/
Author: Фрай Х.
Tags: радиотехника електротехника инженерство електроника радиоелектроника
Year: 1981
Text
ХОРСТ ФРАИ
LLLL:^-til iL‘ LTLiCri С'Ла
' . I I 1; -> ’ I , T : , I
4-*vLkI LiV i—i lll_ i—
tAlWlku
ТЕХНИКА
ХОРСТ ФРАЙ
ВЪВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЯТА
НА КРЪГОВИТЕ ДИАГРАММ
Превел от немски език инж. Никола Г. Пеннее
От библиотеката на |LZ4SL|
www.kn34pc.com, 26 март 2007 година
ДЪРЖАВНО ИЗДАТЕЛСТВО .ТЕХНИКА-
СОФИЯ • 1981
УДК 621.396
В книгата в достъпна за широк кръг читатели форма е даден
методът за построяване на кръговите диаграми, при който чрез
опростени графични изображения се дава възможност за нагледно
представяне на променливите електрически величини. Основните
правила за построяване на кръговите диаграми са разяснени с
много примери, конто позволяват на читателя да вникне във
физическата същност на изследваните явления.
Книгата е предназначена за начинаещи и напреднали радио-
любители, а така също и за специалисти-техници, интересуващи
се от тези въпроси.
Horst Frey
Einfuhrung in die Ortskurventheorie
Militarverlag der Deutschen Demokratischen
Republik', Berlin, 1974
(g) MilitSrverlag der Deutschen Demokratischen
Republik (VEB) — Berlin, 1974
(g) Никола Георгиев Пенчев
превод от немски език, 1982
621.3
ПРЕДГОВОР
С кръговите диаграмм се изобразяват графично зависимостите
на едни комплексни величини (проводимости, напрежения, токове
и т. н.) от други (честота или стойност на някой елемент от
схемата).
Най-голямото предимство на кръговите диаграми е нагледното
представяне на изменението на модула и фазата на електрически-
те величини. Характерът на това изменение може да се установи
само с един поглед. По този начин не са необходими отделни
амплитудни и фазови характеристики.
Тази книга има за цел да представи в достъпна форма за
широк кръг читатели графичното построяване на кръговите
диаграми. Тя ще бъде полезна както за начинаещите радиолюби-
тели, така и за интересуващите се от тези въпроси специали-
сти-техници. Получените теоретични знания ще помогнат на чита-
телите да се справят с възникналите в радиолюбителската практика
проблеми. Основните правила за построяването на диаграмите са
разяснени с многобройни числени примери. Тези, конто ще пови-
шават своята квалификация във висши учебни заведения, след
запознаването с материала ще получат основа, която ще им по-
могне при изучаването на отделни дисциплини.
Начинът на изложението е избран така, че читателят да вник-
не във физическата същност на явленията и същевременно да
може самостоятелно да поставя и решава проблеми. Всички кри-
тични бележки на читателите ще се приемат с благодарност от
автора.
Ерфурт, юни 1977 Хорст Фрай
3
1. КАКВО ПРЕДСТАВЛЯВАТ ВЕКТОРНИТЕ ДИАГРАМИ?
Някои променливотокови електрически величини, като напре-
жение, ток, съпротивление и т. н., могат да се представят като
вектори. По този начин последователното свързване на бобина и
резистор в комплексната равнина съответствува на вектор с оп-
Чндуктибно
д
I сьпротишкие
+• Реална
Активно
-съпротибление
Фиг. 1.2. Диаграма на привидното
съпротивление на тунелния диод
GE 115 (/=0,6 mA)
ыИмагинернаос
Фиг. 1.1. Векторна диаграма на после-
дователи© свързани резистор и бобина
ределена дължина и определен ъгъл спрямо реалната ос (фиг. 1.1)
Този начин на изобразяване се прилага в случайте, когато всички
вектори от дадена векторна диаграма изразяват синусоидални
величини с една и съща честота. Само в такъв случай взаимно-
го разположение на векторите остава неизменно.
Какво става обаче при изменяща се честота? Заедно с често-
тата се променя и съпротивлението на бобината, следователно и
общото съпротивление. Върхът на вектора в зависимост от че-
стотата описва определена крива — диаграмата на съответната
величина. Чрез тази диаграма, описана от вектора, който съот-
ветствува на дадената електрическа величина, се вижда едновре-
менната промяна на фазата и на модула на тази величина.
На фиг. 1.2 е показана диаграмата на импеданса на тунелния
диод GE115 в обхвата от 0 Hz до 2000 MHz. Виждат се пре-
димствата, конто ни дава методът на векторните диаграми.
5
При построяването на диаграмите е необходимо да се позна-
ват основните понятия и закономерности, конто ги обосновават.
По-нататък те са изложени със системна последователност.
Най-напред обаче е целесъобразно да се припомнят някой поло-
жения от комплексното смятане, което лежи в основата на изоб-
разяването с векторни диаграми.
6
2. ИЗОБРАЗЯВАНЕ НА ПРОМЕНЛИВИ ВЕЛИЧИНИ
Под променливи величини се разбират всички електрически
величини, конто се променят с времето не само по модул, но и
по фаза. Те могат да бъдат напрежение, ток, сила на поле, маг-
нитен поток и т. н. Ако величината се променя във времето по
синусоидален закон, налице е хармонична променлива величина.
Синусоидалното напрежение може да се представи математически
така:
H = amsin(o)Z+%), (2.1)
където
и е моментната стойност;
ит — амплитудата;
со — кръговата честота;
ср0— началната фаза.
Синусоидалните величини могат да се представят нагледно
чрез графики в декартова координатна система или чрез вектор-
ни диаграми.
2.1. ГРАФИЧНО ПРЕДСТАВЯНЕ
Графиката на синусоидално напрежение, дадено с (2.1), е
изобразена на фиг. 2.1. Вижда се изменението на напрежението
в зависимост от вре-
мето. Този начин на
изобразяване обаче
съдържа излишни
подробности.
2.2. ВЕКТОРНО
ПРЕДСТАВЯНЕ
Векторната диа-
грама или векторно-
то изобразяване е
7
твърде удобно за нагледно представяне на променливи величини
както по отношение на тяхната амплитуда, така и по отноше-
ние на тяхната фаза (фиг. 2.2).
Амплитудата се дава с дължината на вектора, а фазата с
ъгъла, койтс сключва с абсцисната ос.
Трябва обаче да се отбележи, че век-
' торната диаграма се отнася за синусо-
идални величини, които се променят
с една и съща честота, т. е. съответ-
Uj ствуващите им вектори се въртят с
—- — една и съща ъглова скорост. На фиг.
2.3 е дадена зависимостта, която съ-
Фиг. 2.2. Векторна диаграма ществува между графиката и движе-
прежТния30В° изместени на’ щия се вектор-образ на променливата
величина. Вижда се начинът, по който
Фиг. 2.3. Връзка между:
а — вектор-образ и Ь — графика на синусоидална функция
Фиг. 2.4. Примери на графики и векторни диаграми:
а — фазово изместени напрежения с еднаква амплитуда, b— токове с
еднаква фаза и различна амплитуда
се построява графично синусоидалното трептение в зависимосг
от различимте положения на вектор-образа.
На фиг. 2.4 са показами два примера на графики и вехторни
диаграмм.
2.3. СИМВОЛИЧЕН ИЛИ КОМПЛЕКСЕН .МЕТОД
От простото изобразяване на променливи величину посред-
ством вектори лесно може да се премине към символичен или
комплексен метод. На всеки вектор съответствува даденэ ком-
плексно число, което се изобразява в комплексна (Гаусова) коор-
динатна равнина. Еднозначното и обратимо съответствие, което
съществува между вектора и комплексного число, позволява вър-
тящият се вектор да се изобрази посредством комплексно число.
За по-добро изясняване на разглежданите проблеми ще се при-
помнят някои основни понятия и действия с комплексна числа.
Комплексного число
Z=a+ jb
се изобразява в Гаусовата или комплексната координатна равни-
на съгласно фиг. 2.5. То се състои от реална част а и имагинер-
на част Ь. Комплексного число
Z следователно представлява
вектор с определена дължина
и определен ъгъл спрямо реал-
ната ос.
Дължината на вектора от-
говаря на модула на комплек-
сного число и се намира от
образувания правоъгълен три-
ъгълник съгласно формулата
!Zj = v/a2+d2 • (2.2)
Ъгълът между вектора и
реалната ос се определи от
tg<P= Ьа , (2-3)
Фиг. 2.5 Изобразяване на комплексно
число в Гаусовата равнина
където ъгълът ср представлява аргументът на комплексного число.
По този начин векторът се определи точно със своята абсо-
лютна стойност \Z\ (дължината) и с ъгъла (фазата).
9
2.3.1. Три основ ни форми на комплексного число
Комплексного число може да се представи в три основни
форми:
— обикновена (алгебрична) форма
Z=a+jb\ (2.4)
—тригонометрична форма
Z=|Z|cos?4- j|Z| sin?; (2.5)
—експоненциална форма
Z=\Z\e*. (2.6)
Преобразуването от обикновена форма в тригонометрична се
извършва съгласно съотношенията, конто лесно могат да се из-
ведат от фиг. 2.5:
cos?= W и sin?=Tzr <2-7)
След преобразуване на равенство 2.7 се получава
а = Z\ cos ? и b = IZ| sin ?.
Ако получените изрази се заместят в уравнение (2.4), то придо-
бива вида
Z=a+jb,
Z=\Z cos ? + j\Z\ sin?,
Z = Z\ (cos ? 4- j sin ?), (2.8)
който представлява тригонометричната форма на комплексного
число.
Като се вземе пред вид зависимостта, установена от Ойлер:
-~cosx4~ /sinx
се получава експоненциалната форма на комплексного число
Z— Z| (cos? 4- у sin?),
Z=,Z(^.
2.3.2. Конюгирано комплексно число
Две комплексни числа са взаимно конюгирани (с означения
Z и Z::), когато се отличават само чрез знака пред имагинерната
част. Така например
Zx = a—jb
10
е конюгирано комплексно число на
Z=a + jb.
Според равенство (2.2) модулите на двете числа са еднакви:
|z|=|z*|=V«2+62“-
Различават се само подвата аргу-
мента
х ь X ь
tg?= V ; ts_^ = —<Г '
Това значи, че конюгираното ком-
плексно число Z* е симетрично
на числото Z спрямо реалната
ос (фиг. 2.6).
2.3.3. Изобразяване
на комплексни съпротнвления
Фиг. 2.6. Конюгираното комплексно
число Z* представлява огледален
образ на комплексного число Z
Поради непосредствената за-
висимост между вектор и ком-
плексно число споменатите в раз-
дел 2.3.1 основни форми могат
да се приложат и за електрическите величини, като напрежение,
ток, съпротивление и т. н.
Практически синусоидалната величина се представя чрез ком-
плексно число и по този начин в познатите закони на електри-
ческите вериги за постоянен ток участвуват вместо реални ком-
плексни величини. Комплексного смятане опростява изчислението
на променливотоковите вериги, тъй като действията с комплекс-
ните числа са същите, както и с реал ните числа [11. Напрежението
и токът се представят като комплексни числа, както следва:
ii=um.eHat+v“\
(2.9)
Особен интерес представлява изобразяването на комплексните
съпротивления. Комплексного съпротивление се дефинира като
отношение на комплексната стойност на напрежението към ком-
плексната стойност на тока:
__U_ -jvz
~ 1 'е
(2.10)
II
Тази величина не зависи от времето и се означава в литература*
та също така като оператор за съпротивление. Той може да се
изрази, както е показано в раздел 2.3.1, или в тригонометрична
форма
Z= Z cos?z4-/|Z| sincpz, (2.11)
или в обща форма 1
Z=R+jX. (2.12)
Модулът на комплексного съпротивление се получава анало-
гично на равенство 2.2:
(2.13)
а фазовият ъгъл между тока и напрежението е
±?z=arctg-*~- (2.14)
За трите пасивни двуполюсника комплексните оператора за
съпротивление са, както следва:
активно съпротивление
ZR=ReJ^R-,
индуктивно съпротивление
ZL = ^Le^ = j\»L = jXL;
капацитивно съпротивление
Фиг. 2.7. Изобразяване на ком-
плексни съпротивления в Гау-
совата равнина
(2.15)
(2.16)
1 J—90° 1
=^гг=-Мс. (2.17)
На фиг. 2.7 операторите са изобра-
зени като комплексни числа с модули
Zr\=R,
ZL —
\Z — -
и с фазови ъгли, наречени също та-
ка ъгли на завъртане.
По същия начин се разглеждат
проводимостите или операторите на
проводимостта. Те представляват ре-
ципрочните стойкости на съпротивле-
нията.
За активната проводимост се получава
G ~ 1 = — eJ0 *
°* ZR R '
(2.18)
12
за индуктивната проводимост
/• 1 _ 1 >-90° _ ,о
iL~^Le - jB
и за капацитивната проводимост
Gc = = j^CejW = jB. (2.2 0)
Zc
Модулите тогава са:
I= ~<oL ’
jGc|=wC.
На фиг. 2.8 са показани проводи-
мостите в Гаусовата равнина за изо-
бразяване на комплексы ите числа.
Комплексната проводимост се със-
тои, както и комплексното съпроти-
вление от реална и имагинерна част;
Фиг. 2.8. Изобразяване на ком-
плексни проводимости в Гаусо-
вата равнина
(2.21)
(2.22)
G=G±/B
или
G-IGI.e^c,
13
3. ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ ОТ ТЕОРИЯТА НА КРЪГОВИТЕ
ДИАГРАМИ
Преди да се пристъпи към графични построения на кръговите
диаграми,’ е необходимо да се изяснят някои основни теоретични
понятия.
3.1. ИНВЕРСИЯ
Под това понятие се разбира реципрочната стойност на една
комплексна величина. Реципрочната стойност на дадена величина
се намира чрез изчисляване по познатия аритметичен начин или
чрез графично построяване. Графичният метод се явява следствие
на извършените аритметични операции, затова най-напред инвер-
сията ще се намери чрез пресмятане.
3.1.1. Намиране инверсията на точка чрез пресмятане
Пресмятането на инверсията ще се извърши въз основа на
следния пример:
Пример 3.1
На фиг. 3.1 е дадено комплексного съпротивление
Z-R+jX= (300 + /400)2
п JX
° I ° и се ТЪРСИ комплексната проводимост G,
Решение
Фиг. 3.1. Схемата към .
пример 3 Наи-иапред се намира модулът на Z:
\z i=+х2=^эло^-мбЛо1,
Z| = <25.104 = 500 2
и фазовият ъгъл
. Ь 400 г Q ПО
tg?=^- = -300- и Т=оЗ,2.
14
Проводимостта, изразена в експоненциална
чава като реципрочна стойност на Z:
форма, се полу-
G =-U—,
|Z
прово-
вид, е
Фиг. 3.2. Представяне на получения чрез
пресмятане вектор G
с,____
500 ~
=2 .е~ГЛ2° mS.
За да се получи
димостта в обикновен
необходимо получения? израз
най-напред да се преобразува
в тригонометрична форма:
G = 2.10~3г“;53’2 S,
G =2.10-3 (cos 53,2°—
—/sin 53,2°) S,
G=2.10-3(0,6—/0,8) S,
G=(l,2.10-’—/1,6.10-3)S,
G=(l,2-/l,6)mS.
