И + A
Из да тельстло
иностранной
литературы

MATHEMATISCHE
INSTRUMENTE
von
Dr.-Ing. W. Meyer Zur Capellen
2WEITE ERGANZTE AUFLAGE
LEIPZIG 19 4 4

В. МЕЙЕР ЦУР КАПЕЛЛЕН
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИНСТРУМЕНТЫ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ
Перевод с немецкого
А. И. СЛУЦКОГО
Под редакцией
Н. Е. КОБРИНСКОГО
ОПЕЧАТКА
Стр.
3
Строка
4-5 св.
Напечатано
Издание второе,
дополненное
Перевод с немецкого
Следует читать
Перевод со второго
немецкого издания^
дополненного
Зак. 1242.
1950
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва

ОТ РЕДАКЦИИ
В последние годы быстрым темпом развиваются различные отрасли
математической техники, призванной ускорить решение разнообразных
сложных математических задач и сделать доступным применение
современных средств вычислительной техники широкими кругами
ученых, инженеров и конструкторов. Развитие математической
техники требует больших научных и экспериментальных исследований
и создания сложных и надежных математических машин и
инструментов.
В разработке теории математических машин и инструментов и
в создании оригинальных конструкций этих устройств работы
русских ученых играли выдающуюся роль. Можно указать на
фундаментальные труды П. Л. Чебышева, А. Н. Крылова и С. Гершгорина,
заложившие основы синтеза и теории разнообразных математических
устройств и машин. Русским ученым П. Зарубиным был создан один
из первых планиметров, русским инженером Однером был создан
счетный механизм, являющийся до настоящего времени основой
многих образцов русских и зарубежных счетных машин. В Советском
Союзе широко развивается теория математических машин и
сконструированы многочисленные математические устройства для различных
отраслей техники. В настоящее время вопросам развития
математической техники в Советском Союзе и за границей уделяется особенно
большое внимание. Создаются новые совершенные образцы
математических машин и инструментов и разрабатываются методы решения
с их помощью различных математических задач.
Развитие математической техники обусловливает необходимость
в издании различных монографий по теории и конструированию
математических устройств, монографий обзорного типа, знакомящих
читателей с образцами математических машин и инструментов, и
учебных пособий по этим вопросам.
Предлагаемая вниманию читателей книга Мейера Цур Капеллена
яМатематические инструменты" является монографией справочного
характера и вместе с ранее переведенной и выпущенной книгой Вил-
лерса „Математические инструменты" позволяет читателю
ознакомиться с развитием математической техники за рубежом и дает
обширный и интересный фактический материал по образцам
математических приборов, выпускаемых за границей. В книге Мейера Цур

6
ОТ РЕДАКЦИИ
Капеллена наиболее подробно рассмотрены интегрирующие устройства
(планиметры, интеграфы, анализаторы и т. д.) и малые счетные
машины.
Значительно слабее представлен раздел, посвященный
математическим машинам для решения алгебраических уравнений и для
интегрирования дифференциальных уравнений. Эта книга вместе с тем
дает весьма слабые представления о немеханических устройствах для
осуществления математических зависимостей. Мы имеем в виду
электрические и электромеханические математические устройства,
которые в последние годы получили большое развитие. Это объясняется
тем, что в книге Мейера Цур Капеллена почти не нашли отражения
работы советских ученых, сделавших большой вклад именно в
создании электрических и электромеханических математических устройств
и оставивших далеко позади результаты, достигнутые за рубежом.
В книге, естественно, не отражены также работы по созданию
электронных машин, начатые только в самые последние годы. Указанные
обстоятельства снижают ценность книги Мейера Цур Капеллена, и ее
нельзя рассматривать как фундаментальное пособие по теории и
конструкции математических машин и приборов. Однако те разделы,
которые в книге представлены достаточно подробно, имеют
несомненный интерес и принесут пользу советским читателям как сводная
монография, в которой можно получить ответы на многие вопросы,
возникающие при эксплоатации и конструировании математических
инструментов.
Мейер Цур Капеллен почти полностью игнорирует
многочисленные, интересные работы русских ученых в области создания
математических машин и инструментов. В связи с этим при переводе книги
оказалось необходимым сделать ряд примечаний с указанием на
работы русских ученых.
При переводе книга подверглась некоторому сокращению за
счет маловажного материала, носящего в основном характер рекламы
фирм, выпускающих математические приборы и инструменты.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Развитие математических инструментов и успехи, достигнутые
в этом направлении за последние пятнадцать лет, побудили автора
издать книгу по инструментам для математических вычислений, тем
более что все интересное в этой области, в частности данные последних
исследований, можно найти лишь в разрозненных сочинениях. Надо
отметить, что при решении различных математических задач начинают
все чаще использовать механические вспомогательные средства, хотя
зачастую против этих приборов выставляются странные возражения.
Эти возражения основываются, с одной стороны, на отсутствии
подходящего справочника и, с другой стороны, на боязни перед
приборами, не всегда простыми и понятными, хотя часто их
применение позволяет повысить точность и сэкономить время. При выборе
материала решающим был в первую очередь вопрос о круге
читателей; в основном приходилось ориентироваться на инженеров и
физиков (само собой понятно, что сюда относятся также и лица,
занимающиеся прикладной математикой). Поэтому мы не смогли привести
полный обзор всех существующих конструкций и предложений.
Чтобы пойти навстречу желаниям, могущим возникнуть при
исследовании определенной проблемы, прилагается подробная, но не
претендующая на абсолютную полноту библиография. В библиографии
также указаны некоторые формы конструкции, отличающиеся от
подробно разобранных в книге. В библиографии помещены в основном
только новые работы, так как изданная 29 лет назад книга Галле
содержит все старые статьи по математическим приборам.
Подразделение целых глав на большие разделы вызвано различием задач,
для решения которых приспособлены отдельные приборы. Разделы
в свою очередь снова подразделяются на более мелкие для удобства
обозрения и для указания соответствующих ссылок. Ссылки на
собственно счетные механизмы являются необходимыми, так как эти
механизмы, с одной стороны, имеют самостоятельное практическое
значение (для вычислительных целей) и, с другой стороны, являются
элементами более сложных приборов с иным кругом задач. Мы лишь
коротко касаемся истории развития математических инструментов для
того, чтобы не слишком увеличивать материал, и для того, чтобы
не нарушать общей композиции книги.
Аахен, март 1941 г.
АВТОР

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании существенно дополнен раздел вычислительных
приборов, в котором более подробно разобран вопрос об
автоматических машинах. Кроме этого, некоторые рисунки заменены новыми.
Раздел интегрирующих приборов также несколько расширен, причем
сделано краткое сопоставление источников ошибок при
интегрировании. Особенно подробно рассмотрены приборы или машины для
решения дифференциальных уравнений. Библиография продолжена
и охватывает работы, вышедшие в последнее аремя, так что
интересующиеся могут для дальнейшего изучения использовать более 300
указанных работ.
Аахен, май 1943 г.
АВТОР

ВВЕДЕНИЕ
1. С прогрессом техники появилась возможность облегчить
выполнение утомительных и продолжительных расчетов с помощью более
или менее усовершенствованных приборов. Такими приборами
являются наряду с простой счетной линейкой также и сложная счетная
машина и замечательная машина для решения дифференциальных
уравнений. Наша задача состоит в том, чтобы рассмотреть все
многообразие этих инструментов и дать картину их развития и
современного состояния.
Вычислительные машины можно классифицировать соответственно
различным группам задач. К первому разделу относятся
вычислительные приборы для решения численных задач арифметики, алгебры и
тригонометрии. Ко второму разделу относятся приборы для решения
геометрических задач. Третий раздел составляют приборы для
графического дифференцирования, четвертый — приборы для
интегрирования функции (интеграторы) и, наконец, последний раздел составляют
инструменты, служащие для гармонического анализа, называемые
гармоническими анализаторами.
При этом можно заметить, что элементы приборов, описанных,
например, в первом разделе, появляются снова, позже, при описании
сложных приборов.
2. Все эти инструменты, за редкими исключениями, таковы, что
в каком-либо месте прибора, очень часто ручным способом,
устанавливаются исходные данные и в другом месте прибора получается
результат. Чаще всего 3) речь идет о механизмах, в основном о
механизмах такого вида, какие встречались в известных прежде
машинах. Эти механизмы совершают принудительные движения, т. е.
работают таким образом, что направление движения каждой точки
однозначно определено. Необходимо коротко остановиться на важнейших
видах возможных принудительных движений (фиг. 1—5):
1) Двухточечная направляющая: две точки движущегося тела
перемещаются по заданным траекториям (фиг. 1). Пример: кривошипный
механизм (фиг. 8).
г) См. [52]. См. также [267а]. Литература приведена в конце книги.

10
ВВЕДЕНИЕ
2) Направляющая движения состоит из кривой линии и точки.
Точка А движется по заданной траектории, в то время как
некоторая кривая линия с движущегося тела скользит по неподвижной
Р
р
Фиг. I. Двухточечная
направляющая.
Фиг. 3.
Точечно-криволинейная направляющая. Особый случай.
Фиг. 2.
Точечно-криволинейная направляющая.
Фиг. 4. Направляющая,
состоящая из двух кривых.
кривой (фиг. 2). Пример: кривошип с вращающейся кулисой (фиг. 3).
Движущаяся кривая в этом случае является прямой, неподвижная
кривая—точка В, которую можно
рассматривать как круг нулевого радиуса.
3) Направляющая движения состоит из двух
кривых линий. Две кривые линии, проведенные
в движущемся теле (фиг. 4), скользят по двум
неподвижным кривым.
4) Качение. Некоторая кривая, проведенная
в движущемся теле, катится без скольжения по
неподвижной кривой (фиг. 5). Пример:
катящееся колесо, зубчатая передача и т. д. В таких
механизмах необходимо различать, вызывается
ли принудительное движение кинематическими
связями, как, например, на фиг. 1 или 3, или динамическими
связями, как, например, на фиг. 2 и 4, где принудительное
движение возможно только в том случае, если скользящая кривая
Фиг. 5. Качение.

ВВЕДЕНИЕ
11
прижимается к направляющей кривой (пружина или собственный
вес). Так, качение колеса вагона (соответственно фиг. 5)
обусловливается динамической связью, которая осуществляется благодаря
собственному весу вагона, в то время как механизм зубчатой
передачи может рассматриваться как пример кинематической связи.
3. Отдельные звенья изучаемых механизмов встречаются и в
других машинах или приборах точной механики. Мы здесь не даем
подробного рассмотрения всех звеньев, а только в некоторых
случаях для определенных групп инструментов укажем их основные
элементы1).
4. Нас будут интересовать в дальнейшем также некоторые
дифференциально-геометрические соотношения между элементами пути2):
а) Если точка совершает два движения d&t и rf§2, то
результирующее движение будет d$ = tf^-f-d$2 3). Наоборот, всякий элемент
пути db может быть разложен по двум заданным направлениям
(фиг. 6). Подобный же закон имеет место для скоростей, а также
Фиг. 6.
Ф и
для угловых скоростей или для угловых перемещений вокруг
пересекающихся осей.
б) Пусть диск, обозначенный отрезком АВ, движется в
плоскости (фиг. 7) и точка А проходит путь d$A. Тогда для элемента
пути d%B, пройденного точкой В, имеем при ДВ = / соотношение:
*) См. также с чисто конструктивной точки зрения [200].
2) См. [139].
3) Готическими буквами обозначены векторы; для сокращенного
обозначения ср. [42].
Фиг. 7.
г. 6 и 7. Сложение движений.

12
ВВЕДЕНИЕ
причем d*3A — составляющая вращения В вокруг Л, равная dbAB =
= / • fifo, т. е. движение отрезка АВ или диска может быть
истолковано как смещение по d&A и вращение вокруг А.
в) Если плоская фигура движется в своей плоскости, то ее
движение в каждый момент может быть заменено вращением вокруг
мгновенного центра, являющегося точкой пересечения всех нормалей
к элементам траектории соответствующих точек. Эта точка,
рассматриваемая как точка движущейся плоскости, имеет скорость, равную
нулю, и называется центром скоростей. На фиг. 1—5 она
обозначена через Р. При качении точка соприкосновения сама является
мгновенным центром.

I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
ОБЗОР
Счетные приборы служат для механического решения задач
арифметики, алгебры и тригонометрии. Их называют (не вполне точно)
инструментами элементарной математики. Эти приборы можно
классифицировать по группам задач и по конструктивным методам,
положенным в основу соответствующих механизмов. В последующем мы
будем различать счетные механизмы и счетные приспособления (а также
счетные машины).
Под первыми понимаются приборы, в которых, например, для
решения задачи нахождения величины y—f(x) величина х
устанавливается как определенный
отрезок или угол, и вследствие этого
в некотором месте прибора
следует определенное перемещение
или поворот элемента прибора,
определяющего величину^. В
случае функций двух аргументов
z=f(x, у) хну
устанавливаются в двух местах прибора Фиг. 8. Счетный механизм для двух
с помощью передвижения или переменных.
поворота элементов прибора, и
вследствие этого получается результирующее смещение или
вращение. Поэтому каждый такой механизм рассматривается как
счетный прибор. Если, например, в простейшем механизме кривошип
шарнирного четырехзвенника (фиг. 8) устанавливается на угол а,
то звено b поворачивается на угол (3=/(а), зависящий вполне
определенным образом от угла а.
Мы не ставим себе задачи исследовать все известные механизмы
по осуществленному в них принципу действия. В этой книге будут
лишь указаны механизмы для важнейших задач, тем более что эти
простейшие приборы являются составными элементами в приборах
для решения более сложных задач (ср. раздел IV, 2.4). Если
установка угла а на фиг. 8 определяет отклонение (Р), то у
прибора с двумя ведущими звеньями установка двух переменных л:, у
приводит к определению z = f(x, у). Так как место установки
исходных данных и место снятия результата могут быть заменены
друг другом (причем, конечно, получатся другие функциональные

14
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
зависимости), то можно сделать следующее общее замечание:
суммарное число ведущих и ведомых звеньев равно числу переменных1).
В счетных механизмах нужно различать также такие приспособления,
при которых мы получаем результат вследствие установки в приборе
не самых переменных, а некоторых величин, выражающих собой эти
переменные. Примером последней группы является логарифмическая-
линейка (см. раздел I, 4), на которой отрезки представляют не
сами переменные величины, а их логарифмы.
1. ПРИБОРЫ ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Суммирующие и вычитающие приборы служат, как говорит само
название, для решения задач сложения и вычитания, например,
в форме:
z — xzt:y или z = \гх zn X^y,
где Xj и а2 — некоторые числовые множители. При этом число
переменных может быть увеличено.
1.1. Суммирующие и вычитающие приборы
1.1.1. Механизмы с параллельными шкалами. Из основной
схемы для номограммы с тремя параллельными шкалами фиг. 9 (ср.
также [127]) получаем соотношение:
v — и а4-Ь . . . _ч
__ = _^_ или w = k1u-]-X2v, (1)
где \x = aj(a-\-b) и Х2 = £/(а + ^) 2}-
Если конструктивно осуществить механизм соответственно этой
фигуре, то получим прибор, схематически изображенный на фиг. 10.
Из шкал /, 2, 3 образованы шатуны, указывающая прямая s может
вращаться вокруг цапфы 3 и может перемещаться вследствие
разреза на 5 и цапф U и V на шатунах 7 и 2. (Сопряжение двух
угловых кулис.) Если передвинуть шатуны / и 2 соответственно
на а и v, то средний шатун получит перемещение W, согласно
уравнению (1). Этот общий суммирующий прибор может быть
использован для вычитания, если из нулевого положения передвигать один
шатун вниз (например, ?>), а другой вверх.
Если желательно сконструировать прибор, принцип действия
которого основан не на сложении перемещений, а на вращении
некоторых элементов (как это всегда будет иметь место в описываемых
*) См. также [147].
2) >ч и А2 не независимы, следовательно, друг от друга. Подходящим
выбором шестерен (см. ниже) эту зависимость можно устранить.

1. ПРИБОРЫ ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
15
ниже приборах), то можно вместо обычных шатунов устроить
зубчатые рейки, приводящие в движение шестеренки zv z2i z^ так что
и и v представятся углами поворота колес zx и z2, a w будет
соответствовать угол поворота колеса г3. Можно также шатуны
выполнить в виде винтов, вращение которых будет вызываться
гайками, двигающимися в неподвижном корпусе.
В симметричном случае а = д
для w получается среднее
арифметическое
w = ^(u+v). (2)
i
и
и
1,
:
-—ь —
W
* ;
— а-^
$s>
w-u
7
V
к
и
Т|
п
Фиг. 9. Номограмма
с параллельными
шкалами.
]\1 Щ
Ф и г. 10. Схема
суммирующего прибора
соответственно фиг. 9.
В этой форме выполнен прибор Куленкампа [112]. Соединением
шестерни zz с шестерней 2-3, имеющей диаметр, в два раза меньший
диаметра шестерни г3, последней можно сообщить перемещение
1.1.2. Дифференциал ьные механизмы с цилиндрическими
шестернями 2). К этим механизмам относятся приборы с вращающимся
зубчатым механизмом и двумя ведущими шестернями (фиг. 11).
Вокруг неподвижной оси Ог вращается поводок L. Шестерня //' и
связанная с ней неизменно шестерня // могут вращаться вокруг оси
стержня 02. Шестерня //' в точке А (фиг. 12) соприкасается с
шестерней ///, вращающейся вокруг оси 03, совпадающей с осью 01э
а шестерня // соприкасается в точке С с шестерней /. Движения
сообщаются поводку L и шестерне ///.
Обозначим углы поворота (фиг. 12) шестерен I и III и
соответственно этому угол поворота поводка вокруг общей неподвижной
*) На подобных же соображениях основан прибор Якоба [94].
2) Слово „дифференциал* с точки зрения техники расчетов может
ввести в заблуждение.

16
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
оси Ot через срх, срз» ?£» тогда точки С, Л, 02 пройдут элементы
пути: dsx == гх rfcpx, dsb =s г3 fifcp3, <&д = / dvL-
Мы рассматриваем С, 02 и Л как точки жестко связанных между
собой колес // и //'. Движение этих точек определено, если
известен мгновенный центр вращения Я.
Так как СА есть нормаль к траектории в точках С и Л, то центр
вращения должен лежать на С А и делить С А в отношении dst: dss.
Таким образом центр вращения является
\\ I II точкой пересечения АС и АС.
Фиг. П. Фиг. 12.
Фиг. 11 и 12. Суммирующий прибор (зубчато-цилиндрический дифференциал).
Так как мгновенное движение шестерни // есть вращение вокруг
Я, то 02 должно также лежать на АС. Таким образом
dsx: dsL = PC : РОъ dsz : dsL = PA : P0.2.
•Отсюда после простого вычисления получается
?i = ( — )(КЪ — Kvl), где \=ЩУ Х2= l-f-Хр (З)
причем знак (—) перед скобками указывает только направление
вращения.
Если обозначить углы ср3, с?ь и ?i соответственно через х, у и г,
то, опуская знак перед скобками, будем иметь
г = Х1д: — к^у при Х2=1-{-Х1 (За)
и, разрешая относительно у,
где
\г = >ч : Х2 и Х3 = 1 : К* ^б)

1. ПРИБОРЫ ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
17
Суммирующий прибор получается непосредственно из (За), если
поводку L придать обратное направление вращения.
Недостатком этого прибора является зависимость коэффициентов
друг от друга, что представляет удобство лишь в некоторых
специальных случаях.
Но если шестерню /// привести во вращение с помощью поворота
хг шестерни III' с таким передаточным числом, что jc = jc':X1, и
соответственно колесо / привести во вращение с помощью колеса Г
с передаточным числом у=у''Л2> то получим
z = x'—у' и соответственно х'=у' -\-z'u (4)
Доказательство уравнения (3). Если заметить, что путь и угол
поворота пропорциональны своим дифференциалам, то из приведенных
выше пропорций следует:
si: SL =Р : Я ^ s3:sL==(q + r'2):q.
Полученное из последнего уравнения значение
дает
r9sr
р = r2— q = r2 — —S-— ,
Так как 1 = rl-\-r.1 и г3 = I + г2, то
/ = (ra + r'2) = rr/2 + r2 (rt + г.л + /2) = гхг2 + г2 г3.
Откуда, как и выше,
rir2 \ riV
и
X,= l+Xle
1.1.3. Дифференциальные механизмы с коническими
колесами. На фиг. 13 представлен дифференциал с конической зубчатой
передачей. Два одинаковых конических колеса А и С (фиг. 13а)
вращаются в подшипниках неподвижного корпуса D. Оба колеса
сцеплены с коническим колесом В, которое может вращаться вокруг
оси Ът. Ось Ъ' жестко связана с осью 5, которая также может
вращаться в подшипниках корпуса D\ шестерни А и С соосны с 5
Механизм приводится в движение с помощью колес А и С.
Колеса Л и С могут приводиться в движение зубчатым
механизмом, в котором созданы угловые скорости шж и о*у или соответствен-
так что из первого уравнения следует:
1 Р г2?'д r2,SL r2SL
— = — = ИЛИ r^i =
2 Зак. 1242. В. Мейер.

18
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
ные повороты х и у. Таким образом угловая скорость <ог или
поворот z может получиться или непосредственно на оси 5, или с помощью
специального привода с передачей.
В этом случае получаем
* = -2(*1*±*аУ), (5>
&г где Х1 и Х2— передаточные числа.
Верхний знак „плюс" соответствует
одинаковому вращению шестерен
Л и С, а нижний знак „минус"
—противоположному вращению. Таким
образом х и у могут быть также
отрицательными. При одинаковых
передаточных числах Xj = Х2 = X
получаем z = -у (х±у) • X и, в
частности, для X = 2 имеем значение
z = x±y.
Доказательство. Воспользуемся
тем обстоятельством, что элементарные
вращения могут быть представлены угловыми скоростями, которые можно
изобразить векторами. Пусть угловые скорости шестерен Ли С относительно
неподвижного корпуса будут <*>а0 и о>с 0 (см. фиг. 136 для одинакового
направления вращения и фиг. 13в для противоположного вращения). Полная
скорость о)&,0 колеса В может быть, с одной стороны, выражена через
угловую скорость колеса А и относительную скорость ь>Ьа колеса В
относительно Л и, с другой стороны, через угловую скорость шестерни С и от-
Фиг. 13а. Суммирующий прибор
(зубчато-конический
дифференциал).
Фиг. 136.
Фиг. 13в.
Фиг. 136,в. Планы скоростей к фиг. 13а.
носительную скорость юъ с шестерни В относительно С. Известно, что при
относительном вращении шестерни В по шестерням С и А линии NM или UM
являются осями вращения; следовательно, &ba\\NM и mbc\\UM. Отсюда
получается (фиг. 136 и в) построение угловой скорости шестерни В по
угловым скоростям шестерен А, С. Если по векторам о>а 0, о>с 0 и по
направлениям вектора u>& a и о>Ьс определить точку В и, следовательно, вектор
и>£ 0, пользуясь векторными формулами:
"М-
Vo
+ СО
b,a
°Ъ,0 = шс,0 + шЬ,с

1. ПРИБОРЫ ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
19
то разложение вектора <аьо по направлениям осей шестерен дает значения
o)g0 и а)&й. Так как SB есть линия симметрии треугольника АСВ, то из
фиг. 13в
ш« = °Чо = "2 К,о + шс,о) — "со = -J К,о — "со)
и из фиг. 136
a>, = -2K,0-a)e,0) + a)c,0 = -2K,0 + (Dc,o)-
Если ввести передаточные числа колес Еа и ka и соответственно £с и Aj^
и, следовательно, подставить о> П = Ь . а> л = ^0<»> и перейти от угловых
t*j U 1 Я? CU £ У
скоростей обратно к углам д-, у и z, то получается уравнение (5).
1.1.4. Червячные (винтовые) механизмы (фиг. 14). Вращение j/
при помощи шестерни 1 передается на длинную зубчатку 2, вал
которой заканчивается червяком 5. Диаметры колес 1 и 2 одинаковы.
Фиг. 14. Суммирующий прибор с червячной передачей.
Червяк с помощью червячного колеса 6 передает движение у на
вал //. Движение х сообщается зубчатому колесу 3, соединяющемуся
с зубчатой рейкой 4, перемещающейся соответственно х. Это
перемещение сообщается через червяк 5 колесу 6 и валу //, так что
вал // получает суммарное вращение z = x-\-y или г = х—у.
(Вследствие передаточного числа в некоторых случаях может
содержаться еще постоянный множитель.) Зубчатая рейка должна
представлять собой цилиндр с нарезкой, распределенной по всему цилиндру,
так как вал, на котором она насажена, не только перемещается, но
и вращается, воспринимая вращение у.
1.1.5. Роликовый механизм с тросом. Механизмы с тросами
предлагались и конструировались различными авторами [196], [236],
[253], [277].
Устройство его можно видеть непосредственно из фиг. 15. Если,
например, ролик х поднять или опустить на отрезок х при непо-
2*

20
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
движных роликах у и г, то ролик R должен будет также подняться
или опуститься на величину х.
При одновременном перемещении роликов х, у, z ролик R
перемещается на сумму перемещений г = х-{-у-\-г. Механизм является
динамически связанным из-за
веса ролика R, и трос при этом
натянут. Растяжение троса,
естественно, не должно иметь
места.
1.2. Приспособления для
сложения и вычитания
B=x+y+z
Фиг. 15. Суммирующий механизм
с тросовой передачей.
2 У
1.2.1. Принцип счетной
линейки. Основные понятия,
которые здесь даны, относятся
к применению счетной линейки
в качестве приспособления для
сложения чисел. Ее основное
назначение будет выяснено
позже (I, 4).
В неподвижном корпусе G (фиг. 16) по призматическим
направляющим может перемещаться движок Z. На О, начиная от нуля,
нанесены в каком-либо масштабе значения л:, так что отметка х
расположена на расстоянии 1хх от нуля. Соответственно этому на
движке Z нанесены отрезки /2>>,
отвечающие значениям у. Если
теперь совместить, например, с
помощью стеклянного бегунка со
штрихом или какой-либо другой
отметки нуль движка Z со
значением х шкалы О, то под
значением у движка на шкале G читаем
значение г, для которого
ltz = lxx -[- ^У
или г = х -j- \уу причем Xj = lx: /2. При одинаковых масштабах
/2 = ^i, ^i=l и, следовательно,
2=Х+у
или при противоположном сдвиге
2 = Х у.
На линейке, выполненной в виде цилиндра, шкалы помещаются на
находящихся рядом колесах. Таким образом можно использовать
большую длину с помощью малого пространства.
3
М: 1 I , ■ ' , I I 1 I I I I 1 I |
0X2
-I, X —J |
Фиг. 16. Счетная линейка как
суммирующее приспособление.

1. ПРИБОРЫ ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
21
Это, между прочим, можно осуществить механически следующим образом:
при вращении винта / на угол х спаренная с ним гайка (движущаяся в
неподвижном корпусе по призматическим направляющим) получает
перемещение х. Одновременно гайка / перемещает гайку //, перемещающуюся
в корпусе и связанную с винтом 2, который вследствие этого также получает
вращение х. Если винту 2 сообщить теперь вращение у, то гайка // получит
суммарное перемещение х-\-у.
1.2.2. Счетные приспособления. Счетные приспособления
находятся в тесной связи со счетными машинами и служат для сложения
и соответственно вычитания, т. е. для решения задачи вида
л: = а + £ + с + ^ + ...
Для того чтобы охарактеризовать основное отличие этих
приборов от счетных машин, нужно вспомнить общеизвестные счеты
(фиг. 17). Здесь на различных „ ступенях", отвечающих разрядам
единиц, десятков, сотен, находится
по 10 шариков. Если, например,
хотят представить число 274, то
передвигают направо четыре
шарика из единиц, семь шариков из
десятков и два шарика из сотен.
Если к этому числу должно быть
добавлено число 15, то в нижней
ступени (единицы) передвигают
направо еще 5 шариков и один
шарик в следующей ступени
(сотни) и читают результат 289.
Точно так же при вычитании
числа 12 два шарика в нижней
ступени и один шарик в
следующей передвигаются налево.
Результат будет 262.
Если, однако, нужно прибавить к числу 274 число 7, то в нижнем
ряду можно направо передвинуть только еще б шариков. Поэтому
направо передвигают один шарик в ряду десятков, но так как теперь
вместо 7 шариков в ряду единиц направо передвинуто 10 шариков
(1 шарик в ряду десятков), то надо передвинуть налево 10 — 7 = 3
шарика. Задачу можно решить или в форме
274 + 7 = 2- 100 + 7. 10 + 4 + 7 =
= 2- 100 + 7. Ю + 4+1 . 10 —(10 —7)
роооооооэо—
рооооооо—oq
boo—ocooood
рооооо—oood
Тысячи
Сотни
Десятки
Единицы
Фиг. 17.
Счеты в качестве счетной
машины.
или же
274+7 = 2- 100 + 7- 10 + (4 +7 —Ю+1 -10) =
= 2- 100 + 7 • 10+1 + 1 • 10.

22
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Это необходимое перенесение 10 единиц низшего разряда вместо
единицы ближайшего высшего разряда мы будем называть переносом
десятков. Этот процесс является основным для всех счетных машин
и родственных им приспособлений (см. раздел I, 5).
В переносе десятков и заключается разница между счетными
приспособлениями и счетными машинами. Последние, в отличие от
первых, имеют автоматический
А »__ перенос десятков.
Задачу вычитания 274 — 6
нельзя выполнить
непосредственно, так как нельзя передвинуть
6 единиц в нижнем ряду справа
налево. Нужно перенести 4 шарика
налево, и так как тогда слева будет
находиться десять шариков, то
все они передвигаются направо,
W*
В
■»
*<•
*
<
1
#
>
I *~
N
И
U2
*3
•4
№5 \
Рб |
\ш
N
М
3
Л*»0* $0»> *
9
* в В В
111
. "• * 1 • 6 .
- в
- 4 '*
f 3
2 2Jt
1 1 1L1Q1
0 О * **0 *0
ж%
%т *
*0 *0
|1 f
■а 2
13 3
|4 4
IS 5
б
г 71
la s
АС И
*0
3
4
I
2 А
£>»"- П
f*0 0
И 1
*2 2
*з з.
*4 4
*s в.]
•6 ej
S? 7
18 .1
Г - J* |
а ч а\ г п
$aujm
Э NE
a
Фиг. 18. Фиг. 19.
Фиг. 18 и 19. Счетное приспособление „Аддиатор"
и вместо этого один шарик из ближайшего следующего ряда
передвигается налево. Но так как в нижнем ряду налево было передвинуто
на два шарика меньше, чем следовало, то еще два шарика должны
быть дополнительно передвинуты налево. В результате получаем 268,
и задачу можно записать в форме 274 — 6 = 274 — 10 -f- 4 или
274 -1-4 — 10.
Эта простая задача была так подробно описана только потому,
что эти соображения являются основными для счетных машин и
счетных приспособлений с переносом десятков.
Приспособление этого рода — суммирующий прибор Гастелла —
показано на фиг. 18. Этот прибор помешен на обратной стороне

1. ПРИБОРЫ ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
23
счетной линейки Гастелла. Он может быть применен для сложения
и вычитания положительных и отрицательных чисел. Фиг. 19
показывает устройство прибора. Под неподвижным корпусом помещены
подвижные зубчатые рейки (см., например, среднюю рейку, номер
которой 7 виден в смотровом отверстии), выступы которых
находятся в разрезах с левой стороны. Для того чтобы установить
число 7, вставляют штифт в вырез и передвигают рейку до тех пор,
пока число 7 не появится в верхнем окне; так на фиг. 19
установлено число 274. Часть выступов реек окрашена в красный цвет
и притом так, что дополнение установленного числа (например,
при 7 дополнением будет 3) стоит между первыми красными
делениями.
Если хотят прибавить некоторое число, например 15, то
вставляют штифт в вырез рядом с 5 того же ряда и двигают рейку
вниз до тех пор, пока штифт не дойдет до упора, так как это
будет означать, что рейка продвинулась на 5 единиц. После этого
устанавливают штифт в вырез рядом с цифрой 1 ряда десятков и снова
передвигают штифт до упора вниз. Соответствующий результат читают
внизу. Однако число 7 нельзя прибавить непосредственно, так как
штифт, передвинувшись вниз, встретит препятствие, указывающее на
необходимость переноса десятков. Для этого применяются скошенные
выступы, находящиеся на правой стороне всех зубчатых реек, за
исключением одной, для которой они не нужны.
При подходе штифта к упору рейку передвигают вверх до
закругления и переводят после этого штифт налево вниз, нажимают
на скошенный выступ и передвигают рейку следующего разряда
(здесь десятки) на единицу вниз (в примере получается 281). Задача
решается в форме
274 —(10 —7)+10.
На упоре имеется стрелка, указывающая, в каком направлении нужно
передвигать рейку. При выполнении многократного переноса десятков,
например 9999 -{-1, необходимо внимательно следить за результатом.
Для вычитания служит нижняя часть прибора (при других
подобных приспособлениях — обратная сторона), см. фиг. 18. Если
хотят из установленного числа отнять, например, число 6, то
движения будут противоположны движениям при сложении и также
выполнятся с помощью переноса десятков, так что пример решается
в форме
274 +(10 — 6) — 10.
В нижней половине прибора „Saldo-Neg" стоят дополнения до
десяти в примере (999)726. Если нужно от числа 274 отнять
число 430, то нужно внизу прибавить число 430. При прибавлении 4
в ряду сотен в ряду тысяч должна быть прибавлена 1; однако
вместо 9 внизу появится не нуль, а знак минус; это значит, что

24
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
показавшийся результат означает—156. Чисто формально задача
решается в форме 1000 000 — 274 + 430.
С приспособлениями подобного рода можно относительно скоро
и просто решать несложные задачи [152] *).
2. ПРИБОРЫ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
ОБЗОР
Умножающие и делящие приборы служат для решения задач вида
z = k • х • у с переменными z, x, у и постоянным множителем k.
Это выражение, смотря по тому, разрешено ли оно относительно z
или х или уу должно рассматриваться как умножение или деление.
Решение этой задачи с помощью счетной линейки или счетной машины
будет рассмотрено особо.
2.1. Собственно умножающие и делящие приборы
2.1.1. Счетные механизмы. Эти приборы за редким исключением
являются кинематическим истолкованием геометрических фигур.
Механизмы с угловой кулисой и подобные им конструкции
содержат рейки с направляющими и в большинстве случаев угловой
кулисный механизм.
Из фиг. 20 имеем соотношение x:z = a:y. Если обеспечить
возможность движения направляющей рейки 2 направо и налево и
обеспечить возможность передачи движения z с помощью разреза 5 на
рейку 2, то установкой х и у можно получить для z смещение
z = x-y:a, где \\а — постоянный множитель (см. [151а, в]).
Подобная конструктивная форма применена, например, в трубке Вен-
тури ([163] и [166]), в которой для получения протекающей массы
жидкости скорость протекания жидкости надо умножить на
поперечное сечение2).
Схема, представленная на фиг. 21, также может быть использована
для конструирования умножающего или делящего прибора. Из подобия
треугольников следует v = a • b : и. Если подшипник для рейки V
сделать неподвижным (Ь — const), то получается прибор для вычисления
обратных значений (I, 3.11). Если же подшипник может перемещаться
параллельно направлению Ь, то получаем умножающий (b = v • и:а)
или делящий (v ==а - Ь:и) приборы (а = const).
*) О конструкциях машин см. раздел 1,5. О возможности
применения электрических принципов к приборам для сложения и вычитания
см. [119].
2) Скорость протекания жидкости определяется с помощью прибора,
извлекающего корни (см. I, 3.1.2), а именно извлечением корня из разности
давлений.

2. ПРИБОРЫ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
25
Несколько иное решение (фиг. 22), основывающееся на теореме
о пучке параллельных прямых, пересекающих стороны угла, дано
Куленкампфом [112]. Из подобия треугольников непосредственно
получаем соотношение z = x-y:a {a — постоянная). Кроме этого,
можно заметить, что установка исходных данных с помощью вращения
некоторых элементов прибора дает возможность получить результат
также в виде поворота нового элемента: вал // для установки
величины у представляет собой винт, спаренный с гайкой Л, которая при
вращении вала //перемещается на расстояние j/. Подобным же образом
выполнена гайка G для перемещения х. Линейка V представляет
собой зубчатую рейку, приводящую в движение шестерню VI для
получения величины г.
Якоб [94] включает между тремя рейками, перемещающимися
соответственно значениям х, у, z (фиг. 23), параллельный
кривошипный механизм, одна сторона которого может вращаться вокруг
неподвижной точки О и скользить сквозь нее. К этой же стороне
присоединена рейка для переменной х. К другой стороне
кривошипного механизма шарнирно присоединены рейки для z и у.
Заштрихованные подобные треугольники позволяют непосредственно заметить
соотношение z=x-y:a.
Колесные и шаровые механизмы. Новые конструктивные
возможности дает применение фрикционной передачи. В этом случае из-за
необходимой прижимающей силы механизм работает с динамической
связью. Если механизм должен также выполнять работу
регулирования, то необходимы особые приспособления (см. также IV, 2.4
и [114]).
На колесно-фрикционном механизме (фиг. 24) имеем
соотношение у • dy = г • da или, так как -~ = ооа и -^- = акр, то также у • охр =
= г • гоа. Если подобрать теперь величину х так, чтобы она сделалась
пропорциональной угловой скорости (от, и величину z —
пропорционально угловой скорости гоа, то получим решение задачи у • х =г • z
(ср. также [114]).
Описанный механизм применяется также для дифференцирования
и соответственно интегрирования на основании дифференциальных
уравнений (ср. разделы III и IV). Это имеет место также в шаровые
фрикционных или сферических механизмах.
Гель-Шау дает следующий пример шарового фрикционного
механизма со специальным регулированием (подобная форма встретится
нам в разделе V при изучении анализаторов). Два расположенных
в перпендикулярных плоскостях ролика А и В (фиг. 25) касаются
шара по его большому кругу. Ролики помещены на неподвижной раме,
а их плоскости проходят через центр шара О. С осью НН
неподвижно связана перпендикулярная к ней рейка ОР, которая благодаря:
разрезу может скользить около точки Я, находящейся на оси ролика А.
Если ролики А и В поворачиваются соответственно на углы а и р,

►iM
5Я&5—l]
Ф
\*
Фиг. 20.
Фиг. 21.
Фиг. 22.
Фиг. 20—23.
Умножающие , механизмы.
Фиг. 23.

2. ПРИБОРЫ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
27
то для угла поворота шара ф вокруг оси НН имеем соотношения:
г • а = R cos т • ср и г • р = /? sin 7 • ср,
где г — радиус роликов. Таким образом р: а = tg ^ или, обозначая
'Ж1 so-
Фиг. 24. Умножающий
колесно-фрикционный
механизм.
Фиг. 25. Сегментно-шаровой
фрикционный умножающий механизм.
R-\-r=^d и принимая во внимание, что tg^ = c:d (см. фиг. 25),
окончательно получаем:
$ = a-c:d.
Устанавливая перемещение с и поворачивая ролик Л на угол а,
получаем на ролике В желаемое
произведение:
р =а • c:d.
Обратный процесс позволяет
получить делящий прибор.
Криволинейный механизм.
Подобное же представление величины z
в виде произведения z = x • у можно
получить в прямоугольной системе
координат с помощью равнобочной
гиперболы.
Представим себе криволинейное
тело V (фиг. 26), меридиональное
сечение которого соответственно углу
сечения Z является гиперболой. Мы
получим механизм, изображенный на
фиг. 26. Если установить величину х и вращать ручной маховичок //
для установки величины z до тех пор, пока на шкале колеса IV не
Фиг. 26. Умножающий механизм
с криволинейным телом.

28
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
установится второй множитель у, то z будет искомым произведением
z = ху. Практическое применение затруднено из-за технически сложного
производства криволинейного тела, не являющегося телом вращения г\
Преобразование в суммирующий прибор. Фоттингер [50а] предлагает
преобразовать произведение w = и • v в сумму. Это можно, например,
выполнить с помощью логарифмов, как lg w = lg и + lg v, или между прочим можно
положить H = sina, v = sin р. Тогда w = -~ [cos (a — J3) — cos (a + J3)]. В первом
случае употребляют логарифмические или экспоненциальные механизмы»
Во втором случае применяют многочисленные тригонометрические механизмы
наряду с обычными суммирующими приборами2).
2.1.2. Приспособления для умножения. Здесь будут описаны
механическая и две электрические конструкции.
Механическая конструкция. Эта конструкция (фиг. 27, а также [5])
представляет собой механическое осуществление лучевой номограммы.
Соответственно перемещениям х и z реек А и В определяется
положение точки Р и вместе с этим положение вращающегося вокруг О
указателя W. Этот указатель относится к неравномерной шкале уу
шкале тангенсов, на которой нанесены деления соответственно
tga= — =у. Если для х и у выбраны различные масштабы (см.
фиг. 27), то шкала изменяется пропорционально постоянному
множителю. Таким образом, устанавливая внизу (рейка А) значение л;,
а на шкале у значение у, произведение z = x-y читаем на
вертикальной оси.
Электрические конструкции. Для того чтобы составить
произведение двух чисел (например, произведение двух координат),
Зевиг [216] предлагает следующую схему (фиг. 28). К проволоке
измерительного мостика АВ подводится постоянное напряжение U0.
Между А и W замеряется напряжение U0 ~, где а обозначает
установленную часть шкалы, поделенную на 100 частей, и передается
на CD. Вследствие этого между D и Z возникает падение
напряжения ^==^о'^'Щ==^о,а'Ргоо > если Р является частью
напряжения, соответствующего установке Z на шкале CD, поделенной
на 100 частей.
*) Уравнение его поверхности в прямоугольных координатах XYZ будет Zy
у
г= YW+Y2, 2> = <р=: arctg j или Y=X-tg (Z тЛА?+Г2), причем
значения xyz соответствуют значениям Z, г = У"А"2 + Y2, у = arctg YjX. Сечения
Z == х = consl дают спирали Архимеда r = <p/Z, а линии пересечения
с цилиндром г = const являются винтовыми линиями.
2) Приборы для умножения являются также регулируемыми колесными
механизмами.

2. ПРИБОРЫ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
29
U измеряется гальванометром G, показывающим, следовательно,
произведение г = а-(3 с точностью до постоянного множителя.
Формула для U является приближенной. Возможность ее применения
связана с условием, что сопротивление Rg гальванометра О велико
по сравнению с сопротивлением RCD, а это в свою очередь велико
по сравнению с RAB> Точность прибора может быть еще более
улучшена, если между источником напряжения и реостатом ЛВ включить
Фиг. 27. Номографический умно- Фиг. 28. Электроцепь для
жающий механизм. умножения.
предварительно сопротивление Rz^> Rab- Если хотят
приспособление использовать для деления, то нужно установить, например, а и
затем передвигать Z до тех пор, пока О не покажет заданное
значение г; ср. также [119]. Стробель [299], не проводя практических
исследований и, в частности, не рассматривая источников ошибок,
указывает, как соединение мостиком может быть использовано для
представления произведения, частного и получаемых при этом
некоторых функций. На фиг. 29 приведена схема соединения для
у = а:х или а=у • х и соответственно у :а= 1 :х; 1 и а —
заданные значения, а х („распределительное значение") может быть
установлено либо от руки, либо соответствующим избирательным
устройством или с помощью некоторого передатчика. „Функциональный
мотор" Mf является электрическим щупом, который, после того как
установлена величина х, устанавливает самостоятельно значение
функции у. Цепь расстроена до тех пор, пока у имеет значение,
соответствующее включению.
На фиг. 30 показана схема соединения для у = ах2-\-Ь
соответственно форме записи (у — Ь):х = х:(1/а). Подобным же образом,
с помощью соединения нескольких электрических цепей, можно
представить полиномы л-й степени, которые при известных
обстоятельствах могут быть приняты за приближения для функции, разложенной

30
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
в степенной ряд. Коэффициенты и неизвестные данного
уравнения могут быть выражены через безваттное сопротивление или также
через напряжения и противонапряжения. Для получения большой
Фиг. 29. Электроцепь
для у = а : х.
Ф и г. 30. Электроцепь
для у = ах2 -\- Ь.
точности лучше всего применять чисто омическое сопротивление
с десятичным распределением 3).
2.2. Пропорциональные механизмы
Пропорциональные механизмы служат для увеличения или
уменьшения величины х в некотором постоянном отношении, т. е. для
решения задачи вида z = Xx. В более широком смысле они
применяются для вычисления величины z = \х -\- \^у. (Это указано при
описании суммирующих механизмов; см.
также раздел IV, 2.4.2.)
2.2.1. Наиболее удобной формой
являются механизмы с цилиндрическими или
коническими колесами (а также
фрикционные механизмы) с передаточным числом X.
В этих механизмах величина X остается
неизменной или при некотором комплекте колес
должна оставаться ограниченной некоторой
определенной величиной X. Можно уничтожить
это ограничение, если рассматривать
„бесступенчатые" механизмы, которые между прочим
обычно используются в форме фрикционных
или сегментных механизмов (см. также 2.1.1
и дальше IV, 2.4.2). Если на фиг. 24 у
постоянно, то с помощью интегрирования получается:
а = Хер, причем X = г/у.
2.2.2. Другие формы пропорциональных механизмов могут быть
получены из умножающих или делящих механизмов тем, что одно
переменное принимают за постоянное. Уравнение z^x-yja может
быть также записано в форме z = ( — )'X, где у la — значение мно-
Ф и г. 31.
Пропорциональный механизм.
*) Об измерительном приборе (счетчике) для произведений и отношений
в технике слабых токов см. [285].

3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
31
жителя X. Так получается из механизма, изображенного на фиг. 20,
механизм фиг. 31. Различные значения \ = у/а получаются
перестановкой подшипника О.
Для заданного значения X и постоянного расстояния между двумя
направляющими /= а -\-у, следовательно, а = //(1 -\- X), так что для
равноотстоящих значений А необходима проективная установочная шкала (о
конструкции с криволинейным механизмом см. 3.3.3) !).
3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Функциональными механизмами являются механизмы для решения
уравнения видаву=/С*0 (или F(x> .У) = 0) пРи установке х, f(x)
может быть при этом любой функцией, так что в эту группу
попадают уже изученные пропорциональные механизмы. Здесь будет
рассмотрен ряд частных задач, как, например, потенцирование или
определение тригонометрических функций и дано общее решение
для произвольной функции f(x). К функциональным механизмам
принадлежат, наконец, механизмы, создаваемые из номограмм,
а также механизированные номограммы, пример которой показан на
фиг. 27 (I, 2.1.2).
3.1. Потенцирующие механизмы
С помощью этих механизмов решаются задачи видаку = с • xnt где
с постоянная, а п может быть целым или дробным (механизмы для
извлечения корня) положительным или отрицательным числом.
3.1.1. Механизмы для вычисления обратных значений.
Простейшая схема механизма для обратных значений (я =—1) дана
на фиг. 32 (см. также фиг. 21),
v = ад/и = с/и.
Изменением b достигается изменение постоянного множителя 2).
Соединением поперечной и угловой кулис получается механизм фиг. 33,
для которого, как следует из подобия, z:r = d:y или z = rd\y,
причем c = d • г можно легко изменять. Дальнейшая возможность
модификации прибора показана на фиг. 34. Так как AU=u и
VA = v, то из прямоугольного треугольника VWU следует, что
a2—uv и, следовательно, при а2 = с, v = c/u.
3.1.2. Механизмы для возведения чисел в квадрат и
извлечения корня. Если в механизме, изображенном на фиг. 32, установить
1) См. [49] и [232J.
2) Ср. также применение механизма в конструкции интегриметра
обратных величин Отта (раздел IV, 1.1.2, фиг. 191).

32
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
равные значения для и и v, то а2 = ab. Если U и V расположить
на одинаковой высоте и обеспечить возможность произвольного
изменения а или Ьу то получаем механизм, представленный на фиг. 35,
в котором при постоянном b вследствие установки а получается
Фиг. 32. Механизм
обратных величин
(tgP = l/tga).
Фиг. 33. Механизм
обратных величин с поперечной
и угловой кулисами.
Фиг. 34. Механизм
обратных величин с двумя
угловыми кулисами.
Фиг. 35. Механизм для возведения
в квадрат и извлечения корня.
а = У а У д. При установке а получается значение a = u2lb] b
целесообразно принять равным 1, 4, 9 или квадрату какого-либо
другого числа, чтобы при извлечении корня иметь рациональный
множитель пропорциональности. Другую возможность дает принцип
удвоения углов, использующийся в степенных планиметрах (см. раздел
IV, 1.1.2, стр. 206); это осуществляется соединением поперечной
кулисы с симметричной угловой кулисой (фиг. 36).

3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
33
Из фиг. 36 непосредственно имеем соотношения:
V = / - cos -J-, z = 2r cos a = 2r (2 cos2 у — 1) = 4r ( y-Y — 2r,
Фиг. 36. Механизм для возведения в степень и
извлечения корня.
так что для расстояния г точки Р от точки Л, удаленной от W
на расстояние г, имеет место соотношение
г = *+2г = 4г-(-уУ или ^ = -1 |/
Конструкции для возведения числа в произвольную степень могут
быть найдены из описанных в 3.1.3 и 3.3
криволинейных механизмов (см. также [301]).
3.1.3. Механизмы для возведения числа
в произвольную степень.
Криволинейная направляющая. Пусть
кривая k (фиг. 37), вращающаяся вокруг
неподвижной точки О, имеет уравнение
r = c]/cos?, как в планиметре Лоренца
(см. IV, 1.1.2). Кривая k выполнена в виде
дуги с разрезом. Следовательно,
перемещение v шатуна равно г и из соединения с
у \п
кулисным механизмом следует!—J = cos? =
= sin2, и, полагая z = a-simL, имеем
г=1г-уп, где k = ajcn. С помощью
подходящего выбора величин а и с величина k
получает нужное значение.
Случай п = — 1 получается, если разрез перпендикулярен к
направлению, по которому откладывается величина с (фиг. 33).
Фиг. 37.
Потенцирующий механизм с
криволинейной направляющей.
3 Зак. 1242. В. Мейер.

34 I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Решения с иными криволинейными механизмами изложены в 3.3.1
(ср. также IV, 2.4.2).
3.2. Тригонометрические механизмы
Эти механизмы служат для того, чтобы получать перемещения^
соответствующие тригонометрическим функциям угла ос. Приборы
могут служить также для получения обратных и циклометрических
функций.
3.2.1. В качестве синусного или косинусного механизмов может
быть применен кулисный механизм, представленный на фиг. 38
(а = с • cos я, b =d • cosa= d • sin ,3), или карданово движение
(фиг. 39), если оно конструктивно выполнено в виде катящихся
Ф и г. 38. Синус-механизм Ф и г. 39. Синус-меха-
с поперечной кулисой. низм, основанный на кар-
дановом движении.
друг по другу кругов, обозначенных пунктиром (внутреннее
сцепление), или в форме равноколенного шатуна (если обеспечить
возможность осуществления всех значений угла а).
Одно из многих применений поперечной кулисы в качестве косинусного
или соответственно синусного механизма (см. также I, 6.2.1 и IV, 1.1.5)
встречается в „преобразователе координат" — в приборе Сперри (прибор для
корректировки зенитной стрельбы, см. [288]), в котором из полярных координат
точки г и cf должны быть определены прямоугольные координаты
х = г cos 'f, v = г sin ср.
Две поперечные кулисы с двумя взаимно перпендикулярными
направляющими соединены при помощи штифта. Этот штифт с одной стороны сцеплен,
с радиальным разрезом диска, могущего вращаться, и с другой стороны
с лежащей на криволинейной направляющей, изогнутой по спирали
Архимеда, шайбой, вращающейся соответственно значению г. В спирали
расстояние от центра равно (или пропорционально) г, так что поперечные кулисы
получают перемещения г cos ср и г sin ср.
3.2.2. Тангенсный механизм получается из левой половины
механизма фиг. 21 с помощью подстановки угла а, причем u = a-igct.

3.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
35
Если угол установить на рычаге WU (без рейки и), то для v читают
значение v = b*ctgai т. е. имеют, следовательно, котангенсный
механизм. Можно получить тангенсный механизм со сдвигом фазы, если
сделать угол UWV не прямым, а равным у. Тогда при b = 1 длииа
v = — tg(a+T) Ь2).
3.2.3. Косекансный (1 : sin-) механизм показан на фиг. 33. Если
удалить левую часть механизма, то у = d :sina = d :cos (90 — a)3).
3.3. Общие функциональные механизмы
3.3.1. Общие возможности для определения y = f(x).
Кулачковый механизм изображен на фиг. 40. Из чертежа видно,
что центр ролика описывает кривую y—f (x) относительно кулачка.
Форма кулачка должна быть, следовательно, кривой, эквидистантной
f(x) и отстоять от нее на расстоянии, равном радиусу ролика.
Это также можно осуществить кулачком, вращающимся вокруг
неподвижной точки (фиг. 41). В этом случае форма кулачка должна
быть кривой, эквидистантной кривой, уравнение которой в полярных
координатах г =/ (<р) и где центр вращения принят за полюс.
Механизм устанавливают таким образом, что значению ср = ©0
соответствует значение у = г = г (<р0). Обе конструктивные формы являются
системами с динамическими связями, так как ролик должен
прижиматься; динамическая связь может быть заменена кинематической, если
кривые выполнить в виде разрезов, в которых может скользить
точка А (ролик).
Если величина y=f(x) должна быть непосредственно найдена,
как значение угла поворота, то получаем механизм, схематически
изображенный на фиг. 42, при котором b постоянно и форма кулачка
г == г (<р) должна быть определена соответственно желаемому закону
передачи y=f(x) или j3=/(a). Так как при аналитическом
*) Для считывания значений круговых функций целесообразнее всего
применять функциональный измеритель Манормус. На основной плоскости
инструмента начерчен круг с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами
и касательными в их концевых точках. Вокруг центра может вращаться
прозрачная пластина с нанесенным на нее радиусом, составляющим угол а
с горизонтальным диаметром. С ним связан малый круг, также начерченный
на пластине. Диаметр малого круга равен половине диаметра большого: он
проходит, следовательно, через центр большого круга и касается его
изнутри. Если установить какой-либо угол, то на касательных засекаются
значения tg a и ctga и читаются на соответствующих шкалах. Малый круг
встречает вышеуказанный диаметр в точках, расстояния которых от центра равны
соответственно cos а и sin a, как при кардановом движении (фиг. 39).
2) Геометрически значения тригонометрических функций получаются на
круге единичного радиуса. Шрифтовый аппарат „Кресс" для решения
прямоугольных и косоугольных треугольников представляет эту схему
механически.
3) О применении обратных величин в интегриметре ср. раздел IV, 1.2.1.
3*

36
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
решении, вообще говоря, получаются неудобные выражения, то
рекомендуется проводить численное определение, например, по фиг. 43 и 44.
Отложим в точке А на АВ или ее продолжении угол айв точке В
угол р==/(а) и сделаем ВС=Ь. Тогда АС является радиусом-век-
Ф и г. 40. 2 сдвига.
Фиг. 41. 1 сдвиг, 1 поворот.
Фиг. 40 и 41. Криволинейные механизмы в качестве
функциональных механизмов.
тором, соответствующим углу а, и угол CAB—а равен полярному
углу ср. На фиг. 44 показана форма кулачка, получающаяся из точек С,
наносимых для каждого значения ср. Однако при практическом
применении не должно иметь место заострение, этого можно добиться
с помощью другого выбора Ь или АВ
или изменения направления отсчета углов.
Механизмы с перекатывающимся
рычагом. Описанные выше движения можно
обобщить, если вращение кулачка вокруг А
передать на кулачок, вращающийся вокруг
В. При этом кривые скользят друг по
другу. Уравнения кривых могут быть
получены путем решения относительно сложного
. ,0 Л о дифференциального уравнения (см. [151а],
Фиг. 42. Функциональный г»«о 1\ч <
механизм с криволинейными СТР- 228 *))> которое, однако, может быть
двумя значительно упрощено, если поставить
условие, что отсутствует скольжение и
имеет место только качение кривых друг
по другу (см. также [22]). Тогда точка касания Р лежит на
прямой АВ (фиг. 45) и для полярного уравнения овальных
(фрикционных или зубчатых) колес получается:
Р=/(ос) или a—g($)f ri-\-r2 = d = const.
направляющими и
вращающимися элементами.
*) Впрочем, там между членами стоит не плюс, а минус.

Я. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
37
Так как в точке касания Р скорости или элементы дуг должны быть
равны, то в добавление к предыдущим соотношениям имеем:
Г! di — r2 d$ или
da
г*
Но так как ~- =//(а) (и также -тг- = „ , v
йГа
//(а)==Л ^__
V ' Го fl? — Г i
'■ &' (Р))> т0* следовательно,
или rx = d •
/'(«>
f (a)4- 1
ВОЙ &j И
Го = rf •
в качестве уравнения кри-
«'(»
=</.
1
в качестве уравнения кривой &>.
Фиг. 43. Ф и г. 44.
Ф и г. 43 и 44. Эскиз механизма согласно фиг. 42.
Например, степенной закон $ = с - а^ и /' (а) = /г • с • a^-i = n Ус^-1
дает кривые
crta^-i 1
1 + пУ"с^-1
которые имеют форму обычных спиралей (см. [281]).
3.3.2. Механизмы для решения уравнения в форме f(x) = g(z),
не разрешенного, следовательно, относительно х или г, могут быть
сведены к инструментам,
описанным в 3.3.1. Написав у=/(лг) и
y = g(z), можно каждое
соотношение осуществить с помощью
механизмов, описанных в 3.3.1.
Механизмы при этом должны
быть связаны таким образом,
чтобы они имели общий
элемент К, производящий
перемещение или вращение * Y. Например,
показанный на фиг. 40 толкатель
должен приводить в движение
кривую, перемещающуюся вертикально и удовлетворяющую
y = g(x) (ср. также IV, 2.4.2).
Фиг. 45. Перекатывающийся рычаг
в качестве функционального
механизма.
закону

38
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
3.3.3. Механизмы для z =f(x, у), т. е. для определения z в
зависимости от двух переменных, могут быть сведены к описанным выше
(например, фиг. 41), если в уравнении z=f(xyy) рассматривать х
как константу. В таком случае вращение у кулачка, подчиненное
закону г=/(х,у) (х—постоянная, г —
радиус-вектор, у — полярный угол), переходит
в перемещение z= г. Так как каждому х
соответствует иной кулачок, то получаем
тело К (фиг. 46), поперечное сечение
которого имеет уравнение г=/(х, у) для х =
= const, а продольное сечение представляет
собой кривую с уравнением z =f(x, у) для
y=z const1). Принципиально получается
механизм, изображенный на фиг. 46, с помощью
которого перемещения могут быть
непосредственно преобразованы во вращение.
В механизмах для умножения (а также
пропорциональных механизмах для любого х = k —
— const), согласно z — ху, сечения,
перпендикулярные к оси, являются спиралями Архимеда
z = const • у (х — const) и меридиональные
сечения — прямыми z = const • х (у = const).
Другую конструкцию можно получить, если на листе начертить
различные кривые у = const и затем этот лист навернуть на цилиндр
(фиг. 47), угол поворота которого равен zy а указатель при
соответствующем вращении цилиндра устанавливается на кривой для
желаемого значения у.
Решение задачи f{x, у) = О
может быть представлено как частный
случай описанной выше задачи при
z = 0.
Фиг. 46. Механизм с
криволинейным телом для
вычисления z—f(x, у).
у=const
к
-э-2
Фиг. 47. Механизм с
семейством кривых для
вычисления z =/ (х, у).
Фиг. 48. Конструктивное
осуществление нормальной формы
уравнения прямой Гессе.
!) В прямоугольной пространственной системе координат XYZ
поверхность имеет уравнение r=f{Zt <?)> причем xyz соответствуют значениям Z,
<p = arctg Y\Xt z — r = YX1 + У2. Ср. также 2.1.1, где не у, a z является
величиной угла поворота. Для z = x\y получаем такое же тело, как и там.

3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
39
3.3.4. Кроме этого, разработаны многочисленные формы
специальных механизмов. Приведем здесь для примера некоторые из
них.
Применение нормальной формы уравнения прямой приводит
к механизму, указанному на фиг. 48 [91, 151а, Ь], для которого
имеет место соотношение е • cos я-{-у sin ос = d и который между
прочим при установленных значениях е, у и d дает возможность
разрешить уравнение е • cos а ~\-у • sin a = d относительно а.
Дальше надо указать на логарифмический циркуль Брауера:
[24, 135, 186], который позволяет определить в виде отрезка
значение lg (#-{-#) по заданным в виде отрезков величинам \ga
и \&Ь.
VI —U
Для представления выражений вида 2 атУт и 2 <A«i cos m0L
(см. также приборы для сложения колебаний, стр. 293) имеются
механизмы Погги [188, 189]. Кроме
этого, разработаны приборы для
определения деформации профиля [254], а также
для определения искажения (растяжения)
кривых при изображении их на
логарифмической бумаге [235].
Приборы для решения численных задач
могут быть также образованы
механизацией номограмм, криволинейных шкал и Ф и г. 49. Номографический
гсуг(лл механизм с прямолинейным
т. д. [zoyj. указателем.
Специальную группу составляют
номографические механизмыi которые могут
быть получены, как это было указано автором [151а, Ь],
механизацией номограмм [127]. С помощью деформации шкал и
сложных номограмм может быть создан целый ряд механизмов, которые
отчасти были уже описаны выше. Номограмма с криволинейными
шкалами (фиг. 49) и прямолинейным указателем (сложная
номограмма, состоящая из нескольких шкал) может быть, например,
механизирована следующим образом: цапфы £/, V и W перемещаются
по кривым /, 2, 3, выполненным в виде прорезов, а указательная
линия вращается в цапфе W и имеет прорезы в цапфах U и V.
При этом положения точек U, V, W на кривых однозначно
определяются с помощью трех переменных а, |3, f> которыми являются
либо вращения, либо поступательные перемещения.
Если координаты этих точек обозначить через
*i=/i(«), *2=Л(Р)» *з=/з(т)»

40
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
то условие, что три точки лежат на одной прямой, дает
соотношение (см. [42]):
1
1 = 0, т. е. /=,(я,Рл)=°-
Лп
У2
У-6
Особый случай параллельных шкал был уже многократно
использован выше; интересующихся подробностями мы отсылаем к
библиографии.
В виду того, что описанные в разделе I, 1—3 вычислительные
механизмы будут в дальнейшем встречаться в качестве составных
элементов приборов, мы так подробно и остановились на их
изучении, не говоря уже о том, что они сами по себе могут быть
применены для различных задач техники. Прежде всего нужно указать
также на их значение для военно-технических задач (см. [53,
111—114, 238, 281, 282, 297] и раздел IV).
о 1
4. СЧЕТНЫЕ ЛИНЕЙКИ
4.1. Основные понятия
Счетная линейка наряду со счетной машиной является важнейшим
счетным пособием; на ее применении в качестве суммирующего
прибора мы уже останавливались выше (фиг. 16); сложение или вычитание
чисел выполняется на линейке прикладыванием отрезков друг к другу.
4.1.1. Функциональная шкала. Можно значительно расширить
область применения счетной линейки, если на неподвижной и на
подвижной ее частях на-
l f(y) *-\ нести функциональную
шкалу (см. также [127]).
Функциональная шкала получится,
если отложить на прямой
от некоторой начальной
точки отрезки u = l-f(x)y
где / — коэффициент
масштаба (единица длины), и
подписать в конце отрезка
не и, а просто
значение х.
Пример такой шкалы показывает фиг. 50 для и = 1-х2. Деления
здесь неравномерны, и нужно в различных интервалах выбирать
различные промежуточные деления. Для того чтобы иметь возможность
оценить промежуточные значения, ширину интервала, т. е.
расстояние между двумя делениями, целесообразно выбирать не менее
0,5—1,0 мм.
t
Д
I—-IfW-H
I ffZi
Фиг. 50. Конструкция функциональной
линейки.

4. СЧЕТНЫЕ ЛИНЕЙКИ
41
4.1.2. Функциональная линейка. Если две функциональные шкалы
расположены рядом друг с другом (фиг. 50) и если на одной из
них нанесены величины /•/(#)> а на другой — I • f (у), то,
передвигая шкалы относительно друг друга и суммируя отрезки, получим
величину, под которой стоит число г, определяемое.из уравнения:
'•/(*) = /•/(*) + *•/СУ) или /(г)=/(*)+/(.у). (1)
Это есть расчетное уравнение линейки с одинаковыми
функциональными шкалами на подвижной и неподвижной части и с одинаковыми
масштабами; величина /(г)=/(г)—/(у) может быть при этом
вычислена как разность отрезков.
На фиг. 50 употреблены шкалы для f(x) = x2y т. е. для z следует
уравнение z2 — х2 -+- у2 или z = У х2 -\-у2 и при вычитании z = Y*2—У2-
С такой линейкой можно складывать квадраты чисел; на фиг. 50 в качестве
примера показано вычисление: 32-г-42 = 5^.
Можно получить несколько более общее уравнение, если на
неподвижной шкале нанести величины /, •/(.*), а на подвижной —
величины i2'g(y)> т. е. использовать
различные шкалы (фиг. 51). f*~~ WW "J
Из сложения отрезков тогда следует
W(*) = Л ■/(*)+WOO
или
f(z)=f(x)+\g(y)9 (2) k^;
fm-
где \z=i2:l1; для одинаковых масшта- г* irfczy ^
бов Х=1. Фиг. 51. Обобщенная функ-
Из этих простых соображений и циональная линейка.
с помощью применения дальнейших
номографических вспомогательных средств можно получить целый
ряд специальных счетных линеек, содержащих соотношение
между более чем тремя переменными. Рассмотреть их подробно
в отдельности нам не позволяют рамки этой книги (см. [127, 259]
и особенно [307] и опубликованные статьи в сообщениях AWF —
комитета по рационализации производства). Особое распространение
получила логарифмическая счетная линейка, на которой нанесен ряд
специальных шкал. Эту линейку мы изучим более подробно.
4.2. Логарифмическая линейка
4.2.1. Основные соображения. Если выбрать логарифмическую
шкалу, т. е. нанести значения l-\gxy как это, например, можно-
видеть из фиг. 52 на шкалах С и D, то сложение отрезков даетР,
согласно уравнению (1), следующее соотношение:
]Sz = ^gx-\-Agy или z = x-y,

42
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
т. е. сложение отрезков означает умножение соответствующих им
чисел, а вычитание отрезков соответствует делению. Своеобразие
обычной логарифмической шкалы состоит еще в следующем:
1. Деления от 1 до 10 имеют тот же самый характер, как и
деления от 10 до 100 и т. д., так что в отношении
последовательности цифр безразлично, умножаем ли мы 23 на 44 или 2,3 на 4,4.
Место запятой может быть легко определено с помощью
приближенного подсчета.
2. Процентная точность, с которой можно прочитать результат
или установить исходные данные, в основном одинакова для всей
Фиг. 52. Логарифмическая счетная линейка.
шкалы: при линейке нормальной длины в 25 см можно на шкале
(фиг. 52) так же хорошо прочитать число 1,001 вблизи начала, как
и 9,99 вблизи конца шкалы. В обоих случаях ошибка составляет 0,1°/0.
Из простых теоретических соображений следует, если предположить,
что ошибка при установке составляет 0,1 мм, т. е. 1 :2500 всей длины
линейки, что ошибка Ди в результате и = lg x будет, с одной стороны,
dx
Аи = 1/2500 и, с другой стороны, bu^du =\ge—, так что для ошибки
dx = Дл" в величине х получим:
н г 1
— = Л- • Д л = 2,303: 2500 = 0,0009 ^ 0,001.
х Ige
Процентная ошибка составляет, согласно этому, также ОДО/q1).
4.2.2. Конструкция. Счетная линейка состоит из твердого
корпуса линейки (фиг. 52), перемещающейся в нем подвижной шкалы
!) По исследованиям Ристау [201] ошибки при расчетах со счетной
линейкой зависят от ошибок при установке исходных данных, от
округления результата, интерполяции и т. д. и составляют от 1 до 2%. При
логарифмической линейке (нормальная шкала и длина) ошибки составляют от
0,2 до 0,3%.

4. СЧЕТНЫЕ ЛИНЕЙКИ
43
Ф и г. 53. Разрез прецизионной
линейки.
(движка) и стеклянного бегунка, служащего для установки исходных
данных, прочитывания результата и, в частности, для фиксирования
промежуточного результата в особых задачах (см. ниже).
Некоторые специальные линейки имеют также два движка и
другие особые приспособления. Требования к точности счетной линейки,
как к надежному счетному инструменту, достигаются тщательным
техническим выполнением (фиг. 53) и применением специального
материала.
Способ построения шкал С, D и, пожалуй, шкал А и В весьма
различен в разнообразных логарифмических линейках,
приспособленных для решения различных групп
задач.
Мы рассмотрим здесь лишь
основные шкалы и метод пользования
ими.
В нормальной счетной линейке
со шкалой /=25 см на основных
шкалах С и D, как уже говорилось
выше, нанесены величины 25 • \g x.
Так как \g(ab) = \ga-\-\gb и \g^- = lga— \gb, то с помощью
этих шкал можно производить умножение и деление. При задании
3X4 результат находится под цифрой 4 шкалы С (короче под 4С)
вне шкалы D. Для выполнения этого умножения нужно число 3
шкалы D совместить с числом 10 шкалы С, и тогда на шкале D
под числом 4 шкалы С читаем результат 12. Можно провести
решение задачи 3X4 в форме 3:(10:4), так как отрезок от 4 до 10
имеет длину 10:4:
25- (Igl0-lg4) = 25-lg~.
Так как не всегда можно предвидеть, будет ли результат больше
или меньше 10 или 1, то для удобства справа и слева помещены
еще дополнительные деления.
Если произведение должно быть вычислено в форме а • Ь • с (или
подобной), то устанавливают сперва, например, а • Ь, фиксируют
этот (вообще не интересующий нас) промежуточный результат
штрихом стеклянного бегунка и умножают его затем на с.
На бегунке линейки (фиг. 52, 54, 55) справа и слева от штриха,
служащего для установки задания, имеются два штриха, позволяющие совершать
пересчет от HP в киловатты (kW) и обратно, т. е. умножение на 0,736 или
1,36 (1НР = 0,736 kW).
Рядом с числом т: (и с, см. ниже) на основной шкале D часто находятся
константы р, р°, р', р" для пересчета градусов в радианы и наоборот:
1Э соответствует 1/р° = р = 0,01745 радиана (р = ^J
V „ 1/р' = р/60
1" „ 1/р// = р/3600

44
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
или 1 радиан (единица измерения дуг) = (—) = р°градус = р' мин. = р"сек„
Этот способ обозначения выбран очень неудачно, так как буква р используется
для обозначения числа тг/180 и одновременно с индексами „0а, /\ //а для
обозначения других чисел. При новом градусном делении числа р'р" в
каждом случае не нужны: значению р соответствует константа ти/2001).
На верхней поверхности корпуса линейки (на шкале Л), а также
на верхней шкале движка В нанесены числа -Kllgz, т. е. нанесена
функциональная шкала с половинным масштабом и, следовательно,
половинной точностью2).
Так как начала шкал А и D или В и С лежат друг над другом,
то между числом х шкалы D(C) и числом z на шкале А (В)
существует соотношение -^Z- lg^ = /« \gx или
z = x2 или x = Y2-
Таким образом можно возводить числа в квадрат (поэтому
шкалы А и В называются также квадратными), а также извлекать
корни. В последнем случае необходимо принять во внимание место
на шкале, где устанавливается число, из которого извлекается корень;
например, У^0,05 устанавливается на 5, а УЧ),5 на 50. (О решении
задач вида с Yx* clV^> сх2> с!х2 см- табл. 1.)
Для вычисления площади круга служит бегунок с тремя
штрихами, или правый штрих d в соединении со средним штрихом q.
Устанавливают правый штрих на d на шкале С или D и снимают
q = -г itd2 на шкалах В или А. Так как расстояние обоих штрихов
представляет на В или А величину тг/4 = 0,785, то этот процесс
эквивалентен переходу от d к d2 и умножению на тс/4. Подобным
же способом решаются обратные задачи.
Расстояние часто даваемой на шкалах С или D постоянной с от
начала шкалы соответствует расстоянию между штрихами на
бегунках с тремя штрихами или расстоянию между штрихами d и qy т. е.
£ = "[Дг/4 или УЧ/тс. (См. также табл. 1,Г,7.)
Подобным же образом, как и на шкале Л, на шкале К нанесено
кубическое деление ~оЫг, так чт0 между двумя числами х на D и z
на /С, расположенными друг под другом, существует соотношение
z = x3 или x = \/z, т. е. получаем таблицу кубов чисел и
кубических корней. При извлечении корня надо принять во внимание
г) О пересчете от старых градусов к новым с помощью обычной линейки
см. [267].
2) Поэтому не рекомендуется вообще производить чистое умножение или
деление ка А и В (без совмещения с другими шкалами). В таком случае
будет уже достаточна линейка в 12,5 см длины.

4. СЧЕТНЫЕ ЛИНЕЙКИ
45
место, где устанавливается исходное число. Так, при извлечении
|/2000 подкоренное число надо установить на 2, при |/^20 000 — на
20 и при J/200 0U0 — на 200.
Соединяя шкалы К и Л, можно получить также г*'* или г3^ (см.
табл. 1).
Часто на движке наносится обратная шкала R (фиг. 52, 54,
55),'т. е. функциональная шкала для l-\gliyT=z— / . \gy, которая
вследствие этого имеет обратное направление. На это
обстоятельство необходимо обращать внимание при установке и прочитывании
результата.
Прежде всего эта шкала в соединении с основной шкалой D
или С дает возможность получать обратные значения чисел, помимо
Ф и г. 54. Счетная линейка.
этого она может быть применена к задачам вычисления (см. табл. 1),
а также для облегчения умножения или деления: умножение на
число t означает то же самое, что и деление на 1//, т. е. установка
числа t на шкале R и деление на число 5 равноценно умножению на
обратную величину 1/s, т. е. установке числа s на шкале R.
На наклонной верхней кромке усложненной линейки (фиг. 52, 54)
или на прямой нижней кромке (фиг. 55) нанесена равномерная
или линейная шкала L; в других конструкциях эта шкала бывает
нанесена на обратной стороне движка внизу корпуса линейки
(фиг. 52). Если установить с помощью бегунка число х на шкале D,
то на шкале L движок отметит число lgjc, так как на шкале D
нанесены значения х, а на шкале L — логарифмы этих чисел. Поэтому
шкалу L часто называют ошибочно логарифмической.
На шкале L находятся на самом деле только мантиссы
логарифмов, так как они одинаковы для всех чисел с одинаковой
последовательностью значащих цифр. Характеристика логарифма, как
известно, находится непосредственно.
Для вычислений с круговыми функциями и для решения других
задач (см. табл. 1) усложненная линейка имеет шкалу Пифагора
(фиг. 52, 54, 55). На этой шкале нанесены величины 25lg|/"l— х2
так, что между двумя стоящими друг под другом числами у на

46
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
V V
— Jr3!
шкале D1) и х на шкале Р существует соотношение у2 4- л-2 = L
При этом х откладывается справа налево (шкала Р приходится
в обратном направлении) от значений 0 до Y\—0,12, причем деле-
ния к левому краю выполняются более
точными. На фиг. 54 видно, что
1— 0,13712 = 0,99055.
Для отыскания круговых функций и
для вычислений с ними служат
тригонометрические шкалы.
Для того чтобы иметь возможность
снять sin а, на линейке (шкала S) нанесены
величины 25 • Jg sin а. При этом справа
под 10 стоит угол а = 90, так как
lgsina отрицательны при a < 90°. Поэтому
углы могут начинаться только с а^
^arcsin 0,1, т. е. примерно с 5,8°2>3),
но не могут включать значения 0, так как
lg 0 = — со.
Если теперь установить на шкале S
угол а, то на основной шкале D можно
прочесть значение sin а и продолжать с ним
дальнейшие расчеты. Для того чтобы
найти cos а, обычно вычисляют cos a =
= sin (90 — а) как дополнение к 90 — з,
обозначенное красными цифрами и
находящееся рядом с черной шкалой а (см. также
фиг. 54, 55).
Так как sin а вблизи 90° и cos а
вблизи 0° трудно прочесть из-за частоты
промежуточных делений, то в этих
случаях лучше использовать шкалу
Пифагора: если установить а (черные) на
шкале S, то на шкале D получим
значение sin a, a на шкале Р значение
У1 —sin2 а = cos ее, и, наоборот, при
установке а (красные) на Р получаем
значение ]/l —cos2a = sin a.
Ы
а
ю
ю
е
:) у изменяется от 0,1 до 1,0.
2) Промежуточные деления линейки,
изображенной на фиг. 52, десятичные, т. е. градус
разделен на десять частей, как это обычно
принято в технике. См., например, [42].
:i) При конструкциях, приведенных на
фиг. 52, 54, 55, границы лежат при Ъ,8° или
соответственно 5°.

