Author: Васманов В.В.  

Tags: компьютерные технологии   математика   геометрия   инженерная графика   точные науки  

Year: 1973

Similar

Фотограмметрия. Учебное пособие для студентов вузов

Иллюстрированный англо-русский/русско-английский энциклопедический словарь терминов разведочной и промысловой геофизики

Справочник по картографии

Технология радиоэлектронных устройств и автоматизация производства

Text 
                    В. В. Басманов
Приборы
для математической обработки
и построения кривых
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1973

В19
УДК 681.333.Б1
Басманов В. В. Приборы для математической об-
работки и построения кривых. М., «Машиностроение», 1973,
184 с.
В книге рассмотрены приборы для математической об-
работки и построения кривых. Во втором издании (1-е изд.
1958 г. «Вычислительные математические приборы») отражены
новые направления н тенденции развития этого вида прибо-
ростроения. Приведены описания и примеры применения
новых конструкций отечественных приборов, в частности
последних образцов, разработанных лабораторией новых
средств вычислений научно-исследовательского института
прикладной физики при Иркутском государственном универ-
ситете и Выпускаемых серийно.
В книге имеются также описания и примеры применения
новых приборов ведущих зарубежных фирм, в том числе новых
моделей приборов с программным управлением от перфокарт
и перфолент с выводом координат графически заданных кон-
туров и кривых на перфоленты и перфокарты для последующей
обработки данных иа электронных: вычислительных машинах.
Книга рассчитана на инженерно-технических и научных
работников НИИ, отраслевых и заводских КБ и лабораторий,
проектных организаций и др.
Табл. 3. Ил. 106. Список лит. 26 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук А. Б. ШТЫК.АН
В
3136—296
038(01)—73
295—73

ПРЕДИСЛОВИЕ
При обработке различных экспериментальных данных, полу-
ченных с помощью тех или иных самопишущих приборов, тре-
буется математическая обработка графически заданных функций.
Эта кропотливая работа может быть существенно сокращена
с помощью универсальной вычислительной техники. Однако
эффективность использования этой техники часто оказывается
низкой из-за значительного объема подготовительной работы,
связанной как с программированием задачи, так и с измерением
И отсчетом параметров кривых.
Известны попытки автоматизировать считывание ординат гра-
фиков и их перевод на перфоносители с помощью фотоэлектри-
ческих устройств. Однако при этом предъявляются жесткие тре-
бования к качеству записи, ее цвету, размерам бумаги и т. д.
Наиболее эффективным средством механизации математиче-
ской обработки графиков, особенно для разовых расчетов, остаются
вычислительные (математические) приборы. К ним относятся при-
боры для вычисления площадей и моментов плоских фигур, инте-
грирования и дифференцирования функций, частотного анализа
и синтеза, корреляционного анализа и вычисления характеристик
распределения случайных функций, решения алгебраических
уравнений, вычерчивания и трансформации плоских фигур,
преобразования данных. К числу этих приборов относятся также
и различные специальные вычислительные приборы с узкой обла-
стью применения, предназначенные для решения определенных
задач, как, например, приборы для вычисления режимов резания,
корабельные приборы для вычисления уровня воды и многие
другие.
Вся эта обширная группа вычислительных аналоговых при-
боров может существенно сократить трудоемкость вычислений при
научно-исследовательских и проектных работах, а также при
выборе режимов и контроле различных процессов.
Вычислительные приборы оказываются наиболее рентабель-
ными при решении тех специальных задач, для которых они пред-
назначены, их можно использовать в нестационарных условиях,
они дешевы, просты в эксплуатации и имеют малые габаритные
размеры. Вычислительные приборы, в особенности механические,
обладают ценным свойством: процесс вычисления в них протекает
наглядно, что весьма полезно для учебных целей.
1*	3

Знакомство с принципами работы и применением малых вы-
числительных приборов помогает быстрее освоить большие вы-
числительные машины и побуждает создавать Специальные вы-
числительные приборы в новых областях, куда ранее не проникала
вычислительная техника.
Малые механические вычислительные приборы выпускают
многие европейские фирмы, в частности, такие как «ОШ (ФРГ),
«Coradi», «Amsler» (Швейцария), «Stanley» (Англия), а также
различные фирмы США. Производство приборов в этих странах
достигло широкого развития: фирмы «Coradi», «Stanley» и др.
выпускают более ста типоразмеров. Разрабатываются приборы,
основанные на новых принципах, с использованием элементов
современной вычислительной техники.
Многолетнее производство и разработка новых образцов вы-
числительных приборов за рубежом свидетельствуют о рента-
бельности их применения.
Основной целью данной книги является популяризация среди
широких кругов научных и инженерно-технических работников
вычислительных приборов, что должно способствовать широкому
их внедрению в народное хозяйство. В соответствии с этим основ-
ное внимание уделено описанию эксплуатационных возможностей
приборов и их техническим характеристикам. Теория построения
рассмотрена постольку, поскольку это необходимо для уяснения
принципа работы. При рассмотрении принципиальных схем при-
боров подробно описываются лишь те блоки и механизмы, которые
являются специфическими для вычислительных приборов. В тех
случаях, когда в приборах использованы блоки и механизмы,
заимствованные из вычислительных машин или так называемых
счетно-решающих устройств, сделаны ссылки на соответствующую
литературу.
Описываемые в книге приборы классифицированы по видам
решаемых математических задач и эксплуатационным характе-
ристикам. Для каждой задачи даются различные варианты ее
математического описания, лежащие в основе принципиальных
схем приборов, решающих ту же задачу. Приведены примеры
практического использования вычислительных приборов для ре-
шения математических задач.
Так как справочная литература и каталоги по этому виду
вычислительной техники отсутствуют, в книге приведены подроб-
ные сведения о приборах, разработанных в НИИСчетмаше и
в лаборатории новых средств вычислений научно-исследователь-
ского института прикладной физики при Иркутском государ-
ственном университете, а также приведены подробные сведения
об образцах, выпускаемых ведущими европейскими фирмами.
Наличие указанных данных позволяет рассматривать предлагае-
мую читателю книгу в известной степени как справочное руко-
водство при выборе приборов и составлении заказов на их приобре-
тение.
4

Вычислительные приборы, описанные в книге, частично были
известны нашим специалистам по выпущенным Издательством
иностранной литературы в 1949—1950 гг. переводам книг Вил-
лерса Ф. А. [8] и Мейер-цур-Каппелен [15] под названием «Мате-
матические инструменты» 1. Однако в этих книгах были описаны
приборы в основном западногерманского производства, не име-
лось сведений об их технических и эксплуатационных характе-
ристиках и лишь мельком упоминалось о решаемых этими при-
борами задачах.
Этот пробел в некоторой степени был восполнен в выпущенной
в 1958 г. книге автора «Вычислительные математические приборы»
[6] и в переводе под его редакцией книги Мейера-цур-Каппелена
«Инструментальная математика для инженеров» [16].
В предлагаемой читателю книге освещены новые тенденции
развития математических приборов и описаны новые отечествен-
ные и зарубежные конструкции. 1
1 Описанию приборов такого типа посвящены также отдельные главы в книге
Кобринского [12], а также ряд статей других авторов.

Глава I
ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ,
ТРАНСФОРМАЦИИ И ВЫЧЕРЧИВАНИЯ
ПЛОСКИХ КРИВЫХ
В этой главе рассмотрена группа приборов, используемых для
некоторых геометрических операций с плоскими кривыми, изме-
рения их длин и координат. К таким приборам относятся: панто-
графы, аффинографы, координатографы, курвиметры, параболо-
графы, эллипсографы, преобразователи координат и др.
1.	ПАНТОГРАФЫ
Пантографами называются приборы для воспроизведения за-
данных плоских кривых в измененном масштабе. Пантографы
используют в тех случаях, когда нужно изменить масштаб чер-
при картографических работах или
для перечерчивания чертежей в
том же масштабе. Основой панто-
графа является стержневой меха-
низм, схема которого представлена
на рис. 1. Механизм представляет
собой шарнирный параллелограмм
РАВС, одно из плеч которого АВ
тежа (графика), например,
Рис. 1. Схема пантографа	продлено и снабжено в точке F
обводным штифтом. Длина AF
выбрана равной РА. При этом условии точка Z пересечения
плеча СВ и прямой PF, соединяющей неподвижный полюс Р при-
бора с его обводным штифтом F, такова, что CZ = СР. Это следует
из равенства углов ад и а2 равнобедренного треугольника PAF,
которое указывает и на равенство тех же углов в треугольнике
PCZ-, следовательно, треугольник PCZ является также равно-
бедренным, и CZ = СР.
Учитывая, что треугольники PAF и PCZ подобны, имеем
PZ _ PF
PC ~~ AF
6

или
PZ PC
----- — -~=- = tn,
PF AF
где tn — масштаб воспроизведения.
Таким образом, при перемещении обводного штифта F вдоль
какой-либо фигуры с текущей координатой PF точка Z, в которой
закрепляется чертящий штифт, будет вычерчивать подобную
фигуру С координатами _______ _____
PZ = PFtn.
По описанной схеме механизм может работать в двух вариан-
тах: во-первых, как было описано, с закрепленной точкой Р,
Рис. 2. Пантограф фирмы «СогасН»
и, во-вторых, с закрепленной точкой Z (в этом случае чертящее
устройство располагается в точке Р). В первом случае говорят,
что прибор работает в варианте «Полюс на конце», во втором —
в варианте «Полюс в середине».
Конструкция одного из пантографов, выпускаемых фирмой
«Coradi» (тип IV), изображена на рис. 2. Прибор состоит из мас-
сивного основания 9 с кронштейном 1 и стержневого механизма 3.
Полюсный штифт 8 прибора покоится в подпятнике, закреплен-
ном в основании прибора. К кронштейну основания в точках k'
и /г прикреплены металлические троссы 2, поддерживающие стерж-
невой механизм пантографа в точках h и /г'.
Для изменения масштаба воспроизведения в стержнях 7
сделан ряд конических отверстий, позволяющих изменять длины
плеч PC и ЛИ.
Контур оригинала обводится штифтом 5 с помощью рукоятки 4.
Ролик 6 служит для придания утойчнвостн стержневому меха-
низму.
7

Кроме описанного образна, фирма «Coradi» выпускает подоб-
ные пантографы еще пяти типов.
В приборе типа 1 и отличие от описанной конструкции имеется
возможность плавного изменения масштаба; это достигается из-
менением длин плеч PC и Л В не путем перестановки штифтов
в стержнях 7, а смещением вдоль них движков, устанавливаемых
по шкалам. При этом с помощью микрометрического приспособле-
ния фиксируют длину переменного плеча пантографа с точностью
до 0,1 мм.
Прибор типа III отличается от пантографа типа I более грубой
установкой переменного плеча (с точностью до 1 мм). По требо-
ванию заказчика прибор снабжают микрометрическим приспо-
соблением, а также основанием с установочным винтом, сфери-
ческим, уровнем и приспособлением для копирования.
Пантограф типа V представляет собой упрощенную конструк-
цию прибора типа IV; тип VI аналогичен типу III.
Пантографы подобных конструкций выпускаются фирмами
«Stanley» и «Ott».
Усовершенствованный пантограф «Stanley» (рис. 3) имеет труб-
чатые стержни и небольшое плоское основание; он легок и прочен.
Шариковые подшипники, а также сферические и цилиндрические
соединения в шарнирах сводят до минимума трение и значительно
увеличивают точность прибора. Выпускается пантограф трех типо-
размеров R10—R12.
Стержни градуированы. Каждый прибор снабжен таблицей,
в которой приведены установки для разных масштабов от 1 : 1 до
12 : 1 для прямого и оборотного методов. Ниже указаны размеры
наибольших квадратов, которые можно скопировать за одну уста-
новку пантографа, когда он используется для уменьшения. Для
пантографа с расстоянием 24 дюйма (610 мм) между центрами
подшипников размер наибольшего квадрата составляет от 406 до
508 мм. Для пантографа с расстоянием 36 дюймов (910 мм) между
центрами подшипников размер наибольшего квадрата составляет
от 609 до 762 мм. Для пантографа с расстоянием 48 дюймов
8

(1220 мм) между центрами подшипников размер наибольшего
квадрата составляет от 812 до 101 мм.
Кроме описанного, фирма «Stanley» выпускает пантографы
четырех типоразмеров 8041—8044, аналогичных по конструк-
ции прибору типа 1 «Coradi» с движками для перемещения стерж-
ней. Разновидностью пантографа является прибор, называемый
айдографом (рис. 4).
Айдограф выполняет те же функции, что и пантограф, и слу-
жит для увеличения и уменьшения чертежей, но его целесообраз-
нее использовать как более точный инструмент для их увеличения.
Подобно пантографу, айдограф снабжается шариковыми подшип-
Рис. 4. Айдограф
никами и практически свободен от трения. Стержни имеют деся-
тичное деление. Каждый айдограф снабжен таблицей установок,
обеспечивающих десятикратное увеличение или уменьшение.
Для айдографа фирмы «Stanley» с расстоянием между центрами
подшипников 36 дюймов (910 мм) размер квадрата охватываемой
площади составляет 660 мм при масштабе 1 : 1; 910 мм при мас-
штабе 2:1; 1140 мм при масштабе 4 : 1 и 1290 мм при масштабе
10 ; 1.
Ряд пантографов выпускает фирма «ОН». Две модели 100 и 300
(PONAM и РОРАМ) с непрерывно изменяющимся масштабом
подобны пантографам типа I и III фирмы «Coradi». Модель 100
может работать как в варианте «Полюс на конце», так и в варианте
«Полюс в середине». Модель 300 работает только в варианте
«Полюс на конце».
Модель 375 отличается от модели 300 длиной рычага.
Фирма «ОН» выпускает также пантограф модели 496, подобный
прибору типа IV фирмы «Coradi» с фиксированными масштабами.
Фирмы «ОН» и «Coradi» снабжают свои приборы основаниями,
подобными основанию пантографа, показанного на рис. 2, а
также основаниями с висячим плечом (рис. 5). Особенность кон-
струкции этого основания состоит в том, что полюс 2 пантографа
опирается на висячее плечо /, приподнятое над уровнем стола,
что позволяет свободно перемещать лист бумаги, на котором
должна быть начерчена фигура, и ориентировать этот лист по
9

отношению к оригиналу. Эта конструкция особенно удобна при
больших масштабах (от I : 5 до 1 : 20). В описанных выше кон-
струкциях при таких масштабах основание пантографа, оказы-
Рис. 5. Пантограф с висячим плечом фирмы «Coradi»
вающееся непосредственно на листе бумаги, прижимает его, что
затрудняет ориентировку.
Фирма «Coradi» выпускает основания с висячим плечом под
шифром № 18. Фирма «Ott» отмечает пантографы с этим основа-
Рис, 6. Пантограф фирмы «Ott», модель 500
нием буквой В при номере прибора (100В или 300В) и шифром
соответственно PONUS и POPOS.
Оригинальной конструкцией фирмы «Ott» является пантограф
PONIP, модель 500 (рис, 6), работающий как в варианте «Полюс
10

в середине», показанном на рисунке, так и в варианте «Полюс
на конце». Особенность этого пантографа заключается в том, что
стержневой механизм не подвешен, что позволяет использовать его
на наклонных чертежных столах. Пантограф снабжен обводной
лупой PORAP, повышающей точность обвода и исключающей
параллакс (лупа может быть заменена обводным штифтом). Рычаги
имеют удобные для чтения матовые шкалы. Изменение масштаба
осуществляется плавным перемещением движков, положение
которых фиксируется в любом месте пружинящим фиксатором.
Прибор снабжен удобной чертящей головкой РОТЕТ, управляе-
мой проволочным приводом, применяемым в затворах фотоаппа-
ратов. Это чертящее приспособление может наносить как пунктир-
ные, так и сплошные линии.
2.	КООРДИНАТОГРАФЫ
Координатографами называют приборы, предназначенные для
нанесения кривых по точкам, заданным таблицей чисел, и изме-
рения координат точек начерченных кривых.
Координатографы используются в топографии, географии и
землеустроительном черчении, при различных геометрических
построениях, для нанесения сеток на планы и нанесения вычислен-
ных координат. Они находят также применение в научно-исследо-
вательских лабораториях, обсерваториях и т,. д.
Простейшие координатографы двух типов выпускает фирма
«Ott». Прибор одного типа, имеющий шифр PR ICO, выполнен
в виде устанавливаемой на столе рамы, по которой перемещается
линейка; по линейке скользит движок с иглой. Перемещение
линейки по раме фиксируется по шкале абсцисс, а положение
накалывающего штифта фиксируется по расположенной на ли-
нейке шкале ординат. Игла может быть заменена лупой; в этом
случае приборы используются для отсчета координат, который
Осуществляется с точностью до 0,05 мм.
Простой координатограф другого типа, выпускаемый фирмой
«Ott», изображен на рис. 7; он выпускается трех размеров, имею-
щих шифры: PURKO, PURAL и PUREX.
Известны также простейшие полярные координатографы (пла-
ниметры), выпускаемые, например, фирмой «Ott» (см. рис. 8).
Такой планиметр содержит линейку 2, вращающуюся вокруг
неподвижного полюса 1 и служащую для нанесения расстояний,
а также измерительный механизм. Ролик 3 измерительного меха-
низма расположен на специальной рамке. На линейке устанавли-
вается нониус 4 с лупой или приспособление 5 для накалывания
точек. Устройство для измерения углов состоит из измерительного
ролика, который катится по бумаге, и из диска с нанесенными на
нем цифрами, приводимого в движение червячной передачей от
оси ролика. Деления на диске нанесены от 0 до 360° или соответ-
ственно до 400 делений (новая система деления). Если полюс и
11

полярная ось заданы, то измерительный ролик вращают до тех
пор, пока не появится желаемый угол. Ползунок на линейке
имеет два нониуса, соответствующих обоим масштабам. Линеика
имеет длину от 250 до 1000 мм. Прибор обеспечивает удовлетвори-
__.	тельную точность. При измерении углов сред-
I I няя ошибка составляет примерно 1,5'.
ill	Функции декартовых и полярных коор-
№1	динатографов могут выполнять и некоторые
ЙМ	комбинированные приборы, например, ком-
Рис. 7. Координатограф фирмы «Ott» для прямоугольных координат
бинированный интегратор КИ-3, описываемый в главе П.
Высокоточные координатографы выпускаются фирмой «Coradi».
Всего выпускается четыре образца, зашифрованных номерами 51,
52, 53 и 55. Образец координатографа № 51 предназначен для
Рис. 8, Полярный координатограф фирмы «Ott»
работы с прямоугольными координатами. Он смонтирован на
специальном большом деревянном столе и имеет жесткую трубча-
тую раму для рельса, по которому перемещается каретка вдоль
оси абсцисс,
На массивном основании координатографа № 52 перемещается
рама, устанавливающая чертящие или визирные приспособления
на соответствующую абсциссу, фиксируемую на шкале. По раме
12

в перпендикулярном направлении на трех ножевых колесах пере-
мещается каретка, непосредственно несущая чертящие или визир-
ные приспособления. Перемещением каретки устанавливается
фиксируемая на шкале ордината. Образец № 52 выпускается
трех типов.
Образец координатографа № 53 предназначен для нанесения
и чтения координат в полярной системе. На круглом основании
прибора На подшипниках вращается обойма, в которой закреплены
направляющие рельсы; по ним катится каретка, несущая чертя-
щие или визирные приспособления. Прибор выпускается трех
типов: I, II, III, различающихся радиусом базовой окружности
обоймы.
Образец координатографа № 55 позволяет наносить и считы-
вать координаты как в полярной, так и в прямоугольной системе,
т. е. этот прибор выполняет одновременно функции образцов № 52
и 53.
Фирма «Coradi» выпустила новую конструкцию координато-
графа — корадограф. Этот универсальный прибор отличается
высокой точностью и простотой работы и обслуживания. Корадо-
графы изготовляются нескольких типоразмеров.
Наличие разнообразных и легко заменяемых приспособлений
в приборе позволяет выполнять самые разнообразные работы:
накалывание точек, маркировку, вычерчивание в карандаше и
туши, । равирование на слоистой фольге, нарезку фольги на фор-
маты, нанесение окружностей, дуг и т. д. Корадографы компо-
нуюкя из агрегатов.
Прибор может быть установлен на плоском столе (рис. 9) пли
чертежной доске. Базовая линейка прибора кренится на долевой
13

стороне столп двумя зажимами. Базовую каретку с подвижной
линейкой устанавливают в направляющую канавку базовой ли-
нейки. после чего корадограф будет находиться в рабочем поло-
жении.
Корадографы изготовляют также с металлическим столом и
чертежной доской, покрытой сверху искусственным материалом.
Выпускается модель, в которой поверхность стола покрыта про-
зрачным стеклом. Предусмотрено осветительное приспособление,
которое освещает равномерно нижнюю матовую сторону стекла.
Прибор оснащен также металлической подставкой. Такая кон-
струкция используется пре-
Рис. 11. Измерительное приспособ-
ление
Рис. 10. Корадограф с поворотным сто-
лом
Модель корадографа с поворотным столом представлена на
рис. 10. Поворотный столик имеет матовую стеклянную пластину,
которая закреплена в градуированном кольце и равномерно
освещается снизу. Это стальное кольцо может вращаться в обоих
направлениях на шаровой опоре. Кольцо, вмонтированное в стол,
оснащено тормозом и устройством для точной регулировки.
Кольцевая шкала имеет цену деления 10'; используя нониус,
можно отсчитать угол с точностью до 3". Диаметр рабочего стола
800 мм.
С помощью штангенциркуля на поворотном столе корадографа
можно вычерчивать окружности, дуги и радиусы. В штангенцир-
куль, который может быть легко установлен и снят, могут быть
вставлены различные приспособления для черчения в туши и
карандаше, гравирования и измерения. Для удобства работы пре-
дусмотрено четыре штангенциркуля различной длины.
На базовой и подвижной линейках закреплены прецизионные
зубчатые рейки, с которыми зацепляются ведущие зубчатые ко-
леса измерительных приспособлений, установленных на обеих
каретках. Под давлением пружин зубчатые колеса плотно, без
зазора, зацепляются с рейкой.
14

Измерительные приспособления оснащаются делительным дис-
ком (рис. 11), показания которого можно считывать через цилин-
дрическую лупу по индексу. Этот диск можно установить на нуль
в любом положении корадографа. По специальному заказу фирма
изготовляет измерительные инструменты с отсчетом по нониусу.
Диски с делением для измерительных инструментов могут быть
легко заменены. Каждому измерительному инструменту и каж-
дому масштабу соответствует диск с делением. Значения координат
отсчитываются приблизительно по индексу на линейке. Более
точный отсчет осуществляется через цилиндрическую лупу на дели-
тельном диске измерительного инструмента.
Каждый корадограф имеет четыре стандартных масштаба,
которые выбираются в зависимости от требований. Картографи-
ческие масштабы; 1 : 500; 1 : 1000; 1 ; 2000 и 1 : 2500; техниче-
ские масштабы: 1 : 1; 2 : 1; 2,5 : 1 и 5 : 1 или 10 : 1; 20 : 1; 25 : 1
и 50 : 1. Настройка корадографа на один из этих масштабов осу-
ществляется путем замены дисков с делением и шкалы.
Каждый корадограф тщательно проверяется на точность.
Ортогональность базовой и подвижной линеек имеет допуск
±0,02 мм на 1 м, максимальная ошибка показаний в обоих на-
правлениях X и Y не превышает ±0,04 мм на 1 м.
Обе направляющие линейки корадографа изготовлены из стали
и имеют отшлифованные прямые направляющие канавки.
Подвижная линейка неподвижно соединена с базовой кареткой,
которая перемещается на роликах по канавке базовой линейки.
Каретка предназначена для перемещения чертежных и измери-
тельных приборов, она скользит по канавке подвижной линейки
с помощью V-образных роликов без зазора. Каретка удерживается
в горизонтальном положении упругим прижимным роликом с
помощью регулируемого неподвижного ролика. Каретка Y несет
инструментальную головку, в которую могут быть закреплены
различные инструменты. Базовая каретка и каретка Y имеют изме-
рительные механизмы, которые задают значения координат для
чертежных инструментов.
С помощью штангенциркуля корадограф может вычерчивать
окружности и дуги окружностей. Корадограф с поворотным сто-
ликом, имеющий штангенциркуль, превращается в универсаль-
ный чертежный прибор. Штангенциркуль крепится на инстру-
ментальной головке подвижной каретки с помощью зажимных
цанг. Стальная планка вставляется в зажимную цангу. По шкале
штанги планка устанавливается по нониусу с точностью до
0,05 мм. В передвижном механизме устанавливаются легко заме-
няемые приспособления для черчения и гравирования. К ним
относятся колпачки для карандаша, перья для туши, режущий
инструмент. Одна луна закреплена неподвижно, другая
вставная.
Планки штангенциркуля выполнены четырех размеров для
радиусов до 100, 200, 400 и 000 мм.

К прибору прилагаются вставки для шарикового самописца,
которые рекомендуется использовать для работы чернилами,
например, при изготовлении цветных чертежей.
При черчении тушью ширина штриха колеблется от 0,2 до
1,2 л/л/. Центровка осуществляется с помощью наконечника,
который легко заменяется и набирает много туши.
С помощью пунктирной иглы осуществляется прокол точек,
глубина которого зависит от материала чертежа. Применяемая для
этой цели упорная гильза может маркировать точки символами
в форме кружков, квадратов, крестов и треугольников. Точечный
маркировщик осуществляет прокол точек и одновременную ее
маркировку карандашным кружком диаметром 3 мм. Для про-
кола точки инструмент опускается С помощью регулирующей
кнопки; точка маркируется двумя карандашными кругами.
Для гравировки используют специальный наконечник. Его
корпус изготовлен из легкого металла и вращается шпинделем.
В зависимости от чертежного материала применяется стальной
или сапфировый инструмент для гравирования.
С помощью малого циркуля можно вычерчивать окружности
диаметром до 10 мм. Он используется для нанесения покрытий
на защитный слой фольги.
Для визирования точек применяется лупа с четырехкратным
увеличением. При перемещении подвижной линейки лупа при-
жимается к поверхности чертежа, благодаря чему отпадает необ-
ходимость в фокусировке оптики.
Для ограничения рабочей области или при черчении большого
количества линий с одинаковыми значениями начальных и конеч-
ных координат корадографы оснащают легкосъемными упорами —
по два на каждое (X и Y) направление.
По специальному заказу измерительные механизмы могут быть
оснащены нониусами, которые допускают в 10 раз более точный
отсчет и окраску в разные цвета цифр при фиксировании отри-
цательных и положительных значений.
Итак, с помощью корадографов накалывают и маркируют изме-
ряемые точки, вычерчивают и гравируют координатные сетки, вы-
черчивают продольные и поперечные профили улиц, измеряют
координаты точек на планах. В промышленности и при научных
исследованиях с помощью корадографа вычерчивают различные
профили деталей оборудования, копиров лопастей и т. д.; вычер-
чивают и гравируют заданные контуры; размечают шаблоны по
декартовым и полярным координатам, измеряют размеры плоских
деталей, как, например, поковок шаблонов и т. д.; наносят гра-
фики функций по координатным таблицам; строят и гравируют
диаграммы и диаграммные сетки; производят обмер диаграмм реги-
стрирующих приборов. С помощью корадографа гравируют рас-
тровые образцы. В оптике с помощью корадографа гравируют
диски и шкалы, а также оригиналы для масштабных делений и
шкал.
16

3.	ПРИБОРЫ ДЛЯ ПОЛУАВТОМАТИЧЕСКОЙ РЕГИСТРАЦИИ
КООРДИНАТ НА ПЕРФОНОСИТЕЛЕ
Одной из современных тенденций является обработка резуль-
татов измерения средствами современной электронной вычисли-
тельной техники. В связи с этим разработаны приборы^ фикси-
рующие результаты измерений на стандартные носители инфор-
мации (перфокарты, перфоленты),' непосредственно вводимые
в вычислительные машины.
Из наиболее важных областей применения таких приборов
укажем на измерение площадей, очерченных контурами на планах
земельных участков, составляемых при землемерных работах.
Большой объем работ по измерению площадей внутри контуров
возникает при проектировании дорог, дамб и других подобных
сооружений, когда требуется определить объем перемещаемой
массы земли и камня, и при проведении еще более сложных рас-
четов, связанных с определением стойкости земляных дамб против
оползней. В судостроении чертежно-графический материал обра-
батывается при вычислении общего водоизмещения судов, их
остойчивости и прочности. В машиностроении, электротехнике
и других областях часто приходится количественно оценивать
экспериментальные данные, зарегистрированные самопишущими
приборами, путем вычисления интегралов от графически изобра-
женных нелинейных функций.
Большинство названных задач, сводящихся в основном к изме-
рению площадей, в течение многих десятков лет решались с по-
мощью планиметров. Существуют также планиметры с цифровым
выводом, в котором результаты измерения фиксируются или на
счетчике, или на цифровом носителе данных. Для получения
достаточной точности вычислений необходимо обводить непре-
рывно и тщательно контуры измеряемых площадей, которыми
часто являются многоугольники или подобные им фигуры. Для
измерения площадей с одновременной вычислительной обработкой
результатов измерений в последнее время были разработаны авто-
матические координатографы. Они обеспечивают измерение коор-
динат графически изображенных функций и геометрических фигур,
вывод их и регистрацию на цифровом носителе- информации.
Описываемая ниже установка — автоматизированный коор-
динатометр — сравнительно недорога и проста в обслуживании.
Измерительная головка установки так же, как и планиметр,
может быть установлена на любом рабочем столе, имеющем отно-
сительно ровную' поверхность. Установка позволяет оператору
во время работы вводить дополнительную информацию или
команды, определяющие программу дальнейших вычислений в вы-
числительной машине. Автоматизированный координатометр на-
ходит применение там, где существует большой объем графи-
ческою материала, требующего обработки на вычислительных
машинах. Особенно рационально его применение при линейных
и нелинейных планиметрических измерениях.
2 В. В. BucMiiiiou	17

Автоматизированный координатометр фирмы «Coradi» (рис. 12)
содержит измерительную головку, пульт управления, шкаф
управления и педаль.
Измерительная головка (рис. 13) имеет круглое основание
и вращающуюся вокруг ее оси головку с радиальным пазом.
Вдоль паза перемещается рычаг, несущий на своем конце визир-
ную лупу для точной установки конца рычага в заданную точку
чертежа.
Вращательное движение измерительной головки и радиальное
перемещение подвижного рычага воспринимаются датчиками и
преобразуются в электрические сигналы. Конструкция опоры и
точное изготовление всех подвижных деталей обеспечивают мини-
мальные ошибки механизма и вместе с тем удобство и простоту
установки подвижной лупы.
Прибор этой конструкции работает с полярными координа-
тами, что не ограничивает область его применения, так как тре-
буемый пересчет в прямоугольные координаты осуществляется
в вычислительной машине одновременно с обработкой измеренных
данных.
При эксплуатации прибор следует устанавливать в удобное
для работы положение. Под действием собственного веса измери-
тельная головка плотно прилегает к основанию, что устраняет
возможность ее самопроизвольного смещения во время работы.
При необходимости получения абсолютных значений ординат
ось прибора можно установить в точку пересечения осей координат
или какую-нибудь точку с определенными координатами. Для
этой цели предусмотрен указатель на визирной головке и стопор
радиального и вращательного движения. При этом для установки
прибора используется также подвижная лупа.
Прибор может измерить общую площадь, заключенную между
двумя окружностями с радиусами 800 и 200 мм. Однако с его
помощью так же, как и полярным планиметром, можно измерить
и большие площади, если центр прибора поместить внутри фигуры.
Очевидно, что, если диапазон работы прибора окажется недоста-
точным, обмеряемую фигуру можно разделить на части.
Работа с прибором весьма проста: подвижную лупу устанав-
ливают на измеряемые точки чертежа и с помощью педали или
путем манипуляций на пульте управления передают информацию
в вычислительную машину. При этом криволинейный контур
измеряемых фигур заменяют ломаной линией и отсчет координат
осуществляют лишь в точках излома. Так как траектория подвиж-
ной лупы между двумя следующими друг за другом точками
отсчета в этом случае не имеет значения, то оператор должен быть
внимательным только тогда, когда он точно устанавливает лупу
на точку излома.
Командный пульт управления имеет шестиразрядную клавиш-
ную клавиатуру для передачи в вычислительную машину до-
полнительных данных. Так, например, при измерении площадей
18

Рис. 12. Автоматизированный координатометр
Рис. 13. Измерительная солонка коорднн атоме гра
2*
19

земельных участков можно с помощью клавиатуры ввести в ма-
шину цену квадратного метра и вычислить не только площадь
участка, но и его стоимость. Если возможность шестиразрядной
клавиатуры окажется недостаточной, то можно осуществить
многократный последовательный ввод информации.
Наряду с клавиатурой на пульте управления находятся глав-
ный выключатель, две сигнальные лампы, клавиша для выдачи
информации и клавиша для выбрасывания полностью пробитых
перфокарт.
Благодаря подобной конструкции значительно упрощается
работа оператора.
Шкаф управления содержит приемное устройство телепередачи
значений координат, фиксируемых измерительной головкой. Это
устройство имеет серводвигатель и усилитель. Шкаф имеет также
два аналого-цифровых преобразователя, построенных на фото-
транзисторах, и управляющую электросхему для выдачи в цифро-
вой форме измеренных значений и другой заданной информации.
Так как шкаф не имеет никаких органов обслуживания, то его
можно поставить под рабочим столом, т. е. он не требует дополни-
тельного помещения.
Каждый из аналого-цифровых преобразователей получает теле-
информацию об одной из измеряемых координатных точек. Приме-
нение дистанционной передачи данных имеет следующие преиму-
щества по сравнению с вариантом непосредственного расположе-
ния преобразователей на измерительной головке. При дистанцион-
ной передаче можно уменьшить размеры измерительной головки,
а также обеспечить ускорение перемещения подвижного рычага
и измерительной головки без нарушения точной регулировки
положения подвижной лупы.
Так как в процессе телепередачи данных при многократных
поворотах измерительной головки элемент приемного устройства,
отрабатывающий эти перемещения, смещается на величину, соот-
ветствующую числу оборотов головки, то при каждом включении
прибора отрабатывающий элемент следует установить в начальное
положение. Это достигается либо установкой подвижной лупы на
некоторые контрольные точки с известными координатами, или
блокировкой обеих степеней свободы подвижной лупы. В обоих
случаях с пульта управления выдаются определенные команды
вычислительной машине.
Решение уравнений выполняет вычислительная машина. Опе-
ратор отдает только необходимые команды. При дистанционной
передаче данных скорость перемещения подвижной лупы огра-
ничивается; резкое смещение последней в радиальном направле-
нии допускается только до 50 мм, в угловом направлении до 18°.
При больших смещениях скорости не должны превышать 80 мм!сек
и 30 град! сек, что, как правило, соблюдается при обычной работе
оператора. Если же происходит превышение допустимой скорости
(например, при быстром вращении лупы вблизи измерительной
20

головки), то звуковой сигнал автоматически сообщает об этом.
По этому сигналу следует выполнить новую установку И повторить
соответствующую часть измерений.
При точном совмещении подвижной лупы с измеряемой точкой
нажимают на ножную педаль, подключенную к шкафу управления.
При этом в шкафу управления начинается преобразование обеих
координат точки с помощью прибора, который служит для нане-
сения данных на машинный носитель. Уже в течение этого про-
цесса подвижная лупа может быть переведена на следующую
точку. Вместе с тем не следует нажимать педаль до того момента,
пока данные рассматриваемой точки не будут целиком перенесены
на носитель. Для избежания ошибок на пульте управления пре-
дусмотрена сигнальная лампа, которая автоматически загорается
тогда, когда следует произвести следующее нажатие педали.
Для нанесения цифровых данных на носитель применяют
обычный перфоратор. В частности, можно применять и ленточные
перфораторы, которые, однако, имеют тот недостаток, что инфор-
мация, находящаяся на носителе данных, не может быть сгруппи-
рована в любой последовательности. Это вызывает увеличение
расходов. При необходимости такой группировки координатометр
используют совместно с карточным перфоратором УМВ 024 или
026. Не рекомендуется в качестве носителя данных применять
магнитные ленты, так как темп работы координатометра больше
соответствует темпу перфоратора.
Рассмотрим пример применения координатометра для опреде-
ления цены земельного участка. Сначала с помощью пульта
управления набирают номер земельного участка, вводят цену
квадратного метра и другие второстепенные информационные
данные. Затем устанавливают подвижную лупу последовательно
на каждую точку угла земельного участка и нажимают педаль.
После возвращения к первой точке операция заканчивается.
Практика показала, что при измерении площадей большого
числа земельных участков координатометр более эффективен по
сравнению с ранее используемыми планиметрами, причем вы-
числительное устройство обеспечивает одновременное автомати-
ческое вычисление цены земельного участка.
Координатометр фирмы «Coradi» имеет следующие технические характе-
ристики:
Масса измерительного прибора в кг.......	5
Габаритные размеры пульта управления в мм 170X280X390
Масса пульта управления в кг............ 6,5
Размеры шкафа управления в мм........... 550X600X400
Масса шкафа управления в кг............. 40
Единица младшего разряда:
при измерении ординаты в мм.............. 0,1
при измерении угла в град . .	....	1
Напряжение сети па ................. ...	—220± 10%
Частота питающего напряжения и ац ....	50 г60
Потребляемая мощность ни..	500
21

4.	УПРАВЛЯЕМЫЕ КООРДИНАТОГРАФЫ
Создание автоматически управляемых координатографов свя-
зано с развитием и широким распространением вычислительной
техники и стремлением обеспечить быстрое, удобное и точное гра-
фическое изображение данных, получаемых на электронных вы-
числительных машинах, и преобразование графически заданной
информации к виду, удобному для ввода в ЭВМ. Успех разра-
ботки таких приборов базируется на достижениях в области тех-
ники программного управления перемещениями механизмов,
используемых для сокращения трудоемкости точных графических
работ.
Управляемые координатографы находят самое широкое при-
менение в картографии и океанографии при вычерчивании схем и
карт с нанесением данных о высоте и координатах, для вычерчи-
вания специальных линий, для перечерчивания схем и карт в том
же или измененном масштабе. Их используют также для вычерчи-
вания специальных схем при проектировании геологических раз-
работок, рудников, набережных.
С помощью управляемых координатографов вычерчивают по-
перечные сечения рельефов местности при строительстве дорог,
железнодорожных сооружений, туннелей, тепловых электро-
станций, гаваней и рудников. С их помощью составляются мас-
сивы перфокарт (картотеки) с картографическими данными, осу-
ществляется отбор карт для последующих расчетов площадей
участков, нанесенных на плане местности.
В промышленности управляемые координатографы находят
применение при изготовлении эталонных карт для профильных
проекторов, для вырезки фотомасок, нанесения сечений и кривых
профилей (особенно в авиа- и кораблестроении), при вычерчивании
шаблонов, составлении массивов перфокарт для станков с про-
граммным управлением, для обработки криволинейных поверх-
ностей штампов и копирных линеек, газовой резки и т. д.
Управляемые координатографы используются также в вы-
числительных центрах, где с их помощью получают точные графи-
ческие изображения функций, вычисленных средствами вычисли-
тельной техники. Они используются также для преобразования
заданной графической информации и нанесения информации на
перфокарты и перфоленты.
Из зарубежных моделей управляемых координатографов сле-
дует отметить швейцарскую модель «Корадомат», выпускаемую
фирмой «Coradi». Этот прибор представляет собой координатограф,
управляемый с помощью электронного устройства. Его основное
назначение — превращение цифровых данных в аналоговую гра-
фическую информацию. При этом за счет использования разно-
образных вспомогательных приспособлений (совместно) с основ-
ным оборудованием можпо значительно расширить возможности
прибора. «Корадомат» можно использовать также для преобразо-
22

вання пар координат графически нанесенных точек в соответ-
ствующие цифровые данные, т. е. прибор может работать в обрат-
ном режиме. Это обстоятельство обеспечивает исключительные
возможности и широкую область его применения.
Координатограф модели «Корадомат» (рис. 14) имеет полностью
автоматическое управление и состоит из двух основных частей:
чертежного стола и электронного управляющего устройства.
Приводы включаются с помощью ножной педали, после чего
каретки можно передвигать ручными маховичками. При нажатии
педали включаются два соленоида, в результате чего ручные
Рис. 14. Общий вид системы «Корадомат»
маховички соединяются с приводом винта. Одновременно блоки-
руется подача энергии двум ведущим моторчикам.
Спереди и сзади чертежного стола расположены два лотка,
в которых можно хранить мелкие чертежные инструменты и ру-
лоны бумаги.
К каретке Y прикреплены две головки «Труньон 248», в кото-
рые можно вставлять различные держатели инструментов. После
установки инструментов держатели прочно скрепляются с ка-
реткой Y с помощью легко затягивающегося винта. Головка снаб-
жена автоматическим электромагнитным механизмом для нанесе-
ния точек иглой и микроскопом с отметкой для совмещения с задан-
ной точкой чертежа. Игла наносит на рабочей поверхности ма-
ленькую, резко очерченную точку. Каретка Y ориентируется
относительно чертежа с помощью микроскопа, который обеспе-
чивает свободный обзор (без параллакса) рабочей площади.
Микроскоп также имеет иглу, и его можно использовать для нане-
сения точек. Игла в поле зрения микроскопа не видна.
Для нанесения прямых линий, параллельных осям координат
(например, при подготовке координатных сеток), в комплекте
прибора имеется три чертежных приспособления. Одно из них
снабжено карандашом, другое — шариковым пером и третье —
рейсфедером. 11ри переходе от горизонтальных линий к верти-
кальным и обратно рейсфедор необходимо переставлять в пра-
23

пильное положение, если пет дополнительного устройства авто-
матически о орпеш проввпня инструмента.
Дополнительно к чертежным и разметочным приспособлениям,
поставляемым с основным оборудованием (игла, микроскоп и чер-
тежные приспособления), прибор может иметь специальный рейс-
федер для нанесения линии толщиной 0,2—1,2 мм.
Имеется также небольшой Крутовой чертежный узел с враще-
нием от электромотора. Этот узел делает отметку в определенной
точке и одновременно вычерчивает карандашом небольшой круг,
который позднее можно стереть.
Наносимые точки можно маркировать с помощью устройства
для печатания знаков и символов (кругов, треугольников и т, д.).
Знаки можно задавать вручную. Напечатанные знаки стирать
трудно.
Устройство для печатания знаков с селектором обеспечивает
более совершенную форму разметки (маркировки); оно может
печатать до 10 разных знаков и фигур, один из которых задается
с помощью специального сигнала на носителе цифровых данных.
Возможна также непрерывная разметка наносимых точек с по-
мощью нумератора. При этой операции каждая точка отмечается
одним из символов или знаков (из девяти символов и знаков) и
одновременно цифрой до десяти. Как символ, так и цифра авто-
матически передаются с носителя задаваемых цифровых данных.
В ряду печатается одновременно 11 цифр.
Сверлильное приспособление с алмазным сверлом и пуансон
с алмазной головкой позволяют центровать и сверлить отверстия
дисков и кулачков на заданную глубину. Это же приспособление
применяется для гравирования (например, изготовления клише).
Для проведения обратных операций, т. е. для определения
координат точек на имеющихся чертежах и преобразования их
в цифровые данные, прибор комплектуется эпископом. Это опти-
ческое устройство, устанавливаемое на каретке Y, имеет окуляр
с пятикратным увеличением, в поле зрения которого есть пере-
крестие для точного наведения на измеряемую точку. Координаты
точек, совмещаемых с перекрестием, с помощью кнопок на двух
преобразователях передаются на выходное устройство, пересчиты-
ваются в установленном масштабе и немедленно перфорируются
на карте или ленте.
Оборудованием для вывода данных в основном являются кар-
точные или ленточные перфораторы, выбираемые и приобретаемые
заказчиком. Для непосредственного вывода данных на печать
можно использовать соответствующую автоматическую пишущую
машинку (печатающее устройство). Печатающее устройство может
быть подключено одновременно с перфоратором.
Другие виды выводных устройств (например, с использованием
магнитной ленты) применяются только в исключительных слу-
чаях. Если помимо перфорирования и печати требуется показ
результатов, прибор допускает подсоединение цифрового лампо-
24

