Text
                    
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ

ИСТОРИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЫПУСК XIII ПОД РЕДАКЦИЕЙ Г. Ф. РЫБКИНА и А. II. ЮШКЕВИЧА ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗПКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ литературы МОСКВА 1960
Историко-математические исследования Выпуск XIII Редактор А. П. batea Тени, редактор И. Ш. Аксельрой Корректор А. С. Бакулева Сдано в набор 13/IX i960 г. Подписано к печати 9/XI i960 г. Бумага 84X108/3J. Физ. печ. л. 17,625. Условн. печ. л. 28,91. Уч.-иад. л. 28,36. Тираж 2200 ака. Т-08980. Цепа кнпги 16 р. 20 к. С 1/1 1961 г. цена 1 р. 62 к. Заказ 573. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Московская типография Л1 5 Мосгорсовнархоза Москва. Трехпрудный пер., 9
СОДЕРЖАНИЕ От редакции......... ............................ 7 из истории отечественной математики //. Я. Деп.ыан (Ленинград). С.-Петербургское математическое общество............................................. 11 П. Матвиевская (Ташкент). О неопубликованных рукопи- сях Леонарда Эйлера по диофантову анализу........... 107 //. Г. Мельников (Ленинград). Открытие Эйлером удобных чисел............................................... 187 ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В СТРАНАХ АЗИИ Э. II. Березкина (Москва). О математическом трактате Сунь-цзы............................................ 219 I/. Л. Выгодский (Тула). Происхождение «правила двух ложных положении»................................... 231 М. И. Медовой (Красноярск). Об арифметическом трактате Абу-л-Вафы.......................................... 253 Э. Я. Нахмутская (Харьков). Степенные ряды длн sin 0 и cos 0 в работах индийских математиков XV—XVIII нв......... 325 В. И. Левин (Москва). Жизнь и творчество индийского ма- тематика С. 1’амапужаиа............................. 335 Л. А. Вайман (Ленинград). Вавилонские геометрические ри- сунки пространственных фигур........................ 379 СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ В. II. Зубов (Москва). Трактат Ерадварднна «О континууме» 385 .1/. В. Чириков (Москва). Из истории асимптотических рядов 441
4 СОДЕРЖАНИЕ ТЕКСТЫ II ДОКУМЕНТЫ />'. .1. Розенфельд (Коломна) п Л. П. Юшкевич (Москва). О трактате Насир ад-Дина ат-Туси о параллельных литых .............................................. 475 Насир ад-.1ин atn-Туси. Трактат, исцеляющим сомнение по поводу параллельных липни. (Перевод /». А. Розен- фельда) ........................ 483 />. А. Розенфельд и А. П Юшкевич. Примечания к трак- тату Насир ад-Дина ат-Туси о параллельных линиях . . 525 11 .1. Розенфельд и А. II. Юшкевич. О трактате Кази-заде ар-Руми об ощхзделении синуса одного градуса .... 533 Кази-заде ар-Руми. Трактат об определении синуса одного градуса (Перевод />. Я. Розенфельда)................ 539 /> Л. Розенфельд и Л. II. Юшкевич. Примечании к тракта ту Кази-заде ар-Руми ............................... 552 Письмо в редакцию............................. 557 Указатель имен . ............................. 559
SOMMAIRE Editorial..................................................... 7 " UISTOIRE DES M KTlIfiMATIQUES EN LESS I. Ya. Dipman (Leningrad). La societc* matliematique debl.- I’etersbourg............................................... 11 G. P. Malvievskaia (Taschkenl). L’aualyse diophantine dans les manuscrits inedits de L. Euler..................... 107 I. G. Melnikov (Leningrad). La decouverle des «nomhres commodes» par L. Euler.................................... 187 UISTOIRE DES MATIIftM \TIQL ES EN ASIE / . I. Beriozkina (Moscou). Lo traite matliematique de Souen- tseu .................................................... 219 Д/. Ya. Vygodski (Toula). L’origine de la regie de deux fausses positions......................................... 231 .V. I. Medovoi (Krasnoyarsk). Le traite arithmftique d’Abu- l-Wafa ........................................•.......... 253 /?. Ya. Bakhmoutskaia (Kharkov). Le developpement de sinO et de cos 0 en series de puissances de 0 dans les travaux des mathematiciens indiens des XVSme—X\IIl6me siecles..................................................... 325 V. I. Levine (Moscou). La vie et I’oeuvre scientifique du tna- tbematicien indien Ramanujan.............................. 335 A. 1. Vaiman (Leningrad). Les dessins des figures й trois dimensions chez les mathematiciens habyloniens.............. 379 VARIA I. P. Zoubov (Moscou). Le Iraite «De conlinuo» de Bradwardin 385 M. f. Tchirikov (Moscou). Sur I’histoire des series asympto- tiques.................................................... 441
6 СОДЕРЖАНИЕ TEXTES ЕТ DOCUMENTS В. A. Rosenfeld (Kolomna) et A. P. Youschkevitch (Moscou). Le traite de Nasir al-Din al-Tusi sur la theorie des paral- leles ..................................................... 475 A'asir al-Din al Tusi. Traile qui guerit des doutes en matiere des lignes paralleles (traduction russe)................... 483 B. A. Rosenfeld et .1. P. Youschkevitch. Notes au trails de Nasir al-Din al-Tusi sur les lignes paralleles................ 525 В. Л. Rosenfeld et A. P. Youschkevitch. Le traite de Kazi- zade al-Ki'inii sur la determination du sinus d’uu degre 533 [fiazi-zade al-Rumt], Traite sur la determination du sinus d’uu degre (traduction russe).............................. 539 В. A. Rosenfeld et A. P. Youschkevitch. Notes au traite de Kazi-zade al-Ruini......................................... 552 Lettre a la redaction......................................... 557 Index dos nonis............................................... 559
ОТ РЕДАКЦИИ Настоящий выпуск «Историко-математических иссле- дований» открывается группой статей по истории мате- матики в нашей стране. Первая из них посвящена Петер- бургскому математическому обществу, которое развило в конце прошлого столетия плодотворную деятельность. В Обществе выступали с докладами II. Л. Чебышев, А. Л. Марков и его младший брат В. А. Марков, Н. Я. Со- нин, Д. Л. Граве, Ю. В. Сохоцкий, II. В. Мещерский, К. А. Поссе и др. (Между прочим сообщение Чебышева о приближенном вычислении одного определеппого интег- рала не попало в полное собрание его сочинений.) В следующей статье разобраны неопубликованные руко- писи и наброски Л. Эйлера по диофантову анализу, в неко- торой части существенно дополняющие печатные его труды, а в целом представляющие большой интерес для понимания путей его творчества. К этому примыкает статья об открытии Эйлером удобных чисел. Следующий цикл работ посвящен истории математики в странах Азии. Он начинается статьей о малоизученном трактате выдающегося китайского jneiioro III—1\ вв. Сунь-цзы. Трактат является одним из двух известных в настоящее время сочинений, непосредственно следую- щих за древнекитайской «Математикой в девяти книгах» (другим является комментарий Лю Хуэя 263 г., изуче- ние которого принадлежит к числу актуальных задач истории науки). До сих пор остается неясным происхож- дение метода двух ложных положений, впервые описан- ного в только что названной «Математике в девяти кни- гах». Этому вопросу посвящена вторая статья, содержа-
8 ОТ РЕДАКЦИИ щая гипотезу о возникновении этого метода. Далее следует анализ почти неисследованного арифметического трактата Абу-л-Вафы (X в.). В четвертой работе даны сведения об одном из наиболее замечательных достижении ин- дийских математиков средних веков, именно о разложе- нии в степенные ряды синуса и косинуса. О новом расцвете математики в Индии говорится в статье о жизни и твор- честве С. Раманужаиа (1887—1920), самобытные откры- тия которого в теории чисел и анализе поразили ученый мир. Цикл заканчивается сообщением об изображении пространственных фигур в древнем Вавилоне. К данному циклу работ примыкают две публикации, помещенные в конце сборника. Обе—комментированные переводы с арабского. Первый из них—«Трактат, исце- ляющий сомнение по поводу параллельных линий» Насир ад-Дииа ат-Туси. На этот трактат 25 лет назад обратил внимание Д. 10. Смит, по полное содержание его остава- лось неизвестным. Со*.епие ат-Туси весьма важно для истории учения о параллельных, особенно в арабских странах. Второй—«Трактат об определении синуса одного градуса» Кази-заде ар-Руми, коллеги ал-Каши по работе в Самаркандской обсерватории Улугбека. Кази-заде излагает с улучшениями вывод уравнения трисекции угла и метод численного его решения, предложенный ал-Каши. Оба трактата публикуются впервые. Все эти статьи и публикации по истории математики в странах Азии как бы дополняют некоторые сообщения на происходившем в этом году в Москве XXV Между- народном конгрессе по востоковедению. В отделе различных статей помещена работа о сочпне- нип Т. Брадвардипа «О континууме» (с приложением важ- нейших выдержек на латинском языке), а также работа по истории асимптотических рядов в XVII—XIX вв.
ИЗ П(ТОРИН ОТЕЧЕСТВЕННОЙ .МАТЕМАТИКИ
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО И. Я. Денман 1 Научные математические общества в России возникли во второй половине XIX в.: Московское — в 1867 г.1), Харьковское — в 1879 г., Казанское — в 1890 г.2), Физи- ко-математическое общество при Киевском университете — в 1890 г., С.-Петербургское — в 1890 г. При Дерптском (Юрьевском) университете, как и при Новороссийском (Одесском), математики входили в секции обществ естест- воиспытателей. Для сравнения отметим, что Германское объединение математиков (Deutsche Mathematiker-Vereini- gung) возникло в 1889 г., что первое заседание Берлинского математического общества при 41 участвующем происходи- ло 31 октября 1901 г. (секретарем был избран бывший профессор прикладной математики Юрьевского универси- тета А. Кнезер (18G2—1930), а первое заседание Гёттин- генского математического общества — 29 апреля 1902 г.3 * s). *) Это, собственно, год официального утверждения общества: фактически группа его учредителей начала регулярные научные собрания в 1864 г. 2) С 1880 г. существовала секция физико-математических наук Общества естествоиспытателей при Казанском университете. В 1890 г. она выделилась в самостоятельное физико-математическое общество. s) Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1902, стр. 71, 302. Интересные данные по организации математичес- ких объединений Германии содержатся в статье: W. L о ге у Das Studium der Matliematik an den deutschen Uni\ersitaten
12 И. Я. ДЕПМАН Настоящая статья посвящена недолгой, но весьма плодотворной деятельности С.-Петербургского математи- ческого общества. Если история Московского, Харьков- ского, Казанского обществ освещалась в печати по раз, то о СПб. математическом обществе имеется лишь сборник кратких протоколов, охватывающий 1890—1899 гг.1), и некоторые сведения в журналах того времени. Протоко- лы эти печатались только для членов общества и, очевид- но, кроме обязательных экземпляров, распространения не получали. В СПб. обществе работали самые выдающиеся математики конца XIX в. (включая П. Л. Чебышева, Л. А. Маркова, В. Л. Маркова и др.). Их сообщения, сделанные в Обществе, во многих случаях отдельно нс были опубликованы, и поэтому сохранившиеся протоколь- ные записи представляют большой интерес. Эти записи дают в ряде случаев материал для установления приори- тета отечественных математиков в отдельных вопросах, а также могут оказаться полезными для математика-ис- следователя наших дней. В связи с обзором деятельности СПб. математического общества мы сообщаем сведения о ряде отечественных математиков. Для наиболее выдающихся членов Общества даются подробные характеристики, если таковые до сих пор не появились в печати. В тех случаях, когда о данном seit Anfang des 10. Jahrhunderts. Abhandlungen iiber den mathemati- srhen llnterricht in Deutschland, herausgegeben xon F. Klein,Band III, Heft 9, 1916. Впрочем, нужно отметить, что до учре- ждения указанных «академических» математических обществ в Гер- мании существовали общества любителей математики. Старейшим из них является Гамбургское, основанное в 1690 г. и носившее на- звание Kunst-Rechnungs-lieb-und iibende Societal in Hamburg. Чле- нами его состояли «мастера счета» (Rechenmeister) не только разных германских городов, но и зарубежных; среди них умерший в 1710 г. москвич «мастер письма, счета и итальянской бухгалтерии и усердствующий в математических искусствах» Петр Грен (Graen) и автор первой «ревельской арифметики» (Arithmetischer Wegwei- ser oder Erstes Revahches Rechenbnch, 1736) Иоганн Дапппл Иптель- мап, «в математических науках усердствующий». О последнем и его кппге автор настоящего обзора имел случай писать иодробпее в эстонском издапии «Рассказов о математике» (Таллин, 1956) и в «Истории арпфметпкп», М., 1959. Ч Протоколы С.-Петербургского математического общества, 1890—1899, СПб.. 1899.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 13 лице имеются уже печатные статьи или брошюры, делают- ся ссылки па эти материалы и сообщаются лишь новые дополнительные сведения. Поиски подлинных протоколов СПб. .математического общества не увенчались успехом. В этом нет ничего удиви тельного. Общество возникло из кружка лиц, собирав- шихся на частной квартире, где хранились и дела Об- щества. Своего помещения Общество никогда не имело. Деятельность Общества замерла в период реакции, после 1905 г., без какого-либо специального акта о ликвидации. Дела песобиравшегося уже в течение ряда лет Общества хранились, очевидно, у секретаря. Возможно, что дела эти погибли в годы революции вместе с другими бумагами хранившего их лица. В звании секретаря в официальных сведениях об обществе в 1902—1903 гг. упоминается про- фессор университета Д. Ф. Селиванов, в дальнейших сведениях перечисляются только члены совета общества без упоминания о секретаре, поэтому неизвестно, у кого хранились дела Общества. Дело об основании его (Лен. Центр, ист. арх., ф. 733, опись 112, .V 1208) нашел А. А. Киселев. 2 Возникновение С.-Петербургского математического об- щества, согласно сохранившимся выдержкам из его про- токолов, произошло следующим образом. 20 октября 1890 г.1) па квартире В. 11. Шифф, препода- вательницы математики Петербургских высших женских курсов (в дальнейшем В7КК; в обиходе Курсы обычно назывались «бестужевскими», но имени одного из учреди- телен академика-историка К. Н. Бестужева -Рюмина), н ее мужа профессора П. А. Шиффа собрались следующие лица, заинтересовавшиеся мыслью о создании Общества: академики В. Г. Имшенецкнй, О. А. Баклунд н А. А. Мар- ков, профессора 10. В. Сохоцкий, П. Е. Рощин, Д. А. Гра- ве, В. В. Внтковскпп, II. Л. Пташицкий, Д. Ф. Селива- нов, II. А. Забудскнй, приват-доценты и преподаватели *) Все даты в этой статье приведены но старому стилю.
14 И. Я. ДЕПМАН И. В. Мещерский, И. А. Клейбер, В. И. Стаиевич, И. И. Иванов. О своем согласии быть членами-учредите- лями письменно известили профессора II. Я. Цингер1), К. А. Поссе, А. II. Коркин, Д. К. Бобылев, А. М. Жданов. Можно сказать, что в число членов-учредителей нового Общества вошел почти весь наличный состав матема- тиков Петербурга того времени. Собравшиеся избрали председателем заседания академика В. Г. Имшенецкого и просили его информировать собраппе о том, как по его инициативе и при его содействии возникло Харьковское математическое общество2). По вопросу о желательности учреждения Общества большинство высказалось утвердительно, хотя были голо- са н против. Было решено, что Общество будет слушать сообщения по чистой математике, теоретической механике, теоретической астрономии и, ио предложению Д. К. Бобы- лева, но математической физике. Заседания решено было проводить одни раз в месяц, прием новых членов произ- водить по рекомендации членов Общества. В бюро Обще- ства были выбраны: председателем В. Г. Имшепецкнй, товарищем председателя 10. В. Сохоцкнй, секретарем II. А. Шифф. В. Г. Имшепецкнй участвовал в работе Общества недолго: он скончался в середине 1892 г. Предсе- дателем Общества после этого был избран Ю. В. Сохоцкнй, который оставался на своем посту до конца существования Общества. II. А. Шифф состоял секретарем Общества до 1903 г. и уступил это место Д. <0. Селиванову, когда деятельность Общества фактически прекращалась. II. А. Шифф составил четкие протоколы 72 заседаний. Довольно значительная часть протоколов содержит резюме докладов, иногда весьма обстоятельные. Лишь два заседания пз 72 прошли без докладов: первое организационное заседа- ние 20.10.1890 г. и заседание 17.2.1890 г., протокол кото- *) Николаи Яковлевич Цингер (1842—1918)— астроном и геодезист, генерал, профессор Академии генерального штаба, член- корреспондент Академии наук. 2) В. Г. Имшепецкнй, кроме того, был одним из членов-учреди- телей Общества естествоиспытателей при Казанском университете, возникшего в 1869 г. Таким образом, В. Г. Имшенецкого нужно счи- тать инициатором создания трех математических обществ в России.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 15 рого гласит: «Заседание (т. е. доклады) не состоялось по случаю беспорядков в университете». Ко второму заседанию число членов Общества состав- ляло 30 человек, к концу четвертого года жизни Общества оно возросло до 82 и к концу восьмого года до 100 человек. Среди них было 13 женщин и 2 иностранных математика: стокгольмский профессор Г. Мпттаг-Леффлер, хорошо из- вестный нам по биографии С. В. Ковалевском, и профес- сор Тулузского, позднее Бордоского, университета Владимир Николаевич Танненберг, являвшимся также членом Казанского физико-математического общества. Протоколы 70 заседаний Общества содержат 172 сооб- щения 50 членов, так что на долю каждого «активного» члена Общества падает в среднем 3,/2 сообщения. Коли- ество прочитанных докладов: д. А. Граве -20 А. А. Марков — 5 Н. Я. Сонин -16 О. А. Баклунд -4 ю. в. Сохоцкий -14 11. В. Мещерский -4 11. А. Шифф -11 Д. К. Бобылев -3 / Б. М. Кояловпч - 11 И. С. Аладов -3 Д. ф. Селиванов - 9 Г. В. Колосов -3 Н. Б. Делопе - 8 К. А. Поссе -3 И. И. Иванов - 8 Е. С. Федоров -3 В. А. Марков - 6 М. М. Филиппов -3 Остальные докладчики сделали по 1 или по 2 сообщения. Особо отметим, что с одним докладом выступил П. Л. Чебышев; об этом докладе мы скажем далее. О деятельности Общества за 1900 и дальнейшие годы никаких документальных данных пет. По капитальней тему справочнику «Весь Петербург» (изд. А. С. Суворина) в списке обществ за все годы до революции числилось «С.-Петербургское математическое общество» с председа- телем Ю. В. Сохоцкн.м; членами совета указывались: О. А. Баклунд, Д. К. Бобылев, К. А. Поссе, И. Л. Пта- шнцкий, Д. Ф. Селиванов, В. И. Шифф, Д. А. Граве, И. В. Мещерский; секретари: сначала П. А. Шнфф, позд- нее Д. <0. Селиванов. В первые годы сообщались еще число членов, которое из года в год уменьшалось на одного чело- века, и число заседаний и сообщении, также уменьшающее-
Ki II. Я. (ЕПМАН ся из года в год. За 1904—1905 гг. указано в последний раз: 3 заседания, 5 сообщений. 13 дальнейшие годы даются только сведения о председателе н членах совета. Не- видимому, Общество не действовало, а сведения повторя- лись автоматически. Об этом говорит тот факт, что секре- тарь общества Петр Алекс пдровнч Шифф иногда назывался 11 а влом Александровичем, и это продол- жалось в дальнейшие годы. Если бы сведения сообщались секретарем Общества, то ои, наверное, исправил бы ошибку в собственном имени. Член СПб. математического общества Н. С. Михельсон ’), скончавшийся в 1955 г., ничего по мог сообщить о деятельности Общества после 1900 г. Можно считать, что с 1905 г. СПб. общество существо- вало только на бумаге — в списке обществ в градоначаль- стве. Так как оно никаких хлопот властям не причиняло, то и власти, по-видимому, не интересовались вопросом, существует ли оно в действительности или только на бумаге. 3 По содержанию сообщения, сделанные в Обществе, распределяются следующим образом: к анализу относятся около 50 сообщений, к теории дифференциальных уравне- ний — около 35 сообщений, к алгебре и теории чисел — 35 сообщении, к механике — 21 сообщения, к геометрии — 12 сообщений. Остальные сообщения посвящены юбилей- ным датам. Вопросы анализа и механики занимают, как видим, 2/3 общего числа сообщений. Такое явление совершенно естественно для петербург- ских математиков, учеников 11. /1. Чебышева и отчасти М. В. Остроградского. Отголоском в шяння Чебышева является и значительный интерес ч ichob Общества к воп- росам теории чисел, и почти полное отсутствие работ по геометрии. 12 геометрических сообщении почти все отпо- *) Николай Семенович Михельсон (1873 1955), доктор технических наук, профессор Технологического института нм. Леи- совета, в котором он прослужил 58 лет. Автор краткого курса выс- шей математики. Окончил Петербургский университет в 1895 г.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 17 сятся или к дифференциальной геометрии, или к теории кривых н поверхностей. Примечательным исключением является сообщение В. Л. Маркова по аксиоматике геометрии, сделанное в двух заседаниях 1893—1894 гг. (см. ниже). Отсутствие инте- реса к геометрии было характерно для Петербургского университета и в последние предреволюционные годы. До 1JI17 г. оканчивающий Петербургский университет не слыхал о курсах оснований геометрии, о топологии, ис слыхал имени II. II. Лобачевского. Читавшиеся приват- доцентом С. Е. Савичем курсы высшей геометрии и начер- тательной геометрии, чередуясь через год, около 1910 г. прекратились н вообще не были обязательными. О векто- рах студент этих лет узнавал только в курсе механики. Несколько удивляет отсутствие сообщений по одной из основных областей интересов II. Л. Чебышева — но теории вероятностей. Единственными в этой области были: доклад 1>. М. Кояловпча «О так называемом петербургском парадоксе», который, по-впдимому, носил популярный характер, так как в протоколе заседания пет его изложе- ния, п доклад II. II. Пирогова, посвященный приложени- ям теории вероятностей в физике. СПб. математическое общество отмечало памятные дни пауки пактуальные новые явления математической жизни. Па заседании 19.2.1897 г., посвященном памяти К. Вейерштрасса, были заслушаны сообщения Д.Ф. Сели- ванова «О теории аналнтнческпхфункцнй Вейерштрасса»1) н <1*. Э. Фрнзендорфа «О вариационном исчислении по Вейерштрассу»2). *) Д- Ф- Селиванов с 1880 г. слушал лекции Вейерштрасса и Б'ронекера в Берлине. 2) Феофил Эдуардович Ф р и з е п д о р ф (1871—1911) окон- чил Петербургский университет и 1898 г., в 1903 г. защитил магис- терскую диссертацию «Теория сжатии соприкасающихся твердых тел и опре [еление твердости тела», в которой развивает идеи Гертца. Он перевел па немецкий язык -курс теории конечных разностей А. А. Маркова; в 1904 г. напечатал в Журнале Министерства народ- ного просвещения (Л» 10) статью «О реформе преподавания матема- тики в средних учебных заведениях». В 1902—1910 гг. Ф. Э. Фрилен- дорф— хранитель кабинета механики в университете, с 1910 г.— профессор механики в Электротехническом институте. 2 Истор.-татем. послед , выв. XIII
18 II. Я. ДЕНМАН В заседании 17.3.189G г. по случаю 300-летпя со дня рождения Декарта были сделаны доклады: Д. Ф. Селива- нова «О работах Декарта по анализу» ц С. Е. Савича «О работах Декарта по геометрии» 1 2). В заседании 20.10.1893 г. председательствующий Сохоцкнй напомнил, что через 2 дня исполнится 100 лет со дня рождения знаменитого русского геометра Лобачев- ского и предложил посвятить заседание его памяти2). Секретарь Общества прочел письмо ректора Казан ского университета с приглашением СПб. математического общества принять участие в праздновании столетия со дня рождения Н. 11. Лобачевского. Вместе с тем был про- читан приветственный адрес, посланный СПб. математи- ческим обществом Казанскому университету но случаю этого многозначительного для русской науки дня3). Затем Савич, сообщив некоторые биографические све- дения о жизни II. II. Лобачевского, изложил содержание работ последнего, преимущественно по геометрии, н ука- зал на высокое их научное и философское значение. Заседание 14.1. 1895 г. с 10 докладами было посвящено памяти II. Л. Чебышева (см. стр. 23), который был един- ственным почетным членом Общества, единогласно избран- ным 15.2. 1893. 1) Сергей Евгеньевиче а в и ч (1861—1936) окончил Петербург- ский университет в 1886 г., получив золотую медаль за работу «Методы вычисления определенных интегралов, полного и прибли- женного». В 1892 г. защитил диссертацию «О линейных обыкновен- ных дифференциальных уравнениях с правильными интегралами». С. Е. Савич впоследствии был профессором Электротехнического института и ВЖК и недолго выборным директором этих курсов. Он был крупным специалистом по страховой математике и предсе- дателем объединенной математической комиссии страховых обществ Петербурга. В Математическом обществе С. Е. Савич сделал еще сообщение 15.10. 1893 «О рациональных интегралах одного нели- нейного дифференциального уравнения 3-го порядка (прием Pepin'a)». г) Днем рождения И. И. Лобачевского ошиоочио считалось 22 октября старого стиля. В последние годы установлено, что днем рождения 11. II. Лобачевского нуж*но считать 2<> ноября ио старому стилю, т. е. 1 декабря по нынешнему календарю. 3) Текст адреса см. в юбилейном издании: 1793—1893. Празд- нование Императорским Казанским Университетом столетней годовщины дня рождения II. II. Лобачевского, Казань, 1894, стр. 48—49.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 19 Из сообщений, которые имели целью ознакомить чле- нов Обществ с новыми течениями в математике, можно отметить: сообщения П. А. Шиффа «О теории совокупно- сти» (очевидно, о теории множеств) и В. Д. фон Дервпза «Об одной теореме в теории ансамблей»; два сообщения 10. В. Сохоцкого «О теории групп» и сообщение II. А. Шиф- фа «О женерализацнопном исчислении Ольтрамара». Последнее сообщение было вызвано, очевидно, выходом в свет книги швейцарского профессора Ольтрамара1), пе- реведенной В. II. О б р е п м о в ы м (1843—1910), извест- ным своими сочинениями по занимательной математике. В. И. Обреимоп с 1892 г. в течение четырех лет работал в Женевском университете. Остановимся подробнее на двух заседаниях Общества, которые были тесно связаны с именем II. Л. Чебышева. 4 Сообщение П. Л. Чебышева в СПб. математическом обществе было сделано на заседании 16.12.1892 г., па котором присутствовал и выступал ректор Стокгольмского университета Г. Миттаг Леффлер. 10. В. Сохоцкнй предложил собранию попросить П. Л. Чебышева председательствовать в этом заседании. Пред- ложение это было встречено громкими рукоплесканиями, и П. Л. Чебышев занял место председателя. Председательствующий сообщил собранию о громадной потере, которую понесла паука, Академия наук, С.-Петер- бургское математическое общество и артиллерия в лице скончавшегося члена Общества академика Акселя Виль- гельмовича Г а д о л и и а (1828—1892). Затем были сделаны следующие сообщения (на фран- цузском языке): 1) Г. Митта г-Л е ф ф л е р «О иеалгебраических особен- ностях дифференциального уравнения, не зависящих от постоянной* (из; жепне в протоколах отсутствует). 2) П. Л, Чебышев «О приближенном вычислении одного определенного интеграла». .pjg*) О л ь т р а м а р, Опыт женерализацпопного вычисления, 2
11. Я. ДЕПМXII По-впдпмому, Чебышев не успел оформить свое сооб- щение в виде статьи, п в собрание сочинении великого математика оно не было включено. Поэтому мы приведем полностью изложение его по протоколу. Укажем предвари- тельно, что статья, на которую ссылается в самом начале Чебышев, переиздана в его Полном собрании сочинении, т. Ill (М. —Л., 19'18), а цитируемая формула находится на стр. 247. Протокол заседания, но исправлении А. Киселевым ряда погрешностей, получает вид: «Исходя из формулы, давпон Пафпутпем Львовичем, для при- ближенного выражения квадратного корня ил единицы, деленной па переменную, через простые дроби (приложение к 1.XI тому .запи- сок Ими. Академии паук А: 1, 1889, стр. 10), именно: можно, заменяя переменную х другой! переменною, получить приближенные выражении для некоторых определенных интегралов. Если, например, положить 1 Ч-г2 — 2г cos<p х~ Й~'-)г то будем иметь: —т 1 — - = .14----------------------------------.... (1) ) 1-рг2— 2rcos<p Xj Cj (1 — r)=-|-l-l-r-» — 2rcos<p i—1 где Jt =------- /2Bsi,s 2|/>|1п^ТГ !l±r£. »_ f 'т (I —r)2 ) j 1 —A2sin2<p
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 21 Разлагая в ряд по косинусам кратких дуг функцию: | i-J-r*—2r cos <j> будем иметь: —ш- - —=^-*0+^1 cos . + Нт cos .... (2) ) 1 -pr2—2rcos <р * при этом коэффициенты выразятся следующим образом: „ 1 С COSHKf . вт=— \ я J | 1 -f г2 — 2г cos <f поэтому, принимая во внимание равенство (1), будем иметь для „<>(.: 4 л п п _ 1 Гу__________ 1; (1—r)cosmqprf<r т~ л \ — Cj(l —г)2-|-Ь}-г2—2rcos<p ’ —Л i—1 С другой стороны, известная формула Пуассона дает: V yj— .) 1 — siiiacoscp - п полагая в равенстве (3) 2г SIH Qj _ ._ cos а поэтому, (4) получим: t£rn>f?±_ . 2Л,(1-г) lg 2 1 C’i(l — r)2-H + r2 COS Qi ’ или Bm= . . m oll tga, tg -=-= 2 dn2^tgai'g"4r:sn2 2iK Sin Oi = Z2®| 2r . 2iA СП ------ sir ---—
II. Я. ДЕПМАН 22 Погрешность Е при этом вычислении будет меньше _________32К__________ Г(2п+1)Л> л (/+!)[« к-16] где dtp ) 1 — Afsin’tp Смеете с тем Пафнутин Львович показал формулу, служащую для приближенного выражения дроби 1 11 — х в пределах от —Л до -f-Л, при помощи полинома (п — 1)-й степени; именно, обозначая F(H)=(1I-] J wTZp’)n_|.(Z/_j у/2_л*)п будем иметь: где через Е ГЛ(П) -] г , —5—- обозпачепа целая часть этом функции. L 7/fc J В частном случае, полагая Л — 0, будем иметь: Е(Н)=2п7/,,1 п тогда 1 _ 1 ; X Н—х~ — известное разложение. Помножив равенство (5) на f(x)dx и интегрируя в пределах между —h и -ph, будем иметь: / (®) dx Н — х ^1+» ErZ(//)iy лвг^ /и*+Лт^Х’'<’>Л’+•• с погрешностью, не превосходящею 2Л» ± F(И)*' Протокол констатирует: «оба сообщения: г. Мнттаг- Леффлера и П. Л. Чебышева были встречены собранием громкими п продолжительными рукоплесканиями».
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 23 5 14.1.1895 г. состоялось заседание, посвященное памяти П. Л. Чебышева, умершего 2fi.ll.1894 г. Заседание открыл Ю. В. Сохоцкпй, который обратился к собранию с речью, содержавшей краткий очерк жизни п творчества П. Л. Чебышева. Сохоцкпй закончил речь следующими словами: «С течением времени значение трудов П. Л. будет воз- растать, потому что вопросы, в них затрагиваемые, имеют принципиальный характер и большую практическую важность. Окончательная научно-критическая пх оценка потребует еще не мало времени. Мы пе намерены, да н не можем резюмировать последнего слова пауки, не намере- ны рассуждать о заслугах, которые оценены по достоинст- ву давно. Находясь под впечатлением педавпо угасшей жнзпп П. Л., под обаянием живых его слов и разговоров с нами, ученики п почитатели его заслуг,— мы собрались сегодня, чтоб в тесном семенном кругу побеседовать о том, что узнали от него и чем остаемся лично обязанными. Будем верить, что П. Л. присутствует здесь вместе с нами п выразим убеждение, что труды его жизни нашли себе надежное и верное помещение на его родине, у нас; ничего пе пропущено н ничего не будет забыто. Мы изучаем их всесторонне; снабдив необходимыми дополнениями и надлежащим освещением, своевременно мы передадим их следующему поколению в залог дальнейшего, самосто- ятельного развития математических паук в России и в за- лог сохранения неизменной признательности ученому соотечественнику, имя которого будет жить столько, сколько будет жить сама наука. Предлагаю почтить память П. Л. п приглашаю всех присутствующих здесь встать». После этого былп сделаны краткие очерки трудов П. Л. Чебышева: 1) Д. Л. Граве. Задача о географических картах. 2) И. И. И напои. Постулат Бертрана. 3) . В. И. Стапевич. О числе простых чисел. 4) Д. Ф. Селивапов. Работы по теории вероятности.
24 И. Я. ДЕПМ\Н 5) И. Л. Пташнцкпй. Об интегрировании иррациональных вы- ражении. 6) В. II. III пфф. О разности интеграла произведения двух функ- ции и произведения интегралов этих функции. 7) II. II. Сопим. Приближенное вычисление определенного интеграла. 8) В. А. Марков. О функциях наименее уклоняющихся от пуля. 9) Д. К. Бобылев. О параллелограммах. 10) II. Б. Делоне. О механизмах. Мы приводим но протоколам изложение двух последних докладов *). Доклад Д. К. Бобылева «О параллело- граммах»: «Работы П. Л. Чебышева по механике относятся к прикладной механике и преимущественно к теории механизмов. Он сам говорил, что еще с ранней юности интересовался устройством различных машин п строил из дерева некоторые простые механизмы; поэтому нельзя с уверенностью утверждать, что известный мемуар Theorie des mecanismes conn us sous le noni parallelogrammes, на- ходящийся в VII томе Memoires de 1'Acad. Itnperiale des Sciences de S-t. Peteisbourg (1853). был действительно норным трудом Чебы- шева по мехапнке. В этом мемуаре, говоря об известном параллело- грамме Уатта, автор замечает, что некоторым изменением в устрой- стве механизма можно достигнуть того, чтобы наибольшие откло- нения оконечности штанги поршня от прямолинейного пути умень- шились бы более чем вдвое; однако в этой первой части мемуара только изложены первые основания теории функций, наименее уклоняющихся от нуля, п в конце сказано, что в дальнейших пара- графах множенная теория будет применена к определению эле- ментов пара челограмма, удовлетворяющего условиям наибольшей точности. Об устройстве п размерах такого параллелограмма гово- рится позже, в 1861 г. в 1\ томе Bulletin de I'Academie Imperiale des Sciences de S-t. Petersbourg, p. 433; отсюда взято описание этого 1 механизма, помещенное в механике Бура. В 1868 г. в XIX томе записок Академии паук помещена статья II. Л. «Об одном механизме», в которой автор дает теорию нового параллелограмма, отличающегося от параллелограмма Уатта видом кривой, вычерчиваемой при полном обороте механизма. В парал- лелограмме Уатта и в первом параллелограмме Чебышева эта кри- вая имеет вид цпфры 8, а в новом механизме опа имеет вид сечения капли ртути, лежащей па стекле. Самый механизм представляет собой плоский четырехсторон- ник CCiAiA состоящий из неподвижного основания CClt двух 4 В протоколах есть еще только изложение доклада . (. Ф. Се- ливанова, не представляющее интереса.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО сторон -r4iCj и АС равной длины, вращающихся вокруг точек С н и четвертой стороны ЛЯ,, соединяющей оконечности А п А±. Длины АС и Я,С, можно принять за единицу длин, а длины сторон ЛЯ, и СС, означим буквами а и к. Если а менее единицы, а механизм находится в таком положении, что стороны Л,С, н ЯС взаимно скрещены, образуя разные углы с основанием (Сх, то сторона ЛЯ, будет иметь положение (Л.1,)о, параллельное основанию С(\, и будет отстоять от пего па длину ‘-/’-(4-7- При полном обороте механизма точка Л', находящаяся па сере- дине стороны Л I,, опишет замкнутую кривую, прикасающуюся в точке V, к прямой, совпадающей с положением (А. 1,)0 этой сто- роны; точка 7V0 находится но середине длины (zLl,)0. Нетрудно доказать, что если А более или равно —— , т. е. одно» о трети суммы трех подвижных сторон, то вся кривая, описываемая точкою Л', будет вне прямой, проведенной через (zlzl,)0. II. Л. Чебышев доказал, что при к, равном . и при а, боль- ших 1 4, по не больших 0,546, нижняя часть кривой касается к пря- мой (Л 1,)0 не только в точке А’о, по и еще в двух точках А', и А’„ равноотстоящих от А’и по обе стороны ее на длину, меньшую .1/ (5—2а)(1+2а)(4а—1) I 4(2+н)2 и на протяжении расстояний Ч-Л и —Л от точки А’о кривая эта отступает от прямой па расстояния, не большие величины Г 12(2+fl)* Взяв длины АС и Л,С, равными одному метру, а равным 0,327 метра, П. Л. Чебышев получает по этим формулам 2Л равным 0,64 метра и наибольшее уклонение £ равным 0,00029 метра, между тем как в параллелограмме Уатта при одинаковой длине хода 2h получаются уклонения от 0,00079 до 0,002 метра. В 1878 г. на Парижской всемирной выставке были выставлены различные механизмы и снаряды, придуманные П. Л. Чебышевым и основанные на свойствах найденной -им системы параллелограм- мов. 29 августа того же года в заседании конгресса Association Fran^aise pour 1’ax’ancement des sciences И. Л. сообщил о вышеска- занном параллелограмме 1868 г. и о целой системе более новейших параллелограммов, в которых наименее уклоняющаяся от прямой линии точка 41 находится не в середине А плеча ЯЛ,, но па перпен- дикуляре, восставленном из А* к длине Л Л,. Если обозначить через
26 II. Я. ДЕПМАН ф угол, составляемый плечами СА и CiAi с основанием CCt в том положении сочленения при котором плечо AAt параллельно осно- ванию СС|, через с — расстояние ИЛ’, через Т — некоторую вели- чину, равную Т= |/ 2cosT—° V cos ф — а ’ где а есть длина AAi (длины 1С и А,(\ равны единице), и опреде- лить с: с= 27—(7»-1-1) sin ф ° 2(7*—1) cos ф ’ то точка .И будет описывать лппию, отклоняющуюся от прямой па расстояния, не большие , г _ , 21» (1+21 ыпф-Н*) х Т2(1—12)* па протяжении длипы 2Л хода, которая равна: о, 2а fT— sin ф . 2(1+218’шф + 1»)1 \ созф\_ Т*— 1 ' (1 — 1»)» 7 где щ определяется по формуле а величина t есть корень уравнения 3-н степени: 1»+212 sin Ф4-31 -f-2 sin ф—7(1 —t»)=0. Теория этих параллелограммов ихтожепа в XXXIV томе запи- сок Академии внук. В том же 1878 г. в IX томе Математического сборника, издавае- мого Московским математическим обществом, П. Л. Чебышев в статье «О простейших сочленениях» (стр. 310), показал, что пока- занные им па Парижском конгрессе механизмы могут быть заменены другою суставчатою системою, доставляющей те же симметричные кривые, которые вычерчиваются точкою .1/ вышесказанного парал- лелограмма. В 1889 г. в приложении к LX тому записок Академии наук он пзложпл полную теорию этих систем. Еще рапее, в 1880 г., в приложении к XXXVI тому записок в статье «О параллелограм- мах, состоящих из трех каких-либо элементов», он рассматривает мехавнзмы, в которых плечи СА и CtAt tie равны между собою, а также ие равны между собою расстояния точки V or точек А и А,. Тщательное изучение движений разнообразных видоизменений простейших сочленений дало П. Л. возможность подметить многие особенности движений тех или других элементов ее; основываясь
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 27 па этом, он построил весьма много механизмов, описание и объясне- ние которых потребовали бы много времени. Есть придуманные Чебышевым механизмы, основанные на других соображениях; так, папрнмер, счетная машина с непрерывным движением основана на некоторых свойствах систем зубчатых колес. Насколько прак- тичны придуманные ГЕ Л. механизмы — покажет будущее». Доклад Н. Б. Д е л one. «О механизма х»: «Исследуя вопрос о преобразовании вращательного движения в прямолинейное, Чебышев пришел к блестящим результатам и, можно сказать, покончил с этим вопросом, дав необыкновенно про- стые трех рычажные механизмы, преобразовывающие непрерывное вращение в прямолинейное движение, и обратно, с высокою сте- пенью приближения; и едва ли этого рода механизмы могут поду- чить после Чебышева какое-либо дальнейшее усовершенствование. 1Го этого мало — на пути к достижению таких важных результатов Чебышев поднял другой, близко стоящий к первому, вопрос капи- тального жачеипя в учении о преобразовании движения: Чебышев первый обратил внимание на возможность устропства передачи вра- щения помощью суставчатых систем без мертвых положений и с уве- личением числа оборотов. Этот вопрос совершенно новый и пред- ставляет собою обширное поле для изучения; по, едва подняв его, Чебышев уже успел и па этом поприще достигнуть весьма многого. Пользуясь тем же трехрычажным механизмом, который известен под именем кинематического четырехсторонника, прилагая к нему тот же самый метод функций, наименее отклоняющихся от нуля, Че- бышев покасал, что при известных размерах такого четырехсторон- ника и при непрерывном вращении одного из его плеч некоторая точка его описывает замкнутую кривую, умещающуюся между двумя концентрическими окружностями, которых эта кривая по- очередно касается. Воображая себе третью окружность, концентри- ческую с двумя первыми и имеющую радиус, равный среднеариф- метической от радиусов двух ограничивающих кривую окружно- стей, Чебышев принимает за функцию, наименее уклоняющуюся от нуля, разность между’ радиусом-вектором кривой, чертимой меха- низмом, н радиусом упомянутой средней окружности и показывает, что эта разность может быть сделана менее всякой данной величи- ны, хотя п не может быть обращена в нуль, потому что при этом вся кривая обращается в точку и длина вращающегося плеча четырехсторонника тоже обращается в нуль. По всегда можно выбрать по формулам Чебышева такие размеры механизма, что кри- вая, чертимая им, уклоняется от окружности на сотые доли милли- метра, имея довольно значительный поперечник (демонстрируются модели механизмов различного приближения). Этим механизмом Чебышев пользовался трояким способом: 1) Предполагая, что механизм приводится в движение рукою, Чебышев удивительно находчива избегал прибавления к своему трехрычажному меха- низму каких-либо еще рычагов, рассуждая, что для рабочего со- вершенно нечувствительна разница между вращением рукоятки по окружности и вращением рукоятки по кривой, весьма мало уклоняющейся от окружности; между тем это вращение прекрасно
28 И. Я. ДЕПМАН преобразуется механизмом во вращение одного из плеч четырехсто- ронника. Такая передача применена была Чебышевым к изобретен- ному им креслу-самокату. 2) Если механизм должен приводиться в движение не рукою, а вращением какого-нибудь вала, получаю- щего движение от паровой машины, гидравлического двигателя и т. д., то в центре упомянутых концентрических кругов укрепляется кривошип, который уже не прямо надевается на шарнир, устроен- ный в точке, описывающей приближенную кривую, по соединяется с этим шарниром добавочным рычажком. Таким образом, одни конец этого рычажка идет по проб жженной кривой, а другой его конец идет по окружности, описываемой концом кривошипа, п вра- щение одного нз плеч четырехсторонника преобразуется, следова- тельно, во вращение кривошипа пятпрычажным механизмом. По формулам Чебышева можно выбрать такие размеры рычагов, при которых при равномерном вращении плеча четырехсторонника полу- чается вращение кривошипа, весьма близкое к равномерному. 3) Наконец, давая кривой, чертимой механизмом, форму, наиболее отличающуюся от окружности, по принуждая ее (выбором размеров по формулам) заключаться между концентрическими окружностями и касаться их, Чебышев соединяет кривошип, вращающийся около центра этих окружностей, добавочным рычажком с точкою механиз- ма, описывающею упомянутую кривую, и дает этому рычажку та- кую длину, чтобы он мог в местах наибольшего отклонения кривой вытягиваться в одну прямую с кривошипом. В таком механизме существуют мертвые положения, так что он требует маховика; по зато па один оборот плеча четырехсторонника получается два или четыре оборота кривошипа, смотря по тому, при каком поло- жении добавочного рычажка перейдено было мертвое положение. Замечательно, что формулы, данные Чебышевым для прибли- женного ведения точки четырехсторонника по окружности, совер- шенно идентичны с формулами, данными им же для того п.з изобре- тенных пм преобразователей вращательного движения в прямоли- нейное, которому, беэ сомнения, следует занять первенствующее место среди всех известных в пауке прямых. Здесь мы имеем в виду тот удивительный механизм Чебышева с ломаным рычагом, который с помощью трех рычагов, превращает в прямолинейное движение не колебание плеча, а непрерывное его вращение. Практика еще не до- статочно знакома с этими механизмами Чебышева, по не может быть никакого сомнения, что они получат широкое применение и распро- странение; и именно их удивительная простота служит верным зало- гом будущего их успеха. Но для науки наиболее важное значение представляет ис то, что уже вылилось в законченную форму, а имен- но новый поднятый Чебышевым вопрос о передаче вращения су- ставчатыми системами. Пусть рутина па первых порах относится с недовернем к этому делу; может быть н первые шкпвы и зубчатые колеса были встречены таким же недовернем. Путь намечен смело, но он памечеп твердою рукою п верным глазом. Чебышев любил говорить, что природа, величайшая наша учительница, широко применяет суставчатые системы в органах передвижения животных и что поэтому можно надеяться на приобретение этими системами
С-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 29 в будущем большого значения. Пожелаем же, чтобы падеж iu вели- кого геометра оправдались, чтобы суставчатые системы пе переста- вали быть предметом всестороннего изучения на благо и пользу будущих поколений*. 6 Дадим краткие сведения о некоторых членах СПб. математического общества. Среди них есть и такие, кото- 1 рые совсем или почти совсем забы- ты, хотя в свое время были доста- точно видными учеными. В. Г. 11 м ш е н е ц к и и (1832—1892)1) В Петербургском математиче- ском обществе Василий Григорь- евич Имшенецкии сделал сооб- щения: 20.11.1890. «Об интегрировании общих линейных однородных дифферен- циальных уравнений и о способе на- хождения вспомогательных уравнений, из которых одно есть известное союз- ное уравнение Лагранжа, другие же аналогичны уравнению Лагранжа». 15.10.1891. «О способах определения рациональных дробных решений дифференциальных уравнений*. В. Г. Имшепецкпй (1832 1892). Последняя работа вызвала острую полемику между петербургскими математиками (Л. Л. Марков, К. А. Пос- се, Л. И. Коркин, Д. К. Бобылев и др.) и московскими (П. В. Бугаев, П. Л. Некрасов, К. Л. Андреев и др.). Москвичи утверждали преимущество метода Имшеиецкого перед методом Лиувил.тя, петербуржцы против этого •) Общую оценку деятельности В. Г. Пмшепецкого дали К. Л. Андреев в «Сообщениях Харьковского математического обще- ства (серия 2, том 3,1893) и в «Записках Харьковского университета» (1895, Л« 3, ’стр. 85—149) п Я. .1. Героппмус в книге «Очерки о рабо- тах корифеев рхсской механики* (Москва, 1952). Этому же вопросу посвящена диссертация В. \. Кочева «Академик В. Г. Имшепецкий. Жизнь и творческое наследие» (Свердловск, 1953).
30 И. Я. ДЕПМАН возражали. В Петербургском обществе этому вопросу посвятили затем доклады Л. А. Марков (18.11.1891, 17.1.1892) и К. Л. Поссе (20.10.1893). Оба сообщения В. Г. Пмшенецкого представляют резю ме напечатанных им работ. Д. К. Бобылев (1842— 1917) Дмитрий Константинович Бобылев родился 11 ноября 1842 г. в селе Печенегах Харьковской губернии. В 1852 г. он поступил в первый кадетский корпус, из которого в i860 г. вышел прапорщиком в лейб- Д. К. Бобылев (1842 -1917). гвардии Павтовскнй полк с при- командированием к Михатов- ской артиллерийской академии; в 1862 г. окончил Академию. Прослужив два года в гвар- дейской копно-а ртяллерийскоп бригаде, он в 1865 г. поступил вольнослушателем Петербург- ского университета на физико- математический факультет. В 1867 г. он после предваритель- ного приобретения аттестата зре- лости сдал экзамены на звание ка пдпдата фнзн ко- математн ве- ских наук н был оставлен про- фессором физики <1*. Ф. Петру- шевскпм при университете для подготовления к профессорскому званию. В 1870 г. Бобылев защи- тил кандидатскую диссертацию «Поляризующие призмы, устроенные напвыгодпепшпм образом» и в 1871 г. был зачислен приват-доцентом Петербургского университета, в котором затем работал непрерывно 45 лет. В 1873 г. Бобылев защитил магистерскую диссертацию «О распре- делении электрпчсства на двух шарах и о рассеянпп*элек- трнчества в газах» и в 1876 г. после ухода из университета академика II. 11. Сомова был назначен штатным доцентом кафедры теоретической механики. С тех пор он в течение
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 31 40 лет читал все курсы механики в Петербургском универ- ситете. В 1877 г. Бобылев защитил докторскую диссерта- цию «Исследование о распределении статического электри- чества на проводниках, состоящих из разнородных частей», в 1878 г. получает зваппе экстраординарного, а в 1886 г.— ординарного профессора. С 1871 г. он также профессор физики Института инженеров путей сообщения, в котором после смерти Е. И. Золотарева (1878) занимает кафедру механики. В 1896 г. Бобылев был избран членом-коррес- нондентом Академии наук. Скончался Д. К. Бобылев 20 февраля 1917 г. в Петрограде1). К сказанному о Д. К. Бобылеве прибавим, с согласия автора, выдержку из неопубликованного обзора академика В. И. Смирнова «История физико-математических паук в Петербургском — Ленинградском университете», напи- санного в 1945 г. «С самого возникновения Петербургского университета специальность механики пользовалась особым вниманием, и в те времена одпо и то же лицом преподавалоп научно занималось одновременно с механикой и физикой или математикой. В первый период существования Петербург- ского университета преподавание механики и направление научной работы были в основном не только теоретически- ми, ио и прикладными. По обозрениям преподавания того времени мы видим также, что преподавание стояло на должной высоте в смысле приближения его к уровню пауки того времени. В этих обозрениях упо шнаются имена Пуансо, Лагранжа, Пуассопа, Павье. В то время, когда я вступал в университет, кафедрой механики уже долгое время ведал Д. К. Бобылев. Его предшественник Окатов2) положил начало механическому кабинету в университете. Он имел, по-видимому, широкие интересы в пауке н зани- мался теорией машин, механической теорией теплоты *) О Бобылеве см. некролог, написапный его учеником А. М. Ляпуновым в Известиях Академии наук за 1917 г., стр. 301—303. *) Михаил Федорович Окатов (1829—1901)— воспптаппик Московского университета, магистр (1865) и доктор (1867) приклад- ной математики, с 1866 г. доцент и в 1868—1878 гг. экстраординар- ный профессор Петербургского университета.— И. Д.
32 II. Я. ДЕНМАН п главным образом теорией упругости; в частности, он занимался и теоретически и экспериментально теорией стержней. Д. К. Бобылев многое сделал для дальнейшей организа- ции кабинета механики. Ему мы обязаны тем, что в нашем университете имеются хорошие традиции аналитической механики. Ему принадлежал первый в России большой и оригинальный курс механики. Этот курс служил основным руководством в течение долгого времени пе только у нас в университете. За свою многолетнюю деятельность в на- шем университете Д. К. Бобылев выпустил много круп иых механиков1), которые затем с большим успехом зани- мались наукой. Собственные работы Д. К. Бобылева относились к во- просам аналитической механики,гидромеханики и теории упругости. Отмечу, что еще в 1881 г. Д. К. Бобылев решил плоскую задачу об обтекании клина с отрывом, струн. В одной из своих работ он рассматривал принципиально новую задачу движения точки в деформирующейся среде. Ряд интересных его работ относится к теории (вижеиия твердого тела и к исследованию катания без скольжения одной поверхности но другой. Д. К. Бобылев придал рабо- те ио механике более теоретическое направление. Его время было временем расцвета аналитической механики в машем университете». В Математическом обществе Д. К. Бобылев сделал сообщения: 15.2.1891. *(> движении по шероховатой горизонтальной пло- скости полого шара, заключающего в себе враншиицинся волчок, ось которого неподвижна по отношению к шару». *) Кроме А. М. Ляпунова и отдельно упомянутых и в дальней- шем упоминаемых в нашем очерке профессоров: И. В. Мещерского, Г. В. Колосова, А. С. Домогарова. Т. Э. Фрилендорфа. К. В. Ме- ликова — нужно нажать еще Александра Александровича Я’ р и д- м а п а (1888—1925), академика Николая Ивановича М усхе.ч н ш- в ил п, киевского и одесского профессора Гавриила Констаптиноинча Суслова (1857 1935). ленинградского профессора Евгения Леопольдовича II И к о л а u (1889—1950), варшавского и петербург- ского профессора Павла Осиповича Сомова (1852—1919) и других.— Я. Д.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 33 «Предполагая, что катание шара совершается без скольжения, будем в этом случае иметь шесть связей обыкновенных и два условия к ганпя без скольжения, так что число интегрирований, кото- рые придется выполнить для решения вопроса, будет равно де- сяти. Все этн интегрирования можно выполнить. Движение сис- темы выразится помощью эллиптических вейерштрассовых функ- ций п о». 15.2.1893. «Об одном частном решении дифференциальных уравнений вращения твердого тяжелого тела вокруг неподвижной точки, если центр инерции находится па наименьшей главной оси эллипсоида инерции». «При этом частном решении проекция угловой скорости на на- правление средней осн эллипсоида равна пулю, ио для этого надо, чтобы наибольший главный момент инерции был вдвое более наи- меньшего. В том случае, когда вращение вокруг наименьшей оси эллипсоида инерции совершается без остановок, каждая точка этой осн оппсывает сферическую кривую с точками возврата на одном из предельных кругов». 14.1.1895. «О параллелограммах* (в заседании памяти П. Л. Че- бышева). 10. В. С о х о и к п й (1842 — 1927) Юлиан Васильевич Сохоцкий, фактический председа- тель Петербургского математического общества за все время его деятельности, окончил Петербургский универ- ситет в 18G5 г. С. П. Глазеиап рассказывает о нем, как о своем любимейшем профессоре: «Сохоцкий был поляк, а в Петербургский университет принималось только 12% поляков. Сохоцкий не попал в этот процент, и чтобы посещать аудиторию, он каждый раз платил шинельному известную мзду н, таким образом, прослушал первые курсы университета ’). Впоследствии он был оставлеп при университете для подготовления к профессорскому званию»* 2). *) Каждый студент имел в гардеробе свой помер. Войти в уни- верситет можно было только сдав верхнее платье на свой номер в гардеробе. По гардеробу проверялась и посещаемость студентом университета. 2) С. "П. Глазеиап, Некоторые эпизоды из моей жизни, «Мпроведепие», т. XXV, вып. 1, 193С, стр. 57—67. Член СПб. мате- матического общества Сергей Павлович Г л а з е п а п (18!8—1937)— с 1880 г. профессор астрономии Петербургского университета, почетный член Академии наук СССР. Перу его принадлежат, кроме ряда астропомическпх и геодезических работ и таблиц, выдержавшие * Истор.-матем. исслед., вып. Хш
34 И. Я. ДЕ1ШМ1 В 1868 г. 10. В. Сохоцкнй защитил магистерскую дис- сертацию «Теория интегральных вычетов с некоторыми приложениями», в 1873 г. докторскую диссертацию «Об определенных интегралах и функциях, употребляемых при разложениях в ряды». Защита первой диссертации осуществилась не без трудностей. «Теория интегральных вычетов» — первая научная работа на русском языке, специально посвящен- ная теории функции комплексного переменного. Известно, что 11. Л. Чебышев пе был расположен к пользованию этой теорией. По словам II. Л. Пташпцкого, ученика Со- хоцкого, Юлиану Васильевичу пришлось два года «обха- живать» 11. Л. Чебышева, прежде чем он допустил дис- сертацию к защите. Отзыв П. Л. Чебышева о магистерской диссертации Ю. В. Сохоцкого неизвестен. Докторскую диссертацию П. Л. Чебышев оценил как «вполне удовлетворительную»— это была в то время высшая оценка *). С 1873 г. 10. В. Сохоцкнй состоял профессором Петер- бур! ского университета и в 1868 г. впервые в Петербург- ском университете читал курс теории функции комплексного переменного. В качестве профессора он читал сначала раз- личные курсы, по с 1876 г. в течение 40 лет читал высшую много изданий учебники тригонометрии (плоской и сферической); таблицы логарифмов пяти- и шестизначных и другие справочники. В автобиографии своей С. П. Глазепап пишет (указанное сочинение, стр. 66—67): «Когда подросли дети, я познакомился с существую- щими учебниками по математике для начальной и средней школы и пришел в большое удивление от неудовлетворительности учеб- ников. Поэтому я приступил к составлению «Народного задачника», в котором нет ип одной искусственной задачи и где все взято непос- редственно из жизни. Задачник выдержал три тиража под разными названиями*. Профессор методики математики Иван Никитич К а в у и (1874— 1935) в рецензии на «Народный задачник» в одном из ленинградских методических изданий 30-х годов писал, что автор его, по-видимому, никогда сам пе учил детей. По рассказу И. Н. Кавуна вскоре после этого рано утром его разбудил некий старик, отрекомендовался Сергеем Павловичем Глазепапом и сказал: «Уверяю вас, вы ошибае- тесь. У меня девять человек детей, и всех их я сам научил ариф- метике». *) П. Л. Чебышев, Полное собрание сочинений, т. V, М.~Л., 1951, стр. 298—299.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 35 алгебру п, кроме того, с 1884 г. — теорию определенных интегралов. Эти курсы (высшую алгебру: 4 часа в первом и 3 часа во втором семестре 11 курса и теорию определен- ных интегралов: 2 часа в течение двух семестров III кур- са) Сохоцкпй читал до 20-х годов XX в. Кроме универси- тета он в течение десятков лет занимал кафедру математи- ки в Институте гражданских инженеров, начиная с 1875 г., когда этот институт еще носил название Строительного училища Министерства внутренних дел. Сохранились литографированные курсы лекций Сохоцкого по аналити- ческой геометрии и дифференциальному и интегральному исчислениям, читанных в этом институте. Ближайшим сотрудником Сохоцкого по институту гражданских инже- неров в течение десятков лет был также член Петербург- ского математического общества Е. В. Борисов *). В работах Л. И. Маркушевича «Вклад 10. В. Сохоцкого в теорию аналитических функций» («Исторпко-математп- *) Евгений Васильевич Борисов, защитивший в 1890 г. магистерскую диссертацию «О приведении положительных трой- ничных квадратичных форм по способу Зеллипга», многие годы до 1917 г. читал в университете курс высшей математики для химиков и напечатал широко распространенный в те годы сокращенный курс высшей математики. В СПб. математическом обществе Е. В. Бори- сов сделал сообщение «О критических центрах кривых 3-го поряд- ка» (15.2. 1893). О работах Е. В. Борисова А. А. Марков писал: «Е. В. Борисов мне хорошо известен, так как я слушал одновремен- но с ним лекции в С.-Петербургском университете у профессоров П. Л. Чебышева, Е. II. Золотарева, А. II. Коркина и др. Без сомне- ния, он принадлежит к числу лучших учеников упомянутых профес- соров и не напрасно был в свое время награжден серебряной меда- лью за рассуждение па предложенную факультетскую тему: «Инте- грирование дифференциальных уравнений при помощи непрерыв- ных дробей». В числе представленных па эту тему работ была и моя, но я как тогда, так и теперь должен признать, что работа Е. В. Бо- рисова была самою солидною из всех и обнаруживала как трудолю- бие, так и большие сведения ее автора. Магистерская диссертация Е. В. Борисова может служить новым доказательством того, как трудолюбиво н серьезно относится он к научным воросам. Тот, кто, как мой покойный брат, займется изучением тройничных (поло- жительных) квадратичных форм, будет весьма благодарен Е. В. Бори- сову за составленные им таблицы приведенных форм и за обсто- ятельное объяснение способа составления подобных таблиц*. (Центр, гос. истор. архив СССР в Ленинграде, фонд 733, оп. 150, д. 1542, листы 96—98, дело о конкурсе па замещение должности профессора Юрьевском университете). 3*
30 И. Я. ДЕПМАН ческпе исследования» вып. 111) и «Очерки по истории теория аналитических функций» (Москва, 1951) дана под- робная характеристика богатого оригинальными идеями творчества Ю. В. Сохоцкого. А. И. Маркушевич восстанав- ливает приоритет 10. В. Сохоцкого в ряде вопросов. Мно- гие открытия Ю. В. Сохоцкого приписывались зарубежным авторам, несмотря на то, что его заслуги были отмечены неоднократно и иностранными авторами. Так, например, в известной книге Эипеисра об эллиптических фупкци ях1) читаем: «Одним из самых ранних и самых значитель- ных исследовании по преобразованию тета-функций является мемуар Эрмита в журнале Лиувнлля (111, 1858, стр. 26—36). Эрмит дает здесь полное определение коп, стаит при помощи сумм Гаусса... Этот мемуар вызвал появление ряда замечательных работ...». Среди них Эпне- пер особо выделяет работу Сохоцкого «Определение посто- I я иных множителей в формулах линейного преобразования тета-фупкцнй. Гауссовы суммы п закон взаимности лежан- дрова символа». Эта работа, напечатанная па польском языке в изданном в Париже сборнике, у нас никем не упоминалась, равно как прочие работы Сохоцкого на / польском языке, в том числе курс алгебры. Не использо- ванной при оценке деятельности 10. В. Сохоцкого оста- лась и посвященная его памяти статья известного поль-' . ского историка математики, члепа Петербургского мате- матического общества С. Р. Ди к штейна*). В Обществе 10. В. Сохоцкий сделал ряд докладов: 21.12.1892. «Принцип наибольшего общего делителя в приме- нении к теории делимости алгебраических чисел». Этому же вопросу посвящена отдельная книга Сохоцкого, в названии которой лишь слово «Принцип* заменено словом «Начала» (СПб., 1893). >) Elliptische Funktionen. Theorie нпд Gescliichte. Akademi- sche Vortrage von Alfred Enneper. Zw te Auflage. Neu bearbei tet und heraiisgegeben von Dr. Felix M tiller. Halle a. S., 1890, стр. 427. 2) S. П i ckstei n, Wspomnienie posmiertne о prof. JSo- cliockiin. WiadomoSci Matemat. XXX, 1927—1928, стр. 79—85. Самуиt Рафаилович Д и к ш т e й и (1851—1939)—крупный дея- тель математического образования в Польше, философ и историк математики, учредитель журналов «Wiadomosci Matematyczne» и «Ргасе Matematyczno Fisyczne*.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 37 25.1.1895 и 16.12.1895 — обзорные сообщения по теории групп. 17.3.1896, 18.9.1896 и 15.1.1897 — обзорные сообщения об эллиптических функциях. 19.11.1897 , 21.1.1898 и 22.2.1898 — об уравнениях 4-й и 5-й степени. 16.3.1891 «О геодезических линиях*. Но поводу сообщений об эллиптических функциях С. Г- Петрович пишет: «Почин в отношении элементарного изложения теории эллиптических функции принадлежит профессору С.-Петер- бургского университета 10. В. Сохоцкому, которому по- средством рассмотрения свойств кривой третьего порядка у2 = 4х3 — g2x —gs удалось весьма легко п просто получить основные свойства вейерштрассовоп функции tyw вещественного аргумента. Приводя особый метод представления мнимых ветвей плоских кривых н рассматривая мнимую ветвь приведен- ной кривой!, нам удалось распространить результаты, полученные профессором Сохоцким для случая чистомпи- мого аргумента функции tyu, пополнить их и затем при помощи теоремы сложения обобщить случай комплексного аргумента и произвольного дискриминанта уравнения 4x» = g2.T = g3-0*. С. Г. Петрович указывает, что основным источником для него ирн составлении его книги были сообщения, сделан- ные профессором Сохоцким в С.-Петербургском математи- ческом обществе *). В стороне от обычной тематики 10. В. Сохоцкого с.топт его сообщение «О геодезических линиях», которое резюми- руется в протоколах следующим образом: *) С. Г. П е т р о в и ч. Опыт элементарной теории веиерштрас- совых функций &.и, t,u и au с приложением статей об эллиптичес- ких функциях snu, спин dnu, Москва, 1898, предисловие. Сергей Георгиевич Петрович (1869—1926)— генерал, про- фессор Михайловской артпттерпйской академии, член СПб. мате- матического общества, автор ряда книг ио теории вероятностей и приложениям ее к стрельбе, литографированных курсов по теории Функций мнимой переменной, эллиптическим функциям, разным разделам общего курса анализа.
