Радиотехнические цепи и сигналы - Гоноровский И.С.

1. Общая характеристика радиотехнических процессов сигналов и цепей
1.2. Преобразование сигналов в радиотехнических системах
1.3. Классификация процессов, используемых в системах связи
1.4. Радиотехнические цепи и методы их анализа
1.5. Проблема помехоустойчивости и электромагнитной совместимости радиотехнических систем
2. Характеристики детерминированных сигналов
2.2. Представление произвольного сигнала в виде суммы элементарных колебаний
2.3. Гармонический анализ периодических сигналов
2.4. Спектры простейших периодических сигналов
2.5. Распределение мощности в спектре периодического сигнала
2.6. Гармонический анализ непериодических сигналов
2.7. Соотношение между спектрами одиночного импульса и периодической последовательности импульсов
2.8. Некоторые свойства преобразования Фурье
2.9. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
2.10. Примеры определения спектров непериодических сигналов
2.12. Соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра. Скорость убывания спектра
2.13. Спектры некоторых неинтегрируемых функций
2.14. Представление сигналов на плоскости комплексной частоты
2.15. Представление сигналов с ограниченной полосой частот в виде ряда Котельникова
2.16. Теорема отсчетов в частотной области
2.18. Корреляционный анализ детерминированных сигналов
2.19. Соотношение между корреляционной функцией и спектральной характеристикой сигнала
3.2. Радиосигналы с амплитудной модуляцией
3.3. Спектр амплитудно-модулированного колебания
3.4. Угловая модуляция. Фаза и мгновенная частота колебания
3.5. Спектр колебания при угловой модуляции. Общие соотношения
3.6. Спектр колебания при гармонической угловой модуляции
3.7. Спектр радиоимпульса с частотно-модулированным заполнением
3.8. Спектр колебания при амплитудно-частотной модуляции
3.9. Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала
3.11. Корреляционная функция модулированного колебания
3.12. Дискретизация узкополосного сигнала
4. Основные характеристики случайных процессов
4.3. Спектральная плотность мощности случайного процесса
4.4. Соотношение между спектральной плотностью и ковариационной функцией случайного процесса
4.5. Взаимная корреляционная функция и взаимная спектральная плотность двух случайных процессов
4.8. Геометрическое представление сигналов. Пространство сигналов
5. Линейные радиотехнические цепи с постоянными параметрами
5.2. Активный четырехполюсник как линейный усилитель
5.3. Частотные и временные характеристики радиоэлектронных цепей
5.5. Каскадное соединение идентичных апериодических усилителей
5.7. Обратная связь в активном четырехполюснике
5.8. Применение отрицательной обратной связи для улучшения характеристик усилителя
5.9. Устойчивость линейных активных цепей с обратной связью. Алгебраический критерий устойчивости
6. Прохождение детерминированных сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами
6.4. Прохождение дискретных сигналов через апериодический усилитель
6.5. Дифференцирование и интегрирование сигналов
6.6. Анализ радиосигналов в избирательных цепях. Метод огибающей
6.7. Прохождение радиоимпульса через резонансный усилитель
6.8. Линейные искажения амплитудно-модулированного колебания в резонансном усилителе
6.9. Прохождение фазоманипулированного колебания через резонансную цепь
6.10. Прохождение частотно-манипулированного колебания через избирательную цепь
6.11. Прохождение частотно-модулированного колебания через избирательные цепи
7. Прохождение случайных процессов через линейные цепи с постоянными параметрами
7.2. Спектральная плотность мощности и корреляционная функция случайного процесса на выходе цепи
7.3. Характеристики собственных шумов в радиоэлектронных цепях
7.4. Дифференцирование случайной функции
7.6. Параметры распределения случайного процесса на выходе линейной цепи. Характеристическая функция
7.7. Нормализация случайных процессов в узкополосных линейных цепях
8.2. Аппроксимация нелинейных характеристик
8.3. Воздействие узкополосного радиосигнала на безынерционные нелинейные элементы
8.4. Воздействие бигармонического колебания на нелинейный резистивный элемент
8.10. Частотное и фазовое детектирование
8.13. Получение амплитудно-модулированных колебаний
8.14. Резонанс в колебательном контуре с нелинейной емкостью
8.15. Воздействие гармонического сигнала на нелинейную емкость. Умножитель частоты на варакторе
8.16. Воздействие двух гармонических колебаний на цепь с нелинейным энергоемким элементом
8.18. Моделирование процессов в нелинейных цепях по заданному дифференциальному уравнению
9. Генерирование гармонических колебаний
9.2. Возникновение колебания в автогенераторе
9.4. Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения
9.6. Нелинейное уравнение автогенератора
9.9. Автогенераторы с внутренней обратной связью
9.10. Автогенератор с линией задержки в цепи обратной связи
9.12. Действие гармонической ЭДС на цепи с положительной обратной связью. Регенерация
9.13. Действие гармонической ЭДС на автогенератор. Захватывание частоты
9.14. Угловая модуляция в автогенераторе
10.2. Прохождение сигналов через линейные цепи с переменными параметрами
10.3. Пример определения импульсной характеристики параметрической цепи
10.4. Передаточная функция цепи с периодически изменяющимся параметром
10.5. Принцип параметрического усиления сигналов
10.6. Одноконтурный параметрический усилитель
10.7. Двухконтурный параметрический усилитель
10.8. Параметрическое возбуждение колебаний
10.9. Сопоставление параметрических и нелинейных преобразований сигналов
11. Воздействие случайных колебаний на нелинейные и параметрические цепи
11.2. Преобразование случайного процесса в безынерционных нелинейных цепях
11.3. Преобразование спектра случайного процесса в безынерционном нелинейном элементе
11.4. Воздействие узкополосного шума на амплитудный детектор
11.5. Совмест ное воздействие гармонического сигнала и гауссовского шума на амплитудный детектор
11.6. Совместное воздействие гармонического сигнала и гауссовского шума на частотный детектор
11.7. Взаимодействие гармонического сигнала и гауссовского шума в амплитудном ограничителе с резонансной нагрузкой
11.8. Корреляционная функция и спектр случайного процесса в линейной параметрической цепи
11.9. Влияние мультипликативной помехи на закон распределения сигнала
12. Дискретная обработка сигналов. Цифровые фильтры
12.3. Передаточная функция цифрового фильтра
12.5. Применение метода z-преобразования для анализа дискретных сигналов и цепей
12.6. z-Преобразование временных функций
12.7. z-Преобразование передаточных функций дискретных цепей
12.9. Цифровые фильтры с комплексными весовыми коэффициентами
12.10. Преобразование аналог—цифра. Шумы квантования
12.11. Преобразование цифра—аналог и восстановление континуального сигнала
12.12. Быстродействие арифметического устройства цифрового фильтра
12.13. Алгоритм цифровой фильтрации во временной и частотной областях
12.15. Спектральный анализ на базе быстрого преобразования Фурье
12.16. Применение быстрого преобразования Фурье в устройствах обработки сигналов
13. Принципы оптимальной линейной фильтрации сигнала на фоне помех
13.2. Передаточная функция оптимального фильтра
13.3. Импульсная характеристика согласованного фильтра. Физическая осуществимость
13.4. Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра
13.5. Примеры построения согласованных фильтров
13.6. Формирование сигнала, сопряженного с заданным фильтром
13.7. Фильтрация заданного сигнала при небелом шуме
13.8. Фильтрация сигнала с неизвестной начальной фазой
13.9. Согласованная фильтрация комплексного сигнала. Квадратурная обработка
14. Представление сигналов некоторыми специальными функциями
14.2. Ортогональные полиномы и функции непрерывного типа
14.4. Различные способы нумерации функций Уолша
15. Элементы синтеза линейных радиоцепей
15.2. Представление аналогового четырехполюсника каскадным соединением элементарных четырехполюсников
15.3. Реализация безындуктивностной цепи второго порядка
15.4. Особенности синтеза четырехполюсника по заданной амплитудно-частотной характеристике
15.5. Синтез фильтра нижних частот. Фильтр Баттерворта
15.6. Пример синтеза фильтра Баттерворта второго порядка
15.8. Синтез различных фильтров на основе фильтра нижних частот
15.9. Связь между амплитудно- и фазочастотной характеристиками в цифровых цепях
15.10. Примеры определения ФЧХ цифрового фильтра по заданной АЧХ
15.11. Синтез цифровых фильтров. Общие замечания
15.12. Синтез цифровых фильтров по аналоговому прототипу
15.13. Метод инвариантных частотных характеристик
16. Обобщенная линейная фильтрация сигналов. Кепстральный анализ
16.2. Обобщенная схема гомоморфной обработки сигналов
16.3. Гомоморфная обработка мультипликативного сигнала
16.4. Гомоморфная обработка свернутого сигнала
16.5. Кепстральный анализ сигналов. Кепстр мощности
16.7. Пример определения задержки сигнала
16.11. Некоторые свойства кепстральных преобразований
Приложение 2. Правило преобразования спектральной плотности при интегрировании сигнала
Приложение 3. Согласованная фильтрация узкополосного сигнала с неизвестной начальной фазой
Приложение 4. Согласованная фильтрация комплексного сигнала
Приложение 5. О неоднозначности определения фазочастотной характеристики спектра сигнала
Author: Гоноровский И.С.
Tags: электротехника городской транспорт радиотехника
ISBN: 5-7107-7985-7
Year: 2005
Similar
Радиотехнические цепи и сигналы
Радиотехнические цепи и сигналы.
Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи
Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи
Text
                    11-9
:СКЯ
*/4
PCS
IX
Я ;
Sr
1?
Классики отечественной науки
И. С. Гоноровский
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ
И СИГНАЛЫ
л dpoOq
ЧГ^
А

Классики отечественной науки
И. С. Гоноровский
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
И СИГНААЫ
Издание пятое, исправленное
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки
«Радиотехника»
МОСКВА 2006

УДК 621.37
ББК 39.841
Г65
Серия «Классики отечественной науки»
основана в 2003 году
Рецензенты:
кафедра «Теоретическая радиотехника»
Московского авиационного института
(зав. кафедрой д.т.н., доцент Ю. В. Кузнецов);
д.т.н., профессор В.Г.Карташев
(Московский энергетический институт);
д.т.н., доцент В. В. Сизых
(нач. кафедры «Радиоэлектронные системы»
Института криптографии связи и информатики
Академии ФСБ России)
Гоноровский, И. С.
Г65 Радиотехнические цепи и сигналы : учеб. пособие для ву-
зов / И. С. Гоноровский. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: Дрофа,
2006. — 719, [1] с. : ил. — (Классики отечественной науки).
ISBN 5-7107-7985-7
В книге изложены классические основы теории детерминированных
и случайных сигналов, преобразования сигналов в радиотехнических
цепях, включая вопросы обработки цифровых сигналов, статистических
методов в радиотехнике, синтеза цифровых цепей, а также кепстральный
анализ сигналов.
За создание этой книги автору в 1988 году была присуждена Госу-
дарственная премия в области науки и техники. Она отличается высоким
научно-методическим уровнем, фундаментальностью, оригинальным автор-
ским подходом и пользуется широкой известностью у специалистов радио-
технической отрасли, аспирантов и студентов.
В настоящее исправленное пятое издание введены краткие библиогра-
фические сведения об авторе.
Для студентов и аспирантов радиотехнических специальностей
вузов, а также радиоинженеров.
УДК 621.37
ББК 39.841
ISBN 5-7107-7985-7
© ООО «Дрофа», 2006

ВСТУПЛЕНИЕ
Настоящее, пятое издание книги «Радиотехнические цепи
и сигналы» (РТЦиС) выдержало испытание временем как учеб-
ник для подготовки специалистов в области радиотехники и
электроники. Ценность учебника заключается в его фундамен-
тальности, оригинальном авторском подходе к изложению мате-
риала.
Несмотря на то что со времени предыдущего издания учебни-
ка прошло более 15 лет, он не утратил актуальности и сегодня
остается настольной книгой не только для студентов, но и для
дипломированных специалистов — создателей новой техники и
исследователей в области теории систем связи и обработки сиг-
налов.
Предыдущее, четвертое издание (1986), было в 1988 г. удос-
тоено Государственной премии СССР в области науки и тех-
ники.
В созданном И. С. Гоноровским курсе «Радиотехнические це-
пи и сигналы» впервые был осуществлен по существу революци-
онный отход от традиционного изложения основ теоретической
радиотехники в пользу комплексного подхода к построению базо-
вого курса, увязывающего основные направления современной
радиоэлектроники — сигналы и формирующие и обрабатываю-
щие их системы. Широта взглядов и глубина подходов позволя-
ют данному курсу оставаться востребованными несколькими по-
колениями специалистов в различных областях радиоэлектрони-
ки, которая является чрезвычайно быстро развивающейся
областью базовых знаний. Это обстоятельство заставляет жестко
отбирать материал, излагаемый в курсе так, чтобы он отвечал
современным требованиям и учитывал тенденции развития ра-
диоэлектроники. Наряду с бурным развитием цифровой техники
и ее проникновением в жизнь общества аналоговая техника так-
же бурно развивается, опираясь на новые технологии. Таким об-
разом, курс РТЦиС должен обеспечивать динамичное развитие
этих направлений.

6
Вступление
В соответствии с этим настоящее учебное пособие содержит
разделы, посвященные:
• теории детерминированных и случайных процессов как непре-
рывного, так и дискретного времени;
• характеристикам детерминированных видеосигналов и поло-
совых сигналов непрерывного времени;
• характеристикам случайных процессов непрерывного времени;
• характеристикам линейных радиотехнических цепей с непре-
рывным временем с постоянными параметрами;
• прохождению детерминированных сигналов и случайных
процессов через линейные радиотехнические цепи непрерыв-
ного времени;
• нелинейным цепям и методам их анализа;
• генерированию гармонических колебаний;
• обработке сигналов дискретного времени;
• цифровым фильтрам;
• принципам оптимальной линейной фильтрации сигналов на
фоне помех;
• разложению сигналов по ортогональным функциям;
• элементам синтеза линейных радиоцепей;
• кепстральному анализу.
Приведенный список разделов указывает на широту охвата
материала и свидетельствует о фундаментальности курса.
Новое издание книги И. С. Гоноровского, выходящее в серии
«Классики отечественной науки», восполнит дефицит в высоко-
качественной научной и учебной литературе в области радио-
электроники и информатики.
Коллектив кафедры теоретической радиотехники
Московского авиационного института

Оглавление
Предисловие к четвертому изданию 13
Глава 1. Общая характеристика радиотехнических процессов,
сигналов и цепей 15
1.1. Передача сигналов на расстояние и используемые
в системах связи частоты 15
1.2. Преобразование сигналов в радиотехнических системах 19
1.3. Классификация процессов, используемых в системах связи 22
1.4. Радиотехнические цепи и методы их анализа 26
1.5. Проблема помехоустойчивости и электромагнитной
совместимости радиотехнических систем 30
Глава 2. Характеристики детерминированных сигналов 32
2.1. Энергетические характеристики 32
2.2. Представление произвольного сигнала в виде суммы
элементарных колебаний 33
2.3. Гармонический анализ периодических сигналов 37
2.4. Спектры простейших периодических сигналов 41
2.5. Распределение мощности в спектре периодического сигнала .... 45
2.6. Гармонический анализ непериодических сигналов 46
2.7. Соотношение между спектрами одиночного импульса
и периодической последовательности импульсов 49
2.8. Некоторые свойства преобразования Фурье 51
2.9. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала .... 56
2.10. Примеры определения спектров непериодических сигналов 57
2.11. Бесконечно короткий импульс с единичной площадью
(дельта-функция) 65
2.12. Соотношение между длительностью сигнала и шириной
его спектра. Скорость убывания спектра 69
2.13. Спектры некоторых неинтегрируемых функций 79
2.14. Представление сигналов на плоскости комплексной частоты .... 81
2.15. Представление сигналов с ограниченной полосой частот
в виде ряда Котельникова 87
2.16. Теорема отсчетов в частотной области 91
2.17. Дискретизованные сигналы 93
2.18. Корреляционный анализ детерминированных сигналов 97
2.19. Соотношение между корреляционной функцией
и спектральной характеристикой сигнала 102
Глава 3. Модулированные колебания 103
3.1. Общие определения 103
3.2. Радиосигналы с амплитудной модуляцией 106
3.3. Спектр амплитудно-модулированного колебания 109
3.4. Угловая модуляция. Фаза и мгновенная частота колебания 117

8 Оглавление
3.5. Спектр колебания при угловой модуляции.
Общие соотношения 121
3.6. Спектр колебания при гармонической угловой модуляции 122
3.7. Спектр радиоимпульса с частотно-модулированным
заполнением 128
3.8. Спектр колебания при амплитудно-частотной модуляции 131
3.9. Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала 134
3.10. Аналитический сигнал 142
3.11. Корреляционная функция модулированного колебания 149
3.12. Дискретизация узкополосного сигнала 152
Глава 4. Основные характеристики случайных процессов 156
4.1. Общие определения 156
4.2. Виды случайных процессов. Примеры 162
4.3. Спектральная плотность мощности случайного процесса 169
4.4. Соотношение между спектральной плотностью
и ковариационной функцией случайного процесса 171
4.5. Взаимная корреляционная функция и взаимная
спектральная плотность двух случайных процессов 176
4.6. Узкополосный случайный процесс 180
4.7. Комплексный случайный процесс 188
4.8. Геометрическое представление сигналов. Пространство сигналов . . 192
4.9. Пространство случайных процессов 198
Глава 5. Линейные радиотехнические цепи
с постоянными параметрами 202
5.1. Определения и свойства активных цепей 202
5.2. Активный четырехполюсник как линейный усилитель 209
5.3. Частотные и временные характеристики
радиоэлектронных цепей 216
5.4. Апериодический усилитель 217
5.5. Каскадное соединение идентичных апериодических усилителей .. . 219
5.6. Резонансный усилитель 222
5.7. Обратная связь в активном четырехполюснике 225
5.8. Применение отрицательной обратной связи
для улучшения характеристик усилителя 230
5.9. Устойчивость линейных активных цепей с обратной
связью. Алгебраический критерий устойчивости 237
5.10. Частотные критерии устойчивости 242
Глава 6. Прохождение детерминированных сигналов
через линейные цепи с постоянными параметрами 247
6.1. Вводные замечания 247
6.2. Спектральный метод 248
6.3. Метод интеграла наложения 250
6.4. Прохождение дискретных сигналов через апериодический
усилитель 252
6.5. Дифференцирование и интегрирование сигналов 256
6.6. Анализ радиосигналов в избирательных цепях.
Метод огибающей 262

Оглавление
9
6.7. Прохождение радиоимпульса через резонансный усилитель 267
6.8. Линейные искажения амплитудно-модулированного
колебания в резонансном усилителе 272
6.9. Прохождение фазоманипулированного колебания
через резонансную цепь 277
6.10. Прохождение частотно-манипулированного колебания
через избирательную цепь 279
6.11. Прохождение частотно-модулированного колебания
через избирательные цепи 282
Глава 7. Прохождение случайных процессов
через линейные цепи с постоянными параметрами 2SS
7.1. Преобразование характеристик случайного процесса
в линейных цепях 288
7.2. Спектральная плотность мощности и корреляционная
функция случайного процесса на выходе цепи 289
7.3. Характеристики собственных шумов в радиоэлектронных
цепях 290
7.4. Дифференцирование случайной функции 298
7.5. Интегрирование случайной функции 301
7.6. Параметры распределения случайного процесса
на выходе линейной цепи. Характеристическая функция 303
7.7. Нормализация случайных процессов в узкополосных
линейных цепях 308
Глава 8. Нелинейные цепи и методы их анализа 311
8.1. Нелинейные элементы 311
8.2. Аппроксимация нелинейных характеристик 314
8.3. Воздействие узкополосного радиосигнала
на безынерционные нелинейные элементы 318
8.4. Воздействие бигармонического колебания на нелинейный
резистивный элемент 323
8.5. Нелинейное резонансное усиление 326
8.6. Умножение частоты 330
8.7. Амплитудное ограничение 333
8.8. Нелинейная цепь с фильтрацией постоянного тока
(выпрямление) 337
8.9. Амплитудное детектирование 341
8.10. Частотное и фазовое детектирование 349
8.11. Преобразование частоты сигнала 356
8.12. Синхронное детектирование 361
8.13. Получение амплитудно-модулированных колебаний 362
8.14. Резонанс в колебательном контуре с нелинейной емкостью 364
8.15. Воздействие гармонического сигнала на нелинейную
емкость. Умножитель частоты на варакторе 368
8.16. Воздействие двух гармонических колебаний на цепь
с нелинейным энергоемким элементом 372
8.17. Теорема Мэнли—Роу 375
8.18. Моделирование процессов в нелинейных цепях
по заданному дифференциальному уравнению 378

10
Оглавление
Глава 9. Генерирование гармонических колебаний 383
9.1. Автоколебательная система 383
9.2. Возникновение колебания в автогенераторе . . . 387
9.3. Стационарный режим автогенератора 392
9.4. Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения 396
9.5. Примеры схем автогенераторов 398
9.6. Нелинейное уравнение автогенератора 402
9.7. Метод фазовой плоскости 406
9.8. Фазовые портреты автогенератора 412
9.9. Автогенераторы с внутренней обратной связью 414
9.10. Автогенератор с линией задержки в цепи обратной связи 417
9.11. ДС-генераторы 420
9.12. Действие гармонической ЭДС на цепи с положительной
обратной связью. Регенерация 426
9.13. Действие гармонической ЭДС на автогенератор.
Захватывание частоты 429
9.14. Угловая модуляция в автогенераторе 434
Глава 10. Цепи с переменными параметрами 437
10.1. Общие характеристики цепей с переменными параметрами 437
10.2. Прохождение сигналов через линейные цепи
с переменными параметрами 441
10.3. Пример определения импульсной характеристики
параметрической цепи 443
10.4. Передаточная функция цепи с периодически
изменяющимся параметром 446
10.5. Принцип параметрического усиления сигналов 449
10.6. Одноконтурный параметрический усилитель 455
10.7. Двухконтурный параметрический усилитель 458
10.8. Параметрическое возбуждение колебаний 464
10.9. Сопоставление параметрических и нелинейных
преобразований сигналов 469
Глава 11. Воздействие случайных колебаний
на нелинейные и параметрические цепи 470
11.1. Вводные замечания 470
11.2. Преобразование случайного процесса в безынерционных
нелинейных цепях 471
11.3. Преобразование спектра случайного процесса
в безынерционном нелинейном элементе 475
11.4. Воздействие узкополосного шума на амплитудный детектор .... 478
11.5. Совмест ное воздействие гармонического сигнала
и гауссовского шума на амплитудный детектор 482
11.6. Совместное воздействие гармонического сигнала
и гауссовского шума на частотный детектор 488
11.7. Взаимодействие гармонического сигнала и гауссовского шума
в амплитудном ограничителе с резонансной нагрузкой 492
11.8. Корреляционная функция и спектр случайного процесса
в линейной параметрической цепи 494
11.9. Влияние мультипликативной помехи на закон
распределения сигнала 499

Оглавление
11
Глава 12. Дискретная обработка сигналов. Цифровые фильтры . . . 502
12.1. Вводные замечания 502
12.2. Принцип дискретной фильтрации 504
12.3. Передаточная функция цифрового фильтра 507
12.4. Характеристики цифровых сигналов 511
12.5. Применение метода ^-преобразования для анализа
дискретных сигналов и цепей 515
12.6. z-Преобразование временных функций 517
12.7. z-Преобразование передаточных функций дискретных
цепей 520
12.8. Примеры анализа цифровых фильтров 523
12.9. Цифровые фильтры с комплексными весовыми
коэффициентами 532
12.10. Преобразование аналог—цифра. Шумы квантования 535
12.11. Преобразование цифра—аналог и восстановление
континуального сигнала 541
12.12. Быстродействие арифметического устройства цифрового
фильтра 545
12.13. Алгоритм цифровой фильтрации во временной
и частотной областях 547
12.14. Быстрое преобразование Фурье 549
12.15. Спектральный анализ на базе быстрого преобразования
Фурье 555
12.16. Применение быстрого преобразования Фурье
в устройствах обработки сигналов 561
Глава 13. Принципы оптимальной линейной фильтрации сигнала
на фоне помех 563
13.1. Постановка задачи 563
13.2. Передаточная функция оптимального фильтра 564
13.3. Импульсная характеристика согласованного фильтра.
Физическая осуществимость 568
13.4. Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра 571
13.5. Примеры построения согласованных фильтров 574
13.6. Формирование сигнала, сопряженного с заданным
фильтром 586
13.7. Фильтрация заданного сигнала при небелом шуме 590
13.8. Фильтрация сигнала с неизвестной начальной фазой 592
13.9. Согласованная фильтрация комплексного сигнала.
Квадратурная обработка 593
13.10. Цифровой согласованный фильтр 598
Глава 14. Представление сигналов некоторыми
специальными функциями 600
14.1. Вводные замечания 600
14.2. Ортогональные полиномы и функции непрерывного типа 601
14.3. Функции Уолша 608
14.4. Различные способы нумерации функций Уолша 616
14.5. Примеры применения функций Уолша 619
14.6. Дискретные функции Уолша 625

12 Оглавление
Глава 15. Элементы синтеза линейных радиоцепей 630
15.1. Вводные замечания 630
15.2. Представление аналогового четырехполюсника каскадным
соединением элементарных четырехполюсников 631
15.3. Реализация безындуктивностной цепи второго порядка 634
15.4. Особенности синтеза четырехполюсника по заданной
амплитудно-частотной характеристике 636
15.5. Синтез фильтра нижних частот. Фильтр Баттерворта 638
15.6. Пример синтеза фильтра Баттерворта второго порядка 642
15.7. Фильтр Чебышева (нижних частот) 643
15.8. Синтез различных фильтров на основе фильтра нижних
частот 646
15.9. Связь между амплитудно- и фазочастотной
характеристиками в цифровых цепях 647
15.10. Примеры определения ФЧХ цифрового фильтра
по заданной АЧХ 651
15.11. Синтез цифровых фильтров. Общие замечания 654
15.12. Синтез цифровых фильтров по аналоговому прототипу 656
15.13. Метод инвариантных частотных характеристик 659
Глава 16. Обобщенная линейная фильтрация сигналов.
Кепстральный анализ 663
16.1. Обобщенный принцип суперпозиции 663
16.2. Обобщенная схема гомоморфной обработки сигналов 666
16.3. Гомоморфная обработка мультипликативного сигнала 670
16.4. Гомоморфная обработка свернутого сигнала 673
16.5. Кепстральный анализ сигналов. Кепстр мощности 676
16.6. Определение задержки сигнала 680
16.7. Пример определения задержки сигнала 683
16.8. Влияние помех 686
16.9. Комплексный кепстр 690
16.10. Свойства комплексного кепстра 692
16.11. Некоторые свойства кепстральных преобразований 697
Приложение 1. Правила перехода от изображения по Лапласу Ls(p)
к спектральной плотности S(co) 702
Приложение 2. Правило преобразования спектральной плотности
при интегрировании сигнала 703
Приложение 3. Согласованная фильтрация узкополосного сигнала
с неизвестной начальной фазой 705
Приложение 4. Согласованная фильтрация комплексного сигнала 705
Приложение 5. О неоднозначности определения фазочастотной
характеристики спектра сигнала 706
Список литературы 709
Условные обозначения 711
Предметный указатель 714
Об авторе 718

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
«Радиотехнические цепи и сигналы» (РТЦиС) — базовый курс
в системе подготовки современного инженера в области радиотех-
ники и радиоэлектроники. Его целью является изучение фунда-
ментальных закономерностей, на которые опирается формирова-
ние и обработка сигналов, их передача по каналам связи, обра-
ботка и преобразование в радиотехнических цепях. Курс РТЦиС,
опирающийся на такие области знаний, как «Математика», «Фи-
зика», «Основы теории цепей», вводит изучающих его в круг но-
вых знаний, глубокое понимание и усвоение которых необходимо
для изучения последующих инженерных дисциплин. Излагае-
мые в курсе РТЦиС методы анализа и его синтеза сигналов и ра-
диотехнических цепей используют математический аппарат, в
основном известный из предшествующих дисциплин. Важная за-
дача курса РТЦиС — научить студентов выбирать методы и
средства, адекватные решаемой задаче, показать, как работает
этот аппарат при решении конкретных научных и технических
задач в области радиотехники. Не менее важно научить студентов
видеть тесную связь математического описания (моделей) с физи-
ческой стороной рассматриваемого явления, уметь составлять мо-
дели изучаемых процессов.
Радиоэлектроника является отраслью знаний, чрезвычайно
быстро развивающейся как в научном, так и в техническом пла-
не. Появляются новые направления, использующие как новые
научные идеи и методы, так и новые схемотехнические решения,
новую техническую базу. Однако и некоторые «старые», тради-
ционные методы и идеи не отмирают, остаются необходимыми в
арсенале радиоинженера. Это обстоятельство заставляет жестко
отбирать материал, излагаемый в курсе так, чтобы он отвечал
современным требованиям и учитывал тенденции развития ра-
диоэлектроники. Неизбежно за рамками курса остаются конк-
ретные вопросы схемотехники, хотя принципиальные вопросы,
необходимые для понимания схемотехнических задач, в курсе
освещаются.

14
Предисловие к четвертому изданию
Каков же круг вопросов, которые в настоящее время наиболее
важны для большинства приложений радиоэлектроники и в соот-
ветствии с новой программой УМУ-Т-7/171 должны составлять
основное содержание курса РТЦиС?
Во-первых, это вопросы теории сигналов:
• спектральный и корреляционный анализ информационных и
управляющих сигналов;
• особенности спектрального и корреляционного анализа узко-
полосных радиосигналов, введение понятий комплексного и
аналитического сигналов;
• основы теории сигналов дискретного времени и цифровых сиг-
налов;
• статистический анализ случайных процессов и помех, изучае-
мый в едином комплексе с детерминированными сигналами.
Во-вторых, это теория преобразования перечисленных выше
сигналов и процессов в линейных цепях — апериодических и
частотно-избирательных.
В-третьих, это основные положения теории нелинейных и па-
раметрических устройств и преобразования в них сигналов.
Важное значение приобрели вопросы теории цифровой обра-
ботки сигналов, оптимальной обработки сигналов на фоне помех
и основные положения теории синтеза радиотехнических це-
пей — аналоговых и цифровых.
В свете перечисленных требований в книгу введены новые раз-
делы и сделаны дополнения, учитывающие специфику современ-
ной элементной базы, новых методов представления сигналов и
методов их обработки. Современный курс, посвященный радио-
цепям и сигналам, невозможен без изложения основных понятий
нового принципа обработки мультипликативных и «свернутых»
сигналов (обобщенная линейная фильтрация), а также кепст-
рального анализа. Для уяснения этих понятий требуется знаком-
ство со всем предыдущим содержанием курса, что и обусловило
помещение новой главы «Обобщенная линейная фильтрация.
Кепстральный анализ» в конце книги.

Глава 1
Общая характеристика радиотехнических
процессов, сигналов и цепей
1.1. Передача сигналов на расстояние
и используемые в системах связи частоты
Основной задачей систем связи является передача сообщений
на расстояние. Расстояние разделяет отправителя и адресата,
датчик команд и исполнительное устройство, исследуемый про-
цесс и измерительный механизм, источник космического радио-
излучения и регистрирующий прибор радиотелескопа, различ-
ные блоки ЭВМ — словом, источник и потребитель информации.
Расстояние, на которое передается сообщение, может быть
очень незначительным (передача команд в ЭВМ от одного блока к
другому) или огромным (межконтинентальная или космическая
связь). Передача сообщений осуществляется с помощью провод-
ных, кабельных, волноводных линий или в свободном простран-
стве. Естественно, что для передачи сигналов целесообразно ис-
пользовать те физические процессы, которые имеют свойство пе-
ремещаться. К числу таких процессов относятся применяемые
электромагнитные волновые процессы.
Любой физический процесс, используемый в качестве агента
(посредника, переносчика) для передачи информации, должен
обладать свойством принимать всю совокупность состояний, по
которым можно было бы однозначно установить соответствую-
щее состояние объекта или процесса, являющегося источником
информации. Для этого волновые процессы подвергают моду-
ляции, которая заключается в том, что высокочастотное коле-
бание, способное распространяться на большие расстояния, наде-
ляется признаками, характеризующими полезное сообщение.
Таким образом, это колебание представляет собой полезный
сигнал, используемый как переносчик сообщения, подлежащего
передаче.
Выбор длины волны излучаемого колебания весьма существен
для обеспечения устойчивой и надежной связи. Выбор того или
иного диапазона волн для каждой конкретной системы связи оп-
ределяется следующими факторами:
• особенностью распространения электромагнитных волн дан-
ного диапазона;

16 Глава 1. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, СИГНАЛЫ И ЦЕПИ
• параметрами помех в данном диапазоне;
• характеристиками сигнала, в том числе шириной спектра;
• габаритными размерами антенной системы, необходимыми
для осуществления направленного излучения.
Практически для использования пригодны те участки диапа-
зона, в которых обеспечиваются требуемые условия передачи по-
лезных сигналов и в приемлемой степени удовлетворяются ос-
тальные перечисленные условия.
Для современных систем связи характерны интенсивное изуче-
ние малоисследованных диапазонов волн и стремление к расшире-
нию диапазона используемых длин волн в сторону как весьма
длинных, так и коротких, вплоть до световых. Последнее не дол-
жно казаться странным, так как радиоволны и световые волны
имеют одинаковую природу (электромагнитные волны). Подразде-
ление радиоволн на диапазоны, вошедшее в практику, представле-
но в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Волны
Декамегаметровые
Мегаметровые
Гектокилометровые
Мириаметровые
Километровые
Гектометровые
Декаметровые
Метровые
Дециметровые
Сантиметровые
Миллиметровые
Децимиллиметровые
Диапазон длин
радиоволн
100 000...10 000км
10 000... 1000 км
1000...100 км
100...10 км
10...1км
1000... 100 м
100...Юм
10...1м
100...10 см
10...1см
10...1 мм
1...0Д мм
Диапазон
радиочастот
3...30Гц
30...300 Гц
300...3000 Гц
3...30 кГц
30...300 кГц
300...3000 кГц
3...30 МГц
30...300 МГц
300...3000 МГц
3...30 ГГц
30...300 ГГц
300...3000 ГГц
Нерекомендуемые
термины
Сверхдлинные
Длинные
Средние
Короткие
Ультракороткие
Субмиллиметровые
Примечание. Длина волны связана с периодом колебания Т или с часто-
той f =1/Т соотношением X = сТ = c/f> где с = 3 • 108 м/с — скорость распростра-
нения электромагнитных волн в вакууме.

1.1. Передача сигналов на расстояние и используемые частоты 17
Связь на мириаметровых и километровых волнах, применяв-
шаяся на первом этапе развития радиотелеграфии, имеет два
больших недостатка:
• необходимость большой мощности передатчика из-за сильного
поглощения поверхностной волны при ее распространении
над земной поверхностью;
• невозможность передачи сигналов, ширина спектра которых
соизмерима с несущей частотой.
Гектометровые волны получили широкое применение в радио-
вещании. Основным преимуществом связи на этих волнах явля-
ется устойчивость приема, недостатком — трудность обеспечения
большой дальности действия. Поэтому на таких волнах осу-
ществляется преимущественно местное радиовещание в зоне с
радиусом в несколько сотен километров. Лишь небольшое число
сверхмощных гектометровых радиостанций обслуживает боль-
шие районы.
Главные преимущества декаметровых волн — возможность
обеспечения большой дальности действия при относительно ма-
лой мощности передатчика и возможность осуществления на-
правленного излучения. Основным недостатком связи на этих
волнах является колебание уровня принимаемого сигнала (зами-
рание), часто сопровождающееся сильными искажениями пере-
дачи при сложной структуре сигнала, состоящего из большого
числа компонентов с различными частотами. Условия распрост-
ранения неодинаковы для различных составляющих спектра сиг-
нала. Это явление, называемое избирательным замиранием, при-
водит к временным выпадениям из спектра сигнала отдельных
составляющих или, наоборот, к увеличению их амплитуд. Таким
образом, в точке приема нарушается правильное соотношение
между отдельными спектральными компонентами сигнала, в ре-
зультате чего искажаются его характеристики, в том числе тембр
и чистота. Так как явление избирательного замирания проявля-
ется тем сильнее, чем шире спектр сигнала, то на декаметровых
волнах осуществлять передачу таких сложных сигналов, как, на-
пример, телевизионные, практически невозможно.
Большой экспериментальный материал по распространению
декаметровых волн позволил установить оптимальные длины
волн для различных часов суток и времени года, что открыло
путь широкому развитию коротковолнового радиовещания. В на-
стоящее время декаметровые волны широко применяются также

18 Глава 1. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, СИГНАЛЫ И ЦЕПИ
в радиотелеграфии на магистральных линиях связи, в морской и
авиационной радионавигации.
В результате освоения диапазонов радиоволн 10 м...0,1 мм по-
явились новые области радиовещания, в частности спутниковая
и космическая связь, телевизионные системы, радиорелейные
линии связи и др. Для диапазона метровых волн характерно
удачное сочетание следующих двух факторов. Применение очень
высокой частоты излучения позволяет соответственно расширить
полосу частот передаваемого сообщения, так как условия переда-
чи и усиления сигналов в радиоаппаратуре определяются в ос-
новном относительной шириной спектра сигнала. Особенности
же распространения метровых волн (в пределах прямой видимос-
ти) почти полностью исключают искажения сигнала из-за интер-
ференции волн, распространяющихся по разным путям.
В современных и перспективных системах связи широко ис-
пользуется оптический диапазон, как для передачи сообщений
по оптиковолоконным линиям связи, так и для создания оптиче-
ских вычислительных устройств. Помимо этого, применяются
комбинированные радио- и оптические системы, в которых осу-
ществляется переход из радиодиапазона в оптический и обратно.
Бурно развиваются локационные системы для мирных и воен-
ных применений:
• мониторинг окружающей среды;
• подповерхностная радиолокация;
• метеорадиолокация;
• радиолокация в системах управления вооружением;
• другие направления.
Из приведенного краткого обзора видно, что развитие систем
связи характеризуется непрерывным расширением используе-
мых диапазонов волн.
Из курса физики известно, что эффективное излучение элек-
тромагнитной энергии можно осуществить лишь при условии,
что геометрические размеры излучающей системы соизмеримы с
длиной волны. Поэтому передача сообщений в диапазоне мириа-
метровых волн затруднена. Напротив, для диапазона световых
волн можно создать малогабаритные излучатели с чрезвычайно
высокой направленностью и огромной концентрацией энергии в
луче. Например, луч, посланный с Земли, образует на поверхно-
сти Луны пятно диаметром всего лишь в несколько сотен метров.
Однако использование световых волн для передачи сообщений в
атмосфере связано с влиянием погодных условий и т. д.