4. СЧЕТНЫЕ ЛИНЕЙКИ
47
Благодаря этому можно получить sin для угла вблизи 90° и cos
вблизи 0° точнее, чем на шкале D (до 5 знаков после запятой).
Граница одинаковой точности лежит при а =45° (ср. дальше
приближенные формулы в табл. 1).
Между прочим надо заметить, что при установке а на шкалах
D и Р одновременно могут быть прочитаны значения sin а и cos a,
но точность в обоих случаях будет различна.
Для определения tga под шкалой S нанесена шкала Т для 25 Igtg a
от а =5,8° или 5° до а = 45° (черная шкала). Если установить на
шкале Т угол а, то на шкале D имеем соответствующее
значение tga, с которым можно проводить дальнейшие
расчеты. Значение a = 45° расположено в правом конце
шкалы, так как tg45°=l.
Для углов 45° <; а .< 90° tg a ;> 1. В этом случае
используется соотношение tga = l/(tg(90 — а)), т. е.
устанавливают дополнительный угол 90 — а на шкале Г
(черная шкала) или угол а (красная шкала) и снимают
значение tg a на обратной шкале. Граница при этом составляет
90° — 5,8°= 84,2°, или 85° (см. также приближенные
формулы табл. 1). Для отыскания ctga используют ту
же шкалу на том основании, что ctga=l/tga. Для
a < 45е устанавливают а (черное) на шкале Т и снимают
результат на шкале /?, а для а>45° устанавливают
а (красное) на шкале Т и результат снимают на основной
шкале D. (О дальнейших вычислениях с круговыми
функциями см. табл. 1.)
Для вычисления степеней с произвольным показателем
степени и для решения соответствующих обратных задач
служит двойная логарифмическая или показательная
шкала Е. Эта шкала обычно наносилась на передней Ф и г. 56,
стороне и начиналась с числа 1,1. На описываемой
линейке эта шкала начинается с числа 1,01 и находится на
обратной стороне движка.
Двойная логарифмическая шкала является функциональной шкалой,
на которой нанесены числа 25»lg(lgAr), под которыми подписаны
значения х *). Эта шкала не может начинаться с л: = 0 ис х = 1>
так как, например, lg(]gl) = lg0 = —оо. Чем больше будет х^
тем теснее будут итти деления на шкале (фиг. 56).
Так как шкала Е начинается с л; =1,01 и кончается числом
х= 105, то она имеет длину
25 • (lglg 105 —Iglg i^oi) = 25 • lgiS^= 25 • 3,0655^75,2 см,
т. е. примерно в три раза длиннее основной шкалы. Для того
) Мы пишем короче: \g\gx.

-48
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
чтобы иметь возможность все-таки нанести шкалу £, ее делят на
три ступени и при этом выбирают (вообще произвольно) начало при
х = е (основание натуральных логарифмов, так как 1,01100^е).
Если совместить движок и корпус линейки (1C->1D), то на
обратной стороне линейки в вырезе видно число е, как начало
последней и конец второй ступени. Над числом е второй ступени
стоит то же число, как и над числом е третьей ступени.
Как выполняется возведение в степень и сходные задачи?
г—*—1
I \е_ .... \z=tx И £ 1
Г' * II о\
U и J
Фиг. 57. Вычисление z = Iх.
1 la
1/
i m
— v ч
lz-a* I
|Х |
1
— и ~\
Фиг. 58. Вычисление z = ах.
Если шкалу Е выдвинуть, например, вперед (фиг. 57) и
совместить число е с числом 1 шкалы D, то над числом х основной
шкалы D будет стоять на шкале Е число ех. Действительно, из
равенства отрезков и и v следует:
l-\gx = l(\g\gz — Iglge), или lgJ|i = iarA%
.или, наконец,
JJL£
ige
= х и z = ех.
Таким образом можно получить степени числа е и при том
соответственно трем ступеням от х = 0,01 (е°>01 == 1,0105) и х = 0,1 (еол =
= 1,1052) до х = 10 (£10==2200)1). Между прочим здесь же видно,
что процентная точность для z уменьшается с ростом х. Процентная
ошибка возрастает равномерно. При £ = 2,718 имеет место
одинаковая точность для основной шкалы и для £-шкалы, так как в этой
точке d{\g\gz) = dQgz). Если с единицей шкалы D совместить не е,
а число а шкалы Е, то над х можно прочесть значение z = ах
(фиг. 58). Действительно, равенство отрезков а и v удовлетворяет
соотношению
/. \gx = l'(\g\gz — lglga),
из которого, как и выше, следует z = ax. Таким образом
оказывается возможным вычислить непосредственно любую степень, если
только х положительно, и а^ 1,01 (см. также ниже).
Если нужно извлечь корень, т. е. х имеет вид 1 : /г, то
устанавливают число а на шкале Е над числом п, установленным на
шкале £>, и получают z1!n над числом 1 или над числом 10 шкалы D.
1 Или до л: = 11,52 (е1
103).

4. СЧЕТНЫЕ ЛИНЕЙКИ
49
Если а< 1, то сначала вычисляют £= 1 : а, затем Ьх и
отыскивают (пользуясь опять обратной шкалой R) обратную величину
1: Ьх = ах. Если показатель степени отрицателен, т. е. должно быть
вычислено число а~х, то вычисляют сначала ах для а > 1 и затем
обратную величину 1 :ах. Для а< 1 вычисляют сначала Ь— 1 :а и
затем Ьх = яг*.
Из соотношения z=ax следует также x = )gaz, т. е. если
установить а на шкале Е против 1 шкалы D, то на шкале D под
числом г шкалы Е получаем логарифмы при основании я, а, в
частности, для а = е (основная установка) получаем натуральный логарифм
In г.
Если движок со шкалами С, Ву R выдвинут вперед, то в вырезе
в перевернутом положении устанавливается число а, после этого
фиксируют движком число 10 или 1 на основной шкале С и
передвигают затем движок до тех пор, пока под штрихом бегунка не
появится число х; тогда в вырезе в перевернутом положении будет
стоять число ах. Здесь, как и прежде, принимают смещение на l\gxy
так как теперь передвигается шкала Е. При извлечении корня, т. е.
для х = 1 :п, п устанавливается на шкале R.
Для того чтобы получить натуральный логарифм числа, на шкале
устанавливается в перевернутом положении z и читается значение
\gz на подвижной шкале С над 1 или 10 шкалы D (о задачах и
таблицах с In z см. табл. 1).
Для того чтобы получить \gazy устанавливают в перевернутом
положении число а, совмещают штрих движка с 1 или 10 шкалы С и передвигают
затем шкалу Е до тех пор, пока в вырезе на задней стороне линейки не
появится число z. Тогда искомое значение находится под штрихом бегунка
на шкале С.
Необходимо внимательно определять место, где устанавливается
число. Можно заметить, что над числом а низшей ступени шкалы Е
стоит число аод и над ним число а0»01. Наоборот, под числом b
высшей ступени стоят числа Ь10 или Ьт. Так, 1,08е =1,587, но не
1,0473(=1,08°>6) и не 100(^ 1,0860).
Возможность применения шкалы Е чрезвычайно разнообразна,
так как в различных областях прикладной математики, физики и
техники встречаются экспоненциальные законы изменения величин,
причем в большинстве случаев с основанием е (закон
излучения, давление воздуха, трение в ременных передачах, кривые
поверхностного охлаждения, адиабаты, политропы, вычисление
сложных процентов, давление при резании и также у строгательных
машин и т. д.) и наряду с этим логарифмические законы
(формула барометрической высоты *), изотермическая работа и т. д.).
1) Эта формула может быть просто записана в известной форме
(Т= const = 273°К): P = p0e~~ht8 (h измерено в километрах), см. [42],
стр. 246.
4 Зак. 1242. В. Мейер.

50
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Таблица 1
Функции, легко вычисляемые с усложненной счетной линейкой
А. Движок в обычном случае совмещен с основной шкалой [1С~>Ш].
Бегунок подвижен
1 Текущий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Функция
X*
Y~*
&
9 j—
Vx
ж*''
х-'*
\\x
1/л:2
11Y*
1/ЛГ2
1/*з
vfx
x-> у
D->A^)
A ->D 2)
D-+K
K-+D
A-+K
K->A
D-+Rnm /? -> D
R->A
A-+R
R->A
R->K
K-+R
Замечания
С помощью использования
бегунка с двумя
штрихами (d -> q) получаем
также а = ——-
4
С помощью использования
бегунка с двумя
штрихами (q -> d) получаем
также d из а = —— i
4
i
!
i
i
1
i
J) Это значит, что если поставить главный штрих бегунка на х шкалы D, то получаем у
на шкале А.
2) При извлечении корня необходимо обратить внимание на место запятой.

4. СЧЕТНЫЕ ЛИНЕЙКИ
51
Таблица 1 (продолжение)
i Текущий
№
13а 2)
136 2)
14 2)
15 2а)
16 2)
17 2)
18 2)
19 2)
Функция
У=/(х)
У 1 — л-2
VI— Л:2
1
У" 1 — д:2
1
1—Л"2
VI —д-
(1 —л;2)3/»
l/i_*v.
х ->_у
D-+P
P->D
P->R
R-+P
Р-+А
А->Р
Р-+К
К-+Р
Замечания
Целесообразно, если
0,1<JC<1/V2"1)
Целесообразно, если
1/V2<*<0,995 i) |
0,01 < х < 1
0 < х < 0,995
0,001 < х < 1 |
1) Чтобы получить возможно большую точность.
2) При 13—19 замечаем следующие приближения: а) если | х \ < 1, б) если xttl,
т. е. х = 1 — е, где 0 < е < 1.
13.
14.
16.
17.
18.
19.
2а)
Vl— х*я
1
Vr="*i~
1—Х2^
УГ^х;^
<i-W/a«
Vi-*a'»J«
*•/'->
a)
ДГ< 1
-4
^■f
1 — ЛГ2 « 1
«4
3^2
2
2
1 >2T,
6)
X = l—e
V2l
1
K2T
2e
VT
(2e)72
VI
с > 1
4*

52
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Таблица 1 (продолжение)
1 Текущий
20а2)
206 2)
21а2)
216 2)
22а2)
226 2)
23а2)
236 2)
24
26
27
28
29
30
31
Функция
>>=/(*)
sin х
sin л:
cos л:
cos л:
tgx
tg*
ctgx
ctgx
180
arc sin x
TZ
1
sinx
1
cos*
sin2 x
cos2 a:
sin3*
COS2 Jt
tcr2 x = —-
tg X ctg2 jc
x ->y
S->D
S->P
S->D
S->P
T-*D
T-*R
T-*R
T-+D
D->S
S->#
S-+R
S->A
S->A
S-+K
S-+K
T-+A
Замечания
Целесообразно, если
50<аг<45°1) (черное)
Целесообразно, если
45°<л:<8501) (красное)
Целесообразно, если
45°<лг<8501) (красное)
Целесообразно, если
5°<*<4501) (черное)
Если 5°<jc<45° 1)
(черное)
Если 450^д:<850 1)
(красное)
Если 5°< д:<45°
(черное)
Если 45° < х < 85° 1)
(красное)
То есть для того, чтобы
получить arc sin, нужно
найденный на шкале S
угол в градусах умно-
жить еще на р = г^ — !
= 0,01745. Аналогичное
имеет место для arc cos х>
arctg xy arc c\gx
Если 5°<лг<90°1) (чер- !
ное)
Если 0 < л- < 85° 1)
(красное)
5° < х < 90° (черное)
0°<лг<85° (красное)
5°<лг<90° (черное) '
0°<х<85° (красное) '
5° < х < 45° (черное)
Ч ?Л конструкции фирмы Фабер-Гастелла углам 5° и соответственно 85° отвечают
углы 5,8е и 84,2*.
2) Для малых углов в=ee.p=6°ic/180= 0,01745е° и для углов х = 90° — е° вблизи 90°
замечаем следующее приближение, которое также применимо для формул 25—34:
sint«tge«e; ctgefcil/e; cos е и 1— в2/2 и sin (90—е°);
tg (90—в9)« 1/е; ctg (90—е°) « е.

4. СЧЕТНЫЕ ЛИНЕЙКИ
53
Таблица 1 (продолжение)
Текущий
Функция
У=/(*)
х ->у
Замечания
32
33
34
35
36
Зба
366
37
38
1
tg*x'
tg*X:
1
tg3*
: Ctg2 X
1
ctg3 л;
ctg3 x
^lg*
ig/W
10*
10ж
10Sa?
Г->Л
T-+K
D-
F -
К
L-*D
L-+R
L->A
L->K
45° <jc< 85° (красное)
5° < x < 45° (черное)
45°<лг<85° (красное)
Только мантисса
Для функций F, читаемых
на шкале D (стр. 43)
х > 0 | На Z, используют
только
следующую за запятой
десятичную дробь
от х (мантиссу)
х<0
*>0
*>0
Б. Движок поставлен произвольно, но неподвижно

Текущий
№
Функция
Установка движка
х->у
Замечания
С*2
сУ!с
С
X*
1С-> cD 1)
\C->cD
1В-+сА
\C->cD
\В->сА
C-+D*)
R
D
С
В
cC
A
->D
или
->R
->A
->D
или
->1D;
->C
R->A
Постоянная с может
быть при этом
определена с помощью
какого-либо
предшествующего
вычисления
Это значит ух = с
(например = а*Ь)
*) Это значит, что 1 или 10 шкалы С стоят против числа с на шкале D.
*) То есть против числа х на шкале С, на шкале D (под главным штрихом стеклянного
бегунка) появляется результат у.

54
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Таблица 1 (продолжение)

Текущий
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
201)
21
22
Функция
с
сх6
сУ~х-
с
IF
с
сх /2
cxlz
с
Х '2
с
х/з
с У 1 — л:2
с
УГ=Т2
с (1 — л:2)
с
(1-х2)
У1— с2*2
с2
1 JC2
VI —сх
V^l
Установка движка
\C->cD
\С->сК
cC->W
1С-+сК
\C->cD
\С->сК
сВ-+\А
-£-! 1В->сК
D
JL\ cB->\D
D
cC->W
cR-*W
cB -> \A
-£-! cB->W
1C->cD
lC-*cD
\B-*cA
-£- ! cB->\D
x ->y
A-+R
C-+K
K->C
R->K
K->R
B->K
K->B
B->K
K->B
P->C
P->R
P-+B
P-+B
C->P
R-»P
B->P
B->P
Замечания
Движок в
перевернутом положении.
Шкала В касается
шкалы D
Ср. с 15—22
приближенные формулы от
А\3 до Л19
Ср. Б, 13 и Б, 14
Ср. Б, 13 и Б, 14
0,1<|слг|<1
од<
м<*
0,01 < сх < 1 |
0,01 < — <1;см. Б, 13
л:
1) В формуле y=Vx*—с2=* I/ 1 — корень может быть вычислен по 20 и затем еще
раз умножен на х с помощью новой установки. Подобное же соотношение имеет место для
у=Ус* —х* = с у 1 — ^г=сУ 1—С>х2 по 19; см. также Г, 8.

4. СЧЕТНЫЕ ЛИНЕЙКИ
55
Таблица 1 (продолжение)

Текущий
№
Функция
Установка движка
х->у
Замечания
23 <
i
24 {
I
I
25 {
26
27
28
29
30
с sin х
С COS*
sin х
с
COS*
с sin2 x
с cos2 л:
с
sin2*
с
cos2*
с J
с tgx — —— <
ь ctg* (
-JL = С -Ctg*<
tg* 5 I
ctg2*
2r = -
ctg2 *
с
tgx
^ = c-ctg2*{
cC->lD
c/?-MD
cB-+W
D
! cB -> Щ
cC-
1C-
1C-
cC-
AD
>cD
-cD
•ID
cB-
■3-.У cB-
D '
AA
AD
JL
D
! cB->\D
cB-*\A
^черное
>
красное
^черное
>
красное
*с
черное _^
красное
^ерное ^ д
красное
т->с
T->R
T->R
Т->С
Г->В
Т->В
Т-
Т-
■В
В
Для 23 до 30 (ср.
приближенные формулы
из примечания 2,
стр. 52)
Ср. примечание 1,
стр. 52
Ср. замечание к Б, 13
5° < * < 45°
45° < * < 85°
5°<*<45°
45° < * < 85°
5°<*<45°
45°<*<85° \ Ср.за-
' меча-
| ние
J к Б, 13
5° < * < 45°
45°<*<85°
31а
316
32
33
Для формул 31 до 40 экспоненциальная шкала Е выносится вперед#
0,01 <*<11,5
ех
ах
In*
еЕ-
eE-i
аЕ-
еЕ-
AD
k
- ID
D
AD
D->E
D->£
D->£
E->D
0,01<&*<11,5
1,01 < a < 106
1159>*> 0,000866^)
На шкале А или
соответственно К
появляется (In *)2 или
(In *)3 и т. д.
1 То есть для а= 105 0,000866 < х < 1 и для а= 1,01 - 1 < х < 1159.

56
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Таблица 1 (продолжение)
I
Текущий
34
35
36
37
381)
391)
401)
Функции
eklx
ekV*
3
екУх
ekIV^
еЧУх
Установка движка
aE->W
-jyl eE->KD
•3L ! aE-+W
eE-*\-D
R
eE->\D
k
^-! eE-+kD
^L\ eE-^kD
x-*y
E->D
D->E
D-+E
A->E
K->E
A->E
K->E
• 1
Замечания
To есть движок
установлен в
перевернутом положении
См. замечание к Б, 35
См. замечание к Б, 35
В. Движок подвижен, бегунок закреплен 2)

Текущий
1
2
3
4
Функция
с-1пх
С
In х
Хп*)
xVn 4)
Установка движка
хЕ
хЕ
xE->\D
-jy-l xE-+W
х ->у
cD->C*)
cC->D
uD->E
uD->E
Замечания
Бегунок закреплен
Бегунок не нужен i
Шкала Е вперед;
бегунок установлен для
*<2,5
См. В, 3 и Б, 35
J) Подобным же образом в 38—40 можно положить Л=1, е=а и еЕ заменить через аЕ
и, таким образом, вычислять д? (■*) или o?Wf где функция <р (jr) указывается на шкале D.
5) Или не нужно.
*) То есть против постоянного с, установленного на шкале D, на шкале С находится
результат у.
*) Если х > 1 и п < 0, то сперва вычисляется х п и затем обратное значение. Если
0 < х < 1, то шкала Е может быть использована только для обратной величины 1/х
хп = 1 = (~) , х~п «=(—-) (см. также стр. 48).

4. СЧЕТНЫЕ ЛИНЕЙКИ
57
Таблица 1 (продолжение}
Г. Дополнение: особые задачи (отдельные расчеты) *)
Текущий
номер
1 г
—— : Ь — обратная сторона Еу но -тН; aC-^D (движок в
перевернутом положении).
D
. ,: &—обратная сторона £; aR->D или aD ^> R.
yi—X2sin2o; 1C->«S (бегунок); ХС-> Я (бегунок).
Объемы кругового цилиндра, кругового конуса и шара выражаются
формулами:
Vmut.=S'h*
у кон.
:£--
^ш. = *'
1,5 '
d*n
где d— диаметр, h — высота, q =——, т. е. найденное на
шкале А, с помощью бегунка с тремя штрихами или отметки с
h d
значение q умножается на этой же шкале на /г, или -~-, или г-?.
Катет я="|Ас2 — Ь2; лучше всего вычислять в форме
а = Y(c — b)(c-\- b), в особенности, если с и b мало отличаются
друг от друга 2).
Гипотенуза с = Уа2-\-№, &<я [265]; устанавливается 10/?->6D
и читается при этой установке я/?->р°Г и отсюда р°5->с/?3)
или решение в форме: с — b У<г2 + ^~b УЭ> z = ТГ^» lC-+bD,
aD -> z?£, где j/ = z2 + 1, j'£ -> cD.
Теорема синусов: sin p/sin a = fc/я; bR-*aS, движок неподвижен и
aR-+$S или aC->aS, движок неподвижен и 6C->pS. Если
отыскивается Ь, то применяется обратная последовательность
вычислений.
*) См. также стр. 48—49.
2) Можно [265] установить сС->10Д прочесть при этой установке в bD->zP и за-
тем zD-±aC.
•) Потому что вспомогательный угол р определяется таким образом, что &s=atg р=г sin p,_

58
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Из области нормальных технических условий (в частности,
ступенчатое изменение чисел оборотов по геометрической прогрессии) должны
40,
быть названы степени числа |/10 = 1,0593, легко снимаемые на
линейке и целесообразно округляемые; см. [286]1).
Для того чтобы вычислить 1CF (х = //40, / = 2,2, ...)» можно также
использовать шкалу L, так как логарифмы нормированных чисел даны через
0,025. Для х<0,275 точнее шкала Е (см. выше, стр.48), длях^>0,275 —
шкала L.
О дальнейших многочисленных возможных случаях применения
счетной линейки см. табл. 1.
В заключение,, принимая во внимание табл. 1, можно сказать,
что возможности, даваемые счетной линейкой, в особенности
усложненной, чрезвычайно велики, не говоря уже о проверочном значении
наглядной связи между отдельными функциями. Ср. также [148,
160, 203, 204, 210, 269а, 307].
4.3. Логарифмические счетные валики и машины
Было немало попыток повысить точность счетной линейки,
увеличивая единицу масштаба шкал2). Так, например, в некоторых
линейках Рорберга [201] длина принята равной /=50 см и этот
отрезок промежуточным делением разделен на шкалы нормальной
длины. Линейка длиной 50 см несколько неудобна для работы. Иной
путь, приводящий к повышению точности линейки, представляет
собой преобразование прямолинейного отрезка в круг, т. е.
перенесение логарифмической шкалы на окружность круга с диаметром
^ = /:тг см. Такая конструкция линейки, называемая счетной шайбой
или круглой счетной линейкой, также ограничена в возможности
своего применения и уже при диаметре свыше 33 см, т. е.
/^ЗЗтср^ЮО см, также неудобна в работе.
На фиг. 59 изображена сконструированная для специальных целей
фирмой „Аскания" круглая счетная линейка диаметром 1 м и/ = 3 м.
Эта линейка является в известной степени заменителем описываемой
ниже логарифмической счетной машины.
На внешней части круга нанесена основная логарифмическая шкала.
Шкалы для sin а и cos а идут по спиралям и благодаря двойному обходу
до arc sin a = 0,01, т. е. а = 0°34'23" = 0,573°.
х) Линейка может быть также использована в школьном обучении
вычисления сложных процентов: скучное вычисление с помощью выражения
(1+P/100)W может быть сейчас же выполнено с линейкой. Также можно
вычислить значение (1 -}- l/n)n до п = 100 и пояснить при этом
приближение к числу е.
2) О более оригинальных и имеющих большую практическую ценность
предложениях см. [107].

4. СЧЕТНЫЕ ЛИНЕЙКИ
59
На стеклянных пластинках плеч, вращающихся вокруг оси, нанесены
радиальные штрихи для установки исходных данных и для прочтения
результата.
Вращающиеся плечи могут быть сцеплены друг с другом подобно тому,
как это делается в описываемой ниже логарифмической счетной машине, но
только в линейке сцеплены и движутся окна, в то время как лента стоит
неподвижно.
Если, например, нужно определить а • Ьу то плечо / устанавливается
на а и плечо 2 на У. После этого их соединяют и вращают до тех пор,
пока плечо 2 не установится на Ь. Произведение а • b читаем под штрихом
плеча 1.
Фиг. 59. Большая счетно-логарифмическая круглая линейка.
Деление производится соответствующим образом. На обратной стороне
линейки нанесена шкала для d= 1Лг2-f-б2 + с2. Линейка служит для
астрономических вычислений, лля обработки геодезических измерений, а также
применяется при расчетах в зенитной артиллерии [297]. Для ее
обслуживания требуется 2 человека. Для обслуживания линейки меньшей конструкции,
с диаметром 60 см, достаточно одного человека.
4.3.1. Счетные валики. В этом случае полная длина шкалы /
делится на несколько частей и наносится на боковой поверхности
цилиндра по образующим фиг. 60.
Жесткий цилиндр, вращающийся в подшипниках, соответствует
корпусу линейки.
Относительно него может передвигаться и вращаться подвижная
часть, состоящая из ряда отдельных счетных линеек и
соответствующая движку обычной линейки.
В некоторых конструкциях фирмы Альберт Нестлер цилиндр
имеет длину 25 см и диаметр 5,5 см; при этом точность прибора
соответствует точности счетной линейки длиной 1,6 м.

60
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
На фиг. 60 изображена конструкция с цилиндром длиной 53 см
и диаметром 16 см. Точность этого прибора такая же, как и у счетной
линейки длиной 12,5 м, что теоретически дает точность, в 50 раз
большую, чем обычная счетная линейка с /== 25 см. Эта большая
конструкция имеет также на движке целлулоидное кольцо затем
для отметок.
Фиг. 60. Логарифмические счетные валики.
4.3.2. Логарифмическая счетная машина 1). В счетных валиках
принцип поступательного перемещения, используемый в обычных
счетных линейках, заменяется винтообразным движением, т. е.
поступательным движением и вращением. В логарифмической машине
используется сцепление отдельных элементов; шкалы нанесены на
перфорированные стальные ленты, которые с помощью сцепленных
зубчатых колес могут перематываться с одной катушки на другую и
проходят под неподвижным окном. Необходимая динамическая связь
достигается с помощью натяжения пружины.
Существенным, однако, является сцепление двух лент (на которых
нанесены шкалы). Для того чтобы вычислить, например, а • Ь, лента (а)
передвигается так, что в окне появляется число а. После этого,
оставляя эту ленту неподвижной, устанавливают ленту (д) так, что
в ее окне появляется число 1. После этого обе ленты соединяют
вместе и перемещают их до тех пор, пока в окне (Ь) не появится
число Ъ\ тогда в окне (я) мы будем иметь результат а • д.
Сцепление лент, которое требует особой внимательности,
производится электромагнитным способом2).
На фиг. 61 показан внешний вид машины. В машине отрезок
от 1 до 10 принят равным 1,5 м> так что точность расчетов в 6 раз
выше, чем при обычной линейке, и практически достигает 0,025° 0.
1) См. [54].
2) См. также механическое значение принципа счетной линейки в 1.2.1.

4. СЧЕТНЫЕ ЛИНЕЙКИ
61
Так как при конструировании машины, в основном для
астрономических вычислений, была поставлена задача нанести угловые
деления в достаточно большой окрестности малых углов, то была
применена шкала общей длиной в 12 м (т. е. 8 логарифмических единиц).
Это означает, что для шкалы тангенсов имеем область от 0°0'26"
до вЭ^Э'ЗЭ", так что заполняется вся длина отрезка и 45° лежит
Фиг. 61. Логарифмическая счетная машина.
посредине, так как tg 45°= 1. Шкала синусов заполняется лишь до
половины и при этом от 0°0'21" до 90°, так как sin 90°= 1.
Зеркальным отображением шкала синусов продолжается в другую
сторону от середины, т. е. от 90°, и представляет таким образом
шкалу косекансов, или шкалу для значений, обратных синусу. Так
как на тригонометрических шкалах большинства линеек нанесены
дополнительные (до 90°) углы, то, следовательно, одновременно
имеем шкалы Co-функций, т. е. для cos, ctg = 1 tg и sec = 1/cos.
Помимо этих шкал предусмотрена еще обычная логарифмическая
шкала, охватывающая числа от Ю-4 до 104, обратная шкала (от 104
до 10~4) и, наконец, равномерная шкала, представляющая
логарифмы указанных выше чисел.
Деление на некоторое число заменяется, как легко можно видеть,
умножением на обратное значение этого числа. Таким образом при
вычислениях приходится иметь дело только с умножением, т. е.
со сложением логарифмов.
В окне Ft (фиг. 61) движется широкая лента с нанесенной на
ней шкалой. Вал G, движущий ленту, вращается с большей
скоростью, поэтому предусмотрена прецизионная регулирующая кнопка,
замедляющая движение. Для того чтобы не искать долго исходное
число, которое должно быть установлено, пользуются сначала вспо-

62
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
могательной шкалой Н, представляющей 50-кратное уменьшение
основной ленточной шкалы.
В то время как лента движется, например, в окне F0, бегунок
L0 движется с помощью особого приспособления по шкале Н со
скоростью, равной 1/50 скорости движения ленты. Таким образом, на
вспомогательной шкале устанавливают округленное значение исходной
величины, используя „грубое" движение, и применяют потом прецизионный
приводной механизм для точной установки соответствующей ленты.
Кнопка S служит для включения или выключения батареи, кнопки
/?', I', I", 1Г, И", III', III"— для приведения в действие
вышеупомянутого электрического сцепляющего устройства.
Хотя эта машина имеет такое же разностороннее применение,
как и счетный валик, все же последний, без сомнения, гораздо
дешевле. Поэтому машина может быть заменена круглой счетной
линейкой (см. стр. 59).
5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
КЛАССИФИКАЦИЯ
Как уже указывалось в разделе I, 1.2.2 (стр. 21), под счетными
машинами мы понимаем каждое приспособление, выполняющее задачи
сложения, умножения и обратные им при помощи автоматического
переноса десятков. В первую очередь .здесь должны быть
рассмотрены механические счетные машины, так как они являются более
общей и лучше изученной формой по сравнению с электро-механи-
ческими машинами1).
При рассмотрении счетных машин с точки зрения кинематики»
главными являются процессы включения-выключения и регулировка.
С точки зрения вычислений основным является способ выполнения
четырех основных арифметических действий.
Счетные машины разработаны до высокой степени совершенства.
Рамки этой книги не позволяют остановиться на всех
разновидностях счетных машин. (Бухгалтерские машины здесь не будут
рассматриваться. См., например, [118] и [133].) Поэтому мы должны
выделить лишь их основные типы и на некоторых из них
разъяснить основные конструктивные принципы. Подразделение в
отдельные группы может быть проведено различными способами. Наиболее
целесообразно исходить из конструктивного принципа, не делающего
особого различия между суммирующими и умножающими машинами,
так как последние за некоторым исключением основываются на
принципе повторяющегося сложения.
*) В механических счетных машинах рабочие процессы совершаются
механическим путем, в электро-механических машинах механизм^ приводится
в действие электричеством. Механические, но приводимые в действие
электричеством машины для сокращения мы будем часто называть электро-меха-
ническими.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
63
В счетных машинах различают три главные части: установочный
механизм (передатчик), механизм переноса и счетный механизм, или
счетчик (приемник). В то время как первая и последняя части весьма
сходны между собой в разнообразных конструкциях, механизм
переноса имеет в них существенные различия. Первая и наиболее старая
группа — это машины со ступенчатыми валиками, основные
соображения о которых имеются уже у Лейбница (1672 г.). Спустя сто
лет эти машины были существенно усовершенствованы, а в 1821 г.
было начато их фабричное производство. Построенные на этом
основании конструкции были позже более широко развиты на
заводах счетных машин.
Известными конструкциями являются также машины „Архимед"
и машины „Рейнметалл" Борзига.
Вторую группу составляют машины со „ступенчатыми колесами" *)*
К этой же исходной форме относятся машины Брунсвига. В
настоящее время этот принцип применяется также в конструкциях
„Вальтер", „Талес", ^Липси".
Третий принцип — прилцип пропорционального рычага —
встречается в известной конструкции „Мерседес-Евклид".
Четвертая группа, основанная на принципе переключателя с
фрикционным упором (переключающая защелка), который положен в основу
счетной машины Гаманна.
Для остальных машин, работающих на принципе повторного
сложения, дальнейшее подразделение производить нецелесообразно, так
как отдельные конструкции всегда оказываются достаточно близкими
к одной из рассмотренных групп. Замечательна также конструкция
счетной машины Монрое [288], принцип которой схож с принципом
ступенчатого валика.
Можно рассматривать в качестве пятой группы машины,
работающие на принципе пантографа. Сюда относятся машины Селлинга
(1886 г. [215]), которые вместе с машинами „Мерседес-Евклид"
могут быть объединены в одну группу—„машины с функциональными
механизмами". К шестой группе можно отнести машины, работающие
на принципе „умножающего тела", например машина „Миллионер".
Для задач сложения и статистических целей применяется имеющий
большое значение принцип перфорированных карт*); он будет
разобран на одном примере суммирующей машины.
Так как вычислителя, во-первых, интересует внешний вид машины и
прежде всего механизм и функциональные клавиши или рычаги, характе
ризующие ее вычислительные возможности, то мы пойдем несколько
необычным путем, начиная с описания внешнего вида машины, и только после этого
перейдем к ее внутреннему устройству.
г) Под машиной со ступенчатыми колесами понимается машина с
колесами, имеющими выдвигающиеся штыри или штифты.
*) Собственно умножающие машины, так называемые мультиплееры, также
входят в состав перфорационных (счетно-аналитических) машин. (Прим. ред.)?

€4
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
5.1. Внешний вид счетной машины
5.1.1. Установочный механизм (передатчик). Как и в счетном
приборе (стр. 21), слагаемое или множимое должно быть
предварительно установлено; при этом различают установку с помощью
рычажков или клавиш. Первое имеет место, например, в колесно-
штифтных машинах с колесами Однера (фиг. 62) !) Карла Вальтера.
!) На фиг. 62—75 использованы одинаковые обозначения (см. также
текст):
А. Механизм приведения в
действие.
1. Ручка.
2. Упор ручки.
G. Установочный механизм
(передатчик).
1. Клавиша или установочный рычаг.
2. Указывающий механизм.
3. Приспособление для отделения десятичных знаков.
4. Гаситель чисел, установленных по одной вертикали.
5. Автоматический гаситель результата при сложении.
6. Гаситель установленных чисел на всей клавиатуре.
U. Счетчик числа оборотов.
1. Счетный механизм.
2. Гаситель.
3. Приспособление для отделения десятичных знаков.
4. Рычаг управления.
W; Каретка (ползушка).
1. Каретка.
2. Главный счетный механизм.
3. Приспособление для отделения десятичных знаков.
4. Установочное устройство для W2.
5. Гаситель для W2.
6. Гриф (клавиши, рычаг) для скользящего движения
каретки: а) полностью, б) частично, в) обратный ход.
7. Общий гаситель для W2, U, G.
М. Установка множителей.
1. Избирательный рычаг электрической машины. Фиг. 69.
2. Клавиши.
3. Указывающий механизм.
4. Гаситель для М2.
S. Включающий механизм.
1. Клавиша для переключения кнопки произведения на -+-
или —.
2. Корректирующая клавиша.
3. Клавиша для сложения.
4. Клавиша для вычитания.
5. Клавиша для деления.
6. Клавиша-минус для деления.
7. Клавиша-минус для деления и умножения
(.Мерседес-Евклид").
8. Клавиша плюс-минус для полуавтоматического умножения.
9. Клавиша для умножения (на машинах Гаманн-Селеста
служит также для сложения и вычитания).
10. Переключатель для четырех расчетных случаев („Гаманн-
Селеста").
N. Дополнительные или спе- 1. Приспособление для обратного переноса,
циальные приспособления. 2. Собирающий механизм.
3. Собирающая клавиша.
4. Собирающая и гасящая клавиша.
5. Разъединяющая клавиша для деления.
6. Включающая дополнительная клавиша.
7. Устройство для частичного гашения.
8. Записывающее устройство.
Дальнейшие обозначения см. в тексте.

.. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
65
Установочный рычаг G1, выступающий из кожуха прибора,
передвигается вниз соответственно устанавливаемому числу, которое
пру этом фиксируется в контрольном или указывающем
механизме G2.
Для того чтобы все рычаги привести в нулевое положение, т. е.
для того чтобы погасить установленное число, служит гасящее
устройство G6.
В клавишной машине (фиг. 63) со ступенчатыми валиками („Рейн-
металл") клавиши приводятся в первоначальное положение при помощи
Фиг. 62. Машина с колесами Однера (колесно-штифтная
машина).
гасителя G4 для каждого ряда и G6 для всей клавиатуры. Для того
чтобы при суммировании нескольких слагаемых перед каждой
установкой нового слагаемого не нужно было гасить числа,
соответствующие уже прибавленному слагаемому, нажимают клавишу G5
с обозначением „Add". Тогда ранее нажатые клавиши выскакивают
снова после каждого поворота ручки. При нажатии какой-либо клавиши
ранее нажатая клавиша возвращается в исходное положение. Для
лучшей ориентации в клавиатуре она окрашена в различные цвета,
и для разграничения десятков, сотен и т. д. имеются цветные
указатели G3.
5 Зак. 1242. В. Мейер.

66
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Среднее положение между клавишными и рычажными машинами
занимает установочное устройство некоторых счетных машин,
например в машине „Гаманн-Манус" (фиг. 64). В ней установочные
рычаги далеко выступают наружу и имеют белые головки. Кроме
Фиг. 63. Машина со ступенчатыми валиками
(ручной привод).
этого, все не стоящие на нуле установочные рычаги возвращаются
в нулевое положение нажатием гасящей клавиши G6. Если эту
клавишу нажать и затем повернуть на 180е, так что ее стрелка будет
показывать на сложение („Add"), то гашение будет выполняться
автоматически после каждого поворота ручки (на фиг. 63 для этой
цели служит клавиша „Add"). При установке клавиши G6 на
умножение „Mult" установочные рычаги сохраняют свое положение после
поворота ручки. В этом случае машина лучше соответствует целям
чисто суммирующей работы, нежели арифмометры, показанные на
фиг. 62 или 66.
С помощью нажатия суммирующей клавиши S3 или вычитающей S4
у машины „Мерседес-Евклид" (фиг 65) достигается суммирующий
или вычитающий перенос установленного числа в главный счетный
механизм. Если рычаг G6' установлен в положение А, то после

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
67
каждого переноса все прежде нажатые клавиши возвращаются в
исходное положение. Если же этот рычаг установлен на М (многократное
сложение), то нажатые клавиши остаются неподвижными. Для ручного
гашения чисел, установленных на клавиатуре, служит гасящая
клавиша G6, для гашения чисел по вертикали служит рычаг G4'. При
Фиг. 64. Машина с переключающей защелкой
(ручной привод).
легком нажатии на какую-либо клавишу остальные нажатые клавиши
этой же вертикали возвращаются в начальное положение. Указывающее
устройство G2, в противоположность прежним конструкциям,
расположено в верхней половине клавиатуры, что повышает удобство
пользования клавишами (см. также показанную на фиг. 68
автоматическую машину „Мерседес-Евклид", модель 38 MS).
Автоматическое гашение чисел, установленных на клавиатуре в автомате
„Архимед", модель М, выполняется в зависимости от установки
рычага G7 (фиг. 71). Таким же важным условием, как и удобное
расположение клавиатуры, является требование возможно
меньшего и возможно более равномерного сопротивления клавиш
нажатию К сожалению, это требование выполнено не во всех
конструкциях.
5*

Фиг. 65. „Мерседес-Евклид" (электропривод).
Фиг. 66. Машина с колесами Однера

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
69
5.1.2. Счетный механизм. Каждая счетная машина, если она
предназначена для выполнения четырех основных действий, должна
иметь по меньшей мере два счетных механизма. Часто один из этих
механизмов (больший) называется счетным механизмом для результата,
а другой — механизмом счетчика оборотов. Это, однако, может ввести
в заблуждение, поскольку результат может быть прочитан не только
в счетном механизме, результата, но и в механизме счетчика оборотов,
как это имеет место при делении. Мы будем поэтому говорить
о главном счетном механизме и о счетчике оборотов. В первом (W2),
который должен допускать установку по меньшей мере 13-значных
чисел, появляется результат при сложении, вычитании и умножении
в виде суммы, разности или произведения. В механизме
счетчика оборотов U1, который редко имеет более 8 мест для
установки цифр, появляется результат при делении, т. е. частное. Этот
механизм получил свое название из-за того, что он считает
число оборотов ручки прибора и связанных с ним элементов (см.
ниже).
Если установить, например, в колесно-штифтной машине (фиг. 66)
число 2143, появляющееся в указывающем механизме G2, и повернуть
ручку А1 два раза в суммирующем направлении (по часовой стрелке),
то счетчик оборотов покажет число 2, а главный счетный механизм —
число 2 • 2143 = 4286. Для возможности вычислений с многозначными
множителями главный счетный механизм W2 помещен на каретке W1
и может перемещаться с нею относительно установочного механизма
посредством грифа W6. Если установленное число 2143 множится
не на 2, .а на 52, то каретку передвигают на один разряд направо
и после этого поворачивают ручку еще 5 раз в суммирующем
направлении. Цифра 5 появится также в механизме счетчика оборотов,
что позволит проверить множитель. Принцип, положенный в основу
этого метода, тот же, что и в обычном умножении на бумаге с
образованием частичных произведений, которые записываются со сдвигом
друг под другом.
При вычитании ручку вращают в обратном направлении. При
этом в некоторых машинах в механизме счетчика оборотов появляются
красные цифры, если он перед этим стоял на нуле. Если результат
в главном счетном механизме отрицателен, то в нем появляются
красные цифры, показывающие дополнение к установленному числу,
и раздается звуковой сигнал. В механизме счетчика оборотов должен
также осуществляться перенос десятков (см. ниже).
Если умножение может рассматриваться как ряд последовательных
сложений, то деление можно рассматривать как последовательное
вычитание делителя из делимого. Последнее стоит в главном счетном
механизме, первый — на клавиатуре. Частное появляется в механизме
счетчика оборотов по мере того, как он отсчитывает, сколько раз
делитель может быть отнят от делимого. Механизм счетчика оборотов
должен работать, следовательно, суммируя, в то время как ручка

70
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
машины вращается в вычитающем направлении (против часовой
стрелки).
В некоторых счетных машинах переключение механизма счетчика
оборотов с белых на красные цифры при переходе от умножения
к делению выполняется автоматически.
Нулевая установка счетного механизма осуществляется посредством
барашка, рычага или грифа.
В арифмометрах (фиг. 62) оба механизма (главный счетный
механизм и механизм счетчика оборотов) в отличие от машины,
изображенной на фиг. 66, расположены на каретке W1. Числа,
установленные в главном счетном механизме, гасятся вращением ручки
W5. Для гашения чисел в механизме счетчика оборотов служит
ручка U2.
Счетная машина со ступенчатыми валиками (фиг. 63 и 70) имеет
для этой цели по одному гасящему грифу (U2 и W5), который
большим пальцем правой руки переводится вправо до упора и затем
самостоятельно возвращается в начальное положение; машины,
показанные на фиг. 71, 72, имеют, кроме того, клавиши U2" и W5" для
автоматического гашения U1 и W2 в каждом положении1).
Подобными же гасителями были оборудованы старые счетные машины
„Мерседес-Евклид". Современные машины, за исключением моделей
с ручным приводом, имеют только электрический гаситель чисел
счетчика и других механизмов; рядом с кнопкой G6 (фиг. 65, 68)
можно заметить гасители U2 и W5. Арифмометр (фиг. 66) имеет
гасящие ручки U2 и W5, которые поворачиваются примерно на 120э
в сторону вычислителя (против часовой стрелки) и затем отпускаются.
Числа, установленные в установочном механизме, гасятся с
помощью гасителя G6, в то время как все механизмы одновременно
приводятся без переключения в нулевое положение с помощью
ручки W7.
В машине, изображенной на фиг. 64, и в некоторых
полуавтоматических машинах выключение механизмов каретки производится
с помощью выключающих рычагов (U2, W5), особых для каждого
механизма. В автоматической машине (фиг. 69) это выключение
производится кнопкой (W5/U2). Для отделения десятичных знаков во
всех машинах над счетным механизмом или под ним имеются
стальные полосы, по которым может перемещаться приспособление для
отделения десятичных знаков; это приспособление устанавливается
перед началом вычислений. При делении часто бывает
желательным, чтобы делимое могло быть установлено непосредственно в
главном счетном механизме. Это достигается в машинах „Рейнметалл"
(фиг. 63, 70) и в машинах „Архимед" с помощью установочного
ролика W4.
х) W7' гасит все механизмы каретки одновременно и вызывает обратное
ее движение.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
71
В счетных машинах (фиг. 64 и 69) для этой цели служит колесо W4,
а в машинах „Мерседес-Евклид" (фиг. 65) — установочный блок W4.
5.1.3. Механизм приведения в действие и регулирующее
устройство. Для того чтобы не слишком утомлять вычислителя ручной
работой и для повышения скорости вычислений, часто переходят
к электрическим приводам с помощью маленьких и легких
электромоторов. Так как сопротивление машины приведению ее в действие
возрастает с увеличением значности обрабатываемых чисел, то при
переходе к большим, в большинстве случаев автоматическим, машинам
применяют исключительно электрический привод и различные
специальные устройства. Средние и малые машины, напротив, как правило,
делаются так, что они могут работать как с электромотором, так и
без него.
В арифмометрах с электрическим приводом (фиг. 67) мотор
регулируется при помощи двух множительных клавиш S3 и S4,
обозначаемых знаками „плюс" и „минус" и служащих для
полуавтоматического умножения.
Мотор работает на сложение, если нажата клавиша „плюс", и на
вычитание, если нажата клавиша „минус". Этот способ
регулирования является наиболее удобным и применяется почти во всех
машинах. В то время как в машине, представленной на фиг. 62,
зги клавиши служат также для сложения и вычитания, в
полуавтоматический машине „Мерседес-Евклид" для этой цели
служат специальные клавиши S7 и S8 (клавиша S1 в счетной
машине „Рейнметалл", фиг. 63). В первых для сложения и вычитания
упомянутая клавиша должна быть только нажата и тотчас же
снова отпущена, для того чтобы совершился только один оборот
счетного механизма. Даже если число оборотов включающего
механизма счетной машины с электрическим приводом достигает примерно
300—400 в минуту, то и тогда нет надобности специально добиваться
умения удерживать клавишу нажатой в течерие достаточно короткогй
промежутка времени, так как при совершении ошибки ее можно
исправить путем нажатия противоположно действующей клавиши.
Однако при таком полуавтоматическом умножении необходимо, чтобы
вычислитель считал обороты включающего механизма. Для того чтобы
несколько облегчить этот процесс, в счетной машине (фиг. 67) имеется
установочная ручка Ml, которая позволяет установить желаемое число
оборотов для каждой цифры множителя.
В современных автоматах и суперавтоматах вычислитель
освобожден от этой работы, т. е. умножение выполняется автоматически
таким образом, что устанавливаются оба множителя, и вычисление
совершается автоматически приведением в действие функциональной
клавиши. В этих машинах оба множителя устанавливаются на
клавиатуре друг за другом (фиг. 69 и 71). В других конструкциях (фиг. 70
и 72) имеется специальная десятиклавишная шкала, на которой один

72
1. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
из множителей, например 346, устанавливается перед началом
вычислений путем последовательного нажатия клавиш 3, 4, 6 или 6, 4, 3.
(См. также стр. ПО и [288].)
В полуавтоматах и машинах с ручным приводом вычислитель имеет
всегда возможность воспользоваться сокращенным умножением и
Фиг. 67. Машина с колесами Однера (электропривод).
решать, например, задачу 51-29 в форме: 51 (30—1); в этом случае
надо выполнить лишь 3 суммирующих вращения для десятков и одно
вычитающее для единиц множителя. Многие автоматические машины
(„Гаманн-Автомат", „Гаманн-Селеста", „Архимед-vM") являются
машинами этого рода, которые умножают автоматически по
методу сокращенного умножения путем установки множителя или
последовательной установки его отдельных цифр (см. также
стр. ПО).
Можно иметь различные мнения о практической целесообразности
автоматического умножения, но нельзя сомневаться в преимуществе
автоматического деления. Некоторые машины с ручным приводом
(„Мерседес-Евклид", „Архимед", „Гаманн-Манус") имеют
приспособления для автоматического деления. Но сушественно
необходимо автоматическое деление в машинах с электрическим
приводом.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
73
Так как деление является рядом последовательных вычитаний и
исправляющих сложений (см. ниже, стр. 116), то делимое должно
быть каким-либо образом перенесено в главный счетный механизм»
Если отсутствует возможность непосредственной установки в счетный
механизм, как это было указано при описании моделей фиг. 63—65»
69—72, то делимое должно быть установлено в месте высших
разрядов клавиатуры и с помощью поворота ручки или приведения
в действие соответствующей клавиши перенесено в главный счетный
механизм. После этого с помощью специальной клавиши или
автоматически должна быть погашена единица в счетчике оборотов (см. также
стр. 117).
Если, например, в счетной машине „Мерседес-Евклид" (фиг. 65)
делимое с помощью установочного блочка W4 перенесено в высшие
разряды главного счетного механизма, причем каретка находится
в исходном положении, рычаг А — М (G6') — в положении А, рычаг
N — D (G4')— в положении N и делитель установлен на клавиатуре,
то клавиша S5 или S6 включает каретку и начинает деление. Наряду
с этим и упомянутым выше методом здесь можно пойти также иным
путем, задавая рядом оба числа на клавиатуре. При этом каретка
находится в исходном положении, рычаг G6'— в положении А,
рычаг G4'— в положении D. После этого, начиная от левого края
клавиатуры, устанавливают делимое, затем в правой половине (красные
цифры) устанавливают делитель, нажимают клавишу S3, затем S4 и,
наконец, S5; следует отдать преимущество непосредственной
установке делимого в главном счетном механизме. В автоматических
машинах (см. модель 38MS, фиг. 68) делитель и делимое
устанавливаются друг за другом и нажим на делящую клавишу S5 проводит
весь процесс вычисления, включая прямой и обратный ход каретки
(см. также стр. 117).
Мы видели, что механизм счетчика оборотов при делении должен
считать в обратном направлении, нежели главный счетный механизм,
так что при автоматическом делении механизм счетчика оборотов
должен быть отрегулирован соответствующим образом. При
последовательном проведении сложения и вычитания требуется иметь
возможность по желанию регулировать работу счетчика в прямом или обратном
направлениях (см. I, 5.3). В машине, изображенной на фиг. 64 (см. также
фиг. 69), соответствующим распределительным механизмом изменения
направлений движения механизма счетчика оборотов является
распределительный рычаг U4. Так как, между прочим, привод этой машины работает
всегда в одном направлении, независимо от того, работает ли машина на
сложение или вычитание, то он имеет распределительный рычаг S3,4
(см. также фиг. 62 и 68), в то время как в машинах „Мерседес-Евклид"
(фиг. 65) для этой цели служит клавиша S2 (при неполном нажатии
клавиши счетчик оборотов выключается). В машине „Рейнметалл"
(фиг. 63) клавиша С (S2), напротив, включает оба переключающих
механизма одновременно на противоположные вычисления. Рычаг U4

74
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
«а фиг. 70, 71 и 72 представляет собой распределительный рычаг
числового механизма.
Передвижение каретки должно выполняться не только механически,
«о и непосредственно с помощью ручного привода; эти
распределись и г. 68. Счетная машина „Мерседес-Евклид Автомат"
(модель 38 MS)
тельные элементы механизма (обозначенные на фиг. 62—73 через W6)
конструируются различным образом. В простейшем случае (фиг. 66)
с помощью бокового нажима на передвигающую клавишу W6 каретка
передвигается только на один разряд, в то время как после нажатия
этой клавиши каретка может быть передвинута на любое число
разрядов. В машине с ручным приводом, изображенной на фиг. 62, при
нажиме на рычаг W6c, передвинутая прежде каретка возвращается
на один разряд, в то время как с помощью рычага W6b она может
быть передвинута каждый раз на один разряд вправо.
Для непрерывного передвижения каретки должна быть нажата
клавиша W6a. О дальнейших возможностях машин можно получить
представление из фиг. 63—65 и 67—73.
5.1.4. Специальные приспособления. Наряду с упомянутыми в
описанных машинах основными приспособлениями имеются различные
специальные устройства, которые часто могут оказаться полезными,
некоторые из этих особенностей будут здесь рассмотрены.
Некоторые машины, например счетная машина „Мерседес-Евклид"
{фиг. 65 или 68), машина на фиг. 69, счетная машина „Рейнметалл"
<фиг. 70) и др., имеют собирающий или суммирующий механизм N2

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
75
С его помощью можно вычислять выражения вида а • b ± с • d ±
z±zefz±: ..., причем могут сниматься также отдельные произведения
Выражение а • Ь, вычисленное обычным образом, появляется в
главном счетном механизме, может быть там прочитано и затем с по-
Фиг. 69. Счетная машина с накапливающим механизмом
[модель SPLT).
мощью нажатия собирающей клавиши N3 переводится в собирающее
устройство и прибавляется к уже стоящему там числу. Если нужно
вычесть произведение, то в машинах „Мерседес-Евклид" надо
использовать его дополнение (рычаг N6, см. ниже, стр. 76 и 77). Перенос
чисел из суммирующего механизма в главный счетный механизм может
быть выполнен приведением в действие рычага SL (N4).
В автоматических машинах с собирающим устройством N2 (фиг. 69)
последнее включается или выключается с помощью рычага N9, а
перенос из главного счетного механизма в собирающее устройство
выполняется нажатием клавиши „00"=W5, в то время как рычаг N4
служит для включения собирающего механизма при обратном про-

76
I СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
цессе. Ручка N4" служит для непосредственного переноса чисел в
главный счетный механизм. Перенос в собирающий механизм может быть
выполнен в суммирующем или вычитающем смысле с помощью
установки регулирующего рычага N3'.
В счетных машинах „Рейнметалл" (фиг. 70) собирание при умножении а
при сложении, как и при полуавтоматическом умножении, выполняется в
исходном положении каретки с помощью клавиши S9, в то время как при
Фиг. 70. Счетная машина „Рейнметалл% модель SASL.
любом другом положении каретки для этого служит гриф N3. Знак
фиксируется с помощью переключающей кнопки N3'. Обратный процесс
переноса из собирающего механизма в главный счетный механизм
выполняется после установки клавиши N3' на А с помощью рычага N4a и
гасящего грифа N4b.
В счетных машинах „Архимед* MZ (фиг. 71) то же назначение,
что и собирающее устройство, имеет второй главный счетный
механизм Nw2(c установочным роликом Nw4). В механизмы Nw2 и W2
переносится результат при умножении, сложении и вычитании, так
что деление может производиться с числами либо из одного, либо
из другого механизма. Установка рычага Nw9 служит для
одновременного включения механизмов или для включения одного из них.
С помощью определенной установки рычага Nw3' достигается одно-

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
77
временная работа механизмов Nw2 и W2 либо в одном, либо в двух
противоположных направлениях.
Nw5 является гасителем для чисел, установленных в механизме Nw 2
W5f и U2 служат для автоматического гашения W2 и U1. Для облегчения
Фиг. 71. Счетная машина „Архимед", модель MZ с электроприводом.
задания делимого в различных моделях счетных машин тАрхимед" служит
„предискатель" N16 и рычаг N16'; N16 устанавливается таким образом, что
в круглом смотровом окошке появляется номер места (разряда), на котором
в U1 должны появиться единицы.
Если делимое установлено, то приведением в действие рычага N16' каретка
{.линейка") W1 подвигается на желаемое место, делимое вносится в
механизм W2 и гасится на клавиатуре. В зависимости от установки рычага N16"
в механизме счетчика оборотов может появиться одна единица. Рычаг М10
служит для прерывания при автоматическом умножении (.мультипликативно
включающая клавиша") (см. также 5.2.2).

/8
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
В счетных машинах „Архимед" с электрическим приводом (на-
пример, фиг. 71 или 72) при введении в действие делительной
клавиши S5 рычаг U4 одновременно перекладывается вниз. Для того
чтобы выполнить деление путем последовательного вычитания с
Фиг. 72. Счетная машина „Архимед", модель SvM с
электроприводом (имеется приспособление для сокращенного
умножения)*
помощью штифта, прекращается соединение S5 с U4, так что не U4y
а только S5 перекладывается вниз и, следовательно, U1 теперь
работает на вычитание (см. ниже, стр. 79).
В счетных машинах „Мерседес", изображенных на фиг. 65 и 68,
видно еще специальное устройство, так называемый механизм
дополнения; если результат вычитания отрицателен, то в главном
счетном механизме переключением „плюс" рычага N6 на „минус"
появляется его десятичное дополнение, т. е. абсолютное значе-

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
7$
ние отрицательного числа. Соединением этого механизма с
собирающим устройством могут быть решены задачи вида а-b — с • d
(ср. 5.3).
В машинах, изображенных на фиг. 65, 68, можно заметить еще
клавишу „— Div" S6. Если при делении после установки делимого и
делителя привести в действие эту клавишу, то механизм счетчика
оборотов будет работать в обратном направлении и покажет, если
он был установлен на нуль, дополнение частного или, если в нем
уже стояло число, разность между этим числом и частным. (О при-
годности машины для вычисления выражения а — -г см. I, 5.3.) В
модели, показанной на фиг 68, смотря по установке клавиши S6',
следует деление или умножение. Модель 37 или 38 SM (фиг. 68) !)
имеет также клавишу N13 для многократного умножения
а • b • с. . .
Для этой и других целей в машине, представленной на фиг. 66,
имеется обратный перенос^ который очень удобен в использовании,
потому что с помощью патентованного механизма распределения
обеспечивается правильный обратный перенос, хотя машина не имеет ни
клавиш, ни электрического привода. Число, стоящее в главном
счетном механизме W2, может быть перенесено обратно в установочный
механизм. Рычаг G6 (N1) (фиг. 66) передвигается вперед до упора,
тогда W2 гасится с помощью рычага W7 или W5, и после
освобождения обоих рычагов число появляется в установочном механизме.
В счетных машинах KEL „Рейнметалл" с электрическим приводом
обратный перенос возможен благодаря приведению в действие
функциональной клавиши. Вследствие этого происходит также
одновременное гашение отдельных счетных механизмов.
Для многих задач, в частности также для геодезических
вычислений (см. 5.3), очень удобна сдвоенная счетная машина,
получающаяся с помощью соединения двух колесно-штифтных машин
(фиг. 73). В машинах имеются два установочных механизма, два
главных счетных механизма, один или два счетчика оборотов с
выбираемым по желанию одинаковым или различным направлением
вращения [269].
Счетная машина, представленная на фиг. 69, имеет помимо
механизма счетчика оборотов еще множительно собирающее устройство
N10 для собирания множителей или частных. Включение или
выключение его выполняется с помощью рычага N11. Рычаг N12
служит для придания механизму N10 такого же направления
вращения, что и у счетчика оборотов Ш, или же обратного (см.
также 5.3.4).
*) Можно заметить, как и на других фигурах, еще рычаг N5,
переключающий на деление.

so
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Подобные машины могут выполняться также с приспособлением
для округления результата в собирающем механизме произведения N10,
которое включается с помощью рычага или же функционирует
непосредственно.
Наконец, нужно указать на имеющуюся в суммирующих машинах
десятиклавишную клавиатуру, как это можно видеть в конструкциях,
показанных на фиг. 74, 75, в счетных машинах „Рейнметалл" или,
Фиг. 73. Сдвоенная счетная машина.
в частности, в машине „Фацит"—колесно-штифтной машине для
четырех основных действий арифметики [308J. В этих машинах
клавиатура очень маленькая и цифры (например, числа 123) должны быть
заданы друг за другом в последовательности 1, 2, 3 (см. стр. 10&J.
Какой счетной машине в каждом данном случае отдать предпочтение,
обусловливается родом задач, которые должны быть выполнены. Для чистого
сложения имеются, как упоминалось, суммирующие машины почти
исключительно с клавишным механизмом*); часто машинам для бухгалтерских
расчетов придают различную форму; эти машины вообще непригодны для
умножения, так как в этом случае главный счетный механизм должен иметь
возможность перемещаться относительно установочного механизма.
Малые и с ручным приводом колесно-штифтные машины могут быть
названы специальными машинами для умножения (фиг. 62).
Если все расчетные случаи встречаются в большом количестве в
различных комбинациях, то следует выбрать большую электрическую машину
с клавишной установкой
х) На некоторых машинах .Архимед" (машина для четырех действий)
имеется записывающее устройство N8 (фиг. 72). При чистом сложении или
вычитании оно включается с помощью рычага N8.

Фиг. 74.
Ф и г. 75.
Фиг. 74, 75. Десятиклавишные суммирующие машины.
6 Зак. 1242. В. Мейер.

82
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
5.2. Внутренняя конструкция
Приведенное выше разделение счетной машины на установочный
механизм (передатчик), механизм переноса и счетный механизм,
служащее для ориентировки во внешних формах машин, может быть
также в определенных границах сохранено и для внутренней
конструкции, если только заметить, что все части машин в конце
концов связаны между собой и ни один элемент конструкции не может
рассматриваться сам по себе.
5.2.1. Особенно важна связь между приемником (установочным
механизмом) и механизмом переноса. Рассмотрим подробнее эту
связь.
Так как при вычислении со счетными машинами дело идет о
большем или меньшем числе повторных сложений (или вычитаний), то,
как уже упоминалось выше (1.2.2), важную роль играет механизм
переноса десятков.
Перенос десятков для сравнительно сложных приспособлений
осуществляется „десятичным переключающим приспособлением" или
„десятичным переключающим механизмом". Если, например, в
смотровом окошке единиц видно число 9 и к нему должно быть
прибавлено 3, то числовой ролик, соответствующий единицам, переходит
через нуль на два, но при этом числовое колесико десятков должно
быть переключено на единицу, которая появится в смотровом
окошке десятков.
При вычитании единица должна быть взята из высшего разряда.
Такое переключение может следовать непрерывно или, как это обычно
имеет место в счетных машинах, скачкообразно. Так как, однако,
подобный перенос может влиять также на остальные разряды
(единицы, десятки, сотни и т. д.), то элементы механизма переноса
должны прежде всего иметь внешнее сцепление. В примере
99+11 = 110 вместе с числовым диском для единиц поворачивается
на единицу и числовой диск десятков. Если перенос десятков
происходит, как и в простейших счетных устройствах, непосредственно
с числового диска единиц на числовой диск десятков, то не имеет
значения, каким образом этот диск приведен в движение. Перенос
десятков может прежде всего произойти, если окончено сцепление
элементов конструкции, выполняющих перенос. Кроме того, пример
99 999 + 1 = 100000 !> показывает, что 1, прибавляемая к 9 в
разряде единиц, подготавливает перенос десятков в разряд десятков
и т. д. Части механизма, выполняющие десятичное включение, должны
быть поэтому определенным образом взаимозаменяемы.
Эта форма механизма переноса десятков, используемая почти во
всех механизмах десятичного переключения [57], является двуступен-
!) Задача 100 000— 1 = 99 999 пригодна для проверки десятичного
переключения.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
83
чатой, так как работа механизма распадается на подготовку и
собственно переключение. Так как почти все применяемые счетные машины
основаны на принципе повторяющегося сложения (исключение
доставляют машины, работающие на принципе умножающего устройства),
то обычным является простейший механизм десятичного переключения,
при котором во время рабочего периода выполняется только один
перенос десятков в каждом разряде.
Ступенчатые валика. На фиг. 76 показан механизм переноса
счетной машины „Рейнметалл" со ступенчатыми валиками. При
нажатии на клавишу — на фигуре клавиша цифры 4 (остальные клавиши
удалены) — угловой рычаг 7, длина рабочего хода которого
соответствует цифре нажатой клавиши, передвигает шину 2 на соответствующий
отрезок вправо. Так как правый конец шины соединен с маленькой
зубчатой рейкой, которая приводит в движение цифровое колесико 3
указывающего механизма, то на нем устанавливается число 4. Как
только нажатая клавиша будет погашена (отпущена и возвращена
в прежнее положение), шина 2 под действием тянущей пружины, не
изображенной на чертеже, отходит назад, так что цифровое колесико
указывающего механизма снова станет на нуль. Помимо этой тянущей
пружины, которая в зависимости от нажатой клавиши имеет
различную силу натяжения, под каждой клавишей имеется еще маленькая
спиральная пружина. Эта пружина не позволяет клавишам опускаться
под влиянием собственного веса.
Не изображенное на фигуре стопорное приспособление следит
за тем, чтобы нажатые клавиши удерживались в таком положении до
тех пор, пока число, установленное на клавиатуре, не будет
погашено или не будет нажата какая-либо другая клавиша этого же
разряда.
Так как перемещение шины 2 имеет различную величину в
зависимости от цифры нажатой клавиши, то такая конструкция обладает
недостатком, выражающимся в неравномерности сопротивления
клавиши нажатию.
Шина 2 своим правым отогнутым книзу концом сцеплена с
ведущим пазом установочного колесика 4, которое может легко
перемещаться по призматическому четырехугольному валу. Вследствие того,
что клавиша цифры 4 нажата (фиг. 76), установочное колесико 4
перемещается настолько, что оно схватывается четырьмя длинными
зубцами ступенчатого валика 5. Ступенчатые валики — характерные
составные элементы этого типа машин — являются зубчатыми
колесами, в которых, однако, зубчатый обод состоит только из девяти
зубцов, покрывающих лишь часть поверхности цилиндра. Кроме этого,
зубцы имеют различную длину в направлении оси, т. е. образуют
ступени (фиг. 77).
Ступенчатые валики соединяются с помощью конического колеса
с ручкой или электрическим приводом. Вращение колеса при
всевозможных вычислительных задачах происходит в направлении
6*

84
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
нарисованной стрелки. Соответственно этому ручка также имеет только
одно направление вращения. Перемена вращения при вычислениях со
сложением и вычитанием достигается с помощью специального
переключения (см. ниже). Вследствие этого своеобразия переноса дви-
Ф и г. 76. Механизм установки и механизм переноса в машинах со
ступенчатыми валиками („Рейнметалл").
жения сцепление между ступенчатым валиком и установочным колесиком
прекращается всегда в один и тот же момент вращения валика
безразлично от того, стоит ли установочное колесико на 1 или 9
или же занимает какое-либо промежуточное значение. Поэтому нужно
еще до конца полного оборота принудительно останавливать
установочное колесико, которое во время
сцепления со ступенчатым валиком достигает
числа оборотов, больших 1000 об мин. Для
этого служит следующее сходное с
мальтийским крестом приспособление: на
равностороннем четырехугольном валу, на
котором расположено установочное
колесико 4У помещен задерживающий диск 7.
Он имеет на своей окружности 10
круглых загибов, радиус которых
соответствует диаметру части цилиндра #,
который вращается одинаково со ступенчатым
валиком. Как только прекращается
зубчатое сцепление, часть цилиндра 8
попадает в тот загиб задерживающего диска 7,
который находится непосредственно вблизи негр и препятствует
этим дальнейшему вращению установочного колесика,
четырехугольного вала и остальных расположенных на валу элементов.
С помощью четырехугольного вала вращение, которое получает
установочное колесико 4 от ступенчатого валика 5, переносится на
Фиг. 77. Ступенчатые
валики в смещенном
расположении.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
85
пару конических колес 9. Эти колеса могут также перемещаться по
четырехугольному валу. Пока ручка машины находится в состоянии
покоя, пара конических колес 9 занимает на четырехугольном валу
такое положение, что ни одно из колес не зацепляется с коническим
колесом пары колес 10. Если производится расчет со сложением,
то пара колес 9 в начале каждого поворота ручки передвигается
направо из своего нейтрального, среднего положения настолько, что
ее левое коническое колесо с помощью пары 10 колес (фиг. 76)
приводит в действие цифровое колесо И главного счетного
механизма. При вычислениях с вычитанием с помощью переключающего
рычага (см. выше) вызывается противоположное перемещение пары
колес 9, как только начинается вращение ручки. Нужно при этом ясно
представлять, что части механизма 10 и // расположены на каретке
счетного механизма, перемещающейся перпендикулярно к оси колес 9.
Для того чтобы было возможно это перемещение, пара 9 должна
занимать среднее положение, в котором прерывается связь с парой 10,
Реверсивный механизм, необходимый для регулирования пары 9,
повышает во всяком случае сопротивление ручки вращению, что не
имеет места в машинах с электрическим приводом. В противном
случае перед каждой перестановкой каретка должна быть откинута
вверх, как это было в прежних конструкциях.
Для того чтобы четырехугольный вал и расположенные на нем
шестеренки сохраняли свое правильное угловое положение в тот
период процесса включения-выключения, во время которого
цилиндрическая часть 8 не располагается против задерживающего диска 7
и не имеет место зацепление ступенчатого валика, применяется
фиксирующее колесико 12 с десятью зубцами, находящееся под
воздействием плоской пружины, конец которой входит в зацепление
с шестерней. Подобным же образом удерживается цифровое колесо
главного счетного механизма //, так что оно не может принимать
неточное промежуточное положение *).
Трудность, специфичная для принципа ступенчатых валиков,
состоит в том, что боковое расстояние между местами отдельных
разрядов (единицы, десятки и т. д.) должно быть сравнительно большим.
Найдено два выхода из этого затруднения: первый состоит в
размещении ступенчатых валиков, согласно схеме фиг. 77, второй — в том,
что для каждых двух расположенных рядом разрядов используется
только один ступенчатый валик, как это описано в конструкции
машины „Рейнметалл".
Перенос десятков. Как только цифровой ролик 11 главного
счетного механизма выполнит переход от 9 к 0 или наоборот,
задерживающий диск 7, жестко связанный общей втулкой шестерней
передачи десятков 13, с помощью соответствующего рычажного механизма,
*) То есть то положение, при котором в смотровом окошке не видна
цифра. (Прим. ред.)