38 И. Я. ДЕПМАН Указав на условие необходимое и достаточное, чтобы все линии в системе x=<p(t, с), у=ф(1, с), z=6 (t, с) были геодезическими, и сделав одно замечание относительно тео- ремы, обратной теореме Гаусса, выражающей дифференциал длины дуги геодезической липин, докладчик указат на аналитическое выражение условия необходимого и достаточного, чтобы все липин в системе /(u, V, с) = 0 были геодезическими, причем обратил внимание собрания на неко- торые важнейшие следствия. Затем докладчик дал новый вывод дифференциальных уравнений Гаусса для геодезических липин в криволинейных координатах. Эти уравнения представляются как уравнения характеристик уравнения в частных производных вида Я) A cos 6__д cos (со — 6) /44 di di ’ ( J где А и С означают коэффициенты известного выражения квадрата дифференциала дуги, 6 изображает величину угла, образуемого в данной точке геодезической кривой с координатной кривой г= =const, а <о—угол между координатными линиями. Наконец, было указано, как при помощи уравнения (1) интегрировать дифферен- циальные уравнения геодезических кривых па поверхности вращ<*- ння и па поверхности эллипсоида». На следующем заседании 15.4.1891 Ю. В. Сохоцкпй предюжпл желающим решить следующую задачу: дано семейство кривых, определяемых параметром а; из некоторой точки плоскости нрове депа к одной из кривых касательная, длина которой, положим, есть s, длина же дуги, отсчитываемой от некоторой точки кривой 3(®4-а) до точки касания, есть а; доказать, что —т-—- не изменяется вдоль оа касательной и изменяется при переходе от одной касательной к дру- гой. Обобщить ту же теорему и для поверхности. Эта теорема имеет большое значение при изучении некоторых свойств геодезических линий. Н. Н. Пирогов (1843—1891) Николай Николаевич Пирогов, сын знаменитого хи- рурга и педагога Н. И. Пирогова, родился в Петер- бурге. Учился он в Гейдельберге, где в то время находился его отец, руководивший посланными в Германию для усовер-
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МА ТЕМ ЭТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 39 шепствоваппя молодыми русскими учеными. Позднее Н.Н. Пирогов учился в Берлине и Оксфорде. В 1867 г. он получил в Киевском университете степень кандидата физико-математических наук. Прослужив некоторое время в Лондонском отделении Русского общества пароходства и торговли, а затем в Петербурге в Министерстве финан- сов, Н. Н. Пирогов оставил казенную службу в 80-годах и вернулся к научным занятиям математикой и физикой. Он принимал близкое участие в работе СПб. физико-хими- ческого и математического обществ. Н. II. Пирогов одновременно с Л. Больцманом зани- мался статистическим обоснованием второго закона тер- модинамики 1). Из работ II. Н. Пирогова в протоколах СПб. математи- ческого общества упоминаются Uber dasGesetz Boltzmann’s (Repertorium der Physik, 1891) и его сообщение на заседа- нии общества 15.1.1891 «О применениях счисления вероят- ностей к аналитической механике», в котором докладчик, но словам протокола, высказал теоремы: 1) бесконечно малое изменение начального состояния системы N тел (или N частиц), если Л’>2, производит конечное изменение траекторий ее частиц; 2) дифференциальпые уравнения движения системы Л частиц, в общем случае, кроме известных десяти, уже больше ие имеют аналитических интегралов; 3) траектории частиц такой системы, в общем случае, имеют характер случайно начертанных кривых и потому к исследованию их свойств приложимо счисление вероят- ностей. В заседании 17.1.1892 общество почтило вставанием память II. Н. Пирогова, который скончался в 1891 г. от разрыва сердца. *) См. Б. И. С п а с с к и й, Некоторые методологические во- просы истории физики, «Вопросы философии», № 5, 1952, стр. 213. Об II. II. Пирогове см. также кандидатскую диссертацию Г. Г. Г op- fl у н а «К истории термодинамики в России во2-й половине XIX ве- ка» (Киевский гос. пед. ип-т, 1955) и статью II. М. Бергера «Роль русских ученых в создании и развитии теории тепловых явле- нии» (Уч. зап. Новозыбковского гос. пед. пп-та, вып. 2, Брянск
40 II. Я. ДЕШИН О. А. Б а к л у и д (1846—1916)’) К. А. Поссе (1847—1928). Оскар Андреевич Баклунд, академик и директор Пул- ковской обсерватории, сделал следующие сообщения: 1G.3.1891. Демонстрация прибора Репсольда для изучения фотографии частей неба. 17.4.1893. (.Общие выражении дли возущепий, производимых внутренними планетами в движении комет по верхним частям их орбит». 29.10.1894. «О сопротивляющейся среде в планетной системе». 23.4.1897. «Интегрирование дифференциального уравнения для определения долготы в движении одной группы малых планет». К, А. Поссе (1847—1928) Константин Александрович Поссе в течение первых десяти- летий нынешнего века был самым популярным русским математиком благодаря широкому распростра- нению его известного учебника анализа. К. А. Поссе окончил в 1868 г. Петербургский университет, в ко- торый он сначала поступил воль- нослушателем, так как к моменту зачисления в университет пе имел полных 17 лет. В 1873 г. Поссе за- щитил диссертацию «О функциях, Лежандра» на степень магистра математики. Хотя положительный отзыв о диссертации дал сам П. Л. Чебышев* 2), однако ее значение было оценено лишь после работ Гильберта и В. А. Стеклова. С 1880 г. Поссе был дгцептом и затем профессором Пе- тербургского университета, из которого выбыл по болезни глаз в 1899 г. Кроме университета он преподавал в Пнсти- подобных функциям *) См. его некролог, паписаппып А. А. Белопольским, в «Изве- стиях Академии наук», 1916. стр. 1171 и след. * 2) П. Л. Ч е б ы ш е в, Полное собрание сочинений, т. V, 1951, стр. 297—298.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 41 тутах инженеров путей сообщений (с 1871 г.), технологи- ческом, позднее в электротехническом и на IvKK. 13 1883 г. оп защитил диссертацию «О функциях О от двух аргументов и о задаче Якоби» па степень доктора математики. В советское время К. Л Поссе был удостоен звания почетного члена Академии наук СССР. Поссе любил преподавание и был мастером этого дела1). «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Поссе (1-е издание СПб., 19G3), выдержавший большое число издании и дополнявшийся автором с каждым тира- жом, являлся руководством, по которому учились матема- тике несколько поколений. На одном из совещаний по вопросу об учебниках математики для втузов покойный академик С. Л. Чаплыгин как-то даже заявил, что при наличии руководства Поссе пет надобности мудрить над составлением новых. Школьное преподавание математики многим обязано К. Л. Поссе, который долгие годы состоял членом ученого комитета Министерства народного просвещения н давал отзывы об учебниках. Сам Поссе рассказывал, как он, человек левых взглядов, находившийся всегда у министра народного просвещения иод подозрением, попал в члены такого охранительного органа, каким призван был слу- жить этот ученый комитет. Министр граф Деляпов при всей своей ретроградности любил иногда рисоваться своим джентльменством. В один из таких моментов показного джентльменства было поднесено Деляпову дело Поссе, который пе мог продолжать службу из-за надвигающейся слепоты и не мог выйтн па полную пенсию, так как пе хва- тало одного года для выслуги. К удивлепнюдок.тадчика де- ла Деляной дал Поссе годичную командировку за границу, *) Проф. физики Б. 11. Вейнберг указывает: «Некоторые из пас (студентов Петербургского университета) увлекались способам из- ложения А. А. Маркова, каждым словом как бы заколачивавшего гвоздь за гвоздем по одной прямой липни, с которой он не дввал сходить.истине. Другие наслаждались изящною, стройною и спо- койно-мелодичною речью К. Л. Поссе, которого слушали даже иные юристы, не понимавшие зачастую содержания его лекций, но проникавшиеся их «музыкальностью» и «убедительностью...» (Г>. П. В е й и б е р г, П.з воспоминаний о Дмитрии Ивановиче. Менделееве как лекторе, Томск, 1910, стр. 1— 2).
42 И. И. ДЕНМАН после получения пенсии К. А. Носсе, кроме того, был назначен членом ученого комитета, что давато ему допол- нительные средства помимо пенсии. Единственная известная нам статья, посвященная К. А. Поссе (паписана после его копчппы), так характери- зует эту светлую личность. «24 августа 1928 года скончался К. А. Поссе. В могилу сошел один из старейших русских математиков, у кото- рого в топ пли иной форме учились почти все преподаю- щие у пас в настоящее время математику в высшей школе. Преклонный возраст и связанные с ним физические стра- дания давно поставили К. А. Поссе вис пауки и жизни... Он был человек чрезвычайно живой, и в пору разгара его деятельности не было того академического начинания в области, близкой научным и педагогическим интересам К. А., в котором он пе принял бы участия. Нравственный же облик этого человека, соединявшего в себе редкую сердечную мягкость с твердой выдержанностью, вызывал глубокое уважение всех, кто его знал»х). В Математическом обществе К. А. Поссе сделал три сообщения. 15.10.1892. «Maxima et minima функций двух переменных». 20.10.1893. «О доказательстве трансцендентности числа е, предложенном Гордапом (Comptes rendus, № 19, Т. CXVI) п обоб- щение Гордановскпх соображений, ведущее к доказательству трансцендентности числа л». «Равенство вида + Лгеа' + . • • + = 0, (1) где а0, сц, . . ., ал — алгебраические числа, различные между собою, а /10, Л,, . . ., Ль — целые обыкновенные числа, не равные путю, преобразовывается к виду (см. А. А. Марков, Доказа- тельство трансцендентности чисел е и л по статьям Эрмита п Лин- демана, СПб., 1883): Veli*:<,+ - - + ^2«tin:° =0. (2) где Dp Dt....Dn и о—обыкновенные целые числа, a gift —целые алгебраические числа, корпи неприводимых уравнений Л (z)= 0, Ft(z)=0....Fn(z)=0. *) Из предисловия В. Ф. Кагана к послереволюционному изда- нию «Курса» Поссе, Госиздат, Берлин, 1932.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 43 Равенство (2) заменяется равенством Ро+А V + Dt V Л* + ... +nn V :«i: ° = о, где xit yi...uj— целые алгебраические числа, между которыми нет чисел, равных нулю; суммирования, обозначенные знаком У, распространяются: первое па все корни уравнения Л’ = 0, второе » » » * У = 0, последнее * » » » U=0. Полагая Й (z)=XY ... U = zN+ PlzN~l + ... + />№ = (Z— «iX2 — X2)...(Z — J/1) ... (2—Up), где Pi, pj...Pn—целые числа и Рк не = 0, составляем функцию ap-izp-i 1-2 -.(р-1) [П(Ог)1Р' где р есть простое число, большее наибольшего из чисел Рп, DB и о. Введя символ Гордана, определяемый равенствами = 1-2 ... к, для всякого целого и положительного А-, так что, если Ф (*) =°о++“а«*+ • • + оп*п. ТО (Л) — а0 “I- сц 1 Ц- Оз’1’2 -|— 03 1 2’3 -|— ... -|- ап-1*2’3 ... п, находим, что ср (h) есть целое число, не делящееси на р, а + ..........+ — числа, кратные р. При р, достаточно большом, то<1<р(г)для конечного значе- ния z можно сделать менее всякого заранее заданного положи- тельного числа; то же самое справедливо для iiiodipfz), где ф(г) есть целая ф>упкцпя от z, в которой коэффициенты при различных степенях z имеют модули, меньшие чем соответствующие коэф- фициенты в <р (z). Из разложения ег в ряд выводится символическое равенство <T(h)e:=<p(h + z) + Ф(г)ето<11, а отсюда на основании равенства (1) следующее: A>q> h -D V Ф + -^-^ + • • • +А»У Ф + ~о’")=
44 II. Я. ДЕПМАН невозможность которого па основании свойств функций <р (:) и 4(2) очевидна». В том же заседании Поссе выступил по вопросу о мето- де решения линейных дифференциальных уравнений В. Г. Имшенецкого (см. выше). И. Я. Сонин (1849—1915) Николай Яковлевич Сопнп впервые выступил в Обще- стве 29.10.1894 г. За последующие 4 года он сделал еще 15 сообщений, оказавшись таким образом одним из самых деятельных членов Общества. II. Я. Сонину посвящена обширная литература (см., например, статьи В. В. Гуссова и С. Е. Белозерова в «Историко-математических исследованиях», вып. \ и \ I н статью А. И. Кропотова в «Научных записках (финан- сово-экономического института», 13, Л., 1957). Мы доба- вим здесь некоторые сведения о Сонине как педагоге и дея- теле математического просвещения. После 20 лет профессорской деятельности в Варшав- ском университете II. Я. Сонин был в 1890 г. назначен попечителем Петербургского учебного округа, а в 1891 г. председателем ученого комитета Министерства народного просвещения и оставался в этой должности до своей кон- чины. Одновременно он вел курс интегрального исчисления на Петербургских ВЖК следующим образом. Написав строго научный курс, Сонни отлитографировал его и раз- дал слушательницам. В дальнейшем ои лишь комментиро- вал иаппсапное изложение, которое слушательницы по определенным разделам должны были па дому предвари- тельно прочитывать. По отдельным частям курса заслуши- вались рефераты студенток. Аудитория сохранила лучшие воспоминания о профессоре и его методе занятий. И. II. Пирогов рекомендовал такой способ преподавания своему младшему сыну Владимиру, доценту истории Ново- российского университета (II. II. II и р о г о в. Письма к сыну, СПб., 1917). К этому методу близок порядок препо- давания в Парижской политехнической школе, где лек- ции в литографированном или печатном виде вручаются предварительно слушателям. Мы видели лптографпро-
с.-петербургское математическое общество 45 ванный курс лекций Эрмита, в котором ме ьду каждыми двумя литографированными страницами вклеены чистые листы для заметок слушателя. Любопытно, что наш устав гимназий 1804 г. требовал, чтобы каждому ученику были даны па руки печатные учебники с такими вклеенными чистыми листами для заметок при слушании объяснений учителя. Из педагогических мероприятий II. Я. Сопипа нужно отметить разработку учебных планов для реальных училищ (с 1907/08 учебного года). Согласно этим планам в курс VII и пасса были включены начала аналитической гео- метрии и анализа. Сонин уделял много внимания составле- нию учебников математики для средней школы, в частно- сти он подверг (Журнал Мин. нар. проев., новая серия, ч. LI, 1914, июнь, стр. 226—236) резкой критике учебни- ки по началам высшей математики для реальных училищ, составленные Д. II. Горячевым ’). Эта рецензия представ- ляет интерес для характеристики не только II. Я. Сонина, но и Д. II. Горячева и члена Общества В. М. Кояловпча, о котором речь ниже. Так как эти книги Горячева пере- издавались и после революции и распространены среди учителей, приведем заключительную часть рецензии. За обе книги Горячеву в 1909 г. была присуждена половина большой премии Петра I (1000 руб.) но отзыву комиссии, возглавлявшейся нроф. В. М. Кояловичем. ] «В отзыве конкурсной комиссии,— писал Сонни,— были указаны многочисленные, хотя пе исчерпывающие, ошибки автора..., исправление которых в следующем издании оставлялось на нравственной обязанности автора... Одна- ко новые издания этих книг ничем пе отличаются от первого... • В «Основаниях аналитической геометрии» встречается довольно много ошибок, какое-то странное оригинальничанье и очень неточное, а иногда прямо неум юе изложение... Изложенные замечания заставляют *) Дмитрий Ннкапорович Горячев (1867—1949)—магистр (1899) и доктор (1912) Московского университета, профессор Вар- шавского университета и Ростовского института инженеров желез- нодорожного транспорта. Учебники Д. И. Горячева: «Основания анализа бесконечно малых», М., 1907; 8-е н.зд., М., 1923; «Осно- вания аналитической геометрии», М., 1908; 6-е изд., М., 1918.
46 II. Я. ДЕПМАН признать учебник совершенно неудовлетворительным... Пе более удовлетворителен и второй учебник... Изложе- ние ведется в стиле начала XIX века... Мы вынуждены признать, что, учась по такому учебнику, нельзя усво- ить оснований анализа». И. Я. Сонни возглавлял русскую делегацию в между- народной комиссии по реформе преподавания математики, руководимой Ф. Клейном. Членами русской делегации состояли члены Петербургского математического общест- ва профессор Петербургского технологического института Б. М. Коялович и директор второго Петербургского реаль- ного училища К. В. Фохт. При содействии приглашенных лиц были составлены для международной комиссии 12 от- четов па французском и немецком языках о состоянии преподавания математики в разных типах русских школ. Н. Я. Сонин смотрел скептически на возможность исполь- зования в России планов реформы, разработанной между- народной комиссией. «Вызывался его пессимистический взгляд условиями, в которых в то время находилось дело школьного образования в России, и недостатком педаго- гического персонала, достаточно подготовленного для осу- ществления широкой реформы преподавания математики» (признание самого Н. Я. Сонина)х). В СПб. математическом обществе Н. Я. Соппп сделал сообщения: 29.10.1894. а) «Об одной символической формуле для п-й производной функции»; б) «Приложение символического исчисления к выводу формулы Эйлера для квадратур с остаточным членом и к вычислению некоторых определенных интегралов». 19.11.1894. «О бернуллиевых полиномах и бернуллиевых числах». 17.12.1891. «Об интегрировании уравнения ~^= 1-р * (2 сообщения). 14.1.1895. «Приближенное вычисление определенного инте- грала» (2 сообщении). 18.3.1895. «Простой вывод формулы П. Л. Чебышева для раз- 1 ложеппя — » (к сообщению П. Л. Чебышева в Обществе). *) См. К. А. П о с с е, Н. Я. Сонин, /Куриал Мни. пар. проев., новая серия, т. VII, 1915, № 6, стр. 123.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 47 21.4.1895. «Об остаточном члене в формуле Лагранжа для и нтерпол нрования». 16.10.1896. «Решение разностных уравнений» (2 сообщения). 20.11.1896. «Заметки о двух параграфах курса анализа Жор- дана» (2 сообщения). 19.2.1897. «Об одной системе линейных уравнений». 15.10.1897. «О ряде Ивана Бернулли». 19.11.1897. «О неравенстве П. Л. Чебышева». В. И. Ш и ф ф и II. А. Шифф Супруги Вера Иосифовна и Петр Александрович Шифф принимали большое участие в создании СПб. математиче- ского общества и в его работе. Вера Иосифовна играла роль хозяйки на собраниях общества, Петр Александрович был бес- сменным секретарем и очень час- тым докладчиком. Вера Иосифовна Шифф, дочь профессора военно-медицин- ской академии Равича, окончила ВЖК в составе первого выпуска (1882) и всю дальнейшую жизнь преподавала на курсах. На ра- ботников Курсов, как не состо- явших на государственной служ- бе, личных дел не составлялось и нам не удалось установить многих дат жизни и деятельнос- ти Шифф. Скончалась опа в 1919 г.1). На квартире В. И. Шиф^* В- И- Шифф. как указано выше, состоялось учредительное собрание математического общества, там же в более поздние годы собирался кружок математиков, объединявший представителей старшего поколения (Сонин, Васильев, Коялович, Поссе, Боргман) с более молодыми (Попруженко, Пиотровский, Богомолов, Фохт, Гернет, Полосухина, Нарышкина, Афанасьева-Эрепфест и др.). В. И. Шпфф принимала близкое участие в работах по ре- *) См. бюллетень Академии паук «Наука п ее работники», № 3, 1921.
48 И. Я. ДЕПМЛП форме преподавания математики в школе (доклад на Пер- вом Всероссийском съезде преподавателей математики, 1910). О В. И. Шифф говорится между прочим в воспоми- наниях писательницы Л. А. Авиловой («А. П. Чехов в мо- ей жизни», в сборнике «А. II. Чехов в воспоминаниях современников», ОГПЗ, 1947). Труды В. И. Шифф: *06 осях симметрии кривых IV порядка» (Сообщения Харь- копского математического общества, 1891). «Доказательство одной геометрической теоремы Коши» (жур- нал «Научное обозрение», 1881). «Методы решения вопросов элементарной геометрии», СНб., 1894. «Сборник упражнений по дифференциальному и интегральному исчислениям», ч. I и II, СПб., 1889, 1900; в 1915 — 4-е и 5-е издания. Сборник упражнений по аналитической геометрии», СПб., 1904, 1908, 1910. Учебник тригонометрии (несколько изданий, СПб., 1907— 1910). «Сборник задач по прямолинейной тригонометрии СПб., 1915. «Элементарное изложение некоторых сведений из теории опре- делителей (с историей вопроса)», 1914. Литографированные лекции по аналитической геометрии. В СНб. математическом обществе В. II. Шифф сделала 15.10.1891 сообщение «О кривых четвертого порядка», в котором, исходя из определений криволинейных диаме- тров кривых высших порядков, данных Салмоном, показа- ла, каким образом, пользуясь уравнениями этих диамет- ре, найти оси симметрии кривых четвертого порядка в как, возможно просто, вычислить коэффициенты преобразован- ного уравнения кривой четвертого порядка, отнесенной к осям симметрии. Другое сообщение В. И. Шифф сделала па заседании, посвященном памяти П. Л. Чебышева. Петр Александрович III п ф ф (1849—1910), поступив в Петербургский университет, перешел из него в Артил- лерийское училище и потом в Михайловскую артиллерий- скую академию, которую окончил с отличием в ^876 г. Всю свою жизпь П. А. Шифф занимался педагогическою деятельностью — в артиллерийских училищах, в Михай- ловской артиллерийской академики. на В7КК, читая курсы
C.-IIETEPIIi ГГСКОЕ.МЛТЕМ ГГИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 49 П. А. Шифф. теоретической механики, теории упругости, теории опре- деленных интегралов, вариационного исчисления, инте- грирования дифференциальных уравнений в частных про- изводных. Как отмечалось в не- крологе его (Матем. сб. 27, вып. 3, 1910), работы П. А. Шиф- фа отличаются новыми методами и возможно более общими точ- ками зрения. Список работ II. А. Шиффа: 1) Sur 1’equifibre d’un cylindre elaslique, CH, 1883; Journal de mathe- niatiqnes Liouville, 1883. 2) Sur I'integration d’un systeuie d’equations diflerentielles lineaires simultanees aux di-rivees naitielles d’ordre superieur, Bulletin de Г Aca- demic Imperiale des Sciences, St.-Pet. Melanges matliemat iques el astronomi- ques, 1891. 3) О некоторых следствиях тео- ремы Ролля, Труды Отд. физических наук общества любителей естество- знания, антропологии и этнографии, т. 5, вып. 2, М., 1893. В следующем выпуске Трудов помещено дополнение автора с обобщением полученных результатов. 4) Краткий конспект долговременной фортификации, Изд. Констант, арт. уч., СПб., 1895. 5) О некоторых соотношениях в теории определенных интегра- лов, Матем. сб., т. 17, М., 1895. 6) Об уравнениях гидродинамики, Труды Отд. физических паук (см. 3), т. 10, М., 1898. 7) Теория лафетов, СПб., 1899. 8) Об уравнениях движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку, Матем. сб., т. 24, М., 1904. 9) Интегральные инварианты и интегральные коэффициенты, Матем. сб., т. 25, М., 1905. II. А. Шифф сделал в обществе за 8 лет с 1891 по 1898 г. 11 сообщений. Для 7 из них в протоколах даны только заглавия: Об одной формуле в теории определителей. О теореме Иарсеваля. Приведение интегрирования линейного уравнения 2-го порядка к интегрированию уравнения 2-го порядка однородного (работа напечатана в журнале «Научное обозрение» за 1894 г.). Истор.-матем. исслед., вып. XIII
50 И. Я. ДЕ1 IAII О жепералпзационпом исчислении Ольтрамара. Об уравнениях гидродинамики. О теории совокупностеп (2 сообщения). Указания о содержании имеем для следующих сооб- щений: 15.12.1890. «Об интегрировании системы совокупных линей- ных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка вида 36 > a £**“i , г . а^+Д*“1=-57г + Л1(а:1' 36 3*иа , „ “ 5^+Д»“»==-^г+Л»<»:1. *»....»п). 36 д2иг а Зх„+Да“п- ЗР где в_()ц1 д“» , , дип . dxt дхг "Г * ’ • "г дХп ’ * д* . . д* А»=-дт+-а-г+---Ч—г-» J в—постоянное». Зх{ 1 3xJ 1 1 Ox* 15.4.1891. «П. А. Шифф показал, что уравнение в частных производных вида дки . дки дки ди . Vr+w + -"+ ТТ=О«“+О> -дг+--- дх\ дх* дх* допускает интеграл удовлетворяющий уравнению ди , ди , , ди ди х' з^+*а з^+- • +х" з^+‘ зГ= ди д^и ^и + b^+... + b^... О°и ° 31® (>) (2) (в частном случае —однородный) только в том случае, когда все постоянные коэффициенты а0, аъ ..., за исключением а^, равны пулю. В самом деле, обозначая левую часть уравнения (1) через AfcU и правую—через Р(и), будем иметь: Afcu = P(u)... (Г) Обозначая, далее, правую часть уравнения (2) через Q(u), будем иметь: ди , ди ди ди ,
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 51 Совершая над частями равенства (2’) операцию Ль, получаем: £+ • • • £+^“= = AhQ(u) = Q(Ahu)=Q[P(u)J пли *-р«)+”р (Д)+ +'р м+‘р (£)-«1Р '"«• иначе Л/ ди . ди . ди \ / ди X + кР (u) = Q[P(u)[; принимая во внимание уравнение (2*). будем иметь: р к? (u)]-p 4r)+tp(‘S’)+*p(u)=0 [P(u),: совершая па самом деле действие, обозначенное символом Р, и принимал во внимание, что Р [Q (ч)1 = Q IP (“)) (в виду того что коэффициенты а0, at..b0, Ъ1... предполагаются постояппыми), мы получаем: Лао“+(Л- 1) ai ~d~t—h(^—2) аг + • • • +(*—Р)ар 3tp=G’ (3) ' равенство (3) непременно представляет собою тождество, т. е. все коэффициенты равны пулю, поэтому, например, «(,=01=0,= . . . . . . = аР-1=0, к=р; в противном случае мы из уравнепия (3) получп и бы и = cieai* + с^Ор1 + Среар', где cp ct, . . ср суть произвольные функции xj, хг, . . . , хп, а это противоречит уравнению (2), в чем легко убедиться непосредственною подста- новкою». 16.9.1891. «О некоторых формулах для вычисления определен- ных интегралов*. Докладчик показал, каким образом из формул Грипа для функций с двумя переменными получаются формулы: Коши, Пуассона, Абеля, Фруляни, Фурье, Куммера, Парсеваля и Давидова. 15.9.1892 г. П. Л. Шифф сделал сообщение «Некоторые след- ствия теоремы Ролля н приложение теоремы Ролля к доказатель- ству теоремы В. А. Маркова о распределении корней двух функций и их производных*. Это сообщение было вскоре напечатано под за- главием «О некоторых следствиях теоремы Ролля*. (См. выше список работ П. А. Шиффа, № 3.) В статье рассмотрены различные обоб- щения теорем о средних и теоремы В. А. Маркова на функции двух и трех действительных переменных, а также иа комплексн}'Ю область. В следующем выпуске «Трудов» было помещено дополнение автора к предыд}щей статье, в котором формулы, полученные в первой ста- тье для двукратных интегралов, были выведены для тройного и вооб- ще дтя многократного интеграла. 4*
52 И. Я.ДЕПМАН Ж то интересуясь новыми методами преподавания, П. А. Шифф и его жена пе раз выступали перед учителями. Перечень их докладов в Педагогическом музее военных учебных заведении можно паити в «Указателе докладов и сообщений в Пед. музее военно-уч. заведений» (изд. Пед. музея, СПб., 1896). Е. С. Ф е д о р о в (1853—1919) Знаменитый кристаллограф и выдающийся геометр Евграф Степанович Федоров сделал в Обществе три сообщения: 15.2.1892. «О симметрии на плоскости». 15.4.1892. Демонстрация приборов, предназначенных для на- глядного ознакомления с видами симметрии. 17.3.1893. «О проблеме minima в области учения о симметрии». В заседании 25.4.1894 г. было прочитано письмо Е. С. Федорова, в котором он сообщал, что вследствие некоторых обстоятельств вынужден просить хотя бы временно пе считать его членом общества. Собрание постановило: 1) выразить Е. С. Федорову глубокое сожаление о том, что обстоятельства временно лишают его возможности принимать деятельное участие в делах общества; 2) продолжать считать его членом С.-Петербургского математического общества. И. Л. П т а ш и ц к н и (1854—1912) Иван Львович Пташицкий — очень деятельный член С.-Петербургского математического общества, потяк по национальности и уроженец Виленской губернии. Он окончил в 1876 г. Петербургский университет, получив учрежденную в память Первого» съезда рус- ских естествоиспытателей и врачей премию за сочинение «Об интегрировании алгебраических дифференциалов в ко- нечном виде». В университете он был учеником Чебышева, Коркина, Сохоцкого и Золотарева. По свидетельству К. А Поссе Пташицкий с особенною благодарностью вспо- минал Е. И. Золотарева, который оказывал ему деятель- ную поддержку при первых шагах научной деятельности.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МХТЕМХТНЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 53 Пташпцкпп был оставлен на два года при университете для подготовки к профессорской деятельности, после чего прожил еще два года в Париже для усовершенствования. В 1880 г. он был назначен преподавателем математики в Петергофскую прогимназию. В этой должности он рабо- тал до 1890 г., даже после защиты магистерской диссерта- ции «Об пнтегрпроваппп в ко- нечном виде иррациональных дифференциалов» (СПб., 1881) и докторской диссертации «Об ин- тегрировании в конечном виде эллиптических дифференциалов» (СПб., 1888). В 1891 г. Пташпцкпп был приглашен читать лекции и Ми- хайловские артиллерийские ака- демию и училище. В училище он перестал читать лекции в 1895 г., в академии же оставался профессором и членом конферен- ции до конца жизни, ограничи- вая свою работу в ней миниму- мом— чтением трехчасового кур- са по интегрированию дифферен- циальных уравнений и по неко- торым дополнительным статьям математики. II. Л. Пташицкий (1854 — 1912). из различных отделов В 1897 г., после 15 лет работы приват-доцентом (т. е. без твердого оклада), И. Л. Пташицкий был назначен сверхштатным профессором Петербургского университета, а в 1899 г. зачислен в штат. В университете он все время читал аналитическую геометрию, приложение интеграль- ного исчисления к геометрии и теорию эллиптических функ- ций, в начале деятельности иногда еще начертательную геометрию. Курсы, читавшиеся И. Л. Пташпцким, были им проду- маны до последних мелочей. А. П. Чехов по поводу издан- ных его знаменитым учителем Захарьиным лекций говорит, что печатные лекции представляют только либретто той оперы, которую он студентом слушал из уст Захарьина-
54 И. Я. ДЕПМАН профессора. Лекции II. Л. Пташицкого были в полном смысле слова оперой, художественным произведением. Они не содержали ничего лишнего, ио давали все необ- ходимое. Вспоминается, как мы, студенты, задали Ивану Львовичу вопрос: почему вместо нашего краткого курса теории эллиптических функций французские курсы зани- мают по несколько томов? Иван Львович сказал: «лекцион- ный курс должен давать только необходимое. Французы же не могут обойтись без красноречия и словесности. Возьмите их изящную литературу. Что ни автор, то та- лант или гений. А что от них через двадцать лет останется? Разве только десяток страниц Мопассана». Характерен для И. Л. Пташицкого другой разговор. Мой товарищ но университету, уже упоминавшийся про- фессор II. В. Линин, не был оставлен при университете, так как совет университета не располагал для этого стипен- дией. Дело было еще до революции 1917 г. В. II. Липин обратился к Ивану Львовичу как секретарю факультета с вопросом, как мог бы он, не нуждающийся в стипендии, сохранить связь с университетом. Тот ответил: «Я пе риск- нул предложить вам остаться при университете ни со сти- пендией, ни без стипендии, учитывая нищенское положе- ние профессора. Но если вы сознательно идете на это, я к вашим услугам». Очевидно, Пташицкий вспомнил те десять лет, которые он, будучи признанным математиком, прожил па жало- ванье учителя Петергофской прогимназии, и те скромные материальные условия, в которых он жил, не считая воз- можным искать какого-либо источника дохода, кроме профессорского оклада. В те годы даже среди студентов университета было известно, как отрицательно относились профессора к С. Е. Савичу, который в качестве председа- теля Объединенной математической комиссии петербург- ских страховых обществ получал оклад, много раз превы- шающий профессорский. Еще один эпизод, связанный с И. Л. Пташицким. при- ходит на память. В 1911 г. защитил диссертацию «Неко- торые приложения непрерывных параметров в теории чисел» па степень магистра математики Яков Викторович Успенский (1883—1947). Ему показалось, что защита
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 55 прошла недостаточно хорошо, что он мог бы выступать лучше, поэтому обратился к секретарю факультета И. Л. Пташнцкому с вопросом, нельзя ли счесть защиту не имевшей места. И. Л. Пташицкий ответил: «Зачем вы волнуетесь? Какое реальное, помимо формального, зна- чение имеет защита вообще, в частности то, как она прошла? В паши дни многие люди говорят, что они фор- мально православные. Ну и вы будете формально магистр математических паук. Все остальное зависит уже пе от формальных прав, а от ваших реальных дел». Оценка научной деятельности И. Л. Пташицкого была дана профессором К. Л. Поссе на страницах «Журнала Министерства народного просвещения». Приведем ее здесь, чтобы спасти от забвения дорогое имя профессора, которого любили самым пскренппм образом студенты Петербургского университета. «Имя Пташицкого в печати впервые появляется в 1879 г. в «Nouvelles Annales de mathematique», где поме- щена маленькая его заметка «Sur un probleme de Mecani- que». Затем в 1880 г. в «Matheinatische Annalen», т. XVI помещена его заметка под заглавием «Extrait d'une lettre а М. С. Neumann»,- в которой автор доказывает ошибоч- ность правила Л. Кенигсбергера для решения следующе- го вопроса: узнать, выражается ли данный гиперэллнп- тическнй интеграл в конечном виде через алгебраическп- логарнфмические функции или нет, и найти это выражение в случае его существования. Указав источник ошибки, автор дает и пример, опровергающий правило. В 1881 г. Пташицкий напечатал магистерскую диссерта- цию «Об интегрировании в конечном виде иррациональных дифференциалов». В первой главе, основываясьнаработах Абеля и Чебышева, автор показывает, что вопрос об инте- грировании в конечном виде дифференциала, содержащего Рационально хи Т R, где Л — целый полином, т — целое положительное число, приводится к вопросу о выражении Pdx W р' одним логарифмическим членом. Этот результат был вы- сказан Чебышевым без доказательства и затем доказан Q и 7? — целые полиномы, интеграла вида
56 И. Я. ДЕПМЛН итальянским математиком Пиума (Piurna), ио иным путем. Последний вопрос сводится затем к некоторому алгебраи- ческому вопросу, решением которого для случая т = 2 и занимается автор во второй главе. В прибавлении он дает свои приемы для разыскания алгебраического выра- жения интеграла от алгебраического дифференциала, более простые, чем способ, данный Лмувиллем для решения того же вопроса. В 1884 г., в 1 томе «Сообщений Харьковского математи- ческого общества» напечатана заметка Пташпцкого «О раз- ложении в ряд Маклорепа некоторых функций со многими переменными», в которой автор дает простой прием для получения некоторых разложений, данных Эрмитом в его «Coin's d’Analyse» на стр. (>4, и для многих других. В 1888 г. напечатана докторская диссертация Пташиц- кого «Об интегрировании в конечном виде эллиптических дифференциалов». Рецензия об этом сочинении в «Jahrbuch der Fortschritte der Mathematik» (т. XX, 1888, стр. 445) говорит: «Настоящая работа имеет целью изложить как прежние работы математиков, так и собственные исследо- вания автора по вопросу об интегрировании в конечном виде эллиптических дифференциалов. Она разделена на пять глав. Первая посвящена исследованиям Лнувплля и Чебы- шева, относящимся к конечному интегрированию и при- ведению эллиптических дифференциалов к виду С _____(х-рЛ) dx_____ Во второй главе излагается с некоторыми упрощениями метод Абеля для разыскания конечного выражения выше- приведенного интеграла в логарифмах, если таковое суще- ствует. В третьей главе излагается собственная метода автора. Но этой методе данный интеграл приводится к виду / = + в]-^= • ? L 2 — b J J s(z) где s — полином третьей степени.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 57 Исходя из этого интеграла, автор составляет некото- рый ряд интегралов Л,/2./3.....Л. ••• (1) и показывает, что необходимое и достаточное условие су- ществования конечного выражения интеграла 1 в логариф- мах состоит в том, чтобы ряд (1) был конечным или перио- дическим. Четвертая и пятая главы посвящены изложению допол- нении к различным признакам интегрируемости в конеч- ном виде, найденным частью Чебышевым и Золотаревым, частью самим автором*. В том же 1888 г. напечатаны статьи Пташнцкого: a) Extrait (Типе lettre а М. Ch. Hermite («Bull, des sciences math, et astron. G. Darboux» (2) XII, 262—270). Здесь дается теорема, состоящая в том. что интеграл J /’(х, Т R)dx, где R — целый полипом, берется в конечном виде тогда и только тогда, когда R имеет вид: (х—л,)"1 или (х — л,)"1 (х — a2)m-n|. <)та теорема встречается в магистерской диссертации автора. б) «Об алгебраическом интегрировании алгебраических дифференциалов» н в) «Об одной теореме относительно алгебраических интегралов» (Сообщения Харьковск. матем. о-ва, 2-я се- рия, т. I, 61—73, 74—77). г) Sur 1'integration algebrique des different idles alge- briques (Acta mathematica, t. XI, 1888, 395—400). В этих статьях автор дает свою методу для решения вопроса об алгебраическом интегрировании дифференциалов вида ydx, гДе У—алгебраическая функция от х (впервые вопрос был решен Лнувиллем), и на примерах показывает преиму- щества своей методы. Заметка по тому же вопросу помещена Пташицким на польском языке в журнале «Peace mat. fizycz.», 1, 89—90. В статье «Sur la reduction de certaines int^grales abeli- ennes й la forme normate» (Math- Annalen, B. 33, 1889)
58 И. Я. ДЕПМАН Пташицкий обобщает результаты исследований Эрмита о гииерэллпптическнх интегралах (Bull, des sciences math, et astron., 1883) на интегралы от дифференциалов, зави- сящих от корня любой степени из целого полинома. Тому же вопросу посвящена статья Пташицкого па поль- ском языке в «Ргасе», II, стр. 57—74. В 1900 г. напечатаны следующие етатьи Пташицкого: a) «Sur la reduction d’un probleme algebriques* (Comptes rend us, t. 130, стр. 105—Ю7); 6) «Allgemeine Salze uber die Integration abelscber Differentiale in enalicher Form* (Prace mat. fiz., 11, 23—31, на польском языке); в) «Общие исследования об интегрировании абелевых пффе реициалов в конечном виде* (Матем. сб., т. 21, 387—430). В этих статьях автор занимается различными алгебраическими вопросами, связанными с вопросами о приведении абелевых интегралов. В Jahresbericht de г deutschen Matlieinatiker-Vereinigung за 1909 г., № 1, помещена статья II. Л. Пташицкого под заглавием «Sur un lheoreme d'Analyse, enonce par Jacobi*. Автор здесь доказывает высказанную Якоби теорему: «Дана целая рациональная функция f(x) степени 2п 4-1 или 2п 4-2. Если при некотором целом рациональ- Д. Ф. Селиванов (1855—1932). ном значении х радикал ] /(.t) также равен целому числу, то су- ществует бесчисленное множество уравнений степени и таких, что для любого корпя уравнения ) дт) выразится рационально в in ра- циональных числах». Весьма про- стое доказательство автора ос- новано на разложении корня квадратного из целого полинома в непрерывную дробь. Д. Ф. Се л и в а и о в (1855—1932) Дмитрий Федорович Селива- нов, магистр Петербургского уни- верситета (диссертация «Теория алгебраического решения урав- нений», СПб., 1885) и доктор Московского университета (диссертация «Об уравнении пятой степепи с целыми
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 59 коэффициентами», СПб., 1889), с 1886 г. состоял препода- вателем Технологического института и В/КК и с 1905 г. профессором Петербургского университета. Оценка дис- сертации, как и других работ Селиванова но алгебре, дана в обзоре Л. К. Сушкевича «Материалы к истории алгебры в России в XIX в. и в начале XX в.», «Историко- математические исследования», вып. IV, 1951). Оцепку творчества Селиванова в целом см. у Р. Роте х). Д. Ф. Селиванов сделал в Обществе 9 сообщений. 15.12.1890. «О периодических непрерывных дробях». «Были изложены новые доказательства теорем, относящихся к вопросу о разложении корня уравпеиия 2-й степени в непрерывную дробь». 15.4.1891. «О разложении чисел на множители». «Разыскание простых делителей чисел вида I1—Du* приводится к решению уравпеиия левая часть которого есть символ Якоби. Все решения этого урав- нения легко найти при помощи следующих теорем, высказанных Эйлером (несколько в иной форме): *> <4-lDD- * °>* (4)-^). «<«= 4| = „р« 5) „ри Di+Kwodi); «> (4)-----(гТй) Щ» Ра-1 (med 4). Доказательство теорем 1) и 5) находим в сочинениях Дирихле и KJ. В. Сохоцкого. Докладчиком было показано, как доказываются все названные теоремы и как при помощи их разложить данное число на множители». 15.4.1892. «О делимости чисел» *) Deutsche Mathematil<er-VereiniKunn, Jahresbericht, 1935, стр. 210—214.
60 II. Я. ДЕПМАН «Были изложены с некоторыми изменениями и дополнениями исследовании Люка (Lucas) о делимости чисел вида ап-Ьп ип=-—-, оп=аП-|-6п где а и b—корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами х* — Px+Q=0. Кроме того, были перечислены случаи, указанные Пилером, Первушиным и Зельгофом (Seelhof), в которых число ап=2*"+1 оказывается составным, вопреки мнению Фермата». И. 1.1895. «Работы П. .1. Чебышева по теории вероятностей». 17.3.1896. «О работах Декарта по анализу». 18.9.1896. «О числовой функции <р (л), выражающей число чисел простых ели не превосходящих л». «('одержание сообщения: Рели числа 1. d, d', d", .... п суть все делители числа л, то, как показал Гаусс, имеет место соотношение Ф (О+Ф (f0 + Ф (rf')+ф (rf') + • • -+ф (") = ". которое для краткости обозначается следующим образом: VV(rf)=n. (1) Покажем, что отсюда можно вывести выражение для функ- ции ф(л), пе пользуясь другими свойствами этой функции и не обращаясь к символическим приемам. Предположим, что раз южение числа л па простые множители имеет вид Делители числа л разделим па два класса: к первому отнесем те, которые в разложении на простые множители содержат рЧр; все же остальные делители причислим ко второму классу'. Делители первого класса имеют вид p^d,, где rfj—делитель числа nL = P? делители же второго класса обозначим через rf' На этом основа- нии (1) принимает вид <F V<p(rf') = «. Так как d' есть делитель числа p“*-,p?pS3 . . р“’п.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 61 то по теореме Гаусса и, следовательно, V = - (2) Числа rf,—делители числа л, можно снова разбить па два класса. Повторив те же рассуждения, получим; 2 <₽ <₽ до;>=л Здесь J2 есть делитель числа Рз3р?‘ ... />^, а </[ есть делитель числа Ргг~1рза ... р“**. Так как л то па осиоваипп формулы (2) и, следовательно, (3) Рассуждай таким же образом далее, наконец получим: При помощи изложенного метода можно папти функцию, удовлетворяющую соотношению V / (d) = F (в), где F (л)—данная функция». 19.2.1897. «О теории аналитических функции Веперштрасса». 18.3.1898. «О периодических непрерывных дробях». 16.9.1898. «Об уравнениях, корпи которых вещественны». Несомненно, что содержание некоторых этих докладов включено в статьи Селиванова, опубликованные в 15-м томе «Математического сборника». И. Е. Делоне (1856—1931) Николай Борисович Делоне окончил Московский уни- верситет в 1879 г. В 1894 г. защитил в Новороссийском университете докторскую диссертацию «Передача вра- щения и механическое черчение кривых шаринрно-рычаж- иымн механизмами», затем состоял в 1898—1900 гг.
62 И. Я. ДЕПМАН профессором в Новоалександрпйском сельскохозяйствен- ном институте, Варшавском нс 1906 г. Киевском политех- нических институтах по кафедре механики. Этой пробле- ме Делоне посвятил также ряд статей. Он ознакомил зарубежных ученых с работами Чебышева по механизмам • в книге: N. Delaunay, Die Tschebyschefschen Arbei- ten in der Theorie der Gelenkmechanismen, Leipzig, 1900. Делоне был одним из пионеров планерного дела в России и сам построил в 1908 —1909 гг. несколько планеров — бипланов и написал книжку «Как построить дешевый и легкий планер и выучиться летать па нем» (Киев, 1910). В СПб. математическом обществе II. Б. Делове сделал следующие сообщения: 16.9.1891. «К теории осей вращения*. «Докладчик указал па следующее: 1) Удары, нормальные к пло- ской стенке тела, ограниченного с прочих стороп какою бы то ни было поверхностью, и имеющие одинаковую приведенную массу, пересекают плоскую стейку в точках, расположенных по эллипсу. 2) Соответственные этим ударам радиусы эллипсоида инерции, сопряженные с плоскостями удароа, лежат в некоторой плоскости А. 3) Соответстаепные тем же ударам винтовые оси лежат на ли- нейчатой поверхности S десятого порядка, образующие коей парал- лельны плоскости А и касательны к некоторому эллиптическому цилиндру С. 4) Поверхность S пересекается с цилиндром С по кривой пере- сечения этого цилиндра с поверхностью К третьего порядка, даю- щей в пересечениях с плоскостями, параллельными плоскости А, эллипсы — подобные, одинаково расположенные, проходящие через нормаль к плоскости А, проведенной через центр тяжести тела, в имеющие оси, направленные параллельно осям сечений теми же плоскостями цилиндра С*. 29.2.1892. «О движении твердого тела, определяемом интегра- лами С. В. Ковалевской» г). «Докладчик показал, что: 1) Интегралы Ковалевской могут быть представлены в виде 2р»-|-2924-г»=2соу-|-М', 2ру+2?у'4-гу' = 21, (/>*—9*+coY)*-H2/><7+coV')*=**. ________________ Y2+y'*+y'*=L *) Движение в случае С. В. Ковалевской и связанные с ним во- просы былп изучены Делоне в магистерской дпссертацип «Алгебраи- ческие интегралы движения тяжелого твердого тела около неподвиж- ной точки. Геометрическое исследование», СПб., 1892.
с.-петербургское математическое общество 63 2) В случае к = 0 уравнения подвижного годографа суть 4р»+г»=6Г, 6/' (?*+ 9*)*+8соО' (/'’+?’) -НФ*= Ф*. а неподвижный годограф лежит на поверхности вращения (около вертикали) 8-го порядка. 3) Когда пе только к=0, но и Ы'=4Р, подвижный годо- граф есть пересечение цилиндров кругового и эллиптического, а неподвижный годограф лежит на поверхности вращения 4-го иорядка. 4) Параллелепипед с ребрами 2а < 2 b < 2с, подвешенный, на- пример, с помощью шарпира Гука за точку, лежащую на спице, пропущенной через его центр параллельно ребру 2а, причем рас- / стояпие точки привеса от центра равно у —-— и между Ь и с существует зависимость с* = 36*, движется по законам Кова- левской. 5) Придав параллелепипеду такое положение, чтобы Ь и а были горизонтальны, и сообщив ему начальную скорость около вертикали, получим движение, указанное в положении 3-м. 6) Придав параллелепипеду определепиое начальное положе- ние и определенную начальную скорость, получим движение, ука за и ное в положении 2-м». 15.9.1892. Демонстрация нескольких моделей новых сочле- нений. 17.3.1893. «О повом эллипсографе . 17.4.1893. «О механизмах с рычагами, шариирами и проре- зами» !). 18.9.1893. «О сфероп ше и о черчении географических карт». «Соединяя инверсор Peaucellier с пантографом, можно полу- чить снаряд для черчения стереографических проекций кривых, начерченных на глобусе». «О новом способе механического черчения трохоид». «Если имеются два кривошипа, вращающихся около двух неподвижных центров с постоянным отношением угловых скоростей, то середина расстояния между концами этих кривошипов чертит трохоиду. Поэтому если соединить шариирами концы кривошипов с концами равностороннего пантографа, то средняя вершина пантографа опи- шет трохоиду». 21.1.1898. «О поверхностях, имеющих одну только сторону, и об особенных точках плоскпх кривых». *) Сообщения эти были опубликованы в работе «Sur quelques nouseaux mecanismes: projecteur, ellipsographe, ellipsoidographe et hyperbolographe». Bulletin des sciences mathematiques, 1895. Позднее (1902) в этом же журнале была напечатана статья Делоне «Sur les calculateurs cinematiques des fonctions elliptiques».
64 II. Я. ДЕПМАН А. А. Марков (1856—1922) Андрей Андреевич Марков сделал следующие сооб- щения: 15.2.1891. «О доказательстве Сильвестером трансцендентно- сти числа л». «В CXI томе Comptes Bendus (-V 23, 8 декабря 1890 г.) Силь- вестер, основываясь на формулах Ламберта длн числителя и зна- менателя приближений непрерывной дроби вида '(б)=е 1—б» 3-6» 5 — именно О 1— 6» 3-6» 5— где Лги=3-5-7 ... (2г— 1) X v Г 1 —2r~2i 6< (2г—4)(2г—6) XL 2 2r —1 2-3-4 (2с—1) (2с -3) [„ 6» 2г —4 Т 6-ПГ32^1+-]' старается доказать трансцендентность числа л, причем, пропустив, вероятно случайно, численный множитель у выражения Лг+1 (6), основывает свое доказательство на утверждении, что высшпй пре- дел модуля отношения ПРИ достаточно большом г зависит от 0,, между тем совершенно ясно, что в этом случае отношение может быть сделано более венкой данной величины». 16.11.1891 «О разыска.... рациональных решений дифферен- циальных уравнений».
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО G5 17.1.1892. Л. А. Марков в дополнение к своему сообщению, сделанному на предыдущем заседании, указал па то, что сказанное им относительно спосоиа Лиувилля, именно, что при употребле- нии способа Лиувилля не требуется вовсе решении уравнений, высказано самим автором в его статье, помешенной в 22-и тетради Journal de ГЙсо1е Poly technique на 175 и странице. 15.2.1892. А. А. "Марков вывел соотношение между двумя последовательными коэффициентами и ряда у= V Hii!,/’(a4-2i, P4-2i, y+ i, e + 2i, x), (1) V удовлетворяющего дифференциальному уравнению вида х*(1 — ж») х(1— х) у" + (cx*-\-dx+e)y'-±(fx-i-g) у = 0, которому в частном случае удовлетворяет произведение двух ин- тегралов уравнения, определяющего гипергеометрвческпи ряд. Функция F в выражении (1) выражается следующим образом: . 4 . Xpv . х(>-4-1)и(н4-1)v(v4-t) Р, V, t, о, ж)-14-! £ох4- ь2.£ (£+1)о(о+1) *+• • 13.11.1892. «Случаи, когда интеграл вида С xdx J (х34-77) | хя — 1 выражается в логарифмах». П. X. К а д и к (1857—1923) 25 апреля 1894 г. в члены Общества был принят по предложению П. А. Шиффа и Д. Ф. Селиванова Петр Христофорович Кадик, сделавший до этого в обществе два сообщения о кватернионах (24.2.1891 и 21.3.1894). Сооб- щения эти напечатаны как приложение к журналу «Научное обозрение» под заглавием «Протоколы заседаний С.-Петер- бургского математического общества 1893—1894 гг. О зна- чениях знаков: =, —, 4-, Т, U, К, S, V в теории ква- тернионов» (23 страницы и 2 листа чертежей). Пз биографического словаря1) мы узнаем, что Кадик — сын латвийского крестьянина, окончил Дерптский универ- ситет в 1882 г. Весной 1884 г. он был оставлен мпнпстер- *) «Биографический словарь профессоров преподавателей им- ператорского Юрьевского, бывшего Дерптского, университета за сто лет его существования (1802—1902), под редакцией проф. Г. В. Левицкого» (т. 1, 1902, стр. 180—181). 5 Истор.-матем. исслед., вып. Х1П
fit; И. Я. ДЕНМАН ством при Дерптском университете на один год для при- готовления к профессорскому званию и командирован для научных занятий в Петербургский университет. По защите в Дерите диссертации «Theorie der sechsstelligen Charak- teristiken» Кадик был удостоен степени магистра чистой математики. В 1886—1891 гг. оп состоял преподавателем математики в Томском Алексеевском реальном училище, а с осени 1891 г. перемещен преподавателем математики в училище при евангелическо-лютеранской церкви в Петер- бург. С ноября 1892 г. до сентября 1891 г. был приват- доцентом Юрьевского университета но кафедре чистой математики, ио в сентябре 1894 г. был переведен препода- вателем математики в Красноярскую губернскую гимна- зию. Тем самым царское правительство надолго оторвало Кадика от научных центров и от научной работы. В архивном деле Министерства народного просвещения имеется отзыв, по-видимому одного из дерптскнх профес- соров, о диссертации П. X. Кадика. «Диссертация «Theorie der sechsstelligen Charakteristiken», Dorpat, 1885, посвя- щена существенной части теории тета-функций, имеппо рассматривает зту теорию чистыми методами теории чисел, применяя широко теорию групп. Автор указывает на возможность применить его изложение без труда к п-знач- ным характеристикам, что приводит легко к изложению теории гиперэллиитпческих функций второго порядка. Автор пе излагает теории Геиеля, так как она была нзло-, жена в другой диссертации, ио применяет ее без обосно- вания и дает таблицы преобразований. В последней главе излагается вытекающий из теории групп метод, приводя- щий чисто теоретико-числовыми средствами к системе уравнений, идентичной той, которая получается из ри- мановой тета-формулы; из этой системы автор получает теоремы сложения тета-функций. В диссертации излагают- ся основы теории групп. Использованы труды Фробениу- са, Жордана, Нетера, Вебера, Римана, Прима и др.». Оппонентами при защите диссертации выступали про- фессора Гельмлппг, Вейраух и Молин. Впоследствии П. X. Кадик (в 1918—1919 гг.) работал в Петрограде в Главной палате мер и весов, затем в Лат- вийском университете и умер в 1923 г. в Риге.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 67 М. М. Ф и л и п п о в (1858—1903) Весьма замечательной фигурой является члеп СПб. математического общества Михаил Михайлович Филиппов. Получив образование на юридическом факультете Петербургского, физико-математическом — Новороссий- ского (Одесского) и философском- Гейдельбергского университетов. Филиппов в последнем защитил диссертацию «Об инвариантах ли- нейных дифференциальных урав- нений» у профессора Лео Кеппгс- бергера в 1892 г. С 1881 г. Фи- липпов работал в разных про- грессивных русских журналах («День», «Дело», «Северный курь- ер», «Русское богатство»), а в 1894 г. основал свой научно-фи- лософский журнал «Научное обо- зрение» в Петербурге, в котором сотрудничали В. И. Ленин, Г. В. Плеханов, А. В. Луначар- ский, Вера Засулич, М. М. Кова- левский, Д. И. Менделеев1), В. А. Стеклов, В. М. Бехтерев, М. М. Филиппов (1858—1903). А. С. Трачевскнй и ряд других прогрессивных ученых. В. А. Стеклов поместил в журнале ряд статей, частью подписанных инициалами В. С. Ряд математических статей в журнале принадлежит нору М. М. Филиппова, в том числе серия статей в 5 номерах журнала за 1894 г. под общим заглавием «Пространство Лобачевского и много- мерное пространство». Ути статьи, как и некоторые *) В предисловии к первому изданию своих «Заветных мыслей» (1903) Д. И. Менделеев пишет: «Писать начал для журнала покой- ного друга М. М. Филиппова п в майской книжке «Научного обо- зрения» (1903) напечатал уже вступление. Но скопчиною уважаемого редактора выход книжек журнала остановился, и я решился издать свои «Заветные мысли* в ряде отдельных брошюр. 21. IX. 1903». Д. II. М е и д е л е е в, Сочинения т. XXIV, Изд. АН СССР, 1954, стр. 252. 5
68 II. Я. ДЕПМАН другие, ие вошли в «Указатель литературы по геометрии Лобачевского и развитию ее идей» В. М. Герасимовой (М., 1952). Обширное дело о М. М. Филиппове в архиве департа- мента полиции следующим образом характеризует журнал «Научное обозрение»: «Редактируемый Филипповым журнал представляет собою орган так называемых марксистов... Сначала, из опасения закрытия, революционность журнала была очень робкой, п редакция заботилась о том, чтобы изобилие статей по социализму не бросалось в глаза. За последнее время, несмотря на научность, журнал принял более резкое и определенное направление, за что и удостоился сочувственного адреса от рабочих, чем Филиппов, по име- ющимся сведениям, очень гордится». М. М. Филиппову было предъявлено обвинение в при- надлежности к трем «крамольным» организациям: «Союзу борьбы за освобождение рабочего класса», редакционной группе «Рабочей социал-демократической библиотеки» и «Рабочему знамени», и он в 1901 г. был выслан из Петер- бурга с воспрещением жительства в столицах, университет- ских городах и фабрично-заводских районах. Впрочем, в конце 1902 г. Филиппову удалось вернуться в Петер- бург. Напряженная литературная и научная деятельность Филиппова прервалась неожиданно. В Гейдельберге под руководством известного химика Мейера он специально изучал взрывчатые вещества, продолжая заниматься ими и впоследствии. 13 июля 1903 г. он напечатал в«Русскпх ведомостях» письмо об открытии нм способа передачи взрыва на расстояние тысячи километров, обещая осенью опубликовать подробности о своем открытии в мемуарах Академии наук. В письме указывается на применение весьма взрывчатых и частью крайне ядовитых веществ (треххлористый азот). На следующий день после опубликования ппсьма Филиппов был найден мертвым в своей лаборатории, а через несколько часов после катастрофы жандармы увезли в департамент полиции все приборы, бумаги и мате- иалы, оставшпеся от покойного.
С.-ПЕТЕРБУ РГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 69 Математические работы М. М. Филиппова, кроме «Научного обозрения», печатались в «Journal de inathema- tiqueelementaire», «Zeitschrift fur Mathematik und Physik», ♦ L'lntennediaire des niathematiciens» и др. В последнем (1894, стр. 149) М. М. Филиппов указывает, что аналити- чески решил вопрос: из свойств мнимой сферы x2-|-i/2 +z2 = = — 1 вывести геометрию псевдосферы и условия, при которых псевдосфера будет поверхностью действительной или мнимой, и предлагает вывести эти условия геометри- чески. Некоторые дополнительные разъяснения он дает в Л: 5 математического отдела «Научного обозрения». В этом же математическом отделе журнала М. М. Филип- пов поместил свой перевод «Общих исследований о кривых поверхностях» К. Ф. Гаусса; там же печатались протоколы заседаний СПб. математического общества. В биографи- ческой серии Павленкова М. М. Филипповым написан ряд биографий, в том чпсле Ньютона, Паскаля, Леонардо да Винчи, Канта. В СПб. математическом обществе М. М. Филиппов сделал сообщения: 29.10.1894. «О спстеме дифференциальных линейных уравнений в связи с вопросами кинематики». 17.12.1891. «Об арифметическом дифференцировании*. 25.2.1895. «Об одной формуле общего дифференцирования». Эти сообщения в значительной части воспроизводят вышедшие отдельными изданиями па французском языке работы М. М. Фи- липпова (Stir les invariants des equations differentielles lineaires, 1892; Simplification du calcul algebrique, 1887), из которых части были изданы позднее и па русском языке. П. В. Мещерски й (1859—1935) Иван Всеволодовпч Мещерский, автор классических исследований но механике тел переменной массы ’), сде- лал в Обществе следующие сообщения: 15.1.1893. «К задаче п тел». «Содержание доклада. Природа и обыденная жизнь представ- ляют нам такие случаи движения, в которых массы движущихся 9 См. Я. Л. Г е р о и и м у с. Очерки о работах корифеев рус- ской механики, М., 1952, стр. 450—460.
70 И. Я. ДЕПМАН тел изменяются с течением времени; поэтому рассмотрение движении тез с изменяющимися массами должно иметь место в теоретической механике. Принципы возможных перемещении д’Аламбера, Гаусса со- храняют свое значение и в этом случае, но другие принципы, вообще говоря, пе имеют места; дифференциальные уравнения движения получают такой вид, как будто бы массы были постоянны. Простей- ший случай представляется тогда, когда массы точек системы изме- няются по одному и тому же закону т1=А-;/(/) (fci = const). В этом случае задача о движении л точек, взаимно притягиваю- щихся или отталкивающихся, допускает шесть интегралов центра инерции и три интеграла, аналогичных интегралам площадей. Теорем а. Задача о движении системы точек, массы которых изменяются ио закону mi = ki (a-|-az)—в~3 (л, a=const), при действии сил притягательных или отталкивательных,пропор- циональных массам и 3-п степени расстояния, приводится к задаче о движении сист мы точек с постоянными массами при депствип тех же сил. Следствия, вытекающие из этой теоремы для случая трех и двух тел, взаимно притягивающихся по закону Ньютона. У ка- занный прп этом случай задачи двух тел есть частный случай задачи Гильдеиа (Astr. \achr., 2593), замечательный тем, что (опускает точное решение*. 24.9.1894. «Задача о движении системы точек при дейитвпп сил, обратно пропорциональных кубу расстояния, и центральных сил, пропорциональных расстоянию*. «Имеем систему, к точкам которой приложены силы взаимодей- ствия, обратно пропорциональные кубу расстояния, и затем силы, исходящие из неподвижного центра,— одни обратно пропорцио- нальные кубу расстоянии, другие—пропорциональные рас- стоянию. Задача о движении этой системы приводится к задаче более простои, в которой на точки системы действуют только вышеука- занные силы, обратно пропорциональные кубу расстояния. Это приведение будет сделало, если в дифференциальные jрав- нения движения вместо декартовых координат ц точек системы и времени I введем новые переменные: и т, полагая *i = --. dt = . , , (1) ] ат»4-2йт4-с ат»4-2йт+с где а, Ь, с суть постоянные, связаппые уравнением ас—Ь*=к, (2) если к обозначает пропорциональное расстоянию притяжение цент- ром единицы массы па единице расстояния.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 71 Задача о движении по прямой трех точек, которые притя- гиваются между собою силами, обратно пропорциональными кубу расстояния, и к неподвижному центру па прямой сидами, пропор- циональными расстоянию, приводится с помощью преобразования (1) к пзвестиой задаче Якоби (Jacobi. Ges. AVerke, Rd. IV, стр. 533— 539) и, следовательно, решается в квадратурах». 19.11.1891. «Заметка по поводу статьи профессора Аппеля относительно задачи о движении системы точек при действии сил, обратно пропорциональных кубу расстояния, и центральных сил, пропорциональных расстоянию». 14.3.1896. «Заметка об аналитических силах». ♦В заметке пзлагается: во 1-х, последовательное развитие того приема для составления интегрирующихся в квадратурах систем канонических уравнении, который основан на применении функций от комплексных количеств; во 2-х, связь этого приема с динамикой». Развитие это докладчик начинает с Имшенецкого. «1. Первая статья В. Г. Имшенецкого, посвященная рассмат- риваемому вопросу, «Интегрированно одной системы уравнений» появилась в 1876 г. в А III томе Матем. сборника; прием, указанный в этой статье для случая системы из четырех уравнений, несколько обобщеп уже в следующей статье Пмшепецкого, напечатанной в том же 1876 г. в «Bulletin ИагЬонх», t. XI, и затем распространен на случай 4п уравнений в статье Имшенецкого, которая появилась в 1878 г. в «Alemoires de la Societe des Sciences de Liege». Дальнейшее развитие прием Имшенецкого получил в двух ста- тьях проф. П. Л. Некрасова: «О совместных канонических днф. уравнениях...» и «К статье о с вместпых канонических диф. ур...». Статьп этп помещены в ХАШ томе Математического сборни- ка (1896 г.). 2. В 1885 г. в «Journal de ГЕс. Polyt.» появилась статья «Sur les forces analytiques» M. Lecomu; здесь в первых пяти теоремах излагаются свойства «аналитических сил», т. е. сил, действ>ющих в одной плоскости, проекции которых А и У удовлетворяют условию Х-ЬУ)'^Т = /(х+з/) =1), а в остальных тринадцати теоремах — свойства движения точки при действии аналитических сил. Легко показать, что диффер. уравнения точки при действии ана- литической силы представляют частный случай той системы урав- нений, которой .занимается Имшепецкнй в первой п.з упомяну- тых статей 1876 года в А III томе Мат. сб.: они получаются нз этой системы, если принять две из переменных; х и у за коорди- наты точки, а две другие: д и р за проекции ее скорости и поло- жить ф(г) = г. Аналитические силы, за псключеппем единственного случая Х = о-|-/и, У = Ь-{-А-у, гДе а, Ь, к — постоянные, пе имеют потенциала; после статьи М. Lecomu они встречаются в одном ил упражнений сборника задач Saint-Geimain.
72 И. Я. ДЕЛMAH Прием Пмшенецкого, если две из его переменных принимать за координаты точки, а две другие за проекции ее скорости, может привести только к случаю сил аналитических; по в этом обобщенном виде, в каком этот прием представлен ироф. Некрасовым, ои может дать диффер. уравпеиия движения при действии и иных сил, имею- щих потенциал. Важное значение рассматриваемого приема в динамике сде- лается несомненным только тогда, когда он приведет к уравнениям, до сих пор не проинтегрированным, если притом эти уравнения встре- чаются при решении задач о движении при действии таких сил, которые допускаются как причины дипжеппй, происходящих в природе». И. II. Иванов (1862-1939) Иван Иванович Иванов происходил из бедной семьи, которая могла дать ему только начальное образование. С 14-летиего возраста, учеником уездного училища в Петер- бурге, он жил уже на собственные средства, добывавшиеся уроками. Поступив потом в Петербургский учительский институт, готовиппгий учителей для высших начальных училищ (соответствующих низшим классам теперешних средних школ), И. И. Иванов по окончании его не имел права поступления в университет. Преподаватель мате- матики в Институте, известный методист В. А. Латышев (1850—1912) советовал своему талантливому ученику само- стоятельно подготовиться к экзамену на аттестат зрелости п познакомил его с К. А. Поссе, который всячески под- держивал стремление Иванова к высшему образовании). В 1881 г., еще учеником Учительского института, Иванов напечатал ряд статей в математическом отделе журнала ♦Семья н школа», издававшемся кружком передовых педа- гогов во главе с известным физиком К. Д. Краевичем. В статье ♦Один из приемов суммирования одинаковых целых степеней чисел натурального ряда» (Л" 4—5, 1881, стр. 298 и след.) Иванов применяет теорему Буняковского к данному типу рядов н получает результаты, не пользу- ясь методом математической индукции. В 1883 г. в том же журнале (Л» 7, стр. 149 и след.) Иванов изложил по Абелю теорию биномиального ряда. Статья ♦Повое доказатель- ство теоремы Безу» того же года имеет подпись: ♦ученик С.-Петербургского учительского института И. Иванов».
С.-ПЕТЕРБ* РГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 73 В 1884 г. И. И. Иванов поступил вольнослушателем в Петербургски!! университет. Это потребовало особого ходатайства, подписанного, между прочим, П. Л. Чебы- шевым *). В два года И. И. Иванов, 24 лет от роду, блестяще окон- чил университет и был оставлен для подготовки к профес- сорскому званию. В 1891 г. он защищает диссертацию на степень магистра и в 1902 г. дис- сертации) на степень доктора чистой математики. С 1891 г. Иванов состоял при- ват-доцентом университета, с 1902 г., с самого основания Пе- тербургского политехнического института, — его профессором, с 1912 г.—профессором универси- тета; кроме того, он был долгие годы профессором В7КК. В университете с 90-х годов Иванов читал курс теории чисел н приложений дифференциаль- ного исчисления к геометрии; став профессором, он после смер- ти И. Л. Пташицкого читал еще курс аналитической геометрии, передав курс приложении диф- ференциального исчисления к геометрии А. А. Адамову, другому профессору Политехнического института. В 1924 г. Иванов был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР. Кроме того, он был удостоен почет- ного звания заслуженного деятеля науки н техники. Широко известны были в первые десятилетня руковод- ства II. П. Иванова по дифференциальному исчислению и многократно литографически издававшийся курс ана- лиза. Под редакцией II. II. Иванова были изданы переводы кУрса аналитической геометрии Салмона (1908) и триго- нометрии Серре (1902); обе книги изданы в Петербурге. *) См. П. Л. Чебышев, Полное собрание сочинений, т- V, стр. 301—302.
74 II. Я. ДЕПМА11 Научная работа Иванова относится к теории чисел н отчасти к анализу. Наиболее значительными являются обе его диссертации• Первая из них «Целые комплексные числа» (СПб., 1891) дает изложение основ теории алгебра- ических чисел. В ней, а также в статье «К теории делимо- сти целых комплексных чисел» (Приложение к запискам Академии наук, т. 72, Л; 9, 1893) была доказана эквива- лентность двух различных теорий делимости — Золотарева и Дедекинда. В докторской диссертации «О некоторых вопросах, на- ходящихся в связи со счетом простых чисел» (СПб., 1902) ясно и систематически изложены исследования по теории простых чисел Эйлера, Лежеп-Дирихле, Чебышева, Мер- тенса и др. Некоторые результаты принадлежат самому автору диссертации. Автор не включил, однако, в свое из- ложение метод Римана и теорему о распределении про- Г стых чисел, полученных Адамаром и Валле-Пуссеном. Одно из интересных открытий Иванова, содержащихся в этой диссертации (впервые оно было опубликовано в 1895 г.), состоит в обобщении результата, который акад. А. А. Марков восстановил по обрывку, найденному в бу- магах Чебышева. Согласно Чебышеву, если Ph есть наи- больший простой множитель числа вида (12-|-1) (22+1)... р. ...(х2Ч-1), то — —>оо при х—> оо. Иванов получил ана- логичный результат для более общего произведения (12-]-Л)(224-А)... (аг24-А), где Л — любое данное целое число. Дальнейшие оригинальные работы Иванова печатались почти исключительно в изданиях Политехнического инсти- тута и в трудах Ленинградского индустриального института. Об одном числовом тождестве. Пзв. Петрогр. политехнического института, 1919, XXXIII, Отд. техники, естествознания н матема- тики. стр. 181 —183. К теории квадратичных и пеквадратпчных вычетов по давнему простому модулю. Там же, XXVIII, 185—189. С lg (1—*n) dx О вычислении определенного интеграла У 1 . Пзв. Леппнгр. политехнического института им. М. И. Калинина, 1927, XXX, стр. 97—103.
