 3) очевидна, так как в этом
случае R" = 0, η > hq. 3) => 1) следует из конечномерности над К и того,
что кольцо R порождено множеством R\.
Импликация 3) =Ф> 2) следует из равенств
Х= U D+(/) = lJSpec%
f£R+
и того, что Spec R^ = 0, так как локализация по нильпотентному элементу
приводит к нулевому кольцу.
То, что 2) => 3), очевидно, так как в этом случае Specify) = 0 для
любого / e R+, а это и означает, что /?(/) = 0, т. е. что fn = 0 при некотором
η для каждого /. D
В последующих рассуждениях нам понадобится следующая лемма
(справедливая для любого градуированного кольца R).
2.7.12. Лемма. Пусть (Д)/е/ — некоторое семейство элементов
из R. Следующие два утверждения равносильны:
1>*=иад);
i
2) для любого geR+ и некоторого η имеем gn е ]£ /?//.
Доказательство. Пусть X — \J £>+(//) и S€ ^?+ —любой однород-
ный элемент. Тогда D+(g) = \J D+(fig) по определению множеств D+. Да-
!>В 1966 году.
§2.7. Алгебраические инварианты градуированных колец 135
лее, Spec Я(е) = |J Spec(Rig))fd/ge, откуда
1/1=Е(/«7^)«ь гае а, е /?(g),
для любого однородного элемента g£ R. Все эти рассуждения обратимы,
что показывает эквивалентность утверждений 1 и 2. □
Следствие. Если R{ порождает R как Ro-алгебру, то для любой
системы образующих (Д)/€/ Ro-модуля R{ имеем
Proj/? = (J £>+(//)/·
Возвратимся к рассмотрению схем Proj R, где R удовлетворяет уело-
виям, сформулированным в начале этого параграфа.
2.7.13. Предложение. Следующие условия равносильны:
1) dim Proj Я = 0;
2) пространство Proj R конечно.
Если они выполнены, то топология на Proj R = X дискретна, и как
схема
Proj Я~ Spec Т(Х, 0Х),
где Т(Х, Οχ) — К-алгебра конечного ранга, а
X(X) = degX = aimKT(X,Ox).
Доказательство. Покажем сначала, что если dimX = 0, то X ко-
нечно и dim/( Rn = dim T(X, Οχ) при п^щ для некоторого щ.
Действительно, dim Rn = d ^0 при η ^ щ. Отсюда следует, что для
всякого элемента / £ R\ имеем axm^ R^ < оо — иначе нашелся бы такой
элемент g £ R\, что g/f, (g/f)2, ..., (g/f)n, · - · были бы линейно незави-
симы над К, что невозможно, потому что иначе для сколь угодно больших
п, например, η > d, элементы glfn~l, где 1 ^ / ^ п, были бы линейно неза-
висимы в Rn.
Так как dim/( /?(/) < оо, то Spec R^ конечен и дискретен. В самом деле,
любой простой идеал в R^ максимален, ибо фактор по нему есть конеч-
номерная алгебра над полем К без делителей нуля, т. е. поле. Тем самым
любой простой идеал в R^ и минимален, а так как /fy), очевидно, нётерово,
минимальных идеалов лишь конечное число. Пространство Proj R покры-
вается конечным числом открытых дискретных пространств Spec R^, где
/ пробегает /(-базис /?ь поэтому оно конечно и дискретно. Следовательно,
Щ, Οχ) = J] Οχ, dim* Οχ < ос,
хех
136
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
откуда немедленно следует, что
Х~ Specif, Οχ)
как окольцованные пространства.
Покажем, что
dimKT(X, Ox) = degX = d\mKRn при η ^ η0. (2.7.1)
Прежде всего, существует такой однородный элемент / Ε /?+, что
£)+(/) = X, Действительно, пусть это не так. Тогда каждый элемент из
/?+ обращается в нуль в какой-нибудь из точек пространства X. Выбе-
рем минимальное подмножество точек Υ С X, обладающее тем свойством,
что каждый элемент из R+ обращается в нуль в одной из точек простран-
ства Υ; оно состоит более чем из одной точки, ибо идеалы из Proj R не
содержат /?+. Для каждой точки у е Υ существует элемент ау, который
не равен нулю на Υ нигде, кроме точки у. Произведение f] ау = Ьх
y£Y\{x}
обращается в нуль всюду на У, кроме точки х. Сумма ]Г Ьх нигде не об-
ращается з нуль на У: противоречие. xeY
Пусть теперь /)+(/) =Х\ тогда Г(Х, Οχ) = /?(/), и нам достаточно уста-
новить, что dim/( /fy) = dim/( Rn при η ^ Hq. Имеем
% = U Rn/f\ причем Rn/r С Rn+i/fn+l·
В силу конечномерности пространства /?(/) мы видим, что R^ = Rn/fn при
всех η ^ щ. Поэтому dim/( R^ = dim/( Rn.
Для доказательства равенства (2.7.1) достаточно проверить, что идеал
(J Ann fm конечномерен над К: тогда при больших η отображение g —► g/fn,
т
где g Ε Rn, будет изоморфизмом. Действительно, так как X = £>+(/), для
любого g £ /?+ существует такое ky что g* Ε //?; в силу конечномерности R\
это /г можно выбрать не зависящим от g; поэтому Rn = fRn-\ для доста-
точно больших п, а так как dim/( /?я = dim/( Rn-u то ни одна из степеней /
не аннулируется элементами из R больших степеней.
Чтобы завершить доказательство предложения, нам осталось прове-
рить, что при dim^i > 0 пространство X бесконечно. Если dim^ > 0, то
άϊπΐχ Rn—>oo при η —> оо; отсюда следует, что для некоторого / Ε R\ имеем
dim/( R(f) = оо, иначе, рассуждая в точности как выше, получим проти-
воречие. Поэтому достаточно показать, что Spec Л бесконечен для лю-
бой /(-алгебры А с конечным числом образующих, для которой dim^ A =
= ос. По лемме Нётер о нормализации алгебра А является конечно порож-
денным модулем над своей подалгеброй, изоморфной кольцу многочленов
К[Т\, ..., Td]\ поскольку dim/( А = ос, имеем d > 0. Теперь бесконечность
Spec Л вытекает из теоремы 1.6.4 и бесконечности спектра кольца много-
членов. D
§2.8. Характеристические функции и теорема Везу 137
§ 2.8. Характеристические функции и теорема Безу
2.8.1. Пусть R— градуированное кольцо, удовлетворяющее условиям
предыдущего параграфа, h%{n)— его многочлен Гильберта. Часто бывает
удобен следующий формализм. Положим
оо
FR(t) = J2hR(n)tn.
2.8.2. Предложение. Производящая функция F^(t) является ра-
циональной функцией от t\ кроме того, проективные инварианты
Proj R можно вычислить по F%(f) следующим образом:
1) dim Proj R + 1 совпадает с порядком полюса F$(t) при t = 1;
2) X(Proj R) = - Res Щ dt\
3) deg Proj/?=lim (/- l)dimProJ *+%(*).
Доказательство. При k ^ 1 имеем
oo oo .
Σ«*<·-('έ)Σ«-,<·-- ■■-('я)тЬ
я=0 л=0
так что
оо
/г=0
Индукция по £ показывает, что
где «...» обозначает члены, имеющие в точке t = 1 полюс порядка < k.
Отсюда и из определений deg и χ следуют первая и третья формулы. Для
доказательства второй заметим, что
ϊΚ~^>dt)=М0)=x(Proj R)-
а при h^(n) = nk, k> 0, имеем
откуда
138
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
2.8.3. Пример. Пусть / — однородный элемент из R степени d, не яв-
ляющийся делителем нуля. Зная FR(t), легко вычислить FR/fR(t):
hR/fR(n) = hR(n) - hR(n - d)\
отсюда
oo
n=0
где Р(/) — некоторый многочлен.
(Если не предполагать, что / не является делителем нуля, то покоэф-
фициентно FR/fR(t) ^ (1 - td)FR(t) +P(t)) В частности,
dim Proj R/fR = dim Proj R - 1,
X(Proj R/fR) = x(Pro] R)-hR(-d),
deg(Proj R/fR) = d deg Proj R.
Схема Υ — Proj R/fR естественно вкладывается в Proj/? (как К+(/)); так
как она задана одним уравнением, она называется гиперповерхностью
в Proj R.
Частный случай: R = /С[7Ь, ..., Тг], где 7/ G /?ь тогда Р^ = Proj /?. Ин-
дукция по г дает
/V(0 = -f—^p'-i (0 = · · - = (1 _ t)r+x>
откуда
dim ΨΓ = г, deg ¥r = 1, χ(ΡΓ) = 1.
Индукция по s без труда дает следующий результат.
2.8.4. Теорема Безу. Пусть /i, ..., fs G /? = /([7b, · · ·, 7V] — одяо-
родныемногочлены степеней d\, ..., ds соответственно. Пусть Y =
= Proj/?/(/,, ..., /5). 7огда
dim Υ > г — s:
(2 8 Π
deg К> d\ .. .ds при dim Y = r-s.
Если /ί+ι не является делителем нуля в кольце R/(f\, ..., //) для всех
/=l,...,s-l (тогда У называется «полным пересечением»), то нера-
венства (2.8.1) превращаются в равенства. В частности, если Υ —
нульмерное полное пересечение, т.е. r = s, то
degY = d{ ...ds.
§2.8. Характеристические функции и теорема Без у 139
2.8.5. Геометрическая интерпретация. Так как теоретико-множе-
S
ственно Proj R/(f\, ..., fs) = Π V+(//)i схему У следует представлять себе
как пересечение гиперповерхностей // = 0 в Р£. Условие «Д+ι не являет-
ся делителем нуля в /?/(/ь · · ·, //)» геометрически означает, что (/ + 1)-я
гиперповерхность находится «в общем положении» с пересечением преды-
дущих / гиперповерхностей — она не содержит целиком ни одну из его ком-
понент (ср. с геометрической интерпретацией делителей нуля в п. 1.7.14).
Когда У нульмерно, число
deg У = dim* Г(У, Оу) = ]Г dim* Oy
yeY
является заменой понятия «число точек пересечения с учетом кратности».
Если поле К алгебраически замкнуто, кратность у е У как раз и равна
рангу локального кольца по определению. Термин «полное пересечение»
связан со следующими представлениями.
Рассмотрим пример: пусть в трехмерном проективном пространстве
(над R или над С) f\ задает невырожденную квадрику, /2 — касатель-
ную плоскость к ней в некоторой точке х. Пересечение множеств решений
уравнений Д = 0 и /½ = 0 состоит из двух прямых, проходящих через χ
(например, «образующие» гиперболоида), см. рис. 2.6.
/ι=0
/2 = 0-^^
ί
Рис. 2.6. Гиперболоид и касательное пространство к его точке
Эти две прямые составляют полное пересечение квадрики и плоскости.
Если мы захотим выделить одну из них, L, нам придется взять в качестве /з,
например, уравнение плоскости, проходящей через L; нетрудно видеть, что
/з будет делителем нуля в /?/(/ь /2)· Эта прямая L не является «полным
/з - ^
140
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
пересечением» внутри квадрики, ибо полное пересечение должно было бы
иметь степень ^ 2, а степень прямой равна единице.
Существует интересный вариант понятия «полное пересечение». Пусть
для определенности R = Ко[Т\, ..., Тг] и Я С R— некоторый однородный
простой идеал. Назовем схему X = Proj R/P геометрически полным пе-
ресечением, если существует такой идеал Р' С Я, что X' = Proj R/P' яв-
ляется полным пересечением и г(Р') = Р. Последнее условие означает, что
пространство X' то же, что и у X (т. е. X' отличается от X лишь наличием
нильпотентов в структурном пучке).
Всякая ли схема вида X = Proj R/P является геометрически полным
пересечением? Ответ неизвестен даже для случая, когда г = 3, a dim X —
= 1, т.е. для «кривых в трехмерном пространстве»: можно ли любую
неприводимую кривую задать двумя уравнениями?
Однако в случае Xс¥Г и dimX = г — 1 ответ утвердителен.
2.8.6. Предложение. Если X С Рг и каждая неприводимая компо-
нента пространства X имеет размерность г - 1, то X является
геометрически полным пересечением, т.е. X задается одним урав-
нением.
Доказательство. Достаточно разобрать случай, когда схема X
приведена и неприводима. Пусть X = Proj /С[7Ъ, .. ·, Тг]/Р, где Ρ — про-
стой идеал, и пусть f e Ρ — неприводимый однородный элемент (очевидно,
он всегда существует). Тогда К+(/) с Рг, очевидно, является неприводимым
замкнутым подмножеством, имеющим ввиду теоремы 2.8.4 ту же размер-
ность г — 1. Следовательно, Х= V+(f) задается одним уравнением. D
2.8.7. Из предыдущего предложения, в частности, получается описа-
ние пространства Р|. Оно состоит из точек трех типов.
а) Общая точка Р|, соответствующая нулевому идеалу кольца
/С[7Ь, Ти Т2).
б) Общие точки неприводимых «кривых» — одномерных неприво-
димых множеств — находящиеся во взаимно однозначном соответствии
с неприводимыми формами от трех переменных (с точностью до умножения
на ненулевую константу).
в) Замкнутые точки. Из теоремы Гильберта легко следует, что в слу-
чае алгебраически замкнутого поля К такие точки находятся во взаимно
однозначном соответствии с ненулевыми тройками (t\ : /2 · ^з) элементов
из /(, определенными с точностью до умножения на ненулевую константу.
Пусть /ι, /2 — две формы; /2 не является делителем нуля в R/f\R, если
и только если /ι и /2 взаимно просты, т. е. если и только если кривые, за-
данные уравнениями f\ = 0 и /2 = 0, не имеют общих неприводимых ком-
понент.
§2.9. Предпучки и пучки модулей: обзор
141
Сравнивая результаты пунктов 2.7.13 и 2.8.4, получаем классическую
«теорему Безу» для плоскости: если две кривые на проективной плос-
кости не имеют общих неприводимых компонент, то число их то-
чек пересечения, подсчитанное с надлежащими кратностями, равно
произведению их степеней.
§ 2.9. Предпучки и пучки модулей: обзор
2.9.1. Пучки модулей над схемами естественно появляются в алгеб-
раической геометрии как обобщение понятия «модуль над коммутативным
кольцом»; более тщательный анализ этого сходства приводит к выделению
квазикогерентных пучков модулей. Над Spec Л, как будет показано ниже,
квазикогерентные пучки действительно находятся во взаимно однозначном
соответствии с Л-модулями.
С геометрической точки зрения пучки модулей J над окольцованным
пространством X доставляют формальный эквивалент интуитивного пред-
ставления о непрерывной системе линейных пространств, параметризо-
ванной базой X. Если пучок изоморфен прямой сумме конечного числа
пучков 0^, эта система «постоянна»: тотальное пространство есть прямое
произведение базы и слоя. Если пучок локально изоморфен такой прямой
сумме, он соответствует локально тривиальному расслоению с векторным
слоем (см. § 1.12). В самом общем случае даже размерности слоев системы
могут меняться.
Это интуитивное представление всегда полезно иметь в виду, хотя мы
и не дадим формального определения расслоенного пространства над схе-
мой X, связанного с квазикогерентным пучком модулей над 3\
2.9.2. В этом разделе мы дадим определение предпучков и пучков мо-
дулей над окольцованным топологическим пространством (Χ, Όχ) и опи-
шем некоторые основные понятия и результаты теории, не зависящие от
предположения, что X — схема; в силу своей общности они неглубоки.
а) Предпучок модулей У над (Χ, Οχ), или пред пучок О χ-модулей, есть
предпучок абелевых групп, в котором на каждой группе сечений T(U, У)
задана структура Γ(ί/, 0^)-модуля и эти структуры согласованы с ограни-
чениями:
для всех V С U, s € Г((/, Οχ), ρ € 9{U).
б) Пусть У ι, У 2 — предпучки модулей над (Χ, Όχ). Гомоморфиз-
мом предпучков модулей /: У\ -> Уг называется набор гомоморфизмов
Г(£/, Ох)-модулей
№: ?№->%№
перестановочных с ограничениями Гу.
142
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Без труда проверяется, что предпучки модулей над (Χ, Οχ) образу-
ют абелеву категорию. В частности, для любого гомоморфизма пред-
пучков /: 7\ —► 72 предпучки Кег/ и Coker/ существуют и описываются
своими группами сечений, которые вычисляются локально:
(Ker/)(i/) = Кег/(£/),
(Coker/)(i/) = Coker f(U)
(ограничения г у определяются очевидным образом).
в) Пусть 7\, У2—два предпучка Οχ-модулей. Тензорное произведе-
ние предпучков 7\ ® 7 2 определяется как предпучок
(7{ ®92)(U) = ?\(U) ® 72(U)
Ох Ox(U)
(с очевидными отображениями г у).
г) Предпучок О^-модулей 7 называется пучком О^-модулей, если он
является пучком, т.е. удовлетворяет условию из п. 2.1.3. Если 7— пред-
пучок О^-модулей, а ?+ — связанный с ним пучок (см. п. 2.1.7), то на
У+ есть естественная структура пучка О^-модулей: первоначально 7+(U)
определяются лишь как абелевы группы, но умножение на сечения пучка
Οχ можно провести через оба предельных перехода. Кроме того, опреде-
лен канонический гомоморфизм предпучков модулей 7 —> ίΡ+, ибо образ
множества 7(U) при гомоморфизме 7(U) —> Ц 7χ принадлежит множе-
ству ?+((/). χ^υ
д) Каждый пучок О^-модулей 7 можно рассматривать как предпу-
чок, для которого удобно ввести специальное обозначение i(J). Опре-
деляя гомоморфизм пучков jFi —► J2 как гомоморфизм соответствующих
предпучков, мы можем рассматривать / как функтор — вложение катего-
рии пучков О^-модулей в категорию предпучков. Этот «тавтологический»
функтор следующим образом связан со значительно менее тривиальным
функтором 7 —» У+, который действует в обратную сторону: для любого
предпучка 7 и любого пучка Οχ-модулей 7 имеем естественный изомор-
физм
Hom(/(S), 7) Ζ* Hom(J, ?+),
который каждому элементу i(3) —> 7 из группы слева ставит в соответ-
ствие сквозное отображение i(T) —► 7 —> ?+ из группы справа (гомомор-
физм предпучков 7 —> 7+ описан в § 2.1).
Тем самым, / и + являются сопряженными функторами в смысле
Кана1).
е) Пользуясь функторами / и +, мы можем определить над пучками
модулей операции линейной алгебры. Общее правило следующее: нужно
^См. [7*].
§2.9. Предпучки и пучки модулей: обзор
143
произвести соответствующую операцию над предпучками и результат пре-
вратить в пучок с помощью +. В частности, если 3Ί, ?2 — пучки О^-мо-
дулей, имеем по определению:
Οχ Οχ
и для любого гомоморфизма /: ?ι —► 3¾ положим
Кег/:=(Кег/(/))+,
Сокег /:= (Сокег /(/))+.
В действительности, нетрудно доказать, что Ker(/(iF)) является пучком ав-
томатически; для Сокег/ это неверно, как показывают примеры. Позже
нам встретятся примеры, когда i(7\) Θ /(5Г2) не является пучком; все это
Οχ
показывает существенную роль функтора +.
Категория пучков модулей также является абелевой.
ж) Категория всех пучков модулей часто бывает чересчур велика. Два
понятия, ограничивающие класс важных пучков, будут постоянно исполь-
зоваться в дальнейшем.
2.9.3. Определение. Пучок 0*-модулей 7 называется квазикоге-
рентным, если локально он изоморфен коядру гомоморфизма свободных
пучков Οχ. Иначе говоря, 7 квазикогерентен, если для каждой точки хеХ
существует окрестность U Э х, два множества индексов / и J и гомомор-
физм пучков 0Х\^-модулей /: 0^|^ —> 0Jx\Uy для которого Сокег/ изомор-
фен 7\и.
Чтобы несколько прояснить понятие квазикогерентности, напомним,
что пучки Οχ соответствуют «тривиальным расслоениям». Свойство пуч-
ка J быть изоморфным коядру гомоморфизма тривиальных расслоений
есть некоторое условие типа непрерывности: скачки в слоях не должны
быть слишком «локальными», они должны быть проявлением некоторой
глобальной картины над открытым множеством.
Рассмотрим один пример в контексте схем, где пространство X имеет
простейшую нетривиальную структуру: X = Spec Ър (где Ър — кольцо це-
лых р-адических чисел), Х= {(0), (р)}; открытые множества: X, {(0)} и 0;
структурный пучок описывается диаграммой
Щ, Όχ) = Ζρ
r({(0)},O*) = QP,
где Ър —» Qp — естественное вложение в поле частных.
144
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Любой предпучок модулей над (Χ, Ό χ) определяется заданием Ζρ-μο^
дуля F\y Qp-модуля /¾ и Z^-гомоморфизма F\ —> F%\ кроме того, всякий
предпучок является пучком.
Так как единственная открытая окрестность точки (р) — все простран-
ство X, то пучок 7 = (F[, /¾) квазикогерентен, если и только если имеет
место некоторая точная последовательность вида
В терминах пары (F\, /¾) она записывается в виде двух согласованных
точных последовательностей
%р >- Ц >■ Fx ^ О
\ \ \
% ^Q£ >F2 ^0,
из которых немедленно следует, что /¾ — F\ ® Qp. Нетрудно убедиться,
ър
что это условие и достаточно для квазикогерентности ЗГ= (Fi, /¾).
Таким образом, квазикогерентный пучок однозначно определяется за-
данием модуля своих глобальных сечений F\ — Г(Х, Οχ), a /¾ и гомомор-
физм F\ —► F2 восстанавливаются по F\. Без условия квазикогерентности,
задав F\, мы располагаем еще слишком большой свободой в определе-
нии /¾ и гомоморфизма F\ ® Qp —> /¾ по сравнению с квазикогерентным
1р
случаем: пучок может испытать «скачок» в общей точке.
В следующем параграфе результат этого примера будет обобщен на
любые аффинные схемы.
Сейчас мы введем еще одно ограничение типа «конечности», выделя-
ющее из всех квазикогерентных пучков модулей когерентные пучки.
2.9.4. Определение. Пучок Од-модулей называется пучком конеч-
ного типа, если он локально изоморфен образу гомоморфизма пучка Οχ
(иначе говоря, для каждой точки χ е X существует открытая окрестность
U3 χ и эпиморфизм пучков 0^-+91^-+0).
2.9.5. Определение. Пучок Οχ-модулей называется когерентным,
если он имеет конечный тип и если для всякого гомоморфизма над любым
открытым множеством
?:0Я</ —ЗЬ —0
пучок Кег φ над U имеет конечный тип.
§2.10. Квазикогерентные пучки над аффинными схемами 145
Мы отсылаем к § 2 статьи Серра «Когерентные алгебраические пуч-
ки» [) за доказательством общих свойств таких пучков на окольцованных
пространствах.
Приведем здесь лишь их список.
а) Подпучок конечного типа когерентного пучка когерентен.
б) Пусть 0—^ЗГ—>0—>Э-С—>0 — точная последовательность пучков,
в которой два пучка из трех когерентны. Тогда третий также когерентен.
В частности, прямая сумма когерентных пучков, а также ядро, коядро
и образ любого гомоморфизма когерентных пучков когерентны.
в) Тензорное произведение когерентных пучков когерентно.
г) Допустим, что структурный пучок Οχ когерентен. Тогда пучок О^-мо-
дулей У когерентен, если и только если локально он изоморфен коядру
гомоморфизма вида 0^-+0^, где р, q € Ζ.
§2.10. Квазикогерентные пучки над аффинными
схемами
2.10.1. Так как квазикогерентность является локальным свойством,
достаточно описать квазикогерентные пучки над аффинными схемами.
Пусть А — кольцо и (Χ, Όχ) — Spec Л. Пусть Μ — Л-модуль. Наша бли-
жайшая цель — построить пучок М, для которого Μ будет модулем гло-
бальных сечений.
В п. 1.12.11 мы определили модуль частных Ms, где S С А — муль-
типликативная система. Построим теперь пучок Λ?, точно так же, как мы
строили структурный пучок Л. По определению,
Г(Я и)сЦмхч гжМх = МА\Рх;
хеи
элемент (... тх ...) G Π Мх принадлежит Г(Л4, U) тогда и только тогда,
хеи
когда для каждой точки χ € U существует такая окрестность вида D(f),
что для каждой точки у е D(f) элемент ту в строке (... ту ...) является
образом некоторого те Mf при гомоморфизме Λί/ —► Му. Так, например,
А = Ох.
2.10.2. Теорема. T(D(/), Λί) ~ Μ/; слой пучка Μ над точкой χ изо-
морфен Мх.
Доказательство. Построим изоморфизм Mf —> T(D(/), Λί): пусть
m/f переходит в (..., m/f, ...) G Π Μχ.
xeD(f)
^См. [18*].
146
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Подробное доказательство мы опускаем; оно дословно повторяет со-
ответствующие рассуждения для пучка Л в п. 2.3.2. Естественное отоб-
ражение Μ —> Μ из категории Л-модулей в категорию пучков О^-модулей
является на самом деле функтором.
Действительно, гомоморфизму Μ —> N соответствует гомоморфизм
Μ —> jV, осуществляемый над каждым D(f) просто как локализация. Ра-
венство fg = Jg проверяется непосредственно. D
2.10.3. Предложение. Если точна последовательность А-моду-
лей Μ Α Ν —> Я, то точна и последовательность пучков Μ —> N —> P.
Доказательство. Достаточно проверить это утверждение «по-
слойно»; но все последовательности Мх —> Nx —> Ρ* точны в силу пред-
ложения 1.12.14. D
2.10.4. Предложение, a) Λί = r(Spec/l, M).
б) Нотл(М, Ν) = Ηοπ\Όχ(Μ, Ν).
Пункт а) означает, что не только пучок Μ строится по модулю М, но
и модуль Μ однозначно восстанавливается по пучку М.
Доказательство. Пункт а) является частным случаем предыду-
щего утверждения 2.10.2. Обратимся к б). Локализация определяет есте-
ственное отображение
Нотл(Л1, Ν) -► Ηοπ\0χ(Μ, Ν).
С другой стороны, гомоморфизм Μ —> N есть набор гомоморфизмов
M(U) —> N(U), среди которых есть гомоморфизм
Μ = Щ, М) -> Г(Х, Ν) = Ν
Этот гомоморфизм и определяет отображение
Ното^Я Ν) -> Нотл(М, Ν).
Проверка того, что построенные отображения взаимно обратны, тривиаль-
на. D
2.10.5. Теорема. Пучок 7 над X = Spec А квазикоеерентен тогда
и только тогда, когда У = Μ для некоторого Α-модуля М.
Доказательство, а) Докажем, что если J = М, то 7 квазикоге-
рентен. Представим Μ в виде коядра некоторого гомоморфизма свободных
Л-модулей:
А1 —>AJ ~->М—>0.
§2.10. Квазикогерентные пучки над аффинными схемами 147
Отсюда получается точная последовательность для пучков
A1 -~^AJ —+М—>0,
которая и устанавливает квазикогерентность Af, ибо А = Οχ.
б) Пусть теперь 7 квазикогерентен. У каждой точки есть окрестность
вида D(f), над которой 7 изоморфен коядру гомоморфизма свободных пуч-
ков. Пространство Х = Spec Л покрывается конечным числом таких мно-
п
жеств D(f). Пусть Х= \J D(//), и пусть
/=1
F\D{fi) = Coker (0^^0^0^) =
= Coker (Щ. -+ Щ.) = Coker (А\. -> Л£) = Af/,
где ΑΙ/ есть Л д.-модуль.
Заметим, что Af/ можно рассматривать и как Л-модуль (благодаря
наличию гомоморфизма А —> Af.). Кроме того, так как (Af/)/./i = (Af/)/,-/1
(условие склеивания), то можно положить
Щ = (Αί/)/./! = Гф(/,·//), 5) при /, / = 1, ..., п.
Положим теперь
/ п п \
Μ = КегШ Mi ^ "[I Mijl
\=i /,/=1 '
где гомоморфизм φ определяется так:
φ((..., пц ,...)) = (..., Ш//1 - т//1; ...).
на /-м месте на месте с номером (/, /')
Докажем, что Af = 7. Достаточно проверить, что
T(D(g), 7) = T(D(g), Af) для любого g € Л,
а этот случай легко сводится к g = 1, если заменить Л на Л^ и все встре-
чающиеся модули N на Ng.
Поэтому достаточно показать, что T(Spec Л, 3) = Af; но по определе-
нию пучка
ЦЭресЛ, Й) = КегЩГ(0(/,), Af) -> J] Г(0(Щ Αί)1,
\=1 /,/=1 '
а в силу определения пучка Af имеем Af |о(Д) = М/, а Af//1 £>(/,·/у) = ^//- Остает-
ся теперь воспользоваться теоремой 2.10.2 и определением модуля Af. □
148
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
2.10.6. Пример. Пусть (Χ, Οχ) — предсхема и Ιχ С Οχ — некото-
рый квазикогерентный пучок идеалов. Мы можем образовать факторпу-
чок Οχ/Jx. Заметим, что он тоже квазикогерентен. Назовем носителем
пучка Οχ/Jx (обозначение: supp Οχ/J χ) множество таких точек χ еХ, что
OxJJx,x φ {0}.
Лемма. Если ίχ квазикогерентен, то (supp Οχ/ίχ, Ox/Jx\Suppox/jx)
является схемой; пространство supp Οχ/Jx замкнуто в X.
Доказательство. Пусть χ е X. Рассмотрим аффинную окрестность
U Э х, U = Spec Л. Обозначим Г(£/, Jx) = J С А. Легко видеть, что
(supp Οχ/Jx DU) = V(J). Кроме того, Qx/Jx = {A/J). Но V(J) ~ Spec A/7,
так что получился нужный и локальный изоморфизм. D
Переведем теперь на язык колец и модулей условия когерентности.
2Л0.7. Теорема. Пусть X = Spec Л, где А — нётерово кольцо. Пу-
чок Μ когерентен на X тогда и только тогда, когда Μ — нётеров
А-модуль.
Доказательство. Нётеровость кольца А влечет нётеровость коль-
ца частных Af (ибо Af ~ A[x]/{fx — 1)). Далее, если Μ порожден конечным
числом элементов над Л, то же верно для Mf над Af. Рассматривая откры-
тые множества U = D(f) и гомоморфизмы над ними
φ: Ц -ΑΪ,,
получаем, что
Кег φ = Κ^τ(Α,}-^Μή
— пучок, связанный с нётеровым ^/-модулем. Поэтому он имеет конеч-
ный тип, так что пучок Μ когерентен (см. определение 2.9.5). Наоборот,
из когерентности пучка Μ следует, что для некоторого конечного покры-
п ^
тия Х= (J D(fi) все Af. -модули Mf. нётеровы (нужно, чтобы Μ над £)(//)
был коядром гомоморфизма APJ —► AV). Тогда любая возрастающая по-
следовательность подмодулей М\ С М^ С ... обладает тем свойством, что
(Mn)f — (Mn+i)f при η ^ по, где щ не зависит от /. Поэтому Мп = Мп+\
при η ^ по, так что Мп = Мл+Ь что доказывает теорему. D
§2.11. Обратимые пучки и группа Пикара
2.11.1. Как охарактеризовать внутренними свойствами проективные
спектры градуированных колец? Вопрос поставлен неточно; но, по крайней
мере, шаг к решению его будет сделан в этом параграфе. Мы покажем, что
§2.11. Обратимые пучки и группа Пикара 149
существование градуировки кольца R позволяет определить на Proj R =
-гX некоторый специфический квазикогерентный пучок 0χ(\). Постепенно
будет выясняться, что введенные выше инварианты кольца R на самом деле
являются характеристиками пары (X, 0^(1)).
2.11.2. Определение. Пучок модулей £ на окольцованном простран-
стве (Χ, Οχ) называется обратимым, если он локально изоморфен (как
пучок Οχ-модулей) пучку Οχ.
2.11.3. Предложение. Пусть L — обратимый пучок на (Χ, Οχ);
положим L~l :=Homox(£, Οχ). Тогда имеем:
а) если пучки L\, £2 обратимы, то и пучок Z\ ® &2 обратим;
6)L~l ®L~0X. °x
Οχ
Следствие. Множество классов (с точностью до изоморфизма)
обратимых пучков на (Χ, Οχ) образует коммутативную группу от-
носительно тензорного умножения над Οχ.
Эта группа называется группой Пикара и обозначается ^ Pic X.
2.11.4. Когомологическое описание группы PicX. Пусть L — об-
ратимый пучок, X = (J Ui — настолько мелкое покрытие пространства X,
что Z\ui — Ox\ut для всех /. Зафиксируем изоморфизмы φ,·: £|(у. —> Οχ\υΓ
Рассмотрим гомоморфизмы ограничения: гц\ L\ui —> £>\υιηυΓ Изоморфиз-
мы φ7· полностью определяются прообразами единицы
^(i) = u}eT(uhL·).
