СОВРЕМЕННЫЕ
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ
ПРОБЛЕМЫ
*
Серия выпускается
под общим руководством
РЕДАКЦИОННОГО СОВЕТА
МОСКОВСКОГО
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА

Б. Б. КАДОМЦЕВ
КОЛЛЕКТИВНЫЕ
ЯВЛЕНИЯ
В ПЛАЗМЕ
издательство «наука>
главная редакция
физико-математической литературы
МОСКВА 1 976

530.1
К 13
УДК 530.1
Коллективные явления в плазме. Б. Б. Ка-
Кадомцев. Монография. Главная редакция физико-
математической литературы изд-ва «Наука», 1976 г.
Монография является первой книгой из этой
серии, выпускаемой Главной редакцией физико-
математической литературы изд-ва «Наука». Она
написана одним из ведущих специалистов в дан-
данной области и включает рассмотрение актуальных
проблем физики плазмы.
Книга представляет собой введение в теорию
коллективных явлений в плазме, в ней дается об-
общее представление как о регулярных нелинейных
явлениях (таких, как нелинейные слабодисперги-
рующие волны, эхо в плазме, нелинейное затуха-
затухание Ландау, параметрические эффекты и т. п.), так
и о турбулентности плазмы, т. е. о нерегулярных
шумах, развивающихся из-за неустоичивостей. Из-
Изложение материала проводится, по возможности,
в наиболее доступной форме.
20402—054 ,„„,,. © Главная редакция
1оО-7о физико-математической литературы
Н 976
пео/поч 1оО7о физикоматематической лите
053@2)-76 издательства «Наука», [976

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава I
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
§ 1. Плазма как состояние вещества
§ 2. Магнитная гидродинамика
§ 3. Равновесие плазмы
'.§ 4. Двухжидкостиая магнитная гидродинамика
-§ 5. Диффузия плазмы
Глава 2
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Альвеновские и магнитозвуковые волны .
§ 2. Дисперсия волн в двухжидкостной гидродинамике . . .
§ 3. Линейные волны в диспергирующих средах
§ 4. Электромагнитные волны в плазме
§ 5. Энергия и импульс волн
§ 6. Волны в неоднородных средах
Глава 3
( НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Простые волны
§ 2. Нелинейные волны в слабодиспергирующих средах . . .
§ 3. Самофокусировка и самосжатие волновых пакетов . . .
§ 4. Взаимодействие волн
Глава 4
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
§ 1. Нелинейное затухание Ландау . . .
§ 2. Эхо в плазме
§ 3. Рассеяние волн на частицах

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
§ 1. Неустойчивость плазмы 170
§ 2. Квазилинейное приближение 198
§ 3. Слабая турбулентность 205
§ 4. Ионно-звуковая турбулентность 210
§ 5. Ленгмюровская турбулентность 214
§ 6. МГД-турбулентность 221
§ 7. Эволюция бесстолкновительных систем 227
Литература 231

ПРЕДИСЛОВИЕ
Термин «коллективные явления в плазме» появился довольно
давно. На первых порах он еще не вполне приобрел свое конк-
конкретное содержание, а всего лишь отражал то смутное ощуще-
ощущение, что в системе заряженных частиц с дальнодействующими
кулоновскими силами наряду с парными столкновениями должно
существовать взаимодействие между частицами, имеющее некую
особую коллективную природу. И лишь исследование реальной
плазмы, с ее многочисленными неустойчивостями, самопроиз-
самопроизвольно развивающимися шумами и колебаниями, сложными не-
нелинейными процессами, постепенно вырисовывало круг тех яв-
явлений, которые стало принято называть коллективными.
В настоящее время коллективными явлениями в плазме на-
называют сугубо нелинейные процессы, связанные с наличием ко-
колебаний или шумов конечной амплитуды, взаимодействие кото-
которых с частицами существенно влияет на макроскопические свой-
свойства плазмы. Чаще всего эти шумы и колебания возникают са-
самопроизвольно вследствие различного рода неустойчивостей.
Если возбуждается очень много степеней свободы и колебания
становятся нерегулярными, то такое состояние плазмы назы-
называют турбулентным. Но кроме турбулентных состояний суще-
существует широкий круг нелинейных регулярных процессов, в ко-
которых взаимодействие между частицами и волнами—коллек-
волнами—коллективными возбуждениями системы — может приводить к весьма
своеобразным, подчас изумительно красивым явлениям. К ним
относятся, например, эхо в плазме, нелинейное затухание Лан-
Ландау, самосжатие и самофокусировка волновых пакетов, нели-
нелинейные слабодиспергирующие волны. Изучение такого рода не-
нелинейных явлений само по себе очень интересно, но еще более
оно полезно с точки зрения развития общих представлений о фи-
физике плазмы—этой своеобразной и весьма своенравной субстан-
субстанции. Не будет преувеличением сказать, что коллективные явле-
явления в плазме отражают саму ее природу, ее главное свойство.
На кафедре физики плазмы факультета физической и моле-
молекулярной химии МФТИ уже несколько лет читаются лекции для
студентов пятого курса по коллективным явлениям в плазме.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
Фактически читаются два курса: один посвящен регулярным
коллективным явлениям (его читает автор) и второй — турбу-
турбулентности плазмы (его читает проф. Л. И. Рудаков). Оба курса
довольно тесно связаны между собой, в сущности, они излагают
разные аспекты одного и того же круга явлений.
В предлагаемой книге, которая может служить введением в
теорию коллективных явлений в плазме, дается представление
как о регулярных нелинейных процессах в плазме, так и о ее
турбулентности. Разумеется, мы не стремились к полному соот-
соответствию материала книги и лекций, хотя бы потому, что пред-
предполагаемый читатель книги не обязан знать физику плазмы в
том объеме, который предусмотрен программой кафедры физики
плазмы для студентов пятого курса. Чтобы облегчить чтение
книги, в первой главе подробно описывается гидродинамический
метод описания плазмы, а во второй главе кратко излагается
теория линейных волн в том объеме, который достаточен для
свободного чтения дальнейших глав. Изложение материала в
этих последующих главах проводится, по возможности, в как
можно более доступной форме, чтобы знакомство с этой инте-
интересной областью физики плазмы не превратилось в скучное
изучение формул. Поскольку нелинейные явления в плазме
сходны с нелинейными явлениями в других сплошных средах,
в книге широко используются соответствующие аналогии.

Глава 1
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
§ 1. Плазма как состояние вещества
1. Четвертое состояние вещества. Если следовать школьным
представлениям о гом, что по мере нагревания вещества оно
испытывает последовательные превращения из твердого состоя-
состояния в жидкость, а затем в газ, то естественно возникает вопрос,
что же будет происходить с газом при его нагревании. Ясно, что
яо мере усиления хаотического движения молекул газа они,
сталкиваясь, начнут расщепляться на составляющие их атомы,
а затем и сами атомы начнут разрушаться, разбиваясь на элект-
электроны и ионы. Таким образом, при нагревании любого вещества
оно должно в конце концов превратиться в плазму — сильно
ионизованный газ. Именно в этом смысле плазму иногда назы-
называют четвертым состоянием вещества.
1 В отличие от резких фазовых переходов твердое тело — жид-
жидкость, жидкость — газ, переход к ионизованному состоянию явля-
является непрерывным, так что степень ионизации щ/щ, т. е. отноше-
отношение плотности ионов Пг к плотности нейтральных атомов «о,
Является плавной функцией температуры. Даже в пламени свечи
имеется небольшое количество электронов и ионов, но вряд ли это
иламя можно считать настоящей плазмой. Ясно поэтому, что оп-
определение плазмы требует еще некоторой количественной харак-
характеристики, которая показала бы, начиная с какой плотности
заряженных частиц ионизованный газ можно считать плазмой.
, Чтобы найти эту характеристику, нужно прежде всего пред-
представить себе, чем же новое состояние вещества отличается от
обычного газа. Главная особенность коллектива заряженных ча-
частиц, составляющих плазму, состоит в появлении нового типа
взаимодействия частиц этого коллектива — через электрические
и магнитные поля, т. е. посредством дальнодействующих сил.
Именно благодаря возможности этого типа взаимодействия кол-
коллектив заряженных частиц приобретает новые качества. Фак-
Фактически он образует нечто целое вместе с теми электрическими

10 ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ ГГЛ. I
и магнитными полями, которые с этими частицами взаимодей-
взаимодействуют (их и называют^ поэтому самосогласованными полями).
Таким образом, плазмой монсно назвать ионизованный газ при
такой плотности заряженных частиц, когда становится сущест-
существенным взаимодействие этих частиц с самосогласованными элек-
электрическими и магнитными полями (в том числе — и с внешними
полями).
Часто в качестве количественной характеристики того, что
это взаимодействие становится существенным, пользуются по-
понятием квазинейтральности плазмы, т. е. приближенного равен-
равенства плотности электронов пе и ионов п{ (если последние одно-
однократно ионизованы) или равенства ne = Zrii (в более общем
случае ионов со средним зарядовым числом Z). В самом деле,
при достаточно высокой плотности пе (и соответственно пг) даже
малое пространственное разделение зарядов плазмы привело бы
к появлению очень сильных электрических полей. Поэтому при
всех протекающих в плазме явлениях с полями естественной ве-
величины (например, порядка внешних полей) плотности ионов и
электронов оказываются близкими друг к другу. Таким обра-
образом, плазма, т. е. достаточно плотная смесь электронов и ионов,
должна сохранять квазинейтральность даже при достаточно
бурно протекающих в ней процессах. Вместе с тем нужно ясно
понимать, что квазинейтральность есть не изначальная характе-
характеристика плазмы, а всего лишь ее свойство, вытекающее из того,
что главную роль в плазме играют взаимодействия частиц через
самосогласованное поле.
2. Неравновесность плазмы, теоретические модели. Тот факт,
что частицы плазмы выступают вместе с создаваемыми ими
электрическими и магнитными полями, приводит к сильному
усложнению протекающих в плазме явлений. Часто речь должна
идти скорее не о свойствах вещества, а о свойствах сложного
комплекса из вещества и электромагнитного поля. Наличие
внешних полей, иногда также достаточно сложных и неконтро-
неконтролируемых, еще больше запутывает всю картину. К этому сле-
следует добавить, что в лабораторных или природных условиях
плазма часто является крайне неравновесной; она требует для
своего создания совершенно необычных условий (например,
вспышка молнии, полярное сияние, разряд в газовой трубке,
вспышка в фокусе лазерного луча и т. п.). В такой неравновес-
неравновесной плазме в силу высокой ее подвижности и наличия дально-
действующих сил очень легко развиваются различного рода не-
неустойчивости и шумы.
В результате при изучении протекающих в плазме явлений
часто приходится встречаться с ситуацией многопараметрично-
сти, т. е. с наличием многих одновременно протекающих процес-
процессов, из которых выбрать наиболее существенный часто бывает

МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА Ц
очень трудно. В этой ситуации для понимания происходящих
в плазме явлений и, в особенности, для теоретического количе-
количественного или качественного их описания очень полезными ока-
оказываются упрощенные модели, нередко дополняющие друг
друга. Так, например, рассматривая движение заряженных ча-
5? стаи в магнитных полях сложной формы, например, в магнит-
*^i йых ловушках, можно использовать модель независимых частиц.
г,- Учитывая только парные столкновения частиц и не принимая во
внимание шумов из-за неустойчивостей, строят так называемую
Д' классическую теорию плазмы. В пренебрежении взаимодейст-
^ вием с нейтральным газом можно получить приближенную мо-
"h, дель полностью ионизованной плазмы. Учитывая только наибо-
-* лее существенную характеристику ионизованного газа — способ-
'-- ноеть проводить ток, — получают магнитогидродинамическое
-' приближение, также моделирующее многие свойства плазмы.
х" В настоящей книге, центр тяжести которой лежит не на опи-
описании конкретных протекающих в плазме явлений, а на знаком-
знакомстве с основными нелинейными явлениями, будут использо-
, ваться только самые простые модели. А именно, для всех кол-
коллективных эффектов, связанных с полями и волнами, но не
, < с частицами, мы будем пользоваться магнитогидродинамическим
""*' приближением. Для эффектов же кинетических, где важно взаи-
взаимодействие отдельных групп частиц с волнами, мы в основном
будем использовать простейшую модель однородной неограни-
неограниченной плазмы. Кроме того, как правило, плазму будем считать
,',, полностью ионизованной.
• V' г § 2. Магнитная гидродинамика
1. Уравнения магнитной гидродинамики. Шведский физик
X. Альвен первым обратил внимание на то, что проводящие
жидкость или газ при движении в магнитном поле обнаружи-
обнаруживают исключительно интересные свойства. Эти свойства связаны
с тем, что при перемещении проводящих масс жидкости в них
возбуждаются токи индукции, которые совместно с магнитным
полем оказывают обратное воздействие на жидкость. При этом
не так существенно, о какой именно жидкости идет речь, важно
лишь, чтобы она была электропроводной. Соответственно и в
плазме, которая может свободно проводить ток, могут легко ра-
разыгрываться те явления, которые характерны для проводящих
жидкостей. Собственно, в применении к космической плазме и
развивал свои идеи Альвен.
Итак, мы познакомимся с тем классом явлений в плазме, ко-
который описывается в приближении магнитной гидродинамики
(точнее, газодинамики). В этом приближении предполагается,
что поведение плазмы сходно с поведением идеального газа

12 ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ ГГЛ. 1
с уравнением состояния р = 2пТ, где р — давление, 7 —темпе-
—температура (в эргах), а п — плотность электронов и равная ей плот-
плотность однозарядных ионов. Поскольку электронная масса гпе
значительно меньше ионной массы гп{, то массовая плотность
р = ШгП. Пусть В есть напряженность магнитного поля, a j —
плотность электрического тока.
Тогда уравнение движения жидкости с учетом силы Ампера
запишется в виде
min^- + Vp = l[jB]. A.1)
К нему следует добавить уравнение непрерывности и уравнения
Максвелла, в которых мы пренебрежем током смещения, считая,
что все происходящие в плазме движения медленные, т. е. про-
протекают со скоростями значительно меньше скорости света:
-^-+divnv = 0, A.2)
rot В = f- j, A.3)
divB = 0, A.4)
Плотность тока j в проводящей среде равна j = аЕ», где Е» —
электрическое поле в системе координат, движущейся вместе с
жидким элементом. При »<с это поле равно Еф = Е-|—[vB].
Полагая Е, = -^- = —^ rot В и подставляя выражение для Е
через Е* в A.5), мы приведем A.5) к виду
f ?B. ' A.6)
Уравнения A.1) — A.4) и A.6) и составляют основную си-
систему уравнений магнитной гидродинамики. В этих уравнениях
мы пренебрегли вязкостью. Что касается температуры Т, то для
ее изменения со временем можно воспользоваться условием
адиабатичности Т—¦ пУ~1, где у — показатель адиабаты. Если
характерные размеры возмущения в плазме невелики, то в силу
высокой электронной теплопроводности более адекватным яв-
является приближение изотермической плазмы Т = const.
Уравнения магнитной гидродинамики достаточно хорошо
описывают крупномасштабные движения в плазме, для которых
несущественно различие в движении отдельных групп состав-
составляющих ее частиц. В частности, эти уравнения хорошо описы-
описывают равновесие плазмы в магнитном поле в условиях, когда

МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
13
, несущественна ее анизотропия, т. е. когда функция распределе-
распределения частиц по скоростям близка к максвелловской.
2. Вмороженность магнитного поля. Рассмотрим несколько
*даодробнее уравнение A.6) и постараемся выяснить его физиче-
„^1?кий смысл. Последнее слагаемое в правой части этого уравне-
А* вия описывает диффузионное расплывание неоднородностей маг-
|\.яитпого поля в проводящей ср_еде вследствие конечной проводи-
проводимости. Величину Dm = c2/4na можно условно назвать коэффи-
коэффициентом диффузии магнитного поля. При достаточно большой
Проводимости диффузией поля можно пренебречь, и мы прихо-
приходим к идеальной гидродинамике, в которой отсутствуют все
'- виды диссипации. Уравнение A.6) тогда принимает вид
_ = rot[vB].
A.7)
В этом предельном случае уравнение A.7) приводит к эф-
эффекту «приклеенности» силовых линий магнитного поля к плазме,
или, как еще иногда говорят, к вмороженности магнитного поля
в проводящую среду. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим про-
произвольный замкнутый контур L, движущийся вместе с плазмой,
•41 введем в рассмотрение магнитный поток Ф= У BdS через по-
s
верхность, ограниченную контуром L. Поскольку div В = 0 и си-
ловые линии магнитного поля нигде не кончаются, величина Ф
¦©пределяется лишь контуром А и не за-
зависит от формы поверхности, натянутой
»!, на L. Найдем теперь величину измене-
lit "иия потока ДФ за время At:
ДФ=
A.8)
S' S
Здесь В' = В (t -f- At, r) — магнитное по-
Ае в момент t-\-At, S' — смещенная по-
поверхность (рис. 1), a dS — элемент по-
поверхности, рассматриваемый как вектор,
направленный по нормали к поверхности.
Как видно из рис. 1, поверхность S'
можно считать состоящей из поверхности S и узкой ленты
йгариной v At, соединяющей два контура. Следовательно, пер-
первое слагаемое в A.8) можно представить в виде суммы интег-
интегралов по S и AS. Первый из этих интегралов можно объединить
со вторым интегралом в A.8), и с точностью до малых величин
-^-dS.4To касается инте-
интеграла по AS, то он может быть записан в виде интеграла по
Рис. 1. Движение конту-
контура с плазмой и вморо-
вмороженность поля.
AS

14 ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 1
контуру L, так как элемент поверхности ленты AS равен dS =
= —[dl, \dt]. Таким образом:
ДФ = Дг J -Ц- dS - At\ [vB] dl.
S L
Но последний интеграл согласно известной формуле вектор-
векторного анализа равен \rot[vB]dS. Устремляя Д/-»-0 и учитывая
s
уравнение для В, получим ~тг = ®> т- е- Ф = const. Поскольку
это утверждение справедливо для любого контура L, движуще-
движущегося вместе с веществом, то это и означает, что силовые линии
магнитного поля как бы «приклеены» к идеально проводящей
жидкости. Вмороженность силовых линий существенно упро-
упрощает картину поведения магнитного поля при движении идеаль-
идеальной плазмы.
§ 3. Равновесие плазмы
1. Условие равновесия. Плазма является весьма подвижной
средой и в реальных условиях редко бывает спокойной. Прежде
чем изучать ее движение, естественно рассмотреть более простую
ситуацию, когда плазма находится в покое. Разумеется, мы мог-
могли бы представить себе неограниченную, заполняющую все про-
пространство, однородную плазму, находящуюся в тепловом равно-
равновесии. Такая предельная идеализация часто используется при
теоретическом анализе колебаний плазмы. Но если все же смот-
смотреть на вещи более реально, то мы должны ясно понимать, что
в лабораторных условиях плазма всегда неоднородна. Для до-
достижения равновесия неоднородной плазмы на нее должны дей-
действовать некоторые силы, препятствующие ее разлету. Ими мо-
могут быть либо силы со стороны магнитного поля в случае пол-
полностью ионизованной плазмы, либо трение о нейтральный газ,
если плазма слабоионизованная.
Мы начнем рассмотрение с полностью ионизованной плазмы.
При этом опять воспользуемся предельной идеализацией, а
именно, будем считать, что плазма представляет собой идеаль-
идеальный газ с уравнением состояния р = 2пТ. В электрическом от-
отношении будем считать ее идеальным проводником с бесконеч-
бесконечной проводимостью. Такая плазма, если к тому же допустить
нулевую ее вязкость, называется идеальной.
Согласно A.1) идеальная плазма может быть в равновесии
только в том случае, если градиент ее давления уравновешен си-
силой Ампера:
j A.9)

РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ 15
»_„е j плотность электрического тока, В — напряженность маг-
магнитного поля.
В предположении идеальной проводимости на плотность тока
I не накладывается никаких ограничений, кроме естественного
условия непрерывности:
divj = O. A.10)
Магнитное поле В и плотность тока j связаны уравнением
Максвелла A.3) и, кроме того, согласно A.4) div В = 0. Как
легко видеть, из уравнения A.9) вытекает:
BV/> = 0, jVp = O. A.11)
Эти соотношения можно рассматривать как условия постоян-
Ства давления вдоль силовых линий магнитного поля и линий
тока: по этим направлениям сила со стороны магнитного поля
не действует, и плазма может свободно расширяться вдоль В и
j. Вместе с тем, поскольку Vp направлен перпендикулярно по-
поверхности р = const, условия A.5) означают, что силовые ли-
линии и линии тока должны лежать на поверхностях р = const.
В частности, если мы захотим изолировать плазму от стенок
магнитным полем —такая проблема, как известно, возникла в
евязи с поисками путей достижения управляемой термоядерной
реакции, — то поверхности р = const должны быть замкнутыми
и вложенными друг в друга так, чтобы на границе плазмы
давление обращалось в нуль, а внутри нее достигало макси-
i мального значения.
Уложить на эти поверхности силовые линии и линии тока
так, чтобы нигде не возникало особых точек (соответствующих,
например, «протыканию» поверхности р = const проводником
с током), можно только в том случае, если они представляют
собой систему вложенных друг в друга тороидальных поверхно-
[¦* стей. Таким образом, мы приходим к задаче о равновесии плаз-
плазмы в торах, которая будет рассмотрена несколько позднее.
Выражая j через В с помощью A.3) и пользуясь известным
соотношением векторного анализа, уравнение равновесия A.9)
можно записать в виде
V|(, + V-g- = 1ir(BV)B, A.12)
где второе слагаемое в левой части можно интерпретировать как
градиент давления магнитного поля.
Еще более наглядная запись уравнения равновесия дости-
гается, если ввести в рассмотрение единичный вектор h = В/б
вдоль магнитного поля:

Г6 ГИЛРОЛИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ ГГЛ. 1
где Vi =V — h(hV)—поперечный градиент, п — нормаль к си-
силовой линии, R — ее радиус кривизны. Из уравнения A.13)
видно, что магнитное поле оказывает давление В2/8п в попереч-
поперечном направлении и создает дополнительную силу в направлении
вогнутости силовых линий вследствие их натяжения.
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых конкретных рав-
равновесных конфигураций.
2. Равновесие цилиндрического столба. Мы начнем с самого
простого случая равновесия плазмы при цилиндрической сим-
симметрии. Практически такое равновесие достигается в ограничен-
ограниченных по длине системах путем сжатия плазмы либо продольным
магнитным полем @-пинч), либо собственным полем протекаю-
протекающего по плазме тока (z-пинч). Теоретически удобно рассматри-
рассматривать плазменный шнур как не ограниченный по длине, пренебре-
пренебрегая явлениями на его торцах.
В цилиндрической системе координат г, 9, z с осью г, совпа-
совпадающей с осью симметрии шнура, уравнение равновесия прини-
принимает вид:
l 0. A.14)
dr ~*~ dr 8л ~*~ г dr An
Так как мы имеем только одно уравнение для трех функций
р, Bz, Be, то произвол очень велик и существует большое разно-
разнообразие различных равновесных систем.
3. Q-пинч. Рассмотрим сначала случай, когда продольный ток
/г отсутствует и соответственно Вв = 0. В этом случае удержа-
удержание плазмы достигается благодаря азимутальному току /в, и по-
поэтому соответствующую конфигурацию принято называть 9-
пинчем. При этом из A.14) получаем
В2
р + -^= const, A.15)
т. е. давление плазмы уравновешивается магнитным давлением.
Из A.15) следует, что плазма обладает свойством диамагне-
тика: в области, занятой плазмой, поле ослабевает. Если
р=Во/8я, где So — поле вне плазмы, то внутри плазмы магнит-
магнитное поле вообще отсутствует; удержание при этом достигается
за счет тока, протекающего по поверхности плазмы. В другом
случае так называемой плазмы низкого давления р <С В2/8п маг-
магнитное поле внутри плазмы ослабляется на малую величину
65 = -05/2, A.16)
где р = 8пр/В2, Если при этом давление плазмы внутри шнура
постоянно, а затем резко спадает до нуля на его границе, то,
dp Id
интегрируя уравнение равновесия ~^r=z — Т^еДг поперек шнура

PABHOBEOIF ПЛАЗМЫ
17
В та const, получим условие равновесия в виде
Р = — 7
A.17)
ф ts=\ hdr — поверхностная плотность тока.
Уравнение A.17) имеет смысл баланса сил на границе: дав-
давление плазмы внутри шнура уравновешивается силой Ампера,
Действующей на его границу.
4. z-пинч. В другом частном случае Вг = 0 мы имеем дело
t обычным пинч-эффектом, т. е. со стягиванием плазменного
шнура собственным магнитным полем протекающего по нему
тока с плотностью
Умножим уравнение равновесия на r2dr и проинтегрируем
"его по г от 0 до сю:
A.19)
При r-voo rfie = 2//с, где / — полный ток, протекающий по
Длазме, так что правая часть A.19) равна /2/2яс2. Слева же
Р после интегрирования по частям получим \ p2rdr. Таким обра-
С аОм, окончательно получаем следующее условие пинчевания, т. е.
интегральное условие равновесия:
К
4c2NT = Р,
A.20)
N = \2nrndr—погонное число электронов (на единицу
длины шнура), Т = 1/2(Тг + Те)—средняя температура. Соот-
Соотношение A.20) обычно называют условием Беннета.
При наличии продольного магнитного поля соотношение
A.20) должно быть дополнено членом, учитывающим разность
давлений продольного поля снаружи и внутри шнура. В частно-
частности, если давление плазмы мало, то стягивание шнура собст-
собственным магнитным полем может компенсироваться за счет уве-
увеличения продольного магнитного поля внутри шнура. При этом
возникает своеобразный парамагнетизм плазмы.
5. Бессиловые конфигурации. В проводящей плазме могут
образовываться своеобразные равновесные конфигурации, когда
давление плазмы пренебрежимо мало по сравнению с давлением

18 ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 1
магнитного поля. Как следует из уравнения равновесия A.9),
при этом ток должен течь вдоль магнитного поля. Магнитные
конфигурации с Vp = 0 называются бессиловыми. В лаборатор-
лабораторных условиях они осуществляются, когда велики потери энергии
плазмой и она не нагревается. Бессиловые конфигурации не-
нередко возникают на Солнце, когда магнитные поля, генериро-
генерированные внутри Солнца, «всплывают» на его поверхность.
Естественно, что наиболее просто бессиловые конфигурации
выглядят в случае цилиндрической симметрии. Так как при этом
мы имеем одно уравнение для двух функций Вв(г), Bz(r), то су-
существует все еще довольно большой произвол в выборе конфи-
конфигураций.
Мы рассмотрим здесь лишь один пример, представляющий
интерес в связи с экспериментами по сильноточным разрядам,
стабилизированным умеренным продольным полем. В таких раз-
разрядах давление плазмы невелико из-за различного рода ано-
аномальных потерь (усиленной диффузии и теплопроводности), так
что распределение полей практически бессиловое. Оказывается,
что экспериментально наблюдаемое распределение полей близко
к бессиловому, у которого плотность тока пропорциональна
полю, т. е.
rotB = nB, ц = const. A-21)
Отсюда вытекает:
A.22)
где /0, /i — функции Бесселя.
Обозначим через а радиус плазменного шнура. Как видно
из A.22), по мере повышения \х.а продольное магнитное поле
стягивается к оси, т. е. как бы появляется «парамагнетизм». За-
Затем, по достижении значения \х.а = осо ~ 2,4, т. е. первого корня
/о (х), поле Вг обращается в нуль на границе шнура, а затем,
при \х.а > оо, даже меняет свой знак.
Вместо а\х. удобно ввести интегральную величину
0 = 2л;/а/сФ, A.23)
где / — полный продольный ток, а Ф — продольный магнитный
поток. Легко видеть, что в = ац/2. Обычно разряд заключен
в кожух с достаточно высокой проводимостью, и поэтому Ф =
==па2Ва, где Ва — начальное значение продольного магнитного
поля перед разрядом.
Согласно рассматриваемой бессиловой модели продольное
поле на периферии разряда должно менять знак при переходе в
через значение осо/2. Именно такая картина появления отрица-

РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ
19
цьных значений поля Вг на периферии разряда при увеличе-
наблюдается экспериментально (рис. 2).
Достаточно хорошо совпадают и численные значения вели-
„лн в, при которых происходит изменение знака поля: экспе-
эксперимент дает в « 1,4, а теория — в а: 1,2.
^,#- Почему в эксперименте наблюдается такая бессиловая кон-
^'игурация, было недавно теоретически пояснено Дж. Тейлором
3]. Его аргументы сводятся к
следующему. Будем исходить из
toro, что в диффузионном пинче
развивается довольно интенсив-
интенсивная магнитогидродинамическая
турбулентность, как это показы-
' *вают эксперименты. При такой
турбулентности энергия магнит-
магнитного поля и плазмы может пере-
переходить в кинетическую энергию
хаотического движения, а затем
•уносится из шнура за счет потерь
на стенку.
f Плазма в таком шнуре обыч-
обычно имеет достаточно высокую
проводимость, и это накладывает
-Определенные ограничения на допустимые движения в плазме.
При идеальной проводимости изменения магнитного поля свя-
ааны условием вмороженности A.7). Соответственно для век-
вектора-потенциала магнитного поля А, определяемого соотноше-
соотношением В = rot А, вытекает
^ = [vB] + VX, A.24)
. ;ГДе х — произвольная скалярная функция.
Как можно показать, из соотношений A.7), A.24) следует,
что интеграл \ ABcfr, взятый по любому объему, ограниченному.
силовыми линиями, не зависит от времени, т. е. является интег-
интегралом движения.
При конечной проводимости это утверждение становится не-
неправильным, так как силовые линии получают возможность пе-
перезамыкаться. Но если проводимость достаточно высокая, то
при таком перезамыкании магнитные поля меняются слабо, так
что должен приближенно сохраняться интеграл
Рис. 2. Распределение полей
диффузионном пинче.
взятый по всему объему плазмы: в этом интеграле происходит
лишь перераспределение вкладов от отдельных силовых трубок,
а сумма приблизительно постоянна.

20 ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 1
Если искать минимум энергии магнитного поля при Ко =
= const, то соответствующая вариационная задача приводит
к бессиловому полю A.21) с ц = const. Таким образом, наблю-
наблюдаемое экспериментальное бессиловое поле в диффузионных
пинчах связано с развитием мелкомасштабной магнитогидроди-
намической турбулентности, в которой энергия магнитного поля
переходит в кинетическую энергию хаотического движения
плазмы. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в § 6,
п. 2 гл. 5.
6. Тороидальная плазма в поле с замкнутыми силовыми ли-
линиями. Рассмотренные выше цилиндрические равновесные кон-
конфигурации являются, разумеется, идеализацией: практически
реализовать системы, бесконечно протяженные в одном направ-
направлении, невозможно. Однако такие равновесия можно осущест-
осуществить приближенно, если плазменный шнур замкнут в тор
с очень большим радиусом кривизны R. При этом сразу же воз-
возникает вопрос о том, какое влияние оказывает на равновесие
шнура его тороидальность. Чтобы выяснить это, мы рассмотрим
сначала простой предельный случай, когда продольный ток от-
отсутствует.
При этом мы как бы искривляем однородное магнитное поле
с плазменным цилиндром. В результате искривления поле пере-
перестает быть однородным: в круглом торе оно убывает обратно
пропорционально расстоянию R от большой оси (оси симмет-
симметрии) тора. Это следует из того, что при осевой симметрии поле
равно В = 2//cR, где / — полный ток, протекающий через круг
радиуса R. Этот ток постоянен, если только мы не пересекаем
витков обмотки.
Так как магнитное поле ослабевает к наружному обводу
тора, то плазма, будучи диамагнетиком, должна выталкиваться
в радиальном направлении. Чтобы убедиться в этом, рассмот-
рассмотрим плазменную трубку, образующие которой совпадают с си-
силовыми линиями, и допустим, что давление плазмы р однородно
по сечению трубки и значительно меньше давления магнитного
поля В2/8я~. Тогда, как мы установили в пункте 3, магнитное
поле будет очень слабо изменяться при пересечении границы
плазмы. При этом согласно A.17) давление плазмы уравно-
уравновешивается силой взаимодействия поверхностного тока ja с маг-
магнитным полем В. Но в простой тороидальной геометрии в
отсутствие продольного тока соотношению A.17) удовлетво-
удовлетворить нельзя. В самом деле, в силу сохранения заряда произве-
произведение величины поверхностного тока на длину силовой линии
ja2nR должно оставаться постоянным. Поэтому на внутреннем
обводе плазменной трубки поверхностный ток ja должен быть
несколько больше, чем на внешнем. Но магнитное поле В также
больше на внутреннем обводе, и, следовательно, сила, действую-

РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ
21
Рис. 3. Удержание торо-
тороидального шнура диаф-
диафрагмой.
со стороны магнитного поля на плазменную трубку, должна
некоторую равнодействующую, направленную наружу в
рону убывания магнитного поля.
1тобы скомпенсировать силу выталкивания, можно пропу-
ш> поперек шнура параллельно оси симметрии тора неболь-
небольшой так Ajs ~ -д- /„ который даст си-
направленную в сторону оси тора
;с. 3); здесь а — поперечный раз-
ер плазменной трубки. Практически
1КОЙ ток можно создать с помощью
Dpomo проводящей диафрагмы, кото-
замыкая токи, «замораживает»
«ловые линии и не дает трубке дви-
движься по большому радиусу. Если маг-
гиое поле В очень сильное, то попе-
Кречный ток Д/s мал, и при хорошей проводимости плазмы
*""¦ ноль поля диафрагма может эффективно замыкать поперечный
ж Д/s со всего шнура [15].
7. Ловушка с гофрированным магнитным полем. Существует
другая возможность компенсации диамагнитного выталкива-
выталкивающий в тороидальной системе с замкнутыми силовыми линиями,
связана с отказом от осевой симметрии. Допустим, что
с помощью дополнительных катушек соз-
создается такая конфигурация, что внут-
внутренняя силовая линия становится не-
несколько длиннее наружной (рис. 4).
Пусть опять давление плазмы мало и по-
постоянно. Тогда условие равновесия гра-
границы имеет вид A.17), где /s — компо-
компонента поверхностного тока, нормальная
к В, а следовательно, и к силовой линии.
Из условия сохранения электрического
заряда имеем:
;Gf/ = —срф4г = const. A-25)
Рис. 4. Гофрированный
тор.
Так как р = const, то отсюда следует, что интеграл
A.26)
вдоль любой замкнутой еиловой линии на границе плазмы дол-
должен иметь одно и то же значение.
Этот результат легко обобщается на случай произвольного
распределения давления плазмы. В самом деле, любое плавное

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
[ГЛ. I
распределение давления по некоторой координате ip, нумерую-
нумерующей поверхности р = const, можно приближенно представить
8 виде набора многих ступенек. На каждой из таких ступенек
кличина U должна быть постоянной. Другими словами, для
равновесия необходимо, чтобы давление р было постоянно на
поверхности U = const, т. е. р = p(U).
Если давление плазмы мало, то под величиной В в A.26)
'южно понимать вакуумное магнитное поле. В этом случае усло-
условие p = p(U) является необходи-
необходимым и достаточным условием рав-
равновесия.
Таким образом, если произвести
гофрировку магнитного поля, как
показано на рис. 4, чтобы вели-
величина U имела одинаковое значение
на некоторой тороидальной поверх-
поверхности, образованной силовыми ли-
линиями, то плазма может быть в рав-
равновесии.
Этот теоретический результат
подтвержден экспериментально [22].
На рис. 5 приведены две фотораз-
фоторазвертки плазменного шнура в про-
простом тороидальном и гофрирован-
гофрированном магнитном поле. Фоторазвертка
производится следующим образом.
В торе прорезается поперечная
щель, изображение которой с по-
помощью зеркала отбрасывается на
экран. При вращении зеркала про-
проекция щели бежит по экрану, так
что в результате на снимке полу-
получается изображение поперечного
сечения плазмы в функции времени.
Плазменный шнур в этом эксперименте создавался при по-
0-пинча, т. е. при импульсном нарастании продольного
Ччя. На фоторазвертке рис. 5, а видно, как шнур довольно бы-
%о выталкивается к периферии камеры. При наложении гоф-
^ровки создаются условия для равновесия плазмы и, как видно
^ фоторазвертки рис. 5, б, плазма значительно дольше удержи-
^ется в центральной части камеры.
8. Равновесие плазмы в круглом торе. Перейдем теперь к
^смотрению общего случая, когда в плазменном шнуре
Деются как продольное, так и азимутальное магнитные поля.
Разумеется, в самой обшей постановке задача о тороидальном
^вновесии плазмы весьма сложна, и решение ее требует гро-
№. 5. Выброс плазмы на на-
таную стенку в круглом то-
Js (а) и ее равновесие в гоф-
Врованном торе (б) согласно
Щ]. Гофрировка достигается
.Чтьцами с током, ослабляю-
\ми поле в месте их распо-
расположения.

РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ
23
цких математических выкладок. Однако существует класс
интересных в практическом отношении, когда тороидаль-
кривизна мала, т. е. малый радиус плазменного шнура а
Рачительно меньше радиуса кривизны тора Ro (т. е. радиуса
щштной оси). При этом тороидальный шнур близок к пря-
эму и его равновесие можно исследовать по теории возмуще-
__Ц, принимая за нулевое приближение цилиндрический шнур и
эоизводя затем разложение по малому параметру a/R0. Этим
етодом удается рассмотреть широкий класс тороидальных си-
вм [11]. Здесь мы рассмотрим в качестве примера только круг-
1Й тор с сильным продольным магнитным полем, что соответ-
вует, например, экспериментальным ус-
ановкам «токамак».
Рассмотрим поперечное сечение плаз-
^'ценного шнура (рис. 6). Если в прямом
уре магнитные поверхности в попереч-
som сечении представляли собой систему
концентрических окружностей, то в торе
' окружности будут смещены от оси
topa и несколько деформированы. В ли-
лилейном по a/Ro приближении искаже-
окружности можно пренебречь, так
тороидальность сказывается лишь в
1 смещении окружностей. Величину этого
«ещения обозначим через А (г). гДе
' — малый радиус магнитной поверхно-
ги. Будем считать, что величина А оп-
определена таким образом, что на внешнем проводящем кожухе
радиуса Ъ она обращается в нуль. В определении Д(л) и состоит
основная задача нахождения тороидальной поправки к рав-
1л$говееию.
Наряду с л введем еще азимут 6 и продольную координату
— длину вдоль магнитной оси. Теперь это будут уже не ци-
цилиндрические координаты, а криволинейные координаты на торе
Г (см. рис. 6), которые только при Rq-+oo переходят в цилиндри-
цилиндрические.
Чтобы найти Д, нужно учесть, что в тороидальной геометрии
Be и Вг уже не постоянны на окружности радиусат, а слабо за-
зависят от в. Особенно легко определить зависимость от 6 для
компоненты Вг. В самом деле, в силу осевой симметрии Вг =
= 2I/cR, где / — полный ток, протекающий через круг радиуса
R — расстояния от оси симметрии. Но так как через магнитные
поверхности ток не перетекает, то величина / на магнитной по-
поверхности постоянна, т. е. является функцией малого радиуса
магнитной поверхности г. Учитывая, что R = Ro — rcos0 (см.
рис. 6), находим с точностью до членов первого порядка
Рис. 6. Магнитные по-
поверхности в торе.

24 ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ [ГЛ
малости
. A.27)
где B°z — значение продольного поля в нулевом приближении.
Азимутальная компонента поля fie также несколько изме-
изменяется, так что можно положить
Be = Sg (I +-^-Acose), A.28)
где Л (л)—пока неопределенная величина. Ее можно связать
с А (л), если воспользоваться условием сохранения магнитного
потока между двумя близкими магнитными поверхностями.
Можно показать, что расстояние между близкими поверхно-
поверхностями равно d% = dr — cos 8 rfA = М —-^- cos 0 J dr (см. рис. 6).
Так как элемент поверхности (ленточки) dS, через который про-
проходит азимутальный поток между близкими поверхностями, ра-
равен dS — (l—^— cos 0J 2nR0 d%, то из условия BerfS = const
легко находим
Установив все необходимые геометрические соотношения,
вернемся к уравнению равновесия. Удобно воспользоваться нор-
нормальной к поверхности р = const (т. е. г = const) компонентой
уравнения равновесия в форме A.12). Учтем, что градиент по
нормали равен -^ » ( 1 -|—-?—cos0j-s—, так как расстояние ме-
между близкими магнитными поверхностями d%=[\—-т- cos0Jrfr.
Следовательно, для нормальной компоненты имеем
где л — единичный вектор по нормали к магнитной поверхности.
Здесь для В нужно учесть тороидальные поправки согласно
A.27), A.28). Нетрудно видеть, что (B2V) Bz направлено к оси
симметрии тора и по абсолютной величине равно B2zjR, так
что n(B?V)Bz = cos0- BllR. Что касается (BzV) Be и (BeV) Вг,
то они не имеют составляющих по п, а п(ВэУ)Ве = — Bl/r.
Таким образом, уравнение A.30) может быть записано в виде
д ( В\ в\ (db. В\ в\\

ДВУХЖИДКОСТНАЯ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
влравой части мы воспользовались уравнением равновесия
ieBOM приближении и исключили -А. Если подставить сюда
Г), A-28) и собрать малые первого порядка, то с учетом
}) можно получить уравнение для А:
~j— 1 Р&В ~""j— ) == П """ ~~Л— ~~~ ~~D— &В* \ *¦ • "**/
Ьггегрируя это уравнение и учитывая, что при г = 0 -тр- — ®>
уходим
db. 8я (р - р) - Щ г
аг Вв Ка
R If
|ё среднее значение р = — \ 2prdr и
алогично определено Be- Вторым
|тегрированием отсюда нетрудно най-
Д(г). Тем самым задача о торои-
ьном равновесии полностью ре-
гся, так как Be выражается через
^..Заметим, что согласно A.28) вели-
ва Д зависит только от тороидаль-
й'.компоненты поля Be, а не от Вг.
^Приведенные здесь соотношения,
1ученные впервые Шафрановым [10],
эошо описывают результаты экспе- п _ п
r r J рис, 7. Распределение плот-
J^htob по равновесию плазмы в то- ности плазМы в установке
|^*аках [23]. На рис. 7, например, «токамак> по сечеиию ка-
гставлены результаты измерения меРы [23]-
Определения плотности плазмы по
ечению. Они наглядно^ показывают, как происходит смещение
1азмы в торе в радиальном направлении.
§ 4. Двухжидкостная магнитная гидродинамика
1. Уравнения двухжидкостной гидродинамики. Всюду выше
|Йы считали, что плазма покоится, т. е. ее скорость v = 0. Но
этом неявно допускалось, что макроскопическая скорость
"о*—это скорость ионов. Если по плазме протекает электричес-
электрический ток плотностью /, то обе скорости — ионная vt и электрон-
электронная ve — одновременно в нуль обратиться не могут просто по-
потому, ЧТО j = en(\i — Ve).
Одерим скорость электронов ve. Допустим, что продольный
ток отсутствует. Тогда, как следует из уравнения равновесия
-20 -10
го см

26 ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ [ГЛ. I
A.9), при наличии градиента давления по плазме должен про-
протекать ток плотностью
^ A.34)
где h = В/В. Если ионная скорость равна нулю,.то отсюда по-
получаем для электронной скорости
По порядку величины эта скорость (которую мы условимся на-
называть дрейфовой) равна их -~ сТ/еВа ~ vTipi/a, где vTi =
= -т/Т/nii — средняя тепловая скорость ионов, pi = vTi/Qi ss
== VTitriiC/eB — их средний ларморовский радиус, Q, = еВ\тгс—
ионная циклотронная частота, а — характерный размер плазмы.
В сильном магнитном поле ларморовский радиус рг очень мал и
скорость v± мала.
Но дело даже не в численном значении скорости, а в том,
что в рассмотренном выше приближении скорость электронов
нигде не выступала в явном виде, и поэтому совершенно неясно,
что за приближение мы сделали и какие эффекты при этом
потеряли. Чтобы выяснить эти вопросы, приходится отказаться
от взгляда на стационарное состояние как на равновесие и
рассматривать его как некоторое стационарное течение и соот-
соответственно ввести в рассмотрение макроскопические (гидроди-
(гидродинамические) скорости для электронов и ионов. Если при этом
по-прежнему считать, что электроны и ионы представляют собой
отдельные взаимно проникающие жидкости, то мы придем к так
называемому приближению двухжидкостной гидродинамики.
Микроскопической основой для такого приближения служит уже
давно отмеченное Ландау [28] обстоятельство, что равновесное
максвелловское распределение в каждой из компонент (элект-
(электронной и ионной) устанавливается гораздо быстрее, чем проис-
происходит теплообмен между ними. С учетом небольшой силы тре-
трения между электронами и ионами уравнения двухжидкостной
гидродинамики имеют вид
^ ^[viB] + ^(ve-v/), A-36)
tVBJ - f
Здесь mi, me — массы соответственно ионов и электронов, v,,
ve —их скорости, pi = nTu ре = пТе — ш давления, а Т{, Те —
температуры, Е—напряженность электрического поля, В — маг-
магнитное поле, те — среднее время между электрон-ионными столк-

ДВУХЖИДКОСТНАЯ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
27
г
вниями. Как обычно, мы считаем, что плотности электронов
ГЙонов равны (условие квазинейтральности).
В уравнениях A.36), A.37) под субстанциальными произ-
цыми -Гц следовало бы понимать в одном случае -gj- + V(VV(,
48 другом —дт- + veVve. Но поскольку масса электронов очень
на и в большинстве случаев ее можно считать нулевой,
во втором уравнении мы будем опускать инерционный член,
K что —тг всегда будет субстанциальной производной для
|»ов.
Складывая уравнения A.36), A.37) и пренебрегая инерцией
Йектронов, получим уравнение движения одножидкостной гид-
янамики:
m,n-g- + Vp = I[jB], A.38)
р = ре-\- Pi, j = en (vi — ve), a v — скорость ионов.
В том же приближении уравнение A.37) можно записать
ВИде
Vpe = -enE-^[vBl+l[jB]-^-. A.39)
а = е'гпхе1те — электропроводность. Это уравнение, устанав-
»ающее связь между током и электрическим полем, можно
ссматривать как обобщенный закон Ома. Можно сказать, что
&ухжидкостная природа плазмы учитывается дополнительными
нагаемыми в законе Ома A.39).
Уравнения движения A.38), A.39) должны быть дополнены
уравнением непрерывности
—
A.40)
й уравнениями Максвелла (в которых мы опять пренебрежем
малым током смещения):
уравнениями Максвел
малым током смещения):
divB = 0.
A.41)
(Ы2)
A.43)
, Кроме того, к ним следовало бы добавить уравнения теплового
баланса для электронов и ионов, которые описывали бы измене-
\ ние Ti и Те со временем. Однако для малых промежутков вре-
I мени, когда еще несущественны эффекты теплопроводности и

28 ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 1
тепловыделения, можно считать, что Tit Te изменяются по адиа-
адиабатическому закону.
Допустим, что плазма перемещается со скоростью, значи-
значительно большей дрейфовой v± ~ сТ/еВа. Тогда в обобщенном
законе Ома A.39) второе слагаемое справа будет значительно
больше Vpe и члена такого же порядка величины — [JB]. Это
значит, что в плазме должно появляться довольно большое
электрическое поле Е. Соответственно, для таких движений
можно пренебречь малыми вторым и третьим слагаемыми в пра-
правой части A.39), и мы приходим к обычному закону Ома в од-
ножидкостной магнитной гидродинамике. Таким образом, для
быстрых движений справедлива одножидкостная гидродина-
гидродинамика. А как же быть с равновесием? Ведь в этом случае со-
согласно одножидкостной модели ионы покоятся.
Чтобы разобраться в этом вопросе, постараемся сначала до
некоторой степени устранить неравноправие электронов и ионов
в рамках одножидкостной магнитной гидродинамики. Из урав-
уравнения движения A.38) видно, что инерционный член т,п-^-
становится существенным по сравнению с другими только в том
случае, если скорость ионов становится порядка звуковой. При
малых v, например порядка дрейфовой скорости, этим членом
можно пренебречь, и мы снова приходим к задаче о магнито-
гидродинамическом равновесии. Далее, даже с учетом вморо-
женности магнитного поля можно представить себе такие тече-
течения плазмы, при которых она скользит вдоль магнитных поверх-
поверхностей, и магнитное поле при этом не меняется. Подбирая ве-
величину продольной компоненты скорости (вдоль магнитного
поля), можно добиться, чтобы это течение было несжимаемым.
В частности, скорость v можно выбрать равной v = Цеп— этот
вектор действительно лежит на магнитной поверхности и
divrtv = 0. Но в этом последнем случае весь ток будет перено-
переноситься ионами, а электроны будут покоиться. В более общем
случае существует довольно большой произвол для перераспре-
перераспределения электрического тока между ионами и электронами, так
что на самом деле одножидкостная равновесная магнитогидро-
динамическая конфигурация соответствует целому классу ста-
стационарных состояний с медленным скольжением плазмы по маг-
магнитным поверхностям.
2. Эффект Холла. Последние рассуждения кажутся доста-
достаточно убедительными, однако у читателя может возникнуть
вполне законный вопрос. Выше мы установили, что одножид-
одножидкостная магнитная гидродинамика и следующее из нее условие
вмороженности магнитного поля справедливы только для скоро-
скоростей значительно больше дрейфовой. Почему же мы перекосим

ДВУХЖИДКОСТНАЯ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА 29
течения с дрейфовыми скоростями и когда это можно де-
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вернуться к обоб-
Шиому закону Ома, в котором явно учтена двухжидкостная
ярода плазмы. Предполагая, что проводимость очень велика,
^запишем его в виде
Vpe = — епЕ — — [vB] -\—[IB]. A-44)
с с
Последнее слагаемое в этом уравнении можно назвать хол-
рвским — именно оно приводит к известному эффекту Холла
вталлах и полупроводниках. Таким образом, обобщенный за-
Ома по сравнению с обычным учитывает эффект Холла и
а#ент давления электронов.
'ассмотрим частный случай, когда температура электронов
эянна в пространстве, Те = const. Тогда, вводя снова элек-
«^нную скорость ve, уравнение A.44) можно записать в виде
A.45)
Если это выражение для электрического поля подставить
^уравнение Максвелла A.42) и учесть, что вихрь потенциаль-
" векторного поля равен нулю, то получим
-q? =rot [veB]- A-46)
о уравнение остается верным и в том случае, когда Те яв-
ется функцией плотности, например, когда Те и п постоянны
магнитных поверхностях.
Уравнение A.46), как мы установили выше, означает, что
^силовые линии магнитного поля вморожены в среду, движу-
движущуюся со скоростью ve, т. е. в данном случае — в электроны. От-
усюда видно, что заметного расхождения между одножидкостной
\и двухжидкостной гидродинамикой можно ожидать в тех слу-
случаях, когда становится ощутимым различие между ve и vt-.
Это утверждение можно сделать несколько более конкрет-
Гным. Допустим, что мы имеем дело с типичным равновесием
,в приближении магнитной гидродинамики, когда давление р, а
температуры Т;, Те (в силу большой теплопроводности
|вдоль магнитного поля) постоянны на магнитных поверхностях.
' При этом электрический ток j течет по магнитным поверхно-
поверхностям, и совершенно несущественно, в какую из компонент вмо-
вморожено поле — в электронную или в ионную: магнитные поверх-
поверхности все равно останутся на месте. Значит, вполне справед-
справедливы рассуждения предыдущего пункта.
Совсем другая ситуация возникает, когда точного равнове-
равновесия нет. Даже если опять имеются магнитные поверхности и

30
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ [ГЛ. I
электтРоны не могут с них сдвинуться (в силу вмороженно-
сти ^потоков в электроны), отсутствие полного равновесия (т.е.
р __ / пТ Ф const на магнитной поверхности) должно привести
к дввижению ионов с поперечными скоростями порядка дрей-
ф0выз1Х. Ниже мы рассмотрим простейшие примеры такого дви-
движений-
3 ' Стационарный ток при эффекте Холла. Прежде чем пе-
рейп'и к рассмотрению стационарных состояний в двухжидкост-
ной iгидродинамике, постараемся сначала выяснить, как выгля-
выглядит ттечение электронов при вмороженном в них магнитном поле,
если ионы неподвижны. В качестве простейшего примера такой
СИТугации рассмотрим задачу о протекании тока с учетом эф-
эффект."8 Холла по жесткому гофрированному проводнику [29].
Впроэчем> эта задача может быть сформулирована и в плазмен-
ном варианте как задача о неоднородном по длине пинче в
очен1ь разреженной плазме. Дело в том, что при достаточно ма-
лод плотности величина токовой скорости электронов v =
__ -Цеп может быть значительно больше скорости звука
с _ .-^T/trii. В самом деле, из условия Беннета A.20) следует,
что iv/Cs~ПГ'2. где П,- = NrriiC2/e2 — ионное погонное число.
Если' Ш 4С 1, то v > cs, и тогда в течение некоторого времени,
пока ШНУР еш-е не успевает заметно изменить свою форму вслед-
вследствие6 Движения ионов со скоростями порядка с«, движение
элек1тронной жидкости можно рассматривать при фиксирован-
ном распределении плотности ионов (а следовательно, и элект-
рОНО]в). Заметим еще, что поскольку v имеет порядок величины
дрей(фовой скорости Cspi/a, то из условия v > cs следует р, » о,
т е действием магнитного поля на ионы можно пренебречь
(оно слишком слабо и не искривляет траектории ионов).
р]1так, представим себе, что мы имеем неподвижный гофри-
рОванный шнур с током, в котором плотность п(г, z) является
пери<одическ°и функцией z, и рассмотрим вопрос о том, какие
вОЗМ(ожны стационарные течения электронов при заданной
ПЛО1лости«(л,г). m
Проводимость мы будем считать бесконечной и I = const,
так чт0 по существу нужно рассмотреть, как влияет эффект
Холл"а> т- е- вмороженность магнитного поля в электроны, на их
скоррсть-
Предположим, что задача обладает осевой симметрией, т. е.
все величины зависят только от двух переменных г и z в ци-
лин_рической системе координат. Тогда из уравнения сохране-
сохранения заряда

ДВУХЖИДКОСТНАЯ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА 31
шийи^-т, чт0 компоненты плотности тока /V и \г могут быть вы-
бажены через произвольную скалярную функцию /(г, г);
выражения для \г следует, что
г
/=$2nr/,rfr, A.49)
о
г. е. / представляет собой функцию тока: она равна полному
ку, протекающему через круг радиуса г.
Учтем теперь условие вмороженности поля в электронную
%омпоненту. В рассматриваемом нами случае Вг = Вг = 0, так
го достаточно учесть только 0-компоненту уравнения A.46),
которое в стационарном случае имеет вид
-з- игВй + -т- v,Ba = 0. A 50)
or ° dz v '
Если подставить сюда v = —j/en и выразить / через / согласно
'(A.48), а также учесть, что при осевой симметрии Be = 21/сг, то
цолучим
dr \ nr2 dz ) dz \ nr2 dr ) ' \ • I
Если наружные производные применять к / или к внутрен-
внутренним производным от /, то соответствующие члены сократятся,
что достаточно дифференцировать лишь величину пгг. Таким
; рбразом, получаем
ALJL 2_j^__<L 2_Q /ICO}
Отсюда следует, что величина / должна быть функцией
только nrz. Другими словами, эффект вмороженности магнит-
магнитного поля в электронную компоненту накладывает существен-
существенное ограничение на электронный поток. Например, в случае од-
однородного проводника с п = const линии тока являются пря-
прямыми. Поэтому, в частности, ток не может затекать в выпукло-
выпуклости гофрированного проводника — в область «тени», — он может
течь только в центральной части, которую электроны «видят на
просвет» [30].
4. Равновесие плазмы в перекошенном магнитном поле. Рас-
Рассмотрим теперь более важный случай, когда магнитное поле ве-
велико и средний ларморовский радиус мал по сравнению с ха-
характерным размером плазменного шнура. При этом дрейфовая
скорость также мала, однако могут существовать условия, когда
ее следует учитывать. В самом деле, допустим, что некоторая

32
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
[ГЛ. I
магнитогидрошнамическая система очень близка к равновесию,
так что сила Ампера и градиент давления почти сбалансиро-
сбалансированы. При этэм разлет плазмы за счет неполного баланса сил
должен быть очень медленным, и если поперечная компонента
скорости раз,1ета становится сравнимой с дрейфовой, то одно-
жидкостной Магнитной гидродинамикой с упрощенным законом
Ома пользов.ться нельзя. При этом обязательно следует учиты-
учитывать эффект Колла.
В качеств первого примера такой ситуации рассмотрим
плазменный шнур очень низкого давления с р = 8яр/В2 <С 1
в перекошешом однородном магнитном поле (рис. 8,а). Предпо-
Предположим, что инур является бесконечно протяженным, а магнит-
магнитное поле равю В = Во + В', где Во направлено вдоль оси шнура,
a) °i
Рис. %. Вращение плазмы в перекошенном магнитном поле.
а В' — малая поперечная компонента поля. При В' <С Во плаз-
плазма почти равновесна, но все же полного равновесия вдоль си-
силовых лин15й нет. Поэтому в одножидкостном приближении
плазма должна была бы разлетаться вдоль силовых линий со
скоростью порядка скорости звука с.,. Внешне такой разлет вы-
выглядел бы как расширение шнура в направлении вдоль В' со
скоростью ъх ~ — cs. Если эта скорость становится порядка или
меньше дрейфовой, т. е. если
¦J-^iS (L53)
то следует пользоваться двухжидкостнои гидродинамикой. Пусть
В' не слишком мало, так что
— ~> 2».
Во ^ а У mt a
A.54)
Тогда эффективная скорость разлета электронов ~тг~ \1 ~*~ го"
раздо больше дрейфовой скорости. В этом случае можно счи-
считать, что у электронов успевает установиться павновесное рас-

§ 4] ДВУХЖИДКОСТНАЯ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА зЗ
пределение вдоль силовых линий. Соответственно в электронном
уравнении движения можно пренебречь инерционным членом, и
уравнение можно записать в виде A.45). Умножая A.45) на
В, получим
ВЕ = — BV (^-lnn). A.55)
Но в стационарном состоянии электрическое поле является без-
безвихревым: Е = —Уф. Следовательно, уравнение A.55) можно
проинтегрировать вдоаь каждой силовой линии, и тогда полу-
получим
Ф = ^Мпп + ф0) A.56)
где ф0 — некоторая константа интегрирования, зависящая от си-
силовой линии. В рассматриваемом нами случае однородного по
оси г шнура ср0 может зависеть лишь от координаты у (см.
рис. 8,6, где изображен вид шнура с торца; ось z направлена
вдоль шнура, ось х—вдоль поперечной компоненты поля В', а
ось у— поперек магнитных поверхностей у = const, на которых
лежат силовые линии). В стационарном состоянии с цилиндри-
цилиндрической симметрией ср0 следует положить равной нулю.
Таким образом, электрическое поле Е равно
Е = -УФ = -|^Уп. A.57)
Подставим это выражение в уравнение движения для ионов
min~ + ^nTi = enE+-^-[\u] A.58)
и пренебрежем малым инерционным членом. Тогда, умножая
A.58) векторно слева на h = В/В, найдем
^ с-»)
где р = п{Тв+Т{).
Таким образом, в стационарном состоянии шнур должен вра-
вращаться со скоростью A.59), а азимутальная скорость электро-
электронов при этом равна нулю, поскольку они «приклеены» к сило-
силовым линиям магнитного поля.
Вращение плазмы прекращает ее разлет вдоль силовых ли-
линий. В самом деле, под действием продольной компоненты гра-
градиента давления ионы в верхнем положении (см. рис. 8,6)
Должны были бы ускоряться вправо, но, не успев заметно сдви-
сдвинуться, они за с'чет вращения попадают на нижнюю сторону
Шнура, где они ускоряются влево. Если скорость вращения до-
достаточно велика, т. е. csp,/a 3> csB'jB0, то смещения ионов на
2 Б. Б. Каломцев

34
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
[ГЛ. 1
верхней и нижней сторонах компенсируются, и разлета не про-
происходит. Можно сказать, что благодаря эффекту Холла вместо
равновесия устанавливается стационарное течение. Однако это
течение оказывается неустойчивым.
5. Вращение плазмы в Q-пинче. Описанная выше картина
имеет место только в том случае, если давление плазмы очень
мало, т. е. Р<С 1; точнее, плотность кинетической энергии вра-
вращения плазмы niiV2n/2 много меньше плотности энергии попе-
поперечного поля В'2/8л, т. е. 8пр/В'2 <С а2/р2г В обратном предель-
предельном случае В'2 <С 8ярр?/а2 энергии поперечного поля не хватит
а)
6)
Рис. 9. Вращение плазмы в 6-пинче из-за эффекта Холла при наличии не-
небольшого поперечного поля.
для ускорения плазмы до скорости порядка дрейфовой, так что
в первом приближении ионы можно считать неподвижными. По-
Поскольку магнитное поле вморожено в электронную компоненту,
силовые линии вместе с электронами начнут вращаться в сто-
сторону дрейфа электронов. Если для простоты пренебречь зависи-
зависимостью угловой скорости вращения электронов от радиуса, то
силовые линии начнут поворачиваться, как показано на
рис. 9, а, б. После полуоборота плазмы ее внутреннее попереч-
поперечное магнитное поле полностью отрывается от внешнего, так что
поперечное поле снаружи от плазмы можно считать состоящим
из поля внешних обмоток, не проникающего внутрь плазмы, и
дипольного поля плазмы (рис. 9,в). Так как в первом полупе-
полупериоде силовые линии были сцеплены с внешней обмоткой, то
плазме передается момент количества движения и она приходит
во вращение с некоторой азимутальной скоростью ие. Порядок
величины ие можно найти, приравнивая кинетическую энергию
вращения магнитной, т. е. ие » В'(intUiti)-'1*.
Этот механизм вращения плазмы за счет внешних рассеян-
рассеянных полей был рассмотрен Хайнсом [32, 33], а затем Тонеманом

