U1JV7JJO
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
Научно-
методический
журнал
Министерства
просвещения
СССР
5*
ВЕЛИКИЙ РУССКИЙ УЧЕНЫЙ И ПРОСВЕТИТЕЛЬ
МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ЛОМОНОСОВ
(К 275-летию со дня рождения)
Михаил Васильевич Ломоносов — не нералог, художник и стихотворец, он Ломоносове и его вкладе в науку
только ученый, поэт и художник, но все испытал и всё проник: первый особенно обогатил профессор Ле-
и великий русский просветитель. По углубляется в историю отечества, нинградского политехнического ин-
ого предначертанию был организо- утверждает правила общественного ститута Б. Н. Меншуткин (1874—1938).
ван Московский университет. Он языка его, дает законы и образцы Развитие современной науки застав-
неустанно боролся за улучшение классического красноречия, с не- ляет многое изменять в прежних
деятельности академической гимна- счастным Рихманом предугадывает оценках глубины проникновения Ло-
зии и академического университета открытия Франклина, учреждает моносова в суть рассматривавшихся
в Петербурге Человек энциклопеди- фабрику, сам сооружает махины, да- им проблем и еще больше удив-
ческих знаний и всеобъемлющей рит художества мозаическими про- ляться его прозорливости
одаренности, он внес многое в раз- изведениями и наконец открывает Жизнь Ломоносова, его жажда
витие естествознания истории лите- нам истинные источники нашего по- знания, увлеченность наукой поэзи-
ратуры, демографии, производства этического языка» (Пушкин А. С. ей, изобразительным искусством по-
цветного стекла. Разнообразие ин- Поли. собр. соч.: В 10 т. Л.: Наука, разительны. Его стремление не толь-
тересов Ломоносова было столь ве- 1978. Т. 7. С. 21).	ко узнать то, что сделали другие, но
лико и его открытия столь значи-	Далее	у Пушкина есть	замеча-	и перепроверить результаты пред-
тельны, что в Западной Европе одно	тельные	строки' «Ломоносов был	шественников, самостоятельно про-
время были убеждены в существо-	великий	человек... он один	является	вести эксперименты и осмыслить
вании двух Ломоносовых — поэта и	самобытным сподвижником	просве-	рассуждения и выводы других, чтобы
естествоиспытателя.	щения Он создал первый универси составить свое собственное мне-
Пожалуй, никто так ярко и Широко тет. Он, лучше сказать, сам бь л пер- ние,— исключительно важный при-
не сказал о Ломоносове, как вым нашим университетом» (С. 191). мер для воспитания характера мо-
А. С. Пушкин: «Соединяя необыкно- К эюи оценке следует добавить, что лодых, для подготовки будущих ис-
венную силу воли с необыкновенной во времена Пушкина многое из еде следователей, тех, кому предстоит
силою понятия, Ломоносов обнял ланного Ломоносовым или оствва взять в свои руки развитие науки и
все отрасли	просвещения.	Жажда	лось неопубликованным, или на-	всего научно-технического	прогрес-
науки была	сильнейшею	страстию	столько опережало своё время, что	са страны.
сей души,	исполненной	страстей	тогда не могло быть в достаточной	Продолжение см. далее	в атом
Историк, ритор механик, химик, ми- степени оценено. Наши сведения о номере журнала
Научно-методический
журнал
Министерства просвещения
СССР
Москва «Педагогика»
Издается с 1934 года
Выходит один раз
 два месяца
МАТЕМАТИКА
S S3® В ШКОЛЕ
СЕНТЯБРЬ — ОКТЯБРЬ
НА ПУТЯХ РЕФОРМЫ ШКОЛЫ
3 Работу учителей — не новый качественный уровень
4 Примерные учебно-тематические планы и протрамма курсов поаь те-
ния квалификации учителей математики
МГ’Г>ДИ«ЕСКИЙ ОТДЕЛ
От Главного управления школ МП СССР
11 Программа по математике (VIII—XI классы) для школ (классов) е
углубленньм теоретическим и практическим изучением математики
24 Учебные планы школ РСФСР с углубленным изучением математики
Изучаем и обсуждаем программу 25
Из опыта работы
Ж. Пудретов
R А Курдюмова
3 И. Турлакова,
М. Д Черней
Л. С. Чистякова
35
36
40
43
К проблеме воспитания экономического мышления учащихся
Числовые примеры как способ самоконтроля и развития логического
мышления
Использование графиков равномерного движения при решении тек-
стовых задач по алгебре
К вопросу о конструктивно-графических и измерительных умениях
учащихся VI—VIII классов
Консультация
46 Примерное планирование материале на II полугодие 1986/87 учебного
года для школ, работающих по пробным учебникам
К 275-летию со дня рождения
Б. В. Гнеденко, 49 Великий русский ученый и просветитель Михаил Васильевич Ломоносов
П Жидков
Из истории преподавания математики
Г Д Глейзер, 34 К истории вопроса об изучении векторов
Г К Кеян
Виекпвссная работа
Л, П. Купцов, Г А Канунникове,	57
С. Н. Маркова, С. В Резниченко
Д Ф. Изаак,	62
В Г, Болтянский
Третий этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
О построении общею перпендикуляре двух скрещивающихся прямых
© «Математике г школе* №
Задачи 64
Математический календарь
на 1986 8? учебный Гбд
А.	И. ббродий	71	HdhepBi декабрь
Ю М. Колягин,	71	-Лев Михаилович Лоповок
В. П Хмель,
Ё М Колесник
В.	И ЙфМмОВ, 71 Лвь Моисеевич Фридман
Е Н Турецкий,
F. А. Хабиб
ЗА РУБЕЖОМ
Т. В. Малкова 73 Что такое Коккрофтский отчет}
ХРОНИКА
78 В секции средней школы Московского математического общества
В И Ефимов 78 В комиссиях Научно-методического сове а МП СССР
Ф М. Шустеф
3. В. Шепелева
72 Новые книги
79 План выпуска литературы издательства «Педагогика» на 1987 г.
Рсда кЦhс И и а я коллегий
₽ е Д в к П й о й в ы й совет
(преоставичли Си1г*ные рёипцдлик):
Главный редактор Р. С. Черкасов
Зам. главного редактора А. И Верченко
Члены редакционной колле! ви.
fl. Al.	Бескин
fi. Г.	Болтянский
Н. Ф.	Власик.
1 д.	Блейзер
в в	Гнеденко
1 в.	Дорофеев
Н А	Ермолаева
А 11.	Колмогоров
ю. м	. Калягин
М Р.	Леонтьева
1. Г.	Маслова
К И.	Пешков
л. м	Пашкова
И. с	Петраков
Н. х	Розов
В. А.	Скворцм
п. в	Стратилатов
3. С.	Сихотини
А И.	Шалимова
С И	Шварцбурд
Г. А	Ястребикецкий
А М Алиев (АаССР)
Л А. Асадов (ТВДжССР)
В В. firpdwe ПССР1
В. А. Гусев (РСФСР)
А С Зиоеигас (ЛитССР)
Д И Икрояоа (Уэ'С(->
X К. Кггжаснава (к^ССР)
111. М. Майлиев (КнргССР)
В Я. Миллере (ЛатвССР)
3. И. Моисеева (РСФСР)
С Ф. Рубанов (БССР)
Н Н. Садовникова (РСФСР)
Р В Саркисян (АрмССР)
3 И. Слепяпнь (УССР)
А Э. Тельгмаа (ЭССР)
И. Ф. Г зеленка (УССР)
Р А- Хабиб (РСФСР)
А Л1. ХоШ1ирия (Г GP)
Зав. редакцией
3. В. Шепелеве
Художественный редактор
С Ф. Рябов
Технический редактор
Л В. Розанова
Корректор J1. Ф Чинулина
Сд яно в набор 20 08 86 Подписано
в печать 26 09 86 Форма! 84X108',',,.
Печать ЙЫСОЙ вя.	Усл. веч. л. 8.40.
Уч.-ИЗД. Л 11,07	Усл кр.-отт. Ь.ОЗ.
Твра)й 437 870 ВКз Цена 45 кои.
Заказ 197
Изда!«льст11о «Педагогика» Академии
педагогических Наук СССР в Государст-
венного комйТеГй СССР по делам изда-
тельств. Полиграфий в книжной торговли.
АдреЕ йТДяТелнсгва 107847, Москва, (СП,
Ь-Оэ. Лефортовский пер д 8
Адрес редакции.' 129278. Москва,
ул П. Корчагина д. 7. Телефон 283-85 83
МоскиичИай тиПОГрьфИг № 13
ПО «Периодика» ВО «СоювИолИ! ряф-
грнм» Государственного комитета СССР
по дел М издательств повигрпфнн и
книжной торговли
107005, Москва Б 5, Денисовский нер,
А 80.
НА ПУТЯХ РЕФОРМЫ ШКОЛЫ
Работу учителем*—на новый качественный
уровень
XXVII съезд КПСС поставил перед совет-
ским народом большие и сложные задачи,
определил конкретные и реальные планы
обеспечения материально и духовно богатой,
социально насыщенной жизни советских лю-
дей, сохранения и упрочения мира на Земле.
Взятый партией курс на ускорение разви-
тия страны предусматривает преобразование
экономики, проведение активной социальной
политики, последовательное утверждение
принципа социалистической справедливости.
Стратегия ускорения предполагает совершен-
ствование общественных отношений, обнов-
ление форм н методов работы политических
и идеологических институтов, углубление со-
циалистической демократии, решительное
преодоление инерции, застойности и консер-
ватизма— всего, что сдерживает обществен-
ный прогресс.
Интересы общества, как подчеркивал на
съезде Генеральный секретарь ЦК КПСС то-
варищ Горбачев М С., требуют более энер-
гичных действий в реализации реформы
школы и по темпам, и по ее содержанию. Не-
обходимо более глубоко поставить изучение
научных основ современного производства,
ведущих направлений его интенсификации;
неотложно обеспечить компьютерную грамот-
ность учащихся; «полнее реализовать ленин-
ский принцип соединения обучения с произ-
водительным трудом; решительнее добивать-
ся повышения эффективности обучения ко-
ренного улучшения подготовки молодежи к
самостоятельной жизни и труду, воспитания
сознательных строителей нового общества»
(Горбачев М. С. Политический доклад Цент-
рального Комитета КПСС XXVII съезду
Коммунистической партии Советского Союза.
25 февраля 1986 г. М Политиздат, 1986.
С 61).
Поднять работу школы на новый качест-
венный уровень — задача чрезвычайной важ-
ности, и ее успех в решающей степени зави
сит от учителя, его идейно теоретического
1*
уровня, научной подготовки, профессиональ-
ного мастерства.
Эта взаимосвязь требует перестройки в со-
ответствии с реформой школы методической
работы с педагогическими и руководящими
кадрами просвещения всех категорий. Мето-
дическая служба, важным звеном которой яв-
ляются курсы повышения квалификации учи-
телей, призвана помочь кадрам в перестрой-
ке мышления и психологии, в преодолении
формализма в педагогическом и управленче-
ском труде, в овладении наиболее эффектив-
ными приемами и методами работы
Публикуемые ниже учебно-тематические
планы и программы курсов повышения квали-
фикации учителей математики разработаны с
учетом новейших достижений психолого-пе-
дагогической науки и содержания школьной
программы по математике, опубликованной в
1985 г. Они включают теоретические и при-
кладные вопросы математики, актуальные
проблемы воспитания в процессе обучения,
проблемы методики преподавания матсмати
ки, обеспечения всеобщей компьютерной гра-
мотности. Программы ориентируют учителя
на работу в условиях ускорения социально-
экономического развития страны па базе на-
учно-технического прогресса, качественно но-
вых требований, предъявляемых обществом к
общеобразовательной школе В них нашли
отражение положения и выводы, содержа-
щиеся в документах и материалах съезда
партии, учтены идеологическая направлен-
ность учительской профессии и всевозрас-
тающее значение человеческого фактора, по
вышепие ответственности учителя за форми
ровайие социально активной, творческой лич-
ности.
В программах предусмотрена вариатив-
ность содержания повышения квалификации
учителей различного уровня профессиональ-
ной подготовленности. Она Достигается как
за счет трех вариантов учебно-тематического
плана, так и за счет спецкурсов и спсцсеми-
3
НА ПУТЯХ РЕФОРМЫ ШКОЛЫ
Работу учителем*—на новый качественный
уровень
XXVII съезд КПСС поставил перед совет-
ским народом большие и сложные задачи,
определил конкретные и реальные планы
обеспечения материально и духовно богатой,
социально насыщенной жизни советских лю-
дей, сохранения и упрочения мира на Земле.
Взятый партией курс на ускорение разви-
тия страны предусматривает преобразование
экономики, проведение активной социальной
политики, последовательное утверждение
принципа социалистической справедливости.
Стратегия ускорения предполагает совершен-
ствование общественных отношений, обнов-
ление форм н методов работы политических
и идеологических институтов, углубление со-
циалистической демократии, решительное
преодоление инерции, застойности и консер-
ватизма— всего, что сдерживает обществен-
ный прогресс.
Интересы общества, как подчеркивал на
съезде Генеральный секретарь ЦК КПСС то-
варищ Горбачев М С., требуют более энер-
гичных действий в реализации реформы
школы и по темпам, и по ее содержанию. Не-
обходимо более глубоко поставить изучение
научных основ современного производства,
ведущих направлений его интенсификации;
неотложно обеспечить компьютерную грамот-
ность учащихся; «полнее реализовать ленин-
ский принцип соединения обучения с произ-
водительным трудом; решительнее добивать-
ся повышения эффективности обучения ко-
ренного улучшения подготовки молодежи к
самостоятельной жизни и труду, воспитания
сознательных строителей нового общества»
(Горбачев М. С. Политический доклад Цент-
рального Комитета КПСС XXVII съезду
Коммунистической партии Советского Союза.
25 февраля 1986 г. М Политиздат, 1986.
С 61).
Поднять работу школы на новый качест-
венный уровень — задача чрезвычайной важ-
ности, и ее успех в решающей степени зави
сит от учителя, его идейно теоретического
1*
уровня, научной подготовки, профессиональ-
ного мастерства.
Эта взаимосвязь требует перестройки в со-
ответствии с реформой школы методической
работы с педагогическими и руководящими
кадрами просвещения всех категорий. Мето-
дическая служба, важным звеном которой яв-
ляются курсы повышения квалификации учи-
телей, призвана помочь кадрам в перестрой-
ке мышления и психологии, в преодолении
формализма в педагогическом и управленче-
ском труде, в овладении наиболее эффектив-
ными приемами и методами работы
Публикуемые ниже учебно-тематические
планы и программы курсов повышения квали-
фикации учителей математики разработаны с
учетом новейших достижений психолого-пе-
дагогической науки и содержания школьной
программы по математике, опубликованной в
1985 г. Они включают теоретические и при-
кладные вопросы математики, актуальные
проблемы воспитания в процессе обучения,
проблемы методики преподавания матсмати
ки, обеспечения всеобщей компьютерной гра-
мотности. Программы ориентируют учителя
на работу в условиях ускорения социально-
экономического развития страны па базе на-
учно-технического прогресса, качественно но-
вых требований, предъявляемых обществом к
общеобразовательной школе В них нашли
отражение положения и выводы, содержа-
щиеся в документах и материалах съезда
партии, учтены идеологическая направлен-
ность учительской профессии и всевозрас-
тающее значение человеческого фактора, по
вышепие ответственности учителя за форми
рование социально активной, творческой лич-
ности.
В программах предусмотрена вариатив-
ность содержания повышения квалификации
учителей различного уровня профессиональ-
ной подготовленности. Она Достигается как
за счет трех вариантов учебно-тематического
плана, так и за счет спецкурсов и спсцсеми-
3
паров по актуальным вопросам обучения и
воспитания, изучаемых по выбору слушате-
лей.
Первый вариант адресован учителям,
нуждающимся в повышении общего научно-
методического уровня. Второй рассчитан на
молодых учителей и предусматривает углуб-
ленное изучение вопросов психологии обуче-
ния, теории и методики коммунистического
воспитания.
Третий вариант включает философ-
ские вопросы преподаваемого предмета, ор-
ганизацию и содержание методической рабо-
ты, обобщение и использование передового
опыта. Этот вариант имеет целью удовлетво-
рить профессиональные интересы учителей,
обладающих. значительным педагогическим
опытом.
Учебно-тематические планы и программы
включают тематику самостоятельных занятий
учителей в межкурсовой период и списки ре-
комендуемой литературы, которые помогут
обеспечить непрерывное повышение квалифи-
кации педагогических кадров.
Предлагаемые учебно-тематические планы
и программы курсов являются примерными.
В зависимости от конкретных условий может
частично изменяться тематика занятий. Бюд-
жет времени на изучение тем и разделов
строго не регламентируется.
Управление кадров
Минисгерсгва просвещения СССР
Примерные учебно-тематические планы
и программа курсов повышения квалификации
учителей математики
«Теория и методика
преподавания предмета» 1 2
ОБЪЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Предлагаемые примерные учебно-тематиче-
ские планы и программа ставят целью воору-
жить учителей математики знаниями и уме-
ниями, необходимыми для реализации идей
реформы общеобразовательной и профессио-
нальной школы, подготовить их к работе по
новой школьной программе в условиях уско-
рения социально-экономического развития
страны на основе научно-технического про-
гресса.
В программе курсов повышения квалифи-
кации учителей математики сочетаются тео-
ретические и прикладные вопросы математи-
ки: математический анализ, алгебра и теория
чисел, геометрия и топология, вычислитель-
ная математика. Предусматривается изуче-
ние вопросов усиления воспитательного по-
тенциала процесса обучения математике, со-
вершенствования форм и методов учебных и
1 Макеряялы подготовлены в Научно-исследователь-
ском институте обшего образования взрослых ЛПН
СССР (сост. А С Фомченко, Г. В. Дорофеев; рецен-
зент»—заведующий лабораторией обучения математике
НИИ СиМО АПН СССР В. В. Фирсов},
внеклассных занятий. Особо выделены вопро-
сы мировоззренческой, политехнической, при-
кладной и практической направленности пре-
подавания математики, использования в учеб-
но-воспитательном процессе вычислительной
техники.
Для изучения па групповых и индивидуаль-
ных занятиях предлагаются вопросы форми-
рования и развития математических знаний;
развитие понятия числа и вычислительных
навыков учащихся; тождественные преобра-
зования различных типов выражений; мето-
дика изучения уравнений, неравенств и их
систем; методика изучения и развития чис-
ловых функций, элементов математического
анализа; развитие логических и пространст-
венных представлений учащихся при изуче-
нии школьного курса геометрии; планирова-
ние обязательных результатов обучения.
Программы спецкурсов и спецсеминаров*
направлены на углубление знаний учителей
по философско методологическим проблемам
математики. В них уделено большое внима-
ние роли математики в ускорении научно тех-
нического прогресса, проблемам коммунисти-
ческого воспитания в процессе обучения ма-
тематике, методике использования вычисли-
2 Программы спецкурсов и спецсеминаров, а также
список литературы будут опубликованы в следующем
номере журнала.
тельной техники в учебно-воспитательном
процессе, связи преподавания математики с
основами информатики н вычислительной
техники.
В помощь учителю дается примерная тема-
тика для организации самообразования в
межкурсовой период. Литература может быть
дополнена списками предыдущей программы
курсов (Математика в школе, 1981, № 5, 6),
а также соответствующими статьями из жур-
налов «Советская педагогика», «Народное
образование», «Математика в школе».
УЧЕБНЫЙ ПЛАН (156 ч)
Г. Актуальные проблемы марксистско-ле-
нинской теории и политики КПСС—18 ч (14,
4, —) 3.
2.	Вопросы теории и методики коммунисти-
ческого воспитания учащихся — I вариант —
16 ч (12, 2, 2), II вариант — 30 ч (14, 8. 8),
III вариант— 16 ч (4, 12, —).
3.	Подготовка педагогов к наступательной
пропагандистской работе в обстановке остро-
го противоборства социалистической и бур-
жуазией идеологий —10 ч (8, 2,—-).
4.	Вопросы психолого-педагогической под-
готовки педагогических и руководящих кад-
ров— I в.—16 ч (14, 2, —), II в.— 26 ч (16,
8, 2), III в,— 16 ч (12, 4, —).
5.	Теория и методика преподавания пред-
мета — 40 ч.
6.	Философские вопросы преподаваемого
предмета4— III в.— 12 ч (8, 2, 2).
7.	Спецкурсы и спецсеминары по препода-
ваемому предмету (по выбору слушателей) —
1 в.—24 ч.
8.	Методическая работа. Изучение и обоб-
щение передового педагогического опыта —
III в.— 12 ч. (6, 4, 2).
9.	Вопросы информатики и вычислительной
техники — 6 ч (2, 2, 2).
10.	Вопросы марксистско-ленинской эстети-
ки — 6 ч (4, 2, —).
11.	Актуальные вопросы советского пра-
ва5 — 4 ч (4, —, —).
12.	Спецкурсы и спецсеминары по актуаль-
ным вопросам обучения и воспитания —12 ч.
13.	Зачеты и консультации, защита рефера-
тов — 4 ч.
ь Перед скобками указано общее количество часов
на тему, в скобках — количество часов соответственно
на лекции, семинары, практические занятия Если ва-
рианты не указ, ны, то значит, данное распределение
часов годится для любого варианта
4 См сборники: Программа «Философские проблемы
естествознания». М.: Педагогика, 1981; Программа «Фи-
лософские вопросы общественных наук». М: Педаго-
гика, 1985.
5 Программы разделов I—4 и ТО; 11 планируются К
публикации в специальном сборнике.
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
Научно-теоретическая подготовка —
I вариант— 10 ч (10, —, —),
П вариант — 4 ч (4, —, —),
ill вариант— 18 ч (18, —, —)
1.	Философско-методологические проблемы
математики- 2 ч (2, —, —).
2.	/Математический анализ — I и II в.— 2 ч
(2, —, —), III в.— 4 ч (4, —, —).
3.	Алгебра и теория чисел — I в.— 2 ч (2,
•—, —), III в.— 4 ч (4, —, —).
4.	Геометрия и топология — 1 в.— 2 ч (2,
—,—), III в.— 4 ч (4, —, —).
5.	Электронно-вычислительная техника и
программирование. Вычислительная магема-
тика— I в.—2 ч (2, —, —), 111 в,—4 ч (4,
МЕТОДИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА - I в - 30 ч (П
8 8), II в —36 ч (24. —, 12). Ill в.—22 ч (8. 10. 4)
Вопросы обшей методики преподавания ма/ема/ики —
I в—12 ч (4, 4. 4), II в.—14 ч (10, —, 4), III в —
12 ч (2 8. 2)
1.	Совершенствование учебно-воспитатель-
ного процесса в свете .решений XXVII съезда
КПСС и Основных направлений реформы об-
щеобразовательной и профессиональной шко-
лы— 2 ч (2, —, —).
2.	Комплексный подход к воспитанию в
процессе обучения математике. Формирова-
ние научного мировоззрения учащихся — 2 ч
(-. 2, -).
3.	Атеистическое воспитание учащихся в
процессе обучения математике—III в.— 2 ч
(-. 2, -).
4.	Политехническая направленность в обу-
чении математике. Роль математики в уско-
рении научно-технического прогресса. Меж-
предметные связи — I и II в.— 2 ч (2, —, —),
III в —2 ч (—, 2, —).
5.	Урок математики Лекционно-семинар-
ские занятия — 1 в.— 2 ч (—, 2, —), II в.—
2 ч (2, —, —), III в,—2 ч (—, 2, —).
6	Пути совершенствования методов обуче-
ния— II в.— 2 ч (2, —, —).
7.	Самостоятельная работа учащихся. Под-
готовка их к самообразованию — II в. — 2 ч
(2.	-)•
8.	Внеурочные формы работы с учащимися,
их взаимосвязь и развитие — I и II в.— 2 ч
(-.	2).
9.	Материальная база обучения математи-
ке. Применение наглядных и технических
сре ст Кабинет математики и вычислитель-
ной техники — I в — 2 ч (—, —, 2).
Вопросы частной методики преподавания математики
в V—XI класса:—I в.— 18 ч (10, 4, 4), II в.— 22 ч
(14,	8). Ш в. — 10 ч. (в, 2, 2)
1	Научно методический анализ курса. Си-
стема понятий — 2 ч (2, —, —).
£ ~
2.	Практическая направленность обучения
математике. Методика решения задач —I в.—
2 ч (—, — 2), II в,—2 ч (2, —, —)
3.	Методика формирования и развития си-
стемы умений и навыков учащихся — I в.—
2 ч (—,2, —), II в,—2 ч (2, —, —).
4.	Планирование результатов обучения —
2 ч (2. —, -).
5.	Развитие понятия числа и действий над
числами. Формирование вычислительных на-
выков. Организация вычислений на микро-
калькуляторе—! в — 2 ч (2, —, —), II и
III в.—2 ч (—, —, 2).
6.	Выражения и их виды, Методика форми-
рования умений и навыков тождественных
преобразований выражений —11 в.—2 ч (—,
-.2).
7.	Методика изучения уравнении и нера-
венств, систем уравнений и систем нера-
венств— 1 и II в — 2 ч (—, —, 2)
8.	Функции, их свойства и графики. Элемен-
ты математического анализа — 1 и II н.— 2 ч
(2.	-)•
9.	Логическое строение курса геометрии.
Развитие логических и пространственных
представлений учащихся — I в.— 2 ч (2,
10.	Типы геометрических построении и ме-
тодика их изучения —II в,—2 ч (—, —, 2).
11.	Методика изучения избранных тем кур-
са геометрии — 1 и III в.— 2 ч (—, 2, •—),
11 в.—2 ч (2, —, —).
(пепкурсы и спецсеминары (по выберу слушателей) —
I £.— 24 ч, III в,— 12 ч
ПРОГРАММА
Научно теоретическая подготовка
] Философско-методологические проблемы математики
Предмет и методы математики Классики марксизма-ле-
нинизма о философских проблемах математики. Основ-
ные папы историческою развитий математики Истории
развития арифметики, основ алгебры, геометрии, мвге-
матического анализа Методика включения историко-
мегодологических сведений в учебный процесс во мате-
матике
Внешние и внутренние факторы развития математики,
их взаимосвязь. Спеиифика математических абстракций,
их роль в научном познании мнра. Проблема истинно-
сти математического знания Специфика практики как
критерии истины в математике. Критика концепций
априоризма, конвенционализма, нн1уит»виама по проб-
леме истинности в математик... Философские проблемы
обоснования математики
Культурное и практическое вменение математики, ее
роль в научном, техническом, экономическом социель-
вом прогрессе общества. Научные и практические до-
стижения советской матемагитеской школы. Пути раз
вития теоретических и прикладных исследований по ма-
тематике. Материалы XXVII съезда КПСС, пленумов
и постановлений ПК КПСС, новой редакции Програм-
мы КПСС о перспективах, задачах и роли естес геенно-
математических неук в ускорении современного соци-
ально-экономического и научно технического прогресса.
Использование достижений науки в мирных целях. Ме-
тодика ознакомления учащихся с философско-методо-
логическими проблемами математики в процессе изуче-
ния школьного курса
2.	Математический анализ
Функции действительного переменного. Применение
Производных а интегралов к решению задач школьного
курса математики
Функции ком |дексного переменного Непрерывность.
Производная Аналитические функции. Основная теоре-
ма алгебры многочленов Конформные отображении.
Многозначные функции. Романовы поверхности. Функ-
ции. выражающиеся в радикалах. Решение алгебраиче-
ских уравнений высших степеней в радикалах.
Метрические пространства Нормированные линейные
пространства. Пространства функций. Сходимость я
прострвнс1вах функций Функционалы. Принцип сжатых
отображений Приближенное решение уравнений с по-
мощью итераций.
Дифференциальные уравнения. Приближенные мето-
ды решения дифференциальных уравнений. Метод ло-
маных Эйлера. Линейные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами. Приложения диффе-
ренциальных уравнений в физике, химии, биологии.
3.	Алгебра и теории чисел
Алгебраическая операция. Группы Группы преобразо-
ваний. Автоморфизмы групп. Факторгруппы. Разрешимые
группы.
Кодьиа ч поля. Кольца вычетов. Поле комплексных
чисел. Сравнения я идеалы колец. Теория делимости
в Кольке целых чисел и в кольцах многочленов Ьоль-
Ш8Я теорема Ферма Конечные кольца и теория коди-
рования.
Приложения к задачам школьной математики: малая
теорема Ферма, теорема Эйлера, критерий Вильсона,
решение алюбраических уравнений высших степеней,
классификация иере-мешеиий плоскости, решение линей-
ных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
фициентами, возвратные последовательности
Алгебраические числа. Решение задач на построение
с помощью циркуля и линейки. Построение правильных
многоугольников Неразрешимость классических задач,
трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга
Векторные пространства Евклидовы пространства. Их
применения к решению неравенств школьного типа Ал-
гебры. Нормированные алгебры Задача о сумме п квад-
ратов Кватернионы Теорема Фробениуса.
Алгебра Клиффорда. Алгебра пространства-времени
Применение алгебры Клиффорда к физике элементарных
часгнц.
4	Геометрия и топология
Группы преобразований Эрлаигеиская программа
Клейна. Евклидова в неевклидовы геометрии Аффин-
и я геометрии. Проективная геометрия. Конечные гео-
метрии. Приложения к теории кодирования. Основные
понятия топологии. Топологические пространства. Пре-
делы. Непрерывность Топологические инварианты Топо-
логия линяй Теорема Жордана. Кривая Пеано. Тополо-
гия поверхностей
Графы Раскрашивание карт. Проблема четырех кра-
сок Гомотопки и гомологии. Фундаментальная группа
Степень отображений и доказательство основной теоре-
мы алгебра мпсгочленсв. Применения топологии в фи-
зике,
б Электронно вычислительная техника и програи пи-
рование вычислительна» математика
XXVII съезд КПСС об электронизации и комплекс-
ной автоматизации производства.
6
Характеристика основных этапов развития вычисли-
тельной техники Поколения ЭВМ. Архитектура совре-
менных ЭВМ Развитие микропроцессорной техники.
Принцип работы микропроцессоров Основные этаны
процесса решения задачи на ЭВМ. Предмет, программи-
рования. Способы программирования. Блок-схемы Язы-
ки программирования. Технология программирования.
Интуитивное представление об алгоритме. Математи-
ческие уточнении понятия алгоритма: рекурсивная функ-
ция, машина Тьюринга, машина Поста, тезис Черча.
Вычислительные алгоритмы. Численные методы решения
алгебраических уравнений. Метод последовательных
приближений. Алгоритмы численного интегрирования.
Численные методы решения дифференциальных уравне-
ний. Решение разностных уравнений, вычислительные
методы линейной алгебры.
Компьютеризация учебно-воспитательного процесса
школы. Характеристика целей и задач изучения «Основ
информатики и вычислительной техники».
МЕТОДИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА
Вопросы обшей методики
преподавания математики
1	Совершенствование учебно-воспитательного процес-
са в свете решений XXVII съезда КПСС, Основных на-
правлений реформы общеобразовательной и профессио-
нальной школы
XXVII съезд КПСС о задачах совершенствования си-
стемы народного образования и. перспективах ее разви-
тия Основные Управления перестройки высшего и сред-
него специального образования.
Пути реализации программных задач партии по уси-
лению роли школы в воспитании всесторонне развитой,
гармоничной личности, в подготовке сознательных, высо-
кообразованных людей, способных как к физическому,
так и умственному груду, к активной деятельности в
народном хозяйстве, в различных областях обществен-
ной н государственной жизни, в сфере науки и куль-
туры.
Требования к преподаванию математики, вытекающие
из Основных направлений реформы общеобразователь-
ной и профессиональной школы. Творческое развитие
ленинских принципов единой, трудовой, политехнической
школы, соединения обучения с производительным тру-
дом Пути Достижения качественно’ новых результатов
обучения и воспитания учащихся в соответствии с сов-
ременными требованиями к школе.
Совершенствование содержания математического об-
разования и учебной литературы для школы Система
работы учителя математики по обеспечению глубокого
овладения учащимися знаниями, умениями и навыками,
по формированию у них прочных коммунистических
убеждений, трудолюбия, нравственной чистоты, по вос-
питанию школьников в духе любви к Родине, в духе
социалистического интернационализма. Задачи учителя
математики по углублению воспитательных функций
учебного процесса. Пути осуществления идейно-полити-
ческого, трудового, нравственного, экономического, ате-
истического воспитания учащихся Роль математики в
формировании научного мировоззрения, научной карти-
ны мира, в развитии самостоятельности и творческого
мышления учащихся.
Система работы учителя ио повышению качества и
эффективности обучения, совершенствованию форм, ме-
тодов, средств, материальной базы. Использование в
учебно-воспитательном процессе вычислительной тех-
ники
КПСС о роли учителя как надежного помощника пар-
тии. Идеолот ичгская и пропагандистская деятельность
учителя, ее содержание, формы и методы. Изучение тру-
дов К Маркса, Ф Энгельса, В. И Ленина, материалов
XXVII съезда, пленумов ЦК КПСС.
Совершенствование способов оценки труда учителя,
стиля руководства школой, преодоление проявлений
формализма в сфере руководства народным образова-
нием. Взаимосвязь формы и содержания в деле повы-
шения профессиональной квалификации, непрерывное
совершенствование мастерства учителя.
2	Комплексный подход к воспитанию при обучении
математике. Формирование научного'мировоззрения уча-
щихся
Пути осуществления комплексного подхода к воспи-
танию при обучении математике.
XXVII съезд КПСС о проблемах воспитания созна-
тельных строителей нового общества, об улучшении под-
готовки молодежи к самостоятельной жизни и труду,
об активизации человеческого фактора. Отражение в
учебном процессе требований новой редакции Програм-
мы КПСС по взаимосвязи воспитания человека с его
практическим участием в труде на благо народа, в об-
щественной жизни, в решении проблем социально-эко-
номического и культурного строительства.
Мировоззренческая направленность процесса обучения
математике. Развитие у учащихся диалектико-материа-
листического мировоззрения при изучении конкретных
тем шкального курса математики. Методика ознакомле-
ния учащихся с мировоззренческими идеями и мировоз-
зренческими обобщениями в ходе изучения математиче-
ских курсов. Материалистическое осмысление новейших
достижений математических и естественных наук. Пре-
вращение знаний в убеждения. Наступательный харак-
тер знаний и убеждений Патриотическое it интернацио-
нальное воспитание учащихся.
Система работы учителя ио идейно-политическому вос-
питанию учащихся. Использование материалов XXVII
съезда КПСС, Основных направлений экономического и
социального развития СССР на 1986—1990 годы и на
период до 2000 года, Государственного плана эконо-
мического и социального развития СССР на 1986—
1990 годы в идейно-политическом и экономическом вос-
питании учащихся.
Работа учителя математики по формированию и ду-
ховному развитию личности ученика. Система работы
учителя по реализации принципов утверждения комму-
нистической морали в процессе обучения учащихся: мо-
раль коллективистская, мораль гуманистическая, мораль
активная, деятельная. Роль личности учителя в нравст-
венном воспитании школьников Изучение учшелем
опыта семейного воспитания.
Связь воспитания с реальной действительностью. Пре-
дупреждение недостатков в воспитании учащихся и пу-
ти их преодоления. Осуществление индивидуального
подхода к учащимся в воспитательной деятельности
учителя.
3.	Атеистическое воспитание учащихся в процессе обу-
чения математике
Цели и задачи атеистического воспитания в современ-
ных условиях работы школы. Атеистическое воспитание
как составная часть коммунистического воспитания. Ре-
лигия, ее происхождение и социальный характер.
В И. Ленин о религии.
Борьба науки и религии Характеристика научной дея-
тельности ученых-математиков их роль в борьбе с ре-
лигией за установление научных истин
Сишсма работы учителя по атеистическому воспита-
нию учащихся в процессе обучения математике. Связь
атеистического воспитания с идейно-политическим
нравственным воспитанием, с формированием у школь-
ников научно-материалистического мировоззрения От
бор материала для научно-атеистического воспитания.
Содержание, методы и средства атеистического воспи-
тания учащихся V -VI. VII—IX. X—XI классов Фор-
мы внеклассной работы с учащимися: кружки, лекто
7
рии, конференции, экскурсии в музеи, ознакомление с
литературой по научному атеизму.
Использование достижений научно техническою прог-
ресса в атеистическом воспитании учащихся, в форми-
ровании атеистических взглядов и убеждений. Приме-
нение математических методов в астрономии. Методика
ознакомления учащихся с современными достижениями
в исследовании космоса.
Формы и методы пропагандистской деятельности учи-
теля по атеистическому воспитанию среди родителей и
различных групп населения.
4.	11 олитехническая направленность в обучении мате-
матике. Роли математики в ускорении научно-техниче-
ского прогресса. Межпредметные связи
Отражение задач иолитехинческого образования уча-
щихся в партийных документах, в реформе школы.
К. Маркс, В. И. Ленин о содержании и составных эле-
ментах политехническою образования подрастающих по-
колений.
Система работы учителя по формированию у учащих-
ся знаний и навыков политехнического содержания Раз-
витие трудовых и профессиональных умений учащихся
на политехнической основе. XXVII съезд КПСС о не-
обходимости глубокого изучения научных основ совре-
менного производства, ведущих направлений его интен-
сификации. Методика ознакомления учащихся с основ-
ными направлениями технической реконструкции народ
кого хозяйства на основе механизации, автоматизации,
компьютеризации и роботизации.
Роль м«кпредметных связей в усилении политехниче-
ского потенциала процесса обучения математике. Фор-
мы и методы осуществления связи преподавания мате-
матики с основами информатики н вычислительной тех-
ники, физикой, химией, черчением, трудовым обучени-
ем Обобщение опыта работы учителя по организации
межпредметвых уроков, семинаров, конференций, экс-
курсий, вычислительных практикумов, использования
калькуляторов и ЭВМ.
Профессиональное образование и подготовка учащих-
ся к труду.
5.	Урок математики. Лекционно-семинарские занятия
Требования реформы школы к развитию различных
форм организации учебных занятий.
Система уроков ио теме или разделу программы. По-
становка образовательных, воспитательных, развиваю-
щих целей урока, их взаимосвязь Основные типы и
структура уроков математики. Вариативность и гиб-
кость структуры уроков. Отбор наглядных, технических,
вычислительных средств, их органическая взаимосвязь с
содержанием, структурой и целями урока.
Формы организации учебной деятельности на урокс.
Методика воспитания коллективистских отношений. Вос-
питание сознательной, рабочей дисциплины на уроке
Культура поведения школьников. Культура общения
учителя и учащихся. Примеры воспитательных сигуа
ций, возникающих на уроке, их анализ. Рациональное
распределение и использование времени учителем и уча-
щимися. Результативность урока.
Организация и методика проведения лекихотшо-семн
нарских занятий в X—XI классах, особенности содер-
жания н методики школьной лекции. Обобщающая роль
лекциоиио-семинарских занятий в процессе изучения
тем и разделов программы Организация вычислитель-
ных практикумов в системе лекционно-семинарских за-
нятий Роль семинарских занятий в подготовке учащих-
ся к самообразованию.
Показ у ителем достижений и перспектив развития
народного хозяйства страны, науки и культуры, реали-
зация мировоззренческой направленности образования
Подготовка к уроку, совершенствование научной орга-
низации труда Формирование и развитие педагогиче-
ского мастерства и творчества учителя.
6	Пути совершенствования методов обучения
Классификация методов обучения, их воспитательные
и развивающие функции. Сочетание и выбор методов,
способствующих развитию познавательной самостоя-
тельности и активности учащихся. Соотношение мето-
дов науки и методов школьного обучения. Системный
подход к методам обучения.
Задачи совершенствования методов учета контроля и
оценки знаний учащихся, вытекающие из Основных на-
правлений реформы общеобразовательной в профессио-
нальной школы. Применение учителем гибких форм уче-
та, контроля и оценки знаний учащихся. Пути преодо-
ления формализма в оценке знаний ,чашихся.
Система работы учителя по учету и контролю за
уровнем знаний, умений и навыков учащихся на различ-
ных этанах урока. Методика оценки устных и письмен-
ных ответов учащихся на уроке. Оценка самостоятель-
ных, контрольных, экзаменационных работ учащихся.
Требования к оценке знаний учащихся: объективность,
обоснованность, стимулирующий и воспитывающий ха-
рактер оптики Повышение требовательности К уровню
знаний и навыков учащихся. Повышение ответственно-
сти учащихся за результаты обучения. Развитие обоб-
щающих форм учета и оценки знаний учащихся.
Воспитательная эффективность методов обучения. Ов
далекие учителем методами и приемами обучения в про-
цессе преподавания. Роль методов обучения в оптими-
зации и интенсификации учебко-воепитательного Про-
цесса по математике
7.	Самостоятельная работа учащихся. Подготовка их
к самообразованию
Задачи преподавания математики по развитию умст-
венной самостоятельности и творческой активности уча-
щихся. Требования к отбору учебного материала для
самостоятельчой работы учащихся V—VI, VII—IX X—
XI классов Особенности методики формирования ч
развития у учащихся приемов самостоятельной раб л
аа различных этапах обучения.
Виды и методика проведения самостоятельных работ
иа уроке. Функции самостоятельных работ, организуе-
мых при повторении материала. Домашняя самостоя-
тельная работа. Способы руководства самостоятельной
работой учащихся, методика планирования, оценка ее
эффективности и результатов.
Формирование и развитие у учащихся учебных уме-
ний. Самостоятельная работа с учебником математики,
справочниками, инструктивными материалами, таблица-
ми, научно-популярной литературой Приемы развития
познавательной активности в процессе работы с различ-
ными источниками информации Развитие интереса К
изучению .математики.
Формирование приемов И навыков самоконтроля. Под
тоювка учащихся к самообразованию.
8.	Внеурочные формы работы с учащимися по мате-
матике, их взаимосвязь и развитие
Цели и задачи внеурочной работы с учащимися но
математике. Особенности методики воспитания и разам
тия интереса к изучению математики во внеурочной
работе. Разнообразие форм работы, их содержание в
воспитательное воздействие на учащихся, учет возраст-
ных особенностей.
Воспитательная роль внеклассных мероприятий по ма-
тематике. Опыт I роведепия математических конферен-
ций, вечеров, олимпи л
Содержание и методика проведения факультативных
занятий с учащимися VIII—IX, X—XI классов. Анализ
программ рекомендуемых факультативов Формы орга
низании углубленной учебной деятельности по математи-
ке с учащимися школы. Подготовка к олимпиадам то
математике и программированию. Содержание, цели и
8
методика применения вычислительной техники во вне-
классных формах работы.
Боепитание рабочего микроклимата и коллективист-
ских начал во внеурочной и общественно полезной дея-
тельности учащихся. Организация выставок практиче-
ских работ. Внеклассное шсние по математике. Опти-
мизация форм и методов внеурочной работы. Связь вне-
урочной работы с семейным воспитанием школьников.
9	Материальная база обучения математике. Приме
пение наглядных и технических средств. Кабинет мате
матики и вычислительной техники
Характеристика требований к материальной базе сов-
ременной школы Материальное обеспечение учебно вос-
питательного процесса в преподавании математики Ви-
ды наглядных, технических, вычислительных средств,
применяемых в преподавании математики, их роль и
повышении качества знаний учащихся Современные
требования к оснащению школьного кабинета матема-
тики. Оборудование рабочих мест для учителя и уча-
щихся. Размещение технических средств, чертежных и
измерительных инструментов, наглядных пособий, вы
числительных средств. Оформление стендов, их пример-
ная тематика, отражение материалов по ускорению эко-
номического и научно-технического развития.
Современные требования к организации кабинета вы-
числительной техники. Оборудование кабине'а кальку-
ляторами, персональными ЭВМ, дисплеями. Требования
к организации работы учащихся, соблюдение ими пра-
вил техники безопасности. Воспитание у учащихся бе-
режного и аккуратного отношения к различным видам
вычислительной техники. Перспективные планы развития
и совершеиствоваиня материальной базы обучения ма-
««катим.
Вопросы частной методики
преподавания математики в V—XI классах
1	Научно-методический анализ курса Система поня-
тий
Отбор содержания обучения математике в соответ-
ствия с современными требованиями к математическо-
му образованию, в свете реализации идей реформы
школы. Совершенствование содержания и структуры
программы по математике, исключение усложненного и
второстепенного материала Особенности содержания и
цели изучения арифметико-алгебраического материала
(V—VI), курсов алгебры и геометрии (VII—IX), ал-
гебры и начал анализа (X—XI). Характеристика общей
концепции отбора содержания в курсе геометрии на
различных этапах обучения.
Выделение стержневых понятий математических кур-
сов: число, функция, выражение, уравнение, неравен,
сию, геометрическая фигура, производная, интеграл.
Характеристика математических методов. Рекомен-
дации по системе работы учителя с программой и
школьными учебниками. Краткая характеристика учеб-
ной и методической литературы.
Взаимосвязь методологических, мировоззренческих,
воспитательных политехнических задач преподава-
ния математики.
2.	Практическая направленность обучения математи-
ке. Методика решения задач
Пути преодоления формализма в оценке знаний уча-
щихся в усвоении ими математических понятий. Углуб-
ление принципа связи с жизнью в преподавании мате-
матики, показ практических приложений математики в
процессе изучения конкре!ных тем.
Роль и место задач в обучении математике. Обучение
школьников решению задач- классификация, методы
решения, поиск способов решения. Методика решения
задач в процессе изучения арифметического материала,
с ад.мошью уравнений и систем уравнений в курсе ал-
гебры Решение задач иа применения производной и
интеграла. Методика решения задач на вычисление,
построение, доказательство в курсе геометрии. Обуче-
ние учащихся эвристической и алгоритмической дея
тельности в процессе решения задач. Воспитательные
функции содержания задач.
3.	Методика формирования и развития системы уме-
ний и навыков учащихся
Система умений и навыков, складывающаяся в про-
цессе изучения курса математики V—VI, VII—IX, X XI
классов, их взаимосвязь и развитие. Деятельность учи-
теля по формированию у школьников вычислительных
навыков, навыков тождественных преобразований. Ха-
рактеристика умений и навыков решения различных
типов уравнений, неравенств и систем. Усиление вни-
мания к развитию навыков измерения величин, гео-
метрических построений на плоскости и в пространст-
ве Роль упражнений в формировании теоретических
знаний и практических навыков учащихся.
Графические умения и навыки в курсе алгебры,
связь графических умений с пространственными пред-
ставлениями учащихся. Формирование н развитие на-
выков исследования числовых функций, использование
наглядных представлений и производной.
Особенности формирования и развития навыков ра-
боты с вычислительными средствами.
4	Планирование результатов обучения
Пути совершенствования качества .знаний учащихся
при обучении математике. Реализация требований ре-
формы школы о необходимости установления опти-
мального объема умений и павыков, обязательных для
овладения всеми учащимися. Система требований к ма-
тематической подготовке учащихся как планируемые
обязательные результаты обучения. Роль задач и уп-
ражнений в достижении школьниками результатов обу-
чения Уровень усвоения теоретического материала.
Уровень сложности упражнений обязательных для вы-
полнения всеми учащимися Математическое развитие
учащихся.
Требования к оценке знаний. Отбор материала для
самостоятельных к контрольных работ на основе уче-
та уровня обязательной подготовки. Роль и функции
повторения в достижении планируемых результатов
обучения Совершенствование форм и методов прове-
дения устных и письменных экзаменов по математике.
5.	Развитие понятия числа и действий над числами.
Формирование вычислительных навыков. Организация
вычислений на калькуляторе
Ознакомление учащихся с историко-методологически-
ми вопросами возникновения и развития понятия чис-
ла. Роль вычислительной деятельности человека. При-
менение ЭВМ, характеристика вычислительных возмож-
ностей ЭВМ
Методика изучения натуральных положи ельных и
отрицательных чисел, десятичных и обыкновенных дро-
бей в V—VI классах. Методика изучения рациональных
и действительных чисел в VII—VIII классах, прибли-
женных вычислений.
Требования к уровню формирования у учащихся вы-
числительных навыков. Система работы учителя по
развитию вычислительных навыков учащихся Методика
проведения устного счета. Требования к письменным
вычислениям.
Организация вычислений с помощью калькулятора.
Типы, функциональные возможности и устройство каль-
куляторов, Применяемых в школьной практике Ариф
метическис операции на калькуляторе, составление
0
программ. Вычисление значений числовых функций.
Применение калькуляторов в процессе изучения кон-
кретных тем. Развитие методики формирования вычи-
слительных навыков учащихся, упрощение вычислений,
применение элементов численного эксперимента. Интен-
сификация и ускорение вычислительной деятельности
учащихся.
6.	Выражения и их виды. Методика формирования
умений и навыков тождественных преобразований вы
ражений
Виды числовых и алгебраических выражений, изу-
чаемых в V—VI, VII—IX, X—XI классах. Развитие при-
емов и способов преобразований различных видов ма-
телтатических выражений. Приемы преобразований чис-
ловых выражений в процессе изучения арифметическо-
ю н алгебраического материала. Методика изучения
тождественных преобразований степени с натуральным
показателем, целых и дробных алгебраических выра-
жений. Формирование навыков применения формул со-
кращенного умножения. Особенности преобразования
выражений, содержащих квадратные корни.
Изучение тригонометрических выражений и способов
их преобразования в курсе алгебры IX класса. Взаи-
мосвязь тригонометрического материала в курсе гео
метрик н алгебры.
Анализ структуры умений и навыков преобразова-
ваиий, особенностей их развития. Сравнение способов
преобразований различных видов выражений. Примене-
ние разнообразных методических приемов и средств
изучения материала. Формирование н развитие у уча-
щихся алгоритмической культуры. Достижение обяза-
тельных результатов обучения.
7	Методика изучения уравнений и неравенств, сис-
тем уравнений и систем неравенств
Формирование понятия уравнения. Особенности изу-
чении линейных, квадратных, рациональных уравнений
в курсе алгебры (VII—IX). Методика решения показа-
тельных и логарифмических, тригонометрических урав-
нений в X—XI классах. Формирование понятия нера-
венства. Методика изучения линейных неравенств, не-
равенств второй степени.
Методика формирования у учащихся навыков реше-
ния систем линейных уравнений и их графической
интерпретации. Алгоритмы решения уравнений, нера-
венств, систем. Решение текстовых задач на составле-
ние уравнений и систем уравнений, усиление их воспи-
тательной и прикладной роли,
8.	Функции, их свойства и графики. Элементы ма-
тематического анализа
Система работы учителя по развитию функциональ-
ных представлений учащихся V—VI классов. Методика
введения понятия функции, изучение в курсе алгебры
VII—IX классов свойств и графиков функций: у—!гх-,
y—kx+b; у^х2;	y—kfx. Использование каль
кулятора для вычисления значений функции.