Так как г1}(щ) и гуДау) суть образующие модуля Γ(ί// Π £/у, L), то эле-
менты Sij, определенные из равенств гц(щ) — Sijr}i(Uj), обратимы: S;y G
ешпц, Οχ)*.
Таким образом, заданному покрытию (ί/£·)/β/ ^азы ^ и обратимому пуч-
ку £, тривиальному на элементах этого покрытия, мы поставили в соот-
ветствие набор сечений S;y G Г(£// Π £/у, О*)* пучка 0£. Набор элементов
Sij G ΟχΙυ-ηυ·' очевидно, удовлетворяет следующим условиям:
SijSji = 1 ПрИ / φ j,
StjS}kSki = 1 при ΊφιφϊιφΊ.
Все такие наборы образуют группу по умножению, которая называется
группой одномерных коциклов Чеха покрытия (ίΛ)/€/ c коэффициен-
тами в пучке 0£ и обозначается через Z[((Ui)iEl, 0£). Два коцикла (sij),
(s·) G Ζ1 называются эквивалентными, если существуют такие /,· G 0£ |^.,
^Различные примеры см. в [16].
150
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
что
sij = *isij*j ·
Элементы t(tjx образуют, очевидно, подгруппу Bl((Ui), Οχ) С Ζ1 когра-
ниц. Соответствующая факторгруппа называется первой группой кого-
мологий Чеха и обозначается Hl((Ui)ie/, Οχ)· Построенный выше коцикл
Чеха для обратимого пучка L при изменении изоморфизмов ср; умножается
на кограницу. Действительно, пусть φ·: L\ui -> Ox\ut —другие изоморфиз-
мы. Учитывая, что φ/φ·"1 £ Aut^l^.), где Κ\χ\(ϋ\υ.) = Γ(ί/£·, Οχ), находим:
φ£ = ίιψί, так что сечения s··, определенные по φ·, связаны с 5,у соотноше-
нием Sij — tiSijtJ .
Предложение. Построенное отображение из множества обра-
тимых пучков L на X, тривиальных на данном покрытии (t//)/G/,
в множество первых когомологий Чеха Hl((Ui)iejy 0^), определенных
по тому же покрытию, биективно.
Доказательство — упражнение читателю.
Мы получили, таким образом, вложение групп
Н1№), О*)^ Pic*,
образом которого служит множество классов пучков, тривиальных над
всеми (/;.
Пусть (i/y)/€y — другое покрытие X, более мелкое, чем (£/;);€/. Тогда
определен естественный гомоморфизм H{((Ui)i£i, Οχ) —>Я1((^/-)у€у, 0£),
являющийся вложением: читатель без труда определит его, пользуясь со-
ответствием между коциклами и обратимыми пучками.
Так как каждый обратимый пучок становится тривиальным на элемен-
тах достаточно мелкого покрытия, то находим отсюда:
PicХ = \\тН{(([/,·), 0%) = Н1(Х, 0*),
где индуктивный предел берется по направленной (индуктивной) системе
покрытий.
2.11.5. Пример. Пусть X = Proj /?, где R — градуированное кольцо,
порожденное пространством R\ над /¾. Рассмотрим покрытие
Х= \J Uh где ί/, = 0+(/),
и коцикл из Zx{(Uf)fenr Οχ):
Sfg=(-)n eT(UfnUg,O^), где я € Ζ.
§2.П. Обратимые пучки и группа Пикара
151
Обратимый пучок, определенный с помощью этого коцикла, обозна-
чается Οχ(η); очевидно, Όχ(η) ~ 0^(1)^. Эти пучки строятся по коль-
цу /?; наоборот, кольцо R можно до некоторой степени восстановить, зная
X и 0^(1). Здесь мы докажем лишь часть полного результата; вторая
часть будет доказана с помощью техники когомологий ниже (см. пред-
ложение 2.15.4).
Отметим сначала, что для всякого обратимого пучка £ на окольцован-
ном пространстве (Χ, Οχ) прямая сумма φ Γ(Χ, Ζη) имеет естественную
структуру градуированного кольца, в котором умножение однородных эле-
ментов определяется по естественному отображению
Г(Х, Ln) χ Г(Х, £т) -► Щ, Ип ® £т) = Г(Х, Lm+n).
2.11.6. Теорема. Пусть X = Proj /?, где /¾ — нётерово кольцо, R\ —
нётеров Ro-модуль, порождающий R над /?о, и пусть £ = Όχ(1).
Тогда существует однородный гомоморфизм градуированных
колец
для которого отображения <хп: Rn —► Г(Х, £я) являются изоморфиз-
мами групп при η ^ по.
Доказательство. Мы построим α и покажем, что ядро α сосредо-
точено в малых размерностях. Утверждение об изоморфизме будет дока-
зано в § 2.15.
Пусть heRn. Для любого / Ε R\ положим
а(А)Ь+(0 = ^€Г(О+(Л,0х).
(Сечения ^-, очевидно, склеиваются с помощью коцикла ί ί -) ) в сечение
пучка Ln над всем X, которое и обозначается α(/ι).) То, что α является
гомоморфизмом градуированных колец, проверяется автоматически.
Пусть heRn Г) Кега. Это означает, что ^ = 0 для всех feR\.B силу
нётеровости /?0-модуля R\, существует такое целое число т0, что Rmh - О
при т > то. Рассмотрим произвольный элемент h е /?, аннулятор которого
содержит 0 Rm. Все такие элементы, очевидно, составляют идеал /
т^то(Л)
в R. В силу нётеровости кольца /?, идеал / имеет конечное число образу-
ющих; поэтому число то (А) можно выбрать одинаковым для всех образу-
ющих; следовательно, компоненты идеала /, начиная с некоторого места,
являются нулевыми, что и требовалось доказать. D
152
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Теперь мы вычислим группу Пикара для некоторых простейших схем.
2.11.7. Предложение. Пусть А — кольцо с однозначным разломе-
нием на множители. Тогда
Pic(Speci4) = {0}.
Доказательство. В системе всех открытых покрытий конечные
покрытия вида |J /)(//) образуют кофинальную ^ подсистему. Поэтому ДО-
статочно проверить, что
tfl(fl(/,))ie/,O*) = {0}.
Пусть Sij € Zl(D(fi))i€i, Όχ). Представим все Sij (i Φ j) в виде /-/^-, где
t\ — некоторый набор элементов из поля частных К кольца А. Легко видеть,
что это можно сделать: SijSj\Su = 1, откуда s/7· = sn(Sj\)~l (ибо snSu = 1).
Пусть теперь ρ — любой простой элемент кольца Л, а υρ(α) — показа-
тель, с которым ρ входит в разложение элемента a е К.
Существует лишь конечное множество 7 простых элементов ре А (точ-
нее, их классов с точностью до умножения на обратимые), для которых
up(t'i) Φ О для какого-нибудь /.
Фиксируем ре 9. Разобьем все /,· на две группы: пусть ρ делит // для
ieJ\ и ρ не делит //, если / e h- Множество J2 непусто, потому что все
элементы f-t взаимно просты.
Так как элемент Бц обратим в Af.j., то vp(Sij) = 0, если ρ //,·. Поэтому
Όρ(ί\) принимает одно и то же значение для всех / £ /2. Обозначим это
значение через ар и положим
Очевидно, Sij = U/tj\ с другой стороны, // G Г(/)(/;), 0£) = (Л/.)х. Дей-
ствительно, если ρ ///, то vp(ti) = 0, так что U состоит лишь из простых
делителей /;, откуда без труда следует, что // обратим в Af.. Это доказывает
предложение. D
Замечание. Имея достаточно развитую технику когомологий с коэф-
фициентами в пучках (ср. ниже, § 2.12), мы могли бы интерпретировать
это доказательство следующим образом. Точная последовательность пуч-
ков абелевых групп на X
1 _> 0£ —► £х -^ £х/0£ —► 1.
^Т. е. любое покрытие допускает конечное размельчение, при котором каждая карта раз-
мельчения лежит в какой-то карте исходного покрытия.
§2.11. Обратимые пучки и группа Пикара
153
где Кх — постоянный пучок U —► Кх (мультипликативная группа поля
частных кольца Л), дает точную последовательность групп когомологий
Г(Х, КХ)^Т(Х, К*/о*)—>н{(Х, Ох)^->Н1(Х, Кх).
Первый шаг доказательства устанавливает, что гомоморфизм рх нулевой
(на самом деле даже Н1(Х, Кх) = О— это доказывается тем же рассуж-
дением). Второй шаг показывает, что р£ —эпиморфизм; только здесь ис-
пользовалось то, что А — кольцо главных идеалов, откуда, в частности,
следует, что Кх/Ах =ф2, где сумма берется по всем простым элемен-
там ρ кольца Α. ρ
Вот важное приложение доказанного результата.
2.11.8. Теорема. Пусть А — кольцо с однозначным разложением
на множители. Тогда группа PicPJ, где г^ 1, является бесконечной
циклической; образующей служит класс пучка 0(1).
Доказательство. Пусть Р^ = Proj Л[7о, ..., 7V]. В силу предыду-
щего предложения, всякий обратимый пучок £ на Р£ становится триви-
[Τ Τ ~\
•ψ-, ..., -ф\, потому что
согласно теореме Гаусса кольца многочленов над А сохраняют свойство
однозначности разложения.
Пусть теперь (s;y)— коцикл, задающий £ в покрытии \JD(Ti). Так как
Sij однороден нулевой степени и состоит лишь из делителей Г/7} (однознач-
ность разложения в A[Tq, ..., Гг]), имеем
5<·'·=ε</(|Γ' ^еАХ-
Из условий SijSji — 1, SijSjkSki = 1 находим, что Пц = η (не зависит от /, /);
отсюда очевидно, что гц является коциклом. На самом деле гц автома-
тически является кограницей, потому что гц = ε/ι/ε/ι, и ε(·ι G Г(Р£, Οχ).
Поэтому коцикл (Sij) когомологичен коциклу (Ti/Tj)n, задающему пучок
0(п). Утверждение теоремы получится теперь, если мы докажем, что все
пучки 0(п) неизоморфны. Это верно без всяких предположений о кольце
А и вытекает из следующей леммы.
2.11.9. Лемма. Пусть Р^ = Proj А[Т0, ..., Тг], где А—любое коль-
цо; тогда
(О при η < О,
0 Αφ-...-Т? при 0 0.
а0+...+аг=п
154
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Доказательство. Пусть R = А[То, ..., 7V], а /?„ — однородная
компонента степени п. Покажем, что при η ^ О гомоморфизм
а„:/?„-+Г(Р;, 0(/1))
является изоморфизмом. Напомним, что при / e Rn
М/)|0+то = //7Г.
Инъективность гомоморфизма α немедленно следует из того, что 7/ не яв-
ляются делителями нуля.
Проверим теперь, что α — эпиморфизм. Сечение пучка над Рд пред-
ставляется набором (//)"=0:
fieA[Yr '■·' "Z7J' ЛЛ7}) ~fi
Так как 7} — не делители нуля, из условий согласования следует, что //7]2
не зависит от /. Очевидно, //7]2 — многочлен, потому что в знаменателе //7]1
может быть только степень 7/.
Пусть, наконец, я < 0; тогда в тех же обозначениях получаем
Ыт-п = ЫТ7п
и аналогичные соображения делимости показывают, что это возможно
лишь при // = 0. D
Следствие. 0(п) φ 0(m), если пфпг.
Доказательство. Это немедленно следует из леммы, потому что
Л-модули сечений некоторой степени этих пучков имеют разный ранг. D
2.11.10. В качестве приложения теорем 2.11.8 и 2.11.6 мы можем те-
перь вычислить все возможные многочлены Гильберта для проективного
пространства над полем и посмотреть, какие из введенных в § 2.7 число-
вых характеристик пространства Р£ не зависят от его представления в виде
Proj /?.
Действительно, пусть ¥[ = Proj R; обозначим временно через 0#(1) об-
ратимый пучок на РЛГ, построенный с помощью кольца /?, а через 0(1) —
обратимый пучок, построенный с помощью стандартного представления
P; = Proj*[7b, ..., 7V].
В силу теоремы 2.11.8 тогда
0R(l)~Q(d)
для некоторого d e Z; при г ^ 1 имеем d > О, потому что ранг пространства
сечений пучка 0#(я) возрастает при я —»оо.
§2.12. Когомологии Чеха
155
С другой стороны, согласно (еще не доказанной!) части теоремы 2.11.6
при достаточно больших η отображение
*п: Rn -> Г(Р,', 0Л(я)) - Г(Р;, Q(nd))
является изоморфизмом. Следовательно, многочлен Гильберта h^(n) равен
В частности, его степень и свободный член действительно не зависят
от /?, как и утверждалось.
2.11.11. Упражнения. 1) Доказать, что кривая в РЛГ может быть изо-
морфна проективной прямой, только если ее степень равна 1 или 2.
Указание. Кривая в Ψ[ по определению есть Proj k[T0, T\, 7^/(/), где
/ — некоторая форма. Ее многочлен Гильберта вычислен в § 2.7.
Попытайтесь доказать, что кривая, определенная квадратичной фор-
мой /, изоморфна Р],, если и только если выполняются два условия: 1) ранг
/ равен трем; 2) уравнение / = 0 в поле k имеет ненулевое решение.
2) Пусть г ^ 1; доказать, что всякий автоморфизм /: Р£ —> ¥[ над k
является линейным (что это значит?).
Указание. Рассмотреть, как / действует на обратимые пучки и на
группу Пикара.
§2.12. Когомологии Чеха
2.12.1. Пусть X — топологическое пространство и 7 — пучок абеле-
вых групп на нем. Допустим, что задано конечное открытое покрытие U =
— (^/)/=1 пространства X. В этой ситуации дадим следующее
Определение. Комплексом Чеха называется комплекс, однородные
компоненты Cp(Uy 3) (группы р-коцепей Чеха) которого и дифференциал
определяются следующим образом.
Пусть [1, r]pJrX —прямое произведение множества натуральных чисел
1, ..., гс самим собой ρ + 1 раз; элементами группы CP(U, T) являются
функции 5(/0, ·. ·, ip) G Г([//0.../р, 3), где Uh.Jp := Uh Π ... Π Uip, облада-
ющие следующими свойствами «кососимметричности»:
5(σ(/0), ..., a(ip)) = sgn σ · s(/0, ..., ip)
для любой перестановки σ и
s(k, - · ·, iP) = 0,
156
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
если среди индексов /о, ..., ip есть хотя бы два одинаковых. В частности,
C(i/, Э) = О при ρ ^ π кроме того, C°(i/, 2) = Π Γ(ί/,·, 3=).
/=1
Дифференциал в комплексе Чеха вводится так:
(rfs)(/0, · · ·, Wi) = 5^(-0^(/0, ..., Ть ..., /ρ+ι),
fc=0
где г: T(Ui f -t , 3) —> Γ(ί//0...ζ· +1, 30 — гомоморфизм ограничения (он,
разумеется, зависит от /о, ..., /ρ+ι и &).
Группы когомологий указанного комплекса называются группами ко-
гомологий Чеха покрытия U с коэффициентами в пучке 3 и обозначаются
HP(U, 3). Когомологий с коэффициентами в пучке, определенные по Чеху,
удобны для вычисления. Однако, в известном смысле, они характеризу-
ют не столько пространство X, на котором определен пучок 3, сколько
покрытие U и сечения пучка 3 над его частями.
Существует аксиоматическое определение когомологий пространства X
с коэффициентами в пучке 3, принадлежащее Гротендику. По Гротендику,
когомологиями НР(Х, 3) пространства X с коэффициентами в пуч-
ке 3 называются правые производные функторы функтора, сопоставляю-
щего каждому пучку абелевых групп 3 на пространстве X группу сечений
Щ, 3).
Сформулируем без доказательства следующую теорему Картана, вы-
ясняющую некоторое достаточное условие, при выполнении которого оба
определения когомологий совпадают.
2.12.2. Теорема. Пусть V — семейство квазикомпактных откры-
тых множеств пространства X, образующее базис топологии X
г
и такое, что HP(U, 3^ = 0 для всех ρ ^ 1 и f] Ut■ е V для всех ко-
/=1
нечных покрытий U — (ίΛ)[=1, для которых Ό ι е V. Тогда #*((/, 3)
изоморфно Н*(Х, 3) для любого конечного покрытия U простран-
ства X элементами из V.
Замечание. Теорема сформулирована не в полной общности, но ее
достаточно для наших ближайших целей. Доказательство см. в книге Го-
демана [8] (гл. 2, теорема 5.9.2).
Мы будем применять эту теорему к схемам X, рассматривая в качестве
V семейства аффинных открытых множеств, а в качестве 3 — квазико-
герентные пучки. Мы хотим установить, что в этом случае выполняются
условия теоремы Картана. Для этого достаточно доказать следующий ре-
зультат.
§2.12. Когомологии Чеха
157
2.12.3. Предложение. Пусть X = Spec Л, а У = М, где Μ — неко-
торый Α-модуль. Пусть U-t = £>(/;), где i — 1, ..., г\ пусть X = (J £/;,
a U = (Ui)rlssl. Тогда
HP(U, 2) = 0 при ρ ^ I.
2.12.3а. Следствие. Для всякой аффинной схемы X и квазикоге-
рентного пучка 7 на ней имеем НР(Х, Т) = 0 при ρ ^ 1.
Доказательство. Применить теорему Картана к пространству X
и семейству больших открытых множеств D(f). D
2.12.36. Следствие. Для всякой ^ схемы X, ее конечного покры-
тия U аффинными схемами и квазикогерентного пучка 7 на ней
имеем
HP(U, Т) = НР(Х, 7).
Доказательство. Применить теорему Картана к X и семейству
всех аффинных открытых подмножеств X, воспользовавшись следстви-
ем 2 Л 2.3а. D
Отметим без доказательства, что Серр доказал обращение след-
ствия 2.12.3а: если для схемы X и любого квазикогерентного пучка
идеалов J на ней имеем Hl(X, J) — 0, то X — аффинная схема.
2.12.4. Сохраним обозначения предложения 2.12.3. Пусть
Uio.Jp = Uion...nUip=D(fio...fip).
Имеем
T(Uio.Jp,M)cMfio...hp.
Каждая коцепь из CP(U, Μ) при ρ < г представляется набором из
( ) элементов из различных локализаций модуля М:
s(io, ..., ip)eMflQ.m.flp.
Мы хотим доказать ацикличность комплекса Чеха в размерностях ρ > 1.
Стандартный метод доказательства ацикличности — построение операто-
ра гомотопии. Его не удается построить для самого комплекса Чеха, но
мы обойдем эту трудность следующим образом. Мы построим некото-
рую новую последовательность комплексов и гомоморфизмов между ними
(Срп(М)), где п — номер комплекса, обладающую следующими свойствами.
^Отделимой (из условия отделимости вытекает, что пересечение двух аффинных открытых
подмножеств аффинно; схемы Proj всегда отделимы).
158
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
а) Комплекс Чеха является индуктивным пределом комплексов
Срп(М).
б) Комплексы СРп(М) гомотопически тривиальны.
Так как взятие индуктивного предела перестановочно с взятием групп
когомологий, мы получим, что
fip(U, M) = H(Cp(U1 М)) = 0.
Приступим к выполнению пункта а) программы.
Сначала покажем, что для любого кольца Л, модуля Μ над Л и элемента
g e А модуль Mg естественно представляется в виде некоторого индуктив-
ного предела.
Прежде всего, полагая Mg = < — \ т е М\, получаем, что Mg =
— U Mg. Каждое пространство Λί^ является Л-модулем, и вместо объ-
п==0
единения мы можем написать индуктивный предел, рассматривая систему
... —> Mf —> М%+1) -^..., (2.12.1)
в которой гомоморфизмы описываются формулой — ь-> -^г- Если g не
является делителем нуля в Λί, то Л-модуль Mg изоморфен Μ для всех
η относительно отображения т—> —. Тогда индуктивная система (2.12.1)
превращается в такую:
... _♦ М{п) = Μ -£* Λί(π+1) = Αί —>..., (2.12.2)
где на всех местах стоят Л-модули М, а гомоморфизмы — умножения на g.
2.12.4а. Лемма. Индуктивный предел системы (2.12.2) всегда
изоморфен Mg (даже если g является делителем нуля в М).
Доказательство. Рассмотрим гомоморфизмы
ё gn
Они согласованы с гомоморфизмами системы (2.12.2) и потому определяют
гомоморфизм ее предела:
ljm M{n) -> М§.
Его коядро, очевидно, равно нулю. Элемент ядра представлен цепочкой
элементов gmn, g2mn, ..., где тп е М{п) = Λί, такой, что mn/gn = 0 в Mg\
значит, gn+kmn — 0 для достаточно больших /г, и потому вся цепочка пред-
ставляет нулевой класс. D
§2.12. Когомологии Чеха 159
2.12.46. Теперь мы во всем комплексе (Cp(Uy M)) заменим встречаю-
щиеся там локализации модуля Μ «приближениями к ним» Af(/l) и устроим
кограничные операторы должным образом.
Чтобы получить правильную формулу для кограниц наглядно, сначала
предположим, что элементы /;0 ... /,· не являются делителями нуля в М.
Обозначим через СР(М) подгруппу таких коцепей из CP(U, M), что
S(/o,...,/P)eM^,r{^-^|me4
Пусть
Тогда
ds(i0, ..., ip+i) - -j j— - 2^(-1) 77 f :—rn>
l/'o · · · hp+i) trQ (ho .·.//*··· tip+i)
откуда
k=0
/H-i
Гомоморфизм вложения CP(M) —> C^+1(Ai) описывается формулой
mi0.jp-+fi0.--fiprnh.Jp. (2.12.4)
Формулами (2.12.3), (2.12.4) мы воспользуемся для определения и диффе-
ренциала в комплексе Срп(М) в случае, когда условие о делителях нуля не
выполняется, и гомоморфизма комплексов Срп(М) —> Срп+х(М).
Обозначим в общем случае через Срп(М) группу кососимметричных
функций на [1, r]p+l со значениями в Λί и определим кограничный опера-
тор Срп(М) -> Срп+1(М) формулой:
(dm)(i0, ..., ip+ι) = Y,(-l)kf?km(i0, ..., ТЛ, ..., ip+{). (2.12.5)
/г=0
Определим гомоморфизм групп φ„: С«(Л1) —► Срп+{(М) формулой:
(φπ/η)(ΐ0, ..., /р) = /¾ ... /;pm(/o, · ·., ip). (2.12.6)
2.12.4b. «Лемма. 1) Наборы (Срп(М)) при фиксированном η являют-
ся комплексами.
2) Набор гомоморфизмов φ„ является гомоморфизмом комплек-
сов.
3) lim Cpn(M) = CP(U, M)\ индуктивный предел дифференциалов —
дифференциал предела.
160
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
(Первые два утверждения проверяются тривиальным подсчетом, по-
следнее следует из определений и предыдущей леммы.)
На этом заканчивается этап а) вычисления когомологий комплекса Че-
ха: приближение его комплексами Срп{М), с которыми удобнее работать.
2.12.4г. Теперь мы займемся этапом б) программы — доказатель-
ством ацикличности комплекса Срп(М). В конструкции этого комплекса
участвуют: кольцо Л, модуль Λί, элементы кольца /j\ ..., /", определя-
ющие покрытие {£K/f)}[=i = {D(fi)}ri=l, и дифференциал, заданный фор-
мулой (2.12.5).
Ввиду важности этого комплекса в ряде других вопросов алгебраиче-
ской геометрии мы изучим Срп(М) несколько подробнее, чем это строго
необходимо здесь. (Мы неоднократно будем возвращаться к этому ком-
плексу в дальнейшем.)
2.12.5. Комплекс Кошуля. Пусть А — кольцо, / = (Д, ..., fr) —
некоторое семейство элементов в нем; аналогично, /^:=(/^, ..., ff).
Рассмотрим свободный Л-модуль Ае\ Θ ... Θ Aer — Аг ранга г и его
внешние степени Кр — КРАГ. Очевидно, что Кр является свободным Л-мо-
дулем ранга ( ); элементы β·1χ Λ ... Λ e-lp, где i\ < ... < ip, образуют его
свободный базис; Ко = А по определению. Определим дифференциал
d: Кр+\ —>Кр, полагая:
Р+1
d{ei{ Λ ... Λ eip+l) = Σ (-!)*+V<i Λ ... Λ ^ Λ ... Λ eip+l.
(ΝΒ: -1 взята в степени k + 1, чтобы первый член входил со своим зна-
ком.) Проверка того, что d2 = 0, тривиальна; обозначим получившийся так
комплекс через Kp{f, Μ) или короче: Kp(f). (Заметим, что он цепной, в от-
личие от коцепного комплекса Чеха.)
Связь комплекса Kp(f) с комплексом Срп(М) следующая.
2.12.6. Лемма. При ρ > 0 имеем
CPn(M)~Kp+\fn, Μ) := Hom(KP+i(fn), M);
изоморфизм устанавливается так, что дифференциалы согласова-
ны.
Доказательство. Коцепи т = (га(/0, ..., ip)) e Срп(М) поставим
в соответствие гомоморфизм
eio Λ ... Λ <?,· ι-> m(i0, ..., ip).
§2.12. Когомологии Чеха
161
Дифференциал гомоморфизма gm, т.е. элемент из Hom(Kp+2(fn), Λί),
определяется формулой:
(dgm)(eio Л ... Л eip+x) = gm(d(eh Л ... Л eip+l)) =
= ^m(^(-l)V^0'o, ....,¾. ..., ίρ+\)) =gdm(eiQA...Aeip+l),
что доказывает требуемое. D
2.12.7. Таким образом, мы «выделили» зависимость комплекса Срп(М)
от М. Комплекс Kp(f) тоже поддается дальнейшей «разборке», которая
полезна в некоторых доказательствах, использующих индукцию по г.
2.12.8. Лемма. /Со(/) ^ Ko(fi) ® ... ® /Со(/г).
Доказательство. Напомним прежде всего, что тензорным произ-
ведением данных двух цепных комплексов К и L по определению является
такой комплекс, что
(K®L)p = $Ki®Lh
d(k®l) = dk®l + (-l)rk®dl, mekeKr,
и вообще, для произведения /С(1) ® ... ® /С(г)
rf(*i Θ ... ® kr) = ^(-1)έ/ι+··Ή·-ι/51 (8)... ® £у (8)... ® £г,
где &у € /С^ при / = 1, ..., г. Пусть теперь К® = Л, а /С{ = Л в/ при всех /.
Построим комплекс, положив
0«—Л<—Ле,·, d(ei) = fi.
Тогда (/С(1) ® ... ® /С(г))р является свободным Л-модулем с базисом
е/, ® ... ® β/ρ, где 1 ^ /ι < ... < /г ^ Р, и с дифференциалом
rite, Θ ... ® e/p) = 5^(-1)Λ+,//Λ^ι ® · · · ® ^ ® · · · ® V
что и показывает его изоморфизм с комплексом Кошуля /Со(/). Теперь мы
можем доказать, что комплекс C£(Af) ацикличен в размерностях ^ 1. Для
этого достаточно построить гомотопию для комплексов Kp{f). Π
162
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
2.12.9. Предложение. Пусть gi, ..., gr — произвольное семей-
ство из г элементов кольца А. Обозначим через h: Kp(f) —► /C/?+i(/)
г
гомоморфизм внешнего умножения слева на Σ g/β/. Тогда
/=1
г
hd + dh = Y^ fiSi
/=ι
(т.е. умножение на сумму справа).
Доказательство. Фиксируем множество индексов (без повторе-
ний) /ь ..., /p+i € [1, г] и пусть /ь ..., /г-р-1 —дополнительное множе-
ство индексов. Имеем:
dh(ehA...AeiD^)--
Л...Ле/р+|) =
= d(^gkefAAeilA...Aeip+l)=d( £ g/^Λ^ι
г—/7—1 . /Н-1 ν
Л=1 ^ /=1 '
С другой стороны:
/Р+1
М(^ Л ... Л eip+l) == A^£(M)/+1/iA Л ... Л ёц Л ... Л е/р+Л =
= Σ(~1)/+1^ (¾¾ л β/, л... л ^ л... л */р+1 +
+ Σ ^^Λ^ιΛ···Λέ//Λ···Λνι) =
ь-\ /
АМ-1
= Е(<-1)/+%(-1)/"1»АА...Ле/р+1 +
/=1 V г-р-1
+ Σ 8ikeikAeh Л ... Л^ Л ... Ле/р+1 ).
£=1 /
Складывая эти два выражения, получаем требуемое. D
Следствие. Если идеал, порожденный элементами /,·, где / = 1, ...
... , г, равея Л, то комплексы Срп(М) и C(i/, 7) ацикличны в размер-
ностях ^ 1.
Г
(Действительно, тогда J2 figi = 1для некоторых g,·, и А является операто-
ром гомотопии.) l=l
§2.13. Когомологии проективного пространства
163
Этим завершается доказательство предложения 2.12.3 и его следствий.
D
2.12.10. Замечание. В общем случае Cpn+l(M) = Kp+{(fn, M) при
ρ ^ 0. По определению, имеет место точная последовательность
0 —-> Я0(Г, Af) —-> /(°(Л М) -^ Z'tf", Μ) —+ Я1 (Л Μ) —+ 0.
Предел lim при η —> οο дает:
0 — Я°((/), Μ) —> /С°((/), Μ)^Ζ{ ((/), Λί) —> Я1 ((/), Af) — 0,
при этом
H°(U,3) = Zlm Μ),
/С°((/), Μ) = /С°((И, Λί) = Нот(Л, Λί) = Μ,
так что имеет место точная последовательность:
0 —► Я°((/), Λί) —.Л1 -^ #°(£Л Т)-^Н{ ((/), Λί) —> 0.
§2.13. Когомологии проективного пространства
2.13.1. Пусть А— фиксированное кольцо, Р^"*1 = Proj /?, где R =
= Л[7ь ..., Тг] в обычной градуировке, i/,· = D+(7/), ί/ = (ί/;). Β этом
разделе мы вычислим группы ЯР(Р^_1, 0(/г)) для всех /?, я и г. Это вы-
числение, принадлежащее Серру, послужит основой для доказательства
в следующем параграфе основных общих результатов о когомологиях ко-
герентных пучков на проективных схемах.
В силу результатов § 2.12
Hp(YrA-\Q(n)) = Hp(U,Q(n)).
Поэтому мы можем вычислить когомологии комплекса Чеха покрытия U.
Так как UiQt,.jp = D+(TiQ... Tip) = Spec R(TiQ..Tip), имеем при обычном
описании пучка 0(п):
T(uh..Jp, o{n))=(7^.::^ ιk е ζ·m e ^+^+4-
Отсюда
0 T(Ui0.Jp, Ό(η)) = {s
nez
с обычным условием кососимметрии. Эта формула показывает, что удобно
вычислять прямую сумму комплексов Чеха φ C°(i/, Ό(η)) и ее когомоло-
nez
гии, следя за естественно получившейся градуировкой, а потом разделить
однородные компоненты в ответе.
164
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
2.13.1а. Фиксируем k е Ъ. Обозначим через Cpk(U, Ό{ή)) подгруппу
m(/0, ..., in)
коцепей, компоненты которых представимы в виде — ^и » где т —
(У/0 . . . lip)
форма. Эти группы при переменных ρ образуют комплекс φ Cpk{U, 0(/г));
nez
вычисляя действие его дифференциала на числителях компонент коцепей,
как выше, без труда получаем следующее.
Лемма. 1) Комплекс φ Cpk(U, 0(n)) с его градуировкой изомор-
rt€Z
фен комплексу Кошуля /Cp+1(rf, ..., Т)\ R) с градуировкой, в которой
элементы ge Hom{Kp+\{Tk)y R) с условием
g(eio Λ ... Λ eip) G %,+ι)+/Ι
однородны и имеют степень п.
2) Отображение
m(/0, ..., ip) —► 7/0... Tip · т(/0, ..., ip)
определяет однородные гомоморфизмы градуированных комплексов
0 Ck(U, 0(п)) —> 0 Ck+](U, Ό(η))
n£i nez
и
©C'(i/, 0(/г)) = НтфС£((/, 0(/1))
k
относительно этой системы гомоморфизмов.
Заметим, что условие 1 однозначно определяет на Кр+{ структуру гра-
дуированного /?-модуля.
2.13.2. Лемма 2.13.1а показывает необходимость изучения гомологии
комплекса Кошуля Kp(Tk, R). Метод конструкции гомотопии (п. 2.12.7)
неприменим, потому что элементы (Т\, ..., 7^) порождают нетривиаль-
ный идеал; на самом деле комплекс Кошуля в этом случае и не является
ацикличным в одной размерности. {Упражнение. Определите, в какой.)
Поэтому здесь нужен другой подход.
Мы вернемся временно к обозначениям § 2.12: пусть А — некоторое
кольцо, /i, ..., fr — набор его элементов. Прежде всего, имеет место неко-
торая двойственность.
Лемма. Определим А-гомоморфизм
r.Kr-P{f,A)^Kp{f,A)
§2.13. Когомологии проективного пространства
165
формулами:
у(е1{ Л ... Л eir_p){ejx Л ... Л ejp) =
ίθ, если (/) Π (/) ^ 0,
|ε(/ι, ..., ir-p\ /ι,..., /ρ), если (/) Π (/) = 0.
