Text
                    УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ТРУДОВОЙ ШКОДЫ
И. И. ГРАЦИАНСКИЙ и И. Н. КАВУН
СБОРНИК
АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ЧАСТЬ I
ПЕРВЫЙ ГОД ОБУЧЕНИЯ
ДЛЯ СЕЛЬСКОЙ ШКОЛЫ
КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
Допущено Паучно-Педатич. Секцией Госуд. Учен. Совета.
♦♦♦
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАД
1925
А-


ПРЕДИСЛОВИЕ. Первая часть Сборника задач состоит из двух книг. Одна книга предназначается для ученика. Другая—для учителя. В первую книгу вовсе не включены задачи с текстом, так как дети в первом году обучения еще не владеют достаточно механизмом чтения, чтобы сво-. бодно читать и понимать задачи. Такие задачи даны в книге для учителя. Задачи расположены по темам, соответственно с требованиями связного (комплексного) обучения. Содержанием тем служит труд и отчасти игра, меняю¬ щиеся по временам года и взятые главным образом из деревенской жизни. Задачи должны заимствоваться из жизни, ближай¬ шей к школе; поэтому на задачи настоящего Сбор¬ ника надо смотреть только как на примерные, как на приблизительные. Часть их, поскольку они соответ¬ ствуют трудовой сфере школы, может быть использо¬ вана учителем, другая часть, конечно, должна быть заменена иными, более правдивыми задачами для дан¬ ной местности.
Точно так асе и темы могут разрабатываться в не¬ сколько ином порядке или иным темпом. В этом слу¬ чае учитель сделает соответствующее отступление от Сборника. Численные примеры напечатаны отдельно от текста по соображевиям технического удобства; но, разу¬ меется, решаться они будут по частям, по мере про¬ работки курса. Сборник заключает геометрические упражнения, которые будут способствовать знакомству с некото¬ рыми формами и с измерением. Изучение метриче¬ ских мер и измерение тесно связано с развитием у де¬ тей числовых понятий и последовательно проведено по всей книге. Русские меры попадаются в Сборнике изредка и допущены постолько, посколько они еще существуют в жизни. В книге не мало картинок. Роль их — напомнить детям тот или иной уголок жизни и тем заставить сильнее работать их воображение над числовой сторо¬ ной жизненных фактов. Некоторые из них могут служить иллюстрациями к задачам. Сборник предназначается для деревен¬ ских школ. Составители.
ВВЕДЕНИЕ. # Обучение^математике мы начинаем числовые с тех числовых понятий, с которыми ПРЕуСДЕТЕЙНИЯ дети встУпают в шину. Обнаруживая в процессе работы эти понятия, мы доводим их до полной ясности и систематизируем. В раннем детстве числовые понятия образуются пу¬ тем общения детей с группами предметов и потому имеют групповой характер: ребенок думает о числе три н представляет группу трех каких-либо предме¬ тов. Имея образ трех предметов, например, трех мя¬ чиков, ребенок представляет состав его: два мячика и один мячик, или один мячик и два, или один, бдии и один мячик. Образование первых понятий о числах, основы¬ ваясь на групповых образах, совершается помимо счета: дети воспринимают три предмета зараз, одно¬ временно. Имея такие образы чисел, ребенок до поступления в школу уже умеет решать задачи в роде следующей: «На дворе пасутся две черные телки да две белые; сколько телок пасется?» Умея дать ответ на такой
вопрос, дети в то же время не имеют никакого попятил об арифметической формальной фразеологии. Например, в этой эадаче они не знают, что они «при¬ бавляли* к двум телкам *двух телок. Спрашивается, сколько же чисел они таким образом знают? Наш опыт показывает, что в большинстве случаев дети восьмилетнего возраста, не учившиеся дома, знают первые 4 — 5 чисел, т.-е. умеют не только сосчитать 4 — 5 предметов, но и представляют себе состав этих чисел. Сказанное внушает нам мысль — начать обучение математике с «изучения» чисел, до¬ ведя его до числа 5.' Это следует сделать для того, чтобы повторить, пополнить и систематизировать те сведения, которыми дети владеют. Изучение числа заключает два момента: восприятие и усвоение состава его. Изучая число, например, четыре, ученик должен научиться (обычно это он уже знает) считать четыре данных предмета и усвоить, что три предмета да один будет четыре, один да три — четыре, четыре без одного — три и т. д. До какого предела доводить из¬ учение чисел в классе А? Мы доводим его до 5 и не более. Далее развитие числовых понятий лучше осно¬ вывать на счете. Это вот что значит. Научим детей сперва считать до 10. Обычно дети умеют назвать числительные имена в надлежащем порядке, но мно¬ гие из них правильно считать еще не умеют, т.-е. не знают, как этим рядом слов воспользоваться, чтобы ответить на вопрос: «сколько» предметов в данной группе их. Научивши считать до 10, мы переходим
__ 7 — к изучению таблиц арифметических действий в этом же пределе, ограничиваясь пока действиями сложе¬ ния, вычитания и отчасти умножения. Завершение умножения и деления мы относим на второе полуго¬ дие, дабы не обременять детей новыми и притом трудными понятиями, связанными с действием деле¬ ния, особенно когда дело идет о выборе этого действия в задачах. Прибавление и отнимание выполняется на основе усвоенного счета до 10. Например, 4 яблока да 3 яблока будет 7 яблок, ибо 4 да 1 — 5, 5 да 1 — 6, 6 да 1 — 7. Если дети уже знают, что 4 да 2 со¬ ставляют 6, то прибавление 3-х к 4-м можно упро¬ стить: к 4 прибавляем 2, получится 6, 6 да 1 — 7. Здесь групповые образы для получения самих сумм и разностей уже не играют значительной роли. Гораздо больше значения имеет постоянный ряд слов, произно¬ симых в определенной последовательности. Будем называть его числовым рядом. Им мы и пользуемся при счете и при вычислении. Прибавляя или отнимая данную группу предметов, мы пользуемся уже усвоенным ранее составом первых чисел — 2, 3, 4 и 5. Тан, прибавляя 4 к 5, мы прибавляем сперва 2, затем еще 2, зная уже, что 4 состоит из двух и двух. Числовые понятия в раннем детстве, как мы уже сказали выше, имеют групповой характер: они опи¬ раются на групповые образы. В это время группо¬ вые образы, помогая образованию понятия о числе и
о его составе, содействуют экономии мышления. По мере расширения области чисел и роста детского интеллекта (в восьмилетием возрасте) групповые образы становятся обременительными для мышления. В самом деле для ученика восьми лет легче к 6 при¬ бавить 2 по одному, чем, напрягая свое воображение, представить себе группы шести и двух предметов, а затем группу восьми предметов, как это он делал, когда складывал, например, 3 и 1. Следовательно в этом периоде интеллектуального развития более экономным для мышления будет опираться на число¬ вой ряд, чем на групповые образы *). Таким образом мы начинаем обучение детей мате¬ матике с приведения в порядок тех сведений, кото¬ рые они имеют о числах 1, 2, 3, 4 и 5. Далее пере¬ ходим к изучению прибавления, отнимания (т.-е. сумм и разностей) и отчасти умножения в пределе десяти. Наконец, изучаем четыре действия в пределе двух десятков и счет до 100. Намечая таким образом общие грани курса арифме¬ тики в классе А, мы не будем педантичны в следо¬ вании им. Если предметный материал, которым дети занимаются, потребует счета до 10 в то время, когд *) Последние 10—15 лет у нас некоторые составители га дачников, подражая без достаточной критики немецким методи¬ стам, стали вводить изучение числа до десяти, т.-е. возвра¬ щаться к неудачному опыту 70-х годов прошлого века. Не надо забывать, что в Германии изучение арифметики детьми начинается в школе с шестилетиего возраста.
мы занимаемся первыми пятью числами, или счета до 20, когда мы проходим первый десяток, не будем себя в этом ограничивать. Скажем более того: мы будем допускать, если это потребуется, даже необре¬ менительные для детей вычисления в пределе 20, хотя бы основная работа курса велась в пределе десятка. Математические понятия могут со¬ образность здаваться на основе конкретных обра- МАТЕМАТИЧЕСКИХ , „ понятий 8081 и тогда они имеют образный ха¬ рактер. Они могут развиваться по аналогии с теми понятиями, которые возникли на основе живых образов, и тогда они имеют полусло- весиый, полуобразный характер. Наконец, понятия воспринимаются еще и путем логического процесса, и тогда они носят исключительно абстрактный ха¬ рактер. На первых ступенях обучения математике «понятно» равнозначно слову «образно». Что не образно — не ясно. Если у детей нет образов, то нет и ничего другого, есть ряд заученных слов, почти пустота. Чтобы достичь образности, мы вырабатываем все понятия на предметах, которые по большей части на¬ ходятся в руках детей. Многие задачи с текстом мы иллюстрируем подлинными предметами или их из¬ ображениями, чтобы облечь в конкретную форму такие понятия, как прибавить, отнять, взять и разделить. После этого ученик научается, решая задачу о предме¬ тах, которых налицо нет, представлять себе арифме¬ тические действия в живой форме.
— 10 — Математический материал в на- КОМПЛЕКСНОЕ преподавание. СТ0ЯЩ®М ‘Сборнике» группируется во¬ круг тем, которые в свою очередь рас¬ пределяются по сезонам. Таким образом математика сближается с другими предметами — природоведением, родным языком, обществоведением и, наконец, с той жизненной средой, в которой ребенок живет. При этом тема иногда доставляет предметный материал, на котором и вырабатываются понятия и вычислительные приемы; иногда же к ней прилагаются математические понятия и вычислительные навыки, выработанные помимо нее на других пособиях. Это бывает в том случае, когда тема доставляет слишком неподходящий материал для данной части курса математики, и связь' математики с темой делается искусственной. Задачи в настоящем руководстве ЗАДАЧИ В ПЕРВОМ - * ГОДУ обучения. беРУтся главным образом из предмет¬ ных тем, вокруг которых группируются учебные предметы. Задачи составлены и сгруппиро¬ ваны так, что они являются органической частью курса в определенной его последовательности.. В первый год обучения задачи в 2 — 3 действия представляют для детей значительные трудности своей логической стороной: детей затрудняет расчленение сложной задачи на простые и в особенности осозна¬ ние этого расчленения. Поэтому в настоящем Сбор¬ нике такие задачи занимают очень ограниченное место.
— 11 — Так как в Сборнике задачи являются органической частью курса, т.-е. на них вырабатываются и укре¬ пляются понятия и уменья, то весьма часто они должны, как это уже было сказано выше, поясняться предметами. Пояснения делаются или подлинными предметами, или их изображениями, т.-е. рисунками, вырезками из бумаги и даже просто символами (вместо людей — палочки, вместо овощей — шарики и т. п.). Рисунки предполагаются трех типов: рисунки детей, учителя и готовые картинки. В первом и во втором случаях дети или учитель рисуют предметы в то время, когда задача предлагается. Например, учитель гово¬ рит задачу. «Мальчик вытащил 3 длинных морковки и 2 коротких. Нарисуйте, дети, 3 длинных и 2 ко¬ ротких морковки, которые мальчик вытащил. Сколько всех морковок он вытащил? Как вы узнали? Эти морковки он принес домой. Две из них съел сам». Дети зачеркивают их или стирают резинкой. «Осталь¬ ные же морковки отдал сестре», и т. д. Иногда учитель рисует предметы предварительно на доске. К ним дети подбираЛт задачу, а затем ее решают. Готовые картинки служат для иллюстрации самих предметов, о которых в задаче говорится, или для возбуждения и обогащения воображения детей при составлении ими задач. Такие картинки можно найти и в настоящем Сборнике. Весьма удобно иллюстрировать задачи вырезанными фигурами. Их преимущество — подвижность. Фигура
— 12 — вырезывается из плотной обложечной цветной бумаги учителем или, по заранее данному шаблону, учени¬ ками и укрепляется при помощи небольшого деревян ного бруска, в котором пилой сделана щель. Такие фигуры появляются перед учениками, приводятся в движение или убираются, когда это нужно по смыслу задачи. На них иллюстрируются и вычислительные приемы, и конкретный смысл понятий — прибавить, отнять, взять и разделить. Набор таких фигур хранится в классном шкафу н всегда должен быть готов к услугам учителя. 1 Составление задач детьми укрепляет составление конкретный смысл понятий—приба- учащимися. вить’ отнять» взять и разделить. Если ученик правильно придумал задачу, например, на сложение, то он понимает, когда это действие применяется. Вначале дети бывают беспомощны в придумывании задачи: они повторяют ту тему, на которую была дана им перед тем зЙдача учителем; вместо вопроса задачи они заканчивают ее ответом. Поэтому надо облегчить трудность составления задачи указанием темы или чисел: «придумайте задачу на цветы»; «придумайте задачу, в которой к пяти надо приба¬ вить два»; «придумайте задачу к этой картинке». Полезным упражнением для детей надо считать подбирание к данным числам вопроса и чисел к дан¬ ному вопросу: «Дети поставили на окошко два букета
13 - да на стол три букета; что можно узнать?» «Дети со¬ ставили букеты на окошко и на стол: сколько буке¬ тов они поставили? Можно ли решить эту задачу? Чего тут не сказано? Придумайте сами, сколько бу¬ кетов поставлено на одно и на другое окно»? и т. д.
I
ПЕРВАЯ ГЛАВА. Изучение первых пяти чисел. 1. В первые дни пребывания детей в школе надо среди при- совершить с ними несколько экскурсий среди при- Р°ды л03Анег0 роды позднего лета. Во время экскурсий, а также лета' бесед по поводу них будет обнаруживаться запас раз¬ личных представлений у детей, в частности и мате¬ матических представлений. Дети наблюдают деревья, цветы и птиц. Считают их, когда это удобно и поучи¬ тельно. Измеряют шагами расстояние. Неважно, что дети еще ие вполне умеют считать: тут они и будут приучаться к счету. Можно считать до 20 и даже несколько дальше. Впоследствии в классе они узнают более точный смысл числительных слов: пятнадцать, двадцать пять и т. д. Измеряется обхват деревьев пядью или вытянутыми руками. Во время экскурсии собираются предметы — одни для счета, как камешки, черепки, раковинки, шишки, другие — не только для счета, но и для украшения класса, как цветы, ветки, колосья. Встречающиеся предметы сравниваются по длине, по площади, по
В школе. . — 16 — объему: эта елка выше той, эта дорога длиннее эта нива больше той, этот сарай вместительнее того, тут река глубже, чем там, и т. д. 2. В первые же дни измеряется рост детей. Так как рост выражается в сантиметрах, то получающиеся числа будут далеко превосходить возможные на этой ступени навыки счета и не будут сообщаться детям. В этом случае остается производить сравнения детей по росту, не называя чисел, т.-е. пользоваться сло¬ вами— одинакового роста, выше и ниже, сохраняя числовые данные до соответствующего места курса. 3. Если бы дети оказались достаточно развиты, можно было бы всю первую главу значи¬ тельно сократить. 1. В классе одна печь, одна доска счет, изучение и т> д 8а каЖдЫМ столом сидят два ЧИСЕЛ ОДИН, ДВА, тг три ученика, учеников много. Чего в классе еще два? Чего в классе много? В классе три картины, три стула и т. д. Располо¬ жение предметов: два шкафа, один — слева, другой — справа; если один вынесли из класса, останется один. В классе три стула: два спереди и один сзади. Если из трех стульев один унести, останутся два. Если из трех стульев два унести, останется один. 2. Не задаваясь пока целью выучить детей считать до 10, познакомимся с навыками счета каждого из детей, приобретенными до поступления в школу. Сосчитаем столы, книги в шкафу и т. п. Пройдем
БТ - Г М -W — 17 — по школе и сосчитаем комнаты; посмотрим, как они расположены. 3. Обойдем двор школы и сосчитаем здания, деревья около них и другие предметы, обращая вни¬ мание на их группировку и расположение. Один да один, два без одного. 1. Чтобы писать и рисовать, каждый ученик получил один . истик бумаги и потом еще один. Сколько листиков получил ученик? Ученик имел два листика бумаги. Один из них • он исписал. Сколько листиков у него осталось? 2. Два молодых петушка подрались, и один победил другого. Побитый забился под сарай, а победитель взлетел на крышу и заорал во все горло: кукуреку! Откуда ни возьмись большой ястреб, схватил крикуна и унес. * Сколько петушков было вначале? Сколько петуш¬ ков унес ястреб? Сколько петушков осталось? 3. Один квадратик да один квадратик; сколько квадратиков всего? Два квадратика без одного: сколько квадратиков? Состав числа три. 1. У рамы одно стекло наверху да два внизу (см. рнс. 1, в книге учен. стр. 3). Сколько всего стекол? Два стекла внизу да одно наверху, сколько всего стекол? В раме три стекла; одно разбили. Сколько стекол осталось? 2. У окна стоят двое — бабушка и внучка. При¬ шла мама. Сколько людей стоят у окна? Сборник арифметических аадач. ■ 2 ГФЛ. ИЛУ ЧИЛИ
— 18 — t У окна трое; две — мама и дочь ушли. Сколько человек осталось? 3. Загадка. Две матери, две дочери да бабушка с внучкой. А много ли всех? (См. рис. 1.) Рис. 1. 4. Возьмите два квадратика одного цвета и один другого. Составьте нз них столбик: два квадратика да один квадратик, один да два, три без одного, три без двух... летняя пабота Беседа по картинке. 1. Детн летняя работа. ЧИСЛ0 ЧЕТЫРЕ. вспоминают, как они помогали стар¬ шим убирать сеио,
2. На картинке (рис. 2, в книге учен. стр. 4) три копны сзади, одна спереди; всего четыре копны. Или яаоборот: одна копна ближе к нам, три дальше, всего— четыре копны. Рис. 2. 3. Воз с сеном. У воза — два колеса спереди да два сзади, всего же четыре колеса. Одно колесо свалилось, на скольких колесах оказался воз? Не слу¬ чалось ли кому видеть это? Состав числа четыре. 1. Ну, пора оставить книжки! В сторону тетрадки! Эй, скорее собирайтесь поиграть в лошадки! Тройка скачет, пыль клубится; лих наш кучер бойкий: набекрень надвинул шапку, мчится вместе с тройкой.
— 20 — Четверо детей становятся так, чтобы получилась тройка с кучером. Сколько их спереди? Сзади? Трое детей да один — сколько детей всего? Играли в тройку четверо детей. Рассердился кучер на тройку за то, что она тихо бежит, и ушел. Сколько детей осталось? Четверо без одного, сколько детей будет? Играли четверо детей в тройку. Рассердились трое из них на кучера за то, что он их больно стегает, и убежали. Сколько детей осталось? 2. Взять три квадратика одного цвета да один другого и из них составить фигурки, как на картинке (рис. 3, в книге учен. стр. 3). Три квадратика да один, четыре без одного? Рис. 3. Прогулка. 1. Дети идут в лес, в поле. Собирают цветы, камешки, веточки, шишки и другие предметы. Эти предметы будут для них служить наглядными тпособнями. 2. Измерение шагами. Сравнеиие иа глазомер расстояний, высот, поверхностей^ ширины, толщины.
— 21 — 3. Счет предметов — деревьев, изб, копен, голов скота и пр. 4. Игры, в которых приходится считать играющих, проигранные и выигранные игры. Беседа по картинке. 1. Дети Летом напаст- ЧИСЛО ПЯТЬ. „ бище. вспоминают, как они паслн лошадей. 2. На картинке (рис. 4, в книге учеи. стр. 5) пять лошадей. Одна лошадь справа, четыре слева, Рис. 4. а всего пять лошадей. Четыре лошади да одна — пять лошадей. Пять лошадей пасутся, одна убежала. Сколько лошадей осталось? Пять лошадей пасутся, четыре убежали. Сколько лошадей осталось?
— 22 — На пастбище пять лошадей: из них три белые, а две вороные. Три лошади да две лошади, сколько было лошадей, и т. п. Число пять. Месяц с Солнцем стал счи¬ таться, кому раньше подыматься: раз, два, три, четыре, пять! (Эти пять чисел дети говорят хором. Вышел ветер погулять. А меж облак, под оконцем, плачут горько Месяц с Солнцем: раз, два, три, четыре, пять! (Снова хором.) Кому тучи разгонять? Загадка. Разошлись все мальчики в темные чуланчики, каждый мальчик в свой чуланчик. Назват^ пальцы. Сколько их? Состав числа пять. 1. Мальчик и девочка играли в городки, которые нари- сованы здесь в книге (рис. 5, в книге учен. стр. 4). Сколько всех городков и как они расставлены? Дети рассматривают городки Рис. 5. и составляют число пять из четырех и одного, из трех и двух. Всего 5 городков. Мальчик проскакал два. Сколько # городков осталось ему скакать? и т. д. Рис. 6.
— 23 — 2. Возьмите пять квадратиков — четыре одного цвета и один другого — и расположите, как на кар¬ тинке (рис. 6, в книге учен. стр. 4): четыре квадра¬ тика да один, один да четыре и т. д. Подобные же упражнения с тремя и двумя квадратиками. 3. Вытяните пальцы на правой руке! Загните один большой палец. Сколько пальцев еще осталось вытянутых? Пять пальцев без одного и т. д. 4. Обвести карандашом 10 квадратных клеточек и нарисовать в каждой из них пять кружочков, как иа рисунке (рис. 7, в книге учен. стр. 5) в книге, или иначе. Как эти пять кружочков расположены? О о о ООО о о о о о о о о ООО о о о о С ОО о о ООО о О О о с о ООО о о о о ООО о о о о о Рис. 7. 1. Дети поочереди рассказывают, ЗАДАЧИ К ПЕРВЫМ т> пяти числам из кого состоит их семья. Все счи¬ тают, сколько человек в семье. В неко¬ торых случаях численный состав семьи иллюстрируется на детях. Сколько работников в семье? 2. Семья Миши вот какова. Отец, мать, два сына и дочь. Сколько человек в семье?* В семье Миши 5 человек. Два из них — отец и мать ушли в город. Сколько человек осталось дома? Дети весело играли. Сколько их было? Они играли в прятки: двое спрятались. Сколько детей осталось искать? Семья.
— 24 — Вернулись родные из города. Привезли старшему сыну мячнк, младшему — кораблик, а средней дочери куклу. Сколько игрушек привезли? Куда девались игрушки эти, я скажу. Мячик уле¬ тел, кораблик ветер угнал, а куклу Жучкин щенок унес, да так ее спрятал, что и не нашли. 3. Составление детьми задач о том, что у них делают дома. ВТОРАЯ ГЛАВА. Сложение, вычитание и умножение в пределе десятка. , 1. Когда дети считают, то вероятнее СЧЕТ ДО ДЕСЯТИ. всего, что числа представляются им не в виде отчетливых раздельных групп, как это было в ранний период их детства, а в виде ряда слов, произносимых в определенной последовательности. Этот ряд мы назвали числовым рядом. Счет, при¬ бавление и отнимание можно представить себе в виде восхождения и нисхождения по числовому ряду, словно по ступеням лестницы. Поэтому при обучении детей счету и действиям в пределе десяти полезным посо¬ бием надо признать числовую «лестницу», состоящую из ряда столбиков, сложенных из равных квадратиков (рис. 8, в книге учеи. стр. 6). Конечно, квадрати¬ ками, как и всякими другими пособиями, надо поль¬ зоваться в такой мере, чтобы они не надоедали детям.