Развитие функциональных знаний и умений учащихся
курсе алгеАры и начал анализа (X—XI). Изучение
свойств и графиков тригонометрических, показательной
и логарифмической функций.
Совершенствование отбора содержания и методики
изучения элементов математического анализа Форми-
рование понятий производной, первообразной, интегра-
ла. Изучение правил нахождения производных и пер-
вообразных, вычисления определенного интеграла. Ис-
следование и построение графиков функций с помощью
производной. Методика решения задач, требующих при-
менения производной, интеграла.
Развитие графической культуры учащихся. Примене-
ние алгоритмов в процессе изучения материала.
9.	Логическое строение курса геометрии. Развитие
логических и пространственных представлений учащихся
Научно-методические концепции построения школьно-
(о курса геометрии. Характеристика уровня дедуктив-
ного изложения । еометрнческого материала в учеб-
ной литературе но геометрии. Усиление практической на-
правленности содержания школьного курса геометрии.
Характеристика системы аксиом планиметрии и сте-
реометрии, теорем и методов доказательства. .Анализ
системы задач и методов их решения. Организация
практических работ учащихся.
Приемы логического развития учащихся в процессе
изучения аксиом, при доказательстве теорем, решении
задач. Развитие пространственных представлений при
изучении планиметрии и стереометрии. Функции черте-
жа в изучении геометрического материала Соотноше-
ние наглядных и логических компонентов в изучении
геометрического материала на различных этапах обу-
чения Пути формирования у учащихся поиития аксио-
матического метода и его применения в математике.
Методика изучения геометрических преобразований.
10.	Геометрические построения и методика их изу-
чения
Анализ требований к выполнению построений в про-
цессе формирования геометрических понятий и реше-
ния задач. Методика изучения построений с помощью
циркуля и линейки в курсе планиметрии. Методика по-
строения геометрических фигур иа плоскости.
Специфика геометрических построений в простран-
стве, типы задач на построение в пространстве. Мето-
дика изучения сечений многогранников и фигур вра-
щения. Параллельное проектирование н его свойства.
Изображение фигур на плоскости.
Методика осуществления межпредметных связей,
П. Методика изучения избранных тем геометрии
Многоугольники, их виды и свойства
Треугольники, их виды и свойства. Методика изуче-
ния признаков равенства, признаков подобия треуголь-
ников. Свойства равнобедренного треугольника. Теоре-
ма Пифагора. Теоремы синусов н косинусов. Методика
изучения тригонометрических функций и их применение
к решению задач. Решение треугольников. Организа-
ция вычислений с помошыо калькулятора.
Методика изучения четырехугольников, пх классифи-
кации, взаимосвязь свойств. Развитие логического мы-
шления учащихся при доказательстве теорем. Сведе-
ния о правильных многоугольниках. Применение свойств
многоугольников в изучении стереометрии.
Параллельность и перпендикулярность
прямых и плоскостей
Аксиома параллельных. Содержание и методика изу-
чения параллельных прямых в курсе планиметрии.
Содержание и мегодика изучения материала о па-
раллельности и перпендикулярности прямой и плоско-
ст в курсе стереометрии. Признаки параллельности
прямой и плоскости, двух плоскостей. Признаки перпен-
дикулярности прямой и плоскости. Методика обучения
учащихся доказательству теорем. Методика решения
задач. Развитие пространственных представлений уча-
щихся.
Многогранники и тела вращения
Свойства призмы, параллелепипеда, пирамиды, пра-
вильных многогранников. Обучение доказательству
теорем. Изучение теорем о свойствах цичиидра, конуса,
шара.
Формирование понятия площади и объема, их свой-
ства Методы вычисления площадей и объемов фигур.
Развитие умений и навыков учащихся. Задачи с прак-
тическим содержанием. Примерная тематика практнче.
ских и лабораторных работ на вычисление площадей и
объемов. Применение калькулятора.
10
В МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
ОТ ГЛАВНОГО УПРАВЛЕНИЯ ШКОЛ МП СССР
В соответствии с требованиями Основных направлений
реформы общеобразовательной и профессиональной
школы Академией педагогических наук СССР разра-
ботаны проекты типовых программ для школ (клас-
сов) с углубленным изучением учебных предметов. Не-
обходимость создания новых программ обусловлена
новой структурой школ этого типа, введением усовер-
шенствованных пршрамм в общеобразовательных шко-
лах по всем предметам и значительными изменениями
в учебных планах школ с углубленным изучением
предметов. В разработке программ приняли участие
опытные учителя, методисты, преподаватели вузов.
Программы рассматривались в министерствах про-
свещения союзных республик, в Ученом методическом
совете и на коллегии Миипроса СССР и получили
в основном одобрение.
Широкое обсуждение опубликованных программ учи-
телями, методистами сотрудниками НИИ педагогики
(школ) союзных республик, преподавателями вузов,
использование их в практике преподавания в текущем
учебном году поможет внести необходимые коррективы
и создать качественные программы для школ с углуб-
ленным изучением предметов.
Программа по математике
(VIII—XI классы)
для школ (классов) с углубленным
теоретическим и практическим
изучением математики
Объяснительная записка
Программа курса математики для школ
(классов) с углубленным изучением матема-
тики охватывает весь материал, содержащий-
ся в программе для средней общеобразова-
тельной школы. При этом подразумевается,
что учащиеся должны не только достичь ре-
зультатов обучения, указанных в программе,
но и овладеть соответствующими знаниями,
умениями и навыками на более высоком
уровне, характеризующемся в первую очередь
способностью решать более сложные, нестан-
дартные задачи.
Включение в программу углубленного изу-
чения математики разделов, дополняющих
программу для массовой школы, имеет целью
способствовать достижению учащимися высо-
кого уровня математической подготовки и
призвано служить основой профессиональной
ориентации выпускников.
Прочное усвоение вопросов, существенно
углубляющих традиционный курс, ВОЗМОЖНО
лишь при условии уверенною владения вы-
числительными навыками и навыками преоб-
разований, умением решать уравнения, нера-
венства и системы, геометрические задачи
и т. д. Результатом изучения дополнительных
разделов должно стать не просто знание уча-
щимися соответствующих терминов и форму-
лировок, а умение применять изученные тео-
ремы и методы, самостоятельно решать зада-
чи: именно в ходе решения задач развивают-
ся интересы и склонности к математике.
Программа VIII и IX классов в основном
следует программе общеобразовательной
школы. Дополнительное время предполагает-
ся использовать, в первую очередь, для фор-
мирования более продвинутых навыков и
умений, решения задач повышенной трудно
сти. Вместе с тем в нее включены небольшие
фрагменты теории, допускающие возмож-
ность постановки интересных, красивых задач
(например, «замечательные точки и линии
треугольника»), учащиеся знакомятся с эле-
ментами математического анализа (на прос-
тых примерах).
В X—XI классах углубление общеобразо-
вательного курса достигается как за счет по-
вышения требований к математической под-
готовке учащихся и обращения к более труд-
ным задачам, так и за счет ликвидации логи-
ческих пробелов в изложении курса матема-
тики, неизбежных в общеобразовательной
школе, и введения дополнительных разделов.
Математические предметы в школах (клас-
сах) с углубленным изучением математики
не должны дублировать вузовские курсы
Главная задача — развить умения учащихся
и интерес к математике на материале, непо-
средственно примыкающем к школьному кур-
су, а не сообщить сведения, которые им пред-
стоит изучать на I—II курсах вуяов.
Структура программы идентична структуре
программы по математике для общеобразо-
вательной школы. Иными слонами, в про-
грамму включаются: а) объяснительная за-
писка; б) раздел «Требования к математиче-
ской подготовке учащихся» (перечень умений
и навыков, характеризующих степень овладе-
ния материалом к концу естественно выде-
ляемых двух ступеней обучения — VIII—IX и
X—XI классы); в) раздел «Содержание обу-
чения», в котором фиксируется объем мате-
матической теории (особенность этого разде-
ла состоит в том, что материал распределен
не в соответствии с какой-либо определен-
ной последовательностью изучения, а указан
общий объем сведений по ступеням обуче-
ния, объединенных по основным научно-ме-
тодическим линиям математических курсов);
г) раздел «Тематическое планирование»1.
1 Рекомендуемое планирование на 1986/87 учебнмй
гол опубликовано в журнале «Математика в школе».
1986. № 2.
11
включающий описание последовательности
изучения материала и соответствующее рас-
пределение учебною времени; д) список ре-
комендуемой литературы,
Программа исходит из утвержденного
учебного плана для школ (классов) с углуб-
ленным изучением математики, согласно ко-
торому в VIII—IX классах этих школ изуча-
ются два предмета математического цикла —
«Алгебра» (5 ч в педелю, всего 170 ч) и «Гео
метрия» (3 ч в неделю, всего 102 ч); в X и XI
классах на изучение курса геометрии также
выделяется но 3 ч в неделю (102 г.); «Алгеб-
ра и математический анализ» изучается в
X классе из расчета 5 ч в неделю в I полу-
годии и 6 ч в неделю во II полугодии, всего
187 ч, в XI классе — 5 ч в неделю, всего 170 ч.
Требования к математической
подютовке учащихся
В этом разделе задается тот уровень мате-
матической подготовки учащихся школ (клас-
сов) с углубленным теоретическим и практи-
ческим изучением математики, который в ре-
зультате изучения соответствующих тем дол-
жен быть достигнут всеми учащимися.
Основным критерием для выставления по-
ложительной оценки является умение само-
стоятельно решать задачи, свидетельствую-
щие о приобретении соответствующих уме-
ний. От учащихся требуется при этом уверен-
ное владение системой определений, теорем и
алгоритмов (зафиксированных в программе),
умение проводить самостоятельно доказа-
тельства достаточно типичных утверждений
курса. Как правило, для получения высокой
оценки учащийся должен показать пе только
знание теории и владение набором стандарт-
ных методов и алгоритмов, но и известную
сообразительность, математическую культуру.
Алгебра (VIII—IX классы)
Цели изучения алгебры заключаются в
развитии вычислительных и формально-опе-
ративных умений учащихся до уровня, позво-
ляющего уверенно их применять при решении
задач курсов математики и смежных предме-
тов (физики, химии, основ информатики и
вычислительной техники и др.); в усвоении
аппарата уравнений и неравенств как важно-
го средства математического моделирования
прикладных задач; в осуществлении функцио-
нальной подготовки школьников (включая
предварительное знакомство с производной и
ее применениями) В ходе обучения учащие-
ся овладевают приемами вычислений на
калькуляторе
Курс характеризуется заметным повыше-
нием теоретического уровня обучения, усиле-
нием роли обобщений и дедуктивных заклю-
чений, Его прикладная направленность обес-
печивается систематическим обращением к
примерам, раскрывающим возможности при-
менения математики к изучению действитель-
ности и решению практических задач; прак-
тическая ориентация выражается в -целена-
правленном развитии математического аппа-
рат а.
В холе обучения учащиеся развивают и за-
крепляют вычислительные навыки с актив-
ным привлечением инструментальных вычис-
лений; овладевают навыками тождественных
преобразований основных типов алгебраиче-
ских и тригонометрических выражений;
усваивают основные способы решения урав-
нений, неравенств и систем; изучают элемен-
тарные. функции и их свойства; знакомятся с
понятием производной,
В результате изучения курса учащиеся
должны уметь:
уверенно производить вычисления (ариф-
метические действия над точными и прибли-
женными значениями, приближенное вычис-
ление значений квадратного корня, значений
синуса, косинуса и тангенса), в том числе с
использованием калькулятора и таблиц; про-
изводить прикидку и оценку результатов вы-
числений;
свободно выполнять тождественные преоб-
разования целых, рациональных и иррацио-
нальных, а также тригонометрических выра-
жений, выбирая при этом рациональные спо-
собы решения;
уверенно решать указанные в программе
виды уравнений, неравенств, систем уравне-
ний и неравенств (а также сводящихся к ним
с помощью соответствующих тождественных
преобразований); проводить доказательства
неравенств;
решать текстовые задачи методом уравне-
ний;
выражать функциональные зависимости
между величинами; находить значения функ-
ций. заданных формулой, таблицей, графи-
ком;
уверенно строить (и читать) графики функ-
ций, указанных в программе, применять из-
вестные правила преобразования графиков и
результаты исследования функции;
находить производные рациональных функ-
ций и проводить в несложных случаях их ис-
следование с помощью производной.
Геометрия (VIII—IX классы)
Цели изучения геометрии заключаются в
систематическом исследовании геометрических
фигур на плоскости и их свойств, формирова-
12
нни пространственных представтений, разви-
тии логического мышления и подготовке ап-
парата, необходимого для изучения смежных
дисциплин (физики, черчения и др.) и стерео-
метрии в старших классах.
Курс характеризуется рациональным соче-
танием логической строгости и геометрической
наглядности. Увеличивается теоретическая
значимость изучаемого материала; расширя-
ются его внутренние логические связи, замет-
но повышается роль дедукции, степень абст-
рактности. Учащиеся овладевают приемами
аналитико синтетической деятельности при
доказательстве теорем и решении задач. Си-
стематическое изложение курса позволяет
ознакомить учащихся с логическим строением
математической теории, обеспечивает основу
логического мышления школьников. Его при-
кладная направленность обеспечивается по-
стоянным обращенпе.м к наглядности, исполь-
зованием чертежей на всех этапах процесса
обучения и развитием па этой основе геомет-
рической интуиции Целенаправленное обра-
щение к примерам из практики развивает
умение учащихся вычленить геометрические
формы и отношения в предметах и явлениях
действительности, использовать язык геомет-
рии для их описания. Практическая направ-
ленность курса определяется систематическим
развитием геометрического аппарата при ре-
шении задач на вычисление значений геомет-
рических величин, доказательство и построе-
ние.
В ходе изучения геометрии учащиеся при-
обретают систематические сведения об основ-
ных фигурах на плоскости и их свойствах,
знакомятся с геометрическими величинами,
характеризующими плоские фигуры, и учатся
их вычислять, изучают применение аналити-
ческого аппарата (элементы тригонометрии,
алгебры, векторы и координаты) к решению
геометрических задач.
В результате изучения курса учащиеся
должны уметь:
доказывать основные теоремы курса;
уверенно решать задачи на вычисление, до-
казательство и построение, опираясь на полу-
ченные теоретические сведения;
проводить полные обоснования в ходе ре-
шения задач;
решать комбинированные задачи на по-
строение, сводящиеся к выполнению основ-
ных построений;
применять аппарат алгебры и тригономет-
рии к решению геометрических задач;
применять свойства геометрических преоб-
разований к решению задач;
использовать векторы и координаты для
решения задач.
Алгебра и математический анализ
(X—XI классы)
Цели изучения заключаются в завершении
развития понятия числа путем введения комп-
лексных чисел и знакомстве с их примене-
нием, в систематическом изучении функций
как важнейшего математического объекта
средствами алгебры и математического ана-
лиза, раскрытии политехнического и при-
кладного значения общих методов математи-
ки, связанных с исследованием функций, под-
готовке необходимого аппарата для изучения
геометрии и физики, знакомстве с основными
понятиями теории вероятностей.
Курс характеризуется сочетанием логиче-
ской строгости с содержательным раскрытием
понятий, утверждений и методов, относящих-
ся к математическому анализу, выявлением
их практической значимости. Его особен-
ностью является систематизация и обобщение
знаний учащихся, закрепление и развитие
умений и навыков, полученных в курсе ал-
гебры, что осуществляется как при изучении
нового материала, так и при проведении об-
общающего повторения.
Учащиеся изучают тригонометрические, по-
казательную и логарифмическую функции и
их свойства; приобретают навыки проведения
тождественных преобразований показатель-
ных и логарифмических выражений и их при-
менения к решению соответствующих уравне-
ний и неравенств, систем; знакомятся с ос-
новными понятиями, утверждениями и аппа-
ратом математического анализа в объеме,
позволяющем исследовать элементарные
функции и решать геометрические, физиче-
ские и другие прикладные задачи, включая
составление и решение несложных дифферен-
циальных уравнений.
В результате изучения курса учащиеся
должны уметь:
свободно выполнять действия над комп-
лексными числами, оперировать комплекс-
ными числами, заданными в геометрической
и тригонометрической форме находить комп-
лексные корни многочленов, применять комп-
лексные числа к решению тригонометриче-
ских и геометрических задач;
уверенно строить графики элементарных
функций, опираясь на изученные свойства и
методы;
проводить тождественные преобразования
показательных и логарифмических выраже-
ний;
решать показательные и логарифмические
уравнения и неравенства, использовать тож-
дественные преобразования для упрощения
уравнений и неравенств; .
применять изученные свойства многочленов
к решению задач;
уверенно применять аппарат математиче-
ского анализа (таблицы производных и пер-
вообразных, формулы дифференцирования и
приемы интегрирования, методы решения ука-
занных типов дифференциальных уравнений)
для нахождения производных, первообраз-
ных и определенных интегралов, решения не-
сложных дифференциальных уравнений;
исследовать элементарные функции;
вычислять площади криволинейных трапе-
ций и объемы тел вращения при помощи оп-
ределенных интегралов;
решать прикладные задачи применением
методов математического анализа (включая
составление и решение простейших диффе-
ренциальных уравнений);
применять изученные сведения комбинато-
рики к решению задач,
пользоваться основными понятиями теории
вероятностей.
Геометрия (X—XI классы)
Цеди изучения геометрии заключаются в
развитии пространственных представлений
учащихся, опирающемся на систематическое
изучение геометрических тел в пространстве
и их свойств, в усвоении способов вычисле-
ния практически важных геометрических ве-
личин и в дальнейшем развитии логического
мышления учащихся.
Курсу присущи систематизирующий п об-
общающий характер изложения, направлен-
ность нв закрепление и развитие умений и
навыков, полученных в неполной средней
школе. При доказательстве теорем и решении
задач активно используются изученные в
планиметрии свойства геометрических фигур,
применяются геометрические преобразования,
векторы и координаты. Высокий уровень аб-
страктности изучаемого материала, логиче-
ская строгость систематического изложения
соединяются с высокой степенью наглядности.
Прикладная направленность обеспечивается
привлечением наглядности па всех этапах
учебного процесса, широким обращением к
опыту. Знакомство с важнейшими геометри-
ческими телами, умение их изображать и вы-
числять объемы и площади поверхностей име-
ют большое политехническое значение.
В ходе обучения учащиеся приобретают
систематические сведения об основных видах
пространственных тел и нх свойствах, знако-
мятся с теоретическим обоснованием методов
изображения пространственных тел на плос-
кости, овладевают умениями вычислять зна-
чения геометрических величин.
В результате изучения курса учащиеся
должны уметь'
доказывать основные теоремы;
изображать на рисунках пространственные
геометрические тела, указанные в условиях
теорем и задач, и выделять известные тела
на чертежа Xj моделях и т. п.;
решать задачи на вычисление и доказа-
тельство, опираясь на полученные теоретиче-
ские сведения;
проводить полные обоснования в ходе ре-
шения задач, используя теоретический (.веде-
ния, полученные учащимися при изучении
планиметрии и стереометрии;
находить значения геометрических величии
(длин, площадей, объемов), применяя изу-
ченные в планиметрии и стереометрии фор-
мулы и теоремы;
применять свойства геометрических преоб-
разований к решению задач стереометрии;
применять аппарат ал>сбры, математиче-
ского анализа и тригонометрии в ходе реше-
ния геометрических задач;
использовать координаты и векторы для ре-
шения задач стереометрии.
Содержание обучения
Алгебра (V1H—IX классы)
Действительные числа
Множества и операции над ними.
Натуральные числа. Системы счисления.
Простые и составные числа. Делимость чисел;
признаки делимости. Разложение, числа на
простые множители. Основная теорема ариф-
метики. Наименьшее общее кратное и наи-
больший общий делитель. Алгоритм Евклида.
Принцип математической индукции, его
применение к решению задач.
Величины и их измерение Задача измере-
ния отрезков. Рациональные числа. Пред-
ставление рациональных чисел н виде беско-
нечных десятичных периодических дробей.
Иррациональность числа И2. Иррациональ-
ные числа. Действительные числа и их свой-
ства. Десятичные приближения числа по не-
достатку и избытку с точностью до 10*“.
Понятие о комплексных числах.
Тождественные преобразования
выражений
Разложение многочленов на множители
способом группировки; применение формул
аз^ЙЭ— (a±_b) (if+ab+M), (афй)»^а3±
±3o2b-|-3ab2±b3; формула квадрата суммы
нескольких слагаемых, формула
хп—1 = (х— 1) (x“-,-|-xn-22h- •
14
Разложение квадратного трехчлена на мно-
жители. Деление многочлена на многочлен.
Алгебраические дроби, Основное свойство
алгебраических дробей. Сокращение алгеб-
раических дробей. Умножение и деление ал-
гебраических дробей. Возведение алгебраиче-
ских дробей в степень.
Тождественные преобразования рациональ-
ные выражений.
Корень /г-й степени и его свойства. Степень
с рациональным показателем и се свойства.
Понятие о степени с иррациональным пока
зателем. Преобразования выражений, содер-
жащих степени И корни.
Радианное измерение углов. Синус, коси-
нус, тангенс и котангенс произвольного угла.
Соотношения
sin’a Д C08?aa« 1, tgcuH= ctgaM£212-_
cos a b slnq
Знаки значений основных тригонометриче-
ских функций. Нахождение значений основ-
ных тригонометрических функций по значе-
нию одной из них.
Формулы приведения. Синус, косинус, тан-
генс и котангенс суммы и разности двух уг-
лов. Выражение sin a, cos a. tga и e-tge чв«
рез tg-j-. Формулы суммы (разности) си-
нусов и косинусов.
Тождественные преобразования тригоно-
метрических выражений.
Арифметическая и геометрическая прогрес-
сии. Формулы п-го члена и суммы п первых
членов прогрессий. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия и ее сумма.
Уравнения и неравенства
Уравнение. Корни уравнения. Понятие о
равносильности уравнений. Решение рацио-
нальных и иррациональных уравнений. Вве-
дение вспомогательного неизвестного.
Система уравнений. Решение систем урав-
нений, содержащих рациональные и иррацио-
нальные уравнения.
Решение текстовых задач методом состав-
ления уравнений и сиетем
Неравенство. Решение неравенств. Решение
линейных неравенств с одним неизвестным и
их систем. Понятие о равносильности нера-
венств. Линейное неравенство с двумя неиз-
вестными и его геометрическая интерпрета-
ция. Числовые промежутки. Решение систем
линейных неравенств е двумя неизвестными
и его геометрическая интерпретация. Понятие
о линейном программировании.
Задание фигур на координатной плоскости
уравнениями и неравенствами.
Решение неравенств второй степени е од-
ним неизвестным, геометрическая иллюстра-
ция.
Решение рациональных неравенств. Метод
интервалов.
Доказательство неравенств.
Примеры решения систем неравенств с
двумя неизвестными.
Функция
Числовые функции. Область определения и
область значений функции. Способы задания
функций. График функции. Возрастание и
убывание функции. Четные и нечетные функ-
ции, свойства их графиков. Понятие об об-
ратной и сложной функциях.
Преобразования графиков функций (пере-
носы вдоль осей, растяжения вдоль осей,
«сложение», «умножение» н «деление» графи-
ков).
Схема исследования функции; решение за-
дач на исследование функций и построение
графиков.
Числовая последовательность. Способы за-
дания последовательностей. Понятие о преде-
ле последовательности. Числовые ряды. При-
меры сходящихся и расходящихся рядов.
Приращение аргумента и функции. Задачи,
приводящие к понятию производной, Поня-
тие о производной и дифференциале Нахож-
дение производных многочленов и рацио-
нальных функций. Знакомство с. применения-
ми производных к исследованию функций и
построению графиков.
Геометрия (VIII—IX классы)
Геометрические фигуры и их свойства
Многоугольники, Выпуклые фигуры. Па-
раллелограмм и его свойства. Признаки па-
раллелограмма. Фигуры, симметричные отно-
сительно точки. Прямоугольник, ромб, квад-
рат и их свойства. Фигуры, симметричные от-
носительно оси. Теорема Фалеса. Трапеция и
ее свойства.
Вписанные и описанные треугольники и
четырехугольники. Замечательные точки и
линии треугольника.
Начальный период развития геометпии.
Происхождение геометрических понятий. Гео-
метрия в Древней Греции. «Начала» Евкли-
да. Классические проблемы и результаты
древнегреческих математиков (доказательст-
ва, идеи). Неразрешимые с помощью цирку-
ля и линейки задачи на построение.
Развитие взглядов на аксиоматический ме-
тод. История «пятого постулата». Знакомство
с геометрией Лобачевского (исторический об-
зор, некоторые факты, примеры доказа-
тельств, модели).
Аксиоматический метод. Логическое строе-
15.
ние геометрии. Примеры систем' аксиом
(группы, аффинные плоскости, евклидовапла
ниметрия). Понятие о непротиворечивости и
полноте аксиоматики, о независимости ак-
сиом.
Геометрические преобразования
Движения (изометрии) плоскости. Равенст-
во (конгруэнтность) фигур и его свойства.
Симметрия плоскости относительно точки и
прямой, поворот в параллельный перенос.
Понятие об ориентации плоскости. Теорема
Шаля. Теоремы о композиции двух осевых
симметрий, двух поворотов и т. д.
Примеры групп движений (правильных
многоугольников, окружности; бордюров и
орнаментов) Симметрия в природе и искус-
стве, науке и технике.
Применение свойств движений к решению
задач.
Преобразования подобия: Гомотетия и ее
свойства. Подобие и его свойства. Примене-
ния подобия (признаки подобия треугольни-
ков, свойство биссектрисы угла, метрические
соотношения в круге).
Применение теорем о подобии к решению
за 1ач. Знакомство с инверсией и ее примене-
ниями.
Геометрические величины
Иладерелше вписанных углов; угод между
хордой и касательной.
Понятие о пределе последовательности.
Длина окружности, длина дуги окружности.
Число л Понятие о длине кривой
Площадь. Основные свойства площадей
Понятие о квадрируемых фигурах. Площадь
прямоугольника, треугольника, параллело-
грамма, трапеции, правильного многоугольни-
ка Формула Герона. Отношение площадей
подобных фигур. Площадь круга и его час-
тей.
Понятие о равновеликости и равносостав-
ленности Теорема Бойяи Гервина (без дока-
зательства). Изопериметрическая задача.
Элементы тригонометрии
Теорема Пифагора.
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла.
Соотношения между сторонами и углами пря-
моугольного треугольника Значения синуса,
косинуса, тангенса и котангенса углов 30°,
45а, 60° Теорема синусов Теорема косинусов.
Решение треугольников.
Применение тригонометрии и алгебры к
решению планиметрических задач.
Координаты и векторы
Скалярные и векторные величины. Приме-
ры векторных величин; свободные, скользя-
щие и закрепленные векторы Понятие об от-
ношении эквивалентности.
Векторы. Длина и направление вектора.
Угол между векторами. Сложение векторов и
его свойства. Умножение вектора па число н
его свойства. Коллинеарные векторы. Разло-
жение вектора по осям координат. Координа-
ты суммы векторов и произведения вектора
на число. Проекция вектор? на ось.
Скалярное произведение векторов и его
свойства. Формула вычисления скалярною
произведения в координатах.
Прямоугольная система координат на плос-
кости. Координаты точки. Формула расстоя-
ния между двумя точками, заданными коор-
динатами.
Применение координат и векторов к реше-
нию задач и доказательству теорем. Теорема
о расположении прямой и окружности, двух
окружностей; решение задач на поиск мно-
жеств точек, обладающих заданным свойст-
вом; эллипс, гипербола, парабола и их урав-
нения; доказательства с помощью векторов
параллельности прямых, коллинеарности трех
точек, теоремы о центре масс и их приложе
ния; применение скалярного произведения.
А.ксбра и математический анализ
(X—XI классы)
Комплексные числа
Поле комплексных чисел Геометрическая
интерпретация комплексных чисел. Полярная
система координат. Тригонометрическая фор-
ма комплексного числа. Умножение, деление,
возведение в степень комплексных чисел н
тригонометрической форме. Формула Муавра.
Извлечение корней из комплексных чисел.
Комплексные корни алгебраических уравне-
ний.
Понятие об основной теореме алгебры.
Применение комплексных чисел.
Тождественные преобразования
Целые рациональные выражения и функ-
ции. Стандартный вид целых рациональных
выражений. Многочлены от одной перемен-
ной. Деление многочленов с остатком. Теоре-
ма Безу. Корни многочлена. Формулы Виета
Метод неопределенных коэффициентов. Стан
дартный вид рациональных выражений.
Стандартный вид многочлена от несколь-
ких переменных. Симметрические много-
члены.
16
Преобразования иррациональных выраже-
ний. Освобождение от иррациональности в
знаменателе.
Преобразование тригонометрических выра-
жений.
Основные тождества для показательной и
логарифмической функций.
Уравнения, неравенства, системы
Уравнения, тождества, неравенства. Основ-
ные методы решения уравнений. Решение и
доказательство неравенств. Равносильность
уравнений и неравенств. Равносильные пре-
образования.
Тригонометрические уравнения и неравен-
ства. Методы решения тригонометрических
уравнений и неравенств.
Основные методы решения показательных
и логарифмических уравнений и неравенств.
Геометрический смысл одного уравнения с
двумя переменными. Системы уравнений.
Равносильные системы уравнений. Методы
исключения неизвестного, алгебраического
сложения, введения новой переменной. Реше-
ние систем иррациональных, показательных,
логарифмических и тригонометрических урав-
нений. Системы уравнений и неравенств. Ме-
тод Гаусса. Задачи линейного программиро-
вания.
Введение в анализ
Аксиомы Пеано. Кольцо целых чисел По-
ле действительных чисел.
Числовые функции и графики. Элементар-
ное исследование функций.
Предел функции на бесконечности. Теоре-
мы о пределах. Наклонные и горизонтальные
асимптоты.
Числовые последовательности. Существова-
ние предела монотонной и ограниченной по-
следовательности. Теоремы о пределах после-
довательностей.
Предел функции в точке и его свойства.
Теоремы о пределах. Непрерывные функции и
их свойства. Арифметические операции над
непрерывными функциями. Свойства функ-
ций, непрерывных на отрезке. Теорема об
обратной функции.
Элементарные функции
Тригонометрические функции числового ар-
гумента: синус, косинус, тангенс, котангенс.
Свойства и графики тригонометрических
функций. Обратные тригонометрические функ-
ции, их свойства и графики.
Показательная, логарифмическая и степен-
ная функции; нх свойства и графики.
Производная и ее применение
Производная. Дифференциал. Геометриче-
ский и механический смысл производной. Ка-
сательная к графику функции и ее уравне-
ние. Дифференцируемость и непрерывность
функции. Производная суммы, произведения,
частного функций. Производная сложной
функции. Вторая производная, ее механиче-
ский смысл.
Предел------ при х->0. Производные три-
гонометрических функций. Производная об-
ратной функции. Производные арксинуса,
арккосинуса, арктангенса, арккотангенса.
Число е. Производные показательной, ло-
гарифмической и степенной функций.
Теорема Лагранжа и ее следствия. Иссле-
дование функций на возрастание и убывание.
Достаточные, условия экстремума. Исследова-
ние функций на выпуклость. Точки перегиба.
Отыскание наибольших и наименьших значе-
ний функций на промежутке.
Применение производной к построению
графиков функций, приближенным вычисле-
ниям, решению задач на максимум и мини-
мум.
Сравнение роста показательной, логариф-
мической и степенной функций. Радиоактив-
ный распад.
Бином Ньютона, некоторые свойства бино-
миальных коэффициентов. Применение бино-
ма Ньютона для приближенных вычислений.
Формула Тэйлора.
Приближенное решение уравнений методом
хорд и касательных.
Интеграл. Дифференциальные уравнения
Первообразная (неопределенный интеграл)
и се свойства. Знакомство с техникой интег-
рирования.
Примеры задач, приводящих к дифферен-
циальным уравнениям. Начальные условия.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение гармонического
колебания. Применение дифференциальных
уравнений.
Площадь криволинейной трапеции. Опреде-
ленный интеграл. Формула Ньютона — Лейб-
ица. Применение интеграла к решению гео-
метрических и физических задач. Прибли-
женное вычисление определенных интегра-
лов.
Элементы комбинаторики
и теории вероятностей
Основные понятия и принципы комбинато-
рики Правила суммы и произведения. Фор
2 «Математика * школе» № 6—84
17
мулы для числа размещений, перестановок и
сочетаний (с повторениями и без повторе-
ний). Формула бинома Ньютона. Решение
комбинаторных задач.
Случайные события. Вероятность. Теорема
сложения. Независимые случайные События.
Условная вероятность. Формула умножения.
Формула Бернулли. Закон больших чисел.
Геометрия (X—XI классы)
Прямые и плоскости в пространстве
Основные понятия стереометрии. Аксиомы
стереометрии. Примеры пространственных
фигур. Способы задания прямых и плоскостей
в пространстве. Взаимное расположение двух
прямых в пространстве (пересекающиеся, па-
раллельные и Скрещивающиеся).
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плос-
кости. Теоремы о перпендикулярности прямой
и плоскости. Теорема о трех перпендикуля-
рах.
Взаимное расположение прямой и птопко-
сти (параллельные и пересекающиеся прямая
и плоскость). Признак параллельности пря-
мой и плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей
(ПереСекаЮЩпеся, параллельные). Признак
параллельности плоскостей. Теоремы о па-
раллельности плоскостей.
Перпендикулярность плоскостей. Признаки
перпендикулярности плоскостей.
Тела и поверхности. Основные свойства
Двугранный угол. Трехгранные н много-
гранные углы. Сфера и шар. Теорема о пере-
сечении сферы (шара)- с плоскостью. Каса-
тельная плоскость к шару.
Опорная плоскость. Ограниченные фигуры.
Выпуклые фигуры.
Цилиндры и цилиндрические поверхности.
Прямой круговой цилиндр, сечение его плос-
костями.
Конусы и конические поверхности. Прямой
круговой Конус, усеченный конус. Конические
сечения.
Граничные и внутренние точки фигуры.
Тело, поверхность.
Многогранник и его элементы. . Развертка
многогранника.
Призма. Прямая и правильная призма. Па-
раллелепипед. Прямой и прямоугольный па-
раллелепипед.
Пирамида. Правильная пирамида, усечен-
ная пирамида, теорема о селении пирамиды
плоскостью, параллельной основанию.
Триангуляция Многоугольников и много-
гранников.
Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера,
другие Примеры теорем о выпуклых много-
гранниках (без доказательства). Правильные
Многогранники. Виды правильных многогран-
ников
Понятие о топологии.
Построения
Параллельное и ортогональное проектиро-
вание па плоскость и их свойства. Изобра-
жение фигур на плоскости Понятие, о начер-
тательной геометрии. Построение сечении
многогранников.
Основные типы построений в стереометрии.
Понятие о центральном проектировании на
плоскость.	।
Знакомство с элементами проективной гео-
метрии.
Геометрические преобразования
Равенство (конгруэнтность) и подобие фи-
гур.
Движения (изометрии) пространства и их
свойства. Параллельный перенос, централь-
ная симметрия, симметрия относительно
плоскости и прямой; поворот пространства.
Их свойства.
Понятие об Ориентации пространства Дви-
жение (изометрия) первого и второго рода.
Задание движения пространства. Примеры
теорем о композиции двух движений прост-
ранства. Теорема Шаля (без доказательст-
ва).
Симметрии Пространственных фигур. Сим-
метрии правильных многогранников. Симмет-
рии в природе и искусстве, пауке и технике.
Преобразование подобия в пространстве.
Гомотетия пространства и ее свойства.
Применение преобразований к решению за-
дач стереометрии.
Геометра чес кис вел и чин ы
Основные свойства расстояний. Расстояние
от точки до фигуры Теорема о расстоянии
до плоской фигуры. Расстояние Между двумя
фигурами (между параллельными плоско-
стями, прямой h Плоскостью, скрещивающи-
мися прямыми). Пространственная теорема
Пифагора.
Угол между лучами, угол между прямыми.
Угол Между прямой и плоскостью Угол меж-
ду плоскостями. Линейный угол двугранного
угла. Примеры зависимостей, связывающих
элементы трём ранного угла. Элементы сфе-
рической геометрии. Задачи картографии.
18
Определение объема. Объем прямоугольно-
го параллелепипеда, призмы, пирамиды, усе-
ценной пирамиды. Объем цилиндра, Конуса,
шара и его частей. Объем тел врйЩе.йия. По-
нятие о кубируемых фигурах.
Определение площади поверхности. Пример
Шварца. Площади поверхности цилиндра, ко-
нуса, усеченного конуса. Площадь сферы и ее
частей. Площадь ортогональной проекции
плоской фигуры па плоскость
Отношение площадей поверхностей и объе-
мов подобных фигур.
Векторы и координаты
Скалярные и векторные величины. Векторы
в пространстве. Сложение вёкторой и его
свойства. Разложение векторов. Умножение
вектора на число и его свойства. Базис. Ко-
ординаты вектора. Радиус-вектор. Парамет-
рическое задание прямых и плоскостей.
Скалярное произведение векторов и его
свойства. Применение векторов к решению
задач стереометрии. Понятие о векторном
произведении и ею свойствах.
Прямоугольная система координат в про-
странстве. Уравнение сферы и плоскости. За-
дание фигур уравнениями и неравенствами.
Применение координат к решению задач сте-
реометрии.
Понятие о косоугольной, полярной, сфери-
ческой и цилиндрической системах координат.
Понятие о векторных и метрических про-
странствах.
Тематическое планирование
учебного материала
VIII КЛАСС
(8 ч в неделю, всего 272 ч)
Алгебра
(5 ч в неделю, всего 170 ч)
1.	Повторение. Решение задач (10 Ч)
2.	Алгебраические дроби (40 ч)
Разложение многочленов на мйбжитсЛй способом
группировки; применение формул (а±Л)3=ааД_Зау/>4-
+ЗаЬ2±Р3, а3±Р3= (a±t) (crTat-f-b2), квадрата сум-
мы нескольких слагаемых, формулы
Xя—1 = (х 1) (xri-,-i x"-’+ ... +х+1).
Деление многочлена па многочлен.
Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраи-
ческих дробей. Сложение н вычитание аш ебраическнх
Л1 обей. Возведение алгебраических дробей в степень.
Тождсс1венные преобразования рацидп'альныХ вы-
ражений.
3.	Расширение понятия числа (30 ч)
Множества и операции над ними.
Натуральные числа. Системы счисления
Простые и составные числа. Делимость чисел; приз-
наки делимости. Разложение числа на простые МЯ9*
жители. Основная Теорема арифметики. Наименьшее
общее кратное и наибольший общий делитель. Алгоритм
Евклида. Решение задач»
ЙеличКны и их измерение. Задача измерения отрез-
ков. Рациональные числа Представление рациональных
чисел в виде бесконечных десятичных периодических
дробей.
Доказательство отсутствия рационального корня урав-
нения х2=2. Иррациональные числа, Действительные
числа й их свойства. Десятичные приближения числа
по недостатку й избытку с точностью до 10““.
4.	Квадратные корни и квадратные уравнения (26 ч)
Функция у—х2 и ее график. Квадратные корни и их
свойства. Формула У х2=|х|. Функция у= У "jt и ее
трафик. Нахождение приближенного значения квадрат-
ного Корня. Преобразование выражений, содержащих
квадратные корни.
Квадратные уравнения. Решение квадратного урав-
нения. Исследование корней квадратною уравнения по
его дискриминанту и коэффициентам Разложение квад-
ратного трехчлена на множители. Понятие о комп-
лексных числах.
Решение систем уравнений, Содержащих квадратные
уравнения.
5.	Степени и корни (18 ч)
Функция у~хп (п —целое.).
Корни п-й степени и их свойства.
Степень с рациональным показателем и ее свойства
Понятие о степени с иррациональным показателем.
Преобразование выражений, содержащих степени и
корни.
6.	Уравнения (26 ч)
Рациональные и иррациональные уравнения. Понятие
о равносильности уравнений. Решение рациональных и
иррациональных уравнений. Введение вспомогательно,
го неизвестного. Решение систем, содержащих рацио-
нальные н иррациональные уравнения.
Решение текстовых задач с помощью уравнений и
нх систем.
7.	Повторение. Решение задач (20 ч)
Геометрия
’(3 ч в педелю, всего 102 ч)
I.	Повторение. Решение задач (9 ч)
2.	Четырехугольники (21 ч)
Многоугольники. Выпуклые фигуры.
Параллелограмм и его свойства. Признаки паралле-
лограмма. Фигуры, симметричные относительно точки.
Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Фигу-
ры, симметричные относительно оси.
Теорема Фалеса
Трапеция и ее свойства.
Впйсаннке и описанные треугольники и четырех-
угольники. Замечательные точки и линии треугольника.
3.	Векторы и координаты (12 ч)
Скалярные и векторные величины. Примеры вектор-
ных величин; свободные, скользящие н закреплённый
векторы Понятие об отношении эквивалентности.
Вектор. Длина и направление вектора. Понятие о па-
раллельном перенос^! Угол между векторами.
Сложение векторов и его свойства Умножение век-
тора ча число и его свойства. Коллинеарные векторы
Прямоугольная система координат на плоскости.
Координаты точки
Разложение вектора по осям координат. Координаты
19
вектора. Координаты суммы векторов и произведения
вектора на число. Проекция вектора на ось.
Применения векторов к решению задач планимет-
рии (доказагельыва параллельности прямых, коллине-
арности троек точек; теоремы о центре масс и нх при-
ложения).
4.	Метрические теоремы (31 ч)
Теорема Пифагора.
Формула расстояния между двумя точками плоско-
сти с заданными координатами. Задание фигур урав-
нениями и неравенствами. Уравнение прямой и окруж-
ности.
Применение координат к решению задач и доказа-
тельству теорем (взаимное расположение прямой и
окружности, двух окружностей- примеры применения
координат к решению задач на нахождение ГМТ; ок-
ружность Аполлония и т. д.). Эллипс, гипербола, па-
рабола и их уравнения.
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла. Соотноше-
ния между сторонами и углами прямоугольного тре-
угольника. Значения синуса, косинуса, тангенса и ко-
тангенса углов 30°, 45° 60°.
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Формула вычисления скалярного произведения в ко-
ординатах. Применение скалярного произведения к
решению геометрических задач.
5.	Движения (20 ч)
Движения (изометрии). Равенство (конгруэнтность)'
фигур н его свойства. Симметрия плоскости относи-
тельно точки и прямой, поворот и параллельный пе-
ренос.
Понятие об ориентации плоскости. Теорема Шаля.
Теоремы о композиции двух осевых симметрий, двух
поворотов и т. д.
Понятие о группе. Примеры групп движений (пра-
вильных мноюугольинков, окружности, бордюров и
орнаментов). Симметрия в природе науке н технике.
Применение свойств движений к решению задач.
6	Повторение. Решение задач (9 ч)
IX КЛАСС
(8 ч в неделю, всего 272 ч)
Алгебра
(5 ч в неделю, всего 170 ч)
1.	Неравенства и их системы (36 ч)
Линейное неравенство с одним неизвестным. Число-
вые промежутки. Решение линейных неравенств. По-
нятие о равносильности неравенств. Решение системы
линейных неравенств с одним неизвестным.
Линейное неравенство с двумя неизвестными. Его
геометрическая интерпретация. Решение системы ли-
нейных неравенств с двумя неизвестными и его гео-
метрическая интерпретация. Понятие о линейном про-
граммирова НИИ.
Задание фигур на координатной плоскости уравне-
ниями и неравенствами.
Решение неравенств второй степени с одним неиз-
вестным; геометрическая иллюстрации.
Решение рациональных неравенств. Метод интерва-
лов.
Примеры доказательств неравенств. Примеры реше-
ния систем неравенств с двумя неизвестными.
2.	Функция (34 ч)
Числовая функция Область определения и область
значений функции. Способы задания функций График
функции. Возрастание и убывание функций. Четные и
нечетные функции, свойства нх графиков. Понятие об
обратной и сложной функции.
Преобразование графиков функций (переносы вдоль
осей, растяжение, «сложение», «умножение» и «деле-
ние» графиков). Решение задач на построение графи-
ков. Схема исследования функции.
3.	Элементы математического анализа (30 ч)
Прираптение аргумента и функции. Задачи, приводя-
щие к понятию производной. Понятие о производной и
дифференциале. Производные многочленов и рацио-
нальных функций. Знакомство с применением произ-
водных к исследованию функций и построению графи-
ков.
4.	Элементы тригонометрии (30 ч)'
Радианное измерение углов. Синус, косинус, тан-
генс и котангенс произвольного угла. Нахождение их
с помощью калькулятора Тождества
sin a	cos а
sin® а 4-cos’а — 1, tga--^, ctgK-—Г
Знаки значений тригонометрических функций. На-
хождение значений основных тригонометрических
функций по значению одной из них.
Формулы приведения. Синус, косинус, тангенс н ко-
тангенс суммы и разности двух углов. Синус, косинус,
танюнс и котангенс двойною и половинного углов.
tz
Выражение sin a, cos п, tga и cig а через tg-j—.
Фоомулы суммы (разности) синусов и косинусов.
Тождественные преобразования тригонометрических
выражений.
5.	Последовательности (24 ч)
Принцип математической индукции и его применение.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Фор-
мулы п-го члена н суммы п первых членов прогрессий.
Числовая последовательность. Способы задания по-
следовательностей. Понятие о пределе последовательно-
сти. Бесконечно убывающая геометрическая нрот реесия
и ее сумма. Числовой ряд. Примеры сходящихся и
расходящихся рядов.
6.	Обобщающее повторение курса алгебры.
Решение задач (16 ч)
Геометрия
(3 ч в неделю, всего 102 ч)
1.	Подобие (27 ч)
Преобразования подобия Гомотетия и се свойства.
Подобие и его свойства Применения подобия (приз-
наки подобия треугольников, свойство биссектрисы уг-
ла, метрические соотношения в круге).
Применение теорем о подобии к решению задач. Зна-
комство с инверсией и ее применениями.
2.	Площади фигур (18 ч)
Площадь. Основные свойства площадей. Попятие о
квадрируемых фигурах.
Площади прямоугольника, треугольника, параллело-
грамма, трапеции, правильного многоугольника. Отно-
шение площадей подобных фигур Формула Герона.
3.	Длина окружности. Площадь круга (12 ч)
Измерение вписанных углов, угла между хордой и
касательной.
Понятие о пределе последовательности Длина окруж-
ности, длина дуги. Число п. Понятие о длине кривой.
Площадь круга и его частей.
20
4.	Решение треугольников (15 ч)
Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольни-
ков.
Применение алгебры и тригонометрии к решению за.
дач планиметрии.
5.	Сведения из истории (12 ч)
Начальный период развитии icowcipiiH. Происхожде-
ние геометрических понятий. Геометрия в Древней
1 рецин. «Начала» Евклида. Классические проблемы и
результаты (доказательства, идеи). Неразрешимые. за-
дачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Равновеликие н равносоставленные фигуры. Изоисрн-
метрическая задача.
Развитие взглядов на аксиоматический метод. Исто-
,рия «пятого постулата». Знакомство с геометрией Лоба-
чевского (исторический обзор, некоторые факты, при-
меры доказательств, модели).
Аксиоматический метод. Логическое строение геомет-
рии. Примеры систем аксиом (группы, конечные пло-
скости). Понятие о непротиворечивости и полноте ак-
сиоматики, о независимости аксиом.
G Обобщающее повторение курса планиметрии.
Решение задач (18 ч)
X КЛАСС
(8 ч в неделю в первом полугодии,
9 ч —во втором, всего 289 ч)
Алгебра и математический анализ
(5 ч в неделю в первом полугодии,
6 ч — во втором, всего 187 ч)
1,	Введение (20 ч)
Аксиомы Пеано. Кольцо целых чисел Поле дейст-
вительных чисел.
Числовые функции и графики. Элементарное иссле-
дование функций.
Числовые последовательности.
2.	Многочлены (30 ч)
Рациональные выражения. Многочлены от одной пе-
ременной. Канонический вид целых рациональных вы-
ражений. Деление многочленов с остатком, 1еорема Бе.
зу. Корни многочлена. Формулы Виста. Каноническая
форма рациональных выражений.
Уравнения тождества, неравенства. Основные методы
решения уравнений. Решение и доказательство нера-
венств. Равносильность уравнений и неравенств. Рав-
носильные преобразования.
3.	Предел и непрерывность (20 ч)
Предел функции на бесконечности. Теоремы о преде-
лах. Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Предел последовательности. Существование предела
монотонной и ограниченной последовательности. Теоре-
мы о пределах последовательное!ей.
Предел функции в точке н его свойства. Теонемы
о пределах. Непрерывные функции и их свойства. Ариф-
метические операции над непрерывными функциями,
свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема
об обратной функции.
4.	Производная и ее применение (50 ч)
Производная. Дифференциал функции. Геометриче-
ский и механический смысл производной Каса, с льна я к
графику функции и ее уравнение. Дифферсицируе-
Mocib й непрерывность функции. Производная суммы.
произведения, частного функций. Производная слож-
ной функции. Вторая производная, ее механический
смысл.
Теорема Лагранжа и ее следствия Исследование
функции на возрастание и убывание. Достаточное усло-
вие экстремума. Исследование функции на выпук-
лость. Точки пе.регпба. Отыскание наибольшего и наи-
меньшею значений функции на промежутке.
Применение производной к вострое шю (рафиков
функции, приближенным вычислениям, решению задач
на максимум и минимум.
Бином Ньютона, некоторые свойства биномиальных
коэффициентов Применение бинома Ньютона для при-
ближенных вычислений Формула Тэйлора.
Приближенное решение уравнений методом хорд и
касательных.
5.	Тригономстричсские функции (45 ч)
Тригонометрические функции числового аргумента:
синус, косинус, тангенс и котангенс. Преобразование
тригонометрических выражений. Свойства и графики
тригонометрических функций. Гармонические колеба-
ния и их графики.
sin х
Предел ------прн х->0. Производные тригонометри-
ческих функций.
Тригонометрические уравнения и неравенства. Аркси-
нус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Методы ре-
шения тригонометрических уравнений и неравенств.
Обратные тригонометрические функции, их свойства и
графики. Производная обратной функции. Производные
обратных тригонометрических функций.
6.	Повторение. Решение задач (22 ч)
Геометрия
(3 ч в неделю, всего 102 ч)
1 Начала стереометрии (15 )
Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереомет-
рии. Примеры пространственных фигур. Способу зада-
ния прямых и плоскостей в пространстве. Взаимное
расположение двух прямых в пространстве (пересека-
ющиеся, параллельные н скрещивающиеся).