Тогда φ является изоморфизмом комплексов с точностью до знака
дифференциалов.
Доказательство. Достаточно выяснить, как φ коммутирует с диф-
ференциалами. Имеем:
(f(d(eh Л ... Л eir_p)){eh Л ... Л ejp+l) =
4=ι /
= ίθ, если КО П (/)| > 1,
\(-1)*+1+σ//Α, если/, = (/) Π (/),
где
(-1)σ = ε(/ι, ..., /ь ..., ir-p\ /ь ·, /p+i).
С другой стороны:
φ(β/, Л ... Л eir_p)(d{eh Л ... Л еУр+1)) =
= φΚΛ...Λ^ _,)Г£(^
= ίθ, если |(0 Π (/)| >1,
|(-1)/+1+7Л, если//-(/)0(/),
где
(-1)τ = ε(/ι, ..., /г-Р;/ь ...,//, ---^+0-
Сравнение ответов показывает, как φ коммутирует с дифференциалами.
D
Дальше мы воспользуемся леммой 2.12.6, из которой следует, что
/Со(Л, ...,/г) = /Со(/ь .--/r-Oe/Coi/r).
Следующий результат дает основание для вычисления гомологии Ко ин-
дукцией по г.
Для любого Л-модуля Λί и элемента f e А обозначим через /Λί ядро
гомоморфизма Λί —»Λί умножения на /.
166
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
2.13.3. Лемма. Пусть L — некоторый цепной комплекс А-моду^
лей, / ^ 1. Тогда имеет место точная последовательность А-модулей
О —> Hi(L)/f - Hi(L) —+ Hi(L Θ K(f)) —> ////.,(£) — О!
Доказательство. Комплекс /((/) имеет вид
d
О —► Ае\ —► Аео —► 0, de\ = fe0.
Поэтому при / ^ 1
(L®K(f))i = Lie0@Li-iei
d(lie0 + //-ι е\) = № + (-1 )^///-1)00 + dl^\ex.
Отсюда находим коммутативную диаграмму с точными строками
О *■ U > (L Θ K(f))i ► L,--i —^ О
О
■О.
■Lw-*(i®/C(/))M-^iw
Все эти диаграммы объединяются в последовательность комплексов, точ-
ную в размерностях ^ 1:
О —♦ L —> (L ® /С(/)) —♦ 1(-1) —* 0, (2.13.1)
где £(-1)/ = £/-1 (комплекс L, «сдвинутый» на один член вправо). В свою
очередь, она приводит к точной последовательности групп гомологии
... —^#ж(Ц-1)) -±+Hi(L) —*//,(/- ® /((/)) -^///(Ц-1)) -V..
//,-1(/,)
//,(!)
Покажем, что диаграмма
//,+,(1(-1))
ВД
Я,(1)
коммутативна. Это следует из вычислений: если z€ Z(+)(L(-1)), то
d(z <8> ei) = й?2 <g> ei + (-l)'z ® М> = (-l)'z/® ео.
8(класс(г)) = (-1)' класс(/г).
Итак, точна последовательность:
О —> Hi(L)/fHt(L) —»//,(1 ® /С(/)) —>///,_,(/.) —^ 0.
§2.13. Когомологии проективного пространства \§γ
Следствие. Если #/(L) — О при / ^ 1, то #/(L ® /((/)) = О при i ^ 2.
В применении к комплексу Кошуля лемма 2.13.3 и ее следствие дают
следующий результат.
2.13.4. Предложение. Пусть /ь ...,/> € А — регулярная последо-
вательность (см. определение 1.13.2). Тогда #;(/((/)) = 0 при / > 1.
Кроме того, всегда
H0(K(fu...,fr))=A/(fu...,fr)A.
Доказательство немедленно получается индукцией по г. Действи-
тельно, если результат верен для последовательности длины / - 1, след-
ствие 2.13.3 немедленно показывает ацикличность в размерности ^ 2
для последовательности элементов длины /, а точная последовательность
(2.13.1) — ацикличность в размерности 1. Утверждение относительно #о
очевидно из определения. D
Стало быть, если элементы /ь ..., /г образуют регулярную последова-
тельность, то комплекс Кошуля является свободной резольвентой А -мо-
дуля Л/(/ь ..., fr).
Отметим, что в некоторых важных случаях верно и утверждение, об-
ратное к предложению 2.13.4.
2.13.5. Предложение. Пусть А — нётерово локальное кольцо, ρ —
его максимальный идеал и /ь ..., /Γ Ε р. Если Hi(K(f\, ...,/>)) = 0 при
i > 1 (или даже если только Н\ (K(f\, ..., /r)) = 0), то f\, ..., fr — ре-
гулярная последовательность.
Доказательство. При г= 1 предложение с очевидностью верно
(для произвольных А и /i Ε А). Пусть предложение доказано для г — п— 1,
и пусть /ь ..., fn e р, H\(K(f\, ...,/„)) = 0. Применяя лемму 2.13.3 при
f = fnyi=l, получаем точную последовательность
0 — Я,(/С(/ь ..., fn.{))/fH{(K(fu ..., Λ,-ι)) —> Hx(K(fu ..·,/*))—*
—^ ///i(/C(/i /«-ι» —► 0,
из которой вытекают равенства
Hx(K(fu ..., fn-i))/fHi№u ..., Λι-ι)) = 0,
/Я0(/С(/ь...,//.-1)) = 0.
Поскольку H\(K(f\, ..., /rt-i)) в условиях предложения является нётеро-
вым Л-модулем, из первого равенства и леммы Накаямы (лемма 1.12.18)
вытекает, что Hx(K(f\, ...,/„_ ι)) = 0, так что последовательность /ь ...
... , /„_ι регулярна по предположению индукции. Поскольку Ho(K(f\> ...
... , /„_!)) = A/(fu ..., /я-1), из второго равенства вытекает, что }п не
168
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
является делителем нуля в A/(f\, ..., fn-\). Стало быть, последователь-
ность /ь ..., fn регулярна. D
2.13.6. Следствие. Если (/ь ..., /Л) — регулярная последователь-
ность элементов максимального идеала нётерова локального коль-
ца, то последовательность, полученная из нее любой перестанов-
кой, тоже регулярна.
Доказательство. Достаточно заметить, что комплексы Кошуля,
соответствующие последовательностям, отличающимся только переста-
новкой, изоморфны друг другу. D
Теперь мы можем сформулировать основной результат о когомологиях
проективного пространства.
2.13.7. Теорема, а) ΗΡ{ΨΓ~{, Ο (η)) = 0 при рфО, г- 1.
б) И°(¥г-1, 0(/1)) = 0 при п<0 и является свободным А-модулем
ранга
("::;')
при η > 0.
в)Нг-1(¥ГД-\ О(п)) = 0прип^-г+\ и является свободным А-мо-
п- Г
дулем ранга ( _ J при η ^ -г.
Отметим на (р, /г)-плоскости точки, в которых Я/7(Р^~ , 0(η)) φ 0.
Диаграмма, очевидно, центрально-симметрична, причем эта симметрия
(р, п) —> (г - 1 - р, -г — п) сохраняет ранг Л-модулей когомологий
(рис. 2.7). Эта симметрия в более глубокой теории объясняется существо-
ванием теоремы двойственности для когомологий когерентных пучков.
Рис. 2.7
Доказательство. Нужно лишь проследить за гомоморфизмами,
связывающими Нр(¥г^{, 0(п)) с комплексами Кошуля.
§2.14. Теорема С ер pa 159
Утверждение а) немедленно получается из ацикличности комплекса Ко-
шуля Ko(Tk, R) (п. 2.13.4) и двойственности п. 2.13.2. (Учесть, что роль
кольца А здесь играет кольцо R = А[Т\, ..., Гг], а вместо // рассматрива-
ются элементы Г,.)
Несколько более кропотливый подсчет с учетом градуировки и явно-
го вида гомоморфизмов Ck —» Ck+\ (см. п. 2.13.1а) позволяет установить
и утверждения б), в). Мы оставляем этот подсчет читателю. Π
§2.14. Теорема Серра
2.14.1. Теорема (Серр). Пусть R — градуированное кольцо: R —
= 0 /?я, где Ro = A есть нётерово кольцо и R порождено нётеровым
п=0
А-модулем R\. Пусть X = Proj R и 7—когерентный пучок на X. Тогда
справедливы следующие три утверждения:
а) Hq(X, Τ) = 0, если q + 1 больше числа образующих Α-модуля R\.
б) Hq(X, T) при любом q есть нётеров А-модуль.
в) Hq(X, 3{ri)) = О при q ^ 1 и η ^ по(5), где щ(Э) — число, зависящее
от 3\
Отметим, что эта теорема позволяет ввести важные инварианты схе-
мы X. Например, если А — поле и У—структурный пучок, то пространства
когомологий Hq(X, Οχ) задаются своими размерностями, которые опреде-
ляются по X.
Доказательство. Прежде всего, проведем редукцию теоремы Сер-
ра к случаю, когда X = ΨΓΑ, где г + 1 —мощность некоторой системы обра-
зующих Л-модуля R\. Рассмотрим кольцо А[Т\, ..., 7V+i], проективным
спектром которого является PJ, и построим однородный эпиморфизм гра-
дуированных колец Л [Γι, ..., 7V+i] на /?, переводящий 7} в /-ю образу-
ющую из R\. Этот эпиморфизм индуцирует замкнутое вложение спектров
/: Proj/?—>Р^, которое, в свою очередь, позволяет продолжить пучок 7
на Proj /?, заданный в условии теоремы, до пучка /*(iF) на Р£. Пучок /*(5)
определяется тем, что
Γ(ί/, /*(9)) = Γ(ί/ Π/'(JQ, 30 для всех открытых множеств U с Рд.
Следующие свойства этой операции продолжения пучков довольно оче-
видны.
Во-первых, Hq(X, 3) = ЩР4, /*(9)) при любом ¢, в чем легко убедить-
ся на уровне комплексов Чеха, которые в данном случае просто изоморф-
ны как градуированные модули с дифференциалами. (В качестве откры-
тых множеств на Р( возьмем, как всегда, D+(7/), а в качестве открытых
170
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
множеств на Proj R возьмем, чтобы установить упомянутый изоморфизм
комплексов, множества /)+(//), где U — образующие из /?ь соответствую-
щие 7/.) Можно также воспользоваться тем, что Э7'—►/♦(SF) — вполне стро-
гий функтор.
Во-вторых, имеет место равенство /*(Э(п)) = j*(3)(n), где J(n) =
= $ ® Όχ(η). Теперь утверждение а) теоремы Серра немедленно следует
из альтернированности коцепей Чеха и совпадения когомологий Чеха для
покрытия (D+(Ti)) с обычными когомологиями.
Для доказательства утверждений б) и в) теоремы Серра воспользуемся
следующим техническим результатом.
2.14.1а. Лемма. Для всякого когерентного пучка 7 на ¥ГА суще-
ствует такое целое т, что при некотором натуральном ρ имеется
точная последовательность пучков
olr—♦уи—>о.
Если принять эту лемму, нужные нам факты устанавливаются простой
индукцией вниз по q.
Определим когерентный пучок £ из точной последовательности
0 —> ε —► θ£Γ —-> У(/п) —-> 0.
А
Домножим тензорно эту последовательность на О (я), где η е Ζ:
0 —♦ £(/ι) —-> Of г(л) —► У(/л + я) —> 0.
Это дает точную последовательность когомологий:
... —► Я^(РЛГ, 0(л)) —> НЦ¥^ 7{т + /г)) —> #«+I (Рлг, £(/г)) —>...
При q — г + 1, как показывает утверждение а), свойства б) и в) три-
виально выполнены. Предположение индукции: пусть утверждения б) и в)
теоремы Серра верны для когомологий всех когерентных пучков в размер-
ности q + 1.
Тогда в точной последовательности когомологий, выписанной выше,
Л-модуль //^+1 (PJ, £(/г)) нётеров и равен нулю при η ^ /го по предпо-
ложению индукции, а для модуля Hq(¥rA, О (η)) то же верно в силу теоре-
мы 2.13.7. Отсюда следует требуемое для Hq(V^ 7(m + n)). D
Остается доказать лемму 2.14.1а.
Доказательство леммы 2.14.1а. Можно считать, что J — ко-
герентный пучок на PJ. В стандартном покрытии Ό\ :=£+(Γ/), отождеств-
ляя J\ui с У(т)|(/., получаем, что пучок 7{т) склеен из 3\о+(Т{) с помощью
коцикла:
(Т\т ~
γ J · (^υ^ηυι ^ (^\и})\и}пиг
§2.14. Теорема Серра
171
Каждое сечение s G Г(Р£, 7{т)) задается тогда своими «компонента-
ми» s G Г((//, ?): имеется вложение
Г(Р;, $(т)) <-> Π Γ(ίΛ·, 3):s~(...Si...),
где 5/ - \jr J = sj.
Для конструкции эпиморфизма Ор —> iF(m) достаточно установить, что
можно построить конечное число глобальных сечений пучка У(т), огра-
ничения которых на Ui порождают Γ(ί/,·, Ор/-)-модуль Γ(ί/,·, 5).
С этой целью достаточно уметь для всякого сечения s € Γ(ί//, У) и всех
достаточно больших т установить, что 5 является компонентой некоторо-
го сечения пучка У(т), т.е. «продолжать s». Продолжив таким образом
(конечное число) образующих всех модулей Γ(ί/,·, 3) и выбрав достаточно
большое общее т, получим требуемое.
Продолжение одного сечения So € Γ(ί/ο» 3Γ). Будучи умножено на
(у) (для некоторого /?), сечение so\uQnUi продолжается на ί/(·:
'7OV
5о(~) =s;|i/0ni/P где^'бВД, У)
(р — общее для всех Ό и а кроме этого — сколь угодно большое).
На ί/ο Π i/j Π ί/7· имеем:
<ϋ
^''^.тГ^""""'""1'
Следовательно, для достаточно большого q (тоже общего для всех i) имеем
'ТЛР Λ/Μ*
Определим
Очевидно, что
So = So-
Кроме того, s'q «входит компонентой» в сечение (... s" ...) пучка 7(р + q)·
Проверка (см. (2.14.1)):
172
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
2.14.2. Комментарии к теореме Серра. 1) Роль когерентности пуч-
ка ίΓ: иначе б) неверно. Нетривиальность утверждения б): модули Cq в ком-
плексе Чеха не являются модулями конечного типа, нётеровость появля-
ется лишь после перехода к когомологиям.
2) Характер доказательства: имеется «достаточно много» пучков Орг(я)
с известными когомологиями; все сводится к ним с помощью точной по-
следовательности когомологий. Лемма 2.14.1а объясняет, что значит «до-
статочно много».
Сравните с алгебраическим фактом: каждый модуль — образ свободно-
го; но здесь ситуация глобальная и существенно наличие «подкручивания»
с помощью Ор/-(1).
3) Каково щ(3), начиная с которого верно в)? Вопрос трудный; но для
пучков идеалов есть (грубый) ответ: если известен многочлен Гильберта Λ,
то По{7) можно взять в виде некоторого универсального многочлена от
коэффициентов многочлена h. Вообще же числа по(Э) зависят от У; на-
пример, если 5F = Opr(-jV), то Hr(YrA, 7(п)) = 0 лишь при п^ N - г.
§ 2.15. Пучки на Proj R и градуированные модули
2.15.1. Основным фактом теории квазикогерентных пучков над аф-
финными схемами X = Spec А является утверждение о том, что функтор
7 —► Г(Х, £Г) определяет эквивалентность категории пучков с категорией
Л-модулей (см. § 2.10).
Цель этого параграфа — показать существование аналогичного соот-
ветствия между квазикогерентными пучками на Proj R и градуированными
/?-модулями. Свойства его, однако, не столь просты, как в аффинном слу-
чае; в частности, градуированные модули, отличающиеся лишь в конечном
числе компонент, приводят к изоморфным пучкам. Более точное утвержде-
ние об эквивалентности категорий см. в п. 2.15.6.
2.15.2. Пусть X = Proj /?, где кольцо R порождено множеством R\ над
/?οί &— квазикогерентный пучок на X. Положим
оо
Γ·(*,3):=ΘΓ(* ЗХя)).
/1=0
Если 7 = Οχ, то на Г*(Х, О*) имеется естественная структура градуи-
рованного кольца с умножением, которое индуцировано гомоморфизмами
Ох(п)®Ох(т)-+Ох(т + п).
Более общо, умножения Οχ(η) ® $(т) —► 7х(т + п) определяют на
Г*(Я, 3) структуру градуированного Г*(Х, 0*)-модуля.
Напомним теперь, что для каждого η определены гомоморфизмы групп
aLn:Rn-+T(X,Gx(n))
§2.15. Пучки на Proj R и градуированные модули 173
(см. п. 2.11.6). Из определения ясно, что они совместимы с умножением
и дают, тем самым, однородный гомоморфизм градуированных колец
0L.R-+T*(X, Οχ).
Поэтому на Г*(Х, 7) есть каноническая структура градуирован-
ного R-модуля.
2.15.3. Наоборот, пусть Μ — некоторый градуированный /^-модуль.
Построим по нему квазикогерентный пучок Μ на X, полагая для любого
/€/?ι
Гф+(/),Я) = %)
и определяя гомоморфизмы ограничения, как в § 2.6 для случая Μ = R.
Конструкция гомоморфизма α: Μ —» Г* (^, Λί) легко переносится на
этот случай; он определяется покомпонентно:
*п: Мп -* Г*(Х, М(п)), QLn(m)\D+{f) = m/fn e Л* (/).
Проверку естественных совместимостей мы оставляем читателю.
2.15.4. Предложение. Всякий квазикогерентный пучок 7 на X
изоморфен пучку вида М, где Μ = Г*^, 3).
Доказательство. Построим, прежде всего, гомоморфизм
Достаточно построить его для сечений соответствующих пучков над мно-
жествами D+(/). Имеем
T(D+(f),M) = Mm
Положим
§Г(1,ЭД) ={£|/пеЩ,У(л))}.
л=о Uf) (1 '
β(ρ) = <x(m)\D+U) · «(/ΓΊ0+(/) е Г(0+(/)).
Мы снова оставляем читателю проверку корректности определения.
Остается лишь установить, что β — изоморфизм. Тем же способом, что
и для структурного пучка, можно доказать, что Кег <хп = О при достаточно
больших п. Отсюда следует, что β — мономорфизм: действительно,
а(т)а(/)-я = 0 =» a(fm) = 0, е^е0 => m/fn = 0.
Эпиморфность немедленно следует из леммы 2.14.1а: в самом деле, «про-
должить» сечение s Ε Г (£>+(/), 7) до сечения 3(п) над этим множеством
и означает представить s в виде образа m/fn. Π
174
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Более глубокий характер имеет следующий результат, аналогичный ре-
зультату п. 2.15.2—2.15.4, но относящийся к гомоморфизму а.
2.15.5. Теорема. Пусть кольцо R удовлетворяет условиям тео-
ремы Серра 2.14.1, Μ — градуированный нётеров R-модуль, $ = М.
Тогда пучок 7 когерентен, и отображение
*п:Мп->Г(Х,?(п))
является изоморфизмом для достаточно больших п.
Доказательство. Прежде всего, как в теореме Серра, легко ви-
деть, что достаточно провести доказательство для X = PJ". Будем это пред-
полагать в дальнейшем.
Существует точная последовательность вида
L -^ Ζ/ —-+ Μ —♦ О,
где L, V — свободные градуированные /?-модули, т. е. прямые суммы
/?-модулей R(n).
Это дает точную последовательность пучков
Цп) Μ L'(n) —* М(п) —♦ О,
из которой сразу следует когерентность пучка if и по которой строится
точная последовательность когомологии в нижней строке коммутативной
диаграммы:
Г(Х, Цп)) —> Г(Х, L'(n)) —+ Г(Х, 7{п)) Hl{X, f(L){n)).
В силу теоремы Серра Hl(X, f(L)(n)) = О при η ^ щ, а так как X = Рд,
лемма 2.11.9 показывает, что первые две вертикальные стрелки являются
изоморфизмами. Поэтому и а: Мп —>Г(Х, 7(п)) — изоморфизм, что дока-
зывает теорему. D
2.15.6. Мы теперь сформулируем без доказательства основную теоре-
му о соответствии 7 —► Г*(X, Э). Большая ее часть уже проверена, никаких
новых соображений для проверки остальных утверждений не требуется.
Пусть R — градуированное кольцо, удовлетворяющее условиям теоре-
мы Серра. Обозначим через GM# категорию, которая определяется сле-
дующим образом:
объекты в GM# — градуированные нётеровы /?-модули;
§2.16. Приложения к теории многочлена Гильберта
175
морфизмы в GM#: пусть Μ = φ Λί/, Ν = 0 Л^ —два /?-модуля, тогда
Hom(Af, УУ) = lim Horn/? f 0 Λί,, 0 Μ J,
где под знаком lim стоит группа однородных /^-гомоморфизмов градуиро-
ванных /^-модулей.
Неформально говоря, морфизм в категории GM# представлен гомомор-
физмом модулей Μ —► /V, который определен лишь начиная с компонент
достаточно большой степени; и два гомоморфизма, совпадающие в боль-
ших степенях, определяют один и тот же морфизм.
Модули Λί, Λ/, изоморфные как объекты категории GM#, называются
TN-изоморфными.
Теорема. Функтор 7 -* Г*(Х, 7) определяет эквивалентность
категории когерентных пучков на Х = Proj R с категорией GM#; об-
ратным к нему является функтор
§2.16. Приложения к теории многочлена Гильберта
2.16.1. Результаты последних параграфов позволяют дать «геомет-
рическое» определение многочлена Гильберта и доказать инвариантность
ряда числовых характеристик, введенных в § 2.7.
В дальнейшем R означает кольцо, удовлетворяющее условию теоре-
мы Серра, для которого, кроме того, /?о = k — поле (это нужно, чтобы
считать размерности однородных компонент; легко обобщить все после-
дующие результаты на случай, когда /?о — артиново кольцо, рассматривая
длины модулей вместо размерностей линейных пространств).
2.16.2. Теорема. Пусть X = Proj /?, Μ — нётеров R-модуль, 9 = Μ,
/*м(я) — многочлен Гильберта модуля Λί. Тогда для всех neZ имеем
оо
hM(n) = £(-1)' dim //''(Χ, Ш) = х(У(л)).
Число χ(5) называется эйлеровой характеристикой пучка 7.
Доказательство. Из теоремы Серра и теоремы 2.15.4 следует, что
ΜΌ = dim Мп = dim Н°(Х, 7{п)) = χ(7(η)) при η > п0.
Поэтому требуемый результат получится, если мы установим, что χ(7(η))
представляется в виде многочлена от η при всех п. Идея та же, что и в до-
казательстве существования многочлена Гильберта. Основой служит сле-
дующая лемма.
176
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Лемма. Пусть 0 —> У\ —> iF —> 9¾ —> О — точная последователь-
ность когерентных пучков на X. Тогда
х(3) = х№) + х№).
Доказательство. Пусть г = dimR\, тогда Н1{Х, 7) = О при / ^ г;
из точности последовательности когомологий
О —> tf°(*, Ji) —+ Я°№ 7) —>... —+ #'-*(*, 5) —> Я'"1^, У2) —> О
следует, что альтернированная сумма размерностей этих пространств ко-
гомологий равна нулю. Это доказывает требуемое. D
Следствие. Для любой точной последовательности
0-^Эч)—+...—*7k—>0
когерентных пучков на X имеем:
k
5>i)'x№) = o.
Теперь мы докажем индукцией по г, что χ(7(η)) есть многочлен. Стан-
дартная редукция позволяет считать, что X = Р{~* = Proj k[T\, ..., TV].
Пусть Μ -Α Λί(1) — гомоморфизм умножения на TV (он сохраняет гра-
дуировку: M(\)i = Μί+\). Если /С — ядро и С — коядро указанного гомо-
морфизма, то точна последовательность
О —> К —♦ Μ -^ Λί (1) —-> С —> 0.
Отсюда находим точную последовательность пучков
и точную последовательность скрученных пучков
0 —+ R(n) —> У(/г) —> У(л + 1) —> С(п) —> 0.
Согласно следствию леммы 2.16.2
х№)) - х(У(я + 1)) = χ(Κ(η)) - Х(С(п)).
Пучки К и С соответствуют k[T\, ..., TV-1]-модулям, т.е. «сосредоточе-
ны» на Frk~l, что позволяет провести индуктивный переход: при г = 0 утвер-
ждение тривиально. D
§2.16. Приложения к теории многочлена Гильберта
[77
2.16.3. Комментарий. Теорема 2.16.2 показывает, что многочлен
Гильберта инвариантно определяется тройкой геометрических объектов
(X, £, 3), где X — схема Proj /?, £ = 0^(1), 3— когерентный пучок на X.
Сейчас мы покажем, что степень этого многочлена и его свободный член
зависят в действительности лишь от (X, 7), но не от £.
В частности, размерность dimvV и характеристика χ(Χ), введенные
в § 2.7, не зависят от представления пространства X в виде Proj R.
Утверждение относительно свободного члена очевидно:
оо
МО) = χ(7) = £(-l)f' dim Η1 (Χ, 7).
/=ο
2.16.4. Теорема. В прежних обозначениях положим
d\m3 = aegX(3(n)).
Тогда dim 3 не зависит от выбора обратимого пучка £.
Доказательство. В формулировке предполагается, что пучок £
очень обилен, т. е. имеет вид 0(1) для некоторого представления X в виде
Proj R. У нас нет средств для инвариантной характеризации таких пучков,
кроме теоремы Серра; ею мы и воспользуемся.
Пусть £ι и £2 — два очень обильных пучка на X. Для любого п^щ
имеем
ht(n) = dim Н°(Х, 7®£?),
где /=1,2. Пучок Ж = £j~l (g> £^ при достаточно большом N порожден
своими сечениями, как следует из леммы 2.14.1а.
В силу равенства (3 ® £") ®Жп = 3 ® £^ имеет место изоморфизм
групп глобальных сечений
Н°(Х, 3 ® £? Θ Жп) ~ Я°(Х, 3 Θ £f).
Каноническое отображение
Н°(Х, 3® £?) ® 5 -► Я°(Х, J® £? 0 Мя)
инъективно для ненулевого сечения s € Н°(Х, Жп), потому что пучок Жп
локально свободен. Но d\mH°(X, Ж) ^ 1, а потому и dimW0^, Жп) ^ 1.
Отсюда получается неравенство
dim Я0(X, 3 ® £?) ^ dim tf°(X, У ® £f),
или
/*ι (я) < Ιΐ2(ηΝ) для любых /ι ^ щ.
По симметрии, /г2(я) ^ h\(nN'), так что deg/ii = deg/^. Теорема дока-
зана. □
178
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Мы дадим сейчас другое описание размерности, часто оказывающееся
полезным. Напомним, что / G R называется существенным делителем
нуля в градуированном /?-модуле М, если ядро гомоморфизма умножения
на имеет бесконечно много ненулевых однородных компонент,
т.е. нетривиально в категории GM#.
2.16.5. Определение. Пусть Μ — градуированный /?-модуль. Конеч-
ный набор однородных и необратимых элементов {/о, ..., fd} кольца /?,
для которого // не является существенным делителем нуля в Λί/(/ο, · · > //-ι)
при всех / > 0, назовем М-последовательностью.
Число d называется длиной М-последовательности {/о, ..., fd}- Дан-
ная Λί-последовательность называется максимальной, если к ней нельзя
приписать ни одного элемента из R так, чтобы вновь получилась Λί-после-
довательность.
Символом d(M) мы будем обозначать длину самой короткой макси-
мальной М-последовательности.
2.16.6. Теорема. d(M) = dim M.
Для доказательства потребуется следующая лемма.
2.16.7. Лемма. Если dimAf ^ 0, то существует такой элемент
f e /?, что {/} есть М-последовательность.
Доказательство леммы будет дано позже, а сейчас докажем на ее ос-
нове теорему.
2.16.8. Доказательство теоремы 2.16.6. Проведем индукцию по
d(M), начиная со случая d(M) — — 1 (в этом случае Λί-последовательно-
стей нет).
При d(M) = -1 из леммы 2.16.7 немедленно следует, что dim M = -1.
Пусть теорема доказана для всех Μ с d(M) ^ d - 1, и пусть d(M) =
= d. Пусть {/о, ..., fd} — самая короткая максимальная М-последо-
вательность. Тогда d(M/foM) = d - 1 и по предположению индукции
dim (M/foM) = d - 1. Рассмотрим точную последовательность
О _+ м —+ м -^-> M(k) —> Λί//οΑί —* О,
где £ = deg/o и Μ -^ M(k) есть гомоморфизм умножения на /о, сохраня-
ющий градуировку. Поскольку /о £ /? не является существенным делителем
нуля, имеем Nn = О при О яо и dim M(&)„ - dim Mn = d\m(M/foM)n. От-
сюда dim Μ = (d - 1) + 1 = d, что и доказывает требуемое. D
2.16.9. Доказательство леммы 2.16.7. Мы должны найти в R эле-
мент, не являющийся существенным делителем нуля в М.
§2.16. Приложения к теории многочлена Гильберта 179
Покажем прежде всего, что существует такая последовательность гра-
дуированных подмодулей Λί/, что
О = М0 С Мх С ... С Мг = Μ, Λί//Λί/+1 ~ (R/Pi)nn
где pi — простые градуированные идеалы.
Так как Μ — нётеров модуль, достаточно найти в нем нетривиальный
градуированный подмодуль М\ С М, для которого М\ ~ {R/p)n, где ρ —
простой градуированный идеал кольца.
Пусть 5 — множество тех градуированных идеалов рт кольца R, для
каждого из которых существует однородный элемент т Ε Λί, аннулято-
ром которого является в точности рт. Так как R нётерово, в S существует
максимальный элемент. Обозначим этот максимальный элемент из S че-
рез р. Очевидно, Rm ~ {R/p)n, где ρ = Ann m, n — degm. Докажем, что
ρ — простой идеал. Действительно, пусть ab ер, а ф р. Тогда включение
Ann(frm) Э (я, Ann т) строгое в силу максимальности, так что Ът — О
и b e Ann т. Простота ρ доказана.
(Отметим, что то же рассуждение без учета градуировки доказывает
аналогичный результат для неградуированных нётеровых модулей.)
Таким образом, нужная цепочка подмодулей построена. Теперь вос-
пользуемся ею, чтобы найти в R несущественный делитель нуля в Λί. Пусть
q — максимальный градуированный простой идеал. Если q ¢. |Jp, то в ка-
честве искомого элемента из кольца R можно взять любой элемент из q,
не принадлежащий (Jp,. (Принадлежность к q обеспечивает его необра-
тимость.) Если же для любого максимального идеала q имеет место вклю-
чение q С (Jp/, то q С р/ для некоторого / в силу простоты идеалов р/,
так что идеалы р/ исчерпывают множество всех максимальных идеалов.
Поскольку их конечное число, то dim R — 0.
В таком случае R « Т(Х, Οχ)[Τ] — кольцо многочленов от одной пере-
менной Τ (««» означает изоморфизм с точностью до конечного чис-
ла однородных компонент), так как dim R = const при η ^ αζο. Поэтому
умножение на Τ не имеет ядра во всех достаточно больших размерностях,
и Τ является нужным несущественным делителем нуля.
Лемма и теорема полностью доказаны. D
В ходе доказательства мы получили ряд полезных утверждений, кото-
рые выделим для ссылок.
2.16.10. Следствие. 1) Множество существенных делителей ну-
ля относительно модуля Μ имеет вид |Jp/, где (р/)/€/ — конечное
семейство простых идеалов кольца R (см. теорему 1.7.14).
2) Пусть 7— когерентный пучок наХ — Proj R. Тогда существует
такая последовательность когерентных подпучков
0 = % С 3Ί С 72 С... С 7,
180
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
что $i+\/$i ~ {Ox/Ji)(rii), где Jt — когерентные пучки простых идеа-
лов на X.
2.16.11. Теорема. НЦХ, 7) = 0 при q > dim 7.
Доказательство. Допустим, что теорема установлена для не-
которых пучков 7' и 7", входящих в точную последовательность
0 —>7' —>7 —>7" —► 0.
Тогда
хСГ(«)) = ХСГ(/г)) + Х(Э»),
и поэтому dim 7 = max(dim 7', dim 7"). Из точной последовательности ко-
гомологий без труда следует справедливость теоремы для 7: достаточно
рассмотреть члены
... —> НЦХ, 7') —+ НЦХ, 7) —► НЦХ, 7") —+ 0,
где q > dim 7.
Положим 7 = Ох/${п), где д С О* — когерентный пучок идеалов. Пу-
чок д определяет замкнутую подсхему Fc^i, где О γ = Οχ/д, которую
можно рассматривать как проективный спектр градуированного кольца
оо
0 Г(Х, Ох/3(п)).
В силу сделанного замечания и п. 2 следствия 2.16.10 достаточно про-
верить справедливость теоремы для пучков вида Ό γ (ή) = 7. Положим J =
= lmT*(X,d)cR.