1.2. Преобразование сигналов в радиотехнических системах
19
1.2. Преобразование сигналов в радиотехнических системах
В процессе передачи и приема сообщений сигналы подверга-
ются различным преобразованиям. Некоторые из этих преобразо-
ваний являются типовыми, обязательными для большинства ра-
диотехнических систем независимо от их назначения, а также от
характера передаваемых сообщений. Перечислим эти фундамен-
тальные процессы и попутно отметим их основные черты приме-
нительно к обобщенной схеме радиотехнического канала, пред-
ставленной на рис. 1.1.
Преобразование исходного сообщения в электрический сигнал
и кодирование. При передаче речи и музыки такое преобразование
осуществляется с помощью микрофона, при передаче изображе-
ний (телевидение) — с помощью передающих трубок (например,
суперортикона). При передаче письменного сообщения (радиоте-
леграфия) сначала осуществляют кодирование, заключающееся в
том, что каждая буква текста заменяется комбинацией стандарт-
ных символов (например, точек, тире и пауз в коде Морзе), кото-
рые затем преобразуют в стандартные электрические сигналы (на-
пример, импульсы разной длительности или разной полярности).
Следует отметить, что схема на рис. 1.1 соответствует введе-
нию информации «в начале» канала связи, т. е. непосредственно
в передатчике. Несколько иначе обстоит дело, например, в радио-
локационном канале, где информация о цели (дальность, высота,
скорость и т. д.) получается в результате приема радиоволны, от-
раженной от цели.
Генерация высокочастотных колебаний. Высокочастотный
генератор является источником колебаний несущей частоты.
В зависимости от назначения радиоканала связи мощность коле-
Передатчик
Передающая антенна-
сообщений
Источник М Преобразователь
в электрический
сигнал
Кодирующее III
устройство
Модулятор
Генератор
несущей
частоты
Регистрирующее
устройство
Декодирующее!
устройство
гЧ Детектор
J Линейный частотно-
избирательный усилитель
Приемник Приемная антенна
Рис. 1.1. Радиотехнический канал связи

20 Глава 1. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, СИГНАЛЫ И ЦЕПИ
баний изменяется от тысячных долей до миллионов ватт. Естест-
венно, что конструктивные формы и размеры этих генераторов
различны — от простейшего малогабаритного элемента до гран-
диозного технического сооружения.
Основными характеристиками высокочастотного генератора яв-
ляются частота и диапазонность (возможность быстрой перестрой-
ки с одной рабочей частоты на другую), мощность и КПД1. Особен-
но важное значение для радиотехники имеет стабильность частоты
колебаний. Условия распространения радиоволн и широкий спектр
частот диктуют применение очень высоких несущих частот. Усло-
вия же обработки сигналов на фоне помех и необходимость ослаб-
ления взаимных помех между различными радиоканалами застав-
ляют добиваться максимально возможного уменьшения абсолют-
ных изменений частоты. Это приводит к чрезвычайно жестким
требованиям к относительной стабильности частоты.
Управление колебаниями (модуляция). Процесс модуляции за-
ключается в изменении одного или нескольких параметров высо-
кочастотного колебания по закону передаваемого сообщения. Час-
тоты модулирующего сигнала, как правило, малы по сравнению с
несущей частотой генератора. Для осуществления модуляции ис-
пользуются различные приемы, обычно основанные на изменении
потенциала электродов электронных приборов, входящих в радио-
передающее устройство. Основная характеристика процесса моду-
ляции — степень соответствия между изменением параметра высо-
кочастотного колебания и модулирующим сигналом.
Усиление слабых сигналов в приемнике. Антенна приемника
улавливает ничтожную долю энергии, излучаемой антенной пе-
редатчика. В зависимости от расстояния между передающей и
приемной станциями, от степени направленности излучения ан-
тенн и условий распространения радиоволн мощность на входе
приемника 10"10...10~14 Вт. На выходе же приемника для надеж-
ной регистрации сигнала требуется мощность порядка единиц
ватт и более. Отсюда следует, что усиление в приемнике должно
достигать 107...1014 по мощности или 104...107 по напряжению.
В современных приемниках уверенная регистрация сигнала
обеспечивается при напряжениях на входе порядка 1 мкВ. Реше-
КПД — коэффициент полезного действия.

1.2. Преобразование сигналов в радиотехнических системах
21
ние этой сложной задачи оказывается возможным благодаря до-
стижениям современной электроники. Большую роль играют
также специальные методы построения схем приемников, обес-
печивающие большое усиление при сохранении устойчивости ра-
боты приемника.
Проблема усиления в приемнике неотделима от проблемы вы-
деления сигнала на фоне помех. Поэтому одним из основных па-
раметров приемника является избирательность, под которой под-
разумевается способность выделять полезные сигналы из совокуп-
ности сигнала и посторонних воздействий (помех), отличающихся
от сигнала частотой. Частотная избирательность осуществляется с
помощью резонансных колебательных цепей.
Выделение сообщения из высокочастотного колебания (де-
модуляция и декодирование). Демодуляция является процессом,
обратным модуляции. В результате должно быть получено напря-
жение (ток), изменяющееся во времени так же, как изменяется
один из параметров (амплитуда, частота или фаза) модулирован-
ного колебания, т. е. должно быть восстановлено передаваемое со-
общение. Демодулятор, как правило, включается на выходе при-
емника, следовательно, к нему подводится модулированное ко-
лебание, уже усиленное предыдущими ступенями приемника.
Основное требование к демодулятору — точное воспроизведение
формы сигнала. '
После демодуляции осуществляется декодирование сигнала,
т. е. процесс, обратный кодированию. В ряде радиотехнических
каналов кодирование и декодирование не используются.
Помимо перечисленных процессов % так или иначе связанных с
преобразованием частотных спектров, в радиотехнических уст-
ройствах широкое применение находит усиление колебаний без
трансформации частоты, осуществляемое в различных усилите-
лях. К таким усилителям относятся:
• низкочастотные усилители управляющих сигналов, исполь-
зуемые перед модулятором передатчика, а также на выходе
приемника;
• усилители коротких импульсов, применяемые в телевизион-
ной и радиолокационной технике, а также в импульсных сис-
темах радиосвязи;
• высокочастотные усилители большой мощности, используе-
мые в радиопередающих устройствах;

22 Глава 1. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, СИГНАЛЫ И ЦЕПИ
• высокочастотные усилители слабых сигналов, применяемые в
радиоприемных и измерительных устройствах.
Кроме упомянутых процессов, присущих, как уже отмеча-
лось, любому радиотехническому каналу, в ряде специальных
случаев широко применяются другие процессы: умножение и де-
ление частоты, генерация коротких импульсов, различные виды
импульсной модуляции и т. д.
1.3. Классификация процессов,
используемых в системах связи
С информационной точки зрения процессы можно разделить
на детерминированные и случайные.
Детерминированным называют любое колебание,
мгновенное значение которого в любой момент времени можно
предсказать с вероятностью единица. Примерами детерминиро-
ванных сигналов могут служить импульсы или пачки импуль-
сов, форма, амплитуда и положение во времени которых извест-
ны, а также непрерывный сигнал с заданными амплитудными и
фазовыми соотношениями внутри его спектра.
К случайным относят процессы, мгновенные значения
которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с
некоторой вероятностью, меньшей единицы. Такими процессами
являются, например, электрическое напряжение, соответствую-
щее речи, музыке, последовательности знаков телеграфного кода
при передаче неповторяющегося текста. К случайным сигналам
относится также последовательность радиоимпульсов на входе
радиолокационного приемника, когда амплитуды импульсов и
фазы их высокочастотного заполнения флуктуируют из-за изме-
нения условий распространения, положения цели и некоторых
других причин. Можно привести большое число других примеров
случайных процессов. По существу, любой сигнал, несущий в се-
бе информацию, должен рассматриваться как случайный процесс.
Перечисленные выше детерминированные колебания, «полно-
стью известные», информации не содержат.
Наряду с полезными случайными сигналами в теории и прак-
тике приходится иметь дело со случайными помехами — шума-
ми. Уровень шумов является основным фактором, ограничиваю-

1.3. Классификация процессов, используемых в системах связи 23
щим скорость передачи информации при заданном сигнале. По-
этому изучение случайных сигналов неотделимо от изучения
шумов. Полезные случайные сигналы, а также помехи часто объ-
единяют термином случайные колебания, или слу-
чайные процессы.
Дальнейшее подразделение сигналов связано с их природой:
можно говорить о сигнале как о физическом процессе или как о
закодированных, например в двоичный код, числах.
В первом случае под сигналом понимают какую-либо изме-
няющуюся во времени электрическую величину (напряжение,
ток, заряд и т. д.), определенным образом связанную с передавае-
мым сообщением.
Во втором случае то же сообщение содержится в последова-
тельности двоично-кодированных чисел.
Сигналы, формируемые в радиопередающих устройствах и из-
лучаемые в пространство, а также поступающие в приемное уст-
ройство, где они подвергаются усилению и некоторым преобразо-
ваниям, являются физическими процессами.
В предыдущем параграфе указывалось, что для передачи сооб-
щений на расстояние используются модулированные колебания.
В связи с этим сигналы в канале радиосвязи часто подразделяют
на управляющие сигналы и на радиосигналы;
под первыми понимают модулирующие, а под вторыми — моду-
лированные колебания. Обработка сигналов в виде физических
процессов осуществляется с помощью аналоговых электронных
цепей (усилителей, фильтров и т. д.).
Обработка сигналов, закодированных в цифру, осуществляет-
ся с помощью вычислительной техники.
Представленная на рис. 1.1 и описанная в § 1.2 структурная
схема канала связи не содержит указаний о виде используемого
для передачи сообщения сигнала и структуре отдельных уст-
ройств.
Между тем сигналы от источника сообщений, а также после
детектора (рис. 1.1) могут быть как непрерывные, так и диск-
ретные (цифровые). В связи с этим применяемые в современ-
ной радиоэлектронике сигналы можно разделить на следующие
классы:
• произвольные по величине и непрерывные по времени
(рис. 1.2, а);

24 Глава 1. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, СИГНАЛЫ И ЦЕПИ
• произвольные по величине и дискретные по времени
(рис. 1.2, б);
• квантованные по величине и непрерывные по времени
(рис. 1.2, в);
• квантованные по величине и дискретные по времени
(рис. 1.2, г).
Сигналы первого класса (рис. 1.2, а) иногда называют анало-
говыми, так как их можно толковать как электрические модели
физических величин, или непрерывными, так как они задаются
по оси времени на несчетном множестве точек. Такие множества
называются континуальными. При этом по оси ординат сигналы
могут принимать любое значение в определенном интервале. По-
скольку эти сигналы могут иметь разрывы, как на рис. 1.2, а, то,
чтобы избежать некорректности при описании, лучше такие сиг-
налы обозначать термином континуальный.
Итак, континуальный сигнал s(t) является функцией непре-
рывной переменной t, а дискретный сигнал s(x) — функцией
дискретной переменной х, принимающей только фиксированные
значения [9]. Дискретные сигналы могут создаваться непосредст-
венно источником информации (например, дискретными датчи-
ками в системах управления или телеметрии) или образовывать-
ся в результате дискретизации континуальных сигналов.
На рис. 1.2, б представлен сигнал, заданный при дискретных
значениях времени t (на счетном множестве точек); величина же
сигнала в этих точках может принимать любое значение в опре-
деленном интервале по оси ординат (как и на рис. 1.2, а). Таким
образом, термин дискретный характеризует не сам сигнал,
а способ задания его на временной оси.
Сигнал на рис. 1.2, в задан на всей временной оси, однако его
величина может принимать лишь дискретные значения. В подоб-
ных случаях говорят о сигнале, квантованном по уровню.
sk
И
A s i
1 ^.
а)
б)
в)
г)
Рис. 1.2. Сигналы, произвольные по величине и по времени (я), произвольные по
величине и дискретные по времени (б), квантованные по величине и непрерывные
по времени (в), квантованные по величине и дискретные по времени (г)

1.3. Классификация процессов, используемых в системах связи 25
В дальнейшем термин дискретный будет применяться только
по отношению к дискретизации по времени; дискретность же по
уровню будет обозначаться термином квантование.
Квантование используют при представлении сигналов в циф-
ровой форме цифровым кодированием, поскольку уровни можно
пронумеровать числами с конечным числом разрядов. Поэтому
дискретный по времени и квантованный по уровню сигнал
(рис. 1.2, г) в дальнейшем будет называться цифровым.
Таким образом, можно различать континуальные (рис. 1.2, а),
дискретные (рис. 1.2, б), квантованные (рис. 1.2, в) и цифровые
(рис. 1.2, г) сигналы. Каждому из этих классов сигналов можно
поставить в соответствие аналоговую, дискретную или цифровую
цепи. Связь между видом сигнала и видом цепи показана на
функциональной схеме (рис. 1.3).
При обработке континуального сигнала с помощью аналого-
вой цепи не требуется дополнительных преобразований сигнала.
При обработке же континуального сигнала с помощью дискрет-
ной цепи необходимы два преобразования: дискретизация сиг-
нала по времени на входе дискретной цепи и обратное преобра-
зование, т. е. восстановление континуальной структуры сигнала
на выходе дискретной цепи. Наконец, при цифровой обработ-
ке континуального сигнала требуются еще два дополнительных
преобразования: аналог—цифра, т. е. квантование и цифровое
кодирование на входе цифровой цепи, и обратное преобразование
цифра—аналог, т. е. декодирование на выходе цифровой цепи.
Процедура дискретизации сигнала и особенно преобразование
аналог—цифра требуют очень высокого быстродействия соответ-
ствующих электронных устройств. Эти требования возрастают с
1
[ , Дискрети- ,
1 зация |
1 по времени j
Аналоговая цеп
.ч А-Ц I i
L _ _ J
J
Дискретная
цепь
Цифровая
цепь
П
и
-^-Гц~-а "!-
J
Цифровой сигнал
декретный сигнал
Континуальный сигнал
■ Восстанов- |
1 ление |
1 по времени |
ь
Рис. 1.3. Виды сигнала и соответствующие им цепи

26 Глава 1. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, СИГНАЛЫ И ЦЕПИ
повышением частоты континуального сигнала. Прэтому цифро-
вая техника получила наибольшее распространение при обработ-
ке сигналов на относительно низких частотах (звуковых и видео-
частотах). Однако достижения микроэлектроники способствуют
быстрому повышению верхней границы обрабатываемых частот.
1.4. Радиотехнические цепи и методы их анализа
КЛАССИФИКАЦИЯ ЦЕПЕЙ
Радиотехнические цепи и элементы, используемые для осу-
ществления перечисленных в § 1.2 преобразований сигналов и
колебаний, можно разбить на следующие основные классы:
• линейные цепи с постоянными параметрами;
• линейные цепи с переменными параметрами;
• нелинейные цепи.
Следует сразу же указать, что в реальных радиоустройствах
четкое выделение линейных и нелинейных цепей и элементов не
всегда возможно. Отнесение одних и тех же элементов к линей-
ным или нелинейным часто зависит от уровня воздействующих
на них сигналов. Тем не менее приведенная выше классифика-
ция цепей необходима для понимания теории и техники обработ-
ки сигналов. Сформулируем основные свойства этих цепей.
ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Можно исходить из следующих определений.
1. Цепь является линейной, если входящие в нее элементы не за-
висят от внешней силы (напряжения, тока), действующей на цепь.
2. Линейная цепь подчиняется принципу суперпозиции (нало-
жения).
В математической форме этот принцип выражается следую-
щим равенством:
L[8x(t) + s2(t) + ...] = L[Sl(t)] + L[s2(t)] + "., (1.1)
где L — оператор, характеризующий воздействие цепи на вход-
ной сигнал.
Суть принципа суперпозиции может быть сформулирована
следующим образом: при действии на линейную цепь несколь-
ких внешних сил поведение цепи (ток, напряжение) можно оп-
ределить путем наложения (суперпозиции) решений, найден-
ных для каждой из сил в отдельности. Можно использовать

1.4. Радиотехнические цепи и методы их анализа
27
еще и такую формулировку: в линейной цепи сумма эффектов
от отдельных воздействий совпадает с эффектом от суммы
воздействий. При этом предполагается, что цепь свободна от на-
чальных запасов энергии.
Принцип наложения лежит в основе спектрального и опера-
торного методов анализа переходных процессов в линейных це-
пях, а также метода интеграла наложения (интеграл Дюамеля).
Применяя принцип наложения, любые сложные сигналы при пе-
редаче их через линейные цепи можно разложить на простые, бо-
лее удобные для анализа (например, гармонические).
3. При любом сколь угодно сложном воздействии в линейной це-
пи с постоянными параметрами не возникает колебаний новых
частот. Это вытекает из того факта, что при гармоническом воздей-
ствии на линейную цепь с постоянными параметрами колебание на
выходе также остается гармоническим с той же частотой, что и на
входе; изменяются лишь амплитуда и фаза колебания (так называе-
мые собственные функции). Разложив сигналы sx(t), s2(t), ..«на гар-
монические колебания и подставив результаты разложения в (1.1),
убедимся, что на выходе цепи могут существовать только колеба-
ния с частотами, входящими в состав входного сигнала.
Это означает, что ни одно из преобразований сигналов, сопро-
вождающихся появлением новых частот (т. е. частот, отсутствую-
щих в спектре входного сигнала), не может в принципе быть осу-
ществлено с помощью линейной цепи с постоянными параметрами.
Такие цепи находят широчайшее применение для решения задач,
не связанных с трансформацией спектра, таких как линейное уси-
ление сигналов, фильтрация (по частотному признаку) и т. д.
ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
В этих цепях, один или несколько параметров которых изменя-
ются во времени (но не зависят от входного сигнала). Подобные це-
пи часто называются линейными параметрическими.
Сформулированные в предыдущем пункте свойства 1 и 2 спра-
ведливы и для линейных параметрических цепей. Однако в отли-
чие от предыдущего случая даже простейшее гармоническое воз-
действие создает в линейной цепи с переменными параметрами
сложное колебание, имеющее спектр частот. Это можно пояснить
на следующем простейшем примере. Пусть к резистору, сопро-
тивление которого изменяется во времени по закону
R(t) = R0/(l + т cos Ш),

28
Глава 1. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, СИГНАЛЫ И ЦЕПИ
приложена гармоническая ЭДС
e(t) = E0 cos cot.
Ток через сопротивление
i(0 = e(t)/R(t) = (E0/R0)(l + т cos Ш) cos (Ot =
= (E0/R0)[cos Ш + (m/2) cos (со + О)* 4- (m/2) cos (со - Q)t]. (1.2)
Как видим, в составе тока имеются компоненты с частотами
со ± Q, которых нет в e(t). Даже из этой простейшей модели ясно,
что, изменяя во времени сопротивление, можно осуществить пре-
образование спектра входного сигнала.
Аналогичный результат, хотя и с более сложными математиче-
скими выкладками, можно получить для цепи с переменными па-
раметрами, содержащей реактивные элементы — катушки индук-
тивности и конденсаторы. Этот вопрос рассматривается в гл. 10.
Здесь лишь отметим, что линейная цепь с переменными парамет-
рами преобразует частотный спектр воздействия и, следователь-
но, может быть использована для некоторых преобразований сиг-
налов, сопровождающихся трансформацией спектра. Из дальней-
шего будет также видно, что периодическое изменение во времени
индуктивности или емкости колебательной цепи позволяет при
некоторых условиях осуществить «накачку» энергии от вспомога-
тельного устройства, изменяющего этот параметр («параметриче-
ские усилители» и «параметрические генераторы», гл. 10).
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
Радиотехническая цепь является нелинейной, если в ее состав
входят один или несколько элементов, параметры которых зави-
сят от уровня входного сигнала. Простейший нелинейный эле-
мент — диод с вольт-амперной характеристикой, представленной
на рис. 1.4.
Перечислим основные свойства нелиней-
ных цепей.
1. К нелинейным цепям (и элементам) прин-
цип суперпозиции неприменим. Это свойство
нелинейных цепей тесно связано с кривизной
вольт-амперных (или иных аналогичных) ха-
рактеристик нелинейных элементов, нару-
Рис. 1.4. Вольт-ампер-
* шающеи пропорциональность между током и
ная характеристика „
нелинейного элемен- напряжением. Например, для диода, если на-
та (диода) пряжению их соответствует ток iv а напряже-

1.4. Радиотехнические цепи и методы их анализа
29
нию и2 — ток i2y то суммарному напряжению и3 = их-\- и2 будет со-
ответствовать ток i3, отличный от суммы ix + i2 (рис. 1.4).
Из этого простого примера видно, что при анализе воздейст-
вия сложного сигнала на нелинейную цепь его нельзя разлагать
на более простые; необходимо искать отклик цепи на результи-
рующий сигнал. Неприменимость для нелинейных цепей прин-
ципа суперпозиции делает непригодными спектральный и иные
методы анализа, основанные на разложении сложного сигнала на
составляющие.
2. Важным свойством нелинейной цепи является преобразова-
ние спектра сигнала. При воздействии на нелинейную цепь про-
стейшего гармонического сигнала в цепи помимо колебаний основ-
ной частоты возникают гармоники с частотами, кратными основ-
ной частоте (а в некоторых случаях и постоянная составляющая
тока или напряжения). В дальнейшем будет показано, что при
сложной форме сигнала в нелинейной цепи помимо гармоник воз-
никают еще и колебания с комбинационными частотами, являю-
щиеся результатом взаимодействия отдельных колебаний, входя-
щих в состав сигнала.
С точки зрения преобразования спектра сигнала следует под-
черкнуть принципиальное различие между линейными парамет-
рическими и нелинейными цепями. В нелинейной цепи структура
спектра на выходе зависит не только от формы входного сигнала,
но и от его амплитуды. В линейной параметрической цепи струк-
тура спектра от амплитуды сигнала не зависит.
Особенный интерес для радиотехники представляют собствен-
ные колебания в нелинейных цепях. Подобные колебания назы-
ваются автоколебаниями, поскольку они возникают и могут ус-
тойчиво существовать в отсутствие внешнего периодического воз-
действия. Расход энергии компенсируется источником энергии
постоянного тока.
Основные радиотехнические процессы: генерация, модуля-
ция, детектирование и преобразование частоты — сопровожда-
ются трансформацией частотного спектра. Поэтому эти процессы
можно осуществить с помощью либо нелинейных, либо линей-
ных параметрических цепей. В некоторых случаях используются
одновременно как нелинейные, так и линейные параметрические
цепи. Следует, кроме того, подчеркнуть, что нелинейные элемен-
ты работают в сочетании с линейными цепями, осуществляющи-
ми выделение полезных компонентов преобразованного спектра.

30 Глава 1. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, СИГНАЛЫ И ЦЕПИ
В связи с этим, как уже отмечалось в начале данного параграфа,
деление цепей на линейные, нелинейные и линейные параметри-
ческие весьма условно. Обычно для описания поведения различ-
ных узлов одного и того же радиотехнического устройства прихо-
дится применять разнообразные математические методы — ли-
нейные и нелинейные.
Изложенные выше основные свойства цепей трех классов —
линейных с постоянными параметрами, линейных параметриче-
ских и нелинейных — сохраняются при любых формах реализа-
ции цепей: с сосредоточенными параметрами, с распределенны-
ми параметрами (линии, излучающие устройства) и т. д. Эти
свойства распространяются также и на устройства цифровой об-
работки сигналов.
Следует, однако, подчеркнуть, что положенный в основу деле-
ния цепей на линейные и нелинейные принцип суперпозиции сфор-
мулирован выше для операции суммирования сигналов на входе це-
пи [см. (1.1)]. Однако этой операцией не исчерпываются требования
к современным системам обработки сигналов. Важным для практи-
ки является, например, случай, когда сигнал на входе цепи являет-
ся произведением двух сигналов. Оказывается, что и для подобных
сигналов можно осуществить обработку, подчиняющуюся принци-
пу суперпозиции, однако эта обработка будет являться сочетанием
специально подобранных нелинейных и линейных операций. По-
добная обработка называется гомоморфной.
Синтез подобных устройств рассматривается в конце курса
(см. гл. 16), после изучения линейных и нелинейных цепей, а
также цифровой обработки сигналов, развитие которой и явилось
толчком к широкому применению гомоморфной обработки.
1.5. Проблема помехоустойчивости и электромагнитной
совместимости радиотехнических систем
Комплекс устройств, используемых для передачи информа-
ции от источника до получателя (а также разделяющая их среда),
образуют канал связи. От канала связи требуется по возможнос-
ти полная передача информации. Потери информации могут вы-
зываться искажениями сигналов из-за несовершенства отдель-
ных элементов канала, а также из-за помех.

1.5. Помехоустойчивость и электромагнитная совместимость PC 31
Помехи возникают во всех элементах канала связи: как в сре-
де, используемой для передачи сигнала от передатчика к прием-
нику, так и в технических устройствах, выполняющих необходи-
мые преобразования сигнала. В первом случае помехи называют-
ся внешними, во втором — внутренними.
Источником внешних помех являются атмосферные явления,
шумы космического пространства, радиоустройства, работающие
на близких частотах, индустриальные помехи, медицинская ра-
диоаппаратура и др.
Помехи подобного рода создают проблему электромагнитной
совместимости (ЭМС).
Взаимные помехи между радиостанциями устраняют раци-
ональным размещением (распределением) частот, регламенти-
руемым специальными международными соглашениями, улуч-
шением качества передачи в результате уменьшения нежелатель-
ного, так называемого внеполосного излучения, увеличением
стабильности несущей частоты, применением направленных ан-
тенн и т. д. Все это позволяет в какой-то мере разрешить пробле-
му «тесноты в эфире». Однако проблема ЭМС еще далека от свое-
го разрешения. Ее требуется учитывать при проектировании и
разработке новых радиотехнических устройств и систем, в част-
ности при выборе формы и параметров радиосигналов, выборе
частотного диапазона, в котором помехи минимальны, при раз-
мещении радиоустройств и т. д.1.
Внутренние шумы, обязанные своим возникновением диск-
ретной природе заряженных частиц, образуются из-за теплового
движения этих частиц в элементах электрических цепей, из-за
дробового эффекта в электронных приборах и ряда других явле-
ний, имеющих место при работе радиотехнических устройств.
Особенно сильно действие внутренних шумов при большом уси-
лении сигнала, т. е. при приеме слабых сигналов. Одновременно
с полезным сигналом усиливаются и шумы, которые могут по ин-
тенсивности оказаться соизмеримыми с сигналом, в результа-
те чего последний окажется частично или полностью замаскиро-
ванным.
Проблема ЭМС детально рассматривается в книге: Князев А. Д. Элементы те-
ории и практики обеспечения ЭМС радиоэлектронных средств. — М.: Радио и
связь, 1984.

32 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Принципиально задача ослабления внутренних шумов явля-
ется наиболее сложной, но и их уровень можно существенно сни-
зить, применив усилительные устройства, работающие в режиме
глубокого (например, до температуры жидкого гелия) охлажде-
ния, в результате чего снижается интенсивность теплового дви-
жения частиц. Однако, несмотря на все эти меры, полностью из-
бавиться от помех невозможно.
Со времени изобретения радио А. С. Поповым (в 1885 г.) и до
настоящего времени основной проблемой радиотехники была и
остается проблема помехоустойчивости связи, включающая в се-
бя и упомянутую выше проблему ЭМС, и большое число других
проблем, охватывающих все разделы радиотехники: генерирова-
ние мощных колебаний, освоение и выбор волн, обеспечивающие
благоприятные условия распространения, использование антенн
направленного действия, поиски новых видов радиосигналов
и новых способов их обработки на фоне помех и т. д.
Глава 2
Характеристики детерминированных сигналов
2.1. Энергетические характеристики
Основными энергетическими характеристиками вещественно-
го сигнала s(t) являются его мощность и энергия.
Мгновенная мощность определяется как квадрат мгновенного
значения s(t):
Pit) = sHt).
Если s(t) — напряжение или ток, то p(t) есть мгновенная мощ-
ность, выделяемая на сопротивлении в 1 Ом.
Энергия сигнала на интервале t2, tx определяется как интеграл
от мгновенной мощности:
Э= \ p(t) dt= J s2(t) dt. (2.1)

2.2. Представление произвольного сигнала в виде суммы колебаний 33
Отношение
j-4r - т^-r J S\t) dt = S2(t) (2.2)
имеет смысл средней на интервале t2, tx мощности сигнала.
Реальные сигналы имеют конечную длительность и ограничен-
ную по величине мгновенную мощность. Энергия таких сигналов
конечна. В теории сигналов часто рассматриваются функции вре-
мени, заданные на всей оси времени -°о < t < °o при конечной ве-
личине средней мощности. Говорить об энергии подобных сигна-
лов, обращающейся в бесконечно большую величину, не имеет
смысла.
2.2. Представление произвольного сигнала
в виде суммы элементарных колебаний
Для теории сигналов и их обработки важное значение имеет
разложение заданной функции f(x) по различным ортогональ-
ным системам функций <рп(х). Напомним основные определения,
относящиеся к свойствам ортогональных систем.
Бесконечная система действительных функций
%(х), %(х), ф2(х), ..., <рп(х), ... (2.3)
называется ортогональной на отрезке [а, Ь], если
ь
j (pn(x)ym(x) dx = 0 при п* т. (2.4)
а
При этом предполагается, что
ь
\ ф2(х) dx * 0, (2.5)
а
т. е. никакая из функций рассматриваемой системы (2.3) не рав-
на тождественно нулю.
Условие (2.4) выражает попарную ортогональность функций
системы (2.3). Величина
ИфлИ = ^ф2(*)<** <2-6)
и называется нормой функций (рл(л:).
2 И. Гомеровский

34 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Функция ф„(#), для которой выполняется условие
ь
lknll2 = J V%(x)dx = U (2.7)
а
называется нормированной функцией, а система норми-
рованных функций (рх(х), ф2(#), •••, в которой каждые две различ-
ные функции взаимно ортогональны, называется о р т о н о р-
мированной системой.
В математике доказывается, что если функции уп(х) непре-
рывны, то произвольная кусочно-непрерывная функция f(x)> для
которой выполняется условие
J|/(*)|2d*<oo,
может быть представлена в виде суммы ряда
f(x) = с0ф0(*) + с^х) + ... + спуп(х) + ... (2.8)
Интеграл в предыдущем выражении вычисляется по области
определения f(x).
Умножим обе части уравнения (2.8) на фп(лг) и проинтегрируем
ь
в пределах а, Ь. Все слагаемые вида J cm<pm(x)(f>n(x) dx при т ^ п
а
обращаются в нуль в силу ортогональности функций <рт(х) и
(рп(х). В правой части остается одно слагаемое
ъ ь
I сяФл(*)фл(х) dx = cn\ ф2(*) dx = с J фп||2,
а а
что позволяет написать
ь
\ f(x)(pn(x)dx = cn\\yn\\2,
а
откуда следует важное соотношение
1 ь
Сп = Ш21f{x)(?nix) dx' (2*9)
Ряд (2.8), в котором коэффициенты сп определены по формуле
(2.9), называется обобщенным рядом Фурье по дан-
ной системе <рп(х). Совокупность коэффициентов сп называется
спектром сигнала f(x) в ортогональной системе <рп(х) и пол-
ностью определяет этот сигнал.

2.2. Представление произвольного сигнала в виде суммы колебаний 35
Обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойст-
вом: при заданной системе функций <рп(х) и фиксированном чис-
ле слагаемых ряда (2.8) он обеспечивает наилучшую аппроксима-
цию (в смысле минимума среднеквадратической ошибки) данной
функции f(x). Это означает, что среднеквадратическая ошибка,
под которой подразумевается величина
M = \\f(x)- I an<pn(x)]2 dx,
а L п - О J
достигает минимума, когда коэффициенты ряда ап = сп.
Действительно, подставив в предыдущее выражение ап = сп +
+ Ъп и использовав равенства (2.4), (2.6) и (2.9), получим
M = \f4x)dx~ £ С2||фп||2+ £ &2||ф ||2.
а п = О п = О
Отсюда следует, что М достигает минимума при Ъп = О, т. е.
при ап = сп. Таким образом,
b N
мтш = j f2(x)dx- I c2||q>J2. (2.10)
N
z
n = 0
Так как величина
b
j Пх) dx = ||/И2
a
является квадратом нормы функции /(jc), а Mmin > 0, то на осно-
вании (2.10) можно написать следующее неравенство:
I <г2||фп||2 < ||/||2. (2.П)
п = 0
Это основное неравенство, называемое неравенством
Б е с с е л я, справедливо для любой ортогональной системы.
Ортогональная система называется полной, если увеличе-
нием числа членов в ряде среднеквадратическую ошибку М мож-
но сделать сколь угодно малой.
Условие полноты можно записать в виде соотношения
I С2||ф„||2=1И12. (2-12)
п = 0
При выполнении этого условия можно считать, что ряд (2.8)
сходится в среднем квадратическом, т. е.
lim J|7(*)- Z cn<pn(x)] dx = 0. (2.13)
N-°o L n = 0 J

36 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Из этого, однако, еще не следует, что £ сп^п(х) сходится к
f(x), т. е. что
max|/(*)- S слф„(х)|=0
П = О
при любых значениях х. В п. 1 § 2.4 будет приведен пример, по-
со
называющий, что в отдельных точках на оси х ряд £ cr№n(x) M°-
п == О
жет отличаться от f(x), хотя равенство (2.13) имеет место.
Для системы функций (pn(#), принимающих комплексные зна-
чения, приведенные выше определения обобщаются следующим
образом:
условие ортогональности
ь
J (рп(х)(р"т(х) dx = О при п * т; (2.4')
а
квадрат нормы функции
ь ь
ИфЛ2 = J фя(*)ф*(*)dx = 1 1ф*(*)12 <**; <2-6')
а а
коэффициенты Фурье
1 ь
С, = Щ2 J/(*)<P*(*)d*. (2.90
В этих выражениях <p*(jt) обозначает функцию, комплекс-
но-сопряженную функции ф(х).
Применительно к сигналам s(t)9 являющимся функциями вре-
мени, выражение (2.8) в дальнейшем будет записываться в форме
оо
«(*)= I <?„Ф«(*). (2-14)
л = О
В новых обозначениях квадрат нормы функции s(t) по анало-
гии с(2.6) будет
||e||2 = J s2(t)dt = 9. (2.15)
'l
Это выражение совпадает с (2.1).
Таким образом, в соответствии с формулой (2.12) энергия сигнала
э- 2 k„l2ll<pJ2> (2-16)
п = О
а при использовании ортонормированной системы функций фл(£)
оо
Э= Е cj2. (2.16')
л = О

2.3. Гармонический анализ периодических сигналов
31
При этом имеется в виду, что промежуток времени t2 - tp в ко-
тором определяется энергия Э, является интервалом ортого-
нальности для системы функций <рл(0-
Очевидно, что средняя за время t2 - tx мощность сигнала
мТ) = г4г - т±т I К\2Ы2- (2-17)
Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций
зависит от цели, преследуемой при разложении сложной функции
в ряд. Среди разнообразных задач, требующих разложения сложно-
го сигнала, наиболее важными являются: 1) точное разложение на
простейшие ортогональные функции; 2) аппроксимация сигналов,
процессов или характеристик, когда требуется свести к минимуму
число членов ряда (при заданной допустимой погрешности).
При первой постановке задачи наибольшее распространение по-
лучила ортогональная система основных тригонометрических функ-
ций — синусов и косинусов. Это объясняется рядом причин. Во-пер-
вых, гармоническое колебание является единственной функцией
времени у сохраняющей свою форму при прохождении через любую
линейную цепь (с постоянными параметрами). Изменяются лишь
амплитуда и фаза колебания. Во-вторых, разложение сложного сиг-
нала по синусам и косинусам позволяет использовать символиче-
ский метод, разработанный для анализа передачи гармонических
колебаний через линейные цепи. По этим, а также и некоторым дру-
гим причинам гармонический анализ получил широкое распростра-
нение во всех отраслях современной науки и техники.
При второй постановке задачи — приближенном разложении
функций — применяются разнообразные ортогональные системы
функций: полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра, функ-
ции Уолша и многие другие. Некоторые из этих систем функций
будут рассмотрены в гл. 14.
2.3. Гармонический анализ периодических сигналов
При разложении периодического сигнала s(t) в ряд Фурье по
тригонометрическим функциям в качестве ортогональной систе-
мы берут
1, cos cox£, sin o)^, cos 2(0^, sin 2(0^, ..., cos ясо^, sin nco^, ...
(2.18)
или
-i2o).t -ico,* -, ito,f /2(0,/ in „лч
... e 1 , e l , 1, e 1 , e 1 , ... . (2.19)

38 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с пери-
одом Т = 2тс/со1 функции s(t).
Система функций (2.18) приводит к тригонометрической фор-
ме ряда Фурье, а система (2.19) — к комплексной форме. Между
этими двумя формами существует простая связь.
Воспользуемся сначала ортогональной системой (2.19). Тогда
ряд Фурье должен быть записан в форме
s(t)= ... с_2е * + с_хе ! + с0 +
+ сге 1 + с2е 1 + ... = X спе • (2.20)
п = -<J"
Совокупность коэффициентов сл ряда Фурье в базисе тригоно-
метрических функций называется частотным спектром
периодического сигнала. Коэффициенты ряда (2.20) сп легко оп-
ределяются с помощью формул, приведенных в предыдущем па-
раграфе.
Из формулы (2.6') следует, что
7/2
||Фп(0||2= J е,'лю''е-",в,>'Л = Т. (2.21)
-Т/2
Таким образом, независимо от п норма ||cpj| = Jr. Используя
формулу (2.9'), получаем
1 т/2
Сп=± J 8(*)е~1ЛС0*'Л. (2.22)
-Г/2
В выражениях (2.21) и (2.22) учтено, что функции е'л * соот-
ветствует комплексно-сопряженная функция е 1П0У] .
Коэффициенты сп в общем случае являются комплексными ве-
личинами. Подставив в (2.22) е ini * = cos no)^ - i sin ясо^, полу-
чим
Т/2 Г/2
сл = f J SW cos no)i* dt-ij, | s(£) sin ш^ d* = cnc - icns. (2.23)
-Г/2 -Т/2
Косинусная (действительная) и синусная (мнимая) части ко-
эффициента сп определяются формулами
1 Т/2 Г/2
Слс = у / S^ COS ЛС°1^ ^' C^s = f J S(^) Sin ПСМ ^' <2'24)
-772 -772

2.3. Гармонический анализ периодических сигналов
39
Коэффициенты сп часто бывает удобно записывать в форме
Сп - |с>/е", (2.25)
где
kl = Jc2nc + C*s, (2.26)
en = -arctg^. (2.27)
с пс
Модуль \сп\ является функцией, четной относительно п, а ар-
гумент 0Л — нечетной (последнее вытекает непосредственно из
выражений (2.24), показывающих, что спс является четной, а спз
нечетной функциями п).
Общее выражение (2.20) можно привести к виду
«<*>- S |cJe«-', + 4 (2.28)
П ■= -оо
Теперь нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда
Фурье. Выделив из ряда (2.28) пару слагаемых, соответствую-
щую какому-либо заданному значению |л|, например |л| = 2, и,
учтя соотношения 0_2 = -Э2, |с_2| = |с2|, получим для суммы этих
слагаемых
I | /(-2(ол + е „) . | | /(2о)л + е9)
|с_2|е 1 2 + |с2|е х 2 =
= |с2|[е"W2wt* ^^ + ei(2w'' + ^ ] = 2|с2| cos (2©^ + в2).
(2.29)
Отсюда видно, что при переходе к три-
гонометрической форме ряд (2.28) необхо-
димо записать следующим образом:
s(t) = c0+ £ 2|ся| cos(fico1* + 9/l). (2.30)
п = 1
Смысл удвоения коэффициентов Фурье °<
сп в тригонометрическом ряду при п > 1
становится ясным из рассмотрения век-
торной диаграммы (рис. 2.1), соответст-
вующей (2.29) при \п\ = 2. Вещественная
функция 2|cjco8(n<o,t + е„) получается Рис 2 х Представление
как сумма проекций на горизонтальную гармонического колеба-
ось ОВ двух векторов длиной |cj, вращаю- ния в виде двух комп-
«II лексных составляющих:
щихся с угловой частотой /г со, во взаимно „ ^
1,1 с положительной и отри-
противоположных направлениях. Вектор, дательной частотами

40 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
вращающийся против часовой стрелки, соответствует положи-
тельной частоте, а вектор, вращающийся по часовой стрелке, —
отрицательной. После перехода к тригонометрической форме
понятие «отрицательная частота» теряет смысл. Коэффици-
ент с0 не удваивается, так как в спектре периодического сигнала
составляющая с нулевой частотой не имеет «дублера».
Вместо выражения (2.30) в математической и радиотехниче-
ской литературе часто встречается следующая форма записи:
Oq оо
s(t) = ^ + Z (an cos Л(01* + bn sin n^t) =
" п = 1
Дл оо
= "Г + 2 A, COS (n(Oxt + вл), (2.31)
^ л = 1
причем 0n = -arctg (bn/an).
Из сопоставления выражений (2.31) и (2.30) видно, что ампли-
туда п-й. гармоники Ап связана с коэффициентом \сп\ ряда (2.28)
соотношением
Ап = 2\сп\, ьап = 2спс, bn = 2cns.
Таким образом, для всех положительных значений п (вклю-
чая и п = 0)
2 Т/2 2 Т/2
ап = f \ s(t) cos n^t dt, bn= ^ J s(t) sin nid^tdt. (2.32)
-772 -772
Если сигнал представляет собой функцию, четную относитель-
но t, т. е. s(t) = s(-t), в тригонометрической записи ряда остаются
только косинусоидальные члены, так как коэффициенты Ьп в со-
ответствии с формулой (2.32) обращаются в нуль. Для нечетной
относительно t функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэф-
фициенты ап и ряд состоит только из синусоидальных членов.
Две характеристики — амплитудная и фазовая, т. е. модули и
аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью
определяют структуру частотного спектра периодического коле-
бания. Наглядное представление о «ширине» спектра дает графи-
ческое изображение спектра амплитуд. В качестве примера на
рис. 2.2, а построен спектр коэффициентов |cj, а на рис. 2.2, б —
спектр амплитуд Ап = 2\сп\ для одного и того же периодического
колебания. Для исчерпывающей характеристики спектра подоб-
ные построения должны быть дополнены заданием начальных
фаз отдельных гармоник.