Параллельное проектирование и его основные свойст-
ва. Изображение фигур на плоскости.
Основные типы задач на построение в пространстве.
Основные свойства расстояний. Равенство (конгру-
энтность) и подобие фигур.
2.	Перпендикулярность и параллельность
в пространстве (25 ч)
Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак
перпендикулярности прямой и плоскости. Теоремы о па-
раллельности и перпендикулярности прямых и плоско-
стей.
Взаимное расположение двух плоскостей (пересекаю-
щиегя и параллельные). Признак параллельности пло-
скостей. Теоремы о параллельности плоскостей.
Взаимное расположение прямой и плоскости (парал-
лельные и пересекающиеся прямая и плоскость). Приз-
нак параллельности прямой и плоскости.
Перпендикулярность плоскостей. Признаки перпенди-
кулярности плоскостей.
Ортогональное проектирование. Понятие о начерта-
тельной геометрии.
3.	Расстояния и углы (20 ч)
Расстояние от точки до фигуры Теорема о расстоя-
нии от точки до плоской фигуры. Теорема о трех пер-
пендикулярах. Расстояние между двумя фигурами (меж-
21
ДУ ППр.3 ЛЛСЛЬШ.1\1Н плоскостями, прямой и плоскостью,
скрещивающимися прямыми).
Пространственная теорема Пифагора.
Угол между лучами. Угол между прямыми. Угол
между прямой и плоскостью. Двугранный угол, линей-
ный угол двугранного угла. Угол между плоскостями.
Трехграппые углы. Примеры зависимостей, связываю-
щих элементы трехгранного угла.
Многогранные углы.
4.	Пространственные фигуры и тела {30 ч)'
Сфера и шар. Теорема о пересечении шара (сферы)
плоскостью Касательная плоскость к шару.
Элементы сферической геометрии.
Опорная плоскость. Ограниченная фигура. Диаметр
фигуры. Выпуклые фигуры.
Цилиндры и цилиндрические поверхности. Прямой
креговой цилиндр, сечения его плоскостью.
Конусы н конические поверхности. Прямой круговой
конус. Усеченный конус. Конические сечения.
Граничные и внутренние точки фигуры. Тело, поверх-
ность.
Понятие о центральном проектировании. Знакомство с
элементами проективной геометрии.
б. Повторение. Решение задач (12 ч)
XI КЛАСС
(8 ч в неделю, всего 272 ч)'
Алгебра и математический аналит
(5 ч в неделю, всего 170 ч)
1 Интеграл Дифференциальные уравнение (К ч)
Первообразная (неопределенный интеграл) и ее свой-
ства. Знакомство с техникой интегрирования
Примеры задач, приводящих к дифференциальному
уравнению. Начальные условия. Уравнения с разделяю-
щимися переменными. Дифференциальное уравнение гар-
монического колебания. Применение дифференциальных
уравнений.
Площадь криволинейной трапеции. Определенный
интеграл. Формула Ньютона — Лейбница. Применение
интеграла к решению геометрических и физических за-
дач. Приближенное вычисление определенных интегра-
лов.
2	Показательная логарифмическая
и степенная функции (42 ч)
Показательная функция, ее свойства и график Лога-
рифмическая функция, ее свойства и график Основные
тождества для показательной и логарифмической функ-
ций. Число е. Натуральные логарифмы. Основные ме-
тоды решения показательных и логарифмических урав-
нений и неравенств. Производные показательной и ло-
гарифмической функций Радиоактивный распад. Сте-
пенная функция и ее. производная.
Сравнение роста i оказатсльиой, логарифмической и
степенной функций. Иррациональные уравнения и нера-
венства.
3.	Многочлен от нескольких переме пых.
Системы уравнений и неравенств (24 ч)
Стандартный вид многочлена от нескольких пере-
менных. Симметрические многочлены.
Геометрический смысл одного уравнения с двумя пе-
ременными. Системы уравнений. Равносильные системы
уравнений. Методы исключения неизвестного, алге.браи-
ческого сложения, введения повой переменной. Реше-
ние систем иррациональных, показательных, логариф
мических и тригонометрических уравнений Системы
уравнений и неравенств. Метод Гаусса. Задачи линей-
ного программировании.
4.	Комплексные числа (20 ч)
Поле комплексных чисел.
Полярная система координат Геометрическая интер-
претация комплексных чисел. Тригонометрическая фор-
ма комплексного числа. Умножение, деление* возведе-
ние в сюпениь комплексных чисел в тригонометриче-
ской форме. Формула Муавра. Извлечение корней из
комплексных чисел. Комплексные корни алгебраических
уравнений.
Понятие об основной теореме алгебры. Применение
комплексных чисел.
5	Элементы комбинаторики (12 ч)'
Основные понятия и принципы комбинаторики. Прави-
ла суммы и произведения. Формулы для числа разме-
щений, перестановок и сочетаний (с повторениями и без
повторений). Формула бинома Ньютона. Решение ком-
бинаторных задач.
6.	Элементы теории вероятностей (16 ч)
Случайные события. Вероятность. Теорема сложения.
Независимые случайные события. Условная вероятность.
Формула умножения Формула Бериулли. Закон больших
чисел.
7,	Обобщающее повторение Решение задач (28 ч)
Геометрия
(3 ч в неделю, всего 102 ч)
1	. Многогранники (24 ч)
Многогранник и его элементы. Развертка многогран-
ника
Призма. Прямая и правильная призмы Параллеле-
пипед, прямой и прямоугольный параллелепипеды.
Пирамида. Правильная пирамида, усеченная пирами-
да. Теорема о сечении пирамиды плоскостью, параллель-
ной основанию
Триангуляция многоугольников и многогранников.
Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера, другие
примеры теорем о выпуклых многогранниках (без дока-
зательства).
Правильные многогранники. Виды правильных много-
гранников.
2	Векторы и координаты (18 ч)
Скалярные и векторные величины. Векторы в прост-
ранстве. Сложение векторов и его свойства. Разложе-
ние вектора. Умножение вектора па число и его свой-
ства. Базис. Координаты вектора. Радиус-вектор. Пара-
метрическое задание прямых и плоскостей.
Скалярное произведение векторов и его свойства
Применение векторов к решению задач стереометрии.
Понятие, о векторном произведении.
Прямоугольная система координат в пространстве.
Уравнения сферы и плоскости. Задание фигур уравне-
ниями и. неравенствами Применение координат к реше-
нию геометрических задач.
Понятие о косоугольной, полярной, цилиндрической и
сферической системах координат.
3	Преобразования пространства (16 ч)
Движения (изометрии) пространства и их свойства.
Параллельный перенос, центральная симметрия, сим
метрня относительно плоскости и прямой. Поворот про-
странства, его свойства.
22
Понятие об ориентации пространства. Движение
(изометрия) первою и шорою рода. Задание переме-
щения пространства Примеры теорем о композиции
двух движений пространства. Теорема Шаля (без до-
казательства).
Симметрии пространственных фигур. Симметрия в
природе, науке, технике. Симметрии правильных много-
гранников.
Преобразования подобия в пространстве. Гомотетия
пространства и ее свойства.
Применение Преобразований к решению задач сте-
реометрии.
4	Объемы и площади поверхностей (20 ч)
Определение объема. Объем прямоугольного парал-
лелепипеда, призмы, пирамиды и усеченной пирамиды.
Объем цилнидра, конуса, шара, тел вращения.
Определение площади поверхности. Пример Шварца.
Площадь сферы и ее частей. Площадь поверхности
цилиндра, конуса, усеченного конуса.
Отношение площадей поверхностей и объемов по-
добных фигур.
5	. Сведения из истории геометрии (8 ч)
Очерк об истории геометрии.
Понятие о векторных и метрических пространствах.
Понятие о топологии.
6	. Обобщающее повторение. Решение задач (16 ч)
Литература для учителя
О реформе общеобразовательной и профессиональ-
ной школы. Сборник документов н материалов. М.: По-
литиздат, 1984.
Гнеденко Ь В. Формирование мировоззрения учащих-
ся в процессе обучения математике. М.; Просвещение,
1982.
Воспитание школьников в процессе обучения матема-
тике: Из опыта работы/Сост. Л. Ф Пичурнн. М.: Про-
свещение, 1981.
Алгебра: Учебник для 6 класса средней школы/Под
ред. С. А. Теляковского. М Просвещение, 1985.
Алимов Ш. А, и др. Ал1ебра: Пробный учебник для
6 класса средней школы. М.: Просвещение, 1985
Никольский С. М. и др. Алгебра: Пробный учебник
для 6 класса средней школы. М.: Просвещение, 1984.
Алгебра: Учебник для 7 класса средней шкоты/Под
ред. С. А Теляковского. М Просвещение, 1935.
Никольский С. М. и др. Алгебра: Пробный учебник
для 7 класса средней школы. М.: Просвещение, 1985.
Алимов Ш А. и др. Атанасян Л С. и др. Алгебра.
Геометрия: Пробный учебник для 7 класса средней
школы. М.: Просвете!/не, 1983.
Алгебра: Учебник для 8 класса средней щколы/Под
ред. С. А. Теляковского. М.: Просвещение, 1986.
Никольский С М. н др. Алгебра: Пробный учебник
для 8 класса средней школы. М.: Просвещение, 198G.
Фаддеев Д. К Алгебра 6—8. М.: Просвещение, 1983—
(БУМ — Библиотека учителя математики).
Алимов Ш. А. и др., Атанасян Л. С. и др. Алгебра.
Геометрия Пробный учебник для 8 класса средней
школы. М.: Просвещение, 1984.
Атанасян Л С. Геометрия Пробный учебник для
6 класса средней школы. М.: Просвещение, 1985.
Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для
6—10 классов средней школы. М,- Просвещение, 198G.
Александров А Д. и др Геометрия. Пробный учеб
иик для 6 класса средней школы. М.: Просвещение,
1984.
Киселев А П. Элементарная геометрия: Книга для
учи геля М Просвещение, 1980.
Болтянский В I и др. Геометрия 6—8-	Пробный
учебник. М.: Просвещение, 1979.
Геометрия 6—8: Учебное пособие для 6—8 классов
средней школы/Иод ред. А. Н. Колмогорова. М.: Про-
свещение, 1982.
Атанасян Л. С и др. Геометрия 9 — 10. Пробный учеб-
1*982ДЛЯ —Ю классов средней школы. М Просвещение,
Геометрия 9—10: Учебное пособие для 9—10 классов
средней школы/Под ред. 3. Л. Сконеца. М.: Просве-
щение, 1983.
Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для
учащихся 9—10 классов средней школы/Под ред. А Н.
Колмогорова. М.: Просвещение, 1986.
Алимов Ш. А. и др. Алгебра и начала анализа:
Пробный учебник для 9—10 классов средней школы.
М_: Просвещение, 1982.
Виленкин И. Я. и др. Алгебра и математический ана-
лиз для 9 класса; Учебное пособие для учащихся
школ и классов с углубленным изучением курса мате-
матики. М.: Просвещение, 1983.
Виленкин И. Я. и др. Алгебра и математический
анализ для 10 класса: Учебное пособие для учащихся
школ (классов) с углубленным изучением математики.
М.; Просвещение, 1984.
Александров А. Д. и др. Геометрия для 9—10 клас-
сов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с
углубленным изучением математики. М. Просвещение
Ьолтянский В Г Элементарная геометрия: Пособие
дли учителя.— М.: Просвещение, 1985.
Обязательные результаты обучения//Математика в
школе. 1985. Ns 2—4.
Оганесян В. А.. Калягин Ю. М. и др. Методика пре-
подавания математики в средней школе: Общая мето-
дика. М.: Просвещение, 1980.
Методика преподавания математики в средней шко-
ле: Общая методика / Сост, Р. С. Черкасов, А, А. Сто-
ляр. М Просвещение, 1985.
Стратилатов П В. О системе работы учителя мате-
матики. М.; Просвещение, 1984.
Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в
средней школе. М.: Просвещение, 1981.— (БУМ).
Гусев В А. н др. Сборник задач по геометрии для
6—8 классов. М; Просвещение, 1979.— (БУМ).
/ ерасимсва И. С. и др. Сборник задач по геометрия
для 9—10 классов. М.: Просвещение, 1977.— (БУМ).
Ивлев Б. М. и др. Сборник задач по алгебре и нача-
лам анализа для 9—10 классов. М.: Просвещение
1978 — (БУМ).
Белл Э. Г. Творцы математики. М.: Просвещение
1979.
Глейзер Г. И. История математики в школе, VII—
VIII классы- Пособие для учителей. М.: Просвещение,
1981.
Глейзер Г. И. История математики в школе, IX—
X классы. Пособие для учителей М: Просвещение
1983.
Болтянский В. Г. и др. Оборудование кабинета мате-
матики. Пособие для учителей М Просвещение, 1983.
Энциклопедический словарь юного математика: Для
среднего н старшего школьного возраста, М.: Педа о-
1ика, 1985.
Внеклассная работа по математике в 4—5 классах/
Под ред. С. И. Шварцбурда М.: Просвещение, 1974.
Гусев В А.. Орлов А. И., Розенталь А Л. Внекласс-
ная работа по математике в 6—8 классах / Под ред.
С И Шварцбурда М: Просвещение, 1977,— (БУМ)
Кордемский Б. А. На уроках н вечерах математики:
Пособие для учителей. М: Просвещение, 1981.
Кордемский Б. А. Увлечь школьников математикой.
Материал для классных и внеклассных занятий. М.;
Просвещение, 1981.
23
Библиотечка «Квант» (математические выпуски).
Прасолов Н. В. Задачи по планиметрии. Ч. 1. М.:
Наука, 1985; Ч. II. М.: Наука, 1986.
Петраков И. С. Ма1смап1ческие олимпиады школьни-
ков.— М.: Просвещение, 1982.
Шарыгин И. Ф Сборник задач по геометрии: Стерео-
метрия.— М.: Наука, 1984.
Избранные вопросы математики: 7—8 классы. Факуль*
нТ	.. q 1 iQ	М.
тативиый курс/Под ред. В. В. Фирсова.— М.: Просве-
щение, 1978.
Избранные вопросы математики: 9 класс. Факульта-
тивный курс/Под ред. В. В. Фирсова.— М.: Просве-
щение, 1979.
Избранные вопросы Математики: 10 класс. Факульта-
тивный курс/Под ред. В. В. Фирсова,—М.: Просве-
щение, 1980.	.
Учебные планы школ РСФСР с углубленным изучением математики
№ п/п	Предметы	Количество часов в неделю и© классам в учебные голы																			
		1986/87				1987/83								19S9/S0				1000/91			
		VII VII!		IX	X	V.II VIII		IX	X	VII	VIII	IX	X	VIII	IX	X	XI	VIH	IX	X	XI
1.	Русский язык	3	2				3	2		;1 1	3	2	—		3	2	—	—	3	2	—	—
2.	Литература	2	3	3	3	о	3	3	3	2	3	3	3	2	3	3	3	2	3	3	3
3.	Основы информати- ки и ВТ	—	—	1	2	—	—	1	2	—	—	1	2	—	—	1	2	—	—	1	2
4.	История	2	3	4	3	2	3	4	3	2	3	4	3	2	3	4	3	2	3	4	3
5.	Основы Советского государства и нрава	—	1	—	—	—-	1	—	—	—	1	—	—	—	1		——		1		—
6.	Обществоведение	  »	—	—	2	—	——	—	2	—	—	—	2	—	—	0'2	2	—	—	0/2 2/1	
7.	Этика и психология семейной жизни	—	—	1	—	—	—	1	——	—	0/1	1	—	—	0/1	1/0	—	—	0/1	1/0	—
8-	Г еография	2	2	2/1	—	2	2	2/1	—	2	2	2/1	—	2	2	2/1		2	2	2/1	—
9.	Биологии	2	2	1	1,-2	2	2	1	1/2	2	2	1	1/2	2	2	1	1/2	2	2	1	1/2
10.	Физика	2	3	4	4	2	3	4	4	2	3	4	4	2	3	4/3	4	2	3	4/3	4
И-	Астрономия	—-	—_	—	1	_—	—		1	—_			1	—	—	—	1		—	——	1
12-	Химия	2	2	3	3/-	3	2	3	3/2	3	3/2	3	3,2	3	3/2	2	3/2	3	3/2	2	2
13.	Черчение	I	1			—	1	1	—-		1		—	—	1		—	—-	1	—	—	—
14.	Иностраш ый язык	2	1	1	1	2	1	I	1	2	1	1	1	2	1	1	I	2	1	1	1
15.	Музыка	1															2				
16-	Ф >зическая культу-	2	2	2		2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2		2	2	2	2
17.	ра Начальная военная подготовка	—	—	2	'г	—	—	2	2	—	—	2	2	—<	—	2	2	—	—	2	2
18.	Трудовое и профес- сиональное обучение	2	9	4	4	3	3	4	4	3	3	4	4	3	3	4	4	3	3	4	4
	Итого:	23	24	27,5	ОС	24	25	27,5	28	24	25	27,5 28		24	25	26,5 28		24	25	26,5 27	
19.	Алгебра	5	5		—	5	5					5	5	—	—	5	5			—	5	5				
20.	Алгебра и матема- тический анализ	—	—	5/6	5	•—		5/6	О	—	—	5 6	5	—	—	5/6	5	—-	-—	5/6	5
21.	Геометрия	3	4	3	3	3	4	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
	Итого:	8	9	8,5	8	8	9	8,5	8	8	8	8,5	8	8	8	8,5	8	8	8	8,5	8
	Всего обязательных занятий	31	33 36		36	32	34	36	36	32	33	36	36	32	33	35	36	32	33	35	35
22.	Факультативные за- нятия	—	—	1	1	—	—	1	1	—	—	1	1	—	—	1	1	—	—	1	1
23.	Обязательный об- щественно полезный производительный	3	3	4	4	3	3	4	4	3	3	4	4	3	3	4	4	3	3	4	4
24.	труд Трудовая практика (в днях)	16	16 20		—	16	16	20	—	16	16	20	—	16	16	20	—	16	16	20	—
24
Минпрос РСФСР на основе Типового поло-
жения разработал новое Положение о шко-
лах (классах) с углубленным теоретическим
и практическим изучением учебных предме-
тов и утвердил его приказом от 5 мая 1986 г.
№113. В соответствии с ним углубленное изу-
чение отдельных предметов осуществляется в
VII—X (VIII—XI) классах. (Нумерация в
скобках соответствует новой структуре один-
падцатилстпсй школы.)
Время, выделенное на углубленное изуче-
ние предмета в каждом классе, складывается
из часов, отводимых учебным планом сред-
ней общеобразовательной школы па изучение
основных курсов, и часов факультативных за-
нятий. В IX—X (X—XI) классах дополни-
тельно выделяется по 1 ч в педелю на фа-
культативные занятия. I—VI (VII) классы
школ с углубленным изучением предметов
работают по учебным планам массовой
школы.
В национальных (нерусских) школах
РСФСР допускается увеличение нагрузки в
VII—VIII (VIII—IX) классах па 2—3 ч в пе-
делю на изучение родного и русского языков
и литературы.
В 1986/87 учебном году школам предостав-
ляется право работать в IX—X классах как
по новому, так и по прежнему (1979 г.)
учебному плану.
Профили профессиональной подготовки
учащихся школ (классов) с углубленным
теоретическим и практическим изучением
предметов определяются решениями исполко-
мов местных Советов народных депутатов с
учетом потребностей народного хозяйства в
кадрах, наличия учебно-технической базы и
реализуются, как правило, на базе промыш-
ленных предприятий, вычислительных цент-
ров, физических и химических лабораторий,
сельскохозяйственных предприятий, художе-
ственных мастерских и т. д.
В школах и классах с углубленным изуче-
нием математики трудовое обучение может
быть организовано но профессиям, связан-
ным с элсктронно-вычислнте 1ьной техникой.
Начало и окончание учебного года, сроки
проведения экзаменов, трудовой практики,
каникул в школах (классах) с углубленным
изучением предметов остаются такими же,
как и в массовых общеобразовательных шко-
лах.
ИЗУЧАЕМ И ОКСУЖДАЕМ ПРОГРАМЛ’.У '
Решение комиссии
по школьному математическому образованию
Отделения математики АН СССР
о проекте программы по математике
для средней школы
от 11 июня 1986 г.
Комиссия на расширенном заседании обсуди-
ла проект программы по математике для V—
XI классов 11-летней средней школы, опубли-
кованный в журнале «Математика в школе»
(1985, № 6), и материалы дискуссии по про-
екту, опубликованные в том же журнале
(1986, № 1, 2). В заседании приняли участие
представители МИАН СССР, Ленинградского
отделения МИАН СССР, Московского физи-
ко-технического института, Главного управ-
ления школ и Учебного методического совета
МП СССР, НИИ СиМО АПН СССР, ПИИ
школ МП РСФСР, журнала «Математика в
школе», Ленинградского городского ИУУ.
Комиссия отмечает, что опубликованный
проект программы отличается от варианта
проекта, рассмотренного на заседании комис-
сии от 5 марта 1985 г.
Опубликованный проект программы имеет
другую структуру: кроме разделов «Требова-
ния к математической подготовке учащихся»,
и «Содержание обучения», составленных по
ступеням обучения, проект содержит допол-
нительно новые разделы: «Тематическое пла-
нирование учебного материала», «Межпред-
метные связи», «Рекомендации ио оценке зна-
ний и умений учащихся».
Некоторые изменения произведены и в раз-
делах «Требования к математической подго-
товке учащихся» и «Содержание обучения».
Многие из этих изменений имеют тенденцию
к усилению формализма в обучении матсма7
тике. Комиссия принимает к сведению, что
МП СССР признало целесообразным учесть
замечания комиссии по доработке проекта
программы, опубликованного в журнале «Ala-
тематика в школе».
В результате обсуждения на расширенном
заседании признано целесообразным одоб-
рить в основном содержание школьного кур-
са математики и требования к математиче
ской под1Отовкс учащихся. Предложенные в
проекте содержание школьною курса мате-
матики и требования к математической под-
готовке учащихся пригодны как для подго-
товки конкурсных учебников, так и для обу-
чения математике по действующим учебни-
кам. В настоящее время важно сосредоточить
усилия компетентных организаций на кодго-
1 См.: Ма1ематнка в школе 1986. № 1—4,
товке и проведении конкурса учебников мате-
матики. Очень существенно, чтобы независи-
мо от выбранного пути изложения при напи-
сании учебников реализация программы про-
исходила в результате тщательного отбора
материала, не допускалась перегрузка учеб-
ников второстепенными темами. Возможное
более детальное уточнение программы разум-
но провести после введения в школу ста-
бильных учебников.
Подтверждено мнение комиссии о нецеле-
сообразности введения в программу раздела
«Тематическое планирование», задающего
обязательную последовательность располо-
жения тем и количество отводимых на них
часов. Роль этого раздела должна быть вспо-
могательной: он дает авторам дополнитель-
ные ориентиры прн написании учебников.
Для использования же в учебном процессе
«Тематическое планирование» должно нахо-
диться в соответствии с принятыми учебни-
ками.
Нецелесообразно введение в программу
раздела «Рекомендации по оценке знаний и
умений учащихся» Роль оценки в учебном
процессе многогранна, и любая ее регламен-
тация неизбежно приводит к усилению фор-
мализма в педагогическом процессе.
Председатель комиссии
по школьному математическому образованию
Отделения математики АН СССР
академик Л. С. Понтрягин
В обсуждаемой программе есть два главных
положительных фактора:
1	Она мало отличается от ныне действую-
щей.
2	Она ограничивает содержание обучения
наиболее существенными вопросами.
Но программа имеет немало и недостатков,
особенно в той ее части, которая касается
старших классов.
Прежде всего неясно, каково положение со
школьными факультативами. Обсуждение
обязательной программы и программы фа-
культативного курса должно идти во взаимо-
связи, поскольку вторая дополняет первую.
Решение «простейших», «несложных» при-
меров и задач (в программе для старших
классов других слов для характеристики за-
даний нет) вырабатывает у ученика неверное
представление о своих знаниях, не приучает
преодолевать трудности, не развивает усид-
чивость и настойчивость в достижении цели.
В курсе алгебры и начал анализа преду-
смотрено раздельное изучение, производных и
первообразных. По лучше рассматривать
дифференцирование и интегрирование одно-
временно как действия взаимно обратные.
Это экономит время, позволяет учащимся
лучше усвоить математический аппарат и
теснее связать его с курсом физики. В своей
работе я практикую такое совместное изуче-
ние производной и первообразной с 1978/79
учебного года.
Что касается производной, то вообще неяс-
но, как предполагается ее изучать. С'опорой
на наглядные геометрические представления
о касательной и механический смысл произ-
водной? Но можно ли приветствовать исклю-
чение понятия предела последовательности,
понятия о бесконечно малых, теорем о преде-
лах, понятия о непрерывности функций? Це-
лесообразна ли такая переделка? Мое мне-
ние— нет, причем это мнение разделяют 18
учителей математики нашего кустового мето-
дического объединения. Мы понимаем, что
изложение анализа в школе должно быть
построено на графической основе. Но все-та-
ки считаем указанные выше сокращения
чрезмерными. Такое изложение не облегчит
изучение математики пи в школе, ни в вузе,
где обучение анализу начинается с пределов.
К тому же непонятно, каким образом пред-
полагается теперь изучать объемы и поверх-
ности, если интеграл не будет рассматривать-
ся как предел сумм.
Если из программы исключат понятие о
непрерывности функции, то решение нера-
венств методом интервалов окажется лишен-
ным обоснования.
Изложение начал анализа, подобное тому,
которое предполагается в обсуждаемой про-
грамме, имеется в книге Л С. Понтрягина
«Математический анализ для школьников».
Мы благодарим Льва Семеновича, но книга
его, будучи полезна для учителей, ученикам
малодоступна, даже сильным.
Изучение пределов и непрерывных функ-
ций не вызывает ни скуки, ни отвращения,
если к преподнесению этого материала учи-
тель подготовлен. Это мы утверждаем, исхо-
дя из собственного опыта.
Какой подход к преподаванию начал ана-
лиза лучше: тот ли, что практикуется сейчас,
или тот, что предлагает программа 1985 г.?
Ответить па этот вопрос могут только учите
ля, испытавшие и то, и другое Точно так же
по-настоящему оценить несколько учебников
могут только учителя, одновременно рабо-
тающие по каждому из них. Но сейчас ясно
одно: пока не доказано преимущество нового,
ломка старого преждевре_менна,
Начиная с 1967 года составители каждой
новой программы ссылаются на авторитеты,
принимавшие участие, в се разработке. Пора
извлечь уроки из того, что случалось со
школьными программами за последние
15 лет. Необходимость широкого привлечения
-26
к обсуждению проекта чител ей, непосредст-
венно работающих в школе, была очевидна
всегда. Но сделано это только теперь. Тако-
му же обсуждению следует подвергать и но-
вые. учебные пособия. Отдав должное нашим
ученым за их большой труд, за то, что они
не остаются в стороне от школьной матема-
тики, Минпрос должен руководствоваться
при выработке программы и создании учеб-
ников объективными современными условия-
ми, в которых находится школа.
И. И. Никифоров, учитель
Красногорской ср. wk.
Марийской АССР
Мы положительно оцениваем в программе
1985 г. усиление практической направленно-
сти обучения математике (в частности, пре-
дусмотренное формирование у школьников
представлений о математическом моделиро-
вании), увеличение числа часов па повторе-
ние, разработку рекомендаций по оценке зна-
ний и умений учащихся. Но вместе с тем хо-
тим высказать ряд критических замечаний.
I.	Число часов, отведенное на изучение
большинства разделов программы, позволяет
(да и то нс всегда!) обеспечить лишь мини-
мальный уровень подготовки учащихся, опре-
деленный «Обязательными результатами обу-
чения». Но для более глубокого рассмотре-
ния вопросов программы, для развития сред-
них и сильных учащихся учебного времени
совершенно недостаточно. Дефицит времени
сказывается, например, на результатах фор-
мирования вычислительных и технических
навыков, решения текстовых задач. Он дает
себя знать в курсе геометрии, а также в кур-
се алгебры и начал анализа.
Решить вопрос можно либо увеличением
числа часов, либо отказом от изучения ка-
ких-либо тем. Однако эта мера преходящая
и мало эффективная. Назрела необходимость
со всей определенностью поставить вопрос о
дифференцированном обучении школьников
начиная с IX класса. Невозможно разрабо-
тать единую программу, пригодную для каче-
ственной, па уровне современных требований
подготовки молодых людей, которые сразу
после школы начнут специализироваться по
различным направлениям: один станет фило-
логом, второй инженером, третий историком,
четвертый естествоиспытателем и т. д. Реа-
лизовать дифференциацию обучения старших
школьников силами одних учителей, как
предложено в «Объяснительной записке» к
программе, не представляется возможным.
II.	«Обязательные результаты обучения»
(см.: Математика в школе. 1985. № 2—4)
определяют лишь минимум знаний, необходи-
мый для дальнейшего обучения, т. с. уровень,
который должен быть достигнут учеником'
для получения оценки «3». Было бы полезно
продолжить разработку результатов обуче-
ния, более конкретно определив уровень зна-
ний, достойный оценки «5», и согласовав этот
уровень с требованиями вступительных экза-
менов в вузы.
Ill.	В опубликованных ранее материалах
по обсуждению программы (Математика в
школе, 1986, № 2, 3) высказывались частные
замечания, касающиеся порядка изучения от-
дельных вопросов, использования символики
и т. д. Мы поддерживаем указания о неудач-
ном распределении тригонометрического ма-
териала. Кажется целесообразным и предло-
жение вернуть обозначения НО К и НОД,
термин «смешанные числа» для более четкой
записи и более экономного обсуждения соот-
ветствующих вопросов. Необходимо отказать-
ся от использования в учебниках формулиро-
вок определений н теорем, затрудняющих
понимание их математическою содержания.
Например, мы считаем неудачными предло-
женные в учебнике А. В. Погорелова опреде-
ления перпендикулярных плоскостей, угла
между плоскостями, формулировку теоремы
об угле, вписанном в окружность.
Вместе с тем подчеркиваем, что частое из-
менение программ и сопутствующее ему из-
менение учебников вынуждает учителей рабо-
тать «вслепую», т. е. пользуясь чужими реко-
мендациями. Учитель пс успевает накопить
свой опыт, выработать свою методику препо-
давания различных вопросов курса. Эго от-
рицательно сказывается на процессе обуче-
ния.
М. Д. Азгрова,
заслуженный учитель школы РСФСР,
учителя Л. И Дрыщ, Л. Г. Петерсон
В программе 1985 г. курс планиметрии (VII—
IX классы) явно перегружен, особенно в VII
классе. Семиклассники — «новобранцы» гео-
метрии, их ко многому надо приучать, многое
для них вповипку (опредечепия, аксиомы, ло-
гические доказательства). Тут торопиться
нельзя, а учитель будет торопиться, побуж-
даемый программой.
Если векторы предлагается изучать до по-
добия и метрических теорем, то как тогда
обосновать распределительный закон: й(а-|-
фЬ) =ka-\-kb? Принять без доказательства!?
Нехорошо! Это допустимо лишь для тех тео-
рем, доказать которые в излагаемом курсе
невозможно.
В разделе «Требования к математической
подготовке учащихся» по поводу курса гео-
ггюг.г-нопнгнг.чбгг -uwst -jo »» пгьл 
метрии VII — X классов сказано, что учащиеся
должны лишь уметь «проводить доказатель-
ные рассуждения в ходе решения типичных
задач». Но пе принижаем ли мы тем самым
значение изучения доказательств теорем? К
этому вопросу нужно подходить двояко. До-
казательства одних теорем, должны предназ-
начаться для чтения в классе. При этом дети
будут учиться читать научную литературу,
познакомятся с образцами стройной, аргумен-
тированной речи. Доказательство других тео-
рем неплохо бы уметь воспроизводить. При
таком воспроизведении школьник учится по-
следовательно н обоснованно излагать своп
мысли.
Б. Д Фокин
заслуженный учитель школы РСФСР (г. Камышин)
❖
В обсуждаемой программе нс нашли должно-
го отражения те математические понятия,
которые способствуют улучшению качества
изложения школьного курса физики. Это в
частности относится к понятию величины.
Вопрос о величинах, об именованных числах
не раз обсуждался на страницах журнала
«Математика в школе». Напомним одно из
итоговых высказываний дискуссии, развер-
нувшейся в 50 х гг.: «Математика имеет дело
с числами, и результатом действия над ними
является число. Поэтому говорить о „пра-
вильной” и „неправильной” постановке на-
именований с точки зрения математики прос-
то нелепо» (Барсуков АНК вопросу о на-
именованиях.— 1950. № 3. С. 21—23).
Такого категоричного мнения придержива-
лись и авторы ряда школьных учебников, со-
зданных за последнее время. В пыпе дейст-
вующем уч; шке геометрии понятия о таких
важнейших величинах, как площадь и объем,
даны просто неудовлетворительно. Невнима-
ние к величинам проявилось и в обсуждае-
мой программе- Мы хотим напомнить, что
.значительно позже упомянутой дискуссии об
именованных числах в журнале «Математика
в школе» появились высказывания о возмож-
ности и необходимости изучения величин в
школьной математике (см.: Колмогоров А 77.
О системе основных понятий и обозначений
для школьного курса математики —1971.
№ 2. С. 18—19; Биленкин Н. Я. О понятии
величины.— 1973.	4. С. 4—7).
На наш взгляд, при составлении програм-
мы по математике необходимо учитывать
мнение физиков в вопросе об изучении вели-
чин. В настоящее время у физиков сложился
подход к математическим зависимостям фи-
зических величин и их единиц измерения, ко-
торый хорошо характеризуется следующей
цитатой: «Опыт доказал плодотворность об-
г.ч jv»36ipii;	'э: •мн.'-	
щего правила, согласно которому все соотно-
шения между величинами следует рассмат-
ривать как уравнения для этих величин. Это
означает, что входящие в них значения вели-
чин следует всегда брать в виде произведе-
ния числового значения и единицы измере-
ния, так чтобы искомая величина получалась
всегда- снова как числовое значений, умно-
женное на произведение единиц измерения,
причем это последнее может быть представ-
лено, как некоторая новая единица» (Кам-
ке Д, Кремар К- Физические, основы единиц
измерения. М.: Мир, 1980. С. 14).
В процессе преподавания школьного курса
физики нельзя не рассматривать математиче-
ские операции над физическими величинами
и их единицами измерения. Поэтому в школь-
ном курсе математики нужно уделить больше
внимания этим вопросам.
С. Г. Богданов,
учитель Новосаратовской ср. шк.
Азербайджанской ССР
♦
По сравнению с ныне, действующей обсуж-
даемая программа кажется более, совершен-
ной. Значительно обогатился ее методический
аппарат: появился новый важный раздел
«Межпредметные связи», опубликованы и но-
вые «Рекомендации по оценке знаний и уме-
ний учащихся». Правда, эти рекомендации
было бы желательно более четко откорректи-
ровать. Понятно, что весьма трудно устано-
вить некую безусловную границу, отделяю
щую одну оценку от другой. Но все-таки же-
лательно дать более, четкие указания по по-
воду того, что отличает неточность or недочё-
та, а недочет от ошибки.
Считаю также весьма положительным фак
том увеличение числа часов, отводимых во
всех классах на итоговое повторение.
Одпако в программе есть и недостатки.
Они касаются главным образом курса гео-
метрии. Этот курс остается перегруженным и
трудным для усвоения всеми учащимися об
щеобразоватслыюй школы. В нем мало вре-
мени отведено на решение задач, особенно в
VIII—X классах.
Я М Айрапетов,
учитель-методист школы № 6 (Баку)
Пам представляется особенно важным для
учителей математики, что программа в целом
совпадает с действующей. Сохранилась ее
структура, удачно найденная в 1982 г., доба
вились новые, очень нужные разделы: «Меж-
предметные связи», «Рекомендации по оценке
знаний и умений учащихся», «.Литература
для учителя».
28
Достижением составителей программы, на
наш взгляд, является «Объяснительная запис-
ка». Она нацеливает на организацию учебно-
воспитательного процесса, ориентированного
на безусловное достижение всеми учащимися
обязательного уровня математической под-
готовки. Наряду с этим внимание учителя ак-
центируется на необходимости развивать ин-
терес учащихся к предмету и серьезно рабо-
тать с теми, кто проявляет склонности к ма-
тематике.
В действующей программе требования к
математической подготовке учащихся сфор-
мулированы недостаточно четко (овладеть
навыками..., получить представления..., озна-
комиться..., изучить...). В повой редакции
программы требования конкретизированы до
указания основных умений; в комплексе с
опубликованными в 1985 г. «Обязательными
результатами обучения» (Математика в шко-
ле. К? 2—4) они становятся действенным
средством контроля за ходом обучения, помо-
гают выделить основные идеи, понятия и
факты школьного курса математики.
Предполагается, что обязательные резуль-
таты обучения, заданные в виде набора задач
по всем разделам курса математики, должны
быть известны ученикам. Тогда требования к
математической подготовке приобретают для
школьника конкретную форму, создаются
условия для его активного включения в реше-
ние учебных задач. С другой стороны, обяза-
тельные результаты обучения должны по-
мочь учителю ощутить нижнюю границу той
математической подготовки, на базе которой
возможно дальнейшее математическое разви-
тие школьников. Таким образом нижняя гра
ница «тройки» становится вполне определен-
ной.
Овладение всеми учащимися умениями па
уровне требований к математической подго-
товке, конкретизированных в «Обязательных
результатах обучения»,— непростая задача.
Сегодня во многих классах найдется не один
ученик, для которого этот уровень является
наивысшим. Мнение, возникшее у части учи
я елей и методистов, о якобы заниженных тре-
бованиях к подготовке, учащихся в обсуждае-
мой программе, на наш взгляд, необоснован-
но. Такое мнение может возникнуть лишь при
поверхностном чтении программы или неже-
лании преодолеть сложившийся стереотип
оценки деятельности учащихся. По поводу
развития учащихся н «Объяснительной за-
писке» к программе сказано «нельзя ограни-
чивать всех учащихся уровнем обязательных
требований, важно стремиться к возможно
более полному раскрытию их математических
способностей и дарований».
В рассматриваемой программе содержание
обучения практически стабилизировалось.
Это позволит перейти на обучение по этой
программе без существенной психологической
ломки сознания учителя. Учитель получит
возможность тщательно изучить содержание
обучения и тем самым под| отониться к раз-
личным вариантам его методической реали-
зации в учебных пособиях.
Естественно, что сегодняшний вариант
программы нс является последним. Его дора-
ботка будет продолжаться, и к этому делу
необходимо привлечь работников просвеще-
ния всех категорий. Вместе с тем нам кажет-
ся, что пришло время переключить основное
внимание учителя с частных вопросов (оста-
вить в курсе или убрать из него такие-то те-
мы, принять один порядок их изучения или
другой, и т. д.) на фундаментальные идеи
программы в целом. Хотя программа далека
от совершенства и далеки от идеальных дей-
ствующие учебные пособия, было бы странно
не видеть, что реализация и развитие зало-
женных в них новых и весьма перспективных
идей должны привести к положительным ка-
чественным сдвигам в учебном процессе.
И. М Милаш,
зав кабинетом математики РИУУ
МП Латвийской ССР
Э. М. Фалькенштейн.
методист кабинета математики
Опубликованная в журнале «Математика в
школе» (1985, №6) программа по математике
обсуждалась на совместном заседании трех
математических кафедр Кировского государ-
ственного педагогического института им.
Б. И. Ленина. Ниже по поручению этих ка-
федр мы излагаем результаты обсуждения.
Заслуживают похвалы указанные в про-
грамме требования к математическим уме-
ниям учащихся, рассмотрение межпредмет-
ных связей, разработка норм оценок за уст-
ные ответы и письменные работы. Особенно
стоит отметить четкое указание нижней гра-
ницы математических умений учащихся.
Следует поддержать составителей програм-
мы и в том, что в разделе «Требования к ма-
тематической подготовке учащихся»  даны
указания о построении i рафиков функций по
их свойствам (а не изучение свойств функций
по их графикам), об исследовании функций
элементарными приемами.
В разделе «Межпредметные связи» прямо
просматривается усиление прикладной на-
правленности школьного курса математики.
Надо отметить большое значение преду-
смотренных в «Тематическом планировании»
бесед о возникновении и развитии понятия
числа, о симметрии в природе, технике, ис-
29
кусетве, о математике и естествознании, о
логическом строении геометрии, о математи-
ческом моделировании и др.
В то же время некоторые вопросы отраже-
ны в программе недостаточно.
В разделе «Требования...» указаны лишь
умения, которые необходимо сформировать
при обучении математике, чем занижен уро-
вень математической подготовки учащихся.
Надо бы четко сформулировать и уровень
знаний учащихся (хотя бы нижний), и н а-
в ы к и, которые, школьникам нужно приоб-
рести.
Раздел «Межпредметные связи» можно
было бы конкретизировать, подробнее описав
как некоторые приложения математики в
смежных дисциплинах, так и влияние смеж-
ных дисциплин на содержание школьного
курса математики.
«Объяснительная записка» нуждается в ре-
дакционной доработке: в ней проблемы вос-
питания при обучении математике почему-то
разделены проблемами умственного и логи-
ческого развития учащихся.
Хорошо бы уточнить критерии оценок.
Что касается содержания обучения, то сле-
дует сказать, что в нем удачно сохранено
основное «ядро»: числовые системы, величи-
ны, уравнения и неравенства, тождественные
преобразования математических выражений,
координаты, функции, геометрические фигу-
ры и их свойства, измерение геометрических
величин, геометрические преобразования, на-
чала математического анализа. Остается
только сожалеть, что программой пе преду-
смотрено использование геометрических пре-
образований, векторов и координатного мето-
да для изучения стереометрии.
Далее выскажем замечания по отдельным
курсам.
Математика (V—VI классы). Содержание
обучения в основном определено удачно. Те-
матическое же планирование желательно
уточнить и улучшить. Опыт 70-х гг. показы-
вает, что тему «Измерение геометрических
величин» целесообразнее распределить по
остальным шести пунктам программы V клас-
са. Сведения о координате точки на прямой
удобнее сообщать пе в теме 6 («Рациональ-
ные числа»), а в теме 4 («Положительные и
отрицательные числа»).
Алгебра (VII—IX классы). Считаем полез-
ной предусмотренную программой системати-
зацию сведений о функциях в IX классе, при-
ветствуем усиление внимания к изучению
уравнений и неравенств. Вместе с тем в курсе,
алгебры VII класса линию функций жела
тельно усилить, включив в него функции у—
— х2 п у=Х3. Неоправданно много времени
отводится тождественным преобразованиям
одночленов и многочленов: 72 ч (против 62
в действующей программе). В VIII классе
желательно дать больше сведений о действи-
тельных числах: это необходимо далее для
изучения начал анализа. В IX классе слиш-
ком мало времени отведено на изучение про-
грессий.
Алгебра и начала анализа (X—XI* классы).
С удовлетворением отмечаем усиление основ-
ной линии алгебры, липни уравнений и нера-
венств. Учащихся следует обучать не только
решению простейших трансцендентных урав-
нений, но и к ним приводящихся.
Понятие предела школьники усваивают с
большим трудом. Видимо, поэтому оно и не
нключено в программу. По в псе входят про-
изводная и определенный интеграл, сами яв-
ляющиеся пределами, в связи с чем хотя бы
представления о пределе должны быть изве-
стны учащимся. Можно было бы ограничить-
ся геометрическим определением предела.
Серьезные сомнения вызывает включение в
программу вопросов приближенного вычисле-
ния интегралов. Эго чисто техническая рабо-
та, требующая больших затрат времени.
Геометрия (VII—XI классы). Предложен-
ное тематическое планирование заставляет
тревожиться за курс геометрии, являющийся
самым слабым местом в школьном курсе ма-
тематики. В планировании все построения с
помощью циркуля и линейки «втиснуты» в
одну тему VII класса. А вот понятие равен-
ства фигур рассматривается дважды: в самом
начале VII класса и в конце VIII. Координа-
ты па плоскости также изучаются дважды, в
VI и VIII классах. Дважды встречается и па-
раллельный перенос. Такая «концентрич-
ность» едва ли оправданна.
Несколько большее внимание, чем ныие,
уделяется изучению движения фигур как в
планиметрии, так и в стереометрии. Однако
движение и подобие нс становятся аппаратом
для изучения геометрии, изучаются сами по
себе и сами для себя.
Тематическое планирование курса стерео-
метрии проведено наименее удачно. Разорва-
но изучение таких тем, как «Параллельность
прямых и плоскостей», «Многогранники».
Расхождение формулировок в разделах «Со-
держание обучения» и «Тематическое плани-
рование» делает неясными некоторые важные
вопросы. Например, непонятно, будут ли
школьники изучать наклонные и неправиль-
ные призмы и пирамиды, общие понятия
призмы и пирамиды.
Не предусмотрело изучение таких геомет-
рических тел, встречающихся повсеместно в
практических приложениях, как усеченные
пирамида и конус. Не рассматриваются части
шара (сегмент, шаровой слой), впрочем, как
30
и само йЬнятие гсоме^рйчеёкого5тела. Тем
самым существенно снижается теоретический
и прикладной уровень стереометрии.
В программе по геометрии нет никаких
указаний на применение микрокалькулято-
ров, хотя бы при решении задач. Такое ука-
зание необходимо, так как вычислительная
техника позволила бы сократить драгоценное
время, которое тратится на вычисления при
решении геометрических задач. Шире следует
применять микрокалькуляторы и в курсе ал-
гебры. Этого требует проводимая реформа
народного образования.
В заключение укажем, что обсуждаемая
программа едва ли обеспечит бодее высокий
уровень преподавания математику, если нс
будет проведена ее корректировка.
Е. С. Канин, Е М. Канина, М. Г. Лускина,
сотрудники Кировского пединститута
Очень хорошо, что специальным структурным
разделом обсуждаемой программы предусмот-
рены межпредметные связи. Однако в обуче-
нии математике не менее важны впутрипред-
метные. связи, которые в программе лишь дек-
ларируются. Более того, стремление к един-
ству всего школьного курса математики, ко-
торое было одним из основных стержней про-
граммы, действовавшей в 70-х гг., в предла-
гаемом варианте вовсе отсутствует. Если это
ошцбка, ее надо поправить; если это позиция,
то ее надо очень серьезно обсудить.
Поясним наши опасения несколькими при-
мерами.
Из требований к математической подготов-
ке учащихся I—IV классов исчезли упомина-
ния" о буквенной символике и уравнениях, из
V—VI классов —понятие неравенства. Ссы-
латься при этом на пресловутую перегрузку
нелепо — посмотрите, как успешно малыши
справляются с этими вопросами сегодня. Зато,
сняв их, мы неизбежно приведем учащихся
VII—IX классов к перегрузке.
Снова мы видим возрождение «культа про-
центов» — для V класса предусмотрена спе-
циальная тема «Проценты», на которую отво-
дится 20 ч — больше, чем в VI классе па
изучение прямоугольных координат па пло-
скости!
Это не частности, ибо в них проявляется оп-
ределенная тенденция к ослаблению пропедев-
тической роли начального курса математики,
сведению его к некоторой самостоятельной
системе, возврату к существовавшему когда-
то в условиях необязательного начального об-
разования особому закопченному курсу ариф-
метики. В I—V классах элементов алгебры
фактически нет, в VI они отнесены на послед-
нюю четверть. Какие уж тут внутрипредмет-
ные связи!
Впрочем, по поводу алгебраических вопро-
сов, видимо, можно еще поспорить, но давай-
те обратимся к геометрической части курса
математики I—VI классов, причем задуматься
надо не над содержанием, а над духом про-
граммы. Ни о какой геометрический пропедев-
тике для учащихся этого возраста d пей и ре-
чи нет — просто в курс арифметики не очень
органично вставлены некоторые геометриче-
ские дополнения. Вопрос этот весьма серьезен,
и на нем стоит остановиться чуть подробнее.
Геометрическая часть курса математики I—
IV и V—VI классов совершенно не обеспечи-
вает плавною перехода «от живого созерца-
ния— к абстрактному мышлению». Условий
для «живого созерцания» программа, опубли-
кованная в 1985 г., к сожалению, не создает
и в этом отношении напоминает программу
традиционную, когда первые уроки системати-
ческого курса геометрии оказывались камнем
преткновения для значительной части учащих-
ся именно из-за необеспеченности перехода от
наглядной геометрии к элементам дедукции.
Порок традиционных программ как раз и за-
ключался в том, что богатый опыт наглядных
представлений ребенка игнорировался, к на-
чалу систематического курса он ничем не под-
креплялся и пс развивался и, по сути дела,
геометрическая подготовка после детского са-
да была не намного хуже подготовки после
начальной школы. Педагогическая наука уже
давно разобралась в этом, уже немало сдела-
но и педагогической практикой. Зачем же воз-
вращаться к пройденному этапу?
Обратимся теперь к старшим классам. В про-
грамме VIII класса имеется тема «Векторы
и координаты», получающая некоторое разви-
тие (скалярное произведение векторов и его
вычисление в координатах) в теме «Метриче-
ские теоремы». Однако далее — в IX—XI клас-
сах— о векторах нет ни слова. Тема, что на-
зывается, «повисла в воздухе». Можно до-
пустить, что векторы в курсе математики
изучаться не должны, они могут быть изучены
там, где применяются,— в физике. Такая точ-
ка зрения спорна, но имеет право на суще-
ствование. Но изучить и забыть — непрости-
тельная роскошь, еще раз свидетельствующая
о недостаточной отработке внутренних связей
вопросом, составляющих программу.
К сожалению, учителя-практики уже давно
отучены преподавать по программе, и привык-
ли вести обучение только по одному учебни-
ку, хорошо или плохо составленному по этой
программе. Поэтому о ряде вопросов построе-
ния программы сегодня нм высказать свое
мнение довольно трудно. В частности, трудно
говорить о некоторых непривычных новациях,
31
об их оправданности и целесообразности. Вот
два примера.
По программе тригонометрические функции
вводятся в VIII классе до движений и до
изучения подобия Естественно, что при таком
построении они оказываются не столько но-
вым классом функций, сколько новым аппара-
том для решения задач на метрические соот-
ношения в треугольнике. Это обязывает пас
вернуться к тригонометрическим функциям
в IX классе («Элементы тригонометрии») и
в X («Тригонометрические функции», «Триго-
нометрические уравнения»). Можно спорить
о целесообразности такого концентризма, по
сейчас хочется подчеркнуть другое — учителя
воспитаны па том, что независимое! ь тригоно-
метрических функций от длин сторон прямо-
угольного треугольника есть следствие подо-
бия. Иное построение должно быть достаточ-
но обстоятельно аргументировано, и это сле-
дует сделать в самой программе.