Пусть d = dim Υ. По теореме 2.16.6 существует максимальная R/J-no-
следовательность /о,..., Дь где // Ε R, для которой факторкольцо /?/(/о,.. ·
...,fd,J) конечномерно над k. Поэтому, полагая Д = Д (mod У), имеем
(R/J)n С (/о, ..., ]d) при η > по в кольце /?//. Геометрически это означа-
d
ет, что У = (J /)+(Д). Вычисление когомологий по Чеху немедленно дает
/=о
утверждение теоремы. D
2.16.12. Замечание. Из доказательства теоремы видно, что dimiF<
^ dim X для любого 7, поэтому, в частности, Hq(X, 7) = 0 при q > dim X.
§2.17. Группа Гротендика: первые сведения
2.17.1. Классическая «задача Римана—Роха» состоит в вычислении
d\mH°(X, 7), где X — проективная схема над полем, а 7 — когерентный
пучок на ней. Основная качественная информация об этой функции дает-
ся утверждением о том, что dim H°(X, 7{п)) является многочленом χ при
§2.17. Группа Гротендика: первые сведения
181
п ^ по(Т). Поэтому практически задача Римана—Роха обычно делится на
два вопроса, требующие довольно разных подходов:
а) Описать коэффициенты многочлена Гильберта для 7 в «геометриче-
ских» терминах.
б) Найти «хорошую» оценку для числа щ(7).
Примером решения первого вопроса может служить описание степени
проективной схемы ХсРгс помощью теоремы Безу (п. 2.8.4): эта степень
равна числу точек пересечения X с «достаточно общим» линейным под-
многообразием Ψ[ дополнительной размерности. Общий ответ дает теорема
Римана—Роха—Хирцебруха—Гротендика...
Второго вопроса мы в этих лекциях касаться не будем и посвятим даль-
нейшее изложение изучению характеристики χ^.
Основное ее свойство отражено в лемме 2.16.2. Аксиоматизируя это
свойство, введем следующее определение. Пусть X — некоторая схема,
Coh^ — категория когерентных пучков на ней.
2.17.2. Определение. Пусть G — некоторая абелева группа; отобра-
жение ψ: Coh^ —> G называется аддитивной функцией на Coh* (или
любой абелевой категории) со значениями в G, если для всякой точной
последовательности
О—>2Ί —+?—>?2-^0
пучков из Coh* имеем
ψ(?)=ψ№) + ψ№
Для всякой аддитивной функции справедливы следующие свойства.
2.17.3. Лемма. Пусть ψ — аддитивная функция на Coh^, a J ι —
объекты категории Coh*.
а) Для любой точной последовательности
О —+ ?!—>... —+ 7К —> О
имеем
к
5>i)W) = o.
/=1
б) Пусть О = 3Ό С 7\ с ... С 7К = У; тогда
Доказательство мы оставляем читателю в качестве легкого упражнения.
Нетрудно убедиться, что даже для простейших схем X (например, X =
= Spec К) существует много различных аддитивных функций на Coh*. Все
182
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
их множество, однако, в принципе легко обозревается из-за существова-
ния «универсальной» аддитивной функции k: Cob* —»К(Х) со значениями
в универсальной группе К(Х).
Обозначим через Z[Coh*] свободную абелеву группу, порожденную
символами [ίΓ], соответствующими классам изоморфных когерентных пуч-
ков на X. Пусть / С Z[Cohx] — подгруппа, порожденная элементами
m -№]-№]
по одному для каждой точной последовательности
О—+3^-+?—+72—+0.
2.17.4. Определение. Группа К{Х) = Z[Cohx]/J называется группой
Гротендика (категории СоЬ* или схемы X).
2.17.5. Предложение. Функция
k: Co\\x->K{X), (2.17.1)
для которой k(3) = [Τ] (mod /), аддитивна; образ fe(Coh^) порожда-
ет группу К(Х), и для любой аддитивной функции ψ: Cohx —> G су-
ществует однозначно определенный гомоморфизм φ: К(Х) —» G, для
которого ψ = φ о k.
Доказательство тривиально.
С точки зрения определения группы К(Х) задача Римана—Роха состоит
в описании функции
χ:Κ(Χ)->Ζ.
Преимущество этой переформулировки состоит в том, что, как мы по-
степенно убедимся, группа К(Х) снабжена богатым набором дополнитель-
ных структур. Иногда ее можно вычислить полностью (например, для X =
= Ψ[) и затем описать χ, пользуясь полученной информацией. В общем
случае известных сведений о К(Х) оказывается достаточно для геометри-
ческого истолкования χ(5).
Лемма 2.17.3 дает некоторый подход к вычислению К(Х), позволяя ино-
гда указать меньшую систему образующих, чем элементы ЦТ) для всех
когерентных пучков Э\ Проиллюстрируем это на примерах.
2.17.6. Примеры. 1) Пусть Л—любое нётерово кольцо, Х= Spec Л.
В п. 2.16.9 было установлено, что любой нётеров Л-модуль имеет ком-
позиционный ряд с факторами, изоморфными Л/р, где ρ С Л — простой
идеал. Поэтому образующими группы К(Х) служат элементы £(Л/р), гДе
k — функция из формулы (2.17.1). Вопрос об описании всех соотношений
несколько сложнее. Ограничимся случаем, когда Л — артиново кольцо.
§2.17. Группа Гротендика: первые сведения
183
В этом случае теорему Жордана—Гёльдера можно интерпретировать
как вычисление К(Х): отображение
j:K(X)-Z[X],
еде ЩХ] — свободная абелева группа, порожденная точками схе-
мы X, и
j(k(5)) = ^(\ength0?x)x
хех
является изоморфизмом групп.
2) Пусть Л — кольцо главных идеалов, X = Spec Л. Тогда всякий нёте-
ров Л-модуль Μ имеет «свободную резольвенту» длины 1:
О—>Ar—+AS—+M—>0.
Отсюда немедленно следует, что группа К[Х] циклична и порождена клас-
сом кольца А. Этот класс имеет бесконечный порядок, в чем легко убе-
диться, переходя к линейным пространствам М® К над полем частных К
кольца Л; поэтому А
K(X)^Z.
Более общо, то же верно для любой аффинной схемы Spec Л, если
всякий нётеров Α-модуль имеет свободную резольвенту конечной
длины.
Это условие еще слишком сильно, чтобы привести к интересным поня-
тиям; однако небольшое ослабление его определяет очень важный класс
схем.
2.17.7. Определение. Пусть X — нётерова схема. Допустим, что для
любой точки χ € X и любого когерентного пучка 7 существует такая откры-
тая окрестность U Э х, что пучок 7\и имеет в этой окрестности конечную
резольвенту, состоящую из «свободных пучков» 0^|^. Тогда схема X на-
зывается гладкой.
Мы докажем в следующем параграфе гладкость двух классов схем:
проективных пространств над полями и спектров локальных колец, мак-
симальные идеалы которых порождены регулярной последовательностью
элементов.
Гладкость проективных пространств немедленно вытекает из следую-
щей классической теоремы Гильберта о сизигиях.
2.17.8. Теорема. Пусть R = К[То, .. ·, Тг]. Любой градуированный
R-модуль имеет градуированную проективную свободную резоль-
венту длины ^ г + 1.
184
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Доказательство будет дано в конце главы; сейчас, пользуясь этой тео-
ремой, вычислим группу /С(Р^).
2.17.9. Теорема. Отображение χ1 ι-> £(0(/)), где k — функция из
формулы (2.17.1), определяет изоморфизм аддитивных групп
Z[x]/((x - 1)ж) -> КГК).
В частности, эта группа свободна ранга г+ 1.
Доказательство. Переводя утверждение теоремы 2.17.8 на язык
пучков с помощью теоремы 2.15.6, находим, что всякий когерентный пучок
У на Р^ обладает резольвентой, члены которой являются прямыми сумма-
ми пучков 0(/2), где η Ε Ζ. Лемма 2.17.3 показывает, что элементы k(0(n))
служат образующими группы /С(Р^).
Эти образующие заведомо не являются независимыми. По крайней
мере одно соотношение получается, если, воспользовавшись предложе-
нием 2.13.4, написать комплекс Кошуля Ko(Tq, ..., T%; R)— резольвенту
/?-модуля К = R/{T0, ..., Tn):
где /?(*' )=f\(Re0 + ... + Rer) = /С/(Г, R).
Мы можем рассматривать эту резольвенту как точную последовательность
градуированных модулей, если считать е1{ Λ ... Λ e-lk однородными элемен-
тами степени k. Применяя к ней функтор «перехода к пучкам», получим
точную последовательность
О —>... —♦ 0(-/)(^1 )—►...—> 0(-2)(^1) —- 0(-1/+1 —> 0Рг —-> О
(учесть 77У-изоморфизм /?-модуля К нулю, т. е. что К = 0). Эту точную по-
следовательность можно тензорно умножить на О (я) для любого η Ε Ζ, не
нарушая точности. Поэтому в /С(Р^) имеют место следующие соотношения:
£(^)^(0(/1-0) = 0.
Очевидно, отсюда следует, что в ядро гомоморфизма аддитивных групп
Ζ[χ, χ"1 ]->ОД; x'V+£(0(/)) при/eZ
попадает идеал, порожденный многочленом (х-1 - 1)г_и, или, что то же,
многочленом (х- 1)г+1.
Так как мы уже установили, что этот гомоморфизм эпиморфен, для
завершения доказательства теоремы достаточно проверить, что элементы
&(0), £(0(1)), ..., k(0(r)) линейно независимы над Ζ.
§2.17. Группа Гротендика: первые сведения
185
Функции χ„(3Γ) = χ{$(η)) при любом η € Ζ, очевидно, аддитивны на Spr.
Поэтому если бы существовала нетривиальная линейная зависимость
г
Σ а/*(<Э(0) = 0, где щ € Z,
из нее следовало бы, что
έ«'Χ-(Ο(0) = έαί(Β + ' + Γ)=°·
/=0 /=0
что возможно, лишь если щ = О при всех i, потому что, как показывает
легкая проверка (например, индукцией по г), многочлены ( 1 от η
линейно независимы при / = 0, ..., г. D
2.17.10. В формулировке теоремы 2.17.9 группа /С(Р^) оказалась
снабженной структурой кольца. Умножение имеет некоторый инвариант-
ный смысл: действительно, легко видеть, что
k(3)k(0Fr(i)) = к(Щ) = *(У® Орг(О),
так что оно, по крайней мере иногда, соответствует тензорному умножению
пучков. Все же заведомо есть примеры, когда k(3)k(S) φ k(3 '® S), так что
общее описание умножения не может быть столь тривиально. Этот вопрос
подробно изучается во второй части курса [18].
Пока же, пользуясь умножением на /С(Р^), дадим некоторую (довольно
наивную) форму теоремы Римана—Роха для проективного пространства.
Идея состоит в том, чтобы выбрать какую-нибудь одну простую адди-
тивную функцию на /С(Р£), а затем с помощью умножения «размножить»
ее.
Всякий элемент из /С(Р^) в силу теоремы 2.17.9 однозначно представ-
г
ляется в виде многочлена ]£ а{(1 - I)1', где / = £(0(1)). Введем аддитивную
функцию xr: K(FrK) —► Ζ формулой
Хг(][>(/-1)'
2.17.11. Лемма. Для всякой аддитивной функции
ψ:/((Ρ£)^Ζ
существует единственный элемент /(ψ) Ε /С(Р^), для которого
Ф(^) = хг(/(ФШ
(5ля любого у G /С(Р^).
= аг.
186
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Доказательство. Функция ψ является линейной комбинацией ко-
г
эффициентов (it в представлении ]Г а/(/ —IV, рассматриваемых как функ-
ции на /С(Р^), а для них имеем:
Щ(у) = хг((1-1у-1у). О
2.17.12. Теорема. Пусть χ: /C(P^) —► Ζ — эйлерова характеристи-
ка. Тогда
Х(у) = xr(lry),
т. е. /(χ) = Г.
Доказательство. Достаточно проверить совпадение левой и пра-
вой частей на элементах I1, где / = 0, 1, ..., г, составляющих Z-базис
группы K(frK). Имеем:
Х(/') = X(0(0) = dimH°(¥rK, 0(/)) = (г t'"),
M/r+i') = xr((i + (/-i))r+,') = (r|/)· □
2.17.13. Замечание. Использование κΓ в качестве простейшей адди-
тивной функции пока ничем не мотивировано. Кроме того, очевидно, что
пользоваться теоремой 2.17.12 не так просто: чтобы вычислить χ(3) с ее
помощью, нужно сначала узнать класс пучка 7 в группе /С(Р£). Единствен-
ное известное нам пока средство — написать резольвенту пучка У, а это,
во-первых, «негеометрично», а во-вторых, делает излишней нашу форму-
лу: зная резольвенту, легко вычислить χ(3) просто в силу аддитивности.
Все же формула 2.17.12 очень изящна; я думаю, что это серьезный
аргумент в ее пользу.
§2.18. Резольвенты и гладкость
Покажем прежде всего, что гладкость схемы X является свойством
совокупности ее локальных колец О*.
2.18.1. Теорема. Схема X является гладкой, если и только если
Spec О* — гладкая схема для всех точек х Ε X.
Доказательство. Пусть сначала X гладкая. Рассмотрим произ-
вольный когерентный пучок над Spec О*. Он задается Ojc-модулем 7Х.
Покажем, что в некоторой окрестности U Э х существует пучок У, слой
которого в точке х совпадает с 7Х. Действительно, рассмотрим точную
последовательность
§2.18. Резольвенты и гладкость
187
где гомоморфизм / определяется (г χ s)-матрицей, состоящей из ростков
сечений структурного пучка X в точке х. Существует аффинная окрестность
Spec Л этой точки, на которую продолжаются элементы этой матрицы.
Пусть
/:ЛГ->Л5
— гомоморфизм, определенный продолжением. Положим Μ = Coker/
и обозначим через У пучок Μ на Spec А. Его слой в точке χ изоморфен $х.
Так как схема X гладкая, можно считать окрестность U — Spec А настолько
малой, что в ней есть конечная резольвента
О —♦ О? I и —+ · · · —+ О χ I и — У —> 0.
Переходя к слоям в точке х, получим конечную резольвенту пучка 7Х на
Spec Όχ, что доказывает гладкость Spec О*.
Наоборот, пусть Spec О* — гладкая схема, 7—когерентный пучок на X.
Поскольку единственной окрестностью замкнутой точки χ в Spec О* яв-
ляется весь этот спектр, существует резольвента слоя
О —► Огхп —у... —+ О? —> ?х —> 0.
Рассуждение, аналогичное предыдущему, позволяет продолжить эту
последовательность на некоторую открытую окрестность U точки х:
0—►QJ'Iu—>... —OJli,—>У|„—>0.
Так как эта последовательность точна в точке х, она остается точной
и в некоторой (быть может, меньшей, чем U) окрестности этой точки, что
доказывает требуемое. □
Установленный результат показывает важность изучения гладких спек-
тров локальных колец. Для этого нам понадобятся некоторые элементар-
ные сведения из гомологической алгебры. Следующий результат позволяет
обозреть семейство резольвент Л-модуля М.
2.18.2. Лемма. Пусть А — некоторое кольцо, Μ — А-модуль\
Ρ, Ρ' — либо проективные, либо свободные Α-модули. Пусть даны
две точные последовательности
0—>8—+Р-^М—+0,
0 —♦ 5х —-> Р' -U Μ —■> 0.
Тогда S®P'~S'®P.
188
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму
о—>т—^яея'^-^м
я',
где Τ = Кег(/ + /'). Легко видеть, что g— эпиморфизм; так как Я' проекта-
вен, существует «сечение» s: Ρ' —> Г (т.е. такой гомоморфизм, что go s =
= lr) и Г~Кег£фЯ'. Но
Kerg ={(/?, 0)|/(p) = 0}~S,
так что Τ ~S® P'. По симметрии, Τ ~ 5' Θ Я, что доказывает лемму. D
Этот результат дает повод ввести следующее определение.
2.18.3. Определение. Л-модули 5, 5' называются проективно (со-
ответственно свободно) эквивалентными, если существуют такие проек-
тивные (соответственно свободные) Л-модули Я, Я', что
5 Θ Я' ~ S' Θ Я.
Лемма 2.18.2 теперь поддается следующему уточнению.
2.18.4. Лемма. Пусть Α-модули Λί, Αί' проективно (соответ-
ственно свободно) эквивалентны и пусть даны две точные после-
довательности
0-^5—+ Я —>М—-+ 0,
0 —+ S' —-> Я7 —-> Λί' —> 0,
β которых Я, Я' — проективные (соответственно свободные) моду-
ли. Тогда 5, S' проективно (соответственно свободно) эквивалент-
ны.
Доказательство. Пусть Μ Θ Q ~ Μ' 0 Q', где (?, Q' проективны
(соответственно свободны); тогда имеют место точные последовательности
(с очевидными гомоморфизмами)
0—>S—>Яф<2—>M®Q—>0,
0 —> 5' —> Я' Θ Q' —► Μ' Θ <?' —-> 0,
откуда 5еЯ/0(?/~5/еЯе(?в силу леммы 2.18.2. D
Следствие. Пусть дано начало проективной (соответственно
свободной) резольвенты А-модуля Μ
Рп^Рп_{^...—+р0—>М.
§2.18. Резольвенты и гладкость
189
Тогда модуль Kerd„ с точностью до проективной (соответ-
ственно свободной) эквивалентности определен однозначно и от
выбора резольвенты не зависит. В частности, если существует
проективная резольвента модуля Μ длины п, то Kerdn проективен.
Для модулей под локальными кольцами мы построим специальный
класс резольвент, так называемые «минимальные» резольвенты; наше
следствие позволит извлекать из сведений о них информацию о произ-
вольных резольвентах.
Пусть А — нётерово локальное кольцо, m — его максимальный идеал,
Μ — Л-модуль конечного типа, F — свободный Л-модуль.
Эпиморфизм F —► Μ —► 0 называется минимальным, если он индуци-
рует изоморфизм F/mF —> М/тМ.
Минимальный эпиморфизм определен однозначно в следующем смыс-
ле. Если F' -> Μ —> 0 — другой минимальный эпиморфизм, то существует
коммутативная диаграмма
F > Μ ^ О,
в которой вертикальная стрелка — изоморфизм. Действительно, ранги F
и F' равны ввиду следствия 1.12.19, а прообраз любого базиса М/тМ в F
и Ff будет базисом этих модулей.
2.18.5. Итерируя минимальные эпиморфизмы, мы приходим к понятию
минимальной резольвенты (А по-прежнему предполагается локальными
и нётеровым):
... —>F„ ^Fn.x —>... -+/¾ —>Af — 0;
она минимальна, если Fn -A dn(Fn) является минимальным эпимор-
физмом для всех п.
Легко видеть, что резольвента минимальна, если и только если
dn{Fn) С mFn-i для всех О 1.
Доказательство мы оставляем в качестве упражнения читателю.
2.18.6. Примеры. 1) Минимальная резольвента. Пусть f\, ..., fr G
G m — регулярная последовательность элементов. Тогда комплекс Кошуля
/((/, А) является минимальной резольвентой Л-модуля A/(f\, ..., fr).
2) Бесконечная минимальная резольвента. Рассмотрим локальное
кольцо А = k + t2k[[t]], пусть Μ = χα = t2k[[t]] С А. Тогда Μ = At2 + At3,
190
Гл. 2. Пучки, схемы и проективные пространства
a m2 = tnAi = t4k[[/]], а значит, dim* m/m2 = 2. Вот начало минимальной
резольвенты:
Afi ®Af2 -^+ Ае\ Θ Ле2 -^ Μ —♦ 0;
^ι(/ι) = ^ι-^2;
^(/2) = ^1-¾.
Легко видеть, что Kerdi ~ Αί; поэтому в продолжении резольвенты этот
кусок будет периодически повторяться.
Теперь мы докажем следующую теорему о гладких локальных кольцах.
2.18.7. Теорема. Пусть А—локальное нётерово кольцо, макси-
мальный идеал которого порожден регулярной последовательно-
стью х\, ..., xj. Тогда всякий нётеров Α-модуль Μ имеет свободную
резольвенту длины < d.
«Лемма. В условиях теоремы построим минимальную резольвен-
ту (Fn, dn) модуля Μ и положим
SnA(M) = Kerdn.
Тогда для любого элемента χ £ m, не являющегося делителем нуля
в А и М, имеем:
SnA/xA(M/xM) ~ Sn(M)/xSn(M).
Доказательство. Можно ограничиться случаем п— 1. Рассмот-
рим коммутативную диаграмму
F/xF-
Μ
■ М/хМ ■
о
о,
где φ — минимальный эпиморфизм. Из определения без труда следует, что
ψ также минимален (как эпиморфизм А/хА-модулей). Поэтому SlA(M) =
= Ker φ, a S\/xA (М/хМ) = Кег ψ.
Существует единственный гомоморфизм θ, для которого диаграмма
SlA(M)
F-
Μ
SA/xA(M/xM) +F/xF-
0
■ М/хМ
коммутативна.
§2.18. Резольвенты и гладкость
191
Покажем, что θ — эпиморфизм. Пусть f + xF e Кег ψ, тогда ср(/) Ε хМ,
откуда
φ(/-*/ο)=0 => /Ex/0 + Sl(M) =* / + jC/G9(S,(M)).
Остается проверить, что Кег θ = xSl (Ж). Действительно, Кег θ = S1 (Λί) Π xF;
но если (f(xf) = О, то и φ(/) = 0, потому что χ — не делитель нуля в Μ. D
2.18.8. Доказательство теоремы 2.18.7. Пусть т = Ах{ + ... + Axd,
где (х\, ..., *</) — регулярная последовательность. Индукцией по d пока-
жем, что S^+1(M) = 0 для всех Λί.
Если d = 0, то А — поле, и все очевидно.
Пусть результат доказан для d - 1. Имеем
SdA+l(M) = SdA(M'),
где М' = Sl(M). Так как Λί' — подмодуль свободного модуля, то х\ не
является делителем нуля в Λί'. По предположению индукции и в силу лем-
мы п. 2.18.7 получаем
О = S%XiA(M'/xxM') = ^(Λί')Α,^(Λί').
Из леммы Накаямы следует, что
s2(ao = o,
что доказывает требуемое. D
Замечание. Число d является инвариантом гладкого локального
кольца А: действительно, его можно определить как длину минимальной
резольвенты Л-модуля А/т (такой резольвентой является комплекс Ко-
шуля).
Приведем напоследок набросок доказательства теоремы Гильберта
о сизигиях (теорема 2.17.8).
Вместо локального кольца А будем рассматривать градуированное
кольцо /?, вместо максимального идеала m — идеал /?+ = ф /?/, а слово
«модуль» будем понимать в смысле «градуированный /?-модуль». После
этого окажется, что на эту ситуацию переносятся лемма 1.12.18 (лемма
Накаямы) и следствие 1.12.19, понятия минимального эпиморфизма и ми-
нимальной резольвенты и теорема 2.18.7. Все можно повторить дословно,
кроме формулировки и доказательства леммы Накаямы: «идеал, отличный
от всего А» надо заменить на «идеал, содержащийся в /?+», а рассужде-
ние с обращением 1 — f\ заменяется замечанием о том, что умножение на
элемент R+ увеличивает на единицу номер первой ненулевой компоненты.
ГЛАВА 3
КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ И НЕКОММУТАТИВНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Введение
Мы начнем с введения терминологии и изложения основных фактов,
в частности определим понятия алгебры Хопфа и квантовой группы.
Пусть Η — алгебра функций на вещественной группе Ли G. Тогда отоб-
ражение умножения G x G —» G (соответственно отображение обращения
G —> G) превращается в «коумножение» Δ: Η —► Η ® Η (соответствен-
но «антипод» /: Η —> Η и «коединицу» ε: Η —> R), которые удовлетворя-
ют некоторому набору соотношений, определяющих общее алгебраическое
понятие алгебры Хопфа (см. ниже § 3.3). Этот набор симметричен по от-
ношению к обращению всех стрелок. Но может проявиться следующая
асимметрия: в то время как умножение в Η как в алгебре всегда комму-
тативно, коумножение в ней вполне может оказаться некокоммутативным
(в случае, когда группа G неабелева).
Алгебры Хопфа, не обязательно являющиеся коммутативными или ко-
коммутативными, изучались алгебраистами в течение нескольких деся-
тилетий (см. [27]). Однако недавно в математической физике появились
весьма специальные алгебры Хопфа, которые В. Г. Дринфельд окрестил
«квантовыми группами». Впервые они возникли в квантовом методе об-
ратной задачи (КМОЗ), развитом Л. Д. Фаддеевым и его школой (см. [23],
[36], [34], [22], [35]) и описанном В. Г. Дринфельдом в докладе в Берк-
ли [31]. Близкие результаты (также мотивированные КМОЗ) были получе-
ны М. Джимбо (см. [38], [39]) и, с немного иной точки зрения, С. Л. Воро-
новичем (см. [47], [48]). Одна из основных идей этих работ состоит в том,
что такие жесткие объекты, как классические простые группы (или алгеб-
ры Ли), на самом деле допускают деформации на уровне отвечающих им
алгебр Хопфа и что деформированные объекты, подобно исходным, могут
быть детально описаны вместе с их теорией представлений.
Автор благодарит Ε. Ε. Демидова, выполнившего перевод этой главы с английского.
Введение
193
В настоящей работе мы систематически развиваем другой подход
к квантовым группам, основанный на следующем наблюдении. Допустим,
что мы «квантуем» простейшую фазовую плоскость, подчиняя ее коорди-
наты коммутационному соотношению ху = енух, т. е. проинтегрирован-
ному соотношению Гейзенберга. Тогда обычные симметрии плоскости из
группы GL(2) разрушаются. Но эта «разрушенная симметрия» полностью
восстанавливается, если мы наложим некоторые нетривиальные соотно-
шения на элементы (2 χ 2)-матриц, составляющих GL(2). Таким образом
мы и приходим к понятию квантовой группы GLq(2), где q = еп, которое
подробно описано в § 3.1.
Замечательным свойством такого подхода является его общность.
Именно, в § 3.3, 3.4 вместо «квантовой плоскости» мы рассматриваем
«квантовое линейное пространство», определенное произвольными квад-
ратичными соотношениями между его некоммутативными координата-
ми, и получаем «общую линейную квантовую группу», а точнее сказать —
пару
«квантовая полугруппа эндоморфизмов» —> «квантовая группа».
Первый объект есть некоммутативное пространство того же сорта (т. е. оно
определено квадратичными соотношениями), в то время как второй полу-
чается из первого путем некоммутативной локализации, пропагандируемой
П. Коном и впервые появляющейся здесь естественным путем. Особен-
ность в том, что надо обращать матрицу, а не просто элементы кольца;
а для того чтобы получить алгебру Хопфа, необходимо обратить беско-
нечно много матриц.
Мы используем термин «некоммутативное пространство» в духе Алена
Конна. Главное отличие состоит в том, что мы строим фрагмент некомму-
тативной алгебраической геометрии, тогда как Конн работает с дифферен-
циальной геометрией и топологией. В § 3.10 мы обсудим способ введения
*-структуры на наших группах, что сделает возможным обсуждение их
компактных форм.
Как и в статьях [47], [48], [35], но не как в [31], мы работаем с неком-
мутативным кольцом функций на квантовой группе, а не с «универсальной
обертывающей алгеброй», которая является двойственным объектом. Ра-
зумеется, оба объекта заслуживают пристального внимания, но первый
возникает при нашем подходе более естественно. Ключевым техническим
элементом в этой связи является понятие мультипликативной матрицы;
см. п. 3.2.6—3.2.10. Достойно внимания и то, что мы не обязаны рассмат-
ривать только малые деформации классического объекта: пространства
параметров наших объектов определены глобально. Они суть в точно-
сти грассманианы квадратичных соотношений; см. п. 3.3.2. Цена, которую
приходится заплатить, — потеря понятия «полупростой» квантовой груп-
194 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
пы (которое, впрочем, не было формализовано и в предшествующих ра-
ботах).
Более того, нам нет нужды устанавливать с самого начала какие-либо
связи с уравнением Янга—Бакстера. Однако мы можем и должны объяс-
нить эту связь позднее. Следует иметь в виду, что оператор Янга—Бак-
стера порождает квантовые группы двумя существенно различными спо-
собами. Первый состоит в рассмотрении квантовой группы автоморфизмов
квадратичной алгебры, являющейся «симметрической алгеброй Янга—Бак-
стера». Группы, фигурирующие в КМОЗ, как раз такого типа.
Другой путь состоит в замене всех понятий квадратичной алгебры, ис-
пользующих перестановку сомножителей в тензорных произведениях, на их
«относительные» аналоги, в которых оператор перестановки заменяется на
оператор Янга—Бакстера. Простейшим примером является «суперверсия»
наших конструкций, которая достаточно очевидна. Остальные примеры не
были рассмотрены до публикации [41]. Мы объясним их смысл весьма
сжато в § 3.11, 3.12.
Предыдущая версия этой работы — это [41]. Здесь добавлен ряд де-
талей и новые результаты. Я должен напомнить, в частности, общую кон-
струкцию алгебры Хопфа из биалгебры, порожденную элементами муль-
типликативной матрицы (см. § 3.7). Настоящие заметки не могут служить
обзором по этой быстро развивающейся теории; библиография также за-
ведомо неполна {К Идеи этой работы были впервые изложены в моих лек-
циях в Московском государственном университете зимой 1986—87 г. и на
сопровождавших их семинарах, где Ю.Д. Кобызев предложил описание
QLq(2), ставшее отправной точкой для последующих исследований.
Эти заметки были написаны как серия лекций в Центре математических
исследований Монреальского университета (июнь 1988 г.), где я находился
в качестве приглашенного профессора.
§3.1. Квантовая группа GL^ (2)
3.1.1. Некоммутативные пространства кольца функций и точки.
Зафиксируем раз и навсегда поле К (характеристики 0). Под кольцом (или
алгеброй) понимается ассоциативная К-алгебра с единицей, не обязатель-
но коммутативная. Предлагается мыслить кольцо А как кольцо (полино-
миальных) функций на пространстве, которое является объектом некомму-
тативной, или квантовой, геометрии. Морфизмы пространств отвечают го-
моморфизмам колец в обратном направлении. Для фиксированных алгебр
^Вышли из печати следующие учебники и обзоры по квантовым группам: [6*], [23*], [24*],
[11*], [12*], [32*]. В них читатель найдет более полную библиографию и ответы на ряд
вопросов, поставленных в § 3.13 этой книги.
§ 3.1. Квантовая группа QLq (2) 195
А и В множество Hom&.A\g(Ay В) называется также множеством β-точек
пространства (определенного алгеброй) А.
Не повредит и формальное определение категории некоммутативных
пространств как (K-Alg)op, поскольку известно, что некоторые из распро-
страненных категорных предрассудков могут привести к заблуждениям при
работе с (K-Alg)op. Вот пример: тензорное произведение в категории K-Alg
не определяет прямого произведения в (K-Alg)op, но по сути должно со-
ответствовать «прямому произведению» квантовых пространств.
3.1.2. Две квантовые плоскости и квантовые матрицы. Зафикси-
руем q е К, где q φ 0. Квантовая плоскость Aq определяется кольцом
Af = VL(x4y)/{xy-q-xyx), (3.1.1)
где К(*ь ..., хп) — ассоциативная К-алгебра, свободно порожденная
элементами Х\у ..., хп. Эта плоскость Aq —деформация обычной плос-
кости, отвечающей q = 1. Нам необходима также деформация 0 | 2-мерной
«плоскости» из супергеометрии
/if = Κ(ξ,η>/(ξ2, η2, ξη + ?ηξ). (3.1.2)
При q = 1 эта суперплоскость есть грассманова алгебра с двумя образу-
ющими. Оба кольца (3.1.1) и (3.1.2) естественным образом градуированы
(каждая образующая имеет степень 1), и размерности их однородных ком-
понент совпадают с надлежащими размерностями симметрической и внеш-
ней алгебр соответственно. Действительно, мономы хауь, где 0 ^ a, ft < ос
(соответственно мономы ξατ/\ где 0 ^ α, ft ^ 1) образуют К-базис в (3.1.1)
(соответственно в (3.1.2)).
Наконец, координатное кольцо многообразия квантовых (2 χ 2)-матриц
(а Ь\
[ А определяется как
Mq(2) = K(a, ft, с, d)A
где
3= (ab = q~lba, ac = q~lca, cd = q~ldc, bd = q~ldb,
bc = cb, ad-da = (q-1 -q)bc). (3.1.3)
Хотя коммутационные соотношения (3.1.3) чуть сложнее соотношений
(3.1.1), легко доказать, что мономы aQLb^cxdb снова образуют базис ал-
гебры Mq(2).
Чтобы сформулировать нашу основную теорему о Mq(2), нам необ-
ходимы следующие обозначения. Два семейства элементов S и Τ коль-
ца А называются коммутирующими, если [s, t] = 0 для всех s e S,
196 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
t е Т. Теперь Л-точка кольца Aq , Aq , Mq(2) и т.д. рассматривается
как семейство ее координат: например, Л-точка кольца Мд(2) есть чет-
верка (а, Ь, с, d) E А4, удовлетворяющая соотношениям (3.1.3). Наконец,
Б-точка квантового пространства А называется общей точкой, если со-
ответствующий морфизм А —> В инъективен.
