Text
                    И. С. Гоноровский
РАДИО-
ТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ
И СИГНАЛЫ
Учебник
для высших
учебных
заведений

И. С. Гоноровский РАДИО- ТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов радиотехнических специальностей вузов ©Москва «Радио и связь» 1986 Scan AAW
ББК 32.841 Г65 УДК 621.372(075) Гоноровский И. С. Г65 Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для ву- зов. — 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1986. — 512 с.: ил. Изложены основы современной теории детерминированных и случайных сигналов и преобразования сигналов в радиотехнических цепях. В отличие от предыдущего издания (1977 г.) расширены разделы, посвященные цифровым сигналам и их обработке, статистическим методам в радиотехнике, большее внимание уделено синтезу цифровых цепей, введена глава, посвященная но- вому направлению в радиоэлектронике: «Кепстральный анализ сигналов» Для студентов радиотехнических специальностей вузов, полезна инжене- рам. „ 2402020000-182 ББК 32.841 Г--------------- 92-86 -86 Рецензенты: кафедра «Теория цепей и сигналов» и кафедра «Радиотехни- ческие системы» Горьковского политехнического института Учебник Иосиф Семенович Гоноровский РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ Заведующая редакцией Г. И. Козырева. Редактор Т. М. Бердичевская Художественный редактор Н. С. Шеин. Переплет художника Ю. В. Архангельского Технический редактор Т. Н. Зыкина. Корректор Г. Г. Казакова ИБ № 692 Сдано в набор 27.01.86. Подписано в печать 02.07.86. Т-07570. Формат 70Х lOO’/ie- Бумага офсвТНЭЯ № 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 41,6. Усл. кр.-отт. 41,6. Уч.-изд. л. 41,11. Тираж 30 000 экз. Изд. Ns 21351 Зак. Ns 1326. Цена 1 р. 70 к. Издательство «Радио и связь», 101000 Москва, Почтамт, а/я 693 Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли Москва, 129041. Б Переяславская, 46 © Издательство «Радио и связь»
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ «Радиотехнические цепи и сигналы» (РТЦиС)—базовый курс в системе под- готовки современного инженера в области радиотехники и радиоэлектрони- ки. Его целью является изучение фундаментальных ’закономерностей, свя- занных с получением сигналов, их передачей по каналам связи, обработкой и преобразованием в радиотехнических цепях. Курс РТЦиС, опирающий- ся на такие дисциплины, как «Математика», «Физика», «Основы теории цепей», вводит студентов в круг новых понятий и терминов, глубокое пони- мание и усвоение которых необходимо для изучения последующих инженер- ных дисциплин: это тот язык, на котором говорят современные радиоинже- неры. Излагаемые в курсе РТЦиС методы анализа сигналов и радиотехниче- ских цепей используют математический аппарат, в основном известный студентам из предшествующих дисциплин. Важная задача курса РТЦиС — научить студентов выбирать математический аппарат, адекватный решаемой задаче, показать, как работает этот аппарат при решении конкретных на- учных и технических задач в области радиотехники. Не менее важно научить студентов видеть тесную связь математического описания с физической сто- роной рассматриваемого явления, уметь составлять математические модели изучаемых процессов. Радиоэлектроника является отраслью знаний, чрезвычайно быстро раз- вивающейся как в научном, так и в техническом плане. Появляются новые направления, использующие как новые научные идеи и методы, так и но- вые схемотехнические решения, новую техническую базу. Однако и некоторые «старые», традиционные методы и идеи не отмирают, остаются необходимыми в арсенале радиоинженера. Это обстоятельство заставляет жестко отбирать материал, излагаемый в курсе так, чтобы он отвечал современным требова- ниям и учитывал тенденции развития радиоэлектроники. Неизбежно за рам- ками курса остаются конкретные вопросы схемотехники, хотя принципиаль- ные вопросы, необходимые для понимания схемотехнических задач, в курсе освещаются. Каков же круг вопросов, которые в настоящее время наиболее важны для большинства приложений радиоэлектроники и в соответствии с новой программой УМУ-Т-7/171 должны составлять основное содержание курса РТЦиС? Во-первых, это вопросы теории сигналов: спектральный и корреляционный анализ информационных и управляю- щих сигналов; особенности спектрального и корреляционного анализа узкополосных радиосигналов, введение понятий комплексного и аналитического сигналов; основы теории дискретных и цифровых сигналов; статистический анализ случайных сигналов и помех, изучаемый в едином комплексе с детерминированными сигналами. 3
Во-вторых, это теория преобразования перечисленных выше сигналов в линейных цепях — апериодических и частотно-йзбирательных. В-третьих, это основные положения теорйй Нелинейных и параметриче- ских устройств и преобразования в них сигналов. Важное значение приобрели вопросы теории Цифровой обработки сигна- лов, оптимальной обработки сигналов на фонё помех и основные положения теории синтеза радиотехнических цепей — аналоговых и цифровых. В свете перечисленных требований в книгу введены новые разделы и сде- ланы дополнения, учитывающие специфику современной элементной базы, новых методов представления сигналов и методов их обработки. Современ- ный курс, посвященный радиоцепям и сигналам, невозможен без изложения основных понятий нового принципа обработай мультипликативных и «свер- нутых» сигналов (обобщенная линейная фильтрация), а также кепстраль- ного анализа. Для уяснения этих понятий требуется знакомство со всем предыдущим содержанием курса, что и обусловило помещение новой Ллавы «Обобщенная линейная фильтрация. Кепстральный анализ» в конце книги. Материал предыдущего издания переработан и в методическом плане с целью повышения его доходчивости. Материал повышенной сложности, рас- считанный на более подготовленных студентов, набран петитом. В работе над книгой и при подготовке рукописи автор пользовался ценными советами и критическими замечаниями ряда сотрудников кафедры радиотехники МАИ, а также других вузов и научно-исследо- вательских институтов. К рецензированию книги были привлечены кафедры Горьковского политехнического института «Теория цепей и сигналов» и «Радиотехни- ческие системы». Большое число критических замечаний и ценных реко- мендаций, сделанных коллективами этих кафедр, позволило существен- но улучшить содержание учебника. При окончательном редактировании рукописи были учтены замечания и пожелания ряда членов научно- методической комиссии МВ и ССО СССР по радиотехнике и радио- управлению. Всем коллегам автор выражает свою искреннюю призна- тельность.
Глава 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ 1.1. ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ НА РАССТОЯНИЕ И ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАДИОТЕХНИКЕ ЧАСТОТЫ Основной задачей радиотехники является передача сообщения на расстоя- ние. Расстояние разделяет отправителя и адресата, датчик команд и испол- нительное устройство, исследуемый процесс и измерительный механизм, ис- точник космического радиоизлучения и регистрирующий прибор радиотеле- скопа, различные блоки ЭВМ — словом, источник и потребитель информа- ции. Расстояние, на которое передается сообщение, может быть очень незна- чительным (передача команд в ЭВМ от одного блока к другому) или огром- ным (межконтинентальная или космическая связь). Передача сообщений осуществляется с помощью проводных, кабельных, волноводных линий или в свободном пространстве. Естественно, что для передачи сигналов целесооб- разно использовать те физические процессы, которые имеют свойство пере- мещаться. К числу таких процессов относятся применяемые в радиотехнике электромагнитные колебания — радиоволны. Любой физический процесс, используемый в качестве агента (посред- ника, переносчика) для передачи информации, должен обладать свойством принимать всю совокупность состояний, по которым можно было бы одно- значно установить соответствующее состояние объекта или процесса, являю- щегося источником информации. Для этого радиоволны подвергают модуля- ции. Процесс модуляции заключается в том, что высокочастотное колебание, способное распространяться на большие расстояния, наделяется признака- ми, характеризующими полезное сообщение. Таким образом, это колебание используется как переносчик сообщения, подлежащего передаче. Выбор длины волны излучаемого колебания весьма существен для обес- печения устойчивой и надежной связи. Выбор того или иного диапазона волн для каждой конкретной системы связи определяется следующими факторами: особенностью распространения электромагнитных волн данного диапа- зона; характером помех в данном диапазоне; характером сообщения (шириной спектра); габаритными размерами антенной системы, необходимыми для осущест- вления направленного излучения. Практически для использования пригодны те участки диапазона, в ко- торых обеспечиваются благоприятные условия распространения радиоволн и в приемлемой степени удовлетворяются остальные перечисленные условия. Для современной радиотехники характерны интенсивное изучение мало- исследованных диапазонов волн и стремление к расширению диапазона ис- пользуемых волн в сторону как весьма длинных, так и коротких, вплоть до световых. Последнее не должно казаться странным, так как радиоволны и световые волны имеют одинаковую природу (электромагнитные волны). Подразделение радиоволн на диапазоны, вошедшее в практику, дано в табл. 1.1. 5
Таблица 1.1 Волны Диапазон радиоволн Диапазон радиочастот Нерекомендуемые термины Декамегаметровые Мегаметровые Г ектокилометровые Мириаметровые Километровые Гектометровые Декаметровые Метровые Дециметровые Сантиметровые Миллиметровые Децимиллиметровые 100 000—10000 км 10 000—1000 км 1000—100 км 100—10 км 10—1 км 1000—100 м ЮО—10 м 10—1 м 100—10 см 10—1 см 10—1 мм 1—0,1 мм 3—30 Гц 30— 300 Гц 300- 3000 Гц 3—30 кГц 30— 300 кГц 300—3000 кГц 3—30 МГц 30 —300 МГц 300—3000 МГц 3—30 ГГц 30 —300 ГГц 300—3000 ГГц Сверхдлинные Длинные Средние Короткие Ультракороткие Субмиллиметровые Примечание. Длина волны X связана с периодом колебания Т или с частотой f — 1 /Т соот- ношением ’К=сТ—сЦ, где с = 3- 10» м/с—скорость распространения электромагнитных волн в ва- кууме. Связь на мириаметровых и километровых волнах, применявшаяся на первом этапе развития радиотелеграфии, имеет два больших недостатка: необходимость большой мощности передатчика из-за сильного поглоще- ния поверхностной волны при ее распространении над земной поверхностью; невозможность передачи сигналов, ширина спектра которых соизмерима с несущей частотой. Гектометровые волны получили широкое применение в радиовещании. Основным преимуществом связи на этих волнах является устойчивость при- ема, недостатком — трудность обеспечения большой дальности действия. Поэтому на таких волнах осуществляется преимущественно местное радио- вещание в зоне с радиусом в несколько сотен километров. Лишь небольшое число сверхмощных гектометровых радиостанций обслуживает большие райо- ны. В СССР, имеющем огромную территорию, существуют наиболее мощные в мире радиовещательные станции этого диапазона. Главные преимущества декаметровых волн — возможность обеспечения большой дальности действия при относительно малой мощности передатчика и возможность осуществления направленного излучения. Основным недо- статком связи на этих волнах является колебание уровня принимаемого сиг- нала (замирание), часто сопровождающееся сильными искажениями переда- чи при сложной структуре сигнала, состоящего из большого числа компонен- тов с различными частотами. Условия распространения неодинаковы для различных составляющих спектра сигнала. Это явление, называемое изби- рательным замиранием, приводит к временным выпадениям из спектра сиг- нала отдельных составляющих-или, наоборот, к увеличению их амплитуд. Таким образом, в точке приема нарушается правильное соотношение между отдельными спектральными компонентами сигнала, в результате чего иска- жаются его тембр и чистота. Так как явление избирательного замирания про- является тем сильнее, чем шире спектр сигнала, то на декаметровых волнах осуществлять передачу таких сложных сигналов, как, например, телевизион- ные, практически невозможно. Большой экспериментальный материал по распространению декаметро- вых волн позволил установить оптимальные длины волн для различных ча* сов суток и времени года, что открыло путь широкому развитию коротко- волнового радиовещания. В настоящее время декаметровые волны широко применяются также в радиотелеграфии на магистральных линиях связи, в морской и авиационной радионавигации. 6
В результате освоения диапазонов радиоволн 10 м—0,1 мм появились новые области радиовещания, в частности телевизионные. Для диапазона метровых волн характерно удачное сочетание следующих двух факторов. Применение очень высокой частоты излучения позволяет соответственно рас- ширить полосу частот передаваемого сообщения, так как условия передачи и усиления сигналов в радиоаппаратуре определяются в основном относи- тельной шириной спектра сигнала. Особенности же распространения метро- вых волн (в пределах прямой видимости) почти полностью исключают ис- кажения сигнала из-за интерференции волн, распространяющихся по раз- ным путям. Из приведенного краткого обзора видно, что развитие радиотехники ха- рактеризуется непрерывным расширением используемых диапазонов волн. Из курса физики известно, что эффективное излучение электромагнит- ной энергии можно осуществить лишь при условии, что геометрические раз- меры излучающей системы соизмеримы с длиной волны. Поэтому передача сообщений в диапазоне мириаметровых волн затруднена. Напротив, для диа- пазона световых волн можно создать малогабаритные излучатели с чрезвы- чайно высокой направленностью и огромной концентрацией энергии в луче. Например, луч, посланный с Земли, образует на поверхности Луны пятно диаметром всего лишь в несколько сотен метров. Однако использование све- товых волн для передачи сообщений связано с трудностями реализации мо- дуляции, приема, а также с влиянием погодных условий и т. д. 1.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ В процессе передачи и приема сообщений сигналы подвергаются раз- личным преобразованиям. Некоторые из этих преобразований являются типовыми, обязательными для большинства радиотехнических систем неза- висимо от их назначени я, а также от характера передаваемых сообщений. Перечислим эти фундам витальные процессы и попутно отметим их основные черты применительно к обобщенной схеме радиотехнического канала, пред- ставленной на рис. 1.1. Преобразование исходного сообщения в электрический сигнал и коди- рование. При передаче речи и музыки такое преобразование осуществляет- ся с помощью микрофона, при передаче изображений (телевидение) — с помощью передающих трубок (например, суперортикона). При передаче письменного сообщения (р адиотелеграфия) сначала осуществляют кодирова- ние, заключающееся в том, что каждая буква текста заменяется комбинацией Передающая Рис. 1.1. Радиотехнический канал связи 7
стандартных символов (например, точек, тире и пауз в коде Морзе), которые затем преобразуют в стандартные электрические сигналы (например, импуль- сы разной длительности или разной полярности). Следует отметить, что схема на рис. 1.1 соответствует введению инфор- мации «в Начале» канала связи, т. е. непосредственно в передатчике. Несколь- ко иначе обстоит дело, например, в радиолокационном канале, где информа- ция о цели (дальность, высота, скорость и т. д.) получается в результате при- ема радиоволны, отраженной от цели. Генерация высокочастотных колебаний. Высокочастотный генератор является источником колебаний несущей частоты. В зависимости от назна- чения радиоканала связи мощность колебаний изменяется от тысячных долей до миллионов ватт. Естественно, что конструктивные формы и размеры этих генераторов различны — от простейшего малогабаритного элемента до гран- диозного технического сооружения. Основными характеристиками высокочастотного генератора являются частота и диапазонность (возможность быстрой перестройки с одной рабочей частоты на другую), мощность и КПД. Особенно важное значение для ра- диотехники имеет стабильность частоты колебаний. Условия распростра- нения радиоволн и широкий спектр частот диктуют применение очень высо- ких несущих частот. Условия же обработки сигналов на фоне помех и необ- ходимость ослабления взаимных помех между различными радиоканалами заставляют добиваться максимально возможного уменьшения абсолютных изменений частоты. Это приводит к чрезвычайно жестким требованиям к от- носительной стабильности частоты. Управление колебаниями (модуляция). Процесс модуляции заклю- чается в изменении одного или нескольких параметров высокочастотного ко- лебания по закону передаваемого сообщения. Частоты модулирующего сиг- нала, как правило, малы по сравнению с несущей частотой генератора. Для осуществления модуляции используются различные приемы, обычно осно- ванные на изменении потенциала электродов электронных приборов, вхо- дящих в радиопередающее устройство. Основная характеристика процесса модуляции — степень соответствия между изменением параметра высокоча- стотного колебания и модулирующим сигналом. Усиление слабых сигналов в приемнике. Антенна приемника улавлива- ет ничтожную долю энергии, излучаемой антенной передатчика. В зависи- мости от расстояния между передающей и приемной станциями, от степени направленности излучения антенн и условий распространения радиоволн мощность на входе приемника 10-10 — 10-14 Вт. Йа выходе же приемника для надежной регистрации сигнала требуется мощность порядка единиц ватт и более. Отсюда следует, что усиление в приемнике должно достигать 107— 1014 по мощности или 104—107 по напряжению. В современных приемниках уверенная регистрация сигнала обеспечи- вается при напряжениях на входе порядка 1 мкВ. Решение этой сложной задачи оказывается возможным благодаря достижениям современной элек- троники. Большую роль играют также специальные методы построения схем приемников, обеспечивающие большое усиление при сохранении устойчи- вости работы приемника. Проблема усиления в приемнике неотделима от проблемы выделения сигнала на фоне помех. Поэтому одним из основных параметров приемника является избирательность, под которой подразумевается способность выде- лять полезные сигналы из совокупности сигнала и посторонних воздействий (помех), отличающихся от сигнала частотой. Частотная избирательность осу- ществляется с помощью резонансных колебательных цепей. Выделение сообщения из высокочастотного колебания (детектирование и декодирование). Детектирование является процессом, обратным модуля- 8
ции, В результате детектирования должно быть получено напряжение (ток), изменяющееся во времени так же, как изменяется один из параметров (ам- плитуда, частота или фаза) модулированного колебания, т. е. должно быть восстановлено передаваемое сообщение. Детектор, как правило, включается на выходе приемника, следовательно, к нему подводится модулированное ко- лебание, уже усиленное предыдущими ступенями приемника. Основное тре- бование к детектору — точное воспроизведение формы сигнала. После детектирования осуществляется декодирование сигнала, т. е. процесс, обратный кодированию. В ряде радиотехнических каналов кодиро- вание и декодирование не используются. Помимо перечисленных процессов, так или иначе связанных с преобра- зованием частотных спектров, в радиотехнических устройствах широкое применение находит усиление колебаний без трансформации частоты, осу- ществляемое в различных усилителях. К таким усилителям относятся: низкочастотные усилители управляющих сигналов, используемые перед модулятором передатчика, а также на выходе приемника; усилители коротких импульсов, применяемые в телевизионной и ра- диолокационной технике, а также в импульсных системах радиосвязи; высокочастотные усилители большой мощности, используемые в радио- передающих устройствах; высокочастотные усилители слабых сигналов, применяемые в радио- приемных и измерительных устройствах. Кроме упомянутых процессов, присущих, как уже отмечалось, любому радиотехническому каналу, в ряде специальных случаев широко применя- ются другие процессы: умножение и деление частоты, генерация коротких импульсов, различные виды импульсной модуляции и т. д. 1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ СИГНАЛОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В РАДИОТЕХНИКЕ С информационной точки зрения сигналы можно разделить на детерми- нированные и случайные. Детерминированным называют любой сигнал, мгновен- ное значение которого в любой момент времени можно предсказать с вероят- ностью единица. Примерами детерминированных сигналов могут служить им- пульсы или пачки импульсов, форма, амплитуда и положение во времени которых известны, а также непрерывный сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его спектра. К случайным относят сигналы, мгновенные значения которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятно- стью, меньшей единицы. Такими сигналами являются, например, электриче- ское напряжение, соответствующее речи, музыке, последовательности зна- ков телеграфного кода при передаче неповторяющегося текста. К случайным сигналам относится также последовательность радиоимпульсов на входе радиолокационного приемника, когда амплитуды импульсов и фазы их вы- сокочастотного заполнения флуктуируют из-за изменения условий распро- странения, положейия цели и некоторых других причин. Можно привести большое число других примеров случайных сигналов. По существу, любой сигнал, несущий в себе информацию, должен рассматриваться как случай- ный. Перечисленные выше детерминированные сигналы, «полностью извест- ные», информации уже не содержат. В дальнейшем такие сигналы часто бу- дут обозначаться термином колебание. Наряду с полезными случайными Сигналами в теории и практике прихо- дится иметь дело со случайными помехами — шумами. Уровень шумов яв- 9
Рис. 1.2. Сигналы произвольные по величине и по времени (а), произвольные по вели- чине и дискретные по времени (б), квантованные по величине и непрерывные по вре- мени (в), квантованные по величине и дискретные по времени (г) ляется основным фактором, ограничивающим скорость передачи информации при заданном сигнале. Поэтому изучение случайных сигналов неотделимо от изучения шумов. Полезные случайные сигналы, а также помехи часто объеди- няют термином случайные колебания или случайные п р о цессы. Дальнейшее подразделение сигналов можно связать с их природой: можно говорить о сигнале как о физическом процессе или как о закодирован- ных, например в двоичный код, числах. В первом случае под сигналом понимают какую-либо изменяющуюся во времени электрическую величину (напряжение, ток, заряд и т. д.), опре- деленным образом связанную с передаваемым сообщением. Во втором случае то же сообщение содержится в последовательности двоично-кодированных чисел. Сигналы, формируемые в радиопередающих устройствах и излучаемые в пространство, а также поступающие в приемное устройство, где они под- вергаются усилению и некоторым преобразованиям, являются физическими процессами. В предыдущем параграфе указывалось, что для передачи сообщений на расстояние используются модулированные колебания. В связи с этим сиг- налы в канале радиосвязи часто подразделяют на управляющие сигналы и на радиосигналы; под первыми понимают модули- рующие, а под вторыми — модулированные колебания. Обработка сигналов в виде физических процессов осуществляется с помощью аналоговых электронных цепей (усилителей, фильтров и т. д.). Обработка сигналов, закодированных в цифру, осуществляется с помо- щью вычислительной техники. Представленная на рис. 1.1 и описанная в § 1.2 структурная схема ка- нала связи не содержит указаний о виде используемого для передачи сооб- щения сигнала и структуре отдельных устройств. Между тем сигналы от источника сообщений, а также после детектора (рис. 1.1) могут быть как непрерывные, так и дискретные (цифровые). В связи с этим применяемые в современной радиоэлектронике сигналы можно разделить на следующие классы: произвольные по величине и непрерывные по времени (рис. 1.2, а); произвольные по величине и дискретные по времени (рис. 1.2,6); квантованные по величине и непрерывные по времени (рис. 1.2, в); квантованные по величине и дискретные по времени (рис. 1.2, г). Сигналы первого класса (рис. 1.2, а) иногда называют аналоговыми, так как их можно толковать как электрические модели физических величин, или непрерывными, так как они задаются по оси времени на несчетном мно- жестве точек. Такие множества называются континуальными. При этом по оси ординат сигналы могут принимать любое значение в определенном ин- тервале. Поскольку эти сигналы могут иметь разрывы, как на рис. 1.2, а, 10
то, чтобы избежать некорректности при описании, лучше такие сигналы обозначать термином континуальный. Итак, континуальный сигнал s (0 является функцией непрерывной пе- ременной t, а дискретный сигнал s (х) — функцией дискретной переменной х, принимающей только фиксированные значения [9]. Дискретные сигналы могут создаваться непосредственно источником информации (например, ди- скретными датчиками в системах управления или телеметрии) или образо- вываться в результате дискретизации континуальных сигналов. На рис. 1.2, б представлен сигнал, заданный при дискретных значениях времени t (на счетном множестве точек); величина же сигнала в этих точ- ках может принимать любое значение в определенном интервале по оси орди- нат (как и на рис. 1.2, а). Таким образом, термин дискретный харак- теризует не сам сигнал, а способ задания его на временной оси. Сигнал на рис. 1.2, в задан на всей временной оси, однако его величина может принимать лишь дискретные значения. В подобных случаях говорят о сигнале, квантованном по уровню. В дальнейшем термин дискретный будет применяться только по отноше- нию к дискретизации по времени; дискретность же по уровню будет обозна- чаться термином квантование. Квантование используют при представлении сигналов в цифровой фор- ме с помощью цифрового кодирования, поскольку уровни можно пронумеро- вать числами с конечным числом разрядов. Поэтому дискретный по времени и квантованный по уровню сигнал (рис. 1.2, г) в дальнейшем будет называть- ся цифровым. Таким образом, можно различать континуальные (рис. 1.2, а), дискрет- ные (рис. 1.2, б), квантованные (рис. 1.2, в) и цифровые (рис. 1.2, г) сигналы. Каждому из этих классов сигналов можно поставить в соответствие ана- логовую, дискретную или цифровую цепи. Связь между видом сигнала и ви- дом цепи показана на функциональной схеме (рис. 1.3). При обработке континуального сигнала с помощью аналоговой цепи не требуется дополнительных преобразований сигнала. При обработке же кон- тинуального сигнала с помощью дискретной цепи необходимы два преобра- зования: дискретизация сигнала по времени на входе дискретной цепи и Рис. 1.3. Виды сигнала и соответствующие им цепи 11
обратное преобразование, т. е. восстановление континуальной структуры сигнала на выходе дискретной цепи. Наконец, при цифровой обработке кон- тинуального сигнала требуются еще два дополнительных преобразования: аналог—цифра, т. е. квантование и цифровое кодирование на входе цифро- вой цепи, и обратное преобразование цифра—аналог, т. е. декодирование на выходе цифровой цепи. Процедура дискретизации сигнала и особенно преобразование аналог- цифра требуют очень высокого быстродействия соответствующих электрон- ных устройств. Эти требования возрастают с повышением частоты контину- ального сигнала. Поэтому цифровая техника получила наибольшее распро- странение при обработке сигналов на относительно низких частотах (зву- ковых и видеочастотах). Однако достижения микроэлектроники способствуют быстрому повышению верхней границы обрабатываемых частот. 1.4. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЦЕПЕЙ Радиотехнические цепи и элементы, используемые для осуществления перечисленных в § 1.2 преобразований сигналов и колебаний, можно раз- бить на следующие основные классы: линейные цепи с постоянными параметрами; линейные цепи с переменными параметрами; нелинейные цепи. Следует сразу же указать, что в реальных радиоустройствах четкое вы- деление линейных и нелинейных цепей и элементов не всегда возможно. От- несение одних и тех же элементов к линейным или нелинейным часто зависит от уровня воздействующих на них сигналов. Тем не менее приведенная выше классификация цепей необходима для понимания теории и техники обработки сигналов. Сформулируем основные свойства этих цепей. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Можно исходить из следующих определений. 1. Цепь является линейной, если входящие в нее элементы не зависят от внешней силы (напряжения, тока), действующей на цепь. 2. Линейная цепь подчиняется принципу суперпозиции (наложения). В математической форме этот принцип выражается следующим равен- ством: L ISi(0+ s2(t)+ ...1 = Ms1(/)J+ L [s2 (01 + (1.1) где L — оператор, характеризующий воздействие цепи на входной сигнал. Суть принципа суперпозиции может быть сформулирована следующим образом: при действии на линейную цепь нескольких внешних сил поведение цепи (ток, напряжение) можно определить путем наложения (суперпози- ции) решений, найденных для каждой из сил в отдельности. Можно исполь- зовать еще и такую формулировку: в линейной цепи сумма эффектов от от- дельных воздействий совпадает с эффектом от суммы воздействий. При этом предполагается, что цепь свободна от начальных запасов энергии. Принцип наложения лежит в основе спектрального и оператор- ного методов анализа переходных процессов в линейных цепях, а так- же метода интеграла наложения (интеграл Дюамеля). Применяя принцип наложения, любые сложные сигналы при передаче их через линейные цепи 12
можно разложить на простые, более удобные для анализа (например, гар- монические). 3. При любом сколь угодно сложном воздействии в линейной цепи с по- стоянными параметрами не возникает колебаний новых частот. Это выте- кает из того факта, что при гармоническом воздействии на линейную цепь с постоянными параметрами колебание на выходе также, остается гармониче- ским с той же частотой, что и на входе; изменяются лишь амплитуда и фаза колебания. Разложив сигналы Sj (0, sa (0, ... на гармонические колебания и подставив результаты разложения в (1.1), убедимся, что на выходе цепи мо- гут существовать только колебания с частотами, входящими в состав вход- ного сигнала. Это означает, что ни одно из преобразований сигналов, сопровождаю- щихся появлением новых частот (т. е. частот, отсутствующих в спектре вход- ного сигнала), не может в принципе быть осуществлено с помощью линейной цепи с постоянными параметрами. Такие цепи находят широчайшее приме- нение для решения задач, не связанных с трансформацией спектра, таких как линейное усиление сигналов, фильтрация (по частотному признаку) и т. д. 3. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Имеются в виду цепи, один или несколько параметров которых изме- няются во времени (но не зависят от входного сигнала). Подобные цепи ча- сто называются линейными параметрическими. Сформулированные в предыдущем пункте свойства 1 и 2 справедливы и для линейных параметрических цепей. Однако в отличие от предыдущего случая даже простейшее гармоническое воздействие создает в линейной це- пи с переменными параметрами сложное колебание, имеющее спектр частот. Это можно пояснить на следующем простейшем примере. Пусть к резистору, сопротивление которого изменяется во времени по закону R (0 = ₽0/(1 + т cos Q0, приложена гармоническая ЭДС е (0 = Ео cos a>t. Ток через сопротивление i (0 = е (t)/R (0 = (ЕМ (1 + т cos Q0 cos tot = (Ео/Яо) Icos at + + (m/2) cos (co + Q)f 4- (m/2) cos (<o — Q) 0. (1.2) Как видим, в составе тока имеются компоненты с частотами © ± Q, которых нет в е (0. Даже из этой простейшей модели ясно, что, изменяя во времени сопротивление, можно осуществить преобразование спектра вход- ного сигнала. Аналогичный результат, хотя и с более сложными математическими вы- кладками, можно получить для цепи с переменными параметрами, содержа- щей реактивные элементы — катушки индуктивности и конденсаторы. Этот вопрос рассматривается в гл. 10. Здесь лишь отметим, что линейная цепь с переменными параметрами преобразует частотный спектр воздействия и, следовательно, может быть использована для некоторых преобразований сигналов, сопровождающихся трансформацией спектра. Из дальнейшего будет также видно, что периодическое изменение во времени индуктивности или емкости колебательной цепи позволяет при некоторых условиях осущест- вить «накачку» энергии от вспомогательного устройства, изменяющего этот параметр («параметрические усилители» и «параметрические генераторы», гл. 10). 13
4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ Радиотехническая цепь является нелинейной, если в ее состав входят один или несколько элементов, параметры которых зависят от уровня вход- ного сигнала. Простейший нелинейный элемент — диод с вольт-амперной характеристикой, представленной на рис. 1.4. Перечислим основные свойства нелинейных цепей. 1. К нелинейным цепям (и элементам) принцип суперпозиции непри- меним. Это свойство нелинейных цепей тесно связано с кривизной вольт- амперных (или иных аналогичных) характеристик нелинейных элементов, нарушающей пропорциональность между током и напряжением. Напри- мер, для диода, если напряжению соответствует ток а напряжению и2 — ток »2, то суммарному напряжению и^ — и-^-т и2 будет соответствовать ток i8, отличный от суммы ц + t2 (рис. 1.4). Из этого простого примера видно, что при анализе воздействия сложного сигнала на нелинейную цепь его нельзя разлагать на более простые; необ- ходимо искать отклик цепи на результирующий сигнал. Неприменимость для нелинейных цепей принципа суперпозиции делает непригодными спек- тральный и иные методы анализа, основанные на разложении сложного сиг- нала на составляющие. 2. Важным свойством нелинейной цепи является преобразование спек- тра сигнала. При воздействии на нелинейную цепь простейшего гармониче- ского сигнала в цепи помимо колебаний основной частоты возникают гармо- ники с частотами, кратными основной частоте (а в некоторых случаях и по- стоянная составляющая тока или напряжения). В дальнейшем будет пока- зано, что при сложной форме сигнала в нелинейной цепи помимо гармоник возникают еще и колебания с комбинационными частотами, являющиеся ре- зультатом взаимодействия отдельных колебаний, входящих в состав сигнала. С точки зрения преобразования спектра сигнала следует подчеркнуть принципиальное различие между линейными параметрическими и нелиней- ными цепями. В нелинейной цепи структура спектра на выходе зависит не только от формы входного сигнала, но и от его амплитуды. В линейной пара- метрической цепи структура спектра от амплитуды сигнала не зависит. Особенный интерес для радиотехники представляют свободные колеба- ния в нелинейных цепях. Подобные колебания называются автоколебаними, поскольку они возникают и могут устойчиво существовать в отсутствие внеш- него периодического воздействия. Расход энергии компенсируется источни- ком энергии постоянного тока. Основные радиотехнические процессы: генерация, модуляция, детекти- рование и преобразование частоты — сопровождаются трансформацией ча- стотного спектра. Поэтому эти процессы можно осуществить с помощью либо нелинейных, либо линейных параметрических цепей. В некоторых случаях используются одновременно как нелинейные, так и линейные параметричес- кие цепи. Следует, кроме того, подчеркнуть, что нелинейные элементы работают в сочетании с линейными цепями, осуществляющими выде- ление полезных компонентов преобразованно- го спектра. В связи с этим, как уже отмеча- лось в начале данного параграфа, деление цепей на линейные, нелинейные и линейные параметрические весьма условно. Обычно для описания поведения различных узлов одного и того же радиотехнического устройства при- ходится применять разнообразные математи- ческие методы — линейные и нелинейные. Рис. 1.4. Вольт-амперная ха- рактеристика нелинейного эле- мента (диода) 14 #2 ®3
Изложенные выше основные свойства цепей трех классов — линейных с постоянными параметрами, линейных параметрических и нелинейных — сохраняются при любых формах реализации цепей: с сосредоточенными пара- метрами, с распределенными параметрами (линии, излучающие устройства) и т. д. Эти свойства распространяются также и на устройства цифровой обра- ботки сигналов. Следует, однако, подчеркнуть, что положенный в основу деления це- пей на линейные и нелинейные принцип суперпозиции сформулирован выше для операции суммирования сигналов на входе цепи [см. (1.1)1. Однако этой операцией не исчерпываются требования к современным системам обработки сигналов. Важным для практики является, например, случай, когда сигнал на входе цепи является произведением двух сигналов. Оказывается, что и для подобных сигналов можно осуществить обработку, подчиняющуюся принципу суперпозиции, однако эта обработка будет являться сочетанием специально подобранных нелинейных и линейных операций. Подобная обра- ботка называется гомоморфной. Синтез подобных устройств рассматривается в конце курса (см. гл. 16), после изучения линейных и нелинейных цепей, а также цифровой обработ- ки сигналов, развитие которой и явилось толчком к широкому применению гомоморфной обработки. 1.5. ПРОБЛЕМА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СОВМЕСТИМОСТИ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Комплекс устройств, используемых для передачи информации от ис- точника до получателя (а также разделяющая их среда), образуют канал связи. От канала связи требуется по возможности полная передача инфор- мации. Потери информации могут вызываться искажениями сигналов из-за несовершенства отдельных элементов канала, а также из-за помех. Помехи возникают во всех элементах канала связи: как в среде, исполь- зуемой для передачи сигнала от передатчика к приемнику, так и в техниче- ских устройствах, выполняющих необходимые преобразования сигнала. В первом случае помехи называются внешними, во втором — внутренними. Источником внешних помех являются атмосферные явления, шумы кос- мического пространства, радиоустройства, работающие на близких частотах, индустриальные помехи, медицинская радиоаппаратура и др. Помехи подобного рода создают проблему электромагнитной совмести- мости (ЭМС). Взаимные помехи между радиостанциями устраняют рациональным раз- мещением (распределением) частот, регламентируемым специальными между- народными соглашениями, улучшением качества передачи в результате уменьшения нежелательного, так называемого внеполосного излучения, увеличением стабильности несущей частоты, применением направленных антенн и т. д. Все это позволяет в какой-то мере разрешить проблему «тес- ноты в эфире». Однако проблема ЭМС еще далека от своего разрешения. Ее требуется учитывать при проектировании и разработке новых радиотехниче- ских устройств и систем, в частности при выборе формы и параметров радиосигналов, выборе частотного диапазона, в котором помехи минималь- ны, при размещении радиоустройств и т. д.1 * *. 1 Проблема ЭМС детально рассматривается в книге: Князев А. Д. Элементы тео- рии и практики обеспечения ЭМС радиоэлектронных средств. — М.: Радио и связь, 1984. 15
Внутренние шумы, обязанные своим возникновением дискретной при- роде заряженных частиц, образуются из-за теплового движения этих ча- стиц в элементах электрических цепей, из-за дробового эффекта в электрон- ных приборах и ряда других явлений, имеющих место при работе радиотех- нических устройств. Особенно сильно действие внутренних шумов при боль- шом усилении сигнала, т. е. при приеме слабых сигналов. Одновременно с полезным сигналом усиливаются и шумы, которые могут по интенсивности оказаться соизмеримыми с сигналом, в результате чего последний окажется частично или полностью замаскированным. Принципиально задача ослабления внутренних шумов является наибо- лее сложной, но и их уровень можно существенно снизить, применив усили- тельные устройства, работающие в режиме глубокого (например, до темпе- ратуры жидкого гелия) охлаждения, в результате чего снижается интенсив- ность теплового движения частиц. Однако, несмотря на все эти меры, пол- ностью избавиться от помех невозможно. Со времени изобретения радио А. С. Поповым (в 1885 г.) и до настояще- го времени основной проблемой радиотехники была и остается проблема помехоустойчивости связи, включающая в себя и упомянутую выше пробле- му ЭМС, и большое число других проблем, охватывающих все разделы радио- техники: генерирование мощных колебаний, освоение и выбор волн, обеспе- чивающие благоприятные условия распространения, использование антенн направленного действия, поиски новых видов радиосигналов и новых спо- собов их обработки на фоне помех и т. д. Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ 2.1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала s (t) являются его мощность и энергия. Мгновенная мощность определяется как квадрат мгновенного значения s (t): Р (О = s2 (О- Если s (t) — напряжение или ток, то р (t) есть мгновенная мощность выделяемая на сопротивлении в 1 Ом. Энергия сигнала на интервале t2, 4 определяется как интеграл от мгно- венной мощности: t, t, 3 = § p(t)dt= ^s2(t)dt. (2.1) Отношение 9 i рг ____ - -- = - f s* s * * 8 9 (0 dt =s2 (0 (2.2) ‘2 4-*2 *1 " имеет смысл средней на интервале t2, tx мощности сигнала. 16
Реальные сигналы имеют конечную длительность и ограниченную по величине мгновенную мощность. Энергия таких сигналов конечна. В теории сигналов часто рассматриваются функции времени, заданные на всей оси времени — оо <; /•< оо при конечной величине средней мощности. Говорить об энергии подобных сигналов, обращающейся в бесконечно большую ве- личину, не имеет смысла. 2.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА В ВИДЕ СУММЫ-ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КОЛЕБАНИЙ Для теории сигналов и их обработки важное значение имеет разложение заданной функции f (х) по различным ортогональным системам функций Фп (х). Напомним основные определения, относящиеся к свойствам ортого- нальных систем. Бесконечная система действительных функций Фо (Ч фх (*)> <₽2 (х), — > Фп (х),... (2.3) называется ортогональной на отрезке [а, Л1, если ь j фп (х) фт (х) dx » 0 при п Ф пг. (2.4) а При этом предполагается, что ь j <jp£ (х) dx #= 0, (2.5) а т. е. что никакая из функций рассматриваемой системы (2.3) не равна тож- дественно нулю. Условие (2.4) выражает попарную ортогональность функций системы (2.3). Величина /"I НфпН =|/ ] ф£(х)с(х (2.6) а называется нормой функций <рп (х). Функция <рп (х), для которой выполняется условие ь Нфп|14= J <p'n(x)dx-l, (2.7) а называется нормированной функцией, а система нормированных функций фх (х), ф2 (х), ..., в которой каждые две различные функции взаим- но ортогональны, называется ортонормированной системой. В математике доказывается, что если функции фп (х) непрерывны, то произвольная кусочно-непрерывная функция / (х), для которой выполняет- ся условие J|f(x)[Mx< оо, может быть представлена в виде суммы ряда /(х)а=софо(х) 4-c^i(x)4-... 4-спф„(х) + ... (2.8) Интеграл в предыдущем выражении вычисляется по области опреде- ления 17
Умножим обе части уравнения (2.8) на ф„ (х) и проинтегрируем в пре- ь делах а, Ь. Все слагаемые вида f стфт (х) <pn (х) dx при т обращаются а в нуль в силу ортогональности функций <рт (х) и фп (х). В правой части оста- ется одно слагаемое b ь J Сп фп (х) фп (х) dx = сп J <ргп (X) dx « сп || фп ||2, а а что позволяет написать ь J f (х) фп (х) dx ~ Сп || фп ||а, а откуда следует важное соотношение ь Сп = „ Ч" f I W Ф» W dx- II фп ||2 J а (2.9) Ряд (2.8), в котором коэффициенты определены по формуле (2.9), называется обобщенным рядом Фурье по данной системе фп (х). Совокупность коэффициентов с„ называется спектром сигнала f (х) в ортогональной системе фп (х) и полностью определяет этот сигнал. Обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойством: при заданной системе функций фп (х) и фиксированном числе слагаемых ряда (2.8) он обеспечивает наилучшую аппроксимацию (в смысле минимума сред- неквадратической ошибки) данной функции f (х). Это означает, что средне- квадратическая ошибка, под которой подразумевается величина N М = Ь - дг f f(x)— 2 °пфп(х) a L п=0 2 dx, п — достигает минимума, когда коэффициенты ряда ап = сп. Действительно, подставив в предыдущее выражение ап — ср + Ьп и использовав равенства (2.4), (2.6) и (2.9), получим £ N N \P(x)dx- 2 ^11<Рп||2+ 2 " п=0 п=0 Отсюда следует, что М достигает минимума при Ьп = 0, т. е. при ап = = сп. Таким образом, ь Mmin = f f* (х) dx - 2 Сп || Фп II2- (2-10) а п = 0 Так как величина 6 ^(хИхН/К2 а является квадратом нормы функции f (х), а Л4т1П 0, то на основании (2.10) можно написать следующее неравенство: N 2 ^||ф„||2^|1Л2. (2Л1) п = 0 18
Это основное неравенство, называемое неравенством Бес- селя, справедливо для любой ортогональной системы. Ортогональная система называется полной, если увеличением числа членов в ряде среднеквадратическую ошибку М можно сделать сколь угод- но малой. Условие полноты можно записать в виде соотношения 2 (2.12) п= О При выполнении этого условия можно считать, что ряд (2.8) сходится в среднем, т. е. г N lim \ f(x)— 2 ^пфп(х) N~*°° J п = 0 2 dx~0. (2-13) оо Из этого, однако, еще не следует, что 2 спФп (х) сходится к f (х), т. е. п= О ЧТО max /(*)— 2 с«фп(х) п— О = 0 при любых значениях х. В п. 1 § 2.4 будет приведен пример, показываю- сю щий, что в отдельных точках на оси х ряд 2 спФп (х) может отличаться от п = 0 f (х), хотя равенство (2.13) имеет место. Для системы функций фп (х), принимающих комплексные значения, приведенные выше определения обобщаются следующим образом: условие ортогональности ь J Фп (X) q>m (х) dx = 0 при п Ф т; (2.4') а квадрат нормы функции ь ь II Фп Р = J фп (х) q>; (х) dx J | <р„ (х) |2 dx; (2.6') а а коэффициенты Фурье ь Сп ~ Hnll* f ф" dX' (2-9 а В этих выражениях ф* (х) обозначает функцию, комплексно-сопряжен- ную функции ф (х). Применительно к сигналам s (0, являющимся функциями времени, вы- ражение (2.8) в дальнейшем будет записываться в форме s(0= 2 спФп(0- (214) п — 0 В новых обозначениях квадрат нормы функции s (t) по аналогии с (2.6) будет = р«(0Л=Э. (2.15) h Это выражение совпадает с (2.1). 19
Таким образом, в соответствии с формулой (2.12) энергия сигнала э- 5 II2. (2.16) п=0 а при использовании ортонормированной системы функций фп (t) 3= £ \сп\*. (2.16') п = 0 При этом имеется в виду, что промежуток времени t2 — в котором определяется энергия Э, является интервалом ортогональности для систе- мы функций <рп (/). Очевидно, что средняя за время /2 — 4 мощность сигнала ^-Г~Г “ -Г~Т S 1с- НШ12- (2.17) Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении сложной функции в ряд. Среди раз- нообразных задач, требующих разложения сложного сигнала, наиболее важными являются: 1) точное разложение на простейшие ортогональные функции; 2) аппроксимация сигналов, процессов или характеристик, ког- да требуется свести к минимуму число членов ряда (при заданной допусти- мой погрешности). При первой постановке задачи наибольшее распространение получила ортогональная система основных тригонометрических функций — синусов и косинусов. Это объясняется рядом причин. Во-первых, гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою фор- му при прохождении через любую линейную цепь (с постоянными параметра- ми). Изменяются лишь амплитуда и фаза колебания. Во-вторых, разложение сложного сигнала по синусам и косинусам позволяет использовать симво- лический метод, разработанный для анализа передачи гармонических коле- баний через линейные цепи. По этим, а также и некоторым другим причинам гармонический анализ получил широкое распространение во всех отраслях современной науки и техники. При второй постановке задачи — приближенном разложении функций — применяются разнообразные ортогональные системы функций: полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра, функции Уолша и многие другие. Некоторые из этих систем функций будут рассмотрены в гл. 14. 2.3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ При разложении периодического сигнала $ (t) в ряд Фурье по триго- нометрическим функциям в качестве ортогЬнальной системы берут 1, cos о»,/, sin (о^, cos 2<iV, sin 2^, ..., cos n^t, sin n^t, ... (2.18) или —/2(0,/, 01*2(0,/ (2 19) Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом Т = — 2л/(о1 функции s (О- Система функций (2.18) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (2.19) — к комплексной форме. Между этими двумя фор- мами существует простая связь. 20
Воспользуемся сначала ортогональной системой (2.19). Тогда ряд Фу- рье должен быть записан в форме s (0 =... с_2 е-/2<в>' + е-+с0 4- ct e/w«< 4- с2 e‘2<e-z + • • = = 2 c*e'W' (2.20) П=: —оо Совокупность коэффициентов сп ряда Фурье в базисе тригонометриче- ских функций называется частотным спектром периодическо- го сигнала. Коэффициенты ряда (2.20) сп легко определяются с помощью формул, приведенных в предыдущем параграфе. Из формулы (2.6х) следует, что Т/2 II <₽» (0II2 = J е^е-^Л^Т. (2.21) —Т/2 _ Таким образом, независимо от п норма ||<р„|| — Используя форму- лу (2.9х), получаем Т/2 c(l=y- J s(0e-'nw>zA. (2.22) —Т/2 В выражениях (2.21) и (2.22) учтено, что функции е/п®'( соответствует комплексно-сопряженная функция е_,п“'/. Коэффициенты сп в общем случае являются комплексными величина- ми. Подставив в (2.22) е-/ло>'( » cos naV— i sin n^t, получим T/2 Т/2 if* ip cn— — J s(t)cosn(dx tdt — i — I s (t) sin nc^ tdt —icns.(2.23) — T/2 — T/2 Косинусная (действительная) и синусная (мнимая) части коэффициента сп определяются формулами Т/2 Т/2 J s (t) cos tdt, J s(t) sin n(dj tdi. (2.24) -T/2 -T/2 Коэффициенты cn часто бывает удобно записывать в форме Cn=kn|e'0"- (2-25) где knl = 0п = - arctg-^ . (2.26), (2.27) Модуль |сп| является функцией, четной относительно п, а аргумент 0П — нечетной (последнее вытекает непосредственно из выражений (2.24), показывающих, что спе является четной, a cns нечетной функциями п). Общее выражение (2.20) можно привести к виду 2 |cnleZ(n‘"‘/+e”’ . (2.28) П = — 00 Теперь нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда (2.28) пару слагаемых, соответствующую какому-либо за- данному значению |п|, например |п| = 2, и, учтя соотношения 0_2 » —02, |с_2| = |с2|, получим для суммы этих слагаемых | с_21 е‘(~2“,'+0-«) 4-) с21 = | с21 ie-z<2«*'+e«) 4- е‘<2ю«'+е«>] ® = 2|c2|cos(2g>1/4-02). (2.29) 21
Отсюда видно, что при переходе к тригонометрической форме ряд (2.28) необходимо записать следующим образом: s(/)«c0+ 2 2|cn|cos(rt®J + 0n). (2.30) п= 1 Смысл удвоения коэффициентов Фурье сп в тригонометрическом ряду при п > 1 становится ясным из рассмотрения векторной диаграммы (рис. 2.1), соответствующей (2.29) при |п| = 2. Вещественная функция 2 |сп | cos (ntOi/ 4- 0„) получается как сумма проекций на горизонтальную ось ОВ двух векторов длиной |сп|, вращающихся с угловой частотой |n| cdj во взаимно противоположных направлениях. Вектор, вращающийся против часовой стрелки, соответствует положительной частоте, а вектор, вращаю- щийся по часовой стрелке, — отрицательной. После перехода к тригономе- трической форме понятие «отрицательная частота» теряет смысл. Коэф- фициент с0 не удваивается, так как в спектре периодического сигнала со- ставляющая с нулевой частотой не имеет «дублера». Вместо выражения (2.30) в математической и радиотехнической литера- туре часто встречается следующая форма записи: s(t) = — + 2 (ап CQS 1 4- bn sin rtCOj t) = -y- 4- 2 An C0S (rt0)l f + 2 n=l 2 n=l 4-0n), (2-31) причем 0n = — arctg (bnl'an). Из сопоставления выражений (2.31) и (2.30) видно, что амплитуда п-й гармоники Ап связана с коэффициентом |с„| ряда (2.28) соотношением — 21 сп |, а ап -- 2cnc, bn ~ 2cns. Таким образом, для всех положительных значений п (включая и п = 0) Т/2 Г/2 2 (* 2 Р ая=— I «(Ocosncoj tdt, b,,^— I s(Z)sinnW| tdt. — T/2 — T/2 (2.32) Рис. 2.1. Представление гармо- нического колебания в виде двух комплексных составляю- щих: с положительной и отри- цательной частотами Если сигнал представляет собой функ- цию, четную относительно /, т. е. s (?) = = s (—/), в тригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как коэффициенты Ьп в соответствии с формулой (2.32) обращаются в нуль. Для нечетной относительно t функции $ (/), наобо- рот, в нуль обращаются коэффициенты ап и ряд состоит только из синусоидальных членов. Две характеристики — амплитудная и фазовая, т. е. модули и аргументы комплекс- ных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания. Наглядное пред- ставление о «ширине» спектра дает графи- ческое изображение спектра амплитуд. В ка- честве примера на рис. 2.2, а построен спектр коэффициентов |сп|, а на рис. 2.2, б — спектр амплитуд Ап — 2 |сп| для одного и того же периодического колебания. Для исчерпываю- 22
Рис. 2.2. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) рядов Фурье пе- риодической функции времени щей характеристики спектра подобные построения должны быть дополне- ны заданием начальных фаз отдельных гармоник. Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам 0, о>,, <о2 = 2соь ®3 = 3coj и т. д. Использование для гармонического, анализа сложных периодических колебаний рядов Фурье в сочетании с принципом наложения представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных цепей на про- хождение сигналов. Следует, правда, отметить, что определение сигнала на выходе цепи по сумме гармоник с заданными амплитудами и фазами является непростой задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда Фурье, представляющего входной сигнал. Наиболее распространенные в радиотехнике сигналы не соответствуют этому условию, и для удовлетво- рительного воспроизведения формы сигналов обычно необходимо суммиро- вать большое число гармоник. 2.4. СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Рассмотрим несколько примеров периодических колебаний, часто ис- пользуемых в различных радиотехнических устройствах. 1. ПРЯМОУГОЛЬНОЕ КОЛЕБАНИЕ (РИС. 2.3) Подобное колебание, часто называемое меандром1, находит особен- но широкое применение в измерительной технике. При выборе начала отсчета времени в соответствии с рис. 2.3, а функ- ция является нечетной, а рис. 2.3, б — четной. Применяя формулы (2.24), находим для нечетной функции (рис. 2.3, а) при s(t)—e(t): ----------- Рис. 2.3. Периодическое колеба- 1 Меандр — греческое слово, обозначающее кие прямоугольной формы (ме- «ориамент». андр) 23
-Ztoj 0 Zb)f 6) 0 2(i)f fai^ Ы ”7й>^ ~5<у^ "Ъщ -tof t(uf 5g)j 7ы^ &><[ ifa^ 5ы^ 7<fy 0) 6) Рис. 2.4. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) ряда Фурье коле бания, показанного на рис. 2.3 Учитывая, что = 2л, получаем Е Z1 ч (0 при п s=0,2,4,..., спз —-----(1-— cos пл) J г лп (2Е/пл при п = 1, 3,5,... Начальные фазы 0П в соответствии с (2.27) равны —л/2 для всех гармо* ник. Запишем ряд Фурье в тригонометрической форме е(0= 2 п=1,3,5,... ^Е / 1 =. — I sin W! t Н-----sin 3o>i t + Л у 3 4- —sin 5tt>i / “4"... (2.33) Спектр коэффициентов |сп| комплексного ряда Фурье показан на рис. 2.4, а, а тригонометрического ряда — на рис. 2.4, б (при Е = 1). При отсчете времени от середины импульса (рис. 2.3, б) функция явля- ется четной относительно t и для нее е (/) = ( cos ©I t----- cos 3(0] 14- -^-cos 5o), t—... л ' 3 5 (2.34) Графики 1-й (л = 1) и 3-й (и = 3) гармоник и их суммы изображены на рис. 2.5, а. На рис. 2.5, б эта сум- ма дополнена 5-й гармони- кой, а на рис. 2.5, в — 7-й. С увеличением числа сум- мируемых гармоник сумма ряда приближается к функ- ции е (0 всюду, кроме точек разрыва функции, где обра- зуется выброс. При п -»• оо величина этого выброса равна 1,18Е, т. е. сумма ряда отли- чается от заданной функции на 18 %. Этот дефект сходи- мости в математике получил название явления Гиб- бса. Несмотря на то, что в 24
Рис. 2.6. Периодическое колебание пило- образной формы Рис. 2.7. Сумма первых пяти гармоник колебания, показанного на рис. 2.6 рассматриваемом случае ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции е (/) в точках ее разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку при п -> оо выбросы являются бесконечно узкими и не вносят никакого вклада в ин- теграл (2.13). 2. ПИЛООБРАЗНОЕ КОЛЕБАНИЕ (РИС. 2.6) С подобными функциями часто приходится иметь дело в устройствах для развертки изображения в осциллографах. Так как эта функция являет- ся нечетной, ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены. С помощью формул (2.24)—(2.31) нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье. Опуская эти выкладки, напишем окончательное выражение для ряда е (t) =5 (sin Wj t — sin 2а)! t + 3g>i t — ----- sin 4a>! t 4-... j. (2.35) Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону 1/п, где п = 1, 2, 3, ... На рис. 2.7 показан график суммы первых пяти гармоник (в увели- ченном масштабе). 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УНИПОЛЯРНЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ (РИС. 2.8) Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид: е(/) = —121-----cosa)! t + cos 3*»! t + — cos SaV + ...^ I. (2.36) л | 2 л \ 32 52 J \ Рис. 2.8. Сумма трех первых гармоник периодической функ- ции 25
Рис. 2.9. Периодическая последова- тельность прямоугольных импульсов с большой скважностью На рис. 2.8 изображена сумма первых трех членов этого ряда. В данном случае отметим более быстрое убывание амплитуд гармоник, чем в предыду- щих примерах. Это объясняется отсутствием разрывов (скачков) в функции. 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УНИПОЛЯРНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ (РИС. 2.9) Применяя формулу (2.32), находим среднее значение (постоянную со- ставляющую) ти/2 у = 7 j е W dt = у- Е (2.37) “ти/2 и коэффициент /г-й гармоники ти/2 ап = — I е (t) cos ncol tdt = sin n<D1 — . (2.38) Т J ли 2 “хи/2 Так как функция е (t) четная, Ьп - 0 и АГ1 = ап. Таким образом, е (t) =Е ( у + — — sin -уу cos пои / V (2.39) п=1 ' Величина /V = Т/ти называется скважностью импульс- ной последовательности. При больших значениях /V спектр сигнала содержит очень большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник (рис. 2.10). Расстояние между спектральными линиями очень мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине. Это наглядно вытекает из формулы (2.38), которую в данном случае удобно представить в несколько измененном виде । । л 2Е I . / ти \ | |ап|=Л„- — sin пл -М , л/7 I \ Т ) I 2п Un Рис. 2.10. Спектр импульсной после- довательности. показанной на рис. 2.9 26
(2.40) При малых значениях п можно считать л — 2Е плТи =£ 2т» " ~ ял Т Т ' Постоянная составляющая, равная а0/2 = Еги/Т, вдвое меньше ампли- туды 1-й гармоники. При построении спектра коэффициентов |сл| величина с0 приближенно равнялась бы |с,|. 2.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В СПЕКТРЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА Пусть сигнал s (t) (ток, напряжение) представляет собой сложную периодическую функцию времени с периодом Т. Энергия такого сигнала, длящегося от t = —оо до t = оо, бесконечно велика. Основной интерес представляют средняя мощность периодическо- го сигнала и распределение этой мощности между отдельными гармоника- ми. Очевидно, что средняя мощность сигнала, рассматриваемого на всей оси времени, совпадает с мощностью, средней за один период Т. Поэтому можно воспользоваться формулой (2.17), в которой под коэффициентами сп следует подразумевать коэффициенты ряда (2.20), под интервалом ортогональности /2 — ti — величину периода Т, а под нормой ||<рв|| — величину VТ [см. (2.21)1. Таким образом, средняя мощность периодического сигнала *40= у S (2.41) п— —ОО Л =-ОО Используя тригонометрическую форму ряда Фурье и учитывая, что с0 = а„/2 и |сп | = Ап/2, получаем ?(/)=(уУ + 2 S = у-Е (2.42) ' их I 4 ' /1= I Если s (/) представляет собой ток i ((), то при прохождении его через со- противление г выделяется мощность (средняя) +/* '2 +/|/2 +...), где /0 = а0/2 — постоянная составляющая, а 1п = Ап — амплитуда п-й гармоники тока i (/). Итак, полная средняя мощность равна сумме средних мощностей, выде- ляемых отдельно постоянной составляющей /0 и гармониками с амплиту- дами /ь /2, ... Это означает, что средняя мощность не зависит от фаз от- дельных гармоник. Это вытекает из ортогональности спектральных состав- ляющих, в данном случае на интервале Т. 2.6. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Изложенный в § 2.3 гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. Пусть такой сигнал $ (/) задан в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке (/ь /2) (рис. 2.11). 27
Выделив произвольный отрезок времени Т, включающий в себя проме- жуток (/ь /2), мы можем представить заданный сигнал в виде ряда Фурье s(/) — 2 , 0</< Т, (2.43) Г/= — ОО где Wj ~ 2п/Т, а коэффициенты сп в соответствии с формулой (2.22) cn = -LJ s(0e-/nw*‘d/. (2.44) t, Подставив (2.44) в (2.43), получим s(Z) = S ( f s(x)e-"iw^dx^ e",<0-r-^ , 0</<7\ (2.45) \ J /2л /7 = —oo \ / Здесь учтено, что Г ® 2n/(DX. Вне отрезка (О, Т) ряд (2.43) определяет функцию s (f) ~ s (t ± kT), где k — целое число, т. e. периодическую функцию, полученную повторе- нием s (I) вправо и влево с периодом Т. Для того чтобы вне отрезка (О, Т) функция равнялась нулю, величина Т должна быть бесконечно большой. Но чем больше отрезок Т, выбранный в качестве периода, тем меньше ко- эффициенты сп. Устремляя Т к бесконечности, в пределе получаем бесконеч- но малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изобра- жает исходную непериодическую функцию s (0, заданную в интервале /ХС t<Z t2 (см. рис. 2.11). Число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим, так как при Т —► оо ос- новная частота функции сох ~ 2л/Т -->0. Иными словами, расстояние меж- ду спектральными линиями (см. рис. 2.2), равное основной частоте (оь становится бесконечно малым, а спектр — сплошным. Поэтому в выражении (2.45) можно заменить на do), пм1 на текущую частоту (о, а операцию суммирования операцией интегрирования. Таким образом, приходим к двойному интегралу Фурье Внутренний интеграл, являющийся функцией о>, t, S(w)= J (2.47) называется спектральной плотностью или спектраль- ной характеристикой функции s (/). В общем случае, когда пределы tx и /2 не уточнены, спектральная плот- ность записывается в форме 3,1 —1 < > -т Otf t2 т Рис. 2.11. Одиночный импульс S(w) = j $(Г)е~;шМл (2.48) — оо После подстановки (2.48) в выра- жение (2.46) получаем оо s(/)= — f S (u>) dw (2.49) 2л J — оо 28
I s (/) sin со/d/. (2.51) Выражения (2.48) и (2.49) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье. Выражение (2.48) отличается от (2.22) только отсутствием множителя 1/Т. Следовательно, спектральная плотность S (со) обладает всеми основными свойствами коэффициентов сп комплексного ряда Фурье. По аналогии с (2.23) и (2.25) можно написать S (со) = Л (со) — iB (со) = S (со) е»<ю>, (2.50) где Л (со) = J s (/) cos mtdt, В (со) = — оо Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выражения- ми S (со) = У [Л (со)]2 -МЛ (“))*» (2.52) 0 (со) = —arctg [В (со)/А (со)]. (2.53) Первое из этих выражений можно рассматривать как амплитуд- но-частбтную (АЧХ), а второе — как фазо-частотную характеристики (ФЧХ) сплошного спектра непериодического сиг- нала s (/). Как и в случае ряда Фурье, S (со) является четной, а 0 (со) — нечетной функцией частоты со. На основании формулы (2.50) нетрудно привести интегральное преобра- зование (2.49) к тригонометрической форме. Имеем (аргумент функции 0 (со) в последующих выражениях опущен]: s(/) = — f S (со) е/(<в/+0) dco == — (* S (со) cos (со/4-0) dco 4- 2л J 2л J — 00 —оо + f S (со) sin (со/ 4-0) dco. Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подынтегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором — нечетной от- носительно со. Следовательно, второй интеграл равен нулю и окончательно s(/) —J S (со) cos (со/ + 0) dm = -i- J S (co) cos (co/ 4- 0) d . (2.54) --OO 0 Переход от комплексной формы (2.49) к тригонометрической (2.54) обычно целесообразен в конце анализа; все промежуточные выкладки при применении интеграла Фурье удобнее и проще производить на основании комплексной формы (2.49). Отметим, что при со = 0 выражение (2.47) переходит в следующее: S(0)= J s (/) dt = площадь под кривой s(/). (2.55) — 90 Следовательно, для любого сигнала s (/) спектральная плотность S (со) на нулевой частоте равна «площади сигнала». Это правило полезно для бы- строго выявления структуры спектра некоторых сигналов. Примеры приме- нения этого правила приводятся в §2.10. 29
2.7. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СПЕКТРАМИ ОДИНОЧНОГО ИМПУЛЬСА И ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ Пусть заданы импульс Sj (/) и соответствующая ему спектральная плотность Si (©) = Sx (2л/) (рис. 2.12, а). На этом рисунке изображен модуль сплошного спектра Si (2л/) в виде функции, четной относительно /. При повторении импульсов с периодом Т получается последователь- ность, представленная на рис. 2.12, б (слева). Линейчатый (дискретный) спектр этой последовательности изображен в правой части рисунка., При периоде Т интервал между любыми двумя соседними гармониками равен 1/Т. Коэффициент n-й гармоники в соответствии с выражением (2.22) 1 С cn = -— I Si(0e-,n®*/ dt, ti где tox = 2л/7; и t2 соответствуют рис 2.11. Спектральная же плотность одиночного импульса на той же частоте <о = noil будет 1см. (2.47)] S(со =n(0j) = f Si(/)e“‘'1“i/ dt. fi Как ранее уже отмечалось, спектральная плотность Sx (© = n®x) от- личается от коэффициента сп ряда Фурье периодической последовательности только отсутствием множителя 1/Т. Следовательно, имеет место простое соотношение сп — Si (п®1)/Т =/i Si (n®i). (2.56) Соответственно комплексная амплитуда n-й гармоники An = 2cn = 2/i Sj (л®1). (2.56 ) Итак, модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом. На рис. 2.12, б штриховой линией обозначена огибающая линейчатого спектра |cn| — /А (л©!). Рис. 2.12. Одиночный импульс и его спектральная плотность (а), периодическая после- довательность импульсов и ее линейчатый спектр (б) 30
С увеличением Т спектральные линии на рис. 2.12, б сближаются и ко- эффициенты сп уменьшаются, но так, что отношение \cn\/ft остается неиз- менным. В пределе, при Т -> оо, приходим к одиночному импульсу со спек- тральной плотностью Sj (®) = lim (сп/А). f,-o Таким образом, становится наглядным термин «спектральная плот- ность»: S (<о) есть амплитуда напряжения (тока), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматрива- емую частоту <о. 2.8. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Между сигналом s (t) и его спектром S (®) существует однозначное со- ответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изме- нением спектра. Из многочисленных возможных преобразований сигнала рассмотрим следующие наиболее важные и часто встречающиеся: сдвиг сиг- нала во времени, изменение масштаба времени, сдвиг спектра сигнала по частоте, дифференцирование и интегрирование сигнала. Кроме того, будут рассмотрены сложение сигналов, произведение и свертка двух сигналов, а также свойства взаимной обратимости со и t в преобразованиях Фурье. 1. СДВИГ СИГНАЛОВ ВО ВРЕМЕНИ Пусть сигнал sr(t) произвольной формы существует на интервале вре- мени от 4 до 4 и обладает спектральной плотностью Sx (со). При задержке этого сигнала на время 4 (при сохранении его формы) получим новую функ- цию времени s2 (0 = si — 4)> существующую на интервале от 4 + 4 ДО 4 + 4- Спектральная плотность сигнала s2 (О в соответствии с (2.48) t,+t, t,+t, S(o>)=. J %(1) e-£w( dt = sx(i—t0)e-‘(atdl. G + G-Me Вводя новую переменную интегрирования т = t — tQ, получаем ^8 s (ш) =. е - J sx (т) е-dr=е - % (со). (2.57) Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции s (I) на ±4 приводит к изменению фазовой характеристики спектра S (со) на вели- чину ±а>4- Очевидно и обратное положение: если всем составляющим спек- тра функции s (t) дать фазовый сдвиг 0 (со) = ± со4, линейно-связанный с частотой «о, то функция сдвигается во времени на ±4- Амплитудно-частотная характеристика спектра (т. е. модуль спектраль- ной плотности) от положения сигнала на оси времени не зависит. 2. ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБА ВРЕМЕНИ Пусть сигнал sx (t), изображенный на рис. 2.13 сплошной линией, под- вергся сжатию во времени. Новый сжатый сигнал s2 (t) (штриховая кривая 31
Рис. 2.13. Сжатие сигна- ла при сохранении его формы и амплитуды на рис. 2.13) связан с исходным соотношением S2 (0 = Si (nt), п > 1. Длительность импульса s2 (t) в п раз меньше, чем исходного, и равна ти/п. Спектральная плот- ность сжатого импульса ти/л ти/п 8г(©) = J s2(/)e-<<e,d/ = f ^(nt) e~Mdt. о о Вводя новую переменную интегрирования т = nt, получаем ти S>(®) = -L J S1(T)e о й> " dr. Но интеграл в правой части этого выражения есть не что иное, как спектральная плотность исходного сигнала sx (t) при частоте ©/п, т. е. Sx (ю/п). Таким образом, Sa (<*>) — (1 /п) Sx (©/п). Итак, при сжатии сигнала в п раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в п раз. Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т. е. при п <Z 1) имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности. 3. СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛА Применим (2.48) к произведению s(t) cos (aot + 0О) s (/) cos (со0 / Qq) imt dt J s(t) £-2-ez<“o<+e‘) + — OO — OO 4-“~e—jt~Mtdt — e^* J s(f) _ze p s(0 dt. + J --------- OO Первый интеграл в правой части есть не что иное, как спектральная плотность функции s (0 при частоте © — ©0, а второй интеграл — при ча- стоте © + ©о- Поэтому полученное выше соотношение можно записать в форме J s(/)cos(©o/ + 0o)e~z®/d/=-i-[e‘e'>S(®—©0) + e_/e«S(© + ©0)J, (2.58) 00 где S (ю) — спектральная плотность сигнала s (t). Из выражения (2.58) вытекает, что расщепление спектра S (®) на две части, смещенные соответственно на + ю0 и —©0, эквивалентно умножению функции s (t) на гармоническое колебание cos a>ot (при 0О = 0). Более подробно это положение рассматривается в гл. 3 при изучении модулированных колебаний. 32
4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ЙНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛА Дифференцирование сигнала Sj (t) можно трактовать как почленное диф- ференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Но производная функции eZe>/ равна icoe/M<, из чего непосредственно вы- текают следующие соответствия: Si (0 + Si (w), s2 (0 = -r-io)Si(w) = S2 (<о). (2.59) dt К этому результату можно прийти также из общего преобразования Фурье С ^1,(0 = s1(0e_,<eZ I /mSj (ш) = icoSi (и). J dt I — oo — oo Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, поскольку при t -> ±<?о Sj (t) -*0 (условие интегрируемости сигнала). Аналогичным образом можно показать, что сигналу t M00n=J Si(x)dx — оо соответствует спектральная плотность S2(w) = (l/iw)S1(<o). (2.60) Следует, однако, подчеркнуть, что в отличие от операции itoS, (to) операция (l/ico) S2 (м) законна только для сигналов, отвечающих условию1 S (0) = 0, т. е. для сигналов с нулевой площадью оо j Si(t)dt — O (см. приложение 2). — оо 5. СЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным, очевидно, что при сло- жении сигналов $! (0, s2 (0.обладающих спектрами Sx (о)), S2 (со), ..., суммарному сигналу s (0 = S] (0 + s2 (0 + ... соответствует .спектр S (ш) - Si (<о) + S2 (to) + ... 6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ СИГНАЛОВ Пусть рассматриваемый сигнал s (0 является произведением двух функ- ций времени f (0 и g (0. Используя общую формулу (2.48), определяем спектр сигнала s (0 S(о>)= J s(0e-““'d?= J f(0g(0e(2.61) — оо — оо Каждую функцию f (0 и g (0 можно представить в виде интеграла Фурье: ОО оо f — —L_ С р (ой e,w do), g (t) f G (w) e*w d(o. 2л J 2л J — OO — oo 1 См.: Математические основы современной радиоэлектроники / И. А. Большаков, Л. С. Гуткин, Б. Р. Левин, Р. Л. Стратонович. — М.: Сов. радио, 1968. 2 Зак. 1326 33
Подставляя в (2.61) второй из этих интегралов, получаем У G(x) f dx. — оо ----оо Заключенный в квадратные скобки интеграл по переменной t представ- ляет собой спектральную плотность функции f (t) при частоте со — х, т. е. F (со — х). Следовательно, S(<o) = — f G(x)F(<o — x)dx. (2.62) — оо Итак, спектр произведения двух функций времени f (/) и g (t) равен, (с коэффициентом 1/2л) свертке их спектров F (со) и G (<о). Из выражений (2.61) и (2.62) в частном случае со == 0 вытекает следую- щее равенство: G(x)F( — x)dx. — оо — оо Заменяя в последнем выражении х на со, получаем f G (ю) F (—<•>) dm = — f G (со) F* (<•>) do>, (2.63) — оо где F* (со) ~ F (—со) — спектральная функция, комплексно-сопряженная функция F (со). Аналогично можно показать, что произведению двух спектров F (со) х х О ((о) - S (со) соответствует функция времени s (/), являющаяся сверт- кой функций f (t) и g (t): s(f)- f f(y)g(t—y)dy= j* f(t — y)g(y)dy = F (<o) G (o>) d<o. (2.64) — co Последнее выражение особенно широко используется при анализе пе- редачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции времени f (t) и g (t) имеют смысл соответственно входного сигнала и импульсной ха- рактеристики цепи (см. § 6.3), a F (со) и G (со) — спектральной плотности сигнала и передаточной функции цепи.