Заметим, кстати, что тратить 20 ч па три-
гонометрические уравнения при всеобщем обя-
зательном среднем образовании нецелесооб-
разно. Этот вопрос сохраняется в школе лишь
по традиции. Слов нет, тригонометрические
уравнения красивы, интересны, способствуют
более глубокому изучению и тригонометриче-
ских функций, и теории равносильности, очень
выручают при составлении задач для прием-
ных экзаменов в вузы...
Скажем так: есть 20 ч, на что их отдать?
Оставить для изучения тригонометрических
уравнений или ввести в школьный курс эле-
менты теории вероятностей и математической
статистики, без представления о которых нель-
зя считать полноценным среднее образование?
Полагаю, что математик, знакомый с истори-
ей и методологией пашей науки, даст одно-
значный ответ.
Второй пример. Мне очень импонирует
мысль составителей программы о том, что
«при изучении вопросов анализа приоритет
отдается использованию наглядных соображе-
ний». Более того, полагаю, что в условиях мас-
совой школы только такая постановка вопро-
са имеет право на существование. По при ее
реализации возникает ряд деликатных вопро-
сов. Например, из программы исчезло понятие
предела. Нет ни предела последовательности
(фактически нет и самих последовательностей,
если нс считать традиционных арифметиче-
ской и геометрической прогрессий), ни преде-
ла функции. Однако есть бесконечно убываю-
щая геометрическая прогрессия и ее сумма,
есть длина окружности, число л и площадь
круга, есть производная и определенный ин
тет рал.
Известно, что исторически приемы отыска-
ния производной, определенного интеграла и
тем более длины окружности и площади кру-
га возникли ранее логического их введения
с использованием понятия предела. Видимо,
в данном случае и в школе предполагается
идти по историческому, а не логическому пу-
ти. Однако все современные учителя воспита-
ны на традициях Коши и Вейерштрассд, имен-
но так воспитаны и учителя учителей, именно
так построена основная часть литературы по
математическому анализу. Значит, в «Объяс-
нительной записке», в «Требованиях к знани-
ям и умениям учащихся» следует обстоятель-
но раскрыть пожелания составителей програм-
мы. Тем более следует основательно задумать-
ся над вузовским курсом математического
анализа, нуждающимся — если мы примем
предлагаемую программу — в существенной
переориентации.
Новую программу прежде всего придется
реализовать преподавателям педагогических
вузов, которые должны обучать своих питом-
цев не в расчете на постепенный переход от
старой программы к новой, а так, чтобы вы-
пускник педвуза был вооружен знаниями и
методикой на весь переходный период. Пока
же нами в этом отношении накоплен, в основ-
ном, только печальный опыт — учебные планы
и программы физике математических факуль-
тетов пединститутов не опережают события,
происходящие в школе, а следуют за ними
и поэтому устаревают уже в момент публи-
кации.
Перестройка высшего образования неизбеж-
но вызовет и переработку учебных планов и
программ педагогических институтов. Эти ос-
новополагающие для вузов документы должны
быть ориентированы не на сиюминутные по-
желания и обстоятельства, а на тщательно
продуманную перспективу развития школы и
народного образования в целом, следующую
из решений XXVII съезда КПСС.
Хотелось бы выразить уверешность в том,
что в дальнейшем нам придется обсуждать
не одобренные и уже принятые документы,
а активно участвовать в их разработке.
Л. Ф Пичурин.
профессор Томского пединститута
На страницах журнала «Математика в шко-
ле» и «Учительской газеты» была дапа в це-
лом объективная оценка содержанию новой
школьной программы по математике. Вместе
с тем авторы критических замечаний, как нам
представляется, не затронули один принципи-
альный вопрос, касающийся основного поня-
тия школьных начал анализа,— понятия пре-
дела.
Как известно, предельные переходы, с кото-
рыми приходится встречаться как в самом ма-
32
тематическом анализе, так и в различных его
приложениях, всегда приводят к понятию пре-
дела функции (в виде разнообразных форм
и разновидностей). В школьных началах ана-
лиза утвердились две основные разновидно-
сти: предел числовой последовательности и
предел функции произвольного действительно-
го аргумента в точке. В них отражается до-
статочно высокая степень формализации ха-
рактеристики последовательных стадий про-
цесса изменения аргумента.
Эти две разновидности, родственные по об-
щим чертам и являющиеся некоторыми кон-
кретизациями единого целого — понятия пре-
дела функции, вместе с тем существенно отли-
чаются друг от друга поведением аргумента.
Как известно, в конце 40-х гг. в школьную
программу по математике было включено по-
нятие предела числовой последовательности.
Это было сделано с целью обеспечить пони-
мание учащимися ряда понятий и фактов кур-
са математики Причем определение предела
числовой последовательности приводить в до-
статочно формализованном виде не предусмат-
ривалось. Однако авторы учебных руководств
все чаще стали предлагать школьнику опре-
деление предела числовой последовательности
в форме «е—N». Когда же возникла необхо-
димость включить в школьную программу по
математике еще и понятие предела функции
(действительного аргумента) в точке, то авто-
ры учебных руководств опять остановились нр
определении в форме «е—б».
Так понятие предела в школьных началах
анализа оказалось доведенным до формаль-
но-логического расчленения.
Вот тут-то и возникли главные трудности:
основная масса учащихся не смогла в этих
разновидностях обнаружить общие черты, нс
смогла увидеть, что опи являются некоторыми
конкретизациями общего понятия предела
функции.
Есть ли выход из сложившейся ситуации?
Конечно же есть. Надо обратиться к педаго-
гическому наследию наших выдающихся уче-
ных и педагогов II. Н. Лузина, А. Я- Хинчи-
на, И. И. Привалова, в котором мы найдем
весьма интересные подходы к введению поня-
тия предела.
Однако программа по математике 1985 г.
предлагает в рамках школьного обучения
не определять понятие предела вовсе. Таким
Образом одна крайняя позиция оказывается
замененной другой, предлагающей отказаться
от попытки удовлетворительно разъяснить
в школе понятие предела, считать последнее
чем-то самим собою понятным. Это, естествен-
но, приводит к идейному и ме го дологическому
обеднению школьных начал анализа.
Нам представляется, что в школьном обуче-
нии едва ли следует как доводить понятие
предела до формально-логического расчлене-
ния, так и совершенно отказаться от попытки
разъяснить это важнейшее понятие, лежащее
в основе методов математического анализа.
Школа всё же обязана по возможности удо-
влетворительно разъяснить учащимся понятие
предела, необходимого для настоящего усвое-
ния таких тем начал анализа, как «Производ-
ная» и «Интеграл».
Н. Г. Ованесов,
и. о. профессора кафедры
математического анализа
Астраханского пединститута
♦
Обсуждаемая программа содержит тему «Ко-
ординаты и векторы» в планиметрической час-
ти курса геометрии (VIII класс) однако в сте-
реометрии такой темы не оказалось. «Объяс-
нительная записка» к программе обошла этот
факт молчанием.
Бесспорно, что при разработке программы
падо было поступиться деталями и частностя-
ми. Но относится ли векторный метод к «де-
талям и частностям»? Нет и еще раз нет! Это
эффективный современный научный метод,
позволяющий обеспечить высокий научный
уровень, прикладную и практическую направ-
ленности школьного курса геометрии. Нема-
лый опыт школы по изучению и использова-
нию векторов в целом положителен, если пе
считать трудностей с определением вектора.
По суть дела пе в определении.
Понятие вектора по самой своей сути яв-
ляется пространственным. Силу и красоту век-
торного метода можно полностью попять и
прочувствовать только в его применении к ре-
шению стереометрических задач. Изгнание
векторов из стереометрии было бы хоть как-
то объяснимо, если бы их изучение требовало
много дополнительного времени. По ведь вес
действия над векторами пространства выпол-
няются по тем же законам, что и над векто-
рами плоскости. Весь материал о векторах
можно изложить в небольшом числе уроков,
а возможности их использования по сравне-
нию с планиметрией значительно шире.
Программа (1985 г.)требует научить школь-
ников «использовать векторы и координаты
для решения стандартных задач: вычисление
длин и углов, сложение векторов, умножение
вектора на число» (с. 12) па плоскости. Если
только в VIII—IX классах ставить цель
обучить школьников таким отраниченным на-
выкам, то в X—XI классах от этих навыков
ничего нс останется, ибо всякий навык поддер-
живается систематической тренировкой.
Векторы пространства в дальнейшем очень
нужны в курсе физики, что и отмечается в раз-
деле «Межпредметные связи», «для изучения
3 «Матеыатка & школе» И> 6—86
.33
курса м ёха никт? йёобЯс димб Владение (курсив
мой.— Я- П.) векторным и координатным ме-
тодами...» (с 24). Кому адресованы эти сло-
ва? Если учителю физики, то почему в про-
грамме по математике? Учителю физики при-
дется, видимо, заниматься векторами на своих
уроках или во внсучсбиое время. Приемлемо
ли это?
Я не ставил цель анализировать програм-
му в целом, но есть недоумения и по другим
темам. Скажем, неясно, как будет изучаться
производная без пределов, если сама произ-
водная есть предел и не что иное. Подобные
недоумения заставляют вспомнить те времена,
когда после введения программы по матема
тике следовали нескончаемые указания: «до-
бавить», «исключить», «перенести», «изучать
обзорно» и т. д. Очень вероятно, что такие
указания будут повторяться опять. Доработки,
безусловно, неизбежны и правомерны, но они
должны касаться не существа программы,
а лишь некоторых деталей и частностей. Оче-
видные большие просчеты и расхождения с об-
щими установками надо устранить сразу Вре-
мя для этого еще есть.
Я. П. Понарин,
доцент кафедры геометрии
Кировского пединститута
♦
Опубликованная в 1985 г. программа пп ма-
тематике содержит новый и важный для учи-
теля компонент — рекомендации по осуще-
ствлению межпредметных связей Они будут
способствовать повышению паучно-методиче-
ского уровня преподавания, укреплению свя-
зей курса математики с практикой. Однако
важно продумать не только межпредметные,
но и внутрипредметные связи, которые в
школьной математике за последнее время за-
метно ослабли. Прежде всего это касается
курсов планиметрии и стереометрии. Еще све-
жи в памяти времена, когда в школьных учеб-
никах элементы стереометрии (неплоские фи-
гуры)' органически рассматривались в курсе
планиметрии. Затем эти сведения были выде-
лены в отдельную тему в конце курса, а за
тем и вовсе из него убраны.
Вместе с тем одной из причин, определяю-
щих недостаток геометрического развития
учащихся средней школы, является отрыв
изучения планиметрических образов от сте-
реометрических. Ученики привыкают видеть
плоские фигуры лежащими только в плоско-
сти классной доски или ученической тетради.
Мы исходим из того, что изучение пл а ни
метрического материала не должно проводить-
ся в отрыве от трехмерного пространства.
Систематические выходы в пространство и
систематическое изучение элементов стерео-
метрии начиная с VI класса способствовали
бы повышению общего уровня геометрических
знаний учащихся и благотворно повлияли на
развитие их пространственных представлений.
Знакомство учащихся VI класса с элемента-
ми стереометрии может происходить при ак-
тивном использовании наглядности (моделей,
рисунков, чертежей, кино, предметов окружаю-
щей обстановки). И только при этом условии
оно будет эффективным.
Обобщения, вводимые в дальнейшем на
фузиопистской основе, позволят значительно
сократить время на изучение отдельных во-
просов как планиметрии, так и стереометрии.
Например, можно одновременно доказать сра-
зу две теоремы: «Если из точки, пе принад-
лежащей плоскости (прямой), проведены пер-
пендикуляр и наклонная к этой плоскости
(прямой), то длина перпендикуляра меньше
длины наклонной». Основная формулировка
годится для пространства, а разночтения в
скобках относятся к плоскости.
Слияние планиметрии со стереометрией бы-
ло бы еще более естественным, если допустить
выходы из плоскости пространство на раз-
личных этапах доказательства теорем в курсе
планиметрии. Ведь многие теоремы геометрии
могут быть доказаны «в пространстве» более
простыми методами, чем «в плоскости».
Возможности фузиоиистского построения
курса геометрии должны быть предусмотрены
повой программой. Это можно сделать, напри-
мер, включив в курс VI класса задачи на
отыскание множества точек в пространстве,
задаваемого характеристическими свойствами,
или задач на построение сечений.
А. Эргашев.
доцент Кокандского пединститута
Очень трудно давать отзыв на программу,
нс имея учебников, в которых она реализо-
вана. Но все же некоторые идеи, заложенные
в программе, вызывают сомнения.
Кажется невозможным выбрасывать из
школьного курса изучение пределов. Ведь по-
нятие предела используется постоянно: при оп-
ределении длины окружности и площади кру-
га, поверхности цилиндра и конуса, производ-
ной и интеграла. Па наш взгляд, изучение пре-
дела должно остаться в школьном курсе, осо-
бенно необходимо научить находить пре-
делы. Но вот строгого определения предела
можно было бы и не давать, так как оно
с трудом воспринимается учащимися.
С нашей точки зрения слишком поздно рас-
сматривается решение неравенств — только в
IX классе впервые упоминается о решении
линейных неравенств.
Не ясно, зачем нужен такой большой раз-
брос при изучении темы «Геометрические пре-
34
образования»: понятие об осевой симметрии
отнесено к VII классу, а о центральной сим-
метрии— к началу VIII, в то время как тема
«Движения» появляется лишь в конце
VIII класса.
Что касается общего впечатления о програм-
ме, то оно сводится к тому выводу, что мы
идем по линии чрезмерного упрощения, школь-
ного курса: в обсуждаемой программе не на-
шли места ни комплексные числа, ни комби-
наторика, ни метод математической индукции.
А ведь эти вопросы входили в школьный курс
еще до реформ 1968 г.
Требования к математической подготовке
учащихся ориентированы главным образом
на слабых школьников. Это может снизить
общий уровень подготовки учащихся по мате-
матике.
В. Ф. Волгина,
ст. преподаватель Мурманского пединститута
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
К проблеме воспитания
экономического мышления
учащихся
Ж. Кудратов
(г. Мубарек Кашкадарьинской обл.)
Естественные, гуманитарные и технические
науки во многом опираются на статистические
концепции и широко используют теоретико-ве-
роятностные методы. Стохастические модели
более полпо отражают реальные объекты и
явления, чем детерминистские.
По не только в науке, и в жизни со всеми
ее многогранными проявлениями — промыш-
ленное производство, сельское хозяйство, тран-
спорт, связь, военное дело, здравоохранение
и т. д.— мы постоянно сталкиваемся со стоха-
стическими процессами и явлениями, с необ-
ходимостью учитывать статистические законо-
мерности и использовать их [1J. Известны
примеры [2], когда игнорирование стохасти-
ческого характера явления оборачивается ко-
лоссальными материальными потерями — в
энергоснабжении, на транспорте, в других
сферах народного хозяйства.
Если говорить, например, о промышленном
производстве, то следует иметь в виду его ха-
рактерную черту — массовость производства,
требующую применения статистических мето-
дов контроля качества продукции. Идея ста-
тистического приемочного контроля возникла
в связи с большой трудоемкостью сплошного
контроля качества продукции, при котором на
некоторых предприятиях следовало бы иметь
по 2—3 контролера па каждого рабочего. Кро-
ме того, эти методы во многих случаях при-
ходится использовать и по другой причине:
иногда испытания качества изделий приводят
к их гибели или такой порче, что дальнейшее
использование становится невозможным. Пол-
ностью исключить ошибки при статистическом
контроле, как известно, нельзя. Поэтому тем
более важно так организовать процедуру про-
верки, чтобы снизить до минимума вероят-
ность ошибок: приемки недоброкачественной
партии и отклонение доброкачественной. Для
этого необходимы теоретико-вероятностные по-
знания, причем не только у работников выс-
шей квалификации, организующих производ-
ственный процесс, но и у работников, непо-
средственно осуществляющих проверку.
Правильный учет и использование статисти-
ческих закономерностей в науке и практике
требуют развития у людей экономического
мышления особого склада — статистического.
Статистическое воспитание должно начинать-
ся со школы и осуществляться не только на
уроках математики, но и ряда других пред-
метов. Межпредметные связи между матема-
тикой и физикой, математикой и биологией
и т. д., основанные па статистическом подхо-
де, оказываются двусторонними. С одной сто-
роны, физика, биология, химия изобилуют
примерами случайных явлений и доставляют
исходный материал для теории вероятностей.
С другой стороны, эти дисциплины не могут
обойтись без элементов теории вероятностей
для раскрытия собственных закономерностей.
Свидетельство тому можно иайти в научно-
методических статьях, опубликованных в жур-
налах «Физика в школе», «Биология в школе»
и др. В статье [3], например, речь идет
о школьном курсе генетики. «Обучая десяти-
классников решению этих задач,— пишет ав-
тор,— важно показать им, что закономерно-
сти наследования, как и большинство других
биологических закономерностей, носят вероят-
ностно-статистический характер. Разумеется,
для этого нужно предварительно дать школь-
никам знания об элементарных понятиях тео-
рии вероятностей».
Теоретике вероятностные знания вовлекают
в сферу межпредметных связей целый комп-
лекс дисциплин [4]. Так, учение Дарвина
изучается в школьном курсе биологии одно-
временно с молекулярной физикой. Уместно
подчеркнуть их единую основу — вероятност-
ный характер. Целесообразно провести парал-
лель между ролью флуктуаций в тепловых яв-
лениях и в химических реакциях. Таким обра-
зом, представляется возможным раскрыть
36“
взаимосвязи различных форм движения мате*
рии, выявить многочисленные и глубокие свя-
зи между различными на первый взгляд за-
дачами, создать перед мысленным взором
учащихся единую картину мира.
Использование межпредметных связей, с од-
ной стороны, обогащает теоретико-вероятност-
ную подютовку учащихся примерами при-
кладного содержания, с другой стороны, оно
способствует более глубокому усвоению дру-
гих предметов. Однако па путях очевидных
межпредметных связей встает серьезное пре-
пятствие, а именно отсутствие в школьном
обучении основ вероятностных знаний.
Действующие в настоящее время школьные
программы обязательных занятий не содер-
жат даже упоминания о вероятности и зако-
номерностях случайных явлений. Лишь от-
дельные школьники знакомятся с этим кругом
вопросов на факультативных занятиях по ма-
тематике в старших классах. В современных
условиях, когда факультативные занятия рас-
сматриваются как средство углубления зна-
ний, основы теоретико-вероятностных понятий
должны быть заложены в процессе обязатель-
ного обучения математике и более полно раз-
виваться через межпредметные связи. Тогда,
как показывает наш опыт, и факультативы бу-
дут соответствовать своему назначению.
Проблемы введения в курс средней школы
элементов теории вероятностей выдвигались
рядом ученых-математиков и педагогов. Эти
проблемы приобретают особую актуальность
в сегодняшние дни в связи с реформой школь-
ного обучения, приближения его к запросам
жизни, практической деятельности.
Литература
1.	Гнеденко Б. В. Статистическое мышление и школь-
ное математическое образование//Математика в шко-
ле. 1968. Ns 1. С. 8.
2.	Гнеденко Б. В. Математическое образование в ву-
зах. М.: Высшая школа, 1984.
3.	Киселева 3. С. Задачи ио генетике и методы их
решения // Био^ : ия в школе. 1979. Ns 6. С. 36.
4.	Ильченко В. Р. Взаимосвязь физики, химии и био-
логии при изучении молекулярной и квантовой физики//
Физика в школе. 1982. № 2, С. 34.
Числовые примеры как способы
самоконтроля и развития
логического мышления
Н А Курдюмова
(Москва)
Учителя не всегда представляют, как сочетать
разнообразные учебные задания с воспитани-
ем у школьников стремления к самоконтро-
лю. Это затруднение иногда переходит в убеж-
дение, ч то умение себя контролировать разви-
вается лишь в тех случаях, когда идет про-
верка решения текстовой задачи, уравнения,
неравенства. Поэтому у учащихся возникает
впечатление, что есть упражнения, где надо
себя контролировать, а есть и такие, где са-
моконтроль уже не обязателен, так как учи-
тель на нем более не настаивает. В силу ука-
занного обстоятельства общая установка на
самоконтроль формируется у некоторых уча-
щихся крайне медленно, и они не успевают
реализовать ее для нужд самообучения в
среднем, а подчас и в старшем звене школы.
Среди причин, препятствующих развитию
самоконтроля, чаще всего упоминаются невни-
мательность, недостаток вычислительной куль-
туры и неумение оценивать результаты с точ-
ки зрения здравого смысла. Мы хотим пока-
зать, что имеются еще по крайней мере два
фактора: недостаток вычислительной инициа-
тивы и невысокая логическая культура уча-
щихся.
Семиклассникам в письменной работе был
задай вопрос: «Верно ли, что 26=62?»
К удивлению учителя, школьники воспри-
няли его как довольно трудный. Они подни-
мали руки и спрашивали: «А что здесь де-
лать?» Действительно, никаких указаний иа
это в формулировке задания не содержалось.
И тут стало очевидным, насколько учащиеся
чувствуют себя растерянными, когда им са-
мим приходится выбирать стратегию решения.
Ведь вычислительных трудностей упражнение
представить не может. Как только ребята по-
няли, что путь решения — подсчет, они легко
дали нужный ответ.
Другой вопрос: «Известно, что а<Ь ъЬ>с.
Можно ли при этих условиях подобрать чис-
ла а, Ь, с так, чтобы дополнительно выполня-
лось условие а<с?» {Берс Л. Математиче-
ский анализ/Пер. с англ. М., 1975. С. 14).
Здесь фактически дана полная свобода —
отвечающий может взять какие угодно два
числа а<Ь, а затем ему останется только
указать любое третье число с, находящееся
на числовой оси между первыми двумя. Но
учащиеся явно не знали, что нм делать с этой
обрушившейся на них свободой. Их типичная
реакция: «На вопрос нельзя огвегить, так как
86
неизвестно, какие конкретные значения име-
ют а и с».
В этих затруднениях виновато нс незнание.
Ребята просто растерялись, когда от них по-
требовалось проявить инициативу. Им, по ви-
димому, кажется, что инициатива не имеет
отношения к такому точному, последователь-
ному и алгоритмичному предмету, как мате-
матика.
Отметим еще одну особенность школьников:
они убеждены, что непосредственный подсчет
никогда ничего не доказывает. Поэтому уча-
щиеся стараются избежать подсчета, привле-
кают алгебраические выкладки или рассуж-
дения, которые им кажутся правильными, по
на самом деле содержат логические ошибки.
Во многих ответах па вопрос «Верно ли,
что 0,5-2~3-163=162?» наблюдалось стремле-
ние избежать вычислений, обойтись словесны-
ми пояснениями. Вот пример ответа: «163>
>162, это очевидно. Но 163 еще на что-то
умножается, т. е. увеличивается (здесь логи-
ческая ошибка: при умножении положитель-
ного числа на число, меньшее единицы, оно
нс увеличивается, а уменьшается). Значит,
0,25-2 3-163 и подавно больше, чем 162».
Попросите учащихся установить, верно ли,
что (24-3)2 = 224-32, и половина опрошенных
даст вам следующий ответ: «Пет, нс верно,
так как по формуле квадрата суммы двух чи-
сел (2-|-3)2—22-f-2-2-3-f-32=#224-32». Исполь-
зовать формулу учащимся кажется более убе-
дительным, чем просто сосчитать (2-f-3)2=25,
22+32= 13.
Аналогичную реакцию вызывает вопрос:
«Верно ли, что (5—3)2=52—З2?» Ответ уча-
щегося звучит так: «Во-первых, здесь не хва-
тает удвоенного произведения (со знаком ми-
нус), и, во-вторых, перед З2 поставлен непра-
вильный знак». Иначе говоря, учащийся не-
явно высказывает следующее общее утверж-
дение: соотношение (а—Ь)2=а2—Ь2 неверно,
какие бы мы ни взяли числа а и Ь. Когда за-
тем ему предлагают взять а=7, Ь — 7 и полу-
чается верный ответ, т. е. (7—7)2=72—72,
учащийся удивленно замолкает, а затем гово
рит: «Но ведь правильная же формула
(а—Ь)2—а2—2ab-}-b2». Здесь налицо пробел
в логической подготовке учащихся. Формула,
на которой настаивает учащийся, имеет вид
(у °, 6)((°—Ь)2 —а2—2ab+b2),
тогда как пример, поставивший его в тупик,
означает, что
(да, b)((a—b)2—a2—b2).
Это совершенно разные утверждения, и
справедливость одного вовсе не исключает
справедливое! ь другого.
При обсуждении таких ситуаций с учителя-
ми нередко приходится слышать мнение, что
ответ, основанный на обращении к формуле.
весьма Желателен и, "во всяком случае, он
лучше обыкновенного технического подсчета.
Скажем сразу: оба подхода одинаково воз-
можны, но нас здесь интересует не выполне-
ние какого-то отдельного упражнения, а весь
строй мысли учащегося. Для того чтобы уяс-
нить себе этот строй мысли, зададим еще один
аналогичный вопрос: «Верно ли, что (4—6)2=
=424-4-6—62?» Обратившись к известной
формуле, ученики сразу же обнаруживают
ошибки: перед произведением чисел 4 и 6 пет
множителя —2, а числу 62 следует предпо-
слать нс «—», а «4-». Пользуясь чисто внеш-
ними признаками, они относят это равенстве
к неверным. А ведь равенство верное! Логиче-
ский характер ошибки здесь тот же, что и
в предыдущем случае.
Опишем еще одну типичную школьную си-
туацию. Пусть необходимо установить, равны
ли числа
/З2 4-72 и /424-62.	(1)
Если ученик не знает твердо, что
/а2 -{-IT2 ^Va2 -{-Vb2 (при а у-О, Ь=£0) (2)
то он пе может удержаться от искушения
записать
/324-72 = /У 4 /72 = 3 4-7 = 10;
/424-52= /42 4- /б2 = 10
и делает вывод о равенстве данных чисел. Та-
кую ошибку допускают, конечно, не все, но
даже у тех, кто не ошибся в ответе, встре-
чаются следующие «обоснования»: «В силу
утверждения (2) имеем
/32 4- 72=# /324- /72= 10.
Точно так же. / 424-62=#10 Значит, дан-
ные числа (1) пе равны друг другу».
В последнем случае учителю остается уте-
шаться только тем, что ученик избежал гру-
бой алгебраической ошибки и в конце концов
дал верный ответ, допустив нс слишком за-
метную логическую ошибку (не учел, что два
числа, не равные третьему, могут быть равпы
друг другу).
Огорчения вызывает еще и то, что учащиеся
не видят легкого пути:
(/З2 4- 72 = /58 и /42 4- 62— /о2) =>
=> (/ 347’	/42 4 62).
Рассмотрим для сравнения вопрос: «Верно
ли, что /13?—5?=*/ 152—92?» Первый из за-
блуждающихся учеников, отмеченных выше,
скажет, что это неверно, поскольку
/132—52= 13—5=8, / 152—92=15 -9= 6.
38
37
Между тем равенство написано верное, и
это можно проиллюстрировать красивым гео-
метрическим приемом, изобразив два прямо-
угольных треугольника АВС и BCD (см. рис.).
Вычислительная проверка — надежный и
прямой способ самоконтроля на уроках ал-
гебры. И если школьник не приучен проверять
себя числовым экспериментом (даже прикид-
кой), то, значит, в большинстве случаев он
не сумеет самостоятельно установить качест
во своей учебной работы.
Однако нередко высказывается мнение о
том, что вычислительная проверка бедна в ди-
дактическом отношении, поскольку не помо-
гает учащемуся попять, где именно произо-
шла ошибка, а числовой подсчет не обогаща-
ет учащихся в теоретическом плане.
С этим нельзя согласиться. Работа с вы-
числениями всегда даст простор теории, осо-
бенно в тех случаях, когда для ответа на воз-
никший вопрос достаточно прикидки, ценность
которой отмечалась нс раз (см., например:
Болтянский В Г, Григорян Э В. Микрокаль
кулятор в младших классах Ц Математика в
школе. 1983. № 5. С. 24—29).
Возьмем предыдущий пример Как учащие
ся могут установить, что]/ 58 =/= VZ52? Мож-
но сделать это по таблицам или с помощью
калькулятора, по лучше всего сослаться на
возрастание функции y — Именно такие
ссылки делают «рабочими» изученные свой-
ства функций, делают теорию живой и актив-
ной, а не набором схоластических правил.
Вернемся к примерам с квадратом разности
(суммы). Мы можем написать равенство вида
(a—b)2—ma2-\-nab-]~pb2	(3)
с любыми числовыми параметрами т, п, р
и ставить вопрос о тех значениях а, Ь, при
которых это равенство верно (например, при
а=0, &=0 оно заведомо верно). Иначе гово-
ря, запись равенства (3) при каких то задан-
ных т, п, р ничему не противоречит, если
рассматривать его как уравнение и искать
те некоторые а, Ь, при которых оно верно.
Значение формулы
(a—b)2=a2—2ab+b2
в том, что она верпа для любых а и Ь Осо-
знание этого способствует повышению логиче-
ской культуры учащихся.
Однажды учащиеся столкнулись с необхо-
димостью установить, равны ли друг другу
числа (4-]-5)—2 и (4-24-5~2). Они единодушно
отметили, что равенство не имеет места, и
учитель готов был полые этим удовлетворить
ся. Но вот просмотрел тетради и увидел, как
некоторые учащиеся пришли к своему выво-
ду: (44-5)-2=4-24-2-4-54-5-2^=4-2+5-2. На-
лицо феномен, который психологи называют
переносом: ученик хорошо знает формулу
квадрата суммы двух чисел и не замечает,
не хочет заметить, что имеет дело совсем
с другим выражением. Не хочет, потому что
не знает, как поступить. Для обоснования
можно установить, что (44-5) 2=1/81 и, сле-
довательно, выражается бесконечной десятич-
ной дробью, которая, естественно, не равна
конечной десятичной дроби, с помощью кото-
рой выражается число 4-24-5-2. К таким рас-
суждениям ребят трудно подвести, если жа
леть время на числовую проверку.
Рассмотренная ситуация заставляет сделать
следующий вывод. Когда школьникам прихо-
дится доказывать какое-либо тождество, они
знают, что надо выполнить ряд тождествен-
ных преобразований. Но стоит попросить до-
казать, что некоторое равенство тождеством
не является, и ребята пасуют. Привычка к
преобразованиям превалирует у них над по-
ниманием смысла тождества, и совершенно
не развито понимание различия между общ-
ностью и существованием.
Это особенно бросается в глаза если по-
просить учащихся доказать, что равенство
(a-yb)2=a2+b2 не имеет места для всех а, Ь.
Обычно ответы такие: (a~l-b)2^a2-ybz, так
как (a^b)2=a2-{-2ab+b2. О том, что послед-
нее равенство когда-то уже было доказано,
учащиеся вообще не вспоминают, принимая
его как сам собою очевидный факт.
Если сомнения в полноте такого обоснова-
ния у школьников и возникают, ю они пы-
таются выйти из положения не с помощью
подстановки числовых значений (т. е. с по-
мощью нахождения контрпримера), а путем
рассуждений. Приведем два таких рассуж-
дения.
Первый ученик утверждает: «Если а=0
или Ь=0, то равенство (а-}-Ь)2=а2+Ь2 вер-
но. Тогда если а=/=0 и Ь=£0, то равенство не-
верно». Ученик полагает, что если из выска-
зывания А следует В, то из не А следует
не В
Второй ученик отвечает на вопрос следую-
щим образом. «Пусть а=^=0 и Ь^О; так как
(a-l-b)2—az-t-2ab-j-b2, то (a-f-b)2—(a2-j-b2) —
‘=2ab, т. е (a-j-b)2—(a2-j-b )4^0- Следова-
тельно, (a-\-b) =£а2+Ь2 ни при каких п#=0,
Ь=£0». Это рассуждение, разумеется, совер-
шенно справедливо, но оно дает больше, чем
38
требуется. Нужно было лишь установить, что
неверно общее высказывание
(ya, b)((a-f-b)2—az4-b2),	(4)
т е что справедливо высказывание
(уа, 6)((а4-6)2=#а2Ч-62).	'(5)
Это устанавливается любым контрпримером:
достаточно положить a—i, b—\ и убедиться,
что равенство не выполняется Но рассужде-
ние второго ученика показывает, что
(yQ^0, by O)((fl+b)V^+b2).	(6)
Это — более сильное утверждение, чем то, ко-
торое требовалось доказать.
Теперь укажем распространенную ошибку
методологического характера. При доказа
тельстве того, что равенство (а[-Ь)2—а2-[-Ь2
не имеет места для всех а, Ь, ученикам ка-
жется непозволительным применить способ
подбора числового контрпримера в силу того,
что их пе просят что-либо «подсчитать», а хо-
тят от них каких-то «доказательств». Школь-
никам известно, что есть два типа резко отли-
чающихся друг от друга задач — «на вычисле-
ние» и «на доказательство». Поэтому с точки
зрения ученика вычислительные задачи нс
имеют отношения к доказательным рассуж-
дениям.
Это заблуждение, как мы видели выше, пре-
пятствует самоконтролю, поскольку мешает
распознать большую группу предложений, до-
казательство которых состоит в приведении
конкретных числовых примеров. Таково пред-
ложение (5), его словесная формулировка на-
чинается со слов «Существуют такие числа а
и Ь, для которых...». Оно является эквивален-
том отрицания высказывания (4). Значит,
высказывание (4) может быть опровергнуто
с помощью контрпримера, если, конечно,
удастся его обнаружить. Высказывания вида
(6) отличаются от (5) тем, что утверждают
не существование, а общность: «Все объекты
данного множества обладают определенным
свойством». Подробнее, об этом сказано в кни-
ге В. Г. Болтянского, М. Б. Воловича, А.Д. Се-
мушина «Геометрия 6—8» (М.: Просвещение,
1978. С. 70—73, 94—98).
Таким образом, чисто педагогическая ^проб-
лема обучения школьников самоконтролю на-
прямую выводит нас в область вопросов, свя-
занных с развитием логической культуры уча-
щихся и подготовки их к обучению в стар
тих классах, где представления о квантифи-
кации будут необходимы по крайней мере на
уровне четкого различения смысла слов «все»
и «некоторые», «любой» и «существует».
Пока учащиеся находятся в средних клас-
сах, самыми простыми и доступными для них
объектами являются числа и элементарные
алгебраические выражения. Пользуясь этим
материалом, учитель может и должен дать
учащимся достаточно ясное представление
о гом, что такое доказательство и каким мо-
жет быть опровержение.
Заметим, что для такой работы в школьных
учебниках материала достаточно. Надо толь-
ко уметь извлекать из каждого упражнения
немного более того, что в нем непосредствен-
но задано. Работа над упражнением не долж-
на заканчиваться получением верного ответа.
К ответу нужно добавить комментарии учите-
ля, касающиеся общих вопросов математиче-
ской или логической культуры.
Рассмотрим в качестве примера два зада-
ния из учебника «Алгебра 7»: «Сократить
дробь
а)	; б) Д+Д».
' 8а —12	’	’ у/ х
Во время работы несколько учащихся до-
пустили ошибки: в первом задании кое-кто
написал ответ 8, а во втором — ответ х. (Эти
ошибки достаточно распространены ) Тогда
учитель обращается к классу с вопросом:
«Как доказать, но без преобразований, что
у-.'? /8 я
8а—12	'	х
При такой постановке вопроса очень скоро
ребята укажут способ числовой проверки и
реализуют его. Однако найдутся и такие уча-
щиеся, которые, убедившись, что при а=0
первая дробь равна 8, усомнятся в доказа-
тельной силе контрпримера. Их сомнения да-
дут повод для того, чтобы повторить с учащи-
мися определение тождественно равных выра-
жений, еще раз подчеркнуть, в каких случаях
это определение может быть полезно для до-
казательства, а также провести важную бесе-
ду о различии слов (кванторов) «все» и «су-
ществуют», часто применяющихся в матема-
тических рассуждениях.
Пользуясь подобными отступлениями, необ-
ходимо чаще нацеливать учащихся па непо-
средственное использование определения тож-
дества в учебной практике, так как оператив-
ные возможности этого определения в боль-
шой мере проявляются именно при проверке
правильности преобразований. И надо сказать,
что скованность учащихся, проявляющаяся
в случаях, когда надо осуществить такую про-
верку, очень заметна.
В учебнике алгебры мы находим много за-
даний, где. требуется указать область опре-
деления выражений, содержащих знак радика-
ла. Если придать нм несколько иную, модаль-
ную форму (с тем, чтобы на них можно было
ответить простым приведением примера), то
эти упражнения заметно усложняются в гла-
зах учащихся Вот пример такого задания:
«Могут ли иметь смысл выражения:
39
a) /=£ б) У-b*, в)^(-д)2, r)/t>-2,
д) V —a—b?»
В случае д) нужно специально следить за
тем, чтобы школьники дали числовые приме-
ры, указав подходящие значения обеих пере-
менных а и Ь. Иначе многие из них запишут
неравенство —а—Ь^гО, преобразуют его к ви-
ду —а^Ь и вполне удовлетворятся своей ра-
ботой, даже не заметив, что так и не ответи-
ли на вопрос. Действительно, ответ —ajsb
можно интерпретировать так: выражение д)
имеет смысл тогда, когда число, противопо-
ложное а, больше или равно Ь. Эта интерпре-
тация имеет только тот недостаток, что уча-
щиеся или совсем ее не поймут, или не суме-
ют ею руководствоваться в своих действиях.
Создается видимость ответа. Гораздо по-
лезнее ограничиться теми рамками, которые
имеются в виду в задании, т. е. подобрать
хотя бы одну подходящую пару значений а
и b и понять, что даже одна пара значений
а и Ь, при которой выражение д) имеет
смысл, точно отвечает на поставленный во-
прос.
Предложим еще ряд вопросов по темам
«Квадратные корни» и «Неравенства».
I.	Даны выражения
а) а + &; б) — а—Ь- в) /Т^х2’; г) =Ы,
л)	ОГГ+К»
Можно ли найти такие значения переменных,
при которых указанные выражения принима-
ют отрицательные (положительные) значения?
2.	Верно ли высказывание: «Для любого
а^О справедливо неравенство
У а<^аъ1
3.	Докажите, что существуют такие значе-
ния х и у, при которых
У х — у^=Ух — Уу
4.	Трех ученике попросили подобрать хотя
бы несколько значений х, при которых верны
равенства;
а) /(20-+-х)2^—х—20, б)/(1—х)2=х—1.
«Таких значений нет»,— сказал первый. Вто-
рой назвал одно подходящее (по его мнению)
значение. Третий надеется найти сколько угод-
но подходящих значений. Кто пран?
5.	Найдите такие числа а и Ь, для которых
одновременно выполняются два неравенства
а^Ь и a<Zb.
6.	Известно, что а>Ь и Ь^с. Можно ли
подобрать такие числа а, Ь, с, чтобы допол-
нительно выполнялось условие: а) а>с,
б) a—ct
7.	Верно ли, что для всех х справедливо ра-
венство: а) х4-1>х, б) х2>х, в) х+х>х?
8.	Существуют ли такие значения х, для
которых нарушается неравенство
Эти задания призваны облегчить развитие
у учащихся инициативы самопроверки Чис-
ловые примеры и контрпримеры, подобранные
школьниками самостоятельно, нс только поз-
волят им убедиться в истинности или лож-
ности некоторого предложения, но и покажут
особенности построения таких предложений.
Выше было также показано, что подобные
упражнения помогают вскрыть, а следователь-
но, и преодолеть такие логические ошибки
учащихся, которые не бросаются в глаза при
традиционных упражнениях.
В заключение отметим, что способ число-
вого контроля далеко не единственный из тех,
что могут быть использованы для самопровер-
ки. Параллельно с ним на уроках целесооб-
разно применять и другие приемы. Оценив по
достоинству все возможные способы, учитель
определит каждому из них подобающее место.
Использование графиков
равномерного движения
при решении текстовых задач
по алгебре
3. И. Турлакова, М. Д. Черней
(г. Тирасполь)
Обычно при решении текстовых задач на
движение для наглядности пройденное рас-
стояние изображают отрезком, однако это
не всегда упрощает решение. Указанный недо-
статок можно устранить, применяя графиче
ское представление движения, известное уча-
щимся из курса физики.
Отметим, что при решении задач на равно-
мерное движение полезны cooiношения:
S1 ... 6
S, I, ’
если скорости равнь ;
V, Il ’
если равны пройденные расстояния;
__ Vi
s, v, ’
если равны промежутки времени
Кроме того, напомним, что тангенс угла
наклона прямой x—xo+vt к оси Ot численно
равен Скорости теЛа,
Приводим решение нескольких задач, ис-
пользуя график равномерного движения.
Задача 1 (№ 1004, [1]). Из двух насе-
ленных пунктов Л и В одновременно навстре-
чу друг другу выходят два туриста. При встре-
че оказывается, что турист, вышедший из А,
прошел на 2 км больше, чем второй турист.
Продолжая движение с той же скоростью, пер-
вый турист прибывает в В через 1 ч 36 мин,
а второй в А — через 2 ч 30 мин. Найдите рас-
стояние АВ и скорость каждого туриста.
Решение Построим графики движения
туристов (рис. 1).
По условию задачи PR—PR=2, KC=\fi,
RD=2,5;
e ~ - ЯП PR KP
тр буется наити AB, —-д^~.
Из подобия треугольников (&BKPv>&DRP,
A.CKPc*>Z±ARP) следует, что
КС _ КР _ ВК
AR PR RD ’
нс BK.—AR, поэтому
КС _ AR
AR RD ’
или АР2=1,6-2,5, AR=2. Далее,
1,6 _ РК
2 ~ РК+ 2’
откуда РК—8 км ЛВ=18 км, о,=5 км/ч,
d2=4 км/ч.
При решении этой задачи можно было бы
использовать соотношение
t,   v,
t, Vi
приведенное в начале статьи.
Задача 2 ([2]). Математик шел домой по
берегу ручья против течения со скоростью
в полтора раза большей, чем скорость течения,
и держал в руках палку и шляпу. В некото-
рый момент он бросил в ручей шляпу, перепу-
тав ее с палкой, и продолжал идти против
течения ручья с той же скоростью Через не-
которое время он заметил ошибку, бросил
палку в ручей и побежал назад со скоростью
вдвое большей, чем шел ранее. Догнав плыву-
щую шляпу, он мгновенно выудил ее из воды,
повернулся и пошел против течения с перво-
начальной скоростью. Через 10 мин он встре-
тил плывущую по ручью палку. На сколько
раньше он пришел бы домой, если бы не пе-
репутал палку со шляпой?
Решение. Построим графики движения
математика, палки и шляпы (рис. 2; сплош-
ная линия соответствует движению матема-
тика, штриховая—движению шляпы и палки).
В момент В математик бросил шляпу, в мо
мент С бросил палку и побежал назад, в мо-
мент D выудил шляпу, в момент Е встретил
палку Потерянное время состоит из CD (за
которое математик бежал назад от момента,
когда заметил ошибку, до того, как выудил
шляпу) и DF (за которое он вернулся назад).
По условию задачи
РВ
“^мат-^ручЬЯ
• _ КС КС
Т’иа,:г'«ат— Ас :
РВ 3
BD ~~ 2 ’
CD 1
“ АС
2 '
DE—BC—МУ, требуется определить CF.
Пусть CD=x, тогда DF=AC=2x, АВ—
— 2х—10, BjD=x+10. Имеем
*±*0	-1, т.е. *=12,5 мин;
2х—10	2
Cl = CD + DF = х 4- 2х = 37,5 мин.
Ответ: математик потерял 37,5 мин.
Задача 3 [3]. Теплоход от Горького до
Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до
Горького — 7 суток. Сколько дней будет плыть
плот от Горького до Астрахани?
Решение. Строим графики (рис. 3). Из
условия задачи следует, что ГА'—Ъ, А'С=7;
надо найти ГР.
Скорость движения теплохода относительно
плывущего плота одна и та же как по тече-
нию реки, так и против течения, поэтому
если теплоход и плот выйдут из Г одновре-
менно, то теплоход, возвратясь из А, встретит
плот через столько же дней, сколько он потра-
тил на путь из Г в А, следовательно, ГА ’=
=А'В—5.
Так как ДА'ПСоъ/ХВКС и А.ВКГск&РГГ,
то
А'С DA' ГР _ ГР 7 ГР
~ИС ~ КВ ~~ КВ ~ ГВ' 2	10 ’
ГР = 35.
Ответ’ плот будет плыть от Горького до
Астрахани 35 дней.
41
Задача 4( № 1001, [I]). Йз А в В со ско-
ростью 4 км!ч вышел турист. Спустя час вслед
за ним из А вышел второй турист, проходив-
ший в час 5 км, а еще через час из А выехал
велосипедист, который, обогнав одного тури-
ста, через 10 мин обогнал и другого. Найдите
скорость велосипедиста
Решение. Построим графики движения
двух туристов и велосипедиста, предположив,
что велосипедист сначала догоняет второго
туриста (рис. 4).
По условию задачи AC=CD=l, СС'—4,
DD'—5, EF = — -, надо кайтинг*
Пусть DE=x. Имеем
DF _ РЕ
DF " Л'Г ’
причем ЛЕ = 5(1 4- -*)• А"Л — 4 % -= +
откуда
х	5.(1 + х)
*+4- 4(24+Л
После преобразований получаем- 6х2—17x-f-
4-5—0, откуда х1 = -^-ч, х2=2,5 ч, t»i=.
=20 км/ч, и2=7. км/ч.
Рассмотрим теперь случай, когда велосипе-
дист сначала догоняет первого туриста
(рис. 5). Имеем
“ -	de ре
DE ~ КГ •
или
х _	4 (2 + х)
х + ТГ 5 С1 ~ + Л)
Решая последнее уравнение, получим
я = ———-------3,2; г> ~ 6,5 км/ч.
Возникают вопросы; как истолковать два
ответа в первом случае? Почему во втором
случае только один ответ? И здесь нам на по-
мощь приходит график. Оказывается, велоси-
педист может ехать со скоростью 20 км/ч, до-
гнать второго туриста и через 10 мин догнать
первого (рис. 6). Но он может ехать медлен
нее, со скоростью 7 км/ч, и догнать второго
туриста позже, зачем, также через 10 мин,
догнать первого туриста.
Во втором случае (штриховая линия на
рис. 6) догнать сначала первого туриста вело-
сипедист может только после того, как второй
турист обгонит первого. Но после этого собы-
тия расстояние между туристами увеличивает-
ся и ни при какой другой скорости, отличной
от найденной (ж6,5 км/ч), догнать за 10 мин
второго туриста велосипедист не сможет.
Ответ: 20 км/ч, или 7 км/ч, или »6,5км/ч.
Задача 5 Из пункта А в пункт В выехал
велосипедист. В тот момент, когда он проехал
1/4 пути между А и В, из В в А выехал мо-
тоциклист, который, прибыв в А, не задержи-
ваясь, повернул обратно и одновременно с ве-
лосипедистом прибыл в В. Время движения
мотоциклиста до первой встречи с велосипе-
дистом равно времени движения мотоцикли-
ста из А в В Считая, что скорости мотоцик-
листа при движении из А в В и из В в А раз-
личны, найти, во сколько раз скорость мото-
циклиста при движении из А в В больше
скорости велосипедиста.
Решение. Построим графики движения
велосипедиста и мотоциклиста (рис. 7).
По условию
ОР=~ АВ отсюда ЛР = -^-Л7’^;
PK—LT, требуется найти
QT QT АТ
LT ’ AT Lf
Рис 7
42
Докажем (от противного), что мотоциклист
прошел до первой встречи с велосипедистом
А- АВ, т. е. /'С = -^-АВ. Допустим, что FC<Z
<4 АВ, тогда СК> — АВ. Время РК, за
которое мотоциклист прошел расстояние ГС,
равно времени Р/С, за которое велосипедист
прошел МС. Так как £>Р = -|- АВ, а СК>
> АВ, то МС > АВ, следовательно, ве-
лосипедист потратит больше времени на про-
хождение Л1С, чем на DP. Таким образом,
РК> ЛР«= АТ.
Очевидно, C/(>CF, следователь!», время
KL, необходимое мотоциклисту для прохож-
дения расстояния СК, больше времени РК,
затраченного на прохождение FC. Таким об-
разом, имеем: КГ>РК~>АР— . Зна-
чит, на LT (время, за которое мотоциклист
пройдет расстояние АВ) остается меньше
-L АТ. Огсюда РК -К LT (РК > -±-АТ, LT<
<4-Л7^, что противоречит условию за-
дачи.
Аналогично устанавливаем, что FC пе мо-
жет быть больше-^- АВ. I аким образом, до-
казано, что FC =АВ, тогда АР—РК—
1	АТ
—КL—LT =у АТ и искомое отношение = 4.
Ответ: скорость мотоциклиста при движе-
нии от А к В в 4 раза больше скорости ве-
лосипедиста.
В приведенных примерах использование гра-
фиков приводит к простым и красивым ре-
шениям. Кроме того, этот способ является
прекрасным средством реализации межпред-
метных связей между, алюброй, геометрией и
физикой. Строя график зависимости пройден-
ного расстояния от времени (при равномср
ном движении), учащиеся вспоминают, что эта
зависимость выражается линейной функцией,
повторяют физический смысл углового коэф-
фициента прямой, используют при решении
текстовых алгебраических задач равенство и
подобие треугольников. При этом знания, по-
лученные на уроках по разным предметам,
объединяются, становятся более осознанны-
ми, действенными. Абстрактные графики,
изучаемые в алгебре, наполняются новым со-
держанием, конкретизируются в ходе позна-
вательной деятслы!естц.уч(1щихся.
Нередко, используя графики, можно уви-
деть «скрытые» свойства рассматриваемых
величин: шляпа и палка (задача 2) проплыли
равные, расстояния (PB—LN, см. рис. 2), на
встречу с палкой математик затратил столько
же минут, сколько и на удаление от шляпы
(BC-DE-, эти выводы являются очевидными
следствиями того факта, что прямые, изобра-
жающие графики движений с одинаковыми
скоростями, параллельны); мотоциклист (за-
дача 5) встретил первый раз велосипедиста на
1/2 пути, скорость мотоциклиста до первой
встречи в два раза больше, чем скорость ве-
лосипедиста, и др.
Кроме, того, следует учитывать индивидуаль-
ные особенности учащихся Алгебраические
решения ближе тем, кто любит формулы, их
преобразования; решения с использованием
графиков привлекают тех, кто нуждается в со-
держательных образах, кто любит геометрию,
физику.