вого индикатора отдельно или с другими выводными устрой-
ствами.
При работе преимущественно с прозрачными материалами
лучше иметь стеклянную поверхность стола вместо обычной дере-
вянной поверхности. Стеклянная плита имеет матовую поверхность
и снизу равномерно освещается рядом флуоресцентных ламп-
трубок.
В некоторых случаях, например при групповом нанесении
профилей дорог, более удобно размещать большое количество
сравнительно простых чертежей на длинной сплошной бумажной
ленте. Для этой цели на узких сторонах стола можно закрепить
узел автоматической подачи бумаги, состоящий из двух бараба-
нов (подачи и приема). Подача бумаги.из одного барабана в дру-
гой управляется сигналами от специальных отметок на перфоно-
сителях, используемых для ввода других данных.
Основное оборудование позволяет разместить за пределами
рабочей поверхности стола до 98 м бумажной ленты. Если же этой
длины недостаточно, то можно дополнительно поставить вспомо-
гательный узел.
Для подготовки разрезов местности и планов земли часто
требуется наносить данные на многоугольники (полигональные
данные). При работе с прибором эта операция выполняется вспо-
могательным узлом, который позволяет осуществлять линейную
интерполяцию между смежными точками (пунктами).
Принцип работы этого узла основан на том, что скорость отра-
ботки (перемещения рабочей головки) , по каждой из координат
пропорциональна разности между координатами, введенными в
прибор перфокартой, и фактическими координатами рабочей
головки, которая движется с результирующей скоростью в на-
правлении заданной точки. Пропорциональность этих величин
обеспечивается соответствующей схемой управления сервомото-
рами. Вследствие высокой частоты измерения фактических коор-
динат происходит практически непрерывная корректировка ско-
рости движения по каждому из направлений.
При необходимости нелинейной интерполяции отрезками пара-
бол применяется более сложный интерполятор. Он вычисляет
координаты параболы по четырем заданным опорным точкам.
Вычисляемые производные используются для управления серво-
двигателем.
Электронное управляющее устройство прибора находится
в шкафу управления. Цифровая вычислительная часть (четыре
верхних блока) состоит из легко заменяемых ячеек. Это очень
упрощает проверку и уход за оборудованием. В одном блоке
помещается пять ячеек.
В первом верхнем блоке находится восемь сдвигающих реги-
стров на магнитных сердечниках. Емкость памяти каждого реги-
стра составляет 10 десятичных разрядоп. Одна ячейка содержит
орган управления регистрами, который соединяет их с вычисли-
25

тельным устройством или устройством управления в соответ-
ствии с внутренней программой. Во втором блоке находятся схема
деления и умножения, основная управляющая схема установки
десятичной запятой и арифметическое устройство.
В третьем блоке расположены устройства ввода и вывода,
цифро-аналоговый преобразователь, синхронизирующее устрой-
ство и счетчик времени, а также преобразователь для передачи
показаний датчиков положения в цифровое вычислительное устрой-
ство.
Четвертый блок служит только для контроля пути при линей-
ной интерполяции между последовательными точками.
В нижнем блоке находится силовой узел, который питает
цифровое вычислительное устройство. Кроме того, в блоке
в
есть два усилителя на по-
стоянном токе для серво-
моторов.
Рис.15. Схема системы управления
Действие системы упра-
вления при нормальном
режиме работы, т. е. при
нанесении кривых по вво-
димым в цифровой форме координатам, заключается в переме-
щении кареток в соответствующее положение.
Система управления (рис. 15) одинакова для обеих координат.
Информация, содержащаяся на носителях цифровых данных (пер-
фокарты и перфолента), сначала преобразуется в электрические
сигналы с помощью стандартного считывающего устройства /.
Эти сигналы подаются в электронное устройство обработки дан-
ных 2, предназначенное для обеспечения перехода от кода перво-
начальных данных к внутреннему коду прибора, а также для вы-
полнения других функций, таких как преобразование масштаба
и т. д.
Ходовой винт 8 соединен с механоэлектрическим преобразова-
телем 6 через коробку передач 7. Этот цифровой преобразователь
служит счетчиком оборотов и обеспечивает подачу электрических
сигналов, определяющих угол поворота ходового винта.
Сигналы электронного устройства обработки данных 2 и
цифрового преобразователя 6 подаются в вычитающий блок 3,
который с большой частотой определяет разность этих сигналов.
Разность передается в усилитель следящей системы (сервоусили-
тель) 4, который, в свою очередь, управляет сервомотором 5.
Сервоусилитель устроен таким образом, что сервомотор вра-
щается в одном направлении, если разность положительная, и
в другом направлении, если она отрицательная. Мотор оста-
навливается, если разцость равна нулю.
Мотор соединен с цифровым преобразователем 6 ходовым вин-
том 8 через коробку передач 7. Таким образом, элементы 3 7
образуют замкнутую цепь сервоконтроля, которая обеспечивает
совпадение сигнала цифрового преобразователя с сигналами, по-
2G

Рис. 16. Пульт управления вычислитель-
ным устройством
даваемыми в систему. Поэтому каретка, передвигаемая ходовым
винтом, всегда останавливается в положении, при котором рас-
стояние от начальной точки отсчета пропорционально сигналу,
подаваемому в систему.
При работе в обратном режиме, т. е. когда считываемые коор-
динаты преобразуются в цифровые данные, автоматическое управ-
ление не применяется. Однако и в этом случае используются
основные элементы системы управления.
На выбранную точку чертежа вручную с помощью рукоятки
управления наводится оптический визир, закрепленный на ка-
ретке Y вместо приспособле-
ния для нанесения кривых.
Цифрбвой преобразователь
выдает данные о положении
ходового винта в блок обра-
ботки данных в виде цифро-
вых сигналов. Блок обработ-.
ки данных преобразует вну-
тренний код Системы в тре-
буемый код вывода данных.
Информация о величинах
координат может быть запи-
сана на стандартной перфо-
карте или перфоленте.
Характерной особенно-
стью вышеуказанной системы
управления является то, что
она производит операции непосредственно с абсолютными значе-
ниями (величинами) координат, подаваемых или обрабатываемых
этой системой, а не с накапливаемой суммой импульсов. Поэтому
временная неисправность элемента цепи цифровых данных не
может привести к появлению скрытой ошибки, которая повлияла
бы на все последующие результаты.
Работа с прибором осуществляется в следующем порядке.
Перед началом вычерчивания каретку с пером перемещают к вы-
бранному месту стола. Координаты начальной точки устанавли-
вают на пульте управления чертежного стола (рис. 16) наборными
дисками 10 и 11, а знаки — тумблерами 8 и 9. На двух рядах
наборных дисков 4 и 6 устанавливаются масштабы для осей X и Y.
Нажатием клавиши 32 в цифровом вычислительном устройстве
определяют разность между вводимыми начальными координа-
тами (деленными на масштаб) и машинными координатами; ре-
зультат запоминается в специальном регистре запоминающего
устройства. Таким образом, можно зафиксировать любую пару
необходимых координат в любой точке чертежного стола.
Каждая точка наносится в соответствии с ее координатами
и их знаками, вводимыми в числовое вычислительное устройство.
Ввод осуществляется с помощью клавиатуры или считывающим
27

устройством. Приращения координат каждой из последовательно
вводимых точек отрабатываются сервомоторами, управляемыми
двумя датчиками положения (один датчик для оси X и другой —
для оси У). Знак приращения определяет направление вращения
мотора, а абсолютная величина — скорость перемещения кареток.
По мере приближения каретки к требуемой точке скорость ее
перемещения постепенно падает до тех пор, пока мотор не оста-
новится, когда перо достигнет заданного положения. Разность
между введенной и фактической координатой непрерывно опре-
деляется во время перемещения попеременно для оси X и Y.
Для каждой координаты это происходит 140 раз в секунду.
Число органов управления системой «Корадомат» сведено к ми-
нимуму, что значительно упрощает работу.
Нажатием кнопки 17 обеспечивается подача энергии ко всему
блоку управления.
Если кнопку нажимают после того, как блок управления вы-
ключается конечным выключателем на чертежном столе, каретка
автоматически возвращается к рабочей зоне чертежного стола.
В этом случае кнопку нужно держать нажатой до тех пор, пока
каретка не остановится^ При нажатии кнопки 18 весь блок управ-
ления выключается. Счетчик времени 16 показывает время, в тече-
ние которого работает «Корадомат».
Направляющие X и У снабжены двумя путевыми выключа-
телями, которые можно устанавливать против края чертежной
бумаги; их положение можно регулировать. Если при установке
координат в режиме автоматического черчения одна из двух каре-
ток достигает точки, фиксированной путевым выключателем, то
прибор действует так, как если бы была достигнута заданная
точка: вычислительное устройство выключается, моторы оста-
навливаются, загорается лампа 34 («Готово»), и машина готова
к нанесению новой точки. Если путевые выключатели устанавли-
ваются на концах развернутого листа чертежной бумаги, точки
за пределами листа не будут вычерчиваться. Срабатывание выклю-
чателей фиксируется зажиганием красной лампы на панели
основной каретки, а также на панели управления (лампа 19 для
оси X и лампа 20 для оси У). Если даже один из этих путевых
выключателей не срабатывает, каретка будет перемещаться до
конечного выключателя на конце стола, который блокирует ее
дальнейшее перемещение.
Переключатель 21 имеет два положения: при одном положении
каретки X и У перемещаются в соответствии с введенными коор-
динатами; при другом положении перемещение в направлении
оси X происходит в соответствии с координатой У и наоборот,
при этом получается зеркальное отображение. Зеркальное отобра-
жение можно снова изменить на нормальное путем изменения знака
одной оси (например, оси X) с помощью переключателя 22. Пере-
ключатель 21 устанавливают перед вводом значений начальных
координат.
28

Переключатель 22 позволяет устанавливать координаты X
с обратным знаком, т. е. положительные величины вычерчиваются
отрицательными, отрицательные величины вычерчиваются поло-
жительными.
Функция переключателя 23 для оси Y аналогична функции
переключателя 22 для оси X.
Комбинируя положения переключателей 21—23, заданную
фигуру можно чертить в каждом из четырех квадрантов либо
в нормальном, либо в зеркальном отображении.
Переключателем 24 обеспечивается автоматический ввод коор-
динат через считывающее устройство с перфокарт. Если коорди-
наты нужно ввести вручную, прерывают автоматический режим
путем нажатия блокирующей кнопки 35. Переключатель 24 уста-
навливают в положение «Ручное», после чего координаты можно
вводить с помощью клавиатуры 14 и 15. После ручного ввода пере-
ключатель 24 снова устанавливают в прежнее положение и нажи-
мают пусковую кнопку для начала автоматической операции.
Переключателем 24 пользуются только тогда, когда сервомоторы
и вычислительная программа остановлены, т. е. когда горит
лампа 34 («Готово»).
«Корадомат» выполняет измерения в метрической системе, и
в дюймах. Переход от одной системы к другой осуществляется
переключателем 25.
Траектория перемещения инструмента к очередной заданной
точке определяется положением переключателя 26. В одном поло-
жении переключателя чертежный инструмент направляется по
прямой между смежными точками, заданными своими координа-
тами (режим линейной интерполяции). При режиме линейной
интерполяции составляющие скорости перемещения примерно
равны 25,4 мм!сек в каждом направлении. Линейная интерполя-
ция требуется при черчении, гравировании и прорезании линий
в заданных направлениях. Работа прибора программируется таким
образом, что интерполяционное вычислительное устройство пре-
кращает работу'при достижении пером заданной точки. Сигнальная
лампа 27 предупреждает об установленном режиме интерполяции.
При другом положении переключателя 26 обе каретки дви-
жутся с одинаковой максимальной скоростью до тех пор, пока
каждая каретка не достигнет своей координаты. Только тогда,
когда величины обеих координат отработаны, чертежный инстру-
мент освобождается для прокалывания точки, после чего записы-
ваются координаты следующей точки. В безынтерполяционном
режиме скорость перемещения составляет примерно 40 мм/сек
в каждом направлении.
Переключатель 28 регулирует режим вертикального перемеще-
ния инструмента. При одном положении переключателя чертеж-
ный инструмент удерживается в поднятом положении и при авто-
матическом режиме работы на короткое время для прокалывания
автоматически опускается.
29

При другом положении переключателя 28 чертежный инстру-
мент остается опущенным во время операции до тех пор, пока
с перфокарты перфорацией в первом столбце второй строки не
будет подана команда «Поднять инструмент».
До появления этой команды автоматически вычерчивается
линия. Ее направление регулируется положением переключателей
интерполяции. Эта линия может быть наклонной либо парал-
лельной осям X и У.
Имеется два переключателя для режима черчения; один на
пульте управления (переключатель 28 на рис. 16) и второй (пере-
ключатель 3) на пульте управле-
ния чертежного стола (рис. 17).
Если требуется удержать чертеж-
ный инструмент в поднятом поло-
жении, оба переключателя нужно
установить в верхнее положе-
ние. При черчении положение пере-
ключателей должно быть изменено.
Переключатель 29 (см. рис. 16)
должен быть поставлен в верхнее
положение для всех операций, за
исключением операций с режу-
щими лезвиями. При его переклю-
чении в нижнее положение чер-
тежный инструмент автоматически
Рис. 17. Панель управления коор- удерживается в поднятом прло-
динатографом	жении каждый раз, когда вводится
новая пара координат, и инстру-
мент перемещается в новом направлении. При этом работа
выполняется с применением специального автоматического
устройства для ориентирования чертежного инструмента. Если
вместо вычерчивания линий нужно прокалывать в бумаге
точки, переключатель 30 устанавливают в верхнее положение.
После того как пишущая головка достигает заданного положения,
прокалывающий инструмент опускается на короткое время,
оставляя на чертеже точку. Для всех операций, в которых точки
не прокалываются автоматически, переключатель 30 занимает
нижнее положение.
Если пишущая головка устанавливается вручную, т. е.
путем ввода величин координат с помощью клавиатуры 14
и 15, то точки прокалывают на чертеже путем нажатия
кнопки 31.
При нажатии клавиши 32 вся информация, накопленная от
предыдущей операции, аннулируется. Нажатием кнопки 17
вводятся исходные данные, набранные дисками 10 и 11 (две на-
чальные координаты), дисками 4—6 (два показателя масштаба) и
переключателем 25 (нужная единица измерения). Набранные
данные нельзя изменять в течение операции,
зо

После нажатия клавиши 31 вычислительное устройство вы-
числяет и запоминает разность между начальными и машинными
координатами для осей X и У; начальные координаты приба-
вляются к машинным координатам чертежного инструмента. При
этом начальные координаты вычисляются в выбранных единицах
измерения в соответствии с масштабом. Операция запоминания
выполняется примерно за 0,25 сек. Величины, накопленные в про-
цессе запоминания, хранятся .в вычислительном устройстве до
тех пор, пока они не будут заменены вводом других начальных
координат.
Работу с системой можно прервать, выключив машину, на-
пример вечером, и затем продолжить ее на следующий день без
повторной установки начальной точки, т. е. временный перерыв
в подаче энергии не стирает наклопленной в памяти информации.
Если случайно нажать клавишу 32 во время работы, то на-
чальная точка чертежа теряется. В этом случае чертежный ин-
струмент нужно возвратить точно к начальной точке чертежа,
после чего начальную точку можно запомнить, еще раз нажав
клавишу 32.	-
Пусковую кнопку 33 нажимают для начала операции либо
каждый раз после того, как координаты точки вводятся с помощью
ручной клавиатуры.
Лампа 34 («Готово») загорается, когда команды выполнены.
Никакая новая операция не может начаться до тех пор, пока не
загорится лампа 34, за исключением команды прерывания
(кнопка 35).
Если кнопку прерывания 35 нажимают при автоматическом
режиме, автоматическая запись координат прерывается. Однако
начатый уже процесс установки точки в определенном положении
завершается, затем узел прекращает работу. Если кнопку 35
нажимают в ручном режиме, прибор прекращает работу без завер-
шения начатого процесса установки точки в требуемом положении.
С помощью клавиатуры 14 и 15 семизначные значения коорди-
наты точек X и У можно вводить вручную. Отдельные цифры
выбираются путем нажатия соответствующей клавиши.
Переключатели 12 и 13 позволяют ввести знак числа при руч-
ном вводе координат с клавиатуры; знак вводят перед нажатием
пусковой кнопки.
Соответствующей установкой двух тумблеров 8 и 9 опреде-
ляют знаки начальных координат.
С помощью двух рядов дисков 4 и 6 можно задать любой мас-
штабный множитель, содержащий до 5 цифр. Такие множители
состоят из мантиссы с пятью разрядами десятичной дроби и сте-
пени 10 с одноцифровым показателем степени. Таким образом,
можно установить масштабные множители от 0,0001 x10° до
9,9999хЮ9.
В пятизначных наборных дисках 4 и 6 десятичная запятая
устанавливается после первой цифры. Этот масштабный множи-
31

толь умножается на степень числа 10, задаваемую на селекторном
узле переключателями 5 и 7,
Контрольные лампы 1—3 указывают, какое направление коор-
динат назначается в каждой половине панели управления. Лампы
1—3 загораются в соответствии с положением переключа-
теля 21.
На панели управления чертежного стола (см. рис. 17) кнопка
прерывания 12, пусковая кнопка 11, кнопка прокалывания 10
и лампа «Готово» дублируют соответствующие кнопки и лампу на
пульте управления. При нажатии клавиши 9 координаты точки,
вычерчиваемой на чертежном столе, вычисленные относительно
начальной точки, умножаются на масштабные множители и пер-
форируются на карте в зависимости от того, в какое положение
установлен один из двух переключателей 3 (или переключатель 28
см. рис. 16) для черчения; соответствующая команда для чертеж-
ного пера перфорируется аналогичным образом на карте. В данном
случае переключатель 28 нужно установить в положение для чер-
чения, а необходимый управляющий Сигнал подавать с помощью
переключателя 3, установленного на чертежной машине (см.
рис. 17).
Если обводной визир или инструмент нужно повторно возвра-
тить в одном направлении к начальной координате, то нужно на-
жать клавиши возврата 7, после чего инструмент будет переме-
щаться к соответствующей начальной координате в зависимости
от того, в какое положение установлен переключатель 8 (X или У).
Два переключателя 5 и 9 используются для включения быстрого
перемещения чертежного или следящего инструмента на чертеж-
ном столе в направлении осей X и Y. Эти переключатели можно
включить отдельно каждый или оба вместе.
Переключатель 3 дублирует переключатель 28 (см. рис. 16)
на пульте управления.
Если вычерчивание выполняется с применением специального
устройства для ориентации инструмента, то переключатель 4
устанавливают в левое положение. При этом чертежный инстру-
мент все время автоматически ориентируется в направлении каса-
тельной к линии в пределах двух градусов.
Контрольные лампы 1 и 2 дублируют лампы 19 и 20 на пульте
управления (см. рис. 16).
Чертежное устройство может перемещаться не только автома-
тически, но и с помощью ручного органа управления.
В принципе к электрическому цифровому входу прибора можно
подсоединить практически любое серийно выпускаемое устрой-
ство ввода с перфокарт, перфолент (и с дополнительными затра-
тами — с магнитных лент).
По возможности следует приобретать бесконтактные вводные
устройства, ибо механические контакты могут вызвать вибрацию,
что, в свою очередь, может привести к неполадкам при подсоеди-
нении координатографа.
32

Из всех видов цифровых носителей информации для коорди-
натографа наиболее удобными являются перфокарты. Они поз-
воляют группировать вводимые данные; например, карты можно
подбирать таким образом, чтобы обеспечить перемещение рабочей
головки координатографа по кратчайшему пути.
Работа с перфокартами имеет и некоторые недостатки, заклю-
чающиеся в сравнительно малой скорости ввода и вывода данных
и в возможности смешивания массива карт.
Прибор приспособлен также к работе с перфолентами. Главное
преимущество такого носителя — в дешевизне и высокой произ-
водительности вводных устройств. Благодаря малым размерам его
обычно удается разместить прямо на пульте управления.
Вопрос о применении других носителей, в особенности магнит-
ной ленты, можно рассматривать только в исключительных слу-
чаях, поскольку они требуют довольно дорогих вводных устройств,
в основном приспособленных для работы на высоких скоростях,
которые нельзя полностью реализовать на приборе.
5.	АФФИНОГРАФЫ
Аффинографами называют приборы, воспроизводящие кривые
в измененном масштабе только по одной координате. Аффинографы
используются и для воспроизведения кривых в том же масштабе
что бывает нужно, например, при
ков, зафиксированных различными
регистрирующими приборами;, при
этом все кривые переносятся аффи-
нографом на один лист. Аффино-
графы могут быть использованы
как эллипсографы, если обводным
штифтом описывать окружность.
Аффинограф, схема которого
изображена на рис. 18, представ-
ляет собой по существу соедине-
ние координатографа с панто-
графом.
Весь механизм перекатывается
сравнении однотипных графи-
Рис. 18. Схема аффинографа
на колесах по направляющим /,
перемещая одновременно и обводное 2, и чертящее 3приспособле-
ния на величину независимой переменной х. Точка А обводного
приспособления жестко соединена с точкой с шарнирного парал1-
лелограмма abed. На плече ad этого параллелограмма имеется
штифт е, входящий в паз кулисы 4, несущей чертящее приспо-
собление 3.
Если обозначить ординаты точек А и В соответственно fA
и [в, то отношение
Г'н_
т
з
В. В. Васмаиоь
33

Является масштабом воспроизведения. Так как оси х заданной кри-
вой п х' перечерченной кривой проходят соответственно через
точки b н а шарнирного параллелограмма, то с учетом того, что
всегда = f(l, можно записать
f В	fc (l ad ае
т = -j— = -f- = ------- =	•
>А 'е 'с ad
Таким образом, коэффициент изменения масштаба зависит от
положения точки е на рычаге «; оно может изменяться и фикси-
руется на масштабной шкале прибора, закрепляемой вдоль рычага.
в
Рис. 19. Аффинограф-эллипсограф
Конструкция аффинографа-эллипсографа, выпускаемого фир-
мой «Коради», показана на рис. 19. Рама 1 перекатывается на
катках 2 в направлении оси, по которой координаты переносятся
в масштабе 1 : 1. По раме 1 перекатывается каретка 9 с кулисой 10
и чертящим приспособлением 11. В паз кулисы входит палец,
устанавливаемый движком 3 по шкале, нанесенной на стержне
шарнирного параллелограмма, поддерживаемого тягой 5, закреп-
ленной на стойке 4. Вторая каретка 7 несет обводный штифт 8 и
ведущий шарнир 6 параллелограмма.
Описанная конструкция аффинографа позволяет неограниченно
изменять независимую переменную. Максимальная ордината об-
водимой кривой равна 330 мм. Масштаб преобразования изме-
няется в пределах от 1 : 1 до 1 : 16; при этом может производиться
как увеличение, так и уменьшение ординат. Общая длина прибора
равна 900 мм.
6.	ПАРАБОЛОГРАФЫ
Параболографами называют приборы, предназначенные для
вычерчивания парабол.
Схема параболографа показана на рис. 20. Два взаимно пер-
пендикулярных стержня имеют общую ось вращения О. Их пово-
рот осуществляется смещением планки 2 рукояткой 3 в направле-
34

нии оси х. Планка 2 несет два шарнира 1 и 4\ первый из них за-
крепляется на планке 2 неподвижно на некотором расстоянии а
от оси х; другой может перемещаться вдоль планки, В центре С
шарнира 4 установлен Чертящий
штифт. Из чертежа видно, что для
точки С справедливо отношение
& = xrtga,
но с другой стороны
tga = ^>
откуда
1 v2
У' “ ~а с'
Следовательно, чертящий штифт
С наносит на чертеж параболу,
о 1
параметр которой — может ре-
гулироваться соответствующей ус- Рис. 20. Схема параболографа
танов кой шарнира 1.
Конструкция высокоточного параболографа (образец № 43),
выпускаемого фирмой «Coradi», показана на рис. 21. На раме 6
закреплен рельс 7 поперечной каретки 1. На этой каретке перпен-
Рис. 21. Параболограф
дикулярно рельсу 7 закреплен другой рельс 2, по которому ка-
тится вторая каретка 11. С другого конца рельса 2 насажен пол-
зун 4, несущий Шарнир стержня 5. Ползун 4 закрепляется вин-
том 3. Расстояние ползуна 4 от рамы 6 определяет полюсное
расстояние вычерчиваемой параболы.
3*	35

На каретке .9 закреплен шарнир стержня 8. Стержни 5 и 8
взаимно перпендикулярны и совместно вращаются вокруг оси О,
проходящей через вершину параболы.
Прибор приводится в движение перемещением рукоятки в на-
правлении, перпендикулярном к оси параболы. Это перемещение,
вызывает поворот стержня 5, а с ним и стержня 8, который сме-
щает каретку 9, а вместе с ней и чертящий штифт 10.
7.	ЭЛЛИПСОГРАФЫ
Внешний вид простого прибора фирмы «Harding» для вычерчи-
вания эллипсов различных размеров показан на рис. 22. Он состоит
из линейки 5, ползуна 2 и обводного рычага 7. На линейке 5
вдоль одного из краев нанесена миллиметровая шкала. Этот же
край линейки служит направляющей для наконечника 11 рычага 7
при его перемещениях. На линейке имеются отверстия 1 и 6 для
Рис. 22. Эллипсограф
кнопок, которыми она крепится к столу. На ползуне 2 преду-
смотрен винт 4, которым он может быть застопорен. Головка винта
служит также для передвижения ползуна вдоль направляющей 5,
неподвижно закрепленной на линейке. На конце ползуна имеется
палец 10, входящий в прорезь рычага 7. Вдоль рычага может пере-
мещаться гнездо 9, закрепляемое в любом месте рычага стопором 8.
При подготовке прибора к работе рабочий край линейки 5
ставят параллельно малой полуоси эллипса так, чтобы ось ползуна
была направлена вдоль большой полуоси. При этом, упирая нако-
нечник 11 рычага 7 в рабочий край линейки, переставляют гнездо 9
и закрепляют его стопором 8 в точке начала вычерчивания кривой
так, чтобы длина рычага от центра наконечника до центра гнезда
оказалась равной большой полуоси эллипса.
36

После описанной предварительной операции рычаг 7 прижи-
мают к рабочему краю линейки 5, помещая одновременно гнездо 9-
в точку конца малой полуоси эллипса! Затем вставляют в гнездо
карандаш и начинают отводить гнездо от линейки, одновременно
удерживая наконечник И в постоянном контакте с рабочим краем
линейки. Это достигается притормаживанием ползуна путем нажа-
тия пальцем на головку винта 4. Таким образом вычерчивается
половина эллипса. Для вычерчивания второй половины нужно пе-
ревернуть прибор и повторить описанную выше операцию. При
вычерчивании эллипсов чернилами или тушью карандаш заменяют
специальным пером, применяемым в сейсмографах или при напи-
сании по трафарету.
8.	КУРВИМЕТРЫ
Курвиметрами называют приборы для измерения длин кривых.
Назначение этих приборов весьма разнообразно. В частности, они
используются для быстрого измерения длин кривых, записанных
на осциллограммах, сейсмограммах, барограммах, спектрограм-
мах и т. д.
Принцип работы курвиметров довольно прост и основан на
отсчете угла поворота измерительного ролика, ось которого всегда
удерживается нормально к из-
меряемой (обводимой) кривой.
В курвиметрах, выпускаемых
фирмой «Coradi», с целью повЫ-
О1
Рис. 23. Схема курвиметра Рис. 24. Курвиметр фирмы «Coradi»
фирмы «Coradi»	№ 44
шения точности установлено два измерительных ролика (рис. 23),
оси которых находятся на одной прямой. Вдоль нее расположена
линейка 1 с лупой 2, сквозь которую наблюдается измеряемая
кривая. При такой схеме длина измеренного участка кривой про-
порциональна полусумме углов поворота измерительных роликов.
Конструктивное оформление описанного прибора показано
на рис. 24, где представлен простой курвиметр фирмы «Coradi»
№44. По данным фирмы погрешность измерения длин не превосхо-
дит 0,05%. Отклонения обводной линейки от нормали к кривой
в пределах до 0,08% вызывает ошибку измерения длины, не пре-
восходящую 1 %.
Фирмой «Coradi» выпускается высокоточный курвиметр № 80
(рис. 25), приспособленный для измерения длин сложных кривых
37

с малым размахом ординат. Измерительный механизм прибора
аналогичен описанному выше. Отличие состоит в том, что измери-
тельные ролики скользят по непосредственно по бумаге, а по спе-
циальной плоской подставке. Установка осей измерительных
Рис. 25. Курвиметр фирмы «Coradi» № 80
роликов по нормали к измеряемой кривой осуществляется путем
поворота лупы, закрепленной в шариковой опоре.
С помощью описанного прибора могут быть измерены длины
кривых, координаты которых по оси абсцисс не превышают 550 мм
и по оси ординат 200 мм. Более длинные кривые могут быть изме-
рены в несколько приемов. Общие габаритные размеры прибора
1050 х700 мм.
Фирмой «Ott» выпускается курвиметр (CUDOV) № 342 с одним
измерительным роликом.

Глава II
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В этой главе рассмотрены вычислительные приборы, опери-
рующие с заданными в явном виде функциями, которые в дальней-
шем будем обозначать / (/). Функция f (/) может быть представлена
в виде графика, и тогда величины / (/) и t приобретают геометри-
ческий смысл. Для прямоугольной системы координат вели-
чина t представляет собой абсциссу графика и обычно обозна-
чается буквой х, а величина / (/) — ординату графика и обычно
обозначается буквой у. Для полярной системы координат вели-
чина t является углом поворота радиус-вектора, а величина
f (/) — его длиной. В этом случае они обычно обозначаются через
<р и р.
Функция / (/) может быть представлена также в виде некоторой
физической величины, изменяющейся во времени.
Наиболее широкое распространение получили приборы, опе-
рирующие с функциями, заданными в виде графиков. Вместе
с тем в последнее время получают распространение также приборы,
оперирующие с функциями, заданными изменяющимися во вре-
мени электрическими напряжениями и механическими переме-
щениями.
Описываемые в этой главе интегрирующие приборы вычисляют
интегралы F (/) от задаваемых функций f (/) с переменным верх-
ним пределом, т. е.
t
(1)
* О
а также интегралы F (/), являющиеся результатом интегрирования
некоторой функции /2 от заданной функции (/), т. е.
/
=	(2)
/о
При этом функции /2 являются для каждого прибора неизмен-
ными, определяемыми конструкцией прибора. В универсальных
39

приборах может быть предусмотрено вычисление интегралов от
ряда различных функций /2.
Приборы, вычисляющие интегралы вида (1), будем называть
интеграторами. Интеграторы, предназначенные для вычисления
интегралов от функций, заданных графически, называют инте-
гриметрами. Иптегриметры, у которых результат вычисления
регистрируется в виде графика функции F (/), называются инте-
графами.
Вычислительные приборы для вычисления интеграла функции
от функции вида (2) .будем называть функциональными интегра-
торами, наиболее распространенными из которых являются сте-
пенные. Функциональные интеграторы, как и обычные, могут быть
в виде интегриметров или интеграфов.
Интегрирующие приборы широко применяются в математике и
в таких прикладных науках, как судостроение, строительная тех-
ника, электротехника, аэронавтика и баллистика. Интеграфы
можно использовать для вычисления площадей, деления площадей
на пропорциональные части, для определения центров тяжести,
для вычисления момента инерции, а также моментов внутренних
сил, устойчивости и нагрузки, для решения определенных типов
дифференциальных и алгебраических уравнений, для вычерчива-
ния парабол и кривых более высокого порядка.
Разнообразие задач, решаемых с помощью интеграфа, можно
себе представить на примере его использования в судостроении.
Он применяется для определения кривых водоизмещения, пло-
щади и центра тяжести плоскости ватерлинии, вертикального и
продольного центров плавучести, кривых сечений миделя, кри-
вых коэффициента полноты, водоизмещения, кривых призмати-
ческого коэффициента и коэффициента площади миделя, про-
дольных и поперечных метацентров и моментов, вызывающих
удельный наклон.
С помощью интеграфа оператор, не знающий высшей матема-
тики, может быстро получить результаты, которые потребовали бы
утомительных вычислений.
Интеграф выгодно отличается от планиметра, хотя оба решают
задачу вычисления площадей. Планиметры позволяют вычислить
площадь, ограниченную только замкнутым контуром, тогда как
интеграф дает непрерывное представление величины интеграла,
которую можно считывать с градуированной шкалы или измерять,
как ординату вычерчиваемой интегральной кривой.
Например, если данная кривая является прямой линией
f (/) = at + b,
интегральная кривая первого порядка будет параболой
/^)=J_^ + w + c>	(3)
где с является константой интегрирования.
40

Рис. 26. Построение интегральной
кривой
Предположим, что кривая abcde (рис. 26) является данной
кривой f (t), проходящей через .точку / = 0; 1 = 0.
Когда уравнение данной кривой известно, то площадь, заклю-
ченную между 'данной кривой, осью абсцисс и двумя произволь-
ными ординатами, легко вычислить с помощью определенного
интегрирования или приближенными численными методами.
Когда уравнение данной кривой неизвестно, интегрирование
можно выполнять-либо путем численных, либо путем механизи-
рованных методов. Основа меха-
низированного метода такова.
Вычертим интегральную кри-
вую aib^d^. Эта кривая’такова,
что ордината F в некоторой точке
Вг пропорциональна площади,
заключенной между заданной кри-
вой, осью абсцисс и ординатой f
в точке В.
При дифференцировании урав-
нения (3) получим
^- = f(O = tg*,
где ф — угол наклона интеграль-
ной кривой в точке (/, F).
Таким образом, наклон каса-
тельной к интегральной кривой
пропорционален ординате- задан-
ной кривой для одной и той же
величины t (координаты данной и
интегральной кривых вычерчива-
ются в одинаковом масштабе).
При интегрировании в заданных пределах любая ордината В1Ь1
интегральной кривой первого порядка (см. рис. 27) представляет
площадь АаЬВА, заключенную между заданной кривой abc,
осью абсцисс, ординатой Аа в начальной точке t = а и ордина-
той ВЬ в текущей точке t.
Конечная ордината интегральной кривой первого порядка
представляет общую площадь АаЬсСА, заключенную между дан-
ной кривой, осью абсцисс и ординатами в точках t = а и t = р.
Ордината интегральной кривой второго порядка в точке t
представляет момент соответствующей площади под заданной кри-
вой относительно конечной ординаты в той же точке.
Аналогично ордината интегральной кривой третьего порядка
представляет полумомепт инерции соответствующей площади под
заданной кривой.
Если вычертить касательную к интегральной кривой второго
порядка в любой точке, то ее пересечение с. осью / даст абсциссу
центра тяжести соответствующей площади.
41

Если задан замкнутый контур abcdea (рис. 28), то разность
между исходной и конечной ординатами интегральной кривой
первого порядка представляет площадь, ограниченную замкнутой
кривой. Наклон в любой точке интегральной кривой первого
порядка пропорционален ординате в соответствующей точке
заданной кривой.
В отличие от интеграфов планиметры дают значение определен-
ного интеграла за один полный цикл перемещения обводного
штифта по всему контуру заданной площади, регистрируя пло-
Рис. 27. Определенный интеграл
Рис. 28. Интегрирование
замкнутого контура
щадь, статический момент или момент инерции всей фигуры.
Интеграф же графически регистрирует интеграл любой части
заданной площади относительно данной оси непрерывно от начала
до конца обвода контура площади. При использовании плани-
метров эту графическую интегральную кривую можно получить
только путем выполнения ряда циклов обвода частей площади и
использования показаний, полученных в конце каждого цикла,
в качестве ординат для построения кривой.
Описываемые в этой главе дифференцирующие приборы вы-
числяют производные функции Ф(/) от задаваемых функций f (/),
т. е.
' 7 at
Такие приборы называют дифференциаторами. По аналогии
с интегрирующими приборами дифференциаторы, предназначен-
ные для дифференцирования графически заданных функций, назы-
42

вают дифференциометрами, а дифференциометры, регистрирующие
результат вычисления [функцию Ф (/)] в виде графика, —диф-
ференциографами.
В тех случаях, когда вычислительные приборы предназначены
для выполнения операций интегрирования и дифференцирования
одновременно, их называют соответственно интегродифференциа-
торами, интегродифференциометрами и интегродифференциогра-
фами.
Задачи, решение которых сводится к дифференцированию функ-
ций и к интегрированию функций и функций от функций, весьма
разнообразны и могут встретиться в самых различных областях
науки и техники. Приведем ряд примеров.
2. ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ИНТЕГРИРУЮЩИМИ ПРИБОРАМИ
Вычисление площадей. Одной из распространенных задач,
сводящихся к интегрированию, является вычисление площадей
замкнутых контуров и их моментов относительно заданной оси.
Эти задачи встречаются главным образом в строительной механике
при расчетах на прочность.
Допустим, что задана криволинейная фигура, ограниченная
осями координат, некоторой функцией у (х) и ординатой х = хх.
Проинтегрировав функцию у (х) и вычертив первую инте-
гральную кривую уг (х), определим площадь F, как разность ор-
динат Az/x = уг (хх) — у2 (0), умноженную на некоторый масштаб-
ный коэффициент Ь, называемый базисом интегрирования.
Вычисление площадей может осуществляться как с помощью
интеграфов, так и с помощью интегриметров, так как требуется
знать лишь численные значения интегральной кривой (в началь-
ной х = 0 и конечной х = хг точках кривой).
Определение статического момента площади. Рассмотрим при-
менение интеграфа для механического вычисления статического
момента площади относительно определенной оси.
Предположим, что требуется определить статический момент
площади АаЬсСВА относительно ординаты К К' на рис. 29.
Если заданная кривая abc описывается уравнением у = f (х),
а уравнение прямой КК' представляет собой зависимость х =
искомый статический момент площади АаЬсСВА относительно КК'
Р
М = J (£ — х) у dx
а
или после интегрирования по частям
м == а - Р) yi (р) + i/2 (Р).
где У) и уt — ординаты интегральных кривых первого и второго
порядка.
Исследуя геометрический смысл этого выражения, можно
показать, что величина М пропорциональна ординате Kik'i
43

(в точке х = касательной с2Т к интегральной кривой второго
порядка в конечной точке.
Далее будет показано, что это свойство позволяет определить
центр тяжести данной площади. Кроме того, можно показать, что
ордината 7<а/е 2 в точке х = интегральной кривой второго по-
рядка представляет статический момент относительно ординаты Kk
площади АаЫгКВА, за-
ключенной между данной
кривой, осью абсцисс и
ординатами при л = а и
х = Когда имеется точно
в масштабе выполненный
чертеж площади, выше-
упомянутые построения
легко можно выполнить с
помощью интеграфа. При
этом следует действовать
следующим образом. Уста-
новив интеграф, нужно
сначала обвести заданную
кривую у = f (х) и вычер-
тить интегральную кривую
первого порядка. Затем
обвести интегральную кри-
вую первого порядка и вы-
чертить интегральную кри-
вую второго порядка. Пу-
тем обвода прямой линии
У1 =У1 (₽) от х - ₽ до
х = а вычерчивают каса-
тельную к интегральной
кривой второго порядка в
конечной точке [р, у2 (0)].
Искомый момент М. вычи-
сляют путем умножения соответствующей ординаты Кг&2 на aai,
где а и tzi являются масштабными множителями интеграфа, выбран-
ными при интегрировании первого и второго порядка.
Определение центра тяжести. Так как статический момент
площади относительно любой линии, проходящей через центр
тяжести этой площади, равен нулю, то ее центр тяжести можно
определить как пересечение любых двух линий, относительно кото-
рых этот момент равен нулю. В маетности, можно определить ко-
ординаты х, у центра тяжести путем определения абсциссы х =
= х и ординаты у = у, относительно которых статические моменты
площади каждый в отдельности будут равны нулю.
Статический момент равен нулю относительно ординаты, про-
ходящей через точку Т, где касательная в точке с2 к интегральной
44

кривой второго порядка пересекает ось абсцисс, т. е. х =
= а8Т.
Повторение этих действий с использованием оси ординат в ка-
честве основы позволит определить ординату у.
Эти вычисленця можно проверить путем выбора третьей ли-
нии, например линии, параллельной биссектрисе угла хиу, от-
носительно которой статический момент также равен нулю. Иде-
ально эти три линии должны пересекаться в одной точке, однако
они, как правило, образуют маленький треугольник, в пределах
которого находится центр тяжести.
Рассмотренные методы использовались для расчета судов,
включая определение центра тяжести плоскости ватерлинии. Эти
методы применимы также для определения центра давления крыла
самолета на основе данного распределения по хорде.
Определение момента инерции площади. Вычисление стати-
ческого момента площади точно в масштабе выполненных чертежей
представляет интерес для инженеров-строителей при определении
характеристик профилей несимметричной формы и для судострои-
телей при определении метацентрических высот. Ниже описывается
вычисление момента инерции площади с помощью интеграфа.
Предположим, что требуется определить момент инерции пло-
щади АаЬсСВА относительно ординаты ДТС (см. рис. 29). Момент
инерции определяется по формуле
з
J= J (В — x)2ydx,
а
откуда после интегрирования по частям получим
J - (В - ₽)2 У1 (₽) + 2 а - Р) У& (₽) + 2у3 (₽),
где у3 является ординатой интегральной кривой третьего порядка.
Таким образом, зависимость J от | можно представить парабо-
лой, которую можно подучить путем построения интегральной
кривой, касательной с2Т в конечной точке с2 к интегральной кри-
вой второго порядка.
Можно доказать, что ордината K3k3 в точке х = | параболы
равна половине момента инерции площади АаЬсСВА относительно
Kk Кроме того, можно доказать, что ордината K3k3 интегральной
кривой третьего порядка численно равна половине момента инер-
ции площади АаЫгКВА, заключенной между данной кривой,
осью абсцисс и ординатами в точках х = а и х = £ относительно Kk.
Эти построения можно выполнить с помощью интеграфа. При
этом строят данную кривую у - f (х) и находят интегральные
кривые первого и второго порядков и касательную к интегральной
кривой второго порядка в ее конечной точке по методу, описанному
выше. Устанавливают обводный штифт интеграфа в точке а2,
вычерчивающее перо в точке а3 и обводят интегральную кривую
второго порядка агЬ2с2 и ее касательную с2Т. Интеграф вычертит
45

