/
Similar
Text
Г- /8 8
АРИФМЕТИЧЕСКИХ
3
S'
I
f
Ку^Ьтурно-ПроСвЕтит^ЬноГ
Кооп£'ршпивноСТовариц1Е£тво
^Н/1Ч^ТКИ ЗНАНИЙ '
/1СНИНГР4Д ^^24
____1|
Щ/МШрЯ
-
И. И. ГРАЦИАНСКИМ
для IV и V ГОДА
ОБУЧЕНИЯ
, И. И. ГРАЦИАНСКИЙ
* ‘ и
— - ‘
СБОРНИК
АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ДЛЯ IV И V ГОДА ОБУЧЕНИЯ
КУЛЬТУРНО-ПРОСВЕТИТЕЛЬНОЕ
КООПЕРАТИВНОЕ ТОВАРИЩЕСТВО
„НАЧАТКИ ЗНАНИЙ“
ЛЕНИНГРАД—1921
Разрешено к выпуску в свет Государ-
ственным Издательском за № 1128
в количестве не более 20.000 экземпл.
Ленпнградский гублит N? 11837.
Заказ № 807
Тираж 10.000 экз.
Военная Типография id!таба Р--К. К. А. (Плошадь Урицкого, As 10j.
ри‘й‘ш ь ч ।
л» , I ТГ л_ ЛНЛГ» V» I TZ А ГГ’ А > V**
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Этот сборник арифметических задач предназначен для
4-го и 5-го годов обучения, т.-е. для клг ссов Г и Д первой
ступени. Содержание сборника и его особенности можно
усмотреть из оглавления, которое разработано с большой
подробностью, чтобы дать возможность учащим быстрее озна-
комиться с построением сборника и облегчить перегруппи-
ровку материала если на практике явится в этом необхо-
димость. В основу построения положены те же принципы,
что и в программе Наркомпроса 1921 г. Поэтому, вкратце,
данный сборник можно охарактеризовать, как один из воз-
можных вариантов развития идей программы Компроса
1921 г. для класс! в Г и Д, применительно к современному
состоянию русской школы.
Книга эта должна была появиться еще в октябре минув-
шего года. Поэтому для многих школ, успевших значигельно
окрепнуть и развиться за минувший 1922—23 учебный год,
предлагаемый здесь материал окажется минимальным и тре-
бующим некоторого расширения. Так, для некоторых школ
Ленинграда элементы алгебры, быть-может, следовало бы
усилить. Но составитель ограничится изложенным здесь мате-
риалом, так как количественное увеличение материала,
в котором может возникнуть надобность, легко может быть
сделано на основе данного сборника J); производство же
новой переработки материала связано с риском задержать
появление книги на неопределенное время.
Конечно, данный сборник, как и всякий другой, пред-
ставляет собою лишь материал, который используется уча-
щими в зависимости от развития класса и иных обстоя-
тельств. Это общее положение особенно необходимо иметь
в виду по отношению к упражнениям в применении бук-
венных обозначений для формулировки свойств чисел.
Признавая этот факт, составитель вместе с тем считает
важным, чтобы в книге для учеников были такого рода
*) Свою точку зрения составитель надеется развить в уже подготовленной
к печати брош эре ,0 введении oaei ентов алгебры в школах I ступени*.
1*
4
упражнения, хотя бы для того, чтобы дать работу учащимся
с повышенным интересом к математике.
По тем же соображениям в конце книги (стр. 274)
дан материал, выделенный, как совершенно необязательный,
в особое приложение. Этот материал, как и формулировка
свойств чисел, способствует выработке отчетливого понятия
о десятичной системе счисления и о системе счисления
вообще и является теоретизующей работой, на необходимость
которой для математического образования так часто указы-
вается. Он может быть использован попутно, прп повторении
соответствующих вопросов; или предоставлен для самостоя-
тельной проработки учащимися в кружках* или, наконец
просто прочитан теми из учащихся, которые им ааинтере-
суются. Как бы то ни было, составителю представляется
очень полезным введение материала, помещенного в прило-
жении, в книгу для учащихся. По поводу этого отдела легко’
можно ожидать упреков за его краткость и недостаточную
полноту; в частности, за недостаточную разработку статьи
о недесятичных системах счисления. Но составитель выну-
жден был, по независящем от него обстоятельствам, сокра-
тить этот краткий отдел, опустив 5 страниц, как раз
посвященных кедесятичным системам счисления.
В сборнпк0 можно найти не мало задач реального
содержания; составитель стремился также облегчить учащим
об’единение всех отделов математики и установление связи
с другими предметами. Но составитель ни в коем случае не
отожествляет работу по математике с разучиванием каких бы
то ни было „типов" и „правил", хотя бы составленных
применительно к современности; по его мнению, гораздо важнее
усилить работу по изучению зависимостей и составлению
задач учащимися ’).
По независящим обстоятельствам, некоторые задачи ока-
зались из’ятыми из текста, за что составитель ни в какой
мере не отвечает.
1923 г. Ив. Грацианский.
*1 Между прочим, в этом
(больше, чем это делается обычной
мер пред русскими, а на стр. 27-й
в другие.
<Сбнрнике» поращено большое внимание
на выяснение преимуществ метрических
дайн таблицы для перевода одних мер
ЧАСТЬ I.
4-й год обучения.
Повторение арифметики целых чисел. Подготовитзьный курс
дробей.
I. Введение.
1. Русские меры и обыкновенные дроби.
Измерение и русские меры.
1. а) На чертеже на-
несен план усадьбы в дач-
ной местности. На осно-
вании этого плана опре-
текить, какую площадь в
действительности зани-
мает каждая из пастей
этой усадьбы.
б) Начертить план
садьбы, на которой вы
прожили это лето. С по-
мощью вех отмерить по прямому направлению расстояние
т/4 версты (т/2 версты)4). Начертить это расстояние по масштабу.
в) С помощью эккера выделит.. на поле участок земли
в у десятины, отметить на нем какой-нибудь пункт. Начертить
на тане этот участок с нанесением на нем отмеченного
пункта. Вычислить площадь этого участка на плане.
г) Произвести измерение всех интересных мест около
вашего дома (школы); начертить по масштабу измеренные
расстояния. Вычертить планы обмеренных участков. (Всегда
ли это легко?)
Вычислить пЯощади на плане и в det'cmeumt лъностм
всех начерченных участков. (Всегда ли это легко?)
*) Указания для работ по измеренью земли (описание приборов, их при-
менение, вычерчивание планов и т. и.) см. Орлов, С., „Первые работы по измерению
земли', Гос. Изд. 1921. Знаменски1, М., .Математика дето."*, Гос. Изд. 1918.
6
Всегда ли при измерениях мера укладывается целое
число раз в измеряемой величине? Достаточно ли целых чисел
для записи результатов измерений?
Русские меры. Обыкновенные дроби.
2. Какую часть сажени составляет 1 арш.? Записать в виде таб-
п я 1 » Я 1 фут? лицы: 1 аРш-=з саЕ
7) я аршина 1 3 Q И т. д. 1 веош г
к , фута 1 д£?
я я дюйма п 1 линия?
я я аршина я 1 дм.?
я я , версты 1 саж.?
Какую часть сажени составляет 2 арш.?
Я я Я я 2, 3 5 фут.?
я г аршина я 2, 3, 7, 9 верш.?
я я фута я 5, 7, 11 дм.?
я я аршина п я я » я
99 я дюйма я 3, 5, 7, 9 линий?
Какую часть лота составляет 1 зол.?
•9 я Фунта 1 лот?
Я » пуда 1 фунт?
Какую часть лота составляет 2 зол.?
я Фунта з, |7, 16, 21, 29 лот.?
я я ' пуда з, 9, 11. 17, 19, 39 фунтов?
Какую часть четверти составляет 1 чк.? 2 чк.? 3, 5, 7 чк.?
Я я четверика я 1 гарн.? 2, 3, 5. 6 гари..
Какую часть минуты составляет 1 сек.? 3, 7, 11 17, 31,
51, 59 сек.?
Я я часа я 1 мин.? 7. 21, 30, 41, 47,
53 мин.?
» я суток я 1 час? 3 часа? 6, 11 час.?'
21 час? 23 часа?
3. Выразить с помощью более мелких мер (простым
ити составным числом):
72 арш.; */4 арш.; 78 арш., 7'1с арш.;
272 apni.; 37s саж.; Ю*/4 фут.; 778 версты.
7
117s пуд.; 51/,, пуд.; 47^ пуд.; 21/3 лот.; 3\/4 зол.
372 чт.; 478 чк.; 7’/4 чт.
27* часа; ?710 мин.; 3 /2 суток.
Выразить с помощью более мелких мер (простым иле
составным числом):
2s/4 ?-pni.; 123/8 арш.; 15/16 арш.; 3 /3 саж.; 112/3 фута; 173/6 версты.
1578 пуд.; 1ОР/2о пуд.; 43/10 пуд.; 2Э/3 лот.; 33/8 зол.
43/4 чт.; 578 чк.; 15s/8 чк.
423/4 час.; 1 075/6 мин.; 33/8 суток.
Выразись в более крупных мерах (в виде целого
с дробью) ’):
5 арш.; 17 верш.; 39 верш.; 50 дм.; 750 саж.; 550 саж.;
4215 арш; 1716 верш.; 1000 дм.; 20000 фут.; 37560 арш.
>
Как удобнее записывать результаты измерения: це-
лым с дробью или составным именованным числом? Почему?
Неправильная дробь.
t
4. 1) Прут длиною 5 фут. разрезать на равные части
каждая длиною 7а (7*? 7в) ФУТ- Рассчитать, не разрезая,
сколько выйдет таких кусков?
2) Купили 15 бут. молока и разлили в кружки, по
73 бут. в каждую. Сколько кружек наполнили молоком?
3) Кусок веревки длиною в 5 арш. разрезать на части
каждая по У4 (78, 7ю) аРш- Сколько кусков получится из
этой веревки?
5. 1) Для трудовой школы присылают 4278 фунта
хлеба ежедневно на завтрак; каждому полагается по 78 фунта.
Ча сколько детей рассчитано это пропитание?
2) Кусок веревки длиною 123/5 арш. разрезали на
части, каждая длиною 76 аРш- На сколько частей разрезана
веревка?
3) Для отряда солдат на сутки заготовили 407^ фун.
мяса, по 7« Фун. на каждого. Сколько человек было в отряде?
’) См. Грацианский, тСбори. арифм. задач, целые числа , изд. 5-е,
стр. 132.
8
4) 105/8 фун. винограда разложили в пакеты по */8 фун
в каждый. Сколько пакетов вышло из всего этого количества
винограда?
6. ' Обратить в неправильную дробь следующие числа:
2|, 114, 31, 4/5, 18*, 202, 27|, 12$,
Hi, 71, 14>, 10й, 8g, 15g, 16J, 17|.
7. Обратить в неправильную дробь:
8|, 51, 4|, 7Д, 125, 138, 194,
20|, 15|, 2O0J, 401Э, ЮОЦ, 2010^, 1892о.
15
8. По продовольственным карточкам выдали у фун.
крупы. Сколько целых фунтов и какую часть фунта сверх
того составляет это число?
9. Несколько одинаковых кругов разрезали ва части
равной величины; часть этих долей круга потерялась, уце-
27
лело же-g- круга. Сколько целых кругов составляет это число
и какую часть круга сверх этого?
Веревку мерили куском в 4 аршина, причем оказалось, что
29
длина ее у арш. Сколько целых аршин и какую сверх
этого часть аршина составляет веревка?
17
Ученику дали у лцста бумаги. Сколько это составит
целых листов? Какую сверх того часть листа?
10. Представить смешанным числом (т. е. целым с дробью)
следующие числа:
5 10 39 41 7 29 125
у арш.; у ведра; у дм.; метра; у арш.. у чк^ -^версты,
355 17 „ 25 39 127
Пз саж.; у фунта; у лота; пуда; кгр.
11. Выразить смешанным чйслом следующие числа:
451 87 14S 285 _ 487 987 59
10 аРш-5 -дДМ-; 12 саж., фут.; пуд.; версты; у чк.;
151 200 117 159 _ 63
15 ведра; -у лот.; п гари.; -эд фут.; у зол.
* W- / ?
недрамиль^рй , inez* числр:
20 100 201 305 ''&£) ‘
У> 17’ ~12 ' ‘2Г’ 44 (
400 803 941 1035 951 2‘W
11 ’ 25 ’ 10 ’ 20 ’ 40 ’ 50 ‘
12. Исключить из
. *
5 10 15
У’ У’ 4 ’
29 31 54
У’ У’ 5’
13. Исключить
из неправильной дроби ц лое чистй:
85 75 101 495 501 797 1099 2551 897
10’ У’ 4 ’ 20’ ~2t’ "50“’ 30 ’ 100 ’ 200’
409 2897 5097 7407 3990 102о1 9999
8и’ 100 ’ 1000’ 500 ’ 250’ ' 8и0 ’ 2000 "
Раздробление дробей в более мелкие доли1).
14. Сколько в одной половине четвертей? восьмых?
Сколько в одной трети шестых долей? двенадцатых
долей?
Сколькб в одной пятой десятых долей? сотых долей?
15. Выразить несколькими способами число |.
Выразить различными способами число 1.
Выразить более мелкими долями число
16. Сколько в I двадцатых? Сколько двадцатых в g?
Сколько в | сороковых? Сколько Сороковых в j?
Сколько тридцатых в ^д? в Т3С? в ?в?
Сколько семьдесят пятых в J? в ^, в }??
Сколько девяностых в i, g? в в в JJ,?
Сколько сотых в I, |? в т*б, т%? в 2«0, ц, jft?
Сколько трехсотых долей в ^0, ^b, g®? в 2l?;, 2v, у?
в -Ч-- —*>_ 9 в J 11 3»?
D too? 100? 100- ° *15? 15? 15*
17. Разрезали фунт мыла сначала пополам, потом на
куски, каждый по ф^н. Сколько десятых долей фунта нужно,
чтобы получись 72 фун.?
Пряник весит Д фун. Сколько пряников нужно взять,
чтобы получить 7* ФУН”
Лента нарезана кусками, каждый Д арш. Сколько ку-
сков нужно взять, чтобы получить 1 арш.?
*) Раз’яснить на чертеже.
10
18. Раздробить:
| в сороковые доли.
i „ девятые „
I „ сотые
| „ четырнадцатые дол
| в тридцатые доли
„ шестидесятые доли.
2*б ,, сороковые „
х\я пятьдесят пятые доли.
19. Раздробить: 20. Раздробить в одинаковые доли:
1 2 1 л 3 ? 1 В 12 доли. 1 3 1 4 J 6*
L 10 > X 6 9 ж я 30 п х 0 J 1 X S ? 3“
1 * 7 23 5 А я 200 п X 2 ? 7 3 5*
А > А, 1 Н п 120 я _д 20 J оО J ?0'
21. В складе купили | фун. фун.) чая, причем чай
оказался закупоренным в пакеты по восьмушке в каждом.
Сколько восьмушек чая купили?
Лист бумаги разрезали на равные части, в каждой по
листа. Сколько двенадцатых долей нужно взять, чтобы
составить j листа? | листа? | листа?
Прямоугольник разделен на 16 равных частей; | этого
прямоугольника затушевано. Сколько шестнадцатых долей
затушевано?
Круг разделен на 18 равных частей, а | этого круга
закрашено. Сколько восемнадцатых долей крута закрашено?
22. Раздробить:
1) t в сотые доли.
j „ тридцатые доли.
2) рс в сороковые доли,
й „ шестидесятые „
3) в пятидесятые доли.
II „ тридцатые
| в двадцатые доли.
1S „ сотые
в сто двадцатые доли
/з „ семьдесят пятые „
в двадцать чет верты е „
|| „ восьмидесятые „
23. Ученые определили, что предмет, весящий на земле
1 пуд, весит на Меркурии l/s пуда, на Бенере А пуда, на
Юпитере 2л пуда, на Уране 1/0 пуда, на Марсе % пуда, на
Сатурне 1/п пуда, на Нептуне 1J пуда.
Раздробить все приведенные выше дроби в сотые доли
и расположить по порядку, начиная от самой большой и
кончая наименьшей.
— 11
24. Расположить в убывающем порядке, раздробив
в 630-е доли, следующие числа:
Австралия занимает д всей суши.
Европа „ ft „
Африка „ | „
Америка „ я
Азия „ 1 „
Начертить диаграмму распределения суши, пользуясь
полученными цифрами.
25. Выразив в одинаковых долях, расположить в воз-
растающем порядке следующие числа:
в С. С. С. Р. земледельцы составляют ’ j всего населения.
„ фабрично-заводские рабочие ,, „
„ прочих занятии 51 2Д „ э
Начертить диаграмму распределения населения С. С.С. Р.
по роду занятий.
26. В Бельгии в 1905 году население распределялось
следующим образом:
земледельцы /03в всего населения.
фабрично-зав. и горные рабочие „
торгово-промышлен. служащие 533 „ „
армия и флот т*5 „
прочих родов занятий вся остальная часть.
Выразив в одинаковых долях, 1) определить, какую
часть населения составляла группа населения «всех проч.»:
2) расположить в возрастающем порядке все группы насе-
ления, раздробив все числа в одинаковые доли; 3) опреде-
лить разницу между группами.
Раздробить в одинаковые доли дроби в примерах
№№ 27—30.
27. J , $ , (в семидесятые). 28. $ , ? ,
±1 *3 3 —4 1.1.
12, 15, 16 IX> 10> S! 20
ЮТ® lf * 3 —
25, 20, КО 25, 20 > В , 8
1 н 5 2 1?
10, If, Я 6 > В , 1В> 56 •
12
29. s$, Л, t, i 30.^, И, й, i
1 5 3 2 lb 2 29 1
T 0 , 6 > Й > 5 iO! S, 60, I
6 J5 Л 3.1 2 13 3
10 > 3g , 15 > 5 * « 50 > 15 > F.O , 5 *
Превращение долей в более крупные.
31. Начертить круг, разделить его на 12 равных частей,
отметить отчетливыми линиями половины и четверти круга.
Какую более крупную долю составляют $ ?
5 *Y. -JL * _» 9
1 12? 12? 12? 12 •
Сколько составят в более крупных долях дроби в при-
мерах -У»№ 32—33? 32. § арш. четвертей аршина? 33. < 8 половин?
/в°5 саж. десятых сажени? 15 40 восьмых?
/со веРсть' двадцать пятых версты? й четвертых?
пуда пятых долей пуда? 1У5 пятых?
дм. девятых дюйма? я четвертых?
листа шестых листа? 21 4'5 пятых?
34. Выразить:
(Запись по ____ил
образцу To-lJ
2) в десятых Jj, ,
3) в седьмых §5, iVsj йв > в? > iso,
4) в двенадцатых И, И , it в й°о, iVr , л! •
35. Выразить в более крупных дотях:
Л?
6
8 ? 12 ?
25
50 ?
21 S3
28? 35 ? G3 ?
50
SO ?
7_5 15 0 22 6 5 *1 JLO
200? 2^0? 56? ТО? МО? 100*
16 _4 4_ 3 2 55 2н 13 0
21? 110Ч 80? 15? 32? 120-
1) В каких случаях для выражения полученного ре-
зультата измерения необходимы дроби?
2) В чем сходство и в чем разница между состав-
ными именованными числами и смешанными числами?
С чем можно сравнить знаменателя дроби и ее числителя?
Русские квадратные меры.
36. Начертить план 1 кв. саж., разделенной на квадрат-
ные аршины по масштабу 1 клетка (1 кв. дм.)=1 арш.1 2).
—
') Подробности см. Грацианский, «Сборн. арифм. задач, целые числа*,
над. .Просвещение* 1922 г., изд. 5-е и послед., стр. 104—110.
13
Какую часть 1 кв. сажени составляет 1 кв. арш.?
„ „ 1 „ „ „ 2, 3,7 кв. арш.?
Сколько кв. сажен в 20, 30 кв. арш.?
37. Начертить план 1 кв. арш., разделенного на ква-
дратные вершки.
Какую часть 1 кв. арш. составляет 1 кв. верш.? 3 кв.
верш.? 7, 31, 100, 157, 200 кв. верш.?
♦
38. Начертить план 1 кв. саж., разделенной на кв.
футы.
Какую часть 1 кв. саж. составляет 1 кв. фут? 4 кв. фута?
7 кв. фут.? 14 кв. фут.; 28 кв. фут.; 40 кв; фут.?
39. Начертить план 1 кв. фута, разделенного на ква-
дратные дюймы.
Какую часть 1 кв. фута составляет 1 кв. дм.? 7 кв. дм.?
12 кв. дм.? 24 кв.дм.? 72 кв. дм.? 96 кв. дм.? 100 кв. дм.?
Удобны ли для запоминания и вычисления соотноше-
ния между русскими мерами поверхностен?
Русские кубические меры.
40. С помощью кубиков сделать модели и затем про-
извести расчеты ’):
1) Модель 1 куб. саж., составленной из кубических ар-
шин, и определить, сколько в 1 куб. саж. кубических аршин;
2) Модель 1 куб. саж., составленной из кубических
футов, и определить, сколько в 1 куб. саж. кубических футов;
3) Модель 1 куб. арш. и определить, сколько кубиче-
ских вершков в 1 куб. арш.;
4) Модель 1 куб. фута и определить, сколько кубиче-
ских дюймов в 1 kjo. футе.
41. Какую часть 1 куб. саж. состсвляет 1 куб. арш.?
, „ 1 - „ 1 л Фут?
, „ 1 , арш. „ 1 верш.?
я „ 1 „ фута „ 1 ., дм.?
Удобны ли для запоминания w вычисления соотношения
между русскими мерами объема?
») Подробности см. там же, стр. ПО—113.
14 —
2. Метрические меры и десятичные дроби.
Сравнительная величина мер русских и метри-
ческих.
42. Более удобны для расчетов Метрические меры.
1) Основная единица этой системы — метр (почти
22’/, верш.).
Какие другие метрические меры длины известны?
2) Измерить их рус< ними мерами, а русские меры —
метрическими.
3) Записать наиболее простые для запоминания соотно-
шения между русскими и метрическими мерами длины.
4; Начертить по одному и тому же масштабу
1 верш. = 1 делению: версты и клм., считая
1 м. = 221/2 верш. (Чертеж еде тать на земле).
5) Как изменить масштаб, чтобы тот же чертеж изображал
сравнительную величину с^6б клм. (1 м.) и гЛдВ версты
(72 саж.)?
Как изменить масштаб, чтобы тот же чертеж изображал
cio версты и клм.? рс версты и *0 клм.? наконец. 1 версту
и 1 клм.?
43. 1) Что такое квадратный сантиметр? Начертите
его в своей тетради. Вырезать из картона 1 кв. см. Что
такое квадратный миллиметр? Начертите его в своей
тетради.
2) Сколько квадратных миллиметров в 1 кв. см.? Какую
часть квадратного сантиметра составляет 1, 2, 7, 10. 30,
43 кв. мм.?
3) Что такое квадратный дециметр? Начертите его
в своей тетради и рассчитайте, какую часть квадр. деци-
метра составляют 1, 3. 10, 50, 85 кв. см.
4) Что такое квадратный метр? Начертите его в мас-
штабе 1 дцм. в дюйме. Сколько квадратных дециметров и
сколько квадратных сантиметров содержит 1 кв. м.?
5) Начертить квадратный декаметр в масштабе: 1 м. = 1 дм.
Квадратный декаметр называется „ар“.
6) Гектара 100 арам. Как нужно изменить преды-
дущий масштаб, чтобы сделанный чертеж изображал гектар?
15
7) Измерьте длину и ширину этого арифметического
задачника с точностью до 1 см. и высчитайте, чему равна
поверхность каждой страницы.
44. 1) Что такое кубический сантиметр? По способу,
уже известному из предыдущего, сделать из картона модель
кубического сантиметра.
2) Что такое кубический дециметр? Склейте из кар-
тона куб, об’ем которого равен 1 куб. дцм.
Сколько кубических сантиметров содержит 1 куб. дцм.?
Какую часть кубического дециметра составляет 1 куб. см.,
9 куб. см., 23 куб. см.. 299 куб. см., 2999 куб. см.?
Сколько кубических дециметров содержит 1 куб. м.?
Сколько кубических сантиметров содержит 1 куб. м.?
Сколько кубических миллиметров?
45. Литр — сосуд, об’ем которого равен кубическому
дециметру.
Сколько литров воды содержится в об’еме, равном
1 куб. м.? 1 куб. см.? *
46. Грамм есть вес того количества перегнанной воды,
которое при 4° выше нуля по термометру Цельсия занимает
1 куб. см.
Килограмм есть вес в 1000 раз больший грамма.
1 кгр. около 21/, фун.; 1 фунт около 400 гр.
1) 47. Сравнить величину русских 1 кв верш, и 1 кв. см. 5) и метрических мер: 1 гарнца и 1 литра
2) 1 „ дм. и 1 кв. см. 6) 1 ведра и 1 литра
3) 1 „ саж. и 1 кв. м. 7) 1 фунта и 1 гр.
4) 1 „ м. и 1 кв. арш. 8) 1 ьтр. и 1 фунта
9) 1 куб. верш, и 1 куб. см. 10) 1 „ дм. и 1 куб. см. 48. Какое число раз содержатся меньшие меры четри-
теской системы в больших?
16
Припомнить это для мер длины
,, поверхности
„ об’емов
жидкости и сыпучих тел
„ веса.
Какие соотношения удобнее запоминать: между мерами
русскими, или, метрическими? Почему?
Вычисления над метрическими мерами очень просты,
особенно, если пользоваться десятичными дробями. Почему?
Чтение и письмо десятичных дробей.
49. 10 =10 в первой степени.
100=102, десять во второй степени (в квадрате).
1000= 103
10000= 104
100000 = 105
1000000= 10®
1) Как выражается в виде степени
числа 10 число, изображенное един щей
с 8 нулями стоящими вправо? С 9, 12,
15 нулями?
2) Сколько нулей нужно, чтобы на-
писать 101, 10е, 101&, 10т6, 1О20?
50. Прочесть числа, написанные в помещенной здесь
таблице.
10е 107 10е 10“ 104 103 10s 10 1 1 10 1 10“ 1 10- 1 1О4 1 1о3 1 10“ 1 107
Сотпп иитл. Десятки вилл. Миллионы. Сотни тысяч. Десятки тысяч. Тыгя1и. Сотни. Десятой. Единицы Десятые. Сотые. Тысячные. Десяти-тысячи. Сто-тысячные. Миллионные. Десяти-миллиоп.
О 3 4 6 3 4 б
7 8 б 4 1
3 0 0 0 1 5 7
4 0 8 1 3 6 9
4 7 9 1 2
8 1 4 4 7
7 4 5 2 7 5
5 6 8 0 0 9
17
Как будет изменяться значение цифры, если ее пере-
двинуть по этой таблице от графы единиц влево? вправо?
Как изменится значение цифры, если ее передвигать
по этой таблице с какой бы го ни было графы слева направо?
справа налево?
Почему дроби, написанные на этой таблице, называ-
ются десятичными?
51. Написать несколько десятичных дробей,
52. Отде тять целую часть частного от дробной при по-
мощи запятой и называть дробную часть в следующих при-
мерах:
375:10 81940:1000 790400:1000 489145:1000
1905:100 790001:10000 497491:100000 79041:100
2971:10 340499:100000 13984147:10000 89412:10
4008:1000 12756941:101Ю000 8956141:100000 315751:100
74351:100 575421:10000 49404925:100000 49751:1000
53. При делении на степени 10 отмечались, как и
в предыдущей задаче, целые части частного от дробных при
| помощи запятой. Прочесть полученные результаты:
1) 15,3 2) 10,42 3) 78571,4 4) 579,431
1,53 1,042 78,5714 158,42
17,42 104,2 2000,5 1,743451
174,2 785,714 200,05 4,745
1,742 7857,14 174,3751 1475,4
54. Необходимо ли писать знаменателя дробей при де-
ленпь в следующих случаях:
1) 58:10
73316:1000
508:100
2015:1000
4027:100
3) 4:10
23:100
375:1000
39:1000
Ч 471:100
ЕС. ИЗЛЧ^Н^7’Д.НН-1)1.
2) 73940:10000
8900410:1000000
567643:100
333994:1000
48941:10003
4) 8942:10000
57451:1000000
23:1000
4:100
7:1000
2
*a1VMb
18 —
55. Как можно записать, применяя указанный раньше
способ, следующие числа:
5—, 2 ЮО —, 14 100 —, 20—, 31—, 30(Д, 400-J-, 1000 1000 1000 10 1010
150db 4—, 1—, 100 100 3Л 14^£ уЛк. Юоо’ Юоо’ юоо
3 31 275 4096 81945 400451.
1) й? юо’ юоо’ Юооо’ looeoo’ 1000000’
2) 4 б о 1
юо’ юоо’ юооо’ ЮОООиО’
о л 32 85 31 401 1351 .
юоо’ юооо’ 10001 О' ICOOOO’ ICO 1000
4) 3—, 100 . . 7 _ 14 44"— > 5 , 1000 10000 75 1 1 21 -
’Юоо’ А100000
56 . Установить праоала-. 1) для чтения десятичных
дробей- 3} для записи десятичных дробей.
57. Прочесть числа, встречающиеся в помещенных далее
таблицах:
1) Килограмм содержит 234,73411 зол.
Тонна= 61,050551 пуда.
Квинталь (т/10 тонны ) = 244,202203 фун.
2) Метр = 3,2809 фута = 39,3 708 дм.
Парижский фут = 12,78919 дм.
1 кил/6метр = 0,937 версты.
3) 1 десятина = 1,093 гектара.
1 литр = 0,03 8 чк. = 0,081 ведра.
1 куб фут = 0,028 куб. м.
58. Записать цифрами числа, встречающиеся далее:
1) 1 геогр. миля = 6 целых и девяносто пять тысяч
п ятьсот девяносто пять стотысячных версты. 1 ллтр = шести-
десяти одному целому и двадцати семи тысячам дэвяносго
восьми миллионным куб. дм.
2) Марс удален от солнца в одну целую п пятьдесят две
тысячи триста шестьдесят девять стотысячных раз больше,
чем земля; Юпитер — в пять целых и двадцать тысяч двести
семьдесят девять стотысячных раза; Сатурн — в девять целых
п пять тысяч триста восемьдесят семь десятитысячных раза;
Уран — в девятнадцать целых и восемнадцать тысяч двести
19
шестьдесят четыре стотысячных раза: Нептун — в тридцать
целых и семьсот пять десятитысячных раза.
3) При движении вокруг солнца земля проходит в каж-
дую секунду по двадцать девять цешх и семь сотых версты.
4) Фунт воды занижает при 13т3° Реомюра двадцать
пять целых и девятнадцать тысячных куб. дм.
5) Один градус земного экватора — ста четырем целым и
трем тысячам триста восьмидесяти восьми десятитысячным
версты.
59. Записать десятичные дроби, помещенные далее:
1) Мерами длины в древности служили члены человече-
ского тела, как это видно из названий этих мер. У греков
мерами длины служили, между прочим, палец = сорок три
сотых вершка; ступня = один целый и одна сотая фута,
локоть — десять целых и четыре десятых вершка. У рим-
лян били такие меры длины: палец = семьсот двадцать восемь
тысячных дюйма, ступня (фут) = двадцать девять цетых и
шестьдесят три сотых сантиметра.
2) Мерами веса служили в Афинах: большая единица =
двадцать шесть целыд и две десятых килограмма п малая
единица = семьсот двадцать восемь тысячных килограмма:
в Риме употреблялся фунт = триста два дцать семь тысячных
килограмма.
Метрические меры J).
60. Прочесть десятичные дроби, помешенные ниже:
1 метр = 0,0000001 четверти парижского меридиана.
Вес пылинки = 0,001 миллиграмма.
Вес воздуха в пивной бутылке = 0,0006 килограмма.
I килограмм = 2,442 фунта
1 милльграмм = 0,023 доли.
1 литр = 0,038 чк. = 0,081 ведра.
61. В метрической спстеме мер, для обозначения под-
разделений основных единиц — метра, грамма и штра — обра-
*) Подробности см. Грацианский. „Сборн. арифч. задач, целые числа®,
стр. 188, 191, 194.
2»
— 20 —
зуются новые названая путем прибавления к названиям
главных единиц следующих слогов:
Для обозначений 0,1 единицы - — деци (дециграмм, деци- метр, децилитр)
Я п 0,01 санти.
я я 0,001 милли.
0,000001 микро.
Записать при помощи десятичных дробей, в долях основ-
ных единиц:
1) 375 мм. 2) 4 см. 4) 15 миллигр.
7 мм. 381 дцлитр. 3001 микрогр.
39 см. 3) в долях ара. 4005 дцгр.
413 микром. 4и1 сантиар. 13 сантигр.
27 дециара.
62. Для обозначения кратных единиц из основных еди-
ниц метрической системы образуются новые названия путем
приставки к названию основных единиц следующих слогов:
для обозначения 10 единиц дека.
я я 100 „ гекто.
„ „ 1000 „ кило.
Записать в виде десятичных дробей:
1) 275 метров В ДОЛЯХ километра.
71 м. я п гектометра.
1701 м. я декаметра.
78001 м, я п километр?.
2) 71 грамм В ДОЛЯХ килограмма.
1810 гр. я я »
71751 гр. я гектограмма.
57 гр. » я декаграмма.
3) 3150 литр. В ДОЛЯХ килолитра.
181 литр я я гектолитра.
3 литра » п гектолитра.
400 литр. » я килолитра.
— 21
63. В следующих примерах произвести раздробление,
имея в виду построение метрической систеь/ы мер.
1) 4,01 клм. в метры.
71,045 гкм. „
1001,1 клм. „ „
0,04 клм. „ „
3) 0,41 гклитр. в литры.
1,8101 кллитр. „ „
71,81 сантилитр. „ „
0,001 гклитр. „ „
5) 0,4819 гр. в миллигр.
1,81751 гр. „ микрогр.
14,8875 гр. „ сангигр.
0,0701 гр. „ дцгр.
2) 14,045 кгр. в граммы.
0,4151 гкгр. „ „
0,01 кгр. „
7011,41801 дкгр. „
4) 4,81 м. в сантиметры.
0,107 м. „
14,81017 м. в миллиметры.
4,815 м. в дециметры.
6) 1,57 литр, в децилитры.
8,40741 литр, в миллим.
5,7199 литр.в сантилитры.
0,90997 гр. в микрогр.
Увеличение и уменьшение в 10 раз.
64. В следующих примерах произвести увеличение и
уменьшение десятичных дробей в 10 и степени 10 раз.
1) Числа. Увеличить в Уменьшить в 2) Числа. Увеличить в Уменьшить в
17,5187 100 раз 10 раз 0,01 10 раз 100 раз
2375,6081 1000 , юоо „ 25 1000 „ 10000 ,
0,007 10000 _ 100 , 0,7181 100 , 100 „
1,5 100 , 10000 „ 7,785 100000 , 1000 »
0,75 10 , 1000 „ 1,001 IO 00 , 100 ,
57 100 „ 1000 , 17,855601 10000 , 10000 ,
5 1000 „ 1000 , 101,84 1000 , 100 ,
Установить правило для увеличения и уменьшения
десятичного числа в 10 и степени 10 раз.
65. Раздробить дроби:
0,75 в тысячные доли
1,51 „ стотысячные доли.
410,781 „ миллионные „
7,1 „ тысячные „
0,1 „ десятитысячные „
14,5 в сотые доли.
7 „ десятые „
1.7 „ тысячные „
30 „ сотые „
1,12 „ миллионные.
22 —
66. Сколько саженей составляют следующие доли версты:
0,1 версты; 0,2; 0,15; 0,35; 0,01; 0,02; 0,001; 0,005; 0,125 версты
4,754 верст.
67. Написать в виде десятичных дробей следующие
суммы денег:
1 коп/, 15 коп.; 30 коп.; 5 руб. 25 кип.; 8 руб. 70 коп;
4 руб. 7 коп.; 10 руб. 16 коп.; 100 руб. 80 коп.; 200 руб.
2 коп.; 1000 руб. 9 коп.
68. Сравнить каждые два соседние числа:
0,5 руб. и 0,50 руб.; 0,1 вер. и 0,10 вер.; 10,2 руб. п 10,20 руб/.
7,6 вер. и 7,60 вер.; 4,31 вер. и 4,310 вер.; 0,7 вер. и 0,700 вер.;
0,3 вер. и 0,3000 в.; 0,41 вер. и 0,4100 вер.
69. Сравнить числа, написанные рядом:
0,2; 0,20; 0,200; 0,2000.
1,4; 1,400; 1,4000; 3,40.
0,23; 0,2300; 0,230; 0,23000.
0,07; 0,070; 0,0700; 0,07000.
70. 1; Выразить в сотых долях 5,3; 0,1; 2, 20.9.
2) Выразить в тысячных долях 0,7; 0,08; 0,23;
2,31; 7,8; 7,08; 4; 5,10.
3) Выразить в одноименных долях следующие числа:
1) 0.1; 3,75; 0,08; 2,3.
2) 0 25; 0,781; 0,9; 0,07.
3) 10,31; 26,089; 80,08; 101,3.
4) 0,3781 I; 4.5; 7,08; 355; 781.
5) 4,44; 157,3; 814,371; 4,1571
71. 1) Превратить в белее крупные доли:
1,8500; 71,400; 0,8570; 100,400; 7000,7000; 457,9и00;
1875,10000; 1,750000; 0.4400; 0,35000.
2) Выразить в одноименных долях дроби, находящиеся
в одной строке:
1) 0,751; 410,31; 10,27.
2) 1,0175; 4,18: 175,339.
3) 1000,1: 0,7548; 1,00001.
4) 895.49- 0,714 7,0007.
5) 0,15; 4,3: 1,08956; 5,03,
6; 7,1; 0,00859; 41,35; 895,1.
7) 409.4; 75,387: 1,80; 9,756
8) 20000.9;497,11; 1,89556.
— 23
1) Какие дроби лете превращать в более крупные
доли — простые или десятичные7. Почему?
5) Каки/' дроби легче дробить в более мелкие — простые
или десятичны"? Почему?
Масштаб и графики.
Для черчения по масштабу очень удобно пользоваться
миллиметровой бумагой. (Почему?)
Начертить по одному и тому же масштабу аршин, метр
и фут, воспользовавшись для этого результатами измерения
сантиметрами.
(Сравнпть удобства и неудобства для этой цели резуль-
татов измерения в миллиметрах.)
72. При ударе о пол мячпк отпрыгивает, затем снова
ударяется о пол и опять отпрыгивает вверх, но уже ниже.
Если первоначальный удар был очень силен, то мячик мо-
жет подпрыгнуть несколько раз кряду; при этом каждый
последующи!, прыжок будет меньше предыдущего, именно
составит лишь 0,5 высоты его. Вычертить 5 последователь-
ных прыжков, сделанных мячиком, если первоначальный
прыжок был 2 м.
Нельзя лп тем же чертежом воспользоваться, если вы-
сота первоначального прыжка другая?
73. Свеча имеет в длину 25,4 см. и горит, убывая
равномерно в каждый час на 3,57 см. Начертить по одному
и тому же масштабу длину свечи чрез каждый час горения
74. Глубина реки 3.5 м.; вода прибывает в реке,
повышая ее уровень каждый час на 0,33 м. Начертить по-
следовательное изменение уровня воды за пол-суток.
Подставить большую стеклянную банку под кран п
проследить, как повышается уровень воды в банке.
75. Термометр в 12 часов дня показывал J- G,5° на
солнце, до 3 часов дня температура повышалась каждый
час на 0,75", с 3 часов пополудни температура стала по-
нижаться каждый час на 1,25°.
24 —
Вычертить последовательные изменения высоты ртут-
ного столба от 12 часов дня до 12 часов ночи, отмечая
промежутки через час.
76. В течение суток 1 ноября температура в Петро-
траде изменялась следующим образом:
Полночь с 31 октября на 1 ноября 4,5° Ц.
1 ч. пополуночи — 4,6° 1 ч. пополудни 4" 2°
2 ч. Я — 4,4° 2 ч. я + 2,4°
3 ч. я — 4,в° 3 ч. я 4- 2.1°
4 ч. л — 4° 4 ч. *» + 1.8°
5 ч. » — 2,8° 5 ч. + 1,3°
6 ч. я — 2" 6 ч. 4- 0.7"
7 ч » -1,5° 7 ч. Я + о'з°
8 ч. я — 0,5° 8 ч. я — 0,2"
9 ч. я + 0,4° 9 ч. я — 0,5°
10 ч. я -LI» 10 ч. я — 0,9°
11 ч. » + 1,3° 11 ч. я — 1,4"
12 ч. ДНЯ 4-1.7" 12 ч. НОЧИ — 2,1°
Начертить график изменения температуры через каждый час.
Проследите изменение температуры через каждый час и
начертите график этого изменения.
77. Врач измерял температуру больному в течение
недели ежедневно в 8 час. утра и в 8 час. вечера и полу-
1ил следующий результат (градусы Цельсия):
8 марта. 9 марта. 10 марта. 11 марта. 12 марта. 13 марта. 14 марта.
8 час. утра. 8 час. вечера. 37,9 33,1 38,7 за,з; 39,9 40 39,7 39,8 89,2 39,4 38,5 38,8 37,9 38
температуры,
Представить графически эти изменения
считая нормальной температурой 37° Ц.
78. Уровень в реке с 20 апреля по 5 мая имел сле-
дующую высоту в яетрах по отношению к ординару:
20 апреля 4* 0,95 м. 22 апреля + 0,7 5 24 апреля—Ъ,25
21 „ 4-0,87 м. 23 „ +0,6 25 „ —0,2
— 25 —
26 апреля 0,75 м.
27 „ + 0,6
28 я 4" 0,25
29 апреля 0,09
30/ „ 0
1 мая —0,15
2 мая
3 „
4 я
- 1.5
- 1,5
—1,75
Составить график изменения уровня воды.
Квадратные меры1).
79. Какую часть квадратного метра (записать ответ циф-
рами!) составляет 1 кв. дцм.? 1 кв. см.? 1 кв. мм.? Какую часть
квадратного декаметра составит 1 кв м.? 1кв. дцм.? 1 кв. см.?
1кв. мм.? Какую часть гектара составляет 1 ар, равный 1 кв. дкм.?
80. Представить наглядно сравнительную величину 1 кв.
см., 1 кв. дцм., 1 кв. м. и 1 ара, воспользовавшись следующим
способом: 1) все эти квадратные единицы выражаются в квад-
ратных сантиметрах; 2) поверхности этих квадратных м:ер
разрезаются на полосы, каждая шириною 1 см.; далее, по-
лосы соединяются в одну, и эти квадратные меры примут
формы прямоугольников равной ширины (1 см.) и будут
различаться лишь длиною; 3) полученные полосы чертятся
в уменьшенном виде по одному и тому же масштабу.
81. Наиболее употребительны единицы для измерения
земли:
в России десятина = 1,093 гектара,
во Франции гектар = 0,915 десятины.
Представить наглядно сравнительную величину этих
единиц.
Кубические меры2).
82. Рассчитать и записать результаты десятичными дро-
бями, какую часть кубического метра составляет: 1) 1 куб. дцм.;
2) 1 куб. см.; 3) 1 куб. мм.
83. 1 куб. дцм. называется литром.
Представить наглядно сравнительную величину 1 куб. см.,
1 куб. дцм. (литра) и 1 куб. м., применяя такой способ:
') См. раньше указанный „Сборник", стр. 191.
’) Там же, стр 191.
26
1) все эти кубические единицы выразить в кубических сан-
тиметрах; 2) все эти об’емы представить себе разрезанными
на столбики, у которых основания 1 кв. см.; из этих стол-
биков складывается один столб для каждой кубической еди-
ницы. При этом все кубы примут вид брусков с разными
основаниями и отличаются друг от друга лишь высотами;
3) полученные брусья изображаются наглядно по одному и
тому же масштабу в виде отрезков прямой, плп полос, или
брусков.
84. Грамм — вес того количества перегнанной воды,
которое при 4° выше нуля по Цельсию занимает 1 куб. см.
Килограмм —1000 граммам. Следовательно 1 кгр.—
вес воды при 4П Ц. в об’еме 1 куб. дцм. или 1 литра.
85. Выразить десятичными дробями:
1) 43 см.. 1 дцм., 5 мм. в долях метра.
2) 375 кв. см., 1081 кв. мм. в долях ара.
3) 15 куб. мм., 301 куб. см. в долях литра.
4) 130 млгр., 405 дцгр. в долях килограмма.
86. Выразить десятичными дробями:
1) В долях метра 7 дцм : Ь7 см.; 3 см.; 15 млм.
2) „ кв. метра 475 кв. см.; 1085 кв. мм.; 15 кв. см.
8) „ куб. метра 11 куб. см.; 271 куб. мм.; 207 51 куб. см.
1) „ литра 1 куб. мм; 7 5 куб. см.; 781 куб. мм.
5) „ грамма 415 млгр; 14 сшр.; 7 млгр.
87. Обратить в десятичные дроои следующие простые:
1i2 в десятые, сотые.
У4 в сотые и тысячные.
У8 в тысячные.
3/4 в сотые п тысячные.
Уд в тысячные
’/5 (3/s) в десятые, сотые, тысячные.
27
Процент.
88. Одна сотая часть называется процентом.
Напр., 1 коп. составляет 1 процент рубля (пишут 1°/п).
7 коп. „ 7 „ „ » 7 /о •
21коп. „ 21 „ „ 21%.
Сколько процентов метра составляет ’/5 метра? ’/ю м.?
,, „ килограмма „ '/a KrP-? 7* КГР" 7s КГР ?
„ „ аршина „ 7а аРш-? 71 арш.?
» в пуда „ 710цуда? 7s пуда?
(Ср. Грацианский, „Сборн. арифм. задач, целые числа"
5 изд., стр. 201 — 203.)
89. Какие дроби — обыкновенные или десятичные —
удобнее раздроблять в более мелкие? Превращать в более
крупные? Какие меры удобнее раздроблять л превращать
Pjcckhc или метрические?
3. Т аблица для перевода русских мер в метрические и обратно.
Ju е р ы
1 верста = 1,0В7 клм.
1 сажень = 2,133 м.
1 фут = 30,47 см.
1 вершок - 4,44 см
1 дюйм = 2.54 см.
длин ы.
1 кило иетр = 0,937 версты.
1 метр =1,406 аршин. =
= 22,5 верш.
1 сантиметр = 3.937 лин. =
= 0,394 дм. = 0.225 верш.
Меры п о в
1 десятина = 1,093 гектар.
1 кв. сажень = 4,55 кв. м.
1 кв. фут = 0,93 кв. м.
1 кв. вершок = 19,76 кв. см.
ерхностей.
1 гектар — 0,91 5 десят =
= 2196 кв. саж.
1 кв. метр--0,22 кв. саж.
— 28 —
Меры об'ема.
1 куб. сажень = 9,712 куб. м.
1 куб. фут = 0,028 куб. м.
1 куб. аршин = 0,3597 куб.
метр. = 359,72 литра.
1 куб. метр — 0,103 куб. саж.
Меры сыпучих тел.
1 четверть = 2,099 гектолитр.
1 четверик = 2,624 декалитр.
1 гарнец =3,28 литра.
1 гекто (итр = 0,47 6 чтв. =
= 3,81 чк. = 30,48 гарн.
1 литр = 0,038 чк.
Меры жидкостей.
1 бочка = 4,92 гектолитр.
1 ведро =12,3 Л11тр.
1 бутылка = 0,615 литр.
1 гектолитр. = 8,131 вел.
1 литр = 0,081 вед.
Меры
1 пуд =16,38 кгр.
1 фунт = 409,5 гр. = 0,41 кгр.
1 лот =12,797 гр.
1 золотник = 4,266 гр.
веса.
1 точна = 61,051 пуд.
1 килограмм = 2,442 фун.
1 грамм = 0,2 34 зол. =
= 22,46 дил.
1 миллиграмм = 0,0 2 3 дол и.
II. Сложение и вычитание.
1. Целые числа.
90. 2000 4- 500 + 70 4- 4
7000 4- 50 4- 9
10000 4-4000 4-70 4- 1
400004-70004-904-9
91. 100000 4- 8000 4- 900 4- 5
200004-50004- 40 4-7
90000-г 4000 4- 90 4-1
30000 4-80 4- 9
— 29
92. Представить в виде суммы следующие числа
3751; 49457; 50548; 45901; 10987;
300485; 50080; 14000; 10007; 900005;
1275000; 2370800; 4003003; 900045; 6000018.
93. Сложить следующие суммы1): _
(2000 4- 600 4- 20 + 1) 4- (3000 4- 200 4- 70 4-4)
(1000 4- 800 -|- 50 4- 7) 4- (6000 4- 100 4- 40 4- 5
(5000 4- 400 4- 3) 4- (4000 4- 600 4- 20 4- 7)
(3000 4- 700 4- 30) 4- (2000 4- 300 4- 70 4- 5)
94. Сложить следующие суммы1):
(7000 + 500 + 7) + (11000 + 400 + 80) + (2000 +10 + 2)
(4000 + 200 + 20 + 4) + (20000 +1000 + 40 + 5) + (1000 + 30 +1)
(2000 + 300 + 9) + (4-J00 400 + 40 + 4) + (2000 + 300 + 50 + 2)
(5000 + 700 + 80) + (6000 + 800 + 40 + 9) + (200 + 80 + 9)
(7000 + 400 + 5) + (6000 + 500 + 60 + 7) + (3000 + 200 + 50 + 5)
95. 75401 4-141082 4- 200544
13242 4- 25739 4-4394
475987 4- 638457 + 307453
32007 4- 308 4- 25987 4- 312
75208 4 - 891 4- 20126 4- 7325
52115 -j- 751 4- 20990 -j- 1126
96. 6096 4- 127 4- 10324 4- 182
37 4- 7894 4- 984 4- 9437
47895 -1-7037 -j- 10903 4- 1481
81097 4- 9879 4- 25704 -j- 436801
127067 4- 6680 4- 264897 4- 476809Ц 13570
6S483 -j- 564097 4- 728085 4- 86495074-27550
97. Составить задачи, для решения которых нужно
произвести сложение чисел, написанных выше.
Можно ли производить сложение чисел №№ 95 и 96
так: сначала сложить пару чисел, потом вторую пару, затем
к сумме первой пары прибавить сумму второй пары? Соста-
вить задачи, которые поясняли бы это.
’) Можно ли в этих примерах изменить порядок слагав* ых при вычи-
слении < уммы? Каким образом удобнее всего производить вычисление?
30 —
Для двух последних строк Л» 96 составить задачи, в
которых нужно сначала стожить три первых слагаемых,
потом два последних и полученные суммы сложить. Можно
ли в этой задаче изменять порядок действий?
98. Обозначить при помощи скобок и знаков арифме-
тических действий следующие требования (и решить поле-
ченные примеры):
а) К сумме чисел 22301 и 8940 прибавить сумму
чисел 129, 2894 и 3074;
б) к числу 8000 прибавить сумму чисел 79, 2708,
790, 9700;
в) к сумме чисел 39, 687, 1276 прибавить сумму
чисел 8400, 394, 1099;
г) к сумме чисел 23 1, 562, 7 и 10000 прибавить сумму
257, 2800 и 475.
99. 1) Число 18000 унелишть на сумму чисел 7800
и 15091.
2) Сумму чисел 18099 и ?0985 увеличить на
число 1874.
Записать это два требования с помощью скобок и зна-
ков арифметических действий и решить полученные примеры.
100. Какое число больше числа 8993 на 13048?
„ 14081 „ 6907?
„ „ „ 73945 „ 89041?
101. Сложить наибольшее 3-значное с наибольшим
4-значным и наименьшим 5-значным.
Наибольшее 5-значное число увеличить на сумму наи-
меньшего 2-значного и наибольшего 4-значного.
Наименьшее 3-значное число увеличить на сумму наи-
большего 2-значного и 4-значного.
В чем сходство, в чем разница между сложением и
вычитанием целых чисел и составных именованных чисел
выраженных в русских Mepanti
102. Длина одной стороны прямоугольника 16 саж.
2 фута; другая на 3 саж. 4 фута короче первой. Вычислить
периметр этого прямоугольника.
31
Измерить длину и ширину комнаты (дома, двора) са-
женями или аршинами и вычислить длину всех четырех
стен (забора).
103. Расстояние от дома до поля 370 саж., до леса
1 верста 100 саж. Насколько ближе до поля, чем до леса?
Измерить какие-либо расстояния, выразить в верстах
и саженях (или саженях и фчтах) и сравнить, насколько одно
больше (меньше) другого?
104. Бес одной книги 1 ф. 16 лот., другой 2 ф. 8 лот.
На сколько одна книга легче другой? Сколько весят они
в лесте?
Взвесить каких-либо два груза фунтами и пудами (или
фунтами и золотникамн) и сравнить их, насколько один тя-
желее другого.
105. В одном куле 5 чк. 7 гарн., в другом 6 чк. 2 гарнца
ржи. На сколько в одном куле меньше, чем в другом? Сколько
ржи в обоих кулях вместе?
Как складываются и вычитаются ') именованные числа,
выраженным с помощью 2 или 3 русских мер*
106. 1) Длина рамы 1 арш., ширина 1 фут. Вычи-
слить длину всех четырех стен рамы.
2) Длина одной части пути 1 верста, другой 250 саж.,
третьей 10 саж. 2 арш.. четвертой 10 саж.
3 фута. Вычислить д лину всего пути.
3) Вес одного ящика 2 пуда; другого 10 фун.
20 лот.; третьего 2 фун. 40 зол. Определить
вес всех 3 ящиков.
4) Длина прямоугольника 1 верш., ширина 1 дм.
Вычислить периметр итого прямоугольника.
(.Можно ли это сделать геми приемами, какие
применялись раньше? )
Всегда ли удобно складывать и вычитать составные име-
нованные числа, выраженные русскими мерами' Всегда ли по-
лучаются резу 1ътатъ1, которые удобно читать и запоминать!
') Подробно'-тп см. Грацианский, „Сборн. арифч. задач, целые чпс^а“,
стр. 69—71, 76—77.
— 32 —
a
Выразить неудобные результаты с помощью целого
с дробью (смешанного числа). Сравнить удобства выражения
одного и того же результата с помощью дробей и состав-
ных именованных чисел.
2. Обыкновенные дроби.
107.1 фута 4- £ фута 4- i фута =
й саж. -}- isсаж- + 2впсаж. —
й арш. + Л арш. 4- 1%арш.^
§ час. 4- | часа + |часа =
108. 5 пуд. 4- J пуд. =
% вер. 4- 2 в. 4-| в. =
24 фута 4- п Фута —
1 Д»1- 4- /о Дм- =
109. 1 листа 4-1 листа —
Т2 в- 4"£2в- —
£<п.4-йп-4- Нп- =
тсч- “Ь is4 4* I® ч-=
111. 12 пуд. 4- 3f пуда
7,’f ФУН- 4" 15 фун.
101Ts0 лот. 4- 17/о лот.
110. 8| лист. 4- 1 лист. =
Ий пуд. 4-# пуд. =
II саж. 4- ?Т5 саж. =
1 й зол. 4- 4 J зол.4-43 зол. =
112. 25^ саж. 4- 55 саж.
пуда 4- 17й пуда
61 4 чк. 4- 29^ чк.
113. 441арш.4-181 арш. 114. 25верш.4-2|в.4-2|в.=
54а пуда-}-2 0| пуда
12Ц лист.4-374| л.
3014J лота-}-44744 л-
115. Вес одной книги
четвертой If ф. Сколько весят 4 книги?
Ц лота 4-4^ л. 4-5 5 л. =
2Н пуда 4- 5Н П.4-4& п. =
544арш. 4-741 арш.4-143 арш.
ф., другой If ф., третьей 2| ф.,
116. По продовольственным карточкам выдали 2| фун.
сахару, 4| фун. крупы, 8| фун. хлеба, 5| фун. мяса. Сколько
продуктов выдали всего?
117. Ученик прошел из дома до школы 1а версты; на
обратном пути он должен был сделать на | версты больше,
так как пришлось зайти за покупками. Сколько верст сде-
лал ученик в этот день?
118. Сколько времени горел фонарь, если он горел
3§ часа до полуночи и 45 часа после полуночи?
6» часа „ „ 7§ часа „ ,
7й часа я „ 84, часа „ „
— 33
119. В булочную привезли 12421ь пуда муки иерчоге
сорта, 187Л2 п. муки второго сорта и 44$; п. сахгра.
Сколько пудов товара привезли в булочную?
120. На одной полосе крестьянин посеял 3 чк. 2| гари.,
на другой 6 чк, 7| гари., на третьей столько, сколько на
первых двух вместе. Сколько хлеба посеял крестьянин?
121. 1 арш. — | арш. 2If пуда— f иуда. 47£s саж.— jT. саж. 157/1- чк. — Д чк. 122. 121 сут. — 4 сут. = 25g лота — 2 лота = 44J фун.— 5ГТС ф.= 9 саж.— 32\ саж. —
123. 1 лист — § листа. 6 пуд. — ] пуда. 21 саж. —/б30 саж. 3 чк. —j5s чк. 124. 5 арш.— 3' арш. 11 дм. — 52 дм. 24 зол. —12g зол. 31 чк. —25 чк.
125. 12 ' листа— j л. 7|гарн.— g гари. 37^ саж. —21^ саж. 642\ пуда — 37у пуда. 126. 2| чк. — 1| чк. 35] ф. - 21] ф. 241J арш. — 13 If арш. 81йведра — 23^ ведра.
127. Как велика разница в температуре, если градус-
ник показывает в тени 17|° тепла, на солнце 23|°
п п 15V » Я п 25
ъ я 7 а ° л я w 122°
п » 21|° » » я 25|°
128. Червяк ползет вверх по стене. Сколько ему осталось
ползти, если он прополз 2| арш., высота стены 12| арш.?
111 фута „ „25 фут.?
1| саж. „ „ 4 g саж.?
87д<дм. „ „ Ю(Ц0 дм.?
129. Корзина весит 7 g нуда, чемодан на 2 g пуда легче
корзины, а ящик на 1| пуда легче чемодана. Сколько весят
вместе чемодан, корзина и ящик и сколько за них придется
уплатить на жел. дороге, если платить с 1 пуда по 16 коп.?
130. Самая высокая гора на свете Эверест (Азия; 8^2 в
Самая высокая гора в С. Америке Мак-Кинлей, на 2Д в. ниже
Грацианский. Задачник.
34
Эвереста. Самая высокая гора в Европе Эльбрус, на 3/2 в.
ниже Мак-Кннлея. Самая высокая гора в Африке Килиман-
джаро, на & в- выше Эльбруса. Самая высокая гора в Южн.
Америке Аконкагуа, на тя5 в. выше Мак-Кинлея.
Выследить высоты всех этих гор.
131. Медная проволока длиною 525 саж. разрезана на
2 части так, что одна длиннее на саж. Сколько стоит
каждый из этих кусков, если 1 саж. проволоки ценится во 1 руб.?
132. Купили 25 фун. масла трех сортов: первого сорта
142яс фун.; второго на 52б фун. меньше, чем первого; третьего—
все остальное количество. Сколько заплатили в?, это масло
(до войны), если 1 фун. первого сорта стоил 80 коп., вто-
рого—60 коп., третьего—40 коп.?
133. С крыши башни скатился камень: в первою се-
кунду он пролетел 2? саж, в каждую следующую на 4^ сажени
больше, чем в предыдущую. На каком расстоянии от вемли
камень был чрез
башни 25 саж.?
3 сек., если высота
134. 135 +++- + 136. 21 • jl 1 + юа. 4 л 12л 6 ' 4
15 “ 80 сл| - + с н‘ + Св 51 сф- 05 “Н
3 , 5 8'40 3 "Ь 305 12 7 8 ^48
2 ”20 ‘8^i2’T“24 1’5“Т_ бу“гИдо
1314+г2+Й 138. 5-’-+ 4+7Й 139.4+4
I СО со с-.| О' h + + [ м ОЧН л; н I со csl С7» 001 о - + + |S KI ® 51 *4 ._? । । 7+ J । А 1 8 1 °16 ' *83 IS-!-10 TQ_Z_ 1 9.2—г- Q— + _1 L 1и100^ °ю“ *’20 25^20 24^-+Иж+4^ +_1_3
4 т 40 ” 80
14П __i„JL । Л. 141. 74+24+14 142.4+1+4
1 3 1 5^7
1 г- 101 I-1 - + _ ьзк, I-* СЧI ы 4+ 4+ 34 й+й+гя 1о25+94 г54 4~Нб+4
ТО1 3'7
А 21_Ц 4±_L iА 1 А Т *10 г 1 7 ЗП * 2П 1 40
5^8'9
— 35 —
143. 12й+ 4+ 61+ 1гз+бй ЮЙ+ 9Й+2Й 4Й+И§+5й 144. 21 и4 2*4 + + 2^+ + 18’1Г+ 4— *75 2— “ 60 3— °400 8^
145. 1 11ЛС 6 6 4 12 14®. 6 12 14; Г. б| — 1 я 3 g-148. 1216- -4
11 17 5 5 20 24 8 7— — 1 8 *32 5^-
3 1 19 3 U Т 20 16 24- ИЁ- 4
2 1^ 37 2_ 3 6 100 25 чй- •я 4-
149. ю 8 150. lli 4 151. -Й152.11|- 24
11 _ Л 15- —1 25 40 1 ”50 1 зё 5 _ 11 _ 4 15 4- ig
9-5 — 15 12 d32 2g 2 7 ~ 3 20 »ё- 4
АН—— л 9——35- 56 16 *^25 ОО30 18 25 ’ 9 16 1Ь 1032
153. Посыльному поручено отнести с рынка на квар-
тиру 2| фун. мяса, 3$ фун. баранины, 2| фун. масла, а хлеба
столько, сколько все остальные продукты весят вместе. Спре-
де тить вес груза, который должен нести посыльный.
154. Связали три куска веревки: первая 13Д. арш.;
вторая на If арш. длиннее первой; третья на 4| арш.
длиннее второй. Какой длины получилась новая веревка,
если на узлы пришлось употребить £ арш.?
155, Для устройства электрического освещения в квар-
тире из 4 комнат монтер израсходовал 5T'f) саж. провода на
первую комнату; на вторую па 1J саж. меньше, чем на
первую; на третью на 24 саж. меньше, чем на первые две
вместе; на четвертую на 14 арш. больше, чем на вторую.
Сколько сажен провода истратил монтер в этой квартире?
156. Участок земли имеет форму неправильного тре-
угольника; первая его сторона длиною 1 верста 2671 саяц вто~
з»
36 —
рая на 300g саж. короче первой; третья па 25/е саж.
короче второй. Вокруг этого участка проведена канава.
Определить длину этой канавы.
157, Самая длинная сторона треугольника 10$ дм.;
длина самой короткой на j дм. меньше длины наибольшей
стороны; третья сторона на 6j2 дм. меньше, нежели длина
двух первых вместе. Определить длину всех 3 сторон тре-
угольника вместе.
158. Большая сторона прямоугольника длиною 7(; дм.,
меньшая на 1J дм. короче. Определить длину всех 4 сто-
рон прямоугольника вместе.
159. Крестьянин засеял Л всей своей земли рожью,
| яровыми хлебами, огородными растениями: остальную
часть земли оставил под паром Какую часть земли кре-
стьянин оставил под паром?
160. Исторические задачи: 1. На вопрос Поли-
крата о числе учени .ов Пифагор ответил так: половина
моих учеников изучает математику; четверть занимается изу-
чением природы; седьмая часть проводит время в молчаливом
размышлении; остальную часть составляют 3 девы. Сколько
учеников у Пифагора?
2. Из множества чистых цветков лотоса было прине-
сено в жертву Шиве А всего числа, Вишну Солнцу |,
Бхавани а остальные 6 цветков получил многоуважае-
мый учитель. Сколько было цветков?
3. Водоем наполняется 3 фонтанами. Первый фонтан
может наполнить водоем в 4 часа, второй в 5 час., тре-
тий в 3 часа. Какую часть водоема гаго.ш°ют все три
фонтана, если их открыть одновременно?
4. В бассейне 3 крана; чрез первый крав бассейн
наполняется в 10 часов, чрез второй в 3 часа, чрез тре-
тий вода может вытечь из бассейна в 7 часов. Какая часть
бассейна наполнится в 1 час, если сразу открыть все три
трубы?