3.1.3. Теорема. 1) Пусть ( ,), (а, А —две коммутирующих
Α-точки кольца Mq(2). Тогда ( ,д , А —снова точка кольца
Mq(2). KC JKC
2) При тех же предположениях определим
DETJ ,) :=ad - q~lbc = da - qcb.
Тогда
MT.[ci)(??)J-DET'Ci)DET'(??) ,зм>
и DET^i λ коммутирует с α, fc, с, d.
3) Предположим вдобавок, что элемент DETJ ,) обратим в А.
Тогда ^с '
есть Α-точка кольца Μ -\(2).
В принципе, все эти утверждения могут быть проверены непосредствен-
но; так, к примеру, доказательство последнего утверждения весьма прямо-
линейно. Однако проверка коммутационных соотношений (3.1.3) для про-
изведения коммутирующих точек утомительна и мало что проясняет.
Правильный путь к пониманию соотношений (3.1.3) был предложен
Ю.Д. Кобызевым. Помимо прочего, матрицы действуют на координатном
пространстве, а матричное умножение есть лишь отражение этого факта.
Фактически то же самое происходит и в некоммутативном мире.
3.1.4. Теорема. Пусть (х, у) (соответственно (ξ, η)) есть общая
Α-точка кольца Aq* (соответственно Aq2). Пусть набор (а, Ьу с, d) e
G А4 коммутирует с (х, у, ξ, η). Запишем
(?)=сί)ω· й-сэо· ©-по-
Если q2 φ — 1, то следующие условия эквивалентны:
§ 3.1. Квантовая группа QLq (2)
197
(1) (х', у') и (х", у") суть точки кольца А^°;
(2) (*', у') есть точка кольца A2J°, α (ξ', η') —точка кольца Л°|2;
(3) (а, Ь, с, d) есть точка кольца Мд(2).
При q2 = -1 выполняются только импликации (3) =Ф> (1) и (3) => (2).
Доказательство. Проверим, например, что (1) «ф (3). Соотноше-
ние х'у' = q~{y'x' означает, что
(ах + by)(cx + dy) = q~l(cx + dy)(ax + by).
Поскольку (х, у) — общая точка и α, /?, с, d коммутируют с х, г/, указанное
равенство эквивалентно равенству трех коэффициентов:
X2
У2
ху
ac = q {ca,
bd = q~{db,
ad - da — q~xcb -
- qbc.
(3.1.6)
Меняя местами Ь и с, получаем равенства, эквивалентные условию х"у" =
= q-{y"x":
ab — q~xba, cd = q~{dc, ad - da = q~lbc - qcb. (3.1.7)
Сравнивая последние соотношения в условиях (3.1.6) и (3.1.7), получаем
{q + q~l)(bc- cb) = 0 =» bc~cb, если q2 ф-\.
Следовательно, условия (3.1.6) и (3.1.7) вместе эквивалентны усло-
вию (3.1.3) при q2 φ — 1.
Аналогичное прямое вычисление показывает, что
(ξ7, η') есть точка кольца Ад <=> (3.1.7),
что доказывает равносильность (1) <£> (2). □
3.1.5. Доказательство теоремы 3.1.3. Теперь мы можем дока-
зать свойство мультипликативности естественным образом. Возьмем об-
щую точку (х, у) плоскости Ад в кольце, содержащем (а, 6, с, d)
и (а', Ь\ с', d'). Мы можем найти такое кольцо и точку, коммутирующую
210
с (а, Ь, с, d), (а', Ь\ с', d')\ например, годится Ща, ..., d'\ Θ Aq] . То-
гда ί ^)() есть точка кольца Mq(2), коммутирующая с (a', b', с', d').
Она также является общей, поскольку остается общей после специа-
'"-»»С J)" 6 ?)· с-«™°· (ί ЙС Э© кть то,ка
кольца Мя(2). Поэтому матрица (а, ЬЛ(йс Ь\ удовлетворяет соотноше-
ниям (3.1.6). Аналогичным образом с использованием Ац доказывается
198 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
справедливость соотношений (3.1.7). Эти рассуждения проведены лишь
для q2 Φ — 1, но результат справедлив и для q2 = — 1, поскольку верен
«принцип продолжения алгебраических тождеств».
Мы также получаем естественное определение квантового детерми-
нанта, немедленно доказывающее его мультипликативность: в обозначе-
ниях теоремы 3.1.4 выполняется равенство
ξ'η' = (αξ + Щ(сЪ + dri) = DET, (J *)ξη. D
3.1.6. Квантовые аналоги групп GL(2) и SL(2) и их представле-
ния. Теперь мы можем определить пространства функций для квантовых
групп, имитируя классическую процедуру обращения DET^ или приравни-
вания его к 1. (Обоснование и более изощренные рассмотрения приведены
в § 3.2 и § 3.7.) Полагаем
GL,(2): Λί„(2)[/]/([/, α], [/, ft], [/, с], [/, d\\ /DET, - 1),
SI^(2):Ai,(2)/(DET,-l).
Теорема 3.1.4 описывает представления этих групп в квантовых простран-
ствах Af и An . Существуют две точки зрения на эти представления. С од-
ной стороны, все пространство Aq , на котором действует группа GLq(2),
рассматривается как некоммутативный аналог фундаментального двумер-
ного представления. С другой стороны, можно рассматривать как аналог
лишь его линейную часть (Aq )\=Kx® Ку. Тогда линейное пространство
(Aq )d отвечает «d-й квантовой симметрической степени» фундаменталь-
ного представления, а все пространство А? — бозонному фоковскому про-
странству. На самом деле эти две точки зрения можно и нужно совместить:
достаточно заметить, что кольцом функций на квантовой d-й симметриче-
ской степени фундаментального представления является «подкольцо Ве-
ронезе» 0(Л^'°)Л·.
3.1.7. Что дальше? В остальной части этой главы приведенный при-
мер будет обобщаться в разнообразных направлениях. Мы покажем, что
210
Ад] можно заменить на произвольную квадратичную алгебру и что су-
ществует разумная квантовая полугруппа, действующая на ней. Для то-
го чтобы превратить ее в квантовую группу, следует потрудиться немного
больше, чем в нашем примере (или чем в коммутативном случае), посколь-
ку, вообще говоря, не существует аналога детерминанта с необходимыми
свойствами.
Все начальные данные можно обобщить настолько, чтобы получились
квантовые деформации линейных супергрупп. На самом деле правильный
§3.2. Биалгебры и алгебры Хопфа 199
путь к этому лежит через развитие аксиоматической теории точных тензор-
ных категорий. На этом пути мы приобретем лучшее понимание уравнения
Янга—Бакстера (или уравнения треугольников) и его роли в конструкции
квантовых групп.
Наконец, мы начнем изучение гомологических свойств квантовых про-
странств и групп.
§ 3.2. Биалгебры и алгебры Хопфа
3.2.1. Биалгебры. Пусть Η есть К-модуль. Напомним, что структура
биалгебры на Η определяется четырьмя морфизмами
Н®Н^+Н-^Н®Н,
которые удовлетворяют следующим аксиомам, записанным в виде комму-
тативных диаграмм.
Аксиомы алгебры:
Н®Н
Н®Н\
н®н
единица Н=Н®К=К®Н ^ Н.
id
Аксиомы коалгебры:
Н®Н
Н®Н\
200 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
коединица
^// = #®к = к®я.
Аксиомы связи структуры алгебры со структурой коалгебры:
Η
m<g>m
Υ
Я <g> Я <g> Я <g> Я
>(23)
н®н®н®н.
Здесь 5σ обозначает канонический морфизм, отвечающий перестанов-
ке σ. Аксиома связи означает, что Δ есть морфизм алгебр, или, что эк-
вивалентно, что т есть морфизм коалгебр. Диаграммная форма делает
самодвойственную природу биалгебры очевидной.
3.2.2. Антипод. Антипод в биалгебре (Я, т, Δ) есть такое линейное
отображение /: Η ^> Н, что коммутативна следующая диаграмма:
Н®Н
3.2.3. Некоторые элементарные конструкции. Пусть mop = mo5(i2),
а Δ°ρ = S(i2) о Δ. Если (Я, га, Δ) — биалгебра, то (Я, гаор, Δ) и (Я, га, Δ°Ρ)
тоже биалгебры. Если отображение / является биективным антиподом для
(Я, га, Δ), то i~l является таковым для (Я, гаор, Δ) и (Я, /я, Δορ) и, сле-
довательно, для (Я, тор, Δορ).
3.2.4. Теорема. £сли антипод i существует, то он единствен
и обращает умножение и коумножение, т. е. определяет морфизм
биалгебр (ε, η при этом не меняются)
/: (Я, га, Д)->(Я, гаор, Δορ).
§ 3.2. Биалгебры и алгебры Хопфа
201
Другими словами, следующие диаграммы коммутативны:
Я Я
я$
S(I2)
я$
§я
5Я
Я
т
^ Я® Я,
Я
Δ
г
я®я —
н®н
5(12)
l*L^H®H.
Доказательство см. в [27].
3.2.5. Биалгебры и квантовые группы. Кольцо полиномиальных
функций на аффинной алгебраической группе G является биалгеброй с ан-
типодом; коумножение индуцируется групповым умножением G x G -> G,
а антипод—отображением обращения G —> G: jc н-> х-1. Эта биалгебра
коммутативна. Отказываясь от коммутативности, мы получаем общее по-
нятие алгебры Хопфа, которое формализует (до сих пор) интуитивные
представления о квантовых группах.
Функтор точек А к-» Нотк-А1д(Я, А) для произвольной алгебры Хопфа
(Я, т, Δ, /) обладает теми же свойствами, что и (квантовая) группа GLq(2)
(ср. с теоремой 3.1.3).
1) Пусть /, g: H-+A —две коммутирующие точки (т. е. [/(A), g(h')] =
= 0 для всех /г, /ζ' Ε Я). Тогда их произведение определяется как сквозное
отображение
(Перестановочность точек нужна для доказательства того, что получится
морфизм алгебр.)
2) Пусть /: Я —> Л —точка. Тогда, если антипод / биективен, то
foi:H-^H
f
есть точка алгебры (Я, шор, Δορ). (Обращая умножение и коумножение
в GL^(2), мы получаем GL -ι(2).)
Отметим, что в общей биалгебре (т. е. «квантовой полугруппе») антипод
/ не обязан существовать (как в Mq(2)), а если существует, то не обязан
быть биективным. Если он биективен, то может случиться, что /2 Φ id.
3.2.6. Мультипликативные матрицы. Пусть (Я, Δ) есть коалгебра
с коединицей ε, а У Ε М(пу Я) — матрица с элементами из Я. Мы будем
называть матрицу У = (у1.) мультипликативной, если
Д(У) = У®У, е(У) = /, (3.2.1)
202 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
где / — единичная матрица. Мы используем нестандартное обозначение
для тензорного умножения матриц. Мы записываем просто
k
b ία b 0\
Пример. Пусть ( ,) —матрица в Mq(2), ale d 0 I —матрица
в GL?(2). VC ' VO 0 '/
Если для квантовой группы Η существует мультипликативная матри-
ца У, элементы которой порождают Η как кольцо, то Η называется «кван-
товой матричной группой» (ср. с работами Вороновича [47], [48], в ко-
торых используется специальный символ вместо нашего фальшивого тен-
зорного произведения). Ниже мы дадим интерпретацию мультипликатив-
ных матриц на языке теории представлений, но сначала мы установим ряд
их свойств, которые помогут нам сконструировать антипод в § 3.7.
3.2.7. Предложение. 1) Следующие соотношения равносильны:
Α(Υ) = Υ®Υ& Δ°Ρ(ΥΤ) = Υτ ® Υτ.
2) Предположим, что Υ — мультипликативная матрица в алгеб-
ре Хопфа с антиподом L Положим Yk = ik(Y). Тогда
YkYM = YM Yk = / для k = 0 (mod 2),
YTkYl+{ = YTMY[ = I дляк=1(тоа2)
(3.2.2)
MYk)AYk?Ykrr ^^°(m°d2)' (3.2.3)
\iyl®Yl) для k=l (mod2). v ;
3) Если /, g — коммутирующие Α-точки //, как в п. 3.2.5, то
Доказательство. 1) Пусть A(Y) = Y ®Y. Тогда
(Δ°'(ΚΓ))* = Δ°ρ(Κ)< = S(12) о Д(Г)< = 5(12)(£t/k ®у)j = £>, ® y>k;
(YT ® YT)f = Σ<ΥΤ){ ® (YT)f = Σ У) ® ί/*·
/
2) Применяя аксиому антипода к К, получаем
i(Y)Y=Yi(Y) = I.
§ 3.2. Биалгебры и алгебры Хопфа
203
Поскольку i обращает умножение, имеем i(AB) — [i(BT)i(AT)]T для любых
двух матриц Л, В в Н. Отсюда формула (3.2.2) получается по индукции:
A(Yk+{) = Aoi{Yk) =
= S{l2)(i®i)(A(Yk)) =
_ fs{l2)(Yk+i ® Yk+{)
f
5(12)(У;+1®У;+1)Г
при k = 0 (mod 2),
при k= 1 (mod 2).
Это доказывает соотношение (3.2.3), поскольку вычисление, проведен-
ное в начале доказательства, показывает, что S(i2)(^ ® Yk) — (Yl ® Kj)r.
3) По определению и условию (3.2.1) получаем
№(Y) = mAo(f®g)o A(Y) = f(Y)g(Y).
Ώ
3.2.8. Комодули. Левым комодулем над коалгеброй (Я, Δ, ε) назы-
вается линейное пространство с морфизмом δ: Μ —> Я ® Μ (называемым
кодействием), причем следующие две диаграммы коммутативны:
коассоциативность
коединица
Н®Н®М
Λί = Λί.
Подобным же образом определяется правый комодуль (с отображе-
нием δ: М->М ®Η).
Пусть (Λί, δ) — левый (Я, Δ, е)-комодуль. Тогда (Λί, δορ = S(i2) ° δ)
есть правый (Я, Δορ, е)-комодуль, и наоборот. Морфизмы комодулеи
определяются обычным образом.
Пусть (К", δ) — конечномерный левый Я-комодуль. Определим мат-
рицу Υ равенством
η
/=1
где {е№=1 —канонический базис пространства Кп.
204 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
3.2.9. Предложение. 1) Описанная конструкция устанавлива-
ет биекцию между всеми структурами левого комодуля на Кп
и мультипликативными матрицами из пространства М(п, Я) всех
(η χ п)-матриц над Я.
2) Линейное отображение /: (Кп, δ) —> (Кт, δ') является мор-
физмом комодулей, определенных мультипликативными матрицами
У, Υ\ тогда и только тогда, когда
FY' = YF,
edeF=fy,af(el) = Efle'r
ι
Доказательство. Записывая для комодуля (К", δ) аксиому коассо-
циативности, получаем А(У) = Y<g> Y. Аналогично, записывая аксиому коеди-
ницы, находим ε(Κ) = /. Очевидно, что из этих условий вытекает справедли-
вость аксиом. Последнее утверждение доказывается прямой проверкой. D
3.2.10. Представления. Вообще говоря, существует три варианта
определения представления квантовой (полу)группы Я.
1) Левый (или правый) Я-комодуль.
Это отвечает обычному пониманию представления группы, если рас-
сматривать Я как кольцо функций на группе. В дальнейшем мы встанем
на эту точку зрения.
2) Левый (или правый) Я-модуль.
Изредка такой подход применяется и в классической ситуации, по-
скольку алгебра (Я, т) коммутативна. Однако классические представле-
ния суть модули над универсальной обертывающей алгеброй, двойственной
к кольцу функций. Таким образом, Я-модули соответствуют представле-
ниям «двойственной квантовой группы».
3) Морфизм алгебр Хопфа Н' -+ Η (или, дуально, Я —> Нг).
Эта точка зрения отвечает классическому понятию, скажем, унитарного
представления, рассматриваемого как морфизм G —> U(n).
Ниже мы построим квантовые полугруппы эндоморфизмов (а также
группы автоморфизмов) квадратичных алгебр общего вида, из которых по-
лучатся представления в смысле 1 и 3, но не 2.
3.2.11. Образующие и соотношения. Алгебры часто определяются
посредством образующих и соотношений, т.е. в виде T(V)/J, где V — ли-
нейное пространство, T(V)—тензорная алгебра, а 3 — идеал соотношений.
Линейное подпространство 0 с Я называется идеалом алгебры (Я, т),
если m(J ® Я + Я ® 3) с 1 Двойственным образом, 3 есть коидеал в ко-
алгебре (Я, Δ), если Δ(3) СЭ«8)ЯЧ-Я0 3. Подпространство 3, являюще-
еся одновременно идеалом и коидеалом, индуцирует структуру биалгебры
на Я/3. Антипод /// спускается на Я/3, если ///(3) с 3.
§3.3. Квадратичные алгебры как квантовые линейные пространства 205
§ 3.3. Квадратичные алгебры как квантовые линейные
пространства
3.3.1. Обозначения. Квадратичной алгеброй называется ассоциа-
оо
тивная градуированная алгебра А = 0 Л,·, обладающая следующими свой-
ствами: Ло = К (основное поле); Л порождается пространством А\\ иде-
ал соотношений между элементами А\ порождается пространством всех
квадратичных соотношений R(A) с Af2. Удобно писать Л <-* {Лi, R(A)}.
Мы предполагаем, что dim Л ι < ос.
Квадратичные алгебры образуют категорию QA. Ее морфизмы /: Л —► В
находятся во взаимно однозначном соответствии с линейными отображе-
ниями /ι: Л —> Б, при которых
h®fi(R(A))cR(b).
Таким образом, получается забывающий функтор
QA->K-mod: A^A{.
В следующем параграфе мы покажем, что произвольная квадратичная
алгебра может играть роль «квантовой плоскости» из § ЗЛ.
3.3.2. Операции над квадратичными алгебрами. Для Л, В е Ob QA
определим операции
А<—>{Аи {0}}, (3.3.1)
Аор<—>{>!,, S(12)/?W}, (3.3.2)
Л! — {А\, R(A)^}, (3.3.3)
АоВ<—^{Al®Bl,Si2Z)(R(A)®Bf + Af®R(B))}, (3.3.4)
Λ ·β<—► {Λ, ®β,, 5(23)(/?(/«) ®/?(θ))}, (3-3.5)
Λ®β<—{ΛιΘΑι, (/?И)ФИ,, Βι]ΦΛ(θ))}, (3.3.6)
Λ®β<—>{Λ,θβ,, (#(Л)Ф[ЛЬ β,]+Θ/?(β))}. (3.3.7)
Очевидно, Л есть тензорная алгебра пространства Ль Естественное
отображение А -* А, тождественное на Ль отождествляет А с A/Ra, где
оо
Ra = Θ Λί(Λ). причем /?0(Л) - 0, /?,(Л) = 0, R2(A) = R{A),
Rn(A) = Σ Af; ® /?(Λ) ® Л®("-''-2). (3.3.8)
1=0
206 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
В определении (3.3.3) мы полагаем А\ = Нотк(Ль К) и отождествляем
(V&W)* с V* ®W* посредством формулы (/ ®g)(a®b) = f(a)g(b). При
этом
/?(Л)Х = {q e A t ® Л J | ?(г) = 0 для всех г G R(A)}.
В определениях (3.3.2), (3.3.4), (3.3.5) символ 5σ обозначает отображение
5σ(αι Θ ... ® ап) = ασ-ι(1) ® ... ® ασ-ι(/ι).
В определениях (3.3.6), (3.3.7) коммутатор [Ль В\] (соответственно
[Ль Si]+) обозначает подпространство в А\ <8> В\ ® В\ <8>Ль порожден-
ное элементами a®b - b®a (соответственно a®b + b®a).
3.3.3. Примеры из § 3.1. Очевидно, что
(Л?0)'емУ2;
М,(2)й(^1°.у4°|2)/(3.1.7).
Эти операции можно рассматривать как естественные подъемы стан-
дартных функторов из К - mod в QA. Некоторые подъемы имеют «двой-
ников» и переходят в них под действием операции «!»:
QA : ~ ор ! о -< : >■ ·
τ τ
К-mod: id id
Для полноты мы приводим ниже список основных взаимосвязей между
нашими функторами.
3.3.4. Свойства операции ~. Эта операция — ковариантный функ-
тор QA —► QA; каноническое отображение А —► А есть морфизм функторов
> id. Кроме того,
(Л)°р = (Л°Р)~ = Л; (А!Г = Л* := 0(Я/)*; (Л)! = К 0 Л ?.
Ί
Наконец,
(Л о Bf = (Л · В)~ = А о В = Л · В = (тензорная алгебра Αι®Β\),
(Л ® 5)~ = (Л ® ВГ = (тензорная алгебра Л ι Θ Si).
3.3.5. Свойства операции op. Отображение Л f-> Лор, / н-> /ор, при
котором /°р = /ι, является ковариантной инволюцией на QA. Обозначим
§3.3. Квадратичные алгебры как квантовые линейные пространства
207
через Л° кольцо, совпадающее с Л как линейное пространство, но с обра-
щенным умножением: /*g в А° равно gf в Л. Тогда отображение
τ: А —> Л, τ(αι .. .ап) = ап .. .а\,
индуцирует изоморфизм Лор —► Л°. Далее, имеются функториальные отож-
дествления
(Л°Р)! = (Д!)ор, (А * В)°р = Л°р * В°р,
где * — одно из произведений (3.3.4)-(3.3.7).
3.3.6. Свойства операции «!». Функтор дуализации А ь-+ Л!, /ь->/!,
где /[ = /*: В\ —► А*, есть контравариантная квазиинволюция на QA: функ-
тор «!!» эквивалентен id. Имеют место естественные отождествления:
(ΑοΒ)ι=Αι·Β\ (Α·Β)ι=ΑιοΒ\
(А ® θ)! = Л! ® β!, (Л ® В)1 = Л! Θ β!.
3.3.7. Свойства произведений. Умножения (3.3.4)-(3.3.7) вместе
с морфизмами ассоциативности и коммутативности, которые очевидным
образом определяются на компонентах первой степени, определяют на QA
четыре разные структуры тензорной категории (подробности см. в [33]
и § 3.12). Во всех этих категориях есть единичные объекты:
/С = К[е], где ε2 = 0, для о;
L = K[t] = К1 для ·;
К для ® и ®.
Однако в категории «квантовых линейных пространств» QAop умножения
• и о похожи на тензорное умножение, тогда как ®и® отвечают прямой
сумме.
Имеются также функториальные гомоморфизмы:
Л#Б-%ЛоВ-^Л®В,
где αϊ =id: А\ ®В\->А\ ®В\, β(α ® b) = a ® b для аеАи ЬеВ\. От-
метим, что отображение β не является морфизмом в QA, поскольку оно
удваивает степень (если считать, как обычно, что (Л ® В)п = 0 Л/ ® Βη-ι).
3.3.8. Лемма. Отображение β индуцирует изоморфизм колец
оо
АоВ^^Ап^ВпСА^В.
л=0
208 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
Доказательство. Надо проверить, что в обозначениях § 3.2 вы-
полняется равенство
Rn(A о В) = Sa(R2n(A ® В) Π (Afn ® Bfn)),
где σ —перестановка, превращающая Afn ® Bfn в (A\ ® fii)0/l и сохраня-
ющая порядок Л- и β-сомножителей. Но из соотношения (3.3.8) получаем,
что
η
Rn{A о В) = Σ^ <g> Я,)®' ® 5(23)[^(Л) ® β®2 + Af ® /?(β)] ®
/г
Я2„(Л ® θ) Π /If* ® flf1 = 5^(^1 Θ5ι)®2/ ®
Θ [ВД Θ [Ль θι] Θ /?(θ)] Θ (Λι Θ Bx)®{2n-2i~2) Π /if" ® fif\
и перестановка сомножителей доказывает лемму. D
3.3.9. Квантовая симметрическая степень. Для алгебры A Ε Ob QA
определим
оо
A{d) = ®Aid.
/=о
По аналогии с коммутативными полиномами назовем пространство А^
d-Pi симметрической степенью алгебры А (или кольцом функций на d-Pi
симметрической степени квантового пространства, определенного алгеб-
рой А).
3.3.10. Предложение. Алгебра A{d) является квадратичной.
Доказательство легко следует из соотношения (3.3.8). D
Бакелин и Фрёберг (см. [28]) доказали, что на самом деле, если А —
градуированная алгебра, порожденная конечномерной компонентой Ль
с идеалом соотношений, порожденным элементами степени не выше г, то
же самое верно и для алгебры A^d) с [2 + (г — 2)/d] вместо г. Таким образом,
любая конечно определенная и конечно порожденная алгебра производит
в результате операции А \-+ А^ квадратичную алгебру. В коммутативном
случае эта операция не меняет Proj А. Поэтому квадратичными алгеб-
рами по существу исчерпывается вся алгебраическая геометрия.
3.3.11. Квантовая внешняя степень. Поскольку S*(V)! =A*(V*), мы
можем назвать d-й внешней степенью пространства, двойственного к Л,
алгебру А т.
В супералгебре надо определить действие операции «!» по-другому: это
функтор, осуществляющий дуализацию и смену четности.
§3.4. Пространства квантовых матриц I. Категорная точка зрения 209
3.3.12. Резюме. Рассматривая QAop как категорию «квантовых ли-
нейных пространств», мы можем использовать следующие аналоги ^:
тензорное произведение квантовых пространств,
прямая сумма квантовых пространств,
дуализация (+ смена четности, если работаем с суперпростран-
ствами),
(d): d-я симметрическая степень.
§ 3.4. Пространства квантовых матриц I.
Категорная точка зрения
3.4.1. Мотивировка. Пусть ί/, V, Τ—конечномерные линейные про-
странства. Имеются следующие естественные отображения:
Hom(U,V)®U-+V: f®u^>f{u), (3.4.1)
Hom(l/, Τ) Θ Hom((/, V) -> Hom(i/, Τ): f ®g^ f оg, (3.4.2)
обладающие хорошо известными свойствами универсальности.
Переходя к кольцам полиномиальных функций A(V) = S(V*) и т.д.,
получаем двойственные отображения:
4(1/) -* A(Hom(i/, V)) о A(i/), (3.4.3)
A(Hom(i/, Τ)) -> Л (Нот(У, Г)) о Л (Нот([/, К)). (3.4.4)
Мы покажем что в категории QA также строятся универсальные отобра-
жения (3.4.3) и (3.4.4), если положить
A(Hom(U, V)) := A(U)1 · A(V). (3.4.5)
Квадратичные алгебры вида А1 · В будут играть, таким образом, роль про-
странств квантовых матриц (см., однако, предостережение в конце
параграфа).
Здесь мы проясним категорную природу этой конструкции, а в после-
дующих параграфах исследуем квантовые полугруппы А1 · А и проблему
их превращения в квантовые группы с использованием координат.
3.4.2. Теорема. Имеется функториальный изоморфизм
Нот{А · S, С) = Нот(Л, В1 о С),
^Если нужны и симметрическая, и внешняя алгебры, построенные на одном и том же
пространстве (ср. с (3.3.6) и (3.3.7)), то нижеприведенных операций недостаточно, ибо опера-
ция «!» переводит симметрическую алгебру на V во внешнюю алгебру на V*. Поэтому надо
к перечисленным операциям добавить еще и операцию Ad (d-ю внешнюю степень). Такого
рода подробности прописаны, среди прочего, в обзоре [28*].
210 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
отождествляющий отображение /: А\ ® В\ —► С\ с отображением
g: А\ —> В\ ® Сь если
(s(a) I b) = f(a 0 b) для всех а е А\, fc e В\
(в левой части стоит свертка по В\).
Следствие. Пара (QA, ·) является (неаддитивной) тензорной
категорией с внутренним функтором Нот и единичным объектом
К = К[г],гдег2 = 0.
Доказательство теоремы. Мы должны проверить, что если
отображения /, g связаны между собой указанным образом, то эквива-
лентны следующие условия:
(f®f)S{23)(R(A)®R(B))cR(C),
(g ® g)R(A) С S^iRiB)1 Θ Cf + В*®2 ® R(C)).
Но эти условия равносильны соответственно условиям
(/?(С)Х | (/ ® f)S{23)(R(A) ® R(B))) = 0 (свертка по Сх ® d),
(/?(β) Θ Я(С)11 (g ® g)/?(i4)> = 0 (свертка по Ci Θ Ci ® CJ ® Ci).
Каждое из этих соотношений ортогональности означает, что если взять
элемент из /?(Л), применить к нему g® gy а затем свернуть с произволь-
ными элементами из R(B) и Л(С)1, то получится нуль. D
3.4.3. Внутренний функтор Нот. Следуя общему формализму тен-
зорных категорий [33], положим
Homffl. С) = В1 о С.
В частности,
В1 = Нот(Д, /(!).
Таким образом, это яе стандартная дуализация в (QA, ·), при которой
получается
В = Hom(fl. К) = К®В*{
— не слишком интересный объект.
В соответствии с общими свойствами функтора Нот определены сле-
дующие естественные отображения:
β: Hom(fi, C)%B->C, (3.4.6)
μ: Hom(C, D) · Hom(B. С) -+ Hom(fi, D) (3.4.7)
с очевидными свойствами ассоциативности.
§3.4. Пространства квантовых матриц /. Категорная точка зрения 211
Отображение (3.4.6) обладает следующим свойством универсально-
сти: для любого морфизма /: А· В —► С в QA существует единственный
морфизм g: A —» НотШ, С), для которого коммутативна диаграмма
НотШ. С) · В —^ С
τ ^/^
Л· β.
Фактически это отображение есть отождествление, определенное в тео-
реме 3.4.2. После этого отображение (3.4.7) получается итерацией из (3.4.6).
3.4.4. Внутренний функтор horn. Сравнивая отображения (3.4.6)
и (3.4.7) с (3.4.3) и (3.4.4), мы видим, что, к сожалению, объект Ηοτη(β, С)
не есть то пространство квантовых матриц, которое мы ищем. На самом
деле получившийся объект двойствен искомому объекту в смысле опе-
рации «!».
Определим
hom(fi, С) = Hom(B!. С!)! - В1 · С.
Запишем отображения (3.4.6), (3.4.7) для β!, С!, D! и применим «!». По-
лучим морфизмы
δ: С -> homifl. С) о β, (3.4.8)
Δ: horn(fl, D) -> hom(C, D) о hom(B. C), (3.4.9)
определенные с помощью свойства универсальности, двойственного к свой-
ству из п. 3.4.3.
3.4.5. Теорема. 1) Для любого морфизма g: С -> А о В в QA су-
ществует единственный такой морфизм /: hom(B, С) —»Л, что g =
= (/°idsh.
2) Пусть заданы отображения (3.4.8) и (3.4.9) и выполняются
условия В = С = D. Тогда
E = end(B) = hom(By Β) = Βι·Β
оказывается биалгеброй относительно следующих операций:
Ш£ — умножение;
Ае — композиция Ε > Ε о Ε -» Ε <g> £;
η — тождественное отображение К — £о -^ К;
ε — стандартное спаривание £Ί = β* ® βι —► К.
3) Отображение (3.4.8) Ъ: В-> Ε о В индуцирует на алгебре В
(и всех ее однородных компонентах β,) структуру левого Е-ко-
модуля.
212 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
Утверждение 1 этой теоремы есть очередная переформулировка теоре-
мы 3.4.2.
Мы докажем утверждения 2 и 3 в следующем параграфе, используя
язык координат, и вернемся к категорной картине в § 3.12.
3.4.6. Предостережение. Если мы применим наши конструкции к
обычным линейным пространствам, т.е. к кольцам многочленов, мы не
получим матриц с коммутирующими элементами!
На самом деле епсКЩхк ..., хп]) — крайне некоммутативное кольцо:
оно определяется только половиной необходимых коммутационных соот-
ношений. Для получения оставшейся половины мы должны наложить те
же коммутационные соотношения на транспонированную матрицу, как при
доказательстве теоремы 3.1.4. Детали см. в следующем параграфе.
§ 3.5. Пространства квантовых матриц II.
Координатный подход
3.5.1. Квантовое пространство. Рассмотрим квадратичную алгебру
общего вида
А=К(хи ..., Хп)/(гЛ),
где K(Jc) — свободная ассоциативная алгебра, порожденная элементами
U, и где
г* = гЛ(Х) = Σ (%Щ при α = 1, ..., га (3.5.1)
ч
суть линейно независимые элементы алгебры К(х\, ..., хп)2. Положим
R = (га) и Х[ = X[ mod R. Через R будет обозначаться множество соотно-
шений во всех алгебрах, упоминаемых ниже.
3.5.2. Двойственное пространство. Оно определяется посредством
алгебры
Л^К^1, ..., ЛЛА
Γβ = ^ с\{хкх1 при β = 1, ..., η2 - m, (3·5·2)
где (jp I Xj) = 5} и 0 КгР = (0 Kre)x, то есть
<rPK> = I>W" = 0. (3.5.3)
Мы опять считаем, что х1 = xl mod R.