Модулът на проводимост-
та G e равен на —Г-, а фа-
зовиятъгъл е равен на — <р. Следователно в Гаусовата равнина век-
торът на G е разположен подобно на конюгираното число, огледал-
но на вектора Z. Това означава, че векторите Z и G са взаим-
но инверсии (инверсии — реципрочни).
На фиг. 3.2 двете величини са показани в Гаусовата коорди-
натна равнина.
3.1.2. Графично построяване на инверсна точка
Графичното построяване на проводимостта на дадено комплекс-
но съпротивление в Гаусовата координатна равнина се основава
на аритметичното пресмятане. Извършените пресмятания показват,
че векторът на инверсията, т. е. на проводимостта, е разположен
огледално спрямо реалната ос, тъй като аргументът е с обратен
15
знак. Фазовият ъгъл следователно се получава, като се построй
огледалният образ на вектора Z спрямо реалната ос.
Как обаче се намира дължината на вектора, т. е. модулът на
G? Както ще бъде показано, дължината на вектора G се намира
чрез инверсия посредством т. нар.
инверсна окръжност. Графичният
метод за намиране дължината на
вектора се нарича конструиране
или построяване на поляра.
Построяването на поляра е по-
казано и обяснено на фиг. 3.3.
Най-напред се начертава коню-
гираният на даденият вектор Z
комплексен вектор Z*. От върха
на вектора Z*ce прекарват две
тангенти към инверсната окръж-
ност с радиус / = 1 (единична ок-
ръжност). Двете допирни точки
се свързват с права линия. Пра-
вата се нарича поляра по от-
ношение на точката Z*.
Пресечната точка на поляра с вектора Z* е връх на търсе-
ния вектор G (фиг. 3.3).
Показаното конструиране на поляра може да се реализира
посредством инверсна окръжност с произволен радиус г0. На
практика поради различните мащаби трудно може да се построй
инверсна окръжност с радиус г=1. Конструкцията на поляра се
основава на установената от Евклид теорема на катетите. Като
следствие на теоремата на катетите се получава важното съотно-
шение
г-г^г* (3.1)
ИЛИ
!Z|.;G| = r2, (3.2)
което съотвествува на отношенията, получени на фиг. 3.3.
Уравнението (3.1) се нарича закон на реципрочните радиуси.
Той се прилага предимно при намиране на ннверсните образи на
криви и представлява основен закон от теорията на кръговите
диаграми. Ако радиусът на инверсната окръжност е г0=1, както е
показано на фиг. 3.3, следва, че модулът на проводимостта е ра-
вен на
(3.3)
16
при което стойността на G се отчита направо от получената ре-
ципрочна стойност посредством построяване на поляра. Както се
спомена обаче, г0 може да се реализира на практика равен на
единица само в редки случаи. При гоф 1 отсечката, която отговаря
на проводимостта, се умножава с коефициента в съответствие
с отношението
Gr = —
|Z 'о*
Умножаването с коефициент може да се избегне, ако rG се опре-
дели в зависимост от мащаба за Z и G. Тогава намерената чрез
инверсия комплексна проводимост представлява непосредствено
търсената стойност.
Радиусът на инверсната окръжност г0 в този случай
деля от отношението
1
ГЬ = ~Г---
s
където mG е мащабът за проводимостта, напр. в —
mz—мащабът за съпротивлението, напр. в —,
За да се затвърдят придобитите знания, ще се разгледа от-
ново примерът от раздел 3.1.1, при който инверсията беше на-
мерена чрез пресмятане.
Пример 3.2
Дадено е комплексното съпротивление на фиг. 3.1
Z=R 4- jX= (300 4- /400) а.
Да се намери по графичен начин комплексната проводимост G.
Решение
се опре-
(3.4)
гл в ст.
Комплексната проводимост G се намира чрез следните после-
дователни действия:
избира се мащабът за съпротивлението и проводимостта;
пресмята се радиусът на инверсната окръжност г0;
построява се огледалният образ на точка Z спрямо реалната ос;
намира се реципрочната стойност чрез построение на поляра.
Мащабът за съпротивлението се избира—1 cm = 100Q, за про-
водимостта— lcm=lmS. Радиусът на инверсната окръжност се
получава от равенство (3.4)
г0 = -.—L.. . =3,16 ст.
Доо. i.io-з
2 Въведени е в теорията . ..
17
След това, както е показано на фиг. 3.4, се построяват в Гаусо-
вата координатна равнина инверсната окръжност с радиус г0 =
= 3,16 ст и точката Z=(300-b/400) Й. Намира се огледалният об-
раз на т. Z спрямо реалната ос, т. е. точка Z* Чрез построява.
Фиг. 3.4.Намиране на проводимостта G по
графичен начин
не на поляра спрямо точ.
ка Z* се определи върхът
на търсения вектор на про-
водимостта G. Координа-
тите на точка G се отчитат
директно от нанесения вър-
ху координатните оси ма-
щаб. Тогава за комплекс-
ната стойност на прово-
димостта се получава
G=G+/5,
G=(l,2—yl,6)mS.
Модулът jG| и фазовият
ъгъл ср също така се от-
читат директно:
G-2mS,
у = —53°,
с което проводимостта мо-
же да се представи в екс-
поненциална форма
G= |G|.
G=2.e->53° mS.
Правилността на извършеното построяване се потвърждава от
сравняването на получените резултати с вече пресметнатите стой-
кости в раздел 3.1.1. От следващия пример ще се види как се
построява поляра „отвътре навън“, т. е. когато върхът на търсе-
ния вектор се намира вън от инверсната окръжност.
Пример 3.3.
Дадено е паралелно свързване на резистор и бобина (фиг.3.5)
със стойности на елементите
/?=1 kfl; L = 0,l Н; /=800 Hz.
Търси се чрез графично построяване общото съпротивление на схе-
мата.
18
Решение
При паралелното свързване стойностите на отделните прово-
димости се събират. От така намерената обща проводимост посре-
дством графичното построяване на инверсията се намира общото съ-
противление. Съставките на проводимостта са
G= *- = 1. 10~3S-l mS
К Q I J
и 7 J
Ъ = -ir=pi. 800 1.98 ms.
Избира се мащаб фиг- 3*5, с^ата
r 1 io към пример З.о
за проводимостта 1 cm=l mS,
за съпротивлението 1 cm = 100 2.
Радиусът на инверсната окръжност е както в пример 3.2:
Както е показано на
фиг. 3.6, координатните
оси се разграфяват в съ-
ответствие с избрания ма-
щаб и се начертава ин-
версната окръжност. След
това се нанася проводи-
мостта
<>=(1 —/1,98) mS.
Точка G лежи в инверсна-
та окръжност и следова-
телно точка Z е разполо-
жена вън от инверсната
окръжност.
Построяването на по-
ляра трябва да се извърши
отвътре навън. За целта
се продължава отсечката
OG и в точка G се пРе*
Фиг. 3.6. Обратно построение на поляРа съ~
гласно пример 3.3
карва пресечна перпендикулярна права, която пресича инверсната
окръжност. Пресечните точки се свързват посредством две по-
мощни прави с центъра на окръжността. От пресечните точки се
19
издигат перпендикуляры към помощните прави, докато пресекат
продължението на отсечката OG. Намерената точка представля-
ва конюгираната стойност на G, а перпендикулярите към помо-
щните прави представляват тангенти към окръжността.
Търсеното комплексно общо съпротивление се намира от фиг. 3.6
чрез построяване на огледалния образ на точка Z* спрямо реал-
ната ос. При това се определи както неговият общ вид
Z=(205+/400) 2,
така също и неговият модул и фазов ъгъл
Z=450^'68° 2.
Приведените два примера показват графичното построяване на
инверсия по точки, т. е. на дадени стойности на съпротивления,
респ. проводимости. Както се вижда от приведените прости при-
мери, трудно могат да се докажат някакви съществени предим-
ства и улеснения на графичния метод спрямо аритметичния метод.
Предимствата на графичния метод се изявяват тогава, когато
трябва да се извърши инверсия на криви линии. Пресмятането на
отделните точки на проводимостите от дадена крива на съпротив-
ленията е твърде трудоемко. Същият резултат може да се по-
стигне много по-бързо чрез графично построяване на инверсна
крива.
3.1.3. Графично построяване на инверсна крива
В двата предшествуващи раздела се разгледа инверсията н®
точки и се обясниха ссновните положения при конструирането на
диаграмите. Как обаче ще се подходи при построяването на ин-
версните криви?
В теорията на кръговите диаграми се разглеждат въпросите за
построяване на криви, конто характеризират изменението на дадена
комплексна величина в зависимост от друга. Не е необходимо диа-
грамите, конто представляват прави линии или окръжности, да се
построяват, като се намират съответните инверсии точки. Подобии
криви могат да се начертаят, като се използуват някои законо-
мерности (теореми на кръговите диаграми или свойства на ин-
версията), при което инверсията се извършва по съвсем прост
начин.
Тук ще се приведат четири от най-важните теореми на кръго-
вите диаграми, без да се дават доказателствата им.
20
Теорема 1
Инверсната криви на права линия, конто минава през центъра на
инверсията, представлява също така права линия, която минава през
центъра на инверсията (фиг. 3.7).
Към
Фиг. 3.7.
диаграми
Фиг. 3.8. Към теорема 2 на кръ-
говите диаграми
теорема 1 на кръговите
Фиг. 3.9. Към теорема 3 на кръговите диаграми
Теорема 2
Инверсната крива на права линия, която не минава през цеи-
търа на инверсията, представлява окръжност, която минава през
центъра на инверсията (фиг. 3.8).
21
Теорема 3
Инверсната крива на окръжност, коята минава през центъра на
инверсията, е права линия (фиг. 3.9).
Теорема 4
Инверсната крива на окръжност, която не минава през центъ-
ра на инверсията. е също така окръжност (фиг. 3.10).
Фиг. 3.10. Към теорема 4 на кръговите диаграми
Общите теореми намират приложение при построяването на
диаграмите на съпротивленията и проводимостите с /?, L и С
елементи, свързани в прости схеми.
22
4. КРЪГОВИ ДИАГРАМИ НА КОМПЛЕКСНИ
СЪПРОТИВЛЕНИЯ И ПРОВОДИМОСТИ
В този раздел ще се разгледат диаграмите на последователно
и паралелно свързване на /?, L и С, при което ще се използуват
известните вече теореми на кръговите диаграми. Както се споме-
на, кръговите диаграми изобразяват нагледно зависимостта на
една величина от дадена променлива. Променливата може да бъ-
де или честота, или стойност на елемент от схемата.
4.1. КРЪГОВИ ДИАГРАМИ ПРИ ПОСТОЯННА ЧЕСТОТА
И ИЗМЕНЯЩА СЕ СТОЙНОСТ НА ЕЛЕМЕНТ ОТ СХЕМАТА
4.1.1. Последователно свързване на резистор и бобина
Дадено е последователно свързване на резистора 7? и боби-^
ната L (фиг. 4.1). Представлява интерес диаграмата на общото
комплексно съпротивление Z=R+j<&L, когато се променя стой-
ността на активното съпротивление между 0 и оо. Диаграмата е
дадена на фиг. 4.1 като права линия разположена над реалната
ос. Правата линия е успоредна на реалната ос, тъй като съпротив-
лението на бобината и следователно разстоянието на кривата на
общото съпротивление до реалната ос остава постоянно. От голе-
мината на съпротивлението на резистора се променя общото съ-
противление и фазовата разлика, която се получава от отношението
На фиг. 4.1 за по-голям^ яснота са нанесени няколко стой-
кости на Z.
Как изглежда при тези условия диаграмата на комплексната
проводимост на същата схема? За целта се прилага теорема 2
на кръговите диаграми. Чрез инверсия на правата на съпротивле-
нията се получава окръжност, която минава през началото на
координатната система (фиг. 4.1). Окръжността на проводимости-
те се намира в IV квадрант, тъй като се получава чрез инверсия
на точките, определящи стойностите на съпротивленията.
23
Трябва да се отбележи, че проводимостта се стреми към нула
тогава, когато съпротивлението нараства до безкрайност. Тази
точка съответствува на пресечната точка на окръжността на про-
водимостите с началото на координатната система. Как се извър
Фиг. 4.1. Диаграми на последователно
свързване на резистор и бобина:
а — схема, б — днаграма на комплексного
съпротивление. в — диаграма на комплекс-
ната проводимо ст
Фиг. 4.2. Диаграми на последователно
свързване на резистор и кондензатор:
а—схема, б — диаграма на комплексною
съпротивление, в — диаграма на комплекс-
натИ проводимаст
шва точно пресмятане и как се установяват мащабите е показано
в приведените по-иататък практически примери.
4.1.2. Последователно свързване на резистор и кондензатор
На фиг. 4.2 е показана диаграмата на комплексного съпротив-
ление на последователно свързани резистор и квндензатор. Тя
24
представлява също така права, конто се намира под реалната ос
и на разстояние от нея, равно на големината на капацитивното
съпротивление Аналогично на последователното свърз-
ване на резистор и бобина кривата на проводимостите се получа-
Фиг. 4.3. Диаграми на паралелно
свързване на резистор и бобина:
а — схема, б — диаграма на комплекс-
ната проводимост, в — дааграма на
комплексного съпротивление
нение на /? и С. На фиг. 4.3 са
двете диаграми.
ва наново окръжност, която сега
е разположена в I квадрант (фиг.
4.2.).
4.1.3. Паралелно свързване
на резистор и бобина
При паралелното свързване е
целесъобразно да се изхожда ви-
наги от стойностите на проводи-
мостите, тъй като общата прово-
димост е равна на сбора от от-
делните проводимости. Ком п лек-
сната проводимост на паралелно
свързани резистор и бобина е
G=G—jB,
т. е. диаграмата на проводимости-
те е права, която е разположена
под реалната ос. Диаграмата на
съпротивленията се получава(спо-
ред теорема 2 на кръговите диа-
грами) окръжност, която е разпо-
ложена над реалната ос. Получа-
ват се аналогични зависимости,
както при последоватетното съеди-
показани схемата на свързване и
4.1.4. Паралелно свързване на резистор и кондензатор
И при тази схема най-напред се начертава диаграмата на про-
водимостите и от нея се определи диаграмата на съпротивления-
та. Получават се аналогични съотношения както при паралелно
съединение на /? и С. Диаграмите са изобразени на фиг. 4.4.
25
4.2. КРЪГОВИ ДИАГРАМИ ПРИ ИЗМЕНЯЩА СЕ ЧЕСТОТА
И ПОСТОЯННИ СТОЙНОСТИ НА ЕЛЕМЕНТИТЕ НА СХЕМАТА
Когато към съответната схема на свързване се приложи на-
прежение с различна честота, стойностите на комплексните съпро-
тивления и проводимости се изменят в зависимост от честотата.
-Фиг. 4.4. Диаграми на паралелно свързване Фиг. 4.5. Диаграми на последо-
на резистор и кондензатор: вателно свързване на резистор
а—схе ма, б—диаграма на комплексната проводимост, И бобина При ИЗМеняща Се чеСТОТа:
в—диаграма на комплексного съпротивление а— схема, б — диаграма на комплексно-
го съпротивление, в — диаграма на ком-
плсксната проводимост
При това се променя стойносттасамо начестотно зависимите еле-
зиенти, т. е. XL или Хс. Активното съпротивление остова постоянно.