2.4. Спектры простейших периодических сигналов
41
С I
С-,
i i
i 1_
cj
i i
A >
a0/2
' A
A
^2
1 т
-|n|co, -2o), -a), 0 o)j 2a), |ai|(0,
a)
0 (o, 2(0, |л|о),
0)
Рис. 2.2. Коэффициенты комплексного (a) и тригонометрического (6) рядов Фурье
периодической функции времени
Спектр периодической функции называется линейчатым
или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соот-
ветствующих дискретным частотам 0, (0Х, со2 = 2(0р со3 = Зо^ и т. д.
Использование для гармонического анализа сложных периоди-
ческих колебаний рядов Фурье в сочетании с принципом наложе-
ния представляет собой эффективное средство для изучения влия-
ния линейных цепей на прохождение сигналов. Следует, правда,
отметить, что определение сигнала на выходе цепи по сумме гар-
моник с заданными амплитудами и фазами является непростой
задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ря-
да Фурье, представляющего входной сигнал. Наиболее распрост-
раненные в радиотехнике сигналы не соответствуют этому усло-
вию, и для удовлетворительного воспроизведения формы сигна-
лов обычно необходимо суммировать большое число гармоник.
2.4. Спектры простейших периодических сигналов
Рассмотрим несколько примеров периодических колебаний,
часто используемых в различных радиотехнических устройствах.
ПРЯМОУГОЛЬНОЕ КОЛЕБАНИЕ
Подобное колебание (рис. 2.3), часто называемое меанд-
ром1, находит особенно широкое применение в измерительной
технике.
Меандр — греческое слово, обозначающее «орнамент».

42 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
При выборе начала отсчета време-
ни в соответствии с рис. 2.3, а функ-
ция является нечетной, а рис. 2.3,6 —
четной. Применяя формулы (2.24),
находим для нечетной функции
(см. рис. 2.3, а) при s(t) = e(t):
Рис. 2.3. Периодическое колеба
ние прямоугольной формы (ме
андр)
Начальные фазы 0Л в соответствии с (2.27) равны —я/2 для
всех гармоник.
Запишем ряд Фурье в тригонометрической форме
(2.33)
Спектр коэффициентов \сп\ комплексного ряда Фурье показан на
рис. 2.4, а, а тригонометрического ряда — на рис. 2.4, б (при Е = 1).
При отсчете времени от середины импульса (см. рис. 2.3, б)
функция является четной относительно t и для нее
(2.34)
Графики 1-й (п = 1) и 3-й (п = 3) гармоник и их суммы изобра-
жены на рис. 2.5, а. На рис. 2.5, б эта сумма дополнена 5-й гар-
моникой, а на рис. 2.5, в — 7-й.
С увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда при-
ближается к функции e(t) всюду, кроме точек разрыва функ-
ции, где образуется выброс. При п —► °° величина этого выбро-
са равна 1,18£, т. е. сумма ряда отличается от заданной функции
на 18%. Этот дефект сходимости в математике получил название
Учитывая, что TcDj = 2тс, получаем

2.4. Спектры простейших периодических сигналом
43
а)
2
2_
2 Зя
JL Ъп
In
In т
Li
2
3i 2
5я А
7я
T 7Л
-7(0, —C0j^ со,
6) Ak
7о),
_4^
Зя
4
5я
4
7я
О (о, .... 7(0, w
Рис. 2.4. Коэффициенты комплекс-
ного (а) и тригонометрического (б)
рядов Фурье колебаний, показанных
на рис. 2.3
Рис. 2.5. Суммирование 1 и 3-й гар-
моник (а), 1, 3 и 5-й гармоник (б),
1, 3, 5 и 7-й гармоник (в) колеба-
ний, показанных на рис. 2.3
явления Гиббса. Несмотря на то что в рассматриваемом
случае ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции e(t) в точ-
ках ее разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку при п —•• °°
выбросы являются бесконечно узкими и не вносят никакого
вклада в интеграл (2.13).
ПИЛООБРАЗНОЕ КОЛЕБАНИЕ
С подобными функциями (рис. 2.6) часто приходится иметь
дело в устройствах для развертки изображения в осциллогра-
фах. Так как эта функция является нечетной, ряд Фурье для нее
содержит только синусоидальные члены. С помощью формул
(2.24)—(2.31) нетрудно определить
коэффициенты ряда Фурье. Опуская е^
эти выкладки, напишем окончатель-
ное выражение для ряда
sin (oxt
2 sin 2co^ +
. (
+ л sin Зсо^ - j sin 4(oxt + ... J.
(2.35)
-Т/2 Т/2 Т
Рис. 2.6. Периодическое коле-
бание пилообразной формы

44 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону 1/п, где
п = 1, 2, 3, ... На рис. 2.7 показан график суммы первых пяти
гармоник (в увеличенном масштабе).
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УНИПОЛЯРНЫХ
ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ
Ряд Фурье для этой функции (рис. 2.8) имеет следующий вид:
Ф) = ~Г^ ~ ^ (COS °M + о2 COS 3(01* + р COS 5С01^ + ••• )]• <2'36)
На рис. 2.8 изображена сумма первых трех членов этого ряда.
В данном случае отметим более быстрое убывание амплитуд гар-
моник, чем в предыдущих примерах. Это объясняется отсутстви-
ем разрывов (скачков) в функции.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УНИПОЛЯРНЫХ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ
Применяя формулу (2.32), находим среднее значение (посто-
янную составляющую, рис. 2.9)
°£ =Т \ e(t)dt=^E (2.37)
"t„/2
и коэффициент /г-й гармоники
t„/2
2 г 2Е ла)1ти
Так как функция e(t) четная, bn = 0 и An = а„. Таким образом,
e(t) = Е [-£ + - £ -sin —^ cos псо^ . (2.39)
Величина N = Т/хп называется скважностью импульс-
ной последовательности. При больших значениях N
спектр сигнала содержит очень большое число медленно убываю-
щих по амплитуде гармоник (рис. 2.10). Расстояние между
спектральными линиями очень мало, а амплитуды соседних гар-
моник близки по величине. Это наглядно вытекает из формулы
(2.38), которую в данном случае удобно представить в несколько
измененном виде
п кп
\sin( пп-^)\.

2.5. Распределение мощности в спектре периодического сигнала 45
Рис. 2.7. Сумма первых пяти
гармоник колебания, показан-
ного на рис. 2.6
Т -т/2 О т /2 Т t
Рис. 2.9. Периодическая после-
довательность прямоугольных
импульсов с большой скважно-
стью
A A AlA2A.i
'Л11111Г,.пГПпл[.
2л
4л
Рис. 2.8. Сумма трех первых гар-
моник периодической функции
Рис. 2.10. Спектр импульсной после-
довательности, показанной на рис. 2.9
При малых значениях п можно считать
А„
Т Т
(2.40)
Постоянная составляющая, равная а0/2 = Ети/Т, вдвое мень-
ше амплитуды 1-й гармоники. При построении спектра коэффи-
циентов \сп\ величина с0 приближенно равнялась бы |cj.
2.5. Распределение мощности
в спектре периодического сигнала
Пусть сигнал s(t) (ток, напряжение) представляет собой слож-
ную периодическую функцию времени с периодом Т.
Энергия такого сигнала, длящегося от t = -°° до t = °°, беско-
нечно велика. Основной интерес представляют средняя мощность

46 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
периодического сигнала и распределение этой мощности между
отдельными гармониками. Очевидно, что средняя мощность сиг-
нала, рассматриваемого на всей оси времени, совпадает с мощно-
стью, средней за один период Г. Поэтому можно воспользоваться
формулой (2.17), в которой под коэффициентами сп следует под-
разумевать коэффициенты ряда (2.20), под интервалом ортого-
нальности t2 - tx — величину периода Т, а под нормой ||фп|| — ве-
личину УТ [см. (2.21)].
Таким образом, средняя мощность периодического сигнала
s4t) = l Z К\2Т= | \сп\2. Г'- v (2.41)
1 П = -оо п = -оо
Используя тригонометрическую форму ряда Фурье и учиты-
вая, что с0 = а0/2 и \сп\ =Ап/2, получаем
та-(?)' + *.|1(т),-(т), + 1.1,Л-'-
Если s(t) представляет собой ток i(t)y то при прохождении его
через сопротивление г выделяется мощность (средняя)
р = ^2(7) = г(/2 + /2/2 + /2/2 + ...),
где /0 = а0/2 — постоянная составляющая, а 1п =Ап — амплитуда
п-й гармоники тока i(t).
Итак, полная средняя мощность равна сумме средних мощнос-
тей, выделяемых отдельно постоянной составляющей 10 и гармо-
никами с амплитудами Iv /2, ... . Это означает, что средняя мощ-
ность не зависит от фаз отдельных гармоник. Это вытекает из
ортогональности спектральных составляющих, в данном случае
на интервале Т.
2.6. Гармонический анализ непериодических сигналов
Изложенный в § 2.3 гармонический анализ периодических
сигналов можно распространить на непериодические сигналы.
Пусть такой сигнал s(t) задан в ви-
де некоторой функции, отличной
от нуля в промежутке (tl9 t2)
(рис. 2.11).
~Т ° *i h T г Выделив произвольный отрезок
Рис. 2.11. Одиночный импульс времени 7\ включающий в себя
УЛ

2.6. Гармонический анализ непериодических сигналов
47
промежуток (tv t2), мы можем представить заданный сигнал в
виде ряда Фурье
s(t)= I cneini°l\ О < t < Г, (2.43)
П = -оо
где (йх = 2л/Т, а коэффициенты сп в соответствии с формулой (2.22)
сп = * J S(Oe-'no,i' <tt. (2.44)
'l
Подставив (2.44) в (2.43), получим
s(t)= I f'fsWe-in<0'j:^)einw>'^,0<(<T. (2.45)
л = -оо V; / ^к
ч
Здесь учтено, что Т = 2к/(ах.
Вне отрезка (О, Т) ряд (2.43) определяет функцию s(t) = s(£ ±
± kT), где Л — целое число, т. е. периодическую функцию, полу-
ченную повторением s(t) вправо и влево с периодом Т. Для того
чтобы вне отрезка (О, Т) функция равнялась нулю, величина Т
должна быть бесконечно большой. Но чем больше отрезок 7\ вы-
бранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты сп. Уст-
ремляя Т к бесконечности, в пределе получаем бесконечно малые
амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изо-
бражает исходную непериодическую функцию s(t)> заданную в
интервале tx < t < t2 (рис. 2.11). Число гармонических составляю-
щих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим,
так как при Т —► оо основная частота функции а^ = 2к/Т —> 0.
Иными словами, расстояние между спектральными линиями (см.
рис. 2.2), равное основной частоте со1, становится бесконечно ма-
лым, а спектр — сплошным.
Поэтому в выражении (2.45) можно заменить cOj на do), п(йг на
текущую частоту со, а операцию суммирования операцией интег-
рирования.
Таким образом, приходим к двойному интегралу Фурье
1 оо 1г
s(t) = ± \ еш\\ s(x)e-™x dx\ did. (2.46)
-оо L^ J
Внутренний интеграл, являющийся функцией ш,
'2
S(co) = J s(t)e~i(at dt, (2.47)
называется спектральной плотностью или спек-
тральной характеристикой функции s(t).

48 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
В общем случае, когда пределы tг и t2 не уточнены, спектраль-
ная плотность записывается в форме
оо
S(co) = J s(t)e~mt dt. (2.48)
—оо
После подстановки (2.48) в выражение (2.46) получаем
*(*) = 4~ \ S(co)e^ dco. (2.49)
^К -оо
Выражения (2.48) и (2.49) называются соответственно
прямым и обратным преобразованиями Фурье.
Выражение (2.48) отличается от (2.22) только отсутствием мно-
жителя 1/Т. Следовательно, спектральная плотность S(co) облада-
ет всеми основными свойствами коэффициентов сп комплексного
ряда Фурье. По аналогии с (2.23) и (2.25) можно написать
S(co) = А(ш) - Ш(ю) = | S(G))|e'e<w>, (2.50)
где
со оо
А(со) = j s(t) cos со* dt, £(co) = J s(t) sin art dt. (2.51)
— CO -CO
Модуль и аргумент спектральной плотности определяются вы-
ражениями
|S((0)| = V[A(C0)]2+[B(C0)]2 , (2.52)
9(G)) = -arctg [В(со)/А(со)]. (2.53)
Первое из этих выражений можно рассматривать как
амплитудно-частотную (АЧХ), а второе — как ф а з о-
частотную характеристики (ФЧХ) сплошного спект-
ра непериодического сигнала s(t).
Как и в случае ряда Фурье, S(co) является четной, а Э(со) — не-
четной функцией частоты со.
На основании формулы (2.50) нетрудно привести интеграль-
ное преобразование (2.49) к тригонометрической форме. Имеем
[аргумент функции 0(w) в последующих выражениях опущен]:
1 со .J оо
s(t) = ±- f |S(a>)|e** + 9> dm = f- f |S(a>)|cos (art + 6) dw +
— CO —CO
1 °°
+ i2n J" lS((°)lsin((0^'fe)rf(0-
-co
Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подынтег-
ральная функция в первом интеграле является четной, а во

2.7. Спектры одиночного импульса и периодической последовательности импульсов49
втором — нечетной относительно со. Следовательно, второй ин-
теграл равен нулю и окончательно
-| СЮ .J ОО
s(t) = ^ J |S((o)|cos (со* + 9) dec = i J |S(co)| cos (art + Э) dco. (2.54)
-oo 0
Переход от комплексной формы (2.49) к тригонометрической
(2.54) обычно целесообразен в конце анализа; все промежуточ-
ные выкладки при применении интеграла Фурье удобнее и проще
производить на основании комплексной формы (2.49).
Отметим, что при (о = О выражение (2.47) переходит в следующее:
S(0) = J s(t) dt = площадь под кривой s(t).
(2.55)
Следовательно, для любого сигнала s(t) спектральная плотность
S(o)) на нулевой частоте равна «площади сигнала». Это правило по-
лезно для быстрого выявления структуры спектра некоторых сиг-
налов. Примеры применения этого правила приводятся в § 2.10.
2.7. Соотношение между спектрами одиночного импульса
и периодической последовательности импульсов
Пусть заданы импульс s^t) и соответствующая ему спектраль-
ная плотность S^co) = Sx(2nf) (рис. 2.12, а). На этом рисунке изо-
бражен модуль сплошного спектра Sx(2nf) в виде функции, чет-
ной относительно /.
a)
гумо
Sl(t + Т) 8l(t) s^t - Т)
С i /_ ^ 1 j, ^
-T / 0 ти Т \ t
-T + т " T + r
I I I I I I I I I I I I I
-10 1234 5
Рис. 2.12. Одиночный импульс и его спектральная плотность (а), периодическая
последовательность импульсов и ее линейчатый спектр (б)

50 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
При повторении импульсов с периодом Т получается последо-
вательность, представленная на рис. 2.12, б (слева). Линейчатый
(дискретный) спектр этой последовательности изображен в пра-
вой части рисунка. При периоде Т интервал между любыми дву-
мя соседними гармониками равен 1/Т.
Коэффициент пи гармоники в соответствии с выражением (2.22)
U
где со1 = 2к/Т; t1 и t2 соответствуют рис. 2.11.
Спектральная же плотность одиночного импульса на той же
частоте со = гса^ будет [см. (2.47)]
8(03 = ^0)!)= J 8x(t)e in(0lt dt.
*i
Как ранее уже отмечалось, спектральная плотность Sj(co =
= п(йг) отличается от коэффициента сп ряда Фурье периодической
последовательности только отсутствием множителя 1/Т.
Следовательно, имеет место простое соотношение
сп = S^mo^/r = /jS^ncOj). (2.56)
Соответственно комплексная амплитуда n-й гармоники
Ал = 2сп = 2f1S1(na>1). (2.56')
Итак, модуль спектральной плотности одиночного импуль-
са и огибающая линейчатого спектра периодической последова-
тельности, полученной путем повторения заданного импуль-
са, совпадают по форме и отличаются только масштабом.
На рис. 2.12, б штриховой линией обозначена огибающая ли-
нейчатого спектра \сп\ = /jS^/iWj).
С увеличением Т спектральные линии на рис. 2.12, б сближа-
ются и коэффициенты сп уменьшаются, но так, что отношение
\cn\/ft остается неизменным. В пределе, при Т —► °о, приходим к
одиночному импульсу со спектральной плотностью
S^oo) = Шп (cjfx).
Таким образом, становится наглядным термин «спектральная
плотность»: S(co) есть амплитуда напряжения (тока), приходя-
щаяся на 1 Гц б бесконечно узкой полосе частот, которая
включает в себя рассматриваемую частоту со.

2.8. Некоторые свойства преобразования Фурье
51
2.8. Некоторые свойства преобразования Фурье
Между сигналом s(t) и его спектром S(co) существует однознач-
ное соответствие. Для практических приложений важно устано-
вить связь между преобразованием сигнала и соответствующим
этому преобразованию изменением спектра. Из многочисленных
возможных преобразований сигнала рассмотрим следующие наи-
более важные и часто встречающиеся: сдвиг сигнала во времени,
изменение масштаба времени, сдвиг спектра сигнала по частоте,
дифференцирование и интегрирование сигнала. Кроме того, бу-
дут рассмотрены сложение сигналов, произведение и свертка
двух сигналов, а также свойства взаимной обратимости (О и t в
преобразованиях Фурье.
СДВИГ СИГНАЛОВ ВО ВРЕМЕНИ
Пусть сигнал sx(t) произвольной формы существует на интер-
вале времени от tA до t2 и обладает спектральной плотностью
S^co). При задержке этого сигнала на время t0 (при сохранении
его формы) получим новую функцию времени
s2(t) = sx(t - t0)9
существующую на интервале от tх + t0 до t2 + t0.
Спектральная плотность сигнала s2(t) в соответствии с (2.48)
S(co) = J s2(0e"l(O' dt = J sx(t - t0)e4(Ot dt.
Вводя новую переменную интегрирования т = t - t0, получаем
S(w) = е it0'° J sx(x)e-i(afZ dx = e ш'° S^co). (2.57)
Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции
s(t) на ±t0 приводит к изменению фазовой характеристики спект-
ра S(co) на величину ±Ш0. Очевидно и обратное положение: если
всем составляющим спектра функции s(t) дать фазовый сдвиг
0(g)) = ±(о£0, линейно-связанный с частотой со, то функция сдвига-
ется во времени на ±tQ.
Амплитудно-частотная характеристика спектра (т. е. модуль
спектральной плотности) от положения сигнала на оси времени
не зависит.

52 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБА ВРЕМЕНИ
Пусть сигнал sx(t)9 изображенный на рис. 2.13 сплошной ли-
нией, подвергся сжатию во времени. Новый сжатый сигнал s2(t)
(штриховая кривая на рис. 2.13) связан с исходным соотношени-
ем s2(t) = sx(nt), п > 1.
Длительность импульса s2(t) в п раз меньше, чем исходного, и
равна ти/л. Спектральная плотность сжатого импульса
т„/л т„/я
S2(co) = J s2(t)e~iMt dt = j 8г(Ш)е-ш dt.
о о
Вводя новую переменную интегрирования х = nt, получаем
S2(co) = J )в,(т)е"#Л.
Но интеграл в правой части этого выражения есть не что иное,
как спектральная плотность исходного сигнала sr(t) при частоте
со/я, т. е. S^co/n).
Таким образом,
S2(w) = (l/nJS^co/n).
Итак, при сжатии сигнала в п раз на вре-
менной оси во столько же раз расширяется
его спектр на оси частот. Модуль спектраль-
ной плотности при этом уменьшается в п
раз. Очевидно, что при растягивании сигна-
ла во времени (т. е. при п < 1) имеют место
сужение спектра и увеличение модуля
спектральной плотности.
Рис. 2.13. Сжатие сиг-
нала при сохранении
его формы и ампли-
туды
СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРА ПОЛОСОВОГО СИГНАЛА
Применим (2.48) к произведению s(t) cos (ш0£ + 60)
оо
J s(t) cos (a0t + %)еш dt =
= j ф)П e"«V + «О + 1 e-'«V + V уш dt =
-oo L- -J
/вп оо ч ~'вп °°
= у J e(t)e-,(w-w»)' dt+ V J «We"'(B + "° d<-
~oo -oo
Первый интеграл в правой части есть не что иное, как спект-
ральная плотность функции s(t) при частоте со - ш0, а второй

2.8. Некоторые свойства преобразования Фурье
53
интеграл — при частоте со + со0. Поэтому полученное выше соот-
ношение можно записать в форме
J s(t) cos (co0t + 90)eчш dt=\ [e/e° S(co - co0) + e~'9° S(w 4- G)0)],
(2.58)
где S(o)) — спектральная плотность сигнала s(t).
Из выражения (2.58) вытекает, что расщепление спектра S(co)
на две части, смещенные соответственно на +0)0 и -0)0, эквива-
лентно умножению функции s(t) на гармоническое колебание
cos (x)0t (при 60 = 0).
Более подробно это положение рассматривается в гл. 3 при
изучении модулированных колебаний.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛА
Дифференцирование сигнала sx(t) можно трактовать как по-
членное дифференцирование всех гармонических составляющих,
входящих в его спектр. Но производная функции е/0)' равна /сое'(,)/,
из чего непосредственно вытекают следующие соответствия:
dsAt) !
s{{t) + S^co), s2(t) = —sr- H- icoS^w) = S2(co). r (2.59)
К этому результату можно прийти также из общего преобразо-
вания Фурье
Г ~JT е'Ш dt = 8\У)е~ш 11 + ^S^w) = kdS^cd).
Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, посколь-
ку при t —► ± °° s^t) —► 0 (условие интегрируемости сигнала). Ана-
логичным образом можно показать, что сигналу
s2(t) = \ sx(x) dx
— оо
соответствует спектральная плотность
S2((o) = (l/icoJS^co). (2.60)
Следует, однако, подчеркнуть, что в отличие от операции icoS1((o)
операция (l/ki^S^O)) законна только для сигналов, отвечающих ус-
ловию S(0) = 0, т. е. для сигналов с нулевой площадью [34] —
оо
J sx(t) dt = 0 (см. приложение 2).

54 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
СЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ
Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную
плотность заданной функции времени, является линейным, очевид-
но, что при сложении сигналов s^t), s2(t), ..., обладающих спектра-
ми S^co), S2(co), ..., суммарному сигналу s(t) = sx(t) + s2(t) + ... соот-
ветствует спектр S(co) = S^co) + S2(co) + ... .
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ СИГНАЛОВ
Пусть рассматриваемый сигнал s(t) является произведением
двух функций времени fit) и g(t).
Используя общую формулу (2.48), определяем спектр сигнала s(t)
оо оо
S(co) = J s(t)e'i(at dt = J f(t)g(t)e-iMt dt. (2.61)
— oo -oo
Каждую функцию fit) и g(t) можно представить в виде интег-
рала Фурье:
Ю) = ± J F(co)e<«>< rfco, g{t) = ^ J G((o)e'<" d(o.
-oo --ix)
Подставляя в (2.61) второй из этих интегралов, получаем
-j ОО ОО
S((0) = 2^ J Л0[ J G(*)e/Jr/ dxl e-/(0f d* =
oo L-oo -J
1 oo oo
= 2^ J G(«)f J /(t^-^-^dtldx.
-oo ^ -oo -J
Заключенный в квадратные скобки интеграл по переменной t
представляет собой спектральную плотность функции fit) при час-
тоте со - х9 т. е. F(co - x). Следовательно,
1 ОО
S(co) = gi J G(x)F(co - л:) dx. (2.62)
—oo
Итак, спектр произведения двух функций времени fit) и g(t)
равен (с коэффициентом 1/2я) свертке их спектров F(co) и G(w).
Из выражений (2.61) и (2.62) в частном случае (0 = 0 вытекает
следующее равенство:
оо 1 оо
J f(t)g(t) dt = ± I G(x)F(-x) dx.
-oo -oo
Заменяя в последнем выражении х на со, получаем
ОО -j <Х> ^ ОО
J f(t)g(t) dt = ^ J G(co)F(-co) dco = ^ j G(co)F*(co) dco, (2.63)

2.8. Некоторые свойства преобразования Фурье
55
где F*((o) = F(-co) — спектральная функция, комплексно-сопря-
женная функция F(co).
Аналогично можно показать, что произведению двух спектров
F(co) х G((o) = S(co) соответствует функция времени s(t), являю-
щаяся сверткой функций f(t) и g(t):
оо оо
s(0 = j f(y)g(t -y)dy= j f{t - y)g(y) dy =
-co -oo
= 2^ J F(a))G(a))e/t0' dec. (2.64)
— IX)
Последнее выражение особенно широко используется при ана-
лизе передачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функ-
ции времени f(t) и g(t) имеют смысл соответственно входного сигна-
ла и импульсной характеристики цепи (см. § 6.3), а F(a>) и G(co) —
спектральной плотности сигнала и передаточной функции цепи.
ВЗАИМНАЯ ЗАМЕНЯЕМОСТЬ (О И t
В ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ФУРЬЕ
Обратимся к общему выражению (2.48) и выясним свойства
функции S(a>) для различных функций s(t).
1. Если s(t) есть функция, четная относительно ty то, перепи-
сывая выражение (2.48) в виде
оо оо
S(co) = J s(t) cos Ш dt - i J s(t) sin (at dt,
-oo -oo
убеждаемся, что при четности s(t) второй интеграл равен нулю,
так как произведение s(t) sin (at является функцией, нечетной от-
носительно t, а пределы интегрирования симметричны.
Таким образом, при s(t), четной относительно t, функция S(co),
определяемая первым интегралом, есть функция вещественная и
четная относительно (О.
2. Если s(t) нечетна относительно t, то в нуль обращается пер-
вый интеграл и
оо
S(co) = -/ J s(t) sin a>t dt.
-oo
В этом случае S(co) — нечетная и чисто мнимая функция.
3. Если, наконец, s(t) не является четной или нечетной функ-
цией относительно £, то ее можно разложить на две функции:
четную sx(t) и нечетную s2(t). При этом S(co) представляет комп-
лексную функцию, причем действительная ее часть четна, а мни-
мая нечетна относительно со.

56 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Из п. 1 вытекает, что при четной функции s(t) можно произ-
вольно выбирать знак перед t в обратном преобразовании Фурье
[см. (2.49)]: выберем знак минус и запишем формулу (2.49) в виде
S(t) = -L Г S(w)e"ш dco.
В последнем интеграле заменим переменную интегрирования
со на t и параметр t на со. Тогда левая часть должна быть записана
в виде функции от аргумента со
s(G>) = ^ J 8(tye-M dt.
-oo
Но интеграл в последнем выражении можно рассматривать
как спектральную плотность новой функции S(t), полученной за-
меной со на t в выражении спектральной плотности сигнала s(t).
Обозначим эту спектральную плотность через S'(co). Тогда
S'(co) = 27Cs(co). (2.65)
Этот результат показывает, что переменные со и t в преобразованиях
Фурье взаимно заменимы; если колебанию (четному) s(t) соответст-
вует спектр S(co), то колебанию S(t) соответствует спектр 2rc.s(co).
2.9. Распределение энергии
в спектре непериодического сигнала
Для получения выражения, аналогичного (2.42), можно идти
двумя путями: исходя из (2.42) совершить предельный переход
Т -* оо или воспользоваться результатами предыдущего параграфа.
Рассмотрим второй путь. Для этого воспользуемся выражени-
ем (2.63).
Если f(t) и git) представляют собой одно и то же колебание
fit) = git) = sit),
то интеграл
со оо
J f(t)g(t) dt = } s2(t) dt = 9
-oo -oo
представляет собой полную энергию сигнала sit). Кроме того, произ-
ведение спектральных плотностей G(co) и F*(co) приводится к виду
G(co)F*(co)^- S(co)S*(co) = |S(co)|2 = S2(co),
где S(co) — спектр сигнала sit), a S(co) — модуль этого спектра.

2.10. Примеры определения спектров непериодических сигналов 57
Таким образом, в соответствии с (2.63) приходим к оконча-
тельному результату
ОО .J ОО .J ОО
Э= \ s2(t)dt= ^ J |S(co)|2do)= i J S2((o)cko. \ (2.66)
-OO -OO Q
Это важное соотношение, устанавливающее связь между энер-
гией сигнала и модулем его спектральной плотности, известно
под названием равенства Парсеваля.
Между выражениями (2.42) и (2.66) имеется существенное
различие. В § 2.5 речь шла о средней мощности периодического
колебания. Операция усреднения осуществлялась делением энер-
гии отрезка колебания за один период на величину 7\ Для непе-
риодического колебания конечной длительности усреднение
энергии за бесконечно большой период дает нуль и, следователь-
но, средняя мощность такого колебания равна нулю.
Важно отметить, что энергия непериодического сигнала не за-
висит от фазировки спектральных составляющих. Это являет-
ся, как и для периодического сигнала, результатом ортогональ-
ности спектральных составляющих. Различие заключается лишь
в интервалах ортогональности: период Т для периодического сиг-
нала и бесконечно большой интервал для непериодического сиг-
нала.
Из выражения (2.66) видно, что величину |S(co)|2, имеющую
смысл энергии, приходящейся на 1 Гц, можно рассматривать как
спектральную плотность энергии сигнала.
2.10. Примеры определения
спектров непериодических сигналов
Основной задачей настоящего параграфа является пояснение
свойств преобразований Фурье, приведенных в предыдущих па-
раграфах, на примерах, важных для практики.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС
Простейшее колебание, определяемое выражением
\А при -ти/2 < *< хи/2,
*^ = 1 0 при t < -ти/2 и * > ти/2 (267)

58 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
и представленное на рис. 2.14, а, получило широкое распростра-
нение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Применяя
формулу (2.48), находим спектральную плотность (рис. 2.14, б)
V2
ШТ„ 10)Т„
S1(co)=A J е~ш dt= zj^fV 2И - е 2"1 =
-т„/2 ^ '
= — sin -J5- = AxJ го— .
со 2 и[ соти/2 J
(2.68)
Заметим, что произведение Ати, равное площади импульса, оп-
ределяет значение спектральной плотности импульса при со = О,
т. е. S1(0)=Ath[cm. (2.55)].
Таким образом, выражение (2.68) можно записать в форме
S^co) = Sx(0)
а)
sin((0TH/2)
= S1(0)sinc(^).
(2.69)
* S1(Q))/S1(0)
-xu2
V2 '
2л 2л со
Г 2Г 3Г
Рис. 2.14. Прямоугольный им-
пульс (а) и его спектральная
плотность (б)
в(со) - соти/2
Рис. 2.15. Модуль (а) и аргумент (б)
спектральной плотности прямоуголь-
ного импульса

2.10. Примеры определения спектром непериодических сигналов 59
0 *., t
Рис. 2.16. Совмеще-
ние начала отсчета
времени с фронтом
прямоугольного им-
пульса
Здесь через sine (шти/2) обозначена функция
sine (x) = (sin х)/х. (2.70)
При удлинении (растягивании) импульса
расстояние между нулями функции Sj((o) со-
кращается, что равносильно сужению спект-
ра. Значение 5Х(0) при этом возрастает. При
укорочении (сжатии) импульса, наоборот,
расстояние между нулями функции S^w) уве-
личивается (расширение спектра), а значение
Sx(0) уменьшается. В пределе при ти -> 0 (А = const) точки и>х =
= ±2я/ти, соответствующие двум первым нулям функции S^co),
удаляются в бесконечность и спектральная плотность, бесконеч-
но малая по величине, становится равномерной в полосе частот
от — оо до оо.
На рис. 2.15 показаны отдельно графики модуля S1(co), отне-
сенного к величине 5Х(0), и аргумента 9(a)) спектральной плот-
ности. Первый из этих графиков можно рассматривать как АЧХ,
а второй — как ФЧХ спектра прямоугольного импульса. Каждая
перемена знака S^w) учитывается на рис. 2.15, б приращением
фазы на л.
При отсчете времени не от середины импульса (как на
рис. 2.13), а от фронта (рис. 2.16) ФЧХ спектра импульса должна
быть дополнена слагаемым (0Ти/2, учитывающим сдвиг импульса
на время ти/2 (в сторону запаздывания). Результирующая ФЧХ
принимает при этом вид, показанный на рис. 2.15, б штриховой
линией.
ТРЕУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС
Представленный на рис. 2.17, а импульс определяется выра-
жением
s2(t) = <
(2.71)
Прямое вычисление спектральной плотности треугольного
импульса по формуле (2.48) хотя и несложно, все же несколько
громоздко.

60 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
6л 4л 2л 0 2л 4л 6л
(0
Рис. 2.17. К определению спек-
тральной плотности треуголь-
ного импульса
Для иллюстрации применения те-
орем о спектрах, приведенных в пре-
дыдущем параграфе, найдем снача-
ла спектральную плотность функции,
являющейся производной от заданно-
го сигнала s2(t). График производной
показан на рис. 2.17, б. Спектраль-
ная плотность положительного прямо-
угольного импульса длительностью
т /2 и амплитудой —-^ по аналогии с
формулой (2.68) и с учетом сдвига се-
редины импульса на время ти/4 отно-
сительно точки t = 0
А ^и sin (о)ти/4) |/(оти/4
ти/2 2 соти/4 е
_ >|зт((оти/4) /0)хи/4
-** г~з— е .
о)Ти/4
Спектральная плотность отрицательного импульса, показан-
ного на рис. 2.17, б, соответственно
_ sin(o)TH/4) _/(0Т /4
■А т^з— е .
соти/4
Суммарная спектральная плотность двух импульсов
sin2 ((оти/4)
sin (соти/4) /ц»ти/4 _ -i«oxII/4)
о)Ти/4 v ;
*2А-
соти/4
(2.72)
Спектральная плотность треугольного импульса, являющего-
ся интегралом от функции sfo), получается делением предыду-
щего выражения (2.72) на /со [см. (2.60)]:
S2(co) = —
2А sin2 (<оти/4) Лти /sin соти/4 \2
со (оти/4 2 V соти/4
/sin шти/ч \-
I соти/4 J
(2.73)
Множитель Ати/2 = S2(0) — площадь треугольного импульса.
График *S2(co) представлен на рис. 2.17, е. Полезно отметить, что
уровень боковых лепестков спектра треугольного импульса убывает
пропорционально I/O)2, а не 1/со, как в случае прямоугольного им-
пульса. Большая скорость убывания спектра объясняется отсутст-
вием разрывов в рассматриваемой функции. Аналогичная картина

2.10. Примеры определения спектрои непериодических сигналов 61
была отмечена в § 2.4 при рассмотрении линейчатого спектра пери-
одической последовательности треугольных импульсов.
Обобщение этого важного вопроса, основанное на использова-
нии аппарата дельта-функций, дается в § 2.13.
КОЛОКОЛООБРАЗНЫЙ (ГАУССОВСКИЙ) ИМПУЛЬС
Он представлен на рис. 2.18, а и определяется выражением
s3(t) =Ае <2/2°'\ -оо < t < оо. (2.74)
Этот импульс, совпадающий по форме с графиком нормального
(гауссовского) закона распределения вероятностей, называется
также гауссовским импульсом. Постоянная а имеет смысл поло-
вины длительности импульса, определяемой на уровне е 1/2 =
= 1/е1/2 от амплитуды импульса. Таким образом, полная дли-
тельность импульса хи равна 2а.
Применяя выражение (2.48), получаем
S3(0))=A J e-t2/2a*e-not dt%
(2.75)
Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции
дополнить показатель степени до квадрата суммы
-(ё+НЧ(й+/ю'+й2Н2Н(ткЧ2-4
величина d определяется из условия
Ш = 2[t/(j2a)]d,
откуда
d = iu>a/j2. (2.76)
Таким образом, выражение (2.75) можно привести к виду
\2
S3(<o)=Aerf2 J e-<t'J*a + d)*dt9
Рис. 2.18. Колоколообразный (га-
уссовский) импульс (а) и его спект-
ральная плотность(б)
*3<0j
А /
1 /
У' у
т
-а
V
•^г-
1
\ Ае ' *
)
a t

62
Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Переходя к новой переменной х = (t/ J2 а) + d, получаем
оо
S3(co) = Aed2 Л а \ е*2 dx.
-оо
Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен Jn,
окончательно получаем
S3(o))=AV27iae-a2a)2/2 =Be^2/2b\ (2.77)
где b = 1/а; В = J2n aA.
График этой функции изображен на рис. 2.18, б.
Полученный результат имеет важное значение для теории сиг-
налов. Оказывается, что гауссовский импульс и его спектр выра-
жаются одинаковыми функциями и обладают свойством симмет-
рии: для получения одной из них по заданной другой достаточно
заменить t на со или наоборот. При этом спектральная полоса, оп-
ределяемая на уровне е~1/2 от максимального значения, равна
2Ъ = 2/а = 2 • 2ти = 4хи, а коэффициент В = J2n aA.
Гауссовскому спектру
Ss(Cu) = Be-°>2/2b2 (2.78)
соответствует гауссовский импульс
sM) = Ае-*2*2/2 = ^L е-*2'2/2 (2.79)
3 Ш
с длительностью 2/Ь и амплитудой А = Bb/ J2n .
Очевидно, что чем меньше длительность импульса ти, тем ши-
ре спектральная полоса 2Ь.
ИМПУЛЬС ВИДА sinc(Ar)
На рис. 2.19, а изображен импульс, определяемый выражением
sin (umt sin 2nfmt
s4(t) = sine (a,m*) = -j^- - -^-j- . (2.80)
Вместо вычисления спектральной плотности по формуле (2.48)
воспользуемся результатами п. 1 данного параграфа и свойством
взаимной заменяемости со и t в преобразованиях Фурье для чет-
ных функций времени (см. п. 7 § 2.8).

2.10. Примеры определения спектров непериодических сигналов 63
б)
S4((oU
1
2Гт
А
-2п/т 0 2nfm со
Рис. 2.19. Импульс вида sine (d)mt) (а) и его спектральная плотность (б)
Из рис. 2.14 очевидно, что после замены со на t и t на со заданной
функции s4(t) будет соответствовать спектр прямоугольной формы.
Остается лишь найти площадь этого спектра и его уровень.
Для этого сопоставим абсциссу t = л/сот на рис. 2.19, а с анало-
гичной абсциссой со = 2я/хи на рис. 2.14, б. Очевидно, что при за-
мене t на со (или наоборот) в данном примере необходимо исхо-
дить из соответствия я/сот —► 2я/ти, т. е. хи —► 2сот, откуда следует,
что 2сот и есть искомая ширина спектра S4(co).
Уровень спектра, равномерный в полосе -сот < со < сот, проще
всего определить по его значению в точке со = 0, для которой S4(0)
равно площади импульса [см. (2.55)]:
оо оо g^n ф £
S4(0) = } s3(t) dt=A\ ... „m dt
d>mt
Л °°
0)_ J
dx =
к
Итак, окончательно
при |со| < com,
при |со| > com.
s^-\A0W
(2.81)
(2.82)
ГРУППА ОДИНАКОВЫХ И РАВНООТСТОЯЩИХ ИМПУЛЬСОВ
Спектральную плотность первого импульса в пачке (рис. 2.20)
обозначим через Sx(co). Тогда для второго импульса, сдвинутого
относительно первого на время Т (в сторону запаздывания),
спектральную плотность можно на основании (2.57) представить
выражением S2(co) = S^coje""071, для третьего импульса S3(co) =
= S1(a>)e-i2(o7' и т. д.