ДИФФУЗИЯ ПЛАЗМЫ 35
i Колбом [34] в связи с экспериментами на Э-пинчах, где иногда
Шаблюдается центробежная неустойчивость сжимаемого внеш-
а магнитным полем плазменного шнура, что явно указывает
|яа его вращение.
§ 5. Диффузия плазмы
'•Ьк 1. Плазма в однородном магнитном поле. Всюду выше мы
Предполагали, что проводимость о бесконечна, и только в этом
• Приближении были получены все равновесные (или стационар-
стационарные) состояния. Наличие конечной проводимости приводит
К медленной диффузии плазмы поперек магнитного поля. Чтобы
" убедиться в этом, рассмотрим простой частный случай, когда
плазма низкого давления (Р <С 1) образует цилиндрически сим-
Летричный шнур в однородном магнитном поле (мы пренебре-
пренебрежем малым ослаблением поля за счет диамагнетизма плазмы).
Тогда из азимутальной компоненты закона Ома A.39) получим:
,L . dp
Мы выразили здесь /е через -^ с помощью уравнения равнове-
равновесия. Если магнитное поле не меняется со временем, то ?е = О,
и согласно A.60) радиальная скорость соответствует расшире-
расширению плазмы. При Т = const скорость vr пропорциональна гра-
градиенту плотности, так что расширение плазмы носит характер
диффузии с коэффициентом поперечной диффузии
где р = 8яр/В2, пе= еВ/тес — электронная циклотронная ча-
частота, Те — среднее время между электрон-ионными столкнове-
столкновениями, о = е2пхе/те — проводимость, р2е = 2Т/теп2е— квадрат
Среднего электронного ларморовского радиуса. Выражение
A.61) для коэффициента диффузии имеет простой физический
смысл: при каждом столкновении электрон перемещается в сред-
среднем на расстояние порядка ларморовского радиуса.
Если р не мало, то в процессе диффузии плазмы магнитное
поле само изменяется и ?е ф 0. При этом следует скорее гово-
говорить о взаимной «диффузии» магнитного поля и плазмы. В дру-
другом предельном случае неподвижной плазмы мы приходим к за-
задаче о скин-слое, т. е. о проникновении магнитного поля в про-
проводящую среду с коэффициентом диффузии Dm = с2/4лсг.
2. Диффузия плазмы в торе. При тороидальной геометрии
процесс диффузии носит более сложный характер — он прини-
принимает форму своеобразной конвекции. Это связано с тем, что даже
2*

36 ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 1
в стационарном магнитном поле компонента электрического
поля Ев отлична от нуля из-за перетекания тока вдоль винто-
винтовых силовых линий магнитного поля:
Здесь /и — переменная (зависящая от 9) часть продольного
тока, а сгц — продольная проводимость плазмы, которая, вообще
говоря, отличается от входящей в A.60) поперечной проводимо-
проводимости (согласно кинетической теории при кулоновских столкнове-
столкновениях в водородной и дейтериевой плазмах ац « 2ai). Величину
/и можно найти из уравнения div j = 0, выражая /± через гра-
градиент давления с помощью уравнения равновесия:
Мы учли здесь, что В w Bz (мы считаем Ве<Сб|); согласно
A.27) Bz, хоть и слабо, но все же зависит от 6. Из A.62), A.63)
находим
***-L cos 9. A.64)
R
dr Ro
Введем в рассмотрение величину ц = rBz/RoBe, равную отноше-
отношению числа оборотов силовой линии вдоль тора к числу оборотов
по малому азимуту Э. Подставляя выражение A.64) для Ее
в формулу A.60) для vT, мы видим, что электрическое поле ?в
приводит к течению со скоростью в—q2 раз больше, чем диффу-
диффузионная скорость в прямом цилиндре. Однако среднее значение
этой скорости по азимуту обращается в нуль, т. е. в первом при-
приближении поле A.64) не приводит к соответствующей диффузии
поперек магнитных поверхностей. Мы получаем как бы стацио-
стационарную ламинарную конвекцию: плазма вытекает наружу от
магнитной поверхности на внешнем обводе (cos 9 < 0) и втекает
в эту поверхность на внутреннем обводе.
В следующем приближении вследствие этой конвекции все
же возникает диффузионный поток. В самом деле, чтобы найти
средний поток через магнитную поверхность, нужно усреднить
по Э величину nvr с весом f 1 —^—cosGJ, поскольку элемент
тороидальной поверхности равен dS = 2nRr dQ == 2я/?0 A —
— ^-cos9J rdQ. Производя усреднение с учетом малых членов
порядка r2JRo> получим

ДИФФУЗИЯ ПЛАЗМЫ 37
Полагая crj = 2<t_l, получим для коэффициента диффузии во-
i дородной или дейтериевой плазмы при тороидальной геометрии:
Di=D10(l +q2), A.66)
гдеD±o — коэффициент диффузии A.61) в прямом магнитном
;. Формула A.66) была получена впервые Пфиршем и Шлю-
Все приведенные выше соотношения справедливы только
' № случае плотной плазмы, когда длина свободного пробега элек-
'. тронов и ионов значительно меньше характерной длины силовой
линии nqRo и гидродинамическое приближение достаточно полно
описывает поведение плазмы.
3. Амбиполярная диффузия слабоионизованной плазмы. Если
<{ в полностью ионизованной плазме вопрос о равновесии сводится
-п к анализу возможности удержания одной лишь плазмы магнит-
К цым полем, то при наличии третьей компоненты — нейтрального
Г газа — он усложняется необходимостью рассмотрения поведения
•также и нейтрального газа. Однако существует интересный пре-
- дельный случай слабоионизованной плазмы, когда степень ио-
* внзации настолько мала, что давление плазмы много меньше
'' давления нейтрального газа и электрон-ионные столкновения не
играют никакой роли по сравнению со столкновениями заряжен-
tJH&x частиц с молекулами нейтрального газа. В этом случае
газ представляет собой неподвижную однородную среду, в кото-
- рой диффундируют электроны и ионы. Соответственно задача
. -Стационарном или медленно изменяющемся состоянии плазмы
¦, родится тогда к исследованию ее диффузии.
¦и Рассмотрим сначала случай без магнитного поля. Будем счи-
считать, что электроны и ионы имеют максвелловское распределе-
," ййге с температурами Те и 7\- соответственно. Для каждой из
Эфих компонент уравнения движения имеют вид
' -у' fa,
Vp, = e,nE nv/, A.67)
т/
где pj^=nTj — давление, е, — заряд, ntj — масса, xj — среднее
между столкновениями с молекулами нейтрального газа,
— средняя скорость частиц сорта /. Из этого уравнения при
=const находим
q/==nV/ = —DjVn -\ пц/Е, A.68)
где qj — поток частиц, Dj = TjXj/mj — коэффициент диффузии,
t*j = exj/nij — подвижность частиц сорта / (мы будем считать
ftj положительной как для электронов, так и для ионов, при
'этом знак в) учитывается в A.68) множителем е,/е). После

38 ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 1
подстановки выражения A.68) в уравнение непрерывности полу-
получаем уравнение диффузионного типа
дп е,
DAdiLE A.69)
Рассмотрим, например, цилиндрически симметричный столб
плазмы. Тогда Е имеет только радиальную компоненту, которую
можно исключить, если умножить уравнение A.69) для электро-
электронов на ць а для ионов — на це, и затем сложить их. В резуль-
результате получим
4fT = DaAn, A-70)
где величина Da, равная
называется коэффициентом амбиполярной диффузии. Обычно
\ie"^> цг, так что DawDt-\ -De. Физически коэффициент Da
выступает как результат возникновения в плазме радиального
электрического поля Ег, которое удерживает электроны и не
дает им «убегать» от ионов, но при этом «подталкивает» ионы.
Если плазма заключена в цилиндр радиуса а, в пределах ко-
которого она рекомбинирует, то все решения уравнения A.70) бу-
будут затухающими. Решение с максимальным временем затуха-
затухания т при граничном условии п(а) = 0 (условие Шоттки) имеет
вид п = щ1о(аог/а), где п0 — плотность на оси, /0 — функция
Бесселя нулевого индекса, а0 « 2,4— первый корень h(x), при-
причем l/x = Daa2/a2.
Соотношение A.71) легко обобщается на случай присутствия
продольного магнитного поля: для этого вместо Dj, (j.j доста-
D,
точно подставить их «замагниченные» значения D±i = ^-т ,
1 + Щх)
Iх/
ifT-Так, например, при пете ^> 1, uiXi < 1 получаем
+ ?2уХу
^. A.72)
l+_L(QeTeJ
Не
В сильных полях ?>i убывает с полем как 1/В2.
4. Диффузия тороидальной слабоионизованной плазмы. Рас-
Рассмотрим теперь слабоионизованную плазму в тороидальном бал-
баллоне радиуса а и радиуса кривизны R и предположим, что маг-
магнитное поле направлено вдоль баллона. Полностью ионизован-

§5]
ДИФФУЗИЯ ПЛАЗМЫ
39
ная плазма в таком поле не удерживается — она выбрасывается
в сторону убывания магнитного поля. Но для слабоионизован-
ной плазмы полного равновесия не требуется: все равно она
диффундирует поперек поля за счет столкновений. Наша задача
состоит лишь в том, чтобы учесть влияние тороидальности на
диффузию.
Направим ось х в сторону убывания магнитного поля и рас-
рассмотрим некоторую плазменную трубку объема V, образующие
которой совпадают с силовыми линиями магнитного поля. Такая
трубка выталкивается вдоль х с некоторой силой F. Чтобы
найти F, учтем, что в отсутствие трения о нейтральный газ плаз-
плазменная трубка может перемещаться только таким образом, что
заключенный в нее магнитный поток Ф = Bs (s — поперечное
сечение трубки) остается постоянным. Но при смещении на dx
О = d<$> = s -^j dx + В ds = — -^5- dx -f- B ds, где ^ — радиус
силовой линии. От-
кривизны
сюда ds = — dx. А так как
к
длина трубки 2nR увеличива-
увеличивается при этом на 2ndx, то объ-
объем трубки изменяется на dV =
2V
%6
1,2
\
9
)
\
X,
J
1
{*
=-й-dx. Приравнивая работу
расширения pdV величине Fdx,
находим обобщенную силу F,
соответствующую координате
х- Р 9nVIR
Для смещения по х не тре-
требуется изменения потока Ф че-
через сечение трубки. Поэтому
сила F приведет к движению
плазмы такому же, как и в от-
отсутствие магнитного поля, т. е.
со скоростью vx = 2Da/R, где
Da — амбиполярный коэффициент диффузии. Это легко усмот-
усмотреть, если сравнить vx с амбиполярным потоком q=nv = —DaWn,
возникающим под действием градиента давления JV,n. Учиты-
Учитывая, кроме того, диффузию поперек магнитного поля с коэффи-
коэффициентом Dj., мы получим уравнение диффузии в виде
дп . 2Да дп _д . ,. _„,
Здесь второе слагаемое слева описывает перенос плазмы как
целого к наружной стенке.
0,1 0,U 0,60,81
Рис. 10. Время жизни распадающейся
плазмы в тороидальной трубке (газ —
гелий, R = 28 см, а = 0,3 см) при
давлениях: 0,025 (•), 0,04 (О), 0,055
(X), 0,12 (D) мм рт. ст.

40 ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 1
Если, например, исследуется распад плазмы, т. е. убывание
ее плотности со временем вследствие диффузии к стенкам, то
при t^-oo достаточно учесть лишь одно экспоненциально уби-
убивающее как e~tlx решение уравнения A.73) с максимальным вре-
временем жизни т. Это решение имеет вид
() A-74)
где /о — функция Бесселя нулевого индекса, а ао « 2,4— ее пер-
первый корень. Величина постоянной распада дается выражением
1 D±a% til
Как видим, постоянная распада 1/т сначала убывает, а за-
затем начинает возрастать по мере увеличения магнитного поля,
т. е. с уменьшением DL. Формула A-75) хорошо согласуется
с результатами экспериментов по распаду плазмы в тороидаль-
тороидальном магнитном поле [40] (рис. 10).

Глава 2
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Альвеновские и магнитозвуковые волны
1. Уравнение малых колебаний. Дальнодействующяе силы
между заряженными частицами приводят к возникновению сво-
своего рода упругости плазмы, благодаря которой в ней могут рас-
распространяться различного рода волны. Среди них выделяются
прежде всего линейные волны. Амплитуда таких волн настолько
мала, что они распространяются независимо друг от друга. Дру-
Другими словами, произвольные колебания малой амплитуды мо-
могут быть представлены в виде суперпозиции отдельных волн —
собственных колебаний данной среды.
Общий принцип теоретического рассмотрения линейных ко-
колебаний состоит в следующем. В рамках того или иного прибли-
приближения, которому соответствует определенная система урав-
уравнений, описывающих поведение рассматриваемого объекта,
находится некоторое стационарное состояние. Затем на это со-
состояние накладывается возмущение. В предположении малости
возмущения уравнения движения линеаризуются. Полученная
таким образом система линейных уравнений и описывает
малые колебания.
Рассмотрение малых колебаний плазмы естественно начать
в одножидкостном магнитогидродинамическом приближении.
Выпишем здесь еще раз уравнения магнитной гидродинамики
в предположении идеальной проводимости:
g ^,B], B.1)
ffB.2)
4f = rot[vB]. B.3)
К этой системе уравнений следовало бы добавить уравнение
переноса тепла для определения температуры, а следовательно,

42 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 2
и давления плазмы р = п(Те-\- Ti). Но мы для простоты допу-
допустим, что давление определяется плотностью плазмы, а именно:
-?¦= const. B.4)
п
Например, при y = 1 уравнение B.4) эквивалентно изотермич-
ности плазмы, а при у = 5/з оно отвечает адиабатическим коле-
колебаниям плазмы. В общем случае B.4) можно рассматривать как
некоторое уравнение состояния типа политропы.
Рассмотрим теперь самое простое равновесное состояние,
предполагая, что плазма равномерно заполняет все простран-
пространство с плотностью щ и давлением р0, а магнитное поле So одно-
однородно и направлено вдоль оси z декартовой системы координат
(х, у, z). Скорость плазмы считаем равной нулю, v0 = 0.
Наложим на это равновесное состояние малое возмущение
v', р', п', В' и линеаризуем уравнения B.1) — B.4), т. е. оставим
лишь те слагаемые, которые содержат малые величины в первой
степени. Тогда вместо B.1) — B.4) получим
4f + Vp' = ±- [rot В', Во], B.5)
^ + divn0v' = 0, B.6)
rtl'.Bo], B.7)
—
Р' = ^-. B.8)
Эту систему уравнений можно существенно упростить, если
вместо скорости V ввести в рассмотрение смещение плазмы из
положения равновесия |, связанное с v' естественным соотно-
соотношением
v' = 4r. B.9)
Если подставить это выражение для v' в уравнения B.6), B.7),
то после интегрирования по времени, т. е. попросту после отбра-
отбрасывания производных по времени, получим
nf = — diwn0%, B' = rot[6Bo]. B.10)
Смысл первого из этих соотношений совершенно очевиден.
Оно означает просто, что плотность в данной точке уменьшается
пропорционально вытекшему из объема количеству жидкости.
Рассмотрим теперь второе из соотношений B.10). Заметим
прежде всего, что в B.10) входит фактически лишь поперечная
компонента смещения |х, так как векторное произведение кол-

§ 1]
АЛЬВЕНОВСКИЕ И МАГНИТОЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
43
линеарных векторов |ц и Во равно нулю. Воспользовавшись из-
известным соотношением векторного анализа
rot[ab] = (bV)a-(aV)b + adivb-bdiva B.11)
и учитывая, что Во = const, запишем выражение для В' в виде
Первое слагаемое здесь имеег точно такой же смысл, как и
выражение для п'. Оно показывает, что при расширении веще-
вещества в плоскости (х, у) силовые линии раздвигаются, так что
I t
а>
S)
3)
Рис. 11. Смещение плазмы при: а) магнитозвуковых, б) альвеновских и
в) ионно-звуковых колебаниях.
величина магнитного поля вдоль прежнего направления ослабе-
ослабевает (рис. 11,а). Второе слагаемое в B.12) также имеет простой
смысл. Если |х изменяется с z, то силовые линии магнитного
поля, вмороженного в вещество, несколько искривляются
(рис. 11,6). В результате у магнитного поля появляется попе-
речная компонента, пропорциональная дг .
Если выражения для п', В' и р' подставить в линеаризован-
линеаризованное уравнение B.5), то можно получить одно векторное уравне-
уравнение для смещения §. Но сначала мы несколько упростим выра«
жение в правой части B.5). Наиболее наглядно это можно сде-
сделать следующим образом.
Вернемся опять к уравнению B.1) и вспомним, что согласно
A.13) выражение в правой части можно записать в виде
~— [rotВ, В] = — Vj.-?—h-j—(hV)h, B.13)
где h as В/В — единичный вектор, направленный вдоль В. Если
линеаризовать это выражение, то в первое слагаемое вместо В2

44 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ S
мы должны подставить В* -\- 2В0В', так что линейный член бу-
будет содержать только z-компоненту возмущения B'z, кото-
которая определяется первым слагаемым в B.12). Второе сла-
в\ dW
гаемое в B.13) в линейном приближении дает -.—^—, где
h' — возмущение направления магнитного поля. Так как
во+в;+в'±
п = — и в линейном приближении можно прене-
0
бречь В'1 под корнем, то h = ho + B^/Bo, где h0 — единичный
вектор вдоль оси z. Таким образом, величина h' = В^/Во опреде-
определяется только вторым слагаемым в выражении B.12) для возму-
возмущения магнитного поля. Подставляя найденные выражения для
возмущения силы Ампера B.13) и возмущений п\ р' в уравне-
уравнение движения B.5), получим
~ = W^l + W±din±+c\^, B.14)
= у\ /у — -
V ло
где cs= у\ /у — - скорость звука, а сл = —,- " —альве-
V л /Чяяь/г
новская скорость. Уравнение B.14) описывает малые магнито-
гидродинамические колебания однородной идеально проводящей
среды.
2. Альвеновские волны. Одно векторное уравнение B.14) со-
соответствует трем скалярным, и поэтому оно описывает три типа
волн. Среди них наиболее интересными и существенными для
понимания свойств проводящей жидкости в магнитном поле яв-
являются альвеновские волны, названные так в честь X. Альвена.
Чтобы получить уравнение распространения альвеновских
волн, рассмотрим некоторый более узкий класс смещений §,
в котором смещение вдоль магнитного поля отсутствует, |z = О,
а движение в поперечном направлении является несжимаемым,
div|i =0. При этом, очевидно, div| = 0, так что в правой ча-
части уравнения B.14) первое и второе слагаемые исчезают, и мы
получаем уравнение только для %±:
^- = с^ B15)
dt- A dz2 ' (*-ic>)
Это уравнение точно совпадает с уравнением малых колеба-
колебаний струны. Любое его решение может быть представлено в
виде суперпозиции волн, распространяющихся вдоль оси z со
скоростью ±Са- Аналогия со струной возникает не только
в связи с формальным сходством уравнений малых колебаний,
она имеет и более глубокий физический смысл. В самом деле,

АЛЬВЕНОВСКИЕ И МАГНИТОЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
46
цбследнее слагаемое в B.14) связано с натяжением силовых ли-
линий, которое описывается вторым членом в выражении для силы
Ампера B.13). Это натяжение создает квазиупругую силу, воз-
возвращающую плазму к положению равновесия.
Дльвеновские волны, как видно из уравнения B.15), распро-
распространяются только вдоль силовых линий. Если, например, в не-
некоторой плоскости мы будем про-
производить смещение плазмы типа
Кручения (рис. 12,а) или более
сложное несжимаемое движение
с div^i = 0 (рис. 12,6), то соответ-
соответствующее возмущение побежит
вдоль силовых линий с альвеновской
скоростью и будет локализовано вну-
внутри цилиндра, в котором начальное
смещение было отлично от нуля.
,. 3. Магнитозвуковые волны. Рас-
Рассмотрим теперь два других типа ко-
колебаний, в которых |z и div|i от-
отличны от нуля. Удобно использовать
.уравнения именно для этих величин.
Для продольной компоненты смещения %z имеем из B.14);
Рис. 12. Смещение плазмы в аль-
веновских волнах.
дР
B.16)
Уравнение для div|x мы получим, взяв дивергенцию от попе-
поперечной составляющей уравнения B.14):
1 uf, BЛ7)
где Aj. =
—
Рассмотрим
сначала случай плазмы низкого давления,
B17)
P ~ c2sjc2A -C 1. Тогда в уравнении B.17) можно пренебречь сла-
слагаемыми, пропорциональными c2s, и мы приходим к волновому
Уравнению
^ = с2дАф, B.18)
Где r|i = div|j.. Это уравнение описывает так называемый маг-
магнитный звук. Упругость среды в магнитозвуковых колебаниях
создается давлением магнитного поля, причем альвеновскую ско-
скорость сА = л/В2/4лт1П можно рассматривать как скорость звука
с*+ Vyp/p в среде, где давление равно В2/8л, плотность р =
= тгп, а показатель адиабаты у = 2. Условие у = 2 свя-

46 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
зано с вмороженностью поля в плазму, благодаря чему при
|2 = 0 магнитное поле должно изменяться пропорционально
плотности, а его давление должно быть пропорционально квад-
квадрату плотности плазмы.
При div |х^=0 уравнение B.16) позволяет найти малое (по-
(поскольку частота магнитного звука очень велика) продольное
смещение gz в магнитозвуковых волнах. Кроме того, при р <; 1
уравнение B.16) описывает самостоятельную ветвь колебаний,
в которых divlx можно положить равной нулю. Для этих коле-
колебаний имеем
Такие колебания называются ионно-звуковыми. Они пред-
представляют собой звук, распространяющийся вдоль магнитного
поля, причем смещение плазмы при р-»-0 происходит только
вдоль магнитного поля.
Таким образом, трем типам волн соответствуют три типа
смещений (можно сказать — поляризаций). В альвеновских вол-
волнах смещение приводит к искривлению силовых линий
(рис. 11,6), в магнитозвуковых — к их сжатию и разрежению
(рис. 11,а), а в ионно-звуковых при р <С 1 магнитное поле почти
не возмущается (рис. 11, в) и плазма как бы одномерна, т. е.
каждая ее трубка «заключена в жесткие магнитные стенки».
Если р не мало, то разделения на магнитный и ионный звук
провести нельзя. В этом случае нужно рассматривать уравнения
B.16), B.17) совместно. Для их решения удобно воспользовать-
воспользоваться плоскими волнами. Как известно, в однородной среде произ-
произвольное возмущение можно представить в виде суперпозиции
плоских волн. Поэтому достаточно рассмотреть лишь плоскую
волну вида ехр(—iat + ikr). Для такой волны уравнения B.16),
B.17) принимают более простой вид алгебраических уравнений:
(У - Ф1) h - К*\ (Мх) = 0. B-19)
+ К - с\& - clk\) (Мх) = 0- B-20)
Чтобы эта система уравнений имела нетривиальные решения, ее
детерминант должен обращаться в нуль. Это условие приводит
к некоторому соотношению между частотой со и волновым век-
вектором к, которое принято называть дисперсионным уравнением.
В данном случае, как нетрудно убедиться, дисперсионное урав-
уравнение имеет вид:
со4 - (с* + cj) fc2co2 + c\c\k\& = 0. B.21)
Больший корень этого уравнения со^ соответствует так назы-
называемой ускоренной магнитозвуковой волне, а меньший а2_ — за-

§ 11
АЛЬВЕНОВСКИЕ И МАГНИТОЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
47
медленной. При с| -С сА ускоренная волна превращается в маг-
нитозвуковую, а замедленная — в ионно-звуковую.
Уравнение B.21) существенно упрощается в двух частных
случаях —при продольном и поперечном распространении. При
продольном распространении k2 = k2z, и из B.21) следует со+ =
= сд/г! для быстрой волны и со2- = c2sk2z для медленной волны
(при сА> cs). При поперечном распространенииkz = 0 и согласно
B.21) со2. = (сА + с]) k\ со2. = 0.
Ю
Рис. 13. Фазовая (а) и групповая (б) поляры. А — альвеновская волна, М
медленная, 5 — быстрая магнитозвуковая.
В общем случае выражения для to2^ и со2, легко получаются
из B.21), однако они трудно обозримы. Гораздо более нагляд-
наглядное представление дает полярная диаграмма фазовых скоростей.
4. Полярная диаграмма и диаграмма Фридрихса. Фазовая
полярная диаграмма представляет собой зависимость фазовой
скорости Уф = -г- от угла 6 между вектором к и магнитным по-
полем В в полярной системе координат Уф, 6. Она имеет вид, пока-
показанный на рис. 13, а.
Для быстрой магнитозвуковой волны фазовая диаграмма
имеет вид овала, сплюснутого вдоль направления магнитного
поля, а для медленной — двух соприкасающихся овалов, сплюс-
сплюснутых в поперечном направлении (рис. 13, а). При р-»-0 боль-
большой овал переходит в окружность радиуса са, а диаграмма для
ионно-звуковой волны переходит в две соприкасающиеся окруж-
окружности диаметра cs. В другом предельном случае cs/ca ->-oo мы
переходим к несжимаемой жидкости, и полярная диаграмма для

48 ЛИСИНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 2
магнитного звука переходит в две соприкасающиеся окружности
диаметра са. Точно такая же диаграмма соответствует альве-
повской волне при любых р.
Наряду с фазовой полярной диаграммой можно построить
поверхность фазовых скоростей для любых значений к в трех-
трехмерном пространстве. Однако для простоты мы ограничимся
лишь двумерным случаем.
Как мы увидим ниже, практически более интересна полярная
дт ,
диаграмма групповой скорости vr — jjT> т. е. зависимость абсо-
абсолютной величины групповой скорости от ее направления. Груп-
Групповую поляру обычно называют диаграммой Фридрихса (иногда
диаграммами Фридрихса называют и фазовую, и групповую
поляры).
Как известно, групповая скорость определяет скорость рас-
распространения волнового пакета. В случае недиспергирующих
сред, когда частота ю пропорциональна k, групповая скорость
не зависит от абсолютной величины k. Это означает, что все
возмущения, распространяющиеся в данном направлении, имеют
одну и ту же скорость. В частности, если возмущение имело вид
импульса во времени, то оно все время будет иметь вид нерас-
плывающегося импульса. Отсюда видно, что групповая поляр-
полярная диаграмма представляет собой картину импульса, распро-
распространяющегося от мгновенного точечного источника: каждому
участку диаграммы можно сопоставить небольшой волновой па-
пакет, распространяющийся с групповой скоростью.
Диаграмму Фридрихса можно определить аналитически, вы-
вычисляя -qt-. Но гораздо более наглядным является ее графиче-
графическое построение. Оно позволяет, кроме того, несколько по-иному
взглянуть на картину распространения возмущения от точечного
источника. Учтем, что со = kv^ y-^j, где v$ зависит только от
направления к, но не от его величины. Отсюда следует, что
vr = ? = I^^v^' где С0СтавляюЩая v±r = ~ak пеРпен"
дикулярна к волновому вектору к. Как мы видим, нормальная
к волновой поверхности составляющая групповой скорости сов-
совпадает с фазовой скоростью. Наглядно можно представить себе,
что некоторый выделенный участок плоской волны распростра-
распространяется в виде «лепешечки», ориентированной перпендикулярно
к (этот участок можно рассматривать как волновой пакет).
Этот пакет движется вдоль к со скоростью Уф и, кроме того, «со-
«соскальзывает» в поперечном направлении со скоростью Vir. (Для
фазовой скорости поперечная по отношению к к составляющая,
разумеется, смысла не имеет.)

§ n
АЛЬВЕНОВСКИЕ И МАГНИТОЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
49
Соответственно всю групповую поляру можно рассматривать
приближенно как «мозаичную», составленную из отдельных пло-
плоских «лепешечек» — волновых пакетов. С учетом этих соображе-
соображений нетрудно сообразить, как можно геометрически построить
групповую поляру по фазовой. Возьмем для этого произвольную
точку М на фазовой поляре и проведем линию ар, перпендику-
перпендикулярную радиус-вектору точки М, т. е. вектору к (рис. 13,а).
«Лепешечка» группового пакета к должна лежать где-то на этой
линии. Возьмем теперь близкую к М точку М' на фазовой по-
поляре и проведем линию а'р', перпендикулярную радиус-вектору
точки М'. Волновой пакет, отвечающий набору плоских волн
с волновыми числами вблизи точки М', должен лежать на линии
Рис. 14. Черенковское излучение в изотропной среде (а) и для магнитной
газодинамики (б).
а'р'. Но при близких МиМ' волновые пакеты соответствующих
плоскостей должны сливаться, образуя единый волновой пакет.
Таким образом, этот пакет должен находиться на пересечении
линий ар и а'р', соответствующих близким точкам М, М'.
Итак, для построения групповой поляры по фазовой доста-
достаточно провести семейство прямых, перпендикулярных радиус-
векторам точек на фазовой поляре и проходящих через их кон-
концы, и найти огибающую семейства этих прямых. Построенная
таким образом диаграмма Фридрихса изображена на рис. 13,6.
Для быстрой магнитозвуковой волны она имеет вид овала, для
медленной — двух «заостренных» треугольников, а для альве-
новской волны она вырождается в две точки на внешнем овале.
Групповая поляра показывает, как распространяется импульс
от мгновенного точечного источника: соответствующее возмуще-
возмущение отлично от нуля р области между быстрой и медленной по-
полярами с повышенной амплитудой вблизи границ, т. е. поляр.
Интересная особенность диаграммы Фридрихса возникает
в случае р = 8пр/В2 = 1, когда альвеновская скорость совпадает
со звуковой [47]. Согласно B.21) при этом со|. = c2Ak2(l ±sin6),
где 6 — угол между к и В, т. е. cos 6 =kz/k. На фазовой поляре
при этом образуется угловая точка при 6 = 0 и соответственно
вектор групповой скорости не стремится к горизонтальному на-
направлению при 0-»-О, а составляет с ним конечный угол, равный

50
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ 2
приблизительно 90 « 26°. В этом случае в плазме должно на-
наблюдаться явление, аналогичное внутренней конической рефрак-
рефракции в оптике: падающий вдоль Во нормально к границе «пучок»
6)
г)
Рнс. 15. Обтекание toi кого тела в магнитной газодинамике. На рисунке
изображены четыре случая образования линий Маха, отходящих от тела,
скорость которого дается жирным вектором. Для построения линий Маха
используется диаграмма Фридрихса.
магнитогидродинамических волн должен развернуться в конус
с углом раствора 26О. Нам не известно, наблюдал ли кто-нибудь
это явление экспериментально.

§ 2) ДИСПЕРСИЯ ВОЛН В ДВУХЖИДКОСТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 51
5. Обтекание малых тел. Диаграмма Фридрихса позволяет
легко рассмотреть картину обтекания тонкого иглообразного
тела, движущегося в поперечном к полю направлении. Допу-
Допустим, что длина тела настолько велика, что его можно считать
бесконечным, а магнитное поле направлено перпендикулярно
оси тела. Кроме того, примем, что электропроводность тела не-
невелика и оно не «наматывает» на себя силовых линий. При этом
картина обтекания является чисто двумерной, и на далеком
расстоянии от тела возмущение можно считать малым. Как и
в обычной газодинамике, можно считать, что движущееся тело
создает непрерывный ряд точечных мгновенных возмущений, от
каждого из которых расходятся импульсы в форме расширяю-
расширяющихся диаграмм Фридрихса. Там, где эти импульсы склады-
складываются в фазе, возникнут расходящиеся от тела волны типа
волн Маха, а в остальных точках в результате интерференции
останутся гораздо меньшие возмущения (рис. 14,а,б).
Чтобы найти волны Маха, достаточно на диаграмме Фрид-
Фридрихса построить вектор скорости тела и из его конца провести
касательные к диаграмме Фридрихса, как это изображено на
рис. 15 для различных частных случаев. Течения на рис. 15, а, в
являются дважды гиперболическими, а течения на рис. 15, б, г —
гиперболически-эллиптическими (только один тип излучаемых
волн). Как видно из рис. 15,в,г, в магнитной гидродинамике
возмущения могут распространяться вверх по течению, т. е.
впереди от движущегося тела. Следует подчеркнуть, что эти
волны отвечают обычному черенковскому излучению тела, дви-
движущегося со скоростью, большей фазовой скорости излучаемых
волн. Именно в результате того, что складываются импуль-
импульсы, отвечающие групповой, а не фазовой поляре, появляет-
появляется необычная возможность излучения волн вперед от движу-
движущегося тела.
§ 2. Дисперсия волн в двухжидкостной гидродинамике
1. Ионный звук. Магнитная гидродинамика достаточно хо-
хорошо описывает крупномасштабные низкочастотные движения
в плазме, но она все же является лишь некоторым приближе-
нием. Естественно, что в волновых движениях плазмы могуг
проявляться эффекты, которые не охватываются одножидкост-
ной гидродинамикой. Одним из таких эффектов является дис-
дисперсия, т. е. зависимость фазовой скорости от частоты.
Как мы установили выше, идеально проводящая жидкость
является хотя и анизотропной, но недиспергирующей средой:
фазовая скорость распространения малых возмущений в ней за-
зависит лишь от направления волнового вектора, но не от его аб-
абсолютной величины. Это обстоятельство, как мы вскоре увидим,

52 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 2
имеет существенное значение для эволюции возмущений с ко-
конечной амплитудой, и поэтому нужно ясно представлять себе,
до каких длин волн плазму можно считать недиспергирующеи и
какой характер имеет дисперсия при уменьшении длины волны.
Рассмотрим сначала ионный звук, предполагая, что р <С 1, и,
следовательно, возмущением магнитного поля при колебаниях
можно пренебречь. Это означает, что электрическое поле в коле-
баниях можно считать потенциальным: rot Ь = ^-«0.
Чтобы определить дисперсию звука, следует воспользоваться
двухжидкостной гидродинамикой вместо более грубой одножид-
костной. В рассматриваемом здесь случае потенциальных коле-
колебаний уравнения существенно упрощаются, поскольку не нужно
рассматривать колебания магнитного поля. Мы еще более упрос-
упростим рассмотрение, сделав допущение, что ионы холодные, т. е.
Тг = 0 (фактически это означает, что ионная температура много
меньше электронной). Более общий случай разреженной плазмы
с Ti Ф О требует, вообще говоря, кинетического рассмотрения,
поскольку фазовая скорость ионного звука невелика и при
Ti ~ Те имеет порядок величины тепловой скорости ионов.
Итак, при Ti = 0 в пренебрежении инерцией электронов и
столкновениями их с ионами имеем
-§- = -^Vcp + ^[vB], B.22)
дп.
-jf + div n,v = 0, B.23)
VneTe = eneVq> + ~ [v8B], B.24)
дф = — 4ле (nt — ne). B.25)
Уравнение Пуассона B.25) устанавливает связь между по-
потенциалом ф и возмущением плотности ионов и электронов.
Для простоты мы будем считать, что электроны имеют по-
постоянную температуру Те = const, что вполне допустимо для
рассматриваемых здесь волн, распространяющихся с фазовой
скоростью, значительно меньшей тепловой скорости электро-
электронов. Из продольной компоненты уравнения равновесия B.24)
для электронов
Т^ = епе^. B.26)
следует, что вдоль силовых линий магнитного поля электроны
имеют больцмановское распределение. Для рассматриваемых
здесь малых колебаний в однородной плазме из B.26) получаем
п'е = пй^. B.27)

§ 2] ДИСПЕРСИЯ ВОЛН В ДВУХЖИДКОСТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 5S
Найдем теперь величину возмущения плотности ионов п\.
Для этого воспользуемся уравнением движения B.22) и урав-
уравнением непрерывности B.23). Для возмущения типа плоской
волны ехр(—Ш-\-ikr) получаем из продольной компоненты
уравнения движения
;. '* = -%%¦*• B-28>
Чтобы найти поперечную составляющую скорости ионов,,
удобно ввести систему координат (х, у, г), ось z которой направ-
направлена вдоль магнитного поля, а ось у перпендикулярна к, так что»
к имеет только компоненты kx = k± и kz. Тогда в проекциях на.
оси х, у уравнение движения для ионов примет вид
^ ^ B.29)
Qtvx — i(i>vy = 0, B.30>
где Qj = eB/niiC. Отсюда легко находим компоненты скорости
to
)
Г
CD2
e
Щ
e
Щ — at
а следовательно, и divv, = z—¦—* к\ц>. Подставляя най-
денное выражение в уравнение непрерывности
— /(Ortj + п0 div vx + tiQikzvz = 0 B.33)-
и учитывая выражение B.28) для продольной скорости ионов,,
найдем возмущение плотности ионов:
где c\ = Tejmr
Подставим теперь найденные выражения для плотности
электронов B.27) и ионов B.34) в уравнение Пуассона B.25),
которое для плоской волны можно записать в виде
Ф-вЯ1-я.. B.35>

54 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 2
где d2 = Ге/4ле2м0 — квадрат дебаевского радиуса. После под-
подстановки получим дисперсионное уравнение для определения
Частоты колебаний со:
ft2с2 k2 с2
l+k2d2=^i__J^.. B.36)
ш Щ — ш
Рассмотрим сначала случай продольного распространения,
Когда k± = 0, k = fez. При этом
' BЭТ)
При kzd <? 1 мы получаем обычное выражение для частоты ион-
ионного звука со = cakz, которое следует из одножидкостной гидро-
гидродинамики. Однако по мере увеличения kz частота медленнее рас-
растет с кг, и фазовая скорость a/kz начинает уменьшаться. При
&г-»-оо она стремится к нулю. При этом колебания ионов проис-
происходят при практически неподвижных электронах, давление ко-
которых противостоит действию электрического поля и не дает
электронам смещаться.
Аналогичная картина имеет место и в отсутствие магнитного
поля. Если положить в B.34) Qt = 0, то мы получим выражение
прежнего вида лишь с заменой kz на k:
B.38)
Рассмотрим теперь более общий случай ионно-звуковых ко-
колебаний в магнитном поле при произвольных значениях k. Если
использовать обозначение со2 для квадрата частоты B.38) в от-
отсутствие магнитного поля, то дисперсионное уравнение B.36)
можно переписать в виде
со4 - (Q2 + и2) со2 + Щ(й\ -р- = 0. B.39)
Отсюда следует
При k-*~0 отсюда находим два корня: co2 = Q2 и со2 = Csfe|- При
увеличении волнового числа k фазовая скорость медленной
волны начинает зависеть от k. Для случая плотной плазмы,
когда Са < с (с — скорость света), т. е. при Q» ¦< а>рг =
зависимость частоты от k имеет вид, представ-

ДИСПЕРСИЯ ВОЛН В ДВУХЖИДКОСТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ
55
ленный на рис. 16. При больших k частота медленной волны
стремится к Q, cos 0 = Qikz/k, а частота быстрой — к соь Дис-
Дисперсия для медленной косой волны в магнитном поле начинает-
начинается значительно раньше, чем при продольном распространении,
а именно при k ~ QJcs. Если волна распространяется вдоль маг-
магнитного поля, то дисперсионная за-
зависимость со = со(&) сводится к двум
пересекающимся кривым: со = Qj
и @ = 0I, как показано пунктиром
на рис. 16.
2. Магнитный звук (поперечное
распространение). Рассмотрим те-
теперь дисперсию магнитного звука. 7
Допустим, что волна распространя-
распространяется точно поперек магнитного по-
поля, скажем, вдоль оси х. В этом слу- Рис- '6- Дисперсия ионного
чае, как мы увидим, дисперсия свя- звука.
зана с инерцией электронов, кото-
которая должна быть учтена в обобщенном законе Ома, в качестве
которого мы используем электронное уравнение движения. В пре-
пренебрежении давлением электронов для плоской волны вида
ехр(—Ш + tkx) оно имеет вид
- ш\е = - — Е f- [v8h],
B.41)
где h = Во/Во — единичный вектор вдоль оси z. Отсюда с уче-
учетом того, что B<Qe= eB0/mec, получаем приближенно:
1@
B.42)
Если бы мы учли только первое слагаемое в правой части
B.42), отвечающее электрическому дрейфу, т. е. пренебрегли
инерцией электронов, то согласно B.41) это соответствовало бы
идеальной электронной проводимости, а следовательно, вморо-
женности магнитного поля в электронную компоненту. Но при
чисто поперечном распространении волны в квазинейтральной
плазме электроны должны см'ешаться вместе с ионами, поэтому
вмороженность поля в электроны автоматически соответствует
его вмороженности в ионы. А это, как мы уже установили в пре-
предыдущем параграфе, приводит к магнитозвуковой волне без дис-
дисперсии.
Таким образом, чтобы начала появляться дисперсия, ^-со-
^-составляющая скорости электронов должна отличаться от скоро-
скорости электрического дрейфа. Другими словами, в ^-компоненте
скорости электронов следует учесть малый член, отвечающий

56 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ ТГЛ 1
так называемому инерционному дрейфу:
*" = -§Г + Т?~Щ~- B'43)
Что касается ^-компоненты скорости, то для нее можно со-
сохранить прежнее значение
vey = —^-Ex. B.44)
С помощью этого соотношения Ех можно выразить через
vey = —/у/ело, где (/-компонента плотности тока связана с воз-
возмущением магнитного поля В' соотношением
/ =--?-—=-t~B' B45)
Используя уравнение Максвелла ~gr= — с rot Е, легко выра-
выразить В' через Еу:
В' = ^ЕУ. B.46)
С помощью соотношений B.44) —B.46) можно выразить Ех
через Еу и подставить затем в выражение для скорости элек-
электронов B.43). В результате получим
где
— ленгмюровская частота.
Чтобы получить дисперсионное уравнение для частоты, вос-
воспользуемся еще линеаризованным уравнением движения
представляющим собой фактически сумму уравнений движения
для ионов и электронов, в которой опущен малый инерционный
электронный член. Для плоской водны вида ехр (—Ш -\- ikx) с
учетом выражения B.46) для В' получаем отсюда
е\& се
<>х = —г1^. B.60)

*21
ДИСПЕРСИЯ ВОЛН В ДВУХЖИДКОСТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ
57
Так как в силу квазинейтральности плазмы скорости vx и vex
должны совпадать, то из B.47), B.50) получаем
B.51)
Эта зависимость со от k представлена на рис. 17. При малых k
частота линейно возрастает с увеличением волнового числа, за-
затем при k ~ аре/с скорость возрастания уменьшается, и при
k -* сю частота стремится к предельному значению слсорг/с =
—V^A1 т.е. среднему геометрическому из циклотронных частот
электронов и ионов. Эта частота называется нижней гибридной.
Рассмотренная картина относит-
относится только к случаю плазмы низкого
давления (|J<Cl). При fS ^ 1 дис-
дисперсия начинается гораздо рань-
раньше—при со ~ Qj. Дело в том, что в
бесстолкновительной плазме при
со <С йг показатель адиабаты для
ионов y = 2, а при со 3> Q* он ста-
становится равным 3 (в одном случае Рис. 17< дИСПерсия магнитного
в колебаниях участвуют две сте- звука при поперечном распро-
пени свободы, а в другом—только странении.
одна). Соответственно фазовая ско-
скорость начинает возрастать в области со ~ Qj. Этой частоте
соответствует длина волны порядка ионного ларморовского ра-
радиуса.
3. Косая магнитозвуковая волна. В косой магнитозвуковой
волне, как и в косой ионно-звуковой волне, дисперсия начи-
начинается гораздо раньше. Это связано с тем, что в косой волне
квазинейтральность может устанавливаться благодаря перете-
перетеканию электронов вдоль магнитного поля, и дисперсия должна
появляться, как только становится заметным различие попереч-
поперечных скоростей электронов и ионов. При этом инерция электро-
электронов еще не играет роли. Как мы установили при рассмотрении
равновесия плазмы, в этом случае при Те = const магнитное
поле вморожено в электроны:
~- = rot[veB]. B.52)
В пренебрежении давлением плазмы уравнение движения имеет
вид
B.53)

58 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 2
Так как ve = v — Цеп, то уравнение B.52) с учетом уравнения
движения B.53) может быть записано й виде
<ЭВ т.с dv
tlB]-f-rot-jp B.54)
Последнее слагаемое в этом уравнении, которое появляется
из-за эффекта Холла, и приводит к дисперсии магнитозвуковых
волн.
Если линеаризовать уравнение движения B.53) и уравнение
B.54) для магнитного поля, то, вводя смещение плазмы | и ис-
используя выкладки предыдущего параграфа, получим для пло-
плоской волны систему двух уравнений:
(О/71, С
В' = - Bc/klx + ВсДг1х + —*- [Щ. B.56)
Из первого уравнения видно, что %z = О, а уравнения для |х
и |у могут быть получены, если вместо В' подставить его выра-
выражение через | B.56). Для плоской волны типа ехр(—/со/ -f-
+ ik±x -f ikzz) с kv = 0, kx = k± эти уравнения имеют вид
¦Ч» = °> B-57)
„ = 0. B.58)
Приравнивая нулю детерминант этой системы, получим диспер-
дисперсионное уравнение:
((Л — С1 А2\ ((Л2 — С2 U4\ — m2b2u2ri /Q2 _ Г) /О Cq\
\ Л / \ Л ь/ л Л/ 1 v '
Рассмотрим для простоты случай почти поперечного распро-
распространения, когда kz -С k . Тогда для магнитозвуковой волны с
to ^> cAkz получим
и2 = c\k2 И + ^ф-\. B.60)
Соответствующая дисперсионная кривая представлена на
рис. 18. Как мы видим, при малых k частота линейно растет с k,
а затем, начиная с k ~ Qi/cAQ, где 9 = kjk, она начинает воз-
возрастать гораздо быстрее.
Если 9 = kz\k~> ^Jme\mu то дисперсия косой волны начи-
начинается значительно раньше, чем дисперсия поперечной волны с
тем же значением k. Только в этом случае и оправдано прене-
пренебрежение инерцией электронов. Именно волны с kjk

5 3]
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
59
мы будем называть косыми. Следует отметить, что при боль-
больших k, когда в скобках B.60) единицей можно пренебречь, ча-
частота B.60) становится равной
с .ckk
——?
Bnkk,
B.61)
Она не зависит от массы ионов т». При этом колебания проис-
происходят практически при неподвижных ионах, так что колеблются
только электроны с вмороженными в них силовыми линиями.
Эти колебания называются гелико-
геликонами, или свистами. °
4. Альвеновская волна. Второй
корень уравнения B.59) со-
соответствует альвеновской волне. Ог-
Ограничимся для простоты опять слу-
случаем почти поперечного распростра- 0(
нения, когда kl < k2. Тогда для
этого корня с и2 <С с2лк2 получим ®ilcAs к
„2 Рис. 18. Дисперсия магнитного
! __ С1 ич { in со\ звука / и альвеновскол волны 2
* - -° ¦ ¦>-¦>• \4-vz) прИ косом распространении.
c2k2
Это соотношение устанавливает закон дисперсии для альвенов-
ских волн. Как мы видим, при увеличении kz зависимость со от kz
начинает отклоняться от линейной, и при fez-> оо частота стре-
стремится к циклотронной частоте ионов Qz. Соответствующая зави-
зависимость частоты от k также представлена на рис. 18. Альвенов-
ские волны с большими kz и частотой, близкой к ионной цикло-
циклотронной, иногда называют просто циклотронными.
§ 3. Линейные волны в диспергирующих средах
1. Дисперсия волн на глубокой воде. Когда мы рассуждаем
о распространении волнового движения в среде на примере пло-
плоских волн, то их дисперсия кажется совершенно безобидной:
ведь это всего лишь зависимость фазовой скорости от длины
волны. Но в реальных условиях монохроматические волны воз-
возбуждаются редко. Скорее возбуждаются волновые пакеты или
более или менее локализованные возмущения, которые можно
представлять как суперпозицию плоских волн. В таких образо-
образованиях дисперсия приводит к целому ряду весьма своеобразных
и интересных эффектов.
Эти эффекты можно было бы рассмотреть непосредственно
Для волн в плазме. Но, пожалуй, более наглядно можно с ними
познакомиться на примере волн на воде, тем более, что каждый

«О ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. }
из нас встречается с ними гораздо чаще, чем с волнами в
плазме.
Нам удобно будет начать с самого простого примера грави-
гравитационных волн на глубокой воде. Движение идеальной несжи-
несжимаемой жидкости описывается уравнением Эйлера с учетом
силы тяжести
р *J_ 4. Vp = pg B.63)
и уравнением непрерывности
diw = 0, B.64)
где g — ускорение свободного падения, направленное вниз.
В равновесии в жидкости устанавливается гидростатическое
давление po{z), градиент которого равен pg. Рассмотрим теперь
малые колебания. Вместо v опять введем смещение |, и тогда
линеаризованное уравнение B.63) примет вид
4f = — - V. B.65)
где р' — возмущение давления. Так как div \ = О, то, беря ди-
дивергенцию от уравнения движения B.65), получим
Л// = 0. B.66)
Если ввести систему координат с осью г, направленной по вер-
вертикали, и осью х вдоль распространения волны, то для волны
вида ехр(—tot -f- ikx) получаем
-^-*У = 0. B.67)
Для случая очень большой глубины р' должно убывать при
г -> оо и, следовательно, зависимость от г должна иметь вид ehz.
Чтобы получить дисперсионное уравнение для частоты,
учтем, что при возвышении поверхности на величину |z давле-
давление под ней увеличивается на р' = pg|t. Подставляя это зна-
значение в выражение для z-компоненты уравнения движения
B.65), т. е. в соотношение
-(o% = jp\ B.68)
получим
co2 = ?g. B.69)
Это и есть дисперсионное соотношение для гравитационных волн
на глубокой воде.
Для очень коротких волн наряду с силой тяжести начинает
играть роль поверхностное натяжение. Учитывая, что вследствие
поверхностного натяжения давление под искривленной поверх-

§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 61
/ о д2\г
ностью изменяется на величину р =-„- = — о -j&r, где а —
коэффициент поверхностного натяжения, R — радиус кривизны,
мы получим для возмущения давления вблизи поверхности (т. е.
при 2 = 0) // = pg|z + ok%z. Подставляя это выражение в
уравнение B.68), найдем
©2 = *g + —**• B.70)
Отсюда видно, что при больших k гравитационные волны пере-
переходят в капиллярные с дисперсией со = л/о/р(г''.У воды переход
от гравитационных волн к капиллярным происходит при k ~ 10,
т. е. при длине волны порядка сантиметра.
2. Волны от мгновенного точечного источника. «Бросая в
воду камешки, смотри на круги, ими образуемые...» — сказано
у Козьмы Пруткова, и, право, стоит потратить некоторое время
на внимательное рассмотрение кругов от брошенного в воду
камешка. В самом деле, очень интересно наблюдать, как от ка-
камешка, возмущающего поверхность воды только в очень малень-
маленькой области, постепенно начинают отходить круги, их число
растет, они как бы зарождаются из ничего и заполняют собой
большой быстро расширяющийся круг. Это и есть один из наи-
наиболее простых и ярких примеров распространения волн в ди-
диспергирующих средах.
С математической точки зрения вся эта картина довольно
проста. Начальное локализованное возмущение можно рассма-
рассматривать как двумерную б-функцию, которую можно представить
в виде суперпозиции плоских или круговых волн. Со временем
в силу дисперсии эти волны начинают расходиться друг от
друга, и образуются наблюдаемые нами круги. Короче говоря,
мы имеем дело с одной из простейших задач математической
физики, точное решение которой не представляет трудностей.
Но нас здесь интересует не столько количественная, сколько
качественная сторона явления. Хотелось бы располагать простой
и достаточно общей картиной, чтобы ее можно было использо-
использовать для произвольных диспергирующих сред.
Будем рассуждать следующим образом. Подождем некото-
некоторое время, пока от точечного источника не отойдет много волн.
Разобьем затем круг, заполненный волнами, на совокупность
- таких колец, чтобы в каждом кольце содержалось по крайней
мере несколько гребешков. Любое из таких колец можно рас-
рассматривать как волновой пакет, который распространяется не-
независимо от других пакетов. Каждый из пакетов распростра-
распространяется с групповой скоростью vr = -— = -g Д/-§ и к моменту вре-
времени t он придет в точку, удаленную от источника на расстояние

62 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 2
r==vrt = -^/\J-j-t. Обернув это соотношение, можно иайти вол-
волновое число к для волны, которая в момент t находится в дан-
данной точке г:
* = -§?. B.71)
При фиксированном г это соотношение показывает, как изме-
изменяется волновое число в данной точке со временем. Мы видим,
что оно квадратично возрастает с t. Можно сказать, что из цен-
центра в данную точку, сменяя друг друга, приходят все новые и
новые пакеты с возрастающими значениями к. Эти пакеты на-
набегают с групповой скоростью 1>г, равной, как мы видели выше,
vr = r/t. Чем больше t, тем более медленный пакет приходит
в данную точку, так что он, естественно, должен быть более
хоротковолновым. Заметим, что фазовая скорость гравитацион-
гравитационных волн в 2 раза больше групповой, Оф = 2иг = 2r/t, так что
гребешки волн проходят каждую точку круга со скоростью,
вдвое большей скорости пакетов.
В фиксированный момент времени t выражение B.71) пока-
показывает, как изменяется волновое число кругов в зависимости
от г. Как мы видим, при малых г волновое число к очень ве-
велико, а при увеличении г оно быстро убывает, достигая значе-
значения к ~ 1/г при г ~ gt2l4. При больших значениях г никаких
воли уже нет, так как при этом кг становится меньше единицы.
Таким образом, величина r0 ~ gt2/4 играет роль границы круга,
внутри которого имеются волны, т. е. она соответствует види-
видимому фронту возмущения. Этот фронт движется равноускоренно,
т. е. его скорость линейно растет с t. Гребешки волн внутри
круга бегут быстрее (так как Уф = 2иг) и, добегая до фронта,
исчезают.
Кроме волнового числа, полезно найти также фазу волны ф,
которая определяется естественным соотношением ср = at — kr.
Подставляя сюда выражения для <a = /\/gk и к из B.71), по-
получим
<P = -*F- B-72)
Отсюда еще раз можно увидеть, что на очень больших рас-
расстояниях фаза остается малой, так что никаких гребешков там
нет: фаза не успевает «набежать» на величину порядка я.
3. Черепковское излучение. Вероятно, многим приходилось
наблюдать либо с высокого берега, либо с самолета красивую
систему волн за движущейся лодкой или кораблем. Она пред-
представлена на фотографии рис. 19, а и на первый взгляд кажется
очень сложной. Но иа самом деле это всего лишь черенковское
излучение волн телом, движущимся со скоростью, большей фа-

ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
63
зовой скорости, и вся сложность картины возникает исключи-
исключительно из-за дисперсии.
Хорошо известно, что в среде без дисперсии череиковское из-
излучение возникает как результат сложения элементарных волн
Рис. 19. Волны от движущегося корабля: фотография кораблей на парал-
параллельном курсе (а) и схема (б).
Рис. 20. Сложение волн от движущегося источника в среде без дисперсии
(а) и с дисперсией (б).
от отдельных импульсов, которые создает пролетающая частица.
На рис. 20,а показана хорошо известная картина образования
плоского фронта при сложении этих элементарных волн. Если
скорость частицы равна v0, а фазовая скорость волн Уф, то, как
видно из рис. 20, а, волны излучаются под таким углом 8, что
cos 9 = ^- .
B.73)
Так как cos Э = kz/k, ш = v$k, то это хорошо известное усло-
условие черенковского излучения можно записать в виде ш — kzv0 =
= 0, откуда видно, что излучение имеет место при совпадении
скорости частицы с продольной компонентой фазовой скорости:
°фг = (u/fe2 = V0.