интегральную кривую третьего порядка а3Ь3с3 и соответствующую
параболу c3T’U'.
На практике может быть необходимым использование различ-
ных масштабных множителей а, at и «2 на каждой ступени инте-
грирования. Искомый момент инерции площади J затем вычис-
ляется путем умножения соответствующей ординаты k3k3 пара-
болы на 2«Н1Н2-
И наоборот, момент инерции площади АаЬсСВА относительно
K.k можно вывести из интегральных кривых третьего порядка,
соответствующих данным кривым abk и ck. Допустим, что инте-
гральные кривые третьего порядка пересекают ординату х = В
в точках k3 и 13 соответственно, тогда искомый момент инерции
площади пропорционален 2 (K3k8 + /(3/3) •
Определение метацентра. Метацентрическая высота ВМ мета-
центра М над центром плавучести используется для определения
остойчивости плавучих тел при килевой и бортовой качке. Высота
ВМ = J (V) является отношением момента инерции J площади
плоскости ватерлинии к погруженному объему (или водоизмеще-
нию) V.
При определении продольной остойчивости или остойчивости
при килевой качке J является моментом инерции площади сече-
ния относительно продольной оси, проходящей через центр тя-
жести, и определяется из уравнения
J = J xhjdx,
где у — ордината плоскости ватерлинии на расстоянии х от G.
При определении остойчивости при бортовой качке J является
моментом инерции площади плоскости ватерлинии относительно
поперечной оси. Таким образом,
J= J tfxdy
и его можно вычислить из интегральной кривой третьего порядка
площади плоскости ватерлинии при использовании поперечной
оси ординат в качестве основы. И наоборот, мы имеем уравнение
J = 4- J У3 dx,
О J
которое можно решить с помощью интеграфа из графика третьих
степеней ординат плоскости ватерлинии в зависимости от х.
Применение интеграфа при расчете балок. Интегральные кри-
вые первых трех порядков имеют очень важное значение в теории
тонких балок, которые подвержены сосредоточенным или посто-
яннодействующим нагрузкам или же комбинации таких нагрузок.
Классическая теория не учитывает прогиба, обусловленного сдви-
гом, так как он имеет незначительную величину по сравнению
с прогибом, вызванным изгибающим моментом, и допускает, что
радиус инерции любого поперечного сечения является незначи-
46

тельным по сравнению с длиной балки. При этих допущениях и
для заданного распределения нагрузки интегральная кривая
первого порядка представляет собой кривую-распределения сдви-
гающей силы; интегральная кривая второго порядка представляет
распределение изгибающего момента и, следовательно, кривизну;
интегральная кривая третьего порядка представляет распределе-
ние наклона прогнутой балки и интегральная кривая четвертого
порядка представляет местоположение центроидов поперечных
сечений (в основном относительно «линии упругости»).
Допустим, что х есть расстояние вдоль балки, испытывающей
нагрузку, тогда сдвигающая сила
X
S = J co (х) dx
и изгибающий момент
М = J S (х) dx.
Кривизна балки
где EJ есть жесткость к изгибу, а у" принят приближенно равным
_ 3
кривизне k = у" (1 + у'2) 2.
Таким образом, из уравнений (19) и (20) следует, что наклон
У' = f У" (*) dx = j dx
и уравнение «линии упругости» примет вид
У = J У' (*) dx.
Следует отметить, что интегрирование можно последовательно
выполнять для однородных балок и каждый результат умножать
на соответствующую константу. Но для неоднородных балок ре-
зультат второго интегрирования следует делить на переменную
величину жесткости к изгибу Е перед последующим интегрирова-
нием.
Имеется практика решения такой задачи для определения рас-
пределения сдвигающей силы и изгибающего момента при данном
распределении подъемной силы по размаху крыла самолета.
Известно применение интеграфа для получения кривых сдвига,
изгибающего момента, наклона и прогиба, соответствующих на-
грузкам на вал турбины.
Решение алгебраических уравнений. Интеграф можно исполь-
зовать для вычерчивания многочлена
y = f(x) = рпхп + р^хх"-1	....ф ррс1  |--h ррс -ф Ро- (4)
47

Пересечение графика этой функции с осью абсцисс дают дей-
ствительные корни алгебраического уравнения
f (х)	0.	(5)
Последовательные производные многочлена (4) выражаются
зависимостями
у' = прпх”-1 -ф (п — 1) pn^xn~2 -1--1- 2р2х pi, (6)
у" = п (п — 1) рпхп-2 -----ИЗ' 2р3х + 2рг;
//<»') = [п1(/г — т)\]рпхп-т Ч-+т1рт-	(7)
^(п-1) = (n;. ] j) рп% _ 1) । Pn l-t	(8)
Уп = п\рм
где т! = т (т — 1) (иг — 2) ...
Следовательно, если прямую линию, параллельную оси аб-
сцисс и представляемую уравнением (8), принять за заданную кри-
вую, то ее интегральная кривая первого порядка, начинающаяся
в точке х — 0, уг — (п — 1)! р п_19 будет наклонной прямой ли-
нией, соответствующей уравнению (27). Интегральная кривая
второго порядка, начинающаяся в точке х ~ 0, у2 = (п — 2)! Рп_2,
будет параболой. Последующие интегральные кривые, на-
чинающиеся в соответствующих точках х = 0, уп_т = т\,
будут представлять собой низшие производные, определяемые
уравнением (7) при пг = п — 3, п — 4, . . ., 3, 2, 1; соответственно
интегральная кривая (/г — 1)-го порядка будет представлять урав-
нение (6), и дальнейшее интегрирование, даст многочлен (4) как
п-ю интегральную кривую. Действительные корни алгебраичес-
кого уравнения (5) соответствуют пересечениям вышеупомяну-
той /г-й интегральной кривой с осью абсцисс. На рис. 30 показан
пример вышеописанной процедуры.
Решение дифференциальных уравнений. Интеграф фирмы «Stan-
ley», сконструированный для вычерчивания интегралов типа
X
Уг = j f (х) dx, можно использовать для решения обыкновенных
ОС
дифференциальных уравнений первого порядка /г-й степени вида
при следующих начальных (или граничных) условиях
оф-’) _	,,ф-2) — о<п-2)	>/ —
— Уо	> У1 — Уо • 	у 1 = уо,
1/1 = Уо при х = а.
48

Графическое решение дифференциального уравнения первого
порядка первой степени вида у{ = / (х) при условии, что началь-
ная величина уг = у0 при х = а, получается в виде кривой у =
= f (х). При этом вычерчивающее перо устанавливается в точке
(a, z/0), а обводной штифт находится в начальной точке [a, f (х)]
заданной кривой, выражаемой функцией
yt = y^ + \f{x)dx.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений более
высокой степени с одноточечными граничными величинами вида
yW = f можно получить путем повторения вышеописанного
процесса, т. е. путем повторного интегрирования. Таким образом,
последовательно вычерчиваются	Уv У\ с Учетом
граничных условий. Двухточечная граничная задача решается
при рассмотрении уравнения второй степени у\ = f (х) с гранич-
ными условиями уг (а) = у, уг (Р) = б. Если предварительно
предположить, что у\ (а) = 0, то в результате последовательного
49
4 В. В. Васыалов

интегрирования полупим
X
Уу (X) = J f (х) dx
а
И
х
У1(х) = «/i(a) — J y'i(x)dx.
а
Вообще говоря, последняя величина yt (х) не будет удов-
летворять граничной величине у$ = 6, но можно доказать, что
искомая кривая описывается уравнением
У1(*) = У1 (х)---У1 (₽)•
Определение девиационного (центробежного) момента инерции.
Девиационный, или центробежный, момент Сху определяется
интегралом
= jjxydxdy = J xydf,
где df— элементарная площадка внутри контура, ограничиваю-
щего заданную площадь, на которую распространяется
интегрирование.
Этот момент можно найти с помощью интеграфа (рис. 31),
для чего вводят новые оси координат и, v, повернутые относи-
тельно осей х, у на угол 45°. Старые координаты х, у и новые и, v
будут связаны следующими соотношениями:
х= уТ(
Девиационный момент
СХу- J xydf = J (ц« - v2)df =	| U4f - -1- J v2df.
S	s
Но интегралы | и2 df и J v2 df представляют собой моменты
s	s
инерции площади относительно осей и и v, нахождение которых
описано выше. Определив эти моменты, получим девиационный
момент по формуле
= у (Л — du).
50

Тем же методом можно определить высший смешанный момент,
например
Мхху = jxy2df.
s
Преобразуем выражение
]/2 (и3 — у3) = {х + у)3-----1-(у — х) = х3 — Зху2,
откуда находим
xy2 = ^-(u3-v3)-^-.
Тогда
М,„ = ^df = J2.ju>df-J^-^df—^^df
S	S	S	S
или
мхху = X?- (Ж - 3Ми) - А- 3МУ,
где 3Л4О, 3Ми и 3МУ — моменты третьего порядка относительно
осей хну соответственно.
Каждый из этих моментов может быть найден четырехкратным
интегрированием (рис. 31).
Определение главных осей инерции и главных моментов инер-
ции плоской фигуры.
Угол а между осями х, у (проходящими через центр тяжести)
и главными осями инерции х* и у* определяется по формуле
где х, у — координаты центра тяжести.
Главные моменты инерции J*x и J*y определяются по формулам
<• = 4 (';+Ji) + VV-.—; 
Jn’= Т(-Ь + J-„) + V^~Jif ~4Сх; 
Все входящие в формулы выражения, как было показано выше,
могут быть определены с помощью интеграфа, поэтому для нахож-
дения главных осей инерции и угла между ними и осями, прохо-
дящими через центр тяжести фигуры, кроме работы с прибором,
останется проделать лишь несколько простейших арифметических
действий.
4*	51

Вычисление моментов инерции тел вращения и их объема.
Объем тела вращения слагается из концентрических полых
цилиндров, имеющих объем dV (рис. 32), причем
dV = 2лг dz dr = 2nr df.
Объем всего тела
V = j 2nrdf ~ 2пМг,
где Мг — статический момент площади половины сечения отно-
сительно оси г.
Момент инерции по отношению к оси z слагается из соответ-
ствующих моментов инерции полых цилиндров. Если плотность
„ тела постоянна, то
Рис. 31. К вычислению девиационного
момента
где ху ~ г3 dV является моментом
Jz = р J z2 dV = pr2 2nrd f =
= 2л р j г 3df — 2пр3Мг.
Следовательно, момент
инерции тела вращения отно-
сительно оси вращения z ра-
вен произведению момента
3-го порядка площади поло-
вины меридианного сечения
относительно той же оси на
величину 2лр, где р — по-
стоянная плотность тела.
Момент инерции относи-
тельно поперечной оси (х или
у) определится из следующих
выражений:
4 =	+	=
= | (х2 -|-z2)dV;
откуда
Л Jy ~ Л + 2«/ед,
инерции относительно
плоскости ху.
Для тел вращения Jx = Jy, следовательно,
Л — Jy = -у + Jxy
ранее был определен.
52

Определим
JXy=p jz2dVlt
где dVi — объем диска;
dV± = л г2 dz = 2л ~ dflt
4
следовательно,
JXy = Р J 22dVj_ = 2p | z2 — dfi = 2лр J z2 ~ dfi = 2лрМ„„
Рис. 32. К вычислению объемов
тел вращения
где Мггг — смешанный момент.
Таким образом,
Jx = лр3М2 + 2лрМггг.
Вычисление среднего значе-
ния и среднего квадратичного
отклонения по гистограмме
Рис. 33. К обработке статистиче-
ских данных
Гистограммой называется график (рис. 33), у. которого по оси
абсцисс отложены значения некоторой случайной величины, на-
пример, размеры какой-нибудь детали, а по оси ординат — число
случаев появления данного размера. Если случайные величины
группируются по интервалам, что имеет место, например, при из-
мерении размеров предельными мерами, то по гистограмме на
оси ординат откладывается количество размеров, попавших
в заданный интервал, и график приобретает показанный на ри-
сунке ступенчатый вид. Каждая плоская ступень гистограммы
имеет длину заданного интервала группирования. Построение
гистограмм широко используется при статистических методах
контроля качества продукции в производстве.
Если имеется ряд из N измерений и по ним построена гисто-
грамма, то среднее арифметическое значение а ряда определяется
абсциссой х центра тяжести гистограммы:
д - х — N
53

Среднее квадратичное отклонение о определяется формулой
Xi ,li (•*£	х)2 _ j /~
N V 7Г'
Следовательно, основная доля вычислений о по последней
формуле сводится к нахождению момента инерции площади ги-
стограммы относительно прямой х = х.
Интегрирующие приборы весьма эффективны также при вы-
числении средних значений / и среднеквадратичных отклонений ст
случайных функций / (/). В этом случае величины / и ст вычисляются
по формулам
L
1	= ~ J f(x)dx,
о
ст
[/2(х) — ff(x)]dx.
а а
Рис. 34. Схема вычисления
длины кривой
Такая задача возникает не только при научно-исследователь-
ских работах, но также и в производстве, при статических методах
контроля качества продукции, когда результаты измерения кон-
тролируемых параметров представля-
ются в виде непрерывно изменяющихся
величин (графики, электрические на-
пряжения, перемещения).
Определение длины дуги кривой линии
Как известно, длина 5 дуги выра-
жается интегралом:
S = f dS,
где dS — элемент дуги.
Если построить по обе стороны от
кривой на расстоянии а подобные ей
кривые (рис. 34), то получим полосу
шириной 2а. Если кривая не замкнута, то полосу нужно с одной
стороны ограничить нормалью к кривой, а с другой стороны —
отрезком, параллельным нормали, как это показано на рисунке.
Обратим внимание на то, что элементарная площадка полу-
ченной площади
d/ = 2adS,
откуда следует, что
F = J df = 2а J dS = 2aS,
54

таким образом, искомая величина
Вывод показывает, что длину дуги можно найти, вычислив
с помощью интегратора или интеграфа площадь, ограниченную
двумя кривыми, эквидистантными заданной. Следует отметить, что
длину дуги проще вычислить с помощью курвиметров.
3.	ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИМИ ПРИБОРАМИ
Рассмотрим несколько примеров применения дифференцирую-
щих приборов.
Вычисление теплоемкости тела и получаемого им тепла
Известно соотношение
г —
где С — теплоемкость; q — количество тепла.
Замерив изменение количества q тепла со временем, можно,
дфференцируя функцию q (/), найти теплоемкость С. Заметим
попутно, что с помощью интегратора решается и обратная задача:
зная закон изменения теплоемкости С (/), определяют количество
полученного телом тепла.
Исследование агрегатного состояния газа или пара
Часто возникает необходимость определения тенденции в из-
менении количества тепла Q (поглощается оно или выделяется)
и температуры Т газа или пара.
Для дифференциалов величин Q и Т справедливы выражения:
где
С —	1	• k-----~  s — п dV •
G — 427 (1 — k) ’ Cv ’ P dp ’
dT’ = 4(pdV+Vdp) = ^(V + s);
R — газовая постоянная.
О тенденциях процесса судят по знакам dQ и dT, в конечном
счете определяемым знаками выражений (V + ks) и (V + s),
в которых величина s может быть как положительной, так и отри-
цательной. Значения и знак величины s, как функции р, можно
определить, продифференцировав диаграмму р — V, снимаемую
обычно при исследовании двигателей, учитывая, что
55

Графическое дифференцирование применяют также при реше-
нии ряда электротехнических задач.
Расчет тока в трансформаторах. Определение закона i (0
изменения тока в трансформаторах осуществляется решением диф-
ференциального уравнения
4^ • 4г -|- = Ео sin
cU at
методом итерации. При этом функция должна быть известной.
Она может быть найдена с помощью дифференциатора обработкой
заданного графика ф (0.
Вычисление плотности силовых линий
Определение плотности силовых линий магнитопровода круг-
лого поперечного сечения проводится на основе выражения
До = в (Я) - аНВ' (Я) = ЬН*В" (Я),
где а, b — коэффициенты пропорциональности;
В — магнитная индукция;
Я — напряженность магнитного поля.
Обе производные В' (Я) и В" (Я) могут быть найдены последо-
вательным дифференцированием с помощью дифференциографа.
Мейер-цур-Каппелен показал [16], что при этом попутно могут
быть определены непосредственно произведения НВ' (Я) и
Н2В" (Я).
Дифференцирующим прибором можно воспользоваться также
для вычисления производной по времени силового потока, созда-
ваемого обмотками электродвигателей.
4.	ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ПРИБОРЫ
Известны два принципиально различных способа вычисления
производной заданной функции f (х).
Первый способ основан на точном выражении производной
как предела отношения приращений функции и аргумента:
J (х) =	.
' ' ' Дх
Второй способ основан на приближенном выражении производ-
ной как отношения малых приращений функций и аргумента:
f (х) Як	f (Х>{)
1 ' '	ХА+1 — Xk
В вычислительных устройствах непрерывного действия, пред-
назначенных для вычисления производной по первому способу,
процесс вычисления сводится к измерению той физической или
56

геометрической величины, которая соответствует производной
искомой функции.
Так, если функция представлена изменением электрического
заряда во времени, то производная выражается значением тока
в цепи или пропорционального ему падения напряжения на неко-
тором участке цепи. Примерами таких дифференцирующих уст-
ройств являются емкостно-омические и индуктивно-омические
контуры.
Если функция представлена линейным или угловым перемеще-
нием, изменяющимся во времени, то производная выражается ско-
ростью перемещения, и вычисление производной сводится к изме-
рению скорости. Примером таких вычислительных . устройств
являются различные тахометры, наиболее точные из которых по-
строены на фрикционных механизмах.
Если функция представлена графиком, то производная выра-
жается тангенсом угла наклона касательной к графику, и вычис-
ление производной сводится к измерению угла наклона касатель-
ной в различных точках заданного графика.
В вычислительных устройствах непрерывного действия, пред-
назначенных для вычисления производной по второму способу,
процесс вычисления сводится к измерению разности значений той
физической величины, которая представляет заданную функцию.
Так, если функция представлена графиком, то при постоянном
интервале независимого переменного производная прямо пропор-
циональна разности соседних ординат графика.
Дифференцирующие приборы как самостоятельные изделия
выпускаются пока лишь для графически заданных функций.
В дифференциометрах и дифференциографах, построенных по
первому способу, угол наклона касательной определяется на глаз
с помощью специального визира, снабженного призмой или зер-
калом. При обводе графика визиром оператор наблюдает через
него за линией. При отклонении продольной оси визира от направ-
ления касательной в визире наблюдается излом или разрыв ли-
нии, устраняя который, оператор (автоматически) выдерживает
параллельность оси визира к касательной; при этом угол поворота
визира относительно вертикальной оси, равный углу наклона
касательной в дифференциометрах, считывается по шкале, а в
дифференциографах передается на тапгенснын механизм, выраба-
тывающий значение тангенса измеренного угла, т. е. значение ве-
личины прямо пропорционально искомой производной.
К такого рода дифференцирующим приборам относятся диф-
ферентометры фирмы «011», названные деривиметрами. Они
выпускаются двух моделей № 332 (COIAG) и 334 (GOIOK),
отличающихся тем, что вторая модель имеет приспособление для
крепления к поворотному приспособлению чертежного стола
(кульмана). Приборы представляют собой визиры, через которые
наблюдается дифференцируемая кривая. Визиры снабжены зер-
кальной поверхностью, отражающей непосредственно примыкаю-
57

щпй к ней малый участок кривой. Перемещая визир по шагам
вдоль кривой, каждый раз поворачивают его вокруг вертикальной
осн в такое положение, при котором отражение участка будет пред-
ставляться продолжением самого участка (не будет видимого
излома линии). Зафиксированный при этом угол поворота визира
будет искомым углом наклона касательной к кривой.
В приборе аналогичного назначения, известном под названием
призматического дериватора Гарбу, линия наблюдается через
призму. Такой прибор выпускается итальянской фирмой «Filo-
tecnica» (модель 1001). К дифференцирующим приборам относится
также прибор дериватор-треугольник (см. рис. 36), разработан-
ный в отраслевой научно-исследовательской лаборатории матема-
тических приборов Иркутского государственного университета
им. А. А. Жданова.
Как указывает автор прибора А. Б. Штыкан [26], «. . .дери-
ватор-треугольник служит для приближенного определе-
ния направлений касательных и нормалей в дискретных точ-
ках произвольных кривых. Кроме того, он может быть исполь-
зован как обычный чертежный треугольник и как транспор-
тир. . .».
Основным оптическим элементом в нем является двойная
призма, которая состоит из двух половин с поперечными сече-
ниями в виде равнобедренных прямоугольных треугольников,
примыкающих друг к другу равными гранями — катетами и
образующих в сечении новый равнобедренный прямоугольный
треугольник. Если двойная призма накладывается на чертеж гипо-
тенузной плоскостью, то при разглядывании ее сверху со стороны
ребра двугранного прямого угла плоскость примыкания двух
половин (биссектор), перпендикулярная к плоскости чертежа,
видна как зеркально отражающая. Изображениями следа биссек-
тора при этом оказываются две прямые LK и МН, параллельные
верхнему ребру двугранного прямого угла RN и симметрично от-
носительно него расположенные (рис. 35, а).
Если призма помещена над кривой и действительный след
биссектора RN не совпадает с нормалью в точке пересечения его
с кривой, то действительные изображения двух ветвей, расположен-
ных по обе стороны биссектора, переходят в свои зеркальные от-
ражения с изломами, а зеркальные отражения двух ветвей ока-
зываются разорванными по линии действительного следа RN.
При этом изломы имеют разный характер, ибо они соответствуют
переходу действительных изображений в их зеркальные отражения
(как бы при рассматривании в зеркало одновременно с обеих сто-
рон). Отметим, что невозможность этого в зеркальных деривато-
рах некоторые авторы считают за наиболее существенный их недо-
статок [17]. На рис. 35, а тонкой линией показана действительная
кривая, а жирной линией — ее изображение, видимое через при-
зму. Участки кривой, расположенные между прямыми LK и MN,
являются зеркальными отражениями. Штриховой линией показано
58

истинное направление нормали в точке пересечения кривой со
следом биссектора.
Если действительный след биссектора RN совпадает с нор-
малью к кривой и участок ее дуги, видимый через призму, симмет-
ричен относительно перпендикуляра к стягивающей ее хорде
(в средней точке хорды), а сам перпендикуляр совпадает с нор-
малью, то одновременно исчезают и изломы, и разрыв зеркальных
отражений. Если действительный след бйссектора RN совпадает
с перпендикуляром к хорде в средней ее точке, но последний не
Рис. 35. Принцип определения касательной

совпадает с нормалью к кривой, то зеркальные отражения двух
ветвей смыкаются без разрыва, но действительные изображения
переходят в свои зеркальные отражения с изломами. Если же дей-
ствительный след биссектора совпадает с нормалью, но последняя
не совпадает с перпендикуляром в средней точке хорды, то дей-
ствительные изображения переходят в свои зеркальные отражения
без изломов, но зеркальные отражения двух ветвей оказываются
разорванными по прямой RN.
Следовательно, главным критерием правильности установки
двойной призмы по нормали является отсутствие изломов при пе-
реходе действительных изображений двух ветвей кривой в их
зеркальные отражения, а одновременное отсутствие изломов и
разрыва свидетельствует, кроме того, о совпадении нормали с пер-
пендикуляром в середине хорды. Угол EAD между двумя по-
ложениями, соответствующими отсутствию изломов и разрыва
(рис. 35, б), может служить мерой несимметричности дуги относи-
тельно нормали, если таковая имеет место. Это весьма полезное
59

свойство двойной призмы оставалось незамеченным и использо-
вано автором, видимо, впервые.
Описанная призма смонтирована в донышке прозрачной
колонки, прикрытой сверху увеличивающей линзой 4 (рис. 36).
Колонка с призмой и линзой укреплена па прямоугольном треу-
гольнике (рис. 35, в) из оргстекла так, чтобы нижняя (гипотенуз-
ная) плоскость двойной призмы совпала с плоскостью треуголь-
ника, обращенной к чертежу, а плоскость биссектора была строго
параллельна одному из катетов треугольника и, следовательно,
Рис. 36. Дериватор-треугольник
перпендикулярна другому. На нижней плоскости призмы на не-
большом расстоянии друг от друга нанесены две параллельные
риски, перпендикулярные к плоскости биссектора, причем колонка
с призмой располагается так, чтобы точка следа биссектора, лежа-
щая посередине между рисками, оказалась на биссектрисе прямого
угла и, следовательно, на одинаковом расстоянии от обоих ка-
тетов.
На плоскости, обращенной к чертежу, нанесены шкала тан-
генсов 2 и шкала 3, оцифрованная в угловых градусах. В комплект
прибора (рис. 36) входят также небольшой сектор 1 из оргстекла
и иглы 5.
При помощи дериватора-треугольника и указанных простых
деталей А, Б. Штыкан предлагает выполнять следующие операции:
1,	Проведение касательной или нормали в данной точке про-
извольной кривой. Дериватор укладывается на чертеж, прижи-
мается гипотенузой к линейке и путем вращения приводится в та-
кое положение, при котором след биссектора располагается по
нормали к кривой в дайной точке, и изломы и разрыв (или только
60

изломы) исчезают. Затем, прижав линейку к чертежу и передвинув
дериватор параллельно самому себе, проводят требуемую нормаль
или касательную, или параллельные им прямые. Если нормаль
и касательную надо провести только через данную точку на кри-
вой, достаточно, придав дериватору правильное положение, как
указано выше, через предусмотренные в нем отверстия нанести
иглою точки. Соединив их попарно прямыми, получают отрезки
касательной и нормали.
2.	Определение угла между касательной или нормалью и дан-
ной прямой, например, одной из координатных осей. Для этого
дериватор с линейкой приводится в такое же положение, как в пре-
дыдущем случае. Дериватор передвигается параллельно самому
себе по линейке до совмещения оптического центра с данной
прямой.
Искомый угол непосредственно считывается по шкале.
3.	Нахождение на кривой точки, в которой касательная или
нормаль имеет наперед заданное направление, что бывает необ-
ходимо, в частности, для контроля графического интегрирования
[40]. Дериватор прикладывается к линейке [катетом, перпенди-
кулярным биссектору, а линейка размещается параллельно тре-
буемому направлению касательной или перпендикулярно требуе-
мому направлению нормали с таким расчетом, чтобы призма охва-
тывала ту часть дуги, в которой должна находиться искомая
точка. Прижав линейку к чертежу, перемещают вдоль нее Дери-
ватор до момента исчезновения изломов и разрыва или только
изломов, причем не обязательно, чтобы это произошло между
рисками. Проколов пару отверстий, .лежащих в плоскости биссек-
тора, проводят через полученные точки искомую нормаль.
4.	Проведение касательной, проходящей через данную точку
А вне кривой. Для этого нужно воспользоваться сектором (см.
рис. 35, а). Игла, продетая через отверстие в центре сектора, вка-
лывается в данную точку А. По дуге сектора обкатывается прижа-
тая к нему линейка, вдоль которой передвигается дериватор. При
этом находят такое его положение, при котором в точке пересече-
ния кривой со следом биссектора исчезает излом. Через отверстия,
лежащие в плоскости биссектора, намечают маршрут прохождения
нормали, пересекающей кривую в искомой точке.
5.	Проведение нормали через данную точку А вне кривой.
Сектор и линейка размещаются, как в предыдущем случае, но
дериватор прикладывается к линейке катетом, параллельным
биссектору. Таким образом, точка А оказывается лежащей в плос-
кости биссектора. Аналогично предыдущему находим требуемое
положение, наколов чертеж через отверстия, лежащие в плоско-
сти биссектора. Искомая нормаль проводится через точку А и
одну из наколотых точек. Она должна пройти и через вторую нако-
лотую точку.
Из изложенного видно, что описываемый прибор отличается
не только более высокой точностью, по сравнению с другими при-
61

борами 13, 171, по и пригоден для выполнения значительно боль-
шего числа операций- Подробные сведения о технике эксплуатации
прибора даются в инструкции к нему.
Примеры практического приложения дериватора-треугольника
изложены в работе автора прибора А. Б. Штыкапа [26]. Из диф-
ференциаторов, построенных по способу измерения приращений
функции, следует отметить дифференциограф фирмы «Coradi»
(рис. 37). Рама 7, закрепляемая на плоскости чертежа, имеет на-
правляющие, по которым может передвигаться каретка 10. На-
Рис. 37. Схема дифференциографа фирмы «Coradi»
правляющие ориентируются относительно чертежа так, что ка-
ретка 19 движется параллельно оси х. Перемещение ее осущест-
вляется по шагам с постоянным интервалом, величина которого
может быть предварительно выбрана и установлена по специаль-
ной шкале. По каретке 10 перпендикулярно оси х могут переме-
щаться две линейки 13 и 15. На конце линейки 13 имеется обвод-
ной визир 14, а на конце линейки 15 закреплена игла, с помощью
которой накалываются точки искомой дифференциальной кривой.
Линейки 13 и 15 могут быть соединены между собой через
промежуточную каретку 5 и прижим 9, затягиваемый винтом 8.
Когда линейки соединены между собой таким образом, они могут
перемещаться одновременно при повороте рукояткой 1 кулисы 3
вокруг точки О. Линейка 13 и связанная с ней линейка 15 могут
быть жестко связаны с кареткой 10 прижимом 11, затягиваемым
винтом 12. В кулису входят два пальца 2 и 6. Первый из них за-
креплен неподвижно на каретке 5, второй установлен на ползунке,
который может быть закреплен на тяге 4 по шкале на различных
62

расстояниях от линейки 15, Перестановкой ползунка по тяге 4
регулируется масштаб построения дифференциальной кривой.
Работа с прибором производится в следующем порядке. Вначале,
освобождая прижимы 9 и 11, смещают линейку с визиром 14 до
совмещения с начальной точкой дифференцируемой кривой, после
чего, закрепляя прижим 11, наносят иглой начальную точку диф-
ференциальной кривой. Затем, последовательно сдвигая каретку 10
на один шаг, освобождают прижим 11 и, пользуясь рукояткой 1,
смещают связанные между собой линейки 13 и 15 до совпадения
визира 14 с дифференцируемой кривой. В этом положении иглой
наносят соответствующую точку дифференциальной кривой.
5. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ МЕХАНИЗМЫ
Основой приборов для интегрирования графических заданных
функций являются интегрирующие механизмы.
Пока в малых вычислительных приборах наибольшее примене-
ние находят механические интегрирующие фрикционные меха-
низмы, построенные по нескольким различным принципиальным
схемам, отличающимся ведущим элементом. Известны интегри-
рующие механизмы шаровые, сфе-
рические, дисковые, механизмы с
роликом, скользящим по полости,
и механизмы с так называемыми
ножевыми роликами. Принцип
работы всех этих механизмов и их
конструкция рассмотрены в рабо-
тах [6, 8, 16]. Поэтому остано-
вимся здесь лишь на типах инте-
грирующих механизмов, наиболее
широко используемых в рассма-
триваемых далее интегрирующих
приборах.
Когда [при интегрировании не
предъявляются особые требования
фрикционного механизма
в отношении точности, в приборах используют интегрирующий
фрикционный механизм с роликом, скользящим по плоскости,
схема которого показана на рис. 38. Основными элементами этого
механизма являются ролик и некоторая плоская поверхность
(обычно плоскость чертежа с вычерченным графиком). Если при-
жатый к плоскости ролик переместить на величину ds в направле-
нии, составляющем с осью ролика угол у, то ролик сделает отно-
сительно своей оси долю оборота
du — —г Mllyf/S,
nd 1	’
(9)
где d — диаметр ролика.
63

Для перемощения ролика всегда можно выбрать механизм
с двумя степенями свободы, который бы изменял угол у и вели-
чину s по некоторому заданном) закону от переменных х, у или р,
qi так, чтобы правая часть равенства (9) приняла вид выражения
du = cF \у (х) ] dx
или
du = cF |р (ф) йф I.
При этом число оборотов интегрирующего ролика будет равно
искомому интегралу:
X
и = с F[y(x)]dx	(Ю)
х0
ИЛИ
V
и = с |г[р(ф)]б/ф.	(Н)
Уо
В частности, переменными х и у или р и ф могут быть коор-
динаты точек контура, обводимого ведущими звеньями механизма,
перемещающего интегрирующий ролик.
Как видно из выражений (10) и (11), с помощью описанного
интегрирующего механизма, пользуясь различными перемещаю-
щими механизмами, можно интегрировать различные функции F
от функций у (х) и р (<р), заданных в виде графиков.
Наиболее распространенным интегрирующим механизмом та-
кого типа является конструкция фирмы «ОН», используемая во
всех типах интегрирующих приборов этой фирмы.
Механизм, конструкция которого подробно описана в книгах
[8, 16], представляет собой корпус, в котором закреплена в под-
шипниках ось интегрирующего ролика. Непосредственно к ро-
лику примыкает цилиндрическая шкала, разбитая на 100 деле-
ний, по которой можно отсчитать сотые доли оборота ролика.
К цилиндрической шкале примыкает нониусная шкала, позволяю-
щая при необходимости отсчитывать тысячные доли< оборота ро-
лика. Число полных оборотов ролика читается по шкале, нане-
сенной на горизонтальном диске. Последний закреплен на чер-
вячном колесе, сцепленном с червяком, нарезанным на оси ро-
лика. Таким образом, механизм позволяет представлять угол
поворота ролика четырехзначным числом.
Расположение шкал на разных поверхностях приводит к не-
которым неудобствам в работе оператора, поэтому фирма «Asmler»
внедрила в серийное производство новую конструкцию интегри-
рующего роликового фрикционного механизма обычной точности,
который используется в ряде интегрирующих приборов, выпускае-
мых этой фирмой (рис. 39).
Особенность конструкции механизма фирмы «Amsler» заклю-
чается в том, что ролик отделен от шкал (виден справа), а шкала,
64

показывающая целые обороты ролика, благодаря применению
системы зубчатых передач оказывается на одной оси с остальными
шкалами. В результате этого оператор получает возможность сде-
лать все отсчеты на одной цилиндрической поверхности, что его
менее утомляет и снижает вероятность ошибок при отсчетах.
Для интегрирования с высокой точностью используются дис-
ковые фрикционные интегрирующие механизмы, отличающиеся от
(^писанного выше тем, что плоскость, о которую трется интегри-
рующий ролик, не неподвижна, а выполнена в виде вращающегося
диска (см., например, схему
метра на рис. 58).
Такая схема позволяет в
10 раз увеличить масштаб ин-
тегрирования, т. е. увеличить
число оборотов интегрирую-
щего ролика, соответствую-
щее одному и тому же значе-
нию вычисляемого интеграла.
Это увеличение масштаба
приводит практически при-
мерно к пятикратному умень-
шению ошибки вычисления.
Схема интегрирующего
высокоточного полярного плани-
Рис. 39. Интегрирующий фрикционный
механизм фирмы «Amsler»
роликового ножевого меха-
низма (рис. 40) отличается от
роликового фрикционного ме-
ханизматем, что обод ролика не закругленный, а острый (поэтому
ролик называют ножевым). Такой ролик не скользит по плоско-
сти и может быть смещен на величину.ds только путем перекаты-
вания в направлении тт. При этом смещение самого ролика
относительно прямой, направленной вдоль ds,
dY = tg yds.
Выбирая механизм для перемещения ролика таким, чтобы он
изменял угол у и величину s по некоторому заданному закону от
переменных х и у, можно получить
dY — cF [у (х) ] dx,
откуда следует, что
X
Y — с F [у (х)] dx.
Полученное выражение аналогично выражению (10), однако
разница в принципе работы фрикционного и ножевого интегри-
рующих роликовых механизмов обусловливает то, что в первом
механизме вычисляемому интегралу пропорционален угол пово-
рота ролика, а во втором — его перемещение в направлении, пер-
пендикулярном к ds. Для обеспечения удобства практического
5 В . В . Bucmuiiou	65

измерения этого перемещения необходимо выполнить условие,
чтобы это перемещен не не меняло своего направления относительно
корпуса прибора; это равносильно требованию, чтобы направле-
ние ds также не менялось. Поэтому в приборах, использующих
интегрирующие механизмы с ножевым роликом, перемещения ds
производят в направлении оси
независимой переменной х.
Шаровые фрикционные инте-
грирующие механизмы разрабо-
таны фирмой «Amsler» и широко
используются ею в различных вы-
числительных приборах. Схема
механизма показана на рис. 41.
Сфера S прижата к двум роли-
кам А и В, оси которых распо-
сфера поддерживается подвижной
диаметрально расположенных под-
Рис. 40. Схема интегрирующего
роликового ножевого механизма
ложены под углом 90°. Эта
системой, состоящей из двух
держивающих роликов, связанных обоймой, вращающейся вокруг
оси 00', перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 41, а).
Если поворачивать ролик А, то сфера будет вращаться таким об-
О-)
Рис. 41. Схема шарового
механизма
фрикционного интегрирующего
разом, что мгновенная ось ее вращения будет параллельной осям
©ращения роликов подвижной системы. При этом в положении
системы, показанной на рис. 41, а, ролик В будет неподвижен.
Если повернуть подвижную систему вокруг оси 00’ таким образом,
чтобы мгновенная ось вращения составила угол а с осью А, то
ролик В, увлекаемый сферой, начнет вращаться (см. рис. 41, б).
Точки контакта роликов А и В будут находиться на двух малых
окружностях с радиусами г1 и га в плоскостях, перпендикулярных
к мгновенной оси вращения.
66

Угловому перемещению ролика А соответствует угловое пе-
ремещение dy ролика В, равное tga dx.
Если поворот подвижной системы осуществляется с помощью
стержня, движение которого параллельно оси ОА, то перемеще-
ние стержня на величину СС, пропорциональную f (х), будет
одновременно пропорционально tga, следовательно, dy =
= mf (х) dx (tn — масштабный коэффициент).
Преимуществом этого интегрирующего механизма является то,
что для ввода подынтегральной функции требуется незначительное
усилие, а ведомое звено может быть нагружено больше, чем
в фрикционных механизмах других типов. Конструкция обеспе-
чивает надежную работу в различных условиях.
6.	ИНТЕГРИМЕТРЫ
Простейшим интегрирующим прибором является линейный
интегриметр, схема которого показана на рис. 42.
Прибор состоит из линейки 1, двух обводных рычагов 2 и 3
и интегрирующего роликового фрикционного мехайизма 4.
Точка А стержня 2 скользит по пазу линейки, совпадающему
с осью графика интегрируемой функции. В точке F помещается
обводное приспособление, с
помощью которого оператор
обводит линию графика. Стер-
жень 3 соединен со стерж-
нем 2 в точке С шарнирно.
Точка В так же, как и точка
А, скользит по пазу линейки.
Интегрирующий механизм
прикреплен к стержню 3
так, что ролик скользит по
поверхности линейки, а его
плоскость всегда перпенди-
кулярна стержню 3.
При этих условиях на-
Рис. 42. Схема линейного интегриметра
правление перемещения ро-
лика, всегда совпадающее с направлением оси х, будет составлять
с плоскостью ролика угол а, равный углу наклона стержня 2 к оси
Ох, т. е.
du = — sin a dx.
ла
Но так как угол а определяется текущей ординатой графика и
длиной 2а стержня 2:
sin a =
|/
2а ’
b'
67

то получается
du = -1, udx
2л da
или
х
u = о—udx.
2л da J "
хл
По такой схеме разработан итегриметр И-1 НИИСЧЕТмаша.
Работа с прибором начинается с ориентировки направляющей
линейки относительно чертежа; при этом имеющиеся у краев
паза линейки риски устанавливаются по оси абсцисс.
Используя установочные штанги, можно сместить линейку
относительно оси графика на постоянную величину; при этом из
величины, полученной в результате интегрирования, нужно будет
вычесть величину, соответствующую площади прямоугольника,
одна из сторон которого равна длине установочных штанг, а дру-
гая— интервалу интегрирования. При использовании установоч-
ных штанг их клиновидные основания вставляют в пазы направляю-
щей линейки, а находящиеся на противоположных концах иглы
совмещают с осью абсцисс; при этом линейка смещается от оси
абсцисс на заранее известную длину штанг. После ориентировки
линейки относительно графика ее закрепляют кнопками.
Далее вставляют в паз линейки 1 палец обводного рычага 2,
а в шарнирную опору, находящуюся в середине обводного рычага,
вставляют опорный шарнир С рычага 3. После этих несложных
операций прибор готов к работе.
Далее оператор, держась за рукоятку, приводит визир в точку
графика с начальной абсциссой. В этом положении фиксируется
показание отсчетной части интегрирующего механизма. Затем
оператор обводит график, удерживая точку визира на кривой;
интегрирование можно закончить в любой точке. Для получения
результата интегрирования оператор должен зафиксировать пока-
зания отсчетной части интегрирующего механизма в конце инте-
грирования и вычесть из него ранее зафиксированное начальное
показание.
Конструкция интегриметра И-1 позволяет интегрировать функ-
ции, у которых ординаты лежат в пределах от 30 до 140 мм и
положительны. Пользуясь сдвигом линейки относительно оси х,
можно интегрировать любые функции, у которых разность между
максимальной и минимальной ординатой на участке интегрирова-
ния не превосходит ПО мм. Допускаемый интервал интегрирова-
ния (длина графика в направлении оси абсцисс) лежит в пределах
от 0 до 400 мм. Прибор вычисляет значения интеграла с погреш-
ностью, не превосходящей 2% от абсолютного значения площади,
ограниченной осью абсцисс, крайними ординатами и интегрируе-
мой кривой. Продолжительность операции интегрирования опре-
68

деляется временем обвода кривой оператором и снятия двух отсче-
тов с интегрирующего механизма. В зависимости от сложности
кривой это время лежит в пределах 1—4 мин. Прибор в рабочем
положении занимает площадь 0,2 м"1 и обслуживается одним чело-
веком.
Из интегриметров, выпускаемых иностранными фирмами, наи-
более совершенным является интегриметр фирмы «Amsler»
(рис. 43). Его конструктивное отличие от описанного выше инте-
гриметра И-1 состоит в том, что рычаги 5 и 6, регулирующие на-
правление оси ролика интегрирующего механизма 3, качаются
вокруг точек, не лежащих на линейке 2, а вынесенных на расстоя-
Рис. 43. Линейный интегриметр «Amsler»
ние, равное длине установочных штанг 1 и 7 с помощью каретки 8,
перекатывающейся вдоль линейки 2 на роликах 4. Интегрирующий
роликовый механизм соединен с рычагом 6 с помощью тяги, про-
ходящей под кареткой и не видимой на рисунке. Палец 10 обвод-
ного рычага 5 перемещается по пазу направляющей 9, закреплен-
ной на каретке.
С помощью интегриметра фирмы «Amsler» можно интегрировать
функции, график, которых имеет длину по оси абсцисс до 1200 мм
и по оси ординат 480 мм. При этом можно без сдвига линейки
относительно оси графика интегрировать функции, имеющие как
положительные, так и отрицательные ординаты в пределах
±240 мм.
В настоящее время фирма «011» выпускает отличающиеся раз-
мерами графика две модели — 252 (GABIN) и 254 (GABUB) ин-
тегриметров, сходных по конструкции с интегриметром И-1.
Для вычисления интегралов от функций р (ср), заданных
в полярной системе координат, служат радиальные ннтегриметры.
Схема такого интегриметра показана па рис. 4-1.
В точке О, совпадающей с полюсом полярной системы коор-
динат, закреплен штифт 1, входящий в прорезь 2 обводного ры-
69