Мы понимаем, что использование описанно-
го метода требует определенных навыков гра-
фического представления условий задачи. Они
могут быть сформированы совместными уси-
лиями учителей физики и математики. Уве-
рены, что затраченные усилия быстро оку-
пятся.
Литера тура
I.	Алгебра 7 / Под ред С. А. Теляковского М.: Про-
свещение. 1985
2.	Квант. 1970. № 6. С. 47—88.
3.	Энциклопедический словарь юного математика М j
Педагогика. 1985.
К вопросу о конструктивно-
графических и измерительных
умениях
учащихся VI—VIII классов
Л. С Чистякова
(г. Лесосибирск Красноярского края)
Усиление практической направленности школь-
ного образования — важная задача реформы
средней общеобразовательной школы. Одним
из путей решения этого вопроса является вы-
работка у учащихся практических умений
и навыков. Существенную роль в повышении
эффективности обучения школьников играет
сформированность у них практических умений
и навыков геометрического характера, а имен-
но конструктивно-графических и измеритель-
ных, которые необходимы для изучения как
математики, так и смежных дисциплин, для
профессиональной подготовки в системе меж-
школьных УПК, ПТУ, техникумов, для повсе-
43
дйёвиой" чеятеййй’бстиэв ’быту'?' Основные кон-
структивно-графические и измерительные уме-
ния, как это предусмотрено программой, долж-
ны быть сформированы при изучении курса
геометрии восьмилетней школы.
Но так ли обстоит дело в действительности?
Выработаны ли у выпускников восьмилетием
школы практические умения и навыки гео-
метрического характера?
В течение двух лет мы исследовали уро-
вень сформированное™ конструктивно-графи-
ческих и измерительных умений и навыков
более 900 учащихся VI—VIII классов шести
школ г. Лесосибирска красноярского края.
Были предложены практические задачи, позво-
ляющие проверить предусмотренные дейст-
вующей программой по геометрии умения уча-
щихся производить простейшие измерения при
помощи масштабной линейки и транспортира;
вычислять, применяя изученные свойства и
формулы, значения геометрических величии
(длин, углов, площадей) по найденным непо-
средственными измерениями исходным дан-
ным; выполнять основное построения цирку-
лем и линейкой; решать несложные комбини-
рованные задачи, сводящиеся к выполнению
основных построений.
Остановимся на некоторых из этих заданий,
VI класс. Постройте треугольник. Измерь-
те его углы и стороны.
VII класс. С помощью циркуля и линей-
ки постройте треугольник АВС по двум сто-
ронам и тупому углу Л между ними. Построй-
те его медиану СМ, биссектрису BE и высо-
ту СК- Измерьте угол CFB и высоту СК.
VIII класс, а) С помощью циркуля и ли-
нейки постройте прямоугольный треугольник
по катету и прилежащему к нему острому уг-
лу. Постройте медиану, проведенную к одно-
му из катетов. Измерьте острые углы тре-
угольника.
б) Произведя необходимые
построения и измерения (см.
рис.), вычислите длину окруж-
ности, периметр треугольника
и площадь заштрихованной фи-
гуры.
Проанализировав результа-
ты выполнения учащимися
предложенных им заданий, мы пришли к сле-
дующим выводам.
1.	Не все учащиеся VI—VIII классов овла-
девают предусмотренными программой уме
пнями в проведении измерений и построений.
2.	Наблюдается тенденция утрачивания уча-
щимися VIII класса приобретенных ими ра-
нее (в VI—VII классах) конструктивно-гра-
фических н измерительных умений.
3	У большей части учащихся практические
умения геометрического характера — неосоз-
нанные. Так, при выполнении основных по-
строений циркулем и линейкой они порой
пе могут обосновать с помощью изученных
определений, аксиом и теорем возможность и
правильность проведенных построений. В ре-
зультате недостаточная осознанность приобре-
тенных учащимися умений приводит к более
быстрой их утрате и часто не позволяет до-
стичь тех развивающих целей обучения, ради
которых умения формируются.
Для приведения в соответствие результатов
обучения учащихся конструктивно-графиче-
ским и измерительным умениям и навыкам
с теми практическими целями, которые постав-
лены в программе по математике, нужна ак-
тивная работа учителей и методистов по со-
вершенствованию методики формирования и
развития практических умений и навыков уча-
щихся.
Попытаемся выделить некоторые важные,
по нашему мнению, направления в этой ра-
боте.
I) Как известно, практические умения и на-
выки у учащихся вырабатываются и подкреп-
ляются при решении практических задач. Од-
нако в действующем учебном пособии «Гео-
метрия 6- 10» А. В. Погорелова (1985 г.) та-
ких задач явно недостаточно. Средн рекомен-
дуемых в пособии упражнений к пяти парагра-
фам (§ 2, 3, 4, 10, 11) совершенно отсутству-
ют задачи, для решения которых требуется
произвести измерения или построения. Толь-
ко по две практические задачи приведены
в упражнениях еще к четырем параграфам
(§ 7, 8, 12, 13). Таким образом, в системе уп-
ражнений по курсу геометрии VIII класса
(§ 10—13) предлагается всего четыре практи-
ческие задачи. Не случайно поэтому столь за-
метное ослабление конструктивно-графиче-
ских и измерительных умений и навыков у уче-
ников именно VIII класса.
Из сказанного следует, что одним из важ-
ных направлений в совершенствовании рабо-
ты по привитию учащимся конструктивно-гра-
фических и измерительных умений является
совершенствование системы задач по курсу
геометрии, увеличение количества практиче-
ских задач и, по возможности, их равномер-
ное распределение по всему курсу геометрии.
Учитывая перегруженность программы по
геометрии и ограниченность времени для ре-
шения задач, целесообразно переформулиро-
вать некоторые из задач, имеющихся в учеб-
ном пособии, придав им практическую направ-
ленность. Например, вместо задачи № 44 (2)
из § 13: «Найдите, площадь кругового кольца,
заключенного между двумя окружностями
с одним и тем же центром и радиусами 5,5 м
и 6,5 м» можно предложить по готовому чер-
тежу, выполненному в масштабе 1 :100, сле-
дующую задачу: «Проведя необходимые из-
мерения и вычисления, найдите площадь кру-
гового кольца, заключенного между двумя
окружностями с одним и тем же центром».
Для решения этой задачи учащимся самим
предстоит определить, какие измерения еле
дует произвести, каким инструментом и с ка
кой точностью, а также с какой точностью
целесообразно дать ответ. Именно над такими
вопросами им часто приходится задумывать-
ся в повседневной жизни, а также придется
решать их и в будущей практической трудо-
вой деятельности.
Кроме того, в случае необходимости есть
смысл ввести дополнительно практические за-
дачи, заменив ими некоторые задачи на дока-
зательство, содержащиеся в учебном пособии
в избыточном количестве.
2) Важнейшим направлением в работе учи-
телей математики и методистов по совершен-
ствованию методики формирования к разви-
тия конструктивно-графических и измершель-
ных умений и навыков учащихся VI—VIII
классов должна стать конкретизация требо-
ваний к их объему и уровню. Такая конкре-
тизация программных требований, как пра-
вило, осуществляется в пособиях для учителя.
В методических пособиях по геометрии для
VI и VII классов (II. Ь. Мельниковой и др.)
указывается, например, что учащиеся должны
уметь:
проводить прямую с помощью линейки че-
рез две данные точки;
строить треугольник с данными сторонами
с помощью циркуля и линейки;
строить образы простейших фигур при по-
вороте.
Здесь речь идет о формировании у учащих-
ся практических умений и навыков геометри-
ческого характера. Но какой качественный
уровень овладения каждым из них имеется
в виду, неясно.
В связи с этим считаем, что в методических
пособиях кроме перечисления формируемых
у учащихся конструк! инно-графических и из-
мерительных умений должна быть внесена оп-
ределенность относительно их качественной
стороны. Исходить при этом следует из целей
привития тех или иных практических умений.
Так, например, учащимся очень часто при-
ходится проводить прямую через две данные
точки, следовательно, с целью экономии вре-
мени действие это необходимо отработать до
навыка.
Проведение прямой через две точки и по-
строение треугольника с данными сторонами
входят в приемы решения многих других за-
дач на построение, значит, эти умения уча-
щихся должны проявляться в новых, нестан-
дартных ситуациях, е. должны быть обоб-
щенными.
Построение образов простейших фигур при
повороте (равно как и при других геомет-
рических преобразованиях) в учебном пособии
А. В. Погорелова нс играет той роли, какую
оно играло в учебном пособии «Геометрия 6—
8» под редакцией А. II. Колмогорова. Пред-
полагается, что овладение этим умением
должно быть на уровне решения простейших
задач на построение образов фигур в знако
мых ситуациях. Использование геометриче-
ских преобразований как приемов при реше-
нии других задач может быть показано уча-
щимся, но добиваться умения решать такие
задачи от всех по следует.
Таким образом, все три умения должны
быть осознанными, кроме того, первое и вто-
рое— обобщенными, а первое — и автоматизи-
рованным. Указанная качественная характери-
стика практических умений позволит учителю
целенаправленно осуществлять отбор задач и
разумно распределять время для их форми-
рования.
3) Многолетние наблюдения за процессом
обучения учащихся геометрии привели нас
к твердому убеждению, что учителя серьезное
внимание уделяют формированию у учащихся
тех знаний и умений, которые контролируются
администрацией школы и другими органами
народного образования. Направление же кон-
троля в практике работы школы определяет-
ся примерными контрольными работами, пуб-
ликуемыми в методических пособиях для учи-
1еля и в журнале «Математика в школе». Од-
нако, проанализировав содержание 15 кон-
трольных работ для VI—VIII классов, реко-
мендованных журналом «Математика в шко-
ле» в 1982—1984 гг., мы обнаружили только
одно задание для VI класса, предусматриваю-
щее проверку сформированности конструктив-
ных умений учащихся. Задания, направленные
на выявление сформированности измеритель-
ных умений учащихся, в рекомендуемых кон-
трольных работах совсем отсутствуют.
В заключение отметим, что, рассматривая
некоторые направления совершенствования вы-
работки конструктивно-графических и изме-
рительных умений и навыков учащихся при
изучении планиметрии, мы не ставили целью
затронуть все аспекты данной проблемы.
Предметом обстоятельного рассмотрения дол-
жны стать и другие вопросы, например такие,
как теоретические основы и совершенствова-
ние методических приемов формирования прак-
тических умений и навыков учащихся.
45
Консультация
Примерное планирование
материала
на II полугодие 1986/87
учебного года
для школ, работающих
по пробным учебникам 1
IV КЛАСС
Математика
(6 ч в неделю)
Дроби. Преобразование дробей (31 ч)
Дроби. Чтение и запись дробей	'	1 ч
Получение дробей	2	ч
Изображение дробных чисел точками на числовом
луче	2	ч
Сравнение дробей	3	ч
Правильные и неправильные	дроби	1	ч
Выделение целой части из неправильной дроби	2	ч
Контрольная работа № 7	1ч
Основное свойство дроби	1	ч
Сокращение дробей	2	ч
Приведение дробей к новому знаменателю	2	ч
Приведение дробей к наименьшему обшему знаме-
на гелю	4	ч
Задачи на нахождение дроби от числа и числа по
заданной его дроби	4	ч
контрольная работа № 8	1ч
Угол	1	ч
Градусная мера уьта	3	ч
Прямой, острый и тупой	углы	1	ч
Сл жение и вычитание дробей (20 ч)
Сложение дробей	3	ч
Переместительный и сочетательный законы сло-
жения	3	ч
Решение задач	1	ч
Контрольная работа № 9	1ч
Вычитание дробей	3	ч
Вычитание чисел, содержащих целую и дробную
части	3	ч
Выполнение совместных действий сложения и вы-
чи1аиия	3	ч
Решение задач	2	ч
Контрольная работа Ns	10	1ч
Умножение и деление дробей (3G ч)‘
Умножение дробей	3	ч
Умножение чисел, содержащих целую и дробную
части	3	ч
Решение задач r	1	ч 1 * *
1 Продолжение. Планирование на I полугодие опуб-
ликовано в № 4 журнала «Математика в школе» за
1986 г, ‘
Контрольная работа N» Г!	1ч
Переместительный, сочетательный и распредели-
ельный законы умножения	3 ч
Взаимно обратные числа	2 ч
Деление дробей	4 ч
Выполнен е совместных действий умножении и
деления	4 4
Решение задач на нахождение дроби от числа л
числа но заданной :го дроби (второй способ) 4 ч
Контрольная работа №12	1ч
Выполнение совместных действий над дробными
числами	б ч
Решение задач	’’
Контрольная работа № 13	1ч
Повторение. Решение зад (.
Контрольная работа .№ 14 (21 ч)
V КЛАСС
Математика
(6 ч в неделю)
Рациональные числа (18 ч)
Положительные и отрицательные	числа	2	ч
Координатная прямая	2	ч
Противоположные числа. Рациональные	числа	2	ч
Модуль рационального числа	2	ч
Сравнение рациональных чисел	"3	ч
Решение задач	2	ч
Контрольная работа №8	1ч
Точки, симметричные относительно данной пря-
мой	2 ч
Фигуры, симметри1 ные относительно данной пря-
мой	2 ч
Сложение и вычитание рациональных чисел (30 ч)
Сложение рациональных чисел с одинаковыми зна-
ками	3 ч
Сложение рациональных чисел с разными зна-
ками	,	4 ч
Переместительный и сочетательный законы сло-
жения	2 ч
Решение задач	1 ч
Контрольная	работа	№	9	1ч
Вычитание	3	ч
Координатная плоскость	4	ч
Алгебраическая сумма	'	ч
Уравнения	3	ч
Решение задач	1	ч
Контрольная	работа	Ns	10	1ч
Площадь прямоугольного треугольника	2	ч
Площадь треугольника	2	ч
Умножение и деление рациональных чисел (35 ч)
Умножение	4	ч
Переместительный и сочетательный законы умно-
жения	2	ч
Решение задач	1	ч
Контрольная работа № 11	1ч
Коэффициент	2	ч
Решение задач	4	ч
Распределительный закон умножения	3	ч
Подобные слагаемые. Приведение подобных сла-
гаемых	3 ч
Деление	5 ч
Решение задач	1 ч
Контрольная работа №	12	1ч
Выполнение совместных действии над рациональ-
ными числами	7 ч
Контрольная работи Ns	13	1ч
Повторение. Решение задач.
Контрольная работа № 14 (25 ч}
4?
VI КЛАСС
Алгебра
(4 ч в неделю)
Разложение многочленов на множители
(продолжение, 10 ч)
Разложение на множители по формулам сокра-
щенного умножения	2 ч
Разложение суммы н разности кубов иа множи-
тели	3 ч
Применение нескольких способов разложения мно-
гочлена на множители	3 ч
Повторение. Решение задач	1 ч
Контрольная работа № 5	1ч
Алгебраические дроби (27 )
Понятие ал'ебраической дроби	2 ч
Основное свойство дроби. Сокращение дробей	3 ч
Приведение дробей к обшему знаменателю	3 ч
Сложение и вычитание алгебраических дробей	5 ч
Решение задач	2 ч
Контрольная работа №> 6	1ч
Умножение и деление алгебраических дробей 3 ч
Совместные действия над алгебраическими дробями 6 ч
Повторение. Решение задач	1 ч
Контрольная работа К" 7	1ч
Линейная функция и ее график (10 ч)
Прямоугольная система координат на плоскости 1	ч
Понятие функции	2	ч
Функпия y=kx и ее график	2	ч
Линейная функция и ее график	4	ч
Повторение. Решение задач	1	ч
Системы доух уравнений первой степени
с двумя неизвестными (14 ч)
Системы уравнений	1	ч
Способ подстановки	2	ч
Способ сложения	2	ч
Графический способ решения	систем	уравнений ....„	2 ч
Решение задач с помощью систем уравнений ’	5 ч
Решение систем уравнений	различными	способами	1	ч
Контрольная работа № 8	1ч
Повторение. Решение задач.
Контрольная работа №9 (11 ч)
Свойства параллельных прямых	4	ч.
Сумма углов треугольника	3	ч
Решение задач	2	ч
Контрольная работа №5	1ч
Повторение. Решение задач (4 ч)
VII КЛАСС
Алгебра
(3 ч в неделю)
Квадратные уравнения (продолжение, 14 ч)
Решение квадратных уравнений	3 ч
Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета 3 ч
Уравнения, сводящиеся к квадратым	3 ч
Контрольная работа № 4	1ч
Решение задач с помощью квадратных уравнений 4 ч
Квадратный трехчлен (20 ч)
Квадратный трехчлен и его корни	1 ч
Функция у=х2	1	ч
Функция y—x2+px-l-q	3	ч
Решение задач	1	ч
Контрольная работа № 5	1ч
Функция у=ах2	1	ч
Функция #==ах2+Ьх+с	2	ч
Построение графика квадратичной функции. Наи-
большее и наименьшее значение квадратичной
функции	5	ч
Разложение квадратного	трехч еиа на множители	2 ч
Решение задач	2	ч
Контрольная работа Ns	6	1ч
Квадратные неравенства '(12 ч)
Квадратные неравенства. Решение квадратных
неравенств	6	ч
Метод интервалов	3	ч
Решение задач	2	ч
Кон [рольная рабо а № 7	1ч
Повторение. Решение задач.
Контрольная работа As 8 (9 ч)'
Геометрия
(2 ч в неделю)
Соотношения между сторонами и углами треугольника
(продолжение, 5 ч)
Неравенство треугольника	2 ч
Решение задач	2 ч
Контрольная работа № 3	1ч
Перпендикулярные прямые (14 ч)
Перпендикуляр и наклонные	3 ч
Свойства равнобедренного треугольника	2 ч
Серединный перпендикуляр отрезка. Построение
перпендикулярных прямых	3 ч
Признаки равенсша прямоугольных треугольников “Зч
Решение задач	2	ч
Контрольная работа № 4	1ч
Параллельные прямые !(13 ч)
Признаки параллельности	двух прямых	2	ч
Аксиома параллельных прямых	1	ч
а Изучаеюя по вкладышу «Учебно-методические ма-
териалы по теме „Параллельные прямые” (Геометрия,
6 класс)>. (1986).
Геометрия
(3 ч а неделю)
Площадь (продолжение, 4 ч)
Теорема Пифагора	1	ч
Решение задач	2	ч
Контрольная работа № 3	1ч
Подобные многоугольники (23 ч)
Подобные треугольники	2	ч
Признаки подобия треугольников	6	ч
" 'Падобные многоугольники	4	ч
Применение подобия к доказательству теорем и
решению задач	8 ч
Решение задач	2 ч
Контрольная работа №4	1ч
Векторы (18 ч)
Понятие вектора	3 ч
Сложение и вычитание векторов	6 ч
Умножение вектора па число	Б ч
Решение задач	3 ч
Контрольная работа № 5	1ч
Повторение Решение задач.
Контрольная работа № 6 (8 ч)
Я
Y!I£ ^ЛАСС
IX КЛАСС
Алгебра
(3 ч в педелю)
Степенная функция (продолжение, 6 ч)
Функция у = у х	1ч
Простейшие иррациональные уравнения	2 ч
Решение задач	2 ч
Контрольная работа № 5	1ч
Элементы тригонометрии (27 ч) *
Радианная мера угла	2 ч
Поворот точки вокруг начала координат	2 ч
Определение тригонометрических функций	2 ч
Знаки тригонометрических функций	1 ч
Зависимость между тригонометрическими функ-
циями одного и того же аргумента	3 ч
Зависимость между значениями одной и той же
тригонометрической функции аргумента а и ар-
гумента —а	2 ч
Решение задач	1 ч
Контрольная работа № 6	1ч
Формулы сложения	3 ч
Формулы приведения	3 ч
Тригонометрические функции двойного аргумента 3 ч
Преобразование суммы и разности тршонометрн-
ческих функций в произведение	2 ч
Решение задач	1 ч
Контрольная работа № 7	1ч
Повторение. Решение задач.
Контрольная работа А® 8 (22 ч)'
Геометрия
(3 ч в неделю)
Тригонометрические функции.
Соотношения между сторонами
и углами треугольника
(продолжение, 17 ч)
Формулы приведения. Таблицы тригонометриче-
ских функций	4 q
Соотношения между сторонами и углами прямо-
угольного треугольника. Контрольная работа
№ 3 (25 мни)	5	,
Теоремы синусов н косинусов. Решение треуголь-
ников	5	q
Решение задач	2	ч
Контрольная работа № 4	]	ч
Вписанные и описанные многоугольники.
Длина окружности и площадь круга (25 ч)
Четыре замечательные точки треугольника
Вписанные многоугольники
Описанные многоугольники
Контрольная работа № 5
Правильные многоугольники
Длина окружности и площадь круга
Решение задач
Контрольная работа № G
Повторение курса геометрии
VI—V111 классов (11 ч)
3 ч
3 ч
4 ч
1 ч
6 ч
5 ч
2 ч
1 ч
8 Изучается по материалу главы V учебника
ра и начала анализа 9—10» (1985).
«Алгеб-
Алгебра и начала анализа
(3 ч в неделю)
Логарифмическая функция (продолжение, 4 ч)
Логарифмические неравенства	2 ч
Решение задач	# 1 ч
Контрольная работа № 3	* 1 ч
Степенная функция (11 ч)
Определение и свойства степенной функции	2	ч
Иррациональные уравнения	3	ч
Примеры решения систем двух уравнений с двумя
неизвестными	4	ч
Решение задач	1	ч
Контрольная работа № 4	1ч
Тригонометрические функции (11 ч)'
Повторение темы «Элементы тригонометрии» (изу-
ченной в VIII классе)	5 ч
Функция y=sinx, ее свойства и график	1 ч
Функция y=cosx, ее свойщва и график	1 ч
Функции p=tgx и у—ctgx, нх свойщва и графики 1 ч
Решение задач	2 ч
Контрольная работа № 5	1ч
’	Тригонометрические уравнения
и неравенства (23 ч)
Арксинус числа. Уравнение sin х=а	3 ч
Арккосинус числа. Уравнение cos х=а	3 ч
Арктангенс числа. Уравнение 1рх~а и ctgx=a 2 ч
Решение тригонометрических уравнений	2 ч
Контрольная работа № G	1ч
Решение тригонометрических уравнений	7 ч
Тригонометрические неравенства	3 ч
Решение задач	1 ч
Контрольная работа № 7	1ч
Повторение. Решение задач (4 ч)
Геометрия
(2 ч в педелю)
Перпендикулярность прямых и плоскостей
fпродолжение, 5 ч)
1ерпендикулярпость плоскостей 1 ч
Решение задач	з ч
Контрольная работа № 3	1ч
Многогранники (16 ч)'
Понятие многогранника. Призма	з	ч
Решение задач	2	ч
Пирамида	4	ч
Решение задач	2	ч
Правильные многогранники	*	2 ч
Решение задач	2	ч
Контрольная работа № 4	j	ч
Векторы в пространстве (11 ч)
Понятие вектора в пространстве	j	ч
Действия над векторами	2	ч
Решение задач	j	ч
Компланарные векторы	4	ч
Решение задач	2	,,
Контрольная работа № 5	]	ч
Повторение. Решение задач (4 ч)
с
22 ‘
X КЛАСС
Алгебра и начала анализа
(2 ч в неделю)
Интеграл (продолжение, 4 ч)
Вычисление площадей, с помощью интегралов
2 ч
48 
Решение задач
Контрольная работа К 3
! ч
1 ч
Комплексные числа (12 ч)’
Понятие комплексного числа	1 ч
Сложение и умножение комплексных чисел	2 ч
Модуль комплексного числа	1 ч
Вычитание и деление комплексных чисел	2 ч
Геометрическая интерпретация комплексного числа 2 ч
Квадратное уравнение с комплексным неизвестным 2 ч
Тригонометрическая форма комплексного числа 1 ч
Контрольная работа Г& 4	1ч
Повторение. Решение задач.
Консольная работа № 5 (20 ч)
Геометрия
(2 ч в неделю)
Цилиндр, конус, шар (продолжение, 4 ч)'
Решение задач	3 ч
Контро. ьная paOoia № 3	1ч
Объемы тел (18 ч)
Объем тела	1	ч
Объем прямой призмы и цилиндра	5	ч
Обьем наклонной призмы, пирамиды и конуса	8	ч
Контрольная работа №4	1ч
Объем шара и плошадь сферы	3	ч
Повторение. Решение задач.
Контрольная работа № 5 (14 ч)
К 275-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ
Великий русский ученый
и просветитель
Михаил Васильевич Ломоносов
(Продолжение. Начало см. на с. 2 обложки)
Михаил Васильевич Ломоносов родился 19
(по старому стилю 8) ноября 1711 г. в дерев-
не Мишапинской на Курострове вблизи села
Холмогоры. Его отец Василий Дорофеевич был
неграмотным черносошным крестьянином (т. е.
государственным, не крепостным). Энергич-
ный и предприимчивый, он пользовался ува-
жением в округе. Мать, Алена Ивановна, дочь
дьякона, умела читать. Именно она и показа-
ла сыну буквы в единственной имевшейся
в доме книге — библии на славянском языке.
Мальчик быстро постигал грамоту. В резуль-
тате его горячих просьб родители отдали его
в обучение к местному дьячку. Он самостоя-
тельно перечитал духовные и светские книги,
которые удалось найти у соседей. В том чис-
ле изучил «Славянскую грамматику» М. Смот-
рицкого и «Арифметику» Л. MaiHi-щкого. Впо-
следствии он назвал эти две книги «врагами
своей учености».
Прочитанные книги выдвигали перед Ломо-
носовым множество вопросов, на которые он
не находил ответов. Стремление продолжать
обучение в нем непреодолимо росло. Но в род-
ных местах существовало только одно учебное
заведение — духовное училище.в Холмогорах,
в которое, однако, крестьянских детей не при-
нимали. Жизнь крестьянина-помора — работа
в хозяйстве отца и морской рыбный промы-
сел — оставляла у него все меньше и меньше
времени для удовлетворения духовных интере-
сов. В результате молодой человек пришел
к мысли уйти учиться в Москву. Этот шаг он
осуществил, не спросись отца, уйдя с обозом
в Москву 7 декабря 1730 г.
Уже 15 января 1731 г. Михаила Ломоносо-
ва зачислили в Славяно-греко-латинскую ака-
демию— первое высшее учебное заведение в
Москве (основана в 1687 г., в 1814 преобразо-
вана в Московскую духовную академию и пе-
реведена в Тронце-Сергиеву лавру). В акаде-
мии преподавали славянский, греческий и ла-
тинский языки, арифметику, риторику, стихо-
сложение, богословие. Первые три класса Ло-
моносов закончил за один год. Латинский язык
он изучил настолько, что мог уже сочинять
на нем стихи. Впоследствии в Европе он был
признан одним из лучших знатоков латинско-
го языка. Так же успешно шли занятия и
позднее. В 1734 г. академическое начальство
узнало о крестьянском происхождении Ломо-
носова (при поступлении он дал неверные
сведения о положении своего отца), по успехи
его во всех предметах были так велики, что
обман остался без последствий. Более того,
в том же году его направили на год для за-
вершения образования в Киевскую духовную
академию. Организованная в 1632 г., она счи-
талась в ту пору лучшим высшим учебным
заведением России.
Но кроме богатой библиотеки Ломоносов
не нашел в Киеве ничего примечательного.
Его интересовали естественные науки, а при
ходилось опять заниматься риторикой, логи-
кой, богословием. В результате он вернулся
в Москву через пять месяцев, и тут судьба
его круто изменилась. В 1735 г. Сенат издал
указ о направлении в Петербургскую Акаде-
мию наук способных учеников из монастыр-
ских школ. Из Славяно-греко-латинской ака-
демии потребовали 20 человек, но пригодных
оказалось только 12, среди них и Ломоносов.
1 января 1736 г. он уже был в столице, и вско-
ре его зачислили студентом академического
университета. Однако лекций в академии наук
ему послушать не пришлось, поскольку было
решено трех студентов направить в Германию
для ознакомления с металлургией и горным
делом. Выбор пал на Ломоносова, Виноградо-
ва, будущего изобретателя русского фарфора,
49
и Райзера. Горный советник Райзер — отец
третьего из стажеровобратил внимание пре-
зидента академии па необходимость предвари-
тельного изучения стажерами основ механи-
ки, математики, физики, химии и философии.
С этой целью молодых людей направили
в Марбургский университет, где в ту пору ра-
ботал один из крестных отцов Петербургской
Академии наук Христиан Вольф (1679—
1754)выдающийся педагог, философ и есте-
ствоиспытатель. Вольф дал согласие принять
русских студентов. Постановление о коман-
дировке появилось 13 марта 1736 г., а 3 нояб-
ря студенты были в Map6ypie. Начался но-
вый, очень важный период в жизни Ломоно-
сова, а вместе с ним и всей,,,начинающейся
русской науки.
Естественно возникает вопрос: как в таком
суровом крае, как Архангельская губерния,
вдали от культурных центров мог появиться
и вырасти столь разносторонний и увлеченный
познанием человек? Несомненно, что в этом
немалую роль сыграли талант Ломоносова и
его железная воля. В какой-то мере благо-
творно сказалась и удаленность севера Рос-
сии— эти земли не знали татарской неволи.
Не знала эта земля н крепостного права. Как
писал знаменитый русский марксист Г. В. Пле-
ханов, «архангельский мужик стал разумен
нс только по своей и божьей воле. Ему чрез-
вычайно помогло то обстоятельство, что он
был именно архангельским мужиком, мужи-
ком-поморцем, не носившим крепостного ошей-
ника» (Плеханов Г. В. Соч. М.; Л., 1925.
Т. XXI. С. 141).
Нужно указать и на другие причины. На
север ссылали много высокообразованных лю-
дей— политических противников религии и
правительства России. Там^ же создавались
монастыри, игравшие в ту пору роль центров
грамотности. В 1670 г. в Ан гонпено-Сийс.ком
монастыре (на Северной Двине, в 96 км от
Холмогор) появилась типография, здесь же
существовала иконописная школа. С самого
начала XVIII в. в Холмогорах действовала
духовная школа Грамотные крестьяне начи-
нали собирать небольшие личные бибчиотски,
среди них встречались любители и ценители
печатного слова.
Рыболовы и зверобои нуждались в судах,
а также в специалистах: лоцманах и штурма-
нах. В крае создавались верфи, молодежь
обучалась мастерству судовождения и исполь-
зования навигационных приборов. Торговля
России с Западной Европой в значительной
степени шла через север. Общение с иностран-
цами расширяло кругозор местного населения.
Торговля содействовала возрастанию связей
Поморья с центром России,
Христиан Вотьф был по существу' первым
настоящим учителем Ломоносова в матема-
тике, физике, философии природы. Всю жизнь
Ломоносов высоко оценивал своего учителя,
но это не мешало ему не соглашаться с фи-
зическими представлениями Вольфа *.
В Марбурге Ломоносов и его товарищи
пробыли три года. Вольф лично преподавал
им физику, механику и математику. Ломоно-
сов много работал и самостоятельно. Изучал
труды выдающихся физиков, химиков и фило-
софов. Совершенствовался в рисовании. Хоро-
шо выучил немецкий и французский языки.
Отчеты в Петербург о своей работе он писал
па немецком языке. Однажды приложил к от
чету стихотворный перевод на русский одной
французской оды, а в другой раз — прекрасно
выполненный рисунок.
В Марбурге Ломоносов познакомился с ра-
ботами английского физика, химика и фило-
софа Роберта Бойля (1627—1691). Идеи Бой-
ля, относящиеся к молекулярному строению
материи, произвели па него огромное впечат-
ление. Впоследствии Ломоносов уделял этим
вопросам много времени и творческих усилий.
Три года обучения в Марбургском универ-
ситете прошли с пользой. Пришло время за-
няться и тем основным делом, ради которого
молодые люди были направлены в Герма-
нию— изучать металлургию и горное дело.
С этой целью русские студенты в июле 1739 г.
направились во Фрайбергскую горную акаде-
мию, где должны были работать под руко-
водством профессора И. Генкеля. В момент
приезда Ломоносова во Фрайберг там нахо-
дился профессор красноречия Петербургской
Академии наук Г. Юнкер. Он познакомился со
студентами и позднее писал о них в академию
следующее: «Студенты по одежде своей, прав-
да, выглядели неряхами, но по части указан-
ных им наук, как убедился и я, и господин
берграт (горный советник.— Б. Г. и Н. Ж.),
положили прекрасное основание, которое по-
служило нам ясным доказательством их при-
лежания в Марбурге. Точно так же я, при пер-
вых лекциях в лаборатории, при которых при-
сутствовал... не мог не заметить их похваль-
ной любознательности и желания дознаться
основания вещей» ([4J. С. 39).
В конце 1739 г. Ломоносов прислал в Ака-
демию наук отчеты о своей работе — озна-
комление с постановкой рудного дела, приема-
ми выплавки металлов из руд: диссертацию на
физические темы и оду в честь взятия русски-
ми войсками крепости Хотин. К оде было при-
ложено «Письмо о правилах Российского сти-
хотворства», в котором молодой ученый не
* Подробнее о Вольфе см.: Математика в школе.
1986. № 2. С. 2 обложки.
60
только сформулировал правила написания сти-
хов, но и вступил в полемику с крупнейшим
для того времени русским поэтом В. К. Трс-
диаковским (1703—1768), еще в 1735 г. опуб-
ликовавшим «Способ к сложению Российских
стихов» Эту книгу Ломоносов приобрел в Пе-
тербурге еще в начале 1736 г. и взял с собой
в заграничное путешествие.
В Петербурге ода Ломоносова произвела
сильное впечатление музыкальностью стиха,
размером, она казалась новым шагом в рус-
ской поэзии В академии рассмотрением оды
занимались адъюнкт В. Е. Лдодуров и акаде-
мик Я. Я. Штслин. Последний писал: «Мы
были очень удивлены таким, еще не бывалым
в русском языке размером стиховвсе чита-
ли и удивлялись этому новому размеру» ([4].
С. 42). Ода положила начало известности
М. В. Ломоносова как поэта.
К сожалению, отношения между Генкелем
и Ломоносовым, вначале очень хорошие, за-
тем резко ухудшились. Ломоносов жаловался
на тяжелый характер профессора, на его
нежелание передавать знания и на его ко-
рыстолюбие. Генкель упрекал Ломоносова за
нежелание заниматься у пего, за буйства и по-
стоянные требования денег. Мы не можем
судить, кто из них был нрав. Возможно, что
правы они были оба. Во всяком случае, через
два года после возвращения в Россию Ломо-
носов написал и издал двухтомный учебник
металлургии. Это, несомненно, доказывает, что
он старательно изучал литературу по метал-
лургии и осмысливал систему изложения пра-
вил этого искусства Отношения между учени-
ком и учителем настолько обострились, что
в мае 1740 г. Ломоносов покинул Фрайберг.
В Россию Ломоносов прибыл только в июне
1741 г., поскольку он был лишен каких бы
то ни было средств для возвращения на роди-
ну. Год бродяжничества и обращения в рус-
ские представительства чуть нс окончился пе-
чально для Ломоносова и для русской науки:
рослого и сильного молодого человека заме-
тили вербовщики солдат, опоили его и зачис-
лили в королевские гусары. Сбежал он только
благодаря своей находчивости, смелости и
физической выносливости.
В Петербурге Ломоносову сначала поручи-
ли составлять каталог минералов, хранящих-
ся в минералогической коллекции. Он успеш-
но выполнил задание. Параллельно в это вре-
мя шло рассмотрение представленных им
научных отчетов — диссертаций. В результате
этого рассмотпсния 8 января 1742 г. он был
назначен адъюнктом академии по физическо-
му классу с жалованием в 360 рублей в год.
При существовавших тогда ценах ня эти день-
ги можно было бы жить очень хорошо Одна-
ко выплачивали их отнюдь ие регулярно. В ту
пору в академии наличных денег не хватало
и вместо жалования предлагалось брать со-
ответствующее количество книг из академиче-
ской книжной лавки.
25 июля 1742 г. Ломоносов был назначен
профессором химии и тем самым стал полно-
правным членом академии.
В литературных творениях Ломоносова всег-
да находили отражение его чувства естество-
испытателя, наблюдающего величественные
явления природы. Мы приведем здесь начала
двух стихотворений, так называемых утренне-
го и вечернего размышлений. Вот строки, по-
священные деятельности Солнца, из «Утрен-
него размышления»:
«Когда бы смертным толь высоко
Возможно было"возлететь,
*1 об к солнцу бренно наше око
Могло приблизившись воззреть;
Тогда б со всех открылся стран
Горящий вечно Океан.
Там огненны валы стремятся
И ие находят берегов.
Там вихри пламенны крутятся,
Ьорющись множество веков;
Там камни, как вода, кипят,
Горяшн там дожди шумят» ([2]. С. 448).
Ломоносов так ярко и впечатляюще описы-
вает явления, происходящие па Солнце, слов-
но он там побывал, а ведь они стали доступ-
ны наблюдению лишь в конце XIX в. Так же
лирично и прекрасно начало «Вечернего раз-
мышления»:
«Лице свое скрывает день,
Поля покрыла влажна ночь,
Взошла па горы черна тень.
Лучи от пас прогнала прочь.
Открылась бездна, звезд полна;
Звездам числа нет, бездне дпа» ([2] С. 447).
Мы пс станем затрагивать здесь вклада Ло-
моносова в создание русского литературного
языка, разработку законов русской граммати-
ки и в прогресс русской литературы. Этот
вклад также очень велик.
С целью распространения просвещения и
научных знаний в России Ломоносов задумал
и прочитал публичные лекции по физике на
русском языке. Одновременно ученый присту-
пил к строительству химической лаборатории,
в которой позднее провел тысячи опытов,
в том числе связанных с изготовлением цвет-
ного стекла и смальты для мозаичных картин.
Когда химической лаборатории еще не бы-
ло, Ломоносов занимался преимущественно
исследованиями в области физики. Он пере-
вел и издал учебник физики X Вольфа, изучал
физические явления на основе свойств «нечув
ствитсльных» частиц, из которых состоят все
тела. Всю свою жизнь Ломоносов мечтал
написать большое сочинение, которое объеди-
няло бы различные части физики и химии па
почве теории корпускул. Однако каждый раз
51
что-то отвлекало его от этой работы. Впрочем,
отдельные части замысла нашли воплощение
в его отчетах, так называемых диссертациях,
а также в «Рассуждениях», которые он пред-
ставлял на торжественных заседаниях ака-
демии.
Так, в диссертации «Размышления о причи-
не теплоты и холода» он отстаивал мысль
о том, что тепловые явления полностью объяс-
няются движением составляющих тело частиц.
Оспаривал распространенную уверенность в
существовании особой огненной материн (теп-
лорода) и приводил обоснованные доказатель-
ства своей позиции. Эта работа опередила
время более чем на столетие.
В рассуждении «Опыт теории упругой силы
оздуха» Ломоносов исследовалпвопрос о рас-
ширении газов при уменьшении давления и их
сжатии при увеличении давления. Эго явле-
ние он также объяснил движением частиц воз-
духа. Следует отметить, что рассуждения Ло-
моносова предварили современную кинетиче-
скую теорию газов и тем самым обогнали
свое время более чем на 100 лет. Ломоносов
не только декларировал свои взгляды, но и
подтверждал их оригинальными и точно по-
Станленными опытами. В этом плане интерес-
но его высказывание в работе «Заметки по
физике и корпускулярной теории» (1741 —
1743); «Один опыт я ставлю выше, чем тыся-
чу мнений, рожденных только воображением.
Но считаю необходимым сообразовывать опы-
ты с нуждами физики» ([I]. Т. 1 С. 125).
На базе точных опытов, в том числе и в за-
паянных сосудах, он пришел к закону сохра-
нения материи, который им был сформулиро
ван в письме к Эйлеру (1748) следующими
словами: «...вес встречающиеся в природе из-
менения происходят так, что сели к чему-либо
нечто прибавилось, то это отнимается у чего-
то другого Так, сколько материи прибавляет-
ся к какому либо телу, столько же теряется
у другого...» ([1]. Т. 10. С. 455). Эго замеча-
тельное открытие Эйлер оценил очень высоко.
Недаром он писал в академию: «Все сии со-
чинения пс токмо хороши, по и превосходны,
ибо он изъясняет физические и химические
материи самые нужные и трудные, кои совсем
неизвестны и невозможны были к истолкова-
нию самым-остроумным ученым людям, с та
ким основательством, что я совсем уверен
в точности его доказательств. При сем случае
я должен отдать справедливость господину
Ломоносову, что он одаровап самым счастли-
вым остроумием для объяснения явлений фи-
зических и химических. Желать надобно, что-
бы все прочие Академии были в состоянии
показать такие изобретения, которые показал
господин Ломоносов» ([2|. С. 709—710)
Заметим, что закон сохранения материи Ло-
моносов сформулировал за 17 лет до Лавуазье.
Вместе с академиком Рихмапом Ломоно-
сов проводил опыты по изучению природы
молнии. Они обнаружили электрическую при-
роду этого явления задолго до Франклина.
Один из их опытов закончился для Рихмана
трагически. Письмо Ломоносова к графу» Шу-
валову с описанием опыта и гибели Рихмана
производит огромное впечатление силой чело-
веческих переживаний и наблюдательностью
ученого.
В 1761 г. Ломоносов наблюдал с помощью
сконструированного им самим телескопа ред-
кое астрономическое явление — прохождение
Венеры по диску Солнца. В разных точках
Земли это явление наблюдали многие астро-
номы и отметили расплывчатость краев дис-
ка Венеры, но не сделали из наблюдений не-
обходимого вывода. Лишь Ломоносов дал пра-
вильное объяснение, заключив, что на Венере
имеется атмосфера. К сожалению, в ту пору
ученый мир не заметил замечательного откры-
тия Ломоносова и оно было переоткрыто лишь
спустя 121 год.
Заслуживает упоминания изобретенная Ло-
моносовым «почезрительная труба», позволяв-
шая в темноте лучше видеть окружающие
предметы. Большое внимание Ломоносов уде-
лял наблюдениям над полярными сияниями
и размышлениям над их природой.
Значительный интерес имеют идеи Ломоно-
сова по упорядочению работ Географического
департамента академии, руководство которым
ему было поручено в 1758 г. Здесь он сосре-
доточил свою деятельность па трех следую-
щих направлениях: 1) укрепить Географиче-
ский департамент как учреждение, представ-
лявшее общегосударственное значение, 2) со-
хранить и увеличить число способных русских
географов, геодезистов и картографов, рабо-
тающих в нем, 3) обеспечить составление но-
вого атласа карт Российской империи Есте
ственно, что руководство департаментом при-
влекло внимание Ломоносова к вопросам
географии.
8 мая 1759 г. ученый выступил с речью
«Рассуждение о большей точности морского
пути», в которой изложил решение задачи об
определении местоположения судна в море
как в ясную, так и в пасмурную поготу. Эта
речь насыщена новыми идеями и серьезными
предложениями. В ней затронуты вопросы
земного магнетизма, предложен способ астро-
номических наблюдений, позволяющий избе-
жать влияния качки корабля, и пр.
В 1761 г. Ломоносов представил в Швед-
скую Академию наук «Мысли о происхож-
дении ледяных гор в северных морях» в от-
вет на избрание его почетным членом Швед-
ской АП в 1760 г. Согласно Ломоносову айс-
52
как богословие, и среди его первоначальных
трех факультетов не было богословского.
Ос ювпой вопрос философии — вопрос об от-
ношении мышления к бытию — Ломоносов ре-
шал материалистически: реальный мир суще-
ствует вне и независимо от сознания. Изучая
природу и ее явления, он объяснял их исклю-
чительно па основе законов природы, отвер-
гая ссылки на сверхъестественные силы. Все-
ми доступными ему средствами он боролся
с религиозным мышлением и догматизмом.
Эта сторона его деятельности вызывала неудо-
вольствие не только церкви, но и правитель-
ства. Недаром Екатерина И распорядилась
опечатать и изъять все бумаги Ломоносова
сразу же после его смерти. Часть этих бумаг,
и весьма значительную, до сих пор пе удалось
найти. То, что сохранилось, в настоящее вре-
мя издано [1] Эго позволяет глубоко озна-
комиться с его литературным и научным на-
следием. Имеются хорошие работы, посвящен-
ные жизни и деятельности Ломоносова. Но
следует заметить, что в каждую эпоху взгля-
ды и результаты великих мыслителей воспри
нимаются и оцениваются с различных пози
ций, поскольку на них удается взглянуть с бо-
лее широких точек зрения. Ломоносов заслу-
живает того, чтобы теперь была создана новая
монография, посвященная анализу его твор-
чества. Ломоносов еще долгие годы будет учи-
телем всех нас пе только как поэт и ученый,
но и как гражданин, как верный сын своего
отечества.
Литература
1	Ломоносов М. В. Поли. собр. соч. В 10 т М.; Л.:
Изд-во АН СССР, 1955—1957. JB 1983 г. вышел т. 11,
дополнительный: Письма, переводы, сгихогиирения.|
2	. Ломоносов М. В. Избранные философские произве-
дения. М.: Госполитиздаг, 1950.
3	. Летопись жизни и творчества М. В Ломоносова:
К 250-лсгию со дня рождения. М.; Л. Изд во АН СССР
1961.
4	Меншуткин Б. Н. Жизнеописание Михаила Василь-
евича Ломоносова М.; Л.. Изд-во АН СССР 1947.
Ь. Андронов И К Михаил Васильевич Ломоносов//
Математика в школе. 1961 № 5. С. 73—75
6. Искра-Перевалова Л. А. М В Ломоносов и ма-
тематическое образование в России XVIII в.//Там же
С. 75—78.
Б. В. Гнеденко, Н. П, Жидков (Москва)
ИЗ ИСТОРИИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
К истории вопроса
об изучении векторов
Г Д Глейзер
(Москва),
Г К Ксян
(Ереван)
В последнее время, как и в недалеком прошлом, вновь
активно обсуждается проблема изучения векторов
в школьном курсе математики. Дискуссия приняла до-
вольно острый характер. При этом главное внимание
уделяется вопросу о том, как надо в школьном курсе
геометрии определять вектор.
Цель данной статьи — проследить, как происходило
проникновение векторного метода в высшую н сред-
нюю школу, в изложение аналитической дифференты
альной и элементарной геометрии. Осознание учителя-
ми истории этого вопроса поможет реи нть и обсуж-
даемые сейчас методические проблемы, связанные
с изучением векторов в школе.
(Векторное исчисление пробивало себе дорогу в выс-
птую, а затем и в среднюю школу с очень большим
трудом Достаточно сказать, что даже знаменитый анг-
лийский ученый Уильям Томпсон (1894—1907), который
был близок к кружку «векторнанцев», или, точнее (по
существовавшим тогда традициям и направлениям ин-
тересов) «кватернионпстов» (П. Г. Тент, Дж. Максвелл
и др.), являлся до конца жизни непримиримым против-
ником применения в преподавании векторного метода,
считая, что этот метод лишь «зашифровывает» содер-
жание математических и физических положений и нс
дает воэможт ости студентам вникнуть в суть дела. Он
настаивал на том чтобы все (векторные, по существу)
формулы обязательно выписывались нз доске или
в учебнике в координатной форме — в виде трех про-
екций рассматриваемого соотношения на оси коор-
динат.
В нашей стране сходную позицию долго занимал
выдающийся ученый и педагог А. Н. Крылов (1863—
1945), призывавший к тому, чтобы в преподавании
«экономить мозги студентов, а не мел», н рекомендо-
вавший полностью игнорировать векторный метод.
Впрочем, в последние годы жизни А Н Крылов изме-
нил свою позицию по этому вопросу; так, книга цо
теории гироскопов, изданная в поздний период его
.деятельности, была уже изложена целиком на «вектор-
ном языке»
Тенденция «координатной геометрии» в вузовском
преподавании (в противовес векторной точке зрения),
которую так настойчиво отстаивал А. Н. Крылов, име-
ла своих приверженцев и последователей не только
средн авторов втузовских учебников и специалистов
по прикладной математике, но также и средн универ-
ситетских профессоров. Достаточно назвать учебник
аналитической геометрии С. С. Бкингенса, написанный
полностью па координатной основе, по которому препо-
давание проводилось в ведущих университетах страны
вплоть по второй половины нашего столетия. Имеете
с тем известно, что в начале 20-х гг С С. Ьюшгепс
читал в Московском университете специальные курсы
по теории поверхностей и механике с использованием
векторного метода; это нашло отражение и в ряде
сю публикаций.
Активным сторонником векторного метода до рево-
люции был известный математик и механик профессор
П. О. Сомов, книга которого «Векториальный анализ
и его приложения» (1907 г.) хотя и вс была бесспор.
54
ной в деталях, но, написанная методически ясно, на
долгие годы оставалась единственным в отечественной
литературе пособием на ату тему.
В 20-е гг. векторное исчисление рассматривалось как
специальный курс, читавшийся в очень небольшом чис-
ле вузов. Приверженцем этого курса и векторного м -
тода в преподавании математики в высшей технической
школе являлся Я. Н. Шпнльрейн, возглавлявший в те
годы кафедру математики и механики Московского
высшею гехнического училища. В 1924 г. он читал
лекции студентам электротехнического факультета
МВТУ по впервые введенному курсу векторной алгеб-
ры. Однако, несмотря на его деятельность, примеру
этой кафедры следовали немногие.
В 1925 г. на основе лекций Я. Н. Шпильрейна по
курсу векторной алгебры по инициативе горячего по-
борника векторного метода В. Ф. Кагана (1869—1953),
возглавлявшего в те годы Научный отдел Госиздата,
был создан учебник по векторному исчислению для
высшей технической школы «Векторное исчисление;».
В этом же году также в Государственном издательстве
опубликована книга Я- И Френкеля «Курс векторного
исчисления», в которой было изложено и тензорное
исчисление, чего не было в книге Я. Н. Шпильрейна.
Как нам удалось установить, первое советское учеб-
ное пособие по аналитической геометрии на векторной
основе было издано в МВТУ в 1926 г. тиражом
3000 »кз.; автор пособия — преподаватель училища
И. И Соколовский. Предисловие к нему написал
Я П. Шпнльрейн (см.: Соколовский И И. Аналитиче-
ская геометрия в векторном изложении).
Однако следует отметить, что аналитическая геомет-
рия вплоть до конца 40-х гг. (а иногда еще и в 50-х гг.)