37
161. В одном куле 51 пуда муки, в другом на 1} пуда
меньше, чем в первом, в третьем на 2S пуда меньше, чем в
двух первых вместе. Сколько муки во всех трех кулях вместе?
162. Бутылка с водою весит 8 J фунта, пустая бутылка
весит 21 фунта На сколько вес во(,ы больше веса бутылки?
1626. Найти неизвестное число по следующим данным:
•^4-11 = 7g .г. -|-3| = 10| <+5^=171.
163. В лабаз привезли 120g пуда пшеничной муки,
82ре пуда ржаной, 1312 Пуда овсяной и 18| пуда круп. Сколько
всего пудов товара привезли в лабаз?
164. В лесу заготовили 15'; саж. березовых дров,
28| саж. сосновых и 44 Д саж. смеси; из этого запаса про-
дано 518 саж. разных сортов. Сколько сажен дров не продано?
165. 'Кук и червяк ползут навстречу друг другу;
жук в 1 секунду проползает 1 вершок, червяк в это же
время продвигайся на 1 дм. На каком расстоянии друг от
друга окажутся жук и червяк по прошествии 10 секунд,
если первоначальное расстояние между ничи было 2£ арш.?
166. Дтина всех четырех сторон прямоугольника
20| верш.; продольная сторона его длиннее поперечной на
5 вершка. Определить длину сторон этого прямоугольника.
167. Для приготовления четырехугольной рамы потре-
бовалось 1} арш. багета. Определить размеры этой рамы,
если известно, что длина продольной стороны ее на J арш.
больше длины поперечной.
168. Для составления сплава взяли 6£\ фун меди;
олова на 2р2 фун. меньше, чем меди; свинца на Ц фун.
меньше, чем олова. Определять вес сплава.
169. Сумма трех чисел 13£; первое из них 4;, вто-
рое на 15 больше первого. Определить третье число.
170. Найти неизвестное число по следующим данным
2Н-* = 10* — 3J 104 — ?/= 3J
?/ — = 11 — 1 31 — z — 24|
л — 8? = 25/, — 8 Д 17 Д г- = 20$
38 —
171. Вес одной книги 3 лота 2| зол.; вес другой на
3| лота больше веса первой книги; вес третьей на 11 зол.
меньше веса второй книги. Сколько весят все три книги вместе?
172. Длина картины | арш., ширина на 1| вершка
меньше длины. Сколько багета потребуется на раму дтя
этой картины?
173. Шест длиною 5^ саж. воткнули в дно пруда так,
что часть его над водою составляет 2 g арш. Определить,
как глубоко вошел шест в дно пруда, если известно, что
глубина пруда в этом месте 3£ саж.
174. В совхозе собрано с одного поля 100 чт. 4£ чк. ржи;
с другого поля на 10| чт. меньше, чем с первого; с треть-
его на 1| чт. больше, чем со второго. Сколько ржи собрано
со всех трех полей?
175. Куплено 21- пуда чаю, 35.| фун. какао, 1 пуд.
10 фун. кофе и некоторое количество сахару; весь купленный то-
вар составляет 8| пуда весу. Сколько сахару куплено?
170. Для канцелярии купили 4i стопы бумаги лино-
ванной; бумаги без линеек на 4 дести меньше, чем лино-
ванной; бумаги в клетку на 10| дести меньше, чем бумаги
без линеек. Скотько бумаги всех сортов вместе купили для
канцелярии?
177. В Британском музее хранится аэролит весом
225g пуда, а в Венском музее есть аэролит весом
17 пуд. 37g фун. На сколько первый аэролит тяжетее второго?
В чем сходство между сложением и вычитанием со-
ставных именованных чисел и
3. Десятичные дроби.
Решить следующие примеры:
178. 1) 2 м.— 32 см. (ответ в метрах)
4 клм.-|-75 метр, (ответ в километрах)
25 гр. — 4,5 снгр. (ответ в граммах)
271 кгр. Ц- 6725 гр. (ответ в килограммахj
16 гк титр. — 324 литр, (ответ в литрах)
39
2) 66
4
21
6
3) 5
170
168
115
см. -j- 66 мм.
м. + 725 мм.
кгр.+ 2150 гр.
гклитр. —515 литр,
клм.— 2724 м.
гр. — 245 снтр.
клм.— 4815 м.
м. — 629 см.
Почему сложение и вычитание метрических мер при-
изводится прост 'j? Сравнить эти вычисления с такими же
вычислениями над русскими мерами. (См. подробности Гра-
цианский, Сборн. арифм. задач, цел. числа, стр. 69
и 76).
179.389454-68414-15442; 180 4-4396 4- 1361
4984 4- 50034 + 113956; 69867 4- 498 4- 4986
89695 -J- lOOuOl 4- 69897; 597646 + 49861 + 99002
75769 Н- 94986 4- 37896; 100004+408994-489999.
180. В предыдущих примерах произвести сложение
разделив:
1) все слагаемые первой строки на 100
2) , Я второй Я я 1000
3) „ я третьей я 10000
4) » п четвертой я п 100000
Как изменится сумма? Нельзя ли это заранее пред-
видеть?
181. Вычислить суммы:
1) 15,75 + 4,98 + 0,07
2) 100,1 4- 71,57 + 4,891
3) 8,4 + 556,476 + 41,02
4) 756,201 +44,94+ 1001,3
5) 0,1 + 0,01 + 0,001 + 00001
в) 2,3 4- о.оз 4- 0,003 4- о,оооз
7) 4 + 0,5 + 0,02 + 0,004
8) 7 4-0,8 4-0,009 + 0,0001
9) 109,4 + 4.36 + 1701,695.
10) 784 + 0,3784 + 37.84 + 3,78 4
40 —
182. Сложить:
1) 78,994 + 0,006 + 0,5 + 714,33
2) 751,0941 + 2,03 + 1001,5
3) 51,759 + 0,0081 + 237,2429
4) 41,837 + 9,1429 + 217,0721
5) 8,734017 + 0,23+ 181,375 + 5,753
6) 151,48571 + 9,2343 + 8500,003 +1,75
7) 81,071 + 119,32 + 751,324 + 1237,40175В
8) 0,4 + 17,2756 + 4251,756751 + 0.875675
Сравнить сложение целых чисел и десятичных оробей.
В чем сходство и в чем разнима в при! ме вычисления сум мы?
183. 35976 — 12435
29084 — 8073
1347542 — 235031
4539845 — 122984 4
185. 11480 — 6279
8780 — 6979
12080 — 7090
27025 — 6472
187. 81262 — 62483
64174 — 57985
103485 — 94596
421414 — 9598
139. 40000 — 9423
80009 — 24321
150002 — 41082
90007 — 20722
191. 90005 — 42586
200002 — 103287
41000003 — 892184
59000006 — 18720097
184. 7695 — 3287
23892 — 3749
194889 — 82792
73561 —42470
«86- 56384 — 23197
44531 — 17449
101842 — 92751
89054 — 42965
188. 32000 — 25702
41000— 17431
80040 — 31528
4007 — 1854
ISO. 100000 — 4271
200000 — 9092
500000 — 8175
1000000—483
192. В предыдущих примерах проиввеети вычшание,
разделив уменьшаемое и вычитаемое:
1) в первой строке на 10;
2) во второй „ „ 100;
3) в третьей „ „ 1000.
— 41 —
Как изменится разность? Нельзя ли для ее получения
воспользоваться уже сделанным вычислением?
193- На сколтко 574,35 больше 49,29?
„ 149,558 „ 27,357?
На сколько 1,754 меньше 3,29?
„ 25,4 „ 42,009?
194. 1) 75,751 — 4,75199
2) 176,01 — 67,99345
3) 8,1 —4,8956
4) 75 — 0,7594
5) 1235,4 — 4,90045
6) 18956,05 — 5,95
7) 98,371 — 97,299
8) 784,37094 — 95,36987.
195. Какое число нужно прибавить к каждому из чисел
370,37; 2499,9; 40,009, чтобы получить 10000?
Какое число нужно отнять от 10000, чтобы получить
в остатке 549,81? 1004,8? 81,375?
196. Уменьшить число 2500 на 89,91
„ „ 754 на 53,935
,. „ 8000,2 на 202,315.
197. 1) Найти разность чисел 312,04 и 48,05
„ „ „ 4800 и 700,1
5006,75 и 3195,19
„ „ „ 10000,72 и 9275,317.
2) Уменьшаемое 341,25, вычитаемое 250,75
„ Ю0,12 „ 42,3
Найти разность.
1Э8. Уменьшаемое 150,3, разность 30,09
„ 780,4 „ 5,998
, 150,06 , 90,1.
Найти вычитаемое.
199. Вычитаемое 139,41, разность 43,99
„ 800,9 „ 3,21
„ 120,375 „ 12,П4
Найти уменьшаемое.
— 42 —
200. Чему равен ж, если
а) г + 1573,5 = 8900 б) 606,66 — ж = 132,5
г-Н 3009 = 10049,2 437,51 — х = 54.2
' 4081,3 -Н ж = 5900,72 г — 89,41 = 19,14
395,75 -Н х = 412,1 ж — 394,8 = 157,42
Записать с помощью скобок и знаков арифметических
действий ход решения следующих датее задач и решить
полученные примеры.
201. На мельницу привезли зерно в трех кулях: в одном
7,25 гклитра пшеницы, а в двух других овес — в первом
4,75 гклитра, во втором 5,5 гклитра. Сколько зерна при-
везли за мельницу? (Сколько способов решения?)
202. Крестьянин сделал запас хлеба на зиму: ржи
30,5 гклитра; пшеницы на 10,25 глт. больше, чем ржи; овса
на 21,75 гклитра больше, чем ржи. Сколько гектолитров
хлеба заготовил крестьянин?
203. В амбаре было 100,75 кгр. ржи и 250,5 кгр.
пшеницы, из которых 75,25 кгр. пшеницы израсходовано.
Сколько хлеба осталось в амбаре? (Сколько способов реше-
ния? Записать их!)
204. Составить (и решить) задачи, для решения кото-
рых требуется произвести следующие вычисления:
1) 7,3,+(8,25-1,7)
2) (31,75+ 4,5)+ (17,1 — 4,8)
3) (6,5 — 3,75) + (5,25 — 4,65)
Еак можно поступать, когда требуется прибавить
или отнять разность двух чисел? Почему? (Пояснить усло-
вием задачи).
Еак открыть скобки в третьем примере, не производя
предварительно вычитания? Если требуется произвести не-
сколькораз сложение и вычитание (см. пример 3), то нельзя ли
сначала произвести все сложения, соединить в один член все
вычитаемые и потом произвести окончательное вычисление?
(Какое?) Пояснить все это путем разбора решения задачи,
составленной дчя примера 3.
— 43 —
205.1) 27,7 4- 4,35 2) 18,95 4-45,65
(27,7—4,15) 4-(4,35—1,8) (18,95—7,36) 4-(45,65 4- 1,16).
Не решая эти примеры, определить, какая разница по-
лучится при вычислении суммы в верхней и нижней
строках. Почему? Проверить вычислением.
206. Обозначить неизвестное с помощью я (или у, или к)
и при помощи скобок и знаков арифметических действий
записать ход решения следующих задач. (Ср. ч. I, стр. 77,
№ 603 и след.; стр. 84, № 658 и след.)
1) В неправильном треугольнике длина одной стороны
на 1,75 см. больше длины самой короткой пз сторон, а
длина другой больше длины самой короткой на 2,5 см.;
периметр (линия обвода, ограничивающая площадь треуголь-
ника) равен 19,25 см. Определить длину каждой стороны
этого треугольника.
2) Периметр прямоугольника 20,56 см.; большая сторона
этого прямоугольника на 4,75 см. длиннее короткой. Опре-
делить стороны этого прямоугольника.
207, Составить условия задач для следующих примеров
и произвести вычисление:
1) а;4-(т4-6,75) 4- (х4-2,25) = 24. (Ср. № 206.,)
2) 2 у 4- 2 (у 4- 6,8) = 45,6. (Ср. № 206.,)
208. Обозначить неизвестное с помощью букв .г, у а в
и так же, как и в № 206, составить запись хода решения
следующих задач (а затем и вычислить):
1) Крестьянин засеял рожь, пшеницу и овес, всего
93,25 гклнтра, больше всего он засеял ржи; пшеницы меньше,
чем ржи, на 10,5 гклитра, а овса меньше, чем ржи, на
12,72 гклитра. Сколько гектолитров каждого хлеба засеял
крестьянин?
2) Периметр прямоугольника 32,2 см., меньшая сторона
короче большей на 3,8 см. Определив длину сторон этого
прямоу гольлика.
209. Составить условия задач для следующих примеров
и произвести вычисление:
О у4-(У-П,75)4-(у-9^) = Ш,25
2) 2 ? -L о (к —7,3) =54,6.
— 44-----
210. Определить неизвестное из следующих равенств:
1) X -J- ( к 4* 0, i 5) -|- (х -f- 0, / 5 1,2 5) = 1 i, ( 5.
2) У + {у ~ 3,6) + (у - 3.6 - 1,4) =
3) 11,25; = 95.(Напр.,в 5-угольн. с 4 равными
4} 4 — 5,5; = 28. сторонами.)
Как нужно изменить условие задач для 1—№ 206,р
для 2 —№ 208,„ чтобы получить условие для данных здесь
примеров?
Составить разнообразные условия задач для приведен-
ных здесь записей и проверить правильность условий
вычислением.
211. Записать с помощью скобок и знаков арифмети-
ческих действий ход решения следующих задач и решить
полученные примеры.
1) В лабазе лежало 275.4 кгр. муки. 104,25 кгр.
крупы и 315,5 кгр. зерна; израсходовали 117,35 кгр.
муки, 57,25 кгр. крупы п 187.75 кгр. зерна. Сколько всего
хлеба остаюсь? (Сколько способов решения9 Записать их;.
2) В бумажнике лежало 2500 руб. денежными знаками
1923 года; при покупке муки в уплату вынули 1000 руб.
и получили сдачи 250 руб. Сколько денег осталось?(Сколько
способов решения? Записать их).
212. Составить и решить задачи, для которых ход реше-
ния и численные данные такие, как в следующих примерах:
• 1) (11,5 + 16,75 4- 33,4) — (6,75 4- з‘85 4- 4,5).
2) (27,5 - 4,75) 4- (47,3 - 3.5) + (16 - 1.75).
3) 215,4 —(75,25 — 18,5).
4) (117,34 —28.39) —(217,4 — 178,37).
1) Как можно поступать, когда требуется вычесть
сумму нескольких чисел? Нош му? (Пояснить путем разбора
ремлени? „адач и проверить вычислением', пример 1).
2) Как можно поступать, когда нужно сложить не-
сколько невычисл, нных разностей, как в примере 2? Почему?
Пояснить путем решения задачи.
3) Кок можно постукать, если нужно вычесть не-
вычисленную разность двух чисел (пример 3)? Почему?
Выяснить ото путем разбора решения задачи.
— 45 —
213.
1) 100 — 32,9 2) 124,71 —43,6
(100 — 6,25) — (32,9 — 6,25); (124,71+4,29) —(43,6+4,29)
3) 202,66—100,36 4) 511,5—375,7.
(202,66—12,06)—(100,36 Н,64); (511,5 +13,5)—(375,7—15,7)
Не решая эти примеры, определить, какая разница по-
лучится между разностями в нижней и верхней строках.
Почему? (Пояснить условием задач ) Проверить вычислением.
214. Обозначить неизвестное и при помощи скобок и
знаков арифметических действий записать ход решения сле-
дующей задачи,
У крестьянина было 1200 кгр. ржи; некоторое коли-
чество ржи он израсходовал на посев; в уплату проднагога
отдал на 175,4 кгр, меньше, чем употребил на.посев; после
этого у него осталось 875,4 кгр. Сколько ржи крестьянин
посеял?
215. Составить условия задач для следующих примеров
и произвести вычисления:
1) 754,8 — х~ (х — 15,2) = 340.
2) 4 .с — (л: — 16,7) = 496,7. (Напр., в 5-угольн. с 4 рав-
ными сторонами.)
216. В числе 3,86(27999] зачеркнуты все цифры после 6,
как здесь показано скобками. Определить: больше, меньше
или равна 0,01 отброшенная часть (ошибка).
Как будет изменяться эта ошибка, если число зачерк-
нутых цифр увеличивается (т. е. после 6 написать и зачерк-
нуть не 5, а 6, 7, 8.. цифр, напр, 3,86(2799988])? Есть ли
границы этого изменения?
217. Вместо числа 4,82695 в одном случае написали
4,82, в другом 4,83. В каком случае сделали больше ошибку?
Наппсать числа 4,81965, сделав ошибку меньше 0,001
Я „ 2,03618 „ , , 0,001
Т> 2.03618 г „ » 0,01
49 „ 17,40016 , , » 0,01
— 46 —
В чем сходство и в чем разница между сложением и
вычитанием обыкновенных и десятичных дробей?
Над какими, дробями эти вычисления производить
удобнее? Почему?
Над какими мерами удобнее производить сложение и
вычитание? Почему?
III. Умножение.
1. Целые числа.
218. Нужно сложить 1275 4~ 1275 4- 1275 4~ 1275-}-
4-12754-1275.
Как это сделать? Сделать вычисление и запись воз-
можно короче.
Записать и вычислить: число 2029 взять слагаемым 7 раз
« „ „ 5008 „ „ 8 я
, „ , 127024 „ „ 9 „
219. Один разносчик принес 3 корзины по 253 яблока;
другой — 3 корзины по 200 яблок, 3 корзины по 50 яблок
и 3 раза по 3 яблока. Кто из них принес больше? (Отве-
тить, не вычисляя произведения.)
Ученик сделал расчет, при котором ему пришлось сложить
4 раза по 300, 4 раза по 30 и 4 раза по 2, и сложил все эти
произведения. Как записать подробно этот расчет? Как за-
писать етот расчет кратко?
220. Сколько получится в остатке:
751-4 — (4-700 -U 4-50 + 4-1)
(3-500 -J- 3-40 4- 3-7) — 3-547
7-4020-—(7-4000 4- 7-20)
(8-1000 4- 8-500 4- 8-30 4- 8-2) — 8 1532.
Нельзя ли ответить, не произведя вычисление?
221. Записать кратко следующие вычисления:
200-4 4- 30-4 4- 7 4
1000-5 4- 300-54-70-5 -|-6 5
800-6 4- 90-6 4-4-6.
47 —
222. Записать подробно следующие вычисления:
2704.3
6508.9
12120.4
51242.4 34956.8
17185.6 109109.7.
24017.5 69486.8.
223. Купили дкжину стаканов по 250000 руб. за штуку
(по расчету 1921 г.) и дюжину блюдечек по 150000 руб. за
штуку. Сколько денег истратили на эту покупку? (Сколько
способов решения? Записать их и сравнить эти записи и
результаты).
224. В саду деревья рассажены в 15 рядов; в каждом
ряду по 25 яблонь, 16 вишневых деревьев, 18 грушевых.
Сколько всего фруктовых девевьев в саду? (Сколько способов
решения? Записать их и сравнить эти записи).
Состсмитъ и решить задали, е которых требуется
су уму умножгть на какое-либо число. Записать все способы
решения этих. задач.
Еак можно поступать, когда нужно помножать сумму
нескольких слагаемых?
Как и почему помножаются составные именованные числа?
2?5. Найти произведение, если
множимое 1148 множитель 100
п 2342 300
п 705 л 6000
V 8000 н 1325
я 900 3182.
223. Увеличить чисто 352 в 43 раза; 634 в 94 раза
„ п 587 в 62 раза; 909 в 82 раза
„ „ 9127 в 257 раз; 8002 в 531 раз
г „ 9007 в 711 раз; 1001 в 323 раза
227. Найти число, которое больше 14674 в 3424 раза
Л » п » 59842 в 1952 ,
я Ч И 7009 в 2500 ,
Я » Я 9001 в 43000 „
-i я 5006 в Ю01 „
Я я ч л 6009 В 2003 „
— 48 —
223. Найти произведение чисел: 1) наименьшего дву-
значного на наибольшее двузначное; 2) наибольшего дву-
значного на наименьшее дв^начное: 3) наименьшего грех-
значниго на наименьшее трехзначное; 4) наибольшего трехзнач
ного на наибольшее трехзначное и т. д.
229. Найти число, Л которого 32500
„ 6910
„ • 53125
Д которого 7244
Л „ 65000
Л , 75625
Тбо
_ 1 _
1000
230. Что больше: 1) 30 раз по 2750 и 9 раз по 2750 или
39 раз по 2750?
2) 50 раз по 8056 и 2 раза по 8056 или
52 раза по 8056?
3) 200 раз по 350, 60 раз по 350 и 5 раз но 350 или
265 раз по 350?
231. Не произведя вычисления, сказать, сколько полу-
чится в остатке:
375.27— (375 20+375.7)
(504.40+504.2)—504.42
207.59— (207.50+207.9)
(493.30+493 5)—493.35
232. В кладовой стоят ящики с яблоками, в каждом
по 240 штук: 12 ящиков с антоновками, 10 с титовками.
Сколько яблок всего в кладовой?
В погонной сажени дров в среднем 500 полен; на зиму
запасли 12 саж. березовых дров и 25 саж. сосновых. Сколько
полен дров заготовили на зиму?
Сколько способов регчения для каждой из этих задач?
Записать их и сравнить записи.
Составить и решить задачи по образцу предыдущих.
Записать способы решения их и сравнить записи.
Как можно поступать, когда приходится число помно-
жать на сумму нескольких слагаемых?
— 49 —
233 На чертеже нлан yqaci ка земли, занятого Г~~“
садом и огородом, ширина их одинаковая (при _
данном масштабе она 100 саж.'); длина всего
участка 200 саж., длина меньшего участка— _______________2
"ада—75 саж. Определить, сколько квадратных _
сажен занимает огород?
Масштаб: 1 деле-
ниенгбО саж.
Сколько способов для решения этой задачи? Записать
и.с и сравнить записи.
Изменить масштаб: 1 деление—30 саж.; 1 деление—
80 саж. и т. под.
Решить новые задачи всеми возможными способами,
записать эти способы и сравнить эти записи.
234. Купили 7 фунтов смеси леденцов; в каждом фунте
оказалось по 32 леденца: 15 белых, остальные розовые.
Сколько розовых леденцов оказалось в этой покупке?
Составить -и решить задачи по образцу предыдущие
(чтобы для решения их нужно бы ю разность двух чисел
помножить на какое-либо число). Записать все возможные
способы рачения этих задач и сравнить записи.
Как можнч поступать, когда разность Сеул чисел
нужно помножить на какое-либо число?
Изменить в предыдущих задачах условие так, чтобы
нужно было число помножить на разность.
Записать все возможные способы для решения этих
задач и сравнить эти записи.
Как можно поступать, когда число нужно помножить
на разность двух чисел?
235. Не вычисляя произведение, сказать, как оно из-
менится для каждого случая:
1) 287.5 (2874-7). 5 5) 600.27 600.(274-6) 9) 425.12 (425 —75) . 2
2) 324 . 10 (3244-16). 10 6) 9000.77 9000 .(774-5) 10) 300.40 300 . (40—3).
3) 425.12 (4254-35). 4 7) 287.5 (287—9). 5 П) 4000.59 4000.(59 — 10)
4) 200.50 200.52 Грацианский. Задачник. 8) 324,10 (324—25). 10 12) 800.127 800.(127—20). 4
— 50
236. 1) Сад имея форму прямоугольника длиною
125 саж., шириною 60 саж.; в нем перенесли забор так,
что длина стала на 8 саж. больше (меньше). На сколько
изменилась площадь?
2) Купили 25 фусов пряников, в каждом по 24 пра-
вила; из каждого фунта взяли по 7 пряников. На сколько
уменьшилось число пряников?
Составить задачи, похожие на предыдущие, для каждого
случая изменения произведения (по одному для каждого
столбца).
237. В книге 315 страниц, на странице в среднем
43 строки, в строке по 49 букв. Сколько букв в книге?
Сколько секунд в февра те этого года? Во всем этом
году?
Рабочий изготовляет в 1 день 150 гвоздей. Сколько
гвоздей изготовляет 400 рабочих в 120 дней, считая успеш-
ность труда одинаковою для всех рабочих за все время?
Сколько способов регчения оля каждой из этих задач?
Записать их. Чем отличаются &пи записи и способы друг
от дпуга?
238. Как можно поступать, если нужно перемножить три
числа? (Пояснить с помощью задач.)
Как можно поступать, чтобы найти произведение сле-
дующих 4 чисел:
1) 500 . 732 . 2 . 5;
2) 732.400.5 . 5:
3) 899 . 725 .4.2;
4) 375 . 4 . 4 . 1048.
Пояснить различные способы вычисления, составив для
этого условия задач к каждому примеру.
2. Обыкновенные дроби.
239. | арш. . 4 240 * листа . 7 241. л ведр. . 90
1 арш. . 8 листа . 8 см. 200
2 фун. . 3 1 1 2 см. . 11 1 20 дм. . 80
2 ф\н . 6 I 12 см. . 20 1 100 верст. . юоо
51
242. Л, вед. . 4оО 248 g листа . 2 244. i чк. . 5
rloCM. .125 3 фун. . 2 ? дм- - 7
Л Фут- • 47 Л Фун. • з а пуда 21
лота . 56 245. к вол. Нлиста & верш. Л арш. Л лота . 2 см. . 5 246. тчв чк. .12 . 84 арш. . 7 . 100 j фун . 17 . 72 }} зол. . 21 25
247. 1 пуд. . 2 248. 3< дм. .16 249. 10s лота 5
2£ арш. . 3 1Д зол. . 50 ' Д см. 25
12 j вед. . 2 5 верш. . 75 20§ ведр. . 8
73а6чк. . 5 2 д, верш. . 24 2^ пуд. . 6
250. 4/ъ арш. . 100 251. 2£ вол. . 17 252. 6^ листа . 15
фун . 32 5|лота . 40 43"5верст 8
10J чк. . 24 10| вол. . 25 31| пуд. . 5
20|J зол. . 16 25 J пуд. . 10 12}арш. . 60 2| дм. 6| чк. 7 11
253. Купили — до войны — 40 перьев по 1 коп. штука,
200 листов бумаги ио £ коп. лист и £ дюжины каранда-
шей по коп. штука. Сколько истратили при этой
покупке?
254. Жук ползет со скоростью $ саж. в минуту. Какой
путь он пройдет в 40 мин.? 56 мин.? 80 миь.? 2 часа?
255. Улитка движется со скоростью £ фута в 1 сек.
На сколько она продвинется в 48 сек.? 15 мин.? 16 мин.?
256. Шаг принимают равным:
для ребенка £ арш..
„ ребенка школьного возраста f арш.,
„ взрослого при спокойной ходьбе I арш..
» „ „ беге 1£ арш.
Какое расстояние пройдет ребенок, школьник и взрослый,
есш сделает 1000 шагов? (250 шагов, 33 шага?)
257. Вместимость кружки всдра. Сколько ведер
составят 5, 20, 100, 31, 47 таких кружек?
4*
52
258. 1 саж. равна приблизительно 2/в м. Сколько мет-
ров составляют 7 саж9 10 саж.? 12 саж.? 33 саж.? 9» саж.?
259. В хлебный лабаз привезли:
173 чк. ржи весом пуд. четверик;
168 чк. овса „ i
36 чк. ячменя „ | „
Сколько всего пудов хлеба привезли в лабаз?
260. Навстречу друг другу ползут улитка, со скоростью
дм. в 1 сек., и жук, со скоростью в 17 раз больше, чем
улитка. Какое расстояние будет отделять жука от улитки
через 4 секунды, ес.ш первоначальное расстояние между
ними 5 фут.?
261. Заяц находился от собаки иа расстоянии £ вер-
сты, когда заметил опасность и пустился убегать. Заяц
бежит со скоростью 5| саж. в 1 сек., собака гонится за ним
со скоростью 5| саж. в 1 сек.; спустя 28 сек. зайцу удалось
скрыться в кустах, и собака прекратила преследование.
Какое расстояние разделяло собаку от зайца в момент окон-
чания преследования?
262. В библии говорится,, что рост Голиафа равня гея
6 локтям 1 ладони. Сколько составит в русских мерах длины
рост Голиафа, если известно, что 1 локоть—фута, а
1 ладонь—фута?
263. Копье Голиафа весило 600 шекелей, а медный
ианцырь 5000 шекелей. Сколько весило вооружение Голиафа
в русских мерах, если 1 шекель — t?l2 фунта?
264. Серебряный рубль содержит 7Д зол. чистого
серебра и j j зол. примеси. Сколько чи( того сервера, сколько
примеси и каков общий вес 100 серебряных рублей?
265. Золотая монета в 5 руб. содержала. 87д доли золота
и 8л доли примеси; золотая монета в 10 руб. содержала
золота 174| дол. и 17| дол. примеси. Сколько чистого
золота и сколько примеси содержалось в 150 монетах пяти-
рублевого достоинства и таком же числе монет 10-рубле-
вого достоинства вместе9
266. Проволока свернуга в виде квадрата, длина сто-
роны которого 1Л фута; середины этих сторон соединены так-
же проволокой. Сколько проволоки потребовалось для этой
фигуры?
267. Из прово юки связати остов куба, ребро которого
5g вершка; на каждом углу прикрепили по медному шару.
Сколько денег истратили на этот куб., если 1 арш. про-
волоки стоил 96 коп., а каждый шарик 15^ коп.?
Пользуясь данными зад. № 257. составить (и решить)
задачу, для решения которой нужно разность двух чисел
помножить на данное число. Записать все способы реше-
ния этой задачи. Какой способ вычисления удобнее? Почему?
Пользуясь примером 100: (7%—4у), составить задачи
на различные темы. Записать все способы решения этой
задачи и сравнить их друг с другом.
Геометрия.
268- Одна сторона прямоугольника 1 верш другая
1 дм.- Вычислить периметр этого прямоугольника. (Записать
ход решения: 1) в цетых числах, 2) в дробях, выпажая
стороны долями аршина).
Вычислить периметры прямоугольников, стороны которых:
1) 2| верш, и 1J верш.; 2) 121 ДМ. и 151 дм.;
3) 7,;< арш. и 81 арш., 4; 103 саж. и 7Х саж
'Записать все возмонюмые способы решения задач и сравнить
записанное.
269. 1) Сторона квадрата 41 верш.; начертили квадрат
меньших размеров, сторона которого на Ц верш, короче.
Определить периметр меньшего квадрата. (Записать ход реше-
ния этой задачи и указать возможные способы вычисления).
2) Сторона квадрата 6? дм., другого 4| дм. Насколько
периметр одного квадрата больше периметра другого? Запи-
сать ход решения задачи и указать нее возможные способы
начисления.
3) Участок имеет форму прямоугольника шириною
саж., длиною 40 саж.; от этого участка отделена часть
•— 54
под огород с помощью забора, поставленного поперек участка,
так что длина отделенной части на 16 саж. короче дтины
всего участка. Определить площя <ь огорода. Записать хо;
р< .пения и указать возможные способы вычисления
270. Основание прямоугольника 6| дм., высота прямо-
угольника на 1| дм. меньше. Определить площадь прямо-
угольника. (Записать ход решения и указать возможные
пути вычисления.)
Основание треугольника 5» верш., высота на 1| вер.
больше. Определить площадь треугольника. ( Вычислить всеми
возможными способами )
271. Основание прямоугольника 12| дм., высота 5 дм.
На сколько изменится площадь этого прямоугольника, если:
1) основание его увешчить на £ дм.? i дм.? 2} дм.?
4| дм.? на 1 дм ?
2) основание его уменьшить на f дм.? дм.? 4J дм?
на 1 дм.?
3) высоту его увеличить на 1 дм.? 12 дм.? 20 дм.?
на 1 дм.?
4) высоту его уменьшить на 2 дм.? 3 дм.? I дм.?
на 1 дм.?
272. Как изменится площадь прямоугольника (напр.
редыдыдущей задачи), если:
1) основание его увеличить в 2 pasa? в 4, 5. 10 раз?
2) „ „ уменьшить в 2 раза? в 5, 10 раз?
3) высоту его увеличить (уменьшить) в 5 раз? в 10 раз?
в 20 раз?
4) основание и высоту увеличить, каждый размер
« 2 раза? в 4, 5, 8 раз?
5) основание увеличить в 4 раза, высоту в 2 раза9
я я » S я я я ** я
8) основание и высоту уменьшить, каждую величину
в 2 раза? 5 раз?
7) основание уменьшить в 2 раза, высоту в 3 раза?
4 5
* я Г> л Ъ 7> "
8) основание увеличить в 5 раз, высоту уменьшить в Ь рая?
г я 1G ” я я 1Q я
55
9) основание уменьшить в 2 раза, высоту увеличить в 2 раза?
4 * 4
J5 Я ЯЛЯ Я н » »
] ( основание увеличить в 4 раза, высоту уменьшить в 2 раза?
п Я Я я » я я я
11) основание \ меньши гь в 2 раза, ыясоj у увеличить в 4 раза?
4 90
Я и я я я я »
Как можно поступать, чтобы увеличить площадь
,1гямоуголъника [квадрата, треугольника] в 2 раза? 5 рю?
6 раз? в 12 раз? 16 раз?
(Пояснить на примере какой-либо площади).
273. Длина ящика 1Н дм., ширина 6 дм., высота 4 дм.
Я » 12| я » 5 4 Я я Я
п 16 » я •Ч„ „ 3 „
п я 10 я я 4> 8
Я я 11 верш. „ 7 Д верш. я 20 вер
Определить об’ем этих ящиков. Записать все возможные
способы решения. Какой из них наиболее удобный? Почему?
274. Бак можно поступать, чтобы найти произведение
следующих чисел:
1) 7я/8 •• 3 • 8;
3) 10-21/.,-2-3;
5) 9 За/4 • 4 • 5;
2)
Г) 12 • 6’/8 • 3 • 7;
6) &75-10 - 42/3 - 3.
Пояснить эти способы вычислений, составив для каждого
ври»ера условие вадачи.
275. 1) (ж+17^-2 = 6 4) 2-я; 4-2-(а; 4- 2?/2) = 25
2) (272 4- .V) - 2 = 10 5) 2 (г — 67J Ф 2х = 17*/4
4)(38А4-?/)-2 = 12 6) 2.-r4-2.(z -378)=13’/4.
Раз’яснить смысл предыдущих записей, составив для
каждой из них условие задачи (например, о периметре
прямоугольника), и определить «.
276. Обозначая неизвестное с помощью букв х (или у
или g), составить записи для решения следующих задач.
1) Сторона равнобедренного треугольника на 2\/2 дм.
длиннее его основания; периметр этого треугольника 11 дм.
Определить стороны этого треуго .ьника.
56 ~
2) Периметр треугольника 15 верш., одна сторона
больше сапой короткой из них на З'Д верш., другая на 2®Д верш.
Опреде тить стороны.
3) В ненрави ibiioM пятиугольнике, у которого 4 сто-
роны равны, наибольшая сторона длиннее каждой из осталь-
ных на 38/10 дм.; периметр 238/10 дм. Определить стороны
этого пятиугольника.
277. (J + J) • 3
(3|Ч 2Й-7
(45 —Л) -2
(7& —2&I-4.
278, (85 —71)-4
(C-2is)-7
(li + t + 2j) У
(25 4- 13 + in - 12
279. (17? - 8J) - 5 — (10| — 8/J - 4
(2i + 75 + 2&) • В + (19; -185) • 2
(Ю;5 - 8,%) • 20 - (4 A — 3j) • 15
(25^ + 4^ -J Ц) 2~(1H- 5Л + 1 A) 3.
280. 35-10 — 2fr- 7
81-12—9/0-5
10: 21 + 1J • 14
5« -33-71-20
281. 100+ 2| • 20
143 -15 — 101-7
lOt - 5 + 7J • 11
8+20-45-14.
3. Десятичные дроби.
282.0,25-3 283.1,32-2 284.216,17-4
0,132-4 14,15-3 1118,075-3
0,217-5 272,072-4 189,01-9
0,218-3 114.17-3 71,0185-2
285. 1) 271,3321 • 3 286. 1) 34,5 • 9
2) 57,0074 -3 2) 0,546 -8
3) 34,51 2 3) 9,83 • 7
4) 0.1214-4 4) 3,148-6
5) 13,13112-5 5) 110,0945-7
6i 4,47-6 6) 91,995-4
7) 1,0974-7 7) 140,4009-8
— 57 —
287. 1) 37,375 • 10 2) 1,8751 • 100 3) 1,75691 - 1000 4) 1,57 • ЮО 5) 1,751-1000 6) 1,5 • 10 7) 0,7875 - 10000 288. 1J 1,75-1000 2) 1,5 • 100 3) 34,54-1000 4) 0,875- ЮООО 5) 1,375 100 6) 1,751 • 1000000 7) 0,751 - 10.
289. 9,83 40 290. 1,47 • 22
1.084- 50 0,125- 17
4,51 • 2000 0,075 • 23
11,01 -400 1,006 • 81
7,081 • 90000 3,754 • 381
0,0035 700 0,7051 • 940
1,0001 • 8000 100,01 • 550
291. 1,42 5300 292. 2,375 • 342
4,78 • 750 14,005 408
0,001 • 9600 37,001 • 2010
3,75405-4400 370,05 • 4002
0,8102 • 8750 1000,4 • 506
10,235 2410 575,5 • 1002
2,339 10105 600,5 • 4006
293. 0,1 25 • 308 0,103-478 10,05-420 40,02 -4050 7.08 • 1025 11,25 • 1160 40.04 • 7050 В чем сходство, в чем разница между умножением
на целое число обыкновенных и оесятнчнъи дробей?
В чем сходство, в чем разница между умножением
на цела число десятичных дробей и целых чисел?
Вакке дроби удобнее умножать на цеюе число: обык-
новенные или десятичные? (Написать для сравнения деся-
тичные дроби в виде обыкновенных и ватем производить
вычисления).
58 —
AT (* р ы.
294. 1) 1 м. равен приблизительно 1,406 арш. Опреде-
лить в русских мерах длину километра.
2J 1 дм. равен приблизительно 2,54 см Выразить
в сантиметрах аршин, фут и сажень.
3) Вычислить в метрических мерах, как велика разница:
а) между I арш., 1 фут. и 1 м.; б) между 1 верстой и
1 клм.
4) 1. кв. м. равен приблизительно 0,22 кв. саж. Выра-
зить в квадратных саженях ар и гектар. Как велика раз-
ница между ними и десятиной?
295. 1) 1 кн. саж. равна приблизительно 4,552 кв. и.
Выразить в метрических мерах (километрах, арах, гектарах)
1 десятину.
2) 1 куб. ды.^ 1 6,4 куб. саж., 1 куб. верш. ^88 куб. см.
Выразить в метрических мерах 1 куб. фут, 1 куб. арш.
3) 1 куб. м. равен (приблизительно) 35,317 куб. фут.
Выразить величину его в кубических дюймах.
296. Зная, что кубический дюйм равен приблизительно
16.4 куб. см., выразить в кубических сантиметрах об’ем ведра,
равного 750 куб. дм.
1 чк. равен приблизительно 26,21 литра. Определить
в литра х разницу между 1 гклитром и 1 чк.
Площади н о б ’ е м ы.
297. Нормальная классная комната до’жна быть рас-
считана самое большее на 40 человек; при этом па каждого
ученика должно приходиться по 0,375 кв. саж, площади
и по 0,75 куб. саж. воздуха. Определись, каковы должны
быть площадь и об’ем вашего класса по этим нормам и на-
сколько этому соответствуют действительные размеры вашего
класса.
298. Длина кирпича обыкновенно 6 верш., ширина
3 верш., толщина 1,5 верш.; 10 штук такого кирпича
в среднем весят 2,5 пуд. Вычислить об’ем и вес 1 сотни и
1 тысячи кирпича.
59
299. ' частик земли на плане имеет вид i реугольника,
у которого основание 3,75 см., высота 2 см. Вычислить
площадь этого участка на плане и в действительности, если
чертеж сделан по масштабу 1 см.—100 метрам
300. Сторона основания правильной 3-граннои призмы
равна 4 см.; высота треугольника, служащего основанием,
3,46 см. Вычислить: 1) полную поверхность (площадь раз-
вертки) этой призмы; 2) об’ем.
301 - Оделят ь развертку трехгранном призмы со стороной
основания в 6 см., произвести необходимые измерения и
вычислить полную поверхность и об’ем этой призмы.
Числовые фор м у л ы.
302. Записать с помощью скобок и знаков арифмети-
ческих действий следующие требования и решить получен-
ные при этом примеры:
1) сумму чисел 3.75 и 2.5 у множить на 16;
2) разность чисел 7,5 и 5,375 умножить на 25;
3) число 32 умножить на сумму чисел 3,2 и 6,87;
4) число 20 умножить на разность чисел 10 и 8.63.
Составить условие задачи для каждого из этих примеров.
303. Записать с помощью скобок п знаков арифмети-
ческих действий следующие требования и решить получен-
ные примеры:
1) от неизвестного числа вычли 1,5, разность умно-
жили на 20, получилось произведение 50;
2) к неизвестному числу прибавили 3,25, сумму умно-
жили на 8; произведение равно 50;
3) 16 умножили на разность между неизвес гным числом и
5,1; произведение равно 113,6;
4) 25 умножить на сумму неизвестного числа и 4,5; про- .
неведение равно 250.
Какими способами можно производит] вычисление в этих
примерах?
Составить условие задачи для каждого из них и по-
яснить с помощью решения, как можно производить вы-
числение.
«о —
304. Записать с помощью скобок и знаков арифмети-
ческих действий следующие требования и решить получен-
ные примеры:
1) разность между числом 72,4 и неизвестным числом
умножить на 2; полученное произведение равно 44,8;
2) число 4 умножить на разность между 25,6 и не-
известным число;; полученное произведение равно 82,4.
Какими спосооами можно производить вычисление в пре-
дыдущих примерах? (Пояснить это, составив условие задачи
для каждого из этих примеров).
IV. Деление.
1. Целые числа.
305. 21936:3
87405:5
14721:7
24896:4
307. 714035:7
474087:3
980025:5
252009:9
309. 59320:10
45400:10
73000:10
170000;10
311. 45000:1000
70000:1000
2000000:1000
7000000-10000
306. 89628:7
48515:5
37521:3
46472:8
308. 512014:2
732012:6
816104:8
215005:5
310. 92400:100
100000:100
8700000:100
4000000:100
312. 740000:10001»
856000:100
1940000:1000
4000000:100000
313. На фабрике изготовили 15786 иголок и разде-
лили их на 3 равных партии. Сколько тысяч, сколько сотен,
сколько десятков и сколько единиц попало в каждую партию?
314. На фабрике изготовили 127400 карандашей; все
»ти карандаши были уложены для отправки по железной
дороге ящик тз и по сотне тысяч, по десятку тысяч, по ты-
— 61
сяче и т. д. Для удобства перевозки их отправили в 5 при-
емов, при чем начали перевозку с самых крупных ящиков.
Сколько ящиков каждого рода было отправлено каждый раз?
315. В 7 ящиках 49455 перьев, в каждом ящике
поровну. Сколько иерьсз в каждом ящике?
316. Молотильная машина в 5 дней обмолотила 125085
снопов. Сколько снопов обмолоти на эта машина в среднем
в один день?
317. Из ьодопровода доставлено воды 225864 ведер
в 6 дней. Ио скольку ведер доставляет водопровод ежедневно?
318. У хозяина было заготовлено 25600 пуд. сена;
это сено продано покупателям по 8 пуд. каждому. Сколько
цокупателей купили все это сено?
319. Расстояние в 14085 фут. измеряли веревкой
в 5 фут. длиною. Сколько лаз уложилась эта веревка на всем
протяжении?
320. Для уплаты рабочим за 1 день работы израсхо-
довано 72036 руб., причем каждому рабочему в среднем
уплачивали ежедневно по 9 руб. Сколько рабочих получило
расчет в этом предприятии?
Какие два вида задач решаются с помощью деления?
321. Мальчику нужно расставить 75 кубиков в 5 раз-
ных местах, в каждом поровну. Сколько кубиков нужно по-
ставить на каждом месте?
Какой вид деления в этой защче?
Мальчик стал расставлять кубики так: он для каждого
места брал по одному кубику и поэтому брал зараз по 5 ку-
биков. Сколько раз он взял по 5 кубиков, столько раз в каж-
дую группу поставил по одному. Сколько раз он поставил
в каждую группу по одному кубику?
С помощыо какого деления решил эту задачу мальчик?
(Ср. зад. №№ 315 и 319 и др.;
Какая разница получается в ответе (напр. для этой
задачи) при различных видах деления?
— 62 —
Как произвести поверку деления? каждого вида деления? Одинаково ли для
322. 174300:60 323. 520000:400 324. 250000:5000
57600:80 1850000:500 770000.7000
88400:40 225000:900 810000:9000
26800:20 840000:600 450000:3000
325. 108:27 326.’) 4824:12 327. 11730:15
144:16 5226:13 44574:19
111:37 9664:32 24344:17
256:64 5075:25 76299:87
175:35 1768:52 19926:82
186:31 1407.67 26864:92
728:91 3870:43 22800:38
328. 11457:19 329. 8137696:32 330. 7250’145
333333:37 4870585:85 8441:367
456114:57 567567:63 6392:136
70278:78 3525150:75 8428:172
765085:85 695600:25 6250:125
92120:98 846000:30 3660:122
156654:27 126042:42 7581:361
331. 11881:109 332. 14587:503 333. 120631:907
83468:308 25032:447 516652:569
43092:342 59285:835 305375:875
72670:169 -41676:906 404766:597
334. 2143526:898
1522720:496
3507875:875
3940532;694
336. 1514068:4253
3304596:5678
3909984:3856
1600731:4807
335. 773056:3008
443275:1043
555984:1782
384493 :-*867
337. 836360:2030
16900:1300
3074400:7200
16200:5400
*) J игом и следующих примерах приизвошть поверку деления.
63
338. 995240.2780
4200000:15000
4808000:800
339. 144000:1600
7290000:180
84118000:2740
340. Определить частное и остаток в следующих при-
мерах'.
I; 75:4 2; 3000:7 3) 400112 4) 5475 24 378:25 10000:71
39:6 2546:9
112:5 7000:3 895:75 87544:99
278:9 8500:8 741:60 55555:84
5) 40875 :374 6) 45000:350
37100 •991 100000:3300
14799 с 250 85400:250
189444 :75О 50500:4000
Как производится поверка, когда при делении получается
остаток?
341. х- 19 = 4655*; 76 х 7 = 1064 **) х-23 18 = 84870**;
35-х = 4655 32 • 12 •« = 16512 15я;-6 = 1080
а:17 = 23 *) ж:20 = 45*)3521:а; = 7 *) 13202:у = 46
г/:19 = 23 ^:40 = 32 13202:ж = 41 1064:«/=152
Составить условие задачи для каждого из предыдущих
примеров. (Напр., для примеров, помеченных *), о площадях
прямоугольника и для примеров, помеченных **), об об’емах
ящиков, комнаты и т. д.).
342. Уменьшить число 17018 в 2 раза
„ „ 23064 в 3 раза
„ „ 17656 в 4 раза
343. Сколько раз нужно вычитать:
700 из 1400, чтобы в остатке получился нуль?
> 3500 „ и »
„ 28000 „
„ 490000 „
Посредством какого действия решается эта задача?
344 Записать кратко.
5600 — 800 — 800 — 800 — 800 — 800 — 800 — 800 = О
— 64 —
345. Во сколько раз число 112500 больше 300? 8487 „ 23? „ „ „ 35 меньше 1050? , 120 , 8400? 346. Множимое: 7002, произведение 490140. „ 15006 „ 120048 „ 25517 „ 127585 Чему равен множитель? 347. Делимое 126333, делитель 9. Чему равно частное? , 84600 „ 1410 „ „ 35273, частное 7. Чему равен делителт*? я ПИП я 3 „ я 348. Во сколько раз нужно: увеличить число 106, чтобы получить 31800? » » 750 „ я 15000? уменьшить ,, 42000 „ я 700? „ „ 35000 „ „ 500? 349. На странице 4655 букв, на ней 35 строк, в каж-
ДОМ слове по 7 букв. Скогыго слов в каждой строке? Сколькими способами можно решить эту задачу? За-
писать все эти способы и сравнить записи.
350. Ученику нужно было число 13202 разделить на
46, потом полученное частное разделить на 4Г, он поступил
наоборот: сначала разделил на 41. потом частное на 46.
Праги тьный ли ответ получит ученик? Раз’яснить это, со-
ставив условие задачи и решая ее этими двумя способами.
Нельзя ли ту же задачу решить ( ще каким-нибудь спо-
собом? Если можно, записать его.
351. Ученику нужно было 32 умножить на 5, на полу-
ченное произведение разделить 3200. Вместо этого ученик
3200 разделил на 32, а полученное частное на 5. Правиль-
ный ли ответ получил ученик?
< 'оставить задачу и на ее решении выяснить, как можно
поступать, когда нужно делить на ппойзведенце. (Напр.,
— 65 —
об’ем ящика 3200 куб. дм., длина 32 дм., ширина 5 дм.,
найти высоту ящика.;
352. 21600:30 : 5 18750: 25:30 72000:180:50
25600:64 :40 180000:450:10 375800:25:2
80000:160:50 30000:150:40 85000:17:100.
Составить условие задачи к каждому из этих примеров
и па ходе решения задач показать, как можно производить
вычисления (три способа).
353. Записать порядок действий в следующих задачах
для всех возможных способов решения:
1) Мука хранится в 3 кулях, в каждом по 5 пуд.
20 фун.; всю эту муку израсходовали по 10 фун. в день. На
сколько дней хватило муки?
2) Землекоп в течение 8 рабочих часов может вырыть
канаву длиною 5 саж. 1 арш.; какой длины канаву выроют
12 таких землекопов в 1 час, считая все условия работы
совершенно одинаковыми?
3) На покупку 400 пуд. ржаной муки издепжали
160000 руб. денежными знаками 1923 года; пшеничная мука
в 3 раза дороже ржаной. Сколько в это время стоил 1 пуд
пшеничной муки?
4) На 1 фунт идет 32 леденца, а пряников в 2 раза
меньше. Сколько пряников идет на 5 фун.?
354. Как можно упростить себе работу вычисления
в следующих примерах:
375000-611:375 75000-893:2500
18000:450-5. 696000- 91:232000.
355. В складе 180000 яблок хранятся в 120 корзинах.
Сколько яблок в каждой корзине?
Как изменится ответ, если:
число яблок увеличить в 2(5) раза.
„ корзин „ „ 3(4)раза.
„ яблок и корзин увеличить в 2 (5) раза.
„ яблок уменвшить в 3 (10) раза.
» корзин „ » 2 (6) „
„ яблок и корзин уменьшить в 10 (5, 6) раз.
рацианский. Задагник-
5
66 —
число яблок увеличить в 2 раза, корзин в 4 раза.
я п Т> ъ 10 раз, 5 раз.
я » уменьшить п 6 Л „ 3 раза.
л п я п 15 и „ 5 раз.
я » увеличить „ 4 раза, корзин уменьшить в 2 раза.
>» П я л 12 раз, 4 я - г* *
п п уменьшить „ 12 Я 4 чу » п Я
п 1 я п 10 я К я ” я ° я
п п » я 6 я „ увеличить „ 3 раза.
Я Я п Я 3 раза » „ » 5 раз.
Что произойдет с частным, если:
1) делимое уменьшить (увеличить) в несколько раз?
2) делителя увеличить (уменьшить) в несколько раз?
3) делимое и делителя увеличить (уменьшить) в не-
сколько раз?
356. На, чертеже изображен неправильный 5-угольник,
по масштабу: 1 дм. = 50 саж Действительные размеры его
сторон 400 саж.; 1 верста 150 саж.; 200 саж.; 350 саж.; 150
саж. Определить периметр этого 5-угольника на чертеже.
Записать асе возможные способы решения этой задачи.
357. Если на 1 фун. = 96 зол. сплава приходится, напр.,
84 вол. благородного металла — золота или серебра,—то
говорят, что этот сплав 84 пробы. Пробу можно считать
и по отношению к другим всевозможным единицам веса; но
удобнее для расчета превращать их либо в фунты, так гак
I ф. = 96 зол., либо в золотники, так как 1 зол. = 96 дол.
Для следующих ниже задач обозначить с помощью ско-
бок и знаков арифметических действий возможные способы
решения и сравнить их между собою.
1) Сплавили кусок серебра весом 12 фун. 84 пробы
с куском в 16 фун. 56 пробы. Какой пробы получился сплав? •
2) Составить сплав из 5 фун. серебра 70 пробы и 2 фун.
меди. Определить пробу сплава.
3) Определить пробу сп гава, который получится от
соединения трех кусков металла, 3 фун. меди 10 фун. золота
56 пробы и 15 фун. золота 28 пробы.
Нельзя ли в этил задачах определить пробу, не находя
сумму всего благородного металла в сплаве!
67 —
358. Ученику нужно было решить задачу, для чего
следовало произвести чакпе вычисления:
1) (75280+61320+117900): 20
2) (35.56-|-78.84+70.29)-14
Ученик сделал вычисление так:
1) 75280:20+61320: 20+117900: 20 = 376404 3066 +
4-5895.
2) 35.56: 14+78.84 : 14+70.29 : 14 = 35.4+78 . 6 +
+ 5.29.
Правильные ли ответы получил ученик?
Как можно поступать, чтобы разделить сумму несколь-
ких слагаемых?
359. Для решения задачи, где нужно было разность двух
чисел 75000 и 65000 разделить на 500, ученик поступил
так: он 75000 разделил на 500 и 65000 разделил на 500,
из первого частного вычел второе. Правильный ли ответ он
получил? Составить условие задачи, для решения которой
нужно произвести указанные здесь вычисления, и ра Уяснить
способ вычисления с помощью этой задачи.
Как можно поступать при вычислениях, когда нужно
делить разность двух чисел?
360. 1) При делении 22800:38 = 600.
Как нужно изменить делимое, чтобы частное:
уменьшилось на 10? на 2? на 100?
увеличилось „ 5? „ Г? „ 100?
2) 24000:500=18.
Как нужно в этом примере изменить делимое,
чтобы частное:
увеличилось на 1? на 2? на 10?
уменьшилось на 1? на 3? на 20?
361. 1) 22800:600 = 38 (без остатка). Предсказать, не
производя деления, что произойдет, если:
22800:599 (делитель на 1 меньше)
22800:595 (меньше на 5)
22800:580 „ ., 20)
22800:550 „ „ 50)
22800:500 „ „ 100)
5
68 —
2) 24000:500 =48. Что произойдет, если:
24000:501 (делите и. на 1 больше)
24000:510 (ыа 10 больше)
24000:511
24000:520 ’
24000:550
362. 22800:38= Не производя деления наново, пред-
сказать, что произойдет, если:
а) 22800:37 (делитель меньше па 1)
22800:35
22800:30
б) 22800:39 (делитель больше на 1)
22800:40
22800:48
363. Ученик хотел подобрать пример для деления без
остатка и взял такой 22850:38. Получил в частном 601 и
остаток 12.
1) Как он может поступить, чтобы, изменив делимое
или делителя, получить деление без остатка?
2) Как поступить, чтобы деление производилось без
остатка, а частное:
увеличилось на Г? на 5? на 10?
уменьшилось на 1? на 5? на 10?
3) Как поступить, чтобы получить деление без остатка
и при этом делителя*
увели ишь на Г? на 2? на 12?
уменьшить на 3? на 8? на 10?
2. Обыкновенные дроби.
36А. 1) Три помещенные ниже кружка разделить на
4 равные части. Дгя этого можно поступить следующим
образом: делить на 4 равный части каждый кружок и от
— 69 —
каждого отделить по одно Л четверти. Эп и отделенные от каж-
дого круга части отмечены крестиками. Какая часть круга
получится, если 3 круга:4— ?
. 2) Сложить один на другой 5 листов бумаги и, разделив
верхний на 6 равных частей, по отмеченным местам разрезать
на 6 равных частей все 5 листов сразу. Какая часть листов
получится, если 5 лис гов разделить на 6 равных частей?
3j 3 фута ленты поместили, как ли-
нии на этом чертеже, и разрезали на 8 рав-
ных частей так же, как и линии на этом
чертеже: при первом разрезе каждую
линию разрезали пополам; при втором
и третьем каждую половину пополам; затем
каждую из полученных частей снова по-
полам. На сколько частей разделили при этом каждую линию?
если 3 фута : 8 = ?
1 пуд
4 пуд.
получится,
11 лет : 15
37 сек.: 50
6
11
5 вед. : 9
11 вед.: 9
1000 саж. : 6
359 фун. :40
3 чк.: 4
7 чк. : 4
35 арш .
41 пуд :
лепешки разделить поровну
лепешки достанется каждому?
7 человеками.
между 8 че-
365. Какая часть фута
Сколько получится:
1 саж.: 5
3 саж. : 5
124листа: 80
531 верш.: 100
366. 1) Три одинаковых
между четверыми. Какая часть
2) 2 листа бумаги разделить поровну между 5 чело-
веками. Какая часть листа достанется каждому?
3) 5 аршин тесьмы разделить поровну между 8 чело-
веками. Какую часть аршина получит каждый?
4) Разделить поровну 39 яблок между
Сколько получит каждый?
5) 125 арш. ситцу разделить поровну
ловеками. Сколько аршин получит каждый?
6) Сотня одинаковых книжек весит 60
Сколько лотов весит каждая книжка?
7) В 25 мин. в ванну влилось 217 вед. воды. Сколько
ведер воды вливалось в ванну в каждую минуту?
367. Выразить составным именованным числом все
числа, приведен яые ниже:
ф, и. 5 лот.
— 70 —
1) Серебряный рубль весит...............4И/1Л 30т-
Золотая монета в 10 рублей веспг . . 2yW0 зол.
Серебряная разменная монета чека-
нилась по расчету: тысяча рублей
из 43121/128 фунта.
2) Высота Коряцкой сопки (Камчатка) . 3®/7 версты.
.. Эйфелевой башни (Париж) . . 140®/5 саж.
„ Исаакиевского собора /Петроград) 47я/4 саж.
полное частное:
218000: 33
8196741: 506
368. Найти
353: 16
4805 : 130 3008:125 705807:100 478946 :425 10001000:1500 2785431.1240
Произвести поверку.
369. Записать в виде дробей следующие частные:
3: 5 1112.240 1375 : 500
7: 5 175: 100 423: 50
8 : Ю 281 : 90 824: 20
9 : 15 111: 40 695 : 60
Как проверить деление в этом случае?
Напр., 75 : 16 =7S/Je. Как проверить деление?
„ . „ 75 • 16 __
Ответ: ц . 16 = ~= 75.
Почему не нужно вычислять произведение 75 • 16?
Что произойдет с числом, если 1) его сначала умно-
жить на какое-нибудь число, а затем разделить на то же
число? 2) какое-нибудь число сначала разделить на какое-
либо число, а потом умножить на то же число?
370. я/12 листа :3 371 • ’72б < саж.: 4 372. 48/варш. : 2
75 Фу™ 2 27/ '100 : 9 25% вед. : 5
V? Зв’ /125 : 12 93|5 чк. : 3
7w 3 ’7 .’в* : 3 12020/21 : 10
373. 1 арш. 2е/, верш.: 3 374 Р/2: 3 375. 4\о: 7
5 пуд. 1073фун. : 2 2’/2: 5 675 : 11
4 чт. 3 у12 чк. : 5 51/,: 8 5% : 13
3 сут. 8’°/21час. : 10 374:15 1 27п : 20
— 71 —
376. 12%: 5
36%: 8
22%: 7
377. 433%: 5 378. 133% л. :5
241 %: 4 7 вер. 162% саж. : 4
547%: 10 33 пуд. 20% фун.: 6
2022%: 4 4 чт. 6% чк.: 3.
379. Расстояние между четырьмя станциями товарный
поезд прошел в 3 часа. Сколько верст в 1 час проходит
поезд в среднем, если от первой станции до второй 24% версты;
от второй до третьей в 3 раза меньше, чем между двумя
первыми; от третьей до четвертой в 4 раза больше, чем от
второй до третьей?
380. Привезли муку на 4 возах. На первом возу было
12% пуд. ржаной муки и 36% пуд. пшеничной; на втором
возу было ржаной муки в 4 раза больше, а пшеничной
в 6 раз меньше, чем на первом возу, на третьем и чет-
вертом поровну—на каждом из них в 3 раза меньше каждого
сорта, чем на первых двух возах вместе. Сколько муки
каждого сорта и сколько всего муки привезли на всех
возах?
381. 10 пряников весят 33% золотника, 7 леденцов
весят 8% зол. и 2 куска пастилы весят 9а/5 зол. Сколько
золотников сладкого получит каждый ученик на елке, если
дают по 6 пряников, 4 куска пастилы и 22 леденца?
Каждые 5 пряников стоят 17% коп., 6 леденцов—
2 коп., а 4 куска пастилы 6% коп. Сколько стоит
1 порция сладкого, полученная каждым учеником (см. пре-
дыдущую задачу), и сколько израсходовали на всех детей,
если их было 150 человек?
382. Из фунта ржаной муки выходит 1%0 фун. пече-
ного хлеба. На приготовление хлеба потратили 6 фун. ржа-
ной муки и весь испеченпый хлеб с’ели в 3 дня. По
скольку фунтов хлеба с’едали ежедневно?
383. Столбик в 17 серебряных рублей имеет высоту
l’/ю Ды-> столбик в 73 копеечных медных монеты высо-
тою 3*%0 дм. Сложили в стойку 50 серебряных рублей и
50 копеечных медных монет. Который столбик выше и
на сколько?
*' 384. В магазине '-'готового платья купили 75’/4 арш.
k материи, 39а/8 арш. коленкора на подкладку и 471/s арш.
v аграм’йнта и из этого материала изготовите 7 одинаковых
костюмов. Сколько материала пошло на каждый костюм?
385. При взвешивании открытых и закрытых писем
оказалось, что 100 открытых писем весят 1662/8 зол.,
100 закрытых—4581/!., зол. Определить, на сколько в сред-
нем закрытое письмо тяжелее открытого?
386. 25 экземпляров учебника без переплета весят
161Я/82 ФУн-> переплет к ним в 3 раза легче самого учеб-
ника. Сколько весит 1 экземпляр в переплете?
387. 1)'’/4 бумажного круга разделить на 3 равных
части. Сколько таких частей выйдет из целого круга? (Одну
из них отметить крестиками). Какая часть круга получится,
если 74 круга разделить на 3 равных части?
2) т/6 бумажного-круга (пометить нуликами) разделить
на 4 равных части. Сколько таких частей получится из
целого крута? Какая часть круга получится, ести ’/ь круга
разделить на 4 равных части?*
3) 73 крута (отметить дугами) разделить на 8 равных
частей. Сколько таких частей получится из целого круга?
Какая часть круга получится, если 1)3 круга разделить на
8 равных частей?
388. 1) Веревку длиною ’/я саж. разрезали на 6 равных
кусков (на 7, 10, 20). Какую часть сажени составляет
каждый кусок?
2) Восьмушку бумаги разрезали на 5 (12, 25, 10)
равных частей. Какую долю листа составляет каждая часть?
3) Вязанка дров составляет J/io саж- Какую часть
сажени расходовали ежедневно, если вя $анку сожглп
в 3 (2, 4) дня?
389. 76 арш. : 4 390. 720: 7 391 */3 арш.:3 392. Ч» 5
712 верш. : 8 71S : 5 2/в арш.:3 : 5
7г5 верст. : 10 */, : 4 7Я пуд. : 4 7« : 7
’/'и чк. : 3 Т : 6 ®/5 пуд. : 4 % : /
397. 2% : 3
з% б
4%o: 6
57, 10
393. ’/и-’ 2
%. : 5
% : 10
. 76 = 9
398. 18Л : 2 399. 25’Л : 8 400. 100%.: 9
5% : 7 34% .10 375%: 10
7’/10: 8 51%: 5 401%: 20
43/18:12 8 9ЭДО:11 273% : 11
491. Из 3 пуд. ржаной муки выходит 4% пуд печеного
хлеба. Сколько хлеба выйдет из 1 пуда муки?
7 закрытых писем весят 141/, лотов. Сколько в сред-
нем весит каждое письмо?
Среднее значение.