64 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ 2
Рассмотрим теперь черенковское излучение воли на глубо-
глубокой воде. Опять можно сказать, что движущееся тело создает
ряд точечных импульсов, от которых разбегаются волны. Но те-
теперь эти волны заполняют целые круги, и картина волнового
поля становится более сложной. Тем не менее, располагая ре-
решением задачи об излучении воли мгновенным точечным источ-
источником, мы вполне можем в ней разобраться.
Заметим прежде всего, что те линии впадин и гребешков, ко-
которые мы наблюдаем за движущимся телом, есть линии постоян-
постоянной фазы. Следовательно, если мы хотим построить сеть волн
аналитически, нам нужно найти уравнение для линий постоян-
постоянной фазы тех волн, которые получаются суперпозицией волн от
отдельных импульсов. При этой суперпозиции опять амплитуда
волн не мала только там, где они складываются в одной фазе,
как и при обычном черенковском излучении.
Рассмотрим рис. 20, б, на котором показано, как склады-
складываются две близкие круговые волны с одной и той же фазой.
Если вторая волна излучена спустя промежуток времени А/
после первой, то центр ее окружности смещен на VoAt влево, а
радиус второй волны меньше радиуса первой на УфА?. Склады-
Складываясь, волны усиливаются на касательной (огибающей) к вол-
волнам и уничтожаются из-за интерференции с волнами в других
фазах в остальных точках. Как видно из рисунка, волновой век-
вектор опять направлен таким образом, что выполняется условие
черенковского излучения cos Э == kz/k = иф/у0. Мы видим, что
это условие определяется только фазовой скоростью. Но поло-
положение точки в пространстве, где находится данный волновой
пакет, задается групповой скоростью, как видно из рис. 20, б.
Следовательно, радиус окружности г, на которой находится вол-
волна, равен
r = tir/ = YV=iti0(cos8. B.74)
Координаты рассматриваемой точки в системе координат, в ко-
которой излучающее тело находится в точке @, 0), равны, оче-
очевидно, х = г sin Э, г = vot—г cos 9 (см. рис. 20,6). Вспомним
теперь, что фаза ф для волн, уходящих за время t на расстоя-
расстояние г от источника, определяется выражением B.72), т. е. ф =
= gt2l4r. Тогда с помощью этого соотношеиия и формулы B.74)
мы можем выразить координаты точки наблюдения через фазу ф
в данной точке и угол 6, который образует волновой вектор с
осью г:
о
x = rsin8 = -^-sin8cos28, B.75)
о
9
z = vot — г sin 6 = -~- B — cos2 6) cos 6. B.76)
о

ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 65
Если мы теперь зафиксируем фазу ф, то эти соотношения бу-
Гдут представлять не что иное, как уравнение для воли в пара-
параметрической форме: при изменении 0 от я/2 до нуля мы прори-
Цруем всю линию с данной фазой. Как видно из B.75), B.76),
>и таком изменении 0 координата х сначала увеличивается, а
спадает до нуля. Сами кривые постоянной фазы имеют
д, представленный на рис. 19,6. Все они подобны друг другу,
и если изобразить сетку гребней (т. е. линий с интервалом
'Дф = 2зх), то мы получим как раз ту картину, которая изобра-
изображена иа фотографии рис. 19, а.
Качественно эта картина выглядит как наложение двух ти-
типов волн. Одни из них соответствует коротковолновым косым
волнам, расходящимся от следа тела к периферии. У этих волн
фазовая скорость значительно меньше скорости тела, и поэтому
условие черепковского резонанса cos 0 = Уф/fo выполняется для
них при почти поперечном направлении, когда угол 0 близок
к л/2. Второй тип гребешков соответствует как бы одной волне,
бегущей вслед за телом с фазовой скоростью v$ = t>0. Для этой
волны k = g/v"*, она все время находится в резонансе с телом
и движется вместе с ним.
Как видно из рис. 20, б и из формул B.75), B.76), все волны
заключены внутри некоторого угла 20О, который можно иайти,
дх .
приравнивая нулю -щ- и определяя затем 0О из соотношения
tg во = x/z. Оказывается, что 0 « 18°.
Таким образом, иа.глубокой воде, независимо от размеров и
скорости равномерно движущегося тела, за ним всегда бежит
'одна и та же универсальная сетка из черенковски излучаемых
"волн. Структура этой сетки полностью определяется законом
дисперсии волн на глубокой воде.
Не менее интересная картина получается для черенковского
излучения капиллярных волн. Для них закон дисперсии
«о2 = — k3 приводит к обратному соотношению между группо-
групповой и фазовой скоростями, а именно, групповая скорость больше
фазовой, 1>г = 3/21>ф = ^Vo^/P- Соответственно вместо B.74) по-
получаем г = 3/г1>о? cos 0. С помощью этого соотношения и
W = vT — 3/2 -y/ak/p находим выражение для фазы: ф => — (at +
+ kr = prv\cos2 0/3cr. Теперь в соотношения х = г sin 0, z ==
¦= vot — rcos0 мы можем подставить вместо r, t их выражения
через ф, после чего получим:
Зочр sin 9
Х~ pt,02 cos2 9'
., аф 2 sin2 9 — cos2 9
~~р% cos3! *
3 Б. Б. Кадомцев

66 - ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 2
Как мы видим, при.8->-0 х->-0, а координата z = ^ф от-
Р°о
рицательна. Следовательно, капиллярная волна бежит впереди
обтекаемого тела. Соответствующее ей волновое число k = pv2Qje,
т. е. при этом a/k = и0. Другими словами, бегущая вместе с те-
телом волиа оказывается не сзади, как в случае гравитационных
волн, а впереди тела. Разумеется, это ие удивительно, так как
vr > Уф. При tg0=l/V2 координата z обращается в нуль, а
при 6-»-jt/2 волна с ф = const выглядит как х ~ ф1^3.
4. Ионный звук, слабая дисперсия. Возвращаясь к волнам в
плазме, рассмотрим в качестве простейшего примера дисперсию
ионного звука. Напомним его закон дисперсии:
где kl=l/d2, d — дебаевская длина экранирования. Фазовая
скорость ионио-звуковых волн
C B.78)
убывает с увеличением k. Убывающей функцией волиового чис-
числа является и групповая скорость
и = — = ——??_—- B 79)
Поэтому здесь, как и в случае гравитационных волн, длинно-
длинноволновые возмущения распространяются быстрее коротковол-
коротковолновых.
Рассмотрим теперь, как этот новый закон дисперсии прояв-
проявляется в задаче о распространении волн от точечного мгновен-
мгновенного источника. Воспользуемся опять приближенным методом
разложения возмущения иа волновые пакеты. В точку г за вре-
время t может попасть только тот пакет, у которого групповая ско-
скорость уг = r/t. Отсюда с помощью B.79) находим значение вол-
волнового числа в данной точке:
k = ko^(cstlr)'h-l. B.80)
Как мы видим, выражение для k определено только в дозвуко-
дозвуковой области г < cst, что вполне естественно. При фиксирован-
фиксированном t волновое число как функция г монотонно возрастает при
уменьшении г от cst до нуля.
С помощью B.80) нетрудно найти фазу ф = at — kr:
B.81)

ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
67
}за в зависимости от радиуса при фиксированном / представ-
да на рис. 21, а.
Если источник не вполне точечный, а несколько размытый,
гармоники с большими волновыми числами в нем будут от-
гвовать, и в волновом пакете коротковолновой медленно
_дейся части не будет. Пакет будет выглядеть так, как
эказ'ано на рис. 21,6. Наиболее иитересен случай протяженных
*f возмущений, когда практически все
-,1-, гармоники имеют волновые числа, мно-
vi #o меньше ко, — так называемый слу-
', чай слабой дисперсии. В этом случае
'"Лесь пакет остается локализованным
,ВбЛИЗЯ ТОЧКИ Г = Cat, ТЭК ЧТО НЭ
'.рцс. 21,6 область с осцилляциями по-
вади основного импульса остается до-
достаточно узкой.
При слабой дисперсии достаточно
4нать лишь закон дисперсии при ма-
дых к, так что выражение B.77) мож-
можно приближенно представить в виде
to= csk(\ — k2l2kf). Нетрудно видеть,
что при слабой дисперсии от конкрет-
конкретного типа волн уже мало что зависит, рис. 21. Распространение
в для всех магнитогидродинамиче- ионного звука от мгновен-
ских волн с малыми волновыми числа-
ки картина распространения волно-
волнового пакета, в смысле его расплыва-
!ВЯЯИ рассыпания на отдельные волны,
*^удет практически одной и той же. Различие будет определяться
~Щ*ъко законом дисперсии: для противоположной дисперсии воз-
;,,дащёния с более короткими длинами будут распространяться
ного точечного источника с
учетом дисперсии; а) фаза,
б) амплитуда.
р
Условимся называть дисперсию отрицательной, если фазо-
|ф скорость убывает с k, и положительной, если фазовая ско-
I»tiifcTb возрастает с k. По этой терминологии дисперсию ионного
звуками гравитационных волн следует считать отрицательной, а
5*?йлляРных и косых магнитозвуковых волн — положительной.
/При слабой дисперсии, когда фазовая скорость начинает за-
Шисеть от k только при достаточно больших значениях k, фазо-
фазовую скорость можно разложить в ряд по k и ограничиться пер-
первыми членами разложения. Так как в изотропной среде фазовая
ск°||?сть не зависит от знака k, то в разложении должны присут-
присутствовать только четные степени k и, следовательно, можно поло-
положить 0фИ»;с0A ± k?l2k$)t где со —фазовая скорость длинновол-
длинноволновых колебаний, a k0 — некоторый параметр, который определяет

68 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 5
характерную длину дисперсии. Знак минус соответствует отри-
отрицательной, а плюс — положительной дисперсии. При этом
групповая скорость i>r = c0(l ± 3&2/2feg) возрастает или убывает
с увеличением k в соответствии со знаком дисперсии. Поэтому
при положительной дисперсии осцилляции" обгоняют основной
импульс возмущения, а при отрицательной — отстают от не-
него. Только в этом и состоит разница в поведении линейных
воли в слабодиспергирующих средах с разными знаками дис-
дисперсии.
Для слабодиспергирующих сред значительно упрощается и
задача о черепковском излучении (или обтекании малых тел).
В самом деле, в иедиспергирующей среде черенковское излуче-
излучение проявляется в виде возмущения, локализованного на линии
Маха (рис. 20, а), где отдельные элементарные волны, склады-
складываясь, приводят к распространению некоторого плоского им-
импульса. Если имеется слабая дисперсия, то этот импульс начи-
начинает медленно расползаться на отдельные гармоники, так что от
основного импульса начинают отходить небольшие осцилляции
(за фронтом волны при отрицательной дисперсии и перед фрон-
фронтом при положительной дисперсии). Этот отход осцилляции про-
происходит точно таким же образом, как в волне от импульсного
плоского источника. Другими словами, задача об обтекании сво-
сводится к задаче о точечном мгновенном источнике.
§ 4. Электромагнитные волны в плазме
1. Диэлектрическая проницаемость, дисперсионное уравне-
уравнение. Выше при рассмотрении магнитогидродинамических волн в
плазме у нас преобладал газодинамический подход: мы зада-
задавали смещения частиц плазмы, затем находили силы, возникаю-
возникающие при таком смещении, и, наконец, определяли тип колеба-
колебаний. Но те же колебания можно рассмотреть и с несколько иной
точки зрения —чисто электродинамической. В самом деле, при
любых движениях в плазме возникают электрические и магнит-
магнитные поля, и с точки зрения электродинамики распространение
волн в плазме можно рассматривать как распространение элек-
электромагнитных полей в сплошной среде. Формально математиче-
математически это соответствует просто другому порядку упрощения урав-
уравнений: вместо определения полей и сил по смещениям компонент
плазмы мы должны сначала найти заряды и токи в плазме из
законов движения частиц при заданных полях, а затем уже рас-
рассмотреть, как такие поля могут распространяться в плазме. Та-
Такой подход, разумеется, вполне эквивалентен первому, но, бу-
будучи более общим, он позволяет взглянуть иа волны в плазме
с более широкой точки зрения и дает возможность более полно
описать все вегви линейных колебаний в плазме.

rot
rot
div
div
В
E
В
E
__ 1 dE
_ 1
с
= 0,
= 4яр,
с
ав
dt '
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ 69
# Итак, будем рассматривать плазму как сплошную среду, в
которой могут распространяться электромагнитные волны. Вы-
яишем снова уравнение Максвелла (на этот раз с учетом тока
^смещения):
1 ЯР Л~.
B.82)
B.83)
B.84)
B.85)
уде р — плотность заряда, удовлетворяющая уравнению
-g- + divj = O, B.86)
которое вытекает из B.82), B.85).
it Если речь идет о волнах малой амплитуды, т. е. линейных
волнах, то величины р и j могут быть выражены линейно через
поля Е и В с помощью уравнений движения для заряженных
йвастиц плазмы, так что уравнения Максвелла будут линейными.
Их можно записать в более компактной форме, вводя в рас-
рассмотрение вектор электрической индукции D, который опреде-
определяется соотношением
-^==|^- + 4я]. B.87)
Соответственно, уравнения B.82), B.85) примут вид
! ГО1 D = —¦ д . , yZ.OO)
i-r- divD = 0. B.89)
Рассмотрим опять для простоты однородную среду, когда
произвольное решение линейных уравнений представляет собой
суперпозицию плоских воли вида ехр(—Ш + ikr). Для плоской
волны уравнения Максвелла становятся алгебраическими:
B.90)
B.91)
При этом уравнения B.84), B.89) удовлетворяются как след-
следствие равнений B.90), B.91):
kD = 0, kB = 0. B.92)

70 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ 1ГЛ. 2
Если с помощью B.91) выразить В через Е и подставить в
B.90), то легко получить
k2E — к (кЕ) - ¦§- D = 0. B.93)
Как мы уже упоминали, вектор D может быть выражен через Е
с помощью уравнений движения для заряженных частиц. В слу-
случае плоской волны линеаризованные уравнения движения также
являются алгебраическими, и следовательно, D и Е должны
быть связаны между собой линейным соотношением. Как из-
известно, в общем случае линейная связь между векторами может
быть записана в виде
D = ёЕ или, в компонентах, Da = ? еа3?р, B.94)
где ё.— матрица еац. Тензор ё называется диэлектрической про-
проницаемостью среды.
При подстановке B.94) в B.93) мы получим систему линей-
линейных однородных уравнений, которая имеет решение только в том
случае, если детерминант системы обращается в нуль:
1 Л = Det || fe26af5 - Мр - "J eap | = 0. B.95)
Это дисперсионное уравнение определяет частоту собственных
колебаний среды, т. е. волн, которые могут распространяться
в ней.
Особенно простым является случай изотропной плазмы без
магнитного поля. При этом для любой волны вектор D должен
быть направлен вдоль Е, так что D = еЕ [ио коэффициент про-
пропорциональности е может быть различным для продольной
(Е вдоль к) и поперечной волны]. Для продольной волны соглас-
согласно B.92) имеем
8,, = 0, B.96)
а для поперечной из B.93) получаем
^г = *±- B-97)
Согласно B.97) поперечная волна в среде распространяется
с фазовой скоростью a/k=c/N, где Af = V8-L— показатель пре-
преломления.
2. Ионный звук, пространственная дисперсия. В качестве
простейшего примера продольной волны в плазме рассмотрим
ионный звук в отсутствие магнитного поля. Дисперсионное урав-
уравнение для продольных волн дается соотношением ел =0, и,
следовательно, иужио иайти в,. Пусть плоская монохроматиче-

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
71
1Я волиа распространяется вдоль оси х. Воспользуемся для
ределения е выражением B.87):
,дотность тока здесь равна jx = en(viX — vex), г. е. опреде-
определится ионной и электронной х-компонентами скорости. Вели-
— 'Нх Для холодного ионного газа G\- = 0) получаем из
Ьавнения движения "^-т— ==еЕ:
-JL.P
> #м ел л
B.99)
.Что касается электронов, то в ионном звуке они успевают
зинять распределение Больцмана, так что возмущение элек-
Энной плотности п'е связано с потенциалом соотношением
, еф ien
Пе—~n — ~w
B.100)
l|te к — волновое число.
^!~"'Это возмущение связано со скоростью vex соотношением не-
непрерывности:
•* - тп'е + tfenyejt =» 0. B.101)
Выражая с помощью B.100), B.101) скорость vex через ?*
в B.98), получим
е=1+—— г==1+__ SL, B.102)
AT.
т.
— плазменная ионная частота, a d — дебаевский радиус.
B.102) второе слагаемое отвечает электронному вкладу в е,
третье — ионному.
iM.1' Приравнивая е нулю, мы получим уже известное нам выра-
Ясение для частоты ионного звука:
*;, a2:=TTTwKr BЛ03)
яользованный здесь электродинамический подход обла-
|*т тем преимуществом, что раз вычисленные выражения для
соответствующего сорта частиц в е могут быть исполь-
затем при рассмотрении других ветвей колебаний.
выражения B.102) видно, что диэлектрическая прони-
зависит как от частоты, так и от волнового числа. За-
от k возникает во всех случаях, когда существенную
ает играть тепловое движение частиц. Зависимость 8
ЧВ^ято называть пространственной дисперсией (по анало-
а с Частотной дисперсией — зависимостью е от а>).

72 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 2
3. Ленгмюровские волны. Ионный звук принадлежит к числу
ветвей колебаний, в которых существенным образом принимают
участие ионы. Нетрудно рассмотреть более высокочастотные
электронные ветви, в которых движением ионов можно прене-
пренебречь. С одной такой ветвью колебаний в магнитоактивной плаз-
плазме — с геликонами — мы уже познакомились. Здесь мы рассмо-
рассмотрим наиболее простой тип электронных колебаний — ленгмю-
ровские волны.
Ленгмюровские волны возникают при нарушении квазиней-
квазинейтральности плазмы, т. е. при смещении электронов относительно
ионов. Возникающее при этом электрическое поле создает ква-
квазиупругую силу, которая стремится возвратить электроны в по-
положение равновесия. Так как электроны значительно легче
ионов, то колебания электронов под действием этой квазиупру-
квазиупругой силы происходят при практически неподвижных ионах.
Если пренебречь тепловым движением электронов, то выра-
выражение для е и дисперсионное уравнение легко получить по ана-
аналогии с B.102). В самом деле, для ленгмюровских колебаний
вкладом ионов в е можно пренебречь, а вклад электронов будет
таким же, как вклад в B.102) холодных ионов, — достаточно
лишь заменить /и* на те. Таким образом получаем:
.-'-¦?--¦?• <*•«•«
Величина а>ре называется ленгмюровской частотой.
Разумеется, для описания колебаний электронов можно вос-
воспользоваться и менее формальным гидродинамическим языком.
Пусть \ — смещение электронов от положения равновесия, кото-
которое мы будем считать малым. Тогда уравнение движения для
электронов запишется в виде
W—t^. BЛ05)
где ф — потенциал электрического поля, определяемый соотно-
соотношением
Дф = 4яе«'. B.106)
Здесь п' — возмущение плотности электронов — равно
n' = _«divi. B.107)
Беря div от B.105) и исключая |, ф с помощью B.106), B.107),
мы получим
¦ж-=-«&»'. <2Л08)
где а>ре — V'4ле2п/те'

электромагнитный волны в плазме
73
этого уравнения следует, что при любом нарушении ква-
:йтральности возникают колебания электронов с ч.асто-
ipe. Если начальное возмущение имеет вид плоской волны
.„лювым числом k, то ленгмюровская волна будет плоской,
:чем ее фазовая скорость Уф = ыре/к.
Видно, что по мере увеличения волнового числа фазовая ско-
убывает и при k ~ \jd становится порядка тепловой ско-
электронов. Так как мы тепловым движением пренебрег-
выражение B.104) справедливо только при kd <^. 1. При
[ближении фазовой скорости волн к тепловой следует пользо-
кинетическим описанием плазмы.
4. Уравнение Власова. Для описания колебаний разрежен-
плазмы в условиях, когда парные столкновения не играют
,шой роли, Власов [56] предложил использовать кинетиче-
уравнение с самосогласованным полем и отброшенным чле-
столкновений. Для частиц заряда е и массы т в отсутствие
итного поля это уравнение имеет вид
Ъл i
B.109)
сь f—функция распределения частиц по скоростям, имею-
I смысл плотности числа частиц в фазовом пространстве, так
-fdrdv равно числу частиц в объеме dv со скоростями в
ервале dv.
Самосогласованное электрическое поле Е, входящее в B.109),
^лйсно Власову должно находиться из уравнения
div Е = 4яе («j — пе),
B.110)
Hj—Kfidv, ne=\fed\, a fe, fi — функции распределения
ih электронов и ионов.
Если учесть еще магнитное поле В, то кинетическое уравнение
рачосогласованным полем для частиц сорта а должно иметь
^ = 0, B.111)
«Самосогласованные электрическое Е и магнитное В поля
л""кны определяться из уравнений Максвелла, в которых в
стве плотностей электрического заряда р и тока j должны
гве плотностей электрического заряда р
¦ йодставлены соответственно
B.112)

74 ЛИНЕПНЫЕ ВОЛНЫ [гл
Разреженную плазму, в которой парные сто^кновения не иг_
рают роли, называют бесстолкновительной. Соответственно Qec_
столкновительными называются коллективные процессы в ко-
которых несущественна роль кулоновских столкновений. Уравне-
Уравнения Власова с самосогласованным полем слу^ат основой для
теоретического описания таких процессов.
5. Затухание Ландау. Перейдем к рассмотрению ленгмюров-
ских волн малой амплитуды в условиях, когда существенную
роль начинает играть тепловое движение частиц Как было по-
показано впервые Ландау [57], в этих условиях Появляется совер-
совершенно новый специфический механизм затухания волн имею-
имеющий место даже в отсутствие столкновений. Эффект затухания
Ландау играет фундаментальную роль в коллективных процес-
процессах в бесстолкновительной плазме. Поэтому, чтобы не упрощать
чрезмерно существа дела, нам придется восподьзоваться более
строгим математическим подходом, чем это йьщо принято в пре-
предыдущих разделах.
Предположим, что ионы создают однородный неподвижный
фон с плотностью п = const, и будем считать, что ленгмюров-
ская волна распространяется вдоль оси х, тац что задача яв-
является одномерной.
Для колебаний очень малой амплитуды Уравнения можно ли-
линеаризовать. Для этого достаточно положить f f, _i_ p rn
fo — равновесная функция, a / —отклонение От равновесия, и
пренебречь квадратичным членом -?-Е-^ в B.109). В равно-
равновесном состоянии плазма однородна и нейтральНа, так что
\fodv = n. В силу однородности линейные уравнения могут
быть написаны для каждой компоненты Раздожения /' и ф
интеграл Фурье относительно переменной х, поЭТОму достаточно
рассмотреть лишь эволюцию отдельной гармо^и^ Считая
функции /' и <р имеют вид f (о, t)e**, <p(t)e**, Запишем линёаои
зованные уравнения в виде ^
'dv. BЛ14)
Естественно попытаться сначала найти собственные колеба.
ния плазмы с некоторой частотой со. Для этого положим
V (о. 0 = U (о)е~ш, Ф @ = ф,е-ш<_
Тогда из уравнения B.113), казалось бы, имеем
f k e df0 ^
'1== щ-feo me dv ф1# B.115)

5 41 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ 75
Подставляя это выражение в B.114), получаем дисперсионное
уравнение, связывающее собственную частоту со с волновым
числом k:
B.П6)
Мы здесь снова воспользовались обозначением е для диэлектри-
диэлектрической проницаемости плазмы.
Как мы видим, выражение B.116) имеет особенность под ин-
интегралом, и поэтому им нельзя пользоваться, пока не указано,
каким образом сдедует устранять расходимость. Власов [58]
предложил проводить интегрирование в B.116) в смысле глав-
главного значения, однако для этого не было достаточных оснований.
Правильный подход к решению задачи о малых колебаниях
плазмы, который одновременно разрешил и трудность с расхо-
расходимостью в B.118), указал Ландау [57]. Он обратил внимание
на то, что в реальной постановке задачи о малых колебаниях
плазмы приходите} иметь дело либо с заданными начальными
данными, либо с заданными граничными условиями, и показал,
как должны решаться обе задачи.
Рассмотрим, например, задачу с начальными данными.
В этом случае следует считать, что при t <C О возмущение отсут-
отсутствует и лишь в момент t = О включается внешнее воздействие,
которое создает некоторое начальное возмущение функции рас-
распределения g{v). Задача состоит в определении временной эво-
эволюции возмущении. Для этого следует воспользоваться уравне-
уравнениями B.113), B.114) с внешним источником g(v)8{t), добав-
добавленным в правую часть B.113). Для решения этой системы
уравнений можно воспользоваться методом преобразования
Лапласа, полагая
оо
fp(v)=\e-"r(v,t)dt B.117)
о
я соответственно для q>(t).
Умножая уравнение B.113) с источником g(v)b(t) в правой
части на ervt и щгегрируя по t, получаем
Как мы видим, аго выражение отличается от B.115) добавле-
добавлением слагаемого с g и заменой со на ip. Подстановка B.118) в
B.114) позволяет найти фр:
4ле Г g(v)dv
J ip-
k4 (k, iP) J ip-kv

76 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 1
По известному фР теперь нетрудно найти
G-Н°о
Здесь вместо р удобно перейти к переменной со = ip и, так как
по переменной р интегрирование проводится в правой полупло-
полуплоскости, по комплексной переменной со следует проводить инте-
интегрирование в верхней полуплоскости:
Это выражение полностью решает задачу о колебаниях плаз-
плазмы, создаваемых начальным возмущением g(v). Из него видно,
что, вообще говоря, не существует определенной зависимости со
от к: при заданном k интегрирование в B.121) производится по
всем со. Однако, если g(t) не имеет особенностей, то асимпто-
асимптотика интеграла B.121) при больших t будет определяться ну-
нулями e(k, со), т. е. cp(t) ~ е~/и*', где е(&, со&) = 0. Таким образом,
при очень больших t из решения B.121) выделяется ветвь плаз-
плазменных колебаний с собственной частотой соь, определяемой со-
соотношением
e(fc,coft) = 0. B.122)
Так как интегрирование в B.121) проводится до горизонтальной
прямой в верхней полуплоскости, при вычислении е в B.116)
частоту со следует считать находящейся в верхней полуплоско-
полуплоскости, т. е. при со, близких к действительной оси, следует положить
1 1 р -х/ и \
-+-^TkU ~ ™в(со - kv),
_ kv
где Р означает главное значение. Это правило обхода полюса
принято называть правилом Ландау. С его учетом диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость B.116) оказывается комплексной:
4ite2 [ P dfo dv 4ne2 "' df
в = 1 I [ dv 1 f
Наличие мнимой части вей соответствует затуханию Лан-
Ландау. Его величина пропорциональна производной -—¦ в точке
v = a/k, где скорость частиц совпадает с фазовой скоростью
волны. Можно сказать, что затухание Ландау связано с погло-
поглощением волны на резонансных частицах. Если электроны имеют

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ 77
?Йаксвелловское распределение с температурой Т, то диэлектри-
г веская проницаемость B.123) может быть представлена в виде
), B.124)
где (jpg — ленгмюровская частота, z = a/kveT, veT — -\/2T/tnt —
*г средняя тепловая скорость, а функция
К. • z
Г(г) = е-г' + -^=-и-г1+5^1. B.125)
Приравнивая B.124) нулю, можно найти действительную и
. мнимую части комплексной частоты. При малых k <g. \jd, где
d - - дебаевский радиус, выражение для действительной части
частоты имеет вид
В мнимая ее часть (т. е. декремент затухания у) равна
V () BЛ27)
+ Как мы видим, при малых kd декремент затухания экспонен-
экспоненциально мал.
При очень больших t определенный вклад в интеграл B.121)
вносит также полюс со — kv = 0, соответствующий свободному
Й^дету частиц от начального возмущения, так что зависи-
Йрцть потенциала ф от времени может быть довольно сложной.
6. Волны Ван-Кампена. Итак, ленгмюровские колебания, воз-
мые некоторым начальным возмущением, должны зату-
со временем. Однако это еще не означает, что невозможны
|твенные незатухающие колебания плазмы. В самом деле,
|»мся к выражению B.115), связывающему возмущение
>.&|йции распределения /ч с потенциалом фь По правилу Лан-
частоте со в знаменателе следует добавить малую мнимую
i «>-»-<o + tv, так что B.115) можно записать в виде
Здесь Р означает, что при вычислении различных интегралов,
содержащих fi, особенность следует интегрировать в смысле
равно значения. Выражение B.128) описывает возмущение
распределения потенциалом электрического поля вол-
Как мы видим, это возмущение тем больше, чем ближе

78 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. I
скорость к фазовой скорости волны (o/k. В непосредственной
окрестности этой точки основной вклад дает второе слагаемое,
возникшее из-за мнимой части
a — kv + tv (ю — kvJ + v2 ч '
при v -¦ 0.
Заметим, что учет затухания возмущений вследствие столк-
столкновений, который в простейшем варианте можно сделать, вводя
малое слагаемое —vf в левую часгь уравнения B.113), также
привел бы к правилу Ландау для обхода полюса и, следователь-
следовательно,— к точно такому же выражению B.128). Это вполне по-
понятно, так как оба эффекта — столкновения и конечное время
нарастания возмущения — приводят к качественно одинаковому
ограничению возмущения в резонансной точке.
Если подставить B.128) в уравнение Пуассона B.114), то
как раз и получится дисперсионное уравнение Ландау. Другими
словами, в ленгмюровских колебаниях при больших t остается
лишь такое возмущение функции распределения B.128), кото-
которое создается потенциалом волны.
Допустим теперь, что в начальный момент наряду с плавным
возмущением g(v) в плазму вводится некоторый модулирован-
модулированный пучок со скоростью, в точности равной фазовой скорости
волны. Если нужным образом подобрать величину и фазу этого
пучка, то можно в точности скомпенсировать возмущение резо-
резонансных электронов, описываемое вторым членом в B.128). Но
при этом мы получим выражение B.115) без б-функции, а сле-
следовательно, придем к дисперсионному уравнению Власова с ин-
интегралом в смысле главного значения, описывающему ленгмю-
ровские волны без затухания. Таким образом, решение Власова
также имеет определенный физический смысл: оно описывает
волну с добавкой группы разонансных частиц.
Однако это решение является довольно частным: оно соот-
соответствует некоторому вполне определенному выбору плотности
дополнительных частиц. Как показал Ван-Кампен [59], уравне-
уравнения B.113), B.114) описывают гораздо более широкий класс
собственных колебаний. Чтобы найти эти колебания, следует
устранить ту некорректность, которая была допущена при полу-
получении выражения B.115) для возмущения функции распреде-
распределения. В самом деле, если со — действительная величина, то од-
однородное уравнение для fit (со — kv)fi = 0, имеет нетривиальное
решение вида Х8(ы — kv)<pi, где К—любая константа (точнее,
функция от со и k). Это решение однородного уравнения должно
быть добавлено к B.115). Принимая для определенности
(без нарушения общности), что интеграл от 1/(со — kv) берет-
берется в смысле главного значения, мы должны написать для

||р$ен
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
ных колебаний вместо B.115) соотношение
79
авляя это выражение в уравнение Пуассона, находим дис-
онное уравнение
и — kv
B.130)
Г как это уравнение содержит две неизвестные величины
, X, оио не дает однозначной связи со с волновым числом k.
скорее следует рассматривать как уравнение для определе-
% при заданном со. Это значит, что при данном k частота
быть совершенно произвольной, т. е. спектр собственных
ий для со непрерывен. Другими словами, для любой ча-
ы ю можно подобрать такую величину К, т. е. плотность резо-
х частиц, при которой решение будет иметь вид незагу-
волны с данной частотой со. Это и есть волна Ван-Кам-
Каждая из волн Ван-Кампена представляет собой моду-
анный поток частиц, движущийся со скоростью, равной
вой скорости волны Чф = а/к [этот пучок описывается вто-
слагаемым в B.129)], вместе с сопровождающим его поля-
ионным облаком, возникающим в результате воздействия
а на электроны плазмы. Возмущение fi в этом облаке опи-
ется первым слагаемым в B.129).
сли длина волны возмещения достаточно велика (kd -С 1),
ота со близка к плазменной частоте B.124), то величина X,
еделяемая выражением B.130), очень мала, так как при
* сумма первых двух слагаемых в B.130) близка к нулю.
Щы случае мы имеем дело с плазменной волной с малой
вкой резонансных частиц. Собственно волнами Ван-Кам-
Р целесообразно считать решения, заметно отличающиеся от
Ймюровских волн, когда второе слагаемое в B.129) больше
Шравнимо с первым. Таким образом, грубо можно сказать,
* явственные колебания электронной плазмы состоят из волн
ампена — модулированных пучков — и ленгмюровских
||ан,-Кампен показал, что система функций B.129) является
fpft т. е. любое начальное возмущение g(v) может быть
ржеио по этим функциям, и, следовательно, возбуждаемые
а волны можно рассматривать как суперпозицию соб-
1ых колебаний. Соответствующее решение в точности сов-
с решением Ландау.
1ри учете волн Ван-Кампена в несколько ином свете пред-
предан затухание Ландау. В самом деле, рассмотрим, напри-
• возмущение с характерной длиной волны, много меньшей

80 линейные волны [гл. 2
дебаевского радиуса. Такое возмущение является суперпозицией
собственно волн Ван-Кампена, и не удивительно, что оно будет
затухать со временем из-за расползания по фазам составляю-
составляющих его собственных колебаний. Можно сказать, что это зату-
затухание является следствием непрерывности спектра собственных
значений со.
В ленгмюровских волнах картина несколько сложнее, так
как большая часть частиц совершает здесь совместное движе-
движение в колебаниях. Однако резонансные частицы продолжают
расползаться, и их вес в коллективном движении настолько
велик, что они полностью «растаскивают» ленгмюровскую волну
по фазам, т. е. волна опять затухает. Легко видеть, что это —
снова результат непрерывности спектра собственных значений
частоты.
7. Волны в холодной плазме. До сих пор мы рассматривали
продольные волны в плазме. Аналогичным образом можно рас-
рассмотреть и поперечные волны. В частности, в холодной плазме
без магнитного поля диэлектрическая проницаемость для попе-
поперечной волны имеет тот же вид, что и для продольной, т. е.
е= 1 — ю^/со2, и согласно B.97) мы получаем
Отсюда находим выражение для частоты
B.132)
Как мы видим, распространяться в плазме могут волны лишь
с частотой, большей плазменной. В области непрозрачности
со <соре волновое число k согласно B.132) является мнимым,
т. е. k = in. Величина к определяет толщину скин-слоя, который
экранирует внешние поля. Согласно B.132)
*2=О2ре-«>2)/с2. B-133)
так что при со <g. а>ре глубина проникновения поперечного поля
в плазму равна с/соре.
При наличии внешнего магнитного поля картина распро-
распространения электромагнитных волн в плазме сильно усложняется,
в особенности если фазовая скорость этих волн мала и суще-
существенную роль начинает играть тепловое движение частиц. Не-
Несколько проще картина распространения волн в холодной плаз-
плазме. При этом
if^^a, B.134)

§ 5] ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН 81
а скорости заряженных частиц могут быть найдены из уравне-
уравнений движения
-/«v.-^E + KQJ, Q.~2?. B.135)
С помощью B.134), B.135) нетрудно найти выражения для
компонент тензора е. В системе координат с осью z вдоль маг-
магнитного поля тензор е имеет вид
B.136)
V 0 0 т^
где
0) — !
Qa — циклотронная частота для частицы сорта а.
Мы не будем здесь подробно анализировать все волны, ко-
которые могут распространяться в плазме. Рассмотрим лишь са-
самый простой пример альвеновской волны, распространяющейся
вдоль магнитного поля. При этом kx = kv = 0, kz ¦=. k. Для аль-
альвеновской волны ш < й; сА < с, так что выражения для е и g
упрощаются: е « ^/Щ = с2/с2А, g~0. Дисперсионное уравне-
уравнение B.95) при этом принимает видГ^2 —-^-ej (k2 — "p~Tl)==0»
и частота альвеновской волны равна
А B.137)
Как мы видим, альвеновская волна в плотной плазме соот-
соответствует сильно замедленной электромагнитной волне с огром-
огромным показателем преломления N = с/сА.
Нетрудно было бы рассмотреть и другие ветви электромаг-
электромагнитных колебаний, в частности электронные. Поскольку этой
теме посвящена обширная литература, мы не будем детально
разбирать этот вопрос в данной книге.
§ 5. Энергия и импульс волн
1. Волновой пакет. Физика принадлежит к числу точных
наук, однако приближенные соотношения и даже просто каче-
качественные соображения играют в ней не меньшую роль, чем точ-
точные количественные формулировки. Иногда качественные сооб-
соображения даже более нужны, поскольку они, развивая физиче-
физическую интуицию, позволяют быстро достичь понимания таких

82 ЛИНЕЙНЫЕ Е ВОЛНЫ [ГЛ. г
явлений, количественное описание i которых потребовало бы гораз-
гораздо больших усилий.
Именно с такой ситуацией мы Евстречаемся при рассмотрении
волновых процессов. Решение линнейных задач методом Фурье,
например разложением по плоскким волнам для однородной
среды, дает полное решение задаччи, но еше не позволяет пря-
прямым образом получить качественнную картину процесса. Более
адекватным для этого является яззык волновых пакетов, и с его
применением мы уже познакомиллись в предыдущих разделах.
Здесь мы сделаем следующий шагг и от чисто качественной кар-
картины распространения волнового , движения в терминах измене-
изменения фазы в пространстве и времмени перейдем к количествен-
количественному, но опять-таки приближенному описанию волновых яв-
явлений.
Будем опять рассуждать в терзминах волновых пакетов, мед-
медленно меняющихся в пространствее и во времени. Отдельный уча-
участок такого пакета приближенно) можно считать плоской вол-
волной. Электрическое поле такой вомны имеет вид
Е = ек?ехр(- /сокк/ + гкг) + к. с. B.138)
Здесь к — волновой вектор, со — (собственная частота, 2Е — ам-
амплитуда колебаний электрическогго поля, ек — единичный вектор
поляризации волны, а к. с. означает комплексно сопряженную
величину (чтобы Е было действиттельным). Собственная частота
Юк является решением дисперсисонного уравнения B.95), т. е.
А (со, к) = 0, а вектор поляризащии ек может быть найден из
уравнений B.93) при со = Шк. Веектор ек может включать мно-
множитель ег<р°, соответствующий поостоянному сдвигу фазы q>0, так
что в общем случае он являетая комплексным. Впрочем, для
волнового пакета, достаточно шротяженного в пространстве,
сдвиг фазы сро является несущеественным. Наиболее важными
характеристиками такого пакета являются веЛичины к и (Е2) —
среднее по периоду колебаний значение квадрата электриче-
электрического поля, пропорциональное плотности энергии волны в дан-
данной точке.
Естественно, что уравнения, описывающие поведение волно-
волновых пакетов со временем, должны формулироваться именно для
основных величин к и (Е2). Первзое из этих уравнений получить
довольно просто, в особенности для однородной среды. В самом
деле, если мы имеем дело с поч!ти синусоидальной волной, ха-
характеристики которой медленно меняются в пространстве и во
времени, то вместо к, ©к удобнее ввести фазу ср, являющуюся
функцией г, t, так что выражение B.138) для пакета будет
иметь вид
Е = ек?ехр((— гср) + к. с. B.139)

5 5] ЭНЕРГИЯМ ИМЛУЛЬС ВОЛН 83
Скорость изменения фазы в даниой точке, т.е. -^~, очевидно,
соответст -вует частоте колебяшй, а градиент фазы соответствует
волновом [у числу, так как oi устанавливает величину и напра-
направление Шаискорейшего изме^ния фазы в пространстве. Таким
образом, имеем
© = 4j. k_ = -Vcp. B.140)
Диффере0ццируя второе из этих соотношений по времени и ис-
используя первое из них, находам
f= — Vco. B.141)
В однородной среде часота колебаний является функцией
только ki; to = cok = ш (k). Гаки м образом, уравнение B.141)
является дифференциальны» уравнением относительно к (г, t),
и с помо.щью его можно найти, как эволюционирует волновой
вектор СО) временем в любо! точке пространства. Например, в
одномерном случае, когда в)лновое число k зависит только от
координаты х, уравнение B.41) имеет простой вид:
§-гЦ = 0, B.142)
где vr = -*JL _ групповая сюросгь. Как мы видим, волновое
число пакета просто переносятся с групповой скоростью.
Перей.дем к нахождению уравнения для (Е2). Так как эта
величина пропорциональна плотности энергии волны, то пред-
ставляето.я более целесообразным использовать именно послед-
последнюю величину как имеющуо более определенный физический
смысл.
2. Энергия волны. Допустим, что в уравнении Максвелла
B.82), Кроме самосогласованного тока j, который согласно
B.87) выражается через D, имеется еще некоторый сторонний
tOK js, который может совериать работу над волной. Тогда, ис-
Пользуя Обычную процедуру умножения уравнения B.87) на Е,
B.83)—hia В и их сложения нетрудно получить уравнение вида
Здесь член справа соотвегствует мощности внешних источни-
источников, совершающих работу против поля волны Е- Соответственно
первое слагаемое в B.143) можно интерпретировать как изме-
изменение энв(ргии электромагнитного поля

84 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ (ГЛ. 2
а второе — как перенос энергии с вектором Пойнтинга
П = ^[ЕВ]. B.145)
Для простоты мы ограничиваемся здесь случаем прозрачней
среды, когда поглощение энергии не происходит.
В отсутствие внешних источников поля B.143) принимает
вид закона сохранения энергии:
^. + divII = 0, B.146)
откуда следует, что интеграл от плотности энергии 8 по всему
пространству есть величина постоянная, \ S dr = const.
Уравнение B.146) и соответствует искомому уравнению для
квадрата амплитуды волны; его следует лишь привести к более
простому виду, пригодному для описания переноса волнового
пакета. Для волнового пакета электрическое поле, и аналогично
магнитное поле, имеет вид почти монохроматической волны
B.138) с медленно меняющейся амплитудой ?(г, t). Соответ-
Соответственно
Щ-= Df-4?) ekexp(- tokt + ftr) + к. с. B.147)
С другой стороны, электрическое поле Е можно было бы разло-
разложить в интеграл Фурье
Е= jjeq?q0>exp(— Ш + iqr)dqd<*+ к. с, B.148)
в котором «пакетность» волны, т. е. ее близость к плоской моно-
монохроматической волне, учитывалась бы только тем, что фурье-
компоненты ?чш были бы отличны от нуля в малых окрестностях
вблизи точек q = к, со = сок. Эти окрестности тем уже, чем
ближе пакет к монохроматической плоской волне.
Из выражения B.148) видно, что дифференцирование по
времени означает в фурье-представлении просто умножение на
—ico. В нулевом приближении, т. е. для монохроматической
волны, этот множитель был бы равен просто —ш^. Однако для
пакета это не так, т. е. —ico + ш^ ф 0, и, как видно из' сопо-
сопоставления с B.147), величина —?(ш — шк) соответствует произ-
производной по времени от амплитуды волны (поскольку слева -~
соответствует —/со).
Аналогичным образом могут быть рассмотрены и более
сложные операторы. Например, входящая в B.143) производная
~о? в фурье-представлении отвечает выражению —icoёЕ, где

5 6] ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН 85
I — квадратная матрица еа0(/>, со). Для волнового пакета это
выражение, очевидно, будет равно — /сокё(к, ©к) + ~я~^а)~дТ •
Если подставить его в соотношение B.144), то член, содержа-
содержащий —tcoke(k, сок), при сложении с комплексно-сопряженным
выражением исчезает, если среда является прозрачной и матри-
матрица е эрмитова. Остаются только члены с производными по вре-
времени, и после снятия произв0дных получаем выражение для
плотности энергии волнового Пакета
где e = ekeek. Или, так как в может быть выражено через Е
с помощью соотношения B.91) ( имеем
M B-150>
Здесь производная по со от Выражения в фигурных скобках бе-
берется при значении со = ©к.
Итак, мы связали среднее значение квадрата электрического
поля волны с более физичной величиной !Гк — плотностью энер-
энергии волнового пакета. Соответственно и для нормировки ампли-
амплитуды волны можно выбрать величину более удобную, чем квад-
квадрат электрического поля. Как будет видно из дальнейшего, удоб-
удобно взять в качестве амплитуды волны величину а^, связанную
с плотностью энергии соотношением
,§rk = v|^cok^k( B.151)
где частота ©к для случая положительно определенной энергии
волны считается положительной. Квадрат амплитуды ак по ана-
аналогии с квантовой механикой удобно также интерпретировать
как число волн А/к с данным \ш
Вернемся к уравнению (S. 146). По аналогии с тем, как мы
преобразовывали производное по времени, можно преобразо-
преобразовать и производные по проаранству. Так, например, производ-
производная ^Е согласно B.138) р<вна
~Ш Е = ("If + ik*E) \ exP (~ «V + /кг) + к. с,
а в фурье-представлении B.148) эта производная соответствует
просто умножению на iqx. Следовательно, опять величина tq — ik
соответствует пространственной производной от амплитуды вол-
волны. В частности, величина -- /сое = — i (сое)к —^- (соё) -^, как
мы видим, при действии на 7оле волнового пакета Дает вклад,

36 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 2
пропорциональный градиенту амплитуды колебаний. Соответ-
Соответственно при наличии пространственной дисперсии уравнение
B.146) принимает вид
¦divSk = 0, B.152)
dt
где в поток энергии Sk, кроме вектора Пойнтинга, дает вклад
пространственная часть первого слагаемого B.146). Повторяя
примерно те же выкладки, что и при вычислении &^, нетрудно
найти выражение для Sk:
Как мы видим, 1Гк и Sk выражаются через производные от
одной и той же функции
Л (к, со) = соекеек-^ + -|-|кек|з. B.154)
При со = шк эта функция обращается в нуль, так как она полу-
получается просто умножением уравнения B.93) на величину eJ/Я.
Можно сказать, что А = О вдоль всей дисперсионной кривой
д А
<о = сок. Таким образом, вдоль этой кривой dA — dco+
-\ dk= 0. Но вдоль этой же кривой отношение -?- равно
дк ак
групповой скорости, поэтому Sk = ITkVr. Следовательно, урав-
уравнение переноса энергии B.152) для волнового пакета в про-
прозрачной среде принимает простой вид:
^ 0. B.155)
Это и есть искомое уравнение для квадрата амплитуды вол-
волны. Оно легко обобщается на случай, когда волна является
слабо затухающей, т. е. когда у собственной частоты появляется
небольшая мнимая добавка, так что to = cok + *Yk (для зату-
затухающей волны Yk < 0). Это затухание связано с антиэрмитовой
частью тензора е, и его можно найти либо непосредственно из
дисперсионного соотношения, например А = 0, где А дается
формулой B.154), либо с помощью уравнения переноса энергии,
в котором сохранена антиэрмитова часть е. В приближении ма-
малого затухания (у ^; ш), т. е. малой мнимой части у e = ekeek,
с помощью B.154) при учете Л(сок, к)= 0 получаем
У = -^^ = --^—> B-156)

§ 5] ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН 87
где е'= Re (вкевк), е" = Im (eueek). Соответственно уравнение
B,155) в случае слабо поглощающей среды принимает вид
^ + div(vrITk) = 2Yk^k. B.157)
Здесь стоит именно 2у, так как квадрат амплитуды затухает
вдвое быстрее самой амплитуды.
3. Импульс волны. Кроме энергии, волновой пакет обладает
определенным импульсом. Его можно было бы также найти из
общих соотношений электродинамики сплошных сред, но мы ис-
используем здесь более простой и не менее общий подход, осно-
основывающийся на галилеевой инвариантности физических процес-
процессов при скоростях, значительно меньших скорости света.
Пусть волновой пакет распространяется в среде, которая
сама движется с постоянной скоростью V. Пусть энергия пакета
по отношению к среде, т. е. в движущейся системе координат,
равна &ь. В неподвижной системе координат энергия пакета &к
будет, вообще говоря, отлична от 1Гк> и связь между ними мож-
можно найти с помощью галилеевой инвариантности. Для этого на-
наряду с волной рассмотрим некоторую частицу массы т, движу-
движущуюся со скоростью Vo = v + V, где v — относительная ско-
0 mvl mxr
рость. Энергия этой частицы равна &'9 = —ъ~~~~2 h mvV +
mV2
-|—-—. С точностью до постоянной величины mV2/2 энергия
частицы равна S°p = 8р + pV, где S'p — энергия в системе ко-
координат, связанной со средой, а р = ту — импульс частицы.
Допустим теперь, что эта частица имеет возможность обме-
обмениваться с волной энергией и импульсом. Тогда, чтобы законы
сохранения энергии и импульса удовлетворялись одновременно
и в движущейся, и внеподвижной системах координат, соотно-
соотношение между энергией и импульсом пакета в движущейся среде
должно быть в точности таким же, как и для частицы, т. е.
^°k = ^k + PkV. B.158)
Учтем теперь, что свободная частица может интенсивно вза-
взаимодействовать с волной только при выполнении условия че-
ренковского резонанса ©к — kv = 0. При этом изменение энер-
энергии частицы по отношению к рассматриваемой среде связано
с изменением ее импульса очевидным соотношением: 8<%"v =
= mv6v = v6p. Точно таким же соотношением должны быть
связаны приращения энергии и импульса волнового пакета. Но
так как они просто пропорциональны квадрату амплитуды
и, стало быть, пропорциональны друг другу, то это значит,
что Ifk — vPk = 0 при сок — kv = 0. Так как поперечная по

;gg ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 2
отношению к к компонента скорости частицы может быть произ-
произвольной, то отсюда следует, что импульс волны Рк направлен
вдоль к и равен, поскольку vk = ©k.
Рк = -^#ь B.159)
Итак, мы нашли искомое выражение для Рк. Теперь мы видим,
почему имеет смысл введение величины -Vk—числа волн в па-
пакете. С ее помощью энергия и импульс пакета выражаются очень
лросто:
&k = akNk, Pk = kAfk. B.160)
Соответственно упрощается и связь между энергией волны
в движущейся и в неподвижной системах координат. Сравнивая
B.160) с B.158), мы видим, что энергия волны меняется в точ-
точности так же, как и частота вследствие допплеровского сдвига,
т. е.
Число волн Afk и импульс Рк при переходе из одной системы
координат в другую, естественно, сохраняются.
Обратим еще раз внимание на то, что отношение энергии
волны к ее импульсу равно фазовой скорости: &\ = УфР^. Та-
Таким образом, чем меньше фазовая скорость, тем более «тяже-
«тяжелым» является волновой пакет, т. е. тем больше его импульс
при одной и той же энергии. «Быстрые» волны являются и наи-
наиболее «легкими».
4. Волны с отрицательной энергией. На первый взгляд ка-
кажется довольно естественным считать, что энергия волнового па-
пакета всегда положительна: ведь, как правило, на возбуждение
волны приходится затрачивать энергию. Для равновесных сред
положительность энергии волн может быть даже строго доказана
[2]. Однако для неравновесных сред это не так, и поэтому в
плазме, которая очень часто бывает неравновесной, волны не-
нередко обладают отрицательным знаком энергии. Отрицатель-
Отрицательность энергии волнового пакета означает, что для его создания
требуется не ввести энергию, а отнять некоторое количество
энергии от среды.
Самый простой пример волны с отрицательной энергией воз-
возникает при рассмотрении волн в движущихся средах. Пусть
плоская волна распространяется вдоль оси х, так что k = kx,
и ее частота со = ©к. Энергия такой волны равна $ = tok^-
Допустим теперь, что вся среда приходит в движение со ско-
скоростью Vx = —уо против направления распространения волны,
т. е. влево. При этом произойдет допплеровский сдвиг частоты

V i g ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН 89»
г е>о = фк — kv0 и соответственно уменьшится энергия «§Г° =
= (<оь — kvo)N. Будем увеличивать скорость среды v0. Тогда
яри достижении скорости v0, равной фазовой скорости волны,.
волна в неподвижной системе координат остановится, и ее ча-
стота, а стало быть, и энергия обратятся в нуль. Если же ско-
скорость vo станет больше фазовой, то энергия волны изменит знак
й станет отрицательной. При таком сверхзвуковом движении
среды (если волна — звуковая) волна сносится средой и рас-
распространяется влево, хотя и по отношению к среде она распро-
распространяется вправо. Энергия такой «отстающей» волны отрица-
отрицательна, т. е. для ее возбуждения нужно не передавать энергию
среде, а отнимать энергию от среды.
Заметим, в частности, что известное условие Ландау для
предельной скорости сверхтекучего движения гелия,.
8\— РкЩ > 0, где Жъ, — энергия, ръ, — импульс возбуждения в
гелии, эквивалентно условию отсутствия возбуждений с отри-
отрицательной энергией по отношению к лабораторной системе ко-
ординат, т. е. по отношению к стенкам капилляра, по которому
течет гелий.
Учитывая знак энергии волн, можно несколько по-другому
взглянуть и на явление черенковского излучения, или обтека-
обтекания тел потоком. Нетрудно видеть, что условие черенковского-
. Излучения ©к — kvo = 0, где Vo — скорость частицы, или обрат-
«аи ей скорость обтекающего потока, означает, что частота со-
ответствующей волны, а следовательно, и ее энергия, обра-
.Шаются в нуль в системе координат, связанной с частицей.
-.'ЭДажно сказать, что при обтекании тела от него отходят только-
волны с нулевой энергией. Это вполне естественно, так как по-
гКШщееся тело работы не совершает.
** Если же тело имеет еще внутренние степени свободы и мо-
совершать колебания, т. е. если это осциллятор с часто-
©о, то может происходить обмен энергией между волной и
сциллятором. Он происходит при условии резонанса:
со — kv0 = ©о или со — kv0 = — соо- B.162)-
В первом случае условие резонанса удовлетворяется при по-
положительной частоте со—kvo волны и соответственно положи-
м>ной ее энергии. При этом говорят о нормальном допплер-
^фекте при резонансе. Во втором случае резонанс осуществ-
осуществится для волны с отрицательной энергией, и соответственно
акой резонанс принято называть аномальным. При аномальном
аопплер-эффекте осциллятор, излучающий волну, не теряет, а
Набирает энергию, поскольку волна в его системе координат
имеет отрицательную энергию. У плазмы в магнитном поле та-
такими осцилляторами являются заряженные частицы, совершаю-
"~ае циклотронное вращение. При этом со0 может быть равна;.

90 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 2
любой гармонике циклотронной частоты, и соответственно усло-
условие резонанса имеет вид
со — kzvz = nQa, B.163)
где_д — целое число, положительное для нормального и отрица-
отрицательное для аномального допплер-эффекта, a vz — скорость ча-
частицы вдоль силовой линии (или взятая с обратным знаком
скорость обтекающей среды).
Мы рассмотрели только самый простой случай, связанный с
движением среды, когда по отношению к среде волна имела
положительную энергию. В неравновесной плазме могут встре-
встретиться и более сложные ситуации, когда даже в неподвижной
среде энергия волны, определенная общим выражением B.150),
оказывается отрицательной. Разумеется, это может быть только
в том случае, когда плазма далека от равновесия. Например,
волны с отрицательной энергией могут существовать в плазме,
удерживаемой в зеркальной ловушке (с магнитными пробками),
в том случае, когда функция распределения частиц отвечает
инверсной заселенности из-за того, что частицы с малой попе-
поперечной компонентой скорости в такой ловушке не удержива-
удерживаются. Волны с отрицательной энергией могут быть также в
плазме с пучками заряженных частиц.
5. Параболическое уравнение. Полученные выше уравнения
B.141), B.157) для к и |Гк соответствуют приближению геомет-
геометрической оптики, когда длина волны считается исчезающе ма-
малой по сравнению с характерными размерами волнового пакета.
Но в принципе можно учесть малые члены порядка отношения
длины волны к размеру пакета и тем самым приближенно опи-
описать дифракцию волн. Для почти монохроматической волны эта
процедура приводит к так называемому параболическому урав-
уравнению, предложенному впервые М. А. Леонтовичем [61].
Рассмотрим опять почти монохроматическую волну и для
простоты допустим, что среда является изотропной, так что ча-
частота зависит только от абсолютного значения волнового числа.
Представим электрическое поле волны в виде
Е = ек(Яехр (— ia>Qt + ikox) -f к. с, B.164)
который отличается от B.138) тем, что теперь в Е мы учиты-
учитываем медленное изменение как амплитуды, так и фазы (со вре-
временем и в пространстве).
Здесь ko — волновое число, а ©о = со(?о)—соответствующая
ему собственная частота, ек0— вектор поляризации, который мы
для простоты будем считать постоянным, что справедливо для
плавного пакета, когда ko значительно больше обратного раз-
размера пакета. Будем считать, что ось х прямоугольной системы
координат направлена вдоль kg.

фб] ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН 91>
Комплексную амплитуду Е, медленно меняющуюся в про-
пространстве и со временем, можно разложить в интеграл Фурье:
¦А
% '- Е = J ?xVехр (- М + гхг)dx dv, B.165>
181 где область интегрирования по х ~ 1/L, а по v~ 1/Г, L—ха-
L—характерный размер пакета, Т ~ L/vr — характерное время его
"изменения.
Если B.165) подставить в B.164), то само поле Е будет
представлено в виде интеграла Фурье, причем его компонента
Еко> оказывается равной Екш = ?k,ExV при к = ко + х, co=coo+v.
' Но в фурье-разложении Е могут присутствовать лишь те гар-
гармоники, у которых частота со совпадает с собственной частотой,
т. е. (со — сок) Екю=0. Отсюда следует, что (соо + v—со^+х) ?*v=(>
и, следовательно, имеет место соотношение
J (v - coke+i< + coj ?KV exp (— ivt + гхг) dv dx = 0. B.166)
i
« - Так как х мало, то мы разложим сок„+х — ©к, в ряд по х и учтем
члены до второго порядка включительно. По предположению,.
©к зависит только от абсолютной величины k, и поэтому
¦
'где
*г * <Эсо , <Э2ш
i~;r т~дк>
1 ""Если подставить эти выражения в B.166) и учесть, что v = i-^-,
= — /-з-,то мы получим уравнение для комплексной ампли-
дЕ дЕ vr v' дЕ
B.168)
Это и есть параболическое уравнение. Если отбросить два
'¦последних малых слагаемых, то мы получим уравнение пере-
переноса -дт- + vT -т- = 0 в приближении геометрической оптики.
С учетом же этих членов достигается более точное описание па-
\- кета, в которое приближенно включаются дифракционные эф-
Т.'.фекты.

<J ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 1
§ 6. Волны в неоднородных средах
1. Квазиклассика. Если плазма является неоднородной, то
проблема описания ее колебаний существенно усложняется.
¦С математической точки зрения это усложнение состоит в том,
что теперь приходится иметь дело с дифференциальными (или
интегральными) уравнениями с переменными коэффициентами,
решение которых сопряжено с большими вычислительными труд-
трудностями. Но кроме этого чисто формального усложнения, кото-
которое заключается в более утомительном описании тех же ветвей
колебаний, которые имелись у однородной плазмы, проблема
колебаний неоднородной плазмы структурно становится гораздо
сложнее из-за того, что могут появиться, и действительно появ-
появляются, новые, подчас довольно неожиданные, ветви колебаний
неоднородной плазмы, в частности неустойчивые ветви. Поэтому
в теорию колебаний неоднородной плазмы должна быть вклю-
включена вся теория неустойчивостей, представляющая к настоящему
времени самостоятельную обширную область теории плазмы.
Ясно, что ее содержание далеко выходит за рамки настоящего
параграфа, и здесь мы вынуждены ограничиться только крат-
краткими комментариями.
Среди различных ветвей колебаний неоднородной плазмы,
естественно, содержатся и те ветви, которые имеются у одно-
однородной плазмы. Если длина волны соответствующих волн значи-
значительно меньше характерных размеров плазменного образования,
то для описания их распространения может быть использован
формализм волновых пакетов. Соответствующее приближение,
хорошо известное под названием квазиклассического, или гео-
геометрически-оптического, является достаточно универсальным и
применимо практически к любым волнам, в особенности если
речь идет о средах с одномерной неоднородностью.
Пусть, например, параметры плазмы изменяются в зависи-
зависимости только от координаты г, а волновой вектор к имеет ком-
компоненты kx и kz (так что ky = 0). Тогда собственная частота
колебаний, которая может быть найдена из локального диспер-
дисперсионного уравнения в приближении однородной среды, является
функцией со = a(kx, kz, z). Допустим, что рассматривается за-
задача о распространении волны от гармонического источника,
¦совершающего колебания с частотой со0- После того как соот-
соответствующее волновое поле установится в пространстве, волно-
волновое число должно быть стационарным в каждой точке простран-
пространства, так что согласно B.141) Vo) = 0, т. е. со(/г.г, kz, z) = ю0 =
= const.
Если пакет очень широкий, то при фиксированном z компо-
компоненты kx и kz должны быть постоянными и не должны зависеть
от х. А так как волновое поле к является безвихревым, к = Уф,

§ 6J ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ 93
dkr d2w dkz n «_
то -Q*- = дг дх = -fa- = 0, т. е. из независимости kz от х выте-
вытекает постоянство kx: kx = const. Таким образом, из соотноше-
соотношения (o(kx, kz, z) = coo вытекает, что kz является функцией г:
величина kz все время «подстраивается» таким образом, чтобы
локальная частота колебаний равнялась внешней частоте.
Обратимся теперь ко второму уравнению динамики волновых
пакетов — уравнению переноса энергии B.155). В стационарном
одномерном случае оно принимает вид -j-vvJ%=0. Так как $
пропорционально квадрату амплитуды колебаний Е2, то отсюда
следует Е2 ~ const/yrz. Там, где групповая скорость стремится
к нулю, происходит «сгущение» пакета, а его амплитуда стре-
стремится к бесконечности. Эта точка соответствует точке поворота
пакета, т. е. его отражению от области непрозрачности.
Рассмотрим в качестве простейшего примера задачу о паде-
падении на плазму поперечной волны из вакуума. В данном случае
а>2 = оJ= c2k2 + со2 . Пусть волна падает на плазму снизу вверх,
а плотность плазмы возрастает с г. Тогда из дисперсионного со-
соотношения находим
К = V^-^-^2- B-169)
Как мы видим, по мере увеличения плазменной частоты
<оре = л/4ле2п/те величина kz уменьшается и в точке ч>\е =
= оJ — сгк\ обращается в нуль. Так как с^ = с2 (k\ + fe|0), где
kzo — значение волнового числа в вакууме, то эта точка соответ-
соответствует частоте
< = (Оо^Т^ = ^^20. B-170)
Rx "Г" «гО
где 8 — угол падения волны на плазменный слой. Точка kz = О
(при этом и vrz = 0) соответствует точке отсечки электромаг-
электромагнитной волны: в более глубокие слои волна не может проник-
проникнуть из-за непрозрачности плазмы. Если угол 8 близок к л/2,
то эта точка близка к точке плазменного резонанса соо = соре,
в которой внешняя частота совпадает с ленгмюровской.
В результате появляется возможность так называемой транс-
трансформации волны из поперечной в продольную. Она заключается
в следующем. Если электромагнитная волна поляризована та-
таким образом, что ее электрическое поле лежит в плоскости х, г,
то вблизи точки отсечки, где kx ~Э> kz и поперечная волна рас-
распространяется почти вдоль оси х, ее электрическое поле оказы-
оказывается направленным вдоль г. За точкой отражения, где kz ста-
становится мнимым, электрическое поле экспоненциально убывает
с 2, однако какая-то малая его часть успевает доходить до точки

94 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 2
резонанса со0 = й)ре. В этой точке внешнее поле раскачивает
ленгмюровскую волну, так что часть энергии от поперечной
волны передается в продольную. Этот эффект и называется
трансформацией волны. Аналогичного рода эффекты трансфор-
трансформации могут происходить и в других ветвях колебаний.
Квазиклассическое приближение применимо также к задаче
распространения магнитогидродинамических и других типов ко-
колебаний плазмы. С учетом соответствующих граничных условий
таким образом могут быть получены частоты собственных ко-
колебаний плазмы, когда вследствие отражения от границ или
точек поворота в ней могут образовываться стоячие волны.
Однако этот метод по существу является ограниченным; так, он
не позволяет уловить одну из интереснейших особенностей спек-
спектров собственных колебаний плазмы, в частности на магнито-
магнитогидродинамических ветвях, — возможность существования не-
непрерывных спектров.
2. Непрерывные спектры. Квазиклассическое приближение,
опирающееся на картину распространения волновых пакетов,
хорошо применимо только в том случае, если эти пакеты дей-
действительно распространяются через плазму. Если же групповая
скорость очень мала или вовсе обращается в нуль, как тогда
должна выглядеть картина колебаний? Чтобы описать ее, нач-
начнем с самого простого случая ленгмюровских колебаний в хо-
холодной плазме. Частота со = (оре таких колебаний не зависит
от k, так что групповая скорость равна нулю. Посмотрим, как
будут выглядеть такие колебания в неоднородной плазме.
Для описания колебаний воспользуемся уравнением
/Ч2Р
-^ + co2peE = -c2rotrotE. B.171)
Это уравнение нетрудно получить, если продифференцировать
по времени B.82), исключить затем В с помощью B.83), а для
плотности тока воспользоваться линеаризованным уравнением
движения электронов-gj =— ея-^- = -^-Е. Уравнение B.171)
описывает как продольные, так и поперечные волны в плазме.
Для продольных волн Е = —Уф, и если применить операцию rot
к B.171), то получим [Уф, Vn] = 0. Это значит, что для потен-
потенциальных колебаний поверхности постоянной плотности, строго
говоря, должны быть эквипотенциальны.
Рассмотрим сначала именно такие колебания. Тогда
-pVra, и уравнение B.171) запишется в виде
BЛ72)
Отсюда видно, что в каждой точке потенциал колеблется с ча-
частотой, равной локальной плазменной частоте. Для любого зна-

$ 6] ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ 95
чения со = со° можно построить разрывное решение B.172),
когда ~- = Ь(п — п°), т. е. потенциал является ступенчатой
функцией с разрывом в точке, отвечающей выбранному значе-
значению собственной частоты. Колеблется только тонкий слой элек-
электронов вблизи поверхности п = const, отвечающей заданной ча-
частоте со, и при таких колебаниях он является гармонически ко-
колеблющимся двойным электрическим слоем. Итак, мы видим,
что данной задаче отвечает непрерывный спектр колебаний,
колебания могут происходить на любой плазменной частоте о)ре,
какая только может быть в данном плазменном сгустке, от
соретах до сореmin, которые определяются соответственно макси-
максимальной и минимальной плотностями электронов.
Если в таком сгустке произвести некоторое начальное воз-
возмущение, при котором все электроны смещаются в одну сто-
сторону, то сначала электроны будут колебаться совместно около
положения равновесия. Со временем, однако, фазы колебаний
отдельных слоев начнут расходиться друг от друга. Другими
словами, согласно уравнению -^- = Vco волновой вектор будет
линейно возрастать со временем: k = ?Vcope, причем тем быст-
быстрее, чем больше градиент плотности в данной точке. Вследствие
возрастания k будет монотонно падать амплитуда колебаний
электрического поля, так как будет уменьшаться область с од-
одной фазой колебаний.
Рассмотренная картина является типичной для системы с не-
непрерывным спектром, каковой является неоднородный сгусток
плазмы по отношению к ленгмюровским колебаниям. Затухание
же колебаний из-за разбегания фаз сходно с затуханием Лан-
Ландау, где то же явление имело место в пространстве скоростей,
в котором разбегались по фазам волны Ван-Кампена, также
имевшие непрерывный спектр.
Рассмотрим теперь ленгмюровские колебания более общего
вида. Допустим, что длина волны таких колебаний много мень-
меньше, чем с/соре- Тогда в уравнении B.171) правую часть фор-
формально следует считать большой по сравнению с левой, и его
можно решать методом последовательных приближений. В ну-
нулевом приближении имеем Е = —Уф. Для получения следую-
следующего приближения, как обычно, следует потребовать, чтобы ма-
малая левая часть удовлетворяла условию ортогональности к ре-
решению однородного уравнения нулевого приближения. В дан-
данном случае это условие сводится к равенству нулю дивергенции
левой части, т. е.
^ 0. B.173)

96 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ П"Л. 2
Допустим опять, что плотность п зависит только от коорди-
координаты 2, и будем искать решение в виде ср(г) ехр(—iat + ikx).
Тогда для линейного профиля плотности п = по[\ —(z/L)] урав-
уравнение B.173) примет вид
со2 - со°Д /W4
Это уравнение также имеет непрерывный спектр собственных
значений, но все они комплексны, поскольку соответствуют за-
затухающим колебаниям с частотами, близкими к ленгмюровской
частоте в произвольной точке z.
Для ленгмюровских колебаний непрерывный спектр является
следствием нулевой групповой скорости. В результате этого все
колебания носят локальный характер и никуда не переносятся
со временем. Оказывается, что аналогичное явление может
иметь место для других ветвей колебаний, в частности для маг-
нитогидродинамических.
В самом деле, рассмотрим, например, альвеновскую волну.
У такой волны, как мы знаем, групповая скорость направлена
вдоль магнитного поля. Поэтому в слое плазмы, в котором аль-
веновская скорость зависит, скажем, от поперечной координа-
координаты х (например, из-за зависимости массовой плотности от х),
но слой однороден вдоль магнитного поля, будет иметь место
практически такой же эффект, как для ленгмюровских волн.
Действительно, поскольку поперечная компонента групповой
скорости равна нулю, волны в соседних слоях не будут влиять
друг на друга, распространяясь вдоль магнитного поля каждая
со своей локальной альвеновской скоростью.
В результате любое начальное возмущение будет рассыпать-
рассыпаться на отдельные разбегающиеся по фазам слоистые волновые
пакеты, и суммарная амплитуда колебаний будет как бы зату-
затухать со временем.
Этот эффект был обнаружен экспериментально при наблю-
наблюдении распространения альвеновской волны на плазменном
шнуре, образуемом при 8-пинчевом схлопывании плазмы. С по-
помощью небольшого импульсного возмущения поперечного маг-
магнитного поля можно создавать начальное смещение плазменного
шнура, которое потом должно было бы разбегаться в стороны в
виде импульсов, соответствующих альвеновской волне. Однако
в действительности возмущения очень быстро затухают и прак-
практически не распространяются вдоль шнура. Этот факт был объ-
объяснен неоднородностью плотности плазмы поперек шнура [66],
в результате которой возмущения на разных расстояниях от оси

5 6] ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ 97
бежали вдоль шнура с разными скоростями и быстро разбега-
разбегались по фазам. Проведенные впоследствии специальные экспери-
эксперименты по эволюции во времени начальных периодических попе-
поперечных возмущений плазменного шнура в магнитном поле [67]
показали хорошее соответствие с теорией, основанной на непре-
непрерывности спектра альвеновских волн.
Оказывается, что непрерывность спектра собственных коле-
колебаний неоднородной плазмы имеет место и для других ветвей
магнитогидродинамических волн. Этот результат был недавно
получен Градом [68] на примере цилиндрического плазменного
столба с током в продольном магнитном поле. В таком шнуре
магнитное поле имеет продольную Bz и азимутальную Бе компо-
компоненты. Если рассмотреть возмущение с винтовой симметрией
вида ехр(/&2г + imQ), то альвеновской волне будет соответ-
соответствовать частота ®>\ = саЦ~~4~п—(^Вг +-у-вЛ . Эти вол-
волны, как мы уже обсуждали выше, бегут независимо друг от
друга в виде тонких цилиндрических слоев. Оказывается, что
две другие волны — замедленная и ускоренная магнитозвуко-
вые, частоты которых определяются дисперсионным уравнением
B.21), в котором k2 = k\ -f m2/r2, kz-+- &ii, так что kr та О, также
распространяются внутри тонких цилиндрических слоев неза-
независимо друг от друга, обладая, таким образом, непрерывным
спектром частот. Кроме этого, имеется еще одна ветвь колеба-
колебаний с непрерывным спектром, которая отвечает точкам заостре-
заострения С на диаграмме Фридрихса рис. 13, б. Волновой пакет, об-
образованный волнами вблизи этих точек, является почти одномер-
одномерным (плоским) и тоже имеет тенденцию распространяться точно
вдоль силовых линий.
Итак, вместе с альвеновской волной существуют четыре ветви
колебаний с непрерывным спектром. Эти ветви, разумеется, ни-
никак не могут быть получены с помощью квазиклассического
приближения, поскольку все они соответствуют особым поверх-
поверхностям, где &г-»-0, и квазиклассическое приближение непри-
неприменимо. Существование непрерывных спектров принадлежит
к весьма интересным свойствам одножидкостной магнитной гид-
гидродинамики.
Мы здесь полностью обошли молчанием неустойчивые ветви
колебаний плазмы, обсуждение которых будет отложено до гл. 5.