4.2.1. Последователно свързване на резистор и бобина
Дадена е схемата на фиг. 4.5. Честотата се променя от 0 до оо.
26
Наи-напред върху реалната ос се нанася стойността на актив-
ною съпротивление 7? и от получената точка в положителна по-
сока (кагоре) се прекарва права, успоредна на имагинерната ос.
Стойностите на имагинерните съпротивления се нанасят в поло-
жителна посока, тъй като при нарастване на честотата индуктив-
ною съпротивление се увеличава. Правата представлява диагра-
мата на комплексною съпротивление Z=R+j<$L (фиг. 4.5). По-
строяването на диаграмата на комплексната проводимост става
въз основа на теорема 2 на кръговите диаграми, която гласи, че
инверсната крива представлява окръжност, която минава през на-
чалото на координатната система.
4.2.2. Последователно свързване на резистор и кондензатор
Според фиг. 4.6 диаграмата на съпротивленията представлява
права, която се намира в IV квадрант. По този начин стойността
. 1
на —/—все повеченамалява
с увеличаване на честотата и
при безкрайно голяма честота
комплексною съпротивление
става реално, т. е. Z=R.
Диаграмата на проводимо-
стите е; полуокръжност, която е
разположена над реалната ос
(фиг. 4.6).
4.2.3. Паралелно свързване
на резистор и бобина
.Както се спомена в раздел
4.1.3, най-напред се намира об-
щата проводимост. Диаграмата
на проводимостите е права, ко-
ято е разположена под реалната
ос, тъй като комплексната про-
водимост се определи от из-
раза
А 1 .1
G~ R J <»L ’
Имагинерната съставкасе стре-
ми към нула, когато честотата
нараства до безкрайност.
Фиг. 4.6. Диаграми на последователно
свързване на резистор и кондензатор
при изменяща се честота:
а — схема, б — диаграма на комплексного съ-
противление, в — диаграма на комплексната
проводимост
27
Диаграмата на съпротивленията представлява отново полуок-
ръжност — фиг. 4.7.
4.2.4. Паралелно свързване на резистор и кондензатор
И при този случай диаграмата на проводимостите представлява
права, която обаче е разположена над реалната ос, тъй като про-
водимостта се определя от израза
6=-4-/<оС.
Фиг. 4.7. Диаграми на пара-
лелно свързване на рези-
стор и бобина при изменя-
ща се честота:
а — схема, б — диаграмм на ком-
нлексната проводимост. в — диа-
грама на комплексного съпро-
т 1 вление
Фиг. 4.8. Диаграми на паралелно
свързване на резистор и конден-
затор при изменища се честота:
а — схема, б — диаграма на комплексна™
проводимост, в — диаграма на комплекс-
ного сьпротивление
Диаграмата на съпротивленията е полуокръжност, която е раз-
положена под реалната ос (фиг. 4.8).
28
4.3. КРЪГОВИ ДИАГРАМИ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЕН ТРЕПТЯЩ КРЪГ
Последователният трептящ кръг (фиг. 4.9) се състои от по-
следователно свързани /?, L и С.
получават от разгледаните вече
свързване на R и L и R и С.
Диаграмата на съпротивленията
представлява права, успоредна на
ординатната ос и на разстояние
R от нея. Тя се определи от поз-
натата формула за импеданса на
последователен трептящ кръг
Z=R+j[&L —). (4.2)
Как обаче ще се нанесат честот-
ните деления въгху тази права?
За целта ще се разгледат три екс-
тремни стойкости на честотата.
Честота /=0
В случая о)£=0 и —J____= —оо.
О)С
Стойността на Z започва следо-
вателно от — оо.
Честота f=fp — резонансна
честота.
За резонансната честота имаме
—^=0.
Диаграмите на тази схема се
диаграми на последователно
Фиг. 4.9 Диаграми на последователен
трептящ кръг:
а — схема, б — диаграма на комплексного
съпротивление, в — диаграма на комплекс -
ната проводимост
При това положение остава
само активното съпротивление и
честотата fp лежи точно на реал-
ната ос.
Честота /=оо
Изразът става равен на нула, а както и Z стават без-
крайно големи.
Диаграмата на проводимостите е съставена от две полуокръж-
ности (диаграмите на последователно съединение на R, L и /?, С)
и представлява пълна окръжност. Диаметърът на окръжността е
равен на (фиг. 4.9).
29
4.4. КРЪГОВИ ДИАГРАМИ НА ПАРАЛЕЛЕН ТРЕПТЯЩ КРЪГ
Като се изходи от основното равенство на тази схема
о._>+У(„с-А), (4.3)
1
диаграмата на проводимостите се получава права на разстояние
от имагинерната ос, а диаграмата
на съпротивленията—пълна окръж-
ност. Съотношенията са както при
последователния трептящ кръг с
тази разлика, че местата на
двете криви саразменени. Кривите
са показани на фиг. 4.10.
Фиг. 4.10. Диаграми на паралелен
трептящ кръг:
а — схема, б — диаград,а на комплекс-
ната провод и.мост, в — диаграма на
комплексного съпротивление
имагинерната ос, диаметрите
4.5. ПРИМЕРИ НА ПРОСТИ
КРЪГОВИ ДИАГРАМИ
От диаграмите на съпротивле-
нията и проводимостите на про-
стите схеми може да се направи
качествен анализ за характера на
измененията при промяна на даден
параметър от схемата.
Практиката е показала, че за
определяне на действие™ на ни-
коя схема съвсем не е необходимо
да се знаят точните стойности на
елементите. Често пъти е доста-
тъчна качествена оценка, която се
дава от начина, по конто се из-
менят кривите на отделните -ди-
аграмм. Обикновено едни и същи
схеми притежават по принцип един
и същи характерен ход на диагра-
мите независимо от избраните чес-
тотни обхвати или стойности на
елементите. Различии се явяват са-
мо разстоянията до реалната или
на окръжностите, положенията на
точките върху кривите, съотвелствуващи наразличните честоти и
мащабните деления върху координатните оси. По-долу с няколко
30
примера ще се покаже на практика как се построяват кръгови-
те диаграми в подходящ мащаб. Прилагането па теоремите на
кръговите диаграми спестява трудоемкий процес на инвертира-
не на точка по точка.
Пример 4Л
Дадена е схемата от фиг.
4.11, състояща се от последова-
телно свързване на резистор със
съпротивление /?=0-г-1 kQ и
бобина с индуктивност L = 0,2H.
Работната честота е 1 kHz.
Трябва да се начертаят ди-
аграмме на съпротивленията и
проводимостите и да се избере
подходящ мащаб.
Решение
Общият вид на двете ди-
аграми е даден на фиг. 4.1.
Необходимо е само да се на-
несе мащабът.
1. Пресмята се индуктивно
то съпротивление wL
а)£ = 1,256. IO3 Q =1,256 kQ.
2. Установява се мащабът
за съпротивлението
ст = 4002.
3. Начертава се диаграмата
на съпротивленията (фиг. 4.11).
4. Избира се мащабът за
проводимостта и се определи
диаметърът на' окръжността на
проводимостите. При тева тряб-
ва да се има пред вид, че ком-
плексного съпротивление на да-
дената схема е
S2 Диаграма на
съ пратибленията
к
2002 50002/
200
400
600
JtoL
'1200
400
Ди аг о а мана
прооадимоститм
Фиг. 4.11. Диаграми към пример 4.1г
а — схема, б — диаграмм на съвротивле*
нията и проводимостите при иаменящо
се от 0 до 1 к<2
400 800 1200 1БОО Я
4^0 d/о 8&0 JUO
IT*
1kS2
60052
-f- jmL,
а съответната комплексна проводимост
С- 1 - 1
z - R+faL
Следователи© проводимостта е най-голяма при минимално активно
съпротивление, т. е. когато /? клони към 0. При /?=0 проводи-
мостта е равна на
с- J 1 1
o-h/w£ 7 w£ J 1,256 ’ kQ ’
G=-/796[iS.
Тази стойност представлява същевременно диаметърът на ок-
ръжността. Центърът на окръжността се определи от
/?= -Z|§_=398p,S.
Избира се мащаб за проводимостите
1 cm = 200pS.
5. Начертава се окръжността на проводимостите (фиг. 4.11)в
6. Нанасят се мащабните деления върху двете диаграми.
Деленията върху диаграмата на съпротивленията са равномер-
ен и се определят за дадени стойкости на R. Деленията върху
окръжността на проводимостите обаче не са равномерни поради
зависимостта . Те се намират чрез построяването на противо-
положните спрямо реалната ос ъгли, конто съответствуват на от-
деляйте стойкости на съпротивленията. На фиг. 4.11 са построени
отрицателните ъгли на стойностите на съпротивленията 200, 6002
и 1 kQ. Стойностите на комплексните съпротивления и проводи-
мости, съответствуващи на всяка стойност на /?, намираща се
между 0 и 1 kQ, се отчитат непосредствено.
За контролна проверка полученият по графичен начин резултат
се сравнява с проводимостта, пресметната при /?=1 kQ. Комплекс-
ного съпротивление е
Z—R+j^L = (l 4- j 1,256) kQ,
а комплексната проводимост:
а 1 _ 1 _ 1 (R—j^L)
~~ Z ’"'/?+>£ (/?-(->£)(/?—у<о£) 9
а__ R—jwL _ R со£
“ R2+^Lf~J ~R2^aLy >
а 1.103 . 1.256.103
1.106- 1-1,58.10® J 1. 106-1-1,58.106 ’
G=(388—j 481)^3.
Тази стойност може да се отчете с достатъчна точност и от
диаграмата на фиг. 4.11. Като се вземе пред вид избраният мащаб
32
от диаграмата, също така могат да се отчетат директно модулът
на проводимостта |G| или модулът на съпротивлението |Z|, както
и съответните им фазови ъгли. Така например на фиг. 4.11 от
точка 1 kQ върж окръжността на проводимостите до началото на
координатната система се из-
мерва разстояние 3,1 ст. При
мащаб на проводимостите
1 ст = 200 pS модулът се
получава равен на
200.3,1 = =620 p.S.
Измереният ъгЪл е равен
на 51°. Проводимостта при
/?=1кй може да сепредста-
ви също така и в експонен-
циална форма
6=6. е7ф,
6=720.e/61o|iS.
Пример 4.2
На фиг. 4.12 едадено па-
ралелно свързване на резистор
и кондензатор със стойности:
/?=400Й иС=5000 pF. Че-
стотата се променя от 0 до
50 kHz. Да се начертаят диа-
грамите на съпротивленията
и проводимостите в подходящ
мащаб.
Решение
ыооя
f-O-rSOkHZ
а)
v l^t Ашпрама на
"Jxc I & съпротпиблениятпа
Общият вид на диаграми*
те може да се види от фиг
4.8. За по-голяма яснота по-
строяването се извършва в
Фиг. 4.12. Диаграми към пример 4.2:
а — схема, б — диаграми на съпротивленията и
проводимостите прм иэменяша се честота
следния последователен ред:
1. Начертава се диаграмата на проводимостите, тъй като при
паралелно свързване е целесъобразно най-напред да се намеря
общата проводимост. Диаграмата на проводимостите представлява
права линия. Разстоянието на правата до имагинерната ос е рав-
но на
G-4-==4!oo=O’OO25S=2’5raS-
3 Въведение в теорият* . * .
33
Деленията върху правата на проводимостите са равномерни*
За горната честота /=50kHz проводимостта е равна на
jGc=J&C =J 2п. 50.103.5000.10~1а S,
JGC =/6,28.25.10-5S,
jGc=j\,bl mS.
2. Мащабът за проводимостта e равен на
1 cm=0,5 mS.
При избрания мащаб за честота /=50kHz се получава раэ-
стоянието 2.1,57 mS = 31,4 mm. Тъй като честотните деления върху
диаграмата на проводимостите са равномерни, едно деление от
10kHz съответствува на -^^-=6,28mm.
□
3. Установява се диаметърът на окръжността на диаграмата
на съпротивленията и се избира мащаб за съпротивлението.
Диаметърът на окръжността е равен на /? = 4002. Центърът
на окръжността следователно лежи на разстояние/?=-у^- = 200 2.
Мащабът за съпротивлението се избира 1 cm =100 2.
4. Построява се диаграмата на съпротивленията (фиг. 4.12).
5. Нанасят се деленията върху диаграмата на съпротивленията.
Те се определят, както беше показано, чрез построяване на съ-
ответните противоположни по знак ъгли спрямо реалната ос.
Двете диаграми са показани на фиг. 4.12. Ясно се виждат пре-
димствата, конто ни дава изобразяването посредством кръгови
диаграми. Отчитат се веднага както стойностите на реалната и
имагинерната съставка на съпротивленията, така също и техният
модул и фаза. В сравнение с аритметичния метод икономията от
време е значителна. Ако например трябва да се пресметне ком-
плексного съпротивление на паралелното съединение при/= 50 kHz,
то е необходимо да се направят следните изчисления:
R -Гг —г (R+J'~r 'l
jt$C сое сое j
R+~^r (R-i-^r\R+j^r\
jmC у cdC Д cdc I
. R2 R
7 + (a><?)2
7?2+'^Q2‘
R R2
л, (uC)2 . (DC
Z=---- / 1\2 -J --------f---- •
34
След заместване на стойностите се получава
400. 40,5.10* . 16.10*. 6,37.102
56,5.10* 1 56,5.101
Z=(287- j 180) Q .
Както се вижда, гра-
фичният метод ни до-
вежда по-бързо до целта.
Пример 4.3
Дадено е последовател-
но свързване на резистор
R и кондензатор С според
фиг. 4.13 със стойности
/?=500 2 и С=1 nF. Чес-
тотата се променя от /=
= 250-4-1000 kHz.
Да се начертаят диагра-
мите на съпротивленията
и проводимостите в под-
ходящ мащаб.
Решение
Общият вид на диагра-
мите е показан на фиг.4.6.
Построяването се извър-
шва в следния последова-
телен ред:
1. Построява се диа-
грамата на съпротивле-
нията (фиг. 4.13).
Разстоянието до имаги-
нерната ос е равно на
R = 500 Q. В съответствие
с израза за комплексного
съпротивление Z=R— j~c
50002 C-1nF
f*250 4- 1000 Ml
7T1S
. 1.3-
ООО 02
zoo-
300-
400-
300-
300-
'cjtUMCJ oo
Зодикостите
OOOKKz
lOOOkOz г*
\ О
Ж
250kFz
JOOOkbz
Диагоамама
'сьттрстибле*
500khz
0,5^
O~00O ^oo
диаграмата на съпротивле-
нията започва при честота
/=250 kHz С имагинерната Фиг. 4.13. Диаграмм към пример 4.3:
СЪСТаВКа а ~~ cxeMi’ ь — диаграми на съпротивленията и провв-
димостите при изменяща се честота
~ 1 ~»С = 6,28.2,5.10* = 637
конто представлява долната гранична стойност.
35
При честота /= 1000 kHz се достига горната гранична стойност
_; J ____________!_____________1 rq о
J ч>С 6,28.1000.103.1.10-9
2. Установява се мащаб за съпротивлениеть 1cm =1002.