402. Определить среднюю величину шага, если
25 шагов составляют"50% фут. 20 „ „ 60% „ 26 „ „ 782/Л „ 7 *» 3% „ 9 , „ 4% „ 10 я , 8% „
403. Определить длину окружности колеса, если оно
сделало
78’/ арш. при 25 оборотах
139% 251% 44%п Я „ 40 „ 50 „ 12 п я я
404. Определить среднюю скорость:
верблюда, если он проходит в 10 сек.—18% арш.
волка „ Я я я 8 „ —33% саж
жлраффы „ я я я 15 „ — 27юо версты
зайца „ я я я 14 „ —67% саж.
борзой собаки я я я 30 „ —281% саж.
легавой собаки я » Я 12 я —45% саж.
тигра я » Я 1 мин.—391% саж.
74 —
ласточки, если она пролетает голубя .. „ сороки грача В г> л п 11 сек.—230и/й саж. 15 „ —2887/10 саж- 9 » — 1057, саж- 20 я — 9578 саж.
Деление одноименных долей.
405 1) Во сколько раз:
8/4 лис! а больше 74 листа?
712 кРУга » 712 круга?
27w веДРа » hw ведра?
1а пУДа » 725 ппа?
*71оо саж. „ ’7ICfl саж.?
2) Во сколько раз:
2 арш. больше 78арш., 2/8аРш-,75арш.?
3 чк. „ чк, 3/4 чк.?
5 пуд. „ % пуд., 7В пуд.?
273 фута „ 78 фута */8 фута?’
1вер. „ 74 вер, 274 вер., Зя/4 вер.?
475 ЧТ. Л . 76чтч75чт.,14/5чт.,175чт.,275чт.?
406- Куплено 10 фун. керосина. Сколько раз можно
наполнить лампу этим керосином, если в нее входит
72 фун. керосина? 7* фун., 73 Фун., */8 фун., % Фун., 73 фун.,
7S Фун., 7s Фун-, 17s Фун. керосина?
2) В Петрограде выдали по | фун. хлеба на 2 дня.
Сколько человек было в семье, которая получила на 2 дня
П фун.?
3) Ученик в 1 час может переписать 3/5 листа. Во сколько
времени он перепишет Р/5 листа? 38/6 листа? 575 листа?
15 листов?
4) Писец в 1 час переписывает 2 7* листа. Во сколько
времени он перепишет 9 листов? 27 листов? 6’/4 листа?
2272 листа? 117* листа? 3374 листа?
407. Из 5б74 листов бумаги сшили тетради. Сколько
денег выручат за эти тетради, если на каждую тетрадь упо-
требить по Р/4 листа и продавать по 3 коп.? по 2’/4 листа
и продавать по 572 коп.? по б74 листа и продавать по 1 б коп?
75 —
408. ЗО’/8 иуда сахару высыпали в ящики и мешки;
в ящики вошло 65/8 пуда. Весь сахар был продан, при
чем сахар, находящийся в мешках, продали оптом по
]5 руб. пуд.; сахар в розницу по 42 коп. фунт. Сколько
т,енег полумили при этой продаж»?
409. 35 г’/8 саж. толстой веревки разрезали на части по
2s g саж. в каждой; 1О75/1о саж. тонкой веревки разрезали на
куски по 48/10 саж. в каждом. Сколько выручили при этой
продаже, если кусок толстой веревки продавали по 175 руб.,
а тонкой по 160 руб.?
410. На елку для подарков купили 362/8 фун. сла-
стей, разделили эти сласти на разные части, по 2/8 Фун.
каждая, и роздали ученикам. Сколько было учеников в школе?
411 - Заднее колесо, окружность которого 23/4 арш.,
сделало 360 оборотов. Сколько оборотов сделало в это время
переднее колесо этого же экипажа, если его окружность на
1’/„ арш. меньше заднего?
412. Определить в килограммах: 1) вес ведра воды,
если оно весит 40 фун.; 2) вес 1 чк. зернового хлеба,
вес которого 48 фун.; 3) вес взрослого человека, который
в среднем 412 пуда. Килограмм составляет 22/5 фунта.
3. Десятичные дроби.
413. 75,95:5 414. 1,6:4 415. 0,25: 5
42,86:2 3,975:5 3,6: 9
100,765:5 12,595:5 1,5:25
36,84:3 29,079:9 4,2:28
0,7566:3 315,315:5 0,75:25
0,81189:9 40,072:8 1,2:40
4,856:4 56,1414:7 4,8:80
416. 0,128008:4
1,1:2
3,75:8
4,5901 :5
7,009:4
417. 310.785:10
143,8756:100
4113,6:1000
5137,3:100
3189,7:10
76 —
418. 3.1:10 13,75:100 785,16:1000 1675,75:10000 381,75:1000 419.0.384:10 ' 1,5:100 7,51 :1000 0,384:1000 0,1:100 420.0,075:100 1,001:10и0 0,7:100 0,075:100 0,008:1000
421. 13,104:13 119,7:19 532,8-144 726,7:169 118.81:109 422. 1,768:52 1,8005:65 26,864:92 1,4587:503 12.0631:907 423.0,8428:172 0,6392:136 1,1881:109 11,881:109 0,59285:835
424. 7,84:20 425. 3:2 5,6756:500 75:8 0,0189:30 32:5 189,885 :.400 1762:25 3940.01:8000 72:40 426. 3:4 20:25 7:50 11:125 17:64
В чем сходство, в чем разница, между делением деся-
тичных дробей и целых чисел на целое число?
В чем сходство между делением десятичных и обыкно-
венных дробей на целое число?
Какие дроби легче делить на целое число — обыкновен-
ные или десятичные? Почему?
X Метрические, меры.
427. 1) Четверик приблизительно 26,24 литра. Чему
равен 1 гари.?
2) Гектолитр приблизительно 30,48 гари. Выразить
величину гектолитра в четвериках и гарнцах.
428. 1 м. приблизительно 1,406 арш. На ско 1ько деци-
метр больше, а сантиметр и миллиметр меньше вершке, и дюйма?
Квадратная сажень равна приблизите тьно 4552 кв. м.
Выразить:
1) в арах (или кв. километрах) десятину;
2) в кв. метрах —1 кв. арш.;
3) в кв. сантиметрах—1 кв. фут, 1 кв. дм., 1 кв. верш.
429. 1) Зная, что ведро вмещает 12,3 литра и при-
близительно 750 куб. дм., выразить 1 куб. дм. в куб. санти-
метрах.
2) Вес ведра воды приблизительно 30 фун., а об’ем
ведра 750 куб. дм. или 12,3 литра в метрической системе.
Выразить об’ем ведра в куб. сантиметрах и вес 1 фунта
и 1 пуда в граммах и килограммах.
430. 1 куб. м. приблизительно 35,317 куб. фут. Выра-
зить кубич. дециметр, куб. сантиметр, куб. миллиметр в ку-
бических дюймах.
1 куб. фут приблизительно 0,028 куб. м. Выразить
в куб. сантиметрах 1 куб. арш., 1 куб. дм., 1 куб. верш.
431. Воздушный столб давит на 1 кв. см. силою около
1033,4 гр. С какою силою воздух давит на эту книгу? на
стол? на пол этой комнаты?
432. Площадь прямоугольника 40 кв. см., основание
прямоугольника 16 см. Определить высоту прямоугольника.
433. Площадь прямоугольника, его основание:
75 кв. см. 50 см.
84 „ „ ' 56 „
•5 я „ 60 „
Определить высоту прямоугольника.
434. Площадь прямоугольника, его высота:
100 кв. см. 80 см.
600,4 кв. см. 4 „
3,75 кв. см. 5 „
Найти основание.
435. Площадь треугольника, его основание:
9,6 кв. м. 16 м.
122,5 „ „ 25 „
4,5 „ „ 9 „
Найти высоту.
18
436. Площадь треугольника, его высота:
200 кв. см. 80 см.
0,15 „ „ 50 „
1,2 „ м. 4 м.
Об’ем ящика 40 куб. дм., длина его 10 дм., ширина
5 дм. Чему равна высота ящика?
Об’ем 100 куб.см. 75 куб. см. 80 куб. см. 200 куб. см.
длина 20 см. 16 см. — 50 см.
ширина 4 „ 2,5 „ 30 см. —
высота — — 1,2 „ 8 „
Дополнить эту таблицу, вычислив пропущенные величины-
437. Нужно изгоювить такую неправильную трех-
гранную призму, чтобы ее об’ем был 25,5 куб. см., площадь
основания 10 кв. см., основание треугольника 4 см. Каковы:
1) высота этой призмы и 2) высота треугольника, служащего
основанием?
438. Какова высота 3-гранной призмы и высота осно-
вания ее, если об’ем призмы 36,75 куб. см.; площадь осно-
вания 12 кв. см.; основание треугольника 10 см.?
439. На протяжении 0,75 клм. заднее колесо эки-
пажа повернулось 400 раз, переднее 600 раз. Определить
длину обода этих колес.
440. У переднего колеса окружность 1,5 м.; в то
время, как оно сделало 125 оборотов, заднее колесо сделало
только 75 оборотов. Определить окружность заднего колеса.
44-1. Шнурок сложен так, что образует неправильный
6-угольник, у которого одна сторона длиною 4,5 см., две
стороны по 6,75 см. и 3 стороны по 4,25 см. Какой длины
получится сторона правильного 5-\тгольника, который можно
сложить из этого шнура?
442. Основание прямоугольника 6,75 см., высота 3 см.
Какой длины будет высота прямоугольника, имеющего равную
ему площадь (равновеликого ему треугольника) и основание
длиною 8 см.?
79
443. Основание треугольника 8,25 см., высота 6 см.
Определить основание равновеликого ему треугольника, у
которого высота 2 см.
444. Длина ящика 12,5 см., ширина 6 см., высота 3,5 см.
Определить высоту равновеликого ему (т. е. имеющего рав-
ный об’ем) ящика, у которого длина 10,25 см., ширина 8 см.
445. Прямоугольный участок земли начерчен по мас-
штабу 1 : 200 (т. е. все его линейные размеры уменьшены
в 200 раз). Определить стороны этого треугольника на плане,
если в действительности они 3,5 м., 4,25 м. и 5,4 м.
446. Пятиугольный участок земли начерчен по мас-
штабу 1 : 400. Определить длину сторон этого 5-угольника
на плане, если в действительности они 52,6 м.; 175 м.;
120 м.; 14,4 м. и 108,2 метра.
Алгебраические обозначения.
447. Иетолковать смысл записей и найти неизвестное:
1) 4-2,5) 4-(ж+2,5+ 3,5)= 18,25
2) У + 0/-1,25) -J- G/— 1,25 — 3,75) = 18,15
(Составить условие задач для этих примеров).
448. Записать с помощью скобок, знаков действий и
условного обозначения неизвестной величины условия следую-
щих задач и решить полученные примеры:
1) В треугольнике одна сторона самая короткая; дру-
гая длиннее ее на 3,5 см., третья длиннее второй на 2,25 см.;
периметр этого треугольника 22,75 см. Чему равны стороны
этого треугольника?
2) В треугольнике одна сторона самая короткая, дру-
гая длиннее ее на 4,4 см.: третья длиннее второй на 1,8 см.;
периметр треугольника 27,85 см. Определить стороны этого
треугольника.
3) В треугольнике одна сторона короче другой на
3,3 см.; третья сторона короче более короткой на 3,7 см.;
периметр треугольника 13,1 см. Определить стороны этого
треугольника.
4) В треугольнике одна сторона короче наибольшей
ва 1,5 см., другая короче наибольшей на 3,4 см., пери-
метр 17 см. Определить стороны этого треугольника.
80 —
449. Истолковать смысл записей и найти неизвестное;
1) 2 (я;+!) + «=5,75 5) 4(х—0,75)+ 2 (ж+ 0,5) + »= 5
2) 3(ж—f)+te=7,2 6) 5ж — 3(ж — 1,5)=1,75
3) ж+4(ж+1,5) = 18,25 7) Зя—(х + 2,5) = 12,1
4) 2(ж+1,2)+3(»+1,5) + ж=15,3 8) 16,5 —(4,2 + Зж) = 0.
450. Записать с помощью скобок, знаков арифмети-
ческих действий и условного обозначения неизвестного
ход решения следующих задач и найти неизвестное:
1) Меньшая сторона прямоугольника короче большей
на 0,25 см.; периметр прямоугольника 8,3 см. Вычислить
меньшую сторону этого прямоугольника.
2) Большая сторона прямоугольника на 1,75 см. длиннее
меньшей; периметр прямоугольника 20,7 см. Вычислить сто-
роны этого прямоугольника.
3) В 5-угольнике каждая из 2 равных сторон больше
самой короткой на 1,2 см.; две другие стороны, равные друг
другу, больше той же короткой на 1,3 см.; периметр 5-уголь-
ника 12,5 см. Определить стороны этого 5-угольника.
4) В неправильном 6-угольнике одна сторона наиболь-
шая; из остальных 4 равны друг другу, каждая короче наи-
большей на 2,4 см.; пятая сторона короче наибольшей на
1,1 см.; периметр 6-угольника 37,7 см. Определить стороны
этого 6-угольника.
451. Истолковать смысл записей и найти неизвестные;
1) х 4- 2я? + За? — 4,59
2) ж 4 5ж 4~ 7л? + 9а? — 38,5
3) х -j- 4а? + -j-16а? = 43,5
452. Записать с помощью скобок, знаков арифмети-
ческих действий и условного обозначения неизвестного
условия следующих зацач и решить полученные равенства.
1) Усадьба занимает всего 3,75 гектара земли; самая
меньшая часть ее занята постройками; сад занимает участок
в 3 раза больше, чем постройки; огород в 5 раз больше,
чем постройки. Сколько земли занимает каждая часть
усадьбы?
2) Площадь прямоугольника разделена на 3 неравные
части; средняя в 2 раза больше наименьшей; третья в 3 раза
— Я1
больше средней; величина площади прямоугольника 32,4 к*
см. Определить площадь каждой части прямоугольника.
3) Вес 4 ящиков 36 кгр.; вес одного из них наи-
меньший; вес второго в 5 раз больше, вес третьего в 4 раза
больше веса наименьшего ящика; вес четвертого равен весу
наименьшего и второго вместе. Определить вес каждого из
этих ящиков.
4) В треугольнике одна сторона вщое больше другой,
третья в 5 раз больше той же стороны; периметр треуголь-
ника 24,8 см. Определить стороны этого треугольника.
IV. Умножение и деление.
453. Записать ход решения следующих задач, решить
их всеми возможными способами и указать, какой из них
наиболее удобный.
1) Сотня зерен весит 540 зол. Чему равен вес 5 та-
ких зерен?
2) Вес верыки длиною 12 саж. составляет 15 фун.
Определить вес такой же веревки длиною в 4 саж.
3) На 25 грядах уродилось 60 пуд. картофеля. Сколько
пудов картофеля уродилось на 5 таких же грядах считая,
что сбор картофеля со всех гряд был одинаковый?
4) На 70 человек заготовлено 30U пуд. продовольствия.
Сколько пудов продевотьствия приготовлено для 7 человек?
5) На 22 дня заготовлено 400 пуд, фуража (сено и
OBecJ. Сколько пудов фуража приходится на 11 дней?
Если приходится производись кряду два действия—
у множ' ние и деление, то очень часто выгоднее сначала лишь
обозначить, какие действия нужно производить, а затем из-
менить порядок действия (всегда ли в таких, случаях, напр.
е предыдущих задачах, это можно применить?) так, чтобы
удобно было производить вычисление.
Обозначая порядок действий, деление удобно записывать
с помошью дробною знака —, ч рпючки. Напр., для задачи 1
№ 453 запись можно сделать такую. Вес одного зерна
т. е. составляет одну сотую всего веса или 540 сотых золот-
ника: вес 5 зерен в 5 раз больше веса одного зерна,
_ 540 _ 540-5
то есть — • о =------•
100 Юо
Грацианский. Заычпик. G
— 82
Когда нужно произвести кряду 2 действия, умножение
в деление, то можно порядок менять, не изменяя пезультата.
В данном примере выгоднее сначала производить умно-
жение, а потом деление.
Так ли этро во всех остальных задачах Л? 453?
Но в этой задаче можно сделать еще такое упрощение
при вычислении. Вес 5 зерен равен частному, которое по-
лучается, если делимое (540 • 5) разделить на 100. Если де-
лимое и делителя уменьшить в одно и то же число раз, то
частное не изменится, а вычисление облегчится. Это можно
записат ь так:
Вес 5 зерен = ~Г = 27, т. е. 540 и 100 уменьшить
в 10 раз, зачеркивая по нулю; 10 и 5 разделить на 5, после
чего в числителе дроби остается произведение 54 • 1; в зна-
менателе 2.
Нельзя ли произвести такие же упрощения при вы-
числении в остальные задача? этого нумера?
4-54-. 1) За 626 арш. ситцу уплатили 68.750 руб.
денежными знаками 1922 года. Сколько стоят 125 арш.
такого же ситца?
2) 750 яблок стоят 30000 руб. денежными знаками
1923 г. Сколько стоят 75 таких же яблок?
3) В 35 часов поезд прошел 2000 верст. Сколько верст
проходил поезд в каждые 11 часов, считая его движение
равномерным?
4) Капитал в 25000 руб. принес 700 руб. дохода.
Сколько дохода принесла часть этого капитала в 2500 руб.?
5) Расстояние в 450 верст на масштабе изображено
прямолинейной чертой длиною в 18 см Какой длины черта
изображает при этом масштабе 100 верст'-1
455 ') 1) На партию рабочих в 40 человек провианта
хватило на 6 рабочих дней На сколько рабочих дней хватит
’) В .VA* сначала нужно записать ход решено» задач, затем
сделать возможен'- упрощения я потом уже произвести юткслевве. (Почему
так удобнее?)
— 83
этого же провианта для 30 рабочих, считая в среднем рас-
ход продуктов на 1 человека одинаковым?
2) Артель каменщиков в 30 человек может починить
мостовую в 25 дней. Во сколько времени может выполнить
ту же работу артель каменщиков в 15 человек, считая,
что успешность труда каждого из рабочих одинакова?
3) При масштабе 50 саж. = 1 см. расстояние изобра-
жается отрезком прямой, величиной в 16 см. При каком мас-
штабе ето же расстояние изобразится отрезком длиною
в 32 см.?
4) При скорости 45 верст в 1 час поезд проходит рас-
стояние в 72 часа. Во сколько времени он пройдет то же
расстояние при скорости в 60 верст?
456. Составить условие задачи для каждого из сле-
дующих примеров и произвести вычисление, произведя сна-
чала возможные упрощения.
1) 785 • 64 40й0 99 о 7500 • 49
320 *> 330 490
620-1JO _. 48975• 42 й 17860'840
4) 310 5) 105 bJ 120
Для ТОГО, чтобы облегчить себе работу вычисления
в предыдущих примерах, полезно заранее знать, на какие числа
делятся данные числа без остатка. В некоторых случаях
можно легко догадаться, на какое число делится число, над
которым нужно производить умножение и деление.
2. Признаки делимости.
457. Определить, не производя деления, делятся ли без
остатка: 1) на 2 следующие числа: 3770; 478; 4443; 879;
223; 11100.
2) На 5 следующие числа: 1115; 4454; 2310; 875;
47700; 551; 2000.
3) Нанвсать в возрастающем порядке числа, заклю-
чающиеся между 99 и 199 и делящиеся на 2 или на 5 и
на оба числа.
458. 1) Выпислиь числа, заключающиеся в промежутке
от 50 до 150 и делящиеся oes остатка на 4.
в*
84
2) Выписать все високосные годы от 1900 до 1950 г.
3) Указать високосные годы, которые бы ш между 1737
и 1763 годом.
459. Указать в промежутке от 300 до 530 все числа,
делящиеся без остатка на 4 и на 25.
По какому признаку можно судить, делится ли без
остатка число: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 4; 4) на 25?
460. Какой остаток получится, если разделить на 9
следующие числа: 10; 100; 1000; 10000; 100000?
2) Какой остаток получится при делении на 9 сле-
дующих чисел:
20; 30; 40; 70; 80?
200; 300; 400; 700; 800?
2000; 3000; 4000; 7000; 8000?
Сравнить остатки, получаемые при делении: 1) чисел
каждого ряда; 2) чисел каждой колонны.
3) Какой остаток получится, если делить на 9 сле-
дующие числа: 500; 60; 70000; 5000; 50; ЮООООО; 600;
2000000; 500000; 40000; 20000?
461. Какой остаток
1) каждого слагаемого; 2)
изводя деления):
1) 9000 + 90 + 9
2) 10000 + 1000+10
3) 2000 + 200 + 20 + 3
4) 7000+ 600+ 40+1
j) 8OOU + 2O + 5
получится при делении на 9:
всей суммы (определить, не про-
Gj 30000 + 7000 + 4000 + 8
7) 100000 + 40000 + 500 + 5
Я) 2000000 +• 70000 + 4000 + 7
9) 7ООООО + 5ОООО + ЗОО
10) 1000000 + 5000 + 2.
462. Определить, не производя вычисления, какой оста-
ток получился при делении на 9 следующих чисел:
1) 999; 321; 4031; 2302; 7001; 80100; 1231; 1142;
3011; 2105; 5001; 6010.
2) 666; 234; 441; 62513; 2242; 10881; ч4010.
3) 8883; 95454: 108108: 22154: 333333; 666666;
909027.
По какому признаку можно суоитъ, не производя деления,
делится ли число на 9 без остатка?
463. Указать числа, делящиеся на 9 без остатка, в сле-
дующем ряду: 351: 6222; 8999001; 3003003; 33333; 999888;
55512; 48636; 117; 269100.
464. 1) Делятся ли на 3 без остатка числа, которые
на 9 делятся без остатка? Почему?
2) По какому признаку можно утверждать, что число
разделится на 3 без остатка? (На основании предыдущего).
3) Указать числа, которые делятся на 3 без остатка,
а при делении на 9 дают остаток.
4) Удобно ли на основании признака делимости числа
на 9 судить о делимости числа на 3? Почему?
5) Нельзя ли установить при помощи решения вопросов
460—463 признак делимости чисел на 3? Решить все
эти вопросы, изменив условия Л«№ 460 —463 для этой цели.
465. Написать трехзначные числа: а) делящиеся без
остатка, на 9; б) делящиеся без остатка на 3.
466. Как, не производя деления, определить, делится ли
число без остатка на 6? Из чисел №№ 462 и 463 выписать
все числа, делящиеся на 6 без остатка.
467. Написать числа, делящиеся без остатка на 15.
468. В следующем ряду чисел отметить, какие из них
делятся без остатка 1) на 3; 2) на 4; 3) на 12; 4) на 18:
237124; 18660; 800; 66666; 25554; 10001; 33333.
469. Написать наибольшее и наименьшее числи в про-
межутке от 599 до 699, которые делятся без остатка на
одно из следующих чисел: 1) на 3; 2) на 5; 31 на 2;
4) на 6; 5) на 4; 6) на 9.
47J а) Написать трехзначные числа, которые делятся:
1; на 3; 2) на 9; 3) на 6; 4) на 2; 5) на 15.
б) Написать 1-значные числа, которые делятся бе»
остатка:
1) ня 5; 2) на 4; 3) на 20; 4) на 3; 5) на 12; 6) на 15.
— 80 —
471. Воспользоваться признаками щлимости для упро-
щенья следующих дробей:
..360. 256. о 4Д М ^2. йу -у 1675
I'^SO’ w' 272’ ’ ' 960’ ' 840’ ' ^00 ’ ' 900’ * * 6800'
472. На какие числа можно разделить числителя и
знаменателя следующих дробей:
6375 575 4444 1232 623 1720 121
9990’ 3600’ 99990 ’ 510j’ Коо’ 968 ’ 1111 ‘
473. Если число, яапр., 150, делится на какое-либ»
другое число без остатка (наир, на 5, на 15, на 10). то
ено называется кратным этого числа.
Число 150 кратное чисел 5; 10; 15.
На основании признаков делимости написать числа,
кратные чисел:
1) 2; 2) 5; 3) 9; 4) 4; 5) 8; 6) 3; 7) 15; 8) 18; 9) 25.
474. Ее производя вычисления, сказать, будет ли про-
изведение чисел:
1) 75.32.27 кратным каждого из чисел: 5; 8; 9; 10; 45;
18; 30; 90.
2) 14.25.30. 21 кратным каждого из чисел: 9; 125; 49;
75; 70; 175.
3) 5.5.7.2.5.2.3.3.7 кратным каждого из чисел: 9; 125;
49; 75; 70; 175.
Который пример, 2 ; или 3), легче решить? Почему?
Сравнить их.
475. 1) Назвать все числа, кратными ксторых служат
роизведенля:
1) 3.5.7; 2} 2.9.11.5; 3) 4.7.9.5.17.
2) Произвести умножение в предыдущих примерах и
сравнить, когда легче определять, является ти число кратным
другого числа или нет: когда число представлено в виде
произведения мнг жителей или в обычном виде?
Чтобы облегчить работу определения, на какие числа де-
лятся числа без остатка („кратными" каких чисел они являются),
числа представляют в виде произведения нескольких мно-
жителей, „разлагают на множителей". Чтобы легче было
определить все числа, на какие число делится без остатка,
это число разлагают на „простых множителей" (или де-
лителей). Простыми числами называются такие, которые делятся
— 87
олько сами на себя и на единицу. Наир, числа 2, 3, 11,
13 — простые числа; числа 4. 6, 9, 14—уже не простые
числя,
3. Простые числа. Разложение на множителей.
473- Назвать простые числа промежутка от 1 до 100 1J.
477. Выписать те числа, ov перемножения которых по-
дучаются следующие произведения: 81; 125; 75; 66; 51;
360; 400; 550; 900. Нельзя лч эти числа представить в
виде произведения простых множителей? Как это сделать?
478. Из каких простых множителей можно составить
числа промежутка от 40 до 75? Какие числа этого проме-
жутка простые?
479. Определить состав чисел промежутка от 75 до 85;
выписать способы получения этих чисел от перемножения
простых множителей.
480. Какие размеры может иметь прямоугольник, пло-
щадь которого 40 кв. арш.? 72 кв. jm.? 80 кв. фут.? 96 кв.
вершк.? 120 кв. линий?
481. Какие размеры может иметь прямоугольным ящик,
об’ем которого 100 куб. саж.? 150 куб. арпь? 175 куб.
верш.? 200 куб. цм.? 300 куб. линий?
482. Разложить на простых множителей следующие
числа: 144; 240; 675; 1200; 1750; 3600; 12000; 9600.
483. Разложить на простых множителей и составить
список всех чисел, на которые делятся без остатка: 1) числа
промежутка от 85 до 100; 2) числа промежутка от 115
до 125; 3) следующие числа: 420; 720; 850; 1100; 1800;
2700; 3460.
484. Как составить список всех чисел, на которые
делятся без остатка числа: 1) 750; 2) 425; 3) 945; 4) 1500?
*) Есть елособ оостгвленил таблицы ииостых чисел, ик^ыеяекыв
тосфеиорым решеток*. См. Грацианский, ч. I, стр 149.
«8 —
485. Разложить на простых делителей (множителей) и
выписать общих делителей следующих чисел:
1; 96 и 160; 2) 360 и 1512; 3) 100 и 725;
4) 240, 88 и 300; 5) 560, 1200 и 800; 6) 375, 360 и 900.
486. Разложить на простых множителей и написать
все общие делители чисел:
1) 852 и 192; 2) 1007 и 1358; 3) 2626 и 1414-;
4) 1199, 2134 и 1298; 5) 890, 1246 и 9701;
6) 781. 710, 1846; 7) 779, 627, 399, 5700;
8) 1533, 1162, 2149 и 5663.
487. Выписать общих наибольших делителей чисел
предыдущего номера, отмеченных рубриками 1, 3, 5, 6, 7.
488. Какой нужно взять масштаб, чтобы на чертеже
прямоугольник имел наименьшие размеры, если его действи-
тельные размеры такие:
1) 175 саж. И 105 саж;
2) 180 арш. » 216 арш.;
3) 320 саж. я 560 саж.;
7560 фут. я 5760 фут.;
3027 саж.. я 4785 саж.
Диаграммы.
489. Нужно наыядно представить сравнительные глу-
бины:
Великого океана в среднем 3500 м.
Атла нтического » я 3780 „
Индийского я » 3990 ,,
Сев. Ледовитого « я 4830 „
Средиземного моря „ 1400 „
Самой глубокой шахты 1610 „
Какой нужно взять масштаб, чтобы чертеж имел наи-
меньшие размеры?
490. Представить в виде
дующие высоты:
Эверест .... 8800
Эльбрус . . . 5600
прямолинейных отрезков еле
м. над уровнем икеан*
п п я я
89
Монблан . . . 4800 м. над уровнем оксана
Перистые облака 14000 „ „ Кучевые облака 7800 „ „ Воздушный шар 9800 „ „ Я я я я я я
Выбрать для чертежа такой занял возможно меньше места. масштаб, чтобы чертеж
491. Для того, чтобы сделать наглядной разницу между ве-
личинами, их часто изображают при помощи условного
чертежа ’).
Например, для того, чтобы сделать наг [ядной и ясной
разницу между длинами рек или железных дорог, их из-
ображают на чертеже отрезками прямой линии, отмеряя
длину этих отрезков по одному и тому же масштабу.
а) Длины железных дорог в 1910 году.
Прп масштабе 5000 верст в
см. (5 мм.), получим отрезки:
С.-Штатов 365.000 верст для С.-Штатов 36г/2 см.
Германии . 57.000 „ России . . 53.000 „ Франции . . 46.000 „ Австро-Венгр. 42.000 „ Англии . . 36.000 „ „ Германии 57/]0 см.= 5 см. 7 мм. „ .России 53/10 см. = 5 см. 3 мм. „ Франции 4а/5 см. = 4 см. 6 мм. „ Австро-Венгр.4’Дсм— 4см. 2мм. я Англии 33/5 см. = 3 см. 6 мм.
' Сделать чертеж по этому расчету; для большей наыяд-
ности, вместо прямых линий, можно взять цветные по лоски
бумаги одинаковой ширины и различных цвптов.
б) Чтобы сделать наглядной сравнительную величину
нескольких сумм денег, напр 500 руб. и 750 руб., можно
поступить так: допустив, что на чертеже 50 рублям должен
соответствовать отрезок длиною в 1 клетку, по.учим:
500 руб. = 10 клеток; 750 руб. = 1 5 клеток.
*) Подробности см. Грацианский. „Арифи. мдачи. Цеини числа",
«тр. 154—Ш.
9о —
492. Oi ищите в своиа учебниках географии и ед-те-
етвознания диаграммы, изображающие сравнительные ве-
личины:
1 j в виде отрезков и прямоугольных полос;
2) в виде цилиндров разной высоты;
3) в виде прямоугольных брусков.
Почему при выборе форм для изображения различных
величин остановились на избранных фигурах?
Можно ли всякую величину изображать в каком угодно
виде, напр. в виде ‘прямолинейных отрезков?
493. 1) Начертить диаграмму сравнительной величины
среднего урожая с 1 десятины в России и других госу-
дарствах в 1910 году:
С.-Штаты .... . 147 пуд. — Фун.
Германия .... 122 „ 20
Австро-Венгрия . . 98 Я г
Франция .... . 73 „ 20 у»
Англия .... . 61 „ 10 я
Россия . 19 я
Сбор хлеба с 1 десятины можно представить в виде ци-
линдра (четверика ,, причем для различных государств сле-
дует взять цилиндры одинаковых оснований, чтобы разница
в величине урожая для разных стран изображалась различ-
ными высотами цилиндров.
Масштаб 24 пуд. 20 фун. = 1 см.
Нельзя ли для наглядного изображения, урожаи раз-
личных стран изобразить при помощи отрезков?
2) Представить наглядно, в виде прямоугольных полос
равной ширины, пространства, занимавшиеся веичкими
европейскими державами в 1914 году, пред всемирною вой-
ною (без колоний).
Россия................ 400.000 не. геогр. миль.
1) в том числе Европей-
ская Россия • . . . 100,000 „ „ и
Австро-Венгрия .... 12.000 „ „ „
Германия................ 10.000 „ „ „
91
Франция ........... У.600 кв. reorjj. миль.
.Англия............... 6.000 я „ я
Италия................ 5.500 „ „ „
3) Начертить диаграмму, изображающую численность
населения главнейших русских городов пред началом
войны 1914 года.
Петроград .... 1960 тысяч человек.
Москва........... 1540 „ ,
Киев ............. 500 „ я
Харьков .... 240 „ „
4] Представить наглядно количество воды, которое
иринос ят в океан в 1 секунду следующие реки:
Амазонка . . 8.000 куб. саэк. в 1 сек.
Ганг . . . 1 500 „ п п
Нил . . . . 350 ’ „ »
Рейн . . . 200 _ г п
Нева . . . . 300 „ я п
В каком виде мож»о изобразить эти количества на
чертеже?
5) Представить в виде прямоугольных брусков с рав-
ными основаниями об’емы классов, коридоиа и других
комнат своей школы.
Нельзя ли эти об’емы изобразить в виде сг^езков
прямой линии?
6) Сделать чертеж, изображающий число уроков своей
школы, пользуясь разноцветными карандашами и красками
или цветной бумагой.
7) Начертить диаграмму, изображающую численность:
а) лошадей в России .... 33 милл.
С. Штатах . . 21 „
Германии . 4 „
Австро-Венгрии 4 „
Франции ... 3
Англии ... 2 „
б) крупного
рогатого скота в России . . 51 „
С. Штатах . . 60 „
92
J ермании . . .21 милл.
Австро-Венгрии 16
Франции . . .14
Англии . . .12
В виде каких геометрических фихур и линий можно
начертить эту диаграмму?
8) Начертить диаграмму, показывающую сравнитель-
ную величину ежегодной добычи каменного угля в различ-
ных государствах в 1910 году.
С. Штаты .... 27.700 милл. пудов.
Англия............ 16.000 „ я
Германия .... 13.000 я и
Австро-Венгрия . 2.400
Франция .... 2.300 .,
Россия............1.500
9) Представить наглядно добычу железной руды в раз-
личных государствах в том же году.
С. Штаты . .
Германия . .
Франция . .
2.700 милт. пудов.
Англия . . .
Россья . . .
Австро-Вен,’рия
1.800
1.000
900
400
350
п
эт
п
и
и
я
я
10) Начертить диаграмму, изображающую число про-
мышленных заведений Европейской России в различных
краях в 1910 г.
Центральная область . 2.400 заведений.
Черноземная полоса . 2.000
Привислинский край . 1.800
Западная............. 850 „
Приозерная...........800
Прибалтийская . . . 500
Кавказ...............400 „
11) Начертить диаграмму ввоза и вывоза в различных
госуДвРствах ® 1910 году.
Ввоз. Выво4.
Англия . . . 6.400 МИЛЛ. руб. 5.200 мала. руб.
Германия . . 4.800 я Я 4.000 я ”
Франция . . 4.000 г я 3.000 я и
С. Штаты . 3.000 я я 4.000 п ъ
Россия . . . 1.300 ч я 1.600 я я
Австро-Венгр. 1.300 я я 1.000 я я
12) Вырезать из бумаги длинную полосу шириною
1—2 вершка и на ней от пожить следующие промежутки
времени. (Масштаб: 1 юд~1 мм).
От Р. Хр. (начало полосы) до настоя щ. времени прошло 1923 г.
я я г, „ ochoi ания Росс, госуд. . 10С2 г.
S п м .. изобр. стенных часов . 760 л.
» я v „ „ книгопечатания . 1450 т.
’’ я зз „ „ паровой машины 1698 л.
я я я „ „ машины Уатта . 1764 г.
Т) 5 и в „ воздушного шара . 1783 г.
» я я ,. „ стальных перьев (в Англии) . . 1803 г.
•) » я „ парохода . . . 1807 л.
» » я „ „ ткацкого станка . 1808 л.
’• 3) .. „ „ паровоза . . . 1825 л.
м я „ „ электро - магнитн. телеграфа . . 1832 г.
•• п и „ „ телефона . . . 1860 л.
’) »» 3? „ „ фонографа . . . 1877 л.
п f я . кинематографа . 1891г.
Ч п п „ „ ёезпровол. телегр. 1898 л.
я „ „ аэроплана . . . 1907 л.
4. Кратное и наименьшее кратное.
494. Написать кратные чисел: 1) 2, 3 и 5; 2) 8, 12,44.
Какие из нлх общие кратные? Какое общее наименьшее
кратное?
— 94
495. Написать общие кратные чисел:
а) 8 и 28; Ь) 12. 15, 40; с) 48, 72 и 80.
Подчеркнуть общие наименьшие кратные этил чисел.
496. Написать общее наименьшее кратное для каждых
двух чисел:
а) 150 и 120; Ь) 75 и 175; с) 600 и 725; d) 1250 и 4000.
497. Найти общее наименьшее кратное чисел:
1) 610, 549; 2) 450, 800; 3) 1000, 750, 1250;
4) 70, 100, 280; 5) 125, 450, 650; 6) 2000, 900, 1550.
498. Найти общее наименьшее кратное чисел:
1) 504, 720, 792; 2) 288, 640, 1200; 3) 8000, 360 и 960;
4) 175, 500, 800; 5) 1200, 560, 630; 6) 4000, 6000, 7500.
499. Заднее колесо экипажа имеет в окружности 6 арш.,
переднее 4 арш. Определить наименьшее расстояние, ко-
торое должен проехать экипаж, чтобы каждое колесо сде-
лало целое число оборотов. (То же, если заднее колесо 5,
7, 8 арш., переднее—3, 5, 6 арш.)
Диаграммы.
500. Для того, чтобы наглядно представить распреде-
ление частей в целом, чертят диаграммы такого рода.
Целое представляют чаще всего в ви\е площади прямоуголь-
ника, квадрата или круга; для каждой части целого отделяюг
соответствующую часть площади. '
Например, чтобы наглядно представить величины водной
поверхности и суши земного шара, поступают следующим
образом. Известно, что суша занимает приблизительно ’/J
вода 2/8 поверхности земного шара. Поэтому для наглядного
изображения этого распределения чертим прямоугольник,
напр., дчиною 12 клеток, шириною 5 клеток; отделяют этого
прямоугольника (т. е. прямоугольник шириною 5 к теток,
д тиною 4 ктеткп) и закрашивают какой-либо краской. Это
изображение суши. Оставшаяся часть прямоугольника (2 3 его
площади) изображает воду и закрашивается в другой цвет.
Представить величины поверхности воды и суши зем-
ного шара: 1) в виде круга и его частей; 2) в виде ква»
ртта и его частей.
95
501. I) Отыскаль в учебниках географии и естествознания
диаграммы, изображающие распределение частей в целом:
а) в виде прямоугольник? и его частей;
б) квадрата и его частей;
’ в? круга и его частей (секторов).
2) Почему для изображения распределения частей в
целом чаще всего чертят площади, разделенные иа части,
а не отрезки и не об’емы различных форм?
3) Можно ли всякую величину и ее части изображать
в виде площади и ее частей?
502. 1) Представить в виде круга и его частей [поль-
зуясь транспортиром) все пространство России и части
•го, занятые различной культурой, приняв, что
пашни и сады занимают . 1]& всего пространстве (120°)
луга....................7в «
леса....................ю я я
необработан, дикие земли */5 г „
(по даннкм 1910 г.).
2) Представить в виде прямоугольника и его частей
распределение земной суши между материками:
Азия приблизительно 73 всей суши . .
Америка „ 7ю „ „ . .
Африка „ 2/д э • •
Европа „ ]/18 „ „ . .
Австралия „ всю остальную часть
(.Длн jAOocioa взять
прямоугольник ДАЙ-
НОЮ 117 мм., о кривою
10 мм.).
На соответствующих
постройками,
огородом,
садом.
частях чертежа сделать пометки,
какая часгь площади отделена для изображения данного ма-
терика.
503. Представить в виде диаграммы распределение частей
в целом, выраженное в процентах:
1) 30%
40%
20%
2) 70%
10%
20%
земельного участка занято
п » »
я »
площади иола в классе занято партами,
шкапами, столами и другой мебелью,
свободное просгоанство.
— 96 —
Разыскать в учебниках географии, естествознания и
истории, а также в газетах диаграммы, изображающие
процентное распределение, и прочесть их.
505. Начертить диаграмму, показывающую участие
разных стран в добыче нефти (по данным 1912 г.):
С. Штаты . . . 65 % мировой добычи
Россия .... 23% „ .,
Австро-Венгрия . 5 % ..
остальные страны—все остальное.
506. Начертить диаграмму состава различных веществ:
Элементы. Продукты. Белок. Жнр. Вода. Зола. Углеводы.
Тегятина 20,0“, 1.5% 76,5’. 2% —
Молоко 3,0% 0,7е/. 30,3% 1% 57.
Свинина 20,5% 7,0% 71,5“/» 17. —
Сделать расчет введено в организм, , скольк когда о питательных будет израсходо вещест вано по В будет 1 нуду
телятины и свинины и 3 ведра молока?
507. Когда приходится находить процентное отношение
для того, чтобы затем им воспользоваться для практических
целей (наг.р., для черчения диаграмм, разделения целого на
части в действительности), то необходимо принять во вни-
мание, все ли доли процента имеют смысл для данного
случая. Напр., нужно найти процентное распределение г за-
даче: „Для испытания всхожести семян посеяли 64 зерна,
из них взошло 51. Какой процент всхожести?"
Для решения вопроса нужно узнать, сколько процен-
тов (сотых долей) составляет 51 по отношению к 64, т. е
51:64 и частое выразить десятичной дробью Получаем
•51:64 — 0,796875. Следовательно 51 взошедшее зерно со-
— 97
ставляет 79,6875%. Если нужно начертить диаграмму этого
распределения, то вычисленным результатом полностью не
воспользоваться, так как, принимая, напр., 1%—1 кв. см.
чертеж будет довольно большой), нужно для изображения со-
тых долей процента взять кв. миллиметры, что возможно; для
изображения тысячных — десятые доли кв. миллиметра, что
уже почти невозможно при черчении; для десятитысячных—
сотые доли кв миллиметра, что уже практически совершенно
невозможно. (Если взять очень крупный масштаб, то можно
начертить десятитысячные, но в дальнейшем может повториться
то же затруднение.) Поэтому нужно взять приближенное значе-
ние полученного числа; в данном случае достаточно для всхо-
жих семян 79,69% (почему это число?), для невсхожих 20,31%.
1) Найти процентное разделение и начертить диаграмму
для каждого случая:
Проба дала следующие результаты для всхожести семян:
брюква взошла 37 из 40 зерен
морковь „ 23 „ 32 „
свекла „ 61 „ 75 „
репа „ 78 „ 87 „
2) Начертить в виде круга диаграмму, изображающую
круг жизни петроградской природы (местной) по следую-
щим средним данным, выведенным за много лет проф. Кай-
городовым:
весна, 88 дней: начало 19/Ш— прилет грачей; 22/IV
вскрытие Невы;
лето, 92 дня: начало 15/VI — отцветание сирени; сере-
дина 30/VII.
осень, 72 дня: начало 15г1Х — расцвечивание листов;
середи ла 17 /X—конец листопада;
зима, 113 дней: начало 26/XI — замепзание Невы; сере-
дина 20/1.
3) Определить процентов отношение и начертить диа-
граммы:
а) числа солнечных в дождливых дней (снежных)
„ морозных и теплых „
„ ветренных и тихих „
па каждый месяц д ih вашей местности;
I рацианский. Задачник.
7
_ 98 — I
б) числа часов для каждого предмета по отноше-
нию ко всему числу учебных часов;
в) отмечать ежедневно и вычислять процент отсут-
ствующих в классе;
г) рассчитать, сколько часов приблизительно тра-
тится каждые сутки (для рабочих дней): на сон; па
еду: на работу в школе; на прогулку; на чтение дома; на
приготовление уроков; на разе течения и т. п.; вычислить
процент по отношению к суткам и начертить диаграмму.
5. Нахождение частей целого.
508. Обозначить порядок действия (см. № 453), произве"
сти возможные упрощения и решить следующие задачи:
1) В классе 40 человек: из них ма тьчичи составляют •/,.
всего числа, остатьная часть девочки. Сколько мальчиков в
сколько девочек в этом классе?
i 2) Фунт сливочного масла в октябре 1923 г. стоит
360 руб. денежными знаками 1923 г. Сколько стоит ’/< Фун.
этого масла?
3) На фунт мелкой дроби идет 7830 мелких дробинок.
Сколько дробиник идет на 2/3 фунта?
4) Участок занимает 7200 кв. саж. 3/8 этого участка
под огородом, 7ю П°Д постройками, й/12 занимает сад; осталь-
ная часть—свободное пространство. Сколько квадратных
сажен занимает каждая часть этого участка?
5) На зиму для школы заготовили 360 куб. саж. дров,
из них березовые дрова 2/5 всего количества, сосновые 8/g,
ольховые 8/йо, остальные еловые. Сколько кубических сажен
дров каждого сор^а?
6) В школе 240 человек учащихся; из них в младших
классах обучается 8/. всего этого числа, в средних 3/8, в стар-
ших—остальная часть. Сколько человек обучается в каждой
части классов этой школы?
509. Обозначить порядок действий, происвести упроще-
ния и решить следующие задачи:
1) Земельный участок имеет форму прямоугольника
длиною 320 сан;., шириною 150 саж.; 1в/25 этой площади
покрыто лесом. Сколько квадратных сажен покрыто лесом?
— 9 > —
2) Земельный участок имеет форму треугольника, осно-
вание которого 200 саж. высота 120 саж.; п/12 этого участка
занимает болото. Сколько квадратных сажен занимает болото?
3) Начерчен треугольник, основание которого 12 ем.,
высота 10 см.; 3/в площади этого треугольника затушевано
краской. Сколько квадратных сантиметров затушевано краской?
4) Длина ящика 25 см., ширина 12 см., глубина 10 см.;
ящик наполнен песком, достигающим s/8 его глубины. Сколько
кубических сантиметров занимает песок?
5) В ящик длиною 15 см., шириною 8 см., высотою 5 см.
насыпаны ягоды, покрывающие 3/< ег0 высоты. Какой об’ем
занимают ягоды?
Как можно поступать, когда нужно найти несколько
частей целого? Как это удобнее записать? Как вести вычи-
сление? Почему?
6. Нахождение целого по его частят.
510. Истолковать смысл записей и решить следующие
примеры, обозначая сначала порядок действия и произведя
сокращения:
1) 74 « = 120 4) 710 ж = 37и0 7) 8%« = 6400
2) %, «=3600 5) 78 « = 4000 8)75%« = 9000
3) 76 « = 45 0 0 6 ) 75 «=6500 9) 40%« = 4800
511. Записать условие задачи с помощью обозначения
неизвестного чиста какой-либо буквой (наир, «, у, г) и
решить полученные примеры, обозначая сначала порядок дей-
ствия и произведя упрощения.
1) 4/е всего количества овса потратили на прокорм скота
на 10 дней, причем ежедневно давали по 50 фун. Сколько
весит весь запас овса?
2) Проехав 5400 верст, рассчитали, что сделали 7J0 всего
пути. Определить весь путь.
3' За 7* Фунта масла заплатили 270 руб. ден. знаками
1923 года. Сколько стоил 1 фун. масла?
4) В бутылку налили 60 куб. см. воды, и вода полня
лась на 7в высоты бутылки. Определить вместимости бутылки.
7*
— 100 —
5) Чтобы засыиать овраг, в неги всыпали 12о куб. м.
земли и засыпали лишь 3/ь его. Сколько нужно земли, чтобы
засыпать весь овраг?
512. Записать условие задачи, обозначая неизвестное
число буквою, и определить неизвестное из полученной записи.
1) В книжном магазине сделали скидку в 15%, что со-
ставило при покупке книг 600 руб. знаками 1923 года. Спре-
де шть номинальную стоимость книг.
2) Во время зимней спячки животные теряют в весе.
В следующей далее таблице даны веса животных после
спячки и процент веса, который сохраняется, по наблюде-
ниям ученых, после спячки. Определись в» с животных до
спячки, если известно, что:
сохраняет веса до спячки: « Epa ESBUEiSE-.a/CE после сплчви ее вес:
ящерица . . 91% 35 зол.
черепаха . . 89% 2 фун. 6 „
сурок . . . 91 % 2 „ 3 я
еж . . 69% 2 я 84 я
летучая мышь 67 % ззЬ
513. Истолковать смысл задачи и определить неизвест-
ное число по следующим данным:
1) я—75а;= 700 4) х — 9%® = 18200 7) .с Н = 16900
2) 5/8л; = 4200 5) у —25%?/ = 30000 8 ) и^&у- 850
3) х — 710 р= 490 6)£—15%^ = 1700 9)Н-р = 3500
Сначала записать порядок действий Гем. № 453), затем
упростить и йотом произвести окончательное вычисление.
514. Истолковать смысл
ное из следующих записей:
1) z-f- 5%х = 210
2; 2/-J- 80%?/ = 5400
3) 75%* = 1750
записи и определить неиввесг-
-4) х —J— 50 % x = 4о0
5) .г 4 100 %.г = 400
6) х 250%.г = 7000
515. Записать условие задачи с помощью условных обо-
значений и решить полученные условные записи.
1; Книга куплена за 225 руб. деп. знаками 1923 года
со скидкою в 15%. Какова ее номинальная стоимость?
— 101 —
2) Известно, что высыханием трава теряет 75% своего
веса. Сколько нужно травы, чтобы получить 600 пуд. сена?
3) После зимней спячки еж теряет 30% своего веса, а его
вес в это время 1 фун. 54 зот. Каков был вес ежа перед спячкой?
4) При сушке хлеб теряет 35% своего веса. Сколько
хлеба нужно засушить, чтобы получить 6 пуд. 20 фун. сухарей?
5) Хлеб провала за 6000 руб. и получили 20 °/0 убытка.
Что стоит хтеб без убытка?
516. В следующих далее задачах составить записи
и определить неизвестное по этой записи.
1) В книге 250 страниц, на каждой странице по
40 строк, в каждой строке по 30 букв: из этого числа 7,)0(>
составляют заглавные буквы. Сколько в этой книге боль-
ших букв?
2) На покупку ржи истратили я/5 всех денег и купили
25 пуд. по 240 руб. пуд. Из ( ставшихся денег */2 истратили
на покупку масла по 160 руб. за фунт. Сколько купили
масла?
3} Истратили \ всех денег, и осталось после этого
1200 руб. Сколько денег было до траты?
4) Пройдено -/5 всего пути и осталось итти 4Ь0 верст.
Сколько верст пройдено?
5) Ученик отнял от числа */ его и получил в остатке
9000. Какое число взял ученик?
6) Из книги вырвана ’/.„ оставшаяся часть составляет
270 страниц. Сколько страниц было в кни"е?
7) Участок земли разделили на части так, что под
усадьбу отвели 710 этого участка, под огород 2/ь, для сада
а пашня и луг заняли оставшиеся 52 десятины. Как велика
каждая часть?
8) В роще вырубили 3/8 всех деревьев; из оставшихся %
всего числа приходится на березы, остальные деревья—сосны.
Сколько сосен в роще, если вырубили 1200 деревьев?
9) В городских школах кончила курс 3/5 всего числа
учащихся, а осталось 1206 человек. Сколько человек уча-
щихся было в этих школах?
Составить условия задач д./я примеров 513 и 514.
— 102 —
Jd/к набит целое, если изведшим вы части? Как зтб
удобно записать и вычислять?
517- Записать условие задачи, обозначая неизвестные
г помощью букв, и определить их на основании получен-
ных записей.
1) Капитн,, пустили в оборот и он, принося 10% дохода,
обратился в 22.000 руб. Как велик первоначатьный ка-
питал?
2) Как велик первоначальный капитал, если известно, что:
при прибыли j 25%, капита л превратился в 62.500.000 руб.?
.. 80% Г 5.400.000 у,
W 50% » 30.000.000 я
150% >» 500.000.000 эт
W 300% п 8.000.000
при убытке 40% п 12.000.000 я
30% ’) 2.100.000
п 25% •ч 30.000.000 J4
п 50% ... Я 6 000.000 »
518. Записать условие задачи, обозначая неизвестное
число с помощью букв, и определить неизвестное на осно-
вании полученных записей.
1) При печении хлеба припек составляет ’/4 веса за-
сыпанной муки (почему бывает припек?). Сколько нужно
взнть муки, чтобы изготовить: а) 60 пуд. хлеба; б) 75 пуд.;
в) JOG пуд. хлеба: г) 1 пуд?
2) Прирост населения за 40 лет составляет перво-
начального числа жителей; в настоящее время в городе жи-
телей 480000 чел. Сколько человек жило в городе 40 лет назад?
Когда удобнее вычислять части целого и целое по
частям: тогда, когда части целого выражены обыкновен-
ными дробями, или когда они выражен м в процента:» ?
Почв му?
VI. Примеры и задачи на 4 действия.
1. Примеры на целые числа.
519. [(1233 - 8 4 3)—993]: 9 4- (1509000 — 894004).
520. (115747:283 — 16900. 130). (84590 — 79894).
521. (88884 : 9 — 12321:111). 750 — 1085920:2468.
— 108 —
522 (5777:109 ' 56328:2347).2<Ю0- (8000--69O1).2O.
523. 773056:3008 -f- 1594875:4253 4- 48705’85.
524. 6003:2001 ' 5010:1002—70801:101.
525. 702768:726 r805434:906 238163:451.
526. (256810 J-3947 -J- 727493): 3953 — 6876:12.
527. (999999:37 — 54992 : 7856;. 27600.
528. (12840:107 4- 64 755:15) .(l-COO — 831).
529. (67542 — (.7122):42 - 62904:12 -j- 180025: 379.
530. 1234321:1111 —(1111 —4).123.
531. 81991:901 207.39 4-(400000 — 180095). 13.
532. 3304260:4867 — (115985 — 395.103).
533. 1021020:7293 -390903:687 + 84118:274.
534. (205690:670 —4801: 99): (2001 — 1009).
535- (16512:32 250425: 225). (7007 —6948).
2. Примеры на обыкновенные дроби.
536. 1) пуд. 4-5J пуд. 71 пуд:4- 10 */12 пуд.
2) 12 J саж.— 252 саж. 1311 с? ж.
3) 141 чт. 4- П* чт. - 8{ чт.
4) 5‘ час. 4-16^ час.+ 7,1 час.
537. 1) 3| версты—1дверсты. 2) 10 J вер.— 1g версты.
71 саж.— 4-; саж. 13^, фун.—11J фун
lift, чт.— 3f чт. '1g час.— 24 \ час.
41* пуд.—23^ пуд. 2Г% чк.—Ц чк
3) 231 саж.—3 фута 10] дм.
247^2 саж. —198 саж. 2 арш. 14 верш.
13 пуд. 12^ фун.—2 пуд. 28^4 фун.
39 пуд. 341 Фун-—28 пуд. 37| фун.
32 Л фун.—281 Фун-
42JJ саж.—19 <а.к. 5| фун.
538. 25> саж. • 10
14 Д фун. • 5
4 час. 34* мин. • 6
52 сут. 1б£ час. • 15
104 —
3 чт. 4 J гарн. 8
4 пуд. 3J фун. • 7
18 чт. 4-3 чк. • 9
4 фун. 2| лог. 5
531’. 1) 2131 арш.: 10
2) 154? пуд.: 15
3) 324J час.: 35
4) 15г% чт. :18
540. 1)
2)
3)
простых дробен в десятичные.
3 8. 3.2. 14 87
5’ 26’ 4’ 8’ 12а
11 7 21 131 43
16’ 40’ 50’ 125’ 80
20 пуд. 121 фуп. • 5
5 верст 123J саж. • 32
15 саж. 3 I фут. • 16
2 арш. 134 верш. • 20
5) 3 час. 8| мин.: 25
6) 12 фут, 41 дм.: 5
7) 5 пуд. 17Д фун.:4
8) 12 верст 275? саж.: 15.
6 вер. 3331 саж.: 831 саж.
21 версты :3t’s фут.
1 п. 16л2 ф.: 1 фун. 221 л.
270; пуд.: 1 п. 11 V ф.
541. В следующих примерах
5) 12| в.: 1£ версты.
6) 7Л пуд. :7| фун.
7) 3JJ час.:7J мин.
8) 88 саж. : 3$ саж.
произвести обращение
39 101 85 37
200’ 400 ’ 500 ’ 32 ’ 64 ‘
19 37 . 117_ 237
125’ 200 ’ 400 ’ 500'
542- В следующих примерах произвести сложение и
вычитание простых дробей; затем, обратив каждую простую
дробь в десятичную, установить для каждою примера,
в каком случае легче производить вычисление: над числами,
выраженными простыми или десятичными дробями.
1) i. К + ТС 3) 2в= 26 4“ Я + 1 £
•2) 1д Ml 4) 5?j + 7^-Lit4 + ^
5) И —7) 9) 2} —1Ш
6) Д —ь)3?' -1}’Ч 10) -2у
543. В следующих примерах выразить каждую дробную
часть частного простыми и десятичными дробями.
75:12 21:5 491:80 55:22 63:45
3:4 139:16 874:50 111:15 78:65
7:8 141:25 1701:100 135:72 98:28
11:8 833:40 41:25 847:80 144:45.
3. Примеры на десятичные дроби.
544. Выразить при помощи десятичных дробей следующие
црвстые дроби.
— 105 —
1) С точностью до 0,1
2 5 21
з’ 7’ 12’ 21
2) с точностью до 0,01
8 _ 5 35 8 11
9 ’ 14 ’ 72 ’ 21 ’ 45
3) с точностью до 0,001
7 2 G 15 21
9’ 3’ 11’ 26’ 41
Нельзя ли в этих призерах дробные числа выразить
при помощи десятичных дробей с большей точностью? До
какого предела может быть доведена степень точности?
Нельзя 1и в этих примерах простые дроби выразить при
помощи десятичных совершенно точно?
545- Выразить при помощи десятичных дробей сле-
дующие частные, причем степень точности определить
в зависимости от практических соображений:
1) 2 арш.: 100 2) 1 пуд.: 1000 31
15 верш.: 125 1 фун.: 1000
3 вер. 100 саж.: 80000 5 п. 20 ф.: 3000
1 верста: 6000 2 ф. 18 л.:500
Ь саж. 2 ?рш.: 500 3 л. 2 зол.: 125
6:500и
1 мин.: 600
2 ч. 30 м,: 1000
8 чт. 6 чк.: 1000
2 чк. 4 г.:400
546. 1) 2 м.:10000 2) 5 кгр.:128 3) 15 литр.:1О0
3 клм. 400 м.: 300 25 гр. : 64 34 гкл.: 600
3 м. 15 см.:64 21 кгр.:500 1 ар.: 1000.
547- Если измерение (или вычисление) произведено
приблизительно, то в дальнейшем нужно следить, чтобы не
делать лишних вычислений, так как точность дальнейших
результатов все равно уже не может быть полная. Напр.,
если при измерении пути измерили его с точностью до 0,1 м.
(т. е. часть длины меньше 1 дцм. оставили без внимания),
то из полученных результатов нет смысла стремиться на-
ходить сотые или тысячные доли метра, так как эти доли нами
не могут быть найдены точно вследствие первоначальной
неточности. Как производить вычисление, чтобы при этом
получить числа, степень точности которых была бы доста-
точна, и при этом не Делать ненужных вычислений? Этот
вопрос выясняется в книгах о приближенных вычислениях.
См. Кавун,II.1!.. „Приближенные вычис.(енияс,изд. 1922, Гос.
Изд.;Домушнн. „Приближенные вычисления".Таннери, „Курс
арифметики теоретической и практической", глава VIII.
— 106 —
Далее щются примеры для начала работы нат, прибли-
женными вычислениями.
1) 7,3128 + 0,07671 + 5,00071 + 6,3299 + 1,999
2) 17,0009 + 1,98019 + 4,894594 + 23,334499 + 0,774489
3) 5,6639 + 21,98457 + 6,89549 + 15,00097 + 1,514987
4) 0,7654 + 1,0754 + 4,71049 + 42,00985 + 101,000981.
Как поступают для того, чтобы вычислить эти суммы
с точностью до 0,01? до 0,1?
548. В следующих ниже примерах вычислить разность
с указанной степенью точности, а именно с точностью:
1) до 0,1: 2) до 0,01: 3) до 0,001:
7,5874 —1,784 14,00941 — 1,8944 10,02324 — 9,89415
0,8994 — 0,2399 6,8947 —4,8951 7,11231 — 2,55668
4,0014 — 2,3984 10,1133 — 4,9955 15,70017—12,69994
141,234—127,19 1,23231 — 0,88675 35,41001 — 7.4249.
549. Вычислить произведение со следующей точностью:
1) до 0,1: 0375-2; 1,3008-7; 4,5791-40; 0,375-39
2) до 0,01: 0.3754 • 2; 0.3754 • 12; 1,75061 • 37; 0,089174 • 51
3) до 0,001: 1,519192-3; 1,519192-15; 1,510991 - 45.
550. Наити частные со следующ. точностью:
1) до 0,1:84,18:6; 24,84:69; 1,42:32; 126:900
2) до 0,01: 14,9565:5; 13,104:7; 2,7:64; 21:125
3) до 0,001:2,85453:9; 12.7841:320; 37:625; 7:64.
4. Задачи.
551. При черчении по масштабу иногда на чертеже
пишут, во сколько раз начерченная линия меньше той, ко-
торую она изображает. Если, например, линия в 1 арш.
изображена на чертеже чертой в 1 верш., то делается запись:
масштаб 1:16.
а) Какую длину на чертеже будет иметь линия:
1) длиною в 2 саж. в масштабе 1:96?
2) Я ., 3 фута 1:36?
3) „ 1 версту 1:10000?
4) „ 8/4 арш. 1:48?
5) .. 4 со 6 фут. г 1 :24?
6) я L 3 вер. 100 саж... 1: ЮООО?
7) ю .. 18 саж. 2 арш. „ 1:144?
— 107 —
б). Какую длину ₽ действительности имеет типия. изоб-
раженная на чертеже чертою: 1) в 2 дм. при в масштабе 1:20?
2) „ 3 верш. „ 1:25?
3) „ 2\ дм. я 1:100?
4) .. 1®/4 верш. „ 1 40?
5) ,, 3’/8 дм. 1 :80?
552. При черчении планов обычно масштаб выражают
числом сан» н на местности, приходящихся на 1 дм. на
плане; а в метрических мерах—число метров в 1 см. на
плане.
Как с помощью обозначения предыдущего номера записать,
что масштаб 100 саж. в 1 дм? 10 саж. в 1 дм.? 250 саж.
в 1 дм.?
Как с помощью того же обозначения записать, что
масштаб 5 м. в 1 см.? 20 м. в 1 см.? 100 м. в 1 см.? 200 м.
в 1 см.? 1 клм. в 1 см.?
553. По календарю выписать продолжительность дней
и вычислить среднюю продолжительность дня за первую по-
ловину месяца и вторую половину.
Составить таблицу средней продолжительности дня для
каждой местности и для каждой недели каждого месяца.
554. 1) Год равен приблизительно 365 сут. 5 час. 48 мин.
45 сек. (что такое год?). По Юлианскому катендарю, введен-
ному в Риме при Юлии Цезаре, считается, что 3 года имеют
ровно по 365 суток, а четвертые 366 суток. На сколько
Юлианский календарь отставал а) каждые 4 го да; б) каждые
100 лет?
2) По поручению римского папы Григория ХШ
в 1582 году астрономы занимались вопросом о летосчислении
и определили, что к тому времени Юлианский календарь
уже отстат на 10 дней. Для того, чтобы исправить кален-
дарь, выбросили 10 дней и вместо 5 октября 1582 года стали
считать 15 октября. Чтобы не де тать новых ошибок, висо-
косными годами по Григорианскому календарю не считаются ге
из последних лет столетий, число сотен которых не делите я
на 4 без остатка: 1700, 1800, 1900 годы —простые; 1600,
— 1 OS —
2000—високосные. Co времени введения Григорианского ка-
лендаря в Европе, Юлианский календарь, который еще не-
давно (до 1917 года) был в России, отстал еще на 3 дня. Почему?
3) Многие праздники приходятся для разных лет на
разные числа (напр., пасха). Это об’ясняется тем, что этп
праздники у нас, по примеру восточных народов, празднуются
по лунному календарю. Луна обращается вокруг земли
в 29 сут. 12 час. 44 мин. 3 сек. Рассчитать, совпадает ли
солнечный год с числом полных оборотов луны вокруг земти?