Глава 3
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Простые волны
1. Пучок невзаимодействующих частиц. Нелинейные колеба-
колебания непрерывных сред являются, конечно, гораздо более слож-
сложными, чем рассмотренные нами выше линейные. Прежде всего
здесь отсутствует принцип суперпозиции, и поэтому, грубо го-
говоря, нелинейных процессов «гораздо больше», чем линейных.
Соответственно и физика нелинейных явлений намного богаче.
Чтобы постепенно и естественным образом войти в область
нелинейных явлений, целесообразно начать с самых простых не-
нелинейных эффектов, являющихся естественным обобщением
рассмотренных ранее линейных. Прежде всего представляется
естественным исследовать, чтб будет происходить с плоскими
бегущими волнами по мере увеличения их амплитуды. Как мы
увидим ниже, ситуация здесь оказывается существенно различ-
различной для диспергирующих сред и сред без дисперсии. Обращаясь
к низкочастотным волнам в плазме, предпочтительнее начинать
с волн без дисперсии, а затем, включив в рассмотрение слабую
дисперсию,.исследовать ее влияние на нелинейные волны. Такой
подход является достаточно общим, он применим ко всем ветвям
колебаний со слабой дисперсией, в частности ко всем магнито-
гидродинамическим волнам в плазме.
Прежде чем переходить к собственно волнам, удобно рас-
рассмотреть следующую очень простую модель. Пусть имеется не-
неограниченный по оси х пучок невзаимодействующих частиц. Ско-
Скорость каждой частицы и остается постоянной, так что
Совокупность невзаимодействующих частиц, разумеется, не
является нелинейной системой, однако уравнение C.1) внешне
выглядит как нелинейное и имеет, как мы увидим, решения,
обладающие характерными свойствами нелинейных волн.
Рассмотрим сначала малые колебания однородного пучка с
постоянной скоростью ио: v = v0 -f- V. Полагая v' =

ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ
99
= v' exp(—Ш + ikx) и линеаризуя C.1), получим дисперсион-
дисперсионное соотношение для линейных волн
со = kvn.
C.2)
Отсюда видно, что в линейном приближении мы имеем дело с
недиспергирующей средой: Оф = co/fe = const. Допустим теперь,
что на пучок накладывается некоторое начальное возмущение
скорости, которое имеет вид a sin kx. Эволюцию этого возмуще-
возмущения удобно рассмотреть в движущейся со скоростью и0 системе
координат, полагая х = х' + vot, v = ий + и. В этой системе
имеем (опуская штрих у л:')
du ди
ди
C.3)
и .
1
Удобнее всего проследить за пучком с помощью фазовой
плоскости х, и, на которой каждая точка перемещается со вре-
временем со своей собственной ско-
скоростью (рис. 22). Таким образом,
верхняя полуплоскость движется
вправо, нижняя — влево, причем
скорость любой точки пропорцио-
пропорциональна ее удалению от оси х. На-
Начальное состояние пучка пред-
представляется на этой плоскости
синусоидой, а затем эта кривая
искажается, двигаясь вместе с
фазовой плоскостью. Соответ-
Соответственно искажается и профиль
ВОЛНЫ: чаСТИЦЫ С U > О забе-
гают вперед, а с и < 0 отстают
от волны. В результате волна
постепенно становится круче, и
в конце концов производная -т— обращается в бесконечность
на. ее переднем фронте. В следующий момент происходит
опрокидывание волны, и функция и(х) перестает быть одно-
однозначной, у нее появляются точки поворота, т. е. образуются
встречные пучки. Со временем эти точки поворота раздвигаются,
и число встречных пучков неограниченно возрастает. По проше-
прошествии достаточно большого промежутка времени число пучков
с разными скоростями становится настолько велико, что можно
приближенно говорить о функции распределения частиц по ско-
скоростям f(u).
Интересно проследить за изменением плотности частиц.
Легко видеть, что как только начинается искажение профиля
волны, появляется возмущение плотности: в точках / и 2 рис. 22
4* Б, Б. Кадомцев
Рис. 22. Опрокидывание волны в
пучке свободных частиц; и — ско-
рость, п — плотность.'

100
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. 3
частицы сгущаются и плотность возрастает. Возникает та самая
бунчировка частиц, которая используется в клистронах для ге-
генерации сверхвысокочастотных колебаний. Нарастание возму-
возмущения плотности продолжается до тех пор, пока производная
¦—-, а вместе с ней и плотность в точках /, 2 не обратятся
в бесконечность. После опрокидывания профиля и(х) на зависи-
зависимости плотности от х появляется удвоенное число особенностей
(рис. 23). Затем, по мере возрастания
числа встречных пучков, происходит
увеличение числа «пичков» на графике
плотности одновременно с уменьше-
уменьшением их амплитуды, и плотность опять
стремится стать однородной. В преде-
пределе можно приближенно говорить об
однородном распределении частиц с
функцией распределения по скоростям
f(u).
Итак, рассмотрение этого простей-
простейшего случая обнаруживает много эф-
эффектов, которые явно выходят за рам-
рамки процесса простого распространения
синусоидальной линейной волны без
искажения. А именно, происходит ге-
генерация высших гармоник, доходящая
затем до «опрокидывания» волны,
появляются и затем быстро нарастают
возмущения плотности. Как мы увидим ниже, эти процессы отно-
относятся к кругу типичных проявлений нелинейности системы.
Эта нелинейность проявляется и непосредственно в уравне-
уравнении C.3), которое удобно переписать в виде
4^ = _ы^1. C4)
dt ax v ' '
В линейном приближении правую часть C.4) можно отбросить,
что соответствует стационарному профилю линейной волны в
рассматриваемой системе координат. Если теперь, действуя в
духе метода последовательных приближений, подставить в пра-
правую часть линейное приближение u<'> = a sin kx, то получим
Рис. 23. Многопотоковое те-
течение модулированного по
скорости пучка; и — ско-
скорость, п — плотность.
- = — ka2 sin kx cos kx = r— sin 2kx,
C.5)
где через и& обозначена добавка второго порядка малости. От-
Отсюда видно, что и'2' соответствует появлению второй гармоники,
причем ы<2> линейно нарастает со временем, и спустя время
/ ~ \/ka амплитуда второй гармоники дорастает до амплитуды
первой. Ясно, что для промежутков времени такого порядка и

§ 1] ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ Ю1
больше метод последовательных приближений становится не-
неприменимым.
Из выражений C.4) и C.5) несколько с другой точки зрения
видно, почему для описанного выше процесса опрокидывания
волны важно отсутствие дисперсии. Как видно из C.5), вторая
гармоника только потому и имеет возможность нарасти до боль-
большой амплитуды, что она все время покоится в рассматриваемой
системе координат (т. е. движется с той же скоростью, что и
линейная волна в лабораторной системе координат). Если была
бы дисперсия, так что фазовая скорость второй гармоники от-
отличалась бы от фазовой скорости первой гармоники на величину
= v$Bk)—ОфF), то уравнение C.5) следовало бы записать
+Д sin2fex C.6)
так что мы получили бы ограниченное по амплитуде решение,
удовлетворяющее начальному условию ыB'|<=о = 0:
и<2> = -J?— {cos 2kx - cos 2k (x - ДОфО). C.7)
При малой амплитуде а эта величина все время имела бы вто-
второй порядок малости. При Диф —> 0 метод последовательных при-
приближений становится неприменимым. Отсюда ясно видна раз-
разница между недиспергирующими и диспергирующими средами.
В недиспергирующих средах все гармоники остаются в резо-
резонансе друг с другом, и поэтому возможна сильная перекачка
энергии от одних гармоник к другим вплоть до опрокидывания,
т. е. появления бесконечных гармоник, отвечающих возникнове-
возникновению особенности на профиле волны. В диспергирующих средах
такая сильная перекачка, вообще говоря, должна отсутствовать.
Рассмотренная здесь простая модель пучка невзаимодей-
невзаимодействующих частиц дает возможность обсудить еще один важный
эффект, который нам встретится позднее при рассмотрении не-
нелинейных кинетических явлений в плазме. Мы имеем в виду
обратимость во времени. Как было установлено выше, при эво-
эволюции модулированного пучка во времени возникает опрокиды-
опрокидывание волн и возникновение многопучковых состояний, причем
число пучков со временем нарастает. Кажется, что в пределе
образуется распределение, в котором уже почти невозможно
выделить отдельные пучки и которое лучше всего можно опи-
описать функцией распределения частиц по скоростям f(u). Но это
описание не является точным. Более того, строго говоря, оно
неправильно.
В самом деле, пучок невзаимодействующих частиц не содер-
содержит каких бы то ни было механизмов диссипации и является
точно обратимой системой. Поэтому, если в какой-то момент

!02 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
времени обратить все скорости, то мы должны воспроизвести
всю картину эволюции пучка в обратном порядке. А именно,
на однородном, казалось бы, фоне почти непрерывного распре-
распределения частиц по скоростям начнут образовываться нарастаю-
нарастающие со временем сгустки плотности, число их будет уменьшать-
уменьшаться, а величина нарастать, затем возникнут большие сгустки,
отвечающие профилю волны скорости вблизи опрокидывания, и,
наконец, мы придем к однородному распределению плотности
со скоростью, модулированной по закону a sin kx. Другими сло-
словами, мы должны вернуться к начальному состоянию, но с об-
обратными скоростями, которое затем будет эволюционировать
так же, как было описано ранее.
Можно сказать, что в многопотоковом состоянии пучка,
функция распределения которого кажется почти непрерывной, в
действительности сохранена вся информация о начальном со-
состоянии, от которого он эволюционировал, и при обращении
скоростей частиц вся эта информация может быть извлечена.
Реально, конечно, нет возможности сразу заменить скорости
всех частиц на обратные. Оказывается, однако, что имеется
другая возможность извлечь заключенную в многопотоковом
пучке информацию. Эта возможность — эффект эха, который мы
рассмотрим в гл. 4.
2. Простые волны. Перейдем теперь к рассмотрению соб-
собственно простых волн в недиспергирующих средах. Простыми
волнами называются особые нелинейные волны, являющиеся
самым простым обобщением бегущих линейных волн. Фактически
это просто бегущие волны с учетом нелинейности, которая в не-
недиспергирующих средах приводит к их искажению со временем.
Так как мы не столько стремимся к общности и строгости
изложения, сколько к выяснению качественной стороны явлений,
то в качестве типичного примера простой волны рассмотрим
частный случай распространения длинноволновых возмущений
ионно-звукового типа в электронно-горячей плазме. Электрон-
Электронную температуру плазмы можно считать постоянной в силу
большой электронной теплопроводности. Соответственно урав-
уравнения для распространения волн в такой плазме имеют вид
dt ' дх ' tn{ п дх х '
где Те — электронная температура, яг,- — масса иона (темпера-
(температуру ионов считаем пренебрежимо малой). Уравнения C.8),
C.9) обладают, разумеется, гораздо более широким классом ре-
решений, чем одни лишь простые волны. Поэтому прежде всего
возникает вопрос, как выделить искомое решение.

j t] ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ ЮЗ
Для этого вспомним, что в линейном приближении для воз-
возмущения плотности п' и скорости v' в бегущих волнах мы имеем
соотношения типа v' = a sin k{х— cst), n' = Ь sin k(x— cat),
где Cs = '\jTelml — скорость звука. Как мы видим, плотность из-
изменяется по тому же закону, что и скорость. Можно сказать, что
одна величина является функцией от другой: п = n(v). Есте-
Естественно принять, что и в нелинейной волне типа простой волны
профиль будет эволюционировать таким образом, что одна из
указанных величин будет оставаться функцией от другой. По-
Поэтому для выделения решения типа простой волны положим
n = n(v). Тогда уравнения C.8), C.9) могут быть записаны
в виде
{+-I + 17TJ-* <ЗЛ0>
Умножая первое из этих уравнений на —г- и вычитая из вто-
рого, найдем после сокращения на -*—:
l
dv
C.12)
Отсюда получаем cs —т- = ± п. Подставляя это значение в урав-
уравнение C.10) или C.11), находим
-|f+ (f±Cj)-g- = 0. C.13)
' Таким образом, мы приходим к уравнению точно такого же
вида, как и для пучка невзаимодействующих частиц, с той лишь
разницей, что теперь перед нелинейным членом стоит множи-
множитель v ± cs вместо v. Переходя в систему координат, движу-
движущуюся со скоростью звука, мы получим в точности уравнение
вида C.3) для пучка невзаимодействующих частиц. Можно ска-
сказать, что в данном случае мы имеем дело с «пучком» невзаимо-
невзаимодействующих фононов — звуковых возбуждений.
Отсюда следует, что для профиля скорости звуковых волн
большой амплитуды также должно иметь место явление «укру-
чивания» фронта. В обычной газодинамике это «укручивание»
продолжается все время, пока скорость v(x) остается однознач-
•Иой. Но как только -г- обратится в бесконечность, начинает
'ормироваться ударная волна, на фронте которой происходит
Диссипация энергии вследствие вязкости.

104 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
Заметим, что уравнение C.13) остается справедливым и для
уравнений газодинамики, когда с., не является постоянной, а
сама может рассматриваться как функция п или v. Соответ-
Соответствующее обобщение уравнения вполне очевидно, и мы не бу-
будем его здесь подробно рассматривать. Ясно, что при с8 = са(п)
вывод об опрокидывании волны остается в силе.
3. Магнитогидродинамические волны. Аналогичным образом
могут быть получены решения типа простых волн и для других
типов возмущений в проводящем газе. Например, при попереч-
поперечном распространении быстрой магнитозвуковой волны в плазме
низкого давления имеем
dv . dv , 1 д в2 г. ,„ . ..
+ у + 0 <ЗЛ4)
¦F
Эти уравнения аналогичны уравнениям газовой динамики с по-
показателем адиабаты у = 2, поскольку- из последних двух урав-
уравнений вытекает В/п = const и, следовательно, В2/8п ~ п2. Соот-
Соответственно все выводы обычной газодинамики об опрокидыва-
опрокидывании нелинейных волн автоматически переносятся и на попереч-
поперечные магнитозвуковые волны.
Аналогичное рассмотрение может быть проведено и для ко-
косого распространения магнитозвуковых волн с тем же самым
результатом: из-за наличия нелинейного по скорости члена и
увеличения фазовой скорости при сжатии потока магнитного
поля происходит «опрокидывание» волны. Несколько более свое-
своеобразная ситуация возникает лишь в случае альвеновской вол-
волны. В такой волне перемещение среды происходит поперек на-
направления распространения волны, так что нелинейный член
(vV)v обращается в нуль (дифференцирование производится в
плоскости постоянной фазы). Вследствие этого в несжимаемой
среде (В2 <^С 8я/э) оказывается возможным распространение
альвеновских волн конечной амплитуды без искажения. Однако
в более реальных случаях f$ ~ 1 или р <С 1 альвеновская волна
также «опрокидывается» из-за перекоса силовых линий. Вслед-
Вследствие перекоса к упругому натяжению силовых линий добав-
добавляется давление из-за их сжатия, так что фазовая скорость
возмущений в этом месте несколько увеличивается. В резуль-
результате возмущения с большой амплитудой догоняют возмущения
малой амплитуды, и происходит «опрокидывание». При этом об-
образуется так называемый вращательный разрыв — аналог удар-
ударных волн для альвеновской волны.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ Ю5
§ 2. Нелинейные волны в слабодиспергирующих
средах
1. Нелинейность и дисперсия. Рассмотренный выше процесс
укручивания и опрокидывания волн существенно связан с отсут-
отсутствием дисперсии. Именно из-за отсутствия дисперсии все вол-
' цы малой амплитудь/ с различными волновыми числами k рас-
распространяются с одинаковой скоростью и имеют возможность
длительное время взаимодействовать между собой, так что
„ррке небольшая нелинейность рано или поздно должна приве-
привести к накоплению искажения (если нет затухания, которое мо-
'жет привести к исчезновению волн до того, как успеет проявить-
проявиться нелинейность).
В диспергирующих средах картина существенно изменяется.
Даже при малой дисперсии фазовая скорость волн с различ-
-даши к все же неодинакова, и дисперсия может конкурировать
-с нелинейностью, в особенности вблизи точки опрокидывания,
где начинают превалировать высшие гармоники. Такие гармо-
гармоники порождаются при нелинейном искажении волны и вслед-
вследствие дисперсии будут обгонять основную волну или отставать
бт нее в зависимости от того, растет или убывает групповая ско-
рЬсть с к. Поэтому еще до опрокидывания волна может «рас-
«расползтись» на отдельные волновые пакеты (вообще говоря, нели-
'йейные), и ударная волна не образуется. Чтобы проследить бо-
более детально за физикой этого явления, не усложненного побоч-
побочными процессами, мы рассмотрим слабодиспергирующую среду
,, ^8ез диссипации, в которой эволюция волн определяется только
*(!,т ^линейностью и дисперсией, и будем считать, что нелинейность
а- «евелика.
2. Волны на мелкой воде. В природных условиях существует
ьект, легко доступный для наблюдения распространения волн
слабодиспергирующих средах, — мелкая вода. Рассмотрим
ОЙ жидкости высотой ho над твердой поверхностью и изучим
равитационные волны в нем с длиной волны, много большей ho.
1ля простоты допустим, что волны распространяются вдоль
х, так что давление р и скорость v не зависят от перемен-
у. Поскольку длина волны велика по сравнению с ho, т. е.
13l мелкая, горизонтальную составляющую скорости можно
ятагь однородной по высоте (не зависящей от z), так что для
v имеем
*Десь давление р можно понимать в смысле среднего его зна-
"бния по высоте. Оно, очевидно, выше там, где больше высота
Жидкости, на величину (h — Ло)р? по сравнению с давлением в

106 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ (ГЛ. J
невозмущенном слое. Таким образом, уравнение C.17) прини-
принимает вид
dv . dv , dh _ ,о 1ОЧ
Высота h в свою очередь определяется уравнением непрерыв-
непрерывности
.§?- + JL(o/,) = 0, C.19)
которое выражает тот факт, что скорость изменения высоты
dh , ,
слоя -гг связана с разностью потоков hv через бесконечно
близкие сечения х и х + dx.
Уравнения C.18)", C.19) по форме совпадают с уравнениями
газодинамики с у = 2. Это означает, что в линейном прибли-
приближении волны на мелкой воде не имеют дисперсии, а в нелиней-
нелинейной волне должен иметь место эффект укручивания и опроки-
опрокидывания.
Для этих уравнений также нетрудно получить решение типа
простой волны. Для этого опять полагаем h = h(v) и, повторяя
выкладки предыдущего параграфа, получаем
Если амплитуда колебаний невелика, так что h = h0 -\- h', где
ho — невозмущенная высота, a h' <; ho, то в уравнении C.20)
можно положить
''fv, C.21)
после чего с точностью до квадратичных членов оно приводится
к виду
dv . / 3 .
Здесь с0 = Vg^o — фазовая скорость линейных волн. Переходя
в систему координат, движущуюся со скоростью +с0 или —со,
и вводя обозначение и — 3/2v, мы опять придем к уравнению
W + UW = °> C-22)
с которым уже познакомились выше.

§ 2] НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ Ю7
Таким образом, нелинейные эффекты, которые могут разы-
разыгрываться в недиспергирующих средах, можно наблюдать в лю-
любом мелком водоеме.
3. Уравнение Кортевега — де Бриза. Фазовая скорость очень
длинных волн на мелкой воде не зависит от волнового числа k
и равна просто -\JghQ. Однако при увеличении k она должна
начать изменяться, чтобы_ при очень больших k 3> l/h0 перейти
в зависимость ?>ф = Vg/& для гравитационных волн. Так как
при больших k фазовая скорость убывает и, кроме того, Оф яв-
является четной функцией от k, то при малых k она может быть
представлена в виде / ui ч
^(lJL) C.23)
где величина /г0 определяет характерную «длину дисперсии»,
на которой изменение Оф становится порядка самой этой скоро-
скорости. Для волн на мелкой воде, как можно показать, Аг0 === д/3//10.
Напомним, что аналогичное разложение при малых k имеет ме-
место и для волн в плазме, у которых v$ убывает с k, т. е. для
ионно-звуковой, альвеновской и поперечной магнитозвуковой
волн. Что касается косой магнитозвуковой волны, у которой фа-
фазовая скорость растет с k, то для нее при малых k имеет место
разложение вида C.23), но со знаком плюс перед k2/2kl.
Постараемся теперь учесть дисперсию в уравнении для про-
простых волн. Рассмотрим для определенности волну, распростра-
распространяющуюся вправо, т. е. с Оф > 0, и начнем с линейного прибли-
приближения. В этом приближении для такой волны в системе коор-
координат, движущейся со скоростью Со, мы должны согласно C.23)
получить частоту со = — c0k3/2kl. Следовательно, соответствую-
соответствующее уравнение в переменных х, t должно иметь вид
Второй член здесь учитывает дисперсию. •
Но, с другой стороны, как мы установили выше, при конеч-
конечной амплитуде возмущения уравнение должно содержать нели-
нелинейный член и -г—. В полном уравнении, в котором учтены оба
эффекта, должны содержаться и нелинейный, и дисперсионный
члены. Таким образом, полное уравнение, описывающее нели-
нелинейные волиы на мелкой воде, а также в любой слабодисперги-
рующей среде с положительной дисперсией, должно иметь вид
J^+M^L + ^L.^ = 0. C.25)
dt ^ дх 2k\ дх3 '
Это уравнение было получено Кортевегом и де Вризом в 1895 г.

108 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
Для сред с положительной дисперсией следовало бы изме-
изменить знак перед последним слагаемым. Но если при этом еще
сделать замену х->— х, и —*—и, то мы снова получим уравне-
уравнение вида C.25). Так как х у нас отсчитывается от точки с0/, то
это значит, что в средах с положительной и отрицательной дис-
дисперсией волны распространяются зеркально симметрично по от-
отношению к точке х0 = Cot, движущейся со скоростью длинновол-
длинноволновых возмущений. В силу этого достаточно рассмотреть лишь
случай среды с отрицательной дисперсией, например мелкую
воду, а для сред с положительной дисперсией решение будет
зеркально-симметричным.
4. Периодические волны, солитоны. Рассмотрим сначала не-
некоторые частные решения уравнения Кортевега — де Вриза типа
бегущих волн и = и(х — ct), где с — фазовая скорость. Точнее,
с — это малая добавка к основной фазовой скорости Со в лабо-
лабораторной системе координат. Для таких волн -тг = — с~д~> так
что C.25) становится обыкновенным дифференциальным урав-
уравнением. Его сразу можно проинтегрировать один раз и получить
где а — константа интегрирования, которую мы без ограничения
общности положим равной нулю (это всегда можно сделать при
помощи перехода в движущуюся систему
координат). Тогда уравнение C.26) может
быть представлено в виде
-щ1?--~^~' C-27)
где
W = -^- + ^-. C.28)
Воспользуемся теперь очень удобной
е^идп аналогией. Будем рассматривать х как вре-
риодических волн. мя> а и как координату некоторой матери-
материальной точки. Тогда уравнение C.27)
описывает движение материальной точки массы со/2?^ в потен-
потенциальной яме глубиной W. Другими словами, C.27) можно ин-
интерпретировать как уравнение движения для нелинейного осцил-
осциллятора. Потенциальная энергия W как функция и изображена на
рис. 24. Она обращается в нуль при и = 0, и = Зс и достигает
минимума при и = 2с. При колебаниях вблизи минимума по-
потенциальной энергии W волна является практически гармони-
гармонической: .
и — 2с + ыоехр {ik0 У 2с/со (х — ct)}.

§ 2]
НЕЛИНЕЙНЫЕ
Ш В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
Ю9
Как мы видим, i 'леблется около значения 2с, т. е. в си-
системе координат, дв? к<щейся со скоростью 2с, в которой коле-
колебания происходят ог*кр нулевого значения, волна распростра-
распространяется со скоростью^л: влево, как и должно быть при отрица-
отрицательной дисперсии. N—Л этом, поскольку волновое число k =
*= ka У2с/с0, добав»/^Р: фазовой скорости —с равна — cofe2/2fto>
как это и следует из ^ ^персионного соотношения.
По мере увеличение амплитуды колебаний волна становится
все более и более Аямметричной: как видно из графика для
потенциальной энер^си «частица» будет дольше иметь малую
V
Рис. 25. Солитоны в
S)
с отрицательной (а) и положительной (б) дис-
дисперсией.
скорость и, где ynpv гь меньше, и быстрее проскакивать зна-
значения с большим и г0с- рис. 24). И наконец, когда амплитуда
увеличится настоль^(см'то станут возможными значения и = О,
появляются исключА чгьно интересные решения типа уединен-
уединенного импульса (риЛел'5, а). При этом «точка» и бесконечно
долго находится в }¦ 2;>жении и = 0, затем она «скатывается»
в потенциальную ям!°ло, достигает значения ы0 = Зс, где W вто-
второй раз обращается^ ТРЧуль, отражается от нее и снова возвра-
возвращается в положение s tf=-0- Это решение называется уединенной
волной, или солитон." =(от английского «solitary wave»). Можно
проверить, что реше^ (Для солитона имеет вид
где д характерна^ ирина солитона. В самом деле, если мы
подставим эту функ? lu* в уравнение C.26) са = 0, то получим
= ^г л~. (З-зо)
ch2r/ 2ch4r/
f где у = (х — с/)/А. к' yn°. чт0 уравнение C.30) удовлетворяется
I пРи
= 3с, А2 =
kQ-.
ckl
C.31)

ПО НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
откуда следует соотношение
ДЧ = -%- = const, C.32)
К
т. е. произведение амплитуды солитона на квадрат его ширины
есть величина постоянная.
Таким образом, существует однопараметрическое семейство
решений типа солитонов. В качестве параметра этого семейства
может быть выбрана, например, их амплитуда. При этом ши-
ширина солитона однозначно связана с его амплитудой: чем больше
амплитуда солитона, тем уже он.
Следует заметить, что фазовая скорость солитонов в рассма-
рассматриваемой нами среде с отрицательной дисперсией согласно
C.31) положительна, т. е. они движутся быстрее скорости звука.
В солитоне происходит как бы точное уравновешивание нели-
нелинейности и дисперсии: из-за нелинейности импульс имеет тен-
тенденцию опрокинуться, но дисперсия приводит к тому, что выс-
высшие гармоники отстают от основной, и в результате солитон со-
сохраняет постоянный во времени профиль.
Если амплитуда «о чуть меньше Зс, то скорость и до нуля не
доходит, и решение становится периодическим; оно соответ-
соответствует как бы серии солнтонов, следующих друг за другом. Это
периодическое решение также является сверхзвуковым.
Таким образом, по мере возрастания амплитуды периодиче-
периодических решений типа бегущих волн их фазовая скорость из отри-
отрицательной становится положительной и возрастает до значения
Ыо/3 у уединенных волн (напомним, что мы говорим о фазовой
скорости в системе координат, движущейся со скоростью зву-
звука Со).
5. Эволюция начального возмущения. Обсудим теперь вопрос
о временной эволюции колебаний, созданных начальным сосре-
сосредоточенным возмущением конечной амплитуды. Для простоты
ограничимся одномерным случаем, предполагая, что возмуще-
возмущение является бесконечно протяженным и однородным вдоль
оси у.
Пусть в начальный момент / = 0 создается некоторое воз-
возмущение скорости с амплитудой и0 и шириной порядка А. Если
«о <С со, то возмущение можно считать слабо нелинейным.
В этом случае возмущение достаточно быстро, пока еще не
успеет проявиться нелинейность, распадется на два, бегущих в
разные стороны со скоростью, примерно равной с0, и представ-
представляющих собой простые волны. Поэтому достаточно проследить
за медленной эволюцией лишь одной простой волны, т. е. доста-
достаточно рассмотреть нестационарные решения уравнения Корте-
вега — де Вриза с учетом дисперсии. Отсюда, в частности, вид-
видно, почему простые волны имеют большее значение, чем какие-

tfl
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
либо другие, быть может, даже более общие нелинейные реше-
2, иия: в простой волне нелинейность проявляется сильнее, так как
'*' все гармоники долго движутся совместно.
Нестационарные решения уравнения Кортевега — де Вриза
рлачале были исследованы численно, и только позднее была по-
построена их аналитическая теория. Но качественная картина мо-
может быть изложена весьма просто с помощью следующих рас-
рассуждений.
Допустим сначала, что начальное возмущение по форме в
точности совпадает с солитоном, т. е. u(t = 0, х)— uo/ch2 (х/Л).
Тогда это возмущение могло бы распространяться как солитон,
если бы его амплитуда была связана с шириной соотношением
C.32):
^. C.33)
Другими словами, безразмерная величина
для солитона в точности равна 1. Но величина а пропорциональ-
пропорциональна амплитуде, и поэтому ее можно рассматривать как параметр
нелинейности волны: при а <С 1 возмущение имеет очень малую
амплитуду и его можно считать линейным, при а= 1 образуется
уединенная волна, а при а > 1 амплитуда настолько велика,
что вообще не существует решений типа бегущей стационарной
волны.
Нетрудно видеть, почему в слабодиспергирующеи среде пока-
показателем нелинейности служит именно произведение амплитуды
на квадрат ширины, а не более, казалось бы, естественная вели-
величина — отношение амплитуды волны и0 к характерной фазовой
скорости с0. Это связано с тем, что в недиспергирующей среде
одномерная волна всегда является нелинейной: независимо от
амплитуды она обязательно рано или поздно «опрокинется»
(разумеется, если нет диссипации и волна не затухает). Именно
дисперсия не дает этому произойти, и поэтому амплитуду ы0
следует сравнивать не с фазовой скоростью с0 длинноволновых
возмущений, а с добавкой со&2/2&2 ~ co/fe2A2, связанной с диспер-
сней, так что показателем нелинейности служит их отношение,
X е. величина а ~ «оД2.
Если начальное возмущение не совпадает по профилю с со-
[Итоном, а имеет вид импульса ширины А и амплитуды «о, то в
ачестве параметра нелинейности опять можно принять вели-
Дйну а. При а <С 1 мы имеем дело с линейным возмущением,
арактер распространения волн от такого возмущения мы
е рассмотрели ранее: длинноволновая часть спектрального

112 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
разложения возмущения движется со скоростью, близкой к с0,
а коротковолновые составляющие отстают от основного импульса.
Импульс в целом из-за дисперсии расплывается, и его ампли-
амплитуда падает. Заметим, что при этом, как следует из закона со-
сохранения энергии ы^Д = const, амплитуда убывает всего лишь
как мо~ l/лМ- Отсюда видно, что на стадии расшшвания не-
нелинейного пакета параметр с ~ «оЛ2 возрастает как Л ', и воз-
возмущение становится все более и более нелинейным. В резуль-
результате оказывается, что из линейного возмущения при определен-
определенных условиях (которые будут выяснены ниже) может сформи-
сформироваться один широкий солитон и дисперсионный линейный
«хвостик».
Больший интерес представляет случай сильно нелинейного
возмущения а ~^> 1, когда ширина Л велика. На первой стадии
эволюции такого возмущения дисперсия не играет роли и его
поведение определяется 'нелинейностью. Это значит, что в им-
импульсе должно происходить укручивание переднего фронта и он
имеет тенденцию к опрокидыванию. Однако при появлении бо-
более высоких гармоник в игру вступает дисперсия, которая долж-
должна «разводить» возмущения с различными длинами волн. По-
Поэтому по прошествии достаточно большого промежутка времени
возмущение должно «рассыпаться» — разбиться на отдельные
группы, аналогичные волновым пакетам в линейном случае.
Каждая из этих групп может приближенно рассматриваться
как движущаяся с постоянной скоростью. Но все решения, от-
отвечающие бегущим волнам с постоянной скоростью, мы уже
знаем: это периодические волны с а < 1 и солитоны с а = 1,
и никаких других решений нет. Следовательно, начальный им-
импульс с и>1 должен «рассыпаться» на солитоны и слабо не-
нелинейный пакет. Все солитоны движутся со сверхзвуковой ско-
скоростью Со + с, притом тем большей, чем больше амплитуда со-
литона «о, а волновой пакет, расплывающийся со временем и
уменьшающийся по амплитуде, отстает от точки х = Cot и яв-
является дозвуковым.
Таким образом, в рассматриваемой системе координат, ко-
которая движется со звуковой скоростью, все солитоны располо-
расположены справа от начала координат, а расплывающийся и зату-
затухающий со временем практически линейный волновой пакет
находится слева. По прошествии достаточно большого проме-
промежутка времени практически останутся только солитоны. Отсюда
видно, что солитоны являются одним из наиболее существенных
типов нелинейных волн.
Вся эта качественная картина в точности совпадает с резуль-
результатами численных расчетов, вернее, на результатах этих расче-
расчетов она и основана. На рис. 26, например, представлены расчеты

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
113
"bfe ,
Березина и Карпмана [77], которые численно решали уравнение
Кортевега — де Вриза для начального импульса с а = 8. Как мы
дадим, возмущение распалось на четыре солитона и коротко-
коротковолновый пакет малой' ампли-
А
Другим примером процесса
Мссыпания волны на солито-
Я*1 может служить эволюция
Синусоидального возмущения
большой амплитуды. Результа-
Результаты численного решения этой
задачи, полученного Забусским
и Крускалом [78], представле-
представлены на рис. 27. На этом рисунке
изображен только один период по х, и вся картина должна
быть периодически продолжена в обе стороны. Как мы видим,
возмущение сначала эволюционирует как простая волна —
©но увеличивает свою крутизну и приближается к опрокидыва-
Ййю. Однако перед самым опрокидыванием в игру вступает
Рис. 26. Солитоны от импульсного
возмущения с а = 8.
(А) t=0
(В) i = ig
(с) —t-3,etB
o-to
Рис. 27. Эволюция периодического возмущения в слабо-
диспергирующей среде [78]; t = tB — начало опрокиды-
опрокидывания волны.
|' дисперсия, и от переднего фронта начинает отделяться первый
Ъолитон. Затем к фронту опять набегает волна слева, и начинает
'"Армироваться второй солитон. Этот процесс продолжается до
&х пор, пока вся волна не распадается на совокупность соли-
Онов. Интересно, что в этот момент верхушки солитонов рас-
-|Юлагаются на одной прямой (кривая с). Аналогичный эффект
1*КМел место и при рассыпании отдельного импульса (см. рис.26).
рЭтот факт имеет простое объяснение. Дело в том, что солитоны
[Образуются примерно в одном и том же месте — на переднем

114
НЕЛИНЕЙНЫЕ БОЛНЫ
[ГЛ. 3
фронте волны. Скорость же каждого солитона, как мы знаем,
равна Ио/3, т. е. пропорциональна его амплитуде. Поэтому рас-
расстояние Дх = ct = Moi/З, пройденное солитоном за время t or
точки их образования, пропорционально «о- Другими словами,
амплитуды солитонов и0 возрастают по линейному закону,
пропорционально расстоянию от точ-
точки их образования. Заметим, что со
временем огибающая солитонов эво-
эволюционирует как простая волна, что
при плавном изменении амплитуды
«о с х видно из условия постоян-
постоянства амплитуды отдельного соли-
солитона:
ди0
3
ди0
дх
Рис. 28. Траектории солитонов
[78], TR— «время возврата».
Это уравнение для огибающей име-
имеет вид уравнения для простой вол-
волны. Для огибающей рис. 26 эта вол-
волна выглядит как пилообразная вол-
волна с разрывом на переднем фронте,
который отвечает солитону с наи-
наибольшей амплитудой. Можно ска-
сказать, что на огибающей имеется
разрыв типа ударной волны без дис-
диссипации.
На рис. 27 волна огибающей эво-
эволюционирует как простая волна
только до тех пор, пока не начи-
начинается образование многопотокового состояния: солитоны с
большей амплитудой обгоняют более медленные, так что проис-
происходит пересечение траекторий солитонов, как показано на
рис. 28.
Численные расчеты выявили очень интересный характер не-
нелинейного взаимодействия солитонов друг с другом. Если соли-
солитоны достаточно сильно различаются по амплитудам, так что их
относительная скорость достаточно велика, то происходит как
бы прохождение одного солитона сквозь другой, как показано
на рис. 28. Однако при пересечении солитонов суперпозиции
возмущения нет: суммарная амплитуда двух слившихся соли-
солитонов оказывается несколько меньше суммы их амплитуд. При
этом в некотором условном смысле можно говорить о двухсоли-
тонном состоянии: такое возмущение при последующей эволю-
эволюции распадается только на два солитона, притом в точности
совпадающих с начальными. После такого распада получаются
как бы прошедшие друг сквозь друга солитоны. При малой раз-

4 2] НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ Ц5
иице скоростей солитонов, когда их амплитуды близки, слияния
не происходит. При этом солитоны подходят на близкое рас-
расстояние и более быстрый солитон через соединяющую их «пере-
мычку», если можно так выразиться, «переливает» часть возму-
рдения в находящийся перед ним более медленный солитон; в
результате медленный солитон ускоряется, а быстрый — замед-
замедляется. Примером такого «упругого» отталкивания может слу-
яшть взаимодействие солитонов 2 и 6 на рис. 28 при t = Гл/4.
Интересно, что в рассматриваемом случае может иметь ме-
место слияние большего, чем два, числа солитонов. Например, при
i s— Гл/2, как показано на рис. 28, происходит слияние всех
четных и отдельно всех нечетных солитонов. А при / = TR, со-
соответствующем как бы времени возврата, каждый из солитонов,
¦пройдя целое число периодов, вновь приходит к начальному
состоянию, так что все солитоны снова сливаются в один им-
Цульс. Возмущение при этом становится близким к начальной
синусоиде. Однако поскольку скорости солитонов не соизме-
соизмеримы, полного совпадения с начальным возмущением нет, и в
последующие моменты слияния всех солитонов профиль все
больше и больше отходит от начальной синусоиды.
Следует иметь в виду, что солитоны могут образоваться
-дашь в том случае, если начальное возмущение и имеет поло-
жнтельную амплитуду (в среде с отрицательной дисперсией).
Если начальное возмущение всюду имеет отрицательную ампли-
амплитуду, то оно не может породить солитоны. В этом случае оно
эволюционирует в нелинейный волновой «хвост», который затем
расплывается до малой амплитуды и становится линейным.
-'.- Все сказанное выше относится и к средам с положительной
Дисперсией с соответствующей модификацией: в таких средах
«9ЛНТОНЫ отвечают не «горбам», а «впадинам», причем все они
Движутся со скоростью, меньшей Со, а волновой «хвост» малой
даплитуды — со скоростью, большей с0. В средах с положи-
положительной дисперсией солитоны образуются лишь при отрицатель-
отрицательной амплитуде возмущения (см. рис. 25,6).
**¦' 6. Об аналитическом решении уравнения Кортевега —
be Вриза. При рассмотрении эволюции пучка мы познакомились
. <? нелинейным уравнением -gr + и -g— = 0 для простых волн.
мы видим, по форме это действительно нелинейное уравне-
е. Но по существу оно описывает просто свободное движение
Шждой частицы пучка -тг = 0, т. е. в лагранжевой форме оно
* ах
Й*Глядит как линейное уравнение и притом простейшего вида.
J48 него следует, что скорость каждой частицы остается по-
^|тоянной, и = const, а координата линейно изменяется со вре-
#еаеМ x = xo + ut. C.36)

116 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
Следовательно, по любой начальной зависимости и(х, t = 0) =
= Uo(x), которую удобно записать в виде обратной функции
х(и, 0) = хо(и), легко найти зависимость х(и, t) для произволь-
произвольного момента времени:
х = xt(u) + ut. C.37)
Другими словами, для х как функции и, t задача является ли-
линейной и мгновенно решается, но для обратного восстановления
профиля и по х для произвольного t следует решить алгебраи-
алгебраическое уравнение C.37), в общем случае нелинейное.
Уравнение Кортевега — де Вриза, разумеется, гораздо слож-
сложнее уравнения для простой волны. Однако нелинейный член в
нем имеет тот же вид, и поэтому возникает естественное жела-
желание поискать аналогичную возможность решения уравнения в
такой форме, чтобы основная часть задачи сводилась к реше-
решению линейного уравнения, а связь искомой функции и(х, t)
с найденным линейным решением могла бы быть нелинейной.
Такая возможность в самом деле существует, и она была
обнаружена в работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [79].
Этими авторами был найден оригинальный и чрезвычайно пло-
плодотворный метод аналитического решения уравнения Кортеве-
Кортевега — де Вриза, который был затем усовершенствован и распро-
распространен на целый.класс нелинейных дифференциальных урав-
уравнений (см. работу Захарова и Фаддеева [81]).
Так как в основу этого метода положена идея рассмотрения
уравнения Кортевега — де Вриза как уравнения для некоторого
оператора и используется аналогия с квантовой механикой, то
мы напомним сначала некоторые соотношения квантовой ме-
механики.
Пусть функция ip(x, t) удовлетворяет некоторому уравнению,
имеющему вид уравнения Шредингера:
1Ж = НЪ C.38)
где Н — эрмитов оператор, соответствующий гамильтониану
рассматриваемой задачи. Как известно, если L — эрмитов опе-
оператор, отвечающий некоторой физической величине, го произ-
производная этого оператора по времени определяется соотношением
^ = ^ + *[//L], C.39)
где квадратными скобками обозначен коммутатор [HL] —
= HL — LH. Если -тг =0, то оператор считается не зависящим
от времени, т. е. не зависят от времени все его собственные зна-
значения %, определяемые соотношением
1Ц) = Щ. C.40)

Щ | 21 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ Ц7
Оказывается, что уравнение Кортевега — де Вриза можно
UL г.
рассматривать как уравнение постоянства оператора -тг—^
нри определенном выборе операторов Н, L. Прямой проверкой
Можно показать, что при выборе операторов в виде
*- = %-&+«. C.41)
и) C.42)
v k$ дхл 2 \ дх дх
\ условие сохранения оператора L совпадает с уравнением Корте-
«Г вега — де Вриза:
dt ~ dt dt дх 2k\ дх3 ~
.-_ Эяо обстоятельство позволяет развить схему аналитического
0шения уравнения Кортевега — де Вриза. Но, пожалуй, более
Интересными и важными являются качественные следствия ут-
утверждения C.43).
&.Вернемся к уравнению C.40) с оператором C.41), которое
ЩЫ запишем в форме
Ц-—f- — w§ = — Ал|э, C.44)
Запоминающей обычное одномерное стационарное уравнение
Щрелдагера. По аналогии с этим уравнением первый член в
(вдодЦодкно интерпретировать как кинетическую, —и — как по-
тедциа^ьную, а —Я — как полную энергию. Если и достаточно
0мстрс(.;'убывает при х->±бо, то положительные собственные
значения X отвечают дискретному спектру связанных состояний,
дД ¦< 0 — непрерывному спектру с положительной энергией.
'ul Как мы указывали выше, собственные значения оператора L
сохраняются со временем. Стало быть, при эволюции любого
профиля и(х) в соответствии с уравнением Кортевега — де Вриза
(9.43) собственные значения уравнения C.44) все время будут
оставаться неизменными. В частности, они не изменятся и после
jbfcoro, как начальное возмущение разобьется на далеко отстаю-
" Щие друг от друга солитоны, когда собственные значения урав-
_\ вения C.44) будут определяться собственными значениями
C.44) для отдельных солитонов, вблизи которых локализована
г_ ¦соответствующая собственная функция ф для данного X. Но для
/ Отдельного солитона уравнение C.44) решается точно. Оказы-
? вается> что Для солитона с амплитудой ы0 имеется только один
Дискретный уровень с собственным значением X = ио/2, а

118 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ.8
следующий уровень попадает в точку X = 0 (с соответствующей
собственной функцией ф = th xjts) и принадлежит уже непре-
непрерывному спектру.
Итак, каждому солитону отвечает только один дискретный
уровень. Но так как при эволюции и(х) со временем собствен-
собственные значения X остаются постоянными, то по любому началь-
начальному профилю и(х, 0) можно сразу найти, на какие солитоны
он распадается. Для этого достаточно определить все дискрет-
дискретные уровни Хп для уравнения C.44). Тогда амплитуды солито-
нов, на которые разобьется данный импульс, можно найти из
простого соотношения ы„ = 2Хп, а число солитонов можно оце-
оценить как N ~ Vо. Теперь видно, почему отрицательный импульс
в среде с отрицательной дисперсией не может породить ни од-
одного солитона: просто при этом для уравнения C.41) нет ни
одного дискретного положительного уровня. С другой стороны,
любой положительный импульс, даже сколь угодно малый, обя-
обязательно породит хотя бы один солитон, поскольку в этом слу-
случае, как известно из квантовой механики, уравнение C.44)
имеет хотя бы один дискретный уровень.
Таким образом, для нахождения амплитуд солитонов, кото-
которые образуются из данного начального импульса, достаточно
найти только собственные значения Хп линейного уравнения
C.44) с начальным профилем и(х, 0).
Оказывается, что и полное решение уравнения Кортевега —
де Вриза находится в тесной связи с решением уравнения C.44).
В самом деле, предположим, что мы интересуемся решениями,
у которых и достаточно быстро убывает при л:->±оо. Сюда
относится, например, задача об эволюции начального импульса
возмущения, которую мы качественно обсуждали выше. Нетруд-
Нетрудно видеть, что в этом случае легко определить зависимость от
времени асимптотики функций ф при х -у оо. Действительно, из
уравнения C.44), полагая ы->0, получаем
4)n = an(Oe~V. qk = ak(t)e~"»< + bk{t)eikx. C.45)
Здесь v.n = к0 V^n/Зсо. к — кол/— Х/Зс0, где Хп > 0 — собствен-
собственные значения в дискретном спектре, а X •< 0 отвечает непрерыв-
непрерывному спектру оператора L.
Если мы теперь обратимся к уравнению C.38) в области
больших х, где величиной и в операторе C.42) можно прене-
пренебречь, то легко найдем временную зависимость амплитуд а, Ь:

*2] НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 119
Но отношение bk(t)/ah{t) = Sh(t) можно рассматривать как
коэффициент отражения для падающей из бесконечности пло-
плоской волны на рассеивающий потенциал и(х, t) в уравнении
C.44). Из общей теории рассеяния известно, что знания Sh как
функции к для непрерывного спектра и характеристик хп, ап
дискретного спектра вполне достаточно для «прощупывания»
потенциала и(х) и полного его восстановления.
Таким образом, можно наметить следующую процедуру ана-
аналитического решения уравнения Кортевега — де Вриза. По на-
.чальному профилю и(х, 0) находятся дискретный спектр Хп и
начальное значение коэффициента отражения 5^@). Затем по
известной зависимости ап и Sh от времени восстанавливается
функция и(х, t) для любого момента времени путем решения
обратной задачи теории рассеяния [82, 83]. Тем самым исход-
исходная задача полностью решена.
Заметим, что обратная задача теории рассеяния сводится
,к решению линейного интегрального уравнения, но мы зл^сь
додробно этого рассматривать не будем. Хотелось бы лишьот-
метить, что при таком аналитическом подходе к решению урав-
#ения Кортевега — де Вриза на каждом этапе достаточно решать
дишь линейные уравнения, хотя полученное в результате реше-
решение нелинейно зависит от начального профиля и амплитуд
Д3.46).
.«. Возможность точного аналитического решения уравнения
Кортевега — де Вриза показывает, что оно принадлежит к
классу полностью интегрируемых дифференциальных уравнений.
JPi настоящее время найдено достаточно много практически ин-
.^ересных нелинейных уравнений, принадлежащих к этому
7. Обтекание тел и стационарные солитоны. Для слабодис-
йергирующих сред картина черенковского излучения волн дви-
движущимся телом, или картина обтекания, оказывается проще,
чем при произвольной дисперсии. В самом деле, если в первом
-Приближении дисперсией пренебречь, то волны при обтекании
должны излучаться только вдоль линий Маха, идущих под уг-
АЛОМ 9, удовлетворяющим известному черенковскому условию
.cos 0 = Оф/у0. Вдоль линии Маха возмущение является почти
^одномерным и соответственно должно эволюционировать как
^одномерный начальный импульс в слабодиспергирующей среде.
Мы уже знаем, что оно должно «рассыпаться» на один или бо-
более солитонов и дисперсионный «хвостик». Этот «хвостик» до-
довольно быстро затухает из-за дисперсионного расплывания, так
что на достаточно большом расстоянии от тела вдоль линии
.Маха должны остаться только одни солитоны, а картина вре-
. Меннбй эволюции возмущения теперь полностью развертывается
{Вдоль линии Маха по мере удаления от обтекаемого тела.

120 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
Картину образования солитонов обтекания можно легко на-
наблюдать после дождя на любом мелком ручье. Особенно хорошо
для этого подходят широкие мелкие ручьи на асфальтовом по-
покрытии. При первом же взгляде на такой ручей бросается в
глаза сетка уединенных волн, перечеркивающих его под неко-
некоторым острым углом к направлению потока. Это и есть соли-
тоны. Они образуются обычно вследствие неровностей дна
вблизи одного из берегов ручья и пересекают ручей вплоть до
другого берега. Иногда нетрудно заметить и то возмущение, на-
например камешек, который послужил источником для данного
солитона. Если это возмущение достаточно большое (например,
большой камень в ручье), то от него отходят два солитона под
несколько различными углами 0, как это и должно быть соглас-
согласно предыдущим рассуждениям.
8. Ударные волны в слабодиспергирующих средах. Выше мы
предполагали, что диссипативные процессы при распростране-
распространении волн либо полностью отсутствуют, либо не играют роли по
сравнению с дисперсией. В реальных условиях всегда имеется
какая-то диссипация, например вязкость, если речь идет о вол-
волнах на воде или в плазме. Из-за диссипации все волны будут
затухающими. Обсудим, как скажется это затухание на обсуж-
обсуждавшихся выше волнах. Точнее, нас будет интересовать, не при-
приведет ли затухание к возможности распространения других
типов волн. Оказывается, что, в самом деле, из-за затухания
появляется возможность распространения нового типа волн —
ударных.
Учтем прежде всего затухание волн из-за вязкости. Так как
в уравнении Кортевега — де Вриза все эффекты малы и учи-
учитываются аддитивно, то вязкость может быть учтена просто
добавлением нового члена в правую часть этого уравнения:
где v — кинематический коэффициент вязкости.
Попробуем опять поискать решение типа стационарной бе-
бегущей волны и (х — ct). После подстановки этой функции в
C.47) и соответственно замены -щ- на —с~дх мы СНОва можем
один раз проинтегрировать это уравнение, после чего получим:
2k\ dx2 dx ди 2
Как мы видим, это уравнение можно, как и раньше, интер-
интерпретировать как уравнение нелинейного осциллятора, но с за-
затуханием, если координату —х рассматривать как время т.
С помощью этой аналогии нетрудно построить решение на всей

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУ1О.ЩИХ СРЕДАХ
121
оси х. Оно начинается с находящейся в начале координат «точ-
«точки» при х = +оо, затем эта точка соскальзывает в потенциаль-
потенциальную яму W(u) и совершает в ней затухающие колебания, дости-
достигая значения «о = 2с при т = — х -> оо (рис. 29, а). В резуль-
результате образуется несимметричный цуг волн (рис. 29, б). Видно,
ЧТО после прохождения такого цуга состояние среды меняется:
за ним вещество движется со скоростью щ = 2с. Таким обра-
образом, мы получаем скачок — ударную волну, но с осциллирующей
структурой.
Если вязкость мала, то число осцилляции в волне велико.
По мере увеличения v эти осцилляции затухают быстрее; наконец,
W
т
Б)
Й|С. 29. «Потенциальная яма» (а) и ударные волиы в средах с отрицатель .ой
(б) и положительной (в) дисперсией.
Недостаточно большом v процесс становится апериодическим,
"И Мы йолучаем обычную ударную волну без осцилляции с моно-
монотонным возрастанием и от нуля до ы0.
' Картина, изображенная на рис. 29, б, относится к среде с
отрицательной дисперсией, когда самый большой солитон бежит
впереди, я осциллирующий «хвост» остается позади фронта.
В средах с положительной дисперсией, наоборот, осциллирую-
осциллирующая структура находится перед фронтом волны, как это пока-
показано на рис. 29, в.
* На рис. 30 представлены экспериментальные данные, иллю-
'стрирующие обе эти возможности. На рис. 30, а приведена
структура электромагнитной ударной волны в коаксиально-спи-
^>альной нелинейной линии передачи [84]. Нелинейным элемен-
элементом этой линии является феррит, а дисперсия длинноволновых
^р©змущений возникает из-за ограниченности линии в попереч-
поперечном направлении. В результате образуется нелинейная диспер-
ДОрующая среда. Волны в таких средах описываются уравне-
уравнением Кортевега — де Вриза с диссипацией типа C.47). На
Лис. 30, б приведен пример, более близкий к физике плазмы.
Здесь представлен профиль бесстолкновительной ударной волны
» плазме [85]. Как мы видим, диссипация в такой волне не на-
'Столько велика, чтобы не позволить проявиться осциллирующей
структуре.

122
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
1ГЛ. 3
На рис. 30, в представлен профиль электростатической удар-
ударной волны, соответствующей ионно-звуковому возмущению.
9. Опрокидывание волн. Вспомним, что мы начали рассмо-
рассмотрение нелинейных волн с пучка невзаимодействующих частиц
и увидели, что в нем имеет место опрокидывание и образование
многопотоковых состояний. В частности, именно таким пучком
являются ионы в неизотермической плазме (Tt<g.Te), если в
начальном возмущении скорости ионов настолько велики, что
влиянием электронов на их движение можно пренебречь. Оче-
Очевидно, для этого скорость ионов должна быть значительно
больше звуковой, т. е. число Маха М = v/cs 3> 1.
В
<Sn
t
i
8>
x
Рис. 30. Ударные волны в диспергирующих средах: а) электромагнитная вол-
иа в коаксиально-спиральной линии с ферритом [84]; б) бесстолкновитель-
ная ударная волна в плазме [85]; в) электростатическая волна в плазме [86а].
Но, с другой стороны, в рамках слабой дисперсии и приме-
применимости уравнения Кортевега — де Вриза мы никогда не смо-
сможем встретить явление типа опрокидывания: как мы видели
выше, возмущение любой амплитуды в конце концов «рассыпа-
«рассыпалось» на какое-то количество солитонов. Возникает вопрос, как
происходит переход от одного предельного случая к другому и
почему реальная дисперсия не может помешать образованию
«барашков» на волнах в мелкой воде или многопотоковых те-
течений в плазме, т. е. не может предотвратить опрокидывания.
Мы рассмотрим здесь в качестве примера ионный звук в не-
неизотермической плазме G\ <С Те) в отсутствие магнитного
поля. Если учесть, что электроны в волне успевают приобрести
распределение Больцмана, то уравнения движения для одно-
одномерной волны примут вид
dv , dv , di|) /о .пч
¦ — cl-^rr, C.49)
dt
dx
?-(/i'w) = 0, C.50)
d2-^- = e* — n/. C.51)
Здесь v — скорость ионов, п' = njno — их плотность, отнесенная
к невозмущенной плотности nQ, |Ф = еф/Ге, Cj = 71e/mi, d2 =
= Ге/4ле2п0, е* — плотность электронов, отнесенная к п0.

,« g НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 123
Для периодической установившейся волны в системе коорди-
координат, где волна покоится, в уравнениях C.49), C.50) следует
опустить производную по времени, и тогда получим:о2 — 2с2д|з =
__02 _ const, n'v = Vfo = const. Величина иф, как видно из по-
последнего соотношения, имеет смысл фазовой скорости волны;
в первом соотношении мы выбрали const = и|, придав тем са-
самым определенное значение произвольной константе в потен-
потенциале tf. Подставляя найденные выражения для п', v в C.51),
Получим одно нелинейное уравнение второго порядка для if:
^2я|* v dW
е 772 „-2...V/, = 77" • C.52)
dx2
где
снова имеет смысл потенциальной энергии осциллятора, если х
интерпретировать как время.
Из соотношений C.52), C.53) видно, что if не может прини-
принимать значений, больших u|/2c^: при -ф = vl/2c2s ионы останав-
останавливаются в системе координат, движущейся вместе с волной, а
з^тем, при больших if, они должны были бы отражаться от
"г^бня волны и односкоростное течение перестало бы суще-
существовать. С помощью C.52) можно показать [4], что этому пре-
предельному случаю соответствует число Маха М* = иф/с« = 1,6.
"Другими словами, при М > 1,6 односкоростных ионно-звуковых
вгаш не существует.
'" Аналогичная картина имеет место и для других типов волн
в плазме. Например, при поперечном распространении магнито-
Йвуковой волны в холодной плазме даже при наличии конечной
"Проводимости должно наступать опрокидывание при М» =
"=** Оф/сл = 3, а при идеальной проводимости критическое число
Маха равно М. = 2 [72].
Заметим, что при малых if в уравнении C.52) можно было
бы произвести разложение функции -гг в ряд по ф, и при
: только первых двух членов оно свелось бы к уравнению
-Кортевега — де Вриза. Таким образом, с формально математи-
\ 1еской точки зрения отклонение от приближения слабой диспер-
j JTV7
сии начинается, когда аналитическая зависимость -гг- от ф на-
чинает отличаться от квадратичной, т. е. в уравнениях движе-
¦- Иия начинает проявляться нелинейность, которая зависит от
абсолютной амплитуды волны или числа Маха М. Эта нелиней-
нелинейность более сильная, она уже не останавливается дисперсией и

124 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. S
приводит к опрокидыванию волны. Для ионного звука такая
опрокидывающаяся волна должна приводить к образованию
многопотоковых течений, а при v/cs ^> 1 мы приходим к пре-
предельному случаю пучка невзаимодействующих ионов.
10. Электрические домены. Уравнения C.52), C.53), как и
уравнение Кортевега — де Вриза, допускают решения типа со-
литонов. Форма этих ионно-звуковых солитонов не является
столь универсальной, как солитонов при слабой дисперсии. Но,
с другой стороны, они примечательны тем, что, представляя со-
собой новый вид солитонов, демонстрируют общий характер этого
явления для широкого класса нелинейных уравнений. В самом
деле, с решениями типа уединенных волн нам предстоит еще не
один раз встретиться в последующих главах.
Здесь нам хотелось бы привести еще один интересный при-
пример солитонов. Эти солитоны (они получили название электри-
электрических доменов) образуются при определенных условиях при
прохождении тока через полупроводник. Хотя соответствующее
явление относится к физике полупроводников, по своей физиче-
физической природе оно очень близко к тому, что происходит иногда
в плазме.
В 1963 г. Ганн обнаружил чрезвычайно интересный эффект:
при наложении на образец арсенида галлия n-типа электриче-
электрического поля напряженностью ~3 кв}см в
нем появлялись когерентные колебания
тока с большой амплитудой [87]. Частота
колебаний ~ 109 гц изменялась обратно
пропорционально длине образца. Позд-
Позднее Ганн экспериментально установил
[88], что эти колебания связаны с прохо-
Рис. 31. Профили эле- ждением от катода к аноду областей с
ктрического поля для сильным электрическим полем: каждому
1Г1ГГ°ДН б
рр1ЮЩд
менов в арсениде галлия, ствовало зарождение на катоде и прохо-
Домены бегут влево со ждение через образец одной такой обла-
скоростью 1,2 • 1 о7см/сек. Сти. Области с сильным электрическим
полем были названы электрическими до-
доменами. Форма такого домена представлена на рис. 31, где две
кривые соответствуют несколько различным напряжениям на об-
образце. Как видно из рисунка, домены несколько несимметрич-
несимметричны — их передний фронт положе заднего. При уменьшении ам-
амплитуды доменов, т. е. разности потенциалов на домене Va, они
становятся симметричными.
Возникновение электрических доменов в полупроводниках
было объяснено на основе представлений об отрицательной
дифференциальной проводимости. Допустим, что образец имеет
вольтамперную характеристику с падающим участком (?сь Ел)-

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАВОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
125
/
на котором дифференциальная проводимость ®й = ~Ап отрица-
отрицательна (рис. 32). При заданном токе во внешней цепи, ска-
скажем /о, в образце может установиться одно из трех значений
поля — Еи Е2, Е3- Одно из этих значений, Е2, оказывается не-
неустойчивым. В самом деле, допустим, что Е = Е2, и предполо-
предположим, что внутри образца появилась небольшая флуктуация
плотности электронов п'.
В результате флуктуации
данный объем приобретает
отрицательный потенциал.
Но в силу того, что оа < О,
электроны будут не оттал-
отталкиваться, а притягиваться )сг
к области отрицательного
потенциала, и флуктуация
будет нарастать. В резуль- off f f F F
тате неустойчивости в об- ' ci 2 с" з и
Р*ЗЦе ДОЛЖНЫ самопроиз- рис. 32. Вольтамперная характеристика
ВОЛЬНО образоваться обла- полупроводника с отрицательной диф-
?ГИ Пространственного заря- ференциальной проводимостью.
jpa. Поскольку отрицатель-
отрицательнее дифференциальная проводимость создается только вдоль
направления внешнего поля, то эти области должны иметь вид
слоев, перпендикулярных оси х, вдоль которой идет ток.
'ически эту неустойчивость, в предположении, что все
#е#Цчины зависят только от х, можно описать с помощью урав-
дЕ
«/>?. C-54)
«о), C.55)
C.56)
S^e ц{Е)— подвижность электронов, D — их коэффициент диф-
е — диэлектрическая постоянная среды, п0 — плотность
юров, /о—внешний ток. В уравнении C.56) мы сохранили
смещения, так что оно заменяет нам уравнение непрерыв-
и. _ В линейном приближении для возмущений вида
—iait + ikx) из C.54) — C.56) получаем выражение для ча-
С*оты:
= ku - i
— iDk\
C.57)
UT7—\*(Ео)/Ео
дрейфовая скорость электронов, ва =
дифференциальная проводимость. Как видно из

126 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. .»
C.57), при a <L О линейные возмущения с достаточно малыми k
нарастают во времени.
При увеличении амплитуды колебаний в игру вступают не-
нелинейные эффекты — мы попадаем в области Е < Ес1 и Е > Ес2
(рис. 32), где а > 0 и колебания должны стабилизоваться.
Установившиеся колебания можно рассматривать с помощью
тех же уравнений C.54) —C.56), если считать, что возмущение
имеет вид бегущей волны Е(х—v$t). Исключая из этих уравне-
уравнений п и /, получим одно нелинейное уравнение второго порядка
для Е:
D ~Ш + ^(?) Е + °ф1 17 ^~7~ I* (^) — -Б — /о = — -g?-• C.58)
Как и при исследовании нелинейного уравнения Кортеве-
га — де Вриза, мы можем рассматривать C.58) как уравне-
ние для нелинейного осцилля-
тора с силой трения, которая
описывается членом с первой
производной в левой части.
Чтобы работа силы трения в
среднем обращалась в нуль,
Оф, очевидно, должна иметь по-
порядок дрейфовой скорости
электронов.
Эквивалентный потенциал
Рис. 33. Потенциал W(Е) для домена: W(E) в правой части уравне-
1 — /о < 1ь> 2 — ia — k\ 3 — ja>k- ния C.58) несколько изменяет-
изменяется в зависимости от величины
/о, как показано на рис. 33. При некотором значении /о = /ь по-
потенциал дважды касается нуля. В этом случае можно построить
решение типа широкого солитона: вначале поле Е находится
при значении Еи затем оно переходит к Е3 и после длительного
пребывания в точке Ez быстро возвращается к прежнему значе-
значению. При /о > /ь можно построить домен (солитон) сильного
поля, а при /о < /ь — солитон слабого поля. Кроме того, суще-
существуют разного рода периодические решения и решения типа
ударных волн с диссипацией, но реальному домену Ганна соот-
соответствует простой солитон сильного поля.
К настоящему времени электрические домены обнаружены
во многих полупроводниках. Оказалось, что существует много
механизмов отрицательной дифференциальной проводимости.
Например, в арсениде галлия, в котором Ганн впервые обна-
обнаружил домены, Od <. О связано с разогревом электронов и пере-
переходом их в долину поверхности Ферми с меньшей эффектив-
эффективной массой. Более подробно с другими механизмами можно по-
познакомиться по обзору [91].