С.-ИЕТЕРБЬ РГСКОЕ M XTEM АТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 75 О неравенстве двух интегралов. Там же, XXX, стр. 104—106. Об обобщении одного тождества В. Я. Вупяковского. Там же, 1929, XXII, стр. 5—9. Об интегрировании некоторых трансцендентных функции. Там же, 1931. XXXIII, стр. 9—21. О двух дифференциальных уравнениях. Труды Ленппгр. инду- стриального института, 1938, № 5, стр. 24—27. О некоторых суммах, зависящих от простых чисел. Там же, 1939, № 3, стр. 43—49. Рапнне работы Иванова печатались в ряде других изданий. Так, в «Записках физико-математического общества студентов С.-Пе- тербургского университета» (3 выпуска, 1881—1887, под редакцией студентов С. Е. Савича и Л. С. Домогарова) помещены статьи: ♦Суммирование трех рядов Эйлера» (в I томе), «Представление про- стых чисел в форме жа-|- li/2», «Вывод двух формул Якоби» и «Не- которые предложения о простых числах» (во II томе). В Сообще- ниях Харьковского математического общества (серия 2, т. I, 1889) появилась статья И. И. Иванова «Об интегрировании двух про- изведений». Интересна судьба одной теоремы, доказанной И. И. Ивановым и носящей его имя. В журнале «L’lntermediaire des matheinaticiens» (т. I, 1894, стр. 10) III. Брнсс (Ch. Brisse) предложил доказать теорему: «Если целый поли- ном от х при подстановке вместо х любого целого числа всегда дает полный квадрат, то можно ли доказать, что этот полипом есть квадрат некоторого другого целого полинома от х. Тот же вопрос относительно степени выше второй». В том же году журнал поместил доказательство И. И. Иванова этой теоремы. Доказательство проведено элементарными средствами. В следующем году в том же журнале было опубликовало другое элементарное доказа- тельство, даппоеЖ.Франелем(J. Franel, L’ Iiiterniediai- re, 11,1895, стр. 94). В журнале «Archiv der Mathematik und Physik» (серия III, т. 19, стр. 361, 1912) вновь был предложен тот же вопрос, и В. Грош (W. Grosch) дал ре- шение, пользующееся более сложным аппаратом (т. 21, стр. 3G8 и еще т. 25, стр. 86). Наконец, в 1949 г. в жур- нале «The American Mathematical Monthly» (стр. 338) П. Бейтмен (Р. Т. Bateman, Institute for Advanced Study) вновь поставил старый вопрос, на который по- следовал ответ В. Фукса (Cornell University). Фукс пользуется средствами более сложными, чем употреблял И- И. Иванов.
76 II. Я. ДЕНМАН Доказательство теоремы II. II. Иванова представляют вопросы 114 п 190 второго тома из известного сборника Г. II о л н а н Г. С е г е, «Задачи н теоремы нз анализа», ОНТИ, 1938 и последующие издания. Авторы не знали, однако, что первое доказательство теоремы принадле- жит И. II. Иванову. Деятельность И. И. Иванова в Петербургском мате- матическом обществе выразилась в следующих сообще- ниях: 15.12.1890 г. «О некоторых суммах, зависящих от простых чи- сел». Библиографические замечания сделал Г. Ф. Вороиой. Содержа- ние доклада и замечаний в протоколах по зафиксировано. 15.9.1892 г. И. II. Иванов выступил с дополнением к докладу П. А. Шиффа о теореме Ролля и ее связи с теоремой В. Л. Маркова. И. И. Иванов дал свое доказательство теоремы В. Л. Маркова, которое сводится к следующему. «Пусть корни алгебраического уравнения /(х) = 0 (1) отделяются корпямп от уравнения F(r)=0, (2) причем все корни предполагаются вещественными и показатель степени уравнения (1) равен плп на единицу менее показателя сте- пени уравнения (2). Пусть, далее, корни уравнения (2) будут *1. *г....Хп- Имеем: /м= V /(**) * +я, (3) 1 где А — число Принимая постоянное. во внимание вышесказанпое о корпях и теорему Ролля, легко убеждаемся, что все коэффициенты 1^—-: имеют оди- •' \xk) паковый знак. Взяв производные по х от обепх частей равенства (3), находим: f'(x)F(x)— f(x)F'(x)_ xi /(х*) 1 [F(r)p F'(xh)'(х-хкр ' Обозначим два смежных корпя уравиеппя F' (х) = 0 через у,п и и подставим последовательно эти значсипя вместо х в ра-
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 77 венство (4); тогда увпдпм, что /' (у,п) и /' (ymu) будут иметь раз- ные знаки, что и доказывает теорему. 15.1.1894 г. II. II Иванов показал, как вычисляется интеграл г dx jZ(*-cos Д ) z-cos x-cos (2m^- ) Полагай —К’+т)- получаем: „ С ____________________(у*-1)<*у__________________. /1 — \ Jtl~ - — ' — ~ > У I (у*-2у cos^+1).. .(у»-2у cos (2w^t-) Я +1) НО (у*-2у cos ^4-1) ... ( у»-2у cos ) =Уа'п+1, поэтому в= (—ydy- - ( -d-y . . J ,^«'"4-1 J у / у’"1 + 1 Каждый из этих интегралов берется в конечном виде». Указанный интеграл был предметом занятий студен- ческого математического кружка при Петербургском уни- верситете в годы студенчества пишущего настоящий обзор. Болес изящные способы нахождения этого интеграла дали Я. В. Успенский и II. А. Булгаков. 14.1 1895 г. II И Иванов па заседании общества, посвященном памяти П. Л. Чебышева, сделал сообщение о постулате Бертрана, содержание которого в протоколах пе отражено, равно как и не изложено содержание сообщении 28.10.1898 г. «Об одном следствии теоремы Ролля» п «О вычислении предела одного отношения». Д. А. Граве (1863—1939) Дмитрий Александрович Граве сделал наибольшее чис- ло (20) сообщений в Обществе. Жизни и творчеству Д. А. Граве (впоследствии — ака- демика Украинской Академии наук и почетного члена
78 И. Я. ДЕПМАН Академии нал к СССР) посвящено столько работ, что здесь пет надобности давать обзор его деятельности. Ограничимся перечислением сообщении, сделанных Д. А. Граве в СПб. математическом обществе до 1899 г., до переезда Граве в Харьковский университет. 16.9.1891. «К пптегрцроваппю системы дифференциальных уравнений линейных в частных производных высших порядков». «Если дапа система уравнений вида Ан (“1)4-Лц (“«) + • 4*Ain (un) = 0i А 21 («1)4~Л22 (“») + • • • + ^211 (“п) = б, А,и ("1)+Дп»(м2)+ • • 4~Лпп (un) = 0, где Д0(И) = У А d^u dxf dx%__dx^ причем A — постоянные, то, обозначая символом D следующую операцию: П(н) = АцА1а ... Aiu А21А22 • А1п (“) %iiAna ... Дпп и имел в виду, что операции А имеют свойство переместпмостп, т. е. что AffcAim (и) = AimAjh (и), легко убедиться, что система (1) приводится к уравнениям следующего вида: £>(u,)=0, D(uz)=O......... £>(ип)=0». 15.10.1891 (продолжение). «Докладчик, напомнив собранию способ исключения неизвестных функций из уравнений, изложен- ный им в предыду нем заседании, показал, как, пользуясь интег- ралом Фурье, освободиться от членов, стоящих во вторых частях уравнений Ан (“i)-f*Ai2 (uf)+ ... +Ain (ып) = Л,, Аг1 (“i) + A22 (««)+••. 4-Дгп (“п) = -Аг« ц) АП1(и1)+ЛП2(“г)+ • • +Апп’(ип) = Л'„, где dxi dx% ... dxh
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 79 причем вопрос об интегрировании системы (1) приводится к интег- рированию уравнения D (а) = О, где 1>(а)= ЛцЛц • • А1п Д21А22 — Aln (а). АП1АП1 • • • Апп Далее, показав, каким образом интеграл составляется из частных интегралов, докладчик обратил внимание собрания иа интегрирование уравнений вихревого движения, именно: dF dJV _ dz dy *’ (2) dx dz dU dV dy dx a' Так как символ D в этом случае обращается тождественно в нуль, то функции A'n Л'г и А3 должны находиться между собою в некоторой зависимости, именно, необходимо, чтобы дх * ду ' dz в этом случае функции Г, V и И из уравнении (2) все не опре- деляются (одна из них остается ироишольной)». Дальнейшие сообщения Д. А. Граве в Обществе: 18.9.1893. «О черчении географических карт». 25.4.1894. «Об ортогональных траекториях». 24.9.1894. «Об одном вопросе Чебышева». 14.1.1895. «О задаче Дирихле». 25.9.1895. «Об одной эллиптической функции». Замечание Д. Л. Граве к последнему сообщепию: «При изучении Чебышевской проекции 1), дающей изображе- ние с подобием в бесконечно малых частях внутренней части четырехугольника, образованного двумя меридианами и двумя параллелями иа шаре, л встретился с необходимостью рассмотреть *) Е i s е и 1 о h г, Cber die Flachenabbildung, Journal von Crelle, LXXII, 1870.
80 II. Я. ДЕПМАН свойства следующей эллиптической функции- , , snxdnx <о(х) =-------- . ' ' сп х Свойства этои функции аналогичны свойствам тригонометри- ческой функции tgx. Обозначай через 4А', 2K'i периоды функции sn х, мы получаем следующие соотношении: 1) 2) sn2x 01(О)П1(2х) 14-cn2z — Пх (0) 0 (2аг) Н-6 (0) П, (2г) (о(х+Л-)=------J- ; ' 1 2 * * ' <о (аг) 3) ю(х + ЛГ1)= ; ' ' 1 ' со(х) ’ ,, / , К \ du 2x-|-A"sn 2х 4) <о ( х-]—г- ) =----Ц5------; \ 1 7 сп 2х 5) ш = *sn 2x-J-idn 2х. Последние два соотиошепия показывают, что модуль функции <о(г4-1д) равен единице для всех точек прямых х=~+пК, у=^+гпК', где пит произвольные целые числа». 25.9.1895. «О задачах, предложенных в журнале «L’lnlerme- diaiie des inatlii-maticiens». 18.12.1896. *06 уравнении х=ах»’). 19.3.1897. «Об интегрировании уравнений гидродинамики в слу- чае установившегося движения». 23.4.1897. «О работах Карла Стермера: а) Решение в целых числах уравнения . 1 । . 1 . .1 л m arctg— -J-narctg — -j-parctg — = у . б) Некоторые теоремы, касающиеся уравнения Петля ха—Dya= ± 1». * ’) Обозначения литографпроваппого курса Эрмпта. 2) По поводу этого сообщения член общества Василий Федоро- вич Гартц показал вывод рядов для вычисления Xs = у и ах = у. В. Ф. Гартц изложил эти выводы позднее в брошюре «Новые ряды в математическом анализе» (СПб., 1910). Некоторое время Гартц был преподавателем Коммерческого училища в Петербурге.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 81 24.9.1897. «Об одной теореме теории функций двух веществен пых переменных». 22.4.1898. «К теории функций двух вещественных переменных». 16.9.1898. «Об особенных линиях, состоящих из прямоли- нейных частей». 28.10.18J8. «Продолжение пр-дыдущего сообщения и демонстри- рование чертеже! ». 18.11.1898. «О работе Гульдберга о дифференциальном урав- нении Pdx+Qdy-±fidt=Ot. 16.12.1898. «Об одном вопросе Чебышева». 17.3.1899. а) «Об одном свойстве катания плоскости по шару», б) «О неявных функциях». И. А. Клейбер (18G3-1892) Астроном Иосиф Андреевич Клейбер окончил Петер- бургский университет в 1884 г., защитил магистерскую диссертацию «О сглаживании наблюдений» (Казань, 1889). Статьи Клейбера по приложениям теории вероятностей и некоторым другим вопросам печатались в журналах Академии наук, Вестнике опытной физики и элементарной математики и других изданиях. Он читал курс теории веро- ятностен для студентов юридического факультета, не- видимому единственный случай чтения такого курса в Петербургском университете (в Московском университете такой курс читал профессор А. К. Власов). В Обществе И. А. Клейбер сделал два сообщения: 15.2.1891. «Об одном честном случае задачи о трех телах». «Гаусс высказал мысль, что для определения вековых возму- щении в движении какой-ппбудь планеты под влиянием притяже- ния, оказываемого па нее другой планетой, можно заменить возму- щающую планету эллиптическим кольцом, распределяя массу притягивающей планеты вдоль ее орбиты пропорционально времени, употребляемому планетой на прохождение каждого элемента. Однако ппкто не пробовал применить этот принцип к действитель- ному вычислению вековых возмущений. Если во!мушающая планета описывает круговую орбиту, то ее может заменить равномерное круговое кольцо, притяжение которого имеет характер центральной епды. Таким образом может быть най- дено в конечной форме, в квадратурах, уравнение промежуточной орбиты тела весьма малой массы движущегося под влиянием двух тел произвольных масс, оиисывающнх около общего центра тяжести 6 Истор.-матем. веслед., вып. XIII
82 И. Я. ДЕНМ vll окружности кругов, если взятое тело движется в плоскости этих кругов. Притяжение кругового кольца радиуса Я на внутреннюю точку, отстоящую па расстояние г от центра кольца, есть г___________________ ___(1 )* t р_к» лЯ» 2А'(1 —А') АК)’ U) где т — масса кольца. Е и К — эллиптические интегралы, модуль которых к н дополнительный модуль к' зависят от отношения г : R, а именно: к' R — r Л4-г- Вековые возмущения в движении массы М сводятся к переме- щению линии апсид. Для этого перемещения нз написанной формулы получается следующее выражение: 4»=mkL£[4(1+Jr)_Jf], (2) верное, если орбита М близка к кругу. Прилагая эту формулу к определению перемещения перигелия Земли под влиянием Марса, Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна, получены числа весьма близкие во всех случаях, кроме Сатурна, к тем, которые найдены Неверье обыкновенным разложением пертурбационной функции в ряд, а именно перемещение перигелия Земли под влиянием: По формуле (2) По Leverrler Марса.................. О',0187 О',0189 Юпитера................ 0,1182 0,1166 Сатурна..............". 0,0055 0,0031 Урана.................. 0,000098 0.0О009 Нептуна................ 0,000042 0,00004». 16.3.1891. «О некоторых интегралах от полных эллиптических интегралов». 15.2.18У2 г. Общество почтило вставанием намять скон- чавшихся его членов Иосифа Андреевича К л ей бе р а п Николая Владимировича Мане в с к о г о (1823— 1892), крупнейшего специалиста по баллистике. Членами Общества состояли и два других известных русских ученых артиллериста Николаи Александрович 3 а б у д с к и й (1853—1917) и академик Аксель Виль- гельмович Г а д о л п п (1828—1892).
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 83 Г. В. Колосов (18G7—193В) Гурий Васильевич Колосов, уроженец Новгородской губернии, окончил в 1885 г. с золотой медалью гимназию Ф. Ф. Бычкова в Петербурге, а в 1889 г. Петербургский университет с дипломом 1-й степени, получив во время занятий в университете золотую медаль за работу «О кру- чении призм» па тему, предло- женную Д. К. Бобылевым. Остав- ленный последним нрп универ- ситете, Колосов в 1893/94 учеб- ном году сдает магистерские экзамены и назначается храните- лем кабинета механики родного университета. До этого он пре- подавал в средних школах, а с 1894 г. в высших технических учебных заведениях, руководя практическими занятиями но ме- ханике в Институте инженеров путей сообщения, Институте гражданских инженеров и на архитектурном отделении Акаде- мии художеств. В мерном из названных институтов Колосов в 1895/96 учебном году читал Г. В. Колосов (1867—1936). курс аналитической ме- ханики. Осенью 1902 г. Колосов был назначен приват-доцентом Юрьевского (Тартуского) университета по кафедре при- кладной математики, освободившейся после ухода из университета профессора Адольфа Кнезера (1862—1930), занимавшего эту кафедру в течение 10 лет. Ввиду не- которых формальных причин окончательное назна- чение Г. В. Колосова в Юрьеп состоялось только 31 ян- варя 1903 г.1). ’) О возникших затруднениях рассказывает ученик Колосова, профессор механики Тартуского университета Г. Ряго, в очерке ♦Из жизни и деятельности четырех замечательных математиков Тартуского университета». Ученые записки Тартуского универси- тета, вып. 37, Таллин, 1955. . 6*
84 И. Я. ДЕПМАН После защиты в Петербургском университете диссер- тации на степепь магистра прикладной математики (*О не- которых видоизменениях начала Гамильтона в примене- нии к решению вопросов механики твердого тела») Коло- сов назначается в том же 1903 году экстраординарным профессором Юрьевского университета. В ноябре 1910 г. он защищает в Петербургском университете диссертацию «Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости» (Юрьев, 1909, последнее издание 1935 г.) и в марте 1911 г. утверждается в звании ординарного про- фессора по занимаемой им кафедре. Из очерка профессора Г. Гяго, опирающегося па беседы с Колосовым, равно как на основании рассказов близкого друга Колосова за последнее десятилетие его жизни, хранителя кабинета в Ленинградском университете II. 11. Образцова, известно, что докторская диссертация проходила в факультете пе без трений. По-видимому, ни факультет Петербургского университета, ни сам автор пе предвидели, какое значение идеи диссертации будут иметь для теории упругости в ближайшем будущем. В Юрьевском университете Колосов кроме курса меха- ники читал разные дисциплины по Кафедре чистой мате- матики: вариационное исчисление, теорию определенных интегралов, теорию конечных разностей, теорию вероят- ностей, теорию функций комплексной переменной, теорию чисел. Одновременно с этим ои выполнил большое число исследовательских работ, внеся свою долю в решение клас- сических проблем движения твердого тела вокруг непо- движной точки и движения твердого тела в жидкости. Кроме этих классических проблем и предмета докторской диссер- тации, ставшей также классической, Колосов увлекался работами по приложениям математики в самых различ- ных областях. Ои опубликовал статью о законе Бэра от- носительно размывания берегов рек, несколько статей по вопросам ботаники и медицины и другие. 13 1913 г. Колосов по конкурсу избирается профессо- ром теоретической механики в Электротехническом инсти- туте в Петербурге, а в 1916 г. становится ординарным профессором механики Петроградского университета.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 85 В 1930 г. он берет на себя заведование кафедрой механики упругих тел, а в 1931 г. избирается членом-корреспонден- том Академии наук СССР. Г. В. Колосов принимал деятельное участие в трудах съездов математиков как на родине, так и на международ- ных конгрессах за границей. После революции он рабо- тал по заданиям заводов и военного ведомства, а также участвовал во множестве комиссий, имевших целью реорга- низацию высшей школы. Скончался Г. В. Колосов в Ленинграде в 1936 г. Список работ Колосова насчиты- вает 63 названия. Главной заслугой Колосова является его метод решения плоской задачи теории упругости. Академик В. П. Смирнов в упомянутом неизданном обзоре истории физико-математических наук в Петербург- ском (Ленинградском) университете писал: «Несмотря на то, что у нас работали крупные предста- вители механики, все же мы не можем говорить о само- стоятельной крупной научной школе, о самостоятельном научном направлении по механике в Петербургском универ- ситете до начала XX в. Одно пз таких направлений было начато учеником Д. К. Вобылева и затем профессором нашего университета Г. В. Колосовым. Им был дан новый оригинальный метод исследования плоской статической задачи теории упругости. Он впервые обратил внимание на то, что основные величины, связанные с плоским, ста- тическим упругим состоянием, могут быть выражены через аппарат, который был чрезвычайно подробно разработан в математике еще со .времен Коши. Таким аппаратом является аппарат теории аналитических функций ком- плексного переменного. Пользуясь этой связью теории упругости и теории функции комплексного переменного, Г. В. Колосов решил ряд важных задач теории упругости. Эти работы Колосова были продолжены и широко разви- ты его учеником Н. И. Мусхелншвплп, питомцем нашего университета и бывшим его преподавателем, ныне прези- дентом Академии наук Грузинской ССР. В работах II. И. Мусхелишвили метод теории функций комплексного переменного является не только аппаратом для решения конкретных задач, по и принципиальной основой для
86 II. И. ДЕ11М \11 доказательства основных результатов теории статического упругого состояния. Этот метод в дальнейшем развивался как в школе II. И. Мусхелпшвылм в Грузин, так отчасти и в Ленинградском университете». В СПб. математическом обществе Г. В. Колосов сделал сообщения: 14.3.1896. «Об одном случае вращения тяжелого твердого тела». 19.3.1897. «О движении волчка но гладкой поверхности». 18.2.1898. «О шаре с гироскопом Гесса внутри, катящемся по гладкой плоскости без скольжения». Последний доклад напечатан в Сообщениях Харьковского математического общества за 1898 г. Б. М. К о я л о в и ч (18(57—1941) Борне Михайлович Кояловнч окончил Петербург- ский университет в 1889 г. Обе диссертации Кояловпча Б. М. Коялович (1867 — 1941). «Исследования о дифференциаль- ном уравнении ydx — xdy = Rdxt (СПб., 1894) и «Об одном уравне- нии с частными производными 4-го порядка» (СПб., 1903) были предметом его сообщений в Об- ществе. С 1891 г. Кояловнч пре- подавал в Технологическом ин- ституте; он читал лекции также на ВЖК, в Женском педагогиче- ском институте и (после Октябрь- ской революции) в других пе- дагогических институтах и Ин- ституте коммунального строи- тельства. До революции Б. М. Ко- яловпч состоял членом ученого комитета Министерства народ- ного просвещения и членом рус- ской делегации Международной комиссии по реформе препода- вания математики. Рецензии Коятовнча на новые учеб- ники матем iTiiKii для средней п высшей школы вызвали ряд столкновений с авторами, например с [I. В. Слешин- скпм (по поводу алгебры логики Л. Кутюра), с Б. Л. Гер-
С--ПЕТЕРБХ РГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 87 ном (ио поводу оригинальных книг последнего по логике), с И. А. Шапошниковым (по поводу его учебников). В по- следние годы жизни (1930—1940) ]>. М. Коялович вел долгую полемику («семилетнюю воину», ио выражению академика A. II. Крылова) с членом-корреспондентом Академики паук СССР, профессором Родионом Осспеви- чем Кузьминым (1891 — 1949) о решении бесконеч- ных систем уравнении. Полемика велась на страницах «Трудов Математического института имени В. А. Стекло- ва». Коялович был шахматистом первой категории. Его партии с А. А. Марковым печатались в журнале М. II. Чи- горина. В Обществе В. М. Коялович сделал 10 сообщений: 29.2.1892. «Об одном способе интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений». 16.3.1892. «Приложение метода частных решений к одному уравнению первого порядка». 15.10.1892. «О так называемом петербургском парадоксе». 21.3.1894. «О соотношениях между частными р< шеннямп диф- ференциальных уравнений I порядка». 19.11.1894. «Некоторые применения теории канонических рсше нин дифференциальных уравнений». 21.4.1895. «Несколько примечаний об интегрировании уравне- ния уду — удг = Ндх» (полемика с академиком П. Я. Сониным). 13.11.1895. «О дифференциальных уравнениях с частными про- изводными II порядка». 22.1.1896. «Об уравнении ydy— ydx = Itdx». 18.2.1898. «Об уравнении У — у — /7(.т)». 20.1.1899. «О методе Яванки для нахождения поверхностей с постоянной крпвнзпой». Изложение сообщений Б. М. Кояловича об интегрировании уравнений в значительной части близко к соответствующим стра- ницам его диссертаций. В. А. Марков (1871—1897) Владимир Андреевич Марков (брат академика) за три года участия в работах Общества сделал 6 сообщений. В последние годы жизни В. А. Марков, страдавший ост- рой формой туберкулеза, уже не мог деятельно участвовать в работе Общества. Так как биография В. А. Маркова но ••публикована, то сообщим здесь краткие сведения о нем.
88 И. Я. ДЕПМАН В. А. Марков родился 8 мая 1871 г. Он учился в пятой гимназии в Петербурге, затем в Петербургском университе- те, где слушал лекции профессоров-математиков 11. С. Б у- даева (1833—1902), Коркина, А. А. Маркова, Сохоц- кого, Пташицкого, Селиванова, Бобылева. В отчете деятельности Петербургского университета за 1891 г. профессор К. А. Поссе сообщает, что студент \ П семестра В. А. Марков написал сочинение «О функциях, наименее D. А. Марков (1871 — 1897). уклоняющихся от нуля» н при- ступил к печатанию его на сред- ства университета согласно по- становлению физико-математиче- ского факультета. Работа эта бы- ла (одновременно с работой дру- гого соискателя на тему «Мате- матические основания кометпых явлений») представлена на со- искание премии «в память пер- вого съезда русских естество- испытателей и врачей». В «За- писке о наградах студентов С.-Пе- тербургского университета» в 1892 г. (стр. 51) находим такой отзыв о работе В. А. Маркова: «Основной вопрос, которым занимается автор, состоит в разы- скании целон функции данной степени с коэффици- ентами, удовлетворяющими данной линейной зависимости, наименее уклоняющейся от нуля в данном промежутке. Этот вопрос есть обобщение вопроса, поставленного и решенного Чебышевым, о разыскании полинома данной степени с данными коэффициентами при высшей степени переменного, наименее уклоняющегося от нуля в извест- ном промежутке. Для полинома второй степени автор дает потное решение поставленного вопроса, для полиномов 3-й и 4-й степени приводит несколько частных примеров. Переходя к подробному рассмотрению того случая, когда дано значение производной данного порядка от искомого полинома дтя частного значения переменной, автор при- водит вопрос к интегрированию некоторых дифферепциаль-
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 89 них уравнении, из которых одно совпадает с уравнением, встречающимся в мемуарепокойного академика Е. И. Золо- тарева «Приложения эллиптических функций к вопросу о функциях, наименее уклоняющихся от нуля» и в мему- аре академика А. Л. Маркова «Об одном вопросе Д. И. Мен- делеева». После этого автор переходит к следующей задаче: зная наибольшее уклонение от нуля в данном промежутке полинома п-й степени, найти максимум числового зна- чения производной порядка к от этого полинома в том же промежутке, и, указав связь этой задачи с основным вопросом своего сочинения, дает решение ее для k=i, к=2 н к = п — 1. Из этих результатов только первый был известен, остальные принадлежат автору. Из этого краткого обзора видно, что рассматриваемое сочинение содержит в себе не только самостоятельные выводы результатов, принадлежащих известным нашим математикам, но и новые результаты, полученные самим автором. На основании вышеизложенного автору его, студенту \ III семестра Владимиру Маркову, и присуждена премия, а сочинение его постановлено напечатать за счет университета». Много лет спустя проф. Л. П. Пшеборскип обобщил результаты В. А. Маркова на случай двух соотношений* аоРо + aiPi + — + а„рп = а, Р0Р0 + Р1Р1 + ••• + ₽пРп — Р- Пшеборскнй писал: «Мы попытаемся обобщить метод, данный для решения аналогичных вопросов, относящихся к полиномам рохп 4-р^"’1 + рп, коэффициенты кото- рых связаны только с одним из соотношений, покойным В. А. Марковым в его прекрасном, но, к сожалению, мало известном сочинении «О функциях, наименее укло- няющихся от нуля в данном промежутке». Настоящая статья посЬящена обобщению первой главы указанного сочинения В. А. Маркова»1). 191 ’) Сообщения Харьковского математического общества, т. XIX,
90 И. Я. ДЕНМЧН Тогда же С. Н. Бернштейн выразил пожелание, чтобы работа В. Л. Маркова была переведена на французский язык * *). В 1892 г. В. А. Марков окончил университет и был оставлен при нем для приготовления к профессорскому званию на два года со стипендией 50 рублей в месяц (одно- временно с Г. Ф. Вороным, Б. М. Кояловичем и физиком А. Гершуном). Через год он приступил к сдаче магистер- ских экзаменов, которые закончил к весне 1894 г. Профессор К. А. Носсе характеризует работу остав- ленного при университете В. А. Маркова в следующих словах: «Тотчас по окончании университета В. А. Марков по предложению профессора А. II. Коркина занялся вопро- сом о счете классов положительных тройничных квадра- тичных форм и в 1893 г. напечатал статью2) в «Сообщени- ях Харьковского математического общества» (2-я серия, т. XIV, 1, 1893, стр. 1—59), в которой дает доказатель- ство формул Эйзенштейна, относящихся к этому вопросу. Доказательство этих формул представляло очень большие трудности и никем еще не было дано, несмотря на то, что формулы Эйзенштейна были опубликованы более 40 лет тому назад»3). В октябре 1894 г. факультет, ио представлению профес- соров А. II. Коркина и К. А. Поссе, ходатайствует о про- длении па год В. А. Маркову стипендии для окончания магистерской диссертации, присовокупляя, что «этот молодой человек вполне достойный, весьма способный и трудолюбивый». Ходатайство университета было удовлет- ворено, н В. А. Марков пользовался 50-рублевой стипен- дией по октябрь 1895 г. В 1895/96 учебном году В. А. Мар- ков работает в Институте инженеров путей сообщения, репетируя по аналитической геометрии, которую читал *) S. Bernstein, Вётатдпез sur I'inegalite de W. Markoff, там же. г) «О числе классов положительных тройничных квадратичных форм данного определителя».—И. Д. *) Из предисловия к п.здаппой после смерти автора работы В. А. Маркова «О положительных тройничных квадратичных фор- мах», Петербург, 1897.
С.-ПЕТЕРБЬ PL’CKOE МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 9t Д. А. Граве. Преподавал В. А. Марков и в V гимназии. Результатом работы в пей осталось строгое изложение теории иррациональных чисел как бесконечных неперио- дических десятичных дробей, которое отразилось в книге другого учителя той же гимназии В. М. Пирожкова «Арифметика иррациональных чисел» (СПб., 1898) и в «Началах алгебры» (Петроград, 1915) Д. А. Граве. II Д. А. Граве, и В. М. Пирожков в своих книгах указы- вают, что они излагают теорию иррационального числа согласно методу В. А. Маркова. В 189G/97 учебном году В. А. Марков уже не преподает в связи с болезнью, а 18 января 1897 г. на 26-м году жизни он скончался в лечебнице для чахоточных в Успкирко по Финляндской железной дороге. К. А. Поссе пишет в предисловии к работе В. А. Мар- кова «О положительных тройничных квадратичных формах»: ♦ Настоящее сочинение в рукописи вместе с статьей автора, напечатанной в «Сообщениях Харьковского мате- матического общества», было представлено в физико- математический факультет в качестве магистерской дис- сертации. Автор уже начал печатание своего труда, одоб репного факультетом, как вдруг неожиданно подкравшаяся болезнь уложила его в постель и менее чем в полгода свела в могилу. Наш университет потерял в нем молодого ученого, успевшего уже оправдать возлагавшиеся па него надежды и много обещавшего в будущем. Физико-математический факультет постановил напечатать на средства универси- тета его сочинение, желая этим почтить память покой- ного и вместе с тем способствовать выходу в свет труда, цепного дтя науки. Печатание было окончено под Наблю- дением академика А. А. Маркова. Первая глава сочинения заключает в себе тщательно обработанное исследование основного вопроса арифмети- ческой теории тройничных квадратичных форм, состояще- го в том, чтобы узнать, содержится ли одна из двух данпых тройппчпых форм в другой или нет, и если содержится, то найти все представления одной формы другою. Этот вопрос заключает в себе, как частные случаи, поставленные
92 Л. Я. ДЕПМАН 4 Гауссом вопросы о представлении данного числа и дан- ной бинарной формы данною тройничною формою и об эквивалентности форм. Результатом исследования являет- ся сведение основного вопроса во всех случаях к вопросу об эквивалентности двух тройничных форм, решение кото- рого, как известно, дается при помощи так называемого приведения форм. Вторая глава посвящена главным образом вопросу об определении измерения (МааВ) данного порядка форм, вве- денного в теорию форм Эйзенштейном (35-й том журнала Крелле и Matheinatische Abhandlungen, 1847, стр. 180). Эта глава предназначена служить переходом к 3-й, посвя- щенной вопросу о счете классов, которая в первоначаль- ном виде была напечатала, как уже упомянуто, в Сообще- ниях Харьковского математического общества, по которую автор намеревался переработать и значительно дополнить. К сожалению, автор при жизни не успел вполне довести до конца свое намерение и потому 3-я глава здесь и пе перепечатана. Некоторые отрывки рукописи, оставленной автором, доказывают также, что и исследования 2-й гла- вы он намеревался еще расширить. Таким образом, работа В. А. Маркова, хотя и нс окон- ченная, заключает в себе все главные пункты теории тройничных квадратичных форм, за исключением вопроса о приведении форм, которому, между прочим, в пашей литературе посвящена диссертация Е. В. Борисова т). В протоколе за 29.2.1892 г. говорится, что В. А. Мар- ков доказал следующую теорему: «Если две алгебраические функции степени п имеют все корни вещественные и перемежающиеся, то их произ- водные одного и того же порядка имеют корни тоже пере- межающиеся». 15.9.1892 г. П. А. Шифф и И. II. Иванов выступили с докладами, непосредственно связанными с этим сообще- нием В. А. Маркова (см. выше). В следующем заседании 15.10.1892 г. В. А. Марков сделал сообщение «Некоторые обобщения найденной до- кладчиком теоремы о распределении корней двух функций Ч О Е. В. Борисове см. стр. 35.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 93 и их производных». Приведем полностью резюме сообще- ния, составленное докладчиком. Эти результаты в печат- ные работы В. А. Маркова не вошли. «Теорема 1. Пусть: 1) для каждого конечного значения вещественной переменной х, которая не может получать значений, меньших некоторого вещественного числа £, и получает все осталь- ные (случай £= —оо ве исключается), вещественные функции /(х) и /(х) от этой переменной имеют конечные производные и отношения /(*) . £(х) где С(х) — некоторая дробная (meromorphe) функция от комплекс- ной переменной z на некоторой части А плоскости, содержащей часть оси абсцисс, лежащую справа от точки z=£, и не имеют на этой части плоскости других бесконечностей, кроме корней функции /’(х); 2) между каждыми двумя последовательными корнями любой из функций /(х) и /’(х) заключается только один корень ее производной, который мы будем называть соответствующим большему из этих двух корней самой функции; 3) каково бы ни было значение пере- менной х, модуль интеграла Г G (z) dz J («—г)1 ’ сх, t взятого по сомкнутой линии Сх, I, ве выходящем из части А пло- скости, содержащей внутри себя точку х и зависящей от х и от некоторого параметра t, который можно изменить так, что точки пересечения линии Сх, t с осью абсцисс справа от точки z = x будут удаляться в бесконечность, будет как угодно мал, если ли- ния Сх, i не проходит через бесконечности функции G (z) и точки пересечения ее с осью абсцисс, лежащие справа от точки z=x, достаточно далеки от начала координат; 4) корни функций / (х) и F (х) перемежаются между собою. В таком случае корни производных /' (х) и F' (х), соответ- ствующие корням самых функций, также перемежаются между, собою, и притом если а—корень производной f (х), соответству- ющий корню а функции /(х), 0—корень производном F' (х), соот- ветствующий корню Ь функции F (х), то разности 0—а и Ь—а одного знака. Замечание 1. Мы здесь предположили, что кратность каж- дого корня любой из функций / (х) и F (х) равна единице, во. распространив некоторым образом понятие о перемежаемости кор- нем двух функций от вещественной переменной и понятие о корне производной, соответствующем корню самой функции, высказан- ную теорему можно распространять и на тот случай, когда функ- ции / (х) и F(x) имеют корни, кратность которых отлична от едяппцы.
94 И. Я. ДЕНМАН Замечание 2. Если функция G (z) дробная на всей пло- скости и нс имеет других бесконечностей, кроме корней функции F (х), и около каждой бесконечности функции G (z) можно описать некоторый сомкнутым контур так, что контуры, соответствующие различным бесконечностям функции С (z), не будут пересекаться между собою и вне этих контуров модуль функции G(z) будет постоянно менее некоторого положительного числа Л/, то условие третье наверно выполнено. Второе ; тонне будет наверно выпол- , Г (г) пспо, если для каждого значения переменной х функции ' ~ и певозрастающие. Л (X) Пример. Пусть С(х)—какая угодно вещественная функция вещественной переменной х, производная которой конечная и не- возрастающая функции х для каждого конечного значения х; <р (z) и хр (г)—целые рациональные функции комплексного переменного z, не имеющие мнимых корней; <Pi (z), <Ps(z), ф] (z), ф2 (z)—такие петые рациональные функции от z, что все корпи уравнений w(z) = <p» (z)+<pl (z)(z— 1) = 0, С Ю=И(*)+’Й (*).(*-i)=o вещественные и заключаются между —1 и -}-1. Пусть притом степень функции <р (z) не выше степени функ- ции ф (z), а степень функции £(z) пе выше степени io(z). Если корни функций / (x)=eG(x> [<pj (sin z)4-<Pi(sin x) cos x] <p (x), F (x)= eG(x} [фх (sin х)+ф, (sin x) cos x] ф (x) от вещественном перемеппои x перемежаются между сооою, то и Корин их производных тоже перемежаются менаду собою. Замечание 3. Если функции /(х) и F(х) удовлетворяют условиям теоремы и второму условию, высказанному в замечании 2 Г , /' (х) F’ (х) т- е- Функции и ни растают , то и функции X J h(x) <u еС / (х) и для какого значения х пе воз- J hWdx где Л(х)—какая угодно возрастающая вещественная функция х, конечная для каждого конечного значения х, также удовлетво- ряют этим условиям. Отсюда получаем следующую теорему: Если функции / (х) и F (х) удовлетворяют условиям теоремы 1 и второму условию замечания 2, то корни функций /'(х)+й(х)/(х) и F'(x)+h(x)F(x),
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ М ITEM \TII4ECKOE ОБЩЕСТВО 95 где Л (ж)—какая угодно вещественная, иевозрастающан функция х, конечная для конечных значений х, соответствующих корням функций J h'fxjdx J h(x)dx f(x)e^ и /'(z)pt , перемежаются между собою. Нетрудно распространить эту теорему па все корни функция /’(х)+^(ж)/(-г) и (х)+Л(х)Л’(ж), а также и на тот случаи, когда функция h(x) обращается в бесконечность для некоторого значения х, отличного от корней функции f (х) и F(x). Теорема 2. Пу сть 717 ф(*) ’ Л=п 4>(х)=~ П (®—Ол). h=n t(a^)= И Л=1 Л’(Х) = И^, w(x) A—n-f-m П (x-b„), °n,m fc=n+l A=n+m ы(х)= [j (ж —ak) h=n-f~I и вещественные числа ai< ati • • • • ап> en*i> • • •» ап+т* bj, b2,..., bn, bntt, ..bn,m удовлетворяют неравенствам 1 fln fln,i ^n,l fln,m ‘-C ^n,m (причем не исключаются случаи а,= —со, Ьп»т= +оо). Обозначим корни уравнения Ф ’ (*) Ф (*)~ ф’ (г) <р (ж) = ф* (ж) df~^= <Р2 (*) =0 буквами с с различными значками, а корни уравнения £'(*)<> (ж) - ю- (ж) S (х) = со* (ж) (^= С’ (ж) = О ах ах буквами d с различными значками и предположим, что разности Qi с*, dh — dk и h—к пе противоположных знаков В таком слу- чае будем иметь: 1) при п~>т ^n+m-i сп*т-1»
96 И. Я ДЕПМАН 2) при п=т С1 dl е1 сп-1 ^п-1 °п»1 dn сп ^ • • • ^ ^n*m-« cn*m-t> 3) при я < m Ci<^ d^ ct rfj сп dn dn^i сп»1 ^ • • ^ ^n+m-i ciwm-i> и равенство Cfc = rffc прн n^m, Л^п — 1 имеет место только тогда, когда оЛ = а/1,1 = Ь/1 = Ь|1,1; при п^т, п-^.к<п-]-т—1 только тогда, когда ailti = at{tt = biltl = bjitt-, при я < т, 1<Л<п только тогда, когда a;l_1 = a/l = bfc_1 = b/l; при л<т, Л>п только тогда, когда ah = akti = bk = bilrl (мы предполагаем, что Цх) не = F (*)). Следовательно, перемежаются между собою отдельно корни уравнений (1) и (2), меньшие Ь,„ и корни уравнении (1) и (2), большие Ьп. Эта теорема может быть распространена и па нерацпопальпые функции, удовлетворяющие условиям, аналогичным условиям теоремы 1». Дальнейшие протоколы содержат только указания на сделанные В. А. Марковым сообщения: 21.12.1892. *0 решении в целых числах уравнения zn-|-pn=zn». 20.12.1893. «Об аксиомах, лежащих в основания геометриче- ских систем». 21.2.1894. Продолжение доклада под тем же названием. 14.1.1895. В заседании, посвященном помятп II. Л. Чебышева: «О функциях, наименее уклоняющихся от нуля». В заседании 19.2.1897 г. председательствующий 10. В. Сохоцкий сообщил собранию о кончине В. А. Мар- кова. Протокол гласит: «Собрание с глубокою грустью почтило память так рано угасшего В. А. Маркова вста- ванием». К. Стёрмер (1874— 1957) Карл Стёрмер, позднее долголетний президент Норвеж- ской академии паук и автор работ о механизме явления северных сиянии1), прислал в СПб. математическое обще- ство два сообщения, которые были доложены Д. А. Граве. ’) В 1890—1920 гг. Стёрмер разработал свой метод численного интегрирования дифференциальных уравнений п применил его к вы- числению сложных траекторий электронов, фигурирующих в явле- нии северного сияиия.
С.-НЕ1ЕРБА РГСКОЕ МАТЕМ АТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 97 19.10.1895. «О решении в целых числах неопределенного урав- нении л 1 . ,1 — = m arcig — -f- п arctg —». 9.2.1896. *0 решении в целых числах неопределенного л равнения 1 . .1 , л т arctg — + n arctg — = к История вопроса, послужившего предметом сообщений К. Стёрмера, следующая. В 1894 г. Д. Л. Граве в «Intermediaire des mathfmati- ciens» (стр. 228) предложил вопрос: Найти все решения в целых числах этого уравнения, л , 1 , .1 — = т arctg — + п arctg — , для которого были известны решения: 1) т = 1, 2) т = 2, п = 1, — 1, д = 2, р = 1, 9 = 3; 9 = -1; 3) т = 2, п = 1, р = 2, 9 = - 7; 4) т — 2, п = 1, р = 3, 9 = 7 (Эйлер); 5) т = 4, п = 1, Р = 5, 9= —239 (Мечип) ’) Д. А. Граве из соображений, относящихся к делителям j чисел вида ха-|-1, заключил, что других целых решений не . имеется. Эту теорему доказал студент университета • в Христиании (ныне Осло) Карл Стёрмер. Решение Стёр- мера см. в Intermediaire, 1895, стр. 24G—247; там же помещено решение Брокара. После этих доказательств Граве считает установленным, что формула Мечина являет- ся среди аналогичных паплучшей для вычисления числа я. Потное решение вопроса Стёрмер дал в мемуарах: «Solution complete en nombres entiers m, n, x, y, k de 1’equation m arctg -i- -}- n arctg -i- = k Vidonskabs selskabcts Skriften, Math.-Naturwiss. KI. Л". 11, Kristiania, 1895; «Sur 1'application des nombres entiers complexes a la solution en nombres rationnels ’) Джон Мечип (Machin, ум. 1751), профессор астрономии в Грешемском коллед-ке, секретарь Королевского общества. 7 Истор.-матем. исслсд., вып. XIII
98 И. Я. ДЕНМАН х,, х....,xn, q, с8,..., сп, к de I’eqnatiou ct arctg Xi + 4- c, arctg x, 4- .,. 4-cn arctg xn = k-^-i, Archiv for Mat. og Natur- x idenskab, К istiania, 1906. Люнггрен в 1942 г. решил ту же задачу для уравнения т arctg-L_£_ 4- п arctgl_£. = к х у 6 при £>=3 и 1)—2, получив соответствеппо 14 и 10 групп целых значений для х, у, т, п, к. (\V. L jiinggren, Ober einige Arcustangensgleichungen, die anf inleress.mte unbestimmle Gleichungen fiihren, Arch. for. Mat., Astr. auch Fysik, t. 29A, № 13, 1942). В 1943 г. Стёрмер вернулся к задаче и показал, что она может быть обобщена и сведена к эллиптическим инте- гралам п сформулирована следующим образом. Пусть g2 и g8—целые числа. Найти все целые значения х, у, т, п, к, удовлетворяющие соотношению СО со С dt , С dt , Ш \ —7 4- п \ 7~-- = «ТО, J ) it*—git—gf J yi^—git — gt где to есть действительный полупериод соответственной функции и Вейерштрасса. Для ga = 252 и g8 = — 648, при каковых значениях 4z3-gat - g8 = 4 (t - 6) (t - 3) (t + 9) и to = f dt = 0,582808, I ИЯ—git — gi Стёрмер находит 9 решений уравнения (1), из которых он считает особенно интересным решение А’= 51, У =153, zra = 3, п = 2, А=1, т. е. оо со С dt , о С ^t 3 \ —, — - 4- 2 \ ... - = to. j 4t3 —252«4-648 15’3 J 4t*—252Z 4-648
С.-ПЕтЕРБУ РГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 99 Он заключает свою статью указанием, что для углубле- ния вопроса необходимо изучить работы о рациональных точках кубических плоских линий (Морделла, Нагелла, Вейля, Биллинга и др.), что мо/кет дать интересные резуль- таты. (♦Sur un probleme curieux de la th£orie des nombres concernant les fonclions elliptiques» par C. Stormer, Archiv for Malhematik og Naturvidenskab, Oslo, 1943, t. 47, H. 1—2). И. С. А Л а д о в Член Общества Илья Семенович Аладов сделал три сообщения по теории чисел: 13.11.1892. «О нахождении наивысшего предела числа решений сравнения zP-i—1=0 (mod />’), меньших р, при р простом». 20.12.1893. »О распределении квадратичных и пеквадратичпых вычетов простого числа р в ряду: 1, 2, 3, ... , р—1». 26.2.1895. «О числе классов бинарных квадратичных форм, определитель которых равен отрицательному числу». Содержание сообщений напечатано в протоколах. В русской математической литературе имя И. С. Аладова в дальнейшем встречается еще раз в «Матем. сборнике». Скажем еще несколько слов о лицах, сделавших по одному сообщению. Георгий Феодосьевич Вороной (1868—1908) в нача- ле 1891 г. был назначен профессором Варшавского универ- ситета, в связи с этим покинул FIeTcp6jpr, успев сделать в Обществе лишь одно сообщение и дать одну справку. 15.12.1890. Г. Ф. Вороной дает библиографические справки по сообщению И. И. Иванова на тему: «О некоторых сушах, зави- сящих от простых чисел». 15.1.1891. «Об определении суммы квадратичных вычетов простого числа р вида 4m 3 при помощи чисел Бернулли» ’). Виктор Иванович С т а н е в и ч, преподаватель Артил- лерийского училища и Института инженеров путей сооб- щения. . ') См. Г. ф. Вороной, Собрание сочинений, т. III, Киев, 1953, стр. 7 и комментарии А. А. Киселева, там же, стр. 203. 7*
100 II. Я. ДЕПМкН 17.1.1892. Сделал сообщение, напечатанное в Comptes Rendus 114(1892, 109—112: «По поводу заметки А. Пуанкаре «О распре- делении простых чисел вида 4п + 1», напечатанной в Comptes rendus, Paris, 14 октября 1891 г.». „ Исходя из приближенных выражений некоторых сумм, находщпхся в статье Mertens'a (Ein Beitrag zur analyti- schen Zahlen-Theorie, CrcIIe's Journal, t. 78), и применяя к ним следующие две формулы: X X F(x)f'(x)dx = -Pi Pj И S/(P) x Pl Pl докладчик доказал обе теоремы Пуанкаре, а также сле- дующие более общие теоремы: 1) Число простых чисел впда кп + l, меньших х, оесчисленное множество раз меньше —пп—, если а > 1, 1 4>Wlgx' , г- ох _ . и оесчислеппое множество раз оолыпе - ,—, если а < 1. ‘ <Р (Ч 1g * Здесь Ли/ — взаимно-простые числа, а <р (к) обозна- чает число чисел, простых с к и меныпнх к. 2) Сумма логарифмов простых чисел впда кп +1, мень- _ ох . шихх, бесчисленное множество раз меньше—гл .если а > 1, 1 <р(Л) " и бесчисленное множество раз больше , если а < 1." 1 <Р(*) В дальнейшем В. И. Станевич, который после револю- ции работал в Виленском университете, продолжал исследо- вания о простых числах вида 4 и -f-1 и 4 п — 1 (Сборник Пн-та инж. путей сообщ., 50, 1899, стр. 433—439). Его рабо- ты смыкаются с исследованиями II. II. Иванова. По- дробное рассмотрение тех и других работ содержится в обзоре II. Д. Беспамятных (Ученые заппскп Гродненско- го Гос. пед. ин-та, 2,1957). См. также статью Л. О. Гельфон- да о постулате Бертрана в I томе «Полного собрания
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 101 сочинении» П. Л. Чебышева, стр. 28G—287. Стапевнч занимался еще асимптотическими формулами, сделав док- лад на эту тему на VIII съезде русских естествоиспытателем и врачей. Член общества П. М. II о в и к о в сделал 1G.3.1892 г. сообщение «О папвыгоднейшем числе проб при решении трансцендентных уравнений п уравнений высших степе- ней». Докладчик показывает, что наибольшее количество проб S, которые могут потребоваться для достаточного сближения границ, между которыми заключается корень, будет наименьшим при условии, если последовательные промежутки делятся на одно и то же число частей. Если при десятичном и двоичном делении промежутков обозна- чить количество проб соответственно через 5]0 н S2, то >1,62, так что двоичная система испытаний прпблнзн- •’ 2 тельио в 8/5 раза выгоднее десятичной. Начиная с 1885 г., П. М. Новиков сделал в Педагогическом музее военных учебных заведений («Соляной Городок») около 20 сооб- щений. Из них заслуживает особого внимания доклад 1897 г., в котором резко критиковались взгляды В. Я. Цнн- гера и П. А. Некрасова г) на геометрию Лобачевского 2). Новиков вскрыл идеалистическую подоплеку возражений Цппгера, который, по словам Новикова, «выдает истинную причину того, почему он так горячо восстает против новых воззрений на основания геометрии. Очевидно, он опасает- ся, что сомнение в приложимости аксиомы о параллельных *) Василий Яковлевич Ц и н г е р (1836—1907)— профессор Московского университета, доктор математики и почетный доктор ботаники. Речь в дальнейшем идет о докладе В. Я. Цингера па IX съезде естествоиспытателей и врачей в Москве в 1894 г. «Недоразу- мения во взглядах па основания геометрии», послушать который явится и Л. Н. Толстой. Доклад Цингера был напечатан в «Мате- матическом сборнике» и в журнале «Вопросы философии и психоло- гии» в 1894 г. Павел Атексеевпч Некрасов (1853—1924)— профессор и ректор Московского университета, позднее попечитель Москов- ского учебного округа (с 1898 г.) и члеп совета при министре народ- ного просвещения (с 1905 г.), крайний реакционер в политике и науке. а) См. Краткий обзор деятельности Педагогического музея за 1897—1898 гг. (28-й обзор), СПб., 1899.
102 и. я. депман к действительному миру и признание необходимости доказать эту приложимость ссылкой на опыт может поко- лебать веру в «духовное бытие». Острие полемики Нови- кова было обращено против Некрасова, который, зани- мая влиятельные посты, пропагандировал взгляды Цниге- ра в споей, рекомендованной для школ, кппге «Прило- жения алгебры к геометрии» (М., 1896). В ней, с ссылкой на речь Цингера, утверждалось, что «отвлечен- ные геометрические системы нисколько не поколебали старых [каптнанских — И. Д.\ устоев оснований гео- метрии». По мнению Некрасова, «совершенная логич- ность и тем не менее недопускаемость неевклидовой геомет- рии является новым доказательством против эмпириков». Большая часть доклада Новикова была посвящена опровержению глаппого выпада Цингера против Лобачев- ского, именно, обвинения последнего в порочном круге, якобы допущенном им при попытке «опытного определе- ния действительного пространства». Веньямпп Федорович Каган (1869—1953) сделал 22.1.1896 сообщение «О некоторых неприводимых полино- мах») (обобщение теоремы Шенемана). Приват-доцент Московского университета Анатолий Иванович Богуславский 17.3.1896 сделал сообще- ние «Понятие о количестве, как основание рациональной механики (введение к курсу алгебры плоскости и про- странства)». Сообщение является сводкою работы доклад- чика «Алгебра плоскости и пространства» (Математиче- ский сборник, т. 14—16, 1888—1891; работа вышла так- же отдельным изданием, М., 1891). Сообщение «О разложении рациональной дроби» сде- лал 15.1.1897 профессор Новороссийского университета Владимир Васильевич П р е о б р а ж е и с к и й (1846— 1905). 19.2.1897 с сообщением на тему «О способе Греффе для численного решения уравнений» в обществе выступил Алексей Николаевич Крылов (1863—1954). Николай Максимович Гюнтер (1871—1941) при- надлежал к молодому поколению члепов Общества. Он окончил Петербургский университет в 1894 г. и первую, магистерскую, диссертацию защитил в 1904 г.
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 103 Подробная оценка работ Н. М. Гюнтера по математи- ческой физике дана академиками В. II. Смирновым и С. Л. Соболевым в «Ученых записках Ленинградского университета», серия математических наук, вып. 15. Тут ?ке приведен список 138 работ II. М. Гюнтера. В Обществе И. М. Гюнтер сделал сообщение 17.3.1899 г. *06 интегрировании уравнений 2-го порядка в гипергеометрическнх функциях*. Работа Гюнтера под таким заглавием напечатана в том <ье году в «Сборнике Института инжене- ров путей сообщения», вып. 50, стр. 305—342. 7 Среди членов СПб. матема- тического общества было 13 жен- щин: Н. II. Акимова, Е. О. Борт- кевич, В. П. Теплякова, М. Л. Бропская, М. В. Шилова, Л. Н. Запольская, Е. Ф. Лит- винова, А. Д. Львова, Е. А. Мак- симова, О. С. Ростовцева, А. П. Стебппцкая, В. И. Шифф, В. В. Щпглева. Большинство из них — астро- номы-вычислители Пулковской обсерватории. Их, очевидно, во- h. М. Гюнтер (1871 — 1941). влек в Общество акад. О. А. Баклунд, директор обсерва- тории и профессор теоретической астрономии и небесной механики па ВЖК. Сообщим имеющиеся у нас сведения о некоторых из перечислен- ных женщин-математиков. Броиская Марианна Людвиговна окончила в 1893 г. Физико-математическое отделение ВЖК (IX выпуск). Макси- мова Евгения Александровна (IX выпуск ВЖК, 1893 г.). Стебпицкая Александра Иеропимовпа (IX выпуск ВЖК, 1893 г.). Ж и л о в а Мария Васильевна (X выпуск ВЖК, 1894г.). Все четверо из Пулковской обсерватории. Литвинова Елизавета Федоровна (1845—1922 (?)) окон- чила университет в Цюрихе и защитила диссертацию ♦Реше- ние одной задачи отображения» па степень доктора философии в Бернском университете. Вернувшись в Петербург, Е. Ф. Лит- винова преподавала в гимназии Оболенской, где у нее училась
10’. И. Я. ДЕПЫАН II. К. Крупская, давшая ее преподаванию очепь высокую оценку ). Е. Ф. Литвинова проявила очень разностороннюю литературную деятельность. П.з математических ее трудов отметим следующие: Li twinowa-I waschkina , Elisab. v. Losung einer Abbildungsaulgabe, Inaugural Dissertation, St .Peteisbuig, 1879 (Диссертация). «К логике математических паук», Педагогический сборник, 1885, № 4. «О влиянии точных наук на образование слога», там же, 1890, № 9; 1891, № 1, 2, 4, 5, 9. ♦Взгляд Лобачевского на преподавание элементарной матема- тики*. там же, 1895, № 4. «Из области высшей арифметики», там же, 1896, Л'. 1, 3, 7, 11: 1897, № 6. В серии биографий в издании Павленкова Е. Ф. Литвинова на- писала биографии С. В. Ковалевской (с которой опа была близко знакома в Швейцарии), В. Я. Струве, II. II. Лобачевского, Эйлера, Лапласа, Даламбера. Копдорсэ п ряда других лиц. Еще в 1914 г. Е. Ф. Литвинова напечатала биографию Лапласа в издательстве «Сотрудничество»* 2). Появившиеся в печати биографические сведения о Литвиновой (по мужу Ивашкиной) сбивчивы. По рассказам преподавательницы математики Л. Д. Бронниковой, знавшей ее, Литвинова ра- ботала в Петрограде до 1918 г., «затем уехала в г. Курмыш к сестре; после смерти сестры жила в богадельне, где п скончалась в 1921 или 1922 г. (Уезжая,.'! нтвнпова оставила ряд рукописей.по они утрачены.) Запольская Любовь Николаевна (1871—1943) окончила В7КК в Петербурге в 1894 г., потом училась в Гёттингене, где под руководством Д. Гпльберта написала диссертацию «Ober die Theorie der relativ-Abelsclien Zahlkiirper» (Гёттинген, 1902, около 500 стра- ниц); объем работы вызывал удивление в Германии, где докторские диссертации редко имеют объем, превышающий 20—30 страниц; диссертация Л. И. Запольской была защищена и ей присуждена степень доктора философии по разряду «чистая математика* ’). L) См. II. А. Константинов, Раннее детство и юность Н. К. Крупской. «Советскаяпедагогика», 1945, № 1—2; Н. К. К р у п- с к а я. Избранные педагогические произведения, 1948, стр. 263. 2) О Е. Ф. Литвиновой имеется статья Л. II. Грацианской в журнале «Математика в школе», 1953, № 4. ’) В жизнеописании, приложенном к диссертации, Л. П. За- польская среди своих учителей упоминает с благодарностью: Н. II. Билибина, В. Г. Имшенецкого, И. В. Мещерского, В. II. Шифф и Д. Ф. Селиванова в Петербурге и Гильберта, Клейна, Фох- та, Шура, Шёпфлпсса, Ринке и Бурхгарда в Германии. Следует отметить, что Д. Гпльберт руководил занятиями ряда русских жен- щин. В одпн и тот же год с Л. Н. Запольской у Гпльберта защитила диссертацию по вариационному исчислению на степень доктора На- дежда Николаевна Г е р и е т (1877—1943), впоследствии профес-
С.-ПЕТЕРБУРГСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО 105 Л. Н. Запольская защитила в Московском университете дис- сертацию па степень магистра математики. Диссертацией служила работа «Теория алгебраических областей рациональности, образую- щихся при решении уравнении 3-й степени», Москва, 1905. С 1903 но 1919 г. Запольская читала математику на Московских высших женских курсах, с 1919 по 1923 г.— в Рязанском Институте народного образования. С 1923 по 1925 г. опа состояла профессором Саратовского университета, с 1925 по 1930 г.— Ярославского педа- гогического института, в 1930 г. стала профессором Кубанского педагогического института. Софья Васильевна Ковалевская, скончавшая- ся 10 февраля 1891 г., не успела вступить в члены СПб. математического общества. Па заседании Общества 15 фев- раля 1891 г. председатель сообщил собранию о потере, которую наука понесла в лице члена-корреспондента Петербургской Академики паук, профессора Стокгольм- ского университета С. В. Ковалевской. Собрание почтило память скончавшейся вставанием. Отметим, что членом СПб. математического общества состоял брат С. В. Кова- левской — Федор Васильевич Корвпи-Круковский. В письме, написанном 6.8.1950, дочь С. В. Ковалев- ской — Софья Владимировна — незадолго до кончины (1952) сообщила автору настоящего очерка, чтоФ. В. Кор- вин-Круковский работал в Петербурге корректором в каком-то издательстве. 8 Среди членов СПб. математического общества имелись любители математики, преподаватели средней школы, а также специалисты по другим дисциплинам. Отметим тех, которые выступали в нем с сообщениями. Так, например, Михаил Захарович Образцов, преподаватель гимназии К. Мая, делает сообщение «О приведении ультраэллнптических дифференциалов к эллиптическим». Членом СПб. математического общества состоял учптель сред ней школы Александр Дмитриевич Дмитриев * *) (1820—1899), сор в Ленинграде. В 1906 г. защитила диссертацию по интегральным уравнениям окончившая Петербургские В/1»Н Вера Евгеньевна Л ебедева (рожд. 1881); с 1910 г. она профессор университета в Яссах. Недавно В. Е. Лебедева (по мужу Миллер) получила госу- дарственную премию Румынской Народной Республики. *) Старший учитель математики в Морском кадетском корпусе и долголетний инспектор VII гимназии, позднее преобразованной в реальное училище.
106 И. Я. ДЕПМАН автор ряда учебных пособий для школы и сотрудник П. Л. Чебышева по ученому комитету Министерства народного просвещения. Другои автор учебников Александр Васильевич . М у р о м ц е в (1846—?) также быт членом Общества, равно как учитель Василий Федорович Г а р т ц (о нем была речь выше). Членом Общества состоял профессор Павел Семенович Селезнев (1864—1925), напечатавший позднее две статьи об оспованиях геометрии в «Из- вестиях Петербургского технологического института». О сообще- ниях членов Общества П. М. Новикова и П. С. Аладова, не бывших профессиональными научными работниками, мы уже говорили. Перечислим здесь членов Общества, являвшихся кратковремен- ными участниками в его работе. 17.12. 1897 Р. М. Кревер1) делает сообщение «К общей теории алгебраических уравнений», а 15.4.1892 о некоторых инте- грал ьных тождествах док адывал член общества Люциан Юлиано- вич М а т к е в и ч (ум. 1909), учитель гимназии Келлера в Петер- бурге; его как своего учи: ля тепло вспоминает другой член Об- щества геодезист Василий Васильевич В и т к о в с к и й (1856— 1924) в своих мемуарах («Пережитое», 3 выпуска, Ленинград, 1927—1930). Членом Общества состоял Дмитрий Дмитриевич Ефремов (1859—1912) — автор большого числа статей в «Вест- нике опытной физики и элементарной математики» но геометрии треугольника (1896—1900) и геометрической теории кватернионов (№ 349—352 в 1903 г.) и цепнон большой кипгп «Новая геометрия треугольника» (Одесса, 1902, 340 стр.). Членами Общества состояли еще: астроном Александр Маркеловпч Жданов (1858—1914), впоследствии профессор и ректор Петербургского университета и по- печитель Московского учебного округа, автор курса сферической тригонометрии; астроном А. Д. П у т я т а, сделавший в обществе сообщение «Замечания относительно формул, выражающих соот- ношение между радиусами кривизны нормальных сечений поверх- ности», в котором были получены мнемонические формулы для суммы и произведения кривизн нормальных сечеипй. Николай Александрович Булгаков (1867—1936), впоследствии профес- сор физики в Петербургском университете, автор нескольких математических трудов по теории шаровых функций, о кольцевых функциях и др., сделал сообщение «О распространении электриче- ских колебаний вдоль проволоки, окруженной кристаллическим диэлектриком», являющееся чисто математическим (широкое при- менение бесселевых функций). Приведенные факты, которые можно было бы дополнить, сви- детельствуют, что Петербургское математическое общество объеди- няло весьма широкие круги любителей математических паук. *) Воспитанник Петербургского университета, в котором в 1860/61 учебном году получил серебряную медаль за работу «Об определенных интегралах».