Могут ли фазы луны из года в год приходиться в одни и
те же числа?
555. При вращении земли вокруг солнца она совер-
шает за год такой огромный П)Ть, что за 1 сутки делает
в среднем в круглых числах 2.400.000 верст (Сколько
за 1 год?).
Какой путь она делает в 1 сек. при движении вокруг солнца?
Сравнить скорость земли при этом движении со ско-
ростью поезда, который мчится со скоростью 100 верст в час.
556. 1) Замечено, что звук в воде распространяется
в 1 сек. на расстояние 1 версты 122 саж 6 фут., в воздухе
в 4 раза медленнее. На какое расстояние распространится
звук в воздухе в 7* мин.? 7* мин.? мин.?
2) Звук распространяется в воздухе при 0° приблизи-
тельно на 150 саж. в 1 сек. Через сколько времени долетит
звук при 0° на расстояние 3 верст 300 саж.?
31 Сильнейший ураган гонит воздух со скоростью 25 саж.
в 1 сек. Через сколько времени ураган донесется на рас-
стояние 33/t версты?
5. Составление числовых формул по условиям задачи. Со-
ставление условий по числовым формулам
557. В следующих далее задачах сначала записать ход
решения задачи, а затем решить полученный пример.
1) Между озером и лесом расстояния 2[/4 версты; одно-
временно навстречу друг другу полетели из лесу к озеру
вороны со скоростью 1 саж. 5'Д фут., а от озера к лесу
утки со скоростью 3 саж. l1/^ фут. в 1 сек. Через сколько
времени вороны и утки встретятся?
— 109
2) Две ласточки летят навстречу друг другу со скоростью
12 важ. 1 арш. в секунду каждая. Черев сколько времени
они встретятся, если расстояние между ними 6 верст 453 саж.
1 фут?
3) Заготовили ведро молока на наргию экскурсантов
с таким расчетом, чтобы по 1 стакану для каждого употре-
бить для изготовления обеда и завтрака и. кроме того, дать
еще для питья утром и вечером одну большую кружку. На
сколько человек экскурсантов сделан этот расчет, если 1
ведро — 12,3 литр., об’ем стакана 12.5 куб. см . об’ем кружки
28,5 куб. см.?
4) Для приготовления смеси кофе взят кофе двух
сортов: одного по 600 руб. (знаками 1923 года), другого по 900
руб. за фунт. Сколько фунтов смеси надо составить, чтобы
смесь стоила 180000 руб.?
5) Купили партию молодых и старых гусей, тех и
других поровну; молодой гусь в среднем весил 1,75 кгр.,
старый 2,75 кгр. Скотько штук гусей купили, если вся партия
дата 225 кгр.?
558. Составить условия задач для следующих приме-
ров (для каждого примера по нескольку тем) и произвести
вычис тепче:
_1ы2,18^ о 7Э321 о Л226-,, . !
' 3,75 + 2.25 ’ 9,85 + 2,15 ’ 23 Г + 3ys ’ ' 4у3 + 9'/,»
559. В следующих далее задачах записать, по образцу
предыдущих задач, ход решения задачи и затем произ-
вести необходимые вычисления.
1) Для отправки двух партий чая—одной стоимостью
31700 руб., другой 9300 руб., смешали чай двух сортов:
1-й сорт ценою 1900 руб. за 1 фун. (знаки 1923 года) и 2-й
сорт ценою 1650 руб. за 1 фун; обоих сортов святи поровну.
Сколько фунтов чая отправили в оба места?
2) Два поезда вышли навстречу друг другу, двигаясь
все время равномерно и останавливаясь на промежуточных
станциях на равные промежутки временя; между этими стан-
циями лежит город, находящийся ог одной из станций на
расстоянии 1211,75 клм., от другой 615.75 клм. Через
— no --
с колько времени встретятся зги по ада, если один двигается
со скоростью 40,75 клм., другой 44,25 клм.?
Какая рачница в хоое решения между задачами этого
номера и преоыдущ^г )?
Усложнить таким же способом и все остальные задачи
предыдущего номера.
560. Составить условие для каждого ив следующих при-
меров и произвести вычисление:
78,75 + 11,75 179,5 + 411,2„ 1001,5 + 450,5
' 2,35 + 1,65 ’ 14,9 + 10,1 ’ J 39,8 + 60,2 '
561. В следующих задачах записать сначала ход реше-
ния залач, как это делалось в предыдущих, и затем произ-
вести вычисления.
1) Два города расположены по железнодорожному нуги
в расстоянии 525 клм.; из одного из них вышел поезд, и когда он
успел пройти 135,6 клм., навстречу ему из другого города
вышел второй. Через сколько времени встретятся эти поезда,
если пойдут все время со скоростью в среднем в 1 час—
первый 32,5 клм., второй 47,5 клм?
2) На молочной ферме изготовили 75 кгр. масла; из
этого количества 40 кгр. продали, остальное масло расходо-
вали по 0,25 кгр. для варки пищи и по 0,75 кгр. за сто-
лом к хлебу. На сколько дней хватило масла?
Нельзя ли таким же образом осложнить и все осталь-
ные задачи № 557? Сделать это, если можно.
562. Составить условие задачи для каждого из следую
щих примеров (разные темьО и произвести вычисления:
750,3 — 39,75 1325 — 481,75
' 71,95 + 28,05 ’ ' 16.7о + 15,25 ’
100 > — 575 _ 925.2 — 534,7
61,3 + 63,7 ’ ' 89,1 + 10,9 '
563. Составить запись для обозначения порядка действий
и затем произвести вычисление для следующих задач:
1) Со станции вышел товарный поезд, п когда он пре-
шел 112,5 клм., то вслед за ним вышел скорый. Через
— Ill —
сколько времени скорый поезд догонит товарный, если ско-
рый проходит в среднем 75 кам. в час, а товарпып 33 клм?
2) Кооператив купил муку по 40 руб. (знаки 1923 г.)
за 1 фунт, а продал по 45 руб. и при этой продаже получил
3070 руб. прибыли. Сколько фунтов муки он продал?
3) В лодку набралось воды, которая занимает 220 куб.
ф.; воду стали выкачивать ведром, об’ем которого ’/8 куб. фута,
при чем вода продолжает проникать в лодку. Через сколько
времени удастся выкачать из лодки воду, если известно, что
в 1 сек. через щели набирается в лодку ’/12 куб. фута, а
в 1 сек. успевают вылить одно ведро?
4) Купили коров и овец; за 1 корову заплатили в сред-
нем 16000 руб. (знаки 1923 года),за овцу 3000 руб.; за всех ко-
ров заплатили иа 26000000 руб. дороже,чем за овец. Сколько
голов коров купили, если овец и коров купили поровну?
5) Из запаса сукна в 1000 арш. оставили 750 арш..
остальное продал^ за 750000 руб. (знаки 1923 года). По какой
цене продавали аршнн сукна?
564. Составить условие для каждого из примеров и
произвести вычисления (для каждого из примеров по не-
скольку тем):
8726 _ 4,85 ___118000_
' 75,6 — 11,6 ' 100 — 68 ' 7500 — 43ь0
.. 16,75 - 0,08 . 1,5
' 4,5 —2,5 ' 31,7 — 23,7 ' 217,а — 192,2
565. Нельзя лп задачи №№ 563—564 осложнить гак,
чтобы записи получили такой вид: ср О 561, 562:
17,85 + 7,15 41,8—16,8 . 371,3 — 91,3
' 6.25 — 2,25 ' 21,75 — 5,75 ' ' 101," — 85,9
2171 + 12829 17210 — 2210
’ 37,5 + 12,5 ' 175,95 — 167,95
566. Для того, чтобы указать порядок действий для ре-
шения задач, какие бы числа ни были, составлены следу-
ющие записи:
14 л
а + ь “ Х’
а — b
2\ у =-----г» 3) z = ——; 4) я, =
' J а — Ь ' c + d ' 1 сД-d
.... а + Ъ , а — Ъ
5) У1 = ----i 6 ) -, = ---
' с — d ' c—d
— 112 —
1) Найти в предыдущих номерах задачи, ход решения
которых выражается этими (Гщ му ламы.
2) Пстотковать смысл записей, которые получаются из
приведенных выше формул путем замены букв числами.
Л501 = 50; = 16000;
я+15 ’ 80—х
100—к 1000 ,
~ — 10- j ,гт-г —— 1 о.
75+100 ’ с—100 ’
Определить неизвестное из этих
-2— = 55;
294-31 ’
200—15
-------=- О
30—х
равенств.
3) Если нужно решить задачи, подобные №№ 557—564.
нельзя ли воспользоваться формулами .У? 566 и не соста-
влять плана решения? Как это сделать? (Показать, взяв соот-
ветствующие задачи из № 557—564).
567. 1) В склад привезли 5 кулей муки по 4,5 пуд.,
3 куля крупы по 2,75 пуд. и 4 ящика чая по 3,25 пуд.
Сколько пудов товара привезли в склад? (Записать ход ре-
шения этой задачи).
2) Составить условие задачи для следующего примера и
решить эту задачу:
7,35.4 + 8,9.6 + 4.2.2 1,5.10.
3) Соорали урожай 75,9 гк. овса и высыпали его
по 3 гклитр. в кулп; 85,5 пуд. пшеницы по 5 пуд. в куль и
40 пуд. ржи по 4 пуд. в куль. Сколько кулей наполнилось
этим сбором, если считать и доли куля?
4) Составить условие задачи для следующего примера
и решить эту задачу:
35,2:2 4- 18.5:5 + 1и,8:3.
568 Записать ход решения задач и решить получен-
ные примеры:
1) Для составления смеси взяли 4 фун. кофе по 500 руб.
за 1 фун. (знаки 1923 года), 9 фун. по 400 руб и 12 фун.
по 375 руб. Сколько стоит 1 фунт смеси?
2) Чтобы покрыть пол, потребовалось три ковра пря-
моугольной формы: один длиною 4,75 арш., шириною 2 арш.:
другой длиною 10,5 арш.. шириною 2 арш.: третий длиною
11,25 арш., шириною 5 арш. Какой длины нужно взять
— 113 —
ковер, чтобы покрыть площадь того же пола и чтобы ши-
рина его была равна ширине всех 3 ковров вместе?
3) Велосипедист ехал 3 часа со скоростью 15,5 версты
в час, 4 часа со скоростью 12,2 версты и 3 часа со скоростью
8,75 верСт. Определить среднюю скорость ветосипедисда за все
время поездки.
569. Составить условие задачи для каждого из сле-
дующих примеров и решить эти примеры Г для каждого
по нескольку тем).
. 39,4.5-*-15,75.6+9,25.9 1,5.7+0,2.8+1,3.5.
5+6+9 5 %) 7+8+5. ’
14,4.12+10,01.25+20,02.13 0,1.9+0,3.7+0,8.4
12+25+13 ’ 9+7+4,
Нельзя ли в этих задачах изменить условие так, чтобы
некоторые произведения приходилось вычитать?
570. Записать ход решения следующих задач и затем
решить полученные примеры.
1; Купили яблок два ящика по 250 руб. десяток:
в одном 35 десятков, в другом 15 десятков; огурцов 3 корзины
по 100 руб. десяток: в одной 40 десятков, в другой 12
в третьей 8. Сколько денег потратили на эту покупку?
2) Длина одного ковра 15,7 арш., ширина 4,2 арш.;
. длина другого такая же, как у первого, а ширина на 1.8 арш.
больше. Определить площадь второго ковра.
571. Составить условие
дующих примеров:
1) 1,25. (85.4-1-14.6)
2) 37,1.(1.754-4,25)
задачи для каждого из сле-
3) 17,875.(16,3-1-3,7)
4) 29,42 .(31,8-j-18,2).
Нельзя ли изменить условие задач 570—571 так,
чтобы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
нужно было сумму умножить на число?
нужно было число умножить на разность 2 чисел?
., сумму я на сумму?
„ „ сумму я , разность?
„ „ разность я я сумму?
„ , разность „ „ разность?
8
Грацианский. Задачник
— 114 —
572. 1) Записать ход решения и решить полученный
пример.
Собрали 45,75 пуд. картофеля, 5,5 пуд. моркови,
7.25 пуд. брюквы и 1,5 пуд. луку и весь этот запас из-
расходовали в 100 дней. По сколько пудов в среднем рас-
ходовали ежедневно?
2) Составить условие задачи для каждого из следую-
щих примеров:
(7,55+1,85+1,754-3.75): 25
(4,9+16,99+18,814 4,5): 16.
Изменить условие так, чтобы пришлось находить раз-
ность чисел и затем эту чазность делить. Изменить числа
так, чтобы 1) ответ удвоился; 2) увеличился на 100.
573. Записать ' ход решения в следующих задачах и
решить полученные примеры.
1) Площадь одного прямоугольника 87,5 кв. см., ши-
рина его 8 см.; площадь другого прямоугольника 125 кв. см.,
ширина его 20 см. На сколько длина одного пз них больше
длины другого?
2) Два прямо угольника имеют равные площади по
72.5 кв. см. каждый; ширина одного из них 8 см., другого на
3 см. меньше. Насколько длина одного больше длины другого.-'
3) Один пароход прошел 100,5 версты в 3 часа; другой
175,2 версты в 5 часов. Который из них и на сколько про-
ходит в 1 час больше?
57*. Составить условие задачи для каждого из следу-
ющи: примеров и произвести вычисления.
1) 875,25:25—900:64 3) 98:25—33:32
2) 0.375:5—17,2:400 4) 127:50—59:25.
Что произойдет с ответом, если все числа примеров
увеличить в 5 раз?
575. Записать ход решения следующих задач и ре-
шить полученные примеры:
1) На покупку муки истратили 3007,5 руб. (знака
1923 года); на покупку сахара на 757,5 руб. меньше; фунт
муки стоил 30 руб., фунт сахара на 90 руб. дороже. Сколько
фунтов сахара купили при этой покупке?
— 115 —
2) Нельзя ли изменить условие задачи так, чтобы
нужно было
разность делить на разность?
сумму „ „ разность?
сумму „ „ сумму?
3) Составить условие задачи для каждого из следую-
щих примеров и произвести вычисление:
(l,95-f-4,15) : (7,5—5,5)
(27,75+18,5) : (3,75^-4,25)
(51,5—1,75) : (1,25+8,75)
(75.9—1,45) : (4.9—0,9).
Нельзя ли осложнить условие задач Д»№ 567; 568; 570:
572: 573; 575 так, чтобы они решались с помощью боль-
шего числа действий и притом:
а) одно из чисел заменяя суммой или разностью?
„ „ „ „ произведением или частным?
б) несколько чисел заменить суммою или разностью?
„ „ „ произведением или частным?
576. Записать условие задачи с помощью обозначения
неизвестного числа буквою и опредегпть неизвестное из
полученных равенств.
1) Веревку длиною 6*/2 саж. нужно разрезать на
2 неравные части так, чтибы одна была вдвое (втрое) больше
другой. Какой длины будет каждая часть?
2) Между двумя городами расстояние в 875 клм;
река, протекающая между ними, делит это расстояние на
2 неравные части, из которых одна в 4 раза больше другой.
Определить расстояние от этой реки до каждого из городов.
3) Три куля зерна весят 201/._> пуд., первый в 2 раза
тяжелее второго, а третий в 4 раза тяжелее второго. Опре-
делить вес кавдого куля?
4) В 4 часа велосипедист проехал 6()Ч4 верст: медленнее
всего он ехал в первый час, а затем все время увеличиват
скорость: во второй час проехат вдвое, в третий втрое,
в четвертый в 4 раза больше, чем в первый час. Какие
Расстояния проезжал велосипедист в каждый час?
8*
116 —
5) Для разгрузки баржи с дровами вместимостью
в 60 куб. саж. организовали три артели, причем для каждой
из них назначили работу по чисту человек. Сколько куб.
саженей должна разгрузить каждая артель, если число ра-
бочих во второй артели было втрое больше, чем в первой,
число рабочих в третьей артели вдвое больше, чем во второй
артели?
6; Один ученик сказал другому, что он угадает заду-
манное им число, если тот в уме проделает те вычисления,
какие ему будут указаны. . Задумай число, прибавь к нему
еще два таких числа, потом столько, сколько получилось;
итог скажи мне, а я угадаю задуманное число".—„У меня
получилось 3600".—„Значи", задумал 600".—Верно ли угадал
ученик и как он сделал это?
577. Составить условие задачи для каждого из следую-
щих примеров и определить неизвестное.
1) .г-J-2 z4-5 ж= 172,75 4) 9 ж4~3 ж4~г= 143,2639
2) 5 ж-рЗ ж-)-ж = 288,99 5) 10 ж—5 ж—ж = 10,8
3) ж4-2 ®4-4ж4-8 ж =225,75 6) 2,5 ж+1,5 ж—ж = 945.6.
Как произвести поверку, верно ли определено неизвест-
ное в № 576 и 577? (Произвести поверку).
578. Записать условие задачи, обозначая неизвестное
с помощью букв (ж. у, г и др.), и определить неизвестное
число из полученных равенств.
1) При переезде из города в деревню пришлось ехать
по железной дороге, на пароходе и на лошадях, всего
1250 верст. Самую меньшую часть пути пришлось ехать на
лошадях; на пароходе на 150 верст больше, чем на лошадях;
по железной дороге в 9 раз больше, чем на лошадях. Сколько
верст пришлось проехать каждым способом передвижения?
2) Ученик задумал число, прибавил к нему 100, за-
тем прибавил еще учетверенное задуманное число и полу"
чил 500. Какое число ученик задумал?
3) Сложили три слагаемых: с дно из них на 27,75
больше другого; третье в 3 раза больше того же (меньшего)
слагаемого: в сумме получилось 191,22. Найти эти слагаемые.
— 117 —
579. Составить условие задачи для каждого из с ie-
дующих примеров и решить эти примеры:
1) .c+(z-H 15,8)4-(z+15sS—16,2) = 28,96
2) 2 ?/-]- (2/—15,5) 4-2/ = 17.5
3) (:i-)-l,5) . 4-)-я = 77,2§
4) (.г— 7,25). 3—2<r = 21,9
5) h+2(H-l)-H(H-2)4-?, (л4-3) = 27.4
6) 4 (л —1,2) {-5 (л 4-2,4)+' =37,85
7) ------5~ Н---Г~ -49 5
8) -^+11,5 = 19,5.
Произвести поверку решения.
580. Производя запись с помощью условного обозначения
неизвестного, об’яспить, верны ли (и почему, если верны)
следующие способы отгадывания задуманных чисел:
1) Задумать число; прибавить к нему 1; полученную
сумму удвоить; к удвоенному числу прибавить сначала 1,
потом задуманное число. Окончательный результат делится
на 3, и частное есть задуманное число.
2) Задуманное число умножить на 2, к произведению
прибавить 5, сумму умножпть на 5. Результат просят ска-
зать, от него отнимают 25, остаток делят на 10 и полу-
чают задуманное число.
3) Задуманное число предлагают умножить и разделить
на несколько чисел (их назначает угадывающий); результат
просят сообщить. Сам угадывающий умножает п делпт на
те же числа 1. Сообщенный задумавшим результат делят на
свой, в ответе получается задуманное число.
4} Предлагается задумать 5 (7, 9), вообще нечетное число
чисел; просят их сложить, сумму разделить на число
чисел—на 5 (7, 9). Это будет среднее из них; узнав от
задумавшего это число, в случае пяти чисел нужно назвать
два числа, читая обратно, и два вперед.
Как меняется способ, если задумано четное число чисел?
5) Способ отмдать день рождения. Число дня
рождения (напр. для Г> июня—число 5) умножить на 3
к произведению прибавить 5, сумму умножить на 4, к но-
— 118 —
в>>му произведению прибавить число дня рождения и номер
месяца (в этом примере 6 числа 6-го месяца/ результат просят
указать. От указанного числа отнимают 20, остаток делят
на 13: частное день рождения, остаток нумер месяца. Напр.
5 июня: 5X3=15; 154-5 = 20; 20.4 = 80; 804-54-6 = 111
91—20 = 71; 71:13 = 5 и 6 остаток.
581 . Записать ход решения задач, произвести возможные
упрощения и затем вычисление:
1) На пропитание 40 человек в течение 18 дней нужно
54 пуд. хлеба. Сколько хлеба потребуется на 25 человек
в течение 16 дней?
2) Содержание 24 человек в течение 10 дней обходится
64000 руб. (знаки 1923 года). Во что обойдется содержание
30 человек в течение 15 дней?
3) 14 землекопов в 6 дней вырыли канаву длиною
80 саж. Какой длины канаву выроют 15 землекопов в 3
недели, считая, что все условия, а потому и успешность ра-
боты одинаковые?
4) При ежедневной выдаче хлеба по 2’/2 фун. на человека
запасов муки хватит на 100 человек на 15 дней. На сколько
времени хватит того же запаса муки на 80 человек при
выдаче по 3 фун. хлеба?
5) Для покрытия пола требуется 15000 паркетных
плиток длиною 4 верш., шириною 1’/4 верш, каждая.
Сколько паркетных плиток потребуется для покрытия того
же пела, если длина плиток 3 верш., ширина 2 верш.?
6) Капитал 15000 руб. в 9 месяцев принес прибыли
2700 руб. По сколько годовых процентов приносит этот
капитал (т. е. сколько прибыли при такой доходности при-
носит 100 руб. в 12 месяцев)?
7) Капитал 25000 руб. находился в обороте 1 год
4 месяца по 5 % годовых. Какой доход он принес?
8) Кахой доход принесет капитал 1000000 руб.
в 2J/2 года при 12% годовых?
9) По сколько процентов нужно поместить капитал
25000 руб. на 1 год 3 месяца, чтобы за это время полу-
чить 6000 р. дохода?
10) Капитал 12000 руб. при 6 % годовых дал 3000 руб.
дохода. Сколько времени он был в обращении?
— na-
il) Сколько времени должен находиться в обращении
капитал 40000 руб., чтобы принести 30000 руб. при
10 % годовых?
12) Какой капитал нужно положить в банк, чтобы
’при 8% годовых получить 2000 руб. дохода в 5 месяцев?
13) Найти капитал, который при 5 % годовых принес бы
6000 руб. дохода в 8 месяцев.
14) Артель рабочих в 25 человек в 8 часов может
разгрузить из вагонов 600 куб. саж. дров. Сколько человек
таких же рабочих нужно, чтобы выгрузить 500 куб. саж.
дров в 5 часов?
15) 30 грузчиков в 10 часов могут погрузить на пароход
21000 пуд. груза. Во скольк • времени могут погрузить 20 груз-
чиков 18000 пуд. груза при точно таких же условиях работы?
16) Для покрытия пола требуется 20000 паркетных
шашек длиной 4 верш., шириною 3 верш. Какой ширины
нужны шашки длиною в 5 верш., чтобы на ту же пло-
щадь пошло 15000 штук? (ср. 5).
582. Записать ход решения следующих задач и произ-
вести затем упрощения и вычисления:
1) 28 каменщиков могут выполнить работу в 15 дней
при 8-часовом рабочем дне. Во сколько времени могут вы-
полнить ту же работу 30 каменщиков при 10-часовом
рабочем дне? (Определить число платных рабочих часов,
которое имеет артель за все время.;
2) При выдаче ежедневно 2 фун. хлеба запаса хватит
на 10 дней для прокормления 300 человек. На сколько
человек хватит этого запаса при выдаче 3 фун. в день, чтобы
прокормить в течение 8 дней?
3) Для засыпкп зерна сделали закром длиною 1 саж.,
шириною 1 арш., глубиною I1/., арш. Сколько четвертей
зерна помещается в этом закроме, если считать 1 чк. =
1600 куб. дм? (1 арш. = 28 дм.)
4) Какой ширины нужно сделать закром, чтобы
в нем поместить 1000 пуд. зерна, причем, по условиям по-
мещения. длина его должна быть I12 саж., глубина 2 арш.?
(1 чк. = 1600 куб. дм., 1 пуд зерна составляет в сред-
нем 7/8 чк.)
-*.lr
I' ». \дг^ ' •/
5) Самовар' впстллостью *.2 ведра. Сколько литров
воды вмещает рамой'ару-’еыги считать 1 ведро = 750 куб. дм.,
1 ку^Гдм. = 16,4 куб. см. (литр = 1000 куб. см.)?
6) Выразить в десятинах 1 гектар (1 гектар = 100 кв. м.).
если считать 1 кв. м. = 2 кв. арш.
583. Записать условие задачи с помощью условного
обозначения неизвестного буквою и определить неизвестное
из полученного равенства:
1) Капитал принес 5 % дохода и вместе с процентными
деньгами (так лаз. наращенный или ело ж н ы й капитал)
составляет 21000 руб. Опредетигь не рвона ч а л ьный (чи-
стый) капитал.
2) Товар продан за 81900 руб., причем получено 10г
убытка. Определить стоимость товара.
3) Какой капитал нужно поместить в предприятие,
дающее 15% дохода, чтобы он обратился в 345000 руб.?
4) Капитал обратился в 650000 руб., причем принес
30 % дохода. Определить первоначальный капитал
5) Определить первоначальный капитал по следующим
данным: *
доход 7 5 %, СЛОЖНЫЙ капитал 7 000 000 руб/.
я 2.5 % г 75 8 750 000 п
убыток 2,0% я Я 3 200 000 }>
я 4,0% я 8 400 000 п
584. Обозначит ь сначала весь порядок действия, затем
еде тать возможные упрощения, потом произвести вычи-
сления для следующих задач:
1) Население города было 50000 человек; оно уве-
личилось на 5%. Как велико население города?
2) Книга стоит книгопродавцу 400 руб.; он желает
ее продать с прибылью в 10 %. Сколько он же тает получить
за книгу?
3) Книга стоит 700 руб.; куплена со скидкою в 15%.
Сколько заплачено за книгу?
4) Капитал 10000 руб. помещен в банк пз 8% годовых
и быт в обращении 212 года. Во что обратился этот
капитал?
— 11
5) Найти сложный (HayXieHHbr».^ по следхюцвм данным:
чистый (нервовачалв- время обраще- такса годовых1
ный; капитал: ния: проц.;
5 000 руб. 1 год 4 мес, 5 %
120 000 .. 3 Г ~ ю „
150 000 „ - 9 „ 20 „
175 000 ,. 1 „ 8 12„
585. Записать условие задачи с помощью условных
обозначений и определить неизвестное:
1) Капитал быт помещен в банк по 4% годовых и через
1 год 3 месяца обратился в 157 500 руб. Определить перво-
начальный капитал.
2) Какой капитал нужно положить в банк но 8 % годо-
вых на 8 месяцев, чтобы он обратился в 316 000 руб.?
3) Определить первоьача тьный (чистый) капитал по
следующим данным, время обра- щения: 9 такса годовых проц.: мес. 1 2 % наращенный капитал: 1 199 руб.
2'/2 год. — „ 10% 7 500 000 „
10 ,, „ 10% 4 000 000 ..
1’/2 , - 6% 9 810 000 „
1 » 1 я 8% 4 420 000 „
586. Обозначить при помощи скобок и знаков арифме-
тических действий следующие требования п произвести вы-
числения:
1) К сумме чисел 0,251 и 25,03, умноженной на 8, при-
бавить разность чисел 9 и 2,99, увеличенную в 3 раза:
полученный результат разделить на 2.
2) От разности чисел 1000,01 и 871,091, увеличен-
ной в 100 раз, отнять сумму чисел 81,267, 1,83 и 17,003.
уменьшенную в 10 раз.
3) К произведению чисел 1.075 и 10Q прибавить
произведение чисел 27,5 и 7; полученную сумму разде-
лить на 25.
4) Частное от деления числа 875.275 на 8 уменьшить
на 3,055: полученную разность увеличить в 400 раз.
— 122 —
5j От произведения суммы чисел 1,758 и 0.002 на
85 отнять частное от деления разности чисел 51,2 и
6,782 на 16.
6) К частному от деления числа 7.35 на 16 пиибавить
частное от деления числа 18,95 на 20; означенную сумму
разделить на 80.
7) К частному от деления суммы чисел 1,75, 4.25
и 0,5 на число 125 прибавить разность чисел 3,75 и 2,95,
деленную на 32.
8) От частного при делении разности чисел 106,4
и 2,66 на число 16 отнять произведение чисел 0,125 и 3.
9) К частному от деления суммы чисел 3,43 и 0.84
на 7 прибавить разность произведения чисел 10,38 на 9
и 0,84 на 40.
10) Частное от деления чисел 0,2 на 25, увеличен-
ное на 25,3, умножить на 8; из полученного произведения
вычесть произведение чисел 1,875 на 12 без произведения
чисел 0,3 на 2.
587. При измерении ’/8 длины шнура получили резуль-
тат 1,874 м.; для простоты вычисления взяли прибли-
женное число 1,87 м. (с точностью до 0,01 м.). Вычи-
слить всю длину шнура точно и пользуясь приближен-
ным числом. Какая разница? Почему?
Какова точность произведения приближенного числа
на 8? такая, как 1,87, или нет? Почему?
Взять приближенное значение следующих чисел с та-
кою точностью, чтобы произведения получились с указан-
ной точностью:
числа*. }ННОЖИТЬ на: чтобы произведение было с точн. до
1,75426 м. 4 0,001 м.
0,3 759 кгр. 9 0,01 кгр.
1,07100199 клм. 8 0.901 клм.
0J271 кгр. 12 0,01 кгр.
0,375299 клм. 25 0,001 клм
91,3299 м. 100 0,01 м
15.39586 кгр. 290 0,1 кгр.
7,09009 клм. 1000 0,01 клм.
— 123 —
5 '8.1) При измерении длины получили результат 4,278 м,-
тля простоты взяли его приближенное значение 4,3 м.
(т. е. до 0,1). Вычислить ’/5 часть этой длины, пользуясь
точным и приближенным значением всей длины. Какова
степень точности частного? Почему?
Что происходит с ошибкою при делении приближен-
ного числа?
2) Приближенное число 4,3 м. (до 0,1) разделить на 3.
На каком десятичном знаке следует прекратить деле-
ние? Почему?
3) Вычислить с возможною степенью точности следую-
щие частные:
4,78, взятое ДО 0,01, разделить на 16;
0.953 я 99 0,001 п ” 5;
175.1 » п 0,1 п я 2
7,34 Я •п 0,01 я » >Ь.
4) Для получения частных с требуемою точностью
взять приближенные значения чисел и затем вычислить
частные с указанной точностью:
5.32151 разделить на 2, чтобы получить частное ДО 0,01
17.3812 в » ., » в я од
0,10211 О -j Я 17 " ” Я 0,01
5,42897 12 я Я А Я Я я я 0,001
5. Геометрические задачи.
589. а) Вычислить периметр и площадь прямоугольника
по следующим данным:
1) основание 2’Д дм., высота 2 дм.;
2) я 7% см. Я 3 см.;
3; я 15 см. я 13/5 см.
4) •у 7,25 см. 5 см.;
S) я 11,75 ем. 99 4 см.;
в) л 8,15 См, •) 7 см.
б) Вычислить основание и высоту прямоугольника, если
известно, что:
1) периметр 20 см., основание больше высоты на 1,5 см.;
2) „ 41,25 см., .. 0 „ 7,85 ем.;
— 124 —
3) периметр 32\4 дм., основание больше высоты на 111/, тм.;
4) „ 23,81 см., „ „ „ в 2 раза:
5) „ 27,25 см., „ „ „ в 4 раза.
590. а) Вычистить периметр равнобедренного треуголь-
ника по следующим данным:
1) боковая сторона 3,8 см., основание о см.;
2) „ „ 4,1 см., 3 см.;
3) „ „ 53 см., 274 см.;
4} ,, я 1 /- см., п з3А см.
б) Вычислить основание и боковую сторону равнобед-
ренного треугольника по следующим данным:
1) периметр 16,25 см., бок.
2) „ 41,5 см., „
3) „ 5О5/в дм.,
4) „ 397в дм.,
стор. больше основ, на 1,75 см
» „ » п 2,6 см.
„ „ В 5 раз:
„ „ „ 9 раз.
591. В следующих задачах воспользоваться буквенными
обозначениями и сделать пояснительные чертежи.
1) Как изменится периметр квадрата, ес ш длину каждой
его стороны увеличить на 1,25 см., на 2,5 см., на l3/s дм.?
2) Как изменится периметр правильного треугольника,
если длину каждой стороны его уменьшить на ’/, см., на
1.25 см., на 1,75 см.?
3) Как изменится периметр правильного 6-угольника,
если длину каждой его стороны увеличить на 1,5 см., на
3,75 см., на 43/4 дм.?
4) Как изменится периметр правильного 8-угольника,
ес ти длину каждой его стороны уменьшить на З1/, см.? на 5.5 см.?
на 4,8 см.?
5) Как изменится периметр квадрата, если каждую его
сторону увеличить в 2 раза? в 3 раза? у меныпить в 5 раз?
в 8 раз?
6) Как изменится периметр правильного треугольника,
если длину каждой его стороны уменьшить в 2 раза? в 3 раза?
увеличить в 5 раз? в 8 раз?
7) Как изменится периметр правильного 6-угольника,
если длину каждой его стороны увеличить в 3 раза? в 4 раза?
уменьшить в 2 раза? в 5 раз?
— 125 —
8) Как изменится периметр правильного 8-угольника,
если длину каждой его стороны увеличить в 3 раза? в 4 раза?
уменьшить в 2 раза? в 5 раз?
592. а) Вычислить площадь треугольника по следую-
щим данным:
1) основание 6,5 см., высота О см.;
2) » 7,75 см., п 4 см.;
3) 7,25 см., » 5 см.;
4) я 11,6 см., 7) 3 см.
б) Определить, которая из двух площадей больше:
1) треугольник с основанием:
3,5 см., высотой 2 см., или с основанием 2 см., высотой 3,5 см.?
2) треугольник с основанием:
8,4 см., высотой 3 см., или с основанием 4,2 см., высотой 6 см.?
3) треугольник с основанием
25,5 см., высотой 10 см., или с основанием 5,1 см., высотой 5 см.?
4) прямоугольник с основанием:
14,2 см., высотой 3 см., или с основанием 7,1 см., высотой 0 см.?
5) прямоугольник с основанием:
28 см., высотой 1,1 см., или с основанием 7 см., высотой 4,4 см.?
в) Какие размеры (основания и высоты) может иметь
площадь:
1) прямоугольника, равная 125 кв. см.? 160 кв. см.?
300 кв. см.?
2) треугольника, равная 100 кв. см.? 125 кв. см.?
300 кв. см.?
593. Сделать чертеж и воспользоваться буквенными
обозначен) ими. чтобы об’яснить, как изменится площадь:
а) прямоугольника с основанием 10 см., если его высо tj
увеличить на 4 см., на 3 см.?
уменьшить на 3 ем., на 5 см.?
б) треугольника с основанием 11 см., если его высоту
увеличить на 5 см., на 8 см.?
уменьшить на 2 см., на 6 см.?
— 126 —
в)прямоугольника того же, если его основание:
увеличить в 2 раза? 5, 7, 9 разэ
уменьшить в 3 раза? в 6, 10 раз?
г) треугольника того же, если его основание:
увеличить в 4 раза? 5, 7, 9 раз?
уменьшить в 4 раза? 5, 7, 9 раз?
д) что произойдет, если изменения, перечисленные выше,
производить не с основанием, а с высотой?
е) что произойдет с площадью, если у прямоугольника
одновременно и основание и высоту увеличить:
в 2 раза? 3, 5 раз? уменьшить в 4 раза? 7. 9, 10 раз?
ж) что произойдет с площадью треугольника, если одно-
временно и основание и высоту его увеличить:
в 2 раза? 3, 5 раз? уменьшить в 4 раза? 7, 9, 10 раз?
594. 1) Какие размеры может иметь ящик прямоуголь-
ной формы, если его об'ем 100 куб. см.? 150 куб. см.?
300 куб. см.?
2) Как изменится об’ем ящика, длина которого 10 см.,
ширина 8 см.,
если его высоту увеличить на 2 см., 5 см., 4 см.?
„ ,, „ уменьшить на 1 см., 4 см., 7 см.?
„ „ „ увеличить в 2, 3, 5 раз?
„ „ уменьшить в 2, 3, 5 раз?
3) Что произойдет с об’емом ящика (наир., с разм J-
рами в 10 см., 8 см. и 5 см.), если одновременно каждый
из его размеров:
увеличить в 2 раза? 3, 5, 10 раз?
уменьшить в 4 раза? 6, 7, 12 раз?
Всегда ти так будет? Получить-это с помощью бук-
венного обозначения длины ребер ящика.
— 127 —
595. 1) Начертить развертку правильной 6-трапной
призмы, сторона основания которой 5 см., боковое ребро
о 0 см. Вычислить:
а) боковую поверхность этой призмы;
• б) полную поверхность „ „
в) об’ем призмы.
2) Обозначая сторону основания через а, боковое ребро
через Ъ. записать с помощью этих условных обозначений
ход вычисления:
а) боковой и полной поверхностей п
б) об’ема 6-гранной призмы.
3) Как изменится этот ход вычислений (формула), если
изменить число граней: напр. для 8-гранной. 10-гранной
призмы и т. п.?
596. Граненый каменный столб имеет форму пра-
вильной 6-грачной призмы высотою 0,75 м., со стороною
основания в 10 см. Начертить, по масштабу 1 см. = 1 мм.,
развертку этого столба и на осноьаьи а этой развертки
вычислить:
I) полную поверхность этого столба:
2) об’ем „
Во сколько раз поверхность столба больше поверх-
ности развертки на чертеже?
Во сколько раз действительный об’ем столба больше
об'емной модели, которая получается при основании чертежа
развертки столба?
597 1) Башня имеет вид правильной 8-гранной призмы,
У которой внутреннее свободное пространство также имеет
форму 8-гранной призмы; высота этой башни 10 м., пери-
метр основания с наружной стороны 12 м., с внутрен-
ней 7 м.
Вычислить:
а) площадь, занимаемую стенами башни:
б) об’ем, занимаемый стенами башни.
(Указание: Сделать развертку башни по масштабу.)
— 128 —
2) Произвести необходимые измерения и вычислить
эб’еы стен и площадь их оснований, где вы живете.
59Е. 1) Нужно заготовить палочек для изготовления
остова (скелета) правильной 10-гранной призмы, чтобы
сторона основания была 5 см., боковое ребро 25 см. Какой
длины шест нужно заготовить, чтобы из него можно было
напилить эти палочки?
2) Сделать такие же расчеты:
а) для куба, ребро которого 15 см.:
б) .. ящика с размерами 20 см., 12 см.. 10 см.;
в) 6-гранной призмы, боковое ребро которой 30 см.,
сторона основания ‘2,75 см.
59 9. 1) Вычислить площадь стекла в оконной раме и
плошадь, покрываемую деревянными частями рамы.
2) Начертить какой-нибудь неправильный многоуголь-
ник; вычислить его площадь в кв. сантиметрах, произведя
дтя этого необходимые измерения.
Начертить на земле подобный ему многоугольник, у ко-
торого 1 см. на бумаге соответствует длине в 1 саж. Сколько
кв. саженей занимает этот многоугольник?
3) Как иногда можно поступить, если нужно вычислить
площадь неправильного многоугольника на земле, а разбить
его на треугольники почему-либо нельзя?
600. Если нужно вычислить площадь неправильной
фигуры, ограниченной кривой и ломаной линиями так,
что разбить эту фигуру на треугольники нельзя, то можно
поступить так:
1) Начертить эту фигуру (обвести, наклеить; на тол-
стом листе папки (картона, тонкой доске) и вырезать ее из
этой папки.
2) Нарезать из того же'самого листа кв. сантиметры
(кв. дюймы и т. и).
3) На весах уравновесить вырезанную фигуру наре*
занными квадратиками.
Применить этот способ определения площади к каким-
либо неправильным фигурам.
— 129 —
Определить этим способом площади:
1) вашей губернии,
2) уезда и города, если есть его план,
3) всей волости,
4) земли вашего села или деревни.
601. 1) Очень часто предметы имеют такую непра-
вильную форму, что их об’ем нельзя вычислить приемами
геометрии. В этих случаях иногда можно определить об’ем
тела, погружая его в воду (об’ем которой известен); затем,
вынув предметы, определяют об’ем их по об’ему вылившейся
воды.
Всегда ли этот способ удобен?
2) Иногда можно определить об’ем предмета неправиль-
ной формы, сделав куб. сантиметры (куб. дюймы и т. п.) и
взвесив этот предмет и кубики из того же материала.
Применить эти оба способа для определения об’емов:
1) камней; 2) кусков дерева и т. п.
Когда удобнее тот или иной способ определения об’ема?
•
6С2. 1) Вычислить поверхности листьев различных де-
ревьев, кустов и трав, пользуясь способом № 600.
Определить среднее число листьев на суке дерева,
среднее число суков и а) вычислит: поверхность всех листьев
на дереве, б) вычислить поверхность листьев на всех деревьях
в саду и т. п.
2) Определить об’ем 1 штуки картофеля; об’ем 1 фун.,
1 пуда картофельной массы (без промежутка) на основании
среднего числа картофелин на 1 фун. (па 1 пуд), поль-
зуясь способом № 601.
603. Произвести обмер огорода (сада, лужайки и т. п.),
пользуясь вехами и мерною цепью.
Распланировать участок земли под огород (цсетнлк)
с помощью эккера (самодельного).
Начертить на плане огород со всеми подробностями.
Вычислить площадь, занимаемую грядами и пром°жутками
между ними
Вычистить, какая площадь приходится на 1 клубепь
картофеля, на 1 кочан капусты и т, д,
Грацианский. Задачник.
— 130 —
604. С помощью эккера произвели следующие с’емки
которые начерчены на шане: в случае I двигались среди
многоугольника и измеряли по пунктирным линиям;
1 делен. = 20 саж. 1 дел. = 50 саж.
В случае II— проводили раму и тоже произвели промеры,
как показано точечными линиями. Вычислить площади так;
1) Занимаемую в действительности миогоугол! ником,
по чертежу I.
2) Площадь озера, начерченного на плане II.
Приемами, изображенными на чертежах 1 и 11, с по-
мощью эккера произвести обмеры участков земли, озера и т. п.
605. а) Для измерения участка
воспользовались следующим
земли ABODEFGHK
способом: 1) с помощью эккера
и вех провели две прямые,
пересекающиеся под пря-
мым углом (на чертеже O-V
и OJLZ); 2) от этих линий
производили измерение рас-
*| стояний до всех вершин мно-
гоугольника, причем отме-
чали положение каждой вер-
шины и относительно ОМ
и относительно ON: напр.,
точка А (20 и 30), т. е.
20 саж. от О1\[\ затем эти
точка А в 30 саж. от OV и
вершины соединили прямыми.
Вычислить действительные размеры сторон этого много-
угольника и его площадь, пользуясь планом многоугольника.
— 131 —
Способ нанесения на план точек, который здесь опи-
сан, называется способом коормнат; прямые OV и ОМ—
ос//, координат-, точка О—начало координат-, расстояние от
осей до точек, напр. до точки А: ох = 30 и лд4=20, коор-
динаты точек.
б) Начертить план какого-либо многоугольного участка
земли, пользуясь способом координат. Вычислить на осно-
вании влача его площадь.
в) И„ры. Пользуясь способом координат, можно найти
„зарытый клад*: одна партия прячет предмет в земно и, про-
изведя промеры от забора (или условленных, пересекающихся
под прямым углом прямых), дает „адрес* клада двумя чис-
лами; другая партия по этому a ipecy разыскивает клад.
Игра может быть осложнена следующим образом. Тре-
буется найти ье одну точку, а сразу несколько, причем
отыскивающий, найдя первую точку, должен итти к сле-
дующей по второму „адресу*, не подходя к координатным
осям.
606. Довольно часто встречается фигура, называемая
трапецией.
Стороны АБ и БГ называются основанием трапеции.
Отвесный отрезок h высота.
1) Вычислить площадь трапеции,
у которой нижнее основание 15 см.,
верхнее 12 см., высота 8 см.
2) Обозначив нижнее основание
трапецпи черев а, верхнее через Ъ, вы-
соту через Л, обозначить порядок дей-
ствий, которые нужно произвести для вычисления площади
трапеции. [„Составить формулу* для вычисления площади
трапеции).
3) Пользуясь формулой для площади трапеции, вычи-
слить площадь трапеции, у которой а) верхнее основание
10 см., нижнее 18 см., высота 6 см.;
б) меньшее основание 12,5 дм.; большее 31,75 см.;
высота 10 см.;
в) меньшее основание 8,4 см.; большее 21,65 см.;
высота 5 см.
9*
— 132 —
607. 1) Вычислить поверхность 4-скатной крыши дома
длина которой 1О’/2 саж., ширина 4 саж., длина крыши „по
коньку" 7 саж., ширина ската (по уклону, от конька до
края) крыши 3 саж., высота боковых треугольников
2’/2 саж.
2) Определить площадь поперечного разреза канавы,
имеющей форму трапеции, у которой меньшее основание
(ширина канавы по дну) 8/4 арш., большее (ширина между
верхним краем канавы) 1х/4 арш., глубина канавы 12 верш.
3) Определить площадь разреза выемки, которую при-
шлось сделать для железнодорожного пути, если она имеет
форму трапеции, у которой меньшее (снизу) основание 12 саж.,
большее 18 саж., глубина 5 саж.
Вычислить об’ем вынутой при этом земли, если длина
этой выемки 50 саж.
4) Определить количество земли, вынутой при рытье
канавы, имеющей размеры, указанные в п. 2, если канава
длиною 100 саж.
5) Определить количество воды (в кубических единицах),
которое проходит через эту канаву в 1 сек., если вода
достигает глубины в 4 вершка и течет со скоростью
8 верш, в секунду.
608. 1) а) Определить площадь разреза ближайшей ка-
навы. б) Вычислить количество вынутой земли, в) Определить
расход воды в этой канаве в 1 мин., в 1 час.
2) Измерение воды в старой канаве показало, что ее
поперечный разрез имеет приблизительно такую форму. Вы-
, - числить площадь поперечного разреза этой
канавы, если чертеж сделан по масштабу
I / 1 см.:1'/2 арш.
Вычислить расход воды в этой канаве
в 1 мин., если скорость течения воды в ней 2'/2 саж
в 1 минуту.
Примечание к № 608.
Комитет по организации школьных наблюдений над
природой издал лпстовку В. Г. Глушкова, „Наблюдайте
ручьи и реки", где описывает, как следует вестп наблюдения
133 —
0 какие расчеты нужно сделать, чтобы получить ценные вы
воды. Вопрос этот очень важен, интересен и вполне досту-
пен каждому школьнику, особенно если на первых порах
работой будет руководить учитель. Рекомендуя эту листовку,
необходимо также отметить, что всем интересующимся такими
исследованиями и желающим принять деятельное участке
в них предлагается писать по адресу: Ленинград, Вас. Остр.,
12 линия, 23, кв. 14, Гидрологический Институт, для по-
лучения наставлений, тетрадей дтя записи и проч.
609. 1) На поверхности Озерного края осадков выпа-
дает за год такое количество, что они могли бы покрыть
землю слоем в 500 мм. Определить (приблизительно), сколько
ведер и пудов воды выпадает в пределах Озерного края на
1 десятину в 1 гсд и в 1 день (1 ведре = 750 куб. дм.,
1 дм. = 272 см.; вес 1 ведра воды почти 30 фун.).
2) Среднее суточное количество осадков, выпадающих
в Москве, таково, что вода могла бы покрыть поверхность
земли слоем в 1,2 мм. (приблизи-ельно). Определить, сколько
ведер и пудов воды выпадает в среднем на 1 десятину
в Москве.
3) При сильном дожде в СССР иногда выпадает
столько воды, что она могла бы покрыть землю слоем
в 50 мм. Сколько ведер воды выпадет при этом на 1 кв. саж.?
610. 1) Начертить диаграмму солнечных и облачных
дней за каждый месяц (указать процент ио отношению
к общему числу дней месяца).
2) Начертить диаграмму, изображающую сравнительное
среднее количество осадков, выпадающих в Москве и Ле-
нинграде.
3) Отмечать на клетчатой бумаге высоту ртути в термо-
метре (по способу координат).
Для наблюдения над погодой необходимо иметь ввиду
книгу Броунова, „Наблюдение над погодойгде даны ука-
зания для наблюдения без инструментов и с инструментами.
Представить наглядно все результаты наблюдений,
собранных но указаниям этой книги.
— 134 —
611. 1) Взять несколько шестов различной длины
(напр. в 1 саж., 2 арш. и 1 арш.;, укрепить их на откры-
том месте, хорошо освещаемо,! солнцем со всех сторон, и
производить в различные часы дня (до полудня, в 12 час.
и после полудня, к вечеру) наблюдения п измерения, на
основании которых вычислить: а) во сколько раз длина
тени первого шеста больше или меньше длины самого
шеста? б) во сколько раз длина тени второго шеста больше
или меньше длины самого шеста и т. д.
2) На основании вывода из наблюдений п. 1 опреде-
лить по длине тони высоту дерева, телеграфного столба
и т. п.
612. 1) Пользуясь условными обозначениями для не-
известного числа, сделаны следующие записи:
1) .v :5 = 17,2:Я 3) 120,5 :10 = .т: 13
2) 24:.г = 95,5:19,1 4) 625:25 = 175:®.
Составить условия задачи для каждой из этих записей
и определить неизвестное число.
2) С помощью приема, указанного выше, произвести
запись условий следующих задач и на основании записи
определить неизвестное число.
а) Шест длиною 1,75 м. отбрасывает тень длиной
в 2 м.; какова высота предмета, который в это же время
отбрасывает тень длиною в 4 метра?
б) На плане длина отрезка прямой в 125 саж. изоб-
ражается отрезком в 5 см.; каким отрезком изобразится на
плане отрезок прямой длиною в 360 саж.?
в) Сторона прямоугольника длиною в 100 м. на плане
изображается отрезком в 5 см.; другая сторона этого пря-
моугольника изображается на плане отрезком в 4 см.
Определить вторую сторону прямоугольника в действитель-
ности.
3) Использовать для составления таких записей пре-
дыдущие иумера: какие пригодны для этой цели?
613. 1) Для измерения расстояния между двумя
предметами на разных берегах реки поступили так. как
— 135 —
показано на чертеже: отмерили от берега реки такое
расстояние, на котором удобно провести на з°мле прямую
измерили углы А
я Б и на чертеже (по
масштабу) полученные ре-
зультаты изобразили в виде
сплошных линий; продол-
жив 2 стороны прямо-
угольника пунктирными
(точечными) линиями, дополнили уменьшенное изображение
треугольника.
Вычислить с помощью этого чертежа расстояние
между этими предметами.
2) Пользуясь описанием, данным в этом номере, опре-
делить ширину пруда, озера, болота и другие расстояния
до недоступных предметов.
4 ACTb SL
5-й ГОД ОБУЧЕНИЯ.
I. Простые дроби.
1. Отношение.
1. а) Сравни* в длину 1 саж. и 1 арш.
1) Вл сколько раз 1 саж. больше 1 арш.? Для
этого 3:1 = 3.
Чисм 3 выражает отношение длины 1 саж. к длине 1 арш.
2) Во сколько раз 1 арш. меньше 1 лаж.? Для этого
1:3=—.
з
Число — выражает отношение длины 1 арш. к длине
1 саж.
(Обратное отношение по сравнению
с предыдущим.)
б) Диаграмма представляет сравнитель-
ную величину площади двух земельных участ-
ков: № 1—5 десятин, № 2—3 десятины.
На основании этой Диаграммы можно
записать отношение площади одного участка
к площади другого участка = 5:3.
Число, выражающее это отношение
5 : 3 = —=!—•
3 3
Отношение площади второго участка к площади первого
записывается так=3:5. Число, выражающее это отноше-
о _ з
иже, равно 3:5 = —-
5
в) Записать отношение следующих величин:
1) Площади в 40 кв. арш. к площади в 30 кв. арш.
ж ©братно; об’ема в 100 куб. саж. к об’ему в 150 куб. саж.
и обратно; веса 50 пуд. к весу в 40 пуд. и обратно; коли-
честна, воды в 25 вед. к количеству воды в 15 вед. и обратно;
длины в 275 саж. к длине в 180 саж. и обратно.
2) Выразить числом (вычислить) отношение между
величинами, перечисленными в предыдущем пункте.
2, а) Отношение земельных участков, представленных на
диаграмме, выражалось так: 5 : 3, или одним числом 12|3, при^
чем считали каждый прямоугольник на диаграмме за 1 де-
сятину.
Как выразится отношение между двумя земельными
участками, есчи каждый прямоугольник считать:
за 10 дес.
„ 100 дес. и 250 дес.?
я 100 кв. саж. и 250 кв. саж.?
„ 375 кв. саж. и 1125 кв. сан:.?
б) Выразить отношение двух расстояний, измеренных
аршинами : 45 арш. и 30 арш.
Выразить те же расстояния в саженях и записать их
отношение.
Сравнить эти отношения друг с другом.
в) Расстояния в 1250 саж. и 3750 саж. изобразить
ио масштабу 250 саж. ^1 дм. Выразить отношение этих
расстояний друг к другу и отношение их изображений друг
к другу.
Изобразить те же расстояния по масштабу 1250 саж. =
= 1 см.; как можно использовать прежний чертеж? Выра-
зить отношение новых изображений друг к другу.
3. а) Отношение веса вещества к весу воды, взятой
в таком же об’еме при 4° Ц., называется удельным весом
вещества. На пр., 1 куб. см. ртути весит приблизительно
133 * * */5 гр,, 1 куб. см. дистилированной воды при 4° Ц. ве-
сит 1 гр. Удельный вес ртути 133/5.
б) Почему удельные веса, приведенные ниже, умень-
шаются и ця некоторых веществ становятся меньше еди-
ницы?
— 138 —
Удельный вес серебра . . . 107/10 удельный вес воска м/1оп
„ „ алюминия . . 27/10 „ „ березы ,в/2.
„ , морской ВОДЫ 1751, п „ пробки 6/2?,
bj Изменится ли удельный вес, если для его опреде-
ления брать в 2, 3, 10 раз большие количества по об’ему
воды и вещества?
4. 1) Об’ем одного ящика 12 куб. дм., другого 35 куб. im.
Найти отношение об’емов этих ящиков.
2) Как изменится это отношение, если об’ем первого
ящика останется без изменения, а об’ем второго увеличится
в 3 (5, 10) раза?
3) Как изленится это отношение, если об:ем первого
ящика останется без изменения, а об’ем второго уменьшится
в 5, 7 раз?
5. 1) Световою поверхностью комнаты называется отно-
шение площади окон к площади пола комнаты. Световая
поверхность выражается правильною дробью. (Почему
правильною?)
2) Согласно требованию гигиены, в классе световая
поверхность должна быть не менее 7«- Что это значит?
3) Определите световую поверхность вашего класса;
комнаты, где вы занимаетесь дома.
4) Как увеличить световую поверхность в 2, 3 раза?
6. 1) В двух комнатах поровну окон одинакоьой вели-
чины, но световая поверхность одной вдвое больше, чем
в другой. Как это об яснить?
2) В двух комнатах полы занимают равные площади;
световая поверхность одной в 3 раза меньше, чем в другой.
Как это об’яснить?
7. 1) В квартире во всех комнатах окна равной вели-
чины. В одной комнате 2 окна, а в другой одно; но световая
поверхность в обеих комнатах одинаковая. Как это об'-
яснить?
— 139 —
2) В очной комнате площадь пола в 3 раза больше,
чем в другой, а световая поверхность в обеих комнатах
одинаковая. Как это об’яснить?
8. 1) Три колеса разной величины: диаметр второго
в два раза больше иаметра первого; диаметр третьего в три
раза больше диаметра второго. Отношение окружности каж-
дого колеса к своему диаметру для каждого из трех колес
22
одинаковое: , Как об’яснить это обстоятельство?
2) Длина одной окружности в 5 раз больше, чем длина
другой,’ отношение каждой окружности к своему диаметру
22
всегда —. Сравнить между собой диаметры этих окруж-
ностей и определить, во сколько раз один больше другого.
9. Скорость движения пешехода . 2 м. в секунду
„ „ парохода - . . 5 „ „
„ „ точки экватора
вокруг земной
оси............150 ,, „ „
1) Найти отношение каждой из первых двух скоростей
к скорости точки экватора.
2) Определить отношение отрезков, полученных при
черчении тех же скоростей по одному и тому же масштаб}.
3) Определить отношение путей, которые сдела ют пеше-
ход и пароход в 1 мин. (1 час), к пути течки экватора
в тот же промежуток времени.
з
10. 1) Отношение двух чисел—. Определить отноше-
5
яие друг к другу чпеел, каждое из которых в 2 (3, 7, 4)
раза больше, нежели данные числа.
2) Отношение числа вагонов пассажирских к числу
з .г
вагонов товарных равно —. Пассажирские и товарные ва-
гоны соединены в поезда, в каждом по 30 вагонов. Опре-
делить отношение числа пассажирских поездов к числу
товарных поездов.
— 140 —
2. Изменение дроби.
12
11. 1) Отношение двух чисел выражается дробью—. Что
10
станет с этой дробью, если а) при одном и том же знаме-
нателе числитель увеличить в 3, 5, 7 раз; б) при одном п
том же знаменателе числитель уменьшить в 12, 4, 6, 3 раза?
24
2) Отношение двух чисел выражается дробью —. Что
40
станет с этой дробью, если при одном и том же числителе
а) знаменатель уменьшить в 3 (5, 9, 15) раз; б) знаме-
натель увеличить в 2 (4. 5, 10) раз?
12. Что станет с дробью, напр., —, если одновременно
ЧИСЛИТЕЛЯ
ЗНАМЕНАТЕЛЯ
увеличить в 3 раза
уменьшить в 5 раз
оставить без перемены
» я
уменьшить в 2 раза
увеличить в 7 раз
оставить без перемен я.
увеличить в 10 раз.
уменьшить в 7 раз.
уменьшить в 2 раза.
увеличить в 7 раз.
13. Что станет с дробью, если одновременно
ЧИСЛИТЕЛЬ
ЗНАМЕНАТЕЛЬ
останется без перемены
увеличится в 4 раза
останется без перемены
уменьшится в С раз
увеличится в 12 раз
уменьшится в 8 раз
увеличится в 4 раза.
о< ганется без перемены,
уменьшится в 6 раз.
останется без nepei ены.
}ввдичится в 12 раз.
уменьшится в 8 раз.
— 141 —
14. Разделить числителя и знаменателя следующих
ДРОБЕЙ.
И А
15 20 5
36 120 12
80 100 20
75 125 ' ’ 25
300 400 100
Что произойдет с этими дробями? Изменит'-я ли их
1) вид, 2) величина?
15. Умножить числителя и знаменателя следующих
дробей: | на 8; у- на 10; на 3; на 100; у на 8;
8 31 х 101 П 33 «Г ГТ
25 на 255 лот на 4; iooo на 9’ 201 на 5- Чт0 ^изойдет с
этими дробями?
16. Сравнить попарно следующие дроби и указать,
которая из лих имеет более простой, удобный для вычисления
10 2 12 3 25 5 120 5 375 3 88 8
вид: — и -; — и -; и -; — и — и ~ и -;
7 77 4 100 12 600
•— и —; — и —: — и---------•
11 121’ 9 225’ 25 1250 17 * * * * * * * * *
17. Что значат заыюи:
а За _ 7а а я _ 100п
b ЗЪ 7Ъ Ъ ' т 100?)»
25Л А а ап ат а
4) ^ = 7 5) ъ=Гп 6) = ъ
На чем основано сокращение дробей? В чем заклю-
чается трудность сокращения дробей? Какие средства облег-
чают эту работу?
На чем основано приведение дробей к одному знамена-
телю? В чем заключается трудность приведения дробей
— 145 —
к одному знаменателю? Как производится приведение дробей
к одному знаменателю?
3. Сложение и вычитание простых дробей.
При решении следующих далее примеров ответить на
следующие вопросы:
1) можно ли изменять порядок слагаемых?
2) решая примеры в уме, нельзя ли произвести
перегруппировку слагаемых для облегчения ра-
боты? всегда ли допустима перегруппировка
слагаемых, всегда лп она выгодна?
18. 0 24 19. 12 + £ 9 20. 4+ 2|+7Й
7 16 25 -1- 7 15 +й 8Гб+7й
7 1 56 1 9 14 _5 6 10' 102-4- 3--1-9- ЮТ) 1 10 1 20
4 40 ' 11 80 7 30 L 2 20' 242|+11-+ 41- 25 1 15 1 75
21. >|й+ 4 22. oJ_ - 4 ° 5 4 J 3---L 4— 100 75
в|+ 4 +5J. 11— 25 Ч 7 + 142?+2¥)
4 10^+ Я 44 + 275 1 — 200 2- 4-3141 300 1 400
4—-|-1 40 1 1- 60 + 524 94.JL 10 7 5 +18ю+3^
23. 3^-пу.д. -1пуд. 1б4фун. 24 5^ чт.-4-5 чт. 1^ чк.
10 о 12 2
10^-саж. |-3 саж. 3-^-фут. 4^арш.-}-2 арш. 7~верш.
12^вер. -\-1 вер. 37 5-^саж. 1|-врр.- -7 вер. 27 5-| саж.
1 к о
25. 3— чк.-}-2 чт 6- чи.
1Ь о
3 3
1 пуд. 24—фун.-}-2пуд. 17-фун.
7 3
5 верст 37;>— саж.-{-3 версты 400- саж.
’) Ср. ч. 1, задачи Л“Л“ 11—30, стр. 7—10,
— 143 —
26. 5 5 6 12 27. 7 10 £> О 8 28. ч- 3- G
17 5 24 8 11 25~ 3 40 7з-
19 3 8 5 24 7 - 2а 9 185
20 10 15~ 12
37 2 15 3_ 11 — I3
100 25 56— 16 За 70
29. >4- 4 30 7 10~ 3 "8 31. 15 1 — 2
<£- 3- 12 11 2а 3 4о ’ 3 Z 8 4Ь 32
в; 8 15~ а 12 247 — 25 18з
8й- 15_ 56— 3 16 ИГ'~ 1- 70
32. 4— 20 33. 7 9 ~ 3 10 34. 1J-— 6 2 2- 5
15 7— 50 1311 20 5 11 4 1а 3Ь 20
С)1® ' 32 2— 56 7 ~ 3 20 »2ъ-
<- з5Г 60 18 25~ 9 16 155- 12 1OS
35. 3- 10 пуд. — 1 «УД. 168 *3 fjyRT.
Ю,5, саж.—3 саж. 3— Фут.
14 4
3 1
12jo верст—7 верст 375^ саж-
5- чт.—4 чт, 1 — чк.
12 2
3 3
36. 2 пуд. 17- фунт.— 1- пуд.
7 верст 375-саж. — 4-верст,
о 10
1 3
4 арш. 12 - верш. — 2 - арш.
3 D
37. < 7 -6-|-;+'/12|-10^
П0±—5-')4-' 45— 27
2 J / 1 В 10/
— 144 —
И-2:Н 4+ 64;
(5г»+ ?в)-(16й-1012б)
38. 25^-Г 71-Р+И+1’
6 2 ~ 12 Г 15/~ 4
100 91—бА' ( 81-4- 11
8 12^ \ 9 Г 2 /
«{+( гй+’аН128^-108»;
120 -(18!-8Э+( 4?“ ]й)
39. Обозначить порядок действий и произвести вычи-
сление следующих примеров:
3 5 2 9
1) сумму чисел 12 — и — прибавить к сумме чисел 1 ~ и —;
2) к сумме чисел и 12-|- прибавить разность
2 1
чисел 13— и 8—:
7 4 ’
1 7
3) к разности чисел 13— и — прибавить разность
4
чисел 25 и 23—:
ю’
7 7
4) к разности чисел 14— и 7— прибавить сумму
„ _ 5 „7
чисел 17— и 2—.
э ю
40. Обозначить порядок действий и произвести вычи
сление следующих примеров:
1) от суммы чисел 12— и
4 4
8т и
5
2) от суммы чисел 23— и
- 2 Г. 7
‘ п " 5 и'’
з
3) от разности чисел 17—
2т*з-Ь
4
4) от разности чисел 85 —
24 7
чисел 27 и 12—.