в большинстве втузов и во многих пединститутах па-
шей страны преподавалась по элементарному учебнику
видного математика И. И. Привалова, который не со-
держал даже самого понятия вектора, ие говоря уже
о его приложениях. В университетах аналитическую
геометрию излагали, чаще всего руководствуясь весьма
доброкачественными (хотя к 30-м гг. уже во многом
устаревшими) дореволюционными курсами Н. П. Анд-
реева или Б К- Млод невского, а также классическими
переводными книгами Дж. Сальмона. В 1936 г. вышел
переработанный учебник аналитической геометрии дли
университетов (в двух частях) С. С. Бюшгепса (он
использовался также в пединститутах), который затем
несколько раз переиздавался. Все эти книги также
не содержали попятг я вектора.
Огромную роль в пропаганде векторного подхода
к геомет ин и естеств знанию сыграла вышедшая
в 1933 г. книга «Основы векторного исчисления. Ч. 1.
Векторная алгебра» крупного советского математика
и замечательного педагога Я С. Дубнова (1887—1957).
Впоследствии эта книга несколько раз переиздавалась,
причем каждый раз автор ее перерабатывал (послед-
нее издание— 1950 г.). Книга Я. С. Дубнова, безуслов-
но. является превосходным введением в предмет для
начинающих; опа напнсаиа доступно и с глубоким
проникновением в суть дела. В ней, быть может впер-
вые в учебной литературе, каждый раз при введении
новой операпии векторной алгебры автор доказывает
необходимость именно такого ее определения. Боль-
шую роль сыграли также подобранные им примеры
и упражнения для самостоятельного решения. Эга кни-
га была первой заявкой па привлечение внимания пе-
дагогов к тем ботатым возможностям, которые таит
в себе понятие вектора. Педагогически весьма тщатель-
но исполненным сочинением является и вторая часть
книги Я С. Дубнова «Основы векторною исчисления»,
вышедшая в 1952 г. и посияшсииая элементам вектор-
ного анализа и потому обращенная к уже совсем дру-
гой категории читателей
Заметим, что уч . эпики векторного анализа для выс-
шей школы создавались начиная с 30-х гг многими
советскими авторами. Так, в 1932 г. такой учебник
написал известный московский геометр С. П. Фиников
(1883—1964). Обстоятельный учебник векторного ис-
числения и начал юнзорного исчисления был подготов-
лен выдаюп имея математиком академиком Н. Е. Ко-
чнным (1901—1944) (эта книга много раз переиздава-
лась). Позднее (1954 г.) вышел учебник векторного
анализа, с большим педагогическим мастерством напи-
санный Г. Е. Шиловым (1917—1975), известным спе-
циалистом по математическому и функциональному
анализу.
Любопытно отметить для характеристики того вре-
мени, близкого к нам хронологически и в то же время
далекого по своим педагогическим установкам, что еще
в начале 50-х гг. Я- С. Дубнов в своих устных выступ-
лениях рекомендовал при преподавании аналитической
геометрии в университетах и пединститутах первую
часть курса (планиметрию) излагать «координатным»
(безвекторным) способом, чтобы избежать «наложения
трудностей» для студентов, и лишь в стереометрической
част курса переходить целиком на векторный язык.
Сказанное делает понятным, почему подготовленный
Я С. Дубновым в 1934 г. учебник аналитической гео-
метрии для средних школ* понятия вектора не со-
держал.
Первый последовательно векторный курс аналитиче-
ской геометрии для университетов выдающегося мате
матика и механика академика Н. И. Мусхелшпвили
(1891—1976) был издан в 1933 г. (впоследствии книга
несколько раз переиздавалась). Отметим, что эта кнн-
ia предсгавляет собой третье переработанное издание
лекций по аналитической геометрии (первое издание —
Тифлис. 1922; второе —там же. 1926). Первое издание
было довольно еще несмелой попыткой дать элементар-
ное изложение основ аналитической геометрии на систе-
матическом применении векторной алгебры. Наряду
с эюй книгой большое влияние на рефор лу матема-
тического образования в высшей школе оказал и двух-
томный учебник Б. II. Делоне и Д. Л Райкова «Анали-
тическая геометрия» (М.; Л.: ГТТИ, 1948 и 1949), це-
ликом построенный на векторной основе.
л^Для пединститутов первый «векторный» учебник ана-
литической геометрии (1948) был написан А. М. Лоп-
шицем (1897—1981); он содержал яркое н своеобраз-
ное изложение векторного исчг сления, которое (как
и вся книга) может представлять определенный инте-
рес еше и сегодня. В этом же году был издан «Курс
аналитической геометрии» для втузов Н. М. Бескина,
построенный па векторной основе.
Подытоживая сказанное, отметим, что середина сто-
летия— тот рубеж, который характеризует окончаюль-
ную победу векторного изложения геометрии в высших
учебных заведениях. С этою времени владение век-
торным методом и даже само векторное осмысление
геометрии становятся для выпускников университетов
и пединститутов, для инженеров, близких к математике
специальностей, необходимым элементом культуры и ми-
ровоззрения. Десятилетие спустя начинается процесс
проникновения векторною метода и в школьное пре-
пода ванне.
'““Следует отметить, что в школьный курс геометрии" I
векторы входили с трудом (впрочем, как видно из ,
сказанного, с таким же трудом они входили и в курс
математики высших учебных заведений). И это харак-
терно ие только для советской, по и для зарубежной
школы. Так, в довольно распространенном в старших
классах школ США учебнике геометрии Э. Э. Моиза
и Ф. Л. Даунса (изданном у нас на русском языке
в 1972 г.) векторы вовсе не рассматриваются. Следует,
однако, заметить, что второе издание этого учебника
уже содержит сведения о векторах, но в минимальном
1 Разработанный в эти годы проект введения анали-
тической геометрии и математического анализа в курс
средней школы так и остался неосуществленным.
55
объеме (кстати, векторы в нем вводятся как парал-
лельные переносы)
В широкоизвестном английском мндленском экспери-
ментальном учебнике «Математика» (переведенном на
русский язык в 1971 г.), написанном известным педа-
гогом С. Хоупом в основном для так называемых грам-
матических школ (для обучения детей от 11 до 16 лет),
понятие вектора формируется постепенно; вектор опре-
деляется как величина, имеющим числовое значение
и направление, теоремы о свойствах векторов не до-
казываются.
В учебниках «Числа», «Геометрия», написанных
Э. Кастельнуово для итальянской школы (первые изда-
ния вышли в 1974 г.), векторы вовсе не используются
В японских школах первоначальные сведения вектор-
ной алгебры сообщаются детям на одиннадцатом году
обучения, а скалярное произведение векторов — на две-
надцатом.
Программа по математике французской школы пре-
дусматривает (начиная с 1965 г.) знакомство учащих
ся с понятием вектора, сложением и вычитанием век-
торов, умножением вектора иа число, скалярным про-
изведением векторов, векторным истолкованием ли
нейных уравнений приложением векторов к задачам
геометрии В старших классах вводятся элементы век-
торного анализа. Среди французской математической
литературы для учителей имеются превосходные книги
известных математиков Ж. Дьедонне, Г, Шоке, Л. Фе-
ликс и др., в которых серьезное внимание уделено век
торам и их приложениям, однако иа школьную прак-
тику Франции эти книги не оказали значительного влня
пия Во всяком случае, нам неизвестны школьные учеб-
ники, в которых были бы реализованы идеи этих
авторов, относящиеся к введению векторного метода.
Широко известен экспериментальный курс «Современ-
ная математика» бельгийского математика и педагога
Ж- Папи (в 60-х гг. опубликовано 12 томон), в кото
ром последовательно по схеме Ж Дьедонне изложена
школьная математика, в том числе применен наиболее
модернистский подход в изложении векторов. Однако
этот курс так и не вышел за пределы эксперименталь-
ного.
В школьные программы социалистических стран век
торы введены сравнительно недавно, в 70-х гг. Извест-
ный польский педагог и математик 3 Крыговская в по-
собии «Геометрия», предназначенном для учителей, ре-
комендует изучать векторы лишь в конце первой части
курса планиметрии лицея
В Советском Союзе еще в начале 60 х гг. была пред-
принята попытка привести школьные учебники матема
тики в соответствие с состоянием современной науки.
Можно с уверенностью утверждать, что это явилось
преддверием той перестройки всего математического
образования которая вскоре затем начала осущест-
вляться под руководством А. Н Колмогорова и
А. И. Маркушсвича.
В 1963 I. В. Г. Болтянский и И М Яглом наппсали
новый учебник геометрии для IX класса Этот учебпш
отличался не только тем, чго последовательно и про
думаппо с методической точки зрения вводил векто-
ры в типично школьную тематику, но и тем, что содер-
жал большой н ин [пресный подбор задач, в которых
применялись векторы Учебник сопровождался книгой
для учителя «Преобразования Векторы», написанной
теми же авторами и содержащей, помимо методиче-
ских замечаний, много материала, способствующего
повышению культуры учителя Можно с уверенностью
сказа ь что именно этот учебник (и сопутсгвуюшне
ему книги в статьи) подготовили проведение перестрой
ки школьного математического образования в области
геометрии Стало ясно что вектор — необходимое по-
нятие школьною курса, без которого уже ни один учеб-
ник в обозримом будущем обойтись не сможет
Учебник В. Г. Болтянского и И М Яг лома просуще-
ствовал в школе всего 2 года И это неудивительно,
поскольку ои был своеобразным островком в море ра-
нее господствовавших педагогических воззрений и тен-
денций; до IX класса геометрия преподавалась по
учебникам прежнего, «Киселевского» плана а в X клас-
се после работы по указанному учебнику школьники
вновь переходили на изучение курса стереометрии по
учебнику А. П. Киселева. Учебник В Г. Болтянского
н И. М Яглома нс был ни подготовлен предшествую-
щим уровнем и стилем преподавания, ни поддержан
последующим изучением геометрии.
Но если кратковременно появившись в школе и за-
тем исчезнув из нее, этот учебник не сыграл большой
роли в воспитании и обучении школьников, то для
учителей, преподавателей пединститутов, методистов,
ученых появление этого учебника не только не оста-
лось бесследным, но и имело важные последствия Впер-
вые было показано, что те отдельные замечания о свя-
зи векторного метода со школьным преподаванием, ко-
торые были в книге Я. С. Дубнова, допускают система-
тическое построение школьного курса геометрии на век-
торной основе.
~ Интересно отметать ту трактовку векторов, которую
В. Г. Болтянский и И. М. Яглом дали в книге «Век-
торы в курсе геометрии средней школы», изданной
Учпедгизом в 1962 г. и предшествовавшей появлению
их учебника В ней было отмечено, что возможны три
различных пути введения понятия вектора. Первый из
них — вектор как направленный отрезок. Такая трак-
товка является чересчур упрошенной, примитивной. Она
требует при изложении материала постоянных оговорок,
связанных с понятием «равенство» векторов, подобно
тому как следует различать «равные» в смысле совпа-
дающие треугольники и «равные» в смысле конгруэнт-
ные треугольники. Второй путь — использование поня-
тия свободного вектора, широко применяющегося в ма-
тематике и механике. В школьной трактовке это может
означать, что вектором называется нс одни направлен-
ный отрезок, а целый класс направленных отрезков,
имеющих одно и то же направлен не и одг п ковую
длину. Для таких векторов «равенство» означав! сов-
падение и все операции над векто[ ами опредетяются
четко и математически корректно. Кроме того, такое
понимание вектора удобно для применений в механике
(пример: скорость поступательного движения тела).
Наконец, третий путь — определить вектор как парал-
лельный перенос2. Математически этот путь очень бли-
зок ко второму: соединяя каждую точку с ее образом
при параллельном переносе мы получаем вектор во
втором его понимании. Однако такое понимание векто-
ра неудобно с точки зрения методики преподавания.
Параллельный перенос — это геометрическое преобразо-
вание (движение). Нередко рассматриваются компози-
ции параллельного переноса и поворот'! С другой сто-
роны, часто приходится производить откладывание век-
тора от точки, умножать вектор на число, тогда как
умножать геометрическое преобразование на число
неудобно, и т. д. Эти геометрические соображения
и традиционно принятая терминология делают более
удобным различег не векторов и параллельных перено-
сов. Сопоставив все сказанное, авторы приходят к вы-
воду, что для школы наиболее приемлема вторая трак-
товка: вектор как класс направленных отрезков («сво-
бодный вектор»)
Введение векторов в школьное математическое обра-
2 Уместно заметить, что один из основоположников
векторного исчисления ирландский математик У Га
мильтои (1805—1665) под вектором понимал символ
переносного движения. Немецкий математик I Грассман
(1809-1877) смотрел на вектор как на «разность меж-
ду двумя точками» Если вникнуть в эти устаревшие
теперь понятия, то станет ясно, что обе точки зрения
одинаково и вполне верно передают сущность понятия
«свободный вектор».
-56
зоваиие связано с учебным пособием по геометрии для
VI—VIII классов под редакцией А. Н. Колмогорова,
которое (в разных вариантах изложения, несколько
менявшихся от падания к изданию) составило целую
эпоху в становлении математического образования в со-
ветской школе Заметим, что в первых изданиях этого
учебного пособия был принят третий из указанных
выше путей введения векторов в школьную матема-
тику (векюр как параллельный перенос). Неудобство
такой трактовки отмечалось многими (как математика-
ми, так п физиками), а впоследствии подверглось рез-
кой критике со стороны Отделения математики АН
СССР. Однако главное .заключается в том, что в тече-
ние 15 лет работы по этому учебному пособию и согла-
сованному с ним пособию по стереометрии для IX—
X классов под редакцией 3. А, Скопеца была еше раз
проверена и подтверждена жизненность и важность
понятия вектора для школьной геометрии, всем стала
ясной польза векторного метода в школьном преподава-
нии, важность межпредметных связей с курсом физи-
ки, научность, цельность и простота курса геометрии,
достигаемая введением векторов.
Параллельно с учебным пособием под редакцией
Л. Н. Колмогорова был написан еше одни пробный
учебник по геометрии. Его авторы (В. Г. Болтянский,
М. Б Волович, Л Д. Семушнн) пошли несколько
дальше в изложении и использовании векторных тем,
чем авторский коллектив, руководимый Л. Н. Колмого-
ровым. Отличием этого пробного учебника является то,
что количество геометрических .задач, решаемых вектор
иым методом, существенно увеличено (вообще, учебник
отличается очень богатым н интересным подбором
задач).
Введение в учебники скалярного произведения век-
торов пе только значительно облегчает изложение ряда
тем геометрии (яркий пример — теорема косинусов), но
и позволяет осушестилять (что пе менее важно) меж-
предметные связи курса математики с курсом физики.
К тому времени, когда в фн.зике вводится понятие
работы, курс математики подготавливает рассмотрение
обшей формулы работы, содержащей скалярное произ-
ведение вектора силы и вектора перемещения. Такое
построение курса геометрии представляется иам весь-
ма перспективным.
В настоящее время преподавание геометрии ведется
по учебному пособию А. В. Погорелова, а в ряде тер-
риторий—1)0 учебному пособпю Л. С. Атанасяна и др
И то, что в Этих пособиях сохранены темы, в которых
излагается материал о векторах, еше раз подтверждает
их жизненность и важность д гя школьного курса ма-
тематики.
Говоря об истории становления векторного метода
в школьном преподавании и об этапах его усвоения
советской педагогической теорией и практикой, нельзя
не сказать и еще об одном направлении применения
векторов в элементарной геометрии — построении школь-
ного курса геометрии на основе векторной аксиоматики
Впервые возможность систематического (аксиоматиче-
скою) изложения геометрии на базе векторов была
указана выдающимся немецким математиком Г. Вейлем
(1885—1955) в его кит ге «Пространство. Время. Мате-
рия», вышедшей в 1918 г. Вейль предложил построе-
ние геометрии на базе теории векторных пространств,
играющих важную роль во всей современной магема
тике и ее приложениях. Его трактовка не только дала
новое (отличное От гильбертовского) аксиоматическое
обоснование геометрии, ио и поставила геометрию
в общий строй системы математических наук, тем са-
мым подготовив современное понимание геометрии и ее
целеустремленную направленность в будущее. Но та-
кое изложение, несмотря на его краткость, прогрессив-
ную трактовку и современность, довольно сложно
в методическом плане и несколько формалистично. Во-
прос о целесообразности использования его в школьном
преподавании до сих пор до конца не выяснен. О тень
многое для приближения этой трактовки в школе сде-
лали В. Г. Болтянский и И. М Яглом, которые в ряде
своих статей и книг- разъяснили основные положения
вейлевской концепции и те преимущества, которые она
дает для школьного преподавания. В книге В. Г. Бол-
тянского, М. Б. Воловича и Л. Д. Семушина «Вектор-
ное изложение геометрии, IX класс (пособие для учи-
телей)», изданной в 1982 г., ряд вопросов получил
последовательнее, ясное изложение, обладающее опре-
деленными преимуществами. Еше более последователь-
но эта ливня проводится в книге В. Г. Болтянского
«Элементарная геометрия», вышедшей в издательстве
«Просвещение» в 1985 г Однако следует сказать, что
учебника, пригодного для школьного преподавания н
построенного на базе векторной аксиоматики Вейля,
пока не существует.
В заключение отметим, что векторный метод сегодня
прочно вошел в школьное преподавание, и в этом мож-
но видеть одно из важных достижений, к которым
пришла советская школа в результате многолетней ра-
боты по совершенствованию математического образо-
вания.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
Третий этап
Всероссийской олимпиады
школьников по математике
Л. П Купцов, Г А Канунникова,
С. Н. Маркова, С. В. Резниченко
(Москва)
Всероссийская физико-математическая и химическая
олимпиада школьников проводится ежегодно Министер-
ством просвещения РСФСР совместно с Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
и Всероссийским обществом «Знание». Олимпиада по-
вышает интерес учащихся к изучению математики под-
водит итог работы факультативов и кружков, учениче-
ских научных обществ, активизирует все формы вне-
классной н внешкольной работы с учащимися, оказыва-
ет влияние на выбор молодыми людьми будущей про-
фессии. Олимпиада проводится в четыре этапа; самый
массовый — школьпйй, в котором ежегодно участвует
свыше 2 млн. учащихся. Затем следуют районные олим-
пиады. победители которых встречаются на III этапе,
т. е. на областных или краевых олимпиадах. В III эта-
пе олимпиады участвовали 8 тыс. школьников VIII--
X классов, нз них 3 тыс. сельских.
На протяжении многих лет ряд учителей проводят
интенсивные внеклассные занятия. Их ученики ежегод-
но становятся призерами Всероссийской олимпиады.
Наиболее успешно в этом направлении работают: Ба-
лашова Л. И. (шк. № 33 г. Ярославля), Васильева В. А.
(шк. № 10 г. Ангарска), Лыжова И. Н. (шк. К» 15
г. Арзамаса), Ругарева А Я. (шк. Кг Б г. Ростова-на-
Дону).
Ниже приводятся задачи, предлагавшиеся на III эта-
пе Всероссийской олимпиады по математике, и их ре-
шения,
VIII КЛАСС
1 Длины сторон треугольника образуют арифмети-
ческую прогрессию. Докажите, что величины двух уг-
лов атого треугольника меньше 60°,
67
Решение. Обозначим через а длину наименьшей
сторог,н ’.пеуг одышка. Iqsah длины двух других «го-
рой треугольника равны а4-а в a+2d, где d— разное»ь
прогрессии, d>0. Пусть а и fl— величины углов тре-
угольника, противолежащих сторонам с длинами а и
a+d соответственно (рис. 1). Величина наименьшего
из углов в любом треугольнике не превосходит 60“
и равняется 60° только в равностороннем треугольнике.
Поскольку а — это, очевидно, величина наименьшею
из углов данного треугольника и из условия задачи
следует, что данный треугольник разносторонний, за-
ключаем, что и <60°. Докажем, что также fl <60°. По
теореме косинусов имеем:
(a+d)'==es+ (e+2d)«-2a(a+2d) cos fl.
Следовательно,
(as + ?ad) + Sri* 1	3d1
CQS₽ * 2(aa + 2at/)	“ 2	2 (o’ 4- 2nd) >
2. Овал ABCDEF составлен из четырех ctya окруж-
ности. Дуга АВ — дуга окружности с центра и Г) ра-
диуса 2г. Дуга BCD — полуокружность с диаметром
ОЁ*^2г. Дуга DE есть дуга окружности с центром В
радиуса 2г. Дуга EFA есть дуга окружности с центром
Д, являющимся точкой пересечения отрезков AD и ЕВ.
причем A.ADB = Z_£BD = 45°. Найдите площадь фигу-
ры. ограниченной овалом ABCDEF,
Решение. Обозначим через Sj, Sg, S3, S< плошали
частей фигуры, ограниченной овалом ABCDEF (см.
рис. 2). Сегмент BCD — половина круга с диаметром
М“2Г, поэтому 5(=0,5№ В равнобедренном прямо-
угольном треугольнике E.BD длина гипотенузы DB рав-
на 2г. Следователи но, Si^SKBD—rt-
Сектор EBD—восьмая часть круга радиуса 2г, поэ-
тому его плошадь равна 0,5л/2 и, значит, 324-3?=0 ~>w2.
Следовательно, Ss=0,5№—г3. Наконец, сектор AKEF—
четвертая часть круга радиуса KA=<=>DA—DE —
.= (2—V^r, поэтому
-7 (3 — 2 /2) г’.
Следовательно, искомая плошадь равна
4- S, 4- 25. 4- 5* — (3—	—г’.
3. Найдите многочлен с целыми козфЪициен-
3	3
тпами такси, чтобы число а =* у 2 4- у 3 было его
корнем.
Решение. Так как оА — ( ^2 4- y/j )’ — 5 4-
4- 3 yf‘2 --j/З-4-1/3") “ 54-3 -j/б-я, то (а!—Ь)!=-
«(3 у'б -a)1 - 162a', т. е. а6 — 15а“—Ь7а’—125 *» 0.
Следователтно, в качестве искомого многочлена мож-
но ыыь многочлен p(x)~aj 15а' 67л5- 125. Ёс..д
этот многочлен умножить на любой много лен с целы-
ми коэффициентами, то вновь получится многочлен, для
Korol го число а является корнем.
4. Каждая клетка бесконечного листа клетчатой бу-
маги окрашена в один из данных п цветов (п^2). До-
кажите, что найдутся четыре к тетки одного цвета,
центры, которых являются вершинами некоторого пря-
моугольника со сторонами, параллельными прямым ли-
ниям на бумаге.
Решение. Выделим на листе бумаги горизонталь-
ную полосу шириной в л4'1 клетку. Каждый вертикаль-
ный столбик этой полосы содержит л-j-l клетку, ко-
торые окрашены не более чем в п цветов Следова-
тельно, в каждом вертикальном столбике имеется
не менее двух одноцветных клеток. Число столбиков
в выделенной полосе бесконечно, а чясло всевозможных
способов раскраски клеток в столбике конечно (оно
равно, очевидно, /Г+1). Поэтому в выделенной беско-
нечной полосе обязательно найдутся два одинаково
раскрашенных столбика, а в них — четыре одноцветных
клетки (по две в каждом столбике), являющиеся угло-
выми в некотором прямоугольнике со сторонами, па-
раллельными прямым линиям иа бумаге. Указанные
четыре одноцветные клетки являются искомыми (на
рис. 3 оня заштрихованы).
Замечание. Аналогично доказывается, что найдут-
ся четыре клетки одного цвета, центры которых являют-
ся вершинами некоторого прямоугольника со сторонами,
параллельными биссектрисам углов клеток (на рис. 4
эти четыре одноцветных клетки заштрихованы).
Рис- 3	Рис. 4
5 Дроби
1	1	1	1	1
1’	2 ’	3 *	'р — 2 ' р — 1
привели к об цему знаменателю и сложили. Докажите,
что если число р — простое и р>2, то числитель полу-
чившейся дроби делится на р.
Решенье. Так как р — простое число, большее 2,
го р—1 четное число Сумму дробей, данных в усло-
вии, можно преобразовать, группируя по два слагае-
мых, равноотстоящих от концов:
” 1-(А’— 1) + 2-(А — 2) +	+ р—1 ~"~/>4- 1 *
2	'	2
После приведения к общему знаменателю
, „ Р— 1 Р 4- 1
1-2-	• ^^2-- ... -(А-2)-(/>-!)
58
получается дробь вида
рт
1-2-..2) •(/>-!)
где т— некоторое натуральное число. Ясно, что при
любом другом способе суммирования данных дробей
получится либо дробь
____________________ртп_________
1-2-...-(р—2)-(р—1)-л ’
где п — натуральное число, либо дробь, которую мож-
но получить из этой дроби с помощью некогоршо
числа сокращений общих делителей числи 1еля и зна-
мена геля. Очевидно, что при таких сокращениях число
р в числителе сохраняется. Действительно, так как
р— простое число, то оно взаимно просто с каждым
из чисел 2, 3, 4,	р—2, р—1. Следовательно, сокра-
тил
шение на р возможно лишь в дроби —. Легко ви-
деть. что при этом число р в числителе сохранится.
Утверждение доказано.
IX КЛАСС
1,	Найдите все целые числа х и у, удовлетворяю-
щие уравнению
х+у	3
Xs — ХУ + у'г ” 7 ’
Решение Пусть целые числа хну удовлетворя-
ют данному уравнению. В таком случае выполняется
равенство
7(х-Н/)=3(хг—ху+у’Ь	(D
Положим р—х-гу. q=X~y. Тотда
Р + У	Р — У
л-—~. У“ 9
и ие равенства (1) следует, что целые числа р и q
удовлетворяют уравнению
28р=3(р»+3<7*).	(2)
Следовательно, число р неотрицательно и делится на 3,
т е р=ЗЛ, где k — неотрицательное целое число Под-
ставив р=3й в уравнение (2), получим
28fe=3(3^+y2).	(3)
Отсюда следует, что k делится па 3, поэтому &«=3т,
где „1—неотрицательное целое число. Подставив Л =
«=-3/п в уравнение (3), придем к уравнению 28.71 =
•=27m!4V, или .-п(28—27m) =<А Так как У3>°- то
гл(28—27к;) ^0, т. е. либо т—0, либо m= 1. В пер-
вом случае р=-у=О и, значит, х=у—0. Однако чис-
ла х=0 и у=0 не удовлетворяют данному уравнению.
Во втором случае р=9. у=±1, т. е. или х=5, (/=4,
иди х=4, у=5 Проверка показывает, что обе пары
(5; 4) и (4, 5) удовлетворяют данному уравнению
2.	Можно ли в клетках квадратной таблицы разме-
ром «Xя записать числа 1, 2, 3 так, чтобы Суммы чи-
сел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой
из двух диагоналей были различны?
Решение. Докажем, что требуемым способом чис-
ла 1, 2, 3 в таблицу записать нельзя. Действительно,
сумма чисел, стоящих в строке, в столбце и на диаго-
нали, может принимать Одно из 2л+1 значений: и (все
записанные числа равны 1), п+1 (одно из записанных
чисел равно 2, а все остальные числа равны 1) Зп
(все записанные числа равны 3). Число всех строк,
столбцов и диагоналей в таблице равно я+я+2=2«+2,
т. е больше 2и+1 Следовательно как бы мы ни запи-
сали числа 1, 2, 3 в таблицу, но крайней мере две
из 2п+2 сумм будут совпадать.
3.	Че1ыре населенных пункта расположены в вер-
шинах квадрата со стороной в 10 км Можно ли соеди-
нить эти пункты друг с другом сетью дорог так, что-
бы суммарная длине зи..< дорог была меньше 28
и чтобы из каждого пункта в любой другой пункт
можно было проехать по дорогам?
Решение. Докажем, что сеть дорог, удовлетворяю-
щею двум выдвинутым требования^' построить мож-
но Обозначим населенные i ункты ^'рез А, В, С, D
(рис. 5). Если соединить прямолинейными дорогами А
с С и В с О, то получится сеть дорог, по которой
можно из любого пункта проехать в любой друюй
пункт. Таким образом, указанная сеть дорог удовлетво-
ряет второму требованию. Поскольку, однако, суммар-
ная длина этих дорог равна 2-10 > 2>28 (км), ука-
занная сеть дорог- не удовлетворяет первому требова-
нию Покажем, как следует изменить конфигурацию,
изображенную на рис 5, чтобы выполнялись оба тре-
бования. Заметим, что естественно пытаться найти сим-
метричную конфигурацию.
Рассмо1рнм конфигурацию, изображенную на ряс. 6.
Здесь Е и F— середины отрезков ВС. it AD соответ-
ственно, а точки К и М таковы что EK~-~MF. Вычис-
лим сумму длин дорог в этом случае. Обозначим х—
~ЕК. Тогда Л1Л--х, Л'М=10 -2х, ЛМ=ВК==СК=
= DM / х2 z5 поэтому сумма длин дорог равна
$Д) - (0—2х+ 4 /х! + 25 (км).
Остается найти наименьшее аначение функции $(х)
па отрезке (0, 5J. Имеем
4х
S'(*)-~7==^-2;
угр 2J>
несложные вычисления показывают что 3'(х)-=0
если х — 5/уЛ3 . При этом S (3/ 3)=- Ю(/3"+1) <
<28 (км). Заметим, что S(0) = 30>28 и S(5) —
~ 20 /7> 28.
Нетрудно проверять, что в случае оптимальной сим-
метричной конфигурации, изображенной на рис. 6, до-
pot и на перекрестках К и М сходятся под углом 120°.
Замечание. Для ответа на вопрос задачи, вооб-
ще юворя, пет необходимости отыскивать оптимальную
конфшурацн'ю Достаточно привести конкретный при-
мер конфигурации, при которой сумма длин дорог мень-
ше 28 км Некоторые ученики именно гак и поступали.
Например, нетрудно провертпь, что конфигурация, при
10
которой ЕК, — М1= — (км) дает сумму длин дорог,
равную —• (2	13 + 1) < 28.
7
4.	Докажите, что: a) sin 20 <—; б) sin 20° >
1
> 3 •
Решение а) Поделим единичный круг с центром О
на 18 равных секторов с углом 20° при вершине
1
(рис. 7) Площадь каждого такого сектора равна -й
59
5.	Вне шара в просгр&хтсе расположены 9 точен.
Докажите, что на иамриыстя шара найдется точка,
из которой будет ессмя ks Аалге трех из этих девяти
точек. (Шар считается непрозрачным телом.)
Решение Пусть и — произвольная плоскость, про-
ходящая через центр О шара, а I — прямая^ проходя-
щая через центр шара и перпендикулярная плоско-
сти а Прямая I пересекает поасрхность шара в двух
диаметрально противоположных точках А и В, пло-
скость а делит пространство на два полупросгранства.
(На рис 9 в точках А и В проведены касательные
к шару плоскости pi а и >||«.) Очевидно, что из точ-
ки Л (из точки В) не видно точек плоскости а и то 1ек
того полупространства, в котором лежит точка В (со-
ответственно точка А).
площади единичного круга, т. е равна л./18. Рассмот-
рим треугольник АОВ на рис. 7 Его площадь равна
0,5sin20“ и, очевидно, меньше площади сектора АОВ.
Следовательно, 0,о sin 20° < л/18, т. е. sin‘2OJ<Jv9,
а так как я/9<7/20, то окопча ic-льно получаем, что
sin 20°<7/20, что н требовалось доказать.
б) Рассмотрим график функции y=sinx па отрезке
10; гг/6]. На этом отрезке график функции y=sinx яв-
ляется выпуклым вверх, поэтому при всех х £ ] 0; л/6 [
он расположен пыше графика прямой г/=3х/л, про-
ходящей через его «концевые» точки (рис. 8), г. е че-
рез точки с. координатами (0; 0) и (те/6; 1/2). Следо-
ьагельно, при всех х£ J0; эт/6[ выполняется неравенство
3
sin х > -— X.
п
Полагая в этом неравенстве х=л/9, получаем:
к	3	т.	1
sin 20° — sin — > — . — -тп,
9	к	9	3 ’
что и требовалось доказать.
Замечание. Укажем другой способ решения зада
чи, позволяющий одновременно доказать оса неравен-
ства Обозначим a sin 20° Тогда
sin 60° = sin (40°+20°) =-sin 40° cos 20“+cos 40“  sir, 20° =
=2 sii 20°-cos2 20°+ (1—2 mi+ 20°) - sin 20“ -
=2 sin 20°  (1— sin2 20°) + (1—2 sin2 20') sin 20°=3u—4a3.
Г-	v	» 3
С другой стороны, sin o0° = —-—, и поэтому
/т
4fl*—За + —г;— — 0. Следовательно, число sin20° яв-
ляется корнем многочлена
Р (х) - 4л-5 — Зх +	,
который, будучи .многочленом третьей степени, имеет
не более трех действительных корчей. Из неравенств
Р ( — 1) - ~~— <0, р (0) -	> 0,
/ 1 \ у 3 — 2 _ „	.	2 + » Г
Р—)~---------2--<0>	--->°
следует, что многочлен р(х) имее,< ровно три действи-
тельных корня, лежащих в интервалах
]-1 0[, 11/3. 7/20) и П/2. 1[-
Одним из этих корней является число sin 20°. Так как
очевидно, 0< sin 20° < sin 30°=0,5, то корень sin 20°
лежит в интервале ] 1/3; 7/201, т. е. удовлетворяет
вера вене 1 вам
1	7
-y<sin20
Воспользуемся последним очевидным утверждением
для решения задачи. Обозначим данные точки через А;,
«=1, 2, .... 9, и проведем плоскость и гак, чтобы она
содержала точки А] и Аз. Остальные 7 точек As,
А-1, ..А8, Л9 будут расположены где-то в полупро-
странствах, на коюрые разбивает пространство пло-
скость а, и, быть может, в самой плоскости а. Точки,
попавшие в плоскость а, пе видны ни из точки А, ни
из точки В. Исключим эти точки, сели они имеются
Из оставшихся точек, очевидно, в одно из полупро-
странств попадут не более трех точек. Если эгим по-
лупространством окажется полупространство, в кою-
ром лежит то1 ка А (точка В), то точка А (соответ-
ственно точка В) и будет искомой.
X КЛАСС
1	График функции f(x)=-a.v*—х2+6х+с изображен
на рис. 10. Определите знаки коэффициентов и, Ь, с
Решение. Из рис. 10 видно, что f(x) -> +<ю при
х->эо. Следовательно, а>0. Из равенства с=/(0) и
из рис. 10 следует, что с>0. Для определения знака
числа b достаточно заметить, что А=/"(0). Как видно
из рис. 10, в точке х=0 функция Их) убывает, поэ о-
му f (0)<0, т. е 6<0.
2	. Объем тетраэдра DABC равен V. Точки К. L, М,
N таковы, что АК=*СА, CL — BC, DM=AD, DM=CD.
Вычислите объем тетраэдра LKMM.
Решение. Из услоекя задачи следует, что отрезок
А'Л1 равен и параллелен отрезку АС Поэтому отрезок
ММ равен и параллелен отрезку КА н, значит, четы-
рехугольник КМ МЛ — параллелограмм (рис. 11). Сле-
довательно, Skkm=Sakm и поэтому Vlkhm=VlkKM.
Аналогично, так как 5лкм=254Л£)= 28СЛс, то VLAKm =
— 2Ртлкр=2Рдсло- Наконец, поскольку SCu>=S„, D, то
УссАг;—Уолвс=\/ и мы окончательно получаем, что
V глгсм=2Кдслв=2К.
3 Докажите, что среди чисел вида 2л+п2, где nQ N,
имеется бесконечно много делящихся на 100.
Решение. Если число А,=2"+л2 делится на 100,
то оно делится на 4 и па 25 Число 2п четное, поэто-
му число Ал делится на 4 тогда и только тогда, ко1да
л — четное, т. е п = 2/п, mfN В этом случае
Лл=ЛгВ1=22"’+(2т)2=4(4'7’- >+«’); „
so
Рис. 11
Рис. 12
₽	7
^ВАС = BAD + DAC = — +
Следовательно, Z-B£)C-f-Z.BAC=180°. Отсюда, в силу
сделанного выше замечания, следует, что радиусы
окружностей, описанных около треугольников BDC и
АВС, равны.
II способ. Четырехугольники AOsDOj, О1ОО2В,
O2DO3C (рис. 13) являются ромбами, ибо длины всех
их сторон равны R. Далее- ДВ=О2О3, так как тре-
угольник Д0|В равен треугольнику O3DOt. Аналогично:
BC=OtO3 (АВО26’=ACADOj), CA=OtOs (АСАО3 =
= AO,O2B). Мы видим, что треугольник АВС равен
треугольнику О|О2О3- Так как эти треугольники рав-
ны, то равны и радиусы окружностей, описанных око-
ло них. Но радиус окружности, описанной около тре-
угольника О)О2О3, равен R, ибо точки (Д, О2, О3 уда-
лены на расстояние R от точки D. Следовательпо,
и радиус окружности, описанной около треугольника
АВС, также равен R, что и требовалось доказать.
поэтому, чтобы доказать утверждение, сформулирован-
ное в условии задачи, достаточно доказать, что среди
чисел вида Вт—4т~где mQ N, имеется беско-
нечно много делящихся на 25.
Пусть I (Z=0. 1, 2.....24)	— остаток от деления
числа т на 25. Тогда m=25fe+/, где k — неотрицатель-
ное целое число, и, следовательпо,
= 425А+/“1 + (25А + Г? =	+ Д) +
J-25(25F4-2W).
Второе слагаемое делится па 25. Первое слагаемое де-
лится на 25 в том и только в том случае, когда оно
оканчивается па 00, 25, 50, 75. Поэтому естественно
проследить за двумя последними цифрами степеней чис-
ла 4. Нетрудно заметить, что число 410 Оканчивается
на 76 и что любые степени числа 4’° также оканчи-
ваются иа 76. Если А—2р, p?N, то 4i5*=4S°p =
= (410^5^ т. е. оканчивается на 76. В таком случае, как
легко проверить, число 42Cft-16 оканчивается на 16.
Это означает, что на 16 оканчивается произведение
4554.41-1 ПрИ указанных k и 1=3, и поэтому сумма
455t.41-1.i-p ПрИ ft=2p, р( N и 1—3 оканчивается иа
25. Таким образом, числа Вт при п=50р+3 делятся
на 25 и, следовательно, числа Ач при л—2т=100р+6
делятся па 100.
4. Три окружности одинакового радиуса R имеют об-
щую точку. Докажите, что радиус окружности, прохо-
дящей через остальные три точки попарных пересече-
ний данных окружностей, также равен R.
Решение. I способ. Заметим, что если две окруж-
ности равных радиусов пересекаются в точках В и С,
точка А лежит на первой окружности, а точка D — иа
в юрой, причем так, как это показано иа рис. 12, то
сумма величии углов ВАС и BDC равна 180°. Для до-
казательства достаточно отобразить треугольник BDC
симметрично отиосптельно прямой ВС. Тогда величи-
ны углов В DC и BD'C будут равны, а сумма величип
углов ВАС и BD'C составит 180°. Справедливо и об-
ратное утверждение: если две окруж гости пересекают-
ся в точках В и С, точки А и Ь расположены так,
как показало па рис. 12, и сумма величин углов ВАС
и BDC равна 180°, то радиусы этих окружностей (ра-
диусы окружностей, описанных около треугольников
АВС и BDC) равны.
Обратимся теперь к нашей задаче. Пусть D общая
точка трех данных окружностей. Л, В, С — точки их
попарных пересечений, Оь О?, Оч — центры окружно-
стей (рис. 13)’. Обозначим a — ЛАО1й=/ AOj). Р =
= ZDO1B=ZBO2D, y=/BO2C=AC03D. Тогда
BDC - BDO, +	О, DC =
180° —р , 180°-Т	,_о й + 7
= ---------Е----2	“	-----2 *
Рис. 13
5. Границей леса является прямая I (рис. 14). На
перпендикуляре АС к прямой I в точках А и В (АВ=
-~ВС—а) находятся заяц и волк соответственно. Они
оба бегают с постоянными скоростями, причем заяц
вдвое быстрее волка. Заяц будет схвачен волком в не-
которой точке, если в эту точку волк сможет прибе-
жать или раньше зайца или одновременно с ним. Заяц
бежит в лес по отрезку AD. Для каких точек D пря-
мой I заяц не может быть схвачен волком на отрез-
ке AD?
Решение. Введем на плоскости систему координат
хСу (рис. 15). Начальная позиция зайца — точка
Л (0; 2а), начальная позиция волка — точка В (0; а).
61
Обозначим через v скорость волка, тогда скорость зай-
ца 2v Если из точки А заяц побежит по прямой а точ-
ку М (х, у), то он сможет достигнуть точки М через
время tx=^AMI2v. Волк по прямой достигает точки Л1
За время 13елВМ/и. Заян сможет* оказаться В точке М
раньше солка (и, следовательно не будет схвачен вол«
ком), если /[</4, т. е. если AM<Z2-BM, или
+	—2«)а < 2 /х' + (у — а)5.
Возводя обе чаши неравенства в квадрат и приводя
подобные члены, приходим к неравенству
4
х* 4- у2 — —— уо>0, или
Puc. 1
т’+(у-Тв)2>(4°) '	(4)
Точки М координаты которых удовлетворяют этому
неравенству, назовем неопасными. Остальные точки
плоскости назовем опасными. В опасной точке заяц
может быть схвачен волком, ибо если волк по прямой
побежит в эту точку, то он окажется в ней раньше зай-
ца или одновременно с ним. Для того чтобы на от-
резке AD заяц не мог быть схвачен волком, необходи-
мо и достаточно, чтобы этот отрезок целиком состоял
только из неопасных точек. Следовательно, координаты
всех точек Л1 (х; у) отрезка AD должны удовлетворять
неравенству (4), т. е. отрезок AD должен целиком ле-
, (	2	\	2
жа гь вне крут а с центром К О; -у а I радиуса п а
(на рис. 15 этот Круг заштрихован). Если нз точки А
провести касательную Л£>1 к окружности, то летко под-
считать, что /^СЛО|"30" И чтоCD, = 2а!у^3 . Лю-
бой неопасный отрезок AD должен быть таким, чтобы
выполнялось неравенство Ct»CD,.
О построении
общего перпендикуляра
двух скрещивающихся прямых
Аналитический способ
Предлагаемый способ построения общего перпендику-
ляра двух скрещивающихся прямых удобен в тех слу-
чаях, Когда данные прямые задаю гся с помощью призм
и пирамид Будем считать известным, чтб существует
и притом толькб одна Прямая, пересекающая каждую
из двух скрещивающихся прямых под прямым утлом.
PeiftnM задачу на построение в общем виде, а за ем
Применим Полученный результат Для конкретного
случая.
Пусть даны две скрещивающиеся прямые а и Ь Че-
рез прямую b и произвольную точку А прямой а про-
ведем плоскость о, и через прямую а проведем пло-
скость 6, тик что 6_L<t (рис. 1,а)
Пусть оГ)6=/Ш, b, PQ— общий иериендгкуляр
прямых а и b, Р^-а Q£ b, Z_PAB=a, Z.QBA — [j
Проведем PPt.LAB, QQi-LAB, тогда PPtJ-u, QQt-Ld,
PQtDa. QPi-Lb, xLPAQ-^(M°, AJ>BQ-£t90°. Отсюда
следует, что fls^SO'1, £^90°, точки Р, и Q1 лежат
между точками А н В.
Если ЛБ=»1. АРх=х. то PPi=xtga, Q,PX —xtg!u
(рис 1,6), QQi Q,PX etg p xtg2actgp, BQ, =
— QQ, etg p = x tg2 a etg2 p а тогда AB=x )-x tg2 u-f-
+л tg2 u etg2 p== 1, x(I-f-tg2 и (1 +ctg2 p)) = 1,
sin2 p
, , , S  sin3 p-p tg-’a = APl-
J + ’g a'
Итак,
AP, Sin’P
AB - sm2p+tg2a-
Аналогично
BQ, sin1 a
BA " sift" a t tgs p *
С помошью полученных отношений мбжно построить
точки Р и Q н теМ самым прямую PQ.
Рассмотрим несколько конкретных задач.
Задача 1. ДаН Куб. Построите общий перпенди-
куляр для двух скрещивающихся диагоналей граней
куба.
Решение. Построим общий перпендикуляр для диа-
гоналей АС. и DC\ граней ABCD и DUXCXC куба
ABCDA,BXCXDX (рнс. 2). Пусть PQJlAC, PQ-LDC,,
Р£ Е)(;ь QG AC, PPX±DC
Так как прямые ЛС и 1)С} лежат в перпендикуляр-
ных плоскостях ABCD и DDfiiC, то можно применить
формулу (1):
1
DP, DP CQ 2	1
УнГ DC, ” СА ~ 1 , , - 3 *
— I- 1
По Полученным отношениям можно построить точ«
ки Р и Q
Задача 5 Грани АВС и ACS Пирймидь SABC —
правильные треугольники и взаимно перпендикулярны,
построить общий перпендикуляр прямых ВС и AS.
Решение. Допустим, что PQJ-AS, PQDBC,
Р (-AS Q£BC (рис. 3). Плоскости S.4C и АВС вза-
имно йёр1ни£йкул<рны поэтому можно воспользовать-
ся формулой (1). Если РРХЛ_АС, SOA-AC, то
АР,	sin* 60*	1
Лб “ Шп'Оо* 4 tg‘6O° “* 5 ’
_ЛР АР, 2 CQ 2
AS	~ АО	” о	’ СВ	~ 5	’
Теперь строим Точки Р й Q и прямую PQ.
Задача 3 Все ребра правильной треугольной
приемы равны мемду собой. Построить общий пер-
пендикуляр двух скрещивающихся диагоналей боковых
граней.
62
Решение. Пусть АВСА,В С,— данная призма,
АВ=ВС=. .=»!. Построим общий перпендикуляр PQ
прямых ЛС1 и Л(В (рис. 4), PQAC, Qf А,В Прове-
дем C,D,A.AiB, тогда С^З-ПЯ. АА,В,В и пт AC,D ±.
J пл. ЛЛ|В,В. Обозначим AD, (1 А, В —К, A-PAD,— а,
A.AK.B — Q. Имеем;
AK KD, ~	__A$^	=»2( AD, = -	
	A,D,		2
Л/<-	.2	XL	
	3	2	3	
sing sin 45°	.	2 /б 3
АВ “ ~А1Г ' sin Э =—Т~ : 3 “ "7П
Проведем /-’P|J_4D1 п применим формулу (1):
АР, 9	/9	3 \	3
ЛК 10 5 \ Ilf+“57“ Ь '
2
5
АР,**
АР АР,	j/5	/ 6	2
AC, “ AD? * 5 ’	2	5
Аналогично
A,Q 2
A,В ~ 5 •
По полученным отношениям точки Р и Q легко
строятся.
Заметим, что в задачах 1 и 2 соответствующие от-
ношения можно Ьычнслйгь й непосредственно без при-
менения формулы (1). В задаче 3 использование фор-
мулы (1) вполне оправданно.
Приведем задачи для самостоятельного ре-
шения.
i)	Дан куб ABCDA,B,Ci6„ К — середина ребра CD.
Построите общий перпендикуляр прямых DB и D-K.
2)	Дина правильная четырехугольная пирамида
SABCD в которой высота равна стороне основания
Построить общий перпендикуляр прямых АВ и SC.
3)	Дан правильный тетраэдр SABC. ЛА, и ВВ,—
медианы граней SAB и АВС Построить общий пер-
пендикуляр прямых Ай, и ВВ, (Указание Вос-
пользуйтесь плоскостями ЛА,С и SBB,)
В заключение отметим, чю проведенные в заметке
рассуждения дают возможность не только строить об
щий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых, но
и вычислять расстояние между ними. Чтобы получить
соответствующую формулу, рассмотрим прямоугольные
треугольники PQP,, PAQ, и В QB (рис. 1,а)
Имеем: PQ’ = Р/>*+Р,<)2-АР,-P,Q, 4- Р,B/\Q,^
= B,Q, (АР, 4 Р,В) *- P,QrAB. Отсюда
PQ~?P,Q,-AB.
С>)
Поскольку P|Qi легко определяется (P|Q,— АВ—
—АР,—BQ,), ю формула (2) й является искомой.
Д. Ф. Изаак (г. Орск)
Векторный способ
В предыдущей заметив рассматривается несколько за
дач па пои роение ббшеГо перпендикуляра двух скре-
щивающихся прямых. Основной (hci»j шзуе.мой при ре-
шении Этих задач) является следующая *Дан прямой
двугранный угол с ребром All, и в с'о гранях прове-
дены лучи АР, BQ. причем АД’АВ—п, /LQBA = f}. Hatl-
ти общий перпендикуляр PQ к сЯреЩивающимся пря-
мым АР. BQj. 11рн Се решении используются традици-
онные геометрические средства (свойства линейного уг-
ла двугранного угла, теоремы о двух и трех перпен-
дикулярах, решение треугольников). В заметке все эти
геометрические «тонкости» не отмечены, и потому раз-
бор решения rpeftyci определенных усилий.
Предлагаем другое, век горное решение этой задачи.
Оно интересно тем, что, во-первых, каждое содержа-
тельное применение векторов в школьном курсе пред-
ставляет методическую ценность дли учителя матема
тики; во-вторых, векторное решение по требует прове-
дения тонких рассуждений (не. требует «обоснований»);
в третях решение становится более Общим (углы а,
р могут быть и тупыми) л не требующим дополни-
тельного обоснования того, что точки Q, принадле-
жат отрезку АВ.
Решение. Пусть плоскости био образуют пря-
мой двугранный угол, PQ — общий Перпендикуляр
к лучам АР и BQ (см рис.), в,, ёц и е3 — единичные
взаимно перпендикулярные век юры, последний из ко-
торых напри влей вдоль прямой АВ, а первые два ле-
жат в гранях двугранного угла. Далее, пусть р, у —
единичные векторы, направленные вдоль лучей АР и
BQ, а и, о —такие числа, что АР—up, BQ=*vq. Тогда
₽=(sinu)<?i— (cosa)t’a, v=(sinp)M-(cosP) у; (1)
PQ—PA+A Г-I-BQ——up—le3-\-vq,
где I — длина отрезка AB.
Так как прямая PQ — общий перпендикуляр к пря-
мым АР и BQ, то pPQ—О, q-1 Q=0, i С.
P-PQ - 7(—up — 1ё3 I vqj=.
=* — и 4- v (p-q) — l(p- et) ~* 0,	(2)
q • PQ - q ( up — h>3 I vq) -•
•“ — u(p-q) 4- v — I (y-cA — 0.
Учитывая (1), имеем
p q*= — cos о cos fl. pc’s=—cos u, т;ёз = еозр,
в потому уравнения (2) принимаю! вид
(и 4 v cos a cos р — I cos a,
и cos a cos p -f- и — I cos p.
Решая эту систему, находим
t sup ,4 cos 'l	/ sin’ a cos p
1 — cos* a cos’ p ’ v ~ 1 — cos2 a cos’ g ‘
(Отсюда сразу следуют формулы, полученные в замет-
ке Д. Ф Изаака; впрочем, они и не нужны, поскольку
знание чисел и, v дает возможное!ь найти точки
/’ и Q.)