чага 3, несущего визир 4 в точке. Г'. На рычаге закреплен инте-
грирующий роликовый фрикционный механизм 5 так, что его ось
параллельна обводному рычагу. _
Элементарное перемещение FF' = ds точки F вдоль кривой,
являющейся графиком интегрируемой функции, можно предста-
вить как сумму двух перемещений: приращения dp и перемеще-
ния р<Др за счет поворота обводного рычага на угол <Фг>. Так как
ось интегрирующего ро-
лика параллельна об-
водному рычагу, смеще-
ние dp не вызывает по-
ворота интегрирующего
ролика. Поворот же на
угол dtp вызовет поворот
интегрирующего ролика
на долю оборота
dU==^dPd^
что при интегрировании
участка кривой дает
ф
Фо
Рис. 44. Схема радиального интегриметра
Полярные интегриметры (называемые также радиальными пла-
ниметрами) выпускаются фирмой «Ott» в двух моделях: № 120
(PAFAR) и 122 (PAFES). Приборы рассчитаны на изменение ра-
диуса-вектора графика полярной кривой в диапазоне от 5 до
125 мм.
Для распространенных в измерительной технике полярных
диаграмм, у которых функции откладываются по искривленным
радиусам-векторам, фирма «Ott» выпускает специальные полярные
интегриметры, обводные рычаги которых имеют искривленные
прорези.
7.	ИНТЕГРАФЫ
Несколько более сложными интегрирующими приборами по
сравнению с интегриметрами являются интеграфы. Схема инте-
графа, разработанного НИИСЧЕТмашем, показана на рис. 45.
Прибор состоит из неподвижного стола 12 с закрепленным на нем
графиком интегрируемой функции у (х). К столу прикреплена
ось 1 барабана 2, на котором вычерчивается график первичной
функции у (х). По направляющей 11 перемещается каретка 10,
несущая интегрирующий роликовый ножевой механизм 4.
К обойме интегрирующего механизма прикреплена кулиса 5.
Кулиса направлена так, что ее ось совпадает с плоскостью ро-
70

лика. По направляющей 8 каретки 10 скользит другая, малая ка-
ретка, на которой закреплен обводный визир 9 и линейка 6 с паль-
цем 7.
Палец 7 заведен в паз кулисы 5 и перемещается в направлении
оси х. Палец может быть закреплен на произвольном расстоянии
в пределах от 20 до 200 мм.
Механизм отрегулирован таким образом, что при нахождении
визира 9 на оси х ось кулисы совпадает с осью барабана и угол <р =
= 0. Когда визир смещается на величину ординаты у, кулиса
вместе с интегрирующим роликом поворачивается; при этом угол
принимает значения
<p=arctg-|~.
При перемещении визира
оператором в направлении оси х
визир тянет за собой каретку
10, а вместе с ней и режущее
колесо интегрирующего меха-
низма. Острая кромка колеса
не дает ему скользить по бумаге
и создает усилие, поворачиваю-
щее барабан.
Если дать визиру 9 элемен-
тарное приращение dx, то эле-
ментарная дуга (по окружности
барабана)
dY = Л- dx.
о
Рис. 45. Схема интеграфа И-2
При непрерывном обводе контура кривой у точка контакта
режущего колеса и барабана будет описывать на поверхности
барабана интегральную кривую:
X
у = y(x)dx.
При этом жестко связанный с обоймой интегрирующего меха-
низма чертящий штифт 3 вычерчивает эту интегральную кривую.
Прибор И-2 конструктивно выполнен в виде отдельных частей:
рамы, барабана и каретки. Прибор собирается оператором перед
началом работы.
Вначале устанавливается рама. Затем па ее столике крепится
чертеж с графиком анализируемой функции. При креплении чер-
тежа ось графика нужно совместить с осевой риской, нанесенной
на столике. После креплении чертежа на направляющую линейку
надевают каретку. Далее проверяют прибор. Проверка состоит
в обводе визиром оси Ох в обоих направлениях. При правильной
сборке прибора и установке графика при этих обводах барабан
71

не должен вращаться. После проверки устанавливается величина
базиса и осуществляется обвод подыиитегралыюй кривой.
Погрешность прибора не превышает 3% от отношения абсо-
лютной величины площади, ограниченной подынтегральной кри-
вой, осью абсцисс и крайними ординатами, к базису интегрирова-
ния.
Время, необходимое для однократного интегрирования, лежит
в пределах от 1 до 3 мин, в зависимости от сложности интегри-
руемой функции.
По своей компактности, конструктивной простоте и удобству
в обращении прибор И-2 выгодно отличается от распространенных
Интеграф фирмы «Stanley» (см. рис. 46) перемещается по плос-
кости на роликах. При использовании этого интеграфа перемен-
ные величины представляются линейными перемещениями об-
водного штифта и вычерчивающего пера, которые соединены ме-
ханическими звеньями, расположенными так, чтобы выполнять
интегрирование зависимой переменной у относительно независи-
мой переменной х. Этот прибор является простым механическим
устройством, обеспечивающим получение числового значения опре-
деленного интеграла, а также регистрирующего изменения инте-
грала: путем вычерчивания интегральной кривой. В то время как
обводный штифт перемещают вдоль заданной кривой, интеграф
автоматически чертит интегральную кривую, ординаты которой
пропорциональны соответствующим площадям под заданной кри-
вой. Интеграф фирмы «Stanley» компактен и прост в работе. Сле-
дует отметить, что начала заданной и интегральной кривых не
могут совпадать; они должны быть смещены в направлении оси
абсцисс, а также могут быть смещены в направлении оси ординат.
После регулировки прибора градуированный рычаг освобож-
дается, перо (или карандаш) фиксируется в соответствующем
72

гнезде и фрикционное колесико приводится в контакт с бумагой.
При перемещении обводного штифта вдоль заданной кривой про-
исходит интегрирование и вычерчивание интегральной кривой.
Интеграф фирмы «Stanley» сконструирован так, что если об-
водной штифт перемещать вдоль заданной кривой у = f (х),
вычерчивающее перо будет вычерчивать интегральную
кривую.
Таким образом, непрерывно вычерчивается кривая, ординаты ух
которой пропорциональны определенному интегралу, и в то же
самое время со шкалы на задней направляющей можно считывать
численное значение уг, соответствующее определенной величине х.
Рассмотрим механическое
дифференцирование с помощью
интеграфа интегральной кривой
первого порядка, соответствую-
щей заданной кривой у = f (/),
при условии что у — у0, когда
t = 0.
Основные принципы инте-
графа таковы. Предположим,
что жесткая рама инструмента
схематически представлена пря-
моугольником ABCD (см.
рис. 47), сторона ВС которого
принудительно движется вдоль рис 47 Схема механического инте-
оси абсцисс, и предположим, что грирования
точка Е является неподвижной
(хотя и регулируемой) точкой на стороне ВС, так что ЕС = а.
Предположим также, что точки Т и Р являются подвижными
точками на сторонах CD и АВ. При этом точка Р принуди-
тельно движется так, что касательная к пути ее движения
всегда параллельна к направлению ЕТ. Если обводной штифт Т
будет перемещаться вдоль заданной кривой у = f (х), прямо-
угольник ABCD будет двигаться вдоль оси абсцисс. При этом
вычерчивающее перо Р, движущееся так, что касательная к пути
его движения всегда параллельна £Т, будет вычерчивать интеграль-
ную кривую первого порядка yr = f / (х) dx, соответствующую
заданной кривой.
Предположим, что координатами точек Т и Р являются соот-
ветственно (х; у) и (х; ух), и предположим, что 9 есть угол наклона
ЕТ (и касательной к интегральной кривой, т. е. пути движения
вычерчивающего пера) к осн Ох (см. рис. 47).
Если градиент ЕТ равен отношению /(х)/а, градиент касатель-
ной в точке Р к интегральной кривой равен dyjdx.
Следовательно,
= Ш =
ь a dx
73

и отсюда
f/i = 4" \f(x)dxf
где а определяет масштаб интегральной кривой и называется «мас-
штабным множителем прибора».
Когда а = 1, уг = J f (х) dx.
Практически движение точки Р происходит параллельно дви-
жению отсчетного фрикционного колесика, называемого инте-
грирующим колесиком, плоскость которого с помощью паралле-
лограммного механизма под-
держивается в вертикальном
положении параллельно по
отношению к ЕТ.
На рис. 48 схематически
изображен интеграф «Stan-
ley». Жесткая рама 3 поддер-
живается двумя одинаковыми
накатанными роликами 2,
закрепленными на оси 16,
которая поддерживает глав-
ный мост рамы и вращается
в подшипниках, установлен-
ных на каждом конце моста.
Накатанные ролики, закреп-
ленные на общей оси, пред-
отвращает буксование и по-
зволяют прибору легко ка-
Рис. 48. Схема интеграфа «Stanley»
титься по плоскому столу в направлении, перпендикулярном
к оси 16. Это направление параллельно оси абсцисс.
Жесткая рама состоит из пары прямых направляющих, уста-
новленных параллельно оси 16 по направлению осей ординат Оу
и Ojt/x- В центре рамы прикреплен поворотный опорный элемент 15
для тангенциального стержня 20.
«Следящая каретка» 5 движется в канавке переднего рельса 4;
она снабжена градуированным рычагом 9, выступающим по нор-
мали из моста рамы. Этот градуированный рычаг поддерживает
обводной штифт 10 на поперечном элементе 8. Сам рычаг 9 поддер-
живается колесиком, которое вместе с двумя накатными роли-
ками 2 обеспечивает три точки опоры для прибора. Задний рельс 1,
градуированный в дюймах или миллиметрах, имеет канавку, в ко-
торой движется каретка пера 17. К этой каретке прикреплен ры-
чаг 14, выступающий по нормали из моста рамы. Этот рычаг под-
держивает вычерчивающее перо (или карандаш) 11, движение ко-
торого происходит параллельно движению маленького заострен-
ного фрикционного колесика 12 (интегрирующего колесика);
оно прикреплено к элементу 13 и свободно вращается вокруг
74

вертикальной оси, на рычаге 14. Механический параллелограмм 18
подвешен к движущейся по тангенциальному стержню 20 каретке/9
и соединен с элементом 13. Благодаря параллелограмму плоскость
фрикционного колесика 12 принудительно ориентируется парал-
лельно по отношению к тангенциальному стержню. Таким обра-
зом, обводной штифт 10 соединен с вычерчивающим пером 11
через тангенциальный стержень 20.
Так как обводной штифт 10 и вычерчивающее перо И никогда
не могут совместиться, то, зная, что начало данной кривой 7
находится в начале координат х, у, необходимо найти начало
интегральной кривой на соответствующем расстоянии вдоль Ох
и Оу (это и показано на рис. 29).
Предположим теперь, что прибор установлен для перемеще-
ния параллельно направлению х и что обводной штифт 10 и вы-
черчиващее перо 11 находятся в соответствующих началах. Когда
обводной штифт 10 перемещается вдоль заданной кривой, градуи-
рованный рычаг 9 и следящая каретка совершают такое же дви-
жение, что и штифт 10. Составляющая координата х этого движе-
ния передается раме 3 и вычерчивающему перу И.
Градуированный рычаг 9 перемещается параллельно самому
себе на величину составляющей у, тогда как следящая каретка
катится вдоль передней канавки главного моста. В результате
тангенциальный стержень 20 поворачивается вокруг неподвижной
(хотя и регулируемой) вертикальной оси 7 на градуированном
рычаге 9 на расстоянии а от оси главного моста рамы и в то же
самое время скользит через поворотный элемент 15. Угол наклона 0
тангенциального стержня к оси абсцисс можно определить из
уравнения tg 0 — у!а..
На протяжении всего интегрирования фрикционное колесико 12
находится в контакте с бумагой, на которой вычерчены кривые;
при этом нагрузка на колесико должна быть достаточной для того,
чтобы исключить возможность проскальзывания. Таким образом,
плоскость фрикционного колесика всегда тангенциальна к пути
его движения, который параллелен кривой, вычерчиваемой пером
интеграфа. Если эта кривая описывается уравнением уг = /х (х),
то тангенс угла наклона этой кривой равен отношению dyjdx.
Так как фрикционное колесико удерживается параллельным по
отношению к тангенциальному стержню, то
dy^dx = tg 0 = у/a,	(12)
т. е. наклон вычерчиваемой кривой пропорционален ординате у
данной кривой.
Интегрирование уравнения (12) дает
= Udt + const-
Из этого следует, что ордината у{ вычерчиваемой кривой про-
порциональна площади, заключенной между данной кривой,
осью абсцисс и двумя произвольными ординатами.
75

Следовательно, вычерчиваемая кривая является интегральной
кривой первого порядка данной кривой.
Чтобы обеспечить регулирование начального положения об-
водного штифта относительно оси абсцисс данной кривой без
передвижения всего прибора, предусмотрена возможность пере-
мещения обводного штифта по градуированному рычагу 9. Меха-
низм смещения обводного штифта содержит две трубки, одна из
которых перемещается вдоль градуированного стержня; другая
закреплена на первой под прямым углом. Через вторую трубку
проходит поперечный элемент 8, поддерживающий обводной штифт.
Благодаря такой конструкции поперечный элемент постоянно
перпендикулярен градуированному рычагу. Смещение обводного
штифта от градуированного рычага 9 и от оси вращения 7 состав-
ляет от 25 до 280 мм. Поперечный элемент 8 можно удалить из
его трубки, что позволяет помещать обводной штифт по обе сто-
роны градуированного рычага 9. Общая длина поперечного не-
гр адуированного элемента составляет 305 мм.
В процессе интегрирования движение интеграфа должно про-
исходить в направлении, параллельном оси абсцисс данной кри-
вой. Чтобы гарантировать передвижение прибора точно в этом
направлении, предусмотрены специальные меры. Градуированный
рычаг 9 закрепляется в центре фиксирующим винтом 6. Этот винт
вставляется в отверстие в регулируемой стальной колодке, уста-
новленной на вертикальной поверхности переднего рельса (на-
правляющей).
После того как градуированный стержень закреплен в требуе-
мом положении, обводной штифт можно установить на оси абс-
цисс данной кривой, а вычерчивающее перо установить на оси
абсцисс интегральной кривой.
Перед началом работы с прибором нужно вычертить заданную
кривую у = f (х); при этом следует иметь в виду следу-
ющее.
Абсолютная длина оси абсцисс не должна превышать длину
стола или чертежной доски, на которых нужно использовать
прибор.
Общая длина оси ординат заданной кривой (включая положи-
тельные и отрицательные полуоси) не должна превышать 500 см.
Максимальная величина ординаты ух —	= j у dx инте-
гральной кривой также не должна превышать 500 мм, следова-
тельно, площадь, заключенная между заданной кривой и осью
абсцисс, ограничивается максимальной величиной 500 jmjw2.
Здесь а есть регулируемый масштабный множитель прибора,
а (50 -т-200) мм.
На практике, как правило, предварительно отмечают макси-
мальную ординату интегральной кривой, а затем выбирают мас-
штабный множитель а как отношение соответствующей (расчет-
ной) площади под заданной кривой к максимальной ординате
76

интегральной кривой. Ордината и масштабный множитель изме-
ряются в миллиметрах (или в дюймах).
Чтобы гарантировать, что оси абсцисс заданной и интеграль-
ной кривых параллельны, принято вычерчивать обе кривые на
одном листе бумаги. Для этого годятся стандартная миллиметровая
бумага и простая чертежная бумага. Бумага должна иметь доста-
точную длину, чтобы фрикционное колесико находилось с ней
в контакте на протяжении всего интегрирования.
Затем интеграф нужно отрегулировать так, чтобы он двигался
параллельно направлению оси абсцисс.
В это же время нужно удостовериться в том, что вычерчиваю-
щее перо 11 не смещается с оси абсцисс интегральной кривой.
После проверки бумагу прочно закрепляют на столе и устанавли-
вают обводной шрифт в начале данной кривой, а вычерчивающее
перо в начале интегральной кривой.
Добавка простого приспособления позволяет использовать
интеграф для дифференцирования почти так же просто, как и для
интегрирования.
Приставка для дифференцирования состоит из маленького
зеркальца из нержавеющей стали, закрепленного на оси, которое
можно прикрепить к каретке пера вместо вычерчивающего пера.
Это обеспечивается с помощью установочного рычага и шпильки,
аналогичной шпильке прикрепления пера. Зеркальце укрепляется
на параллелограммном соединении и поддерживается в перпен-
дикулярном положении по отношению к плоскости интегрирую-
щего колесика.
Дифференцируемая кривая располагается так, что при соот-
ветствующем перемещении обводного штифта зеркальце может
фиксировать ее наклон. Это легко обеспечить, если учесть, что,
когда плоскость зеркальца перпендикулярна плоскости кривой,
то сама кривая и ее отражение сливаются.
Можно легко вычертить дифференциальную кривую, если
использовать обводной штифт как пробойник и отмечать положе-
ния, при которых зеркало устанавливается перпендикулярно
последовательным частям данной кривой.
Для того чтобы установить приставку, нужно снять зеркальце
с оси, удалив винт с накатанной головкой. Затем ось приставки
вставляют в гнездо пера интеграфа; при этом стопорная шпилька
должна входить в отверстие короткого звена, прикрепленного
к раме интегрирующего колесика. Зеркальце устанавливают от-
ражающей поверхностью вперед, чтобы оно соприкасалось с пло-
ской поверхностью на оси приставки, и закрепляют винтом
с накатанной головкой, который должен пройти через зеркальце
с задней стороны и войти в резьбовое отверстие, находящееся
в оси приставки.
Процедура дифференцирования данной кривой такова. Сна-
чала определяют масштабы X, Y и Y' абсцисс и ординат данной
кривой и ординат дифференциальной кривой. Затем устанавли-
77

вают показатель масштаба на градуированном рычаге 9 так,
чтобы
а - YIXY'.
После этого градуированный стержень стопорят в централь-
ном положении, а интеграф устанавливают так, чтобы он катился
в направлении X.
Нужно удостовериться, что любая линия, параллельная оси
абсцисс, сливается со своим отражением в зеркале. После этого
Рис. 49. Интеграф фирмы «СогасК» (модель № 40)
освобождается фиксирующий винт и передвигают интеграф и
каретку пера так, чтобы плоскость зеркальца была перпендику-
лярной к данной кривой в точке, где требуется определить произ-
водную. Соответствующая точка дифференциальной кривой отме-
чается на бумаге путем нажатия обводного штифта.
Фирма «Coradi» выпускает интеграфы под шифром № 41 че-
тырех типов, различающиеся расстоянием между катками и пре-
делами изменения базиса. Фирма выпускает также модель № 40,
показанную на рис. 49, предназначенную для интегрирования
небольших по размеру графиков.
Принципиально модель № 40 отличается от модели № 41
тем, что вертикальная ось 3 вращения интегрирующего ролика 6
неподвижна относительно корпуса, а само колесо опирается на
плоскость подвижного столика 5, перемещающегося на катках 4.
78

На этой плоскости неподвижным чертящим штифтом наносится
интегральная кривая. Подынтегральная функция обводится ви-
зиром 8, связанным рамой 7 с кареткой 2, скользящей в направле-
нии оси Оу по направляющей 1. Перемещение обводного визира
в этом направлении соз-
дает поворот интегрирую-
щего ролика относительно
вертикальной оси. Инте-
графы модели № 40 вы-
пускаются двух типов.
Оригинальный инте-
граф выпущен фирмой
«Amsler». Отличительной
особенностью его кон-
струкции является исполь-
зование шарового инте-
грирующего механизма.
Подвижный корпус
прибора (рис. 50) переме-
щается на колесиках по
направляющим неподвиж-
ного рельса. Интегрирую-
щий механизм помещен
внутри подвижного кор-
пуса.
Ординаты интегрируе-
мой кривой вводятся в
прибор в виде перемеще-
ний обводного рычага, осуществляемых оператором при ее обводе.
Чертящий штифт, вычерчивающий интегральную Кривую,
перемещается интегрирующим механизмом. Перемещения осуще-
ствляются всегда параллельно оси ординат чертежа.
В описанных интеграфах плоскость чертежа, на которой вы-
черчивается интегральная функция, неподвижна.
Портативный интеграф [2, 17] с подвижной плоскостью ин-
тегрирования длительное время выпускался фирмой «Ott» под
шифром № 282 (GIBIL).
8.	ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ПРИБОРЫ
Среди функциональных интегрирующих приборов отметим
линейный квадратичный интегриметр ИЛК-1, разработанный
НИИСЧЕТмашем, который предназначен для вычисления ин-
тегралов вида
j f (х) dx и j f2 (х) dx
А'у	А'о
для графически заданной функции /(а).
79

Конструктивная схема прибора дана на рис. 51.
Линейка 2 устанавливается параллельно оси х с помощью
штанг 1. По пазу линейки 2 на двух роликах перекатывается рама 6
прибора, несущая два интегрирующих роликовых фрикционных
механизма 5 и 7.
Каждый из них может поворачиваться вокруг своей оси,
причем благодаря постоянному зацеплению сектора 3 зубчатого
колеса 4 угол поворота правого механизма в 2 раза больше левого.
Указанные повороты интегрирующих механизмов происходят
в результате смещения визира 8, обводящего заданную функ-
цию f (х) в вертикальном направлении.
Прибор рассчитан так, что при отклонении визира от оси х
на величину f, угол между плоскостью ролика левого механизма
и осью х будет равен 90° — arcsin у/1, а правого механизма
2 arcsin yll, где I — длина рычага 9.
При элементарном смещении на dx левый ролик сделает эле-
ментарный поворот
й\/л = cos (90° — arcsin dx = —• -у-dx,
л nD \	I ) nD I
что после обвода участка кривой дает
X
~ J у dx-
А’О
80

Правый ролик сделает элементарный поворот, равный
dV* = C0S (2 arcsin -f) dx = l^D ( 1 “ 2 -£) dX’
откуда
]/ ____x — *o
v n ---
_________2_
nD nDlz
Таким образом, левый интегрирующий механизм вычисляет
интеграл от заданной функции, а правый — интеграл от квадрата
функции с точностью до первого члена, который легко может быть
учтен в виде поправки.
Описываемый прибор рассчитан на работу с графиками функ-
ций, длина которых не превышает 400 мм, а изменение ординат
лежит в пределах ±118,5 мм.
9.	ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПРИБОРАМ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ПЛОЩАДЕЙ И МОМЕНТОВ ПЛОСКИХ ФИГУР
52. Схема вычисления площади
Приборы, описанные в этой главе, предназначены для вычисле-
ния площадей плоских фигур и их моментов относительно задан-
ной оси или точки.
Известно, что измерение площади, ограниченной некоторым
замкнутым контуром Q (рис. 52), может быть сведено к вычисле-
нию определенных интегра-
лов. Для этого нужно вы- „
брать систему координат, “
например, прямоугольную
хоу или полярную орф и рас-
смотреть функции уг (х) и
г/2(х), представленные отрез-
ками контура Q, ограничен-
ными точками А и В касания
с контуром прямых, парал-
лельных оси оу, или pi (ф) и
р2 (ф) в полярной системе,
представленные отрезками
контура Q, ограниченными
точками С и D касания с 1
контуром крайних лучей.
Очевидно, что площадь SQ, ограниченная контуром Q, мо-
жет быть вычислена но одной из следующих формул:
ХП	ХН	VD	VD
Sq= J У1(х)(1х— j //2(x)Jx;	SQ = Ц-	J pi	(ф) Жр — J p'> (ф) е/ф
XA	Фс	Ч’С
6 В. В. Ваеманои
81

Эти вычисления выполняются с помощью приборов, называе-
мых планиметрами.
В зависимости от того, какая из двух указанных формул ле-
жит в основе принципиальной схемы прибора, планиметры делятся
на линейные и полярные.
Другим признаком классификации планиметров может слу-
жить точность вычислений. Различают планиметры обычной и
высокой точности.
В планиметрах обычной точности используются роликовые
фрикционные интегрирующие механизмы, в которых интегрирую-
щий ролик скользит непосредственно по плоскости чертежа.
В планиметрах высокой точности используется интегрирующий
механизм с фрикционным диском (см. ниже).
10.	ЛИНЕЙНЫЕ ПЛАНИМЕТРЫ ОБЫЧНОЙ ТОЧНОСТИ
Принципиальная схема линейного планиметра показана на
рис. 53. Он состоит из рычага 1, качающегося вокруг точки А.
В точке F рычага находится обводной визир. На противополож-
ном конце рычага закреплен интегрирующий роликовый фрикцион-
ный механизм 2. Он расположен таким образом, что плоскость
интегрирующего ролика,
проходящая через точку В
рычага, всегда ему пер-
пендикулярна. Расстояние
q от этой плоскости до
точки А постоянно. Также
постоянно обозначенное
через I расстояние от точ-
ки А до обводного визира
F. Точка А качания рычага
может скользит по прямо-
линейному пазу 3 линейки
4, направленному вдоль
оси х выбранной прямо-
угольной системы коорди-
нат.
Покажем, что при такой схеме прибора после обвода визиром
замкнутого контура число оборотов интегрирующего ролика будет
пропорционально величине площади, очерченной этим конту-
ром.
Рассмотрим элементарный поворот ролика при перемещении
обводного визира на элементарный участок дуги ds. Перемещение
визира из положения F в положение происходящее по дуге ds,
заменим двумя перемещениями: поворотом рычага вокруг точки А
и поступательным перемещением всего рычага вместе с точкой А.
Если обозначить элементарный поворот рычага через da,
то элементарный поворот rfOx интегрирующего ролика за счет
82

поворота рычага вокруг точки А, которую считаем неподвижной:
где г — радиус интегрирующего ролика.
После поворота рычага на da визир сместится на отрезок Ida.
При поступательном движении рычага визир, а вместе с ним
точка А и интегрирующий ролик переместятся в направлении
оси х на отрезок dxx + dx. При описании интегрирующего роли-
кового фрикционного механизма было показано, что смещение
интегрирующего ролика выбывает его поворот на величину, за-
висящую от угла, составленного плоскостью ролика и направле-
нием перемещения. В данном случае элементарный поворот
ролика за счет смещения рычага вдоль оси х
d02 = 2й7 sin “ (dX1 + dx^
Учитывая, что
ц
sin а = -у,
получим
d02= +
Обратим внимание на то, что
dxx = I da sin а.
Следовательно,
dQ*=2^Siniada+-^ydx-
Таким образом, суммарный угол поворота ролика
dQ = dQi Ц- dd2 = (qda + / sin2 a da + -j-ydx'j .	(13)
При обводе визира по замкнутому контуру интегрирующий
ролик повернется на угол 0, равный определенному интегралу
функции (13). Так как при этом для независимой переменной a
нижний и верхний пределы интегрирования совпадают, интегралы
от первых двух слагаемых в выражении (13) будут равны нулю.
Интеграл третьего слагаемого представляет собой разность ин-
тегралов функций, совпадающих с верхней и нижней границами
контуров (см. рис. 53), т. е. площадь искомого контура.
Линейные планиметры выпускаются различными фирмами.
Основное конструктивное различие линейных планиметров опре-
деляется способом обеспечения прямолинейности поступатель-
6*	83

ного движения обводного рычага вдоль оси л. Один из способов
заключается в перемещении обводного рычага вдоль направляю-
щей линейки, направленной по осп х.
При этом по направляющему пазу линейки перемещается либо
палец, закрепленный в точке А обводного рычага (см. рис. 53),
либо пара направляющих колес. Особенностью планиметров с на-
правляющей линейкой является то, что интегрирующее колесико
планиметра движется по однородной поверхности линейки, а не
по бумаге, на которую нанесена кривая. Таким образом, на вра-
щение колесика не влияют неровности поверхности бумаги. Эти
планиметры рекомендуется использовать при обработке данных,
записанных на лентах самописцев.
Второй способ заключается в поступательном перемещении
обводного рычага с помощью двух катков, сидящих на одной оси.
На поверхности катков сделана насечка, что обеспечивает строго
поступательное перемещение катков в направлении, перпендику-
лярном к оси вращения; в этом направлении и ориентируется ось х
чертежа с интегрируемым контуром.
Третий способ основан на создании перемещения бумаги с ин-
тегрируемым контуром относительно обводного рычага, неподвиж-
ного в данном случае.
Линейные планиметры используются для измерения площадей
и средней высоты для более крупных чертежей, чем те, которые
могут обработать полюсные планиметры.
Линейные планиметры с направляющими линейками выпус-
каются фирмами «Ott» и «Coradi».
Фирма «Ott» выпускает один образец линейного планиметра
в четырех вариантах (№ 91, 92, 95 и 96), различающихся длиной
линейки и максимальной ординатой контура, лимитируемой дли-
ной обводного рычага. По желанию потребителей фирма комплек-
тует планиметры обводными визирами с увеличительными лу-
пами.
Фирма «Coradi» выпускает пять образцов линейных плани-
метров.
Первый образец № 37 состоит из линейки, каретки и поляр-
ного планиметра. При этом может быть использован любой из
трех выпускаемых фирмой планиметров (№ 35, 36 или 37).
Второй образец, выпускаемый под № 37е и 37/, по конструк-
ции аналогичен приборам фирмы «Ott». Некоторое отличие заклю-
чается в том, что в отсчетном устройстве интегрирующего меха-
низма прибора фирмы «Coradi» поставлен увеличенный по диа-
метру диск отсчета полных оборотов интегрирующего ролика,
что позволяет благодаря увеличенной шкале фиксировать углы
поворота до 100 оборотов.
Третий и четвертый образцы, выпускаемые под № 37g, 37k,
37 i и 37k, отличаются укороченной линейкой. Образцы № 371
и 37k имеют обводной рычаг с регулируемой длиной. Регулировка
производится с помощью микрометрического винта.
84

Пятый образец линейного планиметра фирмы «СогасН», вы-
пускаемый под № 39, по конструкции сходен с приборами под
№ 37е и 37/ второго образца. Различие заключается в том, что
в образце № 39 отсчетное устройство интегрирующего механизма
имеет обычный диск для отсчета 10 целых оборотов ролика. Кроме
того, у образца № 39, выпускаемого в нескольких модификациях,
линейки более короткие, чем у приборов № 37е и 37/.
Линейные планиметры обычной точности с направляющими
катками выпускаются фирмами «Ott», «Filotecnica», «Stanley»
и др.
Образцы линейных планиметров с катками фирм «Felotecnica»
и «Stanley» несущественно отличаются лишь отдельными дета-
лями конструкции. Первый выпускается под фирменным шиф-
ром — модель 225, второй под шифром — модель И2348А.
Планиметры фирмы «Stanley» с нерегулируемой длиной обвод-
ного рычага регистрируют площадь либо в квадратных дюймах,
либо в квадратных сантиметрах. Линейки, прилагаемые к этому
планиметру, имеют длину 900 или 1200 jam,.
Длина обводного рычага равна 333,3 мм. За один оборот ин-
тегрирующего колесика измеряется площадь в 200 см2. Максималь-
ный охват прямоугольного участка при использовании линейки
длиной 900 мм составляет 300x620 мм, при использовании ли-
нейки длиной 1200 мм — 300x920 мм.
В линейном планиметре с регулируемой длиной обводного
рычага интегрирующий роликовый фрикционный механизм можно
устанавливать в различные положения вдоль градуированного
обводного рычага. Это позволяет непосредственно считывать ре-
зультаты планиметрирования при обводе диаграмм или чертежей
с различными масштабами.
Каждый планиметр снабжается таблицей; дающей установки
для шкал обычного использования. Установка длины обводного
рычага выполняется с помощью регулировочного устройства.
Имеются две модели планиметра: одна модель градуирована
в квадратных дюймах, а другая — в квадратных миллиметрах.
Максимальная регулируемая длина обводного рычага плани-
метра составляет 33,3 мм. За один оборот интегрирующего коле-
сика измеряется площадь не более 200 см2. Максимальные раз-
меры прямоугольного участка, охватываемого планиметром, при
использовании линейки длиной 900 мм составляют 300x620 леи,
а при использовании линейки длиной 1200 мм составляют 300 X
Х920 мм.
11.	ПОЛЯРНЫЕ ПЛАНИМЕТРЫ ОБЫЧНОЙ ТОЧНОСТИ
Принципиальная схема полярного планиметра обычной точ-
ности показана на рис. 54.
Обводной рычаг 3 в точке А шарнирно связан с полюсным
рычагом 4. Последний может поворачиваться вокруг неподвижной
85

Рис. 54. Схема полярного планиметра обыч-
ной точности
точки О так, что точка А всегда перемещается по окружности.
В точке F обводного рычага помещен визир, которым обводят
контур вычисляемой площади. На другом конце рычага закреп-
лен интегрирующий роликовый фрикционный механизм 2. Пло-
скость интегрирующего ролика 1 перпендикулярна обводному
рычагу.
Покажем, что при такой схеме прибора после обвода визиром
замкнутого контура число оборотов ролика интегрирующего
механизма будет пропорционально величине площади, ограничен-
ной обведенным контуром.
Для этого рассмотрим
элементарный поворот ро-
лика при перемещении об-
водного визира на элемен-
тарный участок дуги FFt.
Заменим это перемещение
двумя: совместным пово-
ротом обводного и полюс-
ного рычагов вокруг точ-
ки О на угол dtp (поворот
радиуса-вектора р) и изме-
нением радиуса-вектора на
величину dp, создаваемым
поворотом обводного рычага относительно полюсного.
Первое перемещение при элементарном повороте всей системы
вызовет поворот интегрирующего ролика на угол
= (14)
где г — радиус ролика.
Чтобы определить величину р, рассмотрим треугольник OAF.
Согласно теореме косинусов имеем
р2 = Я2 + Z2 — 21R cos (Д OAF),	(15)
cos(£ OAF) = — cos(<р + L AOF) = — -^±1f
откуда следует, что
р2 = /?2 + /2 + 21 (р + q).
Выразим теперь величину р:
Р =	(16)
где
+ /2 + 2lg
является величиной постоянной.
86

Подставляя в формулу (14) выражение (16), получаем
dQ=-4^r№~8*)d<P-
Заметим, что при интегрировании по замкнутому контуру
второе слагаемое в выражении (15) обращается в ноль, так как
верхний и нижний пределы интегрирования в данном случае ока-
зываются равными. Таким образом,
0 = Т57Г $ <>’ ‘‘Ч’-
Если заданный контур, ограничивающий вычисляемую пло-
щадь, представить в полярных координатах некоторой функцией
р (ф), то площадь
F = рЧ<р.
Следовательно,
Q=~^rF-
Второе перемещение (изменение радиуса-вектора) при обводе
замкнутого контура не вызывает никакого дополнительного пово-
рота интегрирующего ролика. Поясним это положение. В про-
цессе обвода контура обводной рычаг поворачивается вокруг
полюсного рычага на некоторый угол по часовой и против часовой
стрелки. При обводе замкнутого контура эти углы будут равны,
а система из рычага и стержня в начале и в конце обвода будет
занимать одинаковое положение. В этих условиях общий поворот
интегрирующего ролика после обвода замкнутого контура будет
равен нулю.
Полярные планиметры различных типов и моделей выпус-
каются многими фирмами. По конструкции все эти планиметры
сходны и делятся на две группы в зависимости от того, имеет ли
обводной рычаг регулируемую или нерегулируемую длину. Ре-
гулирование длины рычага позволяет находить площади контуров,
вычисленных в различных масштабах без перерасчета результата.
На рис. 55 показан полярный планиметр отечественного про-
изводства.
Полюсная шайба 3 с помощью находящейся в ее центре иглы
закрепляется на плоскости стола; при этом игла является цен-
тром вращения полюсного рычага 2. Другой конец рычага имеет
шариковый штифт, вставляемый в гнездо каретки /. Каретка /
может перемещаться вдоль обводного рычага вместе с другой ка-
реткой 4. Положение кареток на обводном рычаге фиксируется
индексом каретки 1 по шкале, нанесенной непосредственно на ры-
чаге. Показание шкалы соответствует расстоянию от точки отно-
87

сптельного вращения обоих рычагов (шариковый штифт) до центра
обводного визира 6. Оператор обводит контур, перемещая визир
с помощью рукоятки 5.
Установка'па планиметре двух интегрирующих механизмов
преследует цель увеличения точности вычисления площади, ко-
торая определяется по среднему арифметическому из отсчетов
по обоим планиметрам.
Следует отметить, что каждый интегрирующий механизм
также дает значение обведенной площади, но с некоторой погреш-
ностью, являющейся результа-
том действия ряда первичных
ошибок. Вследствие симметрич-
ного расположения кареток
относительно оси качания об-
Рис. 55. Полярный планиметр ПП-2К

водного рычага часть первичных ошибок в обоих интегрирую-
щих механизмах действует одинаково, но с обратными зна-
ками. Эти первичные ошибки не влияют на результат вычисления,
полученный суммированием показаний обоих механизмов, так
как разные по величине погрешности вычитаются.
Полярные планиметры фирмы «Stanley» имеют увеличитель-
ное стекло, поворачивающееся на оси. Его можно сначала ис-
пользовать для установки длины обводного рычага, а затем для
считывания показаний шкалы интегрирующего ролика. Плани-
метры изготовляются фирмой двух размеров и градуируются для
измерения площадей либо в квадратных дюймах, либо в квадрат-
ных миллиметрах.
По индивидуальным требованиям могут быть поставлены спе-
циально градуированные приборы.
Для увеличения точности па обводные штифты устанавливаются
лупы. В иных случаях точность обеспечивается предварительной
проверкой прибора по контрольной линейке.
88

Погрешность при измерении площадей таким планиметром
не превышает ±0,5%. Максимальный диаметр измеряемой пло-
щади при наружном расположении полюса (вне площади) состав-
ляет 310 мм; при расположении полюса внутри площади ее диа-
метр составляет 700 мм.
Планиметр большого размера также с регулируемым по длине
рычагом при наружном расположении полюса измеряет площади
в пределах окружности диаметром 450 мм, а при внутреннем
расположении — площадь в пределах окружности диаметром
1150 мм.
Ширина прямоугольника любой длины, охватываемого плани-
метром (при использовании тележки), составляет 320 мм для пла-
ниметра с нерегулируемым обводным рычагом, для планиметра
обычного размера с регулируемым по длине обводным рычагом
составляет 230 мм и для планиметра большого размера также с ре-
гулируемым по длине рычагом составляет 480 'мм. Масса те-
лежки 1 кг.
Для уменьшения погрешности планиметра при обводе контура
используется увеличительное стекло с маленьким кружочком,
который выгравирован в центре на нижней поверхности стекла.
Увеличительная лупа визира облегчает оператору наблюдение
кривой, записанной самописцем, фактически устраняет парал-
лакс, который возможен при использовании обычного обводного
штифта, и уменьшает утомляемость оператора.
Фирма «Ott» для метрической системы выпускает семь типов
полярных планиметров.
Планиметры № 10 (PANDO) и 11 (PANOL) имеют нерегули-
руемый рычаг. Эти приборы отличаются конструкцией полюс-
ной головки, которая у планиметра № 10 имеет иглу, а у плани-
метра № 11 —сферический штифт, устанавливаемый в специаль-
ную массивную полюсную подставку.
Планиметры № 30 (PARAM) и 31 (PAREP) имеют регулируе-
мый рычаг. Геометрические размеры планиметров № 30 и 31
и максимальные размеры вычисляемых площадей такие же, как
у приборов № 10 и 11. Их отличие заключается в конструкции по-
люсной головки (планиметр № 31 имеет сферический штифт и
полюсную подставку).
Планиметры № 40 (PASOD) и 41 (PASID) предназначены для
вычисления больших площадей. Планиметр № 40 имеет полюс-
ную головку с иглой.
Специально для вычисления малых площадей, лежащих в пре-
делах прямоугольника 35 х 120 мм, фирма «Ott» выпускает плани-
метр № 22 (PAPID). Его конструкция отличается сильно укоро-
ченным обводным рычагом. Обводной визир с лупой встроен не-
посредственно в корпус, интегрирующего роликового фрикцион-
ного механизма.
Фирма «Corad 1» выпускает полярные планиметры трех
типов.
89

Tun 35-1 с нерегулируемым рычагом п ошибкой вычисления,
не превосходящей 0,1%.
Тип 36-11 с регулируемым рычагом (рис. 56). Микрометриче-
ское устройство прибора позволяет изменять длину обводного
рычага до 220 мм и отсчитывать ее с точностью до 0,05 мм; обвод-
ным визиром служит либо игла, либо специальная лупа «Сапфир»
(Зб-bis). Ошибка вычисления не превосходит 0,05%.
Тип 31-Ш отличается от типа 36-II наличием специального
приспособления для регулировки параллельности оси интегрирую-
щего ролика и обводного
рычага.
Фирма «Amsler» выпус-
кает четыре модели плани-
метров однотиповой кон-
струкции (612А, В, С, D).
Особенностью этих плани-
Рис. 56. Полярный планиметр «Coradi»
метров является модернизированная отсчетная часть интегрирую-
щего механизма. На верхней плоскости обводного рычага на-
несены риски, по которым устанавливается перемещаемый вдоль
обводного рычага корпус интегрирующего механизма. Установка
по рискам обеспечивает получение различных масштабов.
На обводном рычаге планиметров 612В и 612D имеются два
игольчатых указателя, с помощью которых можно устанавливать
длину обводного рычага, равную какому-нибудь отрезку на чер-
теже. Это бывает удобно в тех случаях, когда нужно найти сред-
нее значение ординаты какой-либо диаграммы. При этом иглы
совмещают с начальной и конечной ординатами диаграммы;
причем, чтобы найти среднее значение, достаточно показание
планиметра после обвода контура диаграммы умножить на извест-
ное постоянное число.
Два других типа планиметров 612А и 612С аналогичны описан-
ным, но не имеют установочных игл.
Кроме указанных фирм, полярные планиметры выпускают так-
же фирмы «Leschhorn», «Filotecnica», Stanley» и др.
12.	ЛИНЕЙНЫЕ ПЛАНИМЕТРЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
Принципиальная схема линейных планиметров высокой точ-
ности показана на рис. 57.
Обводной рычаг 6, перемещаясь поступательно с помощью
сидящих на оси 2 катков 3, может качаться вокруг точки L, че-
90

рез которую проходит плоскость ролика 4 интегрирующего меха-
низма 5, перпендикулярная к обводному рычагу. В отличие от
схемы линейного планиметра обычной точности и в рассматривае-
мой схеме интегрирующий ролик не скользит по плоскости чер-
тежа, а соприкасается с вращающимся диском 1. Этот диск так
кинематически связан с осью 2, что прй перемещении катков
вдоль оси х на величину dx диск поворачивается на угол da,
пропорциональный dx:
da - kdx.
Выше было показано, что
в направлении оси х вызывают
тегрирующего ролика, кото-
рые при обводе замкнутого
контура, суммируясь, дают
нуль. Это же имеет место и
в рассматриваемой схеме. По-
этому будем учитывать лишь
перемещения обводного ви-
зира вдоль оси х.
Перемещение визира F на
величину dx вызовет такое
же перемещение точки L, а
следовательно, и поворот
диска da — kdx. Если при
этом обводной рычаг соста-
вляет с осью х угол у =
У
— arcsm , то, как следует
из схемы, интегрирующий
ролик повернется на долю
перемещения обводного визира
такие угловые перемещения ин-
Рис. 57. Схема высокоточного линейного
планиметра
оборота
a sin у da = ---—ydx,
2лг г . 2лг р ’
что при интегрировании замкнутого контура даст величину
Q=^-hdx-
Линейные планиметры высокой точности выпускаются фир-
мами «Ott» и «Coradi».
Фирма «Ott» выпускает две модели: № 130 (PAGAS) и 131
(PAGET), сходные по конструкции [17].
Фирма «Coradi» выпускает четыре образца линейных плани-
метров высокой точности (№ 29, 30, 31 и 32).
Образцы № 31 и 32 аналогичны но конструкции планиметрам
фирмы «Ott». Оба образца имеют регулируемый рычаг, следова-
тельно, и изменяющуюся цену деления нониуса. Ошибка вычисле-
ния не превышает 0,02%.
91