3. Разграфява се диа-
грамата на съпротивления-
гг=1кя L-O2H С- ljuf
а)
Фиг. 4.14. Диаграма към пример 4.3:
а — схема* Ь — диаграми на съпротивленията и про-
води мост мте при изменяща се честота
та. Поради зависимостта
деленията върху пра-
вата на съпротивленията
не са равномерни. Необхо-
димо еследователно да се
пресметнат няколко стой-
ности. На фиг. 4.13 са на-
негени точките за често-
тите 250, 500 и 1000 kHz.
4. Построявасе диагра-
мата на проводимостите
(фиг. 4.13).
Диаграмата на проводи-
мостите представлява ок-
ръжност, която е разполо-
жена над реалната ос. Диа-
мет ърът на окръжността
се определи' от
G = ~R = 566'=2mS-
Избира се мащаб на
проводимостта 1 ст = 0,5
mS. Деленията върху ок-
ръжността на проводимо-
стите се намират чрез по-
строяване на противополож
ните по знак ъгли спря-
мо реалната ос. Двете ди-
аграми са показани нафиг.
4.13. Обхватът от 250 kHz
до 1000 kHz е специално
означен.
36
Пример 4.4
Даден е последователен трептящ кръг (фиг. 4.14) със стой-
ности на елементите /?=lkQ, L=0,2H и С=1рК Честотата се
променя от 200 Hz до 2kHz.
Да се начертаят диаграмите на съпротивленията и проводи-
мостите.
Решение
На фиг. 4.9 е показан общият вид на диаграмите на последо-
вателен трептящ кръг.
1. Построява се диаграмата на съпротивленията (фиг. 4.14).
Тя е разположена на разстояние 7?= 1 к2 от имагинерната ос.
Граничните стойности се определят от честотите /=200 Hz (долна
граница) и /=2kHz (горна граница). За тези две честоти стой-
ностите на съпротивленията са следните:
за /=200 Hz
2=/?+У(„1-у,
Z=[ 1000+/(6,28. 2.10>. 2.10-- 6,28.2.1о‘г.,. 10- “
Z=( 1000-/543,8) 2;
за /=2 kHz
Z- (1000 +j 2432,5) 2.
Мащабът за съпротивлението се избира 1 ст = 250 2. Правата
на съпротивленията се начертава съобразно избрания мащаб.
2. Построява се окръжността на проводимостите (фиг. 4.14).
Диаметърът на окръжността се определя от
G= = j 1оз= 1 га$-
Центърът на окръжността се намира на разстояние
1 mS л г* о
—2— = 0,5 mS.
Окръжността на проводимостите се начертава в мащаб 1ст=
= 0,25 mS.
2. Нанасят се върху диаграмите точките, съответствуващи на
различните честоти. Точките са разпределени неравномерно поради
зависимостта -Хг. На фиг. 4.14 са отбелязани няколко стойности
(оС
37
на имагинерното съпротивление, изчислени за честотите 200,500 Hzl,
1,5 и 2 kHz съгласно израза
jX=jivL —У-
J J l о>С I
Резонансната честота
f —___1---
2k^L.C
e равна на 358 Hz.
Точките, съответствуващи на честотите върху диаграмата на
проводимостите, се намират чрез построяване на противополож-
ните по знак ъгли спрямо реалната ос.
Така определените диаграми са дадени на фиг. 4.14.
Пример 4.5
На фиг. 4.15 е дадена схемата на паралелен трептящ кръг със
стойности на елементите Z?=l kQ, L=0,2 Н и С=1 pF. Честотата
се променя от 200 Hz до 1 kHz. Трябва да се построят диаграми-
те на съпротивленията и проводимостите.
Решение
Общият вид на диаграмата за тази схема е известен от фиг. 4.10.
В случая елементите са свързани паралелно, поради което е це-
лесъобразно най-напред да се начертае правата на проводимостите
Тя е разположена на разстояние
O=-£- = l mS
К
от имагинерната ос.
Правата на проводимостите се ограничава от честотите 200 Hz
(долна граница) и 1 kHz (горна граница). Двете гранични стойно-
сти се изчисляват от израза (4.3), с който се определи проводи-
мостта на паралелен трептящ кръг. За честота /=200 Hz
й-4+4“с-^г)-
[ | . КО (б,28.1.10 6.2.102 6,28.2.1ба. 2 . 10-1 ) j S.
G=(l—/2,734) mS
и за честота /= 1 kHz
6=(1+/5,484) mS.
Мащабът за проводимостта е lcm=0,5mS.
38
Деленията не се получават равномерни поради зависимости ~
и е необходимо да се изчисли стойността на jB за няколко чес*
тоти. На фиг. 4.15 са нанесени стойностите за честоти 200, 500,
S2
f=200Hz-ikHz
3-
9 7A7/Z
Диаграма на
проъадимастгште
4-
1kHz
1
500Hz
Диаграма на
съяротпиОм-
ниятпа „
S^\358HZ_ JTlg
i^O^JfOQO ST
И
2
200Hz
&
Фиг. 4.15. Диаграми към пример 4.5:
а — схема, б — диаграма на съпротивленията и проводимостите
при изменяща се честота
39
800 Hz и 1 kHz. Сега вече може да се начертае диаграмата на съ-
противленията. От фиг. 4.10 се вижда, че тя представлява пълна
окръжност, която се обикаля при промяна на честотата от 0 до оо.
В дадения пример обаче диаграмата се ограничава от двете че-
стоти /=200 Hz и /=lkHz, поради което се получава само дъга
от окръжност.
Мащабът за съпротивлението ее избира 1cm = 50042. Деленията
върху диаграмата на съпротивленията се намират, както вече се
знае, чрез построяване на съответните противоположни спрямо
реалната ос ъгли.
Двете диаграми са показани на фиг. 4.15.
4.6. ПРИНЦИПНО ИЗОБРАЗЯВАНЕ НА КРЪГОВИ ДИАГРАМИ
НА НИКОИ ОСНОВНИ СХЕМИ
Разгледаните досега диаграми на основните принципни схеми
представляват прави или окръжности, съответно полуокръжности.
При това може да се установи известна аналогия между диагра-
мите на отделяйте схеми.
За добра прегледност на фиг. 4.16 е даден още веднаж общият
вид на всички диаграми на разгледаните досега схеми.
4.7. КРЪГОВИ ДИАГРАМИ НА СЛОЖНИ СХЕМИ
Разгледаните досега схеми притежават прости диаграми, конто
могат да се построят с линия и перге л. При това, като се взе-
мат пред вид свойствата на инверсията, се избягва инвертирането
точка по точка.
Диаграмите на сложните схеми обаче трябва да се чертаят по
отделни точки, тъй като те се отличават от правите и окръж-
ностите. Приведените по-нататък примери ни дават ясна предста-
ва за начина, по който се построяват тези диаграми.
Пример 4.6
Дадена е комбинираната схема от фиг. 4.17. Тя се състои от
паралелно съединение на резистор /? и бобина Li9 към което е
свързана последователно друга бобина Ь2. Стойностите на еле-
ментите са, както еле два: /?=2О£2, L1 = 30 mH и Л2=10шН. Че-
стотата се променя от 0 до оо. Да се построй диаграмата на
съпротивленията и проводимостите.
40
Решение
1. Най-напред се построява кривата на проводимостите на па-
ралелното съединение от /? и Lx (фиг. 4.17). Общият вид на кри-
вата е показан на фиг. 4.7. Тя представлява права линия, успоред-
на на имагинерната ос и на разстояние от нея
G=4-=i=50mS-
Фиг. 4.16. Общ вид на диаграмите на някои основни прин-
ципни схеми
41
*=2ая
О о-
aj f=0-TGO
70..
80- - Ли
-Л I 90 -^
"SO г
иаграмана
^обдоимое тите i
Ъца i
±80
-Лиаграма на
/тнюгиранитпе
съпротпиоленир z
S)
Фиг. 4.17. Диаграми към пример 4.6:
а — схема, б — диаграми на съпротивлетията и проводимостите
42
Избира се мащаб за проводимостта 1 cm=10mS.
Деленията върху правата на проводимостите се определят от
израза
G—G—j—,
1
при което изчислените стоиности иа за различии честоти са
дадени таблично и се нанасят в съответствие с избрания мащаб
върху правата на проводимостите.
/, Hz 80 100 120 150 200 250 300 500 1000
_L, mS 66,3 1 53 44,2 35,4 1 j 26,5 1 1 21,2 17,7 1 10,6 5,3
Диаграмата на съпротивленията на паралелно свързаните /? и
Lx представлява полуокръжност, разположена над реалната ос.
Диаметърът на окръжността е равен на /? = 20 2. Ако мащабът
за съпротивление е 1 ст = 4 2, центърът на окръжността се на-
мира на разстояние
=10 С = 2,5 ст.
Стойностите на съпротивленията за дадени честоти се получа-
ват върху диаграмата чрез построяване на съответните противо-
положив ъгли спрямо реалната ос.
2. Сега вече може да се начертае диаграмата на съпротивле-
нията на пълната схема. Тъй като бобината L2 е свързана после-
дователно към паралелното съединение от R и Lv достатъчно е
стойността на импеданса на т. е. /Arz=jw£2, да се прибави в
положителна посока на имагинерната ос.
Изчислените стойкости на импеданса на L2 за избраните чес-
тоти са дадени в следната таблица:
f, Hz 80 100 I 120 150 200 250 1 300 | 500 1000 f
—J—, mS 5,02 6,28 7,54 9,41 12,56 15,7 18,8 31,4 62,8
Тези стойности се нанасят от точкитс върху окръжността на
съпротивленията, съответствуващи на дадената честота. Получе-
ната от така намерените точки крива представлява диаграмата на
43
общото съпротивление, която не може вече да се начертае с
линийка и пергел. Тя се построява само чрез съединяването на
отделните точки.
3. Диаграмата на проводимостите се построява също така по
отделни точки чрез графично инвертиране на диаграмата на съпро-
тивленията. За целта се построява инверсната окръжност и огле-
далният образ на общата диаграма на съпротивленията спрямо
реалната ос, т. е. диаграмата на конюгираното комплексно чис-
ло Z*.
Радиусът на инверсната окръжност се определи от израза
(3.2). Във формулата
го = х/ЛПО|
дължините на модулите на съпротивленията и проводимостите се
заместват непосредствено в ст. Следователно
г0==>/дължината на модула на съпротивлението X
Хдължината на модула на проводимостта (4.4)
В приведения пример дължиИата на модула на съпротивление-
то /? = 20Й е равна на 5 ст, а дължината на модула на прово-
димостта
G=-21()=50mS е също равна на 5 cm.
Дадените стойности се заместват във формула (4.4) и за ра-
диуса на инверсната окръжност се получава
rQ = \j5.5 =5 cm.
След това се построява симетричната крива на конюгираното
комплексно съпротивление Z* спрямо инверсната окръжност, като
за всяка точка на кривата Z* се извършва построение на поляра.
По този начин се получава диаграмата на комплексната проводи-
мост на пълната схема, която е показана на фиг. 4.17.
За честотите от 150 до 500 Hz построяването на полярата се
извършва отвътре навън, както беше разяснено в раздел 3.1.2^
пример 3.3.
Извършеното построение може да се провери напр. за често-
та /—100 Hz чрез сравнение на стойностите, получени по графи-
чен начин, със стойностите, получени чрез изчисление. Общото
комплексно съпротивление на схемата е
R (wAj)2 . , • г lo
z ~ L^+^i)2^7 tf2+Hd)2 +JaLt J “•
44
След заместване със стойностите се получава
У_\ 20(2^.100.30.10-3) . 20«.2к. 100.30.10-3
Z'~[202-]-(2n. 100.30.10-3) +Ао1-Н2гс. 100.30.10~3) 4"
-Ь/2к.100.10.10"3] 2,
Z= (9,4+/9,9+/6,28) 2,
Z= (9,4 +/16,18) 2.
Изчислената стойност съвпада с достатъчна точност с получе-
ната от диаграмата. Общата проводимост за същата честота е
л i г 1 1
Z £(9,44-/16,18)]’
Л 1 . (9,4—j 16,18) s
° “ (9,44-У 16,18). (9,4—j 16,18) ’
G=(28,5-/43,4)mS
и съвпада с получената от диаграмата.
Диаграмата позволява лесното и бързо определяне на модула
и фазата на комплексного съпротивление и проводимост. За често-
та /=100 Hz модулът на комплексната проводимост се измерва
като разстояние от началото на координатната система до стой-
ността 100 Hz върху диаграмата на проводимостите, което е рав-
но на 5,3 cm. Стойността на модула |G| = 53mS се намира, като
се вземе пред вид избраният мащаб lcm = 10mS. Измерениях
фазов ъгъл е —59°, при което за проводимостта имаме
G=53.e-7'59’mS.
Пример 4.7
Дадена е схема на комбинирано съединение на резистор, бо-
бина и кондензатор (фиг. 4.18). Стойностите на елементите: /?=
= 500 2, £ = 0,2 Н и С = 2 р-F. Честотата се променя от/=0 до сю.
Да се начертаят диаграмите на съпротивленията и проводи-
мостите.
Решение
Построяването се извършва в следната последователност:
1. Най-напред се начертават диаграмите на последователно съ-
единените и £. Общият вид на кривите е даден на фиг. 4.11.
Правата на съпротивленията започва на разстояние /?=500 2
от реалната ос. Установява се мащаб за съпротивление 1 сш =
45
= 200 2. Точките, съществуващи на дадени честоти, са разполо-
жени равномерно върху правата поради линейната зависимост
Z=-j- j<$L
и могат лесно да се нанесат.
L=Ot2H
—
о о-
а)
Я
600 Hz
Л
№
2200-
2000—
1800-
1600-
1400
1200+
800-
200
1000-
400+
200-
4004
200
0.5
200А
100
R
ZOO
500
500
Диаграма на
проводимое-
тите, обща
00,
Диаграма на
-—-прободимасттште
0777 ПОС/7едоба777^/1НО
ooooPHz“a*“L
6)
Л771Д
100G
„пп £пиа£&а*а на
200 г/роОодимости,,,^
™>с/1 сдобам?* нп
сбьргбане на RuL
Лиаграма на
Q--rrrf ыпрорчибле-
* ™?*ия7па,обща
Фиг. 4.18. Диаграми към пример 4.7:
а — схема, б — диаграми на съпротивленията и проводимостите
Диаметърът на окръжността на проводимостите се определи
от израза
G=-^=566 = 2mS'
Избира се мащаб за проводимостта 1 ст=0,5 mS.
Точките, съответствуващи на дадените честоти върху окръж-
ността на проводимостите, се намират чрез построяване на съот-
ветните противоположим ъгли спрямо реалната ос.
2. Към точките от диаграмата на проводимостите на последо-
вателното съединение на R и А, отговарящи на дадена честота,
сега се прибавят проводимостите на паралелно свързания към
това съединение кондензатор. Стойностите на проводимостта на
капацитета се изчисляват от израза jBc=ju>C и са приведени в
следната таблица:
/, Hz 100 200 300 400 500 600 700 i 800 | 900 1 1000
/соС, mS 1,25 2,51 3,76 5,02 6,27 7,52 8,79 10 11,3 j 12,56
Тези стойности се нанасят по положителната посока на има
гинерната ос, при което от така намерените точки се получава
изобразената на фиг. 4.18 крива. Тя представлява диаграмата на
проводимостта на пълната схема.