Рассмотренный векюрный способ (выбор удобного
базиса ёь ёг, ёэ, через который легко выражаются ин-
тересующие нас векторы, что позволяет вычислить их
скалярные произведения) может быть применен при
решении многих задач стереометрии.
В. Г. Болтянским
(Москва)
3006 Решить уравнение
X + j/^х+ ~ I х +— - а.
С. Л. Манукян (ГССР, с. Малый Памач)
3007. Разрезать неравносторонний треугольник на три
части так, чтобы одна часть являлась треугольником,
подобным исходному, а из двух оставшихся можно бы-
ло сложить треугольник, также подобный исходному.
3008. На плоскости даны две пересекающиеся пря-
мые Р и Найти геометрическое место таких точек М
плоскости, для которых расстояние между основаниями
перпендикуляров, проведенных из точки М на прямые
li и Д равно заданной величине а.
Н. Ф Т о м к о (Винницкая обл., с. Горышковка)
ЗАДАЧИ
Редакция напоминает читателям принимающим участие
в решении задач, что решения алгебраических и гео-
метрических задач следует присылать отдельно, указы-
вая на конверте соответственно «Алгебра* и «Гео-
метрия*.
Решения задач этого номера должны быть отправ-
лены в редакцию ие позднее I января 1987 г. О пра-
вилах оформления см. в № I журнала «Математика
в школе» за 1986 г. на с. 80.
Задачи для IV—VIII классов
3001 Подставив вместо звездочек знаки арифмети-
ческих действий, наши натуральное число А, если
83* А *97 =8784
Н. К. А н т о п о в н ч (Новосибирск)
3002. Вершины 1991-угольника занумерованы после-
довательными натуральными числами. Какое наимень-
шее число вершин можно отметить, чтобы выполнялось
условие: если некоторая вершина о/мечена, то отмече-
на и вершина, следующая за чей против часовой стрел-
ки через 55 шагов (шаг —сторона многоугольника)?
Математческий кружок
Епикендской восьмилетией шк.
Шаумяновекого сельского р-на АзССР
(рук. Г. А. Акопян)
3003 Восьмиклассник Никита спросил у своей учи
тельницы Любови Алексеевны, можно ли перемножить
двузначные числа, близкие к 100. по следующему пра-
вилу: от одного из чисел отнять столько, сколько недо-
стает второму до 100 — это будут две первые цифры
произведения, затем перемножить числа, недостающие
данным до 100 — это буоут вторые две цифры произ-
ведения Что должна ответить ему учительница?
3004. Рассматриваю/ся упорядоченные наборы из
5 чисел, каждое из которых равно 1 или —1, и разре-
шается в каждом наборе изменять знак одновременно
у трех чисел. Можно ли эти наборы расположить
последовательно таким образом, чтобы от каждого на-
бора можно было перейти к следующему с помощью
однократного применения этой операции?
Математический кружок 178 й шк. Киева
(рук Р. П. Ушаков)
3005. Решить е натуральных числах уравнение
(х^+у^) (гЧ-/2) = 4(хг+у/)Ч
Л А. Шгейнгарц (Тбилиси)
Задачи для IX—X классов
3009. Можно ли представить отрезок [0, 1] в виде
объединения двух множеств А и В таким образом, что-
бы разность межоу любыми двумя различными эле-
ментами множества А была рациональным число/л,
а между любыми различными элементами множества
В — иррациональным числом?
Н. М. Ссдракян (Ереван)
ЗОЮ. Решить систему уравнений
хг — у*, х + у2 + j/ хгу = 2G.
Математический кружок «Туси*
38-й железнодорожной щк. ст. Джульфа
(рук. Т. Г. А л и я р о в)
ЗОИ При каких целых значениях параметров а и Ь
произведение двух из корней уравнения
х*-}-ах3+Ьхя- ах 4-1=0
равно 3?
Ш. Е. Аванесян (АзССР, пос. Гадрут)
3012. Существует ли на координатной плоскости по-
лоса с осью симметрии I. заданной уравнением 169х—•
—143у-}-132=0, не содержащая точек с целыми коор-
динатами?
Матема гнческнй кружок
Епикендской восьмилетней шк.
Шаумяновского сельского р-на АзССР
3013 В трапеции ABCD каждая из диагоналей АС
и BD рисна ссноеанию АВ, М—середина CD. Найти
углы трапеции, если Д_МВС~Д.САВ.
Д Ф. И з а а к (Орск)
3014. В равнобедренном треугольнике АВС с основа-
нием ВС проведена высота AD. Па отрезках АВ и AD
взяты соответственно точки F и М так, что Z_AFM=^
= ЛВЕС. Д.ЕВМ=/.ЕСВ. Найти Z.FCB.
Д Ф И з а а к
3015. В треугольнике АВС, в котором ВС<ВЛ, че-
рез вершину С проведена прямая, перпендикулярная
биссектрисе BE Эта прямая пересекав/ биссектрису BE
в точке F. а медиану BD — в точке ( Доказать, что
отрезок EG делится отрезком DF пополам.
Р П. У ш а к о в (Киев)
3016 В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов
сторон и диагоналей равна т. Доказать, что площадь
m
этого четырехугольника не превосходит -g~.
Математический кружок 61-й шк. Киева
(рук. М. С. Я к и р)
Делимость целых чисел
3017. Пусть квадратный трехчлен f(x) =ахяА-Ьх+С
имеет целый корень и k — натуральное число. Сколько
64
существует натуральных чисел п таких, что f(n) делит-
ся на k?
Математический кружок 178-й шк. Киева
Многочлены
3018. Найти остаток
-j-X'-j-x’' на многочлен
от деления многоплана х1 ”’+
(х2’4 1 )(**+* +0.
Буй Ван К у а н г
(Москва, аспирант АПН СССР)
Прямые в пространстве
3019 Можно ли через точку в пространстве провести
шесть различных прямых так, чтобы углы между лю-
быми двумя из них были бы равны/
Расстояние
между двумя окружностями
3020. Дан куб ABCD A BtCtDi с ребром а. На лучах
A,A, A,Bt и A,Dt взяты соответственно точки Ё, F
и G так, что А,Е-- AlF=A,O=b. Пусть М— точка
окружности, вписанной в квадрат ABCD, а V — точка
окружности, проходящей через Е, F и G. Чему равно
наименьшее значение длины отрезка MN?
Решения задач,
помещенных в № 1 за 1986 г.
2921. Найти все двузначные  числа, равные сумме
куба цифры десятков и квадрата цифры единиц
Решение. Если число ху удовлетворяет условию
задачи, то выполняется равенс1во 10х+^=х’4+2, или
10х—-х3=У2—у. Тогда 10х -х3— неотрицательное чет-
ное число. Поэтому 1СхЭ?х3 и х —четное число, отку-
да х=2, а значит, у=Л.
Проверка показывает, что число 24 действительно
удовте1воряет условию задачи.
2922. Рассматриваются наборы из 5 чисел каждое из
которых ривно I или —1, и разрешается в каждом на-
боре изменять знак одновременно у трех чисел. Можно
ли с помощью этой операции от любого заданного на-
бери перейти к любому другому из этих наборов?
Решение. Всего имеется 6 наборов, и утверди-
тельный ответ на вопрос задачи вытекает из следую-
щей схемы преобразований:
(1, 1, I, 1. ) — (1, 1,-1,-1,-1) ** (-1,-1,1,
-1,-1) _ (1, 1, 1, 1, -1) ~ (1, 1, -1, -1, 1) —
(-1,-1,-1,-1,-1)
(двойная стрелка означает, что данные два набора
можно перевести друг в друга с помощью заданной
операции).
2923.	Найти значения букв, если выполняется равен-
ство
АГАТ=(АГ+АТ) ’.
Решение. Так как квадрат суммы «=АГ+ЛТ —
число четырехзначное, то оба слагаемых не больше 49
и А«74. При А = 4 sJ*80, s2 5s 6400 > АГАТ. При
А=3 з-->60, s2>3600, Г 5s 6, а тогда з-^гбб и s2^
Js4356>ATAT. При А—1 ss^38, з2<1444; но тогда
1^4, xsg.33, з2^. 1089, Г = 0, откуда следует, чю
з^29 и число з2—число трехзначиое.
Таким образом, А=2, и, перебирая точные квадраты
от 2025 = 45'' до 2916 =542, получаем единственное ре-
шение задачи. АГАТ=2025.
2924.	Сколько решений в целых числах имеет урав-
нение
1 1 1
—-=- +----=Г- = —7==" ?
V X у у у 1000
Решение. Можно показать (см. «Замечания»), что
целые числа х, у, удовлетворяющие данному уравнению,
имеют вид х=10г2, р=10Р, где z и t — натуральные
числа. Сделав соответствующую замену, мы пр щем к
уравнению
1	1	1
z + t = 10*
или
(Z—10) (1—10) = 100.
Поэтому исходное уравнение имеет столько решений,
сколько положительных делителей у числа 100 — каж-
дому делителю d соответствует решение z=10+d 1=
100
= 10+“^—. Таким образом, исходное уравнение имеет
9 решений.
2925.	На какую цифру оканчивается число
2*  З5 + 4’ -1-5” 4- ... + п4я~7 — -^-(л2 + п — 2)?
Решение. Докажем сначала, что при любом
n £ N число лв—п делится на 5. В самом деле,
п°—л=п(п2+1) (п+7) (п—!) =
=п(л2+5—4) (n+1) (п— 1) =
=5п(п+1) (п—1)+п(п—1) (п+1) (п—2) (п+2).
Второе слагаемое является произведением пяти после-
довательных чисел, т. е. делится па 5, так что и
п5—п делится на 5. Кроме того, п=—п — четное число,
так что оно делится на 10.
Далее, п4‘+4—п=п(п4*—1) делится на л(п4—1), т. е.
делится на 10, и, следовательно, число вида n4fc+‘ име-
ет ту же последнюю цифру, что и п. Поэтому, не из-
меняя последней цифры, данное число можно заменить
на
(2 + 3 + 4 + ... + «)—^-(п’ + п —2) -
п* 4- п п2 + п—2
=-----О---— ’ —-----7-----0.
Таким образом; данное число оканчивается цифрой 0.
2926.	Два квадрата с общим центром и соответствен-
но параллел >ными сторонами а и b (at>b) движутся
в разных направлениях вдоль прямой, содержащей их
диагонали. Построить график площади пересечения квад-
ро ов как функции расе ояния между их центрами.
Решение. Вычисление плошади 5 (х) является не-
сложной геометрической задачей, и мы приведем лишь
а— b
—7-=- график
отв ет: при 0 -С х -С
S (х) представляет
собой отрезок прямой у==Ь2, при
а— Ь а + b
/2 Х У 2 ~~
часть параболы у - (х 1^2 —а — б)2, а при
-х.> —т=-график S(x) совпадает с осью абсцисс.
Iх 2
2927. Около окружности описана равнобокая трапе-
ция ABCD. Боковые стороны трапеции АВ и CD каса-
ются окружности соответственно в точках М и К. а
основание AD— в точке Р. В каком отношении пря-
мая СР делит отрезок МК?
Решение Пусть NC—CK—a, KD=DP—b (рис. 1).
И подобия треугольников CFK и CPD, EFP и CNP
ab
получим FK.=EF== „ , у (заметим, что PF ;CF=DR}
65
Рис 1
СК=Ь:а). Но МЕ=ЕК, значит, прямая СР делит
отрезок МК в отношении MF ; FK—3 1.
2928. В трапеции ABGD (ЛО| |ВС) диагонали пере-
секаются в тачке О.
а)	Перпендикуляры, проведенные и? точек В и С со-
ответственно на АС и BD, пересекаются в точке М,
а перпендикуляры из А и О воответственно на RD и
А(.' — в точке К. Доказать, что точки М, К и О лежат
на одной прямой.
б)	Перпендикуляры, проведенные к диагоналям АС и
BQ ₽ точках С и В соответственно, пересецрются в точ-
ке Р. а перпендикуляры к ним в точках Л и D пересе-
каются е точке п. Доказать, что тс/ццу Р, N и Q ле-
жат на одной прямой.
Решение. Заметим, что треугольники AOD и РОС
гомотетичны, центром гомотетии является точка О При
гомотетии, переводящей треугольнк AOD в треуголь-
ник ВОС. точка К переходит в точку М, а точка N — в
течку Р, Отсюда следует справедливое it утверждений
обоих пунктов.
2029. Решить уравнение
xlog,9 __ ^s.^log.x_jflogtS.
Решение. Пользуясь легко доказываемым равси-
log. ft Jog а ,	,
ством а с Ь ° (прологарифмировать ебс части
равенства), преобразуем данное уравнение:
glogs х _	__glOg3X
3,ое«^=х» —I.
Положив log2x=i/, получим 3W4-1 =f=4v, или
(IMt)’--
Это уравнение имеет корень у=1 — единственный, так
как лерая часть — убирающая функция Поэтому иедод-
ное уравнение имеет единственный корень к=2„
2930.	Найти три ппеледние цифры числа 19s1.
Решение Имеем;
SO-49
igso {20 — i)5. _ 1000Л----— .20» + 20-50+ 1,
а следовательно, 1950 при делении на 1000 дает оста-
ток 1. С другой стороны,
Я/ = 22|«=2-23° = 2-1024-1024=
= 50В+2 -24 24=50 С+2,
Ч поэтому при делении на 1000 данное число дает тот
же остаток, что и 192, т. е. искомые цифры составля-
ют число 361.
2931.	Решить систему уравнений
Х^п + у л + g п
у^+1 + у5п+! + ^1 _ 8
х2л+2+ у2л+2+г2Яр?^ 3_
Решение. Вредом обозначения
П = (X", у», g”),
1»=(хН+11	Z"+*J.
Тогда данная система означает, что
] а | = | 6 [ —	3 , а-Ъ = 3,
откуда ел₽дует,_что угод между векторами а н Ь ра-
вен 0, так что а=Ь. Следовательно,
Хп = Хп+|, y"=syn+l, z“=zn+1,
и далее легко получаем, что единственным решением
системы является набор (1, 1, 1).
2932.	Вычислить интеграл
К
Г _____ cog х
“J ех + «(cosjr — sin л) ах к > '
о
Решение. Записав данный интеграл в виде
ТГ
______е~я cos х dx
1 + ае^х (cos х— sin х) ’
о
сделаем замену переменной по формуле 1=1 +
+ae-*(cosx—sinx); тогда
dt=ае * (—sin x-^cos х) dx—ае~ к (сое х—
—sin x)dx=— 2 9 е-тСР§ x-dx
i
. С dt 1	|1	1
/=~J 5й“~^-1п/	«^ind+a).
й«
2933.	На отрезке АВ как на диаметре построена ок-
ружность; внутри ее езята точка Р. При помощи цир-
куля и линейки построить все точки М, лежащие на
диаметре АВ, такие, что РМ=МК, где К — точка ок-
ружности и МК I АВ.
Решение, Проведем окружность через точки А Р
и В. Пусть прямая, параллельная АВ И проходящая че-
рез точку Р', симметричную точке Р относительно АВ,
Пересекает ату окружность ц точке* Щ и (рис, 2).
Отрезки PN\ и PNt пересекаю। диаметр АВ в точках
Л1, и Л12. Докажем, ЧТО точки Л11 и Л18 удовлетворяют
требуемому условию Имеем
РМ|-^Л<гЛ1|Л/|=ЛЛ!>-Л11б=Л11Л?.
т. р. PM^MiKi. Точно так же PM^—MiKi.
Нам осталось доказать, что других точек удовлетво-
ряющих условию задачи, кроме найденных, нет Взяв
точку М' иа отрезке MiAf2 будем иметь (PAi')'<X
<ZPM'• MW —AM1• MB— (M'K‘)i Тркще рассматрива-
ется случай, когда М беретея вне отрезка Л1|Л12.
2934.	Дан параллелограмм ABCD. На сторонах ВС
и CD выбраны соответствен^) тучки М и N, такие что
CN	МП
~ТТ5~	’ ~ЛТе~** Яиагоиалу В® пересекает отрез-
ки AM и AN соответственно в точках Р и Q Поналить
что площадь треугольника AMN вдвое больше площади
треугольника APQ
ВМ
Решение. Пусть ’’/0СП = (рис. Име-
ем;
AM AN (.,PM_\(..QN_\_
“ ~aP~  AQ " V + ЛР Д1 + ZQ )
/ BMW, , ND\ / , BM \( ND\
“V +"лр"Д1 + AT W1 + "ОС - Д1 + cd)-
BC 1- ZM1 CD + A D_
a BC ' CD
2BM 4- MC	2ND + CN	21 + 1 _ 21+2 _
— BM + MC ' ND E CN 1+1	1 + 21
Итак, Sama =2Sapq.
2935.	Дан разносторонний треугольник ABC. Точки
At В, и Ct симметричны соответственно точкам Л. В
и С относительно прямых ВС,_СЛ иАВ. Стороны тре
угольника AtBtCt равны V 8 , / 8 и / 14. Най-
ти стороны треугольника АВС.
Решение. Если С] — точка, симметричная вершине
С относительно АВ, а В\ — точка, симметричная верши-
не В относительно АС, то
C’.Bj - Ь2 + с2— Ibccos ЗД — а’+ 2bc (cos А—совЗЛ)=-
S*
—а2 + Sbc 'In2 A cos А = а*+ 16 (Ь2-ус2— а2) • ^2<,2 ,
где а, Ь, с — стороны треугольника ABC, S — его пло-
щадь.
Таким образом, получаем систему уравнений:
о2 Ь2с2+ 1GS’(йг + с2 —а2) = 86а с2,
. а2 Ьг с2 + 16S2 (а2 + Ь3 — с3) - 8аг Ь2,
a2 b2c2 + 16S’ (Са + а2 — Ь2) - 14с'в’.
Вычитая 2 е уравнение из 1*го и учтивая, что
а^-с, найдем 4S*=a&2. Выразнв а уравнениях S через
Ь, получим:
а' с' + 4 (£’ — с’ — в5) — О,
а’6’с’ + 46,С2 + 4Й а'— 46* — 14а’с’-О,
N - 4S*.
Обозначив а2с?=х а2+с2=р, будем иметь
Г 4у — л >- 4b-,
[ x(b’ — 14) + 46’у = 4й».
В последней системе вычитая из 2-го уравнения 1-е,
умноженное иа Ь2, найдем х(2В2—14)=0, откуда Ь- у 7
Далее находим
28=4fc2=16S2= (a+b+c) («+*—с) (а-Л>+с)Х
X (—U+ 1?+С) = ( (G +С) 2=^>2) (б2= ( (J —С ) ?)
=—(аг—сг) а+14 (а’+с2) —40 ₽ —£/''+ 4х+14у—49.
, Получаем систему
1	4у—х-28,
( — у’ + 4х + 14у = 77.
Ее решениями будут Xi = 8 р, = 9 и хг=56, t/2—21.
Таким образом, для нахождения а и с получаем две
системы:
| а’ с’ — 8,	‘	( с’с’ = 36,
( а’ + с’ = 9; И t а’ + с’-21
С точностью до порядка сторон получаем два ответа;
(1, /А /Г) и
ат. /А2Ж).
2936 Шар радиуса 1 касается внутренним образом
шара радиуса 2. Хорда большего шара касается мень-
шего и делится точкой касания на отрезки, сумма квад
ратов которых равна 9 Найти длину хорды.
Рис. 4
Решение. Проведем сечение шаров плоскостью,
проходишей через хорду МЫ и точку касания шаров —
точку А (рис. 4). Пусто радиус сечения меньшего шара
равен г, г^1. Тогда радиус сечения большего шара ра
вен 2л Обозначим расстояние от центра сечения боль-
шего шара—точри Ог до хорды МЫ через х, U-,L=x;
К — точка касании хорды МЫ с меныцнм ijtapou, О,—
центр сечения меньшего шара, О2.Р||Л1ЛС Имеем: Д1№+
+К№= (ML+LK)2+ (L Ы—LK)2= 2ML2+2LK2=
= 2 (4'2—х2) +2О2Р2=8г2—2х2+2 (г2— (г—х) ’) =
=8г2+4гх—4х2=9г2—(г 2х)2.
По по условию, MK2+l\N2—Q, следовательно, 9г2—
-=(л-2х)*=9.
„ 1
Поскольку rscl, ТО Т=1, X— 2 • т- с. плоскость,
содержащая данную хорду и точку касания шаров,
проходит через центры шаров и
MN = 2ML = 2 jA — -р = /17.
2937. Что больше:
п	п а
п 2' "’» S Пл
4 = 1 1=1	4 = 1 1=1
Решение. Запишем первое число более подробно:
*
П £/-1(1+2) (1 + 2 + 3) (1 + 2 + 3 + 4)...
*=' < 1
.. .(1 + 2 + .. + я).
Последние слагаемые, стоящие в скобках, дают в про-
изведении п), предпоследние (п—1)! и т. д. Поэтому
данная сумма при п'^'Л больше, чем
я л
11+21+ ... +«1- 2 П'.
4 = 1 1 = 1
При и= 1 и п—2 заданные выражения равны.
2938. Даны деа натурильных числа и следующие пра-
вила игры: первый участник зачеркивает одно из дан-
ных чисел и пишет вместо него любой егр делитель,
отличный от I и самого числа если число составное,
и пишет 1, если число простое 1 зачеркивать не разре-
шается. Второй участник делает то же самое с новой
парий чисел и т. д. Выигрывает учааник. получивший
пару (1,1). Существует ли в этой игре стратегия вы-
игрыша для первого (второго) участника?
Решение. Пусть
В-q/^-
разложения данных чисел иа простые множители,
0=11+..,+^, <> = I|-h+1«, Нс.ли а>^, та первый
участник должен выбрать такой делитель числа А, у
которого сумма показателей степеней равна Ь; своим
ходом второй нарушит равенство сумм показателей, по-
сле чего первый должен его восстановить. Продолжая
таким образом, первый участник получит пару (1,1).
67
—Г-4У	СТРГ . , -rc	-„- J -.-inert
Если же а —5, то первый участник нарушит это равен
ство и второй выиграет, пользуясь указанной
стратегией
Если Д=1, 6>2, то первый выггрывает, записав
вместо Я произведение двух простых чисел, а при
Ь=2 выигрывает второй участник.
2939. Дон куб ABCDAtBiCtD, с ребром а: прямая
I. проходщ через вершину Dt и центр грани ВССДЦ.
Найти длину наименьшего отрезка, середина которого
находится на прямой I, а концы — в плоскостях ABCD
и BCCiBt.
Решение. Пусть L— центр грани BCC,Bt, М V —
отрезок, концы которою находятся в плоскостях ABCD
н BCCiBi, а сю середина — точка Л' — на прямой I,
/И] — проекция Л1 па ВС (рис. 5.а). Поскольку /MAlpV,—
прямоугольный треугольник, MtK— медиана к гипотену-
зе MN, то МгК=—MX. Следовательно, MN принимает
наименьшее значение, когда наименьшим является от-
резок MtK, я наймет ьшее значение MtK равно рас-тоя-
н по между прямыми 1 и ВС. Для нахождения расстоя-
ния между прямыми I и ВС куб и прочие элементы
конфигурации спроектируем на плоскость ABBtA,
(рис. 5, б). Тогда расстояние между прямыми I и ВС
будет равно ра .стоянию от точки В до прямой ,4 L\,
т. с. будет равно высоте, проведенной к гипотенузе
£)Е в прямоугольном треугольнике ЦВЕ с катетами
BLt= , ВЕ=а. Эта высота равна ’ ^ли'
2а
на наименьшего отрезка, следовательно, равна г—
2940. Известно, что в данном треугольнике каждая
медиана больше, любой его высоты. Доказать, что:
а) наибольший угол этого треугольника больше 150°-
б) наименьший угол меньше 5°30'.
Решение, а) Пусть ВС наибольшая, а ZB наи-
меньшая сторона треугольника АВС, Л, —сере тна ВС
(рис 6,а). Тогда Z_ А	Z. САБ^30°. Проведем
из Аг к АВ перпендикуляр АД). Так как AtD равно поло-
вине соответствующей высоты треугольника АВС. то
из условия следует, что AtD<~^~AA. а тогда
sin Z-AtAB< -j-. Поскольку Д_Л1ЛВ>30= и sinZ_<4p4B<
1
< ~2~, то Z.Л,ДВ>150°, а значит, и Z.C4B>150’.
Тем самым пункт а) доказан.
б) Возьмем на прямой АВ точку Е так, что ЕА —
—ЛВ=а (рис. G, 6), проведем через £ прямую, обра-
зующую угол 150° с прямой АВ, и построим окруж-
ность, проходящую через А и В и касающуюся прове-
зенной прямой в точке C1(Z.C|£B= 150°). Прэвелзм
4.4'jIIE'Ci, тогда Д| — середина CtB. Пусть точка С
расположена по ту же сторону от АВ. чго и точка Cj.
Поскольку ЛСЕВ=/_А1АВ'> 15О“=/_(\ЕВ. то точка С
расположена по другую сторону от С,Е. чем точки 4 и
В. Таким образом, Z_ACB<'A.AClB = y^Z_ClAr—
—ДС\ВЕ—а.—р. Далее имеем С,Ег=£Д-£В—2а2,
CtE—a^f 2. Проведем С[£_[ЛВ, тогда
С, F	/7
ЕА / ь \	/6+2’
\ 2	+
С F у/~2	tg?—tgf!
tg ₽ “ ЕВ - 'JZg- + 4 • ‘Я Ф “ 1 -j- tg a tg р
4/7 —3/Г
“	5
Учитывая неравенство <p<tg<p для 0<q-. <‘у.
4 /?—з/з
нам достаточно доказать, что tgtp =-т------ <
п 11
< 180 ’ 2 *
Так как
я 11 . 3,14-11.............. 4	/~ 3 /Г
180 ‘ 2 >	360	>°>095. а	5	<
4-1,414 — 3-1,731
< -----1--3---:---<0,094,
то пункт б) доказан.
68
Сводка решения задач,
помещенных в № 1 за 1986 г.
Абрамян С. (АзССР) - 21, 23, 25—28, Акрамов Н. К-
(Андижанская обл) — 21, 23—25, 29, 31. Алыев И. А.
(АзССР)—21, 23 , 27, 29 32 Аляев А. В (Пензенская
обл.)—21, 23,25—27,29—34,36 Аракелян С. С (Кирова
бад) — 21, 23, 27 , 29, 30. Ахматов М. А (Ейск)—21,
23, 25—27, 32,33. Багдасарян А. X. (Нагорно-Карабах-
ская АО) — 21, 23—25, 27, 29, 30, 34. Багдасарян С. С.
(Нагорно-Карабахская АО)—21, 23—25, 30. Бара-
нов Л. К- (Ярославль)—21—23, 25—28, 30, 32—35, 38,
39. Велесницкая А. И. (Брест)—21, 23, 25—28, 30, 37.
Володарский Е. (Свердловск)—21, 23, 24, 27, 28.
Гипекий Н. (Ростов-на-Дону)—21, 23, 24 26. Голова-
чев Е. А (Белгородская обл.)—21—35, 39. Горбатый
Е, 3. (Одесса)—21—23, 25 29, 31, 32, 34, 37—39.
Гордон В. О. (Чита)—21, 23—25, 27—34. Егоров П. В
(Рязань) —21—23, 25, 27, 28, 30, 34, 38 Журавлев Н И.
(Андижан)—21, 23—25, 27, 31,34. Зассеев И. С.
(Цхинвали)—21, 23, 31, 38. Зискинд Л. Е., Зискинд
Л. Л (Винница)—21—27, 29, 31, 33, 34, 37. Зубилин
Н. И. (Орловская обл.) —21, 23, 25, 28, 31. Зубиташви-
ли Г. И. (ГССР, г. Кварели) — 21, 23—25, 27. Ильясов
М. Н. (Павлодар) —21, 23, 25—27, 30—32, 34, 37, 38.
Исмаилов X. Т. (Андижанская обл.) — 21, 23, 27, 29.
Караев М. Ю (АзССР, г. Лачин)—23, 25—29, 31, 32
34 Караян X Г. (Ереван)—21—28. Ким Б М (Джам-
бул)— 21, 23, 25, 27, 30 32. Константинов А Н
(Одесская обл.) —21—23. 26 Курганов Т. К. (Ташкент
ская обл., г. Чнрчик)—21—23. 25, 27, 29—33, 37, 38.
Курило Н. А. (Харьковская обл.)—21, 23—25 27—
32, 34, 37, 39 Левко М. С (Львовская обл) 21, 23_
27, 33—35. Макаров М Ф. (Орловская обл)—21, 23,
26, 27. Маковский Н И. (Донецкая обл.) — 21 -27, 30—
33, Осипова Г. Г (Кировабад) — 21, 23, 25, 37. Пове-
лнй В. И. (Ровенская	обл.)—22—25, 27 , 29, 37,
Политковский И. В. (г. Энгельс) — 29, 31—35*
Полховскнй Н. Н. (Фергана)—21, 23, 25—29, 31, 31
Пурэвдорж (Улан Батор) — 21, 23, 25, 29 Ром'анов’ский
В И. (Тамбовская обл.)—21—23, 25—32, 34- 36 Руч-
кин Д Д. (Марийская АССР)—21, 24, 27, 31, 33, 39.
Рытов Н. Н. (Тамбовская обл.)—21—23, 25, 27—31.
Садовин Л. Н (Марийская АССР) 21, 23, 25, 26
Ссрвстиик В Г. (Винницкая обл.)—21, 23, 27 28 31
Симеонов А. А. (Болгария, г. Своге)—21, 23, 25—35,
37, 40 Сгрынннский И Я. (Киев)—21, 24—29, 33, 34,’
36, 39. Ткачав В. Ф (Воронежская обл.)—21—28, 30'
31, 33, 34, 36—40. Фарзиев А. М. (АзССР)—21, 23, 27’
29. 31. 32. 37. Фридлвн Г. М. (Бердичсв) — 21—34’ 37’.
Холларбв А. А. (Андижанская обл ) -и 21-Т-26, • 29, 30,
37, 38. Цакоев Б. М. (Рязань)—21, 23— 28 3 0. 31. 33.
Цхай Т. Т. (Андижан) —21—35, 37—40. Эфендиев Я. Р.
(Баку) —21 23, 25, 27—29, 31, 37.
Математические кружки: девятых десятых классов
при Семипалатинском пединституте (рук. Б А. Абрем-
ский)—21—31, 32, 34; Дамбаловской 8 летней шк. Ма-
саллинекого р на АзССР (рук. М. А Агаев)—21—25,
29, 31; иностранных студентов Дагестанского универси-
тета (рук. С. М Алей да ров)—21, 23„ 25, 26. 29—32,
37; 3-й шк. г. Барда АзССР (рук. А. Г. Алекперов —
21—23, 25, 31; «Агат» 6 й щк. г. Цхинвали (рук. Э А,
Бекоев) —21—23, 27, 30; «Квант» Республиканского
Дворца пионеров Алма-Аты (рук, Г. В, Белянская) —
21, 23, 25, 27, 28; VIII класса 10-й iiik. Ангарска (pvK.
В. А Васильева)—21, 23, 28, 30, 31, 33, 34, 38, 39;
подготовительного отделения Киевскою автодорожною
института (рук. И. М, Гальперин, И. М. Таранов) -«•
21—28, 30—32, 34 36—40; «Иверия* Барнсахойской
школы-питерната Душетского р-на ГССР (рук. Г. Б Го-
хадзе) —21, 23—25, 27, 29, 30, 34; 39-й шк. Кировабада
(рук. М. А, Джафаров) —21, 23, 25, 28—32, 34, 35, 37;
седьмых классов 6-й шк. Винницы (рук. Е. А. Кац) —
21—25, 27, 28, 93 й шк. Киева (рук. М. Л. Кобозев) —
21—23 , 25—31, 33, 34; «Эврика» 79-й шк. Киева (рук.
В. Е. Купенок) —21—31, 33, 34, 37, 38, 15 й шк. Цели-
нограда (рук. Л. П. Мережковский) — 21—27, 29. 30,
32, 37, 38; г. Рогачева Гомельской обл (рук. С. Л На-
хамчик) — 21—23, 25—28, 30, 31, 33, 34, 37- 38-й шк,
Киева (рук. О. Я. Роженко) — 21 23—27, 32, 34; 25-й
шк. Мархаматскою р-на Андижанской обл. (рук. X. М.
Салимов)—21. 23, 25, 27, 31, 37 Рганской шк.
г. Чиатура ГССР (рук. 3. К Самхарадзс)—21, 23,
27, 31; 2-й шк. Андижана (рук О. Сатторов) —21, 23—
25, 27, 31, 32, 34. «Юный математик» при Омском уни-
верситете (рук. В. Н. Сергеев)—21—23, 25. -28, 30,
31, 33, 34, 37, 38, 40; Быстричской шк. Березновского
р на Ровенской обл. (рук. Ф. Г. Стахнюк) —21, 23, 25—
28; «Эврика» Дворца пионеров и школьников Астраха-
ни (рук. С. С. Тясмуратов) — 21—39, 35-й шк. Курган-
Тепинского р-на Андижанской обл (рук. М. М. Туйчи-
ел)—21, 24, 25, 31; «ХУ2» 22-й шк Алтыикульского
р-на Андижанской обл. (рук. Ш. И. Туйчиев) —21. 23—
25, 30—32; 173 й шк. Киева (рук. Р. П Ушаков) —
21—31. 33, 37—39; «Массив» 6-й вечерней шк. Еревана
(рук. Р. А. Халафян) — 21—33, 37, 38; Опаковскон
шк. Дрогобычского р-на Львовской обл. (рук. М. IO,
Шагур) — 21 23, 30, 37; «Горизонт» 51-й шк. Киева
(рук. Б. Н. Школьник) — 21—32. 34. 37, 38, Житомир-
ского пединститута (рук. Б. II. Школьник)—21—32,
34, 36—40; «Смскалка-86» 6-й шк. Евпатории — 21 22.
26, 27.
К СВЕДЕНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ
В № 4 нашего журнала за этот год допущены опечат-
ки на с, 3 и 4 обложки.
На с. 3 в таблице «Свойства числовых неравенств»
одиннадцатую строку следует читать:
«4. (а<Ь, c<d) ф- (c+c<f>4-d)».
На с. 4 в таблице «Стандартный вид числа» восьмую
строку следует читать:
«—0,0049=—4,9-10-’»,
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1 Й86/87 УЧЕБНЫЙ ГОД
Ноябрь
7 ноября — 80 пет со дня рождения
французского математика Жана
Лере. Родился в Шантане. Учил-
ся в Высшей Нормальной школе в
Париже. С 1947 г.— профессор Кол-
леж де Франс. Основные труды от-
носятся к функциональному анали-
зу, алгебраической топологии и
дифференциальным уравнениям с
частными производными гиперболи-
ческого типа. Член Парижской АН,
иностранный член АН СССР (см.:
БСЭ, 3-е изд.).
9 ноября — 80 лет со дня рожде-
ния советского математика Яросла-
ва Борисовича Лопатинского
(1906—1981). Родился в Тбилиси.
Окончил Азербайджанский универ-
ситет Работал в различных вузах
Баку, Львова, Москвы и Донецка;
профессор. Академик АН УССР с
1965 г. Один из крупнейших совет-
ских специалистов в области диф-
ференциальных уравнений (см.: Ма-
тематика в СССР за 40 лет. Т 1—2.
М., 1959; Успехи математических
наук, 1967 вып. 22, № 5;	1977,
вып. 32 № 1).
16 ноября — 100 пет со дня рож-
дения Марселя Риса (1886—
1969). Родился в Дьере (Венгрия).
Учился в Будапеште, Гёттингене и
Париже С 1911 г, и до конца жиз-
ни работал в Швеции, сначала в
Стокгольмском университете, а за-
тем в Лундском, профессор. Основ-
ные труды относятся к теории рядов
и к математической физике (см.:
Бородин А. И., Бугай А С. Биографи-
ческий словарь деятелей в области
математики. Киев, 1979).
Декабрь
19 декабря — 80 лет со дня рож де
ния советского математика Арташеса
Липаритовича Шагиняна (1906—
1978). Родился в Александрополе (ны-
не Ленинакан). Окончил Ереванский
университет, где затем преподавал;
профессор. Академик АН АрмССР,
в 1955—1971 гг.— директор Института
математики и механики АН АрмССР.
Исследования касаются теории при-
ближений в комплексной области.
Основоположник школы еории
функций в Армении Заслуженный
деятель науки Армянской ССР (см..
Математика в школе, 1966, N5 5).
29 декабря—130 лет со дня рожде-
ния нидерландскою математика То-
маса Иоаннеса Стилтьеса (1856—
1894) Родился а Звалле Окончил
Политехническую школу в Делфте.
В 1877—1883 гг. работал в Лейден-
ской обгерватории, а затем препо-
давал в Тулузском* университете. На-
учные исследования касаются теории
функциональных непрерывных дро-
бей, теории ортогональных много-
членов, приближенного интегрирова-
ния. Обобщенное Сгилтьесом поня-
тие интеграла, играющее важную
роль в современной математике, на-
звано его именем (см.: Математика
в школе. 1961. № 6).
30 декабря — 90 лет со дня рожде-
ния советского математика Вадима
Евгеньевича Дьяченко (1896—
1954). Родился в Нижнем Новгороде
(ныне г. Горький). Окончил Мор-
ской корпус. Работал в Киевском
университете (профессор с 1928 г,),
в Институте ма ематики АН УССР.
Член-корреспондент АН УССР, Ма-
тематические исследования относят-
ся к приближенным и численным
методам решения дифференциаль-
ных уравнений, прикладной матема-
тике и механике (см.: Математика в
школе. 1971. № 5).
А И. Бородин (г. Донецк)
Лев Михайлович
Лоповок
Исполнилось 70 лет извести: му пе-
дагогу-математику, кандидату педа-
гогических наук, и. о. профессора
Ворошиловградского пединститута
Л М. Лоповку.
Преподавательскую деятельность
Лев Михайлович начал 40 лет на-
зад. Работал в техникуме, вел уроки
математики и черчения в школах
Полтавской и Кировоградской обла-
стей
С 1941 г до первой годовщины
Победы Лев Михайлович служил в
рядах Советской Армии. Он про-
шел боевой путь от Ржева до Ве-
ны. Его ратный труд отмечен дву-
мя орденами Отечественной вой-
ны, орденом Красной Звезды и ме-
далями.
В 1946 г, Л. М. Лоповок возвра-
тился к учительскому труду После
войны произошло его становление
как ученого-педагога Одним из пер-
вых он стал внедрять в школьную
практику идеи Н. Ф Четверухина об
изображении фигур, организовал
первую на Украине Школу юных
ма ематиков. Л. М Лопооок — ав-
тор многочисленных статей и книг
по методике преподавания матема-
тики. Некоторые из его книг изда-
ны не только у нас, но и в ряде
социалистических стран в Болгарии
Венгрии, ГДР, Румынии Польше, Че-
хословакии, Югославии
С сентября 1962 г. и по настоящее
время Лев Михайлович работает в
Ворошиловградском педагогическом
институте заведующим кафедрой и
директором ШЮМ. Под его руко-
водством защищено несколько кан-
дидатских диссертаций.
Педагогическая и общественная
деятельность Льва Михайловича от-
мечена правительственными на ра-
дами СССР и НРБ Он удостоен ме-
дали им. Н. К. Крупской, является
отличником просвещения СССР и
отличником просвещения УССР.
Учитель-коммунист Л. М Лоповок
прошел большой путь от начинаю-
щего педагога до одного из веду-
щих специалистов в области мето-
дики преподавания математики.
Поздравляя Льва Михаиловича со
славным юбилеем, желаем ему креп-
кого здоровья и новых успехов в
работе.
Ю М Колягин В П. Хмель,
Б М. Колесник
Л
Лев Моисеевич
Фридман
16 августа 1986 г исполнилось 70 лет
со дня рождения известного совет-
ского методиста и психолога, доктора
педагогических наук Льва Моисееви-
ча Фридмана.
Окончив в 1937 г. Ленинградский
педагогический институт, Л. М Фрид-
ман работал учителем математики в
школах Ленинграда и Кронштадта.
Великая Отечественная воина пре-
рвала мирный груд советского наро-
да. Л. М. Фридман с оружием в ру-
ках прошел весь ратный путь в ря 
дах Красной Армии. После демоби-
лизации в 1946 г. он возвратился к
педагогической деятельности: был
заведующим кабинетом математики
Красноярского ИУУ и старшим пре-
подавателем пединститута (1946—
1956), заведующим кафедрой мето-
дики математики Тульского пединсти-
тута (1956—1961)
С 1961 по 1963 г. он работал в Ду-
шанбинском пединституте, где соз-
дал первую в Таджикской ССР ка-
федру методики математики и на-
чал подготовку национальных науч-
но-педагогических кадров В нестоя-
щее время его ученики возглавля-
ют кафедры методики математики
ео всех педвузах и университете рес-
публики.
В 1963—1967 гг Л М Фридман —
профессор в Высшем командно-ин-
женерном училище, а с 1967 г. он
работает в НИИ общей и педагоги-
ческой психологии АПН СССР.
Научная деятельность Л М Фрид-
мана весьма многогранна. В области
методики математики основной про-
блемой его научных исследований
является проблема методики обуче-
ния решению задач. Им разработана
весьма стройная теория элементар-
ных математических задач, изобрете-
ны особые языки для записи и ана-
лиза задач в форме яысказыватель-
ных моделей, трехчленных графов,
выявлены основные параметры за-
дач, компоненты деятельности по
решению задач и т д  основные ре-
зультаты исследований опубликованы
во многих статьях в монографии
«Логико-психологический анализ
школьных учебных задач». На осно-
ве разработанной теории создано
оригинальное пособие для учащихся
«Как научиться решать задачи».
Л М Фридман подготовил ряд
пособий для студентов педагогиче-
ских институтов1 в общей сложно-
сти им опубликовано более 150 на
учных работ.
В последние годы Лев Моисеевич
интенсивно работает над погранич-
ными проблемами методики мате-
матики и психологии Результаты
этих исследований обобщены им в
книгах «Психолого-педагогические
основы обучения математике» (1983),
«Наглядность и моделирование в
обучении» и «Проект задачника по
математике» (1976), а также в ори-
гинальном пособии для учащихся
«Учитесь учиться математике» (1985).
Основной идеей, которую разви-
вает и пропагандирует Л М Фрид-
ман, является идея воспитания в
процессе обучения математике все-
сторонне развитой творчески актив-
ной и социально Ърелой личности
каждого ученика. Обучение матема-
тике он рассматривает не как само-
цель, а квк важнейшее средство та-
кого воспитания имея в виду, что
составной задачей всестороннего и
творческого развития личности явля-
ется овладение ею основными идея-
ми и методами математической на-
уки.
Много сил и времени отдает Лев
Моисеевич Фридман подготовке на-
учно-педагогических кадров; он яв-
ляется членом специализированного
Ученого совета по педагогическим
наукам при МГУ, одним из руково-
дителей всесоюзного семинара «Ме-
тодологические проблемы использо-
вания кибернетики, логики и матема-
тики в психологии и педагогике»
Пожелаем юбиляру крепкого здо-
ровья и больших успехов в его мно-
гогранной деятельности.
В. И. Ефимов Е Н Турецчий
Р, А. Хабиб
Новые книги
Монографии
Учебники и учебные пособия для вузов
Атанасян Л. С., Базылев В Т. Геометрия: Учебное
пособие для вузов: В 2 ч. Ч 1 М: Просвещение, 1986
Математика: Сборник задач для подготовительных от
делений вузов/Л К Головко и др. Киев: Вища школа
1986
Столяр А. А. Педагогика математики: Учебное пособие
для вузов 3 е изд перераб и доп Минск: Вышэйшая
школа. 1986.
Суханов А П Мир информации. История и перспек-
тивы. Мл Мысль, 1986.
Учебники и учебные пособия
дли средних учебных заведений.
Методика преподавания
Алгебра и начала анализа: Учебное пособие дтя 9—
10 классов/Под ред А Н Колмогорова. 6-е изд., пе-
рераб М  Просвещение, 1986.
Гараев К Г., Исхаков Э. М Пособие ио математике
для поступающих в высшие учебные заведения. 2 е
изд, перераб и доп. Казань: Тат. кн изд-во, 1986
Гребенюк Т Б. Предупреждение неуспеваемости уча-
щихся средних профтехучилищ (по общеобразователь-
ным предметам). Мл Высшая школа, 1986.
Жалдак М И., Морзе Н В Основы информатики и
вычислительной техники. Киев' Вища школа. 1986.
Леонтьева М Р Муравин К. С. Дидактические ма-
териалы по алгебре для 6 класса. З е изд, перераб.
М: Просвещение, 1986.
Основы информатики и вычислительной техники:
Пробное учебное пособие. В 2 х ч 'Под ред. А. II. Ер-
шова, В. М. Монахова. Ч. 2. Мл Просвещение, 1986.
Прасолов В В Задачи по планиметрии: В 2-х ч.
Ч 1. М.. Наука, 1986.— (Б кя математического круж-
ка. Вып 15)
Скобелев Г. Н Контроль на уроках математики: По-
собие для учителя. Минск: Народная асвета, 1986
Чудовский А. Н., Сомова Л. А., Жохов В. И. Как
готовиться к письменному экзамену по математике.
Киша для учащихся 9 и 10 классов. Мл Просвещение,
1986.
Ястребинецкий Г А Задачи с параметрами Книга
для учителя М Просвещение, 1986
Ф. М. Шустеф (Минск)
72
ф ЗА РУБЕЖОМ
Что такое Коккрофтский отчет?
Т. В. Малкова
(Москва)
В 1978 г. в Великобритании по рекомендации парла-
ментского комитета было решено создать исследова-
тельский комитет для изучения преподавания матема
тики в школах страны. Это решение были npi пято
вследствие возрастания недовольства работодателей тем,
что многие выпускники школ не обладают математи-
ческими умениями, необходимыми для работы и жизне-
деятельности в обществе взрослых. В состав комитета
вошли учителя начальных и средних школ, их коллеги
по специальному образованию, представит ели учрежде-
ний-, тоговяших учителей, а также работодатели, проф-
союзные деятели, советники по делам образования н ад-
министрация. Председателем стал доктор У. X. Кокк-
рофт, п этому вскоре для краткости этот комитет ста-
ли называть комитетом Коккрофта. В его полномочия
входило рассмотреть вопрос претодавания математики в
школах, обращая особое внимание на ту часть курса,
знание которой необходимо для дальнейшего специаль-
ного и высшего образования, работы и жизни в це-
лом, и дать рекомендации Комитету потребовалось три
года-для достижения этой цели.
Отчет комитета «Математические итоги» был опубли
кован в январе 1982 г. 1 н получил высокую оценку как
со стороны учителей, так и со стороны администрации.
Государственные деятели Великобритании приветствова-
ли его появление, в частности в парламенте констати-
ровали, что в «отчете изложен анализ целей ма сма-
тического образования в школах, который сделан с по-
разительным реализмом и четкостью. В нем выдвинуты
рекомендации по совершенствованию преподавания ма-
тематики, которые требуют принятия срочных мер все-
ми заинтересованными лицами».
В настоящее время этот отчет изучается деягелями
математического образования многих страд. В 1984 г.
на V Международном конгрессе по математическому
образованию отчет был распространен среди участни-
ков и подвергся весьма глубокому обсуждению. Пред-
ставляется полезным ознакомление советского читателя
с этим далеко не ординарным документом, рассмагри-
вающим фундаментальные проблемы современного мате-
матического образования.
Отчет состоит из трех частей. В первой части анали-
зируются потребности в математике, возникающие во
взрослой жизни, в работе, при дальнейшем специаль-
ном и высшем образовании; во второй части рассмат-
риваются пути, посредством которых сбалансированный
и последовательный курс обучения математике может
обеспечить эти потребности; в третьей части ра^смотоен
комплекс условий, обеспечивающий хороший уровень
преподавания математики, при этом особое внимание
уделяется первоначальной подготовке преподавателей,
оказанию нм постоянной помощи
I часть
Потребности в математике,
возникающие во взрослой жизни
Хотя существует большое количество людей, способ-
ных уверенно и умело справляться с любой ситуацией
1 Mathematics counts, R port of the Committee of In-
quiry into the Teaching of the Mathematics in Schools
under the Chairmanship of Dr. W. II Cockcroft, Lon-
don. Her Majesty’s Stationery Office, 1982,
в их повседневной жизни, связанной с применением ма-
тёматичё ких знаний, в результате исследования стало
очевидным, что для многих справедливо как раз обрат-
ное.
Приводимый в отчете перечень математических по-
требное г ей взрослых людей включает в себя:
способность читать числа и считать, называть время,
платить за покупки и давать сдачу, взвешивать и изме-
рять, понимать простые расписания, несложные графи-
ки, чертежи н диаграммы и выполнять* связанные со
всем этим необходимые вычисления;
«чувство числа», дающее возможность разумной оцеп
ки иа глаз (приближения), что в свою очередь дела-
ет возможными несложные подсчеты в уме;
достаточную уверенность в себе, необходимую, чтобы
эффективно пользоваться имеющимися математически-
ми знаниями и умениями, независимо от того, малы они
или обширны.
Отмечается, что встречаются взрослые люди, подго-
товка которых недостаточна для выполнения этих тре-
бо*аг ин.
Потребности в математике,
возникающие после устройства на работу
Исследования, проведенные Коккрофтским комите-
том, касались тех разновидностей рабочих мест, которые
досту иы выпускникам школ в возрасте от 16 до 18
лет Они показали, что хотя все познания в математике,
которые могут потребоваться молодым людям, присту-
пающим к работе, ограничиваются рамками программы
обычной средне} школы, существует значительная раз-
ница между способами применения этих знаний со вре-
мя работы и способами, с которыми они сталкивались
в классе. Другими словами, выявлено существенное
различие в характере использования математического
аппарата в школе и в жизни.
В отчете высказывается предположение, чго значи-
тельную часть потребностей в математике па службе
можно охарактеризовать как «чувство измерения» Оно
включает в себя способность не только вычислять, при-
близительно оценивать и использовать измерительные ин-
струменты, но и понимать природу и цели измерения,
разнообразные способы измерения, определять ейтуч-
ции, в которых тот нли иной способ применим, и т. д.
II часть
Подход к преподаванию математики
Сделав заключение о возможности суммирования в
широком смысле слова потребностей в математике, воз-
никающих v взрослых людей' посредством термина
«чувство числа», а потребностей в математике на служ-
бе— как «чувство измерения», Коккрофтский комитет
приходит к выводу о необходимости еще в школе раз-
в.!ть уверенность в применении математических знаний.