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОПАРДУ ЭЙЛЕРА ПО ДИОФАНТОВУ АНАЛИЗУ Г. II. Латвиевская Попытки исследоваппя архива Эклера предпринима- лись еще в XIX в. В 1843 г. правнуком Эйлера II. Н. «Ру- сом была опубликована переписка ряда ученых XVIII в. «Correspondance mathematique et physique de quelques celebres geometres du XVIII fme siecle». Здесь в письмах самого Эйлера п в письмах к нему трактуются различные математические проблемы, причем мпого внимания уделено теории чисел. Особый интерес в этом отношении представ- ляет переписка с X. Гольдбахом (1690—1764), охватыва- ющая периоде 1729 по 1764 г. и содержащая 177 писем1). В 1844 г. в архиве Эйлера П. II. Фус обнаружил большое число (61) неопубликованных рукописен Эйлера, считав- шихся копиями уже напечатанных работ п потому не рас- сматривавшихся ранее. На деле они оказались до тех пор неизвестными работами из разных областей механики и математики 2). Восемь работ по теории чисел вошли затем в двухтомник «Commentationes arithmelicae collectae». В 1862 г. Академия паук выпустила отдельным изда- нием работы Эйлера, обнаруженные П. II. Фусом в 1844 г.: «Leonhardi Euleri opera postuma mathematica et physica anno 1844 dctecta». Сюда вошли, кроме уже опублпковаи- *) Последнее письмо Эйлера к Гольдбаху, не вошедшее в это издание, обнаружено в 19JA г. А. П. Юшкевичем. См. «Историке-1 . математические исследование*, вып. VII, 1954, стр. 625. vnt. 2) Список этих рукотшеей приводится в предисловии L П. Н. Фуса к Comm, aritlim. coll., 1849, т. I, X—XI. (V
108 Г. П. МЛТВИЕВСКАЯ пых в «Commentationes» мемуаров, также выдержки теоретико-числового содержания из трех больших томов математических записей, сделанных учениками Эйлера под его диктовку в течение второго петербургского пе- риода его жизни (1766—1783), т. е. в период полной слепоты. После этого исследование архива Эйлера приостанови- лось. Интерес к такому исследованию возродился лишь в XX в., когда в Швейцарии началась подготовка к изда- нию полного собрания сочинений Эйлера. На общем собра- нии Академии 2 мая 1909 г. по предложению академиков О. Л. Баклупда и II. Я.Сонина была избрана комиссия «для рассмотрения подлежащего передаче в эйлеровскую комиссию материала, хранящегося в Архиве Академии и касающегося ученой деятельности Эйлера» *). Работа по изучению и приведению в порядок рукописей Эйлера была проделана в течение 1910 г. В декабре того же года все материалы архива вместе с их описью, составленной Б. Л. Модзалевскпм2), были отосланы в Цюрих в библио- теку Союзного политехникума для Швейцарского общества естествоиспытателей «с обязательством возвратить их в определенное время»3 4). Псс юдовапием отправленных материалов занялся Г. Эпестрем (1852—1923), автор списка трудов Эйлера*), явившегося, по отзыву редактора Opera omnia Ф. Рудпо, хребтом всего издания5). О полученных результатах Эпестрем сделал доклад эйлеровской комиссии в 1913 г.5). *) Известия Пмп. Акад, наук, серия VI, т. III, 1909, Л» 14, 929—930. *) Б. Л. Модзалевски н. Перечень рукописен Эйлера, хранящихся в Архиве конференции Пмп. Акад, наук, 1910 (па пра- вах рукописи). •) Обозрение архпвпых материалов, вып. 1 (Архив АП СССР), Л., 1933, стр. 73—74. F. Rudio, С. Schroter, Die Euleraus- gabe, Vierteljahresschrift d. Naturforsch. Gesellschaft in Zurich, X 55. 4) G. E n e s t г 6 m, Verzeichnis der Schriften L. Eulers, Jah- resbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. der Erganzungs- bande IV Band, 1—2, Lieferung, Leipzig, 1910—1913. ») F. Bud i o, Vorwort zur Gesammtausgabe der Werke von Leonhard Euler, Opera omnia, I,. •) Jahresbericht d. Deutsch. Math.-Ver., Leipzig, 1913,191—205.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 109 Прежде всего он выделил рукописи Э11лера, относящие- ся к уже опубликованным работам, пе проводя, однако, ио его словам, точного сравнения их с соответствующими печатными изданиями. Далее Эпестрем отсеял материалы, пе принадлежащие Эйлеру, и классифицировал остальные. Результаты своего обзора он представил в виде сводной таблицы и списка ненапечатанных рукописей. Одпако при этом Эпестрем отмечает необходимость подробного изучения материа- лов архива. При издании полного собрания сочинений из архивных документов были использованы только рукописи напеча- танных работ, и изучение архива Эйлера оставалось настоятельно необходимым для воссоздания возможно более полной картины его творчества. Поэтому после возвраще- ния в 1949 г. материалов архива в Академию наук СССР они привлекли к себе внимание большого коллектива уче- ных, который предпринял глубокое исследование этих материалов. Такая работа потребовала значительного времени, и она продолжается до сих пор. Следует специально указать па то, что всего около 30 лет назад, т. е. уже после пересылки архива Эйлера в Цюрих, п рукописном отделе библиотеки Академии наук СССР были обнаружены четыре беспорядочно переплетенных тома, содержащих рукописи Эйлера1). Эти рукописи пред- ставляют чрезвычайно интересный материал, оставшийся неизвестным издателям Opera omnia2). В пашу задачу входило изучение рукописей Эйле- ра из Архива Академии наук, относящихся к теории чисел. В данной статье излагаются результаты этой работы в той части, которая касается большого раздела теории чисел — диофантова анализа. *) Архив АН СССР, фонд 136, опись I, № 155—158. *) См. стенограмму доклада, прочитанного акад. В. И.Смнрно- вым 16/1V 1957 г. па юбилейной сессии АН СССР, посвященной 250- летпю со дня рожден ня Эйлера, а также статью Г. К. Михайлова И л Смирнова «Неопубликованные материалы Леопарда Эйлера «Архиве Академии паук СССР» в сборнике «Леопард Эйлер», М.,
Д Ct/fft44|3 j (О Г-^Л^МАТВНВВСКАЯ Диофантов анализ, или теория неопределенных урав- нении, изучает решения (в целых или рациональных числах) алгебраических уравнений или систем уравнений, Причем; число неизвестных превосходит число уравнений. Свое начало, как и свое название, эта теория ведет от Диофанта, который посвятил ей значительную часть трактата «Ариф- метика» н изучил некоторые простейшие виды неопределен- ных уравнений. Однако содержание понятия «диофантов анализ» не оставалось неизменным на протяжении исто- рии развития науки. Сам Диофант искал лишь положи- тельные рациональные решения и допускал недостаточную их общность (удовлетворяясь отдельным численным реше- нием); к XVII в. появилось требование решения неопре- деленных уравнений в целых числах, что значительно усложнило задачу и вызвало к жизни ряд новых проблем и теоретико-числовых методов. В своем развитии теория диофантовых уравнений привела с созданию новых ветвей математики; отсюда ведут свое начало алгебраическая теория чисел, теория квадратичных форм и другие направ- ления, в которых находят применение результаты и мето- ды диофантова анализа. Кроме этого теоретического применения, теория неопределенных уравнений имеет некоторые приложения и в практических областях науки, например в физике. В следующий за Диофаптом период добились интерес- ных результатов в области неопределенных уравнений мидийские математики, которые, обладая более усовер- шенствованной по сравнению с Диофантом символикой, уже умели решать уравнения и системы в целых числах и владели, например, методом решения уравнения Пелля. Большой вклад в диофантов анализ внесли ученые Средне- го и Ближнего Востока. Следует назвать китайских матема- тиков, которым принадлежит первенство в достижении некоторых результатов (решение неопределенных уравне- нии 1-й степени, магические квадраты). В эпоху средне- вековья отдельные ученые (Леонардо Пизанский, XIII в.; Региомонтап, XV в. п др.) занимались наряду с другими вопросами и неопределенными уравнениями. Однако бы-
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДл ЭЙЛЕРА 111 строе развитие теории чисел и, в частности, диофантова анализа начинается в XVI в., когда издания сочинений Диофанта пробудили в Европе интерес к арифметиче- ским исследованиям. Член Французской Академии паук Ваше де Мезпрпак (1587—1638) в своих примечаниях к изданию Диофанта завершил общую теорию неопределен- ных уравнений 1-й степени; он потребовал значительно большей общности в решении уравнений и, главное, выделил вопрос о решении неопределенных уравнений в целых числах. В XVII—XVIII вв. в области теории чисел работают и получают важные п интересные результаты как выда- ющиеся математики (Ферма, Декарт, Паскаль, Валлис, Лейбниц, Эйлер), так и ряд ученых, известных только своими арифметическими исследованиями (Фрепикль де Бесси, Мерсепи, Жак де Билли, Христиан Гольдбах). Наиболее замечательных результатов достиг 'ретпкпп французский ученый Пьер Ферма, после которого теория чисел приобрела черты подлинной науки. Вопросы дио- фантова анализа в трудах «Верма занимают лрезвичайно CN*' НЬ большое место. Изучая Диофанта, он поставил новые задачи, подобные задачам греческого математика, но значительно более сложные. В своих письмах и оставшихся неопубликованными при его жизни заметках он предло- жил, не приводя доказательства, ряд теорем, что дало стимул к занятиям диофантовым анализом как его совре- менникам, так и математикам Ьяех! поздпейших времен. Однако как пи велики заслуги Ферма в развитии тео- рии чисел, творцом этой науки является Леонард Эйлер. Теория степенных, в частности, квадратичных, вычетов, теория делимости, аддитивная и аналитическая теория чисел, начадо теории квадратичных форм,— основы всех этих разделов теории чисел были созданы в работах Эйлера._______________g i. _______ ' Особенный интерес Эйлер проявил к диофантовым уравненияйу неизменно возвращаясь к ним на протяжении всей своей "научной деятельности. Интерес этот можно наблюдать в многолетней переписке Эйлера с Гольдбахом, где почти в каждом письме-обсуждаются такого рода вопро- сы. О нем свидетельствует и то, что почти треть своей
112 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ «АлгебрыТ^Эйлер посвятил неопределенным уравнениям, которые яв1яются предметом второй части сочинения, наиболее интересной по содержанию. Об этом же, наконец, говорят почти 50 йомуа^оц Эйлера, где решаются пробле- мы анализа Диофанта. Такое внимание объясняется, в частности, существованием многочисленных приложе- ний диофаптова анализа к задачам неопределенного интегрирования, что широко использовалось Эйлером в р з- работке вопросов интегрального исчисления. Работы Эйле- ра дали чрезвычайно много дтя развития теории неопре- деленных уравнений. Результаты, полученные в этом направлении в трудах Лагранжа, Коши, Гаусса и более поздних математиков, можно смело считать возникшими на почве, подготов шиной Эйлером. Круг вопросов диофантова анализа, затронутых Эйле- ром, необыкновенно широк. В «Алгебре» изложены основы теории неопределенных уравнений. Впоследствии (1774) к «Алгебре» были присоединены примечания Лагранжа, и в таком виде эта работа сыграла большую роль в распро- странении интереса к диофантовым уравнениям. В «Ал- гебре» Эйлера дана теория уравнений 1-й степени, решают- ся уравнения 2-й, 3-й и 4-й степени, а кроме того, доказана великая теорема Ферма для случая п = 3. В ^иаде| дрл гпх ттДрсгв Эитер решает общее уравнение 2-й степени ах2-]-bxy-}-су2-[-dx-{-eyи рассматривает его частные случаи. Так, решение неопределенного уравнения пх2-|- -|-fcx-|-c=j/2сводится им к решению так называемого урав- нения Пелля: ах2 -|-l=j/2, где а=/= квадрату. Это уравнение решается методом разложения | а в непрерывную дробь и находится связь решения с периодичностью этой дроби. Кроме того, Эйлер дал таблицу наименьших решений уравнения Пелля для всех а < 100 (а =# квадрату) и а = = 103, 109, 113, 157, 367. Много внимания уделил Эйлер доказательству теоремы Баше о представимости всякого натурального числа в виде суммы не более чем четырех квадратов ,1м—доказал ее. (ннрнд с_Лаграттжем)» Часто Эйлер обращался к задачам диофантова анализа, постав- *) Vollstaudige Anleitung zur Algebra, St. Pet., 1770 (2 части). В дальнейшем в целях сокращения цит. просто: «Алгебра».
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 113 лепным в геометрической форме,— задачам о треуголь- никах, элементы которых находятся в определенной свя- зи. Среди них заслуживает внимания задача о нахожде- нии целочисленного прямоугольного треугольника, у кото- рого как оу мма катетов, так и гипотенуза являются квад- ратами; опа была поставлена Ферма и явилась обобщением теоремы Пифагора. Эйлер в свою очередь обобщил ее на случай многих чисел: a:-f-?/-f-z-f-... =w2, x2-f-?/2-f-z2 + ... = v* Нередко мы сталкиваемся в «иомуарах .Эйлера и с про- блемами, касающимися так называемых многоугольных чисел: здесь наряду с задачами, поставленными пред- шественниками Эйлера, им выдвигаются и решаются но- вые вопросы. Например, к этому разделу относится до- ха-{-- х казательство теоремы: треугольное число —— ни при каких значениях, кроме а:=0, х=1, не может быть ни кубом, ни биквадратом; или решение задачи: найти тре угольное число, равное квадрату. Как уже упомянуто, Эйлер доказал великую теорему Ферма для случая n=3; п ему же принадлежит доказательство и для случая n=4. Можно также упомянуть доказательство невозможности * ' решения уравнения л^-|-1={/2 ни в целых, пи в рациональ- ных числах (кроме случаев а:=0, х=2). Помимо пере численных результатов, Эйлеру принадлежит решение огромного числа неопределенных уравнений 2-й, 3-й, 4-й степени. Нрп этом им применяются разнообразные методы, папрнмер, широко используется так называемый Г «метод сиуска»^введеппып в теорию чисел Ферма; |шюрЭ fBiret в работах Эйлера ^гпЯ1СТЯсто| метод |грИ?Ш ГТПий Хл непрерывных дробей рк решению задач диофантова / . анализа. ь a Неопубликованный фукоппсп . V рхнва-A+f- €€C1f. в ко торых Эйлер рассматривает вопросы диофантова анализа, распределяются по двум разделам: первый из них объеди- няет заметки из недавно обнаруженных четырех томов рукописей, второй включает записи но диофантову анализу- в записных книжках Эйлера. ® Истор.-матем. исслед., вып. XIII И
114 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ ВОПРОСЫ ДИОФАНТОВА АНАЛИЗА В ЧЕТЫРЕХ ОБН М’УЖЕЦПЫХ В АРХИВЕ ТОМАХ Материалы по теории чисел находятся главным обра- зом в последнем из указанных томов (№ 158), рукописи которого трактуют только вопросы анализа Диофанта и могут быть естественно подразделены на следующие три группы: 1) закопченные фрагменты, ранее не опубли- кованные; 11) законченные фрагменты, относящиеся к опу- бликованным работам Эйлера; III) незаконченные отрывки. Наибольший интерес представляют рукописи первой груп- пы, и поэтому они будут рассмотрены наиболее подробно. 1. Законченные фрагменты, ранее не опубликованные В этой группе насчитывается девять отдельных отрыв- ков различного объема. Прежде всего обращают па себя внимание два больших фрагмента, I. Первый законченный отрывок (л. 27—30 об.) отно- сится к решению задачи: «найти треугольное число, которое, будучи увеличено на данную величину, становится квадратом целого числа». Если корень искомого треуголь- ного числа есть а п данная величина d, то условие задачи выражается следующим образом: ° <7 = Ь2; отсюда —IzH 88»—8</-4-1 корень треугольного числа имеет вид а= ———• Решение поставленной задачи проводится постепенно (отдельно для частного случая <7=0 и отдельно для обще- го случая). Изложение несистематично: весь фрагмент распадается на четыре части. 1) Прежде всего Эйлер рассматривает случай <7—0 (т. е. задача может быть сформулирована проще: найти треугольное число, которое в то же время есть квадрат). В этом виде задача встречается в опубликованных статьях ЭйлераГ «Пе solution? problematum Diophanteorum per numeros inlegros-*^ «Regula facilis problemala Diophan- ’) Comm, drithm. coll., I, 4—10, E29; Op. omn., Is, 6—11^ Буква 1. означает ссылку на указатель сочинений Эйлера, состав- ленный Энестремом. См. сноску *) на стр. 108. 9 9 Ё 73“
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА Ц5 ttorumTnT^mtteftt&4ulegm5-cxprrdttrriTSotveTidi*?-J- обеих статьях задача приводится в качестве примера, иллюстри- руя собой общие методы, изложенные в указанных рабо- тах. В рассматриваемой же рукописи метод решения,приме- няющийся также и в случаев =/= 0,совершенно оригинален. При d 0 корень искомого треугольного числа имеет вид — (1) Для уничтожения иррациональности в выражении для а । Эйлер применяет метод, называемый нм методом Пелля. Сначала полагается I 1 8624- 1 = 26 4-е, (2) откуда 462 = 4Ьс 4- с1 — 1 (3) и, следовательно, 26 > 2с. Затем Эйлер полагает Ь = с + е (4) и значение для 6 подставляет в (2). Отсюда с*=4се 0е24~1 и, наконец, с = 2е+/8е2+1. (5) Вводится в рассмотрение некоторое треугольное число, для которого предполагается, что корень его I и оно рав- но квадрату числа е, т. е. —= е , тогда -14 /8^+1 I- 2 Пользуясь выражениями (2), (4), (5), можно получить искомые величины а и 6 в впде д=-1+8е-3 1 8е«+1, = или, выражая е через t, о = 14~ 3/ -f- 4 | , 6 = 1 4- It 4 i | . Coirrm. aTithm.coll., 11,283—269-Е739; Op. onm.,1,, 406= П7. 8*
116 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ Таким образом, может быть сделал вывод: еслп треуголь- ное число, корень которого есть t, является квадратом, то квадратом будет и треугольное число, корень которого есть ___ 1 +3Z + 4 j/Ц^- Подставляя последнее в выражение для а и используя формулу для Ь, получаем следующее выражение: 8 4- 4-17 t -f- 24 —5— , которое связано с 1 4- 3* + 4 |/ —%— только что указанной зависимостью. Продолжая таким образом далее и используя получающиеся последовательно выражения для ап и Ьп, приходим к ряду t- 14-3*4-4 84-17*4-24 ^/^; 49 4- 99* 4-140 |/—л т. д., для членов которого верно утверждение: если треугольное число, корень которого есть ап_г, является квадратом, то квадратом будет и треугольное число, корень которого есть ап. Для образования членов ап этого ряда дается следующая рекуррентная формула *): ап = 2 4- 6«п-! — яп-2- Отсюда получен численный ряд корней треуголь- ных чисел, удовлетворяющих условию задачи: а = 0, 1, 8, 46, 288, 1681 и т. д., а также ряд соответствующих им корней квадратных: fc = 0, 1, 6, 35, 204, 1189 и т. д. Этот результат приводится и в обеих упомянутых выше статьях. 2) Далее Эйлер переходит к общему случаю, когда d #= 0 и а = —14-К8*>«—8<*4-1 Применяя опять «метод Пелля», аналогично предыдущему, Эйлер вводит в рассмотрение величину е, квадрат кото- >) Она вытекает из получаемых при решении выражений: Оц_1= 14*3an_f4-46n-t; ^n-i= i 4"2®n-i-|-3fcn_»; Оц= 1 +3an-i-b4bn_1; *’n= 14-2an_1-|-3bn_i.
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 117 рой равен некоторому треугольному числу +</, при- чем е, t связаны с исходными величинами а и b зависи- мостью, аналогичной предыдущему случаю. Как и прежде, он выражает а и b через е, а затем через t, получая окончательно: 1 । ч/ 1 z । f t*+t+2d . ; . । -tf i о I f t2+z+2rf a = 1 + oi-f-1 I/ -2-----’ 0 = 1+“I + o|/ ---5---. (6) После этого, как и раньше, получается рекуррентный ряд для а и b и приводятся численные значения для частного случая d = i. 3) В следующей части рукописи Эйлер возвращается к первому случаю d = 0. Он приводит формулу общего члена у полученного ранее ряда 0, 1, 6, 36, 204 и т. д. (где Ц (34-2/2)п * — (3—21 2)” 1 У =---------W~2---------- и общую формулу _ (34-21 2)n-14-(3 —2К2)”’1—2 X- . Эти формулы даются здесь без доказательства выве- дены они полностью во второй упомянутой выше статье и применены в ней для решения этой же задачи. 4) В последнем разделе статьи Эйлер выводит уже полученные формулы (6) для случая d Ф 0 несколько другим, более общим способом, ставя задачу: если выра- жение а&24-рЬ4-у есть квадрат при b = х, найти все значения Ь, при которых afc2-|-pb4-y будет также квад- ратом. Здесь дословно повторяются все рассуждения, встреча- ющиеся в § 3 — 7 первой из названных статей, и те же выво- ды: если аЬг 4- fib 4- у является квадратом в случае b = х, то оно также будет квадратом в случае b = -P+Pl/14-aX« + j j р-+ } -
118 Г. П. МАТВНЕВСКАЯ 3 где X выбирается так, чтобы 1 + аХ2 было квадратом, т. е. X есть решение уравнения Нелля аХ2 + 1=р2. Применяя этот результат к данной задаче, т. е. если а = -^, p = y,y = d, Эйлер получает X = 4 u yf 1 + уХ2 = = 3. 11 тогда: если выражение ——Ь« есть квадрат в случае b = х, то оно будет квадратом и в случае Ь — = 1 + 3x4-4 |Х* + d и при этом \f Ь + d — 1 + г Л F Z + 2х + 3 + d. Таким образом потучается уже найденный результат. Последним рассматривается слу- чай, когда а в выражении аб2 + 06 + у равно квадрату. Тогда возможно единственное решение в целых числах ПРП Т = £- Этой рукописи предшествуют замечания П. 11. Фуса и копия, сделанная его рукой. Из замечаний видно, что рукопись не была опубликована в 1849г., так как издатели нашли- что по содержанию своему опа полностью повто- ряет определенные части упомянутых выше опубликован- ных мемуаров. Однако это утверждение неверно, так как поставленная задача была разрешена Эйлером в опубликованных ме- муарах лишь для случая d=a2+a. Кроме того, в данном фрагменте чрезвычайно интересен именно метод решения (1-я и 2-я части рукописи), который в опубликованных статьях но применяется. Время написания рукописи (судя по почерку) можно ориентировочно определить, как 1736-1738 гг. ' II. Вторая рукопись (ji. 19—22 об.) представляет собой отрывок неизвестной работы, в котором содержатся 17 параграфов (§ 32—48), посвященных исследованию тех случаев, когда корень 3-й и 4-й степени из полинома от х прп некоторых значениях х становится рациональным. По содержанию своему этот фрагмент сходен с гл. X (§ 147—161) второй части «Алгебры» Эйлера, но здесь рассмотрен также ряд вопросов, которые в «Алгебре» но затрагиваются.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА Ц9 Из первых слов § 32 можно заключить, что в отсутству- ющей части статьи речь шла о приведении рациональных выражений к квадрату и правилах этого приведения. От этой части, очевидно, сохранился только один параграф, именно § 32. В нем Эйлер упоминает особые случаи, кото- рые, хотя и но подчинены какому-либо общему правилу приведения, ио для которых это приведение не представ- ляет трудностей. В качестве примера дается выражение а24-6х-|- (^2асх1 -f--f- dx* 4 ex6, становящееся квадратом при х = с . Действительно, эта подстановка обращает данное выражение в следу- ющее: Г . Ь c*—d . с (с»—</)»-!» В следующих параграфах Эйлер переходит к рас- смотрению более сложных вопросов. Так, §33 — 38«посвящепы приведению иррационально- сти, содержащейся под злаком корня «к>бического». Прежде всего ставится вопрос о приведении выра/ье- ния ях24-6х-|-с к к>бу при различных значениях свобод- ного члена (§ 33 и 34). Сначала Эйлер рассматривает случай c = d3. On по- лагает ах3 4- Ьх 4- d3 = (d -f- ^)8. Отсюда , Ъ*х* . Ъ»х6 аХ ~ 3d» + 27d» и, следовательно, 21 ad*— ММ* х-------6» ‘ Приведение выражения ях24-6х4~с к кубу возможно и при значении свободного члена с = е8 — я/2. 4а 1 '
120 Г. П МАТВИЕВСКАЯ Тогда, полагая а г ———г, у 6х + ^+е8-а/2 = ^, МОЖНО ПОЛ}ЧИТЬ ж2+*?+*1=?'^+/« а Ма* а ' Следовательно, ’+s“|/2=^- Если при этом у = е, то х = / — Исходя из этого, под- . 1 ъ становкои х = у + / — — приводим данное уравнение к пре- • дыдущем) случаю. Далее Эйлер переходит к приведению выражения |/ад3-р bx2-^-cx-\ d и посвящает ему четыре параграфа. Эта часть интересна тем, что она почти потпостью повторяет содержание § 147 — 131 «Алгебры» и дока- зывает тем самым связь рукописи с данным сочи- нением. А именно, здесь излагается метод приведения выражения ах3bx2-Y exd к кубх для значений: а = с3, d = g3. Он был введен Ферма, и Эйлер в «Алгебре», как и здесь, излагает существо этого метода. В § 33 выражение } ал3 + bx2 +• сх 4- d рассматривает- ся при значении а = е3. В «Алгебре» эта задача решена в § 150. Эйлер полагает Уе3х3 + bx2 -^cx-b-d = ех-^ отсюда cx + d — ^ + — Зе3 27е* и окончательно _ Ь«— 21 de* Х~ 21се*—9Ъ2е*' Эта величина, подставленная в подкоренное выражение, дает / 9Ьсе* — 27de«— 26* Xs 27сг» —26М J •
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 121 В § 36 разобран второй сл}чай: d = e3. Здесь, полагая J ах9 -t- bx2 сх + е9 = е + , Эйлер потучает: ах3 + Ьх2 = — + — + °х Зе» + 27е» ' Отсюда _ 9с»е» — 21Ье* Х~ 27ае«—с» ' В «Алгебре» этому параграфу соответствует § 149. § 37 посвящен рассмотрению случая, когда как коэф- фициент ври Xs, так и свободный член являются кубами, т. е. а = е3, d = f9. В этом случае полагается Уе3х3 -р Ьх2 сх + /3 = ех + /. откуда Ьх2 сх = Зе2/ 2 + 3ej*x и х = ^_3еу • Таким образом, при а = е3, d = /3, кроме двух поле- ченных в § 35 и 36 решений, имеет место еще и х = 3^/2____с = • В «Алгебре» этот вопрос рассматривается в §151! В § 38 Эйлер говорит, что из этих трех правил ни одно не будет выполнено, если и Ъ и с равны 0. В этих случаях он предлагает опытным путем найти одно част- ное решение, с помощью которого далее следует искать дрхгие. Такого рода примеры Эйлер рассматривает в § 152—159 второй части «Алгебры», применяя этот метод, новый, по сравнению с предложенным Ферма. В данном же фрагменте он ограничивается указанным замечанием. Кроме того, здесь он упоминает также другой особый случай, когда подкоренное выражение делится на квад- рат. Тогда полагается 1 (х + а)2 (Ьх + с) = (х + а) у, откуда Ьх + с = ху9 -+ ау9, х = -°У2.~1С- •
122 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ §39 — 42 посвящены приведению корня четвертой сте- пени, когда подкоренное выражение есть полином 2-й степени от х. Это приведение производится путем двух последовательных приведений (сначала требуется, чтобы подкоренное выражение стало квадратом, а затем корень квадратным из него в свою очередь превращается в квад- рат). В § 39 замечается, что такое приведение допускают лишь формулы, в которые неизвестная входит не выше, чем во 2-м степени (при этом разумеется, что фигуриру- ет только одна неизвестная). Первый пример рассматривается в § 40 и 41: требу- ется привести к 4-й степени выражение ах2-f- bx—bd — ad24- е2. Сначала оно должно стать квадратом, для чего Эйлер ссылается на отсутствующий § 1В и применяет метод, изложенный в этом параграфе. Он полагает ах2 -\-bx + bd — ad2 + е2 = [е 4- (z 4- J) у]2, откуда легко видеть (здесь сделана ссылка на § 17), что dj/s4-2ej/4-ad — Ь ЗС « а —у* □ 1 ’rax2 + bx + bd-ad2 + e2 = ; последнее выражение в свою очередь должно быть све- дено к квадрату. Эта задача решается в §41: прежде всего выражение ey2-\-2ady- by + ae умножается и делится на а —у2; тогда получается, что к квадрату должно быть сведено выражение — еу* — 2ady3 4- 2a2dy 4- а2е 4- by3 — aby. Эйлер утверждает, что это возможно, если е2 есть 4-я степень, и полагает e2 = f*. Отсюда делается вывод, что первоначальное выражение может быть сведено к 4-й степени, если оно имеет вид ах2 4- бх 4- bd — ad2 4- /*.
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 123 В §42 рассматривается второй сличай (опять со ссыл- кой на §16): а bx + (bd — ad2 + е2) х2 должно стать биквадратом. Как и в § 40, оно сначала сводится к квадрату. При этом, используя результат § 16, Эйлер получает __ а—уг Х~ ey-\-dy* — i>4-ad ’ J a + bx + (bd — ad2 + e2) x2 = 2ady - by-]-ae ey + dyt — b-[-ad Это выражение опять должно быть сведено к квадрату. Рассуждая аналогично § 41, Эйлер приходит к за- ключению: чтобы данное приведение имело место, необхо- димо, чтобы в получающемся при этом выражении от- сутствовал член, содержащий у2. § 43 и 44 посвящены случаям, когда известно одно значение, при котором иррациональность уничтожается, ио нахождение других представляет затруднения. Эйлер предлагает избегать этих затруднении _ту4~п J/4-е и приводит пример (§ 44): пусть подстановкой требуется све- сти к квадрату a -f- bx + сх2 Ц- dx3 -|- ex*, прнчем один случай такого приведения х=т). Подставляя х = > можно жение, которое сводится к квадрату, если а + bm + ст2 + dm3 + ст* известен (при полу чить выра- равно квадрату, что выполнено по условию. В § 45 начинается рассмотрение нового вопроса. До сих пор, — говорит Эйлер, — давалась одна формула, для которой определяется неизвестная, приводящая ее к ра Цнональностп. Теперь же ищется величина неизвестной, уничтожающая иррациональность у более чем одной формулы. Сначала (§ 46) рассматривается вопрос об одновре- менном приведении к квадрату двух линейных функций
121 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ эт одной неизвестной: ах 4 b, cx-t-d. Для этого полагает- . l в у*—Ъ ся ах 4 b = у*, откуда х = , а следовательно, с-г-М = -сУ,-Ьс+°< а Теперь квадратом должно стать выражение асу2 — abc 4 a2d, а каким образом это может быть сделано и в каких случаях, ясно из § 16. В § 47 и 48 речь идет об одновременном приведении к квадрату трех выражений ах + Ь, сх 4 d, ex + /. Здесь используются рассуждения предыд}щего параграфа, а также отсутствующего § 16. Па этом рукопись обрывается. Относительно того, когда, с какой целью она была написана и каково содер- жание отсутствующих параграфов, можно высказать не- сколько предположений: 1) Из текста рукописи следует, что в отсутствующей части (§ 1—31) шла, в частности, речь о решении урав- нения J ах2 4 Ьх 4 с = у. При этом рассматривались слу- чаи: а) а = f2; б) с = bd — ad2 4 еа. | В последнем из них подкоренное выражение приравнивалось [е4 (z4 d) г/]2 и отсюда находилось dy* + 2ey-[-ad— Ь Х~ а —у* I ax2+bx+bd-ad2 + e2 = . 2) Ориентировочно можно предположить, что этот от- рывок есть часть первоначального наброска «Алгебры», задуманного более широко, чем осуществленный вариант. 3) Время написания можно отнести к 1735—1740 гг., так как почерк Эйлера в этой рукописи тот же, что и в записной книжке № 131 (см.-стр,-136). III. К разделу законченных фрагментов следует так- , же отнести записи на л. 12 — 12 об., озаглавленные «Решения арифметических задач, предложенных де Вил- ли». Эти задачи были, очевидно, опубликованы в труде
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА ]2Е Ж. де Билли «iliophentus. geometra—sive_ орнч-xanLexlum. ex aritlimetiea el geetnel J , Записи относятся к решению шести задач, по ход ре- шения излагается лишь для первой из них. Задача I состоит в определении х, которое обраща- ло бы выражение х* — х3 — х в квадрат. Эйлер приводит решение этой задачи. Вначале пред- полагается из решения этого уравнения получается значение х = — 4. , 1 IV Х ~ 2Х~Ъ) ’ Наконец, полагая х = у — 4, Далее х* — х3 — х предполагается равным откуда полу чается а= — . .... 2444 Эйлер прпходпт к зпачепию у = -т^- и, наконец, к х = 1296 . = 287"’ что }Д°влетвоРяет условию задачи (при нодста- . « 362-40 8792\ повке в выражение х* — х3 — х ^цолу чается —— \ . Задачи II и III. Приводятся только условия л,4 + я3 — а: = □, x4 + xs-|-x= □ и делается замечание: «решаются схо щым способом». Дтя остальных трех задач после формулировки при- водится только окончательное решение, ход же рассуж- дения остается неизвестным. Ниже изложено содержание этих записей. Задача IV. Пусть даны числа a, ab, ab2, найти число х, чтобы х2 + ах, х2 -f- abx, х2 4- оЛ>2х были бы квад- ратами. Полагая у = -^, Эйлер приходит к уравнениям 14-ау = С. 14аЬу=С, 14-fl&2y = C и дает ___ —8(а-|-а6—ab2) (a — ab-^-ab2) (ab*-j-ab— а) У~ (а»4-а*6*4-а»64—2а*Ь —2a*fc« —2a2fc»)« ’
126 Г. 11. МАТВИЕВСКАЯ отсюда а (1 + Ь» + 6*—2ft — 26*—26s)2 х~ 8(Ь*-Ь—1)(Ь*-Ь+1)(Ь»+Ь—1) ИЛИ ор+^ + Ь1)2^1—36-Н)1 Х~ 8(62—Ь— 1)(Ь2— ft+l)(ft*+ft-l) * Для частного случая Ь = 2 имеем х = (При подста- новке в исходные уравнения это значение дает 2 , 7*132а* , , , 7»-17»в» 2 . ,2 7223*а» . Х ПХ==-Щ?-’ Х +аЬх = П2(Я-’ 1+Л = '12(? •) Задача V. Пусть три числа, находящихся в гармо- нической пропорции, суть a2 — ab, a2— b2, a2-\-ab. Найти число х, чтобы а2 + (я® — ab) х = □, а®4- (о2 — Ь2) х = □ , ar + (a® + ab) а-= □ . Приводится ответ: _ (Ь44-6а*Ь2—За4)» Х~ 8(Ь» + 2аЬ —а»)(а» + Ь2)(а2+2а6-Ь*) ’ 529 Для частного случая а — 2, b = 1 имеем х = . Задача VI. Пусть три числа, находящихся в ариф- метической пропорции, суть а—Ь, а, а-)-Ь. Найти число х, чтобы было х2 + (а — Ь) х = □, х2 + ах = □, х2 + (а + Ь) х = □. Дается ответ: _ (46*—За2)2 г —8(2Ь—a)a(2ft-f-a) ' 121 Для частного случая а = 3, Ь = 2 имеем х = . IV’. К законченным заметкам, не опубликованным ра- нее, относится задача (л. 14 об.): «найти прямоугольный треугольник в рациональных числах, чтобы как гипоте- нуза минус площадь, так и один из катетов минус пло-
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 127 щадь образовали бы квадраты» или (вобозначениях Эйлера): АСАС-ВС = {J, где Л, В и С —вершины прямоугольного треугольника. Подобные задачи, строящиеся на различных соотношениях сторон прямоугольного треугольника и его площади, очень часто встречаются в теоретико-числовой литературе до Эйлера. Они ставились и решались Диофантом, Баше, Билли, Озанамом и др. С Данная задача была предложена и решалась Ферма*). Среди опубликованных работ Эйлера (статья tSoIuHo problematic diri'icillimi a Feimatio propositi»8)) есть сход- ная задача, которая в приведенных выше обозначениях может быть сформулирована так: найти прямоугольный 1 треугольник АВС, для которого АС—^-AC-BC = Oi ВС— АС-ВС = [J. Но данная задача средн опублико- ванных не встречается. После формулировки задачи и чертежа Эйлер приво- дит решение в общем виде: АВ - р*+* - р*~1 - р+ш2 (р2— 1) ’ />-}-т2(р2—1) ’ nr =_____?£_____ р+"«2(р2-1) ’ <* причем в этих формулах следует брать лиоо р = , 4-12т»-4-16 .. о лиоо р=—g_L_—. Например, при значении т = 2. лв=^, ле-’, вс-А; 3 /4\2 тогда площадь = gg , АВ — площадь = ( ? J , АС — пло- —G)‘ г L. Е. D i с k s о n, History of the theory of numbers, Washing- ton, 1919, If, Chap. IV, стр. 177. 2) Comm, arithm. coll., 1, 62—72; E 167; Op. omn., 12, 223—240.
128 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ 1С — —— вс — 16 • ° “ 1016 ’ G “ 1016 ’ При т = 4, р = 8 АВ = — п Ю16 ’ 63 г, отсюда площадь = 12?-t . При подстановке этих значе- 32* <zi площадь = , АС — площадь = 12«* ппй получается: АВ — _ 63* - 127» • гг л 29 При m=i, Р = -^2 j d 985 ЛВ=1б45’ АС 697 г>р___ 696 1<>45 ’ 1045 Далее оказывается: 887* ЩЯДЬ = 1045*’ АВ — ПЛО- 697-348 площадь =--^52- 697я АС — площадь = . V. На этой же странице (л. 14) находится задача; «найти бесчисленные прямоугольные треугольники в ра- циональных числах, площади которых были бы равны между собой». Зплер дает Для одного треугольника: гипотенуза = a (&2 + 1), Г ( = а(Ь®-1), катеты J I = 2аЬ; Тогда для решения задачи следующее решение. Пусть для другого треугольника: гипотенуза = п (рг + 1), 1 = п (р* — 1), катеты { | = 2пр. бе ретен 8лЬ»(6« —1)* п~ (fc»+i)(b«—6&»4-i) н »= Р ЬЫЬ*-!) * VI. К рассматриваемой группе рукописей можно так- же отпести решение находящейся па л. 9 задачи: «пай- тп два числа, из которых каждое минус их произведе- ние дает квадрат». Если искомые числа обозначить 9 г — , —, то условие задачи примет вид п п nq — qr = a®, nr — qr = b*.
О^НЕОПУБЛИКОВХННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭПЛЕРА 129 Произведя ряд преобразований над и, Эйлер получает, что требование задачи выполняется при значении (<7+'’)(92+67'’+г1) (g-r)» Действительно, первое выражение при этом оказывается 92(?+Зг)» г»(г + 39)« равиим -, второе . VII. Сюда относится и одна из задач, находящихся в другом томе рукописей (№ 155, л. 426 об.). Под общим заголовком «Solution des quelques questions du Livre VIII, de 1’Algebre de Mr. ОхапатйЛшходятся три задачи, из которых решенной можно считать вторую: х14-хг/=С, у’ + хг/=О. Для нее приводится решение: у = р(1 — п2)2, х = ^рп2. \ III. Наконец, к этой же группе можно отнести и находящиеся на листах 15 — 15 об. (№ 158) отрывки, которые также не относятся к напечатанным работам. В них рассматривается вопрос о нахождении значения неизвестной, при котором полином 3-й степени обращает- ся в квадрат. При этом получается результат, аналогич- ный тому, к которому Эйлер приходит в отношении по- линома 2-й степени: если известен один случай, в кото- ром полипом 3-й степени обращается в квадрат, то из него при помощи приводимой формулы оказывается воз- можным получить другие значения, для которых вы- полнено то же условие. Хотя чпслепиые примеры подтверждают правильность следующих результатов, однако ход рассуждения, кото- рым Эйлер пришел к ним, остается совершенно неиз- вестным: а) Если ах2 + Ъх2 + 2cdx + d2 есть квадрат в случае, когда x=q, то оно будет квадратом также в случае ___2d2-\-2cdq -{-2d l/ag*+feg^-f-2cd<7-|-g, Х__5^ ‘ б) Если ау2 by2 + су 4 d является квадратом в слу- чае у = р, то оно будет квадратом также в случае а3р* — 2аср* — Sadp 4* с2 — ibd У 4a2/>*4-4afc/>24-4a<7>4-4ad 9 Истор.-матвм. исслед . вып. XIII /ммсЛй , t рс» у CjARotwb
130 Г. П. НАТВПЕВСКАЯ II. Законченные фрагменты, относящиеся к опхблнковаппым работам Здесь нужно упомянуть отрывочные заметки, находя- щиеся на листах 17 17 об., 18 — 18 об., а также на листах 29 об., 30 — 30 об. (Л» 158). Все они относятся к уже названной ста1ье problcmatum IMo-EI ^htmtVDrum per ншпегдо integrosv1): нх содержание также вое производи i ся в переписке Зп icpa^r Прежде всего (л. 17) формулируется уже встречавшийся в рукописи результат: «если л.г2 4- Ьх 4- с есть квадрат в случае х = т, то [оно] также становится ква ратом в случае, где х = т | al2 4- 1 + b * О<.,^~1—— +11 am2 -f- bm -f- с , если вместо t берется [такое] число, чтобы at24-1 сдела- лось квадратом, и | ах2-р Ьх-}-с становится равным alm + у + |' л/2 -р 1 1 ат2 -р Ьт-}- с , следовательно, величины, которые должны быть подстав- лены вместо х, получатся (если положить ] aZ2-pl=s): I. т. II. sm + b -[-1 У ат2bm + с. III. — т 2s2m 4- bt2 4- 2st ] am2-}- Ьт-}-с». На листе 18 об. даются значения, получаемые самой величиной ] ах2-}- Ьх + с. Кроме того, иа листе 17 приводятся три примера, иллюстрирующие сформулированную теорему. Например, один из них: найти значения х, при которых 2z2-pl станет квадратом; искомый ряд значений: 0, 2, 12, 70, 4U8 и т. д. Листы 17 об,- 18 посвящены методу рационализации выражения вида | лх24-Ь, который Ойлер называет «ме- *) Comin. arilinn. coll., I, 4—10; E29; Op. omn., I. 2) Corr. math, et phys., I. 37.
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА «31 •годом Пелля». Об этом методе идет речь в уже названной статье и рассмотренной ранее рукописи (.V 158, л. 27 — 28). Здесь же под общим заголовком «Exempla Melhodi Pel lii» ^приведены три примера применения этого метода. О 111. Незаконченные отрывки К последней группе рукописей былп отнесены те, в которых задача ставится, но остается нерешенной. Она в свою очередь может быть разделена на два раздела: 1) опубликованные отрывки; 2) отрывки, относящиеся к опубликованным работам. 1) Сюда относится поставленная на листе 6 (№ 158) задача, которая, как явствует из заготовка, была предло- жена Ж. де Вилли. Она формулируется следующим обра- зом: «найти прямоугольный треугольник, в котором удвоенная площадь, будучи вычтена из отдельных сторон, составляет квадраты». Решение начато несколько раз, но пе закончено. Среди опубликованных работ Эйлера эта задача не встречается. Кроме тою, начата, во пе кончена задача (Л« 157, л. 5G1): «найти четыре числа, чтобы сумма двух каких- нибудь была квадратом». 2) К отрывкам, относящимся к напечатанным работам, принадлежат находящиеся на листах 10 об. в 13 (Л° 158) попытки решения двух зад »ч. I. 2п4—1 =□. Эта задача решалась Эйлером не один раз; в частности, в «Алгебре», II, § 140. II. Найти два числа, сумма которых есть квадрат в сум- ма квадратов — биквадрат. Эта задача поставлена Ферма и решалась Лейбницем. Эйлер приводит ее решение в нескольких мемуарах. ЗАПИСНЫЕ КНИЖКИ ЭП.ТЕРА II ЗАМЕТКИ В ПИХ. ОТНОСЯЩИЕСЯ К ДИОФАПТОЮ АНАЛИЗУ Г Е<А>' fVrt Двенадцать записных книжек илера значатся в—Ар- хиве АН-СССЙ под А« 129—140 описи I фонда 136. Они представляют £обоп ценнейший материал для изучения истории творчества великого математика. Только три по-
132 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ следппе из цих были известны по изданию «Opera postunia» 1862 г., остальные же долгое время находились вне поля зрения исследователей. Впервые на записные книжки обратил внимание Г. Энестрем в 1913 г. при рассмотрении рукописей Петер- бургского архива и в уже упомянутом докладе коротко, по полностью охарактеризовал их н определил их значение. Энестрем отмечает, что, рассматривая данные рукописи, он с удивлением констатировал, что «это были записные книжки, в которых Эйлер при случае отмечал предметы, которыми он в то время запимыся» и что содержание нх в преобладающем было математическим. «Две наиболее старые записные книжки,— говорит далее Энестрем,— содержат, в основном, упражнения и имеют поэтому под- чиненное значение; однако с помощью других записных книжек можно довольно хорошо ознакомиться с историей эйлеровских открытий. Нужно было бы очень желать, чтобы зти записные книжки были проработаны; для каж- дой записи математического содержания нужно было бы дать особую заметку о ее предмете». Одиако ввиду того, что такая работа, по словам Энестрема, потребовала бы много месяцев, сам он смог только бегло пролистать за- писные книжки, в первую очередь для того, чтобы уста- новить их хронологическую последовательность. Приве- дем датировку записных книжек, данную Энестремом, и его замечания. 1) Записная книжка А» 129. Большая часть заметок (пли все?) относится к базельскому периоду жизни Эйлера. 2) Записная книжка А» 130. Даты начала и окончания книжки не установлены; Энестрем отмечает только днев- ник, относящийся к 1727 г. 3) Записная книжка А® 131. Начата 12/11 1736 г., завершена в конце 1739 г. пли в начале 1740 г. 4) Записная книжка А? 132. Начата в 1740 г. 5) Записная книжка А® 133. Заполнена около 1750 г. 6) Записная книжка А° 134. Очевидно, 1750—1755 гг. 7) Записная книжка А® 135. 1759—1760 гг. 8) Записная книжка А? 136. Начата в 1760 г. 9) Записная книжка А® 137. Хронологические границы не установлены; отмечена запись 1764 г.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭПЛЕРА ЦД 10) Записная книжка № 138. 1767 (?)—1775 гг. 11) Записная книжка As 139. 1775—1779 гг. 12) Записная книжка As 140. 1779—1783 (?) гг. Кроме хронологическом последовательности, Энестре- мом дано общее описание записных книжек. Записные книжки Эйлера естественно привлекли внима- ние издателей «Opera oinnia». В предисловии к первому тому арифметических работ Эйлера1) Ф. Рудно особо останавливается па этом вопросе и отмечает, что не только записные книжки As 138—140, известные по «Opera post li- ma», но и все остальные должны быть исследованы. При этом он указывает, что заметки теоретико-числового со- держания будут опубликованы в последнем томе арифме- тических работ (15). Однако в дальнейшем планы редак- ции изменились, и в 1944 г. в специально посвященном записным книжкам предисловии к 5-му тому 1-ой серии «Opera omnia» новый редактор А. Шпайзер пишет, что они будут помещены полностью в конце всего издания среди биографических материалов. Таким образом, несмотря на знакомство эйлероведов с записными книжками, содержание их, по существу, оставалось совершенно неизвестным. Только в последнее время они привлекли внимание советских исследователей. В статье Г. К. Михайлова2) «Записные книжки Леонар- да Эйлера в Архпве АН СССР» дается общее описание за- писных книжек и выделяются места, посвященные зада- чам механики. Помимо этого автор приводит более точную по сравнению c Эпестремом датировку их, а именно As 129—130 1725—1727 As 131 1736—1740 № 132 1740—1744 № 133 1749—1753 № 134 1749—1757 (Математические заметки относятся к 1754—1757 гг.) As 135—137 1759—1764 l)Leonhardi Е u 1 е г i, Opera omnia, 1915,1.; F. Rudio— lorwort. ♦Историко-математические исследования», own. X, M., 1957, стр. 67—9-1.
134 Г. II. МАТВИЕВСКАЯ Все это дает возможность гораздо более свободно ориентироваться в материале при исследовании записных книжек. Записные книжки представляют собой переплетенные тома различного формата, количество страниц в которых колеблется от 152 (№ 130) до 544 (№ 131), причем всего насчитывается свыше 3000 страниц рукописного текста. Заметки сделаны в большинстве своем на латинском языке, реже па немецком и совсем редко на французском. Можпо сказать, что записные книжки отражают в хронологиче- ском порядке ход работы Эйлера над интересовавшими его проблемами и показывают особенно полно, какой необыкно- венно широкий круг вопросов был им охвачен. Здесь ясно видно, с какой легкостью переходил он от одного предмета к другому, от одной задачи к другой, совершен- но не сходной с ней но характеру. Различные вопросы механики сменяются геометрией, алгебра — математи- ческим анализом и так называемыми «магическими квад- ратами», заметки по теории музыки идут вслед за физикой в дифференциальными уравнениями. Часто эти записи являются черновыми к напечатанным работам Эйлера, часто они отражают предмет его научной переписки того времени, но иногда содержат в себе задачи, пе встречаю- щиеся в опубликованных работах. Все эти записи независимо от того, известны они или не известны, представляют чрезвычайно большой интерес, так как они являются незаменимым материалом для изучения истории открытий Эйлера и позволяют глубже заглянуть в творческую лаборатории» великого уче- ного. Нами была сделана попытка изучения записей по тео- рии чисел, находящихся во всех двенадцати записных книжках. Однако материал оказался столь большим, что поместить его полностью в настоящую работу было невозможно. Поэтому, помимо данного ниже очень обще- го описания записных книжек с точки зрения находящихся в них материалов ио теории чисел, приведены только результаты исследования посвященных диофантовым уравнениям записей, которые составляют примерно поло- вину всего материала.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭПЛЕРА К5 Удельный вес теоретико-числовых вопросов в записных книжках весьма велик: задачи такого рода встречаются па 787 страницах. Распределяются они по записным книж- кам неравномерно (от 3 до 148 страниц). Поскольку заметки, относящиеся к одной теме, разбро- саны в различных местах одной и той же книжки пли, еще чаще, в разных книжках, то прежде всего встал вопрос о классификации всех записей. Для итого оказалось необ- ходим им сначала отделить заметки теоретико-числового содержания от остальных записей и собрать их воедино. После этого весь материал был распределен но четырем большим разделам по образцу подразделения, данного В. Я. Вуняковскнм и 11. Л. Чебышевым в 1849 г. в списке работ Эйлера по теории чисел ’): 1) диофантов анализ; 2) делимость чисел; 3) разложение чисел на суммы раз- личных форм; 4) смешанные задачи, не вошедшие в пре- дыдущие три раздела. Следующем этапом работы явилась более подробная классификация в каждом из этих разделов. Только после этого стало возможно непосредственное исследование отдельных записей. Оно заключалось в сле- дующем: 1) расшифровка записи; 2) перевод ее с латинско- го языка; 3) выяснение математического содержания; 4) сопоставление ее с опубликованными работами Эйлера, близкими к ней по содержанию, что давало возможность установить, относится ли заметка к напечатанной статье пли является повой п имеет самостоятельный интерес; 5) наконец, краткие комментарии в наиболее интересных моментах. Чтобы возможно яснее представить общую картину распределения материала по теории чисел в записных книж- ках и характер его, ниже приводим обзор всех записных книжек с этой точки зрения. I. 3 а п и с н а я книжка А’_ 129, состоящая из 407 страниц и относящаяся к базельскому периоду, со- держит сравнительно немного записей по теории чисел. Они встречаются на 15 страницах. На пяти страницах *) Comm, arithm. coll., 1849, I, p. IX—LXXIX, Index systema- tique des memoires de L. Euler relatifs a la theorie des nombres.
136 Г. П. ЫАТВПЕВСКАЯ (л. 50—52), частично между записями по теории музыки, дается решение задачи о нахождении таких чисел, чтобы разность двух из них была бы квадратом, причем это решение так и остается незаконченным. Остальные за- метки посвящены, в основном, магическим квадратам (л. 27-34). II. В записной книжке As 130, состоящей из 152 страниц, записи по теории чисел встречаются всего па трех страницах (л. 35 об., 37, 39 об.). Здесь решается, например, задача о нахождении целочисленных решений уравнения xv=yx, поставленная впервые в письме Д. Бер- нулли (1700—1788) к X. Гольдбаху (1690—1764) в 1728 г., а затем решенная Эйлером в «Introductio in analysin infin itorum». III. Записная книжка As 131 содержит уже большое число записей теоретико-числового содержания: из 544 страниц им посвящено 82. Здесь прежде всего рас- сматриваются вопросы делимости п простоты чисел (л. 18, 19 об., 55 об., 58 об.); имеются заметки, относящиеся к доказательству малой теоремы Ферма (л. 18 об. — 20 об., (55 об. — 56); впервые встречается несколько записей о ре- шении уравнения Пелля (л. 53, 54 «б. — 55); заметки о совершенных числах (56 об.). Много записей относится к различным вопросам диофантова анализа: например, о разложении числа на четыре квадрата (л. 61 об.). — 62 об., 116 об., 117 об.); задача о нахождении чисел х и у, для которых x-}-y=v2, х2-\-у2=ы* (л. 60 об.); о невозможности решения в целых числах уравнения х4 ± у1 — □ (л. 54 об., 171 —172); о невозможности существования четырех квадра- тов, находящихся в арифметической прогрессии (117 об. — 178 об., 182 об., 18 <), и много других вопросов. IV. 122 страницы из 520 посвящено теории чисел в за- писи о й к и и ж к е Л" 132. Тематика записей чрезвы- чайно разнообразна: разбиение чисел (л. 17—18), эле- менты аналитической теории чисел (л. 26, 31, 87—88), вопросы делимости, связанные с малой теоремой Ферма (л. 95—97 об.), дружественные и совершенные числа (л. 98), различные задачи диофантова апалпиа, где, кроме многих, фигурирующих и в записной книжке As 131, можно перечислить следующие: задача о нахождении
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 137 четырех биквадратов, сумма которых есть квадрат (л. 82об. — 83); о нахождении четырех кубов, сумма которых равна данному числу (л. 83, 88 об. — 89); о представимо- сти четного числа в виде суммы двух простых (л. 90— 91); первая попытка доказательства великой теоремы Ферма для случая п=3 (л. 79—80, 145, 1G8); о представи- мости простых чисел впда 4п-|-1 суммой двух квадратов (л. 141 об. — 142, 143 об., 258 об. — 259); заметки о невоз- можности решения в целых числах уравнения 4/ип—т—п= =□ (л. 173 об., 197—197 об., 220, 243), которые, как легко можно проследить, точно соответствуют по содержанию некоторым письмам из переписки Эйлера с Гольдбахом, и др. В связи с последними записями можно сделать заме- чание относительно датировки записной книжки .V» 132. Г. Эпестрем пе указывает даты ее окончания, Г. К. Ми- хайлов определяет эту дату как 1744 г. Заметка, относя- щаяся к решению задачи етп—т—п #= □, находится на л. 243— 244; соответствующие ей по содержанию письма к Гольдбаху датированы 17 ноября 1744 г. и 16 февраля 1745 г. Так как на этой записи книжка пе заканчивается, то можно предположить, что последние заметки внесены в 1745 г. V. В з а п и с н о й книжке № 133 теория чисел занимает 77 страниц из 353. Заметки, как и прежде, охваты- вают необыкновенно широкий круг вопросов. Можно выделить следующие пз ник: о разложении чисел на сумму четырех квадратов (л. 11 об. — 12, 52 об., 80 об.), уравне- ние Пелля (л. 30, 134, 152 об.), дружественные числа (л. 45), аналитическая теория чисел (л. 50—51), задача нахождения четырех чисел a, b, с, d, для которых а3-|-63= — с3 -}-d3 (л. 167—об. 168). Теории степенных вычетов по- священы листы 169 об.—170. Представляет особый интерес относящаяся к лету 1749 г. запись на листе 18 об., где вводится функция Эйлера <[(п) и формулируется теорема, которая в современных терминах гласит: если п — пе простое число, (а, и)=1, а X есть наименьшее число, для Которого а}~ (mod н), т=<р(п), тот делится на X. Работа, в которой Эйлер рассматривает эти вопросы, появилась только в 1758 г.
138 Г. II. MАТВПЕВСК VI VI. В з а п п с н о и к и и ж к е Л» 134 задачи по тео- рии чисел занимают 87 страниц из 519. Из них 27 посвя- щены магическим квадратам. Предметом большей части остальных записей является диофантов анализ, представ- ленный задачами из разных его областей. Особого внимания заслуживает запись, которая находится на листе 117 и имеет заголовок «Sciagraphia scientiae nuineroruBi (inte- groruin)» (описание учения о целых числах). Опа представ- ляет собой план изложения основ теория чисел, вернее всего, план учебного пособия. Можно предполагать, что эта запись относятся к незаконченной рукописи, опубли- кованной впервые в 1849 г. под названием «Tractatus de numerorum doctrina capita sedeciin, quae supersunt»1), и является ее ранним черновым наброском. Об этом сви- детельствует то обстоятельство, что при написании Тга- ctatus’a Эйлер придерживался плана, приведенного в данной заметке. Больше того, отдельные формулировки плана полностью повторяются в статье. Время написания обеих рукописей также совпадает: если Р. Фютер2) определил 1748—1759 гг. как примерный срок создания Tractatus'a, то заметка «Sciagraphia scientiae nuineroruin» находится в первой половине записной книжки «V 134, датированной 1749—1757 гг.. т. е. относится приблизи- тельно к тому же периоду времени. Записав первые четыре ну нкта плана, Эйлер заключает: «Следовательно, в этой первой части содержится образова- ние всех простых чисел». Сюда же оп относит и вопрос о суммах делителей чисел (Tractatus, cap. 111). Во второй части «обсуждаются только определенные классы чисел с точки зрения делимости па какое-либо простое число, например квадратов, кубов и степеней вообще» (Tractatus, cap. X—XIII). Далее рассматриваются классы чисел, обра- зованных из только что указанных (например, суммы двх'х квадратов), которые имеют делителей (Tractatus, cap. XV—XVI). Па этих вопросах закапчивается рукопись Tractatus'a. Следующие строки в заметке показывают дальнейшие *) Comm, arithm. coll., II, 503—575; Е792; Op. omn., Is, 182—283. •) Opera oinuia, Is, Vorwort des llerausgebers, XXV.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 139 намерения Эйлера. «К этому должны быть добавлены зада- чи, в которых ищутся числа х, у, z, чтобы было ах-^-Ьу= z=cz, а также, в каких случаях форма может быть квадратом. И, таким образом, сюда бхдет приведен весь анализ Диофанта». Отсюда можно зактючпть, чтопред- метом второй части предполагаемого учебника по теории чисел должен был явиться диофантов анализ. VII. Записная книжка № 135 содержит 18G страниц, из которых 20 посвящены теории чисел. Здесь рассматриваются различные вопросы диофантова анализа (в частности, уравнение Пелля), а также теории квадрат- ичных вычетов. VIII. В записной к н и ж к е № 136 задачи теории чисел размещены па 26 страницах из 184. В пей опять рассматривается большое число задач по диофантову анализу (например, задача нахождения чисел х, у, для которых х-Н/=V*, хг-}-уг = w* (л. 11), задача a1 -|~^4 = О (л. 88), заметки о теории квадратичных вычетов (л. 88— 89) и др. IX. В записной к н п ж к е Л» 137 содержится только 6 страниц с заметками по теории чисел. Все они относятся к диофантовым уравнениям. Часто они размеще- ны на нолях между другими записями и математическими текстами, не прнпад (ежащими Эйлеру, но объединенными в этой книжке. X—XI—XII. Три последние записные книжки, идущие под номерами 138, 139, 140 и носящие название «Adversaria mathematical», написаны учениками Э1 лера (Н. И. Фус, 1755—1826: М. Е. Головин, 1756—1790; А. И. Лексель, 1740—1784: Л. Ю. Крафт, 1701—1754; И. А. Эйлер, 1734—1800) под его диктовку. Почти все заметки по теории чисел вошли в первый том «Opera postii- ша», однако некоторые остались неизвестными: это, боль- шей частью, незаконченные отрывки или заметки — под- готовительные к опубликованным позднее работам. Пуб- ликация их была нецелесообразной, но в свете общей задачи исследования записей по теории чисел они пред- ставляют несомненную ценность. Записная книжка .V 138 содержит 344 стра- ницы, из них на 143 страницах встречаются задачи но
140 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ теории чисел: в з а н и с н о и книжке № 139 (263 стр.) теоретико-числовые заметки находятся на 44 страницах; в записной книжке № 140—на 73 страницах. Следующая таблица схематически дает общую картину интереса Эйлера к теории чисел. книжки Годы Количество стра- ниц. посвящен- ных теории чисел 129 I 130 J 1725—1727 (1 131 1736-1740 82 132 1740— 1744 122 133 1749 1753 77 134 1749—1757 87 135 1 136 J 1759—1763 1 20 1 26 137 1760—4764 6 138 1767—1775 143 139 1775—1779 44 140 1779—1783 73 Отсюда можно сделать вывод, что периодами наиболее интенсивной творческой деятельности в области теории чисел являются годы с 1736 ио 1744 (в среднем 23 страницы в год) и с 1767 ио 1783 (в среднем 15 страниц в год). Сравнение с публикациями этих лет показывает, что даже в те годы, когда из печати выходило сравнительно немного работ Эйлера по теории чисел, он продолжал свои уси- ленные занятия этим предметом. Так, 9 лет, с 1736 но 1744 г., когда было напечатано всего л ишь четы ре теоретико- числовых мемуара, оказываются, судя по записным книж- кам, самыми продуктивными в этом направленпн._______ Приступаем к освещению содержания заметок из за- спых книжек, касающихся диофантова анализа. Поскольку такое большое внимание было уделено _ ..лером уравнениям Диофанта в опубликованных мемуа- рах, неудивительно, что и в записных книжках ои воз- вращается к вопросам диофантова анализа чрезвычайно часто. Можно сказать, что из всех заметок теоретико-число- вого содержания примерно половина, т. е. около 300
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 141 записей, относится к этому разделу. Все эти записи могут быть подразделены следующим образом1): I. Многоугольные числа. И. Уравнение az2 + fcz )-с = □; уравнение Пелля. 111. Задачи о треугольниках. IV. Отдельные уравнения 2-й степени. V. Системы неопределенных уравнении 2-й степепп. УЧ. Неопределенные уравнения и системы уравнений 3-й степени. УЧ1. Неопределенные уравнения 4-й степени. У 111. Квадраты, находящиеся в арифметической про- грессии. IX. Великая теорема Ферма. X. Целочисленные решения уравнения xv=yx. I. Многоугольные числа Определение многоугольного числа дано впервые во 11 в. до и. э. Гипспклом Александрийским. Он называет п-м m-уготьным числом (Pm) сумму п членов арифметической прогрессии, первый член которой есть 1, а разность т—2, т. е. пп _ (m —2)л»—(т —4)л ------------g • Название связано с геометрической интерпретацией. Предшественники Эйлера, начиная с глубокой древно- сти, проявляли к теории многоугольных чисел постоянный интерес. Ей посвящали своп работы Ппкомах Геразскпй (I в. н. э.), Диофант (III — IV вв.), Боэций (1470—1526), Кардано (1501 —1576), Штпфель (1486—1567), Баше де Мезпрпак (1587—1638), Ферма (1601—1665), Декарт (1596—1650), Валлпс (1616—1703). Поэтому внимание, про- явленное Эйлером к этой теория2), не вызывает удивления. *) В качестве образца классификации использовано подраз- деление материала по неопределенному анализу, данное во II томе универсальной монографии Диксона (Dicks on L. Е., History of the theory of numbers, Washington, II, 1919)£* 2) Задачи о многоугольных числах решаются в работах: Е29, Е98, Е256, Е387, Е394, Г445, Е558, Е586, Е542, Е566, Е739, Е806.
142 Г. II. МАТВИЕВСКАН Среди вопросов, рассматривавшихся в работах Эйле- ра, можно назвать доказательство теоремы Ферма о том, что никакое треугольное число, кроме 1, не может быть кубом, исследование многоугольных чисел, являют хся в то же время квадратами, и другие. В записных книжках А“ 131, 132, 133, 138 многоугольным числам посвящен ряд заметок, из которых опубликованы в «Opera poslnma» только записи из книжки Л» 138. В записной книжке № 131 (л. 21—21 об.) решается следуют, >я задача: определить, сколько раз данное число А содержится среди всех многоугольных чисел. Ей предпо- слан заголовок «Задача Ваше, решенная другим способом». Приведя обп х ю формулу для многоугольного числа, Эйлер сводит вопрос к определению целых чисел т и п, для которых (т—2) л1—(т—4)п । 2 Из последнего уравнения получается о 2.1 , 2.4 — 2 ш = 2 ------------j- п п —1 и дается следующее правило: пишутся в ряд все делптети числа 2/1, затем делители числа 2А—2; из первого ряда выделяются те числа, которые иа 1 больше какого-либо числа из второго ряда; они и дадут те значения п, которые нужно подставить в выражение для т. Отсюда: 1) всякое число А содержится в ряду двууголыплх чисел; 2) число Л всегда является вторым Л-угольным числом. В качестве примера Эйлер рассматривает число 105 и находит 105 = = Pi1 = == Psa. = 7*10,. Заметка относится, очевидно, к 1736—1737 гг.; только в 1753 г., т. е. почти через 16 лет, в письме к Гольдбаху4) Эйлер сообщил решение этой задачи. В записной книжке № 132 (л. 110) Эйлер исследует вопрос о нахождении пятиугольных чисел, которые в то же время являются квадратами. Решена эта задача в « Алгебре» (ч. 2, § 88), по в записной книжке решение проведено другим способом; в то время как в «Алгебре» •J) Corr. math. et phys., St.-Pet., 1843, I, 608—609-
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 14,3 задача решается непосредственно, здесь она рассматри- вается как частный случай задачи а + ₽ г + Y = □• Вопрос сводится к отысканию \ равнения (Lc5L— 2.r = □: так , Т Si’-Х выражается фирм хлоп --— решения неопределенного как пятиугольное число и оно по условию должно быть квадратом, то и б.г2— 2л должно быть квадратом. Для решения уравнения az2-|-Pz 4-у = □ Ойлер всегда исходит из одного известного решения и получает при этом рекуррентные формулы для определения последую- щих решений. Применяя такой метод в данном случае и обозначая буквами а, Ь, с, ... ряд значений для т, буквами А, В, С, ... ряд значений для ] ах2 + 0х + у» Эйлер делает вывод: если прп х = а ] 'аа? 4- 0« + у = А, то другие решения уравнения а.т24- 0.т4-у = □ даются формулами: Ъ = (аги2 4- и2) а 4- 0m2 4- 2л/?пу1 ; В = 2am па 4- Р»ил 4- (ат2 4- и2) А с = (ат3 4- и2) b 4- 0т2 4- 2тпВ\ С = 2атпЪ-\-$тп 4- (ат2 4- и2) В и т. д., где п = ]7ат24- 1, т. е. т, п являются решениями уравнения Пелля. Таким образом, оказывается возмож- ным но двум последовательным решениям определить третье. После ряда преобразований выражения с и С принимают вид с = 2 (2п2 — 1) 6 —а 4-20m2, С = 2 (2n2- 1) В —А. Отсюда, находя для данного случая и = 5, т = 2, Эйлер получает следующие частные и общее решение: _______аг | 1 81 7921 а b с = 98Ь—о —16 I 6-х’—2г | 2 198 19402 А ВС = 9&В—А
144 Г. П. ЫАТВИЕВСКАЯ Как общая формула, так и третье частное решение в «Алгебре» отсутствуют. Эта же записная кипи ка (№ 132) содержит па ли- сте 149 об. теорему, в которой рассматривается часто фигурирующее в переписке Эйлера с Гольдбахом выра- жение kmn — m — n, для которого здесь утверждается, что оно не может ни при каких тип стать треуголь- ным числом. Доказательство ведется от противного. Пусть irnn- т — п = р ,-р-. Тогда 32лт — 8т — 8п = 4р2—4р, отсюда 32mn — 8т — 8n 4- 1 = (2р — 1 )2. Но 32тп — 8т — — 8п + 2 — 2(4т — 1) (4н — 1). Таким образом, 2 (4m — 1) X X (4п — 1) = 1 + (2р — I)2, но в то же время сумма этих де х квадратов не делится на 4/n—1, так как по дока- занной Эйлером теореме а2 + Ь2 делится iia число вида 4//»— 1 только в том случае, если а и b делятся на это число; в данном же примере а=2р—1, Ь—1. Поэтому полученное равенство невозможно, и теорема доказана. Заметка отно- сится к письму Эйлера к Гольдбаху от 8 мая 1742 г., где речь идет о данной теореме, но доказательство ее отсутствует. В записной книжке Л» 133 (л. 19) ставится задача: паитп все числа, которые могут быть представлены двумя способами в виде суммы двух треугольных чисел. Эйлер утверждает следующее: если А есть сумма двух неравных треугольных чисел, то число п2-|-(1 -{-^пг)А представляется в виде суммы двух треугольных чисел двумя способами. Далее приводится ряд решений для значений Л = 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 18, 21, 22. IVроме этого, здесь же Эйлер замечает, что числа 81 и 106 представляются тремя способами в виде суммы двух треугольных чисел, а именно: 81 =78-|-3=66 '-15= 454-36; 106=1054 1=91-|- 4-15 = 784-28. Ряд заметок посвящен доказательству теоремы Ферма о представимости натуральных чисел в впде сумм много- угольных чисел: всякое число есть либо треугольное, ’ лпбо сумма двух пли трех треугольных; всякое число есть лпбо квадратное, лпбо сумма двух, трех или четы- рех квадратных чисел и аналогично для пяти-, шести- и вообще n-угольных чисел. Эту теорему, которую дока- зал в общем виде Коши в 1815 г., Эйлер доказал для с ту-
U НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 14; чая квадратов, носящего обычно название теоремы Баше, вопросы, связанные с доказательством, на протяжении 20 тет (с 1730 по 1751 г.) постоянно встречаются в пере- писке Эйлера с Гольдбахом. Теореме Баше посвящены также мемуары Е242^), Е415^. В записях 28 заметок, касающихся этого вопроса, распределяются между книж- ками № 131, 132, 133, 134, 138, т. е. приходятся на годы с 1736 по 1757 (они чаще всего отражают предмет перепис- ки с Гольдбахом), а затем с 1767 по 1775. -На листах 61 об. —62 книжки 131 Зиле]) высказывает утверждение: всякое число вида 8п—1 может быть разло- жено иа четыре квадрата — н дает правило такого разло- жения, иллюстрируя его примерами. Однако можно найти примеры, опровергающие это утверждение, что, очевид- но, было замечено самим Эйлером, так как в опубликован- ных работах оно не встречается. В записной книжке № 131 (л. 62—62 об.) Эйлер рас- сматривает последовательно вопрос о разложении чисел впда (а2 + Ь2 + с2 + cP) (р2 + д2), (а2 -|- Ъ2 + с2 + d2) (р2 + д2 + г2), (а2 + Ь2 + с2 + d2) (р2 + q2 + г2 + s2) па сумму четырех квадратов. Утверждая каждый раз воз- можность такого разложения, он дает значения корней из этих квадратов и приходит для последнего случая в своей знаменитой формуле^: («® + Ъ2 + с® 4- d2) (р2 4- <7® 4- г® 4- s®) = = (ар 4- bq 4- ст 4- ds)2 4- (bp -aq + dr-\- cs)2 4- 4- (ср — dq — «г 4- is)2 4- (dp + cq — br— as)2. Эта заметка интересна тем, что в ней отчетливо виден ход мысли Эйлера при выводе формулы, что уже не отра- зилось в опубликованных мемуарах'^ При этом нужно отметить, что если впервые Эйлер сообщает полученные ") Comm, arithm. roll.. ]., 210—233, Op. omn., I., 328—372. ) Comm, arithm. coll., I, 538—548, Op. omn., I3, 218—239. <) См. мемуары E241, Г610, а также Corr. math, et phys., I, 452. 10 Пстор.-матем. псслед., вып. XIII
И6 Г. II. МАТВИЕВСКАЯ результаты Гольдбаху в 1748 г., то в записных книжках они появились значительно раньше (1736—1740). Па листе 116 об. этой же книжки Эйлер снова возвра- щается к рассматриваемому вопросу. Формулируется (без доказательства) теорема: если все простые числа могут быть разложены на четыре квадрата, то вместе с этим все вообще числа допускают такое разложение. Далее дока- зывается утверждение: если из четырех квадратов, па которые может быть разложено число Р, два равны, то и число /'-|-2 может быть разложено на четыре квад|>ата (если Р = а2-|-й2-}-с24-с/2, где а=Ь, то Р-|-2=(а- 1)2 + -р(а—1)2+с2+</2). Наконец, здесь же доказана теорема: всякое число впда х24-х-1 1, x^-J-x3-)-!21» 3z2-|-x-|-l может быть разложено па четыре квадрата. Действительно. 2 . -I f i . 1 V , *2 , х1 , x2+x-ri=Qi+-2J>) + 4’+т'+'4 ; 1+.с+х2+.гз+х1=(1+4-гУ+(4;г+-г2)а+?+?: Зх2 + х4-1 = 2^х+-|-У+^х-уУ-|--^ . Па листе 117 об. записной книжки Л: 131, а также в книжке Л" 132 (л. 82) Эйлер ставит и решает задачу: сумму четырех квадратов а2 + i2 + с2 4-с/2 представить в виде суммы четырех других квадратов и24-т2 + ?/2 + z2. Предлагается подстановка: и = а — ри, х = b — qu, у = с — ги, z = d — su. Отсюда 0 = 2ар — р2и 2bq — q2u -|- 2сг — г2м + 2ds — s2u. 2а р -|- 2bq -L 2с г 2rfe P,+92+»-»+s’ * В заметке из записной книжки Л» 132 (л. 82—82 об.) предлагается другая задача: найти в наиболее общем виде (generalissime) четыре квадрата, сумма которых я2 -р b2 -j- с2 + d2 есть квадрат. Решение проведено с помо
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ EXHOIlillHA ЛЕОНАРДА ОПЛЫ'Л 147 щью подстановки: а = п* + р* — q* — гг — s2+ 2p(q + г-{-з2п)\ Ъ = п2 — р2 -г q2 — г2- № + 2</ (р 4- г + s + 2п); с = И* р2 - q2 + г2 - S2 4- 2г (р + q 4- « 4* 2п): d = п2 — р* — q2 — г2 4- № 4 2х (р 4* 9 4 г 4- -п)- Тогда | га2 4- Л2 4- с* 4- d2 = 2п2 4- 2р* - 2q2 4- 4- 2г2 4- 2s2 4- 2п (р 4- q 4- г 4- s). Если рассматривать половины взятых значении для я, 1>, г, d, то У а2 4- Ь2 4- са 4 d2=n2 + p2 + q2 + r2 ±s2 + n(p + q + r + s). Полагая п = р q — r — s, Эйлер получает: а = pq + pr+ qr— s2, b = pq 4-ps4- qs— r2. c = pr 4- ps 4- rs — q2, d= qr+ qs + rs — p2, и тогда | a2 4- b2-j-c2 4- d2 = p* 4- q2 4- r24- №. На листах 99 об. п 102 записной книжки 132 сфор- мулированы п доказаны следующие две теоремы: 1) Если 3/14- 1 есть простое число, то 3/14-1 4"2р2 может быть разложено па четыре квадрата. Для доказательства Эйлер ссылается на полученный им ранее результат: если 3/14-1 есть простое число, то Зп 4- 1 = 3-г24-у2. Тог ia 3/14-1 4- 2р2 = .№ 4- у2 4- 2 (р2 4- т2) = = э-2 4- У2 4- ( 4-р)2 4- (г - Р)2. 2) Если Зп 4-1 есть простое число, то выражение Зн 4-1 2 (/2 4- jq 4- q2) р2 может быть разложено па четыре квадрата. Д о к а з а те л ь с т в о. Если Зп-J-1 есть простое число, то Зп 1 = 3«2 4- Ь2; тогда З/14-14-2 (/2 4- /g 4- R2) Р2 = h 4- (/ 4- g) р]2 + + (а - /р)2 4- (« — gp)2 4- Ъ2. Обе эти записи относятся, очевидно, к 1741 1742 гг. 10*
lib I . 11. MATB НЕВСКАЯ На листе 102 этой же книжки приводится следмощая теорема: если всякое число п разложимо на четыре квадрата, то в уравнении х* — 2ах3 + (2л2 — л) хг — сх 4- d = О буквы «, с, d могут быть выбраны так, чтобы все корни уравнения были рациональны; и обратно, сети л, с, d могут быть выбраны так, чтобы все корпи, скажем, а, 0, у, д, были рациональны, тогда 2п = а2 4- 02 4- у2 4- д2, откуда 4п = (а 4- ₽)* + (а - ₽)2 + (Y + 6)г 4- (Y — «)г и потому т. е. п есть сумма четырех квадратов. В записной книжке А" 132 на листе 142 об. формулирует- ся и доказывается теорема: если дано число а, неразло- жимое на четыре квадрата, которое, однако, является де- лителем числа Рс=Л24-В24-С24-Р2, то существует число b < а, также не разложимое па четыре квадрата, которое является делителем суммы четырех квадратов Q < Р, После доказательства теоремы дается corollarium, в ко- тором па основании этого доказательства сделай вывод: нет числа, неразложимого на четыре квадрата, которое является делителем числа, разложимого па четыре квад- рата (т. е. всякое число, являющееся делителем суммы четырех квадратов, само есть сумма четырех квадратов). Эта теорема (corollarium) и ее доказательство полностью совпадают с теоремой 4 из мемуара «Novae demonstratio- nes circa resolntionem numeroruin in quadrata» (E445), на которой и основывается доказательство теоремы Баше, приведенное в этой работе. В мемуаре теорема сформули- рована следующим образом: если Л’ является делителем какой-либо суммы четырех квадратов, т. е. формы рг 4-<?24~ 4-г24-®2, в которой отдельные квадраты не делятся па N, то JV есть точно сумма четырех квадратов. В несколько измененном виде эта же теорема фигурирует и в «Opera postuma»! (1,_197—201), где также доказывается теорема д - '7!