Рис. 8. Рис. 9. 2. Единицу ыы будем чаще всего представлять детям образно — или в виде линейного сантиметра, нли в виде квадратного сантиметра (рис. 10) (не называя его пока таковым), или в виде кубика. Когда дети досчитают до 10, мы представим один десяток в виде одного дециметра, одиннад¬ цать—в виде одного дециметра и одного сан¬ тиметра и т. д. Когда дети досчитают до 20, то тут появится пред ними отрезок прямой длиной в 2 дм. Когда они будут считать круглыми десятками, то в этот период времени они будут измерять деци¬ метрами. Когда насчитают 100, то им покажут метр, как отрезок, заключающий 100 см. Таким образом развитие понятий и навыков ечета будет совершаться
в соответствии с расширением измерительных навыков и сведений о метрической системе мер. 3. Сосчитаем число квадратиков в каждом столбике на рисунке (рис. 8): в первом столбике один квадра¬ тик! во втором — один, два: два! в третьем — один, два, три: три! и т. д. 4. Научимся измерять. Дети приготовляют из бу¬ маги линеечки (рис. 11, в книге учен. стр. 6). Здесь Рис. 11. они знакомятся с названиями: прямая линия, лежачая и стоячая линия, прямоугольник. На линеечке они наносят сантиметры, как на рисунке. Этой линеечкой они измеряют длину и высоту сарайчика, обе стороны крыши (на рис. кн. для учен, стр.6), ширину и высоту ворот. При этом дети узнают отличительные признаки квадрата, прямоугольника и треугольника. На счете основывается прибавле- ОТНИМАНИЕ НО ОД¬ НОМУ. ние и отнимание по одному: один да один — два, потому что за одним следует два; два да один — три, потому что после двух идет три и т. д. Конечно, эти разъяснения делаются нами не для того, чтобы требовать их от ученика. Прибавление и отнимание можно производить на тех предметах, которые дети собрали во время акскур-
— 27 — сий. Ту же операцию следует пояснить и квадрати¬ ками на «числовой лестнице», где прибавляемые и отнимаемые квадратики имеют иной цвет, чем про¬ чие (рис. 12, в книге учен. стр. 7). Говорим так: к пяти квадратикам прибавить один квадратик, полу¬ чится 6 квадратиков. Или короче: пять да один—шесть! ь\.\ Рис. 12. В семье трое детей, да отец, да мать. Сколько человек в семье? В семье J5 человек. Приехали дядя да тетя. Сколько человек всего стало в семье? В семье 7 человек. Мать ушла на рынок, а отец в поле. Сколько человек осталось дома? Дядя и тетя также уехали. Сколько человек теперь дома? Семья.
— 28 — Работа в семье. 1. Мать вымыла белье, а маленькая Груша помогала ей развешивать. Повесила Груша один платок да еще один. Сколько платков Груша развесила? Уже висят два платка. Груша повесила еще один. Сколько платков развесила она? и т. д. о 0 о о о о о о 1 0 О о о о 0 о о о о о о о 0 о о Рис. 13. Рис. 14. о о с рз о о о Высохли платки. Груша стала снимать. На веревке висело 10 платков. Груша сняла один. Сколько оста¬ лось платков на веревке? и т. д. Эти задачи следует иллюстрировать, развешивая платки (куски бумаги) на протянутой в классе веревочке. 2. Полезно предлагать ученикам срисовывать число¬ вые фигуры или, по крайней мере, полезно выста¬ влять их перед классом (рис. 13 и 14, у ученика
стр. 7)._ При этом говорим: в рамочке — четыре очка; четыре очка без одного (закрывают одно очко) будет три очка; три очка да одно (открываем очко) будет четыре. 3. Когда прибавление и отнимание но одному про¬ работано, необходимо эту часть таблицы повторить, заставляя детей ритмично, сперва в одиночку, а затем хором читать: один да один — два, два да один — три и т. д. При чтении — соблюдать необхо¬ димые для выразительности речи повышения и пони¬ жения голоса, а также паузы: один четыре да пять В месте, отмеченном двойной линией, пауза. При чтении таблицы учитель показывает соответствующие части числовой лестницы (рис. 12, у ученика стр. 7) на классном плакате. Загадка: у семерых братьев по одной сестрице, а много ли всех? Измерение вместимости. Измеряем, сколько стаканов воды вмещается в самоваре, в кастрюле, в тарелке, в крынке. В самоваре было 10 стаканов воды. Отец, мать и сын выпили по стакану чаю. Сколько воды оста¬ лось в самоваре?
— 30 — В крынке 6 стаканов ыолока. Сколько стаканов молока осталось в крынке, когда два брата выпили по одному стакану? Одни. Два. Рис. 15. 7. Цифры 1 и 2. Чтобы у ученика цифра и число соединялись в одно представление, следует срисовывать или иметь перед глазами группу предметов: когда пишут цифру 1—один предмет, когда пишут цифру 2— два предмета и т. д. (рис. 15 и 16; кн. учен. стр. 7). 111 2 2 2 Рис. 16. прибавить и от- и Прибавление и отнимание по 2 нять два. взять основывается на прибавлении и отня¬ ло два. мании по 1, которое в свою очередь опирается иа счет, иначе говоря—на числовой ряд. Поэтому, прибавляя, например, к двум карандашам
— 31 — два каравдаша, мы к 2 прибавляем 1, получаем 3 карандаша; при этом ученик должен назвать число 3, не пересчитывая карандашей, т.-е. должен продолжать числовой ряд, а не начинать его снова. Далее, к 3 карандашам прибавляют еще один. Прибавление двух к двум можно выполнить на каких угодно по¬ движных предметах. Когда способ получения резуль¬ тата усвоен, переходим к отниманию двух из четырех. Такнм образом сложение и вычитание идут вперемежку. Проходя таким образом таблицу прибавления и отнимания по 2, можно остановить длительно внима¬ ние детей на сумме каких-либо двух элементов, на¬ пример 3-}-2, и разработать эту сумму сначала на одних, потом на других предметах, пока дети ее не усвоят окончательно. Но можно держаться и другого порядка: пройти ряд сумм и ряд разностей на разных предметах, решая при этом задачи, относящиеся к предметной теме, и возвращаясь к одним и тем же числам несколько раз. Затем уже, когда материал проработан, повторить его в определенном порядке, например в таком: один да два—три, три да два— пять, пять да два — семь, семь да два — девять, девять без двух — семь, семь без двух — пять и т. д.; два да два—четыре, четыре да два — шесть и т. д.; десять без двух — восемь, восемь без двух — шесть и т. д. Таким образом, прибавляя по два, мы восходим по числовому ряду через одно число, словно по лестнице через одну ступеньку. Поэтому, говоря «один» полезно указать первый квадрат на «лестничке»;
— 32 — Класс. говоря «один да два», указать второй столбик ва вей (рис. 18, у ученика стр. 8) Это можно делать по книге или по заранее приготовленному на доске чер¬ тежу. 2. Запоминание таблицы сложения будет легче, если учащиеся будут иметь понятие о переместитель¬ ном свойстве сложения: зная, например, что 5 да 2— семь, учащемуся не будет надобности запоминать, сколько будет 2 да 5. Для того, чтобы понятие о пере- Рис. 17. Рис. 18. местительном свойстве суммы возможно скорее выра¬ боталось, мы предлагаем сближать во времени упра¬ жнения 1 да 2 и 2 да 1, поясняя ил наглядными пособиями (рис. 17, у ученика стр. 8). На первой скамье сидят два ученика, на второй тоже два. Сколько учеников на двух скамейках? (Во время решения задачи перед детьми класса выходят первая и вторая пара учащихся.)
— 33 — На двух скамейках сидят 4 ученика да на третьей 2. Сколько учеников сидит на всех трех скамейках? и т. д., пока не наберется 10 учеников. После этого решаем задачи на отнимание. Перед нами 10 учеников. Два из них сели на место. Сколько учеников осталось? С другим рядом учеников проделать такие же задачи, но начать с одного: 1 + 2, 3 + 2 и т. д. Дети поочереди остаются после занятий убирать Уборка и укра- т, „ _ хх шение класса. класс. Каждый день остаются 2 ученика. Прошло 2 дня. Сколько учеников убирало класс? Сегодня, кроме 2-х уборщиков, остаются еще 5 детей для украшения класса. Сколько всего детей остается в классе? В классе остались для уборки 7 учеников. Два из них ушли домой. Сколько учеников осталось в классе ? Дети сделали букеты и расставили их на окнах. Окон было 4, и на каждом поставили по 2 букета. Сколько букетов поставили на окнах? Из колосьев ржи дети сделали пучки, которые раз¬ весили в трех углах, в каждом углу по 2 пучка. Сколько пучков развесили? Пад каждым овном и дверьми повесили по две гирлянды из листьев. Окон было 4 и одни двери. Сколько гирлянд повесили? Дети выбрали должностных лиц: одного старосту дежурные, класса, одного шкафного, 2 уборщиков, 2 дежурных по чистоплотности (смотреть га чистотой тела и одежды). Сколько должностных лиц было в классе? Сборник арифметических задач. 3
— 34 — Пара. Чтобы тихо, в порядке выйти из класса, надо встать в пары, подвое. Одна пара—двое. Две пары — сколько учеников? и т. д. Счет парами разных небольших предметов — яблок, яиц и т. д. Две пары перчаток — сколько перчаток? Три пары сапог — сколько сапог? Взять по два. Каждому ученику выдали по 2 тетради. Сколько тетрадей получили два ученика? 3 ученика? 5 учеников? 3 3 3 4 4 4 Рис. 19. Дежурный ученик вынимал из шкафа три раза по две тетради. Сколько раз он взял по 2 тетради? Сколько тетрадей он вынул? Повторение таблицы сложения и вычитания по 2 на числовой лестнице (у ученика стр. 8) и без нее. 9. Цифры В и 4. Дети упражняются в писании этих цифр. Когда пишут цифру 3, перед ними три предмета, например, три тетради (см. рис. 19: три тетради, четыре карандаша, кн. учен. стр. 8)
Числовые фигуры. Дети рисуют у себя «рамочки» заданных размеров и списывают в эти рамочки кружочки (рис. 20, в книге ученика стр. 8). О О О О О О о о о о о о о о о о о О О о О о о о о о о Рис. 20. Фигуры, которые получаются, называются числовыми. Кружочки в рамочках дети считают так: «по два кружочка два раза — два, четыре1! По два кружочка 3 раза—два, четыре, шесть! Там, где число круж¬ ков нечетное, считают так: два, четыре, шесть, семь! Загадка: черен, да не ворон, рогат, да не бык, шесть ног без копыт. Сколько ног у жука? Составление задал к «котлам», или «город¬ кам» (рис. 21, у ученика стр. 8). Рис. 21. Денежные знаки. Дети знакомятся со знаками 1 коп., 2 коп., 3 коп. и 5 копеек. Сколько надо взять двухкопеечников, чтобы полу¬ чить 4 коп.? 6 коп.? 8 коп.?’ 10 коп.? Сколько копеек надо иметь, чтобы купить 2 вставки по 2 коп. за штуку? 6 листов бумаги по 1 коп. лист?
— 36 — Половина. Перед каждый учеником лист бумаги. На этом листе он знакомится с половиной. Половины равны. Две неравные части листа не назы¬ ваются половинами. Из двух половин составляется лист; из трех половин — лист и пол-листа, или пол¬ тора листа, и т. д. Деление квадрата и круга попо¬ лам (рис. 22, у ученика стр. 9). Рис. 22. На поле бабки. прибавление Прибавление и отннмание по 3 можно и отнимание разбить на три группы, например, потри. такие: 1) 1+3, 4—3; 2+3; 5—3; 2) 3+3, 6 — 3, 4+3, 7 — 3, 5 + 3, 8 — 3; 3) 6 + 3, 9 — 3, 7 + 3, 10 — 3. Проработав первую часть на предметах, близких к осенней природе и к полю, например: на колосьях, стручках, цветках, решаем затем задачу, например, о бабках на поле (рис. 23, в книге для учен. стр. 9). При этом, прибавляя к одному колоску три, мы предпочитаем прибавлять обратно к 3 колосьям один. Отнимая от 4 колосьев 3, мы делаем это зараз, зная, что 1 + 3 = 4, поэтому 4 колоска без 3 колосков будет 1 колосок. Работа в поле. Крестьянин сжал до завтрака одну бабку ржи, а после завтрака еще 3 бабки. Сколько бабок ржи он нажал за весь день?
— 37 — Рис. 23. На поле бабки. Крестьянин поставил 4 бабки ржн. Из них 3 он свез домой. Сколько бабок осталось на поле? и т. п. Крестьянин съездил за рожью до обеда два раза да после обеда три раза. Сколько раз он съездил за рожью? Примеры (кн. для учен. стр. 11). 1) 1 + 1 2) 3 + 2 3) 2 — 1 4-) 5 — 3 1 + 2 2 + 3 3 — 1 5 — 2 2 + 1 4 + 1 3 — 2 5—1 2 + 2 1 + 4 4 — 2 5 — 4 Вторая часть таблицы. К трем колоскам прибавляем три волоска но одному. Так же прибавляем три к прочим числам.
— 38 — Цветы. Пастбище. Дети набрали в поле васильков и ромашек. Они сделали 4 венка из васильков и В из ромашек. Сколько веночков они сделали? Дети сделали 7 венков. Из нвх 3 они повесили на одной стене. Остальные на другой. Сколько веноч¬ ков повесили они на другой стене? и т. д. Рис. 24. Третья часть таблицы: 6 —3, 9—3, 7 —J-3, 10 — 3. На поле паслись 6 телок белых и 3 черных. Сколько телок паслось на поле? На поле паслись 9 телок. Из них 3 угнали домой. Сколько телок осталось на поле? Подобные же задачи о коровах, козах и овцах. Повторение таблицына числовой лест¬ нице (рис. 24, у ученика стр. 10) в таком порядке:
— 39 — 1 + 3, 4 + 3, 7 + 3, 10 — 3, 7—3, 4 — 3; 2 + 3, 5-|-3, 8 — 3, 5 — 3, 3 + 3, 6 +3, 9 — 3, 6-3. Чтение ее хором. Чтение и списывание цифр 4 и 5 (см. ри¬ сунки 25 и 26, кн. учен. стр. 9). Четыре серпа. Пять молотков. 4 4 4 Рис. 25. 5 5 5 Четыре 4. Пять 5. Рис. 26. Запись «прибавить» и «получитея». Про¬ честь и решить примеры (здесь и в книге у учепника на стр. 10). 2 да 3 будет 5 5 без 3 будет 2 2 + 3 = 5 5—3=2
— 40 — Записать решения некоторых предыдущих задач с помощью знаков -[- и =. Числовые фигуры. Срисовать кружочки в ра¬ мочках (см. рис. 27, кн. уч. стр. 11) и сосчитать, сколько кружков в каждой рамочке. Считать и запи¬ сывать будем так: 4-{-3 = 7, и т. д. Записать «отнять» или «без». Прочесть и решить примеры (см. здесь стр. 37, у ученику стр. 11). О о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о Рис. 27. Взять по 2 ипо 3. 1) Крестьянин привез три раза по 2 бабки. Сколько бабок он привез? А если он съездит в поле за бабками 5 раз в день, | сколько бабок он привезет? Женщина положила на телегу 2 раза по 3 снопа. | Сколько снопов она положила? На ииве стоят 3 ряда бабок, по 3 бабки в каждом | ряду. Сколько бабок на ниве? Крестьянин ставил каждый день по 3 бабки. I Сколько бабок он выставил за 2 дня? за 3 дня? 2) Сосчитать покороче очки в рамочках (на рисунке 27, j у ученика стр. 11): 3 да 3 да 2 и т. д.
— 41 — Измерение. 1) На странице 42 (рис. 29,$7ве¬ ника стр. 11) справа изображен квадрат. Он |эдет 4 стороны. Измерить каждую. Каждая сторона квадрата длиной в 2 см. (Щлько сантиметров имеют все 4 стороны квадрата вместе? Начертить прямую линию такой же длины, как все четыре стороны квадрата вместе. Стороны квадрата одинаковы. Двор, нива, огород могут быть иногда квадратными. У квадрата, нари¬ сованного в книге, нижняя и верхняя стороны—лежа¬ чие, а боковые — стоячие. о о о о о о О о о 0 0 о о Рис. 28. Начертить квадрат заданных размеров на клетчатой бумаге. 2) На странице 42 (у ученика стр. 11) изображен прямоугольник. Сделать измерения и вычисления, как зто делали мы у квадрата. Полоса земли в поле, грядка на огороде, пол в комнате'—прямоугольники. 3) Найти квадрат и прямоугольник у сарайчика (рис, 29, у ученика стр. 11). 4) Бок крышн у сарайчика треугольный, треугольник. Составить треугольник, квадрат и прямоугольник из спичек. Сколько спичек надо, чтобы составить 2, 3 треугольника?
— 42 — Беглый счет. Учитель говорит: два да три (дети считают про себя), долой один (про себя), при¬ бавь три, отними два. Сколько получится? Ответы спрашиваются от нескольких учеников. Спрашивать после «беглого счета», как считали, или переделывать неверные ответы не следует. Достаточно одобрить верные ответы. I Игра—«опасные числа». Предварительно уго¬ вариваются не называть каждого третьего числа, т.-е. трех, шести и девяти, а вместо них говорить «гм!». Первый ученик говорит «один», второй — «два», третий — «гм», четвертый — «четыре» и т. д.; досчитав до 10, считают снова один, два, гм, четыре, пять, гм
— 43 — и т. д. Кто ошибется — скажет не то число или вместо гм назовет три, шесть, девять, тот отмечается. Игра может быть и партийной: класс делится на две партии, ошибки той и другой партии подсчитываются. Игра имеет очень важное значение для усвоения числового ряда и тех мест, которые занимают в нем числа, кратные данного числа, например, кратные трех. Игра—«кто скажет раньше десять*. Состя¬ зание между двумя. Первый называет одно из чисел 1, 2 и 3. Второй прибавляет к названному числу 1, 2 или 3, но» не больше. К названному числу вто¬ рым игроком первый прибавляет 1, 2 или 3. Кто раньше скажет десять, тот выиграл. Пример. Первый говорит «два». Второй «пять». Первый «шесть». Второй «девять». Первый «десять» — выиграл. Если после многих игр какой-либо смышленый ученик под¬ метит правило, то выигрыш его обеспечен. А именно: если он первый называет число, то говорит «два»; если другой начинает, то первый старается назвать «шесть». Например. Первый называет «два», второй имеет право назвать «три», «четыре» или «пять». Первый говорит «шесть». Второй—«семь» или «восемь» или «девять». За первым остается «десять». прибавить Эту часть таблицы можно разбить Сбор фруктов, и отнять четыре, на две группы: 1) 4 -J— 1, 1 + 4, 5 — 1, 5 — 4; 4 + 2, 2 + 4, 6-^2, 6 — 4; 4 + 3, 3+4, 7 — 3, 7 — 4; 2)4 + 4, 8 — 4, 5 + 4, 9-4; 6 + 4, 10 — 4.
Первую группу упражнений, когда вторым слагаемым является 4, проводим, пользуясь перестановкой чисел: нам надо к 2 яблокам прибавить 4 яблока, а мы к 4 при¬ бавим 2. Вычитание четырех в первой группе будем делать зараз: 2 яблока да 4 яблока — 6 яблок; поэтому от б яблок отнять 4 яблока, получим 2 яблока. Рис. 30. В саду зрелые яблоки. Во второй группе, прибавляя и отнимая по 4 пред¬ мета, будем прибавлять и отнимать их по 2. Нагляд¬ ными пособиями могут служить фрукты, вырезанные из бумаги. Сперва беседа по картинке 30 (у ученика стр. 12). Миша сорвал с одного дерева 1 грушу да с дру¬ гого 4. Сколько груш он сорвал?
— 45 — Миша сорвал 5 груш. Сам он съел 4 груши, а остальные снес своей сестре. Сколько груш Миша снес сестре? Под одной яблоней лежало 2 яблока, под другой 4. Сколько всего яблок под обеими яблонями? Мнша поднял ‘6 яблок. Из них 4 положил в кор¬ зинку и снес сестре; остальные сам съел. Сколько яблок Миша съел? Рис. 31. В саду было 2 куста черной смородины. С каждого из них собрали по 4 кружки ягод. Сколько ягод собрали ? Собрали 8 кружек смородины. Четыре кружки упо¬ требили на варенье, а остальные на кисель. Сколько кружек смородины пошло на кисель? Собирали яблоки. С одной яблони набрали 5 мер, с другой 4 меры. Сколько яблок собрали с двух яблонь?
— 46 — С одной яблони собрали 6 мер, с другой 4 меры. Сколько мер собрали с двух яблонь? Повторение таблицы на «числовой лестнице» (см. рисун. 31, у ученика стр. 14) и чтение ее хором. Шесть яблок. Семь груш. 6 6 6 Рис. 32. 7 7 7 Шесть 6. Семь 7. Рнс.г,33. Переписать и сосчитать (книга для ученика стр. 13): 1) 1 + 4 2) 2 + 4 3) 3 + 4 4) 2 + 3 4 + 1 4 + 2 4 + 3 5- -3 5 — 1 6 — 2 7 — 3 3 + 2 5—4 6 — 4 7 — 4 5- -2 3 + 3 6 + 1 5 + 2 1 + 1 6 — 3 7 — 1 1 + 1 ~ 2- -1 5) ж + 4 = 7 4- - х = 5 7 = 4- -ж ж + 4 = 5 4- -ж —7 6 = 4- -X ж + 4 = 6 4- -x — Q 5 = 4- -X
— 47 — Чтение и списывание цифр 6 и 7 (ри¬ сунки 32 и 33, у ученика стр. 12 и 13). Числовые фигуры. Срисовать рамочки и сосчи¬ тать, сколько очков в каждой (рис. 34, у ученика стр. 14). Считать не по одному очку, а по нескольку очков. Денежные внаки. Мама купила 4 яблока по 2 коп. за штуку. Сколько копеек она заплатила sa яблоки? О о о о о о о о о о о о о о о о о Рис. 34. о * о о о о о о о о о Миша покупает 3 груши по 3 коп. за грушу. » Сколько копеек он должен заплатить? Миша купил яблоко и две груши. За яблоко он заплатил 1 коп., а за груши по 2 коп. за каждую. Сколько он должен всего заплатить за яблоко и за груши? Миша должен был уплатить 4 коп. А. у него было 10 коп. Сколько он получит сдачи? Мама купила 4 яблока по 1 коп. за яблоко. Она дала 2 монеты по 3 коп. Сколько сдачи она получила? Все предыдущие задачи весьма желательно решать, устроив в классе род кооперативной лавки. Фрукты и денежные знаки делаются детьми и учителем из бумаги.
Примеры с х. Строчку га? —{-4 = 7 будем читать так: к какому числу надо прибавить 4, чтобы полу¬ чить 7? Буквой х мы будем обозначать неизвестное число или «какое число?» (У ученика стр. 13). Перерисовать рамочку (рис. 35, у ученика стр. 13). Прочитать строчку, подписанную под нею. Вставить в рамочку столько кружков, чтобы их было всего 7. Подписать вместо буквы х цифру. ‘Заменить букву х цифрой и в других строчках в примерах № 5 (кн. ученика стр. 13). о о о о х+ 4 = 7 Рис. Измерение. 1) Измерить стороны треугольника у крыши сарайчика (рис. 29, у ученика стр. 11). Сколько сантиметров имеют все три стороны треугольника? Начертить линию такой же длины, как три стороны треугольника вместе. 2) Составить из спичек квадрат. Сколько спичек надо, чтобы составить 2 квадрата? 3) Провести линию длиной в 1 см, в 3 см, 5 см, 10 см, не пользуясь сантиметровой линейкой. Проверить! Начертить на-глаз квадрат, у которого сторона равна 1 см! 3 см! Проверить! Соотавитьзадачу, в которой были бы числа 4 и 4! задачу к картинке (рис. 30, у ученика стр. 12). Числа можно брать какие угодно. о о о о 4 + а=7 35.