25 зо
г,ё
отнять сумму чисел
7
8 — отнять разность чисел
8
и 5 — отнять сумму чисел
и 51— отнять разность
— U5 —
41. Обозначить пиряюк действий и произвести вычи-
сление следующих примеров:
1 2 8
1) от 18 — отнять разность чисел и 7-^-,кпо-
' 2 3 1
лученному результату прибавить сумму дробей — и —;
2) к 10~— прибавить сумму чисел 81 и 5—, от най-
о 3 7
1 3
денного результата вычесть разность чисел 28— и 25—;
3) к 7^ прибавить разность чисел 2^- и 1-у, к по-
лученному результату прибавить сумму дробей^, и
1 17 3
4) от 200— отнять разность дробей —- и —от по-
1,2 7
лученной разности отнять сумму чисел 18—, и 5—•
С помощью скобок записать ход решения следующих
задач, а затем произвести вычисление.
42. Для детского дома закупили на рынке провизию:
IB 1
23- фунта мяса, 5-^ фунта масла, 2- фунта сметаны и разной
. 1 V
зелени, всего 4— фунта; всю закупленную провизию сло-
жили в большую корзину, которая без всякого груза весила
3 -! фунта. Определить вес корзины вместе со всей провизией.
43. Для устройства электрического освещения в квар-
. г- з
тире из 4 комнат монтер израсходовал 5— саж. провода на
первую комнату; на вторую на 1-^- саж. меньше, чем на
первую; на третью меньше, чем на первые две комнаты.
„ 1 . 1
на 2— саж.; на четвертую на 1— арш. больше, чем на
вторую. Сколько сажен провода истратил монтер при про-
водке электричества в этой квартире?
44. Товарный поезд привез продовольственные грузы:
3 1
ржаной муки 750— пуд., картофеля 1184— пуд., пшенич-
ной муки 304-^- пуд.; ржаной на 143* пул. больше, чем
о Z
I рлшаяский Задачник 10
— 146 —
пшеничной, и крупу разных сортов. Сколько крупы привез
этот поезд, если весь привезенный на нем груз составлял
40000 пуд.?
45. Участок земли имеет форму неправильного тре-
угольника; первая его сторона длиною 1 верста 267— саж.,
В 7
вторая на ЗОЭ - саж. короче первой, третья на 25— саж.
х 8 16
короче второй. Вокруг этого участка проведена канава; опре-
делить длину этой канавы.
Л6 . На столе лежит шнурок, сложенный в виде тре-
угольника неправильной формы. Самая длинная сторона
1 5
этого треугольника 10— дм.; длина самой короткой на 5—
3 6
дм. меньше длины наибольшей стороны; длина третьей сто-
7
роны на 6— дм. меньше, нежели длина двух других вместе.
Определить длину шну!ка.
5
47. Большая сторона прямоугольника длиною 7— дм.,
9
меньшая на 1-~ дм. короче. Определить длину веревки, кото-
о
рая протянута вокруг этого прямоугольника.
Какие размеры будет иметь сторона этого прямоуголь-
ника, если длину другой стороны:
а) увеличить на 2-1- дм.; дм.; 4-^ дм.;
±0 л/ «5
1 4 11
б) уменьшить на 5- дм.; 4— дм.; 2- дм.?
л! JLO
Можно ли сложить из той же веревки параллело-
граммы, у которых стороны имели бы ту же длину, что и
стороны перечисленных выше прямоугольников?
Алгебраические обозначения.
48. 1) Записать условие задачи с помощью условного
•бозначенвя неизвестного числа и определить неизвестное на
основаьпи составленной записи.
а) К половине задуманного числа прибавили четверть
этого числа и еще 10 и получили задуманное число.
— 147 —
б) От половины задуманного числа отняли одну шесту»
его, от остатка отняли 12 и получили нуль.
. „ 1 X 1 1
в) К — неизвестного числа прибавили— его, ватем — того
о 6 4
же числа, потом 12, затем еще * неизвестного числа, далее 8
и получила целое неизвестное чисто.
2) Истолковать смысл и решить следующие примеры:
1 1 I1 < 1 । 1 I п 1
у Н--ч - - у -I— «4— у 2 — = у
4 5 6 ’ 3 ’ 30 2 3
4 4- — «4-24- — ж 4- 1 2. ж = ж.
Исторические задачи.
49. 1) На вопрос Полпкрата о числе учеников Пифагор
ответил следующим образом: половина поил учеников изу-
чает математику: четвертая часть занимается изучением при-
роды; седьмая часть проводит время в молчаливом размы-
шлении; остальную честь составляют три девы. Сколько
было учеников у Пифагора?
2) На могиле Диофанта, греческого математика, по пре-
данию, была помещена надпись, по которой можно опреде-
лить продолжительность жизни этого ученого. Эта надпись
гласила, что — часть жизни Диофанта сост£вляло детство,
6
1 „1
— часть отроческий возраст, у часть юношество, по окончании
которого Диофант женился; на 5 году у Диофанта родился сын,
проживший, к огорчению отца, лишь — его жизни. Четыре
года спустя после смерти своего сына умер и сам Диофант.
Сколько лет прожил Диофант?
3) Пз множества чистых цветков лотоса была прине-
сена в жертву Шиве -7 всего числа, Вишну Солнцу
Бхавани -*. а остальные 6 цветков получил уважаемый учи-
тель. Слолыю было цветков? (Индуская °адача),
10*
— 148 —
50. В старинных задачниках встречалось много задач
„на бассейны*. Вот некоторые из них:
1) Водоем наполняется 3 фонтанами. Первый фонтан
может наполнить весь водоем в 4 часа, второй в 5 часов,
третий в 3 часа. Какую часть водоема наполнят все три
фонтана в 1 час, если их открыть одновременно?
2) В бассейне 3 крана: через первый кран бассейн
наполняется в 10 часов, через второй в 3 часа, через
третий вся вода может вытечь в 7 часов. Какая часть
бассейна наполнится в 1 час, если сразу открыть все
три крана?
3) В бассейне 3 трубы; через первую бассейн может
наполниться в 40 мин., через вторую в 25 мин., через
третью вся вода может вытечь из бассейна в 30 мин.
Какая часть бассейна наполнится, если открыть все трубы
на 10 минут?
4) Водоем че первую трубу может напотнпться
в 18 мин., через .орую наполниться в 24 мнн., через
третью вся вода может вытечь из наполненного бассейна
в 20 мин. Какая часы бассейна останется ненаполненной,
если все 3 трубы будут действовать одновременно в течение
5 минут?
51. Найти неизвестные числа по следующим данным:
4 S 5 4 7 1
+ з- = 107; rs + 5-=177.
52. Как изменится сумма двух слагаемых при следую-
щих условиях:
3 9
к 1-му слагаемому прибавить 2—, от 2-го отнять 5-j;
4 5
ст 1-го слага емого отнять 11—,ко 2 -му приба вить 18—;
4 3
к 1-му слагаемому прибавить 8— от 2-го отнять 6—;
9 5
3 3
от 1-го слагаемого отнять 14—, ко 2-му прибавить 9—.
53. Как изменится разность двух чисел при следую-
щих условиях:
к уменьшаемому прибавить 12-^-, к вычитаемому 7*-;
— 149 —
- - 2 * г 4
к уменьшаемому приоавить э—, к вычитаемому 5-;
3 2
от уменьшаемого отнять 9—, от вычитаемого 1-;
я-
я я я °12 » ’’ °8-
з
54. К одному из слагаемых прибавили 7—. Как и на
екотько нужно изменить другое слагаемое, чтобы сумма
7
эгях 2 слагаемых: 1) уменьшилась на 1—;
2) увеличилась на /— г
55. При решении следующих задач сначала составить
формулу решения, а затем произвести вычисление.
5
1) В лесу заготовили дрова трех сортов: 15- саж.
7 3
березовых дров, 28- саж. сосновых и 44— саж. смеси; из
2 ~
этого запаса продано 51 - саж. дров разных сортов. Сколько
сажен дров не продано?
2) В хозяйстве всего было 1000 десятин земли; ив них
1 2
15— дес. было занято усадьбой, 512— дес. пашней; луга ьани-
мали на 157— дес. меньше, чем пашня, а вся остальная
часть имения была покрыта лесом. Сколько д есятин лесу
было в этом хозяйстве?
3) Жук и червяк ползут навстречу друг другу; жук
в 1 сек. проползает 1 верш., червяк в это же время
продвигается на 1 дм. На каком расстоянии друг от друга
окажутся жук и червяк по прошествии 10 сек., если
первоначальное расстояние между ними было 2- арш.?
4) В хозяйстве запаса сена может хватить на прокор-
мление лошадей в течение 32 недель; если этим сеном кор-
мить коров, то его может хватить на 20 недель. Какая
часть запаса сена останется, если его расходовать в течение
И недель для лошадей и 9 недель для коров?
— 1 50 —
5) Через вран для горячей воды ваньа может напол-
ниться в 25 мин.; через кран для холодной воды в 15 мин.;
чрез отверстие, еде тайное в дне ванны, ванна может опорож-
ниться в 12 мин. Клкая часть ванны наполнится водой
1 .
по пришествии — часа, если одновременно открыть опа
крана и отверстие в дне ванпы?
6, Луг имеет ферму неправильного пятиугольника.,
з
Длина наибольшей его стороны 180- саж., длина наимень-
о
• 5 7
шей 49— саж.; из трех остальных сторон одна на 29- саж.
короче наибольшей стороны, две другие равной длины, каж-
дая на 18^ саж. длиннее самой короткой. Какой путь еде-
йи
лал землемер, измерявший длину сторон этого участка?
7) Падающее тело в первую секунду делает путь
в 16-' фут., в каждую следующую на 32- фут. больше, чем
э
в предыдущую. Опредетить. на каком расстоянии от земли
окажется по прошествии 3 сек. падающее тело, брошенное
з
в шахту глубиною в 100— саж.
56. Найти неизвестное число по стедующим данным:
1) 2-4- х = 10i— 3— 4) 10 — — у= 3-
1 S 3 4 7 2 9
2) у — 5— =11—— 5)31-—г =24
7 Э 9 10 16 7 12 8
3) 2 — 8-'’ = 26——8 — 6) 17-4-!* =20-
3 25 15 11 2
57. Записать прп помощи условных обозначений и
определить неизвестное.
1) Если к задуманному числу прибавить потовину
его, затем четверть задуманного числа, потом еще четверть
его и, наконец, 5-, то получится 6~. Определить ладумая-
Л «7
ное число.
2) К удвоенному за думанному числу прибавили этого
1 1 п5
числа, затем - этого числа, потом - его и, наконец, 2-;
тогда получилось 14^. Определить задуманное число.
58. Записать при помощи условных обозначений, а
затем определить неизвестное.
1) Сумма трех чисел 37^; первое — наименьшее из
д. 5
них, второе на 7- больше первого, а третье на 3- больше
первого числа. Найти эти числа.
2) Сумма четырех чисел 82. Первое и третье равны
2
Лруг другу; второе на 13- больше первого, а четвертое на
О
2
13— больше второго. Найти эти числа.
з
3) Три шнурка вместе составляют 29-арш.; первый на
3 1
5 - арш. больше второго, второй на 4— арш. больше третьего.
Определить длину каждого шнурка.
4) В трех ящиках упаковано 28^ пуд. багажа; в пер-
7
вом ящике упаковано на 8— пуд. больше, чем во втором;
„ 5 „
г третьем на р— пуд. меньше, чем во втором. Определить
вес каждого ящика.
5) Крестьянин засеял 46— десятин земли рожью, шпе-
3
ницей, овсом и ячменем. Рожью крестьянин засеял на 2- дес.
больше, чем пшеницей, а овсом и ячменем поровну, каждым
з
из этих хлебов на 2- дес. меньше, чем пшеницей. Сколько
десятин засеял крестьянин хлебом каждого сорта?
59. Найти неизвестное число по следующим данным:
1) =
Я 3
2) &+4)4-(у-1-|) = 23-
3) ^4-2-|)4-(а-1)»26^
« 7
4) *+(*+ ф + (7--^) = 30.
52 —
6) .,гНл и н мквестноё число по следующим данным:
‘1) (г+3) + («-1) + (1^-*) = И^
2) 4-^+7-ij = U-l
3) 3Г-(у-5-|) = 17^
4) Зж—(11^—») = 12^-
61. Найти неизвестное число по следующим данаым:
0 (® Ь^) + (®-2ф-(»+ >£)=1<>г
2) to+4)-(2'g-») + (!'-5^) = loi
3) (»-S) + (»-3-J) + ffl-;^») = 15-|
(t-4) + (^-l j) + (4-^ = ’V-
62. Найти неизвестное число по следующим данным:
19 14
1) (^ —7-) —(5-Н-лг) + 4-) = 15-
9 4 2 1
2) te + J) + (^+>7)-fc+is) = 3f
3) (!'-^) + fe + l-i)-(!/--5)=15.
4 <♦ 18
4) + - (^ — 4-) 4- (rr Н- -) = 21--
U AV —< -LV
63. 1) Описать, как производится сложение двух дробей.
2) Обозначая первую дробь чрез &-> вторую чрез —•
записать правило (формулу) для вычисления суммы этих
дробей с помощью условных обозначений.
3) Описать, как производилось вычитание дроби с оди-
наковыми знам щателями.
4) Пользуясь обозначениями для дробей п. 2, записать
правило для вычитагия дробей с одинаковыми знаменателями.
5) Обозначая одну дробь чрез у» вторую чрез -j, за-
писать правила:
а) для вычисления их суммы;
б) для вычисления их разности.
64. Записать с помощью у(^Ьвщ,'вО$«днач?*Й1
производится сложение: Ab
1) нескольких дробей с одинаковыми знамечате,
2) нескольких (напр. 3) дробей с различными ввач!
КаК
иателями.
65. Сложить и вычесть следующие дроби:
1 1 а [ Ь . С Q. tn_____
' 3*1 1'2/с Т 4 к > 10 а 2 а
3 ) <) — — \
' т ' п ' к 7 а Ь
66. Истолковать смысл следующих записей:
1) а-\-Ъ = Ъ а
2) а + Ъ 4 с -j- d = (ft Ъ) -j- (с 4-(?) — (а -1> 4" с)
4- d = а 4- (Ъ 4- с 4- d)
3) а-- (b сd) = а-\ Ъсd
4) ft — (h 4~ с 4- d) - a — Ъ — с — d
5) « 4 (& — c) = a 4- b — c
6) ft — (& — c) = ft —b 4- c.
Одинаково ли эти записи верны дтя целых и для
дробных чисел?
4. Умножение обыкновенных дробей.
Повторительный отдел.
67. 1) 1 • 5 6 0 3) . 4 4) 13| • 9
2 9 9 8
• 6 50 з- • 8 7- • 25
5 10 5 5
7 3 3 „ 7
2 175 7 — • 9 • 80
9 25 8 8
£ 11 • 4 19 28 460 114- о • 5 • 110
Как умножает) я дробь на целое число?
Обозначив множплое чрез и множителя чрез т, записать
правило умножения upob'u на целое число.
— 154 —
68. 1) 1 саж. 1 ~apui. • 3 2)
2 фун. 44 зот. . 8
з
3 чт. 2— чк. - 5
4
2 вер. 250-^ саж. • 4
69 .1) Ширина прямоугольника 5
4 пуд. 17^ фун. • 13
2 чк. 4^ гарн. • 4.
О
о арш. 7— верш. • 10
15 лот. 2-^ вол. • 15
. 1
арш. 4— верш., длина
•5
1 — саж. Определить площадь и периметр (сумму всех сторон).
этого прямоугольника.
2
2) Стороны квадрата 2 фут. 5— дм. Определить пери-
метр этого квадрата. (На сколько изменится периметр, если
каждую сторону квадрата удлинить наЗ-| дм.?)
3) Ребро куба 3 фут. дм. Сколько проволоки потре-
3
буется для того, чтобы протянуть ее вдоль всех ребер куба?
з
4) Длина прямоугольного бруса 1 арш. 5— ворш.,
3 1 л
ширина — арш., высота — арш. Определить: 1) сколько оу-
С*
маги потребуется, чтобы оклеить этот брус со всех сторон;
2) сколько ленты нужно, чтобы протянуть ее по всем реб-
рам бруса?
5) Кубический фут воды весит 1 пуд. 29— фун. Сколько
весит вода в аквариуме, длина которого 3-— фут., ширина
2 фута, высота 1 фута?
Умножение це лого на дробь.
70.
1)36 4 чт. — 5 з 2) 16 арш. * — 3)21-| 4) 19 • 2 3 5) 18'7
22 8 мин. • — 4 4 25 пуд. • — 60 - 12 17 3 8 5 25-
17 - 3 фут. • — 1 10 7 40 саж. • — 81-4 31 • 4 5 5 31 7
42 4 лот. • — 1S гв в 56 час. • — 7 S2-I 43 • 3 10 2 53'7
— 155 —
71. 1) Полоса бумаги длиною 8 см. и шириною ~ см.
затушевана черточками. Сколько кв. сантиметров зату-
шевано?
(Начертить в тетрадях чертеж, о котором говорится
в задаче.)
2) В квадрате, сторона которого 5 см., затушевана по-
2
доса шириною — см. Сколько кв. салти?тетров затушевано?
3) Придумать задачи, которые решались бы при по-
мощи умножения целого числа на правилоную дробь, поль-
зуясь приведенными выше примерами № 7<*.
72. Как записать решение следующих задач:
а) фунт масла стоит 360 руб. Сколько нужно заплатить
3 V
за — фунта?
б) 1 чк. пшенппы весит 48 фун. Сколько весят — ЧКв
•4
этой пшеницы?
в) 1 саж. = 84 дм. Сколько дюймов составляют 7-саж.?
4
г) 1 фут = 12 т,м. Сколько кв. дюймов составляют — кв.
фута? Сколько куб. дюймов составляют -7 куб. саж.?
о
73. Записать и решить следующие задачи:
__ з
а) Ученик купил 24 листа бумаги и — этого количе-
ства истратил на переписку сочинения. Сколько листов
бумаги употребит ученик на сочинение?
4
б) Голова сахара весит 27 фун.; — этого сахара про-
з
дали первому покупателю, — остатка второму, весь осталь-
ной сахар третьему. Сколько сахару купил ы жтый поку-
патель?
Произведение, получаемое при умножение на правиль-
ную дробь, должно быть больше, меньше или равчо мно-
жимому?
Как изменится величина множимою при умножении
на неправильную дробь? Почему?
— 156 —
Какая разница меокму умножением на целое число г(
умножением на дробь?
В чем cwdoreo между умножением на дробь и умно-
жением на целое число?
g
74. 1) Длина стола 2 арш., ширина — арш. Определить
в кв. аршинах площадь стола.
2) Определить площадь прямоугольника по следующим
данным:
Основание. Высота.
1
8 см. — см. 2 2
12 см — см. 3 8
15 см — см. 5
75. Определить об’емы прямоугольных брусков по сле-
дующим данным:
1 2 3 4 5
Длина бруса .... 10 дм. 1S верш. 8 фут. 12 см. 7 дм.
3 1
Ширина 4 дм. 2 верш. 3 фут — см. 4 ~ дм.
1 О 3
Высота 7 верш. — фтт 5 5 см. 3 дм.
76. 1) Изменится ли площадь в № 74, если основание
считать высотой и обратно?
2) Изменится ли об’ем, если в предыдущей задаче
А» 75 высоту считать равной длине и обратно? высоту счи-
тать равной ширине и обратно?
3) Об'ясншпь смысл записи — т = т- Раз’яснить,
о о
почему это равенство справедливо.
— 157 —
77. 1) Сколько сена выйдег из 600 пуд. сырой грявы,
8 „
рСЛп трава при высыхании теряет — своего веса?
. „ 4 1
2) Кусок железа при погружении в воду теряет — часть
О
своего веса. Сколько будет весить кусок железа весом 20 фун.
при погружении в воду? j
3) При печении хлеба припек составляет — веса за-
3
траченной муки. Сколько хлеба выйдет из 2 пуд. муки?
4) В школе 240 человек учащихся; из них обучаются
3 2 4
- в первом классе, — остального числа во втором, —
оставшихся, за вычетом учащихся первого и второго класса,
в третьем классе. Сколько человек в четвертом классе?
Умножение целого на целое с дробью.
78.
1) 12 саж. • 2-^- 2) 36 верст. . Л * 4 3) 172-1 ' 4 4) 4-3|
24 пуд. 3^ 56 чк. S,— 7 41-81 • 18-2- 5
32 чк. • 8-7 4 48 пуд. 25 Ч 12-4у
40 мин. • 9— 72 сек. 4- 71 • 245--
10 9 7 10
79. 1) Длина комнаты 16 арш., „ 3 ширина /— арш. Сколько
кв. сажен составляет площадь пола?
2) Рассчитано, что при разнице в температуре воздуха
комнаты и наружного в 1° Цельзия через 1 кв. арш. на-
2 .
ружной кирпичнои стены протекает—куб. арш. воздуха в час.
О
Определить, сколько воздуха протекает через наружную стену,
длина которой 4 саж., высота 4— арш., в течение 2— час.
2 2
при разнице в температуре по обе стороны этой стены
в 1° Цельзия.
80. 1) Паровая машина в 1 час поднимает 45 куб.
саж. воды. Определить по об’сму и по весу количество воды,
которое поднимет эта машина в Зу часа. Вес 1 куб. фута
воды = 1 пуд. 29-- фун.
— 158 —
2) Кубическая сажень березовых дров весит 300 пуд.,
кубическая сажень сосновых дров 280 пуд. Сколько пу-
дов дров должен перевезти извозчик, который нанят для
1 3
доставки 2- куб. саж береговых и 3-т куб. саж. сосновых
дров?
3) Об’ем 1 чк. = 1600 куб. дм. Вычислить, сколько
займет 2у пуда верна, если 1 четверть этого зерна весит
10 пуд.?
4) Об’ем ведра = 750 куб. дм., вес ведра воды 30 фун.
Сколько воды по об’ему и по весу выкачивает насос
в 1 мин., если в это время он выкачивает 10у ведра
воды?
81. 1) Известно, что длина окружности больше длины
диаметра приблизительно в Зу раза. Определить длину
окружности земного экватора, считая его радиус равным
6250 верст.
2) Длина окружности колеса 5 арш. Какой путь
еде шло это колесо, обернувшись 400^-раз?
л
3) Радиус колеса 1у фута. Какой путь прешло это
колесо, сделав 500— оборотов? (Длина окружности в Зу
ра?а больше длины диаметра).
4) Площадь круга в Зу раза больше площа ди квад-
рата, сторона которого равна радиусу круга. Вычислить
площадь такого круга, радиус которого равен 10 дм.
5) Об’ем шара в 4— раза больше об’ема такого куба,
которого ребро равно радиусу этого шара. Определить об‘ем
шара, радиус которого равен 7 дм.
Р2. Если вес вещества в каком-нибудь об’емь больше,
чем вес воды в том же об’еме, например, в 5 раз, то го-
ворят, что удельный вес этого вещества равен 5.
— 159 —
Удельный вес ртути приблизительно 13-^
Л я ьолита Я 19i
л в серебра я
л 99 с 1инца я
я Я п стекла мрамора я
я 99 Л я вина керосина Л п 2 10 4_ ь
Л л пробки Я 6 25
Я я орехового дерева £ 5
л л липового приблизит. 1 2
Кубпк, реэро которого 5 дм., наполненный водою, ве-
сит 5 фун.
Определить вес перечисленных выше веществ, взятых
в том же оо’смо.
Что значит, что удельный вес некоторые веществ
меньше 1, т. е. выражается
Умножение дроби на
дробь.
83. 1) Какую часть ква-
дратного вершка занимает
площадь, затушеванная го-
ризонтальными черточкамл,
5
если ее длина — верш,, ши-
6
Рина— верш. (см. чертеж
№ 1J?
2) Какую часть ква-
дратного вершка занимает
— 160 —
Черт.
№ 2.
площадь, затушеванная вер-
тикальными черточками,
з
если ее длина — верш, ши-
5
1
рина — верш. (см. чертеж
стр. 158)?
3) Какую часть квад-
ратн. вершка ванимает пло-
щадь, заштрихованная чер-
точками наискось, если ее
3 4
длина — верш., ширина -
верш. (см. чертей: № 2)?
«♦ 0 й арш. 1 10 2) — 7 9 2 4 3)7 27 <)7 1 3
7 1 16 4 9 о 1 1 _ 2
—— . —• — — — - • 3—
12 7 17 5 11 3 8 б 1
9 Y 1 10 7 10 . 1 1 1
— фун. • — — ’ 4— —— • —•
10 A J 3 13 10 21 5 4 7
8 1 9 5 12 1 1 1
—— ЧК. • * — — • — —— • / — • ——
25 8 20 9 25 б 10 4
5) - 7 3 2 9 5 7 9 10 Пользуясь 1 4 £ 3 1 8 _ 1 7 числами 10 ч2 Г1 ' 37 12 t2 17 " 3 18 Ь 23 ’ 6 21 . 3 * 40 7 приведенных 7) “ • 3Т 7 3 4 5 Q - • 2- 11 3 - • 5- 9 5 У . 4- 20 7 выше примеров, прп-
думать задачи, в которых требуется умножить дробь на дробь.
85. 1) Определить площади прямоугольников по сле-
дующим данным:
з
основание . . . . —
5
1
высота.............—
з
Пояснить вычисление
ных выше.
5 12 9
дм. - верш. — СМ. 17 -верш.
1 1 1
дм. - верш. 5 — СМ. 4 - верш. V
чютежом по образцу приведен-
2) Определить площади прямоугольников по следую-
щим даннь’м:
—161 —
основание
высота .
а 7 3 7
г ды- - СМ. 8 - верш. ш ар,п
3 1 1 1
- - ДМ. 4 — см 4 — верш. 5 - арш.
Пояснить вычисление чертежом по образцу приведен-
ных выше.
3) Определить площадь прямоугольников по следую-
щим данным:
4 8 9 10 7 8
основание . 7 дм- 3 - см. 7 -верш. 2 п дм- 3 - верш. 2 и । 1а К
высота . . у Дм- 4 — СМ. 8 — верш. 7 Дм- 0 - верш. 7 дм-
Пояснить вычисление чертежом по образцу приведен-
ных выше.
86. а) Определить площадь квадрата, которого сторона:
!) - дм.; 2) |,дм.; 3) - верш.; 4) | верш.; 5) см.;
6) - дм.; /) - верш.; 8) - верш.
Пояснить вычисление чертежом по образцу приведен-
ных выше.
б) Какую часть кубического вершка составляет кубик
1 1 1
у которого сторона — верш.; — верш.; — верш.;
2 3 4
— верш.; — верш.; — верш.
ч „ /1\2. /1\2. /1\2. /Ь < /З\3. /5'2
в) Сколько составит: , ^-g-J , (уу > I у 1 > /fj ’ 9 • ’
Л> Л <18 (1 \8. (з f. <А\8
ч 5 ) ’ 1 бу1’ \ 7 ) ’ К 5 J ’ < 7 ) ’ ч 6 / •
Пояснить вычисление чертежом.
87. Определить площадь параллелограмма по следую-
грациаискиА. Задачник.
— 162 —
88. Площадь круга в Зу раза более площади квадрата,
у которого сторона равна радиусу этого круга. Определить
площадь такого круга, падиус которого
7 14 7
1) - верш.; 2) - верш.; 3) - дм.
О id ±v
89. 1) Сантиметр составляет ~ дм. и Д вершка. Ка-
кую часть квадратного дюйма и квадратного вершка со-
ставляет 1 кв. см.?
3 2
2) От куска бумаги величиною в — листа отрезали ~|
Какую часть листа отрезали, и сколько квадратных дюймов
составляет отрезанная часть, если площадь целого листа
95 кв. дм.?
3) Лист писчей бумаги весит 1 лот. Ученик оторвал
3 8
— листа, от оставшейся части отделил у, остальную бумагу
выбросил. На сколько одна из оставшихся у ученика частей
листа тяжелее, чем другая?
4) В классе на каждого ученика приходится но — куб.
О
саж. воздуха Определить вес воздуха, приходящегося на долю
каждого ученика, если 1 куб. саж. воздуха весит приблизи-
2
тельно — пуда.
7 2
90. 1) От — саж. веревки отрезали у этой веревки, но-
2
том - оставшейся части. Какой длины веревка осталась
после этого?
2) Сплав, известный под названием нового серебра,
состоит из меди, никкеля и цинка. Сколько нужно взять
з
каждого из этих металлов для составления — фун. но-
вого серебра, если цинк составляет — веса всего сплава,
4
никкель — остального веса, медь всю оставшуюся часть,
о u
3) Ученик истратил 7 своих денег на книгу, остав-
шихся денег на бумагу, у последнего остатка на карав-
— 163 —
дагпи и перья. Какая часть денег осталась у ученика после
всех этих покупок?
91. 1) В Московской Руси для измерения земли упо-
треблялась мера, называвшаяся „соха", и ее доли, иногда
очень небольшие. Выразить доли сохи, носившие следую-
щие названия: пол-пол-сохи; пол-пол-пол-сохи; полтреть-
сохи; пол-пол-треть сохи.
2) Другая мера земли, употреблявшаяся в Московской
Руси, была „четверть" и ее доли, иногда мельчайшие. Выра-
зить дробью, какая часть четверти называлась в расчетах
того времени: „пол-пол-пол-пол-пол-пол-пол-нол-пол-пол-
тре1 ник" (третник — -* ).
3) Карамзин приводит следующие мелкие монеты, упо-
треблявшиеся на Руси: полушка, ити ’Д копейки; полупо-
лушка, пирог, составлявший ’Д полуполушки; полуппрог;
четверть пирога. Какие доли копейки составляли эти монеты?
92. ’) р '7 Зо 3 2^ £ 3) 21 15 1) - -
' 27 ' 10 25 28 J 9 4
25 3 10 11 S6 21 15 4
23 5 33 15 49 32 17 5
А . 4и 21 3 51 40 10
12 * 125 40 4 100 68 13 10
_3 16 12 5 48 99 9 5_
4 21 17 6 55 * 160 20 9
Умножение дро 01 г н а ДРО бь и целого с дробью
на дробь и на целое с дробью.
93. О 1$ • j 3 2) 4 5 7 94. ’) 1) сл с-1 >-
. 4 4_ . 8 4_ .4 „2
4— - 1 1 - • 3-
9 5 9 5 5 3
„ 1 1 — • 7 о 7— 8 8— • 4 J
7 10 3 ' 15 10 8
„ „ 3 11 „ 1 4 2 о
23-- • 6 - 12— • 3-
4 19 8 ’ 7 3 9
*) На примерах Je 94 установить, как удобнее всего производить j мно-
Жение смешанного числа на смешанное и почему.
11*
— 164 —
2) 10- ’ 12 •Зу 3) 31 •27 4) 8} • 6^ 11
7 1 _ 1 . 2 _ в „ 1
8- • 2- 11- • 4— 5- • 1-
10 7 5 7 9 17
2— 0 • 3- 4— • 3- 8- • 3-
25 3 2 9 9 8
„ 8 . з 4 9 „ , 1 „ 1
7- • 4— ю- • 1- 1 1- • 8—
15 4 5 11 9 10
95. 1) План участка земли занимает — страницы; — этого
участка—пашня, лес, остальная часть — болото. Какую
часть страницы на плане занимают пашня, лес и болото
в отдельности?
Ъ 1
2) Узор занимает — кв. фута; — этого узора соста-
4
вляет кайма вокруг рисунка; — рисунка, находящегося
внутри каймы, приходится на краски темных тонов; осталь-
ную часть рисунка составляют светлые краски. Какую часть
кв. фута составляют части рисунка, занятые темными и
светлыми красками в отдельности?
96. 1) Путь, который в среднем в 1 сек. делает чело-
7
век, идущий нормальным шагом, составляет — саж.; путь
з
улитки в это время состав мет лишь — пути человека; путь
2d
велосипедиста в 5-у раза больше пути пешехода. Опреде-
лить путь в 1 сек. улитки и велосипедиста.
4
2) Вес тела на луне составляет — веса этого тела на
0 лО
земле; вес тела на Марсе составляет 1, а па Юпитере
9
в 2— раза больше веса тела на земле. Определить вес тела
51
на луне, Марсе и Юпитере, если вес его на земле — пуда-
100
97. 1) Длина окружности в Зу раза больше диаметра.
1) Определить окружность такого круга, которого радиус
7
— арш.
— 165 —
2) Определить длину окружностей, у которых радиусы:
а) верш.; б) - фута; в) 5-^- верш.; г) З-J- дм.;
д) -4^-арш.; е) дм.; ж) 7~ саж.; з) ю| дм ; и) 2- верш.;
к) 5^0 дм.
98. 1) Из фунта молока выходит фун, сливок, из
1 фун. сливок получается -у Фун. сливочного масла. Сколько
О
фучтов сливочного масла получится из ведра молока, если
2
1 ведро молока весит 30 — фун?
2) Колесо экипажа делает в 9 сек. 8 оборотов; ра-
з
диус этого колеса — арш. Какой путь пройдет это колесо
в 5 мин.? •
99. 1) Ширина реки 37 саж., глубина саж.; сред-
няя скорость течения в данном месте саж. в 1 сек. Вычи-
слить об’ем воды, проносимой рекой через данное место в 1 час
(или: определить расход воды в 1 час).
2) Справьтесь относительно средней ширины, глубины
и скорости течения реки вашего города или деревни и опре-
делите средний расход воды в ней в 1 час, в 1 сутки,
в 1 год.
3) Ширина форточки ~ арш., длина — арш.; в откры-
тую форточку ветер дует с такой силой, что через нее
воздух проходил со скоростью 2-^- арш. в 1 сек. Сколько
свежего воздуха вольется через эту форточку в 5 мин.?
100. 1) Стакан цилиндрической формы имеет радиус
Л 5 . 1 т>
основания длиною — верш., а высоту в 2 — верш. Бычл-
8 2
слить об’ем этого стакана.
2) Через водосточную трубу, диаметр которой — арш..
з
вода льется со скоростью 3 — саж в 1 сек. Сколько воды
—166 —
прольется через эту трубу в 1 Г> мин. при проливном дожде
когда вся труба наполнена водою?
3) Стеклянный стакан с толстыми стенками имеет
правильную цилиндрическую форму; высота этого стакана
1 2 3
12— см., радиус основания (дна) 1 — см., толщина дна — см.,
толщина боковой стенки -г см. Определить в куб. санти-
метрах вместимость этого стакана.
2
4) Конус, высотою 10— верш., имеет радиус основания,
з
равный 1-^ верш. Определить об’ем этого конуса, если
сравнение об’емов цилиндра и конуса, имеющих равные
основания и высоты, показало, что в этом случае об’ем
конуса составляет — об’ема цилиндра.
• о
101. 1) В 1 мин. из бочки вытекает 3— ведра воды;
сколько воды останется в этой бочке чрез — мин., ест
первоначально в ней было 10 ведер во^ы?
2) Вес воды, наполняющей большую кружку, соста-
2
вляет 20— лота; вес воды в об’еме чайного стакана соста-
5
вляет — веса воды, наполняющей кружку; вес воды в ооеме
5
чайной чашки равен веса чайного стакана воды. Опре-
делить вес воды в об’еме чайной чашки.
3) В магазине было 3.5 ~фун. гречневой крупы, которую
купили 3 покупателя. Первый купил всего количества;
второй — того, что купил первый; третий всю остальную
крупу. Сколько уп гатил каждый покупатель если 1 фунт
крупы стоил 1200 руб.?
з
102. 1) В лампе выгорает — фун. керосина в 1 час.
На какую сумму выгорит керосина в неделю, если лампа
горит ежедневно но 3^ часа, а фунт керосина стоит 70 pyj
— 167 —
з
2) Купили — фун. маша ценою по 350 руб. фунт,
2- фун. сметаны по 200 руб. фунт, фун. соли по 3.5 руб.
фунт. Сколько пришлось заплатить за все продукты, если
сумму больше — руб. считали за 1 руб., а меньшую
•i- руб. в конечном результате просто отбрасывали?
103. 1) Для того, чтобы испечь 1 иуд хлеоа, нужно
взять — пуда муки; чтобы получить 1 пуд муки, нужно пе-
1
ремолоть 1 — пуда зерна. Сколько пудов зерна потребуете®
для приготовления 10 пуд. печеного хлеба?
2) Т1з 1 пуда муки выходит 1 — пуда печеного хлеба;
из 1 пуда зерна получается 34 * фун. муки. Сколько печеного
о
хлеба получится из 1 чт. зерна, весом 1у пуда четверик?
2
3) Для получения 1 пуда сена требуется 2— пуда
сырой травы; чтобы собрать 1 пуд сырой травы, требуется
выкосить 12у кв. саж. луга. Какую площадь потребуется
выкосить, чтобы получить 25 пуд. сена? (Какие размеры
может иметь эта площади в случае прямо угольной формы?)
104. 1) Миноносец имеет водоизмещение 200 тонн;
1 тонна =1000 кгр., 1 кгр. приблизительно 2ту фун. Опре-
делить водоизмещение миноносца в пудах.
2) От деревни до села 25—- верст, от села до уездного
2
города в 1 — раза больше; от уездного города до губерн-
ского в 8— раза дальше, чем от села до уездного города.
Определить расстояние между уездным и губернским городами
2
3) 1 апш. проволоки весит 14— зол. Сколько весит
з
кусок этой проволоки длиною 8— саж.?
— 168 —
105. Найти неизвестное число по следующим данным:
' О *:^ = 10й »> ';2? = ,67
2) V- 1=15^ <) f- |=12|
106. Определить неизвестное число, если известно, что
1) при делении '2) п » 3) я <) „ неизвесгн. числа я » я я я я на л я я 8 — получ. 10- 2 9 _3 9 5 я Ю - 4— 10 ” 7 1 R—
1С7. Записать при помощи скобок и решить следующие
примеры:
1) сумму чисел 2-- и 3*- умножить на 12-рот полу-
3 7
ченного произведения отнять разность чисел 8— и 6р, умно-
2
женную на 3—
17 3
2) разность чисел 10— и 7—, умноженную на 8-’
2 8 5
17 2
прибавить к разности чисел 4- и 1—, умноженной на
108. Записать при помощи скобок и вычислить сле-
ду ющпе примеры:
1) от суммы чисел 8 —, 4-| и 2^, умноженной на
. . з 1 . 4 1
1 *2—, отнять разность чисел 15— и 11—, умноженную на 3—1
7 5 7
2) от разности чисел 25— и 17—, умноженной на 5— ,
_ 9 . 5 3
отнять разность чисел 8р и 4—, умноженную на у.
109. Записать при помощи скобок и вычислить сле-
дующие примеры:
3 5 1
1) от разности чисел 29— и 17—, умноженной на 2-,
о 9 . 5 4
отнять сумму чисел 8— и 4—, умноженную на —;
— 169 —
9 2 9
2) от разности чисел 18— и 8-у, умноженной на 6—,
„ 1 „ 2 5
отнять сумму чисел 6— и Зу, умноженную на —.
110. Записать и решить следующие примеры:
1) к произведению чисел 2—, — и — приоавигь про-
3 2
неведение чисел 36— и 2--;
4 о
5 3
2) от произведения чисел 3— и Е отнять произве-
4 4 1
дение чисел 10—, - и 3—.
5 9 3
111. Записать и решить следующие примеры
5 1
1) к произведению чисел 27 у и 1 у прибавить сумму
_ 1 п8 2 _ 1
чисел 2— , Зу , 7— , умноженную на Зу;
3 4
2) от произведения чисел 18, — и 4— отнять разность
5 9
1 „5
чисел 1Оу и 7—, умноженную на 2—.
112. Записать и решить следующие примеры:
13 1
1) к разности чисел 8у и 4у, умноженной на Зу,
3 3
прибавить произведение чисел Зу и 5у,
2) от суммы чисел 1у, 7-у, 4у, умноженной на 5у ,
2 3
отнять произведение 10— и —.
5 8
Буквенные обозначения.
113. 1) Обозначив одну дробь чрез “ , другую чрез
* , записать правили для умножения <)роба на дробь.
2) Записать, обозначив дроби с помощью букв, произ-
ведение трех дробей.
3) Можно ли изменять порядок сомножителей при
умножении дроби на дробь?
а) раз’яснить это на примере № 83 для произведения
2 дробей;
— 170 —
б) разяснпть это для случая 3 дробей, поясняя за-
дачею на вычисление об’еыа ящика;
в) раз’яснить это, обозначив дроби с помощью букв:
а т т а
Ъ п п Ъ
(записать первое и второе произведение согласно правил).
114. Истолковать смысл записей, составив для каждого
примера условие задачи:
1)(«+ч-’=|»+4'<
2) («-»)•
115. 1) Определить об’ем ящика прямоуго тьной формы,
размеры которого а см., Ъ см., с см.
Для вычисления этого об’ема составим формулу: об’ем
ящика v = a . Ъ . с.
Раз’яснить, нельзя ли эту формулу написать иначе, напр.:
a) v = a . b . с = Ъ . а . с или б) v = а . Ъ . с = с . а . ft?
в) v=a . Ъ . с = а . (Ъ . с\ или г) v = a . ft . с= ।
= (а . с) . Ъ.
Будут ли эти .формулы верны как для целых, так и для
дробных чисел?
2) Составить условия задач для следующих формул
и раз’яснить их смысл:
а) («Д-ft) • ип~а . т-[-Ь . т
б (а — 6) . т = а . т — ft . т
в) п . (к-\-р) — п . к-\-п . р
г) п . (к — р)—п.к — п . р
д) (аД-б-(-с) . = а . »n-(-ft . т—с . т
Одинаково ли верны эти формулы как для целых, так
и для дробных чисед?
3) Для вычисления площади прямоугольника состав-
лена формула Р=а . Ъ.
— 171 —
а) Истолковать смысл этой формулы;
б) на основании этой задачи дать определение, что
такое действие умножение:
1) в случае целых чисв!,
2) в случае дробных чисел.
5. Деленйе простых дробей.
Деление на целое число.
116. 0^:5 2) 2у :2 2 4)2| : 4
- : 3 4 ’з :5 8 : 5 : 7
Г* 4 fi : ° И ‘ 7 „ 1 О - 2 : 4
- : 6 25 О 16" 3 : 10 - : 10 : 1 *7 : 7.
Обозначив делимое — дробь — через дели геля — целое
число—через т, заткатъ правило для деления dpafyn на иелое
число.
Деление целого на дробь и на целое с дробью.
117. Найти неизвестное число, если известно, что:
1)|з = 150 4)|ж= 720 7)^ ж=1800
2)^ = 1120 5)^=1200 8)^ = 3200
3)4^= 600 6)~2-х = 900 9)4^=6400.
118. Определить неизвестное число по следующим данным:
1) X • -•= 10 9 •^ = 34 5>г? • х — 40 •2/= 25
2) У
3) Z • £=20 7 6)й - £=104.
119. Определить неизвестное число по следующим данным:
D 32:| = х 4) в°:з=‘
2) 45 = У 5) 81=!'=й
7 . 25
3) 56: — =е 6) 100 : 32
— 172 —
120. 1) 9:|
12:|
26:7
4) 1 :у
|:м
>=Т
24:п
18:l
22
27
3) 8:|
И : —
з
И"
13 :|
6Н:Т
Ч
2 : -
8
121. Записать при помощи условных обозначений и ре-
шить следующие задачи:
з
1) — куска мыла весят 24 зол. Сколько весит весь
кусок?
2
2) — куска веревки длиною 20 арш. Какой длины вся
О
веревка?
5
3) — всего участка земли составляют 30 десятин. Опре-
делить площадь всего участка.
9
4) — всего количества бумаги составляют 180 листов.
Сколько всего бумаги?
2
5) — чк. ржи весят 30 фун. Сколько весит целый
четверик этой ржи?
122. Записать при помощи условных обозначений и ре-
шить следующие задачи;
з
1) В 10 мин. наполняется — всей ванны. Во сколько
времени наполняется вся ванна?
з
2) — м. составляют 1 фут. Определить в футах длину 1 м.
з
3) Чтобы испечь 1 пуд хлеба, нужно взять—пуда муки.
Сколько хлеба выйдет из 1 пуда муки?
— 173 —
4) Ив 1 пуда зерна получается — пуда муки. Сколько
пудов зерна нужно перемолоть, чтобы получить 1 пуд муки?
123. 1) Составить две различного типа задачи, в ко-
1
торых нужно 5 разделить на —.
2) Посредством какого действия можно решить задачу:
„ — всех денег составляет 12 руб.; определить всю сумму
денег"?
124. Найти неизвестное число, если известно, что
1) х— ~х = 7О 4) х — = 140
„ S 5
2) х— — £=96 5) х—~£ = 840
7 i
3) х—— х — 7'2 6) х— ^ = 5200.
125. Найти неизвестное число, если известно, что
1) «+“ « = 120 4) «+~ £ = 8500
2) z = 140 5) Н-;; * = 6900
О -1л
О 5
3) 2/+7 У = 440 6) 1/+- у = 42000.
126. Записать условие задачи при помощи условных
обозначений и определить неизвестное:
1) Ученик истратил 7- своих денег, после чего у него
<5 *'
осталось GCO руб. Сколько денег у него было до покупки?
2) Прочитав-^ всей книги, ученик рассчитал, что ему
осталось прочесть 100 страниц. Сколько страниц в книге?
3) На покупку книги ученик истратил своих денег,
1
на письменные принадлежности — всех денег, после чего
5
у него осталось 300 руб. Сколько денег было у этого уче-
ника до покупки?
4) Пройдя — пути ученик заметил, что ему осталось
итти 1-^- версты. Какова длина всего пути?
— 174 —
127. Записать при помощи условных обозначении условие
задач и определить неизвестные числа:
1) Кофе при жарении теряет — своего веся. Сколько
3
фунтов сырого кофе нужно «зять, чтобы получить—нуд.жа-
реного кофе?
2) Кусок железа, опущенный в воду, теряет— часть
8
своего веса. Определить вес куска железа, который при по-
гружении в воду весит 1 нуд 24 лота.
3) Трава при высыхании теряет у своего веса. Опре-
делить вес сырой травы, из которой получилось 25 — пуд. сена.
4) При кипячении испарилась часть воды. Сколько
нужно было взять сырой воды, чтобы получить 15 бутылок
кипятка?
128. Записать при помощи условных обозначений и ре-
шить следующие задачи:
1) При печении ржаього хлеба получается припек
(т. е. увеличение веса по сравнению с весом муки, так как
для изготовления хлеба в муку вливается вода), составляющий
з
веса муки. Сколько муки нужно ваять, чтооы получить
2 пуда 24 фун. печеною ржаного хлеба?
2) При печении хлеба из пшеничной муки получается
„ 1 л
припек, составляющий — веса муки. Сколько нужно взять
пшеничной муки, чтобы получить 1 - нуда белого хлеба?
129. Записать при помощи условных обозначений и ре-
шить полученные задачи:
1) Пройдя — всего расстояния между двумя города ни,
8
путешественник рассчитал, что ему осталось итти на 4 версты
меньше, чем он прошел. Определить расстояние между этими
городами и пройденный путь.
2) Если от шдуманного чиста отнять этого заду-
манного числа, то останется 33. Какое «пело задумано?
175 —
130. Найти неизвестное
число, если известно, что
8 4
131. Найти неизвестное
а) ж-}- -i-ж -ф- 15 = 15
Л
Q
б) ,+ --,-12 = 72
в) У-\-2^У— 25 = 14
число, если известно, что
г) 4ж—^х—10 = 104)
д) 12 г —15= 55
е) 5у?|-1у+ 17= 75.
132. Записать при помощи условных обозначений и ра-
ппиь следующие задачи:
1) Если к задуманному числу прибавить его по левину
и еще 10, то получится 40. Определить задуманное число.
2) Задуманное число увеличено втрое, от полученного
з
произведения отняли — задуманного числа и еще 2; в остатке
э
получилось 10. Определить задуманное число.
3) Определить задуманное число, если 2 таких числа и |
задуманного числа на 15 меньше 100.
133. Записать при помощи условных обозначений и ре-
шить следующие задачи:
1) В класс не пришла учащихся, налицо оказа-
лось 30 человек. Сколько человек в классе?
2
2) От бруска мыла отрезали — его, остаток 12 фун.
О
Определить вес целого бруска.
3) Поезд прошел — всего расстояния, после чего ему
осталось до станции 10 верст. Определить все расстояние
между двумя станциями.
134. Записать при помощи условных обозначений и ре-
шить следующие задачи:
1 з
1) К у задуманного числа прибавлено — его, получи-
лось 34. Определить задуманное число.
— 176 —
2) Если к — неизвестного числа прибавить — этого чи-
8 Ь
$
ела, еще — его да кроме того 12, то получится 46. Опре-
делить неизвестное число.
5 3
3) К — некоторого числа прибавили — этого числа, от
суммы отняли 70, получилось 4. Найти это число.
135. 1) Отец сказал о себе своему сыну, что он про-
1 . 1 ’ 1
жи I своей жизни реоенком, -- юношей у взрослым
человеком и 13 лет считает себя стариком. Сколько лет отцу?
1 3
2) Ученик истратил — своих денег на трамвай, — на
2
перья и карандаши, — на тетради, после чего у него
осталось 150 р)б. Сколько денег было у ученика до покупки?
3) Путешественник рассчитал, что если он проедет
1 1
всего пути по железной дороги, — на пароходе, — на лота-
J о о
дях, то ему пешком придется итти всего 15 верст. Как
велик весь путь?
136. 1) Одна машина исполняет в час другая всей
работы; третья столько, сколько две первые вместе. Во сколько
времени все три машины исполнят работу, если будут ра-
ботать одновременно?
2) Запаса сена может хватить для лошади на неделю,
для коровы на 5 дней, для овцы на 15 дней. На сколько
времени хватит этого запаса, < если сено расходовать одно-
временно для лошади, коровы и овцы?
137.1) 32:2-^ о 2) 4 : 4- 5 3) Ю:
164 3 : 8- 5 21: 8- 5
8:Ч о „ 1 * 3 72:24- 5
10:11 4 15 =‘Н 51:13— 5
— 177 —
4)27:3| 5)13:3—
32:31 4:1|
45:б1 10.з!
4 2
56:7г- 7:4|
138. Площадь прямоугольника 10 кв. дм. (15, 32, 40),
основание этого прямоугольника 3- дм. Определить вы-
соту прямоугольника.
139. Определить высоту прямоугольного бруса по сле-
дующим данным:
1 2 3 4 5
Об’ем бруса в куб. вершках .... 12 20 35 48 60
Площадь основания его в кв. вершках. а 5 СО | тя СО ю1 2 (X *11
140. Длина окружности в 3 —раза больше длины диаметра
той же окружности. Определить длину радиуса если длина
окружности 1) 11 дм.; 2) 33 дм.; 3) 110 дм.; 4) 20 дм.; 5) 42 дм.
141. 1) Летело стадо гусей, а навстречу им еще один
гусь, который говорит: „Здравствуйте, сто гусей".—„Нас не
сто гусей", отвечает ему стадо: „если бы к нам прибавить
еще столько гусей, да пол-столько, да четверть столько, да
еще тебя, тогда вышло бы сто гусей". Сколько гусей было
в стаде? (Записать при помощи условных обозначений.)
2) Если к задуманному числу прибавить еще два таких
1 1
числа, да — задуманного числа, да еще — задуманного чп-
ела, да еще 4, то получится 110. Определить задуманное число.
142. Определить неизвестное число по следующпм данным
1) 2я4-5.г-}-1|Н-5 = 18 3) 5-г—2^—5=11
2) 2^+4»-^ 7 = 16 4) 61<+Щ-3 = 4
Грацианский. Задачник.
12
— 1 7В —
i 43. Определить неизвестное число по следующим данным:
1) 13^4-7+2^=: 16 3) 1оЪ—84—7-7* = 12 —
7 4 1 1 2 7 8 24 2
2) 8-1/4-15—4^=33 4) 1-£—814-10-£=14.
1 1(Г 5** 7 4 1 8
144. 1) Черный хлеб весом Зг/2 фун. в 1914 году стоил
21 коп.; белый хлеб весом 2г/3 фун. стоил 30 коп. Сколько
нужно было заплатить при покупке 10 фун. черного хлеба
и 71/, фун. белого?
2) Белый хлеб летом 1922 года стоил 500.000 руб. фунт,
черный 150.000 руб.'фунт. Во сколько раз подорожал хлеб по
сравнению с 1914 годом?
145. 1) Один пуд воды занимает РД ведра. Сколько
пудов будут весить 5 ведер смеси воды со спиртом, если
спирта и воды взято поровну, а спирт легче воды в 1:/4 раза?
2) Переднее колесо имеет в окружности 13Д арш., лад-
нее 21/2 арш. На сколько оборотов переднее колесо сделает |
больше, чем заднее, на расстоянии 252/3 саж.?
3) Гранитная колонна весит 603 пуда. Какой об’ем она.
занимает, если удельный вес гранита 27/10, а каждые 30 фун.
воды занимают 750 куб. см. (= 1 ведру воды)?
Как производится деление целого числа на дробь?
Обозначив делимое через а, делитель — дробь — через
—, записать правило деления на дробь с помощью этих
условных обозначений.
Одинакового ли смысла вопросы решаются с помощью де-
ления на целое число и деления на дробь?
Деление дроби на дробь.
Q 146.1)-: 7 11 2) 7 2 £ 3 3> 1V 3^ 5 Л | 10 27
д 7 1 _ 1 8 _ 4 2 _ 4
7 ’ 8 3 * 7 21 ‘ 7 3 ‘ 9
13 11 1 1 12 . 4 7 21
15 ’ 12 4 ‘ 5 25 ‘ 5 8 ‘ 32
9 . 10 1 . 32 S 12 24
10 ’ 21 3 ’ ? 45" Я 35 • 125
--179 —
Q 18 6 2 36 20 .. 10 20
H7'4iV 25 - 3 °7 85'51 '> 5Г 27
16 48 15 5 9 12 8 2
- “ . . • 1 — ...
21 ' 81 16 12 10'25 35 7
20 8 14 4 18 12 9 3
— * - — - — —
27 ' 81 25 5 35'55 16 32
14 17 11 21 14 7 21 7
• - • . —- • —
15 ‘ 30 160 ’ 25 27'18 100 ’ 200
148. 1) Велосипедист проезжает в каждые у сек. по
саж. Скотько саженей проедет велосипедист в 10^-сек.?
2) Jlenia продавалась в 191J году, покоп. за каж-
дую ~ арш. Сколько стоили 4-^- арш. этой ленты?
3) Удельный вес липового дерева сколько будет ве-
* Л
сить вода в об’еме куска липового дерева, вес которого
1
— золотника?
2
5
149. 1) Сад занимает — участка земли, что соета-
25
вляет — десятины. Определить величину всего участка.
3S
4 12
2) Произведение неизвестного числа на — составляет —
о
Найти неизвестпое число.
ттт 2 10
3) Ширина ящика — арш., площадь дна —кв.арш.
3 21
Определить длину ящик?..
I
Алгебраические обозначения.
150. Записать при помощи условных обозначений и
решить следующие задачи:
1) Произведение двух чисел , одно из них — . Найти
другвй сомножитель.
4
2) При умножении неизвестного числа на—получено про-
2 п
взведение —. Определить неизвестное число.
12*
_—180 —
_ _ 11
3) Если неизвестное число умножить на —, то в про-
16 U
получится —. Найти неизвестное число.
16
из ведении
151. Определит! неизвестное число по следующим
данным: 3 9 4 7 1) л; — =— 4) — х = — 7 8 16 ’ 9 1о 10 5 5 10 2)»'йв7 "> ,2» ,7 8) 6) = 1 7 25 5 7 4 7
152. Определить неизвестное число по данным: 2 1 4 2 X—•— Х~ — 2 2 — — 3 2 5 3 3 1 ,7,5 У У~-Г t t = — J 5 17 4 8 9 следующим
153. Определить неизвестное число по следующим
данным:
154. Определить неизвестное число по следующим
данным:
5 7 . 8 в
1) 6 ’ Т<ГХ 4) — :х~ 7 21 7
25 . 5 г, 9 3
2) 45 ' 5) — : у — 7 10 5
40 # 10 4
3J 51 ’ — — - г 17 6) -:я = 15
155. Записать при помощи условных обозначений и
решить следующие задачи.
1) Потратили всего запаса чая, осталось фун.
чая. Определить первоначальное количество чая.
— 181 —
2) Дождь напо шил ведро на верш., что составляет
2
- его высоты. Определить высоту ведра.
3) Из фун. сырого кофе получается фун. жаре-
У ХА
ного. Сколько жареного кофе получится из целого фунта
сырого кофе?
156. 1) Автомобиль в — мин. прошел — версты. Опре-
4 3
делить путь, который пройдет этот автомобиль в одну ми-
нуту, двигаясь с той же скоростью.
3 1
2) Улитка проползла — верш, в — мин. Определить ско-
рость улитки в минуту.
3) Лошадь в часа провезла воз на расстоянии
э
в — версты. На какое расстояние провезет лошадь воз в 1 час,
двигаясь с той же скоростью?
157. Чайный стакан весит:
9 г
— фун., если его наполнить вином,
2
- „ „ „ скипидаром,
7
й „ » спиртом,
| „ » водою.
Определить удельный вес вича, скипидара и спирта
Как производится деление дробг' на дробь?
а ,
Обозначив делимое—дробь— через —, делитель—дробь—
черен'" , с помощью этих условных обозначений записать
правило для деления дроби на дробь.
— 182 —
Деление целого
158. 1) 2|:|
' Зг4
4)
2
3
2
3
1-
8
2
1-
5
2—
с дробью на
4
_ 3
4
Л
2)
8
1б
26
41
14
15
25
32
1
4
1
5
1
2
£
7
и
37
«Го
в
7
13
io
дробь.
2—*
5
-1 .
1 5 ‘
3—:
4 6
3)
4
7
£
5
3
4
55
26
51
159. Вычислить удельный вес перечисленных ниже
веществ, если известно, что в об’еме очного и того же
стакана (5 куб. дм.)
вода весит
ртуть
у Фун-
7
10 ”
4
глицерин „ ............ —
7
расплавленный свинец весит 2- „
160. Вода, наполняющая бутылку, весит 1 — фун. Опре-
делить вес керосина, оливкового масла и эфира, вмещаю-
щихся в этой бутылке, если известно, что удельный вес
керосина . .
4
5
£
' 10
7
’ ‘ 10
3
161. Дня освещения к в ар гири в каждые —часа тре-
буется 1-i фун. керосина. Сколько керосина нужно для осве-
щения этой квартиры в течение 4— час.?
2
оливкового часла
эфира . .
— 183 —
162. Мячик катится по земле и пробегает в каждые
мин. 2— саж. Какой путь сделает мячик, если с такой
8 5
О3 9
же скоростью прокатится 3— дин.?
163. Между двумя городами 51— верста; из этих
городов выехали одновременно навстречу друг другу два
велосипедиста, из которых первый проезжает 8— верст
в у часа, второй 1э— версты в — часа. Какое расстояние
будет разделять этих велосипедистов через 1 час после их
выезда?
164. Рабочий ежедневно расходует своего еже-
месячного жалованья, что составляет 2 зол. руб. Определить,
сколько получает рабочий в месяц и в го {.
165. Кусок металла потерял в весе при погружении
в воду 3 фун. Определить вес этого куска в воздухе, зная,
о
что при погружении он потерял ~ своего веса.
21
166. Записать при помощи условных обозначений и
решить следующие задачи:
3 1
1) Пройдено — пути, осталось итти 4—версты. Опреде-
о Л
делить длину всего пути.
2) От задуманного числа отняли его и прибавили
1 л 2
— этого же задуманного числа; в результате получилось 4у.
Определить задуманное число.
7
3) Израсходовали — всего запаса муки, осталось
16 А. Фун. Определить первоначальный запас
167. Определить неизвестное число по следующим
данным:
1)2г— 1“-л; = 8^ 2) уу=10^-
— 184 —
3) 5-~я—4 — г = 7— 4)
7 4 и и 7 5 1 4 1 8 8
гл 2 I5 11 ,<7 61 7 I3 I 7 _ О 35
5) — 1/ -}-— w - —у = 11— ) — з “1— з । — з — 8—
7 9 J 1 12^ 4 J 10 7 15 30 30 100-
168. Записать при помощи условных обозначений и
решить следующие задачи:
2
1) В первый день артель израсходова ла — всыо запаса
~ 3 „5 .1
хлеба, во второй —, в третий — , после чего осталось 1 — пуда.
Определить первоначальный запас хлеба.
2) На покупку провизии истратили — всех денег, на
. - 1
билет при переезде по железной дороге на дачу —, на
извозчика от станции железной дороги до дачи -|-, после
чего осталось всего 1225 рубля. Сколько денег было сначала?
169. Записать при помощи условных обозначений и
решить следующие задачи:
1) Ученик издержал на покупку книги — своих денег,
2
1 1
на карандаши — , на оу магу и тетради — и за перья за-
платил 77 руб., после чего у него осталось 154 руб. Сколько
денег было у ученика до покупки?
2) Веревку разреза ей на четыре неравные части. Первая
1 2 3
составляет — длины всей веревки, вторая третья —, а
5 9 *
3
четвертая длиною 11—арш Какой длины была вся веревка7
Деление целого с дробью на целое с дробью.
170. Определить неизвестное число по
данным:
следующим
— 185 —
171.
2—
8
>4
172.
173.
174.
>1
8-1
6
1
'1
6Й
1е7
, - в
~4
4Т
2-4
5
*
“I
ф
4:18^
9-:
8
14-?-:
Зг4
Фч-
2~:31
•4
6-1
4
2—
8
3
3-
2
2^-
10
2^
Ла
3-
12
7 3 4
1.91
8 ’ “ 5
1:4-
9
11
12
12^
2
9
арш.
3)^
18
25
10
21
1
10
4
7—
5
16-
3
11
1U
Выразить ее длину
1) Веревка длиною
2
считая 1 м. = I— арш.
2) Выразить в метрах пину веревки в 1(>1 арш.;
15 4
10— арш.; 5— арш.; ЮОу арш.
в метрах,
175. Выразить в килограммах следующий вес, данный
в русских единицах веса:
в русских мерах
вес в килограммах?
. 2 ,
Фун.
I-4 ..
й
1 ПУД 3^ „
я 33-1 Я
(1 кгр. = 2| „)
— 186 —
*
1> 76. 1) Ковер, занимающий площадь Зу кв. арш.,
з
имеет в длину бу арш. Какой длины нужен шнур, чтобы
его протянуть вокруг этого ковра?
2) Прямоугольный участок земли занимает площадь
1 7
в Г25у кв. саж.; длина участка 187— саж. Какое рас-
стояние нужно ппойти, чтобы обойти этот участок?
, 5 3
177. 1) Брусок в 5 у куб. дм. имеет в длину 5— дм.
Определить площадь поперечного сечения этого бруска п
4
второй размер этого сечения, если первый его размер 2— дм.
* о
2) Брусок длиною 5-* верш., толщиною Зу верш., за-
3
нимает 13у куб. верш. Определить площадь поперечного
сечения этого бруска и его третий размер.
178. 1) Площадь треугольника 3 кв. фута, основание
3
его 18- фута. Определить высоту этого треугольника.
~ 9
2) Площадь параллелограмма 1— кв. арш.; основание
параллелограмма 15у арш. Определить высоту этого парал-
лелограмма.
179. 1) Произведение двух множителей 19у; один из
23
них 1—. Определить второй множитель.
2) Произведение трех множителей 8у! первый из
1 5
них второй 5-у .Определить третий множитель.
5 11
180. 1) Делимое 1 Оу, частное 1 —. Определить делитель.
2) Делимое 13—, делитель 2—. Определить частное.
3 9
3 11
181. 1) Какую часть 21 у составляет число 1—?
3 1
2) Какую часть ЗОу составляет число 5у?
— 187 —
182, На какое число нужно умножп гь
чтобы получить произведение . .
2. 3.
1 _ 3 „ 1
5— 7— <3 —
4 5 3
7 57 44
10 юо 51
183. Определить неизвестное число по следующим
данным:
1) Т:ж=:2Т 8> ^-:3| = s
> 8 .4 '98
л. 1 1 .. 11 . 2
2) Г»=57 V Й;4Т=<-
184. Составить задачу, для решения которой требуется
произвести деление:
1) дроби на дробь;
2) смешанного числа на дробь;
3) дроби на смешанное число;
4} смешанного числа на смешанное число.
6. Примеры и задачи на все четыре действия.
Примеры.