3. Диаграмата на съпротивленията на пълната схема се по-
строява с помощта на инверсната окръжност. Радиусът г0 на ин-
версната окръжност се намира от дължините на модулите на
съпротивленията и проводимостите. От графиката например се
отчита, че на съпротивление /? = 500 Q отговаря отсечка с дължи-
на, равна на 2 cm, и на проводимост , J— = 2mS—отсечка с дъл-
Duu U
жина 4 ст. Чрез заместване на намерените Дании във формула (4.4)
се получава радиусът на инверсната окръжност
r0=\/2.4 = 2,83 ст.
4. След начертаване на инверсната окръжност диаграмата на
проводимостите се иывертира посредством построяване на поля-
ра. Построената по този начин на фиг. 4.18 крива представлява
диаграмата на съпротивленията на пълната схема. Трябва да се
отбележи, че получената крива не е вече окръжност, тъй като
окръжност се получава само при инвертирането на права линия
или окръжност.
47
Пример 4.8
/?,=20Я L°50mH
^-7/75? C‘50juF
a
Фиг. 4.19 Схема към
пример 4.8
а — схема, б — диаграмм
на съпротивленията и про-
водимостите
-О
на
За дадената на фиг. 4.19 схема стойностите на елементите са
следните: /^ = 20 2, £ = 50 mH, /?2 = 10 2 и C=50p,F. Трябва да
се начертаят диаграмите на съпротивленията и проводимостите в
зависимост от честотата (/=0-т-оо).
Решение
1. Както се вижда от фиг. 4.19, схема-
та се състои от две паралелно свързани
вериги, състоящи се от последователно
съединени елементи. Импедансите на ве-
ригите с а съответно ZX^RX + j&L и
— Най-напред се намират
диаграмите на съпротивленията на двата
импеданса, които се състоят от сумата на
последователно свързани елементи. Диаграми-
те са прави линии, успоредни на имагинерната ос. Едната от тях
е на разстояние /?х = 20 2 от имагинерната ос и с положителни
стойности на ординатите (насочена нагоре), а другата е на раз-
стояние /?2=10 2 от имагинерната ос и с отрицателни стойности
на ординатите (насочена надолу).
Точките върху диаграмата Д, съответствуващи на честотите,
са линейно разпределени поради зависимостта о>£, докато върху
диаграмата Z2 се определят от нелинейната зависимост Не-
обходимо е следователно да се пресметнат няколко стойности от
израза (фиг. 4.20). Мащабът за съпротивлението се избира
1 ст = 10 2, а за проводимостта —1 cm=10mS.
2. След това се начертават диаграмите на проводимостите на
всяка верига. Диаграмата на Zx е полуокръжност, която е раз-
положена под реалната ос и с диаметър
G== = mS^5 cm,
zu
я на Z полуокръжност, която е разположена над реалната ос и с
диаметър
О=^-=4г= 100 mSslO cm.
А 2 JU
48
Деленията за честотите върху окръжностите на проводимости-
те се получават по познатия начин чрез построяване на съответ-
ните противоположив спрямо реалната ос ъгли.
3. От диаграмата на проводимостите на Zx и Z2 може да се
построй диаграмата на проводимостите на пълната схема. Това се
60-
70-
Диаграма на .съпратпиблениятпа
~~отп последобатпелно соързбане
50 ма и С Г
80-
Фиг. 4.20. Диаграми на проводимостите към пример 4.8
извършва точка по точка чрез геометрично събиране на двете
съставки на проводимостта, т. е. от отметката на честотата вър-
ху диаграмата на проводимостите Z2 се нанася дължината на от-
4 Въведение в теорията . . .
49
сечката, която отговаря на стойността на проводимостта на Zx
със съответния фазов ъгъл. На фиг. 4.20 това е показано за че-
стота /=100 Hz.
4. Пълната диаграма на съпротивленията се построява от пъл-
ната диаграма на проводимостите. За по-голяма прегледност пъл-
то--
2,in?
Фиг. 4.21. Диаграми на проводимостите и съпротивленията
към пример 4.8
ната диаграма на проводимостите е начертана отделно на фиг. 4.21.
Радиусът на необходимата за целта инверсна окръжност се опре-
дели от формула (4.4). На съпротивление /?= 50 2 отговаря отсеч-
ка с дължина 5 ст и на проводимост = 20 mS отговаря
t\ DU U
отсечка с дължина 2 ст. Радиусът на инверсната окръжност се
определи от
г0=^5.2 = 3,16 cm.
50
С построяване на поляра диаграмата на пълната проводимост
се инвертира и се получава изобразената на фиг. 4.21 диаграма
на съпротивленията на пълната схема. От диаграмата на съпро-
тивленията могат да се установят веднага някой най-общи свой-
ства на схемата, а именно:
при честота /=0 съпротивлението на схемата е активно, =
= 20 £2;
при честота /=оо съпротивлението на схемата е активно,
= 10 2;
резонансната честота е около 90 Hz;
фазовият ъгъл ср е отрицателен между /= 90 Hz до около
/=оо и положителен — от /=0 до около /=90Hz.
51
5. КРЪГОВИ ДИАГРАМИ НА ТОК И НАПРЕЖЕНИЕ
В предшествуващите раздели се разгледаха само диаграмите
на съпротивленията и проводимостите. По същия начин могат да
се начертаят диаграмите на напреженията и токовете. Съгласно
закона на Ом
U=I.R
напрежението е пропорционално на съпротивлението при постоян-
на стойност на тока. От закона на Ом се получава
М^-=С/.С,
т. е. токът е пропорционален на проводимостта при постоянна
стойност на напрежението. Същите зависимости са валидни и за
величините при променлив ток, само че вместо стойностите за
постоянен ток се заместват комплексните величини на токовете,
напреженията и съпротивленията.
Падовете на променливи напрежения върху последователно
свързани съпротивления (фиг. 5.1) се събират геометрично както
съпротивленията. Векторът на тока е разположен по посока на
реалната ос и фазовият ъгъл се отчита спрямо него. При пара-
лелната схема същото се отнася за проводимостите и токовете
(фиг. 5.2). Основната посока в този случай се определи от век-
тора на напрежението, който е по направление на реалната ос.
Ако се приеме за константна величина токът, т. е. или
напрежението, т. е. Ri^Z, при построяването на диаграмите на
напреженията и токовете трябва да се вземат пред вид следните
основни положения:
диаграмите на съпротивленията са същевременно и диаграми
на напреженията съгласно отношението U=t.Z>
диаграмите на проводимостите са същевременно и диаграми на
токовете съгласно отношението l=U.€r,
мащабът за напрежението се получава като произведение на
тока по мащаба на съпротивлението;
мащабът за тока се получава като произведение на напреже-
нието по мащаба на проводимостта.
52
a)
Фиг. 5.1. Напреженията са пропорционални на съпроти-
вленията:
а — схема, б — векторна диаграма на съпротивленията и напре-
женията
Фиг. 5.2. Токовете са пропорционални на проводимо-
стите:
а — схема, б — векторна диаграма на проводимостите и токовете
53
j A 1OD 500кHz
L~- О 2Z о—---------1
\1\=10тА
Фиг. 5.3. Към пример 5.1:
а — схема, б — диаграма на напреженията на последоватал-
но свързване на /? и L
Как се построяват диаграмите на напрежениета и токовете, ще
се поясни от следващите няколко примера.
Пример 5.1
Дадена е схема на последователно свързване на резистор и
бобина (фиг. 5.3) със стойности на елементите /?=10к2 и £ =
= 5 mH. Токът е посто-
янен и равен на |/| = 10
mA (т. е. вътрешното
съпротивление на гене-
ратора е високоомно
спрямо товарното съ-
противление Z). Често-
тата се променя от 100
до 500 kHz.
Трябва да се по-
строй диаграмата на при-
ложено™ напрежение U.
Решение
1. Начертава се диа-
грамата на съпротивле-
нията. Тя представлява
права на разстояние /?=
= 10 kQ от положител-
ната имагинерна ос (фиг.
5.3). Мащабът за съпро-
тивлението е 1 cm = 2kQ.
2. Нанасят се отмет-
ките за честотите върху
правата на съпротивле-
нията. За целта се пре-
смята стойността на съ-
противлението J&L при
произволна честота (на-
пр. 100 kHz):
jXL=juL =J2n\
X Ю5.5.10-3=/3,14 kQ.
Понеже деленията са разпределени равномерно за всеки 100 kHz,
се нанасят еднакви отсечки до честотата /=500 kHz.
3. От разгледаните основни положения е известно, че диагра-
мите на съпротивленията са същевременно диаграми на напреже-
нията.
54
Необходимо е само да се намери подходящ мащаб за напре-
жението. Той се получава като произведение от тока и мащаба
на съпротивлението:
мащаб за напрежението = /. мащаб за съпротивлението ==
= 10mA.2k~=20 V/cm.
cm 1
След като мащабът
се нанесе върху коор-
динатните оси, стойно-
стите на напрежението
на изхода в зависимост
от честотата могат да
се отчетат непосред-
ствено от диаграмата
на напреженията.
Така например при
честота f= 100 kHz на-
прежението на клемите е
U=UR+jUL>
£7= (100 4-/31,4) V
или при f= 500 kHz
£/=(1004-/157) V.
Модулите на напре-
жението и фазовата раз-
лика между тока и на-
прежението се отчитат
директно от диаграмата.
На фиг. 5.3 са означени
mA
R^SOOS? C^2jut
* 1-----о о----------
/ У/ • 100 * Константа
а) ।
I
-200
±300
-^00
~~500
x600Hz
I ! 71)3 К
~ 500&& Я'
ГТ)А
- 500Ki
--500
-400
-300
-400
-500
Ъ) я
+600
напр. двете гранична
стойности \Umin\ и \итах\-
На \Umin\ отговаря дъл'
-К150
I---Диаграма на
। конюгираното
-т2ОО комплексна
’ съпроттшмемиг Z*
--ЗОО
- Диаграма на
съпротиьлемитгю "Z.
Х2ОО
150
Фиг. 5.4. Диаграми към пример 5.Т.
а — схема, б— диаграма на токовете
жина 5,3 ст. Стойност"
та на \Umin\ се получава от приетия мащаб за напрежението
\Umin\-=^ cm. ^ = 106 V.
На \Umax\ отговаря отсечка с дължина 9,3 ст, т. е.
!{7mJ = 9,3 cm . 186 V.
55
Пример 5.2
Дадено е последователното свързване на резистор със съпро-
тивление /?=500 2 и кондензатор с капацитет С=2 рГ (фиг. 5.4).
Напрежението на клемите е постоянно и равно на Z7j = 100 V (т. е.
вътрешното съпротивление на генератора /?, е нискоомно в срав-
нение със Z). Честотата се променя от 0 до сю.
Трябва да се построй диаграмата на токовете в зависимост от
честотата.
Решение
1. Начертава се диаграмата на съпротивленията. Тя е права
линия на разстояние /?=500 2 от отрицателната имагинерна ос.
Подходяща стойност на мащаба за съпротивлението е 1 сшю
^100 2.
Точките на честотите върху правата на съпротивленията се
определят от нелинейната зависимост Необходимо е да се
пресметнат стойностите на този израз за няколко избрани често-
ти. На фиг. 5.4 са нанесени точките, съответствуващи на често-
тите от 150 до 600 Hz.
2. Начертава се диаграмата на проводимостите. Тя предста-
влява полуокръжност, разположена над реалната ос. Диаметърът
на окръжността се определя от
<3=_/?-=5бб==2 mS'
Точките на честотите върху диаграмата на проводимостите се
намират чрез построяване на съответните равни, но противопо-
ложив по знак ъгли спрямо реалната ос.
3. В съответствие с разгледаните основни положения начер-
таната диаграма на проводимостите представлява същевременно
диаграма на токовете. Мащабът за тока се получава като произ-
ведение на стойността на напрежението с мащаба на проводимост-
та и е равен на
100 V 0’5 т$ 50 mA
ст ст
Намереният мащаб се нанася върху двете координатни оси.
Диаграмата на токовете е показана на фиг. 5.4.
Пример 5.3
На фиг. 5.5 е дадена схема на смесено съединение на резис-
тори /?! и Т?2 и бобина L със стойности на елементите 7?1 = 10к2>
56
7?f = 20kQ и L = 5mH. Честотата се променя от 0 до 500 Hz. То-
кът е с постоянна амплитуда (следователи© съпротивлението е
високоомно) и е равен на \I\ = 10 mA.
Трябва да се начертае диаграмата на напреженията U.
Решение
1. Начертава се диаграмата на съпротивленията на после-
дователното съединекие от и L. Тя представлява права ли-
ния на разстояние /?1 = 10к2 от положителната имагинерна ос.
Мащабът за съпротивлението се избира 1cm — 4 kQ.
Точките, съответствуващи на честотите, се определят ст ли-
нейната зависимост и се нанасят по познатия начин.
2. Пристъпва се към начертаването на съответната на Д диа-
грама на проводимостите Според теорема 2 на кръговите
диаграми тя представлява полуокръжност, разположена над реал-
ната ос и минаваща през началото на коордпнатната система.
Диаметърът на полуокръжността е равен на
х==^=100^
Като подходящ мащаб за проводимостта се избира 1 cm^20jiS’
Построява се огледалният образ на диаграмата за прсводи-
мостите спрямо реалната ос, при което се получава полуокръж-
’ността на конюгираната комплексна проводимост G*. За по-добра
прегледност на фиг. 5.5 е начертана само полуокръжността на
конюгираната стойност на проводимостта. При това положение
поляра може да се построй, без да се търси огледалният образ
спрямо реалната ос.
— Към резистора Rr и бобината L с импеданс Д е свързан
паралелно резисторът R2 със съпротивлението /?2 = 20к£2. Прово-
димостта на т- е-
G2 = = 50 [iS,
е необходимо да се прибави към Gv Тъй като G2 има само ре-
ална съставка, очевидно е, че окръжността на общата проводи-
мост Gr ще бъде отместена вдясно с 50 pS. По този начин на
фиг. 5.5 е получена полуокръжността на конюгираната пълна про-
водимост G*.
3. Диаграмата на общото съпротивление, която представлява
същевременно диаграма на напреженията, се получава чрез нами-
ране на симетричната крива на диаграмата на пълната проводи-
мост спрямо инверсната окръжност. Радиусът на инзерсната ок-
57
ръжност се определи от формула(4.4), като се измерят дължините
на съответните модули на съпротивлението и проводимостта. На съ-
противление 10kQ отговаря дължина 2,5 cm и на проводимост
G = -^-= = 100 p.S отговаря дължина 5 cm. Радиусът на инверс-
ната окръжност тогава е равен на
roz=\/2,5.5 = 3,54 cm.
а)
fy*20kS>
f* От500Hz
---7-0 U О—
Jx
111-10лМ
kS
200 100--20
-’Диаграма на
сьпротибленингпа
"600
160 80-IS
’ 500 Омрыниостп на хонюгиранагпа
комплексна предадимте m Gf
-АОо
40 • 20 4/4
200
12
20
АО
Z?/2QO 400 000
100Hz
16
120 60 -12
500
80 40-8
tf'Mz
Д и агремана иапрохения,
25 24 23 \ 32 к Я ““**•
40 60 80 100 '
80 120 1160 200 \/ —>.