— 49 — Составить задачу, в которой надо было бы от 9 отнять 41 Игра в «опасные числа». Опасные числа—4 и 8 (см. стр. 42). Беглый счет. Рис. 36. На огороде грядки. На огороде. Прибавление и отнимание по 5. Прямоугольник. Начертить грядку длиной 8 м, шириной в 1 м. Вместо 1 м отмерять 1 с.«. Разме¬ стить на ней кочны капусты так, как это сделано на рисунке 37 (у ученика, стр. 16). Прибавление и отнимание по 5 будем производить, пользуясь перестановкой: нам надо, например, к 3 мор¬ ковкам прибавить 5 морковок, а мы к 5 морковкам Сборник арифметических задач. 4
прибавим 3. Исключение представляет сумма 5 -f- 5, которую дети хорошо знают по своим пальцам. В качестве предметов, иллюстрирующих действия, берем овощи — подлинные или только бумажные изобра¬ жения. Маша выдернула 2 морковки с одной грядки и 5 с другой. Сколько морковок она выдернула? Маша принесла эти семь морковок домой. Из них 5 пошло в жаркое, а остальные изрезали в суп. Сколько морковок бросили в суп? О о о о о о о о о о о о о о Рис. 37. Грядка. Мама велела Маше выкопать два куста картошек. Под одним кустом Маша выкопала 3 больших кар¬ тошки да под другим 5 картошек. Сколько всего картошек вырыла Маша? Маша принесла 8 картошек домой. Пять она изжа¬ рила, а прочие бросила в суп. Сколько картошек бросила она в суп? Миша выдернул 4 морковки коротких и 5 длинных. Сколько морковок он выдернул? Миша выдернул 9 морковок. Пять он дал сестре, а остальные съел сам. Сколько морковок он съел?
— 51 — В огород аабрались козы, которые испортили 5 кочиов капусты на одной грядке и 5 на другой. Сколько кочиов они испортили? На огороде было 10 грядок. Одна под морковью, одна под репой, одна под брюквой, 2 под капустой и прочие под картофелем. Сколько грядок под карто¬ фелем? Миша сорвал 4 стручка гороху, ватем еще 5 струч¬ ков. Сколько стручков он сорвал? Другой раз он сорвал 5 стручков и 4 стручка. Сколько стручков гороху теперь он сорвал? Сорвав 9 стручков, он снес маме 5 стручков. Сколько стручков Миша оставил себе? Два мальчика играли в огород. Каждый сделал по две грядки. Сколько грядок они сделали вместе? Они брали веточки, сажали их и называли капу¬ стой. Втыкали палочки н называли их морковью. Они посадили на двух грядочках капусту по 5 штук на каждой грядке. Сколько головок капусты они посадили? А морковок они посадили 8. На одной грядке 5, а на другой остальные. Сколько морковок они поса¬ дили на другой грядке? Повторение таблицы сложения и вычи¬ тания по 5. Чтение и списывание 8, 9, 10 (рис. 38 у ученика, стр. 14).
— 52 — Списать и сосчитать (книга для учеи., стр. 15): 1) 1 + 5 = 2) 2 + 5 = 3) 3 + 5 = 4) 4 + 5 = 5 + 1 = 5 + 2 = 5 + 3 = 5 + 4 = 6 — 5 = 7 — 2 = • 8—3 = 9 — 4 = 6 — 1 = 7—5 = 8—5 = 9 — 5 = 5) 4 + 3 = 6) 4 + 4 = 7) 6 + 4 = 8) 1 + 1 = 3 + 4 = 8 — 4 = 10 — 4 = 2 + 2 = 7—3 = 5 + 4 = 5 + 5 = 3 + 3 = 7—4 = 9 — 4 = 10 — 5 = 6 — 5 = 9) 4 + 2 = 10) 6 + 3 = 11) 2 + 2 = 12) 5 — 3 = 6 — 4 = II СО 1 о 2 + 4 = 7 + 2 = 6 — 2 = 7 + 3 = 8 — 2 = 10 — 2 = 2 + 3 = 9—3 = 9 — 2 = 8 + 2 = 13) 1 + 1 + 1 = 14-) 1+ж = 6 2+2+2= 5+# = 6 3+3+3+ 2 + ж = 6 24-2 + 2 + 2 = 2+2+2+2+2= 4 +ж = 6 3 + ж = 6 17) 7 + ж = 9 6+ж = 9 5 + ж = 9 4 + ж = 9 .с + 3 = 9 ж + 5 = 9 Составление задач. Дети разбирают картинку (рис. 36, у ученика, стр. 16) и составляют задачи на огород и овощи. Составление задач на огород и овощи по рисункам учителя и учеников. 15) 2 + £с=7 5 + а; = 7 4 + гс = 7 3+ж = 7 6+® = 7 16) 5 + ж = 8 3 + ^=8 6+ж = 8 4 +ж = 8 7+ж = 8
— 53 — Половина, четверть и восьмая. Лист бумаги разделить на две равные части — половины. Каждую половину листа разделить еще на две равные части — четверти листа. Четверти листа одинаковы. В половине листа две четверти. В целом листе 4 четверти. Такие же упражнения проделать с репой. Восемь свекол. Девять картошек. Десять морковок 8 8 8 9 9 9 10 10 10 Рис. 88. Разделить репу между 2-мя товарищами поровну. Сколько получит каждый товарищ? А если репу разделить поровну между четырьмя товарищами, какую часть репы получит каждый? Мальчик выдернул большую репу. Одну четверть ее съел сам, половину отдал сестре. Какая , часть репы еще осталась у них? Женщина купила головку капусты. Одну четверть головки она опустила в суп. Сколько четвертей головки еще осталось у нее? На сколько дней хватит оставшейся капусты, если каждый день она будет тратить тоже по четверти кочна?
У мамы был стакан постного масла. Три четверти стакана его она истратила. Какая часть стакана постного масла еще осталась у нее? Мама купила 1 кг рису. На сколько дней хватит рису, если она будет тратить в день 1/1 кг? Каждый день у нас выходит одна восьмая кило¬ грамма масла. Сколько масла израсходуется в 4 дня? в 7 дней? Начертить 2 квадрата, стороны которых равны 3 см. Разделить каждый из них на 4 равные части разными способами. Показать одну четверть квадрата! Две, три четверти! (Рис. 39, у ученика, стр. 21). Рис. 39. Разделить лист бумаги на 8 равных частей. Пока¬ зать одну восьмушку. Разделить квадрат на 8 равных частей. Показать одну восьмую часть квадрата. Весы. Объясняется устройство весов: лежачая палочка (коромысло), к ней подвешены две тарелки. Сверху у коромысла — стрелка. Когда тарелки стоят ровно, то стрелка стоит прямо. В этом случае пред¬ меты, лежащие на тарелках, тянут вниз одинаково, веса их равны. Показать 1 килограмм, 7а кг-> Vi кг и 78 кг. Вместо гирь можно брать мешки с песком или дробью.
— 55 — При взвешивании гири накладываются в опреде¬ ленной последовательности: сперва большая, затеи пробуются меньшие. Гирями 7* кг, 7i кг и 7в кг можно пользоваться только в том случае, если доли 7а, XU и ‘/в очень хорошо проработаны на листе бумаги, веревочке длиной в 1 м, кружке и т. п. Взвешиваются овощи, хлеб и др. Мама купила к обеду 2 кг картофеля (взвешивают). За килограмм заплатила по 4 кон. Сколько копеек она заплатила? Какими монетами она могла упла¬ тить 8 коп.? Купила она еще кочан капусты в полтора кило¬ грамма, по 6 коп. за килограмм. Сколько копеек она уплатила за него ? Какими монетами она могла уплат тить 9 коп.? Кроме того, она купила четверть килограмма мор¬ ковок и восьмую килограмма горошку. За морковки она заплатила 3 коп., а за горошек 5 коп. Сколько копеек она уплатила за морковку и горошек? Магические квадраты. Сосчитать, сколько клеточек в квадрате, изображенном на рисунке (в книге ученика, стр. 16). 1 3 5 4 3 2 4 3 2 1 4 4 5 2 2 3 3 3 1 4 3 6 4 2 5 3 2 Покупка ово¬ щей.
Прочитать цифры в каждом ряду, в каждом столбце! Прибавлять числа в ряду: 1 да 3 да еще 4 и т. д. Прибавлять затем число к числу в столбике: 1 да 4 да еще 3 и т. д. Лото. Взять столько открыток с картинками, сколько парт, за которыми сидят ученики. Вырезать из плотной бумаги столько же карточек, таких же размеров, как и открытки. Карточки и открытки разграфить на 6 клеток. В каждой клетке на кар- точкё написать по примеру: 2 + 4 = , 3 + 5 = , 7 — 2= и т. п. На открытке в соответствующих клетках написать те же примеры, но уже решенные: 2 + 4 = 6, 3 + 5 = 8, 7 — 2 = 5 и т. п. Открытку разрезать. Карточки раздаются ученикам. А кусочки откры¬ ток, перемешанные, остаются у учителя, который вынимает кусочек и читает: 3 да 5. Ученик, у кото¬ рого на карточке написан этот пример, говорит: 3 да 5 = 8. Учитель передает ему свой кусочек, которым ученик покрывает свою клетку. Тот, у кого все клетки окажутся покрытыми, увидит картинку и будет счи¬ таться выигравшим первым. Игра продолжается: выигрывает второй, третий и т. д. Метр и шаг. Измерить длину или ширину огорода метром; длину и ширину грядки метром и шагами. ' Измерить в классе метр аршином. Приготовить из полоски бумаги аршин. Отметить на стене лежачую линию, длиной в 1 метр, в 1 сажень и в 1 арпшн.
— 57 — Отметить у косяка дверей стоячую линию в 1 саж., в 1 аршин и в 1 метр. Сколько метров в сажени? Сколько аршин в метре? Сколько детских шагов в метре? Вырезать бумажную полоску, длиною в 1 м. Найти 7а м- 7» Отмерить ленту в 1 м\ в м\ в 7» м\ в 3/4 м\ в 7в Дополнение данного числа. Примеры с. х. ооо ООО о о о о 5 + а = 9 Рис. 40. аз + 5 = 9 1) Прибавлять 6, 7, 8, 9 следует среди природы 0ТНЯТЬбИ7Ь8и 9. при П0М°ЩИ перестановки. Например, П03днеиосен"- к 4 листочкам надо прибавить 6 листоч¬ ков; нам удобное к 6 листочкам прибавить 4, потому что мы уже знаем, что 6 да 4 равно 10. Отнимать же 6, 7, 8 и 9 надо приучить, пользуясь добавлением. От 8 листиков отнять 6 листков: 6 листиков да 2 полу¬ чится 8 листиков, поэтому 8 листиков без 6 будет 2 листика. Поэтому необходимо перед вычитанием про¬ рабатывать дополнение, т.-е. давать упражнения в таком порядке: чтобы к 4 прибавить 6, прибавляем 4 кб, получим 10'; к 4 надо прибавить 6, чтобы полу¬ чить 10 (ж+ 6 = 10); от 10 отнять 6, получим 4. Наглядными пособиями могут служить осенние листья.
— 58 — 2) Проводится беседа по картинке (рис. 41, у ученика, стр. 18). Затем составляются задачи. 3) Для украшения класса дети связывали лист в пучки и в гирлянды. Ваня связал 2 листа бере¬ зовых и 6 кленовых. Сколько листов в пучке у Вани? Ваня связал пучок из 8 листьев; 6 листьев были дубовые, а остальные березовые. Сколько березовых листиков было в пучке? Дети связали много пучков из листьев. 3 пучка повесили на одной стене, а 7 на другой. Сколько пучков они развесили на двух стенах?
— 59 — Два пучка повесили они на третьей стене да 8 пучков на четвертой. Сколько пучков они повесили на двух этих стенах? Сколько пучков онн развесили в классе всего ? Подобные же задачи даются и о гирляндах. 4) Из десяти последних дней 8 было пасмурных. Сколько дней было ясных? Ив десяти последних дней 7 дней было дождливых. Сколько дней было без дождя? 5) Крестьянин намолотил 3 меры верна до обеда да 6 мер после обеда. Сколько мер он намолотил? Намолотив 9 мер ржн, крестьянин свев 7 мер на мельницу. Сколько мер зерна у него еще оста¬ лось? 6) Подготовляя школу к зимним холодам, привезли один день 2 воза дров, да другой 7 возов. Сколько дров привезли? Из этих 9 возов — березовых 6 возов, а прочие ольховые. Сколько возов было ольховых дров? Сажень дров. Дрова сложили в две поленницы. Каждая поленница имела полсажени высоты и 1 сажень длины. Начертите поленницу, приняв вместо сажени сантиметр. Б двух поленницах, изображенных на рисунке 42 (у ученика, стр. 20), одна сажень дров. Начертите поленницу в 3, 4, 5 сажен. Повторение таблицы сложения и вычи¬ тания и чтение ее хором: 6-f-l = 7, l-f-6 = 7, 7 —1 = 6, 7 — 6 = 1, 6 + 2 = 8, 2 +6 = 8,8 — 2 = 6, 8 — 6 = 2 и т. д.
— 60 — Рис. 42. Поленница, полсаженн. Списать и сосчитать (книга для учен., стр. 17): 1) 1 + 6 = 6 + 1 = 7—1 = 7 — 6 = 2) 2 + 6 = 6 + 2 = 8 — 2 = 8 — 6: 3) 6 + 3 = 3 + 6: 9—3: 9 — 6: 5) 7 + 1 = 1 + 7: 8—1: 8 — 7: 8) 8 + 1 = 1 + 8 = 9 — 1 = 9 — 8 = 6) 7 + 2: 2+7: 9 — 2: 9—7: 9) 8 + 2: 2 + 8: 10 — 2: 10 — 8: 4) 6 + 4 = 4 + 6 = 10 — 4 = 10 — 6 = 7) 7 + 3 = 3 + 7 = 10 — 3 = 10—7 = 10) 9 + 1 = 1-1-9 = 10—1 = 10 — 9 =
— 61 — 11) 2- 2- -2 -2- -2 12) 2- 2- -2 -3 13) 2-- 4-- 2- -2- -2 + 2 2- -4 3-- 2- -2- -2 + 2+2 2- -5 2-- 14) 3 -f 3 3 + 3-f 3 4 + 4 5 + 5 15) 3 + 2 3 + 3 4 + 2 5 + 2 Игра в лото (см. стр. 56). 8 16) 10 — 6 17) 2 + 7 8—7 9 — 6 9 — 8 1 + 8 Ю—7 9—7 4 1 5 4 3 3 2 6 2 2 6 5 2 2 5 Магические квадраты. Сложение чисел в гори¬ зонтальных и отвесных рядах. В последних двух квадратах вставить недостающие цифры. Упражнения (книга для учен., стр. 18). 1) 6- -Ж = 7 2) 7- -ж=8 3) 7- -ж=9 1- ~х=ч 1- -ж = 8 ж- -7 = 9 X- 1-1 — 7 X- -1 = 8 2- -ж=9 ' ж + 6 = 7 ж- -7 = 8 ж- -2 = 9 4) 8- гх= 10 5) 7- -ж = 10 6)ж- -6 = 10 2- -ж= 10 X- -7 = 10 64 -ж = 10 х- -2 = 10 3- - ж= 10 4 + ж=10 X- -8 = 10 Ж-1 -3 = 10 Ж + 4 = 10 7) 6- - X = 9 8) 6- -ж = 8 9) 9 + ж=10 3- -Ж = 9 ж- -6 = 8 ж+ 9= 10 X- -6 = 9 2- -ж = 8 1 + ж=10 X- -3 = 9 ж- -2 = 8 Ж + 1 = 10
— 62 — Умножение. 1) Занимаясь с детьми сложением чисел в пределе десяти, мы предлагали им иногда такие задачи, в которых слагаемые равны. При этом, объясняя решение задачи, мы пользовались словами «прибавить» и «да». К концу отдела пер¬ вого десятка мы рекомендуем заменить эти слова новым словом «взять» и показать его запись с по¬ мощью косого крестика. Это можно сделать, напри¬ мер, так. Обращаемся к детям. Положите перед собой три пучка листьев —в одном 2 листочка, в другом 3, в третьем 4. Сколько листьев вы взяли? Как узнали? Запишите. Поровну ли листьев вы взяли в пучках? Возьмите теперь 8 пучка, по 2 листочка в каждом. Сколько листьев взяли? Как узнали? Запишите. Поровну ли листьев взяли в пучках? Так как листьев в пучках поровну, то вместо того, чтобы говорить «к двум листочкам прибавить два листочка, к тому, что получится, прибавить два листочка», будем гово¬ рить короче: «по два листочка взять три раза». И запи¬ сывать будем короче 2 • 3 т.-е. по 2 взять три раза. Как тут записано «взять»? 2) В' семье 5 человек. К зиме им [были заказаны валенки. Сколько пар валенок потребуется для них? Сколько это будет валенок? Вставили вторые рамы, так что в каждом овне стало по 2 рамы. Сколько рам в двух, трех, четырех, пяти окнах?
— 63 — Записывать решение этих задач так: 2 + 2 = 4 или 2X2= 4 2 + 2 + 2= 6 нли 2X3= 6 2 —|— 2 —|— 2 —|— 2 = 8 или 2 X 4 = 8 2 —j- 2 -}- 2 —j- 2 -j— 2 = 10 Или 2 X 5== 10 3) Заклеивали окна бумагой старшие ученнки. У ка¬ ждого окна работало по 3 человека. Сколько их рабо¬ тало у 2-х, 3-х окон? В классе 4 окна. Классов—два. Сколько окон у двух классов? У рамы 5 стекол. Сколько стекол у двух рам? Упражнения (книга для ученика, стр. 19, 20,21). 13)2 + 2 14)2 + 2+2 + 2 2-2 2-4 2+2+2 3+3 2-3 3-2 15) 4 + 4 16) 3 + 3 4-2 3-2 3+3+3 2+2+2 3-3 2-3 17)4 + 4 18)2 + 2 + 2+2+2 4-2 2-5 2 + 2 + 2 + 2 5 + 5 2-4 5-2 4-2 2-5
— 64 — 19) 2 + 3 20) 3 + 2 21) 2 • 4 2 • 3 3 • 2 2 + 4 2 + 5 3 + 3 4 + 2 2 • 5 3 • 3 4 • 2 22) 3 • 3 — 2 23) 3-2 + 3 24) 2-5 — 4 2 • 4 — 2 3 • 3 + 1 2 - 4 — 5 2 • 4 — 4 2 - 4 + 2 2 - 3 — 4 2 • 5 — 2 2 • 3 + 4 4 • 2 — 4 ) 10 — 3 26) 1 +ж = 10 27) 10 — 9 10 — 7 ж + 1 = 10 10—2 10 — 8 2 + ж = 10 10 — 4 10 — 6 ж + 2 = 10 10 — 5 25) 28)7+ж=10 ж+4 —10 ж + 7 = 10 4 + ж = 10 6 я; = 10 8 —а; = 10 ж -J— 6 — 10 ж —J— 8 — 10 Придумывание задач к картинке (рис. 41, у ученика, стр. 18) или по рисунку учителя. Приду¬ мать задачу о дождливых и ясных днях. Придумать задачу о 3 елочках и 6 березках. Нарисовать раму окна «на-глаз», длина которой 3 см и ширина 2 с.м. Проверить! В этой раме нарисовать 6 стекол. Половина, четверть и восьмая. Разделить квадрат на 2 равные части. Как называются эти части? (См. рис. 39, у ученика, стр. 21.) Разделить квадрат на 4 равные части. Какие это части квадрата? (См. рис. 39.)
- 65 - Разделить квадрат на 8 равных частей. Какие это части квадрата? (См. рис. 39.) Нарисуем поленницу в виде квадрата, стороны которого равны 2 см, на самом деле 1 сажени. Раз¬ делим квадрат на 8 равных частей. Если восьмую часть сажени дров связать, то получится вязанка дров. Состав чисел. Из каких двух групп квадратиков можно составить 6 квадратиков? Дети перечисляют все группы, при этом составляют колонки из 1 и 5, 2 и 4, 3 и 3, 4 и 2, 5 и 1 квадратиков, которые окрашены в два цвета. Так же разбирается состав чисел 7, 8, 9 п 10. 1) 3 4 3 3 4) 2 1 7 2 — 3 2 — 2 5 — 5 5—3 2) 7—5 + 5 8 — 3 + 3 10 — 5 + 5 4 + 2 — 2 3 + 5 5) 2 + 4 + 2 6 2-j + 2 7) 2-| 3- 2 -3 2 4 + 3 2 - 1 2 4 4 3 1 1 2 + 3 4+3 10) 9 — 5 - 2 8) 3+4+2 4 + 2 + 3 3 + 5 + 2 3 + 2 + 5 стр. 19): 3) 4Н - 4 - -2 5 - -5- -3 3- -3- -6 7- -2- - 5 6) 2 -3- - 4 1- - 3- -5 1 - -7- - 2 1 - -2 - -7 9) 5- - 3- -2 5- -2- -3 2- -5- -3 2- -3- -Б 9 — 8+7 8 — 5 7 — 4 3 11) 10—3 3 5 5—2 + 6 7 — 5 8 — 3 2 12) 10 —5 + 3 5 + 2 — 5 7 7+5—2 Б 8—5—3 Сборник арифметических задач.
— 66 — Второй десяток. ТРЕТЬЯ ГЛАВА. Сложение и вычитание в пределе двадцати. В концентр 2-го десятка, кроме обычно включаемых сюда вопросов (нумерация 10—20; сложение и вычи¬ тание, умножение и деление; знакомство с долями и мерами в пределах нумерации), помещены нуме¬ рация чисел сверх 20 и даже простейшие вычисления над числами свыше 20. Эти добавления вызваны следующими соображениями. Дети часто сталкиваются с такого рода вопросами, которые требуют выхода за пределы 20, и обычно, независимо от школы, обла¬ дают некоторыми познаниями и навыками в этих для них интересных вычислениях. Поэтому было бы излишним педантизмом в целях соблюдения методи¬ ческой системы удерживать детей от таких вопросов, где требуется расширение области счета за пределы 20. Конечно, в концентре 1 —100 должна быть произ¬ ведена систематическая разработка и всего того мате¬ риала, который был затронут попутно и вскользь в кон¬ центре второго десятка. По сравнению с обычным планом разработки мате¬ риала этого концентра, здесь сделаны следующие изменения. Для того, чтобы избегнуть искусственного разграничения арифметических действий и однообразия в занятиях, в часть этого концентра, посвященную сложению и вычитанию в пределе 20, включены также умножение и деление в пределе 10; и обратно,
— 67 — в дальнейшем, при изучении умножения и деления в пределах 20, учащиеся найдут задачи, в которых требуется производить сложение и вычитание. 1. Смысл имен числительных второго десятка удобно выяснять с помощью палочек: десять палочек связы¬ ваются в пучок—«десяток» и, сверх того, присчиты¬ ваются одна, две, три и т. д. палочки; при этом можно наглядно разъяснять смысл имен числитель¬ ных, располагая «над десятью» одну, две, три и т. д. палочки (один - над - десятью = одиннадцать, две -над - десятью = двенадцать и т. д.); кстати, может-быть, этим можно воспользоваться для уяснення написания этих числительных словами. 2. Нумерация чисел второго десятка может быть разработана с помощью пересчитывания квадратных сантиметров у полосок, одна из которых заключает десяток квадратных сантиметров, а другая меньше десяти квадратных сантиметров* Эти полоски распо¬ лагаются вертикально — десяток слева, а единицы - справа, чтобы приучить к представлению о том, что место десятков — слева, единиц — справа (говорить о том, что единицы занимают 1-е справа место, де¬ сятки 2-е и т. д. здесь еще рано, по недостатку материала). 3. Пересчитывание и изображение числовых групп полезно выполнять на пособии, имеющем вид рамы с 20 гнездами, расположенными в 4 вертикальных рядах, как показано на рисунке. В гнезда вставляют деревянные пробки с шарообразными головками, при * Нумерация чисел 10—20.