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА >П.1ЕРЛ | !•> Баше. Если сопоставить даты написания этих работ, то оказывается, что мемуар Е445 относится к 1772 г., доказательство из «Opera posluma»—примерно к тому же времени, а заметка пз записной книжки As 132—к 1740—1744 гг. Таким образом, можно сделать вывод, что доказатель- ство этой важной теоремы Ойлер имел уже в 1750-х годах, т. е. почти за 30 лет до его опубликования. В то время по- лученный результат не привел его к доказательству теоремы Баию, но попытка в этом направлении была сделана, о чем свидетельствует запись на той же странице: «Вообще нет чисел, которые неразложимы на четыре квадрата». Доказательство, начатое здесь с помощью метода «от . противного», остается незаконченным. К своей теореме Эйлер возвращается в 1772 г. после опубликования до- казательства теоремы Баше, предложенного Лагранжом; об этом свидетельствует упомянутая заметка из «Opera ' postuma», где вначале приведено доказательство Лагран- жа. Эйлер вновь идет тем путем, что и в записи пз книжки А'. 132, т. е. прежде всего возобновляет приведенное здесь доказательство сформулированной теоремы, а затем па ее основе получает доказательство теоремы Баше, более простое, чем у Лаграпжа. Кроме рассмотренных записей, к этому отделу отно- сится еще ряд заметок из книжек № 132, 133, 134, предста- вляющих собой черновики писем Эйлера к Гольдбаху и не содержащих нового по сравнению с этими письмами. II. Уравнение ft jc2 + Ьзг }-с = □; уравнение Нелля Одним из наиболее существенных вопросов диофантова анализа является решение в целых числах уравнений az2-[-fa:-|-c= □ и Dx2 -|-1 — у2 (при D > О, D =/= □), послед- нее пз которых поспт название уравнения Пелля. Этим задачам на протяжении развития теории чисел посвящено оолыпое число работ. Объясняется это тем, что решение многих других задач диофантова анализа сводится, в ко- нечном счете, к решению указанных уравнений. Особый интерес всегда вызывало уравнение Пелля (получившее свое название от Эйлера, ошибочно приписавшего его
150 Г. II. М ХТВНЕВСКАН решение Неллю). Сформулировал задачу в окончательном виде Ферма в 1657 г. Он же утверждал, что если D есть любое число, не равное квадрату, то существует беско- нечное множество целыхррешеппн уравнения у2—Dx2~ 1. Метод решения (сначала в рациональных, а затем в н целых числах) этого уравнения был предложен Врупкером п Валлисом. Эйлер исследует у равнение Пелля в нескольких своих мемуарах (Е29, Е279 Е323, Е559) и пе раз возвращается к нему в переписке с Гольдбахом (Corr.-+Hathr~c4 рЬуя^ 11, -37> 16—617 .—629—(>31). При этом он всегда исходит из одного имеющегося решения и ставит цель — найти при его помощи все остальные решения. Основной резуль- тат Эйлера для уравнения Пелля приведен в работе «I)е плн-novi algorithm! in Problemate 1‘elliano solvendo» (E323, 1759)1), а именно дай метод решения уравнения Dx2 -f- 1 = у2, основанный па разложении в непрерывную дробь | Г). ТТа численных примерах Эйлер находит связь периодичности этой дроби с решением уравнения в целых числах, однако пе доказывает, что опа всегда периодична, т. е. что уравнение имеет решение при любом D. (Это было доказано в 17(>8 г. Лагранжом, что и завершило решение проблемы Пелля.) Эйлер, кроме того, в своих работах привел таблицы наименьших решений уравнения Пелля: для всех £)^68 (¥= □) — в мемуаре Е292); 1 для всех D < 100 (J) и D ЮЗ, 109, 113, 157, 367 — в мемуаре Е323. В записных книжках имеется десять заметок, связан ных с рассматриваемыми вопросами. Они распределяются между записными книжками А» 131, 133, 134. 135, 138 и почти все относятся к опубликованным работам: это лпбо небольшие отрывки из этих работ, лпбо иллюстри- рующие их примеры. Наибольшее число заметок прихо- дится па время с 1736 по 1753 г. Шесть заметок (записные книжки № 131, л. 54 об.— 55; № 132, л. 109-109 об., 112-112 об., 247 об. — 248; As 133, л. 134, 152 об, 148 об., 175 об.; As 135, л. 45) вос- *) Comm, arithm. coll., I, 316—336; Op. опт., Is, 73—111. *) Comm, arithm. coll., I, 4—10; Op. omn., It, 6—17.
О НЕОПУБЛИКОВ ХППЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОПАРД X ЭЙЛЕРА 151 производят рассуждения из мемуара Е29, с помощью которого находится решение в целых числах уравнения ax2+0x-| Y = Эйлер считает известным одно решение: ax2-|-0x-| у есть квадрат в случае х~а. и утверждает, что это выраже- ние будет квадратом и при х = + £" + * 1 + ₽“ + Y’ где $ = | aX2 + 1 (т. е. А суть решения уравнения Нелля). При этом дается общая формула, при помощи которой по двум предыдущим значениям находится каждое сле- дующее его значение: а, b.......1. If, 2СЯ-.1+ Р(^П , а также формула для определения последовательных значений для ) ах2 + 0 г + у: р, q, ..., С, D, 2Ъ1) — С. Кроме тоги, в этих заметках Эйлер рассматривает примеры, не встречающиеся в опубликованных работах: Зх2 + 2х + 1 == у2 (х = 0, ?/ = Г, 6, 11; «8, -153; 1230, 1231; ...) 2х2 + 2х = у2 (х = 0, ?/ = 0; 1. 2; 8,12; 49,70; 288, 408; ...) Зх2 - 66 = у2 [х = Ш-1 (2 + /3)п + (2 - /3)п, У = 5/^+3 (2 + /ЗГ- -5-^~3 (,_v 5)„] и др В записной книжке № 133 (л. 30) Эйлер рассматри- вает задачу отыскания значения х, которое при данных « и b обратило бы выражение ax2-J-fe в квадрат. Пасть ] ар2 +1 = q. Тогда решение \ равнения в общем виде выражается с помощью формулы, выведенной Эйле- ром в мемуаре Е279\: х = Л/ (q + р | "а)п- N(q — p] а)п. д) Comm.arithm. coll,. I. 297—315; Op »шп., It, 576—611,
152 Г. II. МАТВИЕВСКАЯ Подставляя это значение х в данное j равнение, он получает: ax' + b = аМ2 (q +/> | а)2п + a.N1 (q — р | с)2п — — 2а.1AV+ /> = □. Если положить b=-'iaMN, то отсюда | ах* + b = М \ ra(q + р 1Ла)п + Л' |/а (q — р I а)”. Пусть известно значение x=g, для которого J ад* 4- b = Л. Положив при этом п=0, Эйлер получает: М—N=g, М + Лг = , откуда }'а М = h + TV — h'-gVa 2 Va ’ 2 Га Следовательно, х = *t'i + р ~ (q~p ^)П; 21 а 2у а 1'^+1 = (q + p /а)" +—(? ~ Р I «)'*• HI. «Задачи о треугольниках Во многих &Boux_^jeAiyape4 Эйлер, подобно другим математикам, обращается к теоретико-числовым задачам, поставленным в геометрической форме. Чаще всего в них фигурирует треугольник, прямоугольный или произволь- ный, с целыми пли рациональными сторонами, для кото- рого заданы определенные соотношения между элемен- тами. Средн таких задач можно, например, указать зада- чу отыскания чисел х, у, z, удовлетворяющих уравнению х*-|-!/J=z2, т. е. задачу исследования прямоугольного треугольника с катетами х, у и гипотенузой z. Такого рода вопросам Эйлер посвящает много страпнц своих записных книжек. Одна пз наиболее интересных проблем данного разде- ла—задача о нахождении двух положительных целых чи- сел, сумма которых есть квадрат, а сумма квадратов — би- квадрат, рассматривается в записных книжках № 131
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОПАРДА ЭЛ IEPA 153 (л. 00 об.), № 132 (л. 76), As 136 (л. 11), As 140, (л. 64 об.). Задача впервые была поставлена ферма в письме к Сен- Мартеиу и Френиклю от 31 мая 1643 г. в геометрической форме: найти прямоугольный треугольник, гипотенуза которого, равно как в сумма катетов, были бы полными квадратами. При этом Ферма высказал мысль, что наи- меньший треугольник такого вида есть треугольник с ка- тетами: 4 565 486 027 761, 1061652 293520, После Ферма решением этой задачи занимались Озавам, Лейбниц, а затем Эйлер и Лагранж. Эйлер возвращается к ней пе раз в £вонх опубликованных мемутрах, называя ее то задачей Лейбница, то задачей Ферма: опа решается в «Алгебре» (ч. 2, § 240) и в мемуарах ЕбвО^. Е763^), Е769* *). Е7724), а также в «Opera postuma» [(4.-224—222-, 491 )J. В этих работах он дает решение задачи и подтвер- ждает, что решение, предложенное Ферма, удовлетворяет условию. (Что это решение наименьшее положитель- ное, доказал позднее Лагранж, который дал метод построения всех решений). Заметки нз записных книжек воспроизводят рассуждение, известное по опубликован- ным работам; ищутся положительные числа а, b такие, что а4-б=с2, a2 -\-ba=d*. Сначала находится решение уравнения а2-}4>2= □: a = p2—92, b-=2pq, тогда а2 + Ь2>=(р2+72)2. Затем решается задача: р 2 4-9 2= □, для чего принимается р=х2 — У2, q=2xy, и отсюда a2-|-62=(х2-|-j/2)4. После того как второму условию удовлетворено, ищутся х, у, удовлетворяющие также первому условию; подставляя полученные значения а, Ъ, Эйлер приходит к уравнению а + b = х* 4хяу — б.г2?/2 — 4 л уя + у* = □ н утверждает, что решение его есть х=1469, {/=84, а тогда р=2 150 905, 9=246 792, откуда а=4 565 486 047 761, 0 Comm, aiithm. coll., II. 47, Op. отпп., I4, 91—104. ’) Comm, arithm. coll., II, 397—399; Op. omn., Is, 61—70. A •) Comm, aiithm. coll., II, 403—405; Op. omn., I5, 677—81. *) Comm, arithm coll., II. 42-1—427; Op. omn., Is, 82—93.
151 Г, П. МАТВНЕВСКАЯ 6—1 061 652 293 520. В третьей заметке Эйлер, как и в мемуаре Е560, сводит задачу к ново»: 2а4—64= □. Три записи (записные книжки Л® 132, л. 148, об., 149: Л? 140, л. 60—61), из которых две не закончены, а послед- няя опубликована в «Opera postnnia» (I, 250—252), по- священы задаче нахождения прямоугольных треуголь- ников, имеющих равную площадь. Во второй заметке Эйлер предлагает три треугольника с равной площадью: Несколько заметоК касаются задачи: найти два прямо- угольных треугольнина, площади которых находятся между собой в данном отношении. Такого рода вопросы Эйлер рассматривает ц мемуар. х Е466, Е773 и в «Opera postuma» 224-=227): последние записи взяты из за- писных книжек ЛЬ 138 (л. 148 об. — 149 об.) и ЛЬ 140 (л. 62, 72—72 об). Кроме того, в записной книжке ЛЬ 132 па листах 88 об. и 149 Эйлер также ставит эту задачу. Рассматривая прямоугольные треугольники с катетами 2аЬ, а2—Ь2‘, 2тп, т2—п2, для которых площади соответ- ственно равны ab(a2—62) и тп(т2—п2), он требует сделать аЪ(аг — Ьг) , п выражение ———у равным данному числу /. В ка- честве решения предлагается: я = (2/ — 1)(8/-1), 6 = 8/2 — 20/—1; ,n = 4(/+ 1)(2/ —1), « = 8/а—20/—1. В записной книжке ЛЬ 132 (л. 146 об.) Эйлер решает задачу, не встречающуюся в опубликованных мемуарах: найти прямо) гольныи треугольник, в котором площадь плюс гипотенуза есть куб, а периметр равен квадрату. Пусть площадь треугольника есть 1, гипотенуза z, ка- теты х, у, тогда 2.1 = ху. Если х = 2, то у = А, z=| .12+4. По условию, рв — 2.1/г3 — 4, откуда .1 = z-)-Л — ря; подставляя z, имеем: р® — <4 ' 2рЗ— • Периметр треугольника х+ у z = р8-)- 2 н, по условию, р3 + 2 = □. При р = q — 1 это условно принимает вид q3 — 3q2 + 2>q + 1 = □. Эйлер полагает q3 — 3g2 + 3<? 4-1 = fl + у 7^ • а отсюда q = .
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 155 Тогда определяются значения .1, у, z, х, и задача, таким образом, решена. На этом же листе решается другая задача: найти прямоугольный треугольник, у которого площадь в сумме с одним катетом образует куб, а периметр есть квадрат. 2я*-|-2л 2л+ 1 Рассматривается треугольник с катетами — „ 2«’ + 2а-|-1 2«’+л .. и гипотенузой------; площадь его есть----------А—.Но 0+1 Л-т- 1 2а* 4-л , 2л 4- 1 <э,4 г условию, ---А— Ч-----гг = + 1 = кубу, а периметр = • а --1 л -г-1 = 4а + 2 = квадрату. Следовательно, 2а + I = 8/Д а отсюда 8/>« —1 а = -!-п— Па листах 146 об.— 147 поставлена следующая зада ча: найти метр есть зует ку б. Пусть и («2+1), прямоугольный треугольник, у которого пери- квадрат н, будучи сложен с площадью, обра- катеты треугольника 2пан п (аа— 1), гипотенуза тогда нлоща <ь равна п2а(а2 — 1), а периметр равен 2на2-|-2па. Ио условию 2па2± 2па = D = a2g2. Отсюда 2л 4л2дг п a = —s • — и периметр = 7~5—?== . Следовательно, мери- у2-2л (q2 — 2л)3 , 2n2q2 (2л2 — 4л 4-4л* — по2) ' , метр 4- площадь =---- , .—тгА-------2— = куоу. -Ио по- (<7’—2л)» - лучится, еезн н = 1 или л = 2. Тогда должно быть: либо 2g = ку бу, либо q = кубу. На листе 147 ставится задача: найти прямоугольный треугольник, у которого периметр равен кубу и в сумме с площадью образует кватраг. Предлагается следующее 16-252 численное решение: периметр = 64, стороны =, 16-275 16-373 512-77 —, а площадь = ——. --> 22о 22э Наконец, на листе 149 этой же книжки рассматри- вается еще одна, сходная с предыдущими, задача: найти прямоугольный треугольник . “) » площадь которого, увеличенная на данное число а, будет квадратом. По у словию, pq (р2 — q2) + п2а = Если по- ложить р = qz2, то qAz2 (z4 — 1) + п2а = □.
156 Г. II. МАТВИЕВСКАЯ Пусть п = mq2z2. Тогда предыдущее условие примет вид: z4 — 1 + m~az2 = П; положим это выражение равным (z2+ ё')2 = z4 + 2vz2 + v2. Таким образом, получим m2az2 = = 2vz2 v2 + 1 или ni2a2z2 = 2avz2 4- a (i? 4- 1). Если при этом v = 'lai2, то отсюда m2a2z2 = 4a2t2z2 + а (4а21* +1). Положим, далее, 4a2t2z2 4- a (4«2/4 4-1) = (2alz 4- z)2. Тогда a (4a2t4-|- U — х* Z 4atx ' niaz = 2alz-\-x, ,4=4 + ^- ->f J.______ 4tl* - 2о<(4а«(« 4-1)4-2tx* Tez Te(4oV+l)-z« a(4a2t‘4-l) —x« ’ Следовательно, _2t [a(4u2P4-1)4-z2l _ a(Wt24-l) —z« ,l a(4a2t44"l) —xi ’ iatx ’ 4a tx 9 —a(4a2tJ4-l) —x’ ’ Таким образом, задача оказывается решенной. Кроме ряда записей, являющихся черновиками к опу- бликованным мемуарам, к данному отделу может быть отнесена также находящаяся в записной книжке Л‘ 134 (л. 191 об.) задача: «найти треугольник, в котором пря- мые, делящие отдельные углы пополам, выражаются ра- ционально*. Решение этой же задачи, поставленной не- сколько более широко (требуется, чтобы, кроме биссе- ктрис, и площадь была рациональной), опубликовано в 1813 г. II. Фусом'‘f. В работах Вилера подобная за- дача не обнаружена. Обозначая стороны искомого треугольника а, Ь, с и применяя формулы для биссектрисы . _) ab (я -j-b-J-c) (я4-Ь— с) lead, . 4. 1813 240— 247
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА УИЛЕРА 157 Эйлер получает три условия: ab {а + b + с) (а 4- b — с) = □, «с(а + /> + с) (« —fe + c) = □, be (а + b + с) (— а 4- b 4- с) — □ . Полагая н =/'(г2+ /'<?), ft=g(re + />9). с = (Р+7) (f2-pq), он получает: 1) ab (а + b 4- с) (а 4- b — с) = = 2 2/АУ2г2 (г2 + pq)2 (р + 9)2 = □; 2) ас (а + b 4- с) (а — b 4- с) = = 22р2г2 (г2 + pq) (р + q)2 (г2 - pq) (г2 - д2); 3) be (а 4- b + с) (— а 4- Ь 4- с) = = 22q2r2 (р+pq) (г2 — pq) (г2-р2). Для обращения в квадрат 2) и 3) Эйлер полагает (г® 4- Р<1) (г2 - pq) (г2 - q2) = (г2 4- pq)2t2. Отсюда Г2 (Гг _ р2) _ pq [г2 - q2) = Г2/2 4- pqt2-, р = • Придавая численные значения величинам, входящим в полученные выражения, Эйлер приводит пример искомо- го треугольника: а = 14, Ь= 25, с—25. Этот пример фигу- рирует и в вышеупомянутой работе Фуса. Кроме этого, даются еще два примера: a=G46, Z»=975, с=975; а = 1309, 6=1183, с=1914. IV. Отдельные уравнения 2-й етепенп В записной книжке № 131 (л. 174 об.) Эйлер доказы- вает следующее утверждение: выражение 5а2-\-2Ь2 ни при каких целых а, b не может быть квадратом. Доказатель- ство ведется от противного методом «неопределенного спуска». Пусть 5а2 4~2£>2 — □; тогда b должно делиться па 5,
IjS Г. 11. MVIBHEBCKUI гак как иначе левая часть была бы числом вида 5А- ± 2, которое квадратом быть пе может. Таким образом, b—5d и 5я2-|-2-25d2= Последнее справедливо лишь в случае я=5с. После подстановки данное выражение будет иметь вид 5с2-{-2d2, где с < a, d < b. Следовательно, если оно может стать квадратом в больших числах, то также мо нет стать квадратом и в меныпих, н это рассуждение можно неограниченно продолжить. Поскольку это в целых чис- лах невозможно, утверждение доказано. Сходного типа задача решается на л. 26 записной книж- ки Л» 135: выражение mt2-{-пи2 сделать квадратом, если известно тпа2 -\-nb2—с. Эйлер полагает l=ax-{-rz, я=» =bx-\-sz, а затем подстановкой этих выражений вт/!+ли* получает решение t=mar2—2nbrs—nas2n u—mbr2 -\-2mars— — nbs2, для которого | nit2 + пи2 = с (mr2 4- ns2). Четыре заметки из записной книжки Л» 132 посвящены доказательству теорем о том, что выражения Зя2-|-ЗА24- -{-7с2 и 2а2 -{-652-|-21с2 не могут стать квадратами пи при каких целых значениях а, Ь, с. Обе теоремы сформулиро- ваны в письме Эйлера к Готьдбаху от 8 мая 1742 г., однако доказательство их в письме отсутствует. Это доказатель- ство мы находим в записной книжке средн подготовитель- ных заметок к названному письму. На л. 147 доказывает- ся первая теорема: За2-| 352-|-7с2 Ф Рассматриваются три возможности: 1) я, b четные; 2) одно из чисел а, b нечетно; 3) а, b нечетны. В первом случае а2-{-Ь2= \пг, если с четно, то 3(a2-|-fe2)-| 7с2=4и , 3 н квадратом быть не может; если с нечетно, то 7с2 есть число вида 8n-f-7 или 4n-f-3 и все выражение 3(я2-|-52)4- -|-7с2 опять имеет вид 4n-f-3, т. е. пе может быть квадра- том. Во втором случае a2 -f-t>*=4»-f-1 и 3a2 J 3/i2= in -|-3. Следовательно, если с четное, то 3(a2-|-62)- 7с2 — 4n-f-3 и не может быть квадратом: если же с нечетное, то с2— = 8п -с 1,7с2=8п— 1=4пг -J-3, откуда Зя2 -|-ЗЬ2 -}-7с2=4п-|- 6— число нечетно четное (impariter par), которое квадратом стать не может. Наконец, в третьем случае я2-|-Ь2=8п-]-2 и 3я24-362=8п4-6. Если с четное, то получится почетно- четное число: если с нечетное, то с2=8п^ 1, 7c2=8m-J-7, откуда 3(я2-|-А2) -)-7с2=8п -|-5, что квадратом быть пе может. Теорема доказана.
о HEUlIi Б.ШКОВАШ1ЫХ РХКОНШЯХ ЛЕоНАГДЛ .Н1.1ЕРЛ 1.Й) На листах 83, 144. 147 об. Эйлер возвращается ко вто- рой теореме. Он утверждает, что а должно делиться на 3: действительно, иначе 2а2-Зп-}-2, 2а2 - 662 -j-21c2=3m 4-2, т. е. не может быть квадратом. Пусть а—3d и 18d24Gfc2-|- _ 21с2= □ = 9е2, откуда Gd242/>247c2—Зе2. Далее, пола- гается е=Ь—f. Тогда Gd2-}-7c2=b2—G6/-J-3/2 и Ь— = 3/ ± I б/2 + 6d2 + 7с2. Если положить / = ^-|г-, d = • то, подставляя эти значения, получим, что подкоренное выражение равно 3#243Л24?с2 и в то же время должно быть квадратом, а это, по предыдущей теореме, невозможно. Восемь записей относится к доказательству теоремы: 'ipmn—т—п =/= □ ни при каких целых положительных р, т, п. Этот вопрос возник в переписке Эйлера с Гольд- бахом; первое упоминание о нем (для случая р—1) встречается в письме Эйлера от 9 сентября 1741 г.1)4,! а затем его решение обсуждается нс менее чем в 30 пись- мах, вплоть до 1745 г. При этом задача ставится все более широко (например, утверждается, что 4 ртп—т—па =£ ¥= □, или ищутся числа е, для которых етп—т—п= □ ). Кроме того, Эйлер занимается решением этой задачи в двух мемуарах: Е164, Е241. Первая запись находится в записной книжке Л® 131 и относится ко времени начала переписки Эйлера с Гольдбахом ио поводу эте го вопроса; шесть записей содержится в записной книжке Л» 132. Таким образом, все эти записи относятся к периоду пере- писки с Гольдбахом, и, как показывает их изучение, по существу, являются подготовительными к некоторым письмам. Это позволяет уточнить датировку записной книжки Л: 132. Г. Эпестрем не указывает даты ее окончания, Г. К. Михайлов^ определяет эту дату как 1744 г^Однако заметка, отпосящаяся к решению задачи етп—т—п— □, находится на листах 243 об. — 244 (всего в записной книж- ке 2G1 лист). Письма же, соответствующие этой записи по содержанию, датированы 17 ноября 1744 г. и 1G фев- раля 1745 г. Поэтому можно предположить, что записная *) Corr. math, et phys., I, 107. ’) «Историко-математические псследов ттттят, вытт. X, стр. 70. хГГ
16U Г. 11. МАТВИЕВСКАЯ х'р' книжка была закончена полностью не в 1744 г., а, по крайней мере, в начале 1745 г. Последняя запись нахо- дится в записной книжке Л° 139 (л. 10G—10G об.) и опу- бликована в «Opera postuina» (1, 55). Как уже сказано, шесть заметок (№ 131, л. 119; № 132, .1.^97^197 об., 220, 221, 243 об. — 244) являются черновиками к ряду писем Эйлера к Гольдбаху 1742—1745 гг. В них воспро- изводятся рассуждения Гольдбаха и дана критика этих рассуждений или приведено доказательство Эйлера, из- вестное по письмам. Интерес представляет последняя запись (записная книжка № 132, л. 243 об. — 244), которая посвящена общему случаю рассматриваемой задачи: найти все целые положительные значения е, при кото- рых выражение етп—т—п может стать квадратом. Во- прос впервые ставится таким образом в письме Гольдбаха в декабре 1743 г.\г. Эйлер приходит к выводу, что эта формула не может стать квадратом только для значений е=4Л, е=8А—1, и сообщает этот результат в письме от 17 ноября 1744 г А), но не дает доказательства. В сле- дующем письме цГ (от 1G февраля 1745 г.) он замечает, что свою теорему получил только по индукции. Доказатель- ство, предложенное Гольдбахом, подтверждает правиль- ность его вывода. В данной заметке из записной книжки содержится, очевидно, именно то неопубликованное нигде индуктивное рассуждение, которое привело Эйлера к его результату. Предполагая етп—т—п—аР, он получает а* 4-ли4-п лоо отсюда е= —— и исследует частные случаи n=l, 2, 3, 5, 6. Например, для и=1 имеет е—1 = ° и, следова- тельно, е—1 равно делителям формы а2-|-1. Но всякий делитель формы а2-| 1 имеет вид рг-|-д2, таким образом, е=Р2+<724-1- Отсюда для е получаются следующие значения: 1, 2, 3, 5, G, 9, 10, 11, 14, 17, 18, 19, 21, 2G, 27, 30, 35, 37, 38, 41, 42, 50, 51, 53, 54, 59, 62, G5, GG, G9, 73, 74, 75, 81, 82, 83. Далее Эйлер рассматривает случаи п=2, п=3. п=5. *)-Corr. -math, et phys., I, 266. 2) Там же, 306—307. s) Там же, 311—312.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 161 п=6 и приходит к ряду числовых значении, которые может принимать е, а отсюда — к ряду значений, которых е принимать не может: 4, 7, 8, 12, 15, 1G, 20, 23, 24, 28, 31, 32, 3G, 39, 40, 44, 47, 48, 52, 56, 60, 63, G4, 68, 71, 72, 76 и т. д. Из этого сделан вывод, что выражение етп—т—п никогда пе может стать квадратом, если е=8Аг—1 или е= 4/г, в остальных случаях оно может быть сделано квадратом. V. Системы неопределенных уравнений 2-й степени Задачи этого раздела чрезвычайно разнообразны по характеру и многочисленны. 1. Три заметки (записные книжки Л» 132, л. 1G5 об.; № 138, л. 23 об. — 24, 24 об. — 25) посвящены задаче на- хождения положительных чисел а и Ь, для которых ab ± ± а — □, ab b= [7 Эти заметки являются подготовитель- ными к мемуару E4GG^. По ним можно проследить, как, ньч »в решать данную задачу в 1740 г., Эйлер возвращается к ней вновь уже в 1770 г. и заканчивает посвященный ее решению мемуар в 1774 г. Во второй записи Эйлер полу- чает частное решение, которое в мемуаре отсутствует: 25 . 1112 401 о а= 7, ь— „ . Здесь же он дает решение х = 11/ OlrJ 811 1369 12 769 - - „ = 810 ’ У = 840 ’ Z = -3360 б0Лее ООЩе1’ 3ада',П: л-у±а:=С; ху ±?/=С; xz±x = fj; xz±z=fj; yz±y=[J, yz±z=[J. 2. Задача: найти такие целые положительные числа а, Ь, для которых ab J- а ± b = □, — рассматривается в записных книжках .V: 137 (л. 373), Л» 138 (л. 7—7 об., 74 об. — 75, 76 об. —77). Эти заметки являются подгото- вительными к мемуарам Е405’^, E774* s), Е793\. В них, как и в опубликованном решении, задача сводится к новой; пщхтся числа р, q, г, s, удовлетворяющие услоапю *) Comm, aritlun. coll., II, 53—63; Op. omn., I3, 338 358. *) Comm, arithm. coll., I, 411—426; Op. omn., I3, 148—171. s) Comm, arithm. coll., II, 438—449; Op. omn. E, 116—130. *) Comm, arithm. coll., II. 586—587; Op. omn., Is, 284—302. И Истор.-матем. исслсл.. вып. XIII
162 Г. П. МАТВ НЕВСКАЯ \р.—= Новыми являются таблицы численных rs(r* -s‘) *— значений выражения ху(х* — у*), которые приводятся в первой и последней заметках. 3. В .записной книжке Л» 133, л. 141 об. Эйлер решает задачу нахождения чисел г и s, для которых г + s2 = □, г> + г2= □. Метод решения отличается от метода, которым решена эта задача в «Алгебре» (ч. 2, § 23). Полагая а Ь г = —, s = — и подставляя гнев исходные уравнения, имеем после почленного перемножения: nbx2 -|- (а3 + b3) х-±-а2Ь2 = □. Правую сторону Эйлер полагает равной (ab-± рх)2, откуда X _ a 4-fe — 2abp у()ГДа ах _ yi _ (° ~~ ЬР) u так как по ab — рг ab — р* условию, должно быть а.т — fe2=Q, то должно быть п ab — р2 = □. , m пг (as-j-6s) -+-2mnab Если положить р = 4-----, ТО X =---1-;—, .------, при- ' п m* —п1 ab 1 чем требуется, чтобы — n2ab-\-m2 = к2. (Эйлер говорит, что это у равнение решается легко.) Отсюда _________ЬА1_____________________оА1_____ п1 (n*-(-6s) 4; 2тпаЬ ’ Г п2 i 2mnnb В частности, прн т = 5, Л = 1, л = 2, а = 2, /> = 3 полу- 2 3 чается: r = ^, s = ^. 4. Задача, сходная с предыдущей (ищутся числа х, у, для которых y — x2=[J, х — у2 = О), в опубликован- ных работах Эйлера не встречается; в записных книжках ей посвящены четыре заметки. Первая заппсь находится на л. 123 об. записной книжки Л* 131. Эйлер предпола- гает, что искомые числа имеют вид у-, у-. Тогда усло- вия задачи примут вид г—?*=□, qr — 1 = □. Пусть далее 7-=<72 + s1; первое условие при этом окажется вы- полненным, второе псреппшется: g3 + gs2 —! = □. Тре- буется определить s. Эйлер замечает, что в общем виде решить полученное уравнение невозможно, и утверждает, что это можно сделать в следующих случаях: либо q есть
и НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЛЛЕРА 163 квадрат, либо известен случай а2д + д’— 1 = □, либо q есть сумма двух квадратов. Так. если a2g+g3—1 = 62, то, подставляя полученное отсюда зпаченпе q в уравне- ние п приравнивая левую часть уравнения выражению Гт’+Сг- ОФ пол>ч,|м: а(1-|-1г—fl1) л (о1? — Ьа4 1а) *’ — 1 — 6a4-Z» + 26Z —лг9 ’ а тогда, используя г=д24-«2, получаем значение г. Если предположить д=1-|-«2, то получается решение: 1 14-а* I _|-3aa_|_n< ’ 1 Зл2+«1’ В этом Mecie сделана приписка: <Ozanami ?olutio», пз которой можно заключить, что данная задача встре- чается у /К. Озаиама. Вторая заметка, касающаяся данного вопроса, нахо- дится в записной книжке Лг 133 (л. 144 об.); задача ре- шается методом, изложенным при рассмотрении преды- -II а Ь гущен задачи. При этом, предположив r = —, s=— , Эйлер, рассуждая, как и раньше, получает ______ла (аа-}-6а) 2тпаЬ пгаЬ—ш2 где n2ab — т2 = к2-, отсюда окончательно: акг Ькг Г п* (л2-}- Ь3) ± 2mnab ’ * na (as4-ts) ± 2тпаЬ ’ __ к(па3-\-тЬ) n2(fls4-fcs)i 2тпаЬ В частности, для wi=l, к=1, п=1, «=1, Ь=2 либо _ 1 2,12 г = Т » 5 = дг . лиоо г = —, s = — . 5 5 13 ’ 13 На л. 145 об. этой же записной книжки помещается третья запись. Здесь формулируется теорема, которая дает условие разрешимости поставленной задачи, а именно: ?/ —-та=П, х — у2=П, если (р2 4-д2) (.г2 4-у2) — 2 (р4— — 94) л'У + 2<уа (р2 — д2) (х + у) -|- q* = 0. Полагая z=Z-f-u, y—t ч. Эйлер подставляет эти зпаченпя в уравнение и, 11*
164 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ произведя ряд преобразований, получает ma-|~2mn-|-5na 4_ ша—2mn-f-5na Г ~ 10(та4-ла) ’ ?/ — 10(ma-f-na) ’ Последняя, четвертая запись, обнаруженная в запис- ной книжке eV 136, л. 85 об., воспроизводит рассужде- ние из первой заметки, относящейся к данному вопросу. 3. Три записи из записных книжек Эйлер посвящает задаче: найти такие положительные числа х, у, z, для которых £±z=O, y±z = Q. До Пилера этой задачей занимался Лейбниц (в неопубликованных рукописях)Решение Эйлера было опубликовано в «Ал- гебре» (ч. 2, § 234) н в мемуаре Е753^ В записной книжке № 132 (л. 143, 147 об.) имеются две заметки, относящиеся к этому решению, 1де дается два численных примера, которых пет в названных работах: 1) х = 77 764850, « у = бб 473,230, z = 20 126 386; 2) х = 2 399 057, у = 2 288 168, |5 z= 1873 4$2. Дтя первого решения: з+у= 120102, а- —у = 3 3602, x + z=9 8942. x-z = 7 5922, у + z_= 93062, y-z = 6 8082; для второго решения: ,т 4- у — 2 1652, х — ?/ = 3332, x-f-z = = 2 0672, х — z= 7252, у 4-z = 2 0402, у— z=6'i'i2. В записной книжке Л" 140, л. 64 находится решение этой же задачи. Запись можно прижать относящейся к вышеупомянутому мемуару (очевидно, поэтому опа и не была опубликована в «Opera postiima»), однако ход рас- суждения здесь отличается от опубликованного решения. 11усть А 4- В — х2, А-\-С — у, В + С = z2-, тогда В — С = х2 у2. Отс юда же 2В = х2 + z2 — у2, 2С = z2 4- 4-У2 — х2, 2.1 = х2 + у2 — z2, а также Л — В = у2 — J — С = х2 — z2, В — С = х2 — у2, причем три последних выражения должны быть квадратами. Чтобы были квадратами х2— z2, х2 — у2, необходимо, чтобы х можно было представить двумя способами в виде суммы двух квадратов. Пусть х = р2 4- q2 = г2 + г>2 = («2 + Ь2) (с2 4- </2). Если положить z= 2pq, у = 2rs, то х2 — z2 = {р2 — <?2)2; следо- вательно, ) .1 — С = р2 — q2. Также х2—у2 — (г2 — *2)2, следо- ’) М a h n k е, Leibniz auf der Suche nach einer allgemeinen Primzahlgleichung, Bibl. math., 133, 1912'13. a) Comm, arithm. col)., II. 392—395: Op. omn., I.,. 20—27
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭПЛЕРА 165 вательно, J В — С=г® — s®. Остается: у2—z® = □ — 4 (А® — — р®у2) = J — В. Из пре идущего p=ac-\-bd, q — ad — bc, r = ad+bc, s=ac — bd. Поэтому rs + pq = 2cd («® — b2), rs — pq = 2ab (c® — d2), откуда A — В = Iftabcd (a2 — b2) X . (c2 — d2), и дело, таким образом, сводится к отыскания) таких двух значении формулы /<?(/2 — g2), чтобы их про- изведение было равно ^квадрату. Эти значения предла- гается находить по таолице, находящейся на листе 61 этой же заниспоп книжки. После этого Эйлер рассма- тривает пример: а=6, 6 = 1, с = 5, d = 2. Для этих зна- чений Л-Я = 840®, Л + В= 1073®, А- С = 975®, А-[-С = = 952®, В —С = 493®, В + С = 448®. Отсюда найдены . 1856 929 ,, 445 729 „ 44 321 А =----г,---, В — —-----, С = —-—. В копие записи замечено, что другим методом можно получить другие значения: Л = 733 025, Л = 418 304, С = 488 000, т. е. решение дайной задачи, приведенное в мемуаре Е733. 6. Две незаконченные заметки (записная книжка № 129, л. 50 — 51 об.; Л» 131, л. 61 об.) касаются этой же задачи, поставленной для четырех переменных. Этот случай в опубликованных работах Эйлера не рассматри- вается. В первой записи предлагаются следующие значе- ния для искомых величин: а, а-^-х2, а-\-у2, a-|-z® —и 2 2 z \2 P3~t~z2 ищутся их разности: z® — j® = (z — р), отсюда z = ; таким же образом полагается z® — y®=(z—q)2, откуда ?/ = . , . Наконец, | у® - Z® = I (Р ~ X2q)2 - z® (р + p2q) (р + pq2). Запись пе окончена. Во второй заметке дается решение: если a, b, с, d — искомые числа, а _rza-|-2rz— х ____ту*2гу—х р Ар ’ 9 АН ’ то p® + <z‘ —г® . р2— <7а+а.® 9®— Р2 + *3 2 2 * 2 , 2г2 — pb—q2 х2 а —-----.
166 Г. II. МАТВНЕВСК\Я 7. Задача: напти два числа х, у, чтобы было х2 + т/2=П, а2 — 2/г + 2 = П, —не встречается в опубли- кованных работах Эйлера. Ей посвящена заметка из за- писной книжки Лг 133 (л. 29 об.— 30). Для решения рассматривается прямоугольный треугольник с катетами x=2nab, у = п((г—&) при различных значениях л. В результате Эйлер приходит к выводу: из любого при моуголыюго треугольника могут быть найдены бесчис- ленные пары целых чисел х, у, решающих данную задачу. 8. Пять заметок (записные книжки Л» 133, л. 145, 146 об.; Л« 137, л. 338; Л» 138, л. 140 об., 142— 142 об.) относится к решению различных случаев задачи: найти четыре положительных числа a, b, с, d, для которых при данном п выполняются условия at + п = □, ас + п = □, «</+«=□, fcc + n = C, c</ + n=Q. Эта задача решалась и до Эйлера. Баше рассматривал ее /1 = 4. Эйлер решает в «Алгебре» (ч. 2, для п = 3, Ферма и де Билли для ее в мемуарах Е793^), Е360*) и § 233 — 234). В первой заметке из записной книжки при- водится ряд численных решений для случая п= 1: (2, 12, 4, 42(1), (2. 12. 24, 238(1), (3, 8, 1, 120), (3. 8, 21, 2080), (3, 5, 16, 1008). Во второй записи рассмотри! общий случаи, когда число, прибавляемое, по условию, к произведениям двух чисел, есть— п. Пусть c = a + fe-f2] ab— п, d = fc-f-c-f- + 2} be — n, ad — n = Пусть, далее, ab — n— jr. Тогда I рг-\-П , Р2-|-Л о ^ = 4“’ c = a + ‘-^- + 2p, l (/'24~л)2 , г . 2p . г . . r0j24-n)a । 12 fcc-n = v T. '.+/?2 + _2.(p2 + H)= [^У..Т.Б-1-pJ . Следовательно, d=^+ 4p + а. Далее должно быть выполнено условие ad — п = 4p2-f- hap + аг-\- Зп = □ или (2р + а)2-|-Зп = После этого Эйлер приводит «пример Диофанта» — случай п = 10. Для этого случая (2р + а)г -j- 30 = □, н, решая *) Comm. arithm. coll., II, 579—582; Op. omn., lo, 284—3U2. г) Comm, arifhm. coll.. II. 45—46; Op. omn., I,, 91 —104.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЛЛЕРА 167 5 29 уравнение, Эйлер получает два решения: !)« = — , 6 = -^, 49 , 1G1 „. 3 , 22 41 , 161 " f = i0’d = -10 • 2)Я = Т- Ь= з ’ с = -6 .«/“-б-.Втретьеи заметке для случая п = 80 Эйлер дает решепне: а= 1, 6=41, с = 64, <7=209. Остальные две заметки являются подготовительными к мемуару Е560. 9. В записной книжке № 132 (л. 145 об.) имеется заметка, касающаяся задачи: найти такие три числа х, у, z, чтобы ху ± (z-by + z) = 0, xz ± (x-j-y + z) = □, yz ± (z+ y-\-z) = (В опубликованных работах эта за- дача ставится для четырех неизвестных.) Эйлер полагает х + у + z = 2abct2, после чего решепне оказывается най- денным, если ху = (а2Ь2 + с2) I2, xz = (а2с2 + b2) t2, yz = = (b2c2 + a2) I2. Произведя ряд преобразовании, он полу- чает решение в с юдующем виде: х = (1 + а2) I, (1+а’)«-2(1-0’)^+л-\. (1 + 0*)*+2(1-аг)р»+/.< Z- 4 I, оста- Д а(1+0»-^) • 10. В записной книжке А: 132 л. 148 об. Эйлер навливается па задаче: найти три квадрата, разности которых суть квадраты («Алгебра», ч. 2, §236—237),— и дает два численных решения. Он утверждает, что задачу: z2 — £2=Q, z2 — у2 —□, у2 — -,2 = □— решают числа: 1) а;=-2040, у = 2067, z = 2165; 2) х = 75б, у = 756, z = 925. Действительно, 1) z2 —х2 = 7252, z2 — у2 = 644s, у2 - х2 = ЗЗЗ2; 2) z2 - z2 = 5332, z2 - у2 = 5332, у2 - х2 = 0. 11. Задача: найти три квадрата х2, у2, z2 так, чтобы £2 + i/2=O, х2 + z2 = □, y2-|-z2=O. Этой задачей зани- мался до Эйлера Саундсрсон (1682 — 1739), который полу- чил решение х =117, у =44, z = 240. Эйлер решает ее в «Алгебре» (ч. 2, § 238) в в мемуарах Е1271) и Е799Т). О Comm, arithm. coll., I, 427; Op. omn., Ia, 172—210. 1 *) Comm, arithm. coll., I. 650: Op. omn., 15, 366—370.
168 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ В записных книжках он касается дайной задачи шесть раз. В книжке № 131 (л. 61) дается решение, отличаю- щееся от всех опубликованных. Искомые числа обозна- чены а2, Ь2, с2. Пусть « = /? — q2, b = 2pq\ тогда а2 + Ь2 = (р2 -}- q2)2, b2 -|- с2 = 4/>2<?2 + с*. 11олагаем 4p2q2 + с2 = (с2 + 2г)2, откуда Р2Ч2—г2 п с = х—-----.Подставляем полученное в третье условие: а2 + с2=|~1,— и приходим к уравнению p*r2 — 4p2q2r2 + + qir2 + piqi + rt= □ . П\сть p — mq, r — nq2. Тогда уравнение примет вид тп*п2 — 'ип2п2 4- п2 + п* = □. Если, далее, положить m = n-j-x, то получится новое уравнение: п2 (П2 /1Из („г - 1) х + п2 (6п2 + 2) х2 + + 4п (п2 + 1) х3 + (п2 + 1) х4 = □. И pain ю часть Эйлер полагает равной £ п (п2 — 1) + 2л2х-{- , «(”24-1) 2Г 4ns—п п 4—х2 J н получает х = 1_3в« • Отсюда т = л3—3л п3-3п 2 , = ~i —Tin2 ’ ? ~ Т— Зяа г ~ ' ^сли считать q = 1 — Air, $*"|то р = п3 — 3/1, г = п — 6л3 + 9л® н окончательцол = л6 — — 15л4 + 15л2—1, 6 = 6лв— 20л3-|- 6п, с = 8л5 —8л. При л = 2 Эйлер приходит к известном'" решению л=177, й = 44, с = 240. Во второй заппсп (записная книжкй 132, л. 143) зад ча решается методом, также отличным от опублико- ванных. Ищутся числа х2, у2, z2. Flycib х2+ z2= (., -f-р)2, откуда х = ; у2 4- z2 = (у + q)2, откуда у = —. Следовательно, т2 4- I/2 - ?2U2-r2)2+P2(z2-g2)2 _ х + У 4^2 - и- В качестве решения последнего уравнения Эйлер при- водят: Р — (3 — /л2) ц, q = (3 — m2) mn, z = (Зш2 — 1) л.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОН УРДА ЭЙЛЕРА 169 Далее в этой заметке, как к в трех следующих (записные книжки № 134, л. 211 об., Л® 140, л. 5 61), даются чис- ленные решения рассматриваемой задачи, из которых (сличаются от опубликованных следующие: (3120, 2035, 828), (16-33-100-29-131, 299-101-97-233, 12-33.10-97Х X 233), (32-3-5, 4-5-7, 9-7-11), (16-9-11, 4-3-5-17, И 17), (21-23-25, 48-41, 44-25). Последняя запись пе закончена. 12. Одна заметка из книжки Л" 132 (л. 149—149 об.) посвящена задаче: пайти такие три числа х, у, z, чтобы х2 ± (-t + y + z) = □, у2 ± (i’+y+»)= □, z2 ± (x-|-y4-z) = = □,— 110 встречающейся среди опубликованных работ. 21*^5. ЧЧ',(1 277 Эйлер дает численные решения: 1) . 2958-3929 ... 406 518 791 29Ь76оо; 2) -96”’ “ШТ’ -go-• НР11’^ отмечает, что вто- рое решение папмепыпее. 13. Одна запись (записная книжка Л» 133, л. 152) по- священа решению задачи: найти три такие числа а, Ь, с, ч гобы, ab + ас -f- Ьс = □, а2 + Ь2 + с2 = □. Пусть ab + ас be = р2, а2 + 62 + с2 = q2', тогда р — 2т п, q = 2m2 — n2 (так как 2р2 -f- q2 = □), а + Ъ + с = 2т2 + и2. Пусть, далее, b-\-c = 2t, b — c = 2u. Произведя ряд под- становок, Эйлер пол}чает значения т, п, а затем сле- дующее решение: а = х1 — 2х2у2 + 4у4, Ь = 2ху (.t2 + 2.<у — -2//2),с = 2,гу(2у24-2зу —д-2), где | 3-1<^<| 3-J 1. Остальные заметки из этого раздела (всего в нем на- считывается 61 запись) в основном, за исключением не- скольких незаконченных, othochich к опубликованным работам Эйлера и не содержат нового но сравнению с этими работами. 4 1. Неопределенные уравнения в системы уравнений 3-н степени К данному подотделу относится 41 заметка из записных книжек Эйлера. Из них 15 оказались касающимися за- дач, либо ранее неизвестных, либо решенных новыми методами. Приводим наиболее интересные.
170 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ 1. Задача нахождения двух чисел т, у, для которых а?3 + у3=С, решается Эйлером в ме.муаре E255',j. В за- писной книжке Л: 134 (л. 118) имеется небольшая за- метка, интересная не столько решением задачи (которое, отличаясь от опубликованного, не является стро1 им и даже не закончено), сколько тем, что здесь приведены некото- рые вычисления и виден ход мысли Эйлера при решении задачи; в других заметках чаще всего дается лишь гото- вый результат. После формулировки задачи (.134-В3=П) предлагается подстановка: А = , В = р~ч- ,|~йри которой \словпе принимает вид^ P+Q = □ или р (р3 + 3<72) — □. Далее рассматриваются два случая: 1) р не делится па 3; 2) р делится на 3. В первом для вы- полнения условия />2-|-3<72= □ предполагается: р2 + 3<у2 = = (а2 Зб2)2; при этом Эйлер считает р= j- ° - = □, q = . Во в юром случае р = Лг, и условие перепишется в виде г (Зг2ц2) = □. Для этого последнего Сначала Эйлер придает «, Ь, п различные численные зна- чения и получает ряд значений для J, В, из которых часть задаче пе удовлетворяет. После этого, записан строку численных значений для «2, а под пей строку значений для ЗЬ2, Эйлер производит иены гания для тех значений выражения «3 —Зб2, которые являются квад- ратами. Таким образом, он получает решения: 10, - 6; 8, — 7; 65, 56; 450, 34. 2. В записной книжке № 131 (л. 176 об., 177 об.) приводятся следующие две теоремы (без доказательства): 1) если ах3-|-Рх2 ух-)- б стаповптся квадратом при х = а, так чго ] а«3 +Ра2 + уа+в = й, то эта же формула также „ (ааа—у)а—46 (аа-|-В) отдел квадратом в случае х =------!— ,а ---, и тогда ’) Comm, arithm. coll., 1, 193—209; Op. omn., I2, 428—458.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭПЛЕРА 171 —= 5-5----------т 2Ь*+(х—а)(Заа*+2Ва + у) -н J a.f3 + ₽i2 + YX4-fi = —------ 26 - 2) если 1 2яг+ bz2 4- 2cz3 становится квадратом при z = h, при котором | 1 -р 2аи + Ьч* -+• 2сяя — s, то оно выполнено и для с—2аи4-(с— 2аи — 4иги) I —пи—1+* >т z = ---- \у2- -—— ’ р® У--------------• При атом | 1 -t- 2яг + bz2 + 2 с z3 = 1 4- az 4- 2з2у. 3. В записной книжке Л» 131 (л. 174) Эйлер доказы- вает теорему: выражение хя ± 1 не может стать квадра- том ни при каком х, кроме х = 2. Этот вопрос рассмат- ривается в «Алгебре», ч. 2, § 121, но данная запись заслуживает внимания, так как доказательство в ней проводится способом, совершенно от точным от опублико- ванного. Пусть а3 4- 1 = □. т. с. (я 4-1) (а2 — а 4- 1) = □. где оба сомножителя взаимно просты. Таким образом, должно быть одновременно a 4-1 = 0, а2 — а 4- 1 = □• Это оказы- вается выполнимым, если оба выражения равны, т. с. я2 = 2я, откуда либо я=О, либо a = 2; теорема для этого случая доказана. Рассматривается второй случай; a3 — 1 = Тогда должно быть (a — 1) (а2 4- а 4-1) — □ , гдо сомножители либо взаимно просты, либо равны. Первое оказывается невозможным, так как тогда одновременно должно быть я— 1 = □, я2-|-я4- 1 = □, но (я2-|- 1)г > а* + 4-я4-1 > я2 и, следовательно, я2-|-а+ 1 ¥= □• Остается второе, откуда я2 4-2 = □, что невозможно. Теорема до- казана. Здесь же доказывается теорема, которая утверждает, что выражение х3-|-х не может стать квадратом даже при дробном значении х. Доказательство проведено мето- дом неопределенного спуска. 4. Задача: найти числа х, у, z, для которых xyz ± ± (х 4-У 4--z) = кубу, — рассматривается нал. 149 — 149 об. книжки № 133. Если искомые числа суть —, —, — " 8 3 3 то, полагая abc 4: (а 4- b 4-с) s2 = (/> ± с/)3 и произведя ряд операций, Эйлер получает следующие частные решения: .. а _ 60-164 Ь _ 6529-164 с _ 3-164 . ~ 73-127 ’ s— 73М27 ’ « ~ 127 ’ а 24-73 Ь 313-73 с 3-73 s ~ 11-43 ’ з — 8-11-43 ’ s — 43 ’
172 Г. П. МАТВИЕВСК ХЯ 5. В записной книжке № 132 имеются две записи (л. 83, 86), в которых Эйлер предлагает два решения задачи, не встречающейся в опубликованных работах: найти четыре куба Я3, В3, С3, D3, чтобы их сумма рав- нялась бы данному числу’ п. Первое решение: .1 = (3</2z + 'Лут? + и): 6</z; В = (— 3y2z — 3yz2 + п): (iyz; С — — 3#z2 — п) : (iyz; D — ( — 3y2z -}- 3yz2 — n): 6//z. Второе решение: an-|- Gaj (od-|- be)2-}- \2ab3f* (ad-{-bc)2a/’ (a*—Z/e) 12afcf (ad-|-6c) _ —an — Gaf (ad-]-bcf-\-i2ab3l3(ad-}-bc)—2a/s(oe— 6’) 12afc/ (ad-fbc) ’ „ bn — Gbf(ad-\-bcf—12a3bf3 (ad-\-bc)-]-2bf3 (a*—be) 12abf (ad-\-bc) ' r — bn-]-Gbf (ad-}-Ьс)3—Г2а3Ь]2 (ad-}-bc) -2bf3(a3 — b*) ‘ ~ I2abf (ad.-+be) При этом отмечается особый случай: 6. В записной книжке № 132 (л. 103) Эйлер рассмат- ривает две задачи, которые также в опубликованных ра- ботах не обнаружены. Найти два числа х, у, чтобы нх сумма, произведение и разность (сумма) квадратов на- ходились бы в геометрической прогрессии. В качестве решения первой задачи предлагается: (т — я)(т+я)* . „ (т —л)(т + л)2 . - тп2 ’ ' ~ т2п решение второй: _ (m-{-n)(m2+w2) _ (m + n)(m2+n2) тп2 ’ •* т2п 7. Задачу нахождения трех чисел, для которых выпол- нены условия: x — xyz=[J, у — xyz = □, z— xyz= [J, — в опубликованных мемуарах Эйлера найти не удалось. Она формулируется и решается в записной книжке Л° 131,
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 17з л. 78 об. Сначала Эйлер полагает т — xyz = а2х2, отк>да х — —• Второе условие примет вид у — xyz—у — t/z - f —-—— = □• Это выражение полагается равным b2y2. Тогда у azyt___2г b* — z *(a2 —г)(62— a2b* — z2 ’ (аЧг-z1)2 Гретье условие теперь перепишется следующим образом: z (a2b2 — z2) — z (а2 — z) (Ь2 — 2) = □. Пусть Ь — па. Тогда тпяа* (1 — m2)2 — т (1 — тп) (п — т) должно равняться квадрату, который Эйлер считает рав- ним т-------—~—- Производя соответствующие преобразования, он по- лучает: = тпа* (1 — т2)2- Отсюда 1 . 1 , 1 1 П = ---Г , " = --Г , аЬ = ---Г » 2 = шла* 4шла кто* Пакопец, подставив полученные значения в выраже- ния для г и у, он приходит к следующему: ЛтРа* (4а*—1) 1—4т2л* У 1 —т2 ’ Х ~ аг(\ — т*) ' Далее Эйлер приводит (Ва численные решения задачи: .. 4 317 175 1) 2 — 9 , у — 4.,14.4 > ‘ — 3.4.<| » 9216 4131 33600 Z“ 9-9-16-16 ’ У~ 9-9-16-16 ’ ' “ 9-9-16-16 ’ 8. За (аче: найти три положительных числа х, у, z, для которых xyz ± х = □, xyz ± у = □, xyz ± z = □, — по- священа заметка из записной книжки № 138 (л. 25 — 25 об.). Вначале Эйлер полагает: yz — -^—^—, xz = - , ху = _ . Тогча „ приаптасть последнего равепства, следовательно, должна быть квад-
174 f. П. МАТВИЕВсКАЯ ратом; таким образом, получено первое условие. Далее, подставляя значение yz в условие задачи т (yz-|-1) = □, •1" 1(Р+02 r-i х г—I т Лидер получает: —-— = □ , т. е. = □. Таким же образом оказывается •^- = □. ^г= Тогда, используя введенные ранее значения для yz н перемножая почленно yz л2-4-1 ,_, два последних равенства. • шпор получает □ р«+1 — „ g’ + l * г*+1 — или — = П. 1 аким же ао разом — = П, > - = П. 2pqr 1 2pqr Zpqr Эти три условия включают в себя первое. Далее, пола- а»-Л* c»-d« /»— ГЯЯ Р = ~ ~2аЬ~ ’ 9 = ’ Г = " 2/g ’ 1,МСеМ ДЛЯ иыпол’ 2,1 (fl» + b2)2 нения полученных трех условии: 1 = , 72+ 1 = —- , г2+ J — , т. е. числителя явля- ' 4«*сг 4а,Ь1 ются квадратами. Следовательно, квадратом должен быть - - о (a2—^(c’-^X/2-?2) м их оощии знаменатель, т. е. 2ijqr =---- , , ------- . 1 ‘ iabcdfg Таким образом, вопрос сводится к нахождению трех зна- чении формулы /пл(тн2 —л2), произведение которых есть квадрат. Поэтому Эйлер приводит таблицу: т п тпп (ml—п1) 2 1 2-3 3 2 2-3-5 4 1 2-2-3-5 5 3 2-2-2-3-5 5 2 2-3-5-7 5 4 2-2-3-3-5 6 1 2-3-5-7 В конце заметки приводится числепное решение. Пусть 3 а = 2, Ь = 1, с = 3, d — 2, f = 5, g = 4. Тогда Р = ~^ 5 9 25 169 1681 9 — 12 ’ г~ 40 ’ VZ~ 24 ’ XZ~ 120 ’ Гу~ 720 " 1Л 13-41 13-41 Отсюда ^г/2= и, наконец, т у = - — , 32-9-3 3-4-2о J 3-4-13 5-13 „ z — - . -Запись кончается проверкой этого решения. 5-41 2 41
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЗИЛЕРА J75 VII. Неопределенные уравнения 4-й степени Заметки пз записных книжек, отнесенные к этому разделу, охватывают широкий круг вопросов. Таких за- меток насчитывается 64. Рассмотрение их показывает, что, как и записи пз других разделов, по своему значе- нию опи неравноценны: если одни пз них представляют собой только черновые наброски к опубликованным ра- ботам, то другие содержат вопросы, не встречающиеся в этих работах, и поэтому имеют самостоятельный инте- рес. Последних насчитывается 31 заметка. Остановимся на тех, которые представляются панбоюе интересными. 1. Задача: найти целые числа х, у, z, дтя которых 34 + y4 + z4 = O. Эта задача впервые формулируется п ре- шается Диофантом, который получает для нее решение: ге= 12, у =15, z = 20 и 124+ 154 + 204 = 4812. Ею же за- нимался Варпш (1736 — 1798), воспроизведя в 1770 г. в своих «Medilaliones а1реЬга1сае»Урешенпе Диофанта. В конце XIX в. к ней возвращаются Мартин и Адкок, которые устанавливают, что решение Диофанта есть наи- меньшее решение в целых числах. В опубликованных работах Эйлера эта задача не встречается, но в своих записных книжках он обращается к ней несколько раз, а именно: № 132 (л. 144), Д® 133 (л. 151 об.), Д® 134 (л. 80 — 81), Д: 136 (л. 83, 84 об. —85). Первая запись (записная книжка № 132, л. 144) представляет собою повторение Диофанта. Предлагается подстановка: л-* + yi [ -4_______________________________________________д! 4- у* + z4 = (х2 + а)2, и отсюда получается а:2 = ~ а-; полагая а = у2—z2, имеем х = — уг- Далее, если поло I жить у = п (рг+ у2), z = n (рг у2), то а~= —"• n = 2pq получим *4 + y4 + z4 = (ps -|- 14р4у4-|- у8)2. Если, в частности, р = 2, q =1, получается решение х — 15, у=20, z=12. Запись кончается словами: «Это предложение Диофанта». В следующих, большей частью незакончен- ных заметках Эйлер пытается решить задачу несколько иными методами, которые приводят, однако, только к уже найденному решении».
176 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ В записной кппжке № 134 (л. 81) дастся подстановка х2 = 2п (я2 4- 6* — с2), у2 = 4пас, z2 = 'inbc и рассматри- вается при п = -^-; для предлагаемых Эйлером значений а — 25, b = 9, с =16 получается прежнее решение. В записной книжке Л" 136 (л. 83) Эйлер приводит повое решение, говоря, «чтобы было я4 + 6* 4-с* = □; кроме решения а =15, 6 = 20, с = 12, имеется я = 130111, а = 88639, (*) 6 = 5-120-481, и 6 = 5-120.481, с = 3-120-481 с=4-120-647. Пакопец, в последней записи в этой же записной книжке на л. 85 Эйлер замечает без доказательства, что если известен случай а* + 64 4- с* — d2, то другие решения задачи j4 4- у44- z* = v2 полз чаются пз него при помощи следующих общих формул: 1) х = 2acd, у = 2bcd, z — а* 4- bi — с4. Действительно, тогда j 4 4- у* 4- z4 = (d* 4- W2c4 — 4c8)2. Если рассматривать решение а = 20, 6=12, с = 15 как извест- ное, то эти формулы приводят к решению (♦). 2) х = 2асс/((/4-с2), у = 2bcd (</4- с2), z = (<Z-c2)(d24-2c4). Таким образом, записи данного раздела представ- ляют несомненный интерес, особенно заметки из запис- ной книжки № 136 (л. 83, 85), как не встречающиеся в опубликованных работах Эйлера и содержащие новые результаты. 2. Задача: найти числа х, у, z, v, для которых т44-?/4 4*z44- V* = О, —встречается в записной книжке № 132, л. 82 об., 83, 143 об. Она формулируется на листе 82 об., и здесь же приводится следующее решепне: «чтобы было а* 4- 64 4- с44-^4 = □» следует взять а = 7 g* 4- 30g2/r 4- 9А4, 6 = 7g4 4-12g3h 4- 30g262 — 12gh3 4- 964, c = 7g4 - 12g3h 4- 30g262 4-12g634-964, d = 7g* 4- 6g262 4- 33/Э.