64
Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Sit) к
0
3
L
т
-*
2
3
/Л/" - ПТ
*-
Л/
*
Рис. 2.20. Пачка одинако-
вых, равноотстоящих им-
пульсов
Для группы из N импульсов в соот-
ветствии с принципом линейного сум-
мирования спектров при сложении сиг-
налов спектральная плотность
S(co) = S^cotfl + e~UoT + еч2мТ + ... +
+ e~i(N - l)oT-j# (2 83)
При частотах, отвечающих условию
со = k2n/T, где /г — целое число, каждое
из слагаемых в квадратных скобках равно единице и, следова-
тельно,
S[k2n/T] = Ы8г[к2п/Т]. (2.84)
Таким образом, при частотах со = к2п/Т модуль спектральной
плотности пачки в N раз больше модуля спектра одиночного им-
пульса. Это объясняется тем, что спектральные составляющие
различных импульсов с указанными выше частотами складыва-
ются с фазовыми сдвигами, кратными 2л.
При частотах же со = (1/N)(2n/T), а также при некоторых дру-
гих частотах, для которых сумма векторов e~ikT обращается в нуль,
суммарная спектральная плотность равна нулю. При промежуточ-
ных значениях частот модуль S(co) определяется как геометриче-
ская сумма спектральных плотностей отдельных импульсов.
В качестве иллюстрации на рис. 2.21, а изображен спектр
(модуль) пачки из трех прямоугольных импульсов, а на
S((o)
12л 2л 2л
4 Т Т хи
Рис. 2.21. Модуль спектральной плотности пачки из трех (а) и четырех (б) импульсов

2.11. Бесконечно короткий импульс с единичной площадью
65
рис. 2.21, б— из четырех при интервале между соседними им-
пульсами Т = Зти. Штриховыми линиями показана спектральная
плотность одиночного импульса. С увеличением числа импульсов
в пачке спектральная плотность все более расщепляется и в пре-
деле при N —► °о принимает линейчатую структуру спектра пери-
одической функции (см. рис. 2.12).
2.11. Бесконечно короткий импульс
с единичной площадью (дельта-функция)
Некоторые из возможных импульсов, площадь которых равна
единице, изображены на рис. 2.22. Амплитуды всех этих им-
пульсов обратно пропорциональны соответствующим образом оп-
ределенной длительности. При стремлении длительности к нулю
амплитуда обращается в бесконечность, а площадь импульса ос-
тается неизменной и равной единице.
Амплитуду прямоугольного импульса следует приравнять ве-
личине 1/хг (рис. 2.22, а), где хл — длительность импульса.
При гауссовском импульсе (рис. 2.22, б) амплитуда должна
быть приравнена 1/ J2na, поскольку
J е-*2'2"2 dx= J2na.
-оо
Наконец, для импульса вида sin (2nfmx)/nx (рис. 2.22, в), пло-
щадь которого равна единице, амплитуда равна 2fm (при х = 0).
Длительность импульса (главного лепестка) обратно пропорцио-
нальна параметру fm.
а)
х1
2
s<
(
i
)
1
2
\
1
X
б)
1
J2na
sk
в)
e-*2/2°2/j2na
sk sia2nfmx
Рис. 2.22. Импульсы, обращающиеся в дельта-функцию при стремлении длитель-
ности к нулю
3 И. Гоноровский

66
Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
При устремлении параметров х1 и а к нулю, a fm к бесконеч-
ности все три изображенные на рис. 2.22 функции можно опреде-
лить следующим образом:
[ оо при х = О,
5<*) = |0 при х * О <2-85>
при одновременном условии
оо
j 8(x) dx = площадь импульса = 1. (2.86)
-оо
Функция 8(jc), обладающая указанными свойствами, называет-
ся единичным импульсом, импульсной функ-
цией или дельта-функцией (а также функцией
Дирака).
Применительно к исходным функциям, изображенным на
рис. 2.22, бив, дельта-функция должна быть определена выра-
жениями
Ъ{х) = lim -t=L- e*2/2*2, 5(х) = lim [sin (2nfmx)/nx].
а - о J2na fm - °°
Возможны и другие многочисленные определения 5(дг).
При сдвиге импульса по оси х на величину х0 определения
(2.85), (2.86) должны быть записаны в более общей форме
[оо при* = *0,
Ь(х - х0) = п ^ (2.87)
°' IО при х ^ х0,
оо
\ 8(х - х0) dx = 1, (2.88)
-оо
6(* - *0) = lim -±- е"(* ~ *о>2/(2<>2) f (2.89)
а - о J2na
sin 2nfm(x - хп)
аО-д^-^Цт я(/_,о) °. (2.90)
Функция 6(лг) обладает важными свойствами, благодаря кото-
рым она получила широкое распространение в математике, фи-
зике и технике.
Из определений (2.87), (2.88) вытекает основное соотношение
оо оо
J д(х - x0)f(x) dx = f(x0) j 5(x - x0)dx = f(x0). (2.91)
-oo -oo
Так как по определению функция 8(х - х0) равна нулю на всей
оси х, кроме точки х = х0 (где она бесконечно велика), то проме-

2.11. Бесконечно короткий импульс с единичной площадью
67
жуток интегрирования можно сделать сколь угодно малым, лишь
бы он включал в себя точку х0. В этом промежутке функции /(*;)
принимает постоянное значение f(x0), которое можно вынести за
знак интеграла. Таким образом, умножение любой подынтеграль-
ной функции f(x) на Ъ(х - х0) позволяет приравнять интеграл про-
изведения значению f(x) в точке х = х0.
В математике соотношение (2.91) называется фильтрующим
свойством дельта-функции1.
В теории сигналов приходится иметь дело с дельта-функция-
ми от аргументов t или со, в зависимости от того, в какой области
рассматривается функция — во временной или частотной.
Рассмотрим сначала свойства функции S(t). В этом случае ос-
новное значение имеет спектральная характеристика дель-
та-функции. В § 2.10 было установлено, что при сокращении
длительности ти прямоугольного импульса (неизменной амплиту-
ды) ширина основного лепестка спектральной плотности увели-
чивается, а величина S(0) быстро уменьшается. В данном же слу-
чае, когда уменьшение длительности импульса сопровождается
одновременным увеличением его амплитуды, значение спект-
ральной плотности остается неизменным и равным величине
S(0) = 1 для всех частот -оо < ш < °°. То же самое имеет место при
укорочении любого из импульсов, показанных на рис. 2.22.
Следовательно, спектральная плотность дельта-функции ве-
щественна и равна единице для всех частот. Из этого также выте-
кает, что ФЧХ спектра дельта-функции 5(0 равна нулю для всех
частот. Это означает, что все гармонические составляющие еди-
ничного импульса при нулевых начальных фазах, суммируясь,
образуют пик бесконечно большой величины в момент времени
* = 0.
Аналогично функция 5{t - £0), определяющая единичный им-
пульс в момент £0, имеет спектральную плотность S(w) = е ш °. Мо-
дуль этой функции по-прежнему равен единице, а ФЧХ 0(со) = -со£0.
Найденная ранее спектральная плотность дельта-функции мо-
жет быть получена и с помощью преобразования Фурье:
S(co) = J 8(* - t0)e'iMt dt.
На языке техники более подходящим по смыслу являлся бы термин апроби-
рующее свойство.

68 Глива 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Используя свойство (2.91), находим
оо
S(co) = е~ш<> J 8(t - t0) dt = e~iwt°. (2.92)
-oo
При t0 = 0 S(w) = 1. Следует иметь в виду, что правая часть равенст-
ва S(co) = 1 является размерной единицей: это площадь импульса,
численно равная единице. Если под S(t) подразумевается импульс
напряжения, то размерность S(co) есть вольт-секунда [В • с].
Можно, очевидно, и 5(t - t0) представить в виде обратного пре-
образования Фурье от S(co) = е~ш ° :
.. ОО .J ОО
8(* - 10) = 4- I S(co)eto( dco = ± Г emt ' 'о) dw. (2.93)
-oo -oo
Энергия единичного импульса бесконечно велика. При спект-
ральном рассмотрении это вытекает из равенства Парсеваля [см.
(2.66)], правая часть которого при S(co) = 1 обращается в беско-
нечность. При временном рассмотрении это следует из того, что
энергия импульса, пропорциональная квадрату его амплитуды
(т. е. величине l/x„) и первой степени длительности ти, с укороче-
нием импульса растет как 1/ти. При ти —► 0 энергия бесконечно
велика.
Понятие единичного импульса особенно широко используется
при исследовании действия коротких импульсов на линейные це-
пи. При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального им-
пульса была бесконечно велика, а длительность бесконечно мала.
Достаточно, чтобы длительность импульса была мала по сравне-
нию с постоянной времени исследуемой цепи (или по сравнению с
периодом собственного колебания цепи).
Рассмотрим теперь свойства 5(со). Все, что ранее было сказано
относительно 5(0» можно распространить на 8(со) при замене t на
со и со на t.
По аналогии с выражением (2.93) можем написать
.. OO -J ОО
5(со) = 4~ \ еш dt= о- \ е~ш dt. (2.94)
-ОО -ОС
(Перемена знака в показателе степени в данном случае не влияет
на значение интеграла, см. § 2.8) Соответственно
л оо л оо
5(со - со0) = ^ \ е((ш " "о" dt = ± J е-'(ю " "о" dt. (2.94)

2.12. Соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра 69
2.12. Соотношение между длительностью сигнала
и шириной его спектра. Скорость убывания спектра
Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше длитель-
ность сигнала, тем шире его спектр. Для установления количест-
венных соотношений между указанными параметрами сигнала не-
обходимо условиться об определении понятий длительность сиг-
нала и ширина его спектра. В практике применяются различные
определения, выбор которых зависит от назначения сигнала, его
формы, а также от структуры спектра. В некоторых случаях выбор
является произвольным. Так, ширину спектра прямоугольного
импульса определяют либо как основание главного лепестка (на-
пример, в п. 1 § 2.10), либо на уровне 1/V2 от максимального зна-
чения спектральной плотности. Длительность колокол ообразного
импульса (см. § 2.10, п. 3) и ширину его спектра иногда определя-
ют на уровне 0,606 от максимального значения соответственно s(t)
или S(co). Часто пользуются энергетическим критерием, понимая
под шириной спектра полосу частот, содержащую заданную долю
полной энергии сигнала.
Для практики важное значение имеет также оценка протя-
женности «хвостов» спектра вне полосы частот, содержащей ос-
новную часть энергии сигнала.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЛОСА х ДЛИТЕЛЬНОСТЬ
Для выявления предельных соотношений, связывающих дли-
тельность сигнала и ширину спектра, в современной теории сиг-
налов большое распространение получил метод моментов.
По аналогии с понятием момента инерции в механике эффек-
тивную длительность сигнала Тэф можно определить выраже-
нием
Т% = j (t-t0)42(t)dt/j sHt)dt,
- ОО --ОС)
где середина импульса t0 определяется из условия
оо оо
t0 = \ ts2(t) dt/ J s2(t) dt.
Имеется в виду, что функция s(t) интегрируема с квадратом
сигнал с конечной энергией).

70 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Аналогично эффективная ширина спектра Фэф = 2kF^ опреде-
ляется выражением1
1 °° // 1 °° \
Так как модуль спектра S(co) не зависит от смещения s(t) во
времени, можно положить t0 = 0. Наконец, сигнал s(t) можно
нормировать таким образом, чтобы его энергия Э равнялась еди-
нице и, следовательно,
оо 1 сю
J s2(t)dt= 2^ J S2(co)dco=l.
-оо —оо
При этих условиях выражения для Тэ* и £2эф принимают вид
ОО .| ОО
Г2ф = J Л»2(*)Л, «2ф = J_ | C02S2((0)d(D,
-ОО -ОО
и, следовательно, произведение длительность х полоса
п1/2г 1 °° -.1/2
ГиАф - J t4\t) dt] ^ J 0)2S2((0) dCO .
— oo -J - on -I
Нужно иметь в виду, что Тэф и Оэф являются среднеквадрати-
ческими отклонениями соответственно от t = t0 и со = 0. Поэтому
полную длительность сигнала следует приравнять 27!)ф, а полную
ширину спектра (включая и область отрицательных частот) —
величине 2£2эф.
Произведение Т^Ц^ зависит от формы сигнала, однако оно не
может быть меньше 1/2. Оказывается, что наименьшее возможное
значение Тэф£2эф =1/2 соответствует кол околообразному импульсу2.
Метод моментов применим не к любым сигналам. Из выраже-
ний для Тэф и 0.эф видно, что функция s(t) с увеличением t должна
убывать быстрее, чем 1/t, а функция S(co) — быстрее, чем 1/со,
так как в противном случае соответствующие интегралы стре-
мятся к бесконечности (расходятся).
В частности, это относится к спектру строго прямоугольного
импульса, когда
7 2о2/ w 7 2sin2 (сохи/2) А?(1 1 \. ™
J co2S2(co) dec = j со2— 2—dw = 4J N ~ 2 coscoth ) du>^ °°.
-00 -00 к***/ 6) _од \ /
1 Имеются в виду сигналы без высокочастотного заполнения.
2 Доказательство приведено в 3-м издании настоящего учебника. См. также [11].

2.12. Соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра 71
В этом случае выражение для Тэф0.эф не имеет смысла и оцен-
ку эффективной ширины спектра прямоугольного импульса при-
ходится основывать на иных критериях.
Рассмотрим некоторые простые сигналы типа видеоимпуль-
сов, т. е. сигналов, спектр которых сосредоточен в области ни-
зких частот, и определим с помощью равенства Парсеваля энер-
гию, содержащуюся в полосе А/ от со = 0 до некоторой граничной
частоты Qrp = 2л/гр:
1 (0п,
Эы="-\ S2(co)dco.
о
Относя затем ЭДу к полной энергии импульса Э, определяем ко-
эффициент
Л(/грти) = Эы/Э,
характеризующий концентрацию энергии в заданной полосе.
В качестве исходного сигнала примем прямоугольный им-
пульс, затем рассмотрим треугольный и колоколообразный (га ус -
совский). Последний особенно показателен, так как для него
обеспечивается максимально возможная концентрация энергии
спектра в заданной полосе 0 - /гр.
Для прямоугольного импульса в соответствии с (2.68)
Э = (Ах V ! °f"'sin2 (ыТи/2) Ла = А*х*
ЧЛ/2
W (ыхи/2) 1 !
х У" ^ dx-Эп( ^= ), где Э-А«хш.
Вычислив интеграл1, получим
/V«^ 2 Г., ч sin2 (со ти/2)л
у sin х
где si(z/) = J —£~~ dx — интегральный синус
со т
Переходя к аргументу Г9Р = nf ти, записываем
WrpxJ=?fsi(2.VJ-^^].
2 v'rpwH»
sin2 (nfrpxj •
гр^и
Интегрирование по частям дает
b t b
f sin2 x , sin2 x \b r 2sin x cos x , sin2 b
, sin"2 jc P . f 2sin # cos л: , sm^ b , . /rt, ч
dx---r-|0 + J j dx- —5- + si (2ft).
о

72 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Для треугольного импульса, спектральная плотность которого
определяется формулой (2.73), а полная энергия Э = А2ти/3,
*М2 1
»-(¥)И
/ (0Т„\4
sin —j
шти/4
dec = Эп(сог т/4),
1 / /^ч /r7C/?гpти^ 3 2r sin4 jc ,
где1 л(о)грти/4) = л(-^-]=- J -^г- d*.
Для гауссовского импульса в соответствии с (2.77) получаем
1 ^ г- 9 а(°гр
Эд/ = А22тш2^ J e-fl2"2 dco = 7тгА2а-== J е-*2 dx = Эл(аа)гр),
о ^ о
где Э = JnA2a — полная энергия гауссовского импульса, а функция
ош,,„
9
Т|(асогр) = -= J е*2 dx = Ф(асогр) — интеграл вероятности.
л/Л о
Учитывая, что длительность гауссовского импульса определе-
на в § 2.10 и равна 2а, аргумент функции л. можно записать в
форме ао)гр = л/грти. Функции л для трех импульсов представлены
на рис. 2.23, а.
Итак, значение произведения /грти, требующееся для заданно-
го л максимально для прямоугольного импульса (при ц > 0,9) и
минимально для гауссовского. В частности, уровню л = 0,95 соот-
ветствуют значения /грти, равные 1,8; 0,94 и 0,48.
а)
Л А Импульс гауссовский
1,0 ■
0,8
0,6
0,4
0,2
\
Прямоугольный
Треугольный
0 0,5 1,0 1,5 /грхи
Рис. 2.23. Доля энергии сигнала в полосе / ти (а) и деформация импульса при усе-
чении спектра(б)
1 Последовательное интегрирование по частям приводит к следующей формуле:
где ср(Ь) = sin4 6; (pV) = к (2 sin 26 - sin 46); y"(b) = 2b (cos 2 - cos 4b).

2.12. Соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра 73
Выбор границы спектра по энергетическому критерию в некото-
рых практических задачах не всегда приемлем. Так, если при об-
работке импульса требуется сохранить его форму достаточно близ-
кой к прямоугольной, то /грти должно быть гораздо больше едини-
цы. Для иллюстрации этого важного положения на рис. 2.23, б
показаны исходный импульс (пунктирная линия) и его деформа-
ция при усечении спектра на уровнях /грти = 1, 3 и 5.
В любом случае при заданной форме сигнала сжатие его во
времени с целью, например, повышения точности определения
момента его появления неизбежно сопровождается расширением
спектра, что заставляет расширять полосу пропускания измери-
тельного устройства. Аналогично сжатие спектра импульса с
целью повышения точности измерения частоты неизбежно сопро-
вождается растяжением сигнала во времени, что требует удлине-
ния времени наблюдения (измерения). Невозможность одновре-
менно сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в корот-
ком интервале времени представляет собой одно из проявлений
известного в физике принципа неопределенности.
Вопрос о величине произведения длительность х полоса акту-
ален в связи с проблемой электромагнитной совместимости, воз-
никающей при взаимных помехах радиостанций. С этой точки
зрения наиболее желательна форма импульсов, близкая к коло-
колообразной.
СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ СПЕКТРА ВНЕ ОСНОВНОЙ ПОЛОСЫ
Для выявления связи между поведением S(co) в области отно-
сительно высоких частот и структурой сигнала s(t) воспользуем-
ся свойствами таких испытательных сигналов, как единичный
импульс и единичный скачок.
Единичный импульс 8(f) является единственной функцией,
имеющей неубывающую спектральную плотность на всей оси
частот -°° < со < °°.
Поэтому можно утверждать, что сигнал s(t), спектр которого
вне основной полосы не убывает с ростом со, содержит в своем со-
ставе дельта-функцию (в реальных условиях достаточно мощный
короткий импульс).
Далее, единственной функцией времени, имеющей спектраль-
ную плотность вида 1/со, является единичный скачок u(t) = 1, t > 0.
Следовательно, убывание хвоста спектра сигнала s(t) по закону 1/со
свидетельствует о наличии в функции s(t) скачков, т. е. разрывов
непрерывности. Но в точках разрыва производная функции обра-

74 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
щается в дельта-функцию (с постоянным коэффициентом, равным
величине скачка). Поэтому убывание спектра пропорционально 1/со
указывает на наличие дельта-функции в составе производной s'(t).
Это рассуждение можно продолжить и для производных сигнала
s(t) более высоких порядков.
Проиллюстрируем сказанное примерами трех сигналов, пред-
ставленных на рис. 2.24: с разрывом, с изломом и «гладкого»
сигнала (без разрывов и изломов).
В первом примере (рис. 2.24, а) производная s'(t) определяется
выражением
s'(t) = 8(0 - осе"0", t > О, а = 1/т0>
и спектральная плотность функции s'(t) в соответствии с табл. 2.1
SJcu) = 1 - а , . = ——^- .
s а 4- ко а + ш
е /2/2а2
-2(x6(0
б)
Рис. 2.24. Примеры сигналов:
а) с разрывом; б) с изломом; в) без разрыва и излома

Таблица 2.1
с
s
<
s>
1
(
Si
1
I
о
{
) t
\
) t
L.
) t
Сигнал
m
f 1 при t > 0,
s(t) j 0 при t < 0
m J е~а' при f > 0,
S(U |0 при t < 0
cx>0
Изображение
по Лапласу
1
1
P
1
a + p
Спектральная плотность
1
л6(со) + i-
v ' ко
1
a + ico
St
A
1
T
0
SA
я
2
0
0
S,9A
Ф¥? 1/a j
5<
\
<^4
CO
^- ,
CO
CO Л
2
. АЧХ
^4*.
CO
-я/2

Продолжение
Сигнал
Изображение
по Лапласу
Спектральная плотность
s(f) = е-«1', а > О
2а
а2-р2
2а
а2 + ш2
"JL
О со
О со
1
S(t)"
\ 1 при |*| < ти/2,
I 0 при |*| > ти/2
Ке""/2-е~'п")
sin штн/2
Х« соти/2
-ти/2 0 ти/2 *
4л
*и
2я L
я
s*
^
2л /
Т7
—1 е
О
\ 2л 4л
уи ти
О
-я
-2*1
со
со
si
А
s(t)-
I О при И > ти/2
-PV2 VI
ти /sin соти/4\2
2" I соти/4 J
V*
Sk
+ е
-тн/2 О ти/2 t
ч,
-4я/ти
^^
4я/ти со

2.12. Соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра 77
т
1
А
У_А
^К~|
i°^\
к \
•4 ч
з ,
<х>
.3
о
см
сч
3
7
о
SJ
■4
OJ
Ч,
а>
а
^
eg
а
(N
Ф
L
со
У
сс^н\~
А-
У
« 3s
^
Е Е
3 3
V Л
^^
я я
a a
я я
Е
3
к о
Е
3
Й
'53
Е
3
J^
со
ОЭ гН
li
3 A3
Е '
3
о
<х>
Е
3
о
1 1
1
Б /
\ С
СМ
S
3
•* I
I л
\ **
к**
/
-\
<х>
оо
/
"Г
a
+
3
см
3
+
^
ч-
3
ICvjp
a
+
«a.
3
+
Ъ
+
3
О О
А V
Я Я
a a
и я
о
3
со
о
о
в
а> о
J]^
со
со о
тЧ
X «
&< з
л^
v
, ^
=7
t 1
К
Г
1 ®
1
1 /
/
V
т
4
>
:>
о

78 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Для определения спектральной плотности сигнала s(t), являю-
щегося интегралом от s'(£), можно исходить из выражения
Ss(co) = J-Ss,(o)) = —L_.
В данном случае операция l/(ico) законна, поскольку Sy(0) = 0
[см. (2.60)].
При со ^> ос спектральная плотность Ss(co) ~ 1/(ко). Как видно
из рис. 2.24, а, это объясняется наличием функции 5(t) в первой
производной сигнала s(t).
Во втором примере (рис. 2.24, б) производная функции
j -ae~a' при t > 0,
s № = 1 aea' при * < 0
не содержит дельта-функции, но терпит в точке t = 0 разрыв.
После повторного дифференцирования получим функцию, отли-
чающуюся от исходного сигнала s(t) только масштабом по оси ор-
динат и наличием функции -2a8(t).
Следовательно, спектральная плотность второй производной
Ss„(co) = a2Ss(co) - 2a,
причем при со = 0 эта функция равна -а.
Разделим теперь полученное выражение на (/со)2 и учтем, что
Ss"((o)/(ico)2 есть спектральная плотность двукратного интеграла
от функции s"(t), т. е. Ss~(co)/(/co)2 = Ss(co).
Таким образом, можно составить следующее соотношение:
Ss(co) = [a2Ss(co) - 2a]/(*co)2,
откуда вытекает равенство
Ss(co) = 2a/(a2 + со2),
Ss(co) = 2a/co2 при со > a.
Отсюда видно, что разрыв первой производной приводит к
убыванию спектра по закону 1/со2. Этот результат можно обоб-
щить следующим образом: вне основной полосы частотный
спектр убывает по закону 1/сол + х, где п — порядок производной,
при котором возникает первый разрыв.
С этой точки зрения сигнал, показанный на рис. 2.24, в, про-
изводные которого непрерывны при всех значениях п, вплоть до
п = °о, должен обладать спектром, скорость убывания которого
является максимально возможной. Этот вывод согласуется с тем,

2.13. Спектры некоторых неинтегрируемых функций
79
что произведение длительность х полоса минимальна для колоко-
лообразного импульса (см. п. 1 данного параграфа).
Основываясь на приведенных рассуждениях, нетрудно также
объяснить происхождение пульсации спектра вне основной поло-
сы частот. Периодическая пульсация с неубывающими максиму-
мами может возникать только в результате интерференции
спектров двух дельта-функций, разнесенных во времени. Спектр
прямоугольного импульса, пульсирующий с максимумами, убы-
вающими по закону 1/0), является наглядным примером интер-
ференции спектров двух единичных скачков.
2.13. Спектры некоторых неинтегрируемых функций
Одним из условий применимости преобразования Фурье к
функции s(t) является ее абсолютная интегрируемость:
оо
\ \s(t)\ dt < оо. (2.95)
оо
Это условие существенно ограничивает класс сигналов, для ко-
торых существует спектр Фурье, выражаемый обычными функ-
циями. Например, такие важные для теории сигналов и цепей
функции, как гармоническое колебание, заданное при -оо < t < оо
или включаемое в некоторый момент времени, единичный ска-
чок, и некоторые другие функции не отвечают условию (2.95).
Рассмотренные в предыдущем параграфе свойства дель-
та-функции позволяют устранить это препятствие.
Обратимся, например, к гармоническому сигналу s(t) =
= А0 cos ((O0t 4- 90). Не обращая внимания на то, что такой сигнал
не является абсолютно интегрируемым, выражение для спект-
ральной плотности запишем в форме (2.48):
оо оо
S(g>) = J s(t)e4oit dt=A0 j cos (co0* + %)е~ш dt =
-OO -OO
Л р'в0 оо Л p~'e0 oo
= ^!_j e-^-v'rft + v j e-.<« + «„>' du
-oo -oo
На основании формулы (2.94') получаем
S((o) = Чг [2ле*е° 8(ю - со0) + 2ne~w° 5(co + со0)] =
= AoKle*0 6(0) - ю0) + е"'е° 5(со + <о0)]. (2.96)

80 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Эта функция равна нулю для всех частот, кроме со = ш0 и
со = -со0, при которых S(co) обращается в бесконечность. Как и
следовало ожидать, гармоническому колебанию с конечной амп-
литудой соответствует бесконечно большая спектральная плот-
ность при дискретных частотах со0 и -со0.
В частности, приравнивая со0 нулю, получаем спектральную
плотность сигнала, представляющего собой постоянное напряже-
ние (ток)А0:
S(co) = А0 • 2я6(со). (2.97)
Распространив соотношение (2.96) на все гармоники любого
периодического сигнала
оо
s(t) = А0 + X Ап cos (псо^ + 0n),
п = 1
можно ввести понятие спектральной плотности периодического
сигнала в виде суммы дельта-функций
S(co) = А0 • 2л8(со) + Axn[eiQl 5(со - сох) + e~/Gl 5(co + со^] +
+ А>тс[е''028(со - 2сох) + е '°28(со + 2сох)] + ... +
+ Ann[ei0" 5(co - ncox) + е~'е" 5(co + /icox)] + ... .
(2.98)
Такой подход оказывается полезным при рассмотрении смеси
импульсного и гармонического сигналов.
Пусть, например, отыскивается спектр суммы двух сигналов:
импульсного Sj(£) и гармонического $(0 = А^ cos (o0t (рис. 2.25, а).
Применяя выражение (2.48) к sx(t), находим обычную спектраль-
ную плотность S(co), определяющую сплошной спектр (на
рис. 2.25, б заштрихован). Применение же (2.48) к s2(t) дает
спектр, определяемый выражением (2.96). На рис. 2.25, б этот
б) лА05(о) + (oq)
кА(Ды ~ со )
Рис. 2.25. Импульсный и монохроматический сигналы (а) и их спектральные
плотности (б)

2.14. Представление сигналов на плоскости комплексной частоты 81
спектр изображается двумя спектральными линиями, уходящи-
ми в бесконечность.
Отыщем теперь спектральную плотность единичного скачка.
Эту простейшую разрывную функцию представим в виде суммы
s(t) = 72 + У2 sign (*), (2.99)
где sign (t) — сигнум-функция, равная единице, знак которой из-
меняется при переходе переменной t через нуль.
Постоянной составляющей 1/2 соответствует спектральная плот-
ность [см. (2.97)] 7с5(а)), а спектральную плотность нечетной функ-
ции l/2sign(t) нетрудно найти с помощью правила, сформулиро-
ванного в предыдущем параграфе. Продифференцировав функцию
V2 sign (*)> получим производную, которая равна нулю на всей оси
времени, кроме момента t = О, где она равна 8(t). Спектральная
плотность 5(0 равна единице, следовательно, искомая спектраль-
ная плотность сигнум-функции будет 1/(/о>).
В результате получаем спектральную плотность единичного
скачка
S(w) = 7с5(о)) + 1/(ко). (2.Ю0)
При рассмотрении воздействия единичного скачка на цепи,
передаточная функция которых при о) = 0 равна нулю (т. е. на це-
пи, не пропускающие постоянный ток), спектральную плотность
можно определять по формуле
S((0) = 1/(ш)). (2.100')
2.14. Представление сигналов ;
на плоскости комплексной частоты '
Анализ прохождения сигналов через линейные цепи, описы-
ваемые комплексной передаточной функцией, значительно об-
легчается при использовании методов контурного интегрирова-
ния на плоскости комплексной частоты р = с + 1(0. Пе-
реход от действительной переменной со к р = а + ко позволяет
также полностью устранить ограничения, вытекающие из требо-
вания абсолютной интегрируемости функции s(t).
Представим функцию s(t), в общем случае существующую при
-оо < t < оо, в виде суммы двух функций:
s(t) = s+(t) + s_(t),
из которых s+(t) задана при 0 < t < оо, а s_(t) — при -оо < t < 0.

82 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Обращаясь к паре преобразований Фурье (2.48), (2.49), совер-
шаем переход от со к р сначала для функции s+(t). Для этого дом-
ножим s+(t) на е~а1', где сг > 0 выберем таким образом, чтобы
обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции е а* s+(t)
в пределах 0 < t < оо.
Тогда выражение (2.49) принимает вид
1 °°
е"а»' s+(*) = ^ J S+((o)eto( da>, (2.49')
-оо
причем S+(co) является спектральной плотностью функции
e-°'4(t).
Теперь подставим в (2.49') № = р-о1и(и = (р- oj/i:
а, - /оо v '
откуда
1 ах + /оо _ а, f /оо
s+«>=2^ 1 ^(Ч-1)^*"^ 1 Ls+{p)eP'dp. (2.101)
а, - /оо у а, - /оо
Новая функция Ls+(p)> являющаяся не чем иным, как спект-
ральной плотностью сигнала е °х s+(t) [см. комментарий к (2.49')],
определяется выражением
'L—l) = 8+(ш) = J e",°>'e+(')e-to' Л,
' о
откуда
оо
Ls+(p) = j s+(t)e-P* dt. (2.102)
о
Полученное соотношение называется преобразован и-
е м (односторонним) Лапласа функции s+(t).
Соотношение (2.101) по аналогии с выражением (2.49) часто
называют обратным преобразованием Лапласа.
Сравнение выражений (2.101) и (2.49) показывает, что пере-
ход от со к р означает изменение пути интегрирования. В выраже-
нии (2.49) интегрирование ведется по действительной оси со, а в
выражении (2.101) — по прямой, проходящей параллельно мни-

2.14. Предстаплемие сигналов на плоскости комплексной частоты 83
мой оси ico на расстоянии ах вправо от этой оси (рис. 2.26, а). Зна-
чение постоянной Oj определяется характером подынтегральной
функции в (2.101): путь интегрирования должен проходить пра-
вее полюсов этой функции.
Добавлением к прямой ох - i°°y ах + /°° дуги бесконечно боль-
шого радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирова-
ния (рис. 2.26, б). Для того чтобы добавление этой дуги не изме-
няло значения интеграла, нужно руководствоваться следующим
правилом: при положительных значениях t контур должен быть
расположен в левой полуплоскости переменного р, а при отрица-
тельных t — в правой.
Тогда в первом случае при t > 0 [при проведении дуги в левой
полуплоскости (рис. 2.27, а)] контур интегрирования охватывает
все полюсы подынтегральной функции (лежащие левее прямой
ах - i°o, а1 + /оо) и в соответствии с теорией вычетов интеграл
(2.101) определяется как
8>{1)=Ш I L««<P)ep'dp=2^ $ Ьч)(р)е^ dp = Xres, (2.103)
о, /оо ЛВС Л
где X res — сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции.
При проведении же дуги в правой полуплоскости, т. е. при
t < 0 (рис. 2.27, б), полюсы функции Ls+(p)ept оказываются вне
контура интегрирования и в соответствии с теоремой Коши ин-
теграл по замкнутому контуру равен нулю.
tco j
0
°i
Gx + /0)
a
a, - /со
JO),
В /
l °
i
A
P
a.°
С
a) 6)
Рис. 2.26. Путь интегрирования
по прямой а2 - t°°, Oj + /°° на
р-плоскости (а); образование зам-
кнутого контура добавлением ду-
ги ABC при R — оо (б)
Рз = ~i0)03
а) б)
Рис. 2.27. Замыкание контура интегриро-
вания для представления функции s+(t):
а) при t > 0; б) при t < 0

84 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Таким образом, в зависимости от способа замыкания контура
интегрирования получим:
при t > 0 (контур по рис. 2.27, a) s+(t) определяется выражени-
ем (2.103);
при t < 0 (контур по рис. 2.27, б)
СТ, + /оо
*Л*)=т J Ls+(p)eP'dp = ^L. j Ls+(p)eP'dp = 0. (2.104)
Gj - /оо АВСА
Напомним важное свойство контурного интеграла: он не зави-
сит от формы замкнутого контура, по которому проводится интег-
рирование, если только полюсы подынтегральной функции оста-
ются внутри контура. На основании этого свойства контур, образо-
ванный добавлением дуги ABC бесконечно большого радиуса (см.
рис. 2.27, а) к прямой ог - /оо, аг + /о°, можно произвольно дефор-
мировать при соблюдении условия, что все полюсы, расположен-
ные левее прямой а1 - /оо, сг + /оо, остаются внутри контура.
Итак, вычисление интеграла (2.103) сводится к определению
вычетов в полюсах подынтегральной функции.
На рис. 2.27, а показано положение полюсов для следующих
функций времени:
sl(t) = e-a*t,t>0,pl = -a1,
[ е-"2' cos aW, t > 0,
#=.„.. n . ,>n P2, P2 =-a2 ± i(0p2, (2.105)
I e 2 sin (D02/, t > 0,
( cos (D03£, t > 0,
M0 = | sin G)03*, t > 0, PV Pi = ± /(0P3. (2.1050
Рассуждения, аналогичные предыдущим, можно привести для
функции s_(t), заданной при -оо < t < 0. Домножив s_(t) на е °2',
при е»2 < 0, выбранной таким образом, чтобы обеспечивалась абсо-
лютная интегрируемость функции e~°2ts_(t) в пределах -оо < t < 0,
можно написать
о о
Ls.(p)= J s_(0e"O2te4t0t dt = J s_(t)e~pt dt, (2.106)
-oo -oo
*-(')=2F/ J Ls-(P)ePt dP' (2.107)
a2-/oo
Контур интегрирования для данного случая показан на рис. 2.28.
Интеграл равен сумме вычетов в полюсах функции L8_(p)ept,

2.14. Представление спгмалоп на плоскости комплексной частоты 85
расположенных в правой полуплоскости р. Эту
сумму следует взять со знаком «минус», по-
скольку при t < 0 контур обходится по часовой
стрелке.
Выражения (2.102), (2.106) и (2.101), (2.107)
можно объединить следующим образом:
L„(p) = Ья+(р) + L„Jp),
(2.108)
S(t)
1 о, + /оо а, ь i~
gij[ J Le+(p)e/"dp + J Ls_(p)e^pJ.
Рис. 2.28. Замы-
кание контура
интегрирования
для представле-
ния функции
,s(0 при t < 0
(2.109)
Соотношение (2.108) называется дву-
сторонним преобразованием Лап-
ласа.
Области сходимости функций Ls+(p) и Ья_(р) на плоскости р по-
казаны на рис. 2.29. Для Ья_(р) эта область расположена справа
от прямой а = -Gj, на которой расположены полюсы (комплекс-
но-сопряженные), а для Ls_.{p) — слева от прямой о
Об-
ласть сходимости для Ls(p) имеет вид полосы шириной ах + |о2|.
Путь интегрирования должен проходить по прямой, располо-
женной внутри этой полосы и параллельной оси /со, а также по за-
мыкающей дуге, расположенной в левой полуплоскости для t > 0
и соответственно в правой полу-
плоскости для t < 0.
Одностороннее преобразование
Лапласа получило особенно ши-
рокое распространение при ана-
лизе переходных процессов, свя-
занных с действием на цепь
внешней силы, когда начало от-
счета времени совмещают с нача-
лом воздействия. Двустороннее
преобразование Лапласа находит
все большее применение при
анализе процессов и функций
времени, двусторонних по самой
своей сути (например, корреля-
ционных функций, рассматри-
ваемых в § 2.18).
J
Область
сходимости
К(Р) t, -
I:
Г
-а, у
i
*
t
4
Область
< сходимости
, Kip)
Ч
. <-«**= W
: *
cx f |o2i
Рис. 2.29. Области сходимости при
двустороннем преобразовании Лап
ласа

86 Гдава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
При рассмотрении четных функций s(t) = s(-t), когда можно
считать s+(t) = s_(-t), имеет место следующее соотношение:
0 0 оо
Ls_(p) = \ s(t)e-Pl dt = J s(-*)e-'<-'> d(-t) = J s(f)e"< dt = Ls+(-p).
-oo oo 0
(2.110)
Поясним применение выражений (2.106)—(2.110) на двух
примерах.
1. Четная функция s(t) = е~а^ при а > 0 (рис. 2.30). По форму-
лам (2.102) и (2.110) находим
Ls+(p) = 1/(а + р), Ls_(p) = 1/(а - р).
Тогда
Ls(p) = l/(ct + p) + 1/(а -р) = 2а/(а2 -р2). (2.Ш)
2. Прямоугольный импульс при отсчете времени от фронта
(см. рис. 2.16) или от середины импульса (см. рис. 2.14, а).
В первом случае
Ls(p) = (l/p)(l-e"p4
Во втором случае
Ls(p) = Ls+(p) + Ls_(p),
где
Ls+(p) = 1(1 - е-'^2); Ls_(p) = Ls+(-p) = ±(1 - e+'V»).
Таким образом,
Ls(p) = (l/p)(epT"/2 - e"pT"/2). (2.112)
Большинство свойств преобразования Лапласа совпадает с
аналогичными свойствами преобразования Фурье, изложенными
в § 2.8. Если сигналу s(t) соответствует изо-
бражение по Лапласу Ls(p)> то имеются сле-
дующие соответствия:
s(t - t0) + e"p'°Ls(p), s(t)e-^ - Ls(p + a),
s(Oe/a)°^Ls(p-ico0),
s(t) cos (x)0t + 1/2Ls(p - m0) 4- l/2Ls(p + /co0),
^n+pLs(p), j s(t)dt + (l/p)La{p),
Рис. 2.30. Пример фун-
кции времени, требую-
щей применения дву-
стороннего преобразо-
вания Лапласа
j 8г(у)82У -y)dy + Lx(p)L2(p).