Образец № 31 имеет два типа. Тип II отличается от типа I
тем, что его обводной рычаг имеет удлинитель, позволяющий ра-
ботать с графиками шириной до 550 мм.
Образец № 32 в отличие от образца № 31 имеет специальное
приспособление, обеспечивающее радиальное перемещение ин-
тегрирующего ролика по диску. Это устраняет вредное скольже-
ние интегрирующего ролика, которое возникает при неперпенди-
кулярности его плоскости к радиусу диска, проходящему через
точку контакта.
Планиметр перекатывается в направлении оси х графика на
катках. Кривая, начерченная на графике, обводится визиром,
закрепленным на конце обводного рычага. Прибор имеет дисковый
фрикционный интегрирующий механизм с отсчетным устройством.
Другие два образца фирмы «Coradi» того же назначения, выпус-
каемые Под № 29 и 30, характеризуются не только наличием катков
для поступательного перемещения обводного рычага, но и схемой
интегрирующего механизма. В отличие от описанных выше кон-
струкций, в этом планиметре использован не роликовый, а сфери-
ческо-роликовый интегрирующий фрикционный механизм. Пре-
имущество его состоит в том, что в нем в значительной мере ослаб-
лено снижающее точность работы интегрирующего механизма влия-
ние скольжения трущихся интегрирующих элементов.
Планиметры № 29 и 30 имеют регулируемый по длине обвод-
ной рычаг. Регулировка осуществляется микрометрическим уст-
ройством.
13.	ПОЛЯРНЫЕ ПЛАНИМЕТРЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
Схема полярного планиметра высокой точности показана
на рис. 59.
^Неподвижная полюсная головка 1, выполненная в виде круг-
лой шайбы, имеет по окружности зубчатый венец, с которым за-
цеплено зубчатое колесо 4. Это колесо сидит на одной оси и вра-
щается вместе с фрикционным диском 2. Полюсный рычаг <3,
соединяющий неподвижный центр О полюсной шайбы с подвижным
92

Рис. 59. Схема высокоточного дискового
полярного планиметра
центром О' диска, нссрт па конце О" шарнир, вокруг которого
качается обводной рычаг 6. К обводному рычагу прикреплен
интегрирующий ролик 5. Плоскость интегрирующего ролика,
перпендикулярная к обводному рычагу, проходит через его ось
качания.
Рассмотрим влияние на интегрирующий ролик элементарных
перемещений обводного визира вдоль контура. Так же, как и при
рассмотрении схемы полярного планиметра обычной точности,
разложим это перемещение на два: поворот всей рычажной системы
(радиуса-вектора OF) вокруг полюса и смещение обводного ви-
зира F вдоль радиуса-вект!
Первое перемещение (по-
ворот радиуса-вектора на
угол dtp) в данном случае
вызовет поворот фрикцион-
ного диска на угол
da = Adq)i (17)
где г — радиус зубчатого ко-
леса 4.
Этот поворот диска вызы-
вает поворот интегр ирующего
ролика на угол
dQ — —Vasin yda,
nd r ’
где d — диаметр интегрирующего ролика, или с учетом выра-
жения (17) можно записать
dQ = V • — sin у dtp.
nd г ' т
Заметим, что расстояние
а = b - (/? + г),
поэтому, подставляя выражение для а, получим
ltd	г	। -л
что после интегрирования по замкнутому контуру дает
nr dpi
Второе перемещение (изменение радиуса-вектора) так же,
как и в полярном планиметре обычной точности, при обводе замк-
нутого контура не создаст дополнительного поворота интегрирую-
щего ролика.
93

Интегрирующее колесико планиметра движется по диску,
имеющему матовую однородную поверхность, при этом на дви-
жение колесика не влияют неровности поверхности чертежа или
диаграммы. Диск приводится в движение от очень тонкой зубча-
той передачи, поэтому измерительное колесико очень чувстви-
тельно к перемещению обводного рычага планиметра.
Длина обводного рычага подбирается с помощью точного регу-
лировочного винта; отсчет установленной длины осуществляется
с помощью нониуса. Например, в планиметре фирмы «Stanley»
длину обводного рычага можно установить такой, что за один
оборот интегрирующего колесика будет измерена площадь от 4
до 20 см2. Планиметр снабжается таблицей, указывающей длину
рычага в зависимости от выбранного масштаба и выбранной еди-
ницы измерения. Планиметр работает с точностью ±0,03%.
Полярные планиметры высокой точности выпускают фирмы
«Stanley», «Coradi», «Ott» и др.
Фирма «Coradi» выпускает два образца полярных планиме-
тров высокой точности № 33 и 34 с одинаковыми характеристи-
ками. Второй из них приспособлен для работы с полюсом, располо-
женным внутри контура вычисляемой площади. По данным фирмы
ошибка вычисления не превосходит 0,025%.
14.	МОМЕНТНЫЕ ПЛАНИМЕТРЫ
Моментными планиметрами называют приборы для вычисле-
ния моментов различного порядка плоских фигур относительно
некоторой оси или точки.
Если имеется плоская фигура (рис. 60), очерченная контуром ф,
то ее момент Мх первого порядка относительно оси х (статический
момент) определяется выраже-
‘	нием
Рис. 60. Схема вычисления
кого момента
контура Q, через уг (х),
Мх — \ ycp(x)dF, (18)
а
где dF — элементарная пло-
щадка (на рис. 60
заштрихована);
Уср — расстояние от сере-
дины площадки до
статичес- „	л‘
Если обозначить кривую,
ограничивающую верхнюю часть
а нижнюю через у2 (х), то можно записать
Уср (х) g [У1 (х) Уг (х)|,
t/A = Iz/j (х) — ул (х)] dx.
94

Подставляя эти выражения в формулу (18), получаем
ь
Мх = ~ J [yi (х) — z/2 (х)] dx = -1- (j) у2 (х) dx.
а
(19)
Аналогичными выкладками можно показать, что выражение
для момента площади второго порядка (момента инерции Jx)
относительно оси х имеет вид
А = —^-^’(x)dx	(20)
и момент третьего порядка
Рх определяется по формуле
Рх = ~-$уЧ*№. (21)
Величины моментов Мх, Jx и
Рх могут быть вычислены путем
обвода замкнутого контура,
ограничивающего заданную
площадь, обводным визиром
линейного планиметра, у кото-
рого оси интегрирующих роли-
ков повернуты относительно оси
х на углы 90° — 2а, За и 90°—
—4а, где а — угол между осью х
и обводным рычагом 1 (рис. 61).
Действительно, если точка
жит на оси х, то можно з;
Рис. 61. Схема моментного планиметра
с рычажным приводом
качания обводного рычага ле-
у = I sin а,
(22)
где I — длина обводного рычага.
Подставляя соотношение (22) в формулу (19), получим
Мх = Р sin a dx =	(j) sin2 a dx
или, выражая sin2 а через двойной угол, получим
Мх = — (j) [ 1 — cos 2а] dx = -j- (j) dx-(j) cos 2а dx.
Первый интеграл равен нулю, и окончательно имеем
Мх =-----~ (j) sin (90° — 2а) dx.	(23)
95

Подставляя выражение (22) в формулу (20), получим
.7, = ~ ф sin3 a dx = ф [3 sin а — sin За] dx =
= ф sin а dx — ф sin За dx = ~ S------ф sin За dx, (24)
где S = ф I sin а dx = ф у dx, S является площадью, ограни-
ченной контуром.
Далее из выражений (21) и (22) получим
Рх — ~ ф sin4 (a) dx — ф cos 2а dx ф- ф cos 4а dx =
=ф cos 2 а dx ф--фу ф sin (90°—4а) dx.	(25)
О «/	v
Напомним, что при изложении принципа работы линейного
планиметра было получено выражение, из которого следует, что
интеграл по замкнутому контуру от синуса угла, являющегося
функцией х, пропорционален углу поворота интегрирующего ро-
лика.
В выражениях (23) — (25) под знаком интеграла по замкнутому
контуру стоят синусы некоторых углов. Следовательно, если сде-
лать прибор так, чтобы оси интегрирующих роликов были на-
клонены к оси х на углы, синусы которых стоят под интегралами,
то при надлежащем подборе постоянных коэффициентов будем
иметь
Мх =----J-Z2nd0M;
J^-LpS-^l^ddf,
Рх =^PMx^±PndQP,
где QM, Qj и Qp — углы поворота интегрирующих роликов, уста-
новленных в приборе для вычисления соответственно Мх, Jx
и Рх, d — диаметр интегрирующих роликов.
Как следует из последних формул, величины моментов Jx
и Рх не могут быть отсчитаны непосредственно по углу поворота
интегрирующих роликов. Чтобы получить эти значения, нужно
к показаниям интегрирующих роликов прибавить (со своим
знаком) величины, пропорциональные площади заданной фигуры
или ее статическому моменту.
В схеме, показанной на рис. 61, соответствующее соотношение
между углами поворота обойм интегрирующих роликов обеспе-
чивается с помощью стержневого механизма, со стержнями ко-
96

торого связаны интегрирующие механизмы. Тот же эффект мо-
жет быть достигнут за счет связи интегрирующих механизмов
с колесами, углы поворота которых находятся в соответствующем
соотношении. Например, па схеме, показанной на рис. 62, при
повороте обводного рычага 4 па угол а колесо 1 поворачивается
на угол 2а (колесо 3 непо- ___________ ___________
движно). Связанный с этим
колесом интегрирующий ро-
лик 2 при надлежащей перво-
начальной ориентировке мо-
жет быть использован для
вычисления статического мо-
мента Мх. По аналогичному
принципу могут быть по-
строены схемы с тремя и че-
тырьмя колесами.
Выше было отмечено, что
вычисление моментов второго
Рис. 62. Схема моментного планиметра
с колесным приводом
и третьего порядка требует вычитания или сложения показаний
двух роликов. Это является недостатком моментных планимет-
ров, построенных по описанному принципу кратных углов, так
как в результат их вычисления входят погрешности обоих роли-
ков, кроме того, требуется выполнять, хотя и не сложные, но
дополнительные вычисле-
ния.
Этот недостаток устра-
нен в моментных плани-
метрах, в которых исполь-
зован функциональный
кулачковый механизм.
На рис. 63 показана
Рис. 63. Схема моментного планиметра с ку- схема моментного плани-
лачковым фрикционным механизмом	метра подобного типа. Об-
водной рычаг 4 имеет
плечо. 3, конец которого 2 скользит по криволинейной напра-
вляющей кулачка /; с кулачком 1 жестко связан интегрирующий
роликовый фрикционный механизм 5. Профиль криволинейной
направляющей выбирается таким, чтобы выполнялось соотношение
sin у = slnrt а =з ,
Учитывая, что
получим
ф sin ydx = 2nrU,
U = о" * м y'ldx.
2nrr j J
1 В. В. B»c»suo»
97

('лсцоватольно, числи U оборотов ролика прямо пропорцио-
нально моменту (л — 1)-й степени обводимой площади.
Моментные планиметры находят применение п кораблестрое-
нии, в дорожном строительстве для определения объемов насы-
пей, в различных отраслях техники, значительно облегчают и ус-
коряют работу при достаточно высокой точности.
Моментные планиметры выпускаются фирмами «Stanley»,
«Coradi», «011» и др.
Рассмотрим варианты конструкции на образцах фирмы
«Stanley».
Моментный планиметр фирмы «Stanley» содержит два, три
или четыре интегрирующих устройства, которые используются
соответственно для измерения площади, момента первого по-
рядка, момента второго порядка и момента третьего порядка.
Прибор содержит систему зубчатых колес для вращения ин-
тегрирующих устройств и обводной рычаг. Оси роликов интег-
рирующих механизмов вращаются в горизонтальной плоскости
под углами, равными соответственно одинарному, двух-, трех-
и четырехкратному углам поворота обводного рычага. Агрегат
из зубчатых колес и интегрирующих устройств установлен на
А-образной раме, опирающейся на два колеса, которые переме-
щаются по длинному рельсу с канавкой. Положение оси моментов
определяется двумя осевыми калибрами, причем один конец
каждого из них установлен в канавке рельса.
Имеются три модели прибора, причем каждая из них может
давать показания либо в дюймах, либо в метрической системе.
Прибор, предназначенный для измерения в дюймах, можно при-
менять и для измерения в метрических мерах, для чего следует
пользоваться соответствующими переводными коэффициентами;
при этом неудобство заключается в том, что коэффициенты не
являются круглыми цифрами.
Модель № 1 имеет два интегрирующих, устройства и предназ-
начена для определения площади, статического момента и центра
тяжести плоских фигур, а также объема тел вращения. Прибор
имеет обводной рычаг с постоянной длиной (200 лглг), а в качестве
приложения реЛьс длиной 910 мм\ по специальному требованию
могут быть поставлены более длинные рельсы.
Максимальный размер фигуры (разрезанной на две части осью
моментов), которая может быть обведена за одну установку с при-
менением стандартного рельса (910 мм), не должен выходить за
пределы прямоугольника 550x305 ммм.
Площадь стола, которая требуется для максимального диа-
пазона действия, ограничена прямоугольником размером 1020X
Х510 мм, включая пространство, необходимое для вылета проти-
вовеса прибора.
Выпущенная раньше других и наиболее широко используемая
модель № 2 (рис. 64) имеет три интегрирующих устройства для
измерения площади, статического момента, центра тяжести и мо-
98

мента инерции плоских фигур. Кроме того, она может служить
для определения объема, статического момента и центра тяжести
тел вращения. С помощью этой модели можно выполнять все
работы, для которых предназначена модель № 1, а также измерять
момент инерции, что часто требуется при вычислении напряжений
в деталях конструкций; дополнительное преимущество этой мо-
дели заключается в значительно увеличенных пределах действия.
Для обеспечения максимальной точности при работе с фигурами
различной ширины имеется три сменных обводных рычага раз-
ной длины: № 1 — 400 мм; № 2 — 200 мм; № 3 — 100 мм.
Длина направляющего рельса 1980 мм-, могут быть поставлены
и более длинные или более короткие рельсы.
Рис. 64. Моментный планиметр «Stanley»
Максимальный размер фигуры, разделенной на две части осью
моментов, которая может быть обведена за одну установку при
рельсе стандартной длины (1980 мм), не должен выходить за пре-
делы прямоугольника с размерами: 1370x625 мм при обводе ры-
чагом № 1; 1470x312 мм (при рычаге № 2) и 1510x156 мм (при
рычаге № 3).
Площадь стола, которая требуется для максимального диапа-
зона действия, составляет 2190 x 870 мм, включая пространство,
необходимое для вылета противовеса прибора.
Модель № 3 обладает всеми особенностями модели № 2,
но имеет дополнительно интегрирующее устройство для опреде-
ления момента третьего порядка, который пропорционален мо-
менту инерции тел вращения; в связи с этим ее особенно удобно
применять для баллистических расчетов.
Диапазон действия интегратора № 3 примерно тот же, что
и прибора № 2.
Моментные планиметры требуют осторожного обращения; пре-
небрежение этим правилом может отрицательно сказаться на точ-
ности его работы. Стол или, лучше, чертежная доска, на которой
интегратор будет установлен, должны быть плоскими и гори-
зонтальными.
7*	99

Для достижения максимальной точности, на которую рассчи-
тан прибор, поверхность бумаги, по которой будут двигаться ин-
тегрирующие ролики, должна иметь равномерную текстуру;
удовлетворяющей требованиям считается чертежная бумага хо-
рошего качества. Глянцевая бумага не годится, так как трение
между колесиками и ее поверхностью недостаточно для того,
чтобы вызвать непрерывное вращение. Поверхность синьки не
так хороша, как поверхность чертежной бумаги, однако и на ней
можно добиться высокой точности.
Предварительно на чистой гладкой бумаге следует начертить
подлежащую измерению фигуру и указать ось моментов.
Чертеж помещают на доске и прикрепляют клейкой лентой
таким образом, чтобы ось моментов была бы приблизительно
параллельна длинному краю доски. Доска должна лежать гори-
зонтально.
Перед работой с прибором два осевых калибра вставляют в же-
лобок рельса и регулируют его положение на чертеже таким об-
разом, чтобы концы калибров лежали бы точно на оси, относительно
которой ведутся измерения.
Рельс, которому придано нужное положение, сохраняет его
под влиянием собственного веса.
Далее устанавливается А-образная рама с системой зубчатых
колес. Два опорных колеса ставят в желобок рельса, после чего
прибор опускают на бумагу.
Результаты, получаемые при работе с прибором, могут иметь
ошибки, обусловленные ошибками в первичных данных (т. е.
в чертеже), ошибками, вызываемыми манипулированием, и ошиб-
ками самого прибора.
.Можно доказать, что при прочих равных условиях, если чер-
теж сделан в увеличенном в п раз масштабе, влияние ошибки чер-
тежа уменьшается в пропорции 1/л для всех величин площади
и момента.
Точность, с которой можно обвести чертеж «от руки», в зна-
чительной степени зависит от оператора, кроме того, на точности
несколько отражается и сложность очертаний фигуры. Такого
рода ошибки носят обычно случайный характер. Влияние таких
случайных ошибок можно учесть, взяв среднюю величину для
нескольких обводов.
Ошибки приборов обычно делят на систематические и слу-
чайные. Последние иногда оказываются циклическими, если про-
вести достаточное число наблюдений. Все эти ошибки вызываются
небольшими неточностями в размерах, допущенными при изго-
товлении прибора, что неизбежно в производстве; может ска-
заться также и плохая регулировка. Систематических ошибок
прибор не имеет.
Можно убедиться в том, что некоторые источники ошибок при-
бора (например, неточные центровка и положение оси) имеют
меньшее значение при измерении больших фигур.
100

При рассмотрении точности измерения величии J и Р следует
иметь в виду, что искомый результат выражается разницей между
двумя величинами, каждая из которых выводится из показаний
одного из измерительных колес; для некоторых фигур эти вели-
чины могут быть большими, а их разница — очень маленькой.
Таким образом, ошибка на одну или две единицы нониуса может
послужить причиной крупной ошибки в окончательном результате.
В связи с этим очень трудно ставить вопрос о точности по каким-то
общим правилам.
Фирма «Ott» выпускает моментный планиметр трех образцов
(2]. Первый образец № 170 (РАНАТ) имеет два интегрирующих
механизма (для вычисления площади и статического момента).
Он построен по схеме с кривошипно-кулисной передачей.
Построенный по такой же схеме второй образец выпускается
двух типов № 180 (PAILA) и 184 (PAJAR). Обводной рычаг снаб-
жен одним неподвижным и одним передвижным обводными штиф-
тами.
Третий образец моментного планиметра фирмы «Ott» построен
по схеме с функциональным кулачковым механизмом. Этот плани-
метр также выпускается двух типов: № 192 (PAWAT) и 193
(PAWIK), различающихся числом интегрирующих механизмов
(у первого — 3, у второго — 4). Приборы могут быть снабжены
удлиненным и укороченным обводными рычагами. Укороченный
рычаг (№ 187 — PAWUN) имеет длину 250 мм и позволяет об-
водить контуры, удаленные от базисной линии на ±200 мм.
Удлиненный рычаг (№ 106 — PAWOL) имеет длину 640 мм и
позволяет обводить контуры, удаленные от базисной линии на
±500 мм.
Фирма по специальному заказу выпускает и более длин-
ные рычаги.
В приборах предусмотрена регулировка длины обводного
рычага перестановкой обводного штифта. На рычаге предусмотрены
специальные отметки, фиксирующие длины обводного рычага
250, 125 и 62,5 мм (для рычага длиной 250 мм)\ 500, 250 и 125 лии
(для рычага длиной 640 мм).
Фирма «Coradi» выпускает моментный планиметр высокой
точности с шаровыми интегрирующими фрикционными механиз-
мами одного образца № 45 трех типов I, II и III. Высокая точ-
ность этих приборов обеспечивается тем, что интегрирующие
ролики не касаются поверхности чертежа, а касаются полирован-
ных шаров. Колесный привод прибора обеспечивает поворот кор-
пусов интегрирующих механизмов па кратные углы.
Фирма «Amsler» выпускает четыре образца моментных пла-
ниметров. Образец № 625 предназначен для вычисления площади
и статического момента относительно оси. Образцы № 626 и
627 вычисляют, кроме того, осевой момент инерции, а образец
№ 628 — момент четвертого порядка.
101

15.	АВТОМАТИЧЕСКИЕ ПЛАНИМЕТРЫ
Несмотря на значительную экономию времени, которую обес-
печивают планиметры при измерении площадей, эта операция
остается трудоемкой из-за значительных затрат времени на счи-
тывание показании с циферблата, барабана и нониуса, запись,
вычитание, умножение и сложение цифр. Этот недостаток особенно
сказывается при частом пользовании планиметрами. Фирма «Stan-
ley» разработала и выпустила автоматические указывающие пла-
ниметры, которые лишены этого недостатка. При работе с этими
приборами не только резко сни-
жается трудоемкость арифметиче-
ских и других операций, но и зна-
чительно уменьшается вероятность
ошибок.
Рис. 66. Автоматизированный
линейный планиметр
Рис. 65. Автоматизированный поляр-
ный планиметр
При работе с автоматическими планиметрами оператор только
обводит периметр площади и считывает показания. Автоматиче-
ские планиметры агрегатируются с электронно-вычислительным
устройством, которое выдает результат измерения площади в циф-
ровой форме.
Фирмой выпущены полярный и линейный автоматические пла-
ниметры.
Автоматизированный полярный планиметр состоит из модифи-
цированного прецизионного дискового планиметра, к которому
добавлен модифицированный импульсный генератор. Ось измери-
тельного колесика поддерживает прозрачный диск, на котором
имеется ряд радиальных линий. Луч света от встроенного источ-
ника проходит через этот диск, возбуждая фотоэлементы с запи-
рающим слоем. Когда диск вращается, выходящие сигналы по-
ступают в электронно-вычислительное устройство. Этот планиметр
показан на рис. 65.
Прецизионный дисковый планиметр на роликах (рис. 66)
позволяет измерять более длинные линии, чем стандартный пре-
цизионный дисковый планиметр.
102

Планиметр градуирован с точностью до ±0,05% и может из-
мерять маленькие площади до 0,05 см2. На его эксплуатационные
характеристики влияют форма и размер площади и точность об-
вода. Высокая точность достигается путем установки измери-
тельного колесика па диск с матовой поверхностью. Благодаря
этому иа показания не влияют неровности поверхности, на ко-
торую нанесен обводимый контур.
Увеличение точности достигается с помощью зубчатого при-
вода диска, обеспечивающего большой поворот интегрирующего
колесика при небольших перемещениях обводного штифта.
Импульсы от планиметра по-
даются в электронный четырех-
разрядный реверсивный счетчик
(рис. 67). Счетчик суммирует по-
ступающие от планиметра импуль-
сы и фиксирует сумму в десятич-
ной форме на четырех цифровых
индикаторных лампах. Он может
также вычитать поступающие им-
пульсы из ранее зафиксирован-
ного числа. Счетчик полностью
собран на транзисторах, что обе-
спечивает его надежную работу. Рис. 67. Электронный счетчик
Простота обслуживания достиг-
нута благодаря использованию печатного монтажа.
Органы управления счетчика позволяют оператору установить
все индикаторные лампы на нуль или приостановить счет, когда
планиметр переустанавливается и обвод контура прерывается
или когда результат передается на печатающую машину или перфо-
ратор. Для управления переключениями можно использовать
ножные педальные переключатели.
Имеются две модели счетчиков. Стандартный счетчик (см.
рис. 67) сконструирован для совместной работы с электроуправ-
ляемой печатающей машинкой АДДО. Модифицированный счет-
чик используется с телепринтерами «Вестрекс».
Ножные педальные переключатели «Харга 5891» очень удобны
для установки счетчика на нуль и передачи зафиксированных
на нем показаний. Эти переключатели освобождают обе руки опе-
ратора для непрерывного измерения площади планиметром.
Несмотря на то, что электронный счетчик можно непосредст-
венно соединить с большинством стандартных печатающих машин,
рекомендуется как предпочтительная печатающая машина серии
АДДО, если требуется только печатание результата измерения
площадей.
Имеются две модели печатающего устройства АДДО. Модель
341Е является десятиклавишной суммирующей машиной с раз-
рядным накапливающим печатающим устройством. Эта модель
имеет суммирующий механизм, который позволяет печатать пред-
103

верительные п окончательные итоги, а также вручную выполнять
сложение и вычитание. Во время печатания электронный счетчик
автоматически устанавливается па пуль.
Модель 341/20-502 печатающего устройства аналогична выше-
описанной модели, но опа позволяет оператору наносить с левой
стороны бумажного рулона цифровые признаки измеряемых
площадей, результаты измерения которых печатаются с правой
стороны. Имеются также модели печатающих устройств для авто-
матического умножения на масштабные множители.
Если необходимо результаты измерений не только отпечатать,
но и перенести на перфоленты, то рекомендуется использовать
телепринтер «Вестрекс», модель № 32, который выполняет обе
эти операции. Телепринтер имеет трехрядную клавиатуру, пяти-
канальный ленточный перфоратор, пятиканальное устройство
для считывания с ленты. Телепринтер работает со скоростью
100 слов в минуту и перфорирует данные в коде Мюрея. Пи-
тается телепринтер от источника электрического напряжения
240 в (частота 50 гц).
16.	КОМБИНИРОВАННЫЕ ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ПРИБОРЫ
Как видно из двух предыдущих глав, интегрирующие ролико-
вые фрикционные механизмы являются основой большого коли-
чества разнообразных по назначению вычислительных приборов.
Это обстоятельство позволяет строить комбинированные приборы,
которые путем агрегатирования в различных комбинациях вхо-
дящих в него отдельных частей могут быть настроены на решение
различных задач.
Так, например, фирма «Ott» выпускает комплект узлов, пред-
ставленных на рис. 68. Из этих узлов можно собрать по желанию
полярный или линейный планиметр и полярный интегриметр.
Если взять средний и нижний (по изображению на рис. 68)
узлы и поместить опорный штифт 3 в гнездо 5, то получится обыч-
ный полярный планиметр.
104

Если в гнездо 5 нижнего узла вставить опорный штифт /
с верхнего узла, то получим линейный планиметр, у которого
прямолинейность перемещения точки качания обводного рычага
обеспечивается катками 2. Наконец, если закрепить опорный шта-
тив 7 с иглой 8 в полюсе полярной системы координат и завести
опорный штифт 6 в непоказанную на рисунке продольную прорезь,
имеющуюся снизу линейки 4, то получится полярный интегри-
метр.
В табл. 1 приведен перечень основных узлов и деталей при-
бора КИ-3, порядковые номера которых соответствуют позициям
на рис. 69.
Таблица 1
О
с
Наименование узлов и
деталей прибора КИ-3
0J
СГ
я
ч о
о и
Хи
Наименование узлов и
деталей прибора К.И-3
о
в
°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Стержень ведущий *
Стержень скользя-
щий *	..............
Вкладыш 0 6*. . .
Грузик *...........
Центровой диск * . .
Винт фиксирующий
Полюсная головка *
Опорная ножка . .
Счетно-интегрирую-
щий механизм * . . . .
Насадка с оптической
призмой *	..........
Вкладыш 0 14 с ка-
навкой *.............
Винт упорный . • •
Скат опорно-направ-
ляющих колес *	. . .
Стержень ..........
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Основной стержень с
движками *	........
Консоль...........
Движок ...........
Винт зажимной . . .
Втулка фасонная . .
Винт фиксирующий
(для движков) ....
Движок ...........
Водильце .........
Съемная консоль *
Обводной визир * . .
Игла фиксирующая *
Вкладыши 0 14/6 *
Крепежные иглы *
Карандаш * .......
Обводные иглы * . .
Колеса............
Направляющая ли-
нейка *	...........
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
1
Примечание. Элементы, отмеченные звездочкой, собираются в разных соче-
таниях самим вычислителем.
Ниже приведены примеры использования комплекта КИ-3
в конкретных схемах.
Все детали, равно как и ресь прибор в целом, требуют акку-
ратного и бережного обращения. Особенцо внимательно необ-
ходимо следить за сохранностью стеклянных колес.
Прибор КИ-3, собранный по схеме линейного планиметра,
показан на рис. 70 (структурные шифры А—В —10—11, А—В—Д—
10 или В—Г—Д).
В линейном планиметре одна из точек стержня должна пере-
мещаться по прямой. Интегратор КИ-3 позволяет легко, осущест-
ви

вить прямолинейное движение при помощи направляющей ли-
нейки, прикрепляемой к столу двумя крепежными иглами. В ли-
нейке предусмотрена прямолинейная прорезь постоянной ши-
рины b = 4 .мл/. Риски на торцовых колодках позволяют располо-
Рис. 69. Комплект узлов и деталей прибора КИ-3
жить линейку так, чтобы геометрическая ось прорези совпала
с данной прямой, например, с осью х. Сферический конец вкла-
дыша 3 (см. рие. 69), вставленного в отверстие 0 6 мм втулки
ската 13 либо вкладыша 26, помещается в прорезь линейки. При
Рис. 70. Линейный планиметр
106

обводе данной кривой f (х) визиром или иглой вкладыш переме-
щается вдоль прорези. Если обвод осуществляется по замкнутому
контуру, то в соответствии с теорией Андрада расположение ли-
нейки 31 относительно измеряемой площади может быть любым.
Необходимо лншь, чтобы расстояние I между центром визира
или острием иглы и геометрической осью вкладыша 3 было доста-
точным для обвода при величине угла а между линейкой 31 и
стержнем 1, не превышающей 65—70°.
Если же требуется измерить
f (х), осью х и ординатами хх и х2
так, чтобы геометрическая ось
прорези совпала с осью х. Фор-
мула действия такого прибора
[8] легко выводится независимо
от общей теории планиметров
и имеет вид
s — s0 = 6 (п — По) = х
х	а
х j f (х) dx 4-1 j x
x0	а0
> площадь, ограниченную кривой
, то удобно разместить линейку 31
Рис. 71. Схема обвода
X sin2 a da — а (а — а0). (26)
В этой формуле а — расстояние от сферической головки вкла-
дыша 3 до плоскости интегрирующего колеса; s—s0 — прира-
щение площади; п, п0 — показания шкалы. Предполагается, что
ось интегрирующего колеса параллельна стержню АВ (основному
стержню) и составляет угол а с осью х, при этом f (х) = I sin а.
Из формулы (26) следует, что при обводе по замкнутому контуру
второе и третье слагаемые обращаются в нуль, и формула при-
нимает вид
6 (п — пй) = -у (*) dx-	(27)
Эта же формула справедлива для случая обвода незамкнутой
кривой, начальная и конечная точки которой лежат на одной абс-
циссе.
Для нахождения площади под дугой АВС (рис. 71) нужен обвод
по кривой от точки А и В и дальше до С, а затем по ординате CD
до точки D.
Если же обвод производится по любой прямой f (х) = п const,
параллельной оси х, то формула (26) принимает вид
X
6 (п — По) — Ц- h dx — -j- (х х0),
и, следовательно, при любом конечном перемещении обводного
звена х — х0 показания счетчика пропорциональны площади под
обведенным отрезком прямой.
107

При обводе кривых, ординаты которых принимают значения,
близкие к нулю, а также отрицательные значения, требуемую
величину масштабного коэффициента удобно устанавливать при
помощи движка 21 (см. рис. 69), предварительно зафиксировав
движок 17 в крайнем левом положении. При этом линейку всегда
можно расположить так, чтобы она не препятствовала переходу
обводного звена с положительной ветви на отрицательную и на-
оборот. По мере необходимости линейку можно перемещать вдоль
оси х, не сбивая прибора, а лишь зафиксировав его при помощи
иглы 29 и притормозив интегрирующее колесо.
Пример 1. На приборе установлен масштабный коэффициент С= ПО см2.
После обвода по замкнутому контуру получен отсчет п = 2,143, причем указа-
тель знака показывает плюс. До начала обвода счетный механизм был приведен
в нулевое положение, и, следовательно, площадь, ограниченная контуром,
F= 110-2,143 = 235,73 см2.
Пример 2. При тех же исходных данных, что и в предыдущем примере, полу-
чен отсчет п = 6,275, но указатель знака отсчета показывает минус. Это значит,
что интегрирующее колесо вращалось в сторону убывания показаний счетчика и,
следовательно,
110 (10 — 6,275)== 110-3,725 = 409,75 см2.
Часто планиметры применяют для нахождения среднего зна-
чения графически заданной функции f (х) на некотором отрезке
Xi — изменения независимой переменной. Примером может
служить нахождение среднего давления в цилиндре двигателя
по индикаторной диаграмме. Некоторые зарубежные фирмы вы-
пускают специальные планиметры, в которых предусмотрена
возможность установки I = х— х0 = const. При этом искомая
величина получается в виде = 6 (п — nQ). Это же легко осу-
ществить путем такой установки движков 17 и 21 на приборе КИ-3,
при которой расстояние между нулевыми рисками на визирах
I хг — х0.
Применение прибора КИ-3 в качестве функционального ин-
тегриметра показано на рис. 72. В приборе предусмотрена воз-
можность устанавливать интегрирующее колесо 1 так, чтобы ось
его составляла со стержнем 2 угол 0 = const, который можно уста-
навливать в пределах от 0 до 90°. Все предыдущие схемы соответ-
ствуют 0 — 0°.
Ниже рассматривается пример использования прибора по схеме
линейного планиметра при 0	0° (рис. 72). Перемещение плани-
метра на величину х — ха в направлении оси х вызывает такой
поворот интегрирующего колеса вокруг своей оси, при котором
длина дуги, описываемой каждой точкой его кромки, выражается
интегралом
X
s — s0 = 6 (п — пй) — J sin (а ± 0) dx.
Хо
Если одновременно с перемещением прибора обводится данная
кривая, то длина дуги, описываемой каждой точкой кромки ин-
108

тегрирующего колеса, выражается формулой
х	а
6 (п — п0) = J sin (а ± Р) dx ф- cos р J sin2 а da ф-
хо	а0
а	а
+ I sin р J sin а cos a da ф- ncosp J da.	(28)
“о	а0
Рис. 72. Схема, функционального интегриметра
Если ввести обозначения cos р = т = const, sin р = k =
= const и учесть, что sin а = f (х), то формулу (28) можно
переписать в виде
X	X
6(n-n0)=-^j f(x)dx + ^-j^- f2(x)dx +
Xq	Xq
a	a
Ф- Im j sin a da ф- kl j sin a cos a da. ф- ma (a — a0).	(29)
a»	a о
В тех случаях, когда ординаты начальной и конечной точек
исследуемой незамкнутой кривой равны, в формуле (29) сохра-
няются только первые два слагаемых, т. е.
С (п — п0) — т f (х) dx ф- k J//2 — /2 (х) dx. (30)
Здесь С = 61 см2 есть по-прежнему масштабный коэффициент
прибора, устанавливаемый по шкале. Следовательно, отсчет
(п — п0) пропорционален алгебраической сумме интегралов, со-
ставляющих правую часть формулы (30).
Если р = 0, то k = 0, т = 1 и формула (30) принимает вид
выражения (27). Если же р = 90°, то k - 1, т = 0, и формула (30)
принимает следующий вид:
С (п — /zG) =	j//2 — f2 (х) dx.
Ю9

Пример. Вычислить значение полного эллиптического интеграла
п
2
Б = j К1-/22 Sitl»xdx
при k = 0,35.
Вычерчивается синусоида р. (х) = 0,35 Sin X при одинаковой величине мас-
штабной единицы для ординат и абсцисс, например, 160 мм. Величина полуампли-
туды на чертеже представлена ординатой 160-0,35 = 56 мм, а четверть периода —
Оазностью абсцисс 16О-О,5л = 251,3 мм.
Синусоида р. (х) обводится от точки X =0 до X =	, а затем по ординате
р = до оси абсцисс.
Показание (п — п0) счетчика (практически выгодно устанавливать п0 = 0)
соответствует взятой по модулю величине
п — п0 —	(j) К/2 — (0,35/ sin x)2 dx =	(j) V1 — 0.352 sin2 x dx.
Следовательно, искомая величина E = ^0,35-^-^ — 6 (n — n0). В резуль-
тате вычислений было получено Еср— 1,452. От табличного значения 1,4323,
соответствующего значению k = 0,35 = sin 20° 30', оно отличается на 1,4%.
17.	ОБРАБОТКА ДИАГРАММ САМОПИШУЩИХ ПРИБОРОВ
При электрических измерениях неэлектрических величин (тем-
пературы, давления и т. д.) результаты регистрируются на круго-
вых и ленточных диаграммах в виде кривых. Эти кривые являются
графическим изображением функций времени. При обработке
результатов таких измерений определяют средние значения за-
регистрированных функций и средние значения корня квадратного
из значений -этих функций.
В настоящее время отечественной промышленностью выпус-
каются пропорциональные и корневые планиметры для обработки
круговых и ленточных диаграмм, которые дают возможность пу-
тем обвода зарегистрированных функций автоматически опре-
делять искомые величины.
При помощи пропорционального планиметра определяют
среднесуточное значение радиуса записи в процентах от верхнего
предела измерения.
При помощи корневого планиметра определяют среднесуточ-
ное значение величины корня квадратного из радиуса записи
в процентах от верхнего предела измерения.
Для круговых диаграмм с равномерной шкалой записи при-
меняют планиметры ПП-1, ПП-Б и ПК-В.
Пропорциональные планиметры ПП-1 служат для обработки
графиков давления и температуры. Пропорциональный плани-
метр ПП-Б предназначен для обработки записей самопишущих
манометров МГ-410 и МГ-610, манометрических термометров
110

ТГ-410 и ТГ-610, дифманометров ДП и ДСВ, а также приборов
типа Э-610 с электрической передачей показаний на расстояние,
работающих в комплектах манометров и дифманометров.
Корневые планиметры ПК-8 предназначены исключительно
для обработки записей перепада давления, зафиксированных
самопишущими приборами ДП и ДСВ.
Планиметры ПП-1, ПП-Б и ПК-В принадлежат к типу ка-
тучих. При планиметрировании с помощью этих приборов диа-
грамма остается неподвижной, а планиметр перемещается вокруг
Рис. 73. Пропорциональный планиметр ПП-Б
направляющей кнопки, размещенной в центре диаграммы так,
чтобы обводной штифт двигался, не отклоняясь от линии записи.
Все указанные типы приборов сходны по конструкции, по-
этому ниже описывается только один из них (типа ПП-Б).
Планиметр ПП-Б состоит из двух основных частей: платы 3
(рис. 73) с направляющим пазом и счетного механизма, укреплен-
ного на плате. Плата имеет обводный штифт 2, поводок 1 и две
ножки с полированными сферическими поверхностями.
Планиметр покоится на трех точках: двух ножках и ролике
интегрирующего механизма. Последний смонтирован на основа-
нии 7, укрепленном двумя винтами на плате 3.
Интегрирующий механизм содержит колесико 4 диаметром
20 мм с червяком 5. На колесике имеется счетный барабан, имею-
щий по окружности 100 делений.
Червяк вращает ось с зубчатым колесом. Ось несет лимб 6,
имеющий 10 делений. За один полный оборот колесика лимб
поворачивается на одно деление полного оборота лимба).
Отсчет по лимбу осуществляется по риске на скобе, в которой
вращается ось лимба. Отсчет производится на барабане по риске
на секторе, укрепленном на основании 7.
Обводной штифт планиметра лежит в плоскости мерного коле-
сика. Основание счетного механизма после регулировки фикси-
руется на плате контрольными штифтами 6’.
Ill

При обводке планиметр надевается пазом па направляющую
кнопку, диаметр которой равен ширине паза. Направляющие
пазы планиметров имеют криволинейную форму и спроектированы
таким образом, что при повороте планиметра на 360° число обо-
ротов колесика в планиметре ПП-Б пропорционально среднему
значению радиуса записи в процентах, а в планиметре ПК-8 —
среднему значению корня квадратного из величины радиуса
диаграммы в процентах. Контрольная шайба планиметра пред-
назначена для точной, центровки диаграммы.
Контрольная Линейка, предназначенная для проверки плани-
метра, имеет отверстие диаметром 2 мм, в которое вставляется
обводной штифт (острием вверх), и ряд отверстий, диаметр ко-
торых равен ширине паза. Оси этих отверстий размещены по
осевой линии паза и находятся от оси отверстия диаметром 2 мм
на определенных расстояниях, соответствующих различным ра-
диусам диаграммы — от 0 до 100% от максимального радиуса.
Эти значения нанесены на плате у соответствующих отверстий.
Для получения искомых данных исследуемую кривую обво-
дят, не отклоняясь от нее, до тех пор, пока обводной штифт не
вернется в точку начала отсчета. Отсчет по планиметру осуще-
ствляют против отметки тремя значащими цифрами.
При отсчете по пропорциональному планиметру цена одного
деления на барабане принимается за 0,1. При отсчете по корне-
вому планиметру цена одного деления на лимбе принимается за
1,0, а на барабане за 0,01.
Отсчет по пропорциональному планиметру дает среднесуточ-
ное значение радиуса записи в процентах от максимального зна-
чения измеряемой величины. Для получения размерного значе-
ния этой величины необходимо отсчет по планиметру умножить
на масштаб диаграммы (цену одного деления при 100-процентной
равномерной диаграмме).
При использовании корневого планиметра для получения сред-
несуточного значения необходимо величину отсчета умножить на
4/3 X 0,1 У//тах = 0,1333 Ятах, где Яп1ах— значение перепада
давления в мм рт. ст. Для упрощения расчетов можно пользо-
ваться таблицей коэффициентов 4/3 X0,1 Нтах.
При обработке пропорциональным планиметром диаграмм
расходомеров ДП-430 и ДСВ-430 для вычисления расхода не-
обходимо определить значения корня квадратного из абсолют-
ного давления Ура = Vрн + Рб (Рб— барометрическое дав-
ление, ри — избыточное давление).
Для корневого планиметра отсчет следует умножить на 24/Т
после умножения на коэффициент 0,1333 У Нтах.
Значения величин 24/Т можно брать по таблице, где Т — пе-
риод времени записи диаграммы.
При определении средних значений на каком-либо участке
записи следует рисками отметить начало пли конец участка,
112

обвести участок штифтом с возвращением его из конечной точки
участка по дуге времени в начальную точку. Отсчет по планиметру
умножают на Величину 24/Г.
Для круговых диаграмм с неравномерной шкалой записи пред-
назначены корневые планиметры ПК-1 и ПК-2.
Прибор ПК-1 применяют для обработки диаграмм, записан-
ных самопишущими приборами типа ДП-612М, а приборы ПК-2 —
для диаграмм, записанных приборами типа ДС. Конструкция
этих планиметров аналогична конструкции приборов ПП-Б и
ПК-В; отличие состоит лишь в форме паза.
Для обработки ленточных диаграмм применяют специализи-
рованные пропорциональный планиметр типа ППЛ и корневой
планиметр типа ПКЛ. Каждый из них имеет два типоразмера,
различающихся шириной поля записи (100 и 160 мм).
Планиметры ППЛ используют для вычисления среднесуточ-
ных значений ординат кривой записи в процентах от верхнего
предела измерений, а планиметры ПКЛ — для вычисления средне-
суточного значения квадратного корня из значений зарегистри-
рованной функции времени.
Допускаемая ошибка при использовании планиметров ППЛ
составляет ±0,2% от радиуса диаграммы, а для планиметров типа
ПКЛ ±0,3% от радиуса диаграммы. Показания по шкалам плани-
метров считываются в четырехзначных числах.
Принцип действия планиметров ППЛ и ПКЛ состоит в следую-
щем: при передвижении прибора вдоль прямолинейной направ-
ляющей колесо интегрирующего механизма в зависимости от
угла поворота обводного рычага делает п оборотов. Число, обо-
ротов пропорционально ординате кривой на диаграмме для плани-
метров ППЛ и корню квадратному из ординаты записи для пла-
ниметров ПКЛ.
Пропорциональный планиметр состоит из двух основных ча-
стей: интегрирующего механизма и обводного рычага.
Корневой планиметр состоит из интегрирующего, механизма,
каретки (платы), которая перемещается на колесах вдоль направ-
ляющей линейки, обводного рычага и дополнительного рычага.
Конструкция основной части планиметров типа ППЛ и ПКЛ —
интегрирующего механизма — аналогична конструкции выше-
описанных планиметров.
При скорости перемещения ленточной диаграммы 20 мм/ч
длина записи по диаграмме за сутки получается равной 20 мм!чх
Х24 ч = 480 мм. При перемещении пропорционального плани-
метра на 480 мм отсчет пропорционален среднему значению орди-
наты записи на диаграмме, а в корневом планиметре отсчет про-
порционален среднему значению корня квадратного из ординаты
записи на диаграмме.
Значение измеряемой величины, определяемое по неравномер-
ной диаграмме при планиметрировании ее корневым планиметром,
8 В. В. Васманои	НЗ