7. ВЗАИМНАЯ ЗАМЕНЯЕМОСТЬ <u И t В ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ФУРЬЕ Обратимся к общему выражению (2.48) и выясним свойства функции S (<о) для различных функций s (/). 1. Если s (0 есть функция, четная относительно t, то. переписывая вы- ражение (2.48) в виде оо оо S(co)~ J s(() cos со/d/ — i J s (t) sin totdt, ---------OO -OO убеждаемся, что при четности s (/) второй интеграл равен нулю, так как произведение s (/) sin является функцией, нечетной относительно /, а пределы интегрирования симметричны. Таким образом, при s (/), четной относительно /, функция S (со), опре- деляемая первым интегралом, есть функция вещественная и четная относи- тельно О). 2. Если s (0 нечетна относительно /, то в нуль обращается первый ин- теграл и S (со) — —i J s(/) sin со/d/. — оо В этом случае S (со) — нечетная и чисто мнимая функция. . 3. Если, наконец, s (t) не является четной или нечетной функцией от- носительно /, то ее можно разложить на две функции: четную $! (/) и не- четную s2 (0- При этом S (со) представляет комплексную функцию, причем действительная ее часть четна, а мнимая нечетна относительно а). И? п. 1 вытекает, что при четной функции s (/) можно произвольно выби- рать знак перед t в обратном преобразовании Фурье 1см. (2.49)1; выберем знак минус и запишем формулу (2.49) в виде sJ S (со) e~zft)t dco. В последнем интеграле заменим переменную интегрирования со на t и параметр t на со. Тогда левая часть должна быть записана в виде функции от аргумента со S(W)=._!_ f S(/)e-‘“W. 2л J — оо Но интеграл в последнем выражении можно рассматривать как спектраль- ную плотность новой функции S (/), полученной заменой со на t в выраже- нии спектральной плотности сигнала s (/). Обозначим эту спектральную плотность через S' (со). Тогда S'(со) 2ns (со). (2.65) Этот результат показывает, что переменные со и t в преобразованиях Фурье взаимно заменимы; если колебанию (четному) s (t) соответствует спектр S (со), то колебанию S (t) соответствует спектр 2ns (со). 2* 35
2.9. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В СПЕКТРЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА Для получения выражения, аналогичного (2.42), можно идти двумя пу- тями: исходя из (2.42) совершить предельный переход Т -> оо или восполь- зоваться результатами предыдущего параграфа. Рассмотрим второй путь. Для этого воспользуемся выражением (2.63). Если f (t) и g (t) представляют собой одно и то же колебание то интеграл J f(t)g(t)dt = J — оо — ОО представляет собой полную энергию сигнала s (t). Кроме того, произведение спектральных плотностей G (<о) и F* (со) приводится к виду G (<о) F* (<о) =» S (<о) S* (<d) = | S (w) |2 = S2 (<о), где S (ю) — спектр сигнала s (t), a S (со) — модуль этого спектра. Таким образом, в соответствии с (2.63) приходим к окончательному ре- зультату Э= j s2(/)d/=~ j |S(<o)|2do) = J-j S2(w)dw. (2.66) — 00 — 00 о Это важное соотношение, устанавливающее связь между энергией сиг- нала и модулем его спектральной плотности, известно под названием ра- венства Парсеваля. Между выражениями (2.42) и (2.66) имеется существенное различие. В § 2.5 речь шла о средней мощности периодического колебания. Операция усреднения осуществлялась делением энергии отрезка колебания за один период на величину Т. Для непериодического колебания конечной длитель- ности усреднение энергии за бесконечно большой период дает нуль и, следо- вательно, средняя мощность такого колебания равна нулю. Важно отметить, что энергия непериодического сигнала не зависит от фазировки спектральных составляющих. Это является, как и для периоди- ческого сигнала, результатом ортогональности спектральных составляющих. Различие заключается лишь в интервалах ортогональности: период Т для периодического сигнала и бесконечно большой интервал для непериодиче- ского сигнала. Из выражения (2.66) видно, что величину |S (со)|2, имеющую смысл энергии, приходящейся на 1 Гц, можно рассматривать как спектральную плотность энергии сигнала. 2.10. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СПЕКТРОВ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Основной задачей настоящего параграфа является пояснение свойств преобразований Фурье, приведенных в предыдущих параграфах, на приме- рах, важных для практики. 36
1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС Простейшее колебание, определяемое выражением Sl(0 = при — ти/2 <ти/2, при t<Z—ти/2 и />ти/2 (2.67) А О и представленное на рис. 2.14, а, получило широкое распространение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Применяя формулу (2.48), на- ходим спектральную плотность (рис. 2.14, б) Г„/2 . ±2“ 5х(со)=Л f е—ia>tdt — —— ( е 2 —е 2 J —i<o \ ~ти/2 _ 2Л ®ти _ Г sin (шти/2) ] О 111 — /1 I т> ' I • <о 2 [ юти/2 J (2.68) Заметим, что произведение Лти, равное площади импульса, определяет значение спектральной плотности импульса при со = 0, т. е. Sx (0) = Лти [см. (2.55)1. Таким образом, выражение (2.68) можно записать в форме Sx (со) = Sx (0) -si" ((0T,1/2>. = Sx (0) sine I-^2-1. соти/2 \ 2 ) (2.69) Здесь через sine (соти/2) обозначена функция sine (х) = (sin х)/х. (2.70) При удлинении (растягивании) импульса расстояние между нулями функции Sx (со) сокращается, что равносильно сужению спектра. Значение Sx (0) при этом возрастает. При укорочении (сжатии) импульса, наоборот, расстояние между нулями функции Sx (со) увеличивается (расширение спек- тра), а значение Sx (0) уменьшается. В пределе при ти -> 0 (Л = const) точки сох = ±2л/ти, соответствующие двум первым нулям функции Sx (со), удаляются в бесконечность и спектральная плотность, бесконечно малая по величине, становится равномерной в полосе частот от —оо до оо. На рис. 2.15 показаны отдельно графики модуля Sx (со), отнесенного к величине Sx (0), и аргумента 0 (со) спектральной плотности. Первый из этих графиков можно рассматривать как АЧХ, а второй — как ФЧХ спек- тра прямоугольного импульса. Каждая перемена знака Sx (со) учитывается на рис. 2.15, б приращением фазы на л. 37
Рис. 2.16. Совмещение начала отсчета вре- мени с фронтом прямоугольного импульса Рис. 2.15. Модуль (а) и аргумент (б) спек- тральной плотности прямоугольного им- пульса При отсчете времени не от середины импульса (как на рис. 2. 13), а от фронта (рис. 2.16) ФЧХ спектра импульса должна быть дополнена слагае- мым соти/2, учитывающим сдвиг импульса на время ти/2 (в сторону запазды- вания). Результирующая ФЧХ принимает при этом вид, показанный на рис. 2.15, б штриховой линией. 2. ТРЕУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС Представленный на рис. 2.17, а импульс определяется выражением I t \ Ти/2 t__\ Ти/2 / 2 2 (2.71) А 1 Прямое вычисление спектральной плотности треугольного импульса по формуле (2.48) хотя и несложно, все же несколько громоздко. Для иллюстрации применения теорем о спектрах, приведенных в преды- дущем параграфе, найдем сначала спектральную плотность функции, являю- щейся производной от заданного сигнала $2 (0- График производной показан на рис. 2.17, б. Спектральная плотность положительного прямоугольного импульса длительностью ти/2 и амплитудой —по аналогии с формулой Ти/^ (2.68) и с учетом сдвига середины импульса на время ти/4 относительно точ- ки t =* 0 А ти sin ((ОТи/4) е+*(оти/4 _ д sin (coTH/4) е1<оти/4 ти/2 2 coTjj/4 £0Ти/4 Рис. 2.17. К определению спектральной плотности треугольного импульса 38
Спектральная плотность отрицательного импульса, показанного на рис. 2.17, б, соответственно __д &‘п (<ДТи/4) е~ «о'ти/4 юТи/4 Суммарная спектральная плотность двух импульсов д sin (<оти/4) (е«вти/4_е-/адги/4) = i2A sin2 (ити/4) ,g _ юти/4 соти/4 Спектральная плотность треугольного импульса, являющегося инте- гралом от функции s'(t), получается делением предыдущего выражения (2.72) на но [см. (2.60)1: S, ((о) = 2А sin2 (мти/4) = Лти / Sin (оти/4 \2 со <оти/4 2 \ <0Ти/4 / Множитель Ати/2 = S2 (0) — площадь треугольного импульса. График S2 (to) представлен на рис. 2.17, в. Полезно отметить, что уровень боковых лепестков спектра треугольного импульса убывает пропор- ционально 1/(о2, а не 1/со, как в случае прямоугольного импульса. Большая скорость убывания спектра объясняется отсутствием разрывов в рассматри- ваемой функции. Аналогичная картина была отмечена в § 2.4 при рассмотре- нии линейчатого спектра периодической последовательности треугольных импульсов. Обобщение этого важного вопроса, основанное на использовании аппа- рата дельта-функций, дается в §2.13. 3. КОЛОКОЛООБРАЗНЫЙ (ГАУССОВСКИЙ) ИМПУЛЬС (РИС. 2.18, а) Представленный на рис. 2.18, а импульс определяется выражением s3(/) = Ae-<*/2a*, —оо </<оо. (2.74) Этот импульс, совпадающий по форме с графиком нормального (гауссовско- го) закона распределения вероятностей, называется также гауссовским им- пульсом. Постоянная а имеет смысл половины длительности импульса, оп- ределяемой на уровне е-1/2 = 1/е1/2 от амплитуды импульса. Таким образом, полная длительность импульса ти равна 2а. Применяя выражение (2.48), получаем S3((o) = A { (2.75) Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы (/2 \ Г / г2 \ -----L- но/ I = — I-----1- ко/ 4- d2 I —d2 2аг } Ц 2а2 / где величина d определяется из условия /<о/ = 2 a) d, 39
Рис. 2.18. Колоколообразный (гаус- совский) импульс (а) и его спект- тральная плотность (б) откуда d = 1<ла/У2. (2.76) Таким образом, выражение (2.75) можно привести к виду S8 (®) = Ле'*’ J e-d/V^a+dy dL — оо Переходя к новой переменной х = (t/У2а) 4 d, получаем S3 (со) Aed* У2 а С е -х* dx. Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен Ул, окончатель- но получаем S3 (to) - А У2лае-аЯ^/2 - Въ~<*г12Ь\ (2.77) где Ь — \1а\ В =^У 2л аА. График этой функции изображен на рис. 2.18, б. Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссовский импульс и его спектр выражаются одинако- выми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно^заменить t на to или наоборот. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне е~1/2 от максимального значения, равна 2Ь = 21а = 2-2ти = 4ти, а коэффициент В = У2лаА- Гауссовскому спектру S3(to) = Be ~0)2/261 (2.78) соответствует гауссовский импульс «з (0 = Ле-ь’'’/2 _ е-ьчч2 (2.79) 1/2я с длительностью 2/Ь и амплитудой А = ВЬ/у'2л. Очевидно, что чем меньше длительность импульса ти, тем шире спектраль- ная полоса 2Ь. 4. ИМПУЛЬС ВИДА SINC (х) На рис. 2.19, й изображен импульс, определяемый выражением s4 (0 = sine (<om t) = . (2.80) Вместо вычисления спектральной плотности по формуле (2.48) восполь- зуемся результатами п. 1 данного параграфа и свойством взаимной заменяе- мости (о и t в преобразованиях Фурье для четных функций времени (см. п. 7 §2.8). Из рис. 2.14 очевидно, что после замены со на t и t на со заданной функ- ции s3 (I) будет соответствовать спектр прямоугольной формы. Остается лишь найти площадь этого спектра и его уровень. 40
Рис. 2.19. Импульс вида sine (mJ) (а) и его спектральная плотность (б) Для этого сопоставим абсциссу t = л/о)ш на рис. 2.19, а с аналогичной абсциссой со = 2л/ти на рис. 2.14, б. Очевидно, что при замене t на <о (или наоборот) в данном примере необходимо исходить из соответствия л/<ош -> ->2л/ти, т. е. тп —*2(от, откуда следует, что 2(dw и есть искомая ширина спектра S4 (со). Уровень спектра, равномерный в полосе —а)т < (о сот, проще все- го определить по его значению в точке <о = 0, для которой S4 (0) равно пло- щади импульса [см. (2.55)1: S4(0) = f = Л f = f J J t J x — oo —OO —X = — л=— . (2.81) Итак, окончательно S4 (w) = I A при 'wWm' (2.82) I 0 при 1 w | > w,n. 5. ГРУППА ОДИНАКОВЫХ И РАВНООТСТОЯЩИХ ИМПУЛЬСОВ Спектральную плотность первого импульса в пачке (рис. 2.20) обозначим через Sr (<о). Тогда для второго импульса, сдвинутого относительно перво- го на время Т (в сторону запаздывания), спектральную плотность можно на основании (2.57) представить выражением S2 (<о) = Si (<d) e“z<oT, для тре- тьего импульса S3 ((d) Sj ((d) е-/2<йГ и т. д. Для группы из N импульсов в соответствии с принципом линейного сум- мирования спектров при сложении сигналов спектральная плотность S((d) «Sj (со)11 4-e~‘w f-e-Z2wr+... t-e~z<N-1 (2.83) При частотах, отвечающих ус- ловию (d = £2л/Т, где k — целое число, каждое из слагаемых в квад- ратных скобках равно единице и, следовательно, S\k2n/T]^NS1[k2n/Tl, (2.84) Таким образом, при частотах (d ~ k2n!T модуль спектральной рис. 2.20. Пачка одинаковых, равноотстоя- щих импульсов 41
Рис. 2.21. Модуль спектральной плотности пачки из трех (а) и четырех (5) импульсов плотности пачки в (V раз больше модуля спектра одиночного импульса. Это объясняется тем, что спектральные составляющие различных импуль- сов с указанными выше частотами складываются с фазовыми сдвигами, кратными 2л. При частотах же а) - (1/W) (2л/Г), а также при некоторых других частотах, для которых сумма векторов e~ikT обращается в нуль, суммарная спектральная плотность равна нулю. При промежуточных значениях ча- стот модуль S (со) определяется как геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных импульсов. В качестве иллюстрации на рис. 2.21, а изображен спектр (модуль) пачки из трех прямоугольных импульсов, а на рис. 2.21, б — из четырех при интервале между соседними импульсами Т = Зти. Штриховыми линиями показана спектральная плотность одиночного импульса. С увеличением чис- ла импульсов в пачке спектральная плотность все более расщепляется и в пределе при N -> оо принимает линейчатую структуру спектра периодиче- ской функции (см. рис 2.12) 2.11. БЕСКОНЕЧНО КОРОТКИЙ ИМПУЛЬС С ЕДИНИЧНОЙ ПЛОЩАДЬЮ (ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ) Некоторые из возможных импульсов, площадь которых равна едини- це, изображены на рис. 2.22. Амплитуды всех этих импульсов обратно про- порциональны соответствующим образом определенной длительности. При стремлении длительности к нулю амплитуда обращается в бесконечность, а площадь импульса остается неизменной и равной единице. Амплитуду прямоугольного импульса следует приравнять величине 1/х, (рис. 2.22, а), где — длительность импульса 42
При гауссовском импульсе (рис. 2.22, б) амплитуда должна быть прирав- нена 1/|/2ла, поскольку J е—xJ/2a’ dx — j/"2na. — оо Наконец, для импульса вида sin (2nfmx)/nx (рис. 2.22, в), площадь которого равна единице, амплитуда равна 2fm (при х — 0). Длительность импульса (главного лепестка) обратно пропорциональна параметру При устремлении параметров xt и а к нулю, a fm к бесконечности все три изображенные на рис. 2.22 функции можно определить следующим об- разом: SW_(”° (2.85) I 0 при х=/=0 при одновременном условии оо f 6 (х) dx = площадь импульса — 1. (2.86) — оо Функция 6 (х), обладающая указанными свойствами, называется еди- ничным импульсом, импульсной функцией или дельта-функцией (а также функцией Дирака). Применительно к исходным функциям, изображенным на рис. 2.22, б и в, дельта-функция должна быть определена выражениями 6(x) = lim—1—- е-х2/2°’, 6(x)==lim [sin (2л/т х)/лх]. о-»о "[/2л а Возможны и другие многочисленные определения б (х). При сдвиге импульса по оси х на величину х0 определения (2.85), (2.86) должны быть записаны в более общей. форме * [ ОО ЛрИ X Xq, q О7\ 6(X-XO)^=J r (2.87) | 0 при oo J 6 (x —x0) dx = 1, (2.88) — oo 6 (x— x0) = lim —e a-*o "[/2л a — (* — xe)2/2a2 * 6(x-x0) = limsin2lt/w(<-^. (2.89) a) S) Рис. 2.22. Импульсы, обращающиеся в дельта-функцию при стремлении длительности к нулю 43
Функция 6 (х) обладает важными свойствами, благодаря которым она получила широкое распространение в математике, физике и технике. Из определений (2.87), (2.88) вытекает основное соотношение оо <» J б(х —x0)f(x)dx=f (х0) J б (х — x0)dx /(х0). (2.91) — оо — оо Так как по определению функция б (х — х0) равна нулю на всей оси х, кроме точки х = х0 (где она бесконечно велика), то промежуток интегриро- вания можно сделать сколь угодно малым, лишь бы он включал в себя точ- ку х0. В этом промежутке функции f (х) принимает постоянное значение f (х0), которое можно вынести за знак интеграла. Таким образом, умноже- ние любой подынтегральной функции f (х) на б (х — х0) позволяет прирав- нять интеграл произведения значению f (х) в точке х = х0. В математике соотношение (2.91) называется фильтрующим свойством дельта-функции1. В теории сигналов приходится иметь дело с дельта-функциями от аргу- ментов t или со, в зависимости от того, в какой области рассматривается функция — во временной или частотной. Рассмотрим сначала свойства функции б (/). В этом случае основное значение имеет спектральная характеристика дельта-функции. В §2.10 было установлено, что при сокращении длительности тп прямоугольного импульса (неизменной амплитуды) ширина основного лепестка спектраль- ной плотности увеличивается, а величина S (0) быстро уменьшается. В дан- ном же случае, когда уменьшение длительности импульса сопровождается одновременным увеличением его амплитуды, значение спектральной плот- ности остается неизменным и равным величине S (0) = 1 для всех частот —оо <; со< оо. То же самое имеет место при укорочении любого из им- пульсов, показанных на рис. 2.22. Следовательно, спектральная плотность дельта-функции вещественна и равна единице для всех частот. Из этого также вытекает, что ФЧХ спектра дельта-функции б (/) равна нулю для всех частот. Это означает, что все гармонические составляющие единичного импульса при нулевых начальных фазах, суммируясь, образуют пик бесконечно большой величины в момент времени t = 0. Аналогично функция 6 (t—tQ), определяющая единичный импульс в момент 4, имеет спектральную плотность S (со)= е~/а)/<>. Модуль этой функ- ции по-прежнему равен единице, а ФЧХ 0 (со) =—со/о. Найденная ранее спектральная плотность дельта-функции может быть получена и с помощью преобразования Фурье: S(w)= J 6(t—f0)e~iMdi. — оо Используя свойство (2.91), находим S(oj) = е-^« J 6(/—/0) Ж = е~ <“'<>. (2.92) — оо При /0 = 0 S (со) — 1. Следует иметь в виду, что правая часть равенства S (со) = 1 является размерной единицей: это площадь импульса, численно равная единице. Если под б (/) подразумевается импульс напряжения, то размерность 5 (со) есть вольт х секунда (В-с). 1 На языке техники более подходящим по смыслу являлся бы термин стробирую- щее свойство. 44
Можно, очевидно, и 6 (/ — t0) представить в виде обратного преобразо- вания Фурье от S (<о) = е—ie>t*: J S(<a)eie,tda=-^- J d«>. (2.93) — OO —OO Энергия единичного импульса бесконечно велика. При спектральном рассмотрении это вытекает из равенства Парсеваля [см. (2.66)1, правая часть которого при S (<о) = 1 обращается в бесконечность. При временном рас- смотрении это следует из того, что энергия импульса, пропорциональная квадрату его амплитуды (т. е. величине 1 /т2) и первой степени длительности ти, с укорочением импульса растет как 1/ти. При ги -*0 энергия бесконеч- но велика. Понятие единичного импульса особенно широко используется при ис- следовании действия коротких импульсов на линейные цепи. При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального импульса была бесконечно велика, а длительность бесконечно мала. Достаточно, чтобы длительность импульса была мала по сравнению с постоянной времени исследуемой цепи (или по сравнению с периодом собственного колебания цепи). Рассмотрим теперь свойства 6 (со). Все, что ранее было сказано относи- тельно 6 (0, можно распространить на 6 (со) при замене t на со и <о на t. По аналогии с выражением (2.93) можем написать fi((0) = JL J (2.94) — оо —оо (Перемена знака в показателе степени в данном случае не влияет на значе- ние интеграла, см. § 2.8, п. 7.) Соответственно 6(<о-<о0) = J- J J (2.94') 2.12. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ СИГНАЛА И ШИРИНОЙ ЕГО СПЕКТРА. СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ СПЕКТРА Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр. Для установления количественных соотноше- ний между указанными параметрами сигнала необходимо условиться об определении понятий длительность сигнала и ширина его спектра. В прак- тике применяются различные определения, выбор которых зависит от наз- начения сигнала, его формы, а также от структуры спектра. В некоторых случаях выбор является произвольным. Так, ширину спектра прямоуголь- ного импульса определяют либо как основание главного лепестка (напри- мер, в п. 1 § 2.10), либо на уровне 1/J/2 от максимального значения спек- тральной плотности. Длительность колоколообразного импульса (см. § 2.10, п. 3) и ширину его спектра иногда определяют на уровне 0,606 от максималь- ного значения соответственно s (t) или S (со). Часто пользуются энергетиче- ским критерием, понимая под шириной спектра полосу частот, содержащую заданную долю полной энергии сигнала. Для практики важное значение имеет также оценка протяженности «хвостов» спектра вне полосы частот, содержащей основную часть энергии сигнала. 45
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЛОСАХ ХДЛИТЕЛЬНОСТЬ Для выявления предельных соотношений, связывающих длительность сигнала и ширину спектра, в современной теории сигналов большое распро- странение получил метод моментов. По аналогии с понятием момента инерции в механике эффективную дли- тельность сигнала Тэф можно определить выражением оо | оо 71ф = J (t - f0)2 s2 (0 dt J s2 (t) dt, — ОО I —оо где середина импульса t0 определяется из условия t0 = J ts2(t)dt / J s*(t)dt. — OO I —оо Имеется в виду, что функция s (t) интегрируема с квадратом (сигнал с конечной энергией). Аналогично эффективная ширина спектра Qa(J) = определяется выражением1 2 О?Ф = -Ь f co2S2(co)dco — f S2(co)dw. 2л J 2л J — OO I —оо Так как модуль спектра S (со) не зависит от смещения $ (/) во времени, можно положить /0 = 0. Наконец, сигнал s (t) можно нормировать таким образом, чтобы его энергия Э равнялась единице и, следовательно, оо оо J s2(0tf/=-^- J = — оо —оо При этих условиях выражения для Т9$ и Йэф принимают вид Пф = f /2 S2 (0 dt, Йэ’ф = — f W2 S2 (со) do, J 2л J — ОО —00 и, следовательно, произведение длительность х полоса Лф ЙэФ ? Т/2Г f /2s2(/)d/ J co2S2(co)dco 1/2 Нужно иметь в виду, что Тэ$ и £2эф являются среднеквадратическими от- клонениями соответственно от t — t0 и со = 0. Поэтому полную длительность сигнала следует приравнять 27\ф, а полную ширину спектра (включая и область отрицательных частот) — величине 2йзф. Произведение ТэфЙЭф зависит от формы сигнала, однако оно не может быть меньше 1/2. Оказывается, что наименьшее возможное значение ТэфЙ3ф = 1/2 соответствует колоколообразному импульсу2. Метод моментов применим не к любым сигналам. Из выражений для Тэф и ^эф видно, что функция s (/) с увеличением t должна убывать быстрее, чем Mt, а функция S (со) — быстрее, чем 1 /со, так как в противном случае соответствующие интегралы стремятся к бесконечности (расходятся): 1 Имеются в виду сигналы без высокочастотного заполнения. 2 Доказательство приведено в предыдущем издании настоящего учебника. См. так- же [31). 46
В частности, это относится к спектру строго прямоугольного импульса, когда J to2 S2 (со)dco = J со2 dco 4 j ----------~coscoTHjdco-> оо. — оо —оо —оо В этом случае выражение для ТЭфйэф не имеет смысла и оценку эффек- тивной ширины спектра прямоугольного импульса приходится основывать на иных критериях. Рассмотрим некоторые простые сигналы типа видеоимпульсов, т. е. сигналов, спектр которых сосредоточен в области низких частот, и опреде- лим с помощью равенства Парсеваля энергию, содержащуюся в полосе А/ от со = 0 до некоторой граничной частоты согр = 2л/гр: “гр 5д/= — J S2 (со) dco. о Относя затем к полной энергии импульса Э, определяем коэффициент 'П^грТи)^^ /Э, характеризующий концентрацию энергии в заданной полосе. В качестве исходного сигнала примем прямоугольный импульс, затем рассмотрим треугольный и колоколообразный (гауссовский). Последний осо- бенно показателен,, так как для него обеспечивается максимально возмож- ная концентрация энергии спектра, в заданной полосе 0 — /гр. Для прямоугольного импульса в соответствии с (2.68) “гр = (Дти)2 — f sin2 ((оти/2) do» = Л2 т’ — — X 1 ' л J (соти/2)2 я ти о “rpV2 X J ^-dx где Э = Л2тн. о Вычислив интеграл1, получим П = A fsi (й)гр Ти)_ ..^<yrpW2).- \ 2 / л |_ со гр ти/2 у где si (у) « I sin *- dx—интегральный синус. J х о Переходя к аргументу = л/грти, записываем , . . 2 Г . /о s ч sin2 (л/гр ти)1 Л(л/грти)—7^|sl (2лД»р ти) г л [ л;гр ти J Для треугольного импульса, спектральная плотность которого опре- деляется формулой (2.73), а полная энергия Э = Л2ти/3, 1 Интегрирование по частям дает ь ь ь С sin2 х sin2 х\ С 2 sin х cos х . sin2 b . | = ----- + I------------dx—-—— -4-si (2b). J x2 x I J X b 0 0 0 47
Импульс гауссовский V Z7,8 0,6 0,k 0,2 О Прямоугольный Треуеольный а) 0,5 1,0 1,5 7^ Рис. 2 23. Доля энергии сигнала в полосе /грти (а) и деформация импульса при усе- чении спектра (б) °гр / . соти \ 4 /Л 2 X / Sin---------- \ 5 — [_J_ I ------------i— J (со т /4), \ 2 ) n J \ соти/4 / iv гр и/ ъ о \ / л^грти 2 где1 п (<огр ти/4) = "frp Ти ) = Л Г \ 2 / л J х4 О Для гауссовского импульса в соответствии с (2.77) получаем “гр _ а“гр Эд| = Л22лаг— f е-а‘“’ d<n = ]f л А*а —-— f е~*‘ dx =Эт](аюГ0), я х У« У о * о где Э = Ул Ага—полная энергия гауссовского импульса, а функция 0(0 гр 2 С т1(а(йгр)=—z I =-Ф(а<огр)—интеграл вероятности. 1/п J у о Учитывая, что длительность гауссовского импульса определена в п. 3 § 2.10 и равна 2а, аргумент функции т] можно записать в форме асогр = = л/ ти. Функции Т) для трех импульсов представлены на рис. 2.23, а. Итак, значение произведения /грти, требующееся для заданного т], максимально для прямоугольного импульса (при т] > 0,9) и минимально для гауссовского. В частности, уровню т] = 0,95 соответствуют значения /грти, равные 1,8; 0,94 и 0,48. Выбор границы спектра по энергетическому критерию в некоторых прак- тических задачах не всегда приемлем. Так, если при обработке импульса требуется сохранить его форму достаточно близкой к прямоугольной, то /грти должно быть гораздо больше единицы. Для иллюстрации этого важно- го положения на рис. 2.23, б показаны исходный импульс (штриховая линия) и его деформация при усечении спектра на уровнях /грти = 1,3 и 5. В любом случае при заданной форме сигнала сжатие его во времени с целью, например, повышения точности определения момента его появления 1 Последовательное интегрирование по частям приводит к следующей формуле: Ъ ( = 1|_ рэд + 4 si |4Ь)1. ,) х4 3 I 63 2 62 2 6 к /т К о где ср (б) —sin4 Ь\ ф'(6) =--~- (2 sin 26—sin 46); ф" (6) =26 (cos 2—cos 46). 48
неизбежно сопровождается расширением спектра, что заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. Аналогично сжатие спек- тра импульса с целью повышения точности измерения частоты неизбежно сопровождается растяжением сигнала во времени, что требует удлинения времени наблюдения (измерения). Невозможность одновременно сконцентри- ровать сигнал в узкой полосе частот и в коротком интервале времени пред- ставляет собой одно из проявлений известного в физике принципа неопре- деленности. Вопрос о величине произведения длительность X полоса актуален в связи с проблемой электромагнитной совместимости, возникающей при вза- имных помехах радиостанций. С этой точки зрения наиболее желательна форма импульсов, близкая к колоколообразной. 2. СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ СПЕКТРА ВНЕ ОСНОВНОЙ ПОЛОСЫ Для выявления связи между поведением S (со) в области относительно высоких частот и структурой сигнала s (t) воспользуемся свойствами таких испытательных сигналов, как единичный импульс и единичный скачок. Единичный импульс S (/) является единственной функцией, имеющей неубывающую спектральную плотность на всей оси частот — оо < со < оо. Поэтому можно утверждать, что сигнал s (/), спектр которого вне ос- новной полосы не убывает с ростом со, содержит в своем составе дельта- функцию (в реальных условиях достаточно мощный короткий импульс). Далее, единственной функцией времени, имеющей спектральную плот- ность вида 1/со, является единичный скачок и (/) = 1, t 0. Следовательно, убывание хвоста спектра сигнала s (/) по закону 1/со свидетельствует о на- личии в функции s (/) скачков, т. е. разрывов непрерывности. Но в точках разрыва производная функции обращается в дельта-функцию (с постоянным коэффициентом, равным величине скачка). Поэтому убывание спектра про- порционально 1/со указывает на наличие дельта-функции в составе произ- водной s' (/). Это рассуждение можно продолжить и для производных сиг- нала s (/) более высоких порядков. Проиллюстрируем сказанное примерами трех сигналов, представлен- ных на рис. 2.24: с разрывом, с изломом и «гладкого» сигнала (без разрывов и изломов). В первом примере (рис. 2.24, а) производная s' (/) определяется выраже- нием s'(/) = S(/)—ае~а/, />0, а = 1/т0, и спектральная плотность функции s' (/) в соответствии с табл. 2.1 о / \ 1 1 № Ss' (со) = 1 —а------------• аа-|-* (<о) Для определения спектральной плотности сигнала s (/), являющегося интегралом от s' (t), можно исходить из выражения S,(<0) -= —• ид a 4-ico В данном случае операция 1/ico законна, поскольку Ss- (0) = 0 [см. (2.60)]. При со > а спектральная плотность Ss (со) « 1/йо. Как видно из рис. 2.24, а, это объясняется наличием функции 6 (/) в первой производ- ной сигнала s (/). 49
о Таблица 2.1 Сигнал 6(0 ( 1 при t О, I О при t<z О, о t е at при t > О, О при t < О
Изображение по Лапласу Спектральная плотность 1 8. О 6) 1 р е I лб(to)+---- Xto I «+р I a-H’to 2а 2а а2—р2 а2 4-со2 8 ft г е О) 0\ 2 s;e 1/а П/2^Х АЧХ <д 2/а 7 -Я/2
-Ъ/2 О ъ/2 t ( 1 при |/| < ти/2, [ 0 при 111 > ти/2
2 ти [ sin й)Ти/4 \2 2 \ шти/4 ) KV ae“V”/2 V л ae-at<e,/2 Я/й>т при I <0 I < <om 0 -при | <o | > <om p+« (p4-a2)4-tt>J t(0 "j-Ct (i<o4-a)2+<o2
Во втором примере (рис. 2.24, б) производная функции , ... I —ае~а/ при t>0, s (г) = { ( ае“* при t < О, не содержит дельта-функции, но терпит в точке t = 0 разрыв. После пов- торного дифференцирования получим функцию, отличающуюся от исход- ного сигнала s (t) только масштабом по оси ординат и наличием функции —2аб (0. Следовательно, спектральная плотность второй производной S8« (<о) = a2 Ss (<о)—2а, причем при со = 0 эта функция равна —а. Разделим теперь полученное выражение на (i<o)2 и учтем, что S3« (<о)/ (t(o)2 есть спектральная плотность двухкратного интеграла от функции s" (/), т. е. Ss» (<o)/(i®)2 = Ss (со). Таким образом, можно составить следующее соотношение: S8 (со) = [a2 S, (и) —2а]/(йо)2, откуда вытекает равенство Ss (io) = 2a/(a2 + (о2). При (о > a Ss (co) = 2a/<o2. Отсюда видно, что разрыв первой производной приводит к убыванию спектра по закону 1/со2. Этот результат можно обобщить следующим обра- Рис. 2.24. Примеры сигналов: а) с разрывом; б) с изломом; в) без разрыва и излома 52
зом: вне основной полосы частотный спектр убывает по закону 1 / , где п — порядок производной» при котором возникает первый разрыв. С этой точки зрения сигнал, показанный на рис. 2.24, в, производные которого непрерывны при всех значениях и, вплоть до п ~ <х>, должен обладать спектром, скорость убывания которого является максимально воз- можной. Этот вывод согласуется с тем, что произведение длительность х по- лоса минимальна для колоколообразного импульса (см. п. 1 данного пара- графа). Основываясь на приведенных рассуждениях нетрудно также объяс- нить происхождение пульсации спектра вне основной полосы частот. Пе- риодическая пульсация с неубывающими максимумами может возникать только в результате интерференции спектров двух дельта-функций, разне- сенных во времени. Спектр прямоугольного импульса, пульсирующий с максимумами, убывающими по закону 1/со, является наглядным примером интерференции спектров двух единичных скачков. 2.13. СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ Одним из условий применимости преобразования Фурье к функции s (/) является ее абсолютная интегрируемость: оо J \s(t)\dt<oo. (2.95) — оо Это условие существенно ограничивает класс сигналов, для которых существует спектр Фурье, выражаемый обычными функциями. Например, такие важные для теории сигналов и цепей функции, как гармоническое ко- лебание, заданное при —оо < t < оо или включаемое в некоторый момент времени, единичный скачок, и некоторые другие функции не отвечают усло- вию (2.95). Рассмотренные в предыдущем параграфе свойства дельта-функции по- зволяют устранить это препятствие. Обратимся, например, к гармоническому сигналу s (/) = Ао cos (coof + 4 90)- Не обращая внимания на то, что такой сигнал не является абсолют- но интегрируемым, выражение для спектральной плотности запишем в форме (2.48): оо оо S («>)== J s (/) е ~'ы' dt = Ао J cos (w01 + 0O) e~dt — — oo — oo •a oo „ oo Л Л» A A — p = — i — I e-iiw+o»,)/dt. — oo — oo На основании формулы (2.94') получаем S (о») = -у- [2ле/0« 6 (<о —<о0) 4- 2ле ~'0« 6 (о> | w0)j =. = Аа л |е,н» 6 (<о —ю0) 4-е -'0» 6 (w 4- w0)|. (2.96) Эта функция равна нулю для всех частот, кроме и = <о0 и <о = —ю0, при которых S (<о) обращается в бесконечность. Как и следовало ожидать, гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконеч- но большая спектральная плотность при дискретных частотах и —<оо. 53
Рис. 2.25. Импульсный и монохроматический сигналы (а) и их спектральные плотно- сти (б) В частности, приравнивая а)0 нулю, получаем спектральную плотность сигнала, представляющего собой постоянное напряжение (ток) Ло: S ((d) - Л0-2лб (о)). (2.97) Распространив соотношение (2.96) на все гармоники любого периодиче- ского сигнала 2 А" С°8 / + е„), п = 1 можно ввести понятие спектральной плотности периодического сигнала в виде суммы дельта-функций S ((о) = Ло • 2лб (со) + Ах л [е40< 6 (ю—(Dj) + е~401 6 (со + wj] + А2 л [е402 S (ю—2(dJ -j- е~402 S (со 2<пх)] + ... ... + Ап л[е'°п 6((D — л(о1) + е“’<впв((о-]-/ко1)1+ ... (2.98) Такой подход оказывается полезным при рассмотрении смеси импульс- ного и гармонического сигналов. Пусть, например, отыскивается спектр суммы двух сигналов: импульс- ного Sj (0 и гармонического s2 (О = cos (рис. 2.25, а). Применяя выражение (2.48) к Sj (/), находим обычную спектральную плотность S ((d), определяющую сплошной спектр (на рис. 2.25, б заштрихован). Применение же (2.48) к s2 (/) дает спектр, определяемый выражением (2.96). На рис. 2.25, б этот спектр изображается двумя спектральными линиями, уходящими в бесконечность. Отыщем теперь спектральную плотность единичного скачка. Эту про- стейшую разрывную функцию представим в виде суммы s (0 = V2 + \ sign (0, (2.99) где sign (t) — сигнум-функция, равная единице, знак которой изменяется при переходе переменной t через нуль. Постоянной составляющей 1/2 соответствует спектральная плотность 1см. (2.97)] лб ((d), а спектральную плотность нечетной функции V2 sign (t) нетрудно найти с помощью правила, сформулированного в предыдущем па- раграфе. Продифференцировав функцию V2 sign (/), получим производную, которая равна нулю на всей оси времени, кроме момента / 0, где она равна 6 (/). Спектральная плотность 6 (/) равна единице, следовательно, искомая спектральная плотность сигнум-функции будет 1//ю. В результате получаем спектральную плотность единичного скачка S ((d) - лб ((d) + 1/мо. (2.100) 54
При рассмотрении воздействия единичного скачка на цепи, переда- точная функция которых при <о = 0 равна нулю (т. е. на цепи, не пропус- кающие постоянный ток), спектральную плотность можно определять по формуле S (<о) = bio). (2.100') 2:14. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ЧАСТОТЫ Анализ прохождения сигналов через линейные цепи, описываемые ком- плексной передаточной функцией, значительно облегчается при использова- нии методов контурного интегрирования на плоскости комплексной частоты р = а + йо. Переход от действительной переменной <о к р — = ст 4- йо позволяет также полностью устранить ограничения, вытекающие из требования абсолютной интегрируемости функции s (t). Представим функцию s (0, в общем случае существующую при —оо < < t <_ оо, в виде суммы двух функций: s(0«s+(04-S- (0, из которых s+ (t) задана при 0 •< t <Z оо, a s_ (0 — при —оо < / < 0. Обращаясь к паре преобразований Фурье (2.48), (2.49), совершаем пере- ход от (о к р сначала для функции s+ (0. Для этого домножим s+ (0 на е_<т>', где о, > 0 выберем таким образом, чтобы обеспечивалась абсолют- ная интегрируемость функции е-®1' s+ (0 в пределах 0 <_ t<Z оо. Тогда выражение (2.49) принимает вид e-<7*/s+(0«=— С S+(w)etoZdw, (2.49') 2л J — оо причем S+ (ш) является спектральной плотностью функции е-"*' s+ (0. Теперь подставим в (2.49') йо — р — ст, и со = (р — ст,)/й e-a*'s+(0 ==—!—- j S-Ц p.~Oi dp, Ot —too откуда Gt 4“ too Oi I too s+(/) = -L f f LSt(p)&‘dp. (2.101) 2л1 J \ i ] 2m J Oi — too Gj — too Новая функция Ls+ (p), являющаяся не чем иным, как спектральной плотностью сигнала e~o,/s+(0 [см. комментарий к (2.49')1, определяется выражением оо (p)«S+(-^-j^S+(®)«j e~'*'s+(0e ~^‘dt, о откуда оо Ls+(p)~ js+(0e-^d/. (2.102) о Полученное соотношение называется преобразованием (од- носторонним) Лапласа функции s+ (t). 55
Рис. 2.26. Путь интегрирования по прямой Oi—too, Oj+Zoo на р-плоско- стй (а); образование замкнутого кон- тура добавлением дуги АВС при Я—оо (б) Рис. 2.27. Замыкание контура интегрирова- ния для представления функции s+(/): а) при t>0, б) при f<0 Соотношение (2.101) по аналогии с выражением (2.49) часто называют обратным преобразованием Лапласа. Сравнение выражений (2.101) и (2.49) показывает, что переход от со к р означает изменение пути интегрирования. В выражении (2.49) интегри- рование ведется по действительной оси со, а в выражении (2.101) — по пря- мой, проходящей параллельно мнимой оси /со на расстоянии ах вправо от этой оси (рис. 2.26, а). Значение постоянной ох определяется характером подынтегральной функции в (2.101): путь интегрирования должен прохо- дить правее полюсов этой функции. Добавлением к прямой огх — /оо, ох + /оо дуги бесконечно большого радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования (рис. 2.26, б). Для того чтобы добавление этой дуги не изменяло значения интеграла, нужно руководствоваться следующим правилом: при положительных значе- ниях t контур должен быть расположен в левой полуплоскости переменно- го р, а при отрицательных t—в правой. Тогда в первом случае при t > 0 [при проведении дуги в левой полупло- скости (рис. 2.27, а)] контур интегрирования охватывает все полюсы по- дынтегральной функции (лежащие левее прямой ох — /оо, ах -4- /оо) и в со- ответствии с теорией вычетов интеграл (2.101) определяется как с, 4- ioo s+(/) = ——7 f Ls + (p)eptdp = —— (5 LS4. (p)ep,dp =2 res, (2.103) 2ni J 2л/ j o, — too ABC A где S res — сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции. При проведении же дуги в правой полуплоскости, т. е. при /<0 (рис. 2.27, б), полюсы функции Ls+ (р) оказываются вне контура инте- грирования и в соответствии с теоремой Коши интеграл по замкнутому контуру равен нулю. Таким образом, в зависимости от способа замыкания контура интегри- рования получим: при />0 (контур по рис. 2.27, a) s+ (/) определяется выражением (2.103); при /<0 (контур по рис. 2.27,6) о, Н-1ОО s+(0 = —f Ls+ (p)eptdp = -+— ф L8+(p)e',/dp=O. (2.104) 2л/ J 2ш j CT, + loo ABC A 56
Напомним важное свойство контурного интеграла: он не зависит от формы замкнутого контура, по которому проводится интегрирование, если только полюсы подынтегральной функции остаются внутри контура. На основании этого свойства контур, образованный добавлением дуги АВС бесконечно большого радиуса (см. рис. 2.27, а) к прямой ох — /оо, ох + /оо, можно произвольно деформировать при соблюдении условия, что все полю- сы, расположенные левее прямой о\ — /оо, ох 4- /оо, остаются внутри кон- тура. Итак, вычисление интеграла (2.103) сводится к определению вычетов в полюсах подынтегральной функции. На рис. 2.27, а показано положение полюсов для следующих функций времени: sx(/) = е~а“, />0, Л = — «1, /. ( e~a2zcosco02/, /^0, * , . /п s2(0= . . a Л Аь Р2 = - а2 ± (2.105) I e~a2/sincoo2/, />0, /^\ f cos (Олд t, t 0, * . .q t t MO- . °\ Ab Рз=±“0р3. (2.105') ( sin(o03/, /^0, Рассуждения, аналогичные предыдущим, можно привести для функции $_ (/}, заданной при —оо < t < 0. Домножив $_ (/) на е““а2*, при о2 < 0, выбранной таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции e~a**s_ (/) в пределах —оо с t < 0, можно написать о о £g_(p)= J f s_(i)e~ptdt, (2.106) — оо —оо a2-|-Zoo S- (0 = ~4г [ Ls- (Р) ер<dp. (2.107) 2711 J a2 — zoo Контур интегрирования для данного случая показан на рис. 2.28. Интеграл ра- вен сумме вычетов в полюсах функции Ls_ (р) е^, расположенных в правой полупло- скости р. Эту сумму следует взять со знаком минус, поскольку при t < 0 контур об- ходится по часовой стрелке. Выражения (2.102), (2.106) и (2.101), (2.107) можно объединить следующим обра- зом. МР)==^+(Р) + ^-(Р)> (2.108) s(/) = 1 2 л/ (Р) ep,dp + Ls_ (p) ept dp O2 — zog (2.109) Соотношение (2.108) называется двусторонним преобразовани- ем Лапласа. Области сходимости функций Ls± (р) и (р) на плоскости р показаны на рис. 2.29. Для Ls_ (р) эта область расположена справа от прямой о = —оь на которой расположены полюсы (комплексно-сопряженные), а для (р) — слева от прямой о = |о2|. Область сходимости для Ls (р) имеет вид полосы шириной ох + |о2|. Путь интегрирования должен проходить по прямой, расположенной внутри этой полосы и параллельной оси /со, а также по замыкающей дуге, расположенной в ле- вой полуплоскости для / >0 и соответственно в правой полуплоскости для t < 0. Одностороннее преобразование Лапласа получило особенно широкое распростра- нение при анализе переходных процессов, связанных с действием на цепь внешней си- лы, когда начало отсчета времени совмещают с началом воздействия. Двустороннее преобразование Лапласа находит все большее применение при анализе процессов и функций времени, двусторонних по самой своей сути (например, корреляционных функций, рассматриваемых в §2.18). 57
Рис. 2.28. Замыкание контура интегрирования для представ- ления функции s-(t) при /<0 Рис. 2.29. Области сходимости при двустороннем преобразовании Лапласа При рассмотрении четных функций s (?) — s (—/), когда можно считать s+ (?) = = s_(—/), имеет место следующее соотношение: 0 0 оо £e_(p) — J s(0e-₽/d/= J s(—Oe-p<-od(—0= f s (Z) ер/d/= — оо оо 0 = Гв+ (—р). (2.110) Поясним применение выражений (2.106)—(2.110) на двух примерах. 1. Четная функция s (/)— е"“а при а>0 (рис. 2.30). По формулам (2.102) и (2.110) находим Ls+ (Р) = 1/(а + р), (р) = 1/(а—р). £в(р)^1/(а + Р) + 1/(а-р)=2а/(а2-р2). (2.Ш) 2. Прямоугольный импульс при отсчете времени от фронта (см. рис. 2.16) или от середины импульса (см. рис. 2.14, а). В первом случае ^(Р)=(1/Р)(1~е-^И). Во втором случае Ls (Р) = Ls+ (р) 4" Ь8— (р), Рис. 2.30. Пример функции времени, тре- бующей применения двустороннего пре- образования Лапласа где is+(p)= (1—е~рти/2); £s_ (р) = £в+(—р) = Р = — (l-e+pV2). —р Таким образом, £s(p)Ml/P)(e₽V2-e-pV2). (2.112) Большинство свойств преобразования Лапласа совпадает с аналогичными свойствами преобразова- ния Фурье, изложенными в § 2.8. Если сигналу s (/) 58
соответствует изображение по Лапласу L, (р), то имеются следующие соот- ветствия: s(t—t0) + e-р** L, (р), s (0 е-а< 4- Ls (р + а), s (0 e*°»z 4- Ls (р — ico0), s (t) cos ®014- X/2L, (p—1®0) -|- x/2Lg (p + t®0), t oo —^4- pL, (p), f s (0 dt 4- (1 /Р) Ls (p), f Si (y) s2 (t—y) dy+Li (p) L2 (p). dt J J 0 —oo В заключение остановимся на правилах перехода от изображения Ла- пласа к преобразованию Фурье S (со) (имеются в виду односторонние преоб- разования Лапласа). Если на оси iu> функция La (р) не имеет полюсов, то для такого перехода достаточно в (2.102) положить th = 0, т. е. перейти от переменной р к пере- менной I©. В противном случае, чтобы избежать ошибки, необходимо опре- делить вклад этих полюсов в спектральную плотность сигнала1. Дело в том, что интегрирование функции L, (р) ePt по полуокруж- ности бесконечно малого радиуса с центром в полюсе рг = приводит к гармоническому колебанию с частотой (ох и амплитудой 1/2. Спектральная плотность. такого колебания, равная лб (<о — wj, должна быть прибавлена к сплошному спектру, обусловленному интегрированием по оси tco. Так, для функции Ls (р) с одним полюсом в точке = 0 [s (t) = 1, / > 0J мы ранее получили S (®) = лб (<о) 4 1 /1а; для функции L, (р) с двумя комплексно-сопряженными полюсами р12 — = Is (0 = cos ®0/, / > 0] спектральная плотность будет S(w) = л [б (co—о)0) 4-б (юсо0)] (2.113) и т. д. (см. приложение 1). Изображения по Лапласу и соответствующие им спектры Фурье неко- торых распространенных в теории сигналов функций приведены в табли- це 2.1. 2.15. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ С ОГРАНИЧЕННОЙ ПОЛОСОЙ ЧАСТОТ В ВИДЕ РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА В теории и технике сигналов широко используется теорема Котельни- кова (теорема отсчетов): если наивысшая частота в спектре функции s (/) меньше, чем fm, то функция s (/) полностью определяется последовательно- стью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на l/2fm секунд. В соответствии с этой теоремой сигнал s (/), ограниченный по спектру наивысшей частотой ыт = 2nfm, можно представить рядом s(/)= 2 shH = 2 (2.ш) „ _ \ *1т / 03 m V п/*1т) „ — П==х -СО П= -ОО В этом выражении 1/2/то = А/ обозначает интервал между двумя отсчет- ными точками на оси времени, a s (n/2/m) = s (nA/) — выборки функции s (/) в моменты времени t = n&t. *См.: Тронин Ю. В. Утеряна дельта-функция! — Радиотехника и электроника, 1986, №2, с. 408. 59
5 * в(/7-»-7/ЛГ Рис. 2.31. Представление сигнала рядом Котельникова Представление заданной функции з (0 рядом (2.114) иллюстрируется рис. 2.31. Функция вида (2.Н5) ®mV~ «ДО уже встречавшаяся ранее (см. §2.10, рис. 2.19, а), обладает следующими свойствами: а) в точке t — nAt <pn (пД0 — 1, а в точках t = kAt, где k — любое целое положительное или отрицательное число, отличное от п, <pn (kAt) = 0; б) спектральная плотность функции <р0 (0 "равномерна в полосе частот ®т и равна 1/2/m = л/<от [см. (2.82) и рис. 2.19, б]. Так как функция фп(0 отличается от <р0 (0 только сдвигом на оси вре- мени на п/V, то спектральная плотность функции <рп (0 Ф„и = 1 е — ink ta __ Д fa — iлД i 2/m при —юго<(0<юго, (2.116) 0 при (0<—<от и Модуль этой функции изображен на рис. 2.32, б. То, что ряд (2.114) точно определяет заданный сигнал з (0 в точках от- счета, не требует дополнительных доказательств, поскольку коэффициен- тами ряда являются сами выборки из функции, т. е. величины s (nAt). Мож- но доказать, что ряд (2.114) определяет функцию з (0 в любой момент t, а не только в точках отсчета t = nAt. Воспользуемся для этого общими пра- вилами разложения функции по ортогональной системе, изложенными в § 2.2. В данном случае разложение производится по функциям вида (2.115), для которых интервал ортогональности равен бесконечности, а норма ||фп|| в соответствии с (2.5) sin8 <om(/—nA/) ,,____1 f sin1 2 л , _ я _ . , “m (t — nAi)2 tom J X2 (Dm He предрешая заранее значения коэффициентов ряда (2.114), применя- ем для их определения общую формулу (2.9), справедливую для обобщенно- 60
го ряда Фурье оо G. = -7- f s(t)<pn(t)dt. J —• оо (2.U7) При этом исходим из условия, что s (/) — квадратично-интегрируемая функ- ция (энергия сигнала конечна). Для вычисления интеграла в выражении (2.117) воспользуемся форму- лой (2.63), согласно которой оо — оо J S («) Ф‘ (<о) (1<Л = J 1_ m 2л J S («) е<пЛ/ш dw. (2.117') Пределы интегрирования здесь приведены в соответствии с заданной граничной частотой wTO = 2nfm в спектре сигнала, а также в спектре функ- ции <рп (/). Интеграл в правой части (2.117) с коэффициентом 1/2л есть не что иное, как значение s (/) в момент t — n&t. Таким образом, оо s(t)q>n(t) dt =Ats(nM). — оо Подставляя этот результат в (2.117'), получаем окончательное выра- жение сп — s (пД/), из которого следует, что коэффициентами ряда (2.114) являются выборки функции s (/) в точках t = n&t. Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой обеспе- чивает непрерывность функции s (/)» ряд (2.114) сходится к функции s (t) при любом значении Л Соотношение между спектром S (2л/) сигнала s (/) и спектром Ф„ (2л/) базис- ной функции фп (/) при М = 1/2/т идлюстрируется рис. 2.32, а и б. Если взять интервал между выбор- ками ДГ меньшим Д/ = 1/2/ш, то ши- рина 2/^ спектра Ф„ (со) функции.ф„ (Г) будет больше, чем у спектра S (со) (рис. 2.32, в). Это повышает точность представления сигнала s (/), так как исключается возможность неучета «хвос- тов» спектра S (<о) вне граничных частот /т; кроме того, ослабляются требова- ния к АЧХ фильтра, восстанавливаю- щего непрерывный сигнал. При увеличении же ДГ по сравне- нию с Д/ (рис. 2.32, г) спектр Ф„ (<°) функции ф^ (/) становится уже, чем спектр сигнала s (/), и при вычислении Рис. 2.32. Связь между спектром сиг- нала s(t) и спектром базисной функ- ции фп(/) 61
интеграла в выражении (2.117) пределы интегрирования должны быть—2л/^, 2л/^ вместо —2л/ш, 2л/ш. Коэффициенты сп при этом являются уже выбор- ками не заданного сигнала s (/), а некоторой другой функции (/), спектр которой ограничен наивысшей частотой Рассмотрим теперь случай, когда длительность сигнала s (t) конечна и равна Тс, а полоса частот по-прежнему равна fm. Эти условия, строго го- воря, несовместимы, так как функция конечной длительности обладает те- оретически бесконечно широким спектром. Однако практически всегда мож- но определить наивысшую частоту спектра fm так, чтобы «хвосты» функции времени, обусловленные отсеканием частот, превышающих /т, содержали пренебрежимо малую долю энергии по сравнению с энергией исходного сиг- нала s (/). При таком допущении для сигнала длительностью Тс с полосой частот fm общее число независимых параметров [т. е. значений s (пД()], которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно, будет N ~2frn ^с- При этом выражение (2.114) принимает следующий вид (при отсчете времени от первой выборки): 2fmTc s(t) = У s(nbt)s-n—nV~'n*} (2.118) Число (V иногда называют числом степеней свободы сигнала s (/), так как даже при произвольном выборе значений s (иД() сумма вида (2.118) определяет функцию, удовлетворяющую условиям задан- ного спектра и заданной длительности сигнала. Число (V иногда называют также базой сигнала. Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через задан- ную последовательность временных выборок. Используя формулы (2.16) и (2.123), а также равенство ||срп||I 2 = Д(, получаем 2fmTc , 2fmTc э= 2 [s(nA0HI% ||2 = Д' V ls(nA/)l2. п~0 я—О ____ о А/ 2f"*7c 1 S2 (0 = -=- = — (s(/iA012= . У |s(nA/)!2. 7с Тс ~о 2fmTc Из последнего выражения видно, что средняя за время Тс мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборок, число которых равно 2/wTc. 2.16. ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ Иногда сигнал необходимо представить с помощью частотных выборок спектральной функции S (со), а не временных выборок функ- ции s (/). Для функции S (со) можно составить ряд, аналогичный выражению (2.114). Для этого базисная функция фп (()=sinc [сош (t—иД/)] (см. (2.115)] Тс 1 должна быть заменена функцией cpn (со) — sine — (со — иДсо) = I Тс/ 2л \I 2= sine —(со — п~ ) , которая получена из (2.115) заменой (на ю, полу- ширины спектра <от на полудлительность сигнала Тс/2 и A/ = l/2fm на А<о 5= 2л/7'с. 62