Г I I ( I Т I I I ( I 7 I I Ь X Pl КОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЛИТЕРА н будет /л4 + />4 4- С4 4- с/4 = 2 (7g4 4- 3()g2//2 4- 9/i4) X X (7g4 4- 18g2/? + 21 Л4) 4-144/г2 (3g2 4- 5Л2) (Л2 - g2)2». Так, если четыре корня суть: л = 241, /> = 169, с = 313, // = 169, будет J л44-Ь44-с4 4-d4= 120842 = 2-23-37-71; другие четыре корня получаются, если положить g = 3, Л = 1; тогда л = 141, />=189, с = 93, </ = 109. Каким путем .Эйлер приходит к этим результатам, остается не- известным. На листе 143 об. дается короткая заметка: «Квад- ратные числа, менылие, чем 3000, которые являются совокупностями (agcrrepata) четырех биквадратов, суть 4, 49, 64, 289, 324, 529, 784, 1024, 2500>>. Кроме того, здесь же приводится решение: 1994 4-2814 4- 34344-5594 = 344 1622. Все это, очевидно, получено путем непосредственных вычислении. В опубликованных работах ничего, связан пого с даппон задачей, обнаружить не удалось, и по- тому заметки этого раздела следует отметить особо. 3. В записной книжке №131, л. 176 предлагается сле- дующая теорема: если х* -у ал2 у2 4- $у* есть квадрат, то квадратом будет также форма л4 -|- о-а2Ъ2 -|- р/>4, если а = .г4 — Ру4, b — 2гу | х* 4- ах2у2 4- Ру4. На листе 179 этой же книжки формулируются еще две теоремы: 1) если а* 4- та2Ь2 -|- Ь* пе может быть квад- ратом, то нс будут квадратами и следующие выражения: азр ^2 — т) р* — 2а2р2/лр2у2 — <ф3 (2 4- т) у4, а3Р/>4 — 2а3Р2нгр2у2 — (т2 — 4) арзу4; 2) если ар* 4- °Я = □ >то Должно е , рг mn4-d р* с—п* СЫТЬ лпбо -— =------Цг- , Л11ОО ----т—Т . q2 а—т2 q* mn-f-a 4. В нескольких записях Эйлер рассматривает от- дельные уравнения 4-н степени п предлагает ряд ре- шении: 1) х* 4- 2лх3 4- b г2 4- 2сх 4- d2 = □, x=-^7^ad _ а~ ппсная книжка № 132, л. 196 об.); 12 Истор.-матгы. исслсд., вып. XIII
178 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ 2) а*-'т3Ь-(ш2Ь2-\аЬ3 + Ь*=С, а = 39, Ь = 2; а = 64, £>=1469 (записная книжка Л° 133, л. 135 об.); 3) а2х* + 2аЬх3у-\-сх2у2 + 2Деху3 + е2у* = □, х = 2ех X(d + b), y=b2 — c — 2ae (записная книжка № 133, л. 142 об.); 4) д4 + 1)* + с* — a2b2 — а2с2 — Ь2с2 = □ (записная книж- ка Л£ 134, л. 94; Л» 137, л. 314 об.); 5) «z4-(- \abx3y-\(ib2-}-2ac—4тп) х2у2-у 4Gcxy3+c2y*= □ (записная книжка № 140, л. 68—68 об.); 6) (а2 - х2у2) (х2 - у2) = □, х = ’ У = _ а*— 6а/>’-)-/>* . ~ а*—2а*рг-\-Ьар* Лар(а-\-р3) Ьр(а-\-рг) ’ Х Ъагр—2ар*-1гръ' У а*—6арг-\-р* 5. Ряд заметок Эйлер посвящает доказательству двух утверждении: 1) выражение а* — а2Ь2 + Ь* не может быть квадратом, кроме случаев а = 0, £> = 0 и а = Ь\ 2) выра- жение а* + а2Ь2 + Ь* не может быть квадратом, кроме случаев а = 0, £> = (). Первая теорема доказана попутно с другими вопросами в мемуаре Е758\), однако в запис- ных книжках доказательство проводится иным способом. В первой заметке (записная книжка № 133, л. 146) дано доказательство первого утверждения. Предполагая, что одно' пз чисел а, Ь четно, другое почетно, Эйлер считает а* — а2Ь2 + Ь* = □ = (а2 —^-b2 'j . Отсюда ^-=~Г7^——тг. и так как (с, с?)= 1, то d нечетно. Ь* а (2с—а) ' ' ’ Тогда берегся а2 = с2 — d2, b2 = d(2c — d). Чтобы было с2 — с£2=О, Эйлер полагает c = p2 + q2, d — p2— q2, а потому 2с — d = р2 + 3<?2. Таким образом, должно быть одновременно р2 — q2 = (>, p2-|-3g2=O. Отсюда, пропз- в< ,я подстановку p+q = r2, p—q=s2, Эйлер получает р2 + 3</2 = г* — r2s2 -j- s4 = 0. Следовательно, если бы а4—a2b2-rb* было квадратом, то также квадратом стало бы выражение г4 — r2s2-|-s4, причем г, s меньше, чем а, Ь. Отсюда, как обычно, сделан вывод, что решение в целых числах невозможно, кроме случаев а = 0, £> = 0 и а = Ь. *) Comm, arithm. coll., II, 406—413; Op. omn., ly 48—60
о НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 179 В следующей заметке (записная книжка .V. 134, л. 214 — 214 об.) методом неопределенного спуска доказана вторая теорема, а также сделала новая попытка дока- зать первую теорему несколько иным способом. Здесь же (л. 215) Эйлер рассматривает общее уравнение а2444- -|-Х.12/12 + Р2Л4 = □ п доказывает (тем же методом), что его частные случаи J4 + 3.I2/?2 + В* = □, I4 + 4.12/?2 + /;4 = □ неразрешимы. В записной книжке № 136 (л. 9 об. —10) Эйлер снова возвращается к обеим теоремам. Он предполагает, например, что а* — а2Ь2 + Ь* = □ = (p2q2 — r2s2)2 + 4p2g2r2s2. Тогда оказывается, что будет справедливо и следующее уравнение: /4 — /2w2 + w4= □, где t, и — числа, значи- тельно меньшие, чем а, Ь, а отсюда предположение не- верно. Так же доказана и вторая теорема. 6. В завис ной книжке № 134 (л. 77 об.) решается задача: найти числа т, у, z, для которых (z2 4-гг2)2 4- + (z2 4- у2)2 = □, если известен случай (а2 + Ь2)2 4- 4- (с2 -|- d2)2 = □. Эйлер полагает: z2 4- х1 = (я2 4- Ь2) (т2 -|- я2), z2 4- у2 — (с2 4- d2) (т2 4- я2). Отсюда z = am -\-bn — cm -\-dn,x = an — bm, у=сп—dm, т___b—d п с—а Тогда получаются два решения: I z=bc — ad, ( z = bc + ad, { х = а2 4- b2 ;£ (ас 4- bd) ( х = а2 4- Ь2 4: (ас — bd), I у = с2 4* с?2 ± (яс 4- bd). ( у = с2 4- d2 ± (ас — bd). 4 III. Квадраты, находящиеся в арифметической прогрессии Задача: найти четыре числа, квадраты которых на- ходятся в арифметической прогрессии, — была постав- лена Ферма (в 1640 г.), высказавшим утверждение, что она неразрешима в целых числах. Доказательство этого
180 Г. П. МАТВИЕВСКАЯ утверждения принадлежит Коллинсу (1625—1683), Эйле- ру, Барлоу (род. 1776). Эблер получил своп результат попутно при решении других вопросов в .мемуаре Е7581). Как показывает изучение записных книжек, интерес к данной задаче сохранялся у него на протяжении 14 лет; записи, к ней относящиеся, встречаются в книж- ках № 131, 133, 136. Посвящено этой задаче пять за- меток; пз них первая и последняя содержат полное решение задачи, отличное от опубликованного. 1. В первой записи (записная книжка Л» 131, л. 177 об. — 178) дается доказательство невозможности существования четырех квадратов, находящихся в ариф- метической прогрессии. Сначала идет неудачная попытка решения задачи, далее дано строгое доказательство. Г Обо начал искомые квадраты 2а2 — Ь2 = Qjj а2; Ь2; 262 —а2=С2, Эйлер получает отсюда: □i+a2 = a’+fca, iP’ □1-aa = 3(a2-i2). Таким образом, число a2-j-b2 оказывается представ- ленным в виде суммы двух квадратов двумя способами. ч Тогда по доказанной Эйлером теореме а2 -|- Ь2 = (т2 + п2) (р2 4- q2). Полагая a — mp-\-nq, b — np — mq, получаем: У 2а2 — Ь2 = пр + mq, J 2b2 — а2 — тр — nq. Подставляя в ]г2Ь2 — а2 значения а и Ь, имеем: (н2 — m2) (р2 — q2) = 2mnpq. , 2mnpg-4-n1gt—т2д* Отсюда р~ —-----п2_щ»-----“ 111 решая квадратное уравнение, окончательно получаем: р тп J I п*—т2п2-]-т* д . п2—т* Таким образом, вопрос сводится к доказательству того факта, что подкоренное выражение пе может быть л l) Comm, arithm. coll., II, 411—413; Op. omn., I6, 48—60.
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭПЛЕРА 181 квадратом; это доказано Эйлером особо и доказательство приведено в предыдущем разделе статьи. Здесь оно про- водится еще раз. L । 2. Во второй заметке (записная книжка № 131, л. / об.) продолжается рассмотрение этой задачи, причем сделана ссылка на предыдущую запись. i тверждается, что равенство (н2 — т2) (р2 — q2) = 2mnpq невозможно, однако доказательство остается незаконченным. \ 3. В записной книжке А'- 131 (л. ТЯ4) дано другое || доказательство. Рассматриваются четыре квадрата А, В, ' С, D, находящиеся в арифметической прогрессии, с раз- ностью = mabc. Для этого квадраты берутся равными А = -у (mab — с)2; В = (mab + с)2 = -у (тас — 6)2; 11 1 С = -у (mac + b)2 — (mbc — a)2; D = (nibc-j- о)2, причел! (а, Ь, с) = 1. Сравнивая оба выражения для В, л г"1 •» Ь —|— с а ~| Ъ а затем для С, du лер получает: та = , тс = » чтобы эти выражения были целыми, должно быть с — Ь*\ и Ь = а*2 или a = b~*. с ~ Рассматривая затем каждый случай в отдельности (четыре случая), Эйлер приходит к выводу, что ни один из них невозможен. Запись кончается замечанием о том, что при данном доказательстве рассмотрен только част- ный случай. 4. В записной книжке А: 133 (л. 145 об.) имеется не- большая незаконченная заметка, идущая под заголовком «Tentamen denionstrationis non dari quadrata in progres sione arithmetical». 5. В последней записи (записная книжка As 136, л. 10 об.) Эйлер формулирует и доказывает утверждение: два выражения 2а2—b2, 2Ь2—а2 одновременно квадратами стать не могут. Другими словами, он доказывает, что не- возможно найти четыре квадрата 2а2—b2, a2, b2, 2Ь2—а2, 11 в заметке 1). Метод решения полностью совпадает с методом, применявшимся в этой заметке. находящиеся в арифметической прогрессии (с разностью =а —Ь2). Таким образом, решается та же задача, что
182 Г. U. МАТВИЕВСКАЯ IX. Неликая теорема Ферма Из имеющихся в записных книжках пятнадцати за- писей по поводу доказательства великой теоремы Ферма (уравнение х"-\-yn=zn не может быть разрешено в целых числах для п>3) восемь опубликованы в «Opera postiima». Остальные семь находятся в записных книжках № 131, 132, 133, 134 п относятся, следовательно, к 1736—1757 гг. Все они касаются доказательства теоремы для случая и=3. Две заметки (записные книжки Лс 132, л. 335—336; № 133, л. 147) воспроизводят рассуждения, которые при- менил Эйлер при доказательстве теоремы в «Алгебре» (ч. 2, § 243). Две заметки (записные книжки Л» 134, л. 206, Л» 136, л. 322) представляют собой незаконченные наброски. В записях из книжек № 131 (л. 1711), „V 132 (л. 80—80 об.), № 133 (л. 146) доказательство проведено одним и тем же способом, причем оно полностью завер- шено в двух последних заметках. Если ищутся ан b такие, чтобы а3-|-Ь3= кубу, то долж- ны выполняться два условия: «2 — ab + Ь* — кубу, а + b — кубу. Для выполнения первого условия Эйлер предлагает под- становку: 1) а = х8 + у3 — ‘ix2y, b = х3 + у3 — Зху2 (тогда а2—ah-\-Ь*=(хг—ху ^-у2)3) пли 2) а = х3 — хгу + хуг, Ь = у3 — ху2 + х2у. Теперь нужно удовлетворить второму условии». Для пред- ложенных подстановок получаются следующие значения: 1) а + (»= 2х3 + 2у3 — Зх*у — З.г у2 = кубу; 2) а Ъ = х8 + у3 = кубу. Рассмотрение второго случая приводит к исходной задаче, а потому Эйлер останавливается только на первом. Как и раныпе, вводится подстановка y=z—х. Тогда требуемое условие приобретает вид 2z3—9xz2—9x2z—кубу. Это выражение полагается равным u3z3. Отсюда _ 9z±3xl 4u»+l 2 — 4—2u’
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЛПЛЕРА (83 С.- т Если положить и=—, то получается новая задача п (4»<’ + я3) = П.^ Далее полагается |' iu* -р 1 = ; отсю- . - г’ — s1 «. 3 2s (г1 — s1) да 4м3 =—= -------------^5---, а тогда выражение 2а (г — л) (г + л) должно быть кубом п (г, л) = 1. Исходя из этого, Эндер рассматривает случаи, когда из чисел г и s одно четно, другое нечетно, и считает о* е*_ ft r — s = f3, r+s = g3. Отсюда r = - , s = 8 , и усло- вие 2б = кубу будет выглядеть так: q3 — /3=кубу, т. с. получена исходная задача для чисел, мепыпнх, чем данные. Рассуждение кончается словами: «Так как для того, чтобы «3-|-б3 могло стать кубом, требуется, чтобы имелись дна мепыннх куба, сумма которых есть куб, то следует, что так как такого рода двух мепыпнх kjoob не име тся, то и большие не существуют». Таким обра- зом, здесь доказательство проведено методом неопреде- ленного спуска. X. Целочис iCHiibie решения уравнения л,у = ух Относительно данного вопроса в записных книжках имеются две заметки ( аинсная книжка А» 130, л. 37, 39), которые являются подготовительными к § 519 первой части «InlrotlucLio in analysin iitf initorum» ЗАКЛЮЧЕИПУ + Наше исследование рукописных материалов Эйлера по- зволяет сделать следующие выводы: все рукописи Эйлера по теории чисел могут быть разделены иа три группы: а) конин опубликованных работ; б) недавно обнаружен- ные рукописи, оставшиеся поэтому неизвестными редак- ции «Opera omnia»; в) заметки теоретико-числового со- держания из записных книжек Эйлера. В первой из перечисленных групп не обнаружено ничего нового по сравнению с отмеченным редакцией «Opera omnia».
184 Г. п» МАТВИЕВСКАЯ Вторая группа включает в себя два больших неизвест- ных ранее фрагмента теоретико-числового содержания (относящихся к анализу Диофанта). В одном из них, ко- торый можно датировать примерно 173G—1738 гг., как показало сравнение с другими работами Эйлера, метод решения задачи совершенно оригинален и представляет самостоятельный интерес. Относительно второго отрывка (1735—1740 гг.) можно предположить, что он является частью первоначального наброска «Алгебры» Эйлера, задуманного более широко, чем осуществленный вари- ант. Кроме этих двух отрывков, группа рукописей вклю- чает решение восемнадцати задач, также относящихся к диофантову анализу; часть из них закончена, часть представляет незаконченные наброски решений. Третья группа рукописей содержит наиболее обширный материал по рассматриваемому вопросу — число заметок теоретико-числового содержания превышает 770; работе! представлен разбор записей по диофантову ана- лизу, что составляет примерно половину всего мате- риала. Прежде всего были выявлены заметки, относящиеся к задачам, которые встречаются в опубликованных рабо- тах. Среди них, в свою очередь, можно выделить: 1) записи, являющиеся черновиками опубликованных работ и пол- ностью воспроизведенные в этих работах; 2) записи, в которых известные задачи решаются повым (по сравне- нию с опубликованным решением) методом; 3) записи, содержащие новые результаты относительно известных задач (например, новые численные решения). Но наиболее интересными, естественно, являются заметки, которые содержат вопросы, не встречающиеся в опубликованных работах. Таких заметок обнаружено 92. Средн них встре- чаются как полностью завершенные решения поставлен- ных задач неопределенного анализа, так и незаконченные. К данной группе рукописей относится обнаруженный в записной книжке № 134 план изложения основ теории чисел, вернее всего, план учебного пособия. Судя по одно- типности изложения, а также по одному и тому же времени написания, можно предположить, что эта запись имеет непосредственное отношеппе к незаконченной рукописи,
О НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЯХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 185 впервые опубликованной в 1849 г. под названием «Тгас- tatus de numerorum doc tri па capita sedeciin quae guper- sunt». Запись ценна тем, что но ней можно познакомиться с неосуществленным планом Эйлера относительно пред- полагаемого учебника: предметом второй его части дол- жен был явиться анализ Диофанта. Записные книжки показывают, что периодами наиболее интенсивного творчества Эйлера в направлении теоретико- числовых исследований были годы 173G—1744 и 17G7— 1783. Сопоставление полученных данных с публикациями этих лет еще раз подтверждает, что даже в те годы, когда из печати выходило немного работ Эйлера по теории чисел, он продолжал усиленные занятия этим предме- том. На большом числе примеров молено убедиться, что многие известные результаты Эйлер получил намного раньше их опубликования. Одним из таких примеров является доказательство леммы, на основе которой в 1772 г. Эйлер доказал теорему Ваше: оказывается, что в записных книжках это доказательство появилось па 30 лет раньше, чем было опубликовано. То же мож- но сказать и по отношению к задаче: определить, сколько раз данное целое число содержится среди всех много- угольных чисел,— которая была решена в записной книжке за 1G лет до того, как ее решение было изложено в письме Эйлера к Гольдбаху. Изучение заметок позволило в ряде случаев устано- вить, когда у Эйлера возник интерес к определенному вопросу и, более того, на протяжении скольких лет шла его работа над тем или иным теоретико-числовым мемуа- ром. В частности, можно утверждать, что подготовку к написанию мемуара «De resolutione formularum quadra- ticarum indeterminatum per numeros integros» (1759) Эйлер начал в 1740 г.; первые записи, непосредственно относящиеся к мемуару «РгоЫеша Diophanteum singulare» (1774), датируются .1740 г. и т. д. На основе исследования записных книжек можно придти к некоторым выводам относительно методов, при- менявшихся Эйлером в его теоретико-числовых исследо- ваниях, и глубже понять эти методы.
1Вб Г. If. МАТВИЕВСКЧЯ Прежде всего записные книжки показывают, что весьма часто Эйлер приходил к своим результатам чисто экспе- риментальным путем, производя вычисления, которые поражают своей сложностью. Подтвердив свой окончатель- ный вывод рядом таких числовых примеров, он констати- рует полученный математический факт и зачастую этим и ограничивается на первой стадии работы. Иногда он намечает пути дальнейшего исследования, а затем возвра- щается к заинтересовавшему его вопросу много раз на протяжении* ряда лет. В соответствующих заметках из записных книжек Эйлер делает попытки доказательства высказанного утверждении, пробуя для этого различные пути и способы. Некоторые из полученных доказательств не являются строгими, и Эйлер обычно сам указывает на эту нестрогость. Но после нескольких попыток он приходит к окончательному строгому доказательству и тогда только считает вопрос исчерпанным. Такую осо- бенность творческого метода можно наблюдать и при чтении опубликованных мемуаров Эйлера. Записные книжки дают возможность убедиться, что методы, которые Эйлер применял для решения задач высшей арифметики, были чрезвычайно разнообразны; это иногда видно на примере одной и той же задачи. Осо- бенно часто в заметках Эйлера приходится встречаться с методом неопределенного спуска, которым был получен ряд важных результатов, что нашло отражение и в опу- бликованных работах Эйлера. Иногда к открытию того или иного математического факта Эйлер приходит путем обобщения частпых случаев. Это, например, касается вывода его замечательной формулы: (а2 + Ь* + с2 -h d2) (р2 4- q2 + г2 4- «*) = = (ар -|- bq + cr -J- ds)2 + (bp -aq-)-dr — cs)2 4- + (ср — dq— ar + bs)2 +(dp + cq — br — as)2. Записные книжки позволяют проследить весь путь, кото- рым Эйлер пришел к своему выводу.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОЙНЫХ ЧИСЕЛ И. Г. Мельников § 1. Разделение натуральных чисел па простые и со- ставные было известно уже древним египтянам1). Наиболее ранние исследования, посвященные простым числам, при- надлежат греческим математикам античного периода. В «Началах» Евклида теории простых чисел получила свое первое офо! пенне. Особое значение простых чисел уясняется посредством основной теоремы арифметики, в силу которой каждое составное число однозначно пред- ставляется в виде произведения простых множителей. Хотя у Евклида отсутствует явная формулировка этой теоремы, однако опа, несомненно, была известна древне- греческим математикам. Эратосфен выдвинул метод полу- чения всех простых чисел, ие превосходящих заданное число. Этот метод, основанный на предварительном исклю- чении состанных чисел, теперь носит название «эратосфе- нова решета». Задача распознавания простых и составных чисел и нахождения делителей последних в случае больших чисел до сих пор является труднейшей задачей математики. В древности и в средние века основным приемом решения этой задачи был метод проб. Он состоит в том, что задан- ное число N делят по порядку на все простые числа, ие превосходящие ] А'. Если число N ни на одно из них не делится, то оно простое. Но для больших чисел этот прием *) О. Neugebauer, Die Grundlageu der agyptischen Bruch- recbnung. Berlin, 1926, стр. 23, цримеч. 4.
188 II. Г. МЕЛЬНИКОВ оказывается практически неприменимым, так как требует значительного числа делений. Новый метод установления простоты или сложности числа был выдвинут в одном из писем Ферма за 1G43 г.1). В основе этого метода лежит теорема: Если нечетное число N представимо в виде разности двух квадратов натуральных чисел только одним способом, то оно простое, если же более чем одним способом, то оно составное. По способу Ферма к числу N нужно прибавлять квад- TV—1 раты всех целых чисел, меньших ——, и каждый раз проверять, получится в сумме квадрат пли нет. Если получится квадрат, то N есть составное число и его сразу же можно разложить на два множителя, в противном слу- чае N простое. Этот способ факторизации чисел, способ разности двух квадратов, вновь был открыт в конце XVIII в. Кауслером2). Иногда этот метод приписывают Эйлеру3), однако, на- сколько нам известно, в работах Эйлера он нс встречается. Способ Ферма освобождает от необходимости произ- водить трудную операцию — деление, но в большинстве случаев он требует огромного числа сложений и нуждает- ся в большой таблице квадратов чисел. Впрочем, иссле- дования, выполненные в XIX—XX вв., показали, что вычислительная работа при использовании метода Ферма может быть значительно уменьшена. В 1770 г. Баринг4) под названием «теорема Вильсона» опубликовал новый критерий для определения простоты или сложности числа: Число N есть простое или составное, смотря по тому, делится ли на N или нет число 1-2.....(N—1)-|-1. Спустя три года теорема Вильсона была доказана Лаграижем. Этот критерий и некоторые другие, получен- *) Oeuvres de Fermat, 2, Paris, 1894, стр. 256. 2) С. F. К a u s 1 е г, Leonhard Fillers vollstiindige Anleitung zur Algebra, Frankfurt ain Main, 1796, III. 2 Anhang, стр. 269—283. *) II. В. A p n о л ь .л. Теория чисел, М., 1939, стр. 64. •) Е. Warin g, Meditationes algebraicae, Cambridge, 1770, стр. 218.
ОТКРЫТЫЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ 189 пые позднее, не имеют практической ценности, так как при- менение их при большом N сопряжено с огромной вычис- лительной работой. § 2. Вопросами теории степенных вычетов и тео- рии квадратичных форм Л. Эйлер занимался прежде всего в связи с задачей установления простоты или слож- ности числа, отыскания делителей числа или, выражаясь его словами, в связи с «задачей исследования природы числа» («Naturain numcroruin indagandi problema»). Эта задача обусловила появление многих замечатель- ных работ Эйлера по теории чисел. Заметив, что очепь часто исследуемое число Л’ можно рассматривать как число какого-то определенного вида, например вида ak-[-bh, al-\-b2 или а2-[-2Ь2 и т. д., Эйлер выдвигает и решает вопрос о форме простых делителей чисел некоторых видов. Метод проб, дополненный сообра- жениями о форме делителей, оказался хорошим средством для исследования 'природы числа. С его помощью Эйлер сумел, например, подтвердить предположение Ферма о простоте числа 2^^—1, показал, что 22*-|-1 есть составное число, и таким образом, опроверг гипотезу Ферма, по которой все числа вида 22“4-1, n=0, 1, 2,..., простые. Уже эти примеры показывают силу приемов, выдвинутых Эйлером. Отметим здесь несколько интересных фактов, связан- ных с последним примером. В известием письме к Робервалю от августа 1G40 г. Ферма, указав, что желанно проникнуть в «тайны чисел» («mysteres des nombres») возникло у него под влиянием Френпкля, сообщал, .что владеет доказательством теоремы: «Ни одно простое число вида in—1 не может быть дели- телем суммы двух взаимно-простых квадратов*. Оп отме- тил, что эта теорема будет полезна при отыскании простых чисел. Так, для решения вопроса, является ли число 10 000 000 001=100 0002+1 простым или составным, не иужпо будет делить его на 3, 7, 11 и т. д.1). Доказатель- ство Ферма неизвестно. *) Oeuvre* de Fermat, т. 2, 1894, стр. 202.
190 II. Г. МЕЛЬНИКОВ Первое дошедшее до нас доказательство этой теоремы было дано Эйлером в письме к Гольдбаху от С марта 1742 г.1) и впервые опубликовано в 1750 г. в работе А» 134 «Теоремы о делителях чисел»2 *). Воспроизведем это доказательство. Пусть числа а и b не делятся иа простое число р; тогда на основании малой теоремы Ферма число ар~1—If'1 делится на р и, следовательно, ар 1 -\-Ьр~1~(ар'1—&р'*) + 4-2tp'1 нс делится па р. Поэтому, если р=4и—1, то а4П~2-р?'1-2 не делится на р. А так как д4'1'14-fr*n-t= = (а24-Ь2) (а*а 4 4-...), то и a2-j-bs не будет делиться на р=4п—1. Таким образом, нечетные делители суммы двух взаимно-простых квадратов могут быть только вида 4п-|-1. Последнее заключение, разумеется, было известно Ферма. Эйлер пошел далее и рассуждениями, аналогич- ными предыдущим, показал, что все нечетные делители суммы двух взаимно-простых биквадратов могут быть только вида 8п-}-1 и что вообще сумма а2 -{-Ь2 при взаимно- простых а и Ь может иметьнечетные делйтели только вида 2"”1и4-1. Применяя последний результат к числу 22<l4^ 1, Эйлер установил, что оно может иметь делителями только числа вида 64п4-1. Испытывая простые числа 193, 257, 449, 577, 641, он обнаружил, например, делителя 641 при пятой пробе. § 3. Эйлер в течение ряда лет безуспешно пытался до- казать знаменитую теорему Ферма о том, что всякое про- стое число вида 4н -|-1 есть сумма двух квадратов. Одна- ко, еще не владея доказательством, но используя этот факт, он уже поставил и решил проблему факторизации чисел вида 4п4-1 методом суммы двух квадратов. *) Corre-pondance matbematique et physique de quelques cele- bre: geometres du XVIII siecle, т. I, СПб., 1843, стр. 114. 2) L. Euler, Theoremata circa divisores numerorum, Novi Commontarii Acad. Sc. Petrop., т. I за 1747—1748 гг. (1750), стр. 20—48; Comm, arith. coll., т. I, стр. 50—61; Opera oninia, сер. I, т. II, 1915, стр. 62—85. Здесь и в дальнейшем в тексте мы даем название мемуара в рус- ском переводе, а в сноске — на языке подлинника. В тексте перед названием указывается помер мемуара по списку Эпестрема (G. Е nest rom, Verzeichnis der Schriflen Leonard Eulers, 2 вы- пуска, Лейпциг, 1909 и 1913).
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ 191 Именно тогда Эйлер фактически положил начало теории бинарных квадратичных форм, в которой впо- следствии сделал одно из интереснейших открытий: обнаружил удобные числа. Систематическому изучению квадратичной формы x* 2+j/* Эйлер посвятил специальный мемуар Л» 228 «О числах, которые представляют агрегат двух квадратов»1). Основ- ные факты этой работы Эйлер изложил в письме к Гольд- баху от 6 мая 1747 г.2). Мемуар начинается таблицей чисел до 2и0, представля- ющих собой сумму двух квадратов. В нее вошли также и точные квадраты: они рассматривались как сумма двух квадратов, одни из которых есть 0. После нескольких простых, но важных замечаний, пз которых отметим утверждение: Если число р есть сумма двух квадратов, то число 2р также есть сумма двух квадратов, и наоборот, Эйлер формулирует п доказывает теорему: Произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, также является суммой двух квадратов. Действительно, если р=а2 -f-fc2, q=c* -|-d2, то pq= =а2с2 ±/2abcd-{-b2d2 a2d2 2abcd-}-b2c2 и для иронзве-' деипя pq, вообще говоря, получаются две различные формулы: pq = (ас + bd)2 -f- (ad — be)1, pq = (ас — bd)2 -f- (ad -f- be)2 3). Обе формулы, замечает Эйлер, сводятся к одной лишь в тех случаях, когда а=Ь или c—d. *) L. Euler, De numeris, qui sunt aggregate duorum quad- ratorum. Novi Comment. Petr., т. IV за 1752—53 гг. (1758), стр. 3—40; Comm, arith, coll., т. 1, стр. 155—173; Opera omnia, cep, 1, т. Il, стр. 295 — 327. 2) Correspondence..., т. I, стр. 413. *) Эта теорема, по-внднмому, была известна математикам древ- ности. В «Арифметике»'Диофанта (книга 111, задача 22) приводятся оба представления числа 65 в виде суммы двух квадратов: 65= 5Х ' 13=7,4-4* Р+81. Позднее в «Универсальной арифметике» (т. 11, СПб., 1788, 2-е изд., стр. 380—382) Эйлер доказывал эту теоре- му, опираясь на простейшие свойства чисел вида а+М —1, где а и о обыкновенные целые числа (теперь их иногда называют целыми
192 И. Г. МЕЛЬНИКОВ Далее впервые формулируется и доказывается теорема: Если сумма двух квадратов аг-\-Ьг, где а и Ь—числа вза- имно-простые, делится на простое число c2-|-d2, то част- ное такмсе есть сумма двух квадратов. Эйлер предостере- гает читателя: этут теорему нельзя рассматривать как следствие предыдущей; ведь, например, из того, что произведение двух четных чисел есть число четное, не следует, что частное от деления четного числа на четное есть четпое. Затем после некоторых предварительных замечании формулируется и доказывается методом спуска одна из замечательнейших теорем арифметики: Всякий делитель суммы двух взаимно-простых квадратов также есть сумма двух квадратов1). Теперь для доказательства теоремы Форма оставалось сделать один шаг: нужно было показать, что каждое про- стое число вида 4п-|-1 является делителем суммы двух взаимно-простых квадратов. Тогда на основании последней теоремы следовало бы, что оно п само есть сумма двух квадратов. Но именно этот шаг Эйлер не сразу смог осуществить. В мемуаре vV 228 он дал лишь «Попытку доказательства» («Tentanien demonstrationis»). Она состоит в следующем. Для любого простого р= = 4п-|-1 и чпсел а и Ь, не делящихся на р, число а4П_64п = (а2П_Ь2П) (а2П+Ь2П) на основании малой теоремы Ферма делится иа р. Поэто- му, если можно будет выбрать а и b так, чтобы число числами Гаусса). Это доказательство можно представить следу- ющим образом: pg= (a2-f- Ь2) (c2-]-d2)=(a-]-fei) (a — bi) (c-[-di) (с—di); «) W = I(fl+W) («+#)] [(e —M)(c —di)] = = [(ac— fed)-|-i (ad-j-fec)] ](ac — bd) — i (ad + fec)] = = (ac—fed)2-|-(ad-|-fec)2; 6) Z4 = [(“4-W) (с — di)] l(a — M (c+di)] = = ](ac-|-fed) — i (ad — fee)] ](ac-f-bd)-|-i (ad — fec)] = = (ac-|- fed)2-]-(ad — fee)2. !) Доказательства этих теорем приведены в статье И. Г. Мель- никова «Леопард Эйлер и элементарная математика», «Математика в школе», № 4, 1957, стр. 1—15.
ОТКРЫТИЕ ЭЛЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ 193 а2П—Ь2П пе делилось па р, то р будет делителем (а*1)2+(£>")* «» следовательно, само будет суммой двух квадратов. Чтение мемуаров Эйлера, посвященных одному или близким вопросам, дает читателю во можность увидеть различные этапы установления истины, увидеть, с каким упорством преодолеваются трудности. Уже в следующем арифметическом мемуаре Эйлера Л° 241 «Доказательство теоремы Ферма о том, что всякое простое число вида 4n 4 1 есть сумма двух квадратов»1) «попытка доказательства» превращается в строгое доказа- тельство. Этот мемуар пользуется особой и иестностью. В нем даны первое доказательство теоремы Ферма и пер- вое применение метода конечных разностей к решению теоретико-числовой задачи. Впоследствии Эйлер, создавая теории квадратичных и степенных вычетов, нашел новые весьма простые доказательства теоремы Ферма2). Заметим теперь, что предложение о возможности пред- ставления простого числа 4и4-1 в виде суммы двух квад- ратов, обычно называемое теоремой Ферма3), впервые было высказано Л. Жираром (1595—1632). В примечаниях к «Арифметике» Стевпиа*), опубликованной в 1G25 г., Жирар указывал, что в виде суммы двух квадратов пред- ставимы: каждый квадрат, каждое простое число вида 4n-f-l, произведение этих чисел и, наконец, любое удвоен- ное пз названных чисел. >) L. Е u I е г, Demonstratio theorematis Fermatiani omnem nunierum primum formae 4n-|-l esse suinmain duorum quadratorum, Novi Comment. Petr., t. V ла 1754—1755 rr. (1760), стр. 3—58; Comm, arith. coll., т. 1, стр. 210—233; Opera omnia, cep. 1, т. II, стр. 328—337. • 2) Вообще существует много различных доказательств этой теоремы. См., например, В. А. Венков, Элементарная теория чисел, 1937, стр. 48, 191 и др. •) Ферма сформулировал это предложение в примечаниях к «Арифметике» Диофанта (III, 22), а также в письмах к Мерсеину (25 декабря 164 I г.), Фреииклю (15 июня 1641 г.), Паскалю (25 сен- тября 16:,4 г.) и Дпгби (19 июня 1658 г.). См. Oeuvres de Fermat, т. 1, 1891, стр. 293; там же, т. II, 1894, стр. 213, 221, 313, 403. .„ _ ) L’arith. de Simon Stevin... annotations par A. Girard, Leide, 1625, стр. 622. 13 Пстор.-матем. иссаед.. вып. XIII
194 И. Г. МЕЛЬНИКОВ В дальнейшем, следуя Диксону1), указанное предло- жение мы будем называть теоремой Жирара2). Ферма дополнял теорему Жирара. В примечаниях к «Арифметике» Диофанта (111, 22) он писал: «Любое простое число вида есть гипотенуза лишь одного прямоугольного треугольника, его квадрат—двух, куб — трех, биквадрат — четырех и т. д. Такое простое число и его квадрат единственным спо- собом разлагаются на два квадрата, его куб и биквадрат— двумя, пятая н шестая степень — тремя и т. д. Произведение двух различных простых чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, также разлагается иа два квадрата и притом двумя способами»3). Пифагоровы треугольники Ферма ввел здесь не только в связи с желанием иметь краткие и удобные формули- ровки арифметических теорем; для него пифагоровы тре- угольники представляли своего рода область приложении этих теорем. В письмах к Мерсенну и Френпклю Ферма указывал, что теорема Жирара будет играть основную роль в тео- рии пифагоровых треугольников4). В то жт время Ферма даже пе пытался поставить эти теоремы на службу «задаче исследования природы числа». Он оставляет без внимания вопрос Френпкля5), как *) L. Е. Dickson, History of the theory of numbers, t. 2, 1920, стр. 230—231. г) В знаменитом письме к Каркави от 11 августа 1659 г. Ферма указывал, что доказательство теоремы, которую мы условились на- зывать теоремой Жирара, он получил с помощью метода спуска: «Если простое число 4n-]-1 не есть сумма двух квадратов, то найдет- ся меньшее простое число, обладающее таким же свойством, затем еще мепыпее и т. д., пока не-получится 5». Доказательства Ферма не сохранилось. См. «Oeuxres de Fermat», т. II, стр. 432. Средн имеющихся доказательств теоремы Жирара наиболее близ- ким к доказательству Ферма, по-видимому, является доказатель- ство Кармпхаэля, в котором применяется метод спуска с использо- ванием того факта, что каждое простое число р=4п-|-1 есть делитель числа вида 12ф1. См. В. D. Carmi ch ас 1, Diophantine analysis, 1915, стр. 39—40. *) «Oeuvres de Fermat», I, 1891, стр. 293. *) Там же, H, 1894, стр. 212, 221. s) Там же, стр. 232.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ обнаружить множители числа 221, зная, что 221= 10» + 11* = 14*+ 5*. § 4. Вернемся к мемуару Эблера At 228. Особый инте- рес для нас будет здесь представлять предложение (>: «Если число вида 4n-pl разлагается на два взаимно-простых квадрата единственным образом, то это число простое». Это утверждение неверно. Итце Ферма заметил, что не только простые числа p=4n-f-l, по и их квадраты пред- ставляются единственным образом в вп щ суммы двух ква- дратов. Здесь речь идет о собственном представлении р=х2-}-у2, т. е. с взаимно-простыми х и у. Это обстоятель- ство Эйлер отмечает в своей формулировке, а Ферма мол- чаливо предполагает. Поэтому, например, из двух пред- ставлений числа 25 : 25 —32+42=02+52 мы должны при- нимать во внимание лишь первое, так как Он 5 ие явля- ются взаимно-простыми числами. Как ни странно, эта ошибка получила «обобщение». С ней в известной степени связана неправильная трактов- ка удобных чисел, широко распространенная в литературе. Остановимся на некоторых деталях. Эйлер рассуждал так: если сложное число 4я-}-1 есть сумма двух квадратов, то делители его также суть суммы двух квадратов. Поэтому, положив 4zt-|-l = (a2-|-/>2)(c24-d2), найдем два различных разложения: 1. 4я -f-1 = (ас + bd)2 + (ad — be)3. II. 'tn +1 = (fld + ta)2 + (ac — bd)2. Ila этом основании Эйлер заключил, что единственность разложения числа in-f-1 может служить критерием его простоты. Разложения I и 11, подчеркивает Эйлер, действительно являются различными. Если допустить, что ac-f-fcd= =ad-f-6c, то можно будет заключить, что либо а — Ь, либо c—d и, значит, хотя бы одно из чисел а2-[-Ь2 или c2-\-d2 окажется четным. По это исключено, так как их произве- дение есть нечетное число. Если предположить, что «с-|- + bd=ac—bd, то будет либо Ь=0, либо d =0 н, следова- тельно, 4н- 1 будет равпо либо я2(с24 d2), либо с2(а2-{-Ь2). 13*
196 11. Г. МЕЛЬНИКОВ По и это исключено, ибо ио условию 4п-|-1 разлагается на взаимно-простые квадраты. В этом рассуждении молча шво предполагается, что с a, d =# b. Если жес=а, d = b, т. е. 4п -{ 1 есть квадрат, то разложения I и II принимают вид III. 4ге + 1 = (а* 2 + б2)2 + О2. IV. (4п+1) = (2«Ь)2+(«2-^2)2. Так как речь идет о разложении па два взаимно-про- стых квадрата, то мы должны признать, что здесь имеется лишь одно разложение, а именно разложение IV, и, сле- довательно, единственность разложения нечетного числа на два взаимно-простых квадрата означает, что это число простое или квадрат простого. В наброске предложения (>, содержащемся в письме Эйлера1) к Гольдбаху от 16 февраля 1745 г., требование взаимной простоты квадратов не выдвигалось. При таком подходе к делу можно было бы считать, что квадраты про- стых чисел впда 4и-|-1 имеют два представления в виде суммы двух квадратов. По в таком случае возникли бы другие трудности: существует сколько угодно составных чисел вида4н-р1, которые только единственным образом можно представить в виде суммы двух квадратов, напри- мер 9=32+02, 45=32+62, 117 92-j-62 в т. д. Требование взаимной простоты квадратов является совершенно триви- альным и Эйлер учел его, формулируя предложение 6. Неточность, допущенная Эйлером в формулировке предложения 6, насколько нам известно, никем не обсуж- далась. Многие авторы воспроизводили эту формулировку без каких-либо изменений, а иные даже ухудшали ее. Например, Барлоу в своей «Теории чисел», вышедшей в 1811 г., писал: «Число 4n-|-1 есть простое, если оно единственным способом разлагается на два квадрата2)». Эту же формулировку можно обнаружить в книге Перт- гейма3) и в других литературных источниках. Менее рас- *) Correspondance..., т. 1, стр. 313. 2) Р. Bari ом, Theorj of numbers, London, 1811, стр. 205. •) G. Wertheim, Elemente der Zahlentheorie, Leipzig, 1887, стр. 295.
ОТКРЫТИЕ ЭИ IEPOM УДОБНЫХ ЧИСЕЛ 197 простраиенноп является формулировка, прпттпсаппая Эй- леру Фуэтером: «Всякое число, которое представляется в виде суммы двух квадратов лишь одним способом, есть простое»1). С помощью последней «теоремы» можно, например, заключить, что 10-124-32 есть простое число. Отметим здесь также, что в очень интересной книге Э. Троста приводится следующий «критерий»: «Нечетное число вида 'ип 4-1 тогда и только тогда является простым, ко^да оно лишь единственным образом представимо в виде суммы двух взаимно простых квадратов»2). § 5. Уже Диофанту было нзвестпо, что если число можно представить в виде суммы двух квадратов более чем одним способом, то оно составное. Это предложение было сформулировано Мерсепном3) в работе, напечатанной в 1647 г., и впервые доказано Эйлером в мемуаре А» 228. Эйлер рассуждал следующим образом. Если N = а2 + Ь2 = с* * + d2, (1) причем а > b, с > d, а > с и, следовательно, b < d, то, положив а=с-\-х, d=b^-y, на основании (1) получим: я2 + 2сх = у2 + 2Ъу. (2) Так как левая часть равенства (2) делится на х, а правая на у, то можно положить х2 + 2сх = у2 + 2Ъу == хуъ. (3) Далее, не обращая внимания на то, что z может оказать- ся дробным числом, Эйлер находит с = f _ — ~~'J и затем получает а = d = Таким образом. и, следовательно, лпбо x2-j-y2, либо какой-то делитель этого числа окажется одним из множителей числа N. *) R. Fueter, Leonhard Euler, Basel, 1918, стр. 19. *) Э. Трос т. Простые числа, М., 1959, стр. 37. . ), • Marini Me г sen n i. Novarum Observatioiiiini Phy'-i- co-Matheinaticarum, t. Щ, Parisis, 1617, Cap. 21, p. 182.
198 И. Г. МЕЛЬНИКОВ Но Эйлер дал и строгое доказательство рассматриваемой теоремы. Ойо содержится в записи иа полях его .незакон- ченного «Трактата»1). Воспроизведем эту запись: (а + с) (а — с) = (b + d) (d — b) -= pqrs, a-\-c = pq, a — c — rs, b-\-d = pr, d—b= qs, a = t . l>r—qs 2» a»+b2=^(pS+s2)(92 + z.2). В работе As 228 Эйлер разработал весьма удобный в практическом отношении способ получения всех разло- жений числа \п-|-1 па два квадрата. Он показал, как можно найти множители этого числа, имея различные представления его в виде суммы двух квадратов. Здесь Эйлер впервые выдвинул метод исследования чисел вида 4м 4 1 посредством суммы двух квадратов. В оспове этого метода лежит принцип: Если число 4п 4 1 имеет лишь одно и притом собственное представление в виде суммы двух квадратов, то оно простое. Если же не- сколько представлений или ни одного, то оно составное (в последнем случае число hn 4-1 имеет четное число дели- телей вида 4п4-3). § 6. Методы исследования простейшей квадратичной формы x*4-j/2, развитые в мемуаре № 228, Эйлер пытался распространить на другие формы. Ему это удалось сделать только для форм х24-2^2 и x2+3j/2. Форме х2 4- 2у2 посвящен мемуар №256 «Пример упо- требления наблюдений в чистой математике». В резюме к этому мемуару Эйлер писал: «... в пауке о числах, кото- рая доныне весьма несовершенна, надо ожидать весьма многого от наблюдений, ибо они постоянно приводят нас к новым свойствам, над доказательством которых прихо- дится работать»2). *) L. Euler, Tractatus de numerorum doctrine Capita XVI, ques supersunt, Comm, arith. coll., t. 2, стр. 573; Opera postuma, т. I, 1862, стр. 73. 2) L. E u 1 e r. Specimen de usu observationum in inatliesi pura, Novi Comm., т. VI за 1756—1757 гг. (1761), стр. 19; Opera omnia, серия 1, т. II, стр. 45.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ 199 Первые страницы мемуара № 25G (так же как п ме- муара Л’г 228) могут служить яркой иллюстрацией к этому высказыванию. Составив таблицу всех чисел вида 2a2-f-b2, где (a, Ь) = I1), от 1 до 500, Эйлер осуществляет свою про- грамму: вначале производит наблюдения (Ohservatio, 1—8), а затем формулирует и доказывает теоремы. Порядок теорем тот же, что н в мемуаре № 228. Дока- зывается, что вместе с N=2a2-]-b2 число 2N представляет- ся топ же формой, н наоборот. Произведение двух чисел вида 2a2-f-b2 выражается той же формой двумя способами. Число, представимое’формой 2a2-f-b2 двумя способами, пе может быть простым. Если число 2а2-}-Ь2 делится на простое число того же впда, то и частное будет такого же впда. Далее, после нескольких теорем, имеющих вспо- могательное значение, методом спуска устанавливается, что все делители чисел впда 2a2-f-b2 с взаимно-простыми а и b суть числа того же впда. Затем утверждается и до- казывается, что если число Л’ только одним способом представимо формой 2a2-f-b2, где (а, Ь) =1, то оно простое. Доказывая эту теорему методом от противного, Эйлер рассматривает два случая: либо число N есть произведение различных простых чисел того же впда, либо оно — сте- пень простого числа. Для 7V=(2a2-fр2)2 получается два разложс1п1я: I. .V = 2-02-f-(2a2 + p2)2. II. N = 2 (2a0)2 -f- (2a2 - 02)2. Так как речь идет лишь о собственных представлениях числа N, то учитывать следует только разложение II. Од- нако Эйлер считает, что здесь дело обстоит так же, как в случае, когда N есть произведение двух различных мно- жителей, и учитывает оба разложения. Чтобы завершить доказательство, он показывает, что для А ==(2а2-' р2)3 11 ->V=(2a2-[~р2)4 получаются соответственно два и три разложения. Заметим, что в число разложений Л’ = (2a2 +02)1 Эйлер включает п такое: JV=2-02-f-(4a4-f-4a2b2-f-b4)2. В этом *) Кроме требования взаимном простоты чисел а и Ь, здесь все- гда предполагается, что число b нечетное.
200 И. Г. МЕЛЬНИКОВ исследовании, так же как и в мемуаре А; 228, любые два числа, и.) которых одно 0, Уилер считал взаимно-простыми. Теорему Эйлера нужно формулировать следующим обра- зом: Число, единственным образом представимое формой 2аа-]-Ь2, где (2а, b) = 1, есть простое или квадрат просто- го числа. Этой теоремой Эйлер пользовался уже в мемуаре № 152 «Дружественные числа»1). Там (§55), указав, что соотношение 198 899=2-472-1-4412 дает единственно воз- можное разложение числа 198 899 на квадрат и удвоенный квадрат, Эйлер заключил, что это число простое. В конце мемуара № 256 Эйлер развивает практически удобные приемы исследования чисел вида 8п-)1 и 8п-)-3. Правда, здесь Эйлер еще не владеет доказательством теоремы Ферма2) о том, что всякое простое число вида 8п-}-1 или 8zz-f-3 выражается формой 2а2-|-Ь2. Доказательство последней теоремы, которое обычно ставят в заслугу Лагранжу, было дано Эйлером в работе А» 419 «Доказательства, относящиеся к вычетам, проис- ходящим от деления степенен на простые числа»3), опу- бликованной незадолго до появления соответствующей работы Лагранжа4). § 7. Квадратичная форма х2ф-3^2 была изучена Эйле- ром в мемуаре А» 272 «Дополнение некоторых арифмети- ческих теорем, которые нередко кладутся в основу дока- зательств»5). Изучение этой формы проводится в общих *) L. Euler, De numeris amicabilibus, Opuscula varii argu- ment!, t. 2, 1750, стр. 23—107; Comm, ariih. coll., т. I, стр. 102— 145; Opera omnia, cep. 1, т. II. 1915, стр. 86—162. г) Oeuvres de Fermat, т. II, стр. 403. *) L. Euler, Demonstrationes circa residua ex division© po- testatum per numeros primos resultantia, Novi Comment., т. XVIII за 1773 г. (1774), стр. 85—135; Comm, arith. coll., т. I, стр. 516— 537; Opera omnia, cep. 1, т. HI, 1917, стр. 240—281. 4) J. L. Lagrange. Recherches d'arithmetique, Nouveau mem. de 1'Acad. de sci. de Berlin за 1773 г. (1775), стр. 349, 351; см. также Oeuvres de Lagrange, т. III. •) L. Euler, Suppiementum quorundam theorematum arith- meticorum quae in nonnullis demonstrationibus supponuntur. Novi Comment., т. VIII за 1760—1761 гг. (1763), стр. 105—128; Comm, arith. coll., т. I, стр. 287—296; Opera omnia, cep. 1, t. 11, стр. 556— 575.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ 201 чертах по такой же схеме, как и изучение форм i2-|-y2 и х2-^2у2. Правда, здесь «задача исследования природы числа» уже не является ведущей. Е ;е в мемуаре Ле 255 «Общее решение некоторых диофантовых задач, которые обычно считаются допускающими только частные реше- ния»1)’ посвященном решению неопределенного уравпеиия j?-]-y3-]-za=v3 в целых числах, Эйлер пользовался теоре- мой: Простыми делителями чисел вида а2-|-362, где а и b взаимно-простые, могут быть только числа этого же вида и число 2. В мемуаре № 272 Эйлер возвращается к указанному неопределенному уравнению и доказывает последнюю теорему. Доказательство проводит методом спуска, рас- смотрев предварительно комплекс необходимых для этого теорем. Эта работа примечательна п в другом отношении. В пей впервые дается пример эквивалентных форм. Эйлер показывает, что формы а2-|-362 п т2-[-тп 'и2 выражают одни и те же числа (нетрудно показать, что эти формы являются эквивалентными ио Гауссу). Именно: если п четное, то т2 + тп + пг = т + если же тип нечетные, то т--[-тп + п2 = ( ——J + ч з(2±г)!. С помощью этого факта Эйлер, применив метод ко- нечных разностей, доказал теорему Ферма2): Всякое про- стое число вида бтг —1 представимо формой а2-|-ЗЬ2. § 8. Замечательные теоремы о том, что все делители чисел вида х2-\-ту2, где х и у— взаимно-простые числа, имеют тот же вид при т=1, 2. 3 (кроме делителя 2 в слу- чае ш=3), Эйлер доказал в мемуарах Ле 228 , 25G, 272 но одной и той же схеме. Еще в мемуаре Ле 272 (§ 4G) Эйлер заметил, что эта схема оказывается непригодной для доказательства ана- *) L. Euler, Solutio generalis quorundam problematum dio- phantlieorum quae vulgo nonnisi solutioncs speciales admittere viden- tur, Novi C mment., t. VI за 1756- 1757 гг. (1761), стр. 155—184; Lorain, arith. coll., т. I, стр. 193—209: Opera omnia, cep. 1, т. II, стр. 428—459. ’) Oeuvres de Fermat, т. II, стр. 403.
202 И. Г. МЕЛЬНИКОВ логичных теорем при дальнейших значениях т. Она при- менима лишь в тех случаях, когда пе больше 1. Позд- 4 нее, в работе № 445 «Новые доказательства относительно разложения чисел на квадраты»1) Эйлер предложил новые, очень красивые доказательства теорем о квадратичных делителях чисел вида х2-[-у2, х2А-2у2, i24-3y2. Но и новый метод, как заметил там Эйлер (§ Г»), имел ту же область применения, что и прежний: он не позволял перейти к вопросу о квадратичных делителях дальп innix форм. Полное решение этого вопроса было найдено Ла- гранжом2), оно вытекало пз его общего результата: Всякий делите 1Ь чисел, выражаемых формой А х2А-Вху -\-Су2, (х, у)— = 1 (его называют делителем формы), может быть пред- ставлен в виде Lx2 -f- Мху 4- Ny2, где 4LN — М2 = 4.4(7 — В2. Формы a:2 4~i/2, £24-2i/2, j'24-3</2, всесторонне изучен- ные в мемуарах № 228. 25G, 272, оказались весьма полез- ными при решении задачи о природе числа. Существу- ют лп другие формы, обладающие подобными качест- вами? Этот вопрос привел Эйлера к открытию удобных чисел. § 9. Удобным числам посвящены следующие мемуары Эйлера: 1) А° 498 «Извлечение из письма Эйлера к 1>еглену»3); 2) А: 708а «Извлечение пз письма Фусса к ТЗеглону»4); *) L. Euler, Novae demonstrationes circa resolutionem nnme- rorum in quadrata. Nova Acta Eruditorum, 1773, стр. 193—211; Acta Acad. Sci. Petrop., 1777, II, 1780, стр. 48—69; Comm, arilh. coll., t. 1, стр. 538—548; Opera omnia, cep. 1, t. Ill, стр. 218—239. 2) T. L. Lagrange, Recherches d’arithmetique Nouveau mem. de I’Acad. de sci. de Berlin за 1773 г. (1775), стр. 265—312; см. также Oeuvres de Lagrange, т. Ill, стр. 695—795. •) Extrait d'une lettre de m. Euler a m. Beguelin en mai 1778. Nouv. mem. del’acad. des sci de Berlin, 1776, 1779, стр. 337—339; Comm, arith. coll., т. II, стр. 270—271; Opera omnia, cep. 1, t. Ill, стр. 418—420. 4) Extrait d’une lettre de m. Fuss a m. Beguelin ecrite de Pe- 19 tersbourg le ^juin 1778, Nouv. mem.de 1’acad. des sci de Berlin, 1776, 1779, стр. 340—346; Opera omnia, cep. 1, t. Ill, стр. 421—428.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ 203 3) № 708 «О выражениях вида тпхх- пуу, удобных для исследования простых чисел и об их удивительных свой- ствах»1): 4) № 715 «О различных способах исследования ооль- И1ИХ чисел для определения, простые они или нет»2); 5) .Xj 718 «Простой метод нахождения весьма больших простых чисел»3); (») № 719 «Более общий метод исследования любых достаточно больших простых чисел для определения, простые они или ист»4 *). 7) № 725 «Разъяснение парадокса относительно удоб- ных пли подходящих чисел»3). Обсуждение этих работ лучше всего начать с мемуара № 715. В нем достаточно полно раскрывается содержание понятия удобного числа, дается обоснование критерия, служащего для нахождения удобных чисел, и сообщаются приемы отыскания удобных чисел. В первых параграфах этой работы доказывается, что если число N двояким образом представимо квадратичной формой ах2Ру2, где а, р —целые положительные числа6) *) De fomiulis speciei тхх—пуу ad numeros primes exploran- dos idoneis carumque mirabilibus proprietatibus, Nova Acta Acad. Sc. Petrop., t. 12 за 1794 г. (1801), стр. 22—46; Comm, arith. coll., t. 11, стр. 249—260; Opera omnia, cep. 1, t. 4, стр. 269—289. *) De variis mcxlis numeros praegraudes exaniinandi utruin sint prinii песне, Nova Acta Acad. Sc. Petrop., t. 13 за 1795—1796 rr. (1802), стр. 14—44; Comm, arith. coll., t. 11, стр. 198—214; Opera omnia, cep. 1, t. 4, стр. 303—328. s) Facillima methodus idurimos numeros primes praemagnos inveniendi.— Noxa Acta Acad. Sc. Petrop., t. 14aa 1797—1798 rr. (1805), стр. 3—10; Comm, arith. coll., т. II, стр. 215—219; Opera omnia, cep. 1, t. 4, стр. 352—359. 4) Methodus generalior numeros quosvis satis grandes pers- crutandi utrum sint primi necne. Nova Acta Acad. Sc. Petrop., t. 14 за 1797—1798 гг. (1805), стр. И—51; Comm, arith. coll., т. Il, стр. 220—242; Opera omnia, cep. 1, t. 4, стр. 360—394. *) Illustratio paradoxi circa progressionem numerorum idoneo- rum sive congruorum. Nova Acta Acad. Sc. Petrop., t. 15 за 1799— / u 1802 rr. (1806), стр. 29—32; Comm, arith. coll., т. II, стр. 261—262; Opera omnia, cep. 1, t. 4, стр. 395—398. •) В дальнейшем мы пе будем специально оговаривать, что форма вида mxt-\-nyt рассматривается только при условии: т и п— натуральные числа.
204 И. Г. МЕЛЬНИКОВ и ах, Ру — взаимно просты, то они составное. Дастся спо- соб получения делителей такого числа. Приводится ряд иллюстративных примеров. Далее раскрывается связь между квадратичными фор- мами az2-,фу2 и aPz2-|-y2. Произведешь двух чисел вида ах2-] Ру2 есть число вида сфх2-{-у2. Произведение двух чисел, из которых одно вида ахг--Ру2, а другое вида aPz2-{-y2, есть число вида ах2-| Ру2. (В обоих случаях дтя произведений получается по два представления.) Форма az24-Py2 при х= pz переходит в p(apz2-|-y2), а форма apx2-j-y2 при y=av—в а (Pz2-f-ao2). Обе формы обладают столь близкими свойствами, замечает Эйлер, что доказан- ное об одной можно применить и к другой. Затем выдвигается «вопрос величайшей важности»: можно ли всегда считать простыми те числа, которые лишь единственным образом представляются формой az2-|Py2? Ответ Эйлера гласит (§ 18): «Это зависит от природы формулы ахх- Руу, то есть от чисел а и р, которых надо различать два рода. Существуйте такие значения этих букв, при которых все числа, содержащиеся в такой фор- муле единственным образом, непременно будут «простые»; по существуют и такие значения а и р, при которых подоб- ное заключение было бы ошибочно; такова формула 1хх~ 2уу, которая при z=l и у =2 дает «составное» число 15, хотя оно лишь единственным образом содержится в этой формуле». Мы процитировали слова Эйлера, внеся в них одно из- менение: слова простые и составные Эйлер не выделял кавычками. Эти слова мы взялп в кавычки, так как Эйлер У’потреоил их здесь в особом, условном смысле. Содержание терминов «простые» и «составные» числа будет раскрыто ниже. Итак, существуют формы az2-|-Py2 (и вместе с ними формы apz2-)-y2), которые единственным образом выра- жают только «простые» числа, и такие, которые наряду с «простыми» могут единственным образом представлять и «составные» числа. Критерий, позволяющий различать такие формы, Эйлер получает с помощью теоремы: «Если сколь угодно большое «составное» число представляется формой ах2-]-^у2 (или
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ 203 арх»_|_у*) единственным образом, то всегда можно указать меньшие «составные» числа, представляемые этой формой также единственным образом». Он указывает прием, по- зволяющий осуществлять переход к меньшим «составным» числам, и иллюстрирует его на примере числа 7729 = 59-131, которое представляется формой 7z2-|2y2 только одним способом: при х—19, у=51. Первый переход дает число 59и=7.624-2-132. От пего Эйлер приходит к числу 100== =7-22-{-2-62 и, пакопец, после третьего перехода— к числу 15=7 • 12-{-2-22—наименьшему «составному» числу, представимому формой 7i2-|-2y2 единственным образом. Полагая, что спуск к мепыпнм «составным» чпслам, представимым формой сфа:2 +р2 (или ах2-| ру2) единствен иым образом, должен всегда приводить к числам, мепыпнм 4сф (а последние могут получаться только при z=l), Эйлер приходит к важному заключению: Если форма а$х2-$-у2не выражает ни одного «составного'» числа, мень- шего 4сф, то таковых не может быть и среди чисел, боль- ших 4сср, и, значит, каждое число, представляемое этой формой единственным образом, является «простым». Какие же числа считаются здесь «простыми»? В приме- чании к § 36 Эйлер указывал: «если р — простое число, то в этом исследовании но шло самого числа р должны рас- сматриваться как простые числа его квадрат рр и его двой- ное кратное 2р; кроме того, должны рассматриваться как простые числа и все степени двойки». В работах Эйлера по теории чисел подстрочные приме- чания встречаются очень редко. Все понятия, которыми он пользуется, как правило, весьма обстоятельно раскры- ваются в тексте — сопровождаются подробными объяс- нениями и многочисленными примерами. В рассматриваемой работе, как и в остальных мемуа- рах, посвященных удобным числам, Эйлер пе ввел спе- циального термина для указанных нм квазппростых чисел. В этих работах он употреблял названия простые и состав- ные числа в условном смысле и, по-видимому, считал, что это пе может вызвать каких-либо недоразумений. Воз- можно, что приведенное выше примечание было сделано Эйлером после того, как статья была уже набрана.
20« 11. Г. МЕЛЬНИКОВ Теперь ясно, что введенный нами другой термин— «составные» числа означает составные числа в обычном смысле за исключенном квадратов простых чисел, удво- енных простых чисел и степенен двойки. Итак, чтобы решить вопрос, можно ли считать «про- стыми» все числа, выражаемые формой афт2-}-!/2 (пли ссх2-|-Ру2) единственным образом, нужно рассмотреть только числа вндасф-|-у2, где у принимает значения, меиыппе | Зар и взаимно-простые с ар. Так, например, чтобы исследовать форму 7х2-[2у2, нужно рассмотреть числа, выражаемые формой 14 -| у2, только при трех значениях у=1, 3, 5. Это исследование Эйлер проводит с помощью таблицы: 14-1-1, 3, 5 15, 23, 39 с, р, с В ней буквой с он отмечает «составные» числа, а буквой р — простое. Присутствие буквы с в таблице означает, что формы 14т2 4-у2 и 7т2-]-21/2 не могут служить для уста- новления простоты или сложности чисел, представляемых ими единственным образом. Заметим, что к этому заклю- чении» можно было придти уже после первого испытания, приведшего к «составному» числу 15. Аналогичным образом проводится исследование формы 13т2 +у2: 134-1, 2, 3, 4, 5, 6 14, 17, 22, 29, 38, 49 2р, р, 2р, р, 2р, рр Так как в таблице отсутствует буква с, то все числа, представляемые формой 13т2 4-1/2 единственным образом, будут «простыми». Таким образом, форма 13т2 4у2 ока- зывается в известном смысле удобной для решения вопроса о простоте или сложности всех чисел, выражаемых ей». Покажем на нескольких простых примерах, как можно пользоваться этой формой. 1. Для числа 77 легко отыскиваются два представле- ния: 77= 13-124-82= 13-22 4-52. Следовательно, 77—со- ставное число.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ 207 2. Для числа 94 имеется только одно представление: 94= 13.12-|-92. Следовательно, 94 есть «простое» число. цо 94=2-47, значит, 47—простое число. 3. Число 3481 выражается формой 13т2 4-у2 (собствен- но) только одним способом: 3481 = 13-32-(-582. Поэтому 3481—«простое» число. Но это число есть квадрат: 3481 =592, следовательно, 59 есть простое число. 4. Для числа 61 имеется лишь одно представление: 61 = 13-22-|-32. Следовательно, 61—«простое» число. Ио это число не есть квадрат, значит, оно простое. Форма 13х2-{-у2, оказавшаяся удобной для испытания простоты или сложности всех чисел, представимых ею (и даже многих, ею не представимых, как, например, *7 и 59), характеризуется лишь одним параметром: чис- лом 13. Его мы и должны отнести к классу чисел, которые Эйлер называл подходящими (numeros cougrnos) пли чаще удобными (numeros idonens). Итак, число ар называется удобным, если все числа, однозначно представимые формой афт2 -Н/2, где (арх, у) -1, являются или простыми, или удвоенными простыми, или квадратами простых, или, наконец, степенями 2, т. е. являются «простыми» числами. Если аР — удобное число, причем (а, Р) =1, то для исследования чисел (в смысле их простоты пли сложности) наряду с формой аРх2-|-у2 можно использовать н форму ах2+Ру2 при условии (ах, р«/) = 1. Проверив все числа до 10 000, Эйлер обнаружил 65 удобных чисел. Вот эти числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 9, 10, 12, 13, 15, 16. 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30. 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280. 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848. Не следует думать, что эта таблица возникла в резуль- тате испытания каждого числа до 10 000 с помощью одного лишь критерия: Число п будет удобным, если для каждого значения у, меньшего ] Зп и взаимно-простого с п, число будет «простым». Такой путь был бы очень труден. Эйлер заметил, что существуют целые классы чисел,
2U8 И. Г. МЕЛЬНИКОВ которые не могут быть удобными. Его прием основан на предварительном исключении таких чисел. Можно пока- зать, например, что все числа вида 4А:-|-3, кроме трех: 3, 7, 15, не могут быть удобными. Действительно, приме- няя критерий удобного числа, уже после верного сложения 4А-+ 3+12=4(А:-| 1) получаем «составное» число 4(k- 1), если только Zt-f-1 не есть степень двойки. Так же не могут быть удобными все числа вида ЗА-[ 2, кроме трех: 2, 5 и 8, ибо сумма ЗА:-f-2 + 12 = 3(А:-|-1) оказывается «составным» числом при всех к, отличных от 0, 1, 2. Так обнару- живаются формы чисел, подлежащих в этом процессе исключению1). Составляется специальная таблица «форм исключения», с помощью которой легко решается вопрос, является ли данное число удобным пли ист. Показав на нескольких примерах, как следует пользоваться табли- цей «форм исключения», Эйлер закапчивает мемуар Л» 715 словами: «Этим методом нетрудно продолжить исследова- ние чисел сколь угодно далеко. По когда я довел вычис- ление до 10 000, мне ие встретилось ни одного нового удобного числа, кроме тех, которые показаны в приведен- ной таблице, так что представляется вероятным, что эта таблица содержит решительно все удобные числа». § 10. Как ни странно, в литературе получило большое распространение неправильное истолкование удобных чисел. Желая объяснить, что такое удобные числа в эйлеров- ском смысле слова, иногда исходят из ложной теоремы (приписываемой Эйлеру) о том, что всякое число, одно- значно представимое в виде суммы двух квадратов, есть простое. Затем трактуют удобные числа п как такие, при которых форма пх2-\-у2 обладает тем же свойст- вом, что и форма x2-f-i/a, т. е. выражает только простые числа. *) Подчеркнем еще раз, что Эйлер вовсе не рассматривал каж- дое число до 10 000. Утверждение А. В. Васильева: «Он изучил с необыкновенным для него трудолюбием с этой целью все целые числа до 10 000 и дальше» — только дезориентирует читателя (см. А. В. В а с и л ь е в. Целое число, 1919, стр. 118). Это исследование выполняется сравнительно легко п быстро и, конечно, пе требует от вычислителя каких-то особых качеств.