- 68 чем цвет головок подобран так, чтобы они выделялись на фоне рамы. Это пособие очень рекомендует швей¬ царский педагог Штеклин в своей «Методике арифме¬ тики». Его можно легко видоизменить, чтобы облег¬ чить технику изготовления. На картоне, имеющем вид пособия Штеклина, вместо гнезд, начертить кружки, © © 0 о © © О о О © О 0 © © о 0 © © о 0 Рис. 43. например, черного цвета; в центре зтих кружков вставить гвозди, острием наружу, к зрителю; иа эти гвозди надеваются цветные кружки с заранее заго¬ товленными отверстиями в центре. Можно в гнезда вставлять кнопки. «Единицы сверх десяти» на этом пособии изобра¬ жаются справа от черты, что соответствует и месту цпфр единиц в двузначном числе. На чертеже (рис. 43) показано, как на этом пособии изобра¬ жается число 13. 4. На ряду со счетом на наглядных пособиях делается пересчитывание и запись числа разного рода пред¬
— 69 — метов — кубиков, каранД&шей, камешков, пуговиц и т. п. предметов, имеющихся в классе. 5. Рекомендуется игра в лото, для которой классу раздаются карточки такого же образца, как опи¬ санные раньше (стр. 56), но с некоторым изменением: на клетках карточки написаны числа 10 — 20. Так как одно и то же число может встречаться на нескольких карточках, то необходимо иметь в запасе ■ столько жетонов, сколько раз оно встречается на карточках. Самое изготовление таких карт может служить упраж¬ нением в писании чисел* 2-го десятка; игра служит упражнением в чтении чисел. В дальнейшем игра может вестись с помощью карточек, на которых на¬ писаны числа первой сотни. Игра ведется обычным способом: по одной карточке дается каждому ученику или на каждую скамейку; один из учеников или сам учитель читает числа на жетонах; игроки закрывают этими жетонами или специально заготовленными крышками из бумаги названные числа, имеющиеся на карточках. Выигравшим считается или тот, кто по¬ крыл числа одного ряда, или тот, кто покрыл числа всей карточки. 6. Изучение нумерации оживится игрой в извозчика, при которой класс разбивается иа две равные части, и игроки ведут игру по-парно, при чем подсчитывается для каждой партии число ее выигрышей и проигрышей (запись этих чисел тоже даст материал для упражнения в письме чисел). Самая игра заключается в следующем. Пишутся числа
— 70 — от 1 до 20 с большими промежутками между ними, как показано здесь. Один из играющих — извозчик — должен переезжать от одного места к другому: адреса указываются числами; другой — седок—приказывает извозчику ехать от одного числа к другому. Седок нарочно выбирает дальние концы и запутанные дороги, чтобы извозчик вынужден был переехать оставленный им след. Извозчик проводит карандашом (или мелом) след—дорогу при переезде от одного числа к другому, стараясь возможно дальше держаться от других чи¬ сел, чтобы не загородить к ним путь. Если седок поставит извозчика в такое положение, что тому не проехать, куда ему приказано, не пересекая своего следа и не проезжая второй раз по своему следу, то извозчик проиграл; в противном случае он выиграл. На чертеже (рис. 44) показан тот случай, когда извозчик вел игру неосторожно и не может от 6 про¬ ехать к 11.
— 71 — 7. Попутно со счетом делаются и измерения с помощью линейки с делениями на дециметры и сантиметры. Результат измерения выражается то со- составным именованным числом, например: дециметр и пять сантиметров, то в виде просюго именован¬ ного числа—-пятнадцать сантиметров. Такие измерения будут способствовать усвоению десятичного состава числа: дециметр при измерении соответствует десятку при счете, сантиметры соответ¬ ствуют единицам. Эти измерения можно соединить с работой над очередными сезонными темами, например, с наблюдением над толщиной снегового покрова с помощью сантиметров, дециметров и метров. Бри этом можно выйти за пре¬ делы 20, если того потребуют обстоятельства: дети легко улавливают порядок слов в устной нумерации н значков письменной нумерации, без труда перенося его и на область чисел, превышающих 20. 8. Составление табель - календаря дает много инте¬ ресного и полезного материала и очень удобно для изучения нумерации. Учащиеся не могут не слышать и не интересоваться, какое сегодня число. Поэтому естественно составить табель-календарь сначала на ближайший месяц, а йотом до 1 января и, наконец, до конца учебного года. Декабрь 1925 г. Воскресенье . Понедельник . Вторник . . . 6 13 20 27 7 14 21 28 1 8 15 22 29
— 72 — Годовщина Октябрьской революции. Среда .... 2 9 16 23 Четверг . . . 3 10 17 24 Пятница.. . . 4 11 18 25 Суббота . . . 5 12 19 26 30 31 На какие числа в декабре приходятся вторники? пятницы? среды? субботы? Какой день недели будет 10 декабря? 15 дека¬ бря? и т. д. К нумерации чисел второго де слагаемое, вычи- сятка примыкают случаи сложения ТАЕМОЕ ИЛИ ОСТА- „ * тпв и вычитания в этой области типа lUn—ДЕСЯТОК. 10+7; 15 — 5; 15 — 10. При над¬ лежащей проработке нумерации все эти случаи усваиваются чрезвычайно легко. В случае надобно¬ сти, здесь можно воспользоваться теми же нагляд¬ ными пособиями, что и при изучении нумерации (см. стр. 67). Октябрьская революция произошла 25 октября по старому календарю. Составьте табель-календарь на октябрь и ноябрь месяцы (в октябре 31 день). Старый календарь на 13 дней отстает от нового, т.-е., когда по новому календарю 14, по старому 1. Какого числа по новому календарю празднуется 25 октября, годовщина Октябрьской революции ? Подготовка в школе к празднованию Октябрьской революции началась за 10 дней, а самое празднование продолжалось 3 дня. Сколько дней всего в школе было связано с этим празднеством?
- 73 - Для изготовления украшений к празднику купили целый десяток листов красной бумаги да по 4 листа желтой и синей. Сколько листов цветной бумаги купили для украшений? Изготовили 17 фонариков, из них десяток пе¬ стрых, остальные красные. Сколько красных фона¬ риков? В работе принимали участие 10 девочек и 8 маль¬ чиков. Принесли десяток ножниц. Сколько ножниц не хватило? Сколько надо ножниц, чтобы каждый имел ножницы? Две девочки сделали по 5 флажков каждая, да 3 мальчика по 3 флажка. Сколько всего флажков изготовили эти дети? Чтобы прикрепить украшения, принесли десяток больших гвоздей и 6 штук маленьких. Сколько гвоздей принесли ? С помощью гвоздиков натянули веревки и на них повесили разные украшения: вдоль зала по веревке повесили десяток фонариков, поперек 6. Сколько фо¬ нариков повесили по этим двум направлениям? Вдоль стен протянули цепи из разноцветной бумаги; для изготовления их потребовалось десяток листов красной бумаги и по 2 листа зеленой и желтой. Сколько листов цветной бумаги пошло на эти цепи? Из этой бумаги десяток листов израсходовали маль¬ чики, остальную часть девочки. Сколько бумаги израс¬ ходовали девочки?
— 74 — Учащиеся рассматривают картинку (рис. 45, у ученика стр. 24) и составляют задачи об Октябрьском празднике. Измерения дециметром и сантиметрами дают очень удобный материал для сложения и вычитания в пределе 20 указанного типа. Рве. 45. Длина флажка оказалась 1 дециметр и 7 санти¬ метров; сколько сантиметров составляет длина этого флажка ? От куска красной бумаги длиною 18 см отрезали полосу длиною в 1 дециметр; какой длины оставшаяся часть полосы?
— 75 — Измерьте дециметром и сантиметрами длину и ши¬ рину своих книг, тетрадей. Выразить результат в сантиметрах. Упражнения (книга для учен., стр. 23). 1) 10-1- 5 = 2) 4 + 10 = 3) 11 = 10+ж 10 f 7 = 7 + Ю = 17 = 10 +ж 10+4 = 8 + Ю = 14 = 10 + х 10+ 8 = 3 + 10 = 19 = 10 + ж Н* О 40 II 5 + 10 = 13 = з?+ 10 10+ 3 = 2+Ю = 16 = з? + Ю ю 4- 6 = 6 1 10 = 20 = х + 10 ю + ю= 9 + 10 = 14 = а? + Ю 4) 16= а;+ 6 5) 12 — 10 = 6) 13— 3 = 19 = х + 9 И* •*■3 1 О II 17— 7 = 11= х + 1 14 — 10 = 15—5 = 15= х + 5 II о тЧ 1 а гЧ II 1 гЧ 13= 3 + а? 1 о II 16— 6 = 17= 7+ж II о тЧ 1 ^ч 11— 1 = 14= 4+ж 13 — 10 = 19— 9 = 10= ю + з? II 0 ^Ч 1 00 *н 20 — 10 = 7) х— 2 = 10 II 0 *ч 1 ^ч 0? 9) 15 —ж =10 о II 1 II 1Л 1 ю ^ч 15 — х = 5 О гЧ II с*- 1 й II о ^Ч 1 D- ^Ч 19 — х = 10 х — 9 = 10 17— 7 = 19 — а? = 9 ж—10= 4 19— 9 = 17 —ж = 10 ж—10= 1 19 — 10 = 14 — а? = 10 С** II с *"•1 1 С*. 11— 1 = 13 — х= 3 О II о 1 н 11 — 10 = 15 — а?= 5
Следующую ступень сложения пред- одно из слагаемых СТавляет собою случай типа 15+2. ЧИСЕЛ-ОДНОЗНАЧ- TJ 1 Н0Е Наглядными пособиями могут слу¬ жить : прибор, указанный на рис. 42; палочки и пучок палочек в 10 штук; полоска, со¬ стоящая из квадратов. Берем пучок из 10 палочек, перевязанный ниткою, и 5 отдельных палочек. К этим 15 палочкам нужно прибавить 2 палочки. Для этого достаточно эти две палочки присоединить к 5 несвязанным палочкам, не трогая десятка. На ряде примеров, иллюстри¬ руемых палочками подобно указанному выше слу¬ чаю, вырабатывается способ прибавления однознач¬ ного числа к числу второго десятка, когда сумма меньше 20. Вместо палочек можно воспользоваться прибором (рис. 43), на котором так же ясно иллюстрируется спо¬ соб прибавления. Можно воспользоваться также и полосами, состоящими из квадратов, что показано здесь на чертеже. 1 2 3 4 5 ’ 1 6 7 8 9 10 1 2 1 2 3 4
\ — 77 — Первое слагаемое 12 изображено 12 квадратами; второе — 4-мя. Чтобы сложить 12 и 4, нужно ниж¬ нюю полосу, заключающую 4 квадрата, придвинуть плотно к двум нижним квадратам, как показано на чертеже, где точками показаны квадраты — единицы второго слагаемого: 12 |-4 =16. Рис. 40. Дети играют в снежки. * Начало зимы может дать подходящие темы для первый снег, детских задач, в особенности после беседы по- кар¬ тинке (рис. 46, у ученика, стр. 25). Возможны, например, такие задачи для данного периода. Выпал снег, и дети пошли играть в снежки: собра¬ лось 12 мальчиков и 6 девочек. Сколько всего детей пошло играть в снежки?
Приготовление и а те. / Составились две партии для игры в снежки, в да- ждой по 5 человек; остальные делали снежки. Сколько человек делали снежки? Эти шестеро детей лепили снежки. Каждый из них сделал по одной дюжине снежков. Разгорелся бой, снежки быстро стали разбрасываться. Тогда первая девочка сделала еще 5 снежков. Сколько снежков всего она сделала? Вторая девочка сделала, кроме 12 сиежков, еще 8 снежков. Сколько снежков она сделала? и т. д. Дети делают из бумаги снежки, которые служат наглядными пособиями при решении задач. Этими же снежками они пользуются для составле¬ ния новых задач. Дети разбирают картинку «Дети играют в снежки» и составляют задачи, близкие к теме картинки. Упражнения (книга для учен., стр. 24 и 25). 1) 1 + 1=2) 4 + 3=3) 7 + 2=4)11 + 8 = 11 + 1= 14 + 3= 17 + 2= 144 = 6 + 2= 1 + 5= 5 + 4= 16 + 3 = 16 + 2= Ц+5= 15 + 4= 12 + 7 = 5) 13 + 5= 6) 15 + 2= 7) 1 + 14= 8) 8 + 11 = 18 + 1= 17 + 1= 2+16= 5+13 = 12+6= 14+3= 4 | 11= 3 j-15 = 11-[ 5= 11 + 7= 7-1-12= 6 + 13 = К зиме отец с матерью заготовляли теплую одежду, обувь и дрова.
\ Мать связала по паре теплых рукавиц своим троим детям, отцу и себе. Сколько рукавиц она связала? На каждого человека пришлось изготовить по паре новых теплых чулок. Сколько чулок пришлось связать матери? Отец купил всем троим детям по паре валенок. Сколько штук валеных сапог купил отец? В другой семье пришлось связать 8 рукавиц, ка¬ ждому по одной паре. Сколько человек получили новые рукавицы? А в третьей семье нужно было только 6 новых валеных сапог. Сколько человек в этой семье полу¬ чили валеные сапоги? Отец купил своим сыновьям 2 зимних пальто и 2 шапки. За одно пальто заплатил 10 руб., за другое 6 Руб., да за шапки по 2 рубля. Сколько рублей издержал отец на оба пальто и шапки? Дети составляют и решают задачи о заготовке теплых вещей на зиму по образцу только что решен¬ ных (составляют сами1 дети относительно своих семей). 1. Берем пучок палочек в 10 штук, вычитаемое или перевязанных ниткой, и еще 7 от- OCTATOK БОЛЬШЕ тт - и гпл.ц дельных папочек. Чтобы отнять от ДЬЬлШ. 17 палочек 2 палочки, достаточно от 7 отнять 2, для чего не надо разрушать десяток. Подобно этому можно иллюстрировать способ вычи¬ тания и на приборе (рис. 43) и на полосках, состоя-
щих из квадратов, как видно из прилагаемого Чер¬ тежа. / Подготовка к зиме (про¬ должение). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 GX 7 х 8Х 1 Единицы вычитаемого отмечены крестиками. Чтобы вычесть из 18 квадратиков 3 квадратика, от 8 ква¬ дратиков нижней полосы надо отнять 3 квадратика (их можно отрезать для наглядности). Таким образом с помощью того или иного пособия устанавливается, что для вычитания данного типа не надо разрушать десяток. 2. Вычитание типа 17 —11 иллюстрируется с по¬ мощью тех же пособий. Берем пучок палочек в 10 штук, как и раньше, и еще 7 палочек. Чтобы отнять от этих 17 палочек 11 палочек, нужно отдать себе отчет, как составляется 11 (десяток и еще 1 палочка). Чтобы вычесть, отни¬ маем десяток целиком и от 7 несвязанных палочек 1 палочку. Так же выясняется этот случай вычитания и на других указанных пособиях. 1. В избе 4 окна. Вставили зимние рамы. Сколько рам стало во всех окнах? В раме три ряда стекол. В каждом ряду по 2 стекла. Одно стекло разбито. Сколько стекол целых?
\ Одвн край рамы имеет 9 дециметров, а другой — 6 дециметров. Рама имеет 6 стекол. Начертите раму, отмеряя вместо дециметра сантиметр. 2. Крестьянин рассчитал, что 4 месяца он будет тратить по 1V2 воза дров и 2 месяца по одному возу. Сколько дров ему надо на 6 месяцев? Он возил из лесу 4 дня дрова. Каждый день он привозил по 2 воза. Сколько дров он привез? Крестьянин привез 3 воза березовых дров да 5 возов сосновых. Из них 4 воза он сложил в сарай, а осталь¬ ные под сараем у стены. Сколько возов он сложил под сараем? 3. В школу привезли 12 возов сосновых дров да 6 березовых. За два месяца сожгли 4 воза. Сколько дров еще осталось? В школу привезли 18 возов дров. Из них 4 воза уже сожгли. Рассчитали, что еще за зиму сожгут 10 возов. Сколько дров останется к веспе? 4. Крестьянин свез на мельницу 18 мер ржи и пше¬ ницы. Ржи было 12 мер. Сколько свез он мер пше¬ ницы ? Крестьянин свез на мельницу 18 мер зерна. Одну меру он уплатил за помол. Сколько мер зерна было смолото? У крестьянина было запасено 19 мешков ржи. Из них 7 он продал в товарищество, а прочие оста¬ вил для себя. Сколько мешков оставил он для себя? Сборник арифметических задач. б
/ 82 — 1) У п р а ж 4 — 2 = 14 — 2 = 9 — 7 = 19 — 7 = 8 — 3 = . 18 — 3 = 5) 16 — 10 = 6— 3 = 16 — 13 = 15 — 10 = 5— 1 = 15 — 11 = 9) 3 —17 = 515 = 8+12 = 6 + 14 = 7-|-13 = 1 + 19 = 12) ж+16 = ж+ 17 = 13+ х = 20— X — 20— X- 20— х — нения (книга для = 2) 5 — 2= 3) 15 15 — 2= 14 16 — 4= 13 19—4= 17 17 — 5= 19 13 — 2= 16 = 6) 18—13= 7) 18 = 17 — 14= 19 - 19—15= 17 = 16 — 12= 16 = 15—11= 19 = 14 — 12= 18 10) 2 + 18 = 4+ L6 = 9 + 11 = Ю-!- 10 = 8+12 = 3 + 13 = 20 13) 14+4 + 2 20 15 + 3 + 2 20 11 -f 5 + 4 9 12 + 2 + 6 7 17 — 2 + 5 13 16 + 1 — 5 учен., стр. 26). — 3= 4) 14 — 10 = — 2= 4— 2 = — 2= 14 — 12 = — 6= 17 — 10 = — 7= 7—5 = — 4 = 17—15 = — 16= 8) 18 + 2 = — 11= 17 + 3 = — 12= 15+5 = — 13= 13+7 = — 12= 19 + 1 = — 14= 12 + 8 = 11) 20 — 2 = 20 — 5 = 20 — 7 = 20 — 6 = 20 — 8 = 20 — 9 = = 14) 18 — 5 + 2 = = 15 — 4 + 6 = = 19 — 7 + 3: = 14 + 5 — 6 = = 16 + 2 — 5 = = 18 + 2 — 4 = 1. Семья крестьянина запасла сено для скота: 12 возов лугового сена и 5 возов клевера. Сколько сена' она запасла ?
Около овина сложены две скирды соломы — всего 19 возов. Из них 12 возов было овсяной соломы, а прочая солома — ячневая. Сколько возов было ячне¬ вой соломы? Для двух своих коров крестьянин запас 13 возов клеверного сена да для лошади 5 возов. Сколько он запас сена? Он запас 18 возов сена. Уже он скормил 4 воза. Сколько возов сена у него еще осталось? Дети рассказывают то, что они наблюдали о заго¬ товке корма для скота на зиму, и составляют задачи. 2. Крестьянин свез в кооператив 6 мер ржи. За каждые две меры он покупал 3 кг сахару. Сколько сахару он запас? Тот же крестьянин свез в кооператив 3 меры ржи, чтобы купить себе керосина. На каждую меру ржи он получал 6 литров керосина. Сколько литров керо¬ сина он запас? На наглядныхпособиях. От- «нд столько-то считать н положить в кучку 3 палочки; БОЛЬШЕ», - «НА столько-то затем в ДРУГУ10 кучку отсчитать 3 па- меньше*. лочки и еще две. Говорят: в одну кучку положить 3 палочки, в дру¬ гую на 2 палочки больше, чем в первую. Отложить 4 пучка; в другую кучку отложить на 3 пучка больше, чем в первую, и т. п. Положите на стол 5 палочек. Возьмите из них 2 палочки. На сколько палочек стало на столе меньше ? Сколько палочек лежит па столе?
f Работа и раз- влечения детей зимою. -- 84 - Измерительные упражнения. Отмерить веревочну в 10 елг, отмерить еще кусок веревки на 3 см больше. Отсчитать 12 шагов. Отмерить расстояние на 4 шага больше первого. Начертить черту длиною 15 см; сделать ее на 3 см меньше и т. под. Положить на одну чашку весов 2 гири но 100 г и иа другую 2 гири по 100 г. Наступит равновесие. Потом положите на вторую чашку еще одну гирю в 100 г. На которой чашке больше груз ? ,На сколько ? На улице 14 салазок, а детей на 5 человек больше, чем салазок. Сколько детей на улице? Дети пошли делать себе каток: они расчистили на речке площадку длиною 13 .и, шириной на 2 м меньше. Какой ширины катоц? Каток расчищало 14 детей, а кататься пришло на 5 человек больше. Сколько детей пришло кататься? Чтобы каток не заносило снегом, они отгородили его елочками: вдоль катка поставили 18 елочек и поперек на 4 елочки меньше. Сколько елочек поставили на поперечной стороне? В этом месяце было 17 очень холодных дней, а удоб¬ ных для катанья было на 3 дня меньше. Сколько дней, удобных для катанья, было в этом месяце? И т. п. С одной горки сани пробегают 15 м, с другой на 2 м меньше. Сколько метров пробегают сани со вто¬ рой горки?
— 85 — Дорожка, по которой катятся салазки с горки, шири¬ ной в 2 л*; а проезжая дорога, по которой ездят на лошадях, на 4 м шире. Какова ширина проезжей дороги? (Почему?] Дети катаются на коньках. Дети чистят каток. Рис. 47. Снегом замело весь сад: посреди сада глубина снега 30 см, а у забора на 14 см глубже. Какова глубина снега у забора? (Почему?) Лед на реке в ноябре месяце был толщиною в 15 см, а в январе стал на 30 см толще. Какова толщина льда в январе месяце? 4. Измерьте глубину снежного покрова на открытом месте и у забора. Измерьте толщину льда на реке и озере. Составьте задачу, пользуясь этими данными. Игра. 1) Быстро называть ряд чисел, возрастаю¬ щих или убывающих на 2 (3). Например, учитель или ученик называет число 10; ученики быстро, по вызову учителя или поочереди, называют числа: 12,
— 86 — 4 14, 16, 18, 20. Нужно следить, чтобы не сбиться на непроработанные случаи сложения и вычитания. 2) Быстро назвать 2 числа, из которых одно на 2 (3; 7) больше или меньше другого. Началом изучения приемов сложе- ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ J „ упражнения яия и вычитания в пределе 20 с пере- к табличному ходом через десяток следует сделать сложению и вы- повторительные упражнения, в кото- читднию (с ПЕРЕ-рых требуется: дополнять однознач- ходом через ные числа до ю и разлагать 10 иа ДЕСЯТОК). два слагаемых, из которых одно известно; разлагать числа второго десятка на десяток и единицы, отнимать от 10. Нет надобности зани¬ маться этим долго к ряду (например, затрачивать целый урок); достаточна уделять этим упражнениям несколько минут на отдельных уроках, посвященных сложению и вычитанию с переходом через десяток. Едва ли для этих повторительных упражнений нужны наглядные пособия; но если бы потребовалось конкре¬ тизировать эту работу, то для этого могли бы приго¬ диться те наглядные пособия, которые указаны раньше. Ниже мы приводим такие упражнения, забота о доме. 1. Хозяйка внесла в избу 8 сосновых полей. Сколько ей надо добавить березовых полей, чтобы всего было десяток полей? Рассчитайте, сколько сухих полей надо добавить к 6 поленам сырых дров, чтобы вышло всего десяток полей ?
— 87 — Ваня помогал своей матери в её домашней работе. Мать велела ему принести десятой полен. Он принес 7 полен. Сколько полей ему осталось принести? 2. Мать тратит зимой на домашнюю работу 10 час. Из них 2 час., она тратит на уход за детьми. Сколько часов она тратит на всю другую работу? На приготовление еды и уборку посуды у хозяйки уходит 5 часов. Сколько времени отнимают у неё другие домашние заботы, если всего она'тратит в день на домашнюю работу 10 час.? 3. Повторение: 8= 10; 7-(-ж=Ю; 6-j-£с= 10; 5 —гс = 10; 10 = 9-(-ж; 10 = 8 + ж; 10 = 7 -(-ж. 4. Видывали ли вы новые серебряные деньги? Какой вид имеет советский гривенник ? (Показать!) Сколько копеек нужно добавить к 7 к., 8 к., 9 к., 6 к. и 5 к., чтобы получить гривенник? Как можно разменять гривенник, чтобы в числе денежных знаков было 5 к. ? чтобы были 5 к. и 3 к. ? 5 к. и 2 к. ? 5 к. и 1 к. ? Какой вид имеет советский пятиалтынный (15 к.)? (Показать!) ш Как можно разменять 15 к., чтобы в числе денеж¬ ных знаков было 10 к ? Сколько копеек составляют знаки 10 к., 5 к. и 1 к. вместе? 10 к., 3 к. и 3 к.? 10 к., 2 к. и 3 к.? 10 к. и 2 к. X3 ? Ю к. и 3 к. X 3, и т. д. ? 5. Составьте задачу, в которой требуется дополнить какое-нибудь число до 10.