Индерсна
окрь'нностп
Фиг. 5.5. Диаграми към пример 5.3:
а — схема, б — диаграма на напреженията
Понеже на фиг. 5.5 е начертана конюгираната полуокръжност
на комплексната величина С?, може да се търси направо симетрич-
ната крива на окръжността на проводимостите спрямо инверсна-
та окръжност.
Симетричната крива спрямо инверсната окръжност се намира
точка по точка чрез построение на поляра. Според теорема 4 на
кръговите диаграми инверсната крива трябва да бъде отново ок-
ръжност, която не минава през центъра на инверсната окръжност.
На фиг. 5.5 е дадена диаграмата на съпротивленията на пълната
схема, която същевременно е диаграма на напреженията.
М Jo
к ро
58
4. Мащабът за напрежението се установява като произведе-
ние на тока и мащаба за съпротивлението, т. е.
4 к2
/X мащаб за съпротивление = 10 mA. =40 V/cm.
Мащабът се нанася върху двете координатни оси и позволя-
ва непосредственото отчитане на напрежението при различии чес-
тоти. Интересуващият ни честотен обхват от 0 до 500 Hz е спе-
циално означен (фиг. 5.5).
Верността на извършеното графично построяване може да се
провери за двата графични случая при честота /=0 и при —
като се изчисли стойността U на напрежението и се сравни с
получената стойност от графиката.
При /=0Hz изразът juL е също равен на нула и общото съ-
противление е еквивалентно на паралелно свързаните и /?2, т. е.
7- Ri-Ъ _ 10.103.20.103 _
~ Ю . 103^20. IO» KU-
Напрежението е равно на
UR= /./? = 10.6,68 = 66,8 V.
При /= со j(i>£ е безкрайно голямо и е меродавно само съ-
противлението /?а:
Z=/?2 = 20k2.
За напрежението се получава
Ur=I.R= 10.20=200 V.
Получените резултати потвърждават верността на диагра-
мата.
59
6. ВИДОВЕ КРЪГОВИ ДИАГРАМИ, ИЗПОЛЗУВАНИ
ПРИ ИЗЧИСЛЕНИЯТА
В предшествуващите раздели и приведените към тях примери
се разглеждат диаграми на съпротивления, проводимости, напре-
жения и токове в зависимост от някаква величина, напр. честота
или стойност на елемент от схемата. В резултат се получава са-
мо една диаграма. Ако се променя допълнително като параметър
някоя стойност на елемент от схемата, се получава фамилия от
криви. Всяка от кривите има същия характер на изменение, как-
то и останалите, но поради различните стойности на /?, L или С
е отместена по посока на реалната ос или по посока на имаги-
нерната ос. Графиките на подобна фамилия от криви се наричат
кръгови диаграми. Те са пригодени за всички срещани числени
стойности посредством нормиране стойностите на параметрите,
т. е. параметрите са дадени като отношения. Кръговите диаграми
се използуват в практиката при следните случаи:
преобразуване на съпротивления в проводимости;
преобразуване на последователно съединение в паралелно съ-
единение и обратно;
трансформиране на импеданси;
пресмятане на схеми с комбинирано съединение;
изобразяване на диаграми на градивни елементи;
решаване на проблеми из областта на линейната и антенната
техника и т. н.
Кръговите диаграми се явяват незаменимо средство за наглед-
но решаване на споменатите проблеми, без да се прибягва до тру-
доемки начисления. Особено практическо значение са придобили
диаграмата на съпротивленията и диаграмата на Смит. Следващи-
те няколко примера ще се решат с помощта на тези диаграми.
Диаграмата на съпротивленията се простора до безкрайност и за-
това не дава сравнително точни резултати в близост до началото
на координатната система. За разлика от нея диаграмата на Смит
има крайни размери и дава по-точни резултати, поради което се
предпочита в практиката.
60
6.1. ДИАГРАМА НА СЪПРОТИВЛЕНИЯТА
Диаграмата на съпротивленията се състои от прави и окръж-
ности. На фиг. 6.1 е показана част от диаграмата. Начертани са
правите на реалната съставка /? и на имагинерната съставка X на
съпротивленията, а окръжностите и полуокръжностите съответ-
ствуват на съставките
на проводимостите. Ок- А 3
ръжностите, чиито цен- ’
трове лежат на реал- у
ната ос, се наричат G 2
окружности, а тези, чии-
то иентрове лежат на
имагинерната ос, се на- 1
ричат В окръжности.
Обикновено в диаграма-
та О окръжностите се о
означаватс т, а В ок-
ръжностите с Сми-
Л -7
сълът на тези означе-
ния ще се разясни в
следващите раздели при
решаване на задачи от z
линейната техника. -у
Величините R и X се i
нормират спрямо вели- |
чината Z, която в най-
общ случай представля-
ва ВЪЛНОВОТО съпроти- фиг g । Извадка от диаграмата на съпротивле-
вление. По този начин ни ята (Schafer, Plauen, Bestellnummer 555)
диаграмата намира при-
ложение за всички срещани в практиката числени стойности.
Доказателствата, въз основа на конто е построена диаграмата,
могат да се намерят в указаната литература [1], тъй като по
подробните сведения са вън от рамките на настоящата книга-
Начинът, по който се работи с диаграмата и едно от многото.
възможни приложения, ще се разясни от приведените по-нататък
примери.
За по-удобна и бърза работа е желателно да се работи с по-
мощната линийка, която в дадена в приложението. Посредством
помощната линийка могат да се отчитат или нанасят междинни
7? X
стойности на деленията върху осите —g и -g-. Тя има дължина
61
15 сш, която отговаря на нормирана стойност = 3. Ако се удъл-
жи на 25 ст, диаграмата ще може да обхваща нормирани стой-
ности равни на 5. Помощната линиика притежава същите
нормирани стойности като диаграмата и е разграфена допълни-
телно с 0,1 деления.
6.1.1. Преобразуване на съпротивления в проводимости
и обратно
Пример 6.1
Дадено е комплексното съпротивление Z=(l,5+/ 1,65)2. Да
се намери комплексната проводимост 6.
Решение
1. Най-напред върху диаграмата се намира даденото комплек-
сно съпротивление Z. То се определи от пресечната точка на
двете прави, конто се прекарват на разстояние -^-=1,5 от имаги-
нерната ос и на разстояние ~z=l,65 от реалната ос. Отмер-
ването на разстоянието -£- = 1,65 се извършва с помощната ли-
нийка, тъй като тези деления липсват на диаграмата.
2. Точката Z=( 1,5+/1,65)2 се явява пресечна точка на О и
В окръжности. Втората пресечна точка на двете окръжности се
намира под реалната ос. Именно втората пресечна точка пред-
ставлява търсената точка на комплексната проводимост
G=0,31 -j 0,34 = (310 -j 340) mS.
Извършеното построение върху диаграмата е показано на фиг-
6.2. Задачата се решава много по-лесно, отколкото чрез изчисление-
В тази задача не се работи с нормирани стойности, понеже Z=l.
Ако стойността на съпротивлението е от по-висок порядък,
напр.
Z= (1,5+71,65) kQ>
не може вече да се нанесе на диаграмата. За целта е необходимо да
се приведе посредством някакъв коефициент в стойност с по-нисък
62
порядък. Съпротивлението Z= (1,5+/1,65) k2 може да се разде-
ли на 103, след което обаче получената проводимост трябва да
се умножи отново с 103.
По този начин
^ = (l,5+jl,65)2.
За проводимостта се по
лучава тогава
0.1 О3=(0,31—/0,34) S
и
G=(310—/340) pS.
Пример 6.2
Дадена е комплексната
проводимост д=(0,9—/0,7)
S. Търси се комплексного съ-
противление Z.
Решение
Извършва се обратното
на показаното в пример 6.1
построение. Най-напред на
диаграмата се напася точка
Фиг. 6.2. Към пример 6.1. Преобразуване
на съпротивление в проводимост с по-
мощта на диаграмата на съпротивленията
G=(0,9— /0,7) S. След това се намира втората пресечна точка
на G- и Я-окръжностите, която представлява точка Z.
Координатите на точка Z се опре-
делят с помощтана линийката,при
което се получава търсенатастой-
ност на съпротивлението (фиг. 6.3)
Z-(0,69+/0,52) 2.
На фиг. 6.2 е показано гра-
фичното построение към пример
6.2. Вижда се, че точка G не
лежи точно върху В-окръжност.
При такива случаи се прекарва
мислено окръжност през дадена-
та точка и точката на пресичането
се намира с известно приближение
(интерполация).
Фиг. 6.3. Към пример 6.2. Преоб-
разуване на проводимост в съ-
противление с помощта на диа-
грамата на съпротивленията
63
6.1.2. Преобразуване на последователно впаралелно
свързване и обратно
Често пъти се налага схемата на последователно свързване
да се преобразува в еквивалентиа схема на паралелно свързване.
Еквивалентността на двете схеми се определяет условието — при
еднакво приложено напре-
жение да преминава един
и същ ток. Преобразува-
нето се извършва с помощ-
та на формули те
^п~ Rc
R*+X2,
в паралелно свързване съгласно пример 6.3:
а — схема, б — построение
= ~СхГ- (6J>
Преобразуването може
да се извърши също така
само с помощта на диа-
грамата на съпротивле-
нията.
Пример 6.3
На фиг. 6.4 е дадена
схема на последователно
свързване на резистор R и
кондензатор С със стой-
ност на комплексного съ-
противление
Z=Rc—jXc =
= (120—у 100)2.
Да се намери еквивалентната схема на паралелно съединение,
състоящо се от Rn и Хп (фиг. 6.4).
Решение
1. Тъй като дадената стойност се намира вън от пределите
на диаграмата, Z се разделя на 100 и се получава
j0 =(1,2-71)2.
2. С помощта на пергел се прекарват две окръжности, конто
минават през началото на координатната система и през точка Z.
64
Центърът на едната окръжност се намира върху реалната ос, а
центърът на другата окръжност върху имагинерната ос. Радиу-
сите на окръжностите се определи от изразите
17 3 17 а
Г<Э = ~21ГУ = )
Разстоянието OZ=(Z| = 1,56 се измерва с помощта на линий-
ката. Тогава за радиусите имаме
г.^^.22.
3. Пресечните точки на двете начертани окръжности с осите
D V-
и —дават стойности на и Хп. Те се измерват посред-
ством линийката
7?л = 2,042 и ^=2,44 2.
Тъй като стойността на Z беше намалена с мащабния коефи-
циент 100, отчетените стойности за Rn и Хп се умножават със
100, при което се получава
/?„ = 204 2 и Хл-244 2.
Извършеното построе-*о-
ние е показано на фиг.6.4.
а)
Пример 6.4
Дадено е паралелно
свързване според фиг. 6.5
със стойности на елемен-
тите Rn= 1,52 и Хп= 1,22.
Да се намерят стойно-
стите на елементите Rc и
Хс на еквивалентната схе-
ма на последователното
свързване.
Решение
1. Нанасят се стойнос-
тите Rn 1,5 и Хп 1,2 фиг § 5. преобразуване на паралелно в после-
съответно върху реалната дователно свързване съгласно пример 6.4*.
И ИМаГИНернаТа ОС. а—схема, б—построение
2. Начертават се две полуокръжности с радиуси и
Пресечната точка на двете полуокръжности е точката Z=Rc-\-jXc-
С помощната линийка се измерват координатите на пресечната точка
/?г = 0,59 2 и Хс = 0,72 2.
Ь Въведенче в теория га на ... 65
Комплесното съоротивление на последователното свързване е
Z=(0,59+/0,72) 2.
Извършеното построение върху диаграмата е показано на фиг. 6.5.
6.1.3. Задачи от линии с разпределени параметри
Преди да се решат няколко практически примера от такива
линии, е необходимо да се дадат основните формули, по конто
се определи входного съпротивление на линията. Диаграмата на
съпротивленията се построява въз основа на зависимостите, по-
лучени от основните формули. Съпротивлението на линия без за-
губи (фиг. 6.6) се дава от израза
-ф-4-ytgpZ
Rx=z—------------, (б.з)
i+/^-tgpz
където
Z е вълновото съпротивление на линията;
Р — товарного съпротивление;
2-
р — фазовата константа = — —;
I — дължината на линията.
Ако изразът за р се замести в равенство (6.3) и двете страни
на равенството се разделят със Z, се получава
Фиг. 6.6. Означения на съпротивле-
нията на участък от линия с раз-
пределени параметри
/? I
Rxjz+ji^-
Z l-|-j4?tg2-L
Z A
Следователи© e функция
Ra l
на z- и —;
Rx __f { *Rg I \
Z [ Z~' к )•
b R
При -~ = tn = const —g~ e функция
Rx
диаграмите на се означават като
само на —. В този случай
/n-окръжности и съответ-
66
Техният център се намира
а
о---------------
J л = 1т
• . z = 6002
\ 1=30 ст
*(г30$
к
Фиг. 6.7. Към пример 6.5
ствуват на разгледаните по-pa но G-окръжности. Центърът на zn-
i-r I
окръжностите се намира върху реалната ос. При — = const диа-
А
/
грамите се получават като -уокръжности, конто съотвествува
на разгледаните вече 5-окръжностн.
върху имагинерната ос.
Когато диаграмата на съпро-
тивленията се използува за транс-
формация на импеданси с помощ-
та на линия, е необходимо да се
съобразява посоката, по която
точката, отговаряща на даден им-
педанс, се премества по окръж-
ностите на диаграмата, за да
се получи желаната трансформа-
ция. Когато линията се разглежда от потребителя към генератора,
посоката на преместване е по часовниковата стрелка и обрат-
но — при разглеждане на линията от генератора към потреби-
теля посоката на преместване е противоположна на движението
на часовниковата стрелка.
Пример 6.5
Дадена е линия, включена към товар Ra (фиг. 6.7), която има
следните данни: Z=60Q, /?a = 30Q, Z = 30cm, X = lm.
Търси се модулът и фазата на входния импеданс Rx.
Решение
Задачата е най-добре да се реши, като се изходи от потреби-
теля. За а на линията се получават следните стойности:
Х=_2_=о
X 100
и
__ 30 _ Q 5.
Z ~~ 60
т. а се намира върху реалната ос.
За т. b се получава
X ~ 100
През т. а минава /п-окръжност 2. От т. а по продължение на
окръжността по посока на движението на часовниковата стрелка
67
се отмерва разстояние —=0,3. Трябва да се отбележи, че раз-
стоянието едва полуокръжност е равно на- 0,25 -р т. b следова-
телно се явява пресечна точка на /п-окръжност 2 с -----ок-
А
ръжност 0,3. Сега с помощната линийка се измерват координатн-
ых *х и
те —и —~~ на т. 6, конто са равни на
^-=1,55 и -^ = -/0,7.
Стойностите на Rx и Хх при Z=602 са
Rx = Z. 1,55 = 60.1,55=93 2,
Хх=Z. (- j 0,7)=60 а. (- j 0,7)=-j 42 2.
При това входиото съпротивление на линията е
Ч=/?х-/Хх=(93-/42)а.