185. 1) С помощью буквенных об значений записать
правила для всех четырех действий над простыми оребями.
2) Записать двумя способами отношение друг к другу
чисел а и Ъ.
3) Истолковать смысл записей:
1) Г=Г7 2) »:*=("•«)*)
3)Н=Т
' Ъ . к Ъ ' к к
3
4
з
|-3~1о
12- — 4^ ’ £
2 8 11
186. 1) +34-
о 5
10—4-3 — :
8 1 5
2) 1М+Н-3Т-1’7;2Г1Г’7
214:7 +3-1--8—?7-:S-;— и|'7
7 1 5 5 4 3 5
12--4--.-2-
— 188 —
187. Записать в виде сложных дробей следующие тре-
бования и вычислить полученные числовые выражения:
1 2
1) Отношение суммы чисел 5- и 2— к их разности и
отношение разности этих чисел к их сумме.
2) Отношение суммы чисел 7, 8~ и 9^ к сумме чисел
5— 7-и 10-.
3’2 4
2 5
3) Отношение разности чисел 9- и 5- к разности чисел
188. Записать. в виде сложных дробей следующие тре-
бования и произвести вычисление полученных числовых
выражений.
1) Сумму чисел 1—, Зг; и 6-\ разделит!, на сумму
7 ..6 Ь
о 3 7 о 3
2- — и 2—.
Ь ’ 20 10
2) Число 7 2 разделить на разность чисел 11- и 7—>
женную на 3.
1 3 1
3) Число 22- разделить на сумму чисел 8 , 1- и
умноженную на 2.
1 3
4) Число7 разделить на разность чисел 15^ и
уменыпеннро в 5 раз.
чисел
умно-
1()7-
4
71^+140^ + 4| 15^
189-^< 5 Л A I90- , .72 . дТм
16 ' 6 12 ‘ 3 8 ‘ S ' 5 "Г 10 ”Т 4 )
— 189 —
191.
193,
12-:.34-83-
5 10
-:74-22--4--
4 1 7 о 56
>— : 2- + 11 : 7-„ 4
2 2 _______3
5- : 2 -4- 11-4-- — -
3 5 1 8 3
72:3-Н5»^-8^
1Q0 2____ 10 3 40
luc. J 1.1 2,1
8-- 2--Г8-: 1-4-8-
3 2'3 3 1 3
-3-
8 ‘ % , o 1
4
29
200. 2-• - 2-
7 9 5
1 _ 2 1
Пз-54-П
* 7 ' ’ 4 '
10: 24- Ц:
3 о
6~
4
201
202. 2
2_
2~
>1.4
4’ 8
i _
5-
3
7‘
„ 3.
_ I 2b .
1T зз ‘
9 ' ^10
203. 8-: 5-^ --f : 3-- l- =
10 5 5 4 2
7-:10: 14-.o--8:2 =
2 4 4 2
10n
51 - : 11
7
4
— 190 —
204. Записать следующие требования и произвести
вычисления полученных числовых выражений:
115
1) К произведению чисел 7-> 1—, - приоаьить част-
3 11 8
ное от последовательного деления первого из них на сумму
следующих за ним по порядку.
2) К частному от деления первого числа на произве-
дение последующих чисел прибавить произведение первого
и третьего из них.
3) От произведения первых двух чисел отнять частное
от деления второго на третье.
4) От частного при делении первого на второе число
отнять частное при делении второго на третье.
2,05. В следующих примерах записать окончательный
результат, не производя промежуточных вычислений, и
в этом окончательном результате произвести возможные со-
кращения:
10 7 8 _ 16 п 1 1 _3 i
1) 5) - • О— . •3—
и ’ 12 ' 15 ~ 7 25 “2 3 ' 8' ' 6 —
4 _ 2 3 1 10 2 . 1 1
2) 1 —— 6) 8- I- 1-=
15 " 5 ' 4 7 4 ' 11 ' s' 5 2
12 15 2__ 10 1 . 1 2
3) 25 ’ 16 ' ' 5 2—: 1- 2 ' 4
3 9 5 _ _. _ 5 2 3 _ 2
4) 8 ' 10 ‘ 16 ~ 8) 5-: : 1-- 5 4.' 1- 3
206. В следующих примерах записать окончательный
результат, не производя промежуточных вычислений, и
в этом окончательном результате произвести возможные со-
кращения:
i) 7^- J о2 з б'"з’ 4 ' 8 — 5) 18-Х 3.2 — ’ 7‘ 9~
2) 14 • 1- 2- 9 5 .А. [± = 15 16 6) 2 :: 3 • 1-. 1- = 7 9
з) 1-:—:2 7 5 3_ 4~ Г1 - 8 0 0
4) 14 о< 1 ьэ rfb. р- 1 W 1 ч 8) 10^:3-|: :2-:- = 3 5
207. Записать порядок вычисления и произвести воз-
можные сокращения результата в следующих буквенных
выражениях;
— 191 —
J Ъ a
a a
2 J 7'7
3) - -
} b d
. a c
4’ »:7
_ т п
7'7
6)
пт
к к
Р Р
8)
р р
а е
208. Обозначить окончательный резхльтат в следующих
примерах:
1 а с 1 b ‘ d е —— 4) .у: с е У
ч. а с е . т к t е
7 • ~d 5) -• z п Р s * с
3) 7 Ь d е ’’У й)г т ’ II «1 •“ s| я.
209. В
следующих примерах записать окончательный
результат и произвести возможные сокращения:
с Ъ d
7
п
Р
с
9П
а
к
а
а
т
п
с
in
a
b ’ in ' tn' b
. d а та
' с ' b " с
к п а
5) -----: —
' т р т
6)
J т п с а
а
Ъ
к
а
к
Р
п
210. Записать результаты в следующих буквенных
выражениях:
1) Y--
7 ъ ь
..ч а Ь
о а
3) -.i
7 с с
а
Ъ
Ь_
а
1
4 m m m, m
4)----------------=
J n n n n
n ?n in tn
O) • . Z ~
' tn n n n
6 J ±:Jc : к : fc =
С
211. Записать
ряжениях:
1) 7'7'
9) ™ . IL - 3L _
p ‘ tn
3) у ~
результаты в следующих буквенных вы-
п
~к
4)
п
S) °
& _ р
т ' т
bam
т п Ь п
т п р t
(i)
' р t in tj
п
и
1
— 192 —
212. Записать при помощи буквенных обозначений
следующие требования и результаты, которые при этом по-
лучатся:
1) помножить дробь на дробь и полученное произве-
дение разделить на дробь;
2) разделить дробь на дробь и полученный результат
помножить на дробь.
213. Записать при помощи буквенных обозначений
следующие требования и результаты, которые при этом
должны получиться:
1) сумму двух дробей умножить на целое число;
2) разность этих дробей разделить нч целое число:
3) перемножить три дроби с различными числителями
и знаменателями;
4) разделить дробь два раза кряду на различные
троби.
Задачи. (1 е о м е т р и я.)
214. Определить периметр и площадь прямоугольника
по следующим данным:
основание а высота Л
1. фут. 1| фут.
- з 1
о 12 g- дм. Т ДМ-
3. 3 1
т арш. з арш.
5 3
4. -g верш. верш.
5. 9 3
саж- саж.
6. 4 Фут. з _ т Фут-
21 5.1) Основание треугольника 83- арш., одна из боковых
, I
сторон вдвое короче основания, третья сторона ла 1^ арш.
короче основания. Определить периметр этого треугольника.
2) Основание равнобедренного треугольника 4 4 дм., бо-
новая сторона его на 2-^ дм. длиннее. Определить пери-
метр этого треугольника
— 193 —
3) Какие размеры могут иметь стороны равнобедрен-
него треугольника, периметр которого 12у верш.? (Запи-
сать сначала чиста вне задачи с помощью буквенных
обозначений.)
4) Какие размеры могут иметь стороны прямоугольника,
периметр которого 25^ арш.?
5) Веревка длиною 35у верш. Какие размеры могут
иметь стороны треугольников, которые можно сложить из
этой веревки?
216. 1) Прямоугольный участок земли начерчен по
масштабу 10 саж.^1 дм. Определить длину всей границы
этого участка в действительности и его действительную
площадь, если на плане размеры этого прямоугольника
о 3 о1
8 4 ДМ И 3j дм.
2) Участок земли имеет форму прямоугольника, осно-
вание которого 1 у версты, высота 125 саж. Определить
площадь, которую займет плас этого прямоугольника, если
чертеж сделать по масштабу 50 саж.^1 дм.
217. Какие размеры могут иметь основание, высота и
3
периметр прямоугольника, которого площадь 24у кв. верш.?
2 5
2бу кв. верш.? 75 у кв. верш.?
(Записать формулы для площади прямоугольника и
сделать подстановку числовых значений букв.)
2*8. Окружность всякого круга более диаметра его
в 3 у- раза приблизительно. На этом основании решить сле-
дующие задачи:
1) Диаметр серебряного рубля 33 мм. Определить его
окружность в русских мерах, зная, что 1 мм. =у линии.
2) Лошадь привязана к столбу веревкою, длина которой
3 у арш. Определить длину наибольшей окружности, которую
лошадь может пройти, обойдя столб.
Грацианский. Задачник.
13
— 194 —
3) Человек стоит на высоком холме и видит во всех
направлениях на версты. Определить длину линии,
огранич твающей его кругозор (линии? горизонта).
219.1) Какой длины нужно взять радиус, чтобы начертить
7 5
окружность длиною 44 верш.? 9-д верш.? 12 g- дм.?
2) Определить диаметр цилиндрической колонны, если
она в обхвате 2 бу дм.
3) Обхват дерева с течением времени менялся еле-
1 3
дующим образом: 10 лет — 8у верш.; 15 лет — 12-j- верш.;
1 7
20 лет—15^-верш.; 25 лет—18^ верш Определить его
радиусы, соответствующие указанным возрастам.
220. 1) Наружный конец карусели находится от столба,
стоящего в центре, на расстоянии 3-|~ саж. Определить
путь, который проходит в минуту правая и левая рука
мальчика, сидящего лицом к направлению движения, если
карусель делает в 1 мин. 2 оборота; ширина плеч маль-
чика 6 вершк.
2) Минутная стрелка длиною 2-|- дм. Какой путь де-
3
тает ее конец в течение часа? в j часа? в 1 мин.?
3) Земной радиус приблизительно 6000 клм. Определить
путь, который проходит точка экватора в 1 час (в 1 мин.,
в 1 сек.).
221. 1) Определить периметр сектора, которого угол
100°, а радиус 7 вершк.
2) Определить в линейных мерах длину дуги, соответ-
ствующей центральному углу в 75°, если радиус круга
. 1
4 -% верш.
222, 1) Вокруг точки, как оощей вершины, лежат
з
4 угла; первый равен у d, второй вдвое меньше первого,
третий составляет у первого. Определить четвертый угол-
— 195 —
2) При точке на прямой по одну, сторону этой прямей
расположены 5 углов: один состав тает d, другой -в 1у раза
„ з
бо 1ыпе, третий составляет у суммы двух первых, четвертый
и' пятый равной величины. ^Определить в граду сах четвертый
п пятый угол
3) Один из углов треугольника у rf, другой в 2 раза
меньше. Определить третий угол (в градусах).
4) Угол при вершине равнобедренного треугольника
Определить в градусах углы при основании этого
треугольника.
223. Определить площадь треугольника по следующим
данным:
1 2 3 4 5
основание треугольника. 4 у в. 5уД“. _ 1 /у Дм. t— а О1| Ф- w . 9 4йдм.
высота треугольника . . 2 у В. 1уДМ. 3 у дм. Q1 |С5 сч , 3 1уДМ.
(Написать формулу для
площади треугольников и под-
ставлять значения из таблицы.)
224. Сторона квадрата А В = 2 см ; сто-
рона квадрата аЪ = 1у см Определить
площадь каждого из двух заштрихован-
ных прямоугольников и меньшого из ква-
дратов.
225. На чертеже дан man
участка земли. Определить дей-
ствительную площадь этого уча-
стка и длину его границы, если
па чертеже лпнпя КМ = КР= 2—
см., линия J/V=4 см.; линия К
ОР= 1у см. При этом план вычерчен по масштабу 25 саж.^
51 см.
13*
— 196 —
226. Написать формулы и, подставляя числовые зна-
чения, решить:
2
1) Площадь треугольника 14 -уу кв. дм. Чему равна
его высота, если основание 11 дм.; 4 дм.; 5удм.;1(4у дм.?
2) Длина ящика Зту верш., ширила 2-j верш., вышина
1 верш. Определить поверхность и об’ем этого ящика.
3) Ящик длиною 7-j- дм., шириною 3-^- дм., вышиною
1 у дм.; остов ящика проволочный, стенки из тонкого кар-
тона. Определить вместимость ящика, его поверхность и
количество проволоки, затраченной на его изготовление.
227. 1) Определить
площадь (см. чертеж) косо-
угольного четырехугольника
(параллелограмма) по сле-
дующим данным:
84
4
2) Какие размеры
а = аЪ — основание
h=cd — высота
8г
4
могут
4
4
иметь
7
10
3
10
основание и высота
если его площадь 25 ту- кв.
(в дюймах).
косоугольного четырехугольника,
арш.; 12 ту кв. дм.; 40-уу кв. верш.; 8у кв. фут?
228. 1) Коробка с треугольным дном имеет высоту 4— верш.
высота треугольника, служащего дном, 2 верш., его осно-
вание— 1—верш. Определить об’ем этой коробки. (По фор
му те. подобно № 226.)
2) Деревянный брус
длиною
1— арш. ограничен
с двух
противоположных концов правильными треугольными
гранями
1
а со всех прочих сторон прямоугольниками. Определить по-
верхность этого бруса, если стороны треугольников, служа-
щих гранями оруса, длиною каждая 4у верш.
— 197 —
229. 1) Радиус круга 14 см. Определить окружность и
площадь этого круга.
2) Написать, с помощью буквенного обозначения фор-
мулу для площади круга.
3) Окружность колонны 33 дм. Определить площадь ее
поперечного сечения.
4) Определить площадь сектора в 40° (60°; 36°; 10°;
72°), если радиус круга Ю- см. (17-^- см.; 49 см.;
8-д- см.).
230. 1) Определить об’ем цилиндра, ращус основания
«
которого 4— верш., высота 12 верш.
О
2) Написать формулу для вычисления об’ема цилиндра
и, подставляя числовые значения, вычислить об’ем цилиндров,
у которых
радиус основания
высота
4
3-
2
D
О
4—
*4
231. 1) Стакан вышиною 4 лм., диаметр его 2 дм., тот-
1 1 гх
щина стенок — дм., толщина дна — дм. Определить вме-
стимость этого стакана.
3
2) Диаметр медного кружка 1— дм.; толщина его
2
— дм. Определить об’ем этого кружка.
3) Диаметр медного кружка дм.; толщина дм.
Опреде 1ить ттб’емное количество меди этого кружка.
5 2
4) Диаметр медали 1— дм.; толщина ее — дм. Опре-
делить об’ем медали.
5) Четверик представляет собою цилиндр глубиною
приблизительно 13^- дм.; радиус основания этого цилиндра
6 У дм. Определить об’ем четверика и его поверхность.
— 198 —
232. 1) Гарнец имеет форму цилиндра, радиус основания
которого обыкновенно 3 дм., об’ем 200^ куб. Ш. Опреде-
лить глубину гарнца.
2) Определить количество бумаги, которое нужно для
изготовления модели цилиндра, об’ем которого 2310 куб. дм.,
а радиус основания 7 дм.
3) Определит^ поверхность колоды и ее об’ем, если в
. 7 у 1
окружности она имеет 4— фра, а в длину 2-арш.
233. 1) Высота фабричной трубы, имеющей цилиндриче-
скую форму, 10 саж.; диаметр ее поперечного сечения 3^ арш.,
толщина стенок ~ арш. Определить внутренний об’ем трубы.
2) Внутренность современной 75 миллиметровой пушки
представляет собою цилиндр длиною 3 м. с диаметром попереч-
ного сечения в 12“ см. Определить внутренний об’ем пушки.
234. 1) Железная палка цилиндрической формы дли-
, 1 1
ною 1— арш.; диаметр ее поперечного сечения — верш.
Определить вгс этой палки, если известно, что 25 куб. дм.
воды весят 1 фун., а удельный вес железа 7^.
2) Диаметр поперечного сечения телеграфной прово-
локи 1^- линии. Определить вес одного телеграфного про-
вода между Петроградом и Москвою, принимая расстояние
между этими городами равным 604 верст, а удельный вес
проволоки 9. (Вес воды см предыд. задачу.)
235. 1) Каранташ имеет форму 6-гранной призмы, ко-
торой длина 5 дм.; поперечное сеченпе этой призмы состоит
из 6 равных треугольников, имеющих общую вершину в
центре поперечного сечения. Определить об’ем карандаша,
2
если основание каждого из шести треугольников — дм.,
1
высота - дм.
2) Произведите измерения, необходимые для вычисления
об’еча вашего карандаша, и определите этот об’ем.
-199-
II. Десятичные дроби.
1) Какие дроби называются десятичными? Нависать
десятичные дроби.
3) В чем разница между простыми и десятичными
дробями?
3) Как производится сокращение десятичных дробей?
Какие дроби легче сокращать, простые или десятичные?
Почему?
4) Как производится приведение десятичных дробей
к одному знаменателю? Какие дроби легче приводить
к одному знаменателю — простые или десятичные? Почему?
5) Как складываются и вычитаются десятичные дроби?
В чем сходство, в чем разница между сложением и вычита-
нием простых и десятичных дробей? Какие из этих дробей
складывать и вычитать легче? Почему?
1. Сложение и вычитание десятичных дробей.
Примеры.
В следующих далее примерах и задачах, производя
вычисление суммы или разности, сделать сокращение дробей.
236. 1) 2,7441. 2) + 0,0235. 3,1322. 3) 4,515. 4) + 8,015. 1,32. 0,38404. + 1,0017. 5,10006. 72,3051. + 1,23241. 0,05028.
237. 1) 3,25-|-754 1001,34-0,07549.
2) 5,319 + 8.754-1-121,2754-545,11895.
3) 210,0084-35,89514-0,0089+4,184515.
4) 95,111 + 2,08+1121,895674-4,5+31+0,754.
238. 1) 1,2314+6,389+3000,99 + 384,091+0,99999.
2) 4,00094-2,0094+0,00264-0 000014-0,000001.
3) 2,23544-0,16264-3489,4024-42,2+459.
4) 98,0234+1,534 0,3414- 4,0006.
— 200 —
239. 43,8944—31,0724. 240. 84,8901—72,7284.
895,74569—441,2151. 793,2275—486,0389.
486,687—131,23. 2,34—0,25675.
84,79567—24,68467. 95,401—94,3257.
393,2489—392,2481. 8,2—5,7856.
58,8956—0,8956. 17,1—9,215.
18,4548—4,462. 657—0,349.
241. 1)(2,6 + 3,048+10,96851)—(1,456+0,9 + 11,0001).
2) (7,58—0,8514)+(42,5001—4,598).
3) (950,04—1,8295)+(41,754—6,05).
4) (2 39,4+0,681 +101,0048)—(2 5,7 5 +1.8 + 0,001).
5) (7 _ 0,895) + (2 3,04- 5,2 394)+(79,804—7 8,9 054).
Задачи.
242. 1) В магазине было 37,54 кгр. сахарного песку и
25 кгр. рафинаду; продали 19,875 кгр. сажанного песку и
17,75 кгр. сахару. Сколько осталось в магазине сахара и
песку вместе?
2) С одного участка земли собрали 125,5 гектолитра
пшеницы; с другого на 7,875 гектолитра меньше, чем с
первого; с третьего на 24,52 гектолитра больше, чем со
второго. Сколько гектолитров пшеницы собрали со всех 3
полей вместе?
243. 1) Из чисел 78,75; 51,25; 17,5 составить задачу,
для решения которой требуется произвести два раза дей-
ствие сложения и один раз вычитание.
2) Составить из чисел 7,9; 13,75; 100,49 и 88,25 за-
дачу, для решения которой требуется к разности первых
двух чисел прибавить разность двух последних. Решить со-
ставленную задачу.
3) Из тех же четырех чисел (см. предыдущую задачу)
составить за щчу, для решения которой требуется от суммы
первых трех чпсел отнять четвертое и полученную разность
прибавить к сумме 3 первых чисел. Решить составленную
задачу. ц
244. 1) Составить ив чисел 100; 71,5; 20,75 и 7,84
такую задачу, для решения которой требуется к сумме
первых двух чисел прибавить разность двух последних. Ре-
шить эту задачу.
— 201 —
2) Составить задачу из чисел, указанных в пункте 1,
для ременая которой требуется от разности первых двух
чисел отнять разность двух последних. Решить составленную
задачу.
3) Ученик обозначил четыре чиста буквами алфавита—
первое число а, второе Ъ, третье с, четвертое d\ при по-
мощи этого условного обозначения он записал: (а-|-6)—(с-Ни-
какой смысл имеет полученная запись?
245. а) Истолковать смысл записей:
1) (а-Ь)+(с—d). 3) (а-р+с) -d.
2) (а—Ъ)—(c—d). 4) (н-|-й-|-с)—
б) Произвести вычисление в записях предыдущего но- '
мера, если а = 150,1; Ь = 78,3; с~ 39,751; d = 37,0001.
Из геометрии.
246. 1) Периметр параллелограмма 49,75 см.; длина
оолыпей стороны 20,375 см. Чему равна меньшая сторона
параллелограмма?
2) Одна сторона параллелограмма 18,32 см., другая на
4,95 см. меньше. Найти периметр этого параллелограмма.
3) У часток земли имеет форму прямоугольника, стороны
которого 4,5 клм. и 0,75 клм. Определить длину границы
этого участка.
247. 1) Основание равнобедренного треугольника 7,84 м.
боковая сторона на 1,399 м. короче основания. Вычислить
периметр этого треугольника.
2) Периметр неправильного треугольника 76 см.; наи-
большая из сторон 39,75 см.; наименьшая на 16,084 см.
короче наибольшей. Вычислить третью сторону этого тре-
угольника.
3) Трапеция ограничена основаниями в 3,75 см. и
8,5 см. и двумя боковыми сторонами, из которых одна дли-
ною 4,955 см.; периметр этой трапеции 21 см. Определить
четвертую сторону трапеции.
Приближенные вычисления.
248. Продольная сторона прямоугольника 5,375 м.; по-
перечная 2.4 м. (е точностью до 0,1 м.). Требуется определить
периметр этого прямоугольника. (Можно лп вычислить этот
— 202 —
периметр совершенно точно? Какие десятичные знаки в пору-
ченном ответе можно определить вполне точно?)
249. При расчете для постройки усадьбы выяснилось,
что один участок земли занимает площадь земли в 5,75 гек-
тара, другой 11,125 гектара (с точностью до 0,001 гектара),
третий 2,3 гектара (с точностью до 0,1 гектара). Опреде-
лить, на сколько самый большой участок более каждого из
двух других, и какую площадь занимают все 3 участка
вместе. (Можно ли дать совершенно точные ответы на эти
вопросы? Какие десятичные знаки при этом могут быть
указаны вполне точно?)
250. При взвешивании
результаты:
первая книга вест
вторая „ „
третья
четвертая „ „
книг ученик получи.! такие
2,3 кгр. (точность до 0,1 кгр.);
0,75 кгр. „ до 0,01 кгр.);
1 кгр. „ до 0,01 кгр.);
1,125 кгр. „ до 0,001 кгр.).
Требуется вычислить вес всех 4 книг вместе и раз-
ницу между весом самой тяжелой книги и каждой из трех
остальных. Может ли ученик дать совершенно точные ответы
на поставленные требования? Какие десятичные знаки он
может указать вполне точно?
251. Слагаемые получены с различною степенью
точности:
первое—7,547 до 0,001; четвертое—5,35 до 0,01;
второе—4,457 до 0,001; пятое —1,7 до 0,1;
третье —0,85 до 0,01; шестое —0,4891 до 0,0001.
Можно ли вычислить сумму вполне точно? Какие щ-
сятичные знаки можно вычислить вполне точно?
252. Можно ли вычислить сумму следующих слагае-
мых вполне точно? Какие десятичные знаки можно вычи-
слить совершенно точно? Вычислить эти суммы п указать
степень точности для каждого случая:
— 203 —
слагаемые точность
1) 0,7856 до 0,0001
2,787 » 0,001
7,089 » 0,001
2) 7,95 точно.
1,07 5 до 0,001
3,25 „ 0,01
слагаемые точность
3>7,875 ДО 0,001
17,3 „ 0,01
4,8754 „ 0,0001
1,77 „ 0,01
4) 7,375 „ 0,001
0,89 „ 0,01
3,5717 „ 0,0001
253. Уменьшаемое 7,784 до 0,001; вычитаемое 3,9875
до 0,0001. Можно ли вычислить разность вполне точно?
Какие десятичные знаки можно определить совершенно
точно? С какой точностью можно вычислить разность?
254. Можно ли вычистить разность вполне точно в еле"
дующих случаях:
уменьшаемое
1) 7,5 (точно)
2) 10,075 (точностьдо 0,001)
3) 7,5715 „ до 0,0001)
4) 9,65 „ до 0,01)
5)11,9 , до 0,1)
вычитаемое
3,375 (точность до 0,001)
4,85 точно
2,1141 (точность до 0,0001)
1,739 до 0,001)
7,89 ДО 0,01).
Какие десятичные знаки при этом можно указать
вполне точно? Вычислить эти разности и указать степень
точности.
255. В следующих случаях найти сумму с возможно
большей точностью и указать степень точности:
1) Слагаемые: 75,375; 8.159; 4,399; 0,001; все сла-
гаемые даны с точностью до 0,001.
2) Слагаемые: 0,89; 4,95; 11,33; 9,07; 17,78; все сла-
гаемые даны с точностью до 0,01.
3) Слагаемые: 1,8901; 4,0095; 17,9995; 16,3999;
0,0781; 25,0255; все стагаемые даны с точностью до 0,0001.
4) Слагаемые: 7^1,5; 0,1; 4.8; 0,9; 1,7; 4,5; 7,7- 35,2;
6,3; 11,9; 0,6: все'Слагаемые даны с точностью до 0,1.
— 204 —
256. В следующих случаях найти разность с возмоЖ'
ною степенью точности:
уменьшаемое
7,85
11 371
4,и971
174,1
97,804
вычитаемое
3,17
1,897
1,98 47 .
0,9
90,009
точность того
и другого
до 0,01
„ 0,001
„ 0,0001
„ 0,1
„ 0,001
257. В следующих примерах вычислить суммы с воз-
можно большею степенью точности:
1) 1,097 до 0,001
0,5559 „ 0,0001
40,16 „ 0,01
6,47 „ 0,01
2) 11,7984 до 0,0001
9,075 „ 0,001
1,7001 „ 0,0001
2,5 точно
3) 72,7 до 0,1
5,791 , 0,01
0,0002 „ 0,0001
258. В следующих примерах вычислить разность с воз-
можно большею степенью точности:
уменьшаемое вычитаемое
4,15 до 0,01 1,875 до 0,001
15,1 до 0,1 0,7811 до 0,0001
3,87501 до 0,00001 2,073 до 0,001
97,875 до 0,001 35,41 до 0,01.
259. Вычислить сумму с требуемым приближением:
слагаемые точность слагаемые точность
1) 7,35 0,01 3) 112 точно
4,895 точно 44,557 до 0,001
7,8571 0,0001 1.7801 „ 0,0001
сумма с точн. до 0,1 103,89 „ 0,01
2) 0,0075 до 0,0001 сумму найти „ 0,1
35,77 „ 0.01 4) 1.757575 „ 0,000001
1,899 точно 41,495 „ 0,001
4,0118 , 0,0001 9,8724 „ 0,0001
сумма с точн. до 0,01 0,99945 „ 0,00001
сумму яайгн „ 0,001.
— 205 —
260- В следующих примерах вычислить разность с тре-
буемой точностью:
Уменьшаемое и его Вычитаемое и его Требуемая точи.
точность. точность. разности.
25,755 до 0,001 10,0075 до 0,0001 до 0,01
71,01 точно 4,875 я 0,001 , 0,001
2,7584 до 0,0001 0,7547 „ 0,0001 „ 0,1
39,89451 до 0,00001 4,909 „ 0,001 „ 0,01
4,575076 до 0,000001 1,07895 „ 0,00001 „ 0,0001.
2. Умножение десятичных дробей.
Умножение на целое число.
261. 2,275 ХЗ
11,141 Х4
25,1057X7
0,0389X9
264. 51,39 Х70О
8,9091X60
32,57 Х9000
114,895 Х800
262.10,112 Х500
2,083 Х40
17,1099X600
5,2007X300
265. 37,581X25
472,95 Х304
59,847X973
487,909X87
263. 9,289 ХЗ
11,895 Х9
0,45971X8
12,49 Х7
266. 0,781X5007
1,89 Х3500
4,957X770
20,789X8009
267. 92,08 X Ю05
7-005x809
30,303X7070
53,001X3042
269. 70,408X30500
0,725X580
4,015X4020
85,375X20800
268. 0.075 X 22000
7,0007X3500
5,875 Х8000
4,856 X 55000
270. 0,0104 Х201
0,0015 ХЮЗ
0,00002X31
0,u007 Х13
Умножение на дробь.
Сраенитъ способ умножения г- целое чие ,о простых и
десятичных дробей- указать их сходство и разницу. В каком
случае, вычисление производить удобнее и почему?
1) 7X1,21 2) 20X0.753 3) 44X0,25 4) 7501X4,009
5X0,32 400X1,09 1,71X2,001 2600X1,01
4X2,05 9000X31,65 4,900X0,893 8000X0,5
9X0,875 800X0,375 7000X3,002 75800X5,5
— 206 —
271. Что значит умножить на десятичную дробь?
В каких случаях при умножении целого числа на десятич-
ную оробь произведение получится больше множимого, в каких
меныие?
Как производится умножение целого числа на простую
дробь? Как применить это правило к умножению целых
чисет на десятичную дробь?
На основании умножения простых дробей оруг на друга
региить вопрос, как помножить десятичную дробь на деся-
тичную. Найти наиболее удобный способ этого вычисления.
272.1)0,07 Х0,3 2) 0,5 X 0,4
0,9 Х0,01 0,8 X 0,5
0,05 Х0,07 0,9 X 0,8
0,001X0,002 0,7 X 0,7
273.1) 1,52 Х 1,3 2) 31,07 X 4,5
5,31 Х5,04 705,5 X 18,88
7,3 X 1,895 271,001 X 7,9
35,108X9,5 3,2758 X 4,8
274.1)0,12 0,012 0.0012 2) 0,13 275.1)0,22 0,013 О.З3 0,001s 0,54 2)0,03* 276. 1) 0,002s 2) 0,012 s 0,025 0,0033 0,15s 0,07s 0,0092 0,075s
277. 1) 3,25 Х5,8 0,375X4,16 25,05 Х17,2 9,875X0,48 2) 3,01 X 2,002 0,78 X 1,005 7,001 X 0,007 2,005X0,0002
3) 0,057 4,9 10,75 0,0037 xi,i Х0,007 X 0,007 1X0,0002 9
Сравнить умножение простых и десятичных дробг й
друг на друга: в каком случае вычисление произведения про-
изводить удобнее? Почему?
Сравнить умножение десятичной дроби на дробь с умно-
жением целого числа на целое.
— 207 —
278. 1) (1,72+0,989+273,4). 5,42
2) (4,03—1,875) • 25 + (8—0,099) , 3,5
3) (10—0,895). 8,4—(103,1—99,275).0,8
4) 4,5 0,08+0,75 • 1,24+0,016 • 0,5
5) 125,32-5,5—42,08.0,5
279. 1) 85.0,32+480-0,0025+72.1,2755
2) (51,0754.210 —131,4.0,25)-1.8
3) (0,875 0,1+2500.0,00001). 12500
4) (2,75.0,02+1200.5,25) • 7,25
200. 1) (0,175 • 0,24+18,4 • 2,72+13,8 - 0,2) • 7,75
2) (l,72+4,23+0,Is). 10000
3) (2,72—1,52) • 200—(1,5s— 1,2s) . 50
4) 0,0015 - 10s+0,l3—105 + 0,012-106
281. Записать следующие требования при помощи ско-
бок и знаков арифметических действий и затем произвести
требуемые вычисления над числами 4,75; 0,125; 7,5 в следу-
ющих случаях;
1) Сумму первых двух чисел умножить на третье число,
к полученному произведению прибавить разность тех же
чисел, умноженную на третье число.
2) Разность двух первых чисел умножить на сумму
двух последних, к полученному произведению прибавить
произведение всех трех чисел друг на друга.
3) К произведению первых двух чисел прибавить про-
изведение двух последних, полученную сумму увеличить
в 1000 раз.
4) От произведения первого числа на третье вычесть
произведение двух последних, полученную разность умно-
жить на 307.
282. При помощи знаков арифметических действий и
скобок записать следующие требования, а затем произвести
вычисление над числами 75,2; 0,007; 100,37; 4,515:
1) Сумму первых двух чисел увеличить в 10 раз, к по-
лученному произведению прибавить разность двух последних
чисел, увеличенную в 100 раз.
— 208 —
2 J К произведению первых двух чисел прибавить пре-
взведение второго на третье и произведение двух последних,
полученную сумму умножить на первое число.
3) К .произведению трех первых чисел прибавить про-
взведение трех последних, полученную сумму умножить
на 1900.
4) От произведения всех четырех чисел друг на друга
вычесть произведение первого числа на третье, полученную
разность умножить на 100.
283. При помощи скобок, знаков арифметических дей-
ствий и условных обозначений записать следующие тре-
бования, а затем произвести вычисления над числами 1,7;
0,25; 15,375; 4,9:
1) Сумму квадратов этих чисет.
2) Сумму квадратов двух первых чисел умножить на
сумму квадратов двух последних.
3) Квадрат суммы всех четырех чисел.
4) Произведение разности квадратов двух первых чисел
на сумму квадратов двух последних (и обратно).
5) К произведению первых двух чисел прибавить про-
изведение двух последних, полученную сумму возвести
в квадрат.
284. При помощи знаков арифметических действий
скобок и условных обозначений записать следующие требо-
вания и затем произвести вычисления над числами 15,3;
9,04; 87,1; 1,86:
1) Разность квадратов первых двух чисел умножить
на разность квадратов двух последних.
2) Квадрат разности двух первых чисет умножить
на квадрат разности двух последних.
3) От суммы квадратов двух первых чисел, увеличен-
ной во 100 раз, отнять разность квадратов двух последних
чисел.
4) К произведению трех первых чисел друг на друга
прибавить квадрат четвертого числи.
285. При помощи знаков арифметических действий
условных обозначений и скобок записать следующие требо-
— 209 —
вания п выполни гь следующие вычис ления нал числами
154,175; 0,8; 100,25; 1,2.
1) Сумму квадратов второго и четвертого числа умно-
жить на разность между первым и третьим.
2) К квадрату суммы двух первых чисел прибавить
произведение двух последних.
3) Квадрат разности двух первых чисел умножить на
сумму двух последних чисел.
4) От произведения трех первых чисел друг на друга
вычесть произведения трех последних.
286. 1) Засеяли 3 прямоугольных участка земли; первый
был длиною 1,5 клм., шириною 125,4 м.; второй длиною
0,95 клм., шириною 375,8 м.; третий длиною 2,1 клм.,
шириною 0,44 клм. Сколько десятин засеяли, если 1 кв.
клм. составляет 91,53 десятины?
2) Составить задачу, для решения которой нужно про-
извести те же действия и в том же порядке, как п в пре-
дыдущей. Решить эту задачу.
287. 1) Длина комнаты 8,5 м., ширина 4,8 м., вы-
сота 3,2 м. Сколько килограммов кислорода содержится
в этой комнате, если куб. метр воздуха весит 1,29 гр., а вес
кислорода составляет 0,21 веса воздуха?
2) Стакан имеет правильную цилиндрическую форму;
радиус основания его 2,5 см., высота 7,25 см. Определить
вес воды в об’еме этого стакана, если вес 1 куб. см. воды
составляет 1 гр.
288. 1) В паровом котле пар давит с силою 10 кгр.
на каждый кв. сантиметр. Найти полное давление на дно котла,
радиус основания которого 0,7 м.
2) Воздух давит на 1 кв. сажень с силою 1033,4 гр.
Определить давление воздуха на поверхность этой книги,
если 1 кв. м. = 0,22 кв. саж.
289. 1) Внутренний радиус стакана 3,3 см.; наружный
3,43 см. Определить об’ем стенок, если он имеет правильную
цилиндрическую форму.
Грацианский. Задачник.
14
— 210 —
2) Измерить миллиметрами наружный и внутренний
ращус стакана цилиндрической формы и выразить в куб.
сантиметрах об’ем его стенок.
290. 1) Об’ем шара в 4,19 раза больше об’ема куба,
ребро которого равно радиусу шара. Определить об’ем шара,
которого радиус 3,5 см.
2) Диаметр одного шара 7 см.; радиус другого 4,25 см.
Вычислить разницу между об’емами этих шаров.
291. 1) Между двумя станциями 78,3 клм.; одновременно
навстречу друг другу вышли два поезда—один со скоростью
1,3 клм. в минуту, другой со скоростью 1,975 клм. Какое рас-
стояние будет между ними по прошествии 7 мин.?
2) Из чисел 100,75; 5,32; 7,8 и 3,25 составить задачи,
которые решались бы точно таким способом, как предыду-
щая (одну составить на тему о движущихся предметах; дру-
гую—на тему о распределении и остатке).
292. В следующих задачах сначала записать ход ре-
шения и порядок всех действий, нужных для решения, а
затем вычислить составлению формулу для решения.
1) В магазине было 10 фун. подсолнечного масла и
217,5 фун. рыбы; масло продавали по 278,25 руб. фунт, рыбу
по 138,75 руб. На какую сумму продано товару, если в лавке
осталось 4,3 фун. масла и 89,25 фун. рыбы?
2) Два склада устроили мену: один дал другому 20,75
арш. ситца по 127,2 руб. арш.; второй первому—14 5 фун. крупы
ценою по 165,75 руб. за фунт. Кому из них придется при-
тачивать и сколько?
3) Маляр выкрасил пол в двух комнатах: одна длиною
3,2 саж., шириною 2,85 саж.; другая—длиною 4,5 саж., ши-
риною 3,75 саж. Скотько он заработал, если за окраску
1 кв. саж. получал по 212,75 руб.?
4) Начертили и закрасили разными цветами пару
квадратов: один со стороною в 1,5 см., другой в 2,1 см.
— 211 —
и третий в 0,9 см. Какую площадь закрасили красками всех
цветов вместе?
5) Из куска дерева изготовили три кубика; ребро пер-
вого было 1,25 верш., второго 0,21 арш., третьего 5,6 верш.
Определить об’ем всех трех кубиков вместе.
293. 1) Составить и решить задачи, которые решались
бы при помощи тех же действий, над теми же числами и при
тем же порядке вычисления, как и предыдущие 5 задач.
2) Записать ход решения каждой из этих 5 задач при
помощи условных обозначений чисел буквами.
294. Истолковать смысл формул и произвести вы-
числения в следующих случаях:
1) —<0 3) ab^-cd 5) (аЪ—cd)-а
2) abc-\-bcd 4) (aJf-b) • (с—d) 6) (abc—bd) (a-\-b),
если « = 10,5; Ь = 7,25; с—12,9; d = 0,12.
Проценты.
295. Определить численность городского населения по
следующим данным переписи 1897 года:
Европ. Россия ... 93 443 000 жит., городск. насел. 13 %
Привислинский край 9 400 000 Я я , 23%
Кавказ 9 300 000 я я „ 13%
Сибирь 5 750 000 » п 8%
Ср.-Азиатск. владения 7 700 000 я »* » 13%
Какой процент в 1897 году составляло сельское насе-
ление?
296. В 1910 году население России составляло 150 мил-
лионов жителей, причем по роду занятий распределялось
следующим образом:
Сельские хозяева, лесоводы, рыболовы и охотники . 75%
Рабочие в обрабатывающей промышленности . . 10%
Частная служба..................................4%
Ц*
— 212 —
Торговля..........................................4 %
Живущие на личные средства......................2%
Занятые службой на путях сообщения .... 2 %
Администрация и полиция.......................1,5%
Духовенство...................................0,7%
Военные.......................................0,8%
Определить численность занятых деятельностью каждого рода.
298. На основании данных предыдущей задачи о рас-
пределении населения России в 1910 году по роду занятий
начертить диаграмму,—в виде прямоугольников или кругов
и их частей,—изображающую это распределение.
299. Вычислить прибыль по следующим данным:
капитал % прибыли капитал % прибыли
25000 р. 7% 101275 р. 5%
127600 „ 12% 54080 „ 6%
48500 „ 3,5 % 25734 „ 1,8%
157700 „ 10% 275411 „ 5,4%
300. 1) Записать с помощью условных обозначений
правило, по которому производится нахождение процентов
данного числа:
данное число Л;
число процентов а % или 2L.
чему равно а % числа А?
2) Пользуясь составленной формулой, найти процент
от данного числа для следующих случаев:
Л = 4000; а = 8
А = 15000; а = 24
А = 25000; а = 4,5
А = 100000; а= З1/,
А = 50000; «=167'
А = 10000; а= 7,75
— 213 —
Приближенные вычисления.
301. Множимое 3,753 с точностью до 0,001. Можно
ли вычислить произведение этого числа на 2; на 10, ыа 12;
на 100, на 150; на 1000, на 1100 с точностью: 1) до 0,001;
2) до 0,01; 3) до 0,1; 4) до 1?
302. В следующих примерах определить, какова может
быть наибольшая точность произведения:
множимое точность множимого множитель
0,1754 0,0001 100
1,85 0,01 27
11,487 0,001 9
1,8941 0,0001 37
130,7 ОД 90
141,87 0,01 413
219,301 0,001 57
1,8174 0,0001 1000
303. В следующих примерах произвести вычисление
произведения с требуемой точностью приближения:
множимое множитель треб. точн. произвед.
4,531 до0,001 4 0,1
0,7584 „ 0,0001 17 0,01
57,851 „ 0,001 101 1
0,08756 „ 0,00001 185 0,001
1,47541 „ 0,00001 4841 1
15,075 „ 0,001 5 0,1
Что делается с точностью приближения при умно-
жении приближенною числа на точною множителя?
— 214 —
3. Деление десятичных дробей.
Деление на целое число.
304. 8,4824:4
32,8896:8
120,9502:5
84,096 :3
306. 101,3 :32
415,75 :80
0,32 :2
0,175:28
305. 3,84: 2
19,45: 5
38,56:25
41,2 :32
307. 0,2754:320
1,0012:200
0,0015:24
3,1011:1200
308. 1) Периметр правильного шестиугольника равен
12,96 м. Сторона правильного пятиугольника в 2 раза короче
стороны этого шестиугольника. Определить периметр пятп-
у гольника.
2) Площадь прямоугольника равна 25,15 кв. см., высота
его 5 см. Определить периметр этого прямоугольника.
309. 1) Об’ем одного прямоугольного бруса составляет
113,3 куб. см., высота его 5 см.; другой брус имеет такую
же высоту, как и первый, но основание его в 2 раза мень-
ше. Определить основание и об’ем второго бруса.
2) Об’ем куба 125,5 куб. см.; об’ем шара в 20 раз меньше
об’ема куба; об’ем прямоугольного бруса в 16 раз меньше об’лма
шара. Определить площадь основания бруса, если его вы-
сота 8 см.
310. 1) Сторона равнобедренного треугольника в 3 ра-
за больше основания этого треугольника; периметр треуголь-
ника 1,75 м. Каковы размеры сторон этого треугольника
на плане, если он вычерчен по масштабу 1:20?
2) Площадь правильного треугольника 0,35 кв. м.;
высота его 2 м. Вычислить размеры сторон и площадь
этого треугольника на плане, начерченном в масштабе 1:80.
311.1) 8,0007:25 2) 117:25 312. 1) 2:5 2) 7:20
8:25 41:32 4:25 13:40
4,0004:16 1311:96 3:8 1:80
4:16 2501:250 11:16 2:400
— 215 —
Обращение простых дробей в десятичные.
313. С помощью деления числителя на знаменателя
выразить следующие обыкновенные дроби десятичными
£. A- L- w- А-101. 56 371 А®. оА- нА imA- л 8 •
8 ’ 5 ’ 25’ 32’ 61’ 125’ 123 ’ 625’ 256’ “ 5 ’ 1116’ iU132’ *125’
. ..33. 355. 401. 3207
1140> 128’ 400’ 384 ’
314. Выразить десятичными дробями следующие обык-
новенные:
1) 2 т с точи, до 0,01 5) 355 113 с точн. до 0,01
2) 5 9 « п 0,001 6) 513 450 „ „ 0,0001
3) 31 48 п п 0,0001 7) -89 *375 „ „ 0,000001
4) 57 225 V и 0,01 8) <4 „ „ 0,001
315. Выразить десятичными дробями удельный вес сле-
дующих веществ: 316 * * * * * * * *
Скипидара . 4 5 Золота . . . 19-|- (до 0,01)
Пробки . . 6 25 Серебра . . 10А (до 0,01)
Стекла . . . 2| (да 0.1) Мрамора . . 2——2— 2
Свинца . . •4 Ртути . . .131
316. 1) Кубик дерева, ребро которого 3 см., весит
11 гр. Определить удельный вес этого дерева.
2) Кусок известняка, вытесняющего 22 куб. см. воды,
весит 61,8 гр. Определить удельный вес известняка.
3) Кубический метр воздуха весит 1293 гр. Опре-
делить удельный вес воздуха с точностью до 0,1.
4) Ведро спирта весит 9,84 кгр. Определить с точно-
стью до 0,01 удельный вес спирта, если ведро вмещает
12,3 лптра воды.
— 216 —
317. Определить плотность населения различных госу-
дарств по следующим данным 1914 года:
Государство Числ. населения. Кв. километр.
Англия 46 122463 315 200
Бельгия 7 423 784 29 455
Германия 65 140 000 540 858
Италия 34 672 000 286 682
Россия 171 059 000 2 2296 727
Франция ..... 39 600 000 536 400
Япония 69 638 000 671 122
318. Выразить десятичными дробями следующие данные:
об’ем луны 75О об'ема земли;
масса луны 78о массы земли;
об’ем воды на земле l/Ki об’ема земного шара
Процентное отношение.
Отношения очень часто выражаются десятичной дробью
в сотых- долях-, напр., 4:5= 0,80. Число 0,80 показывает,
что 4 есть 80% по отношению к 5.
Отношение 3:8 = 0,375; иначе, это отношение показы-
вает. что 3 составляет 37,5% числа 8.
319. Определить, какой процент составляет прибыль и
убыток в следующих примерах:
капитал прио'ыль капитал убыток
185000 р. 18500 р. 27500 р. 6875 р
35000 „ 7000 ,, 144000 „ 600 „
12000 „ 840 „ 225000 „ 900 ,
15000 „ 75 „ 17500 „ 70 „
360000 „ 9900 „ 45500 „ 91 »
16750 „ 837 „ 50 к. 100000 „ 350 „
320. Отмечать ежедневно, какой процент по отно1
тению к числу учеников в классе составляют отсутствующие
ученики и какой присутствующие.
— 217 —
321. Оощая сумма государственных расходов России
в 1910 году составляла 2473 миллиона рублей. В этом счету
было израсходовано на народное просвещение 80 миллионов,
на военное ведомство 485 миллионов, на морское ИЗ мил-
лионов, на духовное ведомство 34 ми ктиона, путей сообщения
537 миллионов. Какой процент по отношению ко всему
государственному расходу составляли перечисленные статьи
расхода?
322. В 1911 году прибыло товаров из-за границы:
Через Белое море и Северный Ледовитый океан 5 470 ООО пуд.
„ Балтийское море .................. 329 009 000 „
„ Черное и Азовское .•................34 471 000 „
„ Тихий оксан........................ 23 841 000 _
Определить, какой процент составляют товары, посту-
пившие в Россию через каждое море, по отношению ко всему
количеству привезенных морем заграничных товаров.
323. В 1911 году отправлено водою из России за
границу:
Через Белое море и Северный Ледовитый океан 72 007 000 пуд.
„ Балтийское море.................... 373 423 000 „
„ Черное и Азовское.................. 725 927 000 „
„ Тихий океан......................... 32 738 000
Определить, какой процент по отношению ко всему
морскому вывозу из России составляют товары, отправленные
через каждое из морей.
324. Начертить диаграммы на основании решения трех
предыдущих задач.
325. 1) Найти процентное отношение числа 75 к числу
15; 75:15 = 5; 5 целых = 500 сотых; значит, 75 составтяет
500% числа 15.
2) Выразить в процентах отношение между следующими
числами:
в Петрограде до воины 1914 г.
цела 1 фун. масла . . 60 коп.;
„ 1 бут. молока . .20 коп.
в 1918 г. в 1922 г.
9 руб.; 2.000.000 руб.
4 руб.; 200.000 руб.
— 218 —
в Петрограде до войны 1914 г. в 1918 г. в 1322 г.
цена 1 фун. черного хлеба 3 коп. 12 руб.; 150.000 руб.
„ 1 фун. шоколада . . 1 руб. 25 руб.; 6.000.000 руб.
„ 1 фун. сахарн. песку 15 коп. 6 руб.; 900.000 руб.
Во сколько раз возросла цена на эти продукты?
Деление на десятичную дробь.
Как производится деление на простую дробь?
Как применить это правило в случае деления на Неся
тичную иробъ? •
326. 135,9:4,5 327. 90,45:36,18 284,973:21,921 625,289:127,61 361,2:16,8 328. 1,25388:2,58 183,12:5,6 99,9125:10,24 15,20497:1,87 142,85105:5.12 9,24:0,005 485,0137:0,032
329. 252,58:4,325 339. 95151.4,531 31,8:0,125 143,77:3.125 517,23:8,192 331. 42:0,625 32:8,192 7:1,28 12:0,256 111:0,66 513:156,25 71 3,125
332. 8,56:1,5625 64:8,192 384:24,576 625:3125 333. 7027,68:0,726 56,328:0,2347 547,6:0,74 57,77:0,109.
334. 1) Площадь прямоугольника 4,8 кв. м., его осно-
ванне 3,84 м. Определить размеры этого прямоуголь-
ника на плане, если он начерчен по масштабу 1:40.
2) Площадь треугольника 15,2 кв. метра; его высота
6,25 метра. Определить размеры этого треугольника на плане,
если он начерчен по масштабу 1:25.
335. 1) Основание прямоугольника а = 21,75 м., высота
его h — 6,4 м.; прямоугольник начерчен по масштабу
1:500. Найти отношение площади прямоугольника на плане
к действительной его площади.
2) Основание треугольника ел= 16,5 м., высота его
h = 7.2 м.; этот треугольник начерчен по масштабу 1:200.
— 219 —
Найти отношение площади треугольника на чертеже к его
действительной площади.
336. 1) Площадь правильного треугольника 9,89 кв. см.,
его высота 2,3 см. Определить периметр этого прямо-
угольника.
2) Об’ем призмы 43,746 куб. см., ее высота 2,5 см.
Определить площадь основания.
337. 1) Площадь круга 78,5 кв. см.; как известно,
площадь круга в 3,14 раза (точность до 0,01) больше площади
квадрата, построенного на его радиусе. Определить радиус
этого круга.
2) Длина окружности круга 62,8 м.; восьмая часть
надиуса этого круга взята за радиус другого круга. Вы-
числить радиус второго круга.
338. 1) Об’ем стакана правильной цитиндрической формы
62,8 куб. см.; его высота 8 см. Определить радиус основания
этого цилиндра.
2) Как известно, поверхность шара в 4 раза больше
площади большого круга. Определить радиус шара, которого
поверхность 339,6224 кв. см.
339. Найти неизвестное
1) 0,00011® = 815.81 5
2) 0,018 «/=1,8
3) 0,0125 £=1,365
4) 0,1431 =16,016
число по следующим данным.
5) 1,0201 я = 614,50824
6) 1,15?/ = 33,3546
7) 2,5 £=2,47 5
8) 4,8 «=1,92.
с помощью буквенных’ обозна-
340. Записать условие
чений и найти число по следующим данным:
1) 0,125 неизвестного числа составляет 2,3;
2) 0,032 целого числа равно 7;
3) 2,88 неизвестного числа 2,7;
4) 0,64 „ „ „ 512,0144;
5) 0,455 „ „ „ 182;
6) 0,5 „ „ „ 315;
7) 0,5 „ ‘ „ 72;
8) 4,375 ,. ,, я 0,14.
— 220 —
341. Найти частное по следующим данным:
делимое 23,4 делитель 24
Я 2,52 я 0,021
« 30 я 0,012
я 4,3746 я 0,02
я 0,121 я 4,4
я 1,03181 я 20.
342. Найти делителя по следующим данным:
делимое 18,036 частное 36
я 1,08 я 5,4
» 0,56 я 0,0014
я 0,222 я 0,37
я 14,98 п 0,0028
я 3,514 99 14
я 1,216 Я 0,008.
343. Найти множимое по следующим данным:
п
я
я
я
множитель 0,032
120
0,00014
0,00015
235
24,432
0,00156
0,125.
Я
п
Я
Я
я
я
вычисления:
13,67:0,00061:80
29:1,3128:1280;
99,9125:929:0,032;
261,25:3:1,28.
произведение 122,88
9,18
0,0546
28,35
0,376
24
0,312
5
34-4. Произвести следующие
1) 358.125:16,8:0,025;
2) 18,33569:4:6,18; 6)
3) 687,78134:1,71356:2,5; 7)
4) 26,13-5:3:0,0004; 8)
В каком порядке производится деление во всех преды-
дущих примерах? Нельзя ли изменить этот порядок?
345. а) 0,87 некоторого числа составляют 0,5 числа
153,225. Найти это число.
б) 0,5 некоторого числа равны числу, 0,08 которого
составляют 3. Найти это число.
в) 0,27 числа 8,1108 равны 0,64 неизвестного числа.
Найти это число.
— 221 —
Приближенные вычисления.
346. В следующих примерах произвести деленье с ука-
занною степенью приближения.
13,84:27 с точностью до 0,001.
1,58945:49 99 п 0.01.
39,125:343 я 99 0/3001.
91,28545:38 « 99 0,001.
101,7:17 я Я 0,001.
23:11 я я 0,001.
17:19 п и 0,01.
2:9 п Я 0,001.
8:18 п я 0,001.
347. Делимое выражено с точностью, указанной для
каждого случая. Вычислить частное с возможно большею
степенью приближения.
Делимое. Делитель. Делимое. Делитель.
120,781 до 0,001 31 3,001 до 0,001 5
71,25 „ 0,01 80 25,0-1 0,01 ‘ 25
34,7 „ 0,1 0,143 „ 0,001 8 0,007 „ 0,001 И
15 35,0009 „ 0,0001 70
8,5 „ 0,1 41 400,001 „ 0,001 100
Что делается с величиной ошибки при делении при-
ближенного делителя на целое число? (Об’яснить это на
приведенных выше примерах.)
348. В следующих примерах обратить простые дроби
в десятичные с указанною точностью:
1) 2 У ДО 0,001 6) 12 13 до 0,01
2) 4 до 0,01 7) 22 7~ ДО 0,01
3) 31 39 ДО 0,0001 8) 51 35 ДО 0,001
4) 17 22 Д® 0,001 9) 9 47 ДО 0,01
* 5) 4 ДО 0,001 10) 19 35 до 0,01
— 222 —
349. В следующих примерах выразить обыкновенные
дроби десятичными с точностью, имеющей практическое
значение.
4 5 11 31 8 5
у арш., -у версты, клм., ^i пуда, ц зол.- лота;
49 37 1 11 14 100
51 доли: 17 чк.; гарнца; jj- десятины; кв. арш.; gg- кв. см.;
57 41 2 11
gg кв.дм., ведра, g куб. см.; куб. м.
4. Примеры и задачи на 4 действия над десятичным дробями.
Составление числовых формул по условиям
задач и условий по числовым формулам.
350. 1) 4,76.0,04-|- 8,1.3,33+15,88.5
2) 12,9.3,2—17.0,005
3) 112,4:0,16 + 25:0,03+205,875:4,5
4) 355,1:100—27,85:32.
351. Записать следующие требования и выполнить за-
тем вычисления над числами 15; 3,75; 8,4; 2,14:
1) к произведению первых двух чисел прибавить сумму
двух ирследеих;
2) от произведения первых двух чисел отнять произ-
ведение двух последних;
3) к частному от деления первого числа на второе
прибавить частное от деления третьего числа на четвертое:
4) от частного при делении первого числа на второе
отнять частное при делении третьего числа на четвертое.
352. Записать следующие требования и выполнить вы-
числения над числами 42,63; 10,5; 0,7; 2,12:
1) сложить произведения друг на друга первого числа
на второе и третьего числа на четвертое;
2) вычесть от произведения первых двух чисел друг
на друга произведение двух последних;
3) к частному от деления первого числа на второе при-
бавить частное от деления третьего на четвертое;
4) от частного при делении первого числа на второе
вычесть частное при делении третьего числа на четвертое.
— 223 —
353. В следующих задачах сначала записать весь ход
решения задач, а затем производить требуемые вычисления.
1) Лес занимает три участка земли прямоугольной
формы. Длина первого участка 1,875 версты, ширина 0,25
версты; длина второго 4,2 версты, ширина 0,15 версты;
длина третьего 2,4 версты, ширина 0,8 версты. Какую пто
щадь занимает лес?
2) На воз нагрузили три куля—один пшеницы,
другой ржи, третий овса. Пшеницы было 7,75 чк., каж-
дый весом 1,2 пуд.; ржи 6,2 чк., каждый 1,09 пуд.; овса
12.5 чк,, по 0,9 пуд. каждый. Сколько пудов хлеба нагру-
зили ня воз?
3) Крестьянин и рабочий в 1918 году менялись товарами,
крестьянин дал 3,25 пуда картофеля, который он ценил по
80 руб. пуд; рабочий—17,125 фун. гвоздей, которые он
продавал по 10,5 руб. фунт. Кто из них и сколько должен
доплатить деньгами?
4) На рынок привезли 12,8 чк. картофеля, весом по
0,9 пуд. четверик; продали 10 покупателям, каждому по
0,75 пуд. Сколько весил оставшийся картофель?
5) В участке земли 40,5 дес. покрыто лесом, 131,75
дес. лугами, 387,4 дес. занимает пашня. При дележе земли
артель получила не весь участок, а часть этой земли: леса
J, луга # и пашни £ часть. Сколько десятин всего получила
эта артель?
6) Велосипедист проезжает 80 верст в 2,5 часа; кре-
стьянин на лошади 24,957 верст в 3,54 часа. На скотько
велосипедист проезжает в 1 час больше, чем крестьянин?
7) За 5,7 фун. вареной колбасы в 1918 году в Пе-
трограде брали 35,34 руб.; за 2,85 фун. такой же колбасы
в 1914 году платили 0,513 руб. На сколько дороже про-
давался 1 фун. колбасы в Петрограде после войны?
354. Пользуясь числами 10,08; 0,9; 14,56 и 7, соста-
вить такие 4 задачи, для решения которых требуется:
1) к произведению первых двух чисел прибавить про-
взведение двух последних;
2) от произведения первого числа на последнее отнять
произведение второго на третье;
— 224 -
3) к частному от деления первого числа на второе
прибавить частное от деления третьего числа на четвертое;
4) от частного при делении первого числа на второе
отпять частное от деления третьего числа на четвертое.
(Записать ход решения этих задач и произвести вычи-
сление).
355.
1) (0,874 4- 1,33). 8,9 + (1,754 4,25 4 0,1 16). 1,5.
2) (1,4 —0,975). 10,8 4-(11 —8,25).3,66.
3) 18,4.(4,847 4- 1,321 4-7,893) — 15,6. (8.7 4-7,65).
1) 4,5.(17,2 — 0,75) — 12,1 .(11 — 9,84).
356. 1) (12,35 4-4,349). (15 —11,82).
2) (4.95 4- 1,25 4- 2) .(0,785 4- 1,1 4- 4,015).
3) (10,425 —2,225). (7,172 — 3,172).
357, При помшцп скобок и знаков арифметических деи-
ствий записать следующие требования, а затем произвести вычи-
сления над числами 4,9; 35,85; 4; 0,75; 11,1; 5,5:
1) сумму первых двух умножить на третье, к этому
произведению прибавить произведение суммы четвертого и
пятого чисел на последнее;
2) к произведению разности между вторым и первым
числами на третье прибавить произведение разности двух
последних на четвертое;
3) от произведения суммы трех первых чисел на 100
отнять произведение суммы трех последних на 21;
4) от пропзведения первого чиста на разность между
вторым и третьим числами отнять произведение четвертого
числа на разность между пятым и шестым числами:
5) сумму первых двух чисел умножить на разность
двух последних;
6) сумму трех первых чисел умнсжить на сумму трех
последних;
7) разность между вторым и третьим числами умно-
жить на разность между пятым и четвертым числами.
— 225 —
358. При помощи скобок и знпков арифметических дей-
ствий записать следующие требования, а затем произвести вы-
числения над числами 17.25; 13,3; И; 3,175:
1) к произведению суммы первых трех чисел на 0.08
прибавить произведение двух последних на 8,4;
2) к произведению разности двух первых чис. л на 14,4
пппбавить произведение разности двух последних на 0,24;
3) от произведения первого числа на разность между
вторым и третьим вычесть произведение последнего числа
на разность чисел 12,3 и 3,175;
4) сумму двух первых чисел умножить на сумму7 двух
последних;
5) разность двух первых чисел умножить на разность
двух последних;
6) сумму трех последних чисел умножить на разность
между первым и последним.
351? Сначала записать ход решения, а затем произ-
вести требуемые вычисления для следующих задач:
1) Купили три куска материи — в первом 10,75
арш., во втором 5,25 арш., в третьем 4,4 арш., и запла-
тили по 16 руб. за аршин; кроме того, купили два куска
сукна—в одном 7,8 арш., в другом 4,5 арш.,—по 30 руб.
аршин. Сколько денег издержали при этой покупке?
2) Продали 2 рыбы, одну весом 1,5 фун., дру-
гую 3,75 фун, по 2,25 руб. фунт, и 3 банки с икрой по
7,25 руб. фунт, причем в одной банке было 8,1 фун., в дру-
гой 4,75 фун., в третьей 6.6 фун. Па какую сумму продали
товару?
360. 1) В складе было 18 фун. чаю по 5,75 руб.
фунт и 14,2 пуд. кофе по 102,5 руб. пуд: из этого количе-
ства продали 7,2 фун. чаю и 3,75 пуд. кофе. На какую сумму
в складе осталось чаю п кофе?
2) Два склада менялись товарами: один дал другому
2 ящика винограда—в одном 21,75 фун., вдругом 34.8 фун.—
ценою в 6,5 руб. фунт: второй дал первому 3 цыбика чаю—
в одном 1,75 луд., в другом 0,8 пуд., в третьем, 3.25 пуд,—-це-
ною 160 руб. пуд. Сколько рублей один из них должен
уплатить другому?
Грацианский. Задачник.
15
— 226 —
3) В складе было 15,6 арш. ситца ценою по 3.8 руб.
аршин; 9,75 арш. продали; оставшийся ситец отсырел, и его
продавали со скидкою 1.25 руб. на каждом аршине. Какую
сумму выручили при продаже остатка ситца?
361. 1) К 11,25 ведра вина ценою по 75,5 руб. ведро
прибавили 7.8 ведра воды и полученную смесь продали со
скидкою 6.75 руб. на ведро. Какую сумму выручили при
этой продаже?
2) Выписали 3 ящика сахара; в одном было 7,4 пуда,
в другом 11,25 пуда, в третьем 6,3 пуда; за пуд сахара
птатили на месте 10.5 руб., перевозка по железной дороге
стоила 1.75 руб. с пуда, доставка на лошадях 0.9 руб.
с пуда. Во что обошлась вся эта партия сахара?
362. Из чисел 8,9; 4,75; 15.1; 20,99; 7,8; 10 соста-
вить такие задачи, чтобы для их решения нужно было:
1) сумму первых двух чисел умножить на третье,
к полученному произведению прибавить произведение чет-
вертого и пятого числа на последнее:
2) к произведению разности двух первых чисел на
третье прибавить произведение разности четвертого и пя-
того на последнее;
3) от произведения числа 7,2 на сумму трех первых
чисел отнять произведение 1,5 на сумму трех последних.