Таким образом, s (ш) = 2 s <nAt°) —т------------- ',= -fmrc -y-(<0—лДш) (2.119) Расстановка частотных выборок иллюстрируется рис. 2.33. Если ранее временной интервал между двумя соседними выборками А/ не должен был превышать 2л/2<от, то теперь частотный интервал А со не дол- жен превышать 2л/Тс. При ширине спектра 2<от, охватывающей область частот —<отС <о< <от, число выборок равно 2сот/А<о = 2fmTc, как и при представлении сигнала рядом (2.118). В общем случае выборки S (п2л/Тс) являются комплексными числами и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два парамет- ра — действительная и мнимая части S (п2п/Тс) (или модуль и аргумент). Таким образом, общее число параметров получается вдвое большим, чем при временном представлении сигнала, когда выборки s (n/2fm)— действитель- ные числа. Избыточность представления сигнала в частотной области легко устраняется, если учесть, что S (п2л/Тс) и S (—п2л/Тс) являются комплекс- но-сопряженными функциями, так что задание одной из них однозначно определяет другую. Таким образом, спектр сигнала полностью характери- зуется совокупностью комплексных выборок, взятых только в области по- ложительных частот, и числом независимых параметров или степеней сво- боды сигнала Д' = 2fmTc, как и при представлении сигнала во временнбй области. К приведенному выше определению максимального допустимого интер- вала А© = 2л/Тс, основанному на замене со в (2.114), можно прийти и с помощью строгих рассуждений. Полагая, как и в § 2.15, заданными длительность Тс и спектр S (<о) сигнала s (/), представляем этот сигнал в виде ряда Фурье (вместо интеграла Фурье) QQ in. • — t s(t)= 2 fne Tx — oo где 7\ > Тс — произвольный отрезок оси /, включающий в себя отрезок Тс. В соответствии с (2.22) и (2.56) коэффициенты Гс/2 1 С Сп — т I • 1 X V -Тс/2 2л — ш----t е Т* dt — 1 с / 2л \ — ---S —п-------- . 7х \ Тх J Как видим, коэффициенты сп, будучи умноженными на Тх, есть не что иное, как значения спект- ральной плотности S (<о) на дис- • -Jo 0 do 3do ~2do 2d о 8 to) Рис. 2.33. Дискретизация спектра по Котельникову сигнала Э 3 & 63
кретных частотах п = пДсо, т. е. отсчеты S (пЛсо), фигурирующие в выражении (2.119). Очевидно, что максимально допустимый интервал между отсчетами на оси частот соответствует условию Тх = Тс, т. е. Дю < 2л/Тс. 2.17. ДИСКРЕТИЗОВАННЫЕ СИГНАЛЫ В предыдущих параграфах под дискретизацией сигнала s (/) подразуме- валось аналитическое его представление с помощью совокупности отсчетов в дискретные моменты времени пДЛ В современной радиоэлектронике широко распространены системы, в ко- торых осуществляется дискретизация сигнала, например, при использова- нии импульсных методов передачи сообщения в радиосвязи. В системах с цифровой обработкой исходный континуальный сигнал преобразуется в ди- скретный сигнал (см. рис. 1.2,6). Выбор шага (темпа) Т дискретизации производится на основании тео- ремы отсчетов (см. § 2.15). Процедуру дискретизации (взятие выборок), осуществляемую с помощью электронного ключа, удобно рассматривать как умножение функции s (/) на вспомогательную периодическую последовательность ут (0 достаточно коротких тактовых импульсов. В качестве таких импульсов обычно рассма- тривают прямоугольные импульсы с длительностью т0, малой по сравнению с Г. Таким образом, дискретизованный с шагом Т сигнал можно определить выражением sr (0 =s(t)yT(t). (2.120) Функции s (/), ут (t) и sT (t) показаны на рис. 2.34, а. Для выявления требования к «малости» величины т0/Т рассмотрим сна- чала структуру спектра дискретизованного сигнала sT (t). Спектральную плотность S (со) исходного континуального сигнала s (/) будем считать за- данной. Запишем периодическую функцию ут (/) в виде ряда Фурье по формуле (2.39), в которой под ти будем подразумевать величину т0, а под (оъ как и в (2.39), — частоту повторения = 2л/Т: -т 0 Т 2Т ST t ~Т О Т 2Т r f aj 6) Рис. 2.34. Дискретизация сигнала как умножение на последовательность тактовых им- пульсов конечной длительности (а) или на последовательность дельта-функций (б) 64
Учитывая, что п<щ х0/2—пт0/Т, а также имея в виду равенство — sin sine (плт0/Т), получаем лп Т Т Уг(()—ип -yfl+2 2 sine(cos• L п— । ' 7 Тогда выражение (2.120) принимает вид sT (/) = </о у I s (0 4- 2s (t) j? sinc (yy ) cos nw, t . L n—i J Первому слагаемому в правой части соответствует спектральная плот- ность S (со) исходного континуального сигнала, а каждому из произведений s (0 cos ncojZ — спектральная плотность V2 [S (® — пюх) + S (<о + П(ох)] (см. теорему в п. 3 §2.8 о смещении спектра). Следовательно, искомая спектральная плотность St S («) + 2 sinc ру) S (® —nwx) 4- п — I ' ' -l~2 Sinc(-^^-jS ((D-h/MDj) п— I 4 7 Поскольку sinc (0) = 1, последнее выражение можно записать в сле- дующей окончательной форме: Sr ((d) = U0 у 2 sinc(S П = — ОО (2.121) Графики функций 5 ((d) и St ((d) представлены на рис. 2.35. Итак, спектр Sr (<о) дискретизованного сигнала представляет собой по- следовательность спектров S ((d) исходного сигнала s (t), сдвинутых один от- носительно другого на <dx 2n/T и убывающих по закону sin Если шаг выборок в соответствии с теоремой отсчетов выбран из усло- вия Т < \!2fm = Ji/(Dm, отдельные спектры не перекрываются, как это по- казано на рис. 2.35, а, и могут быть разделены с помощью фильтров. В практике величину Т обычно берут в несколько раз меньшей чем l/2fm, что необходимо для повышения точности воспроизведения сигнала и облегчения реализации фильтров. С уменьшением отношения xQ/T лепестки спектра убывают медленнее И в пределе, при х0/Т -*0, спектр приобретает строго периодическую струк- туру (и, естественно, уровень лепестков стремится к нулю). Если одно- временно с уменьшением т0 увеличивать Uo так, чтобы площадь импульса Uvx0 оставалась неизменной, то функции ут (t) и sr (t) примут вид, пока- занный на рис. 2.34, б. Приравнивая для упрощения (70т0 = 1, приходим к следующему определению тактовой функции: УтЦ) — V b(t-kT). —00 Тогда выражение (2.120) переходит в £ 6(t—kT)~ V t(kT)b(t--kT). (2.122) /г — —оо А» л=г —с© 3 Зак. 1326 65
Последовательность временных отсчетов приобретает вид последова- тельности дельта-функций с весовыми коэффициентами, равными значения- ми сигнала s (t) в точках kT (см. рис. 2.34, б). При этом выражение (2.121) принимает вид 1 00 S7((o)=J- S(®-««>,). (2.123) п— —оо Отметим, что энергия сигнала sT (/), выраженного через дельта-функ- ции, бесконечно велика. Соответственно и энергия спектра Sr (со), опреде- ляемого выражением (2.123), бесконечно велика. При использовании же реальных тактовых импульсов с конечной энергией спектр Sr (<о) при со —> оо убывает (см. рис. 2.35). Представление st (О в форме (2.122) существенно упрощает спектраль- ный анализ дискретных сигналов. Например, спектральную плотность Sr (со) можно определить непосредственно по совокупности временных от- счетов {s (kt)}, без обращения к спектру S (<о) исходного континуального сигнала. Действительно, применив обычное преобразование Фурье (2.48) к выражению (2.122) для случая, когда k = 6, 1...... оо, получим Sr («) =JsT (t) dt = J e-iat У s (kT)6(t ~^T) dt= 0 g Л==0 i e“'w 6 (t — kT) dt = 2 s e~'wr 0 (2.124) По своей размерности функции S (со) и Sr (<о) неодинаковы: первая име* Г Сигнал I г л ет размерность --------- , а вторая — просто 1сигнал1. [ частота J Переходя к комплексной частоте р = а + /со, получаем изображение по Лапласу дискретизованного сигнала (2.125) Sr(p) = L|Sr(OI= V s(*T)e~^. Л-0 Рис. 2.35. Спектры исходного (а) и дискретизованного (6) сигналов 66
Оригинал, т. е. функцию sT (/), можно определить по заданному изо- бражению Sr (р) с помощью обратного преобразования Лапласа, записы- ваемого в обычной форме: Gj i°° sT(t)x_L_ С Sr(p)eptdt (2.126) 2л/ J a , — /оо [см. (2.103)1. Выражение (2.126) определяет всю последовательность {s (kT)} в фор- ме, совпадающей с выражением (2.122). Для определения одного k-ro от- счета s (kT) без множителя 6 (t — kT) можно применить более простое вы- ражение О1 -(-/Л/Г s(Z?T)='T_!_ f 8(р} еркТ dp, (2.127) 2л/ J 0, - in/T в котором интегрирование ведется в пределах одного частного интервала от —л/Т до л/Т. Некоторые дополнительные характеристики дискретных сигналов, существенные при цифровой обработке, приводятся в § 12.2. 2.18. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов часто на прак- тике оказывается необходимой характеристика, которая давала бы пред- ставление о некоторых свойствах сигнала, в частности о скорости изменения во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармо- нические составляющие. В качестве такой временной характеристики широко используется кор- реляционная функция сигнала. Для детерминированного сигнала s (t) конечной длительности корре- ляционная функция определяется следующим выражением: В„ (Т)= j s (П s* (7 + т) d(, (2.128) — оо где т — временной сдвиг сигнала. 1 Вычислим правую часть (2.126) после замены пределов интегрирования, подста- новки / - /иТ, где m — любое целое число, и подстановки S (р) по формуле (2.125): ffj + tn/r да ос Gj-I-Zn/T /=Т- f X s(AT) е~ркт tpmT dp-У s(kT)—4 f dp. 2зи J ля* 2л/ J 0,—/л/Т^~0 k—Q 0|—/л/Г Учитывая, что в данном случае р —О| -+ /со, и переходя к переменной интегри- рования (о, получаем У s (kT) еСТ| т — /?= о sin (ш—k) л (m — k) Т При m ~ k I ~ s(kT)/T, а при m k / = 0. Таким образом, для определения s (kT) достаточно заменить в (2.126) sr (/) на s (kT) и пределы интегрирования — /оо, Oj + /оо на — in/T, о, 4- ii\/T. 3* 67
Рис. 2.36. Построение корреля- ционной функции для прямо- угольного импульса Рис. 2.37. Построение корреляцион- ной функции для треугольного им- пульса В данной главе рассматриваются сигналы, являющиеся вещественны- ми функциями времени, и обозначение комплексного сопряжения можно опу- стить: Bs (г) =х [ $ (/) s (t-т т) dt. (2.129) — оо Из выражения (2.129) видно, что В8 (/) характеризует степень связи (корреляции) сигнала s (t) со своей копией, сдвинутой на величину т по оси времени. Ясно, что функция В8 (t) достигает максимума при т = 0, так как любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом fis(0) = f s2(Od/=3. (2.130) — оо т. е. максимальное значение корреляционной функции равно энергии сиг- нала. С увеличением т функция В8 (т) убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов s (t) и s (t + т) на время, превышающее длительность сигнала, обращается в нуль. На рис. 2.36 показано построение корреляционной функции для про- стейшего сигнала в виде прямоугольного импульса (рис. 2.36, а). Сдвинутый на т (в сторону опережения) сигнал s (t 4 т) показан на рис. 2.36, б, а про- изведение s (/) s (/ + т) — на рис. 2.36, в. График функции В8 (т) изображен на рис. 2.36, г. Каждому значению т соответствуют свое произведение s(t)s(t 4- т) и площадь под графиком функции s (t) s (t 4 т). Численные значения таких площадей для соответствующих т и дают ординаты функ- ции В8 (т). Аналогичное построение для треугольного импульса изображено на рис. 2.37. Из общего определения корреляционной функции, а также из приведенных примеров видно, что безразлично, вправо или влево относи- 68
в. <т> - f тельно своей копии сдвигать сигнал на величину т. Поэтому выражение (2.129) можно обобщить следующим образом: s (/) s (/ + т) dt =* J s (/) s (t— т) dt. (2.129') — оо Это равносильно утверждению, что Bs (т) является четной функцией т. На рис. 2.38, а показан сигнал в виде пачки из четырех одинаковых им- пульсов, сдвинутых один относительно другого на время 7\, а на рис. 2.38, б — соответствующая этому сигналу корреляционная функция. Вблизи зна- чений т, равных О, ±ТЪ ±27\ и ±37\, эта функция имеет такой же вид, как и для одиночного импульса (см. рис. 2.36, г). Максимальное значение кор- реляционной функции (при т О) равно учетверенной энергии одного им- пульса. Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно велика, оп- ределение корреляционной функции с помощью выражений (2.129) или (2.129') неприемлемо. В этом случае исходят из следующего определения: Т/2 Т/2 Ssnep (т)« lim — С s (0 s (/ +т) dt — lim — С s (t —т) s (/) dt. т-+<х> T J г-».оо Т J -Т/2 —Т/2 (2.131) При таком определении корреляционная функция приобретает размер- ность мощности, причем Bs пер (0) равна средней мощности периодического сигнала. Ввиду периодичности сигнала s (t) усреднение произведения s (t) х X s (/ + т) или s (t — т) $ (/) по бесконечно большому отрезку Т должно совпадать с усреднением по периоду 7\. Поэтому выражение (2.131) можно заменить выражением T./2 Ti/2 Я«пер(т) = ^ f s(t)s(t+r)dt = -J- f (2.132) т 1 J z I J — T,/2 -T,/2 Входящие в это выражение интегралы суть не что иное, как корреля- ционная функция сигнала на интервале 7\. Обозначая ее через BsTx (т), приходим к соотношению В,„ер (т) =Bsr, (tJ/Tj. Очевидно также, что периодическому сигналу s (t) соответствует и пе- риодическая корреляционная функция ВЯп₽р (т). Период функции ВЛпер (т) Рис. 2.38. Пачка из четырех прямоугольных импульсов (а) и корреляционная функ- ция (б) 69
совпадает с периодом 7\ исходного сигнала s (t). Например, для простейшего (гармонического), колебания s (t) = Ап cos (<о01 + 0О) корреляционная функция пер СО = -у- f cos (ш0 t + Во) cos [0J0 (t + т) + 0O1 dk= 1 — Tj/2 1 Л2 2Л = — Лб COS <о0 т, ш0— 2 1 । При т = 0 В,пер (0) -= -у Л§ есть средняя мощность гармонического колебания с амплитудой Ло. Важно отметить, что корреляционная функция ВяПер(т) не зависит от начальной фазы колебания 0О. На рис. 2.39, б изображена корреляционная функция сигнала, пред- ставляющего собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов (рис. 2.39, а). Каждый из импульсов функции BSIjep (т) совпада- ет по форме с корреляционной функцией одиночного импульса из перио- дической последовательности s (/). Однако в данном случае максимальные ординаты Bsijep (т) равны не энергии (как на рис. 2.38), а средней мощности сигнала s (/), т. е. величине s2 (/). Для оценки степени связи между двумя различными сигналами (/) и s2 (0 используется взаимная корреляционная функция, определяемая общим выражением оо BS1 s2 (Т) = J S1 (0 «2 (t +t)dt. — оо Для вещественных функций S] (/) и s2 (t) оо Bs,s2(t)= j Sj (0 s2 (t + T) dt. ------------OO (2.133) (2.134) Рассмотренная выше корреляционная функция Bs (т) является частным слу- чаем функции BSts2 (т), когда Sj (/) = s2 (0- Построение взаимной корреляционной функции для двух сигналов Sj (0 и s2 (/) приведено на рис. 2.40. Исходное положение сигнала т = 0 показано на рис. 2.40, а. При сдвиге сигнала s2 (/) влево (т > 0, рис. 2.40, б) корреляционная функция сначала возрастает, затем убывает до нуля при т = Т. При сдвиге вправо (т < 0) корреляционная функция сразу убывает. б) Рис. 2.39. Периодическая последователь- ность импульсов (а) и ее корреляцион- ная функция (б) В результате получается асимметрич- ная относительно оси ординат функ- ция BS152 (т) (рис. 2.40, в). Очевидно, что значение BSlS2 не изменится, если вместо упреждения сигнала s2 (t) дать задержку сигналу Si (t). Поэтому выражение (2.134) мож- но обобщить следующим образом: оо Bs,s2 (Т) — J S! (/) S-2 (/ 4- т) dt — — оо == j «2 (0 S1 (* —т) dt = BS2s, (— т). (2.135) 70
Соответственно Bs2s, (t) = BS]s2 (—t). (2.135') Следует, однако, различать выражения (2.129') и (2.135). В отличие от Вх (т) взаимная корреляционная функция не обязательно является чет- ной относительно т. Кроме того, взаимная корреляционная функция не обязательно достигает максимума при т = 0. Оба эти свойства функции В,Л (т) иллюстрируклся рис. 2.40. 2.19. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ СИГНАЛА Воспользуемся выражением (2.63), в котором положим / (/) = s (t), g (t) = s (t -f- т) и соответственно F (<o) = S (<o), G (<o) = S (<o) е“'шт. Тог- да получим (* s (/) s (t 4- t) dt = —— C S (w) S* ((о)е~,<ит dw — Bs (t). J 2л J --OO -oo Учитывая, что S (co) S* (<o) = S2 (<o), приходим к искомому соотно- шению В3 (т) = — f S2 (<о) е-“"М(0. (2.136) 2л J — оо На основании известных свойств преобразований Фурье можно также написать1. S2 (ю) = f В3 (т) е'шт dr. (2.137) 1 Вследствие четности функции Bs (т) знак перед шт в показателе степени может быть произвольным. То же относится к (2.137). 71
Итак, прямое преобразование Фурье (2.137) корреляционной функции Bs (т) дает спектральную плотность энергии (см. замечание в конце §2.10), а преобразование (2.136) дает корреляционную функцию Bs (т). Из выражений (2.136) и (2.137) вытекают свойства, аналогичные отме- ченным в § 2.10: чем шире спектр S (со) сигнала, тем меньше интервал кор- реляции, т. е. сдвиг т, в пределах которого корреляционная функция отлич- на от нуля. Соответственно чем больше интервал корреляции заданного сигнала, тем уже его спектр. Из выражений (2.136) и (2.137) также видно, что корреляционная функ- ция Bs (т) не зависит от ФЧХ спектра сигнала. Так как при заданном ам- плитудном спектре S (со) форма функции s (/) существенно зависит от ФЧХ, то можно сделать следующее заключение: различным по форме сигналам s (/), обладающим одинаковыми амплитудными спектрами, соответствуют одинаковые корреляционные функции Bs (т). Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 3.1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Для передачи информации на расстояние применяются сигналы, эффектив- но излучаемые с помощью антенных устройств и обладающие способностью распространяться в виде свободных радиоволн в среде, разделяющей отпра- вителя и получателя информации. Такими сигналами являются высокоча- стотные колебания. Передаваемая информация должна быть тем или иным способом заложена в высокочастотное колебание, называемое несущим Частота <о0 этого колебания выбирается в зависимости от расстояния, на которое должна передаваться информация, от условий распространения ра- диоволн и ряда других технических и экономических факторов. Но в любом случае частота соо должна быть велика по сравнению с наивысшей частотой спектра передаваемого сообщения1. Это объясняется тем, что для неискаженной передачи сообщений через радиотехнические цепи, а также для устранения искажений, возникающих при распространении радиоволн, необходимо чтобы ширина спектра сооб- щения была мала по сравнению с о)о; чем меньше отношение Qni/(o0, тем меньше проявляется несовершенство характеристик системы. Поэтому чем выше требуемая скорость передачи информации и, следовательно, шире спектр сообщения Qm, тем выше должна быть несущая частота радиосигнала. Как правило, выполняется неравенство Qm/o)0 X 1. Любой радиосигнал можно поэтому трактовать как «узкополосный» про- цесс даже при передаче «широкополосных» сообщений. Приведем следующие примеры. При передаче речи или музыки спектр сообщения обычно ограничивают полосой от Гтщ = 30—50 Гц до Гтах = = 3000—10 000 Гц. Даже на самой длинной волне вещательного диапазона X = 2000 м при несущей частоте/о = 150кГцотношение/7тах//0 = 104/1,5 х X Ю5 « 0,06. При передаче тех же сообщений на коротких волнах (при ча- стотах 15—20 МГц) это отношение не превышает сотых долей процента. При передаче подвижных изображений (телевидение) полоса частот сооб- щения весьма широка и достигает 5—6 МГц, однако и несущая частота вы- бирается не менее 50—60 МГц, так что отношение Fmax/fQ не превышает 10 %. 1 В данной главе Q используется для обозначение частоты модулирующей функции* 72
В самом общем случае радиосигнал, несущий в себе информацию, мож- но представить в виде а (/) = A (t) cos [соо/ 4 9 (/)] = А (/) совф (/), (3.1) в котором амплитуда А или фаза 9 изменяются по закону передаваемого со- общения. Если Л и 9 — постоянные величины, то выражение (3.1) описывает про- стое гармоническое колебание, не содержащее в себе никакой информации. Если Л и 9 (следовательно, и ф) подвергаются принудительному изменению для передачи сообщения, то колебание становится модулированным. В зависимости от того, какой из двух параметров изменяется — ампли- туда А или угол 9 — различают два основных вида модуляции: амплитудную и угловую. Угловая модуляция, в свою очередь, подразделяется на два вида: частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ). Эти два вида модуляции тесно связаны между собой, й различие между ними проявляется лишь в характере изме- нения во времени угла ф при одной и той же модулирующей функции. Модулированное колебание имеет спектр, структура которого зависит как от спектра передаваемого сообщения, так и от вида модуляции. То об- стоятельство, что ширина спектра модулирующего сообщения мала по срав- нению с несущей частотой соо, позволяет считать A (t) и 9 (/) медленными функциями времени. Это означает, что относительное изменение А (/) или 9 (t) за один период несущего колебания мало по сравнению с единицей. Рассмотрим сначала вопрос об изменении амплитуды. При скорости из- менения амплитуды dA/dt приращение амплитуды за один период То можно приближенно приравнять (dA/dt) TQ. Следовательно, относительное изме- нение за период \dA I Го I dA I 1 2л I dt I A j dt I A oj0 Можно считать, что условие медленности функции A (t) выполняется, если 2л to0 dA dt 1 // 1 — С 1 или А I dA I 1 сор \ dt I А 2л * (3.2) Аналогично можно установить условие медленности функции 9. Так как мгновенная частота колебания равна скорости изменения фазы (об этом подробнее будет сказано в следующих параграфах), то, дифферен- цируя аргумент выражения (3.1), находим /. t/ф (О dft (О (t ~ = О)0 4 --------- . dt 0 dt Производная dQ/dt определяет отклонение частоты со (t) от частоты (оо. Это отклонение может быть быстрым или медленным. Для того чтобы коле- бания a (t) можно было считать близким к гармоническому, нужно, чтобы изменение частоты за время Т было мало по сравнению с частотой со (t) в любой рассматриваемый момент времени. Таким образом, условие медленности функции 9 (t) можно записать в виде следующих неравенств: d / d0 \| — — т dt \ dt \ 77 . ---------—— <4 1 или to (t) d2 0 I <о(0 dt2 144 T 73
(3.3) Так как обычно со (t) очень мало отличается от соо, можно считать Т Ж 2л/О)о и исходить из условия d2 0 I // 1 2 dt2 I 2л ю®’ Для большинства используемых в радиотехнике сигналов неравенства (3.2) и (3.3) обычно выполняются. Это означает, что при любом виде модуля- ции параметры радиосигнала: а плитуда, фаза или частота — изменяются настолько медленно, что в пределах одного периода То колебание можно счи- тать гармоническим. Эта предпосылка лежит в основе всего дальнейшего рассмотрения свойств радиосигналов и их спектров. 3.2. РАДИОСИГНАЛЫ С АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ Амплитудная модуляция (AM) является наиболее простым и очень рас- пространенным в радиотехнике способом заложения информации в высоко- частотное колебание. При AM огибающая амплитуд несущего колебания из- меняется по закону, совпадающему с законом изменения передаваемого со- общения, частота же и начальная фаза колебания поддерживаются неизмен- ными. Поэтому для амплитудно-модулированного радиосигнала общее вы- ражение (3.1) можно заменить следующим: а (0 — А (0 cos (соо/ 4 0О) (3.4) Характер огибающей А (/) определяется видом передаваемого сообщения. При непрерывном сообщении (рис. 3.1, а) модулированное колебание приобретает вид, показанный на рис. 3.1, б. Огибающая A (t) совпадает по форме с модулирующей функцией, т. е. с передаваемым сообщением s (/). Рисунок 3.1, б построен в предположении, что постоянная составляющая функции s (/) равна нулю (в противоположном случае амплитуда несущего колебания Ао при модуляции может не совпадать с амплитудой смодулиро- ванного колебания). Наибольшее из- менение А (/) «вниз» не может быть больше Ао. Изменение же «вверх» может быть в принципе и больше Ао. Основным параметром ампли- тудно-модулированного колебания является коэффициент модуляции. Определение этого понятия особенно наглядно для тональной модуляции, когда модулирующая функция является гармоническим колебанием: s (0 So cos (Ш + у). Огибающую модулированного колебания при этом можно пред- ставить в виде А (О = Ао 4 ^ам s (0 — А) + 4 &AW cos (Q/4 у), (3.5) 74
Рис. 3.2. Колебание, модулированное по амплитуде гармонической функцией Рис. 3.3. Колебание, модулированное по амплитуде импульсной последовательно- стью где Q — частота модуляции; у — начальная фаза огибающей; £ам — ко- эффициент пропорциональности; АЛт = £aMS0 — амплитуда изменения огибающей (рис. 3.2). Отношение Л4 ДЛт/Л0 называется коэффициентом модуляции. Таким образом, мгновенное значение модулированного колебания a (t) = Ло [1 4- М cos (Q/ + y)l cos (<о0/ 4 0О). (3.6) При неискаженной модуляции (М < 1) амплитуда колебания изме- няется в пределах от минимальной Лт1п = Ло (1 — М) до максимальной ^тах ~ (^ “Ь М). В соответствии с изменением амплитуды изменяется и средняя за пе- риод высокой частоты мощность модулированного колебания. Пикам оги- бающей соответствует мощность, в (1 + М)2 раз большая мощности несу- щего колебания. Средняя же за период модуляции мощность пропорциональ- на среднему1 квадрату амплитуды А (/): ЛЧП = А2о |1 +М cos(Q/ + y)F= (1 4- 0,5М2). (3.7) Эта мощность превышает мощность несущего колебания всего лишь в (1 4- 0,5/И2) раз. Таким образом, при 100 %-ной модуляции (М = 1) пико- вая мощность равна 4Р0, а средняя мощность 1,5Р0 (через Ро = у Л§ обозначена мощность несущего колебания). Отсюда видно, что обусловлен- ное модуляцией приращение мощности колебания, которое в основном и определяет условия выделения сообщения при приеме, даже при предель- ной глубине модуляции не превышает половины мощности несущего колеба- ния. При передаче дискретных сообщений, представляющих собой чередова- ние импульсов и пауз (рис. 3.3, а), модулированное колебание имеет вид последовательности радиоимпульсов, изображенных на рис. 3.3, б. При этом имеется в виду, что фазы высокочастотного заполнения в каждом из импуль- сов такие же, как и при «нарезании» их из одного непрерывного гармониче- 1 Среднее значение cos (Q/ — у) за период модулирующей частоты равна нулю, а среднее значение cos2 (Q/ у) равно 1/2. Черта над функцией означает операцию усреднения по времени. 75
ского колебания. Только при этом условии показанную на рис. 3.3, б по- следовательность радиоимпульсов можно трактовать как колебание, моду- лированное лишь по амплитуде. Если от импульса к импульсу фаза изме- няется, то следует говорить о смешанной амплитудно-угловой модуляции. 3.3. СПЕКТР АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ Пусть задано высокочастотное модулированное колебание, о котором известно, что частота соо и начальная фаза 0О величины постоянные, а огибаю- щая A (t) содержит в себе передаваемое сообщение s (t). Аналитически такое колебание можно представить с помощью выражения (3.4). Требуется установить связь между спектром модулированного колеба- ния и спектром модулирующей функции, т. е. спектром исходного сообще- ния s (/). Проще и нагляднее всего это можно сделать для тональной (гармо- нической) модуляции, когда огибающая A (t) - Ао [1 + М cos (Ш + у)], а модулированное колебание определяется выражением (3.6). Перепишем выражение (3.6) в форме а (0 = Ао [cos ((о0£ + 0О) + Af cos (Ш + у) cos (<оо£ + 0о)1 • Второе слагаемое в правой части этого выражения, являющееся продук- том модуляции, можно привести к виду М cos (й/ 4 у) cos (w01 4- 0О) =-у cos [(<о0 4-й) / + (Йо + 7)1 !- + Y cos l(w0 —й) /+(0О—Y)l. после чего развернутое выражение колебания a (t) принимает вид а (/)« cos (<>)014- 60) 4- cos [(<о0 -|- й) / 4 + % 4714—°- cos|(<o0—й)/4%- т|. (3.8) Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное немоду- лированное колебание с частотой соо. Второе и третье слагаемые соответст- вуют новым колебаниям (гармоническим), появляющимся в процессе моду ля- ставление амплитудно-мо- дулированного колебания ции амплитуды. Частоты этих колебаний соо + Q и (оо — Q называются верхней и нижней боко- выми частотами модуляции. Амплитуды этих двух колебаний одинаковы и составляют от амплитуды немодулированного колебания долю, равную М2, а их фазы сим- метричны относительно фазы несущего колеба- ния. Это иллюстрируется векторной диаграм- мой, представленной на рис. 3.4. На этой диаг- рамме ось времени вращается по часовой стрел- ке с угловой частотой <о0, причем отсчет угла (o0t ведется от линии ОВ. Поэтому несущее ко- лебание А о cos (со0£ 4- 0О) изображается на этой диаграмме в виде неподвижного вектора OD длиной Ао, составляющего с горизонталью угол 76
0О. Мгновенное значение несущего колебания в момент t равно проекции вектора Ло на ось времени (отрезок ОК). Для представления на этой же диаграмме колебания с частотой о)0 4 Q, превышающей угловую частоту вращения оси времени на величину Q, не- обходимо воспользоваться вектором, вращающимся с угловой частотой Q против часовой стрелки (вектор DC^). Для изображения колебания с часто- той <оо — Q потребуется вектор, вращающийся с такой же частотой й по часовой стрелке (вектор £>С2). Поэтому колебания боковых частот — верх- ней и нижней — изображаются двумя векторами длиной Л4Д0/2, вращаю- щимися во взаимно противоположных направлениях. Начала этих векторов перенесены из точки О в точку D. Их фазы симметричны относительно век- тора несущего колебания До. Это следует из выражения (3.8), которое для большей наглядности целесообразно записать в несколько измененной форме a (t) = До cos (ю01 + е0) = -^2- cos [(<о0/ + Оо) + +(Й/ + Т)1 + cos [(«о t + 90) -(□/ + ?)!. Из этого выражения видно, что при любой начальной фазе огибающей у векторы DC± и DC2, соответствующие колебаниям верхней и нижней боковых частот, занимают симметричное относительно вектора OD положение, при- чем векторы колебаний боковых частот образуют с вектором несущего коле- бания углы, равные ±(й/ + у). Равнодействующий вектор DF, являющий- ся геометрической суммой векторов DC± и DC2 и называемый вектором мо- дуляции, всегда располагается на линии OD, вследствие чего сумму всех трех колебаний — несущей и двух боковых частот — можно рассматривать как колебание с постоянными начальной фазой и частотой, но с модулиро- ванной амплитудой. Попутно заметим, что если в результате прохождения через электриче- ские цепи нарушается равенство амплитуд колебаний боковых частот или симметрия их фаз относительно фазы несущего колебания, то возникает ка- чание вектора, представляющего результирующее колебание, относительно направления OD. Это равносильно возникновению паразитной ФМ. Остановимся на вопросе о фазе огибающей амплитуд при чисто ампли- тудной модуляции. Допустим, что начальная фаза высокочастотного колеба- ния 0О 90е. Тогда векторная диаграмма примет вид, показанный на рис. 3.5. Если при Ш = 0 векторы боковых частот DC± и DC2 направлены вверх (положение I на рис. 3.6), то огибающая амплитуд проходит в этот мо- мент через свое максимальное значение До (1ЧЛ4). Этот случай соответст- вует начальной фазе огибающей у = 0 [см. (3.6)1, а уравнение огибающей будет А (/) (1 4- М cos Q/). Если же в момент Qt = 0 векторы DQ и DC2 занимают горизонтальное положение, то огибающая проходит через значение, равное До- В этом слу- чае начальная фаза огибающей у = —л/2 и уравнение для огибающей будет А (0 - До (1 4- М sin Q/). Положение векторов боковых частот DQ и DC2 при Ш л/2, л и Зл/2 для у = 0 обозначено на рис. 3.6 соответственно цифрами II, III и IV. Спектральная диаграмма колебания при тональной модуляции показа- на на рис. 3.7. Ширина спектра в этом случае равна удвоенной частоте мо- 77
дуляции 2Q, а амплитуды колебаний боковых частот не могут превышать половины амплитуды нсмодулированного колебания (при М < 1). Аналогичные результаты можно получить при модуляции любым слож- ным сигналом. Картину образования спектра амплитудно-модулированного колебания проще всего пояснить сначала на примере, когда модулирующее сообщение s (t) является суммой колебаний двух тонов: s (0 =- Si cos 4- S2 cos Й2/. По аналогии с выражением (3.5) получаем A (0 ~А0 4- AAW| cos Qi 14-AA„2 cos Q21 = Ao (1 4- Mx cos Q1 / 4- 4- M2 cos Q2 0- Подставляя это выражение в уравнение (3.4) и используя тригономе- трические преобразования, аналогичные тем, которые были проведены при получении уравнения (3.8), приходим к следующему результату (начальные фазы несущего и модулирующих колебаний здесь для упрощения опущены): а (0 = Ао cos ш014- —cos (<о0 4- t 4- -1 Л-° cos (соо — QJ t + 4- cos (% 4-й2) t 4- Д4"2Л°- cos (ш0 — Q2) t- Из полученного выражения следует, что каждой из частот йг и й2 соответствует своя тональная модуляция, сопровождающаяся возникнове- нием пары боковых частот, причем этот процесс является линейным в том смысле, что амплитуды и фазы колебаний боковых частот от различных мо- дулирующих напряжений взаимно независимы (последнее свойство сохра- няется при условии, что суммарное изменение огибающей «вниз» не превы- шает 100 %). Из приведенного примера нетрудно вывести правило построения спек- тральной диаграммы амплитудно-модулированного колебания а (0 по за- данному спектру модулирующей функции s (0. Пусть последний имеет вид, Рис. 3.5. Векторная диа- грамма AM при начальной фазе несущего колебания 0=90° Рис. 3.6. Фазы колебаний боковых частот в различные моменты времени 78
а) 5) Рис. 3.7. Спектр колебания при то- нальной (гармонической) AM з,Ьг S. J.ih______- д & ^min ^mai МпАр М^Ар M-fAp МпАр 2 2 2 2 Рис. 3.8. Дискретные спектры: а) сложной модулирующей функции; б) модулированного по амплитуде коле- бания представленный на рис. 3.8, а. Через Sb S2, ...,Sn, ... обозначены амплиту- ды гармонических колебаний, входящих в спектр сообщения s (/), а через йт1п и йтах — граничные частоты спектра. Спектральная диаграмма высокочастотного колебания, промодулирован- ного по амплитуде сообщением s (/), изображена на рис. 3.8, б. Коэффи- циенты модуляции Mlf Л42, ...-, Мп пропорциональны амплитудам Sb S2, ... ..., Sn соответствующих тонов, входящих в сложное сообщение s (/). Перейдем к общему случаю, когда спектр сообщения s (t) не обязательно дискретный. Будем исходить из общего выражения (3.4). Передаваемое со- общение s (/) содержится в законе изменения огибающей А (/). Не предре- шая вида функции s (/), составляем выражение для спектральной плотности Sa (со) модулированного по амплитуде колебания а (/), рассматриваемого как произведение огибающей А (/) на гармоническое колебание cos (соо/ + + 0о). Основываясь на соотношении (2.58), в котором положим s (/) = A (Z), получаем оо so (<») = J A (t) cos (w01 -f- 0O) e-,<0' dt — — OO ==—e/0» S4 (co — <o0) + -y-e~zeo S4 + co0). (3.9) В этом выражении $д обозначает спектральную плотность огибающей, т. е. модулирующей функции. Следует подчеркнуть,- что спектр медленно меняющейся функции вре- мени А (t) концентрируется в области относительно низких частот. Поэтому функция Бд (со — соо) существенно отличается от нуля лишь при частотах со, близких к соо, т. е. когда разность со — со0 = Q относительно мала. Ана- логично слагаемое Бд (со + wo) существует при частотах, близких к —со0. Таким образом, спектральная плотность модулированного колебания So (со) образует два всплеска: вблизи со = со0 и вблизи со = —соо. Поэтому для узкополосного сигнала можно считать, что в области положительных частот Sa (со) » ^ге^о Бд (со-<оо), (3.10) а в области отрицательных частот Sa (ой « V2 е~/0* Бд (со + со0). (3.10') 79
Поясним правило построения спектра Sa (со) на следующем примере. Пусть огибающая высокочастотного колебания имеет вид A(t) = AQ[l+kaf&s(t)]f (3.11) где s (/) — передаваемое сообщение, имеющее спектральную плотность S (Й), а коэффициент Лам имеет тот же смысл, что и в выражении (3.5)1. Спектральная плотность огибающей А (/) изображена на рис. 3.9, а. Дискретная часть этого спектра, равная 2лЛ06(й), соответствует постоян- ной величине Ао, а сплошная часть £aM40S (Й)—передаваемому сообщению s(0. Спектральная плотность Sa (со) модулированного колебания а (/) пока- зана на рис. 3.9, б. В данном случае дискретные составляющие лЛоб (со Т соо) отображают несущее колебание Ло cos (со0/ + 0О), а сплошной спектр — колебания боковых частот модуляции. Если радиосигнал не содержит несущего колебания (с конечной ампли- тудой), например, при передаче одиночного радиоимпульса, дискретная часть в спектре отсутствует. Рассмотрим спектр прямоугольного радиоимпульса (рис. 3.10, б), оп- ределяемого выражением при —т„/2</ ти/2, ( 0 при t < — ти/2 и t > т„/2. В данном примере под сообщением s (t) следует подразумевать видео- импульс (рис. 3.10, а). Спектральная плотность подобного сообщения 1см. (2.68)] S (Q) = В sin <ЙТи/2) . (3.13) йти/2 Огибающая амплитуд колебания a (t) Л (0=*»м Ло? (П, а спектральная плотность этой огибающей (Q) Ав S (Q) =*.м Ло В . 2itAeff(S) а) ^Ъм Ад 8 (fl) 0 оо 0 ПАО $(&+(*>0) I ттАо$(б)-ыо)'^ Q Рис. 3.10. Импульс прямоугольной формы (а) и тот же импульс с высо- кочастотным заполнением <оо (б) Рис. 3.9. Спектральные плотности: а) огибающей; б) амплитудно-модулированного колебания 1 Как отмечалось в сноске на с. 72, текущая частота спектра модулирующей функции обозначается через Q. 80
Графики спектральных плотностей модулирующей функции s (/) и радио- импульса a (f) изображены на рис. 3.11, а и б. 3.4. УГЛОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ. ФАЗА И МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЯ Для простого гармонического колебания a (t) = Ао cos {(оо/ + 0О) = Ао со$ф (t) набег фазы за какой-либо конечный промежуток времени от 1=1г до t=t2 равен Ф (U ~Ф (О = М + во) - (<*Wi + во) <оо (*2 - О- (3.15) Отсюда видно, что при постоянной угловой частоте набег фазы за какой-ли- бо промежуток времени пропорционален длительности этого промежутка. С другой стороны, если известно, что набег фазы за время t2 — К ра- вен ф (t2) — ф (^), то угловую частоту можно определить как отношение = (Ф - ф (^)|/(/2 - (3.16) если, конечно, имеется уверенность, что в течение рассматриваемого про- межутка времени частота сохраняла постоянное значение. Из (3.16) видно, что угловая частота есть не что иное, как скорость изменения фазы колебания. Переходя к сложному колебанию, частота которого может изменяться во времени, равенства (3.15), (3.16) необходимо заменить интегральным и дифференциальным соотношениями ip(0)-i|>(0) = (3.17) ti . (3.18) В этих выражениях со (/) = 2л/ (/) — мгновенная угловая частота колеба- ния; / (/) — мгновенная частота. Согласно выражениям (3.17), (3.18) полную фазу высокочастотного ко- лебания в момент t можно определить как t •ф<0 = J <0(0 Л+ 0О, (3.19) О 81
Рис. 3.12. Представление высокочастот- ного колебания при угловой модуляции в виде качающегося вектора где первое слагаемое в правой части определяет набег фазы за время от начала отсчета до рассматриваемого момента t; 0О — начальная фаза ко- лебания (в момент t = 0). При таком подходе фазу ф (0 = = (оо/ + 0 (/), фигурирующую в вы- ражении (3.1), следует заменить на Ф (0 = (о0/ + 0 (0 + ©о- Итак, общее выражение для вы сокочастотного колебания, амплиту- да которого постоянна, т. е. A (t) — - Л0, а аргумент ф (t) модулирован, можно представить в форме а (0 = Ло cos [<оо* + 0 (0 + 0о1- (3.20) Соотношения (3.18), (3.19), устанавливающие связь между изменения- ми частоты и фазы, указывают на общность двух разновидностей угловой мо- дуляции — частотной и фазовой. Поясним соотношения (3.18)—(3.20) на примере простейшей гармониче- ской ЧМ, когда мгновенная частота колебания определяется выражением (о (/) = <о0 -t- о>д cos Qt, (3.21) где <0д = 2л/д представляет собой амплитуду частотного отклонения. Для краткости <0д в дальнейшем будем называть девиацией частоты или просто девиацией. Через (оо и Q, как и при AM. обозначены не- сущая и модулирующая частоты. Составим выражение для мгновенного значения колебания (тока или напряжения), частота которого изменяется по закону (3.21), а амплитуда постоянна. Подставляя в (3.19) w (0 из уравнения (3.21), получаем t ф (/) = j* (<о0 + (Од cos Of) dt 4- 0О. b Выполнив интегрирование, найдем ф (t) = (о0< + ((Од/Q) sin Ш + 0О. (3.22) Таким образом, a (t) = Ло cos [<оо/ 4- ((Од/Q) sin Ш + 0О]. (3.23) Фаза колебания a (t) наряду с линейно-возрастающим слагаемым (о0 (/) содержит еще периодическое слагаемое ((од/£2) sin Ш. Это позволяет рассматривать а (/) как колебание, модулированное по фазе. Закон этой модуляции является интегральным по отношению к закону изменения ча- стоты. Именно модуляция частоты по закону (од cos Ш приводит к модуля- ции фазы по закону (<ол/£2) sin QZ. Амплитуду изменения фазы 0тах — Юд/Q = т (3.24) часто называют индексом угловой модуляции. Заметим, что индекс модуляции совершенно не зависит от средней (не- модулированной) частоты ©0, а определяется исключительно девиацией ®д и модулирующей частотой Q. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда стабильное по ча- стоте и фазе колебание пропускается через устройство, осуществляющее 82
периодическую модуляцию фазы по закону 0 (t) = 0max sin Qt, так что колебание на выходе устройства имеет вид a (t) — Дд cos [сов t 4- 0max sin Й/ -|~ 0g]. (3.23') Какова частота этого колебания? Используя выражение (3.18), находим (О (/) =- ((Од t “I- Отах Sin Q/ -]- 0д) — (Од -j- Отах Q COS Q/. (3.21 ) dt Учитывая соотношение (3.24), приходим к выводу, что 0maxQ = <од. Таким образом, гармоническая модуляция фазы с индексом 0тах эквивалент- на частотной модуляции с девиацией <од = 0maxQ. Из приведенного примера видно, что при гармонической угловой моду- ляции по характеру колебания нельзя заключить, с какой модуляцией мы' имеем дело — с частотной или фазовой. В обоих случаях вектор ОА, изо- бражающий на векторной диаграмме модулированное колебание, качается относительно своего исходного положения таким образом, что угол 0 (рис. 3.12) изменяется во времени по закону 0 = 0max sin Qt при фазовой модуляции, 0 = (<Од/£2) sin Qt при частотной модуляции (когда Д w = = (од cos Sit). Цифрами I, II, III и IV отмечено положение вектора ОА при Ш = 0, л/2, л и Зл/2. Иное положение при негармоническом модулирующем сигнале. В этом случае вид модуляции — частотной или фазовой — можно установить не- посредственно по характеру изменения частоты и фазы во времени. Покажем это на примере пилообразного модулирующего сигнала s (t) (рис. 3.13, а и г). Очевидно, что пилообразное изменение (о (/) (рис. 3.13, б), Рис. 3.13. Сравнение функций о>(/) и 0(/) при ЧМ и ФМ при пилообразном модули- рующем сигнале 83
Рис. 3.14. Зависимость индекса Отах и девиации о>д от модулирующей частоты при ЧМ (а) и ФМ (б) по форме совпадающее с s (t), свидетельствует о наличии ЧМ, а такое же из- менение 0 (0 (рис. 3.13, д) — о наличии ФМ. Ясно также, что скачкообраз- ное изменение со (t), совпадающее по форме с производной сигнала s (t) (рис. 3.13, е), указывает на ФМ. При гармоническом модулирующем сигнале различие между ЧМ и ФМ можно выявить, только изменяя частоту модуляции. При ЧМ девиация сод пропорциональна амплитуде модулирующего на- пряжения и не зависит от частоты модуляции й. При ФМ величина 0тах пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции й. Эти положения поясняются рис. 3.14, на котором показаны частотные характеристики величин сод и 0тах при частотной и фазовой модуляциях. В обоих случаях предполагается, что на вход модулятора подается модули- рующее напряжение с неизменной амплитудой U, а частота й изменяется от ^min max* При ЧМ сод, зависящая, как указывалось выше, только от амплитуды (/, будет постоянной величиной, а индекс модуляции т - сод/й = 0тах с увеличением частоты будет убывать (рис. 3.14, а). При ФМ т не зависит от й, а сод = 0тахЙ = изменяется пропорционально частоте модуляции (рис. 3.14, б). Кроме структуры колебания (при модуляции сложным сигналом) ча- стотная и фазовая модуляции различаются и способом осуществления. При ЧМ обычно применяется прямое воздействие на частоту колебаний генера- тора. При ФМ генератор дает стабильную частоту, а фаза колебания модули- руется в одном из последующих элементов устройства. 3.5. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ Пусть задано колебание а (/) - Ао cos [соо/ + 0 (/)1, (3.25) о котором известно, что передаваемое сообщение s (/) заложено в функцию 0 (0* Если колебание а (/) получено с помощью ФМ, то 0 (/) и s (/) полностью совпадают по форме и отличаются лишь постоянным коэффициентом. При этом, очевидно, с точностью до постоянного коэффициента совпадают и спектры функций 0 (/) и s (/). При ЧМ функция 0 (/) является интегралом от передаваемого сообще- ния s (/). Это вытекает из выражений (3.19) и (3.20). Так как интегрирование является линейным преобразованием, то при ЧМ спектр функции 0 (/) со- 84
стоит из тех же компонентов, что и спектр сообщения s (f), но с измененными амплитудами и фазами. Отвлекаясь от способа осуществления угловой модуляции — фазовой или частотной — и считая заданным спектр функции 0 (/), находим спектр модулированного колебания а (/). Для этого выражение (3.25) преобразуем к виду а (/) == Ао cos 0 (0 cos <оо t — Ао sin 0 (i) sin w0t = ac (t) —as (t). (3.26) Из (3.26) следует, что модулированное по углу колебание можно рас- сматривать как сумму двух квадратурных колебаний: косинусного ас (/) = = Ло cos 0 (/) cos <not и синусного as (t) Ao sin 0 (f) sin соо/, каждое из которых модулировано только по амплитуде; закон AM для косинусного колебания определяется медленной функцией cos 0 (t), а синусного — функ- цией sin 0 (t). Но в § 3.3 было установлено, что для определения спектра амплитудно-модулированного колебания достаточно сдвинуть на частоту соо спектр огибающей амплитуд. Следовательно, для нахождения спектра колебания a (t), определяемого выражением (3.26), необходимо сначала най- ти спектры функций cos 0 (/) и sin 0 (t), т. е. спектры огибающих квадратур- ных колебаний. Перенос этих спектров на частоту соо можно затем осущест- вить таким же образом, как и при обычной AM. Из приведенных рассуждений следует, что при одном и том же переда- ваемом сообщении спектр колебания, модулированного по углу, значитель- но сложнее, чем спектр модулированного по амплитуде. Действительно, так как cos 0 (t) и sin 0 (/) являются нелинейными функциями своего аргу- мента 0 (/), то спектры этих функций могут существенно отличаться от спектра функции 0 (/); возможно возникновение кратных и комбинацион- ных частот, как это имеет место при обычных нелинейных преобразованиях спектра. Эго обстоятельство, а также наличие двух квадратурных слагаемых показывают, что при угловой модуляции спектр модулированного колеба- ния нельзя получить простым сдвигом спектра сообщения на величину не- сущей частоты соо, как это имеет место при AM. При угловой модуляции связь между спектрами сообщения и модулированного колебания оказывается бо- лее сложной. 3.6. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОЙ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ Используем полученные выше результаты для анализа колебания вида a (t) — Ао cos (aot -h т sin Ш). (3.25') Это выражение совпадает с (3.23) и (3.23') при модуляции частоты по закону w (t) = <оо + (Од cos Ш. Начальная фаза 0О, а также начальная фа- за модулирующей функции у опущены для упрощения выкладок. При не- обходимости они легко могут быть введены в окончательные выражения. В данном случае 0 (/) = т sin ПЛ Подставляя 0 (/) в выражение (3.26), получаем а (/) = Ао cos (tn sin Qt) cos соо^ — Ао sin (т sin Ш) sin <о0Л (3.27) Учитывая, что множители cos (т sin Qi) и sin (т sin й/) являются периодическими функциями времени, разложим их в ряд Фурье. В теории бесселевых функций доказываются следующие соотношения: sin (т sin Qt) = 2JX (tri) sin Qt + 2 J3 (m) sin ЗШ -f- 2Jb (tri) sin 5Qt 4-... ,(3.28) 85
cos (tn sin Q0 = Jo (m) 4- 2/2 (tn) cos 2Q/ + 2/4 (tn) cos 4Й/ +..., (3.29) sin (tn cos Of) — 2JX (tn) cos Qt —2J3 (tn) cos 3Qt 4- 2J6 (tri) cos5QZ—... ,(3.28') cos (tn cos QO = Jo (m) —2J2 (m) cos 2Qf 4- 274 (tn) cos 4Qt —... (3.29') Здесь Jn (tn) — бесселева функция первого рода п-го порядка от аргумен- та т. С помощью соотношений (3.28) и (3.29) уравнение (3.27) можно приве- сти к виду a (t) Ло [Jo (m) cos ©01 —2JX (tn) sin Qt sin co014- 2J2 (tn) cos 2QZ cos <o01 — — 2J3(m)sin3Q/sina>of4-...] (3.30) или в более развернутой форме a (t) — Ло cos (<о01 -f- tn sin Qt) = Ло {Jo (tn) cos <oo 14- Л (tn) [cos (co0 + Q)t — —cos (®o —&) 4- Jz (m) [cos (<oo + 2Q) t ’4- cos (<oo—2Q) 4- 4- J3 (m) [cos (®0 4-3Q)Z —cos to0—3fi)/]+•••}• (3.31) Таким образом, при частотной и фазовой модуляциях спектр колеба- ния состоит из бесконечного числа боковых частот, расположенных попар- но симметрично относительно несущей частоты <о0 и отличающихся от по- следней на nQ, где п — любое целое число. Амплитуда n-й боковой состав- ляющей Ап = Jn (tri) Ао, где Ао — амплитуда немодулированного колеба- ния, а т — индекс модуляции. Отсюда следует, что вклад различных боко- вых частот в суммарную мощность модулированного колебания определяет- ся величиной т. Рассмотрим режимы угловой модуляции при малых и больших значе- ниях т. Если tn 1, так что имеют место приближенные равенства sin (tn sin Qt) m m sin Qf, cos (m sin Q/) m 1, то выражение (3.27) переходит в следующее: a(t)« Ао (cos (оо / — msin Qt sinw0/)= Ao £cos<o01 4- -j-cos(<o0 4-Q) t — —y-cos(co0—Q)*]. (3.32) Сравним это уравнение с уравнением для амплитудно-модулированного колебания, у которого модулирующая функция (т. е. передаваемое сообще- ние) такая же, как и при ЧМ. Так как выражение (3.32) получено из (3.25') для модуляции частоты по закону <о (t) — <оо 4- <од cos Ш, то для удобства сравнения зададим модуляцию амплитуды по аналогичному закону A (t) = = Ао (1 4- М cos Q0- Тогда амплитудно-модулированное колебание запи- шется в форме [м COS (00 t 4- -у- cos (®0 4- й) t 4- + y-cos(o)0— Q)i| (3.33) Из сравнения (3.32) и (3.33) видно, что при малых значениях т спектр колебания, как и при AM, состоит из несущей частоты со0 и двух боковых частот: верхней соо + Q и нижней соо — Q. Единственное отличие заключа- ется в фазировке колебаний боковых частот относительно несущего колеба- 86
Рис. 3.15. Векторная диаграмма (а) и спектр колебания (б) при угловой модуляции с индексом т<1 ния. При AM фазы колебаний боковых частот симметричны относительно несущей частоты, а при угловой модуляции фаза колебания нижней боко- вой частоты сдвинута на 180° [знак минус перед последним слагаемым (3.32)1, Это положение иллюстрируется векторной диаграммой, показанной на рис. 3.15, а. Направление вектора DC2 при AM обозначено штриховой линией. Изменение направления этого вектора на 180° приводит к тому, что вектор модуляции DF всегда перпендикулярен к направлению вектора О£>, изображающего несущее колебание. Вектор CF, изображающий результи- рующее колебание, изменяется как по фазе, так и по амплитуде; однако при т = 6щах 1 амплитудные изменения настолько малы, что ими можно пренебречь и модуляцию можно в первом приближении рассматривать как чисто фазовую. Спектральная диаграмма для угловой модуляции при т < 1 показана на рис. 3.15, б. Равенство амплитуд колебаний боковых частот сохраняется, а фаза колебания нижней частоты сдвинута на 180°. Амплитуды колебаний боковых частот равны /иА0/2, и поэтому в данном случае индекс модуляции т совпадает по значению с коэффициентом-М, характеризующим глубину изменения амплитуды при AM. Заметим, что ширина спектра при tn < 1 равна 2Q, как и при AM. Этот результат показывает, что при очень малых девиациях сод (по сравнению с Q) ширина спектра от сод не зависит. При увеличении фазового отклонения, т. е. при возрастании т, урав- нение (3.32) и диаграмма на рис. 3.15, а не дают правильного представления о действительной картине явлений при частотной или фазовой модуляции. Это объясняется тем, что с помощью колебаний несущей частоты и всего лишь одной пары боковых частот невозможно представить колебание, ча- стота или фаза которого изменяется в широких пределах, а амплитуда оста- ется строго постоянной. Для получения правильной картины необходимо учитывать боковые частоты высших порядков в соответствии с выраже- нием (3.31). При значениях индексов т от 0,5 до 1 приобретает некоторое значение вторая пара боковых частот, ввиду чего ширина спектра должна быть приравнена 4Q. Далее, при 1 <Ztn<^2 приходится учитывать третью и чет- вертую пары боковых частот и т. д. Спектральные диаграммы для tn = 1 'о 0,8 - <*>0 а) Рис. 3,16. Спектры колебания при угло- вой модуляции: а) т=1; б) т=2 <*>О 6) О 87