86
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
не указанного на фигуре, перемещается влево настолько, что
шестерня передачи десятков 13 попадает в область сцепления с зубцом
передачи десятков 14. Этот зубец вращается одновременно со
ступенчатым валиком. Смотря по разряду, к которому он принадлежит,
зубец 14 более или менее сдвигается относительно последнего (самого
длинного) зубца ступенчатого валика.
Вследствие перемещения задерживающий диск 7 приводится
в такое положение, что после прекращения зацепления ступенчатого
валика он тотчас же останавливается цилиндрической частью 8 и
вследствие имеющегося выреза 16 вновь освобождается, в то время
как зубец десятков 14 поворачивает колесико 13 на один зубец
дальше.
С помощью четырехугольного вала и остальных конических колес
это десятичное вращение сообщается одновременно цифровому ролику
главного счетного механизма.
Зубцу 15 (фиг. 76), служащему для выполнения десятичного
вращения в соседних разрядах, подвергающихся действию одного
и того же ступенчатого валика, соответствует паз 17
распределительного выдерживающего цилиндра. Как только десятичный перенос
выполнен, пара колес 7/73 возвращается в свое первоначальное
положение. В обоих положениях, которые она может занимать, пара
удерживается пружинной защелкой. Натяжение этой защелки должно
быть преодолено как при подготовке переноса десятков, так и при
возвращении пары 7/13 в ее исходное положение. Это приводит,
особенно если десятичный перенос проходит через несколько
разрядов, к чувствительному повышению сопротивления вращению —
недостатку, отсутствующему в машинах с электрическим
приводом.
Механизм счетчика оборотов, находящийся в верхней части
каретки счетного механизма (фиг. 63), приводится в движение
с помощью вращающегося пальца, который с каждым оборотом
ручки также описывает полный круг. Палец захватывает ту шестерню
механизма счетчика оборотов, которая благодаря положению,
занимаемому кареткой, находится против него. Десятичный перенос
в счетчике оборотов происходит совершенно так же, как и в
главном счетном механизме.
Значительно проще внутренняя конструкция колесно-штифтных
машин. В установочном механизме арифмометра (фиг. 78)
установочное кольцо /, гриф 2 которого выступает из корпуса машины,
расположено на основе ступенчатого колеса 3 и может свободно
вращаться. На фигуре установочное колесо занимает нулевое
положение. Если оно переставляется в направлении, указанном стрелкой,
то в смотровом окошке указывающего механизма на месте нуля
появляется цифра, соответствующая перестановке колеса 4, которое
с помощью промежуточного колеса 5 принудительно связано с
установочным колесом.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
87
Для того чтобы установочное колесо не могло занять
недопустимое промежуточное положение, предусмотрено внутреннее
зацепление, которое не показано на фигуре. В этом зацеплении имеется
пружинный замок 6У входящий в паз остова ступенчатого колеса.
На фиг. 79 установочный диск отодвинут от ступенчатого колеса и
расположен рядом, будучи повернут на 180°. Можно заметить девять
Фиг. 78. Механизм установки и механизм переноса машины
колесами Однера.
удерживающих зубцов. Как только главная ось 7 приводится во
вращение посредством рукоятки, зубчатая рейка перемещается
поперек всех расположенных друг за другом ступенчатых колес таким
образом, что каждый замок 6 удерживается против внутреннего
зацепления установочного кольца /.
Установочные кольца не могут вследствие этого больше
перемещаться относительно ступенчатых колес и таким образом участвуют
вместе с ними во вращении и вынуждают также вращаться колеса 4
и 5, с которыми они принудительно связаны. Как только вращение
закончено и ручка снова занимает свое исходное положение,
зубчатая рейка, не показанная на фиг. 79, освобождает замок 6 и делает
возможным другую установку.
Увеличение масс элементов, участвующих во вращении, имеющее
место в подобной конструкции, не опасно для машин с ручным
приводом, но, конечно, требует специального рассмотрения в
электрических машинах (фиг. 67), так как ось машины после выполнения
заданных оборотов мгновенно останавливается. При этом имеется
опасность, что связь межд> главной осью и ступенчатыми колесами
с течением времени ослабевает, если кинетическая энергия
ступенчатых колес слишком велика. Чтобы предупредить эту опасность, остов

88
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
ступенчатых колес делают из легкого металла и с возможно
меньшим диаметром так, чтобы их моменты инерции были по
возможности меньше.
В корпусе ступенчатого колеса 3 (фиг. 79) находятся девять
радиально направленных пазов, в которых расположены скользящие
в них зубцы 8. Кроме этого, на противоположной от наблюдателя
стороне каждого зубца имеется кулачковый штифт, который попадает
Фиг. 79. Внутренняя конструкция штифтных колес
(установочное колесо снято).
в паз 9 установочного колеса /. При помощи поворота
установочного колеса / относительно корпуса ступенчатого колеса 3
соответствующее, число зубцов выходит наружу за обод корпуса колеса
настолько, что они, выполняя функции зубцов шестерни, зацепляют
при вращении всей системы промежуточное колесо 10 главного
счетного механизма и поворачивают его на соответствующее число
зубцов.
Это промежуточное колесо 10 передает сообщенное ему
вращательное движение дальше на цифровое колесо 11 главного
счетного механизма. Оба колеса помещены в каретке счетного
механизма, которая может перемещаться в боковом направлении. При
перемене направления вращения ступенчатого колеса, т. е.
вала, меняется также направление вращения главного счетного
механизма.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
89
Для того чтобы вращение колес 10 и 11 прекращалось одновременна
с окончанием зацепления ступенчатых колес, предусмотрен для
уничтожения их инерции двухсторонний ограничитель с шипами 13 и 14 (фиг. 80).
В машинах со ступенчатыми колесами Однера осуществлен очень
простой механизм передачи десятков. На фиг. 81 показано ступенчатое
колесо со снятым установочным
кольцом. Это ступенчатое колесо наряду
с зубцами 8 имеет еще два десятичных
зубца /5, из которых один
предназначен для сложения, а другой — для
вычитания. Эти зубцы вблизи оси
ступенчатого колеса закреплены таким
образом, что они могут быть
повернуты в сторону наблюдателя. Для того
чтобы их повернуть, нужно
преодолеть силу сопротивления небольшой
пружины (на фигуре она не видна).
Поворот приводит к тому, что
передние концы десятичных зубцов, высту- .
- Фиг. 80. Анкерный стопор в
пающие из обода корпуса ступенчатого машине колесрами 0днера
колеса, попадают в плоскость
остальных зубцов.
На фиг. 82а показана открытая каретка счетного механизма
старых машин со ступенчатыми колесами, в которой все колеса, за
исключением двух разрядов, удалены. На фотографии видны цифры
колеса //.
Фиг. 81. Колесо Однера с десятичными выступами.
На той стороне колеса //, которая повернута к ближайщему
высшему разряду, находится штифт /7, который выводит наружу
рычаг передачи десятков 18, как только колесо 11 выполнит пере-

90
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
ход от 9 к 0 или наоборот. Рычаг 18 удерживается в каком-либо
установленном положении при помощи пружинного скошенного на
верхнем конце штифта 20 (фиг. 826), который в зависимости от
установки рычага 18 помещается либо впереди, либо позади вала 19
(фиг. 82а). (На валу 19 помещено также промежуточное колесо 10.)
Рычаг передачи десятков 18 (фиг. 82а) имеет две скошенные
поверхности 21. В зависимости от направления вращения ступенчатого
колеса ближайший проходящий мимо десятичный зубец скользит
вдоль этой скошенной
поверхности (фиг. 83). Он достигает при
этом плоскости остальных
выступов и приходит вследствие этого
в сцепление с промежуточным
колесом 10 соответствующего
разряда, так что счетный диск этого
разряда поворачивается, смотря
по смыслу вычислений, либо на
одну цифру вперед, либо назад.
Можно заметить, что десятичный
Ф и г. 82а. Расположение рыча- Фиг. 826. Рычаг подгота-
га 18, подготавливающего десятки вливающий десятки в машинах
по фиг. 826. с колесами Однера.
зубец 15 в следующий момент поворота ручки в направлении
нарисованной стрелки скользит вдоль верхней скошенной поверхности
рычага 18, движется влево и благодаря этому попадает в плоскость
остальных зубцов, т. е. приходит в сцепление с находящимся слева
промежуточным колесом. Это колесо для ясности чертежа
наполовину удалено. Рычаг 18 незадолго перед окончанием каждого
поворота ручки может быть переложен обратно при помощи одной
из двух пусковых поверхностей 16 (фиг. 81), из которых одна
служит для сложения, а другая для вычитания. Обратное
передвижение в исходное положение получается подобным же образом.
Механизм счетчика оборотов машины, представленной на фиг. 62
*и 67, является одноступенчатым. На фиг. 84 показана фотография

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
91
обратной стороны открытой машины с двухступенчатым счетным
механизмом. В верхней части фигуры можно заметить
двухступенчатый механизм счетчика оборотов. Одновременно с ручкой привода
(в левой стороне фигуры) вращается счетное колесо и вместе с ним
вал 2, который имеет продольный паз для приведения в действие
пальца 3. Включающий палец 3 движется с помощью зацепляющего
приспособления 4, которое движется вправо или влево, как только
каретка главного счетного механизма переключается налево или
направо. Благодаря этому палец 3 все время находится в сцеплении
с тем разрядом механизма счетчика
оборотов, который соответствует какой-
либо установке каретки. Элементы
механизма, служащие для подготовки
десятичного переноса (на фигуре они не
видны), соответствуют в основном
расположению, показанному на фиг. 82
и 83. Напротив можно видеть валик "
с пружинными десятичными зубцами и
пусковыми поверхностями, которые
возвращают рычаг подготовки переноса
в его исходное положение, как только
будет выполнен десятичный перенос.
Можно заметить также винтообразные
смещения десятичных перекладин от
разряда к разряду.
Пропорциональный рычаг. В
противоположность описанной
конструкции, машины „Мерседес-Евклид" имеют
совершенно иной механизм переноса.
Идея этого механизма была уже ука- Фиг. 83. Десятичный перенос
зана в разделе I, 2.2.2 при описании в колесно-штифтной системе,
пропорционального механизма. Он
состоит в основном, как показывает перспективный эскиз на фиг. 85, из
десяти равноотстоящих и расположенных рядом зубчатых реек 9,
которые связаны между собой посредством пропорционального рычага 7.
Рассмотрим прежде всего процесс сложения. При включении машины
рычаг, приводимый в движение с помощью шатуна 10 кривошипного
механизма, может вращаться вокруг цапфы 0+, расположенной под
задней зубчатой рейкой (цапфа, расположенная впереди,
обозначена О"). При этом задняя зубчатая рейка не движется совершенно,
следующая движется на одну десятую часть, последующая — на две
десятых и т. д. перемещения передней рейки. Зубчатые рейки
выполняют, таким образом, движения на 0, 1, 2, . .., 9 единиц (фиг. 86а);
эта фигура показывает, что а\Ь\ c\d .. . = 0:1: 2: 3 .. При
дальнейшем движении кривошипа рейки снова возвращаются из крайнего
правого положения в начальное положение. Для проведения вычислений

92
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
нужно снять движение той рейки, перемешение которой соответствует
числу, установленному в данном разряде. Для этого служит
установочное колесико 4 (фиг. 85), которое может перемещаться по
четырехугольному валу 3 перпендикулярно к рейкам. С помощью
описываемого ниже клавишного механизма каждое такое установочное
колесико приводится в зацепление с соответственной зубчатой рейкой.
Фиг. 87 показывает схематически взаимодействие между
установочными колесиками и зубчатыми рейками. В первом разряде (слева)
устанавливается 0, во втором 1, в третьем 2, .. ив последнем
1
Фиг. 84. Вид сзади на открытую счетную машину с механизмом
счетчика оборотов.
(справа) 9. Каждый раз остается неподвижным только одно колесико
(янулевое колесико" 5, фиг. 85), сцепленное с зубчатой рейкой.
Задание соответствующих чисел и перемещение шестеренок
выполняется при помощи вилок, выступающих из клавиатурной рамы
(фиг. 85 и 88). Если, например, нажата клавиша 9, как это указано
на фиг. 85 и 886 (на фиг. 88а не нажата ни одна клавиша), то
вилка 7е смещается вправо на половину расстояния между зубчатыми
рейками и перемещает вследствие этого шестеренку 4 настолько,
что она приходит в сцепление с передней зубчатой рейкой.
Одновременно 7а и вместе с этим нулевое колесико 5 передвигается
настолько, что оно не сцепляется ни с одной рейкой. Вилка 7а (см.
также фиг. 85) должна быть, следовательно, подвижной при
каждой установке чисел. Если нажимается клавиша числа 1 (фиг. 88в),

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
93
то ее шестеренка при помощи соответствующей вилки перемещается
на отрезок, равный расстоянию между рейками, так что она
приходит в сцепление с зубчатой рейкой zv Пять вилок являются
составными частями пяти различных расположенных друг подле друга
Фиг. 85. Принцип действия системы с пропорциональным рычагом
(.Мерседес-Евклид").
I | ! I | Г | f [ [ | [ | | I |
пластин, из которых каждая может устанавливать два числа, смотря по
тому, насколько она сдвинута. Так, фиг. 89 схематически показывает
конфигурацию пластин для чисел восемь и девять. Поперечный
штифт клавиши 9 (на фигуре 89 он повернут на 90°) попадает
Ф и г. 86а. Пропорциональный
рычаг в суммирующем положении.
Фиг. 866. Пропорциональный
рычаг в вычитающем положении.

94
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
в паз и передвигает пластину, а вместе с ней и вилку на половину
расстояния вправо, если нажать клавишу 9, и на такое же расстояние
влево, если нажать клавишу 8.
Фиг. 90 показывает с противоположной стороны клавишную раму
старой машины (клавиша 1 находится слева). На фиг. 91а изображены
отдельные пластины. Верхняя, еще не упоминавшаяся пластина несет угловой
рыгаг (7/ на фиг. 92). По этому рычагу ударяет идущая поперек машины
планка, связанная с гасящей клавишей эта пластина служит для удерживания
о-еЬ
) -
2-
3-
4 -
5-
6-
7-
8-
ср сп
■ЧЕВ
-ЕВ
ш ш га ср
-Е&
фффШф
фйЙфф
СП
ф\
СП СП СП
№
ш m ф сп
фффф
Ф
■£&■
Ф
-ЕВ-
^
Ф С
фь
€&-
Фиг. 87. Взаимодействие установочных колесиков
и зубчатой рейки.
и взаимного разъединения клавиш. Вторая сверху пластина служит для
установки числа единиц и для перемещения нулевого колесика при всех
других установках. Остальные пластины служат для осуществления чисел
два и три (7Ь), четыре и пять (7с), шесть и семь (7d), восемь и девять (7ё).
Находящаяся в самом низу шина связана с сектором (фиг. 85), цифры
которого появляются в указывающем механизме1).
При вращении ведущего вала (фиг. 85) зубчатые рейки, а
с ними также установочное колесико 4 и четырехугольные валики
движутся сперва в одном, а затем в противоположном направлении,
но передача движения в главный счетный механизм происходит
только при прямом движении. Это достигается специальным меха-
*) В машине, использующей этот клавишный механизм, указывающий
механизм находится впереди; поэтому сектор также находится впереди.
Числа своеобразным способом вписываются одно в другое в
последовательности: 0, 5, 3, 2, 7, 1, 4, б, 8, 9, для того чтобы иметь возможно меньшее
угловое отклонение сектора для малых и равномерных давлений на клавиши.
Так как из-за этого цифры следуют не в арифметической
последовательности, а неравномерно, то наклоны насечек этой шины также неравномерны.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
95
низмом. На примыкающем к каретке конце четырехугольного вала
находится колесо 14 механизма переноса, против которого
расположена такая же шестерня 15 главного счетного механизма.
Соединение этих шестеренок осуществляется посредством расположенного
между ними промежуточного колеса 77, которое помещено в
подшипниках на вращающейся раме 16 („вращающееся сцепление").
Движение этой рамы
осуществляется с помощью
кулачкового вала Е или 23Е
(фиг. 85) таким образом
(см. ниже), что расцепление
промежуточных колес
происходит в тот момент, когда
кривошип главного
ведущего вала 2, а
следовательно, и зубчатые рейки
достигают своего крайнего
правого положения. Так как
в это мгновение зубчатые
рейки имеют скорость,
равную нулю, то расцепление
происходит в момент, когда
нет опасности появления
ускорения оси главного
счетного механизма.
Поэтому положение оси
главного счетного механизма
достаточно обеспечивается
при помощи маленькой
пластинчатой пружины.
Для выполнения
вычитания замок 6 (фиг. 85) при
помощи соответствующей
функциональной клавиши
(„минус"-клавиша, фиг. 65)
и движка 6Ь переключается
таким образом, что он
входит в отверстие 6а передней
зубчатой рейке, запирает
ее и освобождает заднюю.
Кривошип ведущего вала
движется в том же
направлении, как и прежде, пропор
Фиг.
в — клавиши
рама (схема).
клавишная
НИИ, Как И ирслчдс, ii^nv/р
циональный рычаг / поворачивается вокруг расположенной впереди
цапфы 8 [О-] фиг. 866; первая зубчатая рейка остается в покое, вторая
перемещается на 1, третья — на 2 и т. д. и, наконец, последняя—на 9,

96
1. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
т. е. противоположно тому, как это показано на фиг. 86а и 87. На
фиг. 866 имеет место соотношение a:b:c:d... =9:8:7:6...
Если число не устанавливать, то при движении зубчатых реек будут
вращаться „нулевые" колесики 5 (фиг. 85), сцепленные с задней
зубчатой рейкой. Чтобы пояснить
принцип действия, нужно
разобрать некоторые примеры. В задаче
1000 — 4 в разряде единиц
прибавляется число 5 и на
остальных разрядах прибавляются числа
..999; 1000 + 9995 =
= ...0995.
Фиг. 89. Клавишная шина для чисел Но для того, чтобы решение
8 и 9 с клавишами. было правильно, в разряде единиц
должна быть прибавлена еще одна
единица. Для этого служит следующее остроумное приспособление:
задняя зубчатая рейка несет на своем правом конце дополнительную
рейку// (фиг. 85 и 86), которая при всех вычислениях с вычитанием
заставляет колесико 12ЬУ закрепленное на оси 12 а, расположенной
справа от низшего четырехугольного вала, выполнить один оборот.
В результате этого вращения становится возможным перенос десятков
I
Ф и г. 90. Клавишная рама старой конструкции
счетной машины „Мерседес-Евклид".
влево, „т. е. в разряд единиц главного счетного механизма. Таким
образом цифровой диск разряда единиц получает дополнительный
поворот с 5 на 6. В машинах „Мерседес-Евклид" вычитание
производится, следовательно, путем суммирования с дополнением числа.
Задачу можно решить в следующей форме:
1000 — 4= Иши
+...999995
...000995 + 1 = 9Уб,

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
97
На фиг. 866 установлено число 1832; если это число нужнб отнять,
например, от 4071, то решение следует в форме:
4071
4-... 9998167
+ .. .0002238 + 1 = 2239.
Если установлено число 3 и хотят вычесть также 3, то главный счетный
механизм должен указать нуль:
..Пш)3 —3 = ...0003
+ ...9996
...9999+-1= ...ОООО,
т. е. когда прибавляется последняя единица в разряде единиц, должен быть
подготовлен перенос
десятков в разряде десятков.
После выполнения этого
переноса подготавливается
следующий и т. д., до тех
пор пока не будут
выполнены все переносы
десятков и главный счетный
механизм не будет снова
стоять на нуле.
Фиг 91а. Клавишная шина старой кон- Фиг. 916. Нижняя шина
струкции счетной машины „Мерседес- с клавишей из фиг. 87а.
Евклид".
Упомянутое выше вращение рамы и вращающееся сцепление 16
выполняется при помощи мальтийского креста.
На кулачковом валу 23 Е, приводимом в движение валом 2 машины
помещено ведущее колесо 28 (см. фиг. 85 и 95); это колесо имеет шесть
7 Зак. 1242. В. Мейер.

98
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
находящихся на различных расстояниях друг от друга стержней, из которых
только три, как и криволинейную направляющую, можно видеть в открытой
части. От ведущего колеса движение через мальтийский крест 29 и шестерни
30, 31, 32 передается на раму 16. К началу движения кривошипа стержень
Фиг. 92. Поперечный разрез механизма установки и переноса счетной
машины „Мерседес-Евклид" (схема).
входит в паз мальтийского креста и переводит раму с промежуточными
колесами 17 в соответствующее положение, так что может выполняться
перенос движения с колес 14 на колеса 15. Затем мальтийский механизм
встречает упор и останавливается. В это время зубчатые рейки идут направо и
следует перенос чисел в главный счетный механизм W2. Когда достигнута правая
мертвая точка, то стержень снова входит в паз мальтийского креста. Благодаря
этому прерывается связь между колесами 14 и
15, опять следует остановка механизма и
зубчатые рейки возвращаются в исходное
положение без воздействия на главный
числовой механизм. Если левая мертвая точка
зубчатой рейки почти достигнута, то рама
с помощью ведущего колеса снова
возвращается в первоначальное положение.
Фиг. 93. „Вращающееся сцеп
ление" в счетной машине „Мер
седес-Евклид".
Механизм переноса десятков в
главном счетном механизме представлен
на фиг. 94. Как только в одном разряде
выполнен переход от 9 к 0 (фиг. 94,6
представляет решение задачи 8-{-2=10),
скошенный выступ /#, вращающийся вместе с осью счетного
механизма этого разряда, воздействует на скошенную поверхность
подготавливающего ползуна 19. Этот ползун перемещает влево десятичный
ползун 20% который движется вертикально, под действием кулачка 27,

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
99
сидящего на валу десятичных кулачков 23. Вал 23 вращается
синхронно с валом машины. Ползун 20 своим зубцом 25 (см.
фиг. 85) зацепляет зубчатое колесо высшего разряда (фиг. 94, в)
Фиг. 94. Переключение десятков в счетной машине „Мерседес-Евклид".
и поворачивает его на один зубец. Если десятичного переноса не
происходит (фиг. 94, а), то ползун 20 движется свободно (правее
колеса высшего разряда) и не сцепляется с колесом счетного
механизма.
Планка 26 служит для
возвращения
подготавливающего ползуна 19 в исходное
положение. Планка
десятичного переключения 26 с
помощью маленького
рычажка снова приводится в
нормальное положение и
забирает вследствие этого
вытолкнутый ползун 19
назад. Большая пластинчатая
пружина 28 нажимает на
десятичный ползун 20 и дает
ему возможность снова
опуститься.
На фиг. 92 можно
заметить винтообразные
переводы кулачка 27. Они
расположены таким
образом, что десятичное
переключение всегда
начинается в низших разрядах
главного счетного
механизма и распространяется равномерно на все разряды.
На схематическом чертеже (фиг. 95) и фотографии (фиг. 96)
показан установочный механизм счетной машины с рычажной
Фиг. 95. Механизмы установки и переноса
счетной машины (принцип переключающей
защелки).
7*

100
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
установкой (фиг. 64); установочный сегмент 7, верхняя отогнутая в
сторону часть которого выступает в качестве установочного рычага 1а
из корпуса машины, помещен на главной оси 2, приводимой во
вращение ручкой *). Сегмент может свободно вращаться вокруг оси 2.
На его окружности находятся зубцы /Л которые каждую перестановку
сегмента переносят с помощью промежуточного колеса 3 на
цифровое колесо 4 указывающего механизма. При перестановке сегмента 7
Фиг. 96. Практическое выпол- Фиг. 97. Гасящая кнопка и ее
нение конструкции механизмов принцип действия,
установки и переноса
соответственно фиг. 91.
увеличивается напряжение пружины, помещенной на втулке
промежуточного колеса и своим свободным концом удерживающейся в упоре.
Для того чтобы не допустить возвращения сегмента в нулевое
положение при отпускании установочных рычагов, предусмотрена
стопорная защелка 5, которая под действием пружины (на фиг. 96 не
видна) зацепляет за зубцы сегмента 7. Здесь уместно сделать одно
замечание относительно гашения: гасящая кнопка 6 на фиг. 97
(G6 на фиг. 64) соединена с поперечной линейкой. Последняя при
нажиме на гасящую клавишу опускается и давит на
горизонтальные плечи лежащих рядом друг с другом защелок 5. Вследствие
этого защелка 5 выходит из области зацепления сегмента и сегмент
под воздействием спиральной пружины промежуточного колеса 3
*) См. введение, а также фиг. 64, (Прим. ред.)

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
101
возвращается в нулевое положение. Если переставить, как указано
выше (стр. 67), гасящую кнопку на сложение, то гашение
выполняется машиной самостоятельно, при этом оно происходит во время
последней четверти каждого оборота ручки (см. фиг. 97, на которой
гасящая кнопка установлена на сложение „Add"). С помощью этой
перестановки цапфа 7, находящаяся сбоку от гасящей рейки,
подводится под двухплечный рычаг 8,
который с помощью кулачка 9,
принудительно вращающегося
вместе с главным валом,
направляется таким образом, что во
время последней четверти каждого
оборота ручки он давит на цапфу 7
и включает вследствие этого,
как было описано выше, гасящее
приспособление установочного
механизма.
Механизм переноса, который
можно видеть на схематическом
рисунке фиг. 95, показан также
на фиг. 98. Важнейшие составные
части этого механизма соединены
так же, как они действуют в
машине. Кольцо 10 с внутренними ф и г 98 Отдельные части механизма
и внешними зубцами закреплено переноса в машинах, работающих по
на опорном диске (на фиг. 98 принципу переключающей защелки,
не изображен), могущем свободно
вращаться на оси 2. Если перенос не имеет места, то кольцо 10
удерживается с помощью стопорного приспособления 11
Распределительный диск /2, не принимающий участия во вращении
вала 2, имеет на своем ободе две направляющих различной длины,
из которых более длинная, направленная вниз (фиг. 98), служит для
выполнения собственно переноса, в то время как более короткая
служит для десятичного переключения. Вместе с осью 2
принудительно вращается в направлении начерченной стрелки переключающая
защелка 13. Вращающийся ролик 14 расположен на одном из ее
плеч и при помощи пружины прижимается к ободу
распределительного диска. Как только ролик 14 достигает одной из направляющих
распределительного диска /2, защелка 13 своим зубцом 15 зацепляет
внутренние зубцы кольца 10 и вынуждает его вращаться вместе
с валом 2 до тех пор, пока ролик 14 не сойдет с направляющей
распределительного диска. Это вращение зубчатого кольца 10 с
помощью промежуточного колеса /6, принадлежащего уже главному
счетному механизму и расположенного в каретке, могущей выполнять
боковые перемещения, переносится на цифровое колесо 19 (фиг. 95
и 99) главного счетного механизма.

102
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Так как вращение ручки и, следовательно, вала 2 происходит все
время в одном и том же направлении, обозначенном стрелкой, то
вращение колес в главном счетном механизме при вычитании должно
иметь обратное направление. Для эгого служит реверсивный механизм
(фиг. 98 и 99)
Верхнее колесо жестко связанной между собой пары колес /7,
не участвующей в перемещении каретки, сцеплено с зубчатым коль-
Ф и г. 99. Модель полного механизма переноса машины, работающей
по принципу переключающей защелки.
цом 10. При включении на вычитание вследствие небольшого
перемещения каретки шестерня 16 переносится из плоскости обода кольца
в плоскость нижнего колеса пары 17. Вследствие этого колесо 16
вращается в направлении, противоположном направлению при
включении на сложение. Эта реверсивная передача требует, конечно,
точного соблюдения углового положения колес.
Совместная работа установочного механизма и механизма
переноса й) может быть уяснена из эскиза (фиг. 95) и из модели (фиг. 99)
полного механизма переноса. Если сегмент 7, который на фиг. 99
занимает положение „9а, переставить немного в направлении,
указанном стрелкой, то он перекроет соответствующую часть
направляющей распределительного диска 12. Переключающая защелка 13
*) На фиг. 98, на которой отсутствует сегмент, всегда переносится только 9

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
103
вследствие этого при нулевой установке сегмента / вообще
становится недейственной.
Одно плечо углового рычага 18, который для выполнения
десятичного переноса перекрывает малую направляющую, служит наряду
с другими задачами также для того, чтобы препятствовать вращению
распределительного диска; он заходит загнутым краем, не
показанным на фиг. 99, в соответствующий вырез этого диска.
Повторим коротко еще раз вышесказанное: установочный сегмент
и распределительный диск не участвуют во вращении системы, в то
время как переключающая защелка выполняет это принудительное
вращение. Зубчатое кольцо, напротив, принимает участие во
вращении, но только во время зацепления защелки. Продолжительность
этого зацепления соответствует длине части направляющей
распределительного диска 72, не перекрытой сегментом.
Перенос десятков происходит следующим образом: как только
цифровое колесо 19 главного счетного механизма (фиг. 99) выполнит
переход от 9 к 0 или наоборот, оно приводит в движение своим
кулачком скошенное плечо рычага подготовки 20. Боковое плечо
рычага воспринимает это движение и отклоняет при этом угловой
рычаг 18 следующего высшего разряда, который освобождает малую
направляющую соответствующего распределительного диска.
Переключающая защелка 13 этого разряда сразу после собственно
переноса величин приходит еще раз в сцепление с зубчатым кольцом 10.
Продолжительность сцепления соответствует времени переключения
счетного колеса на единицу. Для того чтобы перенос десятков в
отдельных разрядах следовал последовательно друг за другом (как,
например, в задаче 99...9-J-1), переключающие защелки смещены
от разряда к разряду на одну и ту же величину.
Так как установочный механизм машины, изображенный на фиг. 64,
имеет 9 разрядов, а главный счетный механизм —13, то перенос
десятков должен также происходить и в основном положении каретки
вплоть до 13-го разряда главного числового механизма. Вследствие
этого механизм переноса помимо своих девяти механизмов переноса
величин должен иметь еще четыре механизма переноса десятков. Так
как в последних не рассматривается собственно перенос величин,
то большая направляющая распределительного диска должна также
отсутствовать (фиг. 100). Угловой рычаг 18, который отодвигается
рычагом подготовки 20 ближайшего низшего разряда, освобождает
малую направляющую распределительного диска 12.
Подвижной ролик 14 переключающей защелки 13 находится уже
в этой направляющей, выступ 15 защелки захватывает, следовательно,
зубчатое кольцо 10> которое вследствие этого в следующий момент
начинает вращаться вместе со всей системой. При этом тормозной
якорь //, который удерживается в этом положении при помощи
не изображенного на фигуре держателя, выводится из внешнего
сцепления с кольцом. Непосредственно за этим упор 2/, принуди-

104
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
тельно вращающийся вместе с системой, попадает в область
противоположного плеча тормозного якоря и заставляет якорь // остановить
зубчатый обод 10 одновременно с прекращением зацепления защелки.
Подобным же образом происходит процесс остановки при собственно
переносе величин. В этом случае предусмотрен специальный упор 22
(фиг. 99), который опережает упор 21 на соответствующий угол.
Как только перенос десятков будет выполнен, выступ 23 (фиг. 100),
Фиг. 100. Перенос десятков
(принцип переключающей защелки).
вращающийся вместе со всей системой, возвращает угловой рычаг
опять в его первоначальное положение. Рычаг 18 в обоих
занимаемых им положениях обладает не изображенными на фигуре
держателями.
Рычаг подготовки 20 расположен в каретке и участвует в ее
боковом смещении. В отличие от машин с колесами Однера, в
машинах с переключающей защелкой остановка колес главного
счетного механизма следует принудительно и элементы
механизма, выполняющие установку, не принимают участия во вращении
вала.
Приведение в действие колес механизма счетчика оборотов,
помещенного в левой части каретки (фиг. 64), выполняется при помощи
двух пальцев, которые расположены на левой боковой стенке внутри

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
105
машины. Мы не будем останавливаться на принципе их работы, так
как это выходит из рамок этой книги.
Механическая таблица умножения. Во всех описанных выше
счетных машинах1 для умножения использовался принцип
повторяющегося сложения. В рассматриваемой ниже машине „Миллионер"
практически осуществлена идея непосредственного умножения с
помощью механической таблицы умножения. При этом в счетном
механизме задаются не цифры многозначного множимого, а произведение
цифры множимого с каждой цифрой множителя: произведение чисел от 1
до 9 перемножается с каждой цифрой множителя от 1 до 9 с помощью
механической таблицы
умножения (фиг. 101а). Эта
система (умножающее тело)
представляет собой
пластины, имеющие выступы,
соответствующие единицам и
десяткам различных
произведений (см. фиг. 101а).
-ИНН
I I
Mill I I '
11
fr
? w
С\ 8 28 3-8 4-8 5-8 6-8 78 Q-8 98
8 16 24 32 40 48 56 64 72
V
Фиг. 101а. Умножающее
тело.
Фиг. 1016. Принцип действия счетной
машины с умножающим телом.
После того как с помощью установочных колесиков R (фиг. 1016),
сцепленных с зубчатыми рейками St, установлено1) значение
множимого и выбрана необходимая механическая таблица умножения,
представляющая множитель2), она перемещается во время первой
половины оборота ручки в направлении стрелки а. При этом десятичные
движки перемещают зубчатые рейки St, которые в зависимости от
положения установочного колесика R сообщают цифровым роликам Z
повороты, соответствующие различным цифрам. Затем механическая
таблица умножения перемещается в направлении стрелки b налево,
а счетный механизм после разъединения конических колес
реверсивного механизма W перемещается в направлении стрелки с на отрезок,
равный расстоянию между колесами, так что при повторении
рабочего цроцесса во время второй половины вращения ручки зубчатые
рейки приводятся в движение движками единиц тела таблицы
умножения. Вследствие этого происходит перенос в соответствущих
1) 13649 на фиг. 1016.
2) 8 на фиг. 101а.

106
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
разрядах десятков, сотен и т. д. счетного механизма7 колеса которого
подвергаются каждый раз влиянию какого-либо низшего разряда.
Затем устанавливается соответственно следующей цифре множителя
другая пластина и процесс происходит подобным же образом.
Машина таким образом проводит умножение произвольного
множимого на однозначный множитель при помощи только одного оборота
ручки. Приспособление для переключения десятков должно, между
Фиг. 102. Поперечный разрез суммирующей машины с печатающим
механизмом*.
прочим, работать в обоих направлениях, так что при переключении
реверсивного механизма со сложения на вычитание направление
вращения цифровых роликов меняется на обратное. Сложение
эквивалентно умножению на единицу. Деление осуществляется при помощи
вычитания произведения делителя, установленного как множимое, на
частное, установленное в качестве множителя, из стоящего в (главном)
счетном механизме делимого.
Подобным же образом, но только более коротко, будут описаны
механизмы установки и переноса суммирующих машин.
На фиг. 102 представлен схематический чертеж поперечного
сечения суммирующей и вычитающей машины. Благодаря нажатию
клавиши / упор 3 становится на пути одного из выступов ступенчатой
рейки 2, которая при вращении ручки (фиг. 102) движется влево. Упор 3
состоит из язычка, перпендикулярного к стержню клавиши. Мы здесь
имеем дело с „предварительной установкой" или „предварительным
выбором", так как при нажатии клавиши первоначально не
приводятся в действие никакие другие элементы механизма, за
исключением держателя (фиг. 103), который служит для того, чтобы
удерживать нажатую клавишу до тех пор, пока не будет погашен весь
вертикальный ряд или не будет введена в действие другая клавиша.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
107
Как только ручка оттягивается, колодка 4, расположенная поперек
машины, движется вниз. Движение колодки при помощи
закрепленной на ней спиральной пружины 5 передается на сегментную пару 6,7.
Но в то время как колодка 4
при каждом повороте ручки опи- 1-
сывает один и тот же путь,
обусловленный формой привода,
сегментная пара упомянутого разряда
может следовать за натяжением
пружины лишь до тех пор, пока
отклоненная ступенчатая рейка 2
не ударяет в выступ 3 нажатой
клавиши.
Фиг. 103. Предварительная
установка в суммирующей машине.
Для того чтобы из-за большого
сопротивления трения не нужно было
применять очень сильной пружины 5,
ступенчатая рейка 2 направляется
своим свободным концом по движущемуся ролику, а ось сегментной пары
расположена на шарикоподшипниках. При оттягивании ручки в пружине
возникает сильное натяжение, которое обеспечивает при освобождении ручки
возвращение всех отклоненных в процессе работы частей механизма в их
Фиг. 104. Фотография открытой суммирующей машины.
исходное положение. Для того чтобы сила этой пружины не проявлялась
внезапно, что приводит к сильному шуму и преждевременному износу,
используется масляный тормоз, с помощью которого регулируется ход машины.
Одновременно с началом каждого поворота ручки счетный
механизм с «цифровым колесом 8 и промежуточным колесом 9, располо-

108
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
женным в раме 10, выводится из области сцепления сегмента 7.
Вследствие этого обратное движение сегмента 7 не влияет на счетный
механизм. Когда ручка достигает своего наиболее удаленного
положения, счетный механизм снова возвращается в область сегмента 7.
Этим способом обратное движение сегмента, угловое отклонение
которого соответствует нажатой клавише, через промежуточное
колесо 9 переносится на счетный механизм.
Если рама 10 отклонена таким образом, что передача вращения
на колесо 8 следует непосредственно, т. е. не через промежуточное
колесо 9, то машина работает на вычитание.
В то время как сегмент 7 выполняет указанное движение, сегмент 6
отклоняется на такой же угол. Он поднимает при этом печатающую
рейку 11 настолько, что литера 12, соответствующая
установленному числу, располагается перед роликом с бумажной лентой 13
против молоточка 14. Этот молоточек удерживается против силы
натяжения пружины, приводящей его в действие, при помощи защелки,
которая с окончанием первой половины оборота ручки освобождает
молоточек, так что он с силой ударяет по печатающей литере.
Во время обратного хода рейка с литерами снова опускается, а
молоточек занимает первоначальное положение и снова защелкивается.
Хотя процесс переключения (включения-выключения) здесь проще,
нежели в большинстве счетных машин, пригодных для умножения,
все же суммирующие машины по своей общей конструкции по
меньшей мере также сложны и также имеют много частей. Наряду
с печатающим приспособлением в различных машинах имеются
специальные приспособления для коммерческих целей*). Рамки этой
книги не позволяют нам здесь остановиться на этих механизмах
(фиг. 104).
Как особый случай суммирующей машины заслуживает специального
упоминания десятиклавишная машина, клавиатура которой содержит
только числа 0, 1,...,9 (см. фиг. 74, 75). Здесь заданные цифры
должны устанавливаться точно в последовательности их задания,
например при числе 3783 должны быть последовательно нажаты
клавиши 3, 7, 8, 3. Специальный направляющий механизм, каретка
со штифтом W (фиг. 105, принципиальная схема), следит за
переводом числа, установленного на клавиатуре, в соответствующие
разряды (единицы, десятки и т. д.) счетного механизма. В этой
каретке находятся ряды подвижных штифтов, которые включением
клавиши G выдвигаются кверху, так что они выступают из
поверхности каретки. Как только клавиша нажата, каретка передвигается
на один разряд, так что каждая цифра переносится в нужное
разрядное место, если они набираются на клавиатуре в
последовательности их задания. Выступающие штифты ограничивают отклонение
рейки 5 в описанном выше способе и вызывают вращение счетного
!) Например, отпечатывание промежуточных сумм и т. д.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
109
колеса Z соответственно установленному в каждом разряде
числу.
Для установки числа 0 должна быть нажата клавиша 0. Если число
содержит несколько следующих друг за другом нулей, то эта
клавиша нажимается несколько раз. В машине „ Astra" (фиг. 74)
предусмотрены еще особые клавиши для последовательностей 00 и 000.
Своеобразное и интересное пространственное разделение между
установочным и счетным механизмами дается с помощью перфокарт
в качестве собирающего
устройства. В перфокарте L (фиг. 106, а)
числа и их разряды штампуются
соответствующими отверстиями
ЪлЛЛЛЛЛЛг^|
666666666а
Фиг. 105. Принцип действия
десятиклавишной суммирующей
машины.
Фиг. 106. Принцип работы машины
с перфорированными картами.
(нафигуре — 5397). Подобная перфокарта вносится в направляющую S
суммирующей или сортирующей машины (фиг. 106,6)*), где в нее
ударяют находящиеся под действием сжатой пружины контрольные
штифты F. Сквозь перфокарту и дальше через направляющую S
может проникнуть только штифт, расположенный против отверстия.
Этот выступающий наружу штифт ограничивает тогда ход зубчатой
рейки S, которая таким образом, как было описано выше и
схематически изображено на фиг. 106, б, приводит в действие счетный
механизм, а после выполнения расчета также и печатающий механизм.
Проштампованные отверстия не должны обязательно
соответствовать числам. Они могут отражать также определенные понятия а, Ь,
с, d. С помощью применения перфокарт можно, например, сосчитать,
* Анализ работы и описание счетно-аналитических машин даны в работе
Акушского; см. доп. лит. [2—6]. (Прим. ред.)

по
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
сколько раз а или b и т. д. содержатся в определенном множестве.
При этом перфокарта особенно пригодна для задач статистики.
См. также [16, 191, 218, 258]*).
Фиг. 107. Передвижение каретки.
5. 2. 2. Счетный механизм и каретка счетного механизма. Как
уже было замечено ранее, различные группы счетных машин
отличаются в основном механизмом переноса, который поэтому
описывается особенно подробно. Но так как каждая часть машины каким-либо
образом взаимосвязана с другой, в частности, также связаны механизм
переноса со счетным механизмом, то в счетном механизме и каретке имеется
существенное различие соответственно различию в механизме переноса.
Здесь не будут
описываться все различные
конструкции кареток и
счетных механизмов. Мы
ограничимся лишь описанием
процессов, находящихся
в непосредственной связи
с движением каретки.
Разберем сущность
автоматического
умножения и деления и на двух
примерах подробнее
рассмотрим гасящее
устройство.
Каретка, на которой часто располагаются главный счетный
механизм и механизм счетчика оборотов (например, в машинах
„Мерседес-Евклид"), удерживается с помощью силы натяжения трех пружин;
благодаря этому не весь путь, пройденный кареткой, сообщается
пружинам. Каретка, как схематически показано на фиг. 107, движется
на роликах вследствие собственного веса и удерживается с помощью
рейки 31, в выступ которой ударяет упор каретки. Если каретка
должна быть передвинута дальше, то нужно опустить рейку и после
растормаживания и передвижения каретки снова поднять; при
автоматическом умножении или делении этот процесс выполняется
самостоятельно.
Автоматическое умножение. В счетных машинах, за исключением
одного упомянутого случая, умножение проводится как повторное
сложение. Вследствие этого в машинах с электрическим приводом
возможно полуавтоматическое умножение. Для этого после установки
множимого в установочный механизм Q соответствующая
функциональная клавиша (см. стр. 71) удерживается нажатой до тех пор, пока
^ *) Советская промышленность выпускает ряд машин перфорационного
действия конструкций инженеров Рязанкина, Хоманко, Неслуховского и
др. (Прим ред.)

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
111
выполняется желаемое число оборотов и множитель не появится в
механизме счетчика оборотов. После этого каретка должна быть
передвинута на один разряд и процесс повторяется. При этом может
быть использовано сокращенное умножение. Автоматическое
умножение производится с помощью предварительной установки множителей
•на десятиклавишной или полной клавиатуре.
При десятиклавишной клавиатуре, как это мы видели в
механизме установки множителей М в счетных машинах „Рейнметалл"
модель SASL (фиг. 70), если машина находится в основном
положении и множимое установлено, клавиши нажимаются в порядке
последовательности цифр множителя, например при числе 346
надавливаются клавиши в последовательности 3, 4, б. Их значение
показывается в указывающем механизме МЗ и может быть погашено с
помощью грифа М4. После установки множителя, для того чтобы начать
процесс умножения, надо только привести в действие множительную
клавишу S9. После окончания умножения каретка W возвращается
в первоначальное положение, множитель появляется в механизме
счетчика оборотов Ut и убирается из указывающего механизма МЗ.
Наряду с упомянутым на стр. 76 собирающим устройством машина
имеет еще счетно-цифровой механизм N14, считающий число заданных в
собирающем механизме цифр; числа, устанавливающиеся в этом механизме,
гасятся с помощью рычага N15'. Механизм счетчика оборотов U1 может
быть, между прочим, либо автоматически погашен с помощью „гасящего
соединения" N2', либо использован для собирания множителей.
Десятиклавишная клавиатура применяется также в счетных
машинах „Архимед", модель vM, и может быть дополнительно пристроена
к определенной модели (см. фиг. 72). Существенным при этом является
возможность автоматического сокращенного умножения. Множимое,
как обычно, устанавливается на G1. После этого на М2 задаются
последовательно цифры множителя, но начиная с единиц, например
число 346 устанавливается в последовательности 6, 4, 3. Если
клавиша числа 6 нажата, то процесс умножения на 6 происходит без
приведения в действие специальной функциональной клавиши (см.
также [298]). После этого нажимается клавиша следующего числа
и т. д. Умножение при этом происходит сокращенно.
В машинах „Мерседес-Евклид*, модели 37 и 38 (фиг. 68), имеется
полная клавиатура для установки множителя. При этом множитель
задается в левой части М2 и появляется в указывающем механизме
МЗ (индикаторный механизм; на фиг. 68 перекрыт клавишами).
Умножение выполняется не сокращенно с помощью включения
умножающей клавиши S9. После окончания умножения множитель появляется
в механизме счетчика оборотов и исчезает из указывающего
механизма МЗ.
В изображенной на фиг. 68 модели первые восемь мест служат для цифр
множимого и следующие восемь — для множителя. Но с помощью
перестановки рычага М5 можно производить вычисление с множимыми с большим

112
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
числом- знаков. В этом случае первым устанавливается слева в качестве
множителя меньшее число, приводится в действие клавиша S9, и после
окончания этого процесса нажимается и тотчас же опускается рычаг М5. В таком
случае машина продолжает вычислять, и произведение появляется, как обычно
в главном счетном механизме. Сумма цифр( обоих множителей может быть самое
большее равна п или п — 1, если п есть число имеющихся в распоряжении
разрядов в главном счетном механизме (в модели 38MS п = 16).
В частности, при помощи клавиши S9 выполняется ряд
автоматически совершающихся процессов: перенос множителя и множимого
в главный счетный механизм, гашение левой половины клавиатуры (М2),
соединение невидимого множительного механизма с главным счетным
механизмом, гашение чисел, установленных в этом механизме, и
перенос множителя в множительный механизм, отсоединение последнего
и, наконец, отработку множителя. При этом каретка и работа
машины должны направляться автоматически.
Если, например, установлен множитель 346, то прежде всего необходима
операция 2Sch-V (Sch-V — перемещение каретки на один разряд/
причем каретка перемещается вправо на третий разряд. После этого следуют
операции ШМ (включение рабочего хода машины), 3U (обороты), 1US
(переключение на движение каретки), затем ISch-V, ШМ, 4U, 1US, ISch-V,
ШМ, 6U и остановка машины.
Для регулирования процесса служит переключающий разрядный
(десятичный) вал {23Е на фиг. 85) и специальный направляющий
вал, которые приводятся в сцепление друг с другом нажатием
клавиши S9.
После того как переключающий разрядный вал совершит половину
оборота, оба множителя появляются в главном счетном механизме. В
этот момент происходит сцепление множительного механизма с
главным счетным механизмом, и во вторую половину оборота вала 32
выполняется необходимое десятичное переключение. Помимо этого
вал машины автоматически переключается на вычитание, гасит числа,
установленные в главном счетном механизме (Н — Z), и дает в
множительном механизме (М — W) дополнения чисел, стоящих слева в
(Н — Z), причем гасится также единица, проявляющаяся в
механизме счетчика оборотов (U — Z). После автоматического гашения
левой части клавиатуры М — 2 происходит сцепление механизмов
М — W и Н — Z и может начаться движение каретки. Палец,
приводимый в движение переключающим десятичным валом, толкает
при каждом движении зубец расположенной против него шестерни
механизма М — W, и при этом один раз за каждый оборот,
до тех пор, пока не будет достигнуто нулевое положение шестерни,
т. е. до тех пор, пока не освободится палец, так как против него
не будет зубца шестерни.
В этот же момент включается механизм, с помощью которого
может быть свободно выполнено передвижение каретки до следующего
разряда, в котором шестерня механизма М — W уже не стоит на
нуле, после чего процесс повторяется. Так как механизм U — Z спомо-

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
113
щью промежуточных шестеренок связан с переключающим
разрядным валом, то движение пальца и вместе с этим шестеренок
механизма М — W переносится на механизм U — Z, при этом последний
должен работать в обратном направлении, нежели М — Z, для того,
чтобы давать опять положительные значения, так как значения
дополнений забираются из Н — Z в М — Z.
В счетных машинах „Архимед" моделей М, MZ (фиг. 71)
множимое и множитель задаются друг за другом (не друг подле друга)
Фиг. 108. Расположение деталей механизма для
сокращенного умножения в счетной машине
(установка рычага 86 соответствует значению нуль).
на одной и той же полной клавиатуре, множимое устанавливают
на G1 и нажимают „Х"-клавишУ S9. Благодаря этому число я\
клавиатуре гасится и множимое появляется в указывающем механизме G2.
Теперь таким же образом множитель, установленный на G1, появляется
в указывающем механизме МЗ, и умножение выполняется с помощью
нажатия клавиши Мб. К концу процесса умножения множитель
исчезает из механизма МЗ и появляется в U1 (см. 5.1.4).
В автоматической счетной машине, представленной на фиг. 69,
множимое и множитель устанавливаются друг подле друга на полной
клавиатуре 01или М2. Весь процесс вычисления выполняется нажатием
функциональной клавиши S9. Собственно автоматическая подготовка
состоит наряду с гашением левой клавиатуры и находящегося в Н — Z
8 Зак. 1242. В. Мойер.

114
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
множимого только в переносе множителя в механизм U — Z, из
которого он отрабатывается. Механизм счетчика оборотов является здесь
одновременно множительным механизмом.
Можно также множитель перенести при помощи установочных
колесиков непосредственно в механизм U—Z и выполнить вычислительный
процесс при помощи перекладывания переключателя S10 *) направо, что также
имеет место для стоящего в U — Z частного. Если множитель при
автоматической работе машины должен для дальнейшего использования оставаться
на клавиатуре, то рычаг МЗ надо поставить на R, и умножения могут быть
выполнены при помощи непосредственной установки множителей.
Сокращенное автоматическое умножение происходит следующим
образом: как указывалось на стр. 102 (см. также стр. 127), в счетных
машинах рассматриваемого типа переход на вычисление с вычитанием без
перемены направления вращения главного вала создается при помощи
перемещения каретки на половину шага, так что для возможности
проведения сокращенного умножения это движение должно
соответствующим образом регулироваться. Для этой цели каждому цифровому
ролику механизма U — Z поставлен в соответствие рычаг 86 (фиг. 108),
один конец которого проходит сквозь разрез основания каретки;
в дальнейшем этот рычаг, смотря по положению цифрового ролика
и связанного с ним кинематически при помощи шестерни эксцентрика 82,
может принимать посредством плеча 81 три различных положения:
при установке, соответствующей значению 0 по фиг. 108, для
значений от 1 до 5 по фиг. 109 и для значений от 6 до 9 по фиг. 110.
Внизу каретки W находится включающая рейка 47, которая при
положительном умножении занимает положение, соответствующее
фиг. 111. Так как при умножении каретка движется направо, то
рычаг 86 ударяет (в положении, указанном на фиг. 109) по выступу 63
планки 47а, удерживающему каретку в суммирующем положении. При
этом попутно с помощью рейки 47 осуществляется контакт мотора (пуск
машины) и начинается процесс умножения. Происходит отработка
упомянутых разрядов множителя (см. ниже). В положении,
соответствующем фиг. ПО, рычаг 86 подхватывается таким образом, что каретка
приходит в положение, соответствующее процессу вычитания, и,
следовательно, множимое вычитается.
Собственно отработка установленных чисел выполняется
посредством обоих взаимно включающихся зубцов—„эксцентриков" или
пальцев 90 и 91 9j, которые зубцами N+ или N~ сцепляются с
десятичными шестернями 57, связанными с эксцентриком 82, соединенным
в свою очередь при помощи шестерни с цифровым роликом 58а. При
заданном направлении вращения вала 42 при каждом повороте этого
вала колесо 82 (фиг. 109, ПО) переключается на один зубец. В по-
г) Прежде нужно поставить рычаги S10, G6, U4 на „Х"> и тогда
включение клавиши S9 выполняет вычислительный процесс.
2) Кривошип с кулисой (фиг. 3, стр. 10) и цапфами 93 или 96 и с
расширением цапф в А.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
115
ложетш, показанном на фиг. 109, следует вращение механизма U — Z,
в вычитающем направлении, пока соответственно установленному числу;
цифровой ролик стоит на нуле и носок 85 рычага 81/86 (см. фиг* 108);
откидывается настолько, что он выходит из области обоих упоров*
63 и 63а, и освобождает каретку так, что она может передвинуться
на один разряд до следующего не свободного рычага 3). В
положении, указанном на фиг. 110, вращение механизма счетчика оборотов
Фиг. 109. Расположение деталей Фиг. 110. Расположение деталей
механизма соответственно фиг. 108 механизма соответственно фиг. 108
для значений 1—5. для значений от 6 до 9.
следует в суммирующем направлении вплоть по нуля. Число
оборотов соответствует теперь дополнению установленного числа; из
механизма U — Z, который стоял, например, на 8, отрабатываются теперь
два разряда, и при проходе от 0 на 9 при помощи переключения
десятков механизма U — Z значение ближайшего высшего разряда
повышается на единицу. Итак, задача вычисления 8х решается в форме
(10—8) х или задача вычисления 10928л: в форме (10 OOO-j-ЮОО—
— 100-f-30—2) х, так что вместо 20 оборотов при несокращенном
умножении при сокращенном умножении требуется только 8!
Но можно от стоящего в Н — Z значения отнять произведение, т. е. можне*
также отрицательно сокращенно умножать; для этого прежде всего при
помощи отклонения рычага 92/83 вокруг цапфы 93 он приводится в
положение 92а и вследствие этого через кулисный камень 94 передвигает рейку
476 (фиг. 108) вправо (на фиг. 111 и \\2 вниз) так, что упор 63, находящийся-
на рейке 47а, скреплённой при помощи пластинчатой пружины 47,
перемещается вправо (соответственно вниз), и, следовательно, 63и 63а меняют местами
свои ролики (см. также фиг. 112). Перестановка рычага 92 действует на
лапки 70 дуги 97 и поворачивает их вокруг оси 98 так, что штифты 95 и 96
переключающего зубца меняют свое положение: это означает, что переклю-
г) Можно заметить, что механизм счетчика оборотоз расположен в псь-
движной каретке, в то время как регулирующая система с включающими
зубцами не передвигается.
8*

116
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
чающий зубец 90 теперь направляется при 90а, а переключающий зубец 91
при 916, так что направления стрелок для зубцов N+ и N- меняются на
обратные и, следовательно, процесс фактически идет в обратном направлении,
т. е. протекает отрицательно в отношении механизма Н—Z.
Фиг. 111. Установка шины 47 (см. фиг. от 108 до ПО) для
положительного умножения.
Фиг. 112. Установка шины 47 (см. фиг. от 108 до ПО) для
отрицательного умножения.
Автоматическое деление, как уже многократно упоминалось,
является повторяющимся вычитанием делителя из делимого,
установленного в главном счетном механизме. При этом должно быть
сосчитано, сколько раз делитель может быть отнят от делимого, так
чтобы результат появлялся в механизме счетчика оборотов (часто
называемом поэтому счетным механизмом частного). При этом цифра
высшего разряда делителя устанавливается против цифры высшего
разряда делимого. Если делитель при некотором положении каретки
отнят слишком много раз, то эта ошибка должна быть исправлена и
каретка передвинута на один разряд дальше. Это может быть
произведено двумя способами:
1. Прежде всего каретка передвигается дальше, и затем делитель
прибавляется до тех пор, пока число в счетном механизме снова не
превысит его емкость. Затем каретка передвигается дальше еще на
один разряд и делитель теперь опять вычитается, пока не исчезнет
число в этом разряде, и т. д.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
117
2. Ошибка исправляется с помощью прибавления делителя в том же
положении каретки, и затем каретка передвигается дальше. В новом
положении снова производится вычитание и т. д.
В обоих случаях механизм счетчика оборотов (механизм U — Z)
должен иметь возможность работать на сложение и вычитание.
Внесение делимого в механизм Н — Z выполняется с помощью
установочных блочков или колесиков (в машине на фиг. 69 делимое
вносится в собирающий механизм произведения N2 и оттуда в Н — Z)
или с помощью установки на клавиатуре G1, умножения на единицу
и гашения единицы в U — Z1). Но если делимое и делитель задаются
в левой и соответственно в правой клавиатуре, как это имеет место
в машинах „Мерседес", модель 21, 22 (фиг. 65) или 37, 38 (фиг. 68),
в которых весь процесс выполняется при нажиме на клавишу S9, то
при этом необходимы некоторые подготовительные, протекающие
автоматически процессы: внесение обоих чисел в механизм Н — Z,
гашение левой клавиатуры и переключение на вычитание, для того чтобы
погасить стоящий справа в Н — Z делитель и единицу в U — Z.
Теперь передвижение каретки выполняется автоматически и может
начаться процесс деления.
Машина „Мерседес-Евклид" — единственная, в которой применен
упоминавшийся выше метод, когда при вычитании прибавляются
дополнения вычитаемого. Вследствие этого должен выполняться непрерывный
перенос десятков на высшие разряды (00000434—32 = 00000434-]-
-[-99999968== 00000402), если только вычитаемое не больше, чем
уменьшаемое. В последнем случае непрерывный перенос десятков не
выполняется (00000434—538 = 00000434+99999462 = 99999896).
Если при автоматическом делении машина установлена на
вычитание, то в то мгновение, когда делитель отнимается лишний раз,
впервые нарушается непрерывный перенос десятков; в этом случае
каретка должна быть передвинута на следующий разряд. Но если затем
произвести обратно прибавление делителя, то в то мгновение, когда
делитель прибавляется лишний раз, опять выполняется непрерывное
переключение десятков и каретка передвигается дальше. Это
показывает следующий пример: 295032:542 [5/].
В последующем введены обозначения:
Sch-V — перемещение каретки на один разряд,
DZ — непрерывный перенос десятков,
KDZ — прекращение непрерывного переноса десятков,
Z — правильное числовое значение делителя,
К — значение дополнения делителя,
К0 — поправка.
г) При делении переключатель S10, рычаг счетного механизма U4 и
суммирующий рычаг G6 должны быть установлены на „:а. Каретка оттянута
доотказа вправо и затем отпущена. При этом единица в U — Z гасится
автоматически.

1 Обороты
машины
| 1 к(_)
| 5. Z( + )
J 5.K(-)
J 6. Z( + )
!il7 оборотов
1
Положение счетного
механизма
..0000295032
999999458
999999753032
..00002710
..0000024032
99999997290
999999996932
..0000003252
000000000184
Остаток 184
295032:542.
Замечания
KDZ Sch-V
D2 Sch-V
KDZ Sch-V
DZ Sch-V
остановлено
= 544, остаток 184.
Обороты
+ 1
— 5
+ 5
— 6
Положение
механизма
счетчика оборотов
000000
1
001000
000500
5
000550
6
000544
544
Пример: как и выше, 295 032 : 542.
Обороты
машины
Положение числового
механизма
Замечания
Обороты
Положение
счетчика
оборотов
— 1-Z
+ l-Z(Ko)
— 6-Z
+ l-ZvK0»
— 5-Z
+ l-Z(Ko)
— 5-Z
+ 1-Z(K0)
..0000295032
..0000542
999999753032
..0000542
..0000295032
..00003252
999999969832
542
..0000024032
..000002710
999999996932.
..000000542
..0000002352
..0000002710
999999999642
..0000000542
000000000184
21 оборот Остаток 184
295032:542 = 544, остаток 184.
DZ
DZ Sch-V
DZ
DZ Sch-V
DZ
DZ Sch-V
DZ
DZ Sch-V
остановлено
+ 1
— 1
+ 6
— 1
+ 5
— 1
+ 5
— 1
000000
_J
001000
1
000000
6__
000600
l_
000500
5_
000550
1_
000540
5
000545
^ 1
000544
544

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
119
Названный вторым, но, вообще говоря, обычный метод, принцип
действия которого может быть уяснен из сопоставления приводимых
таблиц, использует непрерывный перенос десятков в том случае,
если делитель отнят лишний раз; это вызывает переключение
механизма на сложение. Если переключение выполнено, то каретка
вследствие непрерывного следующего переноса десятков перемещается на
один разряд дальше. Следовательно, в самом высшем разряде
переключающееся десятичное устройство обязано не выполнять перенос
десятков, а останавливать этот процесс.
В обоих разобранных числовых примерах обороты машины могли быть
сэкономлены, если цифра 5 делителя устанавливалась под 9 делимого.
В первом случае вследствие этого экономятся 2 оборота, в последнем
1 оборот, в первом случае 2DZ и 1 Sch-V, в последнем случае 1 DZ
и 1 Sch-V.
Число оборотов в первом случае может быть не всегда меньше,
но число непрерывно следующих переносов десятков будет всегда
меньше.
В качестве примера второго описанного способа может быть
указана машина, представленная на фиг. 64. Как только ручка
выведена из состояния покоя, поднимается замок 26 (фиг. 113), который
движется в направляющем пазу основной плоскости. Он зацепляет
при этом находящийся в каретке и помещающийся против него паз
и препятствует этим перестановке каретки во время процесса
переноса десятков.
Если каретка занимает положение, представленное, например, на
фиг. 114, то главный счетный механизм считает на сложение1). Но
если каретку несколько сдвинуть вправо (фазовый сдвиг
каретки), то промежуточные колеса 16, участвующие в движении
разрядов главного счетного механизма, не зацепляют больше
зубчатые кольца 10 механизма переноса, а приходят в сцепление
с вышеупомянутыми правыми шестеренками реверсивной пары колес 17.
Следовательно, зубчатые кольца 10 не воздействуют больше
непосредственно на промежуточные колеса 16. Передача происходит
окольным путем с помощью реверсивной пары колес /7, левые
шестерни которой постоянно сцеплены с зубчатым кольцом. В этом
случае, следовательно, главный счетный механизм считает на
вычитание.
Перемещение каретки и изменение фазы установки каретки
производятся таким же образом, как и в машине „Мерседес-Евклид". Каретка
находитсй под действием достаточно большой, направленной влево
силы тянущей пружины, которая сообщается ей с помощью
шарнирного рычага 28 (фиг. 113). В станине каретки снизу выступают
зубчатые рейки 29 и 30. Они взаимодействуют с замком каретки
J) В этой старой машине, в противоположность изображенной на фиг. 64,
вместо рычага имеется еще гайка-барашек.

120
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
и служат для того, чтобы удерживать каретку в каком-либо ее
положении, противодействуя силе натяжения пружины. Передняя
рейка 29 имеет восемь, а задняя рейка 30— шестнадцать пилообразных
зубцов. Если включающий каретку гриф W6a (фиг. 64) нажат, то
замок 31 попадает в область задней зубчатой рейки 30. Однако эта
совместная работа имеет место только при автоматическом делении.
При всех прочих видах вычислений замок каретки связан с передней
Фиг. 113. Основание счетной машины (старая конструкция^
зубчатой рейкой 29, которая, благодаря перекладыванию
распределительного рычага б (фиг. 108, 109) (S3 4, фиг. 64), может быть
передвинута вправо на половину расстояния между зубцами и
вследствие этого вызвать описанное выше необходимое для расчетов
с вычитанием фазовое смещение каретки.
За исключением процесса деления, движение каретки происходит
следующим образом: если подъемный рычаг 35 (которому теперь
соответствует замок W6r, фиг. 64) оттянут вправо, то связанная
с ним защелка 36 захватывает зубец насечки, выполненной в виде
полотна пилы и находящейся на передней длинной кромке основания
каретки. Во время принудительного движения каретки вправо замок 31
скользит вдоль находящейся точно под ним скошенной кромки зубцов
рейки 29 до тех пор, пока незадолго до окончания этого движения
каретки он не соскакивает на вертикальную кромку зубца и
удерживает каретку, в то время как переключающий рычаг 35 и защелка 36

. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
121
после освобождения оттягиваются пружиной назад. Подобным
же образом W6r (фиг. 64) действует при новом проведении
расчета.
Это ступенчатое перемещение каретки вправо может быть
проведено из состояния покоя восемь раз. После этого каретка достигает
своего правого ограничивающего упора. Непрерывное (не
скачкообразное) возвращение каретки в исходное положение возможно при
Фиг. 114 1). Бштренний вид счетной машины (старая конструкция).
нажатии грифа W6a (фиг. 64), благодаря чему замок выводится
из области передней зубчатой рейки. Скачкообразное обратное
движение каретки вызывается, напротив, приведением в действие клавиши
скачкообразного движения 34 (фиг. ИЗ) или W61 (фиг. 64). Средняя
зубчатая колодка 33 поднимает при этом замок каретки от нарезки
передней рейки, так что тянущая пружина может перетянуть каретку
влево. Но этому движению тотчас же снова препятствует ближайший
зубец средней рейки 33. На фиг. 113 можно заметить, что зубцы
реек 29 и 33 смещены относительно друг друга на половину
расстояния между зубцами. Как только отпускается клавиша скачкооб-
J) Цифры соответствуют тем же цифрам фиг. 96 и далее, только 5
соответствует рычагу S 3/4 на фиг. 64. Цифрам 34 и 35 фиг. 114 соответствуют
обозначения W6b и W6c фиг. 64.

122
1. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
разного движения каретки 34, средняя рейка несколько отклоняется
и передает замок каретки на следующий, расположенный слева зубец
передней рейки.
Если машина должна выполнять деление автоматически, то перед
началом расчета нужно нажать внутрь каретки гриф включения
каретки W6a (фиг. 64). При этом замок каретки попадает из области
действия зубчатых реек 29 и 33 в область действия рейки 30.
Одновременно возникает связь (так же как и в машинах „Мерседес-
Евклид") между рычагом подготовки десятичного переноса высшего
разряда главного счетного механизма и замком каретки 31.
Процесс включения автоматического деления во всех других
машинах состоит не только в самостоятельном движении каретки счетного
механизма, но также и
в одновременном
автоматическом
переключении механизма
переноса с вычитания на
сложение, и наоборот.
В некоторых счетных
машинах этот процесс
непосредственно
облегчается благодаря авто-
Фиг. J15. Гасящее колесо 37 и цифровое колесо матическому перелви-
19 главного числового механизма счетной машины. жеНию каоетки
(фигура 113). Как только
делитель вычтен лишний раз, каретка, замок которой поднят
рычагом подготовки переноса десятков высшего разряда, перемещается
влево на половину расстояния между разрядами. Вследствие этого
она устанавливается, как было описано выше, в положение
суммирования, так что поворот ручки привода, который следует во время
этой установки каретки, вызывает прибавление вычтенного лишний
раз делителя. Как только заканчивается это прибавление, каретка
передвигается скачком вновь влево на половину расстояния между
разрядами и достигает этим положения, при котором может быть
произведено вычитание в ближайшем низшем разряде.
Рассмотрим две конструкции гасителей главного счетного
механизма.
В машине фиг. 113 гасящее устройство жестко связано с
приспособлением, устанавливающим делимое непосредственно в главный
числовой механизм. На втулке гасящего колеса 37 (фиг. 115)
помещено могущее свободно вращаться гуртиковое установочное колесо 3
(W4 на фиг. 64), которое настолько выступает из корпуса, что
его можно легко переставлять.
Представим себе, что пара колес 3/37 на фиг. 115 повернута на
180° и приведена в сцепление с цифровым колесом 19 главного
числового механизма таким образом, что зубцы гасящего колеса 37

о. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
123
взаимодействуют с зубцами колеса 19, находящимися на той половине
этого колеса, которая повернута к установленным цифрам, в то
время как отнесенные вбок зубцы гуртикового установочного колеса 3
соприкасаются с внешней половиной зубцов колеса 19. Если цифровое
колесо 19 стоит на нуле, то во время вращения гасящего колеса 37 не
возникает сцепления с цифровым колесом, так как оба зуба колеса 19,
которые при нулевой установке находятся в области сцепления с гасящим
колесом, представляют собой только внешнюю половину,
предназначенную для зацепления зубцов гуртикового колеса (ср. фиг. 115; оба
зубца справа с половинной шириной). Если цифровое колесо стоит не на
нуле, а в каком-либо ином положении, то оно соприкасается с
гасящим колесом до тех пор, пока не займет своего нулевого положения.
Для того чтобы гасящее колесо
во время вычислений не
препятствовало вращению
цифрового колеса, на нем
предусмотрен зубчатый прерыватель.
В противоположность
предыдущим конструкциям гашение
может происходить при любом
положении каретки.
Принципиально иное
представляет собой гасящее устрой- , л.с „
J ~С Фиг. 116. Гасящее устройство счетной
ство машины с колесами Одне- машины
ра. На валу 1 (фиг. 116), на
котором помещено могущее вращаться цифровое колесо // главного
счетного механизма, вырезан продольный паз с прямоугольным
поперечным сечением. В этом пазу находится могущая перемещаться вдоль вала
планка 2 с гасящими зубцами 3. Изображенная модель имеет только
два разряда и вместо гасящей ручки (фиг. 66) имеет простую
головку 4, которая при гашении должна быть повернута на 360°;
часть цифр колеса // удалена. Планка 2 с помощью спиральной
пружины 5 прижимается к левому краю втулки 6, которая жестко
ввинчена в левую боковую стенку каретки. Если гасящая кнопка 4
занимает свое основное положение, то планка, называемая также
„гасящим гребнем", помещается своими правыми упорами в
углублениях, вырезанных во втулке 6. В этом случае гасящий зубец 3 не
может встретиться с зубцами 7, находящимися внутри колеса 11.
Но как только гасящая кнопка будет повернута (направо кругом по
отношению к наблюдателю, смотрящему на нее), „гасящий гребень" 2
перемещается настолько влево, что зубцы 7 захватываются гасящим
зубцом, если только соответствующее числовое колесо не стоит на
нуле.
Зубцы 7 расположены на цифровых колесах таким образом, что
нулевое положение достигается тотчас же по прекращении действия
гасящего гребня.

124
1. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
5.2.3. Включение и регулировка машины были уже разобраны
выше в 5.1.3. Поэтому здесь должно быть дано лишь краткое
представление о принципе действия внутреннего механизма (фиг. 117).
При этом мы остановимся лишь на одном типе машин со
ступенчатыми валиками. Ручка, которая при всех расчетах вращается все
время в одном направлении, приводит в действие пару колес 7,
помещенную свободно на валу 2. Левое колесо этой пары сцеплено
с шестерней 3, закрепленной на ведущем валу дифференциального
механизма 5. Если распределительный диск 4 закреплен, то
дифференциальный механизм с помощью шестерни 6 приводит в движение
вал 2. Закрепленные на этом валу на постоянном расстоянии друг
от друга конические колеса служат для включения ступенчатых
валиков, которое может происходит только при остановке диска 4.
Фиг. 117. Механизм привода машины со ступенчатыми валиками.
Если, напротив, закреплен расположенный справа распределительный
диск 8, который жестко связан с шестерней 6, то дифференциальный
механизм приводит в движение диск 4, который с помощью шарнира
Кардана соединен с валом 9 и коническим колесом 10. От этого
конического колеса вращательное движение с помощью других
конических колес, валов и шарнира Кардана передается на каретку
счетного механизма.
Попеременная остановка распределительных дисков 4 и 8
осуществляется при помощи бокового перемещения планки (для ясности
чертежа половина ее не изображена), снабженной специальными
насадками. На фигуре можно видеть соответствующие вырезы на
окружности распределительных дисков.
При автоматическом делении происходит следующий процесс
переключения: как только в главном механизме вследствие лишнего
вычитания делителя появится дополнение вычитаемого числа,
механизм реверса счетчика для следующего вращения ручки
переключается на сложение. При этом сложении главный счетный механизм
фиксирует один положительный оборот, причем включается
механизм, который передвигает распределительную планку
дифференциального механизма таким образом, что стопорится диск 8 и одно-

>. ЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
125
временно освобождается диск 4. Последующее вращение ручки
передается вследствие этого не механизму переноса, а каретке
счетного механизма, которая теперь передвигается влево на один разряд.
Как только каретка достигнет этого положения, переключающий
механизм опять займет свое первоначальное положение и вычитание
может начаться снова.
Описанные элементы переключающего механизма можно видеть
на фотографии открытой машины со ступенчатыми валиками (фиг. 118,
Фиг. 118. Механизм привода на общей фотографии
машины со гтупенчатыми валиками.
машина „Рейнметалл"). Диск 12 служит для движения ъаретки. Своими
двумя болтами 13 он попеременно захватывает расположенный
•соответствующим образом разрез направляющей планки,
помещенной на задней стороне каретки счетного механизма. Каретка
может также переставляться от руки с помощью трехплечевого
грифа 14.
В заключение заметим, что если основные идеи конструкции
различных типов счетных машин часто кажутся очень простыми, то
путь этих идей до машины, имеющей разнообразное назначение и

126
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
чрезвычайно точной в совместной работе своих частей, еще очень
далек, а машина, как таковая, нередко представляет собой
маленькое чудо техники !),
5.3. Вычисления с машинами
Необходимость использования счетных машин представляется не
только при торговых расчетах; так же часто в них нуждаются
технические бюро для расчетов различных конструкций или для
решения задач прикладной математики, а также для решения
вопросов, с которыми соприкасаются техника, физика и другие области
естествознания. Нужно напомнить, что они (счетные машины)
применяются также для решения уравнений (I, б), для приближенного
вычисления интегралов с помощью суммирования (правило трапеций,
правило Симпсона и др.), для приближенного численного решения
дифференциальных уравнений, для численного гармонического анализа,
который, между прочим, может быть выполнен с перфорированными
картами (см. раздел V и [258]), наконец, для составления таблиц
функций и т. д.
С собственно вычислениями мы уже много раз сталкивались при
описании отдельных частей и конструкций машин, так что здесь мы
удовлетворимся кратким сопоставлением основных результатов и
указанием особых расчетных случаев.
5.3.1. Сложение и вычитание. Выражение a±b±c±dz±z...
вычисляется следующим образом. Устанавливают величину а и
поворачивают ручку один раз (по часовой стрелке) или приводят в
действие функциональную клавишу ( + ). То же самое повторяется для
величины b и т. д. Если же нужно вычесть некоторое число, то
прибор должен быть переключен на вычитание, или ручка должна
вращаться в обратном направлении (против часовой стрелки).
Если результат отрицателен, то в главном счетном механизме
появляется дополнение искомого числа, чье дополнение снова есть
искомое число и может быть найдено с помощью механизма
дополнения в машинах „Мерседес". Если счетчик оборотов работает все
время на сложение, хотя главный счетный механизм работает на
вычитание, то в счетчике оборотов стоит количество воспроизведенных чисел.
5.3.2. Умножение, т. е. вычисление выражения вида р = а*Ь,
можно выполнить двумя путями.
Обычный путь. Устанавливают в установочном механизме
величину а и вращают ручку прибора (при ручном приводе) b раз по
часовой стрелке (сложение). Механизм счетчика оборотов укажет
*) См. помимо уже указанных работ также [16, 57, 70, 118, 133 214,
215, 258, 269, 308 и 55, 19, 120, 121, 136, 227].

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
127
тогда произведение р. При этом используется уже много раз
упоминавшееся сокращенное умножение. Если, например, надо вычислить
536 • 769, то не следует умножать сперва на 7 сотен, затем на 6
десятков и, наконец, на 9 единиц, т. е. всего выполнить 7 -|- 6 -}- 9 = 22
поворота ручки. Вместо этого умножают сперва на 1000, потом
передвигают каретку на одно деление назад и вычитают
первоначально установленное число 2 раза, затем каретка передвигается еще
на одно деление назад и установленное число вычитается 3 раза,
наконец, каретка передвигается назад еще на одно деление и
установленное число вычитается один раз. Таким образом решение задачи
записывается в форме 536-769 = 536 (1000 — 200 — 30—1), и при
этом вместо 22 выполняется только 1-|-2-|-3+1 = 7 вращений
ручки. О полуавтоматическом и автоматическом умножениях см. 5.2.2.
Особый путь. В счетной машине фиг. 69 множитель
отрабатывается из показания счетчика оборотов и может быть там установлен
посредством специальных установочных колесиков. Подобным же
образом можно работать и при машинах с ручным приводом (что
является в некоторых случаях желательным, см. 5.3.4). Установив
установочный механизм на нуль, вращают ручку до тех пор, пока
в счетчике оборотов не покажется число b или еще лучше, если это
возможно, с помощью соответствующего переключения или изменения
направления вращения — д. После этого устанавливают число а в
установочном механизме и вращают ручку!до тех пор, пока в счетчике
оборотов не исчезнет число Ь. Этот способ можно назвать обращенным
делением. Автоматическое выполнение задачи% деления рта для
получения b было подробно описано в 5.2.2.
Многократное умножение а • b • с. .. При автоматических
моделях „Мерседес" 37SM или 38SM задача может быть решена
благодаря тому, что при приведении в действие специальной клавиши
(N43, фиг. 68, см. также 5.1.4, стр. 79) число, занимающее
первые 6 или соответственно 8 разрядов (где устанавливаются цифры
заданного числа) главного счетного механизма, передается в
находящийся внутри „механизм множителя" или „предварительный
механизм" и затем может быть умножено на дальнейшие множители.
Итак, делается предположение, что р1 = а - b имеет не больше, чем
6 или 8 знаков, или достаточно точно выражается с их помощью.
В автоматических машинах, в которых множитель отрабатывается из
механизма счетчика оборотов, можно стоящее в главном счетном
механизме значение pi = a-b разделить на 1, так что рг появится
в механизме счетчика оборотов, и затем умножить его на с.
Во всех других случаях нужно воспользоваться окольным путем,
т. е. перенести рх в установочный механизм и затем умножить на с.
Это особенно просто производится с помощью специального
приспособления обратного переноса, имеющегося в моделях „Рейнметалл"
(см. стр. 80, 5.1.4). Кроме того, при малых числах pi можно
множимое установить в главном счетном механизме и умножить на

128
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
(с—1), так как рх уже о тин раз уст.шовлено в главном счетном
механизме.
Точность. Говоря о точности машины, подразумевают количество
знаков, с которыми можно проводить вычисления1). Если, например,
в машине с десятьюзначным установочным устройством
устанавливается число 469856,0014, то умножение на четырехзначное число,
например 12,45, дает в результате в главном счетном механизме
13-значное число, а умножение на 4-значное число 62,45 дает
результат, в котором первая цифра была бы» неверна. Точно так же будет
ошибочно умножение на пятизначное число 12,453, так как
умножение на 3 не сможет быть выполнено полностью. Вследствие этого
лучше всего ввести z предохранительных знаков (по Эмде [47]) и
добиться я-значной точности, если при t возможных положениях
t -\- k
каретки положить п = —~ г> где & = 0 Для t четных и k = 1
для t нечетных. Между прочим, можно повысить точность и
определить ошибку, если ввести приближенные значения а0 и Ь0, т. е.
представить произведение в виде:
«•^ = («o + ei)(^o + s2) = ^o + eA + s2^o-r£ie2-
5.3.3. Деление. Для вычисления частного d = a:b возможны два
способа (см. автоматическое деление, 5.2.2, стр. 117).
Повторное вычитание. Установим а в главном счетном
механизме. Установим затем b в установочном механизме и, вращая
соответствующим образом ручку прибора, отнимем число b d раз до
тех пор, пока от а не останется остатка, меньшего Ь2).
Обращенное умножение. Вносят b в установочный механизм и
вращают ручку по часовой стрелке (в суммирующем направлении) до
тех пор (d раз), пока в главном счетном механизме не появится а.
Если а не достигается в точности, то ручку поворачивают до тех
пор, пока не появится ближайшее число, превосходящее а. Разность
между этим числом и а дает тогда остаток, который, будучи отнесен
к делителю, должен быть вычтен из числа вращений ручки.
Сложение дополнений3). При работе на машинах с ручным приводом
или на полуавтоматах задачу с = а\Ь записывают в форме a -f- (л* — Ь) с = хс.
Тогда с появится в HZ и в UZ (HZ — главный счетный механизм,
UZ—счетчик оборотов).
г) Относительно деления см. 5.3.3.
2) Устанавливая этот остаток г на месте высших разрядов и продолжая
деление, можно найти уточнение результата в виде г\Ь.
3) Деление с помощью сложения дополнений напоминает
соответствующую задачу при расчетах на счетной линейке с использованием обратной
шкалы.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
129
Пример. 7984 :36. Дополнение к 36 есть ... 9964. Устанавливают, однако,
только 64.
007984+ (1000 — 36). 2, так как 36 заключается в 79 дважды;
+2000
— 72
20078 +(1000 —36). 2
+ 2000
_— 72_
220064+ (1000 —36). 1
+ 1000
j- 36
2210280+ (1000-36). 7
+ 7000
— 252 Результат: 221,7, остаток 2,8. Число нул'ей опреде-
2217028 ляется по имеющемуся в машине числу знаков.
Отрицательное деление. В связи с этим нужно указать на
деление отрицательных чисел, т. е. чисел, заменяемых с помощью их
дополнений. Вместо того чтобы отнять число Ь d раз, нужно его d раз
прибавить к дополнению а, пока в главном счетном механизме не будет
стоять нуль или число, близкое к нему (меньшее Ь, с точностью до
остатка). Например, задание —156 : 12 выполняется так, что к
дополнению ...99999844 прибавляется 13 раз число 12 для того, чтобы
получить нуль. При работе с машинами „Мерседес" (модель 37, 38
(фиг. 68), 21, 22 (фиг. 65)) это достигается благодаря включению
клавиши с обозначением „—Div". В машинах „Архимеди это
достигается способом, описанным на стр. 78—79. В машинах фиг. 69
автоматическим делением каретку передвигают не совсем до упора направо,
а лишь настолько (см. 5.2.2), что она после отпускания приходит
в первоначальное суммирующее положение (нормально каретка
приходит первоначально в положение, соответствующее вычитанию).
Вследствие вышесказанного можно поступить так:
UZ работает на суммирование, HZ — на вычитание и задачу — а/с решают
в форме 1 ... 000 — а — (х — Ь) с = — сх.
Пример: —6275:25
...9993725—(100—25).2, так как 62:25 = 2...;
+ 50
—200
.9978725-(Ю0-25). 5
+ 125
—500
UZ—251
.9974975—(100—25). 1 Результат ^2—251
+ 25
—100
...9974900
5. 3. 4. Составные выражения. Большое значение имеет
вычисление составных выражений, например вида а • b — с • d, поскольку
9 Зак. 1242. В. Мейер.