— 88 — Ваня получал от своей мамы ежедневно к чаю 2 куска сахару. Сколько кусков сахару он цолучит за неделю? за 10 дней? 6. Равные слагаемые: (книга для учен., стр. 27 и 28). 15) 2 —(— 2 —2 —2 —2 +2 = 2 —2 —}— 2 —j- 2 —2 —}— 2 —1 ~ 2 = 2+2+2+2+2 +2+2+2= 2 + 2 + 2 + 2-1-2 +2+2+2+2= 2 —2 —2 —}— 2 —f- 2 —j— 2 2 —}— 2 —|— 2 —2 = Крестьянин купил пачку спичек за 10 коп. Он дал гривенник и еще денежки по 2 коп. Сколько таких денежек он заплатил? Сколько раз два повторяется в числе 12 сверх 10? » » 14 » 10? » » 16 » 10? 16) 1-(-3 + 3 + 3 +3 = 1+3+3+3 +3+3= 1+ з + з + з +3 + 3+3 = Крестьянин купил пачку спичек за 16 коп. Он дал гривенник и еще денежки по 3 коп. Сколько таких деиежек он дал? М) Сколько троек в числе 13 сверх десяти? » » » 16 » » ? » » » 19 » » ? 2+4+4+4= 2+4+4+4+4=
— 89 — 18) Сколько четверок сверх десяти в числе 14 ? ' » » » » » 18? 5-|- 5-J-5 Сколько пятерок в числе 15? 5 -5 “j- 5 —|— 5 » » » 20 ? С —2 —2 —2 „20— 5— 5 — 5 — 5 8 —2 —2 —2 —2 8— 4— 4 10 — 2 — 2 — 2 — 2 — 2 20—10—10 9 — 3 — 3—3 Сколько раз можно отнять по 2 от 6? » » 2 содержится в 8? » » » » в 10 ? » » 3 » в 9 ? » » 5 » в 20 ? » » 4 » в 8 ? » » 10 » в 20 ? 7. Вырежьте побольше бумажных снежинок! Отсчитайте 10 таких снежинок; сложите из них какую-нибудь фигуру! Отсчитайте еще 8 (6, 7, 4, 5) таких снежинок; сделайте из них вторую фигуру! Сколько снежинок в обеих фигурах? И т. д. Отсчитайте 6 снежинок. Возьмите из них пару и положите на стол; потом еще пару, пока не разло¬ жите парами все снежинки. Сколько пар снежинок? Сколько недостает до 10? На стол положили 4 раза по паре снежинок. Сколько снежинок положили ? Добавить до 10! Положите 9 снежинок так, чтобы составилась звезда! Если брать сначала 3, потом еще 3, пока не будут
— 90 — взяты все снежинки, — сколько раз придется брать по 3 ? Добавить до 10! 8. Хорошим предварительным упражнением, облег¬ чающим усвоение способа сложения и вычитания чисел с переходом чрез десяток, может служить реше¬ ние такого рода задач и примеров. Дети принесли в класс дрова. Один — 6 сосновых полен, другой — 4 еловых полена, третий 3 ольховых полена, четвертый 2 берёзовых полена. Сколько полен они. принесли ? Дети принесли в класс 5 сухих березовых полен, 5 сырых березовых полен и 3 полусухих. Сколько всех полен они принесли? Стали поленья укладывать в печку. Если их класть, то в печку входит 8 полен; если ставить, то входит на 2 полена больше. Сколько полен входит в печку, если их ставить? Упражнения: (книга для учен., стр. 28). 19) 9-f 1 + 7= 20) 9+1 + 3= 21) 9 + 1 + 5 = 8 + 2 + 4= 9 + 4= 9 + 6 = 6+4+1= 7+3+2= 8+2+2= 7 + 3 + 2= 7 + 5= 8 + 4 = 22) 6 + 4 + 1 = 23) 9 + 1 + 3 = 24) 2 . 3 + 4 = 6 + 5= 9 + 4= 3 . 3 + 1 = 7+3+3= 7+3+2= 4.2+2= 7 + 6= 7 + 5= 2 . 2 + 6 = Дверца печки имеет вид прямоугольника. Одна сторона её имеет длину 2 Ом 2 см, другая — 2 дм.
— 91 — Сколько сантиметров имеет каждая сторона дверцы? Вьюшка имеет вид круга. Его понеречник 1 дм 7 см. Сколько сантиметров в поперечнике?^ Ободок вьюшки (окружность) имеет 5 дм 2 см. Сколько сантиметров заключается в ободке вьюшки ? Самый переход через десяток при сложение и вы- слоисении и вычитании может быть ЧИТДНИЕ С ПЕРЕ- . „ ходом ЧЕРЕЗ Уяснен с помощью перехода с од|Гой десяток. полоски иа друг)ю, или переходом с одной половины рамы на другую (см. ниже). 1. Процесс перехода через десяток при сложе¬ нии заключается в следующем. Нужно, например, вычислить 8-(-5. Прежде всего приходится разре¬ шить задачу 8 +ж =10, потом 5 = 2 -j- х й, наконец, 8-f5 = 8-|-2 + 3 = 10-|-3. ч 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 со 4 5 1 Черт. 48. Пособие (рис. 49), о котором говорилось выше, также может конкретизировать этот процесс рассуждения. Чтобы выработать у учащихся навык в зтом при¬ еме вычисления, следует вначале числовые примеры подбирать так, чтобы облегчить учащимся этот
— 92 — довольно сложный процесс. Этого можно достигнуть, взяв за первое слагаемое 9, которое легко дополняется до 10, и прибавлять к нему сначала 2, потом 3, 4 и т. д.; затем перейти к прибавлению всех однознач¬ ных чисел к 8, как это и проведено в книге для учащихся; далее прибавление к 7, (i... - © © ® + 0 0 © © + о © G © + о © + 0 О о © +0 О о Рис. 49. 2. Способ вычитания с переходом через десяток состоит из следующих моментов: 1) от уменьшаемого отнимаются единицы сверх десяти, например: отнимал 7 от 15, вычитаем 5 из 15; 15 — 5 = 10 (черт. 50); 2) определяется, сколько нужно еще отнять от полу¬ ченного десятка; 3) из 10 вычитается неотнятая часть вычитаемого: 15 — 5 = 10; 7 — 5 = 2; 10 — 2 = 8. Птицы зимой. Дети гуляли на улице и видели в саду снегирей и синиц, а на дороге ворон. Придя домой, они стали играть палочками, считая их за птиц: красные палочки
— 93 — обозначали снегирей, синие — синиц, черные — ворон. У одного мальчика было 9 красных палочек, у дру¬ гого— 5. «Добавь мне до 10», — сказал первый. Вто¬ рой добавил. Сколько палочек осталось у второго? Сколько палочек у них было всего ? Синиц — синих палочек—у одной девочки было 9, у другой 4. Первая девочка сосчитала свои палочки и сказала: «У меня ие хватает до 10, добавь мне». Вторая девочка добавила. Сколько у нее осталось палочек ? Сколько всего синих палочек было у этих двух девочек ? Три мальчика заготовляли «ворон»: один пригото¬ вил 6 черных палочек, другой 3, третий 4. Сколько черных палочек изготовили эти три мальчика вместе ? Стало у детей красных палочек 14, синих 13, чер¬ ных 12. Подкрался к ним мальчуган, выхватил 5 красных палочек: «Улетели 5 твоих снегирей», — сказал он убе¬ гая. Сколько осталось красных палочек — снегирей ? А тот, у которого улетели снегири, забрал 4 синих у своего соседа: «Твои синицы прилетели ко мне».— Сколько у другЬго осталось синиц, если их было 13 ? Засмеялся потерявший синиц: «А ко мне прилетели вороны», и взял из 12 черных палочек 3 штуки. Сколько осталось ворои у того мальчика, который держал чер¬ ные палочки? Мальчик пристроил за окном у форточки полочку и на ней рассыпал зерна. Зимующие птички приле¬ тали и подкармливались зернами. Прилетели 4 сне¬
— 94 — гиря п 3 воробья; затем 2 снегиря улетели. Г коль ко птичек осталось ? Мальчик подвешивал кусочки сала, которые кле¬ вали синички. Он подвесил 7 кусочков сала. А оста¬ лось только три. Сколько кусочков сала склевали синички ? / Составьте задачу о зимующих птицах. 10 IX 9 2Х 8 ЗХ 7 4Х 6 5Х 5 4 3 Х2 XI У пражнени я стр. 28 и 29). 1) 9 + 2 2) 9 + 3 9 + 4 9 + 5 5) 15 — 6 6) 16 — 7 17 — 8 18 — 9 7) 15 (книга для ученика, 9 + 6 9 + 7 9 + 8 9+9 3) L1 — 1 4) 13 — 3 11 — 2 13 — 4 12 — 2 14—4 12 — 3 14 — 5 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 + 3 + 3 + 3 +3 1 + 4 + 4 + 4 з+з+з+з 2 — 2 — 2 8) 8 + ж=10 15—3 — 3 17 — 4 — 4 19 — 5 — 5 9) а +3 = 1П 10) ж+ 4 —10 х + 1 = 10 Ж + 2 = 10 7 +ж =Ю 9 +Ж = 10 6 + Ж = 10 10 = 8 + ж 10 = 6 г -с 10 = 7 +ж 10 = 9 + ж Черт. 50.
— 95 — 1. В классе скамейки стояли в три ряда: в одном класс зимою, ряду 8 скамеек, в другом 9, а вдоль стеньг, пред окнами, 7 скамеек. Когда наступила зима, стало так дуть от окна, что пришлось скамейки третьего ряда разместить в первые два ряда, к первому ряду 4 ска¬ мейки, ко второму все остальные. Сколько скамеек образовалось в каждом ряду? В класс пришло 14 мальчиков, из них шестеро были в сапогах, остальные в валенках. Сколько чело¬ век пришло в валенках? В классе 12 девочек, .из них 4 девочки в вален¬ ках, остальные в сапожках. Сколько девочек в сапож¬ ках? Длина школьного двора 8 метров, от школьного двора до колодца 7 метров; снегом замело всю тро¬ пинку от школы до колодца. На каком расстоянии нужно расчистить снег, чтобы проложить дорогу к колодцу? 2. Девочка заболела и пропустила 2 дня по 4 урока и 2 дня по 3 урока. Сколько уроков она пропу- ' стила? Дежурный подсчитал пропущенные уроки всего класса. В понедельник было пропущено 6 уроков, во вторник 8 уроков и в среду 6 уроков. Сколько всего уроков было пропущено за три дня? За неделю в первой группе было 18 уроков. Из них 13 уроков было счета, письма и чтения; 3 урока рисования; остальные уроки гимнастики. Сколько было уроков гимнастики?
96 - Работа детей зимою. Упражнения (книга для учен., стр. 29). 11)8-1-2 12) 8-| 4 13) 12 — 2 14) 13 — 3 8-J-3 8-1 6 12 — 4 13—5 8-1-5 8 + 8 11 — 1 14 — 4 8-j-7 8 + 3 11 — 3 14 — 6 15—7 16) 4 + 4 4 \1) 14 — 2 — 16 — 8 4-14 + 4 + 4 18 — 3 — 9+8 3 + 5+3 19 — 5 — 17 — 9 6 + 2 + 7 1 1 г- ^ч Пользуясь этими примерами, предложить классу со¬ ставить задачу по образцу приведенных выше. 1. Наш каток замело снегом. Чтобы его расчистить, отправились 7 мальчиков и 5 девочек. Сколько детей отправилось расчищать каток? Для расчистки снега было 7 лопат и 4 метлы. Сколько человек могло принять участие в работе? Когда работа приближалась к концу, то 4 девочки и 1 мальчик пошли домой. Сколько детей осталось доканчивать работу? На другой день дети пришли кататься на каток: 7 мальчиков пришли с коньками и 6 мальчиков с салазками. Сколько мальчиков пришло на каток? Девочек на каток пришло меньше: их всего в нашем классе 11, но 4 девочки побоялись мороза и не пришли. Сколько девочек пришло на каток? Все пришедшие девочки принесли с собою коньки. Сколько всего мальчиков и девочек каталось в этот день на коньках?
— 97 — Упражнения (книга для учен., стр. 29). 18) 7 + 3 19) 11—1 20) 3 + 4 + 5 7 + 4 11 — 4 4+3+2+1 7 + 6 12 — 5 1 + 2+2 + 2-| 4 7 + 7 14—7 3+1+3+7 7 + 5 13 — 6 5 + 2 + 6 15 — 4 — 4 22) 8 + 4- -4 23) 20 — 9 — 4 17—5 — 5 8 + 4 — 8 18 — 5 — 6 19 — 6 — 6 8+4 — 7 16—2 — 7 2. Пользуясь примерами, предложить утащимся составить задачи на теми, занимающие их в данное время. 3. Возьмите узкую полоску бумаги длиной 9 см, приставьте к ней другую полоску длиною 5 см (пока¬ зать на чертеже). Какой длины получится полоса? Сделать то же для полос: 1)_8 с.м и 4 см, 2) 7 еле и 6 м и т. д. От полосы длиною в 12 см отрежьте кусок длиною в 3 см. Какой длины оставшаяся часть? То же для 1) 14 см и 5 см, 2) 17 см и 8 см. От полосы бумаги длиною в 12 см отрезали часть длиною в 4 см. Какой длины оставшаяся часть? Приложить к оставшейся части 4 см. Какой длины получится полоса? 13 см — 4 см = 12 см — 5 см = 14 см — 6 см = 9 см + 4 см = 7 см + 5 см — 8 см + 6 см = 1. Дети с помощью стакана чертят на куске бумаги Календарь, круг. Делят его на 4 равные части. На одной части Сборник арифметических выдач. 7
— 98 — Работа крестьянина зимою. пишут: зима, па другой — весна, на третьей—лето, на четвертой — осень. Кругом мы обозначили год; четверти круга обозначают времена года. Далее дети делят каждую четверть круга на три равные части, так что круг делится на 12 равпых частей. Каждая часть круга есть двенадцатая часть его и обозначает месяц. Надписывают зимние, весенние и т. д. месяцы. В году 4 времени года — зима, весна, лето, осень. Какую часть года составляет каждое время года? Каждое время года заключает 3 месяца. Сколько месяцев в году? * 2. Составить табель-календарь на декабрь. Полезно, в порядке повторения, дать проделать выше приведенные упражнения в иной последователь¬ ности: изменять первое слагаемое, оставляя второе без изменения, т.-е. к 9 прибавить 1; к 8 и 9 поЗ; к 7, 8 и 9 по 4 и т. д. к тем числам первого десятка, для которых сумма более 10. Тот и другой порядок мы осуществим, если будем проходить нижеследующую таблицу по строчкам, а повторять по столбикам (книга для учен., стр. 30): 1) 9 + 2 9 + 3 9 + 4 9 + 5 9 + 6 9 + 7 9 + 8 9 + 9 8 + 3 8 + 4 8 + 5 8 + 6 8 + 7 8 + 8 7+4 7 + 5 7 + 6 7+7 6 + 5 6+6 Крестьянин со своим сыном на двух подводах возили дрова. В день они привезли 6 саней дров; да на другой день 6 саней. Сколько саней дров они привезли за два дня?
— 99 — Крестьянин возил из лесу на станцию бревна. В день он успевал два раза отвезти бревна, каждый раз по 2 бревна. Сколько бревен он свез за 3 дня? Отец со своим небольшим сыном Ваней возил на санях с луга домой сено. Они вместе накладывали на сани сено, и Ваня забирался высоко на сани с сеном. Первый день они привезли 3 саией, второй— 4 саней, третий — 3 саней и четвертый—2 саней. Сколько саней сена они привезли? Любил Вася возить со своим отцом зерно на мель¬ ницу. Отвезли они 12 мер зерна. Мельница успела перемолоть половину этого зерна. Сколько зерна пере¬ мололи им? Случаи сложения: 5-[6; 6-J-7; 7 —j-8 и тому подобные, когда второе слагаемое больше первого, служат применением свойства переместитель¬ ности при сложении. Это свойство уже ранее созна¬ валось и использовалось учащимися; теперь его еще раз нужно подчеркнуть, показав, что, пользуясь им, иногда можно новые случаи сложения приводить к уже известным. С помощью любых предметов, на¬ пример, кубиков, можно решать вопросы: «Что больше: *2-1-9 кубиков или 9-J-2? 3-f-9 или 9-]-3?» и получать уверенные ответы: «Получится поровцу». Точно так же на вопрос, что легче сложить: 2-f-9 или 9-f-2? немедленно следует ответ: 9 —f- 2 удобнее вычислять». Таким образом учащиеся здесь приходят к сознательному использованию свойства перемести¬ тельности при сложении.
Упражнения (книга для учен., стр. 30). 5 + 6 6 + 6 7 + 6 8 + 7 7 + 8 8+4 4+8 7 + 4 4 + 7 7 + 5 5+7 6) 7 +6 6 + 7 8 + 6 6 + 8 9 + 6 6 + 9 9) Прибавлять: 7) 13 — 6 13 — 7 14 — 6 14 — 8 15 — 6 15 — 9 2 -|- 2 -J- 2 +■ . 5+5+5+. 4+4+4+. 3 + 3 + 3 + . . 5) 11 — 2 11 — 9 11 — 3 11—8 12 — 3 12 — 9 13 — 4 13 — 9 14 — 5 -14 — 9 13 — 5 13 — 8 9+7 7 + 9 16 — 7 16 — 9 9+8 17 — 8 . . . до 20 . . . до 20 . . . до 20 . до 18 2) 6 + 5 3) 11 —5 4) 9 + 2 11 — 6 2+9 12 — 6 8 + 3 13—7 3 + 8 15 — 7 9 + 3 . 15-8 3 + 9 12—4 9 + 4 12 — 8 4 + 9 11 — 4 9 + 5 11 — 7 5 + 9 12 — 5 8 + 5 12 — 7 5 + 8 8) 10) 5 + 4 + 4 11) 6 + 3 + 3 12)8 + 1 + 9 5 +3 + 3 7 + 3 + 3 7 + 1 + 8 4 + 3 + 3 6 + 2 + 7 6 +1 + 7
Нижеследующие примеры помещены в книге для ученика на стр. 31. 1) 11- 2 5) 11 — 9 11 — 8 11 — 7 11 — 6 11 — 5 И — 4 11 — 3 11 — 2 9) 15 — 6 14 — 6 13 — 6 12 — 6 11 — 6 13) 15—9 15—8 15—7 15—6 2) 12 — 3 11 — 3 6) 12 — 9 12—8 12 — 7 12 — 6 12 — 5 12 — 4 12 — 3 10) 16 — 7 15 — 7 14 — 7 13 — 7 12 — 7 11 — 7 14) 16 — 9 16 — 8 16 — 7 3) 13 — 4 12 — 4 11—4 7) 13 — 9 13 — 8 13 — 7 13 — 6 13 — 5 13 — 4 11) 17 — 8 16 — 8 15 — 8 14 — 8 13 — 8 12 — 8 11 — 8 15) 17—9 17—8 4) 14 — 5 13 — 5 12 — 5 11 — 5 14 — 7 14 — 6 14 — 5 12) 18 — 9 17 — 9 16 — 9 15 — 9 14 — 9 13—9 12 — 9 11 — 9 16) 18—9 8) 14 — 9 14 — 8 Для того, чтобы сблизить изучепие сложения и вычитания и тем самым облегчить их запоминание,
— 102 - полезно проделать следующую систему, упражнений (книга для учен., стр. 32). 1) 9+2 2) 8+3 3) 9 f 3 4) 9+4 11—2 11—3 12—3 13—4 2 + 9 3 + 8 3+9 4+9 11 — 9 11—8 12 — 9 13—9 5) 8+4 6) 7 + 4 7) 9 + 5 8) 8+5 2—4 11—4 14—5 13—5 4 + 8 4 + 7 5 + 9 5+8 12 — 8 11 — 7 14—9 13—8 9) 7+5 10) 6+5 11) 9+6 12) 8+6 12 — 5 11—5 15—6 11—6 5+7 5+ 6 6 + 9 6 + 8 12 — 7 11 — 6 15 — 9 14—8 13) 7-f-6 13—6 6 + 7 7 + 6 14) 6 | 6 12—6 5+6 11—6 15) 20 20 20 20) 15- 18- 14- 16- 11- —2 до 0 20—3 до 2 18—3 до 0 19—4 до 3 —4 до 0 20—6 до 2 19—2 до 1 17—5 до 2 С. ТТЛ Г\ «‘irv Г7 „Л л 1 Г Л 1 1 О. Л тгп О Ж= 14 ж=21 -ж = 14 -Ж=11 ж= 13 -ж=9 21) 13—ж=8 22)ж—7 = 9 23) а?—3=9 -Ж = 9 15—ж= 8 ж—3 = 8 X—7=5 -#=7 11—х=9 х-—2 = 9 X—5=8 -ж=9 14—ж=5 х—4=8 х—8=8 -ж=6 16—ж=7 ж—9 = 7 ж—9 = 6 16) 12=4- -X17) 15=ж- -918)ж- -8=1219)6 15 = 6- -х 14=ж- -7 ж- 7=15 8- 17 = 8- -ж 1С = ж- -9 ж- -9=13 9- 18 = 9- -х 13 = ж- -8 ж~ -5 = 14 7- 11=2- -х 11=ж- -5 .ж- -4=11 5-
— 103 — Чтобы в классе не было грязи, в школе введено пра¬ вило: каждый должен обмести свои ноги в передней. Утром пришло 12 мальчиков и 3 не обмели своих ног. Сколько мальчиков обмели ноги? Из 16 девочек тоже 3 не обмели ног. Сколько девочек обмели ноги? Девочки стали хвастать: «Мы аккуратнее, из нас больше таких, которые исполнили правило». Про¬ верить это! Сколько детей подчинилось правилу? Сколько не подчинилось? В классе 17 мальчиков; 9 из них ходят в валенках, остальные в сапогах. Сколько мальчиков ходит в сапогах? Девочек 15 в классе; из них 7 носят валенки, остальные ходят в полусапожках. Сколько девочек носят полусапожки? Сколько всего детей в валенках? Выберите какой-нибудь пример (на стр. 32 в книге ученика) из номеров 1 —14 и составьте к нему задачу о том, как живут дети зимой. На улице снег собран в кучи; утром было 14 куч» из них 6 больших, остальные маленькие. Сколько маленьких куч снега было утром? После полудня на улице осталось только 5 куч, остальные увезли. Сколько куч снега увезли? По улице едет обоз: 8 возов с дровами, 7 возов с бревнами. Сколько всего возов? Из 15 лошадей 6 вороных, остальные других мастей. Сколько лошадей других мастей? Обувь держать в чистоте. На улице зимой.
— 104 — Зимний празд¬ ник. Около каждого воза идет кучер; в числе идущих с возаыи 2 старика, 7 мальчиков, остальные взрослые мужчины. Сколько взрослых мужчин в обозе? ■ На возах 9 березовых бревен и 5 еловых. Сколько всего бревен? Для устройства зимнего праздника дети вырезали разные звездочки из бумаги, которые должны были изображать снежинки. Одна девочка вырезала 8 сне¬ жинок, другая 5, третья 4. Сколько звездочек выре¬ зали эти три девочки? (Вырезать снежинки и разло¬ жить их.) N На одном плакате мальчик хотел наклеить снежинки в 3 ряда: в нижнем ряду 7, во втором 5, а в третьем 3. Сколько снежинок хотел он наклеить? Часть класса осталась недовольна этим плакатом и разместила свои снежинки иначе: в самый нижний ряд наклеили 5 снежинок, в следующий ряд 4 сне¬ жинки, затем 3, потом 2 и, паконец, 1 снежинку. Сколько снежинок поместили на плакате при таком расположении? Столько ли, сколько раньше? Из этих снежинок 7 было крупных, остальные маленькие. Сколько маленьких снежинок? Нескольо человек устроили новый плакат со сне¬ жинками: они расположили вокруг одной снежинки 8 снежинок и вокруг другой 6 снежинок. Сколько снежинок было помещено на зтом плакате? Вырезать из бумаги снежинки и, складывая из них фигуры, составлять задачи иа сложение и вычитание в пределе 20.