САМОФОКУСИРОВКА Vk САМОСЖАТИЕ ПАКЕТОВ 127
§ 3. Самофокусировка и самосжатие волновых пакетов
л1- 1. Самофокусировка. Выше мы довольно подробно познако-
познакомились с нелинейными волнами в диспергирующих средах, но
тцри этом все время ограничивались одномерным случаем, когда
все величины зависели только от одной координаты х и време-
времени t. Чтобы получить более полное представление о динамике
.-Нелинейной упругой среды, следует отказаться от ограничения
.одномерностью и перейти к общему случаю трехмерных или
во крайней мере двумерных волн Но прежде, чем переходить
к достаточно сложному общему случаю, естественно начать с
более простого класса задач, когда волны слабо отличаются от
плоских, т. е. когда мы имеем дело с волной, амплитуда и фаза
которой медленно меняются в пространстве и во времени. При
этом мы встречаемся с двумя чрез-
чрезвычайно интересными нелинейными
Явлениями — самофокусировкой и
«амосжатием волновых пакетов,
рассмотрим сначала самофокуси-
самофокусировку. рИс 34. Самофокусировка.
Явление самофокусировки было
предсказано Г. Аскарьяном [92]
«сходя из весьма простых соображений. Допустим, что в опти-
ческн прозрачной среде распространяется мощный луч лазера.
^Вследствие ряда эффектов (нелинейной поляризуемости, элек-
fjjfceTpHKiiHH, разогрева и т. д.) такой луч немного изменяет
Показатель преломления среды. Если это изменение положи-
положительно, т. е. среда становится оптически более плотной, то луч
<й^р§ет сам себе нечто вроде линзы, которая будет его фокуси-
Шфщ?- Другими словами, центральная часть волнового фронта
(рсколько отстает от периферических, и волна становится сходя-
Щ&кя (рис. 34).
-^> Рассмотрим это явление подробнее. Пусть ko — волновое чис-
числе волны, распространяющейся вдоль оси х, kv— малая попе-
речяая добавка к волновому вектору, возникающая из-за того,
Что фронт волны на рис. 34 несколько поворачивается из-за
веоднородности показателя преломления N. В первом прибли-
добавка 6/V к показателю преломления N пропорцио-
интенсивности волны, т. е. квадрату ее амплитуды:
= qcPN.
Величину ky, определяющую наклон луча по отношению к
*, можне найти с помощью уравнения B.141) для волно-
^ Jlpre вектора, т. е. ~ = -Va,. Здесь ш = Ьф[1 — (8N/N)] =
- qkv$az. Нам достаточно использовать лишь г/-компо-
Уравнения движеиия для k, при этом нужно учесть, что

]28 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
-Q- («Оф) = vT —Q-, где vr — групповая скорость. Но так как век-
dkx dku
торное поле k является безвихревым, то —т— = -~—, поэтому
«/-компоненту уравнения B.141) с нелинейной добавкой к ча-
частоте можно записать в виде
дк„ дк„ да*
Величину а2 можно определить с помощью уравнения переноса
энергии B.155) волнового пакета, которое с учетом пропорцио-
пропорциональности & и а2 можно записать в виде
да2 да2 д
Мы учли здесь, что у групповой скорости имеется малая со-
ky
ставляющая вдоль оси у, равная -r-vT, где иг — невозмущенное
ко
значение групповой скорости.
В стационарном случае в уравнениях C.59), C.60) можно
опустить производные по времени, так что они будут описывать
процесс самофокусировки вдоль луча. Дифференцируя соотно-
соотношение C.60) по х и исключая затем производную -т— в по-
последнем слагаемом (остальные множители мы приближенно счи-
считаем постоянными) с помощью соотношения C.59), мы получим
одно уравнение для квадрата амплитуды:
д2а2 Иф д'-а2
дх2 ч vr ду2 •
Отсюда видно, что вдоль луча интенсивность волны удовле-
удовлетворяет уравнению струны, но с отрицательным квадратом ско-
скорости звука при q > 0, когда в области распространения све-
светового пучка показатель преломления возрастает. В результате
и возникает самофокусировка.
Эти рассуждения, совершенно прозрачные физически, могут
показаться все же недостаточно обоснованными, если учесть,
что самофокусировка представляет собой нелинейный и притом
довольно медленный процесс, и возникает вопрос, не прояв-
проявляются ли раньше более сильные эффекты нелинейного опроки-
опрокидывания волн (на языке оптики — умножение частоты). Но, как
показывает рассмотрение предыдущего параграфа, дисперсия
легко предотвращает опрокидывание волн. Поэтому при нали-
наличии даже небольшой дисперсии может и не происходить силь-
сильного насыщения высокими гармониками, если амплитуда волны

§3] САМОФОКУСИРОВКА И САМОСЖАТИЕ ПАКЕТОВ 129
не очень велика. Впрочем, даже при достаточно большой .ам-
.амплитуде качественные соображения о самофокусировке сохра-
сохраняют силу, если устанавливается определенная почти периоди-
периодическая волна по х и имеет место равновесие гармоник при со-
соревновании между дисперсией и
нелинейным опрокидыванием. В ча-
частности, эффекты самофокусировки
проявляются даже в предельном
случае одного-единственного соли-
солитона [95].
2. Колебания и самофокусировка
солитонов. Рассмотрим солитон, бе-
бегущий вдоль х на плоскости х, у,
так что сверху он будет выглядеть, РиС- 35- Колебания солитона в
Гак показано на рис. 35. Если ам- ^ с отрицательной диспер-
плитуда «о и фаза х0 (т. е. коорди-
координата максимума скорости) не зави-
зависели бы от у, то это был бы обычный одномерный солитон, на-
например бегущий по поверхности мелкого водоема.
Допустим теперь, что его амплитуда меняется в зависимости
от у (на рис. 35, а заштрихованы области с повышенной ампли-
амплитудой). В среде с отрицательной дисперсией участки с большей
амплитудой движутся быстрее и солитон искривляется, как по-
показано на рис. 35, б. Величину этого искривления легко найти,
если вспомнить, что скорость солитона равна со -f c=co-f (uo/3),
так что
-^ = со+^. C.61)
Следовательно, если у солитона есть малая модуляция ампли-
амплитуды 6ио(у), то он будет искривляться со временем, так что его
наклон Ц*- будет меняться:
д дх0 д бц0 ,„ -л.
dt~df — ~d^~T- [6-°">
Но вследствие искривления возникает эффект фокусировки, и
амплитуда центральной части изображенного на рис. 35,6
участка солитона начинает возрастать. Вследствие этого через
некоторое время центральная часть догонит периферийные об-
области и форма солитона восстановится, но со сместившимися
по оси у областями повышенной амплитуды (рис. 35, в). Отсюда
видно, что солитон в среде с отрицательной дисперсией не испы-
испытывает самофокусировки — он колеблется как натянутая струна.
Если амплитуда солитона модулирована слабо, т. е. 8и0 •С и0,
то эти колебания можно рассмотреть в линейном приближении.
Будем считать, что искривление солитона слабое,—- <С 1. Тогда
5 Б. Б. Кадомцев

130 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
«/-компонента скорости его отдельного участка может быть за-
записана как
но из-за движения вдоль оси у будет меняться энергия солитона
8 ~«02Л -«•/¦:
Ж <' « 4 «о* Ж б"о = " ~k 6иУ< ~ Со"оА "^ • <3-63>
Здесь в правой части мы положили и1^ « const. Дифферен-
Дифференцируя соотношение C.63) по времени и исключая Хо с помощью
C.62), получим уравнение малых колебаний:
w6u0 = —g—gp-био- C.64)
Отсюда видно, что для среды с отрицательной дисперсией, когда
амплитуда солитона положительна («о > 0), мы получаем урав-
уравнение гиперболического типа, описывающее колебания струны.
Напротив, при положительной дисперсии ситуация изме-
изменяется: амплитуда солитона отрицательна, и уравнение C.64)
приводит к нарастанию малых колебаний. Это ясно и из физи-
физических соображений. Участки с повышенной амплитудой не-
несколько отстают, и к ним из-за искривления устремляются но-
новые порции возмущения. В результате возмущение нарастает и
солитон разбивается на отдельные сгустки вдоль оси у. Не иск-
исключено, что эти сгустки затем затухают путем излучения длин-
длинноволновых возмущений (например, звука для ионно-звуковых
солитонов).
3. Самосжатие волнового пакета (модуляционная неустой-
неустойчивость). Сжатие нелинейной волны может происходить не
только в поперечном, но и в продольном направлении по отно-
отношению к направлению распространения волны. Чтобы описать
этот эффект, рассмотрим плоский волновой пакет с медленно
меняющимися амплитудой и фазой. Будем считать, что ампли-
амплитуда волны невелика, так что волна не сильно отличается от
синусоидальной, т. е. высшие гармоники, находящиеся в равно-
равновесии с основной, малы. Тогда волну можно характеризовать
волновым числом k и частотой со основной гармоники. Для та-
такой волны основным усредненным нелинейным эффектом яв-
является зависимость фазовой скорости или частоты от ампли-
амплитуды а, так что при малой амплитуде, когда можно ограничиться
лишь первой неисчезающеи поправкой,
ш = шй + сю2, C.65)
где мл отвечает частоте линейной волны, а второе слагаемое —
нелинейной поправке. Если k и а изменяются с х, т. е. со = со(д:),

i3]
САМОФОКУСИРОВКА И САМОСЖАТИЕ ПАКЕТОВ
131
то, как мы знаем, волновое число k = — -г*- будет изменяться
со временем:
C.66)
дк да_ дк_ . да2
где мы учли амплитудную добавку в выражении для частоты
д(о,
C.65) и обозначили через vT групповую скорость иг = -^т-. Да-
Далее, в волновом пакете энергия, т. е. квадратичная по ампли-
амплитуде величина, переносится с групповой скоростью. Тогда в ка-
качестве закона сохранения энергии можно принять уже знакомое
нам уравнение
dt + дх №a'~U' &-Ь/>
Из уравнений C.66), C.67) следует, что при определенных
условиях плоская волна оказывается неустойчивой по отноше-
отношению к разбиению на отдельные волновые пакеты. В самом деле,
допустим, что на монохроматическую волну с волновым числом
ko и амплитудой ао наложено малое возмущение:
k = k0 + k' exp (— ivt + we*), а = ай-\- a' exp (— ivt + ixx),
где v <C со, y. <C k0 — частота и волновое число модуляции. Тогда
в линейном приближении из C.66), C.67) получим дисперсион-
дисперсионное соотношение
v = vrx ± д/aajjt/ х, C.68)
где fr = ~5"r". Как мы видим, при av'r <0 имеет место неустой-
неустойчивость типа разбиения волны на пакеты и самосжатия вол-
волновых пакетов. Этот результат
был получен впервые Лайтхиллом
[93].
Физика этой неустойчивости по-
поясняется на рис. 36. Допустим, что
a > 0. Тогда в точках А, А' фазо-
фазовая скорость волны больше, чем в
точке В, и на участке Р волновое
число, пропорциональное числу уз-
узлов на единице длины, будет воз-
возрастать, а на участке Q — убывать
Рис. 36. Самосжатие волнового
пакета (модуляционная не-
неустойчивость).
со временем. Вследствие этого при v'r < 0 волновой пакет в об-
области Р будет отставать и усиливать волну в точке Л, а в обла-
области Q он будет забегать вперед и усиливать волну в точке А'.
Условию аир < 0 удовлетворяют, в частности, гравитацион-
гравитационные волны на глубокой воде: у таких волн, как оказывается,

132 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ (ГЛ. 3
нелинейная поправка к фазовой скорости (а следовательно, и
к частоте) положительна, а производная v'r = — 'Д V&/&3 отрица-
отрицательна. В свое время вывод о неустойчивости периодических
гравитационных волн на воде произвел сенсацию в гидродина-
гидродинамике и казался неправдоподобным. Но затем он был получен
заново различными методами и подтвержден экспериментально
[94]. Теперь уже никто не сомневается в неустойчивости грави-
гравитационных волн на глубокой воде, и, стало быть, поверье о «де-
«девятом вале» имеет под собой определенные физические осно-
основания.
4. Параболическое уравнение. Как самофокусировка, так и
самосжатие волновых пакетов, и притом с учетом дифракции,
могут быть описаны с помощью параболического уравнения
B.168). С учетом нелинейной добавки к частоте это уравнение
имеет вид
1Ж + ^Ж + 1к^Е + Тиф- «1ЯРЯ-0, C.69)
г dvr
где Уг = ж-
Рассмотрим снова задачу о неустойчивости плоской волны
Ео = аае~'*'*, где по—начальная амплитуда, a vo — частота, ко-
которая согласно C.69) равна vo = aa^. Предположим, что вол-
волна Ей несколько возмущается, так что ее амплитуда а и фаза ф
слабо изменяются в пространстве и со временем: Е =
= (ao + a')exP(—ivof + fq/)- Малые величины а' и ф' следует
считать действительными. После подстановки этого выражения
в C.69) и отбрасывании квадратичных по а', ф' членов мы полу-
получим систему уравнений для а', ф'
^ ^ = О, C.70)
^ ^r y = O, C.71)
где L — оператор, равный L = —^- А х —^ v'T -^ •
Уравнения C.70), C.71) являются линейными, и их решение
можно искать в виде ехр(—ivt -f- ixx). При этом L можно считать
равным числу Ь = -^-к2х -\--^vrKX^ и как условие разрешимо-
разрешимости C.70), C.71) получаем следующее выражение для частоты:
(8.72)
Если у.х = 0 и кж мало, то получаем отсюда прежний результат
C.68), т. е. неустойчивость по отношению к самосжатию при
ол)[ < 0. Как видно из C.72), вывод о самосжатии при av'r < 0

САМОФОКУСИРОВКА И САМОСЖАТИЕ ПАКЕТОВ 133
справедлив только при достаточно малых кх. Еслих| > —Aaa\jv\,
то неустойчивость по отношению к самосжатию стабилизируется
дифракционным расплыванием волнового пакета. В другом пре-
предельном случае кх = 0 из C.72) следует самофокусировка, если
а <; 0. Самофокусировка также начинается только с достаточно
малых xi, а именно х\ < 41 а | alkQ/vT. Поскольку минимально
возможное кх имеет порядок обратного радиуса цилиндриче-
цилиндрического луча, 1/R, то отсюда следует, что в рассматриваемом при-
приближении, когда учтена только квадратичная по амплитуде по-
поправка к частоте C.65), самофокусировка начинается лишь при
достаточно большой мощности лазерного пучка, пропорциональ-
пропорциональной alR2.
Стабилизующая роль дифракции приводит к возможности су-
существования стационарных сфокусированных пучков или само-
сжатых волновых пакетов [96, 97]. В самом деле, рассмотрим,
например, случай av[ <0 и допустим, что зависимость от у л г
отсутствует. Рассмотрим решение типа бегущего пакета Е =
*b=e-iv>tи(х — vrt). Для функции и из C.69) получим
дхг
Но с уравнением такого типа мы уже встречались при рассмо-
рассмотрении периодических решений уравнения Кортевега — де Ври-
за. Мы опять можем рассматривать C.73) как уравнение для
Нелинейного осциллятора с потенциальной энергией W =
= ^г«4 + -^г«2- При crop < 0 и vot)r < 0 потенциал W имеет
2о о
щ ямы, так что возможны как периодические волны огибающей,
так н локализованные пакеты типа солитонов. Аналогичным
образом для случая самофокусировки можно найти локализо-
локализованные в поперечном направлении решения, если а<0. Эти ре-
решения соответствуют пучкам, которые сами себе создают волно-
волновод н распространяются в виде узких нитей. Впрочем, эти реше-
решения неустойчивы [112].
Эффекты самофокусировки и самосжатия волновых пакетов
должны проявляться и на магнитогидродинамических волнах,
rto экспериментально они пока не исследованы.
¦ <¦=., 5. Ленгмюровские солитоны. В плазме эффект самосжатия
Волнового пакета может проявляться на ленгмюровских волнах
[99]. Дело в том, что локализованный в пространстве ленгмю-
ЙРвский пакет волн оказывает расталкивающее действие на
плазму, так как высокочастотные колебания выталкивают элек-
электроны из области, занятой волновым пакетом. В результате
Плотность плазмы в области локализации волнового пакета не-
несколько понижается, и у собственной ленгмюровской частоты

134 . НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
появляется отрицательная добавка [коэффициент а в формуле
C.65) отрицателен].
Так как частота ленгмюровских колебаний равна со =
гху
= (Ире + -s ^2 и. следовательно, v'T > 0, то для ленгмюров-
zmeG>pe
ских волн критерий Лайтхилла указывает на возможность мо-
модуляционной неустойчивости.
Рассмотрим это явление более подробно. Пусть бп — возму-
возмущение плотности электронов, так что
со + со^ + ^2, C.74)
где сор0 = ч/4яе2п/те—невозмущенная ленгмюровская частота.
Чтобы найти 8п, нужно знать выражение для так называе-
называемой силы Миллера, т. е. силы, действующей на электрон в не-
неоднородном высокочастотном поле. Эта сила легко получается
из уравнения движения электрона
тех = — еЕ = — еЕ0 (х) cos at, C.75)
если представить координату х в виде суммы медленно меняю-
меняющейся Хо и быстрой х частей. Тогда для быстро осциллирующей
величины получаем из C.75) х = вЕ/теа2, а для медленной со-
составляющей Хо уравнение получается усреднением C.75) по вре-
времени в предположении малости х:
д е2Е2п
? C-76)
Таким образом, на электрон действует сила с потенциалом
U = eE2j4me(D2 = e2(E2)/2meai2. В изотермической плазме G\ =
= Те = Т) эта сила уравновешивается градиентом давления
-тг— 27 Ьп = —-д- . Отсюда находим возмущение плотности
е2Е2 3 Е2
Ьп = —^— = °—, C.77)
т. е. 8п/п приблизительно равно отношению плотностей высоко-
высокочастотной и тепловой энергий. Теперь мы видим, что нелинейная
добавка к частоте C.74) имеет вид аЕ%, где а = — сор0/64ллГ.
Для описания волны, близкой к плоской, можно воспользо-
воспользоваться параболическим уравнением C.69), где и? = иг/?о =
= ЗТ/теаРо. Мы опять будем искать решение этого уравнения
R виде бегущей с групповой скоростью волны огибающей. Снова
полагаем Е = eiv«fu (x — vrt) и получаем уравнение C.73):
д2и 2vn 2a
CJ8)

j 4] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН 535
где 2a/Wr == — е2/24Г2. Это уравнение имеет решения типа соли-
тона. В самом деле, будем искать решение в виде и = ?0/ch {—Л.
При этом —\ = - 1Тр2 - Приравнивая коэффициенты при
ох Д Л, ?q
одинаковых степенях и в C.78), получим соотношения:
W ^ C.79)
Как мы видим, каждый солитон тем уже, чем больше его ампли-
амплитуда, Л ~ 1/Ео. Энергия солитона, пропорциональная ?оД, тем
больше, чем больше его амплитуда, т. е.
$~Е,~\. C.80)
Поправка к частоте колебаний vo также растет по абсолютной
величине при увеличении амплитуды солитона.
Еще раз подчеркнем, что при &оЛ > 1 рассмотренный нами
солитон является фактически солитоном огибающей. Фазовая
скорость образующей его волны Уф = соро/&о может изменяться
в широких пределах в зависимости от величины k0. Для рассма-
рассматриваемого здесь солитона с равновесным распределением плот-
плотности величина k0 ограничена сверху условием vF < cs, т. е. тре-
требованием, чтобы солитон был дозвуковым. Из этого условия
вытекает kQd < Vme/mi. гДе d — дебаевская длина. Как видно
из C.78), величина k0 явно в это уравнение не входит. Поэтому
&о снизу ничем не ограничена, и при уменьшении k0 солитон оги-
огибающей непрерывно переходит в простой ленгмюровский соли-
солитон. В частности, при k0 = 0 групповая скорость также обра-
обращается в нуль, и солитон стоит на месте.
§ 4. Взаимодействие волн
1. Трехволновые процессы. Рассмотрим теперь общий случай
трехмерных нелинейных колебаний. Разумеется, в самом общем
случае вряд ли можно продвинуться достаточно далеко: полной
математической теории решения нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных пока не существует. Однако,
если предположить, что амплитуда колебаний не очень велика,
можно воспользоваться методом теории возмущений. В первом
приближении мы имеем просто линейную теорию с принципом
суперпозиции, так что произвольное возмущение можно пред-
представить в виде совокупности собственных колебаний.
В линейном приближении довольно безразлично, какую из
величин брать в качестве основной для описания колебаний,

136 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ (ГЛ. 8
так как все величины (например, электрическое поле, скорости
частиц, их плотность и т. д.) пропорциональны одна другой. Но
поскольку все колебания в плазме представляют собой электро-
электромагнитные волны, то в качестве основной величины удобно при-
принять электрическое поле Е.
Таким образом, в линейном приближении
E = Y,Zke-iabt+ikr + K.c, C.81)
где к. с. означает комплексно-сопряженную величину. Вспомним
теперь, как выглядит уравнение для электромагнитной волны в
плазме в фурье-представлении. Соответствующее выражение в
линейном приближении было получено в гл. 2 [см. соотношение
B.93)]. Если, кроме самосогласованного тока, в плазме имеется
еще сторонний ток js, то уравнение для поля можно записать
в виде
coDk — Ek+ \*'=*-4яЦл. C.82)
CO CO »к
Здесь, как мы знаем, D = еЕ, где е — тензор диэлектрической
проницаемости. У однородного уравнения C.82) имеются реше-
решения только для значений частоты, совпадающих с собственными
частотами, со = сок- Вблизи этих собственных частот будет ма-
максимальной амплитуда и для неоднородного уравнения C.82),
и поэтому достаточно рассмотреть именно собственные волны.
При со = «к поляризация волны вк = Ек/?к принимает вполне
определенное значение, и умножая уравнение C.82) на ej. мы
получим скалярное уравнение для определения амплитуды ко-
колебаний:
: 4ш7Л, C.83)
где е = еХ. k\ =*2-|ekk|2, /fk -e'jsk.
Вблизи со = «к левую часть этого уравнения можно пред-
представить в виде Лк(со— сок)?к. Здесь для поперечных волн
Лк== —-^-(<й2в), (Ok = c&x/V8. а Для продольных волн с kj_ = О
само в обращается в нуль при со = «к и величина Лк= ®'д~-
Таким образом, уравнение для Е^ можно записать в виде
-/(со-сок)?к = -4я/зк/Лк. C.84)
Как мы видим, ?к действительно велико вблизи со = сок и даже
расходится в самой точке со = ау. Чтобы не усложнять ситуации
«той расходимостью, можно несколько видоизменить уравнение
C.84), действуя в духе теории волновых пакетов. Для этого
вспомним, что уравнение C.84) написано для фурье-компонен-

I 4] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН 137
ты Е№ волны вида E(t)eikr, т. е. фактически зависимость поля
от времени дается выражением \ Еае~ш da. Представим'это
поле в виде E(t) = Ек (*) е'"°к*, где Ек (t) = jj Е^~ш da ¦ e"°k' -
медленно меняющаяся амплитуда волны вблизи собственной
частоты со. Для этой амплитуды умножением C.84) на е 'ш "k>
и интегрированием по со мы получим уравнение
* ,3.85)
где /sk — сторонний ток уже как функция времени. Заметим те-
теперь, что при представлении любой реальной величины, скажем,
поля Е, в виде набора собственных волн C.81) вместе с первой
суммой всегда появляется еще комплексно-сопряженная ей. Так
как в этой второй сумме стоят множители e~'kr, то ее слагаемые
имеют смысл Е-ке~ш~к*~' г, т. е. они как бы соответствуют
членам с —к. Таким образом, имеем
Е_к = Е'к, co_k = -cok. C.86)
Соответственно каждую плоскую волну можно с одинаковым
правом характеризовать как парой к, «к, так и парой —к, —сок,
инвариантной величиной является лишь фазовая скорость
\ф = ko)k/&2. Но мы ранее приняли для энергии и импульса вы-
выражения <8\ = Ok^k, Pk = kA/k, где Л/k — число волн, стало
быть, в этих выражениях можно пользоваться только одной из
указанных пар. Представляется более целесообразным выбирать
знак частоты в соответствии со знаком энергии, т. е. положи-
положительный для волны положительной энергии, и тогда к совпадает
с направлением импульса. При этом сохраняет свою форму вы-
выражение <gy = сокЛ/к для энергии. Но для импульса тогда тоже
следует сохранить выражение Рк = кЛ/к, чтобы произведение
импульса на фазовую скорость \ф = кшк/&2 совпадало с энер-
энергией. Следовательно, в выражении для импульса Рк = кУУк вол-
волновой вектор к играет роль элементарной порции импульса. Для
волн с отрицательной энергией, таким образом, мы используем
пару сок, к с отрицательным значением Шк- Импульс волны с от-
отрицательной энергией, как мы видим, направлен против фазо-
фазовой СКОРОСТИ, ПОСКОЛЬКУ УфРк = <^к < 0.
После этих предварительных замечаний вернемся к вопросу
о поведении слабо нелинейных волн. Если амплитуда колебаний
плазмы не очень мала, то в уравнениях движения для частиц
или в кинетических уравнениях для функций распределения
следует учесть нелинейные члены. Тогда при выражении тока в
плазме j через поля, кроме линейного члена, приводящего к

138 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
тензору е, следует учесть дополнительные нелинейные члены. Эти
члены будут входить в уравнения Максвелла в виде добавки
к току, т. е. в виде стороннего тока в уравнении C.85). При сла-
слабой нелинейности достаточно учесть лишь квадратичные члены,
составленные из всевозможных произведений отдельных слагае-
слагаемых в выражении для js. Из этих членов нужно выбрать только
такие, пространственная зависимость которых имеет вид е'кг,
так как в уравнении C.85) выбрана уже только к-компонента
поля. Такими членами будут ?V?k"e'k'r~Hk"r при к' + к" = к.
При этих членах будут еще коэффициенты, зависящие от к', к",
явный вид которых определяется теми нелинейными членами,
которые дают вклад в выражение нелинейного тока /Sk-
Далее, уравнения удобно записать сразу для амплитуд ак,
так что Л/к = \а\ц\2. Связь между а^ и Е^ устанавливается, оче-
очевидно, соотношением B.150) для энергии волны.
С учетом высказанных замечаний уравнение C.85) для а\
можно записать в виде
да, х-л ¦/ w
К \ Т/ п— ^ l^k' "г®|г" — ^k I /Q От\
~~5T~ == / V kk'k"^k'"k"? > [о. oil
k'
где k" = k — k'. Временной множитель появился вследствие
того, что в нелинейные слагаемые было подставлено поле в виде
суперпозиции собственных волн. Fkk'k" — некоторая функция от
волновых векторов; явный вид ее определяется нелинейными
членами уравнений движения. Величину Vik'k" естественно на-
назвать матричным элементом взаимодействия волн.
Итак, мы видим, что квадратичные слагаемые вида ?V?VX
Хехр[— г(сок'+сок"П+г(к'+к")г], которые входят в нелинейный
сторонний ток, играют роль вынуждающей силы с частотой
©к' + «к" и волновым вектором к + к". Поскольку из-за дей-
действительности Е в сумму обязательно должны входить по-
попарно сопряженные слагаемые, то наряду с указанной силой
должна присутствовать также вынуждающая сила с разност-
разностными частотой ©к' — ©к" и волновым вектором к' — к". На-
Наглядно появление «биений» на комбинационных частотах
coit'± соь" и волновых векторах k'±k" можно продемонстриро-
продемонстрировать с помощью рис. 37, где показано наложение двух плоских
волн. Каждую из штриховок рис. 37 можно рассматривать как
волну ступенчатого вида, в которой амплитуда скачком ме-
меняется от нуля до единицы: нуль, где черная линия, и единица
между ними (см. нижнюю часть рис. 37). При наложении (пере-
(пересечении) таких волн образуется их произведение — черные по-
полосы, где хотя бы одна из амплитуд «черная», и белое поле
между ними. На рисунке отчетливо видно, что при наложении
волн образуется муар — волна с волновым вектором к' — к".

t fl
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН
139
(Кроме того, появляется более частая рябь на сумме к' + к".)
Если этот движущийся муар совпадет с одной из собственных
волн, т. е. комбинационная частота сок, ±сок„ окажется равной
собственной частоте сок, отвечающей волновому вектору биений
к = к' ± к", то нелинейная вынуждающая сила приведет к рас-
раскачке волны к. При этом согласно C.87) амплитуда а^ будет
медленно изменяться со временем.
Если расстройка А = сок, + <ок„ — ок обращается в нуль и на-
наступает резонанс, то даже при малой нелинейности по проше-
прошествии достаточно большого времени может произойти сильное
изменение амплитуд колебаний.
Такие процессы, в которых во
взаимодействие вступают три
волны, называются трехволновы-
ми, а спектр (зависимость часто-
частоты сок от к), для которого усло-
условие сок = сок, + сок„ может быть
удовлетворено, называется рас-
падным.
В плазме ввиду обилия раз-
различных ветвей колебаний распад-
ные условия легко реализуются.
Например, в сжимаемой плазме
(Р Ф оо) альвеновские и магни-
тозвуковые волны, хотя сами по
себе и не являются распадными,
могут распадаться на пару из
альвеновской и магнитозвуковой волн. А геликоны (свисты)
оказываются распадными даже сами по себе.
Трехволновые процессы приводят к возможности трансфор-
трансформации одних волн в другие и тем самым порождают сложный
процесс переноса энергии в фазовом пространстве волновых чи-
чисел. Такие триадные процессы осуществляются, в частности, в
гидродинамических системах [109].
2. Взаимодействие трех волн. Рассмотрим предельно простой
случай, когда имеются только три волны к, к и к" = к — к',
связанные между собой резонансным условием. Обозначим их
^амплитуды через а,: а1 = ак, а2 = ак„ а3 = ок„, и соответственно
частоты — через ац, ©2, юз- Будем считать, что все частоты поло-
-Жительны и притом coi = сог + ©з > «2 > юз-
• . Из C.87) имеем для at
ЛПЛЛЛЛЛЯ
Рис. 37. «Биения» при нелинейном
наложении волн.
да.1
= И 10203,
C.88)

140 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
Аналогичным образом можно получить уравнения для а2иа3.
Для этого в первом случае мы в C.87) вместо к подставим к', а
к' заменим на к:
tSH^m. <3-89)
а во втором — вместо к подставим к" и к' опять заменим на к:
Цг-У^а\, C.90)
где V2 = Vr, к, -к", Уз = У к», к, -к'.
В рассматриваемом здесь случае гидродинамического при-
приближения, когда тепловое движение частиц несущественно,
уравнения C.87) — C.90) получаются в результате фурье-пре-
образования исходных дифференциальных уравнений движения
в частных производных. При этом коэффициенты Fkk'k" имеют
одну и ту же фазу — они либо чисто мнимые, либо действи-
действительные. Для простоты будем считать их действительными (мни-
(мнимость можно всегда устранить введением дополнительного мно-
множителя i в амплитуды а,). В уравнениях C.87) — C.90) дина-
динамическими переменными являются амплитуды а\. В эти ампли-
амплитуды можно свободно вводить дополнительные множители с
целью упрощения вида уравнений. Пронормируем опять ампли-
амплитуды Ok таким образом, чтобы энергия k-й волны равнялась
#"к= сок | ак |2. При этом ее импульс Рк будет равен Рк = к|ак|2,
а величину N\= \ay\2 можно интерпретировать как число волн.
В силу законов сохранения энергии и импульса волн при
взаимодействии матричные элементы, входящие в уравнения
C.88) — C.90), не могут быть совершенно произвольными. В са-
самом деле, умножая эти уравнения соответственно на сога, и
k,a) (k[ = k, k2 = k', k3 = k") и складывая их с комплексно-со-
комплексно-сопряженными уравнениями, в силу законов сохранения энергии
и импульса
(i^A/i + ^2^2 + <вз#з = const, C.91)
kiA/i + k2A/2 + k3A/3 = const, C.92)
получим:
<МУ i + V2) + щ (V} + V3) = 0, k2 (У, + V2) + k3 (F, + F3) = 0,
C.93)
где мы учли, что coi = сог + «з, k4 = k2 + кз. Формула C.93)
представляет собой систему четырех скалярных однородных
уравнений для двух величин Vt + V2, V\ + V3. Переопределен-
Переопределенная система имеет только нулевые решения и, следовательно,
Vi = —V% = —Уз- Кроме того, поскольку замена знака у всех к
означает переход к комплексно-сопряженным величинам, а мы
условились считать Vi действительными, то Vk, w, k"="V-k, -k', -f.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН
141
Далее, как видно из C.87), можно считать Vkk'k" = Vkk"k'. Та-
Таким образом, мы получаем цепочку соотношений, выражающих
свойства симметрии матричных элементов:
Vk, к', к" = Vk, к", к' = V-k, -к', -к" = — W, к, -к" == — Vk", к, -к'-
C.94)
Соответственно и уравнения для амплитуд трех взаимодей-
взаимодействующих волн принимают очень простой вид:
да*
-ft = Va2a -ft = - Уаа
да< ,, да.2
-ft = Va2a3, -ft =
C.95)
Теперь нетрудно установить, что эти уравнения имеют еще
один интеграл движения. В самом деле, если первое из уравне-
уравнений умножить на а*, а второе — на а\ и сложить затем их
вместе с комплексно-сопряженными соот-
соотношениями, то справа мы получим нуль
и, следовательно,
н; JV, + ЛГ2=*= const. C.96)
Аналогичным образом можно полу-
получить
Nl + N3 = const. C.97)
Но. это соотношение является следствием
C.91) и C.96), если учесть, что an = а
-ss@2 + <B3. Интегралы C.96), C.97) на-
называют обычно соотношениями Мэнли —
Рис. 38. Траектории трех
взаимодействующих волн
с фиксированными фа-
фазами.
У
.1 Итак, мы получили два интеграла
движения C.91) и C.96), наличие кото-
которых накладывает существенные ограни-
ё на взаимодействие волн. Чтобы
. ясно представить себе эти ограни-
$, допустим, что амплитуды щ —
$86йствительные. Тогда соотношения C.91) и C.95) могут быть
*Я1КМУ}тавлены соответственно в виде
"h ю,а* + <о2а2 + «з^ = const, а\ + а\ = const. C.98)
первое из них представляет собой уравнение эллипсоида в ко_-
й системе (а4, аг, аз) с полуосями \j^Jaib 1/д щ>
второе соответствует цилиндру с осью вдоль аз- Амили-
при взаимодействии могут изменяться только таким об-
чтобы точка (аи а2, а3) перемещалась по линии пересе-
. этих поверхностей. Если учесть, что coi > «2 > соз, то ли-
Яересечения имеют вид, показанный на рис. 38.

142
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. 3
Как мы видим, вблизи осей а% и аз траектории представляют
собой маленькие эллипсы, каждая из волн а2, а3 при малом
возмущении совершает небольшие колебания вблизи начального
значения (рис. 39, а). Что касается волны с максимальной ча-
частотой шь то она может «распадаться», т. е. полностью переда-
передавать свою энергию волнам а2, а3, даже если их начальная ам-
амплитуда мала, а2, а3 <С ai (рис. 39,6). Из рис. 38 и 39,6 видно,
что процесс распада носит характер периодической конверсии
а)
t
Рис. 39. Зависимость от времени амплитуд взаимодействующих волн при
устойчивом (а) и неустойчивом (б) начальном состоянии.
волны ui в две другие a& #з и возвращения к исходному со-
состоянию.
3. Аналогия с уравнением Эйлера. Рассмотренный процесс
сходен со свободным движением твердого тела. В частности,
процесс распада волны а4 в а2, а$ сходен со свободным движе-
движением несимметричного волчка, приведенного во вращение вокруг
оси с промежуточным моментом инерции /2, т. е. /з > h > h
(см. рис. 51 в [107]). Сходны и сами уравнения.
Напомним, что для свободного тела механический момент М,
будучи постоянным, удовлетворяет уравнению
dt
dt
C.99)
Здесь производная по времени со штрихом соответствует диф-
дифференцированию компонент М в системе координат, связанной
с телом, а второе слагаемое справа возникло из-за дифферен-
дифференцирования ортов подвижной системы. Так как в собственной си-
системе координат М = {/iQi, /2Й2, /зйз}, то компоненты угловой
скорости согласно C.99) удовлетворяют уравнениям
Q2Q3)
C.100)
C.101)
C.102)

§4] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН 143
Эта система уравнений сходна с уравнениями C.95) для
амплитуд а*. Она обладает интегралами движения 2?=.
Af?//i + Mllh + ЛГ|//з = const и М2 = Af I + М% + Ni\ = const.
Пересечение этих поверхностей в координатной системе (Qi, Q2,
Q3) приводит к картине, очень сходной с распадом волн: дви-
движение тела устойчиво при вращении вокруг осей с экстремаль-
экстремальными значениями моментов инерции U, h и неустойчиво при
вращении около оси с промежуточным значением момента инер-
инерции h. Сходными оказываются и аналитические выражения для
зависимости от времени компонент угловой скорости Q,-(/) и
амплитуд ai(t) взаимодействующих волн.
4. Взрывная неустойчивость. При рассмотрении взаимодей-
взаимодействия трех волн мы предполагали, что энергия всех волн поло-
положительна. Именно в этом предположении и были получены
условия симметрии для матричных элементов и упрощены урав-
уравнения для амплитуд at. Однако в неравновесной плазме энергия
волн может быть отрицательной, и взаимодействие такой волны
с волнами положительной энергии приводит к нелинейной не-
неустойчивости «взрывного» типа [108]. Причина ее состоит в том,
что, передавая энергию волнам с положительной энергией, вол-
волна с отрицательной энергией не уменьшает, а увеличивает свою
амплитуду.
.... Допустим для определенности, что отрицательной энергией
дбладает волна аи которая по-прежнему обладает максималь-
максимальной частотой. Так как мы условились сохранить для энергии и
Импульса волн с отрицательной энергией те же выражений
?Гк = cok./Vk, Pk = kyVk, но при этом для Шк, к брать пару с от-
отрицательной частотой и волновым вектором, направленным против
фЙзовой скорости Уф = kcok/&2, то теперь для резонанса имеем
• у', со, + щ + щ = 0, k + k' + k// = 0. C.103)
Шоответственно из законов сохранения энергии и импульса по-
ЙуЧаем для матричных элементов Vt = V2= V3, т. е. уравнения
ЯЭШ амплитуд трех связанных волн примут вид
^ ^
для простоты считать амплитуды действительными, то
что все три амплитуды растут одновременно. Поскольку
УРавнения сходны с уравнением ~~77—х2> то и их решения
вид, сходный с решением x—(t0—t)-1, т. е.
1/(/0 — /). Таким образом, мы имеем дело с нелинейной
ойчивостью, имеющей характер «взрыва»: амплитуды волн
даетают до бесконечно больших значений за конечный проме-
эк времени t0.

144 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 3
5. Взаимодействие волн с хаотическими фазами. Из уравне-
уравнений для временной зависимости амплитуд трех взаимодействую-
взаимодействующих волн видно, что характерное время их изменения t ~ \jVa.
Если амплитуды волн малы, то это время очень велико, и в те-
течение всего этого времени для резонансно взаимодействующих
волн должно выполняться условие синхронизма. Ясно, что чем
меньше амплитуда, тем меньше допустимая расстройка А, т. е.
А = Ш1 — ш2 — юз «С Va.
Но в реальных условиях плазменного эксперимента точный
синхронизм осуществить очень трудно, поскольку в плазме мо-
могут иметься небольшие неоднородности, которые будут несколь-
несколько изменять собственные частоты в пространстве или со време-
временем, если эти неоднородности нестационарны. В этих условиях
картина взаимодействия волн усложняется, но, вместе с тем,
в условиях нерегулярности взаимодействия допустим другой
приближенный подход, использующий так называемое прибли-
приближение хаотических фаз. Поясним его на примере трех взаимо-
взаимодействующих волн с положительной энергией.
Умножая каждое из уравнений для амплитуд а;- на соответ-
соответствующее а* и складывая с комплексно-сопряженными соотно-
соотношениями, мы можем написать уравнения для квадратов ам-
амплитуд:
- Va&l + к. с. C.106)
Каждую из амплитуд а, можно представить в виде |aj|ai(P, где
cpj — фаза. Как видно из структуры уравнений C.105), C.106),
во все члены правой части входит один и тот же фазовый мно-
множитель е*г(ч>1~сРг~фз). Разность фаз ф1 — ф2 — срз может меняться
со временем как из-за взаимодействия трех волн между собой
(с тем же характерным временем, что и амплитуды), так и
вследствие неоднородностей среды. Последняя причина может
привести даже к более быстрому изменению фазы. Разумеется,
неоднородности плазмы приводят к флуктуациям амплитуды,
так как при этом энергия волнового поля несколько перераспре-
перераспределяется в пространстве. Однако можно полагать, что колеба-
колебания амплитуды будут значительно меньше колебаний фазы, так
как с квадратом амплитуды связана сохраняющаяся величи-
величина — плотность энергии, — и поэтому речь может идти только
о небольшом перераспределении энергии по волновому пакету.
Что касается фазы, то ее изменения ничем не ограничены, и в
каждой точке пространства фаза легко изменяется на л простым
перемещением участка волнового пакета на половину длины
волны.

$ 4] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН 145
Таким образом, представляется разумным приближение, в
котором амплитуды считаются постоянными, а фазы — быстро-
переменными случайными функциями времени. Другими сло-
словами, в уравнениях C.105), C.106) можно положить
att'J~N~ie'tl и произвести усреднение по фазам ср^. Но при та-
таком усреднении в правой части мы получим нуль. Это значит,
что в правой части нам нужно учесть малые добавки к ампли-
амплитудам нулевого приближения, т. е. положить
al = ^/W,etq'l + 6a1. C.107)
Здесь S5j — малая добавка, которая может быть получена из
уравнений для амплитуд в первом приближении
^ т.е. в^ = V \
h
C.108)
где to — большое отрицательное значение времени, когда на-
начальное значение 6at можно считать нулем. В C.108) мы вы-
вынесли л/ NtN2 из-под интеграла, считая, что за время заметного
Изменения фаз Nj можно считать постоянными. Подставляя те-
дерь в правую часть уравнений C.105), C.106) для Nj попере-
попеременно вместо каждого из сомножителей его малую поправку
S5j и усредняя по фазам, мы получим уравнения для Nj в пер-
первом неисчезающем приближении:
C.109)
Здесь
4 W = 2Vh, т = '
#-— сумма любых двух случайных фаз, например 9 = cpi + фг.
величина т определяет характерное время корреляции фаз.
Из уравнений для N в приближении хаотических фаз опять
следуют соотношения Мэнли — Роу Ni + Nz — const, Л^ + Л^з =
ita const, и соответственно опять выполняются законы сохране-
я энергии и импульса. Эти уравнения имеют стационарное
ешение Nj = const/o)j, соответствующее равнораспределению
ер по степеням свободы, т. е. закону Рэлея — Джинса:
Sj = <?>jN i = То = const.
|6йствительно, если в правую часть уравнения C.109) подста-
подставить выражение Nj=T0/(s)j, вынося общий множитель NiN2NlT

146 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ 1ГЛ. »
мы получим в скобках (cot — а>2 — соз) = 0 в силу резонансного
условия для частот.
Уравнения для Nj имеют простую квантовомеханическую
аналогию, если N, интерпретировать как число квантов (т. е.
ввести постоянную Планка d?k = йшкЛ^к и положить ее затем
равной 1 выбором соответствующей системы единиц). Тогда
для процесса комбинационного рассеяния кванта ficoi в два
кванта йш2+ йсо3 и обратного процесса слияния двух квантов
в один можно написать уравнение
^ +l)}. C.110)
Здесь W — вероятность перехода, а единицы в конечном состоя-
состоянии добавлены для учета спонтанного перехода бозе-частиц из
одного состояния в другое. Если числа заполнения Nj значи-
значительно больше единицы, то в этом уравнении достаточно сохра-
сохранить только квадратичные члены, и оно совпадет с C.109).
6. Взаимодействие высокочастотных волн с низкочастотной.
До сих пор мы рассматривали взаимодействие только трех волн.
В принципе число волн, участвующих во взаимодействии, мо-
может быть значительно больше. В приближении трехволнового
взаимодействия мы имеем дело с суперпозицией зацепляющихся
троек, или триплетов, волн. При этом взаимодействие может
быть либо при фиксированных фазах, если условия резонанса
соблюдаются с хорошей точностью, либо со случайными фа-
фазами, если волны не вполне регулярны или среда имеет слабые
нерегулярные неоднородности.
В качестве простого примера большого числа взаимодей-
взаимодействующих волн с фиксированной фазой рассмотрим взаимодей-
взаимодействие высокочастотных волн с длинноволновой медленной вол-
волной [ПО]. Например, это может быть взаимодействие высоко-
высокочастотной электромагнитной волны с ионным звуком. Такой
случай соответствует рис. 37, когда муар от высокочастотных
волн попадает в резонанс с собственной низкочастотной волной.
Обозначим амплитуду низкочастотной волны через Ь, а ее
волновой вектор и частоту соответственно через к и v. Пусть
волновое число основной волны равно ko, причем ko >¦ к. Тогда
с основной волной может взаимодействовать волна ki = ko + х,
с ней, в свою очередь, может взаимодействовать волна k2 =
= k0 + 2к и т. д. Таким образом, кроме двух основных волн ko,
к, во взаимодействии может участвовать целый набор волн с
волновыми числами kn = k0 + як, где п — произвольное поло-
положительное или отрицательное целое число. Обозначим через ап
амплитуду волны k0 + n%, так что аа соответствует основной
высокочастотной волне. Будем считать, что волны находятся в
точном резонансе, т. е. con = con-i + v или соь = (ии—I + v.

§ 4] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН 147
т , да>.
Так как по предположению х мало, то шй_и«сой—-зг-х и
условие резонанса можно приближенно записать в виде
|^x = t,rX = v. C.111)
Отсюда видно, что в рассматриваемом случае малых х условие
резонанса соответствует совпадению групповой скорости высо-
высокочастотного пакета и фазовой скорости низкочастотных волн.
Поскольку х мало, то матричный элемент в C.87) можно счи-
считать не зависящим от п, так что уравнение для ап можно запи-
в виде
&ап ;т/ /~ и* I „ и\
dt
C.112)
где V — некоторое число, которое мы будем считать действи-
действительным. (Как будет видно из дальнейшего, удобно выбрать
такую нормировку амплитуд, чтобы матричный элемент взаимо-
взаимодействия iV был чисто мнимым.) Аналогично для b имеем
Х-г (Зл13)
Мы считаем, что матричные элементы взаимодействия в C.112)
и C.113) совпадают, что имеет место при определенной норми-
нормировке амплитуд ап и Ь.
-*, Допустим, что в начальный момент была возбуждена только
Одна волна с амплитудой а° и имелась малая примесь низко-
низкочастотной волны с амплитудой Ь. Примем для простоты, что b —
действительно (фаза волны зависит от выбора начала коорди-
координат). Тогда, воспользовавшись известным рекуррентным соотно-
соотношением для функций Бесселя 2 —jj- — Jn-X — Jn+U нетрудно
Проверить, что решением C.112) является
'*». an=inalJnBV\bdt). C.114)
видно, что за счет взаимодействия с низкочастотной
со временем появляются все более и более высокие гар-
ники ап, причем при t —> оо они в среднем выравниваются по
Ллитуде, так как Jn(x)~const/л/х при больших х (при
V*). Появление гармоник ап соответствует просто моду-
и исходной волны, что видно из соотношения
Ci ane » n == e о о ^ ane =
П R
= exp {— tcuo/ -f ik(/ — iX cos {vt — кг)}, C.115)

148
НЕЛИНЕИНЫВ ВОЛНЫ
[ГЛ. 3
где A = 2V\bdtf. Таким образом, в рассматриваемом случав
и <С &о и не зависящего от п матричного элемента модуляция
волны является чисто фазовой.
Подставляя найденные выражения для ап C.114) в уравне-
уравнение C.113) для Ь, получим
dt
/„-, (Л).
C.116)
Но выражение справа в силу известной теоремы сложения для
функций Бесселя обращается в нуль. Таким образом, модуля-
модуляция высокочастотной волны происходит пр-и постоянной ампли-
амплитуде низкочастотной волны. Если учесть небольшую несиммет-
несимметрию матричных элементов взаимодействия, т. е. их зависимость
п
Я —\
а)
5)
Рис. 40. Параметрическое возбуждение ионно-звуковой и ленгмюровской
волны при малой (а) и большой (б) амплитуде волны накачки (соо — частота
накачки, Q — ионно-звуковая частота).
от п, то амплитуда низкочастотной волны также будет изме-
изменяться со временем — либо нарастать, либо испытывать низко-
низкочастотные колебания. Все зависит от того, в какую сторону —
меньших или больших частот — преобладает трансформация вы-
высокочастотных волн.
Нелинейное взаимодействие высокочастотной волны с плаз-
плазменными колебаниями наблюдалось экспериментально в работе
Стерна и Тцоара [111]. Соответствующие данные приведены на
рис. 40. Как мы видим, при таком взаимодействии в плазме
возбуждаются ионно-звуковые и ленгмюровские колебания (ча-
(частота волны накачки была близка к ленгмюровской), причем по
мере роста амплитуды накачки число сателлитов возрастает,
как это следует из теории взаимодействия волн.
7. Четырехволновые процессы. Если спектр нераспадный,
т. е. зависимость ©к от к такая, что удовлетворить соотношению
сок = сок, + сок_к, нельзя, то приходится учитывать следующий,
кубичный по амплитуде член взаимодействия волн. В этом слу-

sfl
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН
149
чае резонансная перекачка энергии волн по спектру происходит
8а счет четырехволновых процессов, когда выполнены условия
= к3
к4)
C.117)
для рассеяния двух волн ki, k2 в две другие кз, к4, либо анало-
аналогичные условия для распада одной волны на три или слияния
;fpex волн в одну. В этом случае взаимодействие является малым
третьего порядка по амплитуде, а в случае хаотических фаз —
^Третьего порядка по числу волн Л^. Разумеется, четырехволно-
аые процессы являются основными и в том случае, когда с са-
самого начала нелинейность является кубической, как, например,
& рассмотренном выше уравнении, описывающем самофокуси-
самофокусировку и самосжатие волновых пакетов. Сами эти процессы
можно рассматривать и на языке четырехволновых взаимодей-
четвий волн с близкими волновыми векторами к, к ± х. Более
долробно с четырехволновыми процессами можно познакомить-
познакомиться в [73—75]. В плазме они могут проявляться только в некото-
шмх частных случаях, когда трехволновые процессы оказы-
оказываются запрещенными.
«ft

Глава 4
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
§ 1. Нелинейное затухание Ландау
1. Резонансные частицы и их взаимодействие с волной. Все
предыдущее рассмотрение нелинейных волн носило довольно
общий характер и было применимо практически к любой сплош-
сплошной среде. Никакой специфики плазмы как системы частиц с
дальнодействующими силами в этом рассмотрении учтено не
было. Между тем такая специфика существует и связана она
прежде всего с тем, что в нелинейных коллективных явлениях
может происходить не только взаимодействие волн с волнами,
но и волн с частицами. Простейшим и достаточно важным яв-
явлением такого вида является взаимодействие частиц с волной
конечной амплитуды, которое проявляется в так называемом не-
нелинейном затухании Ландау [113—116].
Допустим, что в плазме возбуждена ленгмюровская волна
малой, но конечной амплитуды. Будем считать, что длина волны
достаточно велика по сравнению с дебаевским радиусом экра-
экранирования d, так что фазовая скорость волны Уф = co/fe значи-
значительно больше тепловой. В этих условиях, с одной стороны,
мала тепловая поправка к частоте, и можно считать ш = шре>
а с другой — мало число резонансных частиц.
Покажем сначала, что в холодной плазме амплитуда пло-
плоской ленгмюровской волны может быть конечной, причем волна
остается гармонической. В самом деле, в этом случае уравнение
движения электронов можно написать в лагранжевои форме:
где | — смещение электрона, находившегося в равновесии в точ-
точке х. Но при смещении слоя электронов, скажем, вправо число
электронов слева от смещенного слоя остается неизменны^
если только не возникнет многопотокового движения. Поэтому
электрическое поле будет определяться избыточным число

$11
НЕЛИНЕЙНОЕ ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ
151
ионов оказавшихся слева от рассматриваемого слоя электро-
электронов, т. е. Е(х + 1, О = 4лепо|. Поэтому уравнение D.1) прини-
принимает вид
?L «2P D.2)
dt2 — °>peS, v
гяе сосв — ленгмюровская электронная частота. Отсюда видно,
что в одномерном случае электроны совершают гармонические
колебания с частотой иРе и с конечной амплитудой, если только
последняя не становится настолько большой, что начинает про-
происходить пересечение траекторий и образование многопотоковых
НИИ
Рис. 41. Фазовые траектории
электронов в волне.
15кении
Итак в приближении холодных электронов можно считать,
что ленгмюровская волна имеет малую, но конечную ампли-
амплитуду, и ее потенциал является гар-
гармонической функцией вида ср =
sptpocos(cope^ — kx). С учетом тепло-
теплового разброса следует принять во
взимание, что эта волна может вза-
взаимодействовать с резонансными ча-
частицами, скорость которых близка к
фазовой скорости волны Фре/k. Если
Жазовая скорость много больше теп-
Л?>вой скорости электронов, то резо-
резонных частиц будет экспоненци-
.бно мало, и, следовательно, мож-
^¦ожидать, что их влияние на вол-
' конечной амплитуды будет ма-
В этих условиях можно дей-
иъ в духе теории возмущений. В первом приближении мы
гсчитать волну стационарной и рассмотрим поведение резо-
IX частиц в такой волне, а затем уже можно попытаться
и» эффект обратного влияния резонансных частиц на волну.
[так, рассмотрим резонансные частицы. Для этого удобно
1ти к системе координат, движущейся вместе с волной.
.ой системе координат волна представляет собой стационар-
адзмущение электрического поля: ср = ср0 cos kx. Электроны
ik&m поле можно разбить на два класса: захваченные, совер-
""".Ие финитные колебания вблизи точек с максимальным по-
полом фо, и пролетные, энергия которых достаточно велика
р>еодоления потенциального барьера.
дажение частиц удобно рассматривать на фазовой плоско-
-,», На рис. 41, а представлена зависимость ср от х, а на
1 б изображены фазовые траектории электронов при их
*ш в волне. Электроны с малыми скоростями захваты-
+ «олной. На электрон, захваченный, например, вблизи

152 ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
х = О, действует сила
— еЕ = е -тр- = — ефо& sin kx « — eq>0?2;e,
так что он будет совершать колебания с частотой
[ГЛ. 4
е<Ро
D.3)
По мере увеличения амплитуды колебаний электронов частота
уменьшается, и на сепаратрисе, отделяющей захваченные ча-
частицы от пролетных и изображенной пунктиром на рис. 41,6,
j I
О 2&v v
а>
Рис. 42. Образование быстрых осцилляции (а) и «плато» (б) па функции
распределения.
она обращается в нуль, так как соответствующие электроны
могут бесконечно долго находиться на «вершине» А потенциаль-
потенциальной энергии —еф. Средняя скорость пролетных частиц вблизи
сепаратрисы также очень мала и возрастает по мере удаления
от сепаратрисы.
Так как полная энергия электрона
еф = const.
а в точке А скорость v — иф = 0, полуширина сепаратрисы при
х = 0 равна, очевидно, Аи = л/е^0/пв, т. е. она убывает с ам-
амплитудой волны гораздо медленнее, чем по линейному закону.
Это значит, что в волне даже очень малой амплитуды может
быть относительно много захваченных частиц.
Рассмотрим теперь, как будет эволюционировать функция
распределения резонансных частиц со временем. Так как ши-
ширина области взаимодействия Аи велика, малым линейным воз-
возмущением f в этой области можно пренебречь, т. е. можно счи-

f I]
НЕЛИНЕЙНОЕ ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ
153
ж
тать, что начальная функция распределения резонансных частиц
совпадает с невозмущенной. Мы будем считать, что она убы-
убывает с v так, как показано на рис. 42, а сплошной линией.
Учтем теперь, что уравнение Власова
dt
дх
_?_i2. df
те дх ~~fa
>0
D.4)
можно рассматривать как уравнение Непрерывности для некото-
некоторой субстанции с плотностью / при течении на фазовой плоско-
плоскости. Так как скорость v не зависит от- х, а ускорение — от и, то
дх ' dv \ тв дх ) ~ и>
Ш дх ~t~~fo{m. dl )=0> D-5)
т. е. это течение является несжимаемым. Следовательно, вели-
величина f сохраняется вдоль линий тока. Зная эти линии и началь-
начальную функцию, нетрудно представить себе, как будет изменять-
изменяться /. Рассмотрим сначала захваченные частицы. Покажем
сплошной штриховкой область при меньших скоростях, где
функция f больше (рис. 43, а). Так как захваченные частицы
совершают колебания с частотой ~^) внутренняя часть фазо-
фазовой области захваченных частиц будетг вращаться, так что через
полпериода картина приобретает ви^ рис. 43, б. Частицы, ле-
лежащие на сепаратрисе, не вращакЭТСЯ; поэтому эти линии
остаются на месте, а для большей ча.сти частиц происходит пе-
перестановка—плотность быстрых электронов становится больше
плотности медленных, т. е. производная -?- для захваченных
.частиц меняет знак. Затем эта смен^ знака будет происходить
;через каждую половину периода, и г10 мере увеличения / кар-
каротина будет принимать вид все более щ более мелких осцилляции
|(см. рис. 43, в и пунктир на рис. 42,^). Аналогичное «размеши-
р-вание» имеет место и для пролетных «резонансных» частиц, на-
находящихся близко от сепаратрисы (точечная штриховка на
ifHC. 43).
j, Благодаря эффекту «размешивания» довольно быстро (по
^сравнению со средней частотой столкновений) должно дости-
достигаться настолько быстро осциллирующее на фазовой плоскости
Достояние f, что в игру могут вступать кулоновские столкнове-
столкновения. Как известно, кулоновские столкновения приводят к диф-
диффузии в пространстве скоростей, и поэтому эффективное время
^релаксации мелких осцилляции в фазювом пространстве гораздо
среднего времени столкновений для гладкой функции
распределения. Вследствие совместного действия «размешива-
«размешивания» и кулоновских столкновений функция распределения в об-
ЩйЛасти резонансных частиц должна «сгладиться» около некото-
некоторого среднего значения, т. е. на ней должно появиться «плато»

154
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
(ГЛ. 4
(см. рис. 42,6). Однако в течение достаточно большого про-
промежутка времени затухание волны из-за столкновений можно
считать еще малым, так что волна длительное время будет чи-
чисто периодической.
Рис. 43. Движение резонансных частиц в волне.
Заметим, что эта волна соответствует стационарному реше-
решению линеаризованного уравнения Власова. В такой волне осо-
особенность в точке со— kv = О устраняется благодаря образова-
образованию «ступеньки» на функции распределения с -J— = 0 в резо-
резонансной точке, что автоматически приводит к интегрированию
особенности в смысле главного значения в дисперсионном урав-
уравнении B.116).
Таким образом, стационарная волна физически может быть
реализована как результат эволюции волны с конечной ампли-
амплитудой. Для стационарности достаточно, чтобы функция распре-
распределения с принятой точностью была постоянной вдоль линии
тока в фазовом пространстве.
Мысленно можно представить себе возможность образования
сразу незатухающей волны: для этого достаточно одновременно
с возмущением потенциала, создаваемым нерезонансными ча-
частицами, произвести такое возмущение функции распределения
резонансных частиц, чтобы в последующие моменты времени

»ч
НЕЛИНЕЙНОЕ ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ
155
она оставалась постоянной (в системе координат, движущейся
с волной). Например, если функция распределения захваченных
частиц внутри сепаратрисы на рис. 43 будет постоянна, то дви-
движение запертых частиц не будет менять функцию распределения
'(аналогичная картина имеет место для пролетных частиц вбли-
вблизи сепаратрисы). Отсюда видно, что стационарные ленгмюров-
ские волны соответствуют такой добавке резонансных частиц,
при которой сразу образуется что-то вроде плато. Такие волны
называют волнами Бернштейна — Грина — Крускала (сокра-
(сокращенно БГК) [117]. Если число дополнительных резонансных ча-
частиц увеличивать, то мы получим как бы волну с модулирован-
модулированным в пространстве пучком,
что соответствует переходу к
волне Ван-Кампена. Собствен-
Собственно волны Ван-Кампена соот-
соответствуют стационарным моду-
модулированным пучкам, пронизы-
пронизывающим плазму.
' Теперь, после того как мы
познакомились с движением
резонансных частиц, мы можем
Р
к/п
Рис. 44. Затухание волн конечной
учесть их обратное влияние на амплитуды.
волну. Ясно, что к моменту
йервого полупериода колебаний резонансных частиц (рис. 43, б),
Когда они отбирают энергию от волны, амплитуда волны долж-
йа уменьшаться (см. рис. 44). Затем резонансные частицы
«вновь начинают увеличивать свою энергию, и амплитуда вол-
Ц должна возрастать. В последующие моменты времени,
запертые частицы, совершающие колебания с различ-
ли частотами от нуля до Q, приводят к «размешиванию»
1кции распределения в фазовом пространстве, размах
вбаний амплитуды волны должен затухать, и при ?->-оо
"¦«Цкфлитуда стремится к некоторому предельному значению фс.
tit меньше резонансных частиц, тем ближе к единице от-
зение фоо/фо- Если амплитуда волны ф0 стремится к нулю,
Q->0 и первый полупериод колебаний амплитуды (см.
44) растягивается до бесконечности, так что в линей-
*: приближении осцилляции вообще отсутствуют и амплитуда
гонно убывает. При этом, разумеется, уже нельзя считать
йлитуду постоянной, как это мы делали при рассмотрении
Кения запертых частиц в волне конечной амплитуды. Впро-
и сами запертые частицы не успевают совершить ни одного
Зания — они только начинают свое движение в волне, как
зано на рис. 43, а пунктиром, а их вклад в величину плот-
заряда оказывается уже настолько существенным,
амплитуда волны заметно убывает. Можно сказать, что

158 волны и частицы в плазме 1гл. 4
резонансные частицы имеют слишком большой вес в волне малой
амплитуды.
Нетрудно оценить, при какой амплитуде волну можно счи-
считать линейной. Для этого достаточно сравнить плотность энер-
энергии волны
El *У0
8л
с плотностью той энергии, которая передается захваченным ча-
частицам при образовании плато. Ширина плато порядка
Аи ~ Ve(Po/We> а изменение энергии электрона при увеличении
его скорости на Аи вблизи фазовой скорости co/fe равно mecoAt//fe.
Так как при образовании плато функция распределения изме-
изменяется на величину
то изменение плотности энергии захваченных частиц по порядку
величины равно
. D-6)
V = Ш/fe
Сравнивая эту величину с плотностью энергии в волне, на-
находим условие линейности ленгмюровской волны в плазме с
максвелловским распределением электронов по скоростям:
Отсюда видно, что при очень малых kd волна даже очень малой
амплитуды не может считаться линейной. Это связано с тем, что
для таких волн число резонансных электронов экспоненциально
мало и соответственно их затухание очень быстро прекращается.
Напротив, при kd ^ 1 волна может считаться линейной даже
при умеренных значениях ecpo/TV
Рассмотрение затухания волны конечной амплитуды прояс-
проясняет и вопрос об обратимости во времени. Этот вопрос состоит
в следующем. С одной стороны, кинетическое уравнение с само-
самосогласованным полем в отсутствие столкновений является пол-
полностью обратимым во времени: оно сохраняет свой вид при
замене t на —t и обращении скоростей частиц. Поэтому все
процессы, описываемые этим уравнением, должны быть обрати-
обратимыми. Но, с другой стороны, наличие экспоненциального зату-
затухания волн в линейном приближении, казалось бы, указывает
на явную необратимость: по прошествии достаточно большого
промежутка времени система заряженных частиц может пол-

§1]
НЕЛИНЕЙНОЕ ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ
157
0,10
0,05
0,02
0,01
0,005
5 10 15 20
\ ностью «забыть» о том, что в ней распространялась волна.
^ Чтобы выяснить этот вопрос, обратимся опять к рис. 43.
I Если столкновений нет, то картина эволюции функции рас-
| пределения резонансных частиц полностью обратима. При за-
г мене скоростей захваченных частиц на обратные «змея» на
рис. 43, в должна начать развертываться, затем она пройдет че-
|: рез состояние / = 0 и снова начнет свертываться. Соответствен-
"^ но и на амплитуде фо(О появятся сна-
сначала осцилляции, затем фо достигнет
^максимального значения, соответ-
соответствующего /=0, и вся картина затуха-
! ния с осцилляциями вновь повторится.
Аналогичная картина обратимости
!,должна иметь место и в случае волны
1«алой амплитуды, т. е. в случае боль-
большого числа резонансных частиц. Разу-
Разумеется, при этом никакого захвата
^¦Частиц не происходит: волна затухает
? {гораздо раньше, чем успеет произойти
бы одно колебание запертых ча-
ц. Происходит как бы расползание
Отдельных групп резонансных частиц,
торое сопровождается отбором энер-
у волны, так что в конце концов ш'"'в
энергия колебаний передается ре- к2Те
раненым частицам. Но этот процесс Рис_ 45 зависимость декре-
ке является обратимым. Даже по-
: затухания волны до крайне ма-
амплитуды среда может длитель-
время (пока не начнут играть
столкновения) сохранять «память» о начальном возмуще-
|. и при обращении скоростей частиц весь процесс пошел бы
|ратном направлении. Практически, разумеется, нельзя обра-
скорость всех частиц, однако «память» о колебаниях может
пяться в эффектах типа эха.
Эксперименты по затуханию Ландау. Первым наиболее
эбным и прямым исследованием затухания Ландау в про-
Цьных колебаниях, по-видимому, является эксперимент Малм-
" &, Уортона и Драммонда [118]. В этом эксперименте изме-
пространственное затухание продольной электронной
|ы вида ехр(—Ш + ikrx — ktx), возбуждаемой с помощью
^©частотных колебаний, подаваемых на ленгмюровский
^Плазма с плотностью 108—109 см~3 и температурой от 5
создавалась с помощью плазмотрона. Для регистрации
*ий служил второй ленгмюровский зонд. На рис. 45 пред-
яы результаты измерения затухания (отношение мнимой
мента затухания от квадрата
отношения фазовой скорости
к средней тепловой.