363. Из чисел 12,81; Ю,02; 4.9 и 3,25 составить за-
дачи, для решений которых требуется:
1) раоность первых двух чисел умножить на 5, от
полученного произведения отнять разность двух последних,
умноженную на 4.4;
2) сумму двух первых умножить на разность двух
Других;
3) разность первых двух чисел умножить на разность
двух последних;
4) сумму трех первых чисел умножить на четвертое.
364. 1) (3,57 — 11,779 — 141,371): 25,6
2) (175,1 i— 98,41): 6,25
— 227 —
365. 1) 81,9:(24.1-|- 15,39 + 0,29 23,22)
2) 188,552: (28 —4.431)
3) (0,1955 + 0,187): ГО,077 — 0,093)
4) (100.6 + 42,697;: (45,037 — 29,27433)
5) (9.97 —9.899):(15.2 — 15.07)
6) (34,28 —9,323): (1.765 г 1,775)
363. Пользуясь знаками арифметических действий и скоб-
ками, записать следующие требования, а затем произвести
вычисления над числами 7,85; 1,786; 19,124; 31,25.
1) сумму трех первых чисел разделить на четвертое
число;
2) разность между первым и вторым разделить на
третье число;
3) число 0,9775 разделить на сумму первого и по-
следнего;
4) число 3,51 разделить на разность между последним
и первым числами.
367. При помощи скобок и знаков арифметических
действий записать следующие требования и произвести
вычисления над числами 14,75; 3,85; 24,8; 12.4.
1) сумму первых двух чисел разделить на сумму двух
последних;
2) сумму первых двух чисел разделить на разность
двух последних:
3) разность двух последних разделить на сумму двух
первых.
368. Записать следующие требования и произвести
вычисления:
1) разность чисел 11,8 и 11,28 разделить на разность
чисел 20,759 и 2,759;
2) сумму чисел 3,75; 8.195 и 0,015 разделить на раз-
ность 7,84 и 6,56;
3) сумму чисел 1.98 и 2,02 разделить на сумму чисел
9,645 и 0,155.
4) Число 85 разделить на сумму чисел 0,1955 и 0,187.
При решении следующих далее задач 369 и 370 сначала
записать ход решения, а затем производить вычисление.
♦ 15*
I
— 228 —
369. 1) На покупку рыбы в равное время было истрачено
сначала 3,36 руб., потом 4,89 руб. и наконец 7,56 руб.;
причем фунт обошелся в среднем по 3,72 руб. Сколько
фунтов рыбы было куплено?
2) Прп переезде на дачу пришлось 47,32 версты про-
ехать по железной дороге, 15,39 версты на лошадях и 0,29
версты на пароходе; на все путешествие было затрачено
12,8 часа. Определить среднюю скорость во время этого
путешествия.
3) От деревни до города 75,32 версты; крестьянин,
проехав 37,5 версты, рассчитал, что ему необходимо остав-
шееся расстояние проехать в 6,4 часа. С какою скоростью
должен ехать крестьянин?
370. 1) На доставку товара истратили 1881 руб., при-
чем за перевозку по железной дороге уплатили 6,5 руб.
с 1 пуда, доставка на лошадях до железной дороги обо-
шлась по 4,75 руб. с пуда и разные расходы в пути 1,29 руб.
с 1 пуда. Сколько пудов товара было доставлено?
2) Из одного и того же города выехали велосипедист
и автомобиль; до выезда автомобиля велосипедист успел про-
ехать 101,44 версты. Через сколько времени автомобиль до-
гонит велосипедиста, если велосипедист едет со скоростью
15,65 версты, автомобиль—31,5 версты?
371. 1) Составить, пользуясь числами 8,95; 14,216;
19,1 и 3,125, задачу, для решения которой нужно сумму
первых трех чисел разделить на 3.125. Решить эту задачу.
2) Пользуясь числами 1001,9; 845,495 и 0,512, со-
ставить задачу, для решения которой нужно разность пер-
вых двух чисел разделить на третье. Решить эту задачу.
3) Пользуясь числами 222; 4,73; 0,007; 0,854 и 1,006,
составить задачу, для решения которой нужно первое число
разделить на сумму всех остальных. Решить эту задачу.
4) Пользуясь числами 19,95; 2.9 и 1,7, составить за-
дачу, для решения которой нужно первое число разделить
на разность между вторым и третьим. Решить эту задачу.
372. Ученик записал ход решения задачи, обозначая
числа буквами. Раз’яснить, как решаются эти задачи, в
__ 229 —
придумать для каждой записи условие задачи, дгя которой
эта запись подходит. Записи ученика:
1) (a-\-b- ?):d
2) к: (in 4- п -J- 2’)
3) с: (а — h)
4) (hi, — lt):k
6) а:Ъ — c:d
7) (а — Ъ (с - - d)
8) (* + ™Г(р + О
373. 1) На покупку ситца истратили 131,06 руб., на по-
купку сукна 254,94 руб.; расходы по доставке ситца были
0,81 руб., сукна 3,05 руб. Во сколько раз расходы на по-
ку пку больше расходов на доставку?
2) Пользуясь теми же числами, составить задачу, для
решения которой нужно произвести те же действия и в том
же порядке, как и в предыдущем номере.
374. 1) Собака находилась от зайца на расстоянии
87,576 саж; до погони собаки за зайцем, заяц успел
пробежать еще 72,1 саж., пока собака заметила его. Через
сколько времени собака догнала зайца, если заяц пробегал
по 21,875 саж. в минуту, а собака по 40,02 саж.?
2) Пользуясь юМл же числами, составить задачу, для
решения которой нужно произвести те же действия и в том
же порядке, как и в предыдущем номере.
375. 1) Вес буты тки с керосином 2,79 кгр., с водою
та же бутылка весит 3,15 кгр., пустая 0,9 кгр. Определить
удельный вес керосина.
2) Изменить тему в предыдущей задаче и составить
новую, для решения которой нужно произвести те жз
действия и в том же порядке, как и в предыдущей задаче.
3) Записать, пользуясь знаками арифметических действий
и скобками и обозначая числа буквами, ход вычисления для
определения удельного веса какого-либо вещества.
376. 1) За 1517,5 руб. купили два цыбика чаю,
один весом 5,33 пуда, другой 1.96 пуда; весь этот чай был
затем продан за 1984,06 руб. Скотько прибыли получали на
каждом пуде чая?
— 230 —
2) Пользуясь числами предыдущего номера, составить
задачу, для решения которой нужно произвести те же дей
ствия и в том же порядке, как и в предыдущей задаче.
377. 1) С помощью букв и знаков арифметических дей-
ствий и скобок записать ход решения задач типа Л? 376 и 374
2) Нельзя ли придумать задачи, ход решения которые
подходил бы под эту запись, на тему пз: а) геометрит
б) школьной жизнп; в) географии?
378. 1) 7,35-18,36:18,75. В каком порядке произ-
водятся действия в этом примере? Записать этот приме]
в виде дроби, у которой знаменателем делитель.
2) 119,07 :4.2 • 0,018:0,625 • 1,8. Записать этот пример
в виде сложной дроби. Можно ли в этом случае изменять
порядок действий? Решить пример.
4 08 • 95 • 408 8 Как можно записать
379-
380.
• пример иначе? Произвести вы
числение.
16.02-100-39,2-4851
17,25-4,2 0,8
175,4-3600 • 1,69
381.
0,25 • 0,09 - 190 0.64
332. 1) 3,75 : 32 : 0,05 • 1.62 :0,3
2) 24,24 : 8,08 : 0,001 • 15,04 : 24 : 1,25
3) 87,87 : 2,9 : 0,004 : 0,03 • 4000 0,007
383. Записать следующие требования и произвести
вычисления:
1) 0,96 умножить на 5,25; произведение разделить ж
0,08; полученное частное умножить на 1,2.
2) 9,6 умножить на 6,25; полученное произведена
разделить на частное от целения 40 на 0,8.
3) 95 разделить на 0,19; полученное частное разде-
лить на произведение чисел 0,32 и 6,25;
— 231 —
4) 2,4 умножить на 35; полученное произведение разде-
лить на 0,24; частное умножить на 8,04; последнее произ-
ведение разделить на 0,7.
При решении следующих далее задач сна-
чала записать весь ход решения задач, а затем
пj)oизвести требуемые вычисления.
384. Лес занимает участок прямоугольной формы, ко-
торого длина 10,8 версты, ширина 1.3 версты; этот участок
составляет 0,52 всего хозяйства. Как велико это хозяйство?
2) Кооператив купил 31,25 фун. табаку по 3,5 руб.
фунт; прп продаже получит 25% прибыли и на вырученную
сумму купил табаку другого сорта ценою по 2,56 руб. фунт.
Сколько табаку куплено во второй раз?
385. 1) В предприятие был вложен капитал 4200 руб.,
который принес 35% прибыти; потученная прибыль была
истрачена на покупку сырого кофе ценою по 2,5 руб. фунт;
купленный кофе был изжарен, причем жареный кофе со-
ставлял по весу 75% сырого. Сколько фунтов жареного кофе
было получено?
2) На участке земли 30 % составляет лес, при продаже
которого в 1913 году по 125 руб. за десятину выручили
12000 руб. Определить площадь всего участка.
386. 1) 25 работников в 4,5 рабочих дня, прп еже-
дневной работе по 7,25 час., вырыли канаву длиною 0,9 версты;
какую длину выроют 10 работников в 7,75 дней при еже-
дневной работе в 10,5 час., счпгая все условия работы оди-
наковыми?
2) 72,4 м. сукна шириною 2,75 м. стоили 3620 руб.
Сколько стоят 81.25 м. сукна шириною 2,5 м., которое по каче-
ству в 1,5 раза лучше ?
3) Для освещения квартиры 10 лампами в течение
12 дней, прп ежедневном горении по 6.5 часов, требуется
390 фун. керосину. Сколько керосину потребуется для
освещения квартиры 15 такими же лампами в течение
20,5 дней при ежедневном горенпи по 8,75 часа?
4) Брусок мыта длиною 15,7 см, шириною 8,9 см.,
толщиною 10 см., весит 31,4 фун. Сколько весит брусок
— 232 —
такого же мыта длиною 26,7 см., шириною 10,2 см., толщи-
ною 8 см.?
387. Составить задачи, для решения которых требуется
произвести следующие вычисления:
15-0,52-4,2 522,2-34,65-11
) -------- -—; 2) -—------------
1,08 -1,3 74,6 • 0,693
7,5-4.96-31.25 0,24-70-1,875
-------------—; 4) — ------------
100-0,375 6,25-37,5
0,11 - 25,25 12,36
5)
7 6,18-0,505-4,4
Темами для этих задач взять: 1) вычисление веса
предмета по его размерам; 2) нахождение величины зара-
ботка по условиям продолжительности работы, числа рабо-
тающих и количества работы; 3) вычисление стоимости
товара по количеству и качеству; 4) определение расходов
на содержание семьи и т. и. Решить эти задачи.
388. Найти неизвестное число по следующим данным:
1) 0,23 х = 13,8; 6) 25 %х = 17,1;
2) 0,25 </ = 7.3181; 7) 33%?/= 99,99;
3) 0,4 я = 73,99; 8) 12%г = 7.128;
4) 6,25ж = 0,18: 9) 20 %.с = 4,137:
5) 11,2s = 3,36; 10) 40% 2 = 0,02.
389. Найти неизвестное числи по следующим данным:
1) 7,88 • 0,55 0,25 • ж = 7,83 • 25
2) 0,08 с-г 87,2 4- 13,91 4- 0,095 = 200
3) 118.24-7,5—51,2?/ = 7,2-10
4) 12,5 4.-8,95 • 12.94—1,2 -0,3 = 8,4-16,5
390. Найти неизвестное число по следующим данным;
1) ж: 1,8- 0,05:100 = 0.3
2) у • 0,3:4,192:7 -0,08 = 84
3) 22,5:0,75: х -28,4 =71.06
4) 18,9:0,007-^:0,13 = 2
— 233 —
391. Найти неизвестное число по следующим данным:
(7.5+ 1,8)-1,25 _2
J (24,2—17,1): х
х (11 — 8,751)
J (0,2 + 1,785 4- 0,016) -4 ’
(12,4 — 2) -4,25
3)-----------------!-------------= 8,5;
(8,2 + 1,875)-20+ (1,5 +4,3)
(17,2 + 13,8) • 0,25 — 4,2 - 0,05 = q
J 12,5 • (14,2 + а; + 18,9)
Составление уравнений.
392. Записать при помощи условных обозначений усло-
вие задачи.
1) При разделе имущества один брат получил 25 % на-
личных денег, другой 30%, сестра остальные 1350 руб.
Сколько денег нужно было поделить?
2) На покупку провпвпп истратили 0,4 всех денег, на
покупку калош 0,25 всей первоначальной суммы, после чего
осталось 7 руб. Сколько денег было до покупки?
393. 1) На книги истратили 0,7 всех наличных денег,
на. тетради 0,15 той же суммы, причем на книги израсхо-
довали на 38,5 руб. больше, чем на тетради. Сколько денег
было до покупки?
2) Три землекопа выполнили всю работу: первый
исполнил 0,4 всей работы, второй 0,35, третий всю остальную
часть. Сколько было уплачено за всю работу, еслп известно,
что третий землекоп получил на 40 руб. меньше, чем второй?
394. 1) В складе продали целый кусок сукна трем поку-
пателям: первому 0,3 всего куска, второму 0,5 остатка, третьему
оставшиеся 21 арш. Сколько аршин было в целом куске?
2) В школе к концу учебного года в 1918 году
0,35 всего числа учеников выбыло из-за раз’езда родителей
ио случаю безработицы; 0,6 оставшихся составляли ученики
выпускного класса, которые оставили школу к 1 мая,
после чего осталось в школе 130 человек. Сколько чело-
век обучалось в школе в начале учебного года?
— 234 —
3) Если от неизвестного числа отнять 0,2 его, затем
0,5 остатка, потом 0,25 нового остатка, то останется 12.
Найти неизвестное число.
395. 1) В трех ящиках 38,6 пуд. муки: в первом
самая меньшая часть; во втором в 1,3 раза больше, чем
в первом; в третьем в 1,2 раза больше, чем во вторим.
Сколько муки в первом ящике?
2) Все деньги были истрачены в 4 дня: в первый день
была израсходована меньшая часть денег; во второй в 3,2 раза
больше, чем в первый; в третий 0,5 того, что было истрачено
во второй день; в четвертый в 1,5 раза больше, чем в
третий. Сколько денег было израсходовано в каждый день,
если всего за 4 дня было истрачено 2870 руб.?
396. 1) Разложить число 260 на три слагаемых так,
чтобы второе было в 2,4 раза больше первого, а третье
составляло 0,75 второго.
2) Разложить число 114,7 на пять таких слагаемых:
наибольшее из них первое; второе составляет 0,8 первого;
третье—0,6 второго; четвертое в 1,2 раза больше третьяго;
пятое в 1,3 раза больше третьего.
397. 1) Веревка разрезана на 3 неравных части: вторая
больше первой на 4,75 арш., третья на 2,15 арш. длиннее
первой. Определить длину каждого куска, если длина всей
веревки 10,65 арш.
2) Сумма четырех чисел 25,2; первое на 3,2 больше
второго; третье на 0,575 больше первого, а четвертое на
1,035 больше первого. Найти эти числа.
3) Сумма четырех чисел 101,52; первое на 11.275
больше второго; третье на 7,53 меньше первого; четвертое
на 9,175 больше первого. Найти эти числа.
Конечные и бесконечные десятичные дроби.
398. 1) Ученику нужно получить точные частные от
деления чисел: а) 725 на 21; б) 15,724 на 0,343; в) 10
на 9,99. Как он должен поступить? Найти эти частные.
<5
— 235 —
2) Как получить точные частные от деления чисел
а; 8,5 на 3,9; б) 25,1 на 7; в) 17,21 на 15; г) 42.33
на 9. Найти эти частные.
399. Нантн точные частные от деления чисел: 1) 4,83
на 1.7; 2) 53,4:9,999; 3) 100:7.7; 4) 27,55:16,5;
5) 41:0,036; 6) 29 на 11; 7) 50 на 3; 8) 82 на 9.
4С‘С. Вычислить следующие примеры совершенно точно
1) (8,75 + £ ' 1|-
2) (8g-1,47): 5,5.
3) (111+0,63) -8,5.
4) (18.77 —11.25): if.
5) (241 + (18.5) -1А
6) (1,8+ -f.4,25). 8,75.
Указать, какие из этих примеров удобнее вычислять,
обратив все дроби: 1) в простые сроби; 2) в десятичные.
Почему*.
401. Выразить десятичными дробями следующие обыкно-
венные:
о3 . о. и11. +°. 16. 21. ПЛ 7 . - 15. 355
1) "5 5 2) 1112 > ° fj, 4) 25, о) 32, 6) у , /) 28, 8) 113 .
Все ли простые дроби выражаются при помощи деся-
тичных дробей совершенно точно?
402. Обратить в десятичные следующие простые дроби
путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же
целое число:
1)1 — 3 9) —= 7_ - 3) _ = • 4) -9-
+ _2-2’ "'25 5-5’ ' 1G 2- 2-2-2’ ' 50’
ку 21 21 . 27_ 27 - 117 _ 117 .
°, 40 — 2 • 2 • 2 • 5 ’ ° ' ЬО 22-2-2-5’ 200 ~ 2 - 100 ’
ч 59 _ 59
°' 260 10 25'
403. Следующие обыкновенные дроби выразить в де-
сятичных путем умножения числителя и знаменателя на
одно и то же целое числе:
о®;2) 12у-з)«я;^и5Й;6) 13ё;6> 5-й>;7) 107я;
41
625’
6)33я>;9>й§; 10)1
— 236 —
1) Какие множители входят в состав знаменателя
йесятичныл дробей.'1 2 3 В равном или неравном числе? Почему?
(Убедиться на примерах.)
2) Как можно лето найти такое число, на которое
следует умножить числителя н знаменателя простой дроби,
чтобы выразить ее десятичною оробею?
404. Выразить точно с помощью десятичных дробей
следующие обыкновенные путем умножения числителя и зна-
менателя на одно и то же число:
1)Г> 2) -X; 3) 4) |’; 5) 6) 7) Jg: 8) 9) £ ;
10) И) g; 12) g-
Все ли обыкновенные дроби этого примера можно вы-
разить точно конечными десятичными дробями? Почему?
405. Путем умножения числителя и знаменателя на
ОДНО 1 и то же целое число обратить в десятичные дроби
следующие обыкновенные:
1) 7 гл 6) 8 я И) 35 5б 16) 15 27 21) 8 11 26) 9 40
2) 41 64 7) 15 16 12) 35 42 17) 14 16 22) 8 55 27) 9 22
3) 11 30 V 23 48 13) 35 81 18) 14 25 23) 8 88 28) 9 25
4) 11 25 9) 23 25 11) 35 49 19) 14 1% 24) 8 25 29) 9 32
5) 11 32 10) 23 32 15) 35 64 20) 14 72 25) 8 128 30; 9 75
1) При каком составе знаменателя обыкновенная дробь
выражается точно десятичною? 2) при каком составе зна-
менателя обыкновенная дробь не выражается точно деся-
тичною?
406. Не производя самого обращения обыкновенных
дробей в десятичные, указать, какие из них выражаются
точно десятичными дробями и какие лишь приблизительно:
..41 .. 11 И 44 7 13 13 17
1) 70 4) 75 <) 60 Ю) 100 13) 4() 16) 17 19) 12- ~) 64
2) В 5) g 8) " 11) 4 14) п 17) Я ад g -23) g
3) i 6) g 9) g 12) -J 15) £ 18j § 21) g 24) g
— 237 —
407 В следующих примерах, перед обращением обыкно-
венной дроби в десятичную, указать заранее, получится ли
точная десятичная дробь:
1) 4 4) 15~ 7) § 10) 1- 13) i 16) 1й) ~ 22) ~
41) ^8 °) 550 88 Ч) 4 14) 45 1') 220 ^0) 75 23) 27
о\ 1 7 г» . 68 . 24 1 л 81 _ 355 q i\ 126
110 ° 440 48 12) 7 15) 90 18) Из ^1) gg “^) 810
111. Смешанные примеры и задачи на 4 действия над
простыми и десятичными дробями.
1. Примеры.
408. -f—1,115-0.8 + 120,3 — 116,75 -4,8. J)
409. (1,9 +j/l| + (l| +19.23 -1|.
410. (2,2+1,085 + 5,105): 4—(101,35—99.875): 27.
411. 0.7 —| -100 + 1^:9,5.
412. (0,75 +|. • 20—(15,4—9,9) • 6,8+0,75 • 2j.
413. 8-|- 0,7 + 14,5:0,29 + 7^:^.
414. 10J • 8,4— 70:16 + 8-| • 3,5-4-|: 0,7.
415. (2| + 2,14 : (41,4 - 20,3) + 11: 0,04+1.7.2§.
416. -31 :1,6 - 2-? 1,5 : • 10 + 24,7 — 1^ : 1|.
417. (9,2:3,68+2.87:143,5)-100— 3,0018—2J):3,2.
418. (3,14 -1,8) 4^+ 14.5—9^ • Ю+^+^-0.2.
419. (31,5—14,8) 13,8 + 14,25 + 25^—10^ • 1
1:0,025 j 4,75:8 , 34:25 0,85:0,008
420. . 2~ 2)08 - 0)004 " 17:64 + 4,2 5:0,005 '
J) В примерах от № 408 до №410 указать, с помощью каких дробей
удобнее вести вычисление и почему.
— 238 —
421. Z^-L-12 .7 70 ' 14 IcJ 7 co
nr-. 9 1,8+ 1£ 40
422. (7,03+3,07) - 3 1-+9- 12.> y8
(8,5—5,8) • 2 21 : (3| - 1,75)
423. 720: 7^—239-J- О О :9^ : (12,153—3,753) • 4.
424. /2 7 '2^-112-4,9 30 0,3^ • 85,1— 7jq
425. (1,85—0,6) • 8,16 • 40— 4,5 — 2^ • — 29|’-
426. 1’5 + 11б ,3—1,625
5:4: 0,125 + fi i i£'
1 io
427. l+f+°>75 f3,5-г-1,06) 1,3
1,25: 0,64’ ' I., /8 £
4j- 15 । 12
428.
429.
430.
82-6—2,6 17,8 -5,2+4' 4
й • 8—10,5 • 4 (-;’3 37,5+5,0 : 0,014
13 I 5 /
(4,735--0,25-|-l,64): 0,87 42+10 ’
391_[_6б4 1’42 10,375—8,565
8-| • 14.25 • 12 J l++o,75 • 42,4 • 8,2 • 2.5.
o bo5 ’ >
431. 7, 5 : +: 1+ 10 • 0,375—100 : 6,25 0,125 : 1,5.
' t) *J ' ill
432.
433.
434.
435.
5:7:9: 5++1 = 0,75 : 1+ l++4,8 • 1.5 • 0,72
О ' £. if I J
4 R 2 ° R
12T: 12T 3T :4f -102 : 6T 0,4 : 1,2 +
+48 0,1 : 3,6 : 4,8
3y: 1,7 • 20+6-f- • 0,8 : 2,5
8.
(0.05—0,0375): -J+(3,27 5 —3,157): ly
(5?6—4,8): 0,25
— 239 —
436 76.275 : 0,6784-17-J : 11,34-31.208 : 8,3
(0,343-f-0,84) : 70
85,32 948,75 27,125
237 ’ 795 "’195,Г
:2,6.
/ 1,44 2,375 \
\0,0036 3,75 /
1.2
0,00075
438.
3 2 _ 11 .7 439. 47'~ ’-° 6 '12 - 'во —0,00325 '400 о q I б4 :1-ёТ 1.99 • 9Г1 «Л О * 34:ЗзЛ + б|.'24' „ 4 X ,
ап /0,216 , 2 7\ / 44^' \ 0,15 3 ’15/ ’ у 12,375 ' А >'
2. Задачи.
Геометрия.
441. 1) Нужно обтянуть клеенкой стол прямоугольной
формы, длина которого 2,9 арш., ширина 1,25 арш. Сколько
тесьмы потребуется, чтобы обшить клеенку по краям, п
сколько надо гвоздей, если расстояние между гвоздями бу-
дет 0.725 арш.?
2) Нужно огородить забором круглый пруд, которого
диаметр 12,25 арш. Сколько столбов потребуется для этого,
если расстояние между ними делать в 0,784 арш.?
442. Скороход бегает по окружности круга, которого
радиус 62,5 саж.; в промежуток от 4х/2 час. дня до 5 час.
10 мин. дня он успел обежать по окружности 17 раз. Сколько
саженей в минуту пробегает скороход?
443. На фабрике изготовляется лента, в каждую ми-
нуту по 251/s м.; за весь год фабрика работала 304 7,
дня, считая рабочий день по 8,4 часа. Сколько географи-
ческих миль ленты изготовила фабрика за год, если 1 верста —
1,067 клм.?
— 240 —
444. 1) Дгина листа ватманской бумаги 1.1 м. Нужно
вычертить на этом листе план земельного участка, длиною
1,65 клм. Какой из трех масштабов 1:2000; 1:1000; 1:1200
следует выбрать для этой цели?
2) Карта начерчена по масштабу: 3 версты ^1 дм.
Выразить отношение действительных расстояний между двумя
пунктами к их изображению на плане десятичною дробью.
445. 1) Зубчатое колесо в диаметре 1,34 м.; рас-
стояние между каждыми двумя зубцами по дуге окруж-
ности 3,35 см. Сколько зубцов на этом колесе?
2) Ведущее (большее) колесо паровоза сделало 1000 обе
ротов. На какое расстояние продвинулся поезд и сколько
оборотов сделало каждое колесо вагонов, если диаметр боль-
шого колеса паровоза 1,35 м., а у колеса вагонов диа-
метр 0,72 м.‘?
446, 1) Равнобедренный треугольник, которого осно-
вание 2’/3 версты, а боковая сторона 3,6 версты, вычерчен
по масштабу 1:40000. Какова длина периметра этого тре-
угольника на плане?
2) Основание ветряной мельницы имеет форму правиль-
ного 6-уго (ьника; периметр этого шестиугольника 14,4 м.;
на плане сторона этого 6-угольника изображена линией
длиною 3,6 см. По какому масштабу начерчен план?
447. 1) В квадрат, которого сторона 7,36 см., вписан
круг. На сколько периметр квадрата больше окружности
этого круга?
2) В окружности радиуса ,42/3 верш, вписан пра-
вильный 6-угольник. На сколько окружность длиннее пери-
метра этого 6-угольника?
448. 1) Сумма внутренних углов всякого треуголь-
ника 2 Л. Определить с точностью до 0,1 минуты углы
равнобедренного треугольника, если его угол при вершине
в 9 раз меньше угла при основании.
2) Вокруг точки расположено 4 угла: первый в 2 раза
больше второго; третий в 3 раза меньше первого; четвер-
— 241 —
тый в 5 раз больше третьего. Определить в градусах и
минутах эти углы с точностью до 0,1 минуты.
449. 1) Вычт слить в градусах, минутах и секундах
внутревний угол правильных многоугольников: а) 5-уголь-
ника, б) 6-угольника, в) 10-угольника, г) 12-уго.1ьника,
ц) 20-угольника, е) 100-угольника.
(Указание. Начертить многоугольник и разсечь его
диагоналями из какой-нибудь вершины этого многоугольника).
2) Наибольший угол параллелограмма 108с43'10". Вы-
числить с точностью до 0,1° углы этого параллелограмма.
450. 1) Под’ем железнодорожного пути составляет
10,75 м. на протяжение пути в 2,5 клм. Определить а) под’ем
этого пути на каждый метр пути: б) на какое протяжение
пути приходится под’ем в 1 м.?
(Раз’яснить на чертеже.)
2) На какую высоту поднимается поезд, если известно,
что на протяжении 0,75 клм. пути под’ем составляет 0,004
длины пути; на протяжении 10.25 кмл. под’ем в 1 м.
приходится на каждые 1,025 клм.; на протяжении третьей
части пути длиною в 8,888 клм. под’ем составляет 0,009 пути?
451. Измерьте толщину книги без переплета (возможно
точнее, в долях сантиметра), вычислите толщину 1 листа
бумаги и определите затем, какой высоты будет кипа этой
бумаги в 1.000.000 листов. Сравнить высоту этой кипы
с высотою дома или церкви.
Площади.
452. 1) Периметр квадрата 10,1 метра. Найти его
площадь.
2) Периметр, прямоугольника 25 м.; длина в 3 раза
больше ширины. Вычислить площадь прямоугольника с точ-
ностью до 0,01 кь. м.
453. 1} Каждую сторону квадрат увеличили на 0,7 см.
На сколько увеличнлась площадь этого квадрата, если перво-
начально сторона его была 7,5 см.?
2) Прямоугольник длиною 1,4 м, шириною 0,75 м.;
большую его сторону уменьшили на 0,25 м.; меньшую на
Грацианский. Задачник. 16
— 242 —
0,15 м. На сколько уменьшилась площадь этого прямоуголь-
ника?
3) Одну сторону квадрата увеличили, а другую у иень-
шили на 0,5 см. Что стало с площадью этого квадрата?
Если она изменилась, то на сколько? Первонача тьная длина
стороны квадрата 4,5 см.
454. 1) Веревка длиною 2,5 м. складывается так, что
образуются замкнутые прямоугольники: сначала так, что одна
из сторон этого прямоугольника 0,25 м.: потом одна из сто-
рон прямоугольника 0,6 м.; затем 0,95 м.: далее 1,2 м.:
наконец, из этой веревки сложили квадрат. Вычислить пло-
щади получаемых при этом 4 прямоугольников и квадрата
Когда площадь становится больше всего?
2) Начертить параллелограммы различной формы, у ко-
торых одна сторона 2,5 см., другая 3,5 см. Вычислить их
площади и указать, при каких условиях площадь увеличи-
вается, при каких уменьшается.
3) Начертить а) правильный треугольник, б) равнобед-
ренный и в) три неправильных треугольника, так, чтобы
периметр каждого из этих треугольников составлял 9 см.
Произвести необходимые измерения и вычислить площади
этих треугольников. При каких условиях площадь треуголь-
ника увеличивается, при каких уменьшается?
455. 1) Поле имеет вид 5-уголь-
ника ADKCB-, дтя определения ве-
личины его площади измерили рас-
стояния АС - 7 клм.; ВВ = 4 клм.,
BJ = 2l/3. ВК — З Д. Вычистить пло-
щадь этого поля.
2) При измеренип участка
земли, имеющего начерченную здесь
форму четыреугольвлка. получены
следующие результаты; МВ =
= 0.5 клм., ОJ—120.4 м.: 57? =
= 29,5 м. Вычислить площадь этого
участка.
— 243 —
4-56. 1) Начертить фигуру, поме-
щенную рядом, увеличив ее в 2 раза. ✓ к
Произвести необходимые измерения 3\
для вычисления площалей этих фигур Д
и определить, во сколько раз одна Nj
площадь больше другой.
2) Вычислить площадь помещенной
/' / здесь фигуры, произведя для этого не-
/ : / обходимые измерения.
” Г , I 3) Перечертить эту фигуру, увеличив
\ V I размеры в 3 раза.
-------Во сколько раз площадь одной из
** этих фигур больше площади другой?
457. 1) Вычислить площадь круга, радиус которого
3,5 см.
2) Длина окружности круга 17,5 см. Вычислить его
площадь.
3) Окружность деревянного вала 52.5 см. Какова пло-
щадь поперечного разреза этого вала?
458. Начертить круг радиусом в 5 см.; приняв сере-
дины перпендикулярных друг к другу радиусов за центры
новых кругов, описать из них новые окружности радиусом
в 2 раза меньше первого круга. Все промежутки между кру-
гами заштриховать. Какую площадь занимает заштрихован-
ная часть большого круга?
459. 11 Начертить три круга равного радиуса: в один из
них вписать правильный 6- гольник, в другой правильный
12-уголюПик и в третий правильный 24-угольник. Затушевать
промежутки между окружностью и сторонами правильных
многоугольников п вычислить затушеванную часть круга для
каждого из 3 случаев. Сравнить полученные результаты.
2) Начертить 4 круга равного радиуса; в первый впи-
сать квадрат, во второй правильный 8-угольник, в третий
правильный 16-у гольник, в четвертый прави. ъный 3 2-уголь-
ник. Затушевать промеж\ тки между окружностями и линией
обвода правильных многоугольников п вычислить затушеван-
ные части кругов для каждого из 4 случаев. Сравнить по-
лученные результаты друг с другом.
— 244 —
460. 1) Плошадь круга 314 кв. см. Найти длину окруж-
ности этого круга.
2) Окружность одного круга 62в/., см., другого 15.7 см.
На сколько радиус одного круга больше радиуса другого?
461. 1) Центральный угол сектора 60° (50°; 45°; 20”;
36°); радиус круга 4 см. Вычислить площадь сектора и
длину Дуги, соответствующей этому сектору.
2) Радиус круга 4,5 см.; площадь сектора этого круга
18 кв. см. Как велик центральный угол этого сектора и
какова длина его дуги?
462. 1) Радиус круга 2,25 см.; длина дуги сектора
3 см. Вычислить площадь этого сектора.
2) Начертить круг радиуса 2,8 см. и сектор этого
круга с центральным углом- в 40°. Вычислить площадь со-
ответствующего ему сегмента.
3) Радиус круга 4,2 см.; длина дуги сектора 8.4 см.
Вычислить площадь этого сектора.
463. Начертить круг произвольным радиусом и найти
1) длину его окружности; 2) площадь круга; 3) длину дуги
сектора, который можно начертить любой величины; 4) пло-
щадь этого сектора и соответствующего ему сегмента.
Записать при помощи букв и знаков арифметических
действий ход вычисления каждой из этих задач.
464. Записать при помощи букв и знаков арифмети-
ческих действий ход решения следующих задач: 1) по дан-
ной длине окружности вычислить площадь круга и сектора
в #4°; 2) по данной площади круга вычислить длину его окруж-
ности и дуги в Ф.
465. 1) Найти площадь круга и сектора в 50°, если
известно, что длина дуги в 50° равна 7,5 см.
2) Пз одного и того же пентра описаны две окруж-
ности: одна радиусом в 2,1 см., другая в 1,57 см. Найти
площадь промежутка, заключенного между этими окружно-
стями.
— 245 —
466. I) Из проволоки длиною 75 см. сделали остов
куба, коюрый затем обтянули бумагой. Вычислить об’ем по-
лу ценной коробки и поверхность бумаги.
2) Нлжно изготовить коробк-j вместимостью в 1000 куб.
см. Для этого нужно купить бумаги и ленту дтя скрепления
по всем ребрам коробки. Подобрать различные размеры для
этой коробки и рассчитать, когда пойдет меньше всего ма-
териала.
467. Вычислить об’ем и боковую и полную поверхность
следующих призм, начертив сначала развертку их:
1) правильной 6-угольной призмы, у которой сторона
основания 3 см., высота 10 см.;
2) правильной 8-угольной призмы, у которой сторона
основания 2 см., высота 14 см.;
3) правильной 10-угольной аризмы, у которой сторона
основания 2 см., высота 10 см.;
4) правильной 12-угольной призмы, у которой сторона
основания 2 см., высота 10 см.
5) При помощи условны?, обозначений записать ?(>)
вычисления' а) об’вма, б) боковой поверхности, в) полной по-
верх чести правильной призмы.
468. 1) 1 адиус основания цилиндра 3,25 см., высота
20 см. Вычислить его об ем и полную поверхность.
2) Стакан цилиндрической формы имеет наружный ра-
диус 4 см., внутренний 3,8 см.; высота стакана 12 см.,
глуоина 10,5 см. Вычислить об’ем дна и стенок этого стакана.
3) Дубовый вал, имеющий форму 6-гранной призмы
высечен из круглой колоды, длина которой 2 саж., диа-
метр 1,75 арш. Вычислить об’ем дерева., обрубленного при
вытесывании этою вал? .
469. 1) Об’ем четверика 1601,25 куб. дм. а) Бакова
должна быть высота четверика, имеющего форму цилиндра
радиусом в 5 дм.? б) Какова длина дпачетра основания,
если его высота 20 дм. (с точностью)?
2) Об’ем гарнца приблизительно 200 куб. дм. а) По-
добрать размеры ящика вместимостью в 1 гарнец, б) Подо-
брать размеры для цилиндра вместимостью в 1 гарнец.
— 246 —
470. 1) Подобрать размеры для изготовления цилиндра
вместимостью в 1 литр и сделать его модель, возможно точ-
нее, из бумаги.
2) Изготовить из плотной бумаги: а) цилиндр высотою
12 см. с радиусом основания 6 см.; б) конус того же ра-
диуса и равной с ним высоты; в; шар, диаметр которого
12 см. Сравнить об’емы этих тел, заполняя их сухим песком
или мелкой крупой.
471. Поверхность всякого шара в 4 раза больше пло-
цади его большого круга; об’ем шара можно получить, умно-
жив на */3 и потом на З17 (ити 3,14, с точностью до
0,01) об’ем куба, ребро которого равно радиусу шара. Вы-
числить поверхность и об’ем шара, которого радиус 1) 7 см.;
2) 10 см.; 3) 3,5 см.; 4) 20 см.
ЗГ проведение.
472. 1) Длина земного экватора круглым счетом
40.000 клм. Определить 1) длину земного диаметра, 2) по-
верхность земли и 3) об’ем земли, считая для простоты, что
земля шар. (Вычисление вести в круглых числах Какими
единицами можно пренебречь в этих вычислениях?)
473. Поверхность воды на земле составляет 374 490 000
кв. клм. На основании решения предыдущей задачи (вопрос 2)
определить: 1) сколько процентов земной поверхности зани-
мает суша; 2) сколько процентов вода.
44 * * 74. 1) На основании решения задачи 472 определить
длину 1° земного экватора и 1 географической мили, если
1° = 15 географическим милям.
2) Градус земного меридиана равен приблизительно
111,120 клм. Определить длину морской мили, если 1 мир-
ская миля = 1/60 градуса меридиана.
475. Какой об’ем занимает земная атмосфера, если при-
нять земной радиус = 860 геогр. милям, а толщину земной
атмосферы 10 геогр. милям?
— 247 —
476. Самая высокая гора на свете Эверест возвышается
над уровнем моря приблизительно на 8 верст 200 саж.; са-
мое глубокое место в океане около 9 верст 50 саж. ниже
уровня воды. Какую часть земного диаметра составляет са-
мая глубокая впадина и самое большое возвышение на зем-
ной поверхности? Каковы были бы размеры земного диаметра,
Эвереста и самой глубокой впадины на модели земного шара
в масштабе 1:1.000.000?
477. На основании задачи 474 определить
расстояние от Москвы до Тулы
от Рязани до Вологды
„ Могилева до Петрограда
„ Рязани до Уфы
. „ Новгорода до Вологды
„ Вятки до Пер «и
в верстах
по
меридиану,
по кругам
параллели.
(Воспользоваться для решения задачи картой или
найти в книге данные о широте и долготе перечисленных
городов.)
478.
Меркурий. Венера. Земля. Марс. Юпитер. Сатурн. X Нептун. j Солнце. i Луна.
Среднее расстоя- В МИЛЛ, верст; 54 Ю1 728 1338 2692 4217 — ОТ земли 384.000
ние от солнца В МИЛЛ. клм. 58 108 149 228 778 1428 2873 4501 — КЛМ.
Эквато- риадьн. в верст.; 45 W 11910 11958 6350 133OUO 112000 51000 46000 1300000
диа- метр. в клм. 4800 12700 12756 6770 142000 119400 54300 485'00 1394000 3478
Масса единица! мае (вес в земной сы. ол,б 0,79 1 0,1 309.82 91,92 13,52 16.47 333432 0,01224
Продолжи гель- вость обращения «округ оси. 88 24 23 ч. 24 ч. 9 ч. 10 ч. 10 ч. 26—23с.
сут. час 56 м. 37 м. 36 м. 14 и. 45 м.
— 248 —
Пользуясь помещенной здесь таблицей, решить следую-
щие задачи-
1) Выразить расстояние планет от солнца в земных
радиусах.
2) Вычистить об’емы всех планет, считая их правиль-
ными шарами.
3) На основании решения двух предыдущих задач опре-
делить размеры модели всей системы планет при умень-
шении в 10 миллионов раз. Полученные размеры сравнить
с расстояниями и размерами выдающихся зданий города или
уезда.
4) Вычислить скорость различных планет при враще-
нии вокруг оси в градусах, минутах, секундах и в кило-
метрах.
5) Представить наглядно разницу- веса различных
планет.
479. 1) В среднем за год на земную < шу падает
такое количество водяных осадков, что они составили бы
слой толщиной в 782 мм.; 25% этого количества уносится
реками в океан. Считая земную сушу в 147 миллионов кв.
клм., вычислить об’ем осадков, падающих на сушу и уноси-
мых реками в океан.
2) Сколько граммов осадков падает на 1 кв. м. суши
в год? (См. пред, задачу; 1 куб. см. воды весит 1 гр.)
Сколько это составит ведер? •'Ведро 75.(1 куб. дм.. 1 куб. дм. =
16,39 куб. см.)
Естествознание.
480. 1) Для определения скорости звука в воде фран
цузсвие ученые Штурм и Колла дон производили опыт на
Женевском озере и нашли, что звук пробегал по воде в
9,4 сек. расстояние 13,5 м. Найти скорость звука в 1 ми-
ну ту.
2) Ученый Био установит, что звук через чутун прохо-
дит быстрее, чем через воздух: именно, расстояние 930 м.
звук через чугун проходит на 2.6 сек. быстрее, чем через
воздух Определить скорость распространения звука в чугуне,
если скорость его в воздухе 330 м. в 1 сек.
— 249 —
481. 1) Скорость распространения света в 1 сек. 300 000
клм. Пользуясь таблицей к задаче № 478, определить, сколько
времени идут солнечные лучи до различных планет.
2) Скорости в 1 сек.: звука 330 м., света 300 00ч клм.,
электричества по телеграфной проволоке 11бУ0 клм. Сколько
времени потребуется звуку, свету и электрическому току,
чтобы обежать землю по экватору? (Длина земного эква-
тора 40 000 клм.)
482. Под действием тепла те та расширяются. Если удли-
нение стержня при повышении температуры от 0° до 100°
по Ц. разделить на первоначальную длину стержня при О"
и на 100, то получится средний коэффициент линейного рас-
ширения. Средние коэффициенты линейного расширения ме-
жду 0° и 100° Ц.:
Платины .
Железа .
Метп . .
. 0,000009
. 0,000012
. 0,000017
Серебра .
Цинка
Стекла
. 0,000019
. 0,000029
. 0,000085
Решить следующие вопросы на основании этой таблицы:
Г) Длина железной проволоки 1 верста (10 саж.; Юосаж.)
при О". Определить длину этой проволоки при 30' Ц.
2)шДлина медной проволоки при 0°=1 клм. Чему равна
длина этой проволоки при 10е Ц?
3) Длина стеклянной палочки 1 м. при 10°. Чему равна
длина этой палочки при 40п Ц.?
I/ Длина цинкового прута при 0° равна 10 м. (100 и.;
1 м.). Чему равна длина этого прута при 5е'? При 20°? при
40'? (по Ц.).
5) Опре делить длину проволоки при О", если известно,
что
медная проволока при 25° Ц. длиною 10 м.:
же тезная „ л 10" Ц- л 1 5.5 саж.:
серебряная „ л 35° ц. » 5,25 м:
платиновая „ я 40° ц. л 80 си.
483. Средний коэффициент об’емного расширения при-
нимают равным утроенному линейному. Если говорят, что
— 250 —
коэффициент об'емного расширения платины между 0° и
100° Ц. равен 0,000027, то ото значит, что 1 куб. дцм.
платины при увеличении его гемпературы на 1° Ц. увели-
чивается на 0,000027 куб. дцм. На основании приведенных
выше коэффициентов линейного расширения решить сле-
дующие вопросы:
1) Какой об'ем будет занимать кусок стекла в 5 куб.
см. при 40° Ц.?
2) Какой об’ем будет занимать кусок серебра в 4 куб.
см. при 37° Ц.?
3) Каков об’ем куска цинка в 100 куб. см. при 50° Ц.?
1) Медный шар радиуса в 2.5 см. нагрет до 30° Ц.
Каков его об’ем?
5) .Железный брус длиной 2,5 м., шириною 0,05 м.,
толщиною 0,12 см., нагрет до 30° Ц. Каков его об’ем?
(>) Платиновый цилиндр длиною в 10 см. с радиусом
основания 1 см. нагрет до 20° Ц. Каков его об’ем?
7) Каков должен быть об’ем при 0°-
кубика из платины, если при 10° Ц. он 15,5 куб. см.?
платиновой проволоки ., „ 15° Ц. она 4,8 куб. см.?
стеклянного шара „ ., 50° Ц. он 37.5 куб. см.?
жетезного бруса „ ,, 80° Ц. он 275 куб. см.?
484-. При решении последующих задач нужно иметь
в виду эту таблицу удельных весов.
Удельный в е с.
Золота . . Серебра. . . 19.32 . 10,74 Воска . . Льда . . . 0,99 . 0,92 Вес 1 куб. см. воды при нор-
Алюминия. . 2,67 Березы . . 0,64 мальных усло-
Платины . . 21,48 Пробки . . 0,24 виях =грамму.
Хеди. . . . 8,93 Керосина . 0,84
Цинка . . . 6,92 Молока . . 1,02
Ртути . . . 13,59 Вина . . . 0,87
Песчаника . 2,35 Воздуха . . 0,0012‘ 13
1) Серебряный кубик имеет ребро длиною в 1,3 м.
Определить его вес.
— 251 —
2) Льдина имеет форму прямоугольного бруса тай-
ною 10.8 м., шириною 4,25 см., толщиною 2.8 м. Опреде-
лить его вес.
3j Воздух давит с силою 1,03 кгр. на 1 кв. см. Как
велико давление воздуха на все грани куба, ребро которого
0,9 см.?
4) Сколько вес пт воздух, наполняющий комнату дли-
ною 7.5 м., шириною 4,75 м., вышпною 4 м.?
5) Пз березы изготовлена правильная треугольная призма,
высота которой 7,2 см.; сторона основания 3 см.; высота
треугольника, служащего основанием, 2,6 см. Вычислить вес
этой призмы.
6) Стеклянный стакан, высота которого 15 см., наруж-
ный радиус 4 см., внутренний 3.9 см., толщина дна 2 мм.
наполнен вином. Вычистить вес этого стакана с вином.
485. 1) Цилиндрический паровой котел в диаметре
0.8 м.; длина его 4 м. Как велико давление пара на всю
поверхность котла, если на 1 кв. см. пар давит с силою
10.5 кгр.?
2) Цилиндр высотою в 0,75 м. наполнен керосином.
Определить радиус основания цилиндра, если в нем вме-
щается I1/, пуда керосина.
3) Плоское золотое кольцо толщиною 0,05 см. имеет
внутренний диаметр 1,9 см. Определить вес этого кольца
486. 1) Мировая добыча золота в 1900 году соста-
вляла 100 000 кгр.; добыча золота в С.С.С.Р. составляла
10% мировой добычи. Какого диаметра шары можно сделать
из яолота, добытого в С.С.С.Р. и во всем мире в 1900 году?
2) Пз кап ли мыльной воды, имеющей 0,5 см. в диа-
метре, ьыдули пузырь с диаметром в 12 см. Как велика
толщина стенок этого пузыря?
3) Наружный диаметр шарика термометра 2,4 см.; тол-
щина стенок 0.1 см. Определить вес ртути, наполняющей
этот шарик.
487. 1) Река имеет в ширину 100 сан:, при средней
глубине 12/3 саж.; быстрота течения в данном месте О, I саж.
— 252 —
в секунду. Вычислить об’ем и вес воды, проносимой рекой
через данное место в течение суток. (1 саж. = 2,133 метра).
2) Вычислить суточный и годичный расход воды рекз
Гручья), близ которого стоит город (деревня), произведя для
этого необходимые измерения.
488. 1) Если под’емная машина может поднимать 1 пуд
на высоту 1 фута в каждую секунду, то говорят, что мощ-
ность этой пашины составляет 1 пудофут.
Если пид’емная машина может произвесть работу
в 15 раз больше, т. е. в 1 сек. поднять 15 пуд. на
1 фут высоты или 1 пуд поднять на высоту 15 ф.
в 1 сек., то говорят, что мощность этой машины равна
1 лошадиной сите.
На мельнице вода падает с высоты I1/., саж., причем
в 1 сек. на мельничное колесо падает 200 ведер. Сколько
пудофутов и сколько лошадиных сил составляет мощность
падающей воды? (Вес ведра воды 30 фун.)
2) Ручей в данном месте шириною 1Х/+ саж., глубина
его 0,75 арш. Определить силу падающей воды, если вы-
сота падения 1,2 арш. при вредней скорости ручья 2’/3 саж.
3) Определить силу падения воды на ближайшей мель-
нице, у ближайшей запруды, произведя для этого необхо-
димые измерения.
4) Если машина в 1 сек. может поднять 1 кгр. на
высоту 1 м., то говорят, что ее мощность 1 килограммо-
метр. Выразить ответы предыдущих задач в килограммо-
метрах.
489. То количество тепла, которое нужно дтя нагре-
вания на 1° (с 15° до 16° Ц.) одного грамма воды, назы-
вается калорией. Затратив определенное число калорий,
можно заставить воду закипеть; пар, распространяясь во все
стороны, производит давление, работу и обладает мощностью.
Лучи солнца, нагревая земной шар, сообщают ей громадное
число калорий и обладают мощностью в 365 000 000 мил-
— 253 —
лиовов лошадиных сил. Вычислить, сколько лошадиных сил
приходится на 1 кв. м. земной поверхности, если принять
земной радиус равным 6 000 клм.
490. Сколько весит воздух, находящийся в комнате
длиною 6,75 м., шириною 5,44 м., вышиною 3,42 м., если удель-
ный вес воздуха 0,0013? Сколько по об’ему в этой комнате
азота, кислорода и углекислоты, если на 100 куб. м.
воздуха приходится 78 литров азота, 21 литр кислорода
L литра углекислоты?
491. По расчетам известного ученого Эрисмана, необ-
ходимо для здоровья человека, чтобы в квартирах приходи-
лось не менее 20 куб. м. воздуха на человека при вы-
соте квартиры не менее 2,8 м. Какова должна быть пло-
щадь пола квартиры для семьи в 4 человека? Какие раз-
меры может иметь эта квартира? Распланировать эту квар-
тиру так, чтобы в ней было три комнаты.
Гигиена.
492. 1J Сделать расчет для определения, какие размеры
может иметь классная комната, чтобы в ней без вреда для
здоровья могло обучаться 40 человек, если, согласно требо-
ваниям гигиены, на каждого ученика должно приходиться
0.375 кв. саж. площади пола и не менее 0,75 куб. саж. воздуха.
2) В комнате длиною 9,6 м., вышиною 3 м., шириною
4,5 м. помещается 25 человек. На сколько времени хватит
им воздуха для правильного дыхания, если в 1 мин чело-
век делает 18 вдыханий, вбирая в себя каждый раз 500 куб.
см. воздуха?
493, Определить состав воздуха классной комнаты дш-
ною 10 м., шириною 6 м., высотою 2,8 м. до занятий и
после занятий, если известно, что:
1) до занятий кислород составляет 20,91 %; азот 78,06%;
аргон 0,94%; углекислота 0,04%;
2) после занятий: кислород 16 %; азот и аргон 79,59%,
углекислота 4,38 %.
— 2 >4 —
494. Сколько весят водяные лары в комнате, если их на
1 куб. м. приходится 9,6 гр., а размеры комнаты: длина
3’/8 саж.; ширина 21/3 саж.; высота l1'* саж.?
495. Количество питательных веществ, необходимых
для человека, определяется, главным образом, по количеству
теша, которое может получиться от различных продуктов.
Количество тепла, необходимое для нагревания на 1° Ц.
1 кгр. (одного титра) воды, называется большой кало-
рией. Сколько калорий тепла нужно взрослому мужчине и
женщине и детям, если для них нужно в день не менее:
1; взрослому мужчине при средней работе 118 гр.
белка, 56 гр. жиров, 500 гр. углеводов;
2) женщине (при тех же условиях) 9 2 гр. белка, 44 гр
жира и 400 гр. углеводов;
3) ребенку в возрасте от 6 до 15 лет 70 гр. белка,
40 гр. жира и 300 гр. углеводов?
При этом известно, что 1 гр. жира дает 9,3 калории.
1 гр. белка и углеводов по 4.1 калории.
496. Человеку физического труда (рабочему) погагается
в 1 сутки 120 гр. белковых веществ, 100 гр. жиров и
500 гр. углеводов; человеку, не занимающемуся физической
работой совершенно, нужно 80 гр. белка, 30 гр. жира и
300 гр. углеводов. Какое число калории нужно каждому
из них?
Состав пищевых продуктов (по Кенигу).
ИРОД! КТ Ы. Белка. Жира. Угле- водов. Соли (зола). Ьлетч. (волок- па) Бода.
Говядина средняя . . . . 21% 5,5 .— 0,5 — 73
Телятина 20 1,5 — 2 — 73,5
Свинина нежирная .... 20,5 7 — 1 — 71,5
Щука 13,5 0,5 — 1 — 80
Сельди маринованные 19 17 — 1(>,5 — 47,5
П Р 0 Д У к т ы. Белка. Жпра. J гле- водов. Соли (зола). К.тетч. (волок- на). Вода.
Яйца 12,» 12 — 1 — 74,5
Коровье молоко цельное .... 3,5 4 4,9 — 86.9
, т снятое .... 3,1 0,7 4 0,7 — 91,5
Л/асло 0,1 85,4 — 1 — 13,5
Свиное сало 0,5 99 — — — 0,5
Тощий сыр 34 11,5 3,5 5 — 46
Горох 23 о 52 5 Q Г. — 20
Рис вареный . . 6,5 1 78,5 1 0,5 12,5
Ржаной хлеб 6 0.5 47 1,5 1 44
Пшеничный хлеб 6 0,5 49 1 — 43,5
Картофель ... 2 0.5 20,7 1 1 74,8
Капуста 2,5 — 6,5 1 1,5 88.5
Овощи свежие 0,5 — 10 0,5 4 85
Питательность продуктов за кос?и переваривания. 1 гр. жира дает 9,3 больши 1 гр. белка и углевода по В сутки нужно взрослому 1 6 до 15 лет 1640 бидьппх калорг 1ВНСИТ н х кало 1,1 бон ужчине 1Й. е толькс эий. ших ка не ме ОТ их игорий. нее 250 состава 0 кало1 НО и 0 )ПЙ, Дет т лег- ли от
497. В учебнике гигиены указан следующий стол,
рассчитанный на взрослого работающего мужчину:
1) Завтрак: молока 200 гр. (стакан), 250 гр. ржаного
хлеба (*/? ФУН-) м 25 ГР- «асла (*/16 фун.).
2) Обед: говядина с горохом, хлеб, картофель в коли-
чествах .150 гр. средней говядины, 150 гр. гороха, 400 гр.
картофель?, 10 гр. масла, 100 гр. ржаного хлеба.
3) Ужин: молочный суп с рисом и хтеб с сыром
в количествах 300 гр. снятого молока. 40 гр. риса. 20 гр.
сыра и 250 гр. ржаного хлеба.
Вычислить, имея в виду таблицу. 1) количество белка,
жира и углеводов, которое человек полупит при этом питании
в 1 сутки; 2) количество больших калорий тепла, которое дает
эта пища.
— 256 —
498. 1) Сделайте расчет, по тем же вопросам, дли
своего завтрака, обеда и ужина.
2) Составьте для себя дешевый и здоровый стол, имея
в виду, что около 7е всег0 количества белков должно быть
дано в виде пиши, легко перевариваемой желудком (мясо,
яйпа, молоко).
3) Дтя завтрака школьнику нужно белков 26 гр.,
жиров 16,6 гр., углеводов 133,3 гр. Подобрать кушанье на
завтрак при помощи таблицы на стр. 254—25-5.
499. Средний вес человека 64 кгр.; вес крови 1 н веса
тела. Какое количество крови прих тлится на 1 кгр. тела?
Во сколько времени сделает полный оборот (т. е. вся пройдет
черев 1 кгр. тела)? Какое количество крови проходит в 1 ми-
нуту? Сколько крови прогоняется одним биением сердца,
если оно делает 72,5 ударов в 1 минуту?
Различные вопросы.
500. Минутная стрелка карманных часов длиною
1.75 см. Какой длины путь опишет ее конец в сутки?
501. Сколько кирпичей потребуется для постройки
стены 7,5 м. длиною, 4.2 м. вышиною, 0,4 м. толщиною,
если длина каждого кирпича 0,25 м., ширина 0,15 м., толщина
0.6 м.; промежутки между кирпичами заливаются известью,
которая занимает 1О°/о всего об’ема.
502. Грамм фуксина растворен в 50 гр. спирта, 1 гр
этого окрашенного спирта разбавлен водою в об’еме 25 куб. см.
В эту воду опущена трубочка длинно 1.5 см. с диаметром
1 мм., которая, наполнившись, заметно окрасилась в цвет
фуксина. Сколько фуксина—по весу—попало в эту трубочку?
503. 1) Золотую монету, диаметр которой 2 см. и
толщина 1,5 мм., расплющили в тист с площадью в 120 кв. м.
Какова толщина этого листа?
2) Каков будет диаметр стержня длиною 0.6 м. и диа-
метром 0.008 м., если его вытянуть в проволоку длиною
в 400 верст?
504. Сколько весит земной шар, ести средний его диа-
метр 12740 клм., а удельный вес можно считать в среднем 5,5?
— 257 —
505. На верхушке здания помещен шар диаметра 1,8 арш.
Сколько будет стоить позолота этого шара, если 1 кв. арш.
обойдется в 5000 руб.?
503. 1)100 кгр. свежего молока дают в среднем 8—10 кгр.
твердого сыра. Сколько сыра получится из 1 ведра молока,
если удельный вес молока 1,03 и вес 1 ведра воды 30 фун.?
2) Обыкновенно каждые 100 кгр. свежего молока, по-
требленного теленком, увеличивают его вес на 10 кгр. Во
что обойдется при этом 1 фунт телятины, если 1 кгр мо-
лока стоит 15 коп.?
507. 1) Чтобы испечь ржаной хлеб, нужно взять теста
на 12% по весу больше, чем предполагаемое количество хлеба;
чтобы испечь белый хлеб, на 28% больше. Сколько нужно
взять теста, чтобы испечь 5 ржаных хлебов по 3’/2 фун. и
2 белых хлеба по я/4 фун.?
2) Для приготовления теста берут 3 части воды на
4 таких же части муки. Сколько муки нужно, чтобы полу-
чить количество хлеба, указанное в предыдущей задаче?
3) Рассчитать, сколько белой муки нужно, чтобы
к школьному празднику испечь на каждого ученика по 1 фун.
белого хлеба.
508. 1) При размоле ржп получается 60% муки первого
сорта, 10% второго, 25% отрубей и 5% теряется (распыл). Сколько
муки каждого сорта получится при размоле 5 пуд. зерна?
2) В 1918 году в Петрограде хлеб пекли, смешивая
все продукты размола (и отруби). Сколько получится при
этом печеного хлеба из 1 пуда зерна, если припек для ржи 14%?
509. На человека среднего роста нужно на брюки
13/4 арш. двойного сукна, на жилое 3/4 арш., на пиджак
2 арш. 10 верш. Сколько стоил весь материал, если 1 арш.
в 1918 году стоил 45 руб.?
IV. Элементы алгебры.
Уравнения.
515. Записать условия задачи с помощью обозначения
неизвестного буквою и определить неизвестное.
1) При взвешивании на одну чашку весов положили
4коробки перьев и гирю в 20 гр., на другую, чтобы уравноге-
Грацианский. Задачник. 17
— 258 —
сить первую, пришлось положить гирь на 70 гр. и 3 таких
же коробки. Сколько грамм весит каждая коробка?1).
2) На весах равновесие, если на одной чашке весов
2 ящика равного веса и 60 гр. гирями, на другой 1 такого
же веса ящик и 110 гр. Сколько граммов весит ящик?
3) На одной чашке весов 5 равных металлических
шариков и 100 гр. гирями, на другой 7 точно таких же
металлических шариков и 60 гр. гирями, причем весы нахо-
дятся в равновесии. Сколько граммов весит каждый шарик?
516. Определить неизвестное на основании следующих
равенств:
1) ж+,15 = 2+ 2 а;
2) 7 л; -J- 6 = 4а; + 21
3) 75 + а; — 5# + 11
4) 80-j-2a;= 1704-^
5) 10.r+ 1 = я-1-91
6) 12а; + 2 = 24 +а;
7) За; + 8 = 5а; + 7
8) 25 +4а; = 125 + 2ж
517. Нарушится или не нарушится равенство, если
1) к двум равным величинам прибавить по-
ловину?
напр., 7 гр. = 7 гр.; 7 + а и 7 +а равны ли друг другу?
груз гири
2) от двух равных величин отнять поло-
вину?
напр., 15 гр. = 15 гр.; равны ли 15 гр. — а и 15 гр. — а?
груз гири
518. Обозначая неизвестное число с помощью буквы
записать условия следующих далее задач и на основании
полученных равенств определить неизвестное число.
1) Мальчик пошел на рынок покупать яблоки и, рас-
спросив о ценах, узнал, что если он купит 7 яблок, то
у него не хватит 5 коп.; если же он купит 6 яблок, то у
него останется 3 коп. Сколько стоит каждое яблоко?
2) Для поездки учащихся на экскурсию им отвели
часть вагона; пересчитав скамейки, экскурсанты рассчитали,
что если на каждую скамейку сядет по’ 8 человек, то
2 останутся без места; если по 9 человек, то останутся сво-
бодными 4 места. Сколько скамеек отвели для экскурсии?
Сколько человек ехало на экскурсию?
*) Показать это на весах.
— 259 —
3) Стоят палки, летят галки. Если на каждую палку
сядет по 6 галок, то 3 галки останутся без места; если на
палку сядут по 7 галок, то останется не занятых 12 мест.
Сколько галок, сколько палок?
4) Если к утроенному задуманному числу прибавить 1 5,
то получится столько, как если от учетверенного задуман-
ного числа отнять 5. Найти задуманное число.
5) Если задуманное число умножить на 10 и от произ-
ведения отнять 20, то получится столько же, сколько в сумме
от сложения 34 и учетверенного задуманного числа. Найти
задуманное число.
6) Пассажир рассчитал, что если поезд пойдет со скоростью
40 верст в час, то на станцию назначения придет с опозда-
нием на Г/2 часа, а если по 70 верст, то раньше времени
на 3710 часа (на 3 часа 18 мин.). Сколько времени поезд дол-
жен исти нормальным ходом и как велико оставшееся рас-
стояние до станции назначения?
519. Решить следующие
поверку найденных решений.
1) 7® — 6=4®4-5
2) 150 — 130® = 12 ® 4~ 8
3) 100 — 5 и = 3и —-20
далее уравнения и произвести
4) 115 — 7 х = 110 — 5 ®
5) 25® — 9 — 15® — 29
6) 9® = 22®+ 13
520. Решить следующие
поверку найденных решений.
1) (®—2) . 5 = 3® 4-6
2) 8 . (® — 1) = 2 . (3®4-1)
3) 7® = 3 . (2®4-3).
далее уравнения и произвести
4) 5® — 1 4- 7 . (®—3)
5) 8 . (®4-4) = 9 . (®4-3)
6) 11 ®4-15 = 13(®4-1)
521. Решить следующие задачи путем составления урав-
нений.
1) Рассчитывали купить яблоки по 7 руб. штука (зна-
ки 1922 года) и взяли для этого необходимую сумму денег;
но яблоки оказались по 10 руб. штука, и потому пришлось
купить меньше на 21 штуку, чем предполагали. Сколько
яблок рассчитывали купить и какую сумму денег израсходо-
вали на эту покупку?
2) Ученик отправился пешком к своему товарищу и
рассчитывал итти со скоростью 5 верст в час; но дорога
17*
— 260 —
оказалась труднее, и потому он делал в час лить 372 версты,
вследствие чего пришел на 3 часа позже, чем рассчитывал.
Во сколько времени рассчитывал ученик пройти весь путь
и какое расстояние нужно ему пройти?