— 105 — Использовать другие предметы и украшения, кото¬ рые приготовляются к празднику зимы, в качестве тем для задач на сложение и вычитание. К празднику 17 детей принялись рисовать картины, изображающие виды зимы: 4 человека рисовало деревья зимою, 7 человек деревню зимою, а остальные реку. Сколько человек рисовало реку зимой? , На одной картинке, которая должна была изображать деревья зимой, мальчик предполагал нарисовать 15 пред¬ метов: 6 елок, 3 березы, остальные — кусты. Сколько кустов предполагал он нарисовать на этой картинке? На картинке, изображающей реку зимою, нарисовано, как возят лед: на возах лежит 7 больших кусков льда да на снегу еще 5 кусков. Сколько кусков льда всего на картинке? На другой картинке изображена деревня зимой: 6 домов, из которых идет дым из трубы, и 5 домов без дыма. Сколько всего домов нарисовано? 1. Для того, чтобы легче было определять, на сколько одна группа предметов больше или меньше другой, нужно сравниваемые группы при¬ вести в соответствие друг с другом: про¬ тив каждого предмета одной группы нужно поставить предмет второй группы; тогда ясно обнаружится, сколько лишних предметов в более*многочисленной группе, т.-е. на сколько эта группа больше дру¬ гой: иначе говоря, сколько предметов не хватает меньшей группе, чтобы их было столько же, сколько и в первой, т.-е. насколькоэтагруппаменьшр Разностное сравнение.
— 106 — первой. Важно приучить учащихся понимать вопрос в той и другой форме. Хорошим средством для выяснения разностного сравнения может служить сравнение длин, при кото¬ ром сначала путем прикладывания предметов друг к другу устанавливается излишек одной длины, а затем он вычисляется путем вычитания. На сколько одна линеечка длиннее другой? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1. Вырежьте из бумаги две полоски; одну длиною 12 см, другую 9 см. Сравните, которая из них длиннее, которая короче, приложив их друг к другу? На сколько одна полоска длиннее другой? На сколько одна полоска короче другой? Вырежьте из бумаги ленты длиною 15 см и 8 см, приложите друг к другу и определите: 1) которая из них длиннее и на сколько? 2) которая из них короче и на сколько? Поставьте рядом высокого ученика и маленького (спинами друг к другу). Определить, на сколько один из них выше другого; насколько один из них ниже другого? Начертить на классной доске две полосы рядом: одну длиною 16 верш., другую 12 верш.; нанести на той или другой вершки. На сколько одна длиннее дру¬ гой? На сколько вторая короче первой?
— 107 — Поставить отвесно карандаш и вставочку. Пока¬ зать, на сколько карандаш ниже'вставочки? Как опре¬ делить разницу этих длин? Стоит 5 кубиков; против каждого из трех первых кубиков лежит по налочке. На сколько кубиков больше чем палочек? На сколько палочек меньше, чем кубиков? В одном ряду стоит 12 кубиков; в другом 8 куби¬ ков. На сколько кубиков в первом ряду больше, чем во втором? Купили дюжину карандашей и 10 вставочек. На сколько вставочек менипе, чем карандашей? Сколько вставочек нужно добавить, чтобы карандашей и вставо¬ чек стало поровну? Разложить их так, чтобы легко было сравнивать, чего и на сколько меньше. 2. Рассмотрите картинку (рис. 51, у ученика стр. 33). Дети измеряют глубину снега. Научимся и мы ее измерять. 12 34 56 789 10 Метр разделен на 10 дециметров. В каждом деци¬ метре 10 сантиметров. Сколько сантиметров в 4 дм? в 6? в 7 дециметрах? Сделайте себе самодельные метры. Сколько сантиметров в 2 дм и 5 см,?, 3 дм и 4 с.ч? 6 Ом и 7 см? 8 дм и 1 см? 9 дм? 9 дм и 3 см?
— 108 — Зимние наблю¬ дения. Выберите сугроб около забора и измерьте его в раз¬ ных местах, по направлению от забора к открытому месту, через каждые полметра. Пусть каждый ученик измерит глубину снега в одном месте и запомнит свое число и своих соседей по измерению. Рис. 51. Детп измеряют глубину снега. Начертите на доске стоячие линии, которые обозна¬ чали бы глубины сугроба в том порядке, как они есть на самом деле (пижние концы выровнять, верхушки соединить, как на чертеже 52). Сравнивайте, на сколько сантиметров сугроб глубже или мельче в одном месте, чем в другом (выбирайте такие случаи, когда можете вычислить).
3. Измерьте длину и ширину класса п сравните, на сколько длина больше ширины. 4. В этом месяце 18 дней ясных, остальные пас¬ мурные. На сколько дней ясных было больше, чем пасмурных? В декабре сильные морозы стояли 19 дней, а 12 дней была хорошая погода. На сколько меньше было теплых дней, чем морозных? Записывайте, сколько дней в месяце бывает метель, хорошая погода, сильные морозы. Составьте задачи по образцу решенных. 5. Зимой дни бывают короткие, и приходится долго освещать квартиру: утром от 7 до 9 часов и вечером от 4 до 11 часов. Сколько часов в день приходится совещать квартиру в короткие зимние дни? Зимой приходится топить печки каждый день и по¬ больше подкладывать дров: чтобы нагреть большую ком¬ нату, нужно в печь положить 15 полей сосновых дров,
— НО — / а если топить березовыми дровами, то на 7/чолеи меньше. Сколько березовых дров нужно ^ложить в печку? г Сосчитайте, сколько полен нужпо для вашей печки? 6. Печки часто бывают круглые, обитые листовым железом. Высота стен в классе 4 '/а арш., печка на ‘/а аРш- ниже. Какова высота печки? 7. Измерьте высоту печки в школе в различных клас¬ сах и дома: какова высота печки?какой длины нужна веревка, чтобы измерить круглую печку в окружности? Сделайте из глины ту форму, какую имеет кру¬ глая печь. Составьте задачи, в которых требуется вычислить, насколько высота или обхват одной печки больше другой? Измерьте глубину стакана или чашки, ведра и ку¬ вшина, и затем определите, на сколько один из этих сосудов глубже другого. составление Итоги работы можно завершить таблицы сложе- составлением таблицы сложения, пред- ния и вычитания. ложив детям к числам верхнего ряда прибавлять последовательно числа вертикального ряда; при этом сумму писать только в том случае, если она равна или больше 10, как показано на при¬ лагаемой таблице (см. таб. на след. стр). Очень полезным и интересным может оказаться выяснение таких вопросов: 1. Почему в горизонтальных рядах суммы убывают слево направо?
2. -Почему в вертикальных рядах суммы возрастают сверхуУвниз? 3. Почему по наклонным рядам (слева сверху — направо ьниз) суммы равны? (Слово \сумма» в классе, конечно, не произно¬ сится.) V 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 10 2 11 1и 3 12 11 10 4 * 5 6 7 8 9 По анальгии со сложением, изучение табличного вычитания может быть завершено составлением уча¬ щимися такой таблицы как помещенная на стр. 112. Из числа верхнего горизонтального ряда вычита¬ ются числа вертикального ряда, при чем пишутся только остатки, которые равны или меньше 10. Объяснить, почему в итоге получится таблица, на которой:
— 112 1) в горизонтальных рядах остатки возрастаютоева направо? / 2) в вертикальных рядах остатки убываю^ сверху вниз? / 3) по наклонным рядом сверху слева/— направо вниз — равные остатки? 1 11 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 3 4 5 6 9 10 9 10 8 — — 7 - 8 9 Лото. Для приобретения навыков в сложении и вычи¬ тании в пределе 20 может служить игра в лото. Описание школьного лото дано раньше на стр. 56, для сложения и вычитания в пределе 1—ю. Для дан¬ ного периода следует произвести лишь одно измене¬ ние в описанном ранее лото: суммы и разности соста¬ вляются применительно к пределу 1—20.
— 113 — Кооператив. Много расчетов может быть связано с устройством и игрою в кооператив. При устройстве кооператива товары заготовляются счетом, взвеши¬ ваются, измеряются; записываются в книгу; назна¬ чаются цены, которые пишутся на ярлычках. Самое оборудование кооператива полками, весами и само¬ дельными гирями, метром и сантиметрами тоже дает повод для измерения и расчетов. Товарами могут служить разного рода изделия и рисунки самих уча¬ щихся, материалы для ученических работ, цветные бумажные ленточки, предметы из глины и т. п. Денеж¬ ные знаки берутся собственного детского производства, похожие на существующие в данное время денежные знаки, чтобы учащиеся привыкали производить с день¬ гами такие расчеты, какие действительно нужно про изводить в жизни. При атом полезно показать детям настоящие денежные знаки, не применяя их, однако, в игре. Число служащих можно допускать большее или меньшее; вначале, однако, пока игра не нала¬ дится, в качестве служащих лучше 2 учащихся: один взвешивает и измеряет, другой получает деньги (кас¬ сир). Нужно следить, чтобы расчеты не выходили, по возможности, из пределов изучаемого концентра. Игра в нули и крестики. Можно использо¬ вать, как упражнение в сложении и вычитании, игру в нули и крестики. Обычно эта игра занимает школь¬ ников, но в то время, когда их математические навыки далеко опередили пгру, так что эта игра не двигает их развития вперед. Поэтому полезно показать ее именно Сборник арифметических 8адач. 8
теперь, когда сложение и вычитание в пределе 20 очередная работа для учащихся. Два игрока поочереди ставят в клетках квадрат а один — нули, другой — крестики. Каждый старается своими знаками заполнить весь ряд и зачеркнуть его. Другой своими знаками старается помешать этому плану противника. Выигрывает тот, кто за все время игры зачеркнул большее число знаков. Игра кончается, когда все клетки заполнены нулями п крестиками. МАГИЧЕСКИЕ КВА¬ ДРАТЫ. Проверить «магическое» свойство квадрата № 1, т.-е. сложить числа в вертикальном, горизонтальном на¬ правлениях и по диагонали; убедиться, что суммы будут получаться равные для квадрата Ж 1. Числа 1 — 9 № 1. 00 3 . 4 5 10 | 3 1 5 ' 9 1 i 6 1 7 j 2 7 Числа 2 — Ю № 2. 6 1 7 5 2 Числа 1 — 9 № 3. Квадрат Ж 2 недокончен: нужно на нем разместить числа от 2 до 10 так, чтобы число встречалось один раз и суммы по всем вертикальным н горизонтальным направлениям и по диагоналям были равны. Известно,
\ — 115 чть часть этих чисел размещена правильно. Требуется: 1) определить сумму, которая должна получиться по всем направлениям на данном квадрате (на квадрате № 2 эта сумма 5 —(—10 —|— 3); 2) разместить остальную часть чисел 2 —10 так, чтобы квадрат стал магиче¬ ским. Вторая задача решается путем дополнения тех рядов, где осталась пустою одна клетка. (Например, в квадрате № 2: 3 -| 7 = 10 для крайнего правого столбца; следовательно, для пустой клетки этого столбца 18 — 10 = 8. После этого дополняется вторая гори¬ зонтальная строка и т. д.) Квадрат № 3 также нужно дополнить, разместив на нем неразмещенные числа от 1 до 9. Способ реше¬ ния тот же, что и в предыдущем случае. Примеры (книга для ученика, стр. 35). 1) 4 + 2 + 5 13— 6 + 5 4+ 8 — 9 20- 5 — ! 3) 6+ 6+6 4) 6 6+ 6 — 7 8 19 — 10 + 18— 9 2) 14 —7 j 8 17 — 8+9 5 + 9—9 7 — 7 5 — 7 -7 — 7 14 — 5 + 6 13—5+7 - ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. Умножение и деление. Занимаясь до сих пор по преимуществу сложе¬ нием и вычитанием, мы не избегали употребления выражений «взять по» столько-то, «разделить по»
— 116 — J столько-то и «разделить на» столько-то равных частей. Но мы пользовались этими выражениями применительно к числам, первого десятка, когда результаты также не превосходили десяти. Поэтому в вычислениях не требовалось особых приемов: результаты получались при помощи сложения, точнее сказать — из таблицы сложения. В дальнейшем мы будем изучать умноже¬ ние и деление в пределе двадцати; при этом вычис¬ лительные приемы иногда будут особые, характерные для этих действий. Так, чтобы взять по два семь раз, мы будем группировать пары: по 2 возьмем 5 раз, затем по 2 возьмем 2 раза и, наконец, оба получен¬ ных числа сложим. Такой прием будет сокращать работу вычисления только в том случае, если дети уже знают, сколько получится, если по 2 взять 5 раз и по 2 взять 2 раза. Деля 16 по 2, мы можем вос¬ пользоваться или таблицей умножения, если учащиеся внают, что 2 X 8 = 16, или разложением числа 16 на две части — 8 и 8 и затем делением 8 по 2. Деля 15 на три равные части, мы можем разделить 9 и 6 на три равные части. Так как действие деления мы будем прорабатывать исключительно на задачах с предметным содержанием или на наглядных пособиях, т.-е. опять-таки на пред¬ метах, то мы встретимся с задачами двух видов: данное число предметов в одних задачах придется делить на данное же число частей, в других—на группы с данным числом предметов. Мы характеризуем пер¬ вое деление выражением «разделить на столько-то
— 117 — равных частей», второе — выражением «разделить по столько-то предметов». Этим двум видам деления соответствуют и два различных образа: деля, напри¬ мер, 12 квадратов на 3 равные части, или по( 3 ква¬ дратика, мы получим разные образы. В первом случае получпм по 4 квадратика в каждой части, во вто¬ ром — 4 группы квадратиков, или 4 раза по 3 ква¬ драта. Не следует вводить в первом (да и во втором) ф году обучения отвлеченного, условного выражения «разделить на три». Оно возможно и допустимо с того момента, когда учащиеся научатся смотреть на деление как на действие, обратное умножению, или по крайней мере на основе длительного числового опыта будут твердо знать, что если мы разделили, например, 126 яиц на две равные части и получили по 63 яйца в каждой части, то, деля 126 яиц по 2 яйца, или на пары, мы можем, не производя вычисления, сказать, сколько получится пар. В первом же году форма выражения деления должна быть образная: 12 яблок разделили на две равные части, пополам, взяли половину 12 яблок; 12 яблок разделили по 2 яблока, разделили на пары. Последовательность в прохождении умножения и де¬ ления такова: проходим совместно таблицу умножения и один вид деления, затем повторяем таблицу умно¬ жения и проходим другой вид деления. Взять и разделить по два. 1) Повторение: 2 .2, 2.3, 2.4, 2.5 и 4 : 2, 6 : 2, 8:2 и 10: 2.
— 118 — Скот. Лошади хватает одной вязанки сена на 2 дня. На сколько дней хватит ей 2 (-3, 4, 5) вязанки? Сколько вязанок сена надо привезти, чтобы его хва¬ тило на 10 дней, если лошадь съедает 1 вязанку в 2 дня? Кроме сена, лошади дается овес: она съедает 2 меры овса в месяц. Сколько овса ей выдается за 5 зим¬ них месяцев? На сколько месяцев хватит 4, 6. 8 мер? 2)Повторение. У крестьянина3коровы,2 лошади, 7 штук овец и 3 свиньи. Сколько у него голов скота всего? У крестьянина всего было 14 штук овец. Он продал 8 да зарезал 3. Сколько овец у него осталось? У крестьянина была свинья с 11 поросятами и 3 небольших свинки. Он продал 6 поросят. Сколько всего свиней у него осталось? Число лошадей, голов рогатого скота, коз, свилей и овец, принадлежащих семье каждого ученика, за¬ нести в таблицу. Подсчитать, сколько у всех учеников лошадей, коз и т. д. Сколько надо корму, чтобы про¬ кормить в течение суток весь скот той или другой семьи ? Составление задач о домашнем скоте. 3) Умножение и деление — 2-6, 12 разделить на пары, 2 • 7 и 14 разделить на пары и т. д. можно про¬ ходить сперва на квадратиках (рис. 52, у ученика стр. 36) и на других мелких подвижных предметах и тотчас же обращаться к задачам, взятым из темы. Порядок возможно избрать такой: 2-2, 2-4, 2-8, 16 разделить по 2; 2 • 3, 2-6, 12 : 2; 2-3, 2 ■ 6, 2 ■ 9,
18:2; 2 • 5, 2 • 10, 20 : 2. Беря по 2 четыре раза, мы берем по 2 два раза и еще по 2 два раза (рис. 52). Четыре взять по 2 восемь раз, мы берем по 2 четыре раза и еще 2 четыре раза (на том же рисунке) п т. д. Чтобы разделить, например, 16 на пары, мы наби¬ раем пары, пока не получится 16. А можно разбить !’: :/ ' /•, ✓ / / - Рис. 52. 16 на 8 и 8 и каждые 8 предметов (квадратиков) разделить по 2. Прорабатываем 2 ■ 2, 2 ■ 4, 2 • 8, 16:2, затем сле¬ дуют задачи: Корова дает крестьянину утром 5 литров молока, в полдень 2 литра и вечером 3. Сколько бутылок молока она дает утром? в полдень? вечером? Чтобы решить эту задачу, вымерить, сколько бутылок молока в одном литре. Вымерить, сколько бутылок воды (молока) в ведре?
— 120 — У крестьянина две коровы дают в день два ведра молока. Сколько молока они дадут в 8 дней? Крестьянин получает в день 2 ведра молока; во сколько дней он получит 16 ведер? 4) 2 ■ 8, 2 ■ 6, 12:2. Результаты дети получают, поль¬ зуясь квадратиками, вырезанными из бумаги, или зарисовывая квадратики на клетчатой бумаге. Корове выдается 7 кг сена, 3 кг овсяной соломы и 2 кг отрубей. Сколько килограммов корма съедает корова? На сколько дней хватит корове 12 кг отрубей, если ей выдается по 2 кг в день? 2 ■ 3, 2 • 6, 2-9, 18 : 2; 2-5, 2 • 10, 20: 2. На прокорм скота выходит в месяц 2 меры отрубей. Сколько отрубей потребуется на 3 месяца? на 5 меся¬ цев? на 6 месяцев? Крестьянин запас 12 пудов жмыхов. На сколько месяцев их хватит, если он будет расходовать 2 пуда в месяц? Продукты. Какие предметы считаются чаще всего парами? Яйца, яблоки, баранки, валенки, носки и др. Сосчи¬ тайте, сколько яиц в 6, 8, 10, 7, 9 парах? К завтраку подали 12 вареных яиц. На сколько человек хватит яиц, если каждому дать по паре? Мама покупала яблоки. Торговец отсчитал 7 (8, 9,10) пар яблок. Сколько яблок торговец отсчитал? Придя домой, мама раздала домашним 16 яблок, по два яблока каждому. Сколько человек получили яблоки?
— 121 — Как скорее сосчитать квадратики на рисунке (стр. 119 кн. учен. стр. 36), на котором 6 рядов по 2 квадратика в ряду, — рядами или столбиками? Такой же вопрос предлагается, когда дети берут по 2 восемь и 10 раз. Сколько пар выйдет, если поставить парами 12 уче¬ ников? 13 учеников? 16 учеников? 17 учеников? Повторение таблицы—взять и разделить по 2. Чтение ее хором. Четное или нечетное число. Одна пара * квадратиков, иначе — два квадратика, две пары — четыре и т. д. (кн. учен. стр. 36). Один квадратик; одна пара и один — три квадра¬ тика; и т. д. Числа, состоящие из пар, т.-е. 2, 4, 6 20, назы¬ ваются четными. Числа 1, 3, 5 19—нечетные. Номера городских домов на одной стороне — четные, на другой — нечетные. Номер вашего дома? Решить примеры (книга для учен., стр. 36): 2 7 2) 2-6 3) 2 - 10 2' 5 12 : 2 20 : 2 2 9 2 • 7 2 • 8 2 8 14 : 2 16 : 2 2 6 « 2 • 9 2 • 5 2 10 18 : 2 10 : 2 2 4- -2 5) 2-2 6) 2 • 2 - 2 5- -2 2 • 4 2 - 3- 2 6- -2 2 • 8 2-4- 2 7- -2 2 - 3 2-5- -1 2 8- -2 2 • 6 2 • 6- 2 9- -2 2 • 9 2 • 7-
Работа в лесу зимою. — 122 — 7) 2 • 5 — 1 8) 2 • 2 |- 4 9) 20 : 2 1-4 2 • 6 — 1 2 • 1 , 8 1G : 2 -[-4 2 • 7 — 1 2 - 3 , 6 14 : 2 1-3 2- 8 — 1 2-51 10 12 : 2 - С 2 - 9 — 1 2-7 !- 4 18 : 2 — 3 2 • 10—1 2 ■ 6-f- 3 20 : 2 — 5 Составление задач. Придумать задачу, в кото¬ рой требуется по 2 взять 8 раз! 14 разделить по 2! Повторение: 3-2, 6:3, 3-3, 9:3. Дети отправились в лес. Шли рядами, ВЗЯЬ ПО ТРИ. л - разделить по ТРИ. по три человека В РЯДУ- Сколько было детей в двух рядах? в трех рядах? В ряду 3 ученика. Во сколько рядов можно поста¬ вить 6 учеников? 9 учеников? 3-2, 3 • 4,‘ 12 : 3; -3-3, 3 • 6, 18 : 3. (Рис. 53. В книге для учен. стр. 37.) V \\с V Рис. 53. Дети шли рядами, по три человека в ряду. Сколько было детей в четырех рядах? в трех рядах? в шести рядах?
— 123 — Во сколько рядов можно выстроить !2 детей, чтобы в каждом ряду было по трое? 3 ■ 5, 15 : 3. Рассмотреть картинку «Лес зимою». (Кн. для учен., стр. 38.) Сравнить ее с тем, что дети видели во время экскурсии. В лесу, были сложены поленницы и бревна. Кре¬ стьяне их возили. На подводу клали по три больших бревна. Сколько бревен было взято на пять подвод? Вместо бревен взять палочкп п показать, как бревна были разложены на подводы. В лесу осталось еще 18 бревен. На сколько подвод можно их взять?