2.15. Представление сигналов с ограниченной полосой частот
87
В заключение остановимся на правилах перехода от изображе-
ния Лапласа к преобразованию Фурье S(co) (имеются в виду одно-
сторонние преобразования Лапласа).
Если на оси i(0 функция Ls(p) не имеет полюсов, то для такого
перехода достаточно в (2.102) положить ог = 0, т. е. перейти от
переменной р к переменной т. В противном случае, чтобы избе-
жать ошибки, необходимо определить вклад этих полюсов в
спектральную плотность сигнала [35].
Дело в том, что интегрирование функции Ь8(р)еР* по полуок-
ружности бесконечно малого радиуса с центром в полюсе рх = т
приводит к гармоническому колебанию с частотой со1 и амплиту-
дой 1/2. Спектральная плотность такого колебания, равная я5(со -
- cOj), должна быть прибавлена к сплошному спектру, обуслов-
ленному интегрированием по оси /со.
Так, для функции Ls(p) с одним полюсом в точке рх = 0 [s(t) = 1,
t > 0] ранее получили
S(co) = 7c8(w) + l/(/co);
для функции Ls(p) с двумя комплексно-сопряженными полюсами
рх 2 = ± i(O0[s(t) = cos ш0£, t > 0] спектральная плотность будет
S(co) = я[5(со - со0) + 5(со + о)0)] (2.113)
и т. д. (см. приложение 1).
Изображения по Лапласу и соответствующие им спектры
Фурье некоторых распространенных в теории сигналов функций
приведены в таблице 2.1.
2.15. Представление сигналов с ограниченной
полосой частот в виде ряда Котельникова
В теории и технике сигналов широко используется теорема Ко-
тельникова (теорема отсчетов): если наивысшая частота в спект-
ре функции s(t) меньше, чем fm, то функция s(t) полностью опре-
деляется последовательностью своих значений в моменты, от-
стоящие друг от друга не более чем на 1/(2/т) секунд,
В соответствии с этой теоремой сигнал s(t), ограниченный по
спектру наивысшей частотой сот = 2л/т, можно представить рядом
оо / „ ч sin com[t - n/(2fm)\ oo

88 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
В этом выражении 1/(2/т) = At обозначает интервал между дву-
мя отсчетными точками на оси времени, a s[n/(2fm)] = s(n At) —
выборки функции s(t) в моменты времени t = n At.
Представление заданной функции s(t) рядом (2.114) иллюст-
рируется рис. 2.31.
Функция вида
, ч sin (om(t - nAt)
*М*> = com«-nA*) ' (2Л15)
уже встречавшаяся ранее (см. § 2.10, рис. 2.19, а), обладает сле-
дующими свойствами:
а) в точке t = n At <pn(n At) = 1, а в точках t = k At, где k — любое
целое положительное или отрицательное число, отличное от п,
фл(* At) = 0;
б) спектральная плотность функции ф0(0 равномерна в полосе
частот |со| < 0)т и равна 1/(2/т) = 7с/сот [см. (2.82) и рис. 2.19, б].
Так как функция сря(0 отличается от ф0(0 только сдвигом на
оси времени на п At, то спектральная плотность функции фп(0
_£_р-/л Л/(о _ Д/рin At
Ф„((1)) = < 2/mG АГе "— - ~ -m- (2.116)
lo
л"° = Д£е~,л ш при -com < ox (om,
при (О < -(от и (о > wm.
Модуль этой функции изображен на рис. 2.32, б.
То, что ряд (2.114) точно определяет заданный сигнал s(t) в
точках отсчета, не требует дополнительных доказательств, по-
скольку коэффициентами ряда являются сами выборки из функ-
ции, т. е. величины s(n At). Можно доказать, что ряд (2.114) оп-
ределяет функцию s(t) в любой момент ty а не только в точках от-
счета t = n At. Воспользуемся для этого общими правилами
s(n + 1
' s(t),s(nAt)
At t = nAt
t = (n+ l)At
Рис. 2.31. Представление сигнала рядом Котельникова

2.15. Представление сигналов с ограниченной полосой частот 89
разложения функции по ортогональной системе, изложенными в
§2.2. В данном случае разложение производится по функциям
вида (2.115), для которых интервал ортогональности равен беско-
нечности, а норма ||cpj| в соответствии с (2.5)
л2
hj2=jshi2^t-.nA:)dt= *
о>„
г Sin* X , К А,
J —-ту—ах = — = А£.
Не предрешая заранее значения коэффициентов ряда (2.114),
применяем для их определения общую формулу (2.9), справедли-
вую для обобщенного ряда Фурье
- оо
сп = д7 J *(0<Р„(0 dt.
(2.117)
При этом исходим из условия, что s(t) — квадратично-интегри-
руемая функция (энергия сигнала конечна).
Для вычисления интеграла в выражении (2.117) воспользуем-
ся формулой (2.63), согласно которой
по ш». W„.
ОО ^ т -J .J m
} e(*HpB(0 dt=±- \ 8«о)Ф*(ш) dm - 2Г i I S(co)e<" д'<» d«>.
со Я -СО '™ (О
(2.117')
Пределы интегрирования здесь
приведены в соответствии с задан-
ной граничной частотой o)m = 2nfm в
спектре сигнала, а также в спектре
функции фп(0.
Интеграл в правой части (2.117) с
коэффициентом 1/(2л) есть не что
иное, как значение s(t) в момент t =
= п At. Таким образом,
J s(0<P„(0 dt = Ats(n At).
-oo
Подставляя этот результат в
(2.117'), получаем окончательное
выражение
сп = s(n At),
из которого следует, что коэффи-
циентами ряда (2.114) являются вы-
борки функции s(t) в точках t =
= п At.
в) i
1 At' < At
1
) fm
ф;,(2л/)
1
f
1Чп
г)
At" > At
ф;;(2дл
\ -rm о с
/
Рис. 2.32. Связь между спект-
ром сигнала s{t) и спектром ба-
зисной функции ф„(0

90 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей часто-
той обеспечивает непрерывность функции s(t), ряд (2.114) схо-
дится к функции s(t) при любом значении t.
Соотношение между спектром S(2nf) сигнала s(t) и спектром
<&n(2nf) базисной функции (рл(0 при At = l/(2/m) иллюстрируется
рис. 2.32, а и б.
Если взять интервал между выборками At' меньшим At =
= 1/(2/т), то ширина 2f{n спектра Ф^(со) функции ф^(0 будет
больше, чем у спектра *S(co) (рис. 2.32, в). Это повышает точность
представления сигнала s(t), так как исключается возможность
неучета «хвостов» спектра S(co) вне граничных частот fm; кроме
того, ослабляются требования к АЧХ фильтра, восстанавливаю-
щего непрерывный сигнал.
При увеличении же At" по сравнению с At (рис. 2.32, г) спектр
Ф^(ш) функции ф^'(0 становится уже, чем спектр сигнала s(t)y и
при вычислении интеграла в выражении (2.117) пределы интег-
рирования должны быть -2я/?^, 2л/^ вместо -2nfm, 2nfm. Коэф-
фициенты сп при этом являются уже выборками не заданного
сигнала s(t)9 а некоторой другой функции s^t), спектр которой
ограничен наивысшей частотой f^< fm.
Рассмотрим теперь случай, когда длительность сигнала s(t)
конечна и равна Тс, а полоса частот по-прежнему равна fm. Эти
условия, строго говоря, несовместимы, так как функция конеч-
ной длительности обладает теоретически бесконечно широким
спектром. Однако практически всегда можно определить наивыс-
шую частоту спектра fm так, чтобы «хвосты» функции времени,
обусловленные отсеканием частот, превышающих fm, содержали
пренебрежимо малую долю энергии по сравнению с энергией ис-
ходного сигнала s(t). При таком допущении для сигнала длитель-
ностью Тс с полосой частот fm общее число независимых парамет-
ров [т. е. значений s(n At)], которое необходимо для полного зада-
ния сигнала,очевидно, будет
N = TJM = 2fmTc.
При этом выражение (2.114) принимает следующий вид (при
отсчете времени от первой выборки):
2fmTc sin wn(f - nAt)
s(t)=ZoS(nAt) (;.дД0 ■ (2.118)

2.16. Теорема отсчетов в частотной области
91
Число N иногда называют числом степеней с в о б о-
д ы сигнала s(t), так как даже при произвольном выборе значе-
ний s(n At) сумма вида (2.118) определяет функцию, удовлетво-
ряющую условиям заданного спектра и заданной длительности
сигнала. Число N иногда называют также базой сигнала.
Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить че-
рез заданную последовательность временных выборок. Используя
формулы (2.16) и (2.123), а также равенство ||(pj|2 = At, получаем
Э = ¥" [s(n Д*)]2||фл||2 = A* Y" [8(п АО]2,
At
2fmTv 1 2fmT{.
S2(0 = f =^ I [s(n Д<)]2 = 27V 2 [в(пД012.
1 с i с п О *1 т J с п О
Из последнего выражения видно, что средняя за время Тс
мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выбо-
рок, число которых равно 2fmTc.
2.16. Теорема отсчетов в частотной области
Иногда сигнал необходимо представить с помощью частот-
ных выборок спектральной функции S((o), а не временных
выборок функции s(t). Для функции S(to) можно составить ряд,
аналогичный выражению (2.114). Для этого базисная функция
Ф„(0 = sine [wm(£ - п At)] [см. (2.115)] должна быть заменена
функцией ф„(со) = sine -^ (со - л Доз) = sine \ -£ (со - п -^ 1 L кото-
рая получена из (2.115) заменой t на со, полуширины спектра сот
на полудлительность сигнала TJ2 и At = l/(2/m) на Асо = 2я/Тс.
Таким образом,
f т sin -«-(a) - лДсо)
S(co) = Y S(n Лсо)-^ =
тс( 2к
( 2к\
sin —1ю - njr \
= S S(np) r V '''. (2.119)

92 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
-2А0)
2А(0
Рис. 2.33. Дискретизация спектра
сигнала по Котельникову
Расстановка частотных выбо-
рок иллюстрируется рис. 2.33.
Если ранее временной интервал
между двумя соседними выборка-
ми At не должен был превышать
2л/(2о)т), то теперь частотный ин-
тервал Aw не должен превышать
2п/Тс. При ширине спектра 2сот,
охватывающей область частот
-0)т < (О < о)т, число выборок равно
2(От/Асо = 2fmTc, как и при пред-
ставлении сигнала рядом (2.118).
В общем случае выборки S(n2n/Tc) являются комплексны-
ми числами и в каждой отсчетнои точке на оси частот должны
быть заданы два параметра — действительная и мнимая части
S(n2n/Tc) (или модуль и аргумент). Таким образом, общее число
параметров получается вдвое большим, чем при временном пред-
ставлении сигнала, когда выборки s(n/2fm) — действительные
числа. Избыточность представления сигнала в частотной области
легко устраняется, если учесть, что S(tt27t/Tc) и S(-ai27c/Tc) яв-
ляются комплексносопряженными функциями, так что задание
одной из них однозначно определяет другую. Таким образом,
спектр сигнала полностью характеризуется совокупностью комп-
лексных выборок, взятых только в области положительных час-
тот, и числом независимых параметров или степеней свободы
сигнала N = 2fmTc, как и при представлении сигнала во времен-
ной области.
К приведенному выше определению максимального допусти-
мого интервала Лео = 2я/Тс, основанному на замене t ^ со в
(2.114), можно прийти и с помощью строгих рассуждений. Пола-
гая, как и в § 2.15, заданными длительность Тс и спектр S(w) сиг
нала s(t), представляем этот сигнал в виде ряда Фурье (вместо ин-
теграла Фурье)
s(t)= I
2тг
спе т* ,--? <*<
т
~2~
где Тх > Тс
отрезок Т,..
произвольный отрезок оси f, включающий в себя

2.17. Дипфети.'юисшпыс сигналы
93
В соответствии с (2.22) и (2.56) коэффициенты
Т(./2 . 2л
c„=i- J s(t)e""r<' dt=±s(<i> = np).
Как видим, коэффициенты сп, будучи умноженными на Тх,
есть не что иное, как значения спектральной плотности S(co) на
дискретных частотах п=- = п Асо, т. е. отсчеты S(n Асо), фигури-
*■ х
рующие в выражении (2.119). Очевидно, что максимально допус-
тимый интервал между отсчетами на оси частот соответствует ус-
ловию Тх = Тс, т. е. Aw < 2к/Тс.
2.17. Дискретизованные сигналы
В предыдущих параграфах под дискретизацией сигнала s{t)
подразумевалось аналитическое его представление с помощью со-
вокупности отсчетов в дискретные моменты времени п At.
В современной радиоэлектронике широко распространены
системы, в которых осуществляется дискретизация сигнала, на-
пример, при использовании импульсных методов передачи сооб-
щения в радиосвязи. В системах с цифровой обработкой исход-
ный континуальный сигнал преобразуется в дискретный сигнал
(см. рис. 1.2, б).
Выбор шага (темпа) Т дискретизации производится на основа-
нии теоремы отсчетов (см. § 2.15).
Процедуру дискретизации (взятие выборок), осуществляемую
с помощью электронного ключа, удобно рассматривать как умно-
жение функции s(t) на вспомогательную периодическую после-
довательность yT(t) достаточно коротких тактовых импульсов.
В качестве таких импульсов обычно рассматривают прямоуголь-
ные импульсы с длительностью т0, малой по сравнению с Т. Та-
ким образом, дискретизованный с шагом Т сигнал можно опреде-
лить выражением
ST(t) = s(t)yT(t). (2.120)
Функции s(t), yT(t) и sT(t) показаны на рис. 2.34, а.
Для выявления требования к «малости» величины т0/Т рас-
смотрим сначала структуру спектра дискретизованного сигнала

94
Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
-Г О T2TST
пТп п п п п п п п п
t -Т О T2TST kT t
оооооооооооооооооооооооо
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,1
-Т О T2TST
t -Т О Т2Т
kT
-^iwinnTv
s(T) s(2T) s(kT)
оо оо ос/оо/оо оо оо оо оо/Ьо оо со
-ТОТ 2TST
t -Т О Т2Т
kT
а)
б)
Рис. 2.34. Дискретизация сигнала как умножение на последовательность такто-
вых импульсов конечной длительности (а) или на последовательность дельта-
функций (б)
sT(t). Спектральную плотность S(co) исходного континуального
сигнала s(t) будем считать заданной.
Запишем периодическую функцию yT(t) в виде ряда Фурье по
формуле (2.39), в которой под ти будем подразумевать величину
т0, а под сор как и в (2.39), — частоту повторения (Oj = 2n/T:
yT(t) - U$ + IJJ sin ( ^fl» ) cos жо^].
Учитывая, что лш1т0/2 = шгс0/Л\ а также имея в виду равенст-
1 пкт0 т0
во — sin —y~ = f sine (пкт0/Т), получаем
УтЮ = и(УТ [l + 2 я| sine (^ ) cos n(Dxt].
Тогда выражение (2.120) принимает вид
МО = U0ji[s(t) + 2e(f) | sine (^ ] cos л©^].
Первому слагаемому в правой части соответствует спектраль-
ная плотность S(co) исходного континуального сигнала, а каждо-
му из произведений s(t) cos nco^ — спектральная плотность
V2[S(co - tzcDj) + S(co + п(ог)] (см. теорему в п. 3 § 2.8 о смещении
спектра).

2.17. Дискретизованмые сигналы
95
a) S*
J^
б) Stl мпс(ля7°]
-4тс/Т -2к/Т -o)w О о)ш 2я/:Г Ап/Т со
Рис. 2.35. Спектры исходного (а) и дискретизо-
ванного(б)сигналов
Следовательно, искомая спектральная плотность
ST(o>) = U0j [S((0) + £ sine ( -^ J S(co - wo,) +
+ £ sinc[-jr^ JSCco + no)!)].
Поскольку sine (0) = 1, последнее выражение можно записать
в следующей окончательной форме:
ST(u) = U01~ I^sinc^-jr? JStco-wo)!). (2.121)
Графики функций S(co) и Sr(co) представлены на рис. 2.35.
Итак, спектр Sr((o) дискретизованного сигнала представляет
собой последовательность спектров S(co) исходного сигнала s(t),
сдвинутых один относительно другого на щ = -~г и убывающих
по закону sin I —~- I /—™—.
Если шаг выборок в соответствии с теоремой отсчетов выбран
из условия Т < l/(2fm) = я/сот, отдельные спектры не перекрыва-
ются, как это показано на рис. 2.35, а, и могут быть разделены с
помощью фильтров.
В практике величину Т обычно берут в несколько раз мень-
шей, чем 1/(2/т), что необходимо для повышения точности восп-
роизведения сигнала и облегчения реализации фильтров.
С уменьшением отношения т0/Т лепестки спектра убывают
медленнее и в пределе, при т0/Т — 0, спектр приобретает строго

96 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
периодическую структуру (и, естественно, уровень лепестков
стремится к нулю). Если одновременно с уменьшением т0 увели-
чивать U0 так, чтобы площадь импульса U0x0 оставалась неизмен-
ной, то функции yT(t) и sT(t) примут вид, показанный на
рис. 2.34, б. Приравнивая для упрощения U0x0 = 1, приходим к
следующему определению тактовой функции:
сю
УтИ)= Z 8(t-kT).
k = -оо
Тогда выражение (2.120) переходит в
оо оо
s(t) = s(t) 2 5(t-kT) = £ s(kT)5(t - kT). (2.122)
k = -оо k = -оо
Последовательность временных отсчетов приобретает вид по-
следовательности дельта-функций с весовыми коэффициентами,
равными значениям сигнала s(t) в точках kT (см. рис. 2.34, б).
При этом выражение (2.121) принимает вид
ST(co) = i £ S(co - п(йг). (2.123)
i п = -оо
Отметим, что энергия сигнала sT(t), выраженного через дель-
та-функции, бесконечно велика. Соответственно и энергия спект-
ра ST(co), определяемого выражением (2.123), бесконечно велика.
При использовании же реальных тактовых импульсов с конеч-
ной энергией спектр ST(w) при со —► оо убывает (см. рис. 2.35).
Представление sT(t) в форме (2.122) существенно упрощает
спектральный анализ дискретных сигналов. Например, спект-
ральную плотность ST((o) можно определить непосредственно по
совокупности временных отсчетов {s(kt)} без обращения к спект-
ру S(co) исходного континуального сигнала. Действительно, при-
менив обычное преобразование Фурье (2.48) к выражению
(2.122) для случая, когда k = 0, 1, ..., оо, получим
°? °? °°
ST(co)= sJt)e4(atdt = е~ш £ s(kT)5(t - kT) dt =
о о * = <>
оо ЯР оо
= £ s(kT) \ е~ш 8(t - kT) dt= £ s(kT)e~iMkT. (2.124)
k = 0 о k = 0
По своей размерности функции S(co) и Sr(co) неодинаковы:
г сигнал и г -.
первая имеет размерность , а вторая — просто [сигнал].

2.18. Корреляционный анализ детерминированных сигналов
97
Переходя к комплексной частоте р = а + ico, получаем изобра-
жение по Лапласу дискретизованного сигнала
ST(p) = L[sT(t)] = £ s(kT)e~PkT. (2.125)
k =» О
Оригинал, т. е. функцию sT(t)> можно определить по заданно-
му изображению ST(p) с помощью обратного преобразования Лап-
ласа, записываемого в обычной форме:
O.f/oo
sT(t) = ш J ST(p)ePl dp (2.126)
[см. (2.103)].
Выражение (2.126) определяет всю последовательность {s(kT)}
в форме, совпадающей с выражением (2.122). Для определения
одного fc-го отсчета s(kT) без множителя 8(t - kT) можно приме-
нить более простое выражение
1 о, + in/T
8(кТ) = Т± \ S(p)eP"Tdp, (2.127)
о, - in/T
в котором интегрирование ведется в пределах одного частотного
интервала от -п/Т до к/Т1.
Некоторые дополнительные характеристики дискретных сигна-
лов, существенные при цифровой обработке, приводятся в § 12.2.
2.18. Корреляционный анализ детерминированных сигналов
Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов часто
на практике оказывается необходимой характеристика, которая
давала бы представление о некоторых свойствах сигнала, в част-
1 Вычислим правую часть (2.126) после замены пределов интегрирования, подста-
новки t = mT, где m — любое целое число, и подстановки S(p) по формуле (2.125):
0, + fti/T Ж го ol + in/T
I=J-. \ 2 s(kT)e~PkTePmT dp = У s(kT)^-. \ et*m-»Tdp.
Учитывая, что в данном случае р = ох + ico, и переходя к переменной интегри-
рования (D, получаем
/- 1 s(fer)e°-(m-*|Tisi" <"-*>".
k = о п (т ~ k>T
При т = k I = s(kT)/T> а при т ^ k I = 0. Таким образом, для определе-
ния s(kT) достаточно заменить в (2.126) sT(t) на s(kT) и пределы интегрирова-
ния а, - /°°, а, + i°o на с1 - in/T, ог + т/Т.
4 И. Гопоровский

98 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
ности о скорости изменения во времени, а также о длительности
сигнала без разложения его на гармонические составляющие.
В качестве такой временной характеристики широко исполь-
зуется корреляционная функция сигнала.
Для детерминированного сигнала s(t) конечной длительности
корреляционная функция определяется следующим выражением:
оо
BS(T)= j s(t)s*(t + X)dt9 (2.128)
-оо
где х — временной сдвиг сигнала.
В данной главе рассматриваются сигналы, являющиеся веще-
ственными функциями времени, и обозначение комплексного со-
пряжения можно опустить:
оо
В8(Х)= j s(t)s(t + X)dt. (2.129)
-оо
Из выражения (2.129) видно, что Bs(x) характеризует степень
связи (корреляции) сигнала s(t) со своей копией, сдвинутой на ве-
личину т по оси времени. Ясно, что функция Bs(x) достигает мак-
симума при т = 0, так как любой сигнал полностью коррелирован
с самим собой. При этом
оо
Bs(0)= j s2(t)dt = 9, (2.130)
-оо
т. е. максимальное значение корреляционной функции равно
энергии сигнала.
С увеличением т функция Bs(x) убывает (не обязательно моно-
тонно) и при относительном сдвиге сигналов s(t) и s(t + х) на вре-
мя, превышающее длительность сигнала, обращается в нуль.
На рис. 2.36 показано построение корреляционной функ-
ции для простейшего сигнала в виде прямоугольного импульса
(рис. 2.36, а). Сдвинутый на х (в сторону опережения) сигнал
s(t + х) показан на рис. 2.36, б, а произведение s(t)s(t + т) — на
рис. 2.36, е. График функции Bs(x) изображен на рис. 2.36, г. Каж-
дому значению х соответствуют свое произведение s(t)s(t + т) и пло-
щадь под графиком функции s(t)s(t + т). Численные значения
таких площадей для соответствующих х и дают ординаты функ-
ции Bs(x).
Аналогичное построение для треугольного импульса изображе-
но на рис. 2.37. Из общего определения корреляционной функ-

2.18. Корреляционный анализ детерминированных сигналов
99
а)
8(0
б)
t.-x
в) 1
s(t)s(t +
г)
*1
1*2 *
'_J- s(* + т)
XI
*«! - х f
г)
Э
ВЛ
-(t2-t\) ° it2-tx) х
Рис. 2.36. Построение кор-
реляционной функции для
прямоугольного импульса
-(*2-'l> 0 (*2"'l) T
Рис. 2.37. Построение корреляцион-
ной функции для треугольного им-
пульса
ции, а также из приведенных примеров видно, что безразлично,
вправо или влево относительно своей копии сдвигать сигнал на ве-
личину т. Поэтому выражение (2.129) можно обобщить следую-
щим образом:
Bs(x) = J s(t)s(t + x)dt= j s(t)s(t - т) dt.
(2.129')
Это равносильно утверждению, что Bs(x) является четной
функцией т.
На рис. 2.38, а показан сигнал в виде пачки из четырех одина-
ковых импульсов, сдвинутых один относительно другого на время
7\, а на рис. 2.38, б — соответствующая этому сигналу корреляци-
онная функция. Вблизи значений т, равных 0, + TV ±27\ и ±37^,
эта функция имеет такой же вид, как и для одиночного импульса
(см. рис. 2.36, г). Максимальное значение корреляционной функ-
ции (при х = 0) равно учетверенной энергии одного импульса.
Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно ве-
лика, определение корреляционной функции с помощью выра-

100 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Рис. 2.38. Пачка из четырех прямоугольных импульсов (а) и корреляционная
функция {б)
жений (2.129) или (2.129') неприемлемо. В этом случае исходят
из следующего определения:
Т/2 7/2
Bsneo(T)= lim« f s(t)s(t + т) dt = lim™ J s(t - x)s(t)dt. (2.131)
P T^^T-T/2 T-°°T-T/2
При таком определении корреляционная функция приобретает
размерность мощности, причем Bs пер(0) равна средней мощности
периодического сигнала. Ввиду периодичности сигнала s(t) усред-
нение произведения s(t)s(t + т) или s(t - x)s(t) по бесконечно боль-
шому отрезку Т должно совпадать с усреднением по периоду Тг.
Поэтому выражение (2.131) можно заменить выражением
Ту/2 Tt/2
BsnePW = T- \ s(t)s(t + т) dt = ± \ s(t)s(t-x)dt. (2.132)
1-Tl/2 l-TJ2
Входящие в это выражение интегралы суть не что иное, как
корреляционная функция сигнала на интервале Tv Обозначая ее
через BsT (т), приходим к соотношению
В.пер(Т) = В,7.1(Т)/Г1.
Очевидно также, что периодическому сигналу s(t) соответству-
ет и периодическая корреляционная функция Bsnep(x). Период
функции Б8пер(х) совпадает с периодом Тг исходного сигнала s(t).
Например, для простейшего (гармонического) колебания s(t) =
= А0 cos (co0£ + 60) корреляционная функция
А2 Л/2
Bs „epW = ^ j COS ((00t + 0О) COS [CD0(* + Т) + в0] dt =
1 -Г 10
-TJ2
2тг
= 2 Ag cos со0т, со0 = ур-

2.18. Корреляционный анализ детерминированных сигналов 101
а)
а
sh
а
б)
s2(t)
A AIA
о
Тх
Прит = 0В8пер(0) = iА* есть
средняя мощность гармоническо-
го колебания с амплитудой А0.
Важно отметить, что корреляци-
онная функция В8 пер(т) не зависит
от начальной фазы колебания 0О.
На рис. 2.39, б изображена кор-
реляционная функция сигнала,
представляющего собой периоди-
ческую последовательность прямо-
угольных импульсов (рис. 2.39, а).
Каждый из импульсов функции
Вя пер(т) совпадает по форме с корреляционной функцией одиночного
импульса из периодической последовательности s(t). Однако в дан-
ном случае максимальные ординаты Bs пер(т) равны не энергии (как
на рис. 2.38), а средней мощности сигнала s(t)> т. е. величине s2(t).
Для оценки степени связи между двумя различными сигнала-
ми sx(t) и s2(t) используется взаимная корреляционная функция,
определяемая общим выражением
Рис. 2.39. Периодическая последо-
вательность импульсов (а) и ее кор-
реляционная функция (б)
в.,.2<т)~ J*i(')eJ(* + T)d*.
Для вещественных функций Sj(<) и s2(t)
оо
B«,-,W= \ MOM' + х) dt.
(2.133)
(2.134)
Рассмотренная выше корреляционная функция В8(х) является
частным случаем функции Bs s (x), когда sx(f) = s2(t).
Построение взаимной корреляционной функции для двух сигна-
лов s^t) и s2(t) приведено на рис. 2.40. Исходное положение сигнала
Рис. 2.40. Построение взаимной корреляционной функции:
а) исходное положение сигналов; б) сдвиг сигнала s2(t) на т; в) взаимная корреля-
ционная функция

102 Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
т = 0 показано на рис. 2.40, а. При сдвиге сигнала s2(t) влево (х > 0,
рис. 2.40, б) корреляционная функция сначала возрастает, затем
убывает до нуля при т = Т. При сдвиге вправо (т < 0) корреляцион-
ная функция сразу убывает. В результате получается асимметрич-
ная относительно оси ординат функция Bs s (т) (рис. 2.40, в).
Очевидно, что значение Bs s не изменится, если вместо уп-
реждения сигнала s2(t) дать задержку сигналу s^t). Поэтому вы-
ражение (2.134) можно обобщить следующим образом:
оо оо
Bs,sA*)= \ Sj(0s2(* + X) dt - J S2{t)Sx(t - X) dt = В (-X).
1 ^ -оо -оо l l
(2.135)
Соответственно
Bs2SlW= BslS2(-V- (2.135')
Следует, однако, различать выражения (2.1290 и (2.135). В от-
личие от Bs(x) взаимная корреляционная функция не обязательно
является четной относительно т. Кроме того, взаимная корреля-
ционная функция не обязательно достигает максимума при х = 0.
Оба эти свойства функции Bs s (т) иллюстрируются рис. 2.40.
2.19. Соотношение между корреляционной функцией
и спектральной характеристикой сигнала
Воспользуемся выражением (2.63), в котором положим f(t) =
= s(t)> g(t) = s(t + т) и соответственно F(co) = S(co), G(w) = S(co)e~/(OT.
Тогда получим
CO -J ОО
J s(t)s(t + x)dt= ±\ S(co)S*(co)e-/(OT dco = Bs(x).
-oo -oo
Учитывая, что S(co)S*(co) = S2(co), приходим к искомому соот-
ношению
-i °°
Bs(x) = ^ J S2(a)e4m dec. (2.136)
-оо
На основании известных свойств преобразований Фурье мож-
S2(co)= j Bs(x)eim dx. (2.137)
1 Вследствие четности функции Bs(x) знак перед ion в показателе степени может
быть произвольным. То же относится к (2.137).

3.1. Общие определения
103
Итак, прямое преобразование Фурье (2.137) корреляционной
функции Bs(x) дает спектральную плотность энергии (см. замеча-
ние в конце § 2.10), а преобразование (2.136) дает корреляцион-
ную функцию В8(т).
Из выражений (2.136) и (2.137) вытекают свойства, аналогич-
ные отмеченным в § 2.10: чем шире спектр S(w) сигнала, тем
меньше интервал корреляции, т. е. сдвиг т, в пределах которого
корреляционная функция отлична от нуля. Соответственно чем
больше интервал корреляции заданного сигнала, тем уже его
спектр.
Из выражений (2.136) и (2.137) также видно, что корреляцион-
ная функция Bs(x) не зависит от ФЧХ спектра сигнала. Так как
при заданном амплитудном спектре S(co) форма функции s(t) суще-
ственно зависит от ФЧХ, то можно сделать следующее заключе-
ние: различным по форме сигналам s(t), обладающим одинаковы-
ми амплитудными спектрами, соответствуют одинаковые кор-
реляционные функции Bs(t).
Глава 3
Модулированные колебания
3.1. Общие определения
Для передачи информации на расстояние применяются сигна-
лы, эффективно излучаемые с помощью антенных устройств и
обладающие способностью распространяться в виде свободных
радиоволн в среде, разделяющей отправителя и получателя ин-
формации. Такими сигналами являются высокочастотные коле-
бания. Передаваемая информация должна быть тем или иным
способом заложена в высокочастотное колебание, называемое
несущим. Частота w0 этого колебания выбирается в зависи-
мости от расстояния, на которое должна передаваться информа-
ция, от условий распространения радиоволн и ряда других тех-
нических и экономических факторов. Но в любом случае часто-

104
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
та со0 должна быть велика по сравнению с наивысшей
частотой Qm спектра передаваемого сообщения1.
Это объясняется тем, что для неискаженной передачи сообще-
ний через радиотехнические цепи, а также для устранения иска-
жений, возникающих при распространении радиоволн, необходи-
мо, чтобы ширина спектра сообщения Qm была мала по сравнению
с со0; чем меньше отношение Qm/co0, тем меньше проявляется несо-
вершенство характеристик системы. Поэтому чем выше требуе-
мая скорость передачи информации и, следовательно, шире
спектр сообщения Qm, тем выше должна быть несущая частота ра-
диосигнала. Как правило, выполняется неравенство Qm/co0 <^C 1.
Любой радиосигнал можно поэтому трактовать как «узкопо-
лосный» процесс даже при передаче «широкополосных» сообще-
ний.
Приведем следующие примеры. При передаче речи или музы-
ки спектр сообщения обычно ограничивают полосой от Fmin =
= 30...50 Гц до Fmax = 3000... 10 000 Гц. Даже на самой длинной
волне вещательного диапазона X = 2000 м при несущей частоте
/0 = 150 кГц отношение Fmax/f0 = 104/1,5 • 105 ~ 0,06. При переда-
че тех же сообщений на коротких волнах (при частотах
15...20 МГц) это отношение не превышает сотых долей процента.
При передаче подвижных изображений (телевидение) полоса час-
тот сообщения весьма широка и достигает 5...6 МГц, однако и не-
сущая частота выбирается не менее 50...60 МГц, так что отноше-
ние Fmax/f0 не превышает 10%.
В самом общем случае радиосигнал, несущий в себе информа-
цию, можно представить в виде
a(t) = A(t) cos [со0* + 0(0] = A(t) cos \\f(t), (3.1)
в котором амплитуда А или фаза 0 изменяются по закону переда-
ваемого сообщения.
Если А и 0 — постоянные величины, то выражение (3.1) опи-
сывает простое гармоническое колебание, не содержащее в себе
никакой информации. Если А и 0 (следовательно, и \\г) подверга-
ются принудительному изменению для передачи сообщения, то
колебание становится модулированным.
В данной главе Q используется для обозначения частоты модулирующей
функции.

3.1. Общие определения
105
В зависимости от того, какой из двух параметров изменя-
ется — амплитуда А или угол 9 — различают два основных ви-
да модуляции: амплитудную и угловую. Угловая модуляция, в
свою очередь, подразделяется на два вида: частотную (ЧМ) и фа-
зовую (ФМ). Эти два вида модуляции тесно связаны между со-
бой, и различие между ними проявляется лишь в характере из-
менения во времени угла \|/ при одной и той же модулирующей
функции.
Модулированное колебание имеет спектр, структура которого
зависит как от спектра передаваемого сообщения, так и от вида
модуляции. То обстоятельство, что ширина спектра модулирую-
щего сообщения мала по сравнению с несущей частотой со0, по-
зволяет считать A(t) и 6(0 медленными функциями времени. Это
означает, что относительное изменение A(t) или 9(£) за один пери-
од несущего колебания мало по сравнению с единицей.
Рассмотрим сначала вопрос об изменении амплитуды. При
скорости изменения амплитуды dA/dt приращение амплитуды за
один период Т0 можно приближенно приравнять (dA/dt)T0. Сле-
довательно, относительное изменение за период
dA
dt
То _
А
dA
dt
1 2л;
А ш0
Можно считать, что условие медленности функции A(t) выпол-
няется, если
2л
0)0
dA
dt
7 «1 ИЛИ
А
dA
dt
1 wo
А«Гп- <3'2>
Аналогично можно установить условие медленности функции 9.
Так как мгновенная частота колебания равна скорости изме-
нения фазы (об этом подробнее будет сказано в следующих параг-
рафах), то, дифференцируя аргумент выражения (3.1), находим
/^ч d\\f(t) . dQ
Производная dQ/dt определяет отклонение частоты о)(0 от час-
тоты со0. Это отклонение может быть быстрым или медленным.
Для того чтобы колебание a(t) можно было считать близким к
гармоническому, нужно, чтобы изменение частоты за время Т
было мало по сравнению с частотой со(£) в любой рассматривае-
мый момент времени.

106
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Таким образом, условие медленности функции d(t) можно за-
писать в виде следующих неравенств:
Ш^)\Т
\dt\dt)\
<£ 1 или
со(0
d2e
dt2
« ^11
Т '
Так как обычно a)(t) очень мало отличается от со0, можно счи-
тать Т ~ 2я/(00 и исходить из условия
ач
dt2
« ^ 0)g . (3.3)
Для большинства используемых в радиотехнике сигналов не-
равенства (3.2) и (3.3) обычно выполняются. Это означает, что
при любом виде модуляции параметры радиосигнала: амплиту-
да, фаза или частота изменяются настолько медленно, что в пре-
делах одного периода Т0 колебание можно считать гармониче-
ским.
Эта предпосылка лежит в основе всего дальнейшего рассмот-
рения свойств радиосигналов и их спектров.
3.2. Радиосигналы с амплитудной модуляцией
Амплитудная модуляция (AM) является наиболее простым и
очень распространенным в радиоэлектронике способом заложе-
ния информации в высокочастотное колебание. При AM огибаю-
щая амплитуд несущего колебания изменяется по закону, совпа-
дающему с законом изменения передаваемого сообщения, частота
же и начальная фаза колебания поддерживаются неизменными.
Поэтому для амплитудно-модулированного радиосигнала общее
выражение (3.1) можно заменить следующим:
a(t) = A(t) cos (ш0£ + Э0). (3.4)
Характер огибающей A(t) определяется видом передаваемого со-
общения.
При непрерывном сообщении (рис. 3.1, а) модулированное ко-
лебание приобретает вид, показанный на рис. 3.1, б. Огибающая
A(t) совпадает по форме с модулирующей функцией, т. е. с пере-
даваемым сообщением s(t). Рисунок 3.1, б построен в предполо-
жении, что постоянная составляющая функции s(t) равна нулю

3.2. Радиосигналы с амплитудной модуляцией
107
Рис. 3.1. Модулирующая функция (а) и амнлитудно-
модулиронанное колебание (6)
(в противоположном случае амплитуда несущего колебания А()
при модуляции может не совпадать с амплитудой немодулиро-
ванного колебания). Наибольшее изменение A(t) «вниз» не может
быть больше А0. Изменение же «вверх» может быть в принципе и
больше А0.
Основным параметром амплитудно-модулированного колеба-
ния является коэффициент модуляции.
Определение этого понятия особенно наглядно для тональной
модуляции, когда модулирующая функция является гармониче-
ским колебанием:
s(t) = S0 cos (Ш + у).
Огибающую модулированного колебания при этом можно
представить в виде
A(t) = А0 + kaMs(t) =A0 + AAm cos (Ш + у), (3.5)
где Q— частота модуляции; у— начальная фаза огибающей;
&ам — коэффициент пропорциональности; ААт = kaMS0 — ампли-
туда изменения огибающей (рис. 3.2).

108
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Отношение
М = ААт/А0
называется коэффициентом модуляции.
Таким образом, мгновенное значение модулированного коле-
бания
a(t) = А0[1 + М cos (Ш + у)] cos (co0£ + 0О). (3.6)
При неискаженной модуляции (М <С 1) амплитуда колебания
изменяется в пределах от минимальной Атш = А0(1 - М) до мак-
симальной^^ = А0(1 + М).
В соответствии с изменением амплитуды изменяется и сред-
няя за период высокой частоты мощность модулированного коле-
бания. Пикам огибающей соответствует мощность, в (1 + М)2 раз
большая мощности несущего колебания. Средняя же за период
модуляции мощность пропорциональна среднему1 квадрату амп-
литуды А(£):
AHt) = А§ [ 1 + М cos (Ш + у) ]2 = А% (1 4- 0,5М2). (3.7)
Эта мощность превышает мощность несущего колебания всего
лишь в (1 + 0,5М2) раз. Таким образом, при 100%-ной модуляции
(М = 1) пиковая мощность равна 4Р0, а средняя мощность 1,5Р0
через Р0 = н Aft обозначена мощность несущего колебания ]. От-
сюда видно, что обусловленное модуляцией приращение мощнос-
ти колебания, которое в основном и определяет условия выделе-
ния сообщения при приеме, даже при предельной глубине моду-
ляции не превышает половины мощности несущего колебания.
При передаче дискретных сообщений, представляющих собой
чередование импульсов и пауз (рис. 3.3, а), модулированное ко-
лебание имеет вид последовательности радиоимпульсов, изобра-
женных на рис. 3.3, б. При этом имеется в виду, что фазы высо-
кочастотного заполнения в каждом из импульсов такие же, как и
при «нарезании» их из одного непрерывного гармонического ко-
лебания. Только при этом условии показанную на рис. 3.3, б по-
следовательность радиоимпульсов можно трактовать как колеба-
Среднее значение cos (Ш - у) за период модулирующей частоты равна нулю,
а среднее значение cos2 (Ш + у) равно 1/2. Черта над функцией означает опе-
рацию усреднения по времени.

3.3. Спектр амплитудно-модулированнош колебания
109
♦ ДА»
•s*
A(t)
jnnnnm
Рис. 3.2. Колебание, модулирован-
ное по амплитуде тармонической
функцией
Рис. 3.3. Колебание, модулированное
по амплитуде импульсной последова-
тельностью
ние, модулированное лишь по амплитуде. Если от импульса к
импульсу фаза изменяется, то следует говорить о смешанной
амплитудно-угловой модуляции.
3.3. Спектр амплитудно-модулированного колебания
Пусть задано высокочастотное модулированное колебание, о
котором известно, что частота со0 и начальная фаза 90 величины
постоянные, а огибающая A(t) содержит в себе передаваемое сооб-
щение s(t). Аналитически такое колебание можно представить с
помощью выражения (3.4).
Требуется установить связь между спектром модулированного
колебания и спектром модулирующей функции, т. е. спектром
исходного сообщения s(t). Проще и нагляднее всего это можно
сделать для тональной (гармонической) модуляции, когда оги-
бающая
A(t) = А0[1 + М cos (Ш + у)],
а модулированное колебание определяется выражением (3.6).
Перепишем выражение (3.6) в форме
a{t) = А0 [cos (о)0£ 4- Э0) + М cos (Ш + у) cos (w0£ 4- 60)].
Второе слагаемое в правой части этого выражения, являющее-
ся продуктом модуляции, можно привести к виду
М cos (Q.t + у) cos ((00£ + 0О) —
м м
= % cos [(0)0 + Q)t + (в0 + у)] + т cos [(со0 - Q)t + (% - у)],

110
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
после чего развернутое выражение колебания a(t) принимает вид
МА0
a(t) = А0 cos (co0t + 0О) + —й— cos [(co0 + Q.)t +
МА0
+ % + У] + -у5 cos Kwo " ")* + ео ~ Yl- <3-8>
Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное
немодулированное колебание с частотой ю0. Второе и третье сла-
гаемые соответствуют новым колебаниям (гармоническим), появ-
ляющимся в процессе модуляции амплитуды. Частоты этих ко-
лебаний со0 + Q и ш0 - Q называются верхней и нижней боковыми
частотами модуляции.
Амплитуды этих двух колебаний одинаковы и составляют от
амплитуды немодулированного колебания долю, равную М/2, а
их фазы симметричны относительно фазы несущего колебания.
Это иллюстрируется векторной диаграммой, представленной на
рис. 3.4. На этой диаграмме ось времени вращается по часовой
стрелке с угловой частотой со0, причем отсчет угла со0£ ведется от
линии ОВ. Поэтому несущее колебание А0 cos (со0£ -I- 80) изобража-
ется на этой диаграмме в виде неподвижного вектора OD длиной
А0, составляющего с горизонталью угол 0О. Мгновенное значение
несущего колебания в момент t равно проекции вектора А0 на ось
времени (отрезок ОК).
Для представления на этой же диаграмме колебания с частотой
(£>0 + Q, превышающей угловую частоту вращения оси времени на
величину Q, необходимо воспользоваться вектором, вращающим-
ся с угловой частотой Q. против часовой стрелки (вектор DCX). Для
изображения колебания с частотой ш0 - Q потребуется вектор,
вращающийся с такой же частотой Q по часовой стрелке (вектор
DC2). Поэтому колебания боковых частот — верхней и нижней —
изображаются двумя векторами длиной МА0/2, вращающимися
во взаимно противоположных направлениях. Начала этих векто-
ров перенесены из точки О в точку D. Их фазы симметричны отно-
сительно вектора несущего колебания А0. Это следует из выраже-
ния (3.8), которое для большей наглядности целесообразно запи-
сать в несколько измененной форме
МА0
a(t) = А0 cos (со0£ + 60) = —2~ cos [((D0£ + 60) +
MA»
+ (Ш + у)] + -gJ? cos [(ш0* + 90) - (Ш + у)].