130
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
они могут определяться окончательно, т. е. без необходимости про-
читывания промежуточного результата для того, чтобы устанавливать
его вновь.
(я t ± я2 zir a3 ± ...) • Ь. Выражение, стоящее в скобках, на
основании описанного в 5.3.2 способа, вносится либо в установочный
механизм, либо в механизм счетчика оборотов, либо в
предварительный механизм („Мерседес") и затем умножается на Ь.
(ах ± д2 ± а3 ± ...): Ь. Стоящее, как и прежде, в главном
счетном механизме выражение в скобках делится обычным способом на Ь.
a1b1±a2bq±. .. Составляется первое произведение и затем,
смотря по знаку, добавляется или вычитается второе. Значения
отдельных произведений не могут быть прочитаны без собирающего
механизма. Если такое приспособление имеется, то каждое произведение,
после того как оно списано из главного счетчика механизма,
приводится в собирающий механизм и гасится в главном счетном механизме.
Если, наконец, вся скобка должна быть поделена еще на некоторое
число, то стоящее в собирающем механизме число нужно снова
перенести обратно в главный счетный механизм. В том случае, если не
требуется прочитывать отдельные числа, т. е. проводить собирание,
то это число, выраженное в скобках, уже стоит там. Ср. 5.1.4,
стр. 76.
(а1Ь1 ± афъ ± . ..): (Ьг + Ь2 -\~...). Вычисляют делимое, как
указано выше, и включают счетчик оборотов на сложение. Если
направление вращения счетчика оборотов меняется в зависимости от знака bv
то делитель может иметь также форму bt± b2^bs±. ..
Собственно деление выполняется установкой делимого в установочный
механизм или на соответствующей клавиатуре.
Р^ ± ~ ± ... Если отдельные знаки положительны, то первые
отношения составляются по 5.3.3, устанавливаются в механизме
счетчика оборотов и определяется значение второго отношения,
которое прибавляется к первому. При этом само значение последующих
отношений не прочитывается*). Эта возможность существует в машине
(фиг. 69, см. также стр. 76), которая имеет собирающий механизм
N10 для множителей и соответственно частных (так как они либо
отрабатываются из механизма счетчика оборотов UZ, либо вносятся
в него путем соответствующего вращения ручки). Так как
собирающий механизм может быть включен либо на суммирование, либо на
вычитание, то могут быть также учтены и отрицательные знаки.
Окончательно все выражение может быть передано в собирающий
механизм и умножено еще на одно число (множимое). В других
1)Если при делении на щ остается остаток гг-, то его записывают и
вычисляют до конца (см. 5.3.5) выражение r^a^ =t г2/#2—... Этим
улучшится результат вычисления, что может требоваться из-за числа отношений
или из-за желаемой точности.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
131
машинах при отрицательных частных нужно применять
„отрицательное " деление по 5. 3. 3.
Если частные могут быть вычислены по 5. 3. 3, то отдельные частные
прочитываются в механизме HZ, и собирание происходит в механизме UZ.
Если — должно быть отнято, то механизм счетчика оборотов UZ должен
работать на вычитание.
—-— и подобные выражения. Составляют произведение и
выполняют затем*деление обычным способом. Однако со счетной машиной
можно так же, как и со счетной линейкой [46], умножать и делить
произвольное число раз в любой последовательности, поскольку
можно выполнить деление и умножение по 5.3.3. Для того чтобы
составить, например, выражение , определяют по 5.3.2
произведение a • £, делят на с, согласно 5. 3. 3, умножают по 5. 3. 2
на d и т. д. Желательно распределять последовательность действий
таким образом, чтобы последний процесс был умножением. В
следующих примерах цифры означают последовательность действий: -
2-4 '
* " ' . Если возможен обратный переход из главного счетного
механизма в установочный механизм, то последовательность будет
м 3-4 4-5 5-6 J
следующей: ^, -^-^ , ь2,3.4 •
Если хотят получить выражение а\с и аЬ\с одним вычислением, то задача
может быть решена, как в 5. 3. 2, введением дополнения, т. е. задача может
быть записана в форме: я + (xb — с) — = xd, причем d = — . Складывают
с с
Ь с дополнением с и а/с можно прочесть в UZ, a d в HZ.
Пример: —щ— . Прибавлено должно быть таким образом 300—23=
= 277 (опуская запятую).
06275+ (300 — 23)-2, так как 23 содержится в 62 два раза.
+ 600
— 46
61675+(300—23). 7
+ 2100
- 161
81065 + (300-23) • 2 Результат -^=*^5 272,8
С zo
+ 600
— 46
Остаток 0,6
8l6l90+(300-23).8 f = ^|ll = 818,4+^
+ 2400
- 184
818406
9*

132
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
В машинах с автоматическим делением этот путь не рекомендуется.
Делят на (с + дополнение Ь), т. е. задачу решают в форме ха — (хс — b)—=d.
Значение— появляется теперь в UZ, a d— как остаток в HZ.
5. 3. 5. Потенцирование (возведение в степень). При вычислениях
на счетной машине в основном имеют значение степени с целыми
показателями и с показателями 1/2 и 1/3. Однако, если принять во
внимание, что логарифмические вычисления также облегчаются с
помощью машины, то она может быть применена для вычисления
произвольных степеней.
п — целое положительное. Составляют хп в виде произведения п
множителей х (см. 5. 3. 2). Этот расчет особенно прост, если
возможен обратный перенос. Если п = 2, то из таблиц справочника имеем
для квадрата числа некоторое, весьма близкое число -v0. В таком
случае х2 = (лг0 + г)2 = х% -f- 2jc0s -|- е2, так что поправка (2х0-\-е)г
по сравнению с первым приближением л;*, получаемым из таблиц,
может быть легко вычислена. В некоторых случаях величина е2 может
быть пренебрежимо мала.
Подобное же соотношение имеет место при вычислении третьей
т = п
степени. Для того чтобы вычислить многочлен /2-й степени ^.атхт
m = l
для различных равноотстоящих значений х, можно использовать
схему Горнера (см., например, [42]) или исходить из
дифференциальной схемы, которая может быть также использована для вычисления
отдельно хп.
п = 1. Значение а~1 = \ :а может быть легко определено с
помощью деления 1 . . . 000: а. Остаток может быть разделен еще раз
и т. д. Для п = — 2 определяется сперва а2 и затем его обратное
значение.
л ==1/2. Для вычисления на машине квадратного корня имеются
различные способы. Среди них следует отметить г) три простых
и легко понятных способа, причем первый по существу уже
включает в себя второй. При этом делается предположение, что
для х = У^а из таблиц известно приближенное значение.
Метод Коллаусе. Пусть л;= |/"я = &-{-/&, где Ь —
приближенное значение и h — поправка. Имеем:
(Уа — £)2 = (а-И2) — 2bVa = h2.
Если h мало, то можно положить /z2£^0, и мы получим как
второе приближение для \fa значение
У^«-£- = *«.
г) См. также журнал Instrumentenkde, 62 (1942), 237—240.

5. СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ
133
С этим приближением можно поступить так же, как с
предыдущим: x=Y^a==b2-\-h2, и продолжать процесс до тех пор, пока
не будет достигнута требуемая точность. Германн поступает
подобным же образом, но без продолжения вычислений, именно
(b + hf — № . , № ,
причем ошибка равна -^т-.
Для вычисления h или b-\- h он предлагает поступить
следующим образом: устанавливают а в главном счетном механизме, Ь—в
установочном механизме и вычитают его, предварительно умножив само
на себя. Затем устанавливают в установочном механизме 2Ь и, не
гася показания счетчика оборотов, выполняют деление. Тогда в
счетчике оборотов будет стоять искомое значение h.
Способ, называемый DeTeWe, основывается в конце концов на
подобном же методе: если Ь± = Ya — hi — первое приближение, то вычис-
ляют — = Ь1 и отсюда с помощью среднего арифметического составляют
улучшенное приближение b2= -~-(bi~{- bt). Таким образом,
\ ( а\ b\-ha tit
есть фактически лучшее приближение. Соответственно получаем
b2 = Y" ^з = -j (^2 + b'2)
и как еще более хорошее приближение
^=^+йГ^ит-д-
При практическом вычислении особенно удобно, если деление может
прерываться при помощи прерывающей клавиши (N5). При работе с
автоматами (см. фиг. 68) поступают следующим образом: если нужно, например,
извлечь корень у 6885, то подкоренное выражение а — 6885 устанавливается
слева в HZ; первое приближение 8 задается слева в установочном
механизме для множителей М2 и производится деление. При этом в UZ появляется
первой цифрой 8 и следующей 6. Теперь деление прерывается и машина
переключается на умножение, благодаря чему подкоренное выражение а
снова переставляется из UZ в HZ. В установочном механизме теперь задано
среднее значение из установленного числа 80 и вычисленного 86, т. е. 6 должно
быть только изменено на 3. Новое деление на двухзначное число дает в UZ
значение 82,95, прерывание, переключение на умножение и составление
среднего значения из 82,95 и 83,00 обусловливает изменение с 83,00 до 82,975.
Новое деление дает 82,97680, среднее значение из ...500 и ...680 дает 590,
так что к уже установленному значению прибавляется только 9.
Деление 6885:82,97590 дает тогда в UZ также 82,97590 — искомое значение У л.
Здесь для ясности нарочно взято грубое, очень просто определяемое
приближенное значение. Приближенное значение 82,97, полученное
интерполированием из таблиц, приведет к цели еще быстрее.

134
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Разложение в ряды. Помимо обоих указанных способов для
приближенного вычисления корня может быть также использовано
разложение функции в ряд:
которое для е2^0 совпадает с вышеупомянутым разложением.
Подобное же разложение может быть использовано при вычислении
корня третьей степени:
\/а = \/Ь* + гжЬ + -^.
n—\jm. Обобщая метод, уже разобранный выше в этом же
разделе, можно поступить следующим образом:
Если bt = Уа — h — первое приближение, то вычисляем т_1 = Ьх
(m — l)b1 + b[
и как второе приближение Ь2 — . После этого
продолжаем процесс. Для применения метода необходимо, чтобы можно
было просто вычислить величину Ь™~1.
5.3. 6. Различные задачи. Решение определенных специальных
задач может быть облегчено применением сдвоенных счетных машин
(см. стр. 79—80). К таким задачам относится, например, одновременное
вычисление величин и = ар и v==aq и затем сумм иг =^ ар -f- bq
и и2 — aq-{-bp, если каретка главного счетного механизма может
перемещаться под обоими установочными механизмами. Задачи этого
рода встречаются при геодезических вычислениях. Точно так же
выражения вида
могут быть просто вычислены в том случае, если в одном
установочном механизме установлено /к, ав другом проводится деление а\Ь
в форме умножения обратных величин. Тогда произведение -г- • т
находится в главном счетном механизме той части машины, в
которой устанавливалось т 1).
6. ПРИБОРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Очень важно разработать счетные машины, подобные описанным
в предыдущих разделах, в качестве приборов для решения уравнений.
*) Относительно вычислений с машинами см. [17, 35, 41, 46, 47, 81, 85,
86, 102, 169, 190, 224, 269].

6. ПРИБОРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 135
Необходимость этого вытекает из того, что в промышленности
и в исследовательской работе в задачах статики, задачах отыскания
собственных значений, задачах электротехники, связи и т. д.
встречаются часто уравнения и особенно системы уравнений.
Поэтому ниже в основных чертах рассмотрены некоторые
механически или электромеханически работающие машины, причем
изложенные здесь предложения и конструкции еще не могут
рассматриваться как окончательные.
6.1. Системы уравнений первой степени в форме *):
апхх -f а12х2 + 0ia*3 + • • • + аыхп + Di = °»
a2iXl 4" ^22A*2 4~ а2ЪхЪ 4" * • • 4" а2пХп 4" ^2 = ^'
аШх1 4" ап2х2 4" апЪХЪ 4" • • • + аппхп 4" Dn — °
с п неизвестными xv дг2, . .., хп.
Такие уравнения могут быть при известных обстоятельствах
решены методом итераций [154], и существует прибор [208],
проводящий этот процесс механически.
6Л.1. Механическое решение. На фиг. 119 представлена схема
механического устройства для решения системы линейных
алгебраических уравнений. Схема дана для решения двух уравнений с двумя
Фиг. 119. Схема механического прибора для решения системы
п уравнений первой степени (л = 2).
неизвестными [253, 101b, 32, 226]. На вращающихся вокруг
неподвижных точек пластинах 1, 2, 3 устанавливаются коэффи-
циеты au, д12, D таким образом, что центр расположенного на пла-
*) Обзор конструкций для решения систем уравнений (механических,
гидравлических, электрических) дан в статье П р о ш к о С. 3., Успехи мат.
«аук, Гостехиздат, вып. 5—6 (1946 г.). {Прим. ред.)

136
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
стине и могущего вращаться ролика находится от центров
вращения пластин на расстояниях, пропорциональных коэффициентам ап
и т. д.
По роликам движется тросик, сохраняющий постоянную длину
между точками Л и С, который переходит на ролики нижнего
бегунка UL, причем бегунок перемещается горизонтально (фигура
показывает схематический рисунок). Верхний бегунок OL с
обозначенным пунктиром тросиком служит в основном для получения
равномерного натяжения тросика. Это соединение синусного механизма
(см. I, 3.2.1) с тросовой передачей (I, 1.1.5) дает при неизменной
длине тросика АС соотношение между коэффициентами и углами
поворота пластин. Принимая во внимание знаки, имеем:
2ап sin a -\- 2al2 sin (3 -J- 2DX sin у = О
или
sin а . sin Р . ~ л
аи—. \-а<о—. \-D< = 0.
Но это уравнение совпадает с первым уравнением системы с двумя
неизвестными:
«11*1 + ^12*2 + Dt = 0,
«21*1 1~ «22*2 I ^2 === ^>
если положить sin a/sin -у = хг и sin p/sin -у = л;2. Такая установка
сама по себе выполнима бесчисленным количеством способов. Позади
изображенной конструкции находится вторая с такими же пластинами
(соединяемыми жестко с первыми), на которых устанавливаются
коэффициенты a21, a22, D2. Если задать затем определенный угол,
например y> то устанавливаются вполне определенные углы а и р>
так что при этом неизвестные хг = sin a : sin f и x2 = sin p :sin у
вычисляются по этим углам или могут быть прочитаны на шкалах,
имеющихся на машине. Машина (имеющая следующие размеры: 1,3 м
высоты, 2,00 м длины и 75 см ширины) может решать до 9
уравнений и содержит 10 пластин и 9 тросиков. Результаты вычислений
удовлетворительны по точности, и для решения девяти уравнений
требуется примерно 1—3 часа* Какую это дает экономию времени,,
видно из того, что для численного решения системы с четырьмя-
пятью неизвестными требуется 3—4 часа, при шести-десяти
неизвестных — примерно б—20 часов, не говоря уже о том, что такая
счетная работа утомительна и сопряжена с ошибками !).
6.1.2. Электрические схемы решения. Электрическая схема
с активными сопротивлениями *). В этом случае предполагается,
*) См. также [229а], [168], [23].
*) Впервые подобные электрические модели для решения систем
линейных уравнений специального вида были описаны Д. Гершгориным (см. доп.
лит. [44]). (Прим. ред.)

6. ПРИБОРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
137
что система уравнений, записанная теперь в форме
yi = ailxi±ai2x2~\-...-Jraikxk-\- .. . + ainxn (/=1, 2, ..., п),
имеет симметричный главный детерминант, т. е. что aik = а^. Это
не является существенным ограничением, так как многие технические
проблемы часто приводят к таким уравнениям.
Система п линейных уравнений, записанная в указанной выше
форме, может быть на основании уравнений Кирхгофа представлена
с помощью электрической распределительной схемы с (#+ 1) узлами
или с (/2+1) гнездами. В первом случае коэффициенты aik
выражаются через проводимости и свободные члены yi— через силу тока
в узлах. Неизвестные получаются из замера разности напряжений
между узлами. Во втором случае коэффициенты представляются с
помощью сопротивлений, а свободные члены выражаются напряжениями;
неизвестные находятся измерением силы тока в определенных ветвях
сети. Однако этот способ обладает недостатком, заключающимся
в довольно сложном вычислении сопротивления.
Так как коэффициенты могут иметь любой знак, то пользуются
реактивной проводимостью, причем для положительной проводимости
пользуются емкостью, а для отрицательной — самоиндукцией. При этом
делается предположение о постоянстве фазы тока, постоянстве частоты
источника напряжения и пренебрегают потерями в вольтметрах.
Однако при одновременном притекании токи, соответствующие
свободным членам, действуют друг на друга. Для преодоления этого
затруднения применяется принцип наложения (суперпозиции) и каждый
раз предполагается, что втекает только один ток. Таким образом
решение Х{ может быть записано в форме
*4 =уА\ Л-у* •<*«+••• +уЖъ+ • •. +лА™
причем dik обозначает известные миноры, зависящие только от
коэффициентов aik.
Полагая во всех уравнениях, за исключением г-го, свободные
члены уг равными нулю, т. е. рассматривая систему уравнений
п
Уг= 2 aik'*k\ .Уг = 0, у4ф09 1=1, 2, ..., п,
к=*1
получаем, на основании только что приведенных формул, частные
решения хк, которые пропорциональны отличному от нуля члену y{v
Хк}=Уг<1ы, к= 1, 2, . .., п.
Придавая индексу / все значения от 1 до п, получим для каждого
хк п частных решений, и искомое решение будет
п п
*к = 2 хк] = 2 У г " dki.
г = 1 г = 1

138
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Практическое проведение решения можно видеть из схемы фиг. 120,
изображенной для случая /г = 3. Через g"10, g12, ... обозначены
проводимости, RA обозначает участок цепи, образованный емкостями
Kv К% и ламповым вольтметром, 5 — переключатель, служащий для
изменения области измерений, Сг—конденсатор переменной емкости
для создания тока различной силы, W—переключатель, соединяющий
амперметр и конденсатор переменной емкости с отдельными узлами
1, 2, ...,« сети, RV—ламповый вольтметр, измеряющий каждый
раз разность напряжений между узлами 1, 2, ..., п и нулевой точкой
сети О. Знак неизвестного определяется последовательным соединением
конденсатора постоянной емкости сг и конденсатора переменной
емкости с2.
Из схемы включения имеем: если ток yi подходит к узлу /
(например, 2) через переключатель W, то по правилу Кирхгофа этот
ток yi должен быть равен сумме утекающих токов gikxfkt если
через gik обозначить проводимость участка между узлами / и k и
через x^l — разность напряжений между этими узлами. Итак,
Уг = ^ gik4k-\-gi04l
Выбирая теперь проводимости так, что г)
gik= — aik(k ф 0) и &о = fl<i +*«+ •.. +я<п>
лолучим:
у г = — 2 «<*4* + 2 «<**$ = 2 aik (4o—х%.
Но так как х$ обозначает разность напряжений между узлами / и 0
и ха — разность напряжений между узлами k и /, то разность
■*&— *У = #ло будет разностью напряжений между узлами k и 0
при притекании тока в узел /. Итак,
п п
У г = 2 <*<**$ или уг = 2 а1кх%1 уг = 0, уг ф О,
к=Х к=1
т. е. наблюдаемые разности напряжений хк1 между узлами от 1 до п
и узлом 0 есть просто частные решения х(ко> сумма которых
есть искомое решение хк. Вместо того чтобы питать узлы заданным
током yi9 можно подвести к ним ток yt и измерять соответствующие
напряжения ико. Вследствие уже выше установленной
пропорциональности между напряжением и током
4о =Л«ло и хк =уги$ ~\-у2и{$ + • • • +Уп$о-
1) Так как giJc = gkit то должно быть aik = аы. Отсюда получается
ограничение этого метода симметричными системами.

6. ПРИБОРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
139
Эти решения являются первыми приближениями для хк, так как они
являются решениями уравнений, составленных для сети, но
проводимость может быть установлена ошибочно. Полагая, что точное
решение хк = хк -\- хк, и вводя это выражение в систему уравнений,
получаем для поправки хк систему уравнений, подобную
первоначальной, из которой Хк может быть найдено таким же способом. Так
шаг за шагом можно улучшать решение до тех пор, пока оно не
\с2
RV
л
1 д'3 1 1
т—
Ф и г. 120. Схема электрического прибора для решения
системы п уравнений первой степени (п = 3).
будет иметь требуемой точности. При некотором опыте для
наибольшего неизвестного с помощью первого приближения можно достичь
точности примерно в 2,5%.
Конструкция, которая была испытана для п = 3, показала вполне
хорошие результаты. Можно заметить, что число устанавливаемых
сопротивлений (проводимостей) должно быть -^ /z (я-{- 1), например
55 для я =10 и 1275 для я = 50.
Схема с потенциометрами [197] применяется для решения системы
уравнений и с несимметричным главным детерминантом. В этом
приборе общая электрическая цепь делится на п независимых друг от
друга участков, так что каждому из п уравнений соответствует одна
особая независимая распределительная группа, состоящая из п
сходящихся к одному узлу реостатов. (См. фиг. 121 для я = 3.)
Применение уравнений Кирхгофа дает соотношения, соответствующие
отдельным уравнениям системы (см. ниже) 1).
10 и
1) Число необходимых реостатов составляет л1, т. е. 100 для п ■
2500 для п = 50, вообще на — п (п — 1) больше, чем в схеме, описанной
в 6.1.2.

140
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Отрицательные члены могут быть учтены с помощью изменения
направления тока в данном контуре. На фиг. 121 для я = 3
рассмотрены 3 группы сопротивлений, каждая с тремя реостатами. Для
питания каждой группы служит делитель напряжения, который должен
иметь соответствующее число распределительных контактов. В узлах
связанных между собой сопротивлений соединяются три питающих
тока каждой группы и текущие в обратном направлении к
отрицательному полюсу источника питания.
Фиг. 121. Схема электрического прибора для решения
системы п уравнений первой степени (п = 3).
Имеют место уравнения:
или так как
f=U-G (U—напряжение, G— проводимость),
то
UxGt + U2G2-f ВД> = /, UyG[ + U'2G2 + uWs = Л
u[g\^uIg2-\-uIgI = i\
Это должно быть изображением линейных уравнений, в которых
свободные члены у соответствуют суммарному току /. Однако в
противоположность схеме с активными сопротивлениями напряжения (Л . ..
представляют здесь коэффициенты, а проводимости Gt . . . устана-

6. ПРИБОРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
141
вливаемых ступеней сопротивлений — искомые неизвестные. Рекк
считает такие зависимости более целесообразными. Расположенные друг
f II Г II
за другом проводимости Gv Оь Gt (фиг. 121) и G2, G2, G2 и т. д.
равны между собой, так что существуют только сопротивления
Gv G2, G8 в первом, втором и третьем рядах. Благодаря жесткому
соединению скользящим контактом они могут в каждом ряду
одновременно изменяться на одну и ту же величину.
При практическом решении поступают следующим образом:
устанавливаются заданные частичные напряжения Uv ..., гравные
коэффициентам уравнения; после этого три сопротивления посредством
Ф и г. 122. Схема электрического прибора для
решения системы п уравнений первой степени (п = 3).
обозначенных пунктиром соединительных шин изменяются до тех пор,
пока три амперметра не покажут заданных значений /, /', Г. Для
того чтобы быстро и безошибочно достичь этой цели, употребляется
специальное механическое приспособление, с помощью которого
перестановка совершается автоматически.
Исследования по точности выполненных приборов в названном
издании [197] не сообщаются.
Схема с трансформаторами [131]. Прежде всего п уравнений
преобразуются в однородные с помощью введения новых неизвестных:
Х1: Х2: ... : Хп: U — х1: х2: . .. : Х^ь '• * > так чт0 уравнения *)
принимают форму
За неизвестные Хг здесь принимаются переменные магнитные поли
в (п-\-1) замкнутых железных сердечниках; сердечники помещены
в катушки, число витков которых равно или пропорционально
коэффициентам. Катушки, число витков которых соответствует
коэффициентам каждого уравнения (фиг. 122), соединены последовательно и
образуют каждый раз особый замкнутый контур.
*) См. стр. 135.

142
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Если не возникает магнитной утечки и влияние омического
сопротивления пренебрежимо мало, то в катушке, соответствующей,
например, коэффициенту ап, напряжение будет пропорционально anXv
в катушке, соответствующей коэффициенту а12, — а12Х2 и т. д. Так
как конец катушки, соответствующей Dv соединен накоротко с
началом катушки, соответствующей коэффициенту ап, то
напряжение между началом первой катушки и концом (/г-f-l)
(четвертой на фиг. 122 для трех неизвестных) равно нулю, и уравнение
апХ1 -\- ах2Х2~\- ...-{- а1пХп + Dfl = 0 фактически
выполняется. Соответственные выводы имеют место и для других
уравнений.
Для исключения ошибок, возможных из-за утечки, необходимое
для возбуждения магнитного поля произвольное напряжение
пропускают через одну из обмоток: Kv K& ..., Кп, Ки сердечника,
соответствующего наибольшему неизвестному. Неизвестные определяются
с точностью до третьего знака как напряжения магнитного поля
в непосредственно указывающем приборе, или, точнее, посредством
компенсационного регулирующего устройства, присоединенного к
катушкам Sly S2, ..., SnSu. Число витков катушек, соответствующих
коэффициентам уравнений, делится с помощью трех переключателей
на три секции. Точность машины удовлетворительная1).
6.2. Уравнения л-й степени
6.2.1. Уравнение с одним неизвестным в форме:
а0 + ахх -}- а2х2 -{- а3х8 -f- ... -\-апхп — 0.
Уравнение с действительными коэффициентами аи такого вида
встречается инженеру или физику прежде всего как
характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами или как характеристическое уравнение систем
таких дифференциальных уравнений!
На фиг. 123 дана схема одного из устройств для решения
уравнения /г-й степени [73]. Эта машина построена следующим образом:
на валу ^помещены (п-\-1) одинаковых генераторов переменного
тока G0, Gj, ..., GM (фиг. 123). Они непосредственно соединены
между собой, причем статор внешнего генератора G0 может свободно
вращаться, но так, что вращение может быть последовательно
передано при помощи пар шестеренок /?, К остальным генераторам. При
*) Машина может быть также применена к вычислению выражений
вида 2a*Xi' ^Ри этОМ» если числа aixi лежат между +1 и — 1 и если
результат не больше единицы, то ошибка оказывается равной 0,0002.

6. ПРИБОРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
143-
этом поворот „углового" вала w на угол ср вызывает поворот статора
на ср» 2ср, Зср ...
Клеммы генераторов связаны с (лг —{— 1) отдельно устанавливаемыми
потенциометрами — „коэффициентными" потенциометрами. К каждому
генератору, за исключением первого, приключен потенциометр с
последовательно возрастающим сопротивлением, так называемый „суммарный"
потенциометр.
Контакты этих потенциометров устанавливаются с помощью
особого приспособления таким образом, что для определенной установка
Фиг. 123. Схема машины для решения одного
уравнения л-й степени.
сопротивления первого (г) второй пропорционален его квадрату и:
л-й — л-й степени (г). Выходные клеммы этой второй группы
потенциометров соединены последовательно с вольтметром V.
Механизм для регулирования контактов состоит из эксцентриков,
насаженных на „суммарный" вал b и с помощью стальной ленты
приводящих в движение контакты. Если вал b поворачивается на
угол г, то вследствие этого достигается смещение эксцентриков г1,
г2, ..., г*1).
х) Обозначая через ds^ элемент дуги &-го эксцентрика, имеем его по-
8
лярное уравнение I ds^ — С • rft или
о

144
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
При вращении мотора М генераторы вырабатывают напряжение
одинаковой амплитуды и частоты, но сдвинутые по фазе, так что
они могут быть записаны в форме
и0 = U• cosco^, . . ., ик— U • cos(o)^-j-^cp), .. ., ип= U • cos(o>^-J-/zcp).
Если теперь подвижные контакты коэффициентного потенциометра
привести в положения, пропорциональные коэффициентам а0, av ...,
аъ • • • > ап> т0 на клеммах этого потенциометра будем иметь
напряжения
е0 = a0U • cos о)^, ..., ек = akU • cos (со^-f- /гср), .. .,
en — anU • cos (о)£-|-™Л?)-
Эти напряжения передаются на суммарный потенциометр, так что на
его клеммах могут быть получены напряжения:
е0 = aQU cos tot, et = a^rU cos (Ы-{-<?), ...,
ejc = akrk U cos (<ut-{-ко), ..., e„ = anrnU cos (a>t-\-no).
Вместе с этим напряжение V, которое показывает вольтметр, имеет
значение 2^fc, T- е-
V = a0Ucos Ы-{- аггUcos (<*>£-f-<p)-j- • • • -+"anrW^C0S(a)^'~Hw?)»
или, так как 2 cos a = еи-\~е~ы,
1/= 1 a0U{ei^t-{~e-i^t)-\-^airU [е* {ы+^ -\-e~i (">*+?)] -f
= у 6fe<u>* (я0 + fljre^ + a2r2e2i<? + .. . + anr»en*9) +

6. ПРИБОРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
145
Полагая первое выражение равным Р и второе Q, получим
V = ± PUe^t + -g- QUe-w.
Если теперь значения о установить на угловом валу и значения
г — на „суммарном" валу, так чтобы все время было V=0, то Р и Q
должны также быть равными нулю.
Если уравнение, которое должно быть решено, имеет комплексный
корень х = /*£*>, то, подставляя его в данное уравнение, получаем
соотношение:
ао + lhr ' ei'- + <V2 • e2i* + • • • + апгП ' e1lit? = °>
что совпадает с условием Р = 0. Но так как в таком случае также
и Q = 0, то уравнение одновременно имеет корень х = ге~*чт Итак,
при заданных а0, av . .., ап можно в машине так установить с? и г,
чтобы V = 0.
Для о = 0 или о = ~ имеем действительные корни и притом
положительные или отрицательные.
Для решения уравнения восьмой степени требуется полчаса, причем
ошибка составляет 2% в сумме и 1% в угле.
Действительную и мнимую части члена akzk = akrkeik<? в функ-
к = п
ции w=f(z)= ^akzk можно представить с помощью двух взаим-
А; = 0
но перпендикулярных поперечных кулис!) (косинусный или
синусный механизм), общий кривошип которых имеет длину акгь. Эти
перемещения akrk cos ko и акгк sin k<Q для всех значений k (0, 1,
2, ..., п) складываются с помощью роликового и тросового
механизмов (I, 1. 1. 5).
Благодаря этому чертежный стол движется в одном направлении
для получения одной суммы, а чертящий штифт, находящийся на
нем,—в перпендикулярном направлении для составления второй
суммы.
Этот штифт описывает при этом отображающую кривую w=f(z) и
для постоянного значения г называется изографом. Увеличение угла
достигается с помощью зубчатого механизма, и степени г2, г3, . .., гп
образуются соединенными между собой логарифмическими счетными
валиками, которые поворачиваются на два, три и т. д. оборотов,
в то время как первый делает один оборот.
1) См. также [305].
Ю Зак. 1242. В. Мейер.

146
I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ
Для решения уравнения / (z) = 0 отыскивается тот круг г —const^
отображение которого w проходит через начало координат.
Прочитывается соответствующая установка угла и определяется значение
z = г (cos cp -\- i sin cp).
Прибор построен для уравнений степени я ^10 и должен решать
уравнение восьмой степени, имеющее исключительна комплексные
корни^ в один день с точностью в 1/3% [305].

II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Геометрические приборы служат для измерения, вычерчивания и
перестраивания кривых (а также для нанесения отдельных точек по
их координатам). Таким образом, эти приборы в основном
используются для геометрических задач1).
1. ПРИБОРЫ ДЛЯ НАНЕСЕНИЯ КРИВЫХ (КООРДИНАТОГРАФЫ)
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Эти приборы служат для нанесения (построения) точек в
некоторой координатной системе по их заданным координатам. Они могут
быть также использованы для обратной задачи — определения
координат заданных точек. Задачи этого рода в особенности встречаются
в геодезии, так что такие инструменты в основном обслуживают эту
область. Однако при более общей постановке вопроса они
применяются не только для геодезических целей, но также и в
машиностроении2). При прямоугольных координатах в приборе должны быть
возможны два взаимно перпендикулярных движения, соответственно
направлениям осей. В приборе, построенном для полярных координат,
должны быть возможны перемещение и вращение.
1.1. Прямоугольные координаты
1.1. 1. В качестве примера прибора с рамой на фиг. 124а показан
координатограф, служащий не только для построения отдельных точек,
но и для одновременного нанесения квадратичной сетки. Плоская
железная рама В может быть с помощью винтовых зажимов А
прикреплена к рабочей плоскости. На обеих продольных сторонах рамы
через каждые 200 мм находятся остальные штифты, на которые
насаживается и удерживается пружинами абсциссная линейка С 3)
с двумя концевыми клеммами. Эта линейка имеет две шкалы и
*) Мы не будем рассматривать здесь используемых в конструкторских
бюро чертящих машин, так как это выходит из рамок этой книги.
2) А также для создания номограмм или для графического представления
функций, координаты которых заданы таблично.
3) Параллель к представленной на фиг. 124а вертикали, принятой за ось
абсцисс.
1С*

148
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
накладывается непосредственно на бумагу *). Ординатный ползунок D,
прижимаемый к абсииссной линейке пружиной, имеет два нониуса
для установки абсцисс и
пунктирный ползунок для
установки ординат, который
также имеет два нониуса и
может быть установлен грубо
или точно с помощью
зубчатого блочка. Для
нанесения квадратной сетки
ординатный ползунок неподвижно
закрепляется на
произвольной ординате. Вместо
приспособления для пунктира Н
может быть помещена
насадка с лупой J. Ориенти-
Ф и г. 124а. Координатограф рующий ползунок F также
Фиг. 1246. Отдельные части прибора, изображенного на фиг. 124а.
пружинно расположен на абсциссной линейке; стеклянная пластинка
имеет продольный штрих.
Если задать начало отсчета и направление оси абсцисс, то
ординатный ползунок и точечный ползунок (имеющий теперь насадку
*) Масштабные шкалы линейки оцифрованы в противоположных
направлениях. (Прим. ред.)

1. ПРИБОРЫ ДЛЯ НАНЕСЕНИЯ КРИВЫХ (КООРДИНАТОГРАФЫ) 149
с лупой) устанавливаются в точке с нулевыми абсциссой и ординатой,
и рама перемещается таким образом, чтобы с одной стороны отметка
лупы стояла точно против начала, а с другой стороны штрих
ориентирующего ползунка совпадал с какой-либо второй точкой
неподвижной оси абсцисс. После этого рама жестко закрепляется и может
быть начато нанесение точек с помощью точечного ползунка либо
прочитывание координат с помощью лупы.
Рабочая область описанного прибора составляет 700X1000 мм.
Особенно удобно при работе то, что шкала прибора сделана с
довольно мелкими делениями.
„Ортогональный координатограф" [116] имеет рабочую область
500 X 400 мм. В этом приборе рейка, принимаемая за ось абсцисс,
неподвижна. Относительно нее движется абсциссная каретка,
несущая лупу и ординатную линейку. По последней в направлении оси
ординат движется ординатная каретка с лупой для отсчитывания
ординат и с микроскопом, который вместе с тем используется для
нанесения точек. Точность считывания координат составляет 0,05 мм.
1.1.2. В качестве прибора без рамы на фиг. 125 показан
небольшой прибор для вычерчивания карт. Этот прибор имеет абсциссную
линейку 4 и перемещающуюся вдоль нее „абсциссную каретку" 5
с „ординатной кареткой" 7. На этой каретке смонтирована лупа 9
или точечное устройство (приспособление для нанесения точек) 8.
Способ действия этого прибора легко понять из фиг. 1246. Плоскость /
с отметками служит для ориентировки прибора на нуль. Область
измерений при обычных конструкциях составляет 120 мм в
направлении оси абсцисс и ±40 мм в направлении оси ординат; подобное
же конструктивное выполнение имеет прибор с областью измерений
до 1000 мм по оси абсцисс и 800 мм по оси ординат.
1.1.3. Наряду с дальнейшими простыми аппаратами для нанесения
кривых и приборами для вычерчивания карт существует
редуцирующий прибор для вычерчивания карт.
При графических изображениях, производящихся в течение
длительного времени, большой помехой является изменение бумаги
в различных направлениях, что может даже привести к
сомнительному результату. В особенности это делается заметным, если масштаб,
который принят при замерах, должен быть нанесен на карту или на
уже имеющуюся карточную сетку. С помощью этого прибора можно
избежать необходимых пересчетов, зачастую различных по величине
в обоих направлениях.
На неподвижной раме 1 (фиг. 126) имеется абсциссная линейка 5,
на которой находится подвижной нониус 6. Линейка укреплена на
оси 16. Сдвоенный крестовидный ползунок 6, 4 преобразует
перемещение нониуса по линейке 5 в перемещение абсциссной каретки 7!),
*) Ось абсцисс расположена на чертеже вертикально.

Фиг. 125. Небольшой картографический прибор.
Фиг. 126. Редуцирующий картографический прибор.

1. ПРИБОРЫ ДЛЯ НАНЕСЕНИЯ КРИВЫХ (КООРДИНАТОГРАФЫ) 151
движущейся по направляющей 2, параллельной оси абсцисс. К
каретке 7 прикреплена подобным же образом ординатная линейка 9,
которая имеет точечное приспособление 12 или лупу 13, и с помощью
сдвоенного крестовидного ползунка 10, 11 (нониус 10) движет
параллельно оси ординат ординатную каретку 8.
Если, например, абсциссную линейку 5 установить на 0%
изменения размера чертежа (как на фиг. 126), то абсциссная каретка
будет стоять на установленной с помощью нониуса абсциссе. При
вращении налево, например при установке на 2% изменения размера
чертежа, перемещение каретки будет короче. Мы имеем, таким
образом, простейший пропорциональный механизм (см. I, 2.2). Концевая
точка линейки может быть непосредственно установлена на деление
шкалы, соответствующее изменению чертежа и при этом от —2%
до ~("^^%- Рама 1 располагается неподвижно, каретка 3, 7 может
перемещаться с помрщью ролика 14 по направляющей 2.
Указатель 15 служит для ориентировки.
Область измерений простирается до 20 см для абсцисс и ± б см
для ординат, что при принятом в конструкции прибора масштабе
1:1000 (1:500) соответствует 200 (100) м для абсцисс и ±60
(30) м для ординат2).
1.2. Полярные координаты
1.2.1. На фиг. 127 представлен простой и удобный в работе
прибор для нанесения кривых в полярных координатах (полярный
координатограф). Он состоит в основном из линейки At могущей
вращаться вокруг неподвижного
полюса Р и служащей для нанесе- р \м
ния расстояний, и из связанного {¥, / Пгл~Йп
с А измерительного (для замера Ч , CJEJj
углов) ролика М, ось которого /
проходит через Р. ф и г# 127. Основные элементы поляр-
В практической конструкции ного координатографа,
(фиг. 128) ролик расположен не
на продолжении линейки Л, а на специальной рамке, жестко связанной
с линейкой- Кроме этого, на линейке предусмотрен еще, как это
видно на фиг. 128, нониус с лупой или точечное приспособление.
Устройство для измерения углов состоит из измерительного ролика,
который катится по бумаге, и из диска с нанесенными на нем
цифрами, приводимого в движение червячной передачей от оси ролика.
2) Координатографами для декартовых координат, в конечном счете,
являются также калиброванные сверлильные станки для производства
цилиндрических отверстий, выполняемых с большой точностью; здесь также
имеются две движущиеся взаимно перпендикулярно координатные каретки
с приспособлением для грубой и точной установок. Также следует указать
на координатные фрезерные станки.

152
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
Деления на диске нанесены от 0 до 360° или соответственно до
400 делений (новая система деления). Если полюс и полярная ось
заданы, то измерительный ролик вращают до тех пор, пока не
появится желаемый угол. Ползунок на линейке имеет два нониуса
Фиг. 128. Конструкция полярного координатографа.
соответственно обоим масштабам. Линейка имеет длину от 25 до 100 см.
Точность вполне удовлетворительная (см. [239]). При измерении углов
средняя ошибка составляет примерно 1,5'.
1.2.2. Полярный координатограф другой конструкции состоит
из неподвижной круглой рамы, по которой при неподвижном
нониусе может двигаться делительный круг (круг со шкалой). На
раме находится также выполненная в виде линейки хорда,
несущая каретку для установки или прочитывания величины радиуса-
вектора и точечный микроскоп. Точность прибора также вполне
удовлетворительна *).
2. ПРИБОРЫ ДЛЯ ПЕРЕЧЕРЧИВАНИЯ КРИВЫХ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Часто требуется увеличить или уменьшить в определенном
отношении чертежи, карты, планы и т. д. (пантографы), или же бывает
нужно для создания перспективного рисунка перечертить фигуру,
изменив линейно ее размеры в одном направлении (аффинографы),
или же, наконец, требуется перечертить фигуру, не линейно изменяя
ее размеры в одном направлении, большей частью по оси у
(преобразователи или трансформаторы).
2.1. Пантограф
Пантограф (фиг. 129) состоит из шарнирного параллелограма
РАВС, на одной стороне которого, например АВ, имеется обводной
*) О „тахографе" для нанесения точек в полярных координатах см.
журнал Instrumentenkde, 63 (1943), 186—187.

2. ПРИБОРЫ ДЛЯ ПЕРЕЧЕРЧИВАНИЯ КРИВЫХ
153
штифт F, а на другой стороне, например СВ,— чертящий штифт Z
(пантограф Шейнера) *).
Если приспособление вращается вокруг полюса Р и PA = AFy
ZB = BF и, следовательно, также PC=CZ, то на основании
теоремы о пучке параллельных
прямых, пересекающих стороны угла,
имеет место соотношение PZ: PF=
= АВ : AF. Таким образом, точки Z
и F описывают подобные и подобно
расположенные фигуры,
уменьшенные или увеличенные в отношении
АВ : AF или AF : АВ (вместо
рейки PC может быть приделана
сторона DE).
Одна из конструкций пантографа
представлена на фиг. 130.
Стержни PC и РА поддерживаются
с помощью проволоки п на
крановом остове, в то время как
стержень AF вблизи обводного штифта F поддерживается с помощью
ролика R. Для приведения в движение служит ручка Н, для пуска
в действие пишущего или точечного приспособления служит
устройство L. Ось вращения прибора (полюсный штифт) опирается на
шаровую цапфу, находящуюся в подпятнике корпуса. Для перечерчивания
^.
Фиг. 129. Схема пантографа.
Фиг. 130. Конструкция прецизионного пантографа.
с уменьшением в отношении 1 20 до 4/5 ось вращения помещается
на конце прибора (установка „полюс на конце", фиг. 130), для
перечерчивания в отношении 2/3, 11 до 3,2 ось вращения
помещается в середине прибора (установка „полюс в середине"). Имею-
г) Ср. также [260, 292].

154
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
щаяся на приборе обводная лупа делает возможными особенно
точную установку и обвод оригинала.
Менее точен простой деревянный пантограф, хотя бы потому,
что отдельные части „работают" неравномерно, т. е. могут
изменяться из-за влажности воздуха и других причин. При работе с этим
прибором отдельные относительные увеличения могут быть получены
не смещением частей, а перестановкой всего прибора, так что
случайные изменения положения бумаги недопустимы. Применение
пантографа не ограничивается областью геометрических задач. Он
находит применение в оптических профильно-шлифовальных машинах
и других станках. Контур шлифуемого профиля вычерчивается
увеличенным в 50 раз и затем с помощью очень точного пантографа
отмечается (ощупывается) от точки к точке. На месте чертящего
штифта находится микроскоп с крестообразными штрихами, который
помещается над шлифовальным инструментом и обрабатываемым
предметом. Обтачивание производится до точки пересечения штрихов
микроскопа, пока весь профиль не будет соответствовать чертежу.
При обработке твердой детали может быть достигнута точность
±0,01 мм1). Нужно упомянуть еще о стереопантографе для
гидротехнических лабораторий, которыми могут быть представлены модели
русла реки с помощью обведения линий уровня в плоской проекции.
2.2. Аффинографы
(ПРИБОРЫ ДЛЯ АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ)
Здесь речь будет итти о приборах, деформирующих заданную
■кривую или замкнутую фигуру только в одном направлении.
2.2Л. В основе одного из таких приборов лежит равносторонний
шатунный механизм в соединении с механизмом, работающим по
принципу пантографа (фиг. 131). На рейке d, могущей перемещаться
с помощью каретки W по перпендикулярной к ней неподвижной
направляющей s, находятся два ползуна 1 и 3, к которым шарнирно
в точках А0 и В присоединены рейки а и Ь, также шарнирно
соединяющиеся между собой в точке А. Ползун 2 с помощью рейки с
и крестовидного сдвоенного- ползуна в точке С соединяется с
рейкой а, так чтобы CD = СА0 = г. Ползуны 4, 5 могут неподвижно
закрепляться на рейках а и с. Если теперь К и, следовательно,
точка В кривошипно-шатунного механизма А0АВ движутся вдоль
кривой уъ в то время как ползун 1 неподвижно закреплен на d, T9 точка D
г) Пантографы применяются также в граверно-фрезеровальных машинах,
в повторно-фрезеровальных машинах для пространственных конструкций.
Обводящий штифт в этом случае является „копирующим" или изучающим
штифтом, а чертящему штифту соответствует фрез.

2. ПРИБОРЫ ДЛЯ ПЕРЕЧЕРЧИВАНИЯ КРИВЫХ
155
механизма A0CD и соединенный с ней чертящий штифт J описывают
кривую yh ординаты которой меньше ординат кривой ук в
отношении г : &, т. е. yi= -^ Ук-
Если втулку / не закреплять неподвижно и вести Н вдоль
кривой уг и К вдоль кривой уъ (здесь, как и выше, предположен
одинаковый масштаб вдоль оси абсцисс), то J опишет кривую
у2 = ^jf^yi + -^гЛ- Мы можем,
таким образом, складывать две
кривые и соответственно вычи-
R
тать их, так как у1 — ~_ у2 —
Если а — единица масштаба для ух,
т. е. а см представляет единицу
рассматриваемой величины, и р
соответственно является единицей
масштаба для yti, то для установки
r = R —-ц-7- следует сумма у2 =
= Уг+Уз> с
а-0
I—1
\
с ^
Щ
й\
g^5 ]
i^bl
|j|y
fff
1
1
!
У*
%
/&n 1
Hj 1
I I
У
T =*
a +1
единицей масштаба
для _y2.
^%?r
~Ж2Г
Фиг. 131. Аффинограф.
Прибор может быть использован также для полярных координат,
если удалить каретку W и рейку s, а направляющую d вращать
вокруг расположенного на ней центра [65].
В аффинном пантографе, представленном на фиг. 132, также
используется равносторонний шатунный механизм (на фигуре — QPA).
Р принудительно движется по прямой 5 (ролик и рейка); на QA имеется
обводный штифт F, и к АР присоединен шарнирный параллелограм
АВСР (АВ = PC, АР = £С = /), сторона которого PC, таким
образом, жестко связана с ползуном Sch, что PC перпендикулярно к ВС.
ВС несет чертящий штифт Z, причем AF=BZ=p и также AD=AF.
Следовательно, прямая ZF стоит всегда перпендикулярно к s и при
перемещении F параллельно 5 Z перемещается в том же направлении
и на такую же величину. Между расстояниями FT — у} от прямой s
(ось х{) и ZU = y2 от прямой х2, проходящей через С параллельно хг,
имеет место соотношение, вытекающее из подобия треугольников QFT
и CZU; у2 : CZ=yx: QF или у2 =ух -^- = уга, а = ^-=д и X = у .
Итак, фигура, обводимая штифтом, помещенным в Z7, уменьшается по
одному направлению (перпендикулярно к s) в отношении а:1. При
перемене местами F и Z происходит увеличение в отношении 1 : а.

156
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
Соединением двух приборов с взаимно перпендикулярными
направляющими можно данную фигуру сократить или растянуть в различных
отношениях по двум взаимно перпендикулярным направлениям.
Такое перечерчивание выгодно, если чертеж должен быть начерчен
в параллельной проекции и, следовательно, сокращение должно иметь
место только в одном направлении. Этот способ неудобен при
перечерчивании диаграмм с единым
масштабом.
Если обводящий штифт движется
по кругу, то чертежный штифт
описывает эллипс (прибор для
вычерчивания эллипсов см. II, 3.1.1).
Для получения чертежа
объемного тела в изометрической
аксонометрии существует прибор
(аффинный пантограф), основанный на только
что рассмотренном принципе. Он
удобен для составления
изометрических чертежей и находит
применение при разработке строительных
конструкций и в горном деле. Однако
он дает плохое пространственное
представление [51].
Фиг. 132. Прибор для перечерчи- 2-2-2- „Преобразователь коорди-
вания с аффинным изменением нат". Преобразователь координат
масштаба. служит также для перечерчивания
кривых испытаний в одном масштабе
по оси ординат. Прибор основан на принципе пропорционального
механизма. Масштаб по оси абсцисс меняется вследствие того, что
перечерчиваемая и вычерчиваемая кривые обходятся обводным и
чертящим штифтами, движущимися в неподвижной плоскости, с разными
скоростями (см. [164]). Нужно еще упомянуть в связи с этим о перспек-
тографах, с помощью которых могут быть созданы перспективные
чертежи, и о приборах для расшифровки аэросъемки !).
2.3. Преобразователи
Эти приборы предназначены для перечерчивания кривой таким
образом, чтобы растяжение в заданном направлении не являлось
линейным. Описанные выше аффинографы являются, таким образом,
преобразователями для линейного растяжения.
1) Относительно этого см. специальную литературу по
фототопографии.

2. ПРИБОРЫ ДЛЯ ПЕРЕЧЕРЧИВАНИЯ КРИВЫХ 157
2.3.1. К этой группе примыкают также приборы, перечерчивающие
диаграмму, выполненную в полярных координатах, в чертеж с
декартовыми координатами. Это преобразование можно совершить с
помощью фотоэлемента [82]. Автором спроектированы различные
конструкции, работающие на чисто механическом принципе, смотря по
тому, наносятся ли переменные вдоль радиуса или, как это часто
бывает по ленте самописца, на большой дуге, проходящей через
центр (см. раздел IV, 1.1.1). Однако они еще не построены, так
как оказываются необходимыми только в особых случаях научных
исследований.
2.3.2. В собственно преобразователях задача ставится следующим
образом: начерчена функция y=f(x), известна, кроме того,
функция H=G(y), ищется при неизменном масштабе по оси абсцисс
изображение функции И(х) = G [/ (х)].
В качестве одного из многих примеров, требующих применения
подобного преобразования, можно назвать трубку Вентури: минутный
расход дается зависимостью Q = с Y&P, где Ар есть перепад давления
в двух сечениях потока и с — постоянная прибора. Если теперь перепад
давления Д/? вычерчивается непосредственно без промежуточного включения
редуцирующего механизма (см. 1,3.1.2), то, для того чтобы представить
(с точностью до постоянного множителя) характер кривой, выражающей
протекающую массу жидкости, из ординат вычерченной кривой должен быть
потом извлечен квадратный корень. Если хотят получить массу жидкости,
U
протекающей за определенное время, т. е. Q = k\ y^Ap dt i)f то кривую
для Q надо спланиметрировать. Целесообразно при этом, как это будет ниже
следовать из IV, 1.1.2 а), непосредственно планиметрировать кривую при
помощи степенного планиметра.
В качестве преобразователя широкое распространение получил
прибор, называемый апериодографом. Этот прибор состоит (фиг. 133)
в основном из двух кареток. Одна из них/ несет обводный штифт /,
а другая h — пишущий штифт т и направляется с помощью первой
соответственно закону преобразования посредством эксцентрика,
находящегося рядом с колесом g. Регистрационная лента, на которой
начерчена кривая y=f(x), наматывается на ролик #, а лента, на
которой должна вычерчиваться кривая Н(х), наматывается на ролик с.
Если ролик b и вместе с ним с приводятся в движение (ручным
способом с помощью ручки d или автоматически с помощью
электромотора), то одна лента разматывается, а другая наматывается. .При
этом каретка / с помощью колеса g движется таким образом, что
обводный штифт все время находится на кривой y=f(x). Благодаря
вращению этого колеса, вращается также преобразующий эксцентрик
!) k — константа аппаратуры.
2) Там же будут даны дальнейшие примеры таких преобразований.

158
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
и направляет каретку h. Если кривая Н(х) должна быть спланимет-
рирована, то каретка h может быть соединена с дисково-роликовым:
планиметром k (см. IV, 1.1.1 и IV, 2.4.2 [67, 122, 123].
Фиг. i33. Апериодограф.
2.4. Различные приборы
В качестве различных специальных приборов можно указать прибор [237а|
для перечерчивания диаграммы давление — время в диаграмму давление —
объем (для двигателей с центральным кривошипом шатунной передачи).
Для увеличения малых движений, т. е. для расширения области
применения обычных рычагов, имеется приспособление, работающее на принципе
плоского шарнирного четырехугольника [13, 193]. Используемая, между
прочим, для построения номограмм скользящая шкала [7] является делителем
отрезков. Редуцирующий циркуль служит для деления отрезка или
окружности при заданном диаметре на п равных частей.
3. ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧЕРЧИВАНИЯ КРИВЫХ1)
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Математические инструменты находят применение в различных
областях математики. Так, например, приборы для вычерчивания
кривых используются в аналитической геометрии и теории кривых.
В рамках этой книги мы можем лишь дать понятие о приборах,
применяющихся для вычерчивания часто встречающихся кривых, или же
) См. предисловие.

3. ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧЕРЧИВАНИЯ КРИВЫХ
159»
о приборах, имеющих наиболее общее значение. Мы здесь не будем
подробно останавливаться на приборах для вычерчивания прямой,
т. е. на проблеме, играющей важную роль в кинематике (см. [20,
145J). Точное проведение прямой может быть выполнено, например,,
равносторонним кривошипом (см. стр. 155) или инверсором Гарта
и Поселье [20]. Последний, однако, можно использовать, как это
видно из фиг. 134, для вычерчивания дуг круга большего радиуса [101]»
К неподвижному, но могущему менять свою длину стержню 00'
примыкает шарнирный четырехугольник OO'QS. К этому четырехуголь-
Фиг. 134. Циркуль для Фиг. 135. Циркуль для вычерчивания
больших радиусов. эллипса (эллиптический циркуль),
основанный на кардановом движении.
нику присоединен шарнирный ромб QRPS и звено OR = OS. Точки OQP
лежат на одной прямой. Кроме этого, из фиг. 134 можно заметить,
что OQ • ОР — с2 — Ь2 (теорема о секущей в круге). Таким образом,
расположение точек Р и Q является отображением с помощью
обратных радиусов. При этом отображении круг переходит в круг.
Если Q при закрепленном х описывает круг около О', то Р
движется по кругу с центром в точке О", лежащей на
продолжении 00'. Его радиус получается из предельных положений точки Р
для OQ1 = x — а и OQ2 = x-\-a:
г = -0- • (с* — Ь2) • ■— ) = а • -5 « .
2V ' \х — а х-\- а ) х* — я2
Отсюда легко может быть вычислена величина х для заданного г.
Для л: = а г будет бесконечным, и Р опишет тогда прямую,
перпендикулярную к 00'.
Задача о движении точки в плоском механизме таким образом,
чтобы она принудительно описывала прямую, является аналогом
решенной в планиграфах [170] задачи о плоском движении точки в
пространственном механизме.

160
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
3.1. Конические сечения
Для вычерчивания конических сечений и, в частности, для
вычерчивания эллипса, который, между прочим, является изображением
«руга при параллельной и центральной проекциях, разработан ряд
.конструкций (см., например, [42]). Дальше будут приведены
некоторые наиболее интересные из них.
3. 1. 1. Эллиптические циркули позволяют свести задачу
построения эллипса к геометрическому истолкованию его параметрического
уравнения х = а • cos <?, у = b • sin ср.
„Бумажно-ленточная конструкция". Наиболее часто
встречающейся формой такого прибора является следующая: отрезок АВ
движется по взаимно перпендикулярным направляющим аир (фиг. 135)
так, что точка А все время находится на а и точка В — на |3. В таком
случае точка 5, лежащая на АВ (чертящий штифт), описывает эллипс
с полуосями a — BS и b = AS, величина которых определяется
положением точек Л, В, S на рейке S. Недостатком является то, что
эллипс не может быть вычерчен одним движением.
При движении отрезка АВ мгновенным центром вращения является
вершина Р прямоугольника АОВР. Отсюда следует, что неподвижная
полодия Кг будет представлять собой круг с радиусом ОР = АВ;
подвижная полодия должна быть кругом
с диаметром АВ, так как угол
при Р в каждом положении —
прямой.
Движение может быть поэтому
создано с помощью
шестереночного механизма с зубчатками Кг
и Кд (карданово движение).
Так как точка М движется
по кругу радиуса ОМ, то можно
также использовать
равносторонний кривошипно-шатунный
механизм ОМА и исключить
направляющую точки В, так как В
принудительно описывает прямую *). Но
для положений разветвлений, в
которых ОМ и МА совпадают,
Фиг. 136а. Эллиптический циркуль должно иметься вспомогательное
(схема). сцепление.
Эллиптический циркуль, представленный на фиг. 136а, состоит
из параллельного кривошипного механизма ACss, несущего в
шарнирах 5 раму Т. На этой раме находятся шестерня z и зубчатая рейка Z
(фиг. 1366), приводящая в движение каретку У, несущую чертящий
*) М — середина отрезка АВ. Направляющая имеется только у точки А.
(Прим. ред.)

3. ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧЕРЧИВАНИЯ КРИВЫХ
161
штифт 5. Последний регулируется ползунком е, соединенным со своей
направляющей.
Ползунок е помещен на конце кривошипа Be, который с помощью
параллельного кривошипного механизма сцеплен с другим кривоши-
/*;
N в
\
W
Фиг. 1366. Конструкция, соответствующая фиг. 136а.
пом таким образом, что шатуны As, Be, Cs все время остаются
параллельными. As обусловливает движение чертящего штифта 5
в направлении оси х, Be — в направлении у, и мы имеем х = a cos о,
y = £sin? при As = a, Be = b. Фиг. 1366 показывает
конструктивное выполнение прибора, при котором эллипс может быть вычерчен
одним движением. Значения а и Ь
могут изменяться (ср. [88]).
В эллиптическом циркуле,
представленном на фиг. 137,
также используется параллельный
кривошипный механизм. В этом
приборе длина кривошипа т может
изменяться. С кривошипом А0А
жестко соединена шестерня Ru
которая соприкасается с такой
же по величине шестерней /?9,
вращающейся вокруг точки М
шатуна АВ. К последней шестерне
присоединен чертящий штифт б\
описывающий эллипс. Если выбрать S таким образом, чго MS
располагается горизонтально при равном нулю угле В0А0А =о, то из
чертежа фиг. 137 получаем:
х = т • cos ср -]- п • cos о = (т -\~ п) • cos cp,
у а т • sin с? — п • sin ср = [т — п) • sin cp,
т. е. эллипс имеет полуоси а = т-\-п и b = т — п.
Ф и г. 137. Эллиптический циркуль.
И Зак. 1242. В. Мейер.

162
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
Необходимо соблюдать осторожность в местах разветвления, т. ег
в тех случаях, когда параллелограм вырождается и возможен
переход в антипараллельный кривошипный механизм, в котором шатуны
движутся в противоположном направлении и М описывает не круг,
а кривую. При этом точка 5 уже не будет описывать эллипс.
Кинематически движение колеса /?2 может быть, между прочим, сведено
к хардановому движению (II, 3.1.1). На основании теоремы кинематики об
относительном центре вращения движущихся относительно друг друга плоско-*
стей, мгновенный центр вращения Р колеса /?2 относительно неподвижной
плоскости должен лежать, с одной стороны, на прямой, соединяющей точку А§
с относительным центром вращения Q обоих колес, и, с другой стороны,
на ОМ, так как М движется по кругу с центром в точке О.
Так как О закреплено и ОР=2т независимо от угла поворота <р, то
неподвижная полодия должна быть кругом Кг с центром в точке О и
радиусом ОР = 2т. Так как MP = т, то подвижная полодия должна быть кругом Кд,
построенным на ОР, как на диаметре. Вследствие этого какая-либо точка,
например S, в случае п = т должна описывать прямую, как это следует и из
уравнения. Для того чтобы избежать -вышеупомянутого вырождения парал-
лелограма в местах разветвления, нужно для этих положений траекторию
мгновенного центра конструктивно выполнить в виде нарезки.
Эллиптический циркуль может быть также основан на том, что
при одинаковом направлении вращения антипараллельных шатунов 1)
с неподвижной меньшей стороной мгновенный центр, который является
точкой пересечения шатунов,
находится на эллипсе, фокусами
которого являются шарниры шатунов.
Оба шатуна спарены с помощью
сдвоенного ползунка, общая цапфа
которого описывает эллипс2).
3. 1. 2. Прибор для
вычерчивания парабол употребляется не
так часто, как прибор для
вычерчивания эллипса; упомянуты
должны быть две конструкции,
которые используют уравнение
параболы у2 = 2рх в форме у2=
—2р • х или в формеу2=2х • ръ).
В одной из конструкций (фиг. 138) вокруг неподвижной точки
О — вершины параболы — вращается рычаг g, на котором может
перемещаться муфта /, несущая чертящий штифт S. Перпендикулярно
к этому рычагу жестко прикреплен рычаг #, который скользит во
вращающейся на оси X муфте 3. Цапфа X расположена на рычаге ху
1) Или также сдвоенный кривошипный механизм, см. [20] и [155].
2) Применение сдвоенного кривошипного механизма при вращающихся
в противоположных направлениях шатунах будет показано на вычерчивателе
гипербол.
а) См. также I, 3. 1. 2.
Фиг. 138. Прибор для вычерчивания
парабол.

3. ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧЕРЧИВАНИЯ КРИВЫХ
163
могущем перемещаться по оси х в точке А; перпендикулярно'
к звену х жестко примыкает стержень h, который в свою очередь
может скользить в муфте 2, помещенной на муфте 1. Произвольно
устанавливаемое, но каждый раз фиксируемое расстояние АХ
соответствует параметру 2р, который может принимать значения от О
до 300 мм. Из чертежа следует у2 = 2р • х [71].
Другой прибор для вычерчивания парабол основан на том, что
для параболы ее субнормаль имеет постоянную величину sn = p>
а субкасательная — величину st=2x, так что уравнение параболы
может быть записано в форме
y2 = 2x.p = st.sn. Ср. [165].
3.1.3. Прибор Верховского
для вычерчивания гипербол
(фиг. 139) основан на
проективном построении гиперболы
с помощью двух пучков лучей.
Если от точки F прямой g
провести луч а к точке А и луч Ь
к точке В и сделать угол
ABZ = 2 . ABF, то точка Z
встречи лучей а и с будет
лежать на гиперболе.
Техническое выполнение прибора
с помощью четырех ползунков,
скользящих по рейкам а, Ь, с,
может быть непосредственно
уяснено из фиг. 139.
Передача вращения от с к Ь
достигается с помощью
зубчатых колес: с b жестко связана шестерня
шестерни соприкасаются с жестко соединенной парой шестерен г'иг',
вращающихся вокруг О. Шестерни 2Ь и г'ь имеют одинаковые
диаметры, в то время как диаметры шестерен г'с и гс относятся, как 2:1.
Благодаря этому достигается передаточное число 2 : 1 между
движениями с и Ь. Обводный штифт, помещенный в центре цапф F, должен
двигаться по начерченной прямой g или, лучше, по направляющей g.
Чертящий штифт, помещенный в центре цапфы Z, вычерчивает тогда
гиперболу с полуосями
Фиг.
139. Прибор Верховского
вычерчивания гипербол.
для
гъ, ее — шестерня гс. Обе
один фокус которой находится в точке В и центр которой удален
на х = а от Л. Вершина гиперболы — между А и В. Расстояние п
может быть установлено так, что при заданных полуосях п = а-\-е„
11*

164
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
Прибор должен быть расположен таким образом, что т = п - —
{е — линейный эксцентриситет, е2 = а2 -}- Ь2).
,Из т • ig а = (п — т) • tg ?, вычисляя, получаем уравнение прямой а:
у = х tgi и уравнение прямой с :у = (п — х) • tg 2 у. Выражая tg 2 f
по известным формулам через tg y и подставляя значение (g f,
получающееся из второго уравнения, в третье, после некоторых преобразований
получаем уравнение
(х — х0)2 у^_
aL №
■=1
с данными выше значениями для а = х0 и Ь. Для линейного эксцентриситета
следует е = л2/ (л + т) = п — хд и для относительного е = е : а = п : т.
Прямая g является направляющей линией.
Было бы, кроме этого, интересно исследовать, какая кривая будет
описываться штифтом, если F движется не по прямой линии; так,
перемена местами F и Z дает снова коническое сечение. Особый
случай постоянного угла FBZ, при котором Z также описывает
гиперболу, был известен Ньютону.
3. 1. 4. Среди общих приборов для вычерчивания конических
сечений, т. е. приборов, которые могут быть применены для
вычерчивания всех трех видов конических сечений, особенно интересен
прибор, который, как можно
заметить из фиг. 140, использует
полярное уравнение конического
сечения относительно фокуса [37].
При этом отрезки QP = d и
FC = c произвольно
устанавливаются. На основании
конструкции соответственно фиг. 140
с2
FK = r= zn—r ; сравнение
с полярным уравнением кони-
Р
ческого сечения г =
•Фиг. 140. Прибор для вычерчивания
конических сечений.
1 + £ COS <p
показывает, что F является фокусом, p — b2:a = c2:d является
полупараметром и s-=f:d представляет собой значение
относительного эксцентриситета. При заданных значениях а и b для
установленных отрезков имеем значения d=f - — =/:е и с = b • у — при
е2 = а2— Ь2, где/—постоянная прибора.
Итак, точка К описывает желаемое коническое сечение, и
чпопутно Р описывает кривую Паскаля с уравнением FP = гр =

3. ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧЕРЧИВАНИЯ КРИВЫХ
165
= d-f-/cos<p, так что коническое сечение является инверсией
такой кривой !).
3.2. Циклические кривые
Эти кривые получаются при качении круга (шестерни) по
неподвижному кругу (шестерне), т. е. кинематически их можно получить
вообще с помощью планетарной передачи; при этом один из кругов
может быть также прямой линией.
Фиг. 141. Циркуль для вычерчивания эвольвенты.
3.2.1. Так как форма циклоиды помимо положения движ}щейся
точки (карандаша) существенно определяется передаточным числом,
то для каждой циклоиды должно быть взято иное движущееся или
неподвижное колесо. С помощью такой пары обкатывающихся колес
можно получить кривые определенной формы, в частности, „я-уголь-
ник с закругленными углами" [145]. В теории зубчатой передачи
циклоиды играют, между прочим, все менее значительную роль, так
как они все чаше заменяются эвольвентным зацеплением.
!) О таких кривых см., например, [155]. Так как полярное уравнение
соответствует эллипсу, гиперболе или параболе, смотря по тому, меньше,
больше или равно 1 отношение е = /:*/, то эти конические сечения
соответствуют переплетенной (улитка Паскаля), искривленной и заостренной кривой
Паскаля (кардиоида).

166
П. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
3.2.2. Особый практический интерес представляет циркуль для
вычерчивания эвольвенты в форме, представленной на фиг. 141.
Развертывающаяся прямая осуществляется с помощью касательного
рычага £, движению которого в собственном направлении препятствует
ролик с острой кромкой г (плоскость ролика перпендикулярна к t).
Относительно t может перемещаться направляющая /, на которой
закреплен перпендикулярно к t стержень s. На последнем может
быть закреплена подвижная муфта а, которая может быть наложена
точкой О или О' на центр основного круга таким образом, что О
будет находиться на расстоянии г от средней линии касательного
рычага. Если привести теперь циркуль в 0\ то направляющая
скользит относительно t\ одновременно t вращается вокруг основания
перпендикуляра, опущенного из О на t, т. е. вокруг мгновенного
центра. Расположенная на t точка Z опишет тогда эвольвенту,
которая может быть вычерчена вплоть до вершины. Показанные на
фигуре контуры зубов вычерчены циркулем. При помощи циркуля
можно также решить задачу квадратур круга, т. е. построить
квадрат, равновеликий кругу.
Если чертящий штифт поместить не на геометрической середине t,
а, например, на отклоненном в сторону плече, то получаем общий
случай эвольвенты, т. е. переплетающуюся и искривленную кривые
{см. 3.3.1) *).
3.3. Спирали
3.3.1. Спираль Архимеда может быть также вычерчена эволь-
вентным циркулем. В этом случае чертящий штифт располагают
таким образом, что его расстояние от средней линии касательной
рейки t по вертикали в направлении к центру вращения О должно
равняться /*. Он описывает тогда спираль Архимеда с полярным
уравнением R = г • ® (? в радианах) относительно центра основного
круга.
3.3.2. Для вычерчивания логарифмической спирали [33]
используется то известное ее свойство, что касательная к спирали
составляет постоянный угол с радиусом-вектором. По стержню,
вращающемуся вокруг неподвижной точки, может скользить муфта, на
которой закреплен ролик с острой кромкой, плоскость которого
расположена перпендикулярно к плоскости чертежа и составляет со
стержнем постоянный острый угол. Тогда при вращении стержня
центр муфты описывает логарифмическую спираль.
Обычно совмещают, как это видно из фиг. 142, винтовое и
круговое движения: в раму Т жестко вделан винт s, по которому
движется гайка, несущая ролик 5 с острой окантовкой. Во время
1) Имеется также прибор и соответственно машина для
непосредственного вычерчивания эвольвентного зацепления [167].

3. ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧЕРЧИВАНИЯ КРИВЫХ
167
вращения рамы точка Р описывает на неподвижной плоскости
чертежа К логарифмическую спираль (вместо этого можно также вращать
К и оставить неподвижной
раму Т); если обозначить
шаг винта через /г, угол
поворота винта относительно его
оси—через а и угол
поворота рамы или диска —
через ср, то будем иметь
соотношения: г • dv = R-dcc
и dr: h = dci :2т, т. е.
dr h , , .
аср, или
-=7r£-dV = k
после интегрирования
А-* *)■ 2)
i^rt^
= Г,
О
[213, 38].
Фиг. 142. Прибор для вычерчивания
логарифмической спирали.
3.4. Приборы для вычерчивания различных кривых
3.4.1. Синусоиду можно вычертить следующим образом: в какой-либо
точке кулисы (фиг. 3«) закрепляется чертящий штифт и двигают под ним
плоскость чертежа со скоростью, пропорциональной вращению шатуна,
в направлении кулисы. Подобное истолкование имеет место и для других
схематически изображенных в I, 3.2.1 механизмах. См. также разделы IV,
2.4.2 и V, 1.1.5.
3.4.2. Кривая затухающего колебания может быть, как известно,
вычерчена подобно синусоиде (ср. [42] и [142]); в этом случае определяются
перпендикулярные составляющие радиуса-вектора логарифмической спирали
(вместо проекций радиуса круга при обычной синусоиде). Это построение
может быть осуществлено соединением кулисного камня и ролика с острой
кромкой, который движется по винту (3.3.2, фиг. 142), служащему здесь
шатуном. Если этот шатун вращается с угловой скоростью ш, то у = г • sin Ы =
= г0 • в • sin mt, где k — OD • (ц> — u>i) 3), oj1 равно нулю, если ролик катится
или совершает винтовое движение по неподвижной плоскости с угловой
скоростью, равной скорости поворачивания диска под роликом.
3.4.3. Многочисленные кривые, между прочим, также цепные линии
могут быть вычерчены с помощью так называемых роликовых соединений
[211]. Этот прибор состоит из рейки, несущей на одном конце А жестко
закрепленный или же подвижный ролик с острой кромкой, плоскость
которого проходит через среднюю линию рейки, а на другом конце Л находится
подвижный или также жестьо закрепленный ролик, плоскость которого
х) k есть шаг винтовой линии, описанной роликом, ее угол подъема
является дополнительным углом к углу между радиусом-вектором и
касательной к спирали.
(2 О применении подобной конструкции в качестве аппарата для
логарифмирования, для определения гиперболических функций и для решения
обыкновенных дифференциальных уравнений см. [291Ь].
8) Знак k определяется относительной угловой скоростью ш — а^и
направлением вращения.