— 124 — Дрова сложены в поленницы, каждая длиной 15 ме¬ тров. На скольких подводах можно ее вывезти, если на подводу брать по 3 метра? Нарисуйте поленницу. Вместо метров отмерьте сантиметры и разделите ее по 3 метра. Составление задач. Составить задачу о том, как возили бревна; как возили дрова; как шли в лес. У нас бывает три урока в день. Сколько уроков выходит в неделю? На неделе было 2 дня праздника. Сколько уроков было на этой неделе? Повторение таблицы умножения и деления по 3. Длина класса 12 метров. Сколько раз по зтой длине отложится веревка, длиною в 3 метра? Веревка содержит 15 метров. На сколько частей ее можно разрезать, если в каждой части по 3 метра? Глубина снега в роще в разных местах была 5 дм, 3 дм, 15 си* и 10 см. Начертите на доске па глазо¬ мер стоячие прямые линии такой же длины. Насколько сантиметров длиннее третья прямая, чем четвертая? первая, чем вторая? На сколько сантиметров короче вторая, чем третья или чем четвертая? Примеры (кн. для учен., стр. 38). 1) 3 • 2 >2) 9:3 3) 3 • 2 4) 12 : 3 6 : 3 3 • 5 3 • 4 15 : 3 3 • 4 15 : 3 3 • 5 9 : 3 12 : 3 3 • 6 3 • 3 18 : 3 3 • 3 18 : 3 3 • 6 6:3
— 125 — 5) 3- 2 + 3 6) 3*4— 8 7) 12 : 3+ 4 3 • з-f 3 3-3 + 11 15 : 3+ 5 3 • 4 + 3 3*2+8 18:3+ 6 3*5 -+ 3 3*5— 8 9 : 3 + 12 3 • 3-f 1 3*6— 9 15 : 3 + 15 8) 3 • ж= 15 9) 2 • -г = 12 10) ж • 2 = 18 00 1! а СО 6 ■ ж = 12 9 • ж =18 3 • ж= 12 3 * ж=12 3 • х— 18 X * 5 = 15 2 *ж=16 X • 6 = 18 х *4 = 12 X • 2 = 16 2 • ж = 20 11) х■ 2 = 20 12) ж: 3 = 4 13) 2 * 5 + 10 10- ж = 20 12 : ж = 4 2 • 7—6 X • 10=20 18 : ж = 6 2*8—8 х : 3=5 .г: 3 = 6 2 • 10—15 15 : х— 5 9 : ж = 3 2- 9— 9 взять по ЧЕТЫРЕ, Рассмотреть картинку (рис. 55; разделить по че- кн. для учеи., стр. 40): что на тыре. ней нарисовано? Наступила весна. Школьники вышли на улицу с лопатами и ломами очистить двор и спустить воду. Четыре самых сильных ученика скалывали лед, а четыре сгребали снег и лед в кучи. Сколько уче¬ ников работало? Выставили они четыре ряда снежных куч. В каждом ряду по 4 кучи. Сколько куч снега они выставили? Нарисовать на доске эти кучи и сосчитать: сколько их? Эти кучи снега надо вывезти на санях. На одни саии можно насыпать 4 кучи. На скольких санях можно вывезти 16 куч? Весна. Уборна снега.
— 126 — Начертить два прямоугольника. Стороны одного 4 си* и 2 с.**, другого 4 си* и 4 с.и. Отметить эти сантиметры на сторонах точками и разделить прямо¬ угольники на квадратные' клеточки. Сторона каждого квадрата равна сантиметру. Сколько клеточек будет у первого и у второго прямоугольника? Рис. 55. Дети убирают снег. Проработать 4 X 2 и 8 : 4, 4 X 4 п 16 : 4 на Дру¬ гих предметах. Перед детьми два прямоугольника, разделенные на квадратные клетки. В ряду четыре клетки. В одном прямоугольнике 2 ряда, в другом — -3 ряда. Сосчитать, сколько клеток в каждом прямоугольнике.
— 127 — 12 квадратиков разложить рядами, по 4 квадратика в ряду. Сколько выйдет рядов? Во дворе большая лужа. Чтобы спустить воду, дети вырыли три канавы; каждая канава была длиной в 4 м. Сколько метров имели все три канавы вместе? Надо прорыть канаву в 12 м. Сколько надо послать на эту работу учеников? Каждый ученик должен прорыть 4 м. Два прямоугольника, о которых шла речь выше, соединить так, чтобы получился один прямоугольник, имеющий 5 рядов по 4 квадратика в ряду. Сосчитать, сколько квадратиков он будет иметь? Расставить 20 кубиков в ряды, по 4 кубика в ряд. Сколько выйдет рядов? В саду надо отметить прямоугольник длиною в 5 ме¬ тров и шириною в 4 метра. На нем предполагается посадить кусты крыжовника и смородины. Для этого его надо разделить на квадратные клетки; сторона каждой клетки 1 метр. Посреди клетки будет посажен куст. Сколько кустов потребуется? Сделать чертей:. Примеры. (Кн. для учен., стр. 39.) 4 • 2 2) 4 • 4 3) 4 • 3— 7 8 : 4 16 : 4 4 •5 — 10 2 • 4 4 • 5 12 : 4+ 8 8 : 2 20 : 4 16 : 4+ 8 4 • 3 4 • 2 20 : 4 + 12 12 : 4 4 • 4 4 ■ 4 — 11 3 ■ 4 4 • 2 + 4 4 • 3—12 12 : 3 4 • 4 + 4 4 • 4+ 2
— 128 — Подготовка к весенним м летним работам. 4) 4 • ж —12 5) 2 • 7 6) 14 : 2 4 • ж = 20 7 - 2 14:7 4 • ж= 16 2-8 16:8 ж- 5 = 20 8 - 2 16:2 Игра ^ «опасные числа». Считая до 20, не называть четвертого числа, т.-е. 4, 8, 12, 16, 20. Игра: кто скажет раньше 20?Первый называет одно из чисел 1, 2, 3 или 4. Прибавлять можно не более четырех (сравнить стр. 42). Измерение. Дети слепили две одинаковые сне¬ гурки. Одну поставили на солнце, другую в тени, и, измеряя высоту той и другой каждый день, полу¬ чили числа: в тени — 20 см, 19 см, 17 см, 15 см, 13 см; на солнце—20 см, 17 см, 13 см, 8 см, 2 см. Начертить яа-глаз стоячие линии такой же длины. Составьте задачи к этим числам на вычитание. Крестьянин чинил телегу, бороны, грабли, плуг и другие предметы, которыми ему придется работать. У него были две телеги и два плуга. Сколько колес было на них? Из двенадцати колес В оказались неисправными,* и крестьянин отдал их мастеру. Сколько колес иснраввых? У крестьянина были две бороны. На каждой бороне не хватало 4 зубьев. Сколько зубьев он должен сделать? У крестьянина было запасных 16 зубьев для гра¬ бель. На одних граблях пришлось вставить 4, а на
— 129 — других 3 зуба. Сколько зубьев еще осталось в за¬ пасе ? Дрова. Зиыой крестьянин навозил из лесу бре¬ вен. В настоящее время он их распиливает на дрова. Из бревна выходит 4 полена. Сколько полен выходит из 2, 3, 4 и 5 бревен? взять по 5 и раз- 1) Семья крестьянина перебрала делить по 5. картофель. Хорошею картофеля оказа¬ лось 22 меры. 10 мер надо оставить на семена. Сколько мер останется у крестьянина для еды? Семья крестьянина съедает 5 мер картофеля в месяц. До нового картофеля остается 4 месяца. Сколько мер потребуется крестьянину до нового картофеля ? Сколько мер не хватит крестьянину? По сколько мер карто¬ феля может съедать семья в месяц, чтобы картофеля хватило на 4 месяца? У крестьянина в запасе еще 27 кулей ржи. Из них 12 кулей ои оставляет на семена, остальную же рожь может смолоть. Сколько ржи он может смолоть? Семье крестьянина надо иметь иа хлеб 5 мер ржи в месяц. На сколько месяцев хватит 15 мер ржи? Если считать, что до нового хлеба остается 4 месяца, то сколько ржи на это время нужно крестьянину? Сколько ржи он должен прикупить? 2) 5 X 2, 5 X 4, 20:5; 5 X 3, 15:5. Проработать эту табличку на каких-либо предметах. Сборник арифметических задач. 9 Подсчет зерна и овощей в крестьянском хозяйстве.
— 130 — 3) Повторение таблицы умножения и деления. 4) Игра в лото. 5) Придумать задачи, в которых надо по 5 взять 3, 4 раза; в которых 15 надо разделить на пятки. Примеры. (Кн. для учен., стр. 40.) 5-2 5-4 5-3 10 : 5 20 : 5 15 : 5 I) 5-2 2) 5 • 4 3) 5-3 4) 5 - 2 + 6 2-5 4*5 3-5 5•2—6 10 : 5 20 : 5 15 : 5 5 - 2 + 8 10 : 2 20 : 4 15 : 3 5 • 3—8 5) 5 • 3— 4 6) 5 - 4 —10 7) 5 • ж = 20 5-3—7 5-4—5 4 - х = 20 5-3 — 10 5-4 — 15 2 - а;=20 5-3+5 5 • 4 — 20 10 • ж = 20 8) 16 — 8 + 8 9) 9+ 3— 9 10) 15 — 12+ 8 14 — 7 + 7 8+ 5— 8 17 — 12+10 13 — 8 + 8 17 + 13 — 17 19 — 13 + 12 11 — 7 + 7 18 + 12 — 18 20 — 15 + 15 II) 7 + 7 —11 12) 4 - 3 — 7 13) 2 • 9 — 9 8+8 — 12 3-5 + 5 3-4+4 9+ 9 — 15 4-4 — 8 5-4 — 10 10+10 — 16 3-6 — 9 2 - 8— 8 Лавочка. Мальчик купил карандаши по 5 коп. за штуку. Он дал два гривенника. Сколько каранда¬ шей он купил? Мальчик купил 3 тетради по 4 коп. за тетрадь. Он дал 15 коп. Сколько получил он сдачи?
— 131 — Перья продавались по 1 коп. за штуку. Учитель купил дюжину перьев. Он дал 20 коп. Сколько копеек он получил сдачи? Какими одинаковыми монетами можно уплатить 12 коп., 15 коп., 16 коп., 18 коп., 20 коп.? Разменять 10 коп., 15 коп., 20 коп.! взять по 6,7,8, 9, 1) Мы работаем на огороде уже первыг работы ю и разделить по две недели. Сколько дней в двух 6 7 8 9 И 10 pitiiuiw» 1 ’ ' ‘ иеделях ? Сколько рабочих дней в двух неделях ? Навоза у нас хватит на 18 тачек. Если на грядку положить по 9 тачек, на сколько грядок хватит навоза ? А если на грядку положить по 6 тачек, то сколько грядок будет под навозом ? Ну, а если 18 тачек навоза разложить поровну на 4 грядки, то по скольку тачек придется на грядку? Два дня мы делали грядки. Каждый день делали по 8 грядок. Сколько грядок мы сделали всего? Мы работали на огороде 14 дней. Из них 2 Йня возили навоз, 5 дней копали, 1 день размеряли грядки, 2 дня делали грядки; затем посеяли морковь и поли¬ вали ее. Сколько дней мы поливали? 2) На огороде 12 грядок, по 6 грядок в ряду. Сколько рядов грядок? Нарисуйте их. На грядке предполагается посадить капусту: 18 штук, по 6 штук в ряду. Сколько рядов капусты на грядке ? Нарисуйте.
— 132 — 3) Разложите 18 квадратиков (или кружков) рядами по 6 квадратиков в ряду. Сколько вышло рядов? Какая длина и ширина прямоугольника (сторона каждого квадратика один сантиметр)? 4) Примеры. (Кн. для учен., стр. 41.) 1) 6- • 2 2)- 7-2 3) 9- 2 4) 2- х~ 12 12 : 6 14:7 18 : 9 6- х— 12 6 ■ 3 8 ■ 2 10- 2 3 • х— 12 18 : В 16:8 20-10 4- х—12 5) 7 ■ ■ X — 14 6) 2- х — 20 7) 5- х = 20 2' ■ х = 14 X- 2 = 20 х • 5 = 20 X • 7 = 14 10- ж=20 5- гс= 15 X • 2 = 14 гс- • 10 = 20 3- гс= 15 8) 8- ■X — 16 9) 9 • гс = 18 10) 6 •2 + 8 2- •X — 16 2 • х= 18 2 .7 — 4 X • 4 = 16 3 •гс =18 8 • 2 + 4 4' ■ X — 16 X • 3 = 18 8 •2 — 8 11) 9 • 2 - 9 12) 16 : 8 + 10 10- 2 — 10 14 :7 + 5 20: 10 + 8 15 :5 + 8 18: 9 + 5 18 :6 + 3 5) Повторение. Надо сосчитать овощи (кочны капусты), посаженные на грядке по рисунку (кн. для учен., стр. 42) Как это можно сделать? (Считать рядами и столбиками, т.-е. 10 X 2 и 2X10, 6 X 3 и 3 X 6, 5 X 4 и 4 X 5-)
— 133 — 6) Папа купнл два десятка кор бок спичек. 8 коро- * бок он взял себе, 8 коробок истратили на хозяйство. Сколько коробок еще осталось? Мама купила полтора десятка яиц. Один день израс¬ ходовала 6 яиц, да другой день 6. Сколько яиц осталось ? оооооооооо оооооооооо О О О О о о О о О С О О! о о о о о о Рис. 56. 7) Измерения на огороде. Измерения дела¬ ются веревкой в 10 м длины, разделенной тесемками на метры. Дети оценивают на-глаз различные рас¬ стояния — сперва небольшие, 8 — 4 м, затем побольше, 10 — 20 м, потом проверяют их измерением. состав чисел. 1) ®° сколько пар можно расставить 10 детей? 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 детей? Сколько троек выйдет из 10 11, 12... 20 лошадок? На сколько телег хватит 10, 11.... 12 колес? Карандаш стоит 5 коп. Сколько каравдашей можете купить, если у вас есть 10 коп., 11, 12,13... 20 коп.? В тетради 6 листов. Много ли таких тетрадей выйдет из 10, 11... 20 листов? Уплатить 11 копеек двухкопеечными знаками. Сколько их нужно дать и еще какую монету ? Уплатить 11 коп. трехкопеечными монетами, пятикопеечными монетами!
— 134 — Уплатить 12 коп., 13 коп., 20 коп. двухкопеечными (трехкопеечными, пятикопеечными) монетами. Каждый раз указывать остаток, если он есть. Сколько пар (троек, четверок, пятерок, шестерок, семерок, восьмерок) в 11, 12... 20. 2) Повторение таблицы умножения и деления в пре¬ деле 20. Примеры. (Кн. для учен., стр. 42.) 13) 2. 2 14) 4:2 2- 3 6 : 2 2- 4 8 : 2 2- 5 10 : 2 2- 6 12 : 2 2- 7 14 : 2 2- 8 16 : 2 2- .9 18 : 2 2-10 20 : 2 17) 5- 2 18) 6-2 5- 3 6-3 5* 4 12: 6 10: 5 18: 6 15: 5 7 • 2 20: 5 14 : 7 21) 6 • 2 22) 8-2 12: 6 16:8 2 • 8 2 - 9 16: 2 18 : 2 4. 4 3 • 6 16: 4 18:3 15) 3-2 16) 6:3 3 ■ 3 9 : 3 3-4 12 : 3 3 • 5 15 : 3 3 • 6 18 : 3 4-2 8 : 4 4-3 12 : 4 4-4 16 : 4 4 • 5 20 : 4 19) 8- 2 20) 2-6 16: 8 12 : 2 9- 2 3 • 4 18: 9 12 : 3 10- 2 4- 4 20: 10 12 : 4 23) 6- 3 24) 4- 5 18: 6 20: 4 9- 2 5- 4 18: 9 20: 5 2 • 10 10- 2 20: 2 20: 10
— 135 — ГЛАВА ПЯТАЯ. Деление на равные части. Учащиеся уже знакомы со счетом равными груп¬ пами; с терминами «взять», «повторить», «разделить по»; со знаками умножения, деления и их смыслом. Опорой в вычислениях при делении по содержа¬ нию является твердое знание таблицы умножения. Для достижения вычислительных навыков полезны такие хоровые ритмические упражнения: 2X3= два — четыре (тихо) — шесть! (громко) 2X4= два — четыре (тихо) — шесть (тихо) — восемь! (громко). Таким упражнениям следует уделять по нескольку минут на уроках, пока не будет достигнута твердость в знании таблицы умножения. Деление на данное число частей прорабатывается при попутиом повторении таблицы умножения. Раньше таблица умножения строилась по постоянному множимому, т.-е. одно и то же число умножалось на 2, 3, 4 и т. д. Здесь же, при повторении таблицы в связи с деле¬ нием на данное число частей, ее придется располо¬ жить по постоянному множителю, т.-е. 2, 3, 4.. умножать на одно и то же число. Например: по 2 взять 3 раза и 6 разделить на 3 равные части; по 3 взять 3 раза и 9 разделить на 3 равные части и т. д. При делении по содержанию в центре внимания стоит число единиц или предметов в каждой из тех
— 136 — групп, на которые разлагается делимое; число групп уче¬ нику едва ли рисуется в его воображении: это потребо¬ вало бы от него чрезвычайного напряжения фантазии, более трудного, чем расчет иа основе таблицы умножения. При делении на части как раз число групп стоит пред учеником на первом плане; в каждую из этих групп ученик мысленно (а вначале и фактически) рас¬ пределяет единицы делимого. Поэтому - тц здесь очень уместно систематизировать табличные случаи умно¬ жения по множителю. Возникает еще вопрос, какими приёмами вычисле¬ ния пользоваться при делении на данное число частей, например, при делении 12 на 4 равные части (но ие на «четыре»). Дети могут уже знать состав числа 12 из троек; тогда они сразу говорящие считая: 12 ква¬ дратиков разделить на 4 равные части, получится по 3 квадратика в каждой части. Если состав числа 12 некоторым неизвестен, то придется деление произ¬ вести фактически: возьмем 4 квадратика и разделим их на 4 части, получится по одному квадратику в каждой части; затем еще 4 квадратика и т. д. Можно проделать сперва умножение — 3 квадратика взять 4 раза, югда дети сделают деление 12:4, зная состав числа 12 из троек. умножить на 2, Повторение таблицы умно- разделить на 2 жения на два. Первого мая все равные части. ВЫЁДуТ на уЛ£Цу и будут итти рядами. Научимся становиться в ряды и считать
— 137 — людей в рядах. Дети становятся в два ряда по двое в ряду, или две пары; затем по три ученика в ряду, по четыре в ряду и т. д. Каждый раз вычисляют, сколько детей в двух рядах. Кая вычислить, сколько 6Х2, если 5X2=10? 7X2 » » 8X2 » > » ’ 9X2, если 10 X 2 = 20? Повторение таблицы в отвлеченной форме. При повторении таблицы умножения на 2 в отвлеченной форме, мы советуем приучать детей к коротким фразам: пять два раза—десять, шесть два раза—двенадцать и т. д.. Чтение в одиночку и хором таблицы ритмически, с остановками, где они нужны. Деление на две равные части чисел, заключающихся в пределе 20, опирается чаще всего на сложение равных слагаемых, или — что то же самое — на таблицу умножения на два. Так 10 ква¬ дратиков дети умеют правильно разделить на две равные части, потому что они хорошо знают, что пять да пять — десять, пять пальцев на одной руке да пять пальцев на другой руке будет десять пальцев. Две пары кубиков составляют 4 кубика. Поэтому, если разделить 4 кубика на две равные части, то получим в каждой части по 2 кубика. Половина четы¬ рех кубиков есть два кубика. Городки. Составить из квадратиков городки: три квадратика положить в одном ряду и три в другом. Сколько квадратиков в двух рядах?
— 138 — 6 квадратиков разделить на две равные части. Сколько квадратиков в одной части? Половина шести — сколько будет? 4 квадратика положить в один ряд и четыре в дру¬ гой. Сколько квадратиков в двух рядах? 8 квадратиков разделить на две равные части и т. д. Весной ыать стала готовить летнее платье; купила дюжину пуговиц и разрезала ее пополам. При разре- зыванин 2,4, 6, 8, 10, 12 пуговиц делятся на две рав¬ ные части. Разъяснить способ вычисления 12:2 или 10:2 на примере разрезания пополам бумажки с дюжи¬ ной пуговиц. Рис. 57. Как вычислить 12:2 (двенадцать разделить на две равные части), если известно, что 10 : 2 = 5? Как вычислить 14:2, если известно, что 10 : 2 = 5 ? 16:2 э » » » » 18:2 » > » » » 20:2 » . » » » » 12 (14, 16, 18) детей выстроить в два ряда, в ка¬ ждом ряду поровну. Сколько детей станет в каждом ряду ? Сколько будет половина десяти? четырнадцати? и др.
— 139 — К первому мая готовили украшения для зала. Для Первое пая. этого купили 10 листов краевой бумаги и по 4 листа желтой и зеленой. Сколько бумаги купили всех трех цветов? Половину этой бумаги потратили на изготовление цветов, а остальную на фонарики. Сколько бумаги пошло на фонарики? На стенах зала повесили красные флажки: на одной стене 10 флажков, на другой на 6 флажков меньше. Сколько флажков поместили на обеих стенах? Половину всех этих флажков сделали мальчикиj половину девочки. Сколько флажков сделали мальчики, сколько девочки? Рассмотрите картинку (книга для учен., стр. 44) и составьте задачи о празднике 1 мая. Дети стали строиться на улице парами по росту: в одной группе 18 мальчиков, из них половина совсем маленьких; в другой было 14 девочек, половина которых была тоже маленького роста. Сколько детей малень¬ кого роста оказалось в двух этих группах? Сколько пар они составляют? Дети йробыли на улице два часа: половину этого времени они шли, остальную часть стояли и слушали речи. Сколько времени дети слушали речи? После шествия 16 детей вернулись в школу и стали завтракать: дети уселись на двух скамейках, на ка¬ ждой поровну. Сколько детей поместилось на каждую из этих скамеек?
— 140 — В школе был хор, в котором участвовали 8 маль¬ чиков и 9 девочек; из них 3 человека было из самого младшего класса, остальные из второго и третьего, из каждого поровну. Сколько детей было в хоре из ка¬ ждого класса? Рис. 58. Первое мая. Все иа улицу. Первого мая в школе был устроен театр; для этого была сделана сцена длиною 27а саж., шириною 2 саж. Выразить длину и ширину в метрах. В сажени 2 метра. Занавес раскрашивали 3 детей старшего класса; один работал над ним 5 часов, другой 7, третий 6 часов. Сколько часов потратили дети иа занавес?
— 141 — В представлении участвовало 9 мальчиков и 7 дево¬ чек; четвертая часть числа этих детей должна была йграть на сцене все время, остальные появлялись тодько изредка. Сколько детей появлялось лишь изредка ? Примеры. (Кн. для учен., стр. 43.) 1) 2 + 2 —2 2) 3 + 3 —3 4 + 4 — 4 6 + 6 — 6 3) 5+ 5— 5 10+10 — Ю 8 + 8 — 8 9 + 9 — 9 7+ 7 — 7 4) 2 • 2 = 5) 5 • 2= 6) 8 • 2= 7)8 • 2 : 2 = 4 : 2 = 10 : 2= 16 : 2= 5 • 2 : 2 = 3 • 2 = 6 • 2= 9 ■ 2= 7 • 2 : 2 = 6 : 2 = 12 : 2= 18 : 2 = 16 : 2+ 8 = 4 • 2 = 7 • 2= 10-2= 20 : 2+Ю= 8:2 = 14 : 2= 20 : 2= 12 : 2+ 6 = 8) 16 : 2 + 2 = 9) х : 2= 8 10) 6 • 2 — 7 = 18 : 2 — 4 = х : 2= 4 8 • 2 — 8 = 10 : 2 + 5 = х : 2= 9 9-2 — 12 = 12 : 2 + 12 = X: 2= 6 7-2 + 5 = 14 : 2 + 3 = х : 2= 7 4 • 2 + 8 = 20 : 2+ 8 = х : 2 = 10 3-2 + 6 = умножить на 4, Повторение таблицы умно- разделить на 4 жения. Подсчитаем на огороде грядки, РАВНЫЕ ЧАСТИ. QHH распшюженЬ1 рядами, в каждом ряду по 4 грядки, а рядов 4. Нарисуйте, как грядки расположены. Сосчитайте, сколько их. Как короче это сделать ?
— 142 — В каждом ряду 3 грядки, а рядов 4. Сколько всех , грядок ? В ряду 5 грядок, рядов 4. Сколько всех грядок? По три взять четыре раза, сколько будет? Повторение таблицы умножения на 4. Чтение хором и поодиночке. Деление на 4 равные части. Разделить лист бумаги на 4 равные части. Как называется каждая такая часть? Разделите метр на 4 равные части. Положить квадратики в 4 ряда, в каждом ряду по 3 квадратика. Сколько всех квадратиков вы положили ? Разделите 12 квадратиков на 4 равные части. Сколько квадратиков в одной части? Зная, что 3 -)- 3 3 -(- 3 = 12, дети <сразу» делят 12 на 4 равные части. Но можно деление сделать и иначе: сперва 12 квадратиков разделить на дне рав¬ ные части, затем каждую часть разделить еще пополам. Так же делят 16:4 и 20:4. 2X4; 3X4; 5X4. Найти -£■ числа 8; числа 12 ; -j- числа 20. Разъяснить с помощью кубиков, сколько кубиков будет в каждом ряду, если расставить: 8 кубиков в 4 ряда поровну? 12 кубиков в 4 ряда, и известно, что 8:4 = 2? 16 » * » » 12:4 = 3? 20 » » » » 12:4 = 3? и 8:4 = 2?