На модула отговаря отсечка с дължина
|Ых1 _ 1 7
Модулът | Rx | е равен на
=Z. 1,7 = 60 2.1,7 = 102 2.
Фазата се определи от ъгъла между реалната ос и вектора
D I
~^_1, който е равен на —23°. Входного съпротивление на линията
в експоненциална форма е равно на
7?х=102.е-'23°а.
Извършеното построяване върху диаграмата на съпротивленията
е показано на фиг. 6.8. Входного съпротивление има капацитивен ха-
рактер и зависи от дължината на линията /. Ако напр. у- = 0,25 и сле-
дователно , точка о лежи точно върху реалната ос което
означава, че входного съпротивление е реално. С това се потвърждава
своиството на линия с дължина да трансформира съпротив-
ления. В следващия пример ще се определи входного съпротивление
на линия, която е натоварена с комплексно външно съпротивление.
68
Пример. 6.6
Дадена е линия (фиг. 6.9) със следните данни:
Z=602, ^ = (304-/90)2. Z = 0,64 m, X-lm.
Търси се входного съпротивление на линията.
Фиг. 6.8. Към пример 6.5: нами
ране входното съпротивление
на линия с активен товар
z = 60Я
л= 1т
^3052
Xa^J3OSt
Фиг. 6.9. Към пример 6.6
Решение
Изходната посока се избира отново от т. а по посока на ча-
совниковата стрелка, т. е. от потребителя.
За т. а имаме
4=°.
Ra_ 30
Z~ 60
= 0,5,
_/90
Z 60
=/1,5.
От двете координати на диаграмата се намира т. а (фиг. 6.10),
през която минава т-окръжност 7.
За т. b имаме
Д = Ц*. =0,64.
Следователно от т. а по продължение на окръжността по по-
сока на часовниковата стрелка се отчита ^=0,64, с което се сти-
69
га т. b. Тъй като едно пълно завъртане по окръжността е
равно на --=0,5, необходимо е да се прибави само разликата
0,64—0,5 = 0,14. Координатите на т. b се измерват с помощ-
ната линийка
-у = 1,2 и ^=-/2,47.
Z Z J
Оттук за Rx и Хх се получава
RX^Z. 1,2 = 602.1,2 = 72 2,
Xx=Z. (-/2,47) = 60 2 . (- /2,47)
Хх = /148,2 2.
е равно на
Входното съпротивление на линията
Rx = Rx_ j Хх = (72 - j 148,2) 2.
Модулът и фазата се намират, като се измери разстоянието от
т. b до началото на координатната система и се измери ъгълът,
който сключва отсечката с реалната
ос. По този начин входното съпро-
тивление в експоненциална форма е
Rx=Rx.er^y
/<=151 . е~>64°.
Фиг. 6.10 Към пример 6.6: нами-
иране входною съпротивление
на линия с комплексен товар
И в двата показани примера вход-
ного съпротивление съдържа имаги-
нерна съставка. На практика често
се поставя въпрос за реално входно
съпротивление. Чрез т. нар. съгла-
суващи линии, включени към край-
щата на линията, се компенсира
имагинерната съставка на входното
съпротивление. Дължината на съ-
гласуващата линия може да се опре-
дели бързо и лесно посредством
диаграмата на съпротивленията.
Пример 6.7
Дадена е линия, включена към товар /<=1500 2 (фиг. 6.11)’
Стойността на вълновото й съпротивление е Z=300 2. Входното
съпротивление също трябва да бъде 300 2. Дължината на вълна-
70
та е Х = 2,5 т. Да си намери дължината I на линията и дължи-
ната 1С на съгласуващата линия.
Решение
Дължината I на линията се пресмята,
от т. а, която се намира на разстояние
като се изходи отново
Ra __ 1500 г
Z" 300
Получената стойност се на-
R
нася върху оста ^на диа-
грамата. Минаващата през т.
а /n-окръжност се просле-
дява по посока на движени-
ето на часовниковата стрел-
ка до пресичане на вертикал-
r
ната линия 7 ^1.Тази вер-
тикала ни определя условие-
то — реалната съставка на входното съпротивление да бъде равна на
вълновото съпротивление на линията. Получената точка лежи на ок-
ръжност 0,067. Търсената дължина на линията е равна на
1=Х.0,067 = 2,5.0,067 = 0,168 т.
Координатите на т. b се измерват с помощната линийка и за
реалната и имагинерната съставка на входното съпротивление се
получава
T?A. = Z. 1=3002,
%—ЛД
Xx=Z.(- jl,8) = 300.(—jl,8) = — J540 2.
Следователно входното съпротивление е равно на
/?А = (300—/540) 2.
Капацитивната съставка може да се компенсира чрез включ-
ение на съгласуващата линия, посредством която входното съ-
противление става реално. Съгласуващата линия работи накъсо
или на празен ход. В дадения пример съгласуващата линия е за-
творена в края накъсо и притежава вълново съпротивление 300 2.
71
Дължината на линията се намира, като разстоянието на т. b jlq
началото на координатната система се пренесе успоредно в об-
ластта на положителните индуктивни съпротивления на диаграма-
та, докато т. b съвпадне с реалната ос. Получената т. с (фиг. 6.12)
лежи върху имагинер-
ната ос и върху ок-
ръжността -[с = 0,082,
която пресича реал-
ната ос в точка
=1. Дължината
на съгласуващата ли-
ния е равна:
1С -Х.0,082-
-2,5.0,082-20,5 ст.
По този начин ка-
пацитивната съставка
Фиг. 6.12. Към пример 6.7 пресмятане на съгла- на линията — у’540 Q
суваща линия е 1<Омпенсирана и ли-
нията притежава са-
мо реалното входно съпротивление /?х—300 S.
Извършеното построяване е показано на фиг. 6.12. Примерите
от линиите се отнасят за сравнително малки дължини. На прак-
тика линиите могат да бъдат с много по-голяма дължина. Разби-
ра се, отношенията при всички случаи са едни и същи, тъй като
входного съпротивление на линията се повтаря периодично през
всяко разстояние На диаграмата това се вижда твърде на-
гледно. Всяка пълна обиколка по //г-окръжност, която отговаря
на отношението -1 =0,5, ни връща отново в началната точка не-
зависимо от броя на обиколките по окръжността. Оттук следва,
че дължината на линията, определена в дадените примеря, може
да бъде също така по-голяма.
6.2 ДИАГРАМА НА СМИТ
За разлика от диаграмата на съпротивленията диаграмата на
Смит не притежава праволинейни координата. Запазва се само ли-
72
нията на реалната ос, която служи като диаметър на външната
окръжност. Имагинерната ос в резултат на конформно изображе-
ние се превръща във външна единична окръжност, която ограни-
чава полето на диаграмата.
Както и при диаграмата на съпротивленията, областта на ин-
R *
дуктивните съпротивления се намира над оста а областта на
Я г»
капацитивните съпротивления — под оста ~z- Върху външната ок-
I
ръжност са нанесени деленията -у, а именно: веднаж по посока
от потребителя към генератора, т. е. по посока на движение на
часовниковата стрелка, и втори път по посока от генератора към
потребителя, т. е. противоположно на движението на часовникова-
та стрелка. Диаграмата на Смит има крайни размери, поради кое-
то се явява по-точна от диаграмата на съпротивленията. Доказа-
телствата на уравненията, вследствие на конто е построена диаг-
рамата на Смит, са дадени в [1] и [2].
Диаграмата на Смит е приложена към книгата. Следните ня-
колко примера, конто се решават с помощта на диаграмата на
Смит, ще дадат най-добра представа за нейното приложение.
6.2.1. Преобразуване на съпротивления в проводимости
и обратно
Пример 6.8
Дадено е комплексното съпротивление Z=(l,4-f- /1,2)2.
Търси се комплексната проводимост G.
Решение
Графичното решение е твърде просто. Както е показано на
фиг. 6.13, построява се огледалният образ на точката Z спрямо
R 1
центъра на окръжността -£-=1, при което получената точка от-
говаря на проводимостта G. Тя е равна на
G=(0,41 — /0,35) S.
Пример 6.9
Дадена е комплексната проводимост G=(120-f- /90) pS. Тър-
си се комплексното съпротивление Z.
73
Решение
Посредством мащабен коефициент порядъкът на G се при-
вежда в стойност, която удобно може да се отрази на диагра"
мата. При мащабен коефициент 104 се получава
Фиг. 6.13. Към пример 6.8 и
пример 6.9: преобразуване
на съпротивления в провод-
имости и обратно
G. 104 = (1,2 + /0,9) S.
Тази стойност се нанася на диагра-
мата и се намира огледалният образ
спрямо точка = 1. Така намерената
т. Z има координати:
=(о,5з-у о,4) а,
Z=104.(0,53-/0,4) 2,
Z=(5,3—/4) kQ.
Както се вижда, построяването е
аналогично яа пример, 6.8, само че се
извършва в обратна посока.
6.2.2. Задачи от линии с разпределени параметри
Тези задачи се решават с помощта на диаграмата на Смит.
о
9-------------------
Z = S0Z
; А = 2,5Ш
* с
Пример 6.10
На фиг. 6.14 е дадена линия с параметри
z=6oa, /?а=зо а, /=
= 1 ш, Х = 2,5 ш.
Да се намери входното
съпротивление Rx на ли-
нията.
Xa-SOSt
b
Фиг. 6.14 Към пример 6.10: намиране
входното съпротивление на линия
на
Решение
За изходна точка се при-
1 А Ra 30
точка —т- = 0 и -^-==-^г =
X Z 60
^=0,5 и
ема краят на линията, т. е. т. а. За
= 0,5. Върху координатната ос-^-се нанася стойността-^
тази
74
през получената точка се прекарва помощна окръжност с цен-
Г D I
тър В“2" =1 (фиг. 6.15). Т. с се намира, след като по скала —
се отмери разстоянието
Фиг. 6.15
по посока на движение на часовникова-
та стрелка. От тази точка се прекарва
права, която минава през-^-=1. Пре-
сечната точка на тази права с помощ-
ната окръжност ни дава търсената т.Ь и
същевременно координатите на Rx. Коор-
динатите на Rx се определят от пре-
сечните точки на окръжностите, мина-
, R*
ващи през т. о с оста - и съответно с
JX
външната окръжност - , при което се
отчитат стойностите
-^- = 0,68 и ^/- = -/0,47.
Оттук
RX = Z. 0,68 = 40,8 Q
и
Xx=Z.(- /0,47)=60.(— /0,47)= — /28,2 2.
Входното съпротивление следователно е равно на
Rx = Rx~ JXx=(40,8- j 28,2) Q.
Пример 6.11
Дадена e линия, електрическата схема на която е показана на
фиг. 6.16. Параметрите й са 7?а=(30+ /90) Q, / = 0,64 m, Х=1ш.
Да се намери входното съпротивление Rx.
Решение
R
Най-напред на диаграмата се нанася т. а с координати =
30 ПС Ха /90 чету
= б0=0,5 и -^=7 1,5. Както в предшествуващия пример
се начертава помощна окръжност с център в т. = 1. Т. а се евър-
75
ft
зва с т. посРеДством права. Пресечната точка на тази пра-
ва с външиата 4— скала ни дава т. с. Т. d се намира, като от т.
с по скалата се отмеря разстоянието
= = 0,64.
____1 Z=6OS2 ।
I Л = 7т I \^J90R
о----------------------о--г “
1=о,Б4т м|
Фиг. 6.17. Към пример 6.11:
намиране на входною съпро-
тивление при комплексен товар
Фиг. 6.16. Към пример 6.11
Тъй като една пълна обиколка отговаря на^ =0,5, по посо-
ка на движение на часовниковата стрелка се нанася само разли-
ката0,14. Намерената точка се свързва посредством права с т.
ft
-g -= 1 на реалната ос. Пресечната точка на правата с помощната
окръжност ни дава търсената т. Ь. Тя има „координати*
~ = 1,2 и ^=/2,45.
Следователно
RX=Z. 1,2 = 60.1,2=120 Q,
Хх = Z. ( -j 2,45)=60 (-j 2,45) = -j 147 2.
Входного съпротивление Rx е
7?x = (120-/147)Q.
Извършеното построяване върху диаграмата е показано на
фиг. 6.17.
76
7. ИЗБРАНИ ПРИМЕРИ ЗА ПРАКТИЧЕСКО ПРИЛОЖЕНИЕ
НА ДИАГРАМИТЕ
7.1. ДИАГРАМА НА ВХОДНОТО СЪПРОТИВЛЕНИЕ НА ПОЛУВЪЛНОВ
ВИБРАТОР С Т-ОТВОД
На фиг. 7.1 е показан познатият полувълнов вибратор с Т-от-
вод. Според [3]той притежава .ледните нормирани параметри:
отношение на диаметрите
ж - х
коефициент на дебелина
нормирано разстояние
L
нормнрана дължина
нормиран отвод
За практически начисления могат да се направят следните пред-
положения и ограничителни условия:
1. Отношение! о на диаметрите трябва да е равно на единица,
т. е. di—di. '
2. Коефициентът на дебелияа се приема постоянен и при
честота /=200 MHz равен на 150.
3. Употребеният материал е с
дебелина около 10 mm.
4. Нормираното разстояние
е също постоянно и за честотата
/=200 MHz е обикновено
равно на 0,033. При това разстоя-
нието а е около 50 mm.
5. Нормираната дължина .-е
А
Фиг. 7.1. Полувълнов вибратор с
Т-отвод
около 0,45, т. е. общата дължина на дипола е Zt=700 mm.
77
С така избраните конетаити
J-=l,
4 = 150,
di
4-=0,0 зз.
А
Z1 = 700
са свети чрез измерване (вж. приложението фиг. 7.2) диаграмите
на входното съпротивление на полувълнов вибратор с Т-отвод в
зависимост от честотата (170-Т-230 MHz). Нормираната стойност
на отвода е дадена като параметър, т. е. диаграмите са измере
/а
ни при различно отношение което за отделните криви има
следните стойн ости:
крива 1 при отношение -р-=1,
ч
крива 2 при отношение -^- = 0,4,
ч
крива 3 при отношение -^- = 0,2
ч
От диаграмите се вижда, че само диаграмата с крива 1 пре-
сича реалната ос. Останалите две криви са разположени над ре-
алната ос. Стойностите на диаграмата са нормирани 3aZ=2.40Q
и входното съпротивление е равно на
/?6r = Z.(a+- jb) = 240 (a+Jb) Q.
p
Крива / пресича реалната оспри честота /=192,5 MHz,
т. е. диполът има резонанс и входното му съпротивление е реалг
но. За втората пресечна точка с реалната ос диполът има също
резонанс, конто обаче няма практическо значение, понеже за тази
честота се променя диаграмата на излъчване на дипола. Пресеч-
ната точка с реалната ос се намира на разстояние
4 = 1’15.
при което входното съпротивление е равно на
/?ex = Z.(l,15 + /0)=240.1,15 = 276 Q.
Към дипола следователно може да се евърже кабел със стой-
ност на вълновото съпротивление между 240 и 300 Q. Теоретич-
78
ните изследвания са потвърдени от практиката. Диполът с отно-
/о
шение -р
1 (/2 = I}) е известен като шлейфвибратор и представ-
лява частей случай на полувълнов вибратор с Т-отвод. Както се
знае, шлейфвибраторът притежава входно съпротивление със спо-
менатата вече стойност.