ОТКРЫТИЕ ЭЙЛЕРОМ ХДОБПЫХ ЧИСЕЛ 209 Приведем здесь несколько таких высказываний. В книге А. В. Васильева «Целое число» об удобных числах сказано следующее: «Такими числами являются те числа, для которых, как, например, для чисел 1, 2, 3, существует теорема: простое число единственным образом представляется под видом тх2-±пу2, так как в таком случае очевидно, что, найдя для какого-нибудь числа А' два раз- ложения А’ = та2-[-nb2—mc2-\-nd2, мы заключаем отсюда, что N есть число сложное»1). Эта неряшливая формулировка ничего другого, кроме путаницы и неразберихи, пе может породить. В диссертации II. Мейера сообщается, что Эйлер нашел некоторое количество чисел п, для которых имеет место теорема: «Всякое число, которое только одним способом представимо в форме р=х2+ пу2, есть простое»* *). В содержательном очерке Г. Ригера, посвященном вкладу Гаусса в теорию чисел, дается следующее опреде- ление: «Удобные числа — название, исходящее от Экле- ра,— суть натуральные числа т, обладающие следующим свойством: Если натуральное число п представимо в форме n=x2-j-my2, (х, у)=1 только одним способом, топ — про- стое число»3). Точно так же трактуются удобные числа в книге Э. Тро- ста «Простые числа»: «Эйлер заметил,— пишет Трост,— что x2-j-dy2 (d>l) для специальных значений d однозначно и собственным образом представляет лишь простые числа. Коэффициенты d ои назвал «подходящими» числами (Nuineri idonei)...»4). Можно было бы привести еще ряд подобных высказы- ваний об удобных числах. Первая публикация об j добных числах появилась в связи с письмом Эйлера от G мая 1778 г. к берлинскому *) Л. В. В а с п л ь е в, Целое число, Петроград, 1919, стр. 118. *) Р- Meyer, Beweis eines von Euler entdekten Satzes, bet- reffend die Bestimmung von Primzahlen, Stras.-burg, 1906, стр. 6. s) G. J. Rieger, Die Zahlenlheorie bei C. F. Gau®?. См. сбор- ник статей: C. F. Gauss, Gedenkband anlasslich des 100, Todes- tages..., Leipzig, 1937, стр. 71. ) Э. T p ост, Простые числа, перевод с немецкого H. II. Фельд- мана под редакцией А. О. Гельфопда, М_, 1959, стр. 35. Истор.-матсм. исслед., вин. ХШ
210 И. Г. МЕЛЬНИКОВ академику Николаю Беглену. В статье A’ W8, представ- ляющей извлечение из этого письма, Эйлер, напомнив, что числа, представимые единственным образом формой а:2-] у2 при взаимно-простых х и у, суть простые или удвоенные простые, замечает, что существует много форм вида пх2 -{-у2, обладающих таким же свойством; значения п, соответ, ствующие им, он будет называть подходящими (\al£pr- conveiiables). Последние могут быть найдены с помощью правила: «Если каждое чисто вида п-{-у2, меиыиее Ап (при у и п взаимно-простых), есть либо простое число р, либо удвоенное простое 2р, либо квадрат простого рр, либо, наконец, какая-нибудь степень 2, то число п, удо- влетворяющее этим требованиям, есть подходящее».«Бла- годаря этому правилу,— пишет далее Эйлер,— я смог довольно легко определить все значения, которые можно дать букве п, для того чтобы всякое число, содержащееся одним единственным образом в форме пх2-\-у2, могло бы считаться простым». Эйлер несомненно имел здесь в виду числа простые в особом, условном смысле этого слова. Это видно из анало- гии с формой х2-\-у2, которую он проводит: он говорит, что числа, представимые ею однозначно и собственным образом, суть простые или удвоенные простые. Это выте- кает и из его правила: ведь числа п-\-у2, о которых там пдет речь, cjtb числа, содержащиеся единственным обра- зом в форме пх2-1~у2, п уже поэтому они должны «считать- ся простыми». Таким образом, мы ставим знак равенства между фразами «считаться простым» и «будет либо про- стым, либо квадратом простого, либо удвоенным простым, либо степенью двойки». Фраза «могло бы счит 1ться простым» допускает два различных толкования. Ее можно рассматривать как со- глашение об употреблении слова простое в расширенном смысле, т. е. как утверждение о том, что все числа, одно- значно представимые формой пх2-(-у2, где (пх, у)= 1, будут здесь называться простыми. Такое содержание вкладывал в эти слова Эйлер. По фраза эта, как читатель уже имел возможность сам убедиться, может быть истолкована буквально, в смысле категорического утверждения «будет простым». Именно
ОТКРЫТИЕ ЭПЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ 211 так большинство авторов восприняло цитируемые слова Эйлера. Позволю себе привести еще один пример. В «Исто- рии математики» Кантора утверждается, что Эйлер в пись- ме к Беглецу «обратил внимание на тот факт, что общая формула пх2-$-у2... прп надлежащем выборе п доставляет только простые числа»1). Такое толкование удобных чисел оказалось народность жизнестойким: оио переходит пз одних книг и статей в дру- гие, оно бытует и в паши дни. Раскрытие понятия }добиых чисел в эйлеровском смысле этого слова — одна из задач, поставленных авто- ром в этой статье. § 11 Теперь мы очень кратко остановимся па ос- тальных пяти мемуарах Эйлера, посвященных удобным числам. Мемуар А» 708а явился ответом Эйлера от 30 июня 1778 г. на просьбу Беглепа сообщить подробности об удоб- ных числах. Составление ответа Эйлер поручил своему ближайшему помощнику и другу II. II. Фусу. Хотя письмо подписано «Русом, его автором следует считать Эйлера. Именно поэтому мемуар А® 708а включен в полное собрание сочинений Эйлера. Мемуар № 708 был представлен в Петербургскую Ака- демию наук 16 Majfa 1778 г. В первой части его делается попытка дать систематические изложение учения об удобных числах (в более совершенном виде эта цель была осуществлена в мемуаре Ai- 715). Затем Эйлер доказывает 10 теорем, раскрывающих «замечательные свойства удоб- ных чисел». Сформулируем их здесь. I. В ряду удобных чисел не может быть квадратов, кроме следующих пяти: 1, 4, 9, 16, 25. И. Если i= iа—1—удобное число, то 4i — также удоб- ное число. III. Если 4/, где i — нечетное, есть удобное число, то Пи — также удобное число. IV. Если к21 — удобное число, то и i также есть удобное число. _ *) М. С a n t о г, Vorlesungen iiber Gescliichte dor Mathematik, leipzig, 1908, t. IV, стр. 175.
212 И. Г. МЕЛЬНИКОВ V. Если i=3a—1—удобное число, то 9г—также удоб- ное число. VI. Если г'=4а-| 1 есть удобное число, то 4(4a-f-l) пе будет удобным числом. VII. Если i—Ьп 4-2—удобное число, то 4г также есть удобное число. VIII. Если 8г, где i нечетное, есть удобное число, то 32г не будет удобным числом. IX. Если 1<»г, где г нечетное, есть удобное число, то (»4г не будет удобным числом. X. Если i—удобное число и i-[-a2=p2, где р — про- стое число, квадрат которого меньше 4г, то 4г не будет удобным числом. Среди удобных чисел, указанных Эблером в статье № 498. содержалось число 44. С помощью теоремы IV можно легко показать, что это число пе является удобным. Действительно, если допустить, что 44—удобное число, то удобным должно быть н число И. Однако форма 11а:24_Уа однозначно представляет «составное» число 15, следовательно, 11 не является удобным числом, а значит, н 44 не есть удобное число. В мемуарё Д° 708 эта неточность была устранена. В списке удобных чисел вместо 44 появилось число 45. По всей вероятности, причиной этой неточности была описка. Мы воспользовались случаем, чтобы хотя бы на одном примере показать, какую пользу можно извлечь из 10 «замечательных» теирем Эйлера. Они прокладывают пути для отыскания удобных чисел и во многих случаях могут служить средством контроля. Выше мы уже заметили, что проверка всех чисел от 1 до 10 000 с целью выявления удобных чисел оказалась несложным делом. Авторы, указывающие на исключитель- ное трудолюбие, проявленное Эйлером при изучении всех чисел до 10 000, преувеличивают трудности и объем этой работы, они изображают Эйлера только как старательного и умелого вычислителя. Эйлер — прежде всего мыслитель. На первом этапе исследования он пытается раскрыть ме- ханизм явления и обосновать его законы. Затем ои ищет пути для рационального решения задачи. Виртуозность Эйлера в обращении с числовым материалом проявляется
ОТКРЫТИЕ ЭП.1ЕРОМ ЪДОБНЫХ ЧИСЕЛ 213 преимущественно на заключительном этане, когда дело доходит до приложений. В своих теоретико-числовых работах Эйлер иногда придерживается следующего плана: вначале наблюдает факты, затем формулирует теоремы доказывает пх и, наконец, опираясь па установленные факты, приступает к вычислениям. Наблюдения делаются на небольшом числовом материале, с тем чтобы указать естественный путь, приводящий к открытию того пли иного свойства чисел. По-впднмому, этим наблюдениям придается н из- вестное педагогическое зпачеппе. Открытие удобных чисел произвело сильное впечатле- ние на самого «Эйлера. С большой поспешностью он оформ- ляет мемуары, посвященные удобным числам. Мемуар № 715, главным результатом которого является вывод критерия удобности числа, был представлен в Петербург- скую Академию наук 16 марта 1778 г., т. е. в тот же день, когда и мемуар № 708. Одновременно с этими мемуарами были представлены еще два: JV. 718 и 719. В первом из ппх обсуждается вопрос об исследовании чисел в смысле их простоты или сложности с помощью удобного числа 232. Дается способ нахождения значений а, при которых форма 232а2+1 представляет составные числа. Отыскиваются все такие значения а от 1 до 299. Таким путем обнаружи- вается 121 значения а: 1,2, 3. 291, 294, 299, при кото- рых эта форм<1 дает простые числа. Наибольшее из них превосходит 20 миллионов. В мемуаре № 719 демонстри- руются приемы исследования больших чисел в смысле пх простоты или сложности, основанные па понятии удобного числа. После предварительных указаний, имеющих прин- ципиальный характер, рассматривается ряд примеров. Указываются приемы, значительно облегчающие процесс исследования. В последнем примере используется удобное число 1818. В пределах первой сотни обнаруживается 22 значения а, прп которых выражение 1848а®-|-197® дает простые числа. Наибольшее из ппх 18 518 809 получается прп а=100. Далее приводятся новые доказательства тео- ремы 1 II из мемуара № 708. Отмечается, что средн най- денных 65 удобных чисел имеется 16 нечетно-четных (т. е. вида 4п 4-2), а пменпо: 2, 6, 10, 18, 22, 30, 42, 58, 70, 78,
214 II. Г. МЕЛЬНИКОВ 102, 130, 190, 210, 330, 402, и в полном соответствии с тео- ремой VII в таблице обнаруживаются пх учетверенные кратные: 8, 24, 40, 72. 88, 120, 168, 232, 280, 312, 408, 520, 760, 840, 1320, 1848. Приводятся дальнейшие наблюдения: в таблице удобных чисел содержится 6 простых чисел (2, 3, 5, 7, 13, 37), 5 удвоенных простых чисел (4, 6, 10, 22, 58), 25 чисел, в разложения которых входит пе более двух различных простых множителей, а в разложения большинства удобных чисел входит три и более простых множителей. Первые десять натуральных чисел являются удобными числами. Между числами 520 и 760, 840 и 1320, 1365 и 1848 не встречаются удобные числа. В заключение указывается, что до 16 000 пе может быть пн одного четно- четпого числа, кроме найденных. Десять теорем, доказанных Эйлером в мемуаре № 708, можно разбить па две категории. К первой категории отне- сем теоремы: If, III, IV, V, VII, ко второй — теоремы: I. VI, VIII, IX, X. С помощью теорем первой категории можно, имея удобные числа соответствующих видов, на- ходить новые удобные числа. Однако легко можно заме- тить, что при их посредстве придти к бесконечному мно- жеству удобных чисел невозможно. Теоремы второй категории указывают пути, которые от удобных чисел опрс- деленноЕО вида приводят к числам неудобным. Оба обстоя- тельства п достаточно большой числовой материал позво- лили Эйлеру высказать в мемуаре № 715 (§ 41), а также в копце мемуара № 719 гипотезу о конечности числа удоб- ных чисел. Более того, Эйлер высказал предположение о том, что 1848 есть наибольшее удобное число. Последнее предположение является, по мнению Эйлера, «в высшей степени вероятным» («maxime probabile») п вместе с тем «необыкновенным парадоксом» («insigne рагайдхоп»). В чем же Эйлер усматривал парадокс? В небольшой статье А» 725, представленной в Петербургскую Академию паук 20 апреля 1778 г., Эйлер отметил, что среди рядов чисел, наблюдаемых в различных исследованиях, до снх пор пе встречались обрывающиеся ряды, т. е. ряды с ко- нечным числом членов. То обстоятельство, что ряд удоб- ных чисел следует считать конечным, что число удобных чисел равно 65, а наибольшее среди них есть 1848. Эйлер
ОТКРЫТИЕ ЭЛЛЕРОМ УДОБНЫХ ЧИСЕЛ 215 считал явлением, находящимся в противоречии с обыч- ными представлениями о бесконечности множества чисел, обладающих каким-нибудь определенным свойством. Имен- но в этом Эйлер и видел парадокс. § 12. Расскажем теперь очень кратко об относящихся к удобным числам изысканиях других авторов. В гауссовой теории бинарных квадратичных форм (1801 г.) вопрос об удобных числах находится в тесной связи с распределением форм по классам и классов но ро- дам. Доказывается, что число п является удобным тогда и только тогда, когда в каждом роде чисто коренного порядка определителя —п имеется лишь по одному классу форм. Большая вычислительная работа, выполненная Гауссом в связи с классификацией форм, позволила ему выявить все (>5 удобных чисел Эйлера. Гаусс отметил, что критерий Эйлера, содержащийся в статье № 498, может быть легко доказан1). Эйлеровскпе теоремы об удобных числах были рас- смотрены в специальном исследовании Ф. Грубе (1874 г.)2). Грубе, опираясь на гауссову теорию форм, весьма обстоя- тельно раскрыл сущность удобных чисел. Ои дал критиче- ский анализ доказательства критерия удобности числа, предложенного Эйлером в мс,муаре .V> 715, обнаружил ряд недостатков в доказательствах некоторых теорем мемуара .V 708 (из тех десяти, которые мы перечислили в § 11) и устранил их. Грубе не смог доказать эплеровскпй критерий удобности числа, однако он сумел доказать другом крите- рии. идея которого, впрочем, имеется у Эйлера в мемуа- ре № 708. Связь вопроса об удобных числах с комплексным умножением эллиптических функций была отмечена в ра- боте Г. Вебера (1889 г.)3). *) К. Ф. Гаусс. Труды по теории чисел, перевод В. Б. Демь- янова под редакцпеи И. М. Виноградова п с комментариями Б. II. Делоне. М.. 1959, стр. 451—453. *) F- Grube, Uber einige Euier'sche Siitze aus der Theorie der quadratischen Formen. Zeit^clirifl fur Mathematik und РЬучк, 19, Leipzig. 1874, стр. 492—519. n- Weber. Zur Theorie der Coniplexen Multiplication elliptischer Functionen, Math. Annalen. t. 33. 1889, стр. 390—410.
216 И. Г. МЕЛЬНИКОВ В дпссертацпп П. Мейера (1906 г.)1 *) обсуждался вопрос о числах, однозначно представимых формой х3-}-пу3, где п—удобное число, на основе гауссовой теории форм. Кунннигем и Куллен (1901 г.)а) исследовали числа до 101 220 н все же пи одного нового удобного числа пе обна- ружили. Отметим также, что с помощью формы ага4-1848уа в промежутке от 10 000 000 до 10 100 000 они обнаружили 189 простых чисел. В 1934 г. Човля®), опираясь па один результат, полу- ченный Гельброном в том же году, доказал, что удобных чисел может быть лишь конечное число. Таким образом, гипотеза Эйлера поточила подтверждение. Является ли 1848 наибольшим удобным числом? Этот вопрос пока остается открытым. Результаты Эйлера, относящиеся к удобным числам, былп истолкованы па языке современной теории чисел — языке теории идеалов в статье Р. Фузтера4). Удобные числа — одно из интереснейших открытий Эйлера в теории бинарных квадратичных форм. Обнару- жив, начиная с 1745 г., удобные числа 1, 2 и 3, Эйлер упорно искал пути, позволяющие найти другие пли, быть может, все остальные удобные числа. Эйлер прошел боль- шой н сложный путь, прежде чем построил свою довольно своеобразнуютеориюудобных чисел. Доказательства, пред- ложенные Эйлером, пе являются строгими, но вряд ли это замечание может служить ему упреком. Ведь даже средства современной математики, по-видимому, недо- статочны для решения вопросов, выдвинутых Эйлером. *) Р. М е у е т, Beweis eines von Euler entdecten Saties, betref- fend die Bestimmung von Primzahlen, Strassburg, 1906. стр. 30. *) A. Cunningham and J. C u I 1 e n. On Idoneal numbers. Report of the British Association, 1901, стр. 552. •) S. C h о w I a. Helbronn's classnumber theorem. Proceedings of the indian academy of sciences, vol. 1, № 2, 1934. стр. 74—76. 4) L. E u 1 e r i. Opera omnia, cep. 1, t. Ill, 1941, Vorwort des Herausgebers, стр. XV—XVIII.
ПЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В СТРАНАХ АЗИИ
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ СУПЬ-ЦЗЫ1) .9. Jf. Березкина Математический трактат Суиь-ц.зы (Sun-zi suan jing 2)) входит в состав дошедшего до нас ктассического Дссятн- кипжья (Suan jing sbi shu), которое в эпоху Таи (618—907 гг.) служило будущим чиновникам обязательным пособием для сдачи экзаменов ио математике 3). Об авторе трактата ничего не известно, а время составления сочине- ния относят приблизительно к HI—IV вв. и. э4). Если не считать комментария Лю Хуэя (263 г. и. э.) к «Математике в девяти книгах» (Jiu zhang suan shu)5), составленной в эпоху Ранпей Хань (206 г. до н. э.—7 г. н. э.) и также входящей в Десятнкнпжье, то трактат Супь-цзы является непосредственно следующим за «Математикой» текстом, которым мы располагаем в настоящее время. В «Математике в девяти книгах» обобщены знания древ- них китайцев в области математики за многие века. Зада- чи, пз которых состоит сочинение, распределены по девяти *) Статья наппсана в связи с выполненным в Институте китае- ведения ЛИ СССР переводом на русский язык текста указанного сочинения. 2) Транскрипция дана по новому фонетическому алфавиту, утвержденному правптельством КНР в 1958 г. s) J. Needham, Science and Civilisation in China, t. Ill, Кембридж, 1959, стр. 33. 4) Л и Янь, История китайской математики (Li Jan, ZhonRsruo suanxueshi), 2-е изд., Шанхай, 1955, стр. 24. ь) Древнекитайский трактат «Математика в девяти кппгах», перевод с примечаниями Э. II. Березкиной, Историко-математпче- скпе исследования вып. X. Москва, 1957, стр. 423—584,
220 Э. И. БЕРЕЗКИНА книгам па основании их тематической общности, а также общности их методов решения. Выделяя класс задач и снаб- жая его хороню разработанным алгоритмом решения (для вычислений древние китайцы пользовались счетным при- бором1)), составители «Математики в девяти книгах» систематизировали основные имевшиеся в то время мате- матические методы. Математический трактат Суиь-цзы носит совсем другой характер. Он состоит из трех книг (цзюапей), которые, в отличие от «Математики», никак не озаглавлены. Первая книга (shang jiuan) является вводной и содержит различ- ные таблицы и краткое описание счета на доске. Начинается опа с перечисления соотношений мер дли- ны, веса н объема. Некоторые из них уже встречались в «Математике в девяти книгах», но далеко пе все из них, очевидно, употреблялись на практике. Системы мер кано- низированы: они изложены систематически, с применением десятичной шкалы для перехода от одних названий к дру- гим, в основу каждой системы положена элементарная единица (ху, толщина паутнпкп шелковичного червя,— для мер длины; шу, зернышко клейкого проса,— для мер веса: су, проспнка,— для мер объема). Опп применялись в качестве десятичных дробей2). Ниже будет более по- дробно сказано об этом. Эти соотношения также использо- вались для построения системы наименований разрядов больших чисел, в трактате Супь-ц.зы их две. В первой си- стеме даются специальные названия (и, чжао, цзин и т. д.) каждому новому разряду, начиная с 10е; во второй системе «большого числа» (da shu) аналогпчпымп словами названы каждая единица нового класса: 108; К)1®, 101®.... В первую книгу трактата Супь-цзы входят также ряд числовых таблиц. Одна из них является таблицей, содер- жащей произведения i2n® и in2 для п=9,..., 1; i=n,..., 1; назовем ее расширенной таблицей умножения в отличие от известной в истории китайской математики таблицы умножения «девятью девять» (jiu jin), состоящей из про- *) См. J. Needha ш, цпт. еоч., стр. 70 и след. •) См. МаракуевА. В., Меры и весы в Китае, Владивосток, (930, стр. 27.
и МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ СУНЬ ЦЗЫ 221 пзведенин in для тех же значений п и i. Для каждого п в расширенной таблице умножения подсчитывается {и (1 4-24-... +«)}’ « соответственно п (1 4-24-... 4-п)1 2, а вся расширенная таблица умножения увенчивается числами п(14-2 4-... 4-п)}® = Л и Л:9 = В. 9 Сделаны эти подсчеты, очевидно, в подражание таблице «девятью девять», которая заканчивалась суммированием всех ее результатов 1 (14-24-... 4-п) = 1135*). У (Это число является контрольным: при произнесении таб- лицы «девятью девять» результаты откладываются на сче- тах, получившаяся при этом сумма 1155 показывает, что таблица была произнесена без ошибки.) Кроме того, при- водится таблица удельных весов некоторых металлов, нефрита и камня и др. Что касается описания техники счета, то опо заклю- чается в кратком объяснении принципа представления чисел с помощью счетных палочек н формулировке правил умножения и деления. Вот это хорошо известное истори- кам математики первое письменное свидетельство о счете па доске, о которой почти не сохранилось сведений: «Метод, который [употребляется] при обычном счете. Сначала познакомься с разрядами. Единицы (распола- гаются! вдоль, десятки — поперек; сотни стоят, тысячи лежат; тысячи и десятки [располагаются] горизонтально; десятки тысяч н сотни — вертикально». Две другие книги трактата Супь-цзы содержат 64 за- дачи самого различного содержания. Каждая из них снаб- жена ответом и способом решения, подробно излагающим ход вычислений, регулярно сообщаются даже промежу- точные результаты вычислений. В «Математике в девяти 1) Эта таблица почти в таком же виде содержится в более позд- нем тексте «Математического трактата» (Suan jing) из Дуихуапскпх пещер, хранящемся в Париже. См. Ли Я п ь. Материалы по исто- рии древнекитайской математики, Шанхай, 1934, стр. 28 и след.
3. И. БЕРЕЗКИНА книгах» к ряду однотипных задач часто дается одно правило, сформулированное в общем виде. Вообще язык трактата Супь-цзы более красочен, менее лакони- чен. Текст задач по стилю напоминает в некоторой степени индийские задачи. Вот два примера. Задача 17 книги III: «Женщина идет к реке мыть посуду. Перевозчик у переправы восклицает: «Как много мисок!» Женщина говорит: «Дома гости». Перевозчик: «Сколько гостей?» Женщина: «Не знаю, сколько гостей, но каждые двое пользуются 1одной миской] с вареным рисом; каждые трое пользуются (одной миской] с бульоном; каждые четверо пользуются (одной миской] с мясом, всего в употребле- нии G5 мисок». Задача 34 книги III: «Когда выйдешь за ворота, взору открывается 9 плотин, на (каждой] плотине по 9 деревьев, на (каждом] дереве но 9 ветвей, на (каждой] ветви по 9 гнезд, в [каждом] гнезде по 9 птиц, у [каждой] птицы по 9 птенцов, у (каж- дого] птенца но 9 перышек, (каждое] перышко 9 расцве- ток. Спрашивается, сколько каждого?» Среди задач, содержащихся в трактате, имеется зна- менитая задача теории чисел, с которой, как и с указанием о счетных палочках, обычно связывают имя Супь-цзы— этими двумя упоминаниями историки пауки обычно исчер- пывают сообщение о трактате. Задача помещена в книге III сочинения 20-й по счету; она сводится крещению системы сравнений первой степени: «Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать их пятерками, то остаток 3; если считать их семерками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей?» Задача широко известна в истории науки, не будем па пен останавливаться1). Тематика задач трактата Сунь-ц.зы в подавляющем большинстве такая же, как в «Математике в девяти книгах». *) См. А. П. Юшкевич, О достижениях китайских ученых в области .математики, Историко-математические исследования, вып. VIII. стр. 556—557.
о МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТР \KTATE CJ НЬ-ЦЗЫ 223 Это задачи на пропорции, проценты, прогрессии, вычисле- ние площадей и объемов, извлечение квадратных корней, решение систем линейных уравнений и др. Есть ряд задач, заимствованных из «Математики» (задачи 1—8 на действия с дробями и обмен зерна). Однако методы решения, столь но, робно сообщаемые Cj нь-цзы, часто отличны от тех, которые содержатся в «Математике», или в них есть новые моменты. В той части, которая содержит задачи, аналогич- ные задачам «Математики», тексты правил решения дают материал для более детальной реконструкции методов, высказанных в «Математике» в общем виде, сообщают о подробностях счета на доске при действии данного алгоритма. Задачи подобраны, вероятно, с целью показать изу- чившему «Математику в девяти книгах», что наряду с об- щими методами, установленными в канонической «Мате- матике», при решении задач можно пользоваться другими частными методами, применяемыми в отдельных случаях каждый по-своему. Например, следуя «Математике», си- стемы линейных уравнений общего вида должны решаться с помощью универсального метода «фап-чэн» (книга VIII). Систему двух уравнений частного вида с коэффициентом при у, равным —1, можно решать табличным способом, названным в кпнге VII «избыток — недостаток», а также с помощью исключения неизвестных, которое именуется там же вторым правилом. Средн задач этой же книги VII, решенных ио правилу двух ложных положений, также встречаются несложные системы, содержащие два неизвест- ных. В трактате Сунь-цзы встречаются и метод «фап- чэн» в несколько усовершенствованном виде, и табличный способ «избыток — недостаток», и исключение неизвест- ных, примененных к различным системам. Разнообразные преобразования уравнений свидетельствуют о развитом аппарате алгебраических преобразований. В задаче 27 кппги III (ради удобства будем пользовать- ся современной символикой) коэффициенты 2-го уравнения заданной системы 6х + 4у = 7б, | ; 2у = 46 J
224 Э. И. БЕРЕЗКИНА удваиваются, из потучениого уравнения вычитается 1-е, так что х определяется из 2z = 46-2 — 76; х = 8, а у—из 2-го уравнения 46—4х У = —2~- В задаче же 31 книги III с системой х + у = 35, 1 2х + 4у = 94 I поступают наоборот: коэффициенты 2-го уравнения делят на 2 и из пего вычитают 1-е уравнение. Таким образом, 94 о- л о у = ——З.э= 12, х = 35 — у. В задаче 18 книги III, сводящейся к системе у —т=4,5, । x-f=l, J для нахождения искомой величины х = (1 + 4,5) 2 — 4,5 складывают оба уравнения и находят сначала у =(1+4,5) 2, о котором в задаче не спрашивается. Даже в задаче 26 книги III, где решается спстема х + f+ | = Э°, j | + !z + ± = 70, [ -J + | + z = 56, J
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ СУНЬ-ЦЗЫ 225 не пользуются общим правилом «фан-чэп». Неизвестные вычисляются по симметричным формулам, которые полу- чаются, если данные уравнения привести к каноническому виду х), сложить, а затем из этой системы вычитать по- переменно каждое из уравнений системы 3-90 /70 . 56 \ = -2----И Т- Д' Правило «фан-чэп» демонстрируется па задаче 28 кни- ги III, которая почти одинакова с задачей 10 книги \ III «Математики». В «Математике в девяти книгах» она дана без решения, тогда как здесь оно подробно из- ложено. Заданная система х-Ьу 18, 4х + У= i8 О решается почти в уме, если привести систему к канониче- скому виду 2 г 4- у = 96, | 2.r-|-3y=141 | и из 2-го уравнения вычесть 1-е. Однако, следуя общему правилу, Супь-цзы педантично выполняет положенные действия с числами таблицы, которая составляется пз коэффициентов заданной системы, приведенной к канони- ческому вид} 2 2 \ 3 1 ]. 144 96/ *) Под каноническим видом системы нодраззмевается °ii *14-----Fain хп — Ьь- r<ie °i> — целые числа. 15 Истер.-матем. исслед., вып. ХП1
226 3. И. ЕЕРЕЗКПНА Таблица претерпевает следующие преобразования: 4 2 \ / 4 4 \ / 0 2 ’ 6 1 1’ 1 6 2 )• 4 1 .288 96/ \288 192/ <96 96. Отсюда По правилу «фап-чэп» таблица преобразуется к треуголь- ному виду (верхний угол над диагональю таблицы — нули) следующим образом: числа 2-го столбца справа умно- жаются на верхнее число 1-го столбца справа п лз полу- ченных произведений вычитаются числа 1-го столбца до тех пор, пока па месте верхнего числа 2-го столбца не образуется пуль. Далее аналогично. Как видим, здесь многократное вычитание чисел правого столбца из произ- ведений, полученных в левом столбце, Сунь-цзы заменяет умножением этих чисел иа соответствующее число левого столбца и однократным вычитанием полученных произве- дении из преобразованного левого столбца. Этот укорочен- ный способ «фап-чэн», как указал Цянь Бао-цун, приме- нил еще Лю Хуэй в комментариях к задаче 7 книги VIII «Математики» х). По-разному решены и две задачи типа задач 1 —8 книги VII «Математики» на системы вида alx-\-bl = y, | a2x+b., — y. J Это задача 15 книги III 3 (х - 2) = у, 2х + 9 = у п задача 28 книги 111 6х + 6 = у, _______________ 7х - 7 = у. *) См. Цянь Ба о-ц у и. Из истории китайской матема- тики (Qian К a o-z о ng, Zhongguo shuxueshi hua), Пекин, 1957 стр. Ю.
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ СУНЬ-ЦЗЫ 227 В первой из них Сунь-цзы, исключая у, определяет х=2-3-|-9. Во второй он пользуется табличным методом, изложенным в книге VII «Математики», но не причисляет его к методу «избыток — недостаток». Правилом с этим названием, понимая под ним метод двух ложных положе- ний, он пользуется при решении задачи 29 книги III с за- данным уравнением 100. На примере решения линейных систем видно, что древ- ние китайские математики наряду с замечательным общим методом решения таких систем применяли многие другие частные приемы, которые встречаются также и у других народов древних цивилизации (например, у вавилонян и греков* 1)). Трактат Су нь-цзы позволяет более широко осветить одну пз основных проблем древнекитайской мате- матики, которой занпмалпсьна протяжении всей ее истории. Сопоставление трактата Сунь-цзы с «Математикой в де- вяти книгах» позволяет выяснить дальнейшее развитие математики в древнем Китае. Остановимся прежде всего на приближенных вычислениях. В «Математике в девяти книгах» величины и формулы должны были быть точными н только точными, или пола- гались таковыми, как в случае формул, содержащих л 3; более точных приближений тогда не знали. Округ- ление производится в порядке исключения всего в не- скольких случаях. Результаты вычислений в общем случае выражались смешанными числами, иногда с многознач- ными знаменателями в дробпой части. Например,ответ в за- даче 5 книги III содержит число 135 человека и т. д. Такие случаи в трактате Сунь-цзы пе встречаются (кроме одного, о котором ниже будет идти речь особо), их избегают, очевидно, либо с помощью округления, либо специальным подбором числовых данных задачи.В трак- тате пользуются приближенным значением} 2=-^-. Оно - „ и 1 См. О. Н е й г е б а у е р, Лекцпи по исторпп античных мате- матических наук, перевод С. Я. Лурье, М.—Л., 1937, стр. 196 и след. См. также Б. .1. В а и-д е р-В а р д е и, Пробуждающаяся наука, перевод II. II. Веселовского, М., 1939, стр. 162. 15'
228 Э. II. БЕРЕЗКИНА сообщается читателю трактата еще во вводной части вместе с приближенным значением числа л=3 ’) и применяется в задаче 14 книги II для вычисления площади квадрата по заданной полудпагопалп. Неизвестно, как была получена эта пара значений так называемых боковых и диагональ- ных чисел (5 и 7, первой парой будут 2 и З)* 2). В 19 и 20 за- дачах книги 111 квадратный корень пз неквадратпого числа приближенно выражается правилом J а2 + г = « + -£-, которое могло быть получено, например, как среднее арифметическое приближений с недостатком а и с избыт- ком ——. а Сунь-цзы часто применяет метрологические десятич- ные дроби. Еще Лю Хуэй употреблял десятичные меры длины — доли цуня (фэнь, ли, мяо, ху) при вычислении чпсла л, когда он уточнял грубое приближение л = 3, употребляемое в «Математике в девяти книгах». У Сунь- цзы обозначение дробных количеств с помощью более мелких десятичных единиц распространяется на другие меры. Так в задаче 8 книги II для выражения количества проса, кроме широко употребляемых в «Математике» единиц емкости доу и шана, еще употребляются их доли: шао н гэ (1 шао=10 гэ 100 Н1Энам = 1000 доу). Супь-цзы вообще употребляет ботее развитую систему десятичных мер, чем составители «Математики». Например, единица емкости проса доу в единицах объема в «Математике» выражена: 1 чн G-i-цуня3), а у Сунь-цзы выражается так: *) В это время уже знали более «точные» значения л. После составления «Математики в девяти книгах» вычислением л занима- лись Лю Ци (л=3,1547); Чжан Хэп (л ) 10); Цай Юн (л=3,125); Ваи Фапь (л=3,155); Лю Хуэй (л=3,14). См. Л и Я и ь, Развитие математики в Китае, Шусюэ туябао, 1959, № 10, стр. 8. 2) Рациональные значения отношения диагонали квадрата к его стороне были известны вавилопяпам и грекам. См. В. Л. В а и- д е р-В арден, Пробуждающаяся паука, стр. 175 и след. ») 1 цупь=10 чи=100 чжанам, эти соотношения употребля- ются в «Математике в девяти книгах».
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ СУНЬ-ЦЗЫ 229 1 чп 6 цуней 2 фэня (задача 10—12 книги II, задача 3 книги Ill), т. е. по существу в виде десятичной дроби 1,62 куб. чи. В задаче 2 книги III название «фэнь», деся- тые доли цуня, служит для выражения числа дворов, которые облагаются воинской повинностью: 37 дворов 5 фэней (т. е. 37,5 двора) выставляют одного рекрута. Задачи метрологии занимали большое место в математике древних китайцев. При нахождении наименьшего общего кратного знаменателей (задачи 1 —11 книги IV «Математи- ки в девяти книгах») толкование этой проблемы получали, исходя из воззрения на дробь как именованное число. В трактате Супь-цзы, кстати, такая задача выделена в са- мостоятельную (задача 35 книги III)— находится наимень- шее общее кратное чисел 5, 4, 3—вне прямом связи со сложением дробей. Задачи на вычисление площадей и объемов, собранные в трактате Супь-цзы как бы случайно, на самом деле пред- ставляют решение одной проблемы: как выразить получен- ные результаты пзмерепия объемов и площадей в неодно- родных с данными единицах. Подобная проблема в «Математике в девяти книгах» не ставилась. В пей при вычислении площадей и объемов размерность единиц не указывалась. Например, здесь говорится о «поле в 1 му Шу бу»1) (задача 25 книги VI) или об объеме рва в «10 943 чп 8 цуней» (задача G книги V), который следует понимать как куб со стороной в 10 943 чи и параллелепипед с основанием в 1 кв. чп и высотой в 8 цунеп, па что указывал Лю Хуэй в комментарии к задаче. Иначе обстоит дело у Сунь-цзы, например в задачах 9 и 15 книги II. В первой из них дан фундамент дома в виде прямоугольника со сторонами в 3 и 6 чжанов, который вымащивается кирпичом. Каждые 5 кирпичей составляют - кв. чп. Определяется число уложенных в фундамент кирпичей (3 6-100) 5 ) «Му» мера площади, «бу» — мера длины.
230 Э. И. БЕРЕЗКИНА Во второй задаче деревянный куб со стороной в 3 чн рас- пиливается на кубики со стороной в 5 цуней. Ход вычис- лений следующий: х=33-8, т. е. сначала находится число кубиков в 1 куб. чи, в единице объема, а потом общее число заданных единиц в данном объеме. Пересчет объема в дру- гие единицы производится в задачах 17, 18 книги II, где вычисляются объемы трапециевидного тела и паралле- лепипеда по формулам, известным пз «Математики в де- вяти книгах». Размеры тел — они названы «плотиной» и «каналом» — подобраны, видимо, специально, так что длина в 2 раза больше ширины: у капала верхняя ширина 5 чжанов, нижняя ширина 3 чжана, высота 2 чжана, длина 6 чжанов; у параллелепипеда ширина 10 чжанов, длина 20 чжанов, высота 5 чжанов. В задачах задана еди- ница «фап»=1ООО чи, в которых требуется выразить объем данных тел. Интересно здесь заметить, что эту единицу «фан» отличают от 1 куб. чжана=(10 чи)3= 1000 куб. чн. В задачах 10—12 книги II п задаче 3 книги III, где вы- числяются объемы зернохранилищ в виде цилиндра и па- раллелепипеда, а также кучи зерна в виде конуса, объемы этих тел выражаются по существу с помощью единиц емкости зерна. Иначе говоря, производится пересчет куб. чи в доу (1 доу=1,С2 куб. чи). В задачах 22, 23 книги II вычисляется объем степы и канавы, имеющих форму тра- пециевидного тела. Он представлен числом рабочих, кото- рые нужны для постройки этих сооружении, с известной нормой труда для каждого. Даже в задачах 13, 14 книги II, где по заданным лнпейпым размерам определяется площадь поля (круг и квадрат), найденпые величины выражаются в общеупотребительных единицах площади «му» (1 му = = 240 кв. бу) и при этом специально подчеркивается, что число «бу» является остатком от деления полученного числа па коэффициент 240. Например. «31 му с остатком в 60 бу» (задача 13). Этим кругом вопросов, конечно, не исчерпывается со- держание математического трактата Сунь-цзы. Мы затро- нули некоторые из них, представляющиеся нам наиболее интересными.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВНЯЛ ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИН» Я. ВыгоПский § 1. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА «Правило двух ложных положений» играло важную роль в европейской математической литературе, начиная с ее возрождения в XII в. н вплоть до XVIII в. В послед- ние полтора стотетия этого периода оно служило преиму- щественно дидактическим целям, позволяя решать широ- кий круг задач единообразным методом, не пользуясь средствами алгебры. Однако еще в XVII в. это правило использовали в своей вычислительной работе многие выдающиеся ученые, как, например, Питиск1). Рассматриваемое с чисто математической точки зрения, правило двух ложных положений есть не что иное, как линейная интерполяция, и метод, которым Питиск и дру- гие астрономы при составлении таблиц решали уравнения высших степенен, теоретически совпадает с «методом хорд», излагаемых в наших руководствах. Одпако дей- ствия, которые надо выполнять по правилу двух ложных положений, отличны от тех, которые выполняем мы при линейном интерполировании. Если еще добавить, что «современный» процесс интерполирования систематически применяется в «Альмагесте» Птолемея — сочинении, *) Образец его вычислений приведен Кантором (М. Cantor, Vorlesungen Ober Geschicbte der Mathematik, В. I, 4-te Auflage, стр. 646).
232 М. Я. ВЫГОДСКИЙ которое было хорошо известно астрономам XVI—XVI1 вв., то станет ясно, что алгоритм правила двух ложных поло- жении обладал в глазах ряда вычислителей некоторыми техническими преимуществами. Этот алгоритм оставался неизменным у всех европейских авторов, начиная с Лео- нардо Пизанского, который посвятил правилу двух лож- ных положений целую главу в своей «Кинге Абака» (1202). Конечно, для математика, владеющего техникой тож- дественных преобразований (будь то в символической форме илп в словесной, или в геометрической), не соста- вляет большого труда вывести правило ложных положений пз линейной интерполяции. Так и поступает автор «Книги Абака». В начале XIII главы он рассматривает следующую типовую задачу: 100 ротулов1) стоят 13 лир (1 лнра= 20 сольдн; 1 сольдн=12 динаров). Что стоит 1 ротул?* *). В качестве первого (ложного) положения принимаем, что искомая цена составляет 3 сольдн. Тогда 100 ротулов стоят 300 сольди = 15 лир. Получается избыток 2 лиры против истинной цены. В качестве второго положения берем 2 сольдп. Тогда 100 ротулов стоят 200 сольдп = 10 лир. До истинной цепы недостает 3 лпр. Далее Леонардо рассуждает так: вследствие снижения цены одного ротула на 1 сольдп ( = 12 динаров) цена всей денежной суммы снизилась па 5 лпр, т. е. на результат сложения двух допущенных ошибок (2 лиры и 3 лиры). А нам надо снизить ее с 15 лпр до 13 лпр, т. е. на 2 лиры. Теперь выполняется пропорциональный расчет (12 умно- жается на 2 п произведение делится па 5), и найденный результат 44/6 динара вычитается из первоначально най- денной цены 15 лир. Истинная цена 1 ротула оказывается равной 2 сольдп 5L,'S динара. • Как мы видим, задача решена с помощью пропорцио- нального расчета, т. е. с помощью линейной интерполяции. Но общее правило, формулируемое вслед за приведенным рассуждением, устанавливает иной способ расчета. Это правило сначала представлено такой таблицей: L) Ротул (rotulus)— монетная единица. *) Cantor, Vorlesungen .... В. II, 2-te Auflage.CTp. 27—29.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «.ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛ ОЖЕНИП» 233 Сложенное пз умножений L) 13 4 9 сольди сольди 2 з меньше 8) больше 3) 3 2 5 Сложенное из ошибок4) )то вычислительная схема для форм} ты epia-j-ea”! где П1 (=3) и пг (=2) — первое и второе «ложные положе- ния», ei (=2) — ошибка первого (избыточного) результата, ег (=3) — ошибка второго (недостаточного). Формулу (1) Леонардо выражает, конечно, словесно: «Надо, —гово- рит он,— умножить первую ошибку па второе положение, вторую ошибку — н«ч первое положение, произведение сложить и разделить на сумму ошибок». Затем доказы- вается, что интерполяция, проделанная ранее на чис- ловом примере, формулируется для произвольных чисел, изображаемых отрезками, на манер арифметических книг евклидовых «Начал»6). Это общее выражение преобра- зуется к виду (1) *). *) Additum ex multiplicationibus; мы сказали бы «сумма про- изве тений». 2) Леонардо употребляет латинское слово minus в его бук- вальном смысле («меньше»). • ) Леонардо употребляет латинское слово plus в его буквальном смысле («больше»). Для обозначения сложения Леонардо всегда пользуется союзом «я» (et). * ) Additum ex erroribus; мы сказали бы «сумма ошибок*. * ) Cantor, Vorlesungen..., В. II, стр. 28. •) Аналогично устанавливаются прааила для случаев, когда обе ошибки получаются по избытку или обе по недостатку. Эти правила соответствуют формуле J = J»n2-e2ni . (la) «I — с» - ' (Леонардо пе пользуется отрицательными числами и потому нужда- ется в нескольких правилах там, где нам достаточно одной формулы.)
234 М. Я. ВЫГОДСКИЙ Можно заметить, что задача о цепе одного ротула слиш- ком проста для того, чтобы решать ее по методу ложных положений пли с помощью интерполяции. Но простота эта, несомненно, нарочитая; она служит для лучшего уяспепня нового метода. Ценность же метода обнаружи- вается при решении дальнейших задач. Однако в этих задачах правило ложных положении применяется только по аналогии, без обоснования. Итак, у Леонардо Пизанского правило двойного лож- ного положения получено из пропорционального расчета. Возникает вопрос, таково ли его историческое происхож- дение, и если нет, то как, где и когда оно могло возник- нуть впервые. Этому вопросу, который странным образом обходится в известных автору трудах но истории матема- тики, и посвящена настоящая статья. § 2. РОДИНА nPABII.IV По-впдпмому, первым из сочинений па европейских языках, где рассматривается правило двух ложных поло- жений, является рукопись, специально посвященная этому' правилу L). Она озаглавлена: «Книга увеличения п умень- шения, называемая исчислением отгадывания из того, что создали мудрые индийцы, которую Авраам собрал и по образцу книги, называемой индийской, составил» 2). Является ли эта рукопись переводом сочинения еврей- ского автора Авраама бен-Эздра(1093—1168) или перево- дом с арабского текста, автор которого — египетский араб Шоджа ибн-Аслам, известный под именем Абу-Камиль (IX—X вв.), как склонен предполагать Кантор3).— *) Рукопись опубл и кована в качестве приложения IV к книге: G. L i Ь г i, Histoire des sciences mathematiques en Italie, Paris, 1838, стр. 301—371. *) Liber augment! et diminutionis vocatus numeratio divinatio- nis ex eo quod sapiente< Indi posnerunt quern Abraham compilavit et secundum librum qui Indorum dictus est coniposuit. ’) Cantor, Vorlesungen ..., В. I. 4-te Auflage, стр. 731. Имя Авраам (=11брагпм) могло быть, по мнению Кантора, результатом ошибочного чтения арабского начертания имени Аслам. С этим трудно согласиться, так как начертания упомянутых имен раз- личны; кроме того, Астам это ие имя, а отчество арабского автора.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ» 235 f ,-------- . этот вопрос для нас не имеет значения. Существенно то, что мы имеем здесь два свидетельства: 1) что в европейскую литературу правило двойного ложного положения пришло из арабоязычных источников непосредственно или через посредство еврейского автора; 2) что арабский источник указывает на индийское происхождение правила. Факт заимствования правила европейцами у арабо- язычиых авторов подтверждается многочисленными дру- гими свидетельствами. Так, XIII глава «Книги Лбака», посвященная правилу двух ложных положений, носит заголовок «О правиле Эльхатайн (Elchatayn) и как с его помощью могут быть ретены почти все разнообразные задачи Абака». Начертание elchatayn передает — с той точностью, какую позволяет латинская азбука — араб- ское слово эль-хата'айн; это родительный падеж двой- ственного числа от слова эль-хата — ошибка, так что «правило эльхатайн» это «правило двух ошибок». Что касается свидетельства об индийском происхожде- нии правила, то оно ле только ничем не подтверждается, но и само но себе обладает малым правдоподобием. Дело в том, что правило двух ложных положений не встречается ни н одном пз известных нам индийских источников ’). Зато оно излагается во многих математических трудах старинных китайских авторов, в частности в древнейшем дошедшем до пас сочинении «Математика в девяти книгах» Чжань Цаня, составленном около 100 г. до п. э. и полу- чившем окончательную обработку в редакции Лю Хуэя в 263 г. н. э. В настоящее время, когда мы обладаем недавно выпол- ненным 3. П. Березкиной и прокомментированным ею переводом этого сочинения2), исследователи, не владеющие китайским языком, имеют возможность изучить между ) Говоря «нам», мы имеем в виду в частности (и в особенности) индийских авторов. Так, в фундаментальном труде двух индийских ученых В. 1) a t t a and A.-N. Singh, History of Hindu Mathe- Жеииг ’ P’ Lahore, 1935 нет ли слова о правиле двух ложных поло- «Историко-математические исследования», вып. X, 1957, стр. 439—584.
236 М. Я. ВЫГОДСКНП прочим и древнейшую китайскую редакцию правила двух ложных положений. То обстоятельство, что в дошедших до пас индийских источниках пет и упоминания о правиле двух ложных поло- жений, конечно, логически пе исключает возможности, что упомянутое правило излагалось в трудах, не сохра- нившихся до вашего времени. Поэтому указание Авраама нельзя оставить без всякого внимания. И все же опо пред- ставляется нам ошибочным, и вот почему. Арабоязычные авторы много писали о правиле двой- ного ложного положения. Еще в царствование халифа ал- Мамуиа (813—833) появляется (не дошедший до нас) трак- тат «Об увеличении и уменьшении», составленный знаме- нитым автором «Алгебры» и «Индийского исчисления» Мухаммедом ал-Хорезмп. Это видно из «Книги перечня» (Китаб ал Фнхрист) Абулфараджа ап-Падпмн, составлен- ной около 987 г., где говорится, что Абдаллах аш-Шай- дананн «написал комментарий к Алгебре Мухаммеда ибн- Муса ал-Хорезмп и комментарий к его книге об увеличе- нии и уменьшении»1). Полностью дошел до нас написанный несколько позд- нее (около 880 г.) трактат сирийца Косты ибн-Лука «О до- *) Das Mathematiker-Vorzeichnis in Fihrist... ins Deutsche iibcrsetzt und mit Aiiruerkungen xersehen von II. Suter, Abli. z. Gesch. d. Math. II. 6, 1892, стр. 36. В рукописи «Фпхрпста», издание которой послужило оригиналом для перевода Зутера, спи- сок произведении самого ал-Хорезми не содержит «Книги об уве- личении и уменьшении». Однако в упомянутом списке не содержит- ся также ни «Алгебра», пн «Индийское исчисление». Отсутствие этих трактатов, прославивших имя ал-Хорезмп, в списке его работ, а вместе с тем п отсутствие «Книги об увеличении и уменьшении» объясняются, одпако, очень просто. Дело в том, что вслед за ал- Хорезмп в «Фихристе» говорится о другом ученом, работавшем при дворе ал-Мамуна, Синде беи-Али, и список произведений по- следнего заканчивается следующими названиями: «Об индийском псчислеппи», «Об увеличении и уменьшении», «Книга алгебры». Вряд ли может быть сомнение в том, что здесь мы имеем дело с ошиб- кой переписчика, который перенес последнюю строку оригинала из абзаца, посвященного ал-Хорезми, в непосредственно следую- щий абзац, посвященный Сипду. И совершенно бесспорным является тот факт, что в середине X в. ал-Хорезми считался автором трак- тата «Об увеличении и уменьшении». Именно этот факт мы и учиты- ваем в дальнейшем.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВЬ X ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИИ» 237 казательстве правила двух ошибок»1). Дошли до нас и болов поздние работы: мароканца мбн-Ал банка2) (вто- рая половина XIII в.), испанского араба ал-Каласадп3) (умер в 1486 г.) и перса Бехаэддина4) (1547—1622). Кроме того, ряд трактатов известен нам но их названиям, полностью сохраненным в сочинениях современников. И ни в одном из этих источников нет никакого упоминания об индийском происхождении правила двух ошибок. Таким образом, версия об индийском источнике основывается только па одном показании. С другой стороны, если бы правило двух ложных поло- жений было заимствовано арабоязычными авторами у ми- дийцев, то опо должно было бы подвергнуться значитель- ной переработке. Ведь индийские математики к тому вре- мени, когда могло произойти это заимствование, т. е. не ранее конца VIII в., уже вполне владели отрицательными числами; они обладали единым правилом решения квад- ратного уравнения, и было бы очень странно, если бы в правиле ложного положения они придерживались трех различных форм решения, которые различают и Авраам, и Леонардо Пизанский, п все известные нам арабоязыч- ные авторы. А если «правило увеличения и уменьшения», применяв- шееся арабами, было результатом переделки индийского правила, то оно вряд ли могло быть столь близким к ки- тайской редакции, каким оно является. Естественно возникает предположение, что мусульман- ские авторы заимствовали «правило увеличения и умень- шения» непосредственно у китайцев. Во всяком случае для этого были налицо все необходимые условия: мусуль- манская Средняя Азия в VIII — IX вв. имела прочные торговые и культурные связи с Китаем, и Мухаммед ал-Хорезми имел возможность хотя бы из бесед со своими l) Н. Suter, Die XbhandluiigQosta ben Lucas iiber die Rech- nung mit zwei Fehlern, Bibliotheca Mathematica, Ser. 3, В. VIII. 1907—1908. 2) Cantor, Vorlesungen, В. I, стр. 808—810. ) G. I. о r i ,a, Storia delle niatematice, vol. I, 1929, стр. 346. ) G. JI. F. N e s s e 1 ni a n n. Essenz der Rechenkunst von lohammed Beha-Eddin, deutsch und arabisch, Berlin, 1843.
238 М. Я. ВЫГОДСКИЙ земляками-купцами ознакомиться с теми приемами вычпс-1 лснпй, которые могли практически заинтересовать этих i купцов. А «правило увеличения и уменьшения» безуслов- но принадлежало к числу таких приемов. Таковы те доводы, которые не позволяют нам согласить- I ся с индийским происхождением правила. Но хотелось бы понять, как могла возникнуть эта версия хотя бы I у одного автора. И па этот вопрос можно, как нам кажется, дать удовлетворительный ответ. Во-первых, учтем, что Мухаммед ал-Хорезмп прославил I свое имя сочинением «Об индийском исчислении». Поэтому , вполне естественной была бы ошибка, которая связала бы I с индийцами другое его произведение. Подобная ошибка могла бы стимулироваться также и языковыми обстоя- тельствами. Понятия «китаец» и «китайский» выражаются на араб- I ском языке словом «сини». Это слово созвучно со словом «снидй», означающим «сппдийскпй» от слова Синд (назва- I ине индийской страны, охватывавшей бассейн Пида). А ело- I во «снидй» в Средние века обозначало не только жителей Спида в узком смысле, ио и всей Индии1 2 * *). Таким образом, привычное сочетание имени ал-Хо- I резмп со словом «индийский» или созвучие слов «сини»— «синдй» могли совершенно естественно вызвать ошибку Авраама пли переводчика его труда, особенно если для лица, совершившего ошибку, арабский язык не был род- ным s). Достаточно вспомнить, что другому переводчику, не- сомненно стремившемуся к точности, это стремление не поме- шало переиначить имя ал-Хорезми па «Алгорптмн». Приме- ров таких искажений можно привести великое множество. | *) «Это слово («хииду») явно происходит от «сиидху* — старое, равно как и современное индийское название Инда. От этого «спнд- ху» происходят слова «индус» п «Индостан», а также Пид и Индия. Знаменитый китайский паломник И Цзин, посетивший Индию в VII в., писал в своих путевых записках, что «северные племена», т. е. население Средней Азин, называют Индию «Сии-ту»(Д ж а в а- I х а р л а л Неру, Открытие Индии, ILI, 1955, стр. 75). 2) Название «сппдийскпй» могло бы иметь свопм источником также собственное имя Спид, которое носил один из ученых, со- I временник Мухаммеда ал-Хорезмя (ем. примечание1) на стр. 236). I
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИИ» 239 Вышесказанное позволяет паи думать, что задачу о происхождении правила двойного ложного положения надо решать на основании китайских источников и в пер- вую очередь древнейшего из них. § 3. ИЗВЫТОК — НЕДОСТАТОК Так озаглавлена седьмая книга «Математики в девяти книгах». Она содержит 20 задач, которые, как это видно даже при беглом просмотре, имеют двоякий характер. Первые восемь задач совершенно однотипны не только по своему математическому содержанию, но и по внешнему оформлению. Вот первые две задачи1). Задача 1. Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет ио 8, то избыток 3. Если человек внесет по 7, то недостаток 4. Спрашиваются количество людей И СТОИМОСТЬ ВС1ЦП. О т в е т: 7 человек; стоимость вещи 53. Задача 2. Сообща покупают курицу. Если человек внесет по 9, то избыток 11. Если человек внесет по 6, то недостаток 16. Спрашиваются количество людей и стои- мость курицы. Ответ: 9 человек; стоимость курицы 70. Задача 3 получается из задачи 2 заменой слова «курица» словом «чжунь» (полудрагоценный камень) и изменением числовых данных; в задаче 4 покупается буйвол и пайщи- ком является не человек, а семья. (Пай семьи определяет- ся так: один раз каждые 7 семей вносят по 190, другой раз каждые 9 семей вносят по 270. Таким образом, первый раз пай одной семьи выражается дробным числом.) Для дальнейшего важно отметить, что во всех восьми задачах первой группы отсутствуют наименования денеж- ных единиц. За задачей 4 идут два правила, которые здесь, как почти всюду в этом руководстве, не предшествуют, а следуют за группой однотипных задач. Вот эти правила. «Избыток, недостаток. и с *^ст,,Р,,1'°*математические исследования», вып. X, стр. 491
240 М. Я. ВЫГОДСКИЙ Правило. Расположи избыток [и] недостаток вместе с нормами, которые вносятся при покупке вещи сообща1): избыток и недостаток, каждый нз них, помести вод нормами2). Перемножь 1с ними] нормы, которые вно- сятся, крест-накрест, сложи; это «ши». Сложи избыток и недостаток, это «фа». Если имеются дроби, то приведи их к общему знаменателю. Сопоставь и расположи нормы, которые вносятся, нз большей вычти меньшую; на остаток раздели «ши» и «фа». «Шп» дает стоимость вещи, «фа»— количество людей. Еще одно правило: сложи избыток и недостаток, это делимое. Взяв нормы, которые вносятся, нз большей вычти меньшую, остаток является делителем. Объедини делимое и делитель3 4), получится (искомое количество) людей. Умножь иа это нормы, которые вносятся, убавь па избыток или добавь недостаток, это и будет стоимость вещи». Если применить первое правило, скажем, к задаче 2, получим вычислительную схему1): «шп» = 6-11-|-9-16 = 210 «фа» = 16 11 = 27 Разность между большей и меньшем нормой есть 9— 6 = 3. Стоимость курицы есть =70; количество людей есть «фа» п “з J’ От задач 1—4 задачи 5 и 6 отличаются только тем, что суммы собираемых взносов по условию пли обе избыточны *) То есть вместе с иаями. 2) Здесь, очевидно, описывается вычислительная схема (таб- лица); см. ниже. •) Объединить делимое и делитель значит выполнить деление. 4) В китайском тексте направление письма справа налево; поэтому правый столбец — первый, а левый — второй.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ» 241 (задача 5) или обе недостаточны (задача б). Правило, поме- щенное вслед за задачей б, соответствует первому из толь- ко что приведенных. Наконец, в задачах 7 н 8 рассматри- ваются случаи, когда один раз получается избыток (в за- даче 7) или недостаток (в задаче 8), а другой раз собран- ной суммы как раз хватает. Следует правило, соответ- ствующее второму из правил, помещенных после задачи 4. Как мы видим, существует большая близость между китайским руководством и «Книгой абака». II там н здесь отдельно рассматриваются случаи двух избытков (недо- статков) и случаи, когда один раз получается избыток, а другой раз — недостаток (причем китайское руковод- ство не упускает и случай «нулевого избытка»). II там и здесь имеются вычислительные схемы, сходные между собой. II там п здесь для основного случая даются два алгоритма, одни основанный на пропорциональном расче- те, а другой — па «схемах креста». Правда эти схемы не тождественны в китайском и европейском руководствах. Но они и по могут быть тождественными, так как в зада- чах 1—8 китайского текста, хотя в них речь идет об избыт- ке н недостатке, ни одна из искомых величин не найдена по правилу двух ложных положений. Это правило начинает употребляться только во втором группе задач (№ 9—20), которые столь же разнообразны н по тематике и по математическому содержанию, как и задачи в «Книге абака». Дтя примера сопоставим задачи 14 и 18. Вог текст задачи 14. «Объем 5 больших посудим и 1 малой посудины равеп 3 ху. Объем 1 большой посудины и 5 малых посудин ра- веп 2 ху. Спрашивается, каков объем большой и малой посудин в отдельности. Ответ: объем большой посудины ху, объем малой посудины ху. Правило: предположим, что [объем] большой по- судины 5 доу *), [тогда! малой посудины также 5 доу; превышение в 10 доу. Пусть теперь [объем] большой ’) Ю доу=1 ху. Ю Истор.-матем. исслед., вып. XIII
242 М.'Я. ВЫГОДСКИЙ посудины 5 доу 5 шэнов1), [тогда] малой посудины 2 доу 5 шэнов, не хватит 2 доу». На этом заканчивается указание, которое названо «пра- вилом», но по существу представляет только обработку специфического для даппой задачи матерпала, предше- ствующую применению правила двух ложных положений. Такие указания даются к каждой из 12 задач рассматри- ваемой группы. Само же правило двойного ложного поло- жения сформулировано, как и всегда, после ряда задач, где это правило применяется. Поясним «правило» задачи 14. Предположение, что большая посудина вмещает 5 доу, в соединении с первым из условий задачи, согласно которому общая вместимость 5 больших и 1 малой посудил есть 3 ху=30 доу, дает для малой посудины объем в 30—5-5=5 доу. Тогда 1 большая и 5 малых посудин вмещают 5-|-5-5=30 доу, что превы- шает на 10 доу величину 2 ху (=20 доу), данную во вто- ром условии. Аналогично предположение, что большая посудина вмещает 5 доу 5 шэнов (=5 у доу), приводит к недостатку 2 доу. Теперь надо применить правило двух ложных положе- ний; оно сформулировано после задачи 18. «Задача 18. Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра, их взвесили, вес как раз совпал. Переложили слиток золота и слиток серебра2), золото стало легче па 13 лапов3). Спрашивается, каков вес слитка золота и слит- ка серебра, каждого в отдельности. Ответ: вес [слитка] золота 2 цзиня 3 лана 18 чжу, вес [слитка] серебра 1 цзппь 13 лапов 6 чжу4). Правило: предположим, что [вес слитка] золо- та 3 цзиня, тогда серебра 2 цзиня, недостаток 49 *) 1 доу=10 шэнов. *) С той чашки весов, где находятся 9 слитков золота, один сли- ток перекладывается на другую чашку, где лежат 11 слитков се- ребра, а с этой второй чашки один слиток серебра перекладывается па первую чашку. 3) То есть с.тнтки, оказавшиеся на первой чашке, на 13 лапов легче, чем слитки, оказавшиеся на второй чашке. *) 1 нзипь—16 лапов; 1 лан=24 чжу.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ» 243 в правой строке1 2). Предположим, что 1вес слитка] золота о цзиня, тогда серебра 1 цзиня. Избыток 15 в левом строке. Каждый знаменатель умножь иа количества, содержа- щиеся в этих строках8). Избыток и недостаток умножь крест-накрест на пред- положенные нормы, сложи; это делимое3). Сложи избыток и недостаток; это делитель4 *). Объедини делимое и дели- тель6). Получишь вес слитка золота». Аналогичное полное изложение решения дано для задачи 19. Таков документальный материал. Переходим к его истолкованию. 1) Составляется вычислительная схема: 2 цзпня избыток 15 3 цзиня недостаток 49 49 15 вместо — лапа и— лапа, т. е. опи 1 выражают недостаток и изоыток веса при весовом едиимце в —лапа. Вычисление протекает, по-видимому, так: из первого условия нахо- дится вес слитка серебра . Удвоив разность 3 цзиня —2 Числа 49 и 15 поставлены 2-уу цзпня, соответствующий первому 5 6 п цзиня -п ложному положению 12 ' 5 цзиня, получаем — цзиня=17 толана. На столько должно «золото» 11 11 стать легче «серебра». По сравнению сданной величиной (13 лапов) 5 49 получается избыток 4 — = — лапа и т. д. ’) Эта неясная фраза, по-видимому, относится к уже пройден- 49 15 ному этапу вычислений, когда недостаток — и избыток — были заменены пропорциональными им (целыми) числами 49 и 15; таквя замена всегда допустима. ’) В оригинале термип «ши» (устное сообщение Э. II. Берез- 4) В оригинале термии «фа». ) То есть раздели делимое на делитель. 16*
244 м. я. выгодский § 4. АНАЛИЗ ТЕКСТА Как мы видим, 7-я книга древнекитайского трактата состоит как бы пз двух разделов. В первом рассматривает- ся по существу восемь примеров на решение стандартной задачи о коллективной покупке (в пяти задачах из общего числа 8 речь идет о покупке животного или птицы). Стан- дартность задачи подчеркнута совершенной одинаково- стью текста условия и отсутствием наименования денеж- ных единиц. Создается впечатление, что здесь решает- ся задача, часто встречавшаяся на практике и излагается хорошо отработанное правило, позволяющее каждому, знающему четыре действия арифметики, решить интере- сующий его практический вопрос. Второй раздел составляют задачи самого разпообраз- ного содержания, решаемые по методу двух ложных положений. Возникает вопрос, почему эти две группы задач объеди иены в одну главу. Этот вопрос не прошел мимо внима- ния исследователя китайского трактата и переводчика его Э. И. Березкиной. Она рассматриваетх) задачи первой группы как «задачи, сводящиеся к частному виду систе- мы двух линейных уравнений Ь1 = а1х-у; Ь2 = а2х-у, (2) а задачи второй группы — как решение уравнения У = / (х) = ах + b = О (3) с помощью правила двух ложных положений». По мнению Э. II. Березкиной китайские математики объединили эти две группы задач, во-первых, вследствие того, что и там и здесь речь идет об избытке и недостатке, и, во-вторых, вследствие «единства способа конструирования искомых величии*. А именно, в первом случае составляется таб- лица 1) «Историко-математические исследования», вып. X, стр. 434 и 559.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ .ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИИ» 245 из которой определяются искомые величины a. = A-2.i_; (5) » at—at <4—aj • во втором случае составляется таблица (х, Т.\ 1 ’ , (6) \3G yj из которой определяется корень х0 уравнения (3) х°- У^ • ( ) «Не имея математической символики, которой мы сейчас пользуемся, древние китайские математики усмотрели сим- метрию коэффициентов и неизвестных в этих двух видах задач». Из этпх заключительных слов примечания 1 к книге 7 ’) следует, что, по мнению комментатора, китай- ские математики решали задачи 7-й книги алгебраически с помощью уравнений. Но роль правила двух ложных положений в 7-й кнпге китайского трактата как раз в том и состоит, чтобы решать разнообразные задачи, не прибегая к методу уравнений, который применяется позднее, в 8 и 9 книгах. Аналогичное явление имеет место в «Книге абака», где XIV глава спе- циально посвящена уравнениям, а в главе XIII, где речь идет о правиле двух ложных положений, те же задачи решаются без уравнений. Трудно поэтому согласиться с тем, что объединение двух групп задач 7-й книги прои- зошло вследствие того, что китайский автор решая уравпе- усмотрел некую симметрию между формулами (5) К тому же этой симметрии и нет. В самом деле, во всех задачах второй группы одно из ложных положений Дает избыток, а другое недостаток; поэтому формула (7) Для китайского автора имеет вид х (7а) 0 Уг+У! ' ’ ') «Историко-математические исследования», вып. X, стр. 560.