§3.5. Пространства квантовых матриц П. Координатный подход 213
3.5.3. Матричное пространство end (A). Справедливы соотношения
end(yi) = Л! · А = К(2?)/(г£);
z4 = xk® Χι; ζ\ = z\ mod У?; (3.5.4)
/£ = S(23)(rp®ra) = £#&2?2J.
3.5.4. Кодействие. Это морфизм алгебр (морфизм в QA)
ЬА : А -+ епё(Л) о Л с епсКЛ) Θ Л,
k
3.5.5. Лемма. Кодействие (3.5.5) корректно определено. Более
того, пусть отображение
8:К(*ь ..., Ж„) -> К(2?) ® K(xj)
определено той же формулой, что и (3.5.5). Тогда для некоторых
sp(Jc) G К(х), β = 1, 2, ..., η2 — га, и s£(z) G K(z), a = 1, ..., га, выпол-
няется соотношение
§Ы = Σ г«^ ® Μ*) + Σ 5"'(ζ)ν(*). (3.5.6)
β α'
Доказательство. Выберем η2 — т квадратичных форм sp = sp(x) G
G K(x) так, чтобы выполнялось условие (г& \ sr) = δ£. Тогда {ra, sp} — ба-
зис пространства К(х)2. Можно записать
ВД = Σ c^isP + Σ β"/Γα
β
для c\t из соотношения (3.5.2) и некоторых констант е^. Это проверяется
вычислением скалярного произведения с г$. Теперь
§(/·«)=Σ с° (Σ2*Θ **) (Σ 2ι ® *')=
= £ φ?2/' ® (¾ 4*β+Σ ^'r«') =
ЦХ1 ^ β α' '
что ввиду соотношения (3.5.4) доказывает равенство (3.5.6). □
214 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
3.5.6. Лемма об универсальности. Для любой К-алгебры В и мор-
физма δ: Л —» В <g> Л, Ь(А\) С β <8> Л ь существует единственный мор-
физм γ: end (Л) —► В, для которого диаграмма
end(A) ® Л
коммутативна. Если, сверх того, δ есть морфизм квадратичных ал-
гебр Ъ: А -> В о А -+ В ® А, то у — также морфизм в QA.
Доказательство. Пусть элементы υ\ Ε В определены из равенства
Чхд = Σ υ\ ® **· Подставляя xt, υ\ в универсальную формулу (3.5.6) вме-
сто Х[, ζ\, получаем
0 = δ(Γα(χΟ) = Σ^(ι;)®5β(χ).
Поэтому г\(р) — О, поскольку элементы sp(jt) линейно независимы в Лг.
Следовательно, можно определить γ: end (Л) -» β как y(zf) = yf. Даль-
нейшее очевидно. D
3.5.7. Диагональное отображение. Теперь, используя универсаль-
ность, мы можем определить диагональное отображение
АА:Е-+ЕоЕ-+Е®Е,
где £ = егк1(Л), из коммутативной диаграммы
После этого выполнение аксиомы коассоциативности для δ^ становится
очевидным.
Применяя морфизмы из этой диаграммы к *,·, получаем
Δ(*/)=Σ^®^
или, как мы писали в п. 3.2.6, Δ(Ζ) -Ζ^Ζ,Ζ — (ζ\).
§3.5. Пространства квантовых матриц //. Координатный подход 215
3.5.8. Окончание доказательства теоремы 3.4.5. Мы уже опреде-
лили множество данных, описывающих Ε и действие £ на Л, а также про-
верили большинство аксиом. Мы еще не упомянули коединицу. Определим
e(zf) = 5f. Имеем r£(5f) = 8f ввиду условия (3.5.3), поэтому соотношения
в £ не нарушаются. Теперь выполнение аксиом для Δ^ и &А очевидно. Π
Для последующих построений полезно обратить внимание на аналог
леммы 3.5.5 для Δ^: если Λ(Ζ) = Ζ ® Ζ, то
ВД)=Σ r№ ® $(¾+Σ &w ® rr(g) (3·5·7)
γ»δ γ,δ
для некоторых s, / e K(zf). (Это следует из того, что мы уже доказали, но
может быть проверено и независимо.)
Мы будем использовать эти формулы для проверки того, что некий
идеал в биалгебре является коидеалом и, следовательно, по нему можно
отфакторизовать, не испортив диагональное отображение.
Теперь мы обсудим функториальные свойства пространства end (Л).
3.5.9. Дуализация. В коммутативной геометрии end(L) и end(L*) ка-
нонически изоморфны как линейные пространства, но умножение при этом
обращается. В точности то же происходит и в нашей ситуации.
3.5.10. Теорема. Существует канонический изоморфизм биал-
гебр
τΑ: (end(4), тА, ΔΑ) -+ (end(4!), mAU Δ°?),
совпадающий с S(i2>: А* ® А\ —> А\ ® А* на {-компонентах.
Доказательство. Проведем доказательство на языке координат.
Положим Х[ = х\ х1 = х/, отождествляя А11 = А. Тогда
Л!=ВД/('Р)>
h = 22 Ч*'1*^ Ч = °ψ
ц
где β = 1, ..., η2 - т. Аналогично
?а _ V^ χα x.k х.1 χα. _ Jj
Г — 2^CklX X » Ckl — col'
где α = 1, ..., т. Поэтому
Шп(А])=А.А1 = К(г*)/(ф,
П = S(23) (га 0 rp) = Σ $«/2?4
216 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
Положим Ζ = (zff), Z = (if). Сравнивая соотношения (3.5.8) и (3.5.4), ви-
дим, что при отображении τ: Ζ н-> Ρ получается т(г%) = Γβ и, следова-
тельно, устанавливается изоморфизм алгебр епсЦД) —* endC4!). Другими
словами, соотношения f получаются из г транспонированием матрицы Z.
Наконец,
Δ°Ρ(Ζ') = Ζ'ΘΖ<
в силу предложения 3.2.7(1), поскольку AA\(Z) = Z <g> Z. Поэтому τ инду-
цирует изоморфизм биалгебр.
Очевидно, что τ совпадает с S(i2) на образующих.
Выпишем для дальнейшего использования формулы замены координат.
Если
'-0-СО
в А\, а 1) € QL(n, К), тогда
. ' _ . , _ (3.5.9)
Z' = UZU~l, Z' = {UT)~lZUT,
и снова видно, что отображение τ^ корректно определено. D
3.5.11. Противоположная биалгебра. В координатах имеем
А°р = К(х1,...,хп)/(гл),
ц
3.5.12. Теорема. При отображении ρ: Z—► Ζ, где p(fg) = p(g)p(f),
имеем p(r£) = г£; стало быть, оно индуцирует канонический изомор-
физм биалгебр
Ра'· (епё(Л), тА, АА) - (епй(Л°Р), т°рор, ДЛоР).
Доказательство очевидно. D
3.5.13. Симметрическая степень. Как объяснялось ранее, мы мо-
жем рассматривать А\ как фундаментальный (ко)модуль алгебры епё(Л),
a Ad — как его симметрическую степень. С другой стороны, разумнее рас-
сматривать все пространство А как фундаментальный модуль, а А^ — как
его d-ю симметрическую степень. Итак, получаем действие
bA\Aid):A{d)^end(A)®AW.
§3.6. Добавление потерянных соотношений 217
Поскольку Ьа (A ^) С end (Л) ® A{f\ в силу леммы 3.5.6 индуцируется мор-
физм
σ{ά): end(A{d)) -+ end(A){d) -+ endOh.
представляющий собой третью версию квантовой симметрической степени
(см. обсуждение в п. 3.2.10).
§ 3.6. Добавление потерянных соотношений
3.6.1. Пример. Начнем с коммутативной алгебры многочленов
А = Щхи ..., хп)/(Щ - Щ).
Тогда
Al=K(x\ ...,xn)/(xkxl + xlxk)
и
endH) = K(2f)/(rJ5f)f
где
г\-Ц = S{23)((xkxl + х1хк)(Щ - Щ)) =
= z\z\ - z)z\ + ζ\ή - ζψ\ = [ζ?, 2j] + [2J, ή]. (3.6.1)
D n(n- 1) /г(/2 Ч- 1) 0 2
В итоге получается -^—^ · -^—г—^ соотношении на гг матричных эле-
ментов zf, и при я > 1 кольцо end (Л) в высшей степени некоммутативно.
о χ ttV-1) . *
Но если добавить еще —^-j—- соотношении, требуя выполнения усло-
вий (3.6.1) для транспонированной матрицы Ζτ, мы получим К[г|]"-=1 —
знакомое кольцо функций на пространстве матриц. Действительно, усло-
вия (3.6.1) означают, что для любой (2 х 2)-подматрицы матрицы Ζ ком-
мутаторы элементов, стоящих на ее диагоналях, по mod/? имеют противо-
положные знаки:
* /
<—♦ Ί—
Но при транспонировании матрицы один из них сменит знак, а потому
все коммутаторы должны быть нулевыми.
218 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
3.6.2. Общий случай. При доказательстве теоремы 3.5.10 мы видели,
что соотношения г для транспонированной матрицы в сущности совпада-
ют с соотношениями г, определяющими end64!). Поэтому можно скомби-
нировать образующие zf, if и соотношения г, г, z\ — if, чтобы достичь
нужного эффекта. Однако результат может зависеть от выбора коорди-
нат Х[ в А. Посмотрев на формулы замены координат (3.5.9), мы видим,
что соотношения Ζ - Ζ остаются инвариантными (с точностью до линей-
ных преобразований) лишь при ортогональных преобразованиях х1 = Их,
где UUT = /. Это означает, что мы неявно зафиксировали ортогональную
форму g — х\ +... + х2п £ S2A\, т. е. отождествили А\ и А\ симметричным
образом. (Поэтому, например, QLq(2) из § 3.1 есть «криптоортогональ-
ная» группа! Разумеется, вместо того чтобы фиксировать g, можно просто
снабдить пространство А\ выделенным базисом.) Формально мы опреде-
лим е(Л, g), положив
е(А, g) = K<2?, z?)/(r(Z), f{Z), 2-2)*
*K{z*)/(r(Z),r(Z)) =
-K(2f)/(r(Z),r(Z)).
3.6.3. Теорема. 1) Диагональное отображение &: Z\-> Z<g> Zy Z\->
и-» Ζ ® Ζ спускается на е(Л, g)\ отображения
b(xi)=ς 2? ® хь чх1)=Σ2*® *k
определяют на А и А1 структуры левых е(Л, ^)-комодулей.
2) Транспонирование Ζ\-+Ζτ задает изоморфизм биалгебр
(е(Л, g), m, Δ) -+ (е(Л, g), m, Δ°Ρ).
Доказательство. Все вытекает из вышеизложенных рассуждений.
В частности, элементы r(Z), f(Z) и Ζ - Ζ в силу формулы (3.5.7) порож-
дают коидеал относительно А, и
Α(Ζ - Ζ) = Ζ Θ (Ζ - Ζ) + (Ζ - Ζ) ® Ζ.
Детали оставляем читателю. Π
Конечно, эта конструкция представляет особенный интерес, если мно-
жество соотношений R(A) каким-то образом связано с g. Рассмотрим три
примера.
3.6.4. Квантовая конформная группа. Пусть А = Κ(χϊ)/(Σ χί), т е
R(A) = Kg, где η ^ 2. В обозначениях § 3.5 имеем т= 1, с1{ — δ'Λ Тогда
§ 3.6. Добавление потерянных соотношений
219
из формулы (3.5.3) следует, что (с?.) есть базис пространства матриц со
следом 0. Поэтому алгебра А1 определяется соотношениями
х1х1 — 0 при / φ /,
(χ1)2 = (xj)2 для всех /, /.
В частности, dim А\ = n, dim А*2 = 1, dim AJ, = 0 при η ^ 3 (и А! = К[х{ ]
при η — 1).
Далее, алгебра end (Л) определяется соотношениями
Σ 44 = 0 при/^/\
/г
(г|)2 = (ф2 для всех /, /',
или, короче,
ZTZ — скаляр.
Итак,
§(Л, g) = K{z^)/(ZZT = скаляр, ZTZ = скаляр).
3.6.5. Случай R(A) = RiA)1- относительно g. В этом случае отоб-
ражение g: А\ -> А\ = (А1)\ индуцирует изоморфизм А —► А\ а потому
и изоморфизм
end(A) -> едй(Л!): Ζ н+ Ζ mod R.
Это означает, что е(Л, g) = end (Л).
Эзра Гетцлер указал мне замечательный пример такой самодвойствен-
ной квадратичной алгебры, или, точнее, расслоения таких алгебр над ри-
мановым пространством. Это градуированное расслоение, ассоциирован-
ное с фильтрацией пучка дифференциальных операторов, действующих на
спинорном расслоении. (В действительности на этом пути получаются са-
модвойственные квадратичные супералгебры, ср. п. 3.11.1, § 3.12.)
3.6.6. Случай R(А) еЛ(Л)х = Af 2? dim/?(А) = |п(л — 1). Этот
случай близок к коммутативному, поскольку размерность пространства
квадратичных соотношений в А (соответственно в А1 или е(Л, g)) такая
же, как и у Щх\, ..., хп] (соответственно у грассмановой алгебры или
у K[zf]). Деформация алгебры многочленов, рассмотренная Дринфель-
дом [31], относится к этому классу.
3.6.7. «Псевдосимметрические» квантовые пространства. Рассмо-
трим оператор
R: А{ ®А{ -+А\ ®Аи
χι <g> х} \-+ ^Г r{^xk <& χι.
220 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
Предположим, что выполнены следующие условия:
а) соотношения /¾) := Σ (δ//7 ~~ ffi^p ® %я ПРИ * ^ 1 < I ^ п «линейно
независимы, м
б) соотношения r{kl) := Σ(δ^ + rkslt)xs <g> хТ при 1 ^ k ^ / ^ η линейно
независимы, s,t
в) (#$^£/^ при/</,*</.
РД
Обозначим через А квантовое пространство, определенное соотноше-
ниями гщ) и g = Σ А- Пусть Ζ Θ Ζ есть (η2 χ я2)-матрица (обычно назы-
ваемая тензорным произведением) с элементами
(Z©Z)*' = 2?®2J,
и пусть Rff = rff. Тогда верно следующее предложение.
3.6.8. Предложение. 1) Алгебра А1 определяется соотношения-
ми г^ы\ а соотношения в end (Л) порождаются элементами матрицы
(I-R)(ZQZ)(I + R).
2) Если к тому же RT = R и R2 = /, то алгебра end (Л) определяется
соотношением
R(Z (DZ) = (ZO Z)R. (3.6.2)
Доказательство. 1) Поскольку
dim(0 Kr(W) = ^А dim(0 Kr^) = \п{п + 1),
для доказательства того, что А1 = Κ(χι)/(№), достаточно проверить ра-
венство (г^ | г^)) — 0. Действительно, из условия в) имеем
<^°к(//)> = Е^+ ^)^/-^) =
= (/-/?)(/+/?)!*/ =
= ъ%-(#)% = о.
Итак, алгебра end (Л) определяется соотношениями
r^=Sm{r^®r{ij)) =
= Σ ^ + ^)(^-^^21=
P,q,s,t
= (1- R)(Z Θ 2)(/ + R). (3.6.3)
§ 3.7. От полугрупп к группам
221
2) Записывая соотношение (3.6.3) для Ζτ вместо Ζ и транспонируя,
получаем
(/ + /?r)(Z0Z)(/-/?r)· (3.6.4)
Если RT — /?, то соотношения (3.6.3) и (3.6.4) вместе эквивалентны соот-
ношениям
R(Z Θ Ζ)-(Ζ Θ Ζ)/?, ZGZ-R(ZQ Ζ)/?,
которое при R2 = I сводится к соотношению (3.6.2). Π
Замечание. Отсюда видно, что при RT — —R получаем е(Л, g) =
= end(A).
3.6.9. Предложение. Для произвольного оператора R: А®2 —> Af2
матричные соотношения (3.6.2) определяют коидеал относительно
Δ(Ζ) — Ζ^Ζ, а потому определяют новую биалгебру.
Доказательство. Легко видеть, что
Α(ΖΘΖ) = S(23)[(Z Θ Ζ) ® (Ζ Θ Ζ)].
Поэтому если матрица R перестановочна с Ζ Θ Ζ, το она перестановочна
hcA[Z0Z]. D
Замечание. В КМОЗ ^ соотношение (3.6.2) используется для опре-
деления квантовой группы с помощью (слабого) оператора Янга—Баксте-
pa R (см. п. 3.11.1).
§ 3.7. От полугрупп к группам
3.7.1. Мотивировки. В этом параграфе мы покажем, что для кванто-
вых полугрупп, подобных Ε = end64), е(Л, g), существует универсальное
отображение γ: £ —> # в алгебру Хопфа Н. В силу предложения 3.2.7 отоб-
ражение γ переводит все мультипликативные матрицы из £ в обратимые.
Поэтому представляется естественным добавить формально все необходи-
мые обратные матрицы. Следующей конструкции достаточно для случаев
епсКЛ) и е(Л, g).
3.7.2. Конструкция. Пусть Ε есть биалгебра, порожденная элемента-
ми мультипликативной матрицы Ζ. Запишем Ε = K(Z)/7?0, где /?о — идеал
соотношений между элементами матрицы Z, т. е. Z — Z mod Rq.
Пусть Ζο = Ζ. Введем последовательность матриц Zj, Z2, . „ и породим
их элементами свободную ассоциативную алгебру # = K(Zo, Z\, Z2, ...).
^Квантовый метод обратной задачи рассеяния.
222 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
(Здесь и далее обозначение Κ(Ζο, Ζι, Z2, ...) и подобные ему будут ис-
пользоваться для свободных алгебр, порожденных матричными элемента-
ми.) Обозначим через Я факторалгебру алгебры Я по идеалу, порожден-
ному следующими соотношениями:
J элементы /?о> записанные для Zk вместо Z, для k = О (mod 2),
1 элементы /?qP, записанные для Zk вместо Z, для k = 1 (mod 2);
(3.7.1)
ZkZk+\ - /, 2k+\Z>k -I для * = 0 (mod 2), (3.7.2)
ZTkZTk+x - /, Ζ\+ΧΖ\ -I для k = 1 (mod 2). (3.7.3)
Определим отображение γ: £ —> Я, полагая γ(Ζ) = Zq mod /?.
3.7.3. Теорема. 1) Соотношения (3.7.1)-(3.7.3) порождают ко-
идеал R относительно коумножения А: Я —> Я ® Я,
Δ(Ζ,)
'Ζ* <g> Ζ* для /г = 0 (mod 2),
{ZTk®ZTk)T дляк=\ (mod 2).
Таким образом, А индуцирует коумножение Δ: Η -+ Η ® Н. Вме-
сте с отображением ε(Ζ* mod /?) = / owo превращает Я в биалгебру,
а отображения γ: £ —> Я — в гомоморфизм биалгебр.
2) Отображение ϊ: Я —> Я, определенное условиями i(Zk) = Ζ*+ι
и Д/g") = 4g)4f), сохраняет коидеал R, т. е. l(R) с /?. Поэтому оно ин-
дуцирует линейное отображение /: Я —► Я, являющееся антиподом
для (Я, т, Δ).
3) Для любого морфизма биалгебр γ': £ —» Я', где Я' — алгебра
Хопфа, существует единственный морфизм β: Η —> Hf, для которого
γ' = β о γ.
Доказательство. 1) Поскольку £ является коалгеброй относи-
тельно коумножения Δ(Ζ) = Z <g> Z, имеем
Α(/?ο) С Κ(Ζο> Θ Λο + До ® Κ(Ζ0) cH®R0 + Ro®H.
Отсюда следует, что идеал, порожденный R0 и всеми /?*, k = 0 (mod 2),
является коидеалом. Аналогично рассматриваются Rk, k = I (mod 2), —
надо использовать (£, m^p, Δ^ρ) вместо (£, m£, Af).
Чтобы учесть соотношения (3.7.2) и (3.7.3), используем следующее
тождество. Пусть Л, £ — две матрицы в Я, для которых Δ (Л) = Л ®Л
§3.7. От полугрупп к группам
223
иА(В) = (ВТ®ВТ)Т. Тогда
A(AB)f = [(А ® Л)(бг 0 Д7)7]\ = ]£(Л 0 Л)^ 0 β^ =
= Yy\ ® α£)0* ® ft?) = J] α# ® (Лб)*.
j,r,s r,s
Поэтому
Д(ЛВ -1)4 = Σ a\bks ® [(ЛБ)* - 8Л + (¾ а№ - *?) ® L
и, значит, элементы матрицы АВ -1 порождают коидеал. Так обстоит дело
с первыми соотношениями из (3.7.2) и (3.7.3). Вторые из них рассматри-
ваются аналогично. Очевидно, что отображение ε: Zk >-* / спускается до
коединицы.
2) Ясно, что ι(R) С R. Пусть /: Η —> Η есть индуцированное линейное
отображение. Нам необходимо проверить, что для каждого и £ Η выпол-
няются равенства
m о (/ ® id) о А(и) = m о (id ® Ϊ) о А(и) = г\г(и) (3.7.4)
(см. п. 3.2.2). Из определений Δ и ε следует, что это равенство верно
для матричных элементов Zk = Zk mod R. Так как они порождают Η как
кольцо, достаточно проверить, что если равенство (3.7.4) верно для и и ν,
то оно верно и для uv. Имеем
mo(i® id) о A(u)A(v) = mо (i<g> id) о (^ u'k ® и£ J ί ^ uj <g> υ"\ =
= m(Y^i{v\)i{ufk) ^4^^ =
= ηε(α) ]Γ /(υ/)»/' = ηε(ίΐ)ηε(ϋ).
3) Пусть γ': Ε -+ Η' — морфизм алгебр Хопфа. Положим Y'k =
— ^/(Υ7(^))· Вследствие теоремы 3.2.4 и предложения 3.2.7 элементы мат-
рицы Y'k удовлетворяют соотношениям (3.7.1)-(3.7.3). Поэтому сопостав-
ление B.Zk^Y'k индуцирует морфизм алгебр β: Η -► //', очевидным об-
разом совместимый с Δ и /. ^
224 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
3.7.4. Замечания. 1) Описанная конструкция имеет множество по-
лезных вариаций. Во-первых, можно построить универсальное отображе-
ние γ: Ε —> Я в классе алгебр Хопфа с биективным антиподом. Для этого
необходимо лишь добавить матрицы Ζ&, удовлетворяющие соотношени-
ям (3.7.1)-(3.7.3), для произвольных k Ε Ζ.
Во-вторых, в классе алгебр Хопфа с антиподом, удовлетворяю-
щим тождеству i2d = id, можно построить универсальное отображение
yd: E-^Hd. Для этого к предыдущему необходимо добавить соотноше-
ния Zk = Zk+2d ДЛЯ всех k.
В-третьих, можно построить «формальные квантовые группы», отве-
чающие алгебрам Я, Я, Я^. Они будут пополнениями построенных ко-
лец по идеалу, порожденному элементами матриц Zk — I. Непрерывные
двойственные этим объектам алгебры Хопфа будут квантовыми аналога-
ми универсальных обертывающих алгебр. Некоторые из них были изучены
Дринфельдом и Джимбо.
2) Если Ε — квадратичная алгебра вида end (Л) или е(Л, g), то в свете
хороших свойств обеих этих алгебр в QA неплохо бы иметь квадратичную
версию алгебр Я, Я, Я^. Поскольку лишь соотношения (3.7.2), (3.7.3) не
являются квадратичными, мы можем добавить центральные элементы 4
и сделать эти соотношения однородными, полагая Z^Z^+i = t\l и т.д. Яс-
но, что нужно полагать А(^) = /& ® 4. Мы оставляем читателю проверку
свойства универсальности этой конструкции.
3.7.5. (Ко) представления. Ясно, что А —> Ε ® А —U Η ® А (для
Ε = endC4) или е(Л, g)) есть копредставление «хопфовой оболочки» алгеб-
ры Я. Используя свойства универсальности алгебры Я, можно повторить
все рассуждения из п. 3.5.10-3.5.13 для Я вместо Е.
В частности, получается такой результат:
g\(A) := {хопфова оболочка алгебры end (Л)}
действует на А как
Ь(хт) = Zq ®jt# (или Zk®x·, если k ξ 0 (mod 2)),
а на Л!°р как
Цх.) = Ζ\® χ. (или Ζ*+ι®ί#, если &EE0(mod2)).
Кроме того, gl(/l, g) := {хопфова оболочка е(Л, g)} действует на А1 как
Цх.) = Zq <£)*.,
а на Лор как
δ(*#) = Ζ[®*..
§3.8. Фробениусовы алгебры и квантовый детерминант 225
§ 3.8. Фробениусовы алгебры и квантовый детерминант
3.8.1. Определение. Алгебра Л называется фробениусовой алгеб-
рой (фробениусовым квантовым пространством) размерности d, если
а) dim Ad = 1, a Л; = О при / > d,
б) для всех / умножение т: Aj <g> Ad4 -»Ad является невырожденным
спариванием1^.
Алгебра А называется квантовой грассмановой алгеброй, если вдо-
бавок
в) dim Д-= (¾.
3.8.2. Квантовый детерминант. Пусть Ε— биалгебра, действующая
на фробениусовом пространстве А по формулам
δ: Α-+Ε&Α, ЦА{)сЕ®А{.
Тогда b(Ai) С Ε ® Л/ и для / = d получаем элемент D = ϋΕΤ(δ) Ε £, опре-
деленный равенством
δ(α) = DET(S) (8) α, где a е Л</.
Очевидно, элемент D является мультипликативным (см. п. 3.2.9):
8(D) = D®D, e(D) = l.
На языке п. 3.5.13 элемент D определяет d-ю квантовую симметрическую
степень модуля Л \.
3.8.3. Квантовые тождества Крамера и Лагранжа. Выберем бази-
сы {Χι } в Aj, {Yk } в Л/ так, чтобы выполнялись равенства
xfYf-'!) = bika (3.8.1)
для фиксированного aeAd\ {0}. Определим мультипликативные матрицы
Zd) и V^l\ описывающие кодействие δ: Л^ —> £<8> Л^ в этих базисах:
b{Xf) = Σ Z?k ® Xf, 4Y?]) = Σ if* ® if. (3.8.2)
/г /г
Применяя δ к соотношениям (3.8.1) и принимая во внимание равенства
(3.8.2), получаем
Z^-'')' = DETW, (3.8.3)
^Примеры, когда это спаривание бывает несимметричным (если j = d — /), см. в [8*]. Это
может привести к нецентральности квантового детерминанта, рассмотренного ниже.
226 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
где / — единичная матрица. Если А — стандартная грассманова алгеб-
ра, а Ху\ у1 ~~у) — внешние мономы, то условие (3.8.3) дает классические
тождества Крамера при / = 1 и тождества Лагранжа при / > 1 (если
алгебра Ε коммутативна).
3.8.4. Теорема. Пусть Ε — алгебра Хопфа, действующая на фро-
бениусовой алгебре Л, как в п. 3.8.2, D — детерминант этого дей-
ствия. Тогда
1) элемент D обратим',
2) H/(D - 1) — алгебра Хопфа, для которой Δ, / и ε индуцированы
с Н.
Доказательство. 1) Поскольку D есть матрица одномерного ко-
представления, она является обратимой в силу предложения 3.2.7:
i(D) = D~l.
2) Элемент D — 1 порождает коидеал в Я, поскольку
A(D - 1) = D ® (D - 1) + (D - 1) ® 1.
Этот коидеал устойчив относительно /, как идеал, поскольку
i(D - I) = D~l - \ = D~l(D - I).
Наконец, D - 1 € Кеге. D
3.8.5. Общая и специальная линейные группы квантового про-
странства. Пусть А — квадратичная алгебра. Хопфовы оболочки алгебр
епсЦЛ) и е(Л, g), построенных в § 3.7, вполне заслуживают наименования
общих квантовых групп пространства A: g\(A), gl(/l, g). Если к тому же
алгебра А является фробениусовой, мы можем определить специальные
квантовые линейные группы
й(А) = &(A)/(D - 1), §1(Л, g) = gl(4, g)/(D - 1),
где D — соответствующий детерминант.
3.8.6. Примеры. 1) Пусть
А = К(хи ..., Xn)/(x}, XiXj + QXjXi при / < /), где q G К*.
Ясно, что А — фробениусова алгебра размерности η (на самом деле —
четная грассманова алгебра). Записывая δ(χ;) = ^ zf <g> Jt6 и взяв а =
= х\ ... хп, получаем формулу для детерминанта DET(8):
η , η ν η
II ί £ ζ? ® χ Λ = DET(8) ® [J xh
§ 3.8. Фробениусовы алгебры и квантовый детерминант
227
откуда (ср. [35]) следует, что
Ш1{Ь) =53(-9Г/(5)^(1)...4(Л)·
s€Sn
2) Пусть при /2^2 (ср. п. 3.6.4) выполняется равенство
В = К(Х{, ..., xn)/(XiXj при ьф\\ jcf = xj для всех /, /).
Ясно, что В — двумерная фробениусова алгебра. Полагая а = xf, получаем
для Det(8) следующую формулу:
η
DET(8) = V\zf)2 для каждого / = 1, ..., я.
k=\
Аналогичным путем можно получить двумерные фробениусовы алгебры
с квадратичным детерминантом, отправляясь от 2^-мерной фробениусовой
алгебры А и полагая В = A{d) = К Θ Ad 0 Л2<*.1}
3) Пусть К есть поле частных локального кольца L. Рассмотрим де-
формированные антикоммутационные соотношения
xkxl + xlxk = Σ €ϊ!χίχΙ> (3-8.4)
Ц
где с\· лежат в максимальном идеале кольца L и
Ч ~~ Ч ~ ji '
Интуитивно это означает, что соответствующая алгебра является малой
деформацией внешней алгебры, по крайней мере с точки зрения соотно-
шений. Очевидно, что при с\] — О соотношения (3.8.4) определяют обычную
грассманову алгебру. В работе [30] В. Г. Дринфельд нашел условия, при
которых соотношения (3.8.4) определяют квантовую грассманову алгебру
над L (и, a fortiori, над К). Пусть
й/1/2/з = у^ jyhjh ^ = fft/i/2/3\ α = ftil - -"Г*
/
^См. также конструкцию янг-бакстеровой симметрической алгебры, принадлежащую
Д. И. Гуревичу, которая приводит к двумерной фробениусовой алгебре [8*]. Такая алгебра
появляется как «^-антисимметрическая алгебра», ассоциированная со специальным типом
решений уравнений Янга—Бакстера типа Гекке. Пользуясь процедурой «склейки» из [8*],
можно построить примеры и других решений уравнения Янга—Бакстера, приводящим к фро-
бениусовым алгебрам размерности ^3. Однако спаривание, построенное в [8*], вообще го-
воря, не симметрично, поэтому оно приводит к слегка обобщенной фробениусовой алгебре.
В [8*] построены также примеры с нецентральным квантовым детерминантом D. Доказатель-
ство того, что есть другой квантовый детерминант, который всегда централен, можно найти во
многих публикациях, например, в статье [27*]. Там он тоже обозначен символом DET, но по-
строен по другим правилам (одни — те, что выше, — соответствуют соотношениям в алге ре
RTT, другие — в алгебре RE (reflection equation)).
228 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
Тогда
условие (3.8.4) определяет кван- лу^ = Q (3 g 5)
товую грассманову алгебру над L \ / j ν/ ^2*з ν /
Если условие (3.8.5) выполнено, то алгебра А оказывается я-мерной и мы
получаем DET(8) в end (Л). Однако вычислить детерминант явно (как
в примере 3.8.5) не удается, поскольку неизвестен коэффициент d(s) в вы-
ражении
xS{\) · · - xS(n) = d(s)x\ ...хп mod R.
4) Алгебра Mq(2)· является квантовой фробениусовой алгеброй размер-
ности 4. На самом деле она оказывается четной грассмановой алгеброй.
Мы оставляем читателю вычисление соответствующего детерминанта.
§ 3.9. Комплексы Кошуля и скорость роста
квадратичных алгебр
3.9.1. Лемма. Для квадратичной алгебры А в обозначениях
п. 3.5.1 положим
η
1А = ξ = ^2 xl ® Xi € А1 о А с А1 ® А.
Тогда ξ2 = 0.
Доказательство. Имеем
ξ2 = ]Г je'x* ® jc/Jca- mod /? = ]Г Xх Θ Χχ mod /?,
где R = R(A] о Л), а (Xх) и (Х\)—двойственные базисы в Лг. Выбирая
^λ = {/α, 5β} и ,ΥΧ = {га, 5β}, как при доказательстве леммы 3.5.5, имеем
ξ2 = Σ 5α <g> и + ]Г гр 0 5β mod /? = 0. D
Замечания. 1) Теорема 3.4.2 дает концептуальное объяснение этой
леммы. Действительно,
Ηοιη(Κ[ε]·Λ, Л) = Нот(К[е], А] о А) и Κ[ε]·Α=Α.
При этом соответствии id^ переходит в Κ[ε] —>А1 о Α, ε ь-> ξ^.