находят по формуле
N AnNmax,
где А — коэффициент пропорциональности, равный 0,1852;
0,926; 0,6173 при скорости записи на диаграмме,
равной 20; 40; 60 мм!ч соответственно;
п — отсчет по планиметру;
Л/шах — верхний предел измерения по диаграмме, выражен-
ный в процентах или именованных единицах.
Значение М измеряемой величины по равномерной диаграмме
при планиметрировании ее пропорциональным планиметром также
определяется по формуле
N = AnNmax,
где А — коэффициент пропорциональности, равный 0,2; 0,1 и
1/15 при скорости записи на ленточной диаграмме,
равной 20; 40; 60 мм!ч соответственно;
п — отсчет по планиметру.
Для определения среднего значения ординаты записи, если
длительность записи меньше 24 ч, необходимо отсчет по плани-
метру умножить на величину 24/7', где Т — число часов записи.
Значения 24/7" приводятся в таблице.
Для проверки планиметров предусмотрены контрольные ли-
нейки, причем для планиметров ППЛ-100 и ППЛ-160 используется
одна и та же линейка, а для корневых планиметров каждого типа —
своя контрольная линейка.
Как в корневых, так и в пропорциональных планиметрах име-
ются направляющие штифты, которые скользят по пазу направ-
ляющей, и ряд контрольных отверстий, в которые при проверке
планиметра вставляют обводной штифт. Ординаты этих контроль-
ных отверстий равны ординатам линии записи на диаграмме.
Значения этих ординат выгравированы у соответствующих им от-
верстий на линейке. На направляющей линейке имеются две риски,
расстояние между которыми равно 480 мм. На контрольных ли-
нейках также имеются установочные риски, необходимые при
проверке планиметра.
Заметим, что для обработки круговых диаграмм можно ис-
пользовать комбинированный прибор КИ-3, который в отличие
от описанных выше приборов позволяет непосредственно вычислять
интегралы вида
а
R (а) = J [г (а) Д- r0] da
о
при любых значениях величин r0 = const в пределах от 0 до 40 мм.
В существующих приборах величина г0 устанавливается заранее
и не может быть изменена вычислителем.
114

Схема использования прибора КИ-3 для обработки круговых
диаграмм показана на рис. 74 (номера позиций в тексте соответ-
ствуют табл. 1).
Центровой диск 5 укладывается на чертеж и фиксируется путем
нажима. При этом центр диска должен совпасть с началом по-
лярной координатной системы, к которой отнесена данная кривая
г = г0 (а). Прибор устанавливают на чертеж так, чтобы сфериче-
ская головка вкладыша 3, установленного во втулке ската 13,
вошла в цилиндрическое гнездо центрового диска 5. Винт 20
движка 17 освобождается. При этом основной стержень свободно
Рис. 74. Использование прибора КИ-3 в качестве радиаль-
ного интегриметра
скользит вдоль движка и поворачивается с ним вокруг центра
диска 5. Движок 21 фиксируют на стержне 15 так, чтобы нулевой
штрих нониуса оказался против деления Ra, соответствующего
требуемому значению r0 = const. Счетный механизм устанавли-
вают на нуль и притормаживая, отмечают начальную точку на
кривой г = г (а). Прибор приводится в такое положение, чтобы
над этой точкой оказался центр визира или острие обводной иглы.
Затем тормоз освобождают и осуществляют обвод, предпочтительно
по часовой стрелке (при 0 =0).
Часто кривая г (а) наносится не от начала полярной системы
координат, а от некоторой начальной (нулевой) окружности ра-
диуса г0, центр которой совпадает с началом координат. В част-
ности, так осуществляется автоматическая запись во многих ре-
гистрирующих приборах с круговой шкалой.
Если движок 21 установлен так, что Ra = г0, то число п—па
оборотов интегрирующего колеса счетно-ннтегрирующего меха-
8*	115

низма при повороте прибора на угол а Пропорционально интегралу
а
7? (а) = 6п = j г (а) da.
о
Если г0 >0, a Ro = 0, то по счетно-интегрирующем у меха-
низму при повороте прибора на угол а считывается значение
й
R (а) — 6п = J [г (а) + r0] da.
о
При г0 = 0, Ro >0 прибор вычисляет величину
6н = J [г (а) — 7?0] da.
о
При г0 > 0, Ro >0 в результате обвода кривой получаем
величину
6п = J [г (а) + (r0 — Яо)] da.
о
Аргумент а во всех случаях берут в радианах.
Радиальные планиметры, а следовательно, и КИ-3, собран-
ный по схеме радиального интегриметра, находят широкое при-
менение на практике для механизации вычислительных работ.
Ряд примеров их использования приведен в работе [15].
Одной из простейших задач, решаемых с помощью радиальных
планиметров, является задача нахождения среднего значения
функции г = г (а) или среднего радиуса гср по формуле
Jг (“) da = 6(„'1Г",) •
СХо
При полном обводе контура а — а0 = 2л.
Величину гср часто приходится определять при нахождении
среднесуточного значения какой-либо физической величины, на-
пример, давления в котельной установке по круговой диаграмме
регистрирующего манометра. В таких случаях кривую обычно
вычерчивают на сетке, соответствующей дугообразному движению
рычага самопишущего прибора, причем размеры сетки и инте-
грирующего колеса подбирают так, что после полного обвода
число оборотов соответствует искомой величине, выраженной
в процентах от наибольшего значения, которое может быть про-
чтено по сетке. Именно так устроен прибор ПП-Б, рассчитанный
на работу с сетками с нулевой окружностью Ro = 28,75 мм.
Если обработка подобных диаграмм выполняется при помощи
прибора КИ-3 (а также КИ-1 и КИ-2), то, пользуясь существу-
ющей переводной диаграммой, можно найти значения среднего
116

радиуса непосредственно в процентах, эквивалентное существу-
ющему показанию прибора ПП-Б.
Из зарубежных планиметров отметим, например, приборы
фирмы «Stanley» для обработки лент самопишущих приборов.
Для обработки лент с постоянным масштабом записи предназна-
чен прибор Q110. Он имеете постоянную длину обводного рычага
и устанавливается на площадке с бобинами для ленты; лента
самопишущего прибора может перемещаться под обводным штиф-
том планиметра. Фланцы бобин регулируются так, что на них
Рис. 75. Корневой планиметр эксцентрикового типа
Q115 фирмы «Stanley»
можно наматывать ленты различной ширины. Планиметры этого
типа используют для обработки лент шириной до 15,5 мм, но
фирма поставляет приборы и для более широких лент. Один оборот
интегрирующего колесика соответствует площади до 120 см2.
На рис. 75 показан планиметр Q115 эксцентрикового типа для
обработки непрерывных лент самопишущих приборов с неравно-
мерным расположением линий. Конструкция этой модели анало-
гична конструкции планиметров, описанных выше, за исключением
того, что планиметры Q115 снабжены кулисным механизмом с
кулачком, который подбирают по образцам диаграмм.
Фирма выпускает также приборы для обработки круговых
диаграмм. К ним относится радиальный планиметр Q120, исполь-
зуемый для круговых диаграмм с равномерным расположением
концентрических линий. Результат измерения может быть пред-
ставлен как в дюймах, так и в метрических единицах.
Радиальный планиметр указывает радиус в сантиметрах (1 см
на один оборот интегрирующего колесика). Точность планиметра
составляет ±0,03 см2: минимальный радиус равен 20 мм\ мак-
симальный — 155 мм.
Выпускается также корневой планиметр Q125 эксцентрикового
типа для обработки круговых диаграмм, на которых концентри-
ческие линии расположены неравномерно. Планиметр имеет
эксцентрик с прорезью. Эксцентрик предназначен для компенса-
117

ции нелинейной характеристики определенной диаграммы или
группы диаграмм. Каждый вариант эксцентрика выполняется
но специальному заказу по присылаемым образцам Диаграмм.
Для каждого типа планиметра изготовляются десятки вари-
Рис. 76. Автоматический радиальный
планиметр для круговых диаграмм
Рис. 77. Автоматический планиметр для
ленточных диаграмм
антов эксцентриков. По кон-
струкции прибор Q125 ана-
логичен отечественному при-
бору ПК-В.
Планиметр Q125 снаб-
жается доской, на которой
устанавливается диаграмма,
и центральным штырем со-
ответствующего размера.
В целях сокращения
трудоемкости считывания по-
казаний, выполнения ариф-
метических операций и умень-
шения вероятности ошибок
фирмой «Stanley» в числе ряда
автоматических приборов
разработаны и выпущены
приборы для автоматической
обработки диаграмм само-
пишущих приборов. На рис.
76 показан автоматический
9
Рис. 78. Автоматический планиметр для
непрерывных лент самописцев
радиальный планиметр для
круговых диаграмм. Прибор
снабжен кулачками, которые
позволяют использовать его
для обработки круговых диа-
грамм в тех случаях, когда
изменяются масштабы записи
или когда концентрические
линии диаграмм располо-
жены неравномерно.
На рис. 77 показан авто-
матический планиметр для
ленточных диаграмм. Как
и радиальный планиметр,
этот прибор снабжен кулач-
ками. Его можно использо-
вать для обработки записей на
лентах самопишущих приборов с различными масштабами с рав-
номерным и неравномерным расположением линий.
На рис. 78 показан автоматический планиметр для непре-
рывных лент, намотанных на бобинах. Допускаются различные
масштабы при равномерном и неравномерном расположении
линий.
118

Глава HI
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ЧАСТОТНОГО
И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
1. ПОНЯТИЕ О ЧАСТОТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ
В настоящей главе описываются вычислительные приборы,
предназначенные для математического исследования функций,
рассматриваемых как сумма конечного или бесконечного числа
синусоид с определенными частотами. Такое частотное (спек-
тральное) представление функций дает общий подход к решению
задач, связанных с колебаниями в самых различных областях
науки и техники. Частотные представления позволяют рассма-
тривать многообразные явления с общей точки зрения.
Следует отметить, что само понятие частоты как временной
характеристики (число колебаний в единицу времени) часто
создает представление, будто бы частотный анализ возможем
лишь для функций времени. Действительно, для этих функций
он наиболее распространен. Однако частотный анализ приемлем
для функций любой другой независимой переменной, в частности
для графически заданных функций, когда независимой перемен-
ной является расстояние от начала координат, отсчитанное вдоль
оси абсцисс. В этих случаях оперируют условным понятием
частоты. Так, например, для графически заданных функций услов-
ной частотой является отношение 2л//, где I — период графически
заданной синусоиды.
Учитывая, что наибольшую распространенность частотный
анализ получил для функций времени, в дальнейшем будем
обозначать функции символами f (t), а частоты — со, помня,
однако, что t — это любая переменная, а <о — соответствующая
этой переменной условная частота.
При частотных представлениях функций приходится иметь
дело со следующими вариантами:
1. Рассматриваемая функция периодическая и представляется
суммой ряда Фурье:
п
f (0 = f + L Ai cos (i^t + <Pi)
i=i
или
ll	II
f (0 —7 + 2 al COS	bl sin (ico^),
(31)
119

т. е. суммой постоянной составляющей f и ряда косинусоид (гар-
моник) с амплитудами At и сдвигом фаз ср( или ряда синусоид
и косинусоид без сдвига фаз.
Члены ряда Л£ sin (-у- Н 4- называются гармониками
л • ! 2л .	\
r-го порядка. Гармоника i-ro порядка /IjSinl-y—Н фг ) назы-
вается основной гармоникой.
Приняты следующие обозначения:
2л	„
<01 = -у--частота основной гармоники:
Т — период основной гармоники:
a;bi — коэффициенты ряда Фурье:
i — номер гармоники (I принимает только целые значения 0, 1,
2, . .	п):
п — число гармоник:
Ai — амплитуда i-й гармоники:
<рг — начальная фаза i-й гармоники.
Зависимость (Az), Ф (0,
a (0, b (0 от величины i,
характеризующей в дан-
ном случае частоту гармо-
.jxLu_______________
пЦ 0)
Рис. 79. Спектр периодической функции
ники, являются соответ-
ственно амплитудно-час-
тотной, фазо-частотной,
косинусной и синусной
характеристиками функ-
ции f (0. Так как по
своему существу предста-
вление функции рядом Фурье предполагает наличие компонент
лишь с кратными частотами, то графики всех этих характеристик
являются дискретными, или, как их иногда называют, линей-
чатыми (рис. 79) с одинаковыми интервалами между линиями
спектра.
2.	Рассматриваемая функция представляет собой сумму ко-
синусоид
п
f (О = f 4- Ai cos (<0^ 4- Ф/)	(32)
с несоизмеримыми частотами. Такие сложные функции называются
квазипериодическими и имеют также дискретные графики ампли-
тудно-частотных и фазо-частотных характеристик, но с разными
интервалами между спектральными линиями.
3.	Рассматриваемая функция представляет собой квазигармо-
нические колебания, описываемые выражением
f (0 = S Ai cos [(о)о 4- /Л®)/ 4- ср,].	(33)
г=1
Этот случай соответствует периодическим модулированным
колебаниям, причем о»о является несущей частотой. Амплитудно-
го

частотные и фазо-частотные характеристики являются также
дискретными.
4.	Рассматриваемая функция является непериодической,
однако частотное представление такой функции возможно, если
считать, что период ее бесконечен. Это значит, что основная
частота бесконечно мала, а остальные гармоники имеют сплошной
ряд частот и бесконечно малые амплитуды.
Выражение для рассматриваемой функции имеет вид
00
f(0 = J
— (Х>
(34)
где
00
S (/со) = j f (t) е~1и>* dt.
— со
Функция S (/со) — комплексная и характеризует спектр функ-
ции f (0, являясь ее частотной характеристикой. Функцию S (со)
называют спектральной плотностью.
Как всякая комплексная функция от действительного перемен-
ного, функция S (/со) представляется двумя действительными
функциями Р (со) и Q (со), определяемыми косинус- и синус-
преобразованиями Фурье функции f (t):
S (/со) = Р (со) 4- /Q (со),
где
00
Р (со) = J f (t) cos (со() dt\
— СО
00
Q(co) = J f(^)sin(co/)cft.
— 00
(35)
Графики функций P (co) и Q (co) называют соответственно
действительной и мнимой частотными характеристиками функций.
Спектр S (/со) функции f (/) может быть представлен также
двумя другими действительными функциями А (со) и ср (со), гра-
фики которых называют соответственно амплитудно-частотной
и фазово-частотной характеристиками функции f (t):
S(/<o) = A(co)e-/4«^.
121

Функции А (со), ф (со) и Р (со), Q (со) связаны следующими
соотношениями:
Д (co) = //« (со)+ Q* (со);
Ф (со) = arctg ;
Р (и) = А (со) cos ф (со);
Q (со) = А (со) sin ф (со).
(36)
Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики пред-
ставляют собой в данном случае непрерывные функции частоты
(V
Рис. 80. Спектр непериоди-
ческой функции
отметить, что наиболее
(рис. 80).
С помощью частотных методов реша-
ются две противоположные задачи: за-
дача анализа, заключающаяся в том,
чтобы по заданной функции найти ее
частотные характеристики, и обратная
ей задача синтеза — по заданным ча-
стотным характеристикам найти соот-
ветствующую ей функцию. Следует
распространенная задача анализа в тех
случаях, когда нас интересуют не фазово-частотные характери-
стики, может решаться как математическими, так н физичес-
кими методами.
Физические методы исследования амплитудно-частотных ха-
рактеристик основаны на использовании явления резонанса.
Анализ по существу сводится к измерению амплитуд с помощью
различных резонаторов. Приборы для физического частотного
анализа подробно рассмотрены в книге 120). Поэтому предметом
рассмотрения в дальнейшем будут не измерительные, а вычисли-
тельные приборы для механизации вычислений, выполняемых при
частном анализе и синтезе.
2. АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Анализ периодических (функций (гармонический анализ) сво-
дится к вычислению для заданной функции f (/) ее коэффициентов
Фурье по формулам
т
= -yr j f (t) cos (-у- it} dt;
о
T
bi = j f (t) sin (-y- it} dt.
о
(37)
122

Выражения для коэффициентов Фурье можно преобразовать
к виду
—1	о
+ j fee (uci) duj (uct) du
о	-i
-1	о
J fsi (Щ/) du + j fsi(usl) du +
- 0	1
-1	0
+ j fsa(usi) du -ф j fsi(usi)du
о	-i
где ucl и usi — некоторые искусственно введенные в рассмотрение
аргументы, являющиеся функциями t и связан-
ные с ними соотношениями:
uc[ (t) = sin
ust (0 — cos (ifi)^);
(39)
fc (“)> fs (u) — многозначные функции, образованные из за-
данной функции f (/) путем замены аргу-
мента t на аргументы и.
Индексами 1, 2, 3 и 4 отмечены участки многозначных функ-
ций fc и fs.
В справедливости преобразования выражений (37) в выраже-
ния (38) можно убедиться, если принять во внимание, что
duct = io»! cos (tco10 dt,
dusl = — id)! sin dt.
(40)
Действительно, подставив в формулу (37) выражение (40),
заменив функцию f (0 на fc (и) и fs (и) и разбив интеграл от много-
значных функций на четыре интеграла, получим
1	о
2
а<~ тл
J fcl (ц) du -ф | fcz (и) du -ф
-о	1
-1	О
-ф J fca(4)du-\- j fci(u)du
0	-1
Г 1	0
bl = f (“) dU + f (“) du +
J ICO] J	J
Lo	i
-1	о
Ф f fsAu)du~\- f fMdu .
о	-i
123

Учитывая, что Т= 2л/<01, получаем выражение (38), из ко-
торого следует, что вычисление коэффициентов а( и Ьу можно
свести к одной операции интегрирования, если выполнять ука-
занное преобразование заданной анализируемой функции.
Коэффициенты Фурье можно также выразить в виде
т
ai = — sin
о
ф
Ь‘~Иcos о*®!*)
о
(41)
В справедливости этих выражений можно убедиться, если при-
менить для выражения (37) интегрирование по частям. Для этого
положим
cos (ia^t) dt = dV,
тогда
V =-------Д- sin (tcoiO-
Интегрируя по частям, получим
т т
= ~ Vf(f) + \vdf(t) .
о
Аналогичным путем можно получить выражение и для bt.
Заметим, наконец, что в тех случаях, когда функция f (t)
задана не непрерывно, а рядом 1, 2, . . ., t2.п2 значений
т
f (tlt), следующих с интервалом Д/ = коэффициенты Фурье
выражаются приближенными формулами:
= ~г^ S (^)cos (1'1 ’X~ta) ’
11—1
Пг
(tiJsln О1 •
i 2 = 1
(42)
Гармонический анализ служит обычно либо для определения
синусоидальных компонент сложной периодической функции,
либо для представления заданной графически или таблично
функции некоторым аналитическим выражением. Представление
сложных периодических функций именно тригонометрической
суммой целесообразно, потому что во многих случаях по своей
природе сложные периодические функции являются суммой сн-
н усоид и коси иусо ид.
124

Аналитическое выражение сложной периодической функции
целесообразно составлять также в виде тригонометрического ряда,
так как он наиболее прост и удобен для различных преобразований.
Гармонический анализ можно использовать для аппрокси-
мации тригонометрическим рядом и непериодических функций на
отдельных участках изменения аргумента.
Вычислительные приборы, предназначенные для гармониче-
ского анализа, называют гармоническими анализаторами.
3.	СИНТЕЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Синтез периодических функций (гармонический синтез) сво-
дится к суммированию заданного ряда тригонометрических функ-
ций с частотами, кратными некоторой основной частоте сор с целью
получения суммарной сложной периодической функции, опреде-
ляемой выражениями (31).
Вычислительные приборы, предназначенные для гармони-
ческого синтеза, называются гармоническими синтезаторами.
Отметим, что гармонические анализаторы, предназначенные для
вычислений коэффициентов Фурье функций, заданных в отдель-
ных точках [по формулам (42)], могут быть использованы и для
гармонического синтеза при условии, что синтез осуществляют
не непрерывно, а в ряде точек, например, в точках /1э ...
. . ., tit, . . ., Z„2. Действительно, если подставить в формулу (31)
выражение для tlt:
Т 
t{4— п2 1йг
то получится выражение, используемое при синтезе:
f (О = f (i2) = f + 2 a'icos О1 Х' *2) +
(7=1
Л1
+ 2&/isin
которое аналогично выражению (42), используемому при анализе.
Эта идентичность выражений и позволяет использовать гармони-
ческий анализатор для синтеза.
При гармоническом анализе через вводное устройство в при-
бор вводят ряд из п2 равноотстоящих значений анализируемой
функции. Синусно-косинусный блок работает с условной частотой
2л
при независимом переменном i2. В моменты, когда t3 при-
нимает целые значения, происходит перемножение значений
синуса (косинуса) на соответствующее значение анализируемой
функции. В результате последующего сложения этих ироиэведе-
125

T-rm'i в суммирующем блоке вычисляются значения коэффициентов
Фурье для данной г,-й гармоники.
‘ При гармоническом синтезе через вводное устройство в при-
бор вводят ряд из /!) значений коэффициентов Фурье синтезируе-
мой функции. Синусно-косинусный блок работает с условной
частотой г2при независимом переменном it. В моменты,
/?2
когда ц принимает целые значения, происходят перемножения
значений синуса (косинуса) па соответствующие значения коэф-
фициентов Фурье. В результате последующего сложения этих
произведений в суммирующем блоке вычисляется значение син-
тезируемой функции в данной точке iz.
Вычислительные приборы, выполняющие одновременно гар-
монический анализ и синтез, называются гармоническими ана-
л изатор ами-с интезатор ами.
Известны случаи 1 применения вычислительных приборов для
синтеза квазипериодических функций по формулам (32). Такие
приборы называют синтезаторами синусоид.
4.	АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Частотный анализ непериодических функций заключается
в определении частотных характеристик их спектров, определяе-
мых выражениями (35) или (36). Отметим, что в выражении (35)
пределы интегрирования бесконечны. На практике обычно при-
ходится иметь дело не с бесконечно длящимися процессами,
а с процессами, которые можно наблюдать в течение конечного
времени Т. Это значит, что отображающая процесс функция f (/)
известна нам только на определенном интервале от 0 до Т и что
поэтому осуществить интегрирование в бесконечных пределах,
как этого требует выражение (35), не представляется возможным.
Практически находят так называемые текущие частотные
характеристики
т Рт (со) = | f (t) cos (coz1) dt, 0 T	(43)
Qt (®) = J f (0 sin (co/) dt,	
0	
определяющие текущий спектр ST (со) функции f (t) на заданном
интервале от 0 до Т. Приборы, предназначенные для вычисления
интегралов вида (43), специального названия в литературе не
получили. Впредь будем называть их приборами для преобразова-
ния Фурье.
Сравнивая выражения (45) для текущих частотных характе-
ристик с выражениями (37) для коэффициентов Фурье, можно
1 Например, приборы дли вычисления уровня воды при приливах и отливах.
126

увидеть, что в основе обоих выражений лежат интегралы произве-
дения анализируемой функции па синусную и косинусную функ-
ции с той разницей, что частоты этих функций в выражении (43)
берутся не дискретными (кратными основной частоте), а непре-
рывными. Практически частоты берутся с небольшими интерва-
лами. Ширина интервалов Асо должна быть выбрана так, чтобы
можно было с требуемой точностью аппроксимировать кривые
частотных характеристик по вычисленным их значениям в отдель-
ных точках.
Число т интервалов выбирают из условия
tn (Асо) сот,
где <дт — обычно задаваемая предельная частота, выше которой
частотные характеристики не строят из-за пренебре-
жимой малости значений Р(со>сот) и Q (со >сот).
Заметим попутно, что интервалы Асо можно выбрать так,
чтобы в образуемый ряд частот входили частоты, кратные частоте
2л/Т. При этом условии приборы для преобразования Фурье
могут быть использованы и для гармонического анализа.
Если спектр функции гладкий, так что его можно аппроксими-
ровать с достаточной точностью по значениям, отстоящим друг
от друга на интервалы частоты, равные 2л/Т, то для нахождения
характеристики (43) можно воспользоваться гармоническими
анализаторами. При этом нужно убедиться, что число nt гармо-
ник, на которое рассчитан прибор, окажется достаточным, чтобы
удовлетворить неравенству
2 л
ni ~у
В заключение раздела об анализе непериодических функций
заметим, что нахождение амплитудно-частотных и фазо-частотных
характеристик по действительной и мнимой частотным характе-
ристикам и обратные операции, выражаемые формулами (36),
сводятся к вычислениям, осуществляемым при преобразованиях
прямоугольных координат в полярные и наоборот. Поэтому для
этих преобразований могут быть использованы специальные вы-
числительные приборы — преобразователи координат (см. гл. I).
5.	СИНТЕЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Частотный синтез непериодических функций заключается
в нахождении функции f (/) по ее спектру по формуле (34). Однако
комплексная форма зависимости (34) неудобна для вычислений.
Чтобы вывести выражение, удобное для практического использо-
вания, выразим спектр S (/со) через действительную Ф (со) и мни-
мую S (со) частотные характеристики и учтем также, что
е<ш‘ = cos (со/) -|- j sin (со/).
127

Тогда формула (34) примет вид
со
НО = f lp (<°) + /Q (»)] [cos (со/)] + / sin (tot) dto =
— CD
00
= ЪГ j i173 (®) cos (tot) -- Q (Ю) sin (co/)] +
+ [P (to) sin (co/) + Q (to) cos (co/)]} dto.
Для нечетной функции
CD
= f p (to) cos (tto) dto —
— co
----J Q(®) sin (/co) do.	(44)
— 00
Для функции, о которой известно, что при t 0 f (t) = О,
значения обоих интегралов в формуле (44) равны и противопо-
ложны по знаку. Из этого следует, что такую функцию для t > О
можно выразить либо
f (t) = -A. j Р (со) cos (/со) dco,	(45)
—со
либо
f (/) =----A J Q (со) sin (/со) dco.	(46)
— со
Таким образом, до какой бы формуле (45) или (46) ни опреде-
ляли функцию f (t), задача синтеза непериодической функции
сводится так же, как и при анализе, к синусному и косинусному
преобразованиям Фурье; только при синтезе они производятся
не над функцией времени, а над функциями Р (со) и Q (со) частоты.
Учитывая, что частота существенно положительна и что
в практических приложениях частотные характеристики всегда
ограничены некоторой частотой со,п, выше которой можно принять
Р (со > сот) = 0 и Q (со > со,п) -= 0, выражения (45) и (46) можно
переписать в виде
ат
НО = J р (®) cos (/со) dco —
о
—	J Q (со) sin (/со) dco
о
128

или при t > О
ИО = 4’ J Р (®)cos (Z“)d(S>’
о
ат
f[t) = -L- f Q (со) sin (/со) do.
Jt J
0
Таким образом, для синтеза непериодических функций можно
применять те же вычислительные приборы, что и для анализа,
т. е. приборы для преобразования Фурье, и в отдельных случаях
гармонические анализаторы. Подобно тому, как при анализе ча-
стотные характеристики вычисляются по точкам с интервалом Асо,
при синтезе функция f (/) вычисляется с интервалами А/.
Ширина интервалов А/должна быть выбрана так, чтобы можно
было с заданной точностью аппроксимировать искомую функцию
по вычисленным ее значениям в отдельных точках.
Число т интервалов А/ выбирают из условия
т (Ы) Т,
где Т — максимальное значение независимого переменного иско-
мой функции.
Гармоническими анализаторами для синтеза непериодических
функций можно пользоваться в тех случаях, когда функция f (/)
настолько гладкая, что ее можно с достаточной точностью аппрок-
симировать значениями, отстоящими друг от друга на интервал
2тс
А/ =	. При этом нужно убедиться, что число гармоник п1г
на которое рассчитан прибор, окажется достаточным, чтобы
удовлетворить неравенству
6.	ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ, РЕШАЕМЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМИ
ПРИБОРАМИ ДЛЯ ЧАСТОТНОГО АНАЛИЗА И СИНТЕЗА
Одним из примеров использования приборов для преобразо-
вания Фурье является исследование динамических линейных
систем. Как известно, свойства линейной динамической системы
характеризуются комплексной функцией Fc (jm), называемой
передаточной „функцией системы. Комплексная функция Fc (/со)
может быть представлена действительной Рс (со) и мнимой Qc (со)
частями, которые так же, как и функции Ас (со), срс (со), опреде-
ляемые выражениями	__________
Л(ш) = /Р;(со) + $(со);
<рДсо) = arctg^kM-,
9 В. В. Басманов
129

называются частотными характеристиками системы. Индекс с
указывает на то, что эти характеристики относятся к системе.
Смысл передаточной функции заключается в том, что она опре-
деляет реакцию (выходной сигнал) системы на поданный на ее
вход синусоидальный сигнал с амплитудой, равной 1, и с часто-
той со. В частности, величина А (со) является амплитудой выход-
ного сигнала, а фс (со) — его сдвигом по фазе относительно вход-
ного сигнала.
Наряду с указанными частотными характеристиками, линей-
ная динамическая система характеризуется временной характе-
ристикой — функцией К (/), называемой переходной характери-
стикой системы или функцией влияния. Эта функция определяет
форму сигнала на выходе системы после воздействия на нее так
называемого единичного импульса.
Обе эти характеристики определяются уравнениями, описы-
вающими данную динамическую систему, и могут быть найдены
по коэффициентам уравнений аналитическим путем. Однако,
зная временную характеристику системы, можно определить
частотную и, наоборот, по частотной характеристике найти вре-
менную, не прибегая к вычислениям, используя приборы для
преобразования Фурье. Это свойство основано на следующих
соотношениях, связывающих обе характеристики:
Л(/) = A- j Рс (со) cos (/со) с/со
о
или
00
Л (/) =-----j Qc (<•>) sin (/со) dco;
О
оо
Рс (со) — j К (/) COS (со/) dt;
о
— оо
Qc (со) = — j Л (/) sin (со/) dt.
о
Приборы для преобразования Фурье могут быть использованы
также при определении выходного сигнала /в (/) системы по
заданному входному f (/).
Можно показать, что если заданы частотные характеристики
Рс (со) и Qc (со) самой динамической системы, то частотные харак-
теристики Р^ (со) и Qfe (со) выходного сигнала определяются
выражениями
Pfe (ш) - -	(°) ^(®) ~ Qc (<°) Qr (ш);
Qfe (со) = Рс (со) Qf (со) -Н Qc (со) Pf (Ш),
130

где Pf (со), Qf (co) — частотные характеристики входного сиг-
нала.
Таким образом, в этой задаче прибор для преобразования
Фурье может быть использован дважды: для вычисления частот-
ных характеристик входного сигнала
т
Pf (to) = j f (/) COS (tot) dt,
0
T
Qf(to)= j f (t) sin (tot) dt
о
и для нахождения выходного сигнала при t >0
fe (0 = — ( Pf (<°) C0S d(a,
Jv J
0
или
fe (t) =--J Qf (to) sin (tto) dto.
0
Другим примером использования приборов для преобразова-
ния Фурье является исследование стационарных случайных про-
цессов, описываемых случайными функциями f (t).
Как известно, эти функции определяются временной харак-
теристикой R (т), называемой корреляционной функцией, и частот-
ной характеристикой G (со), являющейся спектральной плот-
ностью средней мощности случайного процесса и называемой
спектром мощности.
Корреляционная функция R (т) приближенно определяется
выражением
т
^ = 4-1 f^f« + v)dt
-т
и является количественной мерой взаимной связи значений слу-
чайной функции, удаленных друг от друга на величину т.
Спектр мощности GT (со) определяется выражением
Сг(“) = 4|5г(/«)|а.
где ST (jto) — спектральная плотность случайной функции f (t),
взятой в интервале 2Т.
Спектр мощности характеризует среднюю мощность случай-
ного процесса в этом же4 интервале.
9*	131

Можно показать 1201, что спектр мощности и корреляционная
функция связаны соотношениями
00
G (со) = 2 j R (т) cos (сот) dt,
о
со
R (т) = J G («>) cos (тсо) das.
о
Следовательно, используя приборы для преобразования Фурье,
можно по заданному спектру мощности случайной функции вы-
числить ее корреляционную функцию и наоборот.
Методом гармонического анализа проводится динамическое
исследование, например, работы поршневых двигателей. Для
таких двигателей опасным является возникновение крутильных
колебаний коленчатого вала, близких по частоте с его собственной
частотой. Эти колебания возникают из-за неравномерности тан-
генциального усилия, действующего на поршень. Закон измене-
ния усилия периодический. По графику изменения тангенциаль-
ного усилия в зависимости от угла поворота коленчатого вала
находят амплитуды составляющих его гармоник и устанавливают,
имеются ли гармоники большой амплитуды с частотами, близкими
собственной частоте колебания вала.
Если кривая тангенциального усилия имеет период, напри-
мер, в 2 раза больший времени одного оборота вала, определяю-
щего его основную частоту, то этой основной частоте будет соот-
ветствовать вторая гармоника анализируемого графика. Обычно
наиболее опасными являются вынужденные колебания, по своей
частоте не превышающие основную частоту вала более чем в 3—
4 раза. Поэтому в данном случае достаточно найти гармоники
до 6—8-го порядков. В рассматриваемой задаче фазы найденных
гармоник не являются существенными.
Другим примером практического применения методов гармо-
нического анализа является динамическое исследование криво-
шипно-шатунных систем, для которых характерна неравномер-
ность движения ведомого звена при равномерности вращения
ведущего звена. Неравномерность носит периодический характер,
и возникающие инерционные силы могут вызвать вредное явле-
ние резонанса у частей машины, приводимых в действие криво-
шипно-шатунным механизмом, если собственная частота коле-
баний этих частей окажется близкой к частотам периодических
компонент инерционных сил. Для того чтобы правильно рассчи-
тать машину, нужно провести гармонический анализ графика
a (t) изменения ускорения а ведомого звена кривошипно-шатун-
ного механизма и найти периодические составляющие действу-
ющего ускорения.
Заметим, что для такого анализа можно воспользоваться не
только функцией ускорения от времени, но и функциями скорости
132

или пути от времени. Действительно, если нам задана, например,
функция s (0 зависимости пути от времени и можно найти ампли-
туды составляющих ее гармоник Д , /ls , . . ., AS[, то к инте-
ресующим нас амплитудам	. ., АО[ составляющих
гармоник ускорений можно будет легко перейти, пользуясь сле-
дующими выражениями:
Ла. = — а)2/2Д..	(47)
Эта простая связь обнаруживается при нахождении ускорения
по аналитическому выражению пути как суммы гармонических
составляющих:	Таблица 2
S (1) = УД.Sln(У о	г	1оме	р га	рмоники		
	1	2	3	4	5	6
После двухкратного						
дифференцирования ПО- Ускорение		53	50	39	26	13	4
следнего выражения полу- ПУТЬ 	 чим			53	48	45	32	25	0
а = ~dk = ~ Sin (1Ш^ + Ф®<)‘
Если теперь представить ускорение а (/) рядом Фурье:
п
a(t)= 2 Аа. sin
1=1
(fc*V Фа/),
то значения Аа. должны удовлетворять условию (47).
Следует отметить, что при примерно равных ординатах гра-
фиков s (/) и 0)2 а (0, отображающих изменения пути и ускорения
во времени, целесообразно анализировать непосредственно гра-
фик ускорения, не прибегая к указанному искусственному приему
вычисления гармоник ускорения через гармоники пути. При
этом результат получится точнее, так как инструментальная
погрешность гармонического анализа в обоих случаях одинакова,
но при использовании графика ускорения она непосредственно
является погрешностью ускорения, а при использовании графика
пути инструментальная ошибка умножается на ia.
Сравнительный анализ точности для одного практического
примера [16] дал результаты, сведенные в следующую сравни-
тельную таблицу значений амплитуд, полученных непосредственно
по графику ускорений и с пересчетом по графику пути (табл. 2).
Из табл. 2 следует, что погрешности при вычислении по гра-
фику пути на высоких гармониках велики.
Пользуясь методами гармонического анализа, можно осу-
ществить предварительную оценку влияния внешних периодиче-
ских воздействий па колебательную систему.
2097	133

Известно, что, если внешнее (возмущающее) воздействие перио-
дическое
ПО = f + S laicos (»°i0 + bt sin (/«v)],
1=1
то вынужденное движение F (/) также периодическое:
F (t) = F -|- Xj [A cos (tcOiO Ц- Bi sin (ЙО101,
1=1
причем
F — _L • А. — Of •
“o’	’
где coo — собственная частота системы.
Очевидно, что, вычислив коэффициенты at, bt заданного внеш-
него воздействия f (t) и зная собственную частоту системы, можно
обнаружить периодические компоненты движения системы. Такой
прием используется, например, при анализе различных перио-
дических помех.
Методами гармонического синтеза пользуются для исследова-
ния электрических цепей с заданными параметрами контуров.
Один из методов расчета основан на применении преобразований
Лапласа, для осуществления которых необходимо найти корни
комплексного многочлена. Такой многочлен, содержащий члены
а/1’, можно согласно формуле Муавра представить в виде
W = 2 airi cos (i0) -f- / S aj1 sin (10).	(48)
i=i	i=i
Каждая из сумм в выражении (48) аналогична выражению (31)
(верхнему), если принять, что
At = aLr{, cos (iciV) = cos (i0),
sin = sin (t‘0), <pf = 0 и f = 0.
Два синтезирующих устройства можно установить в одном
приборе и, если одновременно в оба синтезатора вводить аргу-
мент 0, то одновременно будут вычисляться значения обеих сумм
выражения (48). Если при этом прибор будет сконструирован так,
что результат вычисления регистрируется, допустим, в виде гра-
фика, то в таком приборе можно получать текущее значение много-
члена W на комплексной плоскости. Для этого достаточно, чтобы,
например, карандаш, вычерчивающий график, перемещался в на-
правлении действительной оси на расстояние, пропорциональное
первой сумме выражения (48), содержащей косинусные члены,
а плоскость, на которой вычерчивается график, одновременно
134

смещалась бы от начального положения в направлении мнимой
осп на расстояние, пропорциональное сумме синусных членов.
Значения аргумента, при которых вычерчиваемая кривая про-
ходит через начало координат комплексной плоскости, являются
искомыми корнями комплексного многочлена.
7.	ГАРМОНИЧЕСКИЕ АНАЛИЗАТОРЫ ТИПА «МАДЕР»
В литературе описано большое количество различных схем
приборов для частотного анализа и синтеза. Приборы, разрабо-
танные в течение последних 10—15 лет, предназначены для ана-
лиза и синтеза функций, заданных либо в виде таблиц значений,
Рис. 81. Схема гармонического анализатора типа
«Мадер»
либо в виде изменяющегося во времени электрического напряже-
ния, или в виде специальных осциллограмм, на которых функция
изображается границей прозрачного и непрозрачного полей.
Ранее созданные гармонические анализаторы, получившие
более широкое распространение, предназначены для анализа
функций, заданных графически. Среди приборов этого типа сле-
дует выделить два механических анализатора типа «Мадер»
фирмы «ОН» и типа «Гепричи» фирмы «С'огасН».
Принципиальная схема гармонического анализатора гика
«Мадер» показана па рис. 81. Анализатор приспособлен для
вычисления коэффициентов Фурье но формулам (38).
135

Механизм перестроения заданной функции f (I) в функции
fs (wS(.) и fc (Uc() состоит из рычага 6, рейки 4 с кронштейном 5,
зубчатого колеса 2 и каретки 1.
Перестраиваемая функция f (/) задается в виде графика,
который закрепляется на неподвижном столе 8. Перестроенная
функция fs (us.) является следом точки S, принадлежащей зуб-
чатому колесу 2.
Движение точки S относительно неподвижных координат,
S, создается поступательны^ движением
каретки 1 по столу 8 вдоль оси f и вращал
тельным движением колеса 2 вокруг оси О,
закрепленной в каретке 1.
Как поступательное движение каретки
1, так и вращательное движение колеса 2
возникают одновременно в результате об-
вода визиром 7 анализируемой кривой
f (t). Обвод вызывает как смещение закре-
пленной на каретке 1 оси О' рычага 6, так
и его вращение вокруг этой оси.
Вместе с осью О’ вдоль оси f переме-
щается каретка 1, а вместе с ней зубчатое
колесо 2 и точка S. Вращение рычага 6
связанных со столом
Рис. 82. Схема работы приводит к перемещению рейки, враще-
рычагов	нию зубчатого колеса 2 и дополнитель-
ному смещению точки S по вертикали.
Одновременно она смещается и в горизонтальном направлении.
Рассмотрим основные кинематические соотношения схемы.
Горизонтальное смещение и точки S
и = г sin а,
(49)
где а — угол поворота зубчатого колеса 2;
г — расстояние от точки S до оси вращения зубчатого колеса.
Из схемы на рис. 82 видно, что между перемещением визира
в направлении t на величину dt и перемещением dz рейки имеется
соотношение
dz — — dt
а *
откуда при соответствующих начальных условиях
6 ,
Z = — t.
а
(50)
Учитывая выражение (50), выразим угол поворота колеса 2
(см. рис. 81) через аргумент
а =	(51)
and	'
где d — диаметр начальной окружности зубчатого колеса 2.
136

Подставляя выражение (51) в формулу (49), получаем
. Ь .
и = г sin —-г I.
лаа
В приборе длина а обводного рычага является регулируемой
и ее устанавливают пропорциональной периоду функции:
С,
а = —
<о0
Колесо 2 прибора сменное; диаметр колеса выбирают обратно
пропорциональным номеру гармоники:
d = -^.
Коэффициенты Clt С2 и плечо
выбраны такими, что
и — г sin (ico0/).
Таким образом достигается
перестроение аргумента t в аргу-
мент и. Например, для случая
i = 1 (первая гармоника), когда
аргумент
вательно
_2_т 3
4 1 ’ 4
Рис. 83. Схема вертикальных смеще-
ний
г принимает последо-
значения 0, -4- Т,
4
Т, Т, аргумент и принимает соответственно значения 0, 1
и т. д.
Рассмотрим теперь вертикальные смещения точки S. Как
было показано выше, оно складывается из смещения, возника-
ющего при повороте колеса 2, равного величине
г cos (tcoо0>	(52)
и смещения каретки 1.
Смещение каретки при обводе графика функций f (t) для
некоторой точки М равно сумме ординаты f (t)M графика и орди-
наты q (f)M некоторой функции q (/), график которой представ-
ляет собой окружность радиуса а, равного длине обводного рычага,
описанную из точки Он начального положения оси качания ры-
чага (рис. 83). В этом легко убедиться, если учесть, что перемеще-
ние визира в произвольную точку М графика можно условно
представить как результат двух движений: поворота обводного
рычага вокруг оси Он на угол а, в результате чего визир доходит
до точки Мо, но каретка 1 остается неподвижной, н вертикального
перемещения М0М визира, которое сопровождается таким же
смещением каретки 1.
137