— 143 — \ 8 штук кяпустной рагсады посадили в 4 ряда. Сколько штук посажено в ряду? Нарисовать на доске кружочками, как они посажены? 12 брюкв посажено в 4 рядах. Сколько брюкв в ряду ? Сколько ведер воды потребуется, чтобы полить 4 грядки огуриов, если на грядку идет 2 ведра? На четыре грядку капусты потребовалось для поливки 12 ведер воды. Скотько ведер воды пошло на грядку? На крестьянском огороде сотня капустной рассады стоила 15 коп. и сотня брюквенной рассады 10 кон. На общественном огороде сотня капустной рассады обходилась 5 коп. н сотия брюквы 3 коп. На сколько копеек дороже обходилась рассада крестьянину, чем общественному огороду? На крестьянском огороде для поливки грядок воду приходится вытягивать из колодца, на общественном вода подается по трубам. Поэтому на крестьянском огороде 2 человека могут полить в час 8 грядок, а на общественном 16 таких же грядок. Сколько грядок поливает один человек на крестьянском и на обще¬ ственном огородах? Крестьянин купил одну сотню рассады капусты за 15 коп. и полсотни рассады брюквы. Сотня рассады брюквы стоила 10 коп. Во сколько копеек ему обо¬ шлась вся рассада? Кроме того, он купил семян: моркови на 5 коп., огурцов на 5 коп., репы иа 5 коп. и свеклы на 5 коп. Во сколько копеек ему обошлись семена? Огород.
— 144 — Измеряли длину и ширину огорода, длину и ширину грядок веревкой, которая имела 5 метров длины. BS протянули 4 раза по длине огорода. Чему рав/а длина огорода ? В ширину протянули ее 2 раза. Каная ширина огорода ? I Измеряя длину грядки, протянули веревку одни Лаз. Веревка оказалась коротка. Оставшаяся часть грядки имела 3 метра. Сколько метров в грядке? / Измеряли длину и ширину двора веревкой, которая имела 5 .и длины. По длине двора веревка отложи¬ лась 7 раз, и сверх того отмерили 2 м. Какая длина двора? По ширине ее протянули 3 раза и еще 3 м. Сколько метров имеет ширина? Измеряли другие расстояния: от ворот до огородной калитки отложили два раза веревку и еще 4 м. Чему равно это расстояние? Вместо веревки в 5 м взяли веревку длиною в 10 м. Измерение пошло быстрее. Отчего? Измеряя расстояние от одной нзбы до другой, веревкой в 10 м, отложили веревку 3 раза и еще 3 м. Сколько метров между этими избами? Отмерили веревку, длиною в 10 м, 5 раз и еще 7 м (8 раз и 3 м; 4 раза и 3 м; 3 раза и 8 м). Какое расстояние отмерили? Примеры. (Кн. для учен., стр. 44.) 1) 2 • 4 2) 4 • 4 3) 2-4:4 8:2 16 : 2 3-4:4 4-2 8-2 4-4:4 8:4 16 : 4 5-4 : 4
— 145 — 3-4 5-4 2 • 4 —2 —2 —2 —2 12:2 20:2 3 • 4 — 3 — 3 — 3 — 3 6 • 2 , 10-2 4# 1 1 XJ1 1 1 • 4# 12 : 4 20 : 4 5 • 4 —5 —5 —5 —5 4) З+З+З+З 17 — 4 — 4 — 4 — 4 4 —4 —j— 4 —j— 4 20 —2 —2 —2 —2 5 + 5 + 5 + 5 18 — 3 — 3 — 3—3 2+2+2+2 5) 12:4 + 3 6) 2-4 + 11 16 : 4 -f 4 4 - 4 — 12 20 : 4 -f 5 5-4 — 16 x: 4 = 2 3-4+5 x : 4 = 4 4-4—8 x : 4 = 3 3-4—6 x : 4 = 5 5-4 — 11 Провешивание. Возьмите веревку длиною 10 ме¬ тров. Отмерьте эту веревку 2 раза. Сколько метров получится? Отмерьте веревку 3, 4, 5, 6, 8, 9 раз. Сколько метров получится? Когда приходится откладывать такую длинную веревку несколько раз (раз 5 и больше), то легко сбиться с прямого пути, с прямой линии. Чтобы наметить в поле прямую линию, пользуются вехами, т.-е. заостренными с одного конца палками, имеющими длииу несколько более человеческого роста. Чтобы обозначить на местности прямую линию, выбираем сйерва два ее конца, или две крайние точки, и отме- Сборник арифметических задач. 10
— 146 — В деревне. чаем их вехами. Затем одно лицо становится за пер¬ вой вехой, шагах в 5 от нее, а другое отходит от первой вехи по направлению в другой ша^ов на 50 и ставит между ними третью веху в таком месте, чтобы три вехи были расположены приблизительно на одной прямой линии. Это будет достигнуто, если первому лицу, смотрящему на первую веху, будет казаться, что она покрывает другие вехи. Если такого совпадения нет, то первое лицо подает рукой знак другому, в какую сторону подвинуть его веху. Так ставятся и прочие вехи. При измерении оказалось, что веревка длиною в 10 метров отложилась 6 раз и еще осталось 4 5 » » » » 2 3 » > » » 9 1 > » » » 8 9 I » » » 5 7 » » » » 7 Какой длины отмерили в каждом случае расстоя¬ ние? Запишите! Дети мерили ширину улицы. Для этого они протя¬ нули поперек улицы веревку, которая имела в длину 4 м, 4 раза и еще отмерили 2 м. Найти ширину улицы. Мальчик измерил ширину той же улицы шагами. Он насчитал 20 шагов и еще 14 шагов. Сколько метров заключается в ширине улицы, если считать, что в метре два шага?
— 147 — От школы до Сельсовета измерили расстояние. Веревку длиной 10 м отложили 8 раз и еще 5 м. Сколько метров от школы до Сельсовета? От школы до кооперативной лавки веревку протянули 7 раз и еще намерили 3 метра. Сколько метров от школы до лавки? Рис. Ь9. Улица в деревне. По улице проходит стадо, возят мешки, проезжают пахари с плугами и боронами. Дети считали коров и телок в стаде: коров оказа¬ лось 20, а молодых телок 13. Сколько всего скота они насчитали? Крестьянин вез на мельницу мешки с рожью: меш¬ ков было 3, по 4 меры ржи в каждом. Сколько мер ржи вез крестьянин?
— 148 — По улице проезжали пахари с плугами. Плугов проехало сперва 8, потом еще 8. Из них 12 одно¬ конных, а прочие пароконные. Сколько было паро¬ конных плугов? Недалеко от школы находится Сельсовет (кн. для учен., стр. 44). Баня хорошо знает Сельсовет. Туда его отец ходил получать книги и тетради для школы. В Сельсовете он получал газеты для отца и для сосе¬ дей и письма. Сельсовет доставил для раздачи детям бедных родителей книг в первое полугодие на 7 руб. и во второе полугодие на 7 руб., да тетрадей на 3 руб. Сколько издержал Сельсовет на покупку книг и тетра¬ дей для учащихся? Ваня принес отцу письмо. На конверте были наклеены марки — две по 4 коп. и две по 3 коп. На сколько копеек наклеено было марок? Ваня получал каждый раз из Сельсовета 3 газеты за три дня. Сколько газет он получит за неделю? За две недели? По воскресеньям газета не выходит. В кооператив ходила мать вместе с Ваней. Снесли они туда яйца и молоко и получили деньги. Купила мать там 2 тетради по 4 коп. за каждую и леденцов на 5 коп. Сколько денег они издержали? г. Шло по улице стадо коров. Дети пошли за ними на луг. Там они стали собирать цветы; всего собрали 4 пучка. В двух пучках были фиалки, в каждом пучке по 8 фиалок, в двух других одуванчики, по 10 штук в каждом. Сколько фиалок и сколько одуван¬ чиков было в этих пучках? (Нарисовать эти цветы!)
— 149 — Из этих цветов они сделали 4 букета. В букетах фиа¬ лок было поровну и одуванчиков тоже поровну. Сколько фиалок и сколько одуванчиков было в каждом букете? На лугу паслось стадо, около него стояли пастух и подпасок; один мальчик сказал, что подпасок пасет стадо 2 недели. Сколько дней уже работает подпасок? Рис. 60. Стадо на лугу. Много ли пастуху платят за работу? — Кормят да еще 4 мешка хлеба дают осенью; мешок хлеба стоит 5 руб. Сколько стоит весь хлеб, который получает пастух? Составьте такие задачи, чтобы нужно было взять 4 раза и разделить иа 4 равные части. Рассмотрите картинку на рис. 60 (кн. для учен., стр. 46) и составьте задачи.
— 150 — умножить на з и Повторение таблицы умно- разделигь на з ж е и и я. При посещении сада дети равные части, рассматривают, как посажены деревья (рядами); измеряют расстояние между деревьями и считают ряды деревьев й деревья в ряду. На доске обозначаем ряды деревьев — три ряда по 2 дерева в ряду, три ряда по 3, 4 и 6 деревьев в ряду. Вычисляем, сколько деревьев в трех рядах в каждом случае. Повторение таблицы в отвлеченной форме. Чтение таблицы хором ритмично. Определение расстояния между деревьями на глазо¬ мер. Проверка путем фактического измерения. Деление на 3 равные части 15 равных квадратиков разложить в 3 ряда поровну. Сдвинуть их, чтобы оии касались. Сколько квадратиков в ряду? То же сделать с 12 квадратиками? с 18 квадрати¬ ками. 1) Крестьянин купил для своего сада 6 кустов смородины и 9 кустов крыжовника. Те и другие куста он рассадил в три ряда. Сколько в ряду кустов смо¬ родины? Сколько в ряду кустов крыжовника? Сколько всед: кустов? Сколько кустов посадил он в каждом ряду? 2) Расставить 18 кубиков в 3 ряда, чтобы в каждом было поровну. Сколько в каждом ряду? То же сделать с 12 кубиками, с 15, с 9, 6 кубиками. Сколько куби¬ ков будет в каждом ряду в этих случаях?
— 151 — Какая часть прямоугольника затушевана (рис. 61). Книга для учен., стр. 47)? Как ее можно получить? 2X3= 3X3= 4X3 = 11з числа 6= л/3 числа 9 = 1/3 дюжины = для учен., в 3 ряда, в каждом по 6 штук, сколько яблонь в школьном саду? Ягодные кусты растут на 6 грядках, на каждой по 3 куста. Сколько кустов на 6 грядках? С трех сторон около школьного забора посажены кусты шиповника, с каждой стороны по 4 куста. Сколько кустов шиповника посажено около забора? Недалеко от школьного сада стоит большая ель; на ней висит много шишек: на одной ветке висят три пары, на другой три тройки. Сколько висит шишек на этих двух ветках? 5X3 = 7з чиола 15 = 6X3 = Vs числа 18: ✓ Рассмотрите картинку (рис. 62), кн. стр. 48) и составьте задачи. В школьном саду яблони посажены
— 152 — Дорога, Эти шишки стряхнули с дерева трое детей и поде¬ лили их поровну. По сколько шишек досталось ка¬ ждому? (Какими способами можно это вычислить?) От школы до железной дороги 9 километров. Треть этого пути проходит через лес. Сколько километров нужно ехать по этой дороге лесом? На этой дороге нужно перестроить мост; в лесу срубили бревна длиною по 6 метров и каждое бревно распилили иа 3 равные части. Какой длины вышла каждая часть? Из этих маленьких бревеи напилили плахи. Каждое бревно распилили вдоль пополам; всего распилили 8 бревен. Сколько из них вышло плах?
— 153 — Эти плахи положили на балки поперек дороги. Какой ширины вышел мост, если ширина каждой Vg метра? Для перил к этому мосту срубили жердь длиною в 9 метров; от нее отпилили 4 куска по 1 метру, для того чтобы устроить столбики; оставшуюся часть распилили пополам, чтобы прикрепить сверху к этим столбикам. Какой длины часть жерди прикрепили к столбикам? Весной по проселочной дороге очень трудно ехать: в 3 ч. проехали только 15 километров. Сколько проезжали в каждый час, если считать, что ехали все время одинаково быстро? Чтобы попасть иа железную дорогу, нужно пройти 12 километров; мальчик отправился на станцию железной дороги и прошел путь в 3 часа. Сколько кило¬ метров в 1 час он проходил? Примеры (Кн. для учен., стр. 46.) 1) 2 + 2 + 2 2) 2 + 2 + 2 — 2 — 2 3) 2 • 3 3 + 3 + 3 3+3+3—3—3 6 : 3 4 + 4 + 4 4+4+4—4—4 3 • 3 5 + 5 + 5 5+5 + 5 —5 —5 9 : 3 6 + 6 + 6 6+6+6—6—6 4) 4 • 3 5) 6 • 3 6) 4 • 3 7) х : 3 = 4 12 : 3 18 : 3 3-4 х : 3 = 6 5 • 3 2-3 12 : 3 х : 3 = 5 15 : 3 3-2 12 : 4 х : 3 = 2
— 154 — 8) х : 3 = 3 9) 6-3 — 6 10) 6-2 + 6 18 : х = 6 5 • 3 — 5 4-2 + 4 12 : ж = 4 4 ■ 3 — 4 3•2+3 9 : х=3 3 • 3 — 3 5-2+5 •3 + 5 12) 6 • 3 — 12 *13) 18—6—6 — 6 • 3 + 4 5 • 3 — 11 15 — 5 — 5 — 5 • з + з 4 • 3— 5 12 — 4 — 4 — 4 • 3 + 2 4 • 3— 7 9 — 3 —3 — 3 14) 17 — 5 — 5 — 5 15) 20—5 — 5—5 13 — 4 — 4 — 4 14 — 4 — 4 — 4 11—3 — 3 — 3 12 — 3 — 3 — 3 20 — 6 — 6 — 6 19 — 6 — 6—6 16) 2 •3 + 1 17) 4 • 3 + 2 2 • 3 + 2 5 • 3 + 1 3 ■ 3 + 1 5 • 3 + 2 3 • 3+2 6 • 3 + 1 4 • 3 ■+1 6 • 3 + 2 Составьте задачу, в которой число нужно повторить 3 раза или разделить на 3 равные части. умножение на 6 Повторение таблицы уыно- и деление на 6 же и ия. Привезли 6 пар новых колес. равных частей. Сколько привезли новых колес? Крестьянин купил 3 пары колес, за каждое колесо платил по 3 руб. Сколько заплатил он за все колеса? Ученик ходил с отцом в лавку и купил себе пол¬ дюжины перьев, за каждое платил по 2 коп. Сколько денег истратил ученик?
— 155 — Разъяснить на чертеже, как вычислить 2 • 6, если 2*3 = 6? » » 3 • 6, » 3*3 = 9? В прямоугольнике по 3 квадратика взято 6 раз. Сколько квадратиков в прямоугольнике? Вычислите раз¬ ными способами. 18 квадратиков разделите на 6 равных частей. Деление на 6 равных частей. Нужно рас¬ положить в 6 рядах 12 квадратов, в каждом ряду поровну. Сколько квадратов придется на каждый ряд? Как это сделать? Распределить таким же образом 18 квадратов. Ученик исписал 12 страниц в 6 дней. Сколько страниц он писал в день, если считать, что все дни писал поровну? Примеры. (Кн. для учеи., стр. 48.) » 1) 2 + 2 + 2 + 2-f 2 + 2 2) ( 2 * 6) : 6 2*6 ( 3 ■ 6) : 6 12 : 6 2*3 4-2 х : 6 = 2 З4-З + З4-З4-З4-З 3 • 6 18 : 6 х : 6 = 3 ( 3 2 3 (18 (18 (12 (12 34-3 2) : 3 3) : 2 2) : 3 3) : 2
3) 3 • 6 —6 4) ( 8 + 4) : 6 2-6 — 6 ( 8 -j- 4) : 2 3-6+2 (6 + 6 +6) :6 2 ■ 6+8 (15 + 3) : 3 3 •6—9 т ( 7 + 5) : 6 2 • 6 — 8 ( 9 + 9) : 6 18 — 3—3 — -з...=о ( 9 + 9) : 3 14 — 2 — 2 — 2—2—2—2 ( 7 + 5) : 2 5) 2 6 + 1 6) (10 : 2) 2 7) (4 • 3) : 3 2 6 + 2 (12 : 6) 6 (2 • 6) : 6 2 6 + 3 (15 : 3) 3 (6 • 2) : 2 2 6 + 4 (15 : 5) 5 (3 • 5) : 5 2 6 —5 (16 : 4) 4 (5 • 3) : 3 3 6 (18 : 3) 3 (4 • 4) : 4 3 6+1 (18 : 6) 6 (8 • 2) : 2 3 6 + 2 (10 : 2) 2 (6 • 3) : 3 Составить задачи, чтобы в них нужно было взять 6 раз или разделить на 6 равных частей. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕ¬ 1) Разъяснить на чертеже НИЕ НА 7, В, 9 И 10. что больше: 2 • 5 или 5 • 2? 10 : 5 2 ■ 6 » 6-2? 12 : 6 2 • 7 * 7-2? 14 : 7 2 • 8 > 8-2? 16 : 8 2 • 9 » 9-2? 18 : 9 2 • 10 » 10-2? 20 : 2
- 157 — развлечения 2) Шестеро детей спустили на воду у реки (У пруда). 12 корабликов, каждый поровну. Сколько корабликов спустил каждый? Дети спустили 12 корабликов. Одна треть числа корабликов затонула, а прочие угнал ветер. Сколько корабликов угнал ветер? 8 детей принялись удить рыбу. Заранее они уго¬ ворились пойманную рыбу разделить между собою Рис. 64. поровну. По сколько рыбок достанется каждому, если поймается 16 рыбок? Рыбы дети не поймали и стали собирать камешки. Набрали 18 камешков. Одну девятую часть их бро¬ сили в воду, а прочие разделили между собою по¬ ровну. По сколько камешков получил каждый? На берегу играли 18 детей. Девятая часть их разделась и уже вошла в воду. Сколько детей еще оставалось на берегу? ч У реки играли 20 ребят. Одна четверть числа их забралась в лодку и уехала. Остальные разделись и купаются. Сколько ребят купаются?
— 158 — Покажите и вы на чертеже! 3) 2 • 7 + 6 = 20 : 10 — 2 14 : 7 + 8 2 - 8 + 4 = 18 : 9 + 2 2 ■ 10 — 5 2 - 9 + 2 = 16 : 8 + 3 2 - 9—4 х : 7 = 2 х : 10 = 2 х : 5 = 4 х : 8=2 х : 9 = 2 х : 4 = 5 4) В ящик, наполненный землею, посадили ноготки. Когда рассада выросла, ее стали рассаживать в цвет¬ ник. В клумбу посадили 6 пар ноготков. Сколько ноготков посадили? Так же точно рассаживали и бархатки, васильки. Ваня посадил 7 пар бархаткой. Вася посадил 2 ряда васильков но 7 васильков в ряду. Сколько же бархат- ков посадил Ваня и сколько васильков посадил Вася? Ваня посадил 14 бархатков в 7 рядов. Сколько бархатков в ряду? 14 бархатков посажено в два ряда. Сколько бархатков в ряду? Васильков посажено на гряды 18 в шесть рядов Сколько васильков в ряду? Посадили два десятка семян настурции. Десятая часть их не взошла. Сколько семян взошло? Взошло 18 настурций. Девятая часть их были красные настурции, а прочие желтые. Сколько настур¬ ций было красных и желтых? 5) Составьте такие задачи, чтобы в них нужно было: 1. 2 • 6; 2 • 7; 2 • 9; 00 • 03 2. 18 : 9; 14 : 7; 14 : 2; 12 : 6; 3. 4 • 5; 20 : 5; 5 • 4; 20 : 4.
— 159 — Решение задач и примеров на все пройденное. Состав чисел в пределе 20. В конце года, при решении задач на все пройден¬ ное, следует приучать детей составлять простейшие числовые формулы, показываю¬ щие, с помощью каких действий и в какой последова¬ тельности их решается данная задача. Превраще¬ ние примеров в задачи является допол¬ нительным упражнением, осмысливающим в глазах детей примеры; вместе с тем это упражнение ценно н само по себе, так как приводит к пониманию струк¬ туры задач. На лугу ходит 3 пары овец, 8 коров н 3 поросенка. Луг и стадо. Сколько всего скота ходит на лугу? Половина числа коров, третья часть числа овец и все поросята пошли к речке пить. Сколько штук скота пошло к речке? Запишите ход решения задачи, не вы¬ числяя! Составьте задачу, пользуясь для этого примерами: 3X2+7= 4X3—2= Пригнали на луг табуи лошадей: 7 вороных, 5 белых и 8 рыжих; лошадей вели парами. Сколько пар лошадей составляли эти лошади? Дети играли на лугу: часть детей изображает 2 тройки лошадей, часть запряглась в 4 пары. Сколько всего детей, если считать кучеров?
— 160 — • Дети устали бегать и стали собирать камешки; двоим повезло: у реки они нашли по 4 камешка круглых белых и по 2 длинных красного цвета. Сколько всего камешков нашли эти дети? Стали дети собираться домой и вачалн рвать цветы: трое сделали по 3 желтых букета, 2 по 4 синих из незабудок. Каких цветов и на сколько сделали больше? Заглянули дети по пути в рощу: там увидели — один 2 гнезда, в каждом по 3 яйца, другой 3 гнезда, по 2 яйца в каждом. Кто увидел больше яиц? Сколько увидели оба? Вывела утка своих утят на речку; два утенка поплыли в кусты, четыре остались на берегу и 8 пла¬ вают с матерью. Сколько всего утят? Увидала утка, что летит ястреб; закрякала тревожно, ‘ а утята стали прятаться: половина забралась в осоку, остальные нырнули в воду. Сколько утят нырнуло в воду? Курочка вывела 12 цыплят; 2 из них мошек ловят, остальные в песке роются в двух разных местах, в ка¬ ждом поровну. Сколько цыплят в каждом месте роется ? Состав чисел в пределе 20. 1) 2 5+1 2) 4 3 3) 5 2 + 3 2 3 + 2 5 2 + 2 6 2 + 1 4 2 + 3 6 2 2 7 5 2 + 1 2 6 + 1 3 4+2 2 6 3 4+1 4 3 + 2 3 4 4 3+1 5 2 + 4
— 161 — 4) 6 2 + 2 5) 6 2 + 3 6) 6 2 + 4 7 2 7 2+1 7 2 + 2 2 7 + 1 2 8 8 2 3 5 3 5 + 1 2 8 + 1 4 3 + 3 4 4 3 5 + 2 5 3 5 ^3 + 1 4 4 + 1 7) 5 3 + 2 8) 4 4 + 2 9) 2 9 + 1 6 2 + 5 5 3 + 3 3 6+1 7 2 + 3 6 3 4 4 + 3 8 2+1 7 2 + 4 5 3 + 4 2 9 8 2+2 6 3 + 1 3 6 9 2 7 2 + 5 10) 8 2 + 3 11) 4 5 12) 8 2 + 4 9 2+1 5 4 9 2 + 2 2 10 6 3 + 2 10 2 3 6 + 2 7 2 + 6 2 8 + 4 Сборник арифметических задач. 11
ОГЛАВЛЕНИЕ. стр. Предисловие 3 Введение 5 Глава первая: изучение первых 5 чисел 15 Глава вторая: сложение, вычитание н умножение в пре¬ деле 1—10 24 Глава третья: сложение н вычитание в пределах 20 . . 66 Глава четвертая: умножение и деление в пределе 20 . . 115 Глава пятая: деление на равные части 135 Решение примеров н задач иа все пройденное 159