158
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
(ГЛ. 4
2,0
1,5
1,0
0,5
О
части волнового числа ki к действительной kT) в зависимости от
квадрата отношения фазовой скорости Уф = ы/k к средней теп-
тепловой иеТ = л/2Т/те. Так как ki пропорционально декременту
затухания, величина ki/kr должна экспоненциально убывать с
((ofkverJ- Видно, что такая зависимость действительно имеет
место, причем экспериментальные точки хорошо ложатся на тео-
теоретическую кривую.
Чтобы проверить, действительно ли это затухание связано
с резонансными электронами, авторы работы [118] изменяли по-
потенциал торцевого электрода и тем
самым «обрезали хвост» максвел-
ловского распределения, т. е. устра-
устраняли наиболее быстрые электроны.
Как только граница обрезания до-
доходила до некоторого определен-
определенного значения и», наблюдалось рез-
резкое изменение затухания. Величи-
Величина и» оказалась близкой к фазо-
фазовой скорости волны г/ф = со/6, что
убедительно свидетельствует о за-
затухании волны на резонансных элек-
электронах.
В последующих экспериментах
[119—122] было проведено более
подробное исследование дисперси-
дисперсионного соотношения для плазмен-
плазменных волн. На рис. 46 представлены
результаты Дерфлера и Симонена для зависимости частоты ко-
колебаний со и затухания (мнимой части волнового числа ki) от kr,
которые сравниваются с точным дисперсионным соотношением
е = 0 [см. B.116)] при произвольных kd. (График рис. 46 сле-
следует рассматривать скорее как зависимость kr и ki от со.)
Как мы видим, экспериментальные точки хорошо ложатся на
теоретические кривые. Таким образом, в настоящее время не
только затухание, но и полное дисперсионное соотношение
e(k, со) = 0 можно считать надежно установленными в экспе-
эксперименте.
Позднее Малмберг и Уортон [123] провели исследование за-
затухания волн конечной амплитуды. Их результаты приведены
на рис. 47, где показана экспериментально измеренная зависи-
зависимость амплитуды колебаний от расстояния между зондом-излу-
зондом-излучателем и зондом-приемником. Амплитуда отложена в относи-
относительных единицах. Кривая 1 относится к волне малой ампли-
амплитуды. Если не обращать внимания на область расстояний
меньше 5 см, где еще не установилась плоская волна, то видно,
что волна затухает монотонно по экспоненциальному закону
0,6 0,8
kd
Рис. 46. Дисперсионные кривые
для ленгмюровских волн.

ЭХО В ПЛАЗМЕ
159
О
20
4/7
SO
80 х,см
Рис. 47. Затухание воля конечной ампли-
туды.
J-0,9e; 2-2,85 в; J —9 в переменного поляна
зонде-излучателе волн.
fe ЗПри увеличении амплитуды волны на зависимости амплитуды
L расстояния появляются осцилляции, период которых умень-
^ [втся по мере увеличения амплитуды. Эксперимент показал,
%1»что волновое число К осцилляции амплитуды при изменении по-
•у-^тенциала V, подаваемого
'*%а зонд-излучатель, воз- vo
Настало как У V . Эта за-
'"-ЭДисимость хорошо согла-
.* дуется с теоретической
-4 {см. D.3)], по которой ча-
У* стота колебаний Q, а еле- // Ч^ J^. -^^_ z
^•довательно, и К должны
^3 возрастать как квадрат-
" йый корень из амплитуды.
*- • • Итак, эффект затухания
г Ландау можно считать
/* надежно подтвержденным
1 экспериментально.
' Возникает еще вопрос,
можно ли экспериментально проверить, что затухание Ландау
< -не приводит непосредственно к необратимости и что в бесстолк-
новительной плазме сохраняется «память» о затухших колеба-
,„ ниях. Такая проверка действительно была сделана в экспери-
v ментах с эхом.
щ § 2. Эхо в плазме
|| 1. Спиновое эхо. Напомним сначала, что представляет собой
'Эхо. Эффект эха был обнаружен Ханом [125] в экспериментах
до ядерному магнитному резонансу. Внешне он выглядит сле-
i 4, 7 дующим образом. Если на частоте,
близкой к резонансной, приложить
два коротких импульса, разделен-
разделенных промежутком т (рис. 48), то
вслед за вторым импульсом через
время т появляется импульс, соот-
соответствующий спонтанному излуче-
излучению ядерных спинов на резонансной
частоте. Этот эффект, который но-
носит название спинового эха, был
объяснен самим Ханом.
Рассмотрим систему ядерных спинов в сильном магнитном
яоле и допустим, что в начальный момент все магнитные мо-
иенты направлены вдоль поля (ось z на рис. 49). Как известно,
наложение резонансных высокочастотных колебаний приводит
тому, что спины начинают отклоняться от оси г. Допустим для
.йростоты, что первый импульс является 90-градусным, т. е. его
Рис. 48. Спиновое эхо.

160
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
[ГЛ. 4
амплитуда подобрана таким образом, что спины отклоняются
на 90° и переходят на ось х. После прекращения импульса
вследствие прецессии магнитного момента должно иметь место
излучение на резонансной частоте. Однако из-за малой неодно-
неоднородности внешнего магнитного поля это излучение быстро пре-
прекращается. Так как частота прецессии со немного меняется от
точки к точке, фазы различных спинов вскоре «разойдутся», и
в среднем по образцу их можно будет считать распределенными
равномерно (см. рис. 49).
Допустим теперь, что в момент t = т прикладывается вто-
второй высокочастотный импульс. Картина выглядит проще всего,
если второй импульс имеет вдвое боль-
большую амплитуду, т. е. является 180-гра-
180-градусным. При этом «веер» спинов на
рис. 49 просто поворачивается на 180° во-
вокруг оси у, что эквивалентно обращению
времени: после этого все спины будут
вращаться в плоскости «веера» в об-
ратную сторону и через время т сойдутся
на оси х. В этот момент и будет наблю-
наблюдаться эхо — сильное излучение спинов
в одной фазе.
Эффект эха меньшей амплитуды на-
наблюдается и в том случае, если импуль-
импульсы не являются точно 90- и 180-градус-
180-градусными.
Нетрудно видеть, что эффект эха
тесно связан с существованием непре-
непрерывного спектра собственных колебаний. В самом деле, развер-
развертывание спинов в «веер» (рис. 49) происходит именно из-за
того, что в каждой точке пространства частота прецессии спинов
имеет свое значение со (г). Частота со (г) является непрерывной
функцией координат, и если она меняется в пространстве, то
колебания спинов в разных точках со временем будут расхо-
расходиться по фазам, так что в пространстве будет образовываться
все более часто изрезанное волновое поле со все большими вол-
волновыми числами. Действительно, согласно B.141) получим:
к = -т— t —>¦ оо. Именно из-за разбегания по фазам соседних воз-
возмущений и исчезает макроскопический эффект излучения волн
при прецессии спинов.
Приложение второго импульса приводит опять к отклику
второго порядка, сильно изрезанному в пространстве, но эволю-
эволюционирующему таким образом, что теперь волновое число убы-
убывает с t и обращается в нуль при Д^ = т после второго им-
импульса!
Рис. 49. Поворот и «раз-
бегание» спинов при воз-
возбуждении 90-градусным
импульсом.

f 2]
8X0 В ПЛАЗМН
161
2. Простая демонстрация эха. Чрезвычайно простая демон-
демонстрация эффекта эха была предложена Веденовым и Дыхне.
Предположим, что мы имеем два растра с разным периодом
(например, две расчески с разным числом зубцов на единице
длины). Пусть волновые числа этих растров, отвечающие основ-
основной гармонике, равны соответственно ki и /&. Тогда, если бро-
бросить на них рассеянный свет (например, от окна или матовой
лампочки), то на расстоянии х от каждого растра распределение
модуляции интенсивности света по углу будет, очевидно, равно
Рис. 50. Эхо на рассеянном свете.
«+lk9xf(Q), где k = ki или кг, a f@)—распределение интен-
Вности света перед растром (рис. 50). По мере удаления от
гра тень от него будет все более и более размытой, так как
[феделение освещенности, пропорциональное \elk«+mxf(Q)dQ,
из-за размазывания по 0 приближаться к равномерному,
ресли расположить растры параллельно один за другим на
стоянии d между ними так, чтобы тень от одного растра
ала на другой, то распределение освещенности будет равно
± Hx,y+ik,9{x-d)]f(Q)
D.8)
рда видно, что на расстоянии х ° -> _ ь от первого растра
аента под интегралом перестает зависеть от 0. При этом
кране отчетливо проступает муар на разности волновых
! — ki. Из выражения для положения экрана х = . J_ .--
что эффект возникает только при
, В. Кадомцев
>

162
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
[ГЛ. 4
Из рассмотренных примеров видно, что эффект эха возни-
возникает в том случае, когда имеет место затухание линейных воз-
возмущений вследствие их «расползания» по фазам. В случае спи-
спинового эха макроскопический эффект исчезал из-за накопления
разности фаз в разных точках, а в примере с растрами —из-за
расползания по оси у отдельных пучков света. Но совершенно
аналогичный эффект имеет место в случае затухания Ландау:
электрическое поле волны затухает со временем из-за «распол-
«расползания» пучков резонансных частиц по скоростям. Естественно
поэтому ожидать эффекта типа эха на плазменных волнах. Но
сначала мы познакомимся с циклотронным эхом в плазме, ко-
которое больше похоже на спиновое эхо.
Трехимпульсное эхо
Рис. 51. Циклотронное эхо.
3. Циклотронное эхо в плазме. Циклотронное эхо в плазме
было обнаружено Хиллом и Капланом [127]. Эксперимент ста-
ставился следующим образом [127—129]. Поперек столба созданной
высокочастотным разрядом распадающейся плазмы, когда ток
в ней практически отсутствовал и она была достаточно спокой-
спокойной, пропускались два импульса высокочастотных колебаний с
интервалом т. Плазма помещалась в магнитное поле около 3 кгс,
а частота генератора была близка к циклотронной частоте элек-
электронов. Амплитуда импульсов была достаточно высокой, так что
при циклотронном резонансе электроны могли приобретать энер-
энергию, значительно превышающую тепловую. После прохождения
двух импульсов от внешнего генератора наблюдались импульсы
из плазмы на циклотронной частоте с интервалом т (рис. 51).
Кроме такого двухимпульсного эха, авторы наблюдали трех-
трехимпульсное эхо, когда третий импульс подавался с большой за-
задержкой Т, значительно превышающей время столкновения
электронов с атомами нейтрального газа, но меньшей времени
релаксации электронов по энергиям. Как показано на рис. 51,
после этого снова наблюдалась серия импульсов из плазмы.
Объяснение механизма циклотронного эха и его основных
особенностей было дано Гулдом [130] (см. также [131]). В пр"н'
ципе циклотронное эхо близко к спиновому. Если при ядерно»*
магнитном резонансе действие высокочастотного поля приводит

ЭХО В ПЛАЗМЕ
163
Jji повороту спинов от оси z, то при циклотронном резонансе про-
происходит набор энергии электронами. Если продолжительность
^мпульса не слишком велика, то он имеет достаточно широкий
киектр, так что даже при наличии некоторой неоднородности
шагиитного поля можно считать, что все электроны (вначале
в)
|Ч52. Распределение электронов по скоростям при двухимпульсном эхе:
после импульса 1; б) перед импульсом 2; в) сразу после импульса 2;
г) в момент первого эха.
яые) приобретают одну и ту же энергию. Пусть в про-
гве скоростей (vx, vy), т. е. в плоскости, перпендикуляр-
гнитному полю, положение электронов сразу после пер-
ВМпульса отвечает точке (vp, 0) (рис. 52, а). В последую-
*енты времени электроны будут вращаться с циклотрон-
той, и при наличии малой неоднородности магнитного
»нн очень скоро достигнут однородного распределения по
среднем по образцу.
«отрим теперь некоторую группу электронов А, имею-
и ту же фазу перед вторым импульсом (рис. 52,6).
в эту группу входят все электроны с фазами | + Inn,
•целое число. Во время второго импульса электроны на-
,или теряют энергию, в зависимости от того, какова их
LДействие импульса можно учесть простым сдвигом всей
"~ распределения на одну и ту же величину vp, как и в

164 ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ [ГЛ. 4
первом импульсе. Группа А выделенных нами электронов будет
иметь при этом скорость (по абсолютной величине) 2uPcos(§/2),
как видно из рис. 52, в. Так как в эту группу входят электроны
из различных точек пространства, которым соответствуют раз-
разные циклотронные частоты, со временем частицы этой группы
начнут расходиться в пространстве скоростей. Однако, посколь-
поскольку электроны вращаются с той же угловой скоростью, что и
прежде, они будут вновь группироваться через интервалы вре-
времени т. Например, через время At = т после второго импульса,
т. е. к первому сигналу эха, частицы этой группы соберутся в
точке А с фазой 3/г1> а все распределение электронов по скоро-
скоростям превратится в кривую, изображенную на рис. 52, г.
Это значит, что электроны, совершающие циклотронные ко-
колебания, потенциально могут создавать эффект эха. Однако
фактически распределение рис. 52, г никакого эха не дает: не-
нетрудно проверить, что при таком распределении суммарный ток,
выражающийся через средние значения (vx), {vy), равен нулю.
Это не удивительно; ведь рассмотренная нами система является
линейной — мы просто сложили эффекты от двух импульсов.
Эхо же представляет собой существенно нелинейный эффект:
суммарный сигнал не представляет суперпозицию откликов на
каждый импульс, он определяется двумя импульсами сразу.
Чтобы циклотронное эхо действительно проявилось, в игру
должен вступить какой-нибудь нелинейный механизм, который
несколько нарушил бы картину рис. 52, г и привел к отсутствию
точной компенсации всех токов. Таким нелинейным механизмом
может быть, например, зависимость массы от скорости (реля-
(релятивистский эффект), нелинейность волны и т. д. Но наиболее
простым и естественным механизмом является просто зависящая
от скорости частота столкновений v(v). Столкновения электро-
электронов с атомами нейтрального газа или между собой приводят
к тому, что часть электронов выбывает из когерентного движе-
движения. Если частота столкновений зависит от скорости, то число
выбывших из кривой рис. 52, г электронов будет различно в раз-
разных точках, и, следовательно, появится макроскопический ток
на циклотронной частоте, т. е. возникнет эхо. Эксперименталь-
Экспериментальные данные хорошо согласуются с этим механизмом [134, 137].
Им же объясняется и трехимпульсное эхо.
Как уже отмечалось выше, для трехимпульсного эха к мо-
моменту третьего импульса электроны успевают полностью поте-
потерять направленный импульс, но еще не успевают потерять энер-
энергию (при упругих столкновениях с атомами нейтрального газа
время релаксации энергии в гпг/те раз больше времени релак-
релаксации импульса). Это значит, что электроны группы А на рис.52
перед третьим импульсом будут распределены равномерно п°
сфере радиуса 2uPcos(l/2) (рис. 53, а). Сразу после третьего

5 2]
ЭХО В ПЛАЗМЕ
165
импульса эта сфера оказывается сдвинутой на величину vp
(рис. 53,6), а затем электроны этой группы «расползаются» по
фазам. Однако через интервалы времени т будет происходить
группировка в пространстве скоростей со сдвигом фаз | от им-
импульса к импульсу (рис. 53,0 и г). Но опять, чтобы суммарный
ток был отличным от нуля, должен действовать механизм за-
зависимости частоты столкновений от скорости. И сам эффект,
А)
е)
»с. 63. Распределение электронов по скоростям при трехимпульсном эхе:
в-Йвред импульсом 3; б) сразу после импульса 3; в) в момент первого эха;
г) в момент второго эха.
¦нетрудно видеть, достигает максимума, когда частота столк-
ейий становится порядка обратного времени между импуль-
v1. Эти выводы также удовлетворительно согласуются а
|риментальными данными.
«клотронное эхо и само по себе представляет большой ин-
, как новый нелинейный эффект в плазме, но, кроме того,
«ожет быть использовано для целей диагностики, в част-
для исследования процессов релаксации в плазме.
Щ. Эхо на плазменных волнах. Вернемся теперь к плазмен-
т'-волнам. Как было показано Гулдом, О'Нилом и Малмбер-
[П34], в них также может проявляться эффект эха. Рассмо-
Сначала более простой случай модулированных пучков
Сампена, распространяющихся в виде плоских волн вдоль
Такие волны могут возбуждаться в плазме с помощью

Ю5 ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ (ГЛ. 4
сетки, на которую подается периодический сигнал. Пусть ча-
частота этого сигнала значительно больше плазменной частоты
(йрв. Тогда диэлектрическую постоянную плазмы е можно счи-
считать равной единице, т. е. поляризацией среды в волнах можно
пренебречь. В этих условиях возмущение функции распределе-
распределения электронов, прошедших через сетку, равно просто
fx{x, v, 0 = fI (t>)exp(— icM +/с»!-^) , D.9)
где fi(t»)—амплитуда возмущения функции распределения
вблизи сетки. Вид возмущения D.9) следует из того, что вдали
от сетки fi должно удовлетворять уравнению свободного движе-
движения частиц
Ф+^-0. D.10)
Функцию распределения D.9) можно рассматривать как набор
модулированных пучков. Вблизи сетки все эти пучки колеблются
в фазе, но по мере удаления от нее фазы пучков с разными ско-
скоростями сильно различаются, поэтому плотность заряда
» = —ejf,do D.11)
должна быстро уменьшаться при увеличении х (fi становится
быстро осциллирующей функцией v). Это значит, что колебания
электрического потенциала должны быстро убывать при удале-
удалении от сетки, и этот эффект вполне аналогичен расфазировке
магнитных моментов перед вторым импульсом при наблюдении
спинового эха.
Допустим теперь, что на расстоянии й от первой сетки рас-
расположена вторая, на которую подается переменный потенциал
с частотой ©г, также большей (оре. Тогда от второй сетки также
побегут волны Ван-Кампена, возникающие вследствие возму-
возмущения f. Но, кроме того, вторая сетка будет модулировать функ-
функцию D.9), так что появится нелинейный отклик f% на комбина-
комбинационной частоте:
h {х, v, t) = U (v) ехр { - to, (t -¦?) ± toj {t - ~^-) } . D.12)
При x — d—^— экспонента, отвечающая частоте он — (u2, пе"
(Оо ¦""* lOj
рестанет зависеть от v. Это значит, что в точке
^==d+__^!_d = _^L_d D.13)
должны наблюдаться заметные колебания плотности заряда на
частоте со' = ©i — юг- Другими словами, электрический зонД>
помещенный в эту точку, должен обнаружить эхо на комбина-

I §2]
ЭХО В ПЛАЗМЕ
167
ционной частоте. Именно такой отклик и наблюдается экспери-
экспериментально (рис. 54).
Этот вывод сохраняется и в том случае, когда со ~ (оРв, по-
ЬСкольку он связан с рассмотрением поведения только резонанс-
резонансных частиц. Меняется лишь количественная формулировка эф-
екта эха, поскольку, кроме возмущения резонансных частиц,
эиходится учитывать возмущение остальных электронов, и со-
соответственно в выражение для отклика второго порядка войдет
1 /1/
f3=140/4sc(
i i i i
120 Мец
i i
[136].
О 20 ЬО 60 80 100 х,см
|JPhc. 54. Эхо в плазме третьего порядка (т. е. 2fi — f2=
Ь
|иэлектрическая проницаемость плазмы. Аналогичным обра-
1'Ы0жно рассмотреть временное эхо, эхо на ионно-звуковых
' р, на поперечных волнах и т. д. Кроме эха второго по-
существуют также эффекты плазменного эха высших
фв,
Цдсказанный теоретически эффект эха на плазменных
наблюдался вначале Малмбергом, Уортоном, Гулдом и
ом [136] иа электронных колебаниях, а затем Он изучался
рчески и экспериментально для разнообразных типов
плазме [137—142]. Эффекты эха показывают, что бес-
№ительное затухание волн в плазме по существу пред-
ет собой обратимый процесс, связанный с «расползанием»
ясных частиц по фазам и с соответствующим уменьше-
~ерентного вклада в возмущение электрического поля.

168 волны и частицы в плазмв [гл. 4
§ 3. Рассеяние волн на частицах
При рассмотрении нелинейного затухания Ландау мы огра-
ограничились одной гармонической волной конечной амплитуды.
Более сложная картина имеет место в том случае, когда в плаз-
плазме одновременно может быть несколько волн. Например, две
распространяющиеся в одну сторону волны при близких фазо-
фазовых скоростях могут обмениваться захваченными частицами, и
тем самым между ними будет осуществляться довольно сложное
косвенное взаимодействие.
Но если волны не параллельны, то такое взаимодействие от-
отсутствует или сильно ослаблено. Разумеется, оно также очень
мало, если обе волны имеют большие фазовые скорости и за-
захваченных частиц очень мало. Однако и в этом случае может
происходить взаимодействие волн конечной амплитуды через ре-
резонансные частицы, но не на прямом резонансе со — kv = О, а на
комбинационном.
Поясним, в чем тут дело. Как мы видели ранее, при сложе-
сложении двух слабо нелинейных волн к, сок и к', сок, из-за нелиней-
нелинейных членов возникают биения на комбинационных волновых
числах и частотах к ±к', юк ± а>к,. Например, при близких
волновых векторах к, к' волна к — к' соответствует муару на
рис. 37. Даже в том случае, когда в плазме не может распро-
распространяться собственная волна с частотой сок — сок, и волновым
вектором к — к' (и соответственно со знаком плюс), т. е. рас-
распад волн запрещен законами сохранения энергии и импульса,
вынужденные колебания с к — к', сок — шк, будут все же присут-
присутствовать. Эти колебания также могут взаимодействовать с ре-
резонансными частицами, скорость которых совпадает с фазовой
скоростью комбинационной волны, т. е.
cok-cuk'-(k-k')v = 0 D.14)
(для определенности мы выбрали здесь знак минус, знаку плюс
соответствует просто волна с — к', — юк,).
Так как амплитуда вынужденных колебаний для слабо не-
нелинейных волн, вообще говоря, мала, то соответствующее вза-
взаимодействие частиц с этим колебанием должно быть аналогично
линейному затуханию Ландау. Другими словами, при отрица-
отрицательной производной -д— в точке резонанса частицы должны
отбирать энергию у комбинационной волны. Но амплитуда этой
волны просто пропорциональна произведению амплитуд исход-
исходных волн ак и av. Поэтому изменить амплитуду комбинацион-
комбинационной волны можно только путем изменения амплитуд, т. е. числа
исходных волн ^Vk, ^Vk,.

РАССЕЯНИЕ ВОЛН НА ЧАСТИЦАХ
169
Но этим волнам, как мы знаем, соответствуют суммарная
энергия <8 =G>k-Wk + &k,Nv (частоты считаются положительны-
положительными) и импульс Р = kjVk + k'A^k'. При взаимодействии с резо-
резонансными частицами часть энергии и импульса волн должна
^передаваться частицам. При этом импульс частицам пере-
переедается только в направлении движения комбинационной волны,
|©доль которого на частицы действует резонансное поле волны.
|Таким образом, поперечная по отношению к вектору к — к'
|1сомпонента импульса волн должна сохраняться, т. е.
[к - к', 6Р] = [кк'] 6Nk + [кк'] 6Nk> = 0. D.15)
)тсюда видно, что 6(Nk +
Wk +
= 0, т. е.
= const.
D.16)
Это означает, что мы фактически имеем дело с рассеянием
IH на частицах: при уменьшении числа волн одного направле-
направлена столько же увеличивается число волн другого направле-
*я. Поскольку при этом изменение энергии равно
D.17)
видно, что при передаче энергии от волн частицам, т. е. при
• „ . д?
аицательнои производной -j- для резонансных частиц, рас-
«ие идет в сторону уменьшения частоты: число волн с боль-
частотой убывает, а с меньшей — возрастает.
ЦМаряду с распадом волн их индуцированное рассеяние на
Йнансных частицах составляет один из двух основных меха-
Имов взаимодействия слабо нелинейных волн в плазме.

Глава 5
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
§ 1. Неустойчивость плазмы
1. Неустойчивость и турбулентность. Всюду выше при рас-
рассмотрении нелинейных процессов в плазме мы предполагали,
что эти процессы являются вполне регулярными и, стало быть,
точно воспроизводимыми. Но, к сожалению, в плазме не все
явления могут быть точно воспроизведены. Очень часто при одних
и тех же внешних условиях в ней самопроизвольно возбуждают-
возбуждаются колебания и шумы, т. е. проявляется неустойчивость плазмы.
Ситуация здесь опять сходна с тем, что имеет место в жид-
жидкости. Как хорошо известно, при малых скоростях, т. е. при ма-
малых числах Рейнольдса, течения в жидкости являются ламинар-
ламинарными. Однако при больших числах Рейнольдса, когда роль дис-
диссипации из-за вязкости становится малой, потоки жидкости
становятся турбулентными, в них самопроизвольно развивается
сложный процесс возбуждения, взаимодействия и трансформа-
трансформации вихрей.
В плазме, особенно в разреженной, диссипация из-за столк-
столкновений также является незначительной, и поэтому в ней легко
создаются условия для нарастания малых возмущений и, соот-
соответственно, для развития сложного хаотического движения. Лю-
Любое состояние плазмы с сильно развитыми шумами и колеба-
колебаниями принято называть турбулентным.
В отличие от жидкости, в плазме могут осуществляться и
даже присутствовать одновременно многие типы турбулентных
состояний. Это связано с тем, что у плазмы гораздо богаче
спектр возможных течений и колебаний. Соответственно можно
говорить об отдельных типах турбулентности плазмы (напри-
(например, о ленгмюровской турбулентности, если в основном возбу-
возбуждаются ленгмюровские колебания, ионно-звуковой турбулент-
турбулентности и т. п.). Как правило, эти турбулентные состояния возни-
возникают вследствие развития соответствующих неустойчивости^
Отсюда видно, как следует продвигаться в понимании турбУ

§ 1J НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ 171
лентных явлений в плазме: сначала следует проанализировать
все возможные механизмы неустойчивостей плазмы, т. е. нара-
нарастания малых ее возмущений, классифицировать эти неустойчи-
неустойчивости, а затем исследовать возможные нелинейные механизмы
либо ограничения этих неустойчивостей, либо их развития в
турбулентные процессы.
При классификации неустойчивостей удобно использовать
тот же набор упрощенных теоретических моделей, который об-
'суждался нами ранее при рассмотрении колебаний плазмы. Так,
приближении одножидкостной магнитной гидродинамики мы
тучаем широкий классмагнитогидродинамических (МГД),или
ядромагнитных неустойчивостей. Это наиболее опасный тип не-
неустойчивостей для магнитного удержания плазмы, потому что
связан с макроскопическими перемещениями больших участ-
в плазмы как целого. В зависимости от того, учитывается ли
отечная проводимость плазмы или считается бесконечной,
|ожно говорить о диссипативных или идеальных неустойчиво-
ях этого типа.
Для другого класса очень медленных перемещений плазмы
I& скоростями, сравнимых с дрейфовым движением заряженных
щ, необходимо, как мы знаем, использовать двухжидкост-
гидродинамику. Соответствующие очень медленные неустой-
ги называются дрейфовыми.
§?.Далее, в плазме могут раскачиваться такие колебания и
щы, для которых является существенным взаимодействие с
1ьными группами резонансных частиц. Такие неустойчиво-
'аназываются кинетическими. Легче всего кинетические не-
МЬшвости развиваются при взаимодействии с плазмой пучков
Жженных частиц, и этот подкласс неустойчивостей имеет свое
|ёнование пучково-плазменных неустойчивостей. Впрочем,
яческие неустойчивости могут развиваться и в отсутствие
дленных групп частиц типа пучков. Например, при магнит-
удержании плазмы в адиабатических ловушках такого рода
^чивости на различных ветвях развиваются из-за того, что
ш распределения частиц по поперечным скоростям соот-
рет инверсной заселенности энергетических уровней. В то-
иьных системах магнитного удержания плазмы кинетиче-
%еустойчивости могут развиваться на дрейфовых волнах
з-з& присутствия выделенных групп частиц, например ча-
^йапертых в локальных магнитных зеркалах, возникающих
вие неоднородностей магнитного поля.
энец, при прохождении через плазму сильных электромаг-
волн причиной раскачки малых возмущений могут быть
йш заряженных частиц в волнах. При этом могут разви-
№|>азличного рода параметрические неустойчивости плазмы.

172 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 5
Ниже мы очень кратко познакомимся со всеми перечислен-
перечисленными неустойчивостями. Сначала заметим, что в реальных усло-
условиях часто могут одновременно развиваться и играть определен-
определенную роль сразу несколько различных типов неустойчивоетей.
Иногда между ними возникает своего рода «соревнование». Рас-
Рассмотрим, например, разреженную высокотемпературную плазму,
удерживаемую в тороидальной магнитной ловушке. Можно ска-
сказать, что такая плазма находится в крайне неравновесном
«метастабильном» состоянии. Неудивительно, что в этом со-
состоянии она будет «искать» возможные «каналы» для распада,
т. е. для выброса на стенку (рис. 55). Наиболее быстрый рас-
распад происходит при развитии идеаль-
в ной МГД-неуетойчивости, когда выброс
j плазмы на стенку может происходить
отдельными макроскопическими сгуст-
I ками. Бели МГД-неустойчивость ста-
f| билизована, то может проявиться бо-
^ f у лее слабая диосипативная неустой-
чивоегь, а стабилизация последней
Рис 55. «Распад метаста- может дать возможность проявиться
бильного состояния» плазмы: еще более слабой дрейфовой неустой-
а) магнитогидродинамичес- чивости и Т- д. Поэтому, в принципе,
кая неустойчивость; б) дис- MnrvT пгчтткпятъгя wmiorhh гтття
сипативная неустойчивость; могут осуществляться условия для
в) дрейфовая неустойчи- проявления самых слабых неустойчи-
неустойчивость, востей. Естественно начать с изучения
наиболее сильных из них.
2. Гидромагнитные неустойчивости. Идеальные гидромагнит-
гидромагнитные неустойчивости проявляются в условиях, когда плазма
неустойчива по отношению к быстрым (так что не успевает
сыграть роль конечная проводимость) перемещениям макроско-
макроскопических участков плазмы как целого. Для описания таких
перемещений вполне пригодно приближение одножидкостной
магнитной гидродинамики.
В этом приближении плазма предполагается термически рав-
равновесной с максвелловским распределением частиц по скоро-
скоростям. Причиной неустойчивости плазмы в этом случае в конеч-
конечном счете служит наличие электрических токов, а в качестве
энергетического резервуара для раскачки колебаний может слу-
служить либо неоднородность давления плазмы, либо неоднород-
неоднородность магнитного поля, либо обе они вместе взятые. Удобно
проанализировать эти причины порознь. При этом целесообраз-
целесообразно ограничиться случаем плазмы низкого давления, когда
8/521
а) Желобковая неустойчивость. Неоднородность
давления плазмы может приводить к так называемой желобко-
вой неустойчивости [157, 158]. В наиболее чистом виде она пр0'

I 1] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ 173
^является в ловушках с замкнутыми силовыми линиями (напрн-
|мер, с гофрированным полем). Рассмотрим в такой ловушке
|отдельную замкнутую трубку, образованную силовыми линиями
Магнитного поля и заполненную плазмой с р^С 1. Так как
рлазма стремится расшириться, то эта трубка выталкивается
§Й сторону, где она увеличивает свой объем. Однако движение
|фубки в сильном магнитном поле не является свободным: вся-
|ое заметное ее искривление связано с большим увеличением
Цгагннтной энергии и поэтому недопустимо. Возможным является
рйшь такое перемещение трубки, прн котором магнитное поле
гается неизменным, т. е. магнитное поле в том месте, куда
ришла трубка, должно остаться практически таким же, что идо
прихода.
Объем силовой трубки равен V = §sdl, где s — поперечное
ечение трубки, а интеграл берется вдоль силовой линии. Но
вф есть магнитный поток этой трубки, который остается
тоянным как вдоль трубки, так и во времени вследствие
(Юроженности магнитного поля в идеальную плазму. Поэтому
-д-, и следовательно, трубка с плазмой стремится дви-
ься в направлении увеличения ?/¦= &-jf- Можно сказать,
|Ь трубка с плазмой обладает потенциальной энергией —pU и
емнтся двигаться в сторону больших U. По аналогии с не-
эродной жидкостью в поле тяжести отсюда можно заклю-
что плазма будет находиться в равновесии только в том
ie, если ее давление будет постоянным на поверхности по-
ргаого значения U, т. е. р=/?([/). Это соотношение мы полу-
в § 3 гл. 1, исходя из несколько иных соображений.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости такого равнове-
| Пусть некоторая трубка с плазмой смещается на малое
Ьояние, раздвигая остальные трубки. Если это смещение
^ вид желобка, т. е. происходит без искривления трубки,
юсительное изменение объема трубки равно 8V/V «=¦ 8U/U,
йенне давления вследствие адиабатического расширения
Щ—урьи/и. Давление же в трубках, окружающих рассма-
емую смещенную трубку, равно p(U + 6С/) = р -{--щМ.
Црмйещение происходит в сторону возрастания U, а давление
|Щенной трубке окажется больше, чем давление окружаю-
**~ плазмы, то трубка будет всплывать дальше, н такое рас-
зие плазмы неустойчиво. Если же, наоборот, давление
окажется меньше, т. в. — ур -jj- < -jjj bU, то трубка
Ц'вытесняться обратно в сторону равновесия, и плазма
^•устойчивой. Таким образом, в магнитной ловушке в

174
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
замкнутыми силовыми линиями должно выполняться следующ.
условие устойчивости:
dp . YP
Чи>-ТГ- (б.1|
Это условие сходно с условием конвективной устойчивости!
неоднородного сжимаемого газа в поле тяжести. На границ»!
плазмы -ж очень велико, так что правой частью в E.1) можно-
пренебречь, и при этом для устойчивости нужно, чтобы плазма
была расположена в области с большим значением U = ф -^
Рис. 56. Магнитное поле адиабатической ловушки и движение заряженной ,'|
частицы. > i
Так как эта область соответствует меньшим магнитным полям,
то ее можно назвать «магнитной ямой». Таким образом, для
желобковой устойчивости плазмы достаточно, чтобы плазма
располагалась в магнитной яме.
Наиболее простой и важный пример ловушки, в которой су-
существенную роль играет желобковая неустойчивость, представ-
представляет ловушка с магнитными пробками (или зеркальная ловуш-
ловушка). В простейшем варианте такая ловушка создается двум*
одинаковыми коаксиальными катушками, включенными в одном
направлении (рис. 56). При этом магнитное поле между катуШ"
ками несколько слабее, чем в плоскости катушек, так что цен-
центральная часть поля оказывается заключенной между двумЯ
магнитными «пробками», или «зеркалами» — областями с Усй*
ленным полем. Отношение поля в пробках Вт к полю в ней-
нейтральной части ловушки Во принято называть пробочным, йЛ
зеркальным, отношением: а = Вт}Во.

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ
175
ррнческое поле отсутствует, то при движении заря-
заряницы в магнитном поле ее скорость v остается по-
{еила Лоренца, будучи перпендикулярной к v, работы
г). Кроме того, в сильном магнитном поле, когда
радиус р »= v±/Q (t>± — поперечная по отношению
дента скорости, Q = еВ/тс—ларморовская частота)
меньше характерной длины изменения магнитного
аняется также величина
E.2)
ша, имеющая также смысл магнитного момента лар-
кружка, представляет собой адиабатический инва-
13ипериодического движения.
шьку ц = const, при приближении заряженной частицы»
^поперечная компонента скорости yj. возрастает, а так
/const, то при этом продольная компонента скорости
при достаточно большом а может обратиться в нуль.
|йр#учае частица отразится от магнитной пробки.
в рассмотрение угол д, составляемый вектором ско-
шравлением магнитного поля В. Он равен л/2 — г?, где
называемый шаговый или питч-угол. Нетрудно видеть,
¦щая пробка отражает только те частицы, для которых
ьной части ловушки
'-2- . E.3)
тп
1Ы с углом fl < ¦Й'о = arcsinEo/fim)'/2 попадают в «за-
«закону» направлений и вылетают из ловушки. Таким
адиабатическая ловушка удерживает не все частицы,
рте, которые находятся внутри разрешенного конуса на-
этого плазма в адиабатической ловушке всегда ани-
1: давление вдоль магнитного поля в ней не равно попе-
давлению. Однако это обстоятельство не является су-
Шм для желобковой неустойчивости. Для этой неустой-
важно, в какую сторону — наружу или внутрь плаз-
*вает магнитное поле.
*отрнм опять отдельную силовую трубку / в ловушке
П- В основной части этой трубки силовые линии маг-
поля выгнуты наружу и магнитное поле убывает на-
1едствие этого величина U возрастает к периферии,
5ку действует выталкивающая сила в радиальном на-
F = n(Ti -f- Te)/R, где R — средний радиус кривиз-
вых линий данной трубки. Под действием этой силы

178
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
1ГЛ. 5
®
трубка с плотной плазмой должна выбрасываться в радиальном
направлении с ускорением g0 =(Г< + Te)lniiR.
Однако при не очень большой плотности плазмы (что для
адиабатических ловушек не редкость) процесс выталкивания пла-
плазмы должен замедляться. В самом деле, рассмотрим движение
трубки / с точки зрения двухжидкостнои магнитной гидродина-
гидродинамики. При этом можно рассуждать следующим образом. На
каждую из компонент плазмы в радиальном направлении дей-
действует сила nTj/R. Под действием этой силы частицы начинают
дрейфовать в азимутальном направлении, причем противопо-
противоположно заряженные частицы
дрейфуют в разные стороны.
Вследствие этого происходит
поляризация зарядов в трубке,
как показано на рис. 57. Под
действием появившегося ази-
азимутального электрического по-
поля начинается совместный
дрейф частиц по радиусу, ко-
который и приводит к выбросу
трубки с плазмой.
Введем локальную систему
координат с осью х в радиаль-
радиальном и осью у в азимутальном
направлении (в дальнейшем
мы не раз будем пользоваться
такой системой, более удобной для приближенного количествен-
количественного рассмотрения). Тогда с учетом того, что электрическое
поле имеет только (/-компоненту и что инерцией электронов и
«/-компонентой инерциального члена для ионов можно пребречь,
запишем уравнения в форме
mi~7r = TvivB + -ir> E-4)
Рис. 57. Желобковые возмущения
плазмы в зеркальной адиабатической
ловушке.
E.5)
E.6)
Здесь мы приняли во внимание, что в радиальном направле-
направлении плазменная трубка движется как целое, т. е. уравнение
E.5) справедливо как для ионной, так и для электронной ком-
компонент плазмы, и vix = vex = vx. Электрическое поле Е возни-
возникает из-за поляризации трубки. Не гонясь за большой точно-
точностью, мы можем принять для Е приближенное значение, как в
случае плоского конденсатора: Е=—Ала, где a=en{liy — |еУ)—
поверхностная плотность заряда, |<у, 1&у — азимутальные сме-

§ 1] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ 177
щения ионов и электронов. (Принимая приближенное значение
для Е, мы просто пренебрегаем соответствующим форм-факто-
форм-фактором.) Таким образом, для электрического поля получаем соот-
соотношение
дЕ 4пст,п Сdv \
4 ( - vey) = ъ— \-ft- — goj. F.7)
Мы воспользовались здесь уравнениями E.4), E.6) и опять
ввели обозначение go = G\- + Te)IRm.i. Выражая Е с помощью
E.5) через vx, получим
dVx @2„,
~=g=go , То2. F-8)
где apt — плазменная ионная, a Qi — ионная циклотронная ча-
частота. Отсюда видно, что при aPi < Й* процесс выталкивания
плазменной трубки из ловушки замедляется.
Тот же процесс поляризации и движения плазмы в радиаль-
радиальном направлении происходит и при развитии желобковои не-
неустойчивости, когда на поверхности плазмы образуются же-
желобки вдоль силовых линий (см. рис. 57). Малые возмущения
такого типа нарастают, как можно показать, с инкрементом
y~^gja, где а — поперечный размер плазменного сгустка.
Вследствие неустойчивости на поверхности плазмы должны об-
образовываться вытянутые вдоль силовых линий желобки и «язы-
«языки». Затем эти «языки» выбрасываются в радиальном направ-
направлении.
б) «Магнитная яма». Наиболее радикальным способом
борьбы с желобковои неустойчивостью является создание такой
Магнитной конфигурации, при которой магнитное поле имело
бы минимум (отличный от нулевого значения) и нарастало бы
во все стороны. Такие конфигурации получили название лову-
ловушек с «минимумом 5», или с «магнитной ямой».
Впервые стабилизация желобковои неустойчивости с по-
помощью магнитной ямы была получена М. С. Иоффе с сотрудни-
сотрудниками [159—162]. Ими была использована простейшая комбини-
комбинированная система, в которой к обычным круглым катушкам,
создающим магнитную ловушку типа рис. 56, добавляется так
называемая стабилизирующая обмотка, представляющая собой
систему линейных проводников, расположенных вдоль силовых
линий основного поля, как это показано на рис. 58. Токи в со-
соседних проводниках направлены во взаимно противоположных
направлениях. Магнитное поле стабилизирующей обмотки В±
равно нулю на оси ловушки и монотонно нарастает по радиусу.
Поэтому, пропуская через обмотку ток достаточной величины,
Можно скомпенсировать радиальный спад основного поля и

178 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. Ь
сделать суммарное поле нарастающим от центральной области
ловушки к периферии.
Силовые линии суммарного поля имеют довольно сложную
структуру. Только узкий пучок приосевых силовых линий прохо-
проходит вдоль всей ловушки, не достигая боковых стенок. Лннни,
отстоящие дальше от оси в центральном сечении ловушки, пере-
пересекают стенку в местах зазоров между проводниками стабили-
стабилизирующей обмотки. Тем не менее, эта конфигурация представ-
представляет собой типичную адиабатическую ловушку и притом с ми-
минимумом магнитного поля внутри объема, занятого плазмой
(этот минимум не обязательно
- г s~<'^ ч> 1 должен находиться на оси ло-
offMomna J?&?X\< у)
Позднее различными автора-
авторами был предложен целый ряд
конфигураций с «минимумом В»
Обмоти (рис. 59). Как оказалось, все они
.продольного содержат в качестве «конструк-
поля ¦ тивного элемента», или «кирпи-
«кирпичика», зеркальную ловушку с
Рис. 58. Комбинированная ловушка квадрупольным поперечным по-
с «магнитной ямой>. Лем (рис. 59, а). Нетрудно по-
понять, почему это так. Для этого
рассмотрим вопрос, при каких условиях можно достичь мини-
минимума магнитного поля (по абсолютной величине) в некоторой
точке. Пусть эта точка совпадает с началом координат и пусть
магнитное поле в ней В = 50 направлено вдоль оси г. По-
Поскольку вблизи искривленной силовой линии магнитное поле
изменяется линейно в поперечном направлении, то для того
чтобы точка г = О была минимумом 5, требуется, чтобы осевая
силовая линия была прямой (точнее, ее кривизна в точке г = О
должна быть равна нулю. В этом случае в разложении скаляр-
скалярного потенциала для магнитного поля E = V-ф) должны отсут-
отсутствовать линейные по х и у члены, так что
?) E.9)
Мы учли в этом разложении, что Ai|)=div B=0, и допустили,
что оси х, у повернуты так, что последний квадрупольный член
имеет диагональный вид. Все остальные члены в E.9) имеют
более высокий порядок по х, у и поэтому могут быть отбро-
отброшены. Из E.9) следует, что вблизи г = О магнитное поле имеет
внд
±^+ ..., E.10)
где точки заменяют члены более высокого порядка малости.

«I]
неустойчивость плазмы
179
Отсюда видно, что наложение магнитных пробок, т. е. усиление
поля вдоль г (а>0), автоматически приводит к его ослабле-
ослаблению в радиальном направлении, но это может быть скомпенси-
скомпенсировано достаточно сильным квадупольньш полем (Ь2 > аВа).
б)
С
А
ц
'А
г) Ю
Рис. 59. Различные виды магнитных конфигураций с «минимумом В»: а) «хва-
\ Друпольиый элемеит>; б) «бейсбол>; в) конфигурация Аидреолетти; г) остро-
остроугольная геометрия с осевым током; д) геликоидальная конфигурация.
ф Отметим, что цикл работ Иоффе по подавлению желобковой
I* неустойчивости в адиабатических ловушках полями с «миниму-
I, мом 5» (часто такие конфигурации поля называют «магнитной
I ямой») явился определенным этапом в исследованиях по физик#

180
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
[ГЛ. 5
высокотемпературной плазмы. Это была первая убедительная
демонстрация возможности стабилизации магнитогидродинами-
ческой неустойчивости плазмы. Принцип «минимума В» был пе-
перенесен на тороидальные системы. Различными авторами было
предложено много тороидальных систем, обладающих миниму-
минимумом магнитного поля в среднем (точнее, максимумом интеграла
вдоль силовых линий \ -g-, который определяет свойства гид-
гидродинамической устойчивости тороидальной
плазмы).
в) Винтовая неустойчивость. В
желобковой неустойчивости освобождалась
только энергия плазмы —магнитное поле в
ловушке считалось фиксированным, что верно
при р<1. Рассмотрим теперь пример неустой-
неустойчивости, в которой энергетическим резервуа-
резервуаром для раскачки служит энергия магнитного
поля. Такая ситуация осуществляется при про-
протекании сильного электрического тока по плаз-
плазменному шнуру.
Более удобно начать это рассмотрение с
крайне упрощенной модели, которая прояс-
проясняет суть дела. Пусть идеально проводящий
цилиндрический шнур из несжимаемой жидко-
жидкости помещен в продольное магнитное поле и
по нему протекает ток / в продольном направлении. Мы будем
считать, что ток течет по поверхности и что продольное поле
внутрь него не проникает (т. е. оно экранировано азимуталь-
азимутальным током, текущим по поверхности проводника). Магнитное
поле снаружи от проводника имеет вид, показанный на рис. 60,
т. в. оно является суперпозицией продольного Во и азимуталь-
азимутального Be = 21/cr полей. Силовые линии являются винтовыми с
шагом / = 2зтг5о/Ве- На границе шнура радиуса а шаг I = 1а =
*=яса2Во/1, а при удалении в радиальном направлении он воз-
возрастает как г2.
Будем для простоты считать, что продольное поле 5о значи-
значительно больше азимутального Be- Кроме того, имитируя торои-
тороидальный шнур радиуса R, мы будем считать шнур ограничен-
ограниченным, т. е. имеющим длину L = 2л/?, и все возмущения примем
периодическими с периодом L. Наконец, для упрощения рас-
рассуждений будем считать, что шнур окружен идеально проводя-
проводящим кожухом радиуса Ъ > а, так что потоки магнитного поля
между шнуром и кожухом заданы и остаются постоянными (что
это означает, мы увидим ниже).
Предположим, что на такой шнур наложено некоторое малое
винтовое возмущение вида exp(tm8 + ikz), где k=2nn)L=x.nlR,
Рис. 60. Жидкий
проводник с током
в продольном маг-
магнитном поле.

I 1] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ 18Г
т, п — целые числа. Пусть | — смещение жидкого элемента,,
так что -тг = v. Тогда для несжимаемой жидкости имеем
где ро — плотность жидкости, которую мы считаем постоянной,
р — давление. В силу несжимаемости, div 1=0, имеем из E.11):
Отсюда при kr <C 1 получаем: р = ро{г/а)т, где ро — значение
возмущенного давления на границе шнура, которое должно рав-
равняться возмущению давления магнитного поля снаружи от плаз-
плазмы. Последняя величина равна, очевидно,
d D±*±\, ВВ' «-.ох
где 5' — возмущение магнитного поля, |—радиальное смеще-
смещение границы плазмы. Для колебаний вида ехр(—iat) это сме-
смещение согласно E.11) с учетом зависимости р ~ гт равно
dr )r=a-o~ ро«2а * {-олч>
Возмущение магнитного поля В' снаружи от шнура можно
найти из следующих соображений. Во-первых, поскольку в ваку-
вакууме rot В'=0, т. е. B' = Vi|), и div В'=Дг|?=О, то для длинно-
длинноволновых возмущений вдоль шнура, т. е. для &а<С1, опять
имеем степенные решения. При b/а ^> 1 можно считать ijj =»
в=С(а/г)т, где С—некоторая константа. На границе плазмы
магнитное поле должно иметь только тангенциальную компонен-
компоненту, т. е. в линейном приближении пВ = В'Т + (BoV) 1 = 0, где п—-
нормаль к поверхности. Отсюда находим
) E.15)
где Be — азимутальное поле на границе шнура. Теперь мы мо-
можем выразить ВВ' на границе шнура через С, т. е. BB'=BVi|)=
*=t(kBQ +— вЛ С; а затем, выражая С через ? и с помощью
E.14) ро — через |, мы с помощью E.13) находим дисперсион-
дисперсионное уравнение для частоты малых колебаний:
^. E.16)

182
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
[ГЛ. 5
Отрицательным значениям квадрата частоты соответствует
неустойчивость. Как мы видим, инкремент нарастания малых
колебаний y = —1и достигает максимума при ka = —mB9'/?0
Такое возмущение является винтовым и имеет шаг 2nm/k =
= 2лаВо/Вв вдоль шнура. Таким образом, шаг наиболее не-
неустойчивого возмущения совпадает с шагом силовой линии на
границе шнура.
При винтовой неустойчивости жидкость, будучи несжимае-
несжимаемой, сама работы не производит. Эта неустойчивость разви-
развивается за счет освобождения магнитной энергии. Эго становится
видно еще более отчетли-
отчетливо, если мы не будем ог-
раничиватья малыми воз-
возмущениями, а рассмот-
рассмотрим винтовую деформа-
деформацию конечной амплитуды.
Нетрудно видеть, что вин-
винтовая неустойчивость раз-
развивается в силу того, что
винтовые силовые линии
рис. 60 стремятся сокра-
сократиться и поэтому дефор-
деформируют шнур таким обра-
образом, чтобы уменьшить
свою кривизну. При вин-
винтовом извивании шнура
силовые линии действи-
действительно становятся более прямыми. При достаточно большом из-
извивании шнура силовые линии вообще могут полностью распря-
распрямиться, а шнур при этом превращается в спиральную ленточку
(рис. 61, а).
Радиус такой равновесной спирали можно найти из условия
сохранения магнитного потока, охватываемого проводником.
Для упрощения рассуждений соединим проводник с кожухом
проводящей нитью на торцах (см. пунктирную линию на рис.60
и 61,6). В исходном состоянии проводник с кожухом и проводя-
проводящей нитью охватывает поток Фо = BqLu ln(b/a), где Be — ази"
мутальное магнитное поле на границе шнура. Этот поток обра-
образован только азимутальным полем. При извивании шнура (мода
т = 1) он охватывает также и продольное поле, а в конечном
состоянии (Бе = 0) весь поток создается только продольным
полем. Он равен пг^В^п, где п — число витков спирали. Прирав-
Приравнивая потоки, получим
а)
Рис. 61. Образование винтовой ленты (а) и
трубчатой конфигурации (б) при винтовой
неустойчивости.
qn
E.17)

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ
18»
Шы ввели так называемый коэффициент запаса по винтовой
чивости
2па.Ва _ аВ0 ГЧ 1RY
которого будет пояснен ниже.
этом конечном состоянии азимутальное магнитное поле
;>стью исчезает и вся его энергия передается жидкости (т. е.
Йэдит в тепло, если кинетическая энергия диссипирует, на-
jep из-за вязкости). Впрочем, спиральная ленточка не яв-
1ся еще вполне равновесным состоянием: силовые линии
мольного поля будут сплющивать ее до тех пор, пока не
тратят в трубку того же радиуса г0 (рис. 61, б). Точно такой
Тяроцесс извивания и образования полого цилиндра может
прослежен при возмущении с т > 1. Вся разница состоит
|м, что при этом шнур разбивается на т винтовых нитей и
нить в конечном состоянии будет охватывать продоЛъ-
поток не л, а п/т раз на длине шнура. Затем эти нити
Мотся в трубку, и для ее радиуса г0 получим вместо E.17)
ri = In — .
о qn a
E.19)
ия наиболее неустойчивых возмущений т = nq и радиус
to ro = aл/\п(Ь2/а2). Но в принципе извивание шнура и ис-
эвение азимутального потока, а вместе с ним и энергии
гального поля, должны происходить при любых т, п даже
случае, когда согласно E.16) шнур устойчив по отноше-
к линейным возмущениям. Можно сказать, что шнур с то-
|.'находится в метастабильном состоянии и в зависимости от
возмущения он может либо непосредственно «скатиться»
овное состояние, либо он отделен от этого состояния потен-
ьным барьером.
[)и рассмотренных нами винтовых деформациях жидкого
эдннка его объем, естественно, сохраняется, так что про-
яое магнитное поле в конечном состоянии имеет ту же энер-
что и в исходном. Следовательно, винтовая неустойчивость
явается только за счет энергии азимутального магнитного
рассмотрим теперь более реальный случай плазменного шну-
"с током. Будем опять предполагать, что 50^>Ве, P<SC1, и
йустим для простоты, что ток распределен равномерно по
"Внию шнура. При этом в исходном состоянии азимутальное
читное поле будет иметь вид, показанный на рис. 62, а.
гри шнура поле линейно возрастает с радиусом, и поэтому
1 «иловых линий здесь постоянен.

184
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
[ГЛ. В
Рассмотрим опять винтовое возмущение шнура и допустим,
что его шаг в точности совпадает с шагом силовых линий вну-
внутри шнура. Такое возмущение никак не влияет на магнитное
поле внутри плазмы, и шаг внутренних силовых линий остается
постоянным даже при деформациях конечной амплитуды. Но
тогда мы должны ожидать, что картина будет точно такой же,
а г
а)
Рис. 62. Распределение азимутального магнитного поля в исходном состоянии
(а) и при образовании «пузыря» (б).
как и в случае жидкого несжимаемого проводника. А именно,
энергия азимутального поля будет минимальной, когда внутри
шнура появится «пузырь» — вакуумная область с продольным
магнитным полем.
a) 6)
Рис. 63. Образование «пузыря» в плазме.
Образование такого пузыря показано на рис. 63. В случае
постоянного шага силовых линий пузырь можно довести до цен-
центра, практически не возмущая магнитного поля (стало быть, в
этом случае пузырь нейтрально устойчив внутри шнура). Рас-
Распределение поля теперь будет иметь вид рис. 62, б, где а» — но-
новый радиус шнура, а г0 — радиус пузыря. Сравнивая энергии
начального и конечного состояний, нетрудно показать, что про-
процесс образования пузыря в плазме является выгодным. Измене-
Изменение энергии поля kW при образовании пузыря в зависимости

f I]
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ
185-
m
Рис. 64. Потенциальная
энергия пузыря какфунк-
от его радиуса изображено на рис. 64 (кривая /). На этом же
рисунке приведена функция AW для случая, когда по поверхно-
поверхности шнура течет ток и возмущения имеют шаг, равный шагу
внутренних силовых линий и отличный от шага внешних сило-
силовых линий (кривая 2). Как мы видим, в последнем случае энер-
энергетически выгодны только пузыри с достаточно большим радиу-
радиусом. А при большом «шире» — т. е. перекрещенности внутрен-
внутренних и внешних силовых линий — обра-
образование пузырей становится невыгод-
невыгодным.
Упомянув о «шире», мы тем самым
привлекли внимание читателей к одному
из наиболее эффективных механизмов
стабилизации винтовой неустойчивости.
В самом деле, если шаг силовых линий
внутри шнура не постоянен, то при лю-
любой винтовой его деформации приходит-
приходится возмущать продольное магнитное по-
поле, а это безусловно будет приводить к
стабилизующему эффекту.
Рассмотрим, например, случай, когда
весь ток течет по поверхности шнура,
так что магнитное поле Bt внутри шнура
равно согласно условию равновесия на
границе В\—В\ + В\ я* Во тому же полю, что и снаружи (мы
опять предполагаем BQ<^.B0). При этом из-за деформации вну-
внутреннего поля в квадрат частоты должен быть вклад такого же
вида, как и при альвеновских колебаниях, а именно
2
4ярооJ = k2B20 + (kB0 + -J Be) - ^-. E.20>
При равных нулю двух последних слагаемых, появившихся со-
согласно E.16) от внешней области шнура, мы имели бы просто
дисперсионное уравнение для альвеновских волн внутри шнура.
Первое слагаемое действительно оказывает сильное стабили-
стабилизующее действие. Как видно из E.20), неустойчивым может
быть только возмущение с т = 1, но и в этом случае шнур
устойчив, если k = n/R > Be/aB0 = 1/qR. Так как n^sl, то'
отсюда следует, что шнур устойчив при
а"о -. 1 /con
шагом силовых линий;
2 — шаг возмущения не
совпадает с шагом сило-
силовых линий.
Это условие было получено Крускалом и Шафрановым и носит
их имя.
Теперь мы видим, почему q имеет смысл коэффициента за-
запаса устойчивости: чем больше q, тем более устойчив шнур по.