Qt-0 ZJztm) JQ(m) Slt~n/2 J0(m) в) Рис. 3.17. Фазировка колебаний боковых частот в различные моменты времени и /и — 2 приведены на рис. 3.16. Фазы колебаний на этих рисунках не учи- тываются, однако следует иметь в виду, что при нечетных п амплитуды ниж-< них боковых частот следует брать со знаком минус. Амплитуды всех состав- ляющих спектра представлены на этих рисунках в виде вертикальных от- резков, длины которых равны Jn (иг), а расстояния от отрезка Jo (т), соот- ветствующего амплитуде колебания несущей частоты, равны nQ, где Q — частота модуляции, ап — порядковый номер боковой частоты. Амплитуда результирующего колебания принята за 100 %, т. е. Ао = 1; обозначенные на рисунках величины Jn определяют амплитуды колебаний соответствую- щих частот в .долях от амплитуды результирующего колебания. Векторные диаграммы для различных моментов Ш при т — 1, построен- ные по выражению (3.30), представлены на рис. 3.17, а—г. При п>2 Jn (1) < 1, поэтому учтены только Jr и J2- Рассмотрим теперь большие значения т. Вопрос сводится к выяснению зависимости бесселевой функции Jn (иг) от порядкового номера п при боль- ших значениях аргумента т. Оказывается, что при т 1 величина |Jn (иг)| более или менее равномерна при всех целых значениях |п|, меньших, чем аргумент т. При |п|, близких к иг, \Jn (иг) | образует всплеск, а при дальней- шем увеличении |п| функция |</п (иг)| быстро убывает до нуля. Общий ха- рактер этой зависимости показан на рис. 3.18 для т = 100. Из рисунка видно, что наивысший номер п боковой частоты, которую еще необходимо принимать в расчет, приблизительно равен индексу модуляции tri (в данном случае и = 100). Приравнивая это максимальное значение nmax величине иг, приходим к выводу, что полная ширина спектра частотно-модулированного колебания Рис. 3.18. Ширина спектра ЧМ ко- лебания при больших значениях индекса модуляции 21 Птах I & ~ 2тП. Но т = (Од/Q, следовательно, при больших индексах модуляции ширина спектра модулированного колебания близка к удвоенной девиации частоты 2|Птах|Й«2шд. (3.34) Эта полоса частот обозначена в нижней части рис. 3.18. Заметим, что в соответствии с опреде- лением т [см. (3.24)] выражение «модуля- ция с малым индексом» эквивалентно вы- ражению «быстрая модуляция», а выраже- ние «модуляция с большим индексом» экви- валентно выражению «медленная модуля- 88
ция». Поэтому можно сформулировать следующее положение: при быст- рой угловой модуляции (когда <од 4С ширина спектра модулированного ко- лебания близка к значению 2Q; при медленной угловой модуляции (когда сод 4> Q) ширина спектра близка к значению 2сод. 3.7. СПЕКТР РАДИОИМПУЛЬСА С ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫМ ЗАПОЛНЕНИЕМ При модуляции частоты колебания по закону, отличающемуся от гар- монического, нахождение спектра колебания усложняется. Выбор наибо- лее удобного метода анализа зависит от характера модулирующей функции. Поясним один из возможных методов на примере широко распространенного сигнала — импульса с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ импульса). Подобный сигнал изображен на рис. 3.19, а, а закон изменения частоты за- полнения импульса — на рис. 3.19, б. Мгновенную частоту заполнения со (/) = 2л/ (t) можно определить вы- ражением (о(/)^юо4-р/, 111< Тс/2, где |р|=2шд/Тс = 2.2л/д/Тс (3.35) (3.36) есть скорость линейного изменения частоты внутри импульса. Тогда мгно- венное значение колебания, представленного на рис. 3.19, а, можно запи- сать в виде а (0 — Ао cos Н (о (t) dt) — Ао cos (ю014 —Тс/2 < f < Те/2. (3.37) Произведение полной девиации ча- стоту на длительность импульса 2/дТс = /п (3.38) является основным параметром ЛЧМ сигнала. Напомним, что в § 2.15 ана- логичный параметр N = 2fmTc был назван базой сигнала. Поскольку /д определяет ширину спектра рассмат- риваемого сигнала, параметр т можно трактовать как базу ЛЧМ сигнала. С учетом (3.38) выражение (3.36) можно записать в форме | Р | = 2пт/Т1. (3.39) При этом сигнал а (/) определяется при Р >* 0 выражением Л / 4. . Л/71/2 а (/) = Ао cos <о01 + -уу- \ 1 С Рис. 3.19. ЛЧМ импульс (а) и изменение частоты его заполнения (б) Л. 2 2 (3.40) 89
Определим спектральную плотность этого сигнала с помощью общего выражения (2.48): Гс/2 Гс/2 S(<o)=/0 J cos^0Z + -=^-je-'OJ/d/= у!- J ехррГ-уу — -Гс/2 ° ' -Тс/2 Тс/2 — (о» —(оо)/]р/ + -^ J expj—i /2 + ((о +<*>оН]рГ (3.41) -Тс/2 Первое слагаемое в правой части полученного выражения определяет всплеск спектральной плотности вблизи частоты со = со0, а второе — всплеск вблизи частоты со = —соо. При определении S (со) в области положительных частот второе слагае- мое можно отбросить [см. (3.10)]. В первом же слагаемом показатель сте- пени в подынтегральной функции целесообразно дополнить до квадрата разности (Р считаем положительной величиной) л/гЦ2 'рч nml2 , . , --------(со -ю0)/ = Тс -d\ где d = (со —со0) Тс/2 У пт . —(»—<о0Н 4 d2 —d2 — ( ' 1—d (3.42) (3.43) Подставляя (3.42) в (3.41) и переходя к новой переменной у= ynmt/Tr- d, (3.44) получаем 'Г Ut S(CB)^-Ae~zd> JK; - f e^df/, (3.45) 2 у пт J —«1 где пределы интегрирования определяются выражениями U!-|/^[l +- «2^ j/’j'l1 " <346) Используем известные из математики определения интегралов Фре- неля С(х) ~ j cos п? dy, S (х) = у sin dy, (3.47) о о С(х)+ iS(x) = fe"^" dy. (3.48) о Тогда выражение (3.45) с учетом (3.43) и (3.46) приводится к следую- щей формуле: S (<о) = -U exp I - i ] {С (И1) + С (иг) + i [S (Ы1) + S (u2)J}. 2 у т у 2 [ 2р I (3.49) 90
Рис. 3.20. Спектральная плотность ЛЧМ импульса при различных значениях базы т^2/дТс: а) лг—10; б) т = 60; в) т=100 Рис. 3.21. Амплитудно- и фазо-частотная характе- ристики спектра ЛЧМ импульса на всей оси ча- стот Из (3.49) следует, что в области (о>0 АЧХ спектральной плотности ЛЧМ сиг- нала S(<o) = ? yL X 2 V2 х V [С (их) +С (и2)]2 ь [5 (Uj) 4 s (u2)]2, (3.50) а ФЧХ 0s(w)= — - ^— i-barctg x 2P x s (“1) + S(tt2) _ ffl (to—wp)2 . + arctg S (ux) + S (u2) C(«,) |-C (u2) ’ (3.51) Графики зависимости (2]/rm/AQTc) S (to) от (to — <о0)/о)д (рис. 3.20, а, б и в) пока- зывают, что при больших значениях т форма § (<о) приближается к прямо- угольной и ширина спектра близка к величине 2юд. При этом характе- ристика |ф (со) | принимает вид квадратичной параболы (рис. 3.20, в). Второе слагаемое в (3.51), стремящееся к постоянной величине л/4, опущено. При со = tou их = и2 — )Лп/2, так что при больших значениях т и <о — <оо, когда С (uj) « С (и2) «0,5 и S (и,) « S (u2) « 0,5, _ квадратный корень в выражении (3.50) обращается в \^2. a S (<о0) -► -► Л0Тс/2 у'т. На рис. 3.21 показана структура АЧХ и ФЧХ спектра ЛЧМ импульса при р > 0 на всей оси частот. В области отрицательных частот ФЧХ по знаку обратна фазовой характеристике спектра при положительных часто- тах. При р < 0, т. е. при убывании частоты внутри радиоимпульса, знак минус перед правой частью выражения (3.51) должен быть изменен на об- ратный. 3.8. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ АМПЛИТУДНО- ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИИ Обобщим выражения (3.25), (3.26). заменив в них постоянную амплитуду Ло функцией времени А ((): а (/) = А (/) cos |<оо/ + 0 (/)| = А (/) cos 0 (/) cos <о0/ — А (/) sin 0 (?) sin <о0/ — = ос (0 - as (/). (3.52) 91
Как и в § 3.5, 3.6, определение спектра колебания сводится к нахождению спек- тров функций Дс (/) = А (t) cos 0 (0 и Л8 (/) = А (/) sin 0 (/), т. е. огибающих квад- ратурных колебаний, и к последующему сдвигу этих спектров на величину (оо. Обозначим спектральные плотности функций Ас (/) и As (/) символами (со) и S, ((о). Тогда Л s 5Л (<о) = J Дс(/)е 'iu>ldt— f Л (/) cos0 (/) (3.53) с —оо —оо S4g (w) == J Лв(/)е-‘"'^= J A (Z)sin0(/)e ~iu,‘dt. Спектральная плотность косинусного квадратурного колебания ас (/) == Ас (/) X X cos о)0/ в соответствии с выражением (2.58) при 0о = 0 будет Sac(<o) =- V2[S^c(w—<о0)4-5дс((о4-а>в)]. (3.54) При определении спектра синусного квадратурного колебания as (/) = As (/) X X sin (оо/ фазовый угол Оо в (2.58) следует приравнять — 90°. Следовательно, $as (<«>)•=— “[5л8 ((о~“<°o) + SXg (со Но)]. (3.54') В области положительных частот можно считать Sy* (cd j-(о0) ~ 0, Syi ((о + соо)—0. С S Таким образом, окончательно спектральная плотность колебания а (/) — ас (t) — — as (/) определяется выражением (со) ~ Sqc (со) S<is (со) — 1/2 (со—соо)-j-сSyjg (со — соо) |» со>*О. (3.55) Переходя к переменной Q = со — (о^, получаем Sa (coo~t Q) — 1/а [S^c (Q) 4-i(Q)|. (З.аб) Структура спектра колебания a (/) при амплитудно-частотной модуляции зависит от соотношения и вида функций Л (/) и 0 (/). При AM спектр колебания а (/) характеризуется полной симметрией амплитуд и фаз колебаний боковых частот относительно несущего колебания; при угловой модуля- ции [Л (/) Ло = const] фазы колебаний нижних боковых частот при нечетных п сдвинуты на 180° (см. § 3.6). Одновременная модуляция по амплитуде и углу может при некоторых соотношениях между Л (/) и 6 (t) приводить к асимметрии спектра Sa (<о0 -t 4- Q) относительно со0 не только по фазам, но и по амплитудам. В частности, если 0 (/) является нечетной функцией /, то при любой функции А (/) спектр колебания а (/) - несимметричен. Пример подобного спектра представлен на рис. 3.22. (По отношению к точке со = .0 модуль спектральной плотности симметричен при любых условиях.) Для симметрии спектра So (со) требуется четность функции 6 (/) при одновре- менном условии, чтобы функция A (t) была либо четной, либо нечетной функцией I. Если функция Л (/) может быть представлена в виде суммы четной и нечетной состав- ляющих, то спектр Sa (со) несимметричен даже при четной функции 0 (s). Например, импульс с линейной ЧМ, рассмотренный в § 3.7, имеет симметричный спектр. В этомслу- 51 чае прямоугольная огибающая при надле- жащем выборе точек отсчета времени являет- -to0 0 ы0 Рис. 3.22. Пример асимметричного спектра при смешанной амплитудной и угловой модуляциях ся функцией, четной относительно /, как и функция 0 (/) = -L р/2. Наглядное представление о деформации спектра крлебания при смешанной модуля- ции — амплцтудной и угловой — можно по- лучить, рассмотрев случай, когда обе моду- ляции осуществляются гармонической функ- цией с одной и той же частотой Q. Для упрощения анализа зададим эту функцию в виде гармонического колебания cos Q/ для угловой модуляции и в виде cos Qt или sin Qt для амплитудной. 92
g>0-Q ы0 6^+22 су в) Рис. 3.23. Спектр колебания при одновременной модуляции амплитуды и частоты гар- монической функцией 1. Обе функции, как А (/), так и 0 (/), четные относительно /: А (/) = Ло (1 + М cos Ш), 0 (0 = т cos Ш, М 1; т <с 1. Выражение (3.52) принимает вид a (t) = Ло (1 + М cos Ш) cos [соо/ + т cos Ш]. Полагая, как и в § 3.3, справедливыми приближенные равенства cos (т cos Ш) « « 1, sin (m cos Q/) » m cos Ш, приводим это выражение к виду, аналогичному (3.32): а (/) -Ло (1+М cos Q/) cos to0 t—tn IM M I — + cos Ш + — cos 2Ш) sin to0 t м _ г м 1 cos too t + — [cos (too + Q) / + cos (to0—Q) /] — tn\ — sin to0 14- — sin (to0 + + □)/+ sin (to0— &) t mM 1 —------jSjn (Wo-|-2Q) t -f-sin (to0—2Q) /] >. 4 J Суммируя квадратурные составляющие cos to0/ и (mM/2) sin to0/, получаем для амплитуды результирующего колебания на частоте to0 следующее выражение: 1/1 4- (тМ/2)2 при Л о = L Аналогичным образом находим амплитуду 0,5 Д/М2 4~ tn2 для колебаний с частотами to0 + Q и тМ/4 для частот to0 ± 2Й. Спектр колебания а (/), представленный на рис. 3.23, а, симметричен. 2. Функция 0 (/) — четная, а Л (/) содержит четную и нечетную составляющие: Л (/) = Л о (1 4“ М sin Ш), 0 (/) — т cos Q/, М 1; т <С 1. Выкладки, аналогичные предыдущим, приводят к следующим результатам: ам- плитуда равна 1 на частоте to0; 1/2 (М — т) на частоте to0 — Q; 1/2 (7Й 4“ tn) на ча- стоте to0 — Q; /иА1/4 на частотах to0 ± 2Q. Спектр колебания для рассматриваемого случая представлен на рис. 3.23, б. Симметрия спектра нарушается в данном примере из-за неодинаковых амплитуд колебаний верхней и нижней боковых частот. Асимметрия спектра при амплитудно-угловой модуляции может рассматриваться как показатель неправильной работы устройства, осуществляющего AM; перекос спек- тра указывает на то, что полезная AM сопровождается паразитной угловой модуляцией. 3.9. ОГИБАЮЩАЯ, ФАЗА И ЧАСТОТА УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА Современное состояние радиотехники характеризуется непрерывным совершенствованием способов передачи информации. Изыскиваются новые виды сигналов и новые способы их обработки. Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные колебания являются лишь простейшими видами радиосигналов. Часто приходится иметь дело с радиосигналами, получаемыми в результате одновременной мо- 93
дуляции амплитуды и частоты (или фазы) колебания по очень сложному за- кону. В любом случае предполагается, что заданный сигнал a (f) представляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все спектральные составляю- щие сигнала группируются в относительно узкой по сравнению с некоторой центральной частотой ©0 полосе. При представлении подобных сигналов в форме а (0 = А (0 созф (0 (3.57) возникает неоднозначность в выборе функций A (t) и ф (/), так как при лю- бой функции ф (0 всегда можно удовлетворить уравнению (3.57) надлежа- щим выбором функции A (t). Так, простейшее (гармоническое) колебание a (t) = Ао cos (3.58) можно представить в форме а (0 = А (0 cos at, (3.58') где <в = <оо + Д<о. В выражении (3.58') огибающая A (t) в отличие от Ао является функцией времени, которую можно определить из условия сохранения заданной функ- ции а (/) Ло cos <o0t = A (t) cos (<оо 4- Д<о) t, откуда д щ Ло cos top t Ло cos <i>o t COS (йЭд + Дйэ) t COS Д<о/ COS (Од t — sin Д(0/ sin йЭд t =---------. (3.59) cos Д«Ц—-sin Aco/-tg(o01 Из этого примера видно, что при нерациональном выборе ф (t) (a>t вме- сто <»о0 очень усложнилось выражение для А (/), причем эта новая функ- ция А (0 по существу не является «огибающей» в общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую а (0 (вместо касания в точках, где а (/) имеет максимальное значение). Оперирование подобной «огибающей» не имеет смысла, а в некоторых случаях и недопустимо, так как может при- вести к ошибочным практическим выводам (например, при рассмотрении ра- боты амплитудного детектора). Неопределенности можно избежать при представлении A (t) и ф (t) с помощью следующих соотношений: А (0 = Vаг (Г) + а\ (0, со (0 = arctg [ах (/)/а (0L (3.60), (3,61) где ах (/) — новая функция, связанная с исходной соотношениями со оо ^(<)=_J_ [ ^Ldr, a(t) = — f dr. (3.62), (3 63) — oo —oo Эти соотношения называются преобразованиями Гиль- берта, а функция ах (t) — функцией, сопряженной (по Гильберту) ис- ходной функции a (t). Для выяснения смысла выражений (3.60), (3.61), а также требования, чтобы ах (/) являлась функцией, сопряженной по Гильберту исходной функ- 94
ции a (t), рассмотрим сначала некоторые свойства A (t), вытекающие непо- средственно из выражения (3.60) и справедливые при любой функции ar (t). Прежде всего мы видим, что в точках, где функция (/) равна нулю, имеет место равенство A (t) = a (t). Дифференцируя (3.60), получаем . dA da . da А-----= а-------Н Й!--- di dt dt Отсюда видно, что при = 0, когда А (/) = а (/), имеет место дополни- тельное равенство dA___ da dt dt Следовательно, в точках, в которых (t) = 0, кривые А (/) и а (/) имеют общие касательные. Этих условий, однако, еще недостаточно для того, чтобы можно было рассматривать A (t) как «простейшую» огибающую быстро осциллирующей функции a (t). Необходимо потребовать, чтобы кривая A (t) касалась кривой a (t) в точках, в которых последняя имеет амплитудное или достаточно близ- кое к нему значение. Иными словами, в точках, где (t) обращается в нуль, функция a (t) должна принимать значения, близкие к амплитудным. Это ус- ловие как раз и обеспечивается, если функция а± (t) является сопряженной по Гильберту функции а (/). Это свойство преобразований Гильберта на- гляднее всего иллюстрируется на примере гармонического сигнала. Пусть а (0 = cos соо/, —оо </<[». Найдем сопряженную функцию (t). Применяя общее выражение (3.62) и переходя к новой переменной х = т — t, находим /1 Г* COS (On X « 1 i COS (О о % ,1 I (t) —------| -------2— dx =-------cos о)01 I --------— dx + Л J X — t Л J X — oo — oo co . 1 • . f sincoox i H—- sm (oo t I --------2— dx, л J x —' oo Известно, что (в смысле главного значения) и sin л: < ----dx~ л. Следовательно, функции a (f) = cos <оо/ соответствует сопряженная функция (/) = sin <ooZ, которая проходит через нуль в моменты, когда исходная функция проходит через максимум. Аналогичным образом нетруд- но убедиться, что функции а (/) = sin соо/, —оо <; £ <; оо, соответствует сопряженная функция ar (t) = —cos сооЛ Подставляя a (t) = cos (o0t и аг (/) = sin соо/ в выражение (3.60), полу- чаем для огибающей гармонического колебания общепринятое выражение A (t) = ]/cos2 (ooZ + sin2 (dot = 1. Аналогичный результат получается и для a (t) = sin (oo/, ах (t) = = — COS (dot. 95
Как видим, выражение (3.60) определяет огибающую в виде линии, ка- сательной к исходной функции в точках ее максимума и в случае гармониче- ского колебания соединяющей два соседних максимума кратчайшим путем. Таким образом, выражение (3.60) определяет «простейшую» огибающую. Это свойство выражения (3.60) сохраняется и для сложного сигнала, если выполняется условие медленности изменения огибающей, т. е. если речь идет об узкополосном сигнале [см. (3.2), (3.3)]. Если исходный сигнал представляет собой сумму спектральных состав- ляющих a (t) — 2 (лп cos con t + bn sin соп /), (3.64) п то сопряженная функция «1 (0 = 2 («п sin ©n t —bn cos <on t). (3.65) п Ряд (3.65) называется рядом, сопряженным ряду (3.64). Если сигнал а (/) представлен не рядом (3.64), а интегралом Фурье оо а (/) = — J [a (w) cos + b (<о) sin и/] d©, (3.66) о то функция (/) может быть представлена в виде интеграла оо <h(0- — f [a(©)sin®f—b (©) cos ©/] d©, (3.67) я J — oo сопряженного интегралу (3.66). Нетрудно установить связь между спектрами функций a (t) и ах (/). Так как при преобразовании гармонического колебания по Гильберту его амплитуда остается неизменной, то очевидно, что по модулю спектральная плотность Sx (со) сопряженной функции ах (0 не может отличаться от спек- тральной плотности S (со) исходной функции а (/). Фазовая же характеристи- ка спектра Sx (со) отличается от ФЧХ спектра S (со). Из сопоставления вы- ражений (3.66) и (3.67) непосредственно вытекает, что спектральные состав- ляющие функции ах (/) отстают по фазе на 90° от соответствующих состав- ляющих функции a (t). Следовательно, при со > 0 спектральные плотности Sx (со) и S (со) связаны соотношением Si (со) =—ZS (со), со > 0. (3.68) В области отрицательных частот соответственно получается Sx (со) = IS (со), со < 0. (3.69) Вследствие изменения ФЧХ сопряженная функция ах (0 по своей форме может сильно отличаться от исходной функции а (/). После того как найдена сопряженная функция ах (/), можно с помощью выражений (3.60), (3.61) найти огибающую A (I), полную фазу ф (/) и мгно- венную частоту узкополосного сигнала (0 (/) = -11(<) - А- Гarctg 1 = а ai W—W д,._(0 (3.70) dt dt L a(t} J а2(0 + «1(0 Выделив в найденной таким образом частоте со (t) постоянную часть соОч можно написать выражение Ф (0 = соо/ + 0 (0 + 0О, (3.71) 96
в котором 6 (t) не содержит слагаемого, линейно зависящего от времени. Тем самым устраняется произвол в выборе «средней частоты» сигнала соо и соответственно функции 6 (/). В заключение следует отметить, что в некоторых случаях выражения (3.60)—(3.69) используют также и для широкополосных сигналов, когда по- нятие «огибающая амплитуд» теряет свой обычный смысл. При этом отказы- ваются от требования, чтобы огибающая A (t) касалась кривой а (I) вбли- зи точек, в которых a (t) имеет амплитудное значение. Поясним применение преобразования Гильберта для определения огибающей, фазы и мгновенной частоты сигнала на следующем примере. Пусть задан сигнал в виде суммы двух гармонических колебаний с близкими ча- стотами1 (ох и (о2 a(t) = Лх cos (ох/ + А2 cos (о2/ (3.72) и требуется а (/) представить в форме а (/) ==• A (t) cos [(оо/ + О (0 + 0oL (3.73) Расстройка |Д(о| = |(о2 — (ох| полагается настолько малой по сравнению с (со2 + <л>!)/2, что колебание а (/) можно считать узкополосным. Что следует в данном случае подразумевать под А (/), (оо и 0 (/)? Непосредственно из выражения (3.72) трудно выявить структуру огибающей и фазы результирующего колебания а (/). Используем поэтому выражения (3.60), (3.61). Сопряженная функция ai (/) — Лх sin (01/ + А2 sin со2/. Применяя формулу (3.60), находим огибающую сигнала а (/) Л (/) = V(Лх cos <х>! t + А2 cos (о2 /)2 + (A sin (0j t + А2 sin (о2 /)2 = =Л1У1 + *Ч-2й cos Дсо/, (3.74) где k = А2! Аг\ Дсо = со2 — сох, причем для определенности считается, что k < 1 и Дсо > 0. Полную фазу суммарного колебания находим по формуле (3.61): ф (/)~arctg Ш (0 а(/) sin сох / + & sin (о2 / ==arctg-------------------- COS (0х t + k CpS (02 t (3.75) Применяя далее формулу (3.70), после Несложных алгебраических и тригономе- трических преобразований приходим к следующему выражению для мгновенной ча- стоты : . /г-И cos Дсо/ (О (/) = <oj Ь Дсой ————-------------—— = СО j -I- Д(ОТ) (/) , 1 jrk2jr2k cos Дсо/ , v , k -j-- cos Дсо/ Т] (/) = k---------------------- . 1 14-£2 2^ COS Дсо/ (3.76) (3.77) Так как постоянная составляющая функции г| (/) равна нулю, то входящие в вы- ражение (3.71) средняя частота (о0 и функция 0 (/) будут (o0=(Oi, 0 (/) = Дсо | q(x)c/x. (3.78), (3.79) о Итак, на основании (3.74), (3.76) и (3.78), (3.79) выражение (3.73) приводится к виду а (/) =; AL~l/l ^k2-^2k cos Awt cos cox t + Дсо Л (x) dx , (3.80) где ч (/) определяется выражением (3.77). При этом исключаются произвол и неопределенность в выборе огибающей и фазы суммарного колебания. Графики функции л (/), характеризующие изменение частоты, приведены на рис. 3.24 для некоторых значений k. 1 Для сокращения выкладок положим начальные фазы 0Х = 02 — 0. 4 Зак. 1326 97
Рис. 3.24. Мгновенная частота колеба- ния, являющегося суммой двух гар- монических колебаний Рис.* 3.25. Сумма двух гармонических колебаний с близкими частотами fi и f2 при одинаковых амплитудах (*=1) При 6 1,т. е. при наложении слабого колебания А2 cos <о2/на сильное Лt cos выражения (3.74)—(3.77) значительно упрощаются: A (t) « А (1 -\-k cos Дсо/), (00^=0^, со (/) «+ cos Дю/, ф (/) « (dx N- sin Дев/. (3.81) В этом случае огибающая, частота и фаза суммарного колебания изменяются по гармоническому закону с частотой |Дсв| = |(в2 — <Вх| относительно своих средних зна- чений соответственно Alt и При k = 1 функция т| (/) в соответствии с (3.77) принимает постоянное значение — 1 +cosAco/ 1 Л “ 2 (1 + cos До»/) = 2 на всей оси времени, кроме точек Д<о/ = ±(л, Зл, ...), где Л (/) = оо. Эти выбросы со- ответствуют производным скачкообразно изменяющейся фазы при переходах огибаю- щей биения через нуль. Таким образом, в интервалах между указанными моментами частота суммарного колебания (Bj + Дсо/2 = (сох + wa)/2. К этому результату можно прийти непосредственно из выражения (3.72), которое при Лх = Л2 подстановкой <в2 = (в0 + Д<оо, <Вх — соо — Дсв0 легко приводится к виду (02 (Ox (Bg-^BJx а (/) — 2Лх 2 cos Д(в0 /cos(o0 t- 2At 2 cos —-— t cos---------— /. График колебания a (0 при k ~ 1 представлен на рис. 3.25. if __ f X Период функции cos Дсв0/— cos 2л --------- t равен 2/(/2 — /х), причем в точках перехода через нуль эта функция, как отмечалось выше, меняет свой знак. Если не учитывать перемену знака, т. е. определять огибающую амплитуд функцией (<08 — со-) | cos----g---/|, то период биений будет вдвое короче, как показано на рис. 3.25. Поэтому частота биений равна /2 — 71- Формулы (3.74)—(3.82) имеют большое прикладное значение, так как в физике и технике часто приходится иметь дело с биениями двух гармонических колебаний. ЗЛО. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ В электротехнике при анализе воздействия гармонического колебания (напряжение, ток) на линейную цепь его принято представлять в форме а (/) - Ао cos (<оо t + О») = Re [е* <“• <+e«>] - Re [Ао e‘“«'] (3.83) или a (t) = Ао sin (<о014 0о) = Ао 1m [е‘<<й» ‘ ] — Im (Ао eZu)»*], (3.84) где Ао = Аое‘е> — комплексная амплитуда. 98
Часто символ Re или Ini опускают и пишут просто a (t) До е' (w° /+0n) = Ао eZw« подразумевая действительную или мнимую часть этого выражения. Такое представление позволяет использовать преимущества методов те- ории функций комплексной переменной с последующим возвратом в конце анализа к тригонометрической форме путем отбрасывания мнимой части. В современной радиотехнике представление колебаний в комплексной форме распространено на негармонические колебания. Если задан физический сигнал в виде действительной функции a (/), то соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме za (0 = а (0 4- iar (t), (3.85) где аг (/) — функция, сопряженная по Гильберту сигналу a (t). Заметим, что и в выражении (3.84) мнимая часть комплексной функции является функцией, сопряженной по Гильберту действительной части. Главная особенность определенного таким образом комплексного сиг- нала заключается в том, что его спектральная плотность Za (ш) -- Sa (со) + ZSai (<о) (3.86) содержит только положительные частоты. Действительно, согласно (3.68), (3-69) при со > О Sal (со) =- — ZSa (со), а при со <г 0 Sal (о) = iSa (<о). Следовательно, z,M=!2s"w |”,иш>0’ 10 при о)<О. (3.87) Так, если узкополосному сигналу a (t) соответствует спектральная плот- ность Sa (о), модуль которой изображен на рис. 3.26 штриховой линией, то сигналу га (t) = a (t) + iax (t) соответствует спектральная плотность Zo (<о), модуль которой изображен на том же рисунке сплошной линией. Интеграл Фурье для сигнала га (0 принимает следующий вид: 00 ОО za (0 - — f Z„ (to) е'“' d<o = — f 2Sa (<o) e‘“' d<o, (3.88) 2л J 2л J о 0 где Sa (co) — спектральная плотность исходного (физического) сигнала a (t). Комплексный сигнал, определяемый выражениями (3.85) и (3.86), на- зывается аналитическим сигналом1. 1 Смысл термина «аналитический сигнал» заключается в том, что при переходе к переменной t =• х -4- iy функция za (t) — za (х 4- iy), определяемая в соответствии с оо (3.88) интегралом 2Sn (со) е d(d, является аналитической функцией для каждого у > 0. Для доказательства определим энергию сигнала zn (х + iy) с помощью равенства ДПарсеваля оо эг =4 f (2Sa (<о) е “"Г dw < 2э«- 2л J о Как видим, множитель e““2w обеспечивает сходимость интеграла при любом у > 0. поскольку со > 0. В случае же действительного сигнала a (t) переход к а (х + iy) приводит к бесконечному возрастанию множителя e““2w в области со < 0. Иными словами, аналитичность сигнала обусловлена тем, что в области со < О спектральная плотность функции za (/) равна нулю. 4* 99
Пусть задан физический сигнал a (0 — A (I) cos [соо£ + 0 (01 = A (t) cosi|> (0 и требуется определить соответствующий ему аналитический сигнал za (/). Исходя из общего выражения (3.62) для сопряженной функции ах (0 можно написать za (О -Д(0 cos ф(0—- [ ^(t)cosi|>(t) dt. л J т — t — оо Точное определение ах (0 при сложной функции А (т) cosip (т) явля- ется трудной задачей, которую можно обойти, если исходный сигнал а (0, является достаточно узкополосным процессом. Можно показать, что в этом случае аг (0 = А (0 sin ф (0 = А (0 sin |(о0/ + 0 (t) ф- 0J. Таким образом, аналитический сигнал можно записать в следующем виде: га (0= а (0 <'» =s А (0 е' *+« <0+в«1 = А (0 е-“«(3.89) где А(0 = Л(Ое‘Гв<'>+в»] (3.90) представляет собой комплексную огибающую узкополосного сигнала. Соотношения между A (t), a (t) и аг (0 иллюстрируются векторной диаграммой на рис. 3.27. Модуль комплексной огибающей, равный A (t) [поскольку |e‘[0W+M| = 1 при любом законе изменения 0 (0], содержит информацию только об амплитудной модуляции колебания, а фа- зовый множитель eze <*> — только об угловой модуляции. В целом же про- изведение A (t) е‘0 W содержит полную информацию о сигнале а (0 (за ис- ключением несущей частоты соо, которая предполагается известной). Это свойство комплексной огибающей, позволяющее при анализе уз- кополосных сигналов исключить из рассмотрения частоту <оо, придает важ- ное значение понятию «аналитический сигнал». Рассмотрим основные свойства аналитического сигнала и комплексной огибающей. 1. Произведение аналитического сигнала га (t) на сопряженный ему сигнал z*a (t) равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала а (0. Действительно, za (0 z* (t)«[a (t) + iar (t)] [a (0 -- iar (t)\a1 (t) + a[ (0 А2 (t). (3.91) Таким образом, модуль анали- тического сигнала za (t) равен про- сто огибающей сигнала А (0. 2. Спектральная плотность ко- мплексной огибающей А(0 совпадает со смещенной на <оо влево спектраль- ной плотностью аналитического сиг- нала za (0. Основываясь на общей формуле (2.48), можно написать Z0(<o) = J za(t)e-‘*“dt. ЛОВ — ОО ZgfO) ~ZSa((t)) 8а(о) / \ О О0 о ~Oq Рис. 3.26. Соотношение между спектра- ми физического и аналитического сигна- 100
Рис. 3.27. Соотношение между амплитудой аналитического сигнала и функциями a(t), £71(0 Рис. 3.28. Соотношение между спектрами комплексной огибающей и аналитического сигнала Подставляя в это выражение za (t) = A(f) eZw®*, получаем Z(G)) = J A(i)e—' 5л(<о—coo), ю>0. (3.92) Это соотношение является обобщением формулы (2.58) на случай ком- плексной функции времени А(/), умножаемой на е‘ “• * (вместо cos ©of в § 2.7, п. 3). Выражение (3.9), выведенное для вещественной огибающей A (t) (при чисто амплитудной модуляции), является частным случаем обще- го выражения (3.92). Введя обозначение © — ©0 = £2. перепишем (3.92) в несколько иной форме Za (<оо + £2) = Эл (£2) = 2Sa (соо + £2) (3.93) [см. (3.87)1. Соотношение между спектрами S/ (£2) и Za (®0 + £2) иллюстрирует рис. 3.28. Особо следует отметить, что спектр 8л (£2) комплексной огибающей А (/) не обязательно симметричен относительно нулевой частоты (см. рис. 3.28). Если спектр Sa (со) физического колебания а (I) несимметричен отно- сительно со = <оо, как это может иметь место, например, при амплитудно- угловой модуляции (см. § 3.8), то и функция Za (©) = 2Sa (со), © > 0, не- симметрична : после сдвига 1а (со) на величину ©0 влево спектр комплексной огибающей S/ (£2) будет несимметричен относительно частоты £2 = 0. В любом случае функция S.4 (£2) отлична от нуля в области частот £2 < 0. Следовательно, комплексная функция А(0 не является аналитическим сиг- налом. Это объясняется тем, что действительная и мнимая части А(/) не являются функциями, сопряженными по Гильберту. 3. Корреляционная функция аналитического сигнала, определяемая об- щим выражением Bz(x) = J za(t)z'a(t+x)dt, (3.94) является комплексной функцией. Действительно, выразив Bz (т) через модуль спектральной плотности сигнала Sa (со) с помощью выражения вида (2.136), получим 101
вг (т) = — С Z*a (w) e‘“T dw — 4 — f Sa2 (<о) ei0)T d& = 2л J 2л J о о оо оо — 4 f S® (w) cos wido) +1’4 C Sa (<o) sin <ord<o. (3.95) 2л J 2л J о о Действительная часть этого выражения есть не что иное, как удвоенная корреляционная функция исходного физического колебания а (/), т. е. 2ВО (т), а мнимая часть учитывает взаимную корреляцию колебаний a (t) и ах (О- Для раскрытия смысла мнимой части выражения (3.95) вернемся к об- щему определению корреляционной функции (3.94) и запишем ее в форме оо Bz (т) ~ j Iй (0 + tal (01 Iй (* + *) — 1Й1 (t + 01 = j* a (/) a (t + t) dt + J аг (t) ax (t + x)dt + i — oo —oo oo J al(t)a(t-\-x)dt— — 00 a (0 ax (t + t) dt Ba (T) + Bo, CO + i lBa a (0“ fiaa, CO]. (3.95') В §2.19 было установлено, что корреляционная функция действитель- ного сигнала зависит только от модуля спектральной плотности. Так как модули спектров функций а (/) и ах (?) одинаковы (см. § 3.9), то первые два интеграла в (3.95') равны и в сумме дают 2ВО (т). Следовательно, мнимые части в выражениях (3.95), (3.95') совпадают и можно написать следующее равенство: 00 Во.а(т)—Ваа,(т) --4-1- f S3 (<о) sin (oxdco. 2л J О Но в соответствии с (2.137) Baat (т) = Во,о (—т), так что левую часть мож- но записать в форме В0,а (т) — Во,о (—т). Далее, правая часть, содержащая под интегралом множитель sin сот, является нечетной функцией т, откуда следует, что и разность Во,а(т) — Baai (т) является нечетной функцией. Это возможно только при нечетности функции Вага (т). Таким образом, приходим к равенству B„ia (т) — Ваа1(х) = 2Ва,0 (т) и соответственно к соотношению f S2(“)sintaxdx. 2л J 0 Формулу (3.95') теперь можно представить в виде Вг(т) = 2В„(т) + »-2ва1О(т). (3.96) Итак, Re [Вг (т)| -= 2Ва (т), откуда вытекает полезное соотношение между корреляционной функцией Ва (т) исходного действительного сигнала и кор- реляционной функцией Bz (т) аналитического сигнала Be(T)~yRelB,(T)l. (3.97) 4. Корреляционные функции аналитического сигнала и комплексной огибающей этого сигнала связаны между собой соотношением Вг(т)^е-^ВА(х). (3.98) 102
Действительно, подставив в (3.94) za (0 = А(0 е'“«' и г*а (0 х X е~получим важное соот- ношение aft) a(t) =-90°________* ------- afft) •zfl Вг(т) = е-‘“»Т J А(0А*(/ + + ~°° (3.99) Рис. 3.29. Формирование аналитического сигнала, соответствующего заданному ве- щественному сигналу а(0 в котором интеграл есть корреляционная функция комплексной огибающей А(0. Поэтому выражение (3.97) можно записать в форме Ва(0- 2 -i-Re[e~to»T (т)] = у Re J А(0А*(/ + т)Л . (3.97') В частности, при т = 0 получаем Ва(0) = 4" f (3.100) £ J £ — оо Из этого выражения видно, что, поскольку Ва (0) = Э, энергия ана- литического сигнала равна удвоенной энергии исходного действительного сигнала. Следует указать, что применение понятия энергии к комплексной функ- ции имеет не только формальный смысл. В гл. 13 будет показано, что в неко- торых устройствах обработки сигналов приходится иметь дело с совокуп- ностью двух функций времени, сопряженных по Гильберту, т. е. с аналити- ческим сигналом как с физическим процессом. Формирование аналитического сигнала можно пояснить на простой мо- дели, показанной на рис. 3.29. Исходный сигнал а (0 — А (0 cos [<оо/ + + 6 (0] подается на выход непосредственно по прямому каналу и через фазосдвигающее устройство, обеспечивающее сдвиг на —90° для всех спек- тральных составляющих узкополосного сигнала а (0. В результате такого сдвига получается колебание A (t) cos [<оо + 0 (0 — 90°] = А (0 sin [<оо£ + + 0 (0J = Oi (0, сопряженное по Гильберту функции а (I). Следователь- но, совокупность а (0 и (0, действующую на выходе, можно трактовать как аналитический сигнал га (0 - A (f) е'® <#> е'0* ~ А (0 В последующих главах будут даны примеры применения понятия «ана- литический сигнал» как для упрощения анализа прохождения через радио- цепи сигналов действительных, так и для описания совокупности двух квад- ратурных сигналов. 3.11. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ МОДУЛИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ При нахождении корреляционной функции модулированного колебания а (0 = А (0 cos ф (0 будем исходить из условия абсолютной интегрируе- мости функции а (0 (сигнал с конечной энергией), что позволяет применять определение (см. §2.18) Ва(т)= J a(t)a(t \-x)dt. (3.101) 103
Рис. 3.30. Импульс с высокочастотным заполнением (а) и корреляционная функция (б) Вычисление интеграла для сложных сигналов требует громоздких вы- кладок. Задача существенно упрощается при переходе от колебания a (t) к аналитическому сигналу za (t) = A(t)e<<e«‘. Основываясь на соотноше- ниях, выведенных в предыдущем параграфе, рассмотрим сначала чисто ам- плитудную модуляцию, когда a (t) — А (/) cos (nQt, 0 (/) — 0 и, следователь- но, А(0 = А* (0 = А (0. Тогда формула (3.97') принимает вид г- ОО Baft)-у Re е-^ f Aft) A ft+ т)Л = = -i-cos6)0T у A(t)A{t + i)dt. (3.102) — 00 Обозначив, как и в выражении (3.97'), интегральный множитель через В а (т), окончательно получим Во(т) = Ba(t)(1/2cos<o0t). (3.103) Второй множитель (1/2 cos <вот) есть корреляционная функция гармо- нического колебания с частотой <в0 и единичной амплитудой. Итак, корреляционная функция амплитудно-модулированного радио- сигнала равна произведению корреляционных функций огибающей и высоко- частотного заполнения. В качестве примера на рис. 3.30, а показан радиоимпульс с прямоуголь- ной огибающей, а на рис. 3.30, б — соответствующая этому импульсу кор- реляционная функция. Следует отметить, что эта функция не зависит от начальной фазы заполнения радиоимпульса, а ее огибающая совпадает с корреляционной функцией прямоугольного видеоимпульса (см. §2.18, рис. 2.36, г). Для иллюстрации применения общего выражения (3.99) к амплитудно- частотной модуляции найдем корреляционную функцию импульса, изобра- женного на рис. 3.19, а. При обозначениях формулы (3.37) и рис. 3.19 аналитический сигнал запишется в виде za(t)=.-AoeW Te/2^t^Te/2. (3.104) 104
Применяя формулы (3.94) и (3.97'), получаем Тс/2-Т Ва(т) — — Re J е‘1«>^+{иг/2]е-це>1,а+г)+?а+г)‘/21 dt. ~тс/2 (3.105) Пределы интегрирования взяты с учетом условия одновременного существо- вания функций а (/) и a (t + т) (рис. 3.31). С помощью несложных преобразований выражение (3.105) приводится к виду Во(т) = / РТС Рт2 \ sin I—— т— I cos <в0 т при | т | sS -у- , при I т I > Тс/2. (3.106) 0 Используя введенный в §3.7 параметр tn [см. (3.38)] и учитывая, что Р?с -= 2содТс = 2пт, приводим выражение (3.106) к более общему виду • Г т ( т т Y1 sin яш I I ——“ I Ва (т) =4 л§ Тс —------------cos со0 т. 2 яш% (3.106') Множитель 1/2ЛоТ,с = Ва (0) = Э равен полной энергии рассматривае- мого радиоимпульса (как и при импульсе с постоянной частотой заполнения, см. рис. 3.30, б). 105
Таким образом, Bq (Т) Ва (т) Ва (0) Э птх птх cos соот. (3.107) График этой функции построен на рис. 3.32 для параметра т ==? 100 в предположении, что (£>ОТС очень велико (масштаб выбран произвольно). Огибающая корреляционной функции образует весьма острый пик (при m > 1), а частота заполнения постоянна и равна центральной частоте соо исходного радиоимпульса. Рассмотренный здесь сигнал с большой базой т и его корреляционная функция представляют большой практический интерес для современной ра- диотехники. 3.12. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА Пусть задан сигнал а (0 = A (t) cosxp (0 =- А (/) cos [соо/ + 6 (0L (3- Ю8) спектр которого заключен в узкой полосе частот от cox до со2 так, что модуль спектральной плотности Sa (со) имеет вид, представленный на рис. 3.33, а, причем в пределах полосы Асоо спектр не обязательно симметричен относи- тельно центральной частоты соо = (а^ + со2)/2. Под узкополосностью сиг- нала подразумевается условие Асоо/соо = Af0/f0 <1, где Af0 = Асоо/2л === = f2 — fi — полоса частот, Гц. Предполагается, что функция А (/) является простейшей огибающей, т. е. что A (t) и ф (t) отвечают соотношениям (3.60) и (3.61). Если при дискретизации подобного сигнала исходить из ряда (2.114), то интервал между выборками должей быть не больше чем 1/2/2, где f2 — наивысшая частота в спектре сигнала. Нецелесообразность такого подхода Рис. 3.33. Спектр узкополосного радиосигнала (а) и комплексной огибающей этого сигнала (б) 106
очевидна, так как информация о сигнале заложена не в частоту (или Л), а в огибающую А (/) или в фазу 0 (О, которые изменяются во времени медленно с относительно низкими частотами модуляции. Желательно поэто- му так преобразовать выражение (2.114), чтобы интервалы между выборка- ми определялись фактической шириной спектра, т. е. величиной Д/о, а не верхней частотой /2. Для этого перейдем к аналитическому сигналу, соответствующему за- данной функции a (t): za (0 « А (0 = А (0 ef0(O е'“»< = А (/) е‘“< (3.109) где комплексная огибающая А(/) = А (/) &в представляет собой низко- частотную функцию, спектр которой (Q) примыкает к нулевой частоте (рис. 3.33, б). Разложим комплексную функцию А(0 = А (/) е/в(<> по ор- тогональной системе А(0= 1 с„Ф„(0, П= —оо где базисная функция фп (0 определяется выражением (2.115). Подставив этот ряд в (3.109), получим 2 сп<рп(/) п=—со J (3.110) (3.111) после чего исходное колебание а (/) определим как действительную часть функции za (t): 2 (3.U2) а (/) = Re Как видим, задача дискретизации высокочастотного колебания све- лась к задаче дискретизации комплексной огибающей А(/). При определе- нии наибольшего допустимого интервала между выборками в разложении (3.110) необходимо исходить из наивысшей частоты в спектре функции А(/). Из определения (оо как средней частоты в полосе Д®0 очевидно, что эта ча- стота, отсчитываемая от Q = 0, равна Д<оо/2 или в герцах Af0/2. Следова- тельно, интервал между выборками не должен превышать At = 1/(2Д/0/2) = 1/Д/о, (3.113) а функция <рп (/) должна иметь вид _ sin (А<оо/2) (f—nAQ sinnAfp (f—пД0 (3 114) ^nU (Д(»в/2) (/—пАО лД)0(/—пД0 ’ ' ' ’ От аналогичной функции, использованной в §2.15, фп (/) отличается только заменой ®т на Дсоо/2. Следовательно, спектральная плотность Ф(й) функции фо (0 равна 2л/Д<в0 = 1/А/0 в полосе частот |Q| < Aa>J2 (рис. 3.32), а спектральная плотность функции фп (0 при | Q | , G>n(Q) = Дшо/2 (3.115) 0 При|й|>^. Квадрат нормы функции фп (/) по аналогии с выражением, приведенным на стр. 60, ||фп||’ = л/0,5Д<»0=//Д/в. (3.116) 107
Далее по формуле (2.9) с учетом (3.116) оо оо G.— f А(Офл(О^ = Л/о f А(0Фп(0Л. (3.117) II фп II2 J J — оо —оо Используя формулу (2.63), в которой заменяем <о на й1, получаем Дй>о / 2 сп = Д/о -J- ( (Й) Фп (-Й) dQ = 2л J — Ди)0/2 Д(й0/2 = Д/0 — f 8д(Й) — емд<а^Й=А(пД0=Л(«д0е;е<пД/>. (3.118) 2л J Д/о — Д(»о/2 В выражении (3.118) 8л —спектр комплексной огибающей А(/), а A (пД/) — ее значение в отсчетной точке t = n&t. Итак, коэффициенты ряда (3.110) являются выборками функции А(/), взятыми через интервалы Д/ = 1/Д/0. Подставляя (3.118) в (3.111), получаем za (t) - 2 А (0 е^о^+в(пдо] П— —оо и по формуле (3.112) определяем а (/) = 2 (пД0 Фп (0 cos + 9 (пД01 — П— —ОО = у А (пДО sin nAfl> (t~cos [(Оо Z + 0 (пДО] (3.119) V ’ nMAt—nM) 1 ° V ’ ' ’ П——схз При заданной длительности сигнала Тс число отсчетных точек TJ&t — = причем в каждой точке должны быть заданы два параметра: A (n&t) и 0 (пД/). Следует иметь в виду, что при несимметричном (в полосе Дсоо) спектре введенная в данном параграфе частота соо = (<ох + со2)/2 может не совпадать со «средней частотой» в выражении (3.73). Иными словами, фаза 0 (t) может содержать слагаемое, линейно-зависящее от времени. Проиллюстрируем выражение (3.119) на примерах колебания, промоду- лированного по амплитуде или по частоте. При AM исходим из колебания а (/) == A (t) cos со0/, в котором А (/) — вещественная функция со спектром 8л (со), ограниченным наивысшей ча- стотой Йт = 2л77т. В этом случае ширина спектра модулированного коле- бания a (t) равна Д/ам = 2Fm, причем в пределах этой полосы спектраль- ная плотность Sa (со) симметрична относительно соо. Интервал между выбор- ками в соответствии с формулой (3.113) должен быть не больше чем Д/ = = 1/А/ам = l/2Fm, т. е. таким же, как и при дискретизации исходного со- общения (модулирующего напряжения). Так как фаза высокочастотного заполнения при чисто амплитудной модуляции постоянна, то передавать ее нет необходимости. Отсюда вытекает очевидный результат: амплитудно-модулированное колебание вполне опре- деляется значениями своих амплитуд, взятыми через интервал l/2Fm, где Fm — верхняя частота в спектре модулирующей функции (т. е. в спектре передаваемого сообщения). 1 Поскольку здесь рассматривается сректр огибающей. 108
Иными словами, при чисто амплитудной модуляции число степеней сво- боды модулированного колебания такое же, как и число степеней свободы модулирующей функции. Рассмотрим теперь частотно-модулированное колебание а (0 = Ло cos [со0/ + 0 (01, когда мгновенная частота ш (t) = со0 + dftldt модулирована тем же сообще- нием, что и в предыдущем случае, причем максимальная девиация частоты /д велика по сравнению с Fm, так что ширину Д/чм полосы частот модулиро- ванного колебания можно приравнять к 2/д [см. случай «широкополосной» частотной модуляции, (3.34)]. Интервал между выборками должен быть взят Д/ < 1/Д/чм = l/2/д. Так как при ЧМ амплитуда колебания неизменна, то передавать ее нет необходимости. Следовательно, для однозначного пред- ставления частбтно-модулированного колебания достаточно задавать фазу 0 (пД/) этого колебания в отсчетных точках, отстоящих одна от другой на время Д/ < 1/2/д. При одной и той же длительности сообщения Тс число выборок фазы при ЧМ Д/ЧМТС = 2fKTc, а число выборок огибающей при AM Д/амЪ = 2FmTc. Отсюда видно, что при одинаковом передаваемом сообщении (при одинаковом количестве информации) частотно-модулирован- ный сигнал обладает числом степеней свободы в fn!Fm = m раз большим, чем амплитудно-модулированный. Это является результатом расширения спек- тра сигнала при ЧМ. На приемной стороне канала связи после частотного де- тектирования модулированного колебания выделяется напряжение, кото- рое имеет спектр и число степеней свободы такие же, как и исходное сооб- щение. Из приведенного примера следует, что при одной и той же ширине спек- тра информационная емкость радиосигнала различна в зависимости от ви- да модуляции. При смешанной модуляции — амплитудной и угловой — в каждой отсчетной точке нужно брать две выборки: амплитуды и фазы. Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ 4.1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Информация, передаваемая по каналу связи или извлекаемая в результате измерения, заключена в сигнале. До приема сообщения (до испытания) сигнал следует рассматривать как случайный процесс, представляющий собой совокупность (ансамбль) функций времени, подчиняющихся некоторой общей для них статистической законо- мерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после прие- ма сообщения, называется реализацией случайного процесса. Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени. Важной, но не исчерпывающей характеристикой случайного процесса является присущий ему одномерный закон распределения вероятностей. На рис. 4.1 изображена совокупность функций (/), х2 (t), ..., образую- щих случайный процесс X (/). Значения, которые могут принимать отдель- ные функции в момент времени t — 1Ъ образуют совокупность случайных ве- личин %! (/), х2 (t), ••• 109
Рис. 4.1. Совокупность функций, образую- щих случайный процесс Вероятность того, что величи- на xk (/J при измерении попадает в какой-либо заданный интервал (а, Ь) (рис. 4.1), определяется вы- ражением ь Pt, (a<_x^.b) = ^ р(х; /Jdx. (4.1) Функция р (х; t,) представляет собой дифференциальный закон распределения случайной величины х (ZJ; р (х; t,) называется одномер- ной плотностью вероятности, а Pt, — интегральной вероятностью. Функция р (х; 4) имеет смысл для случайных х непрерывного типа, могущих принимать любое значение в некотором интервале. При любом характере функции р(х; /х) должно выполняться равенство *тах *mln р(х; ti)dx=l, (4.2) где xmIn и хтах — границы возможных значений х (/,). Если же х является случайной величиной дискретного типа и может принимать любое из конечного числа дискретных значений, то (4.2) следует заменить суммой 2Л = 1, (4.2') I где Pi — вероятность, соответствующая величине xf. Задание одномерной плотности вероятности р (х; позволяет произве- сти статистическое усреднение как самой величины х, так и любой функции f (х). Под статистическим усреднением подразумевается усреднение х по множеству (по ансамблю) в каком-либо «сечении» процесса, т. е. в фиксиро- ванный момент времени. Для практических приложений наибольшее значение имеют следующие параметры случайного процесса: математическое ожидание тх (/)« М [х (/)! == J хр (х; /) dx; (4.3) — оо дисперсия (0 = Л4{[х(/)--тх (/))*}; (4.4) среднее квадратическое отклонение ая (О {[х (t)—mx (0D = ГО)- (4-5) Одномерная плотность вероятности недостаточна для полного описа- ния процесса, так как она дает вероятностное представление о случайном процессе X (t) только в отдельные фиксированные моменты времени. Более 110
п олной характеристикой является двумерная плотность вероятности1 р (Xi, х2; ^1» Z2), позволяющая учитывать связь значений хг и х2, принимае- мых случайной функцией в произвольно выбранные моменты времени и Z2. Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса является и-мерная плотность вероятности при достаточно больших п. Од- нако большое число задач, связанных с описанием случайных сигналов, уда- ется решать на основе двумерной плотности вероятности. Задание двумерной плотности вероятности р (хь х2; t19 t2) позволяет, в частности, определить важную характеристику случайного процесса — ковариационную функцию Кх^^=-М[х(^х(^ (4.6) Согласно этому определению ковариационная функция случайного процесса X (Z) представляет собой статистически усредненное произведение значений случайной функции X (t) в моменты 4 и Z2. Для каждой реализации случайного процесса произведение х (Zx) х (t2) является некоторым числом. Совокупность реализаций образует множество случайных чисел, распределение которых характеризуется двумерной плот- ностью вероятности р (хъ х2; t19 t2). При заданной функции р (хь х2; tlf t2) операция усреднения по множеству осуществляется по формуле ft. 4) - J J Xi х2 р (х,, х2; /1,4) dxj dx2. (4.7) При = 4 двумерная случайная величина х2х2 вырождается в одно- мерную величину Xi = х2. Можно поэтому написать Кх ft. h) = f 4 p (x2; dxt = M [x2 (01 • (4.7') — 00 Таким образом, при нулевом интервале между моментами времени и t2 ковариационная функция определяет величину среднего квадрата слу- чайного процесса в момент t = tv При анализе случайных процессов часто основной интерес представляет его флуктуационная составляющая. В таких случаях применяется корре- ляционная функция R* ft. ti) = М {[х ft) — тх (/J] [х (/2) — тх (72)]}. (4.8) Подставляя в (4.7) х (ZJ — тх (/J вместо х (/,) и х (i2) — тх (/2) вме- сто х (Z2), можно получить следующее выражение: (^i> e Кх (^i> ^2) тх (/1) тх (Z2), При Zx = t2 = t выражение (4.8) в соответствии с (4.4) определяет дисперсию случайного процесса Dx (Z). Следовательно, Кх (ь 0(Z) = Rx (Z, /) — Dx (Z). Исследование случайного процесса, а также воздействия его на радио- цепи существенно упрощается при стационарности процесса. 1 Здесь и в дальнейшем одной и той же буквой р обозначаются плотности вероят- ности различных случайных функций» В некоторых разделах, если это необходимо для устранения путаницы, будут применяться индексы, уточняющие параметр, к которому относится данное распределение. Например, при рассмотрении случайного процесса х (/) = А (/) cos 0 (/) будут применяться обозначения рх (х), рА (А) и (0). 111
Случайный процесс называется строго стационарным, если его плотность вероятности р (хъ х2, ..., хп; tlt t2, ..., tn) произвольного порядка п зависит только от интервалов t2—tlf t3—tlt ..., tn—и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t. В радиотехнических приложениях теории случайных процессов условие стационарности обычно ограничивается требованием независимости от вре- мени только одномерной и двумерной плотностей вероятности (случайный процесс, стационарный в широком смысле). Выполнение этого условия поз- воляет считать, что математическое ожидание, средний квадрат и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция за- висит не от самих моментов времени и t2, а только от интервала между ними т = t2 — tr. Стационарность процесса в широком смысле можно трактовать как ста- ционарность в рамках корреляционной теории (для моментов не выше вто- рого порядка). Таким образом, для случайного процесса, стационарного в широком смысле, предыдущие выражения можно записывать без обозначения фикси- рованных моментов времени. В частности, оо тх = Л4 (х) = J хр (х) dx, (4.9) Kx(tHM[x(W + t)], (4.Ю) /?х(т)=»/Ся(т)-т$, (4.11) йх^/<ж(0)-/п? = 7?х(0)=о?, (4.12) ^V%(0)-mJ. (4.13) Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов достигается при использовании условия эргодичности процесса. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых статистиче- ских характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно ус- реднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации. Условие эргодичности случайного процесса включает в себя и условие его стационарности. В соответствии с определением эргодического процесса соотношения (4.10)—(4.13) эквивалентны следующим выражениям, в кото- рых операция усреднения по времени обозначена чертой: Т/2 x(t) — lim — f x(t)dt, (4.14) T-+CO T J — Т/2 Т/2 Кх(т) = Ит — f х (/) х (t + т) dt, Т-+ОО Т J — 7/2 (4.15) RxW=^0)-(W, (4.16) Dx = Xx(0)-(W=al, (4-17) <?X = VЛя(0)-(х(0)2. (4.18) Если х (/) представляет собой электрический сигнал (ток, напряжение), то х (t) — постоянная составляющая случайного сигнала, Rx (0) = х2 (/) — средняя мощность флуктуации сигнала [относительно постоянной состав- ляющей х (/)]. 112