§3.9. Комплексы Кошуля и скорость роста квадратичных алгебр 229
2) Более общим образом, для каждого морфизма /: В -> Л в QA мы
получаем элемент ξ^ е В1 о А, для которого ξ? = 0. Он отвечает / при изо-
морфизме из теоремы 3.4.2:
ΗοΓη(Κ[ε] · В, Α) = Hom(K[e], β! о Л).
Имеем
?л = 5.<и; ξ/ = 0(ΐο/)(ξβ).
3.9.2. Комплексы Кошуля L·. Для произвольного кольца В и эле-
мента b e В обозначим через 1(b) (соответственно r(b)) левое (соответ-
ственно правое) умножение на b в В (или в β-модуле). Для морфизма /
в QA можно определить два комплекса
/,·(/) = (β'® Л, Γ(ξ,) ИЛИ /(ξ;)).
Поскольку ξ/ € β^ ® Ль эти комплексы являются прямой суммой подком-
плексов
Lp(f) = 0 (В[ ® Ла, Γ(ξ,) или /(ξ;)), где ρ е Ъ.
Ь—а—р
Мы будем писать LP(A) = ^(id^) и положим Ζ/'α(/) = β^ ® Л, где ft = ρ + α.
3.9.3. Предложение. 1) Предположим, что хотя бы одно из колец
В1 и А конечномерно. Тогда все комплексы Ln(f) конечны и можно
определить формальный ряд
χ/ (')=Σ хст))'"> гае x(L"(/))=Σ*-1)0 dim wtf»·
Пусть Рд(/) = ]Г dim Л//'. 7Ъгда
Pfi.(0^(-r1) = xf'(i). (3.9.1)
2) Я/?и тех же предположениях выберем ρ = max{& | β^ ^ {0}}»
<7 = max{a | Аа φ {0}}. 7огда для НаА - Ha(Ln(f)) выполняются равен-
ства
Н^ = В[р, H~q>°=Aq. (3.9.2)
β частности, если комплекс Lm(f) ацикличен везде, кроме членов
(3.9.2), то для r(£j) и /(ξ;) выполняется равенство
Р#Ц)Ра(-Г1) = Р + ГЧ-1)",
где tp (соответственно t~q) интерпретируется как 0, если ρ (соот-
ветственно q) не определено.
230 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
Доказательство довольно стандартно: записывая
χ(Ζ/4/))= Σ (-l)adim^dim/la,
b—a=n
умножая на tn и складывая эти равенства, получаем (3.9.1). Остальное
очевидно. Π
3.9.4. Гомологический детерминант. Из соотношения (3.9.2) мы вы-
водим, что детерминант биалгебры £, действующей на фробениусовой ал-
гебре Л, определяется ее копредставлением в одной из групп когомологии
комплекса L(A). В самом деле, можно определить копредставление Ε на
этих когомологиях, предполагая, что R(A]) = /?(Л!)ор, а Е—алгебра Хопфа.
Тогда если найдется одномерная группа когомологии, которая является ко-
представлением алгебры Е, то ее можно назвать гомологическим детер-
минантом.
Мы докажем это для общего случая Ε = g\(A). Наша конструкция
мотивирована когомологической трактовкой березиниана в супералгебрах
(см. [17]). На самом деле эта конструкция дает квантовый березиниан для
семейства «суперфробениусовых» квантовых супергрупп.
3.9.5. Предложение. Предположим, что R(Al) = /?(Л!)ор. Тогда
естественные действия g\(A) на А и Л!ор = А\ определенные в п. 3.7.5,
индуцируют копредставление
H*{L{A))^${A)®H\L{A)).
Доказательство. Очевидно, что gl(^) действует на А! ® А по фор-
муле
А1® А -^-А &(А)®А1®&(А)®А —^- —> ф(А)®А1®А.
Вычислим образ ξ^ в обозначениях п. 3.7.5:
Σ *i ® χι =1α^ ]Γ](Ζί)/ ® */ ® (Z0)f ®Xk^
н+ ^(ΖιΖο)* ® i/ ® ** = 1 <8> ξΑ,
поскольку Ζ\Ζο = I ввиду условия (3.7.2). Поэтому получается морфизм
комплексов
(Л!®Л, Γ(ξ) или/ф)-^(^1(Л)<8)Л!®Л, Γ(1®ξ) или/(1 ® ξ)),
индуцирующий наше копредставление. D
§3.9. Комплексы Кошуля и скорость роста квадратичных алгебр 231
Замечание. Я не знаю, действительно ли необходимо условие R(Al) =
= R(Al)op. Возможно, от него можно отказаться, слегка изменив нашу кон-
струкцию.
3.9.6. Комплексы Кошуля К9: конструкция. Мы начнем со следую-
щей простой конструкции. Предположим, что имеется диаграмма линейных
пространств (или объектов абелевой категории)
Ε С F С G
U U U (3.9.3)
Е' С F' С С,
индуцирующая естественные отображения Е/Е' —> F/F' —> G/G'. Тогда
a)pa = 0<^£cG';
б) если условие а) выполнено, то
Η := Ker β/ Im a = (F Π G')/{E + Ff).
Положим теперь
а
где * означает линейную дуализацию, и рассмотрим следующую диаграмму
типа (3.9.3):
A*+l®Afb-1 <-+· A'-*®Af <-*■ ^«-1®^®^"'
U U U (3.9.4)
A[:+l®Rb_l(A)<-^A[*®Rb(A)^^A'-:_l^Rb+l(A).
Для того чтобы объяснить наличие включений в строках, напомним, что
/а-2
-2-i
/α—δ
Αια = А*®а/ ( Σ А*®1 ® Щ)1 ® Л;€
м=о
и потому можно отождествить А1а с
а-2
4* = р| 4f'" ® ад ® ^f в~2-1' с л;®а.
/=0
Поэтому подпространства
а-2
A1: ®Afb = {) Af Θ R(A) <g> 4ffl+>-2-'' С Λί®α+*
232 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
очевидным образом представляют собой возрастающую фильтрацию Afa+b
при убывающем а. Для нижней строчки аналогично получаем
А·; ® Rb(A) = (Α]ϊ ® Afb) Π (Afa ® Rb(A)) =
α-2 a+b-2
= Π (Af1 ® R(A) ® Af«+*-2-i) η Σ At} ® ^(Л) 0 Л®a+b~2-i. (3.9.5)
/=0 /=α
Поэтому указанные пространства также представляют собой возрастаю-
щую фильтрацию при убывающем а. Итак, для проверки того, что диа-
грамма (3.9.4) определяет комплекс, необходимо убедиться, что
т. е. (см. соотношение (3.9.5)) что
а-\
Ъа+Ь-2-i
11
/=0
,а-Ъ ч ,а+Ь-2
f\Af®R(A)®A\^"-*-'c
С Cf] Af ® R(A) ® Afa+b-2-i\ Π Cj^Af1 ® R(A) ®^fα+6"2"Λ.
Но это включение очевидно, поскольку пересечение от / = 0 до / = а - 1
содержится и в пересечении от / = 0 до / = а — 3, и в первом слагаемом
суммы. Наконец, поскольку
A}:®Afb/A};®Rb(A) = A};®Ab,
мы получаем новый комплекс Кошуля
К°+1»(А): ... — Л<*+1 ® Л„_, —> Л^* ® Лй — 4,*_, 0 Л„+1 —>...
/7-е место
В предыдущих рассуждениях мы пренебрегали некоторыми «краевыми эф-
фектами», поэтому опишем более явно несколько первых комплексов:
К0··: .
/С'·*: .
/С2··: .
.. —+0 —ч. К —+ 0
.. _►()—> л!*=л, -uU л,
(1) (2)
.. —> 0 —* Л·* = Я(Л) —> Л!* ® Л, = Af2 -
(0) (1)
. . . ,
-» 0
-+ Л5* ® Л2
(2)
-» 0.
(3.9.6)
Видно, что комплекс Ка+Ь·*, в отличие от La+b·', всегда конечен. Если все
комплексы Кр·*, за исключением ρ = 0, ацикличны, то алгебра Л называ-
ется кошулевой. Известно множество интересных свойств таких алгебр:
см. [43], [40], [28].
§3.9. Комплексы Кошуля и скорость роста квадратичных алгебр
233
Записывая χκΑ(ί) = Σ x(Kn'm(A))tn, получаем, как в п. 3.9.3, следующий
результат. п
3.9.7. Предложение. Справедливо соотношение PAl(t)PA(-t) =
= XA(t). В частности, если алгебра А кошулева, то
PAi{t)PA(-t)=l.
3.9.8. Комплексы К*(/). Пусть /: В -> Л— морфизм в QA. Он ин-
дуцирует морфизмы
(1с1®/):Б!*®5-+В!*®Л и (/!* ®/): β!* Θ А -» Л!* ® Л.
Подражая конструкции из п. 3.9.6, можно построить дифференциал на
В1* ® Л, зависящий от /, причем оба морфизма окажутся морфизмами ком-
плексов. Полученный комплекс обозначим /(*(/). Он может быть получен
частичной дуализацией комплекса L*(f).
Предположим, что комплекс Kp{f) ацикличен при ρ > 0. Из условий
во второй и третьей строках (3.9.6) следует, что в таком случае / есть
изоморфизм, г А и В суть кошулевы алгебры.
Теперь мы покажем, как использовать комплексы Кошуля для оценки
«размера» некоторых квадратичных алгебр.
Для градуированной алгебры А вместо Ял(0 мы иногда будем писать
Р(Л, t). Для двух формальных рядов //(/) = ]Г αηΡ, где /=1,2, опреде-
/
лим (/ι*/2)(0 = Σ 01/02/^. В этих обозначениях мы получаем следующее
предложение. !
3.9.9. Предложение. 1) Пусть Л, В — кошулевы алгебры. Тогда
P(hom(fl, Л), 0 = [Ρ(β, -t) *Р(Л, -О-1]"1· (3·9·7)
2) Пусть В — кошулева алгебра и либо Л, ./шбо β! конечномерна.
Тогда для морфизма /: В —> Л выполняется равенство
xf(t) = P(A, -Г[)Р(В, -ή'1. (3.9.8)
Доказательство. 1) Класс кошулевых алгебр замкнут относитель-
но операций ! и о (см. [28]), а потому и относительно ·. Используя повторно
предложение 3.9.7, находим
Р(\ют(В, Л), t) = Ρ(β! · Л, t) = Р(В о Л!, -О"1 =
= [Ρ(β, -0*Я(Л!, -0Г1 =
= [Р(В, -t)*P(A, -О"1]'1·
2) Это следует из предложений 3.9.3 и 3.9.7. u
234 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
Замечание. Ниже мы будем использовать соотношение (3.9.7) в слу-
чае В = Л, для того чтобы подсчитать размер «скрытых симметрии» квад-
ратичной алгебры. С другой стороны, равенство (3.9.8) позволит оце-
нить количество нетривиальных когомологических представлений end (Л)
на Н'(ЦА)).
3.9.10. Таблица.
Р(А, -t)
Р{А, -t)~
Р(Л, -Г1)
Sn = Щ*1, ·.., Хп]
1
(1 + 0"
=е(':"_-;><-1У
(1 +
6=0ЧА;/
tn
(1+0"
Λ/η — Sm —
= Κ(ξ,,..
. 5«>/(Kj, ξ/]+)
m ■ f m\ ■
(i-0w=E(-iy( V
/=0 Ч / У
(\-tr
_ ,k + m-\\ k
~£nV m-1 Г
£ = Κ[*ι,...,*4]/(<7ι, <72)
(полное пересечение квадрик =
эллиптическая кривая)
0-0*
(i + 0z
= 1+4E/V'(-1V
= 1+4 Σ */*
(1-02
(i + O2
Отметим, в частности, что
Р(Е, t) = P(S2®A2, /).
Отметим также, что, поскольку алгебры £ и £! бесконечномерны, мы не
можем вычислить χ1 из таблицы. Является ли комплекс L* ацикличным?
3.9.11. Вычисления. 1) Справедливо равенство
Зж - 1
dim(end(S2)() =
Действительно,
(1 + t)
г*(1 +0=1 - 4/ + З/2 = (1 - 0(1 - 30,
P(end(S2), t) =
3/2 1/2
1-3* 1-Г
(i+O3
2) Справедливо равенство Р(епсЩ. /) = -—-1 + ' —-?. Наимень-
ι lot +- 1"ί + Г
ший корень знаменателя есть 0,08915047 ..., поэтому dim end(£); растет
как const · (11,21690 ...)'. Заметим, что dim Е\ = 4, так что 16' есть ско-
рость роста соответствующей свободной матричной алгебры.
§3.10. *-алгебры Хопфа и компактные матричные псевдогруппы 235
3.9.12. Задача. Существует ли способ находить dimfendM. g)/))? Я не
знаю ни одного критерия кошулевости алгебр end (Л, g). Разумеется,
в некоторых случаях базис в end (Л, g) можно найти явно. Рассмотрим,
например, исключительный случай q2 = — 1 для Ε = endl4^°T g) из § ЗЛ,
в котором «плоская» зависимость от q нарушается. Можно проверить, что
в этом случае базис Ε составляют мономы
а*№(сЬу<*<Г.
Считая количество таких мономов, получаем, что Ε имеет размер пяти-
мерного коммутативного многообразия, в то время как при q1 ψ —\ оно
четырехмерно.
Из теории алгебр Гекке известно, что значения параметра q e {корни
из 1} играют особую роль. Возможно, их исключительные свойства прояс-
нят структуру endOv , g) для алгебр Aq , определенных соотношениями
XiXj = q~lXjXi при / </.
Вообще говоря, следует ожидать, что алгебра Гекке играет роль «кван-
товой группы Вейля» для g\(Aq , g). Можно ли уточнить это предположе-
ние и определить группы Вейля в более общем контексте?
§3.10. *-алгебры Хопфа и компактные матричные
псевдогруппы
3.10.1. *-алгебры Хопфа. Пусть (£, m, Δ) — алгебра Хопфа над С
с биективным антиподом /. В. Г. Дринфельд предложил задавать ^струк-
туру на Ε посредством отображения /': Ε —> Ε, обладающего следующими
свойствами:
а) j является изоморфизмом алгебр и антиизоморфизмом коалгебр;
6)/2=(//)2=id.
Существует способ изготовления *-алгебр Хопфа. Пусть Ε — биалгеб-
ра над С, порожденная элементами мультипликативной матрицы Ζ, причем
существует С-изоморфизм τ: (£, m, Δ)->(£, m, Δορ), при котором τ(Ζ) =
= ZT. Предположим дополнительно, что R(E) С Ef2 есть вещественное
пространство относительно вещественной структуры, порожденной тен-
зорными произведениями элементов Z. Тогда в качестве /£ можно взять
композицию изоморфизма τ и комплексного сопряжения коэффициентов
(сначала τ, потом сопряжение).
Очевидно, /£ удовлетворяет условию а) и /| = id.
3.10.2. Предложение. Пусть γ: Ε-> Η — универсальное отобра-
жение из Ε в С-алгебру Хопфа с биективным антиподом i. Тогда су-
ществует единственная ^-структура j на Н, при которой
= γ(Ζ)Γ.
236 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
Доказательство. Напомним явную конструкцию алгебры Хопфа
из п. 3.7.2:
Я = ОД|/ = ..., -1,0, 1, ...)Д
где R порождается соотношениями (3.7.1)-(3.7.3) для всех k Ε Ζ. Опре-
делим антилинейный морфизм алгебр /: C(Z;) —> C(Z[), положив
7(2,) = ¾.
Очевидно, /(/?) С R, поэтому / спускается на Н. Более того, антипод на
Η индуцирован отображением ι: Ζ^ н-* Z^+ь Поэтому легко видеть, что
(ГЛ2 = id:
7 ■ -^ ν ύΤ , ι ν 7Τ ,1^7 , ι ν 7
Lk ι > L_k ι ► ^-£+1 ' * Lk-\ ' > £k-
Доказательство единственности мы оставляем читателю. D
3.10.3. Пример. Эта конструкция приложима к£=е(Л, g) (см. п. 3.6.2),
если R(A) есть вещественное подпространство в Af2 относительно бази-
са Х[ ® Xj, в котором g — Y^xf- Эта конструкция, примененная к SL^(2),
дает после пополнения квантовую версию группы SU(2), рассмотренную
Вороновичем в работе [47].
3.10.4. Компактные матричные псевдогруппы. Воронович (см. [48])
называет компактной матричной псевдогруппой следующий набор
данных (Ε, Ζ, Δ), в котором
а) Е — С*-алгебра, Ζ — квадратная матрица, элементы которой порож-
дают плотную *-подалгебру Ε в Е;
б) Δ: Е—>Е®Е — коумножение, при котором Δ(Ζ) = Ζ ® Ζ и Δ яв-
ляется морфизмом С*-алгебр;
в) алгебра Ε с индуцированной структурой биалгебры имеет биективный
антипод / (в обозначениях Вороновича κ);
г) /(/(а*)*) = а для всех а е Е.
Обсудим связь между этим понятием и определением *-алгебры Хопфа.
Если задана компактная матричная псевдогруппа (Ε, Ζ, Δ), то ^струк-
тура на £ в смысле Дринфельда может быть определена как/:аи /_1 (а*).
Действительно, отображение / антилинейно, ибо таково отображение *;
/ мультипликативно, поскольку i~l и * антимультипликативны, причем /
обращает коумножение, так как i~{ делает то же, в то время как * сохра-
няет его. Наконец,
a U-> Гх(а*) Д-> Г1 [Г1 (а*)*] = Г1 о /(а) = а (в силу п. г)),
ч * ч
а\—>а \-^а.
Обратно, пусть Η — алгебра Хопфа с *-структурой /'. Положим a* = ij(a)
для a £ Н. Очевидно, что это отображение обладает всеми свойствами
§ 3.11. Уравнения Янга—Бакстера
237
антиинволюции. Однако алгебра Η не является нормированной. В рабо-
те [47] Воронович предложил следующую конструкцию. Рассмотрим мно-
жество всех *-представлений π алгебры Η в гильбертовых пространствах.
Положим
||a|| = sup||it(a)||
π
и рассмотрим пополнение Η —► Η относительно этой полунормы. Если это
пополнение — вложение, то (как в случае Η = SL^)), мы получаем ком-
пактную матричную псевдогруппу, при условии, что Η порождена элемен-
тами мультипликативной матрицы Ζ.
Мы настоятельно рекомендуем читателю статьи [47], [48] и последую-
щие работы Вороновича, в которых фактически заложено основание тео-
рии представлений компактных матричных псевдогрупп, т. е. «компактных
форм» наших квантовых групп.
§3.11. Уравнения Янга—Бакстера
3.11.1. Оператор Янга—Бакстера. Пусть F — линейное простран-
ство, R: F <g> F —> F ® F — обратимый линейный оператор. Известно, что
если R = 5(12) · /ι ® /2 —> h ® /ь то можно определить представление сим-
метрической группы Sn на F®n следующим образом: представим переста-
новку о eSn как произведение транспозиций соседних элементов и поло-
жим /?/,/+1 =S/ti-+1 вместо каждой из транспозиций (/, /+ 1). Разумеется,
разложение перестановки σ неоднозначно, но результирующий линейный
оператор не зависит от него.
Произвольный оператор R называется оператором Янга—Баксте-
ра, если он обладает свойствами 5(ΐ2), τ. е. он определяет серию представ-
лений группы Sn в F®n с помощью описанной выше конструкции.
3.11.2. Предложение. Оператор R является оператором Ян-
га—Бакстера тогда и только тогда, когда он удовлетворяет сле-
дующим уравнениям Янга—Бакстера (или уравнениям треугольни-
ков):
^2з/?12/?23 = /?12/?2з/?12: F®3 - F®3, (3.11.1)
/U = id:F®2->/*2. (3.11.2)
Здесь, например, #23(/1 ® /2 ® /з) = /1 ® Rfo ® /з) и т-д-
Доказательство. Прямое следствие того факта, что соотноше-
ния Кокстера между транспозициями соседей определяют симметрическую
группу.
238 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
3.11.3. Примеры. 1) Пусть F = Fo®F\, где {О, 1} = Z2. Положим
/ = 0 (соответственно 1), если / Ε /¾ (соответственно / £ F\). Пусть
R(f®g) = (-l)lsg®f.
Этот оператор Янга—Бакстера во вполне определенном смысле «порож-
дает» основные понятия супералгебры (ср. ниже).
2) Более общим образом, пусть ^ = 0/^, где индекс α пробегает неко-
α
торое множество. Положим
R(f®g) = α«β ® Л где /€ Fa, g e /> ααβ Ε Κ.
В этом случае соотношение (3.11.1) выполнено автоматически, а соотно-
шение (3.11.2) означает, что
^αβββα = 1 Для всех α, β.
3) Пусть Я— алгебра Хопфа и F\, /¾ — комодули над ней с кодействи-
ями δ/: Ft —> Я (8 Ζ7/. На пространстве Fi ® /¾ также можно определить
структуру Я-комодуля с помощью следующего сквозного отображения
Fl®F2!^H®Fx®H®F2^H®H®Fx®F2!!£^H®Fx®F2^
Мы рекомендуем читателю проверить все аксиомы из п. 3.2.8 и вычислить
соответствующую мультипликативную матрицу (см. предложение 3.2.9).
Разумеется, /¾ <g> F\ тоже является комодулем. Таким образом, про-
странство F ® F несет две естественные структуры комодуля. Однако они
могут оказаться неизоморфными!
Если применить конструкцию в «универсальном» случае F = Я и за-
даться вопросом, когда два естественных копредставления на Я ® Я экви-
валентны, то ответ можно дать в случае, когда эквивалентность задается
с помощью сопряжения:
/?: Н®Н-*Н®Н, где R(x) = pjcp"1, а р<ЕЯ®Я.
Мы предлагаем читателю переписать соотношения (3.11.1) и (3.11.2) в дан-
ном контексте: см. [13] и [35], а также обсуждение «треугольных» алгебр
в [31].
3.11.4. Квадратичные алгебры, порожденные оператором Ян-
га—Бакстера. Пусть R e End(F ® F) — оператор Янга—Бакстера. Мы
можем построить «R-симметрическую алгебру» пространства F:
Sr(F) — @{$п - инварианты пространства Ζ70"}
§ 3.11. Уравнения Янга—Бакстера 239
и «R-внешнюю алгебру» пространства F:
Легко проверить, что эти алгебры квадратичны:
S'R(F) = {F,(U-RW®F)},
AR(F) = {F, (ld+R)(F®F)}
в обозначениях § 3.2. Для 5 = S(i2) получаем обычные алгебру многочленов
и внешнюю алгебру. Заметим, что SR(F)1 = AR*(F*).
Начав с таких алгебр Л, мы можем получить end (Л), end (Л, g) и их
хопфовы оболочки g\(A), gl(/4, g).
В частности, для пространства с выделенным базисом
F = φ К*,·, R(xt ® *,·) = ^"'χ, ® х/ (3.11.3)
мы можем дословно повторить все, что сделано в § 3.1. Именно, S*R(F) ста-
нет «квантованным» ^-пространством Aq , a A^(F) подобным же образом
превратится в алгебру Ад, которая является грассмановой (см. п. 3.8.1)
и потому позволяет определить квантовый детерминант. На этом пути мы
получим квантовые группы GL^(az), SLq(n). Снабжая их *-структурой, как
в § 3.10, получаем Uq(n) из работ Вороновича.
Конечно же, мы не обязаны ограничивать себя рассмотрением только
однопараметрических деформаций GL(n). Как и в примере 3.11.3(2), мы
можем взять более общий оператор Янга—Бакстера:
η
F = φ Кхь где R(Xi <g> xj) = ацх} <g> Χ/, α1}αμ = 1, (3.11.4)
и снова повторить все конструкции § 3.1.
Предупреждение. Если все ац — 1, то алгебра A\{F) останется грас-
смановой. Если же некоторые ац равны 1, а другие ац равны —1, то мы
получим нечто вроде внутренней 1%-градуировки на F и наша кванто-
вая группа GL#(tt) будет иметь некоторое сходство с общей линейной су-
пергруппой GL(r | s). Чтобы лучше понять происходящее в этом случае,
отступим немного назад и обсудим роль оператора перестановки S0, где
σ € Sn, в наших основных конструкциях.
3.11.5. Операторы перестановки. Мы приглашаем читателя вновь
обратиться к § 3.2 и просмотреть все диаграммы, определяющие биалгеб-
ры, алгебры Хопфа и прочие связанные с ними конструкции. Мы видим,
что оператор S(i2) фигурирует явно в следующих местах:
240 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
а) в аксиоме связи (п. 3.2.1),
б) в определениях отображений тор, Δορ (π. 3.2.3),
в) в теореме 3.2.4 о единственности антипода.
Кроме того, в § 3.2 мы опустили ряд проверок и доказательств, отсылая
читателя к книге Абе [27]. Если внимательно проследить за свойствами
оператора S(i2), использующимися во всех этих доказательствах, то они
сведутся в точности к уравнениям Янга—Бакстера (3.11.1), (3.11.2).
Следовательно, выбрав оператор Янга—Бакстера R Ε ena(F ® F), мож-
но определить серию /?-версий всех понятий, заменяя во всех определениях
и доказательствах S(i2) на R. К примеру, можно:
• определить структуру /?-алгебры Хопфа на F\
• перевести основные конструкции из § 3.3 для квадратичных алгебр
{F, R(F)}, используя R вместо 5(i2>;
• построить endR(A) для /^-квадратичной алгебры и доказать, что это
снова /?-алгебра.
В частности, вводя повсюду Z2-градуировку и используя «правило зна-
ков» из примера 3.11.3 (1), мы получим «суперизацию» всего класса кван-
товых групп (и квантовых пространств).
Конечно, неудобно иметь только один оператор Янга—Бакстера, дей-
ствующий на пространстве F 0 F. Мы должны иметь возможность пере-
ставлять разные линейные пространства, образовывать тензорные произ-
ведения операторов Янга—Бакстера, дуализовать и т.д. Для всего этого
существует очень удобная аксиоматика — аксиоматика тензорных катего-
рий. В следующем пункте мы приведем ее краткий обзор.
3.11.6. Слабые операторы Янга—Бакстера и группа кос. Обра-
тимый элемент R e ma(F ® Z7), удовлетворяющий условию (3.11.1), но не
обязательно условию (3.11.2), мы будем называть слабым оператором
Янга—Бакстера.
Располагая слабым оператором Янга—Бакстера, мы можем опреде-
лить действие группы кос Артина Bd„ на тензорных степенях F®n, ставя
в соответствие стандартной образующей τ/ из группы кос оператор /?/,/+1
(условимся, что i-я нить проходит при этом поверх (/+ 1)-й). Наглядную
интерпретацию уравнения (3.11.1) в терминах кос см. на рис. 3.1.
Слабые операторы Янга—Бакстера интенсивно использовались в не-
давних работах по теории узлов и в смежных областях: см. работы Джон-
са, В. Тураева, Фрёлиха. К сожалению, я не могу напрямую связать их
с квантовыми группами. Конечно, формально можно повторить конструк-
ции из § 3.4, но получающиеся при этом алгебры окажутся слишком ма-
лы — см. предложение 3.6.8. Правильный способ расширить их описан
в п. 3.6.9; следует использовать матричное соотношение (3.6.2), а именно,
R(Z Θ Ζ) = (Ζ Θ Z)R,
§3.12. Алгебра в тензорных категориях и функторы Янга—Бакстера 241
#23
#12
#23
ι 2 :
i
,>г
А
V
Л
ι 2 :
ν ι
_
J
А
х:
#12
#23
#12
Рис. 3.1
которое является лишь «частью» соотношений, определяющих end (So (/7))
при R2 φ Ι.
3.11.7. Итоги. Квантовые группы связаны с операторами Янга—Бак-
стера двумя способами.
Во-первых, оператор Янга—Бакстера определяет квантовое простран-
ство, квантовая группа симметрии которого может быть получена описан-
ными выше методами.
Во-вторых, оператор Янга—Бакстера может быть внедрен в сами
определения основных объектов, коренным образом изменяя их. Наилуч-
ший способ разобраться в этом систематически — начать с семейства, ска-
жем, линейных пространств, замкнутого относительно тензорных произве-
дений и дуализации и снабженного набором операторов Янга—Бакстера
V ® W —► W ® I/, определенных для каждой пары пространств семейства.
Короче говоря, мы начинаем с абстрактной «тензорной категории»
и проделываем все внутри нее. Мы получаем новую теорию с той же самой
логической структурой.
В следующем параграфе мы опишем это подробнее.
§3.12. Алгебра в тензорных категориях и функторы
Янга—Бакстера
3.12.1. Тензорные категории вкратце. В этом пункте мы в весьма
сжатой форме изложим аксиоматическое описание некоторого класса ка-
тегорий, очень похожих на категорию векторных пространств над полем К.
Это позволит нам воспроизвести все предыдущие построения в более аб-
страктном контексте. Детали см. в работе [33], а в работе [29] — прочие
ссылки и наиболее важные конструкции.
Пусть S — категория, а
®: SxS-+S, (Χ, Υ)^Χ®Υ
242 Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
— бифунктор. Морфизмом ассоциативности для (8, ®) называется
функториальный изоморфизм
<Р*к,ζ: X ® (У ® ζ) -^ (* ® У) ® ζ>
удовлетворяющий «аксиоме пятиугольника», которая означает, что мож-
но тензорно перемножать любые конечные наборы объектов, не заботясь
о расстановке скобок. Морфизм коммутативности есть функториаль-
ный изоморфизм
фх.у: *®У-*У®Х,
удовлетворяющий условиям совместимости с φ, означающим, что для лю-
бого набора объектов ΛΊ, ..., Хп и перестановки σ € Sn можно определить
изоморфизм
5σ: Χ\ ®...®Χη-+Χσ-\{{)® . ..®*σ-ΐ(„)
так, что 5σ5τ = 5^. Разумеется, 5σ собирается из элементарных транс-
позиций tyxhx.. Единичный объект U в категории 5 есть такая пара
(£/, и: U -+ и ® U), что функтор S —► S, ΛΊ-> ί/ ® X, естественно продол-
жается до эквивалентности категорий. Тензорная категория — это ка-
тегория S вместе с функтором тензорного произведения ®, совместимыми
морфизмами ассоциативности и коммутативности и единичным объектом.
Примеры. 1) Векторные пространства над полем, где для любых
хеХу у ΕΥ, ζ€ Ζ выполняется равенство
(f(x ® (у ® Z)) = (Х ® у) ® 2, ψ(* ®у)=у®Х.
2) 22-градуированные векторные пространства над полем с тем же са-
мым φ, но с условием ψ(χ ® у) = (-l)^y ® х, где χ — четность отображе-
ний х.
3) Категория квадратичных алгебр QA с о или · в качестве тензорного
произведения (см. § 3.3).
4) Категория представлений аффинной групповой схемы (см. [33]).
5) Категория (ко)представлений алгебры Хопфа с дополнительной
структурой, необходимой для определения элементов φ и ψ, удовлетво-
ряющих подобающим аксиомам (см. [13]).
3.12.2. Жесткие тензорные категории. Тензорная категория назы-
вается жесткой, если для пары объектов Χ, Υ можно определить внут-
ренний функтор Нот, состоящий из объектов Hom(X Y) вместе с функ-
торными изоморфизмами
Hom(Z, Hom(*, Υ)) -♦ Hom(Z ® Χ, Υ)
§3.12. Алгебра в тензорных категориях и функторы Янга—Бакстера 243
и функторными изоморфизмами
<g) Hom№, Yi) -+ Horn( <g) Χι, ® Υι)
(см. [33]). Все примеры из предыдущего пункта (при соблюдении подхо-
дящих условий конечности) приводят к жестким тензорным категориям, за
исключением (QA, о), где нет внутренних функторов Нот.
В частности, в жестких тензорных категориях имеется функтор дуали-
зации
Хн+Х = Нот(Х. ί/),
где U — единичный объект и все объекты являются рефлексивными:^ = Х.
3.12.3. Абелевы тензорные категории. Мы будем называть тензор-
ную категорию 8 абелевой, если она является абелевой, а функтор ® биад-
дитивен. Мы обычно предполагаем, что объекты Нот(Х, У) суть линейные
пространства над полем К, т. е. что 8 есть К-категория. Тензорное произ-
ведение будет в этом случае точным функтором.
3.12.4. Функторы Янга—Бакстера. Пусть (8, ®) и (Т, ®)—две тен-
зорные категории. Строгий функтор F: §—>7 называется функтором Ян-
га—Бакстера, если он переводит тензорные произведения из 8 в тензор-
ные произведения в Τ и совместим с морфизмами ассоциативности в 8, Т,
но не обязательно — с морфизмами коммутативности.
Грубо говоря, в таком случае можно считать объект категории 8 объек-
том категории Т, снабженным некоторой дополнительной структурой таким
образом, что морфизм коммутативности в 8 отличается от морфизма ком-
мутативности в 7 тем, что учитывает эту структуру.
Пример. Пусть 8 — категория 22-градуированных векторных прост-
ранств, Τ—категория линейных пространств, a F — забывающий функтор.