168
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
перпендикулярна к плоскости первого. Оба ролика перпендикулярны к
плоскости чертежа. Кривая а, описанная роликом А, есть эволюта кривой р,
описанной роликом В, а отрезок АВ является радиусом кривизны (и
нормалью) кривой р в точке В. Если провести прямую через точку F,
расположенную на продолжении АВ, и направлять А и В (например, с помощью
параллельного кривошипного механизма) так, что все время BA=BF, то
точка В вычертит цепную линию
3.4.4. Прибор для вычерчивания кривых (фиг. 143). В
прикладной теории механизмов часто является желательным быстро получить
представление о кривых, описываемых точками плоского шарнирного
Фиг. 143. Прибор для вычерчивания сдвоенных кривых.
четырехугольника, т. е. о так называемых сдвоенных кривых. Эго
может быть легко выполнено с этим прибором: на фиг. 143 видны
звенья а и Ь, вращающиеся вокруг неподвижно закрепленных, но
могущих устанавливаться в корпусе относительно друг друга
центров Д0 и В0. Звенья а и Ь соединены звеном шарнирного
четырехугольника с. Звенья a, b и с устанавливаются на разную длину,
также может устанавливаться и положение чертящего штифта Z,
жестко связанного со звеном с. В точке В0 может быть прочитан
угол поворота шатуна или коромысла b с тем, чтобы могли быть
начерчены точки сдвоенных кривых, соответствующие определенным
углам поворота. Прибор удобен для помещения на чертежной доске.
О применении интеграфа в качестве прибора для вычерчивания
кривых см. раздел IV, 2 1).
1) О приборе для вычерчивания произвольной параллельной проекции
винтовой поверхности см. журнал Техническая физика, 9 (1928), 186—194.

4. ДРУГИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА
169
4. ДРУГИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА
4.1. Лекала
Кто пользовался лекалами для проведения кривых через ряд
точек, едва ли задумывался о том, что для придания им (лекалам)
целесообразной формы решающими были также математические
соображения. Между тем далеко не всегда можно удовлетвориться
имеющейся формой лекал и возможностями их использования. Это
показывают также исследования Эмде [48]. Широко применяется
лекало с переменной кривизной. Можно поставить требование, чтобы
кривизна линейки была обратно пропорциональна длине дуги, и
получить тогда лекало, форма которого соответствует
логарифмической спирали !). Можно взять в качестве профиля линейную
спираль (спираль Архимеда) или клотоиду, в которой кривизна прямо
пропорциональна длине дуги. Целесообразно, однако, потребовать,
чтобы относительное изменение кривизны сохранялось неизменным;
так, например, можно требовать, чтобы кривизна 1/7? на каждый
миллиметр длины изменялась на /?%. Тогда для единичного
вектора г некоторой точки кривой получаем составляющие х = L • Ci'<?,
у = L • Sicp, где L= 100 :р и ср = LjR, Si и Ci обозначают
интегральный синус и косинус. Эмде назвал эту кривую Sici-спираль и с
помощью таблиц этих функций 2) спроектировал лекала для различных
значений р, с которыми большей частью можно вычерчивать одним
росчерком кривые, длина дуги которых более 10 см.
Уравнение кривой получается следующим образом: если относительное
изменение кривизны должно сохраняться постоянным и притом p0jQ на
каждый миллиметр длины дуги, то при 1 : Z, = /?: 100 получаем уравнение
d (-тг) : -jr = ds:Lf откуда следует — = -~ или In R/R0 = -т- (Sq—s),
R(u s0 — постоянные интегрирования3). С другой стороны, ds = Rdy, если ср
обозначает угол по отношению к неподвижной прямой, например оси х.
Отсюда, сравнивая, находим:
Если для <р0 = 0 радиус кривизны /?0 = оо, то выражение упрощается и
ф = L : R или /?ср = L„ Если S0 — — оо, то R0 = oo, откуда следует, что
кривая идет горизонтально.
Вообще для элемента дуги кривой имеет место соотношение
dx + idy = */ф ds = e* Rdv,
!) Как, например, в лекале, на котором нанесена равномерная шкала и
которое поэтому может быть также использовано для измерения дуг кривых.
2) Янке Эмде, Таблицы функций, изд. 2-е, 1933г., или изд. 3-е, 1938г.,
с графикахми Sici-спиралей.
3) Радиус кривизны уменьшается с увеличением дуги по
экспоненциальному закону.

170
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
и, следовательно, здесь
dx -|- idy = L • — d?.
Определяющий вектор получается интегрированием:
оо .
ге1<?
x-\-iy = — L • I — dv = L • Ci 9 -j- [L • Si <p.
4.2. Измерители кривых
Для измерения длин кривых служат приборы, называемые
измерителями кривых1). В качестве одного из таких приборов может
быть взято ранее упомянутое в сноске лекало или измеритель
отрезков, пригодные для измерения длин на географических картах. Оба
прибора имеют, естественно, ограниченную точность, так что для
более точных измерений должны быть взяты основные измерители
кривых — курвиметры. При этом имеются двухроликовые и одно-
роликовые приборы.
4.2.1. На фиг. 144 показан двухроликовый прибор. На раме
находится обводный отметчик D и ось се, на которой помещены на
равных расстояниях от D два вращающихся измерительных ролика
Аи А2 одинакового диаметра. Если теперь
двигать прибор таким образом, чтобы
обводный отметчик все время находился на кривой k
и ось се была постоянно перпендикулярна к ней,
т. е. направлена по нормали, то полусумма
путей, пройденных роликами, равна длине дуги.
Если D передвигается на ds, то движение
прибора может быть составлено из
параллельного перемещения ds, причем точка окружности
каждого ролика проходит путь ds, и из
последующего вращения на угол смещения dep,
Фиг. 144.
Двухроликовый прибор для
измерения кривых.
причем Ах и А
стороны.
о вращаются в противоположные
Для путей, пройденных роликами А
1
ds2 = ds —
и Л2, имеет место соотношение dsx = ds-\--x-dv,
Y d?> так что ds ===~o~(dsi -\-ds^). Если одному
делению шкалы измерительного ролика или связанного с ним с помощью
червячного механизма числового ролика соответствует 2 мм длины
дуги, то сумма показаний равна длине дуги.
х) Так называемые курвиметры.

4. ДРУГИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА
171
Трудность при проведении измерений состоит в том, что ось се
должна быть все время нормалью кривой.
4.2.2. Это затруднение преодолевается определенным образом
в однороликовом приборе, в котором (фиг. 145, а) плоскость
измерительного ролика должна лежать в касательной плоскости к кривой *).
Прямая СС с обводной отметкой D (см. также фиг 145, б)
находится на нижней стороне
визирующей лупы,
расположенной против ролика.
Так как виден довольно
длинный кусок кривой и,
кроме того, можно
использовать для
визирования плоскость ролика,
то направление обвода
т
£\
\
^А
w
1
Hto- И"
т
k I
а
Фиг. 145. Однороликовый прибор для измерения длин кривых.
а — с :ема; б — практическая конструкция
сохраняется очень хорошо. На фигуре слева от ролика А можно
заметить собственно измерительное устройство с нониусом и
связанным с ним (через червячную передачу) числовым диском Z. При
наложении на плоскость чертежа ролик А еще ее не касается.
Но слабое давление на раму вызывает соприкосновение. Если
двигать прибор на себя, то целесообразна установка, выбранная на
чертеже (фиг. 145). В других случаях целесообразна обратная
установка. Как показали исследования, средняя ошибка инструмента
составляет примерно ±0,1 мм для одного обхода кривой. Курвиметр
*) То есть в плоскости, проходящей через касательную к кривой и
перпендикулярную к плоскости чертежа. (Прим. ред.)

172
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
определяет ids и является, следовательно (см. IV, 1.2.0), функ-
о
циональным интегриметром. О приборах для измерения моментов
кривых (моменткурвиметры), т. е. для определения Гуп • dsy
см. раздел IV, 1.2.1.
4.2.3. Имеющим большое практическое значение и интересные
с математической точки зрения является делитель углов, т. е.
прибор, делящий заданный угол на равные части. На фиг. 146 показано
подобное устройство [96]; прибор состоит из равнобедренных тре-
Ф и г. 146. Делитель углов.
угольников, вершины которых, за исключением одной (на фиг. 146
точка В), могут скользить по планкам а и Ь. Планки,
пересекающиеся в точке Л, нужно вращать до тех пор, пока заданный угол J3
не станет равным углу EGF. Тогда угол а = ВАС = АСВ = -=- ;3,
соответственно фиг. 146, т. е. угол (3, разделится на 5 частей.
См. также [137].

III. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ПРИБОРЫ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Часто бывает необходимо по заданной графически или полученной
непосредственно из испытаний с помощью самописца кривой
определить величину скорости или ускорения с помощью одного или
двукратного графического дифференцирования. Это может, например,
встретиться при кривых подъема кулачка или при вычерчивании
кривых, получающихся в приборах для замера колебаний.
Подобная же задача получения производной возникает при
проблемах теплопередачи, статической или динамической прочности,
сопротивления материалов, при электротехнических задачах и т. д.
Численное дифференцирование всегда более или менее неточно
(см., например, [42, 233, 296]) и прежде всего требует
значительной затраты времени. Поэтому здесь рекомендуется применять
также соответствующие приборы, хотя они и не обладают точностью
интегрирующих приборов. Все они, вообще говоря, основываются
на геометрическом значении производной, как наклона кривой,
представляющей функцию, так что по существу задача состоит в
определении касательной в некоторой точке кривой.
От этих приборов отличаются приборы, работающие на основании
законов кинематики, в которых движение регулируется таким
образом, что отношение дифференциалов может быть непосредственно
прочитано в каком-либо месте прибора.
1. ПРИБОРЫ, ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ КОТОРЫХ ОСНОВАН
НА ЗАКОНАХ ГЕОМЕТРИИ
1.1. Касательная линейка
Касательная линейка сделана из прозрачного материала
(целлулоид). На поверхности линейки выдавлено семейство кривых,
являющихся кривыми волочения к кривой кромке линейки. Это значит,
что если провести к одной из этих кривых касательную, то отрезок
ее между точкой касания и точкой пересечения касательной с
кромкой линейки сохраняет постоянную величину а — „длину волочения" *).
*) Эта кривая может быть также названа обобщенной трактриссой
Гюйгенса. Вообще трактриссой называется кривая, обладающая той особенностью,
что длина касательной от кривой до оси х имеет постоянную величину
{Прим. ред.)

174
III. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ПРИБОРЫ
Эта величина задана для каждой кривой. Линейка накладывается на
исследуемую кривую k таким образом, чтобы одна из кривых
семейства вблизи точки Р, в которой должна быть проведена касательная,
совпадала возможно лучше с исследуемой кривой. После этого
обводят достаточно большой отрезок кромки линейки и чертят круг
радиуса а с центром в точке Р. Направление РА, где А—точка
пересечения круга и кривой, полученной обводом линейки, будет
направлением касательной.
1.2. Оптические приборы
Подобный прибор накладывается на плоскость чертежа таким
образом, что исследуемая кривая и ее оптическое изображение
вблизи точки кривой, в которой требуется провести касательную*
переходят друг в друга без излома или скачка.
1.2.1. Зеркальная линейка, которая в простейшей форме может
быть сделана самостоятельно, состоит в основном из железного
угольника. Поверхность его, перпендикулярная к чертежу,
представляет собой зеркало1) (фиг. 147).
\^ .к? Линейка поворачивается до тех пор,
\ / пока кривая kx и ее зеркальное изо-
] бражение k^ не будут переходить
ТУ друг в друга без излома, как это-
* можно видеть из фиг. 147 для кри-
X
вой &2. Тогда нижняя кромка линейки
будет нормалью; она вычерчивается и
дает возможность легко определить
Ф и г. 147. Зеркальная линейка. напРавление касательной.
Существенным недостатком является
невозможность видеть кривую с обеих
сторон. Поэтому указанный процесс нужно повторить с линейкой,,
повернутой на 180°. Если получается направление нормали, отличное
от предыдущего, то лучше всего принять за окончательную нормаль
биссектрису угла, образованного первой и второй нормалями2).
1.2.2. Призматический дериваторъ) состоит в основном из
трехгранной призмы, которая накладывается гипотенузной
плоскостью (фиг. 148, а) на кривую таким образом, что кривая и ее
изображение переходят друг в друга без скачка. Для ориентировки служит
х) Например, полированная или никелированная поверхность.
2) Целесообразно поступать так: отнимают часть основания угла, а также
срезают наискосок верхнюю кромку, и тогда гораздо лучше видно
продолжение кривой kx (пунктир на фигуре) за перпендикулярной поверхностью.
») См. [72, 187, 273].

1. ПРИБОРЫ, ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ КОТОРЫХ ОСНОВАН НА ГЕОМЕТРИИ 17S
отметка М (крестообразная нить), изображениями которой являются Mv
и Л12- Фиг. 148,(5' показывает призму в неправильном положении.
Призма, которая для облегчения применения при переменной
кривизне части кривой выполняется небольшой, помещена на
основной плоскости, на которой нанесена также градусная шкала, и может
наблюдаться через специальную лупу. Касательная и нормаль могут
быть легко отмечены. Однако возможно с помощью специальной
Фиг. 148. Призматический дериватор.
„тангенсной плоскости", прикладываемой к прибору, непосредственно
определить тангенс угла наклона и, следовательно, производную,
которая равна тангенсу с точностью до постоянного множителя
(масштабный множитель).
1.2.3. Деривиметр (фиг. 149) основан по существу также на
принципе зеркальной линейки, но только имеет то преимущество, что
он, как и дериватор, дает возможность рассматривать кривую с обеих
сторон. Прибор состоит из кольца с градуированной шкалой,
непосредственно прикрепленного к подвижной рейке. Вокруг центра кольца
может вращаться рамка /?, связанная с нониусной шкалой N. На
рамке R находится еще важнейшая часть прибора — визирующая
лупа L, которая делится на две части меридиональной плоскостью М*
Эта плоскость располагается таким образом, что каждый раз кусок
кривой не только увеличивается, но также может быть
рассматриваем с обеих сторон. Для наблюдения прилагаемого графика служит
зеркало 5, прикрепленное к ободку лупы. Установив нижний край
рамы параллельно оси абсцисс *), вращают плечо D до тех пор, пока
на обоих кусках кривой не исчезнет заметный на фиг. 149 излом.
Тогда нониус показывает угол касательной с осью абсцисс с
точностью до 0,1°. Отсюда может быть легко определена с помощью
таблиц тангенсов величина производной.
1.3. Приборы для дифференцирования (дифференциографы)
С помощью этих приборов при обводе заданной кривой k
вычерчивается кривая k!'. В обеих описываемых конструкциях применяют
1) Или кромка К параллельна ос i ординат.

176
III. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ПРИБОРЫ
используемый в интеграфах 1) элемент режущего колеса. Его лезвие
вследствие собственного веса колеса несколько проникает в подкладку
и может помимо вращения вокруг своей горизонтальной оси
вращаться как целое вокруг оси ^, перпендикулярной к плоскости
чертежа. Если ось г передвинуть на dx, то лезвие может двигаться
только в мгновенном направлении движения своей плоскости, так
Ф и г. \41, Деривилн гр.
что следует динамически связанное перемещение dy = dxtg а,
перпендикулярное к dx, где т. означает угол между осью х и режущей
плоскостью. Если ось г может перемещаться только параллельни
< си х9 то подкладка основания, которая может перемещаться только
параллельно оси ординат, получает перемещение dy = dx'tga.
Таким образом осуществляется треугольник подъема (фиг. 150, а), и
если плоскость сечения дифференциографа все время направляется
параллельно касательной к кривой, го у' = dy/dx = tg си
осуществляется с помощью тангенсного механизма (фиг. 150, б, в), так
что вычерчивается у\=р-у'.
1) Рекомендуется одновременно зтим прочесть раздел IV, 1. 2 об
основных интеграфах.

1. ПРИБОРЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ГЕОМЕТРИИ 177
L3.1. Дифференциальный интеграф, (фиг. 208, а, б), который
отдельно разобран на стр. 242 в качестве интеграфа, имеет наряду
с чертящим штифтом S, который вычерчивает интегральную кривую,
также описанную выше призму Р с находящейся на ней лупой. Если
удалить штифт 5 и ввести на его место используемый теперь в
качестве пишущего штифта штифт F таким образом, что призма занимает
относительно кривой k, начерченной на плоскости подвижной
интегральной каретки 1Г3, указанное в 1. 2. 1 положение, то F вычерчи-
Ф и г. 150. а — в — геометрические обоснования диффе-
ренциографа.
вает теперь на неподвижной плоскости Е0 производную k!.
Интегральная каретка V73 может перемещаться только в направлении оси
ординат, a W% — только вдоль оси абсцисс (см. также стр. 242).
1.3.2. Дифференциограф (фиг. 151) имеет моторный привод 20
для передвижения в направлении оси абсцисс интегральной каретки 5,
на плоскости которой наносится кривая /г, и каретки 9, на которой
должна вычерчиваться кривая k'. Обе каретки легко движутся по
направляющим салазкам 4 (направляющая 2 для каретки 5). Салазки 4
с помощью гибкого вала 17 и ходового винта 14 приводятся в
движение параллельно оси абсцисс. Для наблюдения служит вделанный
в мостик 13 микроскоп с десятикратным увеличением, имеющий
в качестве ответчика (нитяной крест) пластинку со штрихом. Эта
пластинка должна направляться таким образом, чтобы все время быть
касательной к кривой. Поэтому, с одной стороны, с помощью
направляющей добиваются, чтобы плоскости свободно движущихся в
мостике 13 режущих колес оставались все время параллельными
отметочному штриху 1); благодаря этому каретка 5 совершает
перемещение dy = dx • tg<x, так что если отметочный штрих и нитяной крест
!) Режущие колеса вдавливаются в находящуюся ни каретке 5
металлическую бумагу 5 (фиг. 152), что, между прочим, удобно в том отношении,
что не затрагивается плоскость чертежа.
12 Зак. 1242. В. Мейер.

178
III. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ПРИБОРЫ
один раз установлены правильно и отметочный штрих все время
является касательной к кривой, то нитяной крест автоматически будет
следовать по кривой k (см. ниже).
С другой стороны, благодаря направляющим побиваются, чтобы
распределительный рычаг 7 был все время параллелен отметочному
штриху. Этот рычаг, следовательно, направляет отметочный штрих
Ф и г. 151. Дифференщограф.
и приводит в движение с помощью тангенсного механизма
расположенную на мостике и движущуюся параллельно оси ординат длинную
каретку 12 таким образом, что ее перемещение, согласно фиг. 150, в 1),
имеет значение г\ = ру'. Это перемещение вычерчивается при помощи
чертящего штифта 7/, закрепленного в каретке 12, на плоскости
каретки 9, и таким образом получается производная (кривая
производной).
Для того чтобы исправить смещения, наблюдаемые во время рабочего
процесса через микроскоп и обусловленмые ошибочной регулировкой или
х) Паз вращающегося вокруг неподвижной точки рычага захватывает
цапфу каретки 12. Расстояние р может устанавливаться с помощью движка 10.

1. ПРИБОРЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ГЕОМЕТРИИ 179
неверной установкой, можно с помощью поворачивающего грифа 1в несколько
переместить микроскоп в направлении оси ординат. Для поднимания и
опускания чертящего штифта (прерывания) служит выключающее устройство 15.
Опоры # и опоры для рук 3 и 18 служат для облегчения работы
вычислителя.
Если 11 используется как обводный штифт, а на месте микроскопа
помещен чертящий штифт, то он вычерчивает интегральную кривую для заданной
Фиг. 152. Дифференциограф, изображенный на фиг. 151
в качестве интеграфа.
кривой, находящейся на плоскости каретки Р, если штифт II движется вдоль
этой кривой. При таком применении прибора в качестве интеграфа (см. также
стр. 243) вычислитель должен работать по другую сторону стола (размером
примерно 100 X 140 см2); см. фиг. 152 1).
*) Можно заметить разницу по сравнению с 1.3.1: там Е0 неподвижно,
здесь 9 подвижно в направлении оси ординат; там Wd может перемещаться
только параллельно оси ординат, здесь 5 параллельно оси абсцисс и оси
ординат, т. е. следовать по кривой; там V7? как направляющая каретки
может двигаться лишь параллельно оси абсцисс, здесь она неподвижна; там Wi
может перемещаться параллельно оси абцисс и оси ординат, здесь 12 только
параллельно оси ординат.
12*

180
III. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ПРИБОРЫ
2. ПРИБОРЫ, ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ КОТОРЫХ ОСНОВАН
НА ЗАКОНАХ КИНЕМАТИКИ
2. 1. Механизмы с фрикционными колесами
Упомянутое уже на стр. 21 устройство фрикционного механизма
(фиг. 153) позволяет заметить следующее соотношение между углом
поворота © диска S, расстоянием г плоскости ролика от центра
диска и путем, пройденным роликом, или углом поворота ролика а:
так что
dy = г • dz> = R • da,
r =
rff
rfcp
представляет производную от у и соответственно а с точностью до
постоянного множителя. Чисто формально при заданной установке
а и ср должно устанавливаться
значение г как производной.
Однако это невозможно
выполнить механически. Поэтому рас-
Фиг. 153. Механизм с
фрикционными колесами в
качестве дифференцирующего
механизма.
Ф и г. 154. Фрикционный
механизм с шаровым
сегментом (по [114]).
стояние г ролика М от диска регулируется таким образом, что а
изменяется по заданному закону; тогда г представляет собой
значение производной.
Конструкция может быть также выполнена в виде механизма
шарового сегмента (фиг. 154). Диск (или сегмент) и ролик
прижимаются друг к другу для достижения необходимой динамической связи.
На фиг. 155 показано практическое выполнение прибора:
фрикционный ролик 2 находится на диске /, приводимом в движение мотором
с постоянным числом оборотов, и перемещается с помощью колеса 3
и шпинделя 4 вдоль желобчатого вала 5. Вал воспринимает
вращение и передает его на колесо 6 с отметками. Относительно колеса 6
движется внутренний указатель 7, вращающийся соответственно

2. ПРИБОРЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ЗАКОНАХ КИНЕМАТИКИ
181
углу поворота а. Нужно так поворачивать колесо 3, чтобы
движущийся указатель и подвижная отметка все время находились друг
против друга 3); тогда перемещение центра ролика и вращение
связанного с ним шпинделя 4 является мерой для производной от ос, т. е.
Фиг. 155. Практическое применение фрикционнс-холес-
ного механизма [114].
—г- или-т^-, так как <р пропорционально времени2). Подобные
приборы, совершенно независимо от их применения в качестве
интегрирующих механизмов (см. раздел IV, в частности 2.4.2), имеют
значение в конструкциях приборов для корректировки стрельбы (см.
также [264, 285, 157] ).
1) См. здесь в особенности источники ошибок из-за несогласованности
управления [264а, 282Ь]. Дифференциальное уравнение для .согласования
управления разобрано в VI, 2. 4. 2 [264а, 285с].
2) При применении интегрирующих механизмов постоянная
интегрирования (начальное значение) задается при помощи ручки 9.

IV. ИНТЕГРАТОРЫ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Интеграторы служат для механического проведения процесса
интегрирования. Их можно разделить на приборы, работающие
численно и графически. Приборы первой группы, интегральные
измерители (интегриметры), указывают величину | и [y(x)]dx на
измерительном ролике (или каком-либо другом указывающем
приспособлении); измерительный ролик при этом направляется
соответственно обводу кривой у=/(х). Приборы второй группы,
интеграфы, вычерчивают интеграл дифференциального уравнения и
в простейших случаях дают квадратуру. Наконец, имеются еще
вспомогательные средства как для приближенного интегрирования
дифференциальных уравнений, так и для вычисления квадратур.
1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
КЛАССИФИКАЦИЯ
Общие планиметры, или функциональные планиметры !), дают
возможность получить определенный интеграл
ж,
У = \и [у(х)] dx,
который мы также запишем в форме
7 = ф и [у(х)] dx,
для того чтобы указать, что при интегрировании обходится
замкнутый путь 2). Фиг. 156 поясняет процесс определения площади; при
этом на фиг. 156,б граница составлена из кривой у=/(х)} оси х
и прямых х = хг и х = х2У параллельных оси у.
На фиг. 156,а границу образует произвольная кривая линия. Если мы,
между прочим, предположим, что на фиг. 156,а проведены внешние
!) По [149] и [150].
2) Точно так же для двойных интегралов при обходе замкнутого пути
мы будем применять обозначение ф I .

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
183
касательные, параллельные оси у, т.е. прямые х = х{ и х = х2, то
искомую площадь можно получить как разность двух площадей:
одной, ограниченной верхней частью кривой, осью х и касательными,
и второй, ограниченной нижней частью кривой, осью х и
касательными. Следовательно, в обишх планиметрах измерительный ролик
должен быть так отрегулирован, чтобы при полном обводе плани-
метрируемой кризой сохранялись лишь составляющие движения,
*\
—-»•* / Фу(?х
Фиг. 156. К вычислению определенного интеграла
необходимые для вычисления площади, в то время как другие
составляющие не оказывали бы влияния. Общие интегриметры, или
функциональные интегриметры, дают неопределенный интеграл:
J=fu[y(t)]dt
Они относятся, таким образом, к промежуточной группе между
планиметрами и интеграфами. В этих приборах измерительный ролик
должен быть устроен так, чтобы он в каждый данный момент указывал
значение названного интеграла.
1.1. Планиметры
1.1.1. Основные планиметры, или планиметры первого порядка,
служат для вычисления определенного интеграла J = фу (х) dx,
причем хну могут быть прямоугольными или полярными координатами.
Следовательно, в данном случае определяется площадь обводимой
фигуры. Часто приборы, служащие для определения площади
ограниченной кривой, коротко называют просто планиметрами. В этих
приборах кривая у =/(х) обводится обводным штифтом F,
расположенным на обводящем рычаге FA, в то время как другой конец
рычага FA, несущий измерительный ролик Ж, движется вынужденно
таким образом, что либо точка А движется по направляющей кривой
(обычно круг или прямая, т. е. случай двухточечной направляющей;
см. введение), либо же рычаг скользит по кривой, вместо которой
в частном случае может быть точка (случай вырождения кривой
в точку).

184
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
Возможно построить общую теорию планиметра, однако
рекомендуется при работе с отдельными планиметрами использовать каждый
раз их специфические свойства.
В линейном планиметре точка А движется по прямой вдоль оси х
(фиг. 157,а). Плоскость измерительного ролика стоит
перпендикулярно к обводящему рычагу FA. Если штифт перевести в соседнее
положение Fv то перемещение F на дифференциал дуги
FFX = ds= dx-\-idy 3) может рассматриваться как вращение обвод-
Фиг. 157. Кинематика основного линейного планиметра.
ного рычага FA вокруг неподвижной точки А на угол da и
последующего перемещения на dx*~\-dx, т.е. dy HMteT составляющие
/doi и dx*.
Если измерительный ролик2) проходит по основанию
(плоскость чертежа) путь- ds, то только составляющая du в направлении
плоскости ролика т — т обусловливает вращение вокруг его
горизонтальной оси. Итак, при вращении обводящего рычага ролик
испытывает вращательное перемещение dut = qxda cos -\ = qda (это
также можно видеть непосредственно из фиг. 157,б).
При перемещении на dx ролик проходит путь dux = dx sin г =
= flfXj- (фиг. 157, б) и при смещении на dx* соответственно
du* = dx* sin a = Id a sin2 а. Если замкнутую кривую обводить
обводным рычагом Таким образом, чтобы в конце обвода снова
*) dx, dy являются составляющими дифференциала пути ds.
2) Измерительный ролик изготовляется из закаленной стали и имеет
закругленный край, который касается бумаги средней зоной, имеющей очень
точные поперечные бороздки (так называемое рифление) примерно от 0,3
до 0,5 мм шириной. Тщательное выполнение этих бороздок является
существенным для точной работы планиметра. Благодаря этому рифлению ролик
может катиться по бумаге в направлении своей плоскости т — т\ ср. также
стр. 234 и [87].

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
185
возвратиться в исходную точку, то суммарный путь, пройденный
точкой на окружности ролика, будет
u=^dul+ &du* -f &dux = q &da -}-/(bsin2a da -j- -j&ydx =
= q («s — ai) + / (у — 4- sin 2 a)a' + -f§ydx*
где aj_ и я2 обозначают углы наклона обводящего рычага в конце
и начале обвода. Но так как эти углы по предположению должны
быть равны, то оба первых интеграла пропадают и остается
F = <±>ydx = I • и.
Если d—диаметр ролика и п — число его оборотов, то следует
также F = k>tii причем постоянная k = l-dK. Ее значение обычна
принимается равным k= 100 см2, так что при делении диска ролика
Ф и г. 158. Измерительный ролик планиметра с нониусом и цифровым
диском.
на 100 частей одна часть равна 1см2 и одно деление нониуса
равно 0,1 см2. Эти единицы могут быть изменены при помощи
изменения длины обводящего рычага. С этой целью на обводящем
рычаге нанесена шкала, которая в приборах, изображенных на фиг. 158
и 165, выполнена таким образом, что между показанием Z,,
прочитанным на шкале, и единицей масштаба k имеется соотношение
/, = 20/г1). Движение ролика передается при помощи червяка
числовому диску (см. фиг. 158, на которой также показана лупа,.
1) См. [264Ь].

186
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
находящаяся над нониусом, и кожух для защиты числового
механизма от пыли).
Так как площадь некоторой области определяется при помощи
обвода кривой, ограничивающей эту область, то положение оси х
само по себе безразлично. При работе с линейными планиметрами
необходимо только следить за тем, чтобы точка А обводящего
рычага двигалась по прямой. Эту прямую целесообразно принять
параллельной продольной хорде фигуры. На фиг. 159 прямолинейное
направление движения достигается при помощи направляющей, по
которой движется каретка, а на фиг. 160—при помощи тяжелых
Фиг. 159. Основной линейный Фиг. 160. Основной линейный плани-
планиметр с направляющей карет- метр с направляющими валиками,
кой.
направляющих валиков с весьма шероховатой поверхностью. В
последнем случае обводной рычаг F (/—обводящий штифт) шарнирно
(цапфы или шаровой шарнир) соединен с кареткой, несущей
валики.
В случае площади, которая (фиг. 156, б) ограничена кривой
у==/(х)1 двумя ординатами и осью х, не требуется обводить всю
фигуру; так как по изложенной выше теории линейного планиметра
необходимо только, чтобы аг = а2 и, следовательно, конечная
ордината была равна начальной. Этого можно достичь, если обвод
начать в точке F0 (или F0) и окончить в точке Fe (или соответственно
Fе). Это имеет особенное преимущество при длинных диаграммах,
так как в этом случае затруднен обратный ход. Точка А должна
тогда двигаться точно по оси х или по прямой, параллельной ей,
причем в последнем случае нужно вычесть площадь прямоугольника,
ограниченного осью х и этой прямой. Это легко выполнимо при
помощи направляющей каретки (фиг. 159), а также при помощи
направляющей линейки, как это указано на фиг. 157. При исполь-.

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
187
зовании направляющей линейки плоскость измерительного ролика
может проходить через Л, т. е. # = 0 *)•
Необходимо еще указать на то, что показания измерительного ролика
получают обратный знак при перемене направления обвода. Если, например,
обходится фигура в виде восьмерки, то одна ее часть обходится по
часовой стрелке, а другая против часовой стрелки, так что если
площади обеих частей одинаковы, то прибор
укажет значение нуль (пример: I sin xdx = 0).
о
Определенный интерес представляет
ошибка в показании прибора, возникающая из-за
перекоса оси% т. е. вследствие того, что
плоскость ролика стоит перпендикулярно к
плоскости чертежа, но не перпендикулярно к
обводящему рычагу. Если е — отклонение в
радианах (фиг. 161), то, допуская, что г мало,
подобным же образом, как и выше, при
повороте на угол da получим:
da1 = #i • da • cos(y — e) ttq • da ~\~ в • q • sin y da,
т. е. видим, что если при полном обводе
оказывается, что о=2 = аь то общая сумма этих
поворотов будет равна нулю. При
перемещении на dx* имеем
du% = dx* • sin (a -f- е) ^
£^ / • sin- ada + е • / • sin а cos а da,
т^
Фиг. 161. К переносу оси
основного линейного
планиметра.
е. также видим, что общая сумма этих поворотов равна нулю. Таким об.
разом остается
du~
или
' -j- dx + г cos a dx
«-$
du~
но эта ошибка
/=е./
■dx -sin (а -}- £)
. /*' = ф ydx = I (и ~ £ ф cos a dx) = k •
f
-/,
COS a dx -
,ф Ye* — y* dx
равна нулю при е = 0.
О других ошибках приборов при измерениях см. ниже, раздел
полярных планиметров, стр. 233. Ошибки могут также возникнуть
вследствие того, что чертящий штифт, который вычерчивает
вычисляемую диаграмму, движется не по нормали к оси х, а по
некоторой дуге круга (фиг. 162). Ошибка тем меньше, чем меньше угол ?,
т. е. чем больше отношение радиуса к наибольшему размеру
чертежа. Это, в частности, можно видеть из следующего:
Основной планиметр замеряет /7=фу]й??, но ищется J— faydx при
у = ЛВ = /?-?, так как диаграмму нужно представлять себе выпрямленной. Из
q = х — R cos cp и y] = R sin ср, где <? = yjRy
1) В кареточных или ролико-ленточных планиметрах, служащих для
вычисления площадей длинных диаграмм, А закреплено, и бумага, наматы-

188
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
следует
но
P=&Rsin cp [dx — Rd (cos ?)] = t\ — />;
/^ = —- /?2 ф sin yd (cos cp) = 0,
и для Fb используя формулу разложения в ряд синуса
sln?=T___+-|-[-...,
можно написать
Следовательно, ошибка
тем меньше, чем меньше y/R. См. также [289].
В полярном планиметре точка А обводящего рычага
направляется по кругу (фиг. 163) благодаря тому, что к А шарнирно
прикреплено полярное плечо ЛО, вращающееся вокруг неподвижного
полюса О (см. также фиг. 165).
Фиг. 162. К вычислению диаграмм в криволинейных
координатах.
Если обводящий штифт переводится из F в соседнее положение Fv
то это движение может быть разложено на тангенциальную
составляющую rdo (выше обозначалась dx) и радиальную составляющую dr
(выше обозначалась dy). При повороте на угол do треугольник OF A
остается неизменным и точка окружности ролика испытывает
поворот du = ado cos (3 = a cos $do = pdy. Если обводящий штифт при
ваемая на ролик, движется под обводящим штифтом. Штифт должен все
время находиться на ограничивающей линии.

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
189
Фиг. 163.
Кинематика полярного
планиметра.
обводе всей кривой снова возвращается в свое первоначальное
положение, то перемещения вдоль радиуса (радиальные составляющие dr)
выполняются один раз наружу и один раз вовнутрь, т. е. их
влияния на вращение измерительного
ролика при полном обходе взаимно
исключаются 1).
Из треугольника OF А следует,
что
Г2 = /?2 + /2+2/(р + </),
или
где
£* =/?* + /*+2/?,
g—радиус так называемого
основного круга. Этот круг
описывается точкой Fy если плоскость
ролика проходит через О и, следовательно, р = 0, как эго
указано на фиг. 164,а. Отсюда следует:
d и = р<Ь = 1 (1 гЧо — 1 g4?)
или
F=-2-§ гч? =iu +1 г» (?2 - 9l),
если <?2 и ф, являются начальным и конечным полярными углами.
Полагая опять и = dKn и k = /^тг, получаем:
а) если полюс расположен вне планиметрируемой площади и,
следовательно, фх = ф2, то
б) если полюс расположен внутри планиметрируемой площади,
OF совершает один полный оборот и, следозательно, ©2 — cpi — 2^ т0
/7=0 + А/г,
причем G, так называемая постоянная планиметра, представляет
собой площадь основного круга g^it. В этом случае вращение ролика
существенно положительно (см. также фиг. 164,#, на которой
площадь основного круга находится внутри планиметрируемой площади).
Если планиметрируемая площадь меньше площади основного круга,
то при одном и том же направлении обхода направление вращения
ролика меняется на обратное, и для площади имеет место соотношение
F=G — kn2)
*) Конечно, неверно будет предположить, что при перемещении на dr
не имеет места вращение ролика (см., например, [97|).
2) Для определения постоянной G при указанном планиметре обводят
две площади /-\> Q и /\<G, так что Ft = G + k. щ и /^ = G — * • л*
Отсюда при известных площадях Fx и F2 легко можно вычислить k и G.

190
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
(см. фиг. 164,6, на которой планиметрируемая площадь лежит
целиком внутри основного круга; р отрицательно1)). Если сделать
^=-^R2+12^ то ё = °> и
совершенно безразлично,
расположен ли плюс внутри или
снаружи лланиметрируемой площади.
Отрицательный знак говорит о том,
что М должно лежать между А
и F, в частности, тогда для R = l
плоскость ролика пройдет через F.
В конструкции с тяжелым
полюсом, показанной на фиг. 165,
можно заметить обводящий рычаг
переменной длины, обводящую
лупу и лупу над нониусной
шкалой. Кроме того, измерительный
ролик может двигаться под полюс-
Фиг. 164. Положение полюса и обводящего штифта относительно основной
окружности.
а — обводящий штифт на основной окружности, F=G; б—полюс снаружи, F > G; в -—полюс
внутри, /7< G.
ным рычагом (компенсационный планиметр) так, что для исключения
ошибок из-за возможного перекоса оси планиметр устанавливается
х) Если планиметрируемая площадь расположена частью внутри, частью-
вне G, то при условии G = F обороты ролика взаимно уничтожаются. Если
F<^G, то обвод лучше всего выполнять в сторону, противоположную
случаю F^> G, так чтобы ролик двигался в положительном направлении.

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
191
в некоторое положение, симметричное исходному, и измерение
повторяется еще раз („один раз полюс справа*, „один раз полюс слева") !).
Фиг. 165. Практическая конструкция полярного планиметра.
Перекос оси не оказывает влияния на радиальные перемещения, так
как они взаимно уничтожаются. Если плоскость ролика отклоняется от
вертикали на угол е, то так же, как и в
случае ланейного планиметра, получаем
соотношение
du = а • dy • cos (P — е) р^
я^ а • cos £ • dy + е# • 3*п t^T = pflfcp -)- efrrfcp,
так что F — kn-
zfcbdy.
Ошибка,
следовательно, пропорциональна перекосу ролика
и, вообще говоря, не равна нулю для е^-0.
Подобное же влияние оказывает
перекос рифления [10] (см. также стр. 234).
В качестве других источников ошибок,
наряду с неправильной установкой длины
обводящего рычага или неверным
диаметром измерительного ролика, необходимо
еще упомянуть об изменении высоты
обводящего штифта. Наиболее существенной
которая возникает из-за невозможности точного прочерчивания кривой
обводящим штифтом. Для оценки величины этой ошибки можно принять
/=0,1 Уi/, / в единицах шкалы нониуса, U — длина кривой в
сантиметрах; ошибка пропорциоанльна корню квадратному из длины обводимой
Фиг. 166. Пояснение к
кольцевому планиметру.
является ошибка при обводе,
1) Если потом составить среднее арифметическое из обоих показаний,
то влияние перекоса ролика при симметричных фигурах полностью отпадает.

192
IV.WHTErPATOPbl
кривой. Изучение других ошибок и установление причин их возникновения
см. на стр. 233.
Для некоторых целей, например для определения поперечного
сечения массивных сплошных тел или их частей, целесообразно
использовать кольцевой планиметр (фиг. 166, 167). При работе с этими
Фиг. 1о7. Кольцевой планиметр.
планиметрами подлежащее определению поперечное сечение
расположено внутри круга, описываемого точкой Л, причем этот круг
выполнен в виде шины или жолоба. Так как (см. фиг. 166)
определяемая площадь здесь меньше площади основного круга (фиг. 164,в),
то г2 = /?2 + /2 — 2/(р — q) и, следовательно, F=G — kn.
„Обводящий шгифта теперь является щупом F (фиг. 167), и при обводе
планиметр в точке F' движется в направлении, обратном вращению
часовой стрелки. При этом щуп F слегка надавливает на тело. Это давление
создается с помощью , наклонной установки вращающегося с трением
ролика U. В Н может быть помещен карандаш, который при обводе тела
вычерчивает некоторую кривую.
Если после удаления тела поместить в F карандаш К и обводить
помещенным в Н обводящим штифтом вычерченную кривую, то F или
соответственно К вычертит профиль тела.
Замеряя на различных высотах тела h, 2/z, 3/? и т. д.
соответствующие площади поперечного сечения Fv F2, F& можно получить
приближенное выражение для объема V^^h • (Ft 4~ F2 -f- ^з + •• •)•
В радиальных планиметрах обводящий рычаг, несущий
измерительный ролик, скользит через неподвижную точку О Так как

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
193
в полярных планиметрах центр О движется относительно Л по кругу
радиуса ОА (фиг. 168, а), то движение может быть создано также
при помощи скольжения этого круга через неподвижную точку О
(фиг. 168, tf) [234, 181,
182]. Вместо
двухточечной направляющей имеем
(так как круг выполнен
в виде разреза), одну точку
и направляющую кривую
скольжения (см. также
фиг. 2 и 3).
Так как площадь
выражается, между прочим,
формулой F = ^" ф ^2^?>
то полярный планиметр
является собственно
квадратично-радиальным
планиметром (см. стр. 212).
С помощью
преобразования направляющей можно
получить
разнообразнейшие конструкции
планиметров (см. ниже). В
частности, прямолинейная направляющая дает знакомый нам радиальный
планиметр (фиг. 169 и 170), который при плоскости ролика, стоящей
Ф и г. 168. Полярный планиметр в качестве
(квадратичного) радиального планиметра.
Фиг. 169. Принцип действия (основного) радиального планиметра.
перпендикулярно к обводящему рычагу FO, является даже ради-
ф
альным интегриметром, так как и и = | г do1). Если плоскость
*) Универсальный планиметр может быть использован в качестве полярного,
радиального и линейного планиметров (валики — в качестве направляющих).
13 Зак. 1242. В. Мейер.

194
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
ролика составляет с OF постоянный угол J3, то при повороте на
угол du отклонение ролика будет dux = rdy sin ,3= prfcp, в то
время как при радиальном перемещении следует du% = — dr cos ф;
поэтому
и = <£ dut + £ ^2 = sin i3 (Б r rf?i
учитывая, что второй интеграл при возвращении к начальной точке
обращается в нуль. Наклонная установка означает только появление
множителя пропорциональности.
Фиг. 170. Конструкция (основного) радиального планиметра.
Прибор может служить для нахождения средних по времени
величин. Если в диаграмме, начерченной в полярных координатах,
г обозначает переменную величину /?, зависящую от времени, а ср —
время или пропорционально ему, то легко можно получить среднее
по времени значение рт из соотношения рт (t2 — tx) = \p dt.
Конечно, пишущий штифт часто направляется не по радиусу, а по
кругу, проходящему через центр вращения регистрирующего диска, как
это можно видеть на фиг. 170. Тогда соответствующая регистрируемая
величина изменяется вдоль дуги круга, и для того чтобы при
планиметрировании распрямить круг, прорезь должна быть искривлена
соответствующим образом (см. также 1.1.1 и 1.2.1).

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
195
Подобно тому как это было сделано выше, можно показать, что разность
между искомым интегралом J и фактически замеренным интегралом А
дается формулой
где i = bl2R, R—радиус названного круга и Ь — длина дуги, вычерчиваемой
чертящим штифтом, Ъ = Ь (<р). Чем меньше b/2 R, тем меньше ошибка.
Наряду с этим вычислением по регистрационным кривым
инструмент может также служить в качестве прибора для вычисления
потенциала. Действительно,
и = £ rd9 = f f±- г dr d<? = J* j± df
эквивалентно потенциалу относительно полюса О поверхности,
ограниченной замкнутой кривой с и имеющей постоянную поверхностную
плотность.
В литературе имеются указания на возможность вычисления
прибором гиперболических, циклометрических и эллиптических функций 1).
Роликовый планиметр. Для того чтобы повысить точность
планиметра или уменьшить единицу деления шкал, заставляют
измерительный ролик обкатываться по регулируемому соответствующим
образом диску или шару или по конусу 2). Ниже описываются две
подобные конструкции *).
В полярном ролико-дискоеом планиметре (фиг. 171)
измерительный ролик М9 как обычно, помещен перпендикулярно к
обводящему рычагу FA, однако так, что его плоскость проходит через
точку А. Диск S, с которым концентрически жестко связана
шестерня £, находится на полюсном рычаге ОА и вращается вокруг него.
Эта шестерня b -соприкасается с неподвижной шестерней В, имеющей
центр в точке О; измерительный ролик движется относительно S.
Как и в полярном планиметре, радиальные перемещения при
полном обводе не оказывают влияния на перемещение ролика, и при
повороте на do (следовательно, при неизменном треугольнике OAF)
для перемещения точки касания колес b и В имеем: r0rfcp = rxd^,
где т — угол поворота диска S относительно О А. При этом
расстояние, пройденное точкой окружности ролика,
du = р' dr\ = р' ^ do
1) Журнал Instrumentenkde, 24 (1904), 151—153.
-) Между прочим, с помощью регулирования движущегося основания для
измерительного ролика может быть создан ряд новых конструкций
планиметров [182] и IV, 2.4.2.
*) В 1854 г. (и вторым изданием в 1856 г.) вышло описание планиметра,
изобретение Зарубина (см. доп. лит. [57]), в котором интегрирующий ролик
помещен на подвижном основании, выполненном в виде сектора. Планиметр
Зарубина явился одним из самых ранних изобретений подобного рода, и его
создание относится к тому же году, что и появление планиметра Амслера
(Прим. ред.)
13*

196
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
или, так как р':р =/?:/?, имеем также
du = рк <fo, где к = {pjR) (г0/гг).
Как и выше, имеем 2/р = г2 — g2, £2 = /?2~f-/2, так как q =- 0, и
окончательно F = kn для полюса вне и соответственно F — G±kn
Фиг. 171. Кинематика полярного ролико-дискового
планиметра.
для полюса внутри планиметрируемой площади. Но при этом
k= dizl :к, т. е. k становится меньше в отношении 1 :к% или число
оборотов ролика становится больше в отношении X : 1.
Фиг. 172. Конструкция планиметра по схеме фиг. 171.
На фиг. 172 видны относительные размеры диаметров шестерен В
и Ь. Благодаря этому к получается достаточно большим. На фиг. 172
/ — обводящий штифт, a F—обводящий рычаг.
На фиг. 173 показана конструкция линейного ролико-дискового
планиметра (с обводящей лупой). Ролик /? роликовой пары /?, /?',
помещенный на роликовой направляющей части, приводит в движе-

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
197
ние с помощью зубчатого колеса и червячного механизма диск S
таким образом, что вращение диска df=v • dx г) происходит
пропорционально dx. Плоскость роликов т — т (фиг. 174) проходит
через ось вращения обводящего рычага, так что из схемы фиг. 174
Фиг. 174. Кинематика
линейного ролико-дискового
планиметра.
Фиг. 173. Конструкция планиметра по схеме
фиг. 174.
следует p=psina. Влияние
перемещений dy пропадает, как и при основном
планиметре, и перемещение обводящего
штифта на dx сообщает ролику
перемеру
щение du= pdy = pvdx = р sin a • v dx, или du=^~vdx, так
как
sin a = j///, где l = AF — длина обводящего рычага; итак, получаем
F = (bydx = u-l:X = kn, где А = /?/v и, соответственно, как было
указано выше, k = dizl: А.
Изображенный на фиг. 153 механизм с фракционными
колесами особенно удобен для вычисления интеграла у = ird^nnny =
= v\Ydx, если положить г=К и d<p = vdjc. Если придать диску
перемещение, пропорциональное х, и регулировать г пропорцио-
1) м = передаточное число = постоянная прибора.

198
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
нально К*), то измерительный ролик покажет значение ГYdx с точ-
х0
ностью до постоянного множителя. Прибор является при этом интег-
риметром.
Способ применения можно видеть из фиг. 175 для планиметра
с измерительной кареткой. (Так как К=0, то плоскость ролика
проходит через середину диска.) О применении механизма см. фиг. 155,
а также [98] (стр. 187—191) и в части, касающейся интеграфов
— IV, 2.4.2.
1.1.2. Степенной планиметр 1) (или моментный планиметр)
вычисляет определенный интеграл
J = С уп dx = ф у11 dx,
гдеу = /(х) и х,у— прямоугольные координаты. (Можно
использовать также полярные координаты г, ср.) При этом заданная кривая
yz=f(x) обводится обводящим штифтом. Можно также данную
кривую перечертить и полученную таким образом кривую сплани-
метрировать с помощью основного планиметра. Однако
перечерчивание, вообще говоря, требует большой затраты времени.
В этом разделе приводятся примеры интегралов, для вычисления
которых целесообразно применять степенные планиметры. Случай
л=1 уже изложен в разделе основного планиметра (или планиметра
1-го порядка).
п = 2. Статический момент площади фигуры относительно оси х
выражается формулой Мх = -о- ф у2 dx и относительно оси у — формулой Му =
= -^-фх2д(у1 так что координаты центра тяжести даются зависимостями
x0 = MyIF1y(i = MccIFt где F — площадь фигуры, которая может быть
определена основным планиметром.
Объем тела .ращения, полученного вращением кривой^ =/(,) вокруг
оси л:, выражается формулой V=n- fay-dx.
Точно так же определение эффективного значения, напряжения и силы
тока приводит к интегралам такого же вида; в этом случае нужно определить
/
*i+r
п Г у2 dty где у (t)— мгновенное значение, t — время, п = 1: Т — частота
и Т — период колебаний. Также определение среднего рассеяния в
статистике ([272], стр. 43) требует применения квадратичного планиметра.
Относительно определения площадей в полярных координатах см. ниже.
*) У—ордината обводимой кривой. (Прим. ред.)
*) Прежде часто назывались интеграторами.

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
199
п = 3*). Осевой или экваториальный момент инерции плоской фигуры
относительно оси х выражается формулой
■=т $■"**■
так как момент инерции полосы шириной dx имеет значение
у
JV rf/ = |V dx dri = j у* dx.
В планировке городов и населенных мест играет важную роль интеграл
названный „башенка" или „колоколенка". Он имеет значение
& jrdf= §fr (r di dr) = j& г* d?
и является суммой всех путей (или интервалов времени), которые должен
пройти каждый из жителей в равномерно населенной местности для того
Фиг. 175. Фрикционный механизм в
качестве интегратора в планиметре с
измерительной кареткой (А. Отт).
чтобы возможно быстрее достичь какого-либо важного центра (полюса), как
например, вокзала и т. д. Этот интеграл должен по возможности давать
минимальное значение.
/1 = 4. Полярный момент инерции площади, который может быть также
найден как сумма осевых моментов инерции1) относительно двух взаимно
*) Планиметры, соответствующие случаю п = 3, носят также название
кубических планиметров, например радиально-кубический планиметр. (Прим
ред.)
1) Так как эти моменты являются существенными при расчете стержней
на изгиб или кручение, то может оказаться особенно удобным прибор,
одновременно дающий площадь, статический момент и момент инерции (см. также
[42] и дальше, стр. 210).

200
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
перпендикулярных осей, проходящих через полюс, имеет относительно
полюса О значение
Jp = ф JV df= ф JV drr dy = ф ГгЗ dr dy = -*- фг* dcp.
инерции
Для динамического момента инерции тела вращения относительно оси
вращения х имеем выражение
Jrr
где y=f(x) — профильная кривая, т. е. кривая, вращением которой
образовано тело, и р = -{lg — плотность.
п = 1/2. При измерениях с трубками Вентури или Пито скорость
протекания жидкости и, следовательно, протекающая масса пропорциональна корню
квадратному вз разности давлений в двух контрольных точках. Подобное же
соотношение имеет место для скоростей, замеренных насадком Прандтля.
Фиг. 176. Пояснение к вычислению моментов
высших порядков.
п = 3/2. Скорость и масса протекающей жидкости на заданном перепаде
давления пропорциональна степени „три вторых" от высоты перепада.
п = —1. Подобные же интегралы встречаются при исследовании
кинематических диаграмм, для вычисления времени передвижения 1) или при
динамических исследованиях [147]. Если, например, скорость v — v(s) задана
в зависимости от пути s, то имеем: dsjdt = v(s) или /= I — .
Si
Моменты высших порядков. Под моментом площади высшего порядка
относительно одной из осей понимают интеграл
kym.dF = ф (ут dy dx = —ц-у- ф ут+г dx
в прямоугольных координатах (фиг. 176, а) и интеграл
фг™ dF= фф rmrd$dr = фф/-«*+1<//-Жр.= -jlo фг»»+2 dy
в полярных координатах (фиг. 176, б), т. е. интегралы выше приведенной
формы. Но так как, например,
Г \Ут dy dx = [у™х dy
l) См. [94а, 99, 125]; кроме этого, см. стр. 246.

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
201
и центробежный момент
ф ху dF= ф (ху dx dy = -^ ф х*у dy,
то величину ф хпут dx также, ради общности, называют моментом высшего
порядка (см. также стр. 223). Для вычисления моментов относительно оси<
служат степенные или также моментные планиметры. Моментныи планиметр
m-го порядка является степенным планиметром (т + 1)-го порядка и мо-
ментно-радиальный планиметр m-го порядка является радиально-степенным,
планиметром (т+ 2)-го порядка. Или можно сказать, что радиально-степен-
ной планиметр n-го порядка соответствует линейно-степенному планиметру
(п—1)-го порядка. Таким образом, можно составить следующую таблицу:
т
— 2
— 1
0
1
2
Линейный
Г dx
J У
(\nydx
lydx (площадь)
-х \y2dx (статический момент)
— Гу3 dx (осевой момент
инерции)
Радиальный
1 In г dy
1 г dy (сумма путей ds на
фиг. 169, б)
— 1 г2 dy (площадь)
-«- I г3 dy („башенка", статический
момент)
X 1 г4 ^у (полярный момент
инерции)
Отсюда, между прочим, получаем, что, как уже упоминалось выше (1.1.1),.
полярный планиметр является квадратично-радиальным планиметром. См.
также раздел IV, 1.2.1 о степенных планиметрах.
Особый случай. При определении центра тяжести и моментов инерции
линии, а также тонкой искривленной пластины используют интегралы
длина дуги.
, jy ds —
статический момент
, lytds—-м
Sds-
омент инерции, где у —
расстояние элемента дуги ds от оси, относительно которой определяется
момент, s — длина дуги. Так как у может рассматриваться как функция s,
то прибор для вычисления этих интегралов представляет собой степенной
планиметр. Однако целесообразнее в случае первого интеграла говорить
просто об измерителе кривых (см. II, 4.2), а в случае остальных — о момент-
ных измерителях кривых (см. стр.230), согласно разделению на
функциональные планиметры и интегриметры.
Конструктивные формы; п-кратный увеличитель углов. Если:
положить ^ = /sina, то, например, для л = 3
eyS=/3sin8a = /3(-j- sin a —-r-s*n ^a)

202
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
ИЛИ
J = фу*dx=== /зЛ|_ ф Sin а^д;— 1 ф sin 3<xdx) =
= l.p§ydx—^P§sin3adx = J1—J2.
Первый интеграл Jx пропорционален площади, второй должен быть
получен с помощью соответствующего утроения угла. Конечно,
недостатком формулы является то, что искомая величина J представляется
в виде разности двух показаний, из-за чего относительная ошибка
может увеличиться.
Фиг. 177а. Линейно-квадратичный планиметр с
колесным приводом.
я-кратный увеличитель углов может быть выполнен при помощи
шестеренчатого, конического или кулисного механизма.
Колесный привод. В квадратично-линейных планиметрах (п = 2)
на обводящий рычаг (фиг. 177) в точке В насажена шестерня //,
которая может вращаться вокруг этой точки и соприкасается
с неподвижной шестерней /, находящейся на направляющей каретке W.
Измерительный ролик, ось которого жестко связана с шестерней //
и плоскость которого составляет с осью х угол а, катится по плоскости
чертежа. Тогда, не учитывая исчезающие при полном обходе
составляющей элементарного движения
линейном основном планиметре:
ролика !), имеем, как и при
du
dx*cos2a = dx -(I— 2 - sin2a) = dx — 2-(y)
dx
и, следовательно,
и = ф du = — 2 • ф (^У dx,
1) Которые подобным образом исчезают и в последующих приборах.

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
203
так как wdx = 0; это означает, что и пропорционально искомому
интегралу Фу2 dx. На обводящем рычаге помешен, между прочим, еще
один измерительный ролик,
перпендикулярный к FA.
Благодаря этому прибор
может служить
одновременно в качестве основного
планиметра. В практической
конструкции, показанной на
фиг. 1776, ролик для
вычисления интеграла wy2dx
обозначен буквой /VI, а
ролик для вычисления
площади— буквой А.
Линейный планиметр
ДЛЯ Л=1/2 (ФИГ* 178^
имеет в точке А каретки
жестко насаженную
шестерню Кг. На
поворачивающемся вокруг А обводящем
рычаге помещена
вращающаяся вокруг точки В ше- Фиг. 1776. Конструкция по схеме фиг. 177а.
стерня Кд, диаметр которой
равен удвоенному диаметру шестерни Кг. Шестерня Кд сцеплена
с шестерней Кг. Соответственно перемещению dx получаем:
du = dx • sin -^ = dx • у £°11. =cjx.W
так как FA = F°A и, следовательно, cosa = —~- . Благодаря этому
и имеет значение, пропорциональное &yll*dx
Планиметр полуторной степени для п = 3/2, указанный на
фиг. 179, является трехроликовым планиметром и вычисляет
одновременно
Ф у9' dx, ф У у dx и ф у dx.
Обводящий рычаг с измерительным роликом, определяющим площадь
фигуры, может вращаться вокруг точки Л, центра закрепленной на
каретке шестерни Zu и несет на конце вдвое большую шестерню Z2,
соприкасающуюся с Zv Помимо этого имеется еще шестерня Z3,
соприкасающаяся с Z2 и одинакового с ней диаметра. Вращение

204
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
колес, противоположное движению каретки, дается углами "о" и "о »
если через а обозначить угол между обводящим рычагом и
вертикалью к оси х (фиг. 178) так, что измерительные ролики, соединен-
. За
ные с шестернями, испытывают повороты, пропорциональные dx • sin -~-
и dx • sin y . Так как из фиг. 178 легко заметить, что^=/(1—cos а),
то после простых
тригонометрических преобразований
следует, что первый из
названных интегралов определяется
как разность показаний
измерительных роликов обоих
колес.
[ * Ьк
^
F°
&
~"-'-,
t J
1
/
/Tdx *
X
Имеем
у = / (1 — COS а) = 2/ Sin
2а
ИЛИ
-J= YyW
Фиг. 178. Линейно-корневой планиметр
с колесным приводом.
За
sin -jr- = 3 sin -^— 4 sin8
Итак,
Ui~ I sin — dx = c± \ y1^ dx — c2 Г y^ dx = c^i — с2Л,
U2 = J sin -!Ldx = c3\y1/9dx = cbJb
которые мы примем равными единице, имеем
т. е., опуская постоянные
у2 = Ц2 — Цг или же
Наконец, на фиг. 180 и 181 показан радиальный квадратно-корневой
планиметр для вычисления интегралов:
-г do
или
-г0Лр.
CW0 может поворачиваться вокруг точки О, в то время как ОА
скользит во втулке О (кривошипный механизм). Со звеном АМ0, несущим
обводящий штифт F, жестко связана шестерня Zb соприкасающаяся с шестерней Z2>
диаметр которой в четыре раза больше диаметра шестерни Zj. Ось
шестерни Z2 жестко связана со звеном OMq. Если Z\ поворачивается
относительно ОМ0 на угол 2а, то Z2 поворачивается относительно ОМ0 на угол

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
205
2—r- = -ёг . Так как движение обводящего штифта F может пониматься как
4 2
вращение выше указанной системы (считая ее в каждый момент жесткой)
Фиг. 179. Линейный полуторастепенной
с колесным приводом.
планиметр
Фиг. 180. Радиально-кориевой планиметр.
на угол dy и последующего перемещения на dr, то М описывает
вследствие этого элемент пути ady. По теореме Мемке, гласящей, что
проекции скоростей точек движущейся прямой на направление этой прямой одни
и те же для всех точек, и справедливой также для дифференциала пути,
следует, что точка касания измерительного ролика /?, ось которого жестко

206
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
связана с большим колесом, получает в направлении MR то же самое
перемещение, что и точка М. Поэтому перемещение, вызывающее один оборот
ролика, должно иметь величину da = а • dy • sin -=-. Наибольший круг,
который может описать /\ называемый нулевым кругом, имеет радиус rn = 2/ — d,
где d — величина отрезка AF. Принимая во внимание, что OA = r + d = 21 cos у,
имеем:
г0 — г = (2/ — d) — (2/ cos a — d) — 2/ (1 — cos a) = 4/. sin* -£ ,
т. е.
sin у = const • Уг0 — г.
Таким образом, путь и, пройденный роликом, пропорционален искомому
интегралу.
Если нулевой круг лежит внутри планиметрируемой кривой так, что
ф
отыскивается интеграл I У г— r0 dy, то для этой задачи обводящий штифт Z7*
о
помещают на стороне, противоположной F относительно точки О; тогда
И/7* = 2/ + Го-
Радиальные перемещения dr здесь, как и выше, выпадают. Изменения
вдоль дуги круга, согласно фиг. 181, здесь не учитываются. См. также
значительно более наглядную конструкцию, изображенную на фиг. 186.
С различных точек зрения конструктивно более простыми являются
планиметры, выполняющие я-кратное увеличение углов при помощи
симметричной кулисно-криволинейной передачи. В
линейно-квадратичном планиметре (фиг. 182) по обводящему рычагу FA скользит муфта,
вращающаяся вокруг G вместе с рычагом GB. BG несет измерительный
ролик R, так что на основании предыдущих выводов du = dx. cos 2cs,
так как АВ = BG = a и интегралы, появляющиеся из-за вращений dv
и перемещений dx*, выпадают. Так как у = AF • sin cp = /. sin <p, то,
как было выведено выше, ролик R указывает искомый интеграл
]У dx i).
Присоединением еще одного равнобедренного треугольника, т. е.
еще одного кривошипного механизма, достигается утроение углов
и, благодаря этому, определение интеграла \уъйх (см. выше). При
практическом выполнении в качестве трехроликового планиметра [245}
(фиг. 183) 2) измерительный ролик Rt для определения площади поме-
х) Между прочим, прибор, изображенный на фиг. 182, может быть
кинематически переведен в шестеренчатый механизм тем, что в точке G
соединяют шарнирно BG и GA и GA направляют сквозь вращающуюся вокруг А
муфту, как это показано на фиг. 182 и 184. См. [149].
2) На этом приборе можно работать с тремя различными длинами
обводящего рычага. В новой конструкции (на чертеже выбрана старая
конструкция с целью получения лучшего рисунка) обводящий штифт может
перемещаться вдоль специальной шкалы.

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
207
щен на обводящем рычаге /\Д, а кривошипы несут второй
измерительный ролик R2 (на фиг. 182 обозначен R) для определения <X)y2dx
Фиг. 181. Конструкция согласно схеме фиг. 180.
?^У<*)
Фиг. 182. Линейно-квадратичный планиметр с кри-
вошипно-кулисной передачей.
и третий измерительный ролик для вычисления <X)yBdx
(равнобедренный треугольник GCD). Прибор, однако, имеет тот упомянутый выше
недостаток, что для последнего интеграла должна быть составлена
разность показаний двух роликов; см. конструкцию на стр. 212. На

'208
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
фиг 184 схематически показан линейно-корневой планиметр, принцип
действия которого может быть непосредственно уяснен на
основании предыдущего: обводящий рычаг и измерительный рычаг, в
Фиг. 183. Линейно-кубичный, квадратичный и основной планиметр с кулисно-
кривошипной передачей (трехроликовый прибор).
противоположность фиг. 182, переставлены местами друг с другом
Как и на фиг. 178, имеем:
du — dxsin i v=/ (1 —cos<f) = 2/sin2 |> sin |- = Yy\2l
и, следовательно, а пропорционально Г У у dx Круг означает
траекторию относительного движения полюса.
Значительным, практически осуществленным усовершенствованием
является регулирование (направление) движения измерительного ролика
с помощью криволинейной направляющей таким образом, что искомый
интеграл прочитывается непосредственно без образования разности.
При этом можно различать три группы приборов:
1. Часть механизма, несущая измерительный ролик (измерительный
рычаг), движется вместе с точкой обводящего рычага, как это
показано на фиг. 185 (см. также фиг. 37) 1\ Вокруг точки О каретки Slt
г) См. также [122].

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
209
перемещающейся параллельно оси х, вращается измерительный
рычаг К с пазом, несущий измерительный ролик М. Измерительный
рычаг скользит относительно точки Z движка 52 (обводящий рычаг),
Фиг. 184. Линейно-корневой планиметр с
шипно-кулисной передачей.
криво-
несущего обводящий штифт F и перемещающегося параллельно оси у.
Уравнение кривой у = r = г0У sin (3 *). В таком случае
и = ф du = ф dx sin [3 = (1/г0)и • фу* rfjc,
так как влияние перемещений я[у снова пропадает 2).
2. Часть механизма (измерительный рычаг), несущая
измерительный ролик, является одновременно обводящим рычагом и скользит
относительно неподвижной точки. Выше было уже указано на то,
что полярный планиметр, рассматриваемый как радиально-квадратичный
планиметр, может конструироваться таким образом, чтобы круг
скользил относительно неподвижной точки так же, как в радиальном
основном планиметре относительно неподвижной точки скользит прямая.
1) Например, для п = —1 кривая является прямой (см. также пготенци-
рующие механизмы, раздел I, 3.1.1 и 5, 3.1.3). Для п = 1 кривая является
кругом. О форме направляющей кривой и ее дальнейшем применении см. также
стр. 218 и 230.
2) В новой конструкции [123] прибор перечерчивает заданную кривую
таким образом, что трансформированная кривая пропорциональна искомому
интегралу.
14 Зак. 1242. В. Мейер.

210
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
С помощью соответствующей формы кривой могут быть
осуществлены планиметры для различных функций, как это, в частности
будет следовать на основании 1.1.4; на фиг. 186 изображена
чрезвычайно простая конструкция прибора. Фигура соответствует п = 112,
т.е. случаю определения ф|/"г^ср; см. также биквадратный
планиметр на фиг. 193, стр. 220.
3. Часть механизма (измерительный рычаг), несущая
измерительный ролик, направляется с помощью криволинейной направляющей.
На фиг. 187 на обводящем рычаге FA
помещены криволинейная
направляющая и измерительный рычаг
ведущего штифта Fl. Если плоскость
ролика (FiOR) составляет с
вертикалью к оси х угол р, то должно
быть sin|3 = sin^a или. p = b'(^r)r
Ф и г. 185. Линейно-степенной
планиметр с криволинейной
направляющей.
так как du=dx • sinр и sina=y/L
Форма эксцентрика может быть при
этом легко определена графическим
или численным путем (см1. 1.1.4); для,
/2=1 получаем круг.
Так как криволинейная
направляющая в настоящее время может быть
создана с вполне достаточной
точностью, то эти решения являются
вполне удовлетворительными.
Это подтверждает также
конструкция, показанная на фиг. 188а, 1886.
Между прочим, эта конструкция, как
позволяет видеть фиг. 1886, более подходит к группе приборов,
описанных выше, так как здесь обводящий рычаг несет штифт «S,
движущийся по кривой в измерительной плоскости или направляемый
измерительным рычагом.
Как показывают фигуры, прибор удачно выполнен в виде четы-
рехроликового механизма, т. е. он дает возможность,
одновременно и непосредственно прочитывать значения четырех
интегралов, при этом ролики (уИ), (Р), (У), (F) пригодны для я = 2,
4, 3, 1.
Для трех первых роликов необходимы криволинейные
направляющие, в то время как (F) непосредственно соединен с обводным
рычагом и составляет с ним основной планиметр.
На фиг. 1886, на которой показаны основные детали прибора, можно
заметить находящиеся на обводном рычаге измерительный ролик (F) и
штифты Si, So, которые для направления движения роликов (М), (J), (P>

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
211
зацепляются за криволинейные направляющие kM (видна отчасти), kj (видна
отчасти) и kp. Так как эти криволинейные направляющие выполнены не
Фиг. 186. Радиально-степенной планиметр с
криволинейной направляющей.
Ф и г. 187. Линейно-степенной планиметр
распределением.
с кулачковым
в виде разрезов, то динамическая связь между штифтами и направляющими
достигается при помощи пружины (см. фиг. 188а, 1886).
Используя ролики (F) и (М), находят, например, центральную ось или
центр тяжести поверхности. Используя (/), можно помимо этого определить
еще момент сопротивления изгибу.
14*

Фиг. 188а. Линейный планиметр с криволинейной направляющей в качестве
биквадратного, кубичного и квадратного основного планиметра.
Фиг Ьч1б Главная часть прибора изобракенно на фиг. 18а вниз"

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
213
1.1.3. Планиметр произведения. Эти планиметры применяются
при вычислении интегралов вида ф и (х) v (х) dx и во многих
отношениях конструктивно отличаются от приборов, описанных в IV, 1.1.2 *).
К этой группе приборов принадлежат гармонические анализаторы,
которые будут отдельно рассмотрены в разделе V.
Наиболее общее значение имеет планиметр для определения
интегралов Стилтьеса, т. е. интегралов вида
fm-h'{t)dt=ff(t)d [h(t)\
и п
[173, 178]. Можно обозначить u—f(t) и <v = h'(f), т. е.
прибор может быть применен в качестве планиметра произведения, если
t
только функция h (t) = \ v (£) d\ может быть легко выражена какой-
6
либо формулой. Если это невозможно, то h (t) может быть легко
найдена с помощью интегриметра (стр. 224) или интеграфа (стр. 241).
О применении общих интеграфов для интегрирования произведения
см. раздел IV, 2.4.2.
Подобные интегралы Стилтьеса встречаются, например, в том
случае, если на интервале интегрирования распределена
неравномерная масса, давление, яркость или электрические заряды (см. также
[117]). В особенности прибор удобен для гармонического анализа
(раздел IV) или для разложения по собственным функциям, как это
может быть показано на примере разложения по шаровым функциям.
Статический момент площади относительно сси у дается интегралом
Му = <X)xdf= foyxdx = <T,yd(xij2)\
в этом случае h' = x, h = x2j2. Объем тела вращения» изображенного на
фиг. 189 (см. также [206]), может быть записан в виде
V = & 2кху dx = 2r.-&yd (*2/2)*).
*) Старейшим прибором подобного типа является планиметр
произведения А. И. Крылова, относящийся к 1904 г. (см. доп. лит. [74]). Все прочие
конструкции появились тридцать лет спустя. Планиметр Крылова основан на
том же принципе, что и более поздний планиметр ван-ден-Анкера, но имеет
другую техническую реализацию. (Прим, ред.)
г) Если на круглый диск действует давление, переменное вдоль
радиусов, выходящих из центра, но постоянное на окружностях равных радиусов,
то полная сила давления будет
Р= j fpdf= Г fpdr-rdy = 2n- Ср (r)rdr = 2r.jp (г) d (r2/2),
т. е. снова интеграл такого же вида. С подобным же интегралом встречаются
при исследовании напряжений (р = а) в стержнях с круглым поперечным
сечением, имеющих желобки.

214
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
Массовый момент инерции дается формулой:
Jm = р | 2гсхdxyx2 = 2яр I ух9dx= 2тср \у d (-j),
л:4
т. е. h = -J-. Точно так же поверхностный момент инерции относительна
оси у будет
W^-Mt-)'
Фиг. 189. Объем
дискообразного тела
вращения как
интеграл типа Стилтьеса.
В одном из приборов имеются два ввода (привода), т. е. в то
время как один вычислитель обводит кривую y=f(t), другой
должен вести одну из точек механизма вдоль кривой h (f). В другой
конструкции [117] второй вычислитель не
нужен. В этом случае кривая h(t) выполнена,
например, в виде стальной ленты или разреза
и движение вдоль кривой происходит
автоматически, что, между прочим, не всегда
целесообразно при сложной форме кривой. Прибор может
быть пристроен без шестерен к гармоническому
анализатору Мадер-Отта (раздел IV, фиг. 190а).
Обводящий рычаг AOD, выполненный в виде
углового рычага с регулируемой длиной,
вращается вокруг точки О каретки W2, имеющей
возможность перемещаться вдоль оси у. Движение обводящего
штифта А вдоль кривой y=af(t) перемещает каретку W2 посредством
закрепления точки О в направлении оси у и перемещает
одновременно находящуюся на W2 каретку Wu которая может
перемещаться только параллельно оси у на отрезок dt\
пропорциональный dt (см. V, 1.1.1). Рассмотрим работу прибора без анализатора.
На каретке Wx закрепляется бумага с начерченной на ней кривой
h(t'), причем так, что ось f перпендикулярна к оси t2). Затем на
каретке W2 закрепляется клеммами рама /?, в которой может
перемещаться параллельно, оси t отметчик М (визирующая лупа) и
имеющий углубление F движок S. В F помещен обводящий штифт
основного планиметра, измерительный ролик которого катится по
неподвижной плоскости. Если двигать теперь точку А вдоль кривой f(t)
г) При разложении функции y = f{x) в интервале от а до Ъ в ряд по
нормированным ортогональным функциям ик (х), т. е. при представлении
/(■*)= 2Ск'Uk (■*)» можно> как Уже упоминалось, коэффициенты ск =
ъ
= I f(x)ujc(x)dx также определить с помощью планиметра Стилтьеса. При
а
этом должно быть Ы (t) = ик (t).
2) Выбор направления системы координат производится таким образом,
что при обходе заданной кривой против направления вращения часовой
стрелки интеграл получается с правильным знаком.