Выражение (4.15) внешне совпадает с определением (2.131) корреляци- онной функции детерминированного сигнала (периодического). Часто применяется нормированная корреляционная функция гх(т) ^Rx(x)/Dx -1Kx.(t)-(x)2]/Dx. (4.19) Функции Кх (т), Rx СО и гх (т) характеризуют связь (корреляцию) между значениями х (/), разделенными промежутком т. Чем медленнее, плав- нее изменяется во времени х (/), тем больше промежуток т, в пределах ко- торого наблюдается статистическая связь между мгновенными значениями случайной функции. При экспериментальном исследовании случайных процессов использу- ются временное корреляционные характеристики процесса (4.15)—(4.19), поскольку, как правило, экспериментатору доступно наблюдение одной ре- ализации сигнала, а не множества его реализаций. Интегрирование выпол- няется, естественно, не в бесконечных пределах, а на конечном интервале Г, длина которого должна быть тем больше, чем выше требование к точности результатов измерения. 4.2. ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПРИМЕРЫ Применение общих определений, приведенных в предыдущем парагра- фе, иллюстрируется ниже на нескольких характерных случайных процес- сах. Наряду с обозначением случайного процесса символом X (t) будет при- меняться в том же смысле обозначение х (t), под которым подразумевается случайная функция времени. Как и ранее, xk (t) обозначает &-ю реализацию случайной функции х (/). 1. ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ АМПЛИТУДОЙ Пусть в выражении, определяющем сигнал х (/) = A cos (со0/ + 90) = A cos ф (/), (4.20) частота и начальная фаза 90 являются детерминированными и постоян- ными величинами, а амплитуда А — случайная, равновероятная в интерва- ле от 0 до Атах величина (рис. 4.2). Найдем одномерную плотность вероятности р (х; ix) для фиксированно- го момента времени tv Мгновенное значение х (/х) может быть любым в ин- тервале от 0 до Атах со$ф (/х), причем будем считать, что со$ф (/х) > 0. Следовательно, Р (*; *i) = 1 /Ашах cos ф (/х), 0 < х < 4П1ах cos ф (/х). Рис. 4.2. Совокупность гармо- нических колебаний со случай- ной амплитудой 113
^ma®COS График функции р (х; для фиксированного значения представ- лен на рис. 4.3. Математическое ожидание [j_________ X 0 ^nia®C0S^6?/) Рис. 4.3. Плотность вероятности гармо- нического колебания со случайной амп- X литудой Далее, 4maxcos*<^ -----!------ f ^maxCOSlK/,) J М [х (М] --------------х ^max cos Ф (6) AnaxcosW**) J xdx^-yAnaxCOS'l’O'i). О x2dx ~ 4 Лй,ах cos21|> (/,/. О Наконец, дисперсия Dx (/,)- М [?(/,)! -[М (х (/ОП2 = 4 О ^max COS2 if) (/i) — —— Лщах COS2 ’ 4 12 ^4max COS2 ф (/i) — HG). (4.21) Рассматриваемый случайный процесс нестационарный и неэргодиче- ский. 2. ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ ФАЗОЙ Пусть амплитуда и частота гармонического сигнала заранее достовер- но известны, а начальная фаза 0 — случайная величина, которая с одина- ковой вероятностью может принимать любое значение в интервале от —л до л. Это означает, что плотность вероятности начальной фазы Рис. 4.4. Совокупность гармонических колебаний со случайными фазами Ре (0) = 1/2л, —л<6<л. (4.22) Одну из реализаций случайного процесса х (/), образуемого совокуп- ностью гармонических колебаний со случайными фазами (рис. 4.4), мож- но'определить выражением хк (0 = COS (й)0/ + 6 J = =»costh(0- (4.23) Полная фаза колебания ф (0 = (oof + 0 является случайной вели- чиной, равновероятной в интервале от <оо/ — л до <оо/ + л. Следователь- но, р^(ф)« 1/2м, <оо/—л<ф< <ш0/-|-л. (4.24) 114
Рис. 4.5. К определению плотности веро- ятности гармонического колебания со случайной фазой Рис. 4.6. Плотность вероятности гар- монического колебания со случайной фазой Найдем одномерную плотность вероятности рх (х) случайного процес- са X (/). Выделим интервал х, х + dx (рис. 4.5) и определим вероятность то- го, что при измерении, проведенном в промежутке времени от до + dt, мгновенное значение сигнала окажется в интервале х, х + dx. Эту вероят- ность можно записать в виде рх (х) dx, где рх (х) — искомая плотность ве- роятности. Очевидно, что вероятность рх (х) dx совпадает с вероятностью попадания случайной фазы колебаний ф в один из двух заштрихованных на рис. 4.5 фазовых интервалов. Эта последняя вероятность равна 2р^ (ф) Л|э. Следовательно, рх (х) dx = 2рф (ф) dty = (2/2л) t/ф, откуда искомая функция1 /\(Х)=— • -1 < х < 1 • л dx I dy I Но I~dy | s’n ‘4’I“ Г1 — cos2'!’ =V 1 - ** Таким образом, окончательно px(x) — 1/л —x2, —l^x^.1. (4.25) График этой функции изображен на рис. 4.6. Существенно, что одномерная плотность вероятности не зависит от вы- бора момента времени t, а среднее по множеству (см. (2.271.7) в [28]) 1 I М [х (/)] = f хрх (х) dx = — f —х - dx = 0 (4.26) я J, V1-%2 совпадает со средним по времени Т/2 Т/2 x(/) = lim— f x(/)<# = lim — f cos(<o0/ + 0) dt — 0. T-.0O T J T-KX T J -T/2 -T/2 (Это справедливо для любой реализации рассматриваемого случайного про- цесса.) 1 Абсолютное значение производной берется на том основании, что плотность ве роятности является неотрицательной величиной. 115
Корреляционную функцию1 в данном случае можно получить усредне- нием произведения х (/,) х (/2) по множеству без обращения к двумерной плотности вероятности [см. общее выражение (4.8)1. Подставляя в (4.8) х (ti) х (t2) = cos (М, + 0) cos (<о0/2 + 0) = V2 {cos (оо (^з — А) 4- + cos 1(оо + t2) + 201) а также учитывая, что первое слагаемое cos о>0 (t2 — /,) является детерминированной величиной, а второе слагаемое при статистическом усреднении с помощью одномерной плотности вероятности ре (0) = 1/2л [см. (4.22)1 обращается в нуль, получаем Rx(ti< t2) = М lx х (t2)] ~ 1/icos <о0х. (4.27) Такой же результат получается и при усреднении произведения xk (0 xk (* + т) п0 времени для любой реализации процесса. Независимость среднего значения от и корреляционной функции от положения интервала т = /2 — на оси времени позволяет считать рассма- триваемый процесс стационарным. Совпадение же результатов усреднения по множеству и времени (для любой реализации) указывает на эргодичность процесса. Аналогичным образом нетрудно показать, что гармоническое ко- лебание со случайной амплитудой и случайной фазой образует стационар- ный, но не эргодический процесс (различные реализации обладают неоди- наковой дисперсией). 3. ГАУССОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе. Нормальный процесс особенно характе- рен для помех канала связи. Он очень удобен для анализа. Поэтому случай- ные процессы, распределение которых не слишком сильно отличается от нормального, часто заменяют гауссовским процессом. Одномерная плот- ность вероятности нормального процесса определяется выражением _ , (4.28) 2aJ v В данном параграфе рассматривается стационарный и эргодический га- уссовский процесс. Поэтому под тх и а* можно подразумевать соответствен- но постоянную составляющую и среднюю мощность флуктуационной состав- ляющей одной (достаточно длительной) реализации случайного процесса. Графики плотности вероятности при нормальном законе для некоторых значений ох изображены на рис. 4.7. Функция р (х) симметрична относитель- но среднего значения. Чем больше ох, тем меньше максимум, а кривая ста- новится более пологой [площадь под кривой р (х) равна единице при любых значениях ах1. Широкое распространение нормального закона распределения в приро- де объясняется тем, что при суммировании достаточно большого числа не- зависимых или слабо зависимых случайных величин распределение суммы близко к нормальному при любом распределении отдельных слагаемых. Это положение, сформулированное в 1901 г. А.М. Ляпуновым, получило н азвание центральной предельной теоремы. Наглядными физическими примерами случайного процесса с нормаль- ным законом распределения являются шумы, обусловленные тепловым дви- 1 Ковариационная функция рассматриваемого процесса совпадает с корреляци- онной функцией, так как М [х (/)] = 0. 116 р{х} - 2_ ехр У2л (Jjc
Рис. 4.7. Одномерная плотность ве- роятности нормального распределе- ния Рис. 4.8. Случайные функции с оди- наковым распределением (нормаль- ным), но с различными частотными спектрами жением свободных электронов в проводниках электрической цепи или дро- бовым эффектом в электронных приборах (см. § 7.3). Не только^ шумы и по- мехи, но и полезные сигналы, являющиеся суммой большого числа независи- мых случайных элементарных сигналов, например гармонических колеба- ний со случайной фазой или амплитудой, часто можно трактовать как гаус- совские случайные процессы. На основе функции р (х) можно найти относительное время пребыва- ния сигнала х (t) в определенном интервале уровней, отношение максималь ных значений к среднеквадратическому (пикфактор) и ряд других важных для практики параметров случайного сигнала. Поясним это на примере од- ной из реализаций гауссовского процесса, изображенной на рис. 4.8, а для тх = 0. Эта функция времени соответствует шумовой помехе, энергети- ческий спектр которой простирается от нулевой частоты до некоторой гра- ничной частоты. Вероятность пребывания значения х (t) в интервале от а до b определяется выражением (4.1). Подставляя в это выражение (4.28), при тх = 0 получаем P(a<x<b) = J_ (e-x,'2a*dx=--^- [e~x,/2°*dx- У2лах J У2л<тж J a b!<sx а/°х ----±r—^~xl/2axdx^—^ f e-^dy---------f е-"2/2^= V2itax J V 2л J У2л J (4.29) Функция Ф(«) (4.30) называется интегралом вероятностей. В математических справочниках приводятся таблицы этой функции. 117
Таблица 4.1 Интервал значений Вероятность пребывания в интервале Вероятность пребывания вне интервала (—Ох) 2 0,3413 = 0,6826 -0,317 ( 2ох, 2ох) 2 0,4772 —0,9544 -0,046 ( Зал, Зах) 2.0,49865-0,9973 -0,003 Подставив в (4.29) b/ox — 1, 2, 3 и соответственно а/ах — —1, —2, и —3, нетрудно найти вероятности пребывания х (0 в полосах шириной 2ах, 4ох и 6ах, симметричных относительно оси t. В рассматриваемом частном случае (|а| = Ь) формулу (4.29) можно уп- ростить на основании симметрии функции относительно оси ординат (рис. 4.7). Таким образом, Ь/ах P(-b<x<b) = 2—^ f е-уг/2(1у=2ф(—). 1/2л \ Qx ! Результаты вычислений сведены в табл. 4.1. В последней графе приве- дены величины, равные 1 — 2Ф (Ь/ах). Из этой таблицы следует, что ширину шумовой дорожки (рис. 4.8, а) нормального шума можно приравнять (4 ... 5) ах. Если принимать во внимание пики функции х (t), вероятность которых не менее 1 %, то пикфактор шума (отношение пика к ах) можно оце- нить значением ~3. Напомним, что для гармонического колебания пикфак- тор равен ]^2. Отношение времени пребывания х (t) в заданном интервале к общему времени наблюдения (достаточно большому для эффективного усреднения) можно трактовать как вероятность попадания х (0 в указанный интервал. На такой трактовке основан принцип построения различных приборов, ис- пользуемых для экспериментального нахождения одномерной плотности ве- роятности случайного процесса. Можно отметить, что приведенные выше данные о распределении ве- роятностей не дают никаких представлений о поведении функции х (0 во времени. На рис. 4.8, б показана реализация гауссовЬкого процесса со спек- тром, сосредоточенным в узкой полосе частот с центральной частотой <оо. По своей плажости вероятности р (х) и, следовательно, по значениям тх и ах этот процесс не отличается от низкочастотного, показанного на рис. 4.8, а. Для описания временных характеристик функции х (0 необходимо при- влечь двумерную плотность вероятности, позволяющую найти ковариацион- ную функцию (см. (4.7)]. Другой способ — нахождение спектра мощности случайного процесса. Он рассматривается в следующем параграфе. 4.3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) функций времени, необходимо иметь в виду, что функциям, имеющим различную фор- му, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности, введенной в §2.6 или 2.1, по всем функциям приводит к нулевому спектру процесса (при М 1х (0] = 0) из-за 118
случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях. Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности сред- него квадрата случайной функции, поскольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случай- ной функцией х (/) подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощ- ность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случай- ного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет со- бой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте со. Размерность функции W (<о), являющейся отношением мощности к полосе ч астот, есть [№(*)] = Мощность Полоса частот [МощностьXвремя] -[Энергия]. Спектральную плотность случайного процесса можно найти, если из- вестен механизм образования случайного процесса. Применительно к шу- мам, связанным с атомистической структурой материи и электричества, эта задача будет рассмотрена в § 7.3. Здесь же мы ограничимся несколькими определениями общего характера. Выделив из ансамбля какую-либо реализацию xk (t) и ограничив ее дли- тельность конечным интервалом Т, можно применить к ней обычное преоб- разование Фурье и найти спектральную плотность XkT (со). Тогда энергию рассматриваемого отрезка реализации можно вычислить с помощью форму- лы (2.66): T/2 оо ЭкТ = f 4r(/)d/ = X- f |ХА7-((о)|Мш. (4.31) J 2л J — 7/2 -оо Разделив эту энергию на Т, получим среднюю мощность £-й реализации на отрезке Т 2л J Т (4.32) При увеличении Т энергия Экт возрастает, однако отношение ЭкТ /Т стремится к некоторому пределу. Совершив предельный переход Т оо, получим L С ijm I „da) = С 2л J т->оо Т 2л J — оо — оо где (со) = lirn —(t0)^2 7-.00 Т (4.33) представляет собой спектральную плотность средней мощности рассматри- ваемой &-й реализации. В общем случае величина Wh (w) должна быть усреднена по множеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае рассмотрением стационарного и эргодического процесса, можно считать, что найденная усреднением по одной реализации функция Wk (со) характеризует весь процесс в целом. Опу- 119
ская индекс k, получаем окончательное выражение для средней мощности случайного процесса .^(0 = ^ f ^х(®)Л>, 2л J где , I Хт (СО) |2 Т->ОО Т (4.34) Если рассматривается случайный процесс с ненулевым средним значе- нием х (/), то спектральную плотность следует представить в форме Wх (со) (х (О)2 - 2л6 (со) +- F (оз), (4.35) где W~ (со) — сплошная часть спектра, соответствующая флуктуационной составляющей х, а 6 (со) — дельта-функция. При интегрировании по f = (о/2л первое слагаемое в правой части дает (х (£))2, т. е. мощность постоянной составляющей, а второе — мощность флуктуационной составляющей, т. е. дисперсию сю — сю (4.36) Для процесса с нулевым средним оо оо ~DX=f wх (ю) = J Wx (2nf} df’ — oo — oo (4.37) Из определения спектральной плотности (4.33) очевидно, что W х (<о) является четной и неотрицательной функцией <о. 4.4. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ И КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА С одной стороны, скорость изменения х (t) во времени определяет шири- ну спектра. С другой стороны, скорость изменения х (/) определяет ход ко- вариационной функции. Очевидно, что между W х (<о) и (т) имеется тес- ная связь. Теорема Винера — Хинчина утверждает, что (т) и Wx (<о) связаны между собой преобразованиями Фурье: W\(«>)= J Кх(т)е-^йт, — оо оо — оо (4.38) (4-39) 120
Рис. 4.9. Широкополосный и узкополосный спектры случай- ного процесса (примеры 1, 2, 3); границы центральной поло- сы ±Fi Для случайных процессов с нулевым средним аналогичные выражения имеют вид Гх(со) = J /?х(т)е-^с/т, (4.38') — оо оо Rx(t) = J- f №х(со)е‘“*сГсо. (4.39') 2л J — оо Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойствам преобра- зований Фурье, установленным в гл. 2 для детерминированных сигналов: чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции, и соответственно чем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса. Большой интерес представляет белый шум, когда спектр равномерен на всех частотах —оо <; со < оо. Если в выражение (4.39) подставить Wх (со) — 1Г0 = const, то получим [см. (2.93)] оо /?х(т) = го dco = Wo 6 (т), (4.40) — со где б (т) — дельта-функция. Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляцион- ная функция равна нулю для всех значений т, кроме т = 0, при котором Rx (0) обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика. Поясним применение приведенных выше соотношений на примерах. 1. Пусть заданы следующие параметры напряжения шума (гауссовский стационарный процесс с нулевым средним): среднеквадратическое значение иск = 2 В и энергетический спектр (2л f), равномерный в полосе частот от —fi До fi (сплошная линия на рис. 4.9), при Д = 10 МГц. Шум с подобным спектром обычно называют широкополосным. В дан- ном случае Гх (2л/) = ис2к/2Л = (2)а/2• 10’ = 2-10-’ В2/Гц. Корреляционная функция рассматриваемого процесса [см. (4.39)] । <01 1 ш‘ (т) = -у:— f W, (со) е/шт dco = ~— f WY (со) cos сот dco •= —(1)1 —(i)i „2.10-т^ ^^.2^0-2/,(4.41) 2л т Z1 cojT cojT ' ' 121
Дисперсия шума D1^uc2k-/?1(0)-4B2. Нормированная корреляционная функция (рис. 4.10, а) ri (т) “ (T)/Qi “ sin wi T/°hт’ (4.42) 2. Вырежем из спектра исходного шума полосу от f = —Ft да f = Fx, обозначенную на рис. 4.9 штриховкой, и найдем /?2 (т), г2 (т) и ^2» соот- ветствующие этому ограниченному по полосе шуму. При Fi = 2 МГц D2 = 2F1 Wx (g>) = 2-2-106-2- IO"7 =0,8В2, sin Qi т sin Qi т R. (г) = 2. =0,8 г2 (т) ^/?2(T)/Q2 = (sinQ1 xJ/QiT. Сужение спектра привело к растяжению графика г2 (т) п0 °си т (рис. 4.10, а). Интервал корреляции увеличился в Д/Fi = 5 раз. 3. Найдем аналогичные характеристики для шума, спектр которого обозначен на рис. 4.9 двойной штриховкой. От предыдущего этот случай от- личается положением спектральной полосы на оси частот. Шум с подобным спектром называют узкополосным (при Qj/cdq 1). Дисперсия этого шума D3, очевидно, не отличается от D2. Корреляционная функция । —(w0—£2i/2) (Оо4-Й1 / 2 «з(т)=-^- f d& + — J U71(®)e'^dto = —(<й0-|-О1/2) (do—Qi/2 । ft)o+^i/2 —— J II7! (cd) COS COT dco = w0—Qi/2 — 2-10“7 1 Гsin(co0+Q1/2)T sin (cop —QJ2) rl __ л [ т т = 2 -10~7 — - 2 sin cos <dot = 2- 10-7-2Fi sin QxT/-cos coor. (4.43) jit 2 0 Q^/2 Рис. 4.10. Нормированная кор- реляционная функция случай- ного процесса со спектром, рав- номерным в полосе: а) |ю| < cot и |со| < Q,; б) соо— —□72 < |ю| We+Qj/2 122
Рис. 4.11. Примерный вид реализации случайного процесса, корреляционная функция которого показана на рис. 4.10, б (масштабы по осям t и т разные) Нормированная корреляционная функ- ция (рис 4.10, б) гз(О = cos®от- (4-44) Огибающая функции г3 (г) (штрихо- вая линия) по форме подобна огибаю- щей функции гг (т), однако эта функция имеет вдвое большую протяженность. Высокочастотное заполнение функции г8 (т) имеет частоту <оо, равную централь- ной частоте спектра шума (см. рис. 4.9). нормированной корреля- ционной функции, показанный на рис. 4.10, б, позволяет составить пред- ставление о характере шумового ко- лебания с узкополосным спектром. Осцилляции корреляционной функции с частотой а>0 указывают на то, что и мгновенное значение шумового коле- бания изменяется в среднем с частотой <оо. Напомним, что корреляционная функция гармонического колебания является также гармонической функ- цией той же частоты (см. § 2.18). Изменение же огибающей корреляционной , sinQ,T/2 функции по закону -------1— указывает на то, что огибающая шумового Й1т/2 колебания, являющаяся случайной величиной, изменяется во времени отно- сительно медленно, подобно функции времени, спектр которой ограничен наивысшей частотой Qx. Примерный вид шумового колебания, соответствую- щего корреляционной функции (4.44), представлен на рис. 4.11 (в изменен- ном масштабе времени). Итак, шумовое колебание с узкополосным спектром следует представ- лять высокочастотным колебанием с медленно (по сравнению с частотой а>0) изменяющимися амплитудой и фазой: х (0 = и (0 cos 1<00* + 0 (0L (4.45) где ®0 — центральная частота спектра шума. Следует подчеркнуть, что все параметры этого колебания: амплитуда, фаза и частота — являются случайными функциями времени. Статистиче- ские характеристики этих параметров рассматриваются в § 4.6. 4.5. ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И ВЗАИМНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ процессов В данном параграфе рассматриваются стационарные процессы с нуле- вым средним, поэтому связь между процессами х (t) и у (t) оценивается с по- мощью взаимной корреляционной функции, определяемой выражениями1 Rxy СО =М [х (0 у (t + т)), Ryx (О =А4 [у (/)х(t4-т)]. (4.46) 1 Подразумевается, что не только сами процессы х (/) и у (/), но и связи между ними стационарны. 123
Кроме того, имеются в виду эргодические процессы, поэтому вместо (4.46) можно применять временное усреднение: ___________ ! V R1U (т) = *(()#(( +т) = lim у ) х (/) у (I + т) dt, (4.47) Т->оо —Т/2 ___________ j Т/2 RyX(x) =y(t)x(t + r) = lim — f у (t) х (t + т) dt. (4.48) T->oo —Т/2 Как и для детерминированных колебаний, взаимная корреляционная функция не изменяется, если сдвиг на т одной из функций х (/) или у (t) заменить сдвигом в обратном направлении другой функции. Поэтому можно написать следующие равенства: Rxy СО =x(t)y(t + x) = x(t—x)y(t), (4.49) Ryx (О = У (0 X (/—т) = у (t —т) х (0. (4.50) Из последних выражений вытекают следующие соотношения между Rxy (т) и Ryx (т), аналогичные выражениям (2.135) и (2.135'): Rxy W ~ Ryx ( Т)» Ryx W “ Rxy ( Т)' (4-51) Соотношения (4.49)—(4.51) не следует смешивать с условиями четности функций. Каждая из функций Rxy (т) и Ryx (т) не обязательно четна отно- сительно т (см. §2.18). В итоге корреляция между значениями функций х (t) и у (/) в два раз- личных момента времени, разделенных интервалом т, задается корреляцион- ной матрицей R (т) = ГRxx Rxv 1, (4.52) где Rxx (т) и Ryу (т) — корреляционные функции соответственно процес- сов х (0 и у (t). Пусть, например, рассматривается сумма двух эргодических процессов х (0 и у (t) с нулевыми средними (х = у — 0) и требуется определить корре- ляционную функцию случайного процесса s (0 = х (t) + у (?) (при условии, что взаимные корреляционные функции стационарны). Используя формулу (4.16) и учитывая равенства (4.47), (4.48), получаем Ra (О =s (t)s (t+т) = [x (0 + у (0] lx (t 4-t) + у (t + x)J =• = x(t)x(t + x) +x(t)y(t+x) +y(t)x(t + r) 4-y(t)y(t + x) = = Rxx (0 + RXy ft) 4- Ryx (0 4- Ryy (t) . (4.53) При т=0 Rxx(0)=ax и Ro(0)=a>, a Rxy (0) =Rw(0). Следовательно, Ds = Rs (0) = Dx 4- Du 4- Rxy (0) 4- Ryx (0) = Dx 4- Dv + 2RXV (0). (4.53') Если процессы x (t) и у (t) статистически независимы, то дисперсия (сред- няя мощность) суммы будет Ds = Dx 4- Dv. В противном случае в зависимости от знака Rxv (0) мощность процес- са s (0 может быть больше или меньше суммы дисперсий Dx и Dy. Для разности s (0 = х (0 — у (0 получается выражение, аналогичное (4.53). Необходимо лишь знак плюс перед членом 2Rxy заменить минусом. 124
При независимости процессов х (0 и у (t) дисперсия процесса s (t), как и при суммировании, будет DS = DX + Dy. (4.54) Применим теперь к Rs (0 соотношение Винера—Хинчина (4.38): Ws (<о) = $ Я. (0 dx = Wx (<о) + Wv (<о) + Wxy (to) + Wyx (со). (4.55) —-оо В этом выражении 00 00 $ Rxy(x)e~‘™dx, ^уя((о)= Ryx(r)e-‘°*dx (4.56) —оо -—оо имеют смысл взаимных спектральных плотностей случайных процессов х (0 и у(0- В отличие от спектральных плотностей Wx (со) или Wv (со), которые являются действительными функциями й и не могут принимать отрицатель- ные значения, взаимные спектральные плотности И7ЖВ (со) и Wvx (со) мо- гут быть комплексными функциями. Это связано с тем, что функции Rxy (0 и Ryx (0 не обязательно четные относительно т. Подстановка в (4.56) соот- ношения (4.51) приводит к равенству ^(<0 = ПЛ®), (4-57) откуда следует, что Wxy (®) + Wvx (со) = 2Re [Wxv (со)] = 2Re\Wyx (со)]. (4.58) Таким образом, выражение (4.55) можно записать в форме Ws (со) = Wx (со) + Wy (со) + 2Re [Wxv /со)]. (4.59) Это выражение поясняет физический смысл взаимной спектральной плот- ности Wxy (со). Если случайные процессы х (0 и у (0 статистически независи- мы, то Wxy (со) = 0 и спектр суммы s (0 = х (t) + у (0 равен сумме спек- тров W х (со) и Wy (со) и, следовательно, мощность процесса s (0 равна сум- ме мощностей процессов х (0 и у (0. Если действительная часть взаимной спектральной плотности положи- тельна, то Ws (со) >• Wx (со) + (со) и, следовательно, корреляция меж- ду процессами приводит к возрастанию средней мощности суммарного про- цесса (of > of 4- of). Очевидно, что при отрицательной действительной части Wxy (со) средняя мощность суммарного процесса меньше, чем£>х + Dv. Если Ds = Dx + Dy, то процессы х (0 и у (0 являются независимыми, аддитивными (см. §2.18). В практике часто встречается случай суммирования процесса х (0 с процессом Кх (t — Т), т. е. с тем же процессом, задержанным на время Т и усиленным в Д' раз (рис. 4.12). Составим матрицу (4.52) для процессов х (t) и у = Кх (t— Т). В обо- значениях (4.52) получаем Rxx (0 = RX (05 (0 =x(t)y(t+x) — Kx(t)x(t—T 4-т) = KRX (х—Т), Ryx (0 =y(t)x(t + x) Kx(t—T)x(t + x) = KRX (x + T), Rvy(0 = Rv (0 =y{t)y{t + x) = №x(/-T)x(/-T+0=K*RX (xk 125
Рис. 4.12. К определению корреляционной функции суммы двух случайных процессов с одинаковыми энергетическими спектрами Таким образом, корреляционная матрица процессов х (t) и у (t) = = Кх (t— Т) принимает вид я(т)._р*(т) а(т-т)- KRx(t + T) K*Rx(x) / Найдем теперь корреляционную функцию процесса s (t) = х (t) + у (t) на выходе сумматора (рис. 4.12). Подставив в (4.53) элементы матрицы R (т), получим Rt (г) = Rx (т) + KRX (т - Т) 4 KRX (т + Т) + K2RX (т). Приравнивая т = О, находим дисперсию процесса Da - Dx 4- KRX (-Т) + KRX (Т) + КЧ)Х = (1 + К2) Dx + 2KRX (7) ~ = Dx[l+№+2Krx(T)], где rx (Т) = Rx (T)/Dx — нормированная корреляционная функция про- цесса х (/) (напомним, что в данном примере М [х (/)! = 0). При замене сумматора вычитающим устройством знак плюс перед сла- гаемым 2Кгх (Т) должен быть заменен минусом. Если задержка Т значительно больше интервала корреляции процес- са х (0, что гх (Т)^0 и Ds = Dx (1 + К2). 4.6. УЗКОПОЛОСНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС Краткое описание свойств гауссовского шума, сформированного из бе- лого шума вырезанием относительно узкой полосы частот, было дано в § 4.4. Там отмечалось, что каждая из реализаций подобного случайного процесса имеет вид почти гармонического колебания х (t)= А (/) cos [<оо/ + 9 (01 = А (/) cos ф (0, (4.60) все параметры, которого — огибающая А (/),- фаза 0 (t) и частота со (0 — являются случайными медленно меняющимися функциями времени. При представлении шума в форме (4.60) предполагается, что огибающая А (0 отвечает соотношению 4(0-Г W)+/(0 > (4.61) где у (0 — функция, сопряженная по Гильберту исходной функции х (0, а соо выбрана т^ким образом, что фаза 9 (0 не содержит слагаемого, линейно- зависящего от t. В этом смысле нет различия между случайным и детерминированным процессами (см. § 3.9). Дополнительно этот вопрос рассматривается в § 4.7. Дальнейшее рассмотрение основано на допущении, что спектральная плотность шума х (0 сконцентрирована в узкой по сравнению с величиной соо полосе, причем функция 117* (со) в указанной полосе симметрична относи- тельно точки соо (рис. 4.13, а). Рассмотрим стационарный эргодический процесс с нормальным законом распределения вероятностей. Здесь необходимо подчеркнуть, что указанное распределение характеризует физическое колебание х (0, т. е. мгновенное значение колебания (в любой момент времени 0. Параметры же колебания: 126
A (i), 0 (!) и <o (!) = dty/di— обладают законами распределения, существен- но отличающимися от нормального1. Для полного описания свойств узко- полосного процесса требуется знание законов распределения, а также кор- реляционных функций всех параметров колебания. 1. ОГИБАЮЩАЯ Представим высокочастотное колебание х (/), определяемое выражением (4.60), в виде двух квадратурных колебаний: х (0 = А (/) cos 0 (!) cos соо/ — А (0 sin 0 (!) sin соо/ = Ас (/) cos <aot — — Ав (/) sin <aoi. (4.60') Здесь, как и в § 3.5, Ае (0 = A (!) cos 0, Ав (!) = А (0 sin 0 (4.62) представляют собой амплитуды соответственно косинусной и синусной со- ставляющих колебания х (!), причем A (!) = + 6 (!) «arctg А,/Ас. (4.63) Для отыскания плотностей вероятности рл (Л) и рв (0) требуется зна- ние соответствующих плотностей р (Лс) и р(Ав), а также совместной плот- ности вероятности р (Ас, Ав). Плотности р (Лс) и р (Ав) можно определить, сопоставив случайную функцию Лс (!) [или Ав (!)] с функцией х (!): х (!) = А (!) cos [w0< + 0 (Oh Ас (!) = А (!) cos 0 (!). Отличие Ас (!) от х (!) заключается в исключении слагаемого соо/ из аргумента косинуса. Как и для детерминированного колебания, это означа- ет сдвиг спектра каждой из реализаций случайного процесса на величину соо (в направлении к нулевой частоте при сохранении структуры спектра). При этом сохраняется и закон распределения случайной функции х (!). Поэтому, если процесс х (!) гауссовский, то и процесс Ас (!) гауссовский (оба процесса с нулевым средним). Спектр Wдс (Q) (рис. 4.13, б) случайной функции Ас (!) можно полу- чить из спектра функции х (!) сдвигом на <оо левого лепестка и на —<оо пра- вого лепестка спектра Wx (©) (рис. 4.13). В результате получается спектр Гдс(Й)-2Гж(©о + Й), (4.64) ИИ а) Рис. 4.13. Спектры: а) узкополосного процесса с цен- тральной частотой (й0; б) косинус- ной составляющей комплексной — огибающей vk. -G>0 0 G)o й> о 9 1 Это вытекает из,нелинейной зависимости параметров А, 0 и <о от х и у. 127
группирующийся вблизи нулевой частоты. Коэффициент 2 учитывает1 сложение мощностей, приходящихся на оба лепестка Wx (со). Аналогичные рассуждения используем для случайного процесса Аа (t) и его спектра №л8(Й)=2№х(й>о + Й)- Из этого выражения и рис. 4.13 вытекает, что площадь под кривой Wx (со) (в двух лепестках) совпадает с площадью под кривой (й) [или (Й)1. Следовательно, дисперсии случайных функций Ас (t), Аа (/) и x (t) одинаковы: а2 *дс = <tya—Gx- При учете первого выражения (4.63), из которого вытекает равенство A2 (t) = А2 (0 + Af (t), приходим к следующему выражению для средне- го квадрата огибающей (из-за некоррелированности квадратур): <А2> = А2 (/) =• Dac+DAs^2Dx =2о2. (4.65) Итак, одномерные плотности вероятности случайных функций Ас (О и Аа (/) можно определить выражениями Р (4) = 1 ехР (--. У 2л ох \ 2вх ) Р Ms) = — exp f--------. (4.66) у 2л ax \ 2ax J Кроме того, взаимная корреляция между функциями Ad (t) и Аа (t) равна нулю при т = 0. Действительно, возводя выражение (4.60') в квадрат и усредняя по множеству, получаем М [х2 (/)] = М [Ас (/) cos (i)01 — As (/) sin <a01]2 = М [А? (/)] cos2соо t + +Л4 [Al (/)] sina®0/—2M [Ac(/) 4(01 sino>0/cos со0Л Но левая часть этого выражения равна Rx(0)—Dx, кроме того, М [А2 (01 = М [А2 (0] = Dx = RAs (0), а М [Ас (0 Аа (01 = ₽лсД8 (0) является взаимной корреляционной функцией случайных процессов Ас (0 и Аа (0 при т = 0. Следовательно, предыдущее равенство приводится к виду Ях (0) =• Rac (0)—Racas (0) sin 2<оо1 = а|— RAf. (0) sin 2со01, (4.67) из которого вытекает, что (0) = 0 [поскольку процессы х (0 и Ас (0 стационарны, равенство (4.67) должно выполняться в любой момент време- ни]. Итак, Ас (0 и Аа (f), отсчитываемые в один и тот же момент времени, — статистически независимые величины2. Поэтому совместную плотность ве- роятности р (Ас, As) можно определить выражением р (Ас, А,) - р (Ас) р (Аг) = -1— ехр ( = 2лах \ 2а2 / 1 / 42 \ ,л са, = —-гехР-------г-»-- (4-68) 2жУх \ 2(Jx ) 1 В случае детерминированного AM колебания (рис. 3.9) при переходе от спектра Sa (со) к спектру (со) удваивается спектральная плотность напряжения (или тока), что приводит к учетверению спектральной плотности энергии, пропорциональной (со). В данном случае мощность случайного процесса всего лишь удваивается из-за некогерентного суммирования спектров от обоих лепестков (со). 2 Это положение вытекает также из соотношения (4.65), показывающего, что средний квадрат огибаюшей А (/), т. е. DA , является аддитивной суммой средних квад- ратов функций Ac(t) и Aft(0- 128
Рис. 4.14. К определению двумерной плотности вероятности квадратурных со- ставляющих комплексной огибающей узкополосного процесса Рис. 4.15. К определению двумерной плотности вероятностей модуля и аргу- мента комплексной огибающей Вероятность того, что конец вектора А (/) лежит в элементарном прямо- угольнике dAcdAa (рис. 4.14), равна произведению вероятностей пребыва- ния Ас в интервале dAc и Аа в интервале dAa. 1 / \ р(Лс)<(Лср(Лв)аЛ8 =—j-exp-— .аЛс</Л,. При переходе от прямоугольных координат к полярным площадь за- штрихованного на рис. 4.15 элемента будет AdBdA, а вероятность пребыва- 1 А2 ния конца вектора в этом элементе равна ехр (— ^5 ) AdOdA. Из этого выражения следует, что двумерная плотность вероятности р(Л’0)*^"ехр(—(4,69) Интегрируя по переменной 0, получаем одномерную плотность вероят- ности г А / А2 \ рл(А) = \ p(4,0)d0 =—~ехр(—57“’ 0<4<оо. (4.70) V 0Х \ лих / Обоснование пределов интеграла приводится в следующем пункте дан- ного параграфа. Распределение огибающей, характеризуемое плотностью вероятности (4.70), называется распределением Рэлея (рис. 4.16). Макси- мальное значение функции рл (Л) получается при Л = ах. Это означает, что Л = or* является наивероятнейшим значением огибающей. Среднее же значение (математическое ожидание) огибающей 00 лпл]=улрл(Л)ал = О =4 f л’ехр Ох ь’ А2 \ 2вх ) dA^ (4.71) Рис. 4.16. Распределение Рэлея 5 Зак. 1326 129
Рис. 4.17. Ширина шумовой дорожки для узкополосного нормального шума при веро- ятности превышения границ около 1 % Аналогично средний квадрат огибающей М[А2]^А2Ра(А)(1А = О = ;rpSexp(—dA=2o*. Ох J \ &ОХ / (4.72) Этот результат совпадает с (4.65). Таким образом, средняя мощность огй- бающей равна удвоенной дисперсии шума. Это аналогично соотношению между квадратом амплитуды Ао и средней мощностью гармонического коле- бания а (/) = Ао cos равной a2 (t) = VjAg. Вероятность того, что огибающая A (t) превысит некоторый заданный уровень С, определяется формулой 00 Р(А>С) = [рл (A)dA — с 1 С л ( А2 \ а л / С2 5- Аехр--------у- dA-exp-------- Ox J \ %0х / \ 2(Jx (4.73) а вероятность того, что огибающая A (t) будет ниже уровня С, — формулой Р (А < С) = 1 — ехр (— С2/2о2). (4.74) Из этих формул видно, что уже при С = Зах вероятность превышения уровня С составляет всего лишь около 1 %. Поэтому можно считать, что ширина шумовой дорожки, фактически наблюдаемой, например, на экране осциллографа (рис. 4.17), не превышает (5 ... 6) ох. Этот результат, естественно, близок к данным, приведенным в § 4.2 для шумовой дорожки широкополосного гауссовского процесса (со спектром, примыкающим к нулевой частоте). Ковариационная функция огибающей узкополосного нормального шу- ма [13] определяется по формуле, которую приводим без вывода: Кл(т)=-^-{1 +(4-pS^ + 1.-3 . . ,(2п—3) 1» 2п О 'л 0 (4.75) 130
Здесь г0 (т) представляет собой огибающую нормированной корреляционной функции шума х (t), т. е. функции, определяемой выражением (при х — 0) (т) nRx (т) /ст? =~г0 (т) cos <о0т. (4.76) Так как r0 < 1, то ряд (4.75) быстро сходится. Поэтому можно ограни- читься первыми двумя членами: /G(T)«J”L[1 (4.77) Применяя к Кл (т) преобразование Фурье 1см. (4.38)1, находим спек- тральную плотность мощности огибающей 00 2 2 | л WA (Q) = 2лб (Q) +-^- (т) e-'Ot dr. (4.78) — оо Из выражения (4.78) видно, что спектр огибающей примыкает к нулевой частоте. Первое слагаемое в правой части (4.78) соответствует постоянной составляющей огибающей, а второе — сплошной части спектра. Примеры применения формул (4.75)—(4.78) приводятся в § 11.3—11.5. 2. ФАЗА Интегрирование двумерной плотности вероятности р (Л, 0), определяе- мой выражением (4.69), по переменной А дает одномерную плотность ве- роятности фазы 1л / Д2 \ Рв <0)=-1^-, рехр dA ~ 2Л(Тх J \ 2&х / О =—j- ? 4“ ехр (------^5-) d (Л2) = -1—, — л < 0 < л. (4.79) 2ло? J 2 2<т? / 2л О Этот результат согласуется с пределами интегрирования в (4.70). Заметим, что из представления р (Л, 0) [см, (4.69)1 в виде произведения / л nt 4 / А2 \ р(А, 8)=——j ехр------г-s- = 2лох ‘ 2(JX / = [-4- ехр (--41-У1 = рА (Л) ₽е (0) I Ох \ 2о£ /J \ 2л / непосредственно вытекает статистическая независимость случайных величин Л и 0. Как и в отношении Лс (t) и Л8 (<), это справедливо при отсчете Л (t) и 0 (t) в один и тот же момент времени [см. замечание к (4.67)1. Соотношения (4.70) и (4.79) позволяют сделать следующее общее за- ключение: произведение вида х = A cos 0, в котором Л и 0 — независимые случайные величины, причем Л распределена по Рэлею, а 0 равновероятна в интервале (—л, л), обладает нормальной плотностью вероятности. Условие узкополосности процесса х (t) не обязательно; необходимо лишь, чтобы Л и 0 были связаны соотношениями (4.63). Корреляционная функция фазы 0 (/) определяется выражением [131 Яв(т) = -уГ0(т) + 4-Г§(т) + -~rg(T)+ . . . (4.80) 5* 131
При т — 0 ряд сходится к ла/3, т. е. дисперсия фазы равна л2/3. Действитель- но, при распределении (4.79) Л « , ng 4^ —.2 De = ^02Ре(9М0=—НН =^~. (4-81) V 2Л \ о / о —л —л 3. ЧАСТОТА Основываясь на выражении (4.60), мгновенную частоту шума можно за- писать в форме <0(0=^) ^+^-^+0(0, at at откуда видно, что закон распределения мгновенной частоты определяется распределением производной фазы 0. Приведем без вывода [14] выражение для плотности вероятности слу- чайной величины 0 Р(0) = 2Д<оэк ф \3/2T-1 1 + -------J . (Д<0эк) / J (4-82) где Д<оэк — эквивалентная ширина спектра узкополосного процесса, опре- деляемая выражением (Д<оэк)2 = J (со — <о0)а W (a) da (a) da. о /о (4.83) Последнее выражение эквивалентно формуле (д<оэк)2с= - d2r°(T) 1 , dr2 |т=о где г0 (т) — огибающая нормированной корреляционной функции процес- са, обладающего спектром W (со) [симметричным относительно центральной частоты о)0]. График функции р (0) изображен на рис. 4.18. Среднее значение абсо- лютной величины |0| равно Дсоэк. Рассмотрим в качестве примера случай, когда энергетический спектр W (со) равномерен в полосе частот ±Дсо при центральной частоте <о0. Нор- мированная корреляционная функция в соответствии с выражением (4.44) z ч sin Д(овт , ч гх(т)=с—:----—coscOqT, а г0(т) Дсо0т Дважды дифференцируя последнее Рис. 4.18. Плотность вероятности производной фазы гауссовского слу- чайного процесса sin Д(о0т sin у Д(оот у выражение по т, находим r'i (т)« = (Ам0)2 sin у~2у2> cos у+2у sin у При т —* 0 и у 0 получаем Го(О) = —L (Д®0)2, (4.83') О Д®8к = /-го(0) = Ц/УЗ . (4.83") Итак, для шума со спектром, равномерным в полосе (—Д®0, Д<оо) (см. рис. 4.9), среднее значение |0| равно Д(оо/]/3. 132
4.7. КОМПЛЕКСНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС Пусть задан действительный стационарный случайный процесс х (t) со спектром W х (со). В теории случайных процессов доказывается, что если х (t) дифференцируем в среднеквадратическом смысле так, что выполня- ется условие f co2U7x (со) dco < оо, то к х (/) можно применить интеграль- ное преобразование S 7=7^ — оо причем интеграл также понимается в среднеквадратическом смысле. Определенный таким образом случайный (стационарный) процесс xt (t) по отношению к х (/) является сопряженным (по Гильберту), а процесс z(t)~x(t) +ixiit) (4.84) является комплексным случайным процессом. Применение понятия комплексного случайного процесса особенно по- лезно при рассмотрении узкополосных процессов. Если х (t) можно пред- ставить в виде х (t) = A (t) cos Iсоо/ + 0 (01, где А (/) и 0 (t) — случайные функции, то, как и для детерминированного аналитического сигнала (см. § 3.10), jq (t) =* A (t) sin [соо£ + 0 (01 и z(/)=:A(Oez^+0<O] . (4.85) Поясним физический смысл этого понятия на модели (рис. 4.19), ана- логичной использованной в гл. 3 модели формирования детерминированно- го аналитического сигнала (см. рис. 3.29). Пусть узкополосный стационарный шум со спектром Wx (со) поступает на выход по двум каналам: прямому и через фазосдвигающее звено с харак- теристикой <р (со) = —90° (в полосе шума). Различие между процессами х (/) и xt (t) обусловлено лишь влиянием фазосдвигающего звена. Амплитудно- частотная характеристика этого звена равна единице, следовательно, спек- тры мощности процессов х (t) и xt (t) одинаковы: №х1( со) = W х (со). То же относится к корреляционным функциям 7?ж (т) = RXt (т) = V Wx (со) е'®т dco zJT J --00 и к дисперсиям 2л v — оо (Имеются в виду процессы с нулевым средним.) Найдем теперь спектральную и корреляционную функции совокупно- сти процессов х (t) и (/). С этой целью выделим одну из реализаций процесса х (t) и обозначим через Хът (<*>) спектральную плотность отрезка k-й реализации с конечной Рис. 4.19. случайного процесса 133
длительностью Т (см. § 4.3). Этот же отрезок Л-й реализации на выходе кана- ла со звеном ф (со) = —90° будет иметь спектральную плотность Х1ЙГ (со) = = Хы (со) е,’,<<в’= —i Хкт (®) при со > 0 и -Н Xftr (со) при со < 0. Рассматривая совокупность отрезков хкТ (t) и х1кТ (0 как сумму квад- ратурных колебаний z*r(0 =xkT(t)-\-iXikT(t), можно определить спектральную плотность отрезка 2кт (t) следующим обра- зом: при со > 0 Z*t-(о) = Х*т(со) -Н I —<Х*г(<й)] =2Х*т(со); при <о<0 (со) = Х*т (со) + i [iX.kT (w)l = 0. На основании этих равенств можно утверждать , что xlftT (t) является по отношению к хкТ (0 функцией, сопряженной по Гильберту (см. §3.9) и, следовательно, при определении спектра и корреляционной функции ана- литического случайного процесса (4.84) исходить из выражений, аналогич- ных (3.87) и (3.95), выведенных в § 3.10 для детерминированного аналитиче- ского сигнала. Переходя в выражении (3.87) от спектральной плотности So (со) колеба- ния (напряжение, ток) к спектральной плотности Wх (^средней мощности исходного колебания х (0, получаем Wг (со) =» (4 (<о) при со > 0, (4 86) (0 при со<0. Применяя теорему Винера —Хинчина 1см. (4.39)1, находим корреляцион- ную функцию аналитического случайного процесса (т) = —— ? 4 W х (со) е,<йТ с/со — 4 —— Г W х (со) cos сотс/со + 2л •/ 2л 3 о о +14 —— f Wх (со) sin сот с/со. (4.87) 2л J о Это выражение совершенно аналогично выражению (3.95). Как и для детерминированного аналитического сигнала, Rz (т) — комплексная кор- реляционная функция. Действительная часть этой функии совпадает с удг военной корреляционной функцией исходного процесса х (0, т. е. с 2RX (т), а мнимая часть учитывает взаимную корреляцию процессов х (0 и х, (0. Комплексный характер корреляционной функции Rz (т) обусловлен тем, что спектр Wz (т) несимметричен относительно оси со = 0, т. е. сущест- вует только в области со > 0. При т = 0 мнимая часть в соотношении (4.87) обращается в нуль, что означает некоррелированность процессов х (0 и х, (0 в один и тот же момент t. По аналогии с выражениями (3.96) можно написать (т) = 2RX (т) + i2RXiX (т), (4.88) где Rx,x (т) = 2 —— ( Wx (со) sin сот с/т. (4.89) 2л J 1.34
Характер взаимной корреляционной функции /?х,х(т) определяется формой энергетического спектра процесса W х (со). При т = О 7?Х1Х (0) = 0 и, следовательно, средняя мощность аналити- ческого случайного процесса Dz = o’ = Rz (0) = 2RX (0) = 2DX. (4.90) Очевидно также, что средние мощности процессов х (t) и Xi (t) одинако- вы. D х — D xf Проиллюстрируем свойства корреляционной функции ₽Х1Х(т), входя- щей в выражение (4.88), на примере, когда исходный узкополосный анали- тический процесс х (t) обладает спектром прямоугольной формы при централь- ной частоте <оо и полосе < <оо. Подобный спектр показан на рис. 4.9 (двойная штриховка). Приравнивая в (4.89) W х (со) = (со) и интегрируя в пределах от <оо — Ц/2 др <оо 4- получаем г> / \ sin (Q. т/2) г, sin(Q,T/2) Rx (т) == 2 —- 1 ---!—— sin (оот = Dx-----11/7 sin ©a t. ' v ' 2л QjT/2 0 x QjT/2- 0 Здесь через Dx = W712F1 обозначена дисперсия исходного процесса х (t). В данном примере огибающая sin (Q1t/2)/(Q1t/2) взаимной корреляцион- ной функции RXiX {x) совпадает с огибающей корреляционной функции R'x (т) (см. (4.44)]. Различие между двумя этими функциями заключается в фазах высокочастотного заполнения (cos <о0т в Rx (т) и sin <оот в RXiX (т)1. При т = 0 RXlX (т) = 0 — процессы xt (t) и х (?) в один и тот же мо- мент времени некоррелированны. Однако при соот — л/2 т=- л/2а>0 = l/4f0 — — функция RX1X (т)==1/4/0= Dxsine При 1 эта функ- \ 4 /о / ция достигает максимального значения, близкого к Dx o’. 4.8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ. ПРОСТРАНСТВО СИГНАЛОВ Рассмотренные в § 2-2 способы разложения произвольных сигналов по заданной системе ортогональных функций можно вывести из общей теории линейных пространств, составляющей один из разделов высшей алгебры. Действительно, пусть сигнал s (t) с конечной энергией Э представлен в виде обобщенного ряда Фурье (2.14): т 5(0= 2>п<р,,(0. (4.91) п = 1 Предполагается, что первые т слагаемых ряда обеспечивают требуемую точность представления сигнала s (t). В § 2.2 были установлены следующие соотношения между энергией Э, нормой функции s (0, обозначаемой ||$||, и спектральными коэффициентами сп (действительного сигнала): 5 = ||s||’ = J s’(/) d/, (4.92) г пг II51|2 = £ kn I21| фп II2. (4.93) п~ 1 В этих выражениях ) обозначает интеграл по интервалу времени Т, т а I |ф,( 11 — норму базисной функции <pn (t). 135
Выражение (4.93) ничем не отличается от известного из векторной ал- гебры определения нормы вектора S в /n-мерном линейном (векторном) пространстве. Это позволяет поставить в соответствие сигналу s (/) вектор S, проведенный из начала координат в соответствующую точку пространст- ва. При этом слагаемое сп<рп (/) должно трактоваться как проекция вектора S на n-ю ось системы координат. При использовании ортонормированной системы, когда ||фга|| ==1. выражение (4.93) принимает вид т l|s||a = l|S||==S Ы2»-*- (4.93') л= 1 В этом случае ||фп|| является нормой единичного вектора (орта), опре- деляющего направление л-й оси системы координат, а вектор сигнала s (/) можно записать в виде вектора-строки S = {Ci, с2,..., с„), (4.94) В этом смысле можно говорить о пространстве, каждый элемент кото- рого является вектором, представляющим определенный сигнал; можно так- же говорить, что каждая точка в пространстве сигналов, являющаяся кон- цом вектора, проведенного из начала координат, соответствует определен- ному сигналу. Длина вектора (норма), как это вытекает из (4.93'), равна Э*/2. Следовательно, всем сигналам с одинаковой энергией Э, независимо от их формы, соответствуют точки, расположенные на многомерной сфере радиуса Э1/2. Пространство сигналов является функциональным, поскольку каждый его элемент характеризуется не мгновенным значением s (t), а некоторым функционалом от s (/)• К таким функционалам относятся, например, энер- гия сигнала Э = J |s (/) |2 dt и спектральные коэффициенты С» e J S (О фп (0 dt. Т Для иллюстрации понятия «пространство сигналов» удобна базисная функция вида sin х/х (ряд Котельникова), когда коэффициентами ряда (4.91) являются отсчеты самого сигнала s (t) в моменты времени t = nAi (см. §2.15), так что выражение (4.94) принимает вид S = {$ (A/), s (2А0...s (mA/)}. (4.95) Этот частный случай интересен тем, что координатами сигнальной точ- ки (конца вектора S) в пространстве сигналов являются отсчеты сигнала s (0 в дискретные моменты времени t = nA/. Множество функций s (0, для которых норма (4.93) ограничена (сигна- лы с конечной энергией), называются пространством ZA Если такие сиг- налы определены на интервале Т, то используется обозначение L2 (Т). Для передачи сигналов по каналу с помехами, а также для разрешения сигналов основное значение имеет не положение сигнальной точки в про- странстве сигналов, а расстояние между точками, представляющими раз- личные сигналы. Для выяснения смысла термина «расстояние между сигна- лами» воспользуемся известными свойствами скалярного произведения век- торов. Пусть имеются два вектора X, N, заданные своими координатами, со- ответственно alt а2, ..., ат и 02, ..., 0т: X = {аъ а2, ..., ат), Y = = {01> 02, •••, 0т}- 136
Скалярное произведение (X, Y) определяется выражением т (X,Y)=V«X (4.96) п = 1 С другой стороны, (X, Y) желательно выразить через функции времени х (О, У (0> соответствующие векторам X, Y. Из векторной алгебры известно соотношение (X,Y)«f x(t)y(t)dt. (4.97) Т В справедливости этого соотношения нетрудно убедиться подстановкой в (4.97) х (t) = 2 апф„ (0 и у (t) = 2 рп<р„ (/). П=1 После перемножения сумм получим два вида слагаемых: с одинаковыми и с разными индексами. В силу попарной ортогональности базисных функций слагаемые второго вида после интегрирования обращаются в нуль. Интегри- рование слагаемых первого вида приводит к выражению (4.96). Учитывая, что правая часть равенства (4.97) есть не что иное, как вза- имная корреляционная функция детерминированных сигналов х (t) и у (t) (при сдвиге т = 0) [см. (2.134)], приходим к важному результату т (X, Y)--=BX!Z(0) - <4-98) п = 1 Из этого соотношения следует1, что если сигналы взаимно некоррелиро- ванны [Вху (0) = 0], то соответствующие им векторы ортогональны [(X, Y) = = 0]. В частном случае Y = X выражение (4.98) дает равенство т (X, X) - Вхх (0) = £ а2«IIX II2 ~ЭХ, (4.99) п = 1 т. е. квадрат нормы вектора X совпадает с определением корреляционной фун- кции сигнала х (t) (при т — 0). На основе приведенных выше соотношений нетрудно определить рас- стояние dxy между двумя сигнальными точками в пространстве сигналов как норму разностного вектора X—Y: dw = ||X-Y||. Квадрат этой нормы в соответствии с (4.99) равен скалярному произ- ведению вектора X—Y на вектор X—Y dh -|| X —Y ||2 -(X - Y, X —Y). Для скалярного умножения векторов верен распределительный закон, т. е. (a, b + c)j=(a, Ь) + (а, с). Следовательно, d2Xy -(X, X> + (Y, Y)-(Y, Х)-(Х, Y)==3X 1-Э„-2Эх„. 1 Напомним, что символами Ва (т) и SSjS2 (т) обозначены соответствующие функ- ции детерминированных сигналов. 137
Рис. 4.20. К определению расстояния между двумя ортогональными сигна- лами С учетом (4.98) и (4.99) получаем d2xy = ВХХ (0)4- Вуу (0)—2Вху (0) = = Эх + Эу-2Эху, (4.100) где Эху — «энергия взаимодействия». Из (4.100) видно, что расстояние между сигнальными точками, соответ- ствующими сигналам х (t) и у (Л, зави- сит как от энергии каждого из сигна- лов, так и от взаимной корреляционной функции Вху (0). Известно, что скалярное произве- дение можно записать в форме (X, Y) = || X Ц-Ц У || cos_y. где у — угол между векторами X и Y. Таким образом, cosy — (X, Y) II Х|| И Y|| (4.ЮГ) Используя формулы (4.98) и (4.99), записываем последнее равенство следующим образом: &ху (0) ^ху cos у = ^J/2 ^1/2 — $l/2 ^1/2 . (4.102) Итак, расстояние между сигнальными точками и угол между соответст- вующими им векторами полностью определяются энергиями сигналов х (tj, у (0 и энергией взаимодействия между ними. Проиллюстрируем эти свойства на простых сигналах. На рис. 4.20, а изображены два отрезка косинусоидального колебания одинаковой дли- тельности Т, но с различными (кратными) частотами. Энергии сигналов: Эх = А\Т/2 и Э2 = А2Т/2. Оба сигнала представлены в /n-мерном пространстве L2 (Т). Длитель- ность сигналов равна целому числу периодов, так что взаимная корреляци- онная функция BStSl (0) = 0 и, следовательно, сигналы s, (t) hs2 (0 ортого- нальны. Применяя формулу (4.100), находим < s, - Эх + Э2 = Л (Л i + А1) = Эг( 1 + ЛI / Л I), ^.ъ’=5}/2(1 + Л!/Л1)’/2. Вследствие ортогональности функций $х (0 и s2 (t) угол между вектора- ми Sx и S2 равен л/2 (см. (4.102)1. Положение сигнальных точек 1 и 2 (отме- ченных кружками) в пространстве сигналов показано на рис. 4.20, б (поло- жение точки 0 выбрано произвольно). Рассмотрим теперь два сигнала с одинаковыми амплитудами и частота- ми, но с различными начальными фазами sx (t) .» Ло cos u>t, 111 T/2, Sa (0 •== Ao cos (<dt — 60), 111 T/2. Как и в предыдущем примере, Т равно целому числу периодов колеба- ний sx (/) и s2 (0; энергии одинаковы: Эх — Э2 = AqT/2. 138
Взаимная корреляционная функция T/2 T/2 Bs,ss (0) = j* s, (/) s2 (t) dt —Aq J cos w/.cos («/ —0O) dt ss — T/2 -T/2 AIT a ~—2 COS 0O. 2 0 Рассмотрим частные случаи 0O = 0, л/4, л/2 и л. 1. 0О = 0; Bs, „ (0) = А20 Т/2 = 3,; d,,,, = 0; cos у = I; у = 0; Сигнальные точки 1 и 2 совпадают. Л 2 Т 1 Э 2. 0О = л/4; B,,s, (0) -4= 2 V 2 V 2 <s.=23, -2BS„, (0) = 23, (1 - 1/|/2')«0,293; dS1S, =0,541; cos Y—Bs,Sf (0)/3, = МУ 2 ; y= л/4. 3. 0о=л/2; Bs, s, (0) =0; df,St= 23,; ds,s, = j/ 2 3}/2; cos у = 0; y = n/2. 4. 0O = л; Bs,,, (0) = -3,; < s, = 23,- (- 23,) = 43,; ds, s, = 23} /2; cos y= —1; у = л. Из рассмотренного примера вытекает, что при заданной и одинаковой энергии двух сигналов любое различие в их форме не может увеличить рас- стояние между сигнальными точками более чем до 23}/2 (это вытекает также из того факта, что сигнальные точки при заданной энергии сигнала распо- ложены на многомерной сфере радиуса З}/2). В заключение найдем смещение сигнальной точки, соответствующее сдви- гу сигнала во времени на т. Для этого требуется определить расстояние меж- ду сигналами s, (t) и s2 (t) = s, (t — x). В данном случае Bs,,, (0) = ( Sj (t) s2 (t) dt = s, (ft s, (t —x) dt» Bs, (x), где Bs, (т) — корреляционная функция сигнала s, (/). По формуле (4.100) находим ds, „ = {2 (BS1 (0)-Bs, (тЧГ2. Если под s, (/) подразумевается, например, импульс с длительностью ти, то при х > хв корреляционная функция BSl (х) = 0 и ds,s, = I2BS, (О)]*/2. Иными словами, неперекрывающиеся во времени сигналы ортого- нальны. Применение к сигналам теории векторных пространств оказывается по- лезным, в частности, для синтеза цепей, подчиняющихся обобщенному прин- ципу суперпозиции. Этот вопрос рассматривается в гл. 16. 4.9. ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ Пусть рассматривается стационарный случайный процесс с дисперсией Dx, заданный на отрезке времени 0< t<z Т. Без утраты общности рассмо- трения положим М (х) = 0. При представлении ансамбля реализаций в пространстве L2 (Т) каждой из реализаций можно поставить в соответствие свою сигнальную точку, от- 139
стоящую от начала координат на расстоянии Rh = Э^2 (см. предыдущий па- раграф). Энергия Эть изменяется от одной реализации к другой случайным образом, а среднее значение (математическое ожидание) энергии Эт = а^Т. Совокупность всех сигнальных точек образует сложную многомерную поверхность, тем больше отличающуюся от сферической, соответствующей среднему радиусу /?0 — Эт\ чем больше дисперсия D3 = <тэ случайной величины Этк- Для оценки величины составим выражение для энергии k-к реализа- ции процесса х (t) xi(t)dt=^t уп, (4.103) 0 П= 1 п=1 где m — число отсчетов, определяющих функцию xh (t) на отрезке Т = — m&t (см. §2.15), а уп ==* х2п— отсчеты мощности (мгновенной) реализа- ции хк (t) в моменты времени t = n&t. Очевидно, что математическое ожидание случайной величины ЭТк п=1 п~1 а среднее значение квадрата ЭТк в соответствии с (4.103) M(32Tk)^M m \ 2' м 2 Уп) и—1 / _ Следовательно, искомая дисперсия Оэ == М (3h) - [/И (Э™)]2« (ДО2 S Уд -(ДО2 "I2 « 71=1 /=1 == (ДО2 2 5 Iм <Уп Уд -Ох4]. (4.104) П=1 /=1 Для конкретности будем исходить из нормального распределения про- цесса х (t), а также из условия взаимной независимости отсчетов уп = х% и у, = xf. Тогда М (Уь Уд ~М (х£ х?) =М (х£) М (х?)=а}. и все слагаемые вида М (ynyt) — о*х при п =# I в выражении (4.104) обраща- ются в нуль. Остаются слагаемые при п = т, число которых равно иг, а сами слагаемые имеют вид М (х„) — а|. При плотности вероятности р (х) = (1/"|/2лаж) ехр (—х2/2<т2) М (х4) =х М(х*) — f х4 е x,/2’4 dx = 3ot ]^2л ах J — оо Таким образом, выражение (4.104) приводится к виду Оэ—(ДО2тУ 2о1. Составим отношен ие °э д/Km у~2 qx _ 1//1 ЭТ Ыта* у т ' (4.105) 140
Рис. 4.21. Представление в многомер- ном пространстве сигналов смеси де- терминированного сигнала и шумо- вой помехи при Рис. 4.22. Представление двух орто- гональных сигналов с шумовой поме- хой Использование понятия пространства сигналов эффективно при боль- ших базах сигнала т (сотни и тысячи). Из (4.105) видно, что при т^> 1 отношение аэ /Эт настолько мало, что можно говорить о сосредоточении сиг- нальных точек в тонком сферическом слое радиусом Ро = ЭЦ2 и толщиной1 сЛоя около У21т Ro. Таким образом, в многомерном пространстве сигналов случайный процесс, отвечающий оговоренным ранее условиям (стационар- ность, число независимых отсчетов в интервале Т, равное /и), можно пред- ставить в виде «тонкостенного» шара с центром в начале координат. При совместном воздействии сигнала (детерминированного) и помехи (случайного процесса) представление суммарного колебания в пространстве сигналов основывается на правилах векторного сложения (вычитания), изложенных в предыдущем параграфе (предполагается, что сигнал и помеха представлены одинаковым числом степеней свободы т). На рис. 4.21 иллю- стрируется случай относительно слабой помехи (ст£Т меньше энергии сигна- ла Э8), образующей в пространстве сигналов полый шар радиуса Ro =]/r с центром в точке s. соответствующей сигналу s (f) с энергией 9S. Описанное свойство многомерного пространства сигналов позволяет в наглядной форме объяснить преимущества многобазовых сигналов при ре- шении задачи разрешения (различения) сигналов на фоне помех. Пусть на вход приемного устройства, рассчитанного на обработку двух ортогональ- ных сигналов A (I) и В (t), обладающих одинаковыми энергией, длительно- стью и шириной спектра, но различной формой, воздействует смесь, состоящая из шумовой помехи и одного из указанных сигналов. Положение сигнальных точек А (/) и В (/) в пространстве сигналов пока- зано на рис. 4.22. Расстояние между двумя ортогональными сигналами рав- но ]/2 Э'/2 (см. примеры предыдущего параграфа). В приемник тем или иным способом закладываются копии сигналов А (/) и В (/), так что в отсутствие помехи выходное устройство безошибочно принимает решение о том, какой из сигналов поступает на вход. При наличи помехи каждый из сигналов A (t) и В (t) совместно с поме- хой образует в многомерном пространстве сигналов полый шар, как это изо- 1 эг+ аэ / /?о4-Д7? \2_1 2Д7? / Д/?\2 t 2Д7? «Эу \ Йо / й0 \ Йо / й0 откуда 2Д/?/Т?0 = аэ/э7.= 2/т . 141
бражено на рис. 4.22. Если радиусы шаров меньше половины расстояния между точками Л и В, т. е. ]^а*Т •< */2 ]/2 Э]/2, возможность безошибочно- го различения сигналов практически сохраняется [22]. Допустим теперь, что при сохранении неизменными Эа и Т база сигнала m уменьшена. Поскольку база сигнала равна 2д/Т (см. §2.15 и 3.11), это уменьшение имеет место при сужении полосы частот сигнала. Расстояние между сигнальными точками А и В остается прежним, однако расположение сигнальных точек суммы сигнал + помеха в пространстве сигналов «раз- мывается», и тем сильнее, чем меньше число координат т. Вероятность «пе- репутывания» сигналов А (/) и В (t) возрастает с уменьшением базы сигнала. Глава 5. ЛИНЕЙНЫЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА АКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ В данной главе приводятся основные сведения о линейных активных цепях. Рассматриваются частотные характеристики избирательных цепей, исполь- зуемых для различных линейных преобразований сигналов (усиления, фильтрации и т. д.). Особое внимание уделяется изучению линейных актив- ных цепей с обратной связью, используемых в большинстве современных ра- диоэлектронных устройств. В общей теории цепей под активной подразумевается цепь, содержащая наряду с пассивными элементами (катушками индуктивности, конденсато- рами и резисторами) также и источники энергии (генераторы ЭДС или гене- торы тока). Активный характер цепей радиоэлектронных устройств обусловлен при - менением в них усилительных элементов: транзисторов, электронных ламп, ламп бегущей волны и т. д. При этом предполагается, что энергия сигнала на выходе активной цепи больше, чем на входе. Для большей определенно- сти видоизменим формулировку следующим образом: цепь активна, если при гармоническом возбуждении средняя мощность сигнала на выходе больше мощ- ности на входе, т. е. коэффициент усиления по мощности больше единицы. Из такого определения ясно, что цепь, осуществляющая усиление напряже- ния, например, с помощью повышающего трансформатора без усиления мощности является пассивной, даже если в нее входят активные элементы со своими источниками питания. При построении схем замещения активных цепей источники постоян- ного тока или напряжения опускаются. На этих схемах активные элементы (транзисторы, лампы и др.) отображаются с помощью элементов, параметры которых зависят от режима работы и в конечном счете от источников энергии, питающих активный элемент. Рис. 5.1. Схема замещения линей- ного четырехполюсника На При этих допущениях любой (как активный, так и пассивный) линейный четырехполюс- ник можно представить схемой, изобра- женной на рис. 5.1. На этом рисунке Еь Е2, h и 12 обозначают комплексные ам- плитуды гармонических напряжений и то- ков независимых источников при фикси- рованной частоте <о. 142
Четырехполюсник полностью характеризуется соотношениями между напряжениями и токами на его входе и выходе. Вид этих соотношений за- висит от выбора исходных величин. Напомним вкратце основные формы представления четырехполюсников. Если исходными являются напряжения Ех и Е2, то уравнения для оп- ределения токов Ij и 12 записываются в форме к — Ул Ei + У12 Е2, k - ^2i Ei + У22 Е2 (5.1) ИЛИ в матричной форме L *2 J L L2 J (5.2) где [У] = Г12' (5.3) Г21 г22 является матрицей параметров, имеющих смысл и размерность проводимо- стей. Если уравнение (5.1) решить относительно Ei и Е2, то получатся систе- мы уравнений Ех = ZX1 1Х 4- Z1212, Е2 — Z21 1Х + 22212, (5.4) где [Z] = Za Z22 Z22_ (5.5) (5.6) является матрицей параметров, имеющих размерность сопротивлений. Исходным уравнениям четырехполюсника, записанным в форме Ет ~ Ни 1Х + Я12 Е2, 12 - Я21 h + Я22 Е2, (5.7) [Я] = соответствует матрица параметров Н п Нк Н 2i Я22 _ (5.8) в которой Нп имеет размерность сопротивления, Я22— проводимости, а Н1г и Я21 — безразмерные параметры. Приведем еще уравнения в форме 11 в Gu El -|- GX2 12, Е2 = G2i Ei + 02212, (5.9) которой соответствует матрица (5.10) где Gn — проводимость; G22 — сопротивление, a G12 и G2X — безразмерные параметры. В теории усилителей наибольшее распространение получили матрицы Z-, Y- и //-параметров. Связь между одними и теми же величинами, выражен- ными через различные системы параметров, представлена в табл. 5.1. В этой таблице определители АУ, AZ и А// соответствующих матриц опреде- ляются выражениями AY = УцУ22 - У12У21, AZ = ZUZ22 - Z14Zn, АЯ = ЯиЯ22 - -Я12Я21. (5.11) 143
Таблица 5.1 Исходная система параметров Связь с другими системами параметров Исходная система параметров Связь с другими системами параметров Исходная система параметров Связь с другими системами параметров Уп ^22 1 ^11 У22 ДЯ Нп AZ 1 AZ ДУ Н22 Z22 У» ^12 fin Z12 Г12 Нп Нп ^12 Г18 AZ fin ДУ #22 ^22 У»1 ^21 Н21 Z2i нп ^21 AZ Нп ДУ #22 Уп V22 ЬН ^22 Уп 1 н22 1 ДУ AZ Нп АУ #22 Z22 Уравнения (5.1), (5.4), (5.7) и аналогичные им другие уравнения поз- воляют построить эквивалентные схемы замещения четырехполюсников. На рис. 5.2, а изображена схема замещения1, построенная в соответст- вии с уравнением (5.1). На этой схеме оба напряжения Ег и Е2 рассматри- ваются как напряжения внешних источников. Генератор тока У12Е2 учи- тывает влияние выходного напряжения Е2 на входной ток 1х, а генера- тор тока Y2iEi — влияние напряжения Ej на выходной ток 12. Оба генератора можно рассматривать как зависимые источники, так как обеспечиваемые ими токи пропорциональны напряжениям внешних источников. Параметр У21 имеет смысл взаимной проводимости от входа к выходу, а У12— от выхода к входу. Очевидно также, что Yu есть входная проводимость четырехполюсника при Е2 = 0, т. е. при коротком замыка- нии выхода, а У22 — выходная проводимость при возбуждении четырехпо- люсника от источника Е2 при коротком замыкании входа. Эквивалентная схема четырехполюсника, соответствующая уравнениям (5.4) и (5.5), изображена на рис. 5.2, б. На этой схеме зависимые источники напряжения Z12l2 и Z2ili учитывают влияние 12 на Ех и на Е2 со- ответственно. Уравнениям (5.7), (5.8) соответствует схема замещения, пока- занная на рис. 5.2, в. Здесь необходимо отметить следую- щую особенность активного четырех- полюсника: как правило, У21 =/= У12 или Z21 ¥= Z12, Нп =/= Н12. Это означает, что Рис. 5.2. Схемы замещения четырех- полюсника, основанные на матрице: а) /-параметров; б) Z-параметров; в) Н- параметров активные четырехполюсники необрати- мы и, следовательно, принцип взаим- ности к активным четырехполюсникам неприменим. Взаимные проводимости или сопро- тивления пассивных четырехполюсни- ков, как известно, равны (теорема вза- имности). Это позволяет схемы замеще- ния, показанные, например, на рис. 5.2, а и б, упростить для пассивного четы- 1 Наличие общей шины на рис. 5.2 и в последующих аналогичных схемах позволяет говорить о трехполюснике. Это не влияет на уравнения цепи. 144
Рис. 5.3. Преобразование схем замещения, изображенных на рис. 5.2, а и б, справедли- вое только для пассивного четырехполюсника рехполюсника и привести их к виду, при котором зависимые источники отсутствуют (рис. 5.3). При анализе радиоэлектронных цепей особенно часто приходится иметь дело с четырехполюсниками, возбуждаемыми только со стороны входа; под выходным напряжением при этом подразумевается падение напряжения на сопротивлении нагрузки Za = 1/GH, т. е. Е2 = — 122н. В подобных случа- ях нагрузочный элемент целесообразно вводить внутрь четырехполюсника. При представлении четырехполюсника с помощью У-матрицы получа- ется схема замещения, показанная на рис. 5.4, а, которая отличается от схе- мы на рис. 5.2, а только тем, что нагрузочная проводимость GH введена в четырехполюсник. Это позволяет рассматривать новый четырехполюсник как разомкнутый, у которого ток на выходе 12 = 0. Матрица параметров это- го нового четырехполюсника irj'zJv11 vN’ (512) .*21 I гг . где У22 = У22 + GH. Второе уравнение (5.1) принимает при этом вид Ц = У21 е1+у;2е2=0, откуда следует важное соотношение -^=- 2«1_ =-------1*1—. (5.13) Рис. 5.4. Введение нагрузочного элемента в состав четырехполюсника 145
Исключив с помощью этого соотношения Ei из первого уравнения (5.1), а также учитывая, что Е2 = — I2ZH, получим отношение токов Ь ________Y21 Он________ У21 Он ~ ~ ДУ' (5.13') где ДУ' = Уп (У22 + G„) — У12УИ — определитель матрицы (5Л2). При использовании Z-матрицы схема замещения принимает вид, пока- занный на рис. 5.4, б. В данном случае выходные зажимы замкнуты накорот- ко (Ег = 0), а матрица параметров Z12 ^21 Z22 _ где Z22 — Z22 + 2Н. Второе уравнение (5.4) при этом приводится к соотношению 7- = -^-=—7-Т7“> (5>14) «1 Л22 а первое уравнение — к соотношению Е2___ ^21 ZH _____ Z2l ZH Ei ZUZ22 ZX2 Z2i AZ' где AZ' = Zn (Z22 + ZH) — Z12Z21 — определитель матрицы [ZY. Наконец, второе уравнение (5.7) при подстановке #22 = #22 + Ga и Е2 = — 12ZH (рис. 5.4, в) дает 0^Я21 Ij-ИН22 Е2 —/f2i Ii—Н22 Zn 12, откуда следует соотношение Ь __ Н21 ________Я21___ __ ^21 Zg 1 g\ Ij ^2ZH (^22 + <?h)Zh Zh//22+1 V’ } Исключив с помощью этого соотношения Ix из первого уравнения (5.7), получим ^2___________^21______ _ ^21 /5 ЯпЯ2'2^Я12Яа1 Д/Г’ где &Н' — Нц Gh)—^12^21* Рис. 5.5. Схемы замещения с одним зависимым источником тока (а) или напряже- ния (б) (элемент Z22 следует заменить на Z22—Zl2) 146
Общие уравнения (5.1), (5.4) и (5.7) можно преобразовать таким образом, что соответствующие им схемы замещения четырехполюсника будут содер- жать только по одному зависимому источнику. Так, записав второе уравнение (5.1) в форме 12 = У12 Е1 + У22 Е2 + (Уи -У12) Еь (5.16) приходим к схеме замещения, содержащей один зависимый источник тока (Ки— У12) Ех (рис. 5.5, а). Аналогично записав второе уравнение (5.4) в форме Е2 = Z12 Ii Z22 U 4~ (Z21 —ZJ2) Ii, (5.16) приходим к схеме с одним зависимым источником напряжения (Z21 — Z12) (рис. 5.5, б). 5.2. АКТИВНЫЙ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК КАК линейный усилитель Приведенные в предыдущем параграфе выражения (5.13)—(5.15), за- писанные в форме Е2 У21 _______ ^21 Е1 У24“Ь®Н ^11 (^22 4* ZH) Zj2 Z21 =------------, (5.17) Я11(Я22 4-СН)-Я12Я21 ’ __ ^2 У 21 __________^21 21 | g\ к Ууъ (Угг + ^н)—У12 У21 ^22 + ^н ^22 + ^н можно рассматривать как коэффициенты усиления соответст- венно напряжения и тока активного четырехполюсника. В широкополосных усилителях, как правило, усилительные приборы (транзисторы, лампы и др.) обеспечивают (при правильном выборе нагрузки) выполнение следующих неравенств: GH ^22, 2Н ^22- (5.19) Поэтому при грубой оценке усилительной способности четырехполюсни- ка можно исходить из приближенных равенств I Kd « I |К/|« ^21 I ^22 I (5.20) (5.21) Отсюда следует, что коэффициент усиления мощности (выраженный в вольтамперах) (5.22) (Здесь использованы соотношения между Z21-, Z22- и У-параметрами из табл. 5.1.) Из (5.22) очевидна решающая роль параметра У21 (соответственно Z2i и Я21) в усилении мощности колебания в активном четырехполюснике. Физический смысл этого параметра раскрывается в следующих параграфах на примерах некоторых усилительных приборов. 147
При анализе активного четырехполюсника как усилителя важное зна- чение имеют такие его параметры, как входное и выходное сопротивления. На рис. 5.6 представлена обобщенная схема, содержащая источник сигнала Ес, активный четырехполюсник и сопротивление нагрузки ZH. Входное сопротивление (между зажимами 1—Г) легко определись с помощью уравнений (5.4) в сочетании с (5.14). Подставив 12 из (5.14) в первое уравнение (5.4), получим __1/7 _ I 7 1 — *11 ^11 Z3 I —‘ *1 ^вх> \ ^22 / откуда ZV ^12 ^21 .__ 7 ^12 ^21 вх — ^11 7, -"*^11 7 7 ^22 Z22-t“4CH (5.23) Под выходным сопротивлением четырехполюсника поразумевается со- противление между зажимами 2—2' при Ес = 0 (но с учетом внутреннего сопротивления источника сигнала Z/). Сопротивление Z, рассматривается при этом как нагрузка. По аналогии с (5.23) при замене Zn на Z22 и ZH на Zf получаем ' __ 7 ^12 ^21 ВЫХ — ^22 „ „ Al + ^i (5.24) При учете внутреннего сопротивления Zf источника сигнала под коэф- фициентом усиления следует подразумевать отношение Еа/Ес — Ке- Этот коэффициент можно найти с помощью формулы (5.17) добавлением Z, к Zu или /7и. Таким образом, _ Еа Z81 ZH Ес (Zn + ^i) (Zm4-Zh)—Zlt Zji _______________^21___________ /5 25) (tfu4-zf) (#«-№)-я1а ’ При использовании У-матрицы нетрудно получить выражение Ке = е2 Ес Zbx Уэ1 (5.26) Zt+ZBx Уаа+Сн Выбор наиболее удобной для практики системы параметров зависит от типа усилительного прибора и схемы его включения. Поясним это на примере широко распространенного усилителя на транзисторе, включенном по схеме с общим эмиттером (ОЭ) (рис. 5.7, а). Особенностью работы транзистора в схеме с ОЭ является управление током коллектора с помощью воздействия на ток базы. Кроме того, необхо- димо учитывать обратное воздействие выходного напряжения 11вых на вход- ную цепь. Эти свойства транзистора удоб- Рис. 5.6. Обобщенная схема ак- тивного четырехполюсника с уче- том параметров источника сигнала и нагрузки но описываются уравнениями четырехпо- люсника (5.7). В связи с этим в теории и технике транзисторных усилителей обще- принята матрица /7-параметров, которой соответствует схема замещения, показан- ная на рис. 5.2, в. Выше было показано, что усилительная способность активного четырехполюсника в основном определяется безразмерным 148
Рис. 5.7. Транзисторный усилитель (а) и его схема замещения (б) параметром Н21 (соответственно Y21 и Z21). Для усилителя с ОЭ этот пара- метр совпадает с отношением токов 0 = /к//б. Он входит в паспортные данные биполярного транзистора и обозначается символом Л21э. В соответствии с новыми обозначениями схема замещения1 транзистор- ного усилителя принимает вид, показанный на рис. 5.7/6, а формулы (5.17), (5.18) запишутся в виде К£ - =--------------, (5.27) El hn (Л22-Н^н)—^21Э ^12 К/ = — « Л,|8--У- . (5.27') I, hit + GH Напомним, что hn имеет смысл входного сопротивления база—эмит- тер (при коротком замыкании выходной цепи), Л12 — коэффициент обратной связи по напряжению (при разомкнутой входной цепи) и Л22 — выходная проводимость транзистора (при разомкнутой входной цепи). В новых обозначениях второе уравнение (5.7) принимает следующий вид 1К = /^131б + Л22 Е2 Л21Э 1g —Л22 UBbIX, (5.28) где UBbIX = IKZH = —Е2 напряжение, развиваемое на сопротивлении ZH = 1/GH- Далее, ток базы 1б можно представить в виде отношения Ei/ZBX, где ZBX—входное сопротивление транзистора (между зажимами база—эмиттер), определяемое формулой (5.23). Таким образом, при активных сопротивлениях, когда ZBX = /?вх, 1К ~ (А‘д,//?вх) Е, —Л22 Овых ~ S Ex ^22 Ивых Е, -f-Л22 Eg. (5.29) Заметим, что если задана характеристика хб (ибэ), то тем самым задана и характеристика iK (ыб8) = 0t6 (ыбэ). Для схемы с ОЭ, как ранее отмечалось, имеет место равенство 0«Л21Э, поэтому параметр S =. -Л12- = ft Л = А. (5.30) р а р р ' ' АВХ можно трактовать как крутизну характеристики iK (ибэ) в точке ибэ = — ^БЭо- На основании выражения (5.29) можно построить схему замещения вы- ходной цепи усилителя, показанную на рис. 5.8, а. Символом Ri на рис. 5.8, а обозначено внутреннее сопротивление источника тока. Для транзистора в усилителе с ОЭ Ri = 1/Л22. 1 Инерционные свойства транзистора этой схемой не учитываются. 149
Из сравнения уравнения (5.30) с (5.1) следует, что введенный выше пара- метр S совпадает с параметром У21 (для схемы с ОЭ). Подставив в (5.29) 1К = —GH Ег и разделив полученное уравнение на Ер приходим к следую- щей формуле: Ке~ S/(/lj2 “Ь 0Я) ~ ^21э/^вх (^22 СЯ)> которая отличается от (5.27) лишь внешне. В тех случаях, когда проводимость h22 мала по сравнению с проводимо- стью нагрузки GH, можно пользоваться приближенными формулами Ke«-S/Gb^-SZh, (5.31) К/ « Лп#. (5.32) Работа транзисторного усилителя по схеме с ОЭ в режиме малого сиг- нала иллюстрируется рис. 5.8, б. Амплитуда переменного тока коллектора /к во много раз меньше постоянного тока /ко. соответствующего напряжению смещения (7Вэо- Приведем аналогичный пример для усилителя на электронной лампе. Схема простейшего усилителя на пентоде изображена на рис. 5.9, а. При малом сигнале (режим линейного усиления) связь между анодным током и напряжениями сетка—катод, анод—катод определяется соотношением /а — SuCK -j- (1 /Rt) иак = S (uCM DuaK), (5.33) где . при uck-»£(,(), uaK — £aa, “UCK I dia R i ^ак при иск—Ec^ WaH — D = l/SRi — проницаемость по управляющей сетке (соотношение справед- ливо при работе без сеточного тока). Крутизна S характеристики 4а (иск) и внутреннее сопротивление пентода Rt являются дифференциальными параметрами, определенными при незна- чительных отклонениях тока ia от исходного значения в рабочей точке на вольт-амперной характеристике пентода. Рис. 5.8. Схема замещения коллек- торной цепи (а) и режим линейного усиления колебания в усилителе с ОЭ (б) 150
Рис. 5.9. Простейший усилитель на пентоде (а) и схема замещения анодной цепи (б) Знак плюс перед вторым слагаемым в выражении (5.33) выбран в связи с тем, что цак в данном случае рассматривается как напряжение независимо- го источника. Для тока цепи сетки можно составить выражение, аналогичное (5.33) *с = (1 /^ск) ^ск + *$са цак. (5.34) В данном случае наиболее удобна система У-параметров. Переходя к комплексным амплитудам и имея в виду общую схему заме- щения активного четырехполюсника (рис. 5.2,а), заменяем иск амплитудой Ei входного гармонического сигнала, ток ic в цепи сетки — амплитудой 1Ь а ток /а — амплитудой 12 = 1а. Как и в предыдущем параграфе (см. вы- вод формулы (5.13')] полагаем Е2 = — IaZH = —£/вых. Тогда уравнения (5.1) и (5.3) запишутся так: h Е, и sca E2, 12« SEj = 4- E*; ack I'RcK ^ca s \/Rt (5.35) При усилении слабых сигналов рабочая точка на характеристике <а (ыск). как правило, устанавливается в области отрицательных напряжений иск. В этом случае ток сетки отсутствует, входная проводимость сетка—ка- тод практически равна нулю (RcK —* оо) и матрица проводимостей принима- ет вид О 1/R, |И« (5.36) Таким образом, Yn = У12 = 0, У21 = S, У22 = Матрице (5.36) соответствует схема замещения четырехполюсника (трехполюсника), представленная на рис. 5.9, б. Используя формулу (5.17), находим коэффициент усиления напряжения __________ __ ZH __________________Ц ZH /5 37ч Е, !//?<+1/ZH /?z4-Z„ /?, + ZH ’ ' где ц — SRi — 1/D — коэффициент усиления лампы. Из (5.37) видно, что усилительная способность лампы используется тем полнее, чем больше отношение Zu/Rt. В холостом режиме (Z„ -► 00) коэффи- циент усиления каскада max КБ — р = —SRZ = —S/Gz. 151
5.3. ЧАСТОТНЫЕ И ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ Приведенные в предыдущем параграфе выражения (5.17), (5.18) для ко- эффициентов усиления Ке и К/ можно трактовать как передаточные функ- ции линейного активного четырехполюсника. Характер этих функций опре- деляется частотными свойствами параметров Z и Y. Записав Ке и К/ в виде функций Ke (i®), К/ (<<*>)» приходим к по- нятию передаточная функция линейного активного четырехполюсника K(iw). Безразмерная в общем случае комплексная функция КО'®) явля- ется исчерпывающей характеристикой четырехполюсника в частотной обла- сти. Она определяется в стационарном режиме при гармоническом возбуже- нии четырехполюсника. Передаточную функцию часто удобно представлять в форме K(to)=K(®)e^w. (5.38) Модуль К (со) иногда называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) четырехполюсника. Аргумент ср (со) называют фазо-частотной характе- ристикой (ФЧХ) четырехполюсника. Другой исчерпывающей характеристикой четырехполюсника является его импульсная характеристика g (t), которая используется для описания цепи во временной области. Для активных линейных цепей, как и для пассивных, под импульсной характеристикой цепи g (t) подразумевается отклик, реакция цепи на воз- действие, имеющее вид единичного импульса (дельта-функции). Связь между g (t) и КО'®) нетрудно установить с помощью интеграла Фурье. Если на входе четырехполюсника действует единичный импульс (дельта- функция) ЭДС со спектральной плотностью, равной единице для всех ча- стот, то спектральная плотность выходного напряжения равна просто КО'®)- Отклик на единичный импульс, т. е. импульсная характеристика це- пи, легко определяется с помощью обратного преобразования Фурье, при- мененного к передаточной функции K(tw): g(t)= — [ К (i®) е/ш/d©. (5.39) 2л J — оо При этом необходимо учитывать, что перед правой частью этого равенст- ва имеется множитель 1 с размерностью площади дельта-функции. В част- ном случае, когда имеется в виду 6-импульс напряжения, эта размерность будет (вольт х секунда). Соответственно функция K(ico) является преобразованием Фурье им- пульсной характеристики: КО®) = \ g(t) е-<ш<dt. (5.40) о В данном случае перед интегралом имеется в виду множитель единица с размерностью [вольт х секунда]-1. В дальнейшем импульсную характеристику будем обозначать функцией g (0, под которой можно подразумевать не только напряжение, но и любую другую электрическую величину, являющуюся откликом на воздействие в виде дельта-функции. 152
Как и при представлении сигналов на плоскости комплексной частоты (см. §2.14), в теории цепей широко распространено понятие передаточной функции К(р)1, рассматриваемой как преобразование Лапласа от функции g К(Р) =lg(t)e-p*dp. (5.41) О Переходная функция цепи h (t) представляет собой отклик, реакцию цепи на воздействие, имеющее вид «единичного скачка». Так как такое воз- действие является интегралом от единичного импульса (т. е. дельта-функции), то и между h (t) и g (t) существует интегральное соотношение ft(() = fg(x)dx. (5.42) о В последующих главах при анализе передачи сигналов через радиоце- пи в основном будет применяться импульсная характеристика g (t). 5.4. АПЕРИОДИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ Схема замещения простейшего апериодического резистивного усилите* ля представлена на рис. 5.10. Усилительный прибор обозначен в виде за- висимого источника тока 5Ег с внутренней проводимостью Gt = l/Ri. Емкость Со включает в себя межэлектродную емкость активного элемента и емкость внешней цепи, шунтирующие нагрузочный резистор 7?н = 1/GH. Схема на рис. 5.10 является обобщенной, она применима к любому активно- му элементу. Для транзисторного усилителя под крутизной S следует подразумевать величину h219/RBX (см. § 5.2), а под G, — параметр Л22. Подставив в формулу (5.27) проводимость G, вместо Л22, а тхакже GH = 1/7?н + icoC0 = GH + нвС0, получим передаточную функцию однокаскадного усилителя Ki («») *-------------------------S/{Gi + G«).-в------^тах. . (5 43) -f-/о)С0 1 -j~teCbUGi “Ь Си) 1 где Kl max 5=5 + GH) (5.44) — максимальный коэффициент усиления (при со = 0); = CQ/(Gi + GH) = = RqCq — постоянная времени цепи, состоящей из конденсатора Со, шун- тированного резистором Кэ = l/(Gi + GH). Рис. 5.10. Схема замещения ре- зистивного усилителя Рис. 5.11. Амплитудно-частотная характери- стика апериодического усилителя, пред- ставленного на рис. 5.10 1 Здесь и в дальнейшем обозначения передаточной функции цепи, рассматривае- мой как преобразование Фурье или Лапласа от импульсной характеристики g (t), будут различаться только аргументом К (ш) или К (р) (см. §2.13). 153
Запишем (5.43) в форме Ki (iw) =-- - Ki («») е'ф*«“» = - е'<₽* «», (5.45) УЖштх)» ' откуда вытекают следующие выражения для амплитудно- и фазо-частотной характеристик: Кх(®) = Ki max/Kl+W2, (5.46) Ф1 (®) = —arctg tori. (5.47) При изменении частоты со получается АЧХ, изображенная на рис. 5.11. Полоса пропускания усилителя Да>15 определяемая по ослаблению на границах до 1/J/2 от максимального уровня (при со = 0), легко находится из условия К1 (Д(Ох) = ^1ах//1+(Д®хТх)2 = КЛ max/J/T, (5.48) откуда ДсО]Т1 = 1; Дсох = 1/тх. 5.5. КАСКАДНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ИДЕНТИЧНЫХ АПЕРИОДИЧЕСКИХ УСИЛИТЕЛЕЙ Однокаскадный усилитель позволяет получить относительно небольшое усиление — в десятки или сотни раз. Обычно требуется во много раз боль- шее усиление. Эта задача решается с помощью многокаскадных усилителей, составленных из нескольких, обычно одинаковых, ступеней. Современная микроэлектронная элементная база позволяет почти полностью исключить влияние выходной цепи на входную. Это позволяет считать отдельные каскады «развязанными», благодаря чему результирующая передаточная функция все- го усилителя может быть выражена произведением передаточных функций от- дельных каскадов, рассматриваемых порознь. Если к тому же все каскады идентичны, то при общем их числе п передаточная функция всего усилителя Кп (И = (Кх (М1п = ( — *1тах У = ( -1)" (®) е/пф* <“>. (5.49) \ 1 + КО?! J Здесь Кп (<>) = Кпх max/l 1 + (от№ (5.50) и п(р х(<о) = —п arctg (ОТ1 (5.51) представляют собой соответственно АЧХ и ФЧХ всего усилителя. Из выражения (5.51) видно, что ФЧХ усилителя фп = пфх совпадает по форме с ФЧХ одного звена <рх> н0 ее масштаб по оси ординат возрастает в п раз. Амплитудно-частотная характеристика Кп (®) изменяется по форме: с увеличением п она становится острее. Рассмотрим более подробно характеристики двух каскадного усилителя. При п = 2 Кг (о) = К\ max/11 + (®Тх)2]. (5.52) Полоса пропускания Д(о2, определяемая, как и ранее, по ослаблению К 2 (ю) на границах до 1/^2 от максимального значения (при со = 0), долж- на отвечать условию 1 + (Дсо2т1)2 = ]/2, откуда следует равенство Дсо2Т1 = КК2 — 1 «0,644. (5.53) 154
Таким образом, полоса пропускания всего усилителя составляет 0,64 от полосы каждого из каскадов (Дю^ — 1). При п = 3 АЧХ усилителя принимает вид Кз (“) = К1 max/П + (©b)8]3/2. (5.54) Полоса пропускания AcogTj определяется из условия [1 + (AwjTx)8)8/8 = = ]/2, откуда получается равенство До, Т1 = /2'/з —1 » 0,51. (5.55) Нетрудно обобщить полученные результаты на любое значение п: Д®„ тх = /21/» —1. (5.56) В табл. 5.2 приведены значения Ашл для различных п. Обычно задается определенная полоса пропускания усилителя в целом. Поэтому с увеличением числа каскадов полосу пропускания каждого из них необходимо увеличивать. Например, при заданной полосе двухкаскадного усилителя Д<о2 полоса пропускания одного каскада, равная 1/т1( должна быть Д<о2/0,644 = 1,55Дсо2 (см. табл. 5.2). Представляет интерес выявить зависи- мость формы АЧХ от п при заданной и неизменной полосе пропускания уси- лителя в целом. С этой целью обратимся к формуле (5.52) и представим зна- менатель правой части в виде показательной функции. Основываясь на со- отношении aN = ел'1па, записываем п П+((от1?]«/2 = е 2 In [1 + (<вт,)*] (5.57) Обозначив (coTj)2 = х, представим In (1 + х) в виде степенного ряда*. 1п(1 4-x) = x + 1/2x8+1/dx8-|-... при|х|<1. (5.58) Из табл. 5.2 следует, что при п> 1 в пределах полосы пропускания ДсопТ! величина а>тх значительно меньше единицы, а х = (©т,)8 1. Так, уже при п = 3, х С 0,518 « 0,25 и второй член в разложении (5.58), т. е. х/2х8, не превышает « 0,03. Можно поэтому ограничиться лишь первым членом в разложении (5.58): in (1 + х) « х— (wtJ2. При этом (5.57) переходит в •4-<вГС1)’ и модуль передаточной функции будет Кп(®)= КГтахе-^^2. (5.59) Итак, с увеличением п форма АЧХ приближается к колоколообразной. Это свойство многокаскадного усилителя, составленного из идентичных, вза- имно независимых каскадов, часто используется для построения фильтров с колоколообразной АЧХ (гауссовских фильтров). Вопрос об усилении сиг- Таблица 5.2 п 1 2 3 4 5 6 Д(оп^1 1 0,644 0,510 0,435 0,386 0,336 155
нала является при этом второстепенным, ос- новное значение имеет увеличение крутизны скатов АЧХ, а также скорости убывания «хвостов» АЧХ (см. §2.12). При со = l/Vn-q последнее выражение приводит к соотношению Кп(®)= К" max е~‘/2. Следовательно, величину Дсоо = l/p^nTx мож- но трактовать как полосу пропускания гаус- совского фильтра, определяемую по ослаб- лению АЧХ до е~V2 = 0,606 от максималь- Рис. 5.12. Амплитудно- И фазо- НОГО значения Кд max- частотная характеристики ше- Если задана полоса фильтра то по- стикаскадного усилителя лоса пропускания одного каскада должна быть AcOj = 1/Т1 = К" Д(00. Определим ФЧХ подобного фильтра. В общем случае ФЧХ определяет- ся формулой (5.53). Учитывая, однако, что (OTj << 1 [см. рассуждения, при- водящие к формуле (5.59)], можно исходить из упрощенного выражения <рп (<в) « —nCOTj. (5.60) Таким образом, окончательно передаточная функция л-каскадного усилителя-фильтра (при п > 1) Kn (<®) « Ki max e-“’/24>3 е in<aT‘ (5.61) [множитель (—1)л опущен]. Амплитудно- и фазо-частотная характеристики шест и каскадного усилителя изображены на рис. 5.12. АЧХ одного каскада, а также шести- каскадного усилителя, вычисленные по точным формулам (5.4б) и (5.49), показаны штриховой линией. Последняя получается возведением в шестую степень характеристики одиночного каскада. Характеристика соответствую- щего гауссовского фильтра, вычисленная по приближенной формуле (5.59), по- казана сплошной линией. 5.6. РЕЗОНАНСНЫЙ УСИЛИТЕЛЬ Схема простого резонансного усилителя на транзисторе с ОЭ (рис. 5.13, а) отличается от апериодического усилителя только цепью нагрузки. В данном случае нагрузкой является резистор /?ш, шунтирующий параллельный коле- бательный контур L С. Как правило, потерями мощности в катушки индук- тивности L и конденсаторе С можно пренебречь по сравнению с мощностью, выделяемой в резисторе /?ш. При этом условии полная проводимость нагруз- ки (между зажимами 1—2) GH — 6Ш + + 1 /icoL. Приведем основные параметры контура LC с шунтом /?щ: резонансная частота сор = 1/J/LC; ___ характеристическое сопротивление р = У'-L/C = copL = 1/сорС; затухание ак — 1/2/?^^; постоянная времени тк = 2/?шС = 1/ак; добротность Q= = = Лр_. р 1/®р С 2 2ак 156
Рис. 5.13. Резонансный усилитель (а) и схема замещения коллекторной цепи (б) Исходя из схемы замещения усилителя (рис. 5.13, б) и основываясь на формуле (5.27') (с заменой h22 на GO, определяем передаточную функцию усилителя S __________S_________________________________________ _ jS Gf -р Од Gi -р “h -J- 1 HaL С Z(0 (Gi -f-бщ) C /co 4-(Zco)a+ L\j (5.62) Слагаемое (G,- + G^IC = 1/7?экС = 2аэк в знаменателе выражения (5.62) учитывает шунтирующее влияние активного элемента на затухание контура. С учетом приведенных выше обозначений параметров контура переда- точная функция (5.62) приводится к виду Ke(iw)= — — .. >2IO,(0; . — (5.63) 7 С 0«)4-|-2a8KZ<o + <о’ ИЛИ <5-64) Для высокодобротных контуров основным параметром является зна- чение передаточной функции усилителя на частотах, близких к резонансной частоте сор. В этом случае выражение (5.63) можно привести к виду К (ico) « - !-------------!--------= - /<тах --------!------,(5.65) С 2а8к . , . 2(а>—<ор) „ 1-Н(<о-Шр)т8к 1+* ---------<2эк (Ор где Ктах = S/(Gi + Gm) — максимальное усиление (на частоте о).= (ор); тэк — постоянная времени контура с учетом влияния внутренней проводи- мости активного элемента G,. Величину а8К* Qait «(со- Ор) т9к (5.66) (Ор часто называют обобщенной расстройкой контура. Итак, выражение (5.65) можно записать в фэрме К (io)«-------^х-- е~ 'arctfr = — К (а8К) е“,’4’ (а»к) (5.65') /1+<& 157
Рис. 5.14. Амплитудно- и фазо-ча- стотная характеристики одноконтур- ного резонансного усилителя Характеристики К (аэк) и (аэк) резонансного усилителя представлены на рис. 5.14. Относительная полоса пропускания резонансного усилителя, определяемая по ослаблению амплитуды на границах полосы до 1/]/2 от максимального уров- ня (при аэк = 0) и выраженная через обобщенную расстройку аэк, равна 2 (см. рис. 5.14). Для перехода от безраз- мерной относительной полосы пропуска- ния 2 к размерной полосе 2Дсоо .поло- жим в (5.66) |аэк| = 1, а |Д(о| = Д(оо. Тогда 2Д<оо =g)q/Q3K, гДе Фэк» как это следует из (5.66), доб- ротность нагруженного контура. В заключение приведем упрощенное выражение для импульсной характери- стики резонансного усилителя g(i)«(—S/C)e~</T3KCOS<opt (5.67) Сопоставление выражений (5.65) и (5.43) указывает на то, что переда- точную функцию резонансного усилителя можно получить посредством сдвига передаточной функции соответствующего апериодического усилите- ля на оси частот на величину сор. Следует лишь постоянную времени тх = = CqI(Gi 4 G) приравнять величине тэк. Все сказанное можно распространить также и на каскадное соединение идентичных резонансных усилителей. Приведенная формула (5.61) позволяет сразу написать аналогичное выражение для передаточной функции резо- нансного n-каскадного усилителя (фильтра) К„ (to) = К" тах е-е“‘" ч (5.68) где Д(оол =• 1/|Литвк = Д(о0 У п, а Д<оо — полуширина полосы одного кас- када. 5.7. ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ В АКТИВНОМ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКЕ При анализе линейных усилителей в § 5.2—5.6 на базе матриц пара- метров эквивалентных четырехполюсников основное внимание уделялось параметрам У21, Z21, H2lt поскольку именно эти параметры определяют уси- лительную способность активного четырехполюсника. В реальных, не пол- ностью однонаправленных активных четырехполюсниках приходится счи- таться с воздействием выходного колебания на вход усилителя. Пусть в рабочем режиме усилителя напряжение и ток на выходе будут Е2 и 12. Рассматривая эти величины как результат внешнего воздействия со стороны выхода, можно определить 1[ и Ег на входе с помощью схемы заме- щения (рис. 5.15). На этой схеме зажимы 1—Г, к которым подключен вход- ной источник сигнала, условно замкнуты накоротко, а под напряжением, действующим на зажимах 2—2', подразумевается Е[ = —Zt IJ, т. е. паде- 158
(5 69) ние напряжения на внутреннем сопротивлении источника Zf, создаваемое током I j. Уравнения (5.4) при обозначениях рис. 5.15 записываются в форме Ei — —Zj li = ZnIJ 4- Z12 I2, E2 = Z21 lj 4- Z22 I2, откуда нетрудно по- лучить соотношение El _ 2 £/ — Z E2 Z11 Z22.*~-Z12 Z21 4_^22 AZ4~Z22Zj Напряжение Ei часто называют напряжением обратной реакции или напряжением обратной связи. Элементом обратной связи является Z12. При представлении эквивалентной схемы четырехполюсника с помощью Y или //-матрицы элементами обратной связи являются соответственно пара- метры У12 и //12. Рассмотренную обратную связь, обусловленную физическими пара- метрами усилительного прибора, можно назвать внутренней обратной свя- зью. Как правило, она приводит к нежелательным явлениям — зависимости параметров входной цепи усилителя от элементов нагрузки, к опасности на- рушения устойчивости при некоторых условиях и т. д. Рассмотрим основные понятия, касающиеся применения в усилителях внешней обратной связи. Наиболее простым способом ее осуществления яв- ляется соединение выхода усилителя со входом при помощи двухполюсника (рис. 5.16). При соединении выхода со входом с помощью двухполюсника обратной связи Уос по схеме на рис. 5.16, а основной четырехполюсник це- лесообразно описывать с помощью У-матрицы. Учитывая очевидное равен- ство li = li — Уос (Е2 — Ei), а также соотношения между If, I2 и Еь Е2 в виде уравнений (5.1), приходим к новой системе уравнений к - (Г21 - Уос) Ех + (Гя 4- Уос) Е2. Таким образом, четырехполюснику с обратной связью по схеме на рис. 5.16, а соответствует матрица проводимостей (5.70) 1И' (5.71) ос ‘ 12 1 ОС ое ^22 + ^4’ из которой следует, что подключение двухполюсника УОс изменяет все эле- менты матрицы, в том числе и элемент обратной связи (У12 — Уос вместо Аналогично можно показать, что включение двухполюсника Zoc по схеме на рис. 5.16,6 приводит к матрице 1Z]' = [Z11 + Z| ос ^12 4" %ос ОС ^22 “Ь ^ОС (5.72) как в усилителях Рис. 5.15. К учету обратной реакции в усилителе В схеме на рис. 5.16, а дополнительный ток, поступающий с выхода на вход по цепи обратной связи, равен (Ег — Ei) Voc; так обычно Е2 > Еь то этот ток приближен- но равен Е2 Уос, т. е. пропорционален выходному напряжению. Поэтому схему на рис. 5.16, а можно называть схемой с обратной связью по напряжению. В схеме на рис. 5.16, б, в которой напря- жение обратной связи пропорциональ- но выходному току, осуществляется обратная связь по току. Можно, оче- 159
Рис. 5.16. Схема усилителей с обратной связью: а) по напряжению; б) по ток^ видно, осуществить комбинированную обратную связь — по напряжению и по току одновременно. Различают два вида обратной связи: отрицательную и по- ложительную. Если введение обратной связи увеличивает коэффи- циент усиления цепи в какой-либо области частот, то обратная связь для этих частот положительна, в противном случае — отрицательна. Поясним применение выражений (5.70), (5.71) для схемы транзистор- ного усилителя с ОЭ при Уос = 1//?Ос (Рис- 5.17). Основываясь на формуле (5.17), в которой У21 заменяем величиной У21 — Уос, a YM — величиной YM 4- Уос [см. (5.71)1, определяем коэффи- циент усиления напряжения Ке--------Га1~Гос . (Гм+Гос) + Си (5.73) Проводимости У21 и У22 — вещественные и положительные величины. То же самое относится и к Уос = 1/7?со, GH = !//?„• Очевидно, что вычита- ние из числителя и добавление к знаменателю дроби в (5.73) Уос приводит к уменьшению коэффициента усиления (по модулю), т. е. в рассматриваемом случае обратная связь отрицательна. Это объясняется противофазностью выходного и входного напряжений в резистивной схеме с ОЭ (см. § 5.4). Ток через ₽ос « Еа/7?ос = — 12/?ж/Яос» направленный с выхода на вход, уменьшает ток 1б и, следовательно, Е2. Можно показать, что аналогичное подключение двухполюсника Гос = = 1//?ос к усилителю, работающему по схеме с ОБ, когда напряжения Е2 и Ei совпадают по фазе, приводит к положительной обратной связи. На рис. 5.18 изображена структурная схема усилителя с внешней об- ратной связью по напряжению, осуществляемой с помощью вспомогатель- ного четырехполюсника Кос (йо). Рис. 5.17. Пример схемы заме- щения усилителя с ОЭ с внеш- ней обратной связью 160
Как усилитель Ку О’ю), так и четырех- полюсник Кос 0 ю) предполагаются полностью однонаправленными. Подобное представление имеет смысл в тех случаях, когда входное со- противление четырехполюсника Кос (^Доста- точно велико, чтобы не нагружать усилитель Ку (/<*>); выходное сопротивление четырехпо- люсника Кос (1(0) Должно быть достаточно ма- лым по сравнению с входным сопротивлением усилителя Ку 0’ю). При этих допущениях передаточную функцию системы Ko(M==U/E Рис. 5.18. Структурная схема усилителя с обратной связью (5-74) можно найти с помощью следующих очевидных соотношений. Напряжение на выходе четырехполюсника обратной связи Ьос-КосНи. (5.75) Напряжение на входе усилителя Ку Gw) равно сумме входной ЭДС Е и напряжения обратной связи Uoc. Следовательно, напряжение на выходе всей цепи U - Ку (ио) (Е -+ Uoc) - Ку (но) IE 4- Кос (^) UL Решая это уравнение относительно U, получаем у == Ку {((а)£ 1 — Ку О’ю) Кос (iu) откуда следует, что Ко (ко)=-Ь =-----. (5.76) Е 1-Ку (to) Кос (М Это выражение является основным для системы с обратной связью; Ко 0’<о) иногда называют общей пер^е даточной функцией, или п е р е д а т о ч н о й функцией замкнутой системы. Произведение же Ку (ш) Кос (1(0)> имеющее смысл передаточной функции каскадного соединения четырехполюсников Ку (*<о) и КОс 0е0)» называют передаточной функцией разомкнутой системы. При замене /со на р получаем передаточную функцию замкнутой цепи в операторной форме Ко (р) = Ку (р)/[ 1 -Ку (р) Кос (Р)Ь (5.77) Сопоставление Ко (i&) с Ку 0’<о) позволяет определить знак обратной связи в общем случае, когда эти функции являются комплексными. Если на какой-нибудь частоте имеет место неравенство /<0 (со) С /Су (со), т. е. если введение обратной связи приводит к уменьшению усиления, то обратная связь на данной частоте отрицательна, в противном случае — положитель- на. При Ку Koc(Z0)) = 1 усиление Ко 0’<о) становится бесконечно боль- шим. Это означает, что цепь становится неустойчивой и для исследования ее поведения необходимо использовать другие методы, так как выражения (5.74)—(5.76), относящиеся к стационарным режимам, теряют смысл. Случай неустойчивого состояния покоя (при изучении свойств автоко- лебательных систем) рассматривается в гл. 9. В данной главе изучаются только устойчивые цепи. Условия устойчивости будут сформулированы в § 5.9 после изложения основ теории устойчивости линейных цепей с обрат- ной связью. 6 Зак. 1326 161
5.8. ПРИМЕНЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК УСИЛИТЕЛЯ Рассмотрим влияние обратной связи на следующие параметры усилите- ля: стабильность коэффициента усиления; уровень нелинейных искажёний сигнала, обусловленных кривизной вольт-амперной характеристики усилительных приборов; равномерность частотной характеристики в заданной полосе частот. 1. ВЛИЯНИЕ ОС НА СТАБИЛЬНОСТЬ УСИЛЕНИЯ Пусть в линейной цепи, находящейся под действием гармонической ЭДС и охваченной обратной связью, произошло изменение какого-либо пара- метра: модуля или аргумента коэффициентов усиления Ку (*<*>) или Кос 0 ю)- Причинами этого изменения могут быть непостоянство напряжений источ- ников питания усилителя, изменение температуры окружающей среды, ме- ханические вибрации, приводящие к изменению электрических параметров устройства и т. д. Выясним, как влияет обратная связь на относительное изменение выходного сигнала. Сначала рассмотрим случай, когда нестабиль- ность имеется в цепи прямого усиления. Для упрощения анализа исходим из условия, что до изменения режима работы коэффициенты передачи Ку 0<о) и Кос 0ю) являлись чисто действительными величинам Ку и /<ос, так что коэффициент передачи замкнутой цепи определялся выражением К0 = Ку/(1 —КуКос). (5.78) Пусть обусловленное нестабильностью изменение заключается в том, что коэффициент Ку изменился на малую величину ДКу. В отсутствие обрат- ной связи это привело бы к относительному изменению амплитуды выходного напряжения равному Д/<у//<у (амплитуда ЭДС на входе считается не- изменной). Для определения относительного изменения амплитуды при наличии обратной связи продифференцируем выражение (5.78) по Ку: dKQ = 1 = Ку______________1_______1_ dKy (1-Ку Кос)2 (1-Ху Кос) (1-Ку Кос) Ху * откуда dKo_ _-----!----- dKy (5 79) Ко 1-КуК0С ' Из этого выражения видно, что относительное изменение выходного на- пряжения при наличии обратной связи (т. е. величина (IKqIKq) может силь- но отличаться от изменения, которое имело бы место в ее отсутствие. Если обратная связь отрицательна (КУКОС < 0), имеет место ослаб- ление нестабильности системы dKp 1 dXy Ко 1 + IXyKocl Ху * При положительной обратной связи нестабильность увеличивается', dKo 1 dKy "кГ~ i-iKyKoci кГ ‘ Отсюда следует, что для повышения стабильности усиления цепи целе- сообразно вводить отрицательную обратную связь. Это широко используют 162
в современной радиоэлектронике. Абсолютную величину |/<уКос | в зависи- мости от требований к стабильности системы доводят до 100 и более. При этом, естественно, в (1 + |/СуКос|) раз уменьшается и усиление цепи /Со. Это уменьшение может быть скомпенсировано увеличением Ку (например, уве- личением числа каскадов в кольце, охваченном обратной связью). Введем в рассмотрение нестабильность в цепи обратной связи. Для этого продифференцируем выражение (5.78) по /<ос: dK„ = Ку (~КУ) _ Ку к dKoc (1-Ку Кос)2 1-Ку Кос °’ откуда dKo #у/<ос dKoc Ко 1-Кос Кос ’ В случае отрицательной связи при |^КОС| > 1 dKp ~ dKoc Ко ~ Кос ’ Из этого соотношения видно, что влияние на Ко нестабильности в са- мой цепи КОс не ослабляется обратной связью: нестабильность замкнутой цепи с отрицательной обратной связью при |А7уА7Ос I 1 равна нестабиль- ности величины Кос- Следовательно, при применении отрицательной обратной связи осо- бое внимание следует обратить на повышение стабильности четырехполюс- ника Кос- Э™ требование распространяется как на модуль, так и на аргу- мент (т. е. на фазовую характеристику) передаточной функции цепи. В прак- тике выполнение этого требования облегчается тем, что основные дестабили- зирующие факторы имеются в прямом усилителе Ку, содержащем активные элементы и элементы нагрузки; четырехполюсник же /Сос, обычно представ- ляющий собой простую пассивную цепь, может быть сделан достаточно ста- бильным. 2. ОСЛАБЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ИСКАЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОС Выясним влияние отрицательной обратной связи на нелинейные иска- жения, которые возникают в основном усилителе из-за кривизны характе- ристик активных элементов. При гармоническом напряжении на входе эти искажения проявляются в виде высших гармонических составляющих уси- ливаемого сигнала. Допустим, что в отсутствие обратной связи, при пода- че на вход ЭДС Еъ на выходе усилителя амплитуда напряжения основной частоты равна U19 а амплитуда напряжения одной из гармоник Un. Усили- тель с искажениями можно представить в виде идеального линейного усили- теля, на входе которого действует «генератор гармоник» (рис. 5.19). При этом отношения Еп/Е1 и UtJUx одинаковы, так как коэффициент усиления Ку (<о) считается одинаковым как для основной частоты, так и для частоты п-й гармоники. Таким образом, амплитуда ЭДС эквивалентного генератора Еп должна быть равна UnlKy При введении отрицательной обратной связи для получения на выходе прежней амплитуды U1 входную ЭДС Ег необходимо увеличить в (1 4- |КуКОс I) раз, как это вытекает из формулы (5.78). Это отражено на рис. 5.20 введе- нием дополнительного усилителя с коэффициентом усиления (1 4* KyKocD- Следует, однако, иметь в виду, что напряжение основной частоты, действую- щее непосредственно на зажимах 3—3', остается таким же, как и в схеме без 6* 163
отрицательной обратной связи, представленной на рис. 5.19. Действитель- но, рассматриваемое напряжение является разностью между ЭДС £а = — Ei (1 + |КУКОС|), действующей на зажимах 2—2' (рис. 5.20), и напря- жением обратной связи |Х0С| иъ т. е. Е3 = Еа-К0С Ui = Е, (1 -I-1 Ку 11 Кос |)—| Кос I Ui- Но Ех |КТ| есть не что иное, как С/у (см. рис. 5.19). Следовательно, Ез ~Et + Е, | Ку | |К0С | — | Кос I U, ^Еу. Напряжение же n-й гармоники на входе усилителя с учетом напряжения обратной связи — UnKOfs будет равно разности Еп — |КОС I t/n, а на выхо- де усилителя l/n~|Ky|(En-|Кос1 Un), откуда Un~\Ky\Enl(\+\КУКО<.\). Таким образом, отношение Un I у I Еп Еп 1/, ~ (1 + 1 Ху KocDIKy I £1 1'hlXyKocl получаемся в (1 4- |КУКОСI) раз меньшим, чем в отсутствие обратной связи. Правда, это улучшение достигается ценой увеличения в (1 + |КУКОС I) раз напряжения, подводимого к зажимам 2—2' (рис. 5.20). Относительное ослабление напряжения высших гармоник можно по- яснить еще и следующим образом: введение отрицательной обратной связи приводит к уменьшению усиления в (1 + 1К-уКос I) раз в одинаковой мере для полезного сигнала и для гармоник, однако это уменьшение усиления компенсируется только лишь для полезного сигнала. В предварительном маломощном усилителе нетрудно обеспечить линейный режим работы. Проведенное выше рассуждение может быть распространено на все гар- моники усиливаемого напряжения. Применение отрицательной обратной связи позволяет помимо ослабле- ния нелинейных искажений понизить при некоторых условиях и уровень фона, создаваемого пульсацией питающих напряжений. Итак, все побочные колебания, возникающие в самом усилителе из-за нелинейности характеристик усилительных приборов и из-за несовер- шенства источников питания, ослабляются отрицательной обратной связью в (1 + IKyKocI) раз. Если усилитель состоит из нескольких каскадов, стремятся охватить обратной связью весь усилитель в целом, как это показано, например, на рис. 5.21. При этом, однако, усложняется обеспечение устойчивости усили- Рис. 5.19. Учет нелинейных ис- кажений в усилителе с помо- щью эквивалентного генерато- ра гармоник 164 Рис. 5.20. К объяснению эффекта снижения уровня побочных гармоник в усилителе с от- рицательной обратной связью
Рис. 5.21. Многокаскад- ный усилитель с отрица- тельной обратной связью теля из-за возрастания суммарного фазового сдвига в кольце, особенно при наличии трансформаторов, обладающих индуктивностью рассеяния. В тех случаях, когда удается построить многокаскадный усилитель без трансформаторов, а также при небольших паразитных емкостях можно реа- лизовать схему изображенную на рис. 5.21. Такие условия встречаются, например, в транзисторных усилителях звуковых частот. 3. ВЛИЯНИЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ НА АЧХ Рассмотрим в заключение влияние отрицательной обратной связи на АЧХ усилителя. Непосредственно из выражения (5.76) следует, что при |Ку(ш)Кос (/<0)1 » 1 К0(<»)«1/Кос(®). (5.81) Если в заданной полосе частот обеспечивается постоянство Кос(<л), то/Ко (<*>) — const. Таким образом, задача сводится к выравниванию АЧХ пассивного четырехполюсника обратной связи, что значительно легче, чем устранение неравномерности характеристики усилителя /Су (<о). В промежуточных случаях, когда Ку Кос измеряется несколькими еди- ницами, предельное соотношение (5.81) не достигается, однако характери- стика Ко (<о) становится значительно равномернее, чем Ку (о). Это иллюстри- руется рис. 5.22. На рис. 5.22, а штриховой линией воспроизведена АЧХ апериодическо- го усилителя, рассмотренного в §5.4 (см. рис. 5.10). При введении отри- цательной обратной связи с вещественным коэффициентом Кос передаточная функция усилителя в соответствии с (5.76) и (5.44) будет Ко (iw) =---=------------------------Кум*--------------- (5.82) 1-КосКу(ко) (1 + 1 Кос Ку шах |) + «oC0/Gz + G) ’ а модуль, т. е. АЧХ, К _____ Ку max_____________ V( 1 +1 Кос Ку max /)2 + [С0/(О( + G)]2 (показана на рис. 5.22, а сплошной линией). Характеристика построена при следующих данных: Ку max == 50, |КОс| = 0,05. Таким образом, "|/(1+2,5)2+[<вС0/(О; + G)]2 Как и следовало ожидать, кривая Ко (®) расположена ниже, чем Ку (<о) (на всех частотах). Это является результатом подачи напряжения с выхода усилителя на его вход в противофазе с входным напряжением. На частотах, близких к нулю, гг_________Ку max_________50 _ 1 rr 1+IKocKymaxl ‘ 1+2,5 3,5 /<УтаХ’ T. e. усиление уменьшается в 3,5 раза. 165
Однако характеристика Ко (со) значительно равномернее, чем Ку (со). Это видно из нормированной частотной характеристики Ко (^Мотах (см. рис. 5.22, а, штрихпунктирная линия). Итак, введение отрицательной обратной связи для стабилизации коэффициента усиления и ослабления нелинейных искажений одновременно выравнивает АЧХ усилителя. Заметим, что требуемую полосу пропускания можно получить и без отрицательной обратной связи, соответствующим образом уменьшая сопро- тивление нагрузки /?. Однако при этом остальные параметры усилителя — стабильность и нелинейность усиления — были бы ухудшены. Соответственно характеристике Ко 0е0) изменяется и импульсная ха- рактеристика усилителя. Действительно, записав выражение (5.82) в форме, совпадающей с (5.43): ____Ку max____ Ку max_____ Ко (l(o) ~__________* Кос Ку max I_____ ________1 + 1 Кос Кутах I . i(oCo 1 1 -|- /сотэк 6/ + G 1+1 Кос Ку maxi видим, что обратная связь приводит к изменению эквивалентной постоянной времени: вместо CQl(Gt + G) получаем q- __________!_______—___________I________ G$ + G 1 + 1 Кос Ку max I 1+1 Кос Ку max I При [ Kqc Ку max 2,5 __ 1 Со _ Т T8R 3,5 G. + G 3,5 ‘ Заметим, что максимальное значение усиления (при ы = 0) уменьша- ется в такое же число раз. Таким образом, если в отсутствие обратной свя- зи импульсная характеристика рассматриваемого усилителя запишется в виде R (t) -----ехр Г— * C0/(Gf + G) F[ Co J’ то при введении отрицательной обратной связи Ку max Г (1 + 1 Кос Ку max I) Co/(Gf + G) Р[ C0/(Gf + G) Нормированная импульсная характеристика g0 (t) при нескольких значениях параметра |/Сос/Су maxi изображена на рис. 5.22, б. Рис. 5.22. Амплитудно-частотная (а) и импульсные (б) характеристики усилителя с от- рицательной рбратной связью 166
Как и следовало ожидать, введение отрицательной обратной связи (Кос Кутах< 0), расширяющее полосу пропускания цепи, приводит,к бо- лее быстрому убыванию импульсной характеристики. При положительной обратной связи (/Сос/<утах > 0) убывание g0 (0 замедляется. Штриховой линией на рис. 5.22, б показана импульсная характеристика при Кос х X Кушах > 1, соответствующая неустойчивому режиму (см. §5.9). 5.9. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ. алгебраический критерии устойчивости В реальной цепи, охваченной обратной связью, всегда имеются реактив- ные элементы, накапливающие энергию. Даже в усилителе на резисторах имеются такие элементы (паразитные емкости схемы и усилительных при- боров, индуктивности проводов и т. д.). Реактивные элементы создают до- полнительные фазовые сдвиги. Если на какой-либо частоте эти сдвиги дают в сумме дополнительный угол в 180°, то обратная связь из отрицательной превращается в положительную и создаются условия, при которых возни- кает паразитная генерация. Это обстоятельство во многих случаях существенно ограничивает эф- фективность применения обратной связи, так как при больших значениях |КуК00| для устранения паразитной генерации требуются специальные фа- зокомпенсаторы и другие устройства, уменьшающие крутизну ФЧХ в кольце обратной связи. Однако часто оказывается, что введение в схему новых эле- ментов приводит лишь к сдвигу частоты паразитной генерации в область очень низких или очень высоких частот. Итак, применение обратной связи тесно связано с проблемой обеспече- ния устойчивости цепи. Для правильного построения цепи и выбора ее параметров большое зна- чение приобретают методы определения устойчивости цепи. В настоящее вре- мя известно несколько критериев, различающихся больше по форме, неже- ли по существу. В основе большинства этих критериев лежит критерий устой- чивости решений дифференциального уравнения, описывающего исследуе- мую цепь. Пусть линейное однородное уравнение для цепи с сосредоточенными (и постоянными) параметрами задано в форме Ьо — + -уг + Ьп х = 0. (5.83) dtn dtn~l dtn~2 dt где x — ток, напряжение и т. д., а постоянные коэффициенты b0, blt b2, ... ..., Ьп — действительные числа, зависящие от параметров цепи. Решение уравнения (5.83), как известно, имеет вид х= 2 л/е₽г<> 1=1 где А} — постоянные, a pt — корни характеристического уравнения bQpn + b1pn~x + МЛ~2 + ... +&П-1Р4- Ьп^0. (5.84) Условие устойчивости состояния покоя цепи заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в ис- ходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при на- рушении состояния покоя свободные (переходные) токи и напряжения были затухающими. А это, в свою очередь, означает, что корни plf р2> Рп Урав- 167
Рис. 5.23. К примеру опреде- ления устойчивости усилителя с обратной связью нения (5.84) должны быть либо отрицательны- ми действительными величинами либо ком- плексными величинами с отрицательными действительными частями. Из этих простых физических представлений вытекает следую- щий фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем1: система устой- чива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицатель- ны. Заметим, что левая часть характеристи- ческого уравнения (5.84) представляет собой не что иное, как знамена- тель передаточной функции цепи, записанной в форме (5.85) e qoPn~l-QiPn 1 ~Ь • ♦ •+^n--i р4~^п fro PW + ^1 рт~~ 1 + • • • +^тп-1 Р + ^т Таким образом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсами передаточной функции К(р) этой цепи. Отсюда следует, что сформулированные выше условия отрицательности действительных частей корней равносильны следующему положению: для устойчивости цепи необходимо, чтобы передаточная функция К(р) не имела полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной р. Это хорошо известное из теории цепей положение можно распростра- нить и на передаточную функцию Ко (р) Цепи с обратной связью. Поясним это на примере резонансного усилителя с обратной связью (рис. 5.23). Передаточную функцию (по напряжению) усилителя определим по формуле (5.70): Р _3 КУ(Р)-- с рг+2а9кр + (02 ’ а передаточную функцию цепи обратной связи Кос (Р) приравняем ±^М1Ь, где М — в заимная индуктивность. Тогда передаточная функция усилителя, охваченного обратной связью, к /м = Ку(р) _____________S______________р____________ 1+Ку(р)Кос С р2 + (2аэк + Кос5/С)р+®2 • Находим корни уравнения р2 + (2аэк + Кос S/С) р + сор = 0 — ^°с । • Pi,2---аэк— , KocS V аЭк+ 2С I Рассмотрим два возможных случая: отрицательной и положительной обратной связи. Для создания отрицательной обратной связи произведение КуКос должно быть отрицательной величиной. Поскольку Ку (/со) при со = <ор, т. е. при резонансе, явля- ется отрицательной величиной, то коэффициент КОс Должен быть положительной ве- личиной: /Сос — -\-M/L. При этом действительные части обоих корней рг и р2 (Pi, а) — (®эк “F MS/2LC) отрицательны при любом значении М. При положительной обратной связи Кос = — МЩ ( MS \ / <0приМ$/2£С<аэк, \Р1,2/--аэк— oz I ] Л лло /fir \ 2LC / ( > 0 при MS/2LC > аэк. 1 Это фундаментальное положение было обосновано А. М. Ляпуновым, который в 90-х годах прошлого века заложил основы теории устойчивости. Рассматриваемый вопрос об устойчивости состояния покоя системы является частным случаем общей те- ории устойчивости Ляпунова. (5.86) 168
Итак, при отрицательной обратной связи рассматриваемая цепь устойчива при любом значении М, а при положительной обратной связи — только при выполнении условия К 1= -С ^аак =_ 1 = 1 °С L < S ~ ЗЯШ Хутах ’ где Хутах =» = S/Gm — коэффициент усиления на резонансной частоте [см. (5.65)]: В тех случаях, когда цепь описывается дифференциальным уравне- нием высокого порядка, исследование корней характеристического урав- нения, необходимое для решения вопроса об устойчивости системы, яв- ляется сложной задачей. Оказывается, что ее можно решить, анализируя соотношения между ко- эффициентами уравнения без определения самих корней уравнения. Это можно выполнить с помощью теоремы Гурвица1, которая утверждает, что для того, чтобы действительные части всех корней уравнения b0 хт + bi хт~1 4- Ь2 хт ~2 +... -|- bm-i х + Ьт = О с действительными коэффициентами и 60 > 0 были отрицательными, необ- ходимо и достаточно, чтобы были положительными все определители Д1( Д2, ..., Дт, составленные из коэффициентов уравнения Ьй, Ьи ..., bn по сле- дующей схеме: Д1 — bi, Д2 = Ь3 ь0 ь2 i Аз — О О <3- о н* О* О' О* м to to <3* S3* <3* to СЛ д4 = г> СР Ю «о Tjt ес (N 33 33 ‘CJ со м *-< © 1-t © зз о о . ^5 bi Ьз Ьъ 67 Ьо bo ^2 ь< Ьз Ьз 0 bl Ьз Ьъ ^7 и т. д. 0 ^0 Ьз Ь* Ьв 0 0 bi Ьз Ьъ Сформулированный алгебраический критерий устойчивости часто назы- вают критерием Рауса — Гурвица. При составлении опреде- лителей по указанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим сте- пень характеристического уравнения, заменяются нулями. Поэтому, например, для уравнения четвертой степени получаются сле- дующие определители: Д1 = 61, Д2= bl Ьз bQ ь2 Д3 b± Ь3 о bQ b2 Ь4 0 bi b3 bi b3 о 0 bo b2 b± 0 0 bi bn 0 0 b0 b2 b* Нетрудно видеть, что все последовательные определители являются главными диагональными минорами определителя Дт. Так как последний столбец определителя Дш содержит лишь один отличный от нуля элемент 6т, расположенный на главной диагонали, то выполняется равенство Ьт Дщ—1. 1 Доказательство этой теоремы см., например, в книге: Курош А. Г. Курс высшей алгебры. —М.: ГИФМЛ, 1972. 169
Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвица условия устой- чивости можно формулировать в виде следующих неравенств: Д1>0, Л2>0,..„ Дт_1>0, Ьт>0. Так, для характеристического уравнения второй степени Д1 = bi > 0, Ьг > 0, (5.87) для уравнения третьей степени Д4 = 6Х > О, &i Ь3 60 62 — 6Х 62 b3b3Z>0, ba о, (5.88) т. е. 6Х > 0, ЬгЬ2 > 6360, 63> 0. Так как 60, Ьг и 63 положительны, то и 62> 0. Для уравнения четвертой степени: 1.А1«&1>0, 2. Д2«61 62 — 63 60 > 0, 3. Д3 = 68(61 62 — 63 60)—61 6*>0, 4. 64>0. Из условия 3 на основании условий 4 и 1 вытекает неравенство 63 (61 62 — 60 63) > 61 64 > 0. Поэтому условие 3 можно заменить условием 68> 0. Таким образом, для уравнения четвертой степени получаются следующие условия устойчивости: 61 > 0, 63>0, 63(6i62 — 6063) — 61 64>0, 64>0. (5.89) Поясним применение критерия Гауса—Гурвица на простом примере рассмотренного резонансного усилителя с обратной связью (см. рис. 5.23). Характеристическое уравнение этой цели при Кос = MIL (отрицательная обратная связь) Р2 + (2ак + ' Сформулированные для уравнения второй степени условия устойчиво- сти (5.87) в данном случае принимают вид Д1 = 61=2ак + ——>0, 62==w*>0. L С М S \ . 2 п ------1Р + <°р = 0. L С I Р Первое условие выполняется при любом значении М > 0, а второе от М не зависит. При положительной обратной связи (Кос = —MIL) цепь устойчива при выполнении условия 2ак — (MIL) (S/C) > 0, совпадающего с (5.86). Критерий Рауса—Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости цепи с заданными параметрами (т. е. коэффициентами дифференциального уравнения). Однако им неудобно пользоваться при экспериментах, так как обычно бывают известны не коэффициенты уравнения, а передаточная функ- ция разомкнутой цепи Ку(р) Кос (р)- Кроме того, критерий Рауса—Гурвица не дает ясных указаний, как неустойчивую цепь сделать устойчивой. 170
5.10. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Требование, чтобы передаточная функция Ко (Р) = Ку (/>)/[ 1 -Ку (?) Кос (Р)] (5.90) не имела полюсов в правой полуплоскости р — а + ш, т. е. в области, огра- ниченной полуокружностью бесконечно большого радиуса R и осью ш (рис. 5.24, а), равносильно условию, что знаменатель выражения (5.90), не должен иметь нулей в указанной области1 * или, что то же самое, функция Н (?) = Ку (?) Кос (?) (5-91) не должна обращаться в единицу ни в одной из точек правой полуплоскости р. Но Н(р) представляет собой передаточную функцию разомкнутого коль- ца обратной связи, т. е. отношение напряжения на зажимах 2—2 к напряже- нию на зажимах 1—1 при разомкнутом кольце, как это показано на рис. 5.25. Следовательно, об устойчивости системы с обратной связью можно судить по характеристикам разомкнутого тракта. Для дальнейшего анализа целесообразно перейти от плоскости р = а+ко к плоскости H(p)=u+iv (рис. 5.24, б). Каждой точке р пло- скости а, /<о соответствует определенное значение Н на плоскости и, iv. Пробой замкнутый контур на плоскости р преобразуется с помощью вы- ражения (5.91) в некоторый (также замкнутый) контур на плоскости Н. Если исходный контур на плоскости р задан в виде контура на рис. 5.24, а, соответствующий ему контур на плоскости Н называется годографом функции Н. Показанный на рис. 5.24, а контур С можно разбить на два участ- ка: 1) прямая /со от оо до — оо и 2) полуокружность бесконечно боль- шого радиуса R. На первом участке, где а=0, р = ко, функция Н(р) обращается в функцию Н (ко). В соответствии с выражением (5.91) этот участок пре- образуется на плоскости Н в линию, определяемую следующим соотно- шением: Н (т) = ку (ш) Коо (ico) = Ку И Кпс (®) е‘ (’у+’ос) s„(w) + iv (а>), (5.92) откуда «(®) = Ку (®) Аос (<о) COS (фу + фос) v (®) = Ку (®) /Сое (®) sin (фу + Фос). (5.93) я; б) Рис. 5.24. Замкнутый контур на р-плоскости (а) и годо- граф функции И (ico) на плоскости u+iv (б) передаточной функции разомкнутого тракта усилитель — четырехпо- люсник обратной связи 1 Предполагается, что основной усилитель устойчив, т. е. Ку (р) не имеет полю- сов в правой полуплоскости р. 171
В этих выражениях <ру и <рос — аргументы передаточных функций соответственно четырехполюсников Ку (но) и Кос(йо). На втором участке контура С (см. рис. 5.24, а) при R -> оо функция Н(р)-*0. Это вытекает из общего выражения (р) Q (Р Poi) (Р Роа)»»- (Р Роп) (Р Pni) (Р Рпз) • • • (Р пт) п^т, которое при |р| —> оо можно представить в виде Врп~т (здесь В—постоянный коэффициент, а рОг и Рт — соответственно нули и полюсы функции К (р)). Совершенно аналогично и функцию Н (р) при |р| ~>оо можно предста- вить в форме Н (р) = Арп~т где п и т — числа соответственно нулей и полюсов функции Н (р). При n<Z т и |р| ~>оо модуль функции Н (р) на полуокружности R ->оо равен нулю1. Таким образом, полуокружность бесконечно большого радиуса R на плоскости р преобразуется в точку, лежащую в начале коорди- нат на плоскости Н, и для построения годографа Н в виде замкнутого контура достаточно знать поведение Н (р) на оси ш, т. е. знать АЧХ и ФЧХ цепи Ку (Zco) Кос (ш). Обходу контура С на рис. 5.24, а в положительном направлении (против часовой стрелки) соответствует обход годографа Н при изменении частоты от оо до —оо, т. е. также против часовой стрелки (см. рис. 5.24, б). Очевидно, что вся правая полуплоскость р преобразуется на плоскости Н во внутреннюю область годографа. Следоват ельно, если годограф передаточ- ной функции разомкнутого тракта не охватывает точку /, iO, то при замк- нутой цепи обратной связи система устойчива, в противном случае система неустойчива. Это условие называется критерием устойчивости Най- квиста. Показанная на рис. 5.24, б диаграмма соответствует устойчивой системе. Это видно из того, что годограф Н не охватывает точку 1,/0. Сплошной ли- нией показана часть контура, соответствующая положительным частотам 0 < со < оо, а штриховой — часть контура, соответствующая отрицатель- ным частотам. Так как функция и (со) четная, a v (со) нечетная относительно со, то оба участка годографа симметричны относительно действительной оси. Следует также отметить, что рис. 5.24, б построен для случая, когда при <о = 0 передаточная функция Н (гео) отлична от нуля (это возможно, напри- мер, для усилителей постоянного тока, в которых отсутствуют разделитель- ные конденсаторы). При сложной схеме цепи форма годографа иногда бывает настолько усложненной, что по ней трудно судить о том, охватывается или не ох- ватывается годографом точка 1, /0. В подобных случаях оказывается полез- ным критерий, вытекающий из критерия Найквиста, основанный на подсче- те числа пересечений оси и (со) на участке 1, «?. Для устойчивости цепи не- обходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок (как на рис. 5.24, б), либо пересекал его в положительном и отрицательном направ- лениях одинаковое число раз. Критерий Найквиста получил наибольшее распространение в радиоэлек- тронике, автоматике и других смежных областях. Основное его преимуще- 1 Имеются в виду наиболее распространенные в практике четырехполюсники с пе- редаточной функцией у которой степень числителя п меньше степени знаменателя т- 172
ство: удобство оперирования АЧХ и фЦХ разомкнутой цепи. В некоторых системах, например содержащих линии, этот метод по существу является единственно приемлемым. Суть частотного критерия можно наглядно пояснить не прибегая к поляр- ным диаграммам, на основе обычных АЧХ и ФЧХ разомкнутой цепи КУКОС. Действительно, длина вектора Н (tco), как это ясно из выражения (5.92), есть не что иное, как модуль коэффициента передачи разомкнутой цепи КУКОС, т- е- АЧХ этой цепи, а аргумент <рн (рис. 5.26), равный Фн «= arctg =Фу (со) + ф00 (со), “(<о) (5.94) есть ФЧХ цепи /СуАос. Совместив на общем графике АЧХ и ФЧХ, нетрудно ответить на вопрос об устойчивости цепи. Если при изменении со от 0 до оо фаза фн не достигает 2л, то замкнутая цепь устойчива при любом значении КуКОс- С другой'стороны, если АХАОС при любой частоте меньше единицы, то цепь устойчива при любой ФЧХ. Цепь неустойчива если имеются частоты, при которых одновременно выпол- няются два условия: Фу4-фос«=п2л, п—целое число, Я = /(^ос>1. (5.95) По существу эти два условия необходимы для обращения в нуль знаме- нателя в выражении (5.76), определяющем передаточную функцию замк- нутой цепи. Пример АЧХ и ФЧХ устойчивой цепи с обратной связью показан на рис. 5.26, а неустойчивой — на рис. 5.27. В первом случае на частоте соо, соответствующей фу + фос = 2л, модуль Н •< 1. Во втором случае сог — частота паразитной генерации. На рис. 5.26 и 5.27 отложены абсолютные значения фу + фос. При учете знака реальных фу и фос наклон ФЧХ будет отрицательным. При построении этих характеристик учтено, что при со = 0 и со = оо ве- личина КуК0С обращается в нуль. При со -> О это обусловлено влиянием последовательно включенных конденсаторов в канале Ку или Аос, а при со -> оо — влиянием шунтирующих емкостей (межэлектродных, монтажа и т. д.). Полное изменение фазы при изменении со от 0 до оо зависит от числа звеньев в усилителе и в цепи обратной связи. Для более сложных цепей, когда набег фазы в тракте КуКос может быть больше 2л, приходится прибегать к критерию Найквиста. Рис. 5.26. Амплитудно- и фазо-частот- ная характеристики устойчивого усили- теля с обратной связью Рис. 5.27. Амплитудно- и фазо-частот- ная характеристики неустойчивого уси- лителя 173
Глава 6. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 6.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ В радиоэлектронике приходится иметь дело с различными сигналами и раз- нообразными (в основном инерционными) цепями. При передаче сигналов по таким цепям возникают переходные процессы, которые влияют на форму сиг- налов и в конечном счете на содержащуюся в них информацию. В гл. 1 от- мечалось, что большинство радиотехнических устройств представляет собой сочетание линейных и нелинейных элементов. Это усложняет строгий ана- лиз переходных процессов, так как классические методы, основанные на использовании принципа суперпозиции, являются линейными. Имеется, однако, широкий круг практических задач, которые можно ус- пешно решать линейными методами. Такие задачи встречаются прежде всего при передаче слабых сигналов через усилители и другие устройства, которые по отношению к слабым сигналам практически линейны. Даже в су- щественно нелинейных устройствах, например радипередатчиках, можно рассматривать прохождение сигналов через колебательные цепи на основе линейных методов. Напомним основные методы, которые используются при анализе про- хождения сигналов через радиоэлектронные цепи. Для простейших цепей, описываемых дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, задачу обычно нетрудно решить классическим ме- тодом дифференциальных уравнений. Для сложных цепей значительно удобнее методы, основанные на спект- ральном представлении сигнала: метод интеграла Фурье и тесно с ним свя- занный операторный метод (преобразования Лапласа). Наряду со спектраль- ными методами в радиоэлектронике часто используется также метод интег- рала наложения, сводящийся к свертке входного сигнала с импульсной характеристикой цепи. При передаче радиосигналов через узкополосные избирательные цепи указанные методы используются с упрощением, основанным на медленности изменения огибающей сигнала. В данной главе излагаются основные положения теории передачи детер- минированных сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами. 6.2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД В основе этого метода лежит использование введенной в предыдущей гла- ве передаточной функции цепи К (ico) (см. § 5.3). Если на входе линейного че- тырехполюсника действует сигнал произвольной формы в виде ЭДС е (t), то, применяя спектральный метод, следует определить спектральную плот- ность входного сигнала Е (со). Эта операция легко осуществляется с помощью выражения (2.48). Умножением Е (со) на К (tco) определяется спектральная плотность сигнала на выходе четырехполюсника. Наконец, применение к произведению Е (со) К (ico) обратного преобразования Фурье [см. (2.49)1 определяет выходной сигнал в виде функции времени. Таким образом, если входной сигнал записан в виде интеграла. оо e(/) = JL f E(co)e‘“zdco, (6.1) 2л J 174
то выходной сигнал можно представить в аналогичной форме Е(со)К(1со)е«йМсо. (6.2) Контур интеерированип Рис. 6.1. Контур интегрирова- ния при ОО Сравнение выражения (6.2) с (6.1) показы- вает, что сигнал на выходе линейной цепи мож- но получить суммированием составляющих спектра Е (со) входного сигнала, взятых с весом К (ico). Иными словами, передаточная функ- ция цепи К (ссо) является весовой функцией, определяющей относительный вклад различных составляющих спектра Е (со) в сигнал и (t). В § 2.14 отмечалось, что анализ переходных процессов значительно упро- щается при представлении как внешнего воздействия, так и передаточной функции в виде преобразований Лапласа. При этом обозначение передаточ- ной функции можно сохранить прежним, а изменить только аргумент, так что К (гео) перейдет в К (р). Функция же Е (со) переходит в Le (р) (см. § 2.14). Преобразование Лапласа от функции времени е (t) в дальнейшем обозна- чается символом Е (р). При этом выражение (6.2) приводится к виду (см. § 2.14) (6.3) с 4- 1°° f Ё(р)К(р)ерЧр. 2Л1 J с— (оо При t > 0 замкнутый контур интегрирования, образованный добавлением дуги бесконечно большого радиуса в левой полуплоскости (рис. 6.1), охва- тывает все полюсы подынтегральных функций какЕ (р), так и К (р), благо- даря чему имеет место соотношение «(0=-;r-(f)E(p)K(p)eP/dp = 2res, />0 ЛШ J (здесь 2res — сумма вычетов в указанных полюсах). При /<0 контур интегрирования лежит в правой полуплоскости, не содержит полюсов и интеграл равен нулю. Показанное на рис. 6.1 расположение полюсов функции Е (р) (на мни- мой оси) соответствует ЭДС вида е (t) = Ео cosco0£, существующей при (6.4) Итак вычисление интеграла (6.4) сводится к определению вычетов в по- люсах подынтегральной функции. Представим подынтегральную функцию выражения (6.4) в виде Ё (р) К (р) ер' = U (р) ер' = С (p)/D (р). (6.5) В данном случае знаменатель D (р) образуется произведением множите- лей вида (р — pni), где рш- — полюсы не только функции К (р), но и функ- ции Е (р). Тогда вычет функции С (p)/D (р), имеющей в точке рг простой полюс (первой кратности), определится формулой |р=₽г (6.6) resj 175
Если функция С (p)/D (р) имеет в точке pt полюс кратности k (k — целое положительное ч исло), то 1 dk~' Г С(р) , , Л ,с res;= ---------—- —^-(Р— pt)k (6.7) (k —1)1 dpk~1 [ D(P) Jp=pi Методика применения контурных интегралов для определения некото- рых функций, играющих большую роль в теории переходных процессов, будет в дальнейшем пояснена на примерах. 6.3. МЕТОД ИНТЕГРАЛА НАЛОЖЕНИЯ Вместо разложения сложного сигнала на гармонические составляю- щие (спектральный метод) можно воспользоваться разбиением сигнала на достаточно короткие импульсы (рис. 6.2, а). Если в основе спектрального метода лежит передаточная функция цепи К (1®), то метод интеграла наложения базируется на импульсной характери- стике цепи g (/), введенной в § 5.3. Пусть требуется найти сигнал sBbIX (t) на выходе цепи, если задан сиг- нал s (0 на входе цепи и известна ее импульсная характеристика g (t). Для уяснения сути метода интеграла наложения поступим следующим образом. Разобьем произвольный сигнал s (х) на элементарные импульсы, как это по- казано на рис. 6.2, а, и найдем отклик цепи в момент t на элементарный им- пульс (на рис. 6.2, а заштрихован), действующий на входе в момент х. Если бы площадь этого импульса равнялась единице, то импульс можно было бы рассматривать как дельта-функцию, возникшую в момент х. При импульс- ной характеристике цепи g (х) отклик в момент t был бы, очевидно, равен g (t — х). Поскольку, однако, заштрихованная на рис. 6.2, а площадь им- пульса равна s (х) Ах (а не единице), отклик в момент t будет s (х) Дх g (t — — х). Для определения полного значения выходного сигнала в момент t нужно просуммировать действие всех импульсов в промежутке от х = 0 до х = t. При Дх -> 0 суммирование сводится к интегрированию. Следовательно, t «вых (0 = j S (х) g (t — х) dx. (6.8) о В общем случае, если начало сигнала s (х) не совпадет с началом отсчета времени х, последнее выражение можно записать в форме t $вых (О = j s W S x) dx. Рис. 6.2. Разбиение сигнала на короткие импульсы (а) и свертка сигнала с импульсной характеристикой (б) 176
Для реальных цепей всегда выполняется условие g (t — х) = 0 при /< х, (6.10) т. е. при отрицательном аргументе функция g (t — х) должна обращаться в нуль, так как отклик не может опережать воздействие. Поэтому выражение (6.8) можно заменить выражением $вых (0 — J 5 (х) g {t х) dx (6.11) — оо (при этом имеется в виду, что для х> t подынтегральное выражение обра- щается в нуль). Приведем, наконец, еще одну форму записи, которая получается из выра- жения (6.8) при замене х на t — и: t t »вых(0= р(/—X)g(x)dx =J s(u) g(t—u)du. (6.12) b 6 Интеграл, стоящий в правой части выражения (6.8), в математике называет- ся сверткой функций s (/) и g (t) (см. § 2.7). Таким образом, приходим к сле- дующему важному положению: сигнал sBbIX (/) на выходе линейной цепи является сверткой входного сигнала s (t) с импульсной характеристикой цепи g (/). Из выражения (6.8) видно, что сигнал на выходе цепи $вых (t) в момент t получается суммированием мгновенных значений входного сигнала s (/), взятых с весом g (t— х) за все предыдущее время. В § 6.2 при суммировании спектра входного сигнала весовой функцией являлась передаточная функция цепи К О'®). В данном случае при суммиро- вании мгновенных значений входного сигнала s(f) весовой функцией являет- ся импульсная характеристика цепи, взятая с аргументом (/ — х), т. е. функция g (t — х). Из рис. 6.2, б, построенного для момента времени т8, видно, что от- клик цепи на воздействие s (х) не может закончиться раньше, чем функция g (t — х) сместится вправо от s (х) на время, равное длительности импульс- ной характеристики xg. Иными словами, сигнал на выходе цепи не может быть короче + Tg. Для того чтобы при прохождении через цепь сигнал не удлинялся, тре- буется выполнение условия xg -»> 0, т. е. импульсная характеристика цепи должна приближаться к дельта-функции, а это равносильно требованию рав- номерности передаточной функции К (ico) при 0 <Z | <о | < оо. В § 6.4, 6.5 рассматривается прохождение некоторых управляющих сиг- налов через апериодические цепи. Все остальное содержание главы посвя- щено анализу передачи радиосигналов через узкополосные цепи. 6.4. ПРОХОЖДЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ АПЕРИОДИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ Диск ретные сигналы обычно представляют собой последовательности импульсов. При передаче таких последовательностей через инерционные це- пи форма импульсов претерпевает изменения, что приводит к частичной или полной потере передаваемой информации. В связи с этим одной из наиболее Типичных задач является анализ искажения формы импульсов. Из всего многообразия импульсов наибольший интерес для анализа представляет прямоугольный импульс. Это обусловлено простотой его 177
формирования, а также широким применением в системах с двоичным кодом и во многих других радиотехнических устройствах. При этом основное вни- мание обычно уделяется передаче фронта и среза импульса. Этот вопрос осо- бенно важен, когда передаваемая или извлекаемая информация содержится в положении переднего (или заднего) перепада импульсов на оси времени (например, в некоторых радиолокационных системах). Рассмотрим прохождение прямоугольного импульса через однокаскад- ный резистивный усилитель, изученный в § 5.4 и дополненный на выходе разделительной цепью АРСР (рис. 6.3, а). Назначение этой цепи — защита транзистора от постоянного напряжения, имеющегося в устройстве форми- рования входного сигнала. При гармоническом возбуждении на частоте со и амплитуде входной ЭДС Ег напряжение на входе транзистора (в предположении, что Яр значительно меньше входного сопротивления база—эмиттер) их = —— = Е1 —Rp Ср = Е, Ко («о), Rp-H/iwCp l+zroRpCp Р где КР 0’®) = fcoTp/(l + tcoTp) — передаточная функция разделительной цепи; тр = ЯРСР — постоянная времени этой цепи. Схема замещения коллекторной цепи усилителя представлена на рис. 6.3, б. От схемы на рис. 5.10, а она отличается тем, что напряжение Et заменено напряжением Ux = Ех КР (*<о). Передаточная функция Ki (/<о) однокаскадного резистивного усилителя определяется формулой (5.43), а рассматриваемого устройства в целом — выражением к (to) - А. = Кр (ico) к, (to) = - Али*-, Е2 Ux El F 1+^oTp H-to)Tx где Тх = RC0- График К(<о), вычисленный по формуле ЮТр (6.13) К (co) — /Q max при Tp/Tj == 100 представлен на рис. 6.4. В операторной форме передаточная функция: РТр К (/?) «= Ах max . (1 + РТр) (1 d-pTj) Пусть в момент t = 0 на вход усилителя подается прямоугольный им- пульс ЭДС е (t) с амплитудой Е и длительностью Т (рис. 6.5, а). В интервале времени от t = 0 до t = Т напряжение на выходе усилителя можно рассмат- ривать как результат включения при t = 0 постоянной ЭДС (/) ~ Е. а) Рис. 6^3. Транзисторный усилитель с разделительной ^С-цепью на входе (а) и схема замещения выходной цепи (б) R 178
Рис. 6.4. Амплитудно-частотная характеристика усилителя, представленного на рис. 6.3, а В момент t == Т включается дополнитель- ная ЭДС е2 (/) = —Е, компенсирующая первую (рис. 6.5, б). Суперпозиция вы- ходных напряжений (?) и и2 (/), обус- ловленных действием ех (t) и е2 (/), образует импульс на выходе усилителя. Таким об- разом, задачу можно свести к рассмотре- нию переходного процесса в усилителе при включении на входе постоянной ЭДС. Изображение по Лапласу для е± (/)= Е, / > 0, в соответствии с (2.102) будет ао Е(р)=^’ ej(/)e~pZ dp ~Е/р. b Тогда по формуле (6.3) выходное на- пряжение С f-loo f — £К(р)е₽Мр = 2л/ J р С — 1<х> __ is Е— С _______________е _________ 1таХ 2л/ J (l+pTpJtl + pT.) с — Полюсы подынтегральной функции: р,= —1/Тр, р.г = — 1/т,, Т,«ТР. Рис. 6.5. Искажение формы им- пульса в резистивном усилителе: а) импульс на входе; б) представление импульса в виде суммы двух скачков; в) деформация скачков на выходе; г) результирующий импульс на выхо- де; д) импульс на выходе усилителя при устранении разделительной цепи Вычислив вычеты по формуле (6.6), приходим к следующему результату: их (/) = - /<п,ах Е (е - t/TP -е-'/ь). (6.14) Графики (/) и и2 (0 = — (/— Т) изображены на рис. 6.5, в, а ре- зультирующее напряжение на выходе усилителя и (/) = (t) + и2 (/) — на рис. 6.5, г. Из формулы (6.14) и рис. 6.5, г видно, что при малых временах, т. е. при /, соизмеримых с ть первая экспонента в выражении (6.14) близка к едини- це и основное влияние на фронт импульса оказывает вторая экспонента. Когда же / становится соизмеримым стр, характер функции их (/) определяет- ся в основном первой экспонентой. То же самое относится к функции и2 (t) при отсчете времени с момента t = Т. Прямоугольный импульс с амплиту- дой КШахЕ, который имел бы место в идеальном усилителе без раздели- тельной цепи изображен на рис. 6.5, г штриховой линией. Искажение формы реального импульса проявляется: а) в конечной кру- тизне фронта и среза, б) в спаде вершины импульса. 179
Первый из этих факторов выражен тем сильнее, чем больше постоянная времени Tj = /?С0. (и, следовательно, чем сильнее завал частотной харак- теристики в области верхних частот). Второй фактор (спад вершины импульса), наоборот, выражен тем силь- нее, чем меньше постоянная времени тр разделительной цепи RPCP (и, сле- довательно, чем сильнее завал частотной характеристики в области ниж- них частот). Выбор постоянных Времени tj и тр зависит от требований, предъявляе- мых к форме импульса на выходе усилителя. Если требуется, чтобы за время Т амплитуда лишь достигала своего максимально возможного значения то постоянная времени Т] может быть близка к Т. Форма импульса при этом далека от прямоугольной. В тех случаях, когда требуется удовлетворительное воспроизведение формы импульса, постоянная времени Х] должна сопоставляться со временем, отводимым на длительность фронта выходного импульса, а постоянная вре- мени тр должна быть велика по сравнению с длительностью импульса Т. Этот результат имеет важное значение для правильного выбора параметров системы передачи дискретных сигналов, так Как он указывает минимальное время, необходимое для перехода от одного дискретного уровня к другому. Следует отметить, что в случае усиления импульсной последовательности проведенное выше рассмотрение справедливо при достаточно длительном ин- тервале между импульсами, так что наложение переходных процессов от соседних импульсов не имеет места. Рассмотрим теперь прохождение прямоугольного импульса через один транзисторный апериодический усилитель (схема на рис. 5.10), без раздели- тельной цепи. Для этого достаточно устремить емкость Ср к бесконечности, т. е. закоротить конденсатор Ср. При этом формула (6.14) переходит в И1(0«-Кюах£(1-е-'/’), (6.14') так как тр оо. Импульс на выходе рассматриваемого усилителя изображен на рис. 6.5, д. 6.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ В радиоэлектронике часто требуется осуществлять преобразование сиг- нала, имеющее характер дифференцирования или интегрирования. На вход линейного устройства, осуществляющего дифференцирование, подается сигнал s (0; С выхода должен сниматься сигнал вида с /А — Т dS 5вых \Ч—Т0 В интегрирующем устройстве связь между выходным sBbIX (0 и входным $ (0 сигналами должна иметь следующий вид: ®вых (0 = (* s (0 dt. to J В этих выражениях т0 — постоянная величина, имеющая размерность вре- мени. Дифференцирование и интегрирование являются линейными математи- ческими операциями. Следовательно, для дифференциального или интеграль- ного преобразования сигнала следует применять линейные цепи и элементы, обладающие требуемыми соотношениями между входными и выходными ве- 180
,с 1 s(t) Гк о---------1 Рис. 6.6. Простейшая цепь, используемая для дифференцирования или интегрирова- ния 0 O-IH------о sBbix^ о----1----о Рис. 6.7. Дифференцирующая цепь личинами. Этим требованиям отвечают в принципе такие элементы, как обыч- ные конденсаторы или катушки индуктивности в сочетании с резистором при надлежащем съеме выходного сигнала. Рассмотрим сначала цепь, изображенную на рис. 6.6. Подразумевая под входным сигналом s (/) ЭДС, составляем уравнение для тока в цепи i (f) Ri(t) + -i- J i (0 dt = s (I). (6.15) Умножив это уравнение на С и обозначив постоянную времени цепи т0 — == RC, получим г01 (0 + f i(t) dt = Cs (t). (6.16) Характер функциональной связи между током i (t) и входным сигналом s (t) зависит от постоянной времени т0. Рассмотрим два крайних случая: очень малого и очень большого т0. При очень малом т0 первым слагаемым в левой части уравнения (6.16) можно пренебречь. Продифференцировав оставшееся после отбрасывания этого слагаемого уравнение по /, получим dt Отсюда видно, что напряжение на резисторе R, совпадающее по форме с 1(f), пропорционально производной входного сигнала uR = Ri (t) « RC^- =т0 • dt di Таким образом, приходим к схеме дифференцирующего четырехпо- люсника, показанной на рис. 6.7, в которой выходной сигнал снимается с резистора /?. При очень больших значениях т0 второе слагаемое в левой части уравне- ния (6.16) можно отбросить. При этом ток i(o«—s(o-4 совпадает по форме с входным сигналом, а напряжение на конденсаторе С, равное Uc =4 (1W dt "ТБ" f s ® dt' О J СК J пропорционально интегралу от входного сигнала s (/). Отсюда следует, что для осуществления интегрирования /?С-цепь должна быть такой, как пока- зано на рис. 6.8. Аналогичные результаты можно получить с помощью RL- цепи (рис. 6.9 и 6.10). Постоянная времени т0 = L/R дифференцирующей цепи должна быть достаточно мала, а интегрирующей — достаточно велика. Принцип диффе- 181
_ ds (И ~Х°~ ренцирования для первой схемы (см. рис. 6.9) можно представить следую- щим образом. При достаточно большом сопротивлении /? ток через 7?£-цепь почти не зависит от L и совпадает по форме с входным сигналом s (t). Выход- ной же сигнал sBblx (t), снимаемый с индуктивности L, sBUX (О =L — « L — Г— s (О вы '' dt dt [ R '' В схеме, показанной на рис. 6.10, наоборот, ток в основном определяется индуктивностью L (так как R весьма мало): i(/)«-y-Js(/) dt, выходной же сигнал, снимаемый с резистора R, звых (o=r»(o «—5(0^- То J Уточним теперь использованные выше понятия «малое» и «большое» т0. Это проще всего сделать на основе спектрального рассмотрения. Если вход- ной сигнал s (/) имеет спектральную плотность S (со), то при точном диффе- ренцировании выходной сигнал 8вых(0=Т0-^- должен иметь спектральную плотность i®T0S (со), а при точном интегриро- вании — плотность (1 /гсото) S (со) [см. (2.59) и (2.60)1. Это означает, что для точного дифференцирования требуется четырехполюсник с коэффициентом передачи К (с©) = то1<о, (6.17) а для точного интегрирования К (ш) = 1/тош. (6.18) Передаточные функции показанных на рис. 6.7 и 6.8 четырехполюсников соответственно К (iw) =-----L----= RC-------= T°t(0 , (6.19) -j-1/jgjC 1 -J- RCia I-J-Tq/co К (/о,) = —_L_--------------------L---e —1---------j——. (6.20) i&RC 1 -f- (l//<o/?C) To/co 1(1/то ico) Из сравнения выражений (6.17) и (6.19) видно, что для удовлетвори- тельного дифференцирования требуется, чтобы выполнялось условие т0со<1. (6.21) Это неравенство должно удовлетворяться для всех частот спектра вход- ного сигнала, в том числе и для самой высокой. О...........-о Рис. 6.9. Дифференци- рующая цепь Рис. 6.10. Интегрирую- щая цепь Рис. 6.8. Интегрирующая цепь 182
применением отрицательной обратной связи Рис. 6.12. Интегрирующее устройство с применением отрицательной обратной связи’ Из сравнения же выражений (6.18) и (6.20) видно, что для удовлетвори- тельного интегрирования требуется выполнение условия тоо)>1. (6.22) Это неравенство должно удовлетворяться для всех .частот спектра вход- ного сигнала, в том числе и для самой низкой. Из неравенств (6.21), и (6.22) следует, что при заданной цепи дифференци- рование тем точнее, чем ниже частоты, на которых концентрируется энергия входного сигнала, а интегрирование тем точнее, чем выше эти частоты. ' Проиллюстрируем неравенство (6.21) следующим примером. Пусть сиг- нал s (/) на входе схемы, показанной на рис. 6.7, является импульсом с дли- тельностью ти и требуется указать значение т0, обеспечивающее удовлетвори- тельное дифференцирование. Наивысшую частоту в спектре сигнала можно оценить величиной [т ж 1/ти (см. § 2.11). Следовательно, неравенство (6.21) принимает вид т02л/ти < 1 или т0 ти/2л. Итак, постоянная времени диф- ференцирующей цепи т0 должна быть мала по сравнению с длительностью импульса s (/). Из неравенств (6.21), (6.22) вытекает также следующее принципиальное положение: чем точнее дифференцирование или интегрирование, тем мень- ше (по модулю) передаточная функция К (ш) цепи, осуществляющей это преобразование сигнала. Сказанное относится к простейшим 7?С- или 7?L- цепям, представленным на рис. 6.7—6.10. В пределе, при идеальном преоб- разовании, К (*<о) -> 0. Таким образом, простые 7?С- или 7?Л-цепи пригодны лишь для приближен- ного дифференцирования или интегрирования сигналов. Указанные опера- ции можно осуществить достаточно точно при введении в схемы рис. 6.7 и 6.8 усилителя с отрицательной обратной связью при обеспечении условия |КУ Кос| > 1. Этому требованию отвечают операционные усилители (ОУ). На рис. 6.11 представлена схема дифференцирующего устройства на ОУ. Как известно, входное сопротивление ОУ 7?вх очень велико, благодаря чему коэффициент обратной связи, определяемый отношением 7?вх/(7?вх + 7?), близок к единице. Напряжение и19 являющееся разностью напряжения, поступающего со входа, и напряжения обратной связи, настолько мало по сравнению с цвых, а следовательно, и по сравнению с напряжением на 7? и С, что в первом приближении точки 1—2 в схеме на рис. 6.11 можно считать эквипотенциальными. Это позволяет считать, что подлежащий дифферен- цированию сигнал е (t) приложен непосредственно к емкости, так что ток ic ~ Cde/dt. Определим ток iR. Падение напряжения на резисторе 7? совпадает с напряжением —(^ + игК} = —ивых 0 + 1/К), откуда вытекает равенство /1+_LY r I к / 183
Учитывая, что ток 4 близок к нулю (из-за малости и* и очень большого входного сопротивления ОУ), приходим к соотношению i# « ic, откуда цвых / J । 1 \ __ g de R \ К / dt ’ или __ RC de “вых 1 + 1/К dt (6.23) В реальных ОУ усиление К измеряется тысячами и более, поэтому точ- ность операции дифференцирования вполне достаточна для радиотехниче- ских применений. Схема интегрирующего устройства на ОУ представлена на рис. 6.12. В данной схеме iR = e/R и ic = C#~“вых (1 + 1/K)1 = iRt dt откуда _________1 “ВЫХ— яс(1 + 1//0 (6.23') 6.6. АНАЛИЗ РАДИОСИГНАЛОВ В ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ ЦЕПЯХ. МЕТОД ОГИБАЮЩЕЙ В рассмотренных в предыдущей главе задачах мы имели дело с сигналами, которые по своей форме совпадали с формой передаваемого сообщения. При передаче подобных сообщений задача сохранения информации тесно связана с задачей сохранения формы сигналов. Иначе обстоит дело с радиосигналом, в котором информация заключена в одном из нескольких параметров высокочастотного колебания. Не обяза- тельно сохранять полностью структуру этого колебания; достаточно лишь сохранить закон изменения того параметра, в котором заключена информа- ция. Так, в случае амплитуДно-модулированного колебания важно точно передать огибающую амплитуд, между тем как некоторое изменение частоты или фазы заполнения, не имеющее существенного значения, при анализе можно не учитывать; При передаче радиосигналов с угловой модуляцией, наоборот, основное внимание следует уделить точному воспроизведению за- кона изменения частоты и фазы. Эти особенности радиосигналов открывают путь к упрощению методов анализа передачи их через линейные цепи. Возможность упрощения особен- но существенна, когда радиосигнал представляет собой узкополосный про- цесс, а цепь — узкополосную систему. Это как раз и характерно для реаль- ных радиосигналов и реальных избирательных цепей. В §3.1 уже отмеча- лось, что даже для «широкополосных» сигналов ширина спектра радиосиг- нала мала по сравнению с несущей частотой сигнала. Соответственно и по- лоса прозрачности цепи обычно мала по сравнению с ее резонансной часто- той. Анализ передачи сигнала в подобной ситуации существенно упрощается при использовании рассмотренного в §3.10 понятия аналитического сиг- нала: г (0 = a yt) + iat (t)« A (t) (6.24) 184
где комплексная огибающая A (0 = A (0 содержит всю информацию, заложенную в сигнал a (t) в результате модуляции, как амплитудной, так и угловой. После прохождения через заданную цепь получается новый аналитиче- ский сигнал ^ВЫХ (0 вйвых (0 ~Ь ^1вых (0 = A (t) в1®»* = = А,ых(0е,в»ых<'>е*Ч (6.25) действительная часть которого ®вых (О = Re ^вых (0 = Аых (0 cos 1®0 4“ ®вых (01 (6.26) и есть выходной сигнал. Таким образом, задача сводится к определению влияния цепи на комп- лексную огибающую входного сигнала. Эта задача может быть решена двумя способами: спектральным и времен- ном. 1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПОДХОД Спектральная плотность Sa (<о) высокочастотного модулированного коле- бания а (0 образует два всплеска вблизи частот <в0 и —<о0, а передаточная функция К (to) — вблизи частот ©p и —®р (рис. 6.13). Для общности здесь принято, что резонансная частота а»р может не совпадать с центральной час- тотой сигнала ®0> т. е. может иметь место расстройка. При этом предпола- гается, что расстройка АЙ = (о0— Ир (6.27) является величиной того же порядка, что и полоса прозрачности цепи. Спектральная плотность сигнала Z (о) = 2Sa (со) отлична от нуля толь- ко в области со > О (см. § 3.10). Графики функций Z (со), Sa (со) и К. (со) по- казаны на рис. 6.13. Очевидно, ОО 00 (о = -L. f z (со) к (to) е“>< cto = -1- f 2Sa (со) К (to) е'“< dco. (6.28) 2л j 2л J ^вых О В § 3.3 было показано, что в области положительных ча- стот Sa (“) & */8 S4 (СО — С00), где — спектральная плот- ность огибающей1 А (0. Подставив последнее выра- жение в (6.28), получим 00 2вых (0 e "Т f (со 2л J О ~<oo)K(to)e^dco. (6.29) 1 В § 3.3 рассматривался част- ный случай в = 0О — const. При учете 0 (/) формула (3.10) обобщает- ся на комплексную огибающую А (/) при любом законе изменения фазы во времени. Рис. 6.13. Спектральные плотности модули- рованного колебания и аналитического сиг- нала, а также передаточная функция узко- полосной цепи 185
Перейдем, как и в § 3.8, к новой переменной й = со — соо. Тогда 2цы1 (0 — ’ оо f 8Л(Й) К [i (®о + й)] е‘°'с/й 2л J —-0)q (6.30) Из сопоставления этого выражения с (6.25) видно, что выражение, стоя- щее в фигурных скобках, соответствует комплексной огибающей выходного колебания оо Авых (0 = Авых (0 е,ввыхW s 1 [ 8л (й) К (I (®0 + Й)] eiat dQ. (6.31) 2Л J — (Oo Дальнейшее упрощение анализа вытекает из свойств передаточной функ- ции резонансных цепей, обладающих сильно выраженной частотной изби- рательностью. Модуль передаточной функции К (с®) быстро убывает при удалении о от резонансной частоты сор. Поэтому передаточную функцию целесообразно выражать в виде функции разности со — <ор. Введем новое обозначение передаточной функции К 0'®) = Ki [I (® — ®р)]. Поде тавив теперь со = соо + й, получим Кх [t (®0 -®р + й)] = Ki [i (АЙ + □)], (6.32) где Ай — ®0 — ®р [см. (6.27)1. Так как при й = —®0 коэффициент передачи Кх U (Ай + й)] практи- чески равен нулю, нижний предел интеграла в выражении (6.31) можно за- менить на —оо. При этом выражение (6-31) принимает следующий вид: сю Авых(0=4- f 8л(Й)К1[;(АЙ+Й)]е'аМЙ. 2Л J — оо (6.33) Это выражение ничем не отличается от обычного интеграла Фурье, опре- деляющего оригинал по заданной спектральной плотности огибающей 8л (й) и передаточной функции Кх [t (Ай + й)1. Заменив ей на р, получим выражение в форме обратного преобразования «Лапласа С 4-100 АВых(0= ± f M^KHiAfi + pleP'dp. (6.34) 2л« J С —«оо Вычисления, связанные с определением Авых («) по формуле (6.34), значительно проще, чем при непосредственном определении авых (/) с помощью обратного преобразования Лапласа, так как переход от Sa (®) к Бл (й) и от К (р) к Кх (г’Ай + р) сокращает вдвое число особых точек подынтегральной функции. После определения Авых (/) можно составить выражение (6.25) для авых (/). Применение описанного метода иллюстрируется в § 6.7. 186
2. ВРЕМЕННОЙ ПОДХОД Обратимся к общему выражению свертки (6.11) и перепишем его в форме авых(0= J a(x)g(t—x)dx, (6.35) где а (/) = А (/) cos [ю01 + 0 (/)] = Re [ A (t) ez®»'], a g(0“G(0cosfcDp/+Y(0] = Re[G(0e‘V] (6.36) —импульсная характеристика фильтра с резонансной частотой ©р. Подставив a (f) и g (/) в (6.35), получим оо авых (0 = V A(x)G(t — X)cOS[<OoX-|-0(x)]cOS[<Op/— ®рх + у(/ — —x)]dx = -у J Л(x)G(/—x)cos((®0—<op)x + ®p/ + 0(x) + y(Z — — oo — x)]dx-f-y J A(x)G(t—x)cos[(©04-cop)x—©p/ + 0(x) — —t(t—x)]dx. (6.37) Вторым интегралом в (6.37) можно пренебречь по сравнению с первым из-за наличия быстропеременного множителя с частотой ©0 + ©Р. Переходя к комплексной форме, получаем авых(0^Ке ОО eta.t J А (х) е,0<*> G(t—X} еМ‘-*> е-'да<'-ж> dx — оо где AQ = ©о — ©р. Учитывая, что А (х) е‘е <*> — А (х) и G (t — х) = G (I— х) являются комплексными огибающими соответственно входного сигнала и импульсной характеристики фильтра, приходим к следующему выражению: [оо _1_ е/б>.< J А (х) G (/ —х) е-*40^-*) dx — оо (6.38) Из этого выражения вытекает, что комплексная огибающая выходного сигнала приближенно определяется половиной свертки комплексной оги- бающей входного сигнала с комплексной огибающей импульсной характери- стики цепи: Авых (0 « у J а (X) G(t-x) dx. (6.39) Множитель е~/д0(/“ж) учитывает расстройку центральной частоты спектра сигнала относительно резонансной частоты фильтра AQ = ©0 — — юр. При точной настройке оо Авых (0 «-у f A(x)G(f-x)dx. (6.40) 187
6.7. ПРОХОЖДЕНИЕ РАДИОИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНСНЫЙ УСИЛИТЕЛЬ Имея в виду радиоимпульс с прямоугольной огибающей и немодулиро- ванным высокочастотным заполнением, рассмотрим сначала явления в цепи резонансного усилителя, показанной на рис. 5.13, при передаче фронта импульса, т. е. при включении в момент t = 0 гармонической ЭДС е (Z) = = Ео cos (cooZ + 60). В качестве выходной величины примем напряжение на колебательном контуре усилителя. Выведем выражение для колебания на выходе усилителя. Воспользуем- ся формулами (6.33), (6.34). В данном случае огибающая A (f) имеет вид скачка Ео (в момент t = 0), а с учетом начальной фазы 60 комплексная огибающая будет А (Z) = Еое'в°, t > 0. Спектральная плотность этой огибающей S4 (Q) = Ео е'е» [лб (Q) + 1 /ZQ], а преобразование Лапласа 8л(р) = Е0е‘е»/р. (6.41) Передаточную функцию усилителя определим по формуле (5.65), в кото- рой аргумент <о — сор приведем в соответствие с (6.32): Ki [i (АЙ + й)] - -Аюах / [ 1 -М (ДЙ + Q) тк] (6.42) (тк имеет тот же смысл, что и тЭк)- Тогда Ki U Ай + р) = - Атах / 11 + О’Ай + р) Тк]. (6.42') Подставив (6.41) и (6.42') в (6.34), придем к следующему выражению для комплексной огибающей колебания на выходе усилителя: С 4~/оо Авых 0) = гт f 8Л (р) Кг [»АЙ + Pl еР‘ dp = — Атах Ео е/в» X 2л( J С — ZOO С /ОО X X — f ---------. (6.43) 2ni J р [1 + (iAQ + р) тк] С — / ОО Подынтегральная функция имеет два полюса Р1 = 0, Pt = — (1 + ZAQtJ/v Вычеты в этих полюсах легко вычисляются (см. (6.6)]: 1 е~*ф resi = ---= . - . Ф =arctg (Дютк), 1+«ДОтк V1 + (AQtk)2 e-(l/TK + iAfi)t Цх - |(ДО« + ф) С К v Н v res2 =------------------------ —— . I-H’AGTk V1 + (AQtk)2 Тогда выражение (6.43) принимает вид (знак минус опущен) АВЫх(0= —Ктах£° — [е'С’о-’»— е-'/’ве/<е’-*-Ав,>], (6.44) У1 + (Дйтк)2 188
а искомое физическое колебание аВых (О = Re [АвыХ (/) е^'1 = . Кю»£° - Re [е‘«м+е.-<₽> _ У1 + (ДОтк)* — е-</тк ег<шР/+0о-’|)]= — КтвхВр — [cos(<оо/ + 00—ф)~ 1/1 + (Д0тк)а — e~f/TKCOs(cOp/ + 0o—<р)]. (6.45) Физический смысл полученного решения очевиден. Первое слагаемое в квадратных скобках определяет стационарную часть напряжения на вы- ходе усилителя, а второе — свободное (затухающее) колебание. Рассмотрим важные для практики следствия, вытекающие из выраже- ния (6.45). Остановимся сначала на точной настройке контура на частоту возбуждающей ЭДС. Приравнивая шр к частоте <а0, получаем Дй — 0. Тог- да выражение (6.45) упрощается: ^вых (0 = Ктах ^0 0 ® ^тк) COS (<0q t 0д) = Лвых (0 COS (<ОО/ И- 0д). Из этого выражения видно, что при совпадении частот <о0 и ©р огибаю- щая амплитуд выходного колебания нарастает по закону 1 — e-t/T« не- зависимо от фазы ЭДС в момент включения. ' Соответствующая этому случаю кривая; вычисленная по формуле ЛвыХ(0/^тах = 1 — е“//тк, приведена на рис. 6. И. При наличии расстройки огибающая Лвых (/) изменяется по более сложному закону. Для выявления этого закона вычислим модуль разности в квадратных скобках выражения (6.44) 11 —е-</-'ке-/да< | = ]/1 —2е-"’к cos Дй/ + Таким образом, ЛвЫ,(0 = 1 ... У1—2е-»лк созДЙ^Н-е~2'/^ . (6.46) Кшах "|/1 -f- (Д QrK)a Графики этой функции для двух значений параметра расстройки Дйтв, равных 1 и 2, приведены на том же рис. 6.14. Видно, что при значительных расстройках процесс установления оги- бающей принимает колебательный характер. Это объясняется биением двух колебаний: частот <оо и шсв. Последняя при сделанном выше допущении о высокой добротности контура очень мало отличается от резонансной часто- ты <вр. Эффект суммирования вынужденного и свободного колебаний поясняет- ся векторной диаграммой, показанной на рис. 6.15. При вращении оси вре- мени с угловой частотой <оо вектор ОД, соответствующий стационарному колебанию, неподвижен, а вектор ОС, соответствующий свободному коле- банию [см. (6.45)], вращается с угловой частотой Дй = <оо — <ор. Записав длину этого вектора в форме £0е“ЛО</ЛВт« и задав значение параметра Дйтк, можно проиллюстрировать характер изменения огибающей Лвых (/). Векторная диаграмма на рис. 6.15 построена для параметра Дйтк = 2, когда е~д$и/д0тк = е~до</2. В момент времени t, соответствующий Дй/ — л, вектор свободного коле- бания совпадает по направлению с вектором вынужденного колебания, так что результирующий вектор будет Ео (1 4- е-”/2) 1,21£0- Очевидно, что при Дй/ — 2л результирующий вектор будет Ео (1 — е~я) « О,96£о и т. д. 189
Рис. 6.14. Установление огибающей высо- кочастотного напряжения на выходе резо- нансного усилителя при включении гармо- нической ЭДС. Параметр расстройки ДПтк=1 и 2 Из рис. 6.16, где приведены гра- фики нормированной огибающей, т. е. функции Лвых (0V1+ (М1У^/КтлХЕ0, видно, что с увеличением расстрой- ки крутизна фронта огибающей рас- тет и общая продолжительность процесса установления несколько уменьшается. Используем полученные резуль- таты для определения формы и па- раметров радиоимпульса на выходе одноконтурного усилителя при пря- моугольной форме огибающей им- пульса на входе. Колебание на входе (рис. 6.17, а) Рис. 6.15. Векторная диаграмма ста- ционарного и свободного колебаний для ДОтк=2 определяется выражением а(/)= [£ocos(a>ef + 0o) при 0</<Т, |0 при /<0и />Т. Как и в § 6.4, задачу можно решить, рассматривая независимо явления на фронте и срезе импульса с последующей суперпозицией полученных ре- шений. Если длительность импульса Т больше фактического времени установле- ния режима в контуре при включении гармонической ЭДС, то к моменту окончания входного импульса на выходе усилителя амплитуда колебания будет равна стационарному значению Лых ст = Яшах /V1 4-(ДЙ)2Т^ = const. Начиная с момента t = Т, после прекращения действия внешней ЭДС, на выходе остается лишь свободное колебание, которое можно представить в форме «вых(0 = Лых ст е-,/т«cos (wp t + фо) = у^дд^Д/ е-,/т« X X cos(<Орt + ф0) при t>T, (6.47) где фо — фаза напряжения на контуре в момент t = Т. 190
Таким образом, в отличие от фронта на срезе импульса огибающая амп- литуд имеет вид экспоненты независимо от соотношения частот соо и <ор. Сигнал на выходе усилителя при ДПтк = 0 и AQxK = 2 (рис. 6.17, бив) изображен для случая, когда длительность импульса значительно больше времени установления стационарного режима. В заключение проиллюстрируем применение временного варианта метода огибающей на примере рассмотренного выше сигнала а (/) = f0cos (aot + + 0О) и резонансного усилителя. Импульсная характеристика усилителя в соответствии с (5.67) g (/) = ($/О)е~"тк cos Юр/, />0, (6.48) [знак минус, как и в (6.44), отброшен]. Переходя к комплексной форме, записываем a (t) = Ео Re [е/е« е'®»' ] = Re [Е (/) е*®»*], t 0, где Е(0^£ое«., (6.49) g (t) = (S/С) е-'/тк Re (e'V)=(S/C) е-‘/тк Re [е - e“V] = = Re[G(/)e/<M, / > 0, где G(0=(S/C)e-'/TKe-ZAa< (6.50) — комплексная огибающая импульсной характеристики, отнесенная к час- тоте <о0. Подставив (6.48) и (6.49) в (6.39), получим i Авых (0 = —' [ Ео е/е° —е-Н'-^к е-'да«-*> dx. 2 J С С учетом равенств тк = 2RC и (SIC) тк = 2SR = 2 7(max [см. (5.65)] последнее выражение легко приводится к виду Авых(/) = _ Ге«<е0-Ф>— е-</тке^.-ф-ла0|. (6.51) 1/1 + (ДЙтк)« Это выражение совпадает с (6.44). Рис. 6.16. То же, что на рис. 6.14, при нормировании огибающей относительно стационарного значения Рис. 6.17. Прохождение радиоимпульса через резонансный усилитель: а) импульс на входе усилителя; б) на выхо- де при точной настройке контура; .в) на вы- ходе п|>и расстройке 191
6.8. ЛИНЕЙНЫЕ ИСКАЖЕНИЯ АМПЛИТУДНО- МОДУЛИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ В РЕЗОНАНСНОМ УСИЛИТЕЛЕ На вход одноконтурного усилителя, изображенного на рис. 5.13, воздействует колебание a (t) = Ео [1 + М cos (Qt + Vo)] cos (a)ot + 0O). (6.52) Требуется выявить структуру колебания на выходе усилителя. Колебательный контур, входящий в состав усилителя, является инер- ционной цепью, что не может не оказать влияния на параметры выходного колебания. В данном случае простейшей гармонической модуляции амплитуды, когда спектр колебания содержит всего лишь три составляющих, структуру коле- бания на выходе усилителя проще всего, отыскать, рассматривая прохож- дение через усилитель каждой из составляющих отдельно. Записав выражение (6.52) в форме a (t) = Ео cos (©0/ + 0О) + (МЕ0/2) cos [(©0 + Й) t + 0О + Vol + + (МЕ0/2) cos l(©0 — Q)t + 0О — Vol, (6.53) найдем передаточные функции усилителя для частот ©0, ©о + и ©0 — — Й. Основываясь на выражении (6.42') и положив Дй = 0 (точная настройка колебательного контура на несущую частоту ©0), получаем: для несущей частоты ©0 К(шо) = А1(О)=-Кюах; для боковой частоты ©0 4- й К [i (<о0 + Q)] = Кх ОЙ) = - ~--------*т-ах е-Ъ; 1 + jQtk V1 + (Qtk)4 для боковой частоты ©0 — й К [i (©0 —Q)l = Ki (—iO) ---................егЧ 1—1йхк 1/1 + (Qtk)2 где £0 — arctgQxK — фазовый сдвиг в колебательном контуре на боковых частотах (запаздывание на верхней и опережение на нижней боковых часто- тах). С учетом амплитудных и фазовых изменений, претерпеваемых спектраль- ными составляющими в усилителе, можно представить выходное колебание в форме, аналогичной (6.53): «вых (0 = —Kmax Ео [cos (©01 + 0О) + v ; 1 ...cos [(©0 4- Й) t + | 2 yi+(ЙТк)2 + 00 + То—и + "Т" 1 COS [(®0—й) t + 0О—Vo + UI • 2 V1 + (Qtk)4 I Свернув это выражение, получим «вых (0 “ Атах 1 F + 0о)- ----------cos (й/ 4- То “У cos (©014- V1 + (QTK)4 (6.54) 192
Сопоставим полученное выражение с (6.53). Как и следовало ожидать, частота и фаза AM колебания при прохождении через резо- нансный усилитель (<оо = <ор) не изменяются. Инерционность колебательной цепи влия- ет на огибающую колебания: 1) глубина модуляции на выходе МВых - М /К1 +^Тк - М/Ю+Оэк меньше, чем на входе; относительное умень- шение глубины модуляции, иногда называе- мое коэффициентом демодуляции, — ^ВЫХ 1__________________________ М УТ+^К Vl + (2QQ8K/Wp)2 Рис. 6.18. Зависимость коэффи- циента демодуляции в резо- нансном усилителе от модули- рующей частоты (график зависимости D от частоты модуляции Q, представленный на рис. 6.18, соответствует правой ветви резонансной кривой колебательного контура); 2) огибающая амплитуд на выходе отстает по фазе от огибающей вход- ного колебания на угол До = arctg аак = arctg (2QQ9K/wp). Оба эти фактора обусловлены тем, что инерционность колебательной цепи снижает скорость изменения во времени огибающей колебания. При этом, однако, форма огибающей остается неизменной (гармонической). Смысл этого результата поясняется рис. 6.19, а, на котором показано положение спектра входного колебания относительно резонансной харак- теристики колебательного контура. Чем выше частота модуляции й, тем больше относительное ослабление амплитуды колебаний боковых частот и, следовательно, меньше глубина модуляции колебания. Полученные из анализа тональной модуляции результаты позволяют представить общую картину явлений при передаче через контур колебаний, модулированных по амплитуде сложным сообщением. Входящим в такое со- ра ктеристики усилителя! а) при точной настройке; б) при расстройке 7 Зак. 1326 193
Рис. 6.20. Возникнове- ние паразитной фазо- вой модуляции при асимметрии амплитуд колебаний боковых частот общение различным частотам Й соответствует неоди- наковое ослабление: чем выше частота, тем сильнее выражена демодуляция. Так как при приеме колеба- ний напряжение на выходе детектора приемника пропорционально коэффициенту модуляции, полу- чается относительное ослабление высших частот сооб- щения. Таким образом, зависимость D (Й) опреде- ляет степень линейных частотных искажений переда- ваемого сообщения. Подобные искажения называют- ся линейными потому, что они не сопровождаются возникновением новых частот. Имеет место также и задержка сообщения. Это объясняется тем, что фазовый сдвиг огибающей (при тональной модуляции) зависит от частоты. Колеба- тельный контур влияет на сообщение, содержащееся в огибающей, так же, как и фильтр нижних частот при пропускании непосредственно через него сообщения Задержка определяется наклоном ФЧХ / 2Й \ d larctg--Qok , __ f —2_____01P ' ~ _________!_______. 0 I dQ I dQ / 2Q \2 (Op I -I- - Q3K I \ / Обычно задержку определяют по наклону ФЧХ в точке й = 0. Тогда « 2Q9K/(0p ~ тк. Итак, задержка сообщения в одиночном контуре, полоса прозрачности которого достаточна для удовлетворительного пропускания спектра со- общения, равна . постоянной времени контура. Рассмотрим теперь случай неточной настройки контура на несущую ча- стоту модулированного колебания (рис. 6.19, б). Несовпадение частот со0 и сор приводит к асимметрии боковых частот на выходе усилителя. Возник- новение асимметрии поясняется векторной диаграммой выходных напря- жений, представленной на, рис. 6.20. На эюй диаграмме вектор OD изобра- жает несущее колебание, фаза которого запаздывает относительно фазы вход- ной ЭДС (принятой равной нулю) на угол 0(, (так как рис. 6.19, б соответ- ствует положительной расстройке АЙ = со0 — сор > 0). Амплитуда коле- бания верхней боковой частоты (вектор DCJ в данном случае значительно меньше амплитуды колебания нижней боковой частоты (вектор ОС2). Длина равнодействующего вектора OF, изображающего результирующее колебание, изменяется по сложному закону, не совпадающему с гармоническим законом изменения огибающей входной ЭДС. Следует иметь в виду, что для восстановления передаваемого сообщения на выходе радиолинии, работающей с амплитудной модуляцией, применя- ется амплитудный детектор, представляющий собой нелинейное устройство. Напряжение на выходе детектора пропорционально огибающей модулиро- ванного колебания. Из этого следует, что нарушение симметрии амплитуд и фаз колебаний боковых частот при неточной настройке контура на несущую частоту соо приводит к нелинейным искажениям передаваемых сообщений. Эти искажения проявляются в возникновении новых частот, кратных частоте й полезной модуляции. Кроме искажения формы огибающей амплитуд, возникает также пара- зитная фазовая модуляция колебания, так как при вращении векторов DCt и ОС2 (см. рис. 6.20) непрерывно изменяется фаза 9 (0 вектора OF относи- 194
тельно фазы несущего колебания (принятой в качестве исходной). В неко- торых случаях это может привести к дополнительным искажениям сигнала. Полученные выше результаты нетрудно распространить на любую коле- бательную цепь, например на связанные контуры. Если резонансная кри- вая такой цепи симметрична относительно несущей частоты <оо, то правую ветвь этой кривой можно рассматривать как характеристику коэффициента D (см. рис. 6.18). 6.9. ПРОХОЖДЕНИЕ ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНСНУЮ ЦЕПЬ Наряду с непрерывной фазовой модуляцией в радиотехнике находит применение ф.азовая манипуляция, заключающаяся в скачкооб- разном изменении фазы высокочастотного колебания на 180° в определенные моменты времени (рис. 6.21, а). Амплитуда и частота колебания поддержи- ваются при этом неизменными. На рис. 6.21, б фазы Ойл чередуются перио- дически; при передаче реальных сигналов закон чередования может быть более сложным. Рассмотрим явления в резонансных цепях, возни кающие в моменты скачко- образного изменения фазы входного сигнала. При этом будем считать, что тактовые интервалы 7\ между двумя соседними скачками фазы намного больше длительности возникающих в цепи переходных процессов, так что рассмотрение каждого из скачков изолированно от предыдущих вполне до- пустимо. Для выявления принципиальной стороны вопроса ограничимся простей- шим случаем — передачей фазоманипулированного сигнала через одиноч- ный колебательный контур, настроенный на частоту сигнала (о0, т. е. соо » = wP. Совместим начало отсчета времени с моментом скачка, как это показано на рис. 6.21. Тогда для t > 0 выходной сигнал на основании принципа супер- позиции можно представить в виде суммы свободного колебания, существую- щего после выключения ранее действовавшего сигнала, и нарастающего коле- бания с фазой заполнения, на 180 отличающейся от фазы предыдущего сиг- нала. Пренебрегая различием между собственной частотой контура о>св и ре- зонансной частотой (ор, можно для двух упомянутых колебаний написать следующие выражения: (/)== Aoe“a«z coscop/, a2(0= —Ло(1—e“a«z) coscop/. Знак минус в правой части второго выражения учитывает опрокидывание фазы. Результирующий сигнал на выходе цепи (рис. 6.22) «вых = а1(/) + аа(/)=( —Д0 + Лпе_“к/ +Ale~“«z) coswp / == = —До(1 —2е~“к/) cos(0p t. Из-за инерционности контура скачок фазы входного сигнала приводит к из- менению амплитуды выходного сигнала. В момент времени — 0,69/ан, когда е“ак*о = 1/2, огибающая обращается в нуль. Чем меньше ак (или чем больше добротность контура), тем больше т. е. тем протяженнее про- цесс установления колебания с новой фазой. 195
Рис. 6.21. Фазоманипулированное коле- бание (а) и изменение фазы (б) Рис. 6.22. Возникновение паразитной AM в резонансном контуре при скачкообраз- ном изменении фазы входной ЭДС В более сложных колебательных цепях, а также при наличии расстрой- ки между .частотами <о0 и <ор картина несколько усложняется: помимо возникновения паразитного изменения огибающей нарушается и характер изменения фазы. Вместо скачкообразного изменения получается плавный переход фазы от первоначального значения к новому. При этом способ опре- деления структуры выходного сигнала остается прежним, только а± (t) и а2 (/) в выражении для sBbIX (t) будут представлять собой колебания с несовпадающими частотами. Вычислив модуль и аргумент суммарного колебания, нетрудно найти огибающую и фазу выходного сигнала. 6.10. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТОТНО- МАНИПУЛИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНУЮ ЦЕПЬ Пусть сигнал на входе избирательной цепи имеет вид колебания, изо- браженного на рис. 6.23, а. В некоторые моменты* времени частота скачком изменяется от о)х до <о2 или от до при постоянной амплитуде и непре- рывной фазе в моменты скачков частоты. Последнее допущение продиктовано желанием выяснить влияние на параметры выходного сигнала одной лишь манипуляции частоты, без наложения манипуляции фазы (рассмотренной в предыдущем., параграфе). Совместим начало отсчета времени с моментом изменения частоты от coj до <о2 (рис. 6.23, б) и положим, как и в § 6.9, что к моменту t = 0 все про- цессы, связанные с предыдущим скачком частоты,, уже закончены. Таким образом, при t<Z 0 выходной сигнал представляет собой гармоническое ко- лебание с частотой Gh и постоянной амплитудой Ло. На первый взгляд может показаться, что изменение скачком одной лишь частоты входного сигнала при постоянстве амплитуды и отсутствии скачка фазы не должно сопровождаться переходными процессами. В действитель- ности это не так, поскольку в цепях, запасающих энергию, переход от од- ной частоты к другой неизбежно связан с изменением запаса энергии. Основная идея, на которой базируется дальнейшее рассмотрение, за- ключается в том, что мгновенное изменение частоты внешней ЭДС эквива- лентно выключению старой ЭДС с частотой сох и включению в тот же момент новой ЭДС с частотой со2. Аналогичный прием был использован в § 6.9 для скачка фазы входного сигнала, однако в данном случае дело несколько ослож- няется несовпадением частот различных слагаемых. Итак, результирующее колебание на выходе линейной цепи при />0 (0 ж ai (0 + #2 (0> (6.55) где аг (0 — свободное колебание, связанное с выключением в момент t» 0 старой ЭДС (частоты coj; а2 (t) — нарастающее колебание, обусловленное включением новой ЭДС (частоты со2). 196
Рассмотрим одиночный колебательный контур при съеме выходного напря- жения с емкости (рис. 6.24). Резонансную частоту контура <ор приравняем частоте со0, а скачок частоты 2Дсо (см. рис. 6.23, б) будем считать симметрич- ным относительно со 0: 0)1 = со0 — Дсо =* (Ор — Дсо, ш2 — (о0 4 До) ==5 о)р 4 До). Тогда свободное колебание аг (t) в соответствии с (6.47) можно записать в форме аг (/)д? — — е"*/тк sin (о)рt—q^), /:>0, |/Т + (До>)2т2 р где множитель Q соответствует /<тах, косинус заменен синусом ввиду съема напряжения с емкости, входящей в последовательный контур, а = « arctg (o)j — о)р) тк. Поскольку o)j < <ор, то q)x ~ —arctgAo)TK и 01 (0 —- - е “ //т« sin (о) 14- ср), t О У1 4 (Дсо)2 т2 (здесь использовано обозначение <р = arctgAcoTK). В результате аналогичных рассуждений колебание а2 (/) по аналогии с (6.45) можно представить в виде а2 (0 = — [sin (со21--ср)--е~//т« sin (ю t —*<p)J, t 0. (6.56) /1+(Ма В данном случае ср входит со знаком минус, так как на частоте со2 > сор ток в контуре отстает по фазе относительно ЭДС. После подстановки в (6.56) co2 « шр 4 До выражение (6.55) приводит- ся к виду «вых (0 = — Q£° (cos (А®/—ф) sin <0 t + у '| + (A®)’t* 4-1 si п (Лш/—<p) + 2 sin фе cos wp « Лвых (f) sin [wp t 4- £ (/)1. Огибающая Лвых (t) и переменная часть фазы | (/) выходного сигнала определяются выражениями ЛВых (О— —— u —V 1 4-4е~ //T«sin ф sin (Лю/ — ф) 4- 4е"2//Тк8(п2ф, +(&<.>)* т* sin (Д<ог—q>)4-2e //Т|< sin q- =arctg COS (Ad)/—ф) 0] О Г, t Рис. 6.23. Частотно-манипулированное ко лебание (а) и характер изменения частоты (6) Рис. 6.24. Колебательный контур, возбуж- даемый частотно-манипулированным коле- банием -О -С 06ых^ .- о 197
Рис. 6.25. Установление частоты колебания в контуре при скачкообразном изменении частоты воздействия в зависимости от па- раметра 6 = A(o/ah Основной интерес в данном случае представляет закон измене- ния частоты выходного колебания <> (/) = wp + =0) + Доз (/). ch v Выполнив дифференцирование, после некоторых несложных вы- кладок1 можно прийти к следую- щему результату: __ Лео (/)___ Ай) 1 — 2е “ До>/ b cos Aoj t 1 + 4е~д<0//^ sin ф [sin (Ао)/— — ф)-|-е“До*//? sin <р 1 где b = Aw/aK. Графики Г (Лео/) для нескольких значений параметра b построены на рис. 6.25. Заметим, что полоса пропускания контура, определяемая по ослаб- лению сигнала до 1/J/2 от максимального значения, равна 2ак = <op/Q. Следовательно, параметр b есть не что иное, как отношение полного скач- ка частоты сигнала 2Дсо к полосе пропускания 2ак. Из рис. 6.25 видно, что при b < 0,5, т. е. когда Асо/ак < 0,5, процесс установления частоты практически не отличается от процесса установления амплитуды при внезапном включении ЭДС. Заметное расхождение наступает при b > 0,5. 6.11. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТОТНО- МОДУДИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ В § 6.8 было показано, что при гармонической AM передача колебания через контур, точно настроенный на несущую частоту, не сопровождается из- менением формы огибающей, имеет место лишь ослабление глубины модуля- ции. При ЧМ неравномерность амплитудно-частотной и кривизна фазо-частот- ной характеристик контура оказывают более сложное влияние на параметры выходного колебания. Даже при гармонической модуляции частоты спектр колебания обычно содержит очень большое число пар боковых частот. Нару- шение нормальных амплитудных и фазовых соотношений между отдельными парами боковых частот приводит к искажению закона модуляции даже при полной симметрии характеристик цепи относительно несущей частоты коле- бания. При ЧМ влияние цепи может сказаться: в искажении закона изменения мгновенной частоты и мгновенной фазы колебания; в изменении амплитуды полезного частотного отклонения в зависимости от частоты модуляции Q; в возникновении паразитной AM. 1 Подробные выкладки см. в предыдущем издании настоящей книги. Там же рас- сматриваются амплитудные изменения выходного колебания при скачкообразном изме- нении частоты ЭДС на входе контура. 198
При детектировании колебаний с помощью частотного детектора напря- жение на выходе приемника пропорционально изменению мгновенной часто- ты колебания. Поэтому искажение закона изменения мгновенной частоты в колебательных контурах передатчика и приемника приводит к нелинейным искажениям сигнала, проявляющимся на выходе детектора в виде добавочных напряжений с частотами, кратными частоте модуляции Q. Второе из отмеченных выше изменений параметров частотно-модулиро- ванного колебания приводит к неравномерности АЧХ радиолинии с ЧМ и, следовательно, к частотным (линейным) искажениям сигнала. Рассмотрим воздействие ЭДС, частота которой изменяется по закону СО (/) » (О„ + (0д cosQ/, (6.57) на резонансную колебательную цепь. Амплитуду ЭДС считаем строго по- стоянной, так что ЭДС можно представить выражением [см. (3.23)] е (t) — Eq cos (соо/ + /nsinQO- Комплексный коэффициент передачи цепи обозначим через К(/(о)=хЛ((о)е^0)). Примерный вид модуля (со) и фазы ср (со) для обычной резонансной цепи изображен на рис. 6.26, а. Так как перед ф (со) выбран знак плюс, то фазовая характеристика ф (со) имеет отрицательный наклон в полосе про- зрачности цепи. Частотный спектр и график изменения мгновенной частоты со (/) входной ЭДС показаны на рис. 6.26, бив. Колебательные цепи обычно настраиваются на среднюю частоту модулированного колебания, поэтому рис. 6.26 и дальнейшее рассмотрение относятся к случаю сор — со0. Для нахождения колебания на выхо- де цепи в принципе можно воспользо- ваться тем же методом, что и в случае AM (см. § 6.8). При этом необходимо учесть изменение амплитуд и фаз для каждой из пар боковых частот ЭДС в соответствии с кривыми /С (со) и ф (<о). Однако подобный вполне точный метод пригоден лишь при очень малых индек- сах модуляции, т. е. если состав спект- ра ЧМ колебания мало отличается от состава спектра AM колебания. В практике чаще всего приходится встречаться с модуляцией, характери- зующейся столь большим числом спект- ральных составляющих в используемой полосе частот, что применение спект- рального метода сопряжено с больши- ми, иногда непреодолимыми трудностя- ми вычисления. В таких случаях при- ходится прибегать к приближенным ме- тодам, позволяющим, хотя и не вполне точно, находить колебание на выходе цепи по заданному закону изменения мгновенной частоты ЭДС на входе и по заданным ФЧХ цепи без разложения ЭДС в спектр. Рис. 6.26. Передаточная функция це- пи (а), спектр ЧМ колебания (б) и график мгновенной частоты (в) это- го колебания 199
Эти методы, называемые методами мгновенной частоты, основаны на допущении медленности изменения частоты. Частота модуляции считается настолько малой, что амплитуду и фазу колебания на выходе цепи в каждый момент времени можно без большой погрешности определить по частотной и фазовой характеристикам цепи так же, как и в стационарном режиме. Таким образом, принимается, что установление стационарных коле- баний на выходе происходит почти одновременно с изменением частоты на входе цепи. Эти предпосылки тем ближе к истине, чем больше период модуляции 2л/Й и чем меньше постоянная времени цепи тк. Так как последняя обратно про- порциональна полосе пропускания цепи 2Дсоо, то одним из условий приме- нимости метода мгновенной частоты является неравенство Й/Дсо0 < 1. При одной и той же частоте Q скорость изменения мгновенной частоты входной ЭДС зависит от амплитуды частотного отклонения сод, поэтому соб- людения только этого неравенства еще недостаточно. Должны быть нало- жены ограничения и на отношение а>д/Да>0. Более подробное рассмотрение показывает, что если (од/Д(оо меньше единицы или близко к ней, то метод мгновенной частоты обеспечивает вполне достаточную для прак- тики точность. При выполнении указанных условий напряжение на выходе цепи можно опреде- лить с помощью выражения “вых (0 =£« Re К )] ==£„ К (®) Re }, где ф (/) = со0/ + т sin QZ — полная фаза ЭДС на входе цепи (см. § 3.4); <р (со) — аргумент коэффициента передачи цепи. Из этого выражения видно, что амплитуда выходного напряжения изменяется по закону ^вых (0 — К (<о) = £© К (<о0 + фд cos Q/). а мгновенная частота — по закону W - at at Так как первый член в правой части этого выражения представляет собой мгно- венную частоту входной ЭДС (о (/), то £ (/) = dy/dt характеризует влияние рассматри- ваемой цепи на частоту выходного колебания. При выполнении оговоренного выше условия медленности модуляции g, как правило, мало по сравнению с <од. Итак, ®ВЫХ (0 е® (0+5(0- (6-58) Если известно уравнение ФЧХ ср (со), то, подставляя вместо аргумента со мгновен- ную частоту со (/) <о0 4 сод cos Q/ и дифференцируя по /, получаем общее выра- жение для (/): d £(0== ~ 1ф ((Оо+содСОЯ М)]. (6.59) dt При перирдической модуляции частоты £ (/) также является периодической функ- цией времени и может быть разложена в ряд Фурье. Так как при настройке цепи на среднюю частоту соо ФЧХ обычно антисимметрична относительно со0, то ряд Фурье содержит одни лишь нечетные гармоники: Q, 3Q, 5Q, ... Учитывая, наконец, что при изменении частоты по закону (6.57) производная (р, т. е. 5 (0, является нечетной функ- цией времени, приходим к выводу, что ряд Фурье содержит одни лишь синусоидальные члены: 5 (0=^i sin Q/4-^з sin Зй/ +... . где £3, ... — амплитуды гармоник функции £ (/). Подставляя £ (/) в (6.58), получаем ®вых (0»®о+®дС05Йг+^, sin Q/+<fP3sin3£}/+ ... = ш0 + ]А>д+/1 X X cos (Q/—у) + (^зsin ЗЙ/+... ц)0 + сод cos (Qz—y) +<^зsin3Q/-(- ... (6.60) Слагаемое под знаком радикала можно отбросить как величину высшего порядка 2 малости по сравнению с <од. 200
Сопоставление выражений (6.57) и (6.60) дозволяет сделать вывод, что влияние цепи на выходное колебание заключается в запаздывании фазы сообщения на угол у, определяемый выражением Y = arctg (^/(Од), (6.61) и в возникновении нечетных гармоник в законе изменения мгновенной частоты. Как отмечалось выше, наибольшее значение обычно имеет последнее обстоятельство. Поясним применение метода мгновенной частоты на примере одиночного колеба- тельного контура. Подразумевая под К (йо) отношение комплексной амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде ЭДС, включенной последовательно в контур, получаем V г \ 1/коС К и со) =----------------• Г[1+/(0-00)ТК] Учитывая, что со — со# = сод cos Q/ и пренебрегая изменением со в числителе, так как сод обычно мала по сравнению с со0, можем записать Q Q К (/со) ------------------------.= —; ....................... е'ф> t (1 + йод тк cos □/) у 14- (од Тк cos Q/)a где Ф = л — + arctg (<0д тк cos Ш) • На основании соотношения (6.59) находим g(/) = -^ = Й0)дТкз1пй/ dt 1+co2t2cos2Q/ Применяя (2.24), находим 2 л (* £ (/) sin Qfd (Q/), л J о 2л ^3 = J_ Г § (0 Sin 3Qtd (Qt). Л J о Произведя интегрирование (см. (2.553.3), (2.554.2) и (3.644.3) в [7]), получим сле- дующие окончательные формулы для амплитуд-первой и третьей гармоник функции ИО: о _____________ „ 2 (1-1/’Н-о)2тИ3 $ 1х------<^з------------------------------------------• (6.63) ттк А к 7 тк со2т2 Рис. 6.27. Зависимость коэффициента гар- моник от девиации сод при заданной по- стоянной времени контура тк Рис. 6.28. Возникновение паразитной AM при модуляции частоты 201
Далее по формуле (6.61) находим фазовый сдвиг для сообщения у = arctg — — arctg [-----------(1Л1 + ш| — 1) Шд [ т<одтк Д к > (6.64) Теперь нетрудно определить коэффициент гармоник по частоте 3Q на выходе ча- стотного детектора. Для этого нужно разделить амплитуду <?3 третьей гармоники функ- ции £ на амплитуду сод основной частоты Q [см. (6.63)]: А = _2_ 1-/1+<)*?£ (Од т (Од тк (6.65) График зависимости /иКгз (<одтк) изображен на рис. 6.27. При (одтк <С 1 форму- лы (6.64) и (6.65) упрощаются: У ~ , Кг3 ~ («д тк)3/4/и. При (ОдТк 1 (но 1), т. е. при девиации, почти равной полосе пропускания контура, формулы (6.64) и (6.65) дают у=0,8/т, Лг3 = 0,13//и. Итак, в условиях, когда метод мгновенной частоты применим, предельные иска- жения в одиночном контуре не превышают долей процента. Нетрудно найти изменения амплитуды выходного колебания. Для этого можно воспользоваться резонансной кривой контура и произвести построение, показанное на рис. 6.28. Видно, что основная частота изменения огибающей амплитуд U вдвое пре- вышает частоту модуляции Q. Глава 7. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 7.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ Пусть на входе линейного четырехполюсника (рис. 7.1) с передаточной функ- цией К (tw) и импульсной характеристикой g (t) действует случайный процесс s (0 с заданными статистическими характеристиками; требуется найти статистические характеристики процесса sBbIX (/) на выходе четырехполюс- ника. В гл. 4 были рассмотрены основные характеристики случайного процес- са: распределение вероятностей; корреляционная функция; спектральная плотность мощности. Определение последних двух характеристик является наиболее простой задачей. Иначе обстоит дело с определением закона распределения случай- ного процесса на выходе линейной цепи. В общем случае при произвольном распределении процесса на входе отыска- ние распределения на выходе инерционной , о цепи представляет собой весьма сложную 1W? задачу Лишь при нормальном распределении Рис. 7.1. Линейный четырехпо- люсник с постоянными пара- метрами входного процесса задача упрощается, так как при любых линейных операциях с гауссовским процессом (усилении, фильтра- 202
ции, дифференцировании, интегрировании и т. д.) распределение остается нормальным, изменяются лишь функции /?(т) и W (со). Поэтому, если зада- на плотность вероятности входного процесса (с нулевым средним) р (s) ----5--ехр (------—, У2ло« *4 2°з ) то плотность вероятности на выходе линейной цепи 1 ___/ йвых (7.1) Р («вых) = -=^------ехр у 2л (J8 вых \ ZaSBUX Дисперсия Р8ВЫХ = о?вых легко определяется по спектру или по кор- реляционной функции. Таким образом, анализ передачи гауссовских про- цессов через линейные цепи по существу сводится к спектральному (или корреляционному) анализу. Последующие четыре параграфа посвящены преобразованию только спек- тра и корреляционной функции случайного процесса; Это рассмотрение спра- ведливо при любом законе распределения вероятностей. Вопрос же о пре- образовании закона распределения при негауссовских входных процессах рассматривается в §7.6—7.7. 7.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ ЦЕПИ Содержание данного параграфа ограничено рассмотрением стационар- ных случайных процессов. Спектральную плотность входного процесса обозначим (со). Задача нахождения Ws вых (со) легко решается с помощью рассуждений, аналогич- ных использованным при выводе выражения (4.31). Умножив спектральную плотность Хи- (со) «усеченной» реализации процесса хк (t) на передаточную функцию фильтра К (/со), получим спектральную плотность этой же реали- зации на выходе ^ктвых ~ ^кт К (t<B)- Энергию рассматриваемого отрезка реализации можно определить с по- мощью равенства Парсеваля Т/2 оо 5*Твых= f xlTBux(t)dt = -^- f I XhT (m)V I К (ico) |2 dco. J J — T/2 —oo Тогда по аналогии с выражением (4.34) получаем Wt вых (co) = lim = W, (co) A2 (co). (7.2) T->oc 1 Корреляционная функция случайного процесса на выходе фильтра опре- деляется с помощью выражения (4.39'): оо оо Я,вых(т)=~ f lFSBbIX(co)e^dco=J- ( (со) Г (со) е^ dco. (7.3) 2л J 2л J — оо —ОО Соотношения между характеристиками случайных процессов на входе и выходе цепи можно вывести также и на основе заданной импульсной ха- рактеристики цепи. 203
Действительно, поскольку спектральной функции W 3(со) соответствует корреляционная функция оо ЯЛт) =4" f (7.4) — 00 а спектральной функции К2 (<о) — Rg(y)^J- J (7.5) — оо т. е. корреляционная функция импульсной характеристики g (t) [см., на- пример, (2.136), в которой нужно S2 (со) заменить на № (со)], то произведе- нию спектральных функций (со) и К2 (со) соответствует свертка функ- ций Rs (т) и Rg (т) [см. (2.64)1 оо ^3 ВЫХ (Т) = J ^8 00 Rg О' %) (7.6) — 00 Таким образом, по заданным корреляционным функциям Rs (т) и Rg (т) определяется корреляционная функция на выходе /?8 вых(т), после чего находится энергетический спектр ®'звых(®)= f /?,вых(т)е-^</т. (7.7) — оо Особый интерес представляет случай , когда процесс на входе является белым шумом. В этом случае 1Г8ВЫХ (со) = Wo — const и в соответствии с (7.3) и (7.5) 00 /?звых(т)»^ ’ f K^^d^WtRgW. (7.7') — оо Выражение (7.7') можно применять и в тех случаях, когда энергетический спектр Ws (со) равномерен лишь в полосе прозрачности цепи. Итак, ни спектральный, ни корреляционный анализ прохождения ста- ционарного случайного процесса через линейную цепь с постоянными пара- метрами не связан с какими-либо трудностями. 7.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СОБСТВЕННЫХ ШУМОВ В РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЯХ При анализе передачи сигналов по радиоэлектронным цепям наряду с неизбежными искажениями формы сигналов необходимо учитывать также и собственные шумы цепи. Эти шумы, накладываясь на сигнал, ограничивают информационную емкость последнего. Проблема шумов особенно актуальна при усилении слабых сигналов. В радиоэлектронных устройствах имеются два основных источника шумов: дискретная структура тока в усилительных элементах (транзисто- ры, электронные лампы и т. д.) и тепловое движение свободных электронов в проводниках электрической цепи. Рассмотрим первый источник на примере дробового эффекта, присущего электронному току в усилительных приборах. Этот ток представляет собой 204
Рис. 7.2. Спектральная плотность Gi(<o) одиночного импульса и энергетический спектр Wi (со) случайного процесса совокупность импульсов, каждый из которых обусловлен переносом заряда одного электрона. Полный ток, являющийся суммой очень большого числа перекрывающихся, расположенных случайным образом на оси времени импульсов, представляет собой стационарный эргодический случайный про- цесс, для которого справедлива центральная предельная теорема х. Поэто- му распределение электронного тока можно считать нормальным с плотно- стью вероятности р(0 = 1 ———ехр "]/2n (7.8) 2af Постоянную составляющую тока /0 и среднюю мощность флуктуационной составляющей ст? можно определить с помощью следующих рассуждений. Пусть среднее за 1 с число импульсов тока равно kv Так как каждый импульс переносит заряд одного электрона е, то полное количество электри- чества, переносимое в среднем за 1 с, равно k^. Это и есть постоянная со- ставляющая тока. Таким образом, IQ === Введем в рассмотрение спектральную плотность Gx (со) одиночного им- пульса тока ie (t—7ft), обусловленного переносом заряда е одного электро- на (th — момент вылета электрона). Независимо от формы этого импульса значение (со) при со = О равно площади импульса [см. (2.55)]: Gi(0) = f ie(t-th)dt = e. (7.9) —-оо Длительность те импульса ie (t) зависит от геометрии электронного при- бора, от напряженности электрического поля в междуэлектродных проме- жутках и т. д. Ширину спектра импульса в грубом приближении можно приравнять 2/те. Таким образом, модуль спектральной плотности импульса ie (t—th) можно представить в виде графика, показанного на рис. 7.2. Максимальная ордината ~е. Энергия одного импульса по формуле Парсеваля Эх = -у- J G* (со) da>, — оо а суммарная энергия kx импульсов за 1 с, т. е. средняя мощность процесса (при сопротивлении 1 Ом), ^=^31+ /§«=— f + (7.10) х См. §4.2, п. 3. 205
8) Рис. 7.3. Транзисторный (а) и ламповый (б) усилители и единая схема замещения для флуктуационного тока (в) Первое слагаемое в правой части (7.10) определяет мощность флуктуа- ционной составляющей тока, второе слагаемое — мощность постоянной со- ставляющей /0. Из выражения (7.10) вытекает, что энергетический спектр флуктуаци- онной составляющей электронного тока совпадает по форме со спектраль- ной плотностью энергии G\ (со) отдельных импульсов, образующих слу- чайный процесс = (7.11) Примерный вид Wt (со) представлен на рис. 7.2. Учитывая, что kx = IJe, а также то, что в пределах полосы частот ~2/те имеет место равенство (7.9), получаем1 1Гг(ш)«е/0, 0<((D|<l/Te. (7.12) Таким образом, приходим к выводу, что в указанных пределах дробовой шум можно считать белым шумом. Выражения (7.8) и (7.12) определяют основные статистические характе- ристики дробового тока. Теперь нетрудно выявить статистические характеристики напряжения шума на выходе цепи, содержащей «шумящий» элемент. На рис. 7.3, а и б изображены схемы транзисторного и лампового усилителей, а на рис. 7.3, в— единая схема замещения для флуктуационного тока i (t). Входные зажимы база — эмиттер (соответственно сетка — катод) соединены накоротко, чтобы подчеркнуть отсутствие внешнего воздействия на усилитель. В качестве ис- точника шума в схеме замещения показан генератор тока i (t), статистичес- кие характеристики которого р (i) и Wt (<о) были определены выше. Напряжение шума и (/), создаваемое на линейном нагрузочном элементе 2 н (°’), распределено, как и ток i (t), по нормальному закону и2 /?(ц)^ ехр у2л (7.13) Спектральная плотность случайного процесса и (t) определяется соот- ношением Ftt==rf((o)Z2(o)) (7.14) [ср. с (7.2); в данном случае вместо безразмерной передаточной функции К (со) фигурирует сопротивление ZH (со)]. Применяя к (7.14) преобразование (4.39), можно определить корреля- ционную функцию напряжения шума на выходе усилителя, а также вели- чину ои, т. е. среднеквадратическое напряжение шума. 1 В технической литературе также распространена формула (ю) — 2е/0, при выводе которой среднюю мощность о? относят только к положительным частотам. 206
Рассмотрим механизм формирования собственного шума в резистивном и резонансном усилителях. В резистивном усилителе сопротивление ZH (i<o) определим для схемы на рис. 5.10, а по формулам Z (/со) = t /г (а) ----—- . (7.15) R-H/koC'o 1 + (0)С0 R)2 ' ' Постоянная времени цепи RC0 во много раз больше длительности им- пульса те; соответственно полоса пропускания цепи RC0, примыкающая к нулевой частоте, во много раз уже, чем ширина спектра Wt (<о), показанно- го на рис. 7.2. Поэтому при определении воздействия на цепь дробового шу- ма его можно рассматривать как белый шум со спектром Wt (<о) = е!0. Тогда по формуле (7.14) ^u(w) = e/0R2/[l-|-(wC0R)2] (7.16) и по формуле (4.39') Ru (т) = elo R2 — ( -----—------d® = — f----------------d&. 2л J l + (wCn«)2 ,(RC0)2 я J (1//?С0)2 + «2 — oo 0 Вводящий в правую часть интеграл (* COS (ОТ , Л п„ I I т I I -------------doo ~ — RC0 ехр — —- J (1//?С0)2 + <о2 2 ч RCa о Таким образом, р /тх___е1» R pvn ( Гт I \ Я“(Т)'~еХР( ГС?)' При т = О это выражение определяет дисперсию напряжения шума Ои и среднеквадратическое напряжение шума ии: (7.17) (7.18) Нормированная корреляционная функция шума ru(x) = exp(—)t|/RC0). (7.19) Графики спектра Wu (со) и функции ги (т) изображены на рис. 7.4 и 7.5. Интервал корреляции напряжения шума в данном примере определяется величиной |т|/7?С0 « 1. Нетрудно пояснить смысл полученного результат Рис. 7.4. Спектр шумового напряжения на выходе резистивного усилителя Рис. 7.5. Нормированная корреляцион- ная функция шума, соответствующая спектру Fw(co) (рис. 7.4) 207
та. Напряжение шума на нагрузке образуется совокупностью беспорядочно следующих импульсов тока, создаваемых отдельными электронами. Каж- дый из этих импульсов создает импульс напряжения, длительность которого определяется постоянной времени нагрузки. При наложении большого чис- ла импульсов относительная скорость изменения суммарного напряжения шума и (/) должна быть того же порядка, что и скорость изменения отдель- ных импульсов. Поэтому для независимости напряжений, отсчитываемых в моменты t и t + т, величина т должна быть не менее длительности импуль- сов, образующих шум. Для количественной оценки напряжения шума, создаваемого дробовым эффектом, приведем следующий пример, характерный для апериодического усилителя: постоянный ток 1й — 10 мА, сопротивление нагрузки R = 5 кОм, емкость Со — 50 пФ. Применяя формулу (7.18), находим среднеквадратическое напряжение шума на выходе усилителя °,. * 1/ 1 '" 'в-'5-101 = 2,8-10-* В -0,28 мВ. “ V 2-50.10-1’ Определенное таким образом напряжение можно условно рассматривать как результат приложения некоторого напряжения шума ко входу усили- теля. При коэффициенте усиления Ку эквивалентное напряжение шума на входе следует приравнять величине «ск = ои1Ку. При коэффициенте усиления « 100 получаем ыск « 3 мкВ. Это значение и определяет ниж- ний порог сигнала, который еще имеет смысл усиливать данным усилите- лем. Аналогичным образом можно рассмотреть формирование шума в колеба- тельной цепи резонансного усилителя, схема которого изображена на рис. 5.13. По аналогии с выражением (7.14) определим спектр W и (®) = Wt (to) ZlK (to) = elo Z*9K (to), (7.20) где Z3K (i®) = --------, 1+^ЭК ... 2(ft)—G)p) 1 4-1 — Чэн G)p а Z8K p = ₽ш — сопротивление контура (шунтированного резистором Яш) при резонансе. Отсюда квадрат модуля сопротивления нагрузки Z9\(to) = ₽Ml +(«>-top)M], (7.21) где тк = 2Q9K/top — постоянная времени контура. Таким образом, U7u (to) = е/0 £»,/[ 1 + (to -®р)2 тИ. (7.22) График спектра Wu (to) изображен на рис. 7.6. Выражение (4.39') для корреляционной функции в данном случае при- нимает следующий вид: Яи (т) = е10 Я2, — ( ------е'ОТ dto = elo Rm — f , ,-C°S(°T — Ж». 2Л J 1 + (G) — G)p)2 T* Л J 1+(G)—G)p)2T® — oo 0 208
Рис. 7.6. Спектр шумового напряжения на выходе резонансного усилителя Рис. 7.7. Нормированная корреляцион- ная функция, соответствующая спектру Wu (о) (рис. 7.6) Переходя к новой переменной (ох ~ <о — (ор, получаем Rub) COS ((01 + <0р) т cos <0р т cosdo — sin й)р т 1 + <o?t* 1 p sin (Qi т 1+(O*T* d(ox л ~wp Заметим, что при достаточно большой добротности контура выполняется условие тк ~ wp (2QaK/®p) =- 2Q3K 1. Поэтому нижний предел интегралов ~<ор можно заменить на —оо. Вто- рой интеграл обращается при этом в нуль вследствие нечетности подынтег- ральной функции относительно переменной интегрирования (ov Первый же интеграл вследствие четности подынтегральной функции приводится к виду С ±0^1 Т d _2? COSW?T d^. J 1+<0?т* т* J 1/т’+со? -<op о Аналогичный интеграл был вычислен при выводе формулы (7.17). Ис- пользуя этот результат, получаем Ru (т) = cos V ± е-'т"гк в “V ' л р т» 2 = -° е-|т|/Тк cos <0р т = elo Rm ак е-а«|т| cos сор т. (7.23) тк Здесь через ак = 1/тк обозначено затухание контура. Учитывая, что при шунтировании контура сопротивлением /?ш коэффициент затухания ак = = 1/2%шС, записываем формулу (7.23) в следующей форме: Ru(T)«^Se-aKwcos®pT. (7.23') Из формул (7.23), (7.23') вытекает, во-первых, что средний квадрат напря- жения шума на контуре о« ®=RU (0) =е/0/?ш ®к&е/07?ш/2С (7.24) 209
и среднеквадратическое напряжение шума ои = Vel0Rm/2C; во-вторых, нормированная корреляционная функция определяется выражением ги (т) --=е~“к|т| cos<OpT = e_,T|/TKcos(OpT. (7.25) График функции ги (т) показан на рис. 7.7. Интервал корреляции в рас- сматриваемом случае определяется ходом огибающей функции ги (т), т. е. множителем е-|т,/т« в выражении (7.25). Пересчет напряжения шумов ко входу усилителя, как и для апериоди- ческого усилителя, можно сделать по формуле иск = ои1Ку, в которой под Ку следует подразумевать коэффициент усиления на резонансной частоте. Напряжение шума, выделяемое на высокодобротном колебательном кон- туре, показано на рис. 4.17. Приведенные в § 4.6 характеристики узкополос- ного случайного процесса могут быть полностью отнесены к дробовому шуму в резонансном усилителе. Нужно иметь в виду, что изложенный в данном параграфе материал дает представление лишь о методе анализа характеристик собственных шумов, формируемых избирательной цепью усилителя. Механизм образования шу- мов зависит от ряда физических и конструктивных особенностей усилитель- ных (активных) элементов, которые здесь не рассматриваются. В заключение укажем, что приведенные выше соотношения можно ис- пользовать также при анализе теплового шума в избирательных цепях. Не- обходимо лишь спектр такого шума определять по формуле, известной из физики, Wu (со) = 2kTR, (7.26) где R — сопротивление резистора, генерирующего шум; k = 1,38 X х 10-23 Вт • с/град — постоянная Больцмана; Т — асболютная темпера- тура. Тепловой шум является белым шумом. Как и в выражении (7.12), Wu (со) здесь определено для положительных и отрицательных частот. При отнесении мощности шума только к положи- тельным частотам коэффициент 2 следует заменить на 4. 7.4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ Пусть задан стационарный эргодический случайный процесс s (/) со спектром Ws (со) и корреляционной функцией (т); требуется найти ана- логичные характеристики для производной s (t). Не останавливаясь здесь на рассмотрении всех условий дифференцируемости случайной функции, ограничимся основным требованием: энергетический спектр (со) при со —> оо должен убывать быстрее, чем 1 /со2, так что $ со2 №s (со) dco < оо. (7.27) — оо Это условие выполняется для большинства практических задач, так как спектр Ws (со) формируется физической цепью, передаточная функция ко- торой при со —> оо убывает быстрее, чем 1/со (а квадрат модуля уменьшается быстрее, чем 1/со2). Условию (7.27) не отвечает белый шум с бесконечно широ- ким спектром, однако обычно рассматривается шум с ограниченным спектром. 210
Считая условие (7.27) выполненным, рассмотрим прохождение случай- ного сигнала s (t) через идеальную дфференцирующую цепь, передаточная функция которой К (tco) = 1<от0 [см. (6.17)]. Применяя выражения (7.2), (7.3), можем написать Ws вых (со)« № (<о) Fs (®)« т2 со2 Ws (®), (7.28) оо *звыХ(т)=%24- ( (7.29) zJt J — оо Дисперсия процесса на выходе устройства О8вых = ^= ( ®2r»d®. (7.30) 2 Л J — оо Рассмотрим следующий пример. Пусть спектр процесса на входе диффе- ренцирующего устройства равномерен в полосе частот W.(®) = !W° при ]<о|С2лА = Д®1, 4 [ 0 при |со| >2яД =Дсо1. Корреляционная функция подобного процесса [см. (4.41)] R, (т) = Ц70 2/i (sin Д<01 т/Д©! т), а дисперсия D8=a2=R8(O)=ro2f1. (7.31) Нормированная корреляционная функция rs (т) — (sin Д<01Т)/Д®1Т. (7.32) После дифференцирования получаем 1Г8 вых (со) — т2 со2 1Го и Rs вых (х) ==то — С ®2 cos (ord® = —? {2 Да^т cos Д(0]Т 4- nJ 51 Т О + [(Д<01Т)2—2] sin Acoft). Домножив числитель и знаменатель на (Д<01)3 и учитывая, что Ц70 Д<0!= Ц702л/:1 = ло2, приводим предыдущее выражение к виду Rs вых (Т) = (ДЮ1Т0)2 О| У(Д(0! т), (7.33) где т/ (Д«>1 т) = (Д®! т) ~3 {2Д«»1Т cos Д®х т 4- [(Д®г т)2— 2] sin AiOj т}. При т —> 0 получается неопределенность вида 0/0. Применив правило Лопиталя, получим z/(0) = l/3. Тогда ^звых(О)=Овых=(Д<О1То)г0^ //(0) =Os2 То(Д<О1)2/3. (7.33') Сопоставляя (7.33') с выражением (4.83'), в котором Д®0 следует заменить на Acoj, а г0(т) на г8(т), приходим к окончательному резуль- тату «звых(6)= -о?т§г;(0). (7.34) В § 7.6 будет показано, что выражение (7.33') справедливо для произ- водной любого стационарного случайного процесса (при К («о)= i <ото). 211
Графики функций Ws (со) и Wa вых (со), а также функций га (т) и га вых (т) изображены на рис. 7.8, а и б; параметр A<OjT0 = 1. Из рисунка видно, что дифференцирование приводит к ослаблению нижних частот ис- ходного процесса. Относительное возрастание высших частот приводит к бо- лее четко выраженной осцилляции корреляционной функции (см. рис. 7.8, б). Рассмотрим теперь прохождение того же случайного сигнала через реаль- ное дифференцирующее устройство в виде /?С-цепи (см. рис. 6.7). Квадрат передаточной функции дифференцирующей цепи в соответствии с (6.19) №(со) =св2т“/(1 +со2т^), т0 — RC. Таким образом, энергетический спектр на выходе цепи IV/ 0)2 т0 IV/ _ (AW1 То)2 ((d/AcOi)2 w/ W 8 ВЫХ W = ~W 0 ~ 1 | /А---------------?2/ /А-W °* 1 + (й2 т§ 1