Крива 2 и 3 не пресича реалната ос. Входното съпротивле-
ние за всички честоти между 170 и 230 MHz е комплексно. За
честотата, при която входното съпротивление на шлейфвибратора
(крива /) е реално, входното съпротивление на останалите полу-
вълнови диполи е
/?вх = 240. (1,8+/0,95) = (432+/228) 2 (крива 2),
/?вх = 240. (0,3+/’0,65)=(72+/165)2 (крива 3).
С помощта на диаграмите може да се установи, че реалната
съставка на входното съпротивление приема различии стойности
при различии Т-отводи. Но този начин полувълновият вибратор
с Т-отвод позволява да се осъществи трансформация на съпро-
тивленията в определени граници, което е от голямо значение при
съгласуване на дипола към даден кабел, отвеждащ енергията.
7.2. ДИАГРАМИ НА ПРИВИДНОТО СЪПРОТИВЛЕНИЕ
НА СТАБИЛИЗАТОРЫИ ЛАМП И
Лампите за стабилизация на не много високи постоянни нап-
режения намират приложение в различии устройства. За обикно-
вени практически случал не се взема под внимание зависимостта
на вътрешното съпротивление на стабилизаторната лампа от че-1
стотата. Когато обаче в захранващото напрежение и съответно в
тока през товара съществуват съставки с по-висока честота, влия-
нието на вътрешното съпротивление вече не може да се пренеб-
регне. Високочестотни съставки могат да се появяват при импулс-
на промяна на товара или при серийно свързани газонапълнени
изправителни лампи (в областта на килохерцовия обхват).
В [4] са дадени данни от измервания на вътрешното привидно съ-
противление на стабилизаторната лампа St R 85/10. Диаграмите на
привидното съпротивление на StR 85/10 в обхвата от 0 до 200 kHz
са показани на фиг. 7.3. За параметър на различните криви слу-
жи работният ток. Кривите са снети при стойности на работния
ток 1В =1,5; 2; 3 и 4 mA. От диаграмите се вижда, че привидно-
то съпротивление расте с повишаване на честотата и има предим-
но индуктивен характер. При твърде високи честоти обаче придо-
79
бива отново реална стойност. Индуктивната съставка на съпро-
тивлението на лампата следователно може да се компенсира чрез
паралелно включване към стабилизаторната лампа на кондензатор
с капацитет Сп. Тази възможност се потвърждава от графиката,
Фиг. 7.3. Диаграмм на импеданса на
STR 85/10 с параметър работния ток
според [4]
Фиг. 7.4. Диаграми на импеданса при
ZB=3mA:
а — без паралелно свързан кондензатор,
Ь —с паралелно свързан кондензатор
показана на фиг. 7.4. На фигурата са съпоставени диграмите на
две криви при стойност на работния ток, равна на 3 mA. Едната
от тях е снета без паралелно включен кондензатор, а другата с
включен капацитет 10 nF. Дадените диаграми за StR 85/10 се отнасят
по принцип и до други стабилизаторни лампи и направените за-
ключения могат да се приложат в по-общ случай.
7.3. ДИАГРАМИ НА ТРАНЗИСТОРИ
Динамичните характеристики на транзисторите на практика се
определят от параметрите на четириполюсниците. Познаването на
тези параметри е необходимо при използуването на транзистора
в дадена схема и при определен честотен обхват.
Докато при ниски честоти се използуват реалните стойности
ни А-параметрите, при високи честоти, напр. в областта на VHF
и UHF-обхватите, транзисторите се характеризират с комплексните
стойности на проводимостите или с т. нар. _у-параметри.
80
зависимост от приложение™ на тран-
Фиг. 7.5. Еквивалентна схема на транзистор с
^•параметри
К-параметрите зависят от честотата и затова тяхното измене-
ние е целесъобразно да се представи във вид на диаграми. В ка-
талозите на фирмите-производителки приведените диаграми са по-
лучени чрез измерване. ~
зисторите диаграмите
са за схема обща
база или за схема общ
емитер. На фиг. 7.5 е
дадена еквивалентна
заместваща схема с
jz-параметри на тран-
зистор, валидна за
всички основни схеми
на включваре. У-пара-
метрите на еквивалент-
ния четириполюсник са
свързани със следната система уравнения:
z2—.У 12 • #1+У22 •
При това отделяйте параметри се определят от уравненията
при следните условия:
Фиг. 7.6. Диаграма на входната про-
водимост ущ, на транзистора GF 145
Фиг. 7.7. Диаграма на обратната про-
водимост у12Ь на транзистора GF 145
б Въве дение в теорията ...
81
входна проводимост ==£ii+./&ii (изходът даден накъсо);
обратна проводимост у12=-£- =£12 +jb^ (входът даден накъсо);
стръмност _у21 =
*2
«1
= £21+ /^21 (изходът даден накъсо);
изходна проводимост у22
*2
й2
—gt2+jb22 (входът даден накъсо).
-60 -50 -1(0 -30 -20 -10 О 10
Фиг. 7.8. Диаграма на стръмността у31Ь на
транзистора GF 145
Фиг. 7.9. Диаграма на изходна-
та проводимост у2<>ь на тран-
зистора GF 145
На фиг. 7.6 да 7.9 са дадени диаграмите на транзистора GF145
за схема обща база. Колекторният ток е 1,5 mA при —£/св=12 V.
Честотата се измени от 40 до 800 MHz. С помощта на диаграми-
те веднага може да се намери стойността на даден параметър
при интересуващите ни честоти. Как се променят параметрите на
транзистора GF145 в зависимост от честотата, може да се види
и от следните данни, съпоставени за честоти 100 и 800 MHz:
/=100 MHz /=800 MHz
yUb: (47-/12) mS (5,5-/14,5) mS,
y12b: (-0,04-/0,08) mS (-0,27-/0,31) mS,
82
.JW (-41+/17) mS (10+/12) mS,
У22b- (0,02+/0,9) mS (0,4 +/7,5) mS.
За сравнение с транзистора GF145 нафиг. 7.10 до 7.13 сада-
дени диаграмите на j-параметрите за схема общ емитер на сили-
Фиг. 7.10. Диаграма на входната про-
водимост у11е на транзистора SF 136
Фиг. 7.11. Диаграма на обратната
проводимост у^е на транзистора
SF 136
циевия транзистор SF136. Тъй като транзисторът е най-целесъоб"
разно да работи в схема общ емитер, в каталога са дадени диа-
грамите на ^/-параметрите само за тази схема. Например от диа-
грамите могат да се отчетат за честота /=50 MHz следните
^/-параметри:
Л1е = (2>2+73>5) mS>
Ji2e=(0,017+/0,58) mS,
J2i. = (35+/39) mS,
№e = (1,15 +/1,3) mS.
83
Производителят дава обикновено характеристиките на транзи-
стора като фамилия от криви, конто са снети при различии стой-
ности на -'.олекторния ток.
Уне)
Фиг. 7.12. Диаграма на стръмността
уЛе на транзистора SF 136
Фиг. 7.13. Диаграма на изход-
ната проводимот j/22e на тран-
зистора SF 136
7 4. ДИАГРАМА НА СЪГЛАСУВАЩ ТРАНСФОРМАТОР
Докато в силнотоковата техника трансформаторът се оразме-
рява с оглед на оптимални преводни отношения и коефициент на
полезно действие, в слаботоковата техника обикновено се поставя
условието за максимално отдалена ефективна мощное. Р. Ra към
товарното съпротивление Ra.
Входното съпротивление на идеален трансформатор с превод-
но отношение
евързан към товарно съпротивление Ra, е равно на
/?вх=л2./?в.
84
Когато следователи© е необходимо товарът на консуматор Ra
да се съгласува с вътрешното съпротивление /?,• на променливо-
токов източник, между променливотоковия източник и товара
трябва да се свърже трансформатор с преводно отношение
Фиг. 7.14. Опрсстена еквиалентна
схема на съгласуващ трансфор-
матор
Получените зависимости се
отнасят само за идеален трансфор-
матор. На практика за пренася-
нето на даден честотен обхват
трябва да се вземе под внима-
ние зависимостта на преводното
отношение от честотата.
На фиг. 7.14 е показана опро-
стена еквивалентна схема на ре-
ален трансформатор. Входното съпротивление, определено по тази
схема, е равно на
Rex=n2. Ra /—\+jwaZ-i,
1+Ц^- )
където
а=1—Л2 е коефициент на разсейване.
Входното съпротивление на реалния трансформатор се разли-
чава значително от входното съпротивление на идеалния транс-
форматор. То зависи от честотата и може да се представи във
вид на диаграма.
Какво би представдявала тази диаграма? За ниски честоти из-
разът jwaZq може да се пренебрегне, при което се получава па-
ралелно включване на индуктивността jwLj и съпротивлението
л2/?д. Както е известно, диаграмата на такова паралелно включване
е полуокръжност, разположена над реалната ос. При по-високи
честоти трябва да се вземе под внимание изразът jwsLp вследствие
на което имагинерната съставка на входното съпротивление за-
почва да нараства пропорционално на честотата.
Диаграмата на входното съпротивление на съгласуващ трансфор-
матор за честоти от 0 до 15 kHz при постоянен товар Ra, равен
на 22, и с преводно отношение
_240нав
w2 ~ 24нав
е показана на фиг. 7.15.
На диаграмата се виждат направените вече предположения
за характера, по който се променя входното съпротивление в за-
85
висимост от честотата. На диаграмата могат да се установят също
така горната и долната гранична честота на използувания често-
тен обхват. За целта се прекарва права линия под ъгъл 45° спря-
мо реалната ос. Пресечните точки на правата с диаграмата при-
Фиг. 7.15. Диаграма на входната проводимост на съгласуващ трансформатор
тежават фазов ъгъл 45° и се явяват гранични точки на обхвата.
Честотният обхват на съгласуващия трансформатор следователно
се намира между честотите /1 = 30 Hz и = kHz.
в. Литература
1. Autorenkollektiv: Grundlagen der Elektrotechnik, Band II, Wechselspannungs
technik, VEB Verlag Technik, Berlin, 1969.
2. Kammerloher, J,: Hochfrequenztechnik Teil I, C. F. Wintersche Verlagshan*
dlung Fussen 1957.
3. Spindler, E.: Anpassung von Halbwellendipolen an das Energiekabel, .radio
und fernsehen*, 13. Jahrgang (1964), Heft 14.
4. Becker, W.: Frequenzverhalten von Stabilisatorrohren, „radio, fernsehen, elek-
tronik“ 20. Jahrgang (1971), Heft 12.
5. —, Kataloge fur Silizium- und Germaniumtransistoren, Kombinat VEB Halblei-
terwerke Frankfurt (Oder), Ausgabe 1970/71.
87
СЪДЪРЖАНИЕ
ПредЕОвар........................................................ &
1. Какво представляват векторните диаграми?......................... 5
2. Изобразяване на променливи величини.............................. 7
2.1. Графично представяне............................................. 7
2.2. Векторно представяне............................................. 7
2.3. Символичен или комплексен метод.................................. 9
2.3.1. Три основни форми на комплексното число........................ 10
2.3.2. Конюгирано комплексно число.................................... 10
2.3.3. Изобразяване на комплексни съпротивления....................... 1^
3. Основни понятия от теорията на кръговите диаграми............. 14
3.1. Инверсия ....................................................... 14
3.1.1. Намиране инверсията на точка чрез пресмятане................... 14
3.1.2. Графично построяване на инверсна точка......................... 15
3.1.3. Графично построяване на инверсна крива........................ 2()
4. Кръгови диаграми на комплексни съпротивления и проводимости 23
4.1. Кръгови диаграми при постоянна честота и изменяща се стойност
елемент от схемата...................................................... 23
4.1.1. Последователно свързване на резистор и бобина.................... 23
4.1.2. Последователно свързване на резистор и кондензатор............... 24
4.1.3. Паралелно свързване на резистор и бобина......................... 25
4.1.4. Паралелно свързване на резистор и кондензатор.................... 25
4.2. Кръгови диаграми при изменяща се честота и постоянни стойности
на елементите на схемата................................................ 26
4.2.1. Последователно свързване на резистор и бобина.................... 26
4.2.2. Последователно свързване на резистор и кондензатор............... 27
4.2.3. Паралелно свързване на резистор и бобина......................... 27
4.2.4. Паралелно свързване на резистор и кондензатор.................... 28
4.3. Кръгови диаграми на последователен трептящ кръг................. 29
4.4. Кръгови диаграми на паралелен трептящ кръг...................... 30
4.5. Примери на прости кръгови диаграми............................... 30
4.6. Принципно изобразяване на кръгови диаграми на някои основни схеми 40
4.7. Кръгови диаграми на сложни схеми................................ 40
5. Кръгови диаграми на ток и напрежение.............................. 52
6. Видове кръгови диаграмм, използувани при изчисленията ... 60
6.1. Диаграма на съпротивленията....................................... 6^
6.1.1. Преобразуване на съпротивления в проводимости и обратно .... б2
6.1.2. Преобразуване на последователно в паралелно свързване и обратно . 6^
6.1.3. Задачи от линии с разпределени параметри......................... 6&
6.2. Диаграма на Смит.................................................. 72
6.2.1. Преобразуване на съпротивления в проводимости и обратно .... 7&
6.2.2. Задачи от линии с разпределени параметри......................... 74
88
7. Избрани примеря за практическо приложение на диаграмите . 77
7.1. Диаграма на входното съпротивление на полувълнов вибратор с 't-
отвод ................................................................ 77
7.2. Диаграми на привидното съпротивление на стабилизаторни лампи . 79
7.3. Диаграми на транзистори.................................. 80
7.4. Диаграма на съгласуващ трансформатор...................... 84
8. Литература.................................................. 87
89
ВЪВЕДЕНИЕ В ТЕОРИДТА НА КРЪГОВИТЕ ДИАГРАМИ
Автор Хорст Фрай
Преводач инж. Никола Георгиев Пенчев
Първо издание
Немека (ГДР)
Научен редактор инж. Емилия Станачкова Атканова
Художник Георги Велев
Художник-редактор Вени Кантарджиева
Технически редактор Антон Баев
Коректор Станка Митева
9533122211
Код 03 3174—81—81
Издателски № 13067
Дадена за набор на 29. VI. 1981 г.
Подписана за печат на 30. X. 1981 г.
Излязла от печат на 5. XI. 1981 г.
Формат 16/60/84
Печатни коли 5 75
Издателски коли 5.36
УИК 5,05
Тираж 2100+85
Цена 0,42 лв.
Държавно издателство „Техника*, —-София, бул. Рус ни 6
Държавна печатница „Г. Димитров* — Ямбол
I I I I | '( I I 111.Г I I 'rfT'i i i | I I I i । i i I I
0,5 1 15 2 2,5
Помощна линийка кт диаграмата на сьпротиблвниата
г. 7.2. Диаграма на входното съпроти^’сиие на полувълнов вибратор с Т-этвод според [3J
Цена
0,42 лв.
Очаквайте следващата книж-
ка от „Библиотека по радио-
електроника"— „Видеоусилва-
тели в телевизионната техни-
ка" от Н. Недялков.