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
215
и одновременно отметчик М вдоль кривой h(t')f что может быть
выполнено либо от руки/'либо при помощи соответствующей
направляющей, то при обводе
замкнутой фигуры
измерительный ролик дает
значение искомого интеграла
f f(t).h'(t)dt.
В прямоугольной системе
координат Y — X, причем оси X
и t совпадают, включая и
направление, кривая, описанная
обводящим штифтом
планиметра F, может быть
предоставлена параметрическими
уравнениями: X = hit) -\- С, где
С—постоянная1), и Y = /(/) +
-\-v(t), где v(f) — расстояние
точки О или соответственно М
или F от прямой, проведенной
через точку А параллельно
оси /. Эта кривая Yf) = v (t)
описывается обводящим
штифтом F, если точка А движется
по оси t. Если обводить затем
часть плоскости,
ограниченную кривой у, прямыми t — ti
\{t = t^ параллельными оси у,
и куском оси /. то F обводит
некоторую полосу,
ограниченную двумя прямыми,
параллельными оси V = tx и V = /2« или соответственно Х± и X и двумя
кривыми У и К0. Планиметр, следовательно, измеряет площадь
t
W,
с
3 Л5 Ч
ЫФ*Ч
ч' л^К
\/ dt
Ihfft)
я 1
"К ' 1
<}f;\
"Ь
/ =
кУ
А2-
f
Фиг. 190а. Схема планиметра для
вычисления интегралов Стилтьеса.
так как
«л/.2 "2 "2
f (Y-Y0)dX= ff(t)dX= ff(t)d[h(t)l
Y-Y0=f(t) и dX=d[h(t)].
Конструкция прибора показана на фиг. 1906. Под плоскостью
чертежа, помещенного на каретке Wlf находится движок d и каретка Wx
со своей направляющей, находящейся на каретке W2. При такой
конструкции прибора для работы необходимы два вычислителя.
Можно, однако, на W1 поместить пластину с разрезом, выполненным
в соответствии с законом изменения функции h(t), и М заменить
штифтом. Тогда имеет место, как уже упоминалось, автоматическое
регулирование; см. фиг. 190в.
1) То есть несущественное расстояние оси Y от оси /'.

216
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
Для специальных задач можно указать следующие планиметры
произведений:
„Интегрометр" для вычисления Ь r('f)sin ф*/» в геофизических
задачах [187].
Фиг. 1906. Конструкция стилтьес-планиметра согласно схеме фиг. 190а.
„Новый универсальный интегратор" [50а, Ь] для вычисления
интегралов вида ф / (л:) ^Jfs ^ ^^» х== ■**(?)> встречающихся в задачах
теории потенциала и теории вихрей. Он может быть также примечен
в качестве планиметра, анализатора и для вычисления I I(x)d®.
1.1.4. Общий функциональный планиметр служит для
определения интеграла ф u[y(x)]dx и включает как особые случаи
предыдущие приборы, в частности также степенной планиметр для и(у) =
=уп и планиметр Стилтьеса (см. ниже).
Общие задачи. Как было сказано в разделе II, 2.3.2, для этой
цели может быть использован апериодограф благодаря приданию
кулачку специальной формы

1 ИНТЕГРИМЕТРЫ
217
В функциональном планиметре в особых случаях, как это уже
описывалось в 1.1.2. (стр. 210), измерительный ролик направляется
с помощью криволинейного привота.
Фиг. 190в. Стилтьес-планиметр с автоматическим регулированием.
г»
Если, например, нужно вычислить интеграл ф и [г (©)] dz>, причем г
и ср—полярные координаты и направляющая "кривая скользит
относительно неподвижной точки О — полюса полярной системы
координат (см. фиг. 191, на которой F является обводящим штифтом),
то при повороте обводящего рычага на угол а?ф отклонение ролика
будет dU=pd<? и при полном обходе (так как влияние радиальных
составляющих пропадает) (У=ф prfcp. Вследствие этого направляющей
кривой должна быть придана такая форма, чтобы р = с • н(г), где
с — постоянная прибора. Это приводит, например, в случае степенного
закона к р = (е й)п • ги, где d = длина, е = j/длина. Относительно
системы координат ?, -/], проходящей через F и жестко связанной
с обводящим рычагом (г\ параллельно т — т, \ перпендикулярно к
т— т), кривая имеет параметрические уравнения: Е = р — q =

218
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
— c-u(r) — q
щим образом:
различным значениям /*, и
расстоянии р. Это следует
и £2 + 7]2 = г2. Вычертить эту кривую можно следую-
вокруг точки F проводят круги, соответствующие
пересекают их параллелями к т — т на
из того, что положения О относительно
плоскости обводящего рычага
дают форму направляющей кривой
этого
радиально-функционального планиметра.
При степенном планиметре
\2
Для q = О следует
(■f-y-v'imj'-e.
след^
•-(f)' W-*
или, принимая yj за полярную ось и
OFf\ = p за полярный угол, имеем:
"|/sinp. г0=я~|/(57^
Фиг. 191. Криволинейная
направляющая, проходящая через
неподвижную точку в функциональном t
планиметре. г == го
Здесь рассматриваются те же направляющие кривые, что и в разделе IV, 1.1.2
для линейно-степенного планиметра и для линейно-степенного интегриметра
в разделе IV, 1.2.1 (стр. 225) с показателями корня, различающимися на
единицу. В частности, для радиального планиметра при г0=1 получают
следующие направляющие кривые (см. фиг. 192, на которой ролик для
большей ясности чертежа нарисован внизу):
л = —1.
Для
Для п = 0.
радиус в единичном круге и его
ли-
Прямая линия
продолжение. /
Прямая линия, касательная к единичному кругу (.
Г dx\
неиныи интегриметр для I ].
3. Для п = ±со. Сам единичный круг и соответствующий радиус или
его продолжение.
4. Для п = 2. Круг и половина диаметра единичного круга.
5. Для 1>л>0. Параболические кривые.
6. Для 0>/г>—со. Гиперболические кривые.
7. Для оо >л>1. Овалы, в особых случаях идентичные с овалами,
описанными Лориа. (Г. Лор и а, Специальные алгебраические и
трансцендентные плоские кривые, стр. 89 и 310—311.)
Для л>2 радиус кривизны в точке F равен со, для 1</г<2 он равен
лулю. В точке г=1, р= -^-радиус кривизны р = 1 — 1/л. Точка перегиба
определяется уравнением
Для п = 3/2 см. также [138
Практически используемую
1 ¥Р
sin p J
и находится на оси £ при г
= Ye ')-
биквадратный планиметр) можно видеть на фиг. 193.
часть конструкции для п = 4 (радиально
!) Дальнейшие исследования, например, о
траекторий могут быть читателем пропущены.
семействе ортогональных

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
219
Наряду с упомянутым прибором для определения интеграла
(Ь/-4^ср также построен прибор для вычисления интеграла ф(1—r2)*-dcp>
встречающегося в астрофизических задачах.
Если должна быть спланиметрирована диаграмма, в которой дуга
круга, проходящая через среднюю точку, является кривой <р = const
{см. фиг. 186 и 194), то дуга В = /а служит зависимым переменным
Фиг. 192. Вид распределительных кривых в функциональном
планиметре соответственно фиг. 191 и 185.
и должен быть вычислен интеграл ф u{h) d®, a = а (<р). Затем нужно
из точки F описать окружность радиусом, равным хорде,
стягивающей дугу В и р = с • и [/ • а (<р)].
В линейно-функциональном планиметре, изображенном на фиг. 187
и описанном в п.4.1.2 (стр. 210—211), должно быть р =с • и(у) =
= си (/ sin а), причем р = b sin (5 и, следовательно, sin {} = р / b =
= си (/sina) lb.
Для того чтобы получить форму кривой кулачка, рассмотрим
положение Ft относительно плоскости кулачка (или же можно поступить
по I, 3.3.1). При этом О А поворачивается относительно AF или
соответственно Ач\ (фиг. 195) на угол а и FxO — относительно АО на
угол р (соответственно {3 -f- тс/2). Возьмем ^ т]ЛО = а, -^ AOFx =
= £ + я/2 и О/7! = b или пересечем круг радиуса b с центром
в точке О с кругом радиуса г = Ур* -j- £2 + 2р£ sin t3 и центром
в точке Л; тогда значения sin p и соответственно (3 получаются выше
приведенных уравнений.

220
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
Уравнения кривой в параметрической форме, удобной также для
вычерчивания, имеют вид:
с = р sin a + b • cos (a — р),
fj = р • COS а — 6 • Sin (а — р).
В степенном планиметре sin р = X . smn а и л = с • / nib [с = ^длина)1-»*]; для
п = 1 получаем, например, круг, проходящий через точку А с центром.
Фиг. 193. Радиально-биквадратный планиметр с
криволинейной направляющей.
в точке £ = Ь, т] = 0. Естественно возникает вопрос о функции и при заданной
71
форме кулачка: например, для р = — 2а кривая,! изображающая кулачок,
является циклоидой; регулировка измерительного ролика может также
протекать таким образом, что обводящий рычаг
л остается жестко связанным с вращающейся
, .—х— 2
а I вокруг точки А шестерней Zt радиуса -~р,
^ г*Л» «3
которая приводит в движение шестерню Z2
с радиусом -^ р. Шестерня Z2 вращается вокруг О
фиг jg4 относительно О А и несет измерительный ролик
(для а = 0 плоскость ролика проходит через ОА).
Таким образом, получаем шестеренчатый
механизм с удвоением углов и ф du = ф sin р dx — ф cos 2a dx = — (I//)3 ф y*dx,
где у = /-sinа, т. е. имеем квадратичный планиметр. Можно получить подоб-

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
221
ный же прибор, положив р = 2а — те/2, так что ф da— (1//)2 • фу2 dx. Кривая,
изображающая кулачок, является эллипсом, и механизм можно заменить
зубчатой передачей: шестерня Z\ имеет радиус 2/7, шестерня Z2 имеет
радиус р и касается изнутри шестерни Z^ Относительная траектория полюса
является, следовательно, такой же, как и на фиг. 182.
Если направляющая кривая связана с измерительным, а скользящая
точка F1— с обводящим рычагами, как это показано на фиг. 188, то форма
кулачка может быть определена из
движения F\ относительно
измерительного рычага: АО составляет с
плоскостью измерительного ролика т — /и,
которая принимается за неподвижную,
угол р + я/2 и AF1 — угол г/2 — а, если
FA±AS (фиг. 196). Кривая может быть
легко вычерчена; координаты ее
определяются формулами:
£ =р cosp — q sin (а — р),
Y] = — р sin р + Я cos (а — Р).
\
-V
Фиг. 195. Наметка
криволинейной направляющей в
функциональном планиметре согласно
фиг. 187.
причем можно сделать sinp=w(/sina)/w(/)
Здесь также можно выяснить
соответствующие кинематические свойства.
Если моментны i планиметр Лоренца (1.1.2) должен быть использован
в качестве функционального планиметра, то направляющая k (фиг. 185)
должна подчиняться закону: а (г) — и (г0) sin p = 0.
Ф и г. 196. Наметка криволинейной направляющей
в функциональном планиметре согласно фиг. 188.
Планиметр Стилтьеса допускает также применение его в качестве
функционального планиметра. Действительно, интегрируя по частям, имеем
J = ф и (у) dx = и [у (х)] х\ 2 — ф х du
или, так как первый интеграл пропадает, J = (X) х (у) d[u(y)\. Сравнение
с выводом стр. 213 и с фиг. 190а показывает, что (не обращая внимание на
знак) на W-\ наносится трансформированная кривая и (у), а на
неподвижной плоскости — кривая х = х (у), которая должна обводиться обводящим

222
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
штифтом Л. Ниже приводится сводная таблица применимости различных,
приборов:
Неподвижное
основание.
1. Векторный интегратор:
»'f (y)dy.
f
ср — полярный угол,
у — ордината.
2. Векторный интегратор 1а:
§
lnr(y)dyt
г — полярный луч,
у — ордината.
Теория потенциала
[50а, Ь]
Теория потенциала
(распределительный
диск) [50а, Ь]
Теория потенциала
(пространственный
механизм) [50а, Ь]
Геофизика [149, 187}
Поверхность
(приближенно) [149, 156]
Центробежные
моменты [181] (см.
также IV, 2.4.2)
Первая граничная
задача теории
потенциала на круге
Индикаторные
диаграммы [149]
г) См. [225]. Из статьи нельзя ясно установить, когда прибор может
использоваться в качестве общего планиметра, а когда — в качестве
специального.
Подвижное
основание
1. Векторные интеграторы
2
степени —:
о
\jy(z)dr>
J cos cp dr% j sin у dr.
2. Интегрометр:
1 cos/Tf dr*, I sinrt'fdfr*rt = l
J 1 \r cos nydr, J \jr sin /rf dr.
3. Планиметр (для
поверхностей):
J cos [a (s)] '
s — длина дуги.
4. Планиметр (для
поверхностей):
1 Г х2У dy.
5. Интегратор:
27Г
1 0
6. Планиметр:
' (\dv P{4)

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
22&
Буквы х, у, t фиг. 190а должны быть соответственно заменены через и, х,у^
Если прибор должен использоваться в качестве степенного планиметра,
то трансформированная кривая является степенной кривой. Так как каждая
такая кривая может быть выполнена в виде разреза или соответствующей
ограничивающей кривой так, что М автоматически (без рук) движется вдоль
нее, то принципиально мы имеем прибор, описанный выше (стр. 216 и далее).
Для специальных задач построены различные приборы, которые
сопоставлены в вышеуказанной таблице.
Замечание. Как уже упоминалось при описании степенных
планиметров, интеграл вида J= ф и [у (х)] dx может быть определен основным
планиметром, путем перечерчивания заданной кривой у ==/(х). Некоторое
облегчение дает применение так называемой функциональной бумаги [127, 67].
Если, например, должен быть вычислен интеграл (hjy2 dx, то строят функцию у
в координатной системе XY, на горизонтальной оси которой нанесена
линейная шкала (Х=1х), а на вертикальной — квадратическая шкала (Y=my2;
о функциональной шкале для у2 см. раздел I, 4.1.1). Тогда площадь,
ограниченная кривой и определяемая с помощью основного планиметра с точностью
до масштабного множителя, равна искомому интегралу. Для моментов
высшего порядка применяются, например, следующие шкалы, смотря по тому,
используется ли основной или квадратичный планиметр х):
Интеграл
Основной
планиметр
§
§■
ydx
Чх

Квадратичный
планиметр
I
ф y^dx
(ky4dx
2<kxydx= \yd(x2)
(j) xy2dx = 2 Г Г xydF =
= lL§y4{x*)
2 hxydx = ф yB • d (x2)
<T)y'2dx
®y*dx
<C хуЧх = -I §уЧ (х2)
2 ф xy's • dx = &yBd (x2)
Шкала для
X Y
Линейная
•
»

Квадратичная

Квадратичная

Квадратичная
Линейная
■

Квадратичная
„
Линейная
Квадратичная
Кубичная
Биквадратная
Линейная
Квадратичная 2)
Кубичная
Линейная
Квадратичная
Линейная
„Три вторых"
1) См. также [42].
Ц О механическом определении кратных интегралов см. также [177] ш
стр. 224.

224
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
Так же можно поступить и при задании кривой в полярных координатах,
например при вычислении интеграла J= ф /?2 (?) sin <p d? = — ф/?2(?) d (cos?)
(встречается в электротехнике). Если используется квадратичный планиметр,
то наносят R по © на синусной бумаге (на горизонтальной оси которой
нанесена шкала синусов) и обводят полученную таким образом кривую
квадратичным планиметром. Если, однако, в распоряжении имеется только
основной планиметр, то на бумаге или на вертикальной оси системы координат
должна быть дополнительно нанесена не линейная, а квадратичная шкала.
Подобным же образом могут быть вычислены некоторые другие интегралы,
для которых прежде требовались специальные приборы. См. также
раздел IV, 2.4.2.
Степенные планиметры могут также использоваться для вычисления
сложных моментов. Для этого надо подходящим образом определить приведенную
систему координат *). Так, центробежный момент плоской поверхности
относительно двух взаимно перпендикулярных осей х, у выражается интегралом
Jz= ф ху dF= фф ху dx dy = -1 ф xy*dx = \ ф_уд:2 dy,
который, кроме того, пропорционален еще статическому моменту поверхности
относительно оси или плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Если
обвести теперь площадь кубичным планиметром (п = 3) и при этом принять,
что линия, ограничивающая плоскую поверхность, один раз отнесена к системе
координат и, v, повернутой относительно системы х, у на угол + а 2) и второй
раз к системе, повернутой на угол — а, то
( - «) ( 4- *)
где знак (±) указывает на выбранную систему координат.
Подобные же соотношения имеют место и при применении биквадратного
планиметра (п = 4) для интеграла
Jd = & x*y dF = фф х*у dx dy = ~ ф х*у* dx=j§ у*л2dy,
к которому приводит определение моментов инерции тела вращения
относительно оси или плоскости, перпендикулярной к оси вращения. В этом
случае получаем
(-а) (-J-e) (х)
Точно «так же при помощи специальных методов могут быть определены
некоторые моменты высших порядков, как, например, объем, статический
момент, центробежный момент и момент инерции для произвольного тела,
заданного своими сечениями в плане. Однако более пригоден для этой цели
четырехроликовый планиметр, описанный в 1.1.2, стр. 210, фиг. 188; см. IV, 2.4.3.
1.2. Интегриметр
Постановка задачи и классификация. Интегриметры дают
возможность прочесть на измерительном ролике значение неопределен-
*) См. [261], а также журнал Instrumentenkde, 62 (1942), 272.
2) Например, 30, 45 или 60\

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
225
ного интеграла Г и [у {x)]dx l). Следовательно, в ЭТИХ Приборах
измена?!
рительный ролик должен направляться таким образом, чтобы те
составляющие, которые при планиметре впервые выпадают только при полном
обводе, здесь не встречались с самого начала. Таким образом,
перемещение на dy при линейном интегриметре и перемещение на dr
при радиальном интегриметре не должно вызывать отклонения
измерительного ролика. Классификация та же, что и для планиметров:
линейный для Г у dx,
Основной интегриметр j радиальный для Jr*p, J"(r —г0)<*р
(см. фиг. 169а, стр. 193)
J линейный для \yndx>
\ г
радиальный для I rn dy.
Степенной интегриметр
Общий функциональный интегриметр для \ и [у (х)] dx шк
j и [г (?)] dy.
1.2.1. Механические решения. Помимо описанного выше (1.1.4)
механизма с фрикционными колесами, на чем мы еще раз подробно
остановимся в разделе IV, 2.4.2, целесообразно рассмотреть 2) общую
форму моментного планиметра (фиг. 177). Для отклонения ролика и
получается значение: u = (\lr0)n \ yn dx -f- Ь ((3 — ро), где b —
расстояние измерительного ролика от О; если сделать, однако, £ = 0,
т. е. следить за тем, чтобы плоскость ролика все время проходила
через точку О, то измерительный ролик покажет величину
неопределенного интеграла а = const- J yndx. Таким образом имеем
степенной интегриметр. На фиг. 197 точки О и Л движутся по одной
направляющей таким образом, что, когда F движется по вертикали
FO (перемещение на dy), измерительный ролик не отклоняется.
!) В последующем постоянная нижняя граница х^ и переменная верхняя
граница х писаться не будут.
2) Можно указать также пространственный интегриметр, не имеющий,
однако, практического значения [207].
15 Зак. 1242. В. Мейер.

226
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
Кривая разреза имеет уже приводившиеся выше уравнения у = г =
п . —
= r0ysinp и может быть легко построена, учитывая р =>' • sin p ==
=упл1/гп (см> 1.1.2, стр. 209). Разрез имеет ту же форму, что и
в радиальном планиметре для степени п -\- 1 (см. 1.1.4, стр. 217).
Для п=\ разрез (как для радиально-квадратичного планиметра)
имеет форму круга r = r0-sin(3; если выбрать г0 = 2а, т. е. а = р,
тф, так как у = 2а • sin ос, плоскость измерительного ролика т — т
Фиг. 197. Конструкция обобщенного линейного интегриметра.
располагается все время перпендикулярно к плечу МО.
Следовательно, МО можно рассматривать как измерительный рычаг, и,
располагая плоскость ролика перпендикулярно к МО, можно обойтись
без криволинейной направляющей. В этом случае получаем простой
основной планиметр Отта (фиг. 198) и, как это можно
непосредственно получить [144], 2аи = 2а Г dx sin а = Г у dx. Эта
простейшая конструкция может сделать ненужным интеграф; помимо этого
с этим прибором можно себе очень ясно представить, как
образуется интеграл в виде суммы (т. е. в виде суммы отклонений ролика).
Если при обводе кривой необходимо подойти вплотную к оси х или
перейти через нее, то делают перенос оси х на величину h. Тогда
измерительный ролик показывает значение 2а • и* = I (у + h) dx = I ydx +
+ h (x—xi). Следовательно, от показания ролика нужно отнять для каждого х
еще также выраженное в единицах нониусной шкалы значение h(x — Xj).
Это может быть выполнено без всяких затруднений, так как мы здесь имеем
дело с линейной функцией. Точность прибора для практических целей вполне
достаточна.
Для тото чтобы получить интегральную кривую, можно прочитываемые
на измерительном ролике значения наносить непосредственно в качестве

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
227
ординат. В последнем указанном случае они откладываются, конечно, не от
оси л:, а от прямой Y= — h • (х— xi). Если длина обводящего рычага
недостаточна, но ось х все же может быть достигнута прибором, то замечаем,
что площадь под осью х отрицательна, и поступаем соответствующим
образом: при помощи обхода с планиметром (или с интегриметром) определяют
ординату интегральной кривой для точки перехода дифференциальной кривой
(кривой производной) через ось х. После этого через полученную таким
образом точку проводят параллель к оси х, обходят отдельные
положительные куски площади, устанавливая измерительный ролик каждый раз на нуль,
и наносят полученные значения сверху от параллельной прямой. Затем лист
Фиг. 198. Основной интегримстр.
с начерченной дифференциальной кривой поворачивают на 180°, интегрируют
соответственно отрицательную часть этой кривой и наносят каждый раз
значения ординат влево от точки перехода дифференциальной кривой через
нуль и теперь уже снизу от параллели.
Для произвольного п должна быть использована криволинейная
направляющая. Благодаря применению кривошипа с кулисой может
быть также использован принцип удвоения углов, как это, например,
имеет место в линейно-квадратичном интегриметре (фиг. 199).
К шатунному механизму приделан кривошип с кулисой ОСВ: при
AM = MF = MO = a,
u=jdxcos2(x=j(\—2sm2a)dx = (x — x1) — (\f2a2)Jy2dx,
т. е. ролик показывает искомый интеграл с точностью до легко
учитываемой поправки (л: — хг). Применение криволинейной направляю-
15*

228
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
щей делает поправку излишней. На подобном же принципе основан
корневой интегриметр.
Для п = — 1 разрез на фиг. 197, как уже упоминалось выше
(1.1.2), имеет форму прямой. Примерно до 1940 г. для
инверсионных интегриметров,
или интегриметров для
обратных значений^
служил только обратный
механизм, изображенный
на фиг. 32, который
располагался на
перемещавшейся вдоль оси х
каретке W (фиг. 200а, б).
Из фиг. 200а следует
соотношение у2 = yjab,
т. е. Fx показывает
обратное значение ординаты
кривой у±. В точке Ft
присоединен *) основной
интегриметр О. Он
находится на каретке, и направляющая в точке Л является излишней, так
как Fr принудительно движется прямолинейно. О применении
прибора см. 1.1.2. Прибор с прямой в качестве направляющей кривой
Фиг. 199. Линейно-квадратичный интегриметр.
Ф и г. 200а. Инверсный интегриметр (для обратных
величин) с тангенсным механизмом.
показан на фиг. 201а и б. Прямой угол BQF, который на стороне BQ
несет измерительный ролик /?, скользит другой стороной через
) Естественно, что может быть присоединен также планиметр.

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
229
штифт F расположенный над F на продолжении AM. Из чертежа
мы видим, что
du = dx sin p = dx • р\у или и—р[у~гЛх.
В точках St и S2 помещены опоры для прибора, который, кроме того,
поддерживается при помоши роликов каретки Л.
Фиг. 2006. Конструкция прибора по схеме фиг. 200а.
y-t№
Фиг. 201а. Инверсный интегриметр (для обратных
величин) с прямой линией в качестве
распределяющей кривой.
В простейшем радиальном интегриметре для \{г — г0) do (фиг. 202)
вертикальное расстояние обводящего штифта Fx от направляющей
точки D может быть сделано равным г0, так что, полагая AD = b
для угла а, получаем соотношение sina = (/-—r0)/b и, следовательно,

230
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
u = C- \{r — r0)dv. При радиальном перемещении dr ролик не
должен отклоняться. Обводящим штифтом в этом случае является Fa.
Присоединением кривошипно-кулисного механизма, как и в случае
степенного планиметра, получаем радиально-корнееой или радиально-квад-
ратичный интегриметр (см. [179, 181]).
В случае общего функционального интегриметра разрез (фиг. 197)
выполняют соответственно уравнению в полярных координатах: г=у
и sin Э = и {г),'и(г0). Оказывается также возможным [177] планиметр
Фиг. 2016. Конструкция прибора по схеме фиг. 201а.
Стилтьеса (см. выше, 1.1.3, стр. 213) превратить с помощью
добавочного устройства в интегриметр Стилтьеса. Этим добавочным
устройством является ползун, который может скользить только в
^-направлении и приводится в движение обводящим штифтом.
К этому же типу механизмов принадлежит интегриметр
произведения [За], представляющий собой особый случай общего интеграфа
с фрикционным механизмом (IV, 2.4.2) *).
К функциональным интегриметрам относится также описанный
выше измеритель длин дуг Ids, а также измеритель моментов
кривых линий—моменткурвиметр, например, для определения
статического момента \yds и момента инерции \y2ds. Имеется
х) См. также журнал Instrumentenkde, 60 (1940), 61—62.

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
231
также прибор, одновременно дающий упомянутые три
интеграла.
Как и в курвиметре (фиг.^ 145), отметочный штрих шаровой лупы 6
(фиг. 203а, 2036), расположенной в кольце 6а, направляется таким образом,
что он все время является касательной к рассматриваемой кривой. Кольцо 6а
вращается относительно рамки 7 и приводит в движение через шестерни 9 и 11
измерительное колесо 13 таким образом, что его плоскость все время
параллельна отметочному штриху (фиг. 2036 показывает вид рамки снизу. Рамка
повернута на 180° от наблюдателя).
В то время как в курвиметре @/j
(фиг. 145) передвижение от руки
всего устройства вращает
измерительное колесо вокруг его
горизонтальной оси, в этом приборе
приведение в действие
происходит с помощью маленького
мотора 9, который через
фрикционные диски 10 и 11 и трос 15
приводит в движение тарельчатый
диск 8, а от него (через невидимые
на чертеже шестерни) передает
движение на измерительное колесо
(которое здесь, однако, не
служит для целей измерения). Итак,
если отметочный штрих был
установлен правильно, то при
правильном положении касательной
обводящий штрих все время
находится на кривой *).
Поворот dy тарельчатого
диска 8 всегда пропорционален
элементарному пути ds. Но так как
вращение отметочного штриха и
вместе с этим вращение колеса 13
вокруг вертикальной оси может вызвать нежелаемое вращение
тарельчатого диска, то предусмотрен специальный выравнивающий механизм с
шестернями 14 и 15 и роликом 16, поворачивающимся с шестерней 15. (Помимо
ролика 16 и колеса 13, рама 7 держится также на ролике 17.)
Рама 7 с помощью параллельного кривошипного механизма ABCD (С на
чертеже не показано) соединена с перемещающейся только вдоль оси х
кареткой 1. На раме 7 помещена ось измерительного ролика 3 таким образом,
что его плоскость находится все время на постоянном расстоянии от центра О
диска 8, и, следовательно, ролик непрерывно показывает значение I ds (с
точностью постоянного множителя).
На угловом рычаге 2а2с параллельного кривошипного механизма
находится измерительный ролик 4, плоскость которого проходит через D. Так как
угол а, который DA составляет с осью х, равен нулю в том случае, если
отметка лупы 6 пересекает ось хч то в любом положении sina =y/t, гДе
DA = /. Следовательно, плоскость измерительного ролика 4 находится от
точки О на расстоянии w±=p sin a = pyjly где DO=/?, так что этот
измерительный ролик, согласно стр. 197, показывает значение п± = const [yds.
Фиг. 202. Радиальный интегриметр для
j (r — r0)d<i.
1) Малые отклонения могут быть легко исправлены вычислителем.

Фи г. 203а. Моменткурвиметр.
Фиг. 2036. Отдельные части прибора, изображенного на фиг. 203а.

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
233
Для того чтобы получить |_y2tfte, используют квадрирующий механизм:
штифт Si или S2 (не виден) рычага 2Ь, соединенного в точке С (не видна)
с рамкой 7, направляет эксцентрик, который может вращаться вокруг точки Е>
расположенной в рамке 7; эта рама несет измерительный ролик 5.
Эксцентрик направляется таким образом, что расстояние его плоскости от точки Х>
все время имеет значение const -у2. Следовательно, согласно сказанному на
стр. 197, ролик 5 с точностью до постоянного множителя показывает значение
интеграла I у1 ds.
1.3. Источники ошибок *)
На стр. 187 и 191 были уже рассмотрены некоторые источники
ошибок, возникающих при работе с основными планиметрами. В
последующем будет коротко показано, каким образом эти и другие
ошибки проявляются вообще при работе с планиметрами и интегри-
метрами. Ошибки измерения могут возникать вследствие ошибки
в измерительном устройстве (измерительный ролик), или из-за ошибки
в регулировке, или, наконец, вследствие неправильной установки
прибора.
1.3.1. Ошибки, вызванные измерительным роликом. В
описанных приборах измерительный ролик, средняя плоскость которого
т — т располагается либо перпендикулярно к некоторой постоянной
прямой в приборе, либо
параллельно (например,
перпендикулярно к обводящему рычагу ^j?
в основном планиметре —
прямая FA на схематическом
рисунке (фиг. 204) или
параллельно BG на фиг. 182) и
направляется таким образом, Фиг. 204. Источники ошибок измери-
что его средняя плоскость тельного ролика,
составляет определенным
образом регулируемый расчетный угол ^ с заданным направлением,
например с основанием в основном линейном планиметре, или основным
кругом в полярном планиметре, или осью х в интегриметре. Если
появляются отклонения й (предполагаемые малыми, так что <{>2^0 и,
следовательно, sin^^O, costy^l), то рассматриваемый угол будет
уже 7 ~Ь Ф-
В линейно-квадратичном планиметре (фиг. 182 и стр. 206 и
далее), полагая угол ф постоянным и учитывая, что при полном обходе
*) Теория ошибок механизмов развита в работах Н. Г. Бруевича; см.,.
например, Н. Г. Б р у е в и ч, Точность механизмов.
Теория ошибок фрикционных интеграторов дана в работе \М. Л. Быхов-
ского (см. доп. лит. [32]). (Прим. ред.)

234
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
пропадает влияние вращения do и перемещения dx*, измерительный
ролик показывает интеграл и = ф cos (2o -j- ty) dx, так что
и 4"= $ ^^ + у§у V 1—{Jrfdx
и, следовательно, ошибка пропорциональна ф и последнему
интегралу; в первом приближении при относительно большой длине
обводящего рычага, так что max(j///)2<^ 1, можно принять, что
интеграл равен lydx, т. е. что ошибка пропорциональна статическому
моменту площади относительно прямой, параллельной оси х и
отстоящей от параллельной ей центральной оси на расстоянии Ity.
Для основного интегриметра (стр. 225 и далее) следует:
2аи — 2а \sin(a-{-ty)dxtt2a Г sin a dx -\-2aty (cos а dx = \у dx -\-Jf.
Для члена учитывающего ошибку /^ в первом приближении, можно
положить
jг=щ [jdx - у f{-0dx]=* [2а (* - *i) - i .fva d* ] •
Если, например, j/ = const, то функция, представляющая ошибку Jf,
линейна, в противном случае она зависит еще от переменного
статического момента.
В частности, отклонение ф обусловливается следующими
причинами:
Перекос оси. Ось ролика не параллельна и соответственно не
перпендикулярна к вышеназванным прямым (обводящий рычаг или
другие), а отклонена на угол е; см. фиг. 204 и стр. 184, где
рассматривается влияние этого отклонения при линейном и полярном
основных планиметрах. Если перекос оси является единственной
ошибкой, то рассматриваемый угол cp = T"f"s« где е — постоянная.
Перекос рифления. Упомянутое выше рифление края
измерительного ролика, создаваемое поперечной шлифовкой, может
рассматриваться как микроскопически малая нарезка. Направление
шлифовки, вообще говоря, не точно параллельно направлению оси
и составляет с ней малый угол 8, угол перекоса рифления. В
результате этого перекоса рассматриваемый угол имеет значение 7 + <$ [10].
Как и при перекосе оси, знаки обоих углов не зависят друг от друга.
На основе исследования большого числа измерительных роликов
установлено, что только при весьма тщательном изготовлении ролика
перекос рифления постоянен. Обычно рифление вдоль окружности
ролика имеет синусообразный характер, так что ролик, повидимому,
движется эксцентрично. При одном и том же положении
движущегося ролика на плоскости могут встретиться четыре различных пере-

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
235
коса рифления 8L, 82, 88 и 84, смотря по тому, в направлении какой из
стрелок /, 2, 3, 4 фиг. 204 происходит движение. Это происходит,
главным образом, потому, что прежде всего в основание при
движении вступает опережающий край рифления, т. е. концы отдельных
нарезок рифления, которые одинаковы лишь при очень высокой
точности изготовления.
Если некоторая площадь обходится в направлении часовой стрелки
и затем в противоположном направлении, то часто получается
некоторая разница в результатах обоих замеров. Причиной этого является
рифление. Если, например, при первом обходе основания (чертежа)
касается тупой край рифления (тупая кромка), а при обратном
обходе—острый край, то при этом стирается след первого обхода,
так что перекосы рифления для обоих обходов различные. При
повторном обходе прямым ходом остаются следы только последнего
обхода, так что тогда, повидимому, перекосы рифления для обоих
обходов одинаковы*). Для точной работы прибора требуется
постоянный перекос желобка и по возможности 8 = 0.
Угол трения. Несмотря на то, что ось ролика, оканчивающаяся
двумя конусами, помещена в полые цилиндры диаметром примерно
0,3 мм и вся установка выполнена чрезвычайно точно, все же имеет
место трение в подшипниках, влияние которого может быть также
определено расчетным путем. Если обводящий рычаг FA (см. фиг. 204)
передвинуть на ds, то ролик получит перемещение du = ds sin -[
в направлении касательной к своей окружности. Здесь у— угол
между осью ролика и перемещением ds. Вследствие трения, однако,
начиная с определенного угла (а именно угла трения f = *|),
возникает вращение ролика. Должно быть ^ > f\ или соответственно *у< —tq;
-/] имеет знак, противоположный знаку -f> так что действительный
угол теперь будет ± f zjz т) = zt (7 — у\).
По проведенным исследованиям эти величины имеют следующие
значения: 71 = 0,5' (^^0,00015) при очень тщательном выполнении
конструкции до Yj = 2,5' («0,0008) в применяющихся в
настоящее время приборах и значительно больше, если имеет место
загустение смазки в подшипниках или защемление оси. При ds = dx
ролик получает угловое перемещение
du = <ijc sin (*у — 7j) «dx sin 7 — r\ dx cos ^ или dy да dx sin *\ —1\ dx,
если принять, что cos -fда 1 *), так что влияние трения прежде всего
должно проявляться так же, как и при перекосе оси. Но как только
будет перейдена основная линия (или основной круг) и, следовательно,
*) То есть если ролик перемещать вперед тупой кромкой, а обратно
острой кромкой, то результат всех последующих движений будет тот же,
что и результат второго движения (первый результат не повторяется). {Прим.
ред.)
*) Это, например, выполняется в основном планиметре, если sin2 7 =
= C/'f-<Cl-

236
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
f станет отрицательным, величина tq изменит свой знак; кроме того,
должно быть | f | > | f] |. Следовательно, трение делается особенно
заметным при обходе частей фигур, расположенных вблизи основной
линии (основного круга).
Для пояснения этого рассмотрим подробнее работу
линейно-основного планиметра. Если / — длина обводящего рычага, ? = ¥ и
у = /sin ср, то будем иметь:
kn = lu= (hydx — r\l (х2— ATj) или F = (bydx = kn -\~ *f\l(x2 — л^),
где xiy х2— абсциссы крайних точек фигуры, так как составляющие,
соответствующие поворотам dy и перемещениям dx*\ пропадают. При
этом х2— хг—длина „мертвой зоны" и 1ч\ — ее ширина с одной
стороны основной линии.
/ 2 ^ "3
Фиг. 205. Влияние угла трения (см. текст).
Если же линия, ограничивающая фигуру, не проходит вблизи
основной линии (y>lf\', ср. фиг. 205, /), то при полном обходе
последний интеграл пропадает и трение оси не проявляется. Если
ограничивающая линия доходит почти до основной линии (фиг. 205, 2),
то должна быть прибавлена площадь „мертвой зоны" /yj (х2— хх).
Если ограничивающая линия расположена с обеих сторон основной
линии (фиг. 205, 3), то должна быть прибавлена удвоенная площадь
2lr\{x2—Xj). Подобным же образом получается в случае линейно-
квадратичного планиметра с л-кратным увеличением углов:
и = ф cos (2ср — if)) dx ад ф cos 2ydx -f r\ ф sin 2ydx,
причем можно заметить, что должно быть | 2? | > | г\ |. Член,
оценивающий ошибку (см. также перекос оси), пропорционален, следовательно,
tq и (sin <p cos vdx, благодаря чему приближенно 1) можно написать
ф-^^л:. Ошибка может быть, следовательно, прежде всего
истолкована так же, как и при перекосе ролика, но только е нужно
заменить на yj.
Сопоставление результатов. Итак, действующий угол равен
? + ф> где ф ===== е —j— S — т). Ошибка при измерении пропорциональна ф
*) См. замечание 1, стр. 235; cos у ад 1.

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
237
(и некоторому интегралу, зависящему от способа регулирования,
который при некоторых обстоятельствах может рассматриваться как
постоянная величина).
Если 8 постоянно, то е и 8 действуют одинаковым образом, и
влияние перекоса может быть выравнено с помощью
компенсирующего измерения. Если 8 не постоянно, то для уменьшения ошибки
средства не существует, и прибор для измерений, требующих
высокой точности, не пригоден.
Угол трения Y) меняет свой знак вместе с изменением знака у.
Знак угла трения противоположен знаку угла ?• Его действие было
показано выше. Если основная линия фигуры совпадает все время
с нулевой линией, так что влияние у\ сказывается только в одном
направлении, как, например, в интегриметре, то влияние трения оси
в подшипниках может быть сглажено, если сделать s-[-8 = yj, т. е.
ф = 0. Точно так же при регулировании движения измерительного
ролика с помощью направляющих кривых можно исключить трение
качения путем придания этой кривой специальной формы.
1. 3. 2. Ошибки из-за регулировки. Влияние некоторых
возможных источников ошибок в элементах механизма регулирования
может быть показано на различных приборах. При этом ошибка отсчета
на измерительном ролике не будет приниматься во внимание, так как
она может быть легко учтена. Ошибка в длине обводного рычага,
которую можно записать в виде у = L sin <р, причем Z, = / (1 -^- X), \к\ <С11,
будет, как легко видеть, пропорциональна искомому интегралу и
Л или соответственно /гХ при степенном планиметре. Так же легко
рассмотреть влияние диаметра ролика, которое не было рассмотрено
в п. 1.3.1.
Степенной планиметр, я-кратный увеличитель углов.
1. Колеси о-п ередаточный механизм. Если передаточное
число равно не п, а п -f- v, то действительный угол будет не щ, а
(я + 7)?> так что, например, при квадратично-линейном планиметре
получаем:
и = ф cos (2 о -{- vcp) dx да ф cos 2 vdx •— v ф <р sin 2 <pdx.
Последний интеграл при предположении, что (у//)4 мало по
сравнению с Cv//)2, может быть вычислен, и таким образом получаем
—-иР= (1 -j-v) (hy2dx, т. е. ошибка пропорциональна v и искомому
интегралу.
2. В кривошипном механизме с кулисой отклонение
действующего угла от желаемого угла щ может возникнуть из-за
того, что равнобедренный треугольник (см. стр. 206) фактически
не является точно равнобедренным (например, на фиг. 182, стр. 207,
AB^zBG). Если положить BG = а-|-аХ = а (1 -|- X), то для угла

238
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
AGBtto и для действующего угла xBG — y при пренебрежении
высшими степенями X следует соотношение:
sin о : sin ср = а : а (1 -j- к)
или
sin о « (1 — X) sin <р, о = ср + Iх» Iх ~— ^ *&?»
T = ? + 0r==2cP+!J'>
и, следовательно,
и « ф cos 2 cpd* 4" 2Х ф sin2?dx.
Отсюда, как и выше, получаем
1я/* = (1—Ajcfjftf*,
Ф и г. 206. Ошибки
интегриметра.
т. е. ошибка пропорциональна X и искомому интегралу.
При криволинейной передаче ошибка может быть записана
в форме р = Ь (у11)п-\-№У)(стр. 2Ю), причем g(y) является
„функцией неисправности", a jj. представляет собой
малый коэффициент.
Подобным же образом могут быть, в
зависимости от вида регулирования, исследованы
источники ошибок и их эффект в случае
функционального планиметра.
Интегриметр. Мы коснемся здесь только,
основного интегриметра. Результаты могут
быть легко перенесены и на другие виды интег-
риметров.
Пусть плоскость ролика (фиг. 197 или 198)
не проходит через О. Пусть точка касания
ролика (фиг. 206) находится от точки О на расстоянии OR=p
и перпендикуляр из О на плоскость ролика равен \р, так что
угол ORmm^'k. Пусть, кроме этого, RO составляет с
перпендикуляром к ОМ угол К. Если теперь обводящий штифт F
перемещается параллельно оси х на dy, так что OR поворачивается вокруг О
на угол da, то измерительный ролик покажет значение dux=pdoi sin Xtt
^ рЫа и, следовательно,
иг = Хр (а— а1) = ХрГагс sin ^ arc sin ~И.
Таким образом, в противоположность правильной конструкции ролик
при обводе прямой х = const покажет некоторую величину.
Если F перемещается только на dx} то du2 = akcsin(a-j- /С), т. е*
эффект угла скоса К проявляется аналогично перекосу оси е.
См 1. 3. 1.

1. ИНТЕГРИМЕТРЫ
239
Может случиться, что не верны длины рычагов, т. е. плоскость
измерительного ролика т — т проходит через О и расположена
перпендикулярно к ОМ, но, соответственно фиг. 197 и 198,
АМ = а, MF^aO + XJ, 0/W= a(l-f X2) и угол ЛОЛТ = (3, так
что плоскость ролика составляет с осью х угол 90° — р. В этом
случае F уже не лежит на перпендикуляре, проходящем через О, и
мы обозначим абсциссу этой точки, отсчитанную от точки О, через Е.
Если передвинуть теперь F на dx(y= const), то О переместится на
величину, отличную от dx. При перемещении F на dfy (л; = const>
точка О все же перемещается. Так как мы предположили, что ОМ
перпендикулярно к т — /и, то угловое смещение не оказывает
никакого влияния.
Если предположить, что кх и Х2 малы, то более подробно можно
написать:
i = x— я (1 -f-XjJcosa -f" a{\ -\- A2) cos p.
Отсюда
sin p :sina= a:a{\ -f- ^2) или SIn P ~0 —^2) sm a»
и = fd; sin p£^(l —X3) fsinadx + Д*2 f sin2atg2adfa
или после некоторых преобразований
где
./= J>x, Jt-=-(1^0,5 1,) J и ул = А,2а» [(£)*-(-£)"]
Я?!
и в необходимом разложении в ряд опущен член [y/2aj7. Так как Х2
мало и максимум значения а примерно равен 30°, то практически
можно пренебречь величиной Уд по сравнению с Уд.
1. 3. 3. Неверная установка. В некоторых конструкциях
планиметров и интегриметров предполагают, что определенная
направляющая прибора или параллельна оси х, или же совпадает с нею. Если
же, однако, вследствие неверной установки это не имеет места, то
должны возникнуть ошибки. Их эффект может быть легко
рассмотрен с помощью преобразования координат и будет исследован на
примерах степенного планиметра и основного интегриметра.
Линейно-степенной планиметр. Если направляющая I параллельна
оси х, но удалена от нее на небольшой отрезок Ауг то интеграл
для момента степени п
jz = <Ь (у -J- by)ndx ttkyndx + nby <Ьуп-г<1х

240
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
показывает, что ошибка пропорциональна моменту степени п—-1,
умноженному на n-кратное значение А^.
Если ось £ составляет с осью х малый угол а, то относительно
системы координат £, нг), начало которой должно совпадать с началом
системы ху, измерительный ролик покажет значение интеграла
JZ = <T) vftcft и, используя известные формулы:
£ =у sin о -\- х cos о я^ оу -|- х,
т| = у cos о — л: sin о ^^у — алг,
получим, что Jz = <£yndx — п? <^)xyn~ldx = J -\-Jf. Ошибка,
следовательно, пропорциональна двухосевому моменту, и поэтому можно
также написать
Jf=—on$xyn-1dx = — an (n — \)&<kyn-4F при dF = dxdy. .
При квадратичном планиметре У^ = о ®x2dy, т. е. Jf
пропорционален статическому моменту поверхности относительно оси у и,
следовательно, тем меньше, чем меньше ось у отклонена от центральной оси.
При кубичном планиметре Jf пропорционально центробежному
моменту площади относительно осей х и у. Ошибка, следовательно,
будет тем меньше, чем меньше эти оси отклоняются от главных осей
инерции.
Основной инпгегримепгр. В случае интегриметра, при
параллельности направляющей и оси лг, подобно тому, как и выше, следует,
что
Jz = \ydx -f- Ay (x — л;^.
Но при описанном выше угловом отклонении о следует, что
Л = Jydx + Jp где Jf = -J J (у2 —yf) + (x2 — xfj\.
x
При обходе по прямой, параллельной оси у, ролик показывает
поэтому некоторую величину. При обходе по прямой, параллельной
оси л;(у=ву1 = const), ролик, помимо линейной функции уг (л; •—-*!),
покажет еще -^(х2 — х2) . См. также изучение ошибок в основных
интеграфах на стр. 245.

2. ИНТЕГРАФЫ 241
2. ИНТЕГРАФЫ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Интеграфами в самом общем смысле называют приборы,
вычерчивающие интеграл дифференциального уравнения; если, однако,
величина этого интеграла может быть прочитана на измерительном ролике,
то такой прибор мы будем называть несобственным интеграфом.
х
Прибор для вычисления I и \у (х)] dx называется интегриметром
(см. 1.2). Нас будут в основном интересовать только часто
применяющиеся приборы и приборы, дающие возможность решать часто
встречающиеся дифференциальные уравнения. Для особых целей
спроектированы и отчасти построены многочисленные интеграфы, хотя вполне
удовлетворительными могут считаться лишь немногие из них, и совсем
для небольшого количества налажено серийное производство*).
При описании приборов для решения уравнения целесообразно
напомнить еще раз, что было бы очень желательным, чтобы в научных
организациях имелись устройства для решения различных типов
дифференциальных уравнений и в особенности машины, описанные
в разделе IV, 2.4. С помощью этих машин научный работник и инженер-
конструктор могут решить встретившееся им уравнение, в случае,
когда замкнутое аналитическое решение или совершенно отсутствует
или же чрезвычайно затруднено.
2.1. Основные интеграфы
Эти приборы служат для вычерчивания неопределенного интеграла
х
Y=F(x) = Г f{x)dx, т. е. они решают обыкновенное дифферен-
циальное уравнение первого порядка Y' = f(x) или при многократном
интегрировании также уравнение высшего порядка Y(n) =f(x). При
этом надо иметь в виду начальные или граничные условия. Если,
например, в нервом случае должно быть Y=Yl для х = хи то
чертящий штифт должен начинать вычерчивание кривой от точки
Pi(xi'> Yi)> относительно уравнения Y" = f {х) см. стр. 247.
2.1.1. В качестве интеграфа может быть использован обычный
фрикционный механизм (фиг. 24 и 153), если только вращение изме-
*) Первая конструкция интеграфа принадлежит краковскому математику
Абданк-Абакановичу. Так как приоритет в изобретении подобного прибора
многократно оспаривался, то Парижская Академия наук создала в 1885 г.
специальную комиссию. В своем заключении комиссия признала, что
первенство в создании прибора для механического интегрирования
дифференциальных уравнений принадлежит Абданк-Абакановичу. См. [1] .
{Прим. ред.)
16 Зак. 1242. В. Мейер.

242
TV. ИНТЕГРАТОРЫ
рительного ролика преобразовать в перемещение [154], как это
и применено в ряде современных машин для решения
дифференциальных уравнений (IV, 2.4.2).
r-Ux)
2.1.2. Среди различных конструкций Бойса и Абданк-Абакановича
[1, 154, 139] (1836) имеют успех конструкции, использующие
интегрирующий ролик с острым краем или так называемое режущее колесо.
Этот элемент, упомянутый уже
при описании дифференцио-
графов, накладывается на
плоскость чертежа, слегка
надавливает на нее и может
вследствие этого двигаться только
в своей плоскости (режущая
плоскость), но не
перпендикулярно к ней. Независимо от
вращения колеса вокруг
горизонтальной оси он может также
вращаться как целое вокруг
оси г, перпендикулярной
к плоскости чертежа, в
противоположность измерительному
ролику в планиметрах и интегри-
метрах. Последний может
скользить только
перпендикулярно к своей плоскости.
Режущее колесо
осуществляет „треугольник подъема" (фиг. 208а). Если средняя плоскость
колеса все время параллельна направлению, определяемому условием
tga=j;/p (р— постоянная прибора), и точка касания колеса с
плоскостью чертежа получает перемещение dx, то колесо может двигаться
только по диагонали, т. е. в направлении оси у на dY = dx-tga
или dY — dx-ylp, так что точка касания колеса описывает кри-
Ф и г. 207. Основной интеграф.
вую
Y= — \f(x)dx> т. е. с точностью до масштабного

множителя \\р интегральную кривую у =/(х).
Получившая значительную известность конструкция состоит
(фиг. 207) из основной или абсциссной каретки W, расположенной на
тяжелых шероховатых роликах R и поэтому перемещающейся только
параллельно оси х. На перпендикулярной к направлению движения,
направляющей может двигаться относительно W дифференциальная
или ординатная каретка Wa, несущая обводящий штифт А'.
В точке Л этой каретки прикреплен вращающийся вокруг нее рычаг s„
который может скользить относительно неподвижной точки G

2. ИНТЕГРАФЫ
243
(муфта и цапфы) каретки W ")) A, sy G образуют тангенс-механизм
(см. I, 3.2).
По 5 движется каретка (или бегунок) L, к которой прикреплен
шарнирный параллелограм 1Г\'\ таким образом, что //' все время
перпендикулярно к s. Сторона И7 прикреплена в точке В к
интегрирующей каретке WB, которая может перемещаться относительно W
параллельно WA% т. е. параллельно направлению у. В точке В
помещено режущее колесо У таким образом, что его средняя плоскость
перпендикулярна к 11' и, следовательно, параллельна AG. Если
теперь обходить обводящим
штифтом А кривую y—f(x)i
то при перемещении на dx
интегрирующая каретка должна
переместиться в
перпендикулярном направлении на
dY = dx • \g a =ydx/p.
Точка касания колеса или
соответственно закрепленный в
точке Вг и касающийся
плоскости чертежа в точке В чертящий
штифт вычерчивает благодаря
этому на неподвижной
плоскости чертежа интегральную
кривую.
Оси координат хлу и FA"
перемещаются относительно друг
друга, и нужно к началу
интегрирования точку В' поместить
в начальной точке с
координатами jCj или соответственно
X, и V).
Если в этой конструкции
плоскость интегрирования, т. е.
плоскость чертежа для
интегральной кривой, была
неподвижна, то в последующих
конструкциях применяется подвижная плоскость интегрирования', ось г
режущего колеса закреплена относительно каретки W, плоскость
чертежа может перемещаться, так что при перемещении ее на dx
плоскость интегрирования перемещается относительно J на dY и соеди-
3) Так как А движется относительно W прямолинейно, то мы имеем конхо-
идальное движение. См. [138].
2) Ненужно слишком быстро обходить кривую, иначе может случиться,
что из-за возрастающих инерционных сил появятся возмущения, которые
были исследованы при интеграции синусоиды. См. [139].
Фиг. 208а. Основной интеграф
(см. текст).
16*

244 iv. интеграторы
ненный с J чертящий штифт вычерчивает на ней интегральную кривую.
Наряду с малым „настольным" интеграфом (До р = 50 см), приме-
чательны следующие конструкции:
„Дифференциальный интеграф" имеет дополнительно
описанный в разделе III, 1.2.2 прибор для дифференцирования В ранней
конструкции прибора имеет место параллельность между режущим
колесом и рычагом 5 с помощью механизма с коническими зубчатыми
колесами (фиг. 208aj. Цапфа Z, несущая коническое колесо К,
приводит в движение вал ад и с помощью другого конического
колеса приводит в движение коническое колесо с прикрепленным
к нему лезвием У. В новой конструкции (фиг. 2086) передача движения
от Z происходит с помощью зубчатой рейки и тросовой передачи.
Фиг. 2086. Конструкция интеграфа по схеме фиг. 208а.
Для лучшей регулировки имеются два режущих колеса J (одно из них
видно на чертеже).
Ординатная каретка AF-WX движется по абсциссной каретке W2,
которая может перемещаться только параллельно оси х по
неподвижной плоскости Е0> на которой вычерчена кривая у=/(х). Каретка
W2 наряду с механизмом переноса несет также режущее колесо. Под
плоскостью Е0 должна перемещаться перпендикулярно к оси х
интегрирующая каретка W3, приводимая в движение с помощью У, и,
как и выше, имеем dY —ydx/p. С помощью дополнительного
механизма может быть также вычерчено решение дифференциального
уравнения V =/(jc) -\- const/' (x).
Конструкция, изображенная на фиг. 209а, благодаря
непосредственному соединению режущего колеса и рычага s, выполненного
в виде направляющей, уменьшает число элементов передаточного
механизма. Штифт ординатной каретки Wx захватывает паз рычага с
который может вращаться вокруг оси z, перпендикулярной к
плоскости чертежа. К рычагу в точке г присоединено секущее колесико J

Ф и г. 209а. Основной интеграф.
Фиг. 2096. Конструкция интеграфа по схеме фиг. 209а.

246
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
(на фиг. 2096 не видно). На фиг. 2096 можно дальше заметить
интегрирующую каретку Wb, на которой начерчена кривая У(х),
и абсциссную каретку W2 с чертящим штифтом г.
Во всех указанных приборах расстояние р может изменяться
в определенных пределах, и, кроме того, значение интеграла может
быть прочитано на нониусной шкале (перемещение интегрирующей
каретки).
Возможные ошибки в отсчете, помимо ошибок обхода, могут
возникнуть, как уже говорилось при описании планиметров (см.
также [303]), из-за: а) ошибок в приборе или б) ошибок в
установке.
а) Если плоскость режущего колеса не параллельна AG (фиг. 207),
а повернута на угол <р !), что может быть вызвано легким
искривлением рычага 5 или неточной работой шарнирного параллелограма
и т. д., то будет интегрироваться функция G(x)y для которой имеет
место соотношение
dx -т*Ч-1-« l-tg«.ig? —p-j,.tg? ~/, + * Vi+ I* Г
если ср (в радианах) мало. Если о—среднее отклонение, то для
ошибки имеет место соотношение Yf=G—Y—v-(x — *i)-j~
X
~Ь ?/Р2 • \ y2dx. Это следует из того, что при обходе вдоль оси
х,
х(у = 0), при 9 = const, вычерчивается слабо наклоненная прямая
5^1 +©• (х—ATj), во всех случаях не параллельная оси х.
Если эта ошибка не имеет места, а, напротив, направляющие
кареток WА и W£ наклонены относительно оси у на углы f и 8,
причем WAA' и WBB' (фиг. 207) принимаются параллельными оси х, то
после длинных вычислений [140] для ошибки, т. е. для кривой,
вычерчиваемой прибором, получается выражение:
х
где уг — ордината обводимой кривой для x = xv а углы j и 8
приняты малыми.
При обводе оси х должна вычерчиваться прямая, параллельная
оси х, и при обходе оси у или прямой, параллельной ей,
вычерчивается не одна точка, как в идеальной конструкции (конструкция,
свободная от ошибок), а кривая, так как при этом основная каретка
W неподвижна.
1) В конструкциях Паскаля (см. также 2.2.3) этот перекос ролика жела
телен и имеет место точное уравнение, выведенное для этого случая.

2. ИНТЕГРАФЫ
247
б) Если каретка W установлена косо к оси х и расположена
произвольно относительно нее, т. е. параллельные между собой
направляющие составляют с осью у угол ср, и точка пересечения 5
оси х с направляющей каретки WА отстоит в начальном положении
на расстоянии Ь0 от прямой, проведенной через О перпендикулярно
к направляющей, то после длительных вычислений [140] получаем
для ошибки следующее:
X
О*;
где d — расстояние обводящего штифта от направляющей.
При обходе оси х вычерчивается парабола, при обходе прямой,
параллельной оси у, вычерчивается не точка, а кривая.
Возможности применения интеграфов так разносторонне что
перечисление их выходит из рамок этой книги — это было бы
равноценно перечислению задач, сводящихся к решению дифференциального
уравнения Kn=/(x)1,2)« Если п > 1, то часто имеют место не
начальные, а граничные условия (см., между прочим, [92]), при которых
во время' вычислений следует соблюдать большую осторожность: если,
например, должно быть проинтегрировано уравнение У"=/(л;)при
граничных условиях Yl=Y (0) = Y2 = Y{x9) = 0, то при первом
х
интегрировании вычерчивается кривая Yg= \f(x)dx, если прини-
о
мается, что Yr (0) = 0. Последующее интегрирование при уело-
се
вии К(0) = 0 дает кривую Yg= \Yzdx, которая, однако, не удо-
о
влетворяет еще второму граничному условию, так как К2(.%)=£0.
Искомую кривую можно получить, если вычесть из Yz линейную
функцию Yg(x2) • х/х2 3). Интеграф, между прочим, может быть также
1) Или таких дифференциальных уравнений, решение которых может быть
сведено к квадратуре.
2) Сюда же относится интегрирование уравнения упругой линии [42],
для проведения которого инженер все еще предпочитает численные
методы, хотя интеграфы и интегриметры существенно облегчают работу.
См. [274, 275].
3) Это есть не что иное, „как проведение горизонтали*
замыкающей линии при численном определении упругой линии по методу
Марша [42].

248
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
использован для вычерчивания произвольного полинома
Y = anxn-j-an-lxn-1-)r ... +^2*2 + ai*+^
так как Г(п) == п\ • аП9 и отсюда с помощью повторяющегося
интегрирования и учета начальных условий г) может быть получено У.
Нули этой графически найденной функции являются, между прочим,
действительными корнями уравне-
Фиг. 210.
Полярный интеграф
Паскаля.
л^Ъя ния я-й степени 2 aixi == О-
2.1.3. В противоположность
радиальному интегриметру полярный
интеграф (фиг. 210) представляет
собой особую форму интеграфа
Паскаля [185] и используется для
выполнения интеграции вида R =
= \rdy= \f(<?)d®. Направляющие
кареток WA и WB ортогонального
г= г ftp)
интеграфа (фиг. 207) пересекаются
перпендикулярно друг к другу в
полюсе О. На скользящем
относительно Л и вращающемся вокруг В рычаге 5 помещено режущее колесо Jy
плоскость которого перпендикулярна к 5: рядом с У на
специальной направляющей С движется пишущий штифт S. Для угла р
между плоскостью колеса и радиусом-вектором R имеет место
следующее соотношение:
dR
ОА
teB = -^- = -^- =
#d?
OB
т. е.
dR
= /■=/(?).
2. 2. Интеграфы произведения
Эти приборы описаны лишь в немногих работах. Интеграф
произведения может быть получен из основного интеграфа (фиг. 207),
если, как предлагает Паскаль [185], сделать переменным полюсное
расстояние Р и изменять его при этом соответственно kjv (л:). Тогда
Yf = tga=yjp = kyv2).
1) Г(*)(0) = *!•**.
2) См. также [159].

2. ИНТЕГРАФЫ
249'
С помощью фотоэлектрического метода можно вычислить
интегралы вида:
X X
\f(x)g(x)dx или ff(l)g(x — 6) Л,
!>
встречающиеся при изучении вибрации, в интегральных уравнениях,,
при преобразованиях Лапласа и др. [64J.
Кусок белой бумаги ограничен кривой f(x) и лежит на черной
подкладке. Если осветить бумагу пучком света, падающим на фотоэлемент^
то последний реагирует пропорционально силе падающего света и суммиро-
X
ванне с помощью измерения потока дает интеграл \f(x)dx с переменным
х1
верхним пределом. С помощью дополнительного приспособления этот
интеграл может быть вычерчен. Если применить диафрагму, соответствующую'
законам изменения функции g (х), то пропускается только часть первоначаль-
X
ной массы света, т. е. Г g(x)f(x) dx, и можно получить желаемый интеграл.
xi
Полученная конструкция после многочисленных опытов и улучшений
работает примерно с точностью до 1%.
Впрочем, основной интеграф допускает применение в том случае,
если механизм произведения (см. раздел I, 2. 1. 1) приключен
таким образом, что ордината точки А или А' на фиг. 207 все
время равна или пропорциональна произведению ординат
одновременно обходимых кривых.
При решении неоднородных обыкновенных дифференциальных
уравнений /z-ro порядка по методу вариации постоянных очень
удобно также использовать такие интеграфы произведений, если
известны решения однородных уравнений [21]. Подобный прибор
также весьма удобен для определения собственных значений
методом последовательных приближений [153].
Если, например, нужно решить дифференциальное уравнение уп +
Jr9i(x)-y'-\~4o(x)-y=f(x) и решения уь у2 неоднородного уравнения
известны, то
у = йл {х) -yt (х) + d2 (х) -у«(х) + Ci)'i (*) + <ЪУг (x).
где ст, с2— постоянные интегрирования, а
X X
dx (х) = j Df (x) j'o dx, d2 (x) = - j Df {x)yt dx
о
причем
1/Z> = J^i J^2 —-Va-Vi •

'250
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
2.3. Функциональные интеграфы
х
Эти интеграфы вычерчивают интеграл Г а [у (х)] dx.
X,
2.3.1. Это всегда возможно выполнить с основными
интеграфами. Для этого между обводящим штифтом Т7, обходящим
кривую, и точками А или А' ординатной каретки надо включить
функциональный механизм (см. I, 3) так, чтобы точка А находилась
от оси х на расстоянии Си{у), где С — постоянная прибора. Если
использовать, например, механизм для обратных значений (I, 3. 1. 1
и IV, 1. 2. 1), то получается инверсный интеграф.
2.3.2. Подобный интеграф может быть создан, как предлагает
Паскаль [185], из основного интеграфа, если плоскость режущего
колеса на фиг. 207 повернуть на 90°, так чтобы она совпала
с направлением 11'. При повороте на угол с? для производной
интегрируемой кривой, согласно 2. 1. 3, имеет место соотношение
Р— У'Ч<9 э
которое при известных обстоятельствах для определенных значений
m = ig(f может иметь практическое значение. Если, в частности,
<© = 90°, то V = —ply, как это требуется для инверсии.
Паскаль предложил также интеграфы для эллиптических интегралов,
х
для интегралов вида | -л~^^— dx и др. Интеграф, применяемый в связи
с исследованием времени передвижения, служит для вычисления
у
х — х±= Г ——dy*). Геометрически это означает, что субнор-
маль является известной функцией от .у (ср. [149] и 2. 4. 1).
Из полярных интеграфов Паскаля также могут быть образованы
различные формы интеграфов. Так, например, если плоскость
режущего колеса лежит в направлении рычага $ (фиг. 210), то
для угла р*, образованного ею с радиусом-вектором, следует
+ о* dR R s( М l
sr Rdy r ' \ R J r(cp)
*) Этот интеграф часто называют интеграфом путевой скорости, или
фардиографом. Супроненко построил ряд аппаратов для определения
времени передвижения. (Прим. ред.)

2. ИНТЕГРАФЫ
251
2.3.3. О возможности построения интеграфов с фрикционным
механизмом см. 2.4.2.
2.4.Обобщенные интеграфы
Обобщенные интеграфы предназначены для решения
дифференциальных уравнений. Они могут быть сопоставлены с автоматически
работающими счетными машинами. В них снова встречаются те же
основные части: передатчик, механизм переноса, приемник (как это
и должно иметься в каждом математическом инструменте). Однако
здесь дело идет не о задании и вычислении отдельных числовых
значений, а о предлагаемых соотношениях между функциями и
производными искомой функции или самими производными. Так, в этом
случае задается функция, или, точнее сказать, ее графическое
изображение, и в качестве результата снова получается график некоторой
функции. Мы говорим здесь поэтому о функциональном передатчике
к функциональном приемнике.
Различные обобщенные интеграфы имеют в качестве
вспомогательных механизмов одинаковые элементы, но они существенно
различаются в интегрирующих механизмах (подобно тому, как различаются
механизмы переноса в счетных машинах). Их можно расположить по
трем группам: 1) интеграфы с режущим колесом (или с колесом, ему
кинематически эквивалентными *), 2) интеграфы с фрикционной
передачей и 3) приборы, основывающиеся на методе выравнивания.
Первые приборы ограничиваются обыкновенными дифференциальными
уравнениями, в то время как последняя группа охватывает также
уравнение с частными производными **).
2.4.1. Приборы с режущим колесом. Ревущее колесо по
своему принципу действия знакомо нам уже по основным интеграфам.
Так, Паскаль, исходя из основных интеграфов, искривляет в
ортогональных и полярных интеграфах направляющие, затем рейку,
делает цапфу О неподвижной или подвижной и т. д. Мы вышли бы
из рамок этой книги, если бы попытались дать здесь все возможные
формы интеграфов. Можду прочим, с приборами Паскаля можно
интегрировать дифференциальные уравнения Рикатти, Абеля, уравнение
для движения снаряда в сопротивляющейся среде (см. также ниже),
обыкновенное дифференциальное уравнение я-го порядка с
постоянными коэффициентами и особый случай интегрального уравнения
Вольтерра.
*) А. Н. Крылов создал замечательные конструкции, позволяющие
получать суммы любого числа функции (и произведения двух функций).
Существенным в его конструкциях является использование режущих
колесиков. Интеграф позволяет интегрировать нелинейные дифференциальные
уравнения. (Прим. ред.)
**) Ряд остроумных конструкций обобщенных интеграфов* был предложен
Штыканом. (Прим. ред.)

252
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
Несобственно интеграфы Якоба [94] могут быть применены также
для дифференциальных уравнений Рикатти, Абеля и для
дифференциального уравнения движения снаряда в сопротивляющейся среде
(см. ниже).
В одной из конструкций основных интеграфов Абданк-Абакано-
вича режущее колесико было соединено с вращающимся вокруг оси
Фиг. 211. Прибор для решения дифференциального уравнения
У'=Л(У) + Л О).
цилиндром, находящимся на интегрирующем столе [139, 154Ь,
269—272]. Они служат для решения дифференциальных уравнений
вида
/=/О0, У'=Л 00 -г/900 +Л(*)
и могут быть также использованы для уравнения третьего порядка
вида
у'" =Л (У) Н-Л 00 +Д (у) +Л (*)•
На фиг. 211 схематически показана конструкция прибора для
решения дифференциального уравнения у" =ft (у') -j-/2 (у). Приводимый
в движение (от руки или механически) вал 4 сообщает свое вращение
валам /, 2, 3 и находящимся на них валикам. Чертящий барабан Ть
жестко закреплен на своем валу, в то время как интегрирующие
барабаны (или валики) Tt и Т2 могут перемещаться вдоль своих осей.
Заданные функции нанесены на плоскостях Ег или Е21 несущих
чертящие штифты Zu Z2. Плоскости Ег, Е2 связаны с валиками Tlt T%

2. ИНТЕГРАФЫ
253
и воспринимают поэтому их перемещения. Штифты Zj, Z2
вычерчивают кривые у' (х) и у{х) на записывающем валике Г3 (передатчик,
функциональный регистратор). Иногда можно обойтись без чертящего
штифта Zt.
Функции /i и /2 с помощью двух вычислителей обводятся
одновременно движками F{ и F2> соединенными между собой тросиком.
Благодаря тросу (I, 1. 1.5) груз G и направляющая линейка Stt
получают перемещение [/, -г/а] 2. С этой линейкой связан тангенс-
механизм, который направляет Rx (то, что Rv /?2 являются
шероховатыми роликами, а не режущими колесиками, является
несущественным, так как кинематическое воздействие одинаково)х). Если валик 7\
поворачивается на угол kdt (k — постоянная прибора), то
диагональная установка колеса вызывает, как и в конструкциях основных
интеграфов (см. выше) перемещение валика 7\ и плоскости Et на
dyz = kdt ig «j = С{ (Д -j- f2) dt, где CL = k!2pl — постоянная
прибора, так что шрифт Zx вычерчивает кривую yz = Сх \{fl -f-/2) dt.
Индекс г указывает на фактически вычерченную кривую 2).
Плоскость Ех с помощью второго тангенс-механизма и колеса /?2
направляет валик Т2 или соответственно плоскость £2. Эта плоскость
перемещается на dyz = kdt • tg a2 = C^yzdt^ где С2 = &//?2, так что Z2
вычерчивает на Г3 кривую yz = С2 \yzdt = С I Г(/х -(-/2) ^ ^2>
являющуюся искомым решением, причем С = С1С2= -=■ k2jp1p2. Прибор,
называемый путевым интеграфом, прежде всего может быть
использован для расшифровки диаграмм пути. В этом случае у обозначает
путь s, yf — скорость v, у" — ускорение Ь и х — время t. При
расшифровке диаграмм пути, например для создания расписания,
задаются зависящие от скорости и пути сопротивления Fx (v) или F2 (s),
и по основному закону динамики имеем уравнение:
или также
m-b=W=F1(v) + F2(s)
Подобным же целям служит путевой интеграф, изображенный
на фиг. 212. Эгот прибор предназначен для решения уравнения -з?-=
= b(v) (/72 = 0). Отсюда сначала определяют v = v{s) и затем
Ц В выполненной конструкции два ролика, давящие противоположно
друг другу, помещены на верхней и нижней сторонах валика. Их
скольжение компенсируется при помощи электромагнитного регулирования
положения этих роликов (изменение углов).
2) Интегрирующее приспособление с валиком и режущим колесом (здесь
соответственно роликом) называют также винтом с переменным шагом

254
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
ds
(*)
т. е.
с помощью интегриметра для обратных величин находят t= | —
соотношение между путем и временем. В диаграмме v — 5 ускорение
, , dv dv ds r / \ / \
dt ds dt v v ;
изображается субнормалью {QN на фиг. 212), и этот факт
механически осуществляется с помощью режущего колеса 6.
г
ечМ&
,-*
wk
//;W
i-+
ЕЕЕЗ:
X \ ^.Ц ^
-6-
%v
-аэ i-a-
7Т
3"х-
TZT
i_J
^
Фиг. 212. Фарднограф.
На каретке 7, перемещающейся в направлении .?, находятся параллельная
и перпендикулярная к оси s направляющие 4 и 5, по которой скользят
каретки 2 пЗ. На каретке 2 находится имеющее возможность отклоняться
режущее колесо 6. Кроме этого, каретка 2 жестко связана с плоскостью 7, на
которую наносится функция b = b(v) =f\ [v) (v при этом считается
положительным по направлению вниз от подшипников Р режущего колеса). Если
нормаль 8 (осуществленная физически) скользит относительно точки N
каретки 3, причем N все время должна находиться над кривой /j (v), и каретка 1
перемещается направо, то режущее колесо или соответственно связанный
с плоскостью 7 чертящий штифт вычерчивает на неподвижной плоскости
искомую функцию v = v (s). Это следует из того, что QN является
субнормалью:
tg ds ~~ QP ~~ v '
При постоянном сопротивлении F\ точка Л должна быть неподвижна.
При этом вычерчивается парабола. Кусочно постоянное сопротивление F2(s)
может быть учтено с помощью соответствующей установки шкалы,
соединенной с кареткой 3. Упомянутый интегриметр для обратных значений на
фигуре не показан.

Фиг. 213. а и б—фардиограф.

256
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
На фиг. 213 показана построенная модель путевого интеграфа,
с помощью которого в расчет могут быть введены оба переменных
сопротивления Fx (v) и F2 (s). Этот интеграф применяется с только
что описанным прибором и использует также конструкцию
поднормали. Однако в этом случае он имеет два передатчика для вычислений
с обеими функциями (см. фиг. 213, а, б).
Обводный штифт 10, находящийся в точке 9 карелки 1) /, движется вдоль
кривой /2(^), нанесенной на неподвижной плоскости, и благодаря этому
сообщает каретке 1 перемещение s. С другой стороны, с помощью
вращающегося вокруг 11 углового рычага 14, который цапфами 12 захватывает
рейку 13 диаграммных кареток 7, он сообщает последним перемещение,
параллельное оси s и пропорциональное /2. Эти каретки со своими тремя
роликами 15 движутся параллельно s по направляющим 16 и 17 каретки 18,
которая со своей стороны с помощью направляющих 19 может перемещаться
в каретке / перпендикулярно к s; кроме того, каретка 7 связана еще
с режущим колесом 6. Можно заметить так же отходящую от режущего
колеса „нормаль" PN-8 с ведущей точкой TV на каретке 3 и с заменяющим
ее соответственно чертящим штифтом Z. Каретка 3 приводится в действие
с помощью распределительного ползунка 20 второго функционального
передатчика; при этом ползунок 20 может двигаться вдоль кривой A(v),
нанесенной на диаграммном столе 72). Но так как 7 с помощью углового рычага
уже получает перемещение /2 3), то распределительный ползунок
перемещается в совокупности на сумму Л+Л (сложение, как в случае счетной
линейки).
С помощью тросовой передачи 21 и роликов он сообщает свое движение
каретке 3, так что поднормаль имеет требуемую длину, т. е. чертящий
штифт вычерчивает на неподвижной плоскости искомую функцию v = v(s).
По v = v(s) с помощью интегриметра для обратных величин
может быть легко найдено соотношение между s и t: t= f—тТ"
Если сопротивление кусочно постоянно, то можно обойтись без
обводного штифта, используя соответствующую шкалу,
предусмотренную на распределительном ползунке (см. выше).
Итак, вообще говоря, описанным прибором можно непосредственно
решать уравнения вида
а при использовании интегриметра также уравнение
М Направляющая 19 расположена в верхней половине разрезанного
рычага 10а.
2) В модели фиг. 213 кривая /i (v) вычерчивается непосредственно на
стеклянной пластине, для того чтобы иметь возможность видеть также части
механизма, расположенные за ней. Направление v такое же, как и на фиг. 212.
3) Или соответственно пропорциональное.
4) О путевом интеграфе с фрикционным механизмом см. 2.4.2, а также
1293] или ETZ, 59 (1938), стр. 589-590.

Барабан фиксирования p£Nv % d? JO^ll
сопротивления воздуха (~\ X^r^-^^^g^
-Установочное колесико
для шкалы снаряда
- Шкала снаряди
Корпус пружины
С тянущей лентой^
^Промежуточный вал
тообрааный irfrT?iZ Т i
- рычав \ ; ,'
Ъарабан
048 мм
электрическое
„.сцепление
Ьтулка
0/3
7i '"
' Интегрирующий ролик (таковое
t)
^Барабан
^етмна и кнопка f~l\ I ч4 |
] барабана^
гЯнопна маятникового
*переключет~ ~~
Кулачковая шайба
.— ./Теина йля^~
_ , ^__ ълющ. Житифтовсаеплет
-Штифтоеос
сцепление
КулЬчкевая шайба
Салазни
^Запирание
Интегрирующий ролик~
переключающий вал
НЮ))приводящий
^^в движение
салазки
Нутой Ч^*
барабан П}усн
Механизм нулевой установка
Фиг. 214. „Счетный прибор" Для расчетов полетных траекторий.
Зак. 1242. В. Мейер.

2. ИНТЕГРАФЫ
257
Интегрирующий механизм с режущим колесом применен в при-
боре для определения траекторий полета снаряда [53]. Если
через 8 обозначить угол, образуемый касательной к траектории
полета с горизонталью, то для скорости в этом направлении имеет
место соотношение
^- = _[W(x;)//tt + ^sin8])
а для ее вертикальной и горизонтальной составляющих:
dy/dt = v sin 8 и dxjdt = v cos S.
Кроме того,
dbjdt = —gjv • cos 8.
Таким образом, имеются четыре совместных дифференциальных
уравнения для пяти переменных. Прибор интегрирует систему, т. е.
после установки известных величин он дает текущую зависимость
переменных от времени, причем мотор ведущего вала вращается
с постоянной скоростью. Функция сопротивления W(v)
осуществляется с помощью паза, вырезанного в цилиндре. Для
объединения отдельных уравнений в систему необходимы функциональные
механизмы различного вида, как это можно заметить из фиг. 214.
Рамки этой книги не дают возможности остановиться на этом вопросе
более подробно. Большим преимуществом является возможность
варьирования функции W, так что прибор может быть использован для
всех видов снарядов 1).
Для интегрирования уравнения
построен интеграф с двумя режущими колесами. При этом
возможности прибора ограничены случаем постоянных b и с, в то время
как а и d могут быть функциями х или у, или у'. Основной прибор
напоминает по своей конструкции прибор, изображенный на фиг. 207,
однако здесь требуются суммирующие и пропорциональные
механизмы, в частности распределительное устройство, для того, чтобы
иметь возможность получить решение при переменных а и d [158].
Так как прибор напоминает машину, описываемую ниже, и
интегрирующую машину, рассматриваемую в 2.4.2, то здесь можно не
давать его подробного описания.
Можно еще упомянуть конструкцию интегрирующего механизма,
который работает на принципе режущего колеса и использует в
качестве основания подвижной шар [269Ь]. Заслуживает внимания
построенная недавно фирмой Ота машина для дифференциальных
уравнений. Итак, режущее колесо в качестве интегрирующего механизма
пригодно не только для интегрирования некоторых специальных
*) См. также Z. Ver. Disch. Ing., 83 (1933), 422—426.
17 Зак. 1242. В. Мейер.

258
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
уравнений, но, как и механизмы с фрикционными,колесами (2.4.2),
оно пригодно для интегрирования разнообразных типов
обыкновенных уравнений. Приведенные в 2,4.2 примеры могут быть также
решены с машиной Отта. Конструкция этих машин позволяет решать
дифференциальные уравнения до 15-го порядка, так что требуется 15
интегрирующих механизмов. Машина работает автоматически и
имеет очень хорошо работающий умножающий механизм. Кроме того,
предусмотрены 15 функциональных передатчиков, которые по
желанию могут быть использованы либо в качестве таковых, либо в
качестве механизмов записи функций.
Время покажет, какая из интегрирующих машин окажется
продуктивнее— с фрикционным колесом или с режущим. Подробности
относительно упомянутой машины для дифференциальных уравнений
должны быть в скором времени опубликованы.
2.4.2. Интеграфы с фрикционным механизмом !). Приборы
с фрикционным механизмом являются в первую очередь
интеграторами, но могут быть также использованы (см. разделы III, 2.1 и
IV, 2.4.2) в качестве дифференцирующего прибора и для других
задач (см. ниже) *).
Конструктивными элементами являются функциональный
передатчик (приемный стол), функциональный приемник
(производительный стол) и затем некоторые вспомогательные и второстепенные
механизмы.
Элемент, подробно описываемый здесь еще раз с учетом
постоянных приборов, состоит из диска (тарелки), вращающегося с угловой
скоростью (Dy вокруг вертикальной оси. Диск может приводиться во
вращение, например, с помощью обоих конических колес Кх и /С2
(конструкция VA2)) и динамически спаренного с диском ролика R
(фрикционное колесо), вращающегося с угловой скоростью <oR. Рас-
*) См. [26 — 31, 74 — 78, 134, 178, 205,266, 287, 295, 305, 296Ь, 284].
*) Разработка принципиальной схемы первой машины для
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений принадлежит А. Н.
Крылову, который сообщил об этом в 1904 г. в докладах Петербургской
Академии наук. Изготовление машины А. Н. Крылова происходило под
руководством автора в Петербурге на заводе Ветцера. Несмотря на ряд обстоятельств,
затруднявших работу, к 1911 г. машина была почти полностью изготовлена.
Работа над ее усовершенствованием велась до первой мировой войны.
Во время эвакуации завода она исчезла. Краткое описание и фотография
ее находятся в трудах Крылова (Собр. трудов, т. V). Машина допускала
интегрирование дифференциальных уравнений до четвертого порядка
включительно, однако при соответствующем увеличении количества интегрирующих,
множительных и других элементов можно было бы осуществлять
интегрирование дифференциальных уравнений любого порядка довольно общего
вида. Дифференциальный анализатор А. Н. Крылова был построен на много
лет ранее машин того же назначения, созданных за рубежом. (Прим. ред.)
2) См. [296].

2. ИНТЕГРАФЫ
259
стояние w плоскости ролика от оси диска (тарелки) может меняться
при помощи передвижения ролика или благодаря перемещению диска Т
(конструкция VA1)). Это перемещение создается вращением ходового
винта или ведущего вала (угловая скорость ш^), которые спарены
Фиг. 215. Элемент обобщенного интеграфа с
фрикционным механизмом.
с движущейся в неподвижном корпусе винтовой гайкой L с
шагом hL. Одновременно коническое колесо Кх должно перемещаться по
своему валу, в котором имеется специальный паз (см. фиг. 215).
Угловое смещение вала на величину dv = dyT (<?т — угол
поворота диска) обусловливает элементарное смещение ролика du,
величина которого du = wdv. Но так как da = rd<pR (<рд = углу
поворота оси ролика), то имеют место основные уравнения:
du = wdv или u=\wdvy (la)
d^R = ywd^T (16)
*) См. [296b].
17*

260 IV- интеграторы
Движение может быть создано ходовым винтом и валом диска
или также ходовым винтом и валом ролика. Предположение о том, что
уравнение (1) действительно выполняется, соответствует тому, что
фактически имеет место соединение Т и R вследствие трения ролика
и не возникают возмущения из-за трения скольжения. Нужно еще
заметить, что вал ролика должен совершать также работу
распределения, так что начальный вращающий момент может быть
недостаточным. Буш и другие для усиления этого момента используют
трение троса для создания механически работающего усилителя
вращающего момента. Это приспособление, однако, не совсем
удовлетворительно, так как при перемене направления движения снова
необходим вспомогательный механизм. Более целесообразным является
усиление при помощи электрического вспомогательного механизма
[305]. Без такого усиления всякий многодисковый прибор для
кратного интегрирования является по меньшей мере иллюзорным.
При разработке схемы переключения, в частности при
рассмотрении постоянных прибора, входящих в решение задачи, целесообразно
все величины свести к величинам поворотов, т. е. углам или
угловым скоростям, как это указано в уравнении (16). Так, для расстояния
w, вследствие замены поворота df$h перемещением гайки dw, следует
соотношение
dw : hL = d<?L : 2тг
или после интеграции
w = cl<?l + wo- (2)
hL
Здесь постоянная CL = ~ редуцированный шаг ходового винта и
w0 — начальное расстояние ролика от плоскости диска. Чтобы
все-таки уменьшить, пользуясь постоянной wQ, возмущающие
члены, которые по уравнению (16) при интегрировании дают в
большинстве случаев нежелательную линейную функцию, должно быть,
если это не отмечено особо, при <pL = 0 также w = w0 = 0. Углы
поворота <oR, <pT, ®L связаны определенным образом с помощью
механизма машины, с одной стороны, с заданными значениями и, с
другой стороны, искомыми величинами1).
функциональный передатчик. Задаваемая в приборе функция v\ =
= y| (S) может быть вычерчена либо в прямоугольных, либо в
полярных координатах. В первом случае бумага с нанесенной на ней
функцией натягивается либо на стол, либо на валик. В последнем функция
гу| = 7](Е) натягивается либо на стол, либо на валик. В
последнем случае должен иметься вращающийся стол. Если установка должна
быть выполнена ручным способом, что бывает целесообразно при
встречающихся часто функциях или при многих функциональных
передатчиках, то упомянутая функция должна быть осуществлена с по-
г) В особых случаях (см. ниже) эти углы связаны также между собой.

2. ИНТЕГРАФЫ
261
мощью функционального, например криволинейного, механизма *) или
же в отдельных случаях может быть создана с помощью основного
механизма.
Из этого расположения валиков, рассмотрением которого мы здесь
ограничимся (фиг. 216), следует, что если валик вращается с
угловой скоростью о)£, то обводящий штифт должен двигаться таким
образом, чтобы он все время оставался на кривой r\ = T}(i). Обводящий
штифт закреплен на перемещающейся в неподвижном корпусе гайке
Фиг. 216. Функциональный передатчик с валиком.
с шагом h^ и вызывает вращение шпинделя передатчика с угловой
скоростью шг; имеем, как и выше,
й\ = гцй^ и (За)
^ = <у*Рт)» где c^ = h.J2Tz. (36)
Нащупывание обводящим штифтом заданной кривой может
производиться либо от руки невооруженным глазом, либо при помощи
лупы или микроскопа, или же автоматически.
Это нащупывание в том случае, если £ представляет независимую
переменную и вращение механизма происходит медленно и равномерно,
проводится без каких-либо затруднений. Если же £ не является независимой
переменной, а соответствует, например, искомой переменной у или ее
производной у\ то валик, который вращается пропорционально этой величине,
движется неравномерно, и регулировка от руки может быть значительно
затруднена (см. также планиметр Стилтьеса, затем путевой интеграф).
) О несколько ином пути см. 2. 4. 1.

262
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
Функциональный приемник построен совершенно так же, как и
передатчик, но только гайка, несущая чертящий штифт, представляет
собой теперь элемент, воспринимающий движение. Здесь снова можно
говорить о столе и валике или вращающемся столе. Дальнейшее
описание в основном будет касаться машин с валиками. Величина у,
которая должна быть начерчена, передается при помощи шпинделя
на гайку и вызывает вследствие этого перемещение чертящего штифта,
пропорциональное^. Если hs — шаг пишущего шпинделя, cs = hs/2v: —
его редуцированный шаг, то, как и в случае криволинейного
передатчика, имеют место соотношения:
dz = /у/срс = гкФ*ь (4а)
dy = csd<?8, (46)
где dcp, и соответственно dvs обозначают элементарные угловые
смещения валика записи и соответственно записывающего шпинделя.
Предполагается, что валики передатчика и приемника одинакового
диаметра.
Вычерчивание может быть выполнено помимо пишущего штифта
также с помощью световых или катодных лучей на пластине,
покрытой светочувствительным слоем.
В некоторых задачах, например при вычислении определенных
интегралов, достаточно знания конечных значений, поэтому, принимая во внимание
задачи с граничными условиями (см. ниже), рекомендуется шпиндель
самописца кривой предусмотреть с числовым диском или другим подобным
приспособлением.
Вспомогательные механизмы. Помимо трех упомянутых главных
элементов необходимы еще некоторые вспомогательные механизмы.
Вал, вращение которого представляет независимое переменное, может
быть приведен в движение от руки, однако лучше, особенно в больших
приборах, использовать медленно вращающийся и легко регулируемый мотор.
Эта возможность регулирования чрезвычайно целесообразна при обходе
замкнутой кривой (см. ниже, стр, 271) или при очень неплавной кривой. Если
при интеграции dv соответствует независимая переменная, то приведение
в действие вала диска может происходить от общего вала, вращаемого
мотором. Можно также отдельные валы дисков приводить в движение каждый
своим мотором, но при этом все моторы должны работать синхронно. Так,
например, в конструкции, изображенной на фиг. 217, каждая пара дисков
приводится в движение одним мотором. Всего установлено б моторов для
вращения 12 дисков. В последних конструкциях передача вращения
происходит с помощью электрических вспомогательных приборов, передающих
вращение на расстоянии. Вращение ведущей оси каждого элемента
происходит синхронно с вращением в примыкающем элементе.
Как упоминалось выше, ведущие оси элементов предусмотрены с
электрическими усилителями моментов. Если число приводимых во вращение
элементов механизма велико, то в любом месте проводки могут быть
приключены еще особые дополнительные усиливающие элементы.
Для сложения служат суммирующие механизмы (раздел I, 1. 1), например
дифференциальные механизмы. Для того чтобы решение дифференциального

2. ИНТЕГРАФЫ
263
уравнения соответствовало начальным >словиям, применяются
соответствующие масштабы для отдельных функций или же пропорциональный
механизм (I, 2. 2). Подобный прибор действует тогда так, что чисто
формально для постоянной Ci принимается значение с€ = а^х (а^ = const). При
помощи специальных элементов может быть также получен постоянный
множитель, если сделать w = const = k, так что и =kv. Наконец, рекомендуются
Фиг. 217. Конструкция интегрирующей машины.
также умножающие механизмы в том случае, если с помощью
последовательного включения элементов должно быть осуществлено определенное
умножение (см. ниже).
Умножающий механизм экономит один или несколько элементов
(см. ниже) и может быть также использован в качестве
пропорционального механизма (см. также ниже). Источником ошибок в этих
элементах являются зазоры в колесных и винтовых механизмах,
эксцентричность валиков, ошибки в записывающем механизме, в
„ощупывающем" приспособлении (при работе от руки индивидуальная
ошибка, вносимая вычислителем), не говоря уже о возможных ошибках,
возникающих при усилении вращающего момента.
Схемы соединения. Все конструктивные элементы и все
задаваемые и подлежащие вычерчиванию функции должны быть с помощью
механизма связаны между собой таким образом, чтобы „включение"
каждый раз соответствовало какому-либо предложенному заданию.
Для этого выбраны символические обозначения, показанные на фиг. 218.
Так, например, 7 изображает условно соединение или сцепление двух
валов. Это, однако, не должно означать, что валы пространственно
пересекаются друг с другом или действительно являются валами. Это
обозначение может также относиться к электрическим средствам
передачи. Точно так же схема соединения, например фиг. 219, не
означает пространственного расположения. Так, скрещивающиеся друг
с другом на схеме валы могут быть параллельными или
коаксиальными (как, например, обе конструкции VA в противоположность,

264
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
например, фиг. 217), или, как уже упоминалось, могут обозначать
электрическую проводку.
Разработка схемы соединения и механическое осуществление с ее
помощью дифференциального уравнения может быть пояснено на
дифференциальном уравнении второго порядка
V+/(/) + * СУ) = * (*), (5)
которое с точностью до члена h {х) совпадает с уравнением п. 2. 4. 1.
Начальные условия:^ (0) =.Уо и У (0) = Уо» В этом случае для обеих
du du ю
ш
JU
du=wdv
on
n
\*
со со
НУ~)
со
-Ь*ка
о=Ь
ГТП
о-
СО
а-.-Ь
ПИ2
Ф и г. 218. Обозначения для схем переключения:
2. J — элемент; 2. G — передатчик; 3. Е—приемник; 4. D—суммирующий
механизм; 5. Р—пропорциональный механизм; 6. М—умножающий механизм; 7.
Соединение двух валов; 8. Ведущий вал с мотором; 9. Перемена направления
движения.
интеграции, если не требуется вычерчивания кривой у в зависимости
от х, необходимы 2 элемента, 3 функциональных передатчика, 2
суммирующих механизма и 1 функциональный приемник.
Из вида задаваемых функций мы замечаем, что значение поворота х
передатчика h (x) должно быть связано с валом х, значение поворота уг
передатчика f(yr) — с валом ут и значение поворота j/ передатчика g(y) — с
валом у или соответственно записывающим шпинделем. Кроме этого, встречаются
еще два суммирования и, следовательно, необходимы два суммирующих
механизма.
В дальнейшем мы используем следующую форму записи уравнения:
уп = — (f-\-g—h) или, обозначая р = (/-f- g—к) н у'= z, также z'~pt
или dz = —pdxt т. е. г= — Ipdx и dy = zdx, т. е. у = I zdx. Таким
образом, необходимы две интеграции и, следовательно, еще два элемента,
благодаря чему получается схема соединения на фиг. 219. Принимая во внимание
постоянные прибора, получаем прежде всего для значения поворота вала р
f i g h x
выражение «рр = — + — , так как перемещения/, g, Л, заменяются
cf сд ch

2. ИНТЕГРАФЫ
26S
вращениями. Ср cgf ch являются редуцированными шагами шпинделя
передатчика и могут быть (см. выше) дополнены еще постоянными множителями а^
Этот поворот при перемене знака вращения ходового винта сообщается
первому элементу, его угол поворота yL = — ур и вызывает перемещение диска
на отрезок
-*n--(f/+£«-5»)-
Так как угол поворота dyx вала х задается величиной dx/rk [уравнение (3)]
то для поворота вала z имеем, следовательно,
z = — —■ Г w -£-. (6)
г J гк
Так как должно быть _у = \zdx, то из уравнений (1), (2), (3), (4), путем
обратного перехода к значениям поворота, следует:
JL = ±.Cz*Lm (т>
cs г J гк
Сравнение с (б) показывает, что решение дифференциального уравнения
/' + Ctf(y') + C2g (у) = C,h (x) (8)
записывается пишущим штифтом, причем постоянные Q имеют значения:
г _ ClCs г _ °lCs n _ ClCs
с„ГП
cfr rk сд
и должны быть сделаны равными единице либо путем подходящего масштаба
функций /, g, /г, либо с помощью пропорционального механизма (сг< = агсг-,
см. выше). Постоянные должны, между прочим, иметь размерность 1 см.
Кроме этого, нужно еще заметить, что поворот передатчика кривой g(y)
должен быть равен повороту чертящего шпинделя, так что, следовательно,
должно быть dy\rk = dy/cs или гк = cs и соответственно гк = ascs.
Подобным же образом, учитывая постоянные прибора, можно создать
схемы соединения (включения) и масштабы для других
дифференциальных уравнений; см., в частности, [287]. Кроме того, можно быстро прийти
к необходимой схеме переключения (распределения), если дифференциальное
уравнение записать в форме интегро-дифференциального уравнения, т. е.
в случае нашего примера в форме
y'+f(f+g—h)dx = Q.
Примеры. На последующих примерах будет показано, каким
образом выполняются схемы соединения (включения). В конце раздела
будет дано понятие о некоторых общих соотношениях. Мы укажем
также задачи, которые легко могут быть выполнены, если имеется
прибор, и которые, отчасти, снова используются в более сложных
задачах. Мы будем применять сокращения согласно фиг. 218 и
предположим, если не будет оговорено особо, существование IE. На
масштабе и вопросах, связанных с ним, мы останавливаться не будем.
Простейшие задачи:
1. Аффинограф: у = Xj/(х) + l^g(х). Требуется 2G, ID или IP; см,
также II, 2.2.1.

266
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
2. Преобразователь: у = h[f (х)]. Требуется 2G для f(x) и h(x) и
соединение между / первого передатчика (ордината) и / второго передатчика
(абсцисса); см. также II, 2. 3. Для возведения в квадрат (соответственно, для
извлечения корня) один передатчик, если принять 1J, может быть удален;
затем из у = [/(*)]2 следует: dy = 2f(x) df (см. также пример 3).
3. Полином п-й степени. Из у = х2 следует: dy = 2x dx, т. е. при
помощи соединения х с ходовым винтом и с валом (диска) 1J без G дает
кштп
значение х2. Так как для у = 2 акхк п~я производная равна п\ • ап,
fc = o
уОь-1) (0) = (п—\)\-ап_х... и т. д., то при помощи установки начальных
значений с п элементами можно получить полином, как это показано на фиг. 220
для у = а0-\- а±х + а%х2-\- авх$. Эта задача может быть также решена с
основным интеграфом, однако после каждой интеграции интегральная кривая
должна снова интегрироваться, между тем как здесь у получается путем
одного единственного рабочего процесса. Если число элементов меньше чем п,
то задача может быть решена последовательно, как в случае основного
интеграфа; см. 2.1.2.
4. Прибор для вычерчивания экспоненциальных кривых. Для
дифференциального уравнения у' = ky с решением у = СекУ используют только 1J и IP.
Вал у соединяется с ходовым винтом и с валом ролика (см. фиг. 221).
5. Прибор для вычерчивания кривых синуса и косинуса.
Дифференциальное уравнение у" ± \у = 0 при граничных условиях у (0) = 0, у' (0) = 1/ Ух,
или соответственно у (0) = 1, у' (0) = 0, имеет решение у ~ sin УТк и у cos УХ*:
для верхнего знака или у = sh V\x и ch УХ*: для нижнего знака. Схему
включения см. на фиг. 222.
Если допустить в первом примере вычерчивание у в зависимости от у\ то
или в подходящем масштабе, или для X = 1 должен быть вычерчен круг
(У2+У2= 1)- Эта „пробная окружность" показывает при работе с прибором
„Аскания-Верке" точность в среднем от 0,1%.
Квадратуры. При отыскании определенного интеграла в каждом
случае целесообразно применение измерительного ролика (см. выше) или
числового устройства.
6. Основной интеграф: у'— f (х) или dy =f(x)dx. Схема
включения очевидна.
7. Инверсионный интеграф: у' = \jf{x) или dx=f(x)dy9 x связано
с валом ролика, /—с ходовым винтом, у — с валом диска, т. е. обратно
тому, как это имело место в 6.
8. Интеграф произведения: уг = / (х) • g (х) или dy = / • g-dx = pdx.
Необходимы 2G, затем либо Ш для р =fg и 1J для dy=pdx, или 2J
вследствие расчленения на dy=fdz, dz = gdx (см. фиг. 223 и также пример 10).
При вычислении определенных интегралов предлагается применение
элементов, описанных в планиметрах произведения (раздел IV, 1.1.3, см. также
раздел V).
9. Функциональный интеграф: у' = h [/(.*)], dy = hdx. Необходимы:
2G для f(x) и h (/), см. пример 2, и 1J. О применении в качестве
функционального или степенного планиметра см. раздел IV, 1.1.2 и 1.1.4.
10. Интеграф Стилтьеса: у' =. f (x) h' (х) или dy = f(x)d[h(x)] = / dh.
Необходимы: 2G для / и Л. Соединение ясно на фиг. 224. О применении
в качестве планиметра см. IV, 1.1.3. Должно быть еще особо отмечено
определение центробежного момента Z1). Имеем
Z=h<bx-y.dF=&<t) xydxdy = -g ф x2ydy = -gr ф хЧ (у2) = -g- &y2d (x'
!) См. [181].

0-
CQ
2
УЬ
—у
OJ
Фиг. 219.
IE
-л
-/
-f*ff
- РФд-h
-z=-Jpdx
-y=fzdx
и-
3i
кШа3
CQ
03
—~0?
X
'У=/у'<*х+а0
-У%У"<*хЩ
-у"=6а3х+а2
УЬ
о-
-*2f
ФО
Фиг. 220.
Фиг. 221.
у-
п
и
' -•-
1
(Г
J
■ ■■'■ 4
1—ш*Х
>
1
J
Г
а?
р=ку
z^-j'pdx
y=fzdx
/'
п
U
у
; г-*-J
> ■ ■
|Ш
| f ' '
Г
1
«■ ■• 1 ■ »
' ' .
[с
i/*
а: г-+~х
• 1 i . 11И 1-п.
_—•——1 - ■■ ■- ■■
^J—L_l
/
я
Фиг. 222.
Фиг. 223.

1\
f(*A
Pi
г:
-* 0-
-i—X
—f
p
yffdp
Ш
Ф0 m\ m
l X
-q=jxdr
■f
>Z=fqdj>
Фиг. 224.
Фиг. 225.
f I
П
Lr
9=>
i—*
ia_
i
—... ■■)
i
У
"" 9
■— ■
>
/
' -»
П u\
D-
-я:
g=-ffmda:
Ф01 ш
—f
-y
Фиг. 226.
Фиг. 227.
9
п
u
1
f\
ш
У
1 "^
T-1]
,
ari
т'Х I ™
Гс
5Г
i
i
/
x=ffdt
y.Jgdt
Фиг. 228.

2. ИНТЕГРАФЫ
269
Возможны три способа решения:
а) Как интеграф (планиметр) Стилтьеса: 3G для у = у(х), f = х2, h = у2
(у=у(х) есть уравнение кривой, ограничивающей площадь) и 1J.
б) Как интеграф (планиметр) произведения: 2G для у = у(х) и f = х2>
Ш для х2у = wy 1J.
в) Как интеграф произведения с 1G для у=у(х) без М, но с 3J;
х2 получается по примеру 3, см. фиг. 225.
Дифференциальные уравнения первого порядка:
11. у' =f(y) или dx = dylf(y). Схема включения по 7, х и у меняются
местами.
12. y'+f(x) + g(y) = 0 или dy=* — (f+g)dx. Необходимы 2G, ID, 1J.
13. у' -\-f(x)y =0 или dy = —fydx. Имеются три возможности:
а) 1G для / и Ш для f-y=p и 1J для dy =—pdx.
б) 1G для / и 2J соответственно распределению, как при интеграфе
произведения dz=fdx, dy = — ydz.
в) 2G и 1J: решение может быть записано в виде: у = Лед (#) *),
g(x)=—$f(x)dx. В таком случае g (x) получается при помощи 1J и е9(х)
посредством второго передатчика кривой, см. фиг. 226.
l4.y'-\-f(x)y + g(x) = Q или dy = — (fy + g) dx. Прежде всего
необходимы 2G для fug. Затем снова представляются три возможности:
а) 1М для р =*fy, ID для z = р -\- g и 1J для dy = Zdx\
б) без М, но с 3J: dy = — (yfdx -f- gdx) = — (ydq -f- gdx). Следовательно,
необходимо U для dq=fdx, для dz — ydq и 1J для gdx = dh, так что
у = — (z+h). Для суммирования необходимо ID.
в) Предложение Бернулли: у = UV, причем U может быть найдено из
Ur + f(x) U = 0 по примеру 13 и V из Vf = — q (x)\U (x) по выполненному
делению соответственно 11 или соответственно 10.
15. f(x)y' -\-y = 0. Если f (х) не имеет нулей в рассматриваемом
интервале, то после деления на f(x) приходим к примеру 13. В противном
случае переписываем уравнение в форме f(x)dy=—ydx и используем
наряду с 1G еще 2J, у которых валы роликов соединены между собой,
в то время как вал диска одного механизма соединен с ходовым винтом
другого (фиг. 227).
16. h (х)у' + g(x) = 0. h и g должны иметь нули в рассматриваемом
интервале (иначе возможно сведение к случаям 14 или 15). Из уравнения
следует hdy = —gydx. Наряду с 2G мы используем 2J и 1М или 3J и ОМ.
В последнем случае пишем gydx = ydz (см. выше). „Возмущающий" член
в правой стороне обусловливает еще необходимость применения ID и если
не имеется М, то еще 1J.
17. Простейшая совместная система:
t dx ., ч , dy
х' = чг=/(У), .У =-gf = *(*)•
Схема включения по фиг. 228. Необходимы 2G, 2J и 2Е для x(f)> у (t) и
возможно еще IE для у = у(х).
Дифференциальные уравнения второго и высшего
порядков. При решении проблемы с начальными значениями
ордината у(х0)=у0 и наклон интегральной кривой у'(хо)=у'0 известны
в начале движения прибора, и благодаря этому известна начальная
установка записывающего штифта на приемнике. Точно так же
известно начальное положение вала, реализующего производную у'
!) А — постоянная интегрирования.

270
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
(см. пример 18). При решении проблемы с граничными условиями, когда
заданы ординаты у (*i)=.y1 и у (х%) =у% в начале и конце
интервала, известно начальное положение пишущего штифта, но не
положение вала у'. Это значение у'( х0)=у' нужно выбрать
ориентировочно и затем варьировать до тех пор, пока не будет выполнена
второе граничное условие, что может быть без затруднений и быстрэ
достигнуто при помощи интерполяции.
Метод, предложенный в примере 18, приложим также в том случае,,
если у" не зависит от у'. При решении проблемы отыскания
собственных значений нужно встречающийся в дифференциальном
уравнении параметр \ (собственное значение) варьировать до тех пор,,
пока не будут выполнены граничные условия, см. пример 20.
18. y"=f(x) или, полагая у' = z, разбиваем на два уравнения:
dz = fdx и dy = zdx.
Наряду с Ш требуется 2J, валы дисков которых соединены, а ходовой винт
второго элемента соединен с валом ролика первого (см. также описанный
подробно пример в 2.4.2). При решении проблемы с начальными
условиями начальное положение пишущего штифта задается при помощи
величины у0. Для того чтобы удовлетворить второму условию у'(х0) —Уо* нужно
в первом интегрирующем механизме расстояние w ролика R от центра диска
(см. фиг. 215) сделать равным Щ=у0с1$ благодаря чему поворот вала z
вначале имеет значение у'0.
При проблеме страничными условиями,например у (хг) = у\ и у(х2) =Уч»
прежде всего полагают у1 = 0. Если затем j^ — вычерчиваемая кривая hj/ ,—
ее ордината при х = х2, то от уг нужно отнять линейную функцию
^W = - — (*—*i).
х2— Xi
так что уг — h(x) представляет решение, удовлетворяющее
дифференциальному уравнению и граничным условиям.
19. f(y") -\-g(y)-\-h(y)-\-P (х) = °- См- схему переключения фиг. 229.
Необходимы 4G, 2J и 2D.
20. у" -\-f(x)y = g(x) или, полагая у' = z, также dz = (g— fy)dx и
dy = zdx. При записи уравнения в этой форме помимо 2G нужен еще
ID, 1M для /у и 2J. Если не желательно использовать М, то применяют
еще 2J. В этом случае можно написать dz = gdx—ydp, dp = fdx. Если
g(x) = 0t то ID пропадает, и используют либо 2, либо 3J. Если уравнение
имеет форму у" -\~\f(x) = 0, X — собственное значение и граничные условия
у(0) =у (1) = 0, то принимают некоторое подходящее значение ^'(О) \у' (0)
определяет в этом примере только масштаб у (х)] и варьируют X до тех пор,
пока не выполняются оба граничных условия. Изменение X может быть легко-
достигнуто включением пропорционального механизма.
21. У + Pi(x)y' + Р2 (х)у + Рч (х) = 0. Это дифференциальное
уравнение при Р± = 0 представляет случай примера 20. С помощью подстановки _у ==
= U * V, как известно, можно исключить член с у\ В таком случае получаем
уравнение V" + /(лг) U + h (х) = 0, решаемое по примеру 20, и уравнение
l/'-f- Q (х) К= 0, решаемое по примеру 13, причем Q = Р\\2% f(x) = Р2 —
— Pj/2 + Pj и h(x) =-r^- . Если это преобразование нежелательно, то по-

lb
1 *"«
1 1
—A \ " 1
m
81
r —f
hi
i
{
r
-Д
Pl
-~y
1.
1— ■ 1—»
1
s
r-~Z
1 ;
j
J
1
X
/
/7
P
У
y'=fy''dx
y=fy'dx
Фиг. 229.
PA
Q
-.r
Я
-*-j?
Sy^]
— ЛР
« X
Яи Ш
1 02ГргУ
■z^-Jpdz
yizdx
Фиг. 230.

и-
со
h I
CS
^QgQ-i
г
У\
<m
Ф0
-X
-f
-9
-h
-Я=9У
-p-f+q
-fpdx=-fhdz
-z=y
-y-fzdv
Фиг. 231.
Й
7| f
—r~*~x
_1 OS
"A
——ar
J* I
j
[Vя II
r
[QD
yf
p-*
] S
-»<
к
<
■
Г
z=fqdx
p=fzdx=Jy
У"
Уф"***
y=fy'dx
Фиг. 232.
Фиг. 219—232. Схемы переключения для различных задач,
решаемых с интегрирующими машинами.

2. ИНТЕГРАФЫ
273
лагаем у' = z или dy = zdx, dz = \P\z-\- Р2у + А*] и получаем с 3G, 2М,
2D схему включения соответственно фиг. 230. Если, однако, желают
обойтись без 2М, то используют 6J!
22. h(x)y" + g(x)y+f(x) = 0. Член с уг исключен при помощи
преобразования, и пусть h (x) имеет хотя бы один нуль в рассматриваемом
интервале. (В противном случае после деления на h (х) получаем пример 20.)
Записываем:
У' = £, dy ав zdx и dq — hdz =* — (yg+f) dx (a)
или
dq = hdz = —(ydp+ fdx), (6)
где dp ss gd*, и используем помимо 3G и ID в форме (а) еще 1М и 3J
(фиг. 231) и при записи уравнения в форме (б) используем ОМ, но также 5J!
23. ~ (j -0-) — XFy = 0 или (/у")" — \Fy = 0 (дифференциальное
уравнение собственных функций при изгибных колебаниях стержня с пере -
менным поперечным сечением) *), / (момент инерции) и F (поперечное
сечение) являются функциями от х% X— собственное значение. Полагая J у" =/?,
имеем р" — \Fy = 0и, обозначая р' = z, zf = \Fy = q% можем использовать
схему по фиг. 232 с 2G, 4J, 2М и IP для учета X. Если нежелательно
применение умножающего механизма, то повышается число элементов.
Дифференцирование. Как уже много раз упоминалось, механизм с
фрикционными колесами можег быть самостоятельно использован для
дифференцирования (см. III, 2.1). Несколько иной путь основан на интегрировании
с помощью интегрирующих машин [264а, 29бЬ].
Дифференциальное уравнение у'/п + у =/'(*) для больших п допускает
приближенное решение:
'-£['(*--»]-/•(-&
Если, следовательно, отыскивается производная заданной функции f(x), то
интеграл уравнения представляет искомую производную, если только
выполнены начальные условия: _у0=_у(0) = /'( ). Схема включения может
быть составлена без труда, так как I ydx = f(x) — — . В этом случае
используются 1G для f(x), U, ID, IE и IP для представления у— . Однако
ft
при этом нужно обратить внимание на правильную установку начального
значенияу0 -=/'( ). Если эта сама по себе неизвестная величина
установлена неверно, то накладывается быстро затухающая при большом п
экспоненциальная функция С*е~пх, т. е. действительная дифференциальная
кривая достигается после определенного времени приближения х.
Все предшествующие исследования с прибором „Аскания" [296Ь]
показали хорошие результаты. В частности, сглаживающее действие
дифференцирования проявляется в том, что при малом п получается гладкая, но не
точная дифференциальная кривая (производная), а при большом п — более
или менее шероховатая, но в среднем правильная дифференциальная кривая
(производная).
*) См., например, Журнал прикладной физики, 5-я серия, № 8 (1931)
(Прим. ред.)
18 Зак. 1242. В. Мейер.

274
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
Число приведенных примеров может быть произвольно увеличено 1).
Эти примеры показывают, как нужно в подобном же случае
поступать с дифференциальными уравнениями высшего порядка2). Так,
например, при использовании некоторых заграничных машин
дифференциальное уравнение Лежандра рассматривается как проблема
собственных значений. Среди других далее решается дифференциальное
уравнение Ферми-Томаса у"*= Yyblx с граничными условиями^ (0) =
= 1 и j/(oo) = 0, что при решении на машине может быть
достигнуто только при помощи преобразования уравнения. Точно так же
нужно поступить с уравнением задачи пограничного слоя ут -\-уу" —
— $(у'2—1) = 0 при граничных условиях у (0) = у' (0)= 0 и
у' (оо) = 1 и ограничении (3 > 0 3).
Приведенные примеры позволяют заметить, что число
необходимых элементов должно по меньшей мере равняться порядку
дифференциального уравнения. При п совместных дифференциальных
уравнений т-го порядка необходимы тп элементов, и, если система
уравнений содержит еще р уравнений #-го порядка, требуется (тп-\-
-\-pq) элементов.
Можно заметить две тенденции развития описанных интеграфов:
с одной стороны, даже очень малые приборы с одним и двумя
элементами, с одним или двумя передатчиками, одним суммирующим
механизмом, одним пропорциональным механизмом и одним
умножающим механизмом получаются уже весьма дорогостоящими, но
являются, как показывают примеры, достаточно разносторонними и
могут использоваться в различных случаях. С другой стороны,
необходимо иметь решение очень сложных задач, которое может быть
получено только на очень больших машинах. Так как большие
машины очень дороги, то рекомендуется, как это сейчас и практикуется,
установить такие машины только в некоторых институтах; в этом
случае научный работник, практик и исследователь смогут в таком
месте решить встретившееся им дифференциальное уравнение без
большой затраты времени и издержек. Эти машины вместе с тем
сообщают развитию прикладного анализа такой же сильный толчок,
какой был им получен при применении обычной счетной машины
для численных расчетов.
2.4.3. Метод выравнивания. Помимо физических приборов,
которые показывают картину идеального течения жидкости и,
следовательно, дают решение дифференциального уравнения с частными
производными Аи = 0, созданы приборы для решения, например,
!) См. также [287].
2) Схемы включения могут быть благодаря соответствующему
применению интегрирующего механизма использованы также для других
интегрирующих машин, например по 2.4.1.
в) Относительно не инструментального решения дифференциального
уравнения см. [276].

3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 275
плоской потенциальной задачи при помощи электрической аналоги»
[90]. В тонком электролитическом слое создается электрический ток-
Эквипотенциальные линии получающегося здесь потенциального
течения могут быть определены при помощи телефона.
Нужно также упомянуть о приборе, который истолковывает по*
ведение величин, данных дифференциальным уравнением с помощьк>
соотношений механики, и решает этим способом уравнения Матье [289]:
у + (X -f h2 cos 2х)у = О*).
Наконец, созданы еще приборы для определения напряжений в
упругом теле (а также для решения проблемы кручения), которые отчасти
основываются на методе мыльных пленок Прандтля или на
электрических методах (см. [268]).
3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Наряду с описанными выше интеграторами, теория которых
предполагает получение точных результатов, имеются весьма простые
вспомогательные пособия, дающие возможность в некоторых случаях
получить с помощью последовательных приближений приближенные
значения как для площади, так и для решения дифференциальных
уравнений.
3.1. Режущий планиметр или планиметр-топорик*^ Этот
планиметр применяется для определения площади (фиг. 233) и очень прост
по своей форме, но не удовлетворителен в теоретическом отношении.
Он состоит из изогнутого стержня, один конец которого в виде
острия F движется по обводимой фигуре, а другой конец переходит
в лезвие, касающееся плоскости в точке Л. Лезвие стоит
перпендикулярно к плоскости чертежа. Простейшей формой является раскрыт
тый перочинный ножик. Острием обводят кривую, ограничивающую
планиметрируемую площадь, возвращаясь в начальную точку; если
Аг и А2— начальное и конечное положения лезвия, то площадь
Fttl- bt где b= АгА2^ АгА2. Это будет тем точнее, чем длиннее I
по сравнению с наибольшим диаметром планиметрируемой площади
(/ должно быть по меньшей мере в пять раз больше) 2) и чем точнее
выбран центр тяжести площади в качестве начальной точки. Обвод
начинают в примерно найденном центре тяжести S, переходят по прямой
наружу, обходя кривую, и возвращаются по той же прямой назад в S*
1) О решении этого уравнения на интегрирующей машине с фрикционным
механизмом см. [296Ь].
*) А. Н. Крылову принадлежит первое геометрическое и в то же врем®
элементарное обоснование теории планиметра-топорика. См. доп. лит. [73J и
[104]. (Прим. ред.)
2) Например, /=25 см является очень удобной длиной.
18*

276
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
В то время как F движется вдоль кривой, Л описывает ее кривую
f волочения, так как FA может все время перемещаться только в
направлении лезвия и может вращаться вокруг Л. FA является всегда
*Фиг. 233. Режущий
планиметр („планиметр-топорик"). ф и ^ 235 к теорин планнметра
с двухточечной направляющей.
касательной к этой кривой волочения, как это можно видеть из фиг. 234.
Эта кривая волочения является направляющей кривой планиметра.
Площади /j и /2 должны быть приближенно равны друг другу,
что, повидимому, и имеет место.
Для того чтобы получить некоторое представление о принципе действия,
мы несколько подробнее разберем теорию основного планиметра с
двухточечной направляющей.
Если отрезок AF=,l (фиг. 235) движется таким образом, что точка А
ведется вдоль кривой А и точка F вдоль кривой F, то общая площадь В,
описанная отрезком /, дается формулой
B = F+C — (А + С) = F~А, так что F = A +B1).
Элементарное перемещение отрезка из положения AF в положение
AtFx (фиг. 236) может рассматриваться как перемещение dq,
перпендикулярное к AF, в положение ArF\ затем как перемещение в
направлении Л'/7' в положение A"F" и поворот вокруг А" = Ах на угол dw
в положение AlFv Тогда заштрихованная элементарная площадь и
Полная площадь даются формулами: dB = ldq-\--^- Pdo и В =
— Г dB = l \ dq -\--г1*$, если (3 = ?2— ?i означает полный поворот.
ь) В случае линейного планиметра А является отрезком прямой, при
полярном планиметре (полюс снаружи) — частью дуги, так что Л = 0.

3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 277
Но для режущего планиметра элементарный путь dq = 0, так что»
F = Л + j /*р, или, так как А = F. ^M2 = y Z2 р +/2 — Л (фиг. 234), то
окончательно
Для выведенных соотношений дуга b = AiA<i может быть заменена хордой
А\Аъ (фиг. 234) и /2—/х приближенно принято равным нулю. Теория Рунге
[206а] дает
2тс 2тг 2тг
л-л-i-/ r4F+iw$ rirf/?+--+4/(f+w+-)cos8.^
0 0 0
Здесь г — радиус-вектор из начальной точки обхода, следовательно^
dF = -~ r2dy и о — угол между радиусом-вектором и обводящим рычагом FA*
Первые члены быстро уменьшаются вместе с отношением г//; первый член„
в частности, пропорционален полярному моменту инерции. Как известно»,
полярный момент инерции имеет минимум, если он берется
относительно центра тяжести, поэтому выбор центра тяжести
в качестве начальной точки обладает известным
преимуществом. Последний член приближенно остается неизменным,
если провести два измерения, причем начальное положение
обводного рычага во время второго измерения принять
повернутым примерно на 180° относительно положения обводного
рычага во время первого измерения.
Без сомнения, прибор очень прост в употреблении;
ошибка имеет величину примерно порядка 1% [18,
129], что, естественно, непригодно для точных
измерений, но вполне может быть использовано для грубых
расчетов. Несмотря на некоторые улучшения [194,
208а], внесенные тем, что на штанге располагают два
симметричных режущих ролика, прибор не может иметь
успеха, потому что для практика, с одной стороны,
важно иметь оценку приближения и, с другой стороны,
важно теоретическое обоснование.
Фиг. 236. К
теории
планиметра с

двухточечной
направляющей.
3.2. Соответственно этому плужок*) Виеториса [230,
231], который похож на планиметр-топорик, обладает
более разносторонней возможностью применения, повышенной
точностью и может заменить основные интеграфы и некоторые общие
интеграфы. Его можно очень легко изготовить самостоятельно,
В рамке (фиг. 237) помещены колесико /?, чертящий штифт Z>
базис F и крестообразный штрих таким образом, что вся
конструкция опирается на R и Z, причем F покоится в углублении на-
скользящей линейке О, накладываемой на бумагу. Плоскость ролика
*) В подлиннике „Die Schleppe"; мы предпочли из многих значений этого*
слова термин „плужок", так как это соответствует уже принятой
терминологии, см., например, „Успехи мат. наук", т. IV (старая серия). (Прим. ред.^

278
IV. ИНТЕГРАТОРЫ
Ф и г. 237. Плужок по Виеторису.
параллельна плоскости, проходящей через ZS, перпендикулярна к
плоскости чертежа. Вся конструкция утяжелена еще при помощи груза.
Если передвигать теперь линейку G так, чтобы 5 двигалось по
кривой Ж, то Z вычерчивает
кривую волочения К для
постоянной длины
волочения SZ = /. Прибор
служит для последовательных
приближений
(„интегральные итерации") при
решении дифференциального
уравнения первого порядка
в форме1) у'=/(х, у).
Если найдено приближенное
решение у0(х), которое
должно проходить через заданную точку (X, К), то улучшенное
решение уг(х) может быть определено квадратурой кривой у0 (х)
X X
У1 (*) = У + fy'0 (*) dx = Y+ f f[x, y0 (x)] dx.
X X
Если условия сходимости 2) выполнены, то повторение процесса дает
х
еще лучшее приближение у.>{х) = Y-\- \f[x,y1(x)] dx, по у2(х)
Хо
может быть получено у$(х) и
т. д. Часто бывает достаточным
ограничиться ух(х).
Нулевое приближение можно
найти, например, при помощи
изоклин (фиг. 238), т. е.
кривых, имеющих постоянный наклон
у' =f(x,y)= const, причем он
соответствует направлениям а, Ь,
с, . . . Начинают в точке Pq{X> *0
va а и строят касательный
многоугольник, переходя от точки
к точке. При этом получают
точки PVP%,... нулевого
приближения у0(х). Улучшения
приближения можно получить при
помощи иттерации волочением, законность которой доказана Вието-
рисом [231]. Не вычерчивая вообще кривой у0(х)9 наносят в точ-
1) Кривая волочения (обобщенная трактрисса) пригодна также для
интегрирования уравнения у" =/(х) [231а].
2) О сходимости см. упомянутую библиографию.
Фиг. 238. К последовательному
построению волочения (иттерации с
помощью плужка).

3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 279
ках Ри Р2,... на соответствующих касательных отрезки / и
получают ломаную кривую линию М0 = Q0QX Qa.. . Если после того,
как поместить Z в Р0, начать обводить точкой 5 плужка кривую М0.
то Z вычертит улучшенное приближение. Повторение процесса даст
еще лучшее приближение К2 и т. д.; часто оказывается
достаточным К±. Сходимость метода хорошая, и точность находится в
пределах точности вычерчивания.
Таким образом плужок заменяет здесь, а также при простейшем
уравнении у'=/(х) квадратуру, даваемую основным интеграфом1).
3.3. Для определения поверхности мягкой кожи и других поверхностей
служат машины для измерения поверхностей [291]. В этом случае
предполагают поверхность разделенной на полосы одинаковой ширины. Тогда с
помощью числового механизма с отдельными роликами (который мы не будем
описывать подробно) замеряются длины отдельных полос и затем
складываются.
!) Для последовательных приближений помимо плужка также удобен
основной интегриметр-

V. ГАРМОНИЧЕСКИЕ АНАЛИЗАТОРЫ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Многие задачи техники и физики приводят к разложению
заданной функции в ряд по некоторым функциям, в частности, по полной
системе ортогональных функций *). Особенно важную роль среди этих
разложений играет разложение периодической функции в ряд по
синусам и косинусам. Каждая кусочно непрерывная вместе со своей
производной на интервале О^х^р функция y=f(x), т. е. каждая
практически встречающаяся в технике или физике периодическая
функция, может быть разложена в ряд Фурье:
ОО GO
/0*:) = tfo+ S a*cosAAA;+ ^ bksm\kx = a0-\-
fc=l,2,... & = 1,2,...
со
+ 2 cAsin(M + ?*), (1)
fc = l, 2,...
где
\k = 2тг&/>, ck = Vdi + bi> tg <рл = akfbk
ир — период, а0—свободный член, ak и bk — коэффициенты Фурье.
Функция f(x) представляется, таким образом, суммой отдельных
„колебаний", которые для k = \ называются основными колебаниями, или
первыми гармониками, а для k = 2, 3, 4,.. . — колебаниями высших
порядков (обертоны), или высшими гармониками; ск — их амплитуды,
cpfc — фазовые сдвиги.
Гармонический анализ заключается в определении
коэффициентов а0, av а2,. . ., Ьи Ь2,.. . и в сложении отдельных колебаний для
получения результирующего колебания.
Для механического выполнения этой задачи служат гармонические
анализаторы, или синтезаторы.
Интегрируя уравнение (1) в пределах от 0 до р, находим
коэффициент
р
а0 = — \f(x) dx = средней ординате вычерчиваемой кривой. (2)
г) См., например, [36а].

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
281
Умножая обе части уравнения (1) нр cosXaa: или sinXftx и
интегрируя от 0 до /?, получаем формулы для коэффициентов г):
р р
ak=yff(x)cos\kxdx, h= — j f(x)s'mXk(x)dx. (3)
о о
Свободный член может быть определен при помощи основного
планиметра. Определение других коэффициентов может быть выполнено
при помощи планиметра произведения, например Стилтьес-планиметра
(см. IV, 1.1.3) с h (^) = -r-~ .sinAfe* или соответственно г—cos\kt2).
Кроме того, имеются различные приборы, основанные частично на
механических, частично на оптико-электрических принципах. При
применении таких приборов ряд, естественно, обрывают на
определенном месте, учитывая требуемую точность.
Первоначальная задача гармонического анализа исходит, таким
образом, из предположения, что основной период р и остальные
периоды pjk известны. В противном случае разложение, справедливое
в исследуемом интервале, может не иметь места в дальнейших
интервалах. Но имеются процессы, которые не являются строго
периодическими; может, например, случиться, что наряду с чисто
гармоническими составляющими встретятся также составляющие, не
обнаруживающие гармонических частот, т. е. такие, в которых значение k
не является целочисленным. В геофизических и метеорологических
задачах (см. [218 — 220]) анализ может проводиться для различных
-периодов, и получаемые каждый раз значения амплитуд наносятся
в зависимости от этого периода: максимум указывает значение
искомого периода и амплитуды.
Числа k в вышеупомянутых выводах не должны теперь рассматриваться
как целые. Для п-х коэффициентов Фурье при периоде р имеют место
соотношения:
2 г 2 г
гп = — / (х) cos \nx dx, Ьп = ~- f(x) sin lnxdx, X = .
р J p .'
ы 2тс
Но если ввести вместо р переменный интервал /?v = п • — и \п = v, то
получим:
Р р
rfv = — Г / (х) cos чк dx, pv = — Г f(x) sin чх dx.
*) Для численного определения коэффициентов при помощи замены
интегралов конечной суммой составлена расчетная схема. См., например, [42, 93
218-220, 268].
2) См. также IV, 2.4.2.

282
V. ГАРМОНИЧЕСКИЕ АНАЛИЗАТОРЫ
Если нанести затем yv = ]/"а2 + Р2 п0 оси ординат в зависимости от v, при-
чем по оси асбсцисс отложить величины —, то эта кривая
{периодограмма) будет иметь в определенных местах максимумы, абсциссы которых
2tc/v приближенно равны периодам рь нашего исходного уравнения,
а ординаты являются приближенными значениями амплитуд Cjc. См. также
(218 —220J.
Для определений этих значений служат численные методы. Для
этой же цели применяются анализаторы с переменной длиной базы
{223], а также особые приборы — периодографы.
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ i)
Эти методы можно разделить на теоретически точные, т. е. на
такие, которые точно дают желаемое число коэффициентов, и на
такие, которые заменяют интеграл суммой и механически ее
вычисляют.
1.1. Точные методы
Приборы, используемые в этих методах, являются без
исключения планиметрами произведения, так что кривая, которая должна
быть разложена в ряд Фурье, обводится обводным штифтом и
искомые коэффициенты могут быть с точностью до постоянного множителя
прочитаны на шкале измерительного ролика.
1.1.1. Всегда несколько затруднительным является вычерчивание
кривой, которая должна быть разложена в ряд, на определенном
отрезке, соответствующем длине периода. Этот процесс требуется
выполнить в анализаторе Мадера. Прибор вычисляет интегралы с
помощью планиметра, измерительный ролик которого обкатывается
по неподвижному подиуму и обводный штифт которого движется
с помощью специального механизма — „направляющего анализатора"
(фиг. 239) 2). Для этой цели служит, во-первых, угловой рычаг АСВ
в соединении с поперечной кулисой К в качестве пропорционального
механизма (см. также 1,2.2), так как с их помощью произвольная
длина периода р может быть сведена к заданной длине периода
В0Ве = / (благодаря ограничивающим упорам). Центр вращения С
помещается на каретке V7, перемещающейся лишь в направлении у. В то
же время поперечная кулиса К может перемещаться относительно W
также по направлению, параллельному у. Обводный штифт F
устанавливается таким образом, что в крайних положениях СВ он совпа-
*) См. также [50, 55 и 101а].
2) См. также [130а].

1. МЕХАНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
283
"]К
Z\ +* /
i
w
дает с начальной и конечной точкой периода /?. Таким образом,
FC:BC = p:l. Если теперь обводный штифт F поместить в новое
положение Ff {FFf = ds = dx-\-idy), то каретка переместится вместе с С
в направлении оси у. Перемещение dx вызывает поворот углового
рычага вокруг С (фиг. 240); вследствие этого поперечная кулиса
смещается на dz = dx • ВС/FC= dx • — относительно W. Это
движение переносится на шестерню Z
с центром вращения, лежащим
на W (фиг. 239 и 241), и
соприкасающейся с зубчатой рейкой г,
находящейся на поперечной
кулисе.
Таким образом, шестерня
катится относительно рейки, и при
этом всей длине периода
соответствует k оборотов. Тогда
угловое вращение шестерни <р =
= k • -j-'Z ==k х = \кх,
причем ее радиус R определяется из
соотношения k • 2tzR = /.
Шестерня и соответственно жестко
связанная с ней пластина с
отверстиями имеют два маленьких
переходящих одно в другое при
повороте на 90° отверстия,
обозначенных C(cosinus) и 5 (sinus),
в которые вставляется обводный штифт планиметра.
Для координат точек С и S в системе координат £, y| (фиг. 239),
первоначальное положение центра которых соответствует центру
шестерни, из фиг. 241 (принимая во внимание, что начальные
координаты для С будут $ = 0, г\ = г и для 5 £ = — r, nq = 0) следует:
У,
F°i
А О
Н(У
/ !
g^^--^^
^ р -jt\
>
ч
\
\
\
\
^3
г
\t *
\Ае
Фиг. 239. Анализатор Мадера.
S = г sin cp, r\=f{x)-\rv(x)-\-r coscp для С,
£__— rcos?, т, =/(лг) -\-v(x)-\-rsin® для vS,
причем v(x)—кривая, описываемая обводным штифтом F при
закрепленном центре вращения С1). Если обойти обводным штифтом
кривую y=f(x) от F0 до Fe и потом возвратиться назад по
) F и В описывают при этом круг.

284
V. ГАРМОНИЧЕСКИЕ АНАЛИЗАТОРЫ
прямолинейному участку оси х, причем f(x) = 0, то для площади,
ограниченной кривой, описанной, например, точкой С, имеем:
Jc = j> ti d\p
или, так как
d \ = г cos <t>d<D = kkr cos \к x dx,
p
Jc = r\k\[f (x) -f- ^ (x) -[- r cos Х&лг] cos Xft xdx -\-
o
0
+ rXft Г [г; (а:) -[- r cos Xk x] cos Xft x dx.
p
Но так как все интегралы, за исключением содержащего f(x) cos ккх,
пропадают, то
р
Jc а /-Х^. Г/ (х) cos Xft Ardx = nrk • ал = Мк • ял, где Mfe = izrk.
Итак, значения, снимаемые с планиметра, пропорциональны искомым
коэффициентам ак. Соответствующее соотношение имеет место для
площади, ограниченной кривой, описываемой точкой S :Js = Mkbk.
Фиг. 240. Действие
углового рычага
согласно фиг. 239-
ч*
4^ \*
\
/S\r
Щ Т [
f(x)+v(ae)
*£
I
Фиг. 241. Пластина с
отверстиями (шестерня Z) и
зубчатая рейка.
Так как г сделано равным ЮО/гсЛ мм, то, следовательно, Жй =
= 100 ММ) т. е. для того, чтобы получить коэффициенты ак и Ьк,
нужно выраженные в квадратных миллиметрах показания
измерительного ролика разделить на 100.
Практическое вычисление коэффициентов с планиметром новой
конструкции показано на фиг. 242. В этой конструкции предусмот-

1. МЕХАНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
285
рены две пластины с отверстиями, так что, используя одновременно
два планиметра, определяют одновременно два коэффициента. Длина
периода прибора р (фиг. 242), может быть от 2,5 до 36 см и при
использовании дополнительного приспособления (фиг 243),
состоящего из параллельного кривошипного механизма, работающего по
принципу пантографа, может быть увеличена до р = 72 см. Имея
Фиг. 242. Анализатор Мадера с двумя пластинами с отверстиями.
набор шестерен, можно определять коэффициенты до k = 33. Благо-
ларя переменной длине базиса (см. также ниже), можно
непосредственно определить все коэффициенты для k — 2п, k = Зп, k = 4п
до 6 = 2-33 = 66 или 3-33 = 99 или 4-33=132. Для£>7
требуется применение промежуточных колес, так как диаметр колес
должен быть малым; вращающаяся шестерня приводит в движение
вторую 2) шестерню, связанную с пластиной с отверстиями (см.
также [139]).
Наибольшее значение ординат у = -1- 16 см.
г) Прочитанные на измерительном ролике результаты должны быть,
согласно отношению диаметров, разделены на 2.

286
V. ГАРМОНИЧЕСКИЕ АНАЛИЗАТОРЫ
От последнего ограничения можно, однако, освободиться [175]. Если,
например, наибольшая ордината больше 16 см, то часть кривой, на которой
ординаты более 16 см, зеркально отображают способом, показанным на
фиг. 244, относительно прямой у =16 см и обходят кривую, как показано
на фигуре, т. е. горизонтальные отрезки над осью х и под осью х
проходятся дважды.
При известных обстоятельствах можно обойтись без шестерен kt
необходимых для определения коэффициентов ак% Ь^ если интервал разделить на две
Фиг. 243. Анализатор пантографом (см. текст)
равные части и коэффициенты составить из найденных отсюда значений
ак, ак и соответственно bk, b'k Нужно использовать шестерню с
передаточным числом т, причем m<£<2m. После этого обводный штифт F должен
быть таким образом установлен на обводном рычаге FC, что шестерня т
в интервале длиной р/2 должна делать половину требуемых оборотов, т. е. &/2.
Если обводный штифт F установлен на значение р 2, то шестерня сделает т
оборотов. Но так как шестерня должна сделать только fc/2 оборотов, то
штифт /Одолжен быть установлен на значение w = т -^т = т* j~- Итак,
штифт устанавливают таким образом, как если бы величина w была равна
целому периоду. Но при этом шестерня должна доходить до крайних
положений обводного штифта или соответственно углового рычага.
Так как г=гт= мм, а гк должно равняться lOQjnk мм, то
значения, прочитанные на шкале измерительного ролика планиметра, нужно
умножить на m\k. Лист бумаги с начерченной на нем кривой при каждом
обходе располагается так, что точка В (фиг. 242) лежит посреди интервала
~г. Если мы заметим далее, что начальная установка шестерни является иной,

1. МЕХАНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
287
нежели при начале обхода, то для точки В планиметра' и для коэффициентов
получаем следующие соотношения:
Остаток при делении
{2т — к) на 4
0
1
2
3
в
С
S
с
S
ак
(a'k + ak)-mlk
(a'k—ak)-mlk
— (ак + а"к) • т\ь
( — 4+al),mlk
В
S
С
S
С
ьк
(b'k + bl).mlk
i~b'k + bl).mlk
-(*'* +*£>"*/*
(b'k — b№k)-mlk
ЛС5£-
В этой таблице не содержится необходимое при применении
промежуточных шестерен деление на 2. При обходе кривой, соответствующей всему
периоду р, имеют место равенства ак = —ак • m\kt Ьк = — Ьк • mjk% если
замеренные величины обозначать черточкой сверху.
Если р = 72 см, то можно поступить подобным же образом, но только
для k= 1 требуется перечерчивание. При малых интервалах, 1,25 < р << 2,5 см
для того чтобы получить
удобный для использования результат, У\
нужно соединить два периода и,
используя шестерню с
передаточным числом т, можно получить
гармоники порядка не выше /я/2,
т. е. с шестерней с передаточным
числом 9 можно получить
коэффициенты до я4, &4 включительно.
Соединением нескольких
приборов можно одновременно
определять более двух
коэффициентов. Эти идеи
осуществляются следующим
конструктивным решением: „ведущая
каретка" Т (фиг. 245а) первоначального анализатора соединена с
„прицепной кареткой" Л. Эта каретка показана на фиг. 245а и еще раз
отдельно на фиг. 2456. Последняя имеет б пластин с отверстиями,
так что при помощи образованной „последовательности анализаторовц
могут быть одновременно определены 8 коэффициентов. Так как
практические испытания показали, что с одной ведущей кареткой без
затруднений могут быть соединены две прицепные каретки, то
одновременно могут быть определены 14 коэффициентов (см. также [304]).
Тщательные исследования точности прибора показали [11]
следующие важные результаты.
Значительные ошибки могут возникать из-за неточной установки
анализатора; сам прибор показывает при обходе контрольной линии (круг)
поразительно малую ошибку. При практическом использовании достаточно одного
Ф и г. 244. Устранение больших ординат
с помощью зеркального отображения.

288
V. ГАРМОНИЧЕСКИЕ АНАЛИЗАТОРЫ
тщательно выполненного правого обхода. Ошибки в радиусах г для С и S
ничтожны. В то время как в основном планиметре ошибка, сделанная при
обходе, может быть несколько выравнена благодаря обходу в обратном
Фиг. 245а. Последовательное соединение анализаторов.
направлении, в анализаторах, в особенности при определении высших
гармоник, это невозможно. Между прочим, ошибка в первом приближении при
обходе с неизменной скоростью и одним и тем же лицом, совершающим
обвод, может считаться постоянной. По проведенным исследованиям [304],
точность анализатора Мадера достигает 1—2%
1.1.2. Преимущество анализатора Генричи-Коради (фиг. 246)
состоит в том, что при одном единственном обходе кривой
одновременно получают k = 2, 6, 10 и т. д. до 80 коэффициентов
(коэффициенты Фурье при sinlx и cos lx /=1, 2, 3, 5). Длина
периода постоянна, так что вообще необходимо преобразование заданного

1. МЕХАНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
289
интервала. Можно также при половинной длине периода проводить
вычисления до k = 40.
Прибор формально основан на том, что коэффициенты Фурье,
данные уравнением 3 (стр. 280), могут быть преобразованы при помощи
интегрирования по частям. Имеем:
2 г 2 1 2 г
О 0 0
V
=-J^Ssinkkxdy> (4)
о
Р 9 f 9 Р
*iB jfysin\kxdx = — -^ycoskkx\ +—fsin\kxdy=*
о об
р
= -^fcoslkxdyy
о
так как первое выражение равно нулю, если задана периодическая
функция и если места разрыва
функции у=:/(х) соединяются линией,
параллельной оси ординат и за
значение функции в точке разрыва
принимается среднее значение обеих
ее ветвей в этой точке (точка
разрыва первого рода). Прибор состоит
из большой каретки У7, середина
которой совпадает с серединой
периода, а сама каретка может
перемещаться только в направлении
оси у. Каретка поддерживается тремя
валиками. Два из них соединены
валом, параллельным оси х,
который имеет на себе одно или
несколько цилиндрических утолщений,
действующих как фрикционные
колеса (на фиг. 247 обозначены Кх)-
Одно из этих фрикционных колес К^
сообщает шару К9 из матового
шлифованного стекла поворот
пропорционально dy вокруг оси,
параллельной оси х. Относительно W
перемещается по прямой,
параллельной оси ху вторая каретка G,
несущая обводный штифт (лупу) и при- Фиг 245б. диализатор с прицеп-
водящая в движение при помощи ной кареткой.
19 Зак. 1242. В. Мейер.

290
V. ГАРМОНИЧЕСКИЕ АНАЛИЗАТОРЫ
ведущего винта *) и шестереночного механизма (прежде также
дополнительно при помощи стальной проволоки) раму К± интегрирующего
прибора. Перемещение рамы пропорционально х; на /Q помещены
смещенные на 90° относительно друг друга интегрирующие ролики Мг
и М2 и еще третий опорный ролик для шара. Шар К2 получает,
таким образом, благодаря Кх поворот на угол db — dyjR вокруг
Фиг. 246. Анализатор Коради.
горизонтальной оси, но одновременно он испытывает вращение вокруг
вертикальной оси под воздействием лезвий, находящихся в раме /С4
измерительных роликов Mi, M2. Измерительным роликам передаются,
однако, вследствие трения только углы поворота, пропорциональные
расстояниям точки касания измерительных роликов от оси шара,
параллельной оси х (см. также фиг. 154 2)). Из фиг. 247 находим:
dux = r • d$x = R • sin cp . db = sin <p • dy,
du2 = r - d$2=R- cos cp • dft = coscp • dy.
*) Преобразование перемещения во вращение происходит при помощи
винта.
2) О дальнейших кинематических исследованиях, а также о переносе
пространственных процессов в плоскость см. [149].

1. МЕХАНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
291
Но так как вследствие вращения рамы (от соответствующих зубча-
ток) может быть сделано ср = Л^л; = . х, то измерительные ролики
Траектория
\точек ЫиЫг
Осъх
^'^yjTV ^£я Плоскость
\lf=f(X)
Фиг. 247. Кинематика анализатора Коради.
после обхода кривой от начальной до конечной точек показывают,
принимая во внимание уравнение (4), следующие значения:
v v
их= Г sin udy=\ sin kkxdy =—kit • аъ
о о
р р
и1= jcoscprfy= Г co$\hxdy = Ы . ЬкУ
о о
т. е. показания измерительных роликов пропорциональны искомым
значениям.
19*

292
V. ГАРМОНИЧЕСКИЕ АНАЛИЗАТОРЫ
О точности (см. [63, 104J) прибора указывается, что при 91%
проведенных измерений ошибка в коэффициентах была менее 0,2 мм
и при 73% измерений—менее 0,1 мм. При этом для каждого обхода
и для необходимого прочитывания и перестраивания результата
затрачивалось примерно 15—20 мин.
■^
1.1.3. Гармонический анализатор Гарвея, Амслера [79, 80, 4J
представлен на фиг. 248. Подобно тому, как в анализаторе Мадера
штифт анализатора описывает относительно зубчатой рейки циклоиду,
так в рассматриваемом анализаторе
циклоиду описывает точка касания А
измерительного ролика М с
плоскостью чертежа (фиг. 248).
Каретка W посредством основания тележки
и валика может перемещаться только
параллельно оси у. Относительно
нее, но параллельно оси х, движется
вторая каретка L, которая, с одной
стороны, несет обводный штифт F
и, с другой стороны, шестерню Z,
соприкасающуюся с зубчатой
рейкой Z, закрепленной на каретке W
параллельно оси х. На шестерне Z
имеется измерительный ролик М,
ось которого проходит через центр О
шестерни Z и притом так, что АО
с продолжением FO, т. е. с
положительным направлением оси у9
составляет угол у — \кх. Если гк—
радиус шестерни, то постоянная
длина периода должна быть р = k • 2гкп и, следовательно, должно
быть сделано гл=/?/2£ти. Перемещение обводного штифта F на dx
или dy вызывает, как это было показано для планиметров, для точки,
лежащей на окружности ролика, перемещение dux = dxcosy-}-ldv
и соответственно duy — — dy sin <?• Соответственно этому измерительный
ролик /И2, ось которого составляет угол о с отрицательным направлением
оси лг, показывает путь dux= dx sin с? + №р и duy = dy cosy. Если
кривая обходится, как при планиметрировании, то интеграл от вращения
ролика dux выпадает и остается иу = —<Х) dy sin у = п^ъ или
соответственно Иу = ф dy cos у = n2d • т:, где d—диаметр ролика и п—число
оборотов ролика. Итак, по уравнению (4) (стр. 289) следует ак =
= Uy/kr. ==-—- и соответственно Ьк = иу/!кт: = ntfijk *).
Ф и г. 248. Анализатор Амслера.
*) О других общекинематических выводах см. [149].

1. МЕХАНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
293
Прибор построен для k от 1 до 6. С помощью
дополнительных устройств прибор может быть использован в качестве
основного или степенного планиметра (шестеренчатый механизм для
л = 2 и 3).
1.1.4. Приборы для сложения колебаний. Приборы,
применяемые для измерения приливов и отливов, описанные в работе [196],
могут вычерчивать для одного года кривые уровня воды из 20
составляющих на полюсе длиной 200 м и высотой 50 см. Эти
приборы, конечно, далеко
превзойдены современными
конструкциями.
Основные элементы механизма
имеются и в простейшем приборе
для сложения колебаний [236]. Для
приведения прибора в действие
служат кривошипные механизмы
(фиг. 249), шатуны которых,
выполненные в виде цепи, действуют на
ролики и приводят в движение их
валы с угловыми скоростями <о, 2о>,
3(о, 5ш. Влияние шатунов при
выбранных массах (см. [149а])
практически незначительно, но может
быть еще уменьшено с помощью
применения кулисного механизма [25].
Сложение отдельных колебаний
происходит с помощью уже описанного выше(1,1.1.5, фиг. 15) тросового
или цепного механизма. Если чертящий штифт поместить в точку,
сдвиг которой равен сумме отдельных ординат колебаний, то он
вычертит на перпендикулярной к нему плоскости, сдвигаемой
пропорционально со, искомое колебание (фиг. 250). При этом могут
быть также хорошо представлены и начерчены отдельные колебания
и учтены также различные фазовые сдвиги. Приведение в действие
всех используемых валов происходит из одного места.
Фиг. 249. Принцип действия
прибора для суммирования колебаний.
1.2. Приближенные методы
Эти методы в большей или меньшей степени основываются на
вамене интеграла суммой [126, 205, 262]. Для этого в
гармоническом анализаторе может быть использован принцип моментов,
реализованный, например, в некоторых весах [219].
В анализаторе Мартенса кривая, заданная в прямоугольных
координатах, перечерчивается в полярные, затем разбивается
определенным образом и обводится радиальным планиметром для \ rdo. Из

294
V ГАРМОНИЧЕСКИЕ АНАЛИЗАТОРЫ
полученных таким образом измерений могут быть сделаны
определенные заключения относительно коэффициентов. Так как кривые и
соответственно площади должны обводиться в определенном направлении,
Фиг. 250. Прибор для суммирования колебаний.
то измерительный ролик планиметра должен иметь возможность
включаться и выключаться; см. также [143].
2. ЭЛЕКТРО-ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Эти методы применяются в разнообразных формах, главным
образом в отдельных конструкциях. Они обладают тем преимуществом,
что дают возможность быстро получить качественную картину
поведения амплитуд, а также при известных обстоятельствах оценить
неизвестные заранее периоды. Более подробно см. [218 — 220].

2. ЭЛЕКТРО-ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
295
2.1. Некоторые методы [15] основываются на
фото-электрическом принципе: кривая у =/(х), которую надо разложить в ряд,
ограничивает кусок белой бумаги, лежащий на черной подкладке.
На эту белую поверхность падает пучок света, отражаемый
цилиндрической линзой, с интенсивностью, пропорциональной значениям/(а:).
При этом регулировкой расстояния можно добиться того, что пучок
света будет иметь постоянный период. Если передвигать теперь
косинусную или синусную диафрагмы по закону 1 -\- cos kkx или
1 + sin ккх перед кривой, то на бумагу будет допускаться только
количество света, равное К \/(х) (1-\-cos\kx)dx или К\/(х) (1 -j-
-j- sin Xkx)dx; этот свет попадает на фотоэлемент, так что измерение
количества света сводится к замеру силы тока. Замеренные значения
будут Ап = А0 -f- ак • р\1 и соответственно Вп = Л0+ Ьк • р/2, где
Л0 = К \/(х) dx = К- р • а0, и К—постоянная прибора. С помощью
специальных приспособлений можно непосредственно прочитывать
коэффициенты, и метод может быть автоматизирован. См.
также [64].
2.2. Ряд методов, например методы Галицына и Пупина,
основываются на принципе резонанса. Известно, что система, способная
совершать колебания, попадает в резонанс, если частота
возбуждающих колебаний совпадает с частотой собственных колебаний системы.
Если принять искомую функцию f(t) за функцию возбуждения
колебаний, причем частота собственных колебаний системы может изменяться,
то наличие резонанса обнаружится, когда собственная частота
совпадает с вынужденной. Изменение периода собственных колебаний
должно выполняться легко, и система должна быть достаточно
чувствительна к резонансу.
Дифференциальное уравнение такой колеблющейся системы
y + ?y + <»*y=f(t)
(точки обозначают производные по времени /); если теперь принять
/(о= 2 с*sin к'+**>
& = 1,2, ...
и отвлечься от быстро затухающих собственных колебаний [42], то получим
У = 2 С* sin (°^ + 8*^»
fc=l,2, ...
где сдвиг фазы Ьк определяется из соотношения:
<0 Шд.

296
V. ГАРМОНИЧЕСКИЕ АНАЛИЗАТОРЫ
Для различных собственных частот ш резонанс появляется при <о = ш^, т. е.
Ск = ск/рщ и Ьк = <рА 4~ \ г) -
Метод Пупина служит для анализа переменного тока, который
одновременно представляет собой возбуждающую систему. В этом
методе используется состоящий из емкости и самоиндукции
колебательный контур, собственная частота которого может меняться. Если
этот метод желательно применить для другой цели, то нужно создать
переменное напряжение, пропорциональное функции /(/).
Галицын вырезает кривую, которую нужно разложить в ряд
в интервале 0, р, из непрозрачной бумаги и накладывает ее на
прозрачный цилиндр, внутри которого через щель на кривую и затем
на селеновый элемент падает пучок света. Щель параллельна оси
цилиндра и ординатам кривой y=f(x), так что меняющееся по
времени и попадающее на селеновый элемент количество света
пропорционально функции y=f(x). Так как питаемый электродвижущей
силой Е контур замкнут через селеновый элемент, то изменение силы
тока также пропорционально функции /(#).
Гальванометр, регистрирующий силу тока, представляет собой
способную колебаться систему, и резонанс может быть получен
изменением числа оборотов цилиндра. Если время оборота цилиндра &-крат-
но незатухающей собственной частоте гальванометра, то резонанс
существует относительно частоты k-Pi гармоники возбуждающего
колебания.
х) Максимум находится не точно при ш = шк. Однако при малом
демпфировании и, следовательно, малом р это предположение оправдано [42].

ЛИТЕРАТУРА
1. Ab d an k-A ba к a n о wicz В., Die Integraphen. Die Integralkurve und
ihre Anwendungen, Leipzig, 1889. („Les Integraphes", Paris 1886. Deutsch.
bearbeitet von E. Bitterli.)
2. Ackerl F., Untersuchung uber die Genauigkeit des harmonischen Analy-
sators von Dr. O. Mader, Z. Instrumentenkde, 48 (1928), 375—380.
3. A d 1 e r H., Neue Potenzplanimeter zur Bestimmung von kytdx und ф j/ dxr
Z. Vermessungsw. (Stuttgart), 61 (1932), 665-668.
3a. V a n den Akker J. A., A mechanical integrator for evaluating the
integral of the product of two functions and its application to the
computation of I. C. I. color specifications from spectrophotometric curves, Л
. opt. Soc. Amer.9 29 (1939), 364—369.
4. Alfred J. Amsler & Co., Harmonischer Analysator (System Harvey) „
Z. Instrumentenkde, 59 (1939), 288—293.
5. AWF-Mitt, 18 (1936), 3—4, 13—14, 31; 20 (1938), 154.
6. AWF-Mitt, 19 (1937), 46.
7. AWF-Mitt, 20 (1938), 14-15.
8. AWF-Mitt., 20 (1938), 29.
9. AWF-Mitt., 20 (193*), 109.
10. Baer H., Genauigkeitsuntersuchungen am Polarplanimeter, Z.
Instrumentenkde, 57 (1937), 177—189.
11. Baer H., Genauigkeitsuntersuchungen am harmonischen Analysator Mader-
Ott, Z. Instrumentenkde, 57 (1937), 225—235.
12. В a r t e 1 s J., Bemerkungen zur praktischen harmonischen Analyse, Ger-
lands Beitr. Qeophys., 28 (1930), 1—10.
13. В а у Z., Ober die Vergrofierung kleiner Bewegungen mittels Gelenkketten,.
Mat. termeszeft. Ertes, 53 (1935), 169—179; deutsehe Zussamenf., S. 180.
14. Bay Z., Methode zur mechanischen Vergrofierung von kleinen
Bewegungen, Z. Physik. 100 (1936), 253f.
15. v. Bekesy G., Ober die photoelektrische Fourieranalyse eines gegebenen
Kurvenzuges, Elektr. Nachr.-Techn., 14 (1937), 157—161.
16. Berger R., Die Lochkartenmaschine, Z. Ver. Deutsch. Ing., 72 (1928),.
1799-1807.
17. Bergmann, Ausziehen der Quadratwurzel, Z. angew. Math. Mech.,2
(1922), 316-317.
18. Berroth A., Beitrag zum Schneidenplanimeter. Schweiz, Z. Vermessungs-
wes, 32 (1934), 1 — 11.
19. В es s 1 e r A., Registrierkassen, Z. Ver. Deutsch. Ing., 72 (1928), 1791—1798.
20. Beyer R., Technische Kinematik, Leipzig, 1931.
21. Bieberbach L, Theorie der Differentialgleichungen, Berlin, 1930.
22. Bley H. G., Walzhebelgetriebe in Mefigeraten, 2. Feinmech. Prttz., 47
(1939), 209-210.
23. Bode H., Ein elektrisches Gerat zum Losen von Systemen linearer Glei-
chungen, Z. angew. Math. Mech., 17 (1937), 213—223.

298
ЛИТЕРАТУРА
24. В г a u e r E. A., Der logarithmische Zirkel, Z. angew. Math. Mech., 4 (1924),
266—267.
25. Brown S. L., A mechanical harmonic synthezer-analyser, J. Franklin Inst.y
228 (1939), 675-694.
26. В u s h V., Gage F. D. and S h e w a r t H. R., A continuous integraph,
/. Franklin Inst., 203 (1927), 63—84.
27. Bush V. and Hazen H. L., Integraph solution of differential equations,
J. Franklin Inst., 204 (1927), 575—615.
28. Bush V., The differential analyser. A new machine for solving differential
equations, J. Franklin Inst., 212 (1931), 447—488.
29. В u s h V. and Calwell S. H., Thomas-Fermi equation solution by the
differential analyser, Physic. Rev. Ш), 38 (1931), 1898—1902.
30. Bush V., Instrumental analysis, Bull. Amer. Math. Soc, 42 (1936),
649-669.
31. Callendar A., Hartree D. R. and Porter A., Time-lag in a
control system, Philos. Trans. Roy. Soc, London (A), 235 (1936), 415—444;
vgl. a. Proc. Roy. Soc, London (A), 161 (1937), 460—470.
32. Cauer W., Elektrische Methoden und Maschinen zur Auflosung von Sys-
temen linearer Gleichungen, Elektr. Nachr-Techn., 12 (1935), 147—157.
33. Caufourier P., Planimetre spiralographe pour l'lntegration des fonctions
dependant du temps, Genie civ., Ill (1937), 462.
34. С о e R. Th., Elektrischer harmonischer Analysator, J. Inst. EL Engs.,
London, 67 (1929), 1249f; vgl. a. ETZ, 52 (1931), 244.
35. Collatz L., Ober das Quadratwurzdziehen auf der Rechenmaschine, Z.
angew. Math. Mech., 16 (1936), 59—60.
36. С о uf f i gn a 1 L., Les machines a calculer, leurs principes, leur evolution,
Paris, 1933.
36a. Co uran t-H il b e rt, Methoden der mathematischen Physik, Berlin,
1931.
37. Crawford W. R., The mechanical construction of the general conic
section, Engineer, London, 162 (1936), 210.
38. Crawford W. R., The mechanical construction of certain special curves,
Engineer, London, 165 (1938), 440—441.
39. Cromwell P. C, Elektrisches Fahrschaubildzeichengerat, Electr. Engng.,
54 (1935), 923f.; s. a. ETZ, 57 (1936), 17—18.
40. Dietsch G. u. Fricke W., Ein photomechanisches Verfahren zur har-
monischen Analyse periodischer Funktionen, Elektr. Nachr.-Techn., 9
(1932), 341-345.
41. Drodofsky M., Die Division komplementarer Zahlen auf der
Rechenmaschine, Z. Instrumentenkde, 57 (1937), 254—255.
42. Dubbel H., Taschenbuch fur den Maschinenbau, 9 Aufl., 1, Berlin, 1943.
43. Duboi s, Planimeters for records from flow meters and weirs, Engineering,
140 (1936), 1—3.
44. D у с к W., Katalog math, und math.-phys. Modelle, Apparate und Instru-
mente und Nachtrag dazu, Munchen, 1892—1893.
45. v. E b e r h a r d O., Die Entwicklung der Ballistik in den letzen 25 Jahren,
Z. Ver. Deutsch. Ing., 83 (1939), 422—426.
46. Emde F., Fortlaufende Rechnungen auf der Rechenmaschine, Z.
Instrumentenkde, 56 (1936), 181—188.
47. Emde F., Rechenmaschine und Genaugkeit, Z. Instrumentenkde, 56
(1936), 265-275.
48. Emde F., Kurvenlineale, Z. Instrumentenkde, 58 (1938), 409—411.
49. Fahrenholtz O., Auswertapparat fur Spektrogramme, Z. techn. Physik,
17 (1936), 68-69.
£0a. Fdttinger H., Ober Maschinen zur Integration von Wirbel-und Quell-
funktionen (Vektor-lntegratoren), Proceedings of the First International
Congress for Applied Mechanics, Delft (1924), 214—228.

ЛИТЕРАТУРА
299
50b. Fottin ge r H., Die Entwicklung der „Vektorintegratoren"' zur maschi-
nellen Losung von Potential- und Wirbelproblemen, Z. techn. Physik, 9
(1928), 26-39.
51. Fox E., Die Anwendung der Affinitat zur Herstellung von Raumbildern
und der Affinzeichner, Z. Instrumentenkde, 54 (1934), 76—87.
52. Fran ke R., Eine vergleichende Schalt- und Getriebelehre. Neue Wege
der Kinematik, Munchen, 1930.
53. Fushen P., Flugbahn-Rechengerat, Dissertation Techn. Hochschule, Aachen,
1937.
54. Fuss H., Eine neue logarithmische Rechenmaschine, Z. Instrumentenkde,
53 (1933), 207—220 u. 257-266.
55. Galle A., Mathematische Instruments Leipzig, 1912.
56. G a n s R. und M i g u e z A. P., Ein -thermodynamischer Integrator, Physik.
ZM 16 (1935), 247—251.
57. Geier K., Die Zehnerschaltvorrichtung und die damit zusammenhangen-
den Sonderfragen, Dissertation Techn. Hochschule, Dresden, 1936.
58. Georgii, Der neue Leichtmetall-Pantograph „Pantofix", DRP. Z. Vermes-
sungswes. (Stuttg.), 62 (1933), 363—366.
59. Germans ky В., Ober ein optisches Verfahren zur Fourier-Analyse, Ann.
Physik (5), 7 (1930), 453—469.
60. Geyger W., Differentialschaltungen zur elektrischen Integrierung warme-
technischer Grofien, Arch. Elektrotechn., 35 (1931), 769.
€1. Go os F., Ein einfacher Koordinatenmefiapparat, Z. Instrumentenkde, 51
(1931), 152.
62. Gorner J., Beschleunigungmessung duich Differentiation der Geschwin-
digkeit, Luftf.-Forsch., 16 (1939), 54-58.
63. Grabowski L., Theorie des harmonischen Analysators, S.-B. Akad.
Wiss., Wien, math.-naturw. Ю- (Abt. Ha), 110 (1901), 717—889.
64. Gray T. S., A photo-electric integraph, J. Franklin Inst, 212 (1931), 77
bis 102.
65. G r e e n H D. and Maurer J., The Coordirectograph, Rev. set. Instrum.,
7 (1936), 37-40.
66. Groeneveld J., Eine neue Planimetertheorie, Z. Instrumentenkde, 47
(1927), If.
67. Grottrup H., Ein einfaches Gerat zur Transformation ebener Kurven und
seine Anwendung auf die Ermittlung von Momenten, S.-B. Berlin. Math.
Ges., 36 (1937), 33—41.
68. Haberl K., Eine Vorrichtung zum Umzeichnen von Photogrammen in In-
tensitutskurven, Physik. Z, 36 (1935), 59—61.
69. Hall J. A., A multip'e pantograph and etching apparatus, J. scL Instrum.t
15 (1938), 407—413.
70. Ham ann Chr., Ober elektrische Rechenmaschinen. (Nicht im Buchhan-
del.)
71. Happ, Parabelzeichner, Z. Ver. Deutsch. Ing., 76 (1932), 630; ferner: Die
Umschau, 36 (1932), 55.
72. v. H a rb о u, Der Prismenderivator und der Differentio-Integraph, Z. angew.
Math. Mech., 10 (1930), £63—585.
73. Hart H. C. and Travis J„ Mechanical solution of algebraic equations,
J. Franklin Inst, 225 (1938), 63—72.
74. Hartree D. R., The differential analyser, Nature (London), 135(1935),
940-943.
75. H a rt г e e D. R., Some properties and applications of the repeated integrals
of the error function, Mem. Manchester lit. phil. Soc.t 80 (1935—1936),
85—102.
76. Hartree D. R., On a equation ocurring in Falkner and Skan's
approximate treatment of the equation of the boundary layer, Proc. Cambridge
philos. Soc, 33 (1937), 223-239.

300
ЛИТЕРАТУРА
77. Hartree D. R. and Nut tall A. K., The differential analyser and its
applications in electrical engineering, J. Instn. electr. Engrs., 83 (1938),
643-647.
78. H a r t r e e D. R. and Porter A., The applications of the differential
analyser to transients on a distortionless transmission line, /. Instn. electr,
Engrs., 83 (1938), 648-656.
79. Harvey J., An harmonic analyser Engineering, 88 (1934), 667—668.
80. Harvey J., Un nouvel analyseur harmonique base sur le principe du pla-
nimetre polaire, Le Genie civ., 105 (1934), 552—555.
81. Ha up t H.f Rechenmaschine und rechnende Technik, Sonderdruck der
Brunsviga-Monatshefte.
82. H a z e n H. L., Jaeger J. J and Brown G. S., An automatic curve
follower, Rev. sci. Instrum., 7 (Ю36), 353—357.
83. Hellerich und Schmidt, Numerische Auswertung von Stieltjes—In-
tegralen, /. reine angew. Math., 164 (1931), 243—255.
84. H e m m e n d in g e r H., A transformation pantograph of the reduction of
microphoiometer tracings, Rev. sci. Instrum., 9 (1938), 178—179.
85. Herrmann K., Das Quadratwurzelziehen auf der Rechenmaschine, AUg.
Vermess.-Nachr., 49 (1937), 270—276.
86. H e г rm a n n K., Flachenberechnungen aus rechtwinkligen Roordinaten mit
der Doppelrechenmaschine, Z. Vermessungswes. (Stuttg.), 57 (1938),
273f.
87. H e у n W., Ober die Bewegungsmuglichkeiten des zwangslaufig gefuhrten
Rades, Reul. Mitt,-Arch. Getriebetechn., 4 (1936), 17—22.
88. Hoecken K., Ellipsenzeichner, Z. Instrumentenkde, 53 (1933), 286—288..
89. Hofer H., Ein Evolventenzirkel, Z. Ver. Deutsch. Ing., 78 (1934), 1170.
90. H oh e n e m s e r K., Experimented Losung ebener Potentialaufgaben,
Forsch. Ing.-Wes., 2 (1931), 370-371.
91. Honig G., Zur Behandlung von Gleichungen der Form asincp-J-fccosf == c*
Z. math.-naturw. Unterr., 68 (1937), 255—257. ,
92. H or t- T ho m a, Die Differentialgleichungen der Technik und Physik.
3 Aufl., Leipzig, 1939.
93. Hussmann A., Rechnerische Verfaharen zur harmonischen Analyse und.
Synthese, Berlin, 1938.
94. Jacob L., Le caicul mecanique, Paris, 1911.
94a. Jan te A., Darstellung und Wertung der Fahrfahigkeiten und der Ver-
fahren- zur Fahrplanung. Autom.-techn. Z., 39 (1936), 151f. u. 176f
95. Jellinek St., Neuere Gerate zum Zeichnen von Kurven, Z.
Instrumentenkde, 51 (1931), 187—197.
96. J e 1 li n e к St., Vorrichtungen zum Teilen von Winkeln in beliebige Anzahl.
von-gleichen Teilen, Arch. Getriebetechn.-Reul. Mitt., 4 (1936) (580—581).
97. Jor dan-E gg e r t, Handbuch der Vermessungskunde II, 1.9. Aufl., 193b
98. De Juhasz K. J. und Geiger J., Der Indik.ator, Berlin, 1938.
99. Kamm W., Mafinahmen zur Steigerung der Reisegeschwindigkeiten von
Fahrzeugen.Z. Ver. Deutsch. Ing., 75 (1931), 1503—1507 u. 76 (1932),
482.
100. Kaselitz F., Ein neuer Integrator zur Berechnung von Schwerewerten,
Z. Geophys., 8 (1932), 191—195.
101. Keen an L. W., Mc, Zirkel fur Kreisbogen mit grdfiem Radius, Rev. sci.
Instrum., 3 (1932), 52—54.
101a. Lord Kelvin (W.Thomson), Harmonic analyse, Proc. Roy. Soc, 27
(1878), 371—373.
101b. Lord Kelvin (W. Thomson), On a machine for the solution of
simultaneous linear equations, Nature, 19 (1878, 1879), 161f. u.. Proc. Roy^
Soc, London, 28 (1879), 11 If.
102. К erl, Ein Beitrag zum Problem des Quadratwurzelziehens mit der
Rechenmaschine, AUg. Vermess-Nachr., 45 (1933), 58—59.

ЛИТЕРАТУРА
301
103. К I e i n wa с h t e r H., Anwendung der Braunschen Rohre fur die Auflb-
sung von Differentialgleichungen auf elektr. Wege, Arch, Elektrotechn.,
33 (1939), 118—120.
104. KHngelhflffer L., Der harmonische Analysator der Fa. Coradi, Z.
Instrumentenkde. 54 (1934), 224—227.
105. Кб nig A., Ober einen Zeissschen Koordinatenmefiapparat, Astr. Nachr,,
246 (1932), 237—252; vgl. a. Z. Instrumentenkde, 53 (1933), 175.
106. KOnig H., Bestimmung von Oberflachen dichter und poroser Korper.
Arch, Eisenhilttenwes., 7 (1934), 441—444.
107. К о г t e F.t Vorschlage zur Verbesserung des Rechenschiebers. Z.
Vermessungswes. (Stuttg.), 66 (1937), 543f.
108. К г e ut z inger R„ Ober absolute Geradfuhrungen mittels eines einem
Kurbeltrieb angeschlossenen Zweischlages, Reul.-Mitt., Arch. Getriebe-
techn.% 3 (1935), 579—581.
109. Kritzler A., Zeit und Genauigkeit bei Rechenschieberarbeiten, Werk-
staitstechnik, 33 (1936), 308—309.
110. Krone rt D. J., Entzerrung von Diagrammen, Arch, techn. Messen. JO
30—31, April 1933.
111. Kuhlenkamp A., Die Feuerleiturig von Flakbatterien, Z. Ver. Deutsch.
Ing., 77 (1933), 949f. [s. a. Sv. 229].
112. К uh lenka m p A., Die Getriebe in Feuerleitgeraten, Z. Ver. Deutsche
Ing., 78 (1934), 1189f. [s. a. Sv. 229].
113. Kuhlenkamp A., Das Flakkomandogerat „Vickers", Z. Ver. Deutsch.
Ing., 79 (1935), 1197f. [s. a. Sv. 229].
114. Kuhlenkamp A., Reibradgetriebe als Steuer-, Mefi- und Rechenget-
riebe, Z. Ver. Deutsch. Ing., 83 (1939), 677—683.
115. Ku Ik a H., Neues Planimeter zur Bestimmung der Inhalle und hoheren
Momente ebener Flachen, Zbl. Bauverw., 36 (1916), 549—552.
116. Lang W., Drei sich erganzende Koordinatographen, Schweiz. Z. Vermes-
sungswes, 31 (1933), 165-169, 181—185.
117. Laurila E., Ober das NystrOmsche Stieltjes-Planimeter, Soc. Sci. Fen-
nica% Comment, phys.-math. X. 7 (1939).
118. L e n z, Die Rechen- und Buchungsmaschinen, 3. Aufl., Leipzig u. Berlin, 1932.
119. Lien eweg F., Darstellung von Parameterfunktionen mittels elektrischer
Mefianordnungen, Wiss. Veruff. Siemens-Konz., 15 (1936), Heft 3.
120. L i n d W„ Getriebe der Addiermaschinen, Z. Ver. Deutsch. Ing. 75 (1931),
201—205.
121. Lind W., Getriebe der Multipliziermaschinen, Z. Ver. Deutsch. Ing.t 75
(1931), 985-990.
322. Lorenz F., Vorrichtung zur mechanischen Bestimmung von Flachenmo-
menten beliebiger Ordnung, Z. Instrumentenkde, 55 (1935), 213.
123. Lorenz F., Das Rechengetriebe fur die mechanische Bestimmung von
Flachenmomenten, Z. Instrumentenkde, 58 (1938), 448—452.
124. Lossier H., L'Integraphe Abdank-Abakanowicz, Zurich, 1911.
125. Lubimoff S., Ermittlung der Fahrzeiten von Eisenbahnzligen, Z. Ver,
Deutsch. Ing.y 77 (1933), У83.
126. L li b k e E., Uber einen Apparat zur harmonischen Analyse und Synthese
von periodischen Kurven, Physik. Z., 16 (1915), 453-456.
127. L it с k e у P., Nomographic, 3 Aufl., Leipzig u. Berlin, 1937.
128. L tide man n K., Die Leistungsfahigkeit der Kompensations-Polarplani-
meter von G. Coradi und A. Ott, Z. Vermessungswes. (Stuttg.), 56 (1927),
Heft 10.
129. Ludemann K., Ober die Genauigkeit von Flachenberechnungen mit dem
Beil-Schneiden-Planimeter nach H. Prytz, Z. Vermessungswes. (Stuttg.),
63 (1934), 259—264.
130. L u g e о n J., Un integrateur pour coordonnees polaires, rectangulaires et
curvilignes, С R. Acad. Sci. Paris, 208 (1939), 1874—1876.

302
ЛИТЕРАТУРА
130а. Made г О., Ein einfacher harmonischer Analysator mit beliebiger Basis
Elektrotechn. Z, 30 (1909), 847-849.
131. Mai lock R. R. M., An electrical calculating machine, Proc. Roy. Soc»
London (A), 140 (1933), 457—483.
132. Martens L. K., Dynamik der Kolbenmaschine, Moskau, 1932.
133. Martin, E., Die Rechenmaschinen und ihre Entwicklungsgeschichte, Bd
1, Pappenheim, 1925 (und Nachtrag bis etwa 1936).
134. Mass ey H. S. W., Wylie J., Buckingham R. A. and
Sullivan R., A small scale differential analyser, its construction and
operation, Proc. Roy. Irish Acad. (A), 45 (1938), 1—21.
135. Mehmke R., Leitfaden zum graphischen Rechnen, Leipzig und Wien,
1924.
136. Mehmke R., Stetige Rechenapparate und -maschinen, Enzyklopadie der
math. Wissenschaften I, Heft 7.
137. Menger K., 1st die Quadratur des Kreises losbar? In ,Alte Probleme —
neue LSsungen in den exakten Wissenschaften", 5 Wiener Vortrage, zwei-
ter Zyklus, Leipzig und Wien, 1934.
138. Mever z. Capellen W., Das Konchoidenpendel, Z. Instramentenkde
52 "(1932), 123-128.
139. Meyer zur Capellen W., Zur kinematischen Analyse einiger mathe-
matischer Instrumente, Z. Instrumentenkde, 53 X1933), 56—64, 108—113.
140. Meyer zur Capellen W„ Fehlermoglichkeiten beim Integraphen
von Abdank-Coradi, Z. Feinmech., 41 (1933), 53—56.
141. Meyer zur Capellen W„ Einfache kinematische Probleme in schul-
mathematischerBehandlung, Z. math.-naturw. Unterr., 64(1933), 268—275.
142. Meyer zur Capellen W., Die Veranschaulichung stehender und
fortschreitender Wellen, Z. Instramentenkde, 54 (1934), 12—15.
143. Meyer zur Capellen W., Die Kinematik des harmonischen Analy-
sators nach Martens, Arch, Getriebetechn.-Reul. Mitt., 3 (1935), 285.
144. Meyer zur Capellen W., Ein einfaches Integrimeter, Z. math.-na-
turw. Unterr., 67 (1936), 323-325.
145. Meyer zur Capellen W., Die Erzeugung des n-Ecks mit abgerun-
deten Ecken, Arch. Getriebetechn.-Reul. Mitt., 4 (1936), 44—47.
146. Meyer zur Capellen W., Geschwindigkeiten und Beschleunigungen
an Umlaufradertrieben, Arch. Getriebetechn.-Reul. Mitt., 4 (1936), 577—
580.
147. Meyer zur Capellen W., Getriebependel. Z. Instrumentenkde, 55
(1936), 393—407, 437-448.
148. Meyer zur Capellen W., Der Rechenschieber „System Darmstadt",
Z. Instrumentenkde, 56 (1936), 468; Werkstattstechn. u. Werksl., 30
(1936), 470 u. 471.
149. Meyer zur Capellen W., Neuere Apparate zur mechanischen
Integration, Z. Instrumentenkde, 57 (1937), 103—117, 137—146.
149a. Meyer zur Capellen W. GrcJfltwert von Geschwindigkeit und Besch-
leunigung beim Schubkurbeltrieb, Getriebetechnik, 5 (1937), 529—532.
150. Meyer zur Capellen W., Instrumente zum Integrieren. Eine Ober-
sicht, Z. Instrumentenkde, 58 (1938), 93—99.
151a. Me у er z ur Capellen W., Fluchtlinientafeln und Rechengetriebe,
Z. Instrumentenkde, 58 (1938), 221—228.
151b. Meyer zur Capellen W., Rechengetriebe aus Fluchtlinientafeln,
Reul. Mitt.-Arch. Getriebetechn., 6 (1938), 480—481.
152. Meyer zur Capellen W., Der Rechenschieber „Castell-Addiator",
Z. Instrumentenkde, 59 (1939), Heft 7.
153. Meyer zur Capellen W., Genaherte Berechnung von Eigenwerten,
Ing.-Arch.t 10 (1939), 167—174.
154. Mises R. und P о 11 а с z e k-G с i ri n g e r H., Praktische Verfahren der
Gleichungsauflosung, Z. angew. Math. Mech.y 9 (1929), 58—77,152—164.

ЛИТЕРАТУРА
зоз;
154а. De M о г i n Н., Les appareils d'integration, Paris, 1913.
155. M till er Re in ho Id, Einfuhrung in die theoretische Kinematik, Berlin,
1932.
156. My a rd F. E., Methode geometrique d'integration et appareil pour mesu-
rer les aires des surfaces courbes, Cenie civ,, 103 (1933), 228—232.
157. M у a r d F. E., Nouvelles solutions de calcul grapho-mecanique, Derivo-
graphes et planimetres, Genie civ., 104 (1934), 103-106.
158. Myers D. M„ An integraph lor the solution of differential equations of
the second order, /. sci. Instrum., 16 (1939), 209—222.
159. N e s s i A. et NisolleL., Calcul graphomecanique, Appareils pour le
calcul mecamque de l'integrale du produit des deux fonctions, Paris,
1932.
160. Albert Nestler A. G.t Der logarithmische Rechenschieber und sein
Gebrauch.
161. N e ug e b a u e r G. H., Krafte in den Triebwerken schnellaufender Kol-
benkraftm^schinen, Berlin, 1939.
162. Nicholson M. G. and Perkins W. M., A simple harmonic analyser,
Proc. Inst. Radio Engr., 20 (1932), 734—739.
163- N. A.: Bericht, Flow recorder, an integrator for venturi flumes, Engineering,
140 (1935), 634.
164. N. N.: Koordinatentransformator, ETZ, 52 (1931), 276-277.
165. N. N.\ Tangenten-Normalen-Parabel-Mechanismus, Reul. Mitt.-Arch. Ge-
triebtechn., 3 (1935), 62.
166. N. N.: Ein Subtraktions-Radizier-und Multiplikaticngetriebe, Arch. Getriebe-
techn.-Reul. Mitt, 4 (1936), 23.
167. N. N.: Getriebe zum Aufzeichnen von Evolventenzahnformen, Reul. Mitt.-
Arch. Getriebetechn, 5 (1937), 379.
168. Nowak, Maschine zur Berechnung elektriscfter Leitungsnetze, ETZ, 32
(1911), 782, 973, lOOd.
169. Nowakowski A., Zur numerischen Integration gewohnlicher Differen-
tialgleichungen mit der Rechenmaschine, Z. angew. Math. Mech., 13
(1933), 299—322.
170. Nystrom E. J., Ober den Darboux-Koenigsschen Planigraphen, Soc. Sci.
Fennica. Comment, phys.-math., VI, 15 (1932).
171. Nystrom E. J., Anwendung des Planimeters als Integrator, Soc. Sci.
Fennica. Comment. phis.-math.t VII, 10 (1934).
172. Nystrom E. J., Planimetrische Auswertung von Stieltjes-Integralen,
Z. angew. Math. Mech., 14 (1934), 276—279.
173. Nystrom E. J., Ein Instrument zur Auswertung von Stieltjes-Integralen,
Soc. Sci. Fennica. Comment, phys.-math., IX, (1936) 7.
174. Nystrom E. J., Praktische Auswertung elliptischer lntegrale 3. Gattung,
Soc. Sci. Fennica. Comment, phys.-math., VIII, 12 (1935).
175. Nystrom E. J., Ober den Gebrauch des harmonischen Analysators Ma-
der-Ott, Soc. Sci. Fennica. Comment, phys.-math., IX, 14 (1937).
176. Nystrom E. J., Graphisch-mechanische Integration, Tekniiilsestu Aika-
kauslehdestu, Nr. 7—8, 1937 (Flnnisch).
177. NystrOm E. J., Graphisch-mechanische Auswertung von Doppelintegra-
len„ insbesondere bei Oberflachenbestimmungen, Soc. Sci. Fennica. Com-
ment. phys.-math., X, 8, 1939.
178. N у st г о m E. J., Moderne mechanlsche integration, Tekn. Furen. Finl. Forh.,.
Nr. 4, (1939) (Schwedisch).
179. Ott L. A., Neue Planimeter und Integrimeter, Mefitechnik, 12 (1936), Heft
3 (Sonderdruck Dd 368 des Math. Mech. Inst. A. Ott, Kempten).
180. Ott L. A., Nouvelles planimetres et integrimetres, Genie civ., 105 (1936),
229-231.
181. Ott L. A., Systematische Entwicklung der Planimeter und Integrimeter
aus der einfachsten Grundform, Mefitechnik, 13 (1937), 41—48.

304
ЛИТЕРАТУРА
182. Ott L. A., Le developpment systematique des planimetres et des integri-
metres a partir de la forme fondamentale la plus simple, Genie civ., Ill
(1937), 203—207.
183. Matb.-Mech. Inst. A. Ott, Der harmonische Analysator Meder-Ott.
184. Pa rtridge G. F., A method of harmonic analysis.— A study of the
rotational frequencies of screw propellers, Philos. Mag. \J), 25 (1938),
505—539.
185. Pascal E. u. С a lie A., Meine Integraphen fur Differentialgleichungen,
Z. Instrumentenkde, 42, 232, 253,300, 326; Auszug aus dem Buch
Pascal E., I miei integrator^ Napoli, 1914.
186. P f e i f i e r F., Anwendungen des logarithmischen Zirkels, Z. angew. Math,
Mech., 5 (1925), 172—174.
187. Picht J., Ober neue Integraphen der Askania-Werke A. G., Z. Instrument
tenkde, 52 (1932), 289-299.
188. Poggi L., Su una machinetta per calcoli algebraici, Ric. Sci. progr. teen.
econom. naz.t II, s. 1 (1937), 300—303.
189. Poggi L„ Una machinetta per la systemi die equazione lineari e calcoli
analoghi, Ric. Sci. progr. recn. econom. паг.у II, s. I (1937), 418—
422.
190. Pollak L. W., Das Rechnen mit und ohne Maschine, Z. Instrumentenkde,
47 (1927), 340-357.
191. Pollak L. W., Ober die Verwendung des Lochkartenverfahrens in der
KHmatologie, Z. Instrumentenkde, 47 (1927), 528.
192. Pollak L. W., Ober die Verwendung des Tonfilms zur Harmonischen
Analyse, Z. Instrumentenkde, 59 (1939\ 208—210.
193. Pollard A. F. C, The mechanical amplification of small displacements,
/. sci. Instrum., 25 (1938), 37—55.
194. Pr eg el, T h., Theorie des Prazisions-Stangenplanimeters Svstem Pregel,
Chem.Jtz, 1909,
195. Rauh K., Praktische Getriebelehre, Bd. 2, Berlin, 1939.
196. Rauschelbach H., Die deutsche Gezeitenmaschine, Z. Instrumentenkde,
44 (1924), 285f.
197. Reck M., Elektdsches Gerat zur selbsttatigen Aufldsung von Gleichun-
gen ersten und hoheren Grades, Arch. Elektrotechn, 32 (1938), 190—
197.
198. Reuleaux F, Die sogenannte Thomassche Rechenmaschine, 2. Aufl.,
Leipzig, 1892.
199. Reuter F., Ein Hilfsapparat zur harmonischen Analyse, Z. Geophysik, 12
(1936), 29—32.
200. Richter — v. Voss, Die Bauelemente der Feinmechanik, 2. Aufl.,
Berlin, 1938.
201. Ristau H. A., Berechnung der Fehler von Rechenstabrechnungen, Z.
angew. Math. MecK, 16 (1936), 59f.
202. Roder H., A simple method of harmonic analysis for use in radio
engineering practice, Proc. Inst. Radio Engs., 19 (1931), 1481—1487.
203. Ro h r b e rg A., Die Anpassung des Rechenschiebers an den Rechen-
bedarf der Gegenwart, Z. Instrumentenkde, 56 (1936), 322-328.
204. Rohrberg A., Theorie und Phaxis des logarithmischen Rechenstabes,
7. Aufl., Leipzig und Berlin, 1941.
205. Ross e la nd S., Ober einen Differentialanalysator. Norsk mat. Tidsskr.,
19 (1937) 134—138, (Norwegisch).
206. Rotscher F., Einfache Veriahren zur Ermittlung des Schwerpunktes, des
Rauminhaites und der Momente hoherer Ordnung Z. Ver. Deutsch. Ing.,
80 (1936), 1351 — 1354.
206a. Rung e C, Das Stangenplanimeter, Z/. Verm., 24 (1895), 231—331.
207. Salomon M. В., Des integrateurs mecaniques a liaisons holonomes,
Sci. et Ind.t 16 (1932), 8.

ЛИТЕРАТУРА
305
208. Samssanow, Ober ein Gerat zur Losung eines Systems von Hiiearen
Gleichungen, AppL Math. a. Mech., 2 (1933), 309-313
(Russisch.),Deutsche Zusammenfassung, S. 313.
208a. v. Sanden H., Uber eine zweckmafiige Konstniktion des Stangenplani-
meiers, Z. Math. Phys., 59 (1911), 314—318.
209. S a x 1 I. J., Gerat zur Aufnahme von Haufigkeitsverteilungskurven, J. sci.
fnstrum., 7 П936), 429f.
210. S с h e n d e 11 G., Darstellung der Regeln des logarithmischen Rechenschie-
bers, Z. Instrumentenkde, 59 (1939), 124—134.
211. Schimmack R., Ein kinematisches Prinzip und seine Anwendung zu
einem Katenographen, Z. Math. Phys., 52 (1905), 341—347.
212. S с h m e i z, Kartiermafistab .Lasco" nach Conradt-Ott, Z. Vermessungswes
(Stuttg.), 63 (1934), 46-47.
213. Schweitzer P., Einfacher logarithmischer Spiralenzeichner, Z. angew.
Math. Mech., 3 (1923), 236—237.
214. Selling E„ Eine neue Rechenmaschine, Berlin, J. Springer., 1887.
215. Selling E., Neue Rechenmaschine, Z. Math. Physik, 52 (1905), 86—103.
216. S e w i g R., Durchfuhrung von Rechenaufgaben auf elektrischem Wege, Z. In-
strumentenkde, 55 (1935), 34—36.
217. Stiles В eggs J., The synthesis of gear tooth curves,Physics, 7 (1936),
163-165.
218. Stumpff K., Analyse periodischer Vorgange, Berlin, 1927.
219. Stumpff K., Grundlagen und Methoden der Periodenforschung, Berlin,
1937.
220. Stumpff K., Tafeln und Aufgaben zur harmonischen Analyse und Periodo-
grammrechnung, Berlin, 1939.
221. Taanasescu T. A., Elektrisches Verfahren fur algebraische
Gleichungen, Gaz. math., 44 (1939), 287—292 (Rumanisch).
222. T e г e b e s i P., Ein neues Naherungsverfahren zur harmonischen Analyse,
Arch. Elektrotechn., 38 (1934), 195—200.
223. T e r e b e s i P., Aufsuchen versteckter Periodizitaten, Z. Geophys., 9 (1934),
313—323.
224. Tie d ek e n R., Die Verwendiing moderner Rechenmaschinen fur optische
Rechungen, Z. Instrumentenkde, 56 (1936), 15—26.
225. Ullrich K., Untersuchung uber die GenauJgkeit des Scheibenrollplani-
meters, Z. Instrumentenkde, 50 (1930), 514.
226. Ulm H., Maschinelle AuflOsungvon Systemen linearer Gleichungen, Sem.-
Ber. Munster, 13 (1937—1938), 94—105.
227. V a r r e n A., Systematik der Zehnerschaltvorrichtungen, Dissertation Techn.
Hochschule, Berlin, 1930, Essen, Selbstverlag, 1934.
228. Va si 1 e s со V., Methode generale d'analvse harmonique des courbes
periodiques, Rev. gen Electr., 35 (1934), 773—778.
229. Verein deutscher Ingenieure, Sonderheft Flugabwehr., Berlin, 1938.
229a. Vidal P. C, Sur une machine a resoudre les systemes d'equations line-
aires, С R. Acad. Sci. Paris, 202 (1936), 1748—1751.
230. Viet oris L., Ein einfacher Integraph, Z. angew. Math. Mech.Ab (1935),
238 -242.
231. Vie tor is L., Ober die Integration gewohnlicher Differentialgleichungen
durch Iteration, Mh. Math. Phys., 39 (1932), 15—50; 41 (1934), 384-391.
232. Voigt H., Ablesegerat zur Bestimmung der Fehler an den internationa-
len Koinzidenzzeitzeichen, Z. teinmech. u. Praz., 47 (1939), 211—212.
233. Walt her A., Ein einfaches Verfahren zur Bildung von Differentialkurven,
Z. Ver. Deutsch. Ing.. 75 (1931), 1397—1398.
234. Walt her A., Mathematische Gerate zum Integrieren, Z. Ver. Deutsch.
Ing., 80 (1936), 1397-1403.
235. W a 11 h e r A,, D re у с r H.-J. und E s t e n f e 1 d H., Modelle zum Loga-
rithmenpapier, Z. techn. Physik, 20 (1939), 56—58.
20 Зак. 1242. В. Мейер.

306
ЛИТЕРАТУРА
236. Wait her A., Dreyer H.-J. und Est en f eld H.f Ein Gerat zur Uber-
lagerung von Sinuslinien, Z. Instrumentenkde, 59 (1939), 162—168.
237. W a 11 h e r J., Das Planimeter und seine Verwendung in der Textilindu-
strle, Mschr. Textilind., 1933, Heft 7—10.
237a. Watzinger A. und Larsen R. S., Erfahrungen mit elektrischer
Druckaufnahme bei Warmekraftmaschinen, Z. Ver. Deutsch. Ing.. 83(1939),
899-901.
238. Wehage D., Ballistische Rcchenapparate I u. H, Wehru. Waff., 10(1933),
448—455; 11 (1934), 405-412, 452.
239. Werkmeister P., Ein neuer Auftragapparat furPolarkoordinaten (Potar-
koordinatograph), Z. Instrumentenkde, 48 (1928), 131—134.
240. Werkmeister P., Der Leichtmetall-Pantograph „Pantofix*, Z.
Instrumentenkde, 51 (1931), 374—375.
241. Werkm e is ter P., Polarkoordinatograph der Fa. Haag.-Streit in Bern,
Z. Instrumentenkde, 51 (1931), 494.
242. Werkmeister P., Vier neue Kartierungsgerate der Firma A. Ott in
Kempten, Z. Instrumentenkde, 52 (1932), 195—198.
243. W erkm e iste r P., Potenzplanimeter „Adler-Otta, Z. Instrumentenkde,
52 (1932), 324-326.
244. Werkmeister P., Beitrag zur Bestimmung der Konstanten eines Polar-
planimeters, Z. Instrumentenkde, 52 (1932), 473r-479.
245. Werkmeister P., Ein Dreirollenplanimeter, Z. Instrumentenkde, 54
(1934), 410-412 (Druckschrift Dd 362 der Fa. A. Ott.).
246. Wer к me ist e r P., Ein neuer Linienmesser von A. Ott, Z.
Instrumentenkde, 55 (1935), 176—177.
247. Werkmeister P., Neiierungen an Planimeieni, Z. Instrumentenkde, 55
(1935), 266-267.
248. Werkmeister P., Ein neues Instrument zur Bestimmung der Richtungs-
vvinkel von Kurventangenten, Z. Instrumentenkde, 57 (1937), 379—
380.
249. Werkmeister P., Untersuchung eines Integrimeters von A. Ott, Z.
Instrumentenkde, 59 (1939), 168—171.
250. Weygandt A., Die elektromechanisclie Determinantenmaschine* Z.
Instrumentenkde, 53 (1933), 114—121.
251. Weygandt A., Der Drehzahlerautomat fur die Ausrechnung von Deter-
minanten, Dissertation Techn. Hochschule, Hannover, 1938.
252. Wichi H. H., Ein Vektorrechenstab., £TZ, 59 (1938), 1093-1095.
253. Wilbur J. В., Die mechanische Losung von simultanen Gleichungen,
У. Franklin Inst.y 222 (1936), 715—724.
254. Wilhelmi H., Hinterschiffene Formfraser, Masch. Ban Betrieb, 16(1937),
555-556.
255. Willers Fr. A., Mathematische Instruments, Leipzig, 1926.
2.56. Wilski O., Ober die Ablesegenauigkeit an ungleichmafiig geteilten Skalen
(insbesondere am Rechenschieber), Z. angew. Math. Mech., 13 (1933),
451-452.
257. W i 11 e R., Mengen- und Mengenstrom-Mefiverfahren in chemischen und
verwandten Betrieben. Chem. Fabrik, 11 (1938), 229—238.
258. Zech Th., Harmonische Analyse mit dem Lochkartenverfahren, Z.angew.
Math. Mech., 9 (1929), 425—427.
259. Z u h 1 к е M., Rechentechnik, Rechentafeln und Sonderrechenstabe, Leipzig
und Berlin, 1938.
260. Bachmann W., Les deformations provenant du dereglage du pantographe
Schweiz, Z. Vermessungswes., 33 (1935), 35—44.
261. Berger E. R., Bestimmung von Deviationsmomenten mit dem Tragheits-
momentenplanimeter, Z. Instrumentenkde, 61 (1941), 381—384.
262. Berger E. R., Harmonische Analyse diskreter Zahlenreihen, Z. angew.
Math. Mech., 23 (1943), 269—272.

ЛИТЕРАТУРА 307
263. Bourier A., Harmonische Analyse von Drehkraftkurven,AEG-Af/tf., 1939,
326—330.
264. Brown S. L. and Wheeler L. L„ A mechanical meihod for graphical
solution of polynomials, J. FrankL Inst., 231 (1941), 223—243.
264a. Bi'ickner H., Ober eine Naherungslosung einer gewohnlichen linearen
Differentialglelchung. 1. Ordnung, Z. angew. Math., 22 (1942), 143—152.
264b. С u n у К. Н., Wie arbeitet der lngenieur mit dem Ott-Planimeter? Der
Maschinenmarkt (1943), Heft 2 u. 3. Sonderdruck Dd 402 des Math. Mech.
Institut A. Ott, Kempten.
265. lid el man H., Aus der Praxis des Rechenschiebers, ETZ, 61 (1940),
1015-1016.
265a. Eggert O., Algebraisches Rechnen mit der Rechenmaschine, Z. Ver-
messungswesen, 72 (1943), 1—6.
266. E к e 1 б f S t., Tekn. Tiskr., 69A (1939), 143f.
267. Flugge J oh., Umwandlung von Winkelteilungen auf dem Rechenschieber,
Z. Instriimentenkde, 61 (1941), 311-314.
267a. Fran к e R., Vom Aufbau der Getriebe, Bd. 1, Berlin, 1943.
268. G r a m m e 1-B i e z e n o, Technisclie Dynamik, Berlin Springer-Verlag, 1940.
268a. Ha in K.» Die Verwendung des Gelenkvierecks als Rechengetriebe,
Z. Instriimentenkde, 63 (1943,, 170—180.
269. Harkink F., Die Brunsviga-Koordinatenmaschine, Allg. Verm.-Nachr., 51
(1939), 597f.
269a. H a rt m u t h M.t Vom Abakus zum Rechenschieber, 2. Aufl., Hamburg, 1943.
269b. Heinhold J., Zur mechanischen Integration von Differentialgleichungen,
Z. Instriimentenkde, 63 (1943), 71—74.
270. H ir v on e n, Tankoplanimetri (Stan^enplanimeter). Helsinki Mannmittaus-
lehti, 1940.
271. Hoffmann Jos. E., Ober ein „neues" Verfahren zur Naherung von
Quadratwurzeln, Deutsche Mathematik, 6 (1942), 453—461.
272. Hugershoff R., Ausglekhsrechnung, Kellektivmafllehre und Korrela-
tionsrechnung, Berlin, 194J.
273. I inn of A., Der Prismenderivator zur Konstruktion von Kurven-Normalen
und Tangenten, Schweiz. techn. Z.t 25 (1928), 204—205.
274. Johnstone J. G., On the application of the integraph to some ship
calculations, Trans. Instn. naval Archit, 49 (1907), 198—220.
275. Johnstone J. G., The uses of the integraph in ship calculations, Trans.
Instn. Engrs. Shlpb. Scotl., 47 (19ЭЗ—1904), 195—223.
276. Kamkc E., Differentialgleichungen. Losungsmethoden und Losungen,
Bd. I, GewOhnliche Differentialgleichungen, Leipzig, 1942.
277. Knorr U., Ober einen integraphen zur mechanischen Integration einer
sehr allgemcincn Gruppe von Differentialgleichungen, Dissertation Munchen,
278 Knorr U., Die LOsung von Differentialgleichungen auf mechanischen
Wege initters des Fahrdiagraphen, Elektr. Kraftbetr. u.Bahnen,\911921),
273L, 285f.
279. Knorr U., Apparat zur selbsttatigen Aufzeichnung des Fahrdiagramms,
Elektr. Kraftbetr. u. Bahnen, 12 (1921), 310—314.
280. Knorr U., Der Fahrdiagraph. Org. Fortschr. Eisenbahnw., 79 (1924),
353—358; ferner Elektr. Kraftbetr. u. Bahncn, 18 (1920), 53—58.
281. Kr tiger H., Gerate fur die Feurleitung auf Kriegsschiffen, Feinmech. u.
Prez., 50 (1942), 65-70.
282a. Kuhlenkamp A., Flak-Kommandogerate, Z. Ver. dtsch. Ing.f86(1942),
417-429. S S K h
282b. Kuhlenkamp A., Mathematische Beziehungen an Reibradgetrieben,
Z. Ver. Dentsch. Ing., 87 (1943), 273—278.
283. La u ri la E„ Stieltjesplanimetri, Stiomalainen integromiskoje, Teknlllisestn
Aikakaislehdesta, Nr. 7—8, 1939.
20*

308
ЛИТЕРАТУРА
284. Laurila E.t Zur mechanischen Berechnung des Fourierschen Integrals,
Soc. Scl. Fennica. Comment, phys.-math., X, 15 (1940).
285a. Lorenz J., Ein Produktverhaltnismesser, ETZ, 63(1942), 489—494.
285b. Lorenz J., Der Productverhaltnismesser in seinen verscliiedenen
Schaltungen, ETZ, 64 (1943), 258—261.
285c. L u e g, Die unmittelbare Bestimmung der Geschwindigkeit einer Ternpe-
ratufpnderung, insbesondere der Abkiihlgeschwindigkeit, durch elektrisclie
Differentiation, Mitt. Kaiser-Wilh.-Inst. Eisenforschung, 26 (1943), 1—7.
286. Meyer zur Capellen W., Ober Normungszahlen, Z. math.-naturwiss.
Unterr., 73 (1942), 75—81.
287. Meyer zur Capellen W.t Das Reibradgetriebe als Integrator, Z. In-
strumentenkde, 63 (1943), 241—258.
288. Meyer zur Capellen W., Obertragungs- und Wendegetriebe an der
Monroe-Rechenmaschine, Z. Instrumentenkde, 63 (1943), 316—322.
289. Neusinger H., Experimented Untcrsuchung eines quasiharmonischen
Schwingers, Akust. Z., 5 (1940), 11—26 (Dissertation Technische Hochschule,
Berlin, 1939).
290. Ny Strom E. J., Bestimmung von Mittelwerten aus Diagrammen, Teknil-
lisestit Aikakaislehdestd, Nr. 9,1941;ferner Tekniska Furenin^ensi Finland
FOrhandlingar, Nr. 9, J941.
29la. Obalski J., Ober die Breitefehler der Flachenmefimaschinen, Mefitechn.,
15 (1939), 137—140, 156-159.
291b. Obalski J., Ober einige mathematischc lnstrumente mit einer Mefirolle,
deren Achse mit Gewinde versehen ist, Z. Instrumentenkde, 63 (1943),
100—108.
292. Pellehn G., Der Pantograph 1603—1903, vom Urstorchschnabel zur
modernen Zeichenmaschine, Dtsch. Mech.-Ztg. (1903). (Z. Instrumentenkde,
23, 85—90, 93—95, 105—107, 113—117, 125—129.)
293. Per к ins on T. F., A machine for the calculation of train performance
data, Gen. Electr. Rev., 40 (1037), 5.74-579.
294. Righini G., Integratore ottico per la detcrminazione del profilo
vero delle righe spettrali, Mem. Soc. astron. ItaL, N. s. 14 (1941),
169-183.
295. Rosseland S., Mechanische Integration von Differenlialgleichungen,
Naturwiss., 27 (1939), 729—735.
296a. S a u e r R. und Posch H., Rechnerische Differentiation von Kurven,
Z. Ver. dtsch. frig., 85 (1941), 195—197.
296b. Sauer R. und Pusch H., Integriermaschine fur gewohnliche Differential-
gleichungen, Z. Ver. Deutsch. Ing., 87 (1943), 221—224.
297. Schlemmaier R., Aufnahme und Auswertung bei der Flugabwehr,
Z. Ver. dtsch. fng., 86 (1942), 7—14.
298. S с h r u t к a L., Theorie und Praxis des logarithmischcn Recliensclnebers,
2. AufL, Wien u. Leipzig, 1929.
298a. Schwerdt H., Lehrbuch der Homographie, Berlin, 1924.
298b. Schwerdt H., Anwendung der Nomographic in der Mathematik, Berlin,
1931.
299. Sttobel Chr., Elektrisclie Darstellung mathematischer Funktionen, Arch*
• Elektrotechn., 34 (1940), 334—338.
299a. Stumpff K., Trigonometrisclie Interpolation und Extrapolation von
Beohachtungsreihen, Berlin. 1941.
300. S u n d m a n K. F., Plane d'une machine destinee a donner les perturbations'
des planetes, Helsingfors, 1915.
301. Toeller H. und Klee G., Ober die Radizierungen an Ringwaagen und
deren Einflufi auf die Mefigenauigkeit, Feinmech. u. Praz., 50 (1942),
13-16.
302. Trnka Z, Die harmonische Analyse von Spannungs- und Stromkurven,
Arch. Elektrotechn., 36 (1942), 123—130.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
ЗОУ
303. Vie lor is L., Zur Thcorie. dcr Inlcgraphen, Jber. Dtsch, Math.-Ver., 52,
Abt. 1 (1942), 71—74.
304. Wag em a nil H., Dcr crwcitcrlc harmonischc Analysator nach Madcr-Ott
und seine Verwctidung in der synoptischen Metcorologie, Meteor. /., 59
(1942), 134-137.
305. W a 11 h e r A., Neuzeitliche maihematischc Maschincn,£rZ,61 (1940), 33-36.
300. Walt her A. and В r i и к m a n n K., Zum Sprungstellen-Verfahren,
insbesondcre fur die Entwicklung nach Kugelfunktionen, Ing.-Arch., 13
(1942), 1-8.
307. W e г к m ei stc r P., Rccheiiscliieber zur Berechniing von Funktionen
init drei, vier und fiinf Veranderlichen, Z. Math. Phys.t%2 (1914),93—106,
308. Werkmeister P., Eine пене Zehnlasten-Rechenmaschine, Z. Instru-
mentenkde, 53 (1933), 177-179.
309. Willcrs Fr. A., Rcchenmaschinen, Arch, techn, Messen J.t 081 —1/4(1940).
310. Zech Tli., Uber das Sprungslellenverfahren zur harmonischen Analyse,
Arch. FJck'rotechn., 36 (1942), 322—328.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Л икса X. X. и Хоппер Г. М., Автоматически управляемая
вычислительная машина, Успехи машем, наук, III, вып. 4 (1948).
2. Акушский И. Я., Краткий очерк счетно-аналитических машин, Изв.
АН СССР, вып. 8 (1946).
3. А к у ш с к и й И. Ям Некоторые новые методы вычисления сумм
произведений на табуляторе, Изв. АН СССР, вып. 8 (1948).
4. А к у ш с к и й И. Я., Применение счетно-аналитических машин к
численному решению задачи Дирихле, Докл. АН СССР, новая серия, II, № 5
(1946), 379-382.
5. А к у ш с к и й И. Я., Процесс диагонального суммирования на табуляторе
и некоторые его применения, Изв. АН СССР, вып. 5 (1947).
6. Акушский И. Я., Счетно-аналитические машины и некоторые их
применения к математическим задачам, Успехи матем. наук, II, вып. 2
(1947).
7. А м и р а г о-В ольски и И. Е., Механизация вычислений. Практическое
пособие для изучения техники вычислений на логарифмической линейке
и счетно-вычислительных машинах (арифмометр, комптометр и др.),
Баку (1932), 125, с илл.
8. Ангелов С. А., Вычисление поправок за центрировку и редукцию на
арифмометре, Геодезист, № 7 (1940), 48—56.
9. А и г с л о в С. А., Таблицы для вычисления поправок за центрировки и
редукции на арифмометре, Геодезиздат, Москва (1941), 8.
10. Антимонов К. И., Графо-механический способ определения
коэффициентов двойного тригонометрического ряда, Прикл. мат. и мех.,
II, вып. 1 (1938), 133—136.
11. Аст ряб А., Сложение и вычитание относительных чисел на приборе
„плюс-минус" И. Котрохова, Физ.,хим„ матем., техн. в сов. школе,
№ 2 (1931), 54—57.
12. Белый с кий Н., Делительные машины с 10 черт, и с 22 рис.
(Предисловия доц. Лизгунова С. П. и доц. Гладилина А. Н.), Москва, изд. и
картопечатная мастерская Моск. ин-та инж. геодезии, аэрофотосъемки
и картографии (1936), 55.
13* Б е р в и Н. В., Кинематические Вычислители функций, Москва (1904), 110.
14. Бе рви Н. В., Упрощенная система арифмометра, Москва (1903).
15. Бируков Б. И., Новый рисовальный и проекционный аппарат,
Германец, пехника, № 8 (1927); 8—10.

310
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
16. Б оо ль В. Г., Прибор для сложения Чебышева (арифмометр,
изобретенный в 1878 г.) (с 3 рис.), „Труды топографо-геодезич. ком." (1896),
1—8.
17. Б оо ль В. Г., Арифмометр Чебышева, М. (1894), 33.
18. Б оо ль В. Г., Приборы и машины для механического производства
математических действий (Устройство и оценка новых счетных
приборов), Москва (1898), 28.
19. Б о о м Ф. Г., Приборы и механизмы для механического производства
арифметических действий, изд. Кушнарева (1892).
20. Бруевич Н. Г., Механизмы для выполнения математических операций
(Авт. указаны в авт. указателе), Техн. энциклопедия, XIII (1941),
66—91, библиография, 15 названий.
21. Бруевич Н. Г., Машины для решения алгебраических уравнений, Вести.
металлопромышленности, № 1 (1938), 54—71, библиография, 9
названий.
22. Б р у е в и ч Н. Г., Механизмы точной механики, изд. ВВА (1937).
23. Бруевич Н. Г., Точность механизмов, ГТТИ (1946).
24. Б р у к И. С, О механическом приборе для решения обыкновенных
дифференциальных уравнений. Автоматика и телемеханика, № 3
(1936), 143—152.
25. Брук И. С, Машина для интегрирования дифференциальных уравнений,
М. — Л., изд. АН СССР (напечатано в Киеве) (1941), 44.
26. Брук И. С, Описание машин для решения дифференциальных
уравнений (Энергетический институт).
27. Бунимович А. Д., Приборы для интегрирования как звенья неголо-
номного механизма (с 3 черт.), Киевский университет, Изв. № 30 (1915),
45—52. (Протокол физ.-мат. общ. за 1915 г.)
28. Б v ня к о в с к и й В. Я., О самосчетах и о новом их применении, СПб.
(1876), 28, 1 л. табл. (Приложение к т. XXVII записок АН № 4.)
29. Б у ш В. и Колдвелл С, Новый дифференциальный анализатор,
Успехи мате мат, наук, I, вып. 5—6 (1946), библиография, 14 названий.
30. Быховский М. Л., Автоматическая счетно-аналитическая машина
Гарвардского университета, Изв. АН СССР, вып. И (1947).
31. Быховский М. Л., Киноинтегратор Массачузетского института, Изв.
АН СССР, вып. 5 (1947).
32. Быховский М. Л., Точность механизмов, у которых положения звеньев
описываются Дифференциальными уравнениями, Изв. АН СССР, вып.
11 (1947).
33. Быховский М. Л., Новый дифференциальный анализатор Буша, Изв.
АН СССР, Отделение техн. наук, № 8 (1946), 1177—1198.
34. Быховский М. Л„ Электронная счетно-аналитическая машина (ЭНИАК),
Изв. АН СССР, вып. 8 (1948).
35. Веденеев В., Синусная линейка и ее применение в приспособлениях,
Текст, машиностроение, № 4 (июль — август 1934), 12—14.
36. В е р к м е й с т е р П., Устройство счетной линейки для вычисления
разностей высот, Гопографич. и геодезии, журнал, № 15 (1912), 232—233.
37. Винер Я. и Неслуховский С, Энциклопедия счетных машин,
М. —Л., вып. 1 (1931).
38. Винер Я. и Неслуховский С, Руководство по работе на счетно-
аналитических машинах, Москва (1931).
39. Бойдак А., Механика чисел, схемы и проекты счетных машин с 30 табл.
и черт., с приложением таблиц арифметич. действий, подвижных
логарифмов и арифмометра (логарифмометра), Одесса (1907).
40. Володин П., Привилегия, Планиметр-линейка, Москва (1864).
41. Виеторис Л., Об интегрировании обыкновенных дифференциальных
уравнений посредством иттерации, ч. П, Интеграф-лилипут, перев.спем.
Крыжановского Д. А., Успехи матем. наук, вып. IV (1938), 73—78.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
311
42. Г с р ш г о р и и С. А., Механизм для построения функции комплексного
переменного ; = j(z+ ^) , ИТИЛ,И (XXVI), (1928), 17-24 (ИТИЛ-
Изв. технол. ин-та им. Ленина).
43. Гершгорин С. А., О механизмах для построения функций
комплексного переменного, Журнал Ленинградок, физ.-мат. об-ва, I, вып. 1
(1926), 102—113.
44. Гершгорин С. А., Об электрических сетках для приближенного
решения дифференциального уравнения Лапласа, Журнал прикл. физики,
№ VI, вып. 3—4 (1929), 3—30.
45. Голиков В., Инерционная, статическая и планммет ическан линейки,
Сб. научн.-иссл. ин-та воен. кораблестроения ВМС РККА, № 3 (1934),
78—81.
46. Г рад штейн И. С, Решение систем линейных уравнений на
электрических моделях Гутенмахера Л. И., Изв. АН СССР, вып. 5 (1947).
47. Гринвальд М., Арифметический циферблат, совершенно новое
руководство для изучения почти всех арифметических вычислений
скорейшим и легчайшим путем по таблице без помощи учителя, перев.
с древн. евр. Рейхерсон Г. М. с табл., Вильно (1881).
48. Гроссман Д. П., Применение счетно-аналитических машин к решению
систем линейных алгебраических уравнений методом иттераций, Изв.
АН СССР, вып. 8 (1948).
49. Гутенмахер Л. И., Электрические модели (аналогии) физических
явлений и их некоторые применения в технике и физике, Изв. АН
СССР, вып. 8 (1946).
50. Гутенмахер Л. И., Электрические цепи для приближенного решения
системы уравнений, Доклады АН СССР, новая серия, XLVII, № 4
(1945), 262—264.
51. Г у т е н м а х е р Л. И., Электрическое моделирование
(электроинтегратор), М. — Л., изд-во АН СССР, напечатано в Свердловске (1943),
128 стр.
52. Г у т е н м а х с р Л. И., К о р о л ь к о в Н. В. и Тафт В. А.,
Электрические схемы для решения системы уравнений, Электричество, № 4
(1945), 33—36.
53. Дмитриев, майор корпуса, горн, инж., Наставление к употреблению
числительной линейки Каллардо, приноровленной к мерам российским
корпуса горн. инж. майором Дмитриевым, СПб. (1837), 84.
54. Дрозд о в Ф. В., Счетные машины и производство вычислений
механическим путем (с 64 рис.), Москва (1926), 72.
55. Завод счетных и пишущих машин, Арифмометр „Союз" (описание), тин.
„Пролетарская жизнь", Москва, 17.
56. Зайцев В. М., Планиметр и работа с ним, Москва (1938), 11.
57. Зарубин П., Описание планиметра, изобретение Зарубина П., СПб.
(1854), 20.
58. Иде ль сон Н. И., Механизация счета (с 52 рис.), М. — Л. (1930), 128.
59. Каган В., Счетные аппараты и пособия, вкладка в т. XII Энциклоп.
словаря Граната в статье „Вычисление", стр. 111.
60. К а дине кий К., Новая числительная линейка, СПб. (1860).
61. Казаков 11. Г., Вычислительный перфоратор с горизонтальным
сложением и вычитанием, перев. с франц. Бернгард Э. Э., обработка,
дополн. и ред. Казакова П. Г., Москва (1936), 18 [48].
62. Калинин В., Комбинированный транспортир-линейка, Вести, воздушн.
флота, № 7 (июль 1932), 27.
63. К а н ц с р-Ч е г о д а р, Краткая теория поляр-планиметра, Москва (1912), 17.
64. Катков Д. С, Руководство к счетным линейкам системы инж.
Каткова Д. С. для кузнечных работ, Харьков, Украмський робипник
(1930), 16.

312'
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
65. К о б р и и с к и и II. Е., Новый тип гармонического анализатора, Вести.
металлопромышленности, № 4 (1938), 54—58.
66. К о б р и н с к и й Н. Е. и Л ю с т с р н и к Л. А., Математическая
техника, Успехи машем, наук, I, выи. 5—6 (1946), библиография (23
названия).
67. Корольков Н. В., Результаты разработки и испытания опытной
установки для решения системы дифференциальных уравнений, Изв. АН
СССР, вып. 5 (1947).
68. Крамер О. П., Применение метода Казакова С. А. численного
интегрирования некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, Изв.
АН СССР, вып. 5 (1947).
69. Крыжановский Д. А., Об одном механическом интеграюре
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, авторское
свидетельство за № 37348 (опубликовано 30 нюня 1934 г.) (Труды
1-го Всесоюзного съезда математиков).
70. Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях (Сборн. Ин-та
инж. пут. сообщ.), СПб. (1911), 325.
71. Крылов А. Н., Собрание трудов акад. Крылова А. Н., V, Математика
и механика (1937).
On the hatchet planimeter, 539—545.
Stir un integrateur des equations differentiellcs ordinaires, 547-574.
72. Крылов А. Н. (A. Kriloff), On one hatchet planimeter, Изв. ЛИ СССР,
XIX, № 4-5 (1903), 221—227.
73. Крылов A. H.t Лекции о приближенных вычислениях, изд. 3-е, Л. — М.,
АН СССР (1935), 541; 2-е изд. (1933), 541.
74. Крылов А. Н., О планиметре-топорике, Морск. сборн., № 6 (1904),
112—120.
75. Лаптев Б. Л., Прибор для вычисления криволинейного интеграла
п
I /(/* — r0) d6, Уч. зап. Казан, гос. ун-та, 98, кн. 9, вып. 3 (1938),
А
79-83.
76. Л с и б i и А., Полярограф — приспособление для построения взаимно
полярных кривых, Геометрии, сборник, № 11 (1940), 109—114, на
украинском языке, резюме на немецком языке.
77. Лиодт Г. Н., К вопросу о точности определения площадей
планиметрами, Зап. Воронежск. с.-х. ин-та, XVII, вып. 3 (1940), 117—134.
78. Лоренц, Планиметры:
1. Простой гармонический анализатор О. Мадера.
2. Планиметры Вебера-Керна.
3. Нож-планиметр.
Топографии, и геодезии, журнал, № 5 (1910), 65—69.
79. Л ю с т е р н и к Л., Некоторые проблемы вычислительной математики,
Изв. АН СССР, вып. 8 (1946).
80. Малый счетчик, СПб., М. Вольф, i860 (13 л., с илл.; текст напечатан на
одной стороне листа).
81. Мартене Л. К., Прибор для приближенного гармонического анализа
(с 2 фиг.), Труды 2-го Всесоюзного математического съезда,
Ленинград (24—30 июня 1934); II, Секционные доклады, М. — Л. (1936);
секция VIII, приближенные вычисления, 407-408.
82. Мартынов Г. Г., Прибор интерполятор, Геодезист, № 9 (1935), 44.
83. Арифмометр „Оригинал — Однер" (описание), Москва, „Моссредпром"
(трест), 15 стр., с илл.
84. Краткое руководство пользования цилиндрической счетной
линейкой системы проф. Подтягина, Москва, Мосхимобъединснпс
(1931), 29.

Дополнительная литература 313
85. Н е с л v х о в с к и й С. К., Счетные машины, Техн. энциклопедия, 1-е изд.,
22 (1933).
86. Николаев Н. И., Новый арифмометр для умножения и деления любых
чисел до 100000, Ленинград (1928).
87. Никулин II. А., Инструмент для вычерчивания циркулярных кривых
третьего порядка с двойной точкой, Прикл. мат. и мех., IV, вып. 4
(1040), 121 — 124.
88. Однер В. Т., Арифмометр, привилегированный во всех странах, СПб.
(1892).
89. Описание полярного планиметра Амслера и употребление его, СПб.
(1885), Рихтер, И.
90. „Оригинал Динамо" (краткое описание конструкции арифмометра
„Оригинал Динамо" и правила пользования), Харьюв (1936), 16.
91. Орлов А. Я., Орлов Б. Я., Курс теоретической астрономии
(определение орбит планет и комет при помощи счетных машин), допущено
ВКВШ при СНК СССР в качестве учебн. пособия для ун-тов, Гос-
техиздат, М. — Л. (1940), 200.
92. Павлов П. Н., Новый способ решения кубического уравнения при
помощи логарифмической линейки, Вестн. инок, и техн., № 3 (март
1932), 134—135.
93. Павлов Н. П., Производство технических вычислений, практические
способы, средства и приборы, изд. 2-е, переработано и дополнено
(с 68 черт.), Москва, напечатано в Ленинграде (1927), 132 стр.
94. Панов Д. Ю., Счетная линейка, 5-е изд., М.—Л., Гостехиздат (1916),
127 стр. с черт.
95. П С т р о в с к и й А., Счетная линейка для ускорения подсчетов
положений равновесия, Метрология и поверочн. дело, № 12 (1933),
20—23.
96. Плешко С. П., Электрическая машина Голлерита и ее применение
при разработке данных Первой Всероссийской переписи населения
1897 г., СПб (1917), 31, 3 л. табл.
97. Пономарев С. Д., Описание прибора, позволяющего брать оиреде-
ь
ленные интегралы типа \f(y)dx и др., к этому типу сводящиеся,
а
если графически задано v =/(.*), Вестн. инж. и техн., № 4 (1934),
176—178.
98. Ривош О. А,, Счетный сектор, Руководство и наставление, Петербургск
отд. организации производств, ВСНХ (1919) (1920 на обл.), 31.
99. Р а п о п о р т И. М, О дифференцировании в счетно-решающих
приборах, Изв. АН СССР, вып. И (1947).
100. Руководство к употреблению счетной линейки системы Черепашин-
ского, 2-е изд., Москва (1893), брошюра.
101. Руководство по работе на вычислительной машине КСМ, Москва (Л.)
ОНТИ (1935), 32.
102. „Ручной планиметр" (новый способ исчисления площадей, планов и
построений фигур нарезок посредством ручного планиметра,
изобретенного г. Ермаковым), „Современник", XII, № 12 (1848), 159.
103. Савин Д., Планиметр (изменения в конструкции) Геодезист, № 4
(апрель 1931), 44-46.
104. Садовский Л. Е., Интегрирующие механизмы, Успехи матем. наук,
III, вып. III (1948), библиография (58 названий).
105. Садовский Л. Е., Алгебраизация одной задачи теории управления
счетными автоматами, Успехи матем. наук, II, вып. 6 (1947).

314
ДОПОЛНИТЕЛЬНА^ ЛИТЕРАТУРА
106. С ег ель М. М, Решение трансцендентных уравнений при помощи
логарифмической линейки с обычными и новыми шкалами, Труды
Казачек, ин-та инж. коммун, стр-ва им. Горького, № 2 (1934),
3-7; № 11 (1935), 3-8.
107. Семендяев К. А., О применении интегратора в качестве степенного
ннтегриметра, Прикл. машем, и мех., IV, вып. 1 (1940), 139 — 143,
библиография (5 названий).
108. Семендяев К. А., Счетная линейка, Краткое руководство, М. — Л.,
Гостехиздат, напечатано в Москве (1942), 44, с илл. и черт.
109 С и п а ч е в и К о р о с т и н с к и й, Описание инструмента
сектор-планиметра, изобретенного художником Карницким, СПб.
ПО. С л о н и м с к и й 3., Описание нового числительного инструмента,
изобретенного Зелигом Слонимским и удостоенного от Академии наук
второстепенной Демидовской премии, Спб., VII (1845), 24, 2 л. табл.,
илл.
111. Смирнов К., Планиметры заводов СССР (Сообщение из Оптико-
механич. отд. ГТК), Москва (1929), 17.
112. Смирнов Л. П., Планиметр (прибор для механич. интегрирования),
Москва, „Высш. техн.а (1922), 10 с черт.
113. Стар к i и а 3. М., Механичное штэграванис. Мспск, Джерж. выд.
Беларус!, Тахмассектар (1935), 45, с илл.
114. Стек лов В. А., Теория и практика в исследованиях Чебышева,
Успехи матем. наук, I, вып. 2 (1946).
115. Счеты-арифмометры И. М. Плетника (с 3 рис.), Топографии, и геодезии.
журнал, № 4 (1916), 50—54.
116. Тиц А. Б., Вычерчивание кривых для вычисления коэффициентов ряда
. Фурье при помощи специальных транспортиров-накладок, Харьков,
ХИСИ (1940), 8.
117. Томе он и Тэт, О вычисляющих машинах (персв. А. 11. Крылова
из кн. Thomson and T a i t, Treatise on natural philosophic, pt. 1),
Записей гидрографа, № 3 (1887), 70—88.
118. T о ч и д л о в с к и й И. Я., Машина Л. Торре для решения уравнений,
Одесса, „Центр. типо-литогр." (1897), 13 с илл., черт.
119. Ф и в е й с к а я М. М., Логарифмические линейки с разрезными шкалами.
Прецизионные линейки. М. — Л., ОНТИ, напечатано в Москве (1935), 44
с черт.
120. Фил о не пк о А. С, Линейка Дробышева, Москва (1928), 3.
121. Флоренский А., Графо-интегратор — прибор для определения
площадей, статических моментов и моментов инерции плоских фигур
графическим способов, Киев (1884), 8
122. Франк М. Л., Об одной конструкции полярного интеграфа. Труды
Всероссийск. съезда матем. в Москве 27 апреля —I мая 1927 г. М. — Л.,
(1928).
123. Ф у с П. и Б у н я к о в с к и й В., Мнение гг. академиков Фуса и Буня-
ковского об арифметической машине, изобретенной 3. Слонимским.
Четырнадцатое присуждение учрежденных П. Н. Демидовым наград
17 апреля 1845 г., СПб. (1845), 77-85.
124. Янжул И., Применение счетных автоматов в астрономических
вычислениях, Астроном, журнал, XVI, вып. 5 (1939), 72—85,
библиография (2 названия).
125. Янжул И. Н., Счетные автоматы и их применение к
астрономическим вычислениям, Успехи матем. наук, I, вып. 5—6 (1946).

ОГЛАВЛЕНИЕ.
От редакции 5
Из предисловия к первому изданию 7
Из предисловия ко второму изданию 8
Введение ................... ...... 9
I. Счетные приборы (Обзор) 13
1. Приборы для сложения и вычитания (Постановка задачи; .... 14
1.1. Суммирующие и вычитающие приборы 14
1.2. Приспособления для сложения и вычитания 20
2. Приборы для умножения и деления (Обзор) 24
2.1. Собственно умножающие и делящие приборы 24
2.2. Пропорциональные механизмы 31)
3. Функциональные механизмы 31
3.1. Потенцирующие механизмы 31
3.2. Тригонометрические механизмы 34
3.3. Общие функциональные механизмы 35
4. Счетные линейки 40
4.1. Основные понятия 40
4.2. Логарифмическая линейка 41
4.3. Логарифмические счетные валики и машины 58
5. Счетные машины (Классификация) 62
5.1. Внешний вид счетной машины 64
5.2. Внутренняя конструкция 82
5.3. Вычисления с машинами 126
6. Приборы для решения уравнении (Общие соображения) 134
6.1. Системы уравнений первой степени 135
6.2. Уравнения л-й степени 142
И. Геометрические приборы (Общие соображения) 147
1. Приборы для нанесения кривых (координатографы) (Постановка
задачи) 147
1.1. Прямоугольные координаты 147
1.2. Полярные координаты 151
2. Приборы для перечерчивания кривых (Постановка задачи) . . . 152
2.1. Пантограф 152
2.2. Аффинографы (Приборы для аффинных преобразований) ... 154
2.3. Преобразователи 156
2.4. Различные приборы 158
3. Приборы для вычерчивания кривых (Постановка задачи) 158
3.1. Конические сечения 160
3.2. Циклические кривые 165
3.3. Спирали 166
3.4. Приборы для вычерчивания различных кривых 167

316
ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Другие вспомогательные средства 169
4.1. Лекала . 169
4.2. Измерители кривых 170
III. Дифференцирующие приборы (Постановка задачи) . . .... 173
1. Приборы, принцип действия которых основан па законах
геометрии .......... 173
1.1. Касательная линейка 173
1.2. Оптические приборы . . . . 174
1.3. Приборы для дифференцирования (дифференциографы) .... 175
2. Приборы, принцип действия которых основан на законах
кинематики • . 180
2.1. Механизмы с фрикционными колесами 180
IV. Интеграторы (Постановка задачи) . 182
1. Интегриметры (Классификация) 182
1.1. Планиметры 183
1.2. Интегриметр 224
1.3. Источники ошибок 233
2. Интеграфы (Постановка задачи) 241
2.1. Основные интеграфы 241
2.2. Интеграфы произведения 248
2.3. Функциональные интеграфы ... 250
2.4. Обобщенные интеграфы ..." 251
3. Вспомогательные пособия для приближенного интегрирования . . 275
V. Гармонические анализаторы (Постановка задачи) 280
1. Механические методы 282
1.1. Точные методы 282
1.2. Приближенные методы .... 293
2. Электро-оптические методы 294
Литература 297
Дополнительная литература 309
Технический редактор А. Н. Никифорова. Корректор Е. К. Монякова.
Сдано в производство 3/Н 1950 г. Подписано к печати 17/V 1950 г. А04204. Иеч. л. 20.
бум. л. 9,7. Уч.-изд. л. 20,5. Формат 60х92х/1в. Издат. № '/«и- Зак. № 1242. Пена 18 р. 40 к.
4-я типография им. Евг. Соколовой Главполкграфн.здата при Совете Министров СССР,
Ленинград, Измайловский пр., 29.