Таким образом, в результате действия всего механизма точка 5
в системе fou будет описывать кривую, имеющую ординаты
Л (и) = г cos («О)о0 + q (О + / (О
при абсциссах
и = г sin (tсооО
(53)
Итак, при перестроении заданной функции f (f) к ординатам
перестроенной функции Д (и), соответствующей третьему члену
формулы (53), добавились две дополнительные, паразитные орди-
наты. Однако легко убедиться, что при интегрировании пере-
строенной функции интегралы от этих двух членов всегда будут
равны нулю.
Прежде чем показать, что
это действительно так, от-
метим, что интегрирование
перестроенной функции осу-
Рис. 84. Схема паразитного движения ществляется путем вычисле-
ния площади, ограниченной
ее графиком, крайними ординатами и осью абсцисс. Для вычи-
сления площади используется обычный полярный планиметр 3,
обводной штифт которого устанавливается в точку 5 колеса 2,
выполненную в виде отверстия под штифт (см. рис. 81). Анало-
гичное отверстие имеется в точке С колеса 2, используемое при
вычислении косинусных коэффициентов.
Следует учесть, что при обводе планиметром одного и того же
контура соответствующим площадям присваиваются разные знаки
в зависимости от направления обвода.
Теперь определим, чему равны интегралы каждой из пара-
зитных функций в системе fsou. Второй член q (/) выражения (53)
имеет вид замкнутой окружности с центром в начале координат.
Заметим, что при обводе визиром кривой f (t) точка S движется
по указанной окружности по часовой стрелке.
Второй член в системе fsou может быть представлен симметрич-
ной фигурой, изображенной на рис. 84. При обводе визиром
кривой f (t) точка S обходит контур этой фигуры против часовой
стрелки.
В описании порядка работы с прибором указано, что при ана-
лизе кривых f (f) их нужно обвести визиром, а затем возвратить
визир, следуя по оси абсцисс, в точку начала координат. При
этом возвратном движении визира точка S обходит контуры обеих
фигур в противоположных направлениях. Таким образом, пара-
зитные перемещения точки S не влияют на показание планиметра.
Им будет зафиксирована лишь площадь под перестраиваемой
кривой, соответствующей третьему члену выражения (53).
В качестве примера рассмотрим анализ функции f (t) = ct.
Перестроенная функция fs (и) будет иметь вид кривой, представ-
ленный графиком ОАВГО (рис, 85). Докажем на этом примере
одно важное преимущество планиметра, обусловившее целесооб-
138

разность его использования для вычисления площади под пере-
строенной кривой /, (/<).
При использовании планиметра пет необходимости определять
отдельно йлощадкн под каждым участком перестроенной кривой
и затем их суммировать. Достаточно обвести обводным штифтом
планиметра перестроенную кри-
вую. Это позволило автомати-
зировать операцию интегриро-
вания путем закрепления об-
водного штифта планиметра в
точках S или С перестраиваю-
щего механизма.
Чтобы убедиться в справед-
ливости высказанного утвержде-
ния, представим, что интегри-
рование осуществляется путем
последовательного вычисления
Рис. 85. Схема движения обводного
штифта
площадок под каждым участком
перестроенной кривой. Тогда, вычисляя площадь под участком ОД,
следовало бы обвести обводной штифт планиметра (рис. 86) по
контуру ОДДО в направлении, указанном стрелками, номера
которых указывают последовательность ходов обводного штифта
планиметра. Для вычисления площади поду участком А Б следо-
г	вало бы обвести контур О ДАБ.
Рнс. 86. Схема планиметрирования
во многих случаях пришлось
Показанное обратное направле-
ние обвода соответствует тому,
что аргумент и на этом участке
изменяется от большего значе-
ния к меньшему, а следователь-
но, интегралу должен быть при-
писан обратный знак. Дальней-
ший порядок обвода площадей
под отдельными участками на
рисунке указан стрелками. Из
рассмотрения рисунка следует,
что обводной штифт планиметра
перемещать на одну и ту же
величину дважды в различных направлениях, при одном и том
же положении рычагов планиметра. Очевидно, что такие рав-
ные, но противоположные по направлению перемещения можно
не делать, так как они не изменяют показаний планиметра. Таким
образом, вычисление площадей под всеми участками перестроенной
кривой может быть сведено к перемещению обводного штифта пла-
ниметра непосредственно по перестроенной кривой ОАВГО, что
и осуществляется в гармонических анализаторах типа «Мадер».
Других подробностей, касающихся теории расчета приборов
этого типа, здесь касаться не будем, так как они изложены до-
статочно полно в монографиях |8, 151.
139

Гармонические анализаторы системы «Мадер» выпускаются
в основном фирмой «Ott». Они различаются числом анализируе-
мых гармоник (от 6 до 33) и числом одновременно вычисляемых
коэффициентов Фурье (1 или 2). Приборы могут быть укомлекто-
ваны дополнительными наборами зубчатых колес, планиметров
н кареток, что позволяет довести число одновременно вычисляв'
мых коэффициентов до 14 [8, 151.
Рис. 87. Гармонический анализатор «Stanley»
Гармонический анализатор этого же типа для одновременного
вычисления двух коэффициентов, позволяющий находить до
25 гармоник, разработан в научно-исследовательском институте
счетного машиностроения под шифром МГА-1.
Гармонические анализаторы типа «Мадер», вычисляющие одно-
временно два коэффициента и позволяющие находить до 18 гармо-
ник, выпускаются также фирмой «Stanley». Внешний вид гар-
монического анализатора «Stanley» показан на рис. 87.
На плече обводного рычага перемещается движок с визиром.
Плечо имеет шкалу делений, оцифрованную в длинах периода
анализируемой функции.
140

На конце плеча обводного рычага имеется шарнир, сочле-
няющийся с кулисой малой каретки.
Большая каретка имеет направляющие для перемещения
малой каретки и пластинки с отверстиями для осей сменных
зубчатых колес. С правой стороны большой каретки имеется
конусное гнездо для перемещения шарнира обводного рычага,
а также два упора ограничения его хода.
Малая каретка несет на себе зубчатую рейку. Для установки
правильного начального положения зубчатых колес на рейке
нанесены две риски.
Сменные зубчатые колеса на торцовой поверхности имеют два
отверстия 5 (синус) и С (косинус), расположенных по окруж-
ности со сдвигом на 90°. На тех же торцовых поверхностях нане-
сены риски для правильной начальной установки дисков и выгра-
вированы номера, соответствующие определяемым гармоникам.
Для определения гармоники с 7-й и выше устанавливаются до-
полнительные промежуточные зубчатые колеса, на которых
выгравированы цифры для установки в соответствующие отверстия
пластинки и номера определяемой гармоники, а также цифра 2Г
показывающая, что полученный результат нужно разделить на 2.
Подставка представляет собой деревянный столик, на котором
устанавливаются планиметры. Их полюса укрепляются на спе-
циально обозначенных местах. Подставка имеет два откидных
рычажка для установки ее на определенном расстоянии от рельса.
Установочный угольник служит для ориентации частей при-
бора относительно заданного графика. Большая сторона уголь-
ника имеет шкалу с нулевой точкой в середине. Шкала оцифрована
в единицах длины периода. Нулевая точка находится на таком же
расстоянии от рельса, как и центр вращения углового рычага.
Меньшая сторона установочного угольника имеет риску для
установки прибора на период, соответствующий периоду иссле-
дуемой функции, а также два выступа, которые помещаются в паз
рельса для ориентации его по отношению к оси графика.
Направляющий рельс имеет продольный паз и два ограничи-
теля для хода каретки. На верхней стороне рельса нанесена
шкала, оцифрованная в единицах длины периода.
При работе с прибором его устанавливают на чертежной доске,
к которой прикрепляется лист с графиком анализируемой функ-
ции. Затем ориентируют направляющий рельс относительно чер-
тежа, для чего выступы короткой стороны установочного уголь-
ника вставляют в паз направляющего рельса, совмещая при этом
большую сторону угольника с осью абсцисс чертежа.
Далее направляющий рельс перемещают вместе с угольником
вдоль оси абсцисс до совпадения пулевого (среднего) деления
шкалы угольника с серединой периода анализируемого графика.
После установки угольника перемещают рельс вдоль осн орди-
нат до тех пор, пока риска па короткой стороне угольника не
совпадет с делением шкалы рельса, соответствующим длине
III

периода. В этом положении рельс закрепляется специальными
кнопками, вставляемыми в верхнее и нижнее отверстия рельса,
а угольник убирается.
Далее устанавливают подвижную часть анализатора, для
чего два ролика большой каретки вставляют в паз направляющей
рельса. Один шарнир установочного рычага заводится в прорезь
кулисы малой каретки, а другой — в гнездо большой каретки.
Визир перемещают вдоль шкалы обводного рычага, устанавливая
индекс соответственно заданной длине периода.
Зубчатые колеса вставляют в гнезда пластинки с соответству-
ющими номерами. Для гармоник, начиная с 7-й и выше, приме-
няют промежуточные зубчатые колеса. На них выгравированы
цифры, показывающие номера гнезд, в которые они должны
быть вставлены, и номер гармоник, для которых они применяются.
После установки зубчатых колес штифты обводных рычагов
планиметров вставляют в гнезда S или С на основных зубчатых
колесах. На этом заканчиваются подготовительные операции,
и прибор готов к работе.
а. ГАРМОНИЧЕСКИЕ АНАЛИЗАТОРЫ ТИПА «ГЕНРИЧИ»
Гармонический анализатор типа «Генричи» так же, как и опи-
санный выше анализатор «Мадер», является механическим при-
бором. В каталогах фирмы «СогасИ» имеются данные о 17 образ-
цах этого прибора, выпускаемого под фирменным номером 50.
Они различаются числом анализируемых гармоник (от 5-й до
150-й) и числом одновременно вычисляемых пар коэффициентов
Фурье (от 1 до 10).
Образцы разбиты на четыре группы: тип I с одним, тип III
с тремя, тип V с пятью и тип X с десятью интегрирующими ме-
ханизмами, число которых определяет число пар коэффициентов,
вычисляемых одновременно. Каждый тип имеет по нескольку
образцов, различающихся числом вычисляемых гармоник.
Приборы типа «Генричи» сложнее приборов типа «Мадер».
Они позволяют одновременно вычислять большее число коэффи-
циентов и благодаря применению точных зубчатых передач обес-
печивают получение коэффициентов более высоких гармоник.
Недостатком прибора этого типа является необходимость перечер-
чивания анализируемых кривых таким образом, чтобы участок
анализируемой функции был определенной длины (360 или 400 мм}.
Принципиальная схема гармонического анализатора типа
«Генричи» для вычисления коэффициентов Фурье по формулам
(41) показана на рис. 88.
Интегрирование по формуле (41) осуществляется шаровым
фрикционным интегрирующим механизмом, основными элемен-
тами которого являются шар 3, ведущий ролик 2, ведомые ро-
лики 5, 6 и обойма 4, в которой закреплены оси ведомых роликов.
Конструкция шарового интегрирующего механизма выбрана
такой, что шар одновременно прижат как к ведущему, так и к ве-
142

домым роликам, благодаря чему в точках контакта создаются
силы трения, достаточные для того, чтобы шар без скольжения
мог передавать движение от ведущего ролика к ведомым.
Очевидно, основное кинематическое соотношение между пере-
мещениями ведомого (например, ролик 6) и ведущего роликов
имеет вид
dtxa = -^-sln(a4)da2,	(54)
где d2, da — диаметры роликов.
Рассмотрим теперь остальную часть схемы прибора и выясним,
чему равны углы а2 и а4 поворота ведущего ролика 2 и обоймы 4.
Рис. 88. Схема гармонического анализатора типа
«Генричи»
Ведущий ролик 2 жестко закреплен на одной оси с катками 1
и 9, на которых прибор перекатывается по полю стола 12 с на-
черченной анализируемой функцией f (/).
Перекатывание прибора происходит тогда, когда оператор,
взявшись за рукоятку 11, обводит центром визира 10 анализи-
руемую кривую, так как при этом оператор через скобу 8 смещает
ось 7 катков 1 и 9, что вызывает их перекатывание. Заметим,
что при этих перекатываниях прибора угол аа поворота колеса
от своего начального положения (когда визир находится на оси О/
будет пропорционален текущему значению ординаты
«, = -j7 / (О-	<55>
143

Обойма 4 поворачивается вокруг центра шара •?, причем этот
поворот также происходит в результате обвода графика опера-
тором, который, смещая визир 10 вдоль оси 01, через механиче-
скую кинематическую цепь (показана штриховой линией) сооб-
щает обойме вращательное движение. Заметим, что угол а4 по-
ворота обоймы 4 от ее начального положения (когда ведомый
ролик 6 находится на вертикали) будет пропорционален теку-
щему значению независимой переменной /:
а4 = ct.	(56)
Подставляя выражения (55) и (56) в формулу (54), получим
=	(57)
Кинематическая цепь, определяющая передаточное отношение,
выполнена в приборе в виде сменных зубчатых колес, подбирае-
мых в соответствии с номером i гармоники:
с —
Таким образом, после интегрирования выражения (57) с уче-
том формул (52) и (41) получаем
ав = -^а,	(58)
Выражение (58) показывает, что угол поворота ведущего ро-
лика интегрирующего механизма пропорционален коэффициенту
Фурье анализируемой функции. Аналогичный вывод может быть
проведен для второго интегрирующего ролика, угол поворота
которого пропорционален коэффициенту в£:
а4 = Се,-,
где С—постоянная прибора.
9. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗАТОР ГА-2
Для существенного ускорения гармонического анализа гра-
фически заданных функций был разработан и изготовлен электрон-
но-механический гармонический анализатор ГА-2, позволяющий
вычислять 25 гармоник за 30 мин. Результаты вычисления фик-
сируются с помощью стрелки по шкале.
Графики анализируемых функций могут иметь любую длину
в пределах от 70 до 500 мм вдоль оси абсцисс. Алгебраическая
разность между экстремальными значениями ординат графика
функции не должна превосходить 320 мм.
Как будет подробно показано ниже, ввод анализируемой
функции осуществляется фотооптической системой, поэтому кон-
трастность линии графика относительно поля бумаги не должна
быть ниже установленной эталоном, толщина линии должна быть
не менее 0,5 мм в сечении по нормали к линии.
144

График анализируемой функции должен быть единственным
на всем поле листа. Погрешности вычисления могут быть порядка
3—10%.
Прибор питается от источника переменного тока напряжением
120 или 220 в; потребляемая мощность 900 вт.
Гармонический анализатор ГА-2 вычисляет коэффициенты
Фурье а, и в,- по приближенным формулам:
в,-
+ j COS (z't
X>2
х) dx ф-
(59)
xi2	xi2+4i2
j sin x)dx + j sin x^dx
xi2~4i2	x>2
Эти выражения получаются из основных формул (37) путем
замены имеющихся в них интегралов произведения суммой эле-
ментарных произведений и
замены каждого такого
произведения интегралом
функции косинуса и сину-
са, взятых в пределах эле-
ментарного интервала qi2,
пропорционального значе-
нию анализируемой функ-
ции f (xit).
Геометрический смысл
такой замены поясняется
рис. 89. Элементарные про-
изведения, выраженные
интегралами в формуле
(59), равны площадкам,
ограниченным штриховой
линией. Каждая из таких
площадок ограничена гра-
фиком функций косинуса
или синуса, осью абсцисс
и двумя ординатами и ле-
жит в пределах элементар-
ной полосы Qi2, равной
по ширине Ыпг, где —
Рис. 89. Схема приближенного решения
число интервалов разбиения периода L. Одна из двух ординат,
ограничивающих каждую из элементарных площадок, проходит
через точку х,а, лежащую в середине элементарного интервала.
10 В. В.-Васмаиои
145

Вторые ординаты удалены от первых в каждой площадке на
разное расстояние qit пропорциональное значению /<г анализи-
руемой функции f (х) в данном интервале. Точка х^ внутри эле-
ментарного интервала является абсциссой точки М пересечения
графика анализируемой функции с диагональю элементар-
ной полосы.
Блок-схема прибора показана на рис. 90.
Во вводном устройстве анализируемая функция f (х), задан-
ная графиком, преобразуется в последовательный ряд временных
Рис. 90. Блок-схемы прибора ГА-2
интервалов т пропорциональных ряду (1, . . ., za, . . ., nJ
равноотстоящих значений анализируемой функции f (х).
Вычислительное устройство прибора состоит из синусо-коси-
нусного и двух интегрирующих блоков. В синусно-косинусный
блок вводится независимая переменная х в виде угла поворота
равномерно вращающегося вала и номер i вычисляемой гармо-
ники, устанавливаемый на клавиатуре. На выходе синусно-ко-
синусного блока образуются функции синуса и косинуса в виде
изменяющихся по времени электрических напряжений (/) —
zz4 (/). Эти напряжения подаются в интегрирующие блоки прибора,
обеспечивающие получение сумм произведений значений функций
синуса или косинуса на значения f (х,-г) анализируемой функции;
последние поступают в интегрирующий блок в виде временных
интервалов т в течение которых интегрируются функции
синуса или косинуса.
Выходное устройство прибора измеряет напряжения на вы-
ходах интегрирующих блоков и фиксирует их по шкале показы-
вающего прибора в виде коэффициентов а, и в(-.
146

На рис. 91 показан принцип работы вводного устройства,
преобразующего значения графически заданной функции f (х)
в интервалы времени между импульсами.
График f (х) анализируемой функции закреплен на барабане 1,
вращающемся с постоянной скоростью со. Вдоль барабана также
с постоянной скоростью перемещается проекционно-оптическая
система 2 с фотоэлементом, на который направляется световой
/
^1К интегрирующему
rj блоку
Начальный
импульс* *
уЙбломителышй канал хп
у /^UpopwKhifie^iHb/S канал
X, X X, X Xf
I	I I	I I	t
U^-UoSindiii
\от^ииательнь/й канал
ирИцСОС'.Шр)
\Уолон<итблбный канал
u^-uncosfwjt) синусно-косинусного
\?Юрор<ит^бньш_канал
к интегрирующему
блоку
гк-
'Отрицательный канал
v Отдииательныр. канал
блок мака
(xyf) ——




к
Рис. 91. Принцип работы вводного блока
поток. При переходе светового потока со светлого поля бумаги
на темную линию графика функции освещенность фотоэлемента
резко падает, и в электроцепи фотоэлемента возникает отрица-
тельный импульс; такие импульсы обозначены на схеме буквой /.
Положительные импульсы возникают при пересечении световым
потоком оси х графика и параллельной ей условной оси хй на
схеме эти импульсы обозначены соответственно через х и х^
В средней части рис. 91 показана последовательность возник*
новения импульсов во времени.
Вначале, когда фотоголовка, двигаясь от края барабана,
находится в нерабочей зоне (до оси ординат) и не пересекает график,
функции, возникают лишь положительные импульсы .у и .vt.
При пересечении фотоголовкой осн ординат в первый раз (точка s)
]0*	147

возникает начальный импульс, включающий вычислительное
устройство прибора. После этого импульсы х и хг чередуются
с импульсами f.
При этом для случая положительной ординаты графика (на-
пример, в точке /г) характерно появление вначале отрицательного,
а затем положительного импульса (интервал xh); для случая
отрицательной ординаты характерно, наоборот, появление вна-
чале положительного, а затем отрицательного импульса (интер-
вал тк). Интервал времени тб между любыми двумя смежными
импульсами х и Xi равен времени одного оборота барабана. Интер-
валы времени ть тг, . . ., тА, . . ., хк, . . ., т„а пропорциональны
соответствующим значениям функций в окрестностях точек 1,
2, . . ., h, . . ., к, . . ., п2. Конечный импульс, выключающий
вычислительное устройство и прекращающий поступление импуль-
сов f, возникает в синусно-косинусном блоке в момент достижения
нуля последней волны функции синуса (момент г).
Указанная серия импульсов управляет двумя сдвоенными
ключами К2, устанавливая их в положения, помеченные стрел-
ками (импульсы х — в верхнее по рисунку положение; импульсы
f—в нижнее положение).
Каждый из ключей /С2 чередует замыкания и размыкания двух
цепей, передающих от синусно-косинусного к интегрирующему
блоку два противофазных электрических напряжения, изменя-
ющихся по косинусному и синусному законам. При этом в течение
времени хб одного оборота барабана каждая цепь оказывается
замкнутой на интервал времени тг или хб—т,- (i — порядковый
номер импульса /).
Следует заметить, что в случае положительной функции в те-
чение времени т2- замкнута именно положительная цепь, а в те-
чение тб—т(- — отрицательная и, наоборот, в случае отрица-
тельной функции в течение времени х( замкнута именно отри-
цательная цепь, а в течение хб—xi — положительная. При этом
в случае положительной функции за один оборот барабана им-
пульсы сменяются в последовательности Xifx, а в случае отри-
цательной— в последовательности x^f.
Эта разница в чередовании импульса учитывается блоком
знака, куда параллельно поступает вся серия импульсов. Блок
знака воздействует на пару ключей устанавливая их в поло-
жения, помеченные стрелками (при знаке + вверх, при знаке —
вниз). Таким образом, в результате совместной работы пары
ключей ^1 и ^2 на вход интегрирующего усилия поступают только
импульсы длительностью xt, причем их знак зависит как от те-
кущего знака функций синуса или косинуса, так и от знака функ-
ции (в случае отрицательного знака анализируемой функции
в интегрирующие блоки подаются синусоида и косинусоида обрат-
ного знака). Таким образом обеспечивается всегда правильный
знак произведений / (х) cos х^ и f (х) sin (t х), полу-
148

чаемых интегрированием функций синуса и косинуса в интер-
валах длительностью тР
Принципиальная схема вводного устройства, являющегося
основной частью прибора ГА-2, представлена на рис. 92.
Рис. 92. Принципиальная схема вводного устройства
В верхней части схемы показана механическая часть вводного
устройства. Электродвигатель 15 вращает барабан 14, на котором
закреплен график анализируемой функции f (х). На барабане
имеются три ряда прижимов 61 для крепления графика. Первый
ряд (а) может быть использован во всех случаях, второй ряд (б) —
при ширине бумаги 220 мм и третий ряд (а) при ширине бу-
149

маги 320 .«.и. На осп 2 барабана закреплены два диска 1 и 3,
на каждом из которых имеется но одному отверстию. Диск 1
закреплен на осп 2 неподвижно, а диск 3 при установке графика
может быть повернут на произвольный угол, после чего также
закрепляется па оси 2. Предварительное вращение диска 3 про-
изводится с целью согласования положения оси х графика с по-
ложением отверстия 62 в диске 3. Это согласование осуществляется
коромыслом 65, несущим на одном конце линейку 64, а на другом
фиксатор 63, западающий в паз диска 3, расположенный на одном
радиусе с отверстием 62. После закрепления графика барабан
поворачивают до тех пор, пока ось графика х не дойдет до обреза
опущенной линейки 64-, во время этого поворота барабана диск 3
удерживается фиксатором 63. После установки оси по обрезу
линейки диск 3 стопорится на оси 2. Отверстия в дисках 1 и 3
освещаются лампочками 5.
В момент пересечения светового потока лампочек отверстиями
дисков 1 и 3 возникают световые импульсы х и xt. Отверстия рас-
положены таким образом, что импульсы х возникают в момент
пересечения фотоголовкой оси х, а импульсы хх— в момент пере-
сечения условной оси хх, проходящей перед вторым рядом (б)
прижимов.
Электродвигатель 26 через редуктор 25 и реверсивную муфту 24
вращает ходовой винт 16, ведущий гайку каретки 17. Эта каретка
опирается на направляющую 10 и несет палец 18, поворачива-
ющийся вокруг неподвижного шарнира 27 рычага 21. Последний
через шарнир И ведет каретку 13, несущую фотоголовку 28.
На каретке 17 закреплены два ограничительных упора 22 и 23,
упирающихся в концевые выключатели 19, 20 и 29, 30.
На каретке 13 закреплен установочный винт 9, поворачивае-
мый рукояткой 7 и перемещающий с помощью каретки 8 шарнир 11.
Изменением расстояния между шарнирами 11 и 27 регулируется
скорость перемещения фотоголовки: она должна быть обратно
пропорциональной периоду анализируемой функции. Расстояние
между шарнирами фиксируется счетчиком 12, связанным редук-
тором с установочным винтом 9. Счетчик фиксирует период ана-
лизируемой функции с точностью до десятых долей миллиметра.
Вводной блок прибора предназначен для преобразования
световых импульеоах, хх и f в электрические и в соответствии с их
очередностью фиксировать временные интервалы, пропорциональ-
ные значениям анализируемой функции f (х), а также фиксировать
их знак.
Электронная часть вводного устройства состоит из трех бло-
ков: импульсного, знака и ординат.
Назначение импульсного блока состоит в преобразовании
световых импульсов [, х и хх в электрические. На входе этого-
блока в моменты f, х и хх подаются световые импульсы. Первый
из них, попадая на фотоумножитель 60, создает импульс в его
электрической цепи. Образованный электрический импульс f
J50

проходит через усилитель 57 и формирователь 54. Импульсы х,
образованные в цепи фотодиода 4, проходят через фотоумножи-
тель 58, усилитель 55 и формирователь 52. Импульсы х,, обра-
зованные в цепи фотодиодов 6, проходят через фотоумножитель 59,
усилитель 56' и формирователь 53.
Назначение блока знака состоит в том, чтобы в зависимости
от последовательности появления импульсов х, х( и f определить
знак анализируемой функции и в соответствии с ним открыть
положительные или отрицательные каналы, соединяющие синус-
но-косинусный и интегриру-
ющий блоки вычислительного
устройства.
Блок знака имеет три
входа, на которые подаются
импульсы f, х и Xj от им-
пульсного блока. В дальней-
шем эти входы будем назы-
вать соответственно входами
f, х и х,. Еще четыре входа
и четыре выхода блока знака
представляют собой провод-
ники (—с, +с, —s, +s),
которые попарно либо зазе-
мляются, либо к ним подво-
дится напряжение. Выход-
ные проводники соединены
с входами четырех вентилей
32, 34, 36, 38. Из принципа
работы этих вентилей сле-
дует, что плюсовые проводники +s и + с будут проводить
ток тогда (состояние +), когда на входах б вентилей будет
низкий уровень, а на входах а — высокий. При обратной
комбинации напряжений ток будут проводить только минусовые
проводники — s и —с (состояние —). Напряжением на входах а
и б управляет триггер 44, переключаемый импульсами, проходя-
щими через инвертор 46, предназначенный для развязывания
триггера. Схема составлена таким образом, что состояние вен-
тилей наступает тогда, когда импульсы приходят на вход б инвер-
тора 46, а состояние —, когда импульсы приходят на вход а.
Заметим, что на вход б инвертора 46 попадают импульсы f, про-
ходящие по входу а вентиля 47, а на вход а того же инвертора
попадают импульсы х по входу а вентиля 45.
Входы б вентилей 45 и 47 управляются соответственно триг-
герами 50 и 51, которые открывают оба вентиля в момент xt,
а закрывают соответственно в моменты xt и [. Триггеры управ-
ляются импульсами х, Xi и f, поступающими па вход блока знака.
Ла временной диаграмме (рис. 93) показана последователь-
ность работы элементов блока знака. Слева обозначены номера

элементов (по схеме рис. 92). Из принципиальной схемы блока
знаков и временной диаграммы (рис. 93) следует, что импульс f
попадает па инвертор 46 только тогда, когда он пройдет между
импульсами х, и х (время, когда вентиль 47 открыт), при этом
импульс л- уже не сможет попасть па инвертор 46, так как при
последовательности х,, f, х в момент прихода х вентиль 45 ока-
зывается закрытым.
Импульс х сможет попасть на инвертор 46 только тогда, когда
он приходит между импульсами х^ и f (время, когда вентиль 45
открыт); при этом на инвертор 46 уже не сможет попасть импульс f,
так как при последовательности xlt х и f в момент прихода f
вентиль 47 оказывается закрытым.
Формирователь 49 служит для образования нового импульса f,
а инвертор 48 — для согласования уровней напряжения импуль-
сов f и х, подаваемых на вентили 47 и 45. Между вентилями 32,
34, 36, 38 и управляющим ими триггером 44 поставлен инвер-
тор 42, предназначенный для создания напряжения, необходимого
для работы ключей, и катодный повторитель 40, предназначенный
для развязки триггера.
Третьим в электрической части вводного устройства является
блок ординат, назначение которого состоит в том, чтобы пропу-
скать синусоидальные и косинусоидальные сигналы из синусно-
косинусного блока в интегрирующий блок только в интерва-
лы времени т£, пропорциональные текущим значениям ординат
функции.
Так как интервалы времени т£ ограничены моментами /их,
именно эти импульсы подаются на вход блока ординат. Четыре
входа и выхода блока ординат представляют собой проводники
(—с, +с, —s и +s), которые попарно либо заземляются, либо
проводят подводимое к ним напряжение. Так же, как и в блоке
знака, выходные проводники соединены с входами четырех вен-
тилей 31, 33, 35, 37. Плюсовые проводники (+s и + с) проводят
ток тогда, когда на входах а вентилей будет высокий уровень
напряжения (на входах б—низкий), а минусовые проводники
—s и —с) — тогда, когда на входах а вентилей будет низкий
уровень напряжения (на входах б—высокий).
Этими напряжениями управляет триггер 43, который перво-
начально устанавливается в такое состояние, при котором ток
проводят отрицательные проводники, что соответствует приходу
на вход блока ординат импульса х. Таким образом, положитель-
ные проводники проводят ток в интервалах между моментами f
и х, а отрицательные — в интервалах между моментами хи/.
При этом в случае положительной функции положительные про-
водники проводят ток в течение времени т,-, а в случае отрицатель-
ной функции—в течение времени (тб—т(); отрицательные про-
водники, наоборот, проводят ток в течение времени т; при отри-
цательных значениях функций и в течение интервалов (тб—т()
при положительных значениях функции.
152

Инвертор 41 н катодный повторитель 39 служат для развя-
зывания триггера 43 н создания па входах вентилей 31, 33, 35,
37 соответствующих уровней напряжений.
Ниже приведены общие сведения о типовых схемах, исполь-
зованных во вводном устройстве.
Формирователи предназначены для стандартизации пара-
метров напряжения. Во вводном блокё имеется несколько моди-
фикаций формирователя. Все они представляют собой двухкаскад-
иые усилители с положительной обратной связью. Схема основной
модификации формирователя представляет собой спусковое устрой-
ство с анодно-сеточной и катодной связью. Для связи с предыду-
щими элементами используется гальванический вход.
Схема лампового триггера имеет два самостоятельных сеточ-
ных входа. Кроме того, имеется один вход для приведения триг-
гера в исходное состояние. Выходное напряжение с триггера
снимается либо с анода, либо со средней точки анодных на-
грузок.
Инвертор представляет собой одноламповый усилитель. Для
связи с предыдущими элементами используется гальванический
вход.
Электронный вентиль представляет собой управляемый дву-
сторонний ограничитель, собранный с использованием вакуумных
диодов. Схема имеет два входа, на которые подаются симметрич-
ные относительно земли управляющие напряжения ±120 в.
Если на одном входе действует напряжение —120 в, а на другом —
напряжение +120 в, то все диоды вентиля заперты и вентиль
пропускает входное напряжение. При обратной полярности
управляющих напряжений диоды проводят ток и схема работает
как двусторонний параллельный ограничитель, закорачивающий
входное напряжение на землю.
10. ТОЧНОСТЬ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ГАРМОНИЧЕСКИХ АНАЛИЗАТОРОВ
При проведении гармонического анализа графически заданных
функций на гармонических анализаторах неизбежны погрешности,
вызываемые как методическими погрешностями, так и инстру-
ментальными погрешностями анализатора.
Исследование точности гармонического анализа важно как
при проектировании, так и при эксплуатации гармонических
анализаторов. В первом случае данные о погрешностях являются
основой для назначения допусков па отдельные блоки анализа-
тора и на весь прибор в целом. Во втором случае эти сведения
необходимы для того, чтобы оценить возможную для данного
прибора точность гармонического анализа той или иной функции.
В предлагаемой читателю книге рассмотрены погрешности
гармонического анализа за счет первичных инструментальных
2097	153

погрешностей синусных и входных блоков анализаторов, а также
погрешностей за счет сдвига по фазе между анализируемой функ-
цией и синусоидой.
Трудности в исследовании погрешностей гармонического ана-
лиза связаны с тем, что зависимости между ними и первичными
погрешностями носят частный характер (для конкретной анали-
зируемой функции).
Автору удалось получить сравнительно простые тригономе-
трические выражения для погрешностей гармонического анализа,
не требующие интегрирования, в которых анализируемые функ-
ции f (t) представлены своими коэффициентами Фурье. Такое
представление анализируемой функции при исследовании точ-
ности гармонических анализаторов является наиболее удобным
как при проектировании, так и при эксплуатации анализаторов.
Так, при оценке точности во время проектирования и экспери-
ментального исследования анализаторов всегда рассматривают
функции, для которых значения коэффициентов Фурье заранее
известны. При эксплуатации анализаторов коэффициенты анали-
зируемой функции заранее не известны, но их определение яв-
ляется задачей гармонического анализа. В этом случае, опреде-
лив при помощи анализатора коэффициенты Фурье, можно,
пользуясь указанными ниже выражениями для погрешностей
гармонического анализа, оценить погрешность в каждом из вы-
численных коэффициентов за счет данной инструментальной по-
грешности и внести в случае необходимости соответствующую
поправку в результат.
Кроме того, полученные формулы позволяют оценить, какого
рода функции являются более или менее благоприятными с точки
зрения точности гармонического анализа на анализаторе с опре-
деленной инструментальной погрешностью.
В качестве экспериментальной установки был использован
механический' гармонический анализатор типа «Мадер», на ко-
тором моделируются рассматриваемые первичные инструмен-
тальные погрешности. При этом погрешность находится как
разность между значением коэффициента Фурье, вычисленным
на приборе с моделированной инструментальной погрешностью,
и расчетным значением коэффициента, который также может
быть вычислен на анализаторе «Мадер».
Указанное экспериментальное исследование проводилось
с целью подтверждения правильности полученных выражений
для расчетов ошибок гармонического анализа. Однако предло-
женная методика может оказаться полезной и в других случаях
при исследовании различных погрешностей гармонического ана-
лиза.
Погрешности гармонического анализа за счет первичных по-
грешностей синусно-косинусного блока. Синусно-косинусный блок
гармонического анализатора при анализе к-й гармоники должен
вырабатывать функции FSK и FCK от принятого в приборе аргу-
154

мента t по закону
FSK(/) = BKsln(/c-^),
Fck(0 = ^cos(k-^-/).
Вследствие инструментальных и методических погрешностей
синусно-косинусного блока он будет вырабатывать функции F (/),
несколько отличные от F (0, что обусловливает погрешность
гармонического анализа. Чтобы оценить эту погрешность коли-
чественно, удобно представить функцию F (/) рядом Фурье:
FCK (0 = Ако + Акcos (к -у-1') +
т=р
+ У, An COS (/шс— +
/п==2
т=р
+ У, Bmsin (гпк-у- Г);
т=1
Ак(') = Ясо + Вк5ш(к-^-/) +
т=р
+ 2^"»cos	+
т=р
+ 2 Bmsin	.
т=2
)
При этом первичными погрешностями для гармонического ана-
лиза будут Ак0, Вк0 — постоянные составляющие синусоиды и
косинусоиды;
&АК = Ак — Ак — погрешность в амплитуде основной гар-
_ моники косинусоиды;
ДВК — Вк — В — погрешность в амплитуде основной гармо-
_	_ ники синусоиды;
Ат, Вт — амплитуды паразитных гармоник косину-
соиды и синусоиды;
Дк -- к. — к — погрешность в основной частоте синусно-
косинусного блока.
Рассмотрим погрешности iармоинческого анализа, обуслов-
ленные каждой первичной погрешностью в отдельности.
Погрешность за счет постоянной составляющей синусоиды (ко-
синусоиды). Наличие постоянной составляющей при вычисле-
на

НИИ коэффициентов Фурье функции f (0 вызовет погрешности
^1ак — f f (О — 2fcpAK0 = 2[срЛкД;
о
т
А]вк — -у J f (0 Вм dt ~ 2[срВко ~ W Д,
о
где Ак и Вк — амплитуды синусоиды (косинусоиды), равные 1
Е, — среднее значение анализируемой функции;
/ (f); Д — относительная погрешность.
Погрешности анализа за счет погрешностей в амплитуде основ-
ных гармоник синусоиды и косинусоиды. Наличие погрешностей
Д4Л, ДВК в амплитуде основных гармоник синусоиды и коси-
нусоиды при вычислении коэффициентов Фурье функции f (f)
вызовет погрешности
Т
А2ак = -у j f (t) ДДксоэ (к t'j dt,
о
т
Д2ак = A J f (О ЛВК sin ( к 4- 0 dt-
о
Учтя, что
т
4 J /(О COS (к -у- 0 = йк'
о
т
4-J m^sin(/c-y-0=e-
о
получим
Аалк
А-—^-ак;
Як
Погрешность за счет паразитных гармоник в синусно-косинус-
ном блоке. Наличие паразитных гармоник косинусоиды и сину-
соиды при вычислении коэффициентов Фурье функции f (i) вы*
156

зовет погрешности Д3ак и Д3<?к:
Т	Г /п=1
= \ f(t) У, cos -у-1) +
О	Lm=2«
т=рк
+ 2 5msin
dt;
т Г”^£к
м=4Рю 2 cos (m"г-0 +
О L т=«
т=дк
т=2к
dt.
Представив анализируемую функцию f (t) ее рядом Фурье и
произведя преобразования, получим выражения для погрешностей:
= 4 I X аткАт cos2 (тк 0 dt = X а™Ат’
О пг=2	т=2
=4е IXвтк в*1 sin2 (тк 4dt = X вт^т-
О т=1	т=2
Погрешность гармонического анализа за счет ошибки в частоте
синусно-косинусного блока. Наличие погрешности в частоте си-
нусно-косинусного блока при вычислении коэффициентов Фурье
функции f (0 вызовет погрешности Д4ак и Д4вЛ:
Д4ак = ак — ак;
Д^к =	.
где ак, вк — значения коэффициентов, вычисленные на приборе,
имеющем погрешность Дт;
ак> — точные значения коэффициентов.
Будем рассматривать только основные гармоники синусно-
косинусного блока, для которых при вычислении к-й гармоники
функции f (/) Дт = Дк.
Погрешности, возникающие от погрешностей в частоте пара-
зитных гармоник, не рассматриваем, так как они являются вели-
чинами второго порядка малости.
157

Значение ак, вычисляемое с помощью прибора с синусным
блоком, работающим с погрешностью Дк, будет
г
ак = J МО cos [(« + Д/с) "Т-] dt-
о
Подставляя сюда выражения для погрешностей функции / (О,
получим
т
ак = j fcpcos [(к ф- Лк) ~ /] df +
о
+ У, -yr- j cos р' cos рк + Дк) dt +
i=l ° О
+ j в{ sin р cos рк + Лк) -у-1] dt.
i=l о
После ряда преобразований, вычитания точного значения ко-
эффициента ак и отбрасывания величин второго порядка малости
получим приближенное1 выражение для погрешности Д4аЛ:
___ sin (2л Дк) f , ( sin (2л Дк)
*а,с	лк 'ср ' \ 2л Дк
К
i—n
Sin2 (л Дк) __к sin2 (2л Дк) VI ___щ________
л Дк вк л Zj i — к2 (I 4- 2Д) **
, 2зт2(лДк)	et-i
it Zj i —к2(1 +2Д) •
i^K
По аналогии
т
Вк = ~y j fcp sin рк + Дк) dt +
о
i=n Т
+ -у j at cos р sin рк + Дк) -у- Я dt +
/=1 о
1 Отбрасывание величин второго порядка изменяет величину погрешности
не более чем на 3%,
158

i—П T
+	-у- j sin p -y- sin [(к + Ак) dt.
0
После преобразований получим
A ____ 2 sin2 (л Лк) f । sin2 (л Лк) ~ !
^4вк ~ m 'cp ' л Лк a« '
t=n
। Г sin (2л Лк) .I 2k sin2 (л Лк) VT ai
• L 2лЛк ‘j вк	n Zj i2 — к2(1 +2Л)
<=1
lj=K
i=n
sin (2л Лк) VT_____в[1_____
л Zj ia — к2 (1 + 2л)'
i=i
i=f=K
Погрешности гармонического анализа за счет первичных
погрешностей входного блока. Ниже будет рассмотрена только
одна первичная погрешность входного блока, обусловленная от-
клонением от расчетного значения основной частоты анализируе-
мой функции. За расчетное в данном случае принимается значение
частоты, задаваемой синусно-косинусным блоком, работающим
совместно с рассматриваемым входным блоком.
Обозначим через i-y- частоты колебаний, вырабатываемых си-
-	- 2л
нусно-косинусным блоком, а через i ----------частоты гармониче-
ских составляющих анализируемой функции. Заметим, что i —
в данном случае целые числа, a i = i + Ai — дробные. Величину
первичной погрешности в частоте входного блока обозначим че-
рез А5. Найдем выражения для ак, учтя погрешность входного
блока. Для этого используем выражение
т
ак — yrj НО cos [к -y-i] dt.
о
Подставим вместо функции f (f) ее ряд Фурье:
т
ак - у- J fCpCos [к ~ i] dt +
о
l=n Т
+ У, у- j aL cos pi -|- Ai) ~ t] cos Г к /J dt +
t=i о
l=n T
+ y- j et sin pi Ai)	/ j cos p ~ t j dt.
f = l	о
159

После преобразований, вычитания точного значения коэф-
фициента ак и отбрасывания величин второго порядка малости
получим
sin (2л Д/с) — 2л Д/с , sinа (л Д/с) _
+ 2л Дк	л Д/с к
1	а,- i sin (2л Ai) 2 Л t sin2 (л AQ
зГ /с2—Р(Ц-2Д) Л Zj * /с2 —1Я(1+2Д)’
.=1	1=1
При аналогичном подходе для погрешности ДБек получим
. Г sin (2л Д/с) , 1	.
2	ia; sin2 (л Дс) к в/sin2 (2л Ai)
к2 — 12(1 + 2Д) л Zj к2 —Р(1 4-2А) ’
4=1	4 = 1
4=£1
Погрешность гармонического анализа за счет сдвига по фазе
синусоиды (косинусоиды) относительно анализируемой функции.
При наличии сдвига <р по фазе, равного АТ, выражение для коэф-
фициентов Фурье примет вид
т
=4 Р wcos [«4- +дг>]dt>
о
т
=4 Р sin р 4- и+дт)]dt-
о
После вычитания точного значения коэффициентов и некото-
рых преобразований получаем следующие выражения для погреш-
ностей за счет сдвига фаз:
Лбак = [cos (2лкД) — 1] ако — sin (2лкА) вк0\
Лввк = sin (2л«Д)ак0 [cos (2лкД) — 1] вк0.
Расчет таблицы и графики. Как видно из выведенных формул,
выражения для погрешностей гармонического анализа за счет
каждой первичной погрешности гармонического анализатора имеют
следующую структуру:
&1ак — tyllfcp't
— Фгз^к»
Д3а,с = 0;
А'Лг	Ф41 (/С) fср Фй2 (^)	-|-
160