246 М. Я. ВЫГОДСКИЙ а формула (5) в соответствующем случае выглядит так: У-~а,—а\ <°«) Формулы (7а) и (5а) отличаются не только видом зна- менателя, но — что не менее существенно — смыслом его членов: величины у{ и у2 в (7а) это избыток и недостаток, а величины at и а2 в (5а) это «нормы». Таким образом, даже в том случае, если бы китайский автор подходил к вопросу с алгебраической точки зрения, он ие мог бы усмотреть симметрии между двумя группами задач. Чтобы разгадать мотивы, побудившие китайского авто- ра объединить две группы задач 7-й книги, надо прежде всего отказаться от всякой модернизации, уводящей пашу мысль в сторону от пути, которому мог следовать китайский автор. Постараемся же понять ход мысли древнего автора, опираясь только на те факты, которые засвидетельствова- ны в источнике. Правило для решения задач 1—4 первой группы носит подзаголовок «Избыток, недостаток», повторяющий назва- ние главы, а «правило» решения задачи 9 (первой из задач второй группы) начинается словами «ищи по способу избыток, недостаток»». По точному смыслу этих слов решение задач второй группы опирается иа способ решения задачи первой группы. Правда, автор трактата пе разъясняет более подробно, каким образом второй тип задач редуцируется к стандарт- ной задаче о коллективной покупке. По и в других слу- чаях он столь же скуп иа объяснения, рассчитывая, веро- ятно, па дополнительные устные указания учителя. Пам падо поэтому сделать попытку восстановить редакцию второго типа задач к первому. Анализ текста данного трактата позволяет однозначно решить эту задачу. Обратим внимание прежде всего на терминологию ки- тайского текста. В первом правиле решенпя задач 1—4 выражение, из которого находится стоимость вещи (алгебраически ai^2+a2^i)> называется «ши», а выражение, из которого находится число людей, называется «фа». В примечании 2 к книге 7 (стр. 560) 3. И. Березкина пишет: «Здесь «пш»
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИИ» 247 ужо не означает делимое, как в книге II..., но точно так же «фа» здесь не делитель..., но Ь2-|-Ь1». Для такого утверждения текст пе дает, как нам кажет- ся, никаких оснований. Напротив, если сопоставить прави- ла задач 4 и 18, то станет ясным, что термины «шн» и «фа» падо понимать именно как «делимое» и «делитель». В правиле задачи 4 говорится: «перемножь нормы, кото- рые вносятся, крест-накрест, сложи; это «шн». Сложи избы- ток и недостаток; это «фа». В правиле задачи 18: «избы- ток и недостаток умножь крест-накрест на предположен- ные нормы, сложп, это «ши»; сложи избыток и недоста- ток; это «фа». Очевидно, в обоих отрывках описывается один и тот же процесс; иритом оба отрывка взяты из одной и той же главы. Значит, в правиле 4, как в правиле 18, «ши» это делимое, а «фа»— делитель. Правда, в правиле задачи 18 сказано: «объедини делимое и делитель, получишь вес золота», а в правиле задачи 4 такой фразы пет. Но зато объяснив, как вычисляется «шн» и «фа», китайский автор продолжает: «если имеются дроби, то приведи их к обще- му знаменателю». Это предписание было бы совершенно бесцельным, если бы речь здесь не шла о выполнении деления, т.е. об «объе- динении делимого и делителя» (в китайской арифметике при делении дробей последние приводятся к общему зна- менателю). Кроме того, надо учесть, что в других местах трактата указание «если имеются дроби, то приведи их к общему знаменателю» многократно следует за фразой «объедини делимое и делитель» (см., например, правило деления дробей на стр. 443). Значит, в первоначальной редакции китайского трак- тата фраза «объедини делимое и делитель» содержалась и в правиле задачи 4. Почему опа выпала, на этот вопрос с определенностью ответить трудно, но это и не важно. Существенно, что ре- зультат «объединения* есть пе что иное, как размер взноса одного пз пайщиков. Таким образом, мы приходим к выводу, что в первона- чальной редакции стандартной задачи о коллективной покупке требовалось найти не только стоимость вещи
248 М. Я. ВЫГОДСКИЙ п количество людей, но также п размер взноса, падающего на каждого пайщика. Да и вне зависимости от тех или иных особенностей текста было бы очень странным, если бы в задачах, аналогичных задачам 1—8, вовсе не ставил- ся вопрос о величине индивидуального взноса. Ведь с прак тической точки зрения этот вопрос является едва ли пе самым существенным. Даже в том случае, если типа 1—8 возникли не непосредственно в сфере бы задачи практиче- ской деятельности, а были продуктом выдумки, даже тогда составители задач вряд ли могли обойти вопрос, столь естественно возникающий из условия задачи. Надо заметить, что Э. И. Березкина, хотя она и пе согласна рассматривать «ши» и «фа» в задаче 4 как дели- мое и делитель, сама довольно близко подошла к такому их пониманию. Л именно, в примечании 1 к книге 7 опа указывает: «задачи 1—8 мог>т быть решены так же, как задачи 9—20, если определить сначала величину по формуле У __ —а2^1 х Ьг— (8) а потом величину у или х, учитывая, что Ь,=а1х—у». Как можно получить формулу (8) из системы (2), этого автор не говорит. Мы полагаем, что китайский автор пе только мог нахо- дить величину по формуле (8), по действительно ее и находил, однако пе до, а после того, как он нашел числа, пропорциональные величинам у (стоимость вещи) и х (ко- личество людей). Подведем итоги нашего анализа. Факты. В задачах первой группы термины «ши» и «фа» употребляются в том же смысле, что и в задачах вто- рой группы, т. е. в значении «делимое» и «делитель». Эти величины соответственно пропорциональны стоимости вещи и числу покупателей. Частное есть величина пая. В тексте деление не выполняется, однако если это деление выпол пить, то окажется, что процесс разыскания неизвестной величины во всех задачах второй группы в точности еле дует образцу вычисления величины пая по первому пра
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИИ» 249 вплу задачи 4. С другой стороны только в том слу- чае, если имеется в виду выполнить упомянутое деление, получает объяснение рекомендация, содержащаяся в за- даче 9 («ищи по способу „избыток — недостаток”»!. Гипотеза. В первоначальной редакции задач первой группы в ппх содержалось требование (единственное или наряду с другими) разыскать величину пая. Так как эта величина, очевидно, является частным от деления стои- мости вещи на число покупателей, то единственная труд- ность задачи состояла в разыскании делимого («пш») и де- лителя («фа»). Благодаря этому в позднейшей редакции задач первой группы сохранились только эти два тре- бования. Приняв эту гипотезу, мы легко поймем и композицию 7-й книги. В первой группе задач избыток и недостаток непосредственно даны в условии, и внимание ученика сосредоточивается полностью па усвоении алгоритма. Во второй группе задач применяется тот же алгоритм, но задача усложняется тем, что избыток и недостаток непо- средственно пе даны. Пх надо вычислить иа основании условия. Таким образом, китайский автор проявил здесь такой же педагогический такт, какой сказывается и в постенен пом нарастании трудностей внутри второй группы задач. § 5. РЕКОНСТРУКЦИЯ Теперь мы можем следующим образом ответить на вопросы, поставленные в конце § 1. 1. Родиной правила двух ложных положений является Китай. Во всяком случае арабоязычные авторы заимство- вали правило не из Индии, где правило, по-видимому, и пе применялось. Дату открытия правила указать не удается; можно утверждать лишь то, что в I в. до н. э. правило было уже хорошо разработано н пользовалось широкой изве- стностью. Оно могло быть создано и до разработки метода уравнений, п после, ио независимо от этого метода. Скорее всего оба метода создавались одновременно. 2. Возможность получения правила двух ложных поло- жений непосредственно из правила линейной Интерпола-
250 М. Я. ВЫГОДСКИЙ цпи путем преобразования последнего представляется маловероятной хотя бы потому, что в китайском руко- водстве линейная интерполяция применяется только в за- дачах первой группы в качестве второго способа и без указания на его связь с первым способом. Однако воз- можно, что открытию правила двух положений предше- ствовали попытки решения той млн иной задачи с помощью правила простого ложного положения. Неудача одной такой попытки могла послужить поводом для повторной попытки и наряду с использованием стандартной за- дачи укрепить доверие к правилу двух ложных поло- жений. 3. Создание правила двух ложных положении исхо- дило из потребности в едином алгоритме решения ряда задач, возникавших из практики, алгоритме, который обладал бы не только возможно большей простотой, но и элементарностью, что позволило бы каждому, владею- щему правилами счета после некоторой тренировки безду мио применить его к решению практической задачи. Каждая вновь решенная «типовая» задача могла быть испробована с целью распространить алгоритм ее решения на более широкий круг задач. Стандартная задача на кол- лективную закупку, по-видпмому, оказалась самой под- ходящей для этой цели. Быть может, в особенностях хозяйственного уклада древнего Китая и коренится при- чина того, что именно китайцы создали правило двойного ложного положения. 4. Как было найдено правило решения стандартной задачи, излагаемое в правиле задачи 4, об этом мы можем только догадываться. Конечно, число участников покупки определяется с помощью весьма простого рассуждения: если каждый участник вносит по 6 монет вместо 9, то его взпос уменьшается на 9—6=3 монеты, а собранная сумма, согласно условию задачи 2, уменьшается на 11 4-16=27 мо- нет. Значит, число участников х=27 : 3=9, и не требуется особого усилия, чтобы сформулировать словесно общее правило для разыскания х. Чтобы прийти к тому общему правилу для разыскания у (т. е. стоимости вещи), которое изложено в задаче 4, китайский вычислитель мог бы рас-
ПРОИСХОЖДЕНИЕ «ПРАВИЛА ДВУХ ЛОЖНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ» 251 суждать так. В устовип говорится, что если каждый из участников покупки внесет по 9 монет, то после покуп- ки одной курицы останется излишек в 11 монет. Пред- положим теперь, что приобретается не одна, а шесть ку- риц (соответственно второй части условия, где размер взноса составляет шесть монет) и что в соответствии с этим и взнос каждого участника увеличивается в б раз, т. е. составляет 6-9 = 54 монеты. Тогда и сумма, остающаяся в излишке, увеличится в 6 раз, т. е. избыток составит 6-11 = 66 монеты. Пспотьзуя такпм же образом вторую часть условия, пайдем, что если каждый из участников внесет вместо 6 монет девятикратную сумму, то есть тс же 54 моне- ты, то для приобретения 9 куриц пе хватит 9-16 = 144 монет Сумма избытка и недостатка 66 + 144 = 210 составля- ет, очевидно, стоимость допо шителыю приобретенных трех (9-6 = 3) кур. Конечно, это рассуждение по существу личем пе отли- чается от алгебраического «способа сложения и вычита- ния», по нет необходимости предполагать, что автор реше- ния владел этим общим приемом (хотя такую возможность нельзя и исключать). 5. Существенным является вопрос о том, каким обра- зом правило двух ложных положений было распростране- но па «содержательные» задачи вроде задач 9—20. Нам представляется вероятным, что первые попытки такого распространения носили эмпирический характер. Не- удача в применении правила простого ложного положения естественно приводила бы к оценке избытка или недостат- ка, и тут напрашивалась бы аналогия с задачей о коллек- тивной покупке. В ряде случаев, когда задачу умели решать другими способами, можно было сравнить результаты и убедиться в том, что правило двух ложных положений обладает уни- версальным характером. Совершенно невероятным представляется нам предполо- жение, что способ двух ложных положений возник из ре- шения уравнений вида ах=Ь пли из решения задач, условия которых китайский вычислитель умел выразить
252 М. Я. ВЫГОДСКИП уравнением столь простого впда. Тот, кто умеет это сде- лать, совершенно не нуждается в правиле двух ложных положений. И не случайно все задачи 9—20 главы All та- ковы, что для сведения их к уравнению вида ах=Ь надо обладать уже значительными познаниями по алгебре. Именно из решения такого рода «замысловатых» за- дач — полагаем мы — и возникло правило двойного ложного положения.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ JZ. И. Медовой Индийская система нумерации и связанная с нею тех- ника вычислений впервые были описаны па арабском языке около 830 г. в сочинении по арифметике багдадского уче- ного Мухаммеда ал-Хорезми. Индийская арифметика до- вольно быстро была усвоена учеными, но в более широкие круги писцов, чиновников и купцов стала проникать лишь через долгий промежуток времени, исчисляемый, вероятно, двумя-тремя веками. Иначе и не могло быть, поскольку в странах ислама издавна укоренились другие методы нумерации и вычислений. Эти методы продолжали суще- ствовать не менее восьми веков после ал-Хорезми, ибо излагались в учебных руководствах вплоть до XVII в. О существовании этих методов историки науки знали из составленного в конце X или в начале XI в. арифмети- ческого трактата ал-Кархи (ал-Караджи), который в 1878—1880 гг. был издан в немецком переводе *). Трактат ал-Кархп не является, однако, первым по времени источником для изучения староарабской арифме- тики. Ему предшествовало руководство «О том, что нужно знать из арифметики писцам, деловым людям и прочим лицам». (Китаб фи ма яхтадж илай-xu ал-куттаб ва-ал- уммал мнп ’илм ал-хпсаб), составленное работавшим в Багдаде хорасанцем Абу-л-Вафой (940—997). О наличии Рукописных текстов этого руководства, являющегося, не- видимому, наиболее ранней из арабоязычных работ ио , *) A. Hochheim, Kafi fil Hisab des Abu Bekr Muhammed Alhusein Alkarchi, J—III, Halle, 1878—1880.
254 м. и. медовой арифметике, дошедших до пас па языке подлинника, было известно давно, и еще в 1855 г. Ф. Венке, ознакомившись с рукописью, нашел, что она представляет большой инте- рес. Однако сам Венке опубликовал только краткие заме- чания по поводу работы Абу-л-Вафы и французский пере- вод се оглавления1). Несколько более обстоятельные сведения о трактате привел недавно П. Люкей в работе, посвящеппой вычис- лительной технике у ал-Кашп2). До сих пор, однако, сочинение Абу-л-Вафы не подвергалось специальному раз- бору, а вместе с тем совершенно недостаточно изученной остается староарабская вычислительная техника. Прове- денное нами исследование трактата показало, что это руководство заслуживает большого внимания. Оно пе только даст нам отчетливое представление о староараб- ской вычислительной технике, по и по новому освещает ряд общих вопросов, важных для истории математиче- ской культуры, например вопрос о распространении ми- дийских цифр па арабском Востоке или о том, почему многие арифметические трактаты арабоязычпых авторов написаны без применения цифр. Мы располагали фотокопиями двух списков арифмети- ческого руководства Абу-л-Вафы. Первый список, хра- нящийся в Лейденской библиотеке (рукопись Cod. or., 103), содержит сейчас ИЗ листов, причем по контексту видно, что нескольких листов (между листами 88 и 90) не хватает. Даты составления трактата и копии не ука- заны. Почерк переписчика более или менее четкий; почти всюду проставлена огласовка. Второй список (рукопись № 8681), хранящийся в Египетской национальной биб- лиотеке (Каир), содержит 230 листов, занумерованных восточно-арабскими цифрами от 1 до 230; на листах имеется еще и другая нумерация, начинающаяся с 50 (по-видимо- му, это нумерация самого переписчика). Объясняется это *) См. W. Woepcke, Analyse et extrait d’un recueil de con- structions geometriques par Aboul-Wafa, Journal asiatique, vol. 5, 1855, стр. 243—256. 2) См. P. L u c k e y. Die Rechenkunst bei GauiSTd b. Mas’rid al- Ka5I mit Riickblicken auf die altere Geschichte des Reclinens, Wies- baden, 1951.
Лист 26 об. Л. р., содержащий упражнении в канони- ческом разложении отношений.
251$ М. И. МЕДОВОЙ тем, что некоторые листы отсутствуют. К счастью, отсут- ствующие листы одной рукописи имеются в другой. В ка- ирской рукописи указана дата составления копии: 487 г. хиджры (1109 г. и. э.). Почерк переписчика очень четкий, кое-где проставлена огласовка, однако многие листы нахо- дятся в плохом состоянии. Характер ряда искажений текстов обоих списков по- зволяет думать, что это копии, сделанные мало сведущими в математике переносчиками. Тексты обеих копни иден- тичны, если пе считать пропусков. Все числа в обеих копиях записаны полностью словами1). Рукопись начинается со славословия шаханшаху ал- Мансуру. Судя ио содержащимся в «Энциклопедии ислама» и в других источниках сведениям о лицах, носящих имя ал-Мапсура, здесь речь идет о Мансуре беи-Нух Абу Салих, хорасанском эмире пз династии Самапидов. Годы его правления (961—97G) и определяют время со- ставления трактата. За посвящением следует предисловие, из которого сле- дует, что книга задумана как пособие для писцов, вычис- лителей, купцов, чиновников. Надо полагать, что трак- тат предназначался для лиц, уже имевших некоторую подготовку. Это видно, например, из того, что Абу-л- Вафа излагает умножение и деление целых чисел, ничего не говоря об их сложении и вычитании. Доказательства опускаются автором, «чтобы не удлинить книгу и не за- труднить ее понимание» (Л. р., л. 1 об.)2). За предисло- вием следует подробное оглавление семи «ступеней» сочинения, каждая из которых также разбита на семь глав; каждая глава состоит пз одного или нескольких разделов. Первые три ступени составляют первую часть трактата, остальные — вторую часть. Лейденская копия содержит лишь первую часть; каирская — главы 2—7 вто- рой ступени, следующие четыре ступени и главы 3—7 седь- *) В одном месте лейдепской рукоппсп (лист 41) чиста четы- ре, восемь и девять записаны восточно-арабскими цифрами; в со- ответствующем месте каирской рукоппсп эти числа записаны словами. 2) Ссылаясь па лейденскую или каирскую рукописи, мы будем их кратко обозначать Л. р. и соответственно К. р.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 257 мои ступени. Первая часть трактата посвящена чисто математическим вопросам, а вторая часть — приклад- ным1)- настоящей работе изучается первая, наиболее интересная часть трактата2). 1 Первая ступень трактата Абу-л-Вафы посвящена от- ношению. В главе 1, озаглавленной «О сдшсле отношения и число видов дробей, а также об объяснении выражении, употреб- ляемых писцами для шестндесятичного отношения», Абу-л- Вафа даст классификацию дробей, принятую в практике писцов, вычислителей, чиновников и т. п., и указывает, в каких формах они предпочитали выражать через дроби различные отношения. Начинается опа с определения отношения. «Отношение это мера одного из двух чисел по сравне- нию с другим. Пример: три седьмых; это мера трех по срав- нению с семью» (Л. р., л. 4 об.). Далее Абу-л-Вафа подразделяет отношения па три вида: отношения меньшего к большему, большего к меньшему и отношение равных, причем говорит, что вопрос об отно- шении и его видах он рассмотрел подробнее в другом месте3), а здесь ему понадобится лишь отношение мень- шего к большему, так как только из него и возникают дроби: «мсиыиее число относят к большему числу, после чего нз отношения получаются дроби, например, три пятых и четыре седьмых; отношение же большего к меньшему и отношение равных не являются таковыми» (Л. р., л. 5). ’) Вроде начисления платы за работу, строительных расчетов, обмена п купли различных сортов зерна и т. п. 2) Считаю долгом поблагодарить Б. А. Розенфельда и К. А. Рыб- никова за содействие в получении лейденской и каирской копий трактата Абу-л-Вафы. Выражаю также глубокую при шателыюсть моему научному руководите ю М. Я. Выгодскому. Б. А. Розен- фельду ц д. ц. Юшкевичу автор обязан ценными советами, а послед- нему ц многими редакционными исправлениями. ) «Во введении, которое мы сделали к искусству чисел*. Не- видимому, Абу-л-Вафа имеет в виду свое произведение «Введение в арифметику». 17 Истор.-матем. всслсд., вып. XIII
258 М. И. МЕДОВОЙ Писцы и вычислители, согласно Лбу-л-Вафе, разли- чают четыре вида дробей: главные, составные, соединенные и невыразимые. «Главные дроби1) это все дроби, которые мо;мю выразить отдельно, нс соединяя ее с другой дробью. При- меры: половина, пятая, десятая2). Составные (дроби]3) это все дроби, составленные из главных. Примеры: три четвертых, четыре пятых, пять седьмых4). ’) «руус». 2) В арапском языке для аликвотных дробейи — о У Ю существуют специальные числительные, образованные, за исклю- чением половины, от того же корпя, что и названия соответствую- щих целых чисел. Так, слово «сулс» (от «саласа»— три) означает -- , а слово «хумс» (от «хамса»—пять) означает-^-. Эти числительные о Э склоняются во всех трех числах (единственном, двойственном и мно- жественном), так что, например, -=- по-арабски выговаривается э «саласа ахмас» («саласа» — три, «ахмас»—родительный падеж мно- жественного числа от «хумс»). Прочие дроби в эпоху Абу-л-Вафы е 1 выражались либо через вышеуказанные, например, выговари- валась как «сулсхумс хумс» (такая конструкция называется в араб- ской грамматике «идафа»—«присоединение», откуда и название та- ких дробей: «мудаф»), либо же описательно при помощи слова 3 - , 1 «части», например ру — «три части пз семнадцати частей* («саласа аджза мпп саб'а ‘агаар аджза»), Этп особенности выговарпваппя дро- бей в арабском языке энохи Абу-л-Вафы нужно постоянно иметь в виду для понимания дальнейшего. В настоящее время арабы про- , т износят дрооь — как vn частей пз п частей», одпако пользуются п и числительными: половина, треть, ..., десятая, две третп и т. д. до девяти десятых. s) «мурракаб». 4) Как видно из этого определения, составная дробь может быть составлена также пз неравных членов; в этом смысле термин «со- ставная дробь» ппой раз применяется Абу-л-Вафой, но в подавляю- щем большинстве случаев этому нопятпю придается более узкий смысл дроби, составленной лишь из одинаковых главных дробей. Этим и объясняется, что в качестве примеров Абу-л-Вафа приводит ,345 дрооп — , у и у .
ОБ арифметическом трактате абу-л-вафы 259 Соединенные [дроби]1) это все дроби, выражение которых состоит в соединении главных. Примеры: поло- вина пятой, треть седьмой. Невыразимые [дроби]2) это [все] дроби, получе- ние которых с помощью этих трех видов дробей невоз- можно. Примеры: две части пз одиннадцати [частей], три части пз тринадцати, четыре части из семнадцати» (Л. Р-, л. 5 и 5 об.). Последнее нуждается в объяснении. Абу-л-Вафа назы- вает невыразимой дробь, которую нельзя получить адди- тивно и мультипликативно пз дробей предыдущих видов, т. е. дробь, знаменатель которой содержит простые дели- тели, большие семи. Так, отношение 4 : 15 можно выра- зить как «пятая и треть пятой», избегая слова «части», в то время как отношение 4 : 17 без слова «части» выра- зить нельзя. Кроме того, в тексте встречаются дроби вида 10, -^- — главная дробь^, которые Абу-л-Вафа называет «соедипсипо-составпыми». Соединенные и соеди- ненно-составные дроби мыслятся как «дроби от дроби». Как видно, существенную роль в этой классификации дробей играют языковые особенности. Перечислив виды дробей, Абу-л-Вафа продолжает: «Если хотим отнести число к числу, то следует это сделать с помощью главной [дроби] пли двух главных [дробей], так как это красивее, чем составные и соеди- ненные [дроби]. Например, [отношение] тридцать шесть к шестидесяти мы выразим как половпна и десятая, т. е. через две главные [дроби], и это красивее, чем если бы выразили его как три пятых, т. е. через составную дробь» <л- Р-, л. 5 об.). Во избежание недоразумений оговорим следующее, “о-первых, из дальнейшего текста видно, что применяется Разложение дробей в суммы, содержащие пе две, а не- сколько главных дробей. Во-вторых, слово «следует» нужно понимать в смысле предпочтительности, а не обя- *) «мудаф». ) «асамм »— буквально «глухой», избегаемый». 17*
260 М И МЕДОВОЙ затольпости, например, в таблице IV (см. ниже) можно 111 7 встретить как выражение у н-£ п -g-, так и -g-. «Если же невозможно выразить число1) через главную дробь, то следует выразить его с помощью составной или соединенной [дроби], и это красивее невыразимой [дроби]. Писцы и чиновники считают невыразимые дроби очень некрасивыми; до такой степени, что если они желают выра- зить какую-либо невыразимую дробь, опп уменьшают ее или до главной [дроби], или до составной, или до соеди- ненной и выражают ее по приближению, и это приближе- ние для них предпочтительнее точной дроби, т. е. невыра- зимой. Например, три части из одиннадцати по прибли- жению будет четверть и пятая девятой, а также пятая и две трети девятой2). Это у ппх считается красивее, чем если бы они сказали «три [части] из одиннадцати частей» (Л. р., л. 5 об.). Немного далее Лбу-л-Вафа пишет: «Они [т. е. писцы. — Af. Л/.] не одобряют составление дробей одного рс а, Например, половина и треть как пятьдесят (отнесенное к шестидесяти] красивее, чем пять шестых. Другой при мер: половина и пятая и десятая как сорок восемь [отце сенное к шестидесяти] красивее, чем если скажешь: четы ре пятых» (Л. р., л. 5 об.). *) Здесь Абу-л Вафа называет отношение числом. *) Указанные приближения Лбу-л-Вафа получил, по всей вероят пости, следующим образом: 3 : 11= (180 :11): 60 (16+4 : 11): 60« «=(16 +4: 12): 60 = 4 + 4 4 < 3 4 * * * * * * 11 : И = (180 : И): 60= (16 + 4 о У А 12 1 + 4: И): 60 «г (16+ 4: 9): 60 =12: 60+4-1 60 = 4+4 — (по У Э о J дробнее см. ниже). Здесь и в дальнейшем, е< и не будет особой оговорки, знак : в выражениях т: п означает действие деления при т>п и действие «отнесения» при т<л; для больше* нагляд пости мы заменяем словесные выражения чисел Абу-л-Вафы цпф ровыми. Знак + стоит вместо союза «на»—«и»; соединенные п сое дилепно-составиые дроби мы будем обозначать через — - 4, напри п к 11 4 1 мер — . —— половина тестон, -=- • —-четыре седьмых девятой
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 261 Итак, писцы и чиновники предпочитали соединенные дроби дробям соединенно-составным. Однако в дальней- шем мы убедимся, что Абу-л-Вафа часто пе сокращает па „ ‘ 2 1 г 2 дробь вида з • 2*, в то время как другие дроби того же 4 16 1 типа, например - 5 лтИТ. и., ои всегда сокращает. 2 - тт Дробь у занимает осооое положение. Далее, комбинация из главной дроби и соединенной дроби также предпочн- 2 тачась составной дроои, иаирпмер, _ заменялись О 1,2 1 у + у Тб’ °Л,1ако такие замены производились пе всегда (см., например, ниже таблицы III и IV), хотя Абу-л-Вафа и пишет, что «всякий раз я буду приводить выражения для отношения, которые у них 1т. е. у писцов.— М. Л/.] счи- таются красивее» (Л. р., л. 5 об.). Очередность в употреблении дробей устанавливалась так: «Если пмеется много дробей, то красивее на первом месте ставить наибольшую пз них, а на последнем месте— наименьшую. Например, [говорят:] «половина и треть и девятая», но пе говорят: «девятая и половина и треть» и не говорят: «девятая и треть и половина» (Л.р., л. (>)• Аналогичное правило соблюдалось в действиях с сое- диненными дробями. Резюмируя, можно сказать, что у арабских писцов и вычислителей «каноническими» дробями являлись главные, составные и соединенные дроби; любое отношение выража- лось точно или приближенно в виде суммы «канонических» Дрооей1). При этом составные дроби писцы предпочитали выражать через комбппацпю главных и соединенных дро- <*». так что в упомянутой сумме предпочтение отдавалось алнквотпым дробям. Анализ примеров, содержащихся в трактате Абу-л-Вафы, показывает, что в подавляющем °ольц1ннсТве случаев окончательные результаты дейст- вии с дробями выражены через сумму главных и соеди- ’) В эту сумму могли входить также соединенно-составные Дробп.
262 М. И. МЕД О ВОЛ пенпых дробей, составные же дроби используются в на- чальных данных примеров и упражнений и в промежу-I точных выкладках, очевидно, для сокращения записей и вычислений1). Условимся в дальпейшем называть сумму различных главных и соединенных дробей «арабским кано- ническим разложением дробей» в отличие от древнее! н- петского разложения на сумму долей единицы. У местно провести параллель между арабскими дробями и древнеегипетскими. Сходство между шиш состоит в осо- 2 бом положении долей едпппцы и дроби 2). Однако араб- с.кие дроби весьма существенно отличаются от древне- египетских а) наличием составных дрооеи —, 1<ш< п <п<10; б) отсутствием дробей—, где в состав р входит хотя бы одпо простое число, большее 7; в) мультиплика- тивным выражением через главные дроби аликвотных дробей, меиьших г) отсутствием какой бы то ни было символической записи. 2 2-я глава трактата носит название «О численности видов дробей и об их разбиении из шестидесяти». Под «чпелен- *) В упомянутой выше книге П. Люкея на стр. 30 не вполне точно утверждается, что в рассматриваемом сочинении Абу-л-Вафы дроби вида — (n > т> 1) считаются некрасивыми, и поэтому их избе- п __ m га л н. Как мы видели, некрасивыми считаются лишь те дроби — » которые нельзя выразить в виде комбинации главных дробей. Дроби же ~, 1 < m < п<: 10, вовсе пе считаются некрасивыми, и их избегали лишь в окончательных результатах. Такое же неточное утверждение содержится в примечаниях А. П. Юшкевича и Б. А. Розенфельда в книге: Д ж е м ш и Д Гияс Э д д и и а л-К а ш и, Ключ арифметики. Трактат об ок- ружности, М., 1956, стр. 336. *) О другой общей особенности обоих типов разложений см. на етп. 271.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 263 постью вида» Абу-л-Вафа понимает число дробей, при- надлежащих к простейшим типам канонических дробей. Что такое «разбиение пз шестидесяти» и для чего оно слу- жит, /Хбу-л-Вафа пе объясняет. Однако из приводимых нм таблиц видно,что «разбиение пз шестидесяти»—это число, которое получается, если данную дробь увеличить в СО раз; _ 2 иаирпмер, «разоиеппо из шестидесяти» дроби есть 24. О В последующих главах «разбиения пз шестидесяти» применяются как некоторые вспомогательные числа. 2-я глава, состоящая в основном из четырех таблиц, начинается с таблицы девяти главных дробей и их «раз- биении пз шестидесяти» (Л. р., л. 6 об.). Таблица I Главные дроби 1 2 1 "3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 Их разбиения пз 60 30 20 15 12 10 84 4 СЭ КЗ 6 Далее различаются «однородные» (муттафик) и «раз- нородные» (мухталиф) составные дроби. Однородные дроби составлены из одинаковых главных дробен, иаирпмер «четыре пятых», разнородные же дроби составлены пз различных главных дробей, например «половина и треть». Во второй таблице (Л. р., л. 6 об. и 7) Абу-л-Вафа приводит 22 «однородные» составные дроби от у до и соответствующие «более красивые выражения». В третьей таблице даны «разнородные» составные дро- би, состоящие из двух главных дробей, и их разбиения из 60 (Л. р., л. 7 об.). Четвертая таблица (Л. р., л. 8 и 8 об.) содержит 31 соединенную дробь, состоящую из двух главных дробей *). ,, , 1 1 1111 1 Ч Дробь -=- • — заменяется — • ; — • -т- заменяется — о 4 2 о 4 4 V 1 1 1 11 X — ; заменяется и т. д., так как это «красивее». ООО о 10
264 М. И. МЕДОВОЙ Таблица II Однород- ные *) со- ставные дроби Их разбие- нии из 60 Более кра- сивые вы- ражении £ 3 40 А1) 3 • • ’ > • • * » • • • » «1^ см IfQ • • f • • • » • • • » 7 9 «4 • • • » • • * » • • • » 9 10 < 54 -+-М-1 2'3 ^3 10 • 1 *) «мутаджанис*. Это синоним «муттафик». •) Следует обратить внимание на то, что дли 2 -х ио lipiIEO- <5 дится «более красивое выражение* - 1 2 В 6’* Таблица III Составные разнород- ные дроби Пх разбие- ния из 60 44 4 ’ • • t • • » А+1 4 ' 6 25 • • • • • • • » 6^7 18-1 / • “ • 1 • • • » -+1 8 10 13 — U 2 Составные разнород- ные дроби т+т • • • » 44 • • • » 2 i 6 + 8 • ' » 9 МО Их разбие- ния из 60 см |со СО СО ’ • • » ит • • • • 17 4 • • • » СМ |.-0 см Как впито, разбиения из 60 выражены чаще всего через составные дроби. В 3-п главе «О шестидесятпчном отношении целых [чисел]» Лбу-л-Вафа формулирует правила канонического разложения отношений п : 60, где п — целое число меньше 60.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 265 Таблица IV Соединен- ные дро- би • • • » 1 1 3’8 • • • » 1 1 4 ' 8 • • • • 1 + б’1О • • • » 1 1 7’10 Их разбие- ния из 60 4 1+2+4+Б • • • 1 1 • • 1 6 7 Соединен- ные дро- би -1® • • • » 1 1 + "9 • • ’ » 1 1 7 ’ 7 * • • 1 1 1 8’ 8 Их разбие- ния из 60 4 • • • г 4 • • ' » -Г7^7 7 • ’ 9 Z+l.± 8^2 8 Прежде всего рекомендуется запомнить, что 1:60 = =44: 2:“° = 44: 3:60 = т4: 4:G0 = 44: >11 1 5: 60 = y-jv-; 6:60 = у. Далее вводятся четыре «опоры» , - . ,1112 1.-. 1 (усул), именно дроби: у , у , , у • . «Опора» и ее разбиение из шестидесяти 15 используются, когда и = 25, 35, 45, 55. Разбивая ,п на два слагаемых, одно из кото- рых 15, Абу-л-Вафа всегда получает в качестве второго слагаемого число, отношение которого к 60 выражается 2 главной дробью пли дробью -у. Например (Л. р., л. 8 об.): О 55:60 = 40:60 + 15:60 = -|- + -^. «Опора» ц ее разбиение из шестидесяти 12 аналогично применяются к числам вида 10&+2 и 10А + 7 (/с=1, 2, 3» 4, 5). Например (Л. р., л. 9): 27:60 = 15:60+12:60 = 4- + -|-. «Опора» — и ее разбиение 6 используются, если 6 < п < 10
266 М. И. МЕДОВОЙ или если п имеет вид 104’4-1, 104-|-3, 104’4-6, 104’4-8. Например (Л. р., л. 9): 33:60 = 27:604-6:60 = 4 + 1+-^-. «Опора» уч ее разбиение 4 приводят к цели, если п = 104’4-4 или и = 104’4-Э. Например (Л. р., л. 9): 49:60 = 45:60 + 4:60 = 30:604-15:604-4:60 = 2 т 4 3 10 ' В 4-й главе «О [шестидесятичпом] отношении дробей, являющихся главными и составными» речь идет о кано- ническом разложении отношений («4-а): 60, где п — целое, меньшее 60, а—главная или составная дробь, принимаю- щая значения, содержащиеся в таблицах I и II. Для каждого а дается правило со ссылками на 3-ю глав}. Например, правило для а = у состоит в следующем. Сначала рекомепдуется запомнить, что 4:60 = 4.4-Л. ООО IV Далее, если нужно разложить то и-|--у разбпвается на два слагаемых, одно из которых ’) есть 1 3 5 .. 1 -5-, или —, или —, или Зъ, а второе соответственно п, ООО о 3 1 1 (и — 1) 4- —, (п — 1) 4- у и п — 3. Дробь у — разбиение из «а ,1113 „ ,.п , 111. ЬО дроби -с”-б-’7п; "о-разопенпе пз bU дроои -s-’-d-’tt:. О о 1V о Z о IV 5 С СП ,111 Q 1 -g—разбиение из Ь0 дроои ту-в- а —раз- О Z О о о биенпе из Ъо дроби -т-’4’+4”"5-• Разложения же отпоите- ним к 60 остатков п и и—3 находятся по правилам, изложенным в предыд; щей главе, а остатков (п — 1) + у *) Абу-л-Вафа не говорит, в каких случаях следует «выделить» ту или иную дробь.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 267 з 13 it (и —1)4--j- —по правилам для а = у»у» предшествую- щпм в 4-и главе правилу для a = -g-. После правила для a = i- след>ют правила для «остальных восьмых», т. е. 8 3 5 7 для а = g-, -g- и g-, затем для «девятых» и т. д. Вот как, к примера, сформулировано правило для 3 . а- 8 • «Три восьмых единицы к шестидесяти — это половина восьмой десятой. Пз того, что прибавлено к единицам1), выделяют восьмую как шестую восьмой десятой3), чтобы вернуться к тому, что имеет дробью четверть3), пли же единицу и половину ji четверть и восьмую как четверть восьмой* *), чтобы вернуться к тому, что имеет дробью половину» (Л. р., л. 12). Казалось бы, зная, как полечить разложенпя отно- шении п: 60, где и —целое число, достаточно указать, что отношение a: 60 равно такой-то канонической дроби , „ / 7 сг. 1 1 . или сумме таких дробен (например, : Ь0 = jg-t- 11 тог^а разложение (n-|-a):60 получилось бы как сумма разложений отношений п: 60 и a: 60. Однако, как мы видели, Лбу-л-Вафа не ограничивается в своих правилах одним лишь разъяснением, что a : 60 обращается в такхю-то каноническую дробь, но дает еще дополнительные указания. Чтобы выяснить пх роль, приведем из второй степени трактата следующий пример на действия с дробями *) Имеется в виду выражение п + — . О •) То есть выделяют — как разбиение из 60 дроби -= — — . О DO 10 *) Абу-л-Вафа хочет сказать, что после вычитания останется О дробь a = — , правило для которой уже приводилось. •) См. выше таблицу IV,
268 М. И. МЕДОВОЛ (Л. р., л. 64 об.). При делении 11 +па 25 Абу-л- Вафа сначала делит 11 па 24 и получает 4-4-4-. затем “ о О 1,1 111,111 делит — 4--ТГ на 21 и получает4—=•••=—я-, однако 40 Z О О Z О U 1 , 1 , 1 1 . окончательны:: результат: 4* 7г4__г“о'' * о У 4 о Ясно, что одни канонические разложения предпочи- тались другим: в каноническом разложении сое щиепные дроби, состоящие из меиыпего числа главных дробен, считались «красивее» соединенных дробен, состоящих из большего числа таких же дробей *). Чем «компактнее» каноническое разложение, тем «красивее» оно с точки зрения писцов. Эта «экономия» дробей совершенно есте- ственна, так как разложение получалось более нагляд- ным, а вычисления упрощались. В дополнительных у казаппях правил 4-й и 5-й глав перечисляются канонические дроби, использование кото- рых отдельно или в сочетании с «единицами» позволяло найти разложения для (п + а) : 60, состоящие пз меньшего числа главных дробей, чем разложения, получающиеся, если придерживаться первого указания каждого правила п правил, изложенных в 3-й главе. Эго подтверждается примерами, которые Абу-л-Вафа предлагает в качестве упражнений в 7-й главе (см. стр. 277); ответы к этим примерам всегда отличны от разложений, которые получились бы, если придерживаться первого указания соответствующего правила. х 1 2 1 \ Например, для разложения ( 35 4- т 4- ): 60 Абу -л- х * *5 • у Г, , 1,1,1 1,1,111, Вафа дает ответ -3+7+-9. а пе -g--J- — 4--g+ +44.±_35:60 + 4;«> + 44: 60; разложениями для 1«4--|-у^) : 60 и для ^254-у 4-у у : 60 являются 1 , 1 , 1 1 Г 1,1.1 1 1 \ соответственно _-|-_4._._( а „е —+— *) См. также пример па стр. 294
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 209 1 1 il 1 , 1 , 1 1 ( 1,1,11, II f + 6'+ 7" 9" UJI" 4 + 9 + 2 ’ 7 V “° 4 + 6 + 7 ’ 10 * + т 9 ЮУ Как найти эти разложения с помощью дополнитель- ных' указаний Абу-л Вафы, видно из 5-п главы, к рас- смотрению которой мы переходим. В этой главе «О [шестн- десягнчпом] отношении соединенных дробей, которые являются дробями от дробей» даны правила канониче- ского разложения отношений (п-|-а):бО, где и —опять- таки целое число, меньшее 60, а а принимает все значе- м - т 1 1 нпя вида несократимой дроои--г-, причем—главная п к к дробь, а ~ — также главная дробь или составная (одно- родная) дробь (п<А). Как и в 4-й главе, первое указа- ние каждого пз правил состопт в том, что отношение а: 60 преобразуется к каноническому виду. Дополнитель- ные указания этих правил еще более разнообразны, чем в 4 и главе, а примеры совершенно отсутствует. Так, 2 1 правило для а = гласит (Л. р., л. 14 об.): «Две трети седьмом единицы к шестидесяти это седь- мая девятой десятой. Ее (т. е. -у-у - — .V. J/.прибав- ляют к седьмой [части] единицы, и тогда отношение [к шестидесяти] будет четверть седьмой девятой; ее так- же прибавляют к трети, и получается три седьмых, а также к четырем седьмым, и получается две трети, а также к шести седьмым, п тогда отношение [к шести- десяти] будет седьмая девятой, а также к единице и трети, и тогда отношение |к шестидесяти] будет шестая седьмой. Когда опа прибавлена к единицам, то выделяют одну пз этих дробей или выделяют то, дробная часть чего есть три седьмые, или наоборот» *). 2) Последнее нужно понимать так: (п+4 • т) :б°= [(п~1)+4]: б°+4: бо= =[("- 1)4-4 ] 60 + 4 : 60’
270 М. И. МЕДОВОЙ Возвратимся теперь к приведенным выше примерам из 7-м главы. Если учесть указание Абу-л-Вафы, что 2 t . 4 2 foe . 1 . 2 1 \ 3--у + у = у, то разложение ( 35 + у 4- у • у J : 60 можно получить следующим образом: ^35+у + у т): 6О=(35+4 - 4): 60= [а>+(9- 4)+ 4-6-0- I :60=—4--=- + « • То же разложение можно полу- <5 J о / У чпть с помощью указанного Абу-л Вафоп преобразования 2 1,13 -r---y 4--s-=, а также при помощи последнего из ука- о / о 7 заипй цитированного правила. Для нахождения второго разложения можно использовать указание Абу-л-Вафы, что (1+1+4.4): 60 -1- т •"™“°: (i8+4 4): 60= -1О:6О + б4;6О + (1+4 + 44):6О = 4+4+14. Первое разложение в третьем упражнении можно получить, учитывая указание, что f 6 , 2 1 \ 11 (л+ з-7;:60=т-9’а вто- рое — используя указание, что «выделяют одну нз этих дро- бей»1), т. е. у, у, у, у : £ 2. 2 А = А 7 + 3'7 7 7 + 3 ‘ 7 ’ или А+А.1 = 2+ГА.1+АЛ = -4--, 7^3 7 7 V3 1'1) 3^7* откуда (25+4+44):60-(15 + б4+44) : 60 = -Ал-Ад-А.А “ 4 9 2 7 2 3 9 а как поступить в случаях а = , известно из предыду- о • щих правил. 2) Лбу-л-Вафа под этим понимает разложение на слагаемые, 1 1 4 одно из которых есть -=- , и т. д. 7 о /
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АВУ-Л-ВАФЫ 271 2 2 ( в правиле для а = у имеется указание, что 4 у : 60 = 4 . 1 2 _2_.± а в правиле для а=-^- имеется указание, что 2 7’ & Из всего этого видно, что твердого критерия для пред- почтения одного разложения другому, содержащему оди- наковое число главных дробей, пе существовало х). Следующая, 6-я глава первой ступени «О приведении [отношения] других чисел к шестидесятичному отношению» учит, как находить точное или приближенное канониче- ское разложение отношения к числам, отличным от 60, с помощью разложения отношении чисел к 60. Один пз двух приемов точного разложения, изложенных Абу-л- Вафоп, иллюстрируется им следующими двумя примерами (Л. р., л. 23): 7:15 = [(7 • 60): 15]: 60 = (420:15): 60 = = 28:в0_1 + |+^. 17 : 72 : [(17-60): 72]: 60 = (1020: 72): 60 = = 14^-: 60= 7-^-: 60-f-G-B : 60 = . О <6 О О У В общем впде: P‘.q = (60/7: g): 60 = (п 4-а): 60. Как поступить дальше, известно пз предыдущих правил2). *) У древнеегипетских писцов, по-видимому, также пе било критерия, применение которого позволило бы предпочесть одно каноническое разложение другому; можно лишь утверждать, что они стремились получать разложение, вообще говоря, с возможно меньшим числом членов. Это подтверждается тем, что ня 50 разло- жении, содержащихся в таблице 2 : п папируса Рапида, 29 состоят из двух аликвотных дробей, 13— из трех и 8— пз четырех, причем трехчленные и четыр< хчленпые разложения встречаются в случае простых п, т. е. когда нахождение канонического разложения было наиболее трудным. См. М. Я. В ы г о д с к и й, Арпфметпка и алге- бра в древпем мпре, Л., 1941, стр. 21. *) Подробнее об этом см. ниже, стр. 274.
272 М. И. МЕДОВОЙ Второй прием отличается тем, что сначала 60 делится на q, частное же умножается на р, и отношение результата к 60 преобразуется к каноническому виду. Например (Л. р., л. 23): 13:36 = [(60:36)-13]:60 = (1-|-1з):60 = = 21}:6О_1. + 4. «При этом выгоднее,— продолжает Абу-л-Вафа,—чтобы начинающий запомнил результаты деления шестидесяти на выразимые1) числа, меньшие шестидесяти; здесь я пони- маю иод выразимым (числом! то, что не является невыра- зимым в понимании писцов, как тринадцать или семнад- цать» (Л. р., л. 23). Далее Абу-л-Вафа приводит таблицу (Л. р., л. 24 и 24 об.), которая дает частные 60 : q, где q принимает все значения впда 2r-34-5'-7fc<, 120. !) «мантак». Абу-л-Вафа имеет в виду целые числа, разложение которых на' множители содерж-пт простые числа, не превосходя- щие 7.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ трактате абу-л-вафы 273 То, к чему относят, больше шестидесяти. То, к чему относят 63 ... 81 112 То, что вычитают из него *) 1 1- 3’7 ... «М ОТ чм ’со + СЧ !ОТ ”!г' |«а< + СО 1г~ То, к чему относят 64 84 120 То, что вычитают из него1) 1 1 2 ’ 8 2 7 1 2 *) То есть дополнения к 60 : g до единицы, например: (60 : 63)= 1 1 = 1 —— • . Ср. ниже (стр. 303) сокращенные способы деления. О • Абу-л-Вафа рекомендует пользоваться данной таб- лицей1) следующим образом: ♦ Если хотим отнести число к числу, причем число, к которому относим, меньше ста двадцати, то ищем число меньше ста двадцати и записанном нами перечислении; если что-нибудь совпадаете ним2),то мы умножаем на число, стоящее вблизи от него, и относим к шестидесяти. Если че находим его в перечислении, что число невыразимо и отношение не получается иначе, как приближенно. На- пример, если хотим отнести шесть к восьми и четырем седь- мым, ищем посемь и четыре седьмых в перечислении и нахо- дим их; рядом находим семь, умножаем шесть па семь, и это сорок два. Относим их к шестидесяти — получается половина и пятая и это отношение шести к восьми в четы- рем седьмым» (Л. р., л. 24 об.). Как мы видим, Абу-л-Вафа пользуется первой частью таолицы в обоих направлениях; вторая часть таблицы *) Интересно отметить, что вышеприведенная таблица напоми- нает вавилонские таблицы обратных значений (см. М. Я. В ы г о д- с к и ц, цнт. соч., табл, (f) на стр. 77). а) То есть если искомое число содержится в таблице. 18 Истор.-матем. исслед., вып. XIII
274 М. 11. МЕДОВОЙ используется аналогичным образом. Заметим также, что наряду с отношением целых чисел он рассматривает также отношения дробен. «Выразимые»отношения р: q{p—целое, <7=2г-3’-5( 7‘), рассматриваемые Абу-л-Вафой в качестве примеров, таковы, что для пх канонического разложения достаточно одного умножения на 60 с последующим отнесением к 60, причем (>0p:g=n 4-а, гдеа—одна из дробен, рассмотренных в правилах 4-й и 5-й глав. Такие отношения, по всей вероят- ности, исчерпывали случаи, встречавшиеся в практике писцов и чиновников. Как поступить в других случаях, Абу-л-Вафа не говорит, однако ясно, что тот же прием можно повторить несколько раз. Например, для раз- ложения 7 : 675 можно было бы поступить следующим образом: 7:675 = (420: 675): 60 = (28: 45): 60 = = [(1680:45): 60]: 60 = (37 : 60 ): 60 = -(30:(Ю+14:0о):СО-(4 + 4| + 44)4.±_ _ L 1 11 1 11 1 2 — — 2 ’ С ’ 10+ 6 ’ 1о‘ 1() + 5 ‘ б" 9 ’10 ^в правиле для а=-^ рекомендуется «выделять» 1 -^-:60 11 -Л как у () , если число единиц числа п равно 7 ) . Сокращение дробей можно было бы осуществить с помо- щью алгоритма Евклида, изложенного во второй ступени трактата. Если р и q — дроби, то их отношение можно было свести к отношению целых чисел приведением к об- щему знаменателю. Прием многократного умпожеппя па 60с последующим отнесением к 60 применяется во втором разделе 6-й главы, посвященном приближенному каноническому разложению «невыразимых» дробей. Отношение 3 : 17 Лбу-л-Вафа раз- лагает так: 3 : 17 = (18О : 17) : 60=(10-|-10 : 17) : 60^ чв 11 : 60 = 4-4-4- • Д, причем поясняет, что 10 : 17 «вос- и о ю полпяются» до единицы, «потому что десять больше поло-
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРХКТХТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 275 вины семнадцати». Для лучшего приближения Абу-л-Вафа рекомендует поступать так: 3 : 17 = (10-|-10 : 17) : 60= = 110+(600 : 17) : 601 : 60= [10+35 : 60 +(5 : 17) : 60] : :60 ( Ю + j 4 -* ): 60 = 1 + 1 1 +-1 • 1 причем : 60 отбрасывается, так как «пять меньше половины семнад- цати». Абу-л-Вафа продолжает: ,, < 1 . 1 1 I 1 V, «Если возьмем это отношение ( т. е. тт; + -гг’-ж + дг X у. 10 2 9 о X 4’—М- -17.^ в долях семнадцати, получается 1две час- ти! и пять дангов1) и девять аширов2) и две трети и четверть laiunpaj. Чтобы дополнить до трех частей, не хватает половины шестой ашира, т. е. восьмой девятой десятой от одной (части пз семнадцати частей]» (Л. р., л. 25 и 25 об.). Иначе говоря, Абу-л-Вафа вычисляет погрешность 1111 прнолижепия в долях семнадцати: = .-q-. — о J 1' 1 1 I Для более точного приближения Абу-л-Вафа преоб- разует отброшенные (5 : 17) : 602: (5 :17): 6U2 = (300:17): 603 = (17 + 11 : 17):6О3^ 18:603 = + _1_ £ Д 1^ — 2 ' 6 '10'10"10 ’ так что 3-17-1 + 1. 1 -11.1-1-1.1.1.11 10т 2 9 6 8'2 С 10 10 10 ’ Погрешность последнего результата опять вычисляется в долях семнадцати, она равна 111111 •1 ' 9 '1о'10'10'17 ‘ ’) Данг — денежная единица, составляющая — диргема. Этот о термин применен здесь Абу-л-Вафон в смысле 4 • Такие дроби, в отличие от отвлеченных, ои далее (см. стр. 297) называет «относи- тельными* («мансуб*). 2) Ашнр — «относительная* дробь, равная 1 (см. ниже стр. 297). 18*
276 М. И. МЕДОВОЙ Кроме этого способа, Абу-л-Вафа излагает другой: ♦Этот [способ] часто применяется писцами нашего времени. Когда они хотят приближенно отнести что-нибудь к невыразимым числам, то их вычисление этим способом со- стоит в том, что опи прибавляют к каждому из двух чисел единицу или какую-нибудь дробь, при помощи которой невыразимое число становится числом, у которого есть многие дробные части» (Л. р., л. 25 об.). Далее следуют примеры: 3:17^(3 + 1):(17+1)=А = |. Так как погрешность большая, то лучше сделать так: 3:17 1/4- = 4 - Z Z о «Коли возьмем это в долях семнадцати, получается три части и две пятых [части], а это опять большой излишек» (Л. р., л. 26). Поэтому еще лучше поступить так: О-1/~д7.1/7-6 + 6 ю. «Однако этот путь утомительный, и нахождение этих дро- бей трудно, поэтому выгоднее то, что мы изложили выше» (Л. р., л. 26). Абу-л-Вафа рекомендует также комбинировать прием умножения и одновременного деления па 60 с приемом пис- цов. Например: 3:17-[10+ 35: 60 +(5: 17): 60]: 60^ [10 + 35:60 + + (5: 18):60]:60= [10 + ^35 + у + -|):60] :60 = = 10:60 + ^10:60 +7у: 60 +6-|: 60 + 1 ^-:60):60 = 1 111,111,111,1111 6 "г 4 ' 9'10 + 6 ‘ 8 ’ 10 + 6 ’ 9 ‘ 10 + 4 ‘ 9 ' 9 ‘ 10 • (Здесь мы применили указания, содержащиеся в пра- вилах для а = и V’ Абу-л-Вэфв Дает лишь окончатель- ный результат.)
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 277 Подчеркнем, что в 6-й главе, по-видимому, впервые си- стематически объясняются некоторые приемы приближен- ных вычислений. Наконец, последняя 7-я глава первой ступепн содержит «Задачи для упражнения учащегося и начинающего в шестпдесятпчпых отношениях». Упражнения даны в виде таблицы с ответами и указаниями, помещенными под ними. Заканчивается первая ступень словами (Л. р., л. 27 об.): «Это достаточно для того, у кого есть малейшее понимание в математике; могут быть и другие ответы, кроме тех, которые мы упомянули»1). 3 Перейдем теперь к основным выводам, которые можно сделать по ознакомлении с содержанием первой ступени трактата Абу-л-Вафы. Ф. Вепке писал: «Первые две книги (т. е. ступени.— М. М.) составляют полный трактат практической ариф- метики. Тут мы находим очень развитую теорию дробей, обращение целых чисел и дробей в шестпдесятнчные (sexagenes) и шестпдесятерпчиые (sexagesimales) коли- чества2), умножение целых чисел и дробей». Эта харктернстика имеет два недостатка. Во-первых, она чрезвычайно суммарна: из пее пе впдпо, чем отли- чается данный арифметический трактат от других, также содержащих развитую теорию дробей и умножение целых чпсел и дробен. Во-вторых, слова «обращение целых чисел и дробей в шестпдесятпчпые и шестпдесятерпчиые коли- чества» могут внушить естественную, но ошибочную мысль, что в своем трактате Абу-л-Вафа рассматривает задачу о выражении целых чпсел и обыкновенных дробей в шести- десятернчной системе счисления. Так, П. Люкей, имев- ший под рукой лишь первую спупень трактата, вероятно, *) Этим снова подтверждается, что твердого критерия для вы- бора самого «красивого* разложения пе существовг о. 2)_ F. W о е р с k е, Sur Г introduction de I’arithmetique indienne en Occident, Rome, 1859, стр. 53. По-видимому, под «quantites sexa- qenes* Ф. Вепке понимает дроби co знаменателем CO, а под «quan- tites sexagesimales* — дроби co знаменателем 60h.
278 м. и. медовой под влиянием указанной характеристики Венке, считает, что таблицы 2-й главы использовались для выражения обыкновенных дробей в шестпдесятеричных. Например, для перевода дроби в шестндесятеричпую, но Люкею, 2 в таб шце II берется число 2G йотом в той же таб шце находится число, соответствующее -у, т. е. 40, и таким оора- 4 26 4о.. „ зом получается, что -^= яг+р,,, )• Мы видели, что это ие так: таблицы 2-й главы используются совершенно иначе. Вообще Абу-л-Вафа во всем трактате совершенно пе рас- сматривает систематических шестпдесятеричных дробей. По-видимому, 11. Люкей пе нзуча i до конца таблиц н указаний, содержащихся в первой ступени* 2), п потому не обратил внимания на то существенно повое, что содер- жится в первой ступени трактата Абу-л-Вафы,— араб- ское каноническое разложение дробей. Содержание первой ступени в нескольких словах можно охарактеризовать так: в ней перечисляются арабские канонические дроби и указывается своеобразный прием для точного пли приближенного разложения любого отноше- ния в виде суммы но возможности меньшего числа наиболее «красивых» канонических дробей3 * s). Теперь возникает вопрос: в какой мере оригинален изложенный Абу-л-Вафой способ разложения отношений? Если учесть громоздкость изложенных правил, а также постоянные ссылки Абу-л-Вафы на опыт безымянных пис- цов и вычислителей, то можно с большой вероятностью утверждать, что Абу-л-Вафа лишь систематически изложил разрозненный материал, накопченный устной традицией, *) См. Р. L иске у, цит. соч., стр. 83. 2) «Я не вхожу в подробности изложенных дальше преобразо- ваний, как-то: преобразования сумм главных дробен в дроби со знаменателем 60 и обратные преобразования*. См. Р. Luckey, цит. соч., стр. 84. s) Нужно отдать должное П. Люкею, который на 85 стр. цпт. соч. пишет, что преобразование сумм и произведений главных дро- бей в дроби со знаменателем 60 является второстепенной задачей по сравнению с обратной.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ тр\кт\те аву-л-в\фы 279 перешедшей затем в письменную, которую хранили и пере- давали из поколения в поколение писцы и вычислители. Это подтверждается тем, что писцам, по свидетельству нашего автора, был хорошо известей прием умножения па 60 с последующим «отнесением» к 60 (см. ниже, стр. 308). Вместе с тем мы полагаем, что распространение этого при- ема на случаи приближенного разложения невыразимого отношения принадлежит Абу-л-Вафе: ие случайны его слова о том, что этот способ легче способов писцов (см. выше, стр. 276). Заслуживает внимания, что сведение разложения любо- го отношения к разложению отношения к 60 пе является случайным. На территории восточно-арабских государств издревле денежные и весовые единицы подразделялись па 60 более мелких единиц (например, 1 диргем =60 ашпрам), так что иа практике часто приходилось находить отноше- ния чпсел именно к 60; в состав 60 входят множители 2, 3, 4, 5, 6, 10, т. е. знаменатели большинства главных дробей, иа 60 легко умножать и делить, а при разложении «не- выразимых» отношений быстро получается хорошее при- ближение. Перейдем к вопросу об исторической связи между древнеегипетскими каноническими дробями и араб- скими. Уже давно обращалось внимание на особенности араб- ских дробей1) и после опубликования папируса Рнпда па известное их сходство с древнеегипетскими основными дробями. Однако арабским дробям было уделено очень мало внимания. Из всех особенностей арабских дробей на первый плап выдвигались преобладание дробей с чис- лителем единица и различение «выговариваемых» дро- бей п «певыговариваемых»2), причем смысл этих терминов часто не выяснялся до конца. Естественно, что при таком подходе, причину которого следует искать, по-впдпмому, в ошибочной концепции, согласно которой ученые, писав- шие на арабском языке, в области математики «все заим- ’) См., например, G. F. X esse I m an n, Beba-e<l<lin’s L'sscnz <1ег Rechenkunst, Berlin, 1843, стр. 64. 2) В смысле «выразимых» и «невыразимых».
280 M. И. МЕДОВОП ствовалп» у покоренных арабами народов1), происхождение арабских канонических дробей объяснялось ссылкой па древне-египетское влияние через посредство греков. Так, М. Кантор, указывая особенности арабских дро- бей, ограничивается следующим замечанием, находящимся почему-то в главе, посвященной ал-Хорезми и арабским цифрам: «Мы вставляем здесь одно замечание об арабских дро- бях; у нас, правда, пет полной убежденности в том, что оно имеет силу уже для эпохи Мухаммеда ибн-Мусы, по мы не имеем никаких оснований для противоположного утверждения2), так как речь идет о чем-то имеющем отно- шение скорее к языку, чем к арифметике. Дело в том, что арабы отличали немые дроби от выговариваемых. Выго- вариваемыми являются дроби со знаменателями от 2 до 8, или, иначе говоря, .существуют арабские слова для поло- вины, трети,..., девятой. Немыми являются дроби со зна- менателями, которые пе суть 2 и т. д. до 9 или которые не могут быть мультипликативно составлены из них, как, например, шестая пятой вместо тридцатой. Так, немой дробью является, например, —, и она должна быть выра- жена описательно как одна часть из тринадцати частей»3). Эта характеристика арабских дробей страдает рядом существенных недостатков. Во-первых, в арабском языке для также существует специальное числительное. Во- вторых, арабские писцы писали пе «шестая пятой», по «пятая шестой». В-третьих, Кантор обходит такую важную *) См. критику этой концепции в статье: А. П. Юшкевич, Математика народов Средпей Алии в IX—XV вв., «Историко-мате- матические исследования», вып. IV, 1951, стр. 455—462. *) В геометрической части своей «Алгебры» ал-Хорезми выра- жает площадь круга через квадрат диаметра, уменьшенный на седь- мую и половину седьмой своей части. Таким образом, ал-Хорезми , 3 раскладывает дробь па канонические. Отсюда можно сделать вывод, что ко времени ал-Хорезми традиция канонического разло- жения дробей существовала. s) Si. Cantor, Vorlesungen fiber Geschichte der Mathematik, В. I, Berlin — Leipzig, 1922, стр. 718.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 281 особенность арабских дробей, как наличие составных дро- бей — 1<тп<п< 10, и так как из его формулировки пенс- п но, к каким дробям следует отнести дроби, подобные «ше- стой пятой», то создается впечатление, с одной стороны, что 1 1 все дроои, кромо 2-,..., -д-, считались у араоов «невы- разимыми», а с другой,— что арабы пользовались исклю- чительно аликвотными дробями. В-четвертых, неудачно замечание М. Кантора, что особенности арабских дробей относятся скорее к языку, чем к арифметике, так как оно наводит на мысль, что речь идет лишь о названиях, пе имеющих отношения к технике вычислений с дробями. Между тем классификация дробей по языковым признакам теснейшим образом связана с каноническим разложением дробей, о котором у М. Кантора ничего не сказано. Все это объясняется скорее всего тем, что Каитор опи- рался на данные об арабских дробях, имеющиеся у Бехаэд- днна, автора, жившего в XVI—XVII вв., у которого осо- бенности дробей являются чем-то вроде пережитков (см. ниже, стр. 287), и совершенно пе использовал материал тех глав труда ал-Кархп, где идет речь о классифика- ции дробей и методах канонического разложения отно- шений. Что касается происхождения арабских канонических дробей, то М. Каитор считает в высшей степени остроумными указания Л. Роде об аналогии между древнеегипетскими и арабскими дробями, однако воздерживается от определен- ного суждения по этому поводу, хотя допускает возмож- ность древнеегипетского влияния и в дальнейшем ссылает- ся на это влияние1). Многие другие историки математики также объясняли особенности арабских дробей египет- ским влиянием. К. Фогель, исследуя влияние египетских таблиц для разложений 2 : п па математику более поздних времен и народов, пишет: «II снова жизнеспособное египетское влия- ние сказывается па следующем великом народе-поко- рителе, обосновавшемся в стране фараонов, на арабах, *) М. Cantor, цит. соч., т. 1, стр. 718 и 813.
282 М. И. МЕДОВОЙ у которых мы несомненно находим египетские арифмети- ческие идеи, распространившиеся дальше иа Запад...»1). II. Тропфке пишет, что «арабы заимствовали исчисле- ние основных дробей у греков, может быть, дая;е непосред- ственно у тогдашних египтян», хотя допускает и наличие самостоятельной традиции2). Дж. Лорна заявляет, что разложение дробен у араб- ских авторов выглядело так3): , Ь с , d , rt+₽’ + W + ₽Yft+’"\ причем имеются ввиду «восходящие»дроби а.т-Каласадн4). Но нашему мнению, пет основании утверждать, что особенности дробей у арабов возникли под влиянием еги- петского канонического разложения. Наоборот, все дан- ные говорят в пользу самостоятельности и самобытности арабского канонического разложения. Во-первых, гипотезой об египетском влиянии нельзя объяснить различия между египетскими и арабскими кано- ническим дробями, которые, как мы видели, весьма суще- ственны. Во-вторых, особенности арабского канониче- ского представления дробей теснейшим образом связаны с самобытным арабским языком, так что пх нельзя объяс- нить чужим влиянием. В-третьих, способы по 1\чеппя араб- ского канонического разложения, в которых основную роль играет число 60, отличны от способов, которыми могли поль- зоваться египетские писцы для получения своих разло- жений'*). В-четвертых, в пользу самобытности арабских канонических дробей говорит тот факт, что почти у всех народов, преимущественно на раннем этане развития.мы встречаем аликвотные и «соединенные» дроби. Так, тамилы, одна из народностей Индии, выражали 11111 1 все дрооп через у, у. у^, , для этих поел I- 1) К. Vogel, Die Grundlagen der agyptischen Arithmetik, Mtinchen, 1929, стр. 187. 2) J. T г о p f k e, Geschichte der Elementar-Mathemalik, Berlin—Leipzig, 1930, В. 1, стр. 155. ’) Gino Loria, Storia delle Matematiche, Milano, 1950, стр. 190—191. *) M. Canto г, цпт. соч., т. 1, стр. 813. s) M. Я. В ы год с к и й, цпт. соч., стр. 20—28.
or. АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АЕУ-Л-ВХФЫ 283 них они имели особые слова и знаки1). В самых древних ин- дийских сочинениях мы находим аликвотные дроби и «соединенные» дроби, а также вычисления с ними2). Cv-мерпнцы до того, как у них окончательно утверди- лись шестпдесятерпчиые дроби fпричем тогда остались _ 1 1 2 \ особые знаки для -тг, -х-, -у ),пользовалпсьалпквотпымп дробями, что засвидетельствовано в хозяйственных тек- стах князей Лугульаида и Урукагина из Лагаша (3000 г. до н. э.)3). В договорах времен Селевкпдов, найденных в Уру- ке, находим выражения: “ + |, | + ^ + (й’;Ю + т + части дня; в одном пз документов находим выражение .. 1 3 «половина трехчастеп дня»4), то есть у — Дня. В задачах 1—1J четвертой книги китайской «Матема- тики в девяти книгах» (263 г.) определяется длина поля с единичной площадью по его ширине 1-J-у + ••• +-у где п — 1, 2, 3, ...,125). Древнееврейский язык обнаруживает большое сходство с арабским в отношении способов выражения дробей6). С аликвотными и «соединенными» дробями мы встре- чаемся в античном Риме и в древнерусских источниках7). *) If. Hankel, Geschichte der Mathematik in Altertuin und Mittelalter, Leipzig, 1874. стр. 63. 2) Cm. a) J.Tropfke, цит. соч., т. I, стр. to9; б) M. С a n- 1 ° г, цит. соч., т. I, стр. 640, 612, 643; в) В. D a t t a and A. N. Singh, History of Hindu Mathematics, Part 1, Lahore, 1935, стр. 185. s) J.Tropfke, цит. соч., т. I, стр. 152. *) F. Th urea u-D a n g i n, History of the sexagesimal sys- tem, Osiris, t. 7, 1939, стр. 1O9—110. 4) «Математика в девяти книгах», перевод Э. И. Березкиной, Историко-математические исследования, вып. X, 1957, стр. 463—168. _ *) М i s с h n a t h Н а-М m i d d о t h, Abhandlungen zur Leschichte der Mathematik, Drittes Heft, Leipzig, 1880, примеча- Ипе 1 на стр. 17 и примечание 2 иа стр. 20. Интересно было бы ис- следовать с этой точки зрения другие семитические языки. ) И. Г. Б а ш м а к о в а и А. 11. Ю ш к е в и ч, Происхожде иие систем счисления. Энциклопедия элементарной математики, М., 1951, стр. 62-65.
284 M. И. МЕДОВОЙ Объяснить все эти факты одним египетским влиянием вряд ли возможно. Гораздо естественнее принять наличие общей закономерности, состоящей в том, что развитие по- нятия дроби у большинства пародов шло по пути первона- чального создания той пли иной совокупности узловых дробей, большей частью аликвотных; одни народы, на- пример индийцы, китайцы и вавилоняне, райо перешли к более совершенным системам дробей; у других же, как у древних египтян и арабов, традиция оказалась настолько сильной, что по мере расширения вычислений другие дроби стали выражаться через узловые дроби. Конечно, заим- ствование одним народом системы дробей у другого в принципе не исключается, но оно должно быть доказано фактами. Отметим еще, что каноническое разложение дробен на- ложило свой отпечаток па арифметические действия с дро- бями, о чем подробнее мы скажем далее. 4 Проследим в общих чертах за дальнейшей судьбой арабского канонического разложения дробей. Для последующего развития арифметики обыкновенных дробей каноническое разложение, несомненно, было вред- ной традицией. Много лишнего труда затрачивалось на нахождение «более красивого» разложения, а привиле- гированное положение одних дробей п пренебрежение дру- гими препятствовало развитию и распространению общего понятия обыкновенной дроби. Каноническое разложение мешало распространению среди писцов и вычислителей индийских способов действий с дробями, основанных - ' т - _ как раз на оощем понятии дроои — как «г» частей из п частей»1). Так, по свидетельству Абу-л-Вафы, писцы считали та- кие дроби «безобразными» и всячески избегали их. То же самое говорит ал-Кархп: «Зпатокн советуют применять эти дроби [идет речь о канонических дробях.— *) В. Datta and A. N. Singh, цит. соч., стр. 185—186.
ОЕ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 285 н ничего не хотят знать чб обозначении каждой дроби одним названием, потому что то [т. е. каноническое разложение.— Д/..V.) нагляднее для понимания»1). Ал-Каши (XV в.) также свидетельствует о том, что в его время были вычислители, которые не пользовались обыