Щ *;,
ни
АЬЯСБЕРГ
ВВЕДЕНИЕ
ТЕОРИЮ ПОЛЕТА
ИСКУССТВЕННЫХ
СПУТНИКОВ
ЗЕМЛИ

6T5.2
Э53
УДК 629.195.1
Павел Ефимович Эльясберг
Введение в теорию полета искусственных спутников Зем.*и
М,( 1965 г., 540 стр. с илл.
Редактор 10. Л Гуревин
Техк, редактор Л. Ю. Плакше Корректор Е, Л, £ел, А$йя
Сдано d набор 10/VI 1965 г. Подписано к печати 9/XI 1965 г. Бумага 84Х|-||.'.
Физ. печ. л. 16,88, ^словн. печ. л. 27,67. Уч.-изд. л. 25,7В.
Тираж 3700 экз. Т-13760. Цена книги 1 р. 49 к. Заказ >& 15"7.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва. В 71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография N* 2 имени Евгении Соколовой
Гчачпольграфпрома Государственного комитета Совета Министров г -^
по печати. Измайловский проспект, 29. ч
%

ОГЛАВЛЕНИЕ
1|рд11словие • • • . < * 1^
ыШшШ'ние . • ^
* Гща j а 1. Движение по круговым орбитам 1н
tB ij. Постановка задачи и основные соотношения 18
00 -I 2. Пространственное движение по круговой орбите , . . 22
Ш i 3. Движение относительно вращающейся Земли 27
'Г|^И ^ а П. Влияние малых возмущающих факторов на движение
но круговой орбите , ... 34
I If 2 i Постановка задачи ,,...... # ,.♦.«•■■. 34
:W'V \ Уравнения возмущенного движения 35
I ЮН * Влияние малых начальных возмущений , • . 42
■ ЫКШ Возмущение начального расстояния от центра Земли до
I спутника (Дг0 > 0) ...... 41
I Ш1г Я Начальное возмущение радиальной скорости (AW<v>0) 46
I Г Начальное возмущение по направлению движения спут-
ЩШ( ктка ....... . . . 47
1 ^ 1: Возмущения в направлении, нормальном к плоскости
|;«j . орбиты . . , . 49
ЩЦ,! (Х'< Почти круговое движение 52
■ Ш:!": Элешч^ы почти круговой орбиты , , , 5?
■ ч'.' ;,-.,;*■ Полная механическая энергия почти кругового движения 62
■Щй ., Ш. Влияние возмущающих ускорений на движение по
■ 4Ф¥Г0ВЫМ и почти круговым орбитам .,,«,...-. 64
В^^Щ ^ Импульсные возмущения . ■ . 64
■life ;- Непрерывные возмущающие ускорения 66
■^|Б?^--; Постоянные возмущающие ускорение . 68
ИщШ|- Пернодическме розмущення, изменяющиеся t частотой
■Щ*1 обращения спутника ........*. * . 74
Hft(&,. Периодическое возмущающее ускорение» направленное
ЩМУ по Р^лусу г («S, ф 6, Г; - V, - 0) . t , , . . . , c 77

ОГЛАВЛЕНИЕ
3.6. Периодическое возмущающее ускорение, направленное
вдоль орбиты (Г, /О, Si=W\ = 0) , . 79
3.7. Периодическое возмущающее ускорение, направленное
по нормали к плоскости орбиты (W\^0, S\ — T\ = 0) 80
3.8. Периодические возмущения, изменяющиеся с частотой
кратной частоте обращения спутника #1
3.9. Классификация возмущений орбиты > , . . / 83
vio
а в а IV. Общий случай движения в ньютоновском
центральном поле тяготения
4.1. Постановка задачи 85
4.2. Уравнения движения « . ^§6
4.3. Первые интегралы уравнений движения ■■ 87
4.4. Форма орбиты * . . : 90
4.5. Зависимость типа орбиты от скорости полета ... 92
а в а V. Эллиптические орбиты ЛЭТ
6.1. Основные геометрические свойства эллиптических op6i ; -..' 94
5.2. Скорость и энергия полета Щ
5.3. Время полета и период обращения 101
5.4. Элементы эллиптической орбиты щ 105
5.5. Определение координат и составляющих вектора скор
стн по элементам орбиты 106
5.6. Определение элементов орбиты по заданным начальны
условиям движения • ПО
5.7. Ряды для приближенного определения эллиптическ
орбит при малых эксцентриситетах • • -. Н4'
5.8. Оценка точности формул теории почти кругового др
жения .......... ^ * ■*--* - * ■ 120
ава VI. Гиперболические орбиты • • ■ 1
6.1. Основные геометрические свойства гиперболическ x*fч- '
орбит . . . # ...-••••*"
6.2. Скорость и энергия полета * * • •
6.3. Время полета -,..••..
6.4. Элементы гиперболической орбиты *
6.5. Трассы полета по гиперболическим орбитам • • «
6.6. Облет притягивающего центра по гиперболической орбц
6.7. Выход из сферы действия Земли ••••***••

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
I Глава VII. Параболические и вертикальные орбиты # . . . . 148
7.1. Основные геометрические свойства параболических орбит 148
7,2,. Скорость и энергия полета * 149
7.3. Время полета 150
7.4. Элементы параболической орбиты .....*..,.. 151
7.5. Возможные типы вертикальных орбит ♦ ,153
7.6. Вертикальное эллиптическое движение . * ♦ . 155
7 7.7. Гиперболическое и параболическое вертикальные
движения • • • • 157
Глава VIII. Определение орбиты по двум заданным
положениям спутника 160
8.1. Постановка задачи * « ♦ * • 160
8.2. Определение орбиты при заданной величине а . • • * . 163
8.3. Определение площади эллиптического сектора . • . * . 167
8.4. Площади гиперболического и параболического секторов 174
8.5. Уравнение Эйлера — Ламберта 179
8.6. Определение вида орбиты при ДО < 2л; # . * 180
8.7. Определение вида орбиты при ДО > 2л .185
8.8. Особые случаи определения орбит 189
8.9. Перечень возможных вариантов определения орбиты по
-*w двум фиксированным точкам . . . ♦ , . * 195
8.10. Вычисление величин р и со . 198
Г л а в а . IX. Влияние изменений начальных условий движения на
элементы эллиптической орбиты . . » . , 202
9.1, Постановка задачи 202
^ 9,2. Вариации большой полуоси и периода обращения . . , 203
9.3. Вариации эксцентриситета орбиты ♦ ....♦.,... 206
9.4. Вариации углового расстояния от перицентра до
начальной точки ,211
9.5. Изменение высот перицентра и апоцентра . 217
9.6. Вариации элементов, определяющих положение плес-
кости орбиты s . , 22ft
\л а в а X. Связь между вариациями текущих характеристик и Ч
начальных условий движения 231^
ЮЛ. Основные соотношения , . ....
10.2. Вариации характеристик движения при фиксированном ~j
угловом расстоянии от начальной точки 236
10.3. Частные производные от текущего радиусе при ,
cp-const < , , -»23г/|

ОГЛАВЛЕНИЕ
*■
10.4. Частные производные от составляющих скорости с. и!
1'и При <p = COnst
10.5. Частные производные от времени полета / при!
q>=*const , - - |?41
10.6. Определение производных по угловой координате но на- |
чалъной точки ,...,.. 149
107. Частные производные от величин, характеризующих от- |
клонение спутника в направлении нормали к невозму- |
щенной плоскости орбиты -.«*.,. 160
10.8. Сводка результатов определения частных производных i
от текущих характеристик по начальным условиям дви- I
жения при ф = const .....'..,.... J55
10.9. Частные производные от текущих характеристик по
начальным условиям движения при <р = const и
фиксированном угловом положении начальной точки , . . . , 257
10.10. Частные производные от текущих характеристик по.
начальным условиям движения при / — const 289
10AL Частные производные от текущих характеристик по
начальным условиям движения в прямоугольной системе
координат (при t - const) . . , >
10,12. Анализ полученных результатов применительно к
случаю движения по эллиптическим орбитам Ш!
10. 13. Обращение матриц частных производных от текущих
характеристик по начальным условиям движения .
i d в я XI. Влияние мозмущающих ускорений на элементы орошы
ihl. Постановка задачи н основные соотношения
11.2. Вычисление производных от функций координат и и>
ставляюших вектора скорости . * .
d&h di du
1ГЗ. Определение проьзиодных —п~, -g£ и -^j - . . .
dp de Ш i
М.4. Определение производных -тг- и ~тг ........ » л
did da di\ ш
i L5. Определение производных -jt* ~df и lit • ■
da drn dP Ж <
i.6. Определение производных -тг* -~^~ и ~-^*- , щ.
i i 7. Система дифференциальных уравнении движения и Щ t
#оскуллру:ощих элементах . « ,»Г
' 8. Решение системы дифференциальных уравнений льи-tf
жения в оскулирз'юшнх элементах методом последе***-}
тельяых приближений . - * ■■*

ОГЛАВЛЕНИЕ
9
^/Глаза XII. Реальное поле притяжения Земли 306
12.1. Постановка задачи 308
12.2. Потенциал гравитационного ускорения 309
12.3. Зависимость притяжения Земли от формы со
поверхности .....'......•.„ 311
12.4. Общий земной эллипсоид и нормальное
аиле'притяжения Земли 312
12.5. Аномалии с#лы земного притяжения 318
'Глава XIII. Влияние второго члена разложения потенциала
земного притяжения в ряд по сферическим функциям на#
движение искусственных спутников Земли 322
13.1. Определение проекций возмущающего ускорения на оси
системы координат, связанной с положением спутника
на орбите , . . . . 322
4 3.2. Вековое возмущение плоскости кругозой орбиты , . . 324
13.3. Возмущение периода обращения спутника по круговой
орбите ..-.♦...♦. ....... 3<?7
13.4. Периодические возмущения круговой орбиты , . . . . 3'^>
13.5. Вековые возмущения эллиптической орбиты 334
13.6 Возмущения периода обращения эллиптической орбиты 34*
13.7. Дрлконический период обращения 344
13 8. Сидерический период обрашежи в восходящем узле
орбиты -......,..> 35?
1,3.9. Долг апериодические возмущения орбиты .... 3ft*
в а XIV. Влияние сопротивления воздуха на движение
скусственных спутников Земли по круговым и почти
крутым орбитам . . 36
4Л, Постановка задачи .... ......... 362
4.2 Сила сопротивления и плотность воздуха . . . . . 363
4 3 Локальные модели атмосферы . . 36?
4.4 Влияние сопротивления воздуха на движ-.чпк- -ю «--уп*
вым орбитам у
и Г*. Изменение высоты круговой орбиты иод влиянием -о-
* противления воздуха ..-....'
.6. Время существования спутника ц критические эн* **м*ы
цементов круговое орбиты . . . JUI
к

10 ОГЛАВЛЕНИЕ |
i\
14.7. Влияние захвата атмосферы вращением Земли на
движение по круговой орбите * • 394
148. Влияние сопротивления воздуха на движение по почти у
круговым орбитам ...,♦.« 4С
Т л а в а XV. Влияние сопротивления воздуха на движение по
эллиптической орбите . • 4©#
15.1. Основные соотношения 406
15.2. Разложение выражений для др и бе в ряды по
степеням эксцентриситета 408 £
15.3. Асимптотические выражения для определения величин
бр и бе при значительных эксцентриситетах орбит . * <Ш
15.4. Вековые возмущения орбит с малыми
эксцентриситетами « 42$
15.5. Вековые возмущения большой полуоси, периода обра- {
щения, максимальной и минимальной высот полета . . 42f4
15.6. Анализ характера вековых возмущений эллиптических |
орбит ....■••.' ^Щ
15.7. Изменение эксцентриситета орбиты за все время-.суще- *
ствования спутника .•'.... ^Щ
15.8. Методика определения времени существования,
спутника на эллиптической орбите 4Щ-
15.9. Оценка времени существования спутников на орбитах ¥
со значительными эксцентриситетами . . ........ ,
15.10. Время существования спутников на орбитах е ыалыми1|ЙШ
эксцентриситетами ....«..«, *-щЩ
15.11. Сравнительный анализ формул для определения вре-& *
мени существования .....'.«...
15.12. Сводка приближенных формул для определения
времени существования спутника ■ . •
Глава XVI. Влияние притяжения Солнца и Луны на движен
искусственных спутников Земли
16.1. Уравнения движения космического объекта .....
16.2. Разложение возмущающего ускорения в ряд по степ|
г
ням отношения —
16.3. Сферы действия притягивающих тел
16.4. Возмущающее влияние притяжения Солнца и Луны
движение искусственных спутников Земли ....

ОГЛАВЛЕНИЕ
11
16.5. Проекции возмущающего ускорения на оси, связанные
с положением спутника на орбите .....♦.,♦• 471
16.6. Возмущения круговой орбиты за один виток , . 4 , , 474
167. Возмущения эллиптической орбиты за один виток . . . 477
16.8. Анализ возмущений эллиптической орбиты за один
виток .480
16.9. Возмущения эллиптической орбиты за несколько
оборотов спутника .......... 485
16.10. Вековые возмущения элементов орбиты 489
16.11. Долгопериодические возмущения эксцентриситета
орбиты и высоты перигея . - . . 492
16.12. Долговременные эволюции орбит искусственных спут-
ь ников Земли 497
f лава XVII. Влияние светового давления на движение
искусственных спутников Земли . , 501
17.1. Световое давление . . . . . .501
17.2. Влияние светового давления на движение сферического
искусственного спутника Земли _. . . . 505
17.3. Сравнение влияний светового давления и других
возмущающих факторов 509
17.4. Проекции возмущающего ускорения на оси, связанные
с положением спутника на орбите .......... 51 i
17.5. Возмущения круговой орбиты за один оборот спутника 513
17.6. Возмущения эллиптической орбиты за один оборот
спутника ...... 517
17.7. Долговременные возмущения орбиты . . , 521
17.8. Определение моментов пересечения спутником тени
^ * Земли ........... 523
приложение I. Таблица основных параметров атмосферы
CIRA 1961 .... 527
М-р и ложен ие II. Таблица функций H(h)f F(h), гр(Л), k(h) и
\ Ф(А) для атмосферы США 1961 529
Приложение III. Таблица функций ф(<?о), ^i(^o) и ф2(ео) 53'
Щр вложение IV. Таблица функций /^(у)(/=1, 2, 3, 4) 534
itpxepaTypa ..... .... ....... 536
Щ^едметный указатель ♦ • 538

*
ПРЕДИСЛОВИЕ
* В настоящее время в связи с запуском
разнообразных космических объектов как в Советском Союзе, так
и за рубежом появилось значительное количество работ,
яосвященных теории полета этих объектов. В
подавляющем большинстве эти работы представляют собой
журнальные статьи, трактующие отдельные вопросы. При
3Toit имеется еще очень мало работ, в которых теория
полета искусственных спутников Земли (или по крайней
мере отдельныелее крупные разделы) излагалась бы
последовательно и на том уровне, какой требуется для
решения практических задач. Необходимость такого
систематического изложения очевидна, поскольку все более
и более широкий круг разнообразных специалистов так
или иначе сталкивается в своей деятельности с
различными вопросами теории полета искусственных
космических объектов. Кроме того, уже сейчас изучение этой
теории включено в программу ряда высших учебных
заведений.
Настоящая книга представляет собой попытку
систематического изложения некоторых основных положений
одного из важнейших разделов теории полета искус-
с*аенных небесных тел, а именно, теории полета
искусственных спутников Земли. Наибольшее внимание
уделяется выводу и обоснованию наглядных
закономерностей, определяющих движение спутника на пассивном
участке траектории (при полете с выключенной двига-
тельной установкой). В целях сохранения
непрерывности и систематичности изложения в книгу включен
ряд разделов, достаточно подробно изложенных в
курсах классической небесной механики (теория
невозмущенного кеплерова движения, вывод дифференциальных
уравнений возмущенного движения в оскулирующих

14 ПРЕДИСЛОВИЕ
элементах). Однако основное содержание книги
составляет рассмотрение вопросов, обычно почти не
затрагиваемых в курсах классической небесной механики, но
играющих большую роль при решении основных зад; i
теории полета искусственных спутников Земли. К их
числу относятся: исследование движения спутника i;)
круговым и почти круговым орбитам; анализ всех
возможных вариантов невозмущенной орбиты, проходящей
через две заданные точки; влияние изменений
начальных условий движения на элементы эллиптической
орбиты; вариации текущих характеристик движения (кон
ординат и составляющих вектора скорости) при малы ж
отклонениях начальных условий движения; влияние нсч
сферичности Земли и сопротивления воздуха на движем
ние искусственных спутников Земли; определение врем
мени существования искусственных спутников Земли?
влияние возмущающего действия Солнца и Луны на'
движение искусственных спутников Земли. л
Большое внимание в книге уделяется рассмотрению»
движения по круговым и почти круговым орбитам. Мен
обходимость этого определяется большим практическим
значением указанных орбит, а также простотой и на-»
глядностыо получающихся соотношений, в значительное
степени объясняющих основные закономерности движея
ния искусственных спутников Земли. Кроме того, с. ic->
дует иметь в виду, что круговая орбита представляем
собой особый случай движения по эллиптическим орбна
там. Поэтому многие закономерности эллиптическою
движения неприемлемы непосредственно при рассмотрев
нии кругового и почти кругового движения.
В заключение автор пользуется случаем вырази*;
свою благодарность В. Е. Волкову, И. Г. МироштК1
ченко, *И. Ф. Петровичу, Е. Г. Портнову, А. И. Ткщ*
ченко, А. А. Усикову, В. Г. Хорошавцеву и М. С. Шнро?
кову, взявшим на себя труд по предварительному про»,
смотру книги, а также 3. К. Кузнецовой, 3. Г.
Андросовой и Л. Н. Касаткиной, выполнившим основные расчет
ные и графические работы. щ

ВВЕДЕНИЕ
oft*
Как известно, теория полета искусственных небесных
ЯЩп тесно примыкает к классической небесной механике
н|Или теоретической астрономии, как ее часто назы-
1*ют), являющейся одной из старейших и хорошо раз-
•^Шботанных наук. Это связано с тем, что уравнения
ЧИЬсивного полета любого искусственного космического
<*#ъекта (т. е. полета с выключенной двигательной
установкой) принципиально не отличаются от уравнений
Движения естественных небесных тел. В связи с этим
1* теории полета искусственных космических объектов
^йироко используются многие результаты, полученные
Ь классической небесной механике.
Однако как по стоящим перед ней задачам, так и
tio используемым при решении этих задач методам
теория полета искусственных космических объектов
существенно отличается от классической небесной механики.
Действительно, последняя в своей основе является
наукой преимущественно созерцательной, основная цель
которой — определение и исследование законов
движения существующих небесных тел. В противоположность
ей, теория полета искусственных космических
объектов — активная инженерная наука, предназначенная для
Зрешения следующих основных задач:
i выбора оптимальных орбит;
определения существующих орбит;
i расчета корректур, изменяющих орбиту.
Из указанных задач только вторая является общей
Аля небесной механики и теории полета искусственных
небесных тел. Однако даже при решении этой задачи
Имеет место существенное различие между методами,
используемыми обеими науками. Это связано с тем, что

16
ВВЕДЕНИЕ
классическая небесная механика имеет дело
преимущественно со стационарными орбитами, существующим ц
длительное время. При этом каждая орбита интересует^
исследователя сама по себе, как некоторое самостоя-*
тельное явление природы. Определение таких орбит
производится в течение длительного времени и часто за**
тягивается на годы. В противоположность этому, ирц
запусках искусственных космических объектов в
подавляющем большинстве случаев используются нестащцЦ
нарные орбиты, движение по которым является
сравнительно кратковременным.
Так, например, большинство искусственных спутццр
ков Земли по истечении небольшого промежутка
времени (обычно порядка нескольких месяцев или лет)
падают на Землю (в основном под влиянием сопроод
вления воздуха, а также вследствие возмущающцй|
действия Луны и Солнца). В связи с этим в теории lifer
лета искусственных космических объектов часто
приходится иметь дело со значительно более сложными и бц*
стро изменяющимися орбитами. При их определение
предъявляются особо жесткие требования к быстрот
проведения всех расчетов. При этом каждая орбита
представляет в основном интерес не сама по себе¥
а лишь с точки зрения задач, для решения которых он^
предназначается.
Характерной особенностью теории полета искусствен*
ных космических объектов является то, что в ней прихо;
дится одновременно рассматривать большое число раз?
личных вариантов орбит и выбирать из них оптималь*
ные, что также требует быстрого проведения трудоем*
ких вычислений. Поэтому все точные расчеты в теори^
полета* искусственных космических объектов, как npaj|
вило, производятся на быстродействующих электронны»
вычислительных машинах. Эти расчеты в подавляюще;*
большинстве случаев ведутся методом численного ии«
тегрирования достаточно полных уравнений движения
рассматриваемого объекта.
Однако в тех случаях, когда приходится выбират^
среди многопараметрического семейства возможных ору
бит, одной быстроты в проведении расчетов недост%
точно. Здесь особое значение приобретает необходим

ВВЕДЕНИЕ
17
мость отыскания простых приближенных зависимостей,
позволяющих быстро проанализировать большое число
возможных вариантов и наглядно представить себе
влияние основных параметров, определяющих движение
рассматриваемого объекта. Эти зависимости дают
возможность свести к минимуму число рассматриваемых
параметров и существенным образом сузить
возможную область их изменения. Только после этого может
оказаться целесообразным проведение ограниченного
объема точных расчетов.
Из изложенного вытекает необходимость следующих
двух направлений развития теории полета
искусственных космических объектов: разработка приближенных
методов быстрого и наглядного анализа влияния
различных факторов на движение рассматриваемых
объектов и создание методов точного расчета и определения
орбит.
При разработке обоих направлений классические
методы небесной механики часто оказываются
непригодными, так как, с одной стороны, они не обладают
достаточной наглядностью, а с другой, мало
приспособлены для проведения расчетов на быстродействующих
машинах.
Настоящая книга посвящена первому из указанных
направлений и имеет своей целью изложение основных
результатов, позволяющих по возможности наглядно и
просто определять влияние основных факторов на
движение искусственных спутников Земли.

ГЛАВА I
ДВИЖЕНИЕ ПО КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Движение достаточно широкого класса
искусственных спутников Земли происходит по орбитам, близким
к круговым. Ряд основных закономерностей такого
полета может быть получен из теории кругового и почти
кругового движения, главным достоинством которой
является большая наглядность основных выводов.
Настоящая глава посвящена изложению этой теории.
В ней рассматривается невозмущенное круговое
движение спутника. В главах II и III исследуются различные
возмущения круговых орбит и описывается
возникающее в результате этих возмущений почти круговое
движение.
При исследовании невозмущенного кругового
движения мы будем исходить из следующих допущений.
1. Земля является сферой радиуса
# = 6371 км. (1.1)
2. Движение спутника происходит под действием
только силы притяжения Земли.
3. Увкорение силы земного притяжения всегда
направлено к центру Земли и его абсолютная величина g
определяется по формуле Ньютона
*=£. (Ь2)
где г — расстояние от центра Земли до спутника, а ц —
коэффициент, равный произведению гравитационной
постоянной на массу Земли. С точностью, достаточной

Щ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 10
для решения ряда практических задач, можно считать,
что
11-3,986.10» км*/сек*. (1.3)
Более точные значения коэффициентов,
определяющих поле земного притяжения, будут даны в гл. XII.
4. Величина и направление начальной скорости
спутника (скорости выхода его на орбиту) подобраны из
условия получения круговой орбиты.
Обозначим через w скорость движения спутника по
круговой орбите радиуса г и в дальнейшем будем
называть ее круговой скоростью спутника. Из допущения 2
и выражения (1.2) следует, что
г — г*
и
^=j/J. (1.4)
Время, в течение которого спутник совершает
полный оборот вокруг Земли, назовем периодом обращения
спутника и обозначим через Р. Очевидно, что
Я == — == 2я-£=-. (1.5)
Таким образом, круговая скорость w спутника и его
период обращения Р зависят только от расстояния г до
центра Земли, или от высоты полета спутника над
поверхностью Земли
i
При этом с увеличением высоты полета h круговая
скорость w убывает, а период обращения Р возрастает.
На рис. 1.1 представлены графики зависимостей
величин w и Р от h. Из графиков видно, что у спутников,
летающих на небольшой высоте, величины w и Р
меняются в сравнительно узких пределах. Так, при
/К2000 км период обращения Р не превосходит 2 час
7 мин, а круговая скорость w не убывает ниже
значения 6.9 км/сек. С другой стороны, как будет показано
2*

?0
ДВИЖЕНИЕ ПО КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
1ГЛ 1
впоследствии, длительное движение спутника на высоте
&<100-г-150 км практически неосуществимо (из-за р«л
кого возрастания влияния сопротивления воздуха). Этим
высотам полета соответствуют минимально возможное
значение периода обращения спутника по круговой
орбите Pmin~87 мин и максимальное значение круговой
ьо,, Р,
ш
8
7
6
5
3
г 1
ivac
\зо
20-
15 ^
10 \
5\
2J
^
|.
р
ат
10000
20000
30000
woo
50000 htHM
Рис. l.l. График зависимости периода обращения Р и круговой;
скорости полета w от высоты h круговой орбиты. * "
скорости гюлета шгаах^7,85 км/сек. Таким образом,
у спутников, летающих на высотах /i<2000 км, период
обращения колеблется в пределах от I час 27 мин до
2 час 7 мин, а скорость полета — от 6,9 до 7,85 км/сек.
При дальнейшем увеличении высоты полета период
обращения спутника непрерывно возрастает. В часр
ности, при Л«36 тыс. км период обращения равен звезл-
кош суткам. Если спутник с таким периодом
обращения запустить вдоль экватора в направлении вращени**^
Земли, то oi: будет все вр-емя неподвижно «висеть» над»*
одно:": и той ,ке точкой земной поверхности. 1м

f.lj ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 21
Определим теперь приходящийся на единицу массы
Спутника полный запас механической энергии Q, кото-
SyK> надо сообщить спутнику для подъема его с по-
&{&ности Земли и вывода на круговую орбиту.
Пользуясь зависимостями (1.2) и (1.4), легко получить
Следующие выражения для определения запасов
кинетической энергии QK и потенциальной энергии Qn:
w2 ц
(О О = —_
т
til
U.
U
»:!
(1.6)
Тогда полная энергия на единицу массы спутника
авна
Q-QK + Qn = ^(^-^r). (Ь7)
Следовательно, полный запас механической энергии
спутника, движущегося по круговой орбите, возрастает
jUo мере удаления орбиты от поверхности Земли (хотя
jCro скорость полета, а значит, и кинетическая энергия
при том убывают). При удалении орбиты спутника на
бесконечность его энергия стремится к предельному зна-
i
чешпо
<?-«=■£■ о-»
Из равенства (1.4) видно, что в этом случае «у = 0,
у, о. вся механическая энергия переходит в
потенциальДля того чтобы запущенный с поверхности Земли
,сл\ .ник приобрел энергию Q<», ему должна быть
сообщена начальная скорость
V* = V2QZ = |Л •£ - уТю* (1.9)
где й:»л — круговая скорость спутника при ft=0, т. е.
ври г «Я (как было уже замечено, такой спутник
практически неосуществим).
Ri Ниже будет показано, что всякое тело, брошенное
е: гюиерхности Земли с начальной скоростью Уд,
преодолевает земное притяжение и уходит в бесконечности

22 ДВИЖЕНИЕ ПО КРУГОВЫМ ОРБИТАМ {1ЛГ|
по параболической траектории. Значения Шя«7,9/с.'.?Дт'с
и Уд«11,2 км/сек называют соответственно первой ,у
второй космическими скоростями. u ч,
В заключение оценим скорость изменения энсдоад
спутника, движущегося по круговой орбите, при пзм.%
нении высоты его полета. Дифференцируя выражение
(1.7) и пользуясь зависимостью (1.2), получим: |Т
Как будет показано ниже, спутник, движущийся на
небольшой высоте, постоянно опускается под влиянием
сопротивления верхних слоев атмосферы. При этом его
механическая энергия преобразуется в тепловую. Из
выражения (1.10) следует, что выделяющаяся при
снижении спутника на высоту Ah тепловая энергии лТ
может быть оценена по формуле
go dh 2 g0 ^ 2 Ю
где G—вес спутника, a go — ускорение силы тяжести
на поверхности Земли. Если принять, что G=\ кГ п
&h— 1 км, то А Г < 500 кГм~ 1,2 ккал.
Как будет показано ниже (см. гл. XIV), высота
полета спутника понижается под влиянием
сопротивления воздуха сравнительно медленно. При этом большая
часть выделяемой энергии успевает рассеяться. Поэтому
при снижении спутника под влиянием тормозящего
действия атмосферы его температура практически не
изменяется или изменяется очень медленно. Сильное
нагревание имеет место лишь в самом конце полета, когда
спутник, войдя в плотные слои атмосферы, быстро -т
гадает.
1.2. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
ПО КРУГОВОЙ ОРБИТЕ «
п
Как известно из теоретической механики, Henoepeif-
ственным следствием сделанного выше допущения
о центральности поля сил земного притяжения является
постоянство плоскости, в которой происходит движет»

1.21
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
23
спутника. Эту плоскость мы будем в дальнейшем
называть плоскостью орбиты (ниже будет показано, что под
влиянием нецентральности поля сил земного
притяжения плоскость орбиты в действительности непрерывно
■изменяет свое положение).
Рис. 1.2. Элементы, определяющие
пространственное движение спутника по
круговой орбите.
Линию пересечений плоскости орбиты с плоскостью
-:-jмного экватора называют линией узлов. Ту точку,
; которой орбита пересекает плоскость экватора при
'; ижении спутника с юга на север, называют восходя*
'ь-им узлом и обозначают знаком i~l. Противоположную
( «тиосительно центра Земли) точку орбиты называю?
и сходящим узлом и обозначают через 1j (рис. 1.2)
"■; Положение восходящего узла характеризуется углом
'*»; жду направлением Ofl и некоторым заданным
направлением в плоскости экватора. Этот угол называют
£с\*готпй восходящего узла и обозначают тем же^

У' ДВИЖЕНИЕ ПО КРУГОВЫМ ОРБИТАМ [ГЛ
\
злаком Д. Обычно величину долготы SI отсчитываю^
против движения часовой стрелки (если смотреть со сто*
ролы северного полюса) от направления на точку в
сеннего равноденствия Т. При таком определении дол
;ота восходящего узла равна прямому восхождение
■•ч»чки $1 [9].
В качестве второго угла, характеризующего положс
i:ue орбиты, используется угол i между плоскостям >j
экватора и орбиты, называемый наклонением орбипб
• см. рис. 1.2). Вершиной угла i является восходящи f
узел £|, а отсчет этого угла ведется против движение
часовой стрелки от восточного направления на экв; I
торе. Наклонение i орбиты изменяется в пределах < $
U до я (так как при повороте плоскости орбиты и I
угол i>n восходящий и нисходящий узлы меняются!
Ф
вестами). Интервалу изменения 0</<у соотвс |
-тзует движение спутника с запада на восток, a инте] |
?пу ~< 1 -<>я — движение с востока на запад. '&
В качестве угла, определяющего положение D сиу
ника на орбите, используется угол и между направо
"\иями 0&1 и OD. Он отсчитывается в направлении nt
чета спутника. Так как скорость полета спут.к. .,, й
«круговой орбите постоянна, то
«=■£-('-'«> t1-11
г'с i — заданный момент времени, a tn — время л\ю\ "Л
/кдения спутника через восходящий узел. Ц
Очевидно углы SI, i, и и расстояние г от цс н М-
?омл до спутника полностью определяют поле л.С1 :J|
тс-следнего в пространстве. Исключение составляет с лА
\.pyi, когда /—О (или л), так как при этом плоскость ,^|
•<ш совпадает с экватором и положение узла ста $Д
• ■ ^я неопределенным. В этом случае для определ
м полаг 1с~. что f£ = 0 ii в качестве начала от^
<<. •* и принимают направление Оу,

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
25
Для примера определим положение спутника в сфе-
неской системе координат габ, где а — прямое восхо*
:хёние спутника, т. е. угол между направлением ОТ из
рч Земли на точку весеннего равноденствия и пло-
остью меридиана, проходящего через спутник (этот
ол отсчитывается от точки £Yj на восток), а б — скло-
те спутника, определяемое как угол между напра-
!ейием OD и плоскостью экватора (положительное
правление отсчета — на север от экватора). Из прямо-
ольного сферического треугольника QDD' (см.
1С. 1.2) находим:
а = SI Ч- arctg (tg и cos /),
6 — arcsin (sin u sin /).
(1.12)
Ш Из выражений (1.12) видно, что при движении спут-
1ка по орбите угол а непрерывно пробегает все зиа-
Ьнч;т от 0 до 2я, в то время как склонение б изме-
.£ -г? в пределах
1 т.
при 0</ <
л
при ~ < с < я.
(1.13)
Во многих случаях положение спутника удобно
S? «уделять в правой прямоугольной системе координат
>i':'/v. ось Ог которой направлена по оси вращения
■м.'!и, 1! ось Ох — i:a точку весеннего равноденствия
:м. рис. 1.2). Обозначим через Л, Е и С точки пере-
.■•ч<г\мя о~ей координат со сферой, для которой
Мссматрив.'емая орбита является большим кругом. Из
рои чески: треугольников ADfl, ED') и CD),
,UV-.'':v. ' Ч
cos AD — cos fl cos a — sin Г£ sin и ■ ..-; /,
cos ED ~ sin Д cos и -f- cos Q sin /; cos /,
cos CD -^>iiin ;/. sin /,

26
ДВИЖЕНИЕ ПО КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
(ГЖ|
(Ъ1;
откуда непосредственно получаем:
х = г (cos Д cos # — sin Д sin я cos /),
у = г (sin Д cos а-j- cos SI sin и cos /),
z= r sin и sin/, •
^ = jc == <уг (cos Д cos и — sin Д sin и cos /) —
— vu (cos Д sin и -f- sin Д cos и cos /),
t>y = у = x>f (sin SI cos я -f cos SI sin и cos /) —
— vu (sin Д sin и — cos Д cos и cos Q,
t», = z = i>r sin и sin / -j- i>u cos a sin /,
где x, yt z — координаты положения спутника, г—-jplsfc-ч
диус орбиты, vx, vv, vz — проекции вектора текущей ска*
рости спутника на оси рассматриваемой системы Koojfc
динат, a vr=f и vu — ru — проекции этого вектора соо|р
ветственно на направление радиуса г и на лежа щур
в плоскости орбиты нормаль к этому радиусу. Для круИ
говой орбиты | :
4
Из зависимостей (1.4), (1.5), (1.11) и (1.14) ел еду ели
что для определения положения и скорости спутник !
движущегося по круговой орбите, в произвольный м
мент времени достаточно знать четыре величины: до
готу Д восходящего узла, наклонение i орбиты, врем
*д прохождения спутника через восходящий узел и п
риод его обращения Р (или радиус г орбиты). Эти вели]
чины, целиком определяющие круговую орбиту, в даль
нейшем будем называть элементами орбиты. Заметив]
что рассматриваемое движение есть частный случай п ■»
странственного движения материальной точки в вадаъ
ном поле сил. Как известно, такое движение описи
вается системой обыкновенных дифференциальных урав
нений шестого порядка и, следовательно, определяете
шестью независимыми величинами (например, началь
ными условиями). В рассматриваемом случае недостаю
ие две величины находятся из условия получения кр

ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЗЕМЛИ 27
навей врбиты. При этом величина скорости полета опре«
деляется из выражения (1.4), а направление скорости —
и* условия ее перпендикулярности к вертикали в данной
же орбиты.
ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЗЕМЛИ
I::':;;'" Приведенные выше зависимости определяют движе-
■/jjlfoe спутника относительно невращающейся
(«абсолютной») системы координат. Для наблюдателя,
находящегося на Земле, представляет интерес движение
относительно системы координат, связанной с вращающейся
;(||емлей. В качестве таковой используем систему
сферических координат hBL, где h — высота полета спутника
J ад поверхностью Земли, В — геоцентрическая широта
точки D, в которой находится спутник в данный момент
времени, a L — долгота этой точки, отсчитываемая от
гринвичского меридиана на восток. Обозначим через Ai
(см.^рис. 1.2) точку пересечения гринвичского мери-
»иана с экватором, а через 5 — угол AOAt. Заметим,
го этЪт угол равен звездному времени на гринвичском
меридиане [9] и может быть определен по формуле
f „ S = S0+Qt,
где S0 — звездное время в некоторую гринвичскую
полночь (определяется по Астрономическому Ежегоднику),
Ьр=7,292П ♦ Ю"5 сект1 — угловая скорость вращения Зем-
jJBhi, а ? — время, прошедшее от этой полуночи.
I С учетом этой формулы можно написать
В-
t А = г — /?, # = 6, L = a — (S0-\~Qt). (1.15).
> Пользуясь зависимостями (1.15), а также
выражениями (1.11) и (1.12), можно построить проекцию ор-
1биты«на поверхность Земли (т. е. построить
геометрическое место точек, через зенит которых проходит
спутник)." Зту проекцию будем называть трассой полета ^
|спутника. Ее форма целиком определяется величинами *.
щи Р. Изменения остальных элементов орбиты (Д и t&y *
вызывают лишь некоторые смещения трассы по долготе,
также смещения проекции спутника вдоль трассы.

28
ДВИЖЕНИЕ ПО КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
1
На рис. 1.3—1.7 изображены примеры разли *^
трасс спутников. По осям абсцисс отложена дол ]
проекции спутника на земную поверхность, а по < 1
ординат — широта. Рассмотрим подробнее рис. 1.3 4,
котором изображена трасса полета спутника с гиерис -|
обращения Р=100 мин и наклонением /=65°. Жн[ 1
-' »■ Р=Ю0минут
189 L :Pa/i
Рис. 1.3. Трасса полета спутника при движении по
круговой орбите с периодом обращения Р =100 минут
и наклонением / = 65°.
линия изображает первый виток орбиты (под вятк» Щ
орбиты подразумевается часть орбиты, соответствуй >,Ш
полному обороту спутника вокруг Земли; за нача***1
витка принимается момент прохождения спутника н |
экватором). Расстояние по долготе между началу Q
точкой А и конечной точкой В первого витка р<р |
углу поворота Земли за один оборот спутника. О !
определяется по формуле j
где Яу — звездные сутки [9].
Расстояние AL называется смещением спутника i
долготе за виток орбиты. Это смещение отсчитываете
е направлении с востока на запад, т. е. в сторону yf-i
ьания ваточной долготы.

I
ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЗЕМЛИ
Заметим, что фактическое значение AL будет не-
олько отличаться от величины, определяемой по
иведенной формуле. Это объясняется непрерывным
ещением плоскости орбиты под влиянием нецентраль-
сти поля сил земного притяжения. Как будет пока-
о ниже, возникающее в результате этого относитель-
е изменение величины AI не превосходит 1-Н,5%.
Все последующие витки трассы спутника могут быть
|Й|лучены путем последовательного смещения трассы
западу на величину AL относительно первого витка,
рис. 1.3 цифры верхнего ряда соответствуют номе-
5 восходящих ветвей витков орбиты (т. е. тех частей
тветствующих витков, по которым спутник движется
юга на север), а цифры нижнего ряда — номерам
§|| с ходящих ветвей (по которым движение происходит
1'Ьевера на юг).
Обозначим через N ближайшее целое число,
определяемое по формуле
Ц ' N~%;~%- 0.»7>.
Для приведенного на рис. 1.3 случая Л/=14. Из ?«•'-
жения (1.17) следует, что спутник делает N виткоь
понизительно за сутки. Поэтому число N обычно на-
|гынают суточным числом витков орбиты. Для спутнк-
"*" в, летящих на сравнительно небольшой высоте
'2000 км), это число изменяется в пределах от 11'
17. Очевидно, что в начале N-j-l витка (точка С ни
v 1.3) спутник наиболее близко подойдет к своему
одному положению в точке А. Расстояние по долгота
$кду точками А и С называется суточным смещением^л
"шты Д/,<.ут и определяется по формуле
Д!ГУт = 2я — iVAL
то
При этом положительное значение Д£Сут соответЛ?;;
ует возрастанию восточной долготы, а отрицатель^! •
убыванию. Из определения числа А/ следует, ч^ F.
Очевидно, все витки от AfH-1 до 2N включителы-;»г
>гут быть получены из первых N витков путем слей- j

30
ДВИЖЕНИЕ ПО КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
1ГЛЛ»
по долготе на величину Д/,сут. Затем путем сдвига ча
ту же величину может быть получена картина движс№
ния спутника от 2W+1 до ZN витков и т. д. Если отношу'
ние -дт; является целым числом, то А1Сут = 0 и спутшА
приблизительно *) через сутки возвратится в исход»*»!
■ ж
А
,н
щ
'*
нн
/80 L.epad
Рис. 1.4. Трассы полета спутников при движении по
круговой орбите с наклонением / = 65 и смещениями по
долготе за один виток Д1 = я, 2я, 4л.
положение. Если это отношение представляет собой
циональную дробь
2л п
где п и т—некоторые целые числа, то спутник возврат-г
тится в исходное положение, пройдя л витков, т. е.
приблизительно через т суток.
В общем случае, когда отношение -гг является ирц^
циональным числом, спутник вообще не возврати *§й
в исходное положение. При этом он последовател »ш
пройдет над всеми точками земной поверхностям
*) Оговорка «приблизительно» здесь необходима в связи с тем,
по равенство (1Л7) приближенное, ш

|>3j ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЗЕМЛИ л
33 \
лежащими в интервале широт
-/<£<< при 0</<5.
я
/-д<£<я — / при £<'<*•
Приведенная на рис. 1.3 форма трассы полета спу^
ника соответствует случаю движения со сравнителка
А., Р=20часо6 \
Ле
е ■'
WL.apad
уюд
Рис. 1.5. Трасса полета спутника при движении по кру*л пй
говой орбите с периодом обращения Р =.20 часов иДт;"
наклонением /«-65°.
небольшим периодом обращения (Р<0,5 Р3). Пр*
щественном увеличении периода обращения ф?0Л''*
трассы заметно изменяется. На рис. 1.4—1.7 из<0раз
жены трассы полета при том же наклонении &жена
(т. е. при полете с запада на восток) и значител/этом
периодах обращения спутника. На рис. 1.4 кривал^^*
изображает трассу первого витка при Д£=ая(Р»(иному
На рис. 1.5 показана трасса нескольких витков дл» 1.7,
биты с периодом обращения Р«20 час. В этом cj/15OMr
смещение за виток находится в интервале "Чсы.
n<M<2nf \
и, как видно из рис. 1.5, конечная точка В первого
ка лежит к востоку от начальной точки At

ДВИЖЕНИЕ ПО КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
[ГЛ. I
'-Для изображенной на рис. 1.6 трассы полета с пе-
.дом обращения Р = 30 час величина AL находится
нтервале
2л<ДЬ<Зя.
Я этом случае смещение орбиты за виток происходит
■управлении с востока на запад (как и при малых
-юдах обращения), а трассы отдельных витков
fiOT петлеобразную форму.
В.
гцад\
so
Р=30часов
180 L,epad
V.c 1.6. Трасса полета спутника при движении по
круговой орбите с периодом обращения Р — 30 часов и
наклонением / ~ 65°.
t
1 дальнейшем увеличении периода обращения се
. и южная петли трассы постепенно уменьшаются
онец, совершенно исчезают. На рис. 1.4 кривая
.лображает трассу полета при А£=4я (Р«2Р3)
-бый случай представляет изображенная на
с кривой А2В2 трасса полета при Д£ = 2я (Я«рз)
'дно из рис. 1.4, такой спутник все время описы-
юсьмерку» над одним и тем же районом земной
юсти. Эта «восьмерка» сужается по широте
«мнением наклонения i орбиты. При i—0 она стя-
я в точку. Заметим, что реализация подобной
возможна лишь при условии очень точного со-
я требуемой величины периода обращения.
Поля обеспечения длительного пребывания спут

t
ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЗЕМЛИ
33
|Ц1ка над определенным районом Земли может
потребоваться непрерывная активная корректировка его орбиты.
я- Форма трассы существенным образом зависит не
только от периода Р, но и от наклонения i. В случае
щюд\
■ 90
45
ч.
У.П)
-*).
-'М?
-к*
-ЕВ
~(JP
'
В
С
F
D
i
Р-30часо8
1=115°
*^~ /^~">*^ ^^\ ^ «в;—-—-
" vr^Z. Т>«^-
I I L. 1 |
В
с
D
L_
тсЛ'" -ISO -90 0 90 №L,zpod
■^Рио. !.7. Трасса полета спутника при движении по круговой
вабите с периодом обращения Р = 30 часов и наклонением
-oq /=115°.
•щ
'tfb :ета с востока на запад (тг</<л) мы уже не полу-
•иг. \£ I
_щм характерных для движения на восток петлеобраз
_ных трасс. В качестве примера на рис. 1.7 изображена
тр. сса полета для случая Р = 30 час и 1=115°. При этом
fj-тник последовательно проходит над точками ABCDEF
1*тервал от точки А до точки Е соответствует одному
витку орбиты). Как видно из сравнения рис. 1.6 и 1.7,
дереход от наклонения i=65° к наклонению is-H5°=-~
g^idO0- 65° коренным образом меняет форму трассы.

ГЛАВА Ш
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИЕ
ФАКТОРОВ НА ДВИЖЕНЧР
ПО КРУГОВОЙ ОРБИ^|
t
*
2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Выше были рассмотрены основные закономерности,
определяющие движение по круговой орбите при доиу-
щениях, принятых в начале § 1.1. В реальных условиях
эти допущения точно никогда не выполняются, что
влечет за собой отклонение действительной орбиты от
круговой. Отклонения могут возникать под влиянием
различных возмущающих факторов, которые можно
разбить на следующие группы. >_
1. Отклонения начальных условий полета спутника'от
условий, обеспечивающих движение по круговой орбьте.
2. Различные дополнительные силы, действующие^!а
спутник в полете. Основными из них являются:
аэродинамические силы, возникающие при движении в
верхних слоях атмосферы; влияние неаентральности нтЫг1
сил земного притяжения; влияние притяжения к
Солнцу, Луне и планетам; электродинамические силы, BoiriW-
кающие при движении в магнитном поле Земли; CB(?f#-
вое давление. -Ч1'
3. Силы, создаваемые аппаратурой спутника. Ы$-
никновение этих сил неразрывно связано с некото|?ft]li
отбросом массы спутника. "на
Указанные факторы могут существенно отклонись
орбиту спутника, а в некоторых случаях — целиком чп-
менить характер его движения. Это происходит либо
при значительных отклонениях начальных условий, либо
тогда, когда возмущающие силы соизмеримы с силой
земного притяжения (например, при входе в плотные
слои атмосферы, при приближении к Луне, на границе
сфер действия Земли и Солнца, под влиянием больших

2dij
УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
35
активных сил и т. д.), либо при длительном
систематическом воздействии малых возмущающих сил. Однако
в ряде имеющих практическое значение случаев
отклонения орбиты от круговой являются сравнительно не-
бвййшими и при их изучении (по крайней мере
качественном) можно воспользоваться линеаризованными
уравнениями движения. В настоящей главе мы
ограничив! ся рассмотрением именно этого случая. Вопросы,
евизанные с изучением орбит, значительно
отклоняющихся от круговых, рассмотрены ниже.
2.1 УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
-к:
ви'При решении рассматриваемой задачи
воспользуемся цилиндрической системой координат ruz, где
г — расстояние от центра Земли до проекции спутника
(Г.:
9>
-0>
:iit
R'j'
Н*>
Ан
Rfi
Рис. 2.1. Цилиндрическая система координат, связанная
с положением спутника на орбите.
не плоскость невозмущенной орбиты, и — угол, отсчи*
тфваемый в плоскости невозмущенной орбиты от неко-
щюй начальной оси Ох по направлению полета
спутника, г — расстояние от плоскости невозмущенной ор-
Wi№ АО спутника. При этом, если смотреть по
направлению возрастания г, то спутник кажется движущимся,

я
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ
но ходу часовой стрелки. В качестве начала отечц
времени (^ = 0) примем момент прохождения спутн!
через точку, для которой ы = 0 (рис. 2.1). ' ц^я
Условимся также под возмущающим ускорена
подразумевать суммарное ускорение, возникающее ь р*§
зультате действия всех сил за исключением определение
яой в § 1.1 нормальной силы притяжения Земли. Ощ^-
значим проекции возмущающего ускорения на продев!*
жение радиуса-вектора г, на нормаль к нему в пмт
скости невозмущенной орбиты и на ось z соответствеШЙ
через 5, Т и W (рис. 2.1). Тогда, считая отношение*^-
малым и пренебрегая величинами второго порядка mjJ
лости, можно написать уравнения движения спутш||и|
в принятой цилиндрической системе координат [28]: §ф
т 1 d 1 ■>' \ I "$л~
де g — ускорение нормальной силы земного притя
4ия, вычисляемое по формуле (1.2). (Здесь и в д-
тйшем точками обозначены производные от не»
горой скалярной или векторной величины по време|
dr •• (Рг •'• d*r ч
Г=Г=-1Г* Г7=Ж' r = HF итд)-
Как было указано выше, мы здесь ограничив^- \
рассмотрением случая малых возмущающих ускор'■■■!
i\ Т, W (по сравнению с основным ускорением g л
кого притяжения), а также вызываемых ими отклонен
л кругового движения (по сравнению с величинам
и .у). При этом можно с точностью до малых nepi:
порядка не учитывать влияние возмущений орбиты
величины S, T W и определять эти ускорения, как ее
•етствующие невозмущетшой круговой орбите, для
••.рой координаты и составляющие вектора скор*
л\.ника являются известными функциями времени
чч;а. Это позволяет решать первые два уравнения (2Ц
•■-•;. пмсимо от третьего, так как величины S и Т с

УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
V
цостью до малых первого порядка не зависят от
бокового отклонения г.
Обозначим через
vr — r и vu — ru
Проекции вектора скорости спутника соответственно на
Продолжение радиуса-вектора г и нормаль к нему
1*.,плоскости невозмущенной орбиты. Подставляя эти
величины, а также зависимость (1.2) в первые два
уравнения (2.1), после несложных преобразований получим:
с !l i "«
к
V
>a = T-
r = vr
угуа
г
(2.2)
Данная система трех дифференциальных уравнений
относительно неизвестных г, vr и vu, вообще говоря, не
Питается в конечном виде при произвольных значениях
копмущающих ускорений S и Т (решение этой системы
:^;. случая S = T = 0 приведено в гл. IV). Для построе*
гцг: приближенного решения системы уравнений (2.2)
'.деложим, что основные характеристики движения
рассматриваемого спутника на интересующем нас интер
0$,ле изменения времени мало отклоняются от соответ-
угрующих характеристик движения спутника по неко-
; )рой круговой орбите радиуса г0 (в дальнейшем будем
бывать эту орбиту невозмущенной, в отличие от'оты-
•'•■-;■■ чдемой нами возмущенной орбиты). Обозначим че-
;ij\» $rt Ды, Avr и Ду« разности между значениями соот-
»ег Дующих величин для возмущенной и невозмущен-
;oi: ^рбит. Очевидно, что
с\: r = r0-f-A/\
<vr = Дг>„
<vu = w-t-Avu,
:vu = Дг>а,
скорость движения no невозм) щ<ч'<юй круговой
ПН
(2.3)

38 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ [ГЛ. W
Заметим, что первое уравнение (2.2) принимает д.Ш
невозмущенной орбиты вид >я
(.1 , W
2
О- ^- + —. (2.4)
d го
Подставим зависимости (2.3) в уравнения (2.2) iff
вычтем из первого уравнения равенство (2.4). ТогдЭД
пользуясь зависимостью (1.4) и полагая величины Д*|
Де>г и Avu малыми, можно написать (с точностью д5
членов первого порядка малости): ч
Avr — 2к Avu — а2 Дг = 5,
Дг — Avr = О,
(2.5)
где л — угловая скорость движения спутника по
круговой невозмущенной орбите, определяемая из
выражения
Я, = —. (2.6)
Мы получили систему трех линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
относительно неизвестных Дг, Avr и Avu. Можно
показать, что решение этой системы сводится к решению <№
ного линейного дифференциального уравнения второго
порядка и одной квадратуры. Для этого воспользуемся
третьим уравнением (2.5) - !
Avr=Ar (2.?Х
и подставим его во второе уравнение (2.5). После Hilt
тегрирования будем иметь: . *вг
t iOi.
Ava = j T dt — I Ar -+- C, 2.8)
о
где С — некоторая постоянная.
Подставляя зависимости (2.7) и (2.8) в первое
уравнение (2.5), получаем окончательное уравнение для
определения Дг: jy:
Дг'-f № Ьг = Z7, ##)

S.2J УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 39
где
F = 2b(fTdt + c\ + S. (2.9')
Ж известно, общее решение этого уравнения имеет
вид"
&r±zAs\nM-\-Bcoskt + j-fF(l)s\nX{t — l)d\t (2.10)
о
где А и В — постоянные.
Далее, пользуясь выражением (2.9'), находим:
f ' ^
^j-F&)sink(t--l)dl = 2fsink(t--l)dlfT(vud4 +
О 0 0
+ lfs(l)s\nl(t-l)dt + ?£-(\-cosXt). (2.11)
,;,i о
Воспользуемся теперь равенством
sinM* —!) = -i-^-cos)i;*--1)
IJT!
и проинтегрируем первый член правой части
выражения (2.11) по частям. В результате получим:
t t
y[F(l)sml(t-l)dt = lfT(l)\\-cosHt-®]dl+
I
? > . у /
■ л
о
+ ±fs(t)smk(t-l)dl + ^(\-CQslt).
Подставляя это равенство в зависимости (2.10), на-
\»дим:
Ar = i4sin^ + B1cos^ + ^--l-
H-|-/r(i)[l-cosX(/-|)]^4-
6
t
. ,;v- + x / S (I) sin к (t-1) d\y (2.12)

40 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ |Г I. 'I
где
В1 = В — ^$-. (2.13)
л
Обозначим через Ar0, Afro и Afuo начальные значения
соответствующих возмущений. Тогда, полагая в
равенствах (2.8) и (2.12) f=0, находим выражения для
определения постоянных В^ и С. Для определения
постоянной А предварительно продифференцируем выражение
(2.12) и также положим / = 0. В результате получим:
c = AiV)-f а,дг0,
А — At/r0 й С :
/1 —л » _
Bl = -Ar0-
2Дии0
а\14)
Подставляя эти зависимости в равенство (2.12).
находим окончательное выражение для Аг и, пользуясь
формулами (2.7), (2,8) и (2.14), определяем величины
Kvr и Диц. Далее, варьируя выражение vu=ru и
учитывая зависимость (2.6), находим:
Ди = — (Дг»и — л Аг), !и
где А« — возмущение по координате и.
Подставляя в правую часть этого равенства
порученные выражения для отклонений Дим, Дг и
интегрируя, определяем величину Дм. При этом для ппе-бра
зования кратных интегралов в простые воспользуемся
условием, что
i t
fs(l) sin A.(* -i)dl = ±±fs&)l\ -cos Xit-гцЩ
j 7'(|)|3 ■■-. 4 cus >. (* — |)J <ft =
= T- 4- / ТЦ) [3X ^ -1) - 4 sin л (/ - , »1 d\.

*.?!
УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
41
Наконец, для определения отклонении z и vz^i от
плоскости орбиты воспользуемся третьим уравнением (2.1).
При этом, учитывая малость второго члена правой
части этого уравнения, заменим в нем значения
величин г и g их невозмущенными значениями г0 и go =
=-£. Принимая во внимание зависимости (1.4) и
'о
(2.6), преобразуем это уравнение к виду
2+Я,*г=ИГ. (2.15)
Отсюда, пользуясь общим решением (2.10) уравнений
такого вида, находим выражения для отклонений z и vz.
В результате получаем следующие окончательные
выражения:
Аг = (2 — cos М) Дг0 + ^i— Дх»г0 +
+
2(1 — cos Kt)
1
t
Av*+tJ S($)s\nl(t-l)d$ +
■^~fT(l)[\-cosX(t-l)\dl,
* 6
Д<ул = l sin ?v^-Ar0+cosX^A^r0-f-2 sin .V-Ai^o-j-
9
+ 2/Г (£) sin A, (*-&)</&,
0
Да = Д„„ _ ЗХЦр^ дГо_ 2(1-се.») д^_
Av«o—|/ 5(6)11 ~cosv>-;\a?|-
К2Л6)
3/Л —4 sin Ai
a?
—5г/ Т&ЦЩ* - I)- 4sin Л (* - |))rf|,

42 . ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ [ГЛ. II
Avu = —1(1 —coskt)Ar0— sinlt-kVro —
t
— (I -2cosU) Ava0 — fs(i)sinl(t-l)dl —
0
t
-f T(l)[\-2cosl{t-l)]di,
0
+ x/V(l)sin4'-E)^>
0
'vz — — ^ sin M • z0 -J- co§ Я/ • -yz0 +
4- fW(l)cosk(t~l)dl
(2.16)
В этих выражениях внеинтегральные члены
определяют зависимости возмущений параметров орбиты от
отклонений начальных условий движения, а члены,
стоящие под интегралами — влияние возмущающих сил,
действующих на спутник.
2.3. ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ НАЧАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Для того чтобы проанализировать влияние малых
начальных возмущений Ar0, Avro, Аи0, Avu0, zQ и vz0l
положим в равенствах (2.16) 5 = 7,= № = 0 и запишем
полученные выражения в безразмерной форме:
Дг
Аг0
Го
Диг
Avr0 , . Afu0
■j-«i
w
w
~~ ^21 "7 Г #22
' о
W
Ди
да '"^з ю
uo
= *.
Arn
Ду
31
Го
Дгп
f32
ГО
Да
и/
с33
во
■го
'О
z h zo I h
— — ^55 ^ -f-K56 w
w
42 ~;™ H ^43 ~^ h ^44 ^И0»
A«Vo
Ди
te>
w
(2.17)

23] ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ НАЧАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 43
Aj2 = sin ф*
#22 "* C0S Ф»
/f$2 = — S'n Ф'
*42 == — 2(1 — cos ф),
£56 = sinq>,
£$в = cos Ф»
Л13 = 2(1 —-совф).
*2з = 2 sin ф,
*зз~ — (1— 2cos9),
*4з=— (Зф—4з1пф),
л44 = ъ
Здесь kij (г, /=1, 2, ..., 6)—безразмерные
коэффициенты, определяемые из выражений:
kn — 2 — cos «p,
Л21 = sin ф,
*31 = — (1 — COS ф),
k4i — — (Зф — 2 sin ф), Л42
А55 = COS ф,
*65 = — sin ф,
(2.18)
где <р = Я/— невозмущенное значение угла и.
Из приведенных соотношений видно, что
рассматриваемые возмущения орбиты могут быть разбиты на
следующие две группы.
А. Периодические возмущения, значения которых
повторяются после полного оборота спутника (т. е. при
изменении угла <р на 2л). Характерной особенностью их
является то, что при достаточно малых начальных
отклонениях эти возмущения не приводят к
существенному изменению положения спутника.
Б. Вековые возмущения, которые непрерывно
возрастают с увеличением угла <р (т. е. с увеличением
времени полета t). Очевидно, что при сколь угодно малых
начальных отклонениях эти возмущения могут в
конечном итоге привести к значительному смещению
спутника (по истечении достаточного промежутка времени).
В рассматриваемом случае вековые возмущения
наблюдаются лишь по углу и и связаны с некоторым
изменением периода обращения Р спутника. Ниже будет
показано, что под действием возмущающих сил могут
возникать вековые возмущения и по другим координатам.
Из выражения для отклонений по радиусу г видно,
что при изменении начальных условий орбита, вообще
говоря, теряет круговую форму. Возникающие при этом
малые отклонения пропорциональны величинам sin <p
или cos ф. С точностью до малых первого порядка
можно показать, что получаемая таким образом
возмущенная орбита является эллипсом, один из фокусов
которого находится в центре Земли (как будет показано

44 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ [ГЛ. !!
ниже, получающиеся при изменении начальных условий
возмущенные орбиты имеют точно эллиптическую
форму, а имеющие здесь место отклонения от
эллиптической орбиты объясняются тем, что задача решается
лишь с точностью до малых первого порядка).
Перейдем теперь к более подробному анализу
влияния различных начальных возмущений.
2.4. ВОЗМУЩЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО РАССТОЯНИЯ
ОТ ЦЕНТРА ЗЕМЛИ ДО СПУТНИКА (Дг0 > 0)
Изменение начального радиуса г0 вызывает
возмущения, определяемые коэффициентами ки (1=1,2,3,4).
При этом возникает изображенное на рис. 2.2, а
эллиптическое искажение формы орбиты. Наименее удаленная
а)
б)
Ли
/
/ /
а\Мц
\ \
\ х
\
J
' ^о]
V
-•^3
i
/1
у/
Рис. 2.2. Возмущения круговой орбиты при
изменении начального расстояния от притягивающего центра.
от Земли точка орбиты (перигей) соответствует
начальному значению <р = 0, а наиболее удаленная точка
(апогей) — значению <р = л. Изменения высоты полета Дгц в
перигее и Ага в апогее определяются из равенств
Агп = Лг0, Дга = ЗЛг0. (2.19)

2.4] ВОЗМУЩЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО РАССТОЯНИЯ 45
Возмущение радиальной скорости Дуг изменяется по
синусоиде и имеет максимум (по абсолютной величине)
в точках Ф = -9" и Ф=="Т"' При этом наибольшая
абсолютная величина этого возмущения равна
|Д^|тах = -Н.|Дг0|. (2.20)
Возмущение Д« вдоль орбиты сводится к
систематическому отставанию спутника от его соответствующего
положения в невозмущенном движении. Оно имеет
вековую составляющую, изменяющуюся по линейному
закону, и периодическую составляющую, изменяющуюся
по синусоиде (рис. 2.2,6). При этом смещение спутника
за один его оборот вокруг Земли увеличивается на
величину
Ди(2я) = — бя-^-. (2.21)
'"о
Отсюда, пользуясь зависимостью (1.5), находим
выражения для изменения скорости (Дуф)Век векового
смещения центральной проекции спутника на невозмущенную
орбиту и изменения ДР периода обращения:
др __ _ гр Дц (2я) _ зр Аг0
w г0 '
(2.22)
Возмущение Airtt продольной скорости колеблется в
пределах от
(A*0e)min = O при ф —0, 2л (2.23)
до
(Д,*>в)тах = — 2W —^- ПрИ ф = Я. (2.24)
* о
Заметим, что получаемое из этих выражений среднее
значение возмущения скорости вдоль орби ы (Дт»я)ср=*
— — — Дг0 не равно приведенной выше величине СКОрО-
сти векового смещения вдоль орбиты (Дс>ф)Век (2.22). Это
объясняется тем, что величина (At»u)Cp олределкг»

46 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ [ГЛ. II
изменение фактической скорости vu спутника, а величина
(ДРф)век — изменение скорости проекции спутника на
невозмущенную круговую орбиту радиуса г0. Обозначим
эту скорость через иф. Очевидно, что
Дифференцируя это равенство и учитывая, что для
невозмущенной орбиты г = г0 и иф = до, получаем:
д<яи = д<яФН w.
В частности, это равенство удовлетворяется, если в
него вместо Дг подставить среднее значение
Д/*ср = -у (Л/*п + Дг.) = 2Дг01
а вместо Дии и Диф — приведенные выше значения
(Д^и)ср И (Доф) век*
2.5. НАЧАЛЬНОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
РАДИАЛЬНОЙ СКОРОСТИ (Дяго>0)
При изменении начальной радиальной скорости
возникают возмущения, определяемые коэффициентами ki2
(Y=l,2,3,4). Форма орбиты искажается, как показано
на рис. 2.3, а. При этом апогей орбиты соответствует
я
точке, для которой <p = -g-f а перигеи — точке, для
которой ср = -^п. Абсолютная величина отклонений по
радиусу в апогее и перигее равна
|Лга| = |Лгп| = -^Д*о. (2.25)
Радиальная скорость изменяется пропорционально
coscp, а продольная пропорционально sin ф.
Максимальные абсолютные величины отклонений скорости равны
начальному возмущению Да*,.
Возмущение вдоль орбиты сводится к некоторому от-
\ ставанию спутника от его положения на невозмущенной

2.6] ВОЗМУЩЕНИЕ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ДВИЖЕНИЯ 47
орбите. Это смещение является периодическим и не
имеет вековой составляющей (рис. 2.3,6).
Следовательно, период обращения Р остается неизменным.
Максимальное по абсолютной величине смещение спутника
Рис. 2.3. Возмущения круговой орбиты при
изменении радиальной скорости.
вдоль орбиты соответствует точке <р = я и определяется
из выражения
Дд (л) = — 4
Atv0
(2.26)
2.6. НАЧАЛЬНОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА .
Из зависимостей (2.17) и (2.18) следует, что влияние
начального углового смещения Ди0 сводится к повороту
всей орбиты вокруг центра Земли на угол Дц = Ди0.
Влияние изменения начальной продольной скорости
AvUQ характеризуется коэффициентами kiz (/=1,2,3,4).
При Д#ио>0 перигей орбиты оказывается в точке ф = 0,
а апогей — в точке ф = я (рис. 2.4, а). Отклонения по
радиусу в перигее и апогее определяются из равенств
Дго = 0 и Лг1 = 4-9-Ах?в0. (2.27)
w

48 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ [ГЛ. II
Возмущение Avr радиальной скорости изменяется по
синусоиде. Максимальная абсолютная величина этого
возмущения равна
|^(f)hlA^(T-)|=2^"°- <2-28>
Возмущение вдоль орбиты имеет периодическую и
вековую составляющие (рис. 2.4,6). На начальном
участке смещение Аи вдоль орбиты совпадает по знаку
Рис. 2.4. Возмущения круговой орбиты при
изменении продольной скорости.
с возмущением Avu0 начальной скорости. Это смещение
достигает максимума при ф = 4Г24'35".
Соответствующее максимальное значение Аи определяется по
формуле
A«max« 0,4776 ^f-0.
В дальнейшем разрыв между возмущенным и
невозмущенным положениями спутника уменьшается и при
Ф = 73с05'32" 4и = 0. Начиная с этого момента,
возмущенное положение спутника непрерывно отстает от
невозмущенного (при Ai>uo>0). Величина этого отставания

2.7) ВОЗМУЩЕНИЯ. НОРМАЛЬНЫЕ К ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ , 49
за один виток орбиты определяется из выражения
Дй(2я) = —бя-^г. (2.29)
Отсюда, аналогично выражениям (2.22), находим
среднюю скорость векового смещения спутника вдоль
орбиты, а также изменение периода обращения:
(Д^ф)век = — ЗДг>в0.
W
(2.30)
Таким образом, при наличии начального возмущения
скорости вдоль орбиты спутник в конечном итоге
начинает смещаться в обратном направлении со скоростью,
равной утроенной скорости начального возмущения.
Ниже будет дано энергетическое объяснение этого на
первый взгляд парадоксального явления.
Возмущение Avn продольной скорости имеет
периодический характер. Величина его положительна в ин-
тервале g- < ф < -д- и отрицательна в интервале
"3"<Ф<"з"я- Крайние значения этого возмущения
определяются из выражений
Ax;B(0) = ^e0 и Дг'в(я) = -ЗДт>в0. (2.31)
2.7. ВОЗМУЩЕНИЯ В НАПРАВЛЕНИИ,
НОРМАЛЬНОМ К ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ
Влияние начальных отклонений, нормальных к
плоскости орбиты, имеет периодический характер и
определяется коэффициентами k^ (/,/ = 5,6). Можно показать,
что с точностью до малых первого порядка эти
возмущения сводятся к некоторым поворотам плоскости
орбиты. Для этого рассмотрим случай поворота плоскости
орбиты на некоторый малый угол ф (рис. 2.5) вокруг
оси MN% составляющей угол ф0 с линией Ох начала от-»
Счета углов. Обозначим через С некоторую точку ка
невозмущенной орбите, положение которой определяется
углом СОд: = ф. Радиус-вектор этой точки г и вектор

50 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ [ГЛ. II
соответствующей скорости спутника w образуют с осью
MN вращения орбиты углы ф — ф0 и 4j--f-q>— Ф0. При
повороте этих векторов вместе с плоскостью орбиты
возникают проекции их на нормаль Oz к невозмущенной
орбите, которые с точностью до малых пер-вого порядка
определяются по формулам
z — гф sin (ф — %),
(2.32)
Отсюда, пользуясь выражениями (2.17) и (2.18),
находим, что отклонению г0 спутника от плоскости орбиты
Рис. 2.5. Возмущения начальных условий
в направлении, нормальном к плоскости
круговой орбиты.
соответствует поворот плоскости орбиты вокруг оси, про-
я
я
ходящей через точки ф = -?г-иф —З-j, а начальному
отклонению vz0 скорости — поворот вокруг оси,
проходящей через точки ф = 0 и ф = л. Соответствующие углы
поворота плоскости орбиты определяются из равенств
+ (*«)
г0
И №*>)=""
W
(2.33)
Таким образом, влияние малых возмущений Д/о, Дуго,
Д«о и ДУио начальных условий движения сводится к
некоторым искажениям формы орбиты, а также к
периодическим и вековым смещениям спутника вдоль орбиты.
При этом плоскость орбиты не изменяется. Влияние ма-

2.7] ВОЗМУЩЕНИЯ. НОРМАЛЬНЫЕ К ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ 51
лых отклонений Zq и vz0 от плоскости орбиты изменяет
ориентацию этой плоскости.
Выше было замечено, что вековые возмущения
орбиты значительно эффективнее периодических и, в
отличие от последних, приводят с течением времени к
значительным смещениям спутника даже при очень малых
начальных отклонениях. В качестве примера рассмотрим
движение спутника по круговой орбите на высоте
А = 630 км, чему соответствуют г = 7000 км, w —
= 7,5 км/сек, Р = 98 мин. Допустим, что он получил
сравнительно небольшие возмущения начальной
скорости Ди0=1 м/сек и начального положения Д/0= 1 км.
В табл. 2.1 даны соответствующие величины
максимальных периодических и вековых смещений положения
спутника, появляющихся при различных направлениях
начальных возмущений.
Таблица 2.1
1 Начальные
характер
и величина

Возмущение
начальной ско-
1 рости
Ди0 =
= \ м! сек

Возмущение
начального
положения
д/0 = 1 км
возмущения
направление
От центра
Земли
Вдоль
орбиты
По
нормали к
плоскости
орбиты
От центра
Земли
Вдоль
орбиты
По нормали
к плоскости
орбиты
Смещение спутника, км
максимальное
периодическое
от
центра
Земли
0,9
3,7
3
—
—
ВДОЛЬ
орбиты
3,7
3J
2
1
—
по
нормали к

плоскости
орбиты
, ,
0.9
_
—
1
вековое вдоль
1 /Ч Г\ J"l ■ * 1* I. #
ороиты
за
1 ОДИН
1 ВИТОК
_
17,6
18,8
—
—
за
сутки
^^^
260
280 ]
—
—

Изменение
периода

обращения,
сек
2,3
2,5
— 1
— 1
1

52 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ* ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ [ГЛ. II
Эта таблица наглядно иллюстрирует соотношение
между вековыми и периодическими смещениями спутника.
При этом следует учесть, что вековые смещения
непрерывно возрастают пропорционально времени полета, в
то время как периодические отклонения не превосходят
указанных в таблице величин.
2.8. ПОЧТИ КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
В предыдущем параграфе было показано, что при
малых возмущениях начальных условий круговая орбита
несколько искажается. Движение по получаемой при
этом орбите мы будем называть почти круговым. Из
сказанного выше следует, что такое движение является
плоским. При этом движение в плоскости орбиты
определяется путем добавления к координатам и
составляющим вектора скорости на невозмущенной круговой
орбите поправок, вычисляемых при помощи первых
четырех зависимостей (2.16), при условии, что S = T=W = 0.
Для определения основных закономерностей почти
кругового движения преобразуем эти зависимости. Введем
понятие среднего кругового движения, под которым
будем подразумевать движение по круговой орбите
некоторого среднего радиуса гср. Этот радиус выбирается из
условия совпадения периода обращения средней
круговой орбиты с периодом обращения Р рассматриваемой
почти круговой орбиты.
Пользуясь зависимостью (1.5), можно с точностью до
малых первого порядка написать
где Pq — период обращения исходной невозмущенной
орбиты радиуса r0, a
Агср = ГСр Г0.
Суммируя поправки к периоду обращения,
определяемые из выражений (2.22) и (2.30), получаем:
АР = ЗР (■¥*. -4- ^ml) ,
гд^- u's, — скорость спутника на невозмущенной орбите.

2.8] ПОЧТИ КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ 63
Сопоставляя это выражение с приведенными выше
равенствами, находим, что
гср = г0 + 2(Аг0 + -^), (2.34)
где
h = ~^ (2-35)
— угловая скорость движения спутника по
невозмущенной орбите.
Обозначим теперь через wcv = w0 -f ДауСр и ucp
соответственно скорость полета и угловое перемещение
спутника на полученной средней круговой орбите. Из
выражения (1.4) следует, что
Дяуср = — уЯ,0Дгср.
Отсюда, используя равенство (2.34), можно с
точностью до малых первого порядка написать
wc? = w0 — у А.0 (гср — г0) = ^о — (Х0 Дг0 -f Дг>и0). (2.36)
Далее воспользуемся тем, что на круговой орбите
где Wo — начальное значение угла.
Проварьируем эту зависимость и воспользуемся
выражениями (2.34) — (2.36). При этом наложим на
движение спутника по средней круговой орбите условие,
чтобы в начальный момент времени
(иср)@ = Ьи<>-2^-.
Иначе говоря, начальное значение (иср)0 должно
определяться не зависящими от времени членами правой
части соответствующего равенства (2.17).
В результате получаем:
-А«о-2^ + %-3%(-А^.+ ^). (2.37}
где <ро = М-

64 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ [ГЛ. II
Из равенств (2.34), (2.36) и (2.37) следует, что
ro = rcp-2(Ar0+^f).
Щ = яг/ср Н- (^о Дл> + д^«о)^
<р0 = „,р-ДИо + 2^ + 3<р0(^ + ^).
Подставим эти выражения совместно с первыми
четырьмя равенствами (2.16) в правые части зависимостей
r = r0-f Дг, 1>г = Дг>г0, и — %-\-Ьи, va^=w0-\-kw.
При этом положим, что возмущающие ускорения
отсутствуют (S = 7 = W = 0). Кроме того, в членах,
определяющих малые периодические отклонения от среднего
кругового движения, примем
Ф0 == «ср = ф» ^0 = Гср, Щ — ^ср-
Возникающая при этом ошибка будет иметь второй
порядок малости. После элементарных преобразований,
произведенных с точностью до малых первого порядка,
получим уравнения почти кругового движения в
следующей форме:
г =
vr =
и-
71 =
с и
wcp =
Ф =
= Гср(1 — ^СОвф-
=^ср (^i sin ф — e*t
= ф-г-2(^181Пф —
— ^Шф),
. COS ф),
е2С08ф),
= wcp (1 -f ex cos ф -j- e2 sin ф),
=/?•
1 СП
где U — время прохождения спутника, движущегося по
средней круговой орбите (будем в дальнейшем называть
его средним спутником), через начальную точку « = 0, а
параметры et и е2 определяются через начальные
возмущения А/о, Д^го и Д#о при помощи равенств
/?, = -^- 4- О At'"Q * _ _ At/*> /о 4Q*

23}
ПОЧТИ КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
55
Выражения (2.38) можно несколько преобразовать,
введя величины е и со, определяемые равенствами
e—Ye\-\-el, <a = arctg~
В результате получим:
г = гср [1 — е cos (ф — со)],
i)T = wcpe sin (ф — со),
и = ф + 2г sin (ф — со),
^« = ^сР [ 1 + е cos (ф — со)].
(2.40)
(2.41)
Обозначим через v полную скорость полета
рассматриваемого спутника, а через 9 — угол наклона вектора
скорости к местному горизонту. Очевидно (см. рис. 2.1),
что
V,
Пользуясь зависимостями (2.41), можно с точностью
до величин первого порядка малости переписать эти
выражения в виде
v ~ Va = wcp [I 4- * COS (ф — О))],
0 = £Sin(<p'— СО).
(2.42)
Из зависимостей (2.41) и (2.42) видно, что средние
значения основных характеристик движения спутника по
почти круговой орбите равны соответствующим
параметрам средней круговой орбиты (гср, иср = ф, 1>ср = г>в ср =
= Wcp."*Vcp = 0, 6cp = 0).
При этом наименее удаленная от центра Земли
точка почти круговой орбиты (перигей) соответствует
значению ф = со, а наиболее удаленная (апогей) — значению
Ф = со + я. Обозначая индексами «п» и «а» значения
координат и составляющих вектора скорости в перигее ц

5S ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ [ГЛ. JI
аногее, находим:
гп = гср (1 — е), га = гср (1 -Ь *)»
^п = ^а = 0, еп = 9а = 0,
Фп==^Вп==,а'Ср(1-1-^), ^а = г)иа = и;Ср(1 — <?).
(2.43)
Таким образом, перигей соответствует максимуму
скорости v, а апогей — минимуму. Угол 8 в этих точках
равен нулю. Он достигает максимума 0тах = £ в точке
Ф ;= (о-{--я-» а минимума 8min =—в в точке ф = со -f-
. 3
-t-J л.
Из выражений (2.41) и (2.42) видно, что величины
rtcex отклонений от средней круговой орбиты
определяются параметром е, а положение перигея — углом (о.
В связи с этим величину е называют эксцентриситетом
орбиты, а угол to — аргументом перигея.
При изучении почти кругового движения
целесообразно рассматривать эксцентриситет орбиты как вектор,
абсолютная величина которого равна е, а направление
совпадает с направлением оси ф = ш. Из выражений
(2.40) следует, что параметры ei и е2 представляют
собой проекции этого вектора на направления и = 0 и
« =-jr- (оси Ох и Оу на рис. 2.1). При повороте начала
координат на некоторый угол у по направлению
движения спутника (которое мы всегда полагаем
происходящим против хода часовой стрелки, что определяется вы-
Гором оси Oz на рис. 2.1) они изменяются по обычному
правилу преобразования составляющих двухмерного век-
гора:
е\ = ех cos у ~Ь е«sm Y>
е2 — — ех sin у + £2 cos Y»
где е[ и Сч—проекции вектора эксцентриситета на оси
ювернутой системы координат.
Пользуясь зависимостями (2.38), можно получить
•'.чр-'ующие простые соотношения, связывающие
значения параметров движения спутника в точке ср = 0 с

2Щ ЭЛЕМЕНТЫ ПОЧТИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ 57
проекциями в\ и е2 вектора эксцентриситета:
.ц г(0) = гср(1—<?,). vr(0) = — wcpe2,
Z w(0) = —2<?2, vu(0) = wc?(\-{-el).
^ Для определения параметров пространственного дви-
тШвпня спутника по почти круговой орбите необходимо
н&ряду с зависимостями (2.38) или (2.41) использовать
выражения (1.14). При этом целесообразно в качестве
начала отсчета углов и принять направление от центра
Земли на восходящий узел орбиты и заменить в
зависимости (2.38) время t0 на время t9 прохождения
среднего спутника через восходящий узел.
2к ЭЛЕМЕНТЫ ПОЧТИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
Из зависимостей (1.14) и (2.41) следует, что
движение по почти круговой орбите целиком определяется
следующими шестью величинами: средним радиусом rcv,
временем tn прохождения среднего спутника через
узел, эксцентриситетом е, аргументом перигея w,
узлом Q и наклонением i. Зная эти величины, можно для
любого момента времени определить координаты и
составляющие вектора скорости рассматриваемого
спутника. В связи с этим указанные величины называются
элементами почти круговой орбиты. Из зависимостей
(2.38) видно, что эксцентриситет е и аргумент перигея «
могут быть заменены проекциями е{ и е2 вектора
эксцентриситета на две оси (в частности, на линию узлов и
нормаль к ней). Последнее следует считать более
удобным в рассматриваемом случае. Это связано с тем, что
аргумент перигея о> определяется через отношение двух
&галых величин (2.40). Поэтому в некоторых случаях,
щьже при очень малых возмущениях начальных
условий, перигей может сильно сместиться, хотя сама
орбита исказится при этом незначительно. В связи с этим
положение перигея на почти круговой орбите становится
в значительной мере неопределенным. Эта
неопределенность возрастает по мере приближения к точно круги;_<.£■
орбите, для которой исчезает само понятие перигея

58 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ [ГЛ..tt.
(здесь под неопределенностью величины со мы подр^-,
зумеваем не математическую неопределенность, которак
имеет место лишь для точно круговой орбиты, а
практическую неопределенность, связанную с большим
влиянием неизбежных ошибок измерения и вычисления на
точность определения положения перигея). С другой
стороны, малым вариациям орбиты всегда соответствуют,
малые изменения величин е^ и е2. При этом точно кру^
говой орбите соответствуют вполне определенные знач#
ния проекций вектора эксцентриситета: ei = e2=0. По*
этому точность определения указанных параметров
не уменьшается по мере приближения к кругов^
орбите. ж
Из выражений (2.34) и (2.39) следует, что величшЙУ
Гер, ei и е2 являются линейными функциями начальных
возмущений. При 1ф0 можно показать, что с точность*»
до малых первого порядка это имеет место и для
остальных элементов орбиты t^ Д и /. Таким образом, при
наличии нескольких малых возмущений суммарное иска4
жение формы орбиты может быть определено путем
суммирования результатов отдельных возмущений.
Возникающая при малых наклонениях /неопределенность по^
ложения узла может быть устранена путем перехода от
плоскости экватора к любой другой плоскости,
относительно которой определяется орбита. Что касается ве-5
личин е и со, то они при наличии нескольких
возмущений суммируются по правилу сложения векторов.
Число элементов, определяющих почти круговую орг
биту, соответствует количеству начальных условий, опре*
деляющих движение материальной точки в заданном
поле сил. В связи с этим возникает задача расчета эл§?
ментов орбиты по заданным начальным условиям. Щг
дем решать эту задачу в введенной выше правой
прямоугольной системе координат Oxyz (рис. 1.2). Обозначц#*
точкой D положение спутника в некоторый начальный
момент времени / = /0> а через г0 и v0 — соответственна
радиус-вектор начальной точки и вектор начальной
скорости спутника, определяемые из равенств т
где Xq, уо, г9 и vx0t vy0, vzQ — заданные начальные знач^-

If
1.91
ЭЛЕМЕНТЫ ПОЧТИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
59
ния координат и составляющих вектора скорости,
j'i» У» к — единичные векторы системы координат Oxyz.
f Плоскость орбиты определяется как плоскость, про-
; ходящая через векторы г0 и v0. Отсюда единичный
Рис. 2.6. Определение положения узла и
наклонения орбиты по начальным условиям движения.
вектор нормали к этой плоскости (рис. 2.6)
определяется следующим образом:
ГоХ*>о
где
[r0X*>ol =
х0
п —
т
J
Уо
|ГоХ*о1 '
к
^CJ+CJ+CJt,
VjcO VyQ VzO J
(2.44)
Следовательно, проекции вектора п на оси системы
оординат Охух определяются по формулам
fix ~~ ~£Г » fly = —Q- , Пг = -g- ,
(2.45;

Ы) ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ |ГЛ. Tt
С другой стороны, эти проекции можно определить
через углы Q и i. Для этого обозначим через А, В, С, N
точки пересечения осей координат и нормали к
плоскости орбиты с единичной сферой и рассмотрим
сферические треугольники AQN и BQN (см. рис. 2.6), в
которых
Л
Z.WfcA = -£■-*, «W
л
T
Кроме того, заметим, что CN = i (так как угол между
нормалями к двум плоскостям равен углу между этими
плоскостями).
Теперь непосредственно находим:
\
пх = cos AN = sin SI sin /,
riy = cos BN~ — cos Д sin /,
nz = cos CN = cos /.
(2.45')
/ Сопоставляя эти выражения с равенством (2.45),
получаем, что
С3
tgft—£
COS / =
(2.46 V
При этом наклонение i определяется однозначно из уело- tj
вия
0</<я. (2.47i ]
Для однозначного определения восходящего узла А"';.
заметим, что sini>0. Поэтому знаки sin $1 и cos f{ i
совпадают соответственно со знаками величин Ci '*^
Перейдем к определению величин г.0, еи е2, t^ . Дл-щ
этого сначала найдем расстояние г0 начальной точки О^
от центра Земли, а также проекции t'ro и vuQ начальной м
гкорости на направление вектор? *а и нормаль к нем>. 1

t
*
ЭЛЕМЕНТЫ ПОЧТИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
;0и этом воспользуемся формулами
61
и
.1 г>г0 =
^п=/^-г-^оН-^
■ v
гО*
(2.48)
щ vuQ "— * "хО Г -^о -г ^го
| Далее вычисляем соответствующую расстоянию г0
■круговую скорость
я. находим отклонение продольной скорости
* ^«3 = ^ — ^0- (2.50)
| Пользуясь выражениями (2.34), (2.35) и (2.39) А по-
[агая в них Дг0 = 0, находим:
ср
(l + 2^f),
2 К'л
(2.51)
де е\ и ^—проекции вектора эксцентриситета на
направление вектора Го и нормаль к нему.
Затем, учитывая зависимости (1.14), находим выра
Ькения, определяющие угол и0 между линией узлов и]
вектором /*0. Для этого умножим первое равенство (1.14)
на cos Д, а второе — на sin £"£ и сложим их. В резуль
гате получим, что
ха cos (Г^ 4- Уо sin f[j | V--'-i
cosw0 = .
I
Отсюда, используя зависимости (2.4.»; г (2 4-"-'),яолучае.\
х£ "о ^ ,: г _ х 7-" •
1
(ОЯ'Ч

<я
ех = е2 cos uQ — е2 sin uQ,
62 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ (ИГ? Г
при этом знак sin «о совпадет со знаком числителя прв
вой части выражения (2.52'), а знак cos и0 — со знакЬы
знаменателя.
По полученным значениям ей e<i и и0 вычисляем
величины проекций вектора эксцентриситета на лииА
узлов и нормаль к ней: !
#
(2 А
I]
и, пользуясь зависимостью (2.38), находим величину!
угла ф в начальный момент (с точностью до малых вы§-(
шего порядка), а также время t^ прохождения
среднего спутника через узел: ^1
•!
Ф0 = и0 — 2 (ех sin и0 — е2 cos я0), \
I
*
Таким образом, начальные условия однозначно опре?!
деляют элементы почти круговой орбиты. Однако сле*|
дует иметь в виду, что полученные результаты имею
смысл лишь в случае малости отношений —— и -^
В противном случае орбита значительно отличается от!
круговой и при ее определении следует пользоваться ме-j
тодами, изложенными в следующей главе.
2.10. ПОЛНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
ПОЧТИ КРУГОВОГО ДВИЖЕНИЯ
Определим полную механическую энергию, приходя-
дуюся на единицу массы спутника, движущегося по'
ючти круговой орбите. Пользуясь выражением для ши
геициальной энергии (1.6), имеем: }

I .
Щ IS A ft Элементы почти круговой орбиты 63
ИСюда выражения (2.41), (2.42) и (1.4),
полностью до малых первого порядка:
мАтыачо w
3 = ^-^)
(2.55)
Из сопоставления этого выражения с зависимостью (1.7)
видно, что полная механическая энергия спутника,
движущегося цо почти круговой орбите, равна энергии спут-
---——-^уидегося по средней круговой орбите.
заключение напомним, что все уравнения, описы-
«. круговое движение, имеют приближенный
ipoc оценки точности этих формул будет
рассмотрен ниже.

ГЛАВА
ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УФК©*!
НА ДВИЖЕНИЕ ПО
И ПОЧТИ КРУГОВЫМ ОРБИТ;
3.1. ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
Для оценки влияния возмущающих >№гЗДй?м#&1(Я9§- I
пользуемся интегральными членами правдачдо^сда» I
ражений (2.16). ш, Hvnio-n'-Bq I
Из линейности этих выражений непосредственно еле- "'
дует} что они (с точностью до малых первого порядка)
могут быть использованы для определения возмущений
не только круговых, но и почти крупл-ых орбит. При
этом целесообразно в качестве круговой орбиты, для
которой вычисляются возмущения, рассматривать орбиту
радиуса r = /vp (здесь гсг — средний радиус исследуемой
почти круговой орбиты). Этим обеспечивается отсутствие
нарастающих вековых отклонений указанной круговой
орбиты от рассматриваемой почти кругоаой. Тогда
можно написать, что входящая в выражения (2.16) угловая и
линейная скорости кругового спутника ипрелеляются из
выражений
2я '2пг,-п
Я^— , W=:-y-t (|Л)
где Р — период обращения спутника in почти кругофЫЬ
орбите.
В соответствии со сказанным выше. нрммем » урнвяе*
пиях (2.16)
Дг0 = Avri) = Ай0 == AvuQ = г0 =.-- v,0 ■•=* О (&£)
и рассмотрим влияние кратковременш" , смущений
импульсного характера. Для этого положим, что ускорения
5, Т и W действуют лишь в небольшом интервале »£€•>
мени I
где ti — некоторый момент времени, и — малая (и*
.'яг.кю с периодом сСрзцеиия спутника) величина.

ИМПУЛЬСНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
65
ем следующие обозначения суммарных импуль-
ймушаюших ускорений:
i г,+х '■+* ixt*
/.-и 'i-и ''-*
[ренебрегая переменностью величин sin>«(*— £) и
I/f |) в рассматриваемом интервале времени,
ю выражения (2.16) преобразовать к следующему
jjtol&ZSU. AVfl + 2 1-соз(ф-т,) д
А А
cos (ф — фО A*Vi4- 2 sin (ф — фО Дх>в1,
1 — COS (ф — ф])
а»
д^п —
3 (ф — фО — 4 sin (ф — фО
да
Д*.1»
— sin (ф —- ф!) Дг»л — [ 1 — 2 cos (ф—фО] Ат>н1,
Az»zl,
sin (ф — фО
, ;= COS (ф — ф^ Дт»г1,
(3.3)
ф — ?„/, ф, = ?„/j.
Ич сопоставления полученных зависимостей с выра-
ниями (2.17) и (2.18) видно, что воздействия импульс-
х: возмущающих ускорений равносильны соответ-
*ующим возмущениям составляющих вектора скорости
/омент tsssti. Для анализа характера этих возмущениГ!
аЩю воспользоваться выводами § 2.5—2.7. При этом
п^чаем следующие основные результаты.
А. Импульс \vuU направленный в сторону увеличе-
ч j-корости спутника, вызывает одновременное увели-
«*е высоты полета. Кинетическая энергия спутника
ое^одит в потенциальную, и скорость полета начинает
еньшаться. На большей части орбыы (в интервале
-Ч-^я < ф < ф1-г-*з- я) это уменьшение скорости пре-
1ицует над начальным ускоряющим импульсом. При

66 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИИ [ГЛ. J
этом средняя скорость полета уменьшается (Avcv
— —Avui)> и конечным результатом воздействия р
сматриваемого импульса является увеличение пери
обращения и вековое нарастающее отставание спутни
от его соответствующего положения на невозмущенн
орбите. Этот, на первый взгляд парадоксальный, резул
тат может быть объяснен тем, что ускоряющий импул
приводит к увеличению запаса механической энерг^
Согласно равенству (2.55) это влечет за собой увел,
чение среднего радиуса орбиты гср на величину Arcpj
= гср——, что в свою очередь вызывает уменьшен
средней скорости полета wCp и увеличение периода г:
ращения Р на величину &P = 3—j*LP. Очевидно, в
действие замедляющего импульса будет обратным.
Б. Импульсы Avr и Ду2, действующие по нормал
к орбите, смещают спутник в направлении своего д
ствия лишь в интервале q>i<cp<(pi4-ji. В интерва|
ф1 + я<ф<ф! + 2я спутник смещается в противополо
ном направлении.
Таким образом, при возмущении орбиты имеет мед
своеобразный эффект обратного действия, при котор
смещение спутника на значительной части его траек
рии происходит в направлении, противоположное ■:
правлению возмущающего импульса.
3.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ВОЗМУЩАЮЩИЕ УСКОРЕНИЯ
Переходя к анализу влияния непрерывно действу|
щих возмущающих факторов, ограничимся тем случа|
когда возмущающие ускорения S, Т и W зависят т^эл
от параметров движения (координат и составляю^
вектора скорости) спутника, но не зависят явно от i!
мени полета. Кроме того, пренебрежем влиянием воз
щений орбиты на величины 5, Т и W (при наличии
ковых возмущений это, вообще говоря, возможно я\
при рассмотрении сравнительно небольшого числа ц\
ков орбиты). При этих допущениях рассматривав:!
ускорения являются периодическими функциями ynk.ff
ф = ?*< ,; (1

m
НЕПРЕРЫВНЫЕ ВОЗМУЩАЮЩИЕ УСКОРЕНИЯ
67
И ИХ
ряды
(есообразно представить в виде разложений в
[рье:
со
S (ф) = SQ 4- 2 stsin * (Ф — Ф$/)>
ex?
91
Г (ф) — TQ + S ^ sin i (ф — qy,)f
1 = 1
(3.5)
где Sit Tit W{ (t = 0, 1,2,...) — коэффициенты указанных
разложений, а ф5., фп, <pw— сдвиги фаз
соответствующих гармоник в этих разложениях.
/\Для облегчения дальнейших выкладок преобразуем
выражения (2.16), воспользовавшись зависимостями
(3.1) и (3.2). В результате получим:
\г (ф) == Р\ j [Sfl>) sin (ф - г|>) +
ф
Агг, (ф) = Л / [5 (ф) cos (ф -1|>) +
t8, 4~ 27*(ф) sin (ф — -ф)! </Ч>.
Р2 ?
Ш (ф) = - -L / (25 (ф) [ 1 - cos (ф — г|>)] Н-
4- У (+) [3(Ф - *) - 4 sin (ф - Щ) 4ф,
кь М=- я» / (5 (*)sin (ф - Ф)+
s 4- Г(ф) [ 1 — 2 cos (ф - Щ) d$t
ф
£ (f) = Я? / Щ*) Si П (Ф - ф) 4|>,
?
lv, = />! J Щф) c@s (Ф __ Ф) tfty,
(3.6)

68 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИЙ {VJI ЙЦ
где
л
р
*2л~
1 rY
1 ' ср
п
ф = >„£ = — ,
(3;
Заметим, что величина Pi равна времени, за котор^
спутник переместится по орбите на угол <р=1.
3.3. ПОСТОЯННЫЕ ВОЗМУЩАЮЩИЕ УСКОРЕНИЯ
Определим вариации орбиты, вызываемые первы^
членами выражений (3.5), т. е. постоянными возмуща!
щими ускорениями. Полагая в выражениях (3.6) S = c
7*= Го, W=W0l получим в результате ннтегриров^
ния:
Лг (ф) = Р\ [SQ (1 — cos ф) + 2Г0 (ф — sin ф)],
Avr(ф) = Рх [50sin ф+ 2Г0(1 — cosф)],
All (ф) =
Р2 (
тЧ25о(ф'
rCD \
5Шф) +
f Г0[|^-4(1-СО8ф)])
Avu (ф) = _ рг \S0 (1 - cos ф) + Т0 (ф — 2 sin Ф)1,
Лг(ф) = яЖ(1 — С08ф),
(33
На основании полученных зависимостей можно
тально проанализировать влияние постоянных воз:
щающих ускорений. При этом получим следукии^
выводы.
А. Постоянное возмущающее ускорение S = S0, ■»
правленное по радиусу, вызывает периодические воз
щения величин г, vn и, vu и вековое возмущение (Д#)
вдоль орбиты. При этом максимальные абсолютные
личины периодических возмущений определяются

33]
ПОСТОЯННЫЕ ВОЗМУЩАЮЩИЕ УСКОРЕНИЯ 69
выражении
|A*vLx=P,|S0| = w-
•b'ol
CP g,
cp
cp
©cp
(3.9)
где Д/ = гсрДи— смещение спутника вдоль орбиты, w и
gcp — соответственно значения скорости движения и
ускорения силы тяжести на средней круговой орбите.
Из сопоставления выражений (2.17), (2.18) и (3.9)
видно, что периодические возмущения величин г и vn
определяющие изменения формы орбиты при наличии
постоянного ускорения S0, равносильны аналогичным
возмущениям, возникающим при изменении продольной
скорости в начальной точке на величину
д«1 = ^.в- *
Ju0
2
* *<
cp
При этом орбита принимает вид, изображенный на
рис. 2.4, а (сказанное не относится к возмущению вдоль
орбиты).
Вековое смещение Д/(2я) спутника за один виток,
скорость (Диф)век этого смещения и соответствующее
изменение ДР периода обращения могут быть вычислены
по формулам:
Д/ (2л) = гср Аи (2л) - — 4яР?50 = — 4ягср 4s-
^ср
< А*ф).ек = 4^ = - 2PXS0 - - 2W 4^ .
2л/\
*>ср
ДЯ:
Л/ (2л)
w
4яЯ?
: — Ол
2Р S°
ср
*ср
(3.10)
Таким образом, постоянное радиальное ускорение 6\>
лишь несколько искажает форму орбиты, но не
вызывает вековых возмущений по направлению своего
действия. Вековое смещение имеет мес^о вдоль орбиты, т. о

70 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИЙ [ГЛ. Ill
по нормали к направлению возмущающего ускорения.
Оно связано с изменениями среднего радиуса орбиты и
средней скорости полета соответственно на величины
Arcp = P?So = r,
ср •
&vcp = —PxS0 = — w
=>ср
*,
ср
Б. Постоянное возмущающее ускорение Т=Т0у
действующее вдоль орбиты, вызывает периодические
возмущения величин /*, vrt и, vu и вековые возмущения (Дг)вск,
(Aw)век и (&vu)BeK. При этом максимальные абсолютные
величины периодических возмущений равны:
|Аг|
■2Р\\Г0\
2г
То\
l^u^^iroi
•Aw
ср
\То\
ё<
ср
1Д'1«, = 1М
max cp
= 8/*|Г0|=8г,
\та\
ср g.
ср
Дг»„ |ш« = 2Pt | Г01 = 2да
\Т0
>ср
(3.11)
Вековое смещение Дг(2я) по радиусу за один виток
и скорость (Дуг)век этого смещения находятся по
формулам:
Дг(2л) = 4лЯ1Го = 4лг1
ср
^
ср
(Дг-Г)в
■ 2PlT0 = 2w-
>ср
(3.12)
Вековое возмущение Д/ вдоль орбиты
пропорционально квадрату угла ф (или времени полета t = Pi<p). При
этом период обращения непрерывно изменяется и
является линейной функцией числа витков орбиты п.
Средняя скорость (Диф)ср векового смещения, ускорение
— [(Дг>ф)ср} этого смещения, линейное смещение Д/(2лл)
в конце некоторого /г-го витка, возмущение ДР(п)
периода обращения на n-м витке и изменение 6Р периода

3.3] ПОСТОЯННЫЕ ВОЗМУЩАЮЩИЕ УСКОРЕНИЯ
за один виток могут быть найдены из выражений:
= -3P,7> = — 37У,
Д/ (2ля) = — 6лР]п2Т0 = — 6я2д2гСр -£- .
др/л) _ _ Д/(2дл) —Д/[2я(я —1)1 _
6д2(2л —1)Я?
71
Т0 = 3я(2л— 1)Я
ср
>ср
12л2Я3 Гл
6Р=ДЯ(л)-Л/>(/1-1) = 1г0=6яР^
ср
>ср
(3.13)
где / = Р!ф — время, отсчитываемое от начала движения
спутника (или начала воздействия рассматриваемого
возмущающего ускорения).
Вековое возмущение Дии(2я) продольной скорости
за один виток и вековое ускорение (А^и)Век вдоль
орбиты определяются из выражений
Ьои (2л) = — 2лРх T0 = — 2nw-
>ср
(А^Л
Див (2л.)
= -г0.
(3.14)
Заметим, что величины kvu(2n) и (Дг>и)вск не
совпадают с величинами (Дуф)вск(2я) и -^-[(А^ф)век].. Первые
из них характеризуют изменение фактической скорости
полета спутника, а вторые — изменение скорости проек-
дии спутника на невозмущенную среднюю круговую
орбиту.
Таким образом, под воздействием постоянного
возмущающего ускорения, совпадающего с направлением
полета, спутник движется по разворачивающейся
спирали (с некоторыми периодическими колебаниями

72 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИИ 1ГЛ. III
относительно основного спирального движения). При этом
скорость полета непрерывно уменьшается, а период
обращения возрастает. Изменения обоих параметров
происходят по линейным законам (как функции времени
полета или числа оборотов спутника). Среднее (вековое)
изменение скорости полета равно возмущающему
ускорению с обратным знаком. Вековое отставание спутника
от его соответствующего положения на невозмущенной
орбите возрастает пропорционально квадрату времени
полета (числа витков орбиты). При возмущающем
ускорении противоположного направления спутник движется
по сворачивающейся спирали. В этом случае скорость
полета возрастает, а период обращения уменьшается.
Подобный, на первый взгляд парадоксальный, характер
движения объясняется тем, что под воздействием
возмущающей силы увеличивается механическая энергия
спутника. При этом, в соответствии с зависимостью
(2.55), возрастание запаса механической энергии
спутника влечет за собой увеличение высоты его полета, что
в свою очередь связано с уменьшением скорости. При
ускорении, имеющем обратное направление, явление
носит противоположный характер. Заметим, что описанное
обратное действие продольного ускорения (аналогично
тому, что имеет место при рассмотренном выше
импульсном возмущении продольной скорости vu) начинает
сказываться не сразу, а лишь по прошествии определенного
времени. В начале движения ускорение смещает
спутник по направлению своего действия. Действительно,
полагая в выражениях (3.8) угол ф малым, находим (с
точностью до малых высших порядков):
Р\ ф2 t1
Однако это начальное возмущение быстро затухает
по мере изменения высоты полета спутника. При
Ф>108°36'14" изменяется знак вариации kvu скорости,
а при <p>104Q55'6" — знак смещения Ди.
В. Постоянное возмущающее ускорение W=W0,
действующее по нормали к орбите, вызывает периодические

3.3]
ПОСТОЯННЫЕ ВОЗМУЩАЮЩИЕ УСКОРЕНИЯ
73
возмущения величин z и vz. Из зависимостей (2.32) к
(3.8) следует, что эти возмущения сводятся к среднему
смещению плоскости орбиты на величину
(te)cp-02!r/-- W°
PW.^r
ср g{
(3.15)
ср
и повороту ее вокруг оси MN, составляющей с осью л*
угол у0 — — (см. рис. 2.5). При этом угол поворота
плоскости орбиты
ф:
P2*Wn
ср
1±
*ср
(3.16)
Суммарное воздействие указанных смещений
плоскости орбиты равносильно ее повороту на угол ф вокруг
оси MN, касательной к начальной точке невозмущенной
Рис. 3.1. Влияние постоянных
возмущающих ускорений, направленных
по нормали к плоскости орбиты.
круговой орбиты (рис. 3.1). При этом максимальное
отклонение спутника от плоскости невозмущенной орбиты
соответствует точке ф = я и определяется из равенства
Mm = 2P*W0 = 2r.n-^. (3.17)
ср g{
ср
Из сопоставления полученных результатов с
приведенным выше анализом влияния постоянного
радиального ускорения (см. п. А) следует, что постоянное
ускорение, нормальное к направлению полета спутника

74 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИЙ [ГЛ. III
(безразлично, по радиусу или по нормали к плоскости
орбиты), не вызывает вековых возмущений по
направлению своего действия. Оно лишь как бы «натягивает»
орбиту в этом направлении. При этом максимальное
смещение орбиты соответствует точке ф = я и определяется
из аналогичных выражений (3.9) и (3.17). Возникающее
под действием ускорения S0 изменение периода
обращения и соответствующее вековое смещение вдоль
орбиты связаны с некоторым изменением среднего радиуса
орбиты (что не имеет места при воздействии уско-«
рения Wo).
3.4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ, ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ
С ЧАСТОТОЙ ОБРАЩЕНИЯ СПУТНИКА
Перейдем к анализу влияния периодических
возмущающих ускорений, имеющих частоту, равную частсце
обращения спутника. Подставляя вторые члены правых
частей равенства (3.5) в выражения (3.6), находим
выражения для определения соответствующих возмущении
орбиты:
ч>
Дг (ф) = Р\ f [S, sin (i|> — ф51) sin (ф -1>) +
о
4- 274! sin (ф — фп) [ 1 — cos (ф — $)]j dty,
Avr (ф) = Я, J [Sj sin (ip — ф51) cos (ф —1|?) +
o
-+- 27\ sin (ty — фп) sin (ф — \\>)\ d$>,
А«(Ф) = —7^- / {2S,sin(i|>-^51)[l-cosfo-4>)] +
* en *f
cp
+ 7\ sin (я|> — фг1) [3(ф —г|5) — 4 sin (ф — Щ\ dty,
q>
Avu (ф) = — Р\ / \si sin (Ч> ~ <Vsi) sin (Ф — Ф) +
о
И- Г, sin 0|> — фп) |1 — 2cos (ф — ф))} flty,
ИЗ. 18)

9.4]
ВОЗМУЩЕНИЯ С ЧАСТОТОЙ ОБРАЩЕНИЯ
75
ф
Дг(ф) = Рх j Wx sin (ф — ц>т) sin (ф — ф)dty,
о
ф
Дг;2 (ф) —Рх [ Wx sin (ф — фГ1) cos (ф — г|)) <Л|>.
(3.18)
о
J
Вычисление правых частей этих выражений сводится
к интегралам вида
ф
У2 = ( sin (ф — фО sin (ф — \j>) ^|>,
(3.19)
Л = f sin (ф — фх) cos (ф — ф) ^Ф»
ф
У3 = J*sin(\|> — Ф!)(ф — Ф)^Ф,
9
Ф
У4 = Jsin(^ —фО^Ф.
_ •
После элементарных преобразований, пользуясь
равенством
J х sin xdx = sin x — xcos x,
(3.20)
находим:
ф
I
Л — -j / [cos (2ф — ф2 — ф) — cos (ф — ф!)] dap — j
6
= -j [sin ф cos ф2 — Ф cos (ф — ф,)1,
ф
J-i = -j I [sin (ф — фх) -f- sin (2ij) — Ф! — ф)[ d$ —
6
= ~2 [ф sin (ф — ф^ — sin ф sin ф^,
ф
h = / [(Ф — Ф1) — (Ф — Ф1)] sin (Ф — фО fity ==
о
= ф cos фх — sin (ф — фО ■— sin Ф1,
У4 = cos Ф! (1 — cos ф) — sin ф sin ф^
(3.21)

76 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИЙ [ГЛ. Ш
Подставим эти зависимости в выражения (3.18)
(заменив предварительно ф4 на q>Su фп и фтп). В
результате получим:
Ar(9) = P?{-^[sin<pcosq>sl — фС05(ф — q>sl)\+ \
+ Тх [2 cos фГ1 (1 — cos ф) —
— sin ф sin фл — ф sin (ф — ФП)]Ь
&vr (ф) = Рг {-у- [ф sin (ф — ф51) — sin ф sin ф51) +
Т} [sin ф cos фп — ф cos (ф — фп)] \,
(3.22)
Ди (ф) = — т^- [Si [2 cos ф51 (1 — cos ф) —
' ср
— sin ф sin ф51 — ф sin (ф — ф51)] +
-f- Тх (Зф cos фГ1 — 3 sin (ф — фп) —
— 3 sin <рГ1 4-2фС05(ф — фГ1) — 2 sin фсо$фп](,
Дф«(ф) = — Р\ J 41 (Sin CPC0S Ф51-ФС08 (ф-ф51)] +
-+- Тх (cos фп (1 — cos ф) — ф sin (ф — фп)1},
Д^ (ф) = -2 р\ wi [sin Ф cos фГ1 — ф cos (ф — ф^)],
Дvz(ф) =уЛ^1 [Ф sin (Ф — ф^) — sin ф sinф^,].
Полученные выражения содержат вековые и
периодические члены. Мы здесь не будем производить
подробного анализа периодических возмущений, влияние
которых является второстепенным по сравнению с
воздействием соответствующих вековых смещений (заметим,
что такой анализ может быть легко проведен, исходя из
указанных выше зависимостей).
ОбОЗНаЧИМ Через Двек^, Двек£>г, Двек", Abck^u, Двек^ И
Двек^г величины вековых смещений соответствующих
элементов орбиты. Эти смещения определяются теми
членами правых частей выражений (3.22), которые
содержат множитель ф, непрерывно возрастающий с течением

3.5) ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РАДИАЛЬНОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ 77
(3.23)
времени. Имеем:
<W = р\ [— -J- Ф cos (Ф-Ф51)—Г,Ф sin (Ф-Фп)] .
Двек^'л = Л[уФ sin (ф — ф51) — 7> cos (ф — фп)] .
р\
Двек« = Т~ {51Ф Si" ((P — 4>Sl) —
— Г, [Зф cos фГ1 + 2ф cos (ф — ФП)1Ь
ДвеЛ = Л ["§■ Ф COS (ф — ф51) + 7> Sin (ф — фп)] ,
АвеЛ = у Л ^ Sin (ф — фГ1)- j
Характерной особенностью полученных выражений
является то, что они содержат члены, пропорциональные
произведениям угла ф (или времени полета / = Р1ф) на
тригонометрические функции углов ф — у$и Ф — фп и
ф — Фич- При этом скорости вековых смещений
оказываются различными в разных точках орбиты, что
приводит к непрерывным систематическим искажениям формы
орбиты. Определим характер этих искажений при
различных периодических возмущающих ускорениях.
3.5. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЕ УСКОРЕНИЕ,
НАПРАВЛЕННОЕ ПО РАДИУСУ г (5^0, Г, = W, =0)
Сопоставляя выражения (2.41) и (3.23), находим, что
рассматриваемое возмущение соответствует переходу к
почти круговой орбите с эксцентриситетом е и
аргументом перигея (о, определяемыми из выражений
е =
ф:
2 g,
ф. « = Ф51.
(3.24)
СР
где гср — средний радиус невозмуьченной орбиты, а
ёер = ё(Гст>).
Пользуясь выражениями (2.43), определяющими
расстояния гп перигея и га апогея от притягивающего

78 ВЛИЯНИЕ ВОЗ]МУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИЙ [ГЛ. III
центра, а также тем, что
ф:
(3.25)
находим скорости вековых изменений величин е, гп и га
(полагая Si>0):
dfi drn P,5j w S\
dt —~ dt — T~ — T g '
>cp
de
dt
PxSx
1 5,
(3.26)
При 5i<0 ra и гц меняются местами.
Скорость векового изменения радиуса г в
произвольной точке орбиты может быть найдена из зависимости
4t (Лвек/*) = А=^ Sin [ф — (ф51 + -)] =
w S{
ср
8ш[ф-(ф„ + у)]. (3.27)
Таким образом, рассматриваемое вековое возмущение
сводится к непрерывно
возрастающему
искажению формы орбиты.
Радиальная скорость этого
искажения колеблется с
периодом, равным периоду
обращения спутника. При
этом получаемое
искажение отстает по фазе на
т от
исходного
возмущающего ускорения.
Графически это
проиллюстрировано на рис. 3.2, где
сплошными стрелками
изображены направления
возмущающих ускорений,
а пунктирными
стрелками— направления соответствующих вековых искаже*
ний формы орбиты (большая сплошная стрелка
обозначает направление полета спутника).
Рис. 3.2. Влияние радиальных
периодических возмущающих
ускорений на движение по
круговой орбите.

3.61 ВОЗМУЩАЮЩЕЕ УСКОРЕНИЕ ВДОЛЬ ОРБИТЫ 79
З.в. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЕ УСКОРЕНИЕ,
НАПРАВЛЕННОЕ ВДОЛЬ ОРБИТЫ
Получаемое в этом случае вековое возмущение
орбиты целесообразно представить в виде суммы двух
возмущений. Первое слагаемое определяется равенствами
V = — Р\Т& sin (ф — фп),
Hxvr = — PlTlq> cos (ф — фл),
л 2Р*т <
дх# = Txq> (cos ф -
/Vr
'ср
Фп)»
а второе
д]*><1 = PiTtf sin (ф — фГ1),
равенствами
Д2г = Д2г>, = &2vu = О,
(3.28)
ДоЯ =
3/>?
'ср
ТхфСОЫРтх.
(3.29)
Из выражений (2.41) и (3.28) следует, что первое из
рассматриваемых возмущений соответствует переходу к
почти круговой орбите со следующими значениями
эксцентриситета и перигейного расстояния
^=-т^-ф=-~ф. »=»*+■£• (з.зо)
Отсюда, пользуясь зависимостью (3.25), находим
выражения для скоростей вековых изменений величин е,
гп, га и г(ф) (при Ti>0):
dr* drn D T 7^
*,
ср
de _ РХТ,
dt ~ r
ср
_1_
Р.
1±
^Г(Д1 г) = РхТхъ\п\
ср
(Фп
■Л)] =
= w—i- sin 1ф — (Фп— ")!•
е,
ср
(3.31)

80 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИЙ [ГЛ. III
Таким образом, мы и в этом случае получаем
непрерывно возрастающее искажение формы орбиты,
радиальная скорость которого имеет период, равный периоду
обращения спутника. Это искажение орбиты отстает по
фазе на л от исходного возмущающего ускорения.
Графически это изображение на
рис. 3.3, построенном
аналогично рис. 3.2.
Что касается второго
векового возмущения,
определяемого равенствами (3.29), то
оно не связано с нарастающим
искажением формы орбиты и
сводится к некоторому
изменению периода обращения
спутника. Можно показать, что
величина этого изменения
равна
6яЯ? „
д/> _ тх cos фп —
'' *; \\ *
Рис. 3.3. Влияние
продольных периодических
возмущающих ускорений на
движение по круговой орбите.
ср
ЗЯ—-cosq>n. (3.32)
>ср
Заметим, что это изменение периода обращения
связано с некоторым изменением Дгср среднего радиуса
орбиты. Величина этого изменения определяется
периодическими членами правой части выражения (3.22):
Дгср = 2Я?Г1со8Фл = 2г
Л
ср gt
cos<p
ср
ГУ
(3.33)
3.7. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЕ УСКОРЕНИЕ,
НАПРАВЛЕННОЕ ПО НОРМАЛИ
К ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ (№,/0, Sx =-- Г, =0)
Из выражений (2.32) и (3.23) следует, что в этом
случае вековое смещение орбиты сводится к вращению
ее плоскости вокруг оси, направление которой
определяется углом
Фо^Фнч + Т-
(3.34)

3.8]
ВОЗМУЩЕНИЯ С КРАТНОЙ ЧАСТОТОЙ
81
При этом угол поворота плоскости орбиты
*=
P\WX
2г.
ср
ф=
1 U7,
ф. (3.35)
Отсюда, пользуясь зависимостью
угловую скорость вращения
плоскости орбиты: „
dip _ PjWj
dt ~ 2rCD
(3.25), находим
*&• <336>
Рис. 3.4. Влияние
периодических возмущающих ускорений,
действующих по нормали к
плоскости орбиты.
где X = -р средняя
угловая скорость движения
рассматриваемого спутника по
орбите.
Зависимость между
рассматриваемыми
возмущающими ускорениями и
вращением плоскости орбиты
графически проиллюстрирована на рис. 3.4, где
вертикальные стрелки обозначают возмущающие ускорения,
стрелка М — направление полета спутника, стрелка N —
направление вращения плоскости орбиты, прямая АО —
линию, соответствующую направлению <p = <Pvn» а ПРЯ"
мая CD — ось, вокруг которой происходит вращение
плоскости орбиты.
3.8. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ,
ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ С ЧАСТОТОЙ,
КРАТНОЙ ЧАСТОТЕ ОБРАЩЕНИЯ СПУТНИКА
Перейдем теперь к оценке влияния высших гармоник
в выражениях (3.5), соответствующих значениям t>2.
Заметим, что выражения для возникающих под влиянием
этих гармоник возмущений орбиты аналогичны
выражениям (3.18) при замене в них величин sin (г|> — <р51),
sin(\|) — фп) и sin(гр — <рш) на величины sini(tf>— ф5х),
sin /(tj) — фГ/) и sin i(yp — ф^). После этой замены

82
ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИИ
II Л. Ill
(3.37)
задача сводится к вычислению интегралов вида
ф
j[l) = Г sin I(ф — q)j) sin (ф —ф)г/ф,
о
ф
JP= f sin / (ф — фО cos (ф — ф)*/ф,
о
ф
Л1)= f (Ф — Ф) sin / (ф - ф1) дГф,
о
ф
fAl) = Г sin /*(ф — Фх)*/ф.
о
Мы ограничимся здесь рассмотрением только
вековых возмущений орбиты. Из зависимостей
sin i (ф — фО sin (ф — ф) = у {cos [(/' -f- 1) ф — iyx — ф] —
— cos [(/—1)Ф—/Ф1 + ф!Ь
б!п/(ф — фОcos(ф —ф) = - (sin [(/ —1)Ф —/Ф1 + Ф] +
-Ь sin I(/ -Ь 1)Ф — /фг — ф]}
непосредственно следует, что интегралы А*у и А*] не
дают вековых членов при / >2. Очевидно, что четвертый
интеграл Л1) также не дает вековых членов. Поэтому мы
перейдем к вычислению третьего интеграла Уз)#
Пользуясь зависимостью (3.20), находим:
ф
/з°= / 1(Ф — «ft) - (Ф - Ф01 sin / (ф — ф1)4ф =
о
-Т f^-^-^)^xdx = ^^.-
sln/(y — 9t)-f sin /gpi
(3.38)
где * = *(ф —ф|).

3.9) КЛАССИФИКАЦИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ОРБИТЫ 83
Очевидно, что только первый член правой части
полученного выражения определяет вековые возмущения
орбиты. Отсюда, пользуясь зависимостями (3.18),
находим, что рассматриваемые вековые возмущения имеют
место лишь по координате и и могут быть определены
по формуле
ДвекЯ = — 771 т№ cos *Рп = — Т 1Г~ Ф cos /(Рп- (3-39)
*гср ' Sep
Это вековое возмущение не связано с нарастающим
искажением формы орбиты и сводится к изменению
периода обращения на величину :
AP=~r-± Tt cos щТ1 = 3 т —- cos /фГ(- (3.40)
*гср * бср
Величина этого изменения периода обращения
убывает с повышением порядка / рассматриваемой
гармоники. Кроме того, она существенным образом зависит от
начальной фазы ц>п рассматриваемого возмущения.
3.9. КЛАССИФИКАЦИЯ ВОЗМУЩЕНИИ ОРБИТЫ
Из изложенного выше следует, что при наличии
малых возмущающих ускорений, являющихся
периодическими функциями угла q> = Xtt могут возникать вековые
возмущения орбиты следующих трех видов.
1. Вековые возмущения, приводящие к
нарастающему искажению формы орбиты (которые в конечном
итоге могут привести к разрушению орбиты, т. е. к
падению спутника на Землю или выходу его из сферы
действия Земли). Такие возмущения возникают под
влиянием постоянных ускорений, направленных по
движению спутника (или в обратном направлении), а также
под влиянием периодических ускорений, действующих в
плоскости орбиты и изменяющихся с частотой, равной
частоте обращения спутника вокруг притягивающего
центра. При этом в первом случае спутник движется по
разворачивающейся (сворачивающейся) спирали с
непрерывно возрастающим (убывающим) периодом
обращения. Во втором случае происходит непрерывное
увеличение эксцентриситета орбиты, которое в конечном
итоге существенным образом изменяет ее форму.

84 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИЙ [ГЛ. III
2. Вековые возмущения, приводящие к непрерывному
вращению плоскости орбиты вокруг некоторой оси,
проходящей через притягивающий центр. Такие
возмущения возникают под влиянием периодических ускорений,
нормальных к плоскости орбиты и изменяющихся с
частотой, равной частоте обращения спутника.
3. Вековые возмущения, приводящие к некоторому
изменению периода обращения спутника при отсутствии
нарастающих искажений формы орбиты. Такие
возмущения возникают под влиянием постоянных ускорений,
направленных по радиусу г, и периодических ускорений,
направленных по движению спутника. При этом влияние
периодических ускорений убывает с возрастанием
порядка соответствующей гармоники в выражении (3.39).
Таким образом, возмущающие ускорения, имеющие
частоту, совпадающую с частотой обращения спутника,
по своему влиянию существенно отличаются от
ускорений, имеющих более высокие частоты. Это объясняется
тем, что при совпадении указанных частот имеет место
своеобразный резонанс, приводящий к нарастающим
искажениям формы орбиты. Природу возникновения
этого резонанса можно проследить, пользуясь
выражениями (3.3), определяющими влияние импульсных
возмущений. Для этого достаточно рассмотреть влияние
импульсов, систематически действующих при каждом
прохождении спутника через две диаметрально
противоположные точки орбиты. Величины возмущающих
импульсов в диаметрально противоположных точках
следует брать одинаковыми, а направления —
противоположными. Из выражений (3.3) следует, что такие
импульсы, лежащие в плоскости орбиты, вызывают
непрерывное возрастание ее эксцентриситета. При
направлении этих импульсов по нормали к плоскости орбиты
происходит непрерывное вращение этой плоскости.
Очевидно, что возмущающие ускорения, период изменения
которых совпадет с периодом обращения спутника,
можно рассматривать как суммы импульсных возмущений
указанного выше типа.

ГЛАВА IV
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ
В НЬЮТОНОВСКОМ ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
ТЯГОТЕНИЯ
4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В предыдущих главах мы рассматривали движение
по круговым и почти круговым орбитам. Было показано,
что такие орбиты имеют место лишь в том случае, когда
начальные условия движения подобраны специальным
образом.
Как будет показано ниже, в общем случае (при
произвольном выборе начальных условий) движение может
происходить по орбитам, которые существенным
образом отличаются от круговых. При этом многие
результаты предыдущей главы теряют свою силу. В связи
с этим в настоящей главе мы рассмотрим общий случай
движения вокруг притягивающего центра (вокруг Земли
или какого-либо другого небесного тела). При этом мы
будем учитывать лишь силу тяготения, считая ее
направленной точно к центру Земли (к центру
притягивающего тела). Ускорение, возникающее под влиянием
этой силы, мы будем определять по формуле Ньютона
(1.2). Как будет показано в гл. XVI, для спутников,
движущихся внутри сферы действия Земли и вне сферы
действия Луны (на расстоянии менее 9-Ю5 км от
центра Земли и более 7-Ю4 км от центра Луны), при
высоте полета более 100—150 км, эта сила является
основной (при отсутствии больших активных сил).
Поэтому движение под воздействием только
указанной силы тяготения Ньютона обычно называют
невозмущенным.
Вопрос о влиянии на это движение различных
возмущающих сил будет рассмотрен ниже.

86 ОБЩИЙ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ [ГЛ. IV
4.2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Переходя к составлению уравнений движения при
сделанных выше допущениях, воспользуемся введенной
в предыдущей главе правой системой прямоугольных
координат Oxyz, ось Oz которой совпадает с осью
вращения Земли, а ось Ох направлена на точку весеннего
равноденствия. Обозначим на рис. 4.1 через С точку,
характеризующую положение спутника. Построим
прямоугольный параллелепипед М, у которого притягивающий
центр О и точка С
являются
противоположными вершинами, а ребра
параллельны осям
системы координат Oxyz.
Очевидно, что эти ребра
равны прямоугольным
координатам х, уу z спутника.
Диагональ этого
параллелепипеда
ОС = г = Yjfi + y*+z*.
По направлению
диагонали СО отложим
вектор g ускорения силы
тяжести и построим второй
прямоугольный
параллелепипед /V, для которого
вектор g является
диагональю, а ребрами служат проекции gx, gyi gz
вектора g на оси координат. Параллелепипеды М и N
подобны. Пользуясь зависимостью (1.2), находим:
Рис. 4.1. Проекции ускорения силы
тяжести на оси прямоугольной
системы координат.
gx
X
X
gy = —gy=-V
gz=—g-f
или, в векторной форме,
Z
7*
•2-г
(4.1)
(4.2)

4.3]
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
87
где г — вектор, определяющий положение точки С в
системе координат Oxyz.
Пользуясь полученным выражением, можно написать
уравнение движения в векторной форме
г=-£г. (4.3)
Очевидно, что это векторное уравнение представляет
собой систему трех скалярных дифференциальных
уравнений второго порядка.
4.3. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Напишем векторное произведение уравнения (4.3) на
вектор г, имея в виду, что гХг=0. В результате
получим
гХг=0.
Отсюда, пользуясь равенством г X г = 0, имеем
|(гХг) = гХг = 0.
Интегрируя это равенство, получим так называемый
интеграл площадей в векторной форме:
rXv = C, (4.4)
где v = г~— вектор скорости спутника, а С— некоторый
постоянный вектор (для данной орбиты при отсутствии
возмущающих сил). Векторный интеграл (4.4)
представляет собой совокупность трех скалярных интегралов:
yvz — zVy = Cu zvx — xvz = C2, xvy — yvx = C3l (4.5)
где vx, vy, vz и Си С2, С3 соответственно проекции
векторов v и С на оси системы координат Oxyz.
Очевидно, величины Си С2 и С3 являются постоянными для
данной орбиты.
Из зависимости (4.4) непосредственно следует, что
векторы г и v всегда находятся в некоторой
постоянной плоскости, нормальной к вектору С и проходящей
через притягивающий центр. Таким образом,
движение спутника при сделанных допущениях происходит

88 общий случай движения в ньютоновском полп [гл. iv
в некоторой определенной плоскости, называемой
плоскостью орбиты.
Обозначим через С абсолютную величину вектора С,
определяемую по формуле
С = Vcl+Cl + Cl (4.6)
Пользуясь известным выражением для модуля
векторного произведения [15], можно написать, что
Cz=zrv since, (4.7)
где v—модуль вектора скорости спутника, а а — угол
между направлениями
векторов V и г (рис. 4.2).
Обозначим через ds
элементарное перемещение
спутника за время dt.
Считая dt малым, можно
написать, что
ds = v dt.
При этом зависимость
(4.7) принимает вид
^о С dt = r sin ads.
Рис. 4.2. Определение секторной Но из рис. 4.2 видно,
скорости спутника. ч?0 rs[nads==2do (с
точностью до малых высшего
порядка) представляет собой удвоенную площадь
элементарного сектора OAAi орбиты. Отсюда следует,
что
2-£ = С. (4.8)
Интегрируя это выражение, получаем:
2а=С* + С4> (4.9)
где а — площадь сектора, ограниченного отрезком ЛИ
орбиты и радиусами ОА0 и ОА (здесь Л0 — некоторое
начальное положение спутника).
Величина С4—новая постоянная, которая зависит от
выбора начал отсчета величин а и /. Из выражений

О] ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 89
?ШЛ) и (4.8) следует, что рассматриваемое тело
движется в плоскости, проходящей через притягивающий
"ЯЦвнтр. При этом скорость изменения площади,
описываемой радиусом-вектором тела (так называемая сек-
торная скорость, равная -у], остается постоянной.
.- Запишем теперь скалярное произведение уравнения
(4.3) на вектор г:
r.? = -JL(r.r). (4.10)
Преобразуем левую и правую части этого
равенства, пользуясь тем, что расстояние г до
притягивающего центра и абсолютную величину скорости v можно
определить при помощи выражений
Имеем:
У г г, v~V г г.
1 d , • ■ ч 1 d / 9\
1 , \ d ,/ dr
.. ^>дставляя эти зависимости в равенство (4.10), находим:
2 dt yu } r2 dt '
Интегрируя это выражение, получаем еще один
первый интеграл:
^-^ = СР (4.11)
<Ч
где С5 — некоторая произвольная постоянная.
.. Из зависимостей (1.6) следует, что полученное
равенство (4.11) является частным случаем общего закона
| постоянстве полной механической энергии при
движении в консервативном поле сил [28}. Оно обычно назы-
Еется интегралом энергии. При этом постоянная С5
едставляет собой удвоенный запас механической
ергии, приходящейся на единицу массы.

90 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ (ГЛ. I\fr
Непосредственным следствием интеграла энергии)
является то, что скорость рассматриваемого тела убыж
вает по мере его удаления от притягивающего центрами
а
4.4. ФОРМА ОРБИТЫ ^
Для определения формы орбиты воспользуемся not
лярной системой координат г, и, где и — угловое рас^
стояние от некоторого заданного направления,
лежащего в плоскости орбиты и проходящего через
притягивающий центр. В этой системе координат уравнения
(4.8) и (4.11) принимают вид
гЧ - С, г* + г2и2 = Ц- + С5. (4.12)'
В настоящей главе мы ограничимся рассмотрением
орбит, характеризуемых условием
СФО. 1
Случай С = 0, соответствующий вертикальному
движению, будет рассмотрен в главе VII.
Исключим из системы уравнений (4.12) независимое
переменное t. Для этого воспользуемся первым
уравнением (4.12), из которого находим: }ц
»
С • dr * dr С /л лч\
Подставляя эти зависимости во второе уравнение
(4.12), получим дифференциальное уравнение, опреде-{
ляющее форму орбиты:
Заменим в этом уравнении величину г новой
переменной а
Р = £. (4.15J
Тогда *я

f
ФОРМА ОРБИТЫ 93
Подставляя эти зависимости в уравнение (4.14),
поучаем:
ледов ат
-V
ледовательно,
dp
t arccos —,. а + С6
С7
/£+^
§де С6— новая постоянная интегрирования.
Пользуясь зависимостью (4.15), находим:
£-£==j/\;5+^cos(ii-Ce)f
l+]/"l+-^cos(u~C6)
Изменим начало отсчета углов и перейдем от
координаты и к новой переменной
ф = и — С6. (4.17)
Кроме того, введем новые постоянные
/> = ■£ и е = у 1 + -^- (4.18)
В результате получим окончательное уравнение
орбиты в полярной системе координат:
Р
(4.19)
1 + е cos #
:ть не что i
ллипса, ги
болы) с фокальным параметром р и эксцентриситетом е%
s Зависимость (4.19) есть не что иное, как уравнение
* конического сечения (эллипса, гиперболы или пара-

92 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ 117!. JV
При этом притягивающий центр находится в одном из
фокусов конического сечения. Полученный результат
известен как второй закон Кеплера (в обобщенном виде).
Угол -& обычно называют истинной аномалией.
4,5. ЗАВИСИМОСТЬ ТИПА ОРБИТЫ
ОТ СКОРОСТИ ПОЛЕТА }
Из зависимости (4.19) следует, что при 0^.е<\
рассматриваемая орбита является эллипсом (при е = 0
этот эллипс превращается в круг с радиусом г = const).
При е=\ орбита становится параболой, а при е>1 —
гиперболой.
Обозначим через 0 угол между направлением
скорости движения рассматриваемого тела и нормалью
к радиусу-вектору в точке А (см. рис. 4.2). Очевидно,
что
9 = | — а (4.20)
и зависимость (4.7) принимает вид
C = rv cos 0. (4.21)
Отсюда, пользуясь выражениями (4.11) и (4.18),
находим:
в = VI—А(2 —ft)cos26, (4.22)
где
В соответствии с равенствами (1.4) и (1.9) величина
/—
до= l/ ii есть скорость кругового движения на
расстоянии г от притягивающего центра, а
V=Y2w = yr^ (4.24)
— так называемая скорость отрыва от притягивающего
центра (при г = /? величины w и V соответственно
первая и вторая космические скорости).

г ЗАВИСИМОСТЬ ТИПА ОРБИТЫ ОТ СКОРОСТИ ПОЛЕТА 93
" Из выражений (4.22) и (4.24) непосредственно
следует, что если v<V, то k<2 и е<1. В этом случае ор-
г'тга является эллиптической. Если v=V9 то £ = 2,
* =1 и орбита становится параболической. Если же
: >V, то &>2, е>\ и движение происходит по
гипероне. Таким образом, всякое тело, которому в
некоторой момент сообщена скорость, не превосходящая
скорости отрыва V, в дальнейшем будет продолжать свое
движение по эллиптической орбите (если, конечно, оно
в процессе своего полета не столкнется с поверхностью
'^мли). При скорости, равной скорости отрыва,
движение происходит по параболе, а при скорости,
превосходящей скорость отрыва — по гиперболе. В обоих
последних случаях рассматриваемое тело уходит в
бесконечность, т. е. отрывается от притягивающего центра.
г)гот вывод полностью согласуется с соответствующим
результатом, полученным в § 1.1 из энергетических
соображений. Так как при отсутствии возмущений
величина эксцентриситета е остается постоянной, то условия
v'V, v=V или v>V сохраняются в процессе движения
Ц1 утника по невозмущенной орбите.
, В заключение заметим, что выражение (4.22) можно
ц писать в виде
е = Vsin2e + (*— l)2cos20. (4.25)
. Отсюда непосредственно следует, что круговая ор-
(1! та (е = 0) может быть получена лишь при условиях
v = w и 6 = 0, (4.26)
ч;ю согласуется с соответствующими выводами гл. I.

ГЛАВА
*
5.!. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОРБИТ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
%
а
i
5
Ч
Ч
•Ш
•Я
Рассмотрим более подробно случай движения по эл||
липтической орбите (0^е<1, v < V). При этом вое*
биты (т.
$
пользуемся известными из аналитической геометршг
свойствами эллипса. J
Из выражения (4.19) следует, что в точке, соответ*
ствующей значению •& = (), находится перицентр П о\Щ
е. наименее удаленное от притягивающее
центра положение рассма^
триваемого тела; это полой
жение при движении тел
вокруг Земли называете
перигеем, а при движени
вокруг Солнца —
перигелием орбиты). Наиболее удщ
ленная от притягивающего
центра точка А (апоцентрщ
орбиты (при движении темщ
вокруг Земли эта точка иЩ
зывается апогеем, а при дв||§
е t „ жении вокруг Солнца -*:
S^ussssToSSs: о**™* °рб"иты) соотве|
ствует значению истинно^
аномалии 0 = jt (рис. 5.1)*
Полагая в правой части равенства (4.19) последователе;
но 0 = 0 и 0 = я, найдем значения минимального (пер^
центрического) и максимального (апоцентрическогр|
расстояний от орбиты до притягивающего центра О:
\+е ■
1-е
m
Y

ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОРБИТ
95
^хп А и П являются двумя наиболее удаленными
fer друга точками эллиптической орбиты. Поэтому
щш АП называется большой осью орбиты. Поло-
[отрезка АП называется большой полуосью, обо-
1ется через а и определяется по формуле
a==^=
1— е* '
(5.2)
1 — фокальный параметр.
^сли заданы значения а и е% то величины р, гп и га
^Рделяются из соотношений
р = а(1 — ^2), г„ = а(1—*), ra = e(l+tf). (5.3)
сюда
Го Гп
е = -
2а
?йфдим:
рот
бозначим через Ла и ЛП высоту апогея и перигея
над поверхностью Земли. Считая Землю сфе-
радиуса R и учитывая, что rn = /?-f Ап, га = /? + йа,
a = R-
К + лп
е =
ла~лп
2/? + Ла+Лп •
Середина большой полуоси S называется центром
шШптической орбиты. Расстояние d=zOS называется
Шейным эксцентриситетом и определяется по формуле
d — a — rn=zae. (5.4)
Точка О', расположенная на большой оси симмет-
{.ЯуЛИо относительно точки О (т. е. на расстоянии
<l'Sz=zOS = d от центра), называется вторым фокусом
(ф/Шты. Как известно из аналитической геометрии,
чипе является геометрическим местом точек, удовле-
п)ряющих условию
г + г' = 2а,
(5.5)
rielr и г' — расстояние произвольной точки орбиты от
яФ^НУсов О и О'.
♦но Любая прямая, проходящая через центр S, пересе-
фф£Т эллипс в двух точках D и D'. Все отрезки,
«Исключенные между такими точками, называются

96
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
ill
диаметрами эллипса. Все диаметры делятся цепц
эллипса пополам, т. е.
SD = SD'. n
хМаксимальный диаметр эллипса совпадает с
большой осью АП. Минимальный диаметр ВВ' нор|
лен к оси АП и называется малой осью, а расстоя|
b — SB = SB'— малой полуосью. Из симметрии элли|
следует, что расстояния гь и г'ь от точек В и В[
обоих фокусов равны между собой. Из зависим?;!
(5.5) находим:
Далее, пользуясь зависимостью (5.4), найдем в*
чину малой полуоси:
b=Ya? — d2 = aVl—e2.
Из выражения (4.19) следует, что при движец
спутника от перицентра орбиты П к апоцентру А Щ
при изменении истинной аномалии О от 0 до л) расе ^
ние г непрерывно возрастает, а при движении от
ки А к точке П — непрерывно убывает. Следовател!!
точки В и В' делят всю орбиту на две части: fl'/7/:",H
которой г •< а% и В'АВ, на которой г > а.
Из приведенных соотношений видно, что все opfii
с одинаковой в&ичиной е эксцентриситета подобны |
мере увеличения е эллиптическая орбита все боли'
более вытягивается и при е -> i отношение
1+'
1—*
~»оо.
При этом апоцентр уходит в бесконечность и орС
принимает параболическую форму.
5 2. СКОРОСТЬ И ЭНЕРГИЯ ПОЛЕТА
Определим теперь составляющие вектора скорс
v рассматриваемого тела в произвольной точке о
ты Обозначим через v, и vu проекции этого век*
иа р диус и нормаль к нему (рис. 5.J). Пользу

СКОРОСТЬ И ЭНЕРГИЯ ПОЛЕТА 57
[ажением (4.21) и тем, что
vu = vcosQ, (5.9)
Иаем:
ШР другой стороны, из зависимости (4.18) находим»
С = у11р; (5.10)
ц
*.=т-
йтсюда
fl-BsJ?B/p(1 + "0S*'' (5Л1)
Шля определения vr продифференцируем уравнение
Р):
• ре sin ft л
Пользуясь выражениями (4.19) и (5.11), получаем:
U = ^ = !^--(l-f*c©sfl)2. (5.12)
Шодставляя эту величину в предыдущее равенство,
1|р>дим окончательно, что
4«]/j"in*- * (5.13)
Щ1,ля определения абсолютной величины вектора ско-
жги v воспользуемся зависимостями (4.11), (4.18),
:Щ) и (5.10). В результате несложных преобразований
[учим:
Ч- 53— = --5-
(5.14)
а, окончательно,
f ^=2!i_Ji. (5.15)
A r a
Ш1з выражений (5.11), (5.13) и рис. 5.1 следует,
щр угол 0, определяющий ьаклоь вектора скорости,

98 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
к местному горизонту, находится из равенства
е sin ft
6 vu Р
1 + £ COS ft
{гл. Щ
■
(5Л56|
Из приведенных выражений видно, что скорость гкй
лета убывает при удалении рассматриваемого тела от
притягивающего центра (т. е. при изменении угла йЦ
от 0 до л) и возрастает при приближении к
притягивающему центру (при изменении О от л до 2я). Ско-|
рость полета достигает максимума и минимума соот
ветственно в перицентре и апоцентре орбиты. Пользуяс
выражениями (5.3) и (5.15), находим скорости va и t'aj|
в этих точках:
\+е а
1+*
/:
1+е
V\-e,
1
(5.17)1
где шСр= ]/ — — круговая скорость, соответствующая!
^Е
круговые
радиусу г = а;
скорости в перигее и апогее орбиты.
Из выражений (1.4), (5.6) и (5.15) следует, что ско
рость полета в точках В и В' малой полуоси равна
где Wb — круговая скорость в указанных точках.
Выражение (5.15) можно переписать в виде
где w= у у — круговая скорость в рассматриваемо^
точке орбиты.
Так как на участке В'ПВ орбиты г<ау то можно н«_
писать, что на этом участке v>w. Наоборот, на участки
WAB г>а и, следовательно, v<w.

5>2] СКОРОСТЬ И ЭНЕРГИЯ ПОЛЕТА 99
Таким образом, малая полуось ВВ' делит
эллиптическую орбиту на две равные части. Первая из них,
ВПВ\ расположена ближе к перицентру и
характеризуется неравенствами
r<ay v>w.
Вторая часть, ВАВ'У расположенная ближе к
апоцентру, характеризуется неравенствами
r>a, v<w.
Что касается угла 9 наклона вектора скорости к
горизонту (т. е. угла наклона касательной к орбите), то
из выражения (5.16) следует, что в перицентре и
апоцентре орбиты
9п = ва = 0. (5.18)
На участке движения тела от перицентра к
апоцентру 9>0, а на участке движения от апоцентра к
перицентру 9<0.
Для определения экстремальных (минимального и
максимального) значений угла 9 продифференцируем
выражение (5.16) и воспользуемся условием
Ж^9)=(1+/со^)^ = 0' <5^)
которое при ефО (т. е. для некруговой орбиты)
равносильно условию
cosO = —е. (5.20)
-^Решениями этого уравнения являются два значения
#i и #2 угла О:
sinfl^ + VT^5 и sin#2 = — VI— е2.
Подставляя эти значения в выражение (5.16),
найдем максимальную и минимальную величины угла 9:
етах = arcsin еу бщш = —arcsin е. (5.21)
Пользуясь зависимостью (5.20) и рис. 5.1, можно
показать, что указанные экстремальные величины
достигаются^ на концах малой полуоси орбиты В и В'.
• Найдем запас полной механической энергии (на
единицу массы) Q, которую нужно сообщить искусственному

100
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. V
спутнику Земли для его вывода на заданную орбиту.
Воспользовавшись зависимостями (1.6), (1.7) и (5.15),
получим:
<?^(l-i)- <5-22>
Приведенное выражение полностью совпадает с
соответствующими зависимостями (1.7) и (2.55) для
круговой и почти круговой орбит при условии замены
радиуса круговой орбиты (среднего радиуса почти
круговой орбиты) большой полуосью.
*в-0.*«£
и0='^,а=<
Рис. 5.2. Различные случаи движения по
эллиптическим орбитам.
Таким образом, между запасом механической
энергии и большой полуосью а орбиты существует взаимно
однозначная связь. В частности, если Q = o? то а=-^,
если Q = -$R> то а = /?иесли(3 = {, тоав00>г -
этом эллиптическая орбита превращается в
параболическую) Первый из этих случаев соответствует
свободному падению тела, второй — запуску спутника с
первой космической скоростью wRt а третий - запуску со
второй космической скоростью VR (см. § 1.1).
Соответствующие этим случаям орбиты изображены на
рис 5.2.

5.3]
ВРЕМЯ ПОЛЕТА И ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ
101
'U ВРЕМЯ ПОЛЕТА И ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ
для опред^еиия, вР-- прихода Pjec-JJP^e;
ГегрТаелоамВ nSS (4.9 ■ зависимостью (5.10).
В результате преобразовании получим:
гпе т_ время прохождения рассматриваемого тела
через перицентр орбиты, а а -площадь эллиптического
сектора ПОО (рис. 5.3).
Рис. 5.3. Связь между истинной
и эксцентрической аномалиями.
Для определения площади о проведем вокруг
центра S эллиптической орбиты окружность радиуса а. Как
известно, рассматриваемый эллипс может быть получен
из этой окружности путем равномерного сжатия его по
направлению малой полуоси в отношении Ь/а.
Следовательно, если провести через точку D прямую,
параллельную малой полуоси, и обозначить через К и D'
точки пересечения этой прямой соответственно с большой
полуосью и указанной выше окружностью, то можно

102
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. V
написать:
а = А (5, -S2), (5.25)
где Si и S2 соответственно площади кругового сектора
Л50' и треугольника 0SD'.
Пользуясь рис. 5.3 и тем, что согласно
равенству (5.4) отрезок SO = ae, можно написать выражения
для площадей St и S2:
51==-^-£", S2 = -^es\nE> (5.26)
где Е = ZD'S# — эксцентрическая аномалия (в отли-
чие от истинной аномалии # = Z.DOF1).
Подставляя соотношения (5.3), (5.7), (5.25) и (5.26)
в равенство (5.23), находим:
< = т+ д-«8|п£, (5.27)
где
,8/2
(5.28)
Таким образом, задача сводится к определению
эксцентрической аномалии Е (см. рис. 5.3). Используя
зависимости (5.3), (5.7) и (5.24), получаем:
г cos Ф = ОК = a (cos Е — е\ )
г 8}п * = А £>'/С = а уТ="? sin £. J (5,29)
Возводя в квадрат эти равенства и складывая их,
находим:
r = a(\ —ecosE). (5.30)
Из этой зависимости и первого равенства (5.29)
следует:
r(l + cos#) = a(l —e){\+cosE), \
r(l—cosft) = a(l+<?)(l—cos£). J (5,3I)
Путем деления второго из этих равенств на первое
получаем окончательное выражение для определения

6.3)
ВРЕМЯ ПОЛЕТА И ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ
103
эксцентрической аномалии:
Пои вычислении величины Е по этой формуле сле-
дует иметь в виду, что углы -у и у, всегда находятся
в одной четверти. Кроме того, из приведенной
зависимости следует, что в,перицентре и апоцентре орбиты
(т\ .е. лр&..А=.Ая^.ГДе« * — произвольное целое число)
Я==д. На участке движения от перицентра к апоцентру
-(0<#<jt) £<Ф, а на участке полета от апоцентра к
перицентру (л;<0<2д) £>Ф.
Пользуясь выражениями (5.27), (5.28) и (5.32),
можно определить время t, соответствующее любой
заданной точке орбиты (характеризуемой углами О
или £).
Во многих случаях возникает необходимость в
решении противоположной задачи — определении положения
спутника (т. е. угла Ф) по заданному времени /. Из
зависимостей (5.27) и (5.32) видно, что эта задача
сводится к вычислению эксцентрической аномалии Е путем
решения уравнения Кеплера
Е — е sin Е = М, (5.33)
где М — так называемая средняя аномалия,
определяемая по формуле
АГ = *,(/ — т). (5.34)
Покажем, что уравнение Кеплера всегда имеет
единственное действительное решение. Для этого рассмотрим
функцию
F(E, М)=£ — esinE — M.
Очевидно,
F(— со, М) = — оо, F(oo, M) = oo, -Ц- = l-^cosfX).
Отсюда непосредственно следует, что при любой
величине М существует такое единственное значение £,
для которого F(E, М)=0, что соответствует решению
уравнения Кеплера.
Существует много способов приближенного решения
уравнения Кеплера. Одним из них является метод

K>4
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. V
последовательных приближений, сводящийся к
проведению вычислений по схеме
Ea = M+e$lnEa_v (5.35)
?де En-i и Еп — предыдущее и последующее приближен
ния величины Е. В качестве первого приближения
можно взять значение J£,1 = M.
Определим теперь период обращения Р
рассматриваемого тела. Для этого необходимо найти изменение
времени / при изменении угла О на 2я. Из выражения
(5.32) следует, что при этом угол Е также изменяется
на 2я. Отсюда, пользуясь выражением (5.27), находим:
Я = ^=2я^. (5.36)
Полученное выражение аналогично
соответствующему выражению (1.5) для круговой орбиты при
условии замены ее радиуса г большой полуосью а. Таким
образом, период обращения спутника, движущегося по
эллиптической орбите с большой полуосью а, равен
периоду обращения некоторого фиктивного спутника,
движущегося по круговой орбите радиуса г = а. Из
выражений (5.28) и (5.34) следует, что величина К
представляет собой угловую скорость движения указанного
спутника (равную средней угловой скорости движения
по эллиптической орбите), а средняя аномалия М
характеризует угловое расстояние фиктивного спутника
от перигея эллиптической орбиты.
Из выражения (5.36) видно, что период обраще-.
ния Р возрастает с увеличением большой полуоси а.
Для численной оценки зависимости между величинами
Р и а можно воспользоваться изображенным на рис. l.li1
графиком, при условии замены в нем высоты Л = г — R
полета спутника по круговой орбите средней высотой
Аср = а — R эллиптической орбиты.
Из сопоставления зависимостей (5.22) и (5.36)
следует, что между большой полуосью а эллиптической
орбиты, запасом механической энергии на единицу массы
Q и периодом обращения Р существует взаимно
однозначное соответствие*

54) ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ 105
6.4. ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
Движение по эллиптической орбите является
частным случаем движения материальной точки в заданном
поле сил. Как было замечено выше, такое движение
описывается системой обыкновенных дифференциальных
уравнений шестого порядка. Отсюда следует, что
эллиптическая орбита полностью характеризуется шестью
независимыми величинами. В качестве таких величин
могут быть взяты начальные условия движения, т. е.
прямоугольные координаты *о, f/o, z0 центра масс тела и
составляющие vxQl t'yo, vzQ вектора его скорости,
соответствующие некоторому заданному моменту времени
t=zt0. Другой системой независимых величин, полностью
характеризующих орбиту, является совокупность
постоянных Сь С2, .. ., С6, введенных в предыдущей главе
в процессе интегрирования уравнений движения (4.3).
Можно показать, что между системой начальных
условий движения и системой постоянных интегрирования
Сь С2, ..., Св существует взаимно однозначное
соответствие. Очевидно, что система любых шести
независимых величин, связанная взаимно однозначным
соответствием с начальными условиями движения (или
постоянными Си С2, ..., Св), может быть использована
в качестве характеристики орбиты. Такую систему мы
будем в дальнейшем называть полной системой
элементов орбиты. При этом характерным признаком ее
полноты является то, что она полностью определяет
орбиту, т. е. позволяет найти значения координат и
составляющих вектора скорости центра масс
рассматриваемого тела в любой точке его орбиты (т. е. в любой
момент времени t).
В качестве примера рассмотрим следующую систему
элементов орбиты:
наклонение орбиты /,
долгота восходящего узла ^,
аргумент перицентра со,
большая полуось а,
эксцентриситет еу
время прохождения через перицентр т.

106
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
ГГЛ. V
Величины i и £1 характеризуют положение плоскости
орбиты. Их определение дано в § 1.2 (см. рис. 1.2 и 5.4).
Аргумент перицентра со представляет собой угловое
расстояние от восходящего узла £1 до перицентра П
*'ис. 5.4. Элементы эллиптической оро.иы.
орбиты, Отсчитываемое по направлению движения
спутника (см.\ рис. 5.4). Этот угол, характеризующий
направление большой полуоси орбиты и положение
перицентра; определяется по формуле
\ * со = и — О,
где и и О соответственно угловое расстояние от
восходящего узла и истинная аномалия произвольной точки
D орбиты. Величины а и е определяют размер и форму
орбиты, а время т — временную привязку движения
рассматриваемого тела.
5.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ
И СОСТАВЛЯЮЩИХ ВЕКТОРА СКОРОСТИ
ПО ЭЛЕМЕНТАМ ОРБИТЫ
Составим сводку формул, используемых при
определении координат х, у, г и составляющих vXt vyt vz
вектора скорости по заданным значениям элементов орбиты
i\ fi, со, а, е, т. Используя зависимости (1.14), (4.19),

8.5] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ОРБИТЫ
107
(5.3), (5.11), (5.13), (5.27), (5.28), (5.30) и (5.32),
получаем:
г =
1 + е cos
# = (!)+*»
Е — ^ sin Я
— = а(\ — ecosE), p = a(\
е%
п
'Й-/4 '
+ е
*gT-
^ sin О,
(5.37)
*.= V^=V^(1+'C0Sd)'
х = г (cos SI cos и — sln-Sl s'n 0 cos 0»
г/ = г (sin Д cos # -f- cos SI sin a cos /),
z = r sinttsin/,
vx == *V (cos ft cos и — sin Д sin a cos i) —
— vu (cos SI sin и + sin SI cos и cos i),
г>у = г>г (sin Д cos и + cos SI sin a cos /) —
— vu (sin SI sin и — cos SI cos и cos *),
vz — vr sin /г sin / -f- vu cos и sin /.
Приведенные формулы позволяют однозначно
определить значения величин х; у, z, vXt vv, vz в
произвольной точке орбиты (однозначность этого расчета
непосредственно следует из однозначности решения уравне-
ния Кеплера (5.33), а также из того, что углы *о" и "о
находятся в одной четверти). При этом в качестве аргу-
менЛГи|; -опрйДОю"1.его "положение тела на орбите,
у жн^ Взять врек /, истинную аномалию О или экс-
^3№ тоическую анок'ию Е. Если в качестве аргумента
ЦеНбоать время t, в шкает необходимость в предвари-
ВЫльном решении >знения Кеплера (5.33) с целью

108
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. V
Рис. 5.5. Система ксюрдинат,
связанная с положением плоскости
и перигея эллиптической орбиты.
определения значения эксцентрической аномалии Е
(метод решения этого уравнения указан в предыдущем
параграфе). Если же в качестве аргумента выбрать
величину ft или £, решать уравнение Кеплера не нужно.
В тех случаях, когда в качестве аргумента,
определяющего положение спутника на орбите, принимается
величина Е (или t),
целесообразно преобразовать
зависимости (5.37),
исключив из них истинную
аномалию ft. Для этого
введем правую
прямоугольную систему
координат 0£т)£ с началом в
притягивающем центре О.
Ось 01 системы
совпадает с направлением на
перицентр орбиты,
плоскость О^ц совпадает с
плоскостью орбиты, а ось
0£ направлена по
нормали к плоскости орбиты так, что спутник кажется
движущимся по ходу часовой стрелки, если смотреть вдоль
положительного направления этой оси (рис. 5.5).
Из выражений (5.37) и рис. 5.5 следует:
I = г cos ft = а (1 — е cos E) cos ft,
tj — г sin ft = а (1 — e cos E) sin ft,
v^ =■ vr cos ft — vu sin ft = l/ — [e sin ft cos ft —
— (l-r-<?cosft)sinftI = — j/^
vn = vr sinft + i>Mcos ft= l/ —[tfsin2 ft +
+ (l+^cosft)cosftl=|/r-M + cosft), I
С другой стороны, пользуясь /ажениями (5.29) н
sin
(5.38)

8.5J ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ОРБИТЫ 109
(5.30), находим, что
Vl — е2 sin Е а cos£ — e /COm
sin ft = V_gcos£ ■ cos^= !_gcos£. (5-39)
и на основании зависимости (5.3) окончательно получаем:
\ = a (cos E — е).
г\ — а ]Л — ^sinf,
v, = 0.
_£
cos Е *
— е2 cos E
■ е cos £
(5.40)
Для перехода от системы координат 0§т)£ к
введенной выше системе координат Oxyz можно
воспользоваться следующей матрицей направляющих косинусов:
X
У
Z
\
cos S\, cos о) —
— sin cf^ slnco cos /
sin tf^cos (o +
+ coS(T^sin(ocos /
sin ©sin i
Л
— cos S\j sin о —
— sin<T0 cos со cos/
— sin £\, sinco-f-
-f- cos &\, cos со cos /
cos со sin /
£
sin cT?^ sin /
— cos S~l, sin /
cos /
Первый столбец этой матрицы легко получить из
зависимости (5.37). Для этого достаточно определить
отношения —, ~, -j и заменить в полученных
выражениях величину и углом со. Второй столбец
получается из первого после замены величины со на со + -j.
Наконец, для определения третьего столбца можно
воспользоваться выражениями (2.45').

110
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. V
6.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ
ПО ЗАДАННЫМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ ДВИЖЕНИЯ
Приведенные выше зависимости позволяют по
заданным значениям элементов орбиты а, е, т, /, ft, on
однозначно определить начальные условия движения x0f
Уо, 20, vxo> vvo, vz0y соответствующие некоторому моменту
времени t=t0. Рассмотрим теперь обратную задачу
определения элементов орбиты по заданным начальным
условиям.
Для определения величин ft и i можно
воспользоваться зависимостями (2.44) и (2.46).
Для определения большой полуоси а и
эксцентриситета е найдем сначала начальные значения расстояния
г0 от притягивающего центра до спутника, абсолютной
величины скорости v0 и угла 0О между направлением
вектора скорости и нормалью к радиусу-вектору,
соединяющему притягивающий центр с рассматриваемой
точкой орбиты. Имеем:
r0=Vxl+yl+*b
sin 0O
cos0o
^0 = ^0 + ^0 + ^0'
_ xovJco + yovyo + zovzo
_ У<Ы — CWrt) + %VyQ + Z0Vzof _
У WyO - ^О^О)2 + (Wrt) - *0^0)2 + (ZqVxo-XqV^
r0v0
(5.41)
При этом во всех случаях принимается условие
cos60>0.
Это связано с тем, что отсчет углов 8 ведется в на*
правлении движения спутника (см. рис. 4.2) и,
следовательно,
-у<в0<у. (5.42)

ЪЛ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ Щ
чем обеспечивается однозначное определение
рассматриваемого угла.
Пользуясь зависимостями (4.22), (4.23) и (5.15),
находим:
а =
2 — kQ'
е=у\— k0(2 — Ao)cos2e0 =
V(l—kQT+k0(2 — kQ)sin%,
ko = '
r«v
ovo
(5.43)
Для определения величин шит предварительно
найдем значение истинной аномалии Ф в начальной точке.
Воспользуемся выражениями (5.37), из которых
получим:
vrb = Vs sin % = у ^ е sin ft0,
*>«• = v% cos 8§ = у ± (1 + e cos 0f),
(5.44)
где Vro и vuo — значения соответствующих составляющих
вектора скорости в начальной точке.
С другой стороны, из зависимостей (4.18) и (4.21)
следует, что
/:
И — Л —.
roi>ocos0o '
Подставляя это выражение в правые части
равенства (5.44) и пользуясь выражением (5.43} для
коэффициента ft0» находим:
cos Ф,
^о sin 0ocos0o
k0 cos2 60 — 1
Отсюда
ж а A?0 sin Op cos 60
(5.45)
(5.46)

112
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. V
При расчете по формулам (5.45) величина #о
определяется однозначно. В этом случае имеется
возможность проверки путем использования тождества sin2 Ф0 +
+ cos2Oo=l (при этом одновременно проверяется
правильность определения эксцентриситета е). Для одно
значного определения угла Ф0 по формуле (5.46) следует
учесть, что знак sin fto должен совпадать со знаком
числителя правой части этой формулы, а знак cosfy)— со
знаком знаменателя (так как е>0).
Переходя к определению величины со, воспользуемся
третьим равенством (5.37), согласно которому
со = w0—до, (5.47)
где w0 — начальное значение угла и, определяемое по
формулам (2.52).
Выражение для определения последнего элемента т
орбиты можно написать, пользуясь зависимостями
(5.37):
, Е0 — е sin £0
т = /0—i г ,
**-/■}#<«*■
(5.48)
где Е0 — значение эксцентрической аномалии в
начальной точке.
Составим сводку формул, которыми следует
пользоваться при вычислении элементов орбиты а, е, т, ££, /,
со по заданным начальным условиям х0, r/o, 2o, ^xo, *V»
i^o, соответствующим начальному моменту tsst0:
^2 = Z0VxQ XQVzQ>
С3 = ХОиуО — Уо0^
*«^=—&
cos / = -£■, 0 < i < л,
vo = V <о + По + ^о- го = У-*о -ГУ1 + 4
(5.49)

6.6) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ ЦЗ
slneo = w ' —J<%<Y'
УгУ0 - (-V.ro +i/opyo+^o^)2
cos e0 = — =
_ V (*ovyo - yovxo)2 + W*o - govyo)2 + (zovm — -Wo)"2
Г0«о \ - - •
ь _ г»"2 ,_ го
R°—'IT' a~2-k0'
e=yi — k0(2 — k0) cos2 60 =
= V"(l - *o)2 + *o (2 - *o) sin2 90,
s.n^==AoSln9oCoieLj cos^==iocosfjvzj_t
tg^o
fc0 sin 0O cos 0o
COS U0 —
^0cos2e0 — i '
*0 cos cf^ + t/0 sfn SI,
т = /0
£0 — £ sin £0
• 8!пйо = 7Ж
, X =
KH
'HHl/r^i
(5.49)
При расчете по этим формулам необходимо
учитывать, что знак sin £1 совпадает со знаком величины Си
а знак cos fy противоположен знаку величины С2. Кро-
ме того, углы — и -~- должны лежать в одной
четверти.
Зависимости (5.49) позволяют однозначно
определить элементы орбиты по заданным начальным
значениям координат и составляющих вектора скорости,
удовлетворяющим условию эллиптичности орбиты
k -^ го*о
<2.
(5.50)

114
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
(ГЛ. V
В заключение заметим, что при решении указанной
задачи по формулам (5.49) можно не определять
угол 0о, а ограничиться вычислением величин sin0o
и cos 0о.
Таким образом, между совокупностями начальных
условий движения и элементов орбиты существует
взаимно однозначное соответствие. При этом выбранная
совокупность элементов полностью определяет всю
орбиту и, следовательно, является полной.
Очевидно, можно построить бесконечное число
различных полных систем элементов орбиты. В частности,
вместо большой полуоси а можно использовать период
обращения Р либо заменить любую из величин а или е
фокальным параметром р орбиты. В небесной механике
вместо времени т прохождения через перигей часто
используется значение средней аномалии в заданный
момент времени
M0 = k(t0 — т) =£0 — es\nE0j (5.51)
где /0—некоторый заданный момент времени, а Е0 —
соответствующее значение эксцентрической аномалии.
В этом случае уравнение Кеплера (5.33) принимает
вид
M = M0 + K(t —10) =E — e sin £0. (5.52)
5.7. РЯДЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОРБИТ ПРИ МАЛЫХ
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТАХ
Из приведенных выше результатов следует, что для
установления зависимости между полярными
координатами г, О и временем полета t необходимо ввести
промежуточную величину — эксцентрическую аномалию Е
и решить трансцендентное уравнение Кеплера (5.33).
Это во многих случаях усложняет проведение быстрого
качественного анализа движения по эллиптической
орбите. При исследовании орбит с малыми
эксцентриситетами эта трудность может быть устранена путем
применения специальных рядов, в которых эксцентриситет в
рассматривается в качестве малого параметра. В на-

5.7] РЯДЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ Ц5
стоящем параграфе мы рассмотрим эти ряды. При этом
в качестве независимой переменной, по функциям
которой ведется разложение, мы будем брать сначала
истинную аномалию Ф, а затем время /.
Ряд для определения зависимости г(Ф) получается
непосредственно путем разложения правой части
равенства (4.19) по степеням малой величины ecosft:
г = р (1 — е cos Ф -\- e2 cos2 Ф — ez cos3 •& +
+ e4 cos4 0 — ...). (5.53)
Для определения зависимости /(О) воспользуемся
равенствами (5.2), (5.12) и (5.36). В результате
получим:
о
t = r + Pxf(l —e2f2(\+ecos$)-2d$, (5.54)
о
где величина Рх определяется из равенства (3.7):
р =IL^L = jl!l
1 2л Я У^ '
Разложим теперь стоящее в правой части
зависимости (5.54) подынтегральное выражение в ряд по
степеням е. Для этого заметим, что
(l-f£cosO)-2=l — 2^ cos*+ 3^2 cos2 О — 4e3cos3ft +
H-5e4cos4#— ...,
(1-*)•'■= 1 -*<* + |*4 + ...
Перемножив эти ряды, получим:
0-£2)v41+*cosftr2 = l— 2ecostf +
+3e2(cos2ft — 1)— e3(4cos3ft —3cos#) +
H-^cos4* — |cos20+|)4- ...

116 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ [ГЛ. V
Воспользуемся теперь известными формулами:
C0tf*-«5»±if
ojv cos 3ft 4-3 cos ft
cos3 ft = lA ,
4
cos<ft=cos4* + 4ftcos2* + 3.
Тогда
(1—^),/s(l+^cosftr2=l— 2ecosft + -Je2cos2ft —
— ^ cos 3ft+ --e4 (5 cos 4ft-f-2 cos 2ft)-- ...
Подставляя это выражение в правую часть
равенства (5.54) и интегрируя, находим искомое выражение:
/ = t -f- Рх |"ft — 2е sin ft + ~ ё1 sin 2ft —J sin 3ft +
4-^-(5sin4ft+ 4sin2ft)— ...]. (5.55)
Перейдем к разложению в ряд зависимостей ft(/) и
r(t). При этом в качестве независимой переменной
вместо времени / будем использовать среднюю аномалию
Л1 = 2л-^ = ^==Я,(*-т). (5.56)
Воспользуемся известной из математического
анализа формулой Лагранжа, определяющей выражение
для некоторой функции f(y), где у — решение
уравнения
у = а + ху(у). (5.57)
Здесь а, х, у — любые комплексные числа, а ц(у) —
некоторая, пока произвольная функция.
При этих условиях формула Лагранжа имеет вид
[2, 30]:
/(|/) = /(а) + хф(а)Г(а) + ~[Ф2(а)Г(а)]+ ...
п\ dan

6.7J РЯДЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ Ц7
Обозначим через s некоторый замкнутый контур
(в комплексной плоскости), внутри которого функции
Ну) и ф(#) голоморфны. Если на контуре s всюду
удовлетворяется условие
\&Щ<\. (5.59)
то ряд (5.58) сходится к искомой величине f(y) для
любого значения а, лежащего в области, ограниченной
контуром s.
Очевидно, что уравнение Кеплера (5.33) является
частным случаем уравнения (5.57). При этом
(/=£, q>(£)=sin£, x = e,a = M. (5.60)
Отсюда, полагая, что
находим, пользуясь формулой Лагранжа (5.58),
выражение для эксцентрической аномалии:
Е = М+ е sin М-+- ^-§л sin2M+
еъ d2 eK d*
+ ЗГ^8|пЗЖ+4Г1ш*81п4Ж+ •• (5'61)
Воспользуемся теперь выражениями
sin2M = -1-cos2Af
sin3 M-
2
3sinM — sin3Af
о
Дифференцируя эти зависимости и подставляя в
равенство (5.61), получим окончательное выражение для
£, являющееся решением уравнения Кеплера (5.33):
£== М\е sin M+~- sin2Af+ 4" (3 sin Ш ~sin А/) +
Н- ~- (2 sin Ш -- sin 2Af)+ ... (5.62)

118 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ [ГЛ. V
Для определения зависимости О(М) воспользуемся
выражениями (5.2), (5.11), (5.12), (5.28), (5.30) и
,(5.56), из которых получим:
tfft _ fW dt__ а^_ d$_ _ gl* VJ __ V\— e2 ,- gg.
dM dtdM~V\JL dt ~ r2 ~ (1—ecosE)2 '
С другой стороны, дифференцируя уравнение
Кеплера (5.33), имеем:
^(l~ecosE)=l, §r=l-e\oSE- (5-64)
Сопоставляя эту зависимость с выражением (5.63),
находим:
м
О = УТ=Г?Г f (^f dM. (5.65)
Продифференцируем зависимость (5.62) и возведем
полученный ряд в квадрат:
||.= 14-^cosiM + e2cos2Af + ~-(9cos3M~cosA/) +
+ ^-(4cos4Af — Cos2M) + ....
i^f = l -f 2e cos M + e2 (2 cos 2M + cos2 Af) +
+ ^(9cos3Af —cosAf + 8cosMcos2M) + ... =
= 1 +2^cosM + -^-(5cos2Af+ 1) +
+ -~(13cos3Af-f-3cosAf)+ ...
Подставляя это выражение в зависимость (5.65),
интегрируя и заменяя величину |Л—е2 ее
разложением в ряд Ньютона
Vl-e?=\-je*-±<*-

R.7J РЯДЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЬННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ 119
находим окончательное выражение:
Ъ = М + 2е*\пМ+ j-e2sm2M +
+ -{L(13sin3Af —3sinAf) + ... (5.66)
Перейдем теперь к определению зависимости г(М).
Для этого воспользуемся формулой Лагранжа (5.58) и
равенствами (5.60). Кроме того, из зависимости (5.30)
имеем:
/(Я)==^=1_ ecosE, f'(E) = esmE.
Отсюда непосредственно следует:
— = 1 — ecosM-{-e2s\n2M +
или, окончательно,
r = a[l — <?cosvW + -^-(l— cos2M) +
-i-^icosM — cos3Af) + -^-(cos2;W — cos4M)+ ...].
(5.67)
Переходя к вопросу о сходимости полученных рядов
(5.53), (5.55), (5.62), (5.66) и (5.67), заметим, что
вывод выражений (5.53) и (5.55) базируется на
разложении в ряд Ньютона величины (l-j-a)n, где а
—некоторое достаточно малое число, а п — произвольная
степень. Как известно, этот ряд сходится при любом а<1.
Отсюда непосредственно следует сходимость рядов
(5.53) и (5.55) для любых значений # при условии
е<1. (5.68)
Что касается выражений (5.62), (5.66) и (5.67), то, как
показывают более детальные исследования [2],
основанные на использовании неравенства (5.59), эти ряды
сходятся для всех действительных значений М при

120
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. V
условии
е<0,6627 . . . (5.69)
Практически полученными рядами целесообразно
пользоваться при исследовании орбит с
эксцентриситетами, не превосходящими величин порядка 0,2н-0,3.
В этом случае ряды быстро сходятся и в большинстве
случаев можно ограничиться рассмотрением нескольких
первых членов. При этом первый неучитываемый член
может быть использован для оценки точности
получаемых результатов.
В заключение заметим, что более подробное
изложение теории рассматриваемых рядов дано в известном
курсе Г. Н. Дубошина [2]. В частности, в этой книге
помещены выражения для общих членов рядов (5.62),
(5.66) и (5.67).
5.8. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФОРМУЛ ТЕОРИИ
ПОЧТИ КРУГОВОГО ДВИЖЕНИЯ
Если в правых частях выражений (5.66) и (5.67)
ограничиться двумя первыми членами, то получим
уравнения (2.41) почти круговой орбиты, выбранной из усло-
пия совпадения значений Р, е, (о и т для почти круговой
и эллиптической орбит. Для этого достаточно
воспользоваться равенствами
а = лср, М=ф — со, 0 = и-—со. (5.70)
Таким образом, суммы всех членов правых частей
выражений (5.66) и (5.67), содержащих е в степени
выше первой (т. е. начиная с третьих членов), могут
быть использованы для оценки погрешностей уравнений
почти круговых орбит (2.38) и (2.41). Практически (при
достаточно малых эксцентриситетах) для проведения
этих оценок можно ограничиться использованием только
третьих членов правых частей разложений (5.66) и
(5.67). При этом получим следующие приближенные
оценки для погрешностей уравнений почти круговой
орбиты;

5.ft ТОЧНОСТЬ ФОРМУЛ ПОЧТИ КРУГОВОГО ДВИЖЕНИЯ 121
где Дг и Д/ — соответственно линейные погрешности
в определении положения спутника по направлению
радиуса г и по нормали / к нему (лежащей в плоскости
орбиты).
Как будет показано ниже, ошибки «точной»
эллиптической теории, возникающие за счет неучета влияния
нецентральности поля сил тяжести, сопротивления
воздуха, притяжения к Луне и Солнцу, а также других
причин, достигают величин порядка десятков и даже
сотен километров. Поэтому переход от теории
эллиптического движения к теории почти кругового движения
можно считать вполне оправданным в том случае, когда
значения Д/ и Дг не превосходят величин порядка
5ч-10 км. Из неравенств (5.71) следует, что для низко
летящих спутников (гср<10000 км) это требование
удовлетворяется при условии
е<0,02. (5.72)
Напомним, что при малых эксцентриситетах переход
к теории почти кругового движения оправдывается не
только значительным упрощением всех используемых
зависимостей, но и наличием неопределенности
положения перицентра. Как было указано в § 2.8, в этом
случае целесообразен переход к формулам (2.38), не
требующим определения перицентра.

ГЛАВА VI
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
6.1. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ОРБИТ
Как было указано в § 4.5, при скорости полета,
превосходящей скорость V отрыва от притягивающего
центра, т. е. при условии
v>V = yr^, (6.1)
орбита рассматриваемого тела становится
гиперболической.
В этом случае определяемые из выражений (4.22) и
(4.23) эксцентриситет орбиты е и коэффициент k
удовлетворяют неравенствам
е>\ и k>2. (6.2)
Как известно из аналитической геометрии, при е>1
уравнение орбиты (4.19) в полярных координатах
представляет собой уравнение гиперболы с фокальным
параметром р и эксцентриситетом е. В прямоугольной
системе координат Slr\ это уравнение принимает вид
!-—Jr = l. (6-3)
где аир — полуоси гиперболы, определяемые по
формулам
Система координат Slr\ выбрана так, что ось Sg
проходит через притягивающий центр О по направлению

6J1
ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОРБИТ
123
0 = 0, а начало координат 5 (центр гиперболы) лежит
на расстоянии
v *» (6.5)
ре
от притягивающего центра О (рис. 6.1). .
Рис. 6.1. Геометрические характеристики
гиперболической орбиты.
Притягивающий центр О является первым фокусом
рассматриваемой гиперболы. Второй фокус О' лежит на
оси 01 на расстоянии от центра гиперболы
SO' = SO = y.
Если обозначить через г и г' расстояния от
произвольной точки D орбиты до фокусов О и О', то основное
свойство гиперболы (которое может рассматриваться
как ее определение) выражается зависимостью
|/"-rl=2a. (6.6)
Как известно, определяемая уравнением (6.3) или
(6.6) гипербола распадается на две ветви. Первая,
изображенная на рис. 6.1 сплошной линией,
обращена к притягивающему центру О вогнутостью, вторая

124
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. VI
(изображенная пунктиром)—выпуклостью- В
рассматриваемой задаче физический смысл имеет лишь первая
ветвь, так как она соответствует движению с
ускорением, направленным к притягивающему центру О, т. е.
под действием силы притяжения к этому центру.
Вторая ветвь соответствует движению под действием силы
отталкивания и поэтому в дальнейшем нами
рассматриваться не будет. Заметим, что согласно уравнению
(4.19) вторая ветвь гиперболы соответствует
отрицательным значениям расстояния г, что является
невозможным. Очевидно, что на первой ветви гиперболы
зависимость (6.6) принимает вид
г' — г = 2а. (6.7)
В отличие от эллиптической, гиперболическая орбита
представляет собой незамкнутую траекторию, начало и
конец которой лежат вне сферы действия
притягивающего центра (т. е. вне области, внутри которой
притяжение к данному центру является основной силой,
определяющей движение). В дальнейшем при анализе
гиперболического движения мы будем рассматривать
выход за пределы сферы действия притягивающего центра
как уход на «бесконечное» расстояние от этого центра.
Можно показать, что при этом гиперболическая орбита
асимптотически приближается к прямой линии. Для
этого перепишем выражение (6.3) в виде
4=±4&jA—f-. (6.8)
а2
При £->оо величина тг~>0. Пользуясь этим,
разложим правую часть равенства (6.8) в ряд Ньютона.
В результате получим:
4 = ±AEq4f+'" =±16 + 0(1). (6.9)
При £->оо величина 0(т)->0 и гипербола
асимптотически приближается к одной из прямых,
определяемых уравнениями
Ч=±£*- (6Л0)

ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОРБИТ 125
Эти прямые называются асимптотами
гиперболической орбиты. Одна из них, изображенная на рис. 6.1
отрезком NS, соответствует участку орбиты, на котором
рассматриваемое тело входит в сферу Действия
притягивающего центра, а вторая (отрезок SM) — участку
выхода из сферы действия притягивающего центра.
Вернемся к уравнению орбиты (4.19) в полярных
координатах и воспользуемся условием
г>0.
из которого непосредственно следует, что
— -i<c*sfl<l. (6.11)
Это неравенство можно переписать в виде
—Ооо<#<Ооо, (6.12)
где
£ < *« = arccos(-i) < я. (6.13)
Очевидно, что #*> представляет собой предел, к
которому стремится абсолютное значение истинной
аномалии О при удалении рассматриваемого тела на
бесконечность.
Пользуясь выражениями (6.4) и (6.13), можно
написать
tg<>„ = -/?^ = -|-. (6.14)
Таким образом, предельные значения истинной
аномалии ±Ооо представляют собой углы наклона асимптот
гиперболы к ее оси 5| (см. рис. 6.1).
Как видно из рис. 6.1, при движении тела по
гиперболической орбите истинная аномалия О непрерывно
возрастает. При этом движению в интервале ЫП,
определяемом неравенством
—*«>«>< 0, (6.15)
соответствует монотонное возрастание величины cos О
от cos(—*оо)=—— до cos(0) = l, и наоборот, при

126 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ [ГЛ. VI
9
движении в интервале ПМ, определяемом неравенством
0<д<доо, (6.16)
величина cos # монотонно убывает от cos(0) = l до
cos (Ооо) = — у.
Пользуясь зависимостью (4.19), находим, что на
интервале NFJ расстояние г монотонно убывает и
рассматриваемое тело приближается к притягивающему
центру О, а в интервале ПМ расстояние г возрастает и тело
удаляется от центра О. В связи с этим мы будем в
дальнейшем называть участок N11 нисходящей ветвью
гиперболической орбиты, а участок ПМ— восходящей.
Заметим, что движущееся тело полностью проходит обе
ветви гиперболической орбиты лишь в том случае, когда
оно попадает в сферу действия притягивающего центра
снаружи (т. е. из «бесконечности»). В частности, это
имеет место при попадании искусственного спутника
Земли в сферу действия Луны. Если же тело выводится
на гиперболическую орбиту внутри сферы действия
притягивающего центра (например, при запуске с Земли со
скоростью, превосходящей вторую космическую), то оно
проходит лишь часть орбиты от начальной точки D до
точки М выхода из зоны действия притягивающего
центра О (см. рис. 6.1).
Наименее удаленная от притягивающего центра
точка орбиты (соответствующая значению О = 0)
называется перицентром (перигеем, перигелием) орбиты. Ее рас*
стояние гп от притягивающего центра называется пери-
центрическим (перигейным, перигелийным) расстоянием.
Из выражений (4.19), (6.4) и (6.5) находим, что
Гп = т^ = *(е-1) = У-а. (6.17)
Отсюда, пользуясь рис. 6.1, находим расстояние от
перицентра П до центра S орбиты:
nS = y — rn = a. (6.18)
Для того чтобы определить геометрический смысл
второй полуоси р, вычислим расстояние ОН от
притягивающего центра до одной из асимптот (см. рис. 6.1). Из

ear
СКОРОСТЬ И ЭНЕРГИЯ ПОЛЕТА
127
прямоугольного треугольника OSHy пользуясь
зависимостями (6.4), (6.5) и (6.13), находим, что
Otf-Ycos(^-f)=a*j/l -^-P- (6Л9)
Таким образом, первая полуось а гиперболической
орбиты равна расстоянию от перицентра П (вершины
гиперболы) до центра S гиперболы. Вторая полуось р
равна расстоянию от притягивающего центра О (первого
фокуса гиперболы) до любой асимптоты гиперболы.
Отношение Р к а равно абсолютной величине тангенса угла
наклона асимптот к оси 0\ гиперболы.
Пользуясь зависимостями (5.2), (5.7) и (6.4), можно
для гиперболической орбиты ввести понятие о полуосях
некоторого соответствующего эллипса, определяемых по
формулам
а= — а, 6 = — tp, a=r|a|, р=|6|'. (6.20)
Иначе говоря, гиперболической орбите соответствует
эллипс с отрицательной большой полуосью и мнимой
малой полуосью. Из выражений (5.36) и (6.20) следует,
что период обращения Р при движении по такому
эллипсу является мнимым. Хотя подобная мнимая
эллиптическая орбита не имеет физического смысла, однако
равенства (6.20) позволяют формально перенести на
гиперболическую орбиту все соотношения, полученные
для движения по эллиптической орбите. При этом в
каждом конкретном случае справедливость такого
переноса может быть подтверждена соответствующими
выкладками.
6.2. СКОРОСТЬ И ЭНЕРГИЯ ПОЛЕТА
Для определения составляющих vu и vr вектора
скорости, абсолютной величины v этого вектора, угла 9
наклона его к местному горизонту и запаса Q
механической энергии на единицу массы могут быть
использованы соотношения (5.11), (5.13), (5.15), (5.16) и
(O.ZZ), которые при учете зависимостей (6.20) принимают

128
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. VI
вид:
*■ л г > п '
г sin О1
(6.21)
tg8 = -^- = -£sinft = T-I ^
& 1/м Р 1 + £ COS Ь
Из выражений (6.21) видно, что скорость v
рассматриваемого тела непрерывно убывает при движении по
нисходящей ветви Л/Я орбиты и возрастает при
движении по восходящей ветви ПМ (см. рис. 6.1). Предельное
минимальное значение скорости (которое мы в
дальнейшем будем называть асимптотической скоростью)
соответствует бесконечному удалению спутника от
притягивающего центра и определяется по формуле
vn
VI-
(6.22)
Таким образом, между асимптотической скоростью
^оо, полуосью а гиперболы и запасом Q механической
энергии существуют взаимно однозначные соответствия.
На рис. 6.2 помещены графики зависимости размеров
полуоси а от величины скорости v<x> при полете в сферах
действия Земли и Луны. (При этом через а.
обозначается полуось гиперболической орбиты при облете
Земли, а через а^ при облете Луны.)
Максимум скорости vn достигается в перицентре
орбиты. Из выражений (6 17) и (6.21) следует, что
(6.23)
где
центре П
круговая скорость в пери-

6.2]
СКОРОСТЬ И ЭНЕРГИЯ ПОЛЕТА
129
Пользуясь зависимостями (4.24) и (6.22), можно
переписать выражения для скорости полета в виде
^ = l/2+<. (6.24)
Это равенство имеет простой энергетический смысл.
Величина v2 представляет собой удвоенный запас
кинетической энергии, приходящейся на единицу массы тела
W5
5Ю*
0
пм а
Oft
2J5
д_
*<
/л3\
\KS
\
\
\
\
\
V
\
ч
L_j
и 1 г 3 4 5 6 7 8 S Ю г/оо,
нм/сеп
Рис. 6.2. Зависимость полуоси а гиперболической орбиты от
асимптотической скорости v^ при облете Земли и Луны.
в рассматриваемой точке орбиты, V2— удвоенное коли*
чество кинетической энергии, переходящей в
потенциальную при удалении единицы массы на бесконечность, а
vlo — удвоенный запас кинетической энергии,
приходящейся на единицу массы после выхода тела из сферы
действия притягивающего центра.
Аналогичным образом выражение (6.21) для
определения количества Q механической энергии, необходимой
для вывода единицы массы с поверхности Земли на
заданную гиперболическую орбиту, можно записать в виде
Vl v2
г -дг — вторая космическая скорость.

130 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ [ГЛ. VI
Перей^м теперь к рассмотрению характера
изменения угла 6 наклона вектора скорости к местному
горизонту (см. рис. 6.1). Из зависимости (5.19) и условий
(6.2), (6.11) следует, что на гиперболической орбите
-^-(tf*)>e. (6-26)
Отсюда, пользуясь выражением (6.21) для tgB,
находим, что при движении по гиперболической орбите угол 0
монотонно возрастает, изменяясь в пределах
-7 <9<Т • <6'27)
При удалении на бесконечность в сторону входа в.
сферу действия притягивающего центра угол 0->—^ .
что соответствует движению спутника прямо на
притягивающий центр О. При выходе из сферы действия притя-
гивающего центра Э-*-^-, что соответствует
движению от центра О. В перицентре П орбиты угол 8 = 0.
6.3. ВРЕМЯ ПОЛЕТА
Для определения времени полета по гиперболической
орбите воспользуемся зависимостями (4.19) и (5.12), со-
гласно которым
d$ = ¥££-dt. (6.28)
Для того чтобы проинтегрировать это уравнение,
перейдем в (6.28) от истинной аномалии Ф к некоторой
переменной Я, аналогичной эксцентрической аномалии Е
эллиптической орбиты. Предварительно заметим, что
уравнение эллиптической орбиты в прямоугольных
координатах имеет вид
-5- + I—1. (6-29)
При этом начало S прямоугольной системы коорди*
нат S%r) совпадает с центром эллипса, ось Sg направлена
вдоль большой оси, а ось Sr\ — вдоль малой оси эллипса
(см. рис. 5.3). Пользуясь рис. 5.3 и зависимостью (5.24),

од ВРЕМЯ ПОЛЕТА 131
можно записать уравнение (6.29) в параметрической
форме:
£ = a cos £, т) = Ь sin Е. (6.30).
Путем простой подстановки легко убедиться, что
определяемые из выражений (6.30) координаты g и т]
удовлетворяют уравнению эллипса (6.29):
Совершенно аналогично, заменяя в выражениях
(6.30) тригонометрические функции гиперболическими и
пользуясь известным тождеством
ch2* —sh2*=l,
можно переписать в параметрической форме уравнение
(6.3) для изображенной на рис. 6.1 левой ветви
гиперболы:
g = — achtf, ii = Pshtf, (6.31)
где Н—некоторая величина, аналогичная
эксцентрической аномалии Е эллиптической орбиты.
Пользуясь рис. 6.1 и зависимостями (6.4) и (6.5),
находим:
г cos Ь = у + \ = а (е — ch //), л
rsinO = ii = psh// = a]/?=rTsh//. J ^
Возводя эти равенства в квадрат и складывая их,
получаем:
r = a(echH— 1). (6.33)
Отсюда, пользуясь первым равенством (6.32), нахо«
дим, что
r(l + cosft) = a(£— l)(ch//+l), |
/•(1—cosO) = a(*+l)(ch//— 1). J (6'34)
Вычисляя отношение этих зависимостей и пользуясь
известными равенствами
^ 2 2 — sn 2 , sh//+1 — W 2 ,
находим выражение для определения величины Я:

132 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ [ГЛ. VI
Дифференцируя это равенство, получаем:
2 О
COS2 -^ ГГГТГГ
ch2-^-
С другой стороны, пользуясь первым равенством
(6.34), можно написать
2 О
2 а (е-— 1)
ch2-7p
Следовательно,
.= -j^j2_1 «.rftf.
Подставляя это равенство в уравнение (6.28) и
пользуясь зависимостью (6.4), находим:
■='/>
dt = rV -dH.
V ц
И, наконец, на основании выражения (6.33) можно
переписать это уравнение в виде
dt = ~(echH—\)dH. (6.36)
Интегрируя уравнение (6.36) в интервале от
перицентра до произвольной точки орбиты и замечая, что
согласно равенству (6.35) в перицентре орбиты
th// = tf = d = 0,
получаем уравнение Кеплера для гиперболической
орбиты:
eshH — H = x(t—x), (6.37)
W
где v= —1^- , а т — время прохождения
рассматриваемого тела через перицентр орбиты.
Заметим, что выражения (6.32), (6.33), (6.35) и
(6.37) могут быть получены из соответствующих
зависимостей (5.29), (5.30), (5.32) и (5.27) для эллиптической

ВРЕМЯ ПОЛЕТА 133
6.3]
орбиты путем подстановки
Я = /£, sh Я = i sin £, ch // = cos E (6.38)
с учетом равенств (6.20).
Покажем что уравнение (6.37) имеет единственное
действительное решение при любом значении величины
N = v(t-x). (6.39).
Для этого рассмотрим функцию
F(H,N)=eshH— Я — N.
Очевидно, что при любом значении N
р(_ оо, N) = — оо и ^(оо, N) = оо.
Кроме того,
£r = echH-l>0.
Отсюда непосредственно следует, что при любом N
существует единственное действительное значение Я,
при котором F(H, N) =0, что соответствует решению
уравнения Кеплера.
При решении уравнения Кеплера для
гиперболической орбиты методом последовательных приближений
целесообразно вместо зависимости (5.35) пользоваться
соотношением
shHa=N+?"-1 , (6.40)
где Яп_! и Нп — предыдущее и последующее
приближения величины Я. В качестве первого приближения
можно взять значение Я0 = 0.
Рассмотрим теперь вопрос о характере изменения
величины Я вдоль орбиты. Для этого воспользуемся
зависимостью (6.35) и тем, что угол О непрерывно
возрастает, изменяясь в пределах —#оо<0<Ооо. Отсюда непо-
средственно следует, что величина th-y монотонно
возрастает в пределах от —1 до 0 на нисходящей ветви
орбиты и от 0 до + 1 на восходящей ветви. Следовательно,
величина Я также монотонно возрастает, изменяясь от
— оо до 0 на восходящей ветви орбиты и от 0 до + оо
на нисходящей.

134
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. VI
6.4. ЭЛЕМЕНТЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
Аналогично эллиптической гиперболическая орбита
может быть полностью определена значениями шести
независимых элементов орбиты (см. § 5.4). В качестве
примера рассмотрим систему элементов гиперболической
орбиты, состоящую из величин а, е, т, /, <Q>, со. Все эти
элементы имеют тот же смысл, что и для эллиптической
орбиты, за исключением полуоси а. Составим теперь
сводку расчетных формул, позволяющих определить
орбиту (т. е. координаты и составляющие вектора
скорости тела в произвольной точке) по заданным значениям
ее элементов. При этом воспользуемся зависимостями
.(4.19), (6.4), (6.21), (6.33), (6.35), (6.37) и
изображенной на рис. 5.4 полярной системой координат От.
В результате получим:
eshH — H 1ЛГ
t—x-
vr == l/ ?. * sin &.
1 . Ф "
tg-5-'
v„ =
]/£ (i + ecos^).
(6.41)
Приведенные формулы определяют движение тела в
•Плоскости орбиты. Для перехода к пространственной
^системе прямоугольных координат Oxyz (см. рис. 5.4)
можно воспользоваться последними шестью
формулами (5.37).
При расчете по формулам (6.41) в качестве
аргумента, определяющего положение тела на гиперболической
орбите, мажет быть взята любая из величин О, t или Н*
Однако использование величины Ф в качестве
независимой переменной становится неудобным, если необходимо
определять движение на большом удалении от притяги-

6.4] ЭЛЕМЕНТЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ 135
вающего центра, так как в этом случае истинная
аномалия О асимптотически стремится к значениям ±#оо, и
сравнительно небольшие изменения величины О связаны
с большими смещениями спутника вдоль орбиты, что
неизбежно отражается на точности расчета по этому аргу-*
менту.
В некоторых случаях при определении зависимостей
координат и составляющих вектора скорости от аргу*
ментов Н или / целесообразно отказаться от расчета
величины #. Пользуясь зависимостями (6.4), (6.32) и
(6.33), можно написать
При помощи этих соотношений и зависимостей (6.21)
и (6.32), переходя к изображенной на рис. 5.5 прямо*
угольной системе координат 0£г|£, находим:
l = a(e — chff),
С = 0,
•«--/* *"
•.-/*
tfchtf—1 '
/g2 —1 сЬЯ
echH — 1
(6.43)
^ = 0.
Для перехода от системы координат О^ц^ к системе
сш/г^ следует воспользоваться помещенной в § 5.5 матч
рицеи направляющих косинусов.
Приведенные выше соотношения позволяют по
заданным значениям элементов гиперболической орбиты
определять начальные условия движения, т. е. коорди-:
наты .и составляющие вектора скорости в некоторый мо-:
мент времени t=t0. Для решения обратной задачи
определения элементов а, е, т, i, ^, со гиперболической ор<
биты по заданным начальным условиям х0, у0, z0, vx0,
^уо, v* можно воспользоваться зависимостями (5.49).
мля этого достаточно в уравнениях (5.49) произвести

136 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ [ГЛ. VI
замену а = —а и, кроме того, вместо последних трех
равенств (5.49) написать соответствующие зависимости:
. е sh М0 — Н0
* — 3/ »
а а
ш 2 V е + \ щ 2 ' )
(6.44)
Заметим, что в случае большой удаленности
начальной точки (соответствующей моменту t — /0) от
притягивающего центра вычисление величин Я0 и т по
формулам (6.44) может оказаться неудобным вследствие ма-
лой точности определения Н0 при th-^->l. В этом
случае целесообразно заменить последнее равенство (6.44)
зависимостью
chtf0=-^-_, (6.45)
которая непосредственно следует из равенства (6.33).
6.5. ТРАССЫ ПОЛЕТА
ПО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ ОРБИТАМ
Трассы полета по гиперболическим орбитам (т. е.
проекции этих орбит на поверхность вращающейся
Земли) сильно отличаются от рассмотренных в § 1.3 трасс
движения по круговым орбитам. Для определения трасс
гиперболических орбит следует по формулам (1.12),
(1.15) и (6.41) вычислить высоту h рассматриваемого
тела над поверхностью Земли, широту В и долготу L
его проекции на поверхность Земли, а затем нанести
полученные точки на карту.
В качестве примера на рис. 6.3 и 6.4 изображены
трассы полета по орбите с элементами а= 16 000 км,
е=1,5, т = (о = 0. При этом на рис. 6.3 принято
наклонение орбиты 1 = 65° (движение с запада на восток), а на
рис. 6.4 /=115° (движение с востока на запад). Вели-

120 КО 160 ШЦрад
45900
35600
27500 Imo'iMM
Рис. 6.3. Трасса облета Земли по гиперболической орбите с полуосью а— 16 000 км.
эксцентриситетом е = 1,5 и наклонением / = Ь5°.
I
о
В
Я
о
я
о
S
а
m
•v
ел
О
£
О
о
S
н
>
5
Со

Co
00
180 L.apad
2W06
Рис. 6.4. Трасса облета Земли по гиперболической орбите с полуосью а = 16 000 км,
эксцентриситетом *=1,5 и наклонением /=115°.
s
я
го
чэ
01
О
и
я
►Д
ГО
о
я
го
О
•а
01
S
ч
Е
<

ПОЛЕТА ПО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ ОРБИТАМ 139
чина ft выбрана из условия прохождения
рассматриваемого тела через начало отсчета долгот (т. е. L = 0 при
f=0) На приведенных графиках по оси ординат
отложена широта В, а по оси абсцисс — долгота I. Кроме
того, около отдельных точек трассы указаны значения
высоты А полета в километрах.
Из приведенных на рис. 6.3 и 6.4 графиков видно, что
при больших удалениях рассматриваемого тела от Земли
трасса его движения близка к некоторой параллели. Из
зависимостей (1.12), (1.15), (6.12) и (6.41) следует, что
в пределе, при бесконечном удалении тела от Земли,
широта этой параллели стремится к величине
Boo = arcsin[sin (со ±ft«>) sin /], (6.46)
где угол О» определяется из равенства (6.13), причем
знак «-{-» соответствует восходящей ветви орбиты, а
знак <к—> нисходящей. Заметим, что угловая скорость
изменения долготы проекции рассматриваемого тела на
поверхность Земли стремится к величине, определяемой
угловой скоростью вращения Земли (т. е. к 15°2'28" в
час в направлении с востока на запад).
По мере приближения тела к Земле трасса его
орбиты все более и более отклоняется от указанной
параллели. В районе перигея орбиты она превращается в
кривую типа изображенных на рис. 6.3 и 6.4. При 0</< ~
рассматриваемые трассы целиком лежат внутри полосы,
определяемой неравенством i <J3 < f, а при % </<я —
внутри полосы, определяемой неравенством /-я<В4
•"^J1 ""'• При этом трассы в одной точке касаются
северной границы соответствующей полосы, а в другой
точке — южной границы.
Очевидно, что изображенные на рис. 6.3 и 6.4 трассы
соответствуют орбитам тел, попадающих в сферу
действия Земли извне. Трассы тел, выводимых на
гиперболические орбиты внутри сферы действия Земли, будут
представлять собой лишь части изображенных на рис. 6.3
"бесконечность!0)! ^ ВЫХ°Да На °рбиТУ Д° УХ°ДЗ В

140
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. VI
6.6. ОБЛЕТ ПРИТЯГИВАЮЩЕГО ЦЕНТРА
ПО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ
В настоящем параграфе рассматривается вопроо
о влиянии притягивающего центра на движение
некоторого тела, попадающего извне в сферу действия этого
центра. Мы будем считать известными величину
первоначальной скорости рассматриваемого тела относительно
притягивающего центра, а также положение в
пространстве прямой NSy по которой осуществляется
первоначальное (невозмущенное) относительное движение тела.
Из предыдущего следует, что движение
рассматриваемого тела в сфере действия притягивающего центра бу-,
дет осуществляться по некоторой гиперболической
орбите. Плоскость этой орбиты определяется как
плоскость, проходящая через притягивающий центр О и
прямую MS.
Рассмотрим более подробно основные
характеристики, определяющие движение в этой плоскости. При этом
Рис. 6.5. Облет притягивающего центра но
гиперболической орбите.
будем считать известным расстояние р от
первоначальной прямой NS до притягивающего центра О (рис. 6.5)
(как было показано выше, р есть вторая полуось
рассматриваемой гиперболической орбиты).

ОБЛЕТ ПРИТЯГИВАЮЩЕГО ЦЕНТРА
Пользуясь зависимостями (6.4), (6.5), (6.13),^ (6.14),
(6 17) и (6 22), находим выражения для первой
полуоси а гиперболы, эксцентриситета е, перицентрического
расстояния га = ОП, расстояния y = OS от
притягивающего центра до центра гиперболы и угла #oo=^/v:>b
между первоначальным направлением движения и осью
гиперболы:
(6.47)
у = ае = Ур2 + а2,
d^arccos [— y) = arctg (—J)1
Величины а и е определяют форму и размеры
рассматриваемой гиперболической орбиты, а величины у и
Ооо — направление оси Og гиперболы и положение ее
центра S.
После облета притягивающего центра и выхода из
сферы его действия рассматриваемое тело будет
удаляться от притягивающего центра по второй асимптоте
SM, проходящей через центр S гиперболы.
Относительная скорость ^оо этого удаления и расстояние р от
прямой SM до притягивающего центра О равны
соответствующим величинам для первоначального
(невозмущенного) движения. Таким образом, в результате облета
изменяется лишь направление относительной скорости.
Пользуясь зависимостями (6.47) и рис. 6.5, находим
выражение для угла между направлениями начальной и
конечной относительных скоростей:
6---2(^-j) = 2arcsin(I)^2arcsin-7=^==
Введем теперь параметр
(6.48)
(6.49)

142
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. VI
где
wt=]f±. (6.50)
Физически величина w^ представляет круговую
скорость на расстоянии г=р.
Из выражений (6.47) — (6.49) находим:
6 = 2 arcsin r * = 2 arctg х,
У 1 + х2
г„ = р(/1Т5Г-х).
Дифференцируя эти зависимости, получаем:
db
(6.51)
~d7i~ 1+x2 >0' '
*х \ Р / /х2 +1 J
(6.52)
</х
Отсюда непосредственно следует, что при
возрастании величины х в пределах от 0 до оо угол б поворота
орбиты монотонно возрастает от 0 до 2л, а отношение
■чр монотонно убывает от 1 до 0.
Величина х численно характеризует степень влияния
притягивающего центра на пролетающее мимо тело. При
этом малые значения х соответствуют случаю быстрого
пролета на большом расстоянии от притягивающего
центра О. В этом случае направление первоначального
движения лишь незначительно искажается, а перицеич
трическое расстояние гп почти не отличается от вели-:
чины р. При медленном облете на малом расстоянии
(х^>1) направление первоначального движения
переходит в почти обратное, а перицентрическое расстояние
резко уменьшается (гп4^Р).
Заметим, что при х<С1 (случай быстрого дальнего
облета) выражения (6.51) можно во многих случаях за.-»
менить следующими приближенными зависимостями:
6 « 2х = -^, г„«р(1— х) = р — а. (6.53)
Для иллюстрации влияния притягивающего центра
на движение пролетающего мимо тела можно воспользо^

*<ч
ОБЛЕТ ПРИТЯГИВАЮЩЕГО ЦЕНТРА
143
ваться рис 6.6 и 6.7. На первом из них изображен
пучок орбит, соответствующих случаю р = const и
различным значениям скорости v„. На втором — пучок орбит
при i?o*=const и различных величинах р. Из этих
рисунков видно, что притягивающий центр оказывает
своеобразное рассеивающее влияние на орбиты пролетающих
г/оо - const
J5 =uar
Рис. 6.6. Рассеивание
притягивающим центром пучка
гиперболических орбит при р = const
и различных значениях v^.
Рис. 6.7. Рассеивание
притягивающим центром пучка орбит
при vM = const и различных
значениях р.
мимо тел. Это обстоятельство в некоторых случаях имеет
большое практическое значение. Так, например, при
близком облете сравнительно небольшие ошибки
определения первоначального движения оказывают очень
большое влияние на точность определения окончательного
движения. Поэтому после пролета мимо притягивающего
центра обычно приходится заново уточнять элементы
орбиты, а в случае активного полета по заданному
маршруту — заново корректировать орбиту.
Помимо рассеивания пучка орбит, которое особенно
сильно сказывается при большом удалении от
притягивающего центра, во многих случаях вблизи перицентра
происходит сжатие этого пучка. Для того чтобы
показать это, рассмотрим влияние вариаций Др расстояния
первоначальной прямой от притягивающего центра на
вариации Агп перицентрического расстояния.
Дифференцируя выражение (6.47) для гп и пользуясь
зависимостью (6.49), находим:
ir-=t*
дг„
1
д$
Vl+x*
<1.
(6.54)

144
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. VI!
Отсюда следует, что Дгп<Ар. Таким образом, пучок
орбит с различными значениями р (при t>oo = const)
сжимается в районе перицентра. Это сжатие становится
особенно сильным при х^>1 (т. е. при близком медленном
облете). Это обстоятельство облегчает попадание в
заданную окрестность притягивающего центра.
6.7. ВЫХОД ИЗ СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ ЗЕМЛИ
Рассмотрим движение некоторого тела, которое в
точке D получило скорость v0, достаточную для перехода на
гиперболическую орбиту (рис. 6.8). Как было показано
Рис. 6.8. Выход из сферы действия Земли по
гиперболической орбите.
выше, конечным итогом движения по этой орбите
является выход тела из сферы действия Земли по
асимптоте SM (S — центр гиперболической орбиты).
Движение по этой прямой характеризуется скоростью и*,,
углом 8с» наклона прямой SM к горизонтальному
направлению в начальной точке D и расстоянием р от линии
SM до центра О Земли. В настоящем параграфе
рассматривается характер зависимостей этих величин от
начальной скорости v0l угла 90 наклона этой скорости

яг) ; выход из сферы действия земли 145
к горизонту, расстояния г0 от начальной точки D до
центра Земли и коэффициента
k0 = ^L = ^, (6.55)
где у l/it _скорость отрыва от Земли в точке £>•
Напомним, что для гиперболической орбиты
v0>V0, *o>2, <6'56>
а случай, когда i>o=Vo, £0 = 2, соответствует движению
по параболе.
Пользуясь зависимостями (5.49), (6.20) и (6.22),
находим:
Из этой зависимости видно, что при возрастании
величины k0 от 2 до оо отношение —— монотонно
возраста
тает от 0 до 1. Случай &0 = 2, Уоо = 0 соответствует
полной потере первоначального запаса кинетической
энергии на преодоление поля притяжения Земли
(параболическая орбита), а случай k0—юо, t^ —>v0 — полету с
очень большой начальной скоростью v0y при которой
притяжение Земли практически не отражается на движении
рассматриваемого тела.
Для определения угла боо обозначим на рис. 6.8 через
Si точку пересечения оси гиперболы Sg с
горизонтальным направлением в начальной точке D. Тогда можно
записать
^-DSil = ^ + K LMSl = ^, Q„ = /_DStl-l.MSi;
откуда
е^*,,..^—J), (б.58)

146 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ [ГЛ. Vt
где до и -ftoo — начальное и асимптотическое значения
истинной аномалии, определяемые из выражений (5.49)
и (6.13). *
Рис. 6.9. Зависимость асимптотического значения угла 0^
наклона вектора скорости к горизонту от начального
значения этого угла 0О при движении по гиперболическим орбитам
гСгО
с различными значениями коэффициента k0 = •
На рис. 6.9 изображены графики зависимости угла 0с»
от значений 0О и k0. Из этих графиков видно, что угол 0«>
монотонно увеличивается при возрастании величин 0О и
k0. При малых значениях k0 (k0^2) зависимость 0<х> от
0о близка к линейной зависимости, характерной для
параболической орбиты (А0 = 2). Пользуясь выражениями
(5.49) и (6.13), можно получить следующие зависимости,

m
ВЫХОД ИЗ СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ ЗЕМЛИ
147
определяющие граничные значения угла Эс»:
е0 = о,
6^,= — arcsin
6оо = ? при
еоо = 2в0 — ^
воо-^во ПрИ
V=T ПРИ
90 = iy»
при k0 = 2,
k0->oo.
(6.59)
J
Для определения расстояния р от асимптоты до
центра Земли воспользуемся зависимостями (5.49), (6.4),
,(6.19) и (6.57). В результате получим:
t = г. cos ©е j/"ipz7 = ^ г® c®s °в
(6.60)
Из этого выражения видно, что расстояние р
монотонно убывает при возрастании коэффициента kQ. Если
k0->2, то р->оо, а если &0->оо, то р -> г0 cos 0O.

ГЛАВА VII
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ
И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ОРБИТЫ
7.1. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ОРБИТ
Как было замечено в § 4.5, в том случае, когда опре*
деляемый из выражения (4.23) коэффициент k = 2,
рассматриваемая орбита становится параболической. Из
зависимости (4.22) следует, что эксцентриситет такой
орбиты е=1, и уравнение
,/р (4.19) принимает вид
__ Р
1 -(- COS '
2 cos2-
Рис. 7.1. Геометрические
характеристики параболической
орбиты.
(7.1)
Как известно, равенство
(7.1) представляет собой
уравнение параболы с
фокусом в начале координат
(т. е. в притягивающем
центре О). Из этого уравнения
видно, что все параболы
подобны друг другу и
различаются лишь линейным
размером своего параметра р (рис. 7.1). Проходящая через
фокус прямая О = 0 называется осью параболы (она
является ее осью симметрии). Основным геометрическим
свойством параболы (которое может служить ее
определением) является условие
r = V% (7.2)
где г —расстояние от произвольной точки D параболы
до ее фокуса О, а г' — расстояние от точки D до дирек-

m
СКОРОСТЬ И ЭНЕРГИЯ ПОЛЕТА
149
тоисы параболы, т. е. до прямой MN, перпендикулярной
к оси параболы и отстоящей от фокуса на расстоянии р.
Из выражений (5.2) и (6.4) видно, что при переходе
от эллиптической орбиты к параболической большая
полуось а-» оо, а при переходе от гиперболической орбиты
к параболической а-*оо. Иначе говоря, можно считать,
что у параболической орбиты
а = ± оо.
Из уравнения (7.1) следует, что при движении по
параболической орбите истинная аномалия О изменяется
в пределах
—я<#<я. (7.3)
При приближении величины Ф к значениям ±л
расстояние г—> оо. Отсюда следует, что параболическая
орбита, подобно гиперболической, является незамкнутой
кривой, и в интервале —л;<О<0 рассматриваемое тело
приближается к притягивающему центру (нисходящая
ветвь орбиты), а в интервале 0<ф<я — удаляется от
него (восходящая ветвь орбиты). Перицентр орбиты
соответствует значению истинной аномалии О = 0. Пери-
центрическое (минимальное) расстояние до
притягивающего центра
r„=f (7.4)
Характерным отличием параболической орбиты от
гиперболической является отсутствие асимптот. Это
непосредственно следует из зависимостей (6.4) и (6.60),
согласно которым при е-> 1 и k-*2 величина 6 -> оо (при
р ФО и r0 cos е0 =£0).
7.2. СКОРОСТЬ И ЭНЕРГИЯ ПОЛЕТА
Для определения составляющих vu и v, вектора
скорости на параболической орбите, абсолютной величины v
этого вектора, угла 9 наклона его к местному
горизонту и запаса Q механической энергии на единицу
массы ^воспользуемся зависимостями (6.21), положив

150 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ОРБИТЫ ' [ГЛ. VIF
в них е=1, а = оо. В результате получим:
we=j/"£(l + cos*),
vr = |А sin Ь,
v<
2ц
= v\
9 = у,
(7.5)
0 = —= -£
^ /? 2
Из этих выражений видно, что при движении по
параболической орбите скорость v полета всегда равна
скорости V отрыва тела от притягивающего центра. Эта
скорость возрастает от 0 до величины on = 2l/ ■— при
движении по нисходящей ветви и снова убывает до О
при движении по восходящей ветви орбиты. При этом
характерной бсобенностью параболических орбит (по
сравнению с гиперболическими) является чрезвычайно
малая скорость движения на больших удалениях от
притягивающего центра.
Что касается угла 0 наклона вектора скорости к
местному горизонту, то он при движении по параболической
орбите монотонно возрастает от —у до +о~-
Приходящаяся на единицу массы энергия Q, которая
затрачивается при выводе тела с поверхности Земли на
заданную орбиту, одинакова для всех параболических
брбит и равна энергии, необходимой для отрыва тела от
поверхности Земли на бесконечность.
7.3. ВРЕМЯ ПОЛЕТА
Для определения времени полета по параболической
орбите воспользуемся равенствами (6.28) и (7.1), из
которых непосредственно получаем:
db 4/jT
4 *
COS4 -д-
n*/*
•dt.
(7.6)

7,4]
ЭЛЕМЕНТЫ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
151
Заметим теперь, что
/•_^T=2/(,+.g4)«(<4HH+iW)-
J cos4 -j
Пользуясь этим и интегрируя уравнение (7.6) в
интервале от перицентра до произвольной точки орбиты,
получаем уравнение Кеплера для параболической
орбиты: __
где т — время прохождения рассматриваемого тела
через перицентр.
Введем обозначения:
tg| = i, 1ЙЦ,_т) = М. (7.8)
Очевидно, что задача определения истинной
аномалии •& для заданного момента времени t сводится к
решению кубического уравнения
F(i) = £ + t-M = 0. (7.9)
Это уравнение имеет единственное действительное
решение, так как
/?(_оо, М) = — оо, Р(оэ, М) = оо, ^-==^+1>0#
7.4. ЭЛЕМЕНТЫ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
В связи с тем, что сам факт движения тела по
параболической орбите налагает на его траекторию
определенное ограничение (которое является следствием
условия v—V), все параболические орбиты (в отличие от
эллиптических и гиперболических) определяются не
шестью, а пятью элементами. В качестве примера полной
системы этих элементов рассмотрим систему величин р,
т, *, JJ, о. Пользуясь зависимостями (7.1), (7.5) и (7.7),
составим сводку формул, используемых для
определения координат и составляющих вектора скорости на
параболической орбите по заданным значениям ее

152 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ОРБИТЫ [ГЛ. Vff
элементов:
г =
1 + COS 0-
2 cos2
т = 1(' + «!т)'
tf = G)-j-d, / = T -f-
2^|i
r(tg2'
3 & 2/
«, = у
sin Ф
— 2 tg 4r
|i ь 2
1+ig2
*.= j/^ O+cos *) = /*-
+tg!
*
(7.10)
Эти формулы определяют движение тела в плоскости
параболической орбиты. Для перехода к
пространственной системе прямоугольных координат Oxyz (см. рис. 5.4)
следует воспользоваться последними шестью
зависимостями (5.37). Заметим, что при проведении расчетов по
формулам (7.10) во многих случаях целесообразно в
качестве независимой переменной выбирать не истинную
аномалию О, а величину £=tg-y, которая при
движении по орбите монотонно возрастает от —оо до +оо.
Это связано с тем, что при значительном удалении от
притягивающего центра малым изменениям угла О
соответствуют большие смещения вдоль орбиты.
При определении элементов параболической орбиты
по заданным начальным условиям движения (т. е. по
величинам *0, Уо, г0, vx0l vy0y vz0, соответствующим
моменту / = ^о) по формулам (5.49) следует вычислить
величину k0 и проверить осуществление условия выхода на
параболическую орбиту (А0 = 2). Далее, по формулам
(5.49) вычисляются значения SI, i, и0, 9о, г0. Для
дальнейшего расчета могут быть использованы зависимости:
р — 2г0 cos2 60, о) == и0 — 200,
(7.11)
вывод которых непосредственно следует из выражений
(4.18), (7.1), (7.5) и (7.7).

тйг
ВОЗМОЖНЫЕ ТИПЫ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ОРБИТ
153
7.5. ВОЗМОЖНЫЕ ТИПЫ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ОРБИТ
Как было замечено в § 4.4, вывод уравнения орбиты
(4 19) базируется на допущении, что определяемая при
помощи равенства (4.21) постоянная интегрирования
C = rv cos9 ФО.
В настоящем параграфе будет рассмотрено движение
некоторого тела при условии, что
С = ™ cos 8 = 0. (7.12)
Для выполнения этого условия должно
удовлетворяться хотя бы одно из равенств: r = 0, v = 0 или 0= ±
±5-. Точное выполнение хотя бы одного из этих
равенств в произвольной точке невозмущенной орбиты
(находящейся на конечном расстоянии от притягивающего
центра) является достаточным условием того, что вся
орбита лежит на некоторой вертикальной прямой (т. е.
на прямой, проходящей через притягивающий центр).
Переходя к рассмотрению вертикального
прямолинейного движения, будем считать, что скорость v>0 при
удалении от притягивающего центра (0 = -j) и v<0
при приближении к центру (0 = —у]. Обозначим
через г0 и v0 значения соответствующих величин в
некоторый начальный момент времени t = t0. Пользуясь
интегралом энергии, можно написать, что в любой точке
рассматриваемой орбиты
где
rnvl
2 —к ' ° = —5". а»о = —• (7Л4)
п* Изполученных выражений следует, что в зависимости
uL tin °Г0 значения *о возможны следующие три
случая вертикального движения

154 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ОРБИТЫ [ГЛ. VII
1. k0<2, а>0. Из уравнения (7.13) и условия v*>Q
следует, что в этом случае
0<г<2а. (7.15)
Таким образом, мы получаем колебательное верти-:
кальное движение от притягивающего центра до
максимальной (апоцентрической) высоты, равной
га = 2а.
Из уравнения (7.13) следует, что в этом случае
v = 0 при г = 2а,
n i <7Л6)
tj->oo при r->0. J '
Это движение можно рассматривать как предельный
случай движения по эллиптической орбите при а = const,
6->0, е-* 1. Поэтому в дальнейшем будем называть его
вертикальным эллиптическим движением.
2. &о = 2, а= оо. В этом случае расстояние от
спутника до притягивающего центра изменяется в пределах
0<г<оо, (7.17)
а скорость полета
v->0 при г->со, 1
п (7Л8)
tj->oo при r->0. J v 7
Это движение мы будем называть вертикальным па*
раболическим, так как его можно рассматривать как
предельный случай полета по параболе при р -> 0.
3. &0>2, а<0. В этом случае расстояние г изменяется
в пределах (7.17), а скорость полета
v->vm= 1/^0 — 77 ==|/-=ГТ ПРИ ^->°°»
«#->©о при г->0.
(7.19)
Это движение является пределом движения по
гиперболической орбите при а = const, e->\. В дальнейшем
мы будем называть его вертикальным гиперболическим
движением.

ВЕРТИКАЛЬНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 155
7.6. ВЕРТИКАЛЬНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Переходя к более детальному рассмотрению
вертикального эллиптического движения, определим
зависимость расстояния г от времени полета L Для этого, по
аналогии с криволинейным эллиптическим движением,
~ м^пл.". rv#trh#*wAUurkfi QOHMUUUV С^ГТТРТТТПИ-
_ _. А 1,
получаем:
anaviui пп ч* «,^*»^^« ~
введем в качестве новой переменной величину
эксцентрической аномалии Е. Полагая в выражении (5.30) е->1,
r = a(l-cosE), (7.20)
откуда
* = -£ =asmE^. (7.21)
Подставляя выражения (7.20) и (7.21) в уравнение
(7.13), после элементарных преобразований получаем:
AL=¥K I . /722)
dt J* l-cos£ *'""'
Интегрируя это дифференциальное уравнение,
получаем уравнение Кеплера для вертикального
эллиптического движения:
E-sin£ = -^(/-T), (7.23)
где т — время, соответствующее значениям £ = 0, г = 0.
Пользуясь изложенным в § 5.3 методом, можно
показать, что это уравнение всегда имеет единственное
решение. Иначе говоря, каждому значению времени /
соответствует одно вполне определенное значение £.
Поэтому величину Е можно взять в качестве независимой
переменной, определяющей вертикальное эллиптическое
движение. Пользуясь зависимостями (7.20) — (7.23),
можно написать уравнения орбиты в параметрической
/==T+TT(£~sin^
г = а(1 — cos£),
v=l/F_££_£_ ,/1Г . Е
(7.24)

156 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ОРБИТЫ [ГЛ. VII
Изменению величины эксцентрической аномалии Е
от 0 до л соответствует увеличение расстояния г от 0 до
2а, а изменению величины £ от л; до 2л (или от —л до
0) —уменьшение расстояния г от 2а до 0.
Таким образом, вертикальное эллиптическое
движение представляет собой прямолинейное колебательное
движение между точками О и А (рис. 7.2). При этом в
Рис. 7.2. Типы вертикальных орбит.
апоцентре А орбиты скорость v = 0. Перицентр орбиты
совпадает с притягивающим центром О. В этой точке
v=z оо. Заметим, что в реальных условиях возможности
приближения к притягивающему центру ограничены
размерами притягивающего тела. Поэтому некоторый
лежащий внутри притягивающего тела участок орбиты ОВ
реально неосуществим. Вся орбита распадается на две
части: восходящую ВА и нисходящую АВ. Переход с
восходящей ветви на нисходящую может быть произведен
только один раз через апоцентр орбиты А. Обратный
переход практически невозможен.
Из выражений (7.24) следует, что вертикальная
эллиптическая орбита полностью характеризуется
следующими четырьмя элементами: величинами а, т и двумя
углами, определяющими направление прямой, по
которой происходит движение.
При определении элементов вертикальной орбиты по
заданным начальным условиям можно воспользоваться
выражением (7.14) для а. Что касается времени т, то,

7.Ч ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ И ПАРАБ. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 157
пользуясь зависимостями (7.24), можно написать:
т = >0 — -р^г (Е0 — sin /To),
р >пг • (7,25)
7.7. ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Аналогично эллиптической может быть исследована
и гиперболическая вертикальная орбита. Для этого
введем величину Н, определяемую из равенства
r = o(ch//-l), (7.26)
где
«=-« = ^Т>0. (7.27)
На основании зависимости (7.13) можем написать:
v = a sh H ~,
at
«W а3'1 chtf—1
(7.28)
ПРп?НТеГрИруя это Равенство, получим уравнение
Кеплера для вертикальной гиперболической орбиты
sh/Z.-tf-.G^-t),
(7.29)
ГДеА\ал0?„чно томГТСТВуЮЩее значениям Я = 0, г = 0.
казать, ^Ze^Tl т ST*"0 В § 6Д М°ЖН° П°"
решение. ( 29) всегДа имеет единственное
чину яаТоСгдае п^1Вч^М0" пеРеменной выбираем вели-
.(7.29), мож^о' iSьсзависимостями (7.26), (7.28) и
«вписать следующую систему уравнений

158
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ОРБИТЫ [ГЛ. 1ГЦ
вертикальной гиперболической орбиты:
/ = T + -^U(shtf--tf),
r = a(ch//—l)f } (7.30)
v — l/i sh// — i/5 cth —
Очевидно, что изменению величины Н от —оо до 0
соответствует убывание расстояния г от с» до 0, а
изменению Я от 0 до —оо — возрастание расстояния г
от 0 до оо.
Из выражений (7.30) видно, что гиперболическая
вертикальная орбита полностью определяется следующими
четырьмя элементами: величинами а, т и двумя углами,
характеризующими направление прямой, по которой
происходит движение.
Для определения времени т по заданным начальным
условиям можно воспользоваться равенствами:
№
т = /0 — -_(sh//0 — Я0),
cth
2 — К |i
ки
г>0.
(7.31)
В случае параболического вертикального движения
уравнение (7.13) принимает вид
о 2ц
V2 = -4-
откуда
dr
dt
-V-
±/*.
(7.32)
(7.33)
При этом знак «-|-» соответствует удалению от
притягивающего центра, а знак «—»— приближению к
нему.
Интегрируя это дифференциальное уравнение,
находим:
^r^=±V2^{t-^ (7.34)
где т — время, соответствующее значению г = 0.

*Я ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ И ПАРАБ. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 159
Очевидно, что зависимости (7.33) и (7.34) полностью
определяют рассматриваемую орбиту, которая характе-
ошгуется тремя элементами: временем т и двумя углами.
Из изложенного следует, что вертикальным
гиперболической и параболической орбитам соответствуе^т
движение по некоторой бесконечной полупрямой им
{рис 7 2). Перицентры этих орбит совпадают с
притягивающим центром О. Скорость движения в перицентре
» = оо. Некоторый участок орбиты ОС лежит внутри
притягивающего тела, поэтому переход с нисходящей
ветви МС орбиты на восходящую СМ и наоборот
практически неосуществим.
В заключение отметим, что при изучении
вертикальных движений мы рассматривали их как предельные
случаи соответствующих криволинейных орбит.
Непосредственным следствием такого подхода является то,
что после облета притягивающего центра направление
полета изменяется на 180°. Хотя в чистом виде такой об*
лет реально неосуществим, подобные вертикальные
орбиты представляют, однако, известный практический
интерес при изучении предельных закономерностей
движения по сильно вытянутым криволинейным орбитам. Кро-
ме^того, при анализе движения по вытянутым
криволинейным орбитам на значительном удалении от
притягивающего центра во многих случаях можно с достаточной
для практики точностью пользоваться приведенными
выше закономерностями вертикального движения.
Однако следует иметь в виду, что, если рассматривать
вертикальное движение в чистом виде (т. е. как движение,
проходящее точно через притягивающий центр),
указанного поворота на 180° не получится. При этом после
пролета точки О движение будет продолжаться по прямым
ии& ИЛН ' 0чевиДн°. что подобное решение уравне-
nnL„BepTHKaJIbHOro движения является математически
смысл^^^ Х°ТЯ И лишено какого-либо практического

ГЛАВА VIII-
ОП Р ЕДЕЛЕН ИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ
ЗАДАННЫМ ПОЛОЖЕНИЯМ СПУТНИКА'
8.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ !
При определении или выборе орбит искусственных?
спутников Земли и других космических объектов во мно-
гих случаях возникает задача определения орбиты, про--;
ходящей через две заданные точки Di и D2 пространства
в заданные моменты времени tt и t2. Каждая из точек Dt
и D2 определяется тремя координатами, зависящими от
шести элементов орбиты. Поэтому рассматриваемая за-;
дача сводится к решению системы шести
трансцендентных уравнений относительно шести неизвестных
элементов орбиты. Настоящая глава посвящена исследованию1
такой системы уравнений. При этом определяется число
и характер ее решений при различных условиях, а также
излагается один из возможных методов численного
отыскания этих решений. При рассмотрении этой задачи мы
в качестве основной системы элементов Ц\ (/=1, 2, ...,
6) орбиты примем систему, состоящую из следующих
величин: долготы восходящего узла орбиты Д,
наклонения орбиты i, большой полуоси а, параметра р,
аргумента перицентра со и времени т прохождения через
перицентр.
Эта система элементов универсальна и пригодна для
всех возможных типов орбит. При этом численные
значения величин аир определяют тип орбиты в
соответствии с табл. 8.1.
Примем за начало отсчета времени момент U и
будем считать заданными время полета At — t2 — ti между
рассматриваемыми точками и полярные координаты rit
«1 и г2, «2, определяющие положение точек Di и D2 й
плоскости орбиты (рис. 8.1). Не нарушая общности,
будем считать, что 0<t/2— Ui<2n. Легко показать, что
можно всегда добиться этого условия, изменяя угол Ut
или угол и2 на величину кратную 2л.

ftll
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
161
Таблица 8.1
г Значения
1 элементов
\ а > 0, р > 0
а « оо, р > 0
а<0. р>0
Тип орбиты
Эллиптический
Параболический
Гиперболический
Значения
элементов
\а > 0, р = 0
а « оо, р =* 0
д < 0. /?« 0
Тип орбиты
Вертикальный
• эллиптический |
Вертикальный
параболический |
Вертикальный
гиперболический
1
Заметим, что из точки Di в точку А» можно попасть
двумя путями, а именно, обходя притягивающий центр О
в направлении против хода часовой стрелки по
траектории DiAD2 и по ходу часовой стрелки по траектории
DiBD2. Кроме того, в тех случаях, когда движение
совершается по эллиптической орбите, рассматриваемое
тело перед приходом в
заданный момент
времени t2 в заданную точку D2
может сделать один или ^'*
несколько оборотов во- /
круг притягивающего цен- /
тра О. Поэтому угловое /
расстояние АО, которое /
должно пройти тело для [
перехода из точки Di в \
точку D2 за время Д/ = \
«='2 —*ь может припи- ч%>*^
мать любое значение вида ~
АА. ю Рис. 8.1. Возможные траектории
atr= \Znn -|- (u2 — tlj)!, (8.1) облета притягивающего центра
Где п — нркптппЛо т, при Движении между двумя за-
»»nJ? нек°торое целое данными точками.
число, причем значения
* = 0, 1, 2, 3,
соответствуют движению по
направлению возрастания углов и, а значения Дя-1, -2,
углов" движени1° по направлению убывания этих
8ом°чняи^ЧТ° ка*домУ определяемому таким
образом значению угла да может соответствовать, вообще

162 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. УЩ
говоря, своя орбита. В связи с этим целесообразно)
сформулировать задачу следующим образом: по задан*|
ным координатам точек D{ и D2 и величинам ДО и Д/ оп«|
ределить характер орбиты (эллиптическая, гиперболичен]
екая или параболическая) и вычислить ее элементы.
В первую очередь мы ограничимся рассмотрением тех|
случаев, при которых точки Du D2 и притягивающий!
центр О не лежат на одной прямой. Так как плоскость
орбиты всегда проходит через точки Du D2 и О, то, зная
координаты этих точек, можно легко определить
расположение указанной плоскости и, следовательно,
величины Д и i. В зависимости от выбранного значения |
угла ДО могут иметь место следующие два случая
вычисления указанных элементов орбиты.
1. При 0<ДО— 2лп<л можно для расчета величин
\fi и / воспользоваться равенствами (5.49), заменив в
них значения х0, уо9 z0 координатами хи Уи zt первой
точки, а значения vxq, vy0, vzQ — координатами х2, у2, гг
второй точки.
2. При л<ДО— 2лл<2я следует в равенствах (5.49)'
заменить величины х0, y0t z0 координатами x2l y2t z2 вто*
рой точки, а величины vx0, vy0, v20 — координатами xif
Уи Zi первой точки. Здесь п — число полных оборотов
спутника, заключающихся в угле ДО.
Кроме того, если нам известны величины а, р, о>,
а также время прохождения рассматриваемого тела
через любую заданную точку (Di или D2)y то вычисление
величины х может быть произведено по формулам (5.49),
(6.44) и (7.10). Таким образом, задача сводится к
исследованию характера движения в плоскости орбиты и
определению величин а, р, со при заданных значениях
Ги г2у ии ДО и At.
При исследовании и решении этой задачи мы будем
базироваться на разработанном М. Ф. Субботиным
методе определения орбит, основанном на решении урав^
нения Эйлера — Ламберта [26]. Как известно, это
уравнение дает зависимость времени Д/ от величин гь г2, ДО!
й а. Решение этого уравнения позволяет определить а,
не находя других элементов орбиты. В связи с этим
в § 8.2 мы будем полагать величину а известной
и рассмотрим задачу определения значений р и со по

ЖЦ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТБИТЫ ПРИ ЗАДАННОЙ ВЕЛИЧИНЕ а 163
заданным величинам ти П. «ь Л* и а. Последующие
лаоагоафы посвящены выводу и исследованию уравне-
лия Эйлера —Ламберта. В конце главы
рассматриваются различные особые случаи, получающиеся при
размещении точек Du ft и О на одной прямой (в частности,
случай совпадения точек DA и А>).
U. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ
ПРИ ЗАДАННОЙ ВЕЛИЧИНЕ а
Задача определения орбиты, проходящей через две
заданные точки, при заданном значении а и
произвольном времени А/ полета может быть решена при помощи
^
О)
Рис. 8.2. Определение эллиптической орбиты, проходящей через две
заданные точки, при известном значении большой полуоси а.
наглядного геометрического построения. При этом
возможны следующие случаи.
А. а>0. Искомая орбита является эллиптической.
Обозначим через О' второй фокус орбиты, а через г[
и ^ — расстояния от этого фокуса до точек Dv и D2
писать!"*,?' П°ЛЬЗуясь зависимостью (5.5), можно на-
/•;_ 2а — г., г' = 2а —г,
(8.2)

164 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. УГ!Г
Определив по этим формулам величины г[ и r'v
можно легко найти возможные положения второго
фокуса О'. Для этого достаточно провести вокруг точек D{
и D2 окружности радиуса соответственно г[ и г'2 и
определить точки их пересечения. При этом возможны
следующие случаи.
1) ^i'+/*2<5» где s — расстояние между точками
Z>i и D2. Из выражений (8.2) следует, что это
равносильно условию
а< п+ъ + s ^ (83)
В этом случае рассматриваемые окружности не
пересекаются и поставленная задача решения не имеет.
2) rj-{-/*2 = s, что равносильно условию
4
(8.4)
В этом случае окружности касаются и второй фокус
О' орбиты находится в точке их касания на прямой DiD2,
3) r'l-\-r'2>s, что равносильно условию
а> г' + ^ + 5, (8.5)
В этом случае окружности пересекаются и решению
задачи соответствуют две возможные орбиты,
отвечающие размещению второго фокуса в точках 0\ или 02
пересечения этих окружностей.
После определения положения второго фокуса О'
вычисление величин р и со не представляет труда. Для
этого достаточно воспользоваться выражениями
ПП'
р = а{\—е% * = -*52Г. <* = их + £я АОО'±л, (8.6)
вывод которых непосредственно следует из рис. 8.2, б,
а также из зависимостей (5.2) и (5.4).
Таким образом, переход от точки 0{ к точке D2 по
эллиптической орбите с заданным значением большой
полуоси а может быть в рассматриваемом случае
произведен четырьмя путями, а именно, по траекториям
DiPtD2t DtP2Db DiQ{D2 и 0^202 (см. рис. 8.2,а). Если

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПРИ ЗАДАННОЙ ВЕЛИЧИНЕ а 165
задаться направлением обхода притягивающего
центра О (или величиной ДО при ЬЪФп), то остаются два
возможных решения (на рис. 8.2, а направлению обхода
против движения часовой стрелки и случаю ДО<я
соответствуют траектории DiPiAj и DiP2D2, а направлению
по движению часовой стрелки и случаю ДО>л
—траектории DiQiD2 и DiQ2D2). При этом эллиптические
траектории DiP\D2 и DtQ2D2 характеризуются тем, что их
второй фокус лежит вне эллиптического сегмента,
ограниченного прямой D{D2 и рассматриваемой траекторией.
Подобные траектории мы будем называть
эллиптическими траекториями (орбитами) первого рода. При
расположении второго фокуса внутри соответствующего
эллиптического сегмента (траектории DJ>2D2 и DiQiD2
на рис. 8.2, а) мы будем говорить об эллиптических
траекториях (орбитах) второго рода. Если величина а
определяется из условия (8.4), то траектории первого
и второго рода сливаются в одну траекторию,
которую мы будем называть граничной.
Б. а<0. Искомая орбита является гиперболической.
Для определения положения второго фокуса О'
воспользуемся равенством (6.7), из которого следует, что
г;==2а + гр r2 = 2a + rr (8.7)
где а = — а, г[ и г'2 — расстояния от точек Dt и Д> до
второго фокуса О'.
Для определения положения точки О' построим
вокруг точек Di и D2 окружности радиуса
соответственно г, и г'2 (рис. 8.3,о). Эти окружности всегда
пересекаются в двух точках 0[ и Oi так как
г[ + г'2 = 4а + гх +г2 > 5. (8.8)
Эти точки соответствуют двум возможным
положениям второго фокуса гиперболы. Пользуясь
элементарными геометрическими свойствами гиперболы, можно
легко показать, что случаю, когда Д#<я, соответствует
мпйМлЩАНИе Ф°КУС0В О и Оз по разные стороны
прямой Uiu2t а случаю, когда ДО>я, — размещение
фокусов О и Oi по одну сторону этой прямой. При ДО = я

166 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. VUt
положение второго фокуса можно также определить
однозначно, если известно направление обхода притяги-
вающего центра О при движении от точки Di к
точке D2. Для этого надо использовать то обстоятельства,
что второй фокус всегда располагается со стороны
выпуклости гиперболы. Таким образом,
рассматриваемая задача определения гиперболической орбиты
всегда имеет однозначное решение. При этом для
Рис. 8.3. Определение гиперболической орбиты, проходящей через
две заданные точки при известном значении полуоси а.
Определения величин р и со можно воспользоваться
рис. 8.3,6, а также зависимостями (6.4) и (6.5), из
которых следует, что
00'
р = а(е2 — \\ а = — а, е = -^-, со = щ + ^ DxOOr,
(8.9)
В. а=±оо. Орбита является параболой. Для того
чтобы найти положение директрисы MN этой параболы,
построим окружности с центрами в точках Di и D2,
радиусы которых равны соответственно г{ и г2 (рис. 8.4).:
Из равенства (7.2) непосредственно следует, что
директриса искомой параболы является общей касательной
обеих окружностей. Можно провести две такие
касательные (MiNi и M2N2), расположенные по разные
стороны от притягивающего центра О. Эти два положения

М' ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕКТОРА 167
лиоектрисы определяют две возможные параболические
SSSSTSropSe различаются между собой направле-
нЕ« обхода притягивающего центра О при движении
отточки А к точке D2 (так как парабола всегда обра-
щенПыпуклой стороной к своей директрисе). Поэтому
!фв.заданном направлении обхода (или величине ДО
Рис. 8.4. Определение параболической орбиты
проходящей через две заданные точки.
при Дт)=£я) рассматриваемая задача определения
параболической орбиты всегда имеет однозначное решение.
Для вычисления величин элементов р и со
параболической орбиты определим положение оси параболы,
которой является прямая ОЯ, проходящая через
притягивающий центр и нормальная к директрисе MN.
(Через Р обозначена точка пересечения оси и директрисы
параболы.) Аналогично случаю гиперболической
орбиты можно написать, что
р = ОР, со = «1+^bD1OP. (8.10);
в.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕКТОРА
Как было указано выше, уравнение Эйлера — Лам-
оерта представляет собой зависимость между временем
полета M=,t2 — tx и величинами гь г->, ДО и а. Для
отыскания этой зависимости воспользуемся выражением

168 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ {ГЛ. V\\p
(5.23), из которого непосредственно следует, что
2 (а2 — а»)
Л/:
Vw
F
(8.11)
где at и а2—площади, описываемые
радиусом-вектором, соединяющим притягивающий центр О с
рассматриваемым телом, при
движении последнего от перигея П
орбиты до точек D{ и D2
(площади секторов nODi и /70D2
на рис. 8.5), а /7 = 2(а2 — di) —
удвоенная площадь сектора
OD{D2 (описываемая в
заданном направлении облета
притягивающего центра О).
Таким образом, задача
сводится к определению
величины F. Рассмотрим в первую
очередь случай определения
площади эллиптического
сектора. Для этого
воспользуемся выражениями (5.25) и (5.26), из которых получаем:
F = 2(o2 — oi) =ab[E2 — Et — e(sin E2— sin Et)l (8.12)
где Ei и Е2 — значения эксцентрической аномалии в
точках Dt и D2.
Эта формула непригодна для решения поставленной
задачи, так как величины £i и Е2 зависят от значений в
и со, которые не должны входить в отыскиваемое
выражение. Поэтому преобразуем ее к виду
Рис. 8.5. Эллиптические
секторы первого и второго
рода.
F=ab (e2 — E\
= 2ab{g— sing-cos Л),
г» • Ео — Ex Е? -f- E\ \
2е sin—^— cos ^ ' ] =
где
£5-£,
g = -
cos h = е cos
Е2 + Ех
(О < Л < л).
(8.13)
(8.14)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕКТОРА 169
h==±+±, g = l^A (8.15')
Введем обозначения:
е==А + £, b = h-g. <8Л5)
Тогда
2
и равенство (8.13) можно записать в виде
F*=ab[e — sine— (б— sin б)]. (8.16)
Найдем теперь выражения для углов е и 6 через
величины /4 = 004, r2 = OD2, s*=DiD2 и а (см. рис. 8.5),
не зависящие от значений е и со.
Для этого воспользуемся равенством (5.30), согласно
которому
г1==:а(1 — ecos£i), r2 = a(l — ecos£2). (8.17)
Отсюда, пользуясь равенствами (8.14), находим:
П + г2 = 2а(1 -—cosgcos A). (8.18)
С другой стороны, из рис. 8.5 видно, что
52 = г} + г* — 2г,г2 cos ДА* =
= (^1 + г2)2- 4/yacos'^. (8.19)
Заметим теперь, что зависимости (5.31) между
тригонометрическими функциями истинной аномалии О и
эксцентрической аномалии Е можно записать в виде
У7 cos - = yjfiZIe) cos -|-.
(8.20)
Пользуясь этим и учитывая, что ДО = 02 — #i (здесь
<h и *2 —значения истинной аномалии соответственно
в точках Dx и D2), а также имея в виду зависимости
1(8.14), получаем:
У77, cos £ = V7^ (cos »l cos ^ + sin £ sin £) e
= a(l-e)cos|i.Cosf + a(l + e)s!n4sin-^ =
e=acoS~iT^—^cos-^+£L = a(cos^_cosA). (8.21)

170 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. Vlif j
Подставляя выражения (8.18) и (8.21) в правую
часть равенства (8.19), находим: (
5 = 2а sing sin Л. (8.22) j
Из зависимостей (8.18) и (8.22) непосредственно еле*
дует, что
r, + r2 + s = 2a[l—cos (g + h)]}
rt + ^"2 — s = 2a[\ —cos (g — A)].
Отсюда, пользуясь равенствами (8.15), получаем:
sl^r1±s±Lt sin2« = n+Ipl. (8.23,
Для того чтобы, пользуясь зависимостями (8.16),
(8.19) и (8.23), вычислить величину F, необходимо
предварительно определить квадранты, в которых на-
е 6 тт
ходятся углы у и *2" ^ля этого Достаточно опреде-
е е . 6 6
лить знаки величин sin -j » cos-^-» sin у, cos у.
Рассмотрим сначала случай, когда
0<ДО<2д.
Из геометрического определения эксцентрической
аномалии (см. рис. 5.3) следует, что при этом
0<E2 — Ei<2n.
Поэтому, учитывая равенство (8.14), можно написать,
что
0<£<я.
Кроме того, по определению (8.14) имеем:
0<h<n.
Отсюда, пользуясь равенством (8.15), находим:
0<| = ^±А<я, sin -J- > 0.
Заметим теперь, что, пользуясь равенствами (8.15')g
можно выражение (8.21) переписать в виде
У ггг2 cos -7j- = 2а sin -*- sin

«3| ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕКТОРА 171
откуда следует, что знак sin | совпадает со знаком
cos 4р. Иначе говоря,
sin-|>0 при 0<№<*
sin|-<0 при 2л>Дй>я.
е
' Переходя к определению знака величин cos-j и
cos |-. рассмотрим сначала бесконечно узкий сектор,
для которого 2g=E2 — £i = 0 и е = д = Л. Очевидно, для
такого сектора
п ^ £ б
0< 2 — 2
COS ~ > 0,
h ^ я
— 2 < 2 ,
COS j > 0.
Для того чтобы при постепенном расширении рас-
е 6
сматриваемого сектора величины cos -^ и cos *o" из~
менили знак, необходимо, чтобы их значения
предварительно перешли через 0. Очевидно, если cos -к = 0,
то sin2 -2=1. Из выражения (8.23) следует, что в этом
случае
>*i + >-2 + s = 4a, (8.241
что соответствует приведенному в предыдущем
параграфе условию (8.4) размещения второго фокуса О'
орбиты на прямой DD'.
В дальнейшем будем называть эллиптическим
сектором первого рода такой сектор ODiPD2f у которрго фо-
•пи° я^ВТ°Р0Й °Рбиты лежит вне сегмента DXPD^ (см.
рис. 8.5), т. е. сектор, соответствующий эллиптической
Е -первого Рода, введенной в § 8.2. Очевидно, что
«™™ £ СеКТОр может быть всегДа получен из беско-
^ *** *°Г° сектоРа путем его непрерывного
расширения без перехода второго фокуса О' через хорду D,D%.

172 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. Vl|^
Следовательно, в этом случае
cos-j > 0.
Что касается угла б, то для него всегда
cos у >0,
так как условие cos у =0 влечет за собой
невозможные равенства
rl + r.2 — s = 4a, r[ + г'2 = — s,
где г[ кг!;—- определяемые из выражений (8.2) рас-|
стояния от точек Di и D2 до второго фокуса О'.
Из изложенного следует, что для эллиптического сек-|
тора первого рода при 0<ЛО<2я угол -j всегда
лежит в I четверти. Что касается угла тр, то он нахо-1
дится в I четверти при 0<ДО<л; и в IV четверти прЩ
л<&$<2л. Пользуясь этим, можно в рассматриваемом]
случае записать выражение (8.16) в виде
F = ab[B9—- sin eQ + (60 — sin ё©)], (8.25)'
где
51" 2 — у 4a S1" 2 ~ V 4a
0 <T — <Г — 0 <^ — <T~
(8.26)1
При этом знак «—» соответствует случаю 0<ДО<яД
а знак « + » —случаю л<ДО<2я. Как видно из второй!
зависимости (8.23), б = sin 6=0 при Дд = я (так как|
ri + r2 = 5). В этом случае выбор знака в выражений^
(8.25) произволен. ,
Перейдем к определению удвоенной площади эллип-^
тического сектора второго рода, т. е. такого сектора,;
у которого второй фокус О' лежит внутри соответствую-*
щего эллиптического сегмента (что соответствует
введенным выше эллиптическим орбитам второго рода).
Удвоенная площадь этого сектора (сектора DiQD20 на

Г ОПРЕДЕЛЬНИЕ ПЛОЩАДИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕКТОРА 173
рис. 8.5) может быть определена из выражения
F(A*)=F(2n)^-F(2n — bO),
где F(2n) — удвоенная площадь рассматриваемого
эллипса (т. е. сектора с ДО = 2л), a F(2n - ДО) -
удвоенная площадь сектора, дополняющего рассматриваемый
до полного эллипса. Из рис. 8.5 видно, что
дополнительный сектор является сектором первого рода.
Величина F(2n) может быть найдена из выражения
F(2n)=2nab, (8.27)
где nab — площадь эллипса.
Отсюда, пользуясь зависимостью (8.25), находим,
что для эллиптического сектора второго рода при
0<Д#<2я
F=ab[2n — (е0 — sin e0) + (do —sin до)]. (8.28)
При этом величины ео и до определяются из равенств
(8.26), а знак в правой части формулы (8.28)
выбирается аналогично знаку в выражении (8.25).
Для граничного эллиптического сектора (у которого
второй фокус лежит на прямой DiD2t что соответствует
граничной эллиптической орбите) удовлетворяется
условие (8.24). Из зависимости (8.26) видно, что при этом
е0 = л и выражения (8.25) и (8.28) для удвоенной
площади принимают вид
F = ab[n+ (do —sin dj)]. (8.29)
Из зависимости (8.27) следует, что в том случае
когда J
Д«>2я,
Lja°SeaM (8,25)' (827) и (829) СЛеДует добавить
F{2nn)=2nnab1 (8.30)
дахсяТу™леЛОДОПОЛНЫХ 0б°Р0Т0В спУ™"™> заключаю-
стяГз5вигим^°Д- С/оТ.ора " выб°Р знака в правых ча-
в21ичино^'" (825)' (828) и <829) определяются
д0'^ДФ-2лл. (8.31)

174 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. УЩ
8.4. ПЛОЩАДИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
И ПАРАБОЛИЧЕСКОГО СЕКТОРОВ
Переходя к определению удвоенных площадей гипер?^
болического и параболического секторов, заметим, ч^
вследствие незамкнутое™ рассматриваемых траектор
всегда имеет место неравенство
0<ДО<2я. (8.3*
Кроме того, реальное значение могут иметь ли1щ|
секторы первого рода (для параболы секторы второй
рода вообще невозможны из-за ухода второго фокус
на бесконечность, а для гиперболы они соответствую'
ее второй ветви, не имеощей практического значение
при решении рассматриваемой задачи).
При определении площади гиперболического секторе
ODiD2 (a<0) воспользуемся зависимостями (6.4), (6.37Д
и (8.11), из которых непосредственно следует, что
F = ар [е (sh Я2 — sh Нх) — (Я2 — Нх)\ =
= ар [2е sh ^=^L ch ^+^._(Я2 - Нг)],
где Hi и #2 — значения переменной Н в точках Di и D\
Введем обозначения:
ст ——
6 —
е =
откуда
Тогда,
Н2 — Н{
2
h + g,
h
chh =
Ь =
Е + Ь
~~ 2
£Ch^
■h — g,
. g =
пользуясь равенством
х + Нх
2
2
h>0,
(8.333
i
(8.331
sh | ch ti = i [sh (|+ л) + sh (£ - л)],
где I и tj — некоторые произвольные величины, полу*'
чаем:
F = 2af,(shgchh — g) =
= ар [sh e — е — (sh 6 — 6)]. (8.34)

*4?
ПЛОЩАДИ ГИПЕРБОЛИЧ. И ПАРАБОЛИЧ. СЕКТОРОВ 175
Для определения входящих в это выражение
величин е и б воспользуемся равенством (&33), согласно
которому (см. рис. 8.3, а)
OD1 = rl = a(echH1
OD2==r2 = a(ech
Складывая эти выражения и пользуясь равенством
ch! + cM = 2chi±^chi^
и зависимостями (8.33), получаем:
r1 + r2 = 2a(chgch/2— 1). (8.36)
Вернемся теперь к выражениям (8.19) для
расстояния s между точками D4 и D2 и определим входящий
в правую часть этого выражения угол
Д# = $2 — #ь
где fti и 02 — значения истинной аномалии
соответственно в точках Di и D2.
Для этого воспользуемся зависимостями (6.34) и
равенствами
ch|+l=2ch2 J-, ch£ — l=2sh2|-.
В результате получим:
/7cosi=^a(^-l)ch^t
V7^cos^ = y77^
-a^^^ch^ch-^ + a^+lJsh^-ch^-.
стват^*' пользуясь зависимостями (8.33') и равен-
Gh(| — ti) = ch | ch л — sh | sh ^

176 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. VRf
получаем:
У7^ cos 4J- = a (ch h — ch g). (8.37)
Подставляя это выражение и зависимости (8.36)
в равенство (8.19), находим, что
s = 2ashgsh//. (8.38)'
Из равенств (8.36) и (8 38) непосредственно следует,
что
r1 + r2 + s = 2a[chte+A)-lJ,
гг + г2 — s = 2a [ch (g — А) — 1],
откуда, пользуясь зависимостями (8.33), получаем:
sh»|=r|+* + 5, s^|=r'+4ra2""5. (8.39|
Для вычисления по этим формулам величин е и §\
необходимо предварительно определить их знак. Из
зависимостей (8.33) и условия, что переменная Н моно-Л
тонно возрастает с увеличением времени полета (смд
§ 6.3), непосредственно следует, что 1
g= н*~н* >0, А>0, е>0. (8.401
С другой стороны, пользуясь зависимостями (8.33)|
и равенством
ch*—chii = 2sh^^sh£^-f
можно зависимость (8.37) переписать в виде
У rxr2 cos — = a sh у sh -j.
Отсюда, учитывая неравенства (8.40), находим:
6>0 при ДФ<л,
6<0 при Д&>я.
Сопоставляя зависимости (8.34), (8.39) и (8.40), по«|
лучаем окончательно следующее выражение для удвоен* 1

-ПЛОШАДИ ГИПЕРБОЛИЧ. И ПАРАБОЛИЧ. СЕКТОРОВ 177
ной площади гиперболического сектора:
F = ap[shei — et + (sh 61 — 6i)], (8.41)
где _
sh-^-=|/45 ' sn 2 — К 4а
ei>0, 6х>0.
В этом выражении знак «—» соответствует случаю
Дд<я, а знак « + » —случаю Дй>я (при ДО = я 6t = 0).
Заметим, что формула (8.41) может быть получена
из выражений (8.25) и (8.26) при помощи
преобразования
где i = l/"^T. Однако при этом остается открытым
вопрос о знаках величин е и б.
Для определения площади параболического сектора
(а=±оо) разложим выражения (8.25) и (8.26) в ряды
по степеням —. Для этого введем обозначение
4а
Тогда из зависимости (8.26) следует, что
1 1-3-5 7 ,
^-ml^T^^m-^.-^^-^^
7 2-4-6
5_Llll
2-4"* 2.4-6
откуда
eo-sine0 = 4(^3H-^m5 + | b|m7+ ...).
« ~s?n лГИЧп°е Разложение можно получить и для
euU,wJ.? ,0 ,**одставляя полученные выражения в зави-
ПГтГ п К (828) и пользуясь равенствами (5.3)
)> олучаем для эллиптических секторов первого

178 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ (ГЛ. Vtt*
рода:
+ ii-TT^[^ + ^ + ^/' + (r14-r2-5);i+ . ..};'
(8.42J.
для эллиптических секторов второго рода:
J
1 1
(8.
/■
Можно показать, что первая из этих формул спра«|
ведлива не только для эллиптических, но и для гипер«|
болических секторов. Однако следует иметь в виду, чтсн
сходимость рядов, используемых при выводе этой зави-|
симости, обеспечивается лишь при условии, что}
Г 4Ы\ ^ •<**' ^3 неРавенства (8.3) следует, что эт<1
условие выполняется для эллиптических орбит (за!
исключением граничных орбит, для которых т=1)|
Однако для гиперболических орбит оно может не вы-1
полняться и в этом случае зависимость (8.42) теряет|
силу. При а —» оо выражение (8.42) переходит в фор^
мулу для определения удвоенной площади параболиче^
ского сектора
F=^f ^ + г2 + 5)'/2+ ('i + Ъ - s)\ (8.44)
где знак «—» соответствует случаю ДФ<:г^ а зна#
« + » — случаю АФ>л.

*я
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ЛАМБЕРТА
179
S.S. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ЛАМБЕРТА
Подставляя выражения (8.25), (8.28), (8.29), (8.41),
/8 44) в равенство (8.11) и учитывая зависимости (5.3),
(57), (6.4) и (8.30), получаем:
для гиперболических орбит (а<0)
где
А/ = -т=- [sh ег — ег + (sh 42 — 40],
sn T— V 55 '
sh-=l/ 4а '
ei>Ot 6i>0, а = —а;
(8.40
(8.450
где
si
для параболических орбит (а= ±оо)
A^tiW [(/"I +г2 + 5)8/2 + (г1 + r2-s)v']; (8.46)
для эллиптических орбит первого рода(а > * ' ^2 )
8/
А/ = -^ [2л/г + е0 — sin e0 + (6o — sin б0)]. (8.47)
П 2 - V Та • sinT=l/ Та '
2 ^ ^f <s^ u»
(8.470
2 ^ -^ ^- U,
для граничных эллиптических орбит (а = Г| + ^2 + 5)
А/
где
~[я(2/г + 1)т(60-5т60)]> (8.48)

Ш ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. Vtrf
для эллиптических орбит второго рода (а > ——4 j
Д/ = 4^[2я(л + 1) —(ео —sine0) + (eb —sin60)l- (8.49)
г М-
В формулах (8.45'), (8.46), (8.47') и (8.48') вели-
чина s определяется при помощи равенства (8.19)'
(всегда s>0), п — число целых значений 2л в угле Дф
(для гиперболической и параболической орбит я = 0),
знак «—» соответствует случаю, когда ДО— 2ля<л,
а знак « + » — случаю, когда ДО — 2л/г>л.
Полученные зависимости представляют собой
уравнение Эйлера — Ламберта для различных видов
возможной орбиты. Численное решение этого уравнения
(т. е. определение величины а по заданным значениям
Ги г2у ДО и Д/) не представляет труда, если заранее
известен вид орбиты и число возможных решений. Для
этого можно использовать любой из известных методов
численного решения трансцендентных уравнений. Как,
показано в § 8.2, после определения вида орбиты и ве«
личины а остальные элементы орбиты находятся одно-»
значно.
Таким образом, рассматриваемая задача сводится
к определению вида орбиты и числа решений уравне*
ния Эйлера — Ламберта при различных значениях
величин ги г2, ДО и Д/. Эта задача решается ниже путем
исследования уравнения Эйлера — Ламберта.
8.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ОРБИТЫ ПРИ Д& < 2я
В том случае, когда рассматриваемое тело
совершает менее одного оборота вокруг притягивающего
центра (ДО<2л), возможны все указанные выше виды
ррбит. Для того чтобы определить вид орбиты в
каждом конкретном случае, введем новую переменную
* = ±в_1. (8.50)
При непрерывном возрастании этой переменной
происходит постепенный переход от гиперболических к па-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ОРБИТЫ ПРИ АО < 2л 1в1
Ml
аболическим, а затем эллиптическим орбитам. При
этом интервалу х<0 соответствует гипербола, величине
^0 — парабола и интервалу х>0 —эллипс.
* Рассмотрим характер зависимостей Д/(х) для
различных видов орбит.
Из выражения (8.45) и известных свойств
гиперболических функций следует, что при к-* — оо величина
2
+
v-V,
(sh^/sh^+l-^-)]-
^ I 2 + 2 / 2/-цх
Определим для гиперболической орбиты знак
производной
+ 2a[(che1-l)-^T(ch61_l)^-]}.
Дифференцируя выражения (8.45') для ei и бь
получаем:
2 Ln 2 tfa
1 •*/* n + r2 + s Lcbii
2a К 4a ~~ 2a M1 2 '
dZx — 1 th C|
da a 2
Аналогично
</6, 1 ^ o,
■th
da a 2
Отсюда
-^ (*0 = ^ /| [Ф (e.) + Ф (6,)], (8.51)
где
Ф (x) = 3 (sh x — x) — 2 (ch x — 1) Ih - .
Очевидно, что
Ф(0)=0.

182 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. VII*
Кроме того,
4| = 3(chx-l)-iJ^i-2shA:th| =
= 2sh27r/l '—\>0.
ch2T
Таким образом, Ф(х) монотонно возрастает при
увеличении х и Ф(х) >0 при х > 0.
Отсюда, пользуясь выражением (8.51) и учитывая,
что !
e,>6i>0,
получаем, что в рассматриваемом случае
Таким образом, для гиперболических орбит время А/|
монотонно возрастает при увеличении и от —оо до 0j
При этом значению х = — оо соответствует Д/ = 0 (полета
с «бесконечной» скоростью), а значению х = 0 — велим
чина Д/пар, определяемая из выражения (8.46) для па-|
раболической орбиты. \
Чтобы проанализировать зависимости Д/(х) для эл<4
липтических орбит, воспользуемся разложениями (8.42)1
и (8.43), которые после подстановки в равенство (8.11)3
с учетом зависимости (8.27) дают следующие выра*1
жения: \
для эллиптических орбит первого рода Л
i
A/ = --lrf2^H-^ + l[(rI + r2 + 5fq:(r1 + r2-sf]-f ]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ОРБИТЫ ПРИ Д0< 2rt |$3
для эллиптических орбит второго рода
At== * J2n(«-fl)x-s/'4-
+ | [-(ri + ra + s^'T^ + r, - s)*A] +
+ wI-(ri+r2 + s)6/,+(ri+r2-5)^ +
+ ^[_(r1 + r2 + #+(r1 + r2-s)7/']+ ...}. (8.53)
В рассматриваемом случае число целых оборотов
А1 = 0.
Кроме того,
Г1 + Г2 + 5>Г1 + Г2 — S,
а величина х для эллиптических орбит изменяется в
интервале
0<*Orp=f[+f42 + 5. (8.54)
Следовательно, при возрастании х время Д/
монотонно возрастает для эллиптических орбит первого рода
и убывает для орбит второго рода.
При х —*0 для орбит первого рода Д/-*Д/Пар> а для
орбит второго рода Д^-*оо. При х—»хГр =—, ,
для орбит того и другого рода Д£-*Д/гр, где величина
Д^гр определяется по формуле (8.48).
Из изложенного следует, что при ДО<2л;
зависимость Д£(х) имеет вид кривой MqAqBqNq, изображенной
на рис. 8.6, где по оси абсцисс отложена
пропорциональная переменной х безразмерная величина х = —J-=r1x,
а
а по оси ординат — пропорциональная времени At без-
размерная величина у = -Ц£-Д/ (изображенная на
ri2
рис. 8.6 кривая построена для случая г == 1,5 гь ДО = 45°).
На рассматриваемой кривой интервал MqAq
соответствует гиперболическим орбитам, точка А0 —
параболической орбите, интервал А0В0 — эллиптическим орбитам

184 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. VW
первого рода, точка В0 — граничной эллиптической
орбите и интервал B0N0 — эллиптическим орбитам второго
рода. При удалении точек М0 и N0 на бесконечность
кривая А0М0 асимптотически приближается к оси
абсцисс (Д/ = 0), а кривая B0N0 — k оси ординат (к = 0)%
-0,5 0 0,5 ю
• Рис. 8.6. График зависимости времени At полета между
1
двумя заданными точками от величины х = —.
а
Из рассмотрения кривой MoA0BoN0 следует, что при
Дт}<2л каждому значению Д/ всегда соответствует одно
вполне определенное значение х. Так как величины и
и а связаны взаимно однозначным соответствием (8.50),
то в этом случае уравнение Эйлера — Ламберта (а
значит, и вся рассматриваемая задача в целом) всегда
имеет однозначное решение. Для определения вида
орбиты достаточно вычислить по формулам (8.46) и (8.48)
величины Д/пар и Д/Гр-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ОРБИТЫ ПРИ ДО > 2л 185
ПРИ А/<Д/пар
получим гиперболическую орбиту,
при
параболическую орбиту,
при
Д/гр>Д/>Д/пар
эллиптическую орбиту первого рода,
при
Д/ = Д/гр
граничную эллиптическую орбиту
и при
Д^>Д'гР
эллиптическую орбиту второго рода.
8.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ОРБИТЫ ПРИ Д& > 2я
В том случае, когда рассматриваемое тело
совершает более одного оборота вокруг притягивающего
центра (Дд>2я, /г>-1), возможны только
эллиптические орбиты. Для определения вида этой орбиты и
числа возможных решений уравнения Эйлера — Ламберта
проанализируем зависимость Д/(х) для этих орбит.
Дифференцируя выражение (8.52), находим, что для
эллиптических орбит первого рода
где
-£-№) = -F^ + FA*).
г* , ч ЗзТЛ с-

186 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ (ГЛ. ¥Щ
Из этих выражений видно, что при увеличении и в
интервале (8.54) функция Л (и) монотонно убывает от оо
до величины Fx (игр) = --= x-p6/s а функция F2(k)
возрастает от величины F2 (0) = = Urx + г2 + 5)Б/а q: (^ -f-
80 У ^
-f-r2— 5)Б/а]. При этом производная -^ (At)
монотонно возрастает от значения — (Д/) =—°° ПРИ и = 0. Из
уравнений (8.47) и (8.50) находим:
l-(AO = ^/|{(l-cose0)tgfq:
+ (1 — cos60)tg -£—^-[2лп + е0 — sinе0 + (60 — sin60))|.
Кроме того, из выражений (8.47), (8.50) и (8.54 У
видно, что если к—»хгр, то г0—>я и 6j<jt.
Следовательно,
Л-(Ы)->со при х->хгр.
Окончательно получаем, что на всем
рассматриваемом интервале (8.54) для эллиптических орбит первого
рода производная -г— (At) монотонно возрастает от — оо
до +°°» переходя один раз через нуль. Отсюда следует,
что для эллиптических орбит первого рода при
возрастании х величина At(x.) сначала монотонно убывает
от оо до некоторого минимального значения Д/, а зате*
возрастает до величины Д^Гр, определяемой из выражег
ния (8.48). |
Что касается зависимости At(x) для эллиптически*
орбит второго рода, то из выражения (8.53) следует^
что при возрастании к в интервале (8.54) величина Д(
непрерывно убывает от оо до Д^Гр. Следовательно, при
п > 1 зависимость Д/(х) изображается на рис. 8.6 крй1
выми вида MnAnBnNn (л=1, 2, 3,...). На этих кривьщ
интервалы МпВп соответствуют орбитам первого рода,
точки Вп — граничным орбитам, а интервалы BnNn —
орбитам второго рода. Точки Ап соответствуют орбитам

Определение вида орбиты при да > 2* 187
ового рода с минимальным значением Д/ = Д/П. При
удалении точек Мп и Nn на бесконечность кривые ВпМп
и В Nn асимптотически приближаются к оси ординат
Из вида кривых MnAnBnNn следует, что при
Д*<Д/П
рассматриваемая задача решения не имеет.
При
Д/ = Д/П
задача имеет одно решение (в области орбит первого
рода),
при
Д/гр>Д*>Д'п
— два решения в области орбит первого рода,
при
Д/ = Д/ГР
также два решения, но одно из них соответствует орбите
Первого рода, а второе — граничной орбите.
Наконец, при
Д/>Д/Гр
имеют место два решения, соответствующие орбитам
первого и второго рода.
Для численного определения минимально возможной
величины Д/ = Д/П необходимо решить уравнение
Дифференцируя выражение (8.47), находим, что
решение уравнения (8.54') равносильно решению
уравнения
3 [2тсп + е0 — sin e0 q: (60 — sin 60)] —
-2[(l-cose0)tg-|.q:(l-cos60)tg-|] = a (8.55)
Решая это уравнение каким-либо из известных
приближенных методов, найдем соответствующую величину

188 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. VIU^
а = ап и, подставляя ее в выражение (8.47), вычис-,
л им Д/п.
Можно показать, что при фиксированном положении]
точек Dt и D2 (т. е. при фиксированных значениях вели*
чин ги г2 и s) и возрастании числа п величина Д/п воз-'
растает. Отсюда следует, что если для заданного
положения точек Du D2 и заданного значения Д/ решение
рассматриваемой задачи возможно при некотором n = n0t
то оно возможно и при всяком п<п0.
Во всех предыдущих рассуждениях мы полагали
число полных оборотов искомой орбиты вокруг
притягивающего центра заданным. Снимем теперь это
ограничение, т. е. будем отыскивать все возможные орбиты,
по которым осуществляется переход из точки D|
в точку Ь2 за определенное время Д/. При этом будем
задаваться направлением обхода притягивающего?
центра.
Иначе говоря, в выражении (8.1) будем считать чис*
ло п произвольным и задаваться одним из знаков «±»«
Графически каждому решению этой задачи соответст-*
вует пересечение горизонтальной прямой
(прямой EF) с одной из кривых MnAnBnNn (рис. 8.6):
Обозначим через /V наибольшее из целых чисел /г, для
которых возможно решение задачи, т. е. будем опреде-ч
лять N из условия ■*'
MN<M, Д/*+1>Л*,
где AtN — минимально возможное значение Д/ при
n = N (Д*0 = 0).
Определив таким образом число Ny легко найти
число k возможных решений поставленной задачи. Из
рис. 8.6 непосредственно следует, что
f 2iV -J- 1 при Д/„<Д/,
k~~\ 2;V при MN = M.

8.8]
ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ
Ш
88. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ
Во всех предыдущих рассуждениях мы исходили из
предположения, что заданные точки Du D2 и
притязающий центр О расположены не на одной прямой. При
расположении этих точек на одной прямой возникают
следующие особенности решения рассматриваемой задачи.
1. Наряду с криволинейным движением,
определяемым уравнением (4.19), может оказаться возможным
вертикальное движение по прямой DiD20.
2. В случае криволинейного движения положение
плоскости орбиты оказывается неопределенным. При
этом орбита может располагаться в любой плоскости,
проходящей через прямую DiD20.
Возможны, вообще говоря, следующие три случая
размещения точек DiD2 и О на одной прямой.
A. Точки Di и D2 располагаются по разные стороны
от притягивающего центра О.
Б. Точки D\ и D2 располагаются по одну сторону
от притягивающего центра О и не совпадают друг
с другом.
B. Точки D{ и Д> совпадают.
Случаи совпадения одной или обеих точек D{ и D2
с притягивающим центром О следует исключить из
рассмотрения, как не имеющие практического значения.
При размещении точек Бл и D2 по разные стороны
от притягивающего центра возможны только
криволинейные орбиты. Вертикальное движение в этом случае
невозможно, так как орбита такого движения всегда
располагается по одну сторону от притягивающего
центра (см. § 7.5—7.7). Для определения
криволинейной орбиты необходимо предварительно задаться
положением ее плоскости, проходящей через прямую D{OD2y
и воспользоваться уравнениями Эйлера — Ламберта
(8.45) — (8.49), полагая при этом, что
Дд = л(2л+1), s = rx + r2, )
ri + r2 + s = 2(r{-\-r2), rx + r2 — s = 0,

190 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. \ГЩ
В этом случае сохраняются все указанные в § 6 и 7\
настоящей главы варианты решения уравнения Эйле*|
ра— Ламберта. Однако при ДФ = л;(2/1 + 1) каждому из
этих вариантов для заданного положения плоскости ор*|
биты соответствует не одна, а две траектории,
различаемые по направлению обхода притягивающего центра!
(траектории £>iPiD2 и DiP2D2 на рис. 8.7). Очевидно, чтЛ
орбита DiP2D2 получается!
из орбиты DiPiD2 путеш
поворота ее плоскости
вокруг прямой DiD2 на
угол я. Поэтому указан!
ную двузначность можисй
ликвидировать, если, за|
давая положение плоско!
сти орбиты 2, опреде!
лять направление ее «по|
ложительной стороны», ш
качестве которой можно!
взять ту сторону, откуда
движение по орбите ка|
жется происходящим npdj
тив хода часовой стрел!
ки. При этом положение
плоскости 2 можно характеризовать некоторым дву|
гранным углом y между этой плоскостью и заданныш
ее начальным положением 20. Этот угол будем считатш
возрастающим при вращении плоскости орбиты в поло!
жительную сторону. Тогда траекториям DiP^D2 uDiPiDm
будут соответствовать различные положения плоскости
2, определяемые углами yi и у2 = У1 + я- I
Таким образом, при размещении точек D4 и D2 на
прямой DiOD2 по разные стороны от притягивающей!
центра О возможны все указанные в § б и 7 настоящем
главы случаи определения орбит. При этом каждом}!
решению уравнения Эйлера — Ламберта соответствуем
однопараметрическое семейство орбит, различаемых пя
положению их плоскости. В качестве параметра, харак]
теризующего это положение, следует брать угол у,
который может изменяться в пределах
0<y<2ji.
Рис. 8.7. Движение между двумя
заданными точками D{ и D2,
лежащими на одной прямой с
притягивающим центром О.
11

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ 191
С*
Пои размещении несовпадающих точек Dt и D2 по
v сторону от притягивающего центра О криволиней-
одЯУ0пбиты оказываются невозможными. Действитель-
НЫвв этом случае Д# = 2яп. Отсюда, пользуясь
равенством (4 19), находим, что ri = r2, но это противоречит
Условию несовпадения точек D{ и D2.
Вертикальная орбита в этом случае оказывается
возможной. Ее направление определяется однозначно как
направление прямой OD^D2. Так как обход
притягивающего центра по вертикальной орбите реально
неосуществим (см. § 7.6 и 7.7), то практическое значение может
иметь лишь случай, когда
Дд = 0. (8.57)
Для определения величины а можно воспользоваться
уравнениями Эйлера — Ламберта (8.45) —(8.49),
учитывая при этом условие (8.57), а также условие
5 = Гщах ^min,
где гтах и гт[п соответственно большее и меньшее из
значений п и г2.
Отсюда
fi + r2 + s = 2rmax, n + г2 — 5 = 2rmin. (8.58)
Как было указано в § 7.5, вертикальная
эллиптическая орбита получается из криволинейной путем
предельного перехода при а = const и е—+1. При этом
второй фокус переходит в вершину А вертикальной орбиты
(см. рис. 7.2). Следовательно, эллиптические орбиты
первого рода переходят в вертикальные траектории,
в которых перемещение рассматриваемого тела из
точки D{ в точку D2 происходит без прохождения
вершины А. Орбита второго рода соответствует движению
по траектории DiAD2 с прохождением через ее вершину.
Из равенств (8.24) и (8.58) следует, что для граничных
вертикальных эллиптических траекторий
2a = rmax, (8.59)
что соответствует размещению одной из рассматривае-
«х точек (Dj или D2) в вершине траектории.

192
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ.
VI!!
Подставляя зависимости (8.57)— (8.59) в правые
части выражений (8.45) — (8.49), можно записать
уравнения Эйлера — Ламберта в следующем виде:
для вертикальных гиперболических орбит (а<0)
<х8/з
А/ = у=- [sh гх — г, — (sh Ьх — 6,)],
sh
е» 1/ rmax _. б1 1/ rm!n
Т=К "Ж"' shT=K ТЕГ-
(8.60)
2 — г 2а ' в" 2 — г 2а
fii > 0, 6j > 0, а = — а;
для вертикальных параболических орбит (а = оо)
1
Д/ = -^[(2гтах//з-(2гт1п)3/2];
(8.61)
для вертикальных эллиптических орбит первого рода
(л v^ ''max \
а>—]
si
-7=г |е0 — sin е0 — (60 — sin 60)],
f-o I/ rmax „. 6° I/ rmln
nY=K -25" • ЙПТ=К "ST-
(8.62).
для граничных вертикальных эллиптических орбит•
А* = -£=- [л — (б0 — sin б0)],
П
sin
"2"- К 7^7' Т>Т>и'
(8.63);
для вертикальных эллиптических орбит второго рода
(а > *?)
At = А^г [2я — (е0 — sin e,) — (е, — sin *.)]. (8.64)
1

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ 133
Для этих уравнений остаются справедливыми все
выводы, полученные в § 8.6 при исследовании общего
уравнения Эйлера — Ламберта для случая Д#<2я. Из
этих выводов непосредственно следует, что при
несовпадении точек Di и Do уравнение Эйлера — Ламберта
всегда имеет однозначное решение. Для определения
вида получаемой вертикальной орбиты следует
вычислить по формулам (8.61) и (8.63) время полета Д/пар
по параболической и Д/Гр по граничной эллиптической
орбитам. После этого вид орбиты определяется
аналогично тому, как это было сделано в конце § 6
настоящей главы.
После определения вида орбиты и вычисления
величины а путем численного решения уравнения Эйлера —
Ламберта второй элемент т вертикальной орбиты
определяется однозначно по заданному времени
прохождения через одну из точек Di или D2. Для этого можно
воспользоваться зависимостями, приведенными в § 7.6
и 7.7. Таким образом, в случае размещения
несовпадающих точек Di и D2 на прямой OD{D2 по одну сторону
от притягивающего центра О, рассматриваемая задача
всегда имеет однозначное решение, соответствующее
некоторой вертикальной траектории.
При совпадении точек Dt и D2 возможны случаи,
когда Д/ = 0 и МФО. В первом из них мы получаем
тривиальную задачу определения орбиты, проходящей
через заданную точку Dt. Очевидно, что решению этой
задачи соответствует трехпараметрическое семейство
возможных орбит (в качестве параметров, определяющих
каждую орбиту этого семейства, можно взять величины
составляющих вектора скорости в точке Di).
Переходя к рассмотрению случая, когда
МФО, Д0 = 2яя (/г = 0, 1, 2, ...), Га = г2, (8.65)
заметим, что при этом возможны как вертикальные, так
и криволинейные орбиты.
Как было указано выше, для вертикальных орбит
практическое значение имеет лишь случай, когда л =
— ДФ = 0. Очевидно, что для таких орбит
ri = r2, 5==o, n-fro + s — ri-fг2 — 5 = 2гь ео=бо, 8i = dN

194 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. Vlff
Следовательно, в: этом случае вертикальные
гиперболические, параболические, эллиптические первого рода
и граничные эллиптические орбиты оказываются
невозможными, так как для них из уравнений (8.60) — (8.64)
находим, что Д/ = 0.
Таким образом, остаются лишь вертикальные
эллиптические орбиты второго рода, для которых уравнение
Эйлера — Ламберта (8.64) принимает вид
2а'2
Д/ =■--=• (я — е0 + sin e0),
У I*
(8.66)
Из выражения (8.66) видно, что величина А/
монотонно возрастает с увеличением а. При этом изменению
а в интервале -тр<а<оо соответствует изменение At
в интервале 0<Д/<оо. В связи с этим уравнение
Эйлера — Ламберта в рассматриваемом случае всегда
имеет однозначное решение. Это решение определяет
искомую орбиту.
Помимо указанной вертикальной могут иметь место^
и криволинейные орбиты. Для этого необходимо
соблюдение условия
п> 1, М = 2ля.
Эти орбиты являются эллиптическими с периодом
обращения
р=^=2*-ш- <8-67>
Отсюда, пользуясь выражением (5.36), находим
большую полуось орбиты
Подобные орбиты возможны лишь при условии, что

ПЕРЕЧЕНЬ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ 195
Это условие можно переписать в виде
Д/>Д*„, A/.-AO-^L-*!-^. (8.70)
ЛрИ Д/ = Д/Л криволинейная эллиптическая орбита
вырождается в вертикальную. При этом решение
становится практически неосуществимым, так как оно
требует обхода притягивающего центра. Из выражения
(5.15) следует, что для получения требуемой орбиты
достаточно, чтобы скорость в рассматриваемой точке
1 V r{ a
При этом направление скорости Vi остается
произвольным. Отсюда следует, что при выполнении условия
(8.70) решению рассматриваемой задачи соответствует
двухпараметрическое семейство эллиптических орбит.
В качестве параметров, характеризующих каждую
орбиту этого семейства, можно взять два угла, опреде«
ляющие направление вектора скорости в заданной
точке D{. При невыполнении условия (870)
рассматриваемая задача решения не имеет.
8.9. ПЕРЕЧЕНЬ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТЫ
ПО ДВУМ ФИКСИРОВАННЫМ ТОЧКАМ
Пользуясь приведенными выше результатами, можно
составить перечень возможных вариантов определения
орбиты, проходящей через две заданные точки Dt и £>2
при заданных значениях времени полета At между
этими точками и угла ДФ обхода притягивающего центра.
Этот перечень помещен в табл. 8.2, в которой дана
зависимость числа и вида решений рассматриваемой
задачи от взаимного расположения точек О, й{ и D2t
а также от значения Д^ и ДФ. При этом под практически
не осуществимыми решениями подразумеваются
решения, требующие прохождения орбиты через
притягивающий центр О.
В заключение заметим, что при всяком приближе-
йпи к тем случаям, когда становятся возможными

M/ft
вариантов
1
2
3
4
5
6
1 7
• 8
9
10
Расположение
точек О, D, и D.
Не на одной
прямой
>
>
»
>
»
з>
»
»
»
Afr
0 < ДА < 2д
>
»
>
>
ДО >2я
>
>
>
»
м
М < А/пар
Д^ — Д/пар
А*Гр>Д/>Д/пар
Л1* = Л/гр
д/ > д/гр
м < мп
д/ = д/я
д*гр>д/>д*л
д* = д/гр
д* > д/гр
Таблица 8.2 g;
Решение
Одно
>
>
*
»
Ни одного
Одно
Два
>
>
Орбита
Гиперболическая
Параболическая
Эллиптическая
первого рода
Граничная
эллиптическая
Эллиптическая
второго рода
—
Эллиптическая
первого рода
»
Эллиптическая
первого рода и
граничная эллиптическая
Эллиптическая
первого и второго рода 1
J

На одной прямой;
точки Dx и D2
по разные
стороны от
притягивающего
центра О
На одной прямой;
точки D, и D2
по одну сторону
от
притягивающего центра О
Точки Л, и
совпадают
D>
В зависимости от значений Дй и Л£ возможны нее указанные выше
варианты решений от 1-го до 10-го. При этом каждому решению по
вариантам 1 —10 соответствует однопараметрическое семейство
возможных орбит
ДА = 0
Дф = 2лп
(л = 1.2,3, ...)
дд = 0
Дт) = 2лл
(п =1,2,3. ...)|
В зависимости от значения Д* возможны все варианты
решений от 1-го до 5-го. Каждый из этих вариантов
однозначно определяет соответствующую
вертикальную орбиту
Произвольное
Д/=0
Д*>0
Д* < Мп
М > Мл
Невозможно или
практически не
осуществимо
Трехпараметриче-
ское семейство
Одно
Ни одного
Практически не
осуществимо
Двухпараметриче-
ское семейство
Вертикальная
эллиптическая
Любая
Вертикальная
эллиптическая второго
рода
Граничная
вертикальная эллиптическая
Эллиптическая

198 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. Vl«
многозначные решения, точность определения орбиту
резко падает из-за существенного возрастания роли
ошибок измерения и вычисления. Из табл. 8.2 следуетг
что такое падение точности происходит при:
а) Д$->0, Д/->0;
б) Д#->лл (л=1, 2, 3, ...), МФО;
в) Д* > 2л, Д/ -> Д/„.
Оптимальными с точки зрения точности решения
задачи являются значения ДО, близкие к ДФ =шг-(~ -^ (# =
= 0, 1, 2, ...).
8.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛИЧИН р И ©
После определения вида орбиты и вычисления
величины а рассматриваемая задача сводится к нахождению
значений р и со (см. § 8.1). Как было показано в § 8.2,.
эта задача всегда имеет единственное решение, которое
может быть найдено при помощи приведенных
геометрических построений. В настоящем параграфе
выводятся аналитические зависимости для определения
указанных величин.
В случае эллиптической орбиты воспользуемся
зависимостями (8.17). Складывая и вычитая эти равенства,
получаем:
откуда
е sin
£COS
Г2 + Г\
2а
SlZllL —
2а ~
Е2 + Е,
= 1 — е cos
£2 +St
cos-
Ьо — Е\
esm
Е2 + Ех
г2-
sin-
Ео — Ех
Ei + Et
2а sin
=('
Е2 — Е{
2
/-2 + /-Л
2а j
cos
Ет-
(8.71*
С другой стороны, из выражений (8.14) и (8.15)
непосредственно следует, что
Е2 — £1==е- б. (8.72)

«. 10]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛИЧИН р И ш
Ш
Переходя в этом равенстве от углов е и 6 к углам е0 и
а iO^Ceo, 60^л), заметим, что величина E2 — Bi
должна содержать столько целых значений 2я, сколько
их содержится в угле Дд = Ф2 — *i = и2 — и{. Пользуясь
приведенным выше исследованием знаков углов ^и у,
находим, что
2лп -j- e0 + 60 для эллиптических
орбит первого рода,
л (2л + 1) + 60 для граничных
эллиптических орбит,
2л (п -f-1) — е0 q: б0 для эллиптических
орбит второго рода,
(8.73)
где знак «—» соответствует случаю О^ДО — 2ля<я,
а знак « + » — случаю 2л>ДО — 2л/? > л.
Зная величину £2— £"ь можно легко определить
эксцентриситет е. Для этого достаточно возвести равенства
(8.71) в квадрат и сложить. В результате получаем:
•£,==
е =
V
г2 — гх
2а sin
£2 — £i
2
+(
r2 + M2
2а
(8.74)
После вычисления величин Е2— Е{ и е находим
по-формуле (8.71) значение Е2 + Еи а затем определяем
величины £2 и Е{ в отдельности. Далее, пользуясь
зависимостями (5.49), находим:
*¥ = /4*
tg-
Е,.
(й-
(8.75)
#1 ~ *i — 1*2
При этом углы ^-~- выбираются в тех же четвертях,
что и соответствующие углы —тр-- Заметим, что
последнее из равенств (8.75) может быть использовано для
контроля расчетов.

200
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ [ГЛ. УЩ;
Аналогичным образом вычисляются элементы гипер.
болической орбиты. При этом из выражений (8.35) еле-:
дует, что
Г 2 + Г{
2а
Г 2 — ГХ
= е ch -J-~—- ch —Цл—- — I,
откуда
£sh
2а ~
е sh
2
н2 + нх
2
г2 — гх
sh Я27Я1
2а sh
Я2 — /Yt
2
^2 + ^1
ech«4^=(l+i±i)
ch
Н2 — Нх
(8.76)|
/(
1 +
2а
г
ch5
_J
//, —Я,
r2-
2а sh
Н2 — Нх
2
(8.77)
Для определения входящей в правую часть этого вира-»
жения величины Н2 — Нх воспользуемся зависимостями
(8.33) и (8.41), из которых находим:
Я2 —Я! = в|+ 6i. (8.78)
При этом величины ei и 6i определяются но формулам
(8.41); знак «—» соответствует случаю, когда Дд^л,
а знак « + » — случаю, когда ДО > я.
После определения величин Н2 — #i и е находим по
формулам (6.4) и (8.76) значения р и Н2 + Ни а затем
величины #2 и Hi в отдельности. Далее, пользуясь
зависимостями (6.41), определяем:
*¥-/£}
th-^-
(0= tf,
= //о — 1
(8.79)
При вычислении по этим формулам следует
выбирать углы -*г в первой или четвертой четверти (так
как для гиперболической орбиты — я<Ф<л). |

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛИЧИН л И (о 201
При определении параболической орбиты (а = оо)
воспользуемся уравнением орбиты (7.1), из которого
следует, что
Р г ___ Р
2со8^ 2cos2-^f
откуда
cos
£_ ,/£ , c„s£ _cos(iLJf»). /£. (8.80,
Из этих равенств путем элементарных
преобразований находим:
sin -т
(8.81)
Из равенств (8.80) и (8.81) непосредственно следует,
что
2
Р
(8.82)
После этого находим угол <h при помощи равенств
(8.80) и (8.81), а затем вычисляем величину со по
формуле (8.79).

ГЛАВА ix]
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИИ
НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ ДВИЖЕНИЯ
НА ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЩ
9.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 1
В гл. V—VII были получены формулы, определяю!
щие зависимости элементов орбиты от начальных уело!
вий движения. При решении ряда практических зада*|
возникает необходимость исследования характера этйя
зависимостей, т. е. определения влияния изменений на!
чальных условий на элементы орбиты. Для орбит, близя
ких к круговым, эта задача рассматривалась в гл. Hi
Настоящая глава посвящена исследованию этого вот
проса применительно к эллиптическим орбитам искус!
ственных спутников Земли. В первую очередь мы рае!
смотрим возмущения элементов, определяющих движб|
ние в плоскости орбиты (при неизменном положения
этой плоскости), а затем перейдем к рассмотрению ищ
менений плоскости орбиты (при неизменности хара»
тера движения в этой плоскости). 1
Движение спутника в плоскости орбиты опредсЯ
ляется четырьмя начальными условиями: двумя коордта
натами и двумя составляющими вектора скорости. В кй|
честве этих условий используем полярные координата
начальной точки: расстояние г0 от притягивающего
центра и угловое расстояние и0 от некоторого начали
ного направления (в качестве начального направления
может быть взято, например, направление от притяни
вающего центра на восходящий узел Д орбиты). Вектоя
начальной скорости будем характеризовать его величи!
ной t'0 и углом 9о между направлением этого вектора 1|
горизонтальным направлением (рис. 9.1). |
В качестве начала отсчета времени будем принимали
момент прохождения спутника через начальную точем
орбиты. щ

9.21
ВАРИАЦИИ БОЛЬШОЙ ПОЛУОСИ И ПЕРИОДА
203
Так как влияние изменения угла и0 сводится к
простому повороту орбиты вокруг притягивающего центра,
будем в дальнейшем рассматривать лишь влияние
вариаций величин Го, vo и 0о на движение спутника в
плоскости его орбиты. При этом обратим особое внимание
на характер изменения
следующих величин:
большой полуоси а
орбиты.
периода обращения Р%
эксцентриситета еу
углорого расстояния
0о от перицентра до
начальной точки,
расстояний гп и га от
притягивающего центра
соответственно до
перицентра и апоцентра.
Заметим, что
приведенные в настоящей
главе результаты могут быть
использованы не только
для исследования влияния возмущений начальных
условий движения, но также при анализе воздействия
различных импульсных возмущений. Для этого достаточно
рассматривать точку приложения импульсных
возмущений в качестве начальной, а само импульсное
возмущение свести к соответствующей вариации вектора
начальной скорости.
в'/
/74.
.
0
^N?
/ \)
"о
D
Nr /
у4
Рис. 9.1. Начальные условия
движения в полярной системе
координат.
9.2. ВАРИАЦИИ БОЛЬШОЙ ПОЛУОСИ
И ПЕРИОДА ОБРАЩЕНИЯ
Как было показано в гл. V, большая полуось а
эллиптической орбиты и период обращения Р связаны
между собой взаимно однозначной зависимостью (5.36).
тсюда находим связь между вариациями Да и ДР этих
величин:
Р
3 Ад
(9.1)

204
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
Щ
Из этой зависимости непосредственно следует
целесообразность совместного рассмотрения указанных
вариаций.
Из выражений (5.43) видно, что величины а и Я
зависят только от величин г0 и
Kq
♦о
(9.2)1
и не зависят от угла 9о. Дифференцируя равенства
(5.43) и пользуясь зависимостью (9Л), находим, что!
при варьировании г0 на величину Лг0 возникают еоот-|
ветствующие вариации Да и ДЯ, определяемые из pa^f
венств
2
аг
Да = аг Дг0>
■ = Я,
Дг0
Рг
3
(9,3)
Аналогично при варьировании начальной скорости vl} на
величину Ди0 получаем:
Ад
Аи0
Щ
Av0
#„
Я,
2/Го
2-*0
3*0
2-
(9.4)1
Для круговой орбиты &о=1 и, следовательно, аг = а„=:2,Д
ЯГ = Я,? = 3, что полностью согласуется с соответствую*
шими результатами гл. II, полученными для круговые
орбит. \
Для эллиптических орбит эти коэффициенты завися
сят от величины k0. Из выражений (4.19), (4.23), (5.2),|
(5.15) и (5.30) следует, что
= 1 + е cos EQ
\~\-2eces$9 + e2
1 + е ces #e
(9.5)|
Отсюда непосредственно находим, что при переме-1
щении начальной точки от перицентра к апоцентру ор- к
биты величина k0 монотонно убывает (так как эксцен-|
трическая аномалия £0 монотонно возрастает от 0 до я)
При этом в перицентре (£0 = #о = 0) k0=z\+ey в точке'|

ВАРИАЦИИ БОЛЬШОЙ ПОЛУОСИ И ПЕРИОДА 205
ресечения орбиты с ее малой полуосью (£0 = ~J k0=\
й в апоцентре (£о=*о=^) «0=^ — е
Подставляя зависимость (9.5) в равенства (9.3) и
(9.4), получаем:
2 _ 2 (1 + е cos ft0)2
ar = -{i-ecosEQ)* — (1 — *2)2
(9.6)
1 -f e cos E0 _ 9 1 + 2e cos ft0 + e2 /Q -
Аналогичные выражения получаются для
коэффициентов Рг и Pv (при этом множитель 2 в правых ча-
стях заменяется на множитель 3).
Следовательно, коэффициенты аг, Яг, av и Pv
монотонно убывают при перемещении начальной точки от
перицентра к апоцентру. При этом в перицентре
2 п _ 3 д —о *+« р _о 1+£
а'~ (I-*)2 ' Г~~(1 — е)2' av — *\—e*rv — ox_e,
в точке пересечения орбиты с малой полуосью
ar = a, = 2, Pr = Pi,=:3
и в апоцентре
л — 2 р з п оJLn£ р <*-Lz_£
'"^ОЧ-*)2' f~~0+e)2' a*—*\+ey Г^°1+Г
Таким образом, для эллиптических орбит влияние
начальных (или импульсных) возмущений на большую
полуось а и период обращения Р является
максимальным при расположении начальной точки в перицентре
и минимальным — в апоцентре орбиты. По мере
увеличения эксцентриситета («вытягивания» орбиты) разница
между максимальным и минимальным возмущающими
воздействиями возрастает. При расположении
начальной точки в районе перицентра и при е-*1
коэффициенты аГу av, РГч Pv стремятся к бесконечности, что
соответствует переходу к параболической орбите {а,
— оо). Таким^ образом, если искусственный спутник
емли, летящий по сильно вытянутой эллиптической
орте, подвергается сравнительно небольшим возмущаю-
Morv в?здействиям в районе перигея (эти возмущения
ут быть связаны с ошибками выведения на орбиту,

20G
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИИ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ
tfvi. iK
влиянием несферичности Земли, сопротивления воздуха
и т. д^, его орбита может значительно исказиться. Эти
искажения могут быть связаны с изменением гериода
обращения Р и поэтому иметь вековой, нарастающий
характер.
9.3. ВАРИАЦИИ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА ОРБИТЫ
Из выражения (5.43) следует, что эксцентриситет
орбиты зависит от величин k0 и 90, т. е., в конечном
итоге, от величин r0, v0t 90.
\ \ \ т
0~ 0J Ц4 0,6 0,8 10 12 ft 16 18 &0 '£й
щ
Рис. 9.2. Зависимость эксцентриситета е орбиты от величины 1
коэффициента k0-
rQV0
при различных значениях угла во*
Для определения характера зависимости е от ko пе|
репишем второе равенство (5.43) в виде
е2 = 1 — k0 (2 - k()) cos2 60 = (k0 - 1 )2 cos2 00 + sin2 90, *[9Щ
откуда
sin2 9П
(*0-1)2
tg2% — !-
($Щ
Таким образом, зависимость эксцентриситета В оЦ
величины k0 имеет вид гиперболы (рис. 9.2), ось доте*

ВАРИАЦИИ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА ОРБИТЫ 207
пой совпадает с прямой Л0=1, а полуоси равны
Lsiriво 1 (п0 оси °Рдинат е) и 1*вво1 (параллельно
си абсцисс h). При этом для эллиптических орбит
имеет смысл участок гиперболы, соответствующий
следующим интервалам изменения рассматриваемых вели-
ЧИН: 0<V<2, 0<е< 1. (9.10)
При 0й = 0 гипербола вырождается в ломаную ABC,
определяемую уравнением
е=|*а-11, (9.11)
а при в0== ± у — в прямую е=\.
При остальных значениях угла 0О получаем"
семейство гипербол, полностью заполняющих изображенный
на рис. 9.2 треугольник ABC. В этом семействе
гиперболы, соответствующие значениям б», различающимся
только по знаку, совпадают. Все эти гиперболы
пересекаются в вершинах В и С указанного треугольника
(т. е. в точках <?=1", &о = 0; 2), а при &0=1 проходят
через точки с ординатами
e=isin0oi, (9.12)
соответствующими минимуму эксцентриситета при
фиксированном значении 60.
Для определения зависимости между малыми откло-
де
нениями величин k0 и е вычислим производную --т-.
выражения (9.8) следует, что
^ = Az±Cos>e0. (9.13)
Из этой формулы и рис. 9.2 видно, что при kQ<l
производная -|~<0, а при k0>\ производная -|г->0. При
^=1 производная—- = 0 для всех орбит, за
исключением^ круговой (ft0»l° e0 = 0). Круговая орбита, для
коброй в соответствии с равенством (9.11) производная
~°ь^ ==г —1« представляет собой особый случай.

208 ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [ГЛ. I*
Обозначим на рис. 9.1 через В к В' точки орбиты,j
лежащие на ее малой оси. Из геометрического
определения эксцентрической аномалии Е (см. рис. 5.3) еле-;
дует, что на участке орбиты ВПВ' (Я^-^» а на уча-.
стке В'АВ |£|>~- На границах этих участков |£| = -^*
Отсюда, пользуясь равенством (9.5), находим, что на;
участке ВПВ' £0>1, а на участке BAB' k0<\. В точ-
кахВиВ,А0=1.
Из сопоставления полученных результатов видно,что
лежащий в окрестности перицентра П эллиптической;
орбиты участок ВПВ' характеризуется тем, что на нем
-j^- > 0- На этом участке всякому увеличению значе-i
ния k{) (при фиксированном 90) соответствует
возрастание эксцентриситета е. При уменьшении k0 эксцентриси-'.
тет сначала убывает, переходит через минимум emin= .
= |sin во 1» а затем начинает возрастать. На участке!
BAB' -rrr- < 0, и всякому уменьшению k0 соответствует
увеличение эксцентриситета. При увеличении k0 на этом
участке значение е сначала убывает, переходит через:
минимум и затем начинает возрастать.
В точках В и В' пересечения орбиты с ее малой осью j
2j£- = 0. В этих точках при малых вариациях ko
соответствующие первые вариации е равны нулю. Однако■
вариации более высокого порядка положительны, и
всякому изменению k0 при фиксированном 6о соответ- :
ствует возрастание эксцентриситета.
Для круговых орбит всякое изменение k0 влечет за
собой увеличение эксцентриситета. Так как зависимость
e(k0) в этом случае имеет вид ломаной, то первые
вариации е не равны нулю. Поэтому при рассмотрении
бесконечно малых вариаций эксцентриситета круговым
орбитам на рис. 9.2 соответствует особая точка (£ = 0»
&=1). По мере уменьшения эксцентриситета орбиты»
как видно из рис. 9.2, гиперболы, характеризующие
зависимость е от k0, постепенно заостряются, при-
ближаясь к ломаной ABC. Поэтому при
исследовании орбит с малыми эксцентриситетами линейной за-

ВАРИАЦИИ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА ОРБИТЫ 209
S.3)
аисимостью
Ав Ж -тг- Д^О
можно пользоваться лишь при очень малых значениях
вариаций Де и ДА0.
Если рассматривать более значительные конечные
вариации Де и Д&о, то для орбит с малыми
эксцентриситетами целесообразно заменить указанную линейную
зависимость приближенной формулой, являющейся
точной для круговых орбит:
Д*«|Д*о|. (9.14)
В заключение заметим, что в соответствии с
выражением (9.2)
>0, -яг-Х). (9.15)
dv0 ^и' dr0
Отсюда непосредственно следует, что все сказанное
выше о характере зависимости e(k0) может быть
полностью перенесено на зависимости e(vo) и е(г0).
Переходя к рассмотрению зависимости е(6о),
перепишем выражение (9.8) в виде
<?2=(1—fto>a + Ao(2 —fto) sin290, (9.16)
откуда
Таким образом, при различных значениях k0
зависимость £?(sin60) можно представить изображенным на
рис, 9.3 семейством гипербол. Все эти гиперболы
проходят через точки А и С, соответствующие значениям
sin 60= ± 1, е= 1.
При sin8o = 0 эти гиперболы проходят через точки
с аргументами
*=|1— А0|. (9.18)
оти точки соответствуют минимуму эксцентриситета при
фиксированном значении k0.
Для двух значений k0(k'0 и /Q, симметрично распо-
женных относительно величины Л0=1 и связанных

210
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
[гл."ик1
между собой соотношением
1—*о=*о —Ь т- е- *о+*о = 2,
эти гиперболы совпадают.
(9.19)
>J
"1
0
-а
8
'0.
6
—
-«
4
—
-я
..__
\
<?
<?
^
—
0J5
^
¥\
L
—
kfl*l
к€1
Hi
!
К
7
,п*
><1
у
d
г
—
^Г
*—
0.
—
*
—
а
—
—
—
—
5 US U
/.0su\9t
Рис. 9.3. Зависимость эксцентриситета е орбиты от угла 90 при
различных значениях коэффициента k0 =
'0*0
При &о=1 рассматриваемые гиперболы превращают-
ся в ломаную, определяемую уравнением
£?== |sin во!, (9.20)
апри£0 = 0;2 — в прямую е =1.
Дифференцируя зависимость (9.16), находим
выражение для производной:
При 6о<0 производная-^- <0, а при 00>0 произ^
де
водная зп->0. При 8о = 0 для всех орбит, за исключе-
де
нием круговой, -щ- =0. Для круговой орбиты (9о=0,
де
£о=1) производная-gg-= ±1.

вариации углового расстояния ft0 211
Из изложенного следует, что для эллиптических ор-
rtiT на участке движения от перицентра к апоцентру
1В >0) всякому увеличению угла 90 (при
фиксированном £о) соответствует возрастание эксцентриситета е
орбиты. При уменьшении угла 80 на этом участке
эксцентриситет е сначала убывает, пока не достигнет своего
минимального значений, определяемого из равенства
(9 18). При дальнейшем уменьшении угла 60 величина в
возрастает. На участке движения от апоцентра к
перицентру (8о<0) мы получаем обратную картину. В этом
случае уменьшение угла 0О влечет за собой увеличение
эксцентриситета е, а увеличение угла 90 — сначала
уменьшение, а затем увеличение величины е.
В апоцентре и перицентре орбиты 0О—0.
Следовательно, в этих точках -^-=0, и при малых вариациях
угла 00 соответствующие первые вариации
эксцентриситета е равны нулю. Однако при этом вариации
эксцентриситета более высокого порядка положительны, и
всякому изменению угла 60 при фиксированном kQ
соответствует возрастание эксцентриситета.
Для круговых орбит всякое изменение угла 0О влечет
за собой увеличение эксцентриситета е. Так как
зависимость е(%) в этом случае имеет вид ломаной, то при
этом первые вариации величины е не равны нулю.
Следовательно, при рассмотрении бесконечно малых
первых вариаций эксцентриситета круговым орбитам
соответствует особая точка семейства эллиптических орбит.
S.4. ВАРИАЦИИ УГЛОВОГО РАССТОЯНИЯ
ОТ ПЕРИЦЕНТРА ДО НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Для определения вариаций углового расстояния Ф0 от
перицентра до начальной точки орбиты воспользуемся
выражениями (5.49):
51-пФ _ *о sin QQ cos 0o
cos fl0 = h*2**i=±
ta a *q sin 90 cos 90
1ь.ио— *0cos*e0-l
(9.22)
14*

212 ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ {ГЛ. \х
При этом величину О0 мы будем полагать изменяющейся
в пределах
— *<Ф0<я, (9.23)
а значения #0 = ±я — совпадающими.
Для анализа характера зависимости Ф0(9о) можно
воспользоваться рис. 9.4, на котором изображены
графики этой зависимости при различных значениях k^
Пользуясь выражениями (9.8) и (9.22), находим, что
± л при k0 = 0t \
2% при А0 = 2. J (9'24)i
Таким образом, для крайних возможных значений kQ
зависимости Фо^о) имеют вид прямых. Как видно из
рис. 9.4, для всех промежуточных значений 0<&0<2
кривые зависимостей #о(9о) лежат внутри треугольников
АВО и DCO, ограниченных этими прямыми и осью
ординат.
При £о=1 величина е может быть найдена из вы-;
ражения (9.20). Тогда, пользуясь зависимостями (9.22),
находим:
при fe0= 1 и 9о<0
sinft0 = — cosG0, cosft0 = sin00, Ъо — % — %1 (9.25);
при *o= 1 и 6o>0
sinu0 = cos90, cosft0 = —sin90, O0==e0 + y. (9.26)
Из этих выражений следует, что при £о=1
зависимость изображается ломаной AKFC (рис. 9.4). При
этом в точке 90 = 0 эта зависимость имеет разрыв и ве-
личина до скачкообразно изменяется от —-к- до +тг • '■
Указанный разрыв объясняется неопределенностью по- \
ложения перицентра круговых орбит (см. § 2.9).
Как видно из рис. 9.4, ломаная AKFC разбивает всю
область возможных значений #0 на две части:
часть, ограниченную треугольниками АКВ и DFC, ко
торая соответствует значениям kQ<\\
часть, ограниченную треугольниками АКО и OFC и
соответствующую значениям Л0>1.
<»0 =

04]
ВАРИАЦИИ УГЛОВОГО РАССТОЯНИЯ *•
$ъ.град\Р К'У С
21$
&ъ,град
-180 В
Рис. 9.4. Зависимость углового расстояния #о между
начальной точкой и перицентром от угла 60 при
различных значениях коэффициента £0 = ~^-.

1
214 влияние изменений начальных условип [гл. гх1
Характер кривых Фо(9о) в обеих указанных выше об*1
ластях оказывается различным. При k0>\ величина f>0,
монотонно возрастает с увеличением угла 60» пробегая]
весь диапазон возможных значений (от Ф0= — я при
0о= —-удо Ф0=+я при е0==+4)-пРи feo<l кривая
имеет максимум ФЮах(£о) при 00<0 и минимум iVin(&o)
при 9о>0 (следует иметь в виду, что кривые,
соответствующие значениям 8о<0, непрерывно переходят в
кривые, соответствующие значениям 00>0, так как точки В
и D на рис. 9.4 следует считать совпадающими).
При этом
I Атак (*Ь) I = | «ml,. (*о) I = I *о (*<>) l«l. > f > (9-27)
где |^о(ko) Imin— минимальное значение |д|0 при
фиксированном fto<l.
Отсюда следует, что при *0<1 величина Ф0 не может
изменяться во всем интервале (9.23). Ее возможные
значения ограничены условиями
я>|»о(*о)1>1»о(*о)и>-у- (9'28>
Для определения величины |Oo(*o)lmin
продифференцируем последнее равенство (9.22). Тогда, пользуясь
вторым из этих равенств, получаем:
4Ф, — 2<?* • ^^J;
Приравнивая правую часть этого равенства нулю,
находим:
cos 26ех1 = 9 к\ , cosQext^— ~ , ,
^ — *<> У 2 — kQ
где 9ext — величины 60, при которых достигаются
указанные выше экстремальные значения до-
Подставляя эти величины в третье равенство (9.22),
находим:

ВАРИАЦИИ УГЛОВОГО РАССТОЯНИЯ #о 215
Для анализа характера зависимости 0о(&о) можно
^пользоваться рис. 9.5, на котором изображены гра-
j?° этой зависимости при различных фиксированных
значениях во- В частности, из выражения (9.8) и (9.22)
следует, что
при 9о=0 и *о<1
е—\ — k0t cos0o = ~ 1, sin0o = O, 0О = ±я;
при во = 0 и k0>\
e = k0—l, cos Фо=1» sinfy) = 0, 00 = 0;
_ , n
при во= ±"2
e= 1, cos Oo= — 1, sin 0O = O, Oo= ±я.
Таким образом, при 80 = 0 зависимость 0о(&о)
изображается на рисунке 9.5 ломаной ABED (или A'B'ED).
При 8о= ± -у эта зависимость изображается прямой Л С
- (или А'С). При всех остальных значениях 80
рассматриваемые зависимости имеют вид непрерывных кривых.
Дифференцируя третье равенство (9.22) по к0 и
пользуясь вторым равенством, находим:
г)00 __ sin2e0
Из этого выражения следует, что при 8о<0
величина 0О монотонно возрастает с увеличением k0t а при
60>0 — монотонно убывает.
Как было указано выше, при k0>l величина 0О
может изменяться во всем диапазоне (9.23). Отсюда
следует, что соответствующие различным значениям 80
кривые зависимостей 0О(&О) заполняют на рис. 9.5 весь
прямоугольник В'ВСС.
При &о<1 возможные значения 0О ограничиваются
условием (9.28). Отсюда следует, что при k0<l кривые
0о(&о) должны находиться вне области, определяемой из
условия
|0o(*o)i<iOo(£o)imln,
где величинаJ0o(*o) Urn находится из выражения (9.30).
Ц?Р*1ИЦа эт°й области изображена на рис. 9.5 кривой
Ж—Я- (931>

216 ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ (ГЛ.
09.град
4
ь
i
[~
г
1-
\
к
—
й
—
—
г
Ofi
0,
6
0,8
Т
-90
-60
-30
- /7
' U
-30
-60
-90 \
-180
Ш
\м
120
.£.
W
420
-150
в'
.
1,2
Г,
<t
Jk
is
fi-
..-30
S-
-■ч».^^^
I
^**
$c§^
$щ
£#
8
[7
»»
•
►
4
-
<?
i?
»'.
-
Рис. 9.5. Зависимость углового расстояния $9 между на-
rovo
чальной точкой и перицентром от величины k9 = при
различных значениях 80.

ИЗМЕНЕНИЕ ВЫСОТ ПЕРИЦЕНТРА И АПОЦЕНТРА 217
ИЗМЕНЕНИЕ ВЫСОТ ПЕРИЦЕНТРА И АПОЦЕНТРА
Пользуясь зависимостями (5.3), можно написать
общее выражение для высоты га апоцентра и гп пери-
цеНТр3 • г = а(1±е), (9.32)
где знак « + » соответствует апоцентру (г = га)> а знак
«—» — перицентру (г = гл).
Отсюда
(£-!)-«■•
Заменяя величины awe их выражениями (5.43) и
(9.16), находим:
f-f- (2 - *о) - if = (1 ~ *о)2 + *о (2 - k0) sin* 9Je (9.33)
I.'О -I
Это равенство можно переписать в виде
(L 1_у
\г0 2 — /?0 / sin2 в0
(£*)"
(1-feo)2
*о(2-*о>
1. (9.34)
Отсюда следует, что кривая зависимости — от sin Go
(при фиксированном значении k0) является гиперболой
с центром в точке
sin 0O = O
Г0 2 — ky
о
и полуосями, равными-^—~ и , * *°ч =г. Одна ветвь
2 —*0 VM2 — ь0)
этой гиперболы, соответствующая значениям —>1, оп-
ределяет зависимость — от sinOo, а вторая ветвь, соот-
ветствующая значениям —< 1,—зависимость—от sin в».
^ па рис. 9.6 изображены графики зависимостей
"7^(sin 80) для различных значений k0. Кривые, лежащие

218
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИИ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ ГГлД
А"
Л'
А
\
л
&
<£
^
£+
№£L
9
'•*> \
\
\
Ш
VI V
\t
к
4
?
J
\
Vl
г .,
^>
/
- 2
\/
К$
*й5
*й!
, iw
1
/1
^
У
1/
z_
^ ^
/A<f/0
Л7л
*,-(г
в"
8'
iL.
-W-о,8-о,б-о* -оя о &? да ДО в* до sine.
Рис. 9.6. Зависимость высот перицентра и
апоцентра от угла 00 при различных значе-
ниях коэффициента к0 = .

ИЗМЕНЕНИЕ ВЫСОТ ПЕРИЦЕНТРА И: АПОЦЕНТРА 219
9L5]
выше прямой А'В' (т. е. прямой ~- = l), соответствуют
авясимости — (sin 90), а кривые, лежащие ниже этой
прямой, — зависимости у-(sin в0). В частности, при
^=0 из выражения (9.33) или (9.34) получаем:
2^- —1 = ±1. -?-=1э 7^ = 0. (9.35)
В этом случае зависимости отношений -1- и —- от
sin 0Ь изображаются на рис. 9.6 горизонтальными
прямыми АВ и А'В\
При Ао=1 зависимость (9.33) принимает вид
-^ = 1 ± sin 90 (9.36)
и изображается на рис. 9.6 парой пересекающихся
прямых А"ОВ и АОВ". При этом ломаная АОВ
соответствует зависимости --^-(sinOo), а ломаная A"QB" — за-
0
висимости —(sin 0O).
При k0 = 2 зависимости (9.33) и (9.34) становятся
неопределенными. Для раскрытия этой неопределенности
преобразуем выражение (9.33) к виду
где знак «-f » соответствует случаю г~га, а знак «—»—
случаю f = гп.
При fe0 —*2 второй член подкоренного выражения
становится малым. Пользуясь разложением подкоренного
выражения в ряд Ньютона, можно написать, что
>Г= TJlf {l ±(*o- l)[l + 2°(^lff Sin29^+ *
+ (2-Aof/?(A0, sin00)]}.
л1'7^*°» sin во) — некоторая ограниченная функция ве-
лицин k* и sin ео

220 ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИИ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
Отсюда
ra k0 . £0sln290
ii'-и. IX;
2 — Лг0
2<*о-1)
■(2 —А0)(А0 —1)/?(Л0, sin 00),
1 —
2(Л0 —1)
sin2 в0 — (2 — А0)(*о — 1)/?(*оэ sin0o).
При k0 = 2
-£- = оо, ^L=l-sin2e0>
(9.37)
т. е. кривая зависимости — (sin90) превращается в
параболу (ACODB на рис. 9.6).
При всех остальных значениях k0 кривые —- (sin в0)
'о .
являются гиперболами. При этом значению 9о = 0 соот-
гп
ветствует максимум отношения — и минимум отноше-
ПИЯ
Из выражения (9.33) находим, что при 90 = 0
1 ± I V—*ol t (9.38).
r = rft
2 — к0
где знак «-f » соответствует случаю r = rat а знак «—»—
случаю г=:Гп- Отсюда
± = \
1
\Т-
> 1
при 90~0, А0*О»
при 90~0, А0>. 1;
при 90=^0, *0>1-
1
(9.39)
Эти зависимости отражают тот очевидный факт, что
при 9о = 0 и k0<\ апогей орбиты совпадает с начальной
точкой, а перигей находится ниже этой точки (га==^о»
гп<г0). При 9о = 0 и /?0>1 с начальной точкой совпадает
перигей орбиты, а апогеи находится выше (гл>Го*
Гп = Г0).

ИЗМЕНЕНИЕ ВЫСОТ ПЕРИЦЕНТРА И АПОЦЕНТРА 221
Пои %~~^ из зависимости (9.33) получаем:
г&
2-
г0
га = 2а,
(9.40)
Сопоставляя полученные результаты, находим, что при
й0<1 зависимость у- (sin в0) представляет собой
гиперболу, проходящую через точки Л, В и лежащую внутри
треугольника АОВ (рис. 9.6), При этом зависимость
— (sin8o) представляется гиперболой, проходящей
через точку О и лежащей внутри треугольников А'ОА"
и В'ОВ".
При k0>\ кривые -р- (sin 9o) являются гиперболами,
проходящими через точки Л, О, В. Эти кривые лежат в
области, ограниченной параболой ACODB и ломаной
ЛОВ. Так как все кривые, соответствующие зависимости
-г- (sin в0), лежат ниже параболы ACODB, то эта па-
'0
рабола, определяемая уравнением (9.37), дает
максимально возможное значение отношения -~- при задан-
ном 60 и произвольном /?0. Что касается гипербол,
определяемых зависимостью — (sin80), то они при k0>l
лежат выше ломаной А"ОВ".
Как будет показано ниже, торможение низко
летящих спутников в земной атмосфере (а значит, и полное
время существования этих спутников) в основном
определяется величиной перицентрического расстояния гп-
оэтому пРи выводе спутника на орбиту обычно стре-
ятся обеспечить достижение максимума этого расстоя-
CT*fi Роме того» существенным является обеспечение
аоильности величины гп при возможных отклонениях
Нияальных условий движения (за счет ошибок выведем
что С^тника на орбиту). Из изложенного выше следует,
ооа эти требования удовлетворяются при условии

222
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
ггл.вс
0о = О. Поэтому в большинстве случаев выведения спут-
ника на окончательную орбиту стремятся по
возможности точнее выдержать это равенство.
Как видно из рис. 9.6, соответствующая круговой ор-
бите точка О (fe0=l, 80 = 0) является особой точкой
семейства кривых — (/?о, во). По мере приближения к ука.I
'!
занной точке кривые зависимостей — (k0t 90) заост-1
J
ряются, приближаясь к паре пересекающихся прямых.
Одновременно возрастает влияние ошибок осуществлен!
ния заданного угла 0О на точность достижения требуемой!
величины гп (по сравнению с орбитами, для которых!
8о=0 и /г0Ф0). Указанные обстоятельства являются од-!
ной из причин, вызывающих трудности в выведении!
спутника на точно круговую орбиту. I
Для определения влияния малых отклонений началь-i
ных условий на величины га и гп найдем выражения для|
соответствующих производных. Дифференцируя завися-j
мость (9.32) по некоторому параметру q (9 = 60, Щ, Н)9\
получаем: :
дг да п , ч , де
dq dq v 7 dq
(9.41),
где знак « + » соответствует случаю г — г^, а знак «-—» —!
случаю г = гп. !
Отсюда, пользуясь выражениями (5.43), (9.2), (9.3),|
(9.13) и (9,21), находим: -1
дд0 — ~ ^Г sin ^°'
дг
дг0
дг
ev0
'2 L • *" J I <М»

ИЗМЕНЕНИЕ ВЫСОТ ГГЕРИЦЕНТРА И АПОЦЕНТРА 223
Рассмотрим подробнее случай, когда 90=0.
Польюсь зависимостью (9.18), получаем, что при к0ф\
дв0
д-r 4- fofeo +
дг>_\ 1
~Ъ "[(-*—)* -
42-ftJ
f 1 2 У _
*-п _ \2-kJ
дг0 | ,
*L-f °
^0 | 4a/g0
(2— *0)v0
f 4ak0
J^IL i (2 —*0)v0
0v0 | Q
-1
-1
при k0< 1,
при *0> 1;
при Л0< 1, j
прл k0> 1;
при £0< 1, |
при £0 > 1; !
при £0< 1,
при kQ> 1. |
(9.43)
Из этих выражений видно, что рассматриваемые
производные имеют разрыв в точке 60 = 0, k0=l.
Обозначим через |-^--| значения этих производных «справа»
(т. е. значения, получающиеся при приближении со
стороны больших значений аргумента q), а через \-tz) —
значения производных «слева» (т. е. значения,
получающиеся при приближении со стороны меньших значе-
нии Я)- Кроме того, заметим, что при 00 = 0 и Л0=1
выражение (9.42) для -jjjp превращается в неопределен-
зуеы* Раскрытия этой неопределенности воеполь-
х^ся зависимостью (9.20). В результате получим, что

224
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ
,ГлчЙ
ври 00 = 0 и k0= I
(*л\ -
(±sl) -
(дпА =
V dvo 1 +
(^А -
д*г
-То,
■■ — г0,
3,
= 1,
"о
= 0,
:00.
UeJ_
(ft).
(ft).
\Ov0)_
= — r0,
=r0,
= 1,
= 3,
-0,
= 41»-
<9.«l
I
Заметим, что эти зависимости могут быть получевдй|
из; результатов § 2.3. Для этого обозначим через <ра и
Угловые расстояния от начальной точки до апоцентра Щ
перицентра
Как следует из § 2.4,
Фа = "2 '
Л
Фа = — у •
Фа = Л,
Фа = 0,
Фп = —
Л
Фп^
Ф„ = 0
ф„ = Я
при А0=1, 60>0:
при £0=1,. 90 < 0
при k0> 1, 90 = 0
при А0< 1, 90 = 0.
Найдем теперь значения производных
дг дг .. dr
<Э60
<?г0
dv0
в точках ф= ±у, 0 и л. Для этого воспользуемся ра*|
венствами (2.17) и (2.18). Заметим, чтр для кругово||
орбиты At>o = Afuo; а вариация Д60 равносильна feap»a"|
цни радиальной скорости на величину А1/го=шДв#*|

ВАРИАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ /, Л и 225
В результате получим:
£■«>)= 1. ■£-(«) = 3.
СГ{
dv0 М-"' dv0W — *v0 '
(9.46)
Таким образом, для заданных точек орбиты
(определенных величиной угла ср) рассматриваемые
производные имеют вполне определенные значения. Однако
если воспользоваться равенствами (9.45) и учесть
скачкообразное изменение положения перицентра для почти
круговой орбиты, то величины производных становятся
неопределенными и из равенств (9.46) непосредственно
следуют зависимости (9.44).
Из выражений (9.38) и (9.43) следует, что для
малых значений 60 и при k0=£\ для определения величин га
и гп может быть использована следующая приближенная
зависимость:
(9.47)
Эта зависимость теряет смысл при приближении к кру-
д2г
говон орбите (при &0—* 1), так как в этом случае —$ —*°°-
д%
Поэтому для орбит, близких к круговым (при £0~1Ь
она должна быть заменена приближенным выражением
г = г0(1±|8о!Ь (9.48)
которое непосредственно получается из равенств (9.44).
J-6. ВАРИАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ,
ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ
Обозначим через г0 вектор, определяющий положе-
^начальной точки D орбиты в пространстве, а через
нзм вектоР начальной скорости в этой точке. Всякое
i енение положения плоскости орбиты связано с

226 ~ ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [Гл. Щ
изменением проекций эт! х векторов на направлений
нормали к первоначальному положению указанной пло|
скости (для невозмущенной орбиты эти проекции равнш
нулю). Обозначим проекции возмущенных векторов ш|
и Vq на нормаль к плоскости первоначальной орбиты чщ
рез £0 и vzq. Будем считать эти величины малыми (по|
сравнению с расстоянием г до притягивающего центра!
и скоростью v полета) и рассмотрим влияние указанный
возмущений на положение плоскости орбиты. При этом!
все вычисления будем проводить с точностью до малыш
Рис. 9,7. Поворот плоскости орбиты при смещения Ц
начальной точки в направлении, нормальном к щ
этой плоскости. Щ
первого порядка. В качестве положительных направлв||
ний Jo и ^;о примем такие, со стороны которых движ«|
пне по невозмущенной орбите кажется пронсходящиЯ
против хода часовой стрелки (если смотреть с положи!
тельного конца вектора Jo или V;o). Щ
При исследовании влияния отклонения £о начальной
точки от плоскости невозмущеиной орбиты будем полщ|
гать направление вектора я» начальной скорости неШи
менным (у;о = 0). Обозначим через D и Z)i первоначален
ное и смещенное положения начальной точки, а червЯ
гх — вектор, определяющий положение точки Di в про"-*"4
странстве (рис. 9.7). Первоначальная и возмущенная '■
плоскости орбиты определяются как плоскости,
проходящие соответственно через векторы r0, v0 и г,, Ф0 (»а"
чала векторов г0 и гх закреплены в притягивающем
центре О. а вектор v0 является свободным). Отсюда еле-

*€]
ВАРИАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ {, ■&, и
227
дует,
что эти плоскости пересекаются по прямой MN,
Д©оходяшей через притягивающий центр О параллельно
ектору ^о. Следовательно, рассматриваемое
возмущение орбиты сводится к повороту ее плоскости вокруг
оси MN на некоторый угол \р. Обозначим через и0
угол QODy определяющий угловое расстояние
начальной точки Ь от узла Q орбиты, а через и{ — угол ЦОМу
определяющий положение оси MN (углы и0 и и{ отсчи-
тываются по
направлению движения спутника,
а точка М выбрана так,
чтобы находящемуся в
ней наблюдателю поворот
плоскости орбиты
казался происходящим против
движения часовой
стрелки при положительном
направлении отклонения
£о). Пользуясь рис. 9.7,
можно показать, что
й, = 1^— (00+£). С9'49) „ по м
\ * J Рис. 9.8. Изменение положения
п плоскости орбиты при повороте
Для определения уг- вектора начальной скорости в
л а г|) опустим из точки D направлении, нормальном к этой
на ось MN нормаль DK. плоскости.
Так как ZODK = Qo
{во —угол между вектором v0 и лежащей в плоскости
орбиты нормально к вектору г0), то
DK = г о cos 8o,
где г0 ~ абсолютная величина вектора г0. Отсюда с
точностью до малых первого порядка
Ф =
Со
Г о COS %
(9.50)
Перейдем к определению влияния возмущения v^o
начальной скорости (при неизменном векторе г0). Из
Рис. 9.8 видно, что в этом случае изменение плоскости
орбиты сводится к ее повороту вокруг оси OD, про-
ОДящей через притягивающий центр О я начальную

228
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ (ГЛ. гх"
точку Z). При этом угол мь определяющий положение
оси вращения плоскости орбиты, и угол ф поворота
орбиты находятся из выражений
Таким образом, рассматриваемые изменения
положения плоскости орбиты сводятся к ее повороту на
некоторый малый угол ф вокруг оси, проходящей через
притягивающий центр и образующей угол Ы\ с линией узлов
орбиты. Определим
влияние этого поворота на
положение восходящего
узла <Г£ орбиты, на ее
наклонение i и угловое
расстояние и до восходящего
узла. Для этого
воспользуемся рис. 9.9, на
котором изображено
пересечение плоскостей
возмущенной и невозмущенной
орбит с некоторой сферой,
описанной вокруг
притягивающего центра О.
При этом точки $1 и.
Sli обозначают
положения восходящих узлов невозмущенной и возмущенной
орбит, а прямая ОМ является осью вращения плоскости
орбиты (точка М выбрана так, чтобы находящемуся в
ней наблюдателю вращение плоскости орбиты казалось
происходящим против движения часовой стрелки).
Обозначим через А/, АД и Aw соответственно вариации
величин *, Q и Ui после поворота плоскости орбиты. Из
сферического треугольника fiMfit следует, что
АЙА ыь
Рис. 9.9. Изменение положения
узла £\, и наклонения / орбиты
при повороте вокруг оси,
лежащей в плоскости орбиты.
cos (/ + Ы) = cos / cos \f — sin / sin ф cos uv
sin U\
sin ASl
-Г, sin ф,
sin(/-f Д/)
cos (ux + A#) = cos tii cos А Д -f- sin ux sin &Q, cos /.
(9.52)
1

9.6)
ВЛРИАШШ ЭЛЕМРНТОП /. Р., и
229
•■■ Пйнеаризуя эти зависимости (считая величины tj\
aD Дгй Д" малыми), находим соответствующие
приближенные выражения:
Д/г
ДД cos/= —
sin U\
+•
(9.53)
Очевидно, что выражения (9.53) теряют смысл при
f-*0. Заметим, что при отсутствии возмущений в
плоскости орбиты вариация Да характеризует смещение
узла SI относительно всех точек орбиты. Поэтому на
величину Ди изменятся угловые расстояния всех точек
орбиты от узла и, в частности, угловое расстояние со
перицентра. Следовательно,
До == Дд
ДЦ cos/ =
sin их
tg<"
ф.
(9.54)
Подставляя в выражения (9.53) и (9.54) зависимости
(9.49) и (9.50), находим, что при отклонении начальной
точки от плоскости орбиты элементы /, SI и м изменятся
на величины
л;_ sln(tt0~00) у
^1 — —_ ,1 «©(
о cos 00
••©с
др _ cos (ц0 — 60)
" r0 cos 0O sin /
Ao)^cos(^9o)c
r0cos60tg/ *°
Следовательно,
Co,
sin(a0 —60) •
r0 cos e0 •
cos (ы0 — 0O)
r0 cos 90 sin /
cos (uQ — 80)
r0 cos B0 tg / '
(9.55)

230
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [Гл щ.
Аналогично, пользуясь зависимостями (9,51), (9,53),
(9.54), можно написать, что
dl
dv'&
^
*>;•
ёы
cos uQ
~~~ t^cos60 '
sin ищ
v& ces 9$ sin i '
sin w.
Svr,
V, C*S §, t£ i "
<!>
•2J

ГЛАВАХ
СВЯЗЬ МЕЖДУ ВАРИАЦИЯМИ
ТЕКУЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК
И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ДВИЖЕНИЯ
^10.1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Для определения любой точки D орбиты достаточно
задать численное значение некоторого параметра s,
непрерывно изменяющегося в процессе движения
рассматриваемого объекта. В качестве этого параметра может
, быть взято, например, время / полета, угловое
расстояние и от фиксированной точки, эксцентрическая
аномалия Еу расстояние г от притягивающего центра,
скорость v полета и т. п. Основным условием, которое
должно удовлетворяться при выборе параметра s, является
наличие взаимно однозначного соответствия между
положением точки D и величиной s. Это соответствие может
иметь место либо на всей орбите (при s = /, и, £, . ..),
либо лишь на некотором ее отрезке (при 5 = г, v, ...).
Положение центра масс движущегося объекта в
заданной таким образом точке орбиты полностью
характеризуется численными значениями шести независимых
величин pi (t=l, 2, ..., 6), достаточных для расчета
Дальнейшего движения. При s = t в качестве величин pi
обычно принимают какие-либо координаты и
составляющие вектора скорости центра масс. Если параметром s
служит одна из координат, то величинами рг- могут быть
остальные две координаты, время и составляющие
скорости. В дальнейшем будем называть величины pi
текущими характеристиками движения. Как правило, пере-
од от одной системы таких характеристик к другой не
Редставляет особого труда. Кроме того, если известны
(i!La,[lb9ble Условия Движения (или элементы орбиты) q,
g£^~ ' 2» • • •» б), то при заданном значении параметра 5
«чины р{ могут быть легко определены при помощи

232
ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
г гл. х
формул, полученных в гл. IV—VII. Более трудной зада. '
чей является установление связи между вариациями Д^. j
и Др, указанных величин. Этому вопросу, имеющему
большое практическое значение, и посвящена настоящая '
глава. :
Если считать вариации Ар,- и &qj малыми, то с
точностью до малых высшего порядка можно написать: j
•V.- = (^)>+(^W+ •- +©> по.,,
Здесь индекс «s» в обозначениях вариаций Д,р,- ц
/ др\
частных производных I-—Ч указывает на то, что варьи-
* Ч} ' s
рование и дифференцирование ведется при
фиксированном значении s (s = const).
При записи в матричной форме зависимости (10.1)
принимают следующий вид:
(V), =
дР\> Р*
dq{, q-i.
Qt,
где
&P)s
*sP2
sP6
Aq2
(10.2)-.
(Д?) =
(дрЛ /дрЛ /дрЛ
\ dqi )s \ dq-i >s " ' \ dqe )s
др,Р< Pii_ ЦЩ (р.) ...(Щ
l(dPA ( dP< \ (dP*\
li I <>4\ 's \ f>q.' К " ' \dq6)s

10.1]
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
233
Таким образом, задача сводится к отысканию
частных производных {j^j)s (/', /= 1, 2,..,, 6).
Допустим, что нам известна матрица | ^ ** ;;;. *'-|[
частных производных, связывающая вариации
начальных условий qv q^ • ••, ftc вариациями характеристик
движения ри р2> • •• > Рб при s = const, и возникает
необходимость в составлении аналогичной матрицы для
какой-то другой системы начальных условий^ q'v ..., <7б"
и-г^рактеристик движения pv pv ..., р'6. Воспользуемся
тем, что вариации рассматриваемых первоначальных и
измененных величин связаны зависимостями вида
(V) -
др[> /V
др\* Р*
(Ар),
dglt q2,
Р*
?g|| I
(10.3)
Входящие в правые части этих зависимостей матрицы
UP}, Ръ
■Л>
\dPv Ръ
Ре
dQv Ят
?б
частных производных
1 дЯ\> Яг Я б
обычно сравнительно просто определяются путем
соответствующего преобразования координат в начальной
точке D0 и текущей точке D. Умножая равенство (10.2)
dPv Ръ
на матрицу
■А»
JdPl. />2> • •" Рв
(Ю-3), находим:
дя1 Чг Чь
и пользуясь зависимостями
(V).
(10.4)
(10.5)

234 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК II НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [ГЛ. х"
Перейдем теперь к вопросу о преобразовании
частных производных г^—-) при переходе от параметра s,
фиксирующего положение текущей точки D на орбите,
к некоторому другому пара'.
^'" метру о. Для этого раесмо-
^^J)n трим некоторый участок
невозмущенной орбиты D0D и
мало отклоняющуюся от
нее возмущенную орбиту
D0D'D" (рис. 10.1). Обозна.
чим через su en, Рп значения
параметров s, а, pi в
текущей точке D невозмущенной
орбиты. На возмущенной ор*
бите точке D при
фиксированном значении s
соответствует некоторая точка Dft
а при фиксированном
значении о — точка D". Рассматриваемые параметры
принимают в этих точках следующие значения:
s(£>') = Si, ■ o(D') = ol + Aso, А (Я') =/>,, + Д.А.
s(Drf) = Sl + \s, o(D») = ol, A(0") = Ai + Vi'
где A.s^. и Asa — вариации величин pt и а при s= const,
a Ag/7^ и Aa5 — вариации величин Pi и s при a = const
Отсюда с точностью до малых высшего порядка имеем:
PiiD>) = Pi(D'')+<%LAso,
Рис. 10.1. Положение
возмущенной точки орбиты при
различном выборе параметра
определяющего эту точку.
.л dPi
где значение производной -£j- определяется на невозму- |
щенной траектории. !
Подставляя в это равенство приведенные выше вы-|
ражения для Pi(D') и p^D"), получаем: i
dpi к ^ !
bsPi = \Pr
da
Если разделить левую и правую части этого равен- j
ства на приращение Afy любого начального условия, то, j

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 235
переходя к пределу, можно написать, что
где величина \-^~)s представляет собой частную
производную -щ при s = const.
1Ь зависимостей (10.5) и (10.6) следует, что, зная
мятшшу \-fx% Рг f* 8 Для какой-либо системы ве-
личин p^ Чу s (/, /=1, 2, ..., 6), всегда можно найти
соответствующую матрицу для любой другой системы
рассматриваемых величин.
В заключение заметим, что некоторые текущие
характеристики движения на невозмущенной орбите
удовлетворяют условию
р,= const. (10.6a)
В частности, это имеет место:
а) на произвольной орбите для отклонения £ от
плоскости невозмущенной орбиты и проекции Уг скорости
на нормаль к этой плоскости;
б) на невозмущенной круговой орбите (дополнительно
к величинам £ и f *) для радиуса г орбиты,
продольной составляющей vtl вектора скорости и
радиальной проекции vr скорости.
Очевидно, что в этом случае на невозмущенной
орбите-^-=0 и соотношение (10.6) принимает вид
\ Одj }а \ dqj )s'
Иначе говоря, для текущих характеристик движения,
удовлетворяющих условию (10.6а), величины произвол-
Ttyj не зависят от выбора параметра s. Поэтому
проиаЬНеЙШеМ Пр" опРе^елении выражений для таких
Релрлй°ДНЫХ мы будем опускать индекс параметра, оп-
двдяющего положение текущей точки орбиты.
ных
Е

236 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИП [Гл ц|
10.2. ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК ДВИЖЕНИЯ
ПРИ ФИКСИРОВАННОМ УГЛОВОМ РАССТОЯНИИ
ОТ НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Введем систему цилиндрических координат ОгЩ
(ось £ направлена перпендикулярно к чертежу в сторону*]
читателя, рис. 10.2). В качестве начальной примем не<|
которую точку D0 орбиты соответствующую начальному!
моменту времени / = /0, а в качестве начальных условие;
движения — координаты г0, и$й
£о и соответствующие
составляющие 1>го = Го, t>tiO = r0U$
z>;o = &) вектора скорости щ
точке Do (на невозмущенной!
орбите go = v^o = 0). Текущукй
точку р на невозмущенной щ
возмущенной орбитах буде*^
определять из условия постов
янства углового расстояния^
этой точки от начала отсчету
или, что то же самое, из уело
вия постоянства углового рас
стояния от начальной точки
Рис. 10.2. Начальные
условия и текущие
характеристики движения в
цилиндрической системе
координат.
ф = М
"о,
где и0 — угловая координ§|
невозмущенной начальной'
ки (на возмущенной орбите она может быть друйЗ
так как точка D0 определяется из условия /0 = const).
В качестве текущих характеристик движения приш|
время t прихода в рассматриваемую точку, координ£|
г, £ и составляющие vn vu> t>; вектора скорости в эЩ
точке.
Переходя к вычислению элементов матрицы
dr0, uQ, £,, vr0, vuQt vi0
воспользуемся независимостью малых возмущении
плоскости орбиты от возмущений, направленных по но|
мали к этой плоскости. В связи с этим частные прои

частные производные от г при <р =» const 237
ig- = 0 при ( л==£ i/;; qj = r0f u0, vr0, v^
(10,8)
Кроме того, частные производные по щ легко
определяются путем поворота орбиты на угол Аи0 в ее
плоскости вокруг притягивающего центра О, а производные
ио Со и t;;o — путем соответствующего поворота
плоскости орбиты (см. § 9.6). В связи с этим, найдем сначала
производные (щ)^ ПРИ Р/ = г> '. vn vu и ?у = г0, иг0, vu0.
10.3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
ОТ ТЕКУЩЕГО РАДИУСА IlPH<P = COnst
Воспользуемся зависимостью (4.19) и равенством
Ф = О-#0, (10.9)
где Оо и Ф— значения истинной аномалии соответственно
в начальной и текущей точках. В результате получим,
что
1 + е cos (ft0 + ф) 1 -f- е cos #0 cos ф — е sin ft0 sin ср * * ' '
С другой стороны, из выражений (4.18), (4.21) и (5.45)
получим:
Р = Г(А) cos2 90, e sin fr0 = К sin % cos 80, ]
*cosfl0==£0cos'2e0-l, k0 = -±±, j
где v0 и в0 — абсолютная величина начальной скорости
и угол наклона вектора скорости в начальной точке к
местному горизонту, определяемые из равенств
^==^+^0, u0cos% = vu0, zi0sIneo = TF/0. (10.12)
Подставляя зависимости (10.11) в (10.10), находим:

238 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [ГЛ. *
откуда
Kq ■
1 — COS ф
—- cos 90 — cos 0O cos (ф -f 90)
(10.13)
Выражая при помощи равенств (10.11) и (10.12)
величины &о, vQt во через значения Vro, vu0y r0 и ji, можно
преобразовать зависимость (10.13) к виду
(1 — cos ф) |х + г0 (v2u0 cos ф — vu0vr0 sin ф) — -у- г^=0.
(10.14)
Продифференцируем это равенство при ф= const
В результате получим:
(v2u0 cos ф — vu0vr0 sin ф - ^ г£0) dr0 +
+
[^2 yrQ cos ф — -уJ vud — rQvr0 sin ф
dvt
ev
— r0vul sin ф dvr0 = — -7Tv\f) dr,
Отсюда непосредственно находим выражения для
искомых частных производных:
\ дго /ф '"о \ »«о / г0
I дг \ г2 .
-— = sincp,
(#-) =7F-(-?Lsin,*)-2coS(»') + 2T1-'
(10.15)
Пользуясь зависимостями (5.44) и (10.9), можно наг№
сать, что
vrQ . ^ sin тЭ'о sin ф — (1 + е cos Ф0) cos
—^-51Пф— С08ф = ~-■
V»
=-/!
а/*-
gcosft + cosJL
V«0 —

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ V, И Vu ПРИ ф = COHSt
239
10.4J
Г другой стороны, из равенства (4.19) имеем:
р 1. (10.16)
г
Следовательно, ^
1 . Г \к (р л
/vro
COS
Рло
ср). (10.17)
Кроме того, пользуясь выражениями (10.11) и (10.12),
можно написать, что ^
Подставляя зависимости (5.11), (10.17) и (10.18) в
(10.15), находим:
~>7
1+у(1
cos
Ф)].
(•Г
—!-=г- sin (f! = — sin q\
{£-) =^-[l+^-(-J-ff)c08,l.
(10.19)
10.4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
ОТ СОСТАВЛЯЮЩИХ СКОРОСТИ
vr и va при ф ~ const
Для определения частных производных от
продольной составляющей vlt скорости воспользуемся
выражениями (5.11) и (10.18), из которых следует, что
7, гог"0
»~~ г
(10.20)
Дифференцируя это равенство, находим:
{ dVU \ __ V!tO ГдУдъ / 0Г \
\дГо)ц~ г г* \дг0)ч
I dvu \ _ r0vu0 / or \
\6vroL г* \OVroL'
(jtou\ _ гр г0уир ( дг \
\w'fl0/v Г Г2 \cfc'M0/q

240
ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [ГЛ; х
Подставляя в правые части этих равенств
выражения (10.15), получаем:
sin9,
(10.21)
(4^J) = 2со8ф —-^sinq> —^.
Отсюда, пользуясь зависимостями (5.11), (10.17) л
(10.18), находим:
COS ф
\ dvr0 L
rO /ф
P
sin <p,
(1 — COS<p),'
(&).--?+('+?)»■»
(10.22)
Переходя к определению производных от радиальной
скорости уг, воспользуемся выражениями (5.13) и (10.9),
согласно которым
*V = ]/y*sin(<p+*0)== J/ -j^cos00si^+x»rtCOS«p. j
С другой стороны, из выражений (5.11) и (10.18)
следует, что
/те c°s*- *« - /f=*. - ■£ • ■ <шз)::
Таким образом, '; f
*V = vr0 cos ф+ (г> — т-^—) sin ф. (ltf.24) j
\ - r0v„0 /
Дифференцируя это выражение при ф = сопз1 й;нс-"|
пользуя зависимости (10.18), находим:
/ dvr \ и . vuQ . Г u sin ф
—-~ Sinq>= -^Sin(p = I/ J —
Шгс05ф'
(f4 -(l+-V)sin,p = (l+^)sin9.
(10.25)

10.51
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ t ПРИ <р — const
241
105 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
ОТ ВРЕМЕНИ ПОЛЕТА t ПРИ? = const
Для определения времени полета t от начальной
точки Do до текущей точки D воспользуемся зависимостями
(6 28) л (Ю.18), согласно которым
t = -
Yvp
J rQvti0 J
(10.26)
В этом выражении начало отсчета текущего угла и
перенесено в начальную точку D0 (t/0 = 0).
Дифференцируя выражение (10.26) при ф = const,
находим:
(f) =-j-+T^A(-f) *«•
(£).--&/'(£)
du,
\QVU%
-^•-f 2
Vw
(10.27)
Подставляя в правые части этих зависимостей
выражения (10.15) и используя равенства (10.18) и (10.26),
получаем:
L V 0
— г»н0 / г3 cos м d« I ,
L*\ _ 2 /•
l*W«~ ИР./ ^Slnttrftf,
(10.28)

242 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [ГЛ. Ц
\ fo'uo /ф »но ^ )*Р \ *° J
Ф
— 2vuQ / г3 cos и da
(10.28)
Таким образом, задача сводится к вычислению ните- j
гралов
ф ф
Jx — f r* sin и du, J2— f г3cos иdu. (10.29)
о о
Пользуясь зависимостью (10.9), можно написать, что
ъ ;
y.=Jr3sin(>-d0)^ =
==cosft0Jr3sin^| —sinft0J>cos|</£, (10.30)
где I — текущее значение истинной аномалии, определяв- •
мое по формуле
£ = *о+«. (10.31) i
Далее, учитывая зависимость (4.19), находим: i
Заметим теперь, что
sin^ =
Таким образом,
/г3sin |</£ = //
^—л.
(1 -\- е cos
I'd+^oea.
1
ecos;)* Ifl
=^(^-^)- (10-32)

tojg частные производные от t при ф = const 243
Для вычисления второго интеграла, входящего в
правую часть равенства (10.30), представим его в виде
суммы двух интегралов:
(о - \
J (1 + е cos g)2 ~~ J (1 +е cos £)3 / * (10*33)
Воспользуемся теперь известным рекуррентным
соотношением [25]
/<?* 1 Г b sin л:
<а+*С08.*)Л "' (/2 — !)(а» —*2) [ (fl + ^COSJC)'-'-1""1"'
(a + bcosx)»-1 "(Л —2)у (д + ^со8лГ-2]
и положим в нем
лг = Е, а = 1, £ = г, л = 2, 3.
В результате получим:
[ d% * I ^sing . Г ai \ \
/*-- d$ — . 1 Г *sin£
J (l+^cosg)3 2(1—^) | — (i+tfcosg)r +
+з Л, i ^ _ /'_g|i I
./ (1+^ cos 1)2 у 1+^cosfJ- J
Отсюда (Ю.34)
■' О + 'совв^-у TTT^oTiJ^
= ^7T-^-f li1" 6 2e sing .
+ 3[ГТ_^ / tft 11
U l + ecos£ J (l+^cos|)2jJ-
16*

244 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [ГЛ. х
С другой стороны, из зависимости (10.34) следует, что
С dl [ dl _ es'inl еч f d\
J 1+^cosg ,/ (l+*cos£)2 l-f-*cos£ J (1-f*cos£)*-
Подставляя это выражение в предыдущее равенство,
находим:
с & г.
j о+««»&)* ,/
dl
(1 -j- e cos |)3
2(1
-О L(l+^cos|)2 """*" l+*cos£ oc J (l+*cosS)2J-
Теперь равенство (10.33) можно переписать в виде
j r*cosldl-.
2е(\—е2)
-Зе2 f
(l + e cos£)2
^ sin I
£Slil£
. (l+^cosl)2 l+£cos
d!.|- <««•»
Заметим теперь, что согласно зависимостям (4.19),
(10.9), (10.26) и (10.31)
о ф
?! {l+?co,V=f **'" = '№. (Ю.36)
00 О
Подставляя равенства (4.19), (5.13) и (10.36) в (10.35)
и используя зависимость (5.2), находим, что
f r*cosldi = -j{ — 3eVvpt +
6
+ 7 ]/~-т1™Лг + р)-г0ьл(г0 + р)]}. (10.37)
Пользуясь равенствами (10,30), (10.32) и (10.37), мож-

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ t ПРИ ф = COflSt 245
I0.5J
о написать выражение для первого интеграла (10.29):
_ «./-3* Yw t + jy J\™Лг+р)-г0г>г0(r0+p)}}sinФ0.
(10.38)
Исключим теперь из этого выражения величину в0,
а также устраним неопределенность, возникающую при
£-►0 (т. е. при переходе к круговым орбитам). Для
этого воспользуемся равенствами (5.2), (5.11), (5.13),
(10.9) и (10.16). В результате получим:
Jx = -*■ [3pvr()t + -Ц^1 (г2 - rl) cos О0 -
— r(r+ p) sin Ъ sin 0-0 + МЛ) + p)sin2d0j =
= 4" [3pvr(>t — r(rJrf) cos ф + /*(/• + p) cos Ь cos ft0 4-
+ r0(r0 + p) — r0 (r0-f />) cos2#0 +
2 '2
+ -Ц-^- cos *0 - (r- - rl) e cos O0] =
= 1 {3pvJ-r(r+p) cos <p+rlrQ+p)-(r>-r§(£r- 1 )+
+ C-^h^)(f-l)-ro(ro+p)(^-l) + ^-^]}=
= T [3Pvroi — r (r+ />) cos ф + rl+/y> —
= 7 [3/w^ — r (r -f /») cos ф -j~ 2r0p — & + r2 J
или, окончательно,
4-^[А£_(1 + л)€0.,+2д_^(а_1)].
(10.39)

246 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ Ид-
Аналогичным образом определяется второй интеграф
(10.29). Пользуясь зависимостями (5.13), (10.9), (10.16)1
(10.31), (10.32) и (10.37), находим: *
— cos ft0 / г3cos ldl-\- sin 0*0 J r^smldl —
0*
&>
= Y{3e VM/^i-
+ 7 Vf \rv' (r + P)~ Wro (ro + P)] } cos 00 +
4-5-(^-^)ein*0 =
^t[-3(-^~ l)Vwt + r(r + p)sin*CQs%-
— г* (ro + P) sin % cos % + ^~- (r2 — rl) sin d0] =
-^[-3(^-l)Vi^^ + r(r+p)sin9 +
4- г (/- + /?) cos * sin ft0 — ro (ro + ;?)sin #o cos fl0 +
4-^^-sind0-(r=-r5)^sin^0J =
= ${-3(£-l)tfI?< +
+ r(r + /J)sinV-yA-f(r2-^)^r0 +
+-^[r(r+/J)(f-i)-r0(r0+p)(^-i)+^4];
или, окончательно,
+ r(r + p)sln<f-yr-!r(r*-r*)v„]. (Ю.401

частные производные от t при ф = const 247
Ю.5]
Перейдем теперь к определению производных (—^f •
^dt \ и (_—) . Для вычисления первой из них вое-
пользуемся зависимостями (5.16), (10.9) и преобразуем
выражение (10.15) для (J^ к виду
/JM _Jl/^iliL^i_sinф--cosф) + 2^- =
\дгои r20\\+ecos% ! г0
г2 е (sin fr0 sin ф — cos ft0 cos ф) — cos q> , r> _£_
^"rj l+*cosft0 r0
= — (*COSO+COS<p) + 2 — . (10.41)
~oP Го
Подставляя это равенство в третье выражение (10.27),
получаем:
\droly r0 VW \ г0р£
ф Ф \
— -— / г8 cos и du + —-- / г2 dtf .
о о /
Заменим входящие в правую часть этого равенства
интегралы их выражениями (10.26), (10.29), (10.37) и
(10.40). В результате получим:
~ /f I™' ('" + /')- Wo (Го + р)] +
'о U ^ р ~*~ р J
— 1±1™л,у±_ r„ty0 yrB rvr0 1 rovr0 \
Iх Uo/> ^ Го rp r 7^p--r rp )
" (1+-T-W
ra
7П

щ
248 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [1 л
Заметим теперь, что на основании равенства (5.2)
а р р Р /**
Таким образом, окончательно находим:
—- =а — — —-^Ч (vf — vr0)\ —
-7^(1+7)51пфЬ (Н
Для определения величины (-^—I воспользуемся
\ (Jl ГО ф
выражениями (10.28), (10.29) и (10.39), из которых
непосредственно следует, что
(10.43)|
Переходя к вычислению производной [-,—) , заме-,
\ ovuO;ф
тим, что согласно выражениям (10.15), (10.18) и (10.27)
/ dt \ = r0 f dt\ 2_у
где величина /2 определяется зависимостью (10.29).
Таким образом, пользуясь равенствами (10.40)
(10.42), находим:
/ dt
" dvu0
= Т?= Л I ~ 1 (Vr — Vro) И
ф У MP I '*5 fl L г0 г r0p J j
■-^(i+-)sin4--[-3>/^f--1l/+
'о I MP \ P/ J ^L \r0 /
■r(r+^)sin<p + |/"f-(r3 —^3^] =
. J!L ( iL i /Z -_ iL i/"Z ('_£ и _
и I ' r p ' г V p Uo /
—=■ —- (vr — vr0) —
) MP l r0 i- r0p J
"17= (ro - r0 ^o-— (l + -) sin <p-(l + -)sin Ф } =
r) up v ' M P / V Pi >

IQ.6J
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПО «о
249
-8А[з/й'-г(1-+-7-)(1+Т-)8,Пф-
г;л\
Wr
<Л70
ГГг,
V,
Р г
0vr0
■ Па I
YfpY"-' r P ■ P r /]
или, окончательно, учитывая равенство (5.11),
-т{(1+т)гл~(,+^)Ч}- (|0-441
10.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПО УГЛОВОЙ
КООРДИНАТЕ И0 НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКИ
При угловом смещении начальной точки D0 на
некоторую величину Д«0 вся орбита поворачивается в своей
плоскости вокруг притягивающего центра О на такой же
угол (рис. 10.3). При
этом отрезку D0D
невозмущенной орбиты
соответствует отрезок D()D
возмущенной
(повернутой) орбиты. Условию
Ф-= const на возмущенной
орбите удовлетворяет
точка D\, лежащая на
радиусе OD. Все
характеристики движения в этой
точке совпадают с
характеристиками движения в
некоторой точке D{ невоз-
мущенной орбиты.
Последняя отклонена от
первоначального положения
текущей точки D на
отрЛ ~~ ^U° ^знак <<—>> определяется тем, что угол Аи0
битьТЫпаеТСЯ В напРавлении» обратном повороту ор-
водн юда находим выражение для частной произ-
^ ои от произвольной характеристики движения р/ н
Рис. 10.3. Изменение текущих
характеристик движения при
смещении начальной точки на
величину Aw0.

250 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ {ГД^Г
текущей точке при ф== const:
(£)--£~f »4
du
dpt
где величины производных __ll y p. w и взяты для
невозмущенной орбиты.
Из уравнений (2.2) и зависимости (5.11) следует, ч-ад]
на невозмущенной орбите (при S = T = 0)
vr
(Ю.4И
004Я
Подставляя эти выражения в равенство (10.45} (mi
лагая в нем, что последовательно ft = r, t, vr, vu)> шщ
ходим:
(—) = ■■ rVr-
10.7. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ВЕЛИЧИН,
ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ ОТКЛОНЕНИЕ СПУТНИКА
В НАПРАВЛЕНИИ НОРМАЛИ
К НЕВОЗМУЩЕННОЙ ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ
Как было показано в § 9.6, возмущения в направл!
нии нормали к плоскости орбиты сводятся к поворс
этой плоскости вокруг некоторой оси, проходящей черс
притягивающий центр О. При этом боковое смещение й
текущей точки D определяется перемещением конИ|

10.7]
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ВЕЛИЧИН & tfg
251
яиуса-вектора г, соединяющего притягивающий центр
?f с рассматриваемой точкой D (рис. 10.4). Боковое воз-
ушение *) Д^ скорости равно соответствующему пере-
ещению конца^вектора скоростное текущей точке.
Обозначим через
А один из векторов г или V, а через
Рис. 10.4. Положение оси MN вращения плоскости
орбиты при боковом смещении начальной точки D0.
а —угол**) между этим вектором и осью MN вращения
плоскости орбиты. Тогда, при повороте плоскости
орбиты на некоторый малый угол t|?, конец вектора А
сместится на величину
A4 = i|:|i4|sina. (10.48)
Из § 9.6 следует, что при боковом смещении
начальной точки D0 на величину Д£ плоскость орбиты
поворачивается вокруг оси, параллельной направлению вектора
скорости в начальной точке, на угол, определяемый из
равенства (9.50):
г о cos e0
вектора
(10.49)
начальной скорости
гДе в0 —угол наклона
к местному горизонту.
«явно ЛОЖительное направление смещений Д£ и Аи£ перпендику-
к плоскости рисунка и соответствует направлению на читателя.
Ра А ппы?Т угол считае*гся положительным, если поворот векто-
■фоисходит по ходу часовой стрелки.

252 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ Нл^]
Как видно из рис. 10.4, в этом случае угол <хг между
осью MN вращения плоскости орбиты и
радиусом-вектором г текущей точки определяется из равенства
^==-7 —(бо + Ф)- (10.50)
Отсюда, пользуясь равенствами (10.48) и (10.49), на-
ходим выражение для бокового смещения текущей
точки:
кт _ г cos (00 + Ч) Av
^~ r0cosG0 **>'
Следовательно,
dl г cos (0О -4- <р) г / . , л v
= -^(cos<p —-^sincp). (10.51)
Преобразуем это выражение, пользуясь
зависимостями (4.19), (5.16), (10.9) и (10.16). В результате
получим, что
_<5
г-= —(cos ср——е sin 00sin9) =
= — (— cos ф — е sin ft0 sin <pj =
= — f(l + £ cos *o)cos Ф — ^ sin #0 sin ф] ==
= -у (cos ф -f- £ cos ft) = — (cos <p + ~ ■— 1J •
где
# = #0 + ф,
пли, окончательно,
-$-=1 — —(1—cos<p). (10.52):
Аналогичным образом определяется производная j
-гтг^. При этом вектор скорости v в текущей точке u**|
лесообразно представить в виде суммы его составляю-j

частные производные от величин С- *>£ 253.
шИх по направлениям г и и (см. рис. 10.4):
v = Vr-\.Vtr (10.53)
Тогда выражение (10.48) принимает вид:
Дг>; = ф (^г sin §tr -f- x;e sin aB), (10.54)
au — Угол между осью ММ вращения плоскости
орбиты и направлением вектора vlL.
Из рис. Ю.4 следует, что *)
а« = «г — *y = — (ео + ф).
Отсюда, пользуясь равенствами (10.49) и (10.50),
находим, что
dvt vr cos (ф + 00) — vu sin (ф + %) __
ItT "~ '*о cos e0 —
= — К (cos Ф—sin Ф {ё %) — vu (sin ф + cos ф tg 60)I =
г о
= ±[^(с08ф--^-8Шф)-Х»11(81пф+-Ц.С08ф)].
Преобразуем эту формулу, пользуясь зависимостями
(4.19), (5.11), (5.13), (5.16), (10.9) и (10.16). В
результате получим:
* ==~У 'yl6 S[n^[^os(p— — £Sinft0 sin ф) —
dv
— (1 + е cos О) (sin ф -f- — sin ft0 cos <p)l =
^-р у j \e sin Ь \~cos ф — е sin % sin ф) —
— (1 + е cos t)) (-£- sin ф + <? sin ft0 cos ф)1 =
^Р* V 7 ^ SindK1+^COS^0)COS9 — ^85пд051Пф] —
*ёктоо »*■ *МИНУС» пеРеД скобкой (60 + ф) объясняется тем, что
ки, т е u отклонен от направления MN против хода часовой стрел-
• в отрицательном направлении отсчета углов а.

254 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ
[Г*.«
/||(1
«= у У 7 К* + * cos *о) кsi" * cos ф - (1 +£ cos #) sin fpjj
— ^2sin^sind0sin9 — (1 ~\-еаоъЬ)е sin ^0 cos ф} =
^ — 7 К p" К! + e C0S ^(sin ф — e sin *o) +
+ e2 si n fr0 cos ft0 + £ sin ft0 cos ф] =
= — j у j [0 + 'ecosft0)sinф-г sin Ъ0+еcosф sinщД
= — — l/ — (sin ф + ^ sin* — £sinft0)
или, окончательно,
dv
<%
f = —fV^-^+K Tsin(p)'
(Ю.1
При боковом возмущении Ai^o начальной скорое
Плоскость орбиты поворачивается вокруг прямой D$
соединяющей начальную точку с притягивающим цевЦ
ром. Угол этого поворота находится по второй фори
ле (9.51):
н>=
Ai/
to
Av
;о
(10.Щ
Углы между осью D0O вращения плоскости орбиты и
ответственно векторами г (или vr) и z>u определяй
из равенств
аг = я — ф, аи = -
■ф.
Отсюда, пользуясь зависимостями (10.48) и (10.54),
ходим:
К
dv
51Пф =
£0
OVY
vr s\n^-\-vu cos ф
sin ф,
lu0
dv)
W
"uO
(10.5
Второе из этих равенств можно преобразовать, по
зуясь зависимостями (5.11), (5.13) и (10.9). В резул

СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
тате получаем: ^
1 / 1L [е sin ft sin ер + (L ~|- * cos 0) cos <p]
-»- = —p^
<H»
;o
^-^-(COScp-f £COS#0)
»ли, окончательно, учитывая равенство (10.16),
дги{)
- — 1
(1 — COSff).
(10.58)
108 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ТЕКУЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК
АО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ ДВИЖЕНИЯ
ири?^ const
Из зависимостей (10.8) следует возможность пред-
dr. t су, ty g, v£
ставления матрицы
производных в виде
Or, t, vr, v„, L с* I!
d/'0, «0. ty>, tW Co- V;0 |Г
dr0, % ty0. i»h3, Co. i>;0
частных
dr. t, vr vn
drQ, k0. iy0. 1»яо
0
0
(10.59)
где матрица
dr, t. vr vu
составлена из частных
производных, определяющих отклонения в плоскости ор
1' зч -. и
биты,
а матрица |
*. «t
| — из частных производных,
определяющих отклонения от плоскости орбиты.
этих ^'* и ^2 дана сводка значений коэффициентов
4irrmv!aT')HUt составленная на основании выражений
iioSl' Ж?>> (1а25>> <10-42)* <10-43ь <10:44>«
*1и^), (10.52), (10.55), (10.57) и (10.58),

256 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ |1V]. x
с*
ч^
I
+
9-
с
е к
v.
X
X
со
«А
+
-ZL- X
- +
со
«i*
+ I
' см
х 4-
+
I
I
Ч а.
с
+
ч*.
+
IS:
о
+
Ч1-
^ ^
^
^
о
с*.
•Пч
;?а
'*
-J

юд
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 257
к/
к/
1
1-
-и-
/«0
- — (1 — COS ф)
-»Г0+]/ ^8Шф)
Таблица 10.2
/<Чо
-~^5Шф
1 — -^ (1 — COS ф)
р
Приведенные формулы пригодны для круговых,
эллиптических и гиперболических орбит. Для
параболических орбит формулы, определяющие производные НеН »
\ *" 0 /ф
(l—) и ("а—) ' обращаются в неопределенность,
которая должна быть дополнительно раскрыта.
10.9. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
ОТ ТЕКУЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ ДВИЖЕНИЯ ПРИ ? = COnSt
И ФИКСИРОВАННОМ УГЛОВОМ ПОЛОЖЕНИИ
НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКИ
При решении ряда задач оказывается
целесообразным определять начальную точку D0 не как точку,
соответствующую некоторому постоянному времени / = /о, а
как точку с фиксированным угловым расстоянием w = w0
°т начала отсчета углов. В этом случае время U прихода
в эту точку следует рассматривать как начальное
условие движения, т. е. следует от принятой в § 10.2 системы
начальных условий г0, м0, tVo, i>«o, Co, 0;o перейти к си-
СТеме г°' 'о, и*, vu0, £0, vl0. При этом матрица 1 ^ ?," (.
опое °
менитеЛЯКиЦаЯ отклонения от плоскости орбиты, не из-
клонен* ° касается матрицы, характеризующей от-
ия, лежащие в плоскости орбиты, то, пользуясь
1? п »

258 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [Гл
зависимостью (10.5), можно написать:
дг, t, vr, vu II Н дг, t, vr va
dr0, t0, vr0, vu0 ||ф 1 dr0, u0, vr0, vu0
dfo> Up» ty» vMl
dr0, t0, vr0, v^l*
С другой стороны, из равенств (10.46) следует, что
дг0, и0. vr0. vua
дг0. t0, vr0. vM
| 1
10
о
0
— vr0
tL/JL_
vrovuo
Го
')
0
0
1
0
0
0
0
1
Подставляя это выражение в предыдущую
зависимость, находим, что при рассматриваемом
преобразовании изменяется лишь второй столбец матрицы частных
производных. Коэффициенты этого столбца могут быт»
определены по формулам вида
-4(^-1
дрь
dvt
>о
+
Уч /' dPt
го {
dv,
ид
, Pi=r, /, Vn V
Однако рассматриваемые частные производные зм»;
чительно проще найти, пользуясь тем, что при изменения^
времени /0 форма орбиты не изменяется. Тогда
(lit) =0 при Pi==r' v" v»
®,el "РИ Pi==L
Таким образом, коэффициенты матрицы
дг, t, vr, va
(10.6$ j
drQ, tQ, vr
:'1
могут быть найдены из табл. 10.1 при замене второго^
столбца этой таблицы величинами из выражений (10.60/*^

частные производные по начальным условиям 259
t«m ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
лт-ТЕКУЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК
по НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ ДВИЖЕНИЯ ПРИ * = COIlSt
Примем в качестве характеристик движения в теку-
шей точке орбиты систему величин г, ы, оГ| vu, £ i>; и
определим матрицу частных производных от этих
величин по начальным условиям г0| и0, Vro, vu0t £©, u;o при
/-=const. Аналогично выражению (10.59) эта матрица
может быть представлена в виде
1т^
<?Г. U, Уг. Уд> С. Vg [I _
dr0. а0. 170- vu0, Со» «ty IL '
dr, и, t/r, рц
dr0. w0. vre, ги0
0
0
<%o» vj
to
Таким образом, задача сводится к вычислению коэф-
дг, и, vr, va
фициентов матрицы II "'' "" \? v" \\ . Для этого вое*
II ог0, и0, уп, уи0 ||/
пользуемся зависимостями (10.6), согласно которым
Пользуясь выражениями (10.46), (10.47), (10.61) и тем,
что в соответствии с равенством (10.7)1-^--] = 0, найдем:
1\ *у/ф
_ дг. ц, уп уп II
йг* щ. vrQ, уи0 i
дг
.. -*№-)(^r)J-*«-')(^)J
(10.62)
17»

260 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [ГЛ. »
Если от системы начальных условий г0, ы0, or0, »
Со, vi0 перейти к системе r0, /0, fro, vu0t £о, у;0, то в рас,
сматриваемои матрице частных производных изменится
лишь второй столбец (см. предыдущий параграф). ц3
выражений (10.46), (10.60) и (10.61) следует, что коэф.
фициенты этого столбца определяются по формулам
/ дг \ (Л±.\ Hjl
I for\ !L f'iL — \\ (dv" \ — VrV"
\<>to)i~ r* \r V' \ dtt)t— r •
(10.62a)
Пользуясь равенствами (10.62), (10.62a) и табл. 10.1,
можно всегда определить численные значения коэффи<
циентов матриц
дг, и. vr vn
дг, и, v
дг0
г, и, vn уа |
» t0, у^ ytt9 |,*
дг0, и0, уг0, уи0 . _ ___ ..
.Однако в некоторых случаях возникает необходимость
в отыскании по возможности упрощенных буквенных
выражений для этих коэффициентов.
Для определения производной (-др-) воспользуемся
зависимостями (10.19), (10.42) и (10.62), согласно ко*
торым
Г ГцР J ГоУрр \ р] )
Преобразуем это выражение, пользуясь
зависимостями (4.19), (5.2), (5.11), (5.13) и (10.16). В результату
получим:
i*L\=-a[*£t+ «&Л + JL /Л f F, (Ю.63)
где
F = (1 — е2) (2 + е cos ft — cosф) + (1 + e cos ft) e2 sin" ft + ■
-f e2 sin2 ft — e2 sin ft sin ft0 + (2 + г cos ft) £ sin ft sin <fv
Заметим теперь, что согласно равенству (10.9)
sinftsinfto = cos<p--cosftcosft0, \ /in 64)1
sin ft sinq> = cosft0 —cosftcosq>. j

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 261
Отсюда
р ^ 2 4- e cos ft — cos ф — 2е2 — еъ cos ft + ё1 cos ф +
, 2е2 siп2 ft -г <?3 cos * siп2 0- — ^2 COs ф -|- ^2 cos О cos ft0 +
, 2^ cos #o — 2г cos 0 cos ф + e1 cos О cos ft0 —
_ e* cos2 ft cos ф=2 (1+e cos ft+<? cos ft0+£2 cos ft cos ft0)—
— cos ф (1 + * cos O)2 — г cos ft — 2e2 cos2 ft — ег cos3 ft =
===2(l + ^cosft)(l+^cosft0) —
^(cosф+^cosft)(l+^cosft)2 = ^(2^+l-f-cosф).
Подставляя эту зависимость в равенство (10.63),
находим окончательно выражение:
\dr0lt L r0 r0 \ rQ r 1 \i У
(10.65)
' Аналогично вычисляются производные (-4—) и
\Sv\ ' Пользуясь зависимостью (10.43), находим:
(-*-) =
\<ton)t
- -г. si« *-v K'-r (1+i) «»*+*■.--£ [f. - ')]=
где
^ = (l—^2) sin ф-+-(24- £cosft)£sinfta^4-£2cosft0sinft =
= (1 — e2) sin ф+ e (2-f £ cos ft)(cos ft sin Ф+ sin ft0) +
-+- e2 (sin ф + cos ft sin ft0) = sin ф (1 + e cos ft)2 +
+ 2£sinft0(l+£COsft) = ^(s^+2 |/£-~r)-
Отсюда
(^г), = « t—^' + f (/?*-'„«,)+ /f йп'ф].
(10.66)

262 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ !Гл. Х !
■I
Учитывая равенство (10.44), можно написать, что
(£).-£['+7-(7+*)-Н-
-^{з»^-г(1+7)(ц-^)йпф-
-7y[(1+7)'*-(I+t)'-]}-
где
F-[f +1_(14--^)со5ф](1-^)Ч-
+ (t+1)("S"+ l)esin*sin45+(T+ l)«2s»n2^-
— (-£-+l)e2sinftsintf0 =
= [-f+l-(l+-^-)cos9](l-e»)4-
H-(t-+i)(-^-+ l)*(cosd0 — cosflcosq>)4-
+ (f+lV2(1— cos2ft)-(£+l)*2(cos<p-cosftcosu0) =
= (f + i)(l-e2)+(-f + l)(-^-+ l)ecosfl0+
+ (—+ l) e2(\ — cos2fl)+ (-S-+ lb2 cos О cos *0 —
-cosT[(l4-^-)(l-^)+(f+l)(-^+l)^cos0 +
+(t+1)e,]:^+1+(f+,)(i-1)-
-(f-')(*-)+(£-'Hf-')-

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 263
Подставляя это выражение в равенство (10.67),
находим окончательно, что
+2-£—Нт-1)]- <КШ)
Пользуясь равенствами (4.19), (5.2), (5.11), (5.13),
(10.9), (10.25), (10.42) и (10.62), получаем:
==a(__|V(^_i)^+T/"jLi!lliL(i_e2) +
I rlr% \r 1 V p Pr0
+ "SF^2(sin*o cos * — cos ft0 sin *) +
+±te~uM-£<*-^](£-i)}-
+^Mf-i)-^(i-i)]+
_4_f___ JVo._l.JV __ro.W__.__ Л!

264 ПАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯ [Гл,
•1
или, окончательно, |
(тЧ=4--1м^-1)<+-^пФ+ |
\ drQ lt L Гг-0 \ r ! rr0 I
rl rg rl\rQ г /J |
i
Аналогично, пользуясь выражением (10.43), находвд!
что -;|g
fe),=C0S»-^(T-1)[3l'»'-4,+7-)C0S''+!
+2г«-Я£-1)ННН^-')'+
COS(p + -£r(l —JpjcOSy —
1-е1
4- sin Ф si n Ф0) — -|£- (-£- — 1J + — cos » cos -Щ
Отсюда
+ fcosv-^f(i-l)--b^]. (10.7
Учитывая зависимость (10.44), получаем:
te).-(,+-?)-»»-S-(f-,)x
T%[('+7)^-(1+f)H}=
^И1+7)('+т)(т-')5,"гЦ
3t;tt
rr0

тгтНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 2(55
+^[(,+7)r-'-(1+^)''-](f-1)}-
=«{-^(^-,)'+[7+^(1-F.)]('+r7)s'"^!.
(10.71)
где
F== _ JL (l + —) (sin О cos % — sin % cos b) ■+•
+ ^'[(l4)*-(1+7)^](f-1)-
-F=r[-(,+7)(i-,)-+(1+T)(f-1)-+
+ ^('+7)(-f-')*-('+Tf-)(^-')4-
Подставляя это выражение в зависимость (10.71),
находим, что
(&),-Я-4Мт-')<+ _
+ -f(«+-a)-n, + .,/i(A-i.)]. 00.72)
Аналогичным образом определяются остальные
коэффициенты матрицы ( /п Ut VrfVa ) .
Полученные окончательные значения коэффициентов
рассматриваемой матрицы помещены в табл. 10.3.
В заключение заметим, что при приближении к
круговым орбитам помещенные в табл. 10.2 и 10.3 частные
производные непрерывно переходят в соответствующие
величины, определяемые из равенств (2.17) и (2.18).
'Цля этого достаточно положить в табл. 10.2 и 10.3, что
(10.73)
а
Ф
-> р->г
->
г* '
->
Го*
Vu
vr
-**>«<>
->VrQ
-\гу
->0.
->w.

266
ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [ГЛ. х
го
с>
ее
Cf
S
ч
ю
«о
н
со I
+
8-
+
Ч*.
I
ч-
+
+
+
V.
5>
о
V.
СО
C4|SL -f
+
*>
К
+
Ч i?
+
sh?
«Mw
+
4
со
8>
+
©■
с
+
+
Ч*
+
с»
+
о ^—n!
+ 4£
J +
со I
Я4-
еч
X
M a.
+
+
& ft?
CO
+ i.
•* SI
1 +
X __

10.Ю1
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 267
*.К
в •-
+
с
"55
+
+
I
&• г-
8 £,
чс
|а.1а.
+
*.к *-к
5>
со
+
i
+
в-
As
+
ч_5
+
+
о
+
w-|«».
+
+
w С. -
+
»к
"**
°|
4W
СО 1
-1
£
П
ч*.
1
eh
cj
+
X
^А
С
ч I
+ + оТ
к| <Э
;?*•
X
3
'О

268 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ {!;],
10.11. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
ОТ ТЕКУЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ ДВИЖЕНИЯ
В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ (ПРИ* = CO!tSt)
При решении ряда практических задач возникает
необходимость в переходе от использованной выше
цилиндрической системы координат к какой-либо
прямоугольной системе. Заметим, что достаточно осуществить
такой переход к какой-
либо одной
прямоугольной системе, так
как дальнейший
переход к какой-либо
другой невращающейся
прямоугольной системе
координат всегда
можно осуществить при
У о помощи равенства
(10.5) и соотношения
дх, //, z, vx, vyt vz
— \А °
0 А
(10.74)
Рис. 10.5. Текущие характеристики и
начальные условия движения в
прямоугольных системах координат,
связанных с положением спутника на
орбите.
где xyz и £п£ —
некоторые две
прямоугольные системы
координат; vXl vv, vz и v\, *V
vi — соответствующие
составляющие вектора скорости; А — матрица
направляющих косинусов, связывающих обе системы координат.
Заметим, что при переходе к прямоугольным
координатам системы, используемые при определении текущих
характеристик и начальных условий движения, могут
быть различными. В дальнейшем, в случае
необходимости, переход к единой системе можно всегда
осуществить при помощи выражений (10.5) и (10.74).
В настоящем параграфе для определения начальных
условий и текущих характеристик движения мы будем

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 269
зоваться прямоугольными правыми системами
координат роЛоСо и рл£ (рис. 10.5). Начала этих систем
помешены соответственно в невозмущенных положениях
начальной и текущей точек D0 и D{. Оси D0p0 и йф
направлены по радиусам, соединяющим притягивающий
центр О с точками Д> и Du оси D0n0 и Di/i лежат в
плоскости орбиты и направлены по движению
рассматриваемого объекта, оси Д>£о и "tS параллельны нормали
к плоскости орбиты.
Заметим, что при таком выборе систем координат
оси А&> и D& параллельны оси 0£ использованной выше
цилиндрической систем координат гы£. Отсюда следует,
|| дг. и. vr vu. t vt
что при переходе от матрицы »—--- >*-
матрице
др. п. vQ, ty £, t;;
сохраняется
независимо- "о- V V С* *с
мость вариаций, определяющих отклонения в плоскости
орбиты, от вариаций, определяющих отклонения от
плоскости орбиты. Иначе говоря, аналогично выражению
(10.59), можно написать, что
Ф- *- «у <У С ^ Ц
*><>•% V V Co- ^ jj/
др0. л0. trftl v^ (j,
о
О
#. <'«•
1^ <>ь
(10.75)
не изменяется и ее
При этом матрица » -л*—-—
коэффициенты определяются табл. 10.2.
Таким образом, задача сводится к вычислению
коэффициентов матрицы , Р' "' ^f V" В , для определения
к „ II ^0» Л0» V «Ч О/
литорои можно воспользоваться зависимостью,
аналогичной равенству (10.5):
f и \
дг, и, vr vu В Н аго. «Q. v# vt
^u0
"Г0' «О- VfO\ Vu0 У Фо' % V *Ч Г
(10J6)

270
ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
iIJJ- ц
(10.77)
Для вычисления матриц преобразования координат,
входящих в правую часть равенства (10.76), найдем
зависимость между характеристиками движения р, щ
vp, vn и г, ut vn vu в текущей точке. Пользуясь рис. 10.5,'
можно написать:
р = г cos (и — их) — гх,
n~rs\n(u — их),
vp = vr cos (и — их) — vu sin (и — их),
Vn = 1>г sin (и — ux) + vu cos (u — ux),
где ru Ui — полярные координаты невозмущенной
текущей точки £>ь
Отсюда
$r = cos(u — ux),
dp _ dp _п
ал
дл дя
^ = sin (« — их),
= 0,
— = — rsin(a —«О,
^/1 , V
■35- = г cos (я — иД
<fon , dv
■^=COS(«-Wl), ^ =
dv« rv dvn ж, ч . /
-зг- = 0, -^ = vrQos(a — ul) — vttsm(u
dr
dvn . , ч
-gjf = sin (« — «!>,
г>, sin (u—ux) — ^tt cos (и—ux),
s\n(u — ux),
»i).
3i£.= cos («-«,).
(10.78)
Из зависимостей (10.77) и (10.78) следует, что в не"
возмущенной текущей точке (при r = rit и = и^
р = п — 0,
др. п. vp, vtt
дг. и, vr, vn
Vp=Vr, V„ = V„,
1 0 0 0
0 г 0 0
1 0
0 1
0 -v„
0 v.
(10.79)
(10.80)
L

19.Ш
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 271
чин:
Пользуясь равенством (10.80), можно написать за-
симости между вариациями рассматриваемых вели-
Др = Дг,
Д# = г Ди,
Avp = — vu tS.n + &vr,
bvn = vr Ди + Ат*в,
откуда
Дг = Др,
Д и = у Дя,
Д^г = Дг;р+-^гДл,
Следовательно,
dr. a. vr. vu
ф, п, v9, vn
о
г
о о
о о
D —^
1
0
(10.81)
Ф<у *v <W *Ч
дг0. и0, vr0, vu0
Аналогично определяются матрицы
u II dr0. U0, Vr0. VuQ II _-
"dp, п v v г Подставляя полученные выражения
в равенство (10.76) и отбрасывая для простоты индекс
«Ь в обозначениях производных, находим:
l^o-n0, tWvno J -
1
0
0
0
0 0 0
г 0 0
-vu 1 0
vf 0 1
дг
дго
да
дго
\ dvf
i^7
*>ш
I дго
дг
дио
да
*"*
dvf
<*о
*>а
Оио
дг
*>п
ди
*>го
dvr
<*Vo
*>и
*7о
дг ||
dvuo
ди !
0*110
*У
^АО
*»*
^«о 1
II *
0
1 °
1 °
0
1
го
vut>
о
vro
го
0 0 |
0 0
1 0
0 1
1

272
ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
1V1, *'
дг
д'о
ди
ди dvr
ди dvu
дг
VII
ди dv
ди dva
^•^7 + ^77
X
| 1
0
0
0 -
"vu
vr
0
1
zuo
ro
д
r
avro
ди
Г 0vro
du dv
da
dvro
0 0
0 0
1 0
0 1
, d"u
*7.
dr
*«•"
da
du dv
ди дъц
[-
dr
du
a«
Г ди
Oro\
1 / dr , Дг Дг Л
r f du du Ou \
[i>u 1 ди ди г а« г <?«
b
du
ro dv
и
4wa ov.
&)]
da
^ 1 . J?!».]
aO c;
(10.82)
Подставляя в полученные выражения значения
соответствующих производных, помещенных в табл. Ю.З,
получаем таблицу коэффициентов матрицы
др. п, v, v II
~- " При этом предварительно упростим
I дРо> "о- V vnc

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 273
оажения для некоторых из отыскиваемых
производных В частности,
(&),-*[(£).+-(£r).-"b£)J-
Го L ^ }*
+ /f«--f+/|!=?'+«-/f(^+l)co.f-
Отсюда, пользуясь зависимостями (4.19), (5.2),
(5.11), (5.13) и (10.9), получаем:
(vWl/T[-2*' + *-'sin*+"<»(7+1)cos','+
+ (-~)2 sin ф + е sin ft0 И + -pj cos ф + г sin ft0 (■£ — 1 ]] =
= ~ [— 2^ sin * (1 -f * cos %) -f (1 + £ cos *0)2 sin ф -f
-f £ sin Ф0 (2 + e cos ft0) cos ф -f- e2 sin ft0 cos Щ =
= ~p Isin Ф~r £(— 2 sin Ф + 2 cos #0 sin ф + 2 sin ft0 cos ф) +
+ e2 (—2 sin ft cos fr0 + cos2 ft0 sin ф +
-f- sin % cos % cos ф -f- sin % cos ft)j =
. a . .
— J (S^-f-£2[ — 2 (Sin фС08 004"С08ф81п#о)С08*0 +
-f cos2 % sin ф -f- sin % cos ft0 cos ф +
-f-sinfr0(a^cosfr0 — sin ф sin ft0)l) =
7 |sin ф + ^(- sin фcos2 »0 — sin ф sin2 %)\ =
= —(1 — 6f2) sin ф = sin ф. (10.83)

274 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [ТП.Щ
Аналогично, |
я
( дп\ г К ди\ . ( ди \ ( ди \ 1 _ 1
-^[(|+7)'"'-(1+;)ЧЬ
-ssln»„[(n-i)-u<!Sin»-(l+u)iesin»(,]} = :
+Ш'Й-1)-(7+')(^+1)"1"*«81"'-
— ff + l)<?2 sin ft sin ^ + (7; + l)^sin2#0] = J
= -P-[(l-*2)(l+*cos<>0)-f
4 (14-2<?costt04-*2cos2d0)(74- l)cos<p — J
— 2(l+ecosd)2(l + ^cos^0) + (l + ^cosd0)2gcos*o— I
— (2 + e cos ft) (2 + e cos ft0) г sin b0 sin Ф —
— (-4- lW2(cosdcosd0+sindsin^0)+ 1
+ (7+ l)^cosdcos^e+(2 + ecosd0)e2sin2^o]== 1
= rf [(1 - *2) (■£ + l) cos ф + (1 - *2) (1 + <> cos O0).4-
4- (2г cos % 4- e2 cos2 fl0) (2 + e cos ft) cos q> —
— 2 (1 -f 2e cos ft 4- e2 cos2 ft) (1 4- e cos ft0) 4-

частные производные по начальным условиям *275
(1 + 2е cos d0 + е2 cos2 d0) e cos d0 —
(4+2e cos d + 2г cos d0 + £2 cos d cos d0) г sin d0 sin ф+
7(2+^cosd)^cosdcosd0 +
4-(24-£COsd0)£2sin2d0] = (l4-^)o^4-
. £t r_ 14- e (cos d0 4- 4 cos d0 cos ф — 2 cos d0—4 cos d 4-
4-cosdo —4sindoSinф)4-^(—14-2cos2d0cosф4-
4- 2 cos d cos d0 cos ф — 2 cos2 d — 4 cos d cos d0 +
4- 2 cos2 d0 — 2 cos d sin d0 sin ф — 2 cos d0 sin d0 sin ф4-
4- 2 cos d cos d0 4- 2 sin2 d0) 4- e* (—cos d0 4-
4- cos2 d0 cos d cos ф — 2 с os2 d cos d0 4- cos3 d0 4-
4- cos d cos d0 sin d0 sin ф 4- cos2 d cos d0 4- cos d0 sin2 d0)\ =
-(l4-^)cos9 + -^{~l+4^[cos(9+d0)-cosd]4-
+ e2 [-14- 2 cos d0 cos (ф + d0)4- 2 cos d cos (q>4- d0) —
— 2cos2d — 2cosdcosd04-2cos2d04-2sin2d0]4-
+ ez [— cos d0 + cos d cos d0 cos (ф 4- d0) —
— cos2 d cos d04- cos3 d04- cos d0 sin2 d0]} =
в(1+7)со8Ф-^(1-^ = (1+7)со8ф-^. (10.84)
где
-i¥a+^(f-i)'-^(1+7)8i^-
^(f-0-^(«+^)-.,-aap./f]-
18»

276 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК II НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [ГЛ, %
-*да°»'-2*(М-«л,*«(*+|)й''»-
— ^8тд81П^0]==~-^-|(1+2^СО8*0+^2СО82д0)сО5ф_
— 2 (1 + е cos ft0) e cos ft — (2 -f- £ cos ft0) г sin ft0 sin <p —.
— £2sinftsinft0|^
= — -y- [cos y + 2e (cos ft0 cos ф — cos ft — sin ft0 sin q>)-f-
4- ^2 (cos2 ft0 cos ф — 2 cos ft cos ft0 —
— cos ft0 sin ft0 sin ф — sin ft sin ft0)| == — — {cos ф -{-
4- & |cos ft0 cos (ф4- ft0) — 2 cos ft cos ft0 — sin ft sin ft0|[ ==
Подставляя полученное выражение в зависимость
(10.85) и используя равенство (10.84)» находим, что
(^-Ьт^-^^^^^О-созф). (10.86)
Для вычисления производной {'тгЧ воспользуемся
равенством (10.62), согласно которому
/ dvu \ _ / дуи \ . vrvu I 'dt \ / ди \ _ уи / й \ |
/ tog \ _ I дуа \ , yrva I dt \ / ди \ _ vut_{ dt \ ^ j
(10.87)
Следовательно,
(10.88)

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 277
Отсюда, учитывая равенство \^f\ =0, находим:
=*Ы£)+-(t&).-M&)J-
Подставляя сюда значения соответствующих
производных из табл. 10.1 и 10.3, получаем:
(&)г^{г,'-^ф+г''»[-7-(,+^)С0Яф]Н
= j{i\ - \fj sin9 + i)r0 + }/ry [e2costt0sintf-
—(2<? cos u0-|-^-cos2 ^0) sin ф—e sin ^0 (2-f-^ cos ^0) cos q 11 =
= ^{^~]/'^ sin q>+«и,+ ]/"■£ [-2^sin(^0 + 9) +
-j- г2 sin ft cos ft0 — £2 cos d0 sin (%-+- q>) J j =
= -~(vr-vrn + \/~^ simp). (10.89)
Аналогично определяем производные (-j^-) . (j-^)

278 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [ГдТИ
3|i
-га
Vr — Vr
rra
— sinq) +
r0P
r2 rl)'
= a
^0 It
H
-^(f-O'+W-TKr-1)--2?*]
/ dt/p \ / aw \ / dvr \
\ dvn0 )t —~vu \ dvu0 jf ~* V dvu0 )t ~~
-{^'-^(t+7)('+?)-*-
+^(,+i)d„f+u./i(i_i)}^
+ (1+а)^+л(л_л)]}

ЮЛ)
ю
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 279
СО
I*. *
+
е-
от
О
и
vi
I
+
+
СО
+
о
+
С
+
С
+
*
+
+
е-
с
»'Г Ч1^
Ч *.
l«».|st
+
- С Ч
+
+ -it
+
+
+
СО
, , w|4 Ч*-
V
+
4V
4*.
I
©•
w|ft.
+
+
+
1*. 1=5-
+
+
9-
c
4*.
+
+ +

280
i
ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ (I л. *
9-
+
I
*вк
со I **
а и,
S> [v.
со
+
£11
v. к.
+
©•
+
I
+
х ?
1=4*. 8
^
X
+
_=, 1С4* О
4t
^
-к
+
q*.
в-
с
+
I
а.
*>^
Э»
lil*.

!2] СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ПО ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОРБИТАМ 281
При вычислении производных (-j~) (<7y = P<r ^p0' ^0)
воспользуемся зависимостями (10.88) и аналогичным
равенством
(£),-(£■).-*(£),- <,м»>
Подставляя эти выражения в последнюю строку
правой части зависимости (10.82), находим, что
(dvn\ ^(dvn\ I dvn \ _ [ dvu \ ( dvn\ _ ( dva \
уз^1~\дго)щ9 l\rl^V l^J/~l^oV
(10.94)
Отсюда следует, что для вычисления рассматриваемых
производных можно воспользоваться последней строкой
табл. 10.1.
Заменяя в полученных таким образом выражениях
|др, Пг у0. t» |
-^—п v v |
величины vT и vu величинами vp и vn [в соответствии с
равенствами (10.79)], находим для этих коэффициентов
окончательные выражения, сведенные в табл. 10.4.
Заметим, что приведенные выражения для указанных
коэффициентов могут быть получены непосредственно по
методу, предложенному В. И. Чарным [31].
10.12. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
ПРИМЕНИТЕЛЬНО К СЛУЧАЮ ДВИЖЕНИЯ
ПО ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОРБИТАМ
Как видно из табл. 10.1—10.4, в случае полета по
эллиптической орбите любая из рассмотренных частных
производных от текущих характеристик по начальным
Условиям движения может быть, вообще говоря,
представлена в виде

ж
282 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [ГЛ. х
(Ъ)ш
\ogjl
где [-д^-] —вековой член, возрастающий с
увеличением времени полета / по линейному
закону,
.пер
— периодический член, изменяющийся с
периодом, равным периоду обращения Р
рассматриваемого объекта,
(дрЛСУАет_
смешанный член, представляющий собой
произведение некоторой периодической
функции на время полета /.
Как было показано в гл. II на примере круговых
орбит, вековые возмущающие члены значительно
эффективнее периодических и, в отличие от последних,
приводят с течением времени к значительным
смещениям спутника даже при очень малых начальных
возмущениях (см. табл. 2.1). Аналогичным свойством могут
обладать и смешанные возмущающие члены.
II д$>> vt II
Из таблицы 10.2 видно, что матрица ^ я I
coll ^ X I
стоит целиком из периодических членов. Определяемые
этой матрицей периодические отклонения от плоскости
орбиты были достаточно подробно
проанализированы в § 6 предыдущей главы. Поэтому мы здесь
Н дг, t, vr, vn
ограничимся рассмотрением матриц -и ——
г г г г || 0Го| UQt VrQt VaQ
'Ф
дг, t, vr va
dr0, t0, vr0, vu0
дг, и, vr, vtt
dr0, u0, vr0, v
wo
dp. n, v0, vl
P* "n_
*P<r Ч %y %
определяющих отклонения, лежащие в плоскости
орбиты. Как видно из табл. 10.1, 10.3, 10.4 и выражений
(10.60), коэффициенты этих матриц содержат вековые
и смешанные члены. При этом наиболее простой вид
дг, t, vr, vu
имеют матрицы -* -——
г дг0, и0, vr0, vu
дг, t Vr Vg_
которые не содержат смешанных членов, а вековые
{ dt \ ( dt \
члены имеют лишь в производных l-g—I . llH^o/t

СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ПО ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОРБИТАМ 283
/#Л , Указанное обстоятельство является след-
твием того, что при малых вариациях начальных
условий движения первоначальная орбита 2 переходит
в близкую к ней возмущенную орбиту 2' (рис. 10.6).
Поэтому в случае, когда
невозмущенная и
возмущенная точки Di и D\
лежат на одном радиусе,
проходящем через
притягивающий центр О (что
соответствует условию
Ф = const), вариации
большинства
характеристик движения в текущей
точке остаются малыми и
изменяются по
периодическим законам. Однако
вследствие возмущения
периода обращения
время прихода в
возмущенную текущую точку D\
получает вековую
нарастающую вариацию. При
этом расстояние между
возмущенной текущей точкой D\, соответствующей
условию ф = const, и возмущенной текущей точкой Di,
соответствующей условию / = const, непрерывно возрастает.
Это в свою очередь приводит к тому, что большинство
вариаций характеристик движения в точке D\ имеет
вековые и смешанные составляющие. Следует иметь
в виду, что большая часть смешанных возмущений,
получаемых при условии / = const, имеет фактически дол-
гопериодический характер. Действительно, из
сказанного выше^ следует, что угол (Ди)* между радиусами
• i и OD\ монотонно возрастает с течением времени.
лоеДЗ °Н становится равным 2лл (п — произвольное це-
ж число)> вариации большинства характеристик дви-
НЬ| Ия ПРИ * = const вновь становятся малыми и рав-
ми соответствующим вариациям при ф = const,
Рис. 10.6. Зависимость между
вариациями текущих
характеристик движения при фиксированном
времени и фиксированном
расстоянии от начальной точки.

284 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
ir^. 7]
Исключение составляет лишь вариация (Дн)ь которая^
имеет чисто вековую, монотонно возрастающую
составляющую.
Таким образом, при сколь угодно малых начальных
возмущениях по истечении достаточного промежутка
времени расстояние между точками Dt и D\ перестает
быть малым. При этом теряют силу линейные
соотношения (10.1) между возмущениями текущих
характеристик и начальных условий движения. Иначе говоря, для
эллиптической орбиты зависимостями (10.1) при s = f
можно пользоваться лишь в некотором ограниченном
интервале времени. В случае, когда s = q>, это ограпиче*
ние по времени снимается, так как при малых
начальных возмущениях точки Dt и D\ всегда близки. Что
касается возмущения (Д/)Ф времени прихода в текущую
точку, то при его определении путем варьирования
зависимости (10.26) всегда сохраняется условие малости
вариаций величин, входящих в подинтегральное
выражение. Поэтому, хотя само возмущение (Д/)<р
неограниченно возрастает, относительная ошибка его
определения по линейным формулам остается малой при
достаточно малых начальных возмущениях.
Из изложенного следует, что для анализа влияния
малых начальных возмущений на дальнейшее движение
g, II дг, t, vr vn !| || дг, t vr, vp !j
объекта матрицы -; —— и К—; —jr~i
1 il 0r0, u0, vr0, vtl0 |(ф || dr0, t0, vrQ, via (|ф
II дг, и, vr v || II r)p, п.
удобнее матриц ——
vriT c«0
Кроме того, как это видно из табл. 10.1, 10.3, 10.4 и
зависимостей (10.60), выражения для большинства
коэффициентов первых матриц оказываются более простыми.
Что касается матриц, соответствующих условию f =
= const, то ими следует пользоваться при определении
отклонений величин, строго привязанных к
определенному времени (например, при обработке и анализе
результатов орбитальных измерений).
Во многих случаях при анализе влияния начальных
возмущений на движение по эллиптической орбите
ограничиваются рассмотрением только вековых членов,
которые (особенно для многовитковых орбит) являются

f#.I2]
СЛУЧАЯ ДВИЖЕНИЯ ПО ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОРБИТАМ 285
оеделяющими. При этом удобнее от принятой выше
°истемы начальных условий г0, ы0, *>><>» *>«о перейти к си-
еме г0, "о, я» 6<ь гАе я и Во — соответственно большая
стось'орбиты и угол наклона вектора начальной
скорости к местному горизонту, определяемые по формулам
л== -/J—TT.tge0 = ^i -i<60<f. (10.96)
Пользуясь зависимостью (10.5), найдем выражение
для соответствующей матрицы частных производных:
i
дГ, t. Vг Уд | _
дг0. и0. а. 60 !!ф
dr, t. yr, уи
дг0, uQ. vrQt vu0
дг0. iif yr0> vu0 j
дг<)> а0. a. 90
(10.97)
dr0> uQ. vr0. vuq |
uQt a. 90
Для вычисления коэффициентов матрицы8 r£ l
воспользуемся зависимостями
v\ = -^ — -. v,0 = г>0 sin 90, va0 = i>0 cos 80,
где ^0 = У ^+ ^ц0 — модуль вектора
рости.
Отсюда
дЩ И ду0 \i
дго vorl ' &* 2и0а2
_^>о _ v,e di/r„
<Ч tf0 ' дд0 ~v^
Следовательно,
**Zl±^- dvro ду0 щ/г0 '
tof0 _ _.
d% — T"0'
-22ё$. — toa0 dy0 nva0
*• to0 ar0 vy
dv0 dv0
ди0 дд0
dVaQ VgQ
dv0 v0
dvro dvr0
da dvQ
toro _ л
dvgo tou0
da dv0
начальной с
= 0,
toaf>
' д<д0
dvQ
да
dv0
да
V
2ifc2*
Woo
Г0-

286 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ {ГЛ,
Таким образом,
i| dr0, u0, vr0, vu0 Ц
jj дг0, и0, а, 90
1
О
О
1
о
о
о
2v20a2
2vy
О
о
v
иО
(10.98)1
v
гО
Подставляя эту матрицу в правую часть равенства
(10.97) и пользуясь табл. 10.1, находим, что вековые
члены исчезают во всех коэффициентах матрицы
-4—-— Qg0 , за исключением производной
ог0, и0, а. и0 цф
Вековая составляющая этой производной определяется
по формуле
{dt\BeK 3 /
мсирицы
[daL —2 а
(10.99)
Если вместо большой полуоси а в качестве
независимого начального условия взять период обращения Р,
определяемый по формуле (5.36), то из выражения
(10.99) следует, что
fdt y*K /д*у»ек да
^я/ф
Р
(10.100)
10.13. ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ОТ ТЕКУЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ ДВИЖЕНИЯ
При решении ряда задач возникает необходимость
в определении вариаций Aqj начальных условий по
заданным малым отклонениям (Apt)s текущих характере
стик движения. Умножая равенство (10.2) слева на мат-"
"д/1' Р* А || няуппям. что
рицу, обратную матрице
находим,
^H%:£::::U<A'>" <ш01

где
ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 287
*«*' я* *«' = \др1-р* М~*. (10.102)
d/74. />* •..» Ре lis II dqx> q2, ...» ?e
Таким образом, задача сводится к обращению матрицы
частных производных от текущих характеристик по
начальным условиям движения.
В том случае, когда используемые системы текущих
характеристик и начальных условий движения
симметричны, т. е. определяются в одинаковых системах
координат* при одинаковой фиксации начальной и текущей
точек, как это имеет место для матриц
дг, t vr. vu
\ &> '* VrV Va0
дг, it. vr vu | J dp, n. i/p, iv
dr* uQ, v„ vaQ У dtv я,
можно при решении рассматриваемой задачи не
производить трудоемких расчетов, связанных с обращением
матриц. Для этого достаточно воспользоваться тем, что
исходные уравнения движения (4.3) могут решаться
не только при положительном, но и при отрицательном
течении времени. При этом сохраняются все полученные
выше соотношения (так как в уравнения движения (4.3)
явно входят лишь координаты объекта и их вторые
производные, но не входят время и нечетные
производные от координат). Но при обратном течении времени
текущие характеристики и начальные условия
движения меняются местами. Отсюда следует, что
выражения для коэффициентов искомой обратной матрицы (т. е.
для частных производных от начальных условий по
текущим характеристикам движения) могут быть
получены из выражений для соответствующих
коэффициентов исходной матрицы при замене в них t на —t, q> на
-~Ф> Pi на qj и qj на pt. Иначе говоря,
*!»
dPt
5?jC Ф, р„, ?,)=,_£!.(_,, -Ф. qt. Л) (А. /= 1, 2 6).
(10.103)

288 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯ цл> I
Так, например, из табл. 10.4 следует, что
Фо
Ф
Фо
dv„
4^'+7К-^-—«)-Щ
Фо
д/1
: — S1H9,
[^^+^(^P-^o)~/TSi^]
и т. д.
(10.104)
Как показано В. И. Чарным [31], обращение
рассматриваемой матрицы частных производных при решений
задачи в прямоугольных координатах при
фиксированном времени может быть дополнительно упрощено. При
этом отпадает необходимость в вычислении
коэффициентов обратной матрицы. Они могут быть получены нэ
коэффициентов исходной матрицы путем определенной
перестановки и перемены знаков. Для этого переставим
некоторые столбцы и строки в рассматриваемых
матрицах и запишем их в виде , . '
Ф. п. с. ур, vn, vt
Фс»0'£о. W%
Фо- п0, ^ v v v.
др.
Ф0>
dV(),
п.
П(У
vn
5 1
Cof
ф, n, £
ф, п, J. Vp vn, v.
Фо» п0' ?0
Фо» "о» £о 11
ф. я. С it
Po ло feo
po no feo
_ф
)■ no> Co I
dvn , vn , v.
So
ф. n, £
di>n . v„ . Vr
где
Д Ф> "•
8 Фо» "о»
Co
\ Фо // ч дп0 }t
f' дл
l Фо"
^,V *>„
0
<?c
IJL)

*.!3]
ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ф. П, g
f)V , Vn . V*
( <4 ) ( dvn )
0
0
0
\dvt )
Тогда можно написать, что
II Фо- "о* fo
ф. л. С
Рл Л0 ^0
Р0 Л0 te0 II/
Фо- "о- ?o
_||ф1я!£
di/p. V|I. vc
ф. n, С
I Фо- ло« £о I/ '
ф. л. с
*Ч' Ч' ^
Фс «о- So
289
и т. д.
(10.105)
где значком * обозначены транспонированные матрицы.
Равенства (10.105) позволяют непосредственно
определять численные значения коэффициентов матрицы
йфо^о. vQq. vn, v^ ■
dp, n, £, i/p, *я, i>.
по значениям коэффициентов
матрицы
ф. п, J. i/p, »я. vt
(и наоборот). Справед-
*>о- Ъ Со, i^. tfv t^ |^
ливость равенств (10.105) можно легко показать,
пользуясь табл. 10.2, 10.4 и равенством (10.103).

ГЛАВА Xi
ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИИ
НА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ
11.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
В предыдущих главах рассматривалось движение
в центральном поле силы притяжения, определяемой
при помощи формулы (1.2). Как было замечено в § 4,1,
при движении в сфере действия Земли (или какого-либо
другого притягивающего центра) эта сила является
главной. Поэтому параметры орбит, определяемых
с учетом влияния только указанной силы, характер!»
зуют основные закономерности реального движения
искусственных спутников и других космических объектов.
Однако при более детальном анализе следует считаться
с тем, что наряду с этой силой на искусственные
спутники Земли действует ряд других, так называемых воз*
мущающих сил. Основными из них являются:
отклонение фактической силы земного притяжения
(по величине и направлению) от силы, определяемой
по принятому выше закону;
сопротивление воздуха и другие аэродинамические
силы;
притяжение к Солнцу, Луне и планетам;
световое давление и др.
В сфере действия Земли (и вне плотных слоев
атмосферы) эти силы малы по сравнению с основной силой
притяжения. Однако они оказывают заметное влияние
на движение спутника по орбите. При этом наиболее
существенными являются так называемые вековые
возмущения орбиты, которые за длительный промежуток
времени (даже при воздействии сравнительно незначи*
тельных возмущающих сил) могут существенным
образом изменить весь характер движения (см. § 2.3). Щ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 291
Настоящая глава посвящена исследованию влияния
зличных возмущающих сил на движение по орбите,
Ра |-jpH исследовании мы отвлечемся от природы ука-
нных сил и будем полагать, что рассматриваемый
спутник наряду с ускорением силы притяжения g\
определяемым по формуле (4.2), имеет некоторое
возмущающее ускорение у. При этом уравнения (4.3)
движения спутника в векторной форме заменяются
уравнением вида
г = -£г+/ (11.1)
Вопрос о влиянии указанных выше конкретных
возмущающих факторов (которым соответствуют вполне
определенные возмущающие ускорения у) будет рассмо-*
трен в последующих главах.
Уравнения (11.1), вообще говоря, не интегрируются
в конечном виде. Для их решения обычно используется
один из методов численного интегрирования. Однако
метод численного интегрирования, вполне пригодный
для проведения точных расчетов, чрезвычайно
затрудняет качественный анализ решения задачи. Для целей
такого анализа значительно более удобными
оказываются различные приближенные решения уравнения
(11.1). При отыскании этих решений мы будем
пользоваться методом оскулирующих элементов орбиты, суть
которого сводится к следующему.
Фактически орбита, соответствующая решению
уравнения (11.1), полностью характеризуется зависимостями
векторов г и v = r от времени полета /. В
произвольной точке D рассматриваемой орбиты, соответствующей
некоторому моменту времени t = tu можно построить
так называемую оскулирующую орбиту. Эта орбита
определяется векторами p(t) и р(Г), удовлетворяющими
следующим условиям:
P('i) = r('i).
р*еР=|р|. Р
(11.2)
19*

202 ВАРИАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [Гл
Очевидно, что эти условия в каждой точке D одно^
значно определяют некоторую орбиту (различную для
различных точек фактической орбиты). Эта оскулирую.
щая орбита удовлетворяет уравнениям (4.3) невозмущен,
ного движения и поэтому может быть эллиптической,
гиперболической, параболической или вертикальной (см'
гл. IV). В рассматриваемой точке D она
соприкасается с фактической орбитой. Скорости полета v =
== i г| в этой точке на обеих орбитах одинаковы. При
дальнейшем движении спутника фактическая и оскули-
рующая орбиты расходятся. Однако если вектор /
возмущающего ускорения мал по сравнению с вектором j
основного ньютоновского ускорения ff^-j/-» то это1
расхождение в некоторой окрестности точки D является !
незначительным. Поэтому оскулирующую орбиту мож- |
но использовать в качестве характеристики фактиче- !
ского движения в окрестности точки D. Эта точка, в ко- '
торой фактическая и оскулирующая орбиты совпадают, !
называется тонкой оскуляции, а соответствующий мо-"'
мент времени t = t\—моментом оскуляции. '..!
Каждой точке фактической орбиты, рассматриваемой j
в качестве точки оскуляции, соответствует оскулирую- j
щая орбита, которая согласно § 5.4 может быть охарак- j
теризована шестью элементами qi(t) (/=1, 2, 3, ..., 6). j
Таким образом, каждой точке фактической орбиты j
можно сопоставить систему элементов qx соответствую- j
щей оскулирующей орбиты, которые мы в дальнейшем i
будем называть оскулирующими элементами рассматри-j
ваемой фактической орбиты. При движении по оскули: j
рующей орбите величины Ц\ остаются постоянными»!
однако с изменением момента оскуляции они изме-!
няются. Иначе говоря, для фактической орбиты имеет!
место зависимость qi = qi(t), где время /
рассматривается как момент оскуляции. Как следует из § 5А'|
величины оскулирующих элементов в некоторый момент,
времени t = t{ однозначно определяют составляющие]
векторов р и р в этот момент. Отсюда, пользуясь рз- j
венствами (11.2), находим, что величины ^t(^i) одно-j
значно определяют векторы г (Л) и г (/i). Иначе го*:

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 293
определение зависимости оскулирующих элемен-
В°в от времени полета [зависимости <7t = <?t(0] равно-
ильно определению зависимостей г (/) иг (t), т.е. оп«
оеделению фактической орбиты.
Таким образом, совокупность оскулирующих элехмен-
тов Qi(t) (i'= 1. 2, ..., 6) может быть использована в
качестве системы переменных, однозначно определяющих
орбиту в произвольном поле сил.
Отсюда следует, что в системе уравнений движения
(11.1) можно от переменных х, у, г, vXf vy, vz (т. е. от
составляющих векторов г и v = r) перейти к
переменным Цх- При этом система уравнений движения
принимает вид:
^■ — Mtfi. ft. •••> 4*s*JvJ2*J& / = 1,2, ..., 6, (П.З)
где 5 — некоторая независимая переменная (например,
время полета /), a jif /2, /з — проекции вектора
возмущающего ускорения J на оси некоторой (пока
произвольной) системы координат.
Система (11.3) называется системой уравнений
движения в оскулирующих элементах. По сравнению с
исходной системой (11.1) она обладает следующими
преимуществами, облегчающими ее использование для
целей качественного анализа величин малых
возмущающих ускорений.
1. При малых возмущающих ускорениях (|/|<Cg)
величины ^(/) медленно изменяются вдоль орбиты (так
как при 7=0 qt = const), в силу чего для приближенного
решения уравнений (11.3) может быть с успехом ис*
пользован метод малого параметра.
2. Полученные в результате решения системы (11.3)
°скулирующие элементы q\ имеют наглядный
кинематический смысл, облегчающий качественный анализ.
Основной задачей настоящей главы является вывод
Уравнений движения в оскулирующих элементах. Во-
Р?с ° приближенном решении этой системы уравне-
нит Удет Рассмотрен в последующих главах приме-
»ениЛЬН°- К Различным конкретным возмущающим уско-

294 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИИ НА ЭЛЕМЕНТЫ [ГЛ. Xf
11.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
ОТ ФУНКЦИЙ КООРДИНАТ
И СОСТАВЛЯЮЩИХ ВЕКТОРА СКОРОСТИ
Прежде чем перейти к выводу уравнений движения
в оскулирующих элементах, рассмотрим некоторую
произвольную функцию координат х, у, z спутника и
составляющих его вектора скорости vx, vy, vz:
F = F(x, у, г, vXt vy, vz).
Обозначим через £, rj, £, v^ v}V т>; координаты и
составляющие вектора скорости при движении по оскули-.
рующсй орбите. Из зависимости (11.3) следует, что
в момент оскуляции
F{x, у, г, vx, vy, vz) =F(l, т], £, vv vn, v$. (11.4)
При движении по некоторой орбите величина F
является функцией времени полета t. Обозначим через
-jjij производную от F no t при движении по фактиче-"
ской орбите, а через \-jf] —ту же производную при дви^
женни по оскулирующей орбите. Пользуясь
уравнениями (11.1) и (11.2), можно написать, что
dF dF , OF , dF
(dF\ dF , dF . dF
■ dF dF dF \
' dvx &x "* dv &У ' dvz «W
где gx, gv, gz, jx, /y, jz — соответствующие проекции век-»
торов g и /
Из равенств (11.2) следует, что в момент оскуляции,
где
dt
dF% /dF\ dF
d* ~~~ \ dt )0 ~*~ dt '
dF . jJF_ . , dF ,
dvx Jx i dvy Л/ ' dvz J*'
(11.5);
(и.б);

n.21 производные от Функции F (д:, у, *, vx, vr vz) 295
В дальнейшем величину -т^ будем называть полной*
a -j специальной производной от соответствующей
функции.
В частности, если в качестве функции F взять какой-
нибудь элемент q оскулирующей орбиты (или
постоянную интегрирования уравнений невозмущенного
движения), то для оскулирующей орбиты
?(£. Л. С, vb vn, v0 = const, (-^)o = 0. (11.7)
Отсюда на фактической орбите
dt ~ dt ~ dvx 'xT dvyJy~f dvz J* \li-°)
Полученная зависимость будет в дальнейшем
широко использоваться при выводе уравнений движения
в оскулирующих элементах. Рассмотрим ее подробнее.
Заметим, что для некоторого достаточно малого
промежутка времени Д/ воздействие возмущающего
ускорения у может быть в первом приближении заменено
скачкообразным изменением вектора скорости на
величину
&v=JM. (11.9)
При этом элемент орбиты q — q (г, v) изменится
в первом приближении на величину
Отсюда, переходя к пределу при Д/-*0, получаем
соотношение (11.8).
Таким образом, зависимость (11.8) легко получается
путем предельного перехода при замене непрерывного
возмущающего ускорения бесконечным числом
бесконечно малых скачкообразных изменений вектора
скорости.

293 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИЯ НА ЭЛЕМЕНТЫ (ГЛ. X!
dD di da
11.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ -^ , ^ И —
При выводе выражений для производных от
различных оскулирующих элементов орбиты воспользуемся
изображенной на рис. 2.1 цилиндрической системой
координат г, и, 2. Начало этой системы разместим в
притягивающем центре О, плоскость ги совместим с
плоскостью оскулирующей орбиты (соответствующей
рассматриваемому моменту оскуляции), начало отсчета
углов и — с направлением на восходящий узел ££
оскулирующей орбиты, а ось z направим по нормали к
плоскости оскулирующей орбиты. Обозначим через S, X, W
проекции возмущающего ускорения соответственно па
направления г, и и г. Тогда выражения (11.6) и (П.ft)
примут вид:
dt dvr ^ dvuJ ^ dvz Wy
dt dt dvr ' dvu ' dvz *
(li.ii)
где vn vu и vz — соответствующие проекции вектора
скорости.
Сначала найдем выражения для производных от
величин il и i, определяющих положение плоскости
орбиты. Так как возмущения S и Т не могут изменить
положение указанной плоскости, то при решении этой
задачи можно ограничиться рассмотрением влияния
возмущающего ускорения W. При этом воспользуемся
изложенным в конце предыдущего параграфа методом
замены непрерывного возмущающего ускорения
бесконечным числом бесконечно малых скачкообразных
изменений вектора скорости
Ду,= И7Д/.
Используя зависимость (9.51), найдем, что такой
скачок скорости приводит к повороту плоскости орбиты
вокруг оси, проходящей через притягивающий центр.О
и точку оскуляции D, на угол
*=■?■**. (11.12)

11.41
определение dp/dt, defdt
297
Отсюда, пользуясь выражениями (5.11) и (9.53),
еделяем соответствующие вариации величин i|, I
и и:
VHP tgt
(11.13)
Заметим, что здесь величины ДД и Д* суть полные
вариации соответствующих элементов орбиты, а
величина Ди — специальная вариация без учета изменения
угла и при движении по оскулирующей орбите.
Переходя в выражениях (11.13) к пределу при
Д/-+0, получим:
'Я
dt
di
dt
du
dt
v И P
л/TTl
V И P
sin и
ц p sin * '
U7
COS U>
— _ Ц7i/z. Л sintf
(НИ)
(11.15)
И.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ 4£ И 4т*
or от
Для вычисления производных от элементов р и е
воспользуемся зависимостями (4.18), (4.21), (4.22) и
(4.23), а также тем, что acos Q = vu и vs\nQ=vr.
Имеем:
2 2
Г К
Р =
2 2
22=1— 2~ v2 + ^TVi + ^-v'iV2.
(11.16)

298 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИЙ НА ЭЛЕМЕНТЫ [ГЛ. х]
Дифференцируя эти зависимости и пользуясь выра
жениями (4.19), (5.11), (5.13), получаем:
= |/|-(2 cos »-•£■« cos» 9+ <;£) = | (Ц.17)|
ovr у ц ' д^ ^1/г
Подставляя эти равенства в выражение (11.11),
находим:
dp__
^=/f{58ln* + r[(l+^)co8* + ^]}. (IMS)
11.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ -^ , -^ И -^~
Для вычисления производной от аргумента
перицентра (о воспользуемся выражением (5.49):
(о = ы — ф. (11.19)
Определяя специальные производные от левой и рраи
вой частей этого равенства и учитывая, что ~иГ~~Ж
(так как ш является одним из элементов орбиты),
получаем:
dco du d$ ^120)
dt
dt
dt '
Для вычисления величины
ние (4.19) в виде
db
dt
•у = 1 + е cos d
перепишем выраже-
(1121)

определение da/dt, du/dt, db/dt 299
li.5]
приравняем специальные производные от левой и
правой частей этого равенства.
Учитывая, что
dp dp_ de__ d£_ dr_ ^
ЧГ~~ dt ' dt — dt ' dt -~U>
в результате получаем:
1 dp . a d$ . a de
Отсюда, пользуясь зависимостями (11.18), находим:
= 5 sin О cos ft + T {[(l + jj cos * + * j] cos О — 21.
Преобразуем выражение, стоящее в фигурных
скобках. Учитывая зависимость (4.19), можно написать:
[(l+^)cosfl + £~]cosft — 2 =
/1 i r \ 9 о. i e COS Ф ~
= (l+7)cos'df 1+gC08^~2 =
Тогда
=l/7[5cosd^r(1+i)sin^- <1L22>
Подставляя равенства (11.15) и (11.22) в
выражение (11.20), получаем окончательную формулу для про*
изводной ~:
dt
^^/j{i[-Scos»+T(\+j;)sm&]-
— U7-£ctg/sin«|. (11.23)
Используя зависимости (11.15) и (11.22), найдем
ВыРаженма „„ d& du
У лгенИЯ для ПОЛНЫХ ПрОИЗВОДНЫХ ~df И ~df'

da
dt
dft
dt
300 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ-УСКОРЕНИЙ НА ЭЛЕМЕНТЫ 1ГЛ J
Предварительно определим производные от этих вели
чин при движении по оскулирующей орбите. Учитыва*
зависимость (11.19) и условие, что на оскулирующеД
орбите оз = const, получаем из равенств (5.11) и (5.12)
Отсюда, учитывая равенства (11.5), (11.15) и (11.22)
можно написать:
-(■£).+#=/i(*-"7«*'H- о'-25»'
— (^-\ I d$ _
— \dtt0-T~ dt —
Таким образом, при наличии возмущающих
ускорена . vu dib . vu ~ л
нии полные производные -^- Ф •—, -^- Ф -—-. Это
объясняется тем, что при перемещении точки оскуляции
одновременно изменяются начала отсчета углов а и О
(т. е. смещаются узел и перицентр оскулирующей
орбиты).
da dr„ dP
11.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ -^-, -^ И -^
Для определения производной от большой полуоси а
орбиты воспользуемся зависимостью (5.15), которую
можно переписать в виде
1 2 t'2 4-1»2
а г |i
Дифференцируя это равенство и используя
выражения (5.2), (5.11) и (5.13), получаем:

определение da/dt, drjdt. dP/dt 301
11.61
Отсюда» полагая в зависимости (11.11) q~а,
получаем:
d^—л/Р 2cL
dt
= /f T^(^sin^ + ry)4 (1L28)
Для определения изменения оскулирующих значений
периода обращения Р и перицентрического расстояния
г (т. е. величин Р и гп, вычисляемых по элементам
эллиптической орбиты) продифференцируем второе выра*
жение (5.3) и зависимость (5.36). В результате
получим, что
rfr«—П —е\ — — а— — — -- — Ш 29)
-jf — (l *J л * л • dt — 2 a dt щ 1||,л'
Подставляя в эти выражения равенства (11.18) и
(11.28), находим:
4-7-[TA7f-(l+^)cosO-^]}( (11.30)
^Таким образом, при наличии возмущающих
ускорений оскулирующие значения периода обращения Р и
перицентрического расстояния гп непрерывно
изменяются при движении по орбите. Поэтому, строго
говоря, их нельзя использовать в качестве характеристик
некоторого витка орбиты. За эти характеристики обычно
принимают так называемый драконический период об-
Ращения Р0, равный времени между двумя
последовательными прохождениями рассматриваемого объекта
через восходящий узел орбиты (см. § 13.6), и минималь-
°е (на данном витке) расстояние гт\п от
притягивающего центра до орбиты.
Раз сто величины rmin во многих случаях целесооб-
но рассматривать минимальное расстояние /imin от

302 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИЙ НА ЭЛЕМЕНТЫ {ГЛ XI
спутника до поверхности Земли (вследствие
несферичности земной поверхности значения rmin и hmin
соответствуют, вообще говоря, различным точкам орбиты). При
малых возмущающих ускорениях оскулирующие
значения Р и гп незначительно отличаются от Рд и г^^. По-
этому вековые возмущения указанных оскулирующих
величин в значительной мере характеризуют вековые
возмущения Р^ и Гщ^.
11.7. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ В ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТАХ
Прежде чем приступить к составлению системы
уравнений движения в оскулирующих элементах,
несколько обобщим само понятие оскулирующего
элемента орбиты. Под последним мы будем в дальнейшем
понимать не только некоторый элемент оскулирующей
орбиты, но и любую величину, характеризующую
движение по этой орбите. Эта величина может изменяться
при движении по оскулирующей орбите, и поэтому в
качестве оскулирующего элемента принимается ее
значение в точке оскуляции. При таком определении
величины u(t) и &(t) также можно считать оскулирующими
элементами фактической орбиты (хотя они и не
являются элементами оскулирующей орбиты, так как
изменяются при движении по ней).
Под полной совокупностью оскулирующих элементов
qiit) (r=l, 2, ..., 6) мы будем в дальнейшем
подразумевать систему величин, однозначно определяющих
орбиту, т. е. векторы г (t) и v(t). Знание какой-либо
полной системы величин qi(t) (/=1, 2, ..., 6)
обеспечивает возможность определения любых других
оскулирующих элементов орбиты. Поэтому системой
дифференциальных уравнений движения в оскулирующих
элементах может быть любая система уравнений
определяющих некоторую полную совокупность оскулирукнии*
элементов. В качестве последней мы будем в
дальнейшем использовать совокупность зеличин p(t), e(t), о>(0»
Sl(t), i(t) и #(/). Из зависимостей (5.37), (6.41), (7.Ю)
следует, что эти величины однозначно определяют лю-

\\.П
УРАВНЕНИЯ В ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТАХ
303
6 ю точку фактической орбиты (независимо от того,
вляется ли оскулирующая орбита эллиптической,
гиперболической или параболической).
Пользуясь зависимостями (11.14), (11.18), (11.23) и
/11 26), можно записать систему уравнений движения
в принятых оскулирующих элементах:
£=/^{Ss\n*+T[(\+j)cosb+ej;]}.
dt V M l. e e \ pj
— W-£ctg/sin«]. } (П.32)
"Д_
dt
w\
I p r sinu
ц /> sin /'
«.= «./£ Leo, „,
dfl
<** _ l / P Г И i с
cos ft
-г
(l+£)sin<>].
где
1 + е cos
г
J
1
1 + * cos ft
0 = to-f-<h (H.33)
При выводе уравнений (11.32) мы нигде не
пользовались предположением о малости возмущающих
ускорений S, Ty W. Поэтому система (11.32) является точной
системой уравнений движения при произвольно задан-
ных значениях ускорений St 7\ W. Однако в тех случаях,
когда ускорения S, 7\ W сравнимы с абсолютной вели-
ВДой g — -^. ньютоновского ускорения, величины р, еУ
**» Ч> i быстро изменяются вдоль орбиты, и теряются ос-
сваНЫе пРеимУЩества системы уравнений (11.32) по
<-гГад?нию с исходной (значительно более простой)
системой (Ц.1).

304 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИЙ НА ЭЛЕМЕНТЫ (Гл. xj
11.8. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ В ОСКУЛ ИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТАХ
МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
При малых значениях отношении —, — и ■—- си_
стема уравнений (11.32) может быть решена методом
последовательных приближений. Для этого предвари-
тельно перейдем в уравнениях (11.32) к независимой
переменной О. В результате получим следующую систему
уравнений движения:
<LL — трог
di> —
d<» P\
cos 0
— W— ctg/sinal,
Щ
di
WF
p sin i '
d$ p
— — l/~^F
(11.34)
где
/r = -
*+*
COS ft
7(' + i)
sin О
(11.35)
Ограничимся рассмотрением тех случаев, когда
возмущающие ускорения S, 7\ № являются функциями
векторов г, я и не зависят явно от времени t. При этом в
системе (11.34) необходимо решать совместно только
первые пять уравнений. Шестое уравнение может быть
использовано для последующего определения времени
полета / при помощи квадратуры.
Переходя к изложению метода приближенного
решения системы первых пяти уравнений (11.34), обозначив*

I1.8J
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ
305
*>
еоез /?~ £> °^ А» ' значения рассматриваемых о£кули-
йуюших элементов в начальной точке, определяемой
значением ft=fto. Кроме того, обозначим через Др(0),
\е(&)> Д«(*)» Д^(*)« Д'(#) возмущения этих
элементов при дальнейшем движении по орбите. При этом
значения оскулирующих элементов фактической^ орбиты
можно представить в виде
р^^ + Ьр (ft), e (ft) = e ~f be (ft),
/(ft) = /-f-A/(ft).
(11.36)
Пользуясь выражениями (11.36) и условием, что ру ё,
ю, Q, i постоянные, заменим первые пять уравнений
(11.34) следующей системой:
^p)=TF2r,
— W - ctg / sin u],
(11.37)
•2y(Ai)=H^cosiff
при решении которой используются равенства (11.33),
(11.35) и (11.36).
Рассмотрим случай интегрирования этой системы в
таком интервале изменения аргумента ft, в котором
возмущения Д/?, Де, До), Дф, и Д/ остаются малыми. Тогда
в первом приближении можно в правых частях
уравнении^ (11.37) положить, что р = р, е — ~е, б>==соэ Д = ^,
inT** этом каждое из рассматриваемых уравнений
«тегрируется отдельно и величины Др, Де, Дш, Д^, и М

306 ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ УСКОРЕНИЙ НА ЭЛЕМЕНТЫ [Гл.
определяются при помощи квадратур. Подставляя эти
значения возмущений в выражения (11.36), получаем
величины оскулирующих элементов орбиты во втором
приближении и т. д. до получения требуемой точности
расчета.
В дальнейшем, при качественном анализе различных
малых возмущающих факторов, ограничимся решением
рассматриваемой задачи в первом приближении. Кроме
5 Т
того, будем полагать отношения — и — малыми,
eg
Тогда равенство (11.35) можно заменить приближенной
зависимостью
г2
(11.38)
Как было показано в гл. III, при воздействии малых
возмущающих факторов на движение искусственного
спутника основную роль играют нарастающие вековые
возмущения элементов его орбиты. В качестве
характеристик этих возмущений будем использовать изменения
рассматриваемых элементов 8ру бе, бсо, 6Q,, Ы за один
виток орбиты. На основании изложенного получаем
следующие приближенные выражения для этих
возмущений:
С т
Ьр= J ~2r rfd,
U
te=/{|sin<>+y[(l+7)<oe* + «j]}<«>,
0
2л
J L g e ' g е \ * р)
о
ctg / sin a db,
g P
2-t
0 J S P Sin* '
(1139)

№
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
6/ = J -у jcosudft,
о
Р Г 1
307
(11.39)
' l-f-tfcosft' р l-f£cos#'
В этих зависимостях мы для простоты записи
опустили значок «~» при обозначении элементов начальной
оскулирующей (т. е. невозмущенной) орбиты.
Пои выводе выражений (11.39) мы исходили из до-
пущения о малости отношении —, — и —. Отсюда
следует, что для орбит, близких к круговым (е-*0), эти
выражения могут оказаться непригодными даже при
исследовании влияния очень малых возмущающих
ускорений. Поэтому в дальнейшем при анализе возмущений
круговых и почти круговых орбит мы будем
пользоваться методами, изложенными в гл. III.

ГЛАВА XII
РЕАЛЬНОЕ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ
12.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В предыдущих главах мы исходили из предположен
ния, что вектор g ускорения земного притяжения всегда!
направлен к центру Земли, а его абсолютная величина:
определяется по формуле (1.2).
В соответствии с законом всемирного тяготения
Ньютона это предположение было бы справедливым в слу-1
чае сосредоточения всей массы Земли в ее центре. При!
этом коэффициент ,
ц = М (12.1)
где М — масса Земли, а / — так называемая гравита-;
ционная постоянная.
Допущение о сосредоточении массы Земли в ее!
центре является вполне оправданным при исследовании;
движения небесных тел, удаленных на расстояния, во,
много раз превышающие размеры Земли. Однако уже
при разработке точной теории движения Луны прихо-1
дится учитывать, что притягивающая масса Земли не1
сосредоточена в одной точке, а занимает определенный,
объем. Тем более существенным является это обстоя^
тельство при изучении движения искусственных
спутников, движущихся в непосредственной близости от Земли.1
Изучение гравитационного притяжения к телам раз-,
личных размеров, формы и внутренней структуры
является предметом специальной науки — теории
гравитационного потенциала. !
Вопросы практического применения этой теории к за-i
даче определения силы тяжести рассматриваются в дру-
гой науке — гравиметрии. Последняя тесно связана с

ПОТЕНЦИАЛ ГРАВИТАЦИОННОГО УСКОРЕНИЯ 309
теорией фигуры Земли, изучающей форму и размеры на-
шей планеты. Настоящая глава посвящена изложению
основных результатов, достигнутых этими науками, в том
объеме, в котором это необходимо для исследования
движения искусственных спутников Земли. При этом ряд
основных положений приводится без выводов.
Желающих ознакомиться с более подробным и строгим
обоснованием этих положений отсылаем к соответствующей
литературе [4, 8, 21, 27].
12.2. ПОТЕНЦИАЛ ГРАВИТАЦИОННОГО УСКОРЕНИЯ
Ускорение гравитационного притяжения к
некоторому телу можно рассматривать как сумму ускорений
притяжения к элементарным частицам, из которых
составлено притягивающее тело. При этом притяжение к к;аж-
дои из этих частиц определяется по закону Ньютона.
Обозначим через dg вектор ускорения притяжения к
некоторой элементарной частице. Из зависимостей (4.1) и
(12.1) следует, что проекции этого вектора на оси
некоторой прямоугольной системы координат Oxyz могут
быть записаны в следующем виде:
dg* = -f ,*Гр ,.<*"*■
где dm — масса притягивающей элементарной частицы,
риг — соответственно векторы, определяющие
положение притягивающей частицы и точки, для которой
вычисляется ускорение притяжения g, а £, т), £ и х, у,
z -— соответственно проекции этих векторов на оси
рассматриваемой системы координат.
Введем теперь функцию
\г — р1

310 РЕАЛЬНОЕ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ [ГЛ. хц
Из предыдущих равенств следует, что
ИЛИ
</8r = grad (<«/).
Для определения ускорения притяжения ко всему
телу необходимо проинтегрировать векторы dg
элементарных ускорений. При этом ускорение g суммарного
притяжения вычисляется по формуле
g-gradt/, (12.2)
где
U
-1/т£л- <•">
Здесь интегрирование ведется по всему объему,
занимаемому притягивающим телом.
Функция U=zU(xy уу z) называется потенциалом
ускорения притяжения к рассматриваемому телу. Из ее
определения следует, что
£/-*0 при |г|->оо. (12.4)
Обозначим через QAb ту энергию, которая
затрачивается на преодоление притяжения при переходе тела
единичной массы из некоторой точки А в другую
точку В. Из зависимости (12.2) следует, что
в в
Qab = - fg-dS = -fgradU.dS =
А А
U (В)
==_ f dU = U(A) — U(B)%
U (A)
где dS—вектор элементарного перемещения
рассматриваемого тела при его движении от точки А
к точке В,
dU—изменение функции Uy соответствующее
перемещению dS.
Отсюда, пользуясь выражением (12.4), находим, что
при удалении точки В на бесконечность энергия
Qab~+ U(A). Иначе говоря, функция U(xty,z) предста-

зависимость от формы поверхности земли 311
12.3]
яет собой потенциальную энергию, которую
приобретет тело единичной массы при удалении из рассматри-
Т%мой точки на бесконечность (т. е. при полном выходе
из сферы действия притягивающего тела).
123 ЗАВИСИМОСТЬ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ
от'формы ее поверхности
Из зависимости (12.2) следует, что для определения
поля гравитационного притяжения к некоторому телу
достаточно знать потенциал этого притяжения U(xfy,z)
во всех точках внешнего пространства, окружающего
притягивающее тело. Для вычисления этой функции
можно воспользоваться выражением (12.3). Однако при
этом возникает необходимость в предварительном
определении характера распределения масс внутри
притягивающего тела, что в настоящее время практически
неосуществимо. Задача существенно упрощается, если
воспользоваться следующей основной теоремой теории
потенциала, которую мы приводим здесь без
доказательства: для определения гравитационного потенциала во
всем внешнем пространстве, окружающем некоторое
притягивающее тело, которое вращается с постоянной
угловой скоростью, достаточно знать суммарную массу этого
тела, угловую скорость вращения и форму его
поверхности. При этом под поверхностью тела понимается
поверхность некоторого гипотетического океана, сплошь
покрывающего тело. Можно показать, что эта
поверхность удовлетворяет условию
U(x, y} z)-\-Ul{x, у, г) = const,
ГДе Vi(*, у, z) — потенциал центробежного ускорения,
определяемый по формуле
*/i-
aV?
2 •
где Q — угловая скорость вращения притягивающего
тела,
ri — расстояние от рассматриваемой точки до оси
вращения тела.
лот пРивеДенной теоремы следует, что для вычисления
енциала земного притяжения не надо знать распре-

312 РЕАЛЬНОЕ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ (г.1. \\Л
деления масс внутри Земли, а можно ограничиться
определением формы ее поверхности или так называемой
фигуры Земли. В частности, если пренебречь влиянием
вращения Земли и считать ее поверхность точной
сферой, то потенциал земного притяжения легко определить
по формуле
t/ = f H = /Af.' (12.5)|
где г — расстояние от рассматриваемой точки до центра
Земли.
Этому потенциалу соответствует ускорение силы при-
тяжения, направленное к центру Земли и определяемое
по формуле (1.2). Иначе говоря, при определении
притяжения к сферической невращающейся Земле можно
считать ее массу сосредоточенной в центре. Как
известно, фактическая поверхность Земли близка к сфере, а
влияние ее вращения сравнительно невелико (т. е,
центробежное ускорение на поверхности Земли мало по
сравнению с гравитационным ускорением). Указанное
обстоятельство позволяет при приближенном анализе
движения искусственных спутников Земли полагать
массу Земли сосредоточенной в центре (несмотря на то,
что расстояние от искусственного спутника до
поверхности Земли часто значительно меньше ее радиуса).
Однако при более точных исследованиях это допущение
является недостаточным и возникает необходимость в учете
несферичности и вращения Земли.
12.4. ОБЩИЙ ЗЕМНОЙ ЭЛЛИПСОИД
И НОРМАЛЬНОЕ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ
Как известно, точная фигура Земли представляет
собой достаточно сложную поверхность, называемую геои*
дом. Форма геоида до настоящего времени
окончательно не определена, и задача ее дальнейшего уточнения
является предметом теории фигуры Земли и гравиме*
трии. Однако в ряде случаев можно с достаточной дл*
практики точностью заменять геоид сплюснутым эллип*
соидом вращения, у которого центр масс совпадает с
центром масс Земли, а малая ось — с осью вращения
Земли. Такой эллипсоид, наилучшим образом прнбли-

овшип земной эллипсоид 313
114!
аюихийся к поверхности реального геоида, называется
*6щим земным эллипсоидом.
Как было указано выше, определенной поверхности
Земли соответствует вполне определенное поле земного
притяжения (при заданной массе Земли и угловой
скорости ее вращения). В гравиметрии поле притяжения,
соответствующее общему земному эллипсоиду,
называется нормальным, а отклонение фактического поля
земного притяжения от нормального — полем аномалий
земного притяжения.
Рис. 12.1. Составляющие ускорения
нормального притяжения общего земною
эллипсоида.
Общий земной эллипсоид представляет собой
поверхность вращения, ось которой совпадает с осью
вращения Земли, вследствие чего нормальное поле земного
притяжения симметрично относительно оси вращения
емли. При этом вектор g ускорения нормального
притяжения всегда расположен в плоскости меридиана,
Tmf' впплоскости, проходящей через рассматриваемую
^чку D и ось вращения Земли SN (рис. 12.1). При этих
Рад°ВИЯХ в„ектоР 8 определяется двумя составляющими:
*ект аЛЬНШ1 ^г ^т' е* пРоекцией на направление радиуса-
°Ра, соединяющего рассматриваемую точку D с

314 РЕАЛЬНОЕ ПОЛИ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ [гл.
х«
центром Земли) и меридиональной gm (лежащей в
плоскости меридиана и нормальной к gr). В качестве поло,
жительных направлений величин gr и gm принимаются
соответственно направления к центру Земли и на север.
Для определения потенциала нормального поля пр«!
тяжения, т. е. притяжения к общему земному
эллипсоиду, обычно пользуются разложением этого
потенциала в ряд по сферическим функциям геоцентрической ши.
роты В (по функциям угла между радиусом-вектором
OD и плоскостью экватора). При этом с достаточной для
практики точностью ограничиваются первыми тремя
членами этого разложения:
U(r, B) = -?f- + ^ P20(sinB)+-^-P40(sinB), (12.6)
где а00, а2о, 040— некоторые константы, a P2o(sinB) и
P4o(sin В) —соответствующие полиномы Лежандра от
sin В, определяемые по формулам
Р20 (sin B) = y sin2 B — Т • I
35 15 3 О2'7)
P40(sinB) = f-sm*B-^sin*B+±. J
Из выражения (12.6) видно, что потенциал нормаль*:
ного поля притяжения зависит от расстояния г и геоцен*
трической широты В, но не зависит от долготы L (т. е.
от угла между плоскостью меридиана, проходящего
через рассматриваемую точку D, и плоскостью некоторого
начального меридиана). Это непосредственно связано с
тем, что общий земной эллипсоид является поверхностью
вращения.
Для определения постоянных а0о, #20, 040 могут быть
использованы следующие выражения:
& е/7 5 \
а4о= 35 V$(Ta Тта+ ■■•)•
т = -Ч7-> а—— •
(12.8>;
I

1*#
ОБЩИЙ ЗЕМНОЙ ЭЛЛИПСОИД
315
где
и ^ — большая и малая полуоси общего земного
ГДС«псоида (т. е. экваториальный и полярный радиусы),
^^ сжатие эллипсоида, Q — угловая скорость враще-
а я Земли, \v— ускорение силы тяжести на экваторе об-
Hl* земного эллипсоида (так называемая экваториаль-
*** постоянная ускорения силы тяжести), М — масса
Земли, /— гравитационная постоянная.
В дальнейшем вместо постоянных Яоо, Яго и а4о будем
пользоваться константами
(12.9)
\\ = а00,
£ — S" #20»
35
40-
При этом из выражений (12.6) и (12.7) следует, что
и{г,В) = *г-Ц*МВ-$ +
4- sin4 В
j sin2 B + -g§-). (12.10)
Таким образом, для нахождения потенциала
нормального поля земного притяжения достаточно знать
величины ае, а, уе и Q. Угловая скорость й вращения
Земли с высокой степенью точности известна по данным
астрономических измерений. Что касается постоянных
Ое, а и ус. то определение их точных значений является
одной из основных задач гравиметрии и теории фигуры
•Земли.
В дальнейшем будем исходить из следующих
приближенных значений указанных констант [33]:
ае — 6378,16 км,
а=\ : 298,2,
уе = 9,78031 м/сек\
Q = 7,29211- Ю-5 сек~*. .
.Отсюм по формулам (12.8) и (12.9) имеем:
ц = 3,98602 • 105 км3/сек2,
е = 2,634- 1010 км5/сек2,
Х = 6,773- 1015 км''/сек2.
(12.11)
(12.12)

316
РЕАЛЬНОЕ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ
1ГЛ.
XI».
Пользуясь зависимостями (12.2), (12.6), (!2.7) и,
(12.9), находим выражения для радиальной и
меридиональной составляющих нормального ускорения силы
тяжести:
} 02.13)
I
где
p(0) = JL
&г ~~ or
1 nU
%т "' г ОВ
= &г
— М2)
g
(4)
^ = _ 2 ±- Рм (sin 5) = ±. (1 - 3 sin* В),
_JC.(5sin^-f-sin^ + y).
^^-^^-^(sinfi):
S<m)— 35 Г6 tfB ' 4J
= — 2 -^г sin fi cos В = — -р- sin 2B>
X д
P4J(Sinfi):
7 г6
sin S cos В (7 sin2 £
l
3):
fj7s-(2 sin 25 — 7 sin 4#)
(12.14)
Величина g(r0) определяет притяжение к сферической
иевращающейся Земле (имеющей ту же массу, что и
реальная Земля), а величины gf\ g<f\ #<£>, ё$~~п0"
правки к этому притяжению за счет несферичности й
вращения Земли. Оценим отношения . этих поправок
к основной части gf) ускорения. Для этого
воспользуемся выражениями (12.8) и (12.14). Так как сжатие
Земли а является малой величиной, то учтем лишь
члены низших порядков малости. Кроме того, на осно*

ОБЩИЙ ЗЕМНОЙ ЭЛЛИПСОИД
иии численных значений (12.11) примем
т = —- ~ а.
317
Тогда можно написать, что
4л,2
а\ а
(12.15)
Кроме того, воспользуемся известным свойством
полиномов Лежандра [8]
Н |/>/0(sInfi)|<l, (12.16)
г также условием, что
| sin 25|< 1, |2 sin 25 — 7 sin 4B\ < 9.
Наконец, при движении по орбите
г>ае. (12.17)
В результате получим следующие приближенные
выражения для максимальных значений рассматриваемых
отношений (по абсолютной величине):
е
g<r0>
~(—) а<а»0,003,
[а \2 а а
И- х<т
\г/ 2
8 [а
7
9
~14
0,0015,
10"
— а2 <—of ^0,6
\ г / 14
• 10"
(12.18)
Из этих зависимостей видно, что возмущающие
ускорения g<f\ g<2)i gH) и ^<4) действительно являются
малыми по сравнению с основным ускорением gf\ При этом
х величина быстро убывает по мере увеличения рас-
тояния г от центра Земли. Кроме того, поправки gj.4>
- Srm можно считать малыми второго порядка по
сравнению с величинами g™ и g^K

318 РЕАЛЬНОЕ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ [Гц _
12.5. АНОМАЛИИ СИЛЫ ЗЕМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ
Как было указано выше, общий земной эллипсоид
является не точной, а приближенной фигурой Земли
В тех случаях, когда возникает необходимость в даль-*
нейшем уточнении поверхности геоида, общий земной
(или какой-либо другой близкий к нему) эллипсоид
используется в качестве так называемой поверхности
относимости. При этом поверхность геоида
характеризуется величиной Д/г ее превышения над поверхностью
относимости. По данным современных измерений это
превышение не превосходит величины порядка 150 м
[6], т. е. значительно меньше отклонения общего зем-
ного эллипсоида от сферы (разность между
экваториальным и полярным радиусами общего земного
эллипсоида равна приблизительно 22,1 км). Для опреде-
ления зависимости превышения А/г от широты В и
долготы L обычно используется разложение в ряд по
сферическим функциям [6, 2 ]:
СО П
АЛ =2 2KmcosmI + p^sinmI)^m(sin^), (12.19)
л = 2 т = 0
где аПт и $пт — коэффициенты разложения,
a Pnm(sinB) —присоединенные функции Лежандра,
определяемые по формулам
Pnm(sln В) = cos-В ^^: ) (12>20)
Pn0(smB) = Pn(t), t=sinB. J
Здесь
Рп^) = ^п^ d^T полином Лежандра. (12.21)
Отклонение поверхности геоида от общего земного
эллипсоида влечет за собой соответствующее изменен»*
гравитационного потенциала £/, который определяете*
по формуле ^
U=UQ + AU, (MM
где U0 — потенциал нормального поля притяжения, с■>
ответствующего общему земному эллипсоиду (или ДРУ*

АНОМАЛИИ СИЛЫ ЗЕМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ 319
поинятой поверхности относимости), a AU—потен-
ял аномалий силы притяжения.
Пля определения потенциала AU может быть ис-
ьзована лемма Брунса [8, 21], согласно которой зна-
п0Л ЭТОго потенциала на поверхности относимости
^язывается с величиной ДЛ превышения геоида над по-
^пхностью относимости при помощи формулы
bU = gAh, (12.23)
где д — значение ускорения силы притяжения на
поверхности относимости.
Учитывая малость аномалий земного притяжения,
при расчете по формуле (12.23) величину д заменим
некоторым средним значением g0. Тогда, пользуясь
зависимостью (12.19), найдем:
СО П
Д#=£о2 %(anmcosmL+lnmslnmL)Pnm(sinB). (12.24)
Для перехода от значений ДС на поверхности
относимости к величинам AU во всем внешнем
пространстве воспользуемся следующим результатом,
полученным в теории потенциала [8, 21]. Пусть Un —
некоторый потенциал, значение которого на сфере радиуса R
определяется по формуле
п
&п = S (аПт cos mL + bnm sin ml) Pnm (sin B).
/w=0
Тогда выражение для определения этого потенциала
во всем внешнем для рассматриваемой сферы
пространстве имеет вид:
и* ~ -рггг Zi (anm cos mL -f bnm sin mL) Pnm (sin B).
a тУчитЬ1вая малость аномального потенциала Д£/,
неклКЖе то' что ФигУРа относимости близка к сфере
с^т1°Р0Г0 сРеЛнего радиуса (/? = 63^1 км), условимся
ще Н!Т^ что выражение (12.24) определяет значения Ml
Ч»ьтат ГУРе относимости» а на указанной сфере. В ре-
: . е получим следующее выражение для потенциала

320
РЕАЛЬНОЕ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ
1ГЛ.
аномалии земного притяжения:
°° 4-1 Л
Д^ = go J -ргтг S (а"'л cos /nA + Ря"<Sin /nZ') ^«.(sin 5).
л = 2 /л = о (19 О
Из зависимостей (12.2) и (12.22) следует, что eei
тор ускорения аномалий земного притяжения
Ag-=grad А/У. (12.261
Так как потенциал AU зависит не только от вел:
чин г и В, но и от долготы L, то вектор Ag\ вообще п
воря, отклоняется от плоскости меридиана (в отлич*
от нормального ускорения, лежащего в этой плоскости
Проекции вектора Ag на радиус-вектор г, нормаль
к нему в плоскости меридиана и нормаль L к плоскости
меридиана определяются но формулам:
*gr = — 4-bU, Agm = 1 J* Д£/, Ag, = ] ь4 AM
ьг дг ' 5ш г дБ ' SL rcosBdL
Подставим в правые части этих равенств вираже
ние (12.25) и воспользуемся зависимостями (12.20),
согласно которым
-^ Рпт (sin В) = -^|^ Рпт (sin В) + Ра, m+l (sin В).
В результате получим:
п = 2 ш=0
+ p^sinmZ)P/2W(sin^),
""* v л + 2
bgm ^ "7Г S (т) S (Cf^ C°S mL +
/2 = 2
m = 0
+P„,nsin/n
L)[Pn,
/„• o\ /n sin 5 n
-l(S«ni?)—^в-Рпт
(sin 5)].
ou 0 П
й = 2
w = 0
H- рлт cos wl) mPnm (sin #).
(12.27)|

&51
АНОМАЛИИ СИЛЫ ЗЕМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ
321
Таким образом, для определения аномалий ускоре-
земного притяжения достаточно знать
коэффициентеопт и Pnm в разложении (12.19).
При этом в качестве поверхности относи мости обыч-
берут общий земной эллипсоид или некоторый дру-
ной близкий к нему двухосный сплюснутый эллипсоид,
ось которого совпадает с осью вращения Земли, а
центр —с центром тяжести Земли. При определении
суммарного поля земного притяжения следует в
качестве его нормальной составляющей брать поле,
соответствующее принятой поверхности относимости.
Точное определение коэффициентов anm и pnm
является достаточно трудной и в настоящее время до
конца не решенной задачей. По современным данным
об этих коэффициентах [6] определяемые по формулам
*( 12,27) составляющие вектора Ag не превосходят на
поверхности Звдли величин порядка 6-10~4 м/сек2 или
6'10~5^0). Они быстро убывают при удалении от
поверхности Земли (пропорционально четвертой и более
высоким степеням г). Заметим, что здесь идет речь об
усредненных аномалиях силы тяжести.
. Как показывают непосредственные измерения, в
отдельных точках земной поверхности (главным образом
на островах, окруженных глубоким океаном) аномалии
могут быть на порядок большими [21]. Однако они
имеют местный характер и практически не отражаются
на движении искусственных спутников.
Из изложенного следует, что влияние несферичности,
и вращения Земли на движение ее искусственных
спутников в основном определяется составляющими gf) и
вт нормального поля тяготения. Что касается
составляющих g[A) и gM нормального поля, а также
аномалии силы притяжения, то их влияние оказывается
приблизительно на два порядка меньшим. Поэтому мы
Дальнейшем ограничимся исследованием влияния
,о?3анных выше основных возмущающих ускорений
& и е-

ГЛАВА хТЗ
ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖЕНИЯ
ПОТЕНЦИАЛА ЗЕМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ
В РЯД ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ
НА ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ
СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ
13.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЕКЦИЯ ВОЗМУЩАЮЩЕГО
УСКОРЕНИЯ НА ОСИ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ,
СВЯЗАННОЙ С ПОЛОЖЕНИЕМ СПУТНИКА НА ОРБИТЕ
Как было показано в предыдущей главе,
определяемое зависимостями (12.8) влияние несферичности и|
вращения Земли на поле сил земного гфитяжения в
основном описывается вторым членом разложения
потенциала нормального поля в ряд по сферическим
функциям (12.10). Из зависимостей (12.18) следует, что
определяемые этим членом возмущающие ускорения g<2) и I
g$ малы по сравнению с основной частью g(r0)
ускорения земного притяжения. Поэтому при анализе их
влияния на движение искусственных спутников Земли
можно воспользоваться изложенными в гл. II, III и
XI методами исследования воздействия малых
возмущающих ускорений на движение по круговым и
эллиптическим орбитам. Для этого в первую очередь найдем
проекции 5, Т и W вектора возмущающего ускорения
на оси системы координат, связанной с положением
рассматриваемого спутника и направлением его
движения. При этом ускорение 5 направлено по радиусу,
соединяющему притягивающий центр с центром масс
спутника, ускорение ^нормально к этому радиусу и лежит
в плоскости невозмущенной орбиты (его напряжение
совпадает с направлением полета спутника),
ускорение Wнаправлено по нормали к плоскости орбиты и до-
поняет систему векторов S и Т до правой. Восполь*
зуемся рис. 13.1, на котором изображена полусфера,
проходящая через рассматриваемое положение D с пут*

оПРЕдЕЛЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ З^Э
грСН
«яка и имеющая центр О в центре Земли. Проекция
лпбиты на эту полусферу изображена большим кругом
QDEb- ^Ри этом точки $Ь и Ь являются проекциями
восходящего и нисходящего узлов орбиты, а точка W —
северным полюсом рассматриваемой сферы.
Кругами <Q,£i?J и NDDi изображены соответственно
экватор и проходящий через точку D меридиан сферы.
Рис. 13.1. Разложение ускорения нормального
притяжения общего земного эллипсоида по осям,
связанным с положением спутника на орбите.
Кроме того, на рисунке изображены возмущающие
ускорения gr и gm) а также искомые проекции 5, Т и W.
Из рисунка непосредственно следует, что
S = -gr, T=gmcos69 № = gmsind, (13.1)
^е б — угол между плоскостями SIDEIs орбиты й
utDN меридиана.
Подставим в эти формулы выражения (12.М) для
основных составляющих возмущающего ускорения {№
&ти Для того чтобы исключить из полученных за-*
.•исимостей широту В спутника и угол 6, воспользуемся
рямоугольным сферическим треугольником J>iDDit

324 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА £ГЛ. щ!
в котором
где и — угловое расстояние спутника от восходящего
узла <f£, a i — наклонение орбиты.
Из треугольника flDDt имеем:
sinS — s\nu sin t,
cos i
sin 6 =
cos 6 =
cos В '
sin / cos и
cos В
(13.2)
Подставляя зависимости (12.14) и (13.2) в равен*
ства (13.1), находим:
5 = ^(3 sin2/sin2 я —1) =
= — W [3 sin2' ^" 2 (а Н- J) + 2 — 3 sin2 /],
Т = — ~- sin2/ sin2#,
W= — ~sm2isinu.
(13.3)
13.2. ВЕКОВОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
Из выражений (13.3) следует, что рассматриваемые
возмущающие ускорения являются частным случаем
описываемых зависимостями (3.5) периодических
возмущений. Обозначим через щ угловое расстояние
некоторой начальной точки от восходящего узла орбиты, а
через ф — угловое расстояние рассматриваемой точки
от начальной точки. Очевидно, что
и = Мо + Ф- (13.4)
Подставляя эту зависимость в равенства (13.3) *
сопоставляя полученный результат с выражениями (?:5)^_

&я
ВЕКОВОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ
326
Фга = —«о»
(13.5)
найдем, что в рассматриваемом случае
52--4fsin2/' ^ = -(т-
Г0=7'1=0, r2 = --"rsin2i,
5, = Гл-^-0 при £>3.
Рассмотрим сначала вековые возмущения круговой
орбиты, возникающие под действием этих
возмущающих ускорений. Из выводов, приведенных в § 3.9,
следует, что эти возмущения будут двух видов:
а) непрерывное вращение плоскости орбиты,
обусловленное возмущением W;
б) изменение периода обращения, обусловленное
возмущениями S и Т.
Из зависимостей (3.34) и (13.5) следует, что враще-
ние# плоскости орбиты происходит вокруг оси ОЕ
(рис. 13.1), наклоненной на угол
«1=-7Г
(13.6)
относительно линии узлов Of£.
Обозначим через бф угол поворота плоскости орбиты
за один виток. Полагая в выражении (3.35) <р=*2л,
гср=г и пользуясь зависимостями (13.5), получаем:
6г|> = £-—sln2/.
(137)
Возникающее под влиянием этого возмущения ма*
ксимальное линейное смещение спутника за один виток
^направлении, нормальном к плоскости орбиты) будет
^тветствовать моменту прохождения спутника через
узел Ч- Оно определяется по формуле
K=\tty\=±±\sln2i\.
(13.8)

326 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. ХЦ|
Найдем теперь соответствующие вековые изменения
наклонения i и положения узла Д. Для этого восполЛ
зуемся зависимостями (9.53), (13.6) и (13.7). В
результате получим:
6i=0, )
(13.9)1
бД^-^-cos*. J
Заменив в зависимостях (13.7), (13.8) и (13.9)
отношение — его приближенным выражением (12.15), на-
ходим:
ял? I
6S^_La|sjn2/|, j
03.10)
Из изложенного следует, что под влиянием
асферичности и вращения Земли плоскость круговой орбиты
непрерывно изменяется. При этом наклонение / не
испытывает вековых изменений, а узел монотонно
перемещается в одном направлении (с востока на запад при
0!>/ > -к и с запада на восток при -j > i: !>л).
Для полярных орбит f / == -^ J вековые смещения узла
отсутствуют. По мере приближения плоскости орбиты
к экватору скорость векового смещения узла возрастает.
Мгновенная ось ОЕ векового вращения плоскости
орбита лежит в этой плоскости и нормальна к линии
узлов. Максимальная угловая скорость вращения
плоскости орбиты вокруг этой оси соответствует случаям
/ = jH / = -j- (максимум скорости вращения вокруг
мгновенной оси не совпадает с максимумом скорости
смещения узла, так как по мере приближения орбиты
к экватору отношение этих скоростей стремится к нулю)-
Для полярных и экваториальных орбит (/ = 0; -§"' я/

пм
ВОЗМУЩЕНИЕ ПЕРИОДА ОБРАЩЕНИЯ
327
ловая скорость векового вращения плоскости орбиты
вокруг мгновенной оси равна нулю. Максимальное
линейное боковое смещение спутника соответствует
случаям прохождения его через узлы орбиты при / = -у и
/-= —. Величины рассматриваемых угловых
перемещений обратно пропорциональны квадрату радиуса
круговой орбиты, а величина линейного бокового
смешения обратно пропорциональна первбй степени этого
радиуса. Приближенно можно считать, что
рассматриваемые вековые смещения пропорциональны сжатию
Земли а. Для спутников, движущихся в
непосредственной близости от Земли (г^ае), максимальное смещение
узла за один виток бфтах~0°А максимальный поворот
вокруг мгновенной оси за один виток 6фтах^0°,3 и
максимальное боковое смещение за один виток 6^тах =
= 33,5 км. Для спутников, движущихся в районе орбиты
Лупы (Г^384 000 KM), 6^тах~0",6, 6фтах-0У/,3,
6^тах~0,5 КМ.
13.3. ВОЗМУЩЕНИЕ ПЕРИОДА ОБРАЩЕНИЯ
СПУТНИКА ПО КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
Перейдем теперь к определению изменения периода
обращения. Пользуясь зависимостями (3.10), (3.40) и
(13.5), можно написать, что
"р-= 7Г(25о + 4 ^2 c°s2Фг2) =
= -.11(2 — 3sin2/ + |sin2/cos2oo). (13.11)
Отсюда, пользуясь зависимостью (1.5), получаем:
ДЯ = ---^-/2 —3sin2/+~sin2/cos2a0). (13Л2)
Заметим, что, в отличие от возмущений $ф и б££,
характеризующих непрерывно нарастающее изменение
Цоложения плоскости орбиты, величина ДР определяет
п°стоянную поправку к периоду обращения спутника н

328
ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ- ПОТЕНЦИАЛА (ГЛ. ХШ
является разностью между сидерическим и оскулирую
щим периодами обращения в начальной точке (см. § gl
настоящей главы). Этой поправке к периоду обращения
соответствует нарастающее вековое смещение
положения спутника вдоль орбиты. Пользуясь формулой (1.4),
можно определить это смещение за один виток:
6/:
/±PW = Ц- L h — 3 sin2 / +1- sin2 / cos 2и0) . (13.13)
Подставляя в зависимости (13.11), (13.12) и (13.13)
приближенное выражение (12.15), находим:
р
= — \ [^ а (2 — 3 sin2 i + -| sin2 / cos 2u0)
AP^= — ip3j/r^a(2-3sin2/+|-sin2/cos2//.0)1
Ы = nae -y-« (2 — 3 sin2 / -j- -y sin2 i cos 2u0),
(13.14)
где
3/2
я3 = 2я-?=-
У !l
84,5 мин
(13.15)
— период обращения фиктивного спутника, движуще*
гося по круговой орбите, радиус которой равен большой
полуоси общего земного эллипсоида.
Стоящая в правых частях равенств (13.14) функция
углов / и Uq достигает максимальной абсолютной
величины при / = и0 = 7г- Отсюда находим максимальные
значения рассматриваемых возмущений:
1£
Ц-^fa, ДЯтах^4/>3/^а,
|б/|г
5я а.
I
(13.16)
Для спутников, движущихся в непосредственной
близости от Земли (г^ае), 1^-1 ^0,0042. |ДР|тах^
I г |тах
р&0,35 мин, ;б/|тах^167 км. Для спутников, летают11*

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ 329
I ЛЯ I
районе орбиты Луны (г^384 000 км), -р- «
#\ 15- Ю"8, |AP|max-0,045 MUH, |6/|max~2,8 KM.
Таким образом, под влиянием несферичности и вра-
шения Земли происходит весьма существенное вековое
мешение орбит искусственных спутников. Это
смещение происходит как вдоль орбиты, так и в направлении,
н0рМаЛьном к ее плоскости. Оно является наибольшим
V спутников, летающих в непосредственной близости от
Земли. Однако хотя это смещение быстро убывает
с увеличением высоты полета, оно остается еще
заметным при движении спутника в районе орбиты Луны.
13.4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
Для определения периодических возмущений
круговой орбиты подставим выражения (13.3) для
составляющих возмущающего ускорения в зависимости (3.6). При
этом воспользуемся равенствами (3.7) и (13.4). В
результате получим следующие выражения для полного
возмущения Кг по радиусу и Д/ вдоль орбиты:
ф
Ar==~~i ]Г Г ff2~3 sin2'+3 sin21 cos2 (*-No)l sin (ф-+)+
o
+ 4sin2/sin2(\|)-f//0)[l — cos(q> — г|>)]) dy\\
<p
А/==гДи = ±± f {[2 — 3sin2/ + 3sin2/cos2(i|> + w0)jX
о
X[l—cos(<p — ^)J + sln2/sin2(t|)+a0)[3(9 — *) —
— 4sin(9 —i|))]}rft|?.
и выражения можно переписать в виде
^^^•^~[(2~381п20Л+81п2/(ЗУ2+4У3-4Л)Ь
.А/*77К2-381п»/)Л+ J 03.17)
«+- sin2 / (ЗУб - ЗУ7 + ЗУ8 - 4У9)],

330 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА [ГлТП
где
ф
Jx = Jsin^ — г|?)г/ф,
о
ф
J2= С cos 2 (т|? + uQ) sin (ф — ij>) tft|\
о
ф
y3=Jsm2(i|>+tfo)^
о
ф
У4 = Г sin 2 (гр + и0) COS (ф — гр) flty,
о |
ф 1
y5=/[l--cos^-t|))lrft|), J (13.18)1
О I '
Ф I
Уб = f cos2($-\-u0)dfy
о
ф
У7 = Г cos 2 (г|) + и0) cos (ф — гр) dt|\
о
ф
Л = / (Ф — Ф)sin 2 (Ф + я0)<*Ф,
о
ф
У9 = Г sin 2 (г|) -f- /г0) sin (ф — *ф)d-ty.
о
Путем элементарных преобразований с учетом завИ
си мости (3.20) находим:
J{ = 1 — COS q\
ф
о
с=-i-{3 cos (2aa + ф) — 2 cos 2 (До + Ф) — cos (2«o —

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ 331
/ =: \ [COS 2U0 — COS 2 (ф + «о)Ь
ф
у4^| f [sin (ф+ 2%+ ф)+ sin (Зф+ 2«0 — ф)1 rftj) =
ss 4- [3 cos (2и0 + ф) — 4 cos 2 (и0 + ф) + cos (2и0 — ц)\9
о
У5=гф —51Пф,
у§я= -1- [sin 2 (ф + йо) — sin 2ao],
J7=jf [cos(ф + 2я0 + ф) + cos(3* + 2и0 — ф)1 rtf =
о
1 '
= -£- [4 sin 2 («о+ ф) — 3 sin (2и0 + ф) — sin (2#0 — q>)|,
6
ф
4 = (Ф+"■<>) 7 sin2(i|>+0o)flM> —
о
ф
-~|/2(t|?+«o)sin2(^+«o)^ =
о
= j [2ф cos 2#0 — sin 2 (ф + #о) + sin 2#0J,
ф
У9 = у 7 [cos (Зг|) + 2«о — ф) — cos (а|) + 2я0 + ф)] ^ =
о
= -§ [3 sin (2я0 + ф) — 2 sin 2 (tf0 + ф) — sin {2u0 — q>)\
(1Ч17ДСТаВИМ П0ЛУченные зависимости в равенства
чин у ^и этом в Ф°РмУлах Для нахождения вели-
А и /8 исключим члены, содержащие в качестве
йыеЖИТеЛЯ ^Г0Л ^ ^так как они 0ПРеДеляют рассмотрен-
выше вековые возмущения). В результате получим

332 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. xifJ
следующие выражения для периодических возмущений;
Anep/--~^r|{(2-3sin2/)(l-cos9) +
sirr z
(13.19)
Р (12 cos 2и0 — 3 cos (2u0 + ф) —
— 2 cos 2(/г0 -f- ф) — 7 cos(2#0 -— ф)]},
+ -^y?r~ [^ sin 2щ-+- 6 sin (2u0 -+- ф) —
— sin2(tt0-f-9)— 14 sin (2uQ— ф)] >.
Эти зависимости можно переписать в виде
ДреРг = дог + A sin Ф + ^2 cos Ф -4- Л3 sin 2ф + Л cos 2ф,
Лпер/ = Д0/ + Л5 sin ф -+- Д cos ф -f- Л7sin 2ф + Аь cos 2ф,
где Д0г, Д0/, Л* (/=1, 2, ..., 8) —некоторые величины,
зависящие от /, г, Uq. Пользуясь тем, что
A sin ф + А-2 cos ф — VЛ\ + -^2 sin (ф — ф,), (13.19а)
где
Sin ф!
А2
Va\ + a*9
COS ф! =
Л
v^+^г
можно преобразовать приведенные выше выражения
к виду а
\e?r = V + Vsin(<P — <Pi) + A2rsin2(9 — Ф2), J §20)
Anep'=V+Vsin(9 —ф3)+Д2^1П2(ф —ф4), J ';
где Д|Г, Д</, фЛ (| = 0, 1, 2; &=1, 2, 3, 4) — некоторые
величины, постоянные для данной орбиты и завйС1^йе
от значений /, г, и0. *"'
Таким образом, рассматриваемое возмущение к$[г0"
вой орбиты сводится к некоторым постоянным сиу*^
ниям спутника вдоль направлений г и /, а также Щ^[
риодическим искажениям орбиты, изменяющимся с

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ 333
япной и удвоенной частотой обращения невозмущен-
Soro спутника.
Чтобы оценить возможные значения периодических
возмущений, рассмотрим случай движения спутника
плоскости экватора (/ = 0). Для этого случая
выражения (13.19) принимают вид:
Дпер/" = — 7]Н1— C°S(P)'
а / 2 е .
Лпер/===---7]Г81Пф'
(13.21)
Для оценки максимальных значений абсолютных
величин рассматриваемых возмущений воспользуемся
приближенным равенством (12.15), в результате чего
получим:
|ДперГ|т.1=|Ап.р/|п..х = ~^"?а'а- (13'22)
Для низко летящих спутников (г^ае)
I Anepf I max = I Дпер' | max ~ &е& ~ 21 КМ.
Для определения периодического возмущения,
направленного по нормали к плоскости орбиты, подставим
выражения (3.7) и (13.5) в первый член правой части
соответствующего равенства (3.22). В результате
получим, что
1 е
дпер* = — т^- — sin 2/ cos uQ sin ф. (13.23)
.^сюда, пользуясь приближенным равенством
(12.15), находим максимальное значение абсолютной
величины Дперг:
|Ane^|m.x=-^7^Ta^a' <13-24)
Для низко летящих спутников (г^ае)
I^nepZUx ~ J ае* » 5 **• О3'25)
^Используя зависимость (2.32), можно показать,
определяемое равенством (13.23) периодическое

334 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА- р| Л.
возмущение орбиты сводится к повороту ее плоскости
вокруг оси, проходящей через начальное положение
спутника, на угол
* = — 2рг 7 sln 2i cos uQ. (13.26)
Максимальное значение абсолютной величины этого
угла
Ж«. = -5Р"7*Т (•?)'«• <13-27)
Для низко летящих спутников (г^ае)
|ф|тах«2',9. 03.28)
Таким образом, несферичность и вращение Земли
вызывают не только вековые, но и значительные
периодические возмущения орбит низко летящих спутников
Земли. По мере удаления от Земли линейные значения
этих возмущений изменяются обратно пропорционально
радиусу круговой орбиты.
13.5. ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
Для определения вековых возмущений элвц*нтов
эллиптической орбиты воспользуемся зависивадггями
(4.19), (11.39) и (13.3). При вычислении мальж'бтно*
шений—, — и — примем, что g«-^-. В результате
получим следующие приближенные выражения ДЛ#
изменений соответствующих элементов эллиптичеекй|
орбиты за один виток: ^
2л А
6/7= — — — sin2 / / (l-f-£COS#)sin2tf aW, .
5 J
гя *
Ье=\ jf (sin*(1 + ecosfl)2(3sin2/sin2и — 1)~i-'\
о 3
—12 cos ft -\-e (cos2 d + 1)] (1 + e cos Ъ) sin2 / sin 2и\Щ
(1^.29)

te^i/[-^(14-«cos<>>*(3sln'/eln»«-.l)-
ВЕКОРЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ 335
2л
/>2 М-
_ i±l££it (I + е cos О) sin Ь sin 2и sin2 / +
Ч- 2 (1 + е cos Ф) sin2 a cos2 / J вЮ,
2л
6ft « - Д- j cos / / (1 + e cos <►) sin2и </*,
0
2rt
M = r ~ sin 2/ / (1 -{- * cos ft) cos i/ sin udb.
(13.29)
Для упрощения интегрирования правых частей этих
равенств рассмотрим определенный интеграл вида
2л
Jl = Г sin" (лг + ct) cosm (л: -f a) tfx,
о
где a — некоторая постоянная, а п и m —
произвольные целые числа, из которых хотя бы одно является
нечетным,.
Положим для определенности, что
где k —- целое число.
В этом случае можно написать, что
2л
Л = f sin"(jc + a)[l — sin2(jc + a)]*cos(;c + a)d;c =
о
sin a
J yn{\-y*)kdy = 0.
sin a
в nnНалогнчным образом можно показать, что /1==0
ИпРИл = 2*+1.

336 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА [Щ Х}и
Таким образом,
2л
J s\nn(x-{-a)co$m(x+a)dx=Q, (13.30)
о
если хотя бы одно из целых чисел п или т является
нечетным. В частности, это равенство справедливо
тогда, когда сумма (п + т) является нечетной.
Рассмотрим теперь интеграл вида
2л
J2 = Г sin" х cos™ x sinp (х -f- a) cos'7 (x -f а) dx>
где я, т, /?, <7~- Целые числа, а а — некоторая
постоянная.
Этот интеграл можно представить в виде суммы
интегралов:
2я
У2 — ^Д- Г sin^A'cos™'.**/*,
/ о
где Л{ (i=l, 2,...)—некоторые тригонометрические
функции постоянной а, а я,- и т,- — целые числа,
удовлетворяющие условию
/г,- -{- я*! == я + m + Р + <7.
Отсюда, пользуясь равенством (13.30), находим^ что
2л
j sin" x cosm д: sin77 (x -f a) cos*7 (jt-f a) dx = 0 (13.31)
0
в том случае, когда сумма целых чисел п-Ь-пг+р + Ч
является нечетной.
Заметим теперь, что входящие в правые части
выражений (13.29) углы и и Ф связаны известной
зависимостью
и = 0 + <о. (13,31')
При этом с той степенью приближения, с квторой
решается рассматриваемая задача, аргумент перигея #
(как и остальные элементы орбиты) можно считать по-

g, - ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ 337
стоянным на протяжении одного витка орбиты. Это
позволяет при вычислении правых частей уравнений
(13.29) отбросить все члены, обращающиеся в нуль
согласно равенствам (13.30) и (13.31). В результате
получаем:
Ьр = 6/ = 0,
2л
to,^ J-JL^sin2/ f (6 sin ft cos ft sin2 a—3cos2ftsin2tt)dft=
P* ,*
2л
r= — y? ~ e sin2 / J (sin 2ft sin 2u + cos 2ft sin 2u)rfft = 0,
о
2Л
6(o = -V£ f [— 2cos2ft(3 sin2/sin2и — 1) —
о
— 3 cos ft sin ft sin 2u sin2 / + 2 sin2 и cos2 / j rfft —
2л
= ~ ~ f [ — sin2 / (6 cos2 ft sin2 a + 3 cos ft sin ft sin 2u)-{-
0
-f 2 cos2 ft+ 2 cos2 / sin2 u] dft =
2л
= ~rjf {-jsm4\{\ + cos2&)(\-cos2u) +
0
-f sin 2ft sin 2u] + 1 -f cos 2ft + cos2 / (1 — cos 2a) j- rfft =
^•^~^H3sin2/ + 2 + 2cos2/) = ^l(5cos2^l),
Щ = — ~2- ~ cos / У sin2и */ft =
0
2л
= -l*JC0SlJ 2 dO^-y-COSi.
0

338 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА (ГЛ. XlU
Таким образом, выражения для изменений элементов
эллиптической орбиты за один виток (в первом прибли-1
жении) имеют следующий вид:
Ьр = Ье — 6/ = О,
&0 = 7?Т (5 cos21 — 1),
6$=--^-cosi.
<13.32);
Пользуясь приближенным равенством (12.15),
можно переписать эти выражения в виде
бш^^пг) а(5cos2/ — 1),
Ь$1 « — я \^-\ а cos/.
(13.33)
При переходе от эллиптической орбиты к круговой
фокальный параметр р становится равным радиусу г
орбиты. При этом формулы для определения векового
смещения бсо перигея теряют смысл, а формулы,
определяющие смещение 6Д узла, переходят в
соответствующие формулы (13.9) и (13.10), полученные для
круговых орбит. В связи с этим при качественном
анализе характера векового изменения положения
плоскости эллиптической орбиты могут быть использованы
выводы, полученные в § 2 настоящей главы для
круговой орбиты.
Переходя к анализу формулы для определения
векового смещения бсо перигея, заметим, что при некоторых
критических значениях наклонения, равных
/Кр i = arccos |/"1 «63*26' и /кр2 = л-/кр1 » 116*34',
(13.34)
величина 6со = 0. При /</KPi или />/кр2 6(о>0, т. е.
смещение перигея происходит по направлению
движения спутника. При /Kpi</<*KP2 6co<0 и смещение
перигея происходит в направлении, противоположном
направлению полета спутника. Максимальная скорость
векового смещения перигея (при р = const) соответствует

ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ 339
экваториальной орбите (/ = 0) и определяется по
формуле
kW = 4 у- ^ « 2я
(ffa. (13.35)
Для низко летящих спутников (р&а€) бсотах^
^2яа^1°»2. Как следует из формулы (13.35), по мере
увеличения размеров орбиты скорость векового
смещения перигея убывает обратно пропорционально
квадрату фокального параметра р. Для спутников,
движущихся в районе орбиты Луны (р«384 000 км), бсошах^
~1",2, т. е. является еще заметной величиной.
Обозначим через п полное число витков орбиты,
пройденных спутником за некоторое время.
Очевидно, что величины смещений ДД узла и Дсо
перигея за это время определяются по формулам
АД = /7бД, Д(о = /?бсо. (13.36)
Обозначим через п~ и п^ числа витков, при которых
каждое из полных смещений ДД и Дсо становится
равным 2л. После прохождения спутником п^ и nQ витков
плоскость орбиты и ее перигей возвращаются в
исходное положение. Отсюда следует, что соответствующие
возмущения положения спутника носят_ фактически
додгопериодический характер. Периоды Р^ и Рсо, с
которыми изменяются эти возмущения, можно
определить по формулам
ра=алр' Р» = п«Р> <13-37>
где Р — период обращения спутника по орбите.
Из выражений (13.32), (13.33) и (13.36) видно, что
п —. ** _ Рг » ^ * (Р V
i\ U/ '
2я _ р* ц
*Д \ь$1 I I cos /1 e ~ a | cos2/1
} (13.38)
I 6(0 ) 15 Cos2/ — 11 e ~ a j5cos2/—1 | \ae ) *J
Отсюда непосредственно следует, что п^ —* оо при
а п^ —*оо при /—>ii<p\ или t\-WKp2.

340 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ Xlirl
Минимальные значения величин п^ и п&
соответствуют движению спутника в плоскости экватора (/ = 0)
и определяются по формулам
Заметим, что при г = 0 рассмотрение эволюции узла
орбиты теряет смысл (поскольку положение самого
узла становится неопределенным). Поэтому приведенное
выражение для ('гя)т1г1 следует рассматривать как
предел, к которому стремится величина /?л при i —»0.
Для низко летящих спутников (р«ае)
2 «6UU, |
(13.40)
(л.) » - » 600,
ЫгаШ « 1 « 300.
Чтобы более детально проследить характер долго-
периодических возмущений, рассмотрим в качестве
примера орбиты, близкие к круговым.
Обозначая через гвозм и гНевозм расстояние от центра
Земли до спутника соответственно на возмущенной и
ыевозмущеннои орбитах и пользуясь выражениями
(2.38) и (2.41), получаем:
Гвозм = гсР [ 1 — е cos (kt — со — /&&»)],
Гневозм = Гс? [ 1 — € COS (It — <©)],
где гср, *, со, X — соответственно средний радиус,
эксцентриситет, аргумент перигея и средняя угловая скорость
для невозмущенной орбиты, а п —- полное число витков
орбиты с момента начала движения рассматриваемого
спутника. Отсюда находим возмущение, действующее
вдоль радиуса:
&Г = ГВ03М — ГНеВозм = trc? [COS (Ж —©) — COS(M —W — Лб©)1=*
= — 2*rcpsin ш —© ^—J sin—g—. . .g

13.6J
ВОЗМУЩЕНИЯ ПЕРИОДА ОБРАЩЕНИЯ
341
Учитывая равенство
_ U _ t
п — 2л — Р '
предыдущее выражение можно записать в виде
дг = — 2ercp sin [l (l — ^) / — со] sin-^- /.
Заметим, что -^Г^Ь Поэтому приближенно можно
считать, что возмущение Дг изменяется с частотой,
близкой к частоте обращения спутника по орбите.
Амплитуда этих колебаний определяется по формуле
Л | . Kb® , I 0 I . п Л п I . t
= 2^гср
sin л _
Иначе говоря, изменение Дг имеет характер биений
с частотой, близкой к частоте обращения спутника по
орбите. Максимальная амплитуда этих биений
что соответствует моментам времени
где k — произвольное целое число.
Для моментов времени t^P^k амплитуда
рассматриваемых биений А = 0.
1Можно показать, что возмущения в направлении»
нормальном к плоскости орбиты, имеют аналогичный
характер (при замене Р& на Рр). При этом
максимальная амплитуда биений Amax~rcv.
13.6. ВОЗМУЩЕНИЯ ПЕРИОДА ОБРАЩЕНИЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
Кроме рассмотренных выше вековых возмущений
эллиптической орбиты, связанных с изменением
положения ее плоскости и перигея, имеют место * вековые
возмущения положения спутника, направленные вдоль
орбиты (или, что одно и то же, возмущения времени
рихода спутника в некоторую заданную точку).

342
ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. XII
Для частного случая круговых орбит эти возмуще!
ния были исследованы в § 3 настоящей главы, где был<1
показано, что они сводятся к некоторому изменении!
величины периода обращения
Переходя к определению возмущения периода o6paJ
щения эллиптической орбиты, заметим, что само поня
>гие периода обращения становится в данном случае
несколько неопределенным. Действительно, для невоз!
мущенной плоской орбиты период обращения Р равен
времени, за которое радиус-вектор ODt соединяющий
центр О Земли с центром D спутника, возвращается'
в исходное положение.
Однако при наличии векового возмущения
положения плоскости орбиты возвращение радиуса-вектора OD
в исходное положение оказывается невозможным. В
связи с этим период обращения обычно определяют как
время между двумя последовательными пересечениями
центром D спутника
некоторой заданной
поверхности 2. При этом в
зависимости от выбора
поверхности 2 меняется
величина периода
обращения. Обычно различают
следующие периоды
обращения искусственных
спутников Земли:
драконический период
обращения Р^ — время
между двумя последова-
тельнььми
прохождениями спутника через
плоскость экватора при
движении с юга на север,
т. е. время между двумя
Рис. 13.2. Связь между
различными периодами обращения
спутника.
прохождениями спутника через восходящие узлы 'flo и
i|4 двух последовательных витков орбиты (рис. 13.2);
период обращения Рв, соответствующий некоторой
геоцентрической широте, — время между двумя
последовательными прохождениями спутника через точки D\
и £>ь лежащие на конической поверхности постоянной
Ь I
ш I
е" 1
л

13.6]
ВОЗМУЩЕНИЯ ПЕРИОДА ОБРАЩЕНИЯ
343
геоцентрической широты В (при этом спутник
пересекает рассматриваемую коническую поверхность,
двигаясь с юга на север);
сидерический период обращения Рс — время полета
от некоторой точки Do орбиты до точки D\ которая
лежит в плоскости, проходящей через радиус-вектор ODq
и нормальной плоскости оскулирующей орбиты в
точке Do-
Помимо указанных периодов обращения, различают
такие:
аномалистический период обращения Ря — время
между двумя последовательными прохождениями
спутника через перицентр орбиты;
оскулирующий период обращения Р' — период
движения по оскулирующей орбите.
Последний представляет собой период обращения
невозмущенной орбиты, по которой двигался бы
спутник, если бы, начиная с некоторого момента времени,
исчезли все возмущающие ускорения. Поэтому его
иногда называют невозмущенным периодом обращения.
Если известны координаты и составляющие вектора
скорости спутника в некоторой точке, то соответствующая
величина Р' легко определяется по формулам (5.36)
и (5.49). В большинстве имеющих практическое
значение случаев остальные периоды обращения мало
отличаются от оскулирующего (невозмущенного) периода Р'«
Поэтому их целесообразно определять по формулам
вида
Р^Р' + ДР,
где АР — возмущение периода обращения, которое
обычно считается малой (по сравнению с Р и Р')
величиной.
Из определения величин Рв, Рс и Р' следует, что они,
вообще говоря, не только различаются между собой, но
зависят также от выбора начальной точки D0, которой
°ни соответствуют. Что касается величин Рд и Рл, то
они связаны с известными точками (соответственно с
узлом и перигеем), поэтому являются вполне
определениями характеристиками данного витка орбиты. При
0м для орбит с наклонениями 0=0 наибольшее

344 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. ХЦ-
практическое значение имеет драконический период об
ращения Яя, поскольку каждое прохождение спутнике
через плоскость экватора может быть точно зафиксиро
вано соответствующими измерительными приборами
Определение момента прохождения спутника через nej
ригей орбиты является более трудным, особенно для]
орбит с малыми эксцентриситетами, для которых поло
жение перигея вообще становится неопределенным.
13.7. ДРАКОНИЧЕСКИЙ ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ
Переходя к выводу приближенной зависимости для
определения драконического периода обращения /*
заметим, что в момент прохождения спутника через
узел фактической орбиты соответствующая оскулирую-
щая орбита также проходит через узел. Отсюда
непосредственно следует, что
о
где t — время полета, а и — угловое расстояние от
рассматриваемой точки до узла соответствующей оскули-
рующей орбиты.
Из зависимостей (11.14) и (11.25) находим, что
dt
dt r2 / г3 dO \-i
= А ' cos/fiU . (13.43)
du Vw \ Vpp dt i
Из выражений (11.14), (12.15) и (13.3) следует, что
второй член правой части равенства (13.43) является
величиной малой (того же порядка, что и сжатие
Земли а). Поэтому, пренебрегая членами порядка а2,
можно написать, что
— « ^—г Н cos / -^-. (13.44)
du Кри я1 dt Ш

n.n
ДРАКОНИЧЕСКИП ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ
345
Подставляя это выражение в равенство (.13.41) и
используя зависимость (4.19), находим:
2л
„3/2
\/J J [1 + e cos (a-©)]2
du +
0
Входящие в правую часть этого равенства оскули-
рующие элементы орбиты р, е, о), / определяются из
выражений
р = р0 + Др, е = ео + Де, (о = а)о + До), е = ёо + Д'| (13.46)
где р<ь ^о, соо, /о — значения соответствующих оскулирую-
щих элементов в узле орбиты, а Др, Д#, Дсо, Д*—малые
поправки к этим величинам, определяемые по формулам:
Дсо
-/
rf(D
da, Д/
У ж^
(13.47)
о о
Подставляя выражения (13.46) в (13.45), можно
с точностью до величин первого порядка малости
написать, что
Ра = Ра - (ДЯ, + ДЯ2 + ДЯ3+ДЯ4), (13.48)
где ^
1 н J [1 +
<*>о)]
*/>
^tf#,
*0 cos (и — ©0)]2
2/#2
2я
ДР, = ^1_ /* СО8(И-(й0) . .
flfu.J (13.49)

346
ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. зц]
УН J [l+e0cos(u — (o0)]3 °
r r о i
ДР = COS J0 / -77-: 7 ГТ7- Ш£.
Величина Яд представляет собой оскулирующий
период в узле орбиты, а ДРЬ ДР2, ДРз, ДЯ4 — поправки
к этому периоду. При не очень больших эксцентрисите-'
тах (e<Sl) эти поправки являются малыми. Поэтому]
при их вычислении по формулам (13.47) можно, опре-
dp de da> * ■
деляя производные ~% *^-, -j— , пренебречь малыми
высших порядков.
Проведя выкладки, аналогичные тем, которые были
использованы при выводе равенств (13.29), получим:
^7 == — — ~ sin2 /0 (1 + £0 cos ft) sin 2/z,
-^- = Il{sin^(l+^cos*)2(3sin2/0sin2^-l)-
у со j_e Г
du PoVl
— [2cosft + £0(cos2ft-fl)]X
X (1Ч- ео cos ft) sin2/0 sin 2и},
— (14^0cosft)2(3sin2/0sin2a--l)-
где
•2 + *°cos *(1+г0 cos ft) sin ft sin 2a sin2 /0 +
H-2 (1 + eQ cos ft) sin2 и cos2 /0], i
ft = w — co0.
(13.50)
(13.51)
Заметим теперь, что определение поправок. Я
периоду обращения по формулам (13.49) сводится * вЫ*
числению интегралов вида
2л п—-,
J=ff(u)d*f%da,
6 О

&л
ДРАКОНИЧЕСКИЙ ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ
347
f(u) ~~~ некоторая функция угла ut a q — одна из
величин р, е или со.
Интегрируя это выражение по частям, получаем:
2Л
J=F(2n)bq — j F{u)^du, (13.52)
где
2я
F(u) = ff(u)du, 6q = f ^du=bq(2л).
Заметим, что величины 8q представляют собой
вековые возмущения соответствующих элементов за один
виток, определяемые по формулам (13.32).
Для упрощения дальнейших преобразований
ограничимся рассмотрением орбит с малыми
эксцентриситетами е и будем производить все расчеты с точностью
до членов первого порядка _ малости относительно е.
"Кроме того, отбросим индекс «о> при обозначениях
элементов оскулирующей орбиты. Тогда, с учетом
зависимости (13.51), выражения (13.49) для поправок ДРЬ
Д/V ДРз принимают следующий вид:
2л
ДР
^—j^f f (l-2ecos$)bpdu,
о
2л
3/2 *
ДР2=2-£= / (cos» — Зеcos-2^)\edu,
У »i
о
2я
(13.53)
ДЯ3=^Й f (sin# — \е sin2ft) е Дш du.
Заметим, что
/(1 — 2ecos$)du = u — 2esinft,
J (cos ф — 3e cos2 О) rfa = sin О — -| e (11 + -i sin 2») ,
J (sin<> —|e sin 2<>)Ai = _ cos * + ■§■« cos 2d.

348 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА Щ xifi
Применим к вычислению интегралов (13.53)
преобразование (13.52). При этом воспользуемся зависимо-
стями (13.32), (13.47), (13.50) и отбросим все члены
содержащие квадрат эксцентриситета е орбиты. ТВ ре'
зультате получим:
2л
APj = Д=- —sin2/ / (u—2eslnft)(\+ecosi>)$\n2uiIu.-
2л
3
VW и
sin2/ / [и sin2w +
о
-f- e (и cos # sin 2u — 2 sin ft sin 2u)\ du%
АЯо = — -JL-- /" [sinft
Vw" и 0
— -|^^ + ~sin2*)]|sind(3sin2/sin2tt — 1) —
— 2 cos Ф sin 2u sin2 i-\-e [sin 2d (3 sin2 и sin2* — 1) —
— (3cos2d+l)sin2«sin2/]}^ =
2Л
=—Д=г- Г bin2^(3sin2ttsin2/~-l)-sin2dsin2ttsin2/-f-
-f £ J sin * sin 2d (3 sin2 a sin2 i — 1) —
— sin 0 (3 cos2 G + 1) sin 2и sin2 / —
— у la + у sin 2^) (3 sin Ф sin2 a sin2 / —
— sin О — 2 cos Ф sin 2a sin*/)]}***»
О«3/2 /о i
ДЯ3=-~=г- f ^£ cos 2co — cos o)j e 5©-f-
2rt
+ ~- J (cosd~l<?cos2d)|-cosd(3sin2wsin2i-l4)-'
— 2 sin ft sin 2u sin2 / -f- <? [—- 2 cos2 ft (3 sin2 и sin2* — 1) —
— 3 cos ft sin ft sin 2z/ sin2 / -j- 2 sin2 и cos2 /J > da -=*

13.Я
ДРАКОНИЧЕСКИП ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ
340
_ JEL-i-£(5cos2/ — 1) cos со —
2л
__JL- f { cos2#(3 sin2//sin2/ — l)-f
4. sin 2# sin 2u sin2 i+eh cos3 * (3 sin2 и sin2 / — 1) -f
-f 3 cos2 # sin ft sin 2u sin2 / — 2 cos Ь sin2 я cos2 / —
— |- cos 2d (3 cos # sin2 и sin2 / — cos ft +
-f- 2 sin ft sin 2« sin2 /)~| \ du.
Отбросив в полученных выражениях члены,
обращающиеся в нуль согласно равенствам (13.30) и (13.31),
а также члены порядка e2t находим:
/ 2л
AP1== i=- — sin2/1 / usin2udu-\-
У л* и \%
2.л \
-\-е I и cos Фsin2u du I,
о /
( Т
sin2 /1 3 / sin2 ft sin2 и du —
V 6
х 2я
— J sm2$sm2u du\— I sin2bdu —
о / о
— *sin2/l i f usinftsltfudu —
AP^
2 e
sin ft du
(13.54)

350 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА |ГД.
ДЯ3 = — -Щ= - (4 — 5 sin2 i) e cos <o —
*Ht
V7i* м-
2 e
2л
2я
sin2/13 / cos2 ft sin2 #</#-}-
2л n 2я
+ f sin 2d sin 2uda\— f cos2$du
6 /6
<13.54)
Переходя к вычислению интегралов, входящих в
правые части полученных равенств, воспользуемся
зависимостями
Г и sin и du = sin и — и cos и,
\ и cos и du = cos u + и sin w,
из которых непосредственно следует, что
2Л 2Л
/ и sin kudu = — -~, / ucoskudu=0. (13.55)
6 о
Отсюда, учитывая равенство (13.51), получаем!?
2Л
f usin2udu = — Ky :-i
о
? I
/ # cos ft sin2tfd# = . -и
2л 2л "1 -j
/ и sin (3u —a)du-\- I wsin(tf + (d)^^J ^
6 J
2я 2л -j
у и sin 3udu + j usinudu\= — ^3&!^L
cos©

ДРАКОНИЧЕСШЙ ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ 351
«Я
Г sin2 * sin2 udu=jj (1 — cos 2*) (1 — cos 2u) du =
О 2л
= ~ + ~У cos2*cos2udu =
2Л
— T + ¥ /" Icos(4tt — 2(o) + cos2(d]^==~.4-.^cos2a),
0
2* 2*
/* sin2#sin 2udu—-2 j [cos2© — cos(4# — <*>)]*//г =
0 °
=л cos 2(of
2* 2я
/* sin2^^/ = -i- f(\—cos2$)du = n1
о о
2.1 2л
/ и sin ftsin2 и du = -2 I #sinft(l—cos2u)du=^
о о
2л
1 Г
= —-ncosa--^ I u[sin(Su — <o) —
0
1 4
— sin (a -f- со)] d# = — л cos o) — у л cos со = — -j- я cos o,
2я
0
J и sin ft du = — 2л cos o),
2Л
/ cos2*sin2«rfa =
* 2Л
^j sin2«rfi£_ f sin2 ft sin2 w da r^ — f cos2o>,
j ZQsHdtl^n.

352 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА fr.i X
Подставляя полученные выражения в равенств
(13.54), находим: а
\Рг --%r L sin21 /- + 2е cos to),
ДА>.,=-^=г —[ 1 sin2 /H—sin2/cos2(o-f-
" /рй it \ 2 4
Н-Згсовю — 2£sin2/coso>j, \ (13.56)
AP3=-^Lr-/l —-sin2/ —-sin2/cos2(D —
/л* И I 2 4
— 4£ cos со~f- 5£ sin2 / cos <oj.
Переходя к вычислению поправки ДР4 по формуле
(13.49), воспользуемся зависимостями (4.19), (11.32),
(13.3) и (13.31).
В результате, пренебрегая членами порядка е2>
получим:
ЛР4=-Д=г--С08*1
2я
/т
sin2 w
-f- * cos ft
2л
d/г
)/Гри и
cos21 j (1 — е cos ft) sin2 и da =
2л
57)
= -tLt ~- cos2 / /' sin2 и da = -|^ - (1 — sin2 /). (13.
Подставим выражения (13.56) и (13.57) в равенство
(13.48). При этом заметим, что с точностью до членов
порядка е
р = а(1 — е2) «а.
В результате, пользуясь зависимостью (5.36),
получаем, что
= ^р^1-^ J[3-|sin2/-^cos©(l-5siiiPi)]}'
(13.58)

ДРАКОНИЧЕСКИЙ ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ 353
13.71
Обозначим через ЛР^ разность между дракониче-
им периодом обращения и оскулирующим (невозму-
шеняым) периодом обращения в восходящем узле:
ЬРа = Ра-Р'а. (13.59)
Пользуясь приближенной зависимостью (12.15),
находим:
д^ ^_^P3y^^a[3-~sin2/-~^coso)(l~5sin2/)],
^«„pLJ a Гз — — sin2/ — £cosco(l — 5 sin2/)] ,
(13.60)
где величина Рз определяется из равенства (13.15).
Для спутников, движущихся по круговым орбитам в
непосредственной близости от Земли (е = 0, атае),
максимальные значения рассматриваемой поправки и ее
отношение к периоду обращения (получаемое при / = 0)
равны:
\ЬР&] тах — 0,42 MUH,
*ря
Р'
« 0,005.
По мере увеличения размеров орбиты эта поправка
убывает пропорционально а\ а отношение поправки к
периоду обращения — пропорционально а2.
у Заметим, что выражение для величины АРД
содержит член, зависящий от аргумента перигея со и
возрастающий с увеличением эксцентриситета орбиты (в
отличие от вековых возмущений бсо и б О, которые от со не
зависят).
Этот факт, установленный здесь для орбит с малыми
эксцентриситетами, имеет место и при больших значе-
frHxue- К<ж показывают более детальные исследования
ст '^' с В03Растанием е увеличение этого члена
а.новится более резким. При е —► 1 он стремится к бес-
вытеЧН°СТИ' ^наче говоря, в некоторых случаях сильно
0таЯнУтым эллиптическим оскулирующим орбитам со*
етствуют разомкнутые фактические орбиты (и

354 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА (ГЛ.
наоборот). Это обстоятельство связано с тем, что прд
е^\ сравнительно небольшие возмущения скорости
движения в районе перигея превращают эллиптическую ор
биту в гиперболическую и наоборот.
13.8. СИДЕРИЧЕСКИЙ ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ
В ВОСХОДЯЩЕМ УЗЛЕ ОРБИТЫ
Из всех перечисленных выше определений периода!
обращения сидерический период Рс является наиболее!
точной характеристикой времени, затрачиваемого спут
ником на полный оборот вокруг Земли. При этом малое
возмущение периода Рс определяет смещение спутника
по направлению его полета. Для экваториальной орбиты
(i = 0) сидерический период Рс совпадает с периодом
обращения плоской орбиты.
Чтобы исключить неопределенность, связанную с
выбором начальной точки отсчета сидерического периода
обращения Рс, будем полагать эту точку совпадающей
с восходящим узлом орбиты (т. е. будем определясь
сидерический период обращения в восходящем узле
орбиты). Из рис. 13.2 видно, что в этом случае (с
точностью до малых высшего порядка)
где \-jjj — значение соответствующей производной в
восходящем узле орбиты, б Q, = -— Д?£о — возмущение
положения восходящего узла за один оборот спутника
(отсчитываемое с запада на восток). ^
Тогда, пользуясь зависимостями (4.19), (ljl.32),
(13.44) и отбрасывая члены высшего порядка маЙрсти,
находим, что
u р2 и Кия
п \ 2л е cos2 ( ■ _,
где г ^ — расстояние от восходящего узла орбшй* д0
центра Земли.

9] ДОЛГОЛЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОРБИТЫ 355
Если во втором слагаемом этого равенства отбросить
члены порядка е2, то оно примет вид:
^ = ^ + i%7I1_sin2/_^COSC0(1_sin2/)b
Заменяя величину Ра ее выражением (13.58),
получаем:
pc = PA~^i.[2-|sin2/ + ^cos(o(l+3sin2/)] =
(13.61)
При е = 0 определяемая при помощи формулы (13.61)
поправка к периоду обращения совпадает с
соответствующей величиной, определяемой по формуле (13.12)
для круговой орбиты (если положить w0 = 0, т. е.
перенести начало отсчета периода обращения в восходящий
узел орбиты).
В заключение заметим, что последние члены правых
частей выражений (13.11) и (13.12) определяют
зависимость сидерического периода обращения Рс от
положения начальной точки (для случая е = 0). В частности,
для экваториальных орбит (* = 0) эта зависимость
исчезает.
13.9. ДОЛГОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОРБИТЫ
Из выражений (13.58) и (13.61) следует зависимость
периодов обращения Рд и Рс от аргумента перигея о.
В связи с этим величины Р^ и Рс испытывают долго-
периодические возмущения с периодом, равным
периоду Ло изменения положения перигея. При этом боль-
шое практическое значение имеют долгопериодические
возмущения драконического периода обращенияРа, так
*ак они существенным образом влияют на время t ^
прохождения спутника через восходящий узел орбиты (эти
моменты времени принимаются обычно за начала соот-
етствующих витков орбиты).
23*

356 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА [г.
Для определения возмущений драконического пери<|
да обращения Рр воспользуемся вместо формул]
(13.58) несколько более точной формулой, полученно|
И. Д. Жонголовичем [7] аналогичным образом, но ctoJ
ностью до членов порядка е2:
Рл =/>^_-^±[з — -§- sin2/ — *cos(d(1 — 5sin2/)-f.
-**(l -iisin2/)+|^2cos2co(l -| sin2/)!
2
где P = const — некоторое среднее значение периода об|
ращения рассматриваемого спутника.
Из первой зависимости (12.15) видно, что определяв!
мая приведенной выше формулой относительная поправ
ка к оскулирующему периоду обращения Р'^ в восхо
дящем узле имеет тот же порядок, что и сжатие Зем|
ли а. Как было показано выше, такой же порядок ма
лости имеет изменение б со аргумента перигея за одш|
оборот спутника. Кроме того, было показано, что с точ
ностью до величин порядка а изменения величин а, е и
за один оборот спутника равны нулю. Отсюда следует
что с точностью до величин порядка а2 можно написать!
с учетом первой формулы (12.15) и второй формулы!
(13.32):
— —г -Y [1 — 5 sin2 / —е cos со(18—15 sin2 /)] е sin со доз, (13.62)
где 6Яр и ЬР'а — изменения соответствующих величин
за один оборот спутника.
Второй член правой части полученного равенства
имеет тот же порядок, что и величина а2. Определим с
такой же точностью первый член этого равенства, пред*
ставляющий собой изменение оскулирующего периода
обращения в узле за один оборот спутника. Для этог J
воспользуемся интегралом энергии, который в Расс<^

Д0ЛГОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОРБИТЫ 357
триваемом случае можно на
писать в виде
•—- —1/ = con st,
где величина U определяется по формуле (12.10).
Ограничимся в этой зависимости величинами
порядка а. Тогда, учитывая равенства (12.15), можно
отбросить третий член правой части выражения (12.10) и
найти следующую зависимость между значениями v и г
в узле орбиты (т. е. при £ = 0):
V2 [I 1 £
-2--r-3"7^ = COnst-
Отсюда, пользуясь зависимостями (4.19) и (5.15),
находим, что
где а, е и р — значения соответствующих оскулирующих
элементов в узле орбиты.
Из этого выражения, пользуясь зависимостью (5.2),
получаем с точностью до членов порядка а2:
Ьа ~ £ (1+^coso))2 . ; /ю/>оч
— = —2 — -—г1—2ч 2 ^ sin 0)6(0, (13.63)
а \к (1 — е2) р2 ' у '
где 6а и бсо — изменения соответствующих
оскулирующих элементов в узле за один оборот спутника. Отсюда,
пользуясь зависимостью (5.36), находим:
6Р-
—р- = - —= — 3-^7р--_/-* sin ®й®. 13.64)
Из полученных выражений, а также из первой
зависимости (12.15) и второй зависимости (13.32), следует,
что величины 6а и 6 Яд имеют порядок а2.
Подставим равенство (13.64) в (13.62), отбросив при
этом члены порядка а3 и а2*?2.
В результате получим выражение для изменения дра-
нического периода за один оборот спутника:
ft ^ — — ^2~(4 — 5 sin2 /) (1 — Зе cos со) е sin co6<o. (13.65)

358 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ. ПОТЕНЦИАЛА (ГЛ. ХЩ
Таким образом, величина дР9 имеет порядок a2. $J
Сохраняя эту точность, можно считать входящие
правую часть выражения (13.65) величины Р, а, е и |1
постоянными. При этом величину Рд можно рассматри^|
вать как функцию аргумента перигея со. Отсюда, учитььИ
вая плавность изменения рассматриваемых величин и^
заменяя бсо на dco, находим: ,'/|
« .. -i
с Р /' ' *
-^2- (4 — 5 sin2 /) / (1 — 3^ cos cousin со tfa, .-
где Р^ (со) и Р0 (со0) — значения Р0 при некотором те*'*
кущем со и начальном со0 значениях аргумента перигея.
Примем, что начальное значение аргумента перигея
ы0 = ~, и обозначим соответствующий драконичесад^^
период обращения PD (|н через Р{. Тогда, интегрищ^У
приведенное выше выражение, получим: ,|
е Р / 3 \
Ра = Pi Ч— -^г (4—5 sin2 /) е cos со (1 — -^ е cos со], (13.6@|Й
откуда видно, что драконическнй период обращения Рщ
испытывает долгопериоднческие колебания с частота*1|*|
кратными частоте изменения положения перигея: ■;
1
Р«
(13.61$
где величина Р& определяется по формулам (13.37)^;
(13.38).
Как следует из первой зависимости (12.15) и (13J
амплитуда рассматриваемого долгопериодического к«
бания с частотой v0> имеет порядок Рае, а амплитуд
колебания с частотой 2v(0 — порядок Рае2. Повышая*!
выражении (13.66) порядок учитываемых членов в-
ложенни по величине е эксцентриситета орбиты, мояСЩ|
получить долгопериоднческие колебания с более вЫС~

ДОЛГОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОРБИТЫ 359
ними частотами. При этом некоторой частоте fcvw
соответствует амплитуда порядка Paeh (k — целое число).
Обозначим через AiP амплитуду рассматриваемых
колебаний с частотой Vco. Из выражений (12.15), (13.15)
и (13.66) следует, что
ЬхР » | Рз \f^t ^~5 sin2')е < 2аРз V^T е*
С другой стороны, из зависимости (5.3) и условия,
что спутник не может касаться поверхности Земли
(гп>ае), находим:
Следовательно,
AjP < 2аР3е УТ^ё.
Можно показать, что величина еУ\—е достигает
максимума при e = -g. Отсюда, пользуясь численными
значениями величин а и Рз [см. (12.11) и (13.15)],
находим, что
ЬХР < —^=-Я3а да 0,22 мин » 13 сек. (13.68)
' Заметим, что приведенная оценка является
достаточно точной, так как фактически амплитуды
рассматриваемых долгопериодических колебаний драконического
периода обращения могут достигать величин порядка
10 сек.
Рассмотрим теперь вопрос о колебаниях времени
начала витка (времени прохождения через восходящий
Узел).
Обозначим через tn время окончания п-то и начала
(л + 1) -го витка орбиты. Очевидно, что
'я = 'о+2Л
*=i
а*>
где /0 — время начала первого витка, а Р^ * = tk — //<_!—
Араконический период обращения на k-ы витке орбиты.

360 ВЛИЯНИЕ ВТОРОГО ЧЛЕНА РАЗЛОЖ- ПОТЕНЦИАЛА (ГЛ. ХГ
Отсюда, пользуясь выражением (13.66), получаем*
п
tn=to+npx+f-5- (4_5 sin2 ')eScoso>* il ~4 *cos<u*).
где (ол — значение аргумента перигея на £-м витке.
Далее, пользуясь зависимостью (13.32) и отбрасывая
члены порядка е3, можно написать, что
п
tn~t0Jrпр{_|_,j£ \ cos©к (1 — ^еcosсок)*®.
Полагая 6io = rf(o и заменяя сумму интегралом, пай-
дем, что
/я = /0 -|- я/^ -f- --£. / cos со f 1 — -j £ cos со) Ло =
Ct>0
= /0 + я/^ Н 1 sin соя — sin co0 —
— j^l00/! — %+-2-(sin2cort — sin 2o>;}) 1.
Воспользуемся теперь тем, что
со„ — со0 = п 6о, Р ж Pv
В результате получим окончательное выражение
^ = <o + ^.(i-4*»?)4-
+ -^ [sin со„ — sin co0 — -g- г (sin 2со„ — sin 2co0)l. (13.69)
Первые два члена правой части полученного
выражения определяют линейную зависимость времени in от
номера п витка, а третий член определяет долгопериодп-
ческие возмущения, изменяющиеся с частотами,
кратными частоте перемещения перигея \а. Амплитуды этих
возмущений пропорциональны периоду обращения
спутника и могут достигать значительных величин.
В заключение рассмотрим вопрос о долгопериодиче-
ских возмущениях оскулирующих элементов в узле ор^

ДОЛГОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОРБИТЫ 361
* Пользуясь зависимостью (13.63), можно, анало-
ино тому, как это сделано для периода Р, показать,
что
,-*,[1 + Нэт^(3+*С08^С0Й2,4 (13-70)
е а{ — оскулирующее значение большой полуоси в узле
орбиты при о) = тр
Заметим, что это выражение написано с точностью
до членов порядка а. Однако, в отличие от зависимостей
(13.66) и (13.69), оно содержит все члены, зависящие
от эксцентриситета е орбиты и имеющие указанный
порядок.
Как показано в работе М. Д. Кислика [11],
аналогичные выражения могут быть получены для оскулирующих
значений параметра р, эксцентриситета е и наклонения /
в узле орбиты. Таким образом, все элементы,
характеризующие форму, размеры и наклон орбиты к
плоскости экватора, изменяются с частотами, кратными
частоте v© перемещения перигея. Поэтому изменение
орбиты за время Р& полного оборота ее перигея сводится
лишь к некоторому перемещению восходящего узла, т. е.
к повороту орбиты вокруг оси вращения Земли при
сохранении остальных характеристик орбиты.

ГЛАВА X*
ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДуЛ
НА ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫ!
СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ ПО КРУГОВЫ
и почти круговым орбита!
14.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Основные участки орбит искусственных спутнико]
Земли (за исключением участков выведения на орбиту
приземления) проходят на значительных высотах (выш
150—200 км). На таких высотах воздух крайне разре
жен и поэтому, как правило, оказывает очень малое со
противление движению спутника. Однако воздействт
этого сопротивления на орбиту носит вековой нарастаю!
щий характер и, несмотря на свою малость, может пс|
истечении достаточного промежутка времени привесп"
к существенному изменению основных параметров дви
жения объекта. В этом легко убедиться на примере
круговых орбит. Действительно, для таких орбит силу
сопротивления воздуха можно в первом приближении счи
тать постоянной и направленной по касательной к opj
бите в сторону, обратную направлению движения. Этой
силе соответствует некоторое постоянно действующее!
тормозящее возмущающее ускорение Т0. Как было по-Г
казано в § 3.3, спутник под воздействием такого возму-|
щения начинает двигаться по сворачивающейся спирали.
При этом средний радиус гср орбиты и период
обращения Р монотонно уменьшаются, а продольная скорость|
полета спутника vu возрастает. По мере уменьшений
величины /*ср спутник входит все в более и более плот*
ные слои атмосферы, что в свою очередь приводит к воз*
растанию интенсивности указанных вековых возМ^в.
ний. В конечном итоге спутник под влиянием сопРоТпа*
ления воздуха прекращает свое существование (т. е»
дает на Землю).

СИ1А СОПРОТИВЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТЬ ВОЗДУХА 363
14.Я
Настоящая глава посвящена анализу влияния сопро-
вления воздуха на движение искусственных спутников
?млИ пс круговым и почти круговым орбитам. При этом
новное внимание обращается на исследование харак-
оС а возникающих вековых возмущений орбиты. Вопрос
характере влияния сопротивления воздуха на
движение по эллиптическим орбитам будет рассмотрен в еле-
дующей главе.
142. США СОПРОТИВЛЕНИЯ
И ПЛОТНОСТЬ ВОЗДУХА
Как известно, сила Rx сопротивления воздуха проти*
воположна по направлению скорости движения
рассматриваемого объекта относительно воздуха, а ее
величина определяется по формуле
Kx^cA^k-.' (14.1)
где сх — безразмерный коэффициент сопротивления
воздуха, Fm — площадь миделевого сечения спутника (т. е.
площадь максимального сечения спутника, нормального
к вектору скорости полета относительно воздуха), р—
плотность воздуха, Уотн—абсолютная величина вектора
скорости полета относительно воздуха.
При полете-на больших высотах, на которых длина
свободного пробега молекул воздуха соизмерима с
размерами спутника или значительно превосходит их,
коэффициент сх сопротивления воздуха практически не за-
висит от формы спутника и в основном определяется
характером отражения частиц воздуха от поверхности
спутника [18]. В настоящее время обычно принимают,
чтов верхних слоях атмосферы
сх^ 2-*-2,5. (14.2)
пое ДеЛенне ПЛ0Щ«аЛи Fm миделевого сечения не
ориенТаВЛЯет oc°6°ro тРУДа ПРИ анализе движения
^цитированных спутников, т. е. спутников,
сохраняющей В пР°цессе полета определенную ориентацию своих
орае в пространстве. При исследовании движения не-
тированных спутников обычно считают движение

.364 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ.
трехгранника их осей хаотическим и, исходя из этого
допущения, принимают
С" * ПОЛ 1А л
Гт = ——• (14.3)
Эта формула справедлива в том случае, когда
поверхность спутника является выпуклой (т. е. лежит по
одну сторону от любой плоскости, касательной к ней)
а все возможные положения осей спутника
равновероятны [18].
При определении площади миделевого сечения
неориентированного спутника, поверхность которого не
имеет выпуклой формы, во многих случаях также
пользуются формулой (14.3). При этом заменяют реальную
поверхность спутника некоторой соответствующей
выпуклой поверхностью.
При пользовании формулой (14.3) следует учитывать,
что она пригодна лишь для определения некоторого
среднего значения сопротивления воздуха, когда
интервал усреднения значительно превосходит периоды
колебаний осей спутника. При анализе вековых возмущений
орбиты это условие обычно выполняется. Однако
следует считаться с тем, что на некоторых участках орбиты
может нарушаться условие равновероятности всех
положений спутника, следствием чего являются некоторые
колебания значений величин Fm и Rx.
При определении плотности воздуха обычно
пренебрегают вертикальным перемещением его слоев и
'исходят из так называемого уравнения вертикального
равновесия атмосферы
dp = — gpdh. (14.4)
Здесь dp — изменение давления р воздуха при
приращении высоты на величину dh, a g— ускорение-силы
тяжести.
Связь между давлением р воздуха и его плотностьюр
определяется уравнением Клапейрона \
P = -j$. f.5)
где М — молекулярный вес воздуха, Т — его абсолкРна
кинетическая температура (т. е. температура, опред$ляе"

СИПА СОПРОТИВЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТЬ ВОЗДУХА 365
14.2]
я. средней скоростью* движения молекул воздуха на
рассматриваемой высоте), а
R, = 8,31 • 107 —2 zc'f (14.5а)
40 * сек2 • град • моль v '
—.универсальная газовая постоянная.
Подставляя зависимость (14.5) в уравнение (14.4),
находим, что
Интегрируя это уравнение от некоторой начальной
высоты ft = fti до текущей высоты h и используя
зависимость (14.5), получаем:
/>(А) = Аехр(— J ^rdhY
(14.7)
где pi, pt, Mi и 7i — значения соответствующих величин
на высоте ft = /ji.
Таким образом, для определения зависимости p(/i)
необходимо.знать законы изменения температуры Т и
молекулярного веса М воздуха с высотой. Как известно,
фактические значения величин Т и М зависят от
большего числа различных геофизических факторов. При этом
Для значительных высот, на которых осуществляется
полет искусственных спутников Земли (Л> 180—200км)%
большое значение приобретает зависимость
состояния верхней атмосферы от активности Солнца.
Поэтому на указанных высотах основные параметры
верхней атмосферы являются функциями не только высоты
полета, но также географических координат
рассматриваемого места, времени суток и года, активности всего
^-олнца и его отдельных частей. Характерной для этой
ависимости является периодичность параметров атмо-
феры, связанная с суточным и годичным периодами об-
Р Щения Земли, периодом обращения Солнца вокруг его

356 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ
оси относительно направления Солнце — Земля (около
27 суток) и периодом изменения солнечной активности
(около 11 лет). Кроме того, параметры верхней атмо-
сферы могут испытывать сильные возмущения под
воздействием отдельных солнечных вспышек, законы воз-
иикновения которых в настоящее время неизвестны. Длп
высот порядка 200—250 км плотность атмосферы под
влиянием изменения освещенности Солнцем
(определяемой суточным и годичным вращением Земли) может
изменяться на величину порядка ±(30%-—50%) от сред-
него значения. Кроме того, под влиянием солнечных
вспышек эта плотность может на некоторое время
(порядка суток) возрастать приблизительно на 50%.
Наконец, в годы минимума солнечной активности средняя
плотность воздуха на этих высотах оказывается в 2—
3 раза меньше соответствующей плотности в годы
максимальной активности Солнца. С увеличением высоты
рассматриваемая зависимость возрастает, и для высот
порядка 500 км и выше плотность воздуха под влиянием
рассматриваемых факторов может изменяться в 10 раз
и больше.
Из изложенного следует необходимость создания так
называемой динамической модели атмосферы, т. е.
модели, учитывающей зависимость основных параметров
атмосферы не только от высоты, но и от всех указанных
выше факторов. Однако задача построения такой
модели атмосферы до настоящего времени не дойучилз
удовлетворительного разрешения вследствие своей
теоретической сложности и недостаточности имеющихся
опытных данных. Поэтому при всех расчетах, связанных
с определением влияния сопротивления воздуха НЯ ДвИ"
жение искусственных спутников Земли, обычна'*поль-
зуются статическими моделями атмосферы,
учитывающими зависимость параметров атмосферы только-от
высоты. Точность таких моделей атмосферы является в°
многих случаях недостаточной, в связи с чем возну1""^
необходимость в их согласовании с имеющимися ?пЫ "
ными данными. Это согласование производите^ "ЦУ*
использования некоторых поправочных коэс^— rje
определяемых обычно по результатам измерений--9
ментов фактических орбит.

ЛОКАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ АТМОСФЕРЫ 357
В приложении I помещена таблица основных пара-
ров одной из используемых в настоящее время
старческих моделей атмосферы, так называемой атмосферы
f IRA 1961 (COSPAR International Reference Atmosphere
1961) [36]. Следует отметить, что эта модель атмосферы
построена по данным измерений, произведенных в
основном в период максимальной активности Солнца. В
периоды минимальной солнечной активности плотность
верхней атмосферы может быть в несколько раз меньше
величины, получаемой из указанной модели [10, 14, 17,
20,35].
В заключение заметим, что в приложении I величина
плотности р дана в —д. Однако часто при инженерных
расчетах пользуются технической системой единиц и ве-
кГ • сек2
личину р определяют в -—-^— • Для перехода от
значения плотности в одной размерности к другой можно
пользоваться равенством
j - кГ • сек2 9,807~ г )
м* 1000_cjw3 _'./
Из изложенного следует, что основные факторы,
определяющие силу Rx сопротивления воздуха, а именно
коэффициент сх^ эффективная площадь Fm миделевого
сечения (для неориентированных спутников) и
плотность р воздуха в настоящее время не поддаются
точному определению. Это делает практически
невозможным точный предварительный расчет влияния
сопротивления воздуха на движение искусственного спутника
Земли и вызывает необходимость непрерывного
уточнения результатов указанных расчетов по данным
измерении фактических значений основных элементов орбиты,
!1а* ЛОКАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ АТМОСФЕРЫ
Для согласования данных теоретического расчета с
Результатами фактического определения элементов ор-
Щиг °°ычно используются некоторые локальные модели
Вой°С^)е'ЗЫ> пРиг°Дные лишь для определенного диапа-
а высот и в течение некоторого промежутка времени,

308 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ {ГЛ,
Эти модели служат для определения плотности р из
выражения вида
р = р(Л,<7/), '=1.2 л, (14.8)
где qi — некоторые свободные параметры данной
модели (параметры согласования), определяемые из ус-
ловий наилучшего совпадения результатов теоретических
расчетов с опытными данными.
Одна из простейших моделей такого типа (так
называемая изотермическая атмосфера) легко получается
если пренебречь в выражении (14.7) влиянием
переменности величин g, M и Т. Тогда выражение в правых
частях зависимостей (14.7) можно проинтегрировать, в
результате чего получим:
P = Piexp(—-^=^), (14.9)
где
Параметрами согласования этой модели атмосферы
являются величина рь равная плотности воздуха на
некоторой фиксированной высоте /г == /гi, и так называемая
высота Н однородной атмосферы. Из уравнения
Клапейрона (14.5) непосредственно следует, что величина Н
равна высоте некоторого фиктивного столба однородной
атмосферы, плотность которого всюду равна р4 и
который имеет на высоте /? = /*! то же давление, что и
рассматриваемая атмосфера.
Для того чтобы на высотах, близких к высоте h = hif
рассматриваемая модель атмосферы р = р(А)
наилучшим образом приближалась к фактической зависимости
p(/i), ее параметры согласования выбираются из
условий
Р(А,) = Р(А,). 4<Ai) = -S-(A,>. <14ЛП
Эти условия удовлетворяются при

ЛОКАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ АТМОСФЕРЫ 369
Введем понятие «молекулярной» температуры
М
r=TMot (1413)
где М0 = 28,97 -jjj^jj—молекулярный вес воздуха
вблизи поверхности Земли. Тогда выражение (14.7)
принимает такой вид:
р = Pl IleXp f -f-j$r dh J ," (14.14)
где /? — удельная газовая постоянная воздуха,
определяемая из выражения
*=ъ=™ ?*£«*'' <1415>
a Г i — значение температуры Т на высоте A = Ai.
Из зависимости (14.14) непосредственно следует, что
* d^_ Р [dT . g\
rfA — V \dh "^ R)'
Отсюда, пользуясь выражением (14.12), находим:
"д^ ';,<»,)- (14Л6)
При -^- (/гi) = 0 эта формула совпадает с равенством
(14.10).'
Полученные зависимости (14.12) и (14.16) позволяют
Для любой статической модели атмосферы построить
изотермическую, модель, наилучшим образом
описывающую изменение плотности воздуха в окрестности
заданной высоты h = hi.
Заметим, что, пользуясь равенством (14.16), можно
Аля любой статической модели атмосферы определить
величину Н как функцию высоты А. Найденная таким
°бразом высота Н однородной атмосферы характеризует
скорость убывания плотности р воздуха с высотой,
приближенно (пренебрегая переменностью Н в
интерне hi-^h<hiJrH) можно считать, что при изменении

370 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XIV"
высоты h на величину И плотность р изменяется в е?&
^2,718 раза.
На рис. 14.1 и в приложении II приведены график и
таблица зависимости Н(h) для атмосферы CIRA 1961.
Из графика и таблицы видно, что для высот Л<120 км
величина Н колеблется в пределах от 5 до 10 км. чтп
°^ 100 200 300 400 500 600 700 800 h.m
Рис. 14.1. Зависимость высоты И однородной атмосферы
от высоты h над поверхностью Земли для атмосферы США
1961.
соответствует быстрому убыванию плотности воздуха
высотой. На высоте от 120 до 200 км скорость убывание
плотности воздуха с высотой резко уменьшается и
значение Н возрастает до 30—40 км. На высотах А>200к^
продолжается медленное возрастание величины //, ко*
торая при /г = 800 км достигает 115 км. Как видно иэг
помещенной в приложении I таблицы, такое уменьшение
скорости убывания плотности воздуха и соответствую-8
щее возрастание И связано с возрастанием темпера*
туры и уменьшением молекулярного веса воздуха наг
больших высотах.
Оценим теперь погрешность, возникающую при
использовании изотермической модели атмосферы. Учить**;
вая, что относительное изменение «молекулярной» теяг^
пературы воздуха V с высотой как правило значительна

14.3]
ЛОКАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ АТМОСФЕРЫ
371
превосходит соответствующее изменение ускорения g
земного притяжения, будем в дальнейшем пренебрегать
переменностью последнего (учет переменности g
принципиально не изменяет результатов последующих
рассуждений). Кроме того, будем полагать, что в
рассматриваемом интервале высот h «молекулярная»
температура V изменяется по линейному закону
Y = T\ + a[h-h^ (14.17)
где 7*1 — значение температуры V на высоте hu a a —
коэффициент, характеризующий скорость возрастания
V с высотой. Очевидно, что
«Ч£- (14-18)
Подставляя зависимость (14.17) в (14.14), находим,
что при сделанных допущениях
|А 1
Г gdh
— / —?—', \ * —
J «[T-. + aCA-AOjj
№
l+*a
кл _ .... _/,.!*
U
+ 7:
-0+Т&)
(14.19)
Легко показать, что при а—*0 это выражение
переходит в изотермическую модель атмосферы (14.9).
Действительно, из зависимостей (14.16) и (14.18) следует,
что в рассматриваемом случае
Подставляя второе из этих равенств в выражение
(14.19), получаем:
1 = PlJi + «£^Mj-"- =

372 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. X&i
Учитывая известную зависимость
I -^
lim (1 -f e)e =e, J
можно написать, что
,. / л — л, \
hmp^p^xp 77— .
Для определения погрешности изотермической
атмосферы воспользуемся выражениями (14.9), (14.19) и
(14.20), из которых следует, что относительная ошибка
&p==-Lz:-£-=[i-|-a(/iT/")r(l + ^)-expf-Azi^U
Pi [ т\ \ v я /
= (14-£Г(,+^)-ехр[-1(1+-|г)]. (14.21)
где
a (h — h.) h — Л. , T'.
1= ., =-—-' HT = -L. (14.22)
у j HT a
Заметим, что величина Нт представляет собой
приращение высоты, на котором экстраполяция по формуле
(14.17) дает удвоение первоначального значения тем*
пературы Т\.
На рис. 14.2 даны графики зависимости относитель*
ной ошибки 6р изотермической атмосферы от величины;
£ при различных возможных значениях температурного*
градиента а (в град/км). При расчете зависимости
6р(£) в качестве величины g принято ее среднее значе-.
ние на высоте 200 км gCp = 9,22 м/сек2. При рассмотре-1
нни этих графиков следует учитывать, что при а>Щ
значениям £>0 соответствуют высоты h>hit а
значениям £<0 — высоты h<hi. При а<0 значениям i>0>
соответствуют высоты h<hu а значениям £<0— высоты^
h>hi. Из приведенных графиков видно, что для высоту
Л>/*1 и значений температурного градиента а, лежащи*|
в диапазоне —5 ра < a < 20 грал , абсолютная велщ
км км
чина относительной ошибки изотермической моде

4.3]
ЛОКАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ АТМОСФЕРЫ
373
ар| =1 -Р р ™ не превосходит 10%. При этом ;6р|
бывает с уменьшением |а|. Для высот h<hi величина
5pi резко возрастает с увеличением |$|. Отсюда
:лед\'ет возможность использования изотермической
члпрли атмосферы для экстраполяции атмосферы
is»
14.2. Зависимость относительной ошибки 6р опрзделения
уютности воздуха по изотермической модели от величины \ при
d T'
различных значениях коэффициента а — ——.
<вверх» (т. е. на высоты h^h\). Однако при сколько*
чиоудь значительной экстраполяции «вниз» (на
высоты Л<А1) применение указанной модели атмосферы
может привести к грубым ошибкам. Поэтому при
использовании изотермической модели атмосферы для
определения влияния сопротивления воздуха на
движение искусственного спутника Земли в качестве вы-
0ТЬ1 h\ обычно выбирают высоту самой низкой точки

374 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. зщг
орбиты. Заметим, что приведенный закон изменений
относительной ошибки 6<) связан с ее определением по
формуле (14.21). Если же ее определять по формуле
&>' =
р — р
то характер ее изменения будет совершенно другим (она
будет монотонно возрастать при экстраполяции в обоих
направлениях).
Следующим (после изотермической 'атмосферы)
приближением к фактической атмосфере является
локальная модель, соответствующая изменению
«молекулярной» температуры Т по линейному закону (14.17).
Пользуясь зависимостями (14.19), (14.20) и
можно написать для плотности воздуха по этой
следующее выражение:
нт
P = Pi(1+-77Tn
(14.22),
модели
(14.23)
Как было показано выше, при градиенте
молекулярной температуры а—>0 (#г—><х>) выражение (14.23)
переходит в зависимость (14.9). Этот же выв.од
следует из разложений зависимостей (14.9) и (14.23)
в ряды по степеням отношений - ~~ ! " —:^—L "
Нг
н
л — л,
1 [h-h{\*
21 I И ) ~
(14.24)
Из разложений видно, что с точностью до линейных-
членов зависимости р(Л) и р(Л) совпадают, а расход
ждение начинается с членов второго и более высоки*
порядков. Таким образом, параметр Я в обев-ix рае*
сматриваемых моделях следует определять из условия;

14.3]
ЛОКАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ АТМОСФЕРЫ
375
равенства первых производных (14.11), а параметр
Нт — из условия
-S"(A,)=S-(A1). (14.25)
Следовательно, выражение (14.23), в отличие от
выражения (14.9), имеет не два, а три свободных пара*
метра (р, Н и Нт), что позволяет проводить
согласование с фактической атмосферой с точностью до чле-
нов порядка I—77~~Ч '
Во всех предыдущих рассуждениях при
интегрировании выражения (14.14) мы пренебрегали
переменностью ускорения g силы тяжести. Связанная с этим
допущением неточность может быть устранена, если
вместо аргумента, по которому определяется плотность
р воздуха, взять не высоту h над поверхностью Земли,
а так называемую геопотенциальную высоту
Ф = -ЩТК = Ь(1+-щ) • (14.26,
где /?3 = 6371 км — средний радиус Земли.
Заметим теперь, что выражение (1.2) для ускорения
силы тяжести можно написать в виде
g = gojiSw (14'27)
где go~9,807 м/сек2 — среднее ускорение силы
тяжести на поверхности Земли.
Отсюда, дифференцируя выражение (14.26),
находим, что
<*ф'= ,в *1^2 dh = —dh, dh = ^dd>.
(Я3+Л)2 g0 g
Подставляя это равенство в выражение (14.14),
получаем:
Р = Р1£ехр(- f^rdOj. (14.27,а)
где Ф! — значение величины Ф на высоте fti.

376 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XIV
Таким образом, при переходе от аргумента h к ар*
гументу Ф сохраняются все приведенные выше
рассуждения, связанные с определением локальных моделей
атмосферы. При этом переменная величинаg заменяется
постоянной go, что позволяет исключить неточность,
связанную с переменностью g (остается лишь неточность,
определяемая приближенностью зависимости (14.27),
которой можно пренебречь). Из выражения (14.26) следует,
что при Л</?з разность между величинами h и Ф
сравнительно невелика. Поэтому во многих случаях
целесообразнее для простоты сохранять в локальных
моделях атмосферы в качестве аргумента величину Л,
заменяя g некоторым средним значением в
рассматриваемом слое.
14.4. ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА
НА ДВИЖЕНИЕ ПО КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
Как было указано выше, величина и направление
силы Rx сопротивления воздуха зависят от вектора ^отн
скорости спутника относительно воздуха, который
определяется из выражения
*отн = * — *!, (14.28)
где V— скорость движения спутника в некоторой инер-
циальной системе координат, a Vi — скорость воздуха
относительно той же системы координат.
Если пренебречь влиянием притяжения к Солнцу,
Луне и планетам, то в качестве инерциалькой системы
координат может быть взята система с началом в
центре Земли и постоянными направлениями осей.
Движение воздуха относительно этой системы координат
определяется, с одной стороны, его вращением вместе
с Землей, с другой стороны, — различными местными
ветрами. Ввиду недостаточной изученности вопроса
о ветрах на больших высотах их влияние на движение
искусственных спутников Земли в настоящее время не
учитывается. Что касается степени захвата атмосферы
вращением Земли, то, очевидно, нижние ее слои
увлекаются полностью. Кроме того, вполне допустимым
явЛяется предположение о том, что, начиная с некото-

14.4]
ДВИЖЕНИЕ ПО КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
377
рой высоты, атмосфера практически перестает
участвовать во вращении Земли (в противном случае
скорость i>i должна непрерывно возрастать с высотой)-
Вопрос о степени захвата промежуточных слоев
верхней атмосферы вращением Земли в настоящее время
остается открытым. Во всяком случае можно считать,
что модуль вектора v{ не превосходит величины
скорости, соответствующей полному захвату атмосферы
вращением Земли. На высоте 1000 км (на которой еще
можно говорить о влиянии сопротивления воздуха на
движение спутника) эта скорость не превосходит
540 м/сек, в то время как скорость кругового движения
на этой высоте составляет приблизительно 7350 м/сек.
Таким образом, при круговом движении
абсолютная величина скорости v^ не превосходит 7,5% от
абсолютной величины скорости V. В связи с этим при
предварительном анализе влияния сопротивления
воздуха на движение искусственных спутников Земли
будем полагать, что v0tu~V- Вопрос о влиянии захвата
атмосферы вращением Земли будет рассмотрен ниже.
С учетом этого упрощения можно принять, что при
движении по круговой орбите (т. е. при допущениях
§ 1.1) сила Rx сопротивления воздуха направлена по
нормали к радиусу-вектору, соединяющему центр
искусственного спутника с центром Земли, т. е.
противоположна направлению ускорения Т (см. рис. 2.1).
Используя зависимости (1.4) и (14.1), можно написать
выражение для соответствующего возмущающего ускорения
при полете на высоте Л:
Г = —^--flp^ —срт^пг —-И!. (14.29)
где га— масса спутника, /?3 = 6371 км — средний
радиус Земли, г = /?з + А — Радиус круговой орбиты,
ас — коэффициент, определяемый по формуле
с = ^- (14-30)
В частности, для спутника шаровой формы
^££W£i=-Tif5L'10"3' 04-31)

378 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XIV
где D — диаметр спутника в метрах, G = mg0 — его вес
в кГу у — средний удельный вес спутника,
определяемый по формуле
По зарубежным данным, для современных
американских спутников (если исключить из рассмотрения
надувные спутники-баллоны) средний удельный вес y
колеблется в пределах 0,1 — 1 -рг» диаметр D — в
пределах 0,5—5 м, коэффициент cv, как было указано
выше, — в пределах 2—2,5. Отсюда следует, что
значение коэффициента с для шаровых спутников может ко-
лебаться в пределах от 0,003 до 0$ кГ 2 ■
В табл. 14.1 приведены абсолютные величины
ускорения Т при различных высотах h круговой орбиты,
Таблица 14.1
Высота,
h
Абсолютная
величина
ускорения,
1 7*1
км 1 м/сек2
100
120
150
200
250
300
3.0- 10"'
1.5- 10~2
1,1 • 10~3
2.2- 10"4
6.3- 10~5
2,0- 10"5
Сила па
единицу площади,
Высота,
Л
кГ/м2 км
3.6 350
1.8. КГ1 400
1.3-10"2 500
2,7-10"3 | 600
7,6. 10"4 700
2,4-10"4 800
Абсолютная
величина
ускорения,
\т\
м/сек2
7.4 • 10~в
3.1-10"6
6.9- 10"7
2.0-10"7
6.8-10"8
2,6-10~8
Сила па
единицу площади,
'*xlPm |
кПн*
8.9- КГ6
3.7-КГ* I
8.3-КГ* 1
2.4- КГ*
8.2-10"*7
3,1-КГ7
вычисленные по формуле (14.29) для значения £=
= 0,1 м3/кГ • сек2 (т. е. для сравнительно небольшого
легкого спутника) с использованием приведенных
в приложении значений плотности р. Там же даны
значения силы /?*, приходящейся на квадратный метр
площади Fm миделевого сечения (при сг = 2,4).
Из таблицы видно, что на высотах, на которых
совершается полет искусственных спутников Земли (т. <*•

* 11.11
ДВИЖЕНИЕ ПО КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
379
при /i>100—150 км), ускорение, вызываемое силой
сопротивления воздуха, мало по сравнению с ускорением
силы тяжести. Поэтому возмущение, вызываемое
силой сопротивления воздуха, можно считать малым и
для анализа его влияния пользоваться изложенным
в гл. II и III методом линеаризации уравнений
движения по круговой орбите.
Из выражения (14.29) следует, что при движении по
невозмущенной круговой орбите (г = const) сила
сопротивления воздуха является постоянной. Иначе
говоря,
7 = r0=const.
Таким образом, в рассматриваемом случае имеет
место некоторое малое постоянное тормозящее
ускорение. Для анализа его влияния можно использовать
результаты, полученные в § 3.3. Как было показано в этом
параграфе, под влиянием рассматриваемого
возмущения высота полета спутника и период его обращения
будут монотонно убывать, т. е. спутник будет двигаться
по сворачивающейся спирали со все возрастающей
скоростью *).
При этом все возникающие возмущения пропорцио-
т
иальны отношению —~, где gcv — ускорение силы тя-
жести на рассматриваемой высоте. Из выражений (1.2)
и (14.29) следует, что
^L = _Cpr = -cp(/?3 + A). (14.32)
scp
Используя зависимости (3.7), (3.13) и (14.32),
можно написать выражение для изменения периода
обращения за один виток:
ЬР = — ^—срг^2 или — = — блсрг, (14.33)
гЗ/2
где я==2л--7=г — период обращения по
невозмущенной орбите.
*) В § 3.3 приведено объяснение этого, на первый взгляд
парадоксального явления постепенного увеличения средней скорости по-
Лета под влиянием сопротивления воздуха,

380 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ {ГЛ. XIV
Далее, используя зависимости (3.12) и (3.14), на*
ходим выражения для определения вековых
изменений среднего радиуса бг орбиты за один виток, про*
дольной скорости полета 6vy, а также для смещения
вдоль орбиты б/, соответствующего изменению периода
обращения на величину 6Р:
6г = — 4лсрг,
bvu — 2лгр V ИЛ
bl = —wbP=r. 12nVpr2,
Ьг
г
bvn
w
Ы
—
г
-—
2
3
ЬР
Р
1
3 '
2л
'
ЬР
р
ЬР
р
(14.34)
где w~Y/ — — скорость движения по невозмущенной
орбите.
В процессе движения по возмущенной орбите плот*,
ность р воздуха непрерывно возрастает по мере
уменьшения высоты полета h^r—/?з. Это в свою очередь
влечет за собой увеличение значений \T\t \дР\, М,
\6г\ и 6vu, т. е. все возмущения орбиты непрерывно
возрастают. Однако при малых значениях бг (что
обычно имеет место на практике) можно в некотором
ограниченном интервале времени пренебречь
переменностью величин 6Р, б/, бг и 8vu, заменив их средним!;
значениями. Тогда, используя зависимости (3J$),v
(3.12) и (3.13), можно написать выражения для cdof-ii
ветствующих вековых возмущений (ДР)век, (Л0и*4
(Дг)век, (ДУм)вск элементов орбиты за п витков, а так*
же для скорости (Дс>,.)век векового радиального
смещения: '•"{
(ДЯ)В
Ъг — 1
ЬР, (Д/)в
~ы.
(Лг)век = п (V, (Л?-Лсч< ^ я 6i'a,
(Ах>,).
— 2ср у цг =
(14.36i
Заметим, что в этих формулах счет числа п витией ^
начинается с первого, а не с нулевого витка. При .э*®*||
величины (Д/)вен, (Дг)век и (Дуи)век определяют зна*<Г
пня соответствующих возмущений в конце я-го вит"""

14.41
ДВИЖЕНИЕ ПО КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
381
а величина (ЛЯ) вей — возмущение периода обращения
для п-го витка, определяемого как разность между
временем начала (я-f- 1)-го и временем начала п-го витка.
При л = 1
(Д/")век = ^> (Д^в)век = 5<lV
Помимо указанных вековых возмущений, круговая
орбита под влиянием сопротивления воздуха
испытывает также периодические возмущения. Их
максимальные значения могут быть оценены с помощью
выражений (3.11), (14.32) и (14.33), согласно которым
IV
|Д/;
,n,ax = 2cpr2,
max = 8фГ2,
l^rli
-\vH
•4срУ\\г,
■ 2cp У \\г,
|Ar|max
r
1 Л/ lmax
r
1 '^7 lmax
W
1 Avu |,nax
Of
1
— Зл
4
— Зл
2
Зл
1
— Зл
bP
p
bP
p
bP
p
bP
p
\ (14.36)
Из приведенных соотношений видно, что под влиянием
сопротивления воздуха наибольшее вековое возмущение
имеет место по направлению движения спутника.
Действительно, из выражений (14.34) и (14.36) получаем;
6/ Ы (ifl 26/ Ы
.&г I шах — Зя ~ 9,4 ' lA'Lax— Зл2 ~ 14.8
|Дг|
6/
6д2
59
(14.37)
При этом следует иметь в виду, что вековое
смещение (Д/)век вдоль орбиты возрастает пропорционально
квадрату числа п витков, в то время как вековое
смещение (Дг)век вдоль радиуса возрастает
пропорционально первой степени этого числа, а максимальные
значения периодических возмущений | А/1 тах и |Дг|тах
остаются неизменными (если пренебречь влиянием
Увеличения силы сопротивления воздуха в процессе ве-
кового уменьшения высоты полета).

382 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [HFL-Qtltf
"а?
С
*
1 ъ
а,
с
1 rt
1 х
1 >>
ОЗД
1 w
1 х
леи
и
1 °
1 о«
1 с
1 о
1 °
1 £i
ВЛИЯ1
•=<
! о
1 с
3
1 н
1 *°
Оч
1 °
1 *
1 о
1 еэ
I о
круг
1 «
S
1 °
1 ^
1 ^
CQ
со
3
CQ
j
1 *
1 ю
I V.
1 ^
<
1 ——
3
£
•о
X
£
<
И
£
^
<
i^
«о
0.
Чо.
•с |
*
^
^
Ч
*
х
*
1 *
ъ;
*> j
^
CD
ГН
00
CN
(N
СО
О
"^f
CN
1—+
00
Ю
\
О
о
СО
о
оо
'—,
ю
ю
<л
ю
ю
—'
CN
о
^
оо
,_
г-н
СО
1
о
CN
о
ю
-
I
о
г^
СО
(М
'—",
со
,__
о
(М
СО
о
(М
<л
-*р
CN
1
о
со
8
(М
-
!
О
*-+
'—
„
1
О
•^
СО
у
о
г^
СО
СМ
О
(М
ст>
-
о
оо
ю
ю
ю
-
о
о
^
1
о
СО
о
ю
(М
см
1
о
ю
СО
—
!
о
'—'
'—,
~"
о
(М
,—1
с
о
о
СО
-
о
о
00
г—,
-
о
СО
(М
ю
1
о
СО
8
СО
сч
!
О
СО
'—,
с»
!
О
«—'
•^
СМ
о
Ю
^
СМ
о
_-
—'
см
о
-ч
1^
1
о
Г^
со
СМ
о
i^
ОО
ю
1
О
СО
О
ю
СО
со
I
О
т*
Ю
СМ
1
О
1^
'-"н
СМ
о
а
_
СО
О
ОО
Tf
с
о
о
со
!
О
00
CN
см
О
г^
СО
(О
!
О
СО
СО
О
о
ч*
со
1
О
СО
'""'
со
1
О
о
со
СО
О
ю
-3-
со
О
^
—'
СО
о
—■
г^
1
о
i^
СО
со
О
СО
оо
со
I
О
ю
8
ю
„
I
о
t^
СО
СО
!
О
CN
""■"'
СО
О
rf
__
*
О
f
СО
СО
О
«-"
CN
см
1
о
о
(М
со
О
^
(М
1
О
СО
8
СО
^,
|
О
СО
■*-*
чГ
1
о
о
^
-*
о
<л
*?
*■
о
см
—'
*■
о
о
1^
СО
!
О
CN
1^
*
О
СО
о>
1
О
СО
8
t4»
О |
О |
Ю I
' 1
о
со
~
"+ 1
'о 1
« 1
fH
ю
О
00
"*
1
о
1—4
°-
С0 [
СО
|
О
Q, i
сГ 1
1
. 1
I
т
о 1
Й i
со 1
t
f
7 '
S .'i
9 1
8
00 |
___l

ИЗМЕНЕНИЕ ВЫСОТЫ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ 383
В табл. 14.2 помещены значения ~^-
|6Р',, б/,
Р
6Г , iA/',max, |Д/'|тах, \bvu\ И j {\V,) век I, Вычисленные
ття случая с = 0,1 —р 2- и 120 км *С А < 800 кл«.
Из таблицы видно, что влияние сопротивления
воздуха па движение искусственных спутников Земли
резко убывает с увеличением высоты полета. При этом
соответствующие периодические возмущения орбит
становятся практически незаметными на высотах порядка
400 км. Что касается вековых возмущений, то при
прогнозировании движения спутников на несколько витков
впеоед их влиянием можно пренебречь при высотах
порядка 600—700 км и выше. Однако при длительном
прогнозировании влияние сопротивления воздуха
оказывается существенным и на больших высотах. Так,
например, на высоте 800 км вековое смещение 6/ вдоль
орбиты за один виток составляет приблизительно 3 м.
Тогда на основании зависимости (14.35) получаем
величину смещения за 1000 витков (Д/) век = 1500 км.
14.5. ИЗМЕНЕНИЕ ВЫСОТЫ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
ПОД ВЛИЯНИЕМ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА
Как видно из табл. 14.2, по мере уменьшения высоты
полета резко усиливается влияние сопротивления
воздуха на движение искусственного спутника Земли. При
этом определяемые равенствами (14.35) линейные
законы зависимостей периода обращения Р и радиуса г
орбиты, а также квадратичный закон зависимости
смещения Д/ вдоль орбиты от числа п витков нарушаются
в сторону усиления рассматриваемых возмущений.
Начиная с определенной высоты, возмущающее действие
атмосферы настолько возрастает, что дальнейшее
движение спутника становится невозможным. Так,
например, на высоте полета /г = 120 км уменьшение высоты
За один виток составляет величину 1бЛ'| = |6г| = 132 км
(см. табл. 14.2), т. е., другими словами,
рассматриваемый спутник должен упасть уже на первом витке
орбиту Таким образом, конечным результатом воздействия
сопротивления воздуха является падение спутника на

384 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XIV
Землю. В связи с этим представляется важным
определение характера вековых изменений элементов кру,
говой орбиты под влиянием сопротивления воздуха и
вычисление времени существования спутника.
Как показано в § 1.1, все параметры, характеризую-
щие движение в плоскости круговой орбиты,
однозначно определяются высотой полета h~r — /?3. Поэтому
мы здесь ограничимся рассмотрением вековых
возмущений высоты полета, определяемых из уравнения
-jj- = (Д^г)век = — 2СО V^jlr,
где (ДУг)век — скорость векового радиального смещения
спутника (см. выражение (14.35)).
Отсюда, вводя понятие относительного времени
т = г/, (14.38)
находим, что
dr = ^=г. (14.3:п
2р у \\г
Если при определении плотности р воздуха
пользоваться любой стационарной моделью атмосферы (т. е.
считать р зависящим только от высоты h полета), то,
интегрируя уравнение (14.39), получим:
x~xl = F(hi) — F{h), (14.40)
где Ti и т — значения относительного времени,
соответствующие начальной высоте hx и текущей высоте А,
a f (ft) — функция высоты, определяемая из равенства
h
/r(A) = _J_ f—™. (14.41)
Очевидно, что характер функции F(h) определяется
выбранной моделью атмосферы. Если эта функция из-
вестна, то, используя зависимости (14.38) и (14.40).
можно для любого спутника легко определить время»
за которое спутник с высоты h{ перейдет на высоту ":
Л =
= Fjh^-FUi) (l4A2)

14.5]
ИЗМЕНЕНИЕ ВЫСОТЫ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
385
Переходя к определению функции F(h) для
различных моделей атмосферы, заметим, что входящая в
правую часть выражения (14.41) величина Уг=У#з + Ь
меняется с высотой h значительно медленнее, чем
функция плотности р(Л). Поэтому в дальнейшем при
приближенном вычислении F(h) можно пренебречь
переменностью У г и заменить эту величину ее начальным
значением. Тогда, подставляя зависимость (14.9)
в (14.41), находим для изотермической модели
атмосферы:
1 - /• ( и — Л, Л .„
>(*) =
2р, Yvr
и
2>V\f> Ро/
(14.43)
где ро — плотность воздуха при Л = 0. ..
Из полученного выражения видно, что /г(0)=0 и
чго эта функция быстро возрастает с увеличением
высоты h. При этом первый член правой части
полученного равенства -значительно превосходит второй член.
Поэтому можно написать, что
Я ехр (-"-'" V-
н
н
2pi >V
Используя выражение (14.23),
2pVJP
(14.44)
аналогично находим
Для атмосферы с постоянным градиентом
«молекулярной» температуры:
~dh =
P{h) = -
YVr J (
IU
2P,lV(-^ + l)
(14.45)

386 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ XI •
С другой стороны, из выражений (14.17), (14.22)
и (14.23) следует, что ' '
г , /г — /г 1 \-7Г+1 р,Г
(1_г~^~) =^Г'
Отсюда
FW = r-fH ТГт[т' Т^)' (14-46)
где Т , Т\ и Го — соответственно значения
«молекулярной» температуры на высотах //, /^ и Л0 = 0.
Пренебрегая в этой зависимости вторым членом
правой части, можно написать
F(h) * -" , Г „ N . (14.47)
2рУ цг rj Л ' '
(1+£)
При а—>0, #г—*оо и 7' = const зависимости (14.46)
и (14.47) переходят в соответствующие выражения
(14.43) и (14.44) для изотермической атмосферы.
Заметим, что всегда можно сделать так, чтобы
высота hu для которой определяются параметры pi, H и
Нт используемой модели атмосферы, совпадала с
высотой Л, для которой находится значение функции F(h).
В этом случае Т'=Ти а формула (14.47) принимает
вид:
2p}V
1
нт
Входящие в правую часть этого равенства величины
Н и Нт являются функциями высоты h. Из выражении
(14.20) и (14.22) следует, что эти функции
определяются при помощи равенств

14.51
ИЗМЕНЕНИЕ ВЫСОТЫ КРУГОВОП ОРБИТЫ
387
Отсюда, пренебрегая переменностью величин а и g,
a также учитывая равенство (14.18), находим, что
dH а На И /л 0 .
Тогда выражение (14.48) принимает вид:
пк>~ ■&?-£*■ <и-49)
^ d/i
В некоторых случаях для определения параметров
верхней атмосферы используются модели, состоящие
■из нескольких слоев, каждый из которых
характеризуется постоянством градиента «молекулярной»
температуры (в частности, некоторые из них могут быть
изотермическими). Используя зависимости (14.41) и
(14.47), можно написать, что для такой модели
FW^lF^h^-F^h^ + F^-F^hnl (H.50)
/ = i
где Fi(h) — функция F(h) в некотором i-u слое,
определяемая по формуле (14.47), Лг- и Аг-+1— верхняя и
нижняя границы t-ro слоя, п — номер слоя, в котором
находится рассматриваемая высота Л.
В приложении II помещена таблица значений
функции F(h), вычисленных по формуле (14.41) для
атмосферы CIRA 1961. Значения функции F(h) даны в раз-
мг
мерности -^jr- т с. с, так что при делении их на
коэффициент с, имеющий размерность ~т^ г, получаем
время полета в средних солнечных сутках (с. с).
Используя приведенную таблицу, можно по
формулам (14.40) и (14.42) найти зависимость высоты Л от
величин т и t. На рис. 14.3 и 14.4 изображены графики
зависимости А(т) для различных значений начальной
высоты Ai (А1==200 и 500 км). Из графиков видно, что
Q течением времени скорость уменьшения высоты по-
* ета постепенно возрастает. В конечном итоге спутник

388 влияние сопротивления воздуха ид движение [гл. xiv
0
Щ
12
«
п
^
1
I
щ
1 I ! I
1 1 II
| 1
.
! 1
1
i ] ■
.
0,08
1
J
*Гсас'ас-
юо\
Рис. 14.3. Зависимость высоты h полета от относительного
времени т при начальной высоте круговой орбиты hx =200 км*
п> 1
/fAf *
600
wo
300
200
/00
t
1
7
i
!
Л
7
—
_
|
!
*
9
"' 1
1
1
■" |
а
г—
1
;
*5&Р'Л \
Рис. 14.4. Зависимость высоты h полета от относительного
времени т при начальной высоте круговой орбиты h\ = 500 -км*

14.5J
ИЗМЕНЕНИЕ ВЫСОТЫ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
389
резко опускается вниз и прекращает свое существо-
ванне.
Во многих случаях при определении функции JF(lt)^
целесообразно пользоваться приведенными выше
приближенными формулами. Для оценки точности этих
формул могут служить .помещенные в табл. 14.3 зна-
„ ?(h) F(h) _,,..
чения отношении .-^тм и "fTaT» где F(h)
значение
рассматриваемой функции по таблице приложения II,
Таблица 14.3
■ Л,
КМ
150
! 200
250
300
350
400
450
F
F
1,44
1,25
1,12
1,10
1,11
1,12
1,13
F
F
1
0,98 |
1,02
1,02 j
1,00 !
1,00
0,99 |
0,99 j
i
Л
Л'.К
500
550
600
650
700
750
800
! F
F
1,13
1,14
1.14
1,П
1,03
1.Н
1,14
F !
F j
0,98
' 0,99
0,99 !
0,99
1,01
1,00
0,97
a F(h) и F(h) —величины, вычисленные по
приближенным формулам (14.44) и (14.49). При этом
значения p(ft) и Я (Л) выбирались из приложений I и II,
а вместо производной ~-гг- принималась ее средняя
величина, определяемая по формуле
/сШ\ _ н (h)~H(ii — \)
где д — некоторая величина, выбираемая из условия,
чтобы в интервале высот от А до h — А. спутник
двигался большую часть своего времени существования.
Легко показать, что это равносильно условию F(h) *S>
^> F(h — Д). Кроме того, в рассматриваемом интервале
высот, закон изменения функции H(h) должен быть по
возможности близок к линейному ^см. рис. 14.1).

390 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [r|l. Х\
Исходя из этих соображений были выбраны сл€ду»щие
значения А:
при 300 км < А < 800 км Д = 100 км,
» //==250 » Д = 50 »
» h = 200 » Л = 40 »
» Л = 150 » Д = 20 »
Из приведенной таблицы видно, что в
рассматриваемом случае относительная ошибка определения
функции F(h) по приближенному равенству (14.49) не
"превосходит 3%. Эту точность следует считать вполне
удовлетворительной (учитывая приближенный характер
используемых данных). Что касается формулы (14.44), то
она дает несколько большую погрешность (в сторону
завышения величины F(h), что связано с монотонным
возрастанием высоты Н однородной атмосферы навеем
рассматриваемом интервале изменения высоты полета
//). Этой формулой целесообразно пользоваться для
приближенных оценок в тех случаях, когда неизвестно более
„ dH
или менее достоверное значение производной ~тг *
14.6. ВРЕМЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СПУТНИКА
И КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
Из выражения (14.41) следует, что к моменту
прекращения существования спутника (т. е. при ft-*0)
F(h)-+0. Отсюда, используя зависимость (14.42),
находим выражение для полного времени существования
спутника на круговой орбите
_F(h0) ' {14.51)
^cviii— » \л
рсут
где h0—начальная высота полета рассматриваемого
спутника. _
В частности, на основании зависимостей (14-35) 1
(14.47) находим для атмосферы с постоянным темпе*

lf.6J
ВРЕМЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СПУТНИКА
391
ратурным градиентом:
И
Т'о
н
2фоУТ^ r;/i+-^-)
I (Л«>Л
(14.52)
гдег0, Р0> 7^0» | (Д^г)Век lo— значения соответствующих
величин на высоте A = /i0.
Для изотермической атмосферы (^о^ Т\, //г= со)
это выражение принимает вид:
И И
t
сущ -
2ср0 Vvo
(14.53)
I (Af г)век lo
Учитывая зависимость (5.36) и (14.33), выражение
(14.51) можно преобразовать к виду
^Сущ — к (А0) 15/^01 '
где
(14.54)
*(Ло) = 3/ЧА)р(А)1/£
(14.55)
а Р0 и 6Р0— соответственно начальные значения
периода обращения Р и его изменения ЬР за один виток.
В частности, используя выражения (14.44) и
(14.49), находим, что
*(*) =
3 //
■л — для изотермической
модели атмосферы,
3 //
2 г
1 +
^j- для модели атмосферы
dh
(14.56)
с постоянным
температурным градиентом.
Входящая в правую часть последнего выражения
величина -^ может быть найдена при помощи
равенства (14.48а).
Формула (14.54) удобна для определения времени
существования фактически летающих спутников, для
к°торых величины Р0, 6Р0 и h0 могут быть найдены

392 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА ПА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XIV
сравнительно точно. При использовании этой формулы
исключаются ошибки, связанные с незнанием величин
с и р, однако остается погрешность, определяемая
отклонением фактического значения функции k(h) от
расчетного.
В приложении II приведены значения k(h),
вычисленные по формуле (14.55) для атмосферы CIRA 1961.
Из зависимостей (14.51), (14.52) и (14.53) следует,
что в случае движения по круговой орбите время
существования <су,ц (при заданной стационарной модели
атмосферы) зависит от начальной высоты Л0 полета и
коэффициента с. При этом оно резко возрастает с
увеличением /i0 и уменьшением с.
В некоторых случаях представляет интерес
определение вариации Д/Сущ времени существования при
малых отклонениях величин с и Л0. Для этого можно
воспользоваться выражением
Д/су1Ц=-^-Дс+-жгДА0,
где Дс и ДЛ0 — малые отклонения соответствующих
величин.
Используя зависимости (14.41) и (14.51), находим,
что
tf'.:y.n _ ^С'о) _ 'сущ
о с ' с- с
—Т1 — ] __ 1 _ Ф (*о)
Oho 2c\)0 }r\iF0 I (Svr)3eK j0 с
где ф(А)—функция высоты, определяемая по формуле
ф(А) = _1
2руцг
В приложении II приведены значения этой функции
для различных высот.
Определим теперь условия, при которых спутник
прекращает свое существование. Этим условиям
соответствуют некоторые критические элементы
так-называемой критической орбиты (минимально возможная
высота йцрит полета, минимальный период обрашенй$|
Pvpaif максимальная скорость к'1фит и т. д.). При этом

UM
ВРЕМЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СПУТНИКА
393
п0д критической орбитой мы будем понимать такую
орбиту, на которой спутник может еще сделать один
полный оборот вокруг Земли и, следовательно,
выполняется равенство
*крнт = *сущ-
Подставляя сюда выражения (1.5) и (14.51), можно
написать уравнение для определения критической
высоты полета:
^(Яз+_Ут)'& = ^рит)
/И ■ С
Отсюда следует, что для заданной атмосферы
критическая высота Лкрит
полета является функцией
коэффициента С. Зная ВеЛИЧИНу Льрит, МОЖНО ПО ДОВОЛЬНО
Рис. 14.5. Зависимость критической высоты ЛКрит полета и
критического периода обращения Якрит от коэффициента с при движении
по круговой орбите.
простым формулам вычислить остальные крн1*ические
элементы орбиты (см. гл. I).
На рис. 14.5 дан график зависимости критической
«ысоты Аь.рит полета и критического периода обраще-

394 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. \:у
ния Рь-рит от коэффициента с для принятой выше
модели атмосферы. Видно, что при изменении с в очень
широких пределах (о,001 кГмсек, <с < Ь0^~)
величины Ль-р11Т и РкрИт меняются сравнительно мало
(108 км<1ь фит ^ 188 км, 86,5 мин ^С Р1;рпТ -^ 88,1 мин).
При этом возрастанию коэффициента с соответствует
увеличение /zi:p„T И Ркрит-
Из сопоставления графиков, изображенных на
рис. 14.1 и 14.5, следует, что невозможность
существования спутников на высотах ниже 110—120 км
обусловлена тем, что при переходе к этим и более низким
высотам резко уменьшается величина Я, т. е. резко
возрастает интенсивность увеличения плотности воздуха
с уменьшением высоты. Поэтому практически можно
считать высоту порядка ПО—120 км минимально
возможной высотой полета современных искусственных
спутников Земли, а период в 86,5—86,7 мин —
минимально возможным периодом обращения.
В заключение заметим, что приведенные на рис. 14.5
зависимости Л1:р£1Т и PI>piIT от с мало изменяются при
переходе к другой модели атмосферы. Это связано
с тем, что всякое изменение плотности воздуха
равносильно некоторому изменению коэффициента с, которое
мало отражается на значениях Р,ф11Т и Л,ф„т.
14.7. ВЛИЯНИЕ ЗАХВАТА АТМОСФЕРЫ
ВРАЩЕНИЕМ ЗЕМЛИ НА ДВИЖЕНИЕ
ПО КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
При оценке влияния захвата атмосферы вращением
Земли мы будем исходить из зависимости (14.28).
Входящий в это выражение вектор v{ скорости воздуха
относительно инерциальной системы координат будем
полагать направленным с запада на восток, а величину
этого вектора определять из выражения
c'i = ftQrcos5, (14.57)
где Q — угловая скорость вращения Земли, г —
расстояние от центра Земли до спутника, В — геоцентри;
ческая широта, a k — коэффициент, характеризующий

14.7]
ЗАХВАТ АТМОСФЕРЫ ВРАЩЕНИЕМ ЗЕМЛИ
395
степень захвата атмосферы вращением Земли. Это?
коэффициент может изменяться в пределах
0<к'< 1. (14.58)
Найдем теперь проекции вектора относительной
скорости спутника на направление г, являющееся
продолжением радиуса-вектора, соединяющего центр О Земли
со спутником Д а также на направление лежащей
в плоскости орбиты нормали и к этому радиусу и на
направление нормали £ к плоскости орбиты (система
Drut, правая). Используя рис. 14.6, найдем выражения
Рис. 14.6. Определение составляющих
скорости движения спутника относительно
вращающейся атмосферы.
Для проекций viu и i>i; вектора Vi скорости воздуха на
эти направления. Подставляя равенства (14.57) в
зависимость (14.28), находим:
^отн г — 4-V»
^отн u = vu — kQr cos В sin Л,
v0TH 5 = kQr cos В cos Л,
(14.59)
где
готнг, ^отни, £Ws и vr, vu — соответствующие
проекции векторов s>0TH и v, a A — азимут направле-
'отнг
ЦР
Пия Du

396 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [г|]. Xiv
Рассмотрим прямоугольный сферический треуголь-
ник D£lD' (0<Q,— линия узлов, OD' — линия
пересечения меридиональной плоскости, проходящей через
спутник D, с плоскостью экватора). В этом треугольнике
Отсюда
cos/ — sin A cos Z?,
cos £m£lD'D = 0 = — cos / cos A + sin / sin A cos u,
л sin / sin .4 cos и
COS Л = : ,
COS I
cos В cos Л = sin / cos u.
Подставляя первую и четвертую из приведенных
зависимостей в равенства (14.59), находим, что
^'отп г ^ /■» I
^отн и = ^« — А^/" cos /, J (14.60)
Vom £ = А(--Г Sin / COS И. J
Отсюда получаем выражение для абсолютной
величины вектора v0TU:
► -г» = yV2-I- (vfi — kilr cos /V2-г A-12V2 sin- / cos2 a =
OTH ' Г \ « /
= yV — 2-^AQrcos/ + £2<22r2 (1 — sin2isin'2и). (14.61)
Обозначим через S, Г, W проекции вектора
возмещающего ускорения, вызываемого сопротивлением
воздуха, на направления Dr, Du и DZ>. Из выражений
(14.1) и (14.30) следует, что
*^ ^Р^'отп^'отн и I
T=-CpVo™V«Tnn* <l4'62)
W=-- — cpv0Jtiv0TH *. J -
Входящие в эти выражения величины -tw. v'^v Гч
Vom и и "^отн ь определяются из зависимостей (14.60) н

147] ЗАХВАТ АТМОСФИРЫ ВРАЩЕНИЕМ ЗЕМЛИ 397
(14.61). В частности, для круговой орбиты (iv=-0.
vu = v = w) имеют место равенства:
T^ — cp(w~ kQr cos i) X
X \rw2 - 2wkQrcosi + A2Q2r2(l — sin2/ sin2 и), \ (14.63)
W = — cpAQr sin / cos я X
X /<ay2 — 2<a;AQr cos / + k2Q2r2 (1 — sin2 / sin2 a).
Как показывают расчеты, при изменении высоты
полета А = г — Яз в пределах
120 /сле<А< 1000 /ел
Qr
величина —=
Or*
te>
KF
изменяется в пределах
Qr
0,06 < — < 0,073.
(14.64)
(14.65)
Считая это отношение малым, можно с точностью до
малых первого порядка заменить выражения (14.63)
зависимостями
Т ^ — cpw2 (1 — 2k -—^ cos Л,
W « — ср^2Л -^- sin / cos «.
(14.66)
Таким образом, захват верхней атмосферы
вращающейся Землей приводит к возникновению
возмущающего ускорения, действующего не только по
направлению полета спутника, но и по нормали к плоскости
орбиты.
Из сравнения первой формулы (14.66) с
зависимостью (14.29) следует, что при учете захвата
атмосферы вращающейся Землей направленное вдоль
орбиты возмущающее ускорение Т изменяется
пропорционально множителю Ф=1—2k — cos/, постоянному
для данной орбиты. Из неравенств (14.58) и (14.65)
Следует, что для высот полета Л<1000 км величина

398 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. )Щ£
этого множителя может изменяться в пределах
0,854<Ф<1,Н6. (14.67)-
Очевидно, что рассмотренные выше возмущения
круговой орбиты изменяются пропорционально этому множив
телю, а время tcym существования
спутника—обратно пропорционально множителю Ф. При этом полету
с запада на восток (0<,'*<4>-) соответствует
уменьшение возмущающего влияния сопротивления воздуха
(Ф<1), а полету с востока на запад (?>*</^я).—
увеличение этого влияния (Ф>1).
Как было показано выше, суммарные вековые
возмущения положения спутника, возникающие за счет
влияния сопротивления воздуха, с течением времени
становятся очень большими. Поэтому значительными
могут быть также и изменения этих возмущений при
умножении их на приведенный выше множитель Ф.
Однако на практике следует иметь в виду, что влияние
указанного множителя может быть скомпенсировано
соответствующим изменением коэффициента с или.
плотности р воздуха. Так как точность, с которой
известны указанные величины, невелика, то в настоящее
время не представляется возможным отделить ошибки,
вызываемые неправильностью учета влияния захвата
атмосферы вращающейся Землей, от ошибок,
обусловленных возможной неточностью определения величин. <■
с и р. Отсюда следует невозможность определения ко- ;
эффициента k захвата атмосферы Землей по измере- ;
ниям возмущении, лежащих в плоскости орбиты (эта* j
задача могла бы быть решена при одновременном за- |
пуске в западном и восточном направлениях двух оди-, f
наковых спутников).
Рассмотрим теперь влияние возмущающего ускорен
ния w9 нормального к плоскости орбиты. Из выражения-/
(14.66) видно, что это ускорение пропорционально cos я»г
т. е. изменяется с периодом, равным периоду обраще-.
ния спутника по орбите. Как было показано в § 3.7fv|
при этом, кроме периодических возмущений орбита*:'*
(которые мы здесь не будем рассматривать ввиду и*М

14.7]
ЗАХВАТ АТЛЮСФЧРЫ ВРАЩЕНИЕМ ЗЕМЛИ
399
малости), имеет место вековое вращение плоскости
орбиты. Из выражений (3.34), (3.35) и (14.66), учитывая
известное соотношение cos u = sin \и—I — ~| ,
следует, что это вращение осуществляется вокруг оси,
характеризуемой направлением
Ki = 0, (14.68)
т. е. вокруг линии узлов.
В этом случае угол поворота орбиты за один виток,
т. е. значение угла \р при ф = 2я, определяется по
формуле
х 1 CQW2 Ь&Г • • Ь&Г • • /1 л new
Ь^ = — л — sin г = — ncpr sin/. (14.69)
Пользуясь зависимостями (1.4), (9.53), (14.33) и
(14.68), находим, что узел орбиты при этом не
смещается (6Д = 0), а наклонение изменяется на величину
Ы = &ф = — тхерг-jjp sin/ = 12 6Р, (14.70)
где б Р — изменение периода обращения за один виток,
определяемое без учета захвата атмосферы вращением
Земли (учет захвата атмосферы Землей при расчете
величины ЬР вносит в правую часть выражения (14.70) поправ-
ку порядка I 1 , которую мы здесь не учитываем).
Из выражения (14.70) следует, что при всех
значениях наклонения / орбиты, которое, как было указано
в § 1.2, может изменяться в пределах от 0 до л,
величина 6/<С0. Иначе говоря, под влиянием захвата
атмосферы вращением Земли орбита стремится занять
положение, при котором наклонение /==0, что
соответствует совпадению орбиты с экваториальной плоскостью
при направлении полета с запада на восток. Однако
поворот орбиты к этому положению совершается
чрезвычайно медленно. Так, в разобранном в табл. 14.2
примере максимальное значение изменения наклонения
орбиты за виток (при / = 5- и А=1) меняется от
величины |6i|«l"f5-'l0-4 при Л = 800 км до |JW|«1" при
л = 200 км и |6/|~4",5 при /г= 150 км. Из этого

400 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА ПА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. vjv
примера видно, что в подавляющем большинстве
случаев 6/«Г'.
Пользуясь зависимостью (14.70), можно оценить
величину А/ полного изменения наклонения орбиты за все
время существования спутника.
Для этого пренебрежем переменностью величин i и
k в правой части равенства (14.70), заменив их
некоторыми средними значениями /ср и &ср. Тогда, суммируя
величины 6i и ЬР за все время существования
спутника, находим, что
kcuQ sin /ro
Д/ = W-M^-'V)' (H.71)
где Р0 и Яь-рпт — начальное и критическое значения
периода обращения.
В качестве примера рассмотрим спутник, полет
которого начинается с высоты h = 500 км. Расчеты но
формуле (14.71) показывают, что в этом случае
максимальное полное изменение наклонения орбиты за все
время существования спутника, которое в данном
случае исчисляется годами, составляет приблизительно 3'.
Из изложенного следует, что на практике
чрезвычайно трудно обнаружить влияние захвата атмосферы
вращающейся Землей на движение искусственного
спутника. При анализе движения в плоскости орбиты
это влияние маскируется возможными изменениями
величин с и р. Что касается изменения положения
плоскости орбиты, то оно является незначительным.
Поэтому при исследовании влияния сопротивления
воздуха на движение искусственных спутников Земли можно
в большинстве случаев пользоваться любой гипотезой о
характере захвата атмосферы вращающейся Землей, т. е-
придавать коэффициенту k любые значения от 0 до 1.
14.8. ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА
НА ДВИЖЕНИЕ ПО ПОЧТИ КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
В предыдущих параграфах при анализе влияния
сопротивления воздуха на движение спутника по
круговой орбите мы исходили из допущения о постоянстве
высоты h полета. Однако в действительности это
условие почти никогда не выполняется с точностью, которая

4.8] ДВИЖЕНИЕ ПО ПОЧТИ КРУГОВЫМ ОРБИТАМ . 401
могла бы обеспечить практическое постоянство силы
сопротивления воздуха. Чтобы показать это, восполь-
зуемся выражением
h = r-r^ (14.72)
где г и г3 — соответственно расстояния от центра
Земли до спутника и до проекции спутника на поверхность
геоида*).
В процессе движения спутника величина г
испытывает периодические колебания, вызываемые
отклонениями начальных условий от условий, обеспечивающих
точно круговое движение, а также воздействием
различных возмущающих факторов. Основным из этих
факторов является наличие второй гармоники в
разложении потенциала земного притяжения в ряд (12.6)
по сферическим функциям.
Из выражений (2.16) следует, что при небольших
отклонениях от круговой орбиты возмущения,
вызываемые изменением начальных условий, меняются с
частотой, равной частоте обращения спутника по орбите. Что
касается" возмущений, определяемых наличием второго
члена в разложении потенциала земного притяжения,
то согласно зависимости (13.20) они изменяются с
удвоенной и одинарной частотой обращения невозму-
щениого спутника.
Для определения величины г3 можно
воспользоваться известным приближенным выражением [21]:
r3 = Ml —a sin2 В), (14.73)
где ае—большая полуось общего земного эллипсоида,
а— его сжатие, а В — геоцентрическая широта
рассматриваемой точки.
Отсюда, пользуясь зависимостью (13.2), находим,
что
гз = ае(1 — a sin2/г sin2/) — ae[l — ^Ц^(1 - cos 2а)].
(14.74)
) Точку, соответствующую проекции спутника на поверхность
Да, часто называют подспутниковой точкой.

402 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. Xly^
Следовательно, при движении спутника по орбите
величина г3 изменяется с частотой, равной удвоенной
частоте обращения спутника.
Сопоставляя полученные результаты с зависимостью
(14.72), находим окончательно, что высота h полета
изменяется с одинарной и удвоенной частотой обраще*
ния спутника по орбите. Отсюда, аналогично тому, как
это было сделано при выводе зависимости (13.20),
можно показать, что
И = ИСр + {\1 sin (и — Ui) +A2sin2(« — u2), (14.75)
где Дь Д2, iii и и2 — некоторые постоянные, зависящие
от начальных условий движения и основных
характеристик поля земного притяжения, a hCp — средняя
высота полета, определяемая по формуле
Лср = гср-л,(1--^-). (14.76)
Здесь гср — средний радиус рассматриваемой почти
круговой орбиты.
Интегрируя выражение (14.75) по и от 0 до 2я,
находим, что
2л
лср = ^г/Л(и)АГ«. 04.76')
о
Из зависимостей (13.22), (14.72) и (14.74) следует,
что при отсутствии заметных отклонений от начальных
условий, обеспечивающих движение по круговой
орбите, амплитуды А{ и Д2 колебаний высоты полета
достигают величин порядка аеа^2\ км. При заметных
отклонениях начальных условий движения амплитуда
Д] первого колебания может существенно возрасти*
В заключение заметим, что если учитывать влияние
более высоких гармоник в разложении потенциала
земного притяжения (12.22) и (12.25), т. е. влияние
аномалий земного притяжения, то к выражению (14.75)
следует добавить члены, имеющие более высокую
частоту изменения. Однако они будут существенно меньше
первых трех членов рассматриваемого выражения.

\Ш
ДВИЖЕНИЕ ПО ПОЧТИ КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
403
Из таблицы приложения II видно, что при изменении
высоты полета на 10—20 км плотность воздуха ме«
няется существенным образом. Поэтому учет влияния
рассматриваемых колебаний высоты полета на вели*
чину силы сопротивления воздуха, вообще говоря, не*
обходим.
Мы здесь ограничимся рассмотрением тех случаев,
когда амплитуды Ai и Д2 колебаний высоты полета не
превосходят величин порядка высоты Н однородной
атмосферы (вопрос о влиянии сопротивления воздуха на
движение по орбитам, сильно отклоняющимся от
круговых, будет рассмотрен в следующей главе). Кроме того,
при определении силы сопротивления воздуха заменим
фактическую скорость рассматриваемого спутника
скоростью, соответствующей его движению по средней
круговой орбите. Возникающие в результате относительные
ошибки имеют тот же порядок, что и величина »
*"ср
в то время как относительное изменение силы
сопротивления воздуха, связанное с изменением высоты по-
лета, имеет порядок величины —jj— (напомним, что
Для определения зависимости плотности воздуха от
высоты полета воспользуемся описанной выше моделью
атмосферы с постоянным температурным градиентом.
При этом в выражениях (14.23) и (14.24) в качестве
опорной высоты hi примем среднюю высоту ЛСр
рассматриваемой орбиты. Тогда, пользуясь зависимостью
(14.29) и ограничиваясь в разложении плотности р по
степеням отношения —jj-L первыми тремя членами,
получим следующее выражение для ускорения, сообщае-
мого спутнику силой сопротивления воздуха:
г~-»(*»)<,[|-^+
■+4СТ(1+£)—■]■ ■<*">
где сС'Ср — круговая скорость при г = гс^.

404 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА ПА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. Xl\|f-
Далее из зависимости (14.75) находим, что
h — Лср — &Y sin (и — iii) + ^2sin %(и — и2\
(h - Аср)2 - i (А? [1 - cos 2 (/г - //,)] -f
+ Д? 11 — cos 4 (и — «2)1 "Ь
-т- 2\Д2 [cos (/г — Ъи + Wj) — cos (3/г — 2//2 — ^i)]}-
(14.78)
Таким образом, выражение (14.77) представляет
собой сумму постоянного и периодических членов,
имеющих частоту, кратную частоте обращения спутника на'
орбите. При этом постоянный член определяется равен-»
ством
7; . - со(Аср) ^, [ 1 + ^- (!+£)+...]. (14.79)-
Как было показано выше, величина Т0 определяет,
вековые изменения периода обращения Р и среднего ра-'
диуса гср орбиты, т. е. средней высоты Л(.р полета.
Отсюда, сопоставляя выражения (14.29) и (14.79), па-,
ходим, что у рассматриваемых почти круговых орбитг
величины Р, гср и Лгр изменяются так же, как они
изменялись бы на круговой орбите с постоянной высотой^.
Л. = Лср. При этом первоначальное значение
коэффициента с должно быть заменено исправленным значе-^.
пнем
с =■-- с
ч*Ы)+-\
(14.80)5;
Заметим, что стоящий з правой части этого равен-;.:
ства множитель при коэффициенте с всегда больше еди-*
ницы. Следовательно, переход к почти круговой орбите *
вызывает увеличение скорости убывания периода обра-|
щения Р и средней высоты hcv полета (а значит, и|
уменьшение времени существования спутника) по срав-j
нению со значениями соответствующих величин ДЛЯц
средней круговой орбиты.
Из зависимостей (14.77) и (14.78) следует, что при!
движении по почти круговой орбите выражение Для!

14.8]
ДВИЖЕНИЕ ПО ПОЧТИ КРУГОВЫМ ОРБИТАМ
405
ускорения силы сопротивления воздуха содержит,
помимо постоянного члена, также периодические члены.
Одна из частот изменения этих членов равна частоте
обращения спутника по орбите, а остальные кратны этой
частоте. Таким образом, пользуясь результатами § 3.6
и 3.8, можно показать, что, помимо указанных выше
вековых возмущений периода обращения Р и средней
высоты /zCp полета, будут иметь место возмущения,
связанные, вообще говоря, с изменением эксцентриситета
орбиты, положения ее перигея, а также с некоторым
постоянным изменением периода обращения Р. Однако
более детальный анализ показывает, что влияние этих
вековых возмущений почти круговых орбит мало по
сравнению с влиянием рассмотренных выше
возмущений величин Р и АСр (это легко показать, пользуясь
результатами, полученными в следующей главе).
Поэтому в первом приближении можно при анализе
воздействия сопротивления воздуха на почти круговую
орбиту ограничиться рассмотрением влияния этого
сопротивления на соответствующую среднюю Круговую
орбиту. При этом коэффициент с должен быть заменен
коэффициентом с', определяемым по формуле (14.80).

ГЛЛВД XV
ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДухд
НА ДВИЖЕНИЕ ПО ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ
ОРБИТЕ
15.1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
В предыдущей главе рассматривалось влияние
сопротивления воздуха на движение по круговым и почти
круговым орбитам (почти круговыми считались орбиты,
для которых амплитуда колебаний высоты полета не
превосходит величин порядка высоты Н однородной
атмосферы, т. е. нескольких десятков километров). Для
эллиптических орбит, у которых амплитуда изменения
высоты полета достигает сотен километров, результаты
предыдущей главы становятся непригодными. В связи
с этим в настоящей главе рассматривается влияние
сопротивления воздуха на движение по эллиптическим
орбитам. При этом исследуются лишь вековые изменения
элементов орбиты и задача решается без учета влияния
захвата атмосферы вращающейся Землей, т. е. при
условии, что /z = 0 и v0TlI = v (см. § 14.4 и 14.7). Кроме
того, мы не будем учитывать влияния изменения высоты
полета, вызываемого несферичностью Земли и нецен-
тралыюстью поля земного притяжения (хотя это
изменение высоты полета может оказать заметное влияние на
определение плотности воздуха, однако оно мало по
сравнению с изменением, вызываемым эллиптичностью
орбиты). При этих допущениях, пользуясь
зависимостями (14.1) и (14.30), можно написать следующие
выражения для составляющих возмущающего ускорения:
S = — cpvvr, Г= — cpvvu, W = 0, (15.1)
где vr и vu — проекции вектора скорости на направле-
ния Dr и Du (см. рис. 14.6), a v = Vv2r + Vl ~"~ абС°*
лютная величина вектора скорости.

15.1]
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
407
На основании зависимостей (5.11) и (5.13) можно
переппсать выражения (15.1) в виде
s ^ —1£^ е s\n$ УI + 2e cos® + ё2,
. ^ (\~\-e cos &)]/! + 2е cos Ъ+е\ 1^ = 0,
(15.2)
где р — параметр рассматриваемой эллиптической
орбиты, е — ее эксцентриситет, ц — коэффициент в
выражении (1.2) для ускорения силы тяжести, О — текущее
значение истинной аномалии спутника.
Таким образом, при пренебрежении влиянием
захвата атмосферы вращением Земли рассматриваемое
возмущающее ускорение не имеет составляющей,
нормальной к плоскости орбиты. Поэтому оно не изменяет
положения указанной плоскости.
Подставляя зависимости (15.2) в первые три
равенства (11.39) и пользуясь формулами (1.2) и (4.19),
находим следующие приближенные выражения для
вековых изменений элементов, определяющих движение в
плоскости орбиты:
а г» о / У 1 4- 2е cos t> + e1 , а
г у ./ v (1 +е cos ft)2
&?=.
6о) = —
(1 +
0
2.1
9 Г (е + сов-д)У\+2есо8Ъ + ё
Р J Р (l+*costt)2
о
2.t
2ср Г л sin О }Л + 2е cos # + е
е J
-£/*,
(1+^cosu)2
tffl,
(15.3)
гДе 6р, бе и бсо— соответственно изменения
параметра* Р, эксцентриситета е и аргумента перигея со за один
виток орбиты.
Рассмотрим подробнее третье из полученных выра-
Lимений. Будем исходить из стационарной модели атмо-
сферы, т. е. будем полагать, что p = p(/z). Тогда,

408 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [Гл
пользуясь равенством (4.19), можно написать, что
2л
6© = —-^. /#Ф («)</»,
0
где
ф/ftx nf Р п ) slnftyrl+2gco8<> + ^
^W--P\ 1+^cosO *з) (I+*cosft)->
а /?з — средний радиус Земли.
Так как
Ф(2л —0)=-Ф(*),
то
2л я 2л
f Ф(Ф)</Ф = j©(*)d* + / Ф(Ф)4*==
0 0 я
л л
— fu>(b)d$ — fO(l)d\ = 0,
о о
где g = 2л — д.
Иначе говоря, при сделанных допущениях
бо) = 0. (15.4)
Таким образом, в первом приближении можно
считать, что под влиянием сопротивления воздуха
величина аргумента перигея со не испытывает вековых
возмущений.
15.2. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ Ьр И Ъе
В РЯДЫ ПО СТЕПЕНЯМ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА
Для упрощения дальнейших выкладок заменим в
первых двух выражениях (15.3) истинную аномалию О
эксцентрической аномалией Е. Для этого воспользуемся
зависимостями (5.39):
а cos £ — е . а У 1 — е2 sin Е п ., ?л
1 — е cos £ 1 — е cos £

-РАЗЛОЖЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ *>Р И be B РЯДЫ 409
15.2]
Отсюда
1/1 — е2 .г* 1 , <v 1 — е7
лл^ -J- ^-^» 1 +-<?COS©' = -1 «-,
л . ел а ) о 1+0 COS £ , 1 9ч
<? + cosft = . с™£ _ (l— e%
<-■ . • ' I — ^ cos £ v '..
(15.6)
Подставляя эти равенства в выражения (15.3),
находим
2л
bp = — -^L jj p]/"i_e2cos2E dEy
0
2л
. с Г cos Е\/Г\—е- cos2 E .,-,
te = -2cpj p /_gcos£ rf£.
(15.7)
Разлагая полученные выражения в ряд по степеням
эксцентриситета и имея в виду, что
Ц^^ = (I - ^cos2 Ej?(l-e cos £,-' =
= (l —-^cos2^ —^-cos4£ — ...JX
X(l + £Cos£ + £2cos2£-+£3cos3Z:-f- ....) =
= l + ^cos£'+— cos2£+ — cos3£+ ...,
получаем:
2л J
6p^-ll^/p(l-yCos2£~~cos4£~...)rf£,
0 I
2л 1
b = -2cpfP (cos £ + * cos2 £ + { (IS,8)
о I
-J-f-cos3£-f-f cos4£+ ...)<*£. |

410 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ.
Щл
Используемые в этих выражениях ряды сходятся #
интервале
0Ке< 1,
т. е. для любых эллиптических орбит. Однако по мере
приближения величины эксцентриситета е к единице
возникает необходимость в использовании все большего
числа членов. В связи с этим представляется
целесообразным определить тот интервал изменения величины е,
на котором еще можно пользоваться приведенным в.
выражениях (15.8) числом членов. Заметим, что
рассматриваемая задача сводится к оценке точности
вычисления интегралов вида
2;т
J= f pF(E)dE
(15.9)
при помощи выражений
2л
J= f pF(E)dEy
о
где F(E)—некоторое приближенное значение функ*.
ции F(E).
Для определения относительной ошибки е, возникаю*
щей при замене величины J приближенным
интегралом 7, воспользуемся тем, что р>0. Отсюда
\J-J\
\J\
2.Т
[ 9[F(E)-F(E)]dE
<
2л
<-щ] 9\F{E)-F(E)\dE. (15.1%
Допустим теперь, что удалось найти некоторое-
число а, удовлетворяющее условию ;:
«>'Т^.(£)| при 2*>Е>°- (,5Л1)?

l52j РАЗЛОЖЕНИЕ ВЫРАЖЕНИИ ДЛЯ Ър И бе В РЯДЫ 411
Тогда, пользуясь неравенством (15.10), находим, что
/ p\F(E)\dE
г < а
2л
JV(£)
rf£
(15.12)
В частности, если функция F(E) сохраняет знак на
всем рассматриваемом интервале, т. е.
sgn F(E) = const при 0<£<2л, (15.13)
то
е<а. (15.14)
Из выражений (15.7) следует, что при определении
величины др условие (15.13) удовлетворяется. В случае
определения 8е
F(E)>0 при ->£"> —-J,
л
F(E)<0 при j<E<^n,
Отсюда
2л
f pF(E)dE\ = f p\F(E)\dE — 2f p\F(E)\dE. (15.15)
2л
_З.Л_
2
Для орбит со значительными эксцентриситетами
(^^>—j интервал, в котором берется второй из
стоящих в правой части выражения (15.15) интегралов,
соответствует высотам, значительно превосходящим
высоту Лп в районе перигея рассматриваемой орбиты.
Поэтому на указанном интервале существенно
уменьшается плотность воздуха р. Следовательно,
Зл_
2Л 2
j P\F(E)\dE^> f p\F(E)\dE

412 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [lyfc
| 2л
J pF(E)dE\^ f 9\F(E)\dE.
Отсюда непосредственно следует возможность,
использования неравенства (15.14) для оценки точности
определения величины бе.
Таким образом, задача сводится к определению
параметра а, удовлетворяющего условию (15.11). Из
.выражений (15.7) и (15.8) следует, что в обоих
рассматриваемых случаях, т. е. при оценке точности определения
\F(E) — F(E)\
является функцией
6р и 6?, отношение
величины е cos E.
Можно показать, что для фиксированного значения е
эти функции достигают максимума при cos£=l.
Следовательно, ...
ep<V
i-~
VI-
~1д +Т28 e "T~
Ca < «,
i-/^(h-+£+£)
1 I1 2 8 16 • •)[ l^2)\
ie^ie^-
где индексами p и е обозначены соответственно
значения параметров е и а, используемые при оценке трчн°-
сти вычисления величин 6р и бе. лСА
В табл. 15.1 помещены вычисленные по этим
формулам значения коэффициентов ар и ае. •?•
Из таблицы видно, что в интервале
0<е<0,5 (15.W)

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ Ьр И бе В РЯДЫ 413
Таблица 15.1
0
0
0
0.1
6-10"8
410"5
0.2
4-10"6
510"4
0.3
5-10"5
3-10"3
0,4
3-10"4
1.0-10"2
0.5
1.3-10"3
2.6-10~2
0.6
4.8-10~3
5.6-10~2
0.7
1.5-10~2
0.11
выражения (15.8) обеспечивают вполне
удовлетворительную точность определения величин 8р и бе.
При определении входящей в выражения (15.8)
плотности воздуха р(Л) будем исходить из
изотермической модели атмосферы (14.9). При этом в качестве
опорной высоты hi выберем высоту hu перигея орбиты,
тогда на всей орбите будет обеспечено выполнение
условия h^hn. Как было показано в § 14.3, при этом
условии ошибка в определении плотности р при помощи
изотермической модели атмосферы не превосходит
величин порядка 10% от максимальной плотности воздуха
на высотах, соответствующих рассматриваемой орбите.
Учитывая приближенный характер производимых здесь
оценок влияния сопротивления воздуха на движение
спутника, такую точность можно считать
удовлетворительной. При этом
P(A) = pnexp(—^«l), (15.17)
где р1Т —- плотность воздуха на высоте Ли.
Обозначим через г и гп соответственно расстояния
от центра Земли до текущей точки и перигея орбиты.
Тогда, пользуясь зависимостью (5.30), а также уело
вием. что в перигее орбиты £ = 0, можно написать:
h — hn = г — гп = ае (1 — cos E).
Подставляя это выражение в равенство (15.1.7),
находим;
p(h) =рп ехр(—v-j-v cos Е)щ (15.18)
где
ае
(15.19)

414 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ
Заменяя в зависимостях (15.8) величину р ее выра
жением (15.18), получаем: ;^я
*P = -r=§exp(-v)(F0--7^2-T/74----).
Ье = — 2српр ехр (— v) X
x{Fx + eF2+^F, + ^FA+ ...),
где
2л
/?я = f exp(vcosE)cosnEdE, n= О, 1, 2, ... (15*21^1
Очевидно, что величины Fn являются функциями ira*
раметра v. Они легко могут быть выражены через бес*
селевы функции мнимого аргумента /n(v). Воспользе*
вавшись известными соотношениями [1]:
2л
/n(v) = -±- f exp (v cos E) cos nEdE, (15.22J
/л-iCv) —/fl+i(v):
2n/n (v)
(15.23?
получим:
2л
F0(v)~ I* exp(\cosE)dE = 2n/0(v),
6
Fi(v)= f exp(vcos E)cos EdE = 2n/l(v),
о
2.Л
F2(v)—- exp (v cos E) cos2 E dE =
о
2.T
/' / СЧ 1 + cos 2£ , ~ /0 (v) + h (v)_ 0Я/
= / exp (v cos Zf) ^ 2 tfZf = 2

2] РАЗЛОЖЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ 6/у И Ье В РЯДЫ 415
С другой стороны, из рекуррентного соотношения (15.23)
следует, что
/2(v)=/0(v)-^l; /зМ=/1М-^,
/4(v) = /2(v)—*&..
V
Отсюда
F2(v) = 2n[l0(v)-^L].
Аналогично получим:
2<т
f3(v)= / exp(vcos£,)cos3£,^/£' =
о
2л
Г , E.V 3 cos Е + cos 3£ ,п
= / exp(vcosZf) ~- dE =
о
= 2Я[/,М(.+^)-^].
2rt
FA(v)= J exp (vcos£) cos4Е dE =
о
2.1
С / гч 3 + 4cos2£+cos4£ ,-
= / exp(vcosf) —— g—1- dE =
о
= X [З/о (v)-H/2 (v)+/4 (v)] = *L [з/0 (v) + 5/2 (v)-^l]=
^[8/o(v)-^--^ + ^] =
^2n[/^v)-^ + i^)-^L] =

(15.24)
416 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ |Г|1
Таким образом, окончательно можно написати*'
FQ(x) = Z-i/0(v),
Fl(v) = 2nll(v),
/^(v) = 2n[/0(v)—Ш-],-
/rs(v) = 2*[/l<v)(l+^)--^].
^(v) = 2.,(,+^)[/o(v)-^-].
Пользуясь соотношениями (15.19), (15.20) и (15.24),
можно при помощи таблиц функций Бесселя вычислить
величины 6р и бе искомых приращений элементов
орбиты. Очевидно, что этим методом расчета
целесообразно пользоваться при исследовании орбит с не очень
большими эксцентриситетами, удовлетворяющих
условию (15.16).
13.3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИН ср И Ье
ПРИ ЗНАЧИТЕЛЬНЫХ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТАХ ОРБИТ
Из зависимостей (15.20) й (15.24) видно, что
вековые возмущения Ьр и бе элементов эллиптической
орбиты зависят от параметра v. Из выражения (15.19) н
зависимостей (5.3) следует, что параметр v
представляет собой отношение амплитуды колебаний высоты
полета по рассматриваемой орбите к высоте однородной
атмосферы. Поэтому при v<l может быть использована
изложенная выше методика анализа влияния
сопротивления воздуха на движение по почти круговой орбите
(см. § 14.8). Здесь нас будет интересовать случай, когда
v»l. <i&25)
При этом для определения функций Бесселя /©(*) н
/i(v) могут быть использованы асимптотические
разложения [1]:
ov ' fbu \ 8 v 128 v1 1024 v3 /J ,^§06)
/ (V —exp(v)/l 3 ' 15 ' J05_.J ). I
1 ^ ' fliiv \ 8 v 128' v2 1024' v3 '")' \

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛИ Л/> И Ье 417
В табл. 15.2 помещены значения относительных
ошибок этих разложений в зависимости от величины v (при
использовании приведенного выше числа членов
разложения).
Таблица 15.2
V
\\ТТ0
1 /о
Тб/.|
1 /. 1
1 1.5
7.3-Ю-*3
7.3-10" 3
2
4.2-10~3
9,6-10"3
3
2,7-10~3
4.4-10"3
4
9-КГ4
1.3-10"3
5
З-НГ4
3-10~4
6
ЫО"*4
210~4
7
ЫО"*4
8 10~5
Из таблицы видно, что при
v>l,5
(15.27)
эти разложения обеспечивают определение функций
/0(v) и /i(v) с точностью до 1%. Такая точность
расчета вполне удовлетворяет требованиям,
предъявляемым при решении рассматриваемой задачи.
Пользуясь зависимостью (15.19) и полагая Н^
^100 км и а>6500 км, можно заменить условие (15.27)
неравенством
е> 1,5^^0,023. (15.28)
Из выражений (15.24) и (15.26) следует, что
fn=\f^exp(v)fn (я = 6, 1, 2, 3, 4), (15.29)
где
/2 =
/3 =
/4-
1
8
3
8
7
8
11
8 '
15
8
. ]4. 9
v l 128
1 15
v 128
1 , 57
v "+" 128
1 , 225
v ^~ 128
1 , 4Щ
v ' 1^8
75
1024
105
v3 '
v2 1024
1 ,195 2. ,
v2 "^~1Ш' v3 ~+~
JL
■V2
I
945
1024
5443
1С24"
(15.30)

418 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ (Г71 •'
После подстановки зависимостей (15.29) в выраис©^
ния (15.20) получаем:
Ьр,
t* = -2eM\/'^(fl+ef2 + %h + %U+...).
(15.31|5
Очевидно, для орбит, удовлетворяющих условиям'
(15.16) и (15.27) или (15.28), выражения (15.30) щ1
(15.31) могут быть с успехом использованы при опре*
делении величин 8р и бе. При этом отпадает необходим
мость в применении таблиц функций Бесселя.
Недостатком выражений (15.31) является тот факт,
что они представляют собой разложения в ряды по стег
пеням е, в связи с чем ими неудобно пользоваться при
определении вековых возмущений орбит с большими-
эксцентриситетами. Для устранения этого недостатка
преобразуем ряды, стоящие в правых частях рассматрн*
ваемых выражений:
_
2
£1
8
.••) + /?!.
/о 2" /2 g" f 4 • • •
...=fo(l"
(15.3^
где
•••~~2\v 8 ' v2 128 ' v3 "+" •••j"t"
,е* (2 15 1,345 1, \ ,
~1~"Т\Т —"Г '^■"Т""5Г* v9_t" •••;"+■ •••'
/?2-«(f»--fi) + T^3-/i) + T^-W+ ••'
_ / 1 1 ,2 1 i 75 1 , \ ,
(I5.i

15.3]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ Ьр И Ье
419
-т 2 \ v ^ 8 v:
ез / 3 1 ■ 63 1
+ Т\ 2 ' v • 16 ' v2
Заметим теперь, что
1 2 8
105
128
1335
256
•7г+.-.) +
i + ^+^ + -V+
VF=r<
(15.33)
(15.34)
Эти равенства являются точными (они справедливы
при сохранении в рассматриваемых рядах любого
числа членов), так как они получаются из разложений,
использованных при выводе исходных зависимостей
(15.8), если положить в них cos £= 1.
Для оценки остаточных членов Ri и #2 ограничимся
в выражениях (15.33) величинами порядка —. В
результате, пользуясь зависимостью (15.19), получим, что
i
} (15.35)
I
Из этих выражений видно, что рассматриваемые
члены имеют тот же порядок, что и отношение —. Это
отношение заведомо мало (не превосходит величин
порядка 0,01). Его максимально возможное значение
Уменьшается с увеличением эксцентриситета е (так как
пРи возрастании е увеличивается минимально
возможная величина большой полуоси а). Поэтому в
выражениях (15.32). мы можем отбросить остаточные члены
^i и /?2. в результате, пользуясь зависимостями (15.19),
(15.31) и (15.34), получим следующие приближенные

420 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ Xvl
конечные соотношения:
ZcpnP2 f ,/ 2л _
VI
= -2У^-^Шсрп\ПТ*
Уе
**™-2с9пРу\^П\/Ц-
\4-е
^_2Y2np-yrh(v)c9uyH
{ №Щ
i
Из выражений (15.30) следует, что в качестве
дальнейшего упрощения (при больших значениях
параметра v) можно принять в соотношениях (15.36)
/o«/i«l. (1Ь37)
Полученные выражения могут быть использовёны,
в частности, при анализе движения по сильно
выгнутым эллиптическим орбитам, эксцентриситет которых
выходит за пределы интервала (15.16). Однако для
значений <?, близких к единице, вторая формула (15.36)
теряет силу, ибо ряд, используемый для оценки
остаточного члена /?2 по формуле (15.35), расходится. Для
орбит с очень малыми эксцентриситетами, не
удовлетворяющих условию (15.27) или (15.28), формулы
(15.36) теряют силу.
В частности» при £ = 0 из выражений (15.19)-, (15.20)
и (15.21) непосредственно следует, что
v = 0, "/7(0) = 2л, Fx = 0,
Ьр = — 2cpnp2F0 = — 4лсрп/?2,
be^ — 2cpnpFl = 0.
(1*38)
Очевидно, формулы (15.38) не могут быть йолучфны
из асимптотических зависимостей (15.31) и (15,36)ЛР°Г
стым предельным переходом при £->0. С другой
стороны, приведенное выражение для 8р совпадает 9^п0"
лученной выше формулой (14.34), служащей для
определения величины 6г на круговой орбите (при $&1&пе
н ней г на р).

15.4]
ВЕКОВЙЕ' ЙО'ЗМУЩЕНЙЯ ОРБИТ 'С МАЛБШЙ' ^ '
421
,54. ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОРБИТ
С МАЛЫМИ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТАМИ
При ^определении вековых возмущений орбит с
малыми эксцентриситетами, для которых условие (15.27)
не удовлетворяется, можно воспользоваться известными
разложениями функций /0(v) и /t(v) в ряды по
степеням v [1]:
/>) =
При
* = о
йг
<*!)»
:=»1.
64
2304
2
k = 0
иг
к\(к+\)\
16
384
v < 2
погрешность, возникающая
при
(15.39)
(15.40)
исполь-
относительная
зованиц разложений (15.39) с указанным выше
числом членов, не превосходит для первого и второго ряда
соответственно величин порядка 0,2% и .0,7%. Такую
точность можно' считать вполне удовлетворительной.
Ограничимся здесь рассмотрением орбит,
удовлетворяющих церавенству (15.40), которое приЯ^ЮОкд*
и а ^6500 км равносильно условию / .
е 4 0,03. .. " ■ ' (15.41)
В связи с этим в выражениях (15.20) можно
отбросить все члены со степенями эксцентриситета е выше
первой. Кроме того, из зависимостей (15.24) и (15.39)
находим, что
/72=2я(|-+4^+ту4+---)' (15'42)
Подставляя равенства (15.24), (15.39) и (15.42)
& (15.20), получаем с точностью до членов порядка е:
^--4терсрР2(1+4
64
2304
:..).
0-Щ

422 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ.
ГДе
рсР = рпехр(—v). 05-4*!!
Из зависимостей (15.17) и (15.19) непосредственш"!
следует, что величина рср представляет собой плотное^!
воздуха на средней высоте полета: , ;;
hcv = hn + ae=za — R3. (15.45$:
При е = 0 выражения (15.43) переходят в равенству*
(15.38) или (14.34). При малых значениях е первая за*_~
висимость (15.43) совпадает с соответствующим выра*
жением для почти круговой орбиты, которое может
быть получено на основании равенства (14.80), еогщ
в последнем пренебречь влиянием несферичности
Земли и считать атмосферу изотермической, т. е. положить
Ai = ae, Д2 = 0, #т=оо.
Из сопоставления условий (15.16), (15.27) и (15.40)
следует, что полученные в этом и предыдущем
параграфах приближенные зависимости для определения
вековых возмущений элементов эллиптической орбиты
охватывают интервал возможного изменения
эксцентриситетов эллиптических орбит. При этом на участке
9 А/
0<£< следует пользоваться формулами (15.43),
1 5//
на участке —'■—<[£<;0,5 — формулами (15.31) или
(15.36) и на участке 0,5<е<1—формулами (15.36).
-г
15.5. ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ БОЛЬШОЙ ПОЛУОСИ,
ПЕРИОДА ОБРАЩЕНИЯ, МАКСИМАЛЬНОЙ
И МИНИМАЛЬНОЙ ВЫСОТ ПОЛЕТА
Рассмотренные выше вековые возмущения элемен-
тов р и е полностью определяют изменение формы
орбиты за длительные промежутки времени. Однако в$-
многих практических задачах представляет интерес ВЫ* j
числение величин вековых возмущений других элемей^
тов орбиты. К их числу относятся: /Щ
большая полуось орбиты а, ~Щ
период обращения Рр ||

16.5]
ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ я, р, hn, Ла
423
минимальная высота полета (высота в перигее) Ап,
максимальная высота полета (высота в апогее) Аа.
Для эллиптических орбит и сферической Земли
можно, пользуясь соотношением (5.36), показать, что
2 а
ЬР = т7 — 6а, 6ЛП = 6гп, 6Аа = 6га,
(15.46)
где 6Р, 6а, 6АП, 6Aa, бгп, бга — изменения величин Р,
а, Лп, Ла, гп, А*а за один виток, а гп и га —
соответственно расстояния от центра Земли до перигея и апогея
орбиты.
Для определения величин 6а, 6ги и 8гА
воспользуемся зависимостями (5.2) и (5.3):
1— е2 '
гп = а(\—е), га = а(1+^>),
откуда
Ьр
2ре be
Ьа~~ l'—e2 j (1— е2)2 '
6гп — (1 — £) 6а — a be,
6га = (1 + е) Ьа + а Ъе.
(15.47)
Подставляя в правые части этих равенств выражения
(15.7), находим:
2.1
6а:
6г,
- *<*.f pi±:iivi-^cos^ л?.
2л
- = -2«*20-«)/рт=7£тХ
О
X V'l — e2cos2E dE,
2л:
n
X /1— £2cos2£ fi?£.
(15.48)

(15.4»
424 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [$&.*§
Разлагая в ряд подинтегральные выраженияI полу«
чеиных зависимостей, находим аналогично зависимо*
стям (15.8): - ,,.., ;...
2л j-'; < •.-.:.-«■ rip
to = —2m2 /*p(l+2ecos£+|-£2cos2£4-
о
+ £3cos3£+~£4cos4£,4- .-.)^Я.
6ги = --2са2(1~£) / p(l-cos£)^+£Cos£\.+-
6
+ 4rCos2£ + -^-cos3f+ . ..\rfZ?,
2л
Ьглг=-2саЦ\-\-е) J p(l + cos£)(l-f<?cos£-f
0
Из этих равенств, пользуясь изотермической МО*
Делью атмосферы (14.9) и учитывая зависимости
(15.17) — (15.19), (15.21), находим: /f
ba = -2tv„a2exp(-\)(F0 + 2eFl + ^ e2F2+ | >,,'\f
Ьг„ = - 2ф„а2 (1 - с) ехр (- v) [(F0 - /?,) +
+e(Fl-F2) + £(F2-Fa) + £(F3-Fi)+...],
bra = - 2фп«2 (1 + e) exp (-v) [(Fo + F,) +
+e(Fl+F2) + %(F2 + F3)+£(Fi-t-F<n-.:.].
При этом величины F{ («*=0, Г, 2, 3, 4) выражают
через бесселевы функции мнимого аргумента при Л|
мощи зависимостей (15.24).
(15J

■■■'15.51
ВЕКОВЫЕ ВОЗЛ1УЩЕНИЯ д, р, Лп, hu
425
Для орбит со. значительными эксцентриситетами,
удовлетворяющих условиям (15.27) и (15.28), можно,
пользуясь асимптотическими разложениями (15.29) и
(15.30), преобразовать выражения (15.50) к виду
Ьа - - 2с9иа? \f^ (f0 + 2efx +
Ып - - 2<%а2 (1 _ е) y^L |"(/o _ Л) +
йг, = - 2сриаЦ\ + *) |/v [(/о + Л) +
> (15.51)
Преобразовывая зависимости (15.51) аналогично
тому, как это было сделано при выводе соотношений
(15.36), получаем следующие приближенные формулы:
6а
2л
= -2 /2л 4=T=i Z1 -е2 ^o(v)cPn УН.
йг„«— ср„а"
^1 _*»-£-/£ =
= - 1/2Т -^ УТ=^7' (v) cp„tf \
= -2У^ 0Х±±УТ=Ж[Ш+
+Mv)kp„V77,
(15.52)

426 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. ХЪ
где
/'(v) = 2v(f0-W = l+44 + W
^ + . • • (15.53)
При достаточно больших значениях v (или в те^
случаях, когда не требуется большой точности) можно
в качестве дальнейшего упрощения полагать, что
Из зависимостей (5.36), (15.46) и (15.52) следует,
что
6Я:
to^bl^VT^h/%-
VZ
= ~ 6Я V 7" W "П=7 VT^^ /о (v) Ф„ VH • (15.54)
Для орбит с малыми эксцентриситетами,
удовлетворяющих условиям (15.40) или (15.41), ограничимся
в выражениях (15.50) членами, содержащими
эксцентриситет е в степени не выше первой. Тогда, пользуясь
зависимостями (5.36), (15.24), (15.39), (15.42), (15.44)
и (15.46), получаем: _
6а
= — 4лгрсра2[1 +■
64
2304
+
+ Ч1+Х + Ж+"-)]'
*Л| = — 4ясрсра2(1— е)\\ — у + х — Тб +
-J-J Г_
64
384
2304
/1 v , 3 2 v» .
+
384
384
1)2
+
■•)]•
6га = - 4ясрерв»(1 + е) [l + -J + ^- +
, V3 ! _V^_ i V5 j_ V6 , ,
2304 "+**•• ~Г
16
64
384
(15.55)

,5.6] АНАЛИЗ ХАРАКТЕРА ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЯ 427
/1 i v . 3 о i v3 . 5 „ i \
+ПТ+7+Т5-v+т+ж*+
+ш+■■■)]■
„.,«£*,.»[, + *+* + Г5'55'
В заключение заметим, что интервал изменения
величины е, в котором можно пользоваться
приведенными в настоящем параграфе формулами, совпадает с
интервалами использования аналогичных формул для
определения величин 6р и бе (см. § 15.4).
15.6. АНАЛИЗ ХАРАКТЕРА ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОРБИТ
Полученные выше результаты позволяют
проанализировать характер возникающих под влиянием
сопротивления воздуха вековых возмущений эллиптических
орбит.
Из зависимостей (15.1), (15.4), (15.36), (15.43),
(15.52) и (15.55) следует, что при принятых в начале
этой главы допущениях положения плоскости и
перигея орбиты остаются неизменными, а рассматриваемые
вековые возмущения приводят к монотонному
убыванию величин большой полуоси и эксцентриситета
орбиты. Таким образом, под влиянием сопротивления
воздуха спутник движется по сворачивающейся
эллиптической спирали, которая с течением времени все
более и более приближается к круговой орбите. При этом
период обращения Р монотонно убывает, а средняя
скорость полета возрастает. Высота полета монотонно
убывает на всей траектории. Максимальная скорость
этого понижения орбиты приходится на район апогея,
а минимальная — на район перигея орбиты.
Как видно из указанных выше соотношений,
вековые возмущения орбиты, возникающие под влиянием
сопротивления воздуха, прямо пропорциональны
плотности воздуха на некоторой характерной высоте. Для

428 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ.-Х*
орбит с малыми эксцентриситетами, удовлетворяюадх
условию (15.40), такой высотой является средняя
высота орбиты /1Ср = а — /?з, а для орбит со
значительными эксцентриситетами, для> которых удовлетворяется
условие (15.27), — высота в районе перигея ■■йп«.1Ъ*»
— /?з. Это объясняется тем, что при малом
эксцентриситете орбиты можно в пределах изменения высоты
полета приближенно считать зависимость плотности
воздуха от высоты линейной, т. е. ограничиваться в
разложениях (14.24) первыми двумя членами. При этом
среднее значение тормозящего ускорения определяете^
средней плотностью воздуха, соответствующей средней
высоте полета. Для орбит со значительными
эксцентриситетами линейный закон уменьшения плотности воя*
духа с высотой становится непригодным, так как на
большей части орбиты плотность воздуха во много раз
меньше плотности в районе перигея. Поэтому
торможение в районе перигея оказывает в этом случае
определяющее влияние на расчет вековых возмущений
элементов орбиты.
Из изложенного следует, что величины вековых воз*
мущений орбиты, связанных с влиянием сопротивления
воздуха, резко убывают с увеличением указанной выше
характерной высоты полета. Для того чтобы проанали^
зировать эту зависимость, рассмотрим два семейства
орбит с различными эксцентриситетами: семейство ор^-
бит с фиксированной высотой перигея, для которых
г„ = const, a— -yzr-f (15-56)
и семейство орбит с фиксированной средней высотой
полета, для которых
а = const, гп — а{\— е). (\5.Щ
Нас будут интересовать следующие вековые
возмущения элементов орбиты:
изменение 6Р периода обращения за один виток
орбиты;
средняя скорость изменения периода обращения

15.6!
АНАЛИЗ ХАРАКТЕРА ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
429
изменение 6гп высоты перигея за виток;
изменение 6га высоты апогея за виток.
Для семейства орбит, определяемого условием
(15.56), будем находить зависимость от
эксцентриситета отношении
~ ЬР Р' 6Г" Ъг* бГа
Ьг '
6Л
кр
кр
КР
бг,
кр
где ЬРкр, Ркр, 6гкр — значения соответствующих
возмущении на круговой орбите радиуса г~га.
Очевидно, что при е = 0
6Р
6Л
я'
6г.
6г„
6га
6г
кр
6л
1. (15.58)
кр
Для орбит со значительными эксцентриситетами,
удовлетворяющих условию (15.27), можно написать,
пользуясь выражениями (5.36), (14.33), (14.34), (15.19),
(15.52), (15.54) и (15.56):
6Я
И (\ + ef*
6/'кр
Р'
6га
6гп
//
(1— е)**е 2
-/o(v),
|/ 2лг„ (1
И (1-е)2
■е) е
Г (v)
E-Mv).
2гп (1+*)* /0(v) + fi(v) '
е
л
12лг„
"У 1+7 Г (v>
6гкр
У 2лгп (1
*>)2<?
r[fo(v) + /i(v)]
Н{\-е)
(15.59)
На основании зависимостей (15.55) можно
написать аналогичные выражения и для орбит с малыми
эксцентриситетами.
Пользуясь зависимостями (15.30) и (15.53),
находим, что отношения
6/у
6гк р
монотонно убывают

430 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. X*
при возрастании эксцентриситета е орбиты. При этом
тт „ 6Р Р' 6га '
Что касается отношении , —г- и —— , to
М>кр Лф Чр
с увеличением эксцентриситета они сначала убывают, а
затем начинают возрастать и при е —* 1 стремятся к
бесконечности. Для определения минимальных значений этих
отношений заметим, что минимумы имеют место для
орбит со значительными эксцентриситетами, для которых
Mv)«f.(v)«l.
Подставляя эти равенства в выражения (15.59),
находим, что искомые минимумы приближенно
соответствуют решениям уравнений:
jLin <*+«>''' =—1 u_s _L=0
de (1—*)'V''« 2(1+*) 2(1—*) 1e
de (\—е)е<* 2(1+*) 1-е 2e
jLin il+e^ =—* h-2_—L = o
</* (1—*>)V/2 2(1 -\~e) 1-е 2e
Из решения этих уравнений следует, что минимумы
„ 6Р Р' 6га
отношении , —7—. —— приходятся соответственно
на значения эксцентриситета
^ = V%~~4 « 0,120, *2 = 0,2, *>з = ^574~У ~ 0,1375-
Подставляя эти значения в соответствующие
формулы (15.59), находим приближенные минимумы
рассматриваемых отношений:

15.6] АНАЛИЗ ХАРАКТЕРА ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЯ 431
Заметим, что наличие минимумов объясняется
совокупным влиянием двух факторов, действующих в
противоположных направлениях. С одной стороны,
возрастание в при фиксированном гп приводит к увеличению
высоты иолета, что уменьшает влияние сопротивления
1R р'
и гнр г«р
0,5
1 —
\
\
\
\
V
-а
кр
S-
^Г
у
^а i
*Ьр/
/
/
—
/
1
/
/
/
LAP
—
кр
—
—
—
>кр
0
ЬР Р'
и —— от экс-
0 Pt №
Рис. 15.1. Зависимости отношений ,
ьркр р*р
цгнтриситета е эллиптической орбиты (ЬР и dra — изменения
периода обращения и высоты апогея за один оборот спутника,
5 р ,
Р' = -р-» Р — период обращения спутника, ЬР Р бгкр—
соответствующие величины для круговой орбиты при высоте полета,
равной высоте перигея рассматриваемой эллиптической орбиты).
воздуха. С другой стороны, при увеличении
эксцентриситета возрастает скорость полета в районе перигея,
а также влияние тормозящего импульса в районе
перигея на высоту апогея и период обращения.
На рис. 15.1 и 15.2 изображены графики зависи-
ЬР Р' Ьгл Ьгп и 6гп
6г,
мостей отношений
6/>,
кр
кр
6г,
кр
бга
кр

432 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XV
*1л , &£л
/
5 Ю~
ю
510
/О''
510 \~
10'
5W"
Ю
5!0L
&L
г
v_
..__,
—
11.
йг-.i----.
_.
:_ .; . _r. L._;._. . .
Li-JijJi-
44
Ш—f-4-4—
[\\ ! !
\~\!~"~
ГГм5
■
_4_
Pi ~tZ
FR-
"~
zl
III
. 1~_1_~- Г lj
4±-
■^
Er
—i
4rU
—j... .4-. ^
—
■-:-
~
= *Гл5
— ,tfr,u~
-iz-1
~~i
._.
Zj
«p
Рис. 15.2. Зависимости отношений
tVn
6rK
от эксцентриситета е эл-
0Га иг Kp
липтической орбиты (6гп и 6га —
изменения высот перигея и апогея за
один виток, 6гкр — соответствующее
изменение высоты круговой орбиты
при высоте полета, равной высоте
перигея рассматриваемой
эллиптической орбиты).

1Г..0]
АНАЛИЗ ХАРАКТЕРА ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
433
от эксцентриситета е, вычисленных для случая гп =
^6500 км (ftn = 229 км) и И = 50 км. При этом
значения рассматриваемых величин для эксцентриситетов,
ле удовлетворяющих условию (15.27), рассчитывались
при помощи выражений (15.55). Из графиков видно,
что при не очень больших эксцентриситетах (е<0,05)
вызываемые сопротивлением воздуха вековые
возмущения элементов орбиты быстро убывают с увеличением с.
При этом величина бгп убывает значительно быстрее,
чем 6га. В интервале 0,05<е<0,3 значения 6Р и 6riX
мало изменяются с увеличением эксцентриситета, и
в этом интервале значения отношении равны: тр— «
0/кр
^0,15-^-0,23, а -т~- ^ 0,3-М),4. При дальнейшем уве-
огкр
личении е значения 6Р и 6га резко возрастают.
Величина Р' мало изменяется в интервале 0,05<е<0,5, где
она колеблется в пределах от ОЛЗРкр До 0,18 PKp- При
с —>\ величины ЬРУ 8r-d и Рг стремятся к бесконечности.
Что касается величины 6гп, то она продолжает убывать
на всем интервале 0<е<1. По мере приближения
рассматриваемой орбиты к параболической (е—>1) это
убывание постепенно замедляется.
При исследовании зависимости вековых возмущений
от эксцентриситета для второго семейства орбит,
удовлетворяющих условию (15.57), ограничимся
рассмотрением изменения отношения
ЬР Р' Ьа
^ср ^ср К
где 6Рср, Р'ср и 6гср — значения величин 6Р, Р' и Ьг на
средней круговой орбите радиуса гср = а.
Пользуясь выражениями (14.33), (15.54) и (15.55),
находим, что
— 1
64 ~ 2304
■*Ф + т+ж+---) (15(Ю>

434 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ {ГЛ. ^ I
для орбит, удовлетворяющих условию (15.40), и
ЬР
ЬР
= i±*VT
V2nv
для орбит, удовлетворяющих условию (15.27).
Отношения, стоящие в левых частях выражение
(15.60) и (15.61), монотонно возрастают с увеличением
Ж-
/О"
Ю
юу
яг\
10
Л''
DJJ3
OJD6
ops e
ЬР
Рис. 15.3. Зависимость отношения -^— от эксцентриситета е
эллиптической орбиты (ЬР — изменение периода обращения
за один виток, 6Яср — соответствующее изменение для
круговой орбиты, средний радиус которой равен большой
полуоси рассматриваемой эллиптической орбиты).
эксцентриситета е. Следовательно, для любой эллип- -
тической орбиты имеют место неравенства '\
6Я > 6ЯСр, Р' > Р'ср, Ы > бгср. (15.62) |
На рис. 15.3 изображен график зависимости отйо*^
шения -jp— от эксцентриситета е для случая, к0гА*/||

15.6]
АНАЛИЗ ХАРАКТЕРА ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
435
// = 50 км и а = 7000 км. Из графика видно, что
рассматриваемое отношение очень быстро возрастает с
увеличением е. Поэтому даже при сравнительно небольших
эксцентриситетах (е>0,02-ь0,03) вековые возмущения
эллиптических орбит во много раз превосходят вековые
возмущения соответствующих средних круговых орбит.
Приведенное выше зависимости определяют
величины возмущений элементов орбиты за один виток.
В большинстве случаев при исследовании
характера вековых возмущений орбиты в сравнительно
небольших интервалах времени, включающих несколько
витков, величины этих возмущений можно считать
постоянными. При этом рассмотренные выше элементы
орбиты с течением времени изменяются линейно, а
вековое смещение (Д/)век времени прихода в данную точку
орбиты—по квадратичному закону, аналогичному закону
изменения векового смещения (АО век вдоль круговой ор<
биты [см. второе равенство (14.35)]. Действительно,
(Л0оек(")=£дЛ->
/ = 1
где (М)век(п) —значения смещения (ДОвек в конце
некоторого п-го витка, а ДРг — изменение периода
обращения на /-м витке.
Величину APi будем приближенно определять как
среднее, арифметическое из величин изменений оскули-
рующего периода обращения в начале и конце первого
витка, т. е. APi=—- Следовательно,
ДА^Д/^ + бР — бА
ДЯ3=ДЯ2 + бЯ = |-бЯ,
ДЯ^ДЯ^ + бЯ^-^бЯ
и тогда

436 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ.-ЗПМ
В значительных промежутках времени приведенные
выше законы вековых изменений элементов орбиты по*
степенно искажаются из-за снижения спутника и вхо*
ждения его в более плотные слои атмосферы. При этом*
скорости изменения элементов орбиты постепенно
-возрастают, а законы изменения этих элементов
приобретают характер изображенного на рис. 14.4 закона
уменьшения высоты круговой орбиты. г>
При использовании полученных в настоящей глав^ .
результатов следует учитывать их приближенный ха-*
рактер, определяемый системой принятых допущений*
Основными из них являются:
пренебрежение влиянием захвата атмосферы вра*
щающейся Землей;
допущение о стационарности атмосферы;
использование изотермической модели атмосферы;
пренебрежение влиянием несферичностн Земли* ::
В связи с этим в условиях реального полета веко*,
вые изменения орбит могут включать в себя
возмущения, которые в рассматриваемой идеализированной
схеме обращаются в нули. Так, под влиянием захвата'
атмосферы вращающейся Землей возникает некоторое^
правда, достаточно медленное, изменение положения
плоскости орбиты (см. § 14.7). Нестационарность атмо->
сферы, вообще говоря, может привести к изменении*
положения перигея, так как в этом случае теряет силу;
приведенное выше доказательство справедливости ра*
венства (15.4). Несферичность Земли приводит к тому,
что на систематическое понижение высоты Лп перигее у
накладывается долгопериодическое колебание, обусло-
вленное смещением положения перигея под влияние** *,
нецентральности поля земного притяжения (см. § 13.5)v 7
При этом для некоторых орбит высота hu в течение* i
длительного интервала времени может даже увелн*^
чиваться (это увеличение- в -дальнейшем, конечно, ком* й
пенсируется более интенсивным понижением высо^щ
ты Ап), что приводит к временному уменьшениЙЖ
скорости вековых возмущений орбиты. J|k
Таким образом, разобранная выше схема определяв!»
лишь основные закономерности, характеризующие влй^Л
ние сопротивления воздуха на движение искусстве^Щ

]57] ИЗМЕНЕНИЕ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА ОРБИТЫ 437
ьых спутников ^емли. Для более точного учета этого
влияния в условиях полета в реальном пол-е
притяжения несферической Земли обычно пользуются методом
численного интегрирования полной системы
дифференциальных уравнений движения центра масс спутника.
В тех же случаях, когда расчет ведется по
приближенным формулам для почти круговых орбит,
целесообразно пользоваться изложенным в § 14.8 методом,
в котором используется модель атмосферы с
постоянным температурным градиентом и учитывается влияние
несферичности Земли. Для орбит со значительными
эксцентриситетами целесообразно величину рп
определять как плотность воздуха на минимальной высоте
/2шт полета, вычисляемой с учетом влияния несферич-
пости Земли и нецентральности поля сил земного
притяжения. При этом суммарное изменение бРсумм
периода* обращения-за виток следует определять по
формулам вида
бРсумм^в-Рсопр+б^, (15.63)
где бРсопр—изменение периода обращения под
влиянием сопротивления воздуха, которое может
определяться по формулам настоящей главы, а 6Р'—
изменение периода обращения при отсутствии сопротивления
воздуха (с = 0). Это изменение вызывается долгоперио-
дичеекцми возмущениями периода обращения,
связанными с влиянием несферичности Земли (см. § 13.9).
В заключение заметим, что при расчете орбит со
значительными эксцентриситетами может возникнуть
необходимость в совместном рассмотрении влияния
сопротивления земной атмосферы и притяжения к другим
небесным телам (см. § 16.12).
15.7. ИЗМЕНЕНИЕ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА ОРБИТЫ
ЗА ВСЕ ВРЕМЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СПУТНИКА
Для анализа характера изменения эксцентриситета
орбиты за все время существования спутника
рассмотрим зависимость между вековыми возмущениями
эксцентриситета бе и высоты перигея 6гп. На основании
выражений (15.19), (15.36) и (15.52) можно -написать,

438
ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ л
т
что для орбит со значительными эксцентриситетам»
имеет место следующее соотношение:
** —о <! + «)« fi (v) *
бгп—Z Я r(v)e
Нас здесь будут интересовать лишь приближенны
зависимости между рассматриваемыми величинами
Поэтому, заменяя в приведенном равенстве конечные
приращения бе и бгп соответствующими
дифференциалами de и drn и полагая
Mv)«f(v)«l.
получаем дифференциальное уравнение
2rfrn rf« rfe rf«
Я
e{\-\-e) e l+e '
Интегрируя это уравнение от некоторых начальных
значений га0 и е0 до текущих значений гп и е, находим:
. е(\+е„-\ _ 2(гп — г„п)
<
1+«
g0exp(-2r"°/^"r")
(15.64
l+g0[l-exp(-2r"°^r")]
<*0ехр (- 2r"°~r").
Из полученного выражения видно, что с течением
времени, по мере снижения перигея орбиты, ее эксцен*
трнситет асимптотически стремится к нулю. При
снижении перигея на величину гпо—гп = Н эксцентриситет
уменьшается более чем в 7 раз; а при ги0—гп = 2#—
более чем в 54 раза. Как было показано выше (см. §'14.6)*:
возможная высота полета искусственных спутников
Земли ограничивается некоторым критическим знача*
нием, которое в большинстве случаев равно 120***
150 км. С другой стороны, первоначальное значение вЩ
соты Лпо перигея обычно выбирается не меньше 18*Мг
220 км, а величина Н на высоте 150-^200 км колеО$

15.81
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ СУЩЕСТВОВАНИЯ
439
лется в пределах 25^40 км (см. рис. 14.1). Поэтому
можно считать, что к моменту прекращения
существования спутника полное уменьшение высоты hn перигея,
как правило, оказывается не меньше величины порядка
о//. Отсюда следует, что в подавляющем большинстве
случаев ^за время существования спутника эксцентриситет
его орбиты уменьшается по крайней мере в несколько
десятков раз, и к моменту прекращения своего
существования спутник движется по почти круговой орбите.
Как видно из зависимостей (15.52) и (15.55) и
пометенного на рис. 15.2 графика, при уменьшении
величин е и гп резко'возрастает скорость убывания вы-
соты перигея. Поэтому для спутников, первоначально
запускаемых на орбиты со значительными
эксцентриситетами, время существования на завершающей почти
круговой орбите мало по сравнению с общим временем
существования спутника. Иначе говоря, в этом случае
превращение орбиты в почти круговую является
признаком скорого падения спутника на Землю.
15.8. МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ВРЕМЕНИ СУЩЕСТВОВАНИЯ
СПУТНИКА НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ
Для определения времени существования спутника
необходимо проследить вековые изменения элементов
его орбиты за длительные интервалы времени. При
этом, учитывая, что период обращения спутника по
орбите в подавляющем большинстве случаев на несколько
порядков меньше времени его существования, а также
принимая во внимание плавность вековых изменений
элементов орбиты, мы будем заменять конечные
приращения элементов орбиты за один виток их
дифференциалами.
Иначе говоря, будем полагать, что
dx сР 2яса-''а г
de ^ Ье W д
dx сР 2псаг
(15.65)

440 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ,*У
где Р-— период обращения, а т — относительное время
определяемое по формуле (14.38).
Тогда, пользуясь выражениями (15.36) и (15.43)
можно получить следующую систему
дифференциальных уравнений:
dx
vf"
*2)"'/о (v)p(An)///(*„)
при v>2,
V7
{ V2 V* V6 >
Xl1+T+64 + 2304+".j при v
de
dx
-/■
я ye p
-/^(1-^)'/гР(Лср)Х.
при v>2*
X[v(l+-
+ w +
192
■•)+.
+ ^(l+|-v2-f Av<-f ...)] npi!V<2f
(15.66
где
l+e
/?з, Л
cp-
/?3,
/*
(i-O^W
величины /o(v) и /i(v) определяются при помощи вада^
жений (15.30), а значения р(Ап), Я(АП) и р(Лср) —из
таблиц параметров принятой модели атмосферы.
Решая численно эту систему дифференциальны*
уравнений, можно проследить изменение элементов орч
биты спутника вплоть до его падения на Землю, котр^
рое практически можно приурочить к моменту врем^нй^
когда минимальная высота Лп полета достигает крйтя*Ч
ческого значения /г1фит»100 км. Соответствующее. зн&*
чение относительного времени тсущ существования сйут*
ника является функцией начальных условий движения*^
• ■"%.
тсущ = F(p0, e0)9 ' "х |

,5.$} . ВРЕМЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРИ ЗНАЧИТЕЛЬНЫХ * 441
где Pq и в0—начальные значения соответствующих
элементов орбиты.
На основании зависимости (14.38) находим, что
и^-=Щ^- (15.67)
При этом для любой заданной стационарной модели
атмосферы функция F(p0, eQ) может быть вычислена
путем численного интегрирования системы
дифференциальных уравнений (15.66) при различных начальных
условиях. Заметим, что при определении функции F
можно вместо аргументов р0 и е0 пользоваться любой
другой- парой начальных значений элементов орбиты,
определяющих ее величину и эксцентриситет, например
(Гц о, га0), (/*по, *о), (Ро, е0) и т. д. [22].
13.9. ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ СУЩЕСТВОВАНИЯ
СПУТНИКОВ hA ОРБИТАХ
СО ЗНАЧИТЕЛЬНЫМИ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТАМИ
При определении времени существования
искусственных спутников Земли изложенным выше методом могут
возникать значительные погрешности, связанные с
неточностью принятой модели атмосферы и изменением
величины ее параметров за длительные интервалы
времени. В связи с этим на практике обычно
оказывается невозможным точный расчет ожидаемого
времени существования спутника и приходится
ограничиваться лишь некоторыми приближенными оценками
этого времени.
При выводе приближенных формул, пригодных для
проведения таких оценок, будем исходить из локальной
изотермической модели атмосферы, параметры
согласования которой определяются по формулам (14.12) и
(14.16) соответственно высоте hu равной начальному
значению высоты Лпо перигея рассматриваемой орбиты.
Такой подход к решению задачи оправдывается тем,
что большую часть времени полета спутника высота
перигея орбиты мало отличается от своего начального
значения.

442 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XV>
Для орбит со значительными эксцентриситетами
удовлетворяющих условиям (15.27) или (15.28), можно]
пользуясь зависимостями (5.1) и (15.66), написать, что
f = -/^*Ц#^Р<*„). 05.68)
dx У л \ е гп '
Учитывая приближенный характер отыскиваемого
решения, положим в этом уравнении /i(v) = l. Кроме
того, на основании зависимостей (14.9) и (15.64) можно
написать, что
р(А„) = Р™оехр(-^£п.) = Рп0 /^±g- , (15.69)
где Гдо и е0 — начальные значения величии гп и е,
а рпо — плотность воздуха на начальной высоте перигея
орбиты.
Таким образом, уравнение (15.68) принимает вид:
dx rae V л
+ *)(!-О3
0+*о)
Величина гп в правой части этого уравнения
изменяется сравнительно мало и ее можно заменить
начальным значением /*по. Тогда
P^,fWTdx^_}/r±±e1 ede ^щ
Как было показано в § 8 настоящей главы, к
моменту прекращения существования спутника
эксцентриситет орбиты практически превращается в нуль»
Поэтому, интегрируя уравнение (15.70) во всем интер-»
вале существования спутника, находим, что
Рп0 f2yli ,/l+gp Г
е de
+ e)(l-e>)*
Отсюда, пользуясь зависимостью (14.38), находим
окончательное выражение для времени существования
__ тсущ _ Ф (/гп 0) Ц {е0) И5 71}

15.9] ВРЕМЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРИ ЗНАЧИТЕЛЬНЫХ * 443
где
е de
У{\+е)(\-еУ
(15.72)
При выводе полученной зависимости мы заведомо
допустили неточность, связанную с интегрированием по
е в пределах от 0 до е0 уравнения (15.70),
справедливого лишь для орбит со значительными
эксцентриситетами. Однако возникающая при этом ошибка в
определении /Сущ сравнительно невелика, так как время
полета по орбитам с малыми эксцентриситетами мало
по сравнению с полным временем существования.
При определении времени существования путем
подстановки зависимостей (15.72) в формулу (15.71)
в правую часть получаемого выражения войдет
множитель
Пользуясь зависимостью
/o(v) « 1, находим, что
(15.54) и полагая в ней
Я(ЛП0) |6Р01 V И Ve0 l-e0 Y °
сРпо/Я
где бРо и а0 — начальные значения величин
уменьшения периода обращения 6Р за один виток и большой
полуоси а орбиты.
Подставляя эту зависимость в выражения (15.71),
(15.72) и пользуясь вторым равенством (5.3), получаем:
i
бя2 4 o+«o)Vi-*S
сущ"
Ч>(«о).
|6Ро1 И У е0
Отсюда, учитывая равенство (5.36), можно написать:
■4>i(«o).
(15.73)

444 ВЛИЯНИЕ ^СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ,-ху|
ГДв- ■ _ -■■ v.: ; |
♦'^)= 2VT. ^- ■'--:'■. \
а Р0—начальное значение периода обращения ' pac-i
сматриваемого спутника.
Полученная формула удобна для оцеадш времени
существования фактически летающих спутников, так
как она позволяет вычислить это время по поддаю-1
щимся сравнительно точному определению величинам
Л>, |6Po| иг0. , ; .
Для вычисления функций ty(e0) и \j?i (e0) по
формулам (15.72) и (15.74) найдем выражение для
неопределенного интеграла
. Г е de _ _ Г е de
~~J /(14-^.(1—^)3 ~~ J (1+^)2/(1—^)3 '
Произведем в этом интеграле замену переменных:
x*=YT^e% dx^ — —^=, ё=\-х>. (15.75)
Тогда можно записать, что
о Г ]^л' dx
*J (2 —л:2)2 г2 Л
2)2 Х2
=I y=w ~ ъ?=щ - Мdx- <15-76)
Воспользуемся теперь известными выражениями [25]:
Г dx 1 « a + xl^ab
J a — bx2~2Y~ab a — xVab"
/dx x i__L f dx
(a — bx2)2 ~~ 2a (a — bx2) ' 2a J a т-bx? ~ Г.
и заметим, что в рассматриваемом случае
'"Т "■ ; а = 2, < & = 1.

jrv.o] ВРЕМЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРИ ЗНАЧИТЕЛЬНЫХ * **5
В этом случае зависимость (15.76) принимает вид:
х , 1 1 Г dx
J =
4 (2 — х2) ~ 2х
■/
^шй--^
4(2— х*)х 8/2 VI —х
или, с учетом равенств (15.75),
у=.Л ede
У(1+е)Ч-*)г
3+г У in^2+vT=I7
Отсюда
/" е de
J Y0+0(1 -*2)3 ~~
3 + *о
4(1 + ^о)У 1—^о
Lin (^+1)(т^~ГТ=^;)
8/2 0^2—1)(Т^2Ч-К1—^о)
(15.77)
При не очень больших эксцентриситетах вместо
выражения (15.77) целесообразно пользоваться
разложением рассматриваемого интеграла в ряд по
степеням е0. Используя известное разложение функций вида
(l-f-e)* в степенной ряд, можно написать, что
г,ч./,.-<ч.-«<?+ч"<'-^"<'-«)4-
H'-t'+x*'—£<'+•••)•
Тогда
в de
V(l+e)(l-e*)*
= Т 0 -¥^+т1го-Ж^-+- .'..)'•' («.71)

446 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ.
Подставляя это выражение в зависимости (15.72)
(15.74), находим после элементарных преобразований
^(е0) = ^{\+те0 + же1-
71
-£3 1
*(«.)=т1(1+т«.н-ет«г+ш«г+
■И
, -1
(15.741
В приложении II помещены значения функции Ф(Щ$&
вычисленной по формуле (15.72) применительно к ис!|
пользуемой в настоящей книге модели атмосферуС!
В приложении III даны значения функций ф(е&) Ш
ipi(^o), определенные по формулам (15.72), (15.74) jj§
(15.77).
15.10. ВРЕМЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СПУТНИКОВ "
НА ОРБИТАХ С МАЛЫМИ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТАМИ
Для определения времени существования opjfcf"^
с малыми эксцентриситетами воспользуемся вырайф&
ниями (15.20), (15.24) и (15.50) для вековых возмущу?
ний 6а большой полуоси и эксцентриситета бе. Отбра*^
сывая в правых частях указанных зависимостей члень^
пропорциональные е, получим: ;Ц
6а = — 4лсрсра2/0 (v),
be = — 4ягрсра/1 (v),
где
РсР = Рпехр(—v) (15.1
— плотность воздуха на средней высоте
hcp = a — /?3. №Щ
Отсюда, пользуясь зависимостью (15.19), получас
выражение для изменения величины v за один вк
6v = ^6^ + ^6a==-4Ju:pcp-g-[/1(v) + ^o(v)].
При малых эксцентриситетах второй член правОЙ^Ш
сти полученного выражения значительно меньше nefNr
вого. Это следует из разложений (15.39), согласно «Р*

15.10] ВРЕМЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРИ МАЛЫХ * 447
торым
Так как а^>2Н, то
Ь\
-4герСр7гЛМ. <15-83)
Кроме того, из равенств (15.80) и (15.82) находим,
что изменение средней высоты орбиты за один виток
будет:
6/?ср s Ьа = — 4яфсра2/0 (v). (15.84)
Отсюда, учитывая плавность изменения
рассматриваемых возмущений орбиты, можно написать:
dv „ ** _ l /l(v) h^Ln dh** /t,firv
Воспользуемся теперь выражением (15.22), согласно
которому *
'oW^Sr/ exp(v cos £)*/£•,
о
2л
/1(v)sss— J exp (v cos E) cos EdE,
6
2rt
/2 (v) = J- у exp (v cos £) cos 2£ rf£,
откуда
ГЛ0 _
dv — 2a
2rt
^=i / exP <v cos E)cos2JSdE = /o(v)t/2(v)
0
С другой стороны, из равенства (15.23) следует, что
/.(у) _ /о(у)-/»(у)
-v-— 5 •
Складывая последние два равенства, получаем:
/ fry-*Mv) | Л (у)

448 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XV:
Тогда уравнение (15.85) принимает вид:
dlx (v) dv dhcp
Л (v) + "V ^ ~~7Г~'
Интегрируя это уравнение, находим:
,п ЧУ^Г = я • v/i М = Vi (vo) exp ( д-iL),:
(15.86) Г
где ЛСро и vo — начальные значения соответствующих!
величин.
Из полученной зависимости и разложения (15.39) ;*
следует, что величина v монотонно убывает с течением ;";
времени по мере уменьшения средней высоты полета
спутника. Так как всегда Лсро^ Я, то к моменту
прекращения существования спутника (/7ср = 0) можно
считать, что практически конечное значение v
\'Л«0. (15.86 а)
Напишем теперь дифференциальное уравнение,
связывающее величину v с относительным временем т.
Для этого воспользуемся зависимостями (5.36),
(14.38) и (15.83), согласно которым
dv ^ 6v 2 У \ш . ( v
17 ~ 7р — ~~н~ Pcp'i W-
С другой стороны, из выражений (14.9) и (15.86)
находим:
_ / Лср--Лсро\ v0/i-(v0)
Pep — Pep 0 exp у jj J — v/j (у) Pep 0»
где pCpo — плотность воздуха на высоте ЛСро.
Подставляя это выражение в правую часть
полученного дифференциального уравнения, получаем, что
vdv = — 2уш рср 0vJ-x (v0) dr.
Проинтегрируем это уравнение в интервале от
начала движения до момента прекращения существования
спутника. При этом, учитывая медленное изменение ^
большой полуоси орбиты, заменим ее величину a Iia\j
чальным'значением а0. В результате, принимая во вин- ^

15.11] . , СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФОРМУЛ 449
мание зависимость (15.86а), получаем:
~ — —jj— Pep oV l vvo/ тсуш-
Отсюда, используя зависимости (14.38) и (15.39),
находим выражение для времени существования орбит
с малыми эксцентриситетами:
/ ^ И _ у0 = Н 1
СуЩ 2рср 0 с V\Mo 2/! (v0) 2рср 0 с У\йГь vg jv^ t
(15.87)
или, принимая во внимание равенства (14.44) и (15.82),
'сут= с 2/l(v0)=— ^ Ц ' (15-88)
^ 8 ^ 192 ^'"
Пользуясь зависимостями (5.36), (15.19), (15.39),
(15.46) и (15.80), можно исключить из выражения
(15.87) величину срср и переписать его в виде
(15.89)
Очевидно, что при е0 —► 0 формулы (15.87), (15.88) и
(15.89) переходят в соответствующие зависимости (14.51),
(14.53) и (14.54), полученные для круговых орбит.
15.11. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФОРМУЛ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ СУЩЕСТВОВАНИЯ
Выше были получены две группы формул, служащих
Для определения времени существования эллиптической
орбиты. При этом формулы § 15.9 пригодны для орбит
с большими начальными значениями эксцентриситета
ео. При малой величине е0 они дают явно неверный
Результат (*Сущ-*0 при е —►О). Формулы § 15.10
[
сущ -
3 Pi /0(vo)
"4 | 6Р01 С» /, (v0) ~
3 Я Р20 Н
— 2 д0 | 6Я01
vo v< <
г 4 ^ 64 ^ 2304 ^
2 4
'^ 8 "Г 109 + "•

450 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. Щ
выведены для малых начальных эксцентриситетов. Пр1
е0—>0 эти формулы в пределе дают решение, соответ|
ствующее круговой орбите.
Рассмотрим теперь вопрос о «стыковке» обеих груща
формул между собой. Для этого, пользуясь асимптот»^
ческими разложениями (15.26), а также зависимостям!
(15.19) и (15.81), перепишем выражения (15.87)
(15.89) в виде
сущ •
Jn0_
Фпо
V—
,8/2
1
2\кН 2 1 — ес
X
X
1 + О{(е0)
15
128
105 1
1024
/" —
*rvui —
Р2
сущ — 4 | 6Р0
X
Хе{
8 vn 128
1 75
vg 1024*
■V+-
8 "v(
128' vf
о
105
1024'
1
[l+On(*o)L
(15.90}|
I
где Oi(e0) и Ou(e0)—ошибки соответствующих фор-^
мул, имеющие тот же порядок, что и величина началь- ;|1
ного эксцентриситета (так как при выводе этих фор--"0
мул мы пренебрегали величинами такого порядка). Щ-
С другой стороны, при больших эксцентриситетах St
можно написать, пользуясь выражениями (15.71)* ^1
(15.72), (15.73) и (15.79):
• .#*
t
in
сущ
_ Гп0 у/ ^ _fd^
— сопЛ V 2иЯ 2
сРпо
2\iH 2
X
x(i+i
.IV 3
Гсущ — ^
М)
|6Я01
^0 +
31
48
5
16
)Х
71
480
101
480
ег
£3
+
■)[■+*»&]•
■Н'+М^
3*^?
(15.91)*|

15.11]
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФОРМУЛ
451
где Ош (—) и 0IV (—]—погрешности соответствующих
1 И
формул, имеющие порядок величины — = .
Приравнивая значения ^Сущ, полученные по формулам
(15.90) и (15.91), находим с точностью до членов пер-
1
вого порядка относительно е0 и —, что
_1^|_,(,4,)[1+о„,Ш],
¥- [1 + 0„ (е0)] « (l + J e0) [l + 0IV (-1-)] •
l + i.-L
i-i.
8 v0
Отсюда, приравнивая члены первых порядков ма-
1
лости относительно е0 и —, находим:
О, (е0).
■ ^п»
3 Н
0\\ (е0) ~-§" *0'
1111 v0 ) ~ 8 v0 — 8 а0е0
1 Я
2 я0*о"
(15.92)
Таким образом, погрешности формул (15.90)
увеличиваются, а погрешности формул (15.91) убывают по
мере возрастания е0. Определим теперь некоторое
критическое значение екр начального эксцентриситета, при
котором становится целесообразным переход от одних
формул к другим. Очевидно, что эту величину следует
находить из условий
|0.(^Р)|=Ош(^-) или Oll{eKp) = Olw (-£-).

452 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XV
Пользуясь зависимостями (15.92), находим, что
решения обоих этих уравнений дают близкие значения:
екр« 0,66 /^ = 0,66 /JL(i-eKt) =
= \[ 0,44 ~ + 0,05 (^-)2 -0,22 -?- да
г 'по \ 'п о / 'по
« 0,66 ]/~ - 0,22 -У- . (15.93)
г 'по 'по
В табл. 15.3 помещены значения екр, вычисленные
по этой формуле для различных значений начальной
высоты перигея hno = rnQ — /?з. При этом величина Н
определялась в зависимости от hn0 по изображенному
на рис. 14.1 графику.
Таблица 15.3
Апо. км
*кр
ПО' КМ
екр
100
0,019
190
0,047
ПО
0,021
200
0,048
120
0,022
300
0,054
130
0,025
400
0,060
140
0,029
500
0,067
150
0,035
600
0,072
160
0,042
700
0,074
170
0,044
800
0,080
180 1
0.046
—
—
Выражения (15.92) могут быть использованы для
оценки порядка ошибок, связанных с приближенным
характером вывода полученных выше формул. Из этих
зависимостей и табл. 15.3 следует, что максимальная
относительная погрешность порядка 5-М00/о от
величины /Сущ будет иметь место при е0 = ек$, если при
£о-^£кр пользоваться формулами, полученными для
орбит с малыми эксцентриситетами, а при е0 > £кр — Ф°Р-
мулами, определяющими время существования на
орбитах с большими эксцентриситетами.
Следует иметь в виду, что помимо указанных выше
ошибок в определении /сущ будут иметь место
значительные погрешности, связанные с неточностью
принятых основных допущений.

15.11] СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФОРМУЛ 453
Эти ошибки вызываются:
использованием изотермической модели
атмосферы, положенной в основу вывода приведенных выше
формул;
отклонением фактических начальных значений
основных параметров атмосферы от расчетных и неточностью
определения коэффициента с;
нестационарностью атмосферы;
неучетом влияния несферичности Земли и
связанного с ним изменения поля земного притяжения;
неучетом других астро- и геофизических факторов
(притяжение к Солнцу и Луне, световое давление,
аномалии силы земного притяжения и т. д.).
Для уменьшения влияния первой из указанных
групп ошибок целесообразно для орбит, близких к
круговым, определять функцию F(hcp0) не по формуле
(14.44), а по формуле (14.41). Однако для орбит с
заметным эксцентриситетом этот метод оказывается
непригодным, так как для таких орбит тормозящее
действие воздуха в основном определяется слоями
атмосферы, лежащими вблизи перигея орбиты. В этом
случае следует пользоваться локальной изотермической
моделью атмосферы, наилучшим образом
аппроксимирующей фактический закон изменения плотности
воздуха в районе перигея орбиты. Параметры
согласования этой модели атмосферы следует определять по
формулам (14.12), полагая при этом А1 = /гп0. В связи
с этим целесообразно перейти от формул,
определяющих /Сущ через F(/zcpo), к формулам, связывающим
/сущ с функцией Ф(Лпо) (см. § 15.9).
Наиболее полное исключение ошибок второй
группы может быть достигнуто для уже летающих
спутников путем определения величины 6Р0 по данным
орбитальных измерений. В этом случае следует
пользоваться формулами, выражающими /сущ через &Р0.
Что касается ошибок третьей группы, то их
исключение может быть осуществлено лишь после создания
достаточно точной и надежной динамической модели
атмосферы.
Для уменьшения влияния ошибок четвертой
группы целесообразно во всех расчетах вместо начальной

454 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XV.
высоты /inо перигея использовать минимальную высоту
Amino на первом витке орбиты, определяемую с учетом
влияния несферичности Земли и связанного с ней
изменения поля земного притяжения (оба этих фактора
следует учитывать совместно, поскольку их влияние
имеет одинаковый порядок). При этом среднюю высоту
полета необходимо определять по формуле
Лср о = Amin о + ао^о-
Кроме того, при вычислении времени
существования по данным экспериментального определения
изменения 6Л) начального периода обращения следует
учитывать, что в результате обработки данных
орбитальных измерений находится суммарное значение
бЯсуммо. В соответствии с выражением (15.63) эта
величина складывается из составляющих бРсопро и 6Ро-
Для орбит со значительным временем существования
(порядка нескольких лет) и заметным
эксцентриситетом долгопериодическая составляющая бРо»
обусловленная влиянием несферичности Земли, может
оказаться сравнимой с вековой составляющей бРсопро.
определяемой влиянием сопротивления воздуха. Если
при этом время существования_спутника значительно
превосходит период обращения Pq перигея орбиты,
равный периоду изменения величины 6Р', то влиянием
долгопериодической составляющей 6Р' на величину
/сущ можно пренебречь. В этом случае входящую в
правые части формул (15.73) и (15.89) величину бРо
следует заменить значением бРсопро, определяемым из
выражения
UPconp 0 = бРСумм 0 — 6/V
Вопрос о влиянии различных астрофизических
факторов (притяжение к Луне и Солнцу, световое
давление и т. п.) рассматривается ниже. Заметим лишь, что
для спутников, летающих на больших высотах, эти
факторы могут оказаться решающими при отыскании
величины /Сущ (см. главы XVI и XVII).
В целом, при современном знании верхней
атмосферы, можно говорить не о точном определении времени

15.11]
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФОРМУЛ
455
существования спутника, а лишь о его приближенной
оценке с ошибками, достигающими величин порядка
10%-т-50%. Эти ошибки могут быть существенно
уменьшены после выведения спутника на орбиту и
определения фактической величины 6Р0 (особенно при малых
значениях времени существования).
В заключение остановимся на вопросе о влиянии
эксцентриситета орбиты на время ее существования.
Для этого рассмотрим семейство орбит с
постоянным начальным значением большой полуоси а0, т. е.
с постоянной начальной средней высотой АСро полета
или постоянным периодом обращения Р0, и различными
значениями начального эксцентриситета е0. Определим
для этого семейства зависимость от е0 величины
kx{eQ)-.
*сущ
*сущ
(во) '
(15.94)
где /Сущ(яо) —время существования круговой орбиты
с начальным радиусом г0=а0. Пользуясь
зависимостями (14.44), (14.51), (15.19), (15.26), (15.39), (15.71),
(15.79) и (15.88), можно написать, что для
изотермической модели атмосферы
ki(e0) =
1
2/. (v.) vl v<
1 + Т + 1Й+-
1
8
2/, (v„)
-VI
cyrj
при v0<2, e0<—,
2-exp(-v0)X
X
i_2.1_ii 1_
128
при
2tf
OoO,
кр»
^exp(-v0)v£«(l-*0)x
x(i +
,31 9 ,
e° • 48 eo •
6 co
.j при e0><V
(15.95)

456 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XV
Из этих выражений непосредственно следует, что при
а0 = const время существования монотонно убывает
с увеличением е0. Это убывание происходит
сравнительно медленно при малых значениях е0. Поэтому для
почти круговых орбит можно во многих случаях с
достаточной точностью полагать, что /Сущ~^сущ(#о).
Однако по мере дальнейшего возрастания е0 время
существования начинает быстро убывать за счет резкого
уменьшения величины ехр (—vo).
Рассмотрим теперь семейство орбит с постоянной
начальной высотой ки0 перигея (или с постоянной
величиной Гпо). Зависимость времени существования от
эксцентриситета для этого семейства будет
характеризоваться величиной
• t
ь / ч *сущ
R1 \е0) — / (и \ »
*сущ \"п О/
где ^сущ(Апо) — время существования круговой орбиты
с начальным радиусом г0 = ^по = ^з +^по.
Пользуясь зависимостями (14.44) и (15.94), можно
написать, что
h{е0) = К (е0) /сущ(ао) = kx (e0) |/Г=70 exp(v0). (15.96)
*сущ \'*п 0)
Из выражений (15.95) и (15.96) следует, что при
/iIl0 = const время существования быстро возрастает
с увеличением начального эксцентриситета орбиты (для
орбит со средними эксцентриситетами —
приблизительно пропорционально еЦ2).
15.12. СВОДКА ПРИБЛИЖЕННЫХ ФОРМУЛ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ
СУЩЕСТВОВАНИЯ СПУТНИКА
В соответствии с полученными выше результатами
целесообразно при определении времени существования
по приближенным формулам разбить орбиты
искусственных спутников Земли на следующие три группы:
орбиты с малыми эксцентриситетами (почти
круговые), для исследования которых может быть
использовано разложение функций р(Л) и р(Л) в ряды (14.24),

15.11}
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФОРМУЛ
457
что равносильно условию
v„<i, *o<-^;
орбиты со средними эксцентриситетами,
удовлетворяющие условию
Н . ,
орбиты со значительными эксцентриситетами, для
которых
Для каждой из этих групп орбит могут быть
написаны приближенные выражения следующих двух типов:
формулы, служащие для определения /сущ по
заданным значениям сир;
формулы, служащие для определения /СуЩ по
заданному значению 6Р0.
Первые из них целесообразно использовать при
предварительной оценке времени существования
спутника до его запуска, а вторые — при определении
времени существования уже летающего спутника.
Как было показано выше, для орбит первой и
второй групп следует определять ^Сущ по формулам
(15.88) и (15.89), а для орбит третьей группы — по
формулам (15.71) и (15.73). При этом для орбит первой
группы целесообразно выражение (15.89) представлять
в виде, аналогичном зависимости (14.54). В этом
случае, пользуясь зависимостями (14.54) и (15.19), можно
показать, что
/ -klh ) Яо Vo7o(vo)
'сущ — к v'cp о; | 6Яо | 21, (v0) '
Для орбит второй группы целесообразно в формуле
(15.88) заменить плотность воздуха на высоте /zcpo
плотностью на высоте Лпо- Пользуясь зависимостями
(15.19), (15.72), (15.81) и (15.87), находим:
_ ф(лпо) V exp(v0)
суш с 2(1-в0) )-'2л\-о/, (v„)

458 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XV
В результате получаем следующие приближенные
формулы для определения /сущ:
т_т
при v0 < 1 и е0 <
а0
t
ГрсроУЪЫ ро
сущ -
^-А^сро)^^). (15.97)
ПрИ — <^<?о<<?кр
*сущ
ПрИ <?о><?кр
'сущ
Здесь
♦(■■,)wf,w = ^^Mi (1598)
ф(л„0)*Ы
Тй^-Ыео). (15-99)
^зМ =
2/, (v) '
exp (v)
/*2(v) =
^А)(V)
2/i (v) *
/j (v)"K2nv
' ЛМ~ТЛМ"' [ (15.100)
^2(<?о):
2(1— ^0) '
а величины v0, F(/icPo), *(Асро), Ф(^о), г|н(<?о), Ф(Лпо) и
еКр определяются при помощи выражений (14.41),
(14.55), (15.19), (15.72), (15.74), (15.77) и (15.93).
Заметим, что для изотермической модели атмосферы
(Н = const) формулы (15.97) и (15.98) тождественно
совпадают. Однако при # = var они дают различный
результат. В этом случае целесообразно при
пользовании зависимостями (15.97) определять функции F(h)
и k(h) не из выражений (14.44) и (14.56), а при
помощи равенств (14.41) и (14.55).
В приложениях II—V даны таблицы всех
вспомогательных функций, входящих в правые части
зависимостей (15.97) — (15.99). Однако при расчете на
электронных машинах целесообразнее непосредственно
определять указанные функции при помощи приведенных выше
аналитических зависимостей. В этом случае функции

15.11]
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФОРМУЛ
459
\|)(е) и tyi(e) удобно вычислять, пользуясь разложениями
(15.79). Что касается функций F{(v) (/=1, 2, 3, 4), то,
подставляя выражения (15.26) и (15.39) в зависимости
(15.100), находим:
при v-<2
F2(v) =
14-- Ц—-4-
^ 8 ^ 192 ^
v2 . v4
1 + Т+ '
64 ^ 2304
лм=
1+Т- + Ш +
2 exp (v)
(1 + -r+w+-)/
\)2 л?4 мб
1 + 4
2nv3
F4(v)=l,5
64 ^ 2304
ч
1+-V+
192
I+-)
при v> 1,5
/^4(v) = 0,75-
1+-
15
128
1
105
+
V2
9
128
15
128
1024 v3
1 . 75
v2 ' 1024
1 105
v2 1024
(15.101)
(15.102)

ГЛАВА XVI
ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ
НА ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ
СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ
16.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
КОСМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА
При анализе влияния притяжения Солнца и Луны
на движение искусственных спутников Земли мы будем
исходить из общих уравнений движения космического
объекта, находящегося под воздействием притяжения
нескольких тел [2]. Принимая во внимание, что все
притягивающие тела солнечной системы имеют форму,
близкую к сферической, мы будем определять их
притяжение из уравнений вида (4.3) (с некоторыми небольшими
поправками, учитываемыми в случае необходимости).
Обозначим через р вектор, определяющий
положение рассматриваемого космического объекта в
некоторой инерциальной системе координат. Пользуясь
выражением (4.3), можно написать уравнение движения
этого объекта в принятой системе координат:
1=0 ' ' '■
где pi (i = 0, 1, 2, ..., п) —векторы, определяющие
положение центров притягивающих тел, уц —
коэффициенты, равные произведениям гравитационной постоянной
на массы соответствующих притягивающих тел, т —
масса рассматриваемого космического объекта,
F—сумма всех действующих на объект дополнительных сил,
обусловленных несферичностью притягивающих тел,
тормозящим действием атмосферы, световым давлением
и т. п.

16.1] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА 461
Обычно при исследовании движения космических
объектов используется не инерциальная система
координат, а некоторая невращающаяся система с началом
в центре одного из притягивающих тел. Это тело в
дальнейшем будем называть основным и обозначать его
индексом i = 0. При исследовании движения
искусственных спутников Земли в качестве основного
притягивающего тела, как правило, выбирается Земля. Заметим,
что нас в дальнейшем будет интересовать движение
космических объектов, массы которых на много порядков
меньше масс основных притягивающих тел солнечной
системы. Поэтому в дальнейшем будем пренебрегать
влиянием исследуемого космического объекта на
притягивающие тела. Тогда уравнение движения основного
притягивающего тела в инерциальной системе
координат можно написать в виде
п
Ро = Хм/т-^—^т-Ь-0-' (16.2)
го ^i |Р/-р0|з "г mQ \ )
где Fq — сумма всех дополнительных сил, действующих
на основное притягивающее тело, а т0 — его масса.
Обозначим через г вектор, определяющий
положение космического объекта в системе координат,
связанной с основным притягивающим телом. Очевидно, что
г = р-р0. (16.3)
Вычитая из уравнения (16.1) уравнение (16.2) и
пользуясь зависимостью (16.3), находим уравнение
движения космического объекта в неинерциальной системе
координат, связанной с основным притягивающим
телом:
r = -^oTrF+5;^(T^?--^F) + J-^,(16.4)
/ = 1
где ri = Pi — ро — векторы, определяющие положение
остальных притягивающих тел относительно основного.
Заметим, что для большинства притягивающих тел
солнечной системы практически можно считать F0 = 0.
Одно из важных исключений составляет Луна, при

462 ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ [ГЛ. XVI
точном расчете движения которой необходимо
учитывать влияние несферичности Земли.
Как будет показано ниже, при движении в
некоторой окрестности основного притягивающего тела первый
член правой части уравнения (16.4) значительно
превосходит сумму остальных членов. В частности, это
имеет место в подавляющем большинстве случаев
исследования движения искусственных спутников Земли
с неработающей двигательной установкой. Поэтому
принято первый член правой части уравнений (16.4)
называть невозмущенным (основным) ускорением, а сумму
всех остальных членов — возмущающим ускорением.
При этом все притягивающие тела, кроме основного,
называют возмущающими.
16.2. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ
В РЯД ПО СТЕПЕНЯМ ОТНОШЕНИЙ r/rt
Обозначим через г и гг- (/=1, 2, ..., п) модули
соответствующих векторов и рассмотрим случай
движения в непосредственной окрестности основного
притягивающего тела, для которой
г</> (16.5)
Для простоты рассмотрим движение при наличии
одного возмущающего тела (я=1). Заметим, что все
полученные в этом параграфе результаты могут быть
легко обобщены на случай нескольких возмущающих
тел. Кроме того, положим, что
F = F0 = 0.
При этих допущениях уравнения (16.4) принимают
вид:
г = — Иотг+/и О6-6)
где /i — возмущающее ускорение, определяемое по
формуле
'-"■(i£^-i?)-
= V,[r,(\'-l-r\-'-r^)-r\r,-r\-'\. (16.7)

16.2]
РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ В РЯД
463
Воспользуемся тем, что
= 'f3(l~2^ + ^p. (16.8)
а также примем во внимание соотношение, которое
следует из допущения (16.5):
2г-г,
—v<ci.
Тогда при вычислении правой части выражения
(16.8) можно воспользоваться разложением в ряд
Ньютона
(1_еГ'/.= 1 + зеН_ _£е8+ ...
8
(16.9)
Отсюда, ограничиваясь членами второго порядка
малости относительно отношения г/ги можно написать:
|г,-
r|"3 = -V
+
1 I 3 /2f-fl
+ 2 г?
т)+
Я+-]-
15 (2г-гх г2
8 I r? r\
1 i q гг, , 15 [г-г, \ 3 г2
1+3"Т~+ТГ7Г/ i7[ +
Подставляя это равенство в выражение (16.7) и
ограничиваясь членами второго порядка малости,
находим:
/l=/ll+/l2+ .... (16.10)
где
Л \ г, г\ г, /
t _ Mi >t
/12 .2 1 _
г? I г, [ 2 I r?
2 г?
(16.11)
В дальнейшем векторы /п и /12 будем называть
соответственно возмущающими ускорениями первого и
второго порядка. Обозначим через г° и г° единичные

4(54 ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ [ГЛ. XVI
векторы направлении г и гх, а через а — угол между
этими направлениями. Тогда выражения (16.11) можно
записать в виде
/,
И
3-*f-(3 cos а-г^-г0),
г\ г
о
Г ri
Обозначим, далее, через
/• _М_1_ [__
JY2 — 2 9
г: г-
/15 9 3 \ ч
— cos2 a г/
I 2 2/ '
■3 cos
а-г0]
g = Mo jr
(16.12)
(16.13)
невозмущенное ускорение, а через #, /и и /12 — модули
соответствующих векторов. Легко показать, что
g = Ч > /и = "4 — Ф1 («)' /i2 = -Ч- "Г Фа (а).
ф] (а) = ]/(3 cos а-г? — г0)2 = /3 cos- а -f- 1,
ф2(а)= 1/ | f-£cos2« ——) г? — 3cosa-r°|
= ~ у7 5 cos1 a — 2 cos2 ct --(- 1 •
(16.14)
Отсюда
£Г fl0 \ Г\ I
и
Ф2(а). (16.15)
K<F,(a)<2,
/7<Ф,(в)<3. (16.16)
£ Но Vi
Кроме того, из выражений (16.14) следует, что
_3
Г 5
Заметим, что при движении вблизи основного
притягивающего тела (г<^г{) возмущающие ускорения,
вызываемые притяжением ко второму притягивающему
телу, значительно меньше ускорения притяжения этого
тела gl = \x1/r2r
Действительно, из выражении (16.14) и (16.16)
находим:

16.3]
СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ ПРИТЯГИВАЮЩИХ ТЕЛ
4 оо
Это объясняется тем, что в соответствии с
уравнением (16.4) возмущающее ускорение представляет
собой геометрическую разность между векторами
ускорения сил притяжения возмущающего тела в центре
основного тела и в точке расположения
рассматриваемого объекта.
16.3. СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ ПРИТЯГИВАЮЩИХ ТЕЛ
Из зависимостей (16.15) и (16.16) следует, что
отношение возмущактщего ускорения к основному резко
возрастает по мере удаления от притягивающего центра.
В первом приближении это возрастание
пропорционально величине (г/п)3. Следовательно, в окрестности
каждого притягивающего тела существует некоторая
область, внутри которой притяжение этого тела является
превалирующим, а влияние всех остальных
притягивающих тел сводится лишь к сравнительно небольшим
возмущающим ускорениям, которые в некоторых случаях
даже не следует учитывать.
В настоящее время существует несколько не
совпадающих между собой способов определения этих
областей [13, 32]. Мы рассмотрим одно из этих
определений, — так называемую сферу действия. При этом будем
рассматривать случай движения под действием двух
притягивающих тел М0 и М{ и полагать, что масса
тела М0 значительно меньше массы тела Ми т. е.
Ио«И- (16.17)
Заметим, что такая ситуация является типичной при
исследовании движения космического объекта в
пределах солнечной системы. При этом рассмотрение
притягивающей пары «естественный спутник — планета»
определяет область влияния естественного спутника
планеты, пары «планета — Солнце» — область влияния
планеты и, наконец, пары «Солнце — галактика» —
область влияния Солнца.
Обозначим через О0 и 0{ центры рассматриваемых
притягивающих тел, а через D — центр космического
объекта. Кроме того, введем следующие обозначения

466
ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ
[ГЛ. XVI
(рис. 16.1):
OoD = r0, 0,D = rv ОгО0 = с,
\г0\=го* \Г\\=Г\* \с\=с.
Из*выражения (16.6) следует, что уравнение
движения объекта D в системе координат, связанной с телом
М0, имеет вид
r0 = go+fv (16.18)
а в системе координат, связанной с телом Ми
П=вГ1+/о. (16.19)
где g'o и gx — ускорения притяжения тела,
принимаемого в каждом случае за
основное, a /i и /0 —
соответствующие возмущающие
ускорения.
Под сферой действия тела
М0 подразумевается область,
в которой
go g\*
а под сферой действия тела
М\ — область, в которой
Il> А.
go
gi
Рис. 16.1. Взаимное
расположение центра D
космического объекта и
притягивающих центров О0 и 0\.
Здесь:
£о=Ы> & = |«ri|. ']
/o=l/o|. fi = l/il- 1
Таким образом, под сфе-1
рой действия некоторого при-я
тягивающего тела подразу- ^
мевается такая область, в ко- |
торой выбор этого тела в качестве основного обеспечи- ~
вает максимальную степень малости отношения возму* ]
щающего ускорения к основному.
Очевидно, что граница сфер действия обоих притя*|
гивающих тел определяется из уравнения
£о gi '
(16.2С||

16.3]
СФЕ*>Ы ДЕЙСТВИЯ ПРИТЯГИВАЮЩИХ ТЕЛ
46?
Из условия (16.17) следует, что эта граница должна
быть значительно ближе к телу М0, чем к телу Mim
Иначе говоря, на границе сфер действия
удовлетворяются условия
Отсюда, пользуясь зависимостями (16.7) и (16.14) и
условием, что Г\=с-{-г0, можно написать следующие
выражения для модулей рассматриваемых ускорений
(величины gu /о и fi определяются в первом
приближении):
й> =
Но
*=9-«
fi=i^-9i(a)=]7^Vl + 3cos2a,
fo = K>
с — г,
I'-'il*
= 1*0
-3 "I ,,3
Mo
(16.21)
где a — угол между векторами г0 и О0Ог = — с.
Подставляя эти зависимости в равенство (16.20),
находим приближенное уравнение границы сфер действия:
Заметим, что
—s- У 1 + 3 cos2 a = —s-,
/*o = (^)2/B(l + 3cos2a)-,/V. J
(16.22)
l>(l + 3cos2a)-/,0>
5
n
'• 0,87.
При этом максимум рассматриваемой величины со-
ответствует значению a = ± -^, а минимум —
значениям а = 0; я.
Таким образом, сфера действия меньшего из
притягивающих тел по форме близка к шаровой
поверхности и представляет собой несколько сплюснутое тело
вращения, малая ось которого совпадает с
направлением на большее притягивающее тело.

468 ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ [ГЛ. XV
В табл. 16.1 помещены значения максимальных
радиусов сфер действия для различных пар
притягивающих тел по данным Г. А. Чеботарева [32].
9 Таблица 16..
Притягивающие тела
меньшее
Луна
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Солнце
большее
Земля
Солнце
»
»
»
Галактика
Максимальный радиус
сферы действия меньшего
тела, км
62,5- 103 — 69,8- 103
612-103 — 62Ы03
913-103 — 944-103
524 • 103 — 631 • 103
45,9-106—50,5- 10б
9-Ю12
Максимальное
отношение
возмущающего
ускорения
к основному
0,55
0,099
0,104
0,066
0,35
0,008
Приведенные в этой таблице пределы изменения
максимальных радиусов сфер действия соответствуют
различным значениям расстояния между
рассматриваемыми притягивающими телами.
Если при анализе движения какого-либо
космического объекта в качестве основного притягивающего тел:
каждый раз выбирать то, в сфере действия которого f
данный момент находится объект, максимум отношени.
возмущающего ускорения к основному будет иметь ме
сто при пересечении объектом границы сфер действие
обоих тел. Из выражений (16.21) и (16.22) следует, что
на этой границе
-£- - -^ = (-М/5(1 + 3 cos2 a)\
go gi Ui / V ^ ;
При а = 0 это отношение имеет максимальное значение:
(II) =(M «lt32(Jb.)\
ч^о/max \£i/max V Hi /
Таким образом, максимальное отношение
возмущающего ускорения к основному зависит только от
отношения масс рассматриваемых притягивающих центров к
не зависит от расстояния между ними. Это отношение
тем меньше, чем меньше величина [Xo/Vi- Иначе говоря,
чем больше отношение массы тела Mi к массе тела М0г
тем меньше возмущающее влияние одного тела на дви-

1R.4] ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ВЛИЯНИЕ СОЛНЦА И ЛУНЫ 469
жение в сфере действия другого тела. В табл. 16.1
помещены максимальные значения отношения
возмущающего ускорения к основному для рассматриваемых пар
притягивающих тел.
Из зависимостей (16.21) следует, что по мере
удаления от границы сфер действия отношение
возмущающего ускорения к основному убывает. При
приближении к телу М0 отношение fjgo убывает в первом
приближении пропорционально rj}, а при удалении от этого
тела за границу его сферы действия отношение f0/gi
пропорционально 1/г*.
Заметим, что в сферу действия меньшего тела М0
входят такие области, в которых притяжение тела А^
превосходит притяжение тела М0 (т. е. gi>go). Так,
например, сила притяжения Солнца начинает
превосходить силу притяжения Земли уже на расстоянии
256- 103-^265- 103 км от центра Земли (при
максимальном радиусе сферы действия Земли, равном
913 • 103^-944 • 103 км) [32]. В частности, вблизи Луны
притяжение Солнца уже заметно превосходит
притяжение Луны. Несмотря на это, реальная орбита Луны
значительно ближе к невозмущенной орбите спутника
Земли, чем к невозмущенной орбите планеты солнечной
системы. Это связано с тем, что Луна находится глубоко
внутри сферы действия Земли.
16.4. ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
СОЛНЦА И ЛУНЫ НА ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ
СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ
Ограничимся рассмотрением движения
искусственных спутников с высотой полета над поверхностью
Земли /г<Л(Ю000 км. Пользуясь зависимостями (16.14),
можно показать, что для таких спутников возмущающее
влияние всех небесных тел, за исключением Солнца и
Луны, является пренебрежимо малым. Для
предварительной оценки возмущающего влияния Солнца и Луны
можно воспользоваться данными табл. 16.2. В этой
таблице помещены максимальные значения
соответствующих возмущающих ускорении /, а также их отношений

470 ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ [ГЛ. XVI
Таблица 16.L
Высота
h, км
0
2000
10000
20 000
50000
100 000
Максимальное
возмущающее
ускорение
«о
«1
5 2
о :*
и §
0,50
0,66
1.3
2Д
4,4
8,3
(О
1
я 2
я „•
& *
1.1
1.4
2,8
4,5
9,8
18
Отношение к g максимального
возмущающего ускорения
от
Солнца
5.1 • 10~8
1.2-10"7
8.6- 10"7
3.6-10"6
3.5-10^5
2.4-10""4
от
Луны
1.1. ИГ7
2.5- 10~7
1.9-10"6
7.9 -10"6
7.7- 10~5
5.2.10~4
от второго
члена

разложения
потенциала
земного

притяжения
3.4- 10~3
1.9- Ю-"3
5.1 • Щ"4
2.0- 10~4
4.3-10"5
1.2- 10~5
от
аномалий силы
тяжести
6,0-10~5
3.5-10"5
9.1 • 1С"6
3,5-10""6
7.8-10~7
2.2-10"7
к ускорению g земного притяжения в зависимости от
высоты А над поверхностью Земли. Расчеты велись по
формулам первого приближения (16.14). В этой же
таблице для сравнения помещены величины отношений
максимальных возмущений, вызываемых вторым
членом разложения потенциала земного притяжения в ряд
по сферическим функциям и аномалиями силы тяжести,
к величине g. Первые из этих возмущений определялись
по приближенным формулам (12.18), а вторые
оценивались при помощи выражения
/maxW = /max(0)(/?+^) .
где /max(h) —максимальное возмущающее ускорение на
высоте А, /тах(0)—максимальная аномалия ускорения
силы тяжести на поверхности Земли, R — средний
радиус Земли. При этом принималось, что /тах(0) =
= 6- 10-* м/сек2.
Заметим, что эта оценка является сильно
завышенной, так как большая часть членов разложения (12.27)
убывает с увеличением высоты А значительно быстрее,
\R+T) '
чем отношение

16.5J ПРОЕКЦИИ ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ 471
Из таблицы видно, что возмущающее ускорение,
вызываемое притяжением Луны, примерно в 2,2 раза
превосходит соответствующее возмущение от Солнца. При
этом для спутников, летающих на высотах порядка
нескольких тысяч километров и ниже, рассматриваемые
возмущения значительно меньше аномалий силы
тяжести, которые обычно не учитываются даже при точных
расчетах. Начиная с высот порядка 20 000 км,
возмущения от притяжения к небесным телам превосходят
аномалии силы тяжести, а начиная с высот порядка 50 000 км
превосходят все остальные гравитационные возмущения.
Для оценки влияния вторых и последующих членов
разложения возмущающего ускорения в ряд (16.10)
можно воспользоваться зависимостями (16.14). При
этом оказывается, что отношение каждого
последующего члена .к предыдущему имеет порядок величины
r/rt. Отсюда следует, что ряд, определяющий
возмущающее влияние Солнца на движение спутников Земли,
сходится очень быстро, и уже его второй член может быть
отброшен в подавляющем большинстве случаев. Однако
аналогичный ряд, используемый для оценки влияния
Луны, сходится значительно медленнее. Уже для высот
порядка 50 000-^ 100 000 км его второй член достигает
нескольких десятков процентов от первого. В этом
случае первым членом ряда можно пользоваться лишь для
приближенных оценок.
16.5. ПРОЕКЦИИ ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ
НА ОСИ, СВЯЗАННЫЕ С ПОЛОЖЕНИЕМ
СПУТНИКА НА ОРБИТЕ
Учитывая малость возмущающих ускорений для
рассматриваемой категории искусственных спутников Зем-.
ли, мы ограничимся в дальнейшем определением лишь
вековых и долгопериодических возмущений элементов
орбит, т. е. будем вычислять изменение элементов
орбиты за виток. При этом будем считать возмущающие
действия Луны и Солнца независимыми друг от друга
и определять соответствующие возмущающие ускорения
по формулам первого приближения (16.11). При
решении всех рассматриваемых ниже вопросов мы будем

472
ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ
1ГЛ. XV
пользоваться результатами, полученными А\. Л. Лидс
вым [19].
Для вычисления вековых возмущений орбиты пс
формулам (2.16) или (11.39) необходимо
предварительно определить проекции 5, Т, W возмущающего
ускорения на оси, связанные с положением спутника на о-
бите (см. рис. 2.1). Для этого воспользуемся введенно
в § 5.5 правой прямоугольной системой координат Ogr]
(см. рис. 5.5). Обозначим через /, у, k единичные
векторы осей этой системы координат, через 6°, Т°, W0 —
единичммо вектопь7 направлений S, T, W, а чеоез к*. н.._
Ci
0
^1
^с
г4
lv
3^
/г-^--^_^
0
~~1
Рис. V6.2. Разложение ьозмущающего
ускорения на направления осей, связанных с
положением спутника на орбите.
х3—косинусы углов, ооразуемых вектором г4 с
направлениями осей с, г], £. Тогда из рис. 16.2 находим:
Г1 = гх(щ1 + ^+у3к)9
r = r(i cos ft -{- J sin ft),
S°=^/cosft-j-/sinft,
T° = — /sinft-f-ycosft,
(16.23),
где ft обозначает истинную аномалию рассматриваемого
объекта D.

ПРОЕКЦИИ ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ
473
Обозначим через у угол между направлением
вектора г{ и его проекцией 00\ на плоскость £г| орбиты,
а через а — угол между этой проекцией и большой осью
орбиты 01 (см. рис. 16.2). Очевидно, что
ул = cos у cos a, х2 = cos у sin а,
х3 = sin у, cos у = V^l + у\.
Пользуясь зависимостями (16.23) и (16.24), находим:
гх - г = гхг (щ cos ft -f- х2 sin ft) =
= г^ cos y cos (ft — a),
Tj • 5° = /*! (%! COS ft + ^2 Sin *) =
= /*! cos y cos (ft — a),
rL . 7° = r{ (— кх sin ft 4- x2 cos ft) =
= — rx cos y sin (ft — a),
(16.24)
W°
г\лъ~г\ sin Y»
(16.24, a)
Г1.5° = г, г- 7° = г- W° = 0.
Подставляя эти равенства в выражение первого
приближения для возмущающего ускорения (16.11) и
пользуясь зависимостью (4.19), получаем:
S =/nS° = glj-[3 cos2 y cos2 (ft — a) — 1 ] =
-3^ £ (fa cos2ft + 2p3cosftsin ft -fp2 sin20 — g) ■£-.
Г =/n T° = — 3gi ^- cos2 y cos (ft- a) sin (ft-a) =
^3^^-[(,82-p1)cosftsinft4-p3(cos2ft~sin2ft}]i,
W = fn W° = 3gi — cos y sin y cos (ft — a) =
= 3g,-^-((54sinft-f- |35cosft) ]
Л '
(16.25)
где р — фокальный параметр невозмущенной
орбиты рассматриваемого объекта, а величины A, g\, (3*

4?4
ВЛИЯНИЕ4 ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ
[ГЛ. XVI
(/=1, 2, ..., 5) определяются по формулам:
A = l + <?cosft, gl = ^,
1 (16.26)
Заметим, что g{ представляет собой абсолютную
величину ускорения притяжения основного тела к
возмущающему.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением
орбит спутников, период обращения которых вокруг Земли
мал по сравнению с периодом обращения Луны вокруг
Земли и периодом обращения Земли вокруг Солнца.
Для таких спутников можно в первом приближении
пренебречь изменением направления вектора гх за время
одного оборота спутника вокруг Земли. Поэтому при
определении изменения элементов орбиты за один виток
будем для простоты считать величины х4, х2, х3, а и у
постоянными. Заметим, что вопрос о влиянии
переменности этих величин рассмотрен в работе М. Л. Лидова
[19].
16.6. ВОЗМУЩЕНИЯ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
ЗА ОДИН ВИТОК
При рассмотрении движения по круговой орбите
радиуса г совместим ось 0£ (рис. 16.2) с направлением на
некоторую начальную точку D0 орбиты. В этом случае
входящий в выражения (16.23) — (16.25) угол Ф
заменится углом ф, отсчитываемым от точки D0. Тогда
выражения (16.25) можно представить в виде (3.5),
придав коэффициентам этих разложений следующие
значения:
SQ = gx ~ (у cos2у — l). Sx = 0,
7\
Sl = Ti=Wi = 0 при />3.
(16.27)

16.6] ВОЗМУЩЕНИЯ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ ЗА ОДИН ВИТОК 475
Сопоставляя эти выражения с выводами,
приведенными в § 3.9, находим, что рассматриваемые возмущения
круговой орбиты за один виток сводятся к отклонению
фактического периода обращения от невозмущенного и
повороту плоскости орбиты.
Первое из этих возмущений определяется
коэффициентами So и Г2, второе — коэффициентом W\.
Величина отклонения АР фактического
(сидерического) периода обращения от невозмущенного
определяется по формулам (3.10) и (3.40), согласно которым
ЛР /0 S0 , 3 Т2 п \
-^ = (2if+T77cos2^)'
где Р — период обращения невозмущенной орбиты.
Отсюда, пользуясь выражениями (16.21) и (16.27),
получаем:
^ = iil4["3cos2Y(l — j cos 2a) —2l. (16.28)
Соответствующее смещение б/ вдоль орбиты за один
виток определяется из выражения
Уг = — 2п^-. (16.29)
вывод которого непосредственно следует из равенств
(1.4) и (1.5).
Из зависимостей (3.34), (16.27) и рис. 16.2 находим,
что поворот плоскости орбиты за один виток происходит
относительно оси, являющейся проекцией направления
вектора Г\ = 00\ на плоскость 1ц орбиты, т. е.
относительно оси 00\ (рис. 16.2). При этом, если смотреть
со стороны конца проекции Oi, вращение кажется
происходящим против хода часовой стрелки при угле у>0
и по ходу часовой стрелки — при y<0.
Угол 6\|) поворота плоскости орбиты за один виток
и соответствующее максимальное боковое смещение 8г
орбиты за один виток определяются по формулам (3.35)
и (16.26), согласно которым
йф = *i = i я ML sin 2y. (16.30)
г 2 Иог? '

476 ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ [ГЛ. XVI
Из выражений (16.28) — (16.30) видно, что
рассматриваемые относительные возмущения элементов орбиты
I—р-, —, оф =— 1 возрастают пропорционально г3.
Что касается абсолютных величин этих возмущений, то
они возрастают еще быстрее (б/ и &z —
пропорционально г4, а 6Р — пропорционально г-'2).
Из зависимостей (16.27) и (16.29) следует, что при
заданном г максимум возмущений АР и б/ соответствует
значениям a = -^-t Y = 0, а максимум возмущений бф
и 6z — значению у = -^-. Пользуясь выражениями
(16.15), (16.16), (16.28) и (16.30), находим, что
ДР
Р
Ы_
г
bz
г
№
13
= 3,25^ = —
= 6,5л iiiC = 3,2
3
3 |i,r
Ы\
1 — 1
S0 1
5л
1
max
Al
#0
1 —
1 5
0
max
Inia
x '
(16.31)
где
■помещенное в табл. 16.2 максимальное
значение отношения возмущающего ускорения к
основному.
В табл. 16.3 приведены полученные по этим
формулам максимальные значения возмущений ДР, б/, б-г и
бф, возникающих под влиянием притяжения Луны
(соответствующие возмущения, обусловленные
притяжением Солнца, будут примерно в 2,2 раза меньше).
Из таблицы видно, что для спутников, летающих по
круговым орбитам на высотах порядка нескольких
тысяч километров и ниже, возмущения от притяжения
Луны и Солнца являются пренебрежимо малыми. На
высотах порядка 10 000 км они уже становятся
заметными.
При дальнейшем увеличении высоты полета эти
возмущения резко возрастают и достигают значительных
величин.

16.7] ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ ЗА ВИТОК 477
Таблица 16.3
Высота круговой
орбиты И., км
0
2000
10 000
20000
50000
100 000
Максимальные возмущения
АР, сек
9.1-10"4
3,2- 10~3
6.3-10~2
0,55
16
290
6/, м
7.3
21
310
2,1 • 103
49 • 103
570-103
bz, м
1,7
5
72
490
10-103
130-103
бф, угл. сек
0.05
0.12 |
0.9
3.8
38,0
250.0
16.7. ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
ЗА ОДИН ВИТОК
Для определения возмущений эллиптической орбиты
воспользуемся приближенными выражениями (11.39).
При этом заметим, что исходя из уравнения (11.28),
можно написать аналогичную приближенную формулу
для вычисления изменения большой полуоси за один
виток:
2л
ь* =tIW (ie sin d +7т)л- (16-32)
6
При вычислении правых частей равенств (11.39) и
(16.32) будем полагать величины элементов орбиты и
вектор Г\ постоянными в течение рассматриваемого
витка. При этих допущениях, пользуясь зависимостями
(4.19) и (16.25), находим, что задача сводится к
вычислению интегралов вида
2л
. £ cos'TCftsin'ti' ^a
Jnml — J ^л "^»
0
где /г, т, / — некоторые целые положительные числа, а
величина Д = Д('0,) = — определяется из выражения
(16.26).

478
ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ
[ГЛ. XV
Легко убедиться В ТОМ, ЧТО J nml = 0 при / нечетнсн*
(так как в этом случае подинтегральное выражение
является нечетной функцией угла Ф).
Учитывая это, получаем после подстановки
выражений (16.25) в равенства (11.39) и (16.32):
)
6а
1-
cos Ф sin2 Ф
cos2 'О' — sin2 Ф
Л2
)</*,
2л
6g = 3-^P3/'["2cosd3Sin^
+Ы)
1 \ cos 'О1 (cos2 Ф—sin2'О') , cos2u—sin2^
\ —.7 _|_ е .
V\PA
6^ = 3—^
\к0г\ sin г
Л3
X
>—sin20"|
■5* J'
2л
2я
ч./о . Г cos2 ft ,а , 0 Г sin2 ft ,а\
X Р5 sm со J __d* + p4cos©y -дГ"^/'
V о о /
/' 2я
IV? V с/ Л
2я х
0 . Г sin2ft .А
— р4 sinco у —-dfll
о /
f 2я Г
IV? « jI [\ Д/ Д3
COS3 'в'
Л3
2я
rf»+Pa/C08<A?n'dtf»+
6
2я | I
0 J j
(16.33

16.7]
ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ ЗА ВИТОК
479
Заменим в правых частях этих выражений sin2 О на
1 — cos2 д. Кроме того, воспользуемся выражением
(16.26) для Д, согласно которому
cosmft
W
(16.34)
В результате вычисление правых частей равенств
(16.33) сводится к определению интегралов вида
2л
>-/
db
ДЛ(Ф)
(я = 0, 1, 2, 3, 4).
Воспользуемся теперь известными формулами [25]:
Г dft _ 2 Г
J 1 4- е cos * ~~ Vl —^ ЗГС g К
/
rfG
1
(l-f*cosft)* </г — 1) (1 —^:
й-
1 — е . Ъ_
l+e g 2 '
(1 +есо&Ъ)п~1
+ (2/г-3)/
Тогда
</ф
(1 -f-^ cos
Ф)Л-1 (* 2)J (i+^cos^-2J
2я
(l-0Va
2rt —3 . /2 — 2 .
(Л— lj(l—*2) ^-! </I— 1) (1 —^2) Л-2-
(16.35)
(16.36)
На основании рекуррентного соотношения (16.36) и
равенства (16.35) находим, что
/ _ 2л
J 2
Л
л
л(2 + *2)
(1— <?2)5/2
я(2 + 3г2)
(1—07/2
(16.37)
При помощи зависимостей (16.34) и (16.37) можно
после ряда элементарных преобразований получить
из равенств (16.33) окончательные выражения для

480 ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ [ГЛ XVI
возмущений элементов орбиты за один внток:
6а = 0,
6, = -15л^(^-)%/Г=^Рз,
6Ц=&|Ы-1.)8 ' . ,[(1
Mo \ г, I у 1-е2 sin/
Ы = Зл ili-
Ио
4€2)P5sinco-|-
+ (1—e2)p4cosco], [ (16.38)
— (1 —^2)Э4 sinco],
При выводе этих формул мы учли лишь первый член
разложения возмущающего ускорения в ряд (16.10) и
пренебрегли переменностью вектора Г{ за один оборот
спутника. При учете влияния притяжения Луны на
движение спутников Земли со сравнительно большой
высотой полета (порядка 50 000~й00 000 км) оба эти
допущения приводят к заметным погрешностям. В этом
случае в целях дальнейшего уточнения могут быть
использованы формулы, полученные М. Л. Лидовым с учетом
членов второго приближения, а также переменности
вектора rt [19].
16.8. АНАЛИЗ ВОЗМУЩЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
ЗА ОДИН ВИТОК
Из формул (16.38) видно, что в первом приближении
большая полуось орбиты не испытывает вековых
возмущений (6я = 0). Это является непосредственным
следствием допущения о постоянстве вектора гА и
пренебрежения переменностью элементов орбиты при вычислении
правых частей равенств (11.39) и (16.32).
Действительно, в этом случае движение происходит в
консервативном поле сил, и поэтому в процессе движения полная
механическая энергия спутника не изменяется. Так как
при этом к концу оборота вокруг Земли спутник
приходит в ту же точку пространства (вследствие допущения

16.8] АНАЛИЗ ВОЗМУЩЕНИЙ ОРБИТЫ ЗА ОДИН ВИТОК 481
о постоянстве элементов орбиты), то не изменяется и
скорость его полета. Отсюда, используя зависимость
(5.15), находим, что 6^ = 0. В работе М. Л. Лидова [19]
показано, что при решении задачи с учетом
переменности вектора Г\ это равенство не имеет места. Однако,
как показывают расчеты, для рассматриваемой
категории спутников Земли получаемое при этом значение 8а
мало по сравнению с изменениями других элементов
орбиты.
Можно показать, что между полученными в.
предыдущем параграфе величинами бе, б/ и б Q, существует
дополнительное соотношение. Это соотношение
определяется тем, что в случае неподвижности возмущающего
тела проекция вектора L кинетического момента объекта
относительно точки О на направление ri = OOi не
изменяется с течением времени. Действительно, обозначая
эту проекцию через Lu имеем:
I^rJ-frXr), Lx = r°r(rXr).
где Г\ — единичный вектор направления г
С другой стороны, из зависимости (16.4) с. ■. луи по
при п-~ 1 и F = F0z=0
r = Ar-+ Br^
где А и В — некоторые скалярные множители.
Подставляя это равенство в выражение для Lu
находим, что
Z1==0, Z, = const.
Пользуясь зависимостями (4.4) и (5.10), можно
написать выражение для модуля кинетического момента:
L = \rXv\ = c=Vvp = Vw(l—e2)-
Так как вектор кинетического момента L нормален
к плоскости орбиты, т. е. направлен по оси 0£, то
Lx = Ыг = х3 У yia (1 — в1) = const.
Отсюда, учитывая, что ба = 0, находим:
-*эт=7*+6*з = 0- (16.39)

482
ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ТУНЫ
[ГЛ. XVI
Для определения величины бх3 воспользуемся
изображенной на рис. 1.2 невращающейся системой
координат Охуг
Матрица косинусов углов между осями л\ //, z и с,
7], £ дана в § 5.5. Обозначим эту матрицу через ||/1||.
Тогда можно написать, что
I! *i !!
I =^ |1 Л i
i; a.
Ну
i а2
1 а3"
•
= И||
1
Г |
щ
2
хз 1
(16.40)
(16.41)
где ai, аг, аз —косинусы углов между направлением
вектора Г\ и осями л% у, г, а ||Л||*— транспонированная
матрица \\А\\. Отсюда, полагая вектор Г\ неподвижным
относительно системы координат Oxyz (ai = const, a2 =
= const, аз = const), находим:
Хз = а! sin J£ sin / — a2cos <Q, sin / -f a3cos/,
6x3 = (a! cos ^ sin / + a2sin ££ sin /)6Д +
(16.41a)
+ (щ sin Д cos / — a2 cos Д cos / — a3 sin /) 6,-.
Подставляя сюда значения at, a^, a3, находим:
6x3 = (>/.1 cos со — x2 sin со) 6Д sin / — (xL sin со -f- x2 cos со) 6/,
(16.42)
откуда с учетом зависимости (16.39) получаем оконча*
тельное соотношение:
в be
— хз \ __ е2 + (Xi coso) — х2 sin со) 6Д sin / —
— (y>i sinco4-XjCoso))6/ = 0. (16.43)
Равенство (16.43) целесообразно использовать для
проверки результатов численного расчета величин 8е,
бГ£, б/. Его справедливость может быть также показана
путем подстановки выражений (16.38) в зависимость
(16.43).

16.8] АНАЛИЗ ВОЗМУЩЕНИЙ ОРБИТЫ ЗА ОДИН ВИТОК 483
В частности, для круговой орбиты (£ = 0)
зависимость (16.39) принимает вид 6х3 = 0. Иначе говоря, в
этом случае изменение плоскости орбиты за один виток
сводится к ее повороту вокруг направления вектора
ri = 00{. Считая этот поворот малым, можно
разложить его на два вращения: вокруг нормали к плоскости
орбиты и вокруг проекции вектора гх на плоскость
орбиты. Первое из них не изменяет плоскости орбиты, а
второе совпадает с полученным в § 6 данной главы
поворотом плоскости круговой орбиты.
Определим положение оси, вокруг которой
происходит поворот плоскости орбиты в общем случае. Для
этого введем угол %, определяемый из равенств
(1+4*»)рБ
cosx
sin yw
Y(l+ 4,2)2 р2+(1_ ,2)2 р2
У(1 + 4,2)2р2+(1-,2)2р42
(16.44)
Тогда выражения (16.38) для 6^1 и б/ можно
переписать в виде
Ml = Sla!1~%) *Ф. Ы = cos (о + х) йф,
sin /
ут=-<
(16.45)
Отсюда, пользуясь зависимостями (9.53), находим,
что рассматриваемое возмущение плоскости орбиты
сводится к ее повороту на угол бф вокруг оси, лежащей в
плоскости орбиты и составляющей с большой осью 0£
угол х-
Из выражений (16.24) и (16.26) следует, что при
е-* 0 угол х стремится к углу а между осью 0£ и
проекцией вектора г{ на плоскость орбиты. При этом
выражение для угла поворота 6i|) переходит в
соответствующее равенство, полученное для круговой орбиты
(16.30).
При е-*1 угол %->0. Иначе говоря, для
сильновытянутых эллиптических орбит поворот происходит

484 ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ . [ГЛ. XVI
вокруг оси, близкой к направлению 0£. При этом
величина угла поворота 6ф резко возрастает по мере того,
как эксцентриситет приближается к единице (так как
при этом У\ —е1 ->0).
При решении ряда задач большое значение
приобретает изменение высоты hu перигея. В частности, для
орбит с низкими перигеями заметное уменьшение
высоты 1гл может привести к прекращению существования
спутника. Для определения изменения dhn высоты
перигея за один виток воспользуемся зависимостями (5.3),
(16.24), (16.25) и (16.38), согласно которым
6Л„ = 6гп = --аб£ = -тГл — (—) е У1 — е2 cos2 у sin 2a.
(16.46)
Из этой формулы видно, что высота перигея
увеличивается тогда, когда проекция вектора Г\ на плоскость
Ь) орбиты лежит в первой или третьей четверти этой
плоскости (0 < а < -у или л < а < -^ я J, и
уменьшается, если эта проекция лежит во второй или четвертой
четверти (у < а < я пли -j л < а < 2л) . Максимум
модуля рассматриваемого возмущения ;6Ап|тах
соответствует значениям Y = 0, а = -т- +-9-Л (п — целое число).
В табл. 16.4 помещены значения 1бАп|тах,
определяемые притяжением Луны при различных высотах перигея
и апогея рассматриваемой орбиты (для возмущений,
Таблица 16.4
| 2000
10 000
20 000
50000
100 000
200
2.5 м
34 м
181 я
2.4 км
21.5 км
2000
0
37 м
206 м
2.8 км
24.6 км
10 000
0
243 м
4.1 км
36.2 км
20 000
0
5,1 км
47,7 км
50 000
0
65,5 км

16.9) ВОЗМУЩЕНИЯ ОРБИТЫ ЗА НЕСКОЛЬКО ОБОРОТОВ 485
вызываемых Солнцем, соответствующие величины будут
примерно в 2,2 раза меньше).
Из таблицы видно, что для рассматриваемой
категории спутников величина 8hn мало зависит от
минимальной высоты полета hn и в основном определяется
максимальной высотой /ia (за исключением случая, когда
hn^+hz, при котором 8!ги—»0). При этом для
спутников, летающих на высоте порядка нескольких тысяч
километров и ниже, величина 6ftn мала (порядка
нескольких метров). С увеличением Ла она резко возрастает,
достигая при Аа = 50 000^-100 000 км величин порядка
нескольких километров или даже десятков километров.
Таким образом, рассматриваемые возмущения
орбиты за один виток сводятся в первом приближении к
изменению положения и высоты перигея (при постоянстве
большой полуоси орбиты), а также к повороту
плоскости орбиты вокруг некоторой оси, лежащей в этой
плоскости. При этом значения всех возмущений пропор-
Hi ( а V
циональны величине ——•
Но \ м /
Кроме того, при <?<С1 возмущение &е
эксцентриситета пропорционально величине е, а возмущение высоты
перигея — величине линейного эксцентриситета ае —
_ /га — hn
— 2
Заметим, что, кроме указанных изменений элементов
орбиты, имеет место отклонение фактического периода
обращения от невозмущенного (см. § 6 настоящей
главы). Это отклонение вызывает нарастающее
расхождение между невозмущенным и фактическим положениями
спутника на орбите.
16.9. ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
ЗА НЕСКОЛЬКО ОБОРОТОВ СПУТНИКА
Обозначим через <7j(/= 1, 2, .. . , 6) рассматриваемые
элементы орбиты (<7i = a, Ц2 = е, <7з = ', ?4 = со, q5=^l,
<76 = гп). Выражения (16.38) для возмущений этих
элементов за один оборот спутника можно написать в виде
5
tyy= 21 M>(?i. ?2> <7з> Ча)> (16.47)

486 ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУПЫ [ГЛ. XVI
где коэффициенты р,, (/г = 0, 1, 2, . . . , 5) определяются
по формулам (16.2b) (р0=1), a Fjh (/ = 1, 2, . ?., 6;
/г = 0, 1, 2, ..., 5) —некоторые функции элементов q$
орбиты.
Как видно из табл. 16.3 и 16.4, для рассматриваемой
категории спутников Земли величина возмущений б^
сравнительно невелика. Поэтому в первом приближении
можно в течение нескольких оборотов спутника вокруг
Земли пренебречь переменностью элементов q} орбиты
и полагать Fjh = const. Однако при этом следует
учитывать существенную переменность коэффициентов рй,
связанную со сравш тельно быстрым движением
возмущающего тела относительно Земли. Отсюда следует, что
изменения элементов орбиты за п оборотов спутника
можно определять по формулам вида
Д?у=2/>£р«, (16.48)
где I — номер текущего витка орбиты спутника, a pAj —
значения коэффициентов |3/< на этом витке.
л п
Для приближенного вычисления величин 2 Р*/ вос-
k = \
пользуемся плавностью изменения коэффициентов |3/< от
витка к витку и заменим суммы интегралами:
п п t
y^h^^hiP^^fhdi, (16.49)
/=1 /=1 О
где Р — период обращения спутника вокруг Земли, а
1 — пР— время полета.
Тогда получим следующие выражения для оппеделе
нпя возмущений элементов орбиты за несколько витков:
5 {
^j = -^^Fj,fhcU, (16.50)
*=о о
где Fjh (а, е, /, to) — множители при коэффициентах Р*
в выражениях (16.38) для 6<7;.
При определении зависимости коэффициентов Рл or
времени будем полагать, что возмущающие тела (Солн-

16.9] ВОЗМУЩЕНИЯ ОРБИТЫ ЗА НЕСКОЛЬКО ОБОРОТОВ 487
це и Луна) движутся относительно Земли по круговым
орбитам с постоянными угловыми скоростями. Основные
характеристики этих орбит (радиус ги период
обращения Рь угловая скорость }л обращения вокруг Земли и
коэффициент |li) имеют следующие числовые значения:
г = 149,6 • 106 кял Р0 = 365,26 с. с, h = ~ Л
ио==3,33- 105ц0, /^ = 384000 км, \ (16.51)
/^=27,32 с.с, Х([=-^.| (х([=-^-.
Здесь знаком О обозначены величины, определяющие
движение Солнца, а знаком d —движение Луны.
Величина fio, характеризующая ускорение притяжения
Земли, определяется из равенства (12.12).
Заметим, что полученные ниже результаты могут
быть обобщены на случай движения возмущающего тела
по эллиптической орбите [19].
Введем правую прямоугольную систему координат
Охуг, начало которой совместим с центром О Земли,
ось Ох направим на возмущающее тело
(притягивающий центр) Oi так, чтобы плоскость Оху совпадала с
плоскостью орбиты возмущающего тела, а ось Ог
направим по нормали к плоскости этой орбиты (к северу).
Положения плоскости и перигея орбиты будем
характеризовать наклонением /, долготой восходящего узла Q,
и аргументом перигея to, определяемыми относительно
плоскости Оху и направления Ох (рис. 16.3).
Из сделанных выше допущений следует, что при
вычислении правой части выражения (16.50) можно
принять:
со = const, / = const, Д = £Ъо —М» (16.52)
где <Q.o — начальное значение долготы Д, а /л — угло-
вая скорость движения возмущающего тела по орбите,
определяемая при помощи равенств (16.51).
Из рис. 16.3 видно, что углы £1% /, со определяют
ориентировку системы координат Ogrjg относительно
системы Oxyz. Матрица косинусов углов между осями этих
систем дана в § 5.5. Так как вектор ri = OOi совпадает

488 ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ [ГЛ XVI
с осью Ох, то, пользуясь указанной матрицей, «можно
написать выражения для направляющих косинусов этого
вектора относительно системы О^цС,'.
х1 = cos Q, cos о) — siib^ cos i sin co> |
x2 = — cos <Q, sin со — sin SI cos/ cos со, | (16.53)
x3 = sin SI sin /. J
Отсюда, пользуясь зависимостями (16.26) и (16.52),
находим, что выражения для |3/t (k = 0, 1, 2, . .., 5)
представляют собой суммы произведений величин sin2 <Г£Э
Рис. 16.3. Переход от системы координат Охуг, связанной с
взаимным расположением притягивающих центров О и 0\, к системе
координат 0£гй, связанной с орбитой спутника.
cos2 Д и sin <Q, cos SI на некоторые функции углов со
и i. Выражая sin2 Д, cos2 SI и sin SI cos Д через sin 2SI-
и cos2^ и используя равенства (13.19а) и (16.52),
получаем:
P* = P*o + P*2sin2M/-^), (16.54)
где Рйо, Р/г2, tk — некоторые функции величин со, /, Sl0.
Подставляя эти равенства в (16.50) и учитывая, что
Д^ = 0 при / = 0, получим выражение для рассматри-

16.10] ПИКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ 489
ваемых возмущений элементов орбиты в виде
&qj = tbqjQ+/±qj2[sin2(Klt-Slj)+sm2Slj], (16.55)
где Д^о, A<7j2, fij — некоторые функции величин а, е,
О), /, <Q.0.
Очевидно, что первый член правой части равенства
(16.55) определяет вековые, а второй член — долгопе-
риодические возмущения элементов орбиты. При этом
долгопериодические возмущения имеют частоту 2/.i и
период Pj/2, где Р\ — период обращения возмущающего
тела относительно Земли.
Таким образом, возмущающее влияние Солнца и
Луны на движение искусственных спутников Земли
сводится в первом приближении:
— к вековым возмущениям, пропорциональным
времени / полета;
— к долгопериодическим солнечным возмущениям с
Р
периодом изменения -о~— 182,63 с. с;
— к долгопериодическим лунным возмущениям с пе-
риодом изменения ~^-= 13,66 с. с.
Кроме того, имеют место короткопериодические
возмущения, частота которых равна или кратна частоте
обращения спутника по орбите.
Заметим, что изложенное имеет смысл лишь в
случае, когда можно пренебречь переменностью элементов
орбиты за пол-оборота возмущающего тела вокруг
Земли. Кроме того, следует иметь в виду, что скорости
вековых возмущений изменяются с течением времени.
Во многих случаях эти изменения имеют долгопериоди-
ческий характер [19].
16.10. ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ
В качестве характеристик средних скоростей
вековых возмущений элементов орбиты примем величины
этих возмущений за время одного оборота спутника
вокруг Земли и обозначим их через bqy Очевидно, что

490
ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ
[ГЛ. XV
Тогда, пользуясь выражением (16.52) для Д,
можно переписать зависимость (16.55) в виде
4j= Я)~РЯ 6fr + Ay;2[sin2(ftu-fl;-ft).j-sin2ft;I
(16.56
С другой стороны, из равенств (16.50) и (16.52)
следует, что
A^-prS/7/* f hd^- (16-57
Приравнивая правые части выражений (16.56) к
(16.57) и полагая при этом Д=Д0 + я, находим:
5 ^0 + я
ч/=-й-Ё^* /" p*rfft-
*=" До
Отсюда, пользуясь зависимостью (16.54), получаем
что
&7у = S ^уАо-
л=о
(16.58
Таким образом, величины 6^7j могут быть получены
с помощью зависимостей (16.38) при замене в них
коэффициентов |3ft коэффициентами $h0.
Для определения величин |3/<о воспользуемся
зависимостями (16.26), (16.53) и (16.54). В результате
получим:
Роо =
1
Рю = Т (cos2 ^ + cos2 ' s*n2 (0)'
Р'20 = у (sin2 w ~f~ cos2 * cos2 0))'
Рзо = — -^-sin2/ sin 2(0,
Р40 = — -j sin 2/cos со,
Pou = — T sin 2/sin со.
(16.59

16.10] ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ 491
Из зависимостей (16.38), (16.46), (16.58) и (16.59)
находим выражения для вековых возмущений
элементов орбиты за один виток:
ft<7 = 0.
4 [i0
3
be — -^- л — ( —] е V\ — ё1 sin2 / sin 2со,
jt 15 и
о/ = л —
8
6(0
3 ,
— 1 —
2 и
а \3 g2
Ho V г, / КП^
1 /<М3—1_ х
sin 2/ sin 2(0,
(16.60)
X [5 cos2/sin2 ю-f- (1— e2)(2 — 5 sin2 о)],
6hn = -г- л — (—) a£ ]/l — £2 sin2 / sin 2co.
Полученные выражения позволяют
проанализировать характер вековых возмущений орбиты. При этом
оказывается, что при заданных характеристиках
возмущающего тела величины рассматриваемых возмущений
целиком определяются значениями элементов а, е, if
со орбиты спутника и не зависят от положения
восходящего узла £1 этой орбиты, а также от времени t~
прохождения спутника через восходящий узел
(напомним, что величины /, со, <f£, ta определяются
относительно вращающейся системы координат Oxyz,
связанной с положением возмущающего тела относительно
Земли). Кроме того, при изменении большой полуоси а
вековые возмущения всех элементов орбиты спутника
изменяются пропорционально а3. Иначе говоря, в этом
случае изменяется скорость вековых эволюции орбиты,
но не меняется их характер. Таким образом, характер
рассматриваемых вековых эволюции определяется
величинами г, /, со.
В частности, для высоты hn перигея находим, что
вековое увеличение этой высоты имеет место при
расположении перигея во второй пли четвертой четверти
орбиты (четверти отсчитываюгся от момента пересече-

\[У2 ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ [ГЛ. XVI
ния спутником плоскости орбиты возмущающего тела
Г я ^ 3
при движении с юга на север -у < со < л или -^л < со <
< 2л J, а вековое понижение этой высоты — при
расположении перигея в первой или третьей четверти
орбиты (0 < со < y или л < со <-—-). Если
рассматривать семейство всех орбит с заданными значениями
высот перигея -ft„ и апогея /?а и различными
величинами углов со и /, то максимум модуля
рассматриваемого векового возмущения |6/гп|тах имеет место при
/ ="2"» <° = -4" + "2"п' где п ~~ ^елое число. Из
сопоставления формул (16.46) и (16.60) видно, что
I О^п [max == ~2 I n Imax*
Отсюда следует, что для оценки зависимости
величины j6/zn|max от максимальной и минимальной высот
полета может быть использована табл. 16.4. При этом
помещенные в указанной таблице значения |бЛп|тах
следует уменьшить в два раза.
16.11. ДОЛГОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА ОРБИТЫ И ВЫСОТЫ ПЕРИГЕЯ
При анализе указанных в § 9 настоящей главы дол-
гопериодических эволюции орбиты мы ограничимся
рассмотрением изменений эксцентриситета е и высоты hn
перигея, так как возмущение этих величин играет
большую роль в решении ряда задач (например, при
определении времени существования спутника). Заметим,
что используемые в настоящем параграфе методы
могут быть с успехом применены при исследовании
долгопериодических возмущений остальных элементов
орбиты.
Из выражений (16.38), (16.46), (16.47) и (16.57)
следует, что задача сводится к вычислению I Р3^^*
До

16.11]
ДОЛГОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗЛ\УЩЕНИЯ е И hxx
493
Пользуясь зависимостями (16.26) и (16.53), находим:
sin2/ sin 2(0
1*з = --
+ Рз.
1
Рз = — -у [(1 + cos2 i) sin 2cocos 2Д +
+ 2 cos /cos 2(o sin 2Д]. J
(16.61)
Первый член правой части выражения для р3
определяет рассмотренные выше вековые изменения орбиты.
Поэтому при анализе долгопериодических возмущений
можно в зависимости (16.57) заменить р3 на р3. В этом
случае получим:
/ Рз^Д = -g-[2cos/cos2cocos2«Q, — (1-f-cos2/)sin2cosin2Д].
Введем величины D и ф, определяемые из равенств:
(16.62)
D= У 4 cos2 i cos2 2(o +(1 -f- cos'2 /)2 sin2 2o,
(1 + cos2/) sin 2(0
С08ф:
2 cos / cos 2(0
D
Sill ф =
D
При этом
У p3rf^=^-cos(2^ + (p).
Следовательно,
f h<tSl = -r lcos(2Д + Ф) — cos (2Д0 + Ф)).
До
Отсюда, пользуясь зависимостями (16.38), (16.46),
(16.47) и (16.57), можно написать, что
бе = -JI- С (a) D (и, /) * Vl-e2 [cos (2 Д -j- <р) -
16
6Л„
— а бе,
-С05(2Д0 + Ф)1,
(16.63)

494 ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ [ГЛ. XVI
Здесь бе и &hn — рассматриваемые долгопериодиче-
ские возмущения, Р и Р4 — периоды обращения
спутника и возмущающего тела относительно Земли,
а величина -Q, определяется из выражений (16.51) и
(16.52).
Заметим, что с достаточной для решения
поставленной задачи точностью период обращения возмущающего
тела может быть определен по формуле [2]:
V\h + \i\
Отсюда, учитывая, что ц0 ^> \х0, можно написать
приближенные выражения для периодов обращения
Солнца и Луны относительно Земли:
А*«2я—Д=г, PC[ ^2л
4'
V*1© VVo + Ч
Подставляя эти зависимости в равенство (16.33),
получаем следующие выражения для определения
коэффициента С при рассмотрении солнечных и лунных
возмущений:
Р [1С Р 1 Р
Со = "Я~' C(L= и +\i T7 = "823" ~Р7 • О6'64)
Обозначим через Е и И амплитуды долгопериодиче-
ских колебаний соответственно эксцентриситета и
высоты. Из зависимостей (16.63) следует, что
£ = -jg-C(a)D(o, 1)еУ~\^1?, Н = аЕ. (16.65)
Пользуясь выражением (16.62), можно показать,
что максимум коэффициента £>(со, /) достигается при
/ = со = 0 и имеет значение
Ашх = 2. (16.66)
Тогда на основании равенств (16.64) находим
выражения для максимальных амплитуд солнечных и лун-

16.11] ДОЛГОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ е И h\\ *95
ных долгопериодических возмущении:
8 Р
HlJ.
8 Р,
^0тах — ц р ^ )■ 1 в~>
С
15 Я
/-/omax^-lT-p-^ ]' 1 — ё1,
0
£ Г niax —
\5__
8 82.3Я
С
-£|/l—£2,
Я
([ max :
15
8 82.3/^
Я£]Л
(16.67)
Пользуясь численными значениями величин Ре и Р<[
(16.51), находим отношение максимальных амплитуд
солнечных и лунных возмущений:
Я,
0 max
"0 max
82,3P„
Я
([ max
'([ max
6,16. (16.68)
Таким образом, амплитуды максимальных
солнечных долгопериодических возмущений примерно в
6,16 раза превосходят амплитуды соответствующих
лунных возмущений. Напомним, что величины
максимальных солнечных возмущений за один виток (а
также максимальных вековых солнечных возмущений)
примерно в 2,18 раза меньше соответствующих лунных
возмущений.
В табл. 16.5 помещены величины максимальных
амплитуд солнечных возмущении tomi{X
И Н«
о max,
вычисленные при различных значениях высот /?п перигея и
h-{ апогея. При этом числитель дроби представляет
собой величину EQnmx, а знаменатель—величину Я0 шах
в километрах.
Из таблицы видно, что максимальные амплитуды
рассматриваемых долгопериодических возмущений в
основном определяются высотой ha апогея и мало
зависят от высоты /in перигея ;за исключением случая,
когда Ап—^Ла. при КОТОРОМ #тах—>0 И fmax-^О). При
этом для спутников с высотой апогея Аа>105 км
максимальная амплитуда колебаний высот апогея и
перигея достигает значительных величин (порядка десятков
и сотен километров).

496 влияние притяжения солнца и луны [гл. xvi
'Таблица 16.5
[Высота /?а
апогея,
км
2000
• юооо
20 000
50 000
100 000
Высота hn перигея, км
200
5.1-10~5
0.4
2.8-10"4
3.2
6.0-10"4
10,0
1.6-10"'
51
3.3- 10~3
187
2000
0
2.5-10~4
3.1
6,0-10~4
10,5
1.7-10"'
56
3.6-10"3
208
10 000
0
4,2-10~4'
9.0
1.9-10"'
69
4.5-10"'
277
20 000
0
1.7-10"'
70
4.9 - 10"'
325
50 000
0
4.0-10"'
329
Максимальное изменение высоты перигея (или
апогея) за счет долгопериодических колебаний
определяется равенством
ДАш.х = 2//шах. (16-69)
Это изменение происходит за XU часть оборота
возмущающего тела вокруг Земли (/ = Pi/4).
Пользуясь зависимостями (16.60), (16.63) и (16.66),
найдем максимальное вековое изменение высоты
перигея за это же время:
АЛ,„ах = ^5-т-я^-(-^)3^/Г^^ = ^-Ятах. (16.70)
Отсюда, учитывая приведенные выше соотношения
между лунными и солнечными возмущениями, можно
получить следующую оценку максимального изменения
высоты перигея (или апогея) за !/4 часть года (Р0/4 =
= 91,31 с. с.) при совместном возмущающем действии
Луны и Солнца:
лл №) < [2 (' + ш)+ т <1 +2Л 8>] н°тах ~
^7,ЗЯ0тах, (16.71)

16.12] ДОЛГОВРЕМЕННЫЕ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ 497
где величина tfomax определяется по формуле (16.67)
или из табл. 16.5.
Заметим, что эта оценка является несколько
завышенной. Действительно, из зависимостей (16.60), (16.62)
и (16.63) следует невозможность одновременного
осуществления максимумов вековых и долгопериодиче-
ских возмущений (первый из них соответствует случаю
/ = 2со = 4г, второй — случаю / = 2(0 = 0). Несмотря на
это, при расчете орбит спутников со значительной
высотой апогея (Ла>Ю4 км) следует считаться с
возможностью больших изменений высот перигея (на десятки
и сотни километров) за сравнительно короткие
интервалы времени. При малых начальных значениях высоты
Лп это может привести к быстрому прекращению
существования спутника (если эволюция орбиты происходит
в сторону уменьшения Ап). Как видно из зависимости
(16.63), характер и знак изменения высоты перигея
зависит не только от величин а, е, iy о, но и от
долготы До, которая определяет начальную фазу долгопе-
риодических возмущений.
16.12. ДОЛГОВРЕМЕННЫЕ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ
ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ
В предыдущих параграфах настоящей главы мы
ограничивались рассмотрением эволюции орбиты в
таких интервалах времени, где можно при вычислении
правых частей уравнений (11.32) пренебречь
переменностью элементов орбиты. Очевидно, что для
достаточно длительных интервалов времени это допущение,
вообще говоря, не применимо, так как элементы
орбиты испытывают заметные вековые возмущения. Для
спутников с высотой апогея /ia>104 км эти возмущения
в основном определяются совместным влиянием
сопротивления воздуха, сжатия Земли, возмущающего
воздействия Луны и Солнца (при высоте перигея Лп>
>1000 км влиянием сопротивления воздуха в
большинстве случаев можно пренебречь). Поэтому при точном
определении закона движения искусственного спутника
Земли возникает необходимость в решении системы

498 ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ [ГЛ. XVI
уравнений (16.4) с учетом влияния указанных выше
факторов. Эта система обычно решается методом
численного интегрирования. Однако этот метод
практически применим лишь при решении задач в сравнительно
коротких интервалах времени (охватывающих не более
нескольких десятков или в крайнем случае сотен витков
орбиты). При исследовании долговременных эволюции
орбиты (например, при определении времени
существования) . способ численного интегрирования системы
(16.4) требует большой затраты машинного времени.
Кроме того, возникает опасность существенного
возрастания ошибок численного интегрирования. В этом
случае более целесообразным является метод,
предложенный в § 15.8. При этом используется плавность
вековых и долгопериодических возмущений элементов q}
орбиты, позволяющая заменить изменения этих
элементов ЬЦ) за один виток соответствующими
дифференциалами dgj.
В результате получаем следующую систему
дифференциальных уравнений:
dqj
t= f PdN,
No
(16.72)
где #j (/=1, 2, ..., 5) —некоторая система элементов,
определяющих величину, форму и ориентацию орбиты
(например, а, е, со, i, 4), &4ju 6<7j2, 6<7js, 6^4—
возмущения элементов орбиты за один виток, вызываемые
влиянием сопротивления воздуха, сжатием Земли,
лунными и солнечными возмущениями, Р — период
обращения спутника. В тех случаях, когда не возникает
необходимости в точном определении зависимости N(t)
при вычислении величины Р, можно пользоваться
формулой (5.36). При необходимости уточнения этой
зависимости целесообразно учитывать указанные выше по-
правки к величине периода обращения, вызываемые
влиянием различных возмущающих факторов. Для оп-

16.12] ДОЛГОВРЕМЕННЫЕ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ 499
ределения величин 6<7.и, 8qj2, 6q^y 6q^ следует
пользоваться зависимостями (13.32), (15.66) и (16.38). Для
спутников с высоким апогеем орбит (порядка 5-10-М-
ч-105 км и больше) при уточнении величин лунных
возмущений целесообразно использовать формулы второго
приближения [19].
В тех случаях, когда влиянием долгопериодическпх
лунных и солнечных возмущении можно пренебречь,
целесообразно заменить соотношения (16.38)
зависимостями (16.60).
Вследствие сложности выражений, стоящих в
правых частях уравнений (16.72), численные значения
которых зависят от взаимного расположения Земли, Луны
и Солнца, в настоящее время не существует
аналитических способов решения этой системы. Поэтому ее
приходится решать методом численного
интегрирования. При этом каждый шаг интегрирования
соответствует целому витку орбиты, чем обеспечивается
значительная экономия времени по сравнению с решением
системы (16.4). Это время может быть дополнительно
сокращено за счет использования метода численного
решения уравнений в конечных разностях [29]. При этом
каждый шаг численного решения может
соответствовать значительному числу витков (количество витков
в одном шаге определяется возможностью
пренебрежения изменением элементов орбиты за время,
соответствующее этому шагу, при расчете правых частей
рассматриваемых уравнении).
Заметим, что решение системы уравнении (16.72)
существенно упрощается в том случае, когда при
расчете правых частей этих уравнений можно
ограничиться учетом влияния одного возмущающего центра.
Практически это имеет место при анализе движения
искусственных спутников Луны, для которых
возмущающее влияние Земли примерно в 178 раз
превосходит влияние Солнца. В этом случае система уравнений
(16.72) имеет три интеграла и ее решение сводится
к двум квадратурам. При этом может быть произведен
детальный анализ зависимости характера решения от
начальных условий движения [19].

'^00 ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА И ЛУНЫ [1\1. XVI
В заключение отметим, что наряду с указанными
выше возмущающими факторами на движение
искусственных спутников Земли оказывают влияние и
другие возмущающие силы (аномалии силы притяжения
Земли, световое давление, электромагнитные силы
и т. д.). Однако для подавляющего большинства
спутников (за исключением некоторых специальных видов,
например, надувных шаров типа* американского
спутника «Эхо») влияние этих сил второстепенно по
сравнению с рассмотренными выше возмущениями.

ГЛАВА XVII
ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
НА ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ
СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ
17.1. СВЕТОВОЕ ДАВЛЕНИЕ
Как известно, при падении света (или другой
лучистой энергии) на некоторую поверхность, а также при
его отражении или излучении возникает так
называемое световое давление. Под световым давлением будем
подразумевать векторную величину, представляющую
собой отношение силы, действующей на некоторую
элементарную площадку, к величине этой площадки.
В общем случае вектор светового давления
определяется по формуле [16]
где 2 — мощность потока лучистой энергии,
приходящегося на единицу рассматриваемого элемента
поверхности, с — скорость света, т — единичный вектор
направления падающего (отражаемого или излучаемого)
света; знак «-f-» соответствует падению, а знак «—» —
отражению или излучению света. Так как световое
давление, испытываемое некоторым телом, вызывается как
падающим, так и отраженным световым потоком, то
величина этого давления существенным образом зависит
от характера отражения света. Рассмотрим следующие
три предельных случая:
полное поглощение падающего света,
полное зеркальное отражение,
полное диффузное отражение.
При полном поглощении света отраженный поток
отсутствует. В этом случае выражение (17.1) можно
переписать в виде

502 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕШП [ГЛ. XV
где S — мощность потока лучистой энергии,
приходящегося на единицу поверхности, нормальной к этому
потоку, а—угол между направлениями светового
потока и нормалью к рассматриваемой поверхности.
При полном зеркальном отражении мощность
отраженного потока равна мощности падающего потока,
а его направление определяется по закону равенства
углов падения и отражения. Отсюда следует, что
векторы ql и д2 светового давления падающего и
отраженного потоков равны между собой по абсолютной
величине и направлены симметрично относительно
нормали к рассматриваемой поверхности (рис. 17.1). Из
Рис. 17.1. Полное зеркальное отражение светового
потока от элементарной площадки.
выражения (17.2) видно, что модули векторов qx и q2
определяются по формуле
S cos a
Отсюда кахочнм вектор суммарного давления в
случае полного зеркального отражения (рис. 17.1):
'-де п - aur.HK-TUbii: ;>ектир внутренней нормали к
рассматриваемом поверхности.

17.1]
СВЕТОВОЕ ДАВЛЕНИЕ
503
При диффузном отражении вектор *7i светового
давления падающего потока определяется по формуле
(17.2). При определении вектора q2 давления
отраженного потока примем площадь рассматриваемого
элемента поверхности за единицу и положим, что
световая энергия рассеивается по закону Ламберта [16]:
dS = к cos ydQ,
(17.4)
где dQ — некоторый элементарный телесный угол, у—
угол между осью этого телесного угла и нормалью
к рассматриваемой поверхности, dS — мощность потока
отраженной энергии, приходящегося на^ телесный угол
dQ, и — некоторая постоянная. ;
Рассмотрим телесный угол, ограниченный двумя
бесконечно близкими круговыми конусами, общая ось
которых совпадает с
нормалью к отражающей
поверхности. Углы
между образующими этих
конусов и их осью
обозначим через у и Y + ^Y
(рис. 17.2). Тогда
телесный угол
dQ = 2nsinydy
и выражение (17.4) при-
нимает вид:
dS =« 2яи sin y cos y dy.
(17.5)
С другой стороны,
мощность всего потока
энергии, падающего на рассматриваемую единичную
площадку, равна S cos а. Отсюда, считая диффузное
отражение полным, находим:
Рис. 17.2. Диффузное отражение
светового потока.
я
Т
«ScosursrHK / sin2ydy = .ita%
S cos a
я

504 ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XVII
Подставляя полученное значение х в выражение
(17.5), получаем:
dS = 2S cos a sin y cos y dy. (17.6)
Из соображений симметрии следует, что
составляющие светового давления рассматриваемого отраженного
потока, касательные к отражающей поверхности,
взаимно компенсируются. Остается лишь нормальная
составляющая dq2. Пользуясь зависимостями (17.1) и (17.6),
находим, что
. _ 2S cos a n .
dq2 = —- п sin y cos2 y dy.
Интегрируя это равенство, определяем полное
давление отраженного потока:
Л
2
2S cos а Г . 9 , 2S cos а /лп _ч
q2 =—^ nJ sinYcos2Y</Y = —g^—n' <17'7)
6
Отсюда, пользуясь зависимостью (17.2), находим
суммарное световое давление при полном диффузном
отражении: * л- -•■•■■
</=^Ч* + 1*). (17-8)
В том случае, когда отражение света представляет
собой некоторую комбинацию зеркального и
диффузного отражений, выражение для светового давления
принимает вид:
4f = l^i«[(l_Al)T+(2ftIco3a + |.Aa)«]. (17.9)
где ki и k2 — коэффициенты зеркального и диффузного
отражений, изменяющиеся в пределах от 0 до 1.
Как отмечено выше, наряду с давлением падающего
и отражаемого света имеет место давление
излучаемой лучистой энергии (в основном инфракрасного
теплового излучения). Оно определяется аналогично
давлению отражаемого света. В случае диффузного

1T.2J ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ 505
излучения по закону Ламберта (17.4) световое
давление вычисляется по формуле (17.7). Когда
рассматриваемый космический объект не имеет внутренних
источников энергии, то при установившемся тепловом
балансе потоки излучаемой и поглощаемой объектом лучистой
энергии равны между собой. Если в этом случае
пренебречь влиянием перераспределения тепловой энергии
внутри объекта, т. е. полагать, что каждый элемент
поверхности излучает всю падающую на него энергию, то
получим, что
*1Tf*2 = l. (17.10)
При существенном перераспределении энергии
внутри космического объекта, а также при наличии
внутренних источников энергии, картина значительно
усложняется.
17.2. ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
НА ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ИСКУССТВЕННОГО
СПУТНИКА ЗЕМЛИ
Основным источником лучистой энергии,
действующей на космические объекты в пределах солнечной
системы, является Солнце. Если пренебречь влиянием
поглощения лучистой энергии в межпланетном
пространстве, то мощность потока энергии солнечного излучения,
приходящаяся на единицу поверхности, может быть
определена по формуле
•-^г-
(17.11)
где г—расстояние рассматриваемого объекта от
Солнца, г0—средний радиус орбиты Земли, S0 — мощность
потока солнечного излучения в районе земной орбиты,
численное значение которой [24] равно
*о= UK таг- Ь35. Ю*^.
Используя зависимость (17.2) и принимая угол
падения а = 0, найдем силу солнечного давления при

506
ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ [Г I. XVII
условии полного поглощения:
где #0 — световое давление в районе земной орбиты при
указанных выше условиях, определяемое из равенства
,70 = ^ = 4,5. 1(Г75-
(17.13)
В настоящее время наибольший практический
интерес представляет анализ влияния светового давления на
движение легких надувных шаров-спутников типа
американского спутника «Эхо». Поэтому мы ограничимся
определением силы
светового давления для спутников
сферической формы.
Из выражений (17.2) и
(17.12) следует, что в
случае полного поглощения
света возмущающее
ускорение / сферического
спутника, вызываемое световым
давлением, направлено по
световому потоку. Его
абсолютная величина
определяется выражением
Рис. 17.3. Распределение
светового потока, падающего на
сферический спутник.
f = — / COS ado —
т J m чм
(17.14)
где /?сп — радиус спутника, т — его масса, do —
площадь элемента поверхности спутника, do' — cos о. do —
площадь проекции элемента поверхности на плоскость,
нормальную к световому потоку, а интегрирование
производится по освещенной поверхности спутника.
Из соображений симметрии следует, что при
зеркальном и диффузном отражениях суммарное
возмущающе? ускорение сферического спутника также
направлено по световому потоку.

1Г.7Т ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ 507
Пользуясь зависимостями (17.3) и (17.12), находим,
что в случае полного зеркального отражения
абсолютная величина рассматриваемого ускорения
/ = 2-^- fcos*ado = 2^ fcos'ado'.
1 т J m J
В качестве элемента do' примем кольцо радиусом р
и шириной dp. Из рис. 17.3 видно, что приведенное
выше зыражеиие для / принимает вид:
^сп ^сп 2
, = ±^L /■ pcos»adp ^L / (^_p*)prfp = i^L<,,
m J mRcn J m
(17.15)
Это выражение совпадает с приведенной выше
формулой (17.14), полученной для случая полного
поглощения потока лучистой энергии.
Из зависимостей (17.2), (17.8) и (17.14) следует, что
в случае полного диффузного отражения возмущающее
ускорение
Обратившись к рис. 17.3, найдем, что
/cos a da' = |L / /$n_p2 PФ = ^./ #'А dlJ = J *$".
0 0
где
Подставляя это выражение в формулу (17.16),
получаем:
4 nR* яД?„
/-IT-IT^*1'44-^^ ("-IT)
Сопоставляя зависимости (17.9), (17.14), (17.15) и
(17.17), замечаем, что в общем случае для
сферического спутника, лишенного внутренних источников
энергия, возмущающее ускорение можег быть определено

508 ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XVII
по формуле
f = ^kqu (17.18)
где k — некоторый коэффициент, зависящий от
характера отражения света, а также от распределения
теплового излучения по поверхности спутника, которое
в значительной мере определяется теплообменом,
происходящим внутри спутника.
Значение k=l соответствует случаю полного
зеркального отражения, а также случаю полного
поглощения световой энергии при равномерном
распределении теплового излучения по всей поверхности спутника.
Значение k = 1,44 соответствует полному
диффузному отражению, а также частичному диффузному
отражению при полном отсутствии обмена поглощаемой
тепловой энергии между отдельными элементами
поверхности спутника (в предположении, что вся
поглощаемая энергия диффузно излучается тем же элемен*
том поверхности).
Следует ожидать, что в большинстве случаев
фактическое значение коэффициента k находится где-то
между указанными предельными значениями.
В тех случаях, когда световое давление вызывает
существенное возмущение орбиты спутника, величина
этого коэффициента может быть уточнена путем
согласования результатов теоретических расчетов с Данными
траекторных измерений.
Пользуясь зависимостью (17.12), можно переписать
равенство (17.18) в виде
г2 я/?2 F
f = Akq0-O.i л = -^ = -. F = nRL (17.19)
где коэффициент А представляет собой отношение
поперечного сечения F спутника к его массе т.
Приведенное выражение справедливо для
определения возмущающего ускорения, действующего на
спутник произвольной формы. При этом в ряде случаев
в качестве величины F следует брать некоторую
характерную для данного спутника площадь (например, для
спутников, сохраняющих постоянную ориентацию отно-

17.3] СРАВНЕНИЕ ВЛИЯНИЙ ДАВЛЕНИЯ И ДРУГИХ ФАКТОРОВ 509
сительно Солнца, — площадь поперечного сечения,
нормального к световому потоку; для неориентированных
выпуклых спутников — площадь, равную 1/4 величины
полной поверхности спутника). В общем случае выбор
величины F в значительной мере произволен в связи
с возможностью соответствующего изменения
коэффициента к. Последний следует вычислять с учетом
условий поглощения, отражения и излучения лучистой
энергии рассматриваемым спутником путем интегрирования
определяемого по формулам (17.2), (17.3), (17.7) и
(17.8) светового давления на отдельные элементарные
площадки. При этом может оказаться, что суммарная
сила светового давления будет направлена не по линии
Солнце — спутник, а под некоторым углом к этому
направлению,
17.3. СРАВНЕНИЕ ВЛИЯНИЙ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
И ДРУГИХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ
Найдем для сферического спутника, движущегося по
круговой орбите, отношение возмущающих ускорений,
вызываемых световым давлением / и сопротивлением Т
воздуха. Воспользовавшись зависимостями (14.29),
(14.31) и (17.19) и приняв, что г = г0, получим:
f =_2^_ (17>20)
/ cxpw2 v '
Из этого выражения видно, что рассматриваемое
отношение обратно пропорционально плотности р
воздуха и, следовательно, возрастает с увеличением
высоты h полета.
В табл. 17.1 даны значения отношения -у в
зависимости от высоты h круговой орбиты, вычисленные по
формуле (17.20) для приведенной в приложении I
модели атмосферы, при ^ = 2,4, ft =1,44 и q0 = 4,5X
Х10-7 •£■£ [см. равенство (17.13)].
Из таблицы видно, что для высоты полета А<500 км
влияние светового давления значительно меньше
влияния сопротивления воздуха. Практически можно
считать, что при такой высоте полета сила светового

510 ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XVII
Таблица 17.1
Высота h
круговой
орбиты, км
f
Т
200
0.0002
300
0,003
400
0.018
500
0,08
600
0.27
700
0.8
800
2.1
давления меньше возможных неучитываемых
колебаний силы сопротивления воздуха. Поэтому при /i<
<500 км учет влияния светового*давления на
движение искусственных спутников Земли, как правило,
нецелесообразен. При /z>500 км сила светового давления
оказывается сравнимой с силой сопротивления воздуха,
а при /*>700 км превосходит последнюю (для принятой
модели атмосферы).
Для сравнения возмущающего ускорения /,
вызываемого световым давлением, с возмущающим
ускорением /0 гравитационного притяжения Солнца,
воспользуемся выражениями (16.21) и (17.19).
Приняв, что
получим:
<Pi(a)
1
О'
to
ч
о го
Se
(17.21)
где g"0=—г*—ускорение притяжения к Солнцу врай-
го
оне орбиты Земли, г0 — расстояние спутника от центра
Земли.
Пользуясь равенствами (1.3) и (16.51), находим, что
£0^6 • Н&м/сек*. S,}5 • /С ~fc w/oji*1
Полагая, что размеры и вес спутника могут
колебаться в границах, указанных в § 14.4, получим, что
величина А в этом случае изменяется в пределах от
0,003 до 0,3 м3/кГ • сек2.
Как было показано в предыдущей главе,
притяжение Солнца оказывает заметное влияние на движение
спутника при высоте полета над поверхностью Земли
А>104 км. Учитывая это, примем, что г0 = 17-103 км.

17.4] ПРОЕКЦИИ ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ
511
Подставляя приведенные численные значения
совместно с равенствами (16.51) и (17.13) в выражение
(17.21), находим, что при сделанных допущениях
отношение ///о изменяется в пределах от 0,002 (большие
тяжелые спутники) до 0,2 (малые легкие спутники).
Из изложенного следует, что световое давление
оказывает ощутимое влияние лишь на движение
небольших легких спутников с высотой полета /i>500 км. Для
остальных категорий спутников возмущения от
светового давления малы по сравнению с возмущающим
воздействием других рассмотренных выше факторов.
Исключение составляют некоторые специальные категории
искусственных спутников Земли. К ним относятся:
очень маленькие спутники (например, отражающие
диполи, используемые в американском проекте «Уэст-
Форд»);
легкие надувные шары типа американского спутника
«Эхо».
Для подобных категорий спутников возмущающее
влияние светового давления может оказаться
значительным. Так, например, для спутника «Эхо-I»,
представляющего собой шар диаметром 30,5 м и весом
70,4 /ф, коэффициент А = —^ « 100 м3/кГ • сек2 [23],
что примерно в 300 раз превосходит указанное выше
максимальное значение этого коэффициента для
спутников обычного типа [как следует из выражения
(17.19), величина возмущающего ускорения,
вызываемого световым давлением, возрастает пропорционально
коэффициенту А].
17.4. ПРОЕКЦИИ ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ
НА ОСИ, СВЯЗАННЫЕ С ПОЛОЖЕНИЕМ
СПУТНИКА НА ОРБИТЕ
В дальнейшем при оценке влияния светового
давления на движение искусственных спутников Земли будем
исходить из следующих допущений.
1. Суммарное возмущающее ускорение, обусловлен- <
ное световым давлением, направлено по прямой

512 ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XVII
Солнце — спутник. Как было показано выше, это
утверждение справедливо для сферических спутников.
Очевидно, что оно остается верным для спутников, для
которых прямая центр спутника — Солнце является
осью симметрии, а также для спутников
произвольной формы в случае полного поглощения лучистой
энергии, т. е. при отсутствии отражения и излучения
энергии.
2. Учитывая малость расстояния от спутника до
центра Земли по сравнению с расстоянием до Солнца,
можно при определении возмущающего ускорения
светового давления полагать спутник совпадающим с
центром Земли.
3. Солнце движется относительно Земли по
круговой орбите радиуса г0.
При этих допущениях, пользуясь зависимостью
(17.19), находим выражение для вектора возмущающего
ускорения
f=—Qr°u (17.22)
где rj—единичный вектор направления Земля —
Солнце, a Q — коэффициент, определяемый по формуле
Q=Akq0=^rkq0 = ^kq0. (17.23)
Последнее из этих равенств справедливо лишь для
rTpVT "помощи выражения (17.22) легко определить
проекции S, Г, W возмущающего ускорения на оси,
связанные с положением спутника на орбите (см. рис. 2.1
или 16.2). Для этого воспользуемся равенствами (16.23)
и заметим, что
r? = V+V + *3*' (17-24)
где */, у, k — единичные векторы осей изображенной
на рис. 5.5 и 16.2 системы координат 0£т)£, а х4, х2, из—
направляющие косинусы прямой Земля — Солнце в
этой системе координат.

17.5J ВОЗМУЩЕНИЯ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ ЗА ОБОРОТ 513
В результате получим:
S = — Qr°r S° = — Q(x, cos* + x2 sinft) =
= — Q cos у cos (ft — a),
T = — Qr°. 7,° = Q(x1sinft —x2cosft) =
= Q cos у sin (ft — a),
(17.25)
где 5°, Г0, W° — единичные векторы направлений S,
Т и W; ft — истинная аномалия спутника, а и y — углы,
определяемые при помощи равенства (16.24) или из
рис. 16.2.
17.5. ВОЗМУЩЕНИЯ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
ЗА ОДИН ОБОРОТ СПУТНИКА
При определении возмущений круговой орбиты за
один оборот спутника воспользуемся малостью периода
обращения спутника по сравнению с годом и
пренебрежем влиянием перемещения Солнца относительно
Земли за рассматриваемый промежуток времени, т. е.
будем считать величины xi, x2 и хз постоянными. При
этом допущении рассматриваемая задача будет
частным случаем классической задачи о движении точки,
притягиваемой двумя неподвижными центрами (при
замене притяжения одного из центров отталкиванием).
Однако использование известных, достаточно сложных
методов решения этой задачи [3] в рассматриваемом
случае едва ли целесообразно (учитывая
приближенный характер принятых основных допущений). Поэтому
мы ограничимся отысканием приближенного решения,
основанного на линеаризации влияния малых
возмущающих ускорений.
При рассмотрении движения по круговой орбите
совместим ось 0£ (рис. 16.2) с направлением на
некоторую начальную точку D0 и обозначим через ф
угловое расстояние между начальной и текущей точками
орбиты. Тогда в выражениях (17.25) истинная аномалия ft

514 ВЛИЯНИЕ СБЫТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XVII
заменится величиной ф и выражения примут вид:
S = Qcosvsin(q> — a — -J), I ^7щ
r = Qcosvsin(<p — а), W = — Qsiny- J
Таким образом, мы получим частный случай
зависимости (3.5) при условии, что
50 = 0, S{ = Q cosy, Ф51 = а+Т
Т0 = О, TX = Q cos y, Фг, = а»
П70 = —Qsinv. l^i = 0,
51 = Tl=Wl = 0 при />2.
(17.27)
Рассмотрим для простоты случай, когда спутник в
процессе движения все время освещается Солнцем, т. е.
экранирование светового» потока Землей отсутствует.
Как следует из зависимостей (17.26) и (17.27), в этом
случае имеют место постоянное возмущающее
ускорение, действующее по нормали к плоскости орбиты, и
периодическое возмущающее ускорение, действующее
в плоскости орбиты и изменяющееся с частотой, равной
частоте обращения спутника по орбите. Как было
показано в § 3.3 и 3.4, при таких возмущающих
ускорениях отсутствуют вековые возмущения плоскости
орбиты, а вековые возмущения,действующие, в. плоскости
орбиты, сводятся к изменению периода обращения и
нарастающему искажению, формы., орбиты. При этом
круговая "орбита переходит* в почти круговую с
возрастающим эксцентриситетом и постоянным средним
радиусом.
В качестве характеристики скорости искажения
формы орбиты примем изменение 6^ расстояния от
спутника до центра Земли (или высоты полета) за один
виток. Рассмотрим некоторую точку D орбиты,
находящуюся на угловом расстоянии ф от начальной точки Д>.
Величина Ьг в этой точке может быть определена по
формуле
6г (ф) = Аг (ф -J- 2л) — Д/- (ф), (17.28)

17.5] ВОЗМУЩЕНИЯ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ ЗА ОБОРОТ 615
где Аг(ф) и Дг(ф + 2л;) —возмущения по радиусу г при
двух последовательных прохождениях спутника через
точку D. Определяя эти возмущения по формулам
(3.22) и пользуясь зависимостью (3 7), находим:
6r(q>) = — 2л-^ [t"Cos(9 —ф51)+ 7\ sin (<Р — ФГ|)] ,
где гср — средний радиус рассматриваемой орбиты.
Подставляя сюда выражения (17.27) для S, ф5, Тх
и фг, получаем:
г3
6г(ф) = — Зя-^- Q cos.y sin (ф — а), (17.29)
Максимальное изменение высоты полета будет иметь
место в точках, для которых ф = а±-^-, т. е. в
точках, расположенных на нормали к проекции линии
•Земля — Солнце на плоскость орбиты. Абсолютная
величина этого изменения за один виток
fir««^3n^QcosY- (17.30)
При заданных значениях гср и Q наибольшее
возмущение будет при y = 0> т- е- в случае совпадения линии
Земля — Солнце с плоскостью орбиты.
Заметим, что аналогично определению возмущений
орбиты по радиусу могут быть определены
нарастающие возмущения как вдоль орбиты, так и по скорости.
Для 'определения изменения периода обращения
воспользуемся зависимостями (3.32) и (17.27). В
результате получим выражение для относительного.
возмущения периода обращения
^ = i2-cos & со/а, ffcp = -£. (17.31)
В «качестве примера рассмотрим спутник,
движущийся но круговой орбите на высоте А=г1000 км при
Y = a = 0, и определим для него величины &гтлх и ДР
при различных значениях коэффициента А = —. Для

516 ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XVII
этого воспользуемся равенствами (17.13), (17.23),
(17.30), (17.31) и примем, что £=1,44. Результаты
расчетов приведены в табл. 17.2.
Таблица 17.2
Возмущения орбиты
По периоду обращения ЛР,
сек
По радиусу (высоте
полета), за один виток бгтах»
м
Отношение А характерной площади к массе
спутника, мЧкГсек2
100
0,16
600
0,3
5-Ю"5
2
0,003
5-10"7
0,02
Из таблицы видно, что для обычных спутников, для
которых коэффициент А колеблется в пределах от
0,003 до 0,3 м3/кГ>сек2, возмущения, вызываемые
световым давлением, малы и ими в большинстве случаев
можно пренебречь. Однако для больших легких
спутников типа американского спутника «Эхо-I», для
которого А « 100 м3/кГ-сек2 (а также для очень
маленьких спутников), световое давление может вызвать
значительные возмущения, учет которых необходим.
Напомним, что приведенный выше анализ
возмущений круговой орбиты соответствует случаю
непрерывного освещения спутника Солнцем. Задача
существенно усложняется, если на некотором участке орбиты
спутника имеет место экранирование солнечных лучей
Землей. Однако и в этом случае могут быть получены
конечные формулы для определения в первом
приближении возмущений элементов орбиты. Для этого
достаточно проинтегрировать правые части выражений (3.6).
При этом для значений аргумента г|э, соответствующих
освещенному участку орбиты, величины возмущающих
ускорений S, Т и W следует определять по формулам
(17.26) с заменой в них угла ф на \р. На неосвещенном
участке орбиты принимается, что

17.6] ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ ЗА ОБОРОТ 517
17.6. ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
ЗА ОДИН ОБОРОТ СПУТНИКА
При определении возмущений эллиптической орбиты
за один оборот спутника будем исходить из принятой
в предыдущем параграфе системы допущений.
Подставим выражения (17.25) в правые части уравнений
(11.39) и (16.32). При этом воспользуемся равенством
(4.19) и зависимостью
2л
f F(cos*)sin/*rf* = Of
где F (cos Ф) — произвольная функция от cos д, / —
произвольное целое нечетное число.
В результате получим следующие выражения для
возмущений эллиптической орбиты за один оборот
спутника:
2л
. 2tz Qp2 /* / sin2^ . cos#\,a
2я
Ье =
Qp"
""«У Ы"
COS2 # + * cos Ф
A5 ""
rfO.
2Л
АО OP2 sIn(«> Г COS # ,a
2я
м = -
o^
и3 cos <о
/•^л.
2я
(17.32)
*» = ■??*,/(^г+^).Л-со./в(1.
где Д = 1 -f-ecos(h
Заменим в правых частях этих зависимостей sin2*
на 1 — cos2 Q и выразим cos О через Л при помощи
равенства (16.34). В результате задача сведется к вычислению

518 ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА' ДВИЖЕНИЕ [ГЛ XVII
интегралов вида
2л
У" = / WT (л==1'-2, 3)'
о
Пользуясь полученными выше значениями этих
интегралов (16.35) и (16.37), находим окончательные
выражения для возмущений элементов эллиптической
орбиты за один виток:
6а = 0, )
Ье = — Зл(?х2 4L Y\—e2,
\к sin/ у\— е2 \ (17.33)
а2 е I
Ы = ЗлОхо — cos о) . ,
v 3 |i У\ —е*
а2 \Г\ е2
6co = 3nQx1 — - cosi6«Q,.
Таким образом, рассматриваемое возмущение
эллиптической орбиты сводится к изменению ее
эксцентриситета, повороту большой полуоси и изменению
положения плоскости орбиты (кроме того, имеет место
некоторое отклонение сидерического периода обращения
от оскулирующего). При этом величина большой
полуоси орбиты а остается неизменной. Как было показано
в § 16.8, это является следствием допущения о
постоянстве направления Земля — Солнце и пренебрежения
переменностью элементов орбиты при вычислении
правых частей выражений (17.32). Кроме того, остается
справедливым приведенное в § 16.8 доказательство
постоянства проекции вектора кинетического момента
спутника относительно центра Земли на направление
Земля — Солнце. Следовательно, полученные значения
возмущений бе, б £1 и 6* удовлетворяют тождеству
(16.43), что может быть проверено непосредственной
подстановкой.

17.6] ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ ЗА ОБОРОТ 519
Заметим, что выражения (17.33) для возмущений
б Д и 6*' можно переписать в виде
где
ft» = 3*Qx8—1/т1-г- (17.34)
Сопоставляя полученные выражения с
зависимостями (9.53), находим, что изменение положения
плоскости орбиты за один виток сводится к ее повороту
вокруг большой полуоси на угол 6г|), определяемый из
выражения (17.34). Из равенства (16.24) x3 = siriY
следует, что при заданных значениях Q, а и е
максимальное значение угла бф соответствует величине у = -^-,
т. е. случаю, когда плоскость орбиты спутника
перпендикулярна к направлению Земля — Солнце.
Рассмотрим в качестве примера американский
спутник «Эхо-I», который был запущен на орбиту с
высотами перигея и апогея Ли = 1500 км и /га=1700л:ж и для
которого А^ЛОО м3/кГ - сек2. Пользуясь равенством
(17.13) и принимая при расчете по формуле (17.23)
k =1,44, находим для этого спутника максимальное
значение угла б\|) (прих3=1):
йф « 0",3.
Полученная величина мала по сравнению с
изменением положения плоскости орбиты рассматриваемого
спутника под влиянием сжатия Земли (которое в
данном случае может привести к повороту плоскости
орбиты на угол порядка 10' за виток).
Можно показать, что рассмотренные возмущения
эллиптической орбиты при е-*0 в пределе переходят
в полученные в предыдущем параграфе возмущения
круговой орбиты. Действительно, из выражения (17.34)
непосредственно следует, что бф-*0 при е—*0. Это
соответствует отсутствию возмущений положения
плоскости круговой орбиты.
Рассмотрим теперь возмущение величины г на
эллиптической орбите. Пользуясь равенством (4.19),

520 ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XVII
получим, что
А _. 6/> , е sin ft 6ft — cos ft 6ft .+ - осч
0Г~*l+*cosft H (1 + * cos ft)2 • U'•<*>)
Будем считать фиксированным угловое расстояние
рассматриваемой точки орбиты от ее* узла. Тогда,
пользуясь зависимостями р = а(1—е2) и $==и — со,
получим:
6р = Ьа(\—е2) — 2аеЬе, 6ft = — боа.
Подставляя эти равенства совместно с
выражениями (17.33) в зависимость (17.35) и пользуясь
формулами (16.24), а также тем, что Hma = Hm/? = /*cp, найдем:
►0 е-+0
rl
Нтбг = — 3nQ -2- cos у sin (ft — а).
Правая часть этого равенства совпадает с
соответствующим выражением (17.29) для возмущения
круговой орбиты при замене в нем величины <р на Ф (что
вполне допустимо ввиду произвольности выбора
начальной точки круговой орбиты).
Приведенные выше выражения для возмущений
элементов орбиты соответствуют, случаю непрерывного
освещения спутника Солнцем. Для случая
экранирования солнечных лучей Землей могут быть также
получены конечные формулы, имеющие значительно более
сложный, вид [23, 34]. При этом оказывается, что в
общем случае наряду с рассмотренными выше
возмущениями элементов орбиты имеют место возмущения
большой полуоси за один оборот спутника. Для вывода этих
формул можно воспользоваться зависимостями (11.39)
и (16.32), подставляя в их правые части выражения
(17.25) для составляющих возмущающего ускорения
(на освещенных участках орбиты). Пользуясь
равенством (16.34), можно свести задачу к вычислению
интегралов вида
Г rfft Г sin <Ш
J (l+ecosft)* И J (l+*cosft)*'
где п — целое число.

17.7] ДОЛГОВРЕМЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОРБИТЫ 521
Интегралы первого из указанных типов
определяются при помощи приведенной в § 16.7 рекуррентной
зависимости, а интегралы второго тийа — путем
подстановки
l + ^cos# = A, sinfl*rfft = — —.
1 е
17.7. ДОЛГОВРЕМЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОРБИТЫ
При определении возмущений орбиты в больших
интервалах времени нельзя пользоваться допущением
о постоянстве направления Земля — Солнце. Если
в этом случае сохранить допущение о постоянстве
элементов орбиты спутника при вычислении правых
частей уравнений (11.39) и (16.32), то задача может быть
решена методом, изложенным в § 16.9. При этом
входящие в правые части равенств (17.33) величины щ
(|=1, 2, 3) заменятся величинами
t
' . *i = -p f*idt, (17.36)
6
где Р — период обращения спутника.
Отсюда, пользуясь зависимостями (16.52) и (16.53),
можно определить выражения для коэффициентов х* и,
подставляя их в правые части равенств (17.33) вместо
величин х»-, написать формулы для определения
долговременных возмущений орбиты, которые будут иметь
долгопериодический характер (с периодом равным
году). Однако;мы здесь не будем подробно
рассматривать эти формулы, так как на практике задача
существенно усложняется явлением экранирования
солнечных лучей Землей, а также наложением
влияния других рассмотренных выше возмущающих
факторов.
Получение конечных формул для определения
долговременных возмущений с учетом экранирования
солнечных лучей крайне затруднительно. Это связано с тем,
что моменты пересечения спутником границ тени
Земли не определяются при помощи конечных формул,

522 ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XVII
а вычисляются путем решения некоторого трасцендент*
ного уравнения (см. ниже).
Заметим, что задача определения совместного воз-
действия сжатия Земли и светового давления (без
учета влияния эффекта экранирования) сводится к
конечным формулам [23]. Эти формулы получены при
допущении о малости возмущения положения
плоскости орбиты, вызываемого световым давлением, по
сравнению с возмущением,, вызываемым сжатием
Земли. Это, а также другие допущения, положенные в
основу вывода указанных формул (в первую очередь
пренебрежение влиянием сопротивления воздуха, а также
притяжения Солнца и Луны), соответствуют случаю
полета на высотах порядка 103—104 км. Однако при
движении на такой высоте в большинстве случаев имеет
место экранирование солнечных лучей на значительных
участках орбиты, что существенно сужает область
практического применения указанных формул.
На. практике для определения долговременных
возмущений, вызываемых совместным влиянием светового
давления и других основных возмущающих факторов,
может быть использован метод численного
интегрирования уравнений (16.72). При этом к правым частям
указанных уравнений необходимо добавить выражения
для определения возмущений за один виток,
вызываемых световым давлением (с учетом экранирования
солнечных лучей Землей).
В том случае, когда орбита космического объекта
определяется путем численного интегрирования
уравнений (16.4) и световое давление направлено по линии
Солнце — объект, влияние этого давления может быть
очень просто учтено. Для этого достаточно
воспользоваться коллинеарностью векторов ускорений солнечного
притяжения и светового давления и, пользуясь
зависимостью (17.19), ввести в правую часть уравнений
(16.4) следующее выражение для учета совместного
влияния обоих указанных факторов:
/е^о-ЛЧ^ТГ^з-^тЬ (17.37)
(Л — О г\

17.8] МОМЕНТЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СПУТНИКОМ ТЕНИ ЗЕМЛИ 523
где r'j и г — векторы, определяющие положение
Солнца и рассматриваемого объекта относительно Земли,
а /о — ускорение, вызываемое совместным влиянием
светового давления и притяжения Солнца (при
решении задачи в системе координат, связанной с центром
Земли).
17.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
СПУТНИКОМ ТЕНИ ЗЕМЛИ
Как было указано выше, при определении
возмущений, вызываемых световым давлением, возникает
необходимость нахождения моментов пересечения
спутником тени Земли. В большинстве случаев указанная
задача может быть решена приближенно. Это
объясняется малостью влияния светового давления на
движение подавляющего большинства искусственных
спутников Земли, а также невысокой точностью
определения величин коэффициента k в выражениях (17.19) и
(17.23). Поэтому при решении рассматриваемого
вопроса мы будем полагать Землю сферой радиуса /?,
а также пренебрегать влиянием сужения земной тени,
вызываемого атмосферной рефракцией и
геометрическими размерами Солнца. При этих допущениях тень
Земли представляет собой круговой цилиндр
радиуса /?, ось которого совпадает с направлением Солнце —
Земля. Задача сводится к определению моментов
пересечения спутником этого цилиндра. Обозначим через z
угол между направлениями центр Земли — спутник и
центр Земли — Солнце (т. е. зенитное расстояние
Солнца, наблюдаемого из спутника), а через е—угол между
направлениями прямой центр Земли — спутник и
касательной к поверхности Земли, проведенной из спутника.
При сделанных допущениях условие пересечения
спутником тени Земли можно записать в виде
z = e; (17.38)
при этом случай 2>е соответствует положению
спутника в тени, а случай г<е — освещению спутника
Солнцем.

524 ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XVII
Угол е определяется по формуле, вывод которой
следует из элементарных геометрических соображений:
cose = — |Л —-JJ-. (17.39)
где г — расстояние спутника до центра Земли.
Для определения угла z воспользуемся рис. 17.4, на
котором изображена некоторая сфера с центром О
Рис. 17.4. Определение зенитного
расстояния Солнца.
в центре Земли, точка N изображает северный полюс
этой сферы, а точки Di и Ot — точки пересечения сферы
с линиями центр Земли — спутник и центр Земли —
Солнце. Рассмотрим на этой сфере треугольник DiNOif
в котором
ОА=г, NDx = ± — 6,
где б и а — склонение и прямое восхождение спутника,
а бо и оо — склонение и прямое восхождение Солнца.
Пользуясь этими равенствами, находим, что
qqs z = sin 6 sin 6Q + cos 6 cos 6ф cos (aQ — a\ (17.40)

!7.8] МОМЕНТЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СПУТНИКОМ ТЕНИ ЗЕМЛИ 525
Подставляя равенства (17.39) и (17.40) в (17.38),
находим условие пересечения спутником границ тени
Земли (уравнение тени) :
Sin6sin60-f-cos6cos6ocos(ao—a) = — l/ 1— -^, (17.41)
где величины б© и aQ берутся по астрономическим
данным, а величины 6 и а определяются по
формулам (1.12).
Из геометрических соображений следует, что для
каждого витка орбиты уравнение тени может иметь два,
одно или ни одного решения. Первый случай
соответствует наличию на данном витке орбиты участка, на
котором происходит экранирование солнечных лучей,
а второй и третий случаи — отсутствию такого, участка.
Для движущегося по круговой орбите спутнику
в случае пренебрежения влиянием изменения велики
б© и а0 за один его оборот уравнение тени может быть
решено в конечном виде. Для этого обозначим через D0
точку пересечения плоскости орбиты спутника с
большим кругом, нормальным к этой плоскости и
проходящим через точку Oit При заданных координатах
Солнца а©, б©, а также элементах орбиты $1 и I положение
точки Do определяется при помощи элементарных
формул сферической тригонометрии, по которым
вычисляются величины дуг OiD0 и &ID0. Далее, из
прямоугольного сферического треугольника DiOiD0 и
равенства (17.39) следует, что уравнение тени (17.38) можно
переписать в виде
cos DXD0 = 1 ^f—. (17.42)
cos OiD0
Определяя из этого равенства величину дуги DiD0,
находим угловые расстояния точек Dt и D2 пересечения
орбитой границы тени от узла Q.
«1.2=ад)±ад>- 07.43)
Для эллиптической орбиты вследствие переменности
величины г уравнение (17.42) требует для своего решения

526 ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XVII
использования метода последовательных приближений.
Однако при этом возникает опасность появления
ложного вывода об отсутствии решения (если на каком-либо
этапе последовательных приближений в правую часть
рассматриваемого уравнения подставить слишком
большое значение величины г). Поэтому для эллиптической
орбиты более надежным является способ графического
решения уравнения тени или способ последовательной
проверки его на ряде следующих друг за другом точек
орбиты (при расчете на электронной вычислительной
машине).

ш
S
X
щ
О
S
а.
С
-а
а
ы
$•
и
О
<
со
о
а
ш
<
<
с
X
со
о
3=
QJ
О
II
II
Молекулярный!
вес М
Температура
Давление
Р
Плотность
р
Высота
h
«о
О
о
at
Si
«■О
^
*•
aiC^C^aiOiO^OO^aiaiOOt^^^CNpO^t^^CNpt^^i^»
обобоооообоооооооообоообобобобоог^г^г^г^г^соююю
СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧ<>1СЧ<>1СЧСЧСЧ<>1<>1СЧ<^
CNrtocNoo^ooqOrHrHqq^rHioqiCrHioscNO^s^t^oqqoqiOoq^
aScNt^oo't^ait^t^^^c^ioc^aio^^^cdcoocdcoaScot^^^
OOCNrH(^rfcO^^OOOOrHto^COO)rH^S05i-ifNTfiOSOOO^CNCO'tiOcON0005QC)'-i
CN<>JC4<>JC4<>lC4CNi^^C4C4CO^t^O^^^<^<>JC4C4C4C^C^
e ia «• «• to сч сч TllllllllllTTTTTTllllTllllll
OOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
СЧ00^гнОгнЮгнС0СЧС^00^ЮСЧ00гн^ЮЮС0Ь00^О^гнсОЗСЧО)СЧО10О5О5О00
ocOlOcчo5 05WЮ00 05C^l^гнc^loooocN^coort<^т^coюoocoalOcorн(^^^юS^
l i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i I i i i i i i
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
OOOQQQOOOOOOOQOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOQQQO

5
t^c*5ot^^^oqio^ooqco^^oqco^cr>^ooqt^t^i^
ооос^с^с^обобобоог^г^г^г^сосососососоюю
си
s
X
ш
к
а
о
о
сОтг^С^О^^ОООЮ^^^^^^^^^^^^^т^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
CO О СО t" гн" СО гн" 1С 6 ^ 't ^" ^ ^ t" t* ^ Tf rf ^t Tf ^" ^* rf t" t" ^ ^t Tf rf rf rf rf rf ^ Tf •rf ^ rf t" t" t" t*
IOIOl0lOIOIOlOlOIOlOIO<0<0<0<0<0<0<0<0<0<0<0<0<0<0<O<0<0<0<0<0<0<0f.C4.f<.f<.f.f<.t->-^f.f.
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I | I I I I I I I I I
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
ос^^с^аэо^со^ооюоооооооососч^^^оос^аэю
^l0O^C^©t^^C0^OC4c>lC4^t^^C0^t^00Ot^^^C5t^C0^00C4^O^^
^СОСО<><<>1СЧ^^^^^а500Г^СОЮЮ"^"^СОСОСОСЧСЧС4т
«ОэооГ^сОсОЮЮ^^т^
tatau3tauiuiU3tau3U3U3U3ta\a
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
rHOOOOCO'-iSCOONiOCO'-|00)0005r-i^oocCOO',tON'^(N<
t^COlO^fCOCOCNCNCNr
-ООГ^СОСОЮ^^ООООООСЧСЧСЧСЧ'
>0(NiOCN05NONiO(N0500>tNQ
-? i-J i-J i-I oS 00 t^ t^ CO CO lO iO "*
oo
2
CQ
> >>
>t^OoSo^Sc^5SSb«CJoSo
5COCOCOt^t^t^t^t^t^t^t^t^t^00

s
<
ос
о
3
CL
Ш
о
<
e
5
^§qrt 2^22222^2222
^^ ^ СЧ СЧ <N CO CO ч* iO CO
0^t^cpCOCSCOC005COOOi—'Г^С^С0 05 05С0т^Г^00О
ее «Ь со Ф ^ гн oj q q <n h; q ю q ^ ^ ю q гн со io oq q cs Tt< ю OS ^ ^ ю
^^^^^o5co^io^ONNV*o6o6o6od(^ddQdddo^"^
«o«om«r*,*,cocococococococoeo
I I I I I I I I I I I I I I I
OOOOOOOOOOO OOOOt^CO^^
- NCDrHTtCOOrONNCDCs
'-'OCON'-HOrtQaiQTOONQOCOr-iiOCOSC
. гнгнгнсчсчсО^^ф^ОООСЧЮООгнюд)^
«ooNortaio^a^NQoortrHoqqqqqqqqqqrHrHrHrHOjiNqc
^гнЮсОсОЮОСОСОССООгнсОЮС
^t^^oOcO^^^CNCOt^iOCOOO
50000000000000000000
^— — — — ^t^OO^T^^t^CN^COC^OOCOOO
^^^^^.OOO Op ^^(^C^^iOcOOq^T^t^CNt^^CNCNT^OOT^lOOOiOt^
CO^OCOCOTf0"0"0" G><$ 6оЪ*ООЪЪ"6ги*гн"гн"о)(^с0^10СО^о5--ЗсОСОо5
^0^00050005 t—i ,—i ,—i ,—i
CO>-' CO* 00
ЮЮ^О5С^0500^С^ЮГ^00О5О^<><С^т^ЮС0Г^00О51^<^С>5^СОГ^00О^<>1^
OOOQQOOOOQQOpOQOQOOQOOpc
0'^<>ic^^^ot^ooo>p^<>ico^ioc5t^oogSQ'—'(55c
^^^^^^^^^^55<>1<>1<>1<>1<><<>1<>1сч51сооооос
>ооррорс
:> t^ оо Ф р ^-« c>i с
)СОСОСО^«^'^'ч

530 ПРИЛОЖЕНИЕ
Продолжение прилож. //
Высота
hi
км
440
| 450
460
470
480
490
500
510
520
530
540
550
560
570
580
590
600
610
620
630
640
650
660
670
680
690
700
710
720
730
740
750
760
770
780
790
800
Высота
однородной
атмосферы
Я, км
66
67
69*
71"
72
73
75
76
77
79
80
82
84
86
87.
89
90
91
92
92
93
94
94
95
96
96
97
98
99
101
103
105
107
109
111
113
115
Вспомогательные функции
F
ж»
кГ-сек2
23.5
27.8
32.9
38.7
45.3
52.9
61.7
71.6
83.0
95.9
111
127
146
167
190
217
246
279
316
357
403
454
511
574
643
721
806
901
1006
1122 |
1250
1390
1545
1714
1900
2102
2323
ф
ж8 с. с.
кГ-сек2 км
0.404
0.467
0.541
0.621
0.715
0.816
0.927
1.06
1.21
1.37
1.56
1,76
1.98
2.23
2.50
2.78
3.12
3.48 '
3.90
4.35
4.84
5.37
5.96
6.61
7.39 1
8.11
8.99
9.99
11.0
12.2
13.4
14.8
16.2
17,7
19.4
21.2
23,1
Л-10»
12.8
13,1
13.3
13.6
13.9
14,2
14.5
14,7
14.9
15.2
15.4
15.6
15.9
16,2
16.5
16.8
17.0
17.2
17,4
17.6
17.8
18.1
18.3
18.5
18,6
18.8
19.0
19.1
19.3
19.5
19.7
19.8
20.1
20.3
20.6
20.8
21.1
Ф
ж»
1 кГ-сек2 С' С'
7,03 • 104
8.03 • 104
9.22-104
1.05-105
1.20.105
1.36-105
1,53-105
1.74. 105
1.98-105
2.22 - 105
2,50 - 1С5
2,79 • 1С5
3,13-105
3.48 -105
3,88. 105
4.30 • 105
4.80 • 105
5.35 • 105
5.95 -105
6.64 • 105
7,38 • 105
8.16-105
9.06-105
1.01 • И)6
1.12.10е
1.23-10б
1,36- 1С6
1.51-106
1.66-106
1.82-106
1,99-106
2.16 • 106
2,36 • 106
2.56 • 106
2,79 • 106
3.02 • 106
3.28 • 106

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I | I I I | | |
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
OO^rHONOOONOOOC
CO rf CM CN t^ 00 0± CO CO <T -
^ r£ 00 ^ ^ Ы Ы 00 rj? lO Ю" CO" К 00 C> ^ ' *-■ " *-«V-Г ^. ^-. ^ " ,-i ^ СЧ <>1<^<>1<>1<>1<>1<>1СОСОСОСО~СО~СО~т£т£т*^т*
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
C^ — CNCOCO^iOCCCOt^OOCiOr
h<>1<^<>1<>1<>1<>1<NC>1C4C4C4CNC4COCOCOCO00
io о ю ^* ^,^,,^^,^•^,^,^,^,^, ^•cocococococococococococococococococococococococococococo
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
oooooooooooooooooooooooooooooo.ooooooooooooo
ю^осоа>Фс^сософОЮоосоою^^^а)ьоогньюьд)Юсос^юо)^ЮФа)^гнОгн^а)(р
ONCMO^C^C0 00NO00 0C(NOrHrH^rHrHrHCSrt^O00OO)i0 00^^NrHlOac0 00C0 00rt00W
СО^<>1<><Г^СОс^ЮСЧО^Ют^СОСЧО^СЧСОт^1СсОГ^СХ)С^^<^СОт^
^ т* od ~ ^ сч о? со ^ io u" cd t^T об oS ~ ^ ^ ^ ^ ^ ~ ^ ^ ^ Ы Ы Ы oi сяЫ (мсососососообобт^т*-**^
>^<МСОт^ЮсО^ООС^О^С>1СО^ЮЮГ^ООС^О^СЧСОт^ЮЮГ^ООс^О^О^С^
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
oooocSoooooooooooooooooooo

о
О
О
flncoconnneonnnnnnnnmnnconncoconnnoiNoiciNNNNMNOi^NMOiMNNM
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
ОООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООО
Г^ОО^СрСОСОт^ОО^<><<><ЮСЛЮт1<ЮООСЧС500С5СЧГ^т1<СО
СЧфГ^^<^ОООСрЮт^СО<>1^1^^^^СЧ(><СО^ОС^<^1^СОЮ^т^сро01^СОЮОО
оо^^союг^ооос^т^соооо^т^соооо^^соооо^ю
т£ т£ 1010 io 1010 со cd cd cd со" t^." t^ ьГ tC t^T об od od od об o? a> ©ЪЪ4^^^*^^»-*'-*4^^^'-*^^^'-**^!-**^»-'
ш
*
О
S
a
С
М1МИ«1МИ(МИ«И«М NNMNMNMNNNMNNNCINNCINCINNNnCINNnNMCINri
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
>Г^Ю00^С500СОЮ^0000СЧСЧСЧСЧСЧС0"
нсо
NiOOO(NOOONiOtJ<(NC ,
^iOcot^:oqoqc^O'-^C4c'5^3T^i
>^O)^O5i0OC0(N00i0rH00i0(N(
)CONOOO)050rH(Nc0^r-
' ~~ '^lOCOt^OOC^C^O^<>JCOT^^COcOt^OOa50^<>JOOOO^iOcOt^OOC750^5ic>4CO
eoeoeoeoeomeocoeoeoeoeoroeomeoeoeomeoeoeomeoeomo9eomc4C4C4C4C4C4C4C4C4C4C4C4C4CiciC4c<4
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oo о о
^^^iOiOiOiCiOiOCOCOtOCOCONNNNN000000000000050)0505'
^т^т^^т^^ЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮсрсрсрсрсОсрсрсрсрср
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
>oooooooooo<
ooooo~oooooooooo*oooo"o"o"oo"oooo"o*o*oo'o~o"oo"

таблица функций Ф (е0). i\ (ео) и ф2 (е0) 533
Продолжение прилож. Ill
*0
0.090
0,091
0.092
0.093
1 0,094
0,095
0,096
0,097
0,098
0,099
0.100 .
VI
•>
1,377 • 10~2
1.401
1.424
1,448
1,472
1.496
1,520
1,544
1.569
1,593
1,618-
10"
•ю-
10"2
10 2
10"2
10"2
1(Г*
Ю"2
10"2 |
10"2 1
ф.
7,477-10~2
7,568 • 10~2
7,660-10~2
7,752 • 10"2
7,844- КГ2
7,936- 10~2
8,028 • 10~2
8,121-10~2
8.214- 10"2
8.307 • 10"2
8,400- 10"2
4
2
1,484-10"2 |
1.510
1,537
1.563
1.590
1,618
'1,645
1,673
1,701 •
1.729
1,757.
кг2
ю-2
ю-2
ю-2
ю-2
ю-2
ю-2
1(Г2
ю-2
ю-2 |
*э
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0.27
0.28
0,29
0,30
0.31
U32
0,33
0.34
0.35
0.36
1 0,37
0.38
0,39
1 0,40
Ф
0,01618
0,01872
0,02140
0,02421
0,02715
0,03022
0,03341
0.03674
0.04018
0,04376
0.04746
0,05129
0,05525
0.05934
0,06355
0,06791
0.07240
0,07703
0.08180
0,08671
0.09177
0,09697
0,1023
0,1079
0,1135
0.1194
0,1254
0,1316
0Л380
0,1446
0,1515
Ф| J е0
0,08402
0,09340
0.1030
0,1128
0,1228
0,1331
0,1435
0,1540
0,1648
0,1760
0.1872
0,1986
0,2103
0,2222
0,2343
0.2466
0,2592
0,2720
0.2850
0.2982
0,3117
0,3254
0,3393
0.3536
0,3681
0.3828
0,3978
0.4131
0,4286
0,4444
0,4605
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0.46
0.47
0,48
0,49
0.50
0.51
0.52
0,53
0,54
0,55
0,56
0.57
0.58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0.65
0,66
0,67
0,68
0,69
0.70
0,71
Ф
0,1583
0,1655
0,1729
0,1805
0.1883
0.1964
0,2048
0.2134
0,2223
0.2315
0,2410
0,2508
0,2610
0,2715
0,2824
0,2936
0.3053
0.3175
0,3300
0,3431
0,3567
0,3709
0,3857
0,4011
0,4171
0,4339
0,4515
0,4699
0,4893
0,5096
0,5309
Ф,
0,4768
0,4935
0,5104
0,5277
0,5452
0.5632
0,5814
0.5998
0.6188
0,6380
0,6574
0.6774
0,6976
0.7184
0,7394
0.7606
0,7826
0,8048
0.8274
0,8505
0,8740
0,8980
0.9226
0.9476
0,9732
0,9992
1.026
1.053
1,081
1,109
1,138 |
1 е°
1 0,72
0.73
0,74
0,75
0,76
0.77
0,78
0,79
0,80
0,81
0.82
0.83
1 0.84
0.85
0.86
0.87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95 1
0,96
0,97
0,98
0,99
1.00
1
Ф
0,5535
0,5773
0,6025
0,6292
0,6576
0.6879
0,7202
0.7548
0.7921
0.8323
0.8758
0.9232
0,9750
1.032
1,095
1.165
1,244
1.333
1,436
1.555
1,697
1,868
2,080
2,353
2,724
3,267
4,181
6,247
оо
1
Ф.
1.168
1,198
1.230
1,260
1.294
1,328
1.362
1,398
1,435
1,472
1.512
1,551
1,593
1,636
1.682
1,728
1.776
1.827
1.881
1,936
1,996
2,061
2,130
2,205
2,289
2,384
2,496
2,643
3.0

СОСОСОСОМЮЮЮЮЮЮЮМЮ
сою»— осооо^осл^сою'—ю
4^СЛСТ5^^00СООЮСОСЛСТ500»—
СОСЪСООООООООСО»—СЛ»—0000О
PPPPPppOpOj-ммм
сЪсососососЪсосЪфсооооо
Q •— •—»ЮСол.слсг>00СО»— СоСл ~vi
^ООООзСл^СлЧОСлЮО-'Сл
^^^^^4^4^4^СОСоСоСоСоСо
^Оэсл^Сою^ОсЪЬо^а^Сл^
1.143
1.138
1.133
1.128
1.124
1.120
1.116
1.113
1.109
1.106
1.103
1.100
1.098
1.095
00000000000000
cococobobocococococococobobo
4^4^СЛСЛСЛС75С75С75^^0000СОСО
СТ5СОЮСЛ001—СЛСОЮ^»—C75tO*vl
0>а>СлСлСлСлСлСлСлСлСлСл4ь>>£«.
^осоЬо^аэсл^сою^осооо
oooooooooooooo
-4*vl*vl-vl*vl*vl*vlOOOOOOOOOOCOCO
О»—Ю4^СЛ^ОООЮ4^СТ5000СО
о о о р о о о р о о о о о о
оо bo ооЪо со bo ЬоЪо Ьо Ьо Ьо Ьо Ьо Ьо
ЮЮЮЮЮЮС0С0С0С0С0С04^4^
►— Ю4^СлСТ5000ЮСОСЛ^СОЮ4^
<;
^ч
^
<;
J4
*ч
<:
•^
>
N.M.Mi-.H'.M.M.M.M.M.MPPPPPPppoo
осооо^с^сл^сою^оюсо^аэсл^сою!—
оооооооооооооооооооо»—
^СОСОСОЮЮЮ»—•—•—•—QOQOOOOO
СОСОС75ЮСОСЛЬОСО^^ЮСО^СЪ^СОЮ»—О
8
О>04*>»—ОО^ООО
£g5
Со СОС
•-СОС
осле
.ммммммЮЮЮК)СО^рр>1
»^с>1а>а5^юогосл£оа>а>^ЬоЬох
>С©4*> •— coco»— COCOCOCOO»— 004^Cou
>*vlCOOtOtOCOi—СОЮ»—^ICOO^CO
'ЮЮЮСаЗСООт^Сл,
Oi— i— i— ююсосо^слазоооюспоаослО
-vlOCoOit— Сл и-oo O) 05 OO CO Ю Ч и- ФЮСЛСОО^
СлЮСОСООООСл^ЮОООн'-'н-СОСлСЛООЧ
>
СП
s
>
3
PC
s
5«
CO
СЛ
•a
s
о
m
s
о

^ ^ ^ ^ ^ СП СП СЭ СП СП С> СП СП
4* CO to ^— О CO 00 Vj СП СЛ 4*> CO Ю
О О О О О О Q Q О О О О О
СлСлСлСлСПСПСПСПСПСПСПСПСП
СП *vl OO СО О •—1 Ю СО 4* СЛ СП *vl O0
poooopppppppp
booooooooooooobooooobooobo
О О О »—*■—*'—»i—* ►—»•—•■—» i—>н* 1—*
СП 00 00 О О •— Ю СО 4*> О -vl ОО СО
' рОООрОрОрОрОрОрО^^^.^.^!
■ ^СПСЛ^СОЮ^ОСООО^СПСл
ООООООООООООО
4* 4* 4* 4* ►£* Сл Сл СЛ Сл Сл Сл Сп СЛ
~vi оо оо со со О •— н-* to Со 4^ £- СЛ
ррррррррр&ррр
'•<* Vj "•<! Vi оо Ъе оо оо bo bo Ъо оо Ьо
COCOCOCOOOOOOOOOQ
^ООСОСОО»— •— ГО Ю Со 4*> Сл СП
ppptppppppptococo
ocoboVjasbi^GJto^-ocobo
О —' —' Ю Ю СО СО 4* 4* СЛ Сл СП СП
рррррррррррро
сососососососососососососо
О*—1—'ЮЮС0С04*.4*СлСПСП^
<
2*
У
<*
•^
^
<
«^
^
о
О
О

ЛИТЕРАТУРА
1. В а тс он Г. Н., Теория бесселевых функций, ч. I, ИЛ, 1949.
2. Д у б о ш и н Г. Н., Небесная механика, Физматгиз, 1963.
3. Д у б о ш и н Г. Н., Небесная механика. Аналитические и
качественные методы, Изд-во «Наука», 1964.
4. Дубошин Г. Н., Теория притяжения, Физматгиз, 1961.
5. Дубошин Г. Н., О х о ц и м с к и й Д. Е., Некоторые проблемы
астродинамики и небесной механики, Космические исследования,
т. 1, вып. 2, 1963.
6. Ж о н г о л о в и ч И. Д., Внешнее гравитационное поле Земли и
фундаментальные постоянные, связанные с ним, Труды /Ин-та
теоретической астрономии АН СССР, вып. III, 1952.
7. Ж о н г о л о в и ч И. Д., Некоторые формулы, относящиеся к
движению материальной точки и поле тяготения уровенного
эллипсоида вращения, Бюллетень Ин-та теоретической
астрономии АН СССР, т. VII, № 7 (90), I960.
8. И д е л ь с о н Н. И., Теория потенциала и ее приложения к
вопросам геофизики, Гостехиздат, 1932.
9. К а з а к о в С. А., Курс сферической астрономии, Гостехиздат,
1940.
10. К и н г - X и л и Д., Искусственные спутники и научные
исследования; ИЛ, 1961.
11. Кис лик М. Д., Анализ интегралов движения искусственного
спутника в нормальном гравитационном поле Земли, Сб. «Искус-
ственые спутники Земли», вып. 13, 1962.
12. Кис лик М. Д., Движение искусственного спутника в
нормальном гравитационном поле Земли, Сб. «Искусственные спутники
Земли», вып. 4, 1960.
13. Кис лик М. Д., Сферы влияния больших планет и Луны,
Космические исследования, т. 2, 6, 1964.
14. Ко л его в Г. А., Вариации плотности верхней атмосферы, Сб.
«Искусственные спутники Земли», вып. 4, 1960.
15. К о ч и н Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного
исчисления, Изд-во АН СССР, 1961.
16. Л а н д с б е р г Г. С, Оптика, Физматгиз, 1957.
17. Лидов М. Л., Определение плотности атмосферы по
торможению первых искусственных спутников Земли, Сб.
«Искусственные спутники Земли», вып. 1, 1958.

ЛИТЕРАТУРА
537
18. Л и д о в М. Л., Сопротивление неориентированного тела при
движении в разреженном газе, Известия АН СССР, сер.
геофизическая, № 12, 1957.
19. Л и д о в М. Л., Эволюция орбит искусственных спутников
планет под действием гравитационных возмущений внешних тел,
Сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 8, 1961.
20. М а р о в М. Я-, О плотности верхней атмосферы в годы
минимума солнечной активности, Космические исследования, т. 2,
вып. 6, 1964.
21. Михайлов А. А., Курс гравиметрии и теории фигуры Земли,
Изд. Редбюро ГУГК при СНК СССР, М., 1939.
22. Охицомский Д. Е., Энеев Т. М. и Таратынова Г. П.,
Определение времени существования искусственного спутника
Земли и исследование вековых возмущений его орбиты, Успехи
физических наук, т. LXIU, вып. 1а, 1957.
23. П о л я х о в а Е. Н., Световое давление и движение спутников
Земли, Бюллетень Ин-та теоретической астрономии АН СССР,
т. IX, № 1 (104), 1963.
24. Попов П. И. и др., Астрономия, Гостехиздат, 1940.
25. Рыжик И. М., Таблицы интегралов сумм, рядов и
произведений, Гостехиздат, 1948.
26. Субботин М. Ф., Курс небесной механики, т. 1, Гостехиздат,
1933.
27. Субботин М. Ф., Курс небесной механики, т. 3, Гостехиздат,
1949.
28. Суслов Г. К-, Теоретическая механика, Гостехиздат, 1946.
*2§7 Таратынова Г. П., Методы численного решения уравнений
в конечных разностях, Сб. «Искусственные спутники Земли»,
вып. 4, 1960.
30. Фихтенгольц Г. М., Основы математического анализа, т. 2,
Физматгиз, 1960.
31. Ч арный В. И., Об изохронных производных, Сб.
«Искусственные спутники Земли», вып. 16, 1963.
32. Ч е б о т а р е в Г. А., Гравитационные сферы больших планет,
Луны и Солнца, Астрономический журнал, т. X, вып. 5, 1963.
33. К aula W. M., A geoid and world geodetic system based on a
combination of gravimetric, astrogeodetic and satellite data,
Journal of Geophysical Research, vol. 66, № 6, June 1961.
34. К о z a i Y., Effects of solar radiation pressure on the motion of
an artificial satellite, Smithsonian Astrophys. Obs., Special Report
56, 1961.
35. May B. R., The astimation of atmospheric scale heights from the
contraction of satellite orbits, Planetary and Space Science, vol. 11,
№ 6, June 1963.
36. Report of the preparatory, grup for an international reference
atmosphere, accepted at the COSPAR meeting in Florence, aprii
1961,

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аномалии силы земного
притяжения 318
Аномалия истинная 92. 125
— средняя 103
— эксцентрическая 102
Апогей 44, 94
Апоцентр 94
Аргумент перигея 56
Астрономия теоретическая 15
Атмосфера изотермическая 368
— США 367, 370, 527, 529
Афелий 94
Витки орбиты, суточное число
29
Влияние возмущающего
ускорения ня элементы орбиты 290
— захвата атмосферы 394
— изменений начальных условий
движения 202
— малых начальных
возмущений орбиты 43
— притяжения Сспца и Луны
460, 469
— светового давления 501, 505,
509
— сопротивления воздухе 362,
376, 383, 400
на движение по
эллиптической орбите 406
Возмущения вековые 43, 83, 84,
421, 422, 427, 489
плоскости круговой
орбиты 324
эклиптической орбиты 334
—- долгопериодические 355, 489,
492
Возмущения периода обращения
спутника по круговой орбите
327
по эллиптической
орбите 341
— периодические 43
круговой орбиты 329
Время полета по орбите
гиперболической 130
параболической 150
эллиптической 101
— существования спутника 390,
437, 441, 446, 449, 456
Высота геопотенциальная 375
— однородной атмосферы 368
Выход из сферы действия Земли
144
Геоид 312
Давление световое 290, 501
Движение вертикальное
гиперболическое 154, 157
параболическое 154, 157
эллиптическое 154, 155
— круговое среднее 52
— невозмущенное 85
— почти круговое 52
Долгота восходящего узла 23
Интеграл площадей 87
— энергии 89
Классификация возмущений
орбиты 83
Линия узлов 23

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
539
Механика небесная классическая
15
Модель атмосферы динамическая
366
локальная 367
статическая 366
Момент оскуляции 292
Наклонение орбиты 24
Облет притягивающего центра
по гиперболической
траектории 140
Орбита вертикальная 148, 153
— возмущенная 37
— гиперболическая !22
, асимптоты 125
, нисходящая ветвь 126
— —, элементы 134
— критическая 393
— круговая 18, 93
—,наклонение 24
— невозмущенная 37
— оскулирующая 291
— параболическая 148
, ось 148
, элементы 151
—, плоскость ее 23, 88
•«- почти круговая, ее элементы
57
—, суточное смещение 29
—,эксцентриситет 56
—, элементы 26
— эллиптическая 94
, оси 95, 96
, фокусы 95
, центр 95
.элементы 105
Пересечение спутником тени
Земли 523
Перигей 44, 94, 126
Перигелий 94, 126
Период обращения аномалитиче-
ский 343
др а конический 301, 342,
344
невозмущенный 343
оскулирующий 343
сидерический 343, 354
— —, соответствующий
геоцентрической широте 342
Период обращения спутника 19,
104
Перицентр 94, 126
Плоскость орбиты 23, 59, 88
Поверхность относимости 318
Поле аномалий земного
притяжения 313
— притяжения Земли
нормальное 313
ньютоновское 85
реальное 308
Потенциал гравитационного
ускорения 309
— центробежного ускорения 311
Притяжение к Солнцу, Луне,
планетам 290
Расстояние перигейное 126
— перигелийное 126
— перицентрическое 126
Сектор гиперболический 174
— параболический 174
— эллиптический второго рода
172
граничный 173
первого рода 171
Сила' земного притяжения, ее
отклонение от принятого
закона 290
Силы аэродинамические 290
Скорость асимптотическая 128
— космическая вторая 22, 92
первая 22, 92
— круговая спутника 19
— отрыва от притягивающего
центра 92
— секторная 89
Смещение орбиты суточное 29
— спутника по долготе за
виток орбиты 28
Сопротивление воздуха 290, 363
Спутник средний Я4
Сфера действия притягивающего
тела 465
Гело возмущающее 462
— основное 461
Температура «молекулярная*
3G9
Тень Земли 523
Точка оскуляции 292

540
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Точка подспутниковая 401
Траектория — см. также Орбита
— граничная 165
— эллиптическая второго рода
165
первого рода 165
Трасса полета по
гиперболической орбите 136
спутника 27
Узел восходящий 23
— нисходящий 23
Уравнение вертикального
равновесия атмосферы 364
— движения в оскулирующих
элементах 293, 302
— Кеплера 103
для вертикального
эллиптического движения 155
для гиперболической
орбиты 132
• для параболической "
орбиты 151
— Эйлера — Лавберта 179
Ускорение возмущающее 36, 462,
463, 471
— невозмущенное 462
Характеристики движения
текущие 231
Число витков орбиты суточное 29
Центр эллиптической орбиты 95
Эволюции орбиты
долговременные 497
Эксцентриситет орбиты 56
линейный 95
Элементы орбиты 26
гиперболической 134
оскулирующие 291, 292,
302
параболической 151
, полная их система 105
почти круговой 57
эллиптической 105
Эллипсоид земной общий 313