+ Ф48(*К+ Sq>44(K, S Ф4б(«,
i*K	i + K
ЬчАк = Феа (к) ак + <рва (/с) вк +
i—Л	i—n
+ S Фб4 (К1 0°/ + S ФбБ (к» 0вО
4=1	i=l
i=f=K	i±K
&вак = + Фв2 (К) ак 4" ФвЭ (К) вк>
^1вк = Ф11/ср»
Л2вк = фаз^к!
== О»
1=п
^вк = ф41 (к) fcp + ф42 (к) ак + 1J?43 (к) вк + S Ф44 (л, О О/ +
»=1
«=#=«
i-=n
+ S Ф4Б (к, о в£-;
Л=1
4>к
Аввк — + ‘Фаг (к) ак + Фбз (к) вк +
+ S ФиМ^ S ФббК l)et\
Г=1	4=1
4 =АК	4’ =#=К
Авв« = + Фв2 (К) ак + ФбЭ (К) вК,
где первый индекс при коэффициентах <р и ф обозначает номер,
присвоенный погрешности.
Выражения для коэффициентов на основании ранее выведен-
ных формул имеют следующий вид:
Фи — 2Ai;	Ф11 =	2АХ;
<рм — cos (2л Ак) — 1;	Фаз =	А;
	 sin (2л Лк) ^41	2лк ’	Ф41 =	1 — cos (2лкД) 2пк	’
„ _ sin (2лкЛ)	t	Ф12 =	1 —С08(2пкД)
Ф*2	2лкЛ	’		2пкД	’
1—cos (2пкД) q*48	2л/сД ’	*Р‘13 =	sin (2пкД)	. 2лкД	’
	 к (1 — sin (2пкЛ)].. 4,14 ~ n[i2 —к2(1+2Д))’	Ф14 —	_ к [1 — cos (2лкД)] . л [I2 — к3 (1 + 2А) 1 ’
11 В. В. Васмапои
161

_____ i [1 — cos (2лкД)] .
ф4В~ —n[i2 —к2(1 + 2Д)]’
__ sin (2лкД) ___.
4,52 - ет 1 ’
__ 1 —cos (2лкД) .
Фвз 2л«Д ’
i sin (2л«Д)
фв4 — ~л[к2 — £а (1 + 2Д)] ’
_____ i [ 1 — cos (2л/Д)] .
фб5 — л[к2 —«2(1+2Д))’
ф62 = cos (2лкЛ) — 1;
ф63 = —sin (2л Дк);
i sin (2лкД)
ф4В“ л[1«-№(1 +2Д) ’
__	1—сов(2лкД) .
фв2------2лкД
. sin (2лкД) «
1I’B3 = “М----------
к [1 — cos(2rtiA)J ,
Фб4“ лрс2 —Р(1 +2Д)1’
к sin (2л/Д)
Фб6“" л [к2 — Р(1 + 2Д))’
ф62 = sin (2л А к);
фвз = — cos (2лкД) — 1.
Чтобы удобно было пользоваться полученными выражениями
для погрешностей гармонического анализа, составлены таблицы
значений коэффициентов ф и ф, которые позволяют быстро под-
считывать значение любой из рассмотренных погрешностей для
произвольной анализируемой функции, заданной Своими коэф-
фициентами Фурье. Подсчет сводится в данном случае к выборке
из таблиц соответствующих значений коэффициентов ф и ф, пере-
множению их на известные коэффициенты Фурье анализируемой
функции и суммированию произведений. Так как и коэффи-
циенты ф и ф, и коэффициенты Фурье в большинстве случаев
достаточно выразить однозначными или двузначными числами,
вычисления погрешностей оказываются весьма простыми.
Характер зависимости некоторых коэффициентов ф и ф от
номера k анализируемой гармоники и номеров I других гармоник
анализируемой функции виден на иллюстративных графиках
рис. 94—96, построенных по табличным данным.
Для коэффициентов ф и ф, зависящих одновременно и от t, и от
к, графики построены для трех значений к, равных 1; 10 и 30.
Этими иллюстративными графиками можно пользоваться для
прикидочных расчетов погрешностей гармонического анализа.
Пример. Анализируемая функция имеет коэффициенты Фурье, представлен-
ные в графе 2 табл. 3; требуется вычислить погрешность гармонического анализа
за счет погрешности входного блока ДБ = 0,01.
Обратясь к таблице коэффициентов <р4 и i|>4, выпишем их соответствующие
значения в графах 3 и 5 и перемножим числа, записанные в графах 2 и 3, и числа
в графах 2 и 5; результаты вычислений приведены соответственно в графах 4 и 6.
Просуммировав числа граф 4 н 6 по всей таблице, получим значения Д4я«
и Д4вк.
Экспериментальный способ нахождения погрешностей гармо-
нического анализа. Для нахождения погрешностей гармонического
анализа за счет различных первичных погрешностей анализаторов
162

можно воспользоваться гармоническим анализатором, позволяю-
щим искусственно создать (моделировать) первичную погреш-
ность. Нахождение погрешности гармонического анализа при этом
сводится к анализу данной функции. Погрешностью гармониче-
ского анализа за счет данной первичной погрешности будет раз-


sin (lit к А)
0.05г
0.03 
0.01 -
*	« t L t > 1 t » I I > » I Lt-1 .»> 1	
0.01 - 2 4 S 8 1012Ilf 1618 202224202030
0,03 -
0.051-
t-ces(2ni<6)
0,05r	гя*
0.03:	_______
0,01 r |	...........
0,01 -г 4 'i'b 10 12 14 16 18 20 22 го'го изо
0,03-
0,05^
к[1-Ип(2пкД)]
Я [I*-*2(1+26)]
Ц-Ц-Ы-l IhIiiJi I 1.1
1820 22 24262830
к[ 1-cos(2xk6)J
я[Сг-кг(1+2а)]
0.05г
0,03'-
0,01:
W-
о.ю'-
0.05-
0011
Рис. 94. Зависимость коэффициентов <р и ф от к и i для синусно-косинусного блока
163

ность между значениями, полученными при анализе с моделиро-
ванием погрешности н без моделирования.
Экспериментальное исследование точности гармонического ана-
лиза производилось с целью проверки расчетных формул, вы-
веденных для вычисления этих погрешностей, при этом в качестве
/)<7Л

Рис. 95. Зависимость коэффициентов (р и ф от к и i для входного блока
164

гармонических анализаторов были использованы два прибора
типа «Мадер».
Вообще говоря, описываемый экспериментальный способ ис-
следования погрешностей гармонического анализа может быть
полезен в том случае, когда неизвестны коэффициенты разложения
заданной функции.
Ниже приведены схемы моделирования некоторых первичных
погрешностей и результаты экспериментального исследования
точности гармонического анализа.
Рис. 96. Зависимость коэффициентов <р и ф от к при сдвиге по фазе
165

Таблица 3
i	ai	<₽4	ai4>4	*4	“Л
1	2	3	4	5	6
0	136,0	0,000	0,00	0,000	0,00
1	—56,5	—0,020	1,13	0,030	1,70
2	— 16,8	0,025	—0,42	0,000	0,00
3	—6,6	0,022	—0,15	0,000	0,00
4	—12,5	0,021	—0,26	0,000	0,00
5	—8,7	0,020	—0,17	0,000	0,00
6	—5,3	0,020	—0,11	0,000	0,00
7	—4,2	0,019	—0,38	0,000	0,00
8	—3,6	0,019	—0,63	0,000	0,00
Схема моделирования погрешности в частоте синусно-косинус-
ного блока. Как известно, в гармонических анализаторах типа
«Мадер» условная частота к определяется числом оборотов к,
которое сделает сменное зубчатое колесо с отверстиями S и С
для обводного штифта планиметра за полный ход обводного ры-
чага от начала до конца периода L функции (рис. 97). Обычно
при нормальной работе прибора короткое плечо Г-образного об-
водного рычага поворачивается от упора до упора. Зубчатые пере-
дачи прибора рассчитаны таким образом, что при повороте плеча
рычага от упора до упора
число оборотов сменного
зубчатого колеса точно рав-
но номеру анализируемой
гармоники. В результате
при обводе анализируемой
кривой за полный период
сменное зубчатое колесо,
являющееся в данном слу-
чае синусно-косинусным
механизмом, дает синусо-
иду (косинусоиду) с ус-
„	„ 2л
ловнои частотой
кратную основной частоте.
Если же график анализируемой функции сместить так, чтобы
точка начала координат переместилась вдоль прямой, совпадаю-
щей с направлением данного плеча обводного рычага, находя-
щегося в левом крайнем положении, то при обводе анализируемой
функции за полный период из нового положения рычаг не дойдет
до упора, и сменное колесо сделает не к, а некоторое число к обо-
—- 2я
ротов. Величина является новой условной частотой синусно-
косинусного механизма.
Исходя из указанных на рис. 97 обозначений, можно записать
к = кТД-Г~к(1-Л*),
где
д* _
Таким образом, чтобы моделировать погрешность в частоте
синусно-косинусного блока, нужно сдвинуть график на величину
00' = А (ЛО) и обводить его на периоде L, не доводя рычаг до
нижнего упора.
Очевидно, что таким образом можно моделировать отрицатель-
ную первичную погрешность. Для моделирования положительной
166

погрешности сдвиг графика следует производить вдоль рычага
вверх (точка О"); при этом необходимо удалить из прибора верх-
ний ограничительный упор, который в данном случае препят-
ствовал бы обводу функции иа полном периоде.
Схема моделирования погрешности входного блока в основной
частоте периодической анализируемой функции. Моделирование
погрешности в основной частоте функции осуществляется так же,
как и моделирование погрешности в частоте синусно-косинусного
блока, т. е. путем сдвига
графика анализируемой
функции (см. рис. 97). Разни-
ца заключается в том, что об-
Рис. 97. Схема моделирования первичной погрешности
вод функции в данном случае производится всегда при повороте
рычага от упора до упора.
Если график сдвигается вниз, то условная основная частота
функции будет увеличиваться, так что в данном случае модели-
руется положительная первичная погрешность. Очевидно, что при
моделировании положительной погрешности график функции
нужно продолжить за пределы одного периода на величину AL,
где А — относительная моделируемая погрешность.
Схема моделирования погрешности сдвига по фазе синусоиды
(косинусоиды) и анализируемой функции. Моделирование погреш-
ности сдвига по фазе синусоиды (косинусоиды) и анализируемой
функции осуществляется начальным сдвигом сменных зубчатых
колес относительно установочных рисок, нанесенных на рейке
прибора.
Если первичную погрешность сдвига по фазе А выразить в до-
лях периода функции, то сменное зубчатое колесо нужно повер-
нуть ла угол
а = 360° /<А.
167

Сдвиг сменного колеса на угол а может быть осуществлен
путем его перезацепленпя с рейкой; угол поворота изменяется
числом зубьев, на которые осуществлено перезацепление.
Для первых шести гармоник сменные колеса в анализаторах
типа «Мадер» зацепляются с рейкой непосредственно; при этом
число зубьев сменного зубчатого колеса равно 240/к. Таким обра-
зом, для моделирования погрешности величиной А нужно пере-
зацепить сменное колесо на Z зубьев; величина Z определяется
р авенством
Z = 240А.
Для моделирования положительной погрешности (синусоида
отстает от функции) сменные колеса надо сдвигать против часовой
стрелки, при отрицательной погрешности — по часовой стрелке.
Для гармоник выше седьмой сменные колеса в анализаторах
типа «Мадер» зацепляются с рейкой через промежуточные зубча-
тые колеса. Если обозначить передаточное отношение между смен-
ным и промежуточным колесами через I, то второе промежуточное
колесо, зацепленное с рейкой, следует перезацепить на число
зубьев Zn равное 240АЛ
Положительные погрешности в данном случае будут моделиро-
ваться поворотом промежуточного зубчатого колеса, сцепленного
с рейкой, по часовой стрелке, отрицательные — поворотом против
часовой стрелки.
1.1. ПРИБОРЫ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Рассмотрим далее приборы, предназначенные не только для
гармонического анализа, но и для выполнения преобразования
Фурье. Такие приборы серийно не выпускаются, а изготовляются
по заказам научно-исследовательских лабораторий. Эти приборы
могут быть электрическими, электромеханическими и фотоэлек-
трическими.
Запись осуществляется специальным записывающим прибором,
который одновременно регистрирует пять сигналов в виде гра-
ницы прозрачного и непрозрачного полей фотопленки. Эти запи-
сывающие приборы регистрируют сигналы в диапазоне от 5 до
200 гц, а в специальных случаях до нескольких тысяч герц при
скорости движения пленки во время записи до 12 м/сек.. При этом
гармонический анализатор позволяет обнаруживать сигналы при
отношении их амплитуды к амплитуде помех до 40 дб.
При проверке работы прибора определялись коэффициенты
Фурье пилообразного сигнала; при этом значения коэффициентов
отличались от точных не более чем на 0,2%.
На рис. 98 показана принципиальная блок-схема прибора.
Вводный блок 4 преобразует анализируемую функцию f (х), за-
регистрированную в виде границы прозрачного и непрозрачного
полей на фотопленке в электрическое напряжение иг (/), изме-
няющееся во времени по закону анализируемой функции.
168

Перемещение пленки (ввод независимой переменной анали-
зируемой функции) осуществляется мотором 2 через кинемати-
ческую цепь, прерываемую муфтой 5; при этом независимая пере-
менная х преобразуется во время t. Тот же мотор через коробку
скоростей передает аргумент кх в виде углов а{ поворота валов
в механические синусный 9 и косинусный 5 блоки, выходные валы
которых поворачиваются на углы фх (/) и <р2 (/), соответственно
пропорциональные синусу и косинусу от вводимой независимой
переменной х. Выработанные таким образом функции синуса и
cos(kx) f(x)C0S(KX)
Рис. 98. Принципиальная блок-схема прибора
косинуса вместе с анализируемой функцией подаются соответ-
ственно в умножающие блоки 6 и 10, на выходе которых обра-
зуются напряжения uis (/) и tz2c (/), изменяющиеся по закону
произведений анализируемой функции, синуса или косинуса. Эти
произведения подаются в интегрирующие блоки 7 и 11, на выходе
которых в виде углов a2s и а2с поворотов валов вырабатываются
интегралы произведений, равные значениям а( или bt, умножен-
ным на длину периода L. Выходные блоки 8 и 12 фиксируют ре-
зультаты на цифровой шкале.
В приборе имеется управляющий блок, фиксирующий начало
и конец интегрирования соответственно началу и концу ввода
анализируемой функции. Рассмотрим принципиальные схемы каж-
дого блока.
Принципиальная схема оптической части входного блока изо-
бражена на рис. 99 it эчсктрической части — на рис. 100.
Внутри прозрачного барабана 8, огибаемого пленкой 4 с ана-
лизируемой функцией и вращаемого с постоянной скоростью, по-
мещен фотоэлемент 6, освещаемый лампой 1 через оптическую
сиыему. Последняя состоит из цилиндрических линз 2, фикси-
рующих снеговой поток на поверхности барабана, и сферической
169

линзы 7, воспринимающей световой поток, прошедший через
пленку, н направляющей его на фотоэлемент. Пленка огибает два
направляющих ролика 5, позволяющих пропускать через анали-
затор пленки значительной длины.
На рис. 100 показана схема усилителя тока фотоэлемента.
Напряжение на выходе усилителя изменяется во времени по за-
кону анализируемой функции.
Первый каскад собран на пентоде 1. Импульс, снимаемый
с фотоэлемента 2, поступает на сетку пентода; выходное напря-
Рис. 99. Оптическая часть вход- Рис. 100. Электрическаи часть входного
него блока	блока
жение, снимаемое с анодной нагрузки через батарею 3, посту-
пает на сетку лампы 4, работающей по схеме катодного повтори-
теля, что позволяет получить низкое выходное сопротивление.
Катодной нагрузкой лампы 4 являются резисторы Т?2, 7?3 и
Средняя точка катодной нагрузки заземлена, что обеспечивает
получение на выходных клеммах усилителя равных и противо-
положных по знаку (относительно земли) напряжений. Источ-
никами питания для усилителей являются батареи. Усилитель
имеет отрицательную обратную связь, регулируемую движком 5
переменного резистора Rs.
Коэффициент усиления без обратной связи равен 35. Ампли-
тудная характеристика линейна с точностью ±0,1% от макси-
мального значения напряжения. Частотная характеристика от-
клоняется от горизонтальной прямой на 0,2% при частоте 10 гц.
Принципиальная схема синусно-косинусного блоков показана
на рис. 101. Эти блоки представляют собой кривошипно-кулисные
механизмы, один из которых показан в верхней части рисунка.
При вращении кривошипа 1 кулиса 2 будет совершать возвратно-
поступательные движения по закону синуса (косинуса).
Для преобразования поступалызого синусоидального движения
во вращательное к кулисе прикреплена зубчатая рейка 3, вращаю-
170

Рис. 101. Принципиальная
схема синусно-косинусного
блока
изображена на рис. 102.
щая зубчатое колесо 4 (см. нижнюю часть рисунка). Таким обра-
зом, угол поворота зубчатого колеса пропорционален синусу
(косинусу) угла поворота кривошипа. Кривошип вращается с по-
стоянной скоростью. При каждом очередном вычислении частоту
можно изменять, меняя скорость вращения кривошипа. Это осу-
ществляется с помощью коробки скоростей, имеющей 37 пар зуб-
чатых колес, позволяющих получить до 40 передаточных отно-
шений с приблизительно равными интервалами в пределах от
1 до 150.
Каждый из умножающих блоков
представляет собой линейный потенцио-
метр, на вход которого подается напря-
жение ивх, пропорциональное одному
сомножителю.
В данном случае этим сомножите-
лем является текущее значение анали-
зируемой функции. Второй сомножи-
тель — значение функции синуса или
косинуса — вводится в виде перемеще-
ния щетки потенциометра. На выходе
получается напряжение ивых, пропор-
циональное произведению сомножи-
телей.
Блок-схема интегрирующего блока
Тахогенератор 1, вращаемый с переменной скоростью мото-
ром 2, вырабатывает напряжение, пропорциональное текущему
значению скорости. Это напряжение сравнивается с напряжением,
изменяющимся по закону интегрируемой функции. Разность этих
напряжений поступает через фильтр 3 в преобразователь 4 по-
стоянного тока в переменный. Преобразованное напряжение уси-
ливается, проходя последовательно через усилитель напряже-
ния 5, фильтр низких частот 6 и усилитель мощности 7. Затем
усиленное напряжение через трансформатор подается на ревер-
сивный регулируемый мотор 2, который меняет скорость вращения
в соответствии с изменением интегрируемого напряжения. Оче-
171

видно, что при этом условии число оборотов вала мотора про-
порционально интегралу вводимого в блок напряжения. Число
оборотов мотора, а следовательно, и значение интеграла указы-
вается счетчиком 8.
12.	ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
В практике часто приходится иметь дело со случайными про-
цессами. Их исследование производится методами математической
статистики. Эта область математики, оперирующая с совокуп-
ностями случайных величин и случайных функций, описывающих
случайные процессы, находит приложение ко многим практиче-
ским вопросам.
Основными характеристиками случайных функций являются
среднее значение, среднее квадратичное отклонение, корреляцион-
ная и автокорреляционная функции.
Среднее значение случайной функции / (/), обозначаемое обычно
через а или /, определяется следующим выражением:
т
=	(60)
Моменты t = 0 и t = Т — соответственно моменты начала и
конца наблюдения случайного процесса.
Для вычислений среднего значения случайной функции (при
стационарном случайном процессе) специальных вычислительных
приборов не разрабатывают, так как для этого могут быть исполь-
зованы обычные интегрирующие приборы, описанные в гл. II.
Если функция f (t) задана в виде графика, то значение входящего
в выражение (60) интеграла, может быть вычислено, например,
с помощью любого интегриметра; если функция f (t) представлена
в виде изменяющегося во времени электрического напряжения, то
для вычисления ее среднего значения может быть использован ин-
тегратор типа «Инстрон». В обоих случаях для получения значе-
ния f нужно результат интегрирования поделить еще на Т\ эта
операция может быть просто выполнена с помощью логарифми-
ческой линейки или арифмометра.
Среднее квадратичное отклонение случайной функции f (t),
обозначаемое обычно через ст, для стационарных случайных про-
цессов приближенно определяется следующим выражением:
’=У т/[ио-Л’<«.	(во
172

которое может быть преобразовано к виду
или
о
[f2(t)dt-~ff{t)]dt
(62)
f2(t)dt — Tf2
(63)
Для вычисления среднего квадратичного отклонения случай-
ной функции специальных вычислительных приборов также не
разрабатывают, так как для этого могут быть использованы функ-
циональные (квадратичные) интеграторых. Если функция f (/)
задана в виде графика, то значение входящих в выражение (61)
интегралов может быть вычислено с помощью линейно-квадратич-
ного интегриметра ИЛК-1 (см. рис. 51). Этот прибор удобен тем,
что позволяет вычислять одновременно интегралы, входящие в вы-
ражение (61) и (63). Так же, как и при вычислении величины f,
прибор не дает непосредственно величины ст, для получения ко-
торой нужно произвести деление, вычитание и извлечение корня,
однако прибор сокращает основную долю вычислительных работ,
связанных с определением о численными методами.
13.	виды корреляционных ФУНКЦИЙ
Корреляционные функции являются количественными харак-
теристиками взаимной связи значений случайных функций, от-
деленных друг от друга интервалом независимой переменной t,
равным т.
Различают автокорреляционную и взаимно корреляционную
функции. Первая характеризует взаимную связь значений одной
и той же случайной функции, а вторая—двух разных случай-
ных функций.
В наиболее общем виде корреляционная связь выражается
в относительных единицах так называемыми нормированными кор-
реляционными функциями Rofifi (т) п Ro (т), имеющими следую-
щий вид:
для взаимной корреляции
т
44
- "V—¥ — - - -г .........=Т..	; (64)
У 4 j (л (а - /тdt У 4-1fа ('+т) ~ а л
1 Среднее значение функции и среднее квадратичное отклонение вычисляются
так же попутно, как промежуточные данные н некоторых образцах корреляторов.
L73

для автокорреляции
т
y-J Ш')-л [/('+*)-fl
7? fa) =	------т--------------•	(65)
4-j lf(n~~n2dt
Выражение (65) получается из выражения (64) подстановкой
h (0 = fi (0 = f fa)-	(66)
Обратим внимание на то, что знаменатели в выражениях (64)
и (65) представляют собой в первом случае произведение среднего
квадратичного отклонения двух случайных функций, а во вто-
ром — квадрат среднего квадратичного отклонения или дисперсию
одной случайной функции. При рассмотрении стационарных слу-
чайных процессов средние квадратичные отклонения на любом
интервале независимого переменного должны быть одинаковыми,
поэтому знаменатели в рассматриваемых формулах являются по-
стоянными для каждой пары случайных функций при определении
взаимной корреляционной функции и для каждой случайной функ-
ции при определении автокорреляционной функции.
Это обстоятельство дает возможность во многих практических
случаях (когда интересуют не абсолютные значения корреляцион-
ных функций, а только их характер) ограничиться вычислением
только числителей выражений (64) и (65) Rofif2 fa) и Ro fa), ко-
торые будем обозначать в отличие от нормированных функций
без штрихов:
т
ROftft fa) = 4 J 1<0 - fal tfa v + T) - fal di> (67)
0
T
Ro fa) = 4- j fa (0 - л fa fa + *) - fl dt-	(68)
0
Очевидно, что функции Rofifa и Ro отличаются от соответ-
ствующих нормированных функций ~Rof f и ~Ro постоянным для
данного процесса множителем:
(т) = fa);
/?ofa) = ^ofa).
Раскрывая далее скобки в выражениях (67) и (68), можно по-
казать, что функции Rofifa fa) и Ro fa) представляют собой
174

суммы, имеющие постоянные для данного процесса слагаемые:
т
/?0fj2(T) = 4-jA(0f2(^ + T)^-
0
т	т
о	о
(69)
Заметим, что для стационарных случайных процессов среднее
значение случайной функции не зависит от сдвига т, следовательно,
все три последние слагаемые в выражении (69) равны между со-
бой; учитывая знаки, имеем
т
ROlili (т) = -Jr I 1 (0 h (i + *)dt- fxf2 (t + t)J dt =
0
T
и по аналогии
т
о
Для большинства практических случаев постоянные состав-
ляющие корреляционных функций также не представляют ин-
тереса, поэтому обычно оперируют выражениями
т
= h(t)f2(t + z)dt,	(70)
о
т
/?(T) = 4-Jf(0.f(/+T)d/,	(71)
о
которые в отличие от нормированных называют просто взаимно
корреляционной и автокорреляционной функциями. Очевидно, что
ЯоМг (Т) = 7?/.Ь (Т)“Ж
/?0(т) = /?(т)-Г\
Для тех же случаев, когда величина постоянной составляющей
корреляционной функции является несущественной, можно вос-
175

пользоваться для вычисления следующими выражениями:
$.1. w=4=- J (Л (о ± ь +Ч1!
О
Г(т)=1!г|1/(/)±ы+т)11<и.	(73)
Эти выражения удобнее для вычислений тогда, когда применяе-
мые средства осуществляют операцию сложения функций проще,
чем операцию их перемножения.
Чтобы установить связь между функциями (т), R (т) и
(т)> Я* (т)> преобразуем выражения (72) и (73):
т
(т) =
\fl(t)dt± 2|Л(/)/2(/ + т)Л +
0	о
т
+ | /г (t + т) dt
о
Учитывая выражения (63) и (70), получим
Rfif2 (Т) = ± Rfifl (т) + ~2~ (°i + °1 + f1 + fl)-
По аналогии
/?*(т)=±/?(т) + (<г2+Г).
В ряде случаев исследуемые функции задаются не непрерывно,
а рядом 1,2.....1ъ . . ., «j своих значений, следующих обычно
через равные интервалы Д/ независимого переменного, так что
Сдвиги т для удобства выбирают кратными &t, и они образуют
ряд 1,2,.. ., i2, . . ., /г2 значений:
tg = i2 (ДО.
При таком задании функций в выражениях для корреляцион-
ных функций интегралы заменяются суммами. Наиболее часто
используемые выражения (70) и (71) корреляционных функций
принимают вид
, rh—i2
RfiM -	S Л(й)/2(й + /2);
R W = Я М = -уг^гП>^ f t (ч + ч).
"1	*2	1
176

Представляет интерес выражение нормированной корреляцион-
ной функциикне через интегралы, содержащие сами функции (t)
и f2 (t), а через вероятность совпадения знаков у этих функций.
Можно показать, что если случайные функции подчинены нормаль-
ному закону распределения, то вероятность W++ (т) совпадения,
например, положительных знаков у функций f (t) и /2 (^ + т)>
связана со значением (т) нормированной корреляционной
функции выражениями
W(+fl) (+м (т) = f1 + V arcsin (т)] ;
^++ (т) = 4- [ 1 + 4- arcsin /?(т)] .
При иных сочетаниях знаков следует учесть, что
W++ = W__=±- W+_ = 4 ^-+-
В заключение отметим, что на практике используют корреля-
ционные функции не только от случайных, но и от определенных,
в частности синусоидальных, функций. Это оказывается полезным
при решении задачи отделения случайных и неслучайных функций,
смешанных вместе.
Корреляционная функция от периодической функции также
периодична и имеет ту же частоту. Действительно, если
f (0 = a sin (wt 4- ф),
то корреляционная функция
R (т) = cos (on).
Если периодическая функция f (t) смешана с некоторой слу-
чайной функцией fx (/), то корреляционная функция от суммы
[f (/) + Д (/)] будет такой же суммой [/? (т) + (т) ], причем
с увеличением (т) будет стремиться к нулю, в то время как
R (т) будет периодической функцией, имеющей частоту заданной
функции f (/). Таким образом, через некоторый интервал времени
общая корреляционная функция будет характеризовать лишь
периодическую составляющую f (/) заданной смешанной функ-
ции I/ (/) + причем гармоники корреляционной функции
будут определять искомые гармоники периодической! составляю-
щей периодической функции.
Вычислительные приборы, предназначенные для определения
значений автокорреляционных и взаимно корреляционных функ-
ций, называют корреляторами. Иногда корреляторы разделяют
на коррелометры п коррелографы, понимая под первыми приборы,
только указывающие вычисленные значения корреляционных
функций, а под вторыми регистрирующие эти функции в виде
графиков.
12 В. В. B.icm.'iuou	177

14. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ, РЕШАЕМЫХ С ПОМОЩЬЮ
КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
Одной из типовых задач корреляционного анализа является выделение пе-
риодической функции, смешанной с некоторой случайной функцией. Такая за-
дача возникает как при исследовательских работах, так и непосредственно в про-
изводстве.
При исследовательских работах скрытые периодичности приходится выяв-
лять, например, при изучении физики моря, метеорологических явлений, в меди-
цине и многих других случаях.
Одной нз областей, в которой приходится часто выявлять скрытые перио-
дичности, является радиосвязь. Как известно, радиосигналы представляют собой
сумму периодических колебаний, на которые накладываются различные случай-
ные помехи. Часто амплитуда (уровень) этих помех соизмерима или превосходит
амплитуду периодических колебаний полезного сигнала, что вызывает искажения
радиопередач. Пропуская полезный сигнал с помехами через коррелятор, полу-
чают на его выходе корреляционную функцию в виде сигнала, имеющего те же
периодические составляющие, что н входной сигнал, но свободный от помех.
Выявление скрытых периодичностей оказывается необходимым также и
в производстве. Например, перед изготовлением тканн пряжа проходит предва-
рительную проверку по толщине, при этом должны быть выявлены ее так назы-
ваемая неровнота и наличие периодических отклонений в толщине пряжи. Эти
периодические отклонения вредно отражаются на качестве ткани, создавая в ней
видимый рисунок — рябь. До использования корреляторов периодические
отклонения обнаруживались лишь качественно по наличию ряби в намотанной на
специальной доске пряже. Однако такой способ контроля субъективен и отнимает
много времени.
Если рассматривать изменение толщины пряжи по ее длине как случайную
функцию и иайти для нее корреляционную функцию, то можно определить коли-
чественную меру периодических отклонений в толщине.
Корреляционный анализ используется прн исследовании статически стацио-
нарных колебаний, возникающих при передаче или воспроизведении сигналов
со случайными помехами. Необходимость в таких исследованиях часто возникает
при проектировании линий связи, следящих систем и устройств автоматического
управления.
Так, например, корреляционная функция входного сигнала, включающего
в себя и полезный сигнал и помехи, является одним из исходных данных для
проектирования следящей системы или системы автоматического управления,
если к ним предъявлены определенные требования в отношении точности воспро-
изведения полезного сигнала.
Известны случаи использования корреляционного анализа при исследовании
турбулентности газовых сред, турбулентности атмосферы и ее влияния на совре-
менные скоростные самолеты, при пеленговании, в метеорологии при составлении
синоптических карт, при определении качества воспроизведения звуков в закры-
тых помещениях, при исследовании сейсмограмм, спектров импульсов, получен-
ных на индикаторах в процессе атомного распада, при анализе биотоков, при
гидравлических водохозяйственных расчетах и во многих других случаях.
Вычисление корреляционных функций требует трудоемких расчетов. Напри-
мер, при вычислении 50 значений автокорреляционной функции для 500 точек
случайной функции необходимо сделать около 25 000 арифметических операций,
что занимает около 10 рабочих дней при работе на клавишных машинах.
15. КОРРЕЛЯТОРЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ГРАФИЧЕСКИ
В настоящее время в литературе описано большое количество
различных корреляторов.
Основным классификационным признаком известных корре-
ляторов может служить вид исходных данных, для которых при-
178

способлено вводное устройство прибора. Среди описанных в ли-
тературе имеются образцы для следующих видов задания функций:
запись в виде графика на бумажной ленте, профилированная
жесткая лента, один из краев которой вырезан по закону иссле-
дуемой функции, граница прозрачного и непрозрачного полей
кинопленки, перфорированная лента, непрерывная запись на ма-
гнитных лентах с различными
способами модуляции (частот-
ная, амплитудная, импульсная)
и изменяющееся во времени
электрическое напряжение. По-
следние целесообразно, в свою
очередь, классифицировать по
диапазонам частот входного
сигнала. Имеются корреляторы
[6] для анализа сигналов,
содержащих звуковые частоты
(до 20-103 гц), микроволновые
частоты (1—2 Мгц) и ультравы-
сокие частоты (несколько тысяч
Рис. 103. Схема вводного блока кор-
релятора «Amsler»
мегагерц).
В корреляторе, разработанном фирмой «Amsler», исследуются
функции, зарегистрированные в виде графиков на широкой ленте;
результаты фиксируются на счетчиках. Процесс вычисления кор-
реляционных функций полностью автоматизирован. Благодаря
переменному масштабу преобразования графически заданных
функций в электрическое на-
пряжение оказывается воз-
можным исследовать с доста-
точной точностью графики с
незначительными амплиту-
дами.
Схема вводного блока кор-
релятора показананарис. 103.
Световой поток от источ-
ника света/ через оптическую
систему 2 направляется на
световое пятно 3. Отражен-

t
•3
t
А
Рис. 104. Схема вычислительного устрой-
ства коррелятора «Amsler»
график, на котором появляется
ный свет попадает через объектив 4 и диафрагму на фото-
элемент 5. Размеры диафрагм таковы, что на фотоэлемент попадает
поток лишь от части (диаметром 0,15 мм) светового пятна. Ток
в цепи фотоэлемента через усилитель 6 управляет серводвигате-
лем 7, перемещающим через привод (представленный шпинде-
лем 8) всю следящую головку. Слежение головки за графиком осу-
ществляется в результате того, что сервомотор вращается в одном
направлении тогда, когда световое пятно попадает на белую по-
верхность бумаги, и в противоположном направлении, когда оно
попадает на черную линию графика. Таким образом, головка сле-
12*
179

дит за одним краем проведенной кривой, которая должна иметь
толщину не менее нескольких десятых долей миллиметра. Линии
должны быть проведены тушью или достаточно темными регистра-
Рис. 105. Интегрирующий блок коррелятора «Amsler»
ционными чернилами. В отдельных случаях можно исследовать
графики, нанесенные фотографическим путем.
В блок-схему вычислительного устройства, показанную на
рис. 104, входят два последовательно соединенных интегрирую-
Рис. 106. Коррелятор «Amsler»
щих механизма 1 и 2; первый выполняет преобразование вели-
чины (0, заданной перемещением одной из следящих головок 3,
в скорость вращения, передаваемую на вход независимого пере-
180

менного второго интегрирующего механизма. На другой его вход
передается перемещение от второй следящей головки 4. На выходе,
таким образом, образуется интеграл произведения двух считы-
ваемых функций.
Внешний вид интегрирующего блока показан на рис. 105. Все
механизмы защищены от пыли легко снимаемой крышкой из плекси-
гласа, сквозь которую можно наблюдать за их работой. На перед-
ней стенке интегрирующего блока расположены все счетчики. Два
средних больших счетчика служат для фиксации результата вы-
числения. Их можно первоначально установить на ноль или лю-
бое положительное число, так чтобы все значения корреляцион-
ной функции оказывались положительными. Малые счетчики (по
два по краям) служат для установки исходных значений на инте-
грирующих механизмах и вводном блоке.
Общий вид прибора показан на рис. 106. Перед интегрирующим
блоком расположен вводной блок прибора с двумя наклонными
следящими головками. Левая головка работает всегда на одной
ординате графика, причем ход головки перекрывает ширину двух
лент с нанесенными исследуемыми кривыми. Правая головка
может быть смещена оператором относительно левой на выбран-
ную величину т. Ход правой каретки перекрывает только перед-
нюю ленту. Наклонное положение головок позволяет устанавли-
вать значения т = 0.
В передней части прибора видна панель управления прибором.
Для ввода независимой переменной в первый интегрирующий
механизм используется коллекторный электродвигатель. Кроме
вращения диска первого интегратора этот двигатель вращает при-
вод механизма перемотки ленты с нанесенными исследуемыми
графиками. Привод может переключаться на разное направление
движения и разные скорости лент, движение которых регулируется
независимо друг от друга. Ленты могут также перемещаться вруч-
ную при помощи съемной рукоятки.
Автоматическое управление вычислительным процессом осу-
ществляется релейным блоком, с помощью которого ограничи-
ваются, в заданном диапазоне, движения следящих головок и эле-
ментов интегрирующих механизмов. Кроме того, релейный блок
осуществляет автоматическую остановку процесса вычисления в за-
данной точке графика, отмеченной специальной пробивкой бумаги.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Аветисов Л. П. и Михайленко Г. Н. Прибор для статистического анализа
динамических процессов.— «Приборы и системы управления», 1969, №6.
2.	Алиев Т. А. Дискретный вычислительный прибор для статистического
и частотного анализов графических данных процессов.— «Приборы и системы
управления», 1969, № 8.
3.	Алиев Т. А. Вычислительный прибор для определения линии регрессии
по графическим данным.— «Приборы и системы управления», 1971, № 3, с. 54.
4.	Бруевич Н. Г., Доступов В. Т. Основы теории счетно-решающих устройств.
М., «Сов. радио», 1964, 476 с.
5.	Бушуев Л. Я. Зависимость среднеквадратичной погрешности квантова-
ния от числа отсчетов.— «Приборы и системы управления», 1970, № 8, с. 32.
6.	Васманов В. В. Вычислительные математические приборы. М., Машгиз,
1958, 206 с.
7.	Вигдоров Д. И. и Сухолуцкий Б. М. Автоматический цифровой преобразо-
ватель замкнутых графиков.—«Приборы и системы управления», 1968, № 2, с. 49.
8.	Виллере Ф. А. Математические инструменты. М., Изд-во иностр, лит.,
1949, 298 с.
9.	Дворкин А. С. и Фитерман М. Я. Интегрирующий электропневмопреоб-
разователь.— «Приборы и системы управления», 1970, № 12, с. 45—46.
10.	Карпов Ю. К. Цифровые чертежные автоматы.— «Приборы и системы
управления», 1971, № 6, с. 34.
11.	Карпов Ю. К. и Хамудханов М. 3. Автоматический координатограф.—
«Приборы и системы управления», 1971, № 8, с. 47.
12.	Кобринский Н. Е. Математические машины непрерывного действия. М.,
ГИТТЛ, 1954, 457 с.
13.	Лившиц Д. И. Приборы для графического дифференцирования (дерива-
тор).— «Приборы и системы управления», 1971, № 3, с. 55.
14.	Лучин С. Ф. и Резлер Р. Я. Интегрирование медленно изменяющихся
электрических сигналов.— «Приборы и системы управления», 1969, № 2, с. 23.
15,	Мейер-цур-Каппелен. Математические инструменты (перевод). М., Изд-во
иностр, лит., 1950, 314 с.
16.	Мейер-цур-Каппелеи. Инструментальная математика для инженеров
(перевод).- М., Физматгиз, 1959, 379 с.
17.	Никитин А. В. Прибор для построения корневых годографов систем
регулирования.— «Приборы и системы управления», 1969, № 5, с. 8—10.
18.	Омелин В. М., Охотин С. Н. и др. Универсальное устройство ввода
в ЭЦВМ графической информации.— «Приборы и системы управления», 1971,
№ 2, с. 6.
19.	Серебренников М. Г. Гармонический анализ. М., Гостехиздат, 1948,
382 с.
20.	Харькевич А. А. Спектры и анализ. М., ГИТТЛ, 1953, 115 с.
21.	Царьков В. А., Павленко В. А. и др. Аналоговое вычислительное устрой-
ство для системы регулирования расхода.— «Приборы и системы управления»,
1970, № 1, с. 41—45.
22.	Штыкан А. Б. О некоторых средствах математической обработки графи-
чески заданных величин. Сб. «Тезисы докладов и сообщений по научно-техниче-
ской конференции по механизации и автоматизации инженерно-технического и
управленческого труда». Киев, 1964, с. 185—194.
23.	Штыкан А. Б. Новые механические аналоговые приборы.— В кн.:
Приборы и средства механизации. М., ОНТИприбор, 1965, вып. 13, с. 3—23.
24.	Штыкан А. Б. Новые механические аналоговые приборы.— В кн.: При-
боры и средства автоматизации. М., ОНТИПрибор, вып. 13, 1965, с. 3—23.
25.	Штыкан А. Б. Новые средства математической обработки графической
информации.— В кн.: Новые средства оргтехники для повышения эффективности
труда инженерно-технических работников. Иркутск, НТО, 1971, с. 16—21.
26.	Штыкаи А. Б. Дериватор-треугольник и некоторые его применения.—
«Техн.-экон, бюллетень Иркутского СНХ», I960, № 4, 5, с. 66—70.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................................... 3
Глава I. Приборы для измерения, трансформации и вычерчивания
плоских кривых . . . ............................................... 6
1.	Пантографы........................................... 6
2.	Координатографы..................................... 11
3.	Приборы' для полуавтоматической регистрации, коорди-
нат на перфоносителе..................................  17
I. Управляемые координатографы ........................ 22
5.	Аффинографы ......................................  .33
6.	Параболографы ...................................... 34
7.	Эллипсографы ....................................... 36
8.	Курвиметры ..................................	.	37
Глава II. Вычислительные приборы для дифференцирования и инте-
грирования ...................................................     39
1.	Общие сведения...................................
2.	Задачи, решаемые интегрирующими приборами . . .
3.	Задачи, решаемые дифференцирующими приборами . . .
4.	Дифференцирующие приборы . .....................
5.	Интегрирующие механизмы..........
6.	Интегриметры ...................................
7.	Интеграфы . . . '...............................
8.	Функциональные интегрирующие приборы ......
9.	Общие замечания по приборам, для вычисления площа-
дей и моментов плоских фигур..................... . .
10.	Линейные планиметры обычной точности.............
11.	Полярные планиметры обычной точности.............
12.	Линейные планиметры высокой точности.............
13,	Полярные планиметры высокой точности.............
14.	Моментные планиметры.............................
15.	Автоматические планиметры........................
16.	Комбинированные интегрирующие приборы ...........
17.	Обработка диаграмм самопишущих приборов..........
Глава III. Вычислительные приборы для частотного н корреля-
ционного анализа
1,	Понятие о частотном представлении функций ....
2.	Анализ периодических функций . . ...............
3.	Синтез периодических функций ...................
4.	Анализ непериодических функций..................
б.	Синтез непериодических функций .................
6.	Примеры задач, решаемых вычислительными прибо-
рами для частотного анализа и синтеза .......
7.	Гармонические анализаторы типа «Мадер» .........
8.	Гармонические анализаторы типа «Генричи» . . . . ,
9.	Гармонический анализатор ГА-2...............  •
39
43
55
56
63
67
70
79
81
82
85
90
92
94
102
104
НО
119
119
122
125
126
127
129
135
142
144
183

10.	Точность гармонического анализа при использовании
гармонических анализаторов ............................ 153
II.	Приборы для преобразования Фурье................... 168
12.	Основные характеристики случайных функций ...	172
13.	Виды корреляционных функций........................ 173
14.	Примеры задач, решаемых с помощью корреляционного
анализа ............................................... 178
15.	Корреляторы для функций, заданных графически . . .	178
Список литературы..............................................   182
Владимир Вениаминович Басманов
ПРИБОРЫ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
И ПОСТРОЕНИЯ КРИВЫХ
Редактор издательства инж. Т. В. Абизова
Технические редакторы Н. И. Кудряшова и А. И. Захарова
Корректор Ж. Л. Суходолова. Переплет художника Е. В. Бекетова
Сдано в набор 15/VIII 1972 г. Подписано к печати 24/IV 1973 г. Т-07720
Формат бОХЭОг/ц). Бумага № 2. Печ. л. 11,5. Уч.-изд. л. 11,8
Тираж 6000 экз. Заказ 2097. Цена 70 коп.
Издательство «Машиностроение». Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3
Ленинградская типография № 6 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
193144, Ленинград, ул. Моисеенко, 10

ПРИБОРЫ ДЛЯ ОБРАБОТКИ И ПОСТРОЕНИЯ КРИВЫХ