3.3. Спектр амплитудно-модулированного колебания
111
Рис. 3.4. Векторное пред-
ставление амплитудно-моду-
лированного колебания
0)0 - Q / ! \ со0 + Q
/ i \
/ I
С,
f /; ч >\
Ш + у
D
{О
Рис. 3.5. Векторная ди-
аграмма AM при на-
чальной фазе несущего
колебания 6 = 90°
Из этого выражения видно, что при любой начальной фазе
огибающей у векторы DCX и DC2, соответствующие колебаниям
верхней и нижней боковых частот, занимают симметричное отно-
сительно вектора OD положение, причем векторы колебаний бо-
ковых частот образуют с вектором несущего колебания углы,
равные ± (Ш + у). Равнодействующий вектор DF> являющийся
геометрической суммой векторов DCX и DC2 и называемый векто-
ром модуляции, всегда располагается на линии OD, вследствие
чего сумму всех трех колебаний — несущей и двух боковых
частот — можно рассматривать как колебание с постоянными на-
чальной фазой и частотой, но с модулированной амплитудой.
Попутно заметим, что если в результате прохождения через
электрические цепи нарушается равенство амплитуд колебаний
боковых частот или симметрия их фаз относительно фазы несу-
щего колебания, то возникает качание вектора, представляюще-
го результирующее колебание, относительно направления OD.
Это равносильно возникновению паразитной ФМ.
Остановимся на вопросе о фазе огибающей амплитуд при чисто
амплитудной модуляции. Допустим, что начальная фаза высоко-
частотного колебания 60 = 90°. Тогда векторная диаграмма при-
мет вид, показанный на рис. 3.5. Если при Ш = 0 векторы боко-
вых частот DCX и DC2 направлены вверх (положение I на рис. 3.6),
то огибающая амплитуд проходит в этот момент через свое макси-

112
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
С \
■3
+
тН
3
Ч
1
1
-*-
§
I
♦ C2
i с,
Гг
Uo
' In
т
,
+
У—(
^ '
1 Jl
1
'
i
ii
ii
I 1II1
0
JI
ii
III
IV
Cj D C2 ^2 ^ ^i
■^—i—^* "^—i—^*
T T
г sf
lo ci
i ^ I
\c'\\
kv
'
'
Aq Aq
Jo lo
V
K2
f c\
\d
Uo
In
1 1 1
>. I тс ~ ! Зя I
1 11' 11 A ^/r л Чг л П I11 1II
lll'llllllfl'fllllll'llll
\v
\ II 1 1 11
UH1^
ilrr^r
III, _
u°f
JlJL
Рис. З.6. Фазы колебаний боковых частот в различные моменты времени
мальное значение А0(1 + М). Этот случай соответствует начальной
фазе огибающей у= О [см. (3.6)], а уравнение огибающей будет
A(t)=A0(l +McosQO-
Если же при Ш = О векторы DCX и DC2 занимают горизонталь-
ное положение, то огибающая проходит через значение, равное А0.
В этом случае начальная фаза огибающей у = -л/2 и уравнение для
огибающей будет
A(t)=A0(l +Msinm).
Положение векторов боковых частот DCX и DC2 при Ш = 7Г/2, к
и Зя/2 для у=0 обозначено на рис. 3.6 соответственно цифрами
II, III и IV.
Спектральная диаграмма колебания при тональной модуля-
ции показана на рис. 3.7. Ширина спектра в этом случае равна
удвоенной частоте модуляции 2Q, а амплитуды колебаний боко-
вых частот не могут превышать половины амплитуды смодули-
рованного колебания (при М < 1).

3.3. Спектр амплитудно-модулированного колебания
113
Аналогичные результаты можно
получить при модуляции любым
сложным сигналом. Картину образо-
вания спектра амплитудно-модули-
рованного колебания проще всего по-
яснить сначала на примере, когда
модулирующее сообщение s(t) явля-
ется суммой колебаний двух тонов:
а|
МА0
2
,(-я
X
со0
МА0
2
о)0 + а а)
Рис. 3.7. Спектр колебания при
тональной (гармонической) AM
s(t) = Sx cos Qj£ + S2 cos Q.2t.
По аналогии с выражением (3.5) получаем
A(t) = А0 + ААт cos Q^ + AAm cos £l2t =
= A0(l 4- Mj cos £lxt + M2 cos i320-
Подставляя это выражение в уравнение (3.4) и используя три-
гонометрические преобразования, аналогичные тем, которые бы-
ли проведены при получении уравнения (3.8), приходим к сле-
дующему результату (начальные фазы несущего и модулирую-
щих колебаний здесь для упрощения опущены):
МлА0 MiAq
a(t) = А0 cos cd0* + 9 cos (w0 + QJt + —~— cos (w0 - QJt +
+
M2AQ
cos (co0 + £l2)t +
M2AQ
cos((o0 - Cl2)t.
Из полученного выражения следует, что каждой из частот Qx
и Q2 соответствует своя тональная модуляция, сопровождающая-
ся возникновением пары боковых частот, причем этот процесс
является линейным в том смысле, что амплитуды и фазы колеба-
ний боковых частот от различных модулирующих напряжений
взаимно независимы (последнее свойство сохраняется при усло-
вии, что суммарное изменение огибающей «вниз» не превышает
100%).
Из приведенного примера нетрудно вывести правило постро-
ения спектральной диаграммы амплитудно-модулированного ко-
лебания a(t) по заданному спектру модулирующей функции s(t).
Пусть последний имеет вид, представленный на рис. 3.8, а. Через
S19 S2, ..., Sn обозначены амплитуды гармонических колебаний,
входящих в спектр сообщения s(t), а через Qmin и Qmax — гранич-
ные частоты спектра.

114
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
а)
б)
МпА0
Sk
о ц:
А0Т
МгА0
Л
2
М{А0 МпА0
\
а
i
а
Спектральная диаграмма высо-
кочастотного колебания, промоду-
лированного по амплитуде сообще-
нием s(t), изображена на рис. 3.8, б.
Коэффициенты модуляции Mv
М2, ..., Мп пропорциональны амп-
литудам Sv S2, ..., Sn соответст-
вующих тонов, входящих в слож-
ное сообщение s(t).
Перейдем к общему случаю, ког-
да спектр сообщения s(t) не обяза-
тельно дискретный. Будем исхо-
дить из общего выражения (3.4).
Передаваемое сообщение s(t) со-
держится в законе изменения оги-
бающей A(t). He предрешая вида
функции s(t), составляем выраже-
ние для спектральной плотности Sa(co) модулированного по амп-
литуде колебания a(t), рассматриваемого как произведение оги-
бающей A(t) на гармоническое колебание cos (со0£ + 0О).
Основываясь на соотношении (2.58), в котором положим s(t) =
= A(t), получаем
С!
+
+
Рис. 3.8. Дискретные спектры:
а) сложной модулирующей функ-
ции; б) модулированного по ампли-
туде колебания
Sa(w) = J A(t) cos (co0* + %)е~ш dt =
-oo
= \ e/0° SA(a> - co0) + \ e~'e° SA(co + co0).
(3.9)
В этом выражении SA обозначает спектральную плотность оги-
бающей, т. е. модулирующей функции.
Следует подчеркнуть, что спектр медленно меняющейся функ-
ции времени А( 0 концентрируется в области относительно низких
частот. Поэтому функция SA((0 - co0) существенно отличается от
нуля лишь при частотах со, близких к ш0, т. е. когда разность со -
- со0 = Q. относительно мала. Аналогично слагаемое S^(co + ш0) су-
ществует при частотах, близких к -со0.
Таким образом, спектральная плотность модулированного коле-
бания Sa(co) образует два всплеска: вблизи со = (00 и вблизи со = -ш0.
Поэтому для узкополосного сигнала можно считать, что в области
положительных частот
/еп
Sa(co)-V2eiW°SA(co-co0),
(3.10)

3.3. Спектр амплитулпомодулированного колебания
115
а)
б)
%i0S(a) + co0)
&
^2кА0ЫП)
KHA0S(Q)
S(o) - (00)
Рис. 3.9. Спектральные плотности:
а) огибающей; б) амплитудно-модулированного
колебания
а в области отрицательных частот
Se(co) « V2e"'e°SA((o + (00). (ЗЛО')
Поясним правило построения спектра Sa(co) на следующем
примере. Пусть огибающая высокочастотного колебания имеет
вид
A(0=AJi + ftaMs(0], (ЗЛ1)
где s(t) — передаваемое сообщение, имеющее спектральную плот-
ность S(Q), коэффициент kaM имеет тот же смысл, что и в выраже-
нии (3.5), Q — текущая частота спектра модулирующей функции,
как отмечалось ранее.
Спектральная плотность огибающей A(t) изображена на
рис. 3.9, а. Дискретная часть этого спектра, равная 2лА08(£2),
соответствует постоянной величине А0, а сплошная часть
&aMA0S(Q) — передаваемому сообщению s(t).
Спектральная плотность Sa(co) модулированного колебания a(t)
показана на рис. 3.9, б. В данном случае дискретные составляю-
щие лА08(о) + со0) отображают несущее колебание А0 cos (со0£ + 0О),
а сплошной спектр — колебания боковых частот модуляции.
Если радиосигнал не содержит несущего колебания (с конеч-
ной амплитудой), например при передаче одиночного радиоим-
пульса, дискретная часть в спектре отсутствует.

116
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Рассмотрим спектр прямоугольного радиоимпульса (рис. 3.10, б),
определяемого выражением
a(t) =
0
при -ти/2 < t < ти/2,
при t < - ти/2 и t > хи/2.
(3.12)
В данном примере под сообщением s(t) следует подразумевать
видеоимпульс (рис. 3.10, а). Спектральная плотность подобного
сообщения [см. (2.68)]
S(Q) = В
sin (^ти/2)
Яти/2 '
Огибающая амплитуд колебания a(t)
A(t) = kaMA0s(t),
а спектральная плотность этой огибающей
sin(^xH/2)
(3.13)
SA(Q) = kayIA0S(Q) = kaMA0B-
OV2
Так как в данном случае 0О = 0 (рис. 3.10, б), то по формуле (3.9)
Sa(co) =
(со - со0)ти (со + со0)ти
sin ~ sin pj
(со - со0)ти
+
(со + со0)ти
(3.14)
Графики спектральных плотностей модулирующей функции s(t)
и радиоимпульса a(t) изображены на рис. 3.11, а и б.
а)
*rd I V/v
12
Sa(co) = ^ф^ S(co + о)0)
Sa{«>) = f^4^S{«>-c»0)
б)
*SKJ ' Ч/\* ' v/\7 ' V/V* *-
Рис. 3.10. Импульс прямоугольной
формы (а) и тот же импульс с высо-
кочастотным заполнением со0 (б)
-со0 0 со0 со0
Рис. 3.11. Спектральные плотнос-
ти функций, представленных на
рис. 3.10

3.4. Угловая модуляция. Фала и мгновенная частота колебания 117
3.4. Угловая модуляция.
Фаза и мгновенная частота колебания
Для простого гармонического колебания
a(t) = А0 cos (g)0£ + 0О) = А0 cos \\f(t)
набег фазы за какой-либо конечный промежуток времени от t = tx
до t = t2
Ч>(*2> " V(*l) = (<°6*2 + 6о) " (Ш0'1 + 0о) = <М*2 " *1>- (3-15)
Отсюда видно, что при постоянной угловой частоте набег фазы за
какой-либо промежуток времени пропорционален длительности
этого промежутка.
Однако, если известно, что набег фазы за время t2 - tx равен
\\f(t2) - v|/(*i), то угловую частоту можно определить как отношение
«о = IW2) ~ Wi)V(t2 ~ h)> (3.16)
если, конечно, имеется уверенность, что в течение рассматривае-
мого промежутка времени частота сохраняла постоянное значение.
Из (3.16) видно, что угловая частота есть не что иное, как ско-
рость изменения фазы колебания.
Переходя к сложному колебанию, частота которого может из-
меняться во времени, равенства (3.15), (3.16) необходимо заме-
нить интегральным и дифференциальным соотношениями
V(*2) " V(*i) = J a(t)dt, (3.17)
a#)-^. (3.18)
В этих выражениях со(0 = 2nf{t) — мгновенная угловая частота
колебания; f(t) — мгновенная частота.
Согласно выражениям (3.17), (3.18) полную фазу высокочас-
тотного колебания в момент t можно определить как
t
\\f{t) = J o)(o dt + e0, (3.i9)
о
где первое слагаемое в правой части определяет набег фазы за
время от начала отсчета до рассматриваемого момента t; 0О — на-
чальная фаза колебания (в момент t = 0).

118
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
При таком подходе фазу \\f(t) = (00£ + 8(£), фигурирующую в вы-
ражении (3.1), следует заменить на \\f(t) = (о0£ + 6(t) + 0О.
Итак, общее выражение для высокочастотного колебания,
амплитуда которого постоянна, т. е. A(t) = A0, а аргумент \\f(t) мо-
дулирован, можно представить в форме
a(t) = А0 cos [со0£ + 0(0 + 0О]. (3.20)
Соотношения (3.18), (3.19), устанавливающие связь между из-
менениями частоты и фазы, указывают на общность двух разно-
видностей угловой модуляции — частотной и фазовой.
Поясним соотношения (3.18)—(3.20) на примере простейшей
гармонической ЧМ, когда мгновенная частота колебания опреде-
ляется выражением
(0(f) = С00 + С0Д COS Ш, (3.21)
где (0Д = 2л/д представляет собой амплитуду частотного отклоне-
ния. Для краткости (0Д в дальнейшем будем называть девиа-
цией частоты или просто девиацией. Через (00 и Q,
как и при AM, обозначены несущая и модулирующая частоты.
Составим выражение для мгновенного значения колебания
(тока или напряжения), частота которого изменяется по закону
(3.21), а амплитуда постоянна.
Подставляя в (3.19) (о(£) из уравнения (3.21), получаем
t
\\f(t) = J (w0 + (Од cos Ш) dt + 60.
0
Выполнив интегрирование, найдем
\\f(t) = (o0t + ((Од/Q) sin Qt + 90. (3.22)
Таким образом,
a(t) = A0 cos [(00£ + ((Од/Q) sin Ш + 90]. (3.23)
Фаза колебания a(t) наряду с линейно-возрастающим слагае-
мым (00(£) содержит еще периодическое слагаемое ((0Д/<3) sin £lt.
Это позволяет рассматривать a(t) как колебание, модулированное
по фазе. Закон этой модуляции является интегральным по отно-
шению к закону изменения частоты. Именно модуляция часто-
ты по закону (од cos Ш приводит к модуляции фазы по закону
((Од/Q) sin Ш. Амплитуду изменения фазы
ешах = <»д/П = Ш <3-24>
часто называют индексом угловой модуляции.

3.4. Угловая модуляция. Фаза и мгновенная частота колебания 119
Заметим, что индекс модуляции совершенно не зависит от
средней (немодулированной) частоты со0, а определяется исклю-
чительно девиацией а>д и модулирующей частотой Q.
Рассмотрим теперь противоположный случай, когда стабильное
по частоте и фазе колебание пропускается через устройство, осу-
ществляющее периодическую модуляцию фазы по закону 0(£) =
= 9max sin Ш, так что колебание на выходе устройства имеет вид
a(t) = А0 cos [о)0* 4- Этах sin Ш + 0О]. (3.23')
Какова частота этого колебания? Используя выражение (3.18),
находим
со(*) = ^ (со0г + втах sin Qt + е0) = (00 + втахй cos Qt. (3.2Г)
Учитывая соотношение (3.24), приходим к выводу, что 6maxQ =
= (од. Таким образом, гармоническая модуляция фазы с индексом
0тах эквивалентна частотной модуляции с девиацией сод = ЭшахФ.
Из приведенного примера видно, что при гармонической угло-
вой модуляции по характеру колебания нельзя заключить, с ка-
кой модуляцией мы имеем дело — с частотной или фазовой.
В обоих случаях вектор ОА, изображающий на векторной диаг-
рамме модулированное колебание, качается относительно своего
исходного положения таким образом, что угол 6 (рис. 3.12) изме-
няется во времени по закону 0 = 0max sin Qt при фазовой модуля-
ции, 0 = (оод/£2) sin Ш при частотной модуляции (когда Лш =
= 0)д cos Ш). Цифрами I, II, III и IV отмечено положение вектора
ОА при Ш = 0, к/2, я и Зя/2.
Иное положение при негармоническом модулирующем сигна-
ле. В этом случае вид модуляции — частотной или фазовой —
можно установить непосредственно по характеру изменения час-
тоты и фазы во времени.
Ш
Рис. 3.12. Представление высоко- v v /
частотного колебания при угловой
модуляции в виде качающегося век-
тора О

120
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Рис. 3.13. Сравнение функций со(0 и 0(f) при ЧМ и ФМ при пилообразном модули-
рующем сигнале
Покажем это на примере пилообразного модулирующего сиг-
нала s(t) (рис. 3.13, а и г). Очевидно, что пилообразное изменение
со(£) (рис. 3.13, б), по форме совпадающее с s(t), свидетельствует о
наличии ЧМ, а такое же изменение Q(t) (рис. 3.13, д) — о нали-
чии ФМ. Ясно также, что скачкообразное изменение со(£)> совпа-
дающее по форме с производной сигнала s(t) (рис. 3.13, е), указы-
вает на ФМ.
При гармоническом модулирующем сигнале различие между
ЧМ и ФМ можно выявить, только изменяя частоту модуляции.
При ЧМ девиация шд пропорциональна амплитуде модули-
рующего напряжения и не зависит от частоты модуляции Q.
При ФМ величина Фтах пропорциональна амплитуде модули-
рующего напряжения и не зависит от частоты модуляции Q.
Эти положения поясняются рис. 3.14, на котором показаны
частотные характеристики величин сод и 0тах при частотной и фа-
зовой модуляциях. В обоих случаях предполагается, что на вход
модулятора подается модулирующее напряжение с неизменной
амплитудой С/, а частота Q, изменяется от Qmin до Фтах.

3.5. Спектр колебания при угловой модуляции. Общие соотношения 121
Рис. 3.14. Зависимость индек-
са 6шах и девиации (од от моду-
лирующей частоты при ЧМ (а)
и ФМ (б)
При ЧМ (од, зависящая, как указывалось выше, только от амп-
литуды U, будет постоянной величиной, а индекс модуляции т =
= (Од/Q = о)тах с увеличением частоты будет убывать (рис. 3.14, а).
При ФМ т не зависит от £1, а сод = 6maxQ = m£l изменяется пропор-
ционально частоте модуляции (рис. 3.14, б).
Кроме структуры колебания (при модуляции сложным сигна-
лом) частотная и фазовая модуляции различаются и способом
осуществления. При ЧМ обычно применяется прямое воздейст-
вие на частоту колебаний генератора. При ФМ генератор дает
стабильную частоту, а фаза колебания модулируется в одном из
последующих элементов устройства.
3.5. Спектр колебания при угловой модуляции.
Общие соотношения
Пусть задано колебание
a(t) = А0 cos [co0f + 0(0], (3.25)
о котором известно, что передаваемое сообщение s(t) заложено в
функцию 0(f). Если колебание a(t) получено с помощью ФМ, то 0(f)
и s(t) полностью совпадают по форме и отличаются лишь постоян-
ным коэффициентом. При этом, очевидно, с точностью до постоян-
ного коэффициента совпадают и спектры функций 0(f) и s(t).
При ЧМ функция 0(f) является интегралом от передаваемого
сообщения s(t). Это вытекает из выражений (3.19) и (3.20). Так
как интегрирование является линейным преобразованием, то
при ЧМ спектр функции 0(f) состоит из тех же компонентов, что
и спектр сообщения s(t), но с измененными амплитудами и фа-
зами.
Отвлекаясь от способа осуществления угловой модуляции —
фазовой или частотной — и считая заданным спектр функции 0(f),

122
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
находим спектр модулированного колебания a(t). Для этого выра-
жение (3.25) преобразуем к виду
a(t) = А0 cos 0(f) cos co0f - А0 sin 0(f) sin (D0f = ac(t) - as(t). (3.26)
Из (3.26) следует, что модулированное по углу колебание можно
рассматривать как сумму двух квадратурных колебаний: косинус-
ного ac(t) = Aq cos 0(f) cos co0f и синусного as(t) = A0 sin 0(f) sin w0f,
каждое из которых модулировано только по амплитуде; закон
AM для косинусного колебания определяется медленной функци-
ей cos 0(f), а синусного — функцией sin 0(f). Но в § 3.3 было уста-
новлено, что для определения спектра амплитудно-модулированно-
го колебания достаточно сдвинуть на частоту со0 спектр огибающей
амплитуд. Следовательно, для нахождения спектра колебания a(t),
определяемого выражением (3.26), необходимо сначала найти
спектры функций cos 0(f) и sin 0(f), т. е. спектры огибающих квад-
ратурных колебаний. Перенос этих спектров на частоту со0 можно
затем осуществить таким же образом, как и при обычной AM.
Из приведенных рассуждений следует, что при одном и том же
передаваемом сообщении спектр колебания, модулированного по
углу, значительно сложнее, чем спектр модулированного по амп-
литуде. Действительно, так как cos 0(f) и sin 0(f) являются нели-
нейными функциями своего аргумента 0(f), то спектры этих
функций могут существенно отличаться от спектра функции 0(f);
возможно возникновение кратных и комбинационных частот,
как это имеет место при обычных нелинейных преобразованиях
спектра.
Это обстоятельство, а также наличие двух квадратурных сла-
гаемых показывают, что при угловой модуляции спектр модули-
рованного колебания нельзя получить простым сдвигом спектра
сообщения на величину несущей частоты ш0, как это имеет место
при AM. При угловой модуляции связь между спектрами сообще-
ния и модулированного колебания оказывается более сложной.
3.6. Спектр колебания при гармонической угловой модуляции
Используем полученные выше результаты для анализа коле-
бания вида
a(t) = A0 cos (co0f + m sin Qf). (3.25)

3.G. Спектр колебания при гармонической углоиой модуляции 123
Это выражение совпадает с (3.23) и (3.23') при модуляции час-
тоты по закону со(0 = 0)0 + (од cos Ш. Начальная фаза Э0, а также
начальная фаза модулирующей функции у опущены для упроще-
ния выкладок. При необходимости они легко могут быть введены
в окончательные выражения.
В данном случае 6(0 = т sin Ш. Подставляя 0(0 в выражение
(3.26), получаем
a(t) = А0 cos (m sin Ш) cos co0t - А0 sin (m sin Ш) sin o)0£. (3.27)
Учитывая, что множители cos (m sin ilt) и sin (m sin Ш) явля-
ются периодическими функциями времени, разложим их в ряд
Фурье.
В теории бесселевых функций доказываются следующие соот-
ношения:
sin (m sin Ш) = 2J1(m) sin Ш +
+ 2J3(ra) sin ЗШ + 2J5(m) sin 5Ш + ..., (3.28)
cos (m sin Ш) = J0(m) +
+ 2J2(m) cos 2Ш + 2J4(m) cos 4Ш + ..., (3.29)
sin (m cos Ш) = 2e/1(m) cos Ш -
- 2J3(ra) cos ЗШ + 2J5(m) cos 5Ш - ..., (3.28')
cos (m cos Ш) = J0(m) -
- 2J2(m) cos 2Ш H- 2J4(m) cos 4Ш - ... (3.29')
Здесь Jn(m) — бесселева функция первого рода п-го порядка от
аргумента т.
С помощью соотношений (3.28) и (3.29) уравнение (3.27) мож-
но привести к виду
a(t) = A0[J0(m) cos cd0£ - 2J1(m) sin Ш sin w0t +
+ 2J2(m) cos 2Q£ cos co0t - 2J3(m) sin ЗШ sin o)0£ -I- ...] (3.30)
или в более развернутой форме
a(t) = А0 cos (co0£ + т sin Qf) = A0{J0(m) cos co0£ +
+ Jx(m) [cos (co0 + Q)t - cos (o)0 - Q)f] +
+ J2(m)[cos (<o0 + 2i1)t + cos (a)0 - 2Q)£] +
+ J3(/n)[cos (co0 + 3Q)£ - cos (co0 - 3Q)t] + ...}. (3.31)
Таким образом, при частотной и фазовой модуляциях спектр
колебания состоит из бесконечного числа боковых частот, распо-

124
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ложенных попарно симметрично относительно несущей частоты
со0 и отличающихся от последней на aiQ, где п — любое целое чис-
ло. Амплитуда п-й боковой составляющей Ап = Jn(m)A0J где А0 —
амплитуда немодулированного колебания, am — индекс модуля-
ции. Отсюда следует, что вклад различных боковых частот в сум-
марную мощность модулированного колебания определяется ве-
личиной т.
Рассмотрим режимы угловой модуляции при малых и боль-
ших значениях т. Если т <$С 1, так что имеют место приближен-
ные равенства
sin (т sin Ш) ~ т sin Шу cos (m sin Ш) ~ 1,
то выражение (3.27) переходит в следующее:
a{t) ~ А0 (cos o)0t - т sin Ш sin co0t) =
= А0 cos w0t + ^ cos (co0 + Cl)t - ^ cos (o)0 - Q)t . (3.32)
Сравним это уравнение с уравнением для амплитудно-модули-
рованного колебания, у которого модулирующая функция (т. е. пе-
редаваемое сообщение) такая же, как и при ЧМ. Так как выраже-
ние (3.32) получено из (3.25') для модуляции частоты по закону
со(£) = со0 + сод cos Ш, то для удобства сравнения зададим модуля-
цию амплитуды по аналогичному закону A(t) = А0(1 + М cos Ш).
Тогда амплитудно-модулированное колебание запишется в форме
aaM(t) = А0(1 + М cos Ш) cos co0£ =
г м м ~\
= А0 cos со0£ + -j cos (ш0 + Q)t + -s- cos (co0 - Q)t . (3.33)
Из сравнения (3.32) и (3.33) видно, что при малых значениях т
спектр колебания, как и при AM, состоит из несущей частоты 0)0 и
двух боковых частот: верхней о)0 + £1 и нижней со0 - £2. Единствен-
ное отличие заключается в фазировке колебаний боковых частот
относительно несущего колебания. При AM фазы колебаний боко-
вых частот симметричны относительно несущей частоты, а при уг-
ловой модуляции фаза колебания нижней боковой частоты сдвину-
та на 180° [знак «минус» перед последним слагаемым (3.32)]. Это
положение иллюстрируется векторной диаграммой, показанной на
рис. 3.15, а. Направление вектора DC2 при AM обозначено штри-
ховой линией. Изменение направления этого вектора на 180° при-
водит к тому, что вектор модуляции DF всегда перпендикулярен к

3.6. Спектр колебания при гармонической угловой модуляции 125
Рис. 3.15. Векторная диаграмма (а) и спектр колебания (б) при угловой модуля-
ции с индексом т < 1
направлению вектора OD, изображающего несущее колебание.
Вектор OF, изображающий результирующее колебание, изменяет-
ся как по фазе, так и по амплитуде; однако при т = 6mnx <^ 1 амп-
литудные изменения настолько малы, что ими можно пренебречь
и модуляцию можно в первом приближении рассматривать как
чисто фазовую.
Спектральная диаграмма для угловой модуляции при т«1 по-
казана на рис. 3.15, б. Равенство амплитуд колебаний боковых
частот сохраняется, а фаза колебания нижней частоты сдвинута на
180°. Амплитуды колебаний боковых частот равны /пА0/2, и поэто-
му в данном случае индекс модуляции т совпадает по значению с
коэффициентом М, характеризующим глубину изменения ампли-
туды при AM. Заметим, что ширина спектра при т« 1 равна 2Q,
как и при AM. Этот результат показывает, что при очень малых де-
виациях сод (по сравнению с Q) ширина спектра от сод не зависит.
При увеличении фазового отклонения, т. е. при возрастании
га, уравнение (3.32) и диаграмма на рис. 3.15, а не дают правиль-
ного представления о действительной картине явлений при час-
тотной или фазовой модуляции. Это объясняется тем, что с по-
мощью колебаний несущей частоты и всего лишь одной пары бо-
ковых частот невозможно представить колебание, частота или
фаза которого изменяется в широких пределах, а амплитуда ос-
тается строго постоянной. Для получения правильной картины
необходимо учитывать боковые частоты высших порядков в соот-
ветствии с выражением (3.31).

126
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
-VA)
Рис. 3.16. Спектры колебания при
угловой модуляции:
а) т = 1; б) т = 2
При значениях индексов т от 0,5 до 1 приобретает некоторое
значение вторая пара боковых частот, ввиду чего ширина спект-
ра должна быть приравнена 4Q. Далее, при 1 < т < 2 приходится
учитывать третью и четвертую пары боковых частот и т. д.
Спектральные диаграммы для т = 1 и т = 2 приведены на
рис. 3.16. Фазы колебаний на этих рисунках не учитываются, од-
нако следует иметь в виду, что при нечетных п амплитуды ниж-
них боковых частот следует брать со знаком «минус». Амплиту-
ды всех составляющих спектра представлены на этих рисунках в
виде вертикальных отрезков, длины которых равны Jп(т), а рас-
стояния от отрезка J0(m), соответствующего амплитуде колеба-
ния несущей частоты, равны nQ, где Q — частота модуляции, а
п — порядковый номер боковой частоты. Амплитуда результи-
рующего колебания принята за 100%, т. е. А0 = 1; обозначенные
на рисунках величины Jn определяют амплитуды колебаний со-
ответствующих частот в долях от амплитуды результирующего
колебания.
Векторные диаграммы для различных значений Ш при т = 1,
построенные по выражению (3.30), представлены на рис. 3.17, а—г.
При п > 2 Jn(l) ^ 1, поэтому учтены только J0, J1 и J2.
Рассмотрим теперь большие значения т. Вопрос сводится к
выяснению зависимости бесселевой функции Jn(m) от порядково-
го номера п при больших значениях аргумента т. Оказывается,
что при т ^> 1 величина | Jn(m)\ более или менее равномерна при
всех целых значениях |д|, меньших, чем аргумент т. При |п|,
близких к т, |е/,г(т)| образует всплеск, а при дальнейшем увели-
чении |лг| функция |c/n(m)| быстро убывает до нуля. Общий харак-
тер этой зависимости показан на рис. 3.18 для т = 100. Из рисун-
ка видно, что наивысший номер п боковой частоты, которую еще
0,8 |
0,4
0
а)
ilk
Jj_L
б)

3.6. Спектр колебания при гармонической угловой модуляции 127
at = о
А 4
1,0
2J2(m)
J0(m)
at = я/2
2Jl(m)
at = %
1,0
2J2(m)
J0(m)
at = 3/271
2Jl(m)
а) б) в) г)
Рис. 3.17. Фазировка колебаний боковых частот в различные моменты времени
необходимо принимать в расчет, приблизительно равен индексу
модуляции т (в данном случае п = 100).
Приравнивая это максимальное значение nmax величине т,
приходим к выводу, что полная ширина спектра частотно-моду-
лированного колебания
2|"тах|0:
2mQ.
Но т = (Од/Q, следовательно, при больших индексах модуля-
ции ширина спектра модулированного колебания близка к удво-
енной девиации частоты
2\п Q ~ 2ш .
(3.34)
Q.04
Эта полоса частот обозначена в нижней части рис. 3.18.
Заметим, что в соответствии с определением т [см. (3.24)] вы
ражение «модуляция с малым ин-
дексом» эквивалентно выражению
«быстрая модуляция», а выражение
«модуляция с большим индексом»
эквивалентно выражению «медлен-
ная модуляция». Поэтому можно
сформулировать следующее положе-
ние: при быстрой угловой модуля-
ции (когда сод <^ Q) ширина спектра
модулированного колебания близ-
ка к значению 2Q; при медленной
угловой модуляции (когда сод ^> Q)
ширина спектра близка к значе-
кя(т)|
0,1:6
0,12
4Й
-100
-<*>п
100л
нию 2сод.
Рис. 3.18. Ширина спектра ЧМ-
колебания при больших значе-
ниях индекса модуляция

128
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
3.7. Спектр радиоимпульса
с частотно-модулированным заполнением
При модуляции частоты колебания по закону, отличающемуся
от гармонического, нахождение спектра колебания усложняется.
Выбор наиболее удобного метода анализа зависит от характера мо-
дулирующей функции. Поясним один из возможных методов на
примере широко распространенного сигнала — импульса с линей-
ной частотной модуляцией (ЛЧМ-импульса). Подобный сигнал
изображен на рис. 3.19, а, а закон изменения частоты заполнения
импульса — на рис. 3.19, б.
Мгновенную частоту заполнения co(£) = 2nf(t) можно опреде-
лить выражением
(D(t) = со0 + р*, |*| < Гс/2, (3.35)
где
)Э| = 2сод/Гс = 2 • 2к/д/Тс (3.36)
есть скорость линейного изменения частоты внутри импульса.
Тогда мгновенное значение колебания, представленного на
рис. 3.19, а, можно записать в виде
a(t) = A0 cos ({ш(£) dt)
-TJ2 < t < TJ2.
a) a i
1 тс \ /о
' ""2" У
Л + f '-
'0 т 1д
'0 /д |
! о
1 / \ /1
1/ \/1|7
i \
'с t
г
1
2^д
1
( $t2 ^
AQcos[(oQt + ^-j,
(3.37)
Произведение полной девиации
частоты на длительность импульса
(3.38)
2/ Т
IА с
m
является основным параметром
ЛЧМ-сигнала. Напомним, что в
§ 2.15 аналогичный параметр N =
= 2fmTc был назван базой сиг-
нала. Поскольку / определяет
ширину спектра рассматриваемо-
го сигнала, параметр m можно
трактовать как базу ЛЧМ-сиг-
нала.
С учетом (3.38) выражение
(3.36) можно записать в форме
Рис. 3.19. ЛЧМ-импульс (а) и изме-
нение частоты его заполнения (б)
|Р| = 2лт/Тс2.
(3.39)

3.7. Спектр радиоимпульса с частотно-модулированным заполнением 129
А
+ -2
При этом сигнал a(t) определяется при р > О выражением
a(t) = А0 cos (g>0* + ^ ], -тс < t < тс. (3.40)
Определим спектральную плотность этого сигнала с помощью
общего выражения (2.48):
S(co) = A0 J cos (со0* + ^f- V™ dt =
-Tc/2 c
= Y° j exp {^- -(co-co0k]ld* +
TJ2 r l
^ J exp -(p*2 + (a) + CD0)*] Л. (3.41)
Первое слагаемое в правой части полученного выражения оп-
ределяет всплеск спектральной плотности вблизи частоты со = со0,
а второе — всплеск вблизи частоты со = -со0.
При определении S(co) в области положительных частот второе
слагаемое можно отбросить [см. (3.10)]. В первом же слагаемом
показатель степени в подынтегральной функции целесообразно
дополнить до квадрата разности (Р считаем положительной вели-
чиной)
= (J™l-dJ-d2y (3.42)
где
d = (со - (о0)Тс/2л/ят. (3.43)
Подставляя (3.42) в (3.41) и переходя к новой переменной
у = Jnmt/Tc- d, (3.44)
получаем
S(co) = -£ e~id2 -^ f е1У2 dy, (3.45)
^ Jnm -Ux
где пределы интегрирования определяются выражениями
[^г (со-Шо)-] far (со-(о0)п
5 И. Гоноровский

130
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Используем известные из математики определения интегра-
лов Френеля
х 2 х 2
С(х) = J cos Ц- dyy S(x) = J sin Ц- dy9 (3.47)
о о
х iny2
С(х) + iS(x) = J e~ dy. (3.48)
о
Тогда выражение (3.45) с учетом (3.43) и (3.46) приводится к
следующей формуле:
S(g>) = ^= j2 ехр [ч((°"2^о)2 ]{C(Ml) + С(и2) + i[S(Ml) + S(m2)]}.
(3.49)
Из (3.49) следует, что в области со > 0 АЧХ спектральной плот-
ности ЛЧМ-сигнала
А)ГС 1
S(co) =^j=j=2 J[C{ux) + C(u2)]2 + lS(Ul) + S(a2)], (3.50)
аФЧХ
(со-ш0)2 S(Ml) + S(a2)
W = —ST" + arCtg C(ul) + C(u2) =
т((о-со0)2 S(w1) + S(ix2)
" "4 5f— + arCtg C(al) + C(ua) • (3'51)
Графики зависимости (2jm/A0Tc)S(w) от (со - со0)/сод (рис. 3.20, а,
бив) показывают, что при больших значениях /п форма S(co) при-
ближается к прямоугольной и ширина спектра близка к величине
2сод. При этом характеристика |\j/(co)| принимает вид квадратич-
ной параболы (рис. 3.20, в). Второе слагаемое в (3.51), стремя-
щееся к постоянной величине я/4, опущено.
При со = со0 иг = и2 = Jm/2y так что при больших значениях т
и со = со0, когда
С(иг) ~ С(и2) ~ 0,5 и S(ux) ~ S(m2) ~ 0,5,
квадратный корень в выражении (3.50) обращается в 72, a S(co0) —►
-A0TC/2V^.
На рис. 3.21 показана структура АЧХ- и ФЧХ-спектра ЛЧМ-им-
пульса при р > 0 на всей оси частот. В области отрицательных час-

3.8. Спектр колебания при амплитудно-частотной модуляции 131
2-Ут
л0тс
S(co)
1.0S
0,5
0
1,0*
0,5|
0
1,0*«
0,5;
0-
#
W^\/
0,4
л
V
0
Л
4ij
а)
V :
^
\ У1|у(о))1
/ m
А X 2,0
\ >^V(|w)l
JK ~х~ i,o
,8 1,2 5^^!!
в)
Рис. 3.20. Спектральная плотность ЛЧМ-
импульса при различных значениях базы
m = 2/дГс:
a) m = 10; б) m = 60; в) пг = 100
I 5(G))
Рис. 3.21. Амплитудно- и фазочастотная ха-
рактеристики спектра ЛЧМ-импульса на
всей оси частот
тот ФЧХ по знаку обратна фазовой характеристике спектра при по-
ложительных частотах.
При р < 0, т. е. при убывании частоты внутри радиоимпульса,
знак минус перед правой частью выражения (3.51) должен быть
изменен на обратный.
3.8. Спектр колебания при амплитудно-частотной модуляции
Обобщим выражения (3.25), (3.26), заменив в них постоянную
амплитуду А0 функцией времени A(t):
a(t)=A(t) cos [co0t + 9(0] =
= A(t) cos 6(0 cos w0£ - A(t) sin 6(0 sin &0t = ac(t) - as(t). (3.52)
Как и в § 3.5, 3.6, определение спектра колебания сводится к
нахождению спектров функций Ac(t) = A(t) cos 0(0 и As(t) =
= A(t) sin 6(0, т. е. огибающих квадратурных колебаний, и к по-
следующему сдвигу этих спектров на величину со0.

132
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Обозначим спектральные плотности функций Ac(t) и As(t) сим-
волами SA (со) и SA (со). Тогда
оо оо
SA (со) = J AJt)e4(at dt = [ A(t) cos в(г)е~ш dt, (3.53)
с * ^
-ОО -ОО
ОО ОО
SA (со) = J Aa(t)e~m dt = J A(t) sin в(ф~ш dt.
S -oo _oo
Спектральная плотность косинусного квадратурного колеба-
ния ac(t) = Ac(t) cos (O0t в соответствии с выражением (2.58) при
90 = 0 будет
Sa(co) = V2[SAc(o> ~ <%) + SA(co + со0)]. (3.54)
При определении спектра синусного квадратурного колебания
as(t) = As(t) sin со0£ фазовый угол 0О в (2.58) следует приравнять
-90°. Следовательно,
Sag(co) = -§[SA(co - со0) + SA(co + со0)]. (3.540
В области положительных частот можно считать
SA (со + со0) ~ О, SA (со 4- со0) ~ 0.
Таким образом, окончательно спектральная плотность колеба-
ния a(t) = ac(t) - as(t) определяется выражением
Sa(co) = Sa(co) - Sa(co) = 72{SAc(co - co0) + *SA(co - co0)}, со > 0.
(3.55)
Переходя к переменной Q = со - со0, получаем
Sa(co0 + Q) = l/2[SA (Q) + *SA (Q)]. (3.56)
с ,s
Структура спектра колебания a(t) при амплитудно-частотной
модуляции зависит от соотношения и вида функций A(t) и Q(t).
При AM спектр колебания a(t) характеризуется полной сим-
метрией амплитуд и фаз колебаний боковых частот относительно
несущего колебания: при угловой модуляции [A(t) = А0 = const]
фазы колебаний нижних боковых частот при нечетных п сдвину-
ты на 180° (см. § 3.6). Одновременная модуляция по амплитуде и
углу может при некоторых соотношениях между A(t) и 6(£) при-
водить к асимметрии спектра Sa(co0 + Q.) относительно со0 не толь-
ко по фазам, но и по амплитудам. В частности, если 0(£) является
нечетной функцией t, то при любой функции A(t) спектр колеба-
ния a(t) несимметричен.