Однако математическая деятельность школьников не
должна признаваться полезной только при условии, что
она будет иметь ясное и конкретное практическое при-
ложение, Способность ценить ма гема гику ради нее
самой есть у многих людей, поэтому нужно представ-
лять ее как предмет, дающий и пользу, и удовольствие.
Математика сложна как для обучения, так и для изу
чения, в отличие от других школьных предметов ее
изучение требует тяжелого груда и большой практики.
При этом важно, чтобы учащиеся нс испытывали чув-
ства постоянной неуда ги, каким бы нц был их уровень
усвоения математики.
В отчете обращается внимание иа шесть элемен*
тов, наличие которых необходимо для успешного обу-
чения математике детей всех возрастив и уровней обу-
ченности
«Препотавание математики на всех уровнях должно
преду матриаать возможности для объяснения магериа-
7-3
ла учителем; обсуждения материала учителем и уча-
щимися, а также учащимися мет ду собой; соответ-
ствующей практичен й работы; тренировки с целью
формирования фундаментальных навыков и их при-
менения на практике; решения задач, иключая случаи
применения ма гема гики в жизненных ситуациях; исслс
довалельской работ;».
Далее подчеркивается, что этот перечень не нов, по
тем не менее, «хотя и существует практика преподава-
ния, в которой все перечисленные элементы сами собой
разумеются, есть и многочисленные примеры того, что
преподавание математики не включает даже большин-
ства названных элементов».
В Коккрофтском отчете отрицается призыв «назад к
основам», но в то же время подчеркивается необходи-
мость приобретения учащимися соответс вующих навы-
ков как устного, так и письменного счета, так же как
и способности к оценке на глаз (прикидка). В послед-
ние годы счет в уме играл гораздо менее весомую роль
в математическом образовании, чем это было тради-
ционно принято. Коккрофтскнй комитет считает, что
ослабление роли устной работы (счета в уме) привело
к утрате того центральною меща, которое «работа в
уме» занимает во всем обучении математике. Это за-
ставляет более серьезно ставить вопрос о методике
обучения счету в школе, о внимании к устным вычи-
слениям и тем способам, с помощью которых вычисле-
ния фиксируются иа бумаге.
На протяжении всего обсуждения вопросов матема-
тического образования в отчете подчеркивается нали-
чие больших различий в обученности математике у де-
тей одного и того же возраста. Так, анализируя резуль-
таты широкомасштабного тестирования детей различ-
ных возрастных групп, комитет приходит к заключе-
нию, что «существует „семилетияя разница” в достиже-
нии понимания поразрядного значения цифр, которая
достаточно четко проявляется в написании числа иа
единицу большего, чем, например, 6399 Под этим под-
разумевается та ситуация, при которой наравне со
„средним” ребенком, выполняющим эту задачу в 11 лет
(но не в 10), можно найти некоторых 14-летних детей,
которые пе смогут ес выполнить, а также 7-летиих, ко-
торые в состоянии ее выполнить. Подобные сравнения
могут быть сделаны и по другим вопросам». Отсюда
следует, что в программе по математике должен при-
ниматься во внимание большой разброс в степени
понимания н в формировании навыков, который суще-
ствует у детей одного возраста 2
Калькуляторы и компьютеры
Коккрофтскнй комитет констатирует, чго возрастаю-
щая доступность электронных калькуляторов имеет
далеко идущие последствия для обучения математике, и
в о;чсге привлекается внимание к двум осповгым
вопросам, которые следует особенно тщательно рас-
смотреть Первый: каковы пути применения кальку-
ляторов для улучшения и облегчения процесса препо-
давания математики в школе; второй: в какой cieue-
ни доступность калькуляторов может изменить содер-
жание обучения или сместить акценты на те или иные
темы в программе. Некоторые специалисты опасаются,
что те дети, которые, рано начнут пользоваться кальку-
ляторами, не достигнут ни скорости в счете, пи уверен-
ности в «прикидке» основных числовых результатов.
Признается, что подобные опасения достаточно обосно-
ванны и нх нельзя игнорировать Однако имеется зна-
чительное число и ’следовательских работ (специально
проведенных в США), которые доказательно свидетель-
ствуют, что применение калькуляторов не оказывает
отрицательного во* действия nSs формирование основных
вычислительных способностей. В отчете рекомендуется
использовать электронные калькуляторы как вспомо-
гательное средство в обучении математике и в началь-
ной и в средней школах. Однако Коккрофтскнй комитет
отметил, что «возрастающая доступность микрокомпью-
теров в школах дает учителям математики существен-
ные возможности как в расширении их применения на
практике гак и в ор;аннзаиии новых, до сих пор не
известных методов работы». Обращено внимание па
положительные стороны использования микрокомпью-
теров отдельными детьми, особенно теми, у которых
уровень знаний высок.
Ранние (дошкольные) годы
и начальная школа (5—11 лет)
_В отчете одобряется общее расширение программ по
математике для учащихся 5—11 лет, происшедшее в
последние годы, и выражается мнение, ч-го эю поло-
жительно отразилось как па улучшении отношения уча-
щихся к математике, так ч на формировании основ для
лучшего ее понимания.
В ранние годы обучения в школе наряду с навыка-
ми в языке и счете учащиеся приобретают первый опыт
использования различных приемов учения3 *; они учат-
ся думать, чувствовать, действовать, изучать, откры-
вать. Обучение математике вносит свой вклад во всё
перечисленное. Поэтому программы по математике дол-
жны предусматривать обогащение учашихся ие только
магматическим мышлением и счетными навыками, ко-
торые являются сами по себе мощным орудием даль-
нейшей деятельности, но н лингвистическим и эстетиче-
ским опытом; обеспечение их средствами для изуче-
ния окружающей среды; развитие мыслительных логи-
ческих способностей.
Одиако изучение математики не следует рассматри-
вать только как подготовку к дальнейшему образова-
нию; время, затраченное на изучение математики, цеп
но само по себе тем, что для учащихся раскрываются
двери в широчайшую область личного опыта.
При развитии математического образования в ука-
занных направлениях очень существенна практическая
работа. Оиа позволит учащимся подойти к пониманию
математических идей, которые вкладываюпся в осуще-
сгвляемую учениками практическую деятельность. Таким
образом обеспечивается возможность для продвижения
от манипуляции с конкретными предметами к стадии
рисунков и диаграмм, где Представлены эти предметы,
а затем и к заключительной стадии, на которой ис-
пользуются символы для абстрактного оперирования
Бытусг ошибочное предположение, что существует
какой-то особенный возраст, когда детям уже не нужно
пользоваться практическими материалами, или что та-
кие материалы необходимы только тем детям, уровень
развития которых низок. В отчете же о;мечается, что
даже и тем детям, у которых хорошо развито абстракт-
ное мышление, часто требуются практические действия
в самом начале изучения нового материала.
Язык играет существенную роль в формировании и
выражении математических идей, па чго не обращается
должного внимания на уроках математики. С самых пер-
вых дней в школе детей надо поощрять в объяснении
и обсуждении на уроках математики изучаемого мате-
риала (как между учителем и учеником, так и между
учащимися) с тем, чтобы в процессе этих обсуждений
дсп! могли делиться своими представлениями, развп
вать и уточнять их понимание. Развитие и расширение
математического языка должно продолжаться на про-
тяжении всего периода начальной школы; следует так-
2 Этот феномен был предметом подробного обсуж-
дения иа П Советско-английском семинаре ио матема-
тическому образованию в Москве в 1982 г.
3 В последние годы п нашей методической литера-
туре этот комплекс приемов учения стали называть
«общеучебные умения».
74
же поошрятъ устную работу и работу в уме на уроках
математики.
Обучение счетным навыкам требует учета способно-
стей к выполнению практических числовых операций
н способностей к осознанию того, что умение выполнять
их и целесообразно применять — ие одно н то же.
Учителю необходимо «извлекать» математический
опыт, накапливаемый детьми в процессе различных ви-
дов деятельности, следует пытаться правильно опреде-
лять математические возможности, заложенные в пла-
нируемой работе с тем, чтобы все это привело к широ-
кому использованию математики всюду, где она может
уточнить Или раскрыть какие-либо доводы, или пред-
ставить результаты исследований в том виде, который
поможет установить понимание явлений.
Средняя школа (И—16 лет)
В Коккрофтском отчете уделяется серьезное внимание
необходимости учета различий в уровне знании учащих-
ся отдельных возрастных групп и степени возрастания
этих различий но мере увеличения возраста. «Если не
будут признаны большие различия в названном вопро-
се, то более подготовленные учащиеся буду! лишены
возможности роста, а те, способности которых ограни-
ченны, будут испытывать постоянное чувство провала
(неудачи)». Отмечается также, что многие учащиеся
средней школы вынуждены следовать программе по
математике, уровень которой завышен по отношению к
уровню их способностей и знаний. В результате таким
учащимся не удается ни овладеть прочными навыками
в использовании математики, ин достигнуть совершенст-
ва в знании тех разделов программы, которые им впол-
не под силу.
Подобная ситуация складывается потому, что прог-
раммы, используемые для обучения детей более низко-
го уровня знаний, часто составляются с оглядкой на
программы, Предназначенные для детей с высоким
уровнем знаний и развития, путем устранения некото-
рых трудных вопросов или уменьшения тлубипы изу-
чения других вопросов, т, е. «сверху вниз» В докладе
констатируется, что такой подход неверен. Составление
ттрот раммы Должно осуществляться «снизу вверх», пу-
тем первоначального Изучай я объема материала, кото-
рый соответствует детям с низким уровнем развития,
и дальнейшего ряатштрения этого объема по мере повы-
шения уровня развития детей. Следующий принцип
должен стать фундаментальным: прн построении мате-
матического образования ни один вопрос нельзя вялю
чать в Программу, если он нс может быть должным об-
разом раскрыт для детей, которым предстоит его изу-
чать. Отсюда возникает потребно ть в «дифференциро-
ванных программах», т. е. необходимо предусматривать
рэ-личные. курсы математики с учетом в уровне учащих-
ся средней школы.
В качестве отправной точки в Коккрофтском отчете
предлагается «Основной список», который, входя состав-
ной частью в программу по математике для всех уча-
щихся средней школы, должен составлять основу для
тех (около 40%), кто имеет наименьшие сюсобности
к математике.
Этот «список» группирует необходимые для всех уча-
щихся умения по трем основным направлениям: читать,
писать в говорить о математике в самых разнообраз-
ных ситуациях, вести вычисления в разных формах: в
уме, на бумаге н с калькулятором; соединять вычисле-
ния с измерениями в соответствующих единицах, уметь
переходить от одних единиц измерения к другим «Ос-
новной список» содержит перечень знаний и умений уча-
щихся пе следующим рубрикам: числа, деньги, процен-
ты, использование вычислительных средств, время, изме-
рения. графики, пространственные представления, отно-
шения и пропорции, и ей статистики. Содержание «спис-
ка» значительно меньше содержания той программы, по
которой учатся многие учащиеся с низким уровнем
способностей в настоящее время. Указанный контингент
учащихся сможет овладеть материалом в том объеме,
который предусмотрен «списком», так как материал туг
представлен различными способами и в таком виде,
прн котором учаши.мся ясны н доступны формируе-
мые знания н приемы математических действий н по-
нятна сфера применения математических знаний во
взвослой (внешкольной) жизни.
Учащиеся с более высоким уровнем способностей бу-
дут иметь возможность овладеть в совершенстве или но
чти в совершенстве содержанием «Основного списка»
еще до 16 лет, и, соответственно, программы для них
будут расширяться. Это расширение должно проходить
как за счет добавления новых вопросов (разделов),
так и за счет глубины изучения многих вопросов «спи-
ска». На всех ступенях обучения учащиеся будут иметь
возможность расширять н углублять свои математнче.
ские знания настолько, насколько позволяют- их способ-
ности. Очень важно, чтобы начиная с ранних лег обу-
чения в средней школе уделялось внимание особо оде
ренным ученикам, так как если работа по их обуче-
нию математике не будет достаточно насыщенной, то
у этой части учащихся будет потерян интерес к пред-
мету, что позже нелегко восстановить.
В отчете обращается внимание на влияние итоговых
экзаменов* 4 па содержание и ритм работы в средней
школе. В связи с этим выдвигаются два фундамен-
тальных принципа, которые и должны регулировать лю-
бые экзамены по математике. Первый; экзаменацион-
ные вопросы и другие способы контроля должны быть
составлены таким образом, чтобы учащиеся могли
продемонстрировать не то. чего они не знают а то, что
они знают Второй; экзамены не должны ставить под
сомнение знания тех, кто сдает экзамен (илн подрывать
у них уверенность в своих силах). «Экзамены по ма-
тематт ке, 1 огорые заключаются в выполнении пись-
менной работы за ограниченное время, ие могут по
своей природе оценить способность К выполнению прак-
тической или исследовательской работы или к выпол-
нению работы в более широком смысле. Очи не могут
оценить также навыки счета в уме илн способность рас-
суждать математически. Единственное, что можно ус-
тановить с помощью такого экзамена, и то в очень ог-
раниченном объеме,— это качества упорства и изобре-
тательности. Все же другие перечисленные выше каче-
ства можно установить только в классе н только пу-
тем длительного 1:о времени наблюдения». Более того,
если экзамен состоит лишь в письменном задании, кото-
рое требуется выполнить в ограниченное время, то это
вынуждает учителей «натаскивать» учащихся, предла-
гая им подобные задания в процессе обучения. Послед-
нее означает, что не только накануне экзамена, но и
намного раньше для практической и исследовательской
работы в обычном педагогическом процессе ие остается
ни места, ин времени. Коккрофтский комитет поэтому
рекомендовал, чтобы такой элемент, как оценка зна-
ний учащихся учителем, обязательно был включен во
все экзамены 5.
• В школах Великобритании обычные выпускные экза-
мены проводятся в 16 и 18 лет. Хотя экзамены в 16
лет первоначально предполагалось проводить только сре-
ди учащихся высот то (60—65 %) уровня развития ма-
тематических способностей, часто наблюдается требова-
ние проводить его и среди детей с низкими способно-
стями. А следовательно, от учителей требуется, чтобы
они прошли весь материал программ и с детьми с низ-
кими способностями, для которых программа заведомо
непосильна Почти 80 % учащихся сдают экзамены по
математике в 16 лет, по многие проваливаются на нем.
4 Подробнее об экзаменах и системе математического
образования в Великобритании см.: Ермолаева И. А.
Англо-советский семинар по математическому образова-
нию школьников // Математика в школе, 1982. № 4,
75
Особого внимания требуют способы оценки (контро-
ля) достижений учащихся с низким уровнем математи-
ческих способно те.й Неверно думать, что единственная
письменная работа где-то в конце учебы в школе, да-
же если она н сопровождается индивидуальной оцен-
кой учителя, является одинаково приемлемой для этих
учащихся. Возможно, для них более целесообразно
предложить серию бысгродос1ижичых задач, успех в
решении которых будет свидетельствовать об общем
сдвиге н прогрессе. Оценка же слабоуспевающих уче-
ников не должна основываться, как это > асто случает-
ся, на проверке только вычислительных умений. Преж-
де всего следует принимать в расчет использование
математики для решения таких задач повседневной
жнзии, как покупки, путешествия, ведение домашнего
хозяйства и организация отдыха. Вычислительные уме-
ния должны проверяться именно в связи с этой дея-
тельностью. Коккрофтский комитет рекомендовал про-’
вести исследование с целью выявления возможности
разработки таких средств, которые смогут свидетельст-
вовать о прогрессе слабоуспевающих учеников.'
Старшая ступень средней шкалы (16—19 лет)
В разделе отчета, касающегося старшей ступени
средней школы, подчеркивается, что хотя многие нз
тех, кто изучал математику как основной предметв,
идут на курсы, дающие право на степень* 7, или полу-
чают другие формы высшего образования, однако так
поступают ’ далеко не вс®; кроме того, не все, посту-
пившие на высшие курсы, продолжают изучение мате-
матики. Поэтому крайне важно, чтобы курс математи-
ки как основной предмет на старшем этапе, обучения
в среднем шкоте не только обеспечивал базу для даль-
нейшего обучении, но н представлял собой сбаланси-
рованный курс, который намечал бы «конечные точки»
для тех, кто, но крайней мере в ближайшее время, ис
будет продвигаться дальше.
Одной из целей курсов обучения математике на дай-
ной ступени должна быть выработка учебных умений
у школьников, подготавливаемых к более «зрелым»
способам учебы. Причем необходимость в развитии
таких умений возникает у всех учащихся, а нс только
у тех, кто будет получать высшее образование. Пре-
подавать очень легко тогда, когда учебный’ процесс це-
ликом зависит от изложения материала учителем, а
ученики владеют лишь пассивными способами. Однако
для учеников всех возрастов не меиее важно развить
навыки решения задач, проведения самостоятельных
исследований, обсуждения и передачи своих идей. Ра-
ботая именно в этих направлениях, учащиеся приобре-
тают уверенность, необходимую им при использоваг ни
математики в дальнейших занятиях н работе
Математику иа старшей ступени традиционно изла-
гают так, что опа выглядит очень специальным н су-
хим предметом, имеющим мало связи с жизнью и даже
с другими школьными предметами, кроме, пожалуй,
физики. Следует перенести акцент на огромное разно-
образие способов и сфер приложения математики и
иллюегрировагь эти способы, пользуясь разнообразны-
ми источниками. Например, общественные науки дают
инициативному учителю много возможносюй для ил-
люстрации «математического моделирования» Экскурс
в историю некоторых изучаемых тем может способст-
вовать уяснению их значимости, а также сделать курс
обучения более интересным н глубоким. Коккрофтский
комитет отметил необходимость в таких средствах обу-
* Экзамен у 18-летних учащихся обычно проходит
только по трем предметам, изучение которых занимало
почти 2/3 учебного времени в течение предыдущих
трех лет. Те, кто решает экзаменоваться в 18 лет, дер-
жали также экзамен в 16.
7 Имеется в виду степень бакалавра.
чения, которые помогли бы учи' елям старших классов
средней школы работать в этих направлениях.
Многие7 курсы математики в ст рших классах сред-
ней школы требуют от учащихся значительно менычего
чтения специальной литературы, чем это необходимо'
по другим школьным предметам, включая и естествен-
ные науки. Ученикам необходимо помочь развить на-
выки самостоятельного изучения математики но кии е
и поощрять их в пользовании библио1ека.\рт для до-
полнительного чтения «вокруг предмета» и приобрете-
ния знания по собственной инициативе
Все курсы математики для старших классов средних
школ должны содержать некий важный компонент
прикладной математики, чтобы все, изучающие этот
предмет как ради самого предмета, так и в качестве
аппарата для их дальнейшей учебы, могли поручить
полное представление о математике Такая прикладная
математика может иметь много форм. В школьной
практике Англии н Уэльса она часто сводится к изу-
чению теории вероятностей и статистики или механи-
ки, или того и другого сразу.
На старшей ступени обучения в средней школе долж-
но быть место для курса математики, рассчита того
на тех учащихся, которые почему-либо пе хотят изу-
чать этот предмет как основной, по неплохо его пони-
мают. Целью такого курса должно быть развитие ма-
тематического мышления и расширение полученных ра-
нее знаний, однако нельзя прн этом стзвить задачу
достижения высокого уровня оперативных умений Так.
например, учащиеся, изучая математический анализ,
не долж ты тратить время на приобретение навыков
дифференцирования и интегрирования сложных функ-
ций. Курс должен иллюстрировать множество спосо-
бов приложения математических знаний и включать в
себя исследование путей развития этой науки в тече-
ние ряда лет. В отчете подчеркивается, что ра рабо-
тать курс подобного типа нелегко, кроме того, а-тя
пего требуется умелое преподавание.
Высшие академические учреждения
Поскольку полномочия комитета не распространя-
лись на высшее образование, он не проводил обшир-
ного исследования курсов математики в университе-
тах. Однако были рассмотрены две проблемы. Первая •-
касалась того, насколько университетские курсы мате-
матики обеспечивают адекватную подготовку для бу-
дущего учителя; вторая — насколько значительное ко-
личество потенциальных школьных учителей математи-
ки теряется вследствие того, что университетские кур-
сы требуют слишком многого.
Коккрофтский комитет выразил мнение, что матема-
тическая подготовка, которую получают в университете
будущие школьные учителя математики, должна быть
направлена на:
приобретение знаний и владение математикой в зна-
чительной степени выше уровня, на котором они 6v ут
вести предо, ава'ннс, ’а ’ в подходящих случаях пэело-
ставлеиие возможности для углубленного изучения ка-
кой-либо темы;
развитие чувства удовольствия от занятий математи-
кой и уверенности при ее применении;
обеспечение знания исторической ретроспективы и
перспективы математики:
обеспечение понимания взаимосвязи между матема-
тикой и другими областями знаний и их применение;
развитие умения передавать математические идеи
как устно, так И письменно.
Высшие курсы математики не должны ориентиро-
ваться только на нужды тех, кто в дальнейшем ста-
нет педагогом. Однако обеспечение школ достаточным
количеством высококвалифицированных учителей мате-
матики должно быть делом первостепенной важности.
Кроме того, те, кто продолжает более углубленные
занятия математикой после окончания высших курсов.
находятся в меньшинстве Для этого малочисленного,
но многозначащего меньшинства можно предоставить
прчво выбора изучаемого материала во время занятий
на высших курсах, чтобы они могли подготовиться к
работе в аспирантуре, но Коккрофтскнй комитет счел
неправомерный тот факс, что погр бноети этих студен-
тов диктуют содержание высших математических кур-
сов идя всех отельных.
П. Англии и Уэльсе мужчин на высших математиче-
ских курсах больше, чем женщин, однако выпускниц-
женшин, профессионально занимающихся преподава-
। нем математики, в два раза больше, чем мужчин.
Коккрофтскнй комитет предлагает предпринять актив-
ные шаги к тому, чтобы большее число женщин изу-
чали математику на уровне, высших учебных заведе-
ний, что приведет к возрастанию числа высококвали-
фицированных учителей математики.
III часть
Образование учителей,
предшествующее их работе а
Для тех, кто изучает математику во время специаль-
ной подготовки к работе учителя, основные составляю-
щие математического курса должны быть теми же, что
и для будущих специалистов в области математики
(выпускников математических факультетов), о чем го-
ворится в предыдущем разделе. Независимо от того,
какого возраста будут ученики, учителя математики
должны обладать широким математическим кругозо-
ром, знать программу и быть готовыми компетентно
судить о последовательности изучения тех или иных
разделов в ее пределах. Эта цель может быть достиг-
нута путем создания такою основного курса, це.ь ко-
торого— дать широкий охват материала, и это лучше,
чем углубленно изучать материал, ограничиваясь толь-
ко некоторыми областями математики.
Однако большинство из тех, кто преподает матема-
тику в начальной школе, не изучают математику как
основной предмет во время своей учебы в вузе и за-
частую не получали настоящего удовольствия от за-
нятий математикой в свои школьные готы. Не удиви-
тельно поэтому, что, приступая к спецподготовке, та-
кие будущие учителя отрицательно настроены как к
математике, так и к перспективе ее преподавания А,
значит, главной задачей тех, кто ведет их подготовку
к педагогической деятельности, будет солдатне поло-
жительной мотивации, усиление и углубление их зна-
ния математики (протесе, который потребует ликвида-
ции пробелов) и обеспечение их прочной основой на
которой они будут строить преподавание.
Обычно курс под отовки, предшествующий работе,
включает в себя по крайней мере один цикл практики
* Перед работой в школе будущие учителя в Вели-
кобритании' заканчивают специальные цедшогнческне
курсы,
в школе, в течение которого коллектив школьных пре?
подавателей и администрация должны принять на себя
ответственность за практикантов. Необходимо, чтобы
коллектив школы, куда слушатели курса приходят па
практику, и коллектив, который обучает этих слуша-
телей, действовали сообща, в хорошо организованном
и поддерживающем друг друга стаимодст етвпи Ес. и
такое взаимодействие не будет эффективным слуша-
тели курсов не получат должной пользы от практт кн
в школе.	*
Как бы ии была хороша подготовка, которую полу-
чают будущие учителя, опа будет менее эффективной,
если ее не продолжать и не развивать в первый год
работы. Коккрофтскнй комитет дал рекомендации о
необходимости не только правильной программы вве-
дения ново и учителя в должность, но и по возмож-
ности облегчения учительской нагрузки в первый год
работы.
Помощь учителям
Через весь Коккрофтскнй отчет проходит идея обес-
печения такою преподавания математики, которое со-
ответствовало бы нуждам учащихся как ио уровню,
так и по скорости продвижения, что позволило бы им
развить полностью свои математические умения, обес-
печить понимание, положительную мотивацию и уве-
ренность в возможности применить свои знания на
практике. В докладе доказывается, что' все, кто пре-
подает математику, нуждаются в соответствующей по-
мощи во время работы «Не следует считать, что по-
мощь во время работы необходима только для того,
чтобы исправлять недостатки тех, у кого нет соответ-
ствующей квалификации. Как бы ин была хороша
подготовка и помошь в начале работы, все те, кто пре-
подает математику, нуждаются в постоянной поддерж-
ке на протяжении всего времени для того, чтобы иметь
возможность развивать свои профессиональные навыки
и таким образом сохранять и повышать качество ра-
боты;».
Коккрофтскнй комитет так определил основные за-
дачи в работе учителя математики; «С нашей точки
зрения, учитель математики имеет следующие задачи;
дать возможность каждому ребенку развивать в ме-
ру своих способностей математические умения и зна-
ния в такой степени, как этого требует «взрослая*
жизнь, работа, будущая учеба, принимая во внимание
трудности, стоящие перед некоторыми учащимися на
этом пути;
обеспечить каждого учащегося такими познаниями в
области математики, которые могут ему понадобиться
при изучении других предметов;
помогать каждому ученику ценить и любить мате-
матику и получать удовольствие от занятий ею, помо-
гать ему осознать роль, которую математика играет и
будет играть в развитии как пауки и техники так и
всей штвилизаднн;
и главное заставить каждого ученика понять, какие
мощные средства коммуникации дает ему математика».
Письмо в редакцию
В моей кмие Функции в природе и технике» (2-е изд — М Просвеще-
ние I9G5) на с 74 допущена ошибка, в 15-и строке сверху слово «мас-
су» t-адо заменить на «ллошйДь», а в нижеследующих формулах плот-
ность р 1ринмть равной 1» благ одарю читателя G. Н. Истомина указав-
шего мне на это.
ri. эк еиЛчгнкин
ХРОНИКА
В секции средней школы
Московского математическою
общества
Пере советским учительством поставлены серьезные
и ответственные задачи, сформулированные в докумен
тах партии н Правительства о реформе общеобразова-
тельной и профессиональной школы В успешном пре-
творении в жизнь намеченных планов коренного улуч-
шен in народного Образования важная роль отводится
учителям математики. Повышение уровня математиче-
ской грамотности учащихся и овладение ими новым
для школы предметом «Основы Информатики, и вычие
•тигельной техники», воспитание учеников в духе ком
мупйстическнх идеалов и развитие у них вкуса к са-
мостоятельной творческой деятельности, углубление
собственных научных и психолого-педагогических зна-
ний и сОверш "НсТвованиё профессионального мастерст-
ва — вО1 Весьма обьсмиый, но Далеко не полный круг
обязанностей современного учителя математики.
Секция средней школы Московского математического
Общества ставит своей целью оказывать учителям ма-
тематики всестороннюю научную н методическую по-
мощь, Пропагандировать передовой педагогический
опыт, способствовать правильному и объективному
разрешению сложных проблем преподавания математи-
ки в Школе. Созданная без малого -10 лет назад, эта
секция обеспечивает возможности широких и плодо-
творных контактов школьных учителей, методистов с
ведущими учеными, Специалистами высшей школы и
учреждений Академии наук.
20 февраля 1986 г. Па механико-математическом фа
культете Московского государственного упиверешета
состоялось отчетно-выборное собрание, членов секции
средней ШКблЫ Московского математического общог.т
ва. Бюро Секции, избран! ое в ноябре 1976 г., отчита-
лось о своей почти десятилетней работе. Участники
собрания минутой мОлчани’я почтили память Скбнчав
шихей старейших членов акции, учителей-матСмаТиков
Константина Петровича Сикорского, Николая Ивано-
вича Сырисва, Анастасии Григорьевны Юрьевой.
С отчетным докладом выступил председатель бюро
секи 1и средней школы ММО Б. В. Гнеденко. Of под-
робно рассказал о научных докладах, об -ужденнях и
других мероприятиях, организованных бюро секции,
остановился На удачных н полезных Делах и ионойве-
дениях в Деятельности секции, проанализировал не-
достатки в ее работе, которые преодолеть пока ие
удалось.
По отчету бюро состоялись оживленные прений. Вы-
ступавшие Отметили, что одним из основных 1едостат
ков работы секции является участие в ее заседаниях
и мероприятиях сравнительно небольшого числа учи-
телей-практиков, особенно молодых, что в зпачнтель
ной мере объясняется не всегда удачным выбором те-
матики докладов, отсутств тем обсуждения актуальных
сегодня для жизни школы вопросов работы учителя-
математика. Требуют своего развития постоянные
деловые контакты секции е методическими объедине-
ниями учителей, с институтами усовершенствования
учителей, с пединститутами, с учреждениями Акаде-
мии педагогических наук СССР. Были приняты реше-
ния по дальнейшей деятельности секции.
Высоко оценивая вклад внесенный Б. В. Гнеденко в
организацию работы секции на протяжении многих
лет, участники отчетно-выборного собрания избрали
Б. В. Гнеденко почетным председателем секции сред-
ней школы Московского математического общества. За
долголетнюю и успешную работу секретарю бюро сек-
ции Л. 3. Мудрой собрание выразило благодарность
Было решено избрать бюро секции в количестве 11 че-
ловек н установить пятнлеп ий срок его полномочий.
Собрание поручило новому составу бюро всесторонне
проанализировать высказанные критические замечания
и конструктивные предложения и учесть их при пла-
нировании дальнейшей деятельности секции. Принято
также решение о новом порядке упла гй членских
в: носов членами секции средней школы ММО.
Тайным голосованием отчет! о-выборное собрание из-
брало новое бюро секции в следующем составе:
Н. М. Бескин, В. Г. Болтянский, Г, Д. Глейзер,
О А. Козлова, Н. X. Розов, 11. Б. Ройтман, С. М. Саа-
кян. С. М. Саврасова, А Б. Сосинский, Р. С. Черкасов,
Т. М. Шлыкова.
Состоялось организационное заседание нового соста-
ва бюро. Председателем бюро секции средней школы
Московского математического общества избран
Н. X. Розов, .заместителями председателя—Г Д. Глей-
зер и Р. С. Черкасов. Секретарем секции утверждена
Т. В, Нистратова.
В комиссиях
Научно-методического совета
МП СССР
Приказом Миппроса СССР утвержден новый состав
Научно методического совета по математике (Председа-
тель Л. Я. Куликов).
Работа Научно-методнчегкого совета разделяется па
несколько Направлений, каждое из коттрых поручено
соотвс сТвующсй комиссии. Комиссию по алгебре, ма-
тематической логике я теорий чисел возглавляет про-
фессор Л. Я Куликов, комиссию ПО Геометрии — про-
фессор О В Мантуров, по Информатике Я вычисли-
тельной технике. — профессор Г. Д. Фролов, по мате-
матическому анализу—и. о. профессора В Л. Матро-
сов, по методике Преподавания математики — профес-
сор Р. С. Ч ркасов,
С 25 но 28 марта в Вильнюсе Проходило совещание
комиссии по геометрии. На него прибыли заведующие
кафедрами геометрии различных педвузов страны:
О. В. Мантуров (МОПП им Н К- Крупской),
Л С. Атанасян (МГ11И н.м. В. И. Ленина), В И Б 1и-
зиикаС (Вильнюс), А. Л. Вернер (Ленинград),
Н. В Степанов (Смоленск). В совещании приняли /ча
cine также инспектор вузов Минпроса СССР
В И. Ефимов, ученый секретарь Научно-методического
совета В В Трофимов (МГУ и.м М В, Ломоносова),
профессора В. Т. Базылев (МГПИ нм. В. И. Ленина),
Н. И. Кованиов (КГУ нм. Т. I. Шевченко), Л. В. Са-
бинин (УДН им. П. Лумумбы).
В повестке дня предусматривалось обсуждение ши-
рокою круга вопросов преподавания геометрии в пед-
вузах страны.
Была всесторонне рассмотрена программа по гео-
метрии для педвузов, составленная профессорами
Л. С. Атанасяном и В Г. Базылевым прн участии про-
фессора Б А. Пасынкова. Программа подучила хоро-
шие О1зывы Всех членов Комиссии как один из вариан-
тов преподавания геометрий на магматических фа-
культетах пединститутов и была рекомендована для
утверждения Минпросом СССР
Учебник «Геометрия», составленный по этой про-
граммс Л. С. Атанасяном и В. 1. Базылевым, получил
хорошую оценку рецепзецiов и был также одобрен
78
комиссией. Комиссия обсудила методические рекомен-
дации к учебнику и программе, подготовленные ка-
федрой геометрии МГПИ им. В И. Лемиия.
Большой интерес вызвал вопрос о перспективной
программе по геометрии для педвузов страны который
осветил в своем докладе О В Мантуров. На сове-
щании отмечалось, Что развитие Геометрической науки
требует введения в курс геометрии пединститутов по-
нятий тензорного исчисления, ficwae конкретного в де-
тального описания групп преобразований и однород-
ных пространств. Совещание приняло решение О раз-
работке перспективной программы по геометрии И При-
знала целесообразным ь этой связи опубликовать в
издательстве «Просвещение» учебное пособие
О В Мантурова «Элементы тензорного исчисления».
На совещании обсуждался также вопрос об исполь
зованпн учебного телевидения для подготовки будущих
учителей Выли отмечены большие потенциальные воз-
можности телевидения для перехода на качественно
более высокий уровень обучения и решено продолжить
изучение соответствующих оргвинэвцнбниых и методи-
ческих проблем.
Участники совещания признали песьМа актуальным
вопрос о научных контактах преподавателей математи-
ки пединститутов в области геометрии Они высказа-
лись аа расширение командировок ведущих ученых
для чтения лекций и оказания методической помощи
педвузам отдаленных районов. Такие командировки
имеют большое значение для повышения уровня науч-
ной и методической работы в стране, для формирова-
ния Целевых Стажеров и аспирантов.
Комиссия Отмстила недостатки в подготовке кадров
выешеЛ квалификации через аспирантуру. При сущест-
вующем порядке в аспирантуру принимают преподава
телей педвузов по целевому направлению с тем, чтобы
ГОСЛе окончаний аспирантуры молодой Специалист ра-
бо<йл в пединституте, давшем ему эго Направление.
Тем самым полностью исключала возможность поступ-
ления в аспиринIуру многих способных выпускников
ведущих педвузов желающих работать в периферий
ных Пединститутах после окончания аспирантуры Со*
вещание приняло решение о Целесообразности приема
в аспирантуру талантливых выпускников столичных
Педвузов, выразивших Желание работать впоследствии
в одном Из педвузов страны, где имеются соответст-
вующие вакансии.
Совещание обсудило работу ряда семинаров по гео-
метрии. Огмстило плодотворную деятельность одного
из старейших советских геометрических семинаров
«Тензорный в векторный анализ и его применение»
которым руководят академик С. П. Ловиков профес-
сора О. В. Мантуров, Л В Сабннни, А Т. Фоменко.
Семинар работает при МГУ. Там же организован се-
минар «Компьютеры в Геометрии» (руководитель
А Т ФоМенко), в программу которого включены во
просы, непосредственно связанные с преподаванием
геометрии в пединститутах. Общемосковский иаучно-
методйческий семинар «Передовые идеи в преподавании
математики в СССР и за рубежом» (руководители
О. В. Мантуров и Л. В Сабинин) Также был отмечен
па совещании. Выло признано целесообрхзным преду-
смотри ь систематическую отчетность этого семинара
Научно-методическому совету. Рекомендовано издать
сборник трудов сёмннара.
Кроме докладов, посвященных специальной научной
тематике, на совещании было заслушано сообщение
профессора Л. С Атаиасяна, посвященное Вопросам
изучения зарубежного опыта В преподавании ГСоМет-
рйи в высшнх учебных заведениях. С сообщениями о
работе кафедр геометрии в Ленинградском и Вильнюс-
ском пединститутах выступили профессора А Л Лер
мер и В. И. Близинкас.
Эффективности общей работы совещания содейство-
вала ее прекрасная Организация и внимание местных
учреждений. Итоги совещания Отражены в общей ин-
формации педвумм, а также в специальных методи-
ческих рекомендациях для физико-математических фа-
культетов.
В начале 1986/87 учебного года иа заседании* всех
комиссий Научно методического совета намечается об-
суждение вопросов совершенствования профессиональ-
ной подготовки учителей математики в свете решений
XXVI1 съезда КПСС.
В. И. Ефимов (Москва)
План выпуска литературы
издательства «Педагогика»
на 1087 г.
Основное Содержание литературы в 1987 г направлено
на реализацию программных решений партии и прааи
тельства по развитию народного образования, совершен-
ствованию коммунистического воспитания подрастающе-
го поколения
Специалистам в области Педагогики адресована моно-
графия Ь. С I ершунского «Компьютеризация в сфере
образовании: Проблемы и перспективы». В книге рас-
сматриваются проблемы эффективного использования
компьютерной техники в сфере образования и научно-
педагогической деятельности, системе педагогического
прогнозирования и управления. Особое внимание автор
уделяет философским, спинальпо*зко11омическим, научно-
техническим и Пслхолого-педагогичесйим предпосылкам
применения компьютеров в качестве объекта изучения
и средства обучения
Научные работники в области педагогики t интере-
сом познакомятся с орш инальным обоснованием по*
строения методики обучении математике в книге
Я. И IРудакова «Психолого-дидактические основы ме-
тодики обучения математике» Особое Внимание автор
уделяет проблемам совершенствования методического
обеспечения обучения в свете реформы школы, в част
ногти методикам и приемам. Связанным с системой
математических упражнений и формированием у уча-
щихся навыков работы с учебной литературой.
Член корреспондент АГ1Н СССР директор Мятле.пской
средней школы Калужской области А Ф Иванов
адресует свою книгу «Сельская школа* учителям и ди-
ректорам школ В ней автор делится опытом работы
по совершенствованию всех направлений деятельности
сельской Школы. В свете документов XXVII съезда
КПСС и реформы общеобразовательной и профессио-
нальной школы рассматриваются такие актуальные во
просы, как роль сельской школы в социальном развитии
села, Поощрение творческой инициативы педагогическо-
го коллектива и учащихся, формирование духовного
мира школьников, включение детей в общественно По-
лезный Производительный труд, повышение эффективно-
сти учебной и внеурочной деятельности.
Широкому кругу читателей предназначается книга
А. В. Квкнадзе «Искусство быть человеком» в которой
автор приглашает читателей к размышлению о воспи
танки будущего гражданина о нашей ответственности
за формирование нравственных качеств сегодняшнего
поколения.
79
Об опыте совершенствования учебною процесса
в школе № 183 Москвы с помощью компьютерной тех-
ники учителя узнают из книги Г. А. Кубнчгва «ЭВМ
в школе». В ней рассказывается о системе подготовки
школьников к работе па современных электронно-вычис-
лительных машинах
Широкие читательские круги с интересом иощако
мятся с книгой О. П. Матятина «Даровало каждому.
(Советский образ жизни: основные чсрып, содержание,
преимущества)». Автор на ярком фактическом материа-
ле раскрывает основные достижения СССР в области
образования: осуществление всеобщего обязательного
среднего образования; формирование всесторонне развн
той личности; широкое развитие профессионально-техни-
ческою образования на основе связи обучения е жизнью,
производством; создание условий для самообразования
Книга «Очерки истории школы и педат огической мыс-
ли народов СССР (1961—1986 гг.)» (под ред. Ф Г. Па-
начина, М. Н. Колмаковой, 3 И Равкнна) адресуется
специалистам в области педагогики. В ней освещается
развитие советской школы и педагогики, системы обще-
го среднего и профессионального образования с 19G1
по 198G г Рассматриваются вопросы всестороннего
формирования личности, совершенствования содержания
образования и коммунистического воспитания подрас-
тающих поколений, подготовки и повышения квалифи-
кации педагогических кадров.
Своеобразную антологию передового опыта учителей
и воспитать ей, книги которых были опубликованы
в серин «Педагогический поиск: опыт, проблемы, на-
ходки» в течение 1979—1986 гг (В Ф. Шаталова,
С. Н. Лисенковой, И. П. Волкова, Е. Н. Ильина н др.)
и получили признание общественност, представляет
сборник «Педагогический поиск» (сорт. И. И. Бажено-
ва). Главная цель сборника — одна из основных проб-
лем школьной реформы: чему и как учить сегодня
в школе, ПТУ, внешкольных учреждениях подрастаю-
щее поколение, чтобы вырастить достойных граждан
нашей Родины
Специалистам в области педагогики предназначена кни-
га В. М Полонского «Оценка качества научио-псдаю! и-
ческих исследований» В ней разработана система требо-
ваний к качеству различных типов научных работ, ме-
тоды определения новизны, теоретической и практиче-
ской значимости фундаментальных, прикладных иссле-
дований и разработок, результативности их внедрения
В серии «Ученые — школьнику» для учащихся стар-
ших классов выйдут книги В. В Пошатаева «Человек
в апоху НТР» и А. А. Самарского н А. П, Михайлова
«Компьютеры и жизнь».
В цервой из них рассказывается о значении науки и
техники в жизни нашего общества, влиянии научно-
технического прогресса па человека Школьники расши-
рят свои знания о задачах поставленных партией и
правительством по ускорению научно-технической рево-
люции, о тех измитаниях, которые она вносит в труд
и быт советских людей, какие требования предъявляет
к личности современного человека.
Вторая книга посвящена одной из актуальных проб-
лем современной науки — развитию электронно-вычисли-
тельной техники, се использованию в различных отрас-
лях народного хозяйства,- а также в процессе обучения
в школе
Книга И С. Синицына «Когда воспитывает труд» —
раздумья писателя и публициста об опыте трудового
воспитания в школах нашей страны Как вырастить на-
ших детей настоящими гражданами и тружениками?
Что могут и должны сделать школа, семья, обществен-
ность, чтобы молодое поколение входило в жизнь ду-
ховно и физически здоровым? Как помочь юным в вы-
боре жизненного пут, верных нравственных ориенти-
ров? На эти и другие вопросы найдут ответ в книге
родители, учителя, воспитатели.
Специалистам в области педагогики предназначена
книга известного советского ученого-педагога действи-
тельного члена АПН СССР М Н Скаткина «Методо-
логия и методика педагогических исследований» В ней
обосновываются предмет и задачи методологических ис-
следований в педагогике их роль в повышении теоре-
тического и методического уровня педагогических ис-
следований; даются рекомендации для начинающих ис-
следователей, рассматриваются пути изучения и исполь-
зования передового педагогического опьиа
Широкому кругу читателей адресован сборник статей
«С чего начинается Родина» (сост Е. А. Кожухова).
В этой книге известные писатели, журналисты ученые,
знатные труженики нашей страны ведут разговор о вос-
питании у детей любви к социалистической Родине.
Становление патриотического сознания, уважения
к созданному предшествующими поколениями, пробуж-
дение чувства хозяина евоей страны, стремления само-
отверженным трудом служить благу и процветанию
Советской Родины вот крут основных вопросов, кото-
рые рассматриваются авторами книги.
Специалистам в области дидактики и частных мето-
дик полезно познакомиться с монографией «Требования
к знаниям и умениям школьников- Дидактико-методи-
ческий анализ» (под ред. А. А. Кузнецова). В книге
лается дидактический анализ состава и содержания тре-
бований к результатам обучения школьников Авторы
раскрывают принципы разработки требований к учебной
подготовке учащихся на материале различных пред-
метов.
Известный ученый педагог академик АПН СССР
Г II Филонов подготовил для учителей книгу
«XXVII съезд КПСС и воспитание нового человека», где
в популяр! ой форме рассматривается деятельность шко-
лы, семьи, общественности по коммунистическому вос-
питанию подрастающею поколения в свете документов
XXVII съезда КПСС, основное внимание при этом уде-
ляется вопросам идейно-полнтпческого, трудового и
нравственного воспитания как основным факторам ста-
новления личности.
С. Н Чистякова и Н. Н. Захаров в монографии для
специалистов в области педагогики «Профессиональная
ориентация школьников» рассматривают вопросы теории
и практики управления профессиональной ориентацией
учащихся в свете требований реформы общеобразова-
тельной и профессиональной школы, раскрывают формы
и методы эффективной подготовки школьников к вы-
бору профессии Авторы анализируют систему проф-
ориентации в условиях общеобразовательной школы
района и города.
Специалистам в области педагогики, работникам на-
родного образования пэсдчазначеиа монография «Шко-
ла и труд» (под ред. П. Р. Лтутова и В. А. Кальней).
В книге рассмотрены соцпально-вкономичвгкие и психо-
лого-педагогические основы соверпгенствовавия подго-
товки школьников к обществанпо полезному, произво-
дительному труду. Представлены результаты исследова-
ний эффяктнвного соединения обучения и воспитания
с. производительным трудом, осуществления профориен-
тационной работы в школе в свете реализации задач,
поставленных в материалах XXVII съезда КПСС
и Основных направлениях реформы общеобразователь-
ной и профессиональной школы.
Школьникам среднего н старшего возраста предна-
значено второе издание «Энциклопедического словаря
юного техника» (сост Б В Зубков, С. В. Чумаков).
Словарь отвечает на многие вопросы из области техни-
ки, рассказывает об ист орин се развития и о научно-
техническом прогрессе об известных ученых и инжене-
рах, наиболее выдающихся открытиях. Книга охваты-
вает большой круг знаний — от космической техники
до техники кино и телевидения, рассказывает о многих
профессиях В ней содержатся практические советы
юным моделистам конструкторам Издание Иллюстриро-
вано цветными фотографиями, рисунками, схемами
3. В. Шепелева
РАЗВИТИЕ ИНТУИЦИИ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ
Обращение к интуиции в ряде случаев позво-
ляет учащимся предугадать ответ геометриче-
ской задачи и тем самым наметить цель, к ко-
торой должно продвигаться ее решение.
Можно, например, догадаться, что сумма
углов треугольника равна 180°, если изменять
его высоту, оставляя постоянным основание,
на которое она опущена. При увеличении вы
соты легко заметить, что две возрастающие
стороны треугольника в предельном случае
переходят в параллельные лучи, а каждый из
углов при основании приближается к пря-
мому. Если же длина высоты становится
все меньше и меньше, то величины уг-
лов при основании приближаются к нулю,
а угол при вершине — к развернутому. После
рассмотрения предельных случаев естественно
предположить, что сумма углов треугольника
равна двум прямым.
В данном случае интуитивное предположе-
ние (но не доказательство!) становится воз-
можным в силу того, что изменения чертежа
или подвижной модели сделали наглядным
процесс, при котором данный объект (тре-
угольник) вот-вот перейдет в то предельное
состояние, в котором искомое свойство объек-
та особенно хорошо заметно.
Рассмотрение условия задачи в движении,
допускающем предельные случаи, воспитывает
у учащихся геометрическую интуицию и спо-
собствует решению многих интересных задач.
Решим три задачи, чтобы показать, как «ра-
ботает» интуиция.
Задача 1. Найти геометрическое место
точек, являющихся серединами отрезка, сколь-
зящего своими концами по сторонам прямого
угла.
Решение Когда данный отрезок занимает
предельное положение АО и ОБ на сторонах
угла, его середина попадает в точки М и М"
соответственно (рис 1) Если же он занимает
промежуточные положения Л^ь Л2В2 и т. д.,
то его середина оказывается в точках Mi, М2
и т. д. Легко видеть, что М', Mi, М2.. М" при-
надлежат дуге окружности с центром в точке О
и радиусом, равным половине длины данного
отрезка.
Для доказательства остается только заме-
тить, что в прямоугольном треуюльнике длина
медианы, проведенной к гипотенузе, равна
длине половины гипотенузы, т е. OMj =
=0,5Л1В1, или ОМ2=0,5Л2В2, где Л^—Л2В2
Задача 2 Найти геометрическое место
центров прямоугольников, вписанных в пря-
моугольный треугольник и имеющих с ним
один общий угол.
Решение В предельных случаях вписан-
ные прямоугольники вырождаются в катеты
треугольника АВС (рис. 2). Тогда центрами
этих вырожденных прямоугольников являются
середины катетов — точки М и Н. Появляет-
ся догадка, что искомым геометрическим мес-
том может быть отрезок MN. Действительно,
из того, что отрезок MN — средняя линия
треугольника АВС, следует принадлежность
точки О — середины диагонали CD — отрезку
мн.
Задача 3. Дан треугольник АВС с углом
величины а при вершине А На луче СА по-
строен отрезок CD той же длины, что и АВ.
Через середины отрезков AD и ВС проведена
прямая I. Найти величину угла между пря-
мыми I и АВ.
Решение. Представим себе условие зада-
чи в движении. Пусть отрезок АВ, будучи
сначала меньше, чем АС, начинает увеличи-
ва гься. В какой-то момент он становится рав-
ным Л С, а затем превосходит его Рассмотрим
сначала случай, когда АВ—АС. Для отрезка
AD, упомянутого в условии задачи, этот слу-
чай является особым, так как при АВ=АС
длина отрезка AD равна нулю. В таком случае
прямая I совпадает с биссектрисой угла Л,
и тогда угол между I и АВ равен а/2 (рис. 3).
Осталось еще два случая а) АВ<АС,
б) АВ>АС. Естественно ожидать, что и в
этих случаях искомый угол равен а/2. Это
предположение подсказывает не только ре
зультат решения, но и способ его получения —
свести задачу к равнобедренному треуголь-
нику.
а)	Пусть ЛВС Л С (рис. 4) Проведем
ВВ' 11 АС и построим равнобедренный тре-
угольник CDB , где CD—DB'. Проведем Л4Е| |
\ВВ , тогда DI-MN — параллелограмм и, зна
чит ДМ 11 DF. Легко видеть что лучи ДВ и
Цена 45 кол.
70557
Издательство «Педагогика» Москва
DB', КМ и DF одинаково направлены, значит,
искомый угол ВКМ равен углу B'DF, который
составляет половину угла B'DC, равного углу
ВАС, т. е. Z_ВКМ—а!2.
6)	Если АВ>АС, то решение дословно пов-
торяет предыдущее (см. рис. 5).
И А. Терехов
(г. Скопин Рязанской оЬ . )
Математика в шчйле, 1986, № 5, 1—80