3) Заготовили хлеба на артель рабочих, на каждого
по 4 фун.; но оказалось, что каждому потребовалось по 5 фун.
хлеба, и потому для 20 человек не хватило сделанного
запаса. Сколько человек в артели?
4) Отцу 34 гола, сыну 4. Через сколько лет отец
будет в 4 раза старте сына? Через сколько лет отец будет
старше сына в 272 раза? в 2 раза?
Сколько лет назад отец был старше сына в 16 раз?
в 31 раз?
5) Знаменатель дроби больше числитедя на 1; если
прибавить к числителю и знаменателю по 3, то получитсг
*/5. Найти эту дробь.
6) Знаменатель дроби больше числителя на 1; если
от числителя и знаменателя отнять по 2, то получится
дробь 5/6 • Какая эта дробь?
7) Если к числителю и знаменателю дроби прибавить
по 7, то подучится дробь 10/ц. Какая это дробь, если ее
знаменатель больше числителя на 7?
2. Применение буквенных обозначений для формулировки
общих выводов.
Отношение.
522. 1) Сделать сравнение, во сколько раз длина ком-
наты больше ширины.
Записать это отношение.
2) Обозначив длину окружности круга через С, длину
радиуса через г, записать, что отношение окружности к диа-
метру равно 3,14 (с точностью до 0,01).
3) Обозначив длину стороны первого квадрата через п,
второго через Ъ, записать отношение площадей этих квад-
ратов К.
Вычислить это отношение К, если « = 2; Ъ = 3
а = 1; 6=2
а = Vi ь = 2V-2
а = 3/4; Ъ = 2/,
— 261 —
4) Обозначив длину ребра первого куба через а, вто-
рого через Ъ, записать отношение об’емов этих кубов 31.
Вычислить это отношение М, если а — 2; Ъ — 3;
а=1; Ь=72;
а — 0,5; Ъ = 0,1.
5) Стороны прямоугольника а и Ъ. Во сколько раз из-
менится площадь прямоугольника, если каждую сторону уве-
личить в 2 раза (3, 5 раз)?
6) Обозначив длину, ширину и высоту ящика через а,
Ъ и с, показать, во сколько раз изменится об’ем его, если
каждый размер увеличить в 2 раза (3, 5, 10 раз).
7) Обозначив радиус круга чрез г, показать, во сколько
раз увеличится площа дь круга К, если его радиус увеличить
в 3 раза (в 10, 20 раз).
8) Обе значив радиус основания цитиндра через г
высоту цилиндра чрез h, показать, во сколько раз увели-
чится об’ем цилиндра к, если и длину радиуса и длину
высоты увеличить каждую в 2 раза (5, 10 раз).
9) Как относятся площади треугольников, из которых
у одного как основание, так и высота в 2 раза меньше,
чем каждый из соответствующих размеров другого треуголь-
ника?
Нельзя ли вывести общее правило, как откосятся пло-
шади одноименных фигур, из которых у одной длины соот-
ветствуй пцих размеров в п раз больше, чем у другой?
Нельзя ли вывести общее правило, как изменяется об’ем
тел, если размер основания и высоты этих фигур увели-
чить в гг раз?
Пропорция.
523. Если взять 4 таких числа, что первое число а больше
второго числа Ъ в п раз, т. е. а — Ъ • п-, третье число с больше
четвертого числа d тоже в п раз, т. е. с = d • п, то
отношение между первыми двумя числами а:Ъ = п
п , второй парой с: d = п
II а с
Это можно записать так: а:о = с:а или — —3.
— 262
Подобрать такие 4 числа, чтобы из них можно было
составить пропорцию. Напр.,
первая пара 3 и 3-7 = 21,
вторая пара 4 и 4-7 = 28;
тогда
О1 Ой
21:3 = 28:4 или - = -.
3 4
524. Если взять какие-тибо пропорции, напр., 1) 39 :13 =
2 1
= 21:7 или 2) 30:15 = — : —, то можно сделать след, выводы;
1) 39 = 13 • 3; 21=7-3 и пропорция
(13- 3):13 = (7 • 3):7.............(I)
2 1
2) 30 = 15 • 2; — = — • 2 и пропорция
3 3
(15-2):15= .............(П).
Как видно из формул (I) и (II), произведение крайних членос
равно произведению средних членов. Всегда ли это верно?
Выяснить это положение, обозначив члены пропорции
с помощью букв.
525. Если взять 4 таких чиста, что при перемножении
их попарно получаются равные произведения, то из таких
4 чисел можно составить пропорцию.
Напр, 5-12 = 4-15. Разделив обе части этого равен-
ства на произведение 5 • 4 (один множитель из левой, другой
из правой части равенства), получаем
5 12 4-15 12 15
Разделив то же равенство на 5-15, имеем
----=----- или 12:15 = 4:5.
5-15 5-15
Проверить это на нескольких примерах.
526. Обозначив чрез а - Ъ = с • dравные произведения двух
сомножителей, показать, как можно получить из этого ра-
венства пропорцию.
Сколько различных пропорций можно получить из этих
4 чисел?
— 263 —
527. Решить следующие уравнения, пользуясь свой-
ством пропорции.
1) х: 3 = 7:2
15 :х = 25:8
17:34 = з:27
28:4 = 36:з
2) 21/й:з = 31/3;2’/<
^:5г/4 = 72/3:б7в
0,2:з = 0,9: 2,5
3,75:8,9 = 4,8:з
Решить задачи Л?Л; 454 и 455 (стр. 82 и 83}, соста-
вив на основании условия задач пропорции. /Ср. геом. задачи
на местность, стр. 134—135, №№ 611—613).
528. Начертить по одному и тому же масштабу пути,
которые проходят в 1 сек.:
лошадь.................20 фут.
поезд железной дороги • 50 фут.
1) Составить пропорцию, показывающую равенство
соотношений отрезков на чертеже и длин пути в 1 сек.
в действительности.
2) Представить по одному и тому масштабу пути для
лошади и поезда железной дороги в 1 минуту, в 1 час.
Не [ьзя ли обойтись прежним чертежом? Как изменится
при этом масштаб?
3) Составить пропорцию, показывающую равенство
соотношения отрезков на чертеже и длины пути в 1 мин.,
в 1 час в действительности ’).
4) Ложно ли увеличивать и уменьшать в несколько
раз члены пропорции! Показать на примерах.
5) Выяснить это свойство, обозначив члены пропорций
с помощью букв.
529. Решить следующие
в них дроби.
1) 75:1,5=з:3/4
83/4:1 ’/, = 0,5:3
0,75:3 = 4.9:2,75
Записать в полученных
в виде дробей.
пропорции, сначала уничтожив
2) 42/3:2/5 = з: 1’/4
7,25 :2,5 = 4,75 :з
1,84:з= 23,7:13/4.
пропорциях оба отношения
') Подобные упражнения см. Грацианский, „Сборн. арнфм. задай.
Цел. числа', стр. 12—13.
— 264 —
530. 1) Начертить по одному и току же масштабу
(1 деление = 4 фут.) пути, которые прошли два поезда—пасса-
жирский 28 фут. в 1 сек., товарный 20 фут. в 1 сек.
Длина отрезков на чертеже прямо-пропориионалъна
.лине изображаемых путей. Записать это в виде пропорции.
Указать примеры прямо-пропорциональных величин.
2) Начертить те же самые пути по масштабу
1 деление =; 8 фут. Число футов в 1 делении чертежа и длины
отрезков на чертеже обратно-,рипорциональны друг другу.
Записать это в виде пропорции. Указать примеры обратно-
пропорциональных величин. •
531. Начертить по одному и тому же масштабу еле-
дующие пути: 1) в 1 секунду I) мухи . . 16 фут.
Я 1 п И) грача 32 Я
л 1 99 III) сокола . 34 я
я 1 п IV) орла . . 100 99
Если яти пути начертить по масштабу 2 фут. = 1 дм.
то отношение длины пройденного пути к длине изображаю-
щего его отрезка на чертеже?
т. 16 Ф- п ( ттт, 34 *• о л I) для мухи — = 24 III) для сокола 17 * = 24
т.> 32 ф. „ , 100 ф. . il) для грача л =24 IV) для орла ~ 24. ' х 16 дм. ' 50 дм.
Все 4 отношения равны, что можно записать в виде
ряда отношений
16 ф. 32 ф. 34 ф. 100 ф. / I II III IV ч
8 дм. 16 дм. 17 дм. 50 дм. 1 8 16 17 50 I
пропорциональный ряд ,
Записать в виде пропорционального ряда отношение
действительных длин пути к длинам отрезков на чертеже
при другом масштабе, которым вы пользовались для чертежа.
2) Тот же расчет дает возможность написать такие
пропорции: I: II = 8 : 16; I: III = 8 : 17; I: IV = 8 : 50.
Эти пропорции заменяют I: II: III :.IV = 8 : 16 : 17 : 50
(пропорциональный ряд).
Заменить пропорциональш ш рядом ряд таких про-
порций:
— 265 —
1)1:11 = 7:10; 1:111 = 7:11; I:IV = 7:17;
I: V = 7 : 16.
2) 1:11 = 5:6; 11:111 = 6:13; III:IV=13:2O.
3) 1:11 = 7:0,5; 1:111 = 7:0,3.
4) 1:11=11:12; 11:111 = 12:19; III: IV= 19 : 25.
5) 1:11 = 3:5; II: III = 5 9; III:IV=9:16.
Так как члены пропорции можно увеличивать и умень-
шать в одно и то же число раз, то и члены пропорционального
ряда можно увеличивать и уменьшать в одно и то же
число раз.
(1) I: II : III = 2700 : 1800 : 4500; это равносильно
I: II = 2700 : 1800 и I: III = 2700 : 4500, или I: Л = 3 : 2;
J : III = 3 : 5. Значит, вместо (1) I: II: 111= 3 : 2 : 5.
532. Упростить ряд:
1) 1:11:111=750:600: 1200.
2) I: II: III: IV = 900 : 2500 : 1400 : 1100.
3) 1:11:111 = 2: — :—.
' 2 3
4) I:II:III = 3j: 2у:р
9 7 5
5) 1:П:Ш:1У=10:4|:^-:р
ООО
533. Записать в виде пропорционального ряда соотно-
шение между следующими величинами:
1) длиною реки Невы 60 верст.
Оки 1380 дч
» 55 Камы 1695 п
п п Волги 3180 п
2) населением в Харькове 175 000
(1907 г.). я Киеве 320 000
Г) Я Одессе 450 000
л п Петрограде 1 960 000
Я * 5? Москве 1 535 000
3) соотношением числа учащихся в разных классах ва-
шего учебного заведения;
ч 4) весом самого тяжелого, самого легкого и среднего
веса учеников класса;
— 266 —
5) площадями и об’емами различных комнат вашей школы.
534. Если требуется записать в веде пропорционального
ряда соотношение между обратно-пропорциональными величи-
нами, то рассуждать можно следующим образом. Пусть, напр.,
нужно записать, как относятся числа делений (длина отрезков),
которые изображают одну и ту же длину 1000 верст при
различных масштабах: 1 дел. = 20 верст; 1 дел. = 40 верст;
1 дел. = 50 верст; 1 дел. = 100 верст.
Тогда да (первое число делении) = —; да2 = —; «3 = у ;
1000 г.
й* = "1оо‘ Отношение межДУ числами деления пх: : да3 . да4 =
1000. юоо
— 20 ' 40
100U 1111, , ч
----=— :— . — : — (ум°ных’ить в 1000 раз).
100-20 40 50 100 1 '
т-,— обрпдагдаы по отношению к 20, 40
. 1000
50
1 1
20 ’ 40 ’ 50 ’ 100
Числа
50, 100.
Следовательно, числа деленпя (длины отрезков) пропор-
циональны числам, обратным величине масштаба.
1) Заменить в предыдущем примере число 1000 каким-
либо другим числом и показать, что отношения между дли-
нами отрезков на чертеже всегда пропорциональны числам,
обратным величине масшаба.
2) Записать соотногиение между величинами, обратными,
числам 3, 4, 5; 10, 15, 25; 30, 40, 70; 80, 90, 120, 140.
3) Указать примеры обратно пропорциональных вели-
чин (напр., число рабочих часов в день и число рабочих
дней для выполнения одной и той же работы и т. п.) и
выразить соотношение между ними с помощью пропорцио-
нального ряда.
535. Отношение между длинами отрезков, изображающих
расстояния между городами, выражается пропорциональным
рядом I: II: III :1V = 5:7 : 12:16. Определить действитель-
ное расстояние между этими городами, если второе расстоя-
ние составляло 350 верст.
536. Отношение между длинами диаметров пт?нет:
I: II: III: IV : V : VI: VII: VII: IX =
= 109:1,37 : 0,99 : 1 : 0,53 : 11,06 : 9,3 : 4,23 : 38;
— 267 —
обозначения: I — Солнце; II — Меркурий; III — Венера;
IV — Земля; V — Марс; VI — Юпитер; II — Сатурн;
VIII — Уран; IX — Нептун. Определить действительные раз-
меры тиаметров планет в круглых числах, если считать
диаметр земли 12000 клм.
537. Выразить в виде пропорционального ряда соотно-
шение между расстояниями птанет, вращающихся вокруг
солнца, если считать, что они удалены от солнца:
1) Меркурий . . 53 мил. верст
2) Венера . . . 102 п »
3) Земля . . . 140 п »
4) Марс. . . . 210 и »
5) Юпитер . . . 720 w »
6) Сатурн . . . 1313 и »
7) Уран . . . 2660 » «
8) Нептун . . . 4170 п п
Приняв расстояние от земли до солнца равным 1 вер-
сте, прикинуть для своей местности, на каком расстоянии от
центра (принять за центр какое-нибудь выдающееся здание,
откуда приблизительно известны расстояния до селения)
в этой сравнит! льной системе должны вращаться другие
планеты.
538. Об’емы 3 ящиков, наполненных одинаковым грузом,
равны 25 куб. фут., 30 куб. фут. и 10 куб. фут. В каком
отношения находятся веса этих ящиков друг к другу?
Чему равен вес каждого из них, если вес третьего—
15 пудов?
539. 1) Длины сторон квадратов равны 5 верш., 15 верш,
и 10 верш. Выразить пропорциональным рядом, в каком
отношении находятся’ площади этих квадратов?
2) Ребра кубов находятся в отношении I: II: III —
= 7:4:1.
Выразить пропорциональным рядом, в каком отношении
находятся об’емы этих кубов?
— 268 —
540. Ученик же тает изобразить в виде площади (целая
плошадь—все нам ление), разделенной на части, распределе-
ние населения различных местностей.
1) по возрасту: до 15 лет .
15 —40 „
свыше 40 „
. 7500
. 8500
. 6000
2)
»)
По занятиям: земледельцев . . . 80000 чел.
рабочих .... 30000
служащих ... 2000 „
По полу: мужчин .... 75ОиО
женщин .... 93000.
Выразить пропорциональным рядом отношение между
площадями на чертеже для этих распределений.
Как начертить диаграмму этого распределения, если бы
занимали 3696 кв. см. (подробности см. Грацианский, „Сборн.
арифм. задач. Целые числа", №№ 1134—1140).
541. Выразить пропорциональным рядом соотношение:
1) между нагрузками одного носильщика в 3 различ-
ных артелях, несущих поровну, если в первой эти тяжести
распределяются между 20 рабочими, во второй 25, втретьой 15;
2) между временем, которое требуется для выпол-
нения одинаковой работы трех артелей, если в одной 16 че-
ловек, в другой 20, в третьей 24 человека;
3) между высотами равновеликих прямоугольников, если
основание их 12 см., 18 см., 28 см.;
4) между временем, которое требуется для прохождения
одного и того же пути, если скорость 35 саж., 45 саж.,
60 саж., 70 саж.
542. 1) Сумма трех слагаемых 1121. Определить эти
слагаемые, если I : II: Ш = 6 : 5 : 8. (Составить уравнения).
Определить для случая, когда величина слагаемых
обратно-пропорциональна числам 6, 5 и 8.
2) Три артели рабочих, работающих с одинаковой про-
изводительностью при одинаковых условиях, заготовили
600 куб. саж. дров; первая артель состояла из 40 чел.,
вторая из 90 чел., третья из 20 чел. Решить путем соста-
вления уравнения, сколько куб. сажен заготовила каждая
артель.
— 269 —
Свойства чисел.
543. Если задд манное число умножить на 2, прибавить
затем произвольное число (напр., 10), сумму разделить по-
полам, от частного отнять задуманное число, то остаток равен
половине прибавленного произвольного числа (в данном
случае 5).
Всегда ли это верно? Об’яснить, почему.
544. Угаоывание дня рождения. Об’яснить, почему
с помощью следующего расчета можно безошибочно опре-
делить чей угодно день рождения.
1) Вы предлагаете кому-либо: число дня рождения умно-
жить на 2, в произведению прибавить 5, сумму умножить на
5 и к произведению прибавить нумер месяца (напр. для мая—5;
августа—8). Результат нужно спросить для угадывания. От
этого результата угадывающий отнимает 25, полученный остаток
дает ответ о дне рождения: первые две цифры показывают
число дня рождения, последняя — нумер месяца. Напр.,
рождение 31 мая: (31 • 2 -J- 5) . 5 -J- 5 (нумер мая) = 340.
Получив результат 340, поступают так: 340 — 25 = 315.
31 число дня рождения, 5—нумер месяца, т. е. 31 мая.
Этот способ верен, если в остатке последняя цифра не О,
не 1 и не 2.
2) Если в остатке получается число, последняя цифра
которого 0, ши 1, или 2, то нужно спросить, в какой поло-
вине года рождение—в первой или во второй. Если в первой,
то способ остается без всякого изменения. Если во второй—
то нужно, кроме 25, вычесть еще 10. Для всех случаев
остатка (0, 1 или 2) нужно помнить, что 0 соответствует
октябрю, 1—ноябрю, 2 декабрю. Напр., день рождения
17 ноября = 17/xi. Тогда (17 • 2 -J- 5) • 5 -|- 11 = 206;
206—25=181. j знав, что день рождения во второй поло-
вине года, нужно 181 —10 = 171. Тогда ответ 17 ноября.
Почему для этих случаев нужны описанные изменения
в расчете?
3) Прикуй способ определения дня рождения. Число дня
рождения умножить на 3, прибавить к произведению 5,
умножить сумму на 4, прибавить число дня рождения, потом
— 270 —
нумер месяца и затем вычесть 20. Полученный результат
нужно спросить. Для определения дня рождения нужно на-
званный результат разделить на 13; частное даст число дня
рождения, а остаток—нумер месяца. Напр., 23 июня = 23/п.
Предлагается (23’ ЗЦ-5) ’44-23Ц-6—20 = 305. Узнав,
что результат 305, нужно 305:13 = 23 и остаток 6, т. е.
23/п. „
4) Способ определить возраст и день рождения.
Просите умножить нумер месяца на 100, к произве-
дению прибавить число дня рождения, сумму умножить на
2 и прибавить 5; полученное число умножить на 10, при-
бавить 23, результат опять умножить на 5 и к произведению
прибавить число лет, которое исполнится в день рождения.
Число, которое получится, вы просите сказать.
Узнав результат, для получения ответа нужно: из на-
званного результата отнять 365, полученный остаток разбить
справо налево на грани по 2 цифры (последняя может иметь
и 1 цифру). Тогда первая справа грань укажет число лет,
первая слева нумер месяца, средняя число дня рождения.
На пр., кто-нибудь родился 7 сентября (т. е. 7/гх), и ему
в этот день исполнится 36 лет.
Предлагается (9 • 1004-7)’2 = 1814; (1814—|—5) • 10 =
= 18190;(181904-23)-5 = 91065; 9Ю65Ц-36 = 91101.Этот
результат вам говорят. Тогда: 91101—365 = 90736; 9|07|36.
Следовательно, будет 36 лет, 7/ix.
545. На пальцах можно производить умножение одно-
значных чисел, зная не всю таблицу, а лишь часть—чисел
от 1—5 на числа первого пятка.
Положим, нужно умножить 7 на 8. На одной руке
сгибаем 2 пальца (т. е. столько, на сколько первый множи-
тель больше 5), на другой 3, т. к. 8 бо. [ыпе 5 на 3. Со-
гнутые пальцы считаем—их 5; заачит, в состав произве-
дения входит 5 десятков. Оставшиеся несогнутычи пальцы
означают единицы, — их нужно перемножить: на одной руке
осталось несогнутых 3 пальца, на другой 2; значит, число
элиниц 3 • 2 = 6. Все произведение 56.
Проверить это на нескольких примерах!
— 271 —
Об’яснение этого приема дает математическая формула:
а.Ъ = (а— 54-6—5).Ю + [5— (а— 5)].[5— (6—5)]. . . (1)
где а—первый множитель, Ъ — второй множитель. Пз этой
формулы получаем (Лак?) такую:
а.Ъ — (а-\-Ъ—10)’ ЮЦ-(10—а) .(10—6),
а потом: а.6=10а4-Ю6—100Ц-(100—10а—1О64-а6),
а из нее: ЮаЦ-ЮЬ—10а—10Ь-{-аЬ,
I
т. е. правая часть действительно равна левой.
Об’яснить: 1) как составлена формула (1),
2) как упрощалась правая часть этой формулы.
546. С помощью пальцев можно умножать и двузнач-
ные числа не выше 20. Для этого нужно:
1) сложить единицы множимого и множителя, это десятки;
2) перемножить те же единицы—произведение единиц;
3) сложить полученные десятки и единицы и прибавить
к сумме 100.
Напр., 14-15:
1) 44-5 = 9; значит 90.
2) 4’5 = 20.
3) 90Д-20-{-100 = 210.
-ч.
Проделать несколько таких примеров!
О’ояснение этого приема дает формула
(10+а).(104-Ь) = (10+а).10+(104-а).Ь= .
= ЮО+Юа+ЮЬЦ-аЬ '
или:
(104-а).(104-6)= 1004-Ю (а4-Ь)-1-аЬ. (2)
Об’яснить: 1) как составлена формула (1);
2) как формула (2) об’ясняет прием вычи-
сления.
547. Применяя буквенные обозначения, показать пра-
вильность выводов для всяких чисел:
1) Зная, что 1040318228677 = 2870564 . 362407 4-
4-5741129, найти частное и остаток от деления числа
1040318228477:
а) на 2870564; б) на 362407.
— 272 —
2) Зная, что 1040384968947 = 2870764 . 362407— 1,
найти частное и остаток от деления числа, которое нахо-
дитъя в первом члене этого равенства, как а) на 2870764;
так б) на 362407.
3) Известно, что 75 = 18 . 4-J-3; найти, не производя де-
ления, частное и остаток от деления числа 75: а) на 18;
б) на 4.
4) Известно, что 94=19 . 5 — 1; найти, не производя
деления, частное и остаток от деления числа 94: а) на 19;
б) на 5.
5) Если известно, что 605 = 50 . 12 5, указать, не про-
изводя деления, частное и остаток от деленья числа 605:
а) на 50; б) на 12.
6) Если известно,что 10497 = 107 . 98—|—11, указать, не
производя деления, частное и остаток отделения числа
10197: а) на 107 и б) на 98.
7) Если известно, что 14755 = 205 . 72 — 5,указать,не
производя деления, частное и остаток от [деления числа
14755: а) на 205; б) на 72.
8) Если A—a . Ъ -|- с, указать частное и остаток от де-
ления Л: а) на а; б) на Ъ.
9) Если А = a . 1г — п, указать частное и остаток от
деления А: а) на а, б) на к.
548. Разность между каким-нибудь числом и тем чи-
слом, которое получится, если написать все цифры в’обрат-
ном порядке, делится на 9 без остатка.
Напр. 375; второе число 573; разность 573 — 375 =
= 198 : 9 = 22.
Проверит о это на нескольких примерах.
Составить общую формулу для 3 - значимо [(4 - знач-
имо) числа и показать, что для этих чисел сказанное
выше правим верно. Всегда ли это правило верно? Почему?
(Показать с помощью буквенных обозначений).
549. 1) Если взять два каких-либо числа, дающих равные
остатки при делении на одно и то же третье число, то раз-
ность между этими числами делится на это третье число без
остатка.
— 273 —
Напр. а) 75 при делении на 9 дает в остатке 3
66 „ „ „ 9 „ „ „ 3
разность 75 — 66 = 9 делится без остатка на 9.
б) 79 при деления на 11 дает в остатке 2
161 л л л И л л л 2
разность 101-—79 = 22; 22 : 11 = 2 (без остатка).
Проверить это правило на нескольких примерах.
Всегда ли это правило верно? Почему?
21 Остаток от деления не изменится, если делимое увели-
чить или уменьшить на кратное делителя (т. е. на число,
делящееся без остатка на делителя).
Напр. 75: 18 = 4 и остаток 3. Если прибавить, напр.,
18 . 2 = 36, то 75Д-36 = 111. а 111:18 = 6 и остаток 3. Если
отнять то же число, то 75 — 36 = 39, а 39 : 18 = 2 и остаток
3. Остаток, как видно, во всех случаях 3.
Проверить это правило на нескольких примерах.
Всегда ли оно верно? Почему? (Показать с помощью
буквенных обозначений.)
550, а) Взять произведение нескольких простых множи-
телей, напр. 2 . 3 . 5 . 7; найти произведение и, не про-
изводя деления, определить:
1) делится ли это произведение на 2; 5; 7; 3?
2) чему равно частное от деления этого произведения
на 2; 7; 5; 3; 6; 14: 10; 15; 21; 42; 70?
Проверить это на произвехении нескольких мно-
жителей.
Составить список всех чисел, на которые данное про-
и щенение делится без остатка.
б) Составить список всех чисел, на которые произведение
чисел 7.11.5 делится без остатка.
Делится ли оно без остатка на 2; на 13; на 3; на 19;
на 44; на 17?
в) (’оставить список всех чисел, на которые произведение
15.4 делится без остатка.
г; Дать такойсписок для произведений 1) 12.25; 2) 15.14;
3) Ю . 21 . 4; 4) 35 . 8 . 10; 4) 25 . 16 . 9; 5) 9 . 16 . 27.
Грацианский, 3?дачник. 1 *
— 274 —
д) Определить, не производя деления, делятся ли эти про-
изведения на простые числа: 1) 7; 2) 5; 3) 11; 4) J3, 5) 3.
Может ли быть, чтобы произведение нескольких мно-
жителей делилось без остатка на какое-нибудь простое
число, но при этом не делило без остатка ни одного из
этих множителей?
N. Приложение.
1. Первые ступени счета1).
Счет необходим не только человеку, но и животным:
даже животным иногда необходимо сосчитать число пред-
метов, напр., своих детенышей. Но умение считать далось
не сразу, оно приобреталось медгенно, с большим трудом.
Об этом отчасти можно судить на основании наблюдения
иад дикими народами, которые еще живут в далеких краях
земного шара.
Один путешественник рассказывает, как ему пришлось
вести торговлю с африканским племенем Даммара.
„Когда совершается мена, за каждую овцу нужно пла-
тить особо. Например, если меновая цена овцы 2 пачки
табаку, то любой даммарас будет в затруднении, если взять
у него двух овец и дать четыре пачки табаку. Я раз по-
ступил таким образом и впдел, как мой продавец отложил
особо 2 пачки и глядел через них на одну из овец, которых
он продавал. Убедившись, что за эту было честно заплачено,
и находя, к своему удивлению, что в руках у него остались
именно 2 пачки в уплату за другую овцу, он начинает
мочиться сомнениями. Для полной правильности делу, каза-
лось, следовало пройти в два приема.
„И вот он снова обращается к первой паре пачек, затем
в голове у него делается тумат но и смутно, он переходит
мысленно от одной овцы к другой и, наконец, отказывается
or сделки, пока ему не были вложены в руку 2 пачки и
уведена одна овца, и затем даны другие 2 пачки и уведена
вторая овца.
„Когда ум даммараса обращает свои силы на ход
вычисления, то он слишком уж занят этим для того
*) По Геккелю, Кантору, Леббоку, Тейлору и др.
— 275 —
чтобы в то чге время обращать внимание на количество.
Если, например, покупается у него телка за 10 пачек табаку,
то его широкие руки нужно растопырить по земле и на
каждый палец положить по пачке табаку; количество табаку
ему нравится, и сделка кончена. Вы хотите затем приобре-
сти другую те 1ку,—прежний процесс повторяется с начала
до конца. Но вы кладете на пальцы вместо целых пачек
половины; продавец попрсжнему доволен и, лишь случайно
открыв шутку на другой день, жалуется на обман. Test не
менее они редко теряют быков; способ, которым они откры-
вают пропажу какого-нибудь из них, об’ясняется не уменьше-
нием числа голов в стаде, а отсутствием некоторой знакомой
фигуры. Однажды, наблюдая одного дамкараса, который без-
надежно бился над каким-то вычислением по одну сторону
от меня, я заметил по другую Дину, мою испанскую собаку,
в подобном же затруднении. Она оглядывала с полдюжины
своих новорожденных щенков, которых уносили у нее два-
три раза, и ее беспокойство доходило до высшей степени,
когда она старалась решить, все они налицо пли же все
еще нескольких недостает. Ее глаза смущенно перебегати
по ним, но она все-таки не могла успокоиться. Очевидно, она
имела некоторое смутное представление о счете, но число
было слишком велико для ее мозга. Сравнивая их обоих,
собаку и даммараса, как они стояли возле меня, должен
признаться, что результат сравнения не делал особой чести
человеку".
Американские индейцы таманаки, по словам другого
путешественника, тоже пользуются при счете пальцами:
когда нужно сказать „один", они говорят „палец" и про-
тягивают один палец; когда два предмета, протягивают дза
пальца; когда три — три пальца. Пять обозначается словом
„рука"; шесть—„палец на другой руке", и так до десяти,
причем всегда показывается соответствующее чпсло паль-
цев. Дойдя до 10, они протягивают растопыренные пальцы
обеих рук и говорят: „обе руки“. Для обозначения числа
11 вытягиваются обе руки и нога, при чем говорят: „патец
на ноге"; дтя 12—„два пальца на ноге" и так до 15; это
число означается стовами „две руки и нога", или „целая
нога". Число 16 обозначается „одни палец на другой ноге",
18*
— 276 —
17 — „два пальца на другой ноге" итак далее до 20. Вместо
20 говорят „один индеец", при чем расставляют ноги, вытя-
гивают руки и растопыривают пальцы. Двадцати одному
соответствует „один на руке другого индейца"; 25—„рука
другого индейца"; 27—„два пальца второй руки другого
индейца". Число 40 обозначается „два индейца", 60—„три
индейца" и т. д.
Больших чисел дикарям не приходится считать. Некото-
рые дикие племена обходятся счетом в пределе 10, другие
идут далее, но все же довольствуются малыми числами. Среди
дикарей Южной Америки и австралийских пустынь встре-
чаются племена, у которых нет особого наяпания даже для
числа пять. Путешественники рассказывают, что некоторые
племена Бразилии считают по суставам пальцев и только
до трех. Всякие числа больше 3 они выражают словом
„много". Дикое племя ботокуды считают так: „один^ два
много"; у них нет слова даже для числа 3.
Камчадалы для счета пересчитывают свои пальцы сна-
чала на руках, потом на ногах; дойдя до 20. они в недоуме-
нии спрашивают; „что же нам делать дальше?". Мы видели,-
как индейцы таманаки сумели ответить на этот вопрос:
двадцать означается словом „индеец", 40—„два индейца"
м т. д.
Но когда приходится пересчитывать большое число
предметов, то этот прием оказывается неудобным. И вот не-
которые народы Южной Африки нашли более удобный
прием счзта.
В таких случаях, когда работа непосильна идиому, за
нее берется несколько человек. При счете более ста за работу
берутся три человека. Один из них считает по пальцам
отдельные предметы (единицы), сгибая пальцы один за дру-
гим и дотрагиваясь до пересчитываемых предмете в. Второй
сгибает по одному пальцу всякий раз, когда первый насчи-
тывает десяток и вынужден разогнуть свои пальцы. Третий
считает сотни.
Чем чаще диким народам приходится встречаться друг
с другом и с культурными народами тем лучше они умеют
считать, так как, благодаря этим встречам, завязывается
торговля—у одних есть то, чего нет у других.
— 277 —
Для торговли все способы счета, описанные здесь, не-
достаточно хороши: по пальцам можно считать только до
двадцати, а собирать вескотько человек, чтобы сосчшатз
сотню-другую предметов, очень затруднительно, а иногда
прямо невозможно. Поэтому негритянские купцы которым
часто приходится вести рассчеты, постоянно носят с собой
мешочек с камешками, косточками или маисовыми зернами.
Когда приходится рассчитываться, купец высыпает свои
косточки ити зерна на землю и против каждого предмета
откладывает столько этих зерен или косточек, сколько за
них договорились заплатить монет, бус ити других предме-
тов; затем уже по разложенным зернам и косточкам счи-
тают, сколько стоит весь товар. Для того, чтобы камешки,
косточки не растерялись, их нанизывают на прутья иля
шнурки. Таким образом получается счетный прибор, напоми-
нающий отчасти наши счеты, но гораздо менее удобный.
2. Различные системы счисления.
Считая по пальцам, люди могли бы выработать не
только десятеричную систему счисления, которою сейчас поль-
зуются все культурные народы, но также пятеричную и
двадцатеричную. Если пользоваться одной рукой, то при-
дется пользоваться пятеричною системой счисления; двумя—
десятеричной; руками и ногами—двадцатеричной. В первом
случае пришлось бы считать пятками, пять пятков соеди-
нять в одну группу—единицу 2-го разряда; 5 таких групп—
единиц 2-го разряда—соединять в единицу 3-го разряда и
т. д. У некоторых африканских народов наблюдается нечто
подобное: они говорят вместо „шесть" — „пять и одни",
вместо „семь" — „пять и два" и т. д., подобно тому, как
мы после десятка: одиннадцать = один сверх десяти, двена-
дцать = два сверх десяти.
Следы двадца геричной системы также наблюдаются.
В Юкатане индейцы Майя пользуются особыми словами
для чисел 20, 400 (20 раз по 20—единипа 2-го разряда
двадцатеричной системы), 8000 (20 раз по 400—единица
3-го разряда) и 160000 (20 раз по 8000—единица 4-го
— 276 —
разряда). У ацтеков в Мексике были особые слова д..я чисел
20, 400, 8000.
Кроме пальцевых систем, есть следы других систол
счисления. Мы еще и теперь считаем дюжинами карандаши,
перья и многие другие предметы. Происхождение этого
приема счета точно неизвестно; но известно, что этот прием
был распространен у римлян, у которых он, повидичому,
об’яснялся тем, что в году 12 месяцев, а приемы вычисления
развивались под влиянием астрономии и рассчетов для лето-
исчисления. При счете дюжинами, 12 дюжин считают за
единицу 2-го разряда „гросс" (напр., коробка перьев 12x12 =
= 144 пера); 12 гроссов об’единяютзя в единицу 3-го раз-
ряда—„массу" и т. д. Римляне любили 12-ричную систему
в дробях. У них 712 называлась „унция". Унциями они счи-
тали доли всевозможных величин\5/1з пути назывались 5 „ ун-
ций" пути и т. п. Эти доли настолько были в ходу, что-
с помощью их выражали такие доли, которые нам кажутся
более удобными: вместо 7s говорили 172 унции; дроби 712 ?
712 > 712 и т- Д- Д° ”/12 имели особые значки.
У новозеландцев счет ведется группами по 11 пред-
метов. У них есть особые слова для 11, 121 (11X11)»
1331 (121 . 11); 12 на их языке „одиннадцать и один",
13—„два и одиннадцать" и т. д.: 22—„дважды одинна-
дцать", 33—„трижды одиннадцать “ и т. д.
В Вавилоне счисление велось по 60-ричной системе
счисления: 60 единиц первого разряда составляли 1 еди-
ницу 2-го разряда—„сосс"; 60 единиц 2-го разряда составляли
1 единицу 3-го разряда— „сар" и т. д. В соответствии
с системой счисления были приняты п деления едпнгцы на
60 равных частей, этой дроби снова на 60 (т. е. 73600) и т-л-*
Эта система счисления находилась в полном соответствии
с измерительными приемами астрономии и с системой мер.
Вавилонским ученым принадлежит заслуга деления окруж-
ности на 360 градусов, градуса на 60 минут, минуты на
60 секунд. Эта приемы астрономических вычислений широко
распространились из Вавилона, очень долго держались
— 279 —
в Европе, и следы их до сих пор сохранились в виде гра-
дусного измерения и циферблата наших часов.
551. Сколько различны 5 слов требуется для счета по
10-ричной системе счисления? (Назвать их).
Сколько цифр требуется для записи чисел по 10-рич-
ной системе счисления?
Сколько различных слов и цифр потребуется для дру-
гих систем счисления, описанных выше?
Сколько различных слов и цифр потребовалось бы, если
бы называла числа, не пользуясь никакой системой счисления?
552. 1) В старинных русских книгах указывали самое
большое число', „больше сего числа нести человеку разумевати".
Есть ли такое число? Где границы нумерации? (Ср. И. Гра-
цианский, „Сборн. арифм. зад. Арифм. целых чисел", изд. 5-е,
№ 708.)
2) Составить таблицу, начатую здесь. Сравнить число
чисел каждого вида с числами предыдущих видов.
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. Самое меиыпее ИЗ ПИХ. Самое большее из них. Сколько чисел итого вида.
Однозначные ..... Двухзначные Гнехзвачные Четырехзначные . . . Пятизначные Шестизначные .... и т. д. 100 993 900
553. 1) Общая формула для 2-значного числа при десяте-
ричной системе счисления 10а Ъ, где 0<«< 10; &<10
(т. е. 0 меньше а, а меньше 10; Ъ иеныпе 10), причем аиЪ
целые числа.
Придавая а и Ъ всевозможные значения в границах,
определенных выше, записать числа, поручаемые при этом.
2) Можно ли над, числами, написанными не по деся-
теричной системе счисления, производить действия так же,
как над десятичными числами? П. пробуйте!
— 280 —
3. Цифры.
Обозначение чисел с помощью цифр производилось
различно у различных неролов.
Дикари, о которых говорилось раньше, записывали
числа при помощи черточек на дереве и щ зарубок. Ниже
помещен образчик записи чисел у дпкарей (см. стр. 293).
В России и теперь еще неграмотные крестьяне не
знают цифр, а числа записывают при помощи зарубок:
напр., для обозначения порядка,, в котором нужно склады-
вать бревна при постройке дома, плотники делают зарубки—
на первом одну, на втором две и т. д.
Но такие записи очень неудобны, в особенности в
случае больших чисел. Поэтому люди очень давно старались
придумать удобные приемы и значки для записывания чисел.
Дальше помещены для образца цифры древнейших
народов, египтян и ваьилонян (см. стр. 294).
Цифры, которыми мы пользуемся, с течением времени
много раз меняли свой вид. Помещенная ниже (на стр. 293)
таблица показывает, как иьменятигь наши цифры, называемые
арабскими.
4. Из истории арифмзтических действий.
Сложение.
Сложение многозначных чисел издавна производилось
чаще на счетных приборах, чем письменно; у нас, русских,
таким прибором служат торговые счеты.
При переходе от сложения на счетах к сложению
письменному приходится столкнуться с неудобством, если
вести сложение на бумаге так, как на счетах, т. е. начиная
с единиц высших разрядов. (В чем заключаются это не-
удобство?)
Чтобы выйти из этого затруднения, кроме современного
способа сложения, можно применять следующие. Сравнить
удобство и неудобство этих приемов с применяемым у нас.
— 281 —
При каких приемах легче найти ошибку: обычном или
приведенных здесь?
, 37979 + 9 8-<45 37979 ' 98345
12 14
15 11
12 12
11 15
14 12
136324 136324
Вычитание.
Вычитание многозначных чисел также издавна произ-
водилось на счетах; поэтому прп письменном вычитании
также начинали вычисление разности с единиц высших раз-
рядов (напр., в IX веке по Р.Хр. арабский математик Бен-Муза).
Но неудобство этого способа (какое?) побудило перейти
к приемам, при которых вычитание начинается с единиц
низших разрядов. Однако, прежде чем прийти к современ-
ному способу вычитания, практиковали иные приемы.
1) Византийский математик Максим Птанудес (XIV век)
вычитание производит точно так же, как п мы, но проводит
черту над уменьшаемым и разность пишет сверху; кроме
того, он пишет подробнее все вычисления, стремясь всю
работу свести к механическому записыванию. Вот пример
вычитания по способу Максима Планудеса.
08984 разность.
24031 исправленные разряды
—35142 уменьшаемое
26158 вычитаемое
Разобрать этот способ и проделать с помощью его
несколько примеров.
2) Второй способ, который практиковался также в XIV
веке, отличается от современного тем, что, прибавляя единицу
высшего разряда к числу единиц какого-либо разряда
уменьшаемого (в случае, когда оно меньше числа единиц
того же разряда вычитаемого), эту единицу не вычитают
— 282 —
от соответствующих единиц уменьшаемого, а прибавляют
к единицам этою разряда вычитаемого. Напр.
4372 от 12 вычесть 5 = 7
2445 „ 7 „ 5=2
„13 „ 4 = 9
1927 „ 4 „ 3=1.
Чтобы отметить, какие цифры вычитаемого повышаются,
над ними ставится точка.
Этот способ и в настоящее время применяется иногда
в школах Зап. Европы, напр. во Франции.
Проделать несколько примеров на вычитание этим спо-
собом. Сравнить этот способ с принятым у нас.
3) Способ Адама Ризе (XVI век) отшчается тем, что
в случае, когда приходится занимать, он рекомендует вычитать
от занимаемого десятка, а остаток прибавлять к соответ-
ствующей цифре уменьшаемого.
Напр.
4372 2445 5 от 10 = 5; 54-2 = 7 6 — 4 = 2 10 — 4 = 6; 64-3 = 9 3 — 2 = 1.
1927
„К разрядам уменьшаемого прибавляется дополнение до
10 разрядов вычитаемого
Проделать этим способом несколько примеров.
4) На основе этого же приема можно вообще вычитание
заменить сложением: вместо того, чтобы вычитать число,
прибавить его дополнение; полученный результат уменьшить
на единицу того разряда, до которой дополнено вычитание.
Напр. 2106 —1957.
Дополнение числа 1957 = 10000—1957 и находится
просто „в уме": каждая цифра вычитается из 9, кроме
последней справа — единиц, которая вычитается из 10.
Поэтому
2106 6 да 3 = 9; Ода 1 = 4; J4-0 = E 24-8 = 10
1957
10149—10000 = 149.
— 283 —
Об'ясншпъ, почему нужно вычитать единицу, до которой
дополнено вычитаемое? (Указание.—Как вычитается разность
двух чисел?)
Проделать этим способом несколько примеров.
5) Арабский ученый Алькальцали (XV век) предложил
такой способ. Когда приходится занимать, он от 10 вычитает
тот избыток, который имеется у цифры вычитаемого над
цифрой уменьшаемого. Напр. 5341—3872:
... 1) 10—1 = 9, так как 2—1 = 1
5341 о) 10—4 = 6, так как 7—3 = 4
3872 з) Ю—6 = 4, так как 8—2 = 6
1469 4) 4—3 = 1.
Применить этот способ рассуждения на практике.
Умножение.
Умножение — сложение равных слагаемых. Первичные
приемы умножения и сводились к утомительному прибавле-
нию одного и того же числа. В дальнейшем, повидимому, был
найден способ, который и в настоящее время применяется для
умножения на счетах. Это способ „удвоения", который у егип-
тян заменял умножение и делал для них ненужным знание
таблицы умножения. Напр. 35 . 19. Для этого 35 4~ 35 = 70
(т. е. 35X2);
70 4-70=140 (т. е. 35 . 4); 140 4- 140 = 280 (т. е. 35 . 8);
280 4- 280 = 560 (т. е. 35 -16); 560 4 7и = 630
(т. е. 35 . 18); 630 4-35 = 665, т. е. 35 . 19 = 665.
С развитпэм письменных вычислений, для умножения
было найдено около 30 различных способов. Современный
способ умножения многозначного числа на многозначное
ведет свое начало от А дама Ризе (XVI век). Из числа дру-
гих далее будут приведены лишь некоторые для образца;
среди них есть такие, которые интересны и в настоящее
время.
— 281 —
1) 1721
Х2034
9442
14163
18884
9602514
Сравнить этот способ с обычным и
выяснить: 1) чем отличается этот спо-
соб от обычного? 2) есть ли какие-либо
преимущества у обычного способа
пред разбираемым способом? ’)
2) Разобрать следующий способ умножения.
456 X 97 Установить прием умножения по приве-
денному образцу.
456’97 В чем заключается удобство этого спо-
36 соба? (Этот способ нарывался „умножением
45 посредством угла11).
:54
: :42
:35
28
44232
3) В XVI веке практиковался способ „умножения тре-
угольником “.
456 X 97
32342
485
654
5
44’23’2
3 X 7 = 42 пишется полностью; 5 X 7 — 35: 5 под 4 десят-
ками, 3 сотни правее 42; 4 х 7 = 28: 8 под 3, 2 рядом с 3.
Вообще цифры пишутся по возможности в верхней строке,
если есть свободное место для данного разряда... 6X9 = 54:
в 3-й строке; 5X9 = 45: 4 рядом с 8, 5 сотен под 5, в 4-й
строке; 4 X 9 = 36; 6 левее 54, 3—в 1-ю строку слева.
*) Этот способ практикуется и школах Франции, так как он подготовляет
к приближенному умножению и к умножению многочленов.
— 285 —
4) У индусского математика Баскары (XII век) встре-
тивший название „ молниеносного Вот образцы его при-
менения:
5 6 4 6 7
X XX
9 7 8 9 3
5432 417031
Для умножения устанавливается, от переумножения каких
цифр получаются единицы, десятки и другие разряды произве-
дения. Это показывают кресты. Частные произведения склады-
вайте* в уме.
В первом примере: 56 . 97 рассуждают так:
Единицы произведения получаются только от умноже-
ния единиц множимого на единицы множителя. Десятки про-
изведения получаются от 1) умножения десятков множимого
на единицы множителя; 2) умножения единиц множимого
на десятки множителя; 3) десятков, которые получаются при
умножении единиц на единицы. Сотни произведения полу-
чаются в данном случае от умножения десяткив множимого на
десятки множителя и тех сотен, которые могут получиться при
сложении десятков, получаемых в 3 случаях (см. выше). Значит
V 6X7 = 42; 2 пишем
9 7 5X7 = 35; 6X9 = 54; 35Д 54-}-4 = 93; 3 пишем;
_ ,5X9 = 45; 45-1-9 = 54; 54 пишем.
Все вычисления, написанные сбоку, производятся в уме.
Проделать этим способом несколько примеров.
При долгом упражнении можно, действительно, добиться
„молниеносной" скорости и перейти к умножению чисел с
большим числом знаков.
— 286 —
Деление.
Современный способ деления ведет свое начало от ара-
бов (IX век по Р. Хр.).
Как умножение заменялось раньше сложением, так
деление—вычитанием.
Прооелатъ несколько примеров (85 : 17; 3875 : 125)
путем вычитания.
Из других способов деления большая часть заключа-
лась в способах записи частного и делителя.
Большой интерес представляет австрийский способ деле-
ния: он производится быстрее, в нем меньше ппсьма и больше
устных расчетов по сравнению с нормальным. Поэтому этот
способ есть шаг вперед. Но трудность этого способа — в лег-
кости сделать ошибку при малейшей невнимательности.
167535 : 365=4.
215
Обычным путем получается цифра 4. Далее: 365.4, но про-
изведение не находится и не подписывается целиком, а по
частям вычитается: 5.4 = 20: из 5—0 = 5; 6.4 = 24;
244-2 = 26; из 7—6 = 1; 3.4=12; 124-2 = 14; из
16—14 = 2. Все это в уме! и т. д.
Проделать этим способом несколько примеров.
Дроби.
Вычисления над дробями различно разрабатывались
у двух народов древности, оказавших в этом отношении
большое влияние на последующее развитие приемов вычи-
сления над дробями.
1) Первым центром распространения методов вычисле-
ния над дробями был Египет, где эти вычисления велись
чрезвычайно своеобразно. Египтяне, как об этом можно
судить по папирусу Ринда (начато 2 тысячелетия до Р. Хр.),
все вычисления над дробями старались свести к вычисле-
— 287 —
нпям над основными дробями, т. е. над такими дробями, у
которых числитель единица. ’Эти дроби записывались так:
записывался знаменатель, над которым ставилась точка;
напр. 7 означало — (но цифры были иные, о чем см. стр. 281);
кроме того, существовал особый знак для дроби 2/s. Дроби
неосновные изображались в виде суммы основных дробей,
2 1 1 -
напр. — = — и —, причем между дробями знак стожения
5 3 15
2 112 11
не ставился, а подразумевался: — — — —; — — — —. На папи-
2
русе дана таблица разложения для дробей вида ,т. е.
с числителем 2 и нечетным знамена гелем. Дроби с четным
знаменателем, путем сокращения, сводятся к дробям таблицы.
Если встречалась дробь с большим числителем, то ее
можно разложить на слагаемые с одинаковыми знаменателями,
числители которых 2 и 1. Первые из них, ести не сокра-
щались на 2, то прямо находились в таблице. Напр.
7 2 2 2 1
— = — + “ + — + ~ Первые 3 дроби разложены в таб-
9 9 9*9 9
шце; четвертая—основная дробь.
С помощью помещенной ниже таблицы произвести раз-
ложение следующих дробей: '
5 6 7^ •£_ £ U
7’ 1Г 10’ 15’ 14’ 16
2 1.1
Таблица. 7 = 7 + -
о 3 15
_L । JL
7 ~ 4 1 28
2 —2. ( +
9 — 6 ' 18
11 6 1 С6
£ | |1
13 ~ 8 52 ‘104
- = - + -
15 10 1 30
Почему в таблице не помещены 'ipo6u с четными зна-
менателями?
— 288 —
Вычитанье производилось с помощью подыскания допол-
нения до уменьшаемого, а деление делалось путем подыскания
такого множителя, который давал бы в произведении за-
данное делимое. Часто вычислитель в трудных случаях на-
ходил приближенный результат, затем постепенно исправлял
свою ошибку.
Легко ли производить вычисления над дробями, запи-
санными таким образом?
2) Вторым независимым центром развития вычисления
над дробями был Вавилон, где основанием системы счисле-
ния в научных вычислениях было не 10, a GO [так что 81
писалось, пользуясь современными цифрами, 1(21)с0; 64=146Р
и т. под.]. В Вавилоне все счисление было построено очень
стройно: для облегчения согласования вычисления над дро-
бями были приняты 60-ричные дроби, что упрощало ра-
боту так же, как введение десятичных дробей упрощает со-
временные дробные вычисления. 60-ричная система счисления
оставила следы и до сих пор: у вавилонян была система мер,
построенная также на 60-ричном основании, в частности
в астрономии для вычисления времени 1 час делился на
GO частей, 1jeo часа еще на 60 частей, откуда современное
деление1 1 час = 60 мин., 1 мин. = 60 сек.; окружность делилась
на 360° = 60° х 6; 1° = 6О' (минутам). 1' = 60" (секундам).
В научных работах 60-ричные дроби сохранялись еще
в средних веках, пока в XV веке не уступили место деся-
тичным дпобям.
3) Современная запись дроби ведет начало от индусов,
от которых она перешла в Европу через арабов: числитель
ставили над знаменателем. Черту для разделения впервые
применил Леонардо Пизанский в книге Liber abaci (1202);
возможно, что она применялась и у арабов еще ранее. Но
лишь с начала XVI века в руководствах знак черты упо-
требляется постоянно.
Название „дробь" впервые у того же Леонардо.
Числитель и знаменатель—перевод латинских выраже-
ний, употребляющихся с XIII века.
Долгое время шла борьба между индусским влиянием,
подсказывавшим десятичные дроби, и вавилонским, рекомен-
довавшим 6^-ричные дроби. Еще в XV веке в таблицах Регио-
— 289 —
монтана радиус делится на 6000000 частей, чтобы прими-
рить обе системы дробей. В сочинении французского мате-
матика Виета (1540—1603) впервые записана десятичная
дробь, сначала путем обозначения дробной части мелким
шрифтом, в дальнейшем—отделением от целой час^п вер-
тикальной чертой. Но широкое распространение десятичные
дроби получили благодаря специальной работе Стевина, где
он защищает десятичную систему и для дробей и дня системы
мер, прося правительство ввести десятичную систему монет,
мер и веса. Стевин писал сначала десятичные дроби так:
0,3759 у него %) 7(2) 5(з) 9(4); 8,937 у него 80 9(i) 3(2)7(з);
а потом в его работе появляется и современный способ.
4) Действия над дробями. Первыми действиями, которые
изучались в старых учебниках арифметики, были умножение
и деление, так как для сложения и вычитания требуется при-
ведение дробей к одному знаменателю. Эта одна особенность
старого изложения действий.
Вторая особенность старых учебников Европы заклю-
чалась в стремлении дать механические правила. В этом
отношении интересны приемы умножения и деления дроби
на дробь в учебниках, изданных несколько сот лет назад.
Правило умножения дроби на дробь формулировалось так:
„чтобы умнс жить дробь на дробь, нужно числителя умножить
на числитетя, знаменателя на знаменателя; 1-ое произве-
дэние числитель, 2-ое знаменатель® (как теперь). Чтобы
облегчить запоминание правила деления дроби на дпобь,
хотели и для деления тести вычисление так, чтобы полу-
чилось соответствующее правило: „чтобы разделить дробь
на дробь, нужно числителя разделить на числителя, знаме-
нателя на знаменателя; 1-ое произведение—числитель, 2-ое зна-
менатель". Чтобы это правило было верно, нужно было
данное делимое преобразовать. Это делали так: —: ' Дели-
О &
7 3.5-
мое преобразовывали так ' ' (т е. числителя и знаменателя
делимого помножали на произведение числителя и знамена-
ч о 7.3.5 3 7.5
теля делителя). оатем —-—: — — ——, т. е. делится числи-
s. з. & 5 8.3
тель на числитель и знаменатель на знаменатель (Неморарий,
1237 год.)
pjf Грацианский. Задачник.
19
— 290 —
Обозначая дроби с помощью букв, показать, что ото
правило пригодно ьсегда
5. Меры в различные времена
Необходимость измерять расстояния, вес и время давно
чувствуется людьми. Самым диким людям часто нужно опреде-
лить как далеко враги, как тяжела тяжесть и т. и. При
торговле необходимость измерять дает себя чувствовать на
каждом шагу: кто не хочет потерять свое имущество даром
или за бесценок, гот должен, как можно лучше, измерять товар.
Меры длины, которыми люди измерял я в древности, были
подсказаны человеку самой природой: расстояния измерялись
шагами или ступней, а иногда частями руки—длиною локтя,
толщиною пальца, шириною ладони. Арабы измеряли длиною
ряда ячменных зерен или шириною ряда лошадиных волос:
ширина пальца считалась равною 7 ячменным зернам, шири-
на ячменного зерна равною 7 ширинам волос мула или
лошади.
Современные меры длины тоже находятся в связи с раз-
мерами человеческого тела: дюйм —длина сустава указатель-
ного пальца; четверто аршина—расстояние между концами
растопыренных большого и указательного пальца; вершок—
два сустава указательного пальца взрослого человека. До сих
пор еще кое-где в русских деревнях говорят о „маховой
сажени", т. е. ширине раскинутых рук.
Меры веса тоже брались из природы: за единицу веса
принимали вес зерна. В Индии до последнего времени су-
ществовала малая весовая единица „рати“, равная весу ма-
ленького красного зерна.
Меры времени у всех народов заимствованы из при-
роды—время измеряется движением солнца по небосклону и
переменою дней и ночей.
Из всех мер лишь для измерения времени природа дала
достаточно точное средство; остальные меры, взятые из при-
роды, слишком изменчивы. Локоть, шаг, палец—различны у
различных людей; зерна тоже далеко не всегда одинакового
веса. При торговле часто возникали споры: приходи тось сна-
чала рассмотреть, каким пальцем, локтем, каким зерном будет
— 291 —
измеряться и взвешиваться товар; а при этом так легко оши-
биться. В это время бы то много мер, носивших одинаковые
названия. Чтобы положить этому конец, государственная
власть дотжна была вмешаться: изготовлять меры опреде-
ленного образца и требовать, чтобы пользовались такими
мерами.
Русские меры тоже изменялись с течением времени,
пока не были установлены окончательно: и у нас когда-то была
мера локоть (=102/8 верш.); аршин раньше был другой
длины—27 дм.
По указу Петра Первого (в начале XVIII века) са-
жень = 3 арш., а 1 аршин = 28 англ, дм., это было вызвано
необходимостью согласовать русские меры с английскими
для удобства торговых сношений с англичанами.
Меры емкости—четверик и веса—пуд и фунт—старые
русские меры: они встречаются в рукописях XVII века.
Но установить размеры единиц длины, веса и др.—
мало: нужно следить за тем, чтобы изготовленные меры были
точны, а для этого нужно хранить строго проверенные
образцы и с ними сличать все вновь сделанные единицы
измерения. Для этого была основана Главная Палата
мер и весов в Петрограде, отделения Палаты по другим
городам. К обязанностям Палаты мер и весов отно-
сится: 1) хранение основных образцов („прототипов") еди-
ниц веса и меры, принятых у нас; 2) хранение копий
с образцов иностранных мер; 3) изготовление точных копий
с основных единиц мер для областных и губернских пове-
рочных отделений, для проверки торговых мер; 4) выверка
единиц меры и веса, доставляемых различными учреждениями;
5) составление сравнительных таблиц мер русских и ино-
странных.
6. Метрическая система мер и весов.
Различие в единицах мер и веса в различных госу-
дарствах доставляет большие затруднения при международ-
ной торговле.
Поэтому с развитием международной торговли стано-
вилось необходимым ввести одни и те же меры во всех
— 292 —
странах. Такими мерами, которые все больше и больше
завоевывают себе распространение у всех народов, являются
меры метрические.
Для того, чтобы раз навсегда устг норить меры и изба-
виться от разнообразия в мерах, во Франции в 1791 году
комиссия ученых (в нее входили Борда, Кондорсе, Лагранж,
Лаплас и Монж) предложила за меру дтины взять одну
десятимиллионную часть четверти меридиана. После долгих
и тяжелых трудог но измерению меридиана, работа комиссии
была закончена, и за единицу меры длины был принят метр,
1
равный £0^0000 четверти парижского мери, |,иана; все другие меры
дяины, как известно, составляют или метр, увеличенный в 10
или степень 10 раз, или такие же его уменьшение.
Меры веса связаны с метром: единица веса, грамм, есть
вес 1 куб. см. воды при 4° Цельсия. Мера емкости 1 литр =
вместимость 1 куб. дцм.
Эти две особенности- -связг всех мер друг с другом и
простота всех вычислений при метрической системе мер—
дают метрической системе большое преимущество. Недо-
статком является лишь то обстоятельство, что точно из-
мерить меридиан очень трудно, и метром называется не
1
——- четверти меридиана, а стержень, хранящийся под
lOuUwOQ
этим названием в Париже и служащий образцом для всех
других метров.
Но удобства метрической системы так велики что она
распространилась по всей Европе и в настоящее время
вводится и в С.С.С.Р.
— 293 —
Образец записи чисел у дикарей.
Изменение характера очертаний арабских цифр.
— 2Э4 —
» = 1 , И. ~ г . Ш» -
> - », Л|,а « Л||; ..
%
= 20 Л Л А. п • = 32. р
(Р. ~ 200 <? в J . ₽ 122.
Вавмонские цифры.
V-4, YT-^-2,ТП=?“3, *^*“4,
7;-5;х;;=6,^г=7,х^=8,
Г,;УТ=9;<= 10; <V = 12;
<vT = 23; <«’30, }<<=ад; iV'50;
V-»100;?’^<’ = 221. <’- 1000..
v£.'<r>~=W0; «’-= юооо.
«< <r-z
36830.
Египетские цифры.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Часть I.—Четвертый год обучения.
Повторение арифметики целых чисел.—Подготовительный
курс дробей.
I. Введение.
Стр.
1. Русские терн и обыкнов «ине дроби 1—41)................. 5
Измерение и русские меры—№№ 1—3. Неправильнг я дробь—
№№ 4—13. Раздробление дробей в более мелкие доли—№№ ]4—
35. Русские квадратные меры- -J4M 36—39. Русские кубические
меры—40—41.
2. Метрические меры и десятичные дроби (№№ 42—89)......... 14
Сравнительная величина мер русских и метрических—№№ 42—
48. Чтение и письмо десятичных дробей—49—59. Выраже-
ние соотношев _й между метрическими мерами с помощью деся-
тичных дробей—№№ 60—63. Уве..пчение н ум ньшениг дробей
в 10“ раз, раздробление десятичных дробей в более мелкие доли
и превращение в более крупные—64—71. Масштаб и гра-
фики—№№ 72—78. Квадратные и кубические меры, их соотно-
шение в десятичных дробях, наглядное представление сравнитель-
ных размеров этих мер и разные примеры из области метрич i-
ской системы—№€ 79—89.
3. Таблица для перевода русских мер в метрические и обратно ... 27
II. Сложение и вычитание.
1. Целые числа (№№ 90-106)..................................... 28
2. Обыкновенные дроби (№№ 107—177)............................. 32
3. Десятичные дроби (Ф6№ 178—217)...................... .... 38
4
III. Умножение.
1. Целые числа (№№ 218 -238)................................. 46
2. Обыкновенные дроби (№№ 239—2811 ... ... . . . 50
3. Десятичные дроби (№Х 232—304)............................... 56
IV. Деление.
1. Целые числа (.ЧЛ6 305—363)............................. . 60
2. Обыкновенные дроби (№№ 364—412)........................ . 68
3. Десятичные дроби JZj 413—452)........................ ... 75
— 296 —
Стр.
V Умножение и деление.
1. Задачи на простое тройное прави о (7676 453—456)......... , 81
2. Пртзнаки делимости (767£ 457—475) . . . ............... . 83
3. Простые числа. Разло“кение на множителей (№76 476- -4о8) . 87
Диаграммы (№76 489—493)............................... 88
4. Кратное и наименьшее кратное (7676 494—499).................. 93
Диаграммы (№76 500—507) ..... .... 94
5. Нахождение частей целого (К»7Л 508 -509).................... 98
6. Нахождение целого по его частям (7676 510—518)............... 99
VI- Примеры и задачи на 4 действия.
1. Целые числа (7676 519—535)............. . ................... 102
2. Обыкновенные дроби (7676 536—543)........................ . 103
3. Десятичные дроби (приближенное зиатен"е, 7676 514—550) . . . 101
4. Задачи (.476 55'—556)....................................... 106
5. Составление числовых формул ио условиям ,ада in и составление
условий по числовым формулам (7676 557—588) *).................. 108
6. Геометрн еские задачи (7676 589—613)........................ 123
Часть II.—Пятый год обучения.
Систематический курс простых и десятичных дробей.
I. Простые дроби.
1. Отношение (№76 1—10)................................. . . . 136
2. Изменение дроби (сокращение п приведение к одному знаменатечд),
7676 11 17)............................................ 140
3. Сложение и вычитание (7676 18—66)....................... 142
Примеры—7676 18—41- Задачи—7676 42—66, в том числе иа
уравнения—7676 48—51 и 7676 56—62, и на буквенные обозна-
чения—76Xs 63—66.
4. Умножение (7676 67—115)................................... 153
Повторительный отдел—7676 67—69. Умножение целого на
дробь—7676 70—77. Умножение целого па целое с дробью—
7676 78—82. Умножение дроби на дробь—7676 83—92 Умноже-
ние целого с дробью на дробь и на целое с дробью—7676 93—112.
Буквенные обозначения 7£76 ИЗ—115.
5. Деление (7576 116—184).................................... 171
Деление на целое—116. Деление целого па дробь и па
целое с дробью—7676 117—145. Деление дроби в а дробь— 76 №146—
157. Деление цел лго с дробью иа дро<>ь—7 № 158—169. ’(елеиие
целого с дробью на целое с дробью—7675 170—184.
6. Примеры и задачи на все 4 действия (7476 185—235)......... 187
Примеры—№76 185—213. Задачи (геометрия)—№№ 214—235.
*) Среди них задачи на сложное тройное правило (7676 581—582) и задачи
на процентные вычис ichhj (7676 583—58ь).