3.8. Спектр колебания при амплитудно частотной модуляции 133
S(co)
"Wo
О
(О
'о " wo
Рис. 3.22. Пример асимметрично-
го спектра при смешанной ампли-
тудной и угловой модуляциях
Пример подобного спектра пред- S |
ставлен на рис. 3.22. (По отноше-
нию к точке (0 = 0 модуль спектраль-
ной плотности симметричен при лю-
бых условиях.)
Для симметрии спектра Sa((o) тре-
буется четность функции 0(f) при од-
новременном условии, чтобы функ-
ция A(t) была либо четной, либо не-
четной функцией t. Если функция
A(t) может быть представлена в виде суммы четной и нечетной со-
ставляющих, то спектр Sa(co) несимметричен даже при четной
функции 0(s). Например, импульс с линейной ЧМ, рассмотренный
в § 3.7, имеет симметричный спектр. В этом случае прямоугольная
огибающая при надлежащем выборе точек отсчета времени являет-
ся функцией, четной относительно f, как и функция 6(0 = ор£2.
Наглядное представление о деформации спектра колебания при
смешанной модуляции — амплитудной и угловой — можно полу-
чить, рассмотрев случай, когда обе модуляции осуществляются
гармонической функцией с одной и той же частотой Q. Для упро-
щения анализа зададим эту функцию в виде гармонического коле-
бания cos Qt для угловой модуляции и в виде cos Ш или sin Qt для
амплитудной.
1. Обе функции, как A(f), так и 0(f), четные относительно t:
A(t)=A0(l + М cos Ш), 0(0 = т cos Qt, М < 1; т « 1.
Выражение (3.52) принимает вид
a(t) = А0(1 + М cos Ш) cos [a)0f + т cos Qt].
Полагая, как и в § 3.3, справедливыми приближенные равен-
ства cos (m cos Qt) ~ 1, sin (m cos Qt) ~ m cos Qt, приводим это вы-
ражение к виду, аналогичному (3.32):
a(t) = А0 (1 + М cos Qt) cos co0f -
~~ т\ ~2 + COS ^ + ~2~ COS ^* ) S*n ^O* =
{М
cos a)0£ + y [cos (a)0 + Q)t + cos (со0 - Q)t] -
- т\ -j sin co0f + g sin (co0 + Q)t + ^ sin (co0 - Q)t -
mM
- ^- [sin (o)0 + 2Q)t + sin (co0 - 2Q)t]

134
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
i + (^)2
Ак
1
2
тМ
и
л/М2 +
^7М2Т^2
тМ
Л.
1,0
ИМ + т)
тМ
Г~4~
(М-т)
тМ
п.
0 \ (о0 - Q со0 со0 + Q / со 0 \ со0 - Q со0 со0 + Q /
со0 - 2Q со0 + 2Q со0 - 2Q со0 + 2Q
а) б)
Рис. 3.23. Спектр колебания при одновременной модуляции амплитуды и часто-
ты гармонической функцией
Суммируя квадратурные составляющие cos co0£ и (тМ/2) sin (D0£,
получаем для амплитуды результирующего колебания на частоте со0
следующее выражение: л/l + (тМ/2)2 при А0 = 1. Аналогичным
образом находим амплитуду 0, 57м2 + т2 для колебаний с часто-
тами со0 ± Q и тМ/4 для частот со0 ± 2Q. Спектр колебания a(t)9
представленный на рис. 3.23, а, симметричен.
2. Функция 0(£) — четная, a A(t) содержит четную и нечетную
составляющие:
A(t) = А0(1 + М sin Q0, в(0 = m cos Qt9 M < 1; т « 1.
Выкладки, аналогичные предыдущим, приводят к следую-
щим результатам: амплитуда равна 1 на частоте со0; 1/2(М - т)
на частоте со0 4- Q; 1/2(М + т) на частоте со0 - Q; тМ/4 на частотах
(00 ± 2Q. Спектр колебания для рассматриваемого случая пред-
ставлен на рис. 3.23, б. Симметрия спектра нарушается в данном
примере из-за неодинаковых амплитуд колебаний верхней и ниж-
ней боковых частот.
Асимметрия спектра при амплитудно-угловой модуляции мо-
жет рассматриваться как показатель неправильной работы устрой-
ства, осуществляющего AM; перекос спектра указывает на то, что
полезная AM сопровождается паразитной угловой модуляцией.
3.9. Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала
Современное состояние радиотехники характеризуется непре-
рывным совершенствованием способов передачи информации.
Изыскиваются новые виды сигналов и новые способы их обработки.

3.9. Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала
135
Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные
колебания являются лишь простейшими видами радиосигналов.
Часто приходится иметь дело с радиосигналами, получаемыми в
результате одновременной модуляции амплитуды и частоты (или
фазы) колебания по очень сложному закону.
В любом случае предполагается, что заданный сигнал a(t)
представляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все
спектральные составляющие сигнала группируются в относи-
тельно узкой по сравнению с некоторой центральной частотой (00
полосе.
При представлении подобных сигналов в форме
a(t) = A(t) cos \j/(0 (3.57)
возникает неоднозначность в выборе функций A(t) и \|/(£), так как
при любой функции \\f(t) всегда можно удовлетворить уравнению
(3.57) надлежащим выбором функции A(t).
Так, простейшее (гармоническое) колебание
a(t) = А0 cos 0)0£ (3.58)
можно представить в форме
a(t) = A(t) cos cot, (3.58')
где о = ш0 4- Асе.
В выражении (3.58') огибающая A(t) в отличие от А0 является
функцией времени, которую можно определить из условия сохра-
нения заданной функции a(t)
А0 cos cd0J = A(t) cos (o)0 + Aco)£,
откуда
A0cos w0t A0cos o)0£
A(t)
(3.59)
cos АШ - sin АШ • tg cd0£ "
Из этого примера видно, что при нерациональном выборе \\f(t)
((Ot вместо со0£) очень усложнилось выражение для A(t), причем
эта новая функция A(t) по существу не является «огибающей» в
общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую
a(t) (вместо касания в точках, где a(t) имеет максимальное значе-
ние). Оперирование подобной «огибающей» не имеет смысла, а в
некоторых случаях и недопустимо, так как может привести к
ошибочным практическим выводам (например, при рассмотре-
нии работы амплитудного детектора).

136
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Неопределенности можно избежать при представлении A(t) и
\\f(t) с помощью следующих соотношений:
A(t) = Ja2(t) + a{{t), (3.60)
со(0 = arctg [a^OMOL (3.61)
где ax(t) — новая функция, связанная с исходной соотношениями
al(t) = -U^\dx, (3.62)
-оо
1 ? о,(т)
a(t) = - J ?^7 Л. (3.63)
-оо
Эти соотношения называются преобразованиями
Гильберта, а функция ax(t) — функцией, сопряженной (по
Гильберту) исходной функции a(t).
Для выяснения смысла выражений (3.60), (3.61), а также тре-
бования, чтобы ax(t) являлась функцией, сопряженной по Гиль-
берту исходной функции a(t)9 рассмотрим сначала некоторые
свойства A(t), вытекающие непосредственно из выражения (3.60)
и справедливые при любой функции ax(t).
Прежде всего мы видим, что в точках, где функция ax(t) равна
нулю, имеет место равенство A(t) = a(t).
Дифференцируя (3.60), получаем
AdA da . da1
Adt=adt + аГ2ПГ-
Отсюда видно, что при ах = 0, когда A(t) = a(t), имеет место до-
полнительное равенство
dA da
~dt ~~ ~di *
Следовательно, в точках, в которых ax(t) = 0, кривые A(t) и
a(t) имеют общие касательные.
Этих условий, однако, еще недостаточно для того, чтобы можно
было рассматривать A(t) как «простейшую» огибающую быстро ос-
циллирующей функции a(t). Необходимо потребовать, чтобы кри-
вая A(t) касалась кривой a(t) в точках, в которых последняя име-
ет амплитудное или достаточно близкое к нему значение. Ины-
ми словами, в точках, где a^t) обращается в нуль, функция a{t)
должна принимать значения, близкие к амплитудным. Это уело-

3.9. Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала
137
вие как раз и обеспечивается, если функция ax(t) является сопря-
женной по Гильберту функции a(t). Это свойство преобразований
Гильберта нагляднее всего иллюстрируется на примере гармони-
ческого сигнала.
Пусть a(t) = cos со0£, -со < t < oo. Найдем сопряженную функ-
цию ax(t). Применяя общее выражение (3.62) и переходя к новой
переменной х = т - t> находим
1 ~ cos (о0т 1 ~ cos (о0*
МО = -- J x_t dx = -- cos co0* J —-— dx +
—oo - oo
1 f sin (o0jc
+ - sin (0n£ dx.
-oo
Известно, что
-oo
(в смысле главного значения) и
oo
г Sin JC ,
dx = п.
J x
- oo
Следовательно, функции a(t) = cos cq0£ соответствует сопря-
женная функция ax(t) = sin co0£, которая проходит через нуль
в моменты, когда исходная функция проходит через макси-
мум. Аналогичным образом нетрудно убедиться, что функции
a(t) = sin со0£, -oo < t < oo, соответствует сопряженная функция
ax(t) = -cos (u0t.
Подставляя a(t) = cos co0£ и a^t) = sin ш0£ в выражение (3.60),
получаем для огибающей гармонического колебания общеприня-
тое выражение А(0 = ^cos2 со0£ + sin2 (о0£ = 1.
Аналогичный результат получается и для a(t) = sin coQt, а2(0 =
= -cos со0£.
Как видим, выражение (3.60) определяет огибающую в виде
линии, касательной к исходной функции в точках ее максимума
и в случае гармонического колебания соединяющей два соседних
максимума кратчайшим путем. Таким образом, выражение
(3.60) определяет «простейшую» огибающую. Это свойство выра-
жения (3.60) сохраняется и для сложного сигнала, если выполня-
ется условие медленности изменения огибающей, т. е. если речь
идет об узкополосном сигнале [см. (3.2), (3.3)].

138
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Если исходный сигнал представляет собой сумму спектраль-
ных составляющих
a(t) = Z (ал cos (nnt + bn sin (dnt), (3.64)
n
то сопряженная функция
^i(0 = £ (<*„ sin °V ~ bn C0S ©nO» (3.65)
n
Ряд (3.65) называется рядом, сопряженным ряду (3.64).
Если сигнал a(t) представлен не рядом (3.64), а интегралом
Фурье
а(0 = - J [а(со) cos со* 4- fe(co) sin art] dco, (3.66)
о
то функция ax(t) может быть представлена в виде интеграла
ai(*) = _ J ta(co) sin со* ~ &(co) cos cof] dco, (3.67)
0
сопряженного интегралу (3.66).
Нетрудно установить связь между спектрами функций a(t) и
ax{t). Так как при преобразовании гармонического колебания по
Гильберту его амплитуда остается неизменной, то очевидно, что
по модулю спектральная плотность S1(co) сопряженной функции
ax(t) не может отличаться от спектральной плотности S(co) исход-
ной функции a(t). Фазовая же характеристика спектра S1(co) от-
личается от ФЧХ спектра S(co). Из сопоставления выражений
(3.66) и (3.67) непосредственно вытекает, что спектральные со-
ставляющие функции ax(t) отстают по фазе на 90° от соответст-
вующих составляющих функции a(t). Следовательно, при со > 0
спектральные плотности S^co) и S(co) связаны соотношением
S^co) = -iS((o), (о > 0. (3.68)
В области отрицательных частот соответственно получается
S^co) = iS(co), ax 0. (3.69)
Вследствие изменения ФЧХ сопряженная функция ax(t) по
своей форме может сильно отличаться от исходной функции a(t).
После того как найдена сопряженная функция ax(t), можно с
помощью выражений (3.60), (3.61) найти огибающую A(t), пол-
ную фазу \\f(t) и мгновенную частоту узкополосного сигнала
Ш) = *Ш = ± Г , OiU)-! = a(t)a{(t) - ai(t)a'(t)
"W dt dt LarCtg a(t) } aHt) + o}(t) • (3-70)

3.9. Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала
139
Выделив в найденной таким образом частоте ш(£) постоянную
часть 0)0, можно написать выражение
\\f(t) = w0t + е(0 + е0, (з.71)
в котором 0(0 не содержит слагаемого, линейно зависящего от
времени. Тем самым устраняется произвол в выборе «средней
частоты» сигнала со0 и соответственно функции 0(£).
В заключение следует отметить, что в некоторых случаях вы-
ражения (3.60)—(3.69) используют также и для широкополос-
ных сигналов, когда понятие «огибающая амплитуд» теряет свой
обычный смысл. При этом отказываются от требования, чтобы
огибающая A(t) касалась кривой a(t) вблизи точек, в которых a(t)
имеет амплитудное значение.
Поясним применение преобразования Гильберта для опреде-
ления огибающей, фазы и мгновенной частоты сигнала на сле-
дующем примере.
Пусть задан сигнал в виде суммы двух гармонических колеба-
ний с близкими частотами1 CDj и ш2
a(t) = Ах cos u>xt + А2 cos со2£ (3.72)
и требуется a(t) представить в форме
a(t) = A(t) cos [(O0t + 0(f) + 0O]. (3.73)
Расстройка |Асо| = |ш2 - coj полагается настолько малой по
сравнению с (со2 + со^/2, что колебание a(t) можно считать узко-
полосным.
Что следует в данном случае подразумевать под A(t), co0 и 0(0?
Непосредственно из выражения (3.72) трудно выявить структуру
огибающей и фазы результирующего колебания a(t). Используем
поэтому выражения (3.60), (3.61). Сопряженная функция
ax(t) = Аг sin (uxt + A2 sin co2£.
Применяя формулу (3.60), находим огибающую сигнала a(t)
A(t) = ^(Ajcos (Dj* + A2cos (D2£)2 + (Ajsin w^ + A2sin co2t)2 =
= AlJl+k2 + 2&COS АШ , (3.74)
где k = A2/A1; Aco = co2 - wlf причем для определенности считает-
ся, что к < 1 и Асо > 0.
Для сокращения выкладок положим начальные фазы в 0Х = 02 = 0.

140
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Полную фазу суммарного колебания находим по формуле
(3.61):
a At) sin шЛ + /esin co2£
\|/(0 = arctg -V-т = arctg ——г =- . (3.75)
YV ' & a(t) ъ cos (a1t + kcos (o2t
Применяя далее формулу (3.70), после несложных алгебраи-
ческих и тригонометрических преобразований приходим к сле-
дующему выражению для мгновенной частоты:
/*\ . a i k + COS ДСО* . А ,,ч
(0(0 = со1 + Acofe1 + /g2 + 2fecosAo)f = со1 + АсоЛ(0, (3.76)
,v ' 1 + k2 + 2fccos A(D*
Так как постоянная составляющая функции r\(t) равна нулю,
то входящие в выражение (3.71) средняя частота 0)0 и функция
6(0 будут
<О0 = (йх, (3.78)
t
0(0 = Асо J r|(jc) dx. (3.79)
о
Итак, на основании (3.74), (3.76) и (3.78), (3.79) выражение
(3.73) приводится к виду
а(0 = Ах л/l + &2 + 2Ajcos Аш£ cos o)x£ + Aw J r|(x) dx , (3.80)
о
где т|(0 определяется выражением (3.77).
При этом исключаются произвол и неопределенность в выборе
огибающей и фазы суммарного колебания.
Графики функции Г|(0, характеризующие изменение частоты,
приведены на рис. 3.24 для некоторых значений k.
При Л « 1, т. е. при наложении слабого колебания А2 cos о)2£
на сильное Ах cos 0)^, выражения (3.74)—(3.77) значительно уп-
рощаются:
А(0 ~ А(1 + k cos AcoO, 0)0 = 0)!,
0)(0 ~ 0)х + k Aw cos Ао)£, \|/(0 ~ 0)^ + /г sin Аш£. (3.81)
В этом случае огибающая, частота и фаза суммарного коле-
бания изменяются по гармоническому закону с частотой |Ао)| =
= |о)2 - 0)х| относительно своих средних значений соответствен-
но Av щ и 0)^.

3.1). Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала
141
Л
0,8
-210°\ -150°-90° -30°
0,4 f
k = 0,98 0,75 0,5 0,25
210° Асо(0
Рис. 3.24. Мгновенная частота колебания, являющегося
суммой двух гармонических колебаний
При k = 1 функция r\(t) в соответствии с (3.77) принимает по-
стоянное значение
л(0 =
1 + cos Acot
(3.82)
2(1 + cos АШ) 2
на всей оси времени, кроме точек A(dt = ±(л, Зл, ...), где r\(t) = оо.
Эти выбросы соответствуют производным скачкообразно изме-
няющейся фазы при переходах огибающей биения через нуль.
Таким образом, в интервалах между указанными моментами
частота суммарного колебания (д1 + Асо/2 = (а^ + со2)/2.
К этому результату можно прийти непосредственно из выра-
жения (3.72), которое при Ах = А2 подстановкой со2 = о0 + А(00,
Cflj = со0 ~ Аш0 легко приводится к виду
(0о - (Oi
0)2 + COj
2 1 2 1
a(t) = 2АХ 2 cos A(D0£ cos (o0t = 2AX 2 cos —~— t cos —9— *'
График колебания а(0 при & = 1 представлен на рис. 3.25.
Рис. 3.25. Сумма двух гармони-
ческих колебаний с близкими
частотами f1 и f2 при одинако-
вых амплитудах (k = 1)
Ts-l/ift-ft) T6=l/(/2-/,)
Н-—
a ■ 2А cosKl"
^л1,2 2

142
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Период функции cos Дсо0£ = cos 2л ~—* равен 2/(/2 - fx),
причем в точках перехода через нуль эта функция, как отмеча-
лось выше, меняет свой знак. Если не учитывать перемену знака,
(0)2 "СО!)
cos о t
т. е. определять огибающую амплитуд функцией
то период биений будет вдвое короче, как показано на рис. 3.25.
Поэтому частота биений равна f2 - fv
Формулы (3.74)—(3.82) имеют большое прикладное значение,
так как в физике и технике часто приходится иметь дело с би-
ениями двух гармонических колебаний.
3.10. Аналитический сигнал
В электротехнике при анализе воздействия гармонического
колебания (напряжение, ток) на линейную цепь его принято
представлять в форме
a(t) = А0 cos (co0* + 90) = А0 Re [e/((V + е°}] = Re [A0e/(0°'j (3.83)
или
a(t) = А0 sin (co0* + 60) = А0 Im [е/(0}°' + 9q)] = Im f A0eia>0'], (3.84)
где А0 = A0el ° — комплексная амплитуда.
Часто символ Re или Im опускают и пишут просто
а(0=А0е/((0о' + ео) = А0е,шо',
подразумевая действительную или мнимую часть этого выражения.
Такое представление позволяет использовать преимущества
методов теории функций комплексной переменной с последую-
щим возвратом в конце анализа к тригонометрической форме пу-
тем отбрасывания мнимой части.
В современной радиотехнике представление колебаний в комп-
лексной форме распространено на негармонические колебания.
Если задан физический сигнал в виде действительной функ-
ции a(t), то соответствующий ему комплексный сигнал представ-
ляется в форме
za(t) = a(t) + iax(t)9 (3.85)
где ax(t) — функция, сопряженная по Гильберту сигналу a(t).
Заметим, что и в выражении (3.84) мнимая часть комплексной
функции является функцией, сопряженной по Гильберту действи-
тельной части.

3.10. Аналитический сигнал
143
Главная особенность опреде-
ленного таким образом комплекс-
ного сигнала заключается в том,
что его спектральная плотность
Za(co) = Sa(co) + iSfli(a>) (3.86)
содержит только положитель-
ные частоты. Действительно, со-
гласно (3.68), (3.69) при со > 0
Sal(o) = -/Sa(co), а при со < 0
Sal(co) = iSe(a>).
Следовательно,
s„<
; s0(co)
^
/ ' ч
я 1 к
' Z„(w) = 2Sa(co)
s.(«) /;\
f|\
J ! V
-con
0
(0n
CO
Рис. 3.26. Соотношение между спект-
рами физического и аналитического
сигналов
Zfl(co)
(3.87)
2Sa(co) при со > 0,
0 при со < 0.
Так, если узкополосному сигналу a(t) соответствует спект-
ральная плотность Sa(co), модуль которой изображен на рис. 3.26
штриховой линией, то сигналу za(t) = a(t) + iax(t) соответствует
спектральная плотность Za(w), модуль которой изображен на том
же рисунке сплошной линией.
Интеграл Фурье для сигнала za(t) принимает следующий вид:
1 оо - оо
za(t) = ^ J Za(co)eto< dco = ± j 2Sa((0)e'°" dm, (3.88)
0 0
где Sa(co) — спектральная плотность исходного (физического)
сигнала a(t).
Комплексный сигнал, определяемый выражениями (3.85) и
(3.86), называется аналитическим сигнало м1.
Смысл термина «аналитический сигнал» заключается в том, что при переходе
к переменной t = x + iy функция za(t) = za(x + iy)> определяемая в соответствии
оо
с (3.88) интегралом к- J 2Sa(co)e_a^ e/CDX dco является аналитической функцией
о
для каждого у > 0. Для доказательства определим энергию сигнала za(x + iy) с
помощью равенства Парсеваля
оо
Эг=±\ [2Sa(co)e^]2dco<23a.
о
Как видим, множитель е~2шу обеспечивает сходимость интеграла при любом у > 0,
поскольку со > 0. В случае же действительного сигнала a(t) переход к а(х + iy)
приводит к бесконечному возрастанию множителя е~2(0у в области со < 0. Иными
словами, аналитичность сигнала обусловлена тем, что в области со < 0 спект-
ральная плотность функции za{t) равна нулю.

144
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Пусть задан физический сигнал
a(t) =A(t) cos [со0* + 6(0] =A(t) cos \\f(t)
и требуется определить соответствующий ему аналитический
сигнал za(t). Исходя из общего выражения (3.62) для сопряжен-
ной функции ах(0 можно написать
/*\ л/±\ /±\ i 7 A(t)cos \i/(t) ,.
a(t) =A(t) cos \|/(0 - - J \ _ fyK dt.
Точное определение ax(t) при сложной функции А(х) cos \j/(x)
является трудной задачей, которую можно обойти, если исход-
ный сигнал a(t) является достаточно узкополосным процессом.
Можно показать, что в этом случае
дх(0 = A(t) sin \\f(t) =A(t) sin [a>0t + 9(0 + 90].
Таким образом, аналитический сигнал можно записать в сле-
дующем виде:
za(0=A(0e'W>=A(0el
А(0е'
(3.89)
где
A(t)=A(t)emt) + »<>]
(3.90)
представляет собой комплексную огибающую узкополосного сиг-
нала.
Соотношения между A(t), a(t) и ax(t) иллюстрируются вектор-
ной диаграммой на рис. 3.27. Модуль комплексной огибающей,
равный A(t) [поскольку |е ° | = 1 при любом законе измене-
ния 0(0], содержит информацию только об амплитудной моду-
ляции колебания, а фазовый множитель eW) — только об угло-
вой модуляции. В целом же произведение
A(t)eiQM содержит полную информацию о
сигнале a(t) (за исключением несущей час-
тоты со0, которая предполагается извест-
ной).
Это свойство комплексной огибающей, по-
зволяющее при анализе узкополосных сигна-
лов исключить из рассмотрения частоту со0,
придает важное значение понятию «аналити-
ческий сигнал».
«iW
0 a(t) х
Рис. 3.27. Соотношение
между амплитудой ана-
литического сигнала и
функциями a(t)y ax{t)

3.10. Аналитический сигнал
145
Рассмотрим основные свойства аналитического сигнала и
комплексной огибающей.
1. Произведение аналитического сигнала za(t) на сопряжен-
ный ему сигнал z*a(t) равно квадрату огибающей исходного (фи-
зического) сигнала a(t).
Действительно,
za(t)z*(t) = [a(t) + iax(t)\[a(t) - iax(t)] = a2(t) + af(t)=A2(t). (3.91)
Таким образом, модуль аналитического сигнала za(t) равен
просто огибающей сигнала A(t).
2. Спектральная плотность комплексной огибающей A(t)
совпадает со смещенной на со0 влево спектральной плотностью
аналитического сигнала za(t).
Основываясь на общей формуле (2.48), можно написать
Ze(<o) = Г га№ш dt-
шп*
Подставляя в это выражение z At) = A(t)e ° , получаем
Z(co) = \ A(t)e
-/(CD
dt = SA(co - co0), со > 0.
(3.92)
Это соотношение является обобщением формулы (2.58) на слу-
чай комплексной функции времени A(t), умножаемой на е1(0°
(вместо cos со0£ в § 2.7, п. 3). Выражение (3.9), выведенное для ве-
щественной огибающей A(t) (при чис-
то амплитудной модуляции), является
частным случаем общего выражения
(3.92).
Введя обозначение со - со0 = Q, пере-
пишем (3.92) в несколько иной форме
Za(co0 + Q) = SA(Q) = 2Sa(o)0 + Q) (3.93)
[см. (3.87)].
Соотношение между спектрами SA(Q)
и Za(co0 + Q) иллюстрирует рис. 3.28.
Особо следует отметить, что спектр ° °
SA(Q) комплексной огибающей A(t) не Рис- 3.28. Соотношение меж-
^ ду спектрами комплексной
обязательно симметричен относитель- огибающей и аНалитическс-
но нулевой частоты (см. рис. 3.28). Ее- го сигнала

146
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ли спектр Sa(co) физического колебания a(t) несимметричен отно-
сительно со = со0, как это может иметь место, например, при амп-
литудно-угловой модуляции (см. § 3.8), то и функция Za(co) =
= 2Sa(co), со > 0, несимметрична: после сдвига Za(co) на величину
со0 влево спектр комплексной огибающей SA(Q) будет несиммет-
ричен относительно частоты Q. = 0. В любом случае функция
SA(Q) отлична от нуля в области частот О. < 0. Следовательно,
комплексная функция A(t) не является аналитическим сигна-
лом. Это объясняется тем, что действительная и мнимая части
A(t) не являются функциями, сопряженными по Гильберту.
3. Корреляционная функция аналитического сигнала, опреде-
ляемая общим выражением
со
£2(Т)« J Za(t)z*a{t + X)dt, (3.94)
— оо
является комплексной функцией.
Действительно, выразив В2(х) через модуль спектральной
плотности сигнала Sa(co) с помощью выражения вида (2.136), по-
лучим
-J CO .J ОО
В2(х) =ъ\Ч(a>)eiundo = 4J- J Sf(co)e^dco =
0 0
1 oo - oo
= 42я 1 S£ (a>) cos cor da> + i4 g- J S^ (со) sin cox dco. (3.95)
о о
Действительная часть этого выражения есть не что иное, как
удвоенная корреляционная функция исходного физического ко-
лебания a(t), т. е. 2Ва(х), а мнимая часть учитывает взаимную
корреляцию колебаний a(t) и ах{Ь).
Для раскрытия смысла мнимой части выражения (3.95) вер-
немся к общему определению корреляционной функции (3.94) и
запишем ее в форме
со
В2(х) = \ [a(t) + 1аг(г)][а^ + х) - iax(t + x)] dt =
—со
ОО СО
= j a(t)a(t + x)dt+ j аг(г)аг(г + x)dt +
-oo —oo
oo oo
+ i\\ ax(t)a(t + x)dt- j a(t)ax(t + x) dt =
'--oo -oo -*
= Be(x) + В (т) + J[B (x) - Ba0j (x)]. (3.95')

3.10. Аналитический сигнал
147
В § 2.19 было установлено, что корреляционная функция дей-
ствительного сигнала зависит только от модуля спектральной
плотности. Так как модули спектров функций a(t) и ах(£) оди-
наковы (см. § 3.9), то первые два интеграла в (3.95') равны и
в сумме дают 2Ва(х). Следовательно, мнимые части в выражени-
ях (3.95), (3.95') совпадают и можно написать следующее равен-
ство:
-I °°
Вв1а(Т) -Ваа^) = % \ S* <<0) sin (DT d(D.
Но в соответствии с (2.137) Ваа (х) = Ва а(-х), так что левую
часть можно записать в форме Ва а(х) ~ Ва а(-х). Далее, правая
часть, содержащая под интегралом множитель sin ore, является
нечетной функцией т, откуда следует, что и разность Ва (т) -
- Баа (т) является нечетной функцией. Это возможно только
при нечетности функции Ва (т). Таким образом, приходим к ра-
венству В (т) _ Ваа (т) = 2В (т) и соответственно к соотно-
шению
j ОО
Ва,«С0 =22i/ S|(0>)sinOKdX.
1 Q
Формулу (3.95') теперь можно представить в виде
В2(х) = 2Ба(т) + i2Baia(x). (3.96)
Итак, Re [Б2(т)] = 2£а(т), откуда вытекает полезное соотношение
между корреляционной функцией Ва(х) исходного действитель-
ного сигнала и корреляционной функцией В2(х) аналитического
сигнала
Ва(х) = \ Re [В2(х)]. (3.97)
4. Корреляционные функции аналитического сигнала и
комплексной огибающей этого сигнала связаны между собой со-
отношением
В2(х)=е-ш°*ВА(х). (3.98)

148
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Действительно, подставив в (3.94) za(t) = A(t)ell°0 и z*(t) =
= А*(£)е iC0° , получим важное соотношение
В2(х) = e~i(*ot J A(t)A*(t + x) dt9 (3.99)
-оо
в котором интеграл есть корреляционная функция комплексной
огибающей A(t). Поэтому выражение (3.97) можно записать в
форме
Ва(х)= \ Пе[е'^вА(х)]= \ Re[e~/a)°' J A(t)X\t + т) dt\
-оо
(3.97')
В частности, при т = 0 получаем
Во(0) = \ \ A\t) dt=\ Вг(0). (3.100)
— (X)
Из этого выражения видно, что, поскольку Ва(0) = Э, энергия
аналитического сигнала равна удвоенной энергии исходного
действительного сигнала.
Следует указать, что применение понятия энергии к комп-
лексной функции имеет не только формальный смысл. В гл. 13
будет показано, что в некоторых устройствах обработки сигналов
приходится иметь дело с совокупностью двух функций времени,
сопряженных по Гильберту, т. е. с аналитическим сигналом как
с физическим процессом.
Формирование аналитического сигнала можно пояснить на
простой модели, показанной на рис. 3.29. Исходный сигнал a(t) =
= A(t) cos [co0£ + 6(t)] подается на выход непосредственно по пря-
мому каналу и через фазосдвигающее устройство, обеспечиваю-
щее сдвиг на -90° для всех спектральных составляющих узко-
полосного сигнала a(t). В результате такого сдвига получается
колебание A(t) cos [co0 + Q(t) - 90°] =
ajt) a(t)^ 1 = A(t) Sin [(Q0t + 9(f)] = (^i(t), СОПря-
I I z женное по Гильберту функции a(t).
' >|ф- -90° 1 » | " Следовательно, совокупность a(t) и
a^t) J a>i(t), действующую на выходе, мож-
Рис. 3.29. Формирование ана- н0 трактовать как аналитический
литического сигнала, соответ- Сигнал
ствующего заданному вещест-
венному сигналу a(t) 2a(t) = А^е^е"*0' = А(0е"°0'.

3.11. Корреляционная функция модулированного колебания
149
В последующих главах будут даны примеры применения по-
нятия «аналитический сигнал» как для упрощения анализа про-
хождения через радиоцепи сигналов действительных, так и для
описания совокупности двух квадратурных сигналов.
3.11. Корреляционная функция модулированного колебания
При нахождении корреляционной функции модулированного
колебания a(t) = A(t) cos \\f(t) будем исходить из условия абсолют-
ной интегрируемости функции a(t) (сигнал с конечной энергией),
что позволяет применять определение (см. § 2.18)
(X)
Ва(х) = \ a(t)a(t + x)dt. (3.101)
Вычисление интеграла для сложных сигналов требует гро-
моздких выкладок. Задача существенно упрощается при перехо-
де от колебания a(t) к аналитическому сигналу za(t) = A(t)el™° .
Основываясь на соотношениях, выведенных в предыдущем па-
раграфе, рассмотрим сначала чисто амплитудную модуляцию,
когда a(t) = A(t) cos 0)0£, 0(0 = 0 и, следовательно, A(t) = A*(t) =
= A(t).
Тогда формула (3.97') принимает вид
Ва(х) = \ Re [e"'0'0' J A(t)A(t + x) dt] =
<Х>
1 СХ)
= 2 cos (00т \ A(t)A(t + т) dt. (3.102)
- оо
Обозначив, как и в выражении (3.97'), интегральный множи-
тель через Ва(т), окончательно получим
Ва(х) = BA(x)0/2 cos со0т). (3.103)
Второй множитель С/2 cos со0т) есть корреляционная функция
гармонического колебания с частотой со0 и единичной амплиту-
дой.
Итак, корреляционная функция амплитудно-модулированно-
го радиосигнала равна произведению корреляционных функций
огибающей и высокочастотного заполнения.

150
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В качестве примера на рис. 3.30, а показан радиоимпульс с
прямоугольной огибающей, а на рис. 3.30, б — соответствующая
этому импульсу корреляционная функция. Следует отметить,
что эта функция не зависит от начальной фазы заполнения ра-
диоимпульса, а ее огибающая совпадает с корреляционной функ-
цией прямоугольного видеоимпульса (см. § 2.18, рис. 2.36, г).
Для иллюстрации применения общего выражения (3.99) к
амплитудно-частотной модуляции найдем корреляционную функ-
цию импульса, изображенного на рис. 3.19, а.
При обозначениях формулы (3.37) и рис. 3.19 аналитический
сигнал запишется в виде
za(t) = A0e^t2/2e^\ TJ2 < t < TJ2.
Применяя формулы (3.94) и (3.97'), получаем
(3.104)
Т,/2 - т
Ва(х) = ^ Re ' J ei|u,o' + Р'2/21 е"''"0»" ' т) f Р(М х) /21 dt. (3.105)
- Т../2
Пределы интегрирования взяты с учетом условия одновременно-
го существования функций a(t) и a(t + т) (рис. 3.31).
С помощью несложных преобразований выражение (3.105)
приводится к виду
ВЛх)
A^sin I
РТС РТ2>
~W
при |т| < -£ ,
при |т| > TJ2.
(3.106)
- -1
ai
_
Wr. to
/
т к 71 / 1 11 /
б)
- ,
л
1\
р .
-
ЛЛД/
/V.vv •
Iе
1 / \ "fV- '
1/3* \т}
Рис. 3.30. Импульс с высокочастот-
ным заполнением (а) и корреляци-
онная функция (б)
(ll
Я~УУ Л 7
Ircl \/ 1/0
Л"/Ш
т - У. -u i/J
»
Vи 1/1/1/1 г<■'
J J/ U У f, 2
Ш) ■
[Иш-.-
Рис. 3.31. К построению корреля-
ционной функции ЛЧМ-импульса

3.11. Корреляционная функция модулированного колебания
151
Используя введенный в § 3.7 параметр т [см. (3.38)] и учиты-
вая, что РТ^ = 2(0^ = 2кт, приводим выражение (3.106) к более
общему виду
sin 7tm5=-(l ~ 7fr)\
Ва(х) = ^ А § Тс — cos о)0т.
ЛАПТ
~7\Г
(3.106')
Множитель V2^o^c = Ва(0) = ^ равен полной энергии рассмат-
риваемого радиоимпульса (как и при импульсе с постоянной час-
тотой заполнения, см. рис. 3.30, б).
Таким образом,
В.(т) Ви(х) ^[ТГ!1-^)]
В„(0)
ктх
~7\7
COS (00Х.
(3.107)
График этой функции построен на рис. 3.32 для параметра
т = 100 в предположении, что w0Tc очень велико (масштаб вы-
ва{х)/э.
1,0
Рис. 3.32. Корреляционная функция ЛЧМ-импульса

152
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
бран произвольно). Огибающая корреляционной функции обра-
зует весьма острый пик (при т ^> 1), а частота заполнения посто-
янна и равна центральной частоте со0 исходного радиоимпульса.
Рассмотренный здесь сигнал с большой базой т и его корреля-
ционная функция представляют большой практический интерес
для современной радиотехники.
3.12. Дискретизация узкополосного сигнала
Пусть задан сигнал
a(t) = A(t) cos \\f(t) = A(t) cos [(O0t + 9(0],
(3.108)
спектр которого заключен в узкой полосе частот от C0j до со2 так,
что модуль спектральной плотности Sa(co) имеет вид, представ-
ленный на рис. 3.33, а, причем в пределах полосы Асо0 спектр не
обязательно симметричен относительно центральной частоты
о)0 = (cDj + 0)2)/2. Под узкополосностью сигнала подразумевается
условие А(00/со0 = Af0/f0 <£ 1, где Af0 = До)0/(2я) = /2 - fx — полоса
частот, Гц.
Предполагается, что функция A(t) является простейшей оги-
бающей, т. е. что A(t) и \|/(0 отвечают соотношениям (3.60) и (3.61).
Если при дискретизации подобного сигнала исходить из ряда
(2.114), то интервал между выборками должен быть не больше
чем 1/(2/2), гДе ^2 — наивысшая частота в спектре сигнала. Неце-
лесообразность такого подхода очевидна, так как информация о
а)
Sa(«>)
б)
Sk
Sa«*)
Дшп
Ф0«2) = 2/Af0
AtOp
~~2~
2
Q
Рис. 3.33. Спектр узкополосного радиосигнала (а) и комплексной огибающей это-
го сигнала (б)

3.12. Дискретизация узкополосного сигнала
153
сигнале заложена не в частоту /2 (или /\), а в огибающую A(t) или
в фазу 6(£), которые изменяются во времени медленно с относи-
тельно низкими частотами модуляции. Желательно поэтому так
преобразовать выражение (2.114), чтобы интервалы между вы-
борками определялись фактической шириной спектра, т. е. вели-
чиной A/q, а не верхней частотой /2.
Для этого перейдем к аналитическому сигналу, соответствую-
щему заданной функции a(t):
za(t) = A(t )eW = A(t)eiQMei(*ot = A(t)ei(*0\ (3.109)
где комплексная огибающая A(t) = A(t)eiQW представляет собой
низкочастотную функцию, спектр которой SA(£2) примыкает к
нулевой частоте (рис. 3.33, б). Разложим комплексную функцию
A(t) =A(t)eieW по ортогональной системе
оо
А(0= Z с„ф„(0, (злю)
где базисная функция ФЛ(*) определяется выражением (2.115).
Подставив этот ряд в (3.109), получим
*«(*> = [ I ^«MOV"0' , (ЗЛИ)
после чего исходное колебание a(t) определим как действитель-
ную часть функции za(t):
a(t) = Re |[я f ^ слфл(о]е/100' J. (3.112)
Как видим, задача дискретизации высокочастотного колеба-
ния свелась к задаче дискретизации комплексной огибающей
А(0- При определении наибольшего допустимого интервала меж-
ду выборками в разложении (3.110) необходимо исходить из на-
ивысшей частоты в спектре функции A(t). Из определения ш0 как
средней частоты в полосе Асо0 очевидно, что эта частота, отсчиты-
ваемая от Q = 0, равна Асо0/2 или в герцах А/0/2. Следовательно,
интервал между выборками не должен превышать
At = 1/(2 Af0/2)=1/Af0, (3.113)
а функция Фл(0 должна иметь вид
sin (До)0/2)(* - nAt) sin nAf0(t - nAt)
*&"№ = (A(D0/2)(t - nAt) = nAf0(t - nAt) ' (3.114)

154
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
От аналогичной функции, использованной в § 2.15, <pn(t) отли-
чается только заменой (Dm на Лсо0/2. Следовательно, спектральная
плотность Ф(С1) функции %(t) равна 2л/Асо0 = 1/Д/0 в полосе частот
|Q| < А(00/2 (рис. 3.32), а спектральная плотность функции флМ
Ф»<°Н , , Дсоо (3115)
[ 0 при |Q| > -^.
Квадрат нормы функции фл(£) по аналогии с выражением,
приведенным на с. 88,
||фл||2 = я/0,5 Асо0 = 1/А/0. (3.116)
Далее по формуле (2.9) с учетом (3.116)
-. ОО СЮ
°п=ш2 L Mt)(Pn{t) dt=А/° J А(')ф"(оdu (зл17>
Используя формулу (2.63), в которой заменяем со на Q1, полу-
чаем
Ао)()/2
* "Ла>0/2
А(о()/2
= А/0^- J SA(Q)-^-e/,lA'"rfn = A(/iAO=A(/iAOeie(,lAe). (3.118)
В выражении (3.118) SA — спектр комплексной огибающей А(£),
а А(я At) — ее значение в отсчетной точке t = n At.
Итак, коэффициенты ряда (3.110) являются выборками функ-
ции А(0> взятыми через интервалы At = 1/Af0.
Подставляя (3.118) в (3.111), получаем
*„(*)= I А(яД^)фп(ОеМШо' + е(лЛ01
Л = -оо
и по формуле (3.112) определяем
ОО
a(t) = £ А(п Д*)фл(0 cos [ш0* + в(/г АО] =
П = -оо
оо sin nAfnit - nAt)
- я Zro A(n АО яА/о(,_дАО cos [со0* + 6(n ДО]. (3.119)
1 Поскольку здесь рассматривается спектр огибающей.

3.12. Дискретизация узкополосного сигнала
155
При заданной длительности сигнала Тс число отсчетных точек
Tc/At = Тс A/q, причем в каждой точке должны быть заданы два
параметра: А(п At) и 9(n At).
Следует иметь в виду, что при несимметричном (в полосе А(00)
спектре введенная в данном параграфе частота со0 = ((Oj + w2)/2
может не совпадать со «средней частотой» в выражении (3.73).
Иными словами, фаза d(t) может содержать слагаемое, линейно
зависящее от времени.
Проиллюстрируем выражение (3.119) на примерах колебания,
промодулированного по амплитуде или по частоте.
При AM исходим из колебания a(t) = A(t) cos (D0£, в котором
A(t) — вещественная функция со спектром S^((o), ограниченным
наивысшей частотой Qm = 2nFm. В этом случае ширина спектра
модулированного колебания a(t) равна А/ам = 2Fm, причем в пре-
делах этой полосы спектральная плотность Sa(co) симметрич-
на относительно со0. Интервал между выборками в соответствии
с формулой (3.113) должен быть не больше чем At = 1/А/ам =
= l/(2Fm), т. е. таким же, как и при дискретизации исходного со-
общения (модулирующего напряжения).
Так как фаза высокочастотного заполнения при чисто ампли-
тудной модуляции постоянна, то передавать ее нет необходимос-
ти. Отсюда вытекает очевидный результат: амплитудно-модули-
рованное колебание вполне определяется значениями своих
амплитуду взятыми через интервал l/(2Fm), где Fm — верхняя
частота в спектре модулирующей функции (т. е. в спектре пе-
редаваемого сообщения).
Иными словами, при чисто амплитудной модуляции число
степеней свободы модулированного колебания такое же, как и
число степеней свободы модулирующей функции.
Рассмотрим теперь частотно-модулированное колебание
a(t) = A0 cos [o)0£ + 9(f)],
когда мгновенная частота со(0 = со0 + dB/dt модулирована тем же
сообщением, что и в предыдущем случае, причем максимальная
девиация частоты /д велика по сравнению с Fm, так что ширину
А/чм полосы частот модулированного колебания можно прирав-
нять к 2/д [см. случай «широкополосной» частотной модуляции,
(3.34)]. Интервал между выборками должен быть взят At < l/Af4M =
= l/(2fp). Так как при ЧМ амплитуда колебания неизменна, то

156 Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
передавать ее нет необходимости. Следовательно, для однознач-
ного представления частотно-модулированного колебания доста-
точно задавать фазу 0(/г At) этого колебания в отсчетных точках,
отстоящих одна от другой на время At < 1/(2/д). При одной и той
же длительности сообщения Тс число выборок фазы при ЧМ
Д/ЧМТС = 2/дТс, а число выборок огибающей при AM AfaMTc =
= 2FmTc. Отсюда видно, что при одинаковом передаваемом сообще-
нии (при одинаковом количестве информации) частотно-модулиро-
ванный сигнал обладает числом степеней свободы в fJFm = m раз
большим, чем амплитудно-модулированный. Это является резуль-
татом расширения спектра сигнала при ЧМ. На приемной стороне
канала связи после частотного детектирования модулированного
колебания выделяется напряжение, которое имеет спектр и число
степеней свободы такие же, как и исходное сообщение.
Из приведенного примера следует, что при одной и той же ши-
рине спектра информационная емкость радиосигнала различна в
зависимости от вида модуляции.
При смешанной модуляции — амплитудной и угловой — в
каждой отсчетной точке нужно брать две выборки: амплитуды и
фазы.
Глава 4
Основные характеристики случайных процессов
4.1. Общие определения
Информация, передаваемая по каналу связи или извлекаемая
в результате измерения, заключена в сигнале.
До приема сообщения (до испытания) сигнал следует рассмат-
ривать как случайный процесс, представляющий собой совокуп-
ность (ансамбль) функций времени, подчиняющихся некоторой
общей для них статистической закономерности. Одна из этих
функций, ставшая полностью известной после приема сообще-
ния, называется реализацией случайного процесса. Эта ре-
ализация является уже не случайной, а детерминированной
функцией времени.

4.1. Общие определения
157
Важной, но не исчерпывающей характеристикой случайного
процесса является присущий ему одномерный закон распределе-
ния вероятностей.
На рис. 4.1 изображена совокупность функций xx(t), x2(t), ...,
образующих случайный процесс X(t). Значения, которые могут
принимать отдельные функции в момент времени t = tx, образуют
совокупность случайных величин xx(t), x2{t), ....
Вероятность того, что величина xk(tx) при измерении попадает
в какой-либо заданный интервал (а, Ь) (рис. 4.1), определяется
выражением
Pt (а < х < Ь) = $ р(х; tx) dx.
(4.1)
Функция р(х; tx) представляет собой дифференциальный за-
кон распределения случайной величины x(tA)\ p(x; tx) называется
одномерной плотностью вероятности, аР/ — интегральной веро-
ятностью.
Функция р(х; tx) имеет смысл для случайных х непрерывного
типа, могущих принимать любое значение в некотором интерва-
ла,)
^лЛАл>'
*-**-
-Нг-
Рис. 4.1. Совокупность функций, образующих случайный процесс

158 Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
ле. При любом характере функции р(х; tx) должно выполняться
равенство
jfmnx
J p(x; tx)dx= 1, (4.2)
х1ПШ
где xmin и хтах — границы возможных значений лг(^).
Если же х является случайной величиной дискретного типа и
может принимать любое из конечного числа дискретных значе-
ний, то (4.2) следует заменить суммой
ЕЛ=1. (4.20
i
где Pt — вероятность, соответствующая величине хг
Задание одномерной плотности вероятности р(х; tx) позволяет
произвести статистическое усреднение как самой величины ху так
и любой функции f(x). Под статистическим усреднением подразу-
мевается усреднение х по множеству (по ансамблю) в каком-либо
«сечении» процесса, т. е. в фиксированный момент времени.
Для практических приложений наибольшее значение имеют
следующие параметры случайного процесса:
математическое ожидание
оо
mx(t) = M[x(t)] = J xp(x; t) dx; (4.3)
— оо
дисперсия
Dx(t) = M{[x(t) - mx(t)]2}; (4.4)
среднее квадратическое отклонение
ox(t) = jM{[x(t)-mx(t)]2} = jDx(t). (4.5)
Одномерная плотность вероятности недостаточна для полно-
го описания процесса, так как она дает вероятностное пред-
ставление о случайном процессе X(t) только в отдельные фик-
сированные моменты времени. Более полной характеристикой
является двумерная плотность вероятности1 р(хх, х2\ tv t2)9 no-
Здесь и в дальнейшем одной и той же буквой р обозначаются плотности веро-
ятности различных случайных функций. В некоторых разделах, если это не-
обходимо для устранения путаницы, будут применяться индексы, уточняю-
щие параметр, к которому относится данное распределение. Например, при
рассмотрении случайного процесса x(t) *= A(t) cos 0(0 будут применяться обо-
значения рх(х), РА(х) ире(6).

4.1. Общие определения
159
зволяющая учитывать связь значений хх и х2, принимаемых слу-
чайной функцией в произвольно выбранные моменты времени
Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного
процесса является л-мерная плотность вероятности при достаточ-
но больших п. Однако большое число задач, связанных с описа-
нием случайных сигналов, удается решать на основе двумерной
плотности вероятности.
Задание двумерной плотности вероятности p(xl9 x2; tx> t2) по-
зволяет, в частности, определить важную характеристику слу-
чайного процесса — ковариационную функцию
Kx(tvt2) = M[x(t1)x(t2)]. (4.6)
Согласно этому определению ковариационная функция слу-
чайного процесса X(t) представляет собой статистически усред-
ненное произведение значений случайной функции X(t) в момен-
ты tx и t2.
Для каждой реализации случайного процесса произведение
x(tx)x(t2) является некоторым числом. Совокупность реализации
образует множество случайных чисел, распределение которых ха-
рактеризуется двумерной плотностью вероятности p(xv x2; tv t2).
При заданной функции р(х19 х2; tx, t2) операция усреднения по
множеству осуществляется по формуле
оо оо
Kx(fV *2> = J J *1*2Р(*1» х2> *1> *2> dxl dx2' (4-7>
-оо-оо
При t2 = tг двумерная случайная величина ххх2 вырождается в
одномерную величину х\ = х\. Можно поэтому написать
оо
Kxih> h) = J х\р(хц tx) dxx = М[х2Ш (4.Г)
-оо
Таким образом, при нулевом интервале между моментами вре-
мени tx и t2 ковариационная функция определяет величину сред-
него квадрата случайного процесса в момент t = tx.
При анализе случайных процессов часто основной интерес
представляет его флуктуационная составляющая. В таких случа-
ях применяется корреляционная функция
Rx(tv t2) = M{[x(tx) - mx(txy\[x(t2) - mx(t2)]}. (4.8)

160 Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Подставляя в (4.7) x(tx) - mx(tt) вместо x(tx) и x(t2) - rnx(t2)
вместо x(t2)9 можно получить следующее выражение:
Rx(tv t2) = Kx(tv t2) - mx(tx)mx(t2).
При tx = t2 = t выражение (4.8) в соответствии с (4.4) определя-
ет дисперсию случайного процесса Dx(t). Следовательно,
Kx(t,t)-mxV) = RxV,t) = Dx(t).
Исследование случайного процесса, а также воздействия его на
радиоцепи существенно упрощается при стационарности процесса.
Случайный процесс называется строго стационар-
ным, если его плотность вероятностир(хх, х2, ..., хп; tx, t2> ..., tn)
произвольного порядка п зависит только от интервалов t2 - tx, ts -
- tx, ..., £n - £x и не зависит от положения этих интервалов в облас-
ти изменения аргумента t.
В радиотехнических приложениях теории случайных процес-
сов условие стационарности обычно ограничивается требованием
независимости от времени только одномерной и двумерной плот-
ностей вероятности (случайный процесс, стационарный в широ-
ком смысле). Выполнение этого условия позволяет считать, что
математическое ожидание, средний квадрат и дисперсия случай-
ного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция
зависит не от самих моментов времени tx и t2, а только от интер-
вала между ними т = t2 - tx.
Стационарность процесса в широком смысле можно тракто-
вать как стационарность в рамках корреляционной теории (для
моментов не выше второго порядка).
Таким образом, для случайного процесса, стационарного в ши-
роком смысле, предыдущие выражения можно записывать без
обозначения фиксированных моментов времени. В частности,
сю
тх = М(х) = j xp(x) dxy (4.9)
—оо
КХ(Х) = M[x(t)X(t + Т)], (4.10)
Rx(x) = Kx(x)- ml, (4.U)
Dx - Кх(0) - ml = ЛДО) = о», . (4.12)
ox=jKx(0)-mx.
(4.13)

4.1. Общие определения
161
Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов достига-
ется при использовании условия эргодичности процесса.
Стационарный случайный процесс называется эргодическим, ес-
ли при определении любых статистических характеристик усред-
нение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по
времени одной теоретически бесконечно длинной реализации.
Условие эргодичности случайного процесса включает в себя и
условие его стационарности. В соответствии с определением эрго-
дического процесса соотношения (4.10)—(4.13) эквивалентны
следующим выражениям, в которых операция усреднения по
времени обозначена чертой:
x(t) = lim i f x(t)dt9 (4.14)
T * °° T J/2
T/2
KJx)= lim тр f x(t)x(t + x) dt, (4.15)
T-°°T~T/2
Rx(x) = Kx(x)-(xJf))\ (4.16)
Dx = Kx(0) - (xjf))2 = G2X , (4.17)
<5X = JKX(0) ~ (x(t)f . (4.18)
Если x(t) представляет собой электрический процесс (ток, на-
пряжение), то x(t) — постоянная составляющая случайного про-
цесса, Rx(0) = x2(t) — средняя мощность флуктуации процесса
[относительно постоянной составляющей x(t)].
Выражение (4.15) внешне совпадает с определением (2.131)
корреляционной функции детерминированного сигнала (пери-
одического).
Часто применяется нормированная корреляционная
функция
rx(x) = Rx(x)/Dx = [Кх(х) - (*)2 ]/Dx. (4.19)
Функции Кх(х)> Rx(x) и гх(х) характеризуют связь (корреля-
цию) между значениями x(t), разделенными промежутком т. Чем
медленнее, плавнее изменяется во времени x(t), тем больше про-
межуток х, в пределах которого наблюдается статистическая
связь между мгновенными значениями случайной функции.
6 И. Гопоровский

162 Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
При экспериментальном исследовании случайных процессов
используются временные корреляционные характеристики про-
цесса (4.15)—(4.19), поскольку, как правило, экспериментатору
доступно наблюдение одной реализации, а не множества реализа-
ций. Интегрирование выполняется, естественно, не в бесконеч-
ных пределах, а на конечном интервале Т, длина которого долж-
на быть тем больше, чем выше требование к точности результатов
измерения.
4.2. Виды случайных процессов. Примеры
Применение общих определений, приведенных в предыдущем
параграфе, иллюстрируется ниже на нескольких характерных
случайных процессах.
Наряду с обозначением случайного процесса символом X(t) бу-
дет применяться в том же смысле обозначение x(t), под которым
подразумевается случайная функция времени. Как и ранее, xk(t)
обозначает k-ю реализацию случайной функции x(t).
ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ АМПЛИТУДОЙ
Пусть в выражении, определяющем процесс,
x(t) = A cos (co0t + 80) = A cos \\f(t) (4.20)
частота со0 и начальная фаза 0О являются детерминированными и
постоянными величинами, а амплитуда А — случайная, равнове-
роятная в интервале от 0 до Атах величина (рис. 4.2).
Найдем одномерную плотность вероятности р(х; tx) для фикси-
рованного момента времени tv Мгновенное значение х^г) может
быть любым в интервале от 0 до Amax cos \|/(^2), причем будем счи-
тать, что cos \\f(tx) > 0. Следовательно,
р(х; tx) = 1/Amax cos \|/(^), 0 < х < Amax cos \\f(tx).
График функции р(х; tx) для фиксированного значения tx
представлен на рис. 4.3.
Математическое ожидание
I Anax COS Wi) J
MWM = Amaxcosy(tl) I * dx * 2 A-x cos ydi).

4.2. Виды случайных процессов. Примеры
163
VAnaxCOSWl)
"ТТ/
I f
Am«xC0SV(^l) *
tc. 4.3. Плотность вероятное -
гармонического колебания
случайной амплитудой
Далее,
. Amax cos V|/(^) 1
ЩХЧ^)] = Amaxcosy(fl) J *2 ^ " J A-x COS2 *«,).
Наконец, дисперсия
D^) = M[x2(^)] - [М[4^)]]2 = I А2ах cos2 м/(^) -
" \ ^max COS2 V(*l> = ^ Атах ™S2 l^,). (4.21)
Рассматриваемый случайный процесс нестационарный и не-
эргодический.
ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ ФАЗОЙ
Пусть амплитуда и частота гармонического сигнала заранее
достоверно известны, а начальная фаза 0 — случайная величина,
которая с одинаковой вероятностью может принимать любое зна-
чение в интервале от -я до я. Это означает, что плотность вероят-
ности начальной фазы
pQ(d) = 1/2я, ~Л< 0 < Я. (4.22)
Одну из реализаций случайного процесса x(t), образуемого со-
вокупностью гармонических колебаний со случайными фазами
(рис. 4.4), можно определить выражением
Xk(t) = COS (CD0£ + Qk) = COS \\fk(t). (4.23)
Полная фаза колебания \\f(t) = (D0t + 0 является случайной ве-
личиной, равновероятной в интервале от w0t - я до оо0£ + я. Следо-
вательно,
Ру/У) = 1/2Я, (00£ - Я < \|/ < 0)0£ + Я. (4.24)
Рис. 4.2. Совокупность гармонических колеба-
ний со случайной амплитудой

164 Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
'
А,
i
, х '
х\
^Л /
1 \У
\/ 0
/ ч
\ / о
\
'Л /^
0 \^у со0*
/ \
\^У <*о*
Рис. 4.4. Совокупность гармо-
нических колебаний со случай-
ными фазами
Найдем одномерную плотность вероятности рх(х) случайного
процесса X(t). Выделим интервал х> х + dx (рис. 4.5) и определим
вероятность того, что при измерении, проведенном в промежутке
времени от tx до tx + dt, мгновенное значение сигнала окажется в
интервале х> х + dx. Эту вероятность можно записать в виде
рх(х) dx, где рх(х) — искомая плотность вероятности. Очевидно,
что вероятность рх(х) dx совпадает с вероятностью попадания
случайной фазы колебаний в один из двух заштрихованных на
рис. 4.5 фазовых интервалов. Эта последняя вероятность равна
2/?¥(у) d\\f. Следовательно,
рх(х) dx = 2ру(\|/) d\\f = (2/271) d\|/,
откуда искомая функция1
, -1 < х < 1.
Рх(-
*) =
_ 1
к
\dx
=
sin
1
[3*1
dy
л
I = Jl - cos2 V|/ = 7l - *2
Таким образом, окончательно
/^(д:) = (1/я)л/1 " л:2, -1 < х < 1.
(4.25)
Абсолютное значение производной берется на том основании, что плотность
вероятности является неотрицательной величиной.

4.2. Виды случайных процессов. Примеры
165
ll
0
S^^jSf^^ ^ ~х + dx
J \\fl\\fl + d\\f \ ~y
Рис. 4.5. К определению плот-
ности вероятности гармониче-
ского колебания со случайной
фазой
1 1,5.
\ 1,0.
Чо^
1
I
-_У| ll/я
-1 о i f x
Рис. 4.6. Плотность ве-
роятности гармониче-
ского колебания со слу-
чайной фазой
График этой функции изображен на рис. 4.6.
Существенно, что одномерная плотность вероятности не зави-
сит от выбора момента времени t, а среднее по множеству (см.
(2.271.7) в [28])
1 1 1
M[x(t)] = ( хрх(х) dx=-\ dx = 0
-1 к 1 VI _ х2
(4.26)
совпадает со средним по времени
Т/2 Т/2
x(t) = lim 7r f x(t) dt = lim „ f cos (w0f -f 0) dt = 0.
1 -T/2 t -T/2
Это справедливо для любой реализации рассматриваемого слу-
чайного процесса.
Корреляционную функцию1 в данном случае можно получить
усреднением произведения x(tl)x(t2) по множеству без обращения
к двумерной плотности вероятности [см. общее выражение (4.6)].
Подставляя в (4.8)
x(tx)x{t2) = cos (со0£х + 9) cos (со0£2 + 0) =
= l/2 {cos ш0(*2 - *i) + cos [<o0(t1 + t2) + 20]},
а также учитывая, что первое слагаемое cos co0(£2 ~ ^i) является
детерминированной величиной, а второе слагаемое при статисти-
ческом усреднении с помощью одномерной плотности вероятнос-
ти ре(0) = 1/(2я) [см. (4.22)] обращается в нуль, получаем
Rx(tv t2) = M[x(tl)x(t2)] = l/2 COS C00X. (4.27)
1 Ковариационная функция рассматриваемого процесса совпадает с корреляци-
онной функцией, так как M[x(t)] = 0.

166 Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Такой же результат получается и при усреднении произведе-
ния xk(t)xk(t + т) по времени для любой реализации процесса.
Независимость среднего значения от tx и корреляционной
функции от положения интервала т = t2 ~ tx на оси времени по-
зволяет считать рассматриваемый процесс стационарным. Совпа-
дение же результатов усреднения по множеству и времени (для
любой реализации) указывает на эргодичность процесса. Анало-
гичным образом нетрудно показать, что гармоническое колеба-
ние со случайной амплитудой и случайной фазой образует стаци-
онарный, но не эргодический процесс (различные реализации об-
ладают неодинаковой дисперсией).
ГАУССОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС
Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных
величин чаще других встречается в природе. Нормальный про-
цесс особенно характерен для помех канала связи. Он очень удо-
бен для анализа. Поэтому случайные процессы, распределение
которых не слишком сильно отличается от нормального, часто
заменяют гауссовским процессом. Одномерная плотность вероят-
ности нормального процесса определяется выражением
р(х) =
л/2тс
7cav
ехр
Г (* - гох)21
L 2a2 J
(4.28)
В данном параграфе рассматривается стационарный и эргоди-
ческий гауссовский процесс. Поэтому под тпх и о| можно подра-
зумевать соответственно постоянную составляющую и среднюю
мощность флуктуационной составляющей одной (достаточно
длительной) реализации случайного процесса.
Графики плотности вероятности при нормальном законе для
некоторых значений сх изображены на рис. 4.7. Функция р(х)
Рис. 4.7. Одномерная плотность ве-
роятности нормального распределе-
ния

4.2. Виды случайных процессов. Примеры
167
симметрична относительно среднего значения. Чем больше сх,
тем меньше максимум, а кривая становится более пологой (пло-
щадь под кривой р(х) равна единице при любых значениях сх).
Широкое распространение нормального закона распределения
в природе объясняется тем, что при суммировании достаточно
большого числа независимых или слабо зависимых случайных
величин распределение суммы близко к нормальному при любом
распределении отдельных слагаемых.
Это положение, сформулированное в 1901 г. А. М. Ляпуно-
вым, получило название центральной предельной теоремы.
Наглядными физическими примерами случайного процесса с
нормальным законом распределения являются шумы, обуслов-
ленные тепловым движением свободных электронов в проводни-
ках электрической цепи или дробовым эффектом в электронных
приборах (см. § 7.3). Не только шумы и помехи, но и полезные
сигналы, являющиеся суммой большого числа независимых слу-
чайных элементарных сигналов, например гармонических коле-
баний со случайной фазой или амплитудой, часто можно тракто-
вать как гауссовские случайные процессы.
На основе функции р(х) можно найти относительное время
пребывания сигнала x(t) в определенном интервале уровней, от-
ношение максимальных значений к среднеквадратическому
(пикфактор) и ряд других важных для практики параметров слу-
чайного процесса. Поясним это на примере одной из реализаций
гауссовского процесса, изображенной на рис. 4.8, а для т = 0.
Рис. 4.8. Случайные функции с
одинаковым распределением (нор-
мальным), но с различными час-
тотными спектрами
X 1
2сх.
Ь
0
а
2<v
i
_ A _L
и —
i
V - 7 - -О-
\ / 1
\J
i
t
L a)

168 Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Эта функция времени соответствует шумовой помехе, энергети-
ческий спектр которой простирается от нулевой частоты до неко-
торой граничной частоты. Вероятность пребывания значения x(t)
в интервале от а до Ь определяется выражением (4.1). Подставляя
в это выражение (4.28), при тх = О получаем
Р(а < х < Ъ)
J2na.
■J e-**/2a2*dx-
* J e-x2/2°2* dx-'h-x2^2 dx =
<J2koxj0 J2koxj0
Функция
1 u
Ф(и) = -±= \ е~У2/2 dy (4.30)
J2nJ0
называется интегралом вероятностей. В математи-
ческих справочниках приводятся таблицы этой функции.
Подставив в (4.29) b/Gx = 1, 2, 3 и соответственно а/ох = -1, -2
и -3, нетрудно найти вероятности пребывания x(t) в полосах ши-
риной 2ох, 4ах и 6ох, симметричных относительно оси t.
В рассматриваемом частном случае (\а\ = Ь) формулу (4.29)
можно упростить на основании симметрии функции относитель-
но оси ординат (рис. 4.7).
Таким образом,
Ь/ох
P(-b<x<b) = 2-±= J е~У2/2 dy = 2Ф\±\
Результаты вычислений сведены в табл. 4.1. В последней графе
приведены величины, равные 1 - 2Ф(Ь/сх). Из этой таблицы сле-
Таблица 4.1
Интервал значений
(~<V о*)
(-2а,, 2ох)
<-Зо„ Зах)
Вероятность пребывания
в интервале
2-0,3413 = 0,6826
2-0,4772 = 0,9544
2-0,49865 = 0,9973
Вероятность пребывания
вне интервала
-0,317
~ 0,046
~ 0,003

4.3. Спектральная плотность мощности случайного процесса 169
дует, что ширину шумовой дорожки (рис. 4.8, а) нормального шу-
ма можно приравнять (4...5)ox. Если принимать во внимание пи-
ки функции x(t), вероятность которых не менее 1%, то пикфактор
шума (отношение пика к ох) можно оценить значением ~ 3. На-
помним, что для гармонического колебания пикфактор равен J2.
Отношение времени пребывания x(t) в заданном интервале к
общему времени наблюдения (достаточно большому для эффек-
тивного усреднения) можно трактовать как вероятность попада-
ния x(t) в указанный интервал. На такой трактовке основан
принцип построения различных приборов, используемых для
экспериментального нахождения одномерной плотности вероят-
ности случайного процесса.
Можно отметить, что приведенные выше данные о распределе-
нии вероятностей не дают никаких представлений о поведении
функции x(t) во времени. На рис. 4.8, б показана реализация га-
уссовского процесса со спектром, сосредоточенным в узкой поло-
се частот с центральной частотой со0. По своей плотности вероят-
ности р(х) и, следовательно, по значениям тх и сх этот процесс не
отличается от низкочастотного, показанного на рис. 4.8, а.
Для описания временных характеристик функции x(t) необхо-
димо привлечь двумерную плотность вероятности, позволяющую
найти ковариационную функцию [см. (4.7)]. Другой способ — на-
хождение спектра мощности случайного процесса. Он рассматри-
вается в следующем параграфе.
4.3. Спектральная плотность мощности случайного процесса
Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль)
функций времени, необходимо иметь в виду, что функциям, имею-
щим различную форму, соответствуют различные спектральные
характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотнос-
ти, введенной в § 2.6 или 2.1, по всем функциям приводит к нуле-
вому спектру процесса (при M[x(t)] = 0) из-за случайности и неза-
висимости фаз спектральных составляющих в различных реализа-
циях. Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности
среднего квадрата случайной функции, поскольку значение сред-
него квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармо-
ник. Если под случайной функцией x(t) подразумевается электри-

170 Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
ческое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции
можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в со-
противлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в неко-
торой полосе, зависящей от механизма образования случайного
процесса. Спектральная плотность средней мощности представля-
ет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной
частоте со. Размерность функции W((o), являющейся отношением
мощности к полосе частот, есть
IW(*H - [п^оГчаетот] = [Мощность х Время] = [Энергия].
Спектральную плотность случайного процесса можно найти,
если известен механизм образования случайного процесса. При-
менительно к шумам, связанным с атомистической структурой
материи и электричества, эта задача будет рассмотрена в § 7.3.
Здесь же мы ограничимся несколькими определениями общего
характера.
Выделив из ансамбля какую-либо реализацию xk(t) и ограни-
чив ее длительность конечным интервалом Т, можно применить
к ней обычное преобразование Фурье и найти спектральную
плотность XkT((o). Тогда энергию рассматриваемого отрезка ре-
ализации можно вычислить с помощью формулы (2.66):
Т/2 оо
ЭкТ= J X%T(t)dt= ^ J |XfeT((0)|2dC0. (4.31)
-Т/2 -оо
Разделив эту энергию на Т, получим среднюю мощность k-й
реализации на отрезке Т
^J^^Jlbl^ld^ (4.32)
-ОО
При увеличении Т энергия ЭкТ возрастает, однако отношение
ЭкТ/Т стремится к некоторому пределу. Совершив предельный
переход Т —* °°, получим
|Х*т(со)|2
1 со v /лл\ z -I оо
где
|Xtr«o)|*
Т —» оо
представляет собой спектральную плотность средней мощнос-
ти рассматриваемой k-й реализации.
Wkm-liml^ipL I (4.33)

4.4. Спектральная плотность и ковариационная функция случайного процесса 171
В общем случае величина Wk(w) должна быть усреднена по мно-
жеству реализации. Ограничиваясь в данном случае рассмотрением
стационарного и эргодического процесса, можно считать, что най-
денная усреднением по одной реализации функция Wk((u) характе-
ризует весь процесс в целом. Опуская индекс k, получаем оконча-
тельное выражение для средней мощности случайного процесса
xHt) =^jwk((o)dm.
где
|ХТ(0))|2
Wk{a) = lim ' тт ' . (4.34)
Если рассматривается случайный процесс с ненулевым сред-
ним значением x(t), то спектральную плотность следует предста-
вить в форме
И^(со) = (х(Г))2 • 2я5(ш) + И^(со), (4.35)
где W_(co) — сплошная часть спектра, соответствующая флукту-
ационной составляющей х, а 5(со) — дельта-функция.
При интегрировании по / = со/(2я) первое слагаемое в правой
части дает (лг(£))2,т.е. мощность постоянной составляющей, а вто-
рое — мощность флуктуационной составляющей, т. е. дисперсию
D* = h. J W~(W) d(a=Gx- (4-36)
-ОО
Для процесса с нулевым средним
.« оо оо
x2(t) = Dx - ± j Wx(et) da> = J Wx(2nf) df. (4.37)
-oo -co
Из определения спектральной плотности (4.33) очевидно, что
W (со) является четной и неотрицательной функцией (о.
4.4. Соотношение между спектральной плотностью
и ковариационной функцией случайного процесса
С одной стороны, скорость изменения x(t) во времени опреде-
ляет ширину спектра. С другой стороны, скорость изменения x(t)
определяет ход ковариационной функции. Очевидно, что между
W (со) и К (т) имеется тесная связь.

172 Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Теорема Винера—Хинчина утверждает, что Кх(х) и Wx(w) свя-
заны между собой преобразованиями Фурье:
оо
Wx(a)= \ Кх(х)е~1шх dx, (4.38)
-оо
Кх(х) = ± \ Wx(<o)&™ da. (4.39)
-оо
Для случайных процессов с нулевым средним аналогичные
выражения имеют вид
оо
И^(со) = J Rx(x)e~im dx, (4.38')
-оо
Л*(х) = 2i Г W*(«>)etot do). (4.39')
—оо
Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойст-
вам преобразований Фурье, установленным в гл. 2 для детерми-
нированных сигналов: чем шире спектр случайного процесса,
тем меньше интервал корреляции, и соответственно чем боль-
ше интервал корреляции, тем уже спектр процесса.
Большой интерес представляет белый шум, когда спектр рав-
номерен на всех частотах -оо < ш < оо.
Если выражение (4.39) подставить Wx((d) = W0 = const, то по-
лучим [см. (2.93)]
Д*С0 = W0^k \ еШ d(a = W0Hl), (4.40)
-оо
где 8(х) — дельта-функция.
Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром
корреляционная функция равна нулю для всех значений т, кроме
х = 0, при котором Rx(0) обращается в бесконечность. Подобный
шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими слу-
чайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным
процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика.
Поясним применение приведенных выше соотношений на
примерах.
1. Пусть заданы следующие параметры напряжения шума (га-
уссовский стационарный процесс с нулевым средним): средне-
квадратическое значение иск = 2 В и энергетический спектр
Wx(2nf), равномерный в полосе частот от -fx до fx (сплошная ли-
ния на рис. 4.9), при fx = 10 М1*ц.

4.4. Спектральная плотность и ковариационная функция случайного процесса 173
W
\шш
Wx{2nf)
"Л "/о
('•-V)
('•-V)
Л>Л
Рис. 4.9. Широкополосный и узкополосный спектры
случайного процесса (примеры 1, 2, 3); границы цент-
ральной полосы ±FX
Шум с подобным спектром обычно называют широкополос-
ным, в данном случае
Wx(2nf) = и*к /(2/j) = (2)2/2 • Ю7 = 2 • 10"7 В2/Гц.
Корреляционная функция рассматриваемого процесса [см.
(4.39)]
0)2 (О,
ДДт) = ^ J W^eoje1"0* dco = ^ J Wj(o)) cos m da =
= 2-10
„ 1 2sin(Oii „ sin (Oil „sin со,x
7_ L =2-1П-79/ L =/t2_
10-72/r
(0,1
= o*
(Oil
(4.41)
2л х
Дисперсия шума
Di = UL = ^i(O) = 4 B2.
Нормированная корреляционная функция (рис. 4.10, а)
гг(т) = Rx(T)/af = sin со1т/(со1т). (4.42)
2. Вырежем из спектра исходного шума полосу от / = -Fx до
/ = Fp обозначенную на рис. 4.9 штриховкой, и найдем #2(т), г2(т)
и D2, соответствующие этому ограниченному по полосе шуму.
При Fx = 2 МГц
Z)2 = г^И^ю) = 2 • 2 • 106 • 2 • 10"7 = 0,8 В2,
sin £1лТ sin Q.iT
R2(T) = 2-10-7-2F1-TT-±- =0,8-
Q,x
Пгх
г2(т) = Д2(х)/о| = (sin адЛО^).
Сужение спектра привело к растяжению графика г2(х) по оси т
(рис. 4.10, а). Интервал корреляции увеличился в fi/Fx = 5 раз.

174 Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
б)
/ Г
/ 1
/ 1
)/ 1 1
2л^ \ /
ч
' Л II
/ II II
- -1
\ II II
- -W-
1,0 sin-s-
\ ft*/й»т
1 1 /Г4"1"
1 11 11 Пч
1 11 11 /\ч
1 1 1 1 1 /1 ч
1 II II 11 /V '
■ 1 1 1 I I I / \/ »
0l 1 1 1 I / I / >2лГ
1 11/ у/ ^
II II 11 у
II 11 V//
II 11 У
- -V- "Г 2л
1 1 со«
Рис. 4.10. Нормированная корреляционная функ-
ция случайного процесса со спектром, равномер-
ным в полосе:
а) |со| <0),и |ш| < Qp б) о)0 - Ц/2 ^ М < ^о + *V2
3. Найдем аналогичные характеристики для шума, спектр ко-
торого обозначен на рис. 4.9 двойной штриховкой. От предыду-
щего этот случай отличается положением спектральной полосы
на оси частот. Шум с подобным спектром называют узкополос-
ным (при Qi/WQ <^ 1).
Дисперсия этого шума D3, очевидно, не отличается от D2.
Корреляционная функция
-(w0-£2j/2)
СЙц + ",/2
-(G)0 + £2,/2) 0)0-i2,/2
= - | W\((o) cos coxdco= 2-10 7-|
Wo - Ц/2
sin ft т/2
= 2- Ю-*-2FX )£ coso)0x.
- = 2 • 10~7— • 2 sin ^-cos (0nx =
(4.43)

4.4. Спектральная плотность и ковариационная функция случайного процесса 175
Рис. 4.11. Примерный вид реализа-
ции случайного процесса, корреляци-
онная функция которого показана на
рис. 4.10, б (масштабы по осям ( ит
разные)
Нормированная корреляционная функция (рис. 4.10, б)
sin^x/2
г3(тО = QiT/2 cos co0t.
(4.44)
Огибающая функции г3(т) (штриховая линия) по форме подоб-
на огибающей функции г2(т), однако эта функция имеет вдвое
большую протяженность. Высокочастотное заполнение функции
г3(т) имеет частоту со0, равную центральной частоте спектра шума
(см. рис. 4.9).
График нормированной корреляционной функции, показан-
ный на рис. 4.10, б, позволяет составить представление о харак-
тере шумового колебания с узкополосным спектром. Осцилляции
корреляционной функции с частотой со0 указывают на то, что и
мгновенное значение шумового колебания изменяется в среднем
с частотой со0. Напомним, что корреляционная функция гармони-
ческого колебания является также гармонической функцией той
же частоты (см. § 2.18). Изменение же огибающей корреляцион-
sin Qji/2
ной функции по закону —~—-^г— указывает на то, что огибающая
шумового колебания, являющаяся случайной величиной, изме-
няется во времени относительно медленно, подобно функции вре-
мени, спектр которой ограничен наивысшей частотой Q1# При-
мерный вид шумового колебания, соответствующего корреляци-
онной функции (4.44), представлен на рис. 4.11 (в измененном
масштабе времени).
Итак, шумовое колебание с узкополосным спектром следует
представлять высокочастотным колебанием с медленно (по срав-
нению с частотой со0) изменяющимися амплитудой и фазой:
x(t) = U(t) cos [ш0* 4- в(*)], (4.45)
где со0 — центральная частота спектра шума.

176 Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Следует подчеркнуть, что все параметры этого колебания: амп-
литуда, фаза и частота являются случайными функциями време-
ни. Статистические характеристики этих параметров рассматри-
ваются в § 4.6.
4.5. Взаимная корреляционная функция
и взаимная спектральная плотность
двух случайных процессов
В данном параграфе рассматриваются стационарные процессы
с нулевым средним, поэтому связь между процессами x(t) и y(t)
оценивается с помощью взаимной корреляционной функции, оп-
ределяемой выражениями1
Rxy(x) = M[x(t)y(t + х)], Ryx(x) = M[y(t)x(t + x)]. (4.46)
Кроме того, имеются в виду эргодические процессы, поэтому
вместо (4.46) можно применять временное усреднение:
1 Т/2
Rxy(x)= x(t)y(t + x) = lirn^ J x(t)y(t + x)dt, (4.47)
T ~* °° -T/2
. T/2
yx) = y(t)x(t + x) = lim „ J y(t)x(t + x) dt. (4.48)
T ~* °° -T/2
Как и для детерминированных колебаний, взаимная корреля-
ционная функция не изменяется, если сдвиг на х одной из функ-
ций x(t) или y(t) заменить сдвигом в обратном направлении дру-
гой функции. Поэтому можно написать следующие равенства:
ЯпДХ) = *(t)y(t + X) = X(t - T)y(t) , (4.49)
RyxW = y(t)x(t " X) = y(t - X)x(t) . (4.50)
Из последних выражений вытекают следующие соотноше-
ния между Rxy(x) и Ryx(i)9 аналогичные выражениям (2.135) и
(2.135'):
Rxy(x) = Д^(-х), Ryx(x) = Rxy(-x). (4.51)
Подразумевается, что не только сами процессы x(t) и y(t), но и связи между
ними стационарны.

4.5. Взаимная корреляция двух случайных процессов
177
Соотношения (4.49)—(4.51) не следует смешивать с условиями
четности функций. Каждая из функций Rxy(i) и Ryx(t) не обяза-
тельно четна относительно х (см. § 2.18).
В итоге корреляция между значениями функций x(t) и y(t) в
два различных момента времени, разделенных интервалом х, за-
дается корреляционной матрицей
«т) =
Rxx(x) Rxy(x)
RyxW Ryy(*\
(4.52)
где Rxx(v) и Ryy(i) — корреляционные функции соответственно
процессов x(t) и y(t).
Пусть, например, рассматривается сумма двух эргодических
процессов x(t) и y(t) с нулевыми средними (х = у = 0) и требуется
определить корреляционную функцию случайного процесса s(t) =
= x(t) + y(t) (при условии, что взаимные корреляционные функ-
ции стационарны).
Используя формулу (4.16) и учитывая равенства (4.47), (4.48),
получаем
Д8(х) = s(t)s(t + х) = \x(t) + y(t)][x(t + х) + y(t + x)] =
= x(t)x(t + x) + x(t)y(t + x) + p(0*(t + x) + y(t)y(t + x) =
= ДХ:ДХ) + ^(X) + i^x(x) + Дуу(х). (4.53)
При х = 0 i?„(0) = о* и Д^(0) = о* , a Rxy(0) = Ryx(0).
Следовательно,
Ds = Rs(0) = DX + Dy + Rxy(0) + Ryx(0) = DX + Dy + 2Rxy(Q). (4.53')
Если процессы x(t) и y(t) статистически независимы, то дис-
персия (средняя мощность) суммы будет Ds = Dx + D .
В противном случае в зависимости от знака Rxy(0) мощность