186 турбулентность плазмы [гл. в
отношению к винтовой неустойчивости. В реальных условиях го-
камаков, где для стабилизации используется сильное продоль-
продольное магнитное поле, плазма достаточно устойчива при q > 2-f-3.
Итак, мы познакомились с двумя главными представителями
МГД-неустойчивостей: желобковой и винтовой. Для первой из
них энергетическим резервуаром неустойчивости служит энер-
энергия плазмы, для второй — энергия магнитного поля. В общем
-случае р~1, Ве~Б0 эти неустойчивости могут действовать
совместно, и критерии их стабилизации могут быть довольно
сложными; их рассмотрение служит предметом специальных ис-
исследований (см. цитированную в этом разделе литературу).
3. Диссипативные неустойчивости. До сих пор мы предпо-
предполагали, что проводимость плазмы бесконечна. При конечной, но
достаточно большой проводимости приведенные выше соотно-
соотношения справедливы только для возмущений с достаточно боль-
большими длинами волн и достаточно быстрых колебаний. Кроме
того, при а ф оо могут появиться новые ветви медленных не-
устойчивостей, которые принято называть диссипативными. Мы
рассмотрим два примера наиболее важных диссипативных не-
устойчивостей.
а) Гравитационная дисси п ативн ая неустой-
неустойчивость. Эта неустойчивость тесно связана с желобковой и
является как бы ее продолжением. Она проявляется в тех же
условиях спадающего к периферии магнитного поля, но тогда,
когда возмущения желобкового типа по тем или иным сообра-
соображениям запрещены, например, когда имеет место локальное спа-
спадание поля, а в целом плазма по отношению к желобкам устой-
устойчива.
При рассмотрении гравитационной неустойчивости мы пред-
предполагаем, что возмущения не постоянны вдоль силовых линий,
а меняются как exp (ikzz) (ось z направлена вдоль магнитного
поля). Для электронов и ионов мы опять можем воспользо-
воспользоваться уравнениями типа E.4) — E.6), но лишь линеаризуем их,
т. е. в правых частях вместо сил, которые в исходном состоянии
уравновешены соответствующими дрейфами, мы подставим их
отклонение от равновесного значения, которое пропорционально
п'/п, где п' — возмущение плотности (мы предполагаем, что
плазма квазинейтральна). Тогда имеем:
- mmtvx = ~ viyB + -^ , E.22)
О = - j vxB + еЕ, E.23)
0 = -^Я+^. F.24)

f 1] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ 187'
Так как теперь возмущение модулировано вдоль силовых
линий, электрические заряды, возникающие из-за поляризации,,
могут перетекать вдоль силовых линий. Соответственно и поле
Е = —iky(p в этом случае будет меньше (ср — потенциал элек-
электрического поля). Его можно найти из условия баланса токов
div j = ikja + ikyjy = c**q> + ikyen (viy - vey) = 0, E.25>
где о — электропроводность.
С помощью уравнений E.22) — E.25) и уравнения непре-
непрерывности
+ vx~^ = 0 E.26>
нетрудно найти выражение для частоты и. Оно имеет вид
ш2 + /ауо + ш? = 0, E.27)-
где введены следующие обозначения:
kl°B2 kl 2 (Tt + T.) dn
кус2пт{ ky - Rnmt dx
При u)s=O мы имеем обычную желобковую неустойчивость
с инкрементом у === иг. Однако в «сильно замагниченной» плаз-
плазме, т. е. при йеТеЗ>1, величина u)s может быть значительно
больше ag, и в этих условиях инкремент неустойчивости сильно
уменьшается, так как согласно E.27) у = — ira»co|/cos <C ©,_
Неустойчивость с таким инкрементом и называется диссипатив-
ной гравитационной (термин «гравитационная» здесь имеет
условный смысл и использован в силу того, что выталкивающая-
сила в E.22), E.24) сходна с силой тяжести, а желобковая
неустойчивость сходна с неустойчивостью Рэлея — Тейлора тя-
тяжелого слоя жидкости, расположенного над легкой жидкостью).
б) Токово-конвективная н еу ст о й ч и в о ст ь. Дру-
Другая диссипативная неустойчивость имеет место при наличии
продольного тока и в некотором смысле является диссипатив-
ным аналогом винтовой неустойчивости.
Пусть вдоль однородного поля Во, направленного вдоль,
оси 2, течет ток / = аЕ настолько слабый, что создаваемое им
магнитное поле значительно меньше Во- Предположим, что про-
проводимость плазмы в равновесном состоянии является некоторой
медленно меняющейся функцией координаты х. В полностью
ионизованной плазме, где проводимость зависит только от тем-
температуры электронов, это изменение может быть обусловлена-
изменением температуры, а в слабоионизованной плазме гради-
градиент проводимости может быть следствием градиента плотности..

188
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
11-Л. 5
Пусть на это состояние наложено возмущение тИпа
¦ехр (—Ш + tkr). Величину kx мы будем считать малой. Пред-
Предположим, что электрическое поле является безвихревым и что
поперечные электрические токи отсутствуют (электроны и иОны
дрейфуют поперек поля совместно). Тогда из условия отсут-
отсутствия возмущения продольного поля получим
— ikzq>o + а'Е = 0. E.28)
Здесь о' — возмущение проводимости плазмы, которое происхо-
происходит из-за дрейфа плазмы в попе-
поперечном направлении:
da
: 0. E.29)
Из уравнений E.28), E.29) нахо-
находим инкремент нарастания малых
винтовых возмущений:
д. kycE da
У y = J^Ka~-d7' E-30)
Рнс. 65. Слой неоднородной плазмы
Как мы видим, знак v зависит
от знака ky/kz, т. е. от наклона
возмущения по отношение к
с «косым» возмущением ее плот- оси z. Физика токово-конвектив-
ности.
ной неустойчивости пояснена, на
рис. 65. Здесь изображен слой
плазмы, у которого проводимость убывает с х, а ток j и поле В
направлены по оси г. При смещении косого слоя ABCD Г[0 х
его проводимость несколько повысится Гв силу -^ < о). По-
Поэтому на его граничных поверхностях выступят заряды — поло-
положительный на верхней поверхности и отрицательный на Ниж-
Нижней. Эти заряды приведут к появлению электрического гюля
с отличной от нуля поперечной компонентой Еу. При соответ-
соответствующем знаке ky/kz дрейф плазмы в этом поле будет происхо-
происходить в направлении первоначального смещения и, следователь-
следовательно, приведет к усилению начального возмущения.
Токово-конвективная неустойчивость была очень подробно
исследована теоретически и экспериментально на тлеющем раз-
разряде в сильном продольном магнитном поле. В полностью иони-
ионизованной высокотемпературной плазме ее роль снижается, так
как ее инкремент убывает с ростом проводимости.
Токово-конвективная неустойчивость развивается в отсутствие
возмущения магнитного поля. Существует другой диссипатив-
ный (точнее, резистивный — связанный с отличным от нуля со-
сопротивлением) аналог винтовой неустойчивости — так называв-

S 1] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ 189
мая тиринг-неустойчивость. Она отличается от обР1ЧН0^ винто-
винтовой неустойчивости только более сложными процессами в обла-
области, где шаг возмущения совпадает с шагом силовых линий.
Тиринг-неустойчивость также является более меДленнои> чем
винтовая.
4. Дрейфовые неустойчивости. Как мы установил11 в гл- 1> ко
всем медленным движениям плазмы одножидкостн<?е приближе-
приближение неприменимо, и следует учитывать эффект ХоЛла- Соответ-
Соответственно и полученные выше выражения для инкреМентов Дисси-
пативных неустойчивостей справедливы, строго го?°Ря> только
в условиях, когда они велики по сравнению с хара^теРными ча*
стотами дрейфового движения.
а) Дрейфовые волны. Развитие дрейфовый неустойчи-
неустойчивостей связано с раскачкой дрейфовых волн — своеобразной
ветвью колебаний неоднородной плазмы. Для их описания мож-
можно воспользоваться двухжидкостным приближенИем- Рассмо-
Рассмотрим слой плазмы с неоднородной по х плотностьк? и наложим
на него возмущения типа плоской волны. Будем считать, что
возмущения сильно вытянуты вдоль магнитного п^ля> так что
смещением ионов вдоль поля можно пренебречь (этО верно, если
частота колебаний со » cskz, cs—скорость звука)- Тогда для
возмущения плотности ионов, учитывая, что в поЛе волны они
совершают дрейф со скоростью vx = сЕу/В0, получим
. = 0. E-31)
где ф — потенциал электрического поля.
Если допустить, что
со/?г < vTe = -\/Те/те,
то электроны вдоль силовых линий будут иметь боЛьи-мановское
распределение
п' = ^. E-32)
Считая, что плазма квазинейтральна, мы использо?али °Дно и
то же обозначение п' для возмущений электронной и ионной
плотностей. Из E.31), E.32) находим частоту дрейФ0ВЫХ болн:
ckyTe dn
гл = гл ~ ~~dx~'
Фазовая скорость этих волн a>/ky направлена в стоРонУ ДРеиФа
электронов в равновесном неоднородном слое плазмы> ПРИ"
чем она в точности совпадает с дрейфовой (лаРМ0Р0ВСК°й)

190 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. •
скоростью электронов, которая может быть найдена из уравне-
уравнения равновесия
-~nTe = -jnveyB0. F.34)
Как мы видим, при Те=const величина vey=(i>i,/ky.
б) Дрейфово-диссипативная неустойчивость.
При наличии различных диссипативных процессов дрейфовые
волны становятся неустойчивыми. Мы рассмотрим здесь лишь
самый простой тип диссипации, связанный с продольной прово-
проводимостью, т. е. с трением электронов о ионы при их продольном
движении. Соответствующая неустойчивость получила название
дрейфово-диссипативной, или универсальной.
Эту неустойчивость можно описать с помощью уравнений
E.22) — E.25), если вместо обычного закона Ома ]г = аЕг ис-
использовать его двухжидкостный аналог:
) <5-зб>
Подставляя в E.25) вместо jz = ikzoy выражение /z =
=¦ ikza((p — n'Tjen) и повторяя выкладки п. а), мы получим
вместо E.27) уравнение вида
ш2 + шщ — ш,ю8 + ю2 = 0, E36)
где дрейфовая частота <о» дается выражением E.33).
Так как обычно (о8 очень велико, то из E.36) приближенно
получаем
(ol + col
Ю»ю. + * Юд g. E.37)
Отсюда видно, что даже в однородном поле, т. е. при ив = О,
плазма оказывается неустойчивой и дрейфовая волна нарастает
по амплитуде.
Кроме конечной проводимости, к раскачке дрейфовых волн
могут приводить и другие механизмы диссипации. Эти же меха-
механизмы (например, вязкость) могут и стабилизировать дрейфо-
дрейфовые неустойчивости. Так как дрейфовые неустойчивости связаны
с сильно вытянутыми вдоль магнитного поля возмущениями, то
они представляют меньшую опасность для удержания плазмы,
чем МГД-неустойчивости.
5. Кинетические неустойчивости, а) Неустойчивость
пучка в плазме. Для кинетических неустойчивостей суще-
существенно различие в движении различных групп частиц, и они
могут быть теоретически описаны с помощью уравнения Вла-
Власова. Простейшим примером кинетической неустойчивости мо-
может служить электронный пучок в плазме. Рассмотрим сначала

J 1] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ 191
монохроматический пучок с плотностью пъ и скоростью V в хо-
холодной плазме. Такой пучок может возбуждать ленгмюровские
волны. Инкремент нарастания продольных волн можно легко
получить из дисперсионного уравнения е = 0, где, кроме вклада
от электронов плазмы, нужно учесть вклад от пучка. Легко ви-
видеть, что
° * и2 n (ш - feKJ • ^-oo'
где k — волновое число возмущения. Здесь вклад от пучка имеет
в точности такой же вид, как вклад от холодных электронов,
лишь частота испытывает допплеровское смещение (в системе
координат, связанной с пучком, вклад от пучка имеет тот же
вид, как вклад от холодных электронов).
Полагая е = 0, нетрудно найти инкремент нарастания малых
возмущений. Когда щ <€. п, он максимален при kV = юре и
равен
v = (?)"V E-39>
Если пучок несколько размыт по скоростям, т. е. имеется
разброс АИ, то при AV~>y/k приближение монохроматического
пучка становится неприменимым. В этом случае можно вос-
воспользоваться кинетическим уравнением Власова. Считая пъ <С п.
и AV ^> y/k, мы можем оставить от пучка только мнимую часть
вклада в е. При этом дисперсионное уравнение примет вид
B.123), т. е. для холодной плазмы
ыа>2ре df
^о„и/6
Отсюда видно, что инкремент
E.41)
г 2nk2 dv
положителен только при положительной производной функции
распределения в точке резонанса v = <йре/&. Таким образом, для
раскачки колебаний нужно, чтобы на хвосте электронной функ-
функции распределения имелся «горб», соответствующий размытому
пучку.
б) Ионный звук в плазме с током. В качестве дру-
другого важного примера рассмотрим ионно-звуковые колебания в
неизотермической плазме (Г4 «С Те) при наличии электрического
тока. Будем считать, что функция распределения электронов
близка к максвелловской, сдвинутой на величину дрейфовой
скорости и=—Цеп. Для нахождения инкремента опять

192 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ 1ГЛ. S
воспользуемся уравнением е=0. Действительная часть е для
ионного звука была нами найдена ранее [см. B.102)] с помощью
гидродинамического приближения, а мнимую мы можем учесть
с помощью B.123). Таким образом, имеем
0. E.42)
k cs
Для сдвинутой на и максвелловской функции распределения
dft тв (v — и) -
-^--Ё• j -/«> И Для инкремента легко находим
j
где 6 — угол между и и к.
Каким мы видим, ионно-звуковые волны начинают нарастать,
когда направленная скорость электронов превышает скорость
звука. При этом инкремент невелик, ylo ~ u/iVr, где veT — теп-
тепловая скорость электронов.
в) Кинетические конусные неустойчивости.
Неустойчивости кинетической природы могут развиваться и в
адиабатических ловушках. Дело в том, что у адиабатической
ловушки есть врожденный порок: она удерживает только те ча-
частицы, которые не попадают в запрещенный конус (конус по-
потерь) . Это автоматически приводит к инверсии заселенностей
энергетических уровней. В самом деле, введем пространство
скоростей. Функция распределения частиц по скоростям f(vz,v±)
отлична от нуля только в заштрихованной области на рис. 66, а.
Если даже f(vz, vx) примерно постоянна в некоторой области
не очень больших v±, то функция распределения по поперечным
скоростям f(ux)=\ f (vz, vi)dvz будет возрастающей просто в
силу того, что интервал Avz ~ v±. При достаточно больших t»i
функция f(vz, vL), а вместе с ней и f(ui), должна убывать, так
что полный график f(uj.) имеет вид, показанный на рис. 66,6.
В области vx < Vo функция распределения возрастает с ро-
ростом оI, а это и означает, что имеет место инверсная заселен-
заселенность по поперечной энергии: частиц с большой энергией боль-
больше, чем с малой.
По аналогии с лазерами отсюда можно заключить, что если
в плазме найдется волна, которая резонансным образом будет
взаимодействовать с инверсной популяцией частиц, то может
иметь место индуцированная генерация волн, т. е. экспоненци-
экспоненциальное нарастание малых колебаний со временем. Таким обра-
образом, вопрос о раскачке кинетических неустойчивостей состоит
в том, какие волиы в плазме могут попадать в резонанс и как
этот резонанс осуществляется. Эти вопросы ставятся несколько

§11
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ
193
различным образом для ионно-горячей и электронно-горячей
плазм.
Рассмотрим более интересную ионно-горячую плазму. Ясно,
что с ионами могут эффективно взаимодействовать лишь низко-
низкочастотные колебания, имеющие частоты порядка характерных
ионных частот Й,- или сор*. В лабораторной плазме величина
р = 8пр/В2 чрезвычайно мала, поэтому соответствующие волны
являются продольными (электростатическими) — магнитное
поле в них не возмущается. К ним относятся косые ленгмюров-
ские волны, распространяющиеся под углом к магнитному полю,
л
а) б)
Рис. 66. Инверсная заселенность уровней в адиабатической ловушке.
ионно-звуковые и циклотронные волны, а также различные их
комбинации. В неоднородной плазме к ним добавляются дрей-
дрейфовые волиы..
Что касается резонанса воли с ионами, то при наличии силь-
сильного магнитного поля он существует на гармониках циклотрон-
циклотронной частоты Qj. Хотя соответствующий эффект является, разу-
разумеется, чисто классическим, его проще рассмотреть с квантовой
точки зрения как предельный случай индуцированных переходов
с участием большого числа квантов. (Квантовые образы вошли
в современное физическое мышление настолько глубоко, что
даже чисто классическое понятие резонанса более просто фор-
формулируется иа языке квантов!) С квантовой точки зрения не-
неустойчивость — это индуцированное испускание кванта им с им-
импульсом Ыгг вдоль магнитного поля. Поскольку в сильном маг-
магнитном поле поперечное движение заряженных частиц кванто-
квантовано (уровни Ландау с интервалом fifli между уровнями), то
законы сохранения энергии и продольного импульса при пере-
переходе принимают вид
Йсо + mtvz Avz — lhQt •= О, E.44)
hkz + tnt Даг = 0, E.45)
где Avz— малое изменение продольной скорости при переходе,
а I — целое число, соответствующее переходу частиц на более
7 Б. Б. Кадомцев

194 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. Б
Низкий уровень, отстоящий на /Ш* от исходного, так что
/HjUxAuj. = —ibQi. Из E.44), E.45) получаем соотношение
м - Ь&г — lQi = 0, E.46)
которое представляет собой условие резонанса частицы с вол-
волной. Оно имеет простой смысл: в системе координат, движу-
движущейся вдоль z вместе с частицей, частота колебаний в точности
равна 1-й гармонике циклотронной частоты. При / > О, когда
при испускании волны частица переходит на более низкий попе-
поперечный уровень, говорят о нормальном допплер-эффекте, а при
I < О используют термин «аномальный допплер-эффект». Не-
Неустойчивость имеет место только в том случае, если заселен-
заселенность на верхнем (исходном) энергетическом уровне больше,
чем на нижнем, т. е. если
{f (Ог, 8 J.) — f (Vz + AVZ, Bj. — ihQt)} б (@ — kzVz ~ IQl) UVZ UZl > 0,
E.47)
где ex = /п;кх/2 — поперечная энергия, а б функция отбирает
только резонансные частицы.
Устремляя й-»-0, из E.47) с учетом E.44), E.45) находим
$ (k* ттг + ft Д")б & ~ kzVz -lQi) dv* v±dVl > °- E-48)
Это и есть условие раскачки колебаний в анизотропной
плазме.
6. Параметрические неустойчивости. При прохождении через
плазму сильных электромагнитных волн или при проникновении
в плазму внешних переменных полей в ней возникают сильные
регулярные колебания электронов и ионов. Эти колебания так-
также могут послужить источником неустойчивостей. Так как со-
соответствующие неустойчивости развиваются на фоне периодиче-
периодических колебаний плазмы и сами подчас принимают форму пара-
параметрического резонанса, то эти неустойчивости называются па-
параметрическими.
Мы познакомимся здесь с параметрическими неустойчиво-
стями на простейшем, но типичном примере возбуждения двух
нелинейно связанных волн — ионно-звуковой и ленгмюров-
ской — внешней волной накачки.
Предположим, что в плазме имеется сильная волна с элек-
электрическим полем вдоль оси х
Е = Е0ехр(— ш4 + ikox) + к. с. E.49)
Величину Ео мы для простоты будем считать действительной.
Эта волна может быть, например, ленгмюровской с частотой
too = соре и волновым числом k0. При ko ->- 0 электрическое поле

5 1] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ 195
E.49) может принадлежать поперечной волне или внешнему
источнику с частотой, близкой к шрв (напомним, что у попереч-
поперечной волны &2с2 = (о2 — а>2 , т. е. волновое число мало при
ш->-(йре). Именно при малой расстройке, |со — (оре\ <^(лре, наи-
наиболее сильно проявляются параметрические эффекты, и поэтому
в дальнейшем мы будем предполагать, что соо близка к а>ре-
Высокочастотная волна приводит электроны в колебательное
движение с амплитудой
— ia>ot + ikQx) + к. с. F.50)
Предположим теперь, что кроме внешней волны, которую
мы будем называть волной накачки, в плазме присутствуют
ленгмюровская и ионно-звуковая волны малой амплитуды. По-
Покажем, что взаимодействие их с волной накачки может приво-
приводить к нарастанию их амплитуды. Для простоты будем считать,
что эти волны распространяются вдоль оси х.
Рассмотрим сначала высокочастотные ленгмюровские коле-
колебания. Как мы знаем, они имеют непрерывный спектр и в каж-
каждой точке частота колебаний равна местной ленгмюр'овской (мы
предполагаем, что длина волны много больше дебаевской, так
что тепловой поправкой можно пренебречь). Учтем теперь, что
медленные ионно-звуковые колебания приводят к небольшому
отклонению бгс плотности от равновесного значения п. Для ско-
скорости колебаний электронов в волне Е имеем просто
f —?*. E.5.)
а электрическое поле может быть найдено из уравнения
дё
dt
= — 4л/ = 4пе{(п + 6п) E + б„) — пб0), E.52)
где J — ток ленгмюровской волны.
Так как, по предположению, амплитуды ленгмюровской и
ионно-звуковой волн малы, то в E.52) мы пренебрежем квадра-
квадратичным членом bnv. Дифференцируя E.51) по времени и исклю-
исключая затем производную по времени от электрического поля с
помощью E.52), мы получим уравнение для осцилляции элек-
электронов
5 ^
где Ире — невозмущенная ленгмюровская частота.
В низкочастотных колебаниях принимают участие как элек-
электроны, так и ионы. Уравнение движения для ионов выглядит
очень просто:

196 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 5
где v — скорость ионов, Е — поле медленной волны. Поле Е
можно найти из уравнения движения для электронов
dve . dve , Те 3 . т-1 /¦- е-ч
me-jf + meve -1f + -f-^-6n=z-eE. E.55)
Здесь первым инерционным членом для медленного движения
д ( ve V
можно пренебречь, а во втором члене тв -г- \~j~) мы сохра-
сохраним линейное по v слагаемое те -g—(vov). Разумеется, здесь
достаточно оставить лишь медленно меняющуюся часть, которую
мы обозначим угловыми скобками, означающими усреднение по
высокочастотным колебаниям. Учитывая еще уравнение непре-
непрерывности
±6п + п-^ = 0 E.56)
и исключая с помощью E.54), E.55) Е и v, мы получим уравне-
уравнение для 8п;
Уравнения E.53), E.57) описывают связанные через волну
накачки ленгмюровские и ионно-звуковые волны. Если ампли-
амплитуда волны накачки мала, то заметный эффект возбуждения
связанных волн может иметь место только при условии резо-
резонанса. А именно, пусть эти волны являются монохроматиче-
монохроматическими:
v =aexp(— i(upet + ikpx), -?¦ = ib exp (iaj — iksx), E.58)
где a, b — медленно меняющиеся амплитуды. Тогда при выпол-
выполнении резонансных условий
щ = ч>ре + (л3, ko = kp + ks E.59)
в пренебрежении вторыми производными по времени от медлен-
медленно меняющихся амплитуд a, b уравнения E.53), E.57) прини-
принимают простой «укороченный» вид:
да tflpe db meks
-w = — v*b> it = 2^7m' E-60)
где vo=eEo/me — амплитуда колебаний электронов в волне на-
накачки.
Эти уравнения отличаются от рассмотренных нами ранее
уравнений при знакомстве с трехволновыми взаимодействиями

5 1] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ 197
C.88) — C.90) только тем, что волну vQ мы считаем сильной
с заданной амплитудой и не используем нормировку для ампли-
амплитуд, сделанную в § 4 гл. 3.
Уравнения E.60) имеют экспоненциально нарастающее ре-
решение с инкрементом у, определяемым дисперсионным уравне-
уравнением
Как мы видим, инкремент пропорционален амплитуде волны
накачки. Соответствующая неустойчивость, которую тоже мож-
можно было бы назвать параметрической, описывает самое начало
«распада» волны накачки на ленгмюровскую и иоино-звуковую.
В литературе она известна как распадная неустойчивость.
При достаточно большой амплитуде накачки v0 инкремент
может превысить собственную частоту ионного звука <os = csks.
В этом случае в уравнениях E.53), E.57) можно воспользо-
воспользоваться другим приближением. А именно, в E.57) можно пре-
пренебречь вторым членом в правой части. Предполагая опять, что
частота соо близка к а>Ре и пренебрегая расстройкой соо — а>ре,
мы можем записать уравнения E.53), E.57) в упрощенном
виде:
За iape
6 E-62)
-L
E.63)
Здесь мы опять предположили, что выполняется соотношение
k0 = kp -f- ks. Из уравнений E.62), E.63) вытекает, что связан-
связанные ленгмюровские и ионные низкочастотные колебания нара-
нарастают со временем с инкрементом y~uo3- При этом говорить
о ионном звуке уже нет смысла: в рассматриваемых колебаниях
сила Миллера значительно превышает градиент давления. Со-
Соответствующую неустойчивость называют параметрической, или
модифицированной, распадной.
И наконец, те же уравнения E.53), E.57) в случае fto—>О,
например для электромагнитной волны накачки, допускают еще
одно приближенное решение. А именно, при достаточно большой
амплитуде накачки обе комбинационные частоты соо + ?2 и
coo — й (Q — частота ионных колебаний) близки к а>ре, так что
в уравнениях нужно учесть сразу обе гармоники. Будем считать,
что 6n~e~'Q', а 5 = o+e~lia+atU + ц_е-*(а-ш,)^ и пренебрежем
вторым членом в левой части E.57), полагая, что амплитуда
накачки достаточно велика, а возмущения протяженны по х.
При этом можно считать, что и у Ьп, и у v зависимость от х
одна и та же: ~eihx. Полагая о0 = Оое~л*1'+ "о6'"*', получим

198 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. в
после подстановки этих выражений в E.63), E.57):
= I!*- nk2 (V+V'o + V-Vq), E.64)
Таким образом, мы получаем систему трех однородных урав-
уравнений для 6п, v+, и_. Условием их разрешимости является обра-
обращение в нуль детерминанта системы. Считая, что расстройка
А = ио — (иРе и частота Q малы, уравнения E.65) можно упро-
упростить:
(Д -\Q)v aV
в»
(Д — Q) U_ = (OpeVo -^ .
Если теперь подставить полученные отсюда значения о+ и о_
в E.64), то мы получим дисперсионное уравнение для Q:
О2(О2-Д2) + -^соре62Ы2Л = 0. E.67)
t
Это уравнение имеет комплексные решения для Q (которые со-
соответствуют неустойчивости) в широкой области значений Д
(за исключением больших положительных А). Максимальный
инкремент у достигается при
)\ E.68)
Вследствие параметрической неустойчивости мощная электро-
электромагнитная волна в плазме может создавать достаточно сильные
неоднородности ее плотности.
§ 2. Квазилинейное приближение
В неустойчивой плазме любые малые начальные возмуще-
возмущения, вплоть до тепловых шумов, экспоненциально нарастают со
временем, и в конце концов их амплитуда достигает такой вели-
величины, что они начинают оказывать заметное влияние на макро-
макроскопические характеристики плазмы.
При развитии неустойчивости возможны различные ситуации
между двумя крайними возможностями. В одном предельном
случае, когда либо плазма слабо надкритична и неустойчивость
слабая, либо одна из мод колебаний сильно превалирует над

§2]
КВАЗИЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
199
другими, возможно развитие одной только моды неустойчивости.
В этом случае плазма переходит в новое ламинарное движение
с развившимся в ней регулярным, упорядоченным течением.
В другом предельном случае в ней развивается много мод,
сложно взаимодействующих между собой и требующих поэтому
для своего описания статистического подхода. Второе состояние
мы и будем называть турбулентным. В разреженной плазме, где
механизмы диссипации играют малую роль, чаще развиваются
именно турбулентные, а не лами-
ламинарные процессы.
Задача количественного опи-
описания турбулентности разбивает-
разбивается на две. Нужно уметь, во-пер-
во-первых, описывать само турбулент-
турбулентное движение с учетом взаимо-
взаимодействия отдельных мод колеба-
колебаний, а, во-вторых, определять
влияние турбулентности на ма-
макроскопические, усредненные
свойства плазмы.
Оказывается более удобным
начать со второй задачи. Дело в
том, что при очень слабой не-
неустойчивости уровень развивших-
развившихся шумов может быть настолько
низким, что отдельные моды ко-
колебаний практически не будут
взаимодействовать, т. е. их мож-
можно описывать в линейном при-
приближении. Вместе с тем они
будут оказывать какое-то воздействие на плазму, и именно это
воздействие сможет остановить экспоненциальное нарастание
шумов. Такой подход к описанию неустойчивостей плазмы и ее
слабой турбулентности был предложен в работах Веденова, Ве-
Велихова, Сагдеева [193] и Драммонда и Пайнса [194] (см. также
[195]). Мы познакомимся с ним на самом простом примере воз-
возбуждения ленгмюровских колебаний размытым электронным
пучком.
Допустим, что в начальный момент времени в электронной
плазме имеется слабый электронный пучок с сильным разбро-
разбросом частиц по скоростям. Тогда начальную функцию распреде-
распределения частиц по скоростям можно представить в виде рис. 67,
т. е. она имеет «горб на хвосте». Как мы знаем, в такой плазме
должны возбуждаться ленгмюровские колебания с такими дли-
длинами волн, чтобы их фазовая скорость u<j, = co/fe попадала в об-
область «горба», где функция распределения имеет положительную
Vf a2 v
Рис. 67. Квазилинейная релакса-
релаксация пучка в плазме и образование
плато иа функции распределения.
Сплошная линия соответствует
начальной, а пунктирная — конеч-
конечной функции распределения. Ниже
функции распределения изобра-
изображено распределение энергии ко-
колебаний по фазовым скоростям
после установления плато.

200 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 5
производную, поскольку инкремент неустойчивости равен
3 at
Yk = -2T^--^ • (б-69)
Поскольку ук>0 в широкой области значений фазовых скоро-
скоростей, то можно ожидать развития большого числа гармоник с
широким набором различных волновых чисел.
Представим снова электрическое поле в виде
E.70)
Будем считать, что суммирование проводится как по положи-
положительным, так и по отрицательным k\ чтобы поле Е(х, t) было
действительным, необходимо выполнение условий
Если гармоник очень много, то их набор будет практически слу-
случайной величиной, поэтому и поле E 70) более удобно описы-
описывать с помощью случайных функций. Соответственно оказы-
оказывается удобным придать сумме в E.70) по k более определен-
определенный специфический смысл.
Предположим, что волновое число может пробегать дискрет-
дискретный ряд значений, например k = 2nn/L, где L — длина рассма-
рассматриваемого плазменного образования, ио величина 2я/? <С k,
так что k почти непрерывно. Рассмотрим корреляционную функ-
функцию полей, т. е. усредненное по плазме значение от произведе-
произведения полей в двух близких точках {Е(х -\- ?)Е(х)). Это выра-
выражение можно получить, умножая друг на друга две суммы вида
E.70) и затем усредняя их почленно. При таком усреднении
большая часть членов двойной суммы исчезнет, останутся толь-
только те члены, в которые входит произведение Ekeikix+i)Ha E\e~lkx.
Таким образом получим
= El?*|Vft*. E.72)
Примем теперь, что сумма ? понимается в таком смысле,
что сумма членов по интервалу ЬЛг просто пропорциональна Sk.
Тогда в E.72) от суммирования можно перейти к интегрирова-
интегрированию. Полагая для упрощения записи |?ft|2 = ?| (т. е. понимая
под Е\ величину |?fc|2) и устремляя L—юо, запишем выраже-
выражение E.72) в виде
Я (Б) «<?(* +Б) ?(*)>= \ ??e'«dft>-2$fi»cosft6d/5. E.73)

5 2] КВАЗИЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 201
Мы учли здесь, чго Е\ является четной функцией k. Из E.73)
видно, что Е\ является фурье-компонентой корреляционной
функции
E.74)
Если считать, что волновое поле Е является почти стацио-
стационарным, т. е. что его усредненные характеристики не меняются
за очень большой промежуток времени Т, так что в этом про-
промежутке Е\ можно считать постоянным, то с помощью E.70)
легко получить пространственно-временную корреляционную
функцию
+°°
ЯF, т)-<?(* + !,*+ т)?(*,*)>= \ Е1е~шкх+т dk. E.75)
—оо
Итак, если волновое поле рассматривается как набор очень
большого числа гармоник и предполагается случайным, то для
его описания можно пользоваться величиной Е\. Величина E\kk
имеет смысл квадрата амплитуды волнового пакета, составлен-
составленного из гармоник, попадающих в интервал Ak. Соответственно
можно ввести величины Nk, &k, Ph, имеющие смысл плотности
числа волн, энергии и импульса в ^-пространстве.
С помощью этих величин и следует описывать процессы в
слабо турбулентной плазме. В квазилинейном приближении
предполагается, что взаимодействие между отдельными гармо-
гармониками отсутствует. Тогда любой пакет, составленный из волн
интервала Д&, ведет себя независимо от других, и для него
можно использовать уравнение
дЕ\ дЕ\
-дГ + ^ = 2УЛ> E-76)
которое было получено ранее для протяженного в пространстве
волнового пакета [см. B.155)].
Перейдем теперь к рассмотрению процесса обратного влия-
влияния волн на частицы. Воспользуемся уравнением Власова для
электронов: ,
dt +U дх~ me C dv ¦ ^¦")
Представим функцию распределения электронов f в виде суммы
медленно меняющейся /о и осциллирующей части f. Осцилли-
Осциллирующую часть мы будем считать малой, и поэтому для нее

202 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 5
можно ограничиться линейным приближением. Для ^-гармоники
поля соответствующая гармоника /й равна, очевидно,
(Это выражение мы уже получили при знакомстве с линейными
ленгмюровскими колебаниями). Что касается медленно меняю-
меняющейся функции /о, то для ее описания можно воспользоваться
усредненным по высокочастотным колебаниям уравнением
дх те^ dv ~ me dv^1'- ^579^
В дальнейшем мы предположим, что усредненное поле Ео отсут-
отсутствует. Член в правой части E.79) как раз и описывает обрат-
обратное влияние волн на усредненную функцию распределения. Для
его вычисления мы должны подставить вместо Е его выражение
E. 70) в виде суммы по гармоникам, и аналогичное выражение
следует подставить вместо f. При этом вместо 1/(со — kv) сле-
следует подставить выражение
1 со. — kv — iv. P
= —* 5—\«и inb{®k —kv). E.80)
«к, — kv + iv. l&k — kvv -f y| (о* — kv
Здесь б-функция получена при yk-> 0, а Р означает главное
значение.
При подстановке этих выражений в E.79) получаем (при
"lit
где
Dv = ~ J El б (юк - kv) dk E.82)
(мы опять понимаем здесь под Е\ величину | Еь |2)- Таким об-
образом, для /о получается уравнение диффузионного типа в про-
пространстве скоростей.
Уравнения E.76), E.81) и составляют основную систему
квазилинейной теории. Рассмотрим частный случай, когда f0 и
Е\ не зависят от х. При этом в уравнениях E.76), E.81) можно
отбросить производную по координате х. Кроме Tofo, поскольку
частота плазменных колебаний ©fe«©pe может считаться не за-
зависящей от v, в выражении E.82) интеграл от б-функции дает
просто величину IJv. Далее, вместо Е\ удобно ввести вели-
величину Е\, пропорциональную плотности энергии колебаний на
интервал фазовых скоростей dv, т. е. Е\ dk = El dv = El (cope/&2) dk.

f 2] КВАЗИЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 203
Тогда уравнения квазилинейной теории можно записать в виде
dt
E.83)
dfo __ _3_ Г) dfo.
Dv=^f^Ei. E.84)
ot dv dv и to.
Учтем теперь, что плотность энергии ленгмюровских коле-
баний #k = i|^||=i|, так что «"„ = ¦§-. а плотность
импульса Pv = —— <§Г0 = -т-^-. Заметим, что в энергию волн входит,
в частности, кинетическая энергия колебаний электронов в волне,
именно поэтому Sh вдвое больше плотности энергии электричес-
электрического поля в волне. При несколько другом описании колебаний эту
энергию можно было бы включить в \ (mev2/2)f0dv.
С помощью E.83), E.84) нетрудно установить, что система
квазилинейных уравнений согласована с сохранением энергии
и импульса, т. е.
/о d»+ $-§-*>== const,
§
Р = \ mevfo dv + \ 1я7 dv =
Обсудим теперь физический смысл полученных уравнений и
что они дают. Как мы видим, для функции /о получилось урав-
уравнение диффузионного типа. Можно сказать, что всюду, где есть
волны, каждая волна стремится создать локальное «плато» на
функции распределения резонансных частиц, т. е. при -Ф- > 0
она стремится замедлить частицы. Но эти частицы создают по-
повышенный градиент -^- при несколько меньших скоростях и
подхватываются другой волной с меньшей фазовой скоростью.
Коэффициент Dv отличен от нуля только там, где El Ф 0.
Если считать, что уровень тепловых шумов пренебрежимо мал,
то Dv=?0 только там, где волны успевают нарасти от теплового
уровня, т. е. в области неустойчивости. Нарастая в этой обла-
области, волны приводят к диффузии частиц в сторону меньших v,
и этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока во всей
области неустойчивости не будет достигнуто состояние с
Y~-^- = 0. Другими словами, в конечном состоянии на

204
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
[ГЛ. 5
функции распределения f<T должно образоваться плато (см.
пунктир на рис. 67).
При этом шумы нарастут до некоторого предельного стацио-
стационарного уровня, изображенного на том же рисунке. Амплитуду
шумов легко найти из закона сохранения энергии. В самом деле,
если при своем замедлении через точку v в сторону меньших
о
энергий за время процесса прошло Ьп = \ (f<Г — fо) dv частиц,
то в интервале dv они должны были потерять энергию mevdvbn.
Чистота
Рис. 68. Теоретический (сплошная линия) и экспериментальный (кружки)
равновесные спектры для шумов в плазме при релаксации размытого пучка.
Эта энергия должна передаться волнам с фазовыми скоростями
в интервале dv, т. е. она равна Е\ dvjAn. Отсюда находим
E.86)
где /о — начальная, a fo°—конечная функция распределения.
В интеграл E.86) область от v = 0 до нижней границы плато v%
фактически вклада не дает. Соотношение E.86), разумеется,
можно получить и более формальным путем с помощью урав-
уравнений E.83), E.84). Из E.86) видно, что шумы сосредоточены
в области, где образовалось плато, причем Е\ плавно спадает
к границам плато.
Экспериментальная проверка квазилинейной теории была
проведена Робертсоном и Джентлом [196]. Эти авторы изучали
эволюцию размытого электронного пучка в плазме и возбуждае-
возбуждаемых им плазменных колебаний по длине плазменного шнура,
находящегося в продольном магнитном поле. Таким образом,
вместо временной эволюции системы они изучали развитие про-
процесса по х, что не меняет качественных характеристик явления.
Эволюция по х может быть описана с помощью тех же уравнений

§ 3] СЛАБАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 205
E.76), E.81), в которых следует лишь опустить временные про-
производные. Небольшое отличие от рассмотренной выше картины
вносит также продольное магнитное поле: оно несколько изме-
изменяет закон дисперсии электронных продольных колебаний, что
приводит к увеличению их групповой скорости.
Упомянутыми авторами было показано, что в условиях при-
применимости квазилинейной теории, т. е. когда пучок слаб и уро-
уровень шумов низок, теория хорошо согласуется с экспериментом.
На рис. 68, например,-сравниваются теоретически рассчитанный
и экспериментально измеренный спектры колебаний, возбужден-
возбужденных пучком. (Здесь спектр отложен не в функции фазовой ско-
скорости, а в зависимости от частоты колебаний — более удобной
величины с точки зрения эксперимента, так как она непосред-
непосредственно в нем измеряется.)
Квазилинейная теория легко обобщается на различные типы
колебаний плазмы, но она справедлива только при очень низком
уровне шумов в плазме.
§ 3. Слабая турбулентность
1. Трехволновые процессы. Если уровень шумов в плазме не
очень мал, то квазилинейное приближение становится явно не-
неточным, поскольку определенную роль начинают играть взаимо-
взаимодействия волн между собой и с частицами. Вместе с тем, если
этот уровень еще не настолько велик, чтобы существенно влиять
на дисперсионные свойства волн (в однородной плазме это
так, если энергия шумов много меньше тепловой энергии плаз-
плазмы), то турбулентный процесс в плазме можно описывать в тер-
терминах слабо взаимодействующих волн. Такая турбулентность
получила название слабой.
Для описания слабой турбулентности можно воспользоваться
теорией возмущений, т. е. можно провести разложение уравне-
уравнений по малому отношению энергии взаимодействия между вол-
волнами к их полной энергии. Таким образом, в нулевом приближе-
приближении по параметру взаимодействия мы просто имеем совокупность
невзаимодействующих волн. В следующем приближении доста-
достаточно учесть только члены, пропорциональные энергии волн,
т. е. квадратичные по амплитуде, и т. д.
С учетом теплового движения частиц квадратичными по ам-
амплитуде волн взаимодействиями являются трехволновые инду-
индуцированные процессы слияния и распада волн и индуцирован-
индуцированное комбинационное рассеяние волн на частицах.
Рассмотрим сначала трехволновые процессы. Мы уже по-
познакомились с ними ранее на примере взаимодействия трех вы-
выделенных волн. Те же процессы резонансного взаимодействия
могут проявляться и в случае, когда в плазме возбужден очень

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛА^Ы [ГЛ. 5
206
пплн Если число волР очень велико, то фаза
широкий спектр вол . взаимодействии с другими вол-
каждой отдельной а к лярным образом изменяться во
нами может сложиь. ^ ^ адекваТНЫМ для описания про-
времени. В этих У™° случайных фаз, с которым мы
цесса является приол ^ ?е взаимодействия трех
также уже познании» . ^ ^ ^ практически непрерыв-
волн. Для случая мне' 'щее ' сближение лишь слегка
ного их спектра, соот ^ с отдельной триадой,
модифицируется по V пЛОТНОСТЬ числа волн в пространстве
Введем в расе»«f N - есть чр1СЛ0 волн, приходящихся
волновых чисел Л?,та ^^ велиЧИНЫ мы должны соста-
на интервал <«• ™. паюшее взаимодействие волн при слабой
вить уравнение, описы м мся уравнением C.87) для
турбулентности. ипх волн Умрожая его на ак и скла-
амплитуд взая-одеи У яжй выражением, мы
дывая результат д? __ |ак|2 в приближении хаотиче-
получим Уравнение ял ^^ медленНым усредненным изме-
ских фаз мы интепррм* поэтому в полученном выражении
меоНжИнеоМп^извОестиРеусреДнение по фазам, после чего получим
^-^„.««л-)^'1""" ' +к-с- E-87)
пя можем повторить т? рассуждения, которые
Далее мы сН°ва м оассМотрении трех взаимодействующих
были проведены при V д именно> в выражении E.87) в
волн с хаотическим * хаотических фаз амплитуды ак со-
предположении пол» и в нулевAм приближении мы по-
вершенно не коррел к» ^ деде м?лая корреляция между
лучим просто нуль. 1 кает в силУ нелинейности самого
амплитудами вС^тт„итул /387). При малых ак эта корреляция,
уравнения для ампл.у* ^бы ее учесть, представим ак в виде
естественно, «чеон_ оСНОВная часть амплитуды со случайной фа-
ак + 6ак, где ак можно считатЪ не зависящей от вре-
зои (эту часть аМ™ Удобавка, учитывающая корреляцию ам-
мени^, а 6аь-малая д ^ яции уравнение C.87)
принимает вид
д
dt
k.
мпжно проинтегрировать по времени от —оо
Это Уравнение мо ^ ^_. сх> корреляция ослабе-
до t, и в предположу ,g c жиТСЯ малая добавка \t,
вает, т. е. в экспонент v

$ 3] СЛАБАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 207
получим
&ak = Y, Укк>к«ак'ак„п6 (©к, + ©к„ — ©к). E.89)
Здесь мы сохранили лишь действительную часть интеграла от
экспоненты, которая только и войдет в окончательный резуль-
результат, и кроме того, опустили индекс нуль у ак>, ак» в правой
части.
Подставим теперь в правую часть E.87) а\ + Ьак вместо
каждой из амплитуд ак и сохраним только члены четвертого
порядка по амплитудам. В полученном выражении все фазы
можно уже считать некоррелированными, так что средние зна-
значения от четверных произведений превратятся в произведения
парных корреляционных функций, т. е. выразятся через произ-
произведения Afk. Поскольку таких слагаемых много, то вся про-
процедура выглядит несколько громоздко, однако окончательный
результат после учета симметрии матричных элементов и за-
замены X интегралом по dk (как мы условились выше) выглядит
к
довольно просто. Он лишь незначительно отличается от того
уравнения для трех волн с хаотическими фазами, которое мы
получили ранее. А именно, для волны с максимальной часто-
частотой ©к имеем
ТГ = $ nV {****> - "ъ»к> - *W * К - «к- - <V) dk'>
E.90)
где вероятность перехода
= Wk>k = Wkk» = 2яУ2кк'к«- E.91)
Здесь матричный элемент Vkk'k" мы считаем действительным.
Для двух других волн уравнения выглядят аналогичным
образом, в правой части изменяется лишь знак, так что
Nk + Nk' = const, Nk + Afk" = const.
Уравнение E.90) можно рассматривать как кинетическое
уравнение для слабой турбулентности при учете одних лишь
трехволновых процессов. Оно описывает перенос энергии по
спектру, т. е. в пространстве волновых чисел. Уравнение E.90)
имеет очевидное решение — распределение Рэлея — Джинса
jVk s const/wk. Однако при наличии областей затухания такое
решение не может установиться во всей области к. Сток энер-
энергии в область затухания может приводить к тому, что слабая
турбулентность будет обладать свойствами, сходными с сильной
турбулентностью. Как было показано Захаровым [197], во мно-
многих случаях вероятности переходов Wkk' в E.90) обладают тем

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 5
208
*я переходов с сильным изменением волнового
свойством, что Д*я ? заметно меньше, чем длЯ переходов с
числа они оказыэав(у1и порядка k. Вследствие этого при
изменением /г Н4 же может иметь мест0 проЦесс эста-
слабои турбулентна ^ с предложенный впервые
фетнои передачи эеР Колмогоровым и Обуховым. С уче-
для обычной турбЯ ти по N члкена взаимодействия усло-
том условия кваДРат сп позволяет определить спектр
колебанийТк SДетального решения кинетического уравнения
Усмотрим, например, случай капиллярными, обладаю-
спектром колебаний щ = л/о1г3Р • Пусть &h
щих распадным сп Р т е gdk едСтавляет со-
есть спектральна* ФУ интервале dk (здесь мы считаем k ска-
бои энергию колена нонй ВОЛНОвого вектора). Обозначим
ляром-абсолют^0 спектру. Величина ё, очевидно, пропор-
через е поток энергии ии V1
, d$k котооая согласно кинетическому уравнению для
циональна k —^f-, KU11J^° J
ропорциональна квадрату Ш\, т. е. с учетом
волн должна быт^ / /?,ДО(А»/<х) ¦ -Здесь <х/Й» — единственная
размерности • распоряжении величина с размерностью
имеющаяся в наш а ^ ^ ^ ^ д ^ безразмер.
ноейРконс7ант°обЙтсюда находим
к ^ const •VilapI'1*""". ^-А-1"'. E-92)
дется точным решением кинетического уравне-
спектр явл^. Он соответствует области инерционной не-
нения для волн L1^ эНерГИи по спектру в сторону больших вол-
линеинои передав» ^сходит ДИСсипация энергии из-за вяз-
новых чисел, гДе "г е
К°°мИ' а подробно рассматривать уравнение для волн
,,™ не будем настоящее время на эту тему существует
E.90), поскольку литература (см., например, [144-150]).
достаточно обшКР^L останавливаться на вопросе вычисле-
В частности, мы w^ Отметим только, что порядок величи-
ния вероятностей оценить с помощью достаточно простых
ны W в плазме Именно, заметим, что правая часть в E.90)
величины WS/&, где со-характерная частота
л • sp — { cokA^k dk—полная энергия колебаний. Если
колебании, а 8 =* 3 k .„ . т .
„ яась к тепловой энергии плазмы ('» + 1е)п, то
оы & приблизил ать очень сильных неоднородностей по-
можно было бы и/пИА dN
рядка единицы 9 ™азме- ПРИ эт0М "ЭГ было бЫ П°рЯДКа w/V-
Поэтому по пор^ДкУ веЛИЧИНЫ W ~ в>^ так

§ 3] СЛАБАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 209
масштаб темпа обмена энергией волн при трехволновом вза-
взаимодействии может быть оценен как
Т~^Г- E-93)
Приближение слабой турбулентности применимо только в
случае 1/©т ~ <SjnT <^C 1. Другими словами, энергия шумов
должна быть значительно меньше тепловой энергии плазмы.
2. Индуцированное рассеяние волн на частицах. Второй про-
процесс взаимодействия волн в плазме, который может идти в том
же приближении, квадратичном по амплитуде колебаний, — это
индуцированное рассеяние волн на частицах. Рассеяние проис-
происходит при выполнении резонансного условия
©k±©k,-(k±k')v = 0 E.94)
(мы всюду ограничиваемся случаем изотропной плазмы без
внешнего магнитного поля).
Как мы видели ранее в гл. 4, при этом частица попадает в
резонанс с биениями двух волн на комбинационных частотах
и волновых векторах. Если исходные волны имеют фазовые ско-
скорости, значительно превышающие тепловую скорость частиц, то
условие резонанса E.94) может быть выполнено только при
знаке минус для комбинационных © и k. В этом случае мы
имеем дело с комбинационным рассеянием волны на частицах,
причем это рассеяние является индуцированным, т. е. его темп
пропорционален интенсивности рассеянной волны.
Вероятность соответствующего рассеяния можно вычислить,
пользуясь опять теорией возмущений, т. е. разложением кине-
кинетического уравнения по амплитудам волн. Мы ограничимся
здесь лишь качественным обсуждением рассматриваемого про-
процесса. Пусть Aft и Nk'—плотности числа волн в точках кик'
фазового пространства волновых векторов. Предположим, что
волны могут взаимодействовать с резонансными частицами так,
что одна волна, скажем к, рассеивается в к'. Поскольку процесс
рассеяния сходен с процессом квазилинейной диффузии частиц
на биениях, то интенсивность его должна быть пропорциональна
квадрату амплитуды биений и величине (k — k')f~ B точке ре«
зонанса. Таким образом, если волн с к' много, то можно
написать
"ЗГ e M ркк' tfk-fi К - сок, -v (к-к')) (к - к') -§? dv dW. E.95)
Здесь Ркк/—матричный элемент, пропорциональный вероятно-
вероятности рассеяния, а б-функция учитывает резонансный характер
8 Б, Б. Кадомцев

210 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 5
взаимодействия волн с частицами. Мы здесь написали только
одну функцию /о, фактически же нужно просуммировать интен-
интенсивности рассеяния на электронах и ионах.
, Как мы уже упоминали в гл. 4, при рассеянии должно со-
сохраняться число волн, так чтобы Nt + Afk' = const. Следова-
Следовательно, в аналогичном уравнении для Nt> волна Nk должна
давать вклад в интеграл E.95) с обратным знаком. Так как
множитель (k — ^')~q антисимметричен по к, к', то Рьь' дол-
должен быть симметричным, т. е.Рк'к = Ркк'- Вероятность Ркк' имеет,
вообще говоря, масштаб Р ~ <?>ь/1г2пгТ, где со — характерная ча-
частота, k — характерное волновое число, но кроме того, Pkk' мо-
может содержать малые множители, если по какой-либо причине
или происходит компенсация отдельных механизмов рассеяния
(такая ситуация, например, имеет место при рассеянии на элек-
электронах), или фазовый объем для выполнения резонанса рас-
рассеяния оказывается очень мал (и то, и другое имеет ме-
место, например, при рассеянии на ионах при низкой их тем-
температуре).
Но по зависимости от N рассеяние на частицах имеет тот же
порядок, что и трехволновые взаимодействия, и если спектр не-
распадный и трехволновые процессы запрещены, то именно ин-
индуцированное рассеяние будет главным механизмом переноса
энергии по спектру. Конкретные примеры таких процессов будут
рассмотрены в следующих двух параграфах.
§ 4. Ионно-звуковая турбулентность
1. Аномальное сопротивление плазмы. При протекании очень
сильного электрического тока через разреженную плазму часто
наблюдается резкое увеличение ее сопротивления. Как правило,
это сопротивление значительно превосходит величину, опреде-
определяемую парными кулоновскими столкновениями. Оно возникает,
например, при прохождении ударных волн поперек магнитного
поля (если плазма очень разрежена и парные столкновения
частиц не играют роли, то такие ударные волны называются
бесстолкновительными). Часто именно повышенное, аномальное
сопротивление определяет ширину и структуру бесстолкнови-
тельных волн.
Аномальное сопротивление появляется и при протекании тока
вдоль магнитного поля. Оно может быть использовано в прак-
практических целях для быстрого введения в плазму энергии джоу-
лева тепла. Такой нагрев плазмы, получивший название турбу-
турбулентного, был предложен Завойским и Рудаковым в качестве
очень эффективного метода введения энергии в разрешенную
плазму.

§4]
ИОНН0-ЗВУК0ВАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
211
Подробное экспериментальное исследование турбулентного
нагрева показало, что при этом в плазме возбуждаются ионно-
звуковые шумы с частотами вблизи ионной плазменной частоты
(Орг. Электроны в таких условиях набирают энергию от внеш-
внешнего электрического поля гораздо быстрее ионов (просто по-
потому, что электроны намного легче), и условия для возбуждения
ионного звука легко выполняются
(электронная температура значитель-
значительно превышает ионную, а направлен-
направленная дрейфовая скорость электронов
превышает скорость звука).
Согласно E.43) инкремент раскач-
раскачки ионно-звуковых колебаний при про-
протекании электрического тока по по-
порядку величины составляет
Y~«>A/ — —-
\ \ \ \
\ у-\ \
У
/
Рис. 69. Квазилинейная
изотропизация электронной
функции распределения на
ионно-звуковых волнах.
где и — дрейфовая скорость электро- ?у
нов, а 0 — угол между и и волновым
вектором к ионно-звуковой волны. Как
мы видим, неустойчивость начинается,
когда токовая скорость превышает
скорость звука. При этом инкремент
неустойчивости мал по сравнению с
частотой, так что есть основания для справедливости прибли-
приближения слабой турбулентности.
Допустим, что условие неустойчивости и> cs выполнено, и
рассмотрим, что должно происходить с электронами с точки
зрения квазилинейной теории. Как мы знаем, отдельная волна
или группа распространяющихся в одну сторону волн стремятся
создать плато на функции распределения вдоль направления
волнового вектора к. На рис. 69 короткая штриховка показы-
показывает, как расположатся линии f = const в пространстве скоро-
скоростей при наличии волны с фазовой скоростью, много меньшей
тепловой. Если таких волн много и они заполняют целый сек-
сектор, то в первом приближении, т. е. в пренебрежении cs по срав-
сравнению с vre, они стремятся изотропизовать функцию распреде-
распределения, как это видно на рис. 69. Если же учесть, что каждая из
полос «плато» на рис. 69 сдвинута на с3 от начала координат,
то понятно, что в квазилинейном приближении ионно-звуковые
волны стремятся изотропизовать функцию распределения, допу-
допуская лишь ее сдвиг на u~cs.
Таким образом, уже квазилинейный эффект — самый сильный
при малом уровне шумов — приостанавливает неустойчивость;

212 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 5
при этом он ограничивает направленную скорость электро-
электронов величиной порядка cs, т. е. ток в плазме ограничивается
величиной
E.97)
Если мы вспомним выражение для проводимости а =
= e2nlmeve, где ve — частота электрон-ионных столкновений, то
можно сказать, что при наличии ионно-звуковых шумов эф-
эффективно повышается частота электрон-ионных столкновений.
Сравнивая выражение E.97) с формулой / = оЕ, можно ска-
сказать, что эффективная частота столкновений электронов с ион-
но-звуковыми шумами при их очень низком уровне дается вы-
выражением
^«^«¦^ (Зд
где ис ~ cs — критическая скорость, при которой начинается
раскачка ионного звука. Выражения E.97), E.98) играют роль
закона Ома для турбулентного сопротивления в области зна-
значений Е, не сильно превышающих критическое Ес — ucmcve/e.
При увеличении Е уровень шумов повышается, и при доста-
достаточно большой плотности энергии шумов <% квазилинейное при-
приближение станет неприменимым, так как в игру вступят
процессы более высокого порядка по <%.
Ионный звук обладает нераспадным спектром, поэтому трех-
волновые процессы отсутствуют. Следовательно, главную роль
в формировании ионно-звуковых спектров должны играть про-
процессы индуцированного рассеяния на частицах, а именно на
ионах. Как формируется спектр, мы рассмотрим позднее, а здесь
обсудим вопрос о влиянии переноса энергии по спектру на вели-
величину аномального сопротивления.
Оценим прежде всего значение эффективной частоты столк-
столкновений ve/. Оно определяется скоростью рассеяния электронов
на флуктуациях поля ионно-звуковых волн. Так как шумы воз-
возбуждаются в области длин волн порядка дебаевской, то при
энергии шумов & ~ пТ можно ожидать эффективной частоты
ve/ ~ kvTe ~" соре, где Уге — тепловая скорость электронов. При
меньших значениях & частота столкновений будет убывать ли-
линейно с <% (так как скорость рассеяния на флуктуациях согласно
квазилинейной теории квадратична по амплитуде шумов). Та-
Таким образом, по порядку величины
Что касается темпа индуцированного рассеяния волн на
ионах, то он также пропорционален 8 и очень грубо, по порядку

¦§ 4] ИОННО-ЗВУКОВАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 213
величины, если отвлечься от зависимости от 7\/Ге, может быть
оценен как ыР&/пТ. Таким образом, равновесие накачки волн
из-за неустойчивости и их уноса по спектру из-за рассеяния на
а> ,& и //я
ионах достигается при т ^yma>pi — л/—-. Так как со-
ТЫ С \1 /П,
гласно E.99) и = eE/mevef ~ пТ/&', то получаем
т.Ег \и ( Е
Второе из этих выражений играет роль закона Ома при силь-
сильных электрических полях, Е2 > 8лпТт1/пи, когда происходит
переход от E.97) к E.100). Разумеется, выражение E.100)
справедливо только при и < иТе, так как в противном случае
все электроны перейдут в режим свободного ускорения.
Следует заметить, что точной теории аномального сопротив-
сопротивления пока нет и говорить о полном согласии теории и экспе-
эксперимента еще рано. Имеется лишь качественное соответствие
между выводами теории слабой турбулентности и эксперимен-
экспериментом для тока поперек магнитного поля (например, в бесстолк-
новительных ударных волнах). При протекании тока вдоль маг-
магнитного поля картина турбулентного нагрева сильно услож-
усложняется из-за электронных пучков, которые рождаются в турбу-
турбулентной области и не могут быть приостановлены ионно-звуко-
выми шумами низкого уровня.
2. Спектр ионно-звуковой турбулентности. Обсудим теперь
вопрос о спектральном составе ионно-звуковой турбулентности,
т. е. о зависимости &h = cskNh от волнового числа. Как мы уже
упомянули выше, частотный спектр ионного звука (зависимость
G>k от k) является нераспадным. Поэтому перенос энергии в про-
пространстве волновых чисел определяется рассеянием волн на
ионах. Соответствующий процесс мы обсуждали в предыдущем
параграфе, его кинетика описывается уравнением E.95). Как
мы видели, при рассеянии соблюдается условие резонанса
<ак — сок, = (к — к') v. Здесь скорость частицы имеет порядок вели-
величины тепловой скорости ионов vtu а разность юк—cuk,«csA&, где
hk = k — k'. Так как uTi/cs = ^TiJTe < 1, то Ak~^Je
(если |k — k'| —-Дг). Таким образом, рассеяние идет с малым
изменением абсолютной величины волнового числа Такой пере-
перенос энергии по спектру принято называть «дифференциаль-
«дифференциальным». Так как при перекачке в данный интервал волновых
чисел вблизи значения k «кванты» приходят из области
k + Ak и уходят из него в область k — Ak, то процесс переноса
принимает характер потока в ^-пространстве с интенсивностью
~Ak—g?-. (Здесь Nh считается плотностью числа волн на

214 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ 1ГЛ. 5
интервал dk абсолютных значений волновых чисел, так что
dS=сskNb.dk). Если учесть еще, что при рассеянии число
волн сохраняется, а энергия убывает пропорционально частоте,
то уравнение E.95) по порядку величины примет вид
Здесь мы справа добавили член, описывающий накачку волн
из-за неустойчивости. Величина Р, пропорциональная вероятно-
вероятности рассеяния, как показывает расчет, приближенно равна
Г с2
—-—|-2я92, где 92 — средний квадрат углового распределения
ионно-звуковых колебаний. Инкремент ук согласно E.96) про-
пропорционален k: Y^V^eMi05- Таким образом, стационарное
dN
уравнение E.101) при -jr- = 0 принимает вид
Учитывая, что уь. обращается в нуль в области k ~ k0 = l/dt
мы получим приближенное решение
Nk -i-ln-^. E.103)
к к
Таким образом, энергия шумов &к — akNk ~-т-1п-тр оказы-
оказывается большей в области малых k, хотя наиболее интенсивная
накачка за счет неустойчивости производится у верхней гра-
границы волновых чисел, т. е. при k ~ ka = l/d.
Спектр E.103) удовлетворительно согласуется с эксперимен-
экспериментально измеренным в бесстолкновительной ударной волне [216].
Таким образом, имеется качественное соответствие между экс-
экспериментами и теорией слабой ионно-звуковой турбулентности.
Однако о полном количественном согласии теории и экспери-
эксперимента говорить пока рано: и теория не является точной, и экс-
эксперименты очень грубы и неоднозначны.
§ 5. Леигмюровская турбулентность
1. Слабая ленгмюровская турбулентность. В разреженной
плазме нередко возникают такие условия, при которых происхо-
происходит возбуждение электронных ленгмюровских колебаний. На-
Например, такие колебания могут возбуждаться при прохождении
через плазму электронных пучков. Легко возбуждаются элек-
электростатические колебания при взаимодействии с неоднородной
плазмой мощных электромагнитных волн (например, лазерного

9 5] ЛЕНГМЮРОВСКАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 215
излучения). Такие волны испытывают отражение от критической
области, где плазменная частота а>Ре совпадает с частотой излу-
излучения, и вблизи этой точки электромагнитная волна легко транс-
трансформируется в плазменную.
Возбужденные до определенного уровня ленгмюровские ко-
колебания начинают взаимодействовать с частицами, и благодаря
этому их спектры (распределение энергии по волновым числам)
эволюционируют со временем. Развивающиеся во времени нере-
нерегулярные ленгмюровские колебания естественно назвать ленг-
мюровской турбулентностью.
Если уровень шумов низкий, то турбулентность слабая, и для
ее описания достаточно учесть лишь главные по интенсивности
шумов механизмы нелинейного взаимодействия. Как мы знаем,
частота ленгмюровских волн равна (йк = аре-\- -~—-—, где теп-
тепловая поправка к частоте шре в области малых волновых чисел
(kd <c 1) мала. Таким образом, ленгмюровские колебания об-
обладают нераспадным спектром (мы не можем удовлетворить
равенству Ю1 = Ю2 + соз). Следовательно, в квадратичном по
интенсивности приближении имеется только один нелинейный
механизм перекачки энергии по спектру — индуцированное рас-
рассеяние волн на электронах и ионах.
При рассеянии число волн сохраняется, а энергия &к = со/4Л^
при максвелловском распределении частиц по скоростям может
только уменьшаться. Таким образом, при рассеянии на части-
частицах волновое число плазмонов, т. е. ленгмюровских волн, долж-
должно уменьшаться. Темп такого «покраснения» ленгмюровских
плазмонов можно попытаться оценить, исходя из соображений
размерности. Так как темп перекачки энергии по спектру дол-
должен быть пропорционален интенсивности, а безразмерной ха-
характеристикой интенсивности является величина S'/nT (отноше-
(отношение энергии шумов к тепловой), то, казалось бы, темп должен
определяться величиной юре&'/пТ. Однако это, скорее, верхний
предел для темпа перекачки, потому что мы выбрали здесь ма-
максимальную частоту ыре в качестве возможной характерной ча-
частоты процесса. В действительности количественное рассмотрение
показывает, что перекачка энергии по спектру протекает гораздо
медленнее. А именно, при рассеянии на электронах она опреде-
определяется величиной
|~соре(^K^. E.104)
где d — дебаевский радиус экранирования.
Дополнительный малый множитель (kdK возникает из-за
того, что при рассеянии волн на электронах происходит экра-
экранировка электрического поля электронов скоррелированной с

216 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 5
ними электронно-ионной «шубой». В результате амплитуда рас-
рассеянных волн падает, так как «шуба» колеблется вместе с элек-
электроном, а ее заряд положителен.
При рассеянии на ионах эффект экранировки значительно
меньше, так как «шуба» легче иона. Но зато при этом законом
«сохранения энергии» в акте рассеяния на величину изменения
волнового числа плазмона накладываются определенные огра-
ограничения: юк— сок, = (к — k')v. Здесь v имеет порядок величины
тепловой скорости ионов vT%, так что при углах между кик'
порядка единицы правая часть имеет порядок величины kvTi-
Левая же часть имеет порядок величины сок — ык,~kdvTeAk,
где l±k = k — k'. Таким образом, Д&~-гт д/—. Следовательно,
в области не очень малых волновых чисел, kd> Д/-^. пере-
перекачка по спектру носит дифференциальный характер, и харак-
характерное время изменения волнового числа на величину порядка
его самого оказывается также больше, чем оцененное по сооб-
соображениям размерности. А именно,
Сравнивая E.104) и E.105), мы видим, что при достаточно ма-
малых kd преобладающим механизмом перекачки энергии плаз-
монов по спектру является рассеяние на ионах.
Итак, при слабом уровне возбуждения ленгмюровские волны
рассеиваются на частицах плазмы, и при этом волновые числа
колебаний убывают. Но число волн при таком рассеянии сохра-
сохраняется, т. е. Nh = const. Отсюда следует одна очень интересная
особенность рассматриваемого процесса. А именно, так как
энергия ffh = onkNh = {(Ире-\-s/2.(kdJ(Ope}Nk и при рассеянии
уменьшается только небольшая тепловая поправка к частоте, то
основная часть энергии ленгмюровских колебаний при рассеянии
сохраняется. Другими словами, энергия ленгмюровских волн
почти без потерь перекачивается в область k —> 0, и, стало быть,
индуцированное рассеяние приводит к образованию «конден-
«конденсата» ленгмюровских колебаний в области исчезающе малых k.
Если накачка — например, электронным пучком — продол-
продолжает свое действие, то энергия конденсата будет расти со вре-
временем. Но ленгмюровские колебания с малыми волновыми чис-
числами и достаточно большой плотностью энергии неустойчивы по
отношению к самосжатию, т. е. к собиранию в сгустки ленгмю-
ленгмюровских волн типа солитонов. Как было показано Веденовым
и Рудаковым [220], конденсат ленгмюровских плазмонов не-
неустойчив по отношению к самосжатию при S'/nT > (kdJ, где

§ 5] ЛЕНГМЮРОВСКАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 217
k — характерное волновое число конденсата. Можно сказать,
что при этом нелинейная добавка к частоте бсо ~ {&1пТ)(йро
(например, из-за модуляции плотности Ьп/п^ё'/пТ) становит-
становится больше тепловой поправки к частоте. Так как при индуциро-
индуцированном рассеянии на частицах волновое число убывает, то рано
или поздно будет достигнута область настолько малых k, что
однородные ленгмюровские колебания потеряют устойчивость.
Вследствие этого ленгмюровские колебания и начнут собираться
в сгустки типа ленгмюровских солитонов. Соответствующая тур-
турбулентность, строго говоря, должна классифицироваться как
сильная, поскольку при этом теряет смысл использование теории
возмущений для описания нелинейных процессов.
2. Сильная турбулентность, коллапс ленгмюровских волн.
Итак, предположим, что вследствие рассеяния на частицах об-
образуется ленгмюровский конденсат, т. е. длинноволновые коле-
колебания достаточно большой интенсивности. Если эти колебания
не затухают слишком быстро (например, из-за столкновений
или трансформации продольных колебаний в поперечные с по-
последующим их излучением), то их интенсивность может достиг-
достигнуть величины & > (kdJnT, и тогда в игру вступит модуля-
модуляционная неустойчивость.
Напомним, что физический механизм этой неустойчивости
связан с образованием области с пониженной плотностью, или
«каверны», в которой собираются ленгмюровские колебания и
тем самым еще больше снижают плотность своим высокоча-
высокочастотным давлением. Образование таких «кавитонов», т. е. неста-
нестационарных ленгмюровских сгустков, наблюдалось эксперимен-
экспериментально Кимом и др. [228]. В этой работе исследовалось распро-
распространение электромагнитных волн в неоднородной плазме с ча-
частотой, близкой к ленгмюровской. Волна распространялась в
сторону возрастающей плотности, и немного не доходя до резо-
резонансной точки, где частота волны сравнивалась с локальной
ленгмюровской частотой, происходила отсечка и волна отража-
отражалась обратно. В самой точке резонанса раскачивалась продоль-
продольная ленгмюровская волна, которая вытесняла плазму и созда-
создавала себе локальную «яму». Нарастание поля и образование
«полости» показано на рис. 70. (.
Естественно предположить, что и в ленгмюровском конден-
конденсате должно происходить образование такого рода высокоча-
высокочастотных сгустков, т. е. локализованных волновых пакетов. С од-
одномерными образованиями подобного рода — ленгмюровскими
солитонами — мы познакомились в гл. 3. Напомним, что при
наличии малого возмущения плотности 8п частота колебаний
«a = (odO('i +тгО + nTek ¦> где (оРо — невозмущенная ленгмю-
ровская частота. Если мы запишем электрическое поле в виде

,218
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
[ГЛ. 5-
Ее шр°г + к. с, где Е — медленно меняющаяся функция вре-
времени и координат, то дисперсионному уравнению со— со^ = О
можно сопоставить уравнение
дЕ . ЪТе д2Е _
п
• = —— дпЕ.
E.106)
dt ' 2пге(йр0 дх2
В самом деле, если подставить сюда поле Е в виде плоской
волны ? = ехр{—i (со — соро) t + ikx}, то мы получим использо-
использованное нами дисперсионное уравнение. Следовательно, любая
*> л?
0
$ -П1
^ -0,2
1=1мксек
_
i i i i
t =6 мксей
v/v
t = 10
\мксен
\
\
\
V
~\ r
V
Расстояние от электрода z, см
Рис. 70. Образование «кавитонов» в о'ласти плазменного резонанса.
суперпозиция собственных колебаний удовлетворяет уравнению
E.106). Величина бп определяется из уравнений медленного-
движения плазмы. Если это движение является дозвуковым, то
8п определяется равновесием между силой Миллера со стороны
высокочастотного поля и градиентом давления плазмы, т. е.
согласно C.77) в изотермической плазме
Ьп_ (Е2) _ Е2 Г5 .
где через Е2 обозначен \Е\2.
Уравнения E.106), E.107), как было показано в гл. 3>
имеют решения типа солитонов, бегущих или стоячих. При этом
согласно C.79) ширина солитона Л связана с его амплитудой со-
соотношением ?oA=const, т. е. солитон уже, чем больше его
амплитуда. Энергия солитона с?~?оА~?о~ 1/А.
Если ленгмюровские колебания были бы строго одномерны-
одномерными, то можно было бы ожидать, что ленгмюровский конденсат
разобьется на совокупность солитонов различной интенсивности.

,Б] ЛЕНГМЮРОВСКАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 219
Такая солитонная модель ленгмюровской турбулентности, учи-
учитывающая взаимодействие между собой солитонов различной
амплитуды, удовлетворительно согласуется с результатами чис-
численного моделирования одномерной ленгмюровской турбулент-
турбулентности. Но, по-видимому, б°лее реальной является трехмерная
картина.
В самом деле, оказывайся, что плоские одномерные соли-
тоны неустойчивы по отношению к трехмерным возмущениям.
Соответствующую неустойчивость приближенно можно описать
на языке волновых пакетов. как это мы сделали при рассмотре-
рассмотрении поперечных колебаний обычных солитонов в § 3 гл. 3.
А именно, предположим, 4™ мы имеем плоский покоящийся
(k0 = 0) ленгмюровский солитон, амплитуда которого Ео яв-
является медленной функцией координаты у. Тогда и частота v0,
равная согласно C.79)
будет медленно меняющееся функцией у. Следовательно, и
фаза будет зависеть от у, так чт0 со временем будет появляться
^-компонента волнового ве^т0Ра со скоростью
1.
2 ду •
Появление kv означает, чтс> появляется у-компонента групповой
скорости v = v[k , которая будет переносить энергию колебаний
вдоль солитона. "По аналогии с уравнениями для волновых па-
пакетов перенос энергии вдс'ль солитона можно описать уравне-
уравнением
Учитывая, что а < 0, kv == иМ и 8 ~ J^o, мы можем перепи-
переписать уравнение E.109) в e
Где ^ — некоторая положительная константа.
Но теперь видно, что уравнения E.110), E.1 И) напоминают
уравнения гидродинамики с плотностью & и давлением р =
— —q&z, убывающим с ростом плотности. Ясно, что при воз-
возмущении & вдоль у от его начального значения <?Г0 давление
понизится там, где 8 станет больше, и возмущение будет нара-
нарастать со временем. Энергия & стремится собраться в сгустки
вдоль оси у Это явлений схлопывания энергии колебаний в

220
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
[ГЛ. 5-
отдельные маленькие сгустки, обнаруженное впервые Захаровым,
называется коллапсом ленгмюровских волн.
Нетрудно видеть, что коллапс происходит за конечный про-
промежуток времени. В самом деле, пусть L есть характерная
длина сгустка. В силу закона «сохранения энергии» <%L = const
величина & возрастает при уменьшении L как 1/L, а скорость v
по порядку величины равна L. Таким образом, уравнение
E.111) грубо можно записать как L-\-q&imL3 = 0. Отсюда
видно, что L~(?o — /)v*. Так как А ~ 1/^f ~ L, то при продоль-
продольном сжатии вдоль у солитон становится тоньше, так что факти-
фактически при двумерном коллапсе энергия ленгмюровских солито-
нов схлопывается в тонкую нить. Более точно картина коллапса
t'1,5
t-2
Рис. 71. Линии постоянного Е2 при коллапсе ленгмюровских волн.
была рассчитана численно. Один из примеров коллапса приве-
приведен на рис. 71.
Если энергия ленгмюровских волн достаточно велика,
Е2/8п> (me/nii)nTy то коллапс становится сверхзвуковым. При
этом образование «каверны» несколько замедляется, но коллап-
сирование не прекращается, и опять энергия ленгмюровских.
колебаний схлопывается в «точку» за конечный промежуток
времени.
Разумеется, физическая бесконечность плотности энергии в
коллапсе не достигается: просто при достаточно высокой интен-
интенсивности ленгмюровских колебаний они поглощаются либо на
тепловых частицах механизмом затухания Ландау, либо из-за
пересечения траекторий в нелинейных колебаниях.
Таким образом, можно себе представить следующую картину
ленгмюровской турбулентности в однородной плазме. При на-
накачке волн в диапазоне волновых чисел вблизи обратного де-
баевского радиуса энергия перекачивается в область малых k
•вследствие индуцированного рассеяния на электронах и ионах.
При такой перекачке энергия ленгмюровских волн изменяется

§ 6] МГД-ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 221
незначительно, так что в области малых k образуется ленгмю-
ровский конденсат. Когда плотность энергии этого коденсата &
превышает величину (kdJnT, начинается образование коллап-
сирующих сгустков, которые создают сток энергии ленгмюров-
ских колебаний в частицы.
Ленгмюровская турбулентность может создаваться при вза-
взаимодействии с плазмой электронных пучков или мощных элек-
электромагнитных волн. В настоящее время изучение такого рода
коллективных процессов в плазме составляет предмет обширных
и тщательных экспериментальных и теоретических исследований.
§ 6. МГД-турбулентность
Если плазма магнитогидродинамически неустойчива, то в ней
возможно возбуждение сравнительно медленных крупномас-
крупномасштабных движений, которые могут быть описаны в рамках
МГД-приближения. Эти течения напоминают обычные течения
жидкости или газа, усложненные лишь действием объемной
силы Ампера. Если механизмы диссипации достаточно слабы,
то эти течения приобретают турбулентный характер.
Как известно, в обычной жидкости спектр возможных турбу-
турбулентных состояний весьма широк. Но все же грубо их можно
разделить на два класса — турбулентные потоки и турбулент-
турбулентную конвекцию. В турбулентных потоках нерегулярности в ско-
скорости создаются макроскопическим потоком, точнее сдвигом
скорости этого потока. При турбулентной конвекции основным
механизмом передачи энергии в пульсации является работа сил
тяжести над неустойчиво стратифицированным газом или жид-
жидкостью.
Аналогично и в магнитной гидродинамике можно различать
различные типы — потоковые и конвективные — турбулентных
движений, в зависимости от источников энергии, подпитываю-
подпитывающих эту турбулентность. Что касается турбулентных потоков,
то они могут возникать, например, в МГД-генераторах, преоб-
преобразующих тепловую энергию в электрическую, где плазма обыч-
обычно слабо ионизована. Другой пример мощных турбулентных те-
течений представляют собой движения межзвездного газа и кос-
космических облаков. Так как мы, в основном, обсуждали только
лабораторную высокотемпературную плазму, то мы не будем
здесь останавливаться на турбулентных потоках, а сосредоточим
внимание на турбулентной конвекции.
Турбулентная конвекция или аномальная диффузия в плазме
может развиваться на различных модах колебаний неоднород-
неоднородной плазмы. Полной и ясной картины того, при каких условиях
должны преобладать те или иные механизмы коллективных
переносов в плазме, пока нет. Поэтому мы рассмотрим здесь

222 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 3
только два примера возбуждения одножидкостной МГД-турбу-
лентности конвективного типа, причем в одном из примеров
турбулентность поддерживается только за счет тепловой энер-
энергии плазмы, а во втором — также и за счет энергии магнитно-
магнитного поля.
1. Желобковая турбулентность. Желобковая турбулентность
развивается в простых зеркальных ловушках (без минимума В)
из-за желобковой неустойчивости. Эта турбулентность была де-
детально исследована в работах Иоффе с сотрудниками [159, 160]
на установке «ионный магнетрон».
На этой установке изучалось удержание плазмы с горячими
ионами, создаваемой путем ускорения ионов радиальным элек-
электрическим полем. Поле прикладывалось между шнуром холод-
холодной плазмы, проходящим по оси ловушки, и металлическими
стенками вакуумной камеры в виде одиночного импульса дли-
длительностью 30 мксек. По окончании импульса и при одновремен-
одновременном прекращении «подачи» холодной плазмы ловушка оказыва-
оказывалась заполненной высокотемпературной плазмой с плотностью
~ 109 см,-3, средней энергией ионов ~ 1 кэв и температурой
электронов ~20 эв. Далее исследовался свободный распад та-
такой плазмы.
В случае отсутствия каких-либо неустойчивостей распад
должен был бы определяться перезарядкой быстрых ионов на
остаточном газе. В условиях этих экспериментов время пере-
перезарядки составляло несколько миллисекунд. Однако измерения
зависимости плотности плазмы от времени по потоку нейтралов
перезарядки показали, что распад протекал с существенно
меньшим характерным временем ~10~4 сек, т. е. имели место
аномально большие потери плазмы, значительно превышающие
перезарядочные. Непосредственными измерениями токов, теку-
текущих из плазмы на стенки камеры, было показано, что плазма
гибнет на боковых стенках камеры. Было установлено также,
что поток плазмы на отдельные элементы стенки носит харак-
характер нерегулярных во времени выбросов, хорошо скоррелирован-
ных вдоль магнитных силовых линий. Другими словами, плазма
выбрасывалась на стенку в виде отдельных «языков», прости-
простирающихся на всю длину ловушки.
Все эти факты недвусмысленно свидетельствовали о желоб-
желобковой природе неустойчивости, вызывающей потери плазмы.
Однако оставался не вполне ясным сам механизм переноса
плазмы. Дело в том, что экспериментально измеренное время
удержания во много раз превышало теоретически предсказан-
предсказанное время развития неустойчивости, да и его зависимость от
напряженности поля и энергии ионов была совсем другой. Эти
вопросы получили разрешение в рамках представлений о iyp~
булентной конвекции плазмы [163].

§ 6] МГД-ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 223
Чтобы представить себе механизм переноса плазмы на боковые
стенки, следует учесть, что соприкасающаяся с металлической
стенкой плазменная трубка не может сразу погибнуть. Это свя-
связано с тем, что в тонком пристеночном слое плазмы толщиной
порядка среднего ларморовского радиуса ионов поперечные
электрические поля должны быть очень малы: из этого слоя
избыточные ионы могут сравнительно свободно уходить на бо-
боковые стенки, а электроны — вдоль силовых линий, так что
флуктуации заряда рассасываются. А это и означает, что вбли-
вблизи стенки движение плазмы по радиусу должно притормажи-
притормаживаться: ведь оно связано с азимутальной компонентой электри-
электрического поля, которая вблизи стенки (а тем более на самой
стенке) должна отсутствовать. Вследствие этого перенос плазмы
на стенку принимает характер конвекции: приходящие к стенке
трубки могут потерять только часть своей плазмы, а после этого
они будут вытеснены внутрь ловушки другими, более плотными
трубками. Если обозначить через | долю теряемой при сопри-
соприкосновении со стенкой плазмы, то вблизи стенки следует ожи-
ожидать флуктуации плотности п'~%п, где п — средняя плотность.
Вблизи самой стенки перенос плазмы при турбулентной конвек-
конвекции производится пульсациями минимального масштаба / ~ р,-.
Скорость этих пульсаций v' возникает вследствие архимедовой
силы всплывания обедненных плазмой трубок и определяется
балансом кинетической и потенциальной энергий: v'2~gln'/n~
~gpt|, где эффективное «ускорение силы тяжести» g дается
выражением E.8). Следовательно, поток плазмы на стенку
q=(n/v/)=Al3tin(pig)'i\ где Л — численный коэффициент по-
порядка единицы. По мере удаления от стенки на расстояние х
в игру вступают пульсации все большего масштаба вплоть до
1~х, так что эффективный коэффициент диффузии быстро воз-
возрастает и плотность в глубине ловушки будет близка к плотно-
плотности вблизи стенки. Поэтому в выражении для q под п можно
подразумевать среднюю плотность в ловушке, переопределив
соответствующим образом константу А. Отсюда, зная радиус
камеры а, с учетом E.8) находим время жизни т = na2n/2naq:
где Т — средняя энергия ионов, С — численный множитель по-
порядка единицы при !=const~V2.
Выражение E.112) удовлетворительно согласуется с экспе-
экспериментальными данными по измерению времени жизни плазмы.
В качестве примера можно привести сравнение теоретической
и экспериментальной зависимостей времени жизни от плотности
(рис. 72). На рис. 73 приведено распределение плотности по

224
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
[ГЛ. 5
радиусу, из которого видно, что плазма действительно «выли-
«выливается» на периферию ловушки и притормаживается около
внешней стенки.
0,8
0,6
$ 0,4
0,2
0,2 0,U 0,В 0,8
%0 1,2
п,109см'5
Рис. 72. Экспериментальная и теоретическая зависимости времени жнзни
плазмы (за вычетом перезарядочных потерь) от ее плотности.
Дальнейшее экспериментальное подтверждение представле-
представлений о турбулентной конвекции разреженной плазмы было полу-
получено при более детальном изучении пространственных и времен-
временных характеристик плазменных пульсаций. Такие сведения были
В~5000э
I
I
О 4 8 12 16
Расстояние от стении, см
Рис. 73. Радиальное распределение плотности плазмы в ловушке.
получены с помощью системы миниатюрных ленгмюровских зон-
зондов, не вносивших заметных возмущений в плазму. О локаль-
локальных колебаниях плотности плазмы можно судить по колебаниям
ионного тока насыщения на соответствующий зонд, а по корре-
корреляции токов на несколько зондов, удаленных друг от друга на
известные расстояния, можно оценить размеры плазменных не-
однородностей. Было выяснено, что в пристеночной области

§6]
МГД-ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
225
плазмы существует широкий спектр глубоко промодулирован-
ных нерегулярных колебаний длительностью от нескольких до
десятков микросекунд. Высокочастотная часть спектра связана
с мелкомасштабными коле-
колебаниями ~3—4 см, длина
волны которых близка к
ларморовскому диаметру
ионов.
По мере перехода к бо- '>L
лее глубоким слоям плазмы
амплитуда мелкомасштаб-
мелкомасштабных пульсаций, как и следо-
следовало ожидать, резко убы-
убывает и остается лишь низко-
низкочастотная составляющая,
связанная с пульсациями
масштаба порядка попереч- 4,
ных размеров ловушки. В
центральной области ловуш-
ловушки наблюдается очень сла-
слабая низкочастотная модуля-
модуляция зондовых сигналов, что
указывает на отсутствие
здесь значительных возму- v
щений плотности. Такая '
картина качественно хорошо
согласуется с моделью тур-
турбулентного переноса плазмы
поперек магнитного поля.
При уменьшении плотности,
когда (Ирг становится мень-
меньше Qj, следует ожидать за-
„
Рис. 74. Изменение частоты плазменных
пульсаций с уменьшением плотности.
медления процесса конвек-
конвекции, что и наблюдается экспериментально, как показано на
рис. 74.
Таким образом, все экспериментальные данные по поведе-
поведению плазмы в обычной адиабатической ловушке хорошо согла-
согласуются с представлениями о желобковой турбулентной конвекции.
2. Турбулентная конвекция плазмы в диффузионном пинче.
В качестве второго примера рассмотрим диффузный тороидаль-
тороидальный разряд с умеренным продольным магнитным полем. Экспе-
Эксперименты с такими разрядами были начаты на установке «Зета»,
а затем они были продолжены и проводятся по настоящее время
на целом ряде тороидальных установок.
В этих экспериментах было установлено, что в режимах с
сильным током имеет место аномально быстрая утечка энергии

226 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. &
из плазмы, так что конфигурация магнитного поля становится
практически бессиловой, т. е. ток течет вдоль поля: rot В = цВ.
Оказывается, что коэффициент пропорциональности ц между
током и полем практически постоянен по сечению. Соответствен-
Соответственно, продольное Bz и азимутальное Be поля имеют распределе-
распределение, описываемое функциями Бесселя [см. формулу A.22)]. При
достаточно большом значении величины в, пропорциональной
отношению тока в плазме к продольному магнитному потоку [см.
A.23)], продольное магнитное поле само собой меняет знак на
периферии плазменного шнура. Зондовые измерения распреде-
распределения плотности плазмы по радиусу обнаружили значительные
ее флуктуации при сравнительно низких частотах.
Все эти факты нашли свое объяснение в рамках представ-
представлений о турбулентности плазмы в диффузионных тороидальных
разрядах [13, 232, 233]. Можно сказать, что в таких разрядах
происходит квазистационарное турбулентное движение. Проте-
Протекающий по плазме ток передает ей энергию посредством меха-
механизма джоулевых потерь, и эта энергия служит источником воз-
возбуждения турбулентных пульсаций. Колебания черпают энергию
для своего поддержания как из плазмы, так и от магнитного
поля.
Корреляционные измерения флуктуации плотности показали,
что характерная длина корреляции пульсаций плотности t мала,
порядка 1/10 радиуса шнура [233]. Таким образом, турбулент-
турбулентное движение плазмы напоминает движение жидкости в турбу-
турбулентных потоках, где длина перемешивания также на порядок
меньше характерных размеров потока.
Пульсации плазмы приводят к довольно быстрому конвек-
конвекционному переносу энергии к стенкам камеры, так что плазма
становится бессиловой. При этом, как было показано Тейлором
[13], устанавливается такая магнитная конфигурация, которая
обладает минимумом магнитной энергии при заданных потоках.
Таким образом, в результате развития турбулентности кон-
конфигурация полей сама собой подстраивается к наиболее устой-
устойчивой (при больших токах с обратным продольным магнитным по-
полем на периферии). Эта конфигурация является квазистационар-
квазистационарной, она определяется только одним параметром в [см. A.23)].
"В экспериментах Бабичева и др. [231] было показано, что
при изменении знака продольного магнитного поля снаружи от
разряда (т. е. при уменьшении потока Ф) конфигурация долгое
время сохраняется, а затем она скачком перестраивается на та-
такую же конфигурацию, но с противоположным знаком потока
магнитного поля внутри плазменного шнура Ф. Эти опыты по-
показывают, что как макроскопическое образование бессиловой
турбулентный разряд довольно устойчив при изменении в в не-
некотором интервале значений не выше критического.

8 7] ЭВОЛЮЦИЯ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 227
Если с самого начала создавать конфигурацию поля с об-
обратным магнитным полем на периферии разряда (т. е. близкую
к бессиловой), то плазменный шнур обнаруживает повышенную
МГД-устойчивость [234].
Таким образом, диффузионный разряд представляет собой
очень удобный объект для изучения МГД-турбулентности в
плазме типа турбулентной конвекции самой плазмы и магнит-
магнитного поля.
§ 7. Эволюция бесстолкновительных систем
При рассмотрении кинетических турбулентностей мы все вре-
время говорили о возбуждении тех или иных колебаний в плазме,
например, ионного звука или ленгмюровских волн. Но, как мы
знаем, в разреженной плазме возможны и другие типы возмуще-
возмущений, которые можно назвать волнами Ван-Кампена, или бал-
баллистическими модами. Они имеют вид небольших пучков .или
сгустков заряженных частиц, пролетающих через плазму. Эти
моды, вообще говоря, соответствуют сильно затухающим коле-
колебаниям, поскольку из-за теплового разброса частиц сгустки та-
такого типа довольно быстро расплываются в пространстве. Од-
Однако, если они были созданы в начале процесса, то за время
своего расплывания они смогут привести к какому-то коллектив-
коллективному процессу релаксации.
В особенности важна роль таких механизмов в условиях,
когда не могут возбуждаться коллективные моды. Примером
таких систем «кулоновски взаимодействующих частиц» могут
служить звездные скопления или галактики. Известно, что в
нашей Галактике распределение звезд по скоростям напоми-
напоминает максвелловское (с небольшой анизотропией температур).
Вместе с тем время парных гравитационных столкновений звезд
значительно больше времени жизни Галактики, так что они не
могли бы привести к хаотизации скоростей. Вряд ли эта хаоти-
зация может быть связана и с возбуждением коллективных ко-
колебаний, поскольку радиус галактик имеет порядок дебаевского
радиуса (так как кинетическая энергия звезд — порядка потен-
потенциальной). Таким образом, возникает проблема объяснения ре-
релаксации системы бесстолкновительных кулоновских взаимо-
взаимодействующих систем частиц без возбуждения коллективных сте-
степеней свободы. (
Линден-Белл рассмотрел эту проблему на основе чисто ста-
статистических соображений [235]. Следуя его рассуждениям, рас-
рассмотрим простой случай однородной в среднем системы куло-
кулоновски взаимодействующих частиц с некоторым неоднородным
распределением. Для простоты рассмотрим двумерную фазовую
плоскость х, v (рис. 75) и допустим, что функция распределения

228
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
[ГЛ. 5
f (x, v) принимает только два значения: единица в заштрихован-
заштрихованной области и нуль вне ее. У невзаимодействующих частиц вся
эта фазовая плоскость перекашивалась бы в горизонтальном
направлении со скоростью, пропорциональной удалению от оси
абсцисс. С учетом взаимодействия через самосогласованное
поле Е частицы будут перемешиваться также и в вертикаль-
вертикальном направлении. Таким образом, в конце концов вся картина
рис. 75 перемешается, и можно поставить вопрос о том,
к какому же конечному состоянию прорелаксирует бесстолкно-
вительная система частиц, поведение которой описывается урав-
уравнением Власова.
t-tg
i»t0
a) 5)
Рис. 75. Область на фазовой плоскости, занятая частицами до релаксации
(а) и после релаксации (б).
Линден-Белл предположил, что такое перемешивание идет
все время, пока не достигается наиболее вероятное состояние
при заданных энергии и числе частиц. При этом нужно учесть,
что согласно уравнению Власова течение в фазовом простран-
пространстве является несжимаемым. Поэтому должен действовать свое-
своеобразный принцип исключения: функция распределения в дан-
данном элементе фазового пространства либо равна нулю, если
туда пришла ячейка без частиц, либо она равна начальному
значению в той ячейке, которая пришла в результате переме-
перемешивания в данную точку фазового пространства. Если вначале
функция распределения была равна единице во всей области,
где были частицы, и нулю вне ее, то мы получим принцип иск-
исключения Паули. Соответственно равновесная функция распре-
распределения с заданным числом частиц и энергией должна в точ-
точности совпадать с функцией распределения Ферми.
Этот очень интересный результат был получен из чисто ста-
статистических соображений, и не вполне ясно, при каких условиях
функция распределения должна релаксировать к этому наибо-
наиболее вероятному состоянию. Чтобы выяснить этот вопрос, были
предприняты численные расчеты [236]. Они показали, что при
сильно неоднородных начальных условиях действительно после

§ 7] ЭВОЛЮЦИЯ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 229
нескольких плазменных периодов достигается квазиравновесное
состояние с функцией, близкой к ферми-распределению, с не-
небольшим высокоэнергичным хвостом. Но если начальное распре-
распределение было слабо искаженным, близким к стационарному, то
релаксация была более вялой и конечное состояние отклонялось
от распределения Ферми.
Качественно эти результаты легко понять, если действовать
в духе квазилинейного метода, но вместо коллективных мод
учесть баллистические моды типа расплывающихся со временем
макрочастиц. В самом деле, начальные неоднородности на
рис. 75 можно рассматривать как некоторые области, положи-
положительного и отрицательного заряда, наложенные на равновесный
конечный фон. Фактически это — некие сгустки или макрочасти-
макрочастицы, которые затем будут двигаться в самосогласованном поле,
создаваемом ими самими. Это поле гораздо больше, чем тепло-
тепловой фон от реальных частиц, так как заряды сгустков гораздо
больше заряда отдельной частицы. Но сгустки очень похожи на
кулоновски взаимодействующие частицы: они движутся почти
по прямым линиям, испытывая торможение и диффузию ва
флуктуирующих электрических полях, создаваемых ими самими.
Для описания релаксации этих частиц можно воспользоваться
членом столкновений типа кулоновского в форме Ландау, про-
пропорциональным квадрату эффективного заряда макрочастиц q.
Из этого следует, что если заряд q достаточно велик или
медленно расплывается со временем, то частицы успевают ре-
лаксировать к статистически равновесной функции распределения
(т. е. функции Ферми при начальной функции / = 0 или 1,
рис. 75). Если же заряды q слишком быстро убывают со вре-
временем или с самого начала они невелики, то окончательной ре-
релаксации не происходит.
Таким образом, баллистические моды также могут дать
вклад в коллективные процессы релаксации, если с самого на-
начала имеются достаточно сильные возмущения этого типа. Кро-
Кроме того, расплывающиеся во времени макрочастицы типа бал-
баллистических мод могут образовываться в турбулентной плазме,
однако их роль в этом случае, по-видимому, очень мала, так как
они быстро расплываются со временем.
Как мы видим, релаксация бесстолкновительных систем свя-
связана с движением несжимаемой жидкости в фазовом простран-
пространстве, и поэтому здесь есть нечто сходное с турбулентностью
обычной несжимаемой жидкости. Можно привести еще один
пример бесстолкновительной релаксации, который еще более
тесно связан с турбулентностью жидкости.
Рассмотрим сильно неизотермическую плазму G\- <§; Те) и
предположим, что в такой плазме возбуждено некоторое на-
начальное течение ионов со скоростью и, значительно меньшей

230 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ [ГЛ. 5
скорости звука, v <^. л]Те\тг. Тогда при дальнейшем движении
плазма будет практически несжимаемой, а ионы будут дви-
двигаться просто как несжимаемая жидкость. При исчезающе ма-
малой вязкости это движение, вообще говоря, будет турбулентным,
и мы просто будем иметь затухающее на турбулентных пульса-
пульсациях хаотическое течение жидкости. Но, с другой стороны, это
движение представляет собой процесс релаксации бесстолкно-
вительной системы электронов и ионов. Таким образом, в дан-
данном случае бесстолкновительная релаксация частиц плазмы
сводится просто к обычной турбулентности. Приведенный при-
пример свидетельствует о том, что турбулентность плазмы, будучи
во многих отношениях вполне самостоятельным объектом, силь-
сильно отличающимся от турбулентности обычной жидкости, все же
тесно связана с обычной турбулентностью и в отдельных част-
частных случаях даже сводится к ней.
В заключение нам еще раз хотелось бы подчеркнуть, что
изложенный в этой книге материал никоим образом не охваты-
охватывает всей информации, имеющейся в литературе по данному
вопросу, а лишь служит введением в круг идей и основных
¦лредставлений о коллективных явлениях в плазме.

• ЛИТЕРАТУРА
Список литературы не претендует на полноту, в нем приведены только ос-
основные книги и статьи.
С основами магнитной гидродинамики можно познакомиться по книгам:
1. Альфен X., Космическая электродинамика. М., ИЛ, 1952.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред. М.,,
Гостехиздат, 1957.
3. Спицер Л., Физика полностью ионизованного газа. М., ИЛ, 1957.
4. Каулинг Т., Магнитная гидродинамика. М., ИЛ, 1959.
5. Пикельнер С. Б., Основы космической электродинамики, М., Физматгиз,
1961.
Вопросы равновесия плазмы в магнитном поле изучались в работах:
6. Kruskal M. D., Kulsrud R. М., Phys. Fluids I, 265 A958).
7. Шафранов В. Д., в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 2, Госатомиздат,
1963, стр. 92—130.
8. Hamada S., Nucl. Fusion 1—2, 23 A962).
9. Mercier C, Nucl. Fusion 3, 89 A963); 4, 213 A964).
10. Шафранов В. Д., Ядерный синтез 4, 232 A964).
11. Соловьев Л. С., Шафранов В. Д., в сб. «Вопросы теории плазмы»,
вып. 5, Госатомнздат, 1967, стр. 3—207.
12. Green J. M., Johnson J. L, Phys. Fluids 4, 875 A961).
13. Taylor J. В., Phys. Rev. Lett. 33, 1139 A974).
14. Кадомцев Б. Б., в сб. «Физика плазмы и проблема управляемых термо-
термоядерных реакций», т. 3, Изд. АН СССР, 1958, стр. 353.
15. loshikawa S., Phys. Fluids 7, 278 A964).
16. Meyer F., Schmidt N. V., Z. Naturforsch. I3a, 1005 A958).
17. Муховатов В. С., Шафранов В. Д., Ядерный синтез II, 605 A971).
18. Захаров Л. Е., Шафранов В. Д., Ядерный синтез 12, 599 A972).
Эксперименты по удержанию тороидальной плазмы описаны в работах:
19. Арцимович Л. А., Управляемые термоядерные реакции, М, Физматгиз,.
1960.
20. Rusbridge M. G., Lees D. J., Saunders P. A. H., Nucl. Fusion, Suppl. 3,
903 A962).
21. loshikawa S., Harries W. L, Sinclair R. M., Phys. Fluids 6, 1506 A963).
22. Uchida Т., Sato K-, Mohri A., Akiyama R., Proc. of Madison Conf. on Plas-
Plasma Physics and CTR 3, 169 A971), IAEA.
23. Арцимович Л. А., Замкнутые плазменные конфигурации. М., «Наука»,
1969.
24. Арцимович Л. А., Ядерный синтез 2, 215 A972).
25. Third International Symposium on Toroidal Plasma Confinment, Garching»
Munich A973).

•232 ЛИТЕРАТУРА
О столкновениях частиц в плазме см.:
26. Medanicl E. W., Collision Phenomena in Ionized Gases. Wiley, New York,
1964.
.27. Брагинский С. И., в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 1, Госатомиздат,
1962, стр. 183.
28. Ландау Л. Д., ЖЭТФ 7, 203 A937).
29. Сивухин Д. В., в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 4, Госатомиздат,
1964, стр. 61.
Относительно роли эффекта Холла в плазме см.:
30. Морозов А. Я., Шубин А. П., ЖЭТФ 46, 710 A964).
31. Кадомцев Б. Б., ЖЭТФ 52, 1039 A967).
32. Haines M. G., Phys. Lett. 6, 313 A963).
33. Haines M. G., Advances in Physics 14, № 54, 167 A965).
34. Thonemann P. C, Kolb A. C, Phys. Fluids 7, 1455 A964).
Диффузия и процессы переноса в плазме освещены в работах
35. Pfirsch ?>., Schlutter -A., Max-Plank Inst. Rep. MP1/PA/62, 1962.
36. Knorr G., Phys. Fluids 8, 1334 A965).
37. Голант Б. Е., УФН, 79, 377 A963).
38. Simon A., Phys. Rev. 98, 317 A955).
39. Hoh F. C, Rev. Mod. Phys. 34, 267 A962).
40. Голант В. Е., Данилов О. Б., Жилинский А. П., ЖЭТФ 33, 1043
A963).
41. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 7, 1973,
стр. 205.
Вопросы распространения магнитогидродинамических воли рассмотрены
•в работах:
42. Сыроватский С. И., УФН 62, 247 A957).
43. Sears W. R., Rev. Mod. Phys. 32, 701 A960).
44. Grad Я., Rev. Mod. Phys. 32, 831 A960).
45. Куликовский А. Г., Любимов Г. А., Магнитная гидродинамика. М., Физ-
матгиз, 1962.
16. Половин Р. В., Черкасов К. П., УФН 88, 593 A966).
47. Сивухин Д. В., Магнитная гидродинамика 1, 35 A966).
18. Grad #., Proc. Nat. Acad. Sci. USA 70, 3277 A973).
Волны иа воде подробно описаны в книге:
19. Стокер Дж. Дж. Волны иа воде. М., ИЛ, 1959.
По поводу электромагнитных волн в плазме см.:
50. Гинзбиог В. Л., Распространение электромагнитных вслн в плазме. М.,
Физматгиз, 1960.
51. Силин В. П., Рухадзе А. А., Электромагнитные свойства плазмы и плаз-
моподобных сред, М., Госатомиздат, 1961.
52. Шафранов В. Д., Электромагнитные волны в плазме, в сб. «Вопросы
теории плазмы», вып. 3, М., Госатомиздат, 1963.
53. Ахиезер А. И., Ахиезер И. А., Половин Р. В., Ситенко А. Г., Степа-
Степанов К. П., Коллективные колебания в плазме. М., Госатомиздат, 1964.
54. Гинзбург В. Л., Рухадзе А. А., Волны в магнитоактивной плазме. М.,
«Наука», 1970. ^
55. Стикс Т. X., Теория плазменных волн. М., Госатомиздат, 1965.
56. Власов А. А., ЖЭТФ 8, 291 A938) или УФН 93, 444 A967).
57. Ландау Л. Д., ЖЭТФ 16, 574 A946) или УФН 93, 527 A967).

ЛИТЕРАТУРА 23$
58. Vlasov A. A., J. Phys. (USSR) 9, 25 A945).
59. Van Kampen N. S., Physica 21, 949 A955) (см. перевод в сб. «Колебания
сверхвысоких частот в плазме», М., ИЛ, 1961).
На существование волн с отрицательной энергией в неравновесной плаз-
плазме было обращено внимание в работе:
60. Кадомцев Б. В., Михайловский А. Б., Тимофеев А. В., ЖЭТФ 47, 226й
A964).
Параболическое уравнение было предложено в работе
61. Леонтович М. А., Изв. АН СССР, сер. физ. 8, 16 A944).
Непрерывные спектры собственных частот неоднородной плазмы изуча-
изучались в работах:
62. Тимофеев А. В., УФН 102, 185 A970).
63. Uberoi С, Indian J. Pure & Appl. Phys. 2, 133 A964).
64. Pridmore-Brown D. C, Phys. Fluids 9, 1290 A966).
65. McPherson D. A., Pridmore-Brown D. C, Phys. Fluids 9, 2033 A966).
66. Tataronis J., Grossman W., Z. Phys. 261, 1 A973).
67. Grossman W., Kaufman M., Neukauser J., Nucl. Fusion 3, 462 A973).
68. Grad H., Proc. Nat. Acad. Sci. USA 70, 3277 A973).
Общие вопросы физики нелинейных волн изложены в работах:
69. Бломберген П., Нелинейная оптика. М., «Мир», 1966.
70. Карпман В. И., Нелинейные волиы в диспергирующих средах. М., «Наука»,
1973.
71. Кадомцев Б. Б., Карпман В. И., УФН 103, 193 A971).
72. Сагдеев Р. 3., в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 4, Атомиздат, 1964,
стр. 20.
73. Цытович В. //., Нелинейные эффекты в плазме, «Наука», 1967.
74. Веденов А. А., в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 3. М., Госатомиздат
A963), стр. 203.
75. Нелинейная теория распространения волн, сб. переводов из Proc. Roy.
Soc. 299A, № 1456 A967). М., «Мир», 1970.
76. Davidson R. С, Nonlinear Plasma Theory, Academic Press, New York,
1971.
По поводу нелинейных волн с дисперсией и солитонов см. литературу:
77. Березин Ю. А., Карпман В. И., ЖЭТФ 51, 1557 A966).
78. Zabusky N. J., Kruskal M. D., Phys. Rev. Lett. 15, 240 A965).
79. Gardner C. S., Green J. M., Kruskal M. D., Miura R. M., Phys. Rev. Lett.
19, 1095 A967).
80. Miura R. M., Gardner С S, Kruskal M. ?>., J. Math. Phys. 9, 1204.
A968).
81. Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д., Функциональный анализ 5, 18 A971).
82. Гельфанд И. М., Левитан Б. М., Изв. АН СССР, сер. матем. 15, 309
A951).
83. Марченко В. Л., ДАН СССР 194, 695 A955).
84. Гапонов А. В., Островский Л. А., Рабинович М. И. Изв. вузов, Радио-
Радиофизика 13, 163 A970).
85. Алиханов С. Г., Алиновский Н. И., Долгов-Савельев Г. Г., Еселевич В. Г.,
Куртмулаев Р. X., Малиновский В. К., Нестерихин Ю. Е., Пильский В. И.,
Сагдеев Р. 3., Семенов В. Н. Plasma Phys. and Contr. Nuclear Fusion
Res. 1, p. 47, IAEA (Новосибирск, 1968).
86. Подробный обзор no солитонам дан в статье Scott A. S., Chu F. Y. F.,
McLaughlin D. W., Proc. of IEEE 61, 1443 A973).
86a. Taylor R. J., Baker D. R., Ikezi H. Т., Phys. Rev. Lett. 24, 206 A970).

234 ЛИТЕРАТУРА
Эффект Ганна описан в статьях:
87. Gunn J. В., Solid State Comm. 1, 88 A963).
88. Gunn J. В., Plasma Effects in Solids, 7 Intern. Conf. on the Physics in
Semiconductors, Dunod, Paris, 1965.
89. Gunn J. В., J. Phys. Soc. Jap., Suppl. 21, 505 A966).
90. Ганн Дж., УФН 89, 147 A966).
91. Волков А. Ф., Коган Ш. М., УФН 96, 633 A968).
Самофокусировка и самосжатие волновых пакетов рассмотрены в ра-
работах:
92. Аскарьян Г. А., ЖЭТФ 42, 1567 A962); УФН 111, 249 A973).
93. Lighthill М. ]., J. Inst. Math. Appl. 1, 269 A965); Proc. Roy. Soc. A229,
28 A967).
94. Benjamin Т. В., Feir J. E., J. Fluid Mech. 27, 417 A967).
Benjamin Т. В., Proc. Roy. Soc. A229, 59 A967).
95. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И., ДАН СССР 192, 753 A970).
96. Chiao R. J., Gardmire F., Townes С. #., Phys. Rev. Lett. 13, 479
1964.
97. Беспалов В. И., Литвак А. Г., Таланов В. И., в сб. «Нелинейная оптика»,
Новосибирск, «Наука», 1968.
98. Ахманов С. А., Сухорукое А. П., Хохлов Р. В., УФН 93, 19 A967).
99. Рудаков Л. И., ДАН СССР 207, 821 A972); Захаров В. ?., ЖЭТФ 62,
1745 A972).
По вопросу взаимодействия волн см. статьи и книги:
100. Camac M., Kantorowitz A. R., Litvak M. M., Patrick R. M., Petschek H. Е.,
Nucl. Fusion Suppl. 2, 423 A962).
101. Галеев А. А., Карпман В. И., ЖЭТФ 44, 592 A963).
102. Силин В. П., ПМТФ 1, 31 A964).
103. Галеев А. А., Карпман В. И., Сагдеев Р. 3., Ядерный синтез 5, 20
A965).
104. Ораевский В. #., Ядерный синтез 4, 263 A964).
105. Ахманов С. А., Хохлов Р. В., Проблемы нелинейной оптики. М., Изд,
ВИНИТИ, 1964.
106. Альтшуль Л. М., Карпман В. И., ЖЭТФ 47, 1552 A964).
107. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика. М., Физматгиз A958).
108. Coppi В., Rosenbluth M. N.. Sudan R., Ann. Phys. 55, 207 A969).
109. Обухов А. М. и др., Нелинейные системы гидродинамического типа,
М., «Наука», 1974.
ПО. Bakai A. S., Nucl. Fusion 10, 53 A970).
111. Stern R. A., Tzoar N.. Phys. Rev. Lett. 17, 903 A966).
112. Захаров В. Е., Рубенчик А. М., ЖЭТФ 65, 997 A973).
Затухание Ландау, в том числе нелинейное, исследовалось и описано в
работах:
113. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3., Ядерный синтез, Приложе-
Приложение, 3, 1049 A962).
114. Мазитов Р. К., ПМТФ 1, 27 A965).
115. O'Neil Т. М., Phys. Fluids 8, 2255 A965).
116. Альтшуль Л. М., Карпман В. И., ЖЭТФ 49, 515 A965).
117. Bernstein /., Green J., Kruskal M., Phys. Rev. 108, 546 A957).
118 Malmberg J. H., Wharton С. В., Drummond W. E.. P'^sma Physics and
Contr. Nucl. Fusion Res. 1, 485 A966).
119. Malmberg J. H., Wharton С. В., Phys. Rev. Lett. 17, 175 A966).
120. Van-Hoven G., Phys. Rev. Lett. 17, 169 A966).

ЛИТЕРАТУРА 235-
121. Derfler H., Simonen Т. С, Phys. Rev. Lett. 17, 172 A966).
122. Derfler H., Simonen Т. С, 8th Intern. Conf. on Phenomena in Ionized Ga-
Gases, Contributed papers, Vienna, 1967, p. 335.
123. Malmberg J. H., Wharton С. В., Phys. Rev. Lett. 19, 775 A967).
124. Кадомцев Б. Б., УФН 95, 111 A968).
С явлением эха можно более подробно познакомиться по статьям:
125. Hahn E. L., Phys. Rev. 80, 580 A950).
126. Ораевский А. #., УФН 91, 181 A967).
127. Hill R. M., Kaplan D. ?., Phys. Rev. Lett. 14, 1061 A965).
128. Kaplan D. E., Hill R. M., Wong A. Y., Phys. Lett. 22, 585 A966).
129. Kaplan D. E., Hill R. M., Herrmann G. F., 8th Intern. Conf. on Phenomena
in Ionized Gases, Contributed papers, Vienna, 1967, p. 424.
130. Gould R. M., Phys. Lett. 19, 477 A965); Am. J. Phys., 37, 585 A969).
131. Crowford R. F., Houp R. S., J.'Appl. Phys. 37, 4405 A966).
132. Hill R. M., Kaplan D. E., Phys. Rev. 156, 118 A967).
133. Hill R. M., Kaplan D. E., Phys. Lett. 23, 317 A966).
134. Gould R. W., O'Neil T. M., Malmberg J. H., Phys. Rev. Lett. 19, 219-
A967).
135. Gould R. W., Phys. Lett. 25A, 559 A967).
136. Malmberg J. Я, Wharton С. В., Gould R. W., O'Neil Т. М., Phys. Rev.
Lett. 20, 95 A968).
137. Ikezi #., Takahashi N., Phys. Rev. Lett. 20, 140 A968).
138. Baker D. R., Ahem N. R., Wong A. Y., Phys. Rev. Lett. 20, 318 A968).
139. Su С H., Oberman C, Phys. Rev. Lett. 20, 427 A968).
140. Malmberg J. H., Wharton С. В., Gould R. W., O'Neil Т. М., Phys. Fluids
11, 1147 A968).
141. Porkolab M., Sinnes J., Phys. Rev. Lett. 21, 1227 A968).
142. Ikezi H., Takahashi N.. Nishikiwa K., Phys. Fluids 12, 853 A969).
143. Ситенко А. Г., Нгуен Ван Чонг, Павленко В. Н., Ядерный синтез 10,
259 A970).
Вопросы, касающиеся турбулентности плазмы, изложены в книгах:
144. Кадомцев Б. В., в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 4, М., Госатомиздат,
1964, стр. 188.
145. Цытович В. И., Нелинейные эффекты в плазме. М., «Наука», 1967.
146. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 7,
М., Госатомиздат, 1973, стр. 3.
147. Davidson R. С, Nonlinear Plasma Theory, Academic press, N. — Y., 1971.
148. Ishimaru S., Basic Principles of Plasma Physics, Benjamin, 1973.
149. Цытович В. Н., Теория турбулентной плазмы. М., Госатомиздат, 1971.
150. Веденов А. А., в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 3, М., Госатомиздат,
1963, стр. 203.
Различные типы иеустойчивостей подробно описаны в книгах и обзорах:
151. Михайловский А. Б., Теория плазменных неустойчивостей, Атомиздат,
1969.
152. Кадомцев Б. Б., в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 2, М., Госятомиздат,
1963, стр. 132.
153. Тимофеев А. Б., Пистунович В. И., в сб. «Вопросы теории плазмы»,
вып. 5, М., Госатомиздат, 1967, стр. 351.
154. Михайловский А. Б., в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 6, М., Госатом-
Госатомиздат, 1972, стр. 70.
155. Соловьев Д. С, в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 6, М., Госатомиздат^
1972, стр. 210.
156. Силин В. П., Параметрическое воздействие излучения большой мощно-
мощности на плазму. М., «Наука», 1973.

236 ЛИТЕРАТУРА
Желобковая неустойчивость плазмы была установлена и подробно ис-
следоваиа в работах:
157. Rosenbluth М., Longmire С, Ann. Phys. I, 120 A957).
158. Кадомцев Б. Б., в сб. «Физика плазмы и проблема управляемых термо-
термоядерных реакций», т. 4. Изд. АН СССР, 1958, стр. 16.
159. Иоффе М. С, Соболев Р. И., Тельковский В. Г., Юшманов Е. Е., ЖЭТФ
40, 40 A961).
160. Иоффе М. С, Юшманов Е. Е., Ядерный синтез, Дополнение, ч. 1, 177
A962).
161. Готт Ю. В., Иоффе М. С, Тельковский В. Г., Ядерный синтез, Дополне-
Дополнение, ч. 3, 1045 A957).
162. Иоффе М. С, Соболев Р. И., Тельковский В. Г., Юшманов Е. Е., ЖЭТФ
39, 1602 A960).
163. Кадомцев Б. Б., ЖЭТФ 40, 328 A961).
164. Байбородов Ю. Т., Иоффе М. С, Петров В. М., Соболев Р. И., Атомная
энергия 14, 443 A963).
165. Иоффе М. С, Соболев Р. И., Атомная энергия 17, 366 A964).
166. Кадомцев Б. Б., Иоффе М. С, УФН 100, 601 A970).
По поводу ловушек «с минимумом В» см.:
167. Andreoletti J., Сотр. rend. 257, 1033, 1235 A963).
168. Damm С, Foote J. et al, Plasma Physics and Controlled Nucl. Fusion
Res., 1,253 A969).
169. Furth H., Advances in Plasma Physics 1, 67 A968).
Относительно винтовой неустойчивости см.:
170. Шафранов В. Д., в сб. «Физика плазмы и проблема управляемых термо-
термоядерных реакций», т. 4, Изд-во АН СССР, 1958, стр. 61.
171. Kruskal М. ?>., Schwarzschild М., Рюс. Roy. Soc, A233, 348 A954).
172. Newcomb W. A., Ann. of Phys. 10, 232 A960).
173. Кадомцев Б. Б., Погуце О. П., ЖЭТФ 65, 575 A97Л).
Диссипативные неустойчивости описаны в статьях:
174. Furth H., Rosenbluth М., КШееп /., J. Phys. Fluids 6, 459 A963).
175. Kadomtsev В. В., Nedospasov A. V., J. Nucl. Energy, Part С 1, 230 A960).
176. Rebut P. H., J. Nucl. Energy, Part С 4, 159 A962).
По поводу дрейфовых иеустойчивостей существует обширная литература,
мы упомянем лишь основные работы:
177. Церковников Ю. А., ЖЭТФ 32, 67 A957).
178. Рудаков Л. И., Сагдеев Р. 3., ДАН СССР 138, 581 A961).
179. Rosenbluth М. N.. Rostoker N., Krall N. A., Nucl. Fusion. Suppl. 1, 143
A962).
180. Михайловский А. Б., в сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 3, М., Госатом-
издат, 1963, стр. 141.
181. Тимофеев А. В., ЖТФ 33, 909 A963).
182. Моисеев С. С, Сагдеев Р. 3., ЖЭТФ 44, 263 A963); ЖТФ 34, 248
A964).
183. Михайловская Л. В., Михайловский А. Б., ЖЭТФ 45, 1566 A963).
184. Krall N. A., Advances in Plasma Physics I, 153 A968).
• "i
Кинетические и параметрические неустойчивости описаны в работах:
185. Ораевский В. Я., Сагдеев Р. 3., ЖТФ 32, 1291 A962).
186. Силин В. П., ЖЭТФ 48, 1679 A965).
187. Dubois D. F., Goldman M. V., Phys. Rev. Lett. 14, 544 A965).
188. Nishikawa К. J-, Phys. Soc. Jap. 24, 916, 1152 A968).

ЛИТЕРАТУРА 237
189. Андреев И. ?., Кирий Ю. А., Силин В. П., ЖЭТФ 57, 1024 A969)
190. Kruer W. L, Kaw Р. К., Dawson J. M., Oberman С, Phys. Rev Lett 24,
987 A970).
191. Rosenbluth M. N., Phys. Rev. Lett. 29, 565 A972).
192. Rosenbluth M. N.. White R В., Liu С S., Phys. Rev. Lett. 31, 1190 A973),
Относительно квазилинейного приближения см.:
193. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3., Ядерный синтез, Приложе-
Приложение 2, 465 A962).
194. Drummond W. E., Pines D., Nucl. Fusion, Suppl. 3, 1049 A962).
195. Романов Ю. А., Филиппов Г. Ф., ЖЭТФ 40, 123 A961).
196. Robertson С, Gentle К W., Phys. Fluids 14, 2780 A971).
По поводу слабой турбулентности существует довольно обширная лите-
литература, мы укажем здесь только часть ее:
197. Захаров В. Е., ПМТФ, № 4, 25 A965).
198. Захаров В. Е., Филоненко Н. Н., ПМТФ, № 5, 62 A967).
199. Kamak M., Kantrowitz A. R., Litvac M., Nucl. Fusion, Suppl. 1, 2, 421
A962).
200. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. Я., ЖЭТФ 43, 2234 A962).
201. Aamodt R., Drummond W. В., Nucl. Energy 6, 147 A964).
202. Галеев А. А., Карпман В. И., ЖЭТФ 44, 592 A963).
203. Пайерлс Р. Е., Квантовая теория твердых тел, М., ИЛ, 1956.
204. Кац А. В., Конторович В. М., ЖЭТФ 64, 153 A973).
205. Кадомцев Б. Б., Конторович В. М., Изв. вузов, Радиофизика 17, 511
A974).
Относительно ионно-звуковой турбулентности и аномального сопротивле-
сопротивления см.:
206. Бабыкин М. В., Завойский Е. К., Рудаков Л. И., Скорюпин В. А., Ядер-
Ядерный синтез, Приложение 3, 1073 A962).
207. Field E. С, Fried В. P., Phys. Fluids 7, 1937 A964).
208. Рудаков Л. И., Кораблев Л. В., ЖЭТФ 50, 220 A966).
209. Коврижных Л. М., ЖЭТФ 52, 1406 A967).
210. Завойский Е. К-, Рудаков Л. И., Атомная энергия 23, 417 A967).
211. Калинин Ю. Г., Лин Д. Н., Рудаков Л. И., Рютов Д. Д., Скорюпин В. А.,
ЖЭТФ 59, 1056 A970).
212. Петвиашвили В. И., ЖЭТФ 44, 1933 A963); ДАН СССР 153, 1295
A963).
213. Карчевский А. Я., Аверин В. Г., Безмельницин В. Н., Письма в ЖЭТФ
10, 26 A969); ЖЭТФ 58, 1131 A970).
214. Векштейн Г. Е., Рютов Д. Д., Сагдеев Р. 3., ЖЭТФ 60, 2142 A971).
215. Сагдеев Р. 3., в сб. «Проблемы теории плазмы», Киев, 1972, стр. 278.
216. Jancarik /., Hamberger S. M., Report on 8th Europ. Conf. on Plasma Phy-
Physics, Rome, 1970.
217. Векштейн Г. Е., Сагдеев Р. 3., Письма в ЖЭТФ 11, 305 A970).
Ленгмюровская турбулеитиость обсуждалась в статьях:
218. Цытович В. Я, Шапиро В. Д., Ядерный синтез 5, 228 A965).
219. Рудаков Л. Я., ЖЭТФ 59, 2091 A970).
220. Веденов А. А., Рудаков Л. И., ДАН СССР 159, 767 A964).
221. Захаров В. Е., ЖЭТФ 62, 1745 A972).
222. Рудаков Л. И., ДАН СССР 207, 821 A972).
223. Брейзман Б. Н., Рютое Д. Д., Чеботаев Р. 3., ЖЭТФ 62, 1409A972),

238 ЛИТЕРАТУРА
224. Kingsep A. S., Rudakov L. /., Sudan R. N., Phys. Rev. Lett. 31, 1483
A973).
225. Дегтярев Л. М., Маханьков В. Г., Рудаков Л. И., ЖЭТФ 67, 533 A974).
226. Дегтярев Л. М., Захаров В. Е., Письма в ЖЭТФ 20, 365 A974).
227. Дегтярев Л. М., Захаров В. Е., Препринт ИПМ № 109 A974).
228. Kim Н. С, Stenzel R. L, Wong А. У., Phys. Rev. Lett. 33, 886 A974).
229. Захаров В. Е., Мушер С. Л., Рубенчик А. М., Письма в ЖЭТФ 19, 249
A974).
В связи с обсуждением МГД-турбулентности см.:
230. Rusbridge M. G., Lees D. /., Sounders P. A. H., Nucl. Fusion, Suppl. 3,
903 A962).
231. Бабичев А. Б., Карчевский А. И. и др., Ядерный синтез 2, 84 A962), До-
Дополнение 2, 635 A962).
232. Кадомцев Б. Б., Ядерный синтез, Дополнение 3, 969 A962).
233. Robinson D. С, Rusbridge M. G., Plasma Physics 11, 73 A969).
234. Butt E. P., Gowers C. W. et al, Report CN33/E9-2 on 5th Conf. on Plas-
Plasma Physics and Contr. Nucl. Fusion Res., Tokyo^. 1974.
235. Linden-Bell ?>., Mon. Notic. Roy. Astron. Soc. 136, 101 A967).
236. Holi F., Bull. Am. Phys. Soc, 13, 1745 A968).
237. Kadomtsev В. В., Pogutse O. P., Phys. Rev. Lett. 25, 1155 A970).
238. Dupree T. #., Phys. Rev. Lett. 26, 789 A970).
239. Dupree T. #., Comments on Plasma Physics 1, n. 2 A972).

Борис Борисович Кадомцев
Коллективные явления в плазме
М., 1976 г., 240 стр. с илл.
Редактор В. И. Рыдник
Техн. редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры О. А. Бутусова, Н. Д. Дорохова
Сдано в набор 25/XI 1975 г. Подписано к печати
1/IV 1976 г. Бумага тип. № 1 60Х90'А«. Физ. печ,
л. 15. Условн. печ. л. 15. Уч.-нзд. л. 14,32.
Тираж 5500 экз. T-0S646. Цена книги 1 р. 11 к.
Заказ № 921.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Набрано н сматрицировано
в ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградской типографии № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29.
Отпечатано в Ленинградской типографии № 8
Союзполнграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли.
190000, Ленинград, Прачечный пер., 6
Зак. 167,