В. В. Любашенко (см. [13]) показал, как превратить жесткую тензор-
ную категорию с функтором Янга—Бакстера в категорию векторных про-
странств, начав с одного оператора Янга—Бакстера, удовлетворяющего
некоторым условиям невырожденности. По сути дела, при этом добавля-
ются все тензорные произведения, двойственные пространства, подпро-
странства и факторпространства, «совместимые» с исходным оператором
Янга—Бакстера таким образом, чтобы он служил новым морфизмом ком-
мутативности в полученной категории. (При этом, конечно, морфизмы так-
же подчинены условиям совместимости.) Любашенко доказал также тео-
рему, показывающую, что такие функторы Янга—Бакстера являются по
существу забывающими функторами из категории представлений некото-
рой алгебры Хопфа.
Гл 3 Квантовые группы и некоммутативная геометрия
244 -—'■— ~
3.12.5. Алгебра в абелевых тензорных категориях. Зафиксируем
теперь некоторую абелеву тензорную категорию (S, ®) и объясним, ка-
ким образом следует проводить стандартные алгебраические построения,
чтобы получить относительные понятия S-алгебры, S-коалгебры, 8-алгеб-
ры Ли, S-квантовой группы и т.д. Но сначала — небольшое предупрежде-
ние. Наши аксиомы моделируют свойства конечномерных векторных про-
странств. Это существенно везде, где необходимо использовать свойство
рефлексивности. С другой стороны, симметрическая алгебра векторного
пространства является бесконечномерной и т.д. Таким образом, следует
фактически расширить наш изначальный универсум (8, <g>) так, чтобы он
содержал бесконечные прямые суммы, проективные и индуктивные преде-
лы и т. д. Следует заметить, что все это было сделано достаточно давно и
впоследствии забыто (см. в [29] вариант решения этой важной проблемы).
1) Ъ-алгебра. Ассоциативная 8-алгебра есть объект Л в S с морфизмом
умножения т: А ® Л -+Л, удовлетворяющим аксиоме ассоциативности из
п. 3.2.1. Аналогично ассоциативная S-алгебра с единицей состоит из Л,
т и морфизма η: (/—»Л, удовлетворяющего аксиоме единицы из п. 3.2.1.
Здесь U — единичный объект в 8.
Теперь ясно, как надо определять S-алгебры, 8-биалгебры, 8-алгебры
Хопфа в духе § 3.2. Понятие S-алгебры Ли, возможно, менее очевидно.
Удобно начать с определения 8-коммутатора.
2) Ъ-коммутатор. Пусть (Л, т) — ассоциативная 8-алгебра. Опре-
делим ^-коммутатор как отображение
[.]§:А®А-+А, [f]s =/я(/) - ш5(12)(/)
(мы вернулись к Sa -обозначениям вместо ψχ,κ). Для категории векторных
пространств мы получаем обычную формулу:
[а ® b}$ —ab- ba.
Легко проверяются следующие тождества:
«8-антикоммутативность» : [S(i2)(/)]s = _[/]s, (3.12.1)
«S-тождество Якоби» : {g}$ + {S(3i2)(g)}s + {S(23i)(g)}s = °> (3.12.2)
где тройной коммутатор [α, [b, с]] имеет вид
{•}§:Л0Л®Л^^Л®Л^Л. (3.12.3)
Теперь мы можем определить S-коммутативные алгебры, в которых
[·]§ = 0 тождественно. Переписывая это условие в терминах коммута-
тивных диаграмм, мы можем также обратить стрелки и определить 8-ко-
коммутативные S-алгебры и т. д. Поучительно посмотреть, в каких местах
определения Л^, Л§р, Л 0§ В и т. д. будут отличаться от Л!, Лор, Л ® В
и т.д.
§3.12. Алгебра в тензорных категориях и функторы Янга—Бакстера 245
3) Ъ-алгебры Ли. Ъ-алгебра Ли— это объект L из S вместе с морфиз-
мом [·]§: L ® L -» L, удовлетворяющим условиям (3.12.1) и (3.12.2) (отме-
тим, что тройной коммутатор (3.12.3) определен исключительно в терминах
Ms)·
4) Дифференциальные операторы. Пусть А — ассоциативная S-ал-
гебра. Следуя Гротендику, мы можем определить внутренний объект
8-дифференциальных операторов Diff<^-(y4) вместе с морфизмом действия
//: Ш^(А)®А^>А
с помощью следующей индуктивной процедуры. Положим
Шо(Л) = 0, /о = т.
Далее, Diff<-;+i(/l) есть максимальный подобъект в объекте Нот(Л, А)
(являющийся 8-алгеброй), для которого
[Diff^+1(/l), Diff0(/l)]s cDiff^H)
и //+ι индуцируется каноническим отображением Нот(Л, А) ® А -» А.
Разумеется, существование такого объекта — отдельный вопрос. Имея
Diff<^(/1), можно определить и квантовые пространства струй.
5) Квадратичные Ь-алгебры. Конструкции из § 3.3, 3.4 повторяются
дословно.
Мы надеемся, что внимательный читатель уже усвоил правила игры.
Один из интересных продуктов — S-относительные версии алгебр Кошу-
ля, комплексов Кошуля, (ко)гомологий Хохшильда, циклических (ко)гомо-
логий.
3.12.6. Предположения об универсуме некоммутативной алгебра-
ической геометрии. Возьмем абелеву тензорную К-категорию (S, ®)
с функтором Янга—Бакстера
(S, 0) —> {К-векторные пространства}.
Рассмотрим категорию S-коммутативных градуированных алгебр А и по-
пробуем развить проективную алгебраическую геометрию в этой категории
в стиле Серра. В частности, такая алгебра А определяет внутренним обра-
зом абелеву категорию «Coh(Proj(/l))» когерентных пучков на Proj(^) —
факторкатегорию градуированных S-A-модулей по конечным модулям.
Морфизмы между такими проективными спектрами должны определяться
как некоторые функторы между категориями «Coh(Proj(/l))» («обратные
образы»). Реализация этой программы начата А. Б. Веревкиным }.
Короче говоря, как учит нас А. Гротендик, на самом деле для геометрии
не нужно какого-либо пространства: все, что необходимо, — это категория
пучков на том, что следовало бы считать пространством.
^См. [2*], [46] и более поздние работы.
246
Гл. 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия
§3.13. Некоторые открытые проблемы
В заключение мы сформулируем некоторое количество вопросов и ука-
жем возможные направления дальнейших исследований, связанных с под-
ходом к квантовым группам, описанным в этих лекциях.
3.13.1. Дифференциальная геометрия. Необходимо уметь опреде-
лять комплекс де Рама, касательное и кокасательное пространства и т. п.
для квантового квадратичного пространства и его end-биалгебры, а затем
переносить их на соответствующую квантовую группу. Нет сомнений, что
все это может быть проделано стандартным способом в категории квад-
ратичных S-алгебр, где S есть янг-бакстерова категория векторных про-
странств. Похоже, что дифференциальные формы Вороновича на кванто-
вом аналоге SU(2) (см. [47]) укладываются в эту схему.
Возможно ли существенно расширить рамки такой дифференциальной
геометрии? Комплекс Кошуля К*(А) отчасти напоминает комплекс неком-
мутативных потоков (не форм — из-за дополнительной дуализации А! н-> А!*).
Конечно, в нашем распоряжении есть идея Алена Конна использовать
циклические когомологии.
3.13.2. Циклические (ко) гомологии. Для квадратичных алгебр А
они были изучены Б. Л. Фейгиным и Б. Л. Цыганом. Следует понять, бу-
дут ли «квантовые симметрии» алгебры А действовать на ее циклических
(ко)гомологиях, а также изучить циклические (ко)гомологии квантовых
(полу)групп.
3.13.3. Корневая техника и квантовые группы Каца—Муди. Ше-
валле, Спрингер и другие применяли классическую корневую технику на-
прямую к кольцу функций на алгебраической группе, а не к алгебре Ли.
Можно ли распространить такой подход на наши квантовые группы, воз-
можно, начав с квантования простейшего фундаментального представ-
ления, интерпретируя его как «квадратичное квантовое пространство»?
Можно ли использовать при этом какой-нибудь аналог матриц Картана
для алгебр Каца—Муди?
3.13.4. Квантовая алгебра (и «группа») Вирасоро? Один из воз-
можных подходов — использовать вложение алгебры Вирасоро в цен-
тральное расширение бесконечномерной алгебры Ли1*. Поскольку у нас
есть большой запас квантовых линейных групп и некоторые наши кон-
струкции легко модифицировать, чтобы получить разнообразные версии
GLquantum(°°)> можно надеяться проквантовать алгебру Вирасоро. Новые
эффекты, появляющиеся в бесконечномерной ситуации, должны быть тща-
тельно изучены.
J)0 таких вложениях см. статью Ю. Неретина в [4*]. О супералгебрах, обобщающих ал-
гебру Вирасоро, см. в [26*] и — с другой позиции — в [30*].
§3.13. Некоторые открытые проблемы
247
3.13.5. Пространства флагов, квантовые расслоения, поля Ян-
га—Миллса. Весьма важно определить некоммутативное пространство
флагов для квантовых групп или, по меньшей мере, главные расслоения на
них. Эта глава некоммутативной (алгебраической) геометрии широко от-
крыта. Конечно, следует надеяться, что для «хороших» групп (наподобие
групп симметрии S-симметрических алгебр) можно получить клетки Шубер-
та, теорию Бореля—Вейля—Ботта и т. д. Здесь, однако, не следует сильно
спешить, поскольку даже в супергеометрии — простейшей некоммутатив-
ной геометрии — реализация подобной программы началась недавно и об-
наружила как ее богатое содержание, так и новые головоломные явления.
3.13.6. Представления колец функций. Первоисточник теории кван-
товых групп — квантовый метод обратной задачи — требует изучения (уни-
тарных) представлений колец функций на квантовых группах.
См. также статьи С. Л. Вороновича [47, 48], Л. Л. Ваксмана и Я. С. Сой-
бельмана [6, 45].
3.13.7. Кошулевы кольца и дифференциальные градуированные
алгебры. Класс квадратичных кошулевых алгебр является очень важным.
Среди множества их интересных свойств следует упомянуть такое: если ал-
гебра А является кошулевой, то алгебра Л! изоморфна Ext* (К, К). (В про-
тивном случае это подалгебра, порожденная Ext .) Это делает разумным
следующий вопрос: можно ли обобщить наши конструкции квадратичных
алгебр, распространив их на подходящую категорию дифференциальных
градуированных алгебр (с морфизмами, рассматриваемыми с точностью
до гомотопии)?
3.13.8. «Скрытые симметрии» в алгебраической геометрии. Про-
извольное проективное алгебраическое многообразие (на самом деле да-
же схема) есть проективный спектр квадратичной алгебры. Для некоторых
важных многообразий, таких как абелевы многообразия (с заданной жест-
костью) и их пространства модулей, эти квадратичные алгебры снабжены
каноническими образующими степени 1 (теория Мамфорда абстрактных
тэта-функций). Наши результаты показывают, что некоторые универсаль-
ные алгебры Хопфа действуют на указанных многообразиях. Их свойства
заслуживают внимательного исследования.
Вероятно, простейший класс примеров — это алгебраические кривые
с фиксированным каноническим вложением. За весьма редкими исключе-
ниями, кривая рода g вкладывается в Р^-1 с помощью дифференциалов
первого рода и все соотношения между ними порождаются квадратичны-
ми соотношениями. Соответствующие алгебры Хопфа скрытых симметрии
кривой в принципе могут быть много большими, чем классические группы
автоморфизмов (которые конечномерны при g ^ 2 и, как правило, триви-
альны).
Литература
[ 1 ] А т ь я М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру / Пер.
Ю.И. Манина. М.: Мир, 1972; М.: Факториал Пресс, 2003.
Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука. 1985.
Бурбаки Н. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра. Перев. с франц. М.:
Наука, 1987.
Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968.
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ., 1963.
Ваксман Л. Л., Сойбельман Я. С. Алгебра функций на квантовой
группе su(2) // Функц. анализ и его прил. 1988. Т. 22, вып.З. С. 1-14, 96.
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.
Го д е м а н Р. Алгебраическая топология и теория пучков. М.: ИЛ, 1961.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.:
ИЛ, 1962.
(Дьедонне Ж. Алгебраическая геометрия // Математика (сб. переводов).
1965. Т. 9, №1. С. 54-126.
Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Т. 1, 2. М.: ИЛ,
1963.
Л е н г С. Алгебра. М.: Мир, 1968.
Любашенко В. В. Алгебры Хопфа и вектор-симметрии // УМН. 1986.
Т. 41, вып. 5. С. 185-186.
Маклейн С. Алгебра аддитивных отношений // Математика (сб. перево-
дов). 1963. Т. 7, №6. С. 3-12.
Мамфорд Д. Лекции о кривых на алгебраической поверхности. М.: Мир,
1968.
Мамфорд Д. Проблемы модулей и их группы Пикара // Математика (сб.
переводов). 1969. Т. 13, №22. С. 26-63.
Μ а н и н Ю. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М.: Наука,
1984.
Μ а н и н Ю.И. Лекции о /(-функторе в алгебраической геометрии // УМН.
1969. Т. 24, вып. 5. С. 3-86.
Μ а н и н Ю. И. Лекции по алгебраической геометрии (1966-68). М.: МГУ,
1968.
С е ρ ρ Ж. П. Алгебраические группы и поля классов. М.: Мир, 1968.
С е ρ ρ Ж. П. Локальная алгебра и теория кратностей // Математика (сб.
переводов). 1963. Т. 7, №5. С. 3-943.
Склянин Е. К. Квантовая версия обратного метода рассеяния // Записки
научн. сем. ЛОМИ. 1980. Т. 95. С. 55-128.
Склянин Е. К-, ТахтаджянЛ. Α., Фаддеев Л. Л. Квантовый метод
обратной задачи // Теор. и мат. физика. 1979. Т. 40, вып. 2. С. 194-220.
Литература
249
[24] Чеботарев Η. Г Теория алгебраических функций. М.-Л · Гостехиздат
1948.
[25] Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Μ · МЦНМО
2007.
[26] Шевалле К. Теория групп Ли. Т. 1-3. М.: ИЛ, 1958.
[27] Abe Е. Hopf algebras // Cambridge Tracts in Math. V.74. Cambridge Univ
Press, 1980.
[28] Backelin J., Froberg R. Koszul algebras, Veronese subrings and rings
with linear resolutions // Revue Roumaine de Math. Pures et Appl. 1985 Τ 30
№2. P. 85-97.
[29] В a r r M. *-autonomous categories // Lecture Notes in Math. 1979. V. 752.
[30] D r i η f e 1 d V. G. On quadratic commutation relations in the classical limit //
Математика, физика и функциональный анализ. Киев: Наукова думка, 1986
С. 25-34.
[31] Drinfeld V. G. Quantum groups // Proc. Int. Congr. Math. 1986. V. 1.
P.798-820. Русская версия: Дринфельд В. Г. Квантовые группы // За-
писки научн. сем. ЛОМИ. 1986. Т. 155. С. 18-49.
[32] D е 1 i g η е P. Cohomologie etale // Seminaire de Geometrie Algebrique du
Bois-Marie SGA 4-. Avec la collaboration de J. F. Boutot, A. Grothendieck,
L. Illusie et J. L. Verdier. Berlin—New York: Springer-Verlag, 1977. (Lecture
Notes in Mathematics. V. 569.)
[33] D e 1 i g η e P., Μ i 1 η e J. Tannakian categories // Lecture Notes in Math. 1982.
V.900. P. 101-228. Имеется русский перевод: Делинь П., Милн Дж.
Категории Таннаки // Ходжевы циклы и мотивы. М.: Мир, 1985.
[34] Faddeev L. D. Integrable models in (1 Η- l)-dimensional quantum field theory
II Recent advances in field theory and statistical mechanics (Les Houches, 1982).
Amsterdam: North-Holland, 1984. P. 561-608.
[35] Faddeev L. D., Reshetikhin N. Yu., Takhtajan L. A. Quantization
of Lie groups and Lie algebras. Preprint LOMI, 1987.
[36] Faddeev L. D., Takhtajan L. A. Hamiltonian approach to solitons theory.
Springer, 1987. Русская версия: Фаддеев Л. Д., Тахтаджян Л. А.
Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.
[37] Grothendieck A. Elements de geometrie algebrique. I. Le langage des
schemas // IHES Publ. Math. 1960. № 4. P. 5-228; II. Etude globale elementaire
de quelques classes de morphismes // IHES Publ. Math. 1961. №8. P. 5-222;
III. Etude cogomologique des faisceaux coherents Ц IHES Publ. Math. 1961.
№ 11. P. 5-167; 1963. № 17. P. 5-91; IV. Etude locale des schemas et des mor-
phismes des schemas // IHES Publ. Math. 1964. №20. P. 5-259; 1965. №24.
P. 5-231; 1966. №28. P. 5-255; 1967. №32. P. 5-361. (http://numdam.org/)
[38] J i m b о M. A ^-difference analogue of U(g) and the Yang—Baxter equation //
Lett. Math. Phys. 1985. V. 10. P. 63-69.
[39] J i m b о M. A ^-analogue of U($l(N + 1)), Неске algebra and the Yang—Baxter
equation // Lett. Math. Phys. 1986. V. 11. P. 247-252.
[40] L о f w a 11 C. On the subalgebra generated by one-dimensional elements in the
Yoneda Ext-algebra // Lecture Notes in Math. 1986. V. 1183. P. 291-338.
250
Литература, добавленная редактором
[41] Μ a n i n Yu. I. Some remarks on Koszul complex and quantum groups // Ann.
Inst. Fourier. 1987. T.37, f.4. P. 191-205.
[42] Μ u m f о r d D. The red book of varieties and schemes. Berlin: Springer-Verlag,
1988. (Lect. Notes in Math. V. 1358.) Имеется русский перевод: Мам-
ф о ρ д Д. Красная книга о многообразиях и схемах. М.: МЦНМО, 2007.
[43] Ρ г i d d у S. В. Koszul resolutions // Trans. AMS. 1970. V. 152, №. 1. P. 39-60.
[44] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas // Seminaire de Geometrie
Algebrique du Bois-Marie 1963-1964 (SGA4). Dirige par M. Artin, A. Grothen-
dieck, et J. L. Verdier. Berlin-New York: Springer-Verlag, 1972. (Lecture Notes
in Mathematics, V. 269.)
[45] Soibelman Ya. S. Irreducible representations of the functional algebra of
quantized SU(n) and the Schubert cells. Preprint. 1988.
[46] Ve r e ν k i η Α. Β. On a noncommutative analogue of the category of the coher-
ent sheaves on a projective scheme // AMS translations. 1992. V. 151. P. 41-53.
[47] Woronowicz S. L. Compact matrix pseudogroups // Comm. Math. Phys.
1987. V. 111. P.613-665.
[48] Woronowicz S. L. Twisted SU(2)-group. An example of non-commutative
differential calculus // Publ. RIMS. 1987. V.23, no. 1. P. 117-181.
Литература, добавленная редактором
[1*] Васерштейн Л. Η., Суслин А. А. Проблема Серра о проектив-
ных модулях над кольцами многочленов и алгебраическая /(-теория // Изв.
АН СССР. Сер. Матем. 1976. Т. 40, №5. С. 993-1054.
[2*] Веревкин А. Б. Когомологии Серра над некоммутативными кольцами.
Диссертация канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ, 1989; Когомологии Серра
некоммутативных колец и эквивалентность Мориты // УМН. 1989. Т. 44, № 5;
С. 157-158.
[4*] Воспоминания о Феликсе Александровиче Березине — основоположнике су-
перматематики / Составители Е. Г. Карпель и Р. А. Минлос, под ред. Д. А. Лей-
теса и И. В. Тютина. М.: МЦНМО, 2009.
[5*] Данилов В. И. Когомологии алгебраических многообразий // Алгебраи-
ческая геометрия - 2. Итоги науки и техн. М.: ВИНИТИ, 1989. С. 5-130.
(Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. Т. 35.)
[6*] Демидов Е. Е. Квантовые группы. М.: Факториал, 1998.
[7*] Ге л ь φ а н д С. И., Μ а н и н Ю. И. Методы гомологической алгебры. Вве-
дение в когомологии и производные категории. Т. 1. М.: Наука, 1988. Есть
расширенный английский перевод: Gelfand S., Manin Yu. Methods
of homological algebra. Berlin: Springer-Verlag, 1996.
[8*] Гу ρ e в и ч Д. И. Алгебраические аспекты квантового уравнения Янга—Бак-
стера // Алгебра и Анализ. 1990. Т. 2, №4. С. 119-148.
[9*] Джонстон П. Т. Теория топосов / Пер. с англ., под ред. Ю. И. Манина.
М.: Наука, 1986.
Литература, добавленная редактором
251
[10*] К а с и в а р а М., Ш а п и ρ а П. Пучки на многообразиях / Пер. с англ.
и φρ. Μ.: Мир, 1997.
Кассель К. Квантовые группы / Пер. с англ. М.: УРСС, 1999.
Кассел К., Россо М., Тураев В. Квантовые группы и инварианты
узлов. Перев. с англ. М.: Ин-т компьют. исслед., 2002.
К е л л и Л. Дж. Общая топология. М.: Наука, 1968.
К о б л и ц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. М.:
Мир, 1981.
Μ а н и н Ю. И. Лекции по алгебраической геометрии. Часть 1: Аффинные
схемы. М.: МГУ, 1970.
Μ а н и н Ю. И. Новые размерности в геометрии // Успехи матем. наук. 1984.
Т. 39, вып. 6 (240). С. 47-73.
Ρ и д М. Алгебраическая геометрия для всех. М.: Мир, 1991.
С е ρ ρ Ж.-П. Когерентные алгебраические пучки //Жан-Пьер Сер р.
Собрание сочинений. Т.2. М.: МЦНМО, 2004. С.23-113.
Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии.
М.: ИЛ, 1956.
Суслин А.А. Проективные модули над кольцом многочленов свободны //
ДАН СССР. 1976. Т. 229, №5. С. 1063-1066.
В 1 a s s A. Existence of bases implies the axiom of choice // Axiomatic set
theory (Boulder, Colo., 1983). Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1984. P. 31-33.
(Contemp. Math. V.31.)
В о r i s ο ν D., Μ a n i η Yu. I. Generalized operads and their inner cohomomor-
phisms /I Progress in Mathematics. V. 265. Basel: Birkhauser, 2008. P. 247-308.
Chari V., Pressly A. A guide to quantum groups. Cambridge: Camb.
Univ. Press, 1995.
D о e b η e r H. D., Η e η η i η g J. D., L u с k e W. Mathematical quide to
quantum groups // Lecture Notes in Phys. 1990. V.370. P. 29-63.
Ginzburg V., Kapranov M. Koszul duality for operads // Duke Math.
J. 1994. V. 76, №1. P. 203-272.
Ginzburg V., Kapranov M. Erratum to «Koszul duality for operads».
1994. V.76. P. 203-272 // Duke Math. J. 1995. V.80, № 1. P. 293-293.
Grozman P., Leites D., Shchepochkina I. Lie superalgebras of
string theories // Acta Mathematica Vietnamica. 2001. V.26, №. 1. P. 27-63.
(arXiv: hep-th/9702120)
Gurevich D., Pyatov P., Saponov P. Hecke symmetries and char-
acteristic relations on reflection equation algebras // Letters in Math. Physics.
1997. V.41. P. 255-264. (arXiv:q-alg/9605048)
Gurevich D., Saponov P. Braided affine geometry and ^-analogs of
wave operators. (arXiv.0906.1057)
Η a 1 m о s P. Naive set theory. Van Nostrand, 1960.
К а с V. Classification of supersymmetries // Proc. ICM (Beijing, 2002). Beijing:
Higher Ed. Press, 2002. V. 1. P. 319-344.
252
Литература, добавленная редактором
[31*] La n g S. Algebra. Revised third edition. N.Y.: Springer-Verlag, 2002. (Grad-
uate Texts in Mathematics, V. 211.)
[32*] Lusztig G. Introduction to quantum groups. Boston: Birkhauser, 1993.
(Progress in Math., V. 110.)
[33*] Macdonald I. G. Algebraic Geometry. Introduction to Schemes. New York
and Amsterdam: W. A. Benjamin, Inc., 1968.
[34*] Mac Lane S. Categories for the working mathematician. Second edition.
N.Y.: Springer, 1998. (Graduate Texts in Mathematics, V. 5.) Русский пере-
вод: Маклейн С. Категории для работающего математика. М.: Физмат-
лит, 2004. '
[35*] Μ a n i n Yu. I. A course in mathematical logic / Translated from the Russian
by Neal Koblitz. N.Y.-Berlin: Springer-Verlag, 1977. (Graduate Texts in Math-
ematics. V. 53.) Сокращенная версия по-русски в двух книгах:
Манин Ю. И. Доказуемое и недоказуемое. М.: Советское Радио, 1979;
Μ а н и н Ю. И. Вычислимое и невычислимое. М.: Советское Радио, 1980.
[36*] Μ a n i n Yu. I. Topics in non-commutative geometry. Princeton, NJ: Princeton
University Press, 1991. (Μ. Β. Porter Lectures.)
[37*] Μ a n i η Yu. The notion of dimension in geometry and algebra // Bull. Amer.
Math. Soc. 2006. V.43, №2. P. 139-161. (arXiv: math/0502016)
[38*] S u s 1 i η A. Algebraic /(-theory of fields // Proc. ICM (Berkeley, Calif., 1986).
Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1987. V. 1, 2. P. 222-244.
Предметный указатель
1-коцикл Чеха, 149
Ass X, 49
е(Л, g), 218
L-точка, 45
Μ-последовательность, 178
/^-внешняя алгебра, 239
/^-симметрическая алгебра, 238
S-алгебра Ли, 245
S-коммутативная алгебра, 244
S-коммутатор, 244
*-алгебра Хопфа, 235
Бесконечно удаленная гиперплоскость,
128
Биалгебра, 72, 199
Бирациональная эквивалентность, 123
Большое открытое множество, 23
Векторное расслоение, 77, 79
Вложенная компонента, 51
Внутренний Нот, 210
Внутренний horn, 211
Высота точки, 23
Геометрически полное пересечение, 140
Геометрический слой, 67
Гиперповерхность, 88, 138, 140
Гомоморфизм /(-алгебр, 9
— градуированных модулей однород-
ный, 132
— предпучков модулей, 141
Группа квантовая общая линейная, 226
специальная линейная, 226
— Гротендика, 182
— Пикара, 149, 152, 153
— в категории, 67, 68
— линейная алгебраическая, 69
Двойственная категория, 101
Двойственность Картье, 74
Декартов квадрат, 64
Детерминант гомологический, 230
Дзета-функция, 56, 58
Диагональ, 67
— относительная, 67
Диаграмма, 103
— коммутативная, 101
Дифференцирование, 35, 90
Задача Римана—Роха, 180
Замена базы, 64, 75
Замкнутая подсхема, 45
Замкнутое вложение, 45
регулярное, 86
Идеал однородный, 127
— примарный, 47
— простой, 13
— радикальный, 21, 45
Алгебра, 8
— Грассмана квантовая, 225
— кошулева, 232
— плоская, 81
— фробениусова, 225
— Хопфа, 201
Аннулятор, 52
Антипод, 200
Арифметический род, 133
Артиново кольцо, 26, 29, 119
Ассоциированный простой идеал, 49
Аффинная схема, 118
групповая, 68
нётерова, 47
приводимая, 47
Аффинное алгебраическое множество,
56
254
Предметный указатель
Изолированная компонента, 51
Изоморфизм, 99
— функторный, 103
Индуктивная система, 103
Индуктивное множество, 14
Категория, 98
— двойственная, 101
— объектов над данной базой, 102
— открытых множеств, 100, 109
Квадратичная алгебра, 205
Квазиобъединение, 46
Квантовая GL(2), 198
— SL(2), 198
— внешняя степень, 208
— конформная группа, 218
— матричная группа, 202
— плоскость, 195
— симметрическая степень, 208
Квантовый детерминант, 198, 225
— метод обратной задачи
(КМОЗ), 192
Коассоциативность, 203
Ковариантный функтор, 102
Когомологии, 156
— проективного пространства, 168
— Чеха Я1, 150
— покрытия, 156
Кограница, 150
Ко действие, 213
Коединица, 203
Кокасательное пространство Зарисско-
го, 88
Кольцо арифметическое, 57
— артиново, 26, 29, 119
— булево, 31
— геометрическое, 57
— градуированное, 127
— констант, 8
— нётерово, 19, 25
— частных, 40
Коммутативная диаграмма, 101
Комодуль, 203
Компактная матричная псевдогруппа,
236
Комплекс Кошуля, 160—163, 167, 191,
229, 231
— Чеха, 155
Композиция морфизмов, 98
Конструктивное множество, 38
Контравариантный функтор, 102
Конус, 127
Коразмерность, 87
Лемма Накаямы, 83
Максимальный спектр, 44
Многочлен Гильберта, 132, 155, 175
Модуль дифференциалов, 90
— конормальный, 86
— локально свободный, 80
—, проективная эквивалентность, 188
— проективный, 80
—, свободная эквивалентность, 188
— частных, 79, 80
Моноидальное преобразование, 120,
130
Морфизм Фробениуса, 59
— ассоциативности, 242
— в категории, 98
— действия, 245
— диагональный, 67
— коммутативности, 242
— схем, 33, 124
— функторный, 103
Мультипликативная матрица, 201
— система, 40
полная, 30
Нётерово кольцо, 19
Неприводимая компонента, 25
Носитель подсхемы, 45
Общая точка, 25
Объект единичный, 242
— категории, 98
Основное кольцо, 8
Отображение ограничения, 109
Пересечение семейства подсхем, 46
Подгруппа замкнутая, 69
Предметный указатель
255
Подсхема локально регулярно вложен-
ная, 87
— примарная, 47
— регулярно вложенная, 86
Полная подкатегория, 102
Полное пересечение, 86, 138
Предпучок, 103, 109, ПО
— модулей, 141
—, сечение, 109
—, слой, 112
Представимый функтор, 104
Примарное разложение, 48
Проективная система, 103
Проективное пространство, 120
Проективный модуль, 80
Произведение в категории, 105
— категорий, 102
— расслоенное, 63
Пространство квазикомпактное, 29
— квантовое фробениусово, 225
— нётерово, 25
— неприводимое, 24
— проективное, 120
— связное, 28
Противоположная биалгебра, 216
Пучок, 110, 111, 113
— 0(/2), 151
—, ассоциированный с предпучком, ИЗ
— квазикогерентный, 143, 146, 173
— когерентный, 144, 148
— конечного типа, 144
— модулей, 142
, тензорное произведение, 143
ядра и коядра, 143
—, носитель, 148
— обратимый, 149
— очень обильный, 177
—, сечение, 109
— структурный, 114, 116—118
Радикал идеала, 21
Радикальный идеал, 21, 45
Размерность кольца, 60
— проективного спектра, 133—135, 137
— пространства, 23
Расслоенное произведение, 63, 64
Регулярная последовательность, 86, 167
Резольвента, 167, 183
— минимальная, 189
Росток, 112
Связное пространство, 28
Семейство векторных пространств, 77
— индуцированное, 77
— локально тривиальное, 78
— нормальное, 86
— тривиальное, 78
Система индуктивная, 103
— мультипликативная, 40
— проективная, 103
— уравнений, 8
Склейка, 119, 122
Слой предпучка, 112
Сопряженные функторы, 142
Спектр кольца, 14
— проективный, 127
, арифметический род, 133
, размерность, 133—135, 137
, степень, 133, 137
, характеристика, 133
Стрелка, 98
Существенный делитель нуля, 178
Схема, 119
— аффинная, 33, 118
— гладкая, 183
— групповая, 68
— диаграммы, 100
— конечной группы, 69
—, морфизм, 33
— нётерова, 47
— приведенная, 46
— приводимая, 47
Тензорная категория, 242
абелева, 243
жесткая, 242
Тензорное произведение предпучков,
142
Теорема Безу, 138, 141
— Гильберта о нулях, 53-56
256
Предметный указатель
Теорема Гильберта о сизигиях, 183, 191
— Картана, 156
— Картье, 70
— Нётер о нормализации, 54
— Розенлихта—Шевалле, 70
— Серра, 169
— Шевалле, 38
Тождества Крамера, 226
— Лагранжа, 226
Топология Зарисского, 20
Точка алгебры, 195
— /(-алгебры, 13
— геометрическая, 13
, центр, 15
— общая, 25
— спектра, 14
Ультрафильтр, 31
Фильтр, 31
Формула Лефшеца, 60
Функтор, 102
— ковариантный, 102
Функтор контравариантный, 102
— представимый, 104
— сопряженный, 142
Функторный изоморфизм, 103
— морфизм, 103
Характеристика проективного спектра,
133, 137
Характеристическая функция, 137
Целое расширение, 39
Частное идеалов, 52
Эйлерова характеристика, 175
Эйлерово произведение, 58
Эквивалентность категорий, 104
Янга—Бакстера оператор, 237
слабый, 240
— уравнения, 237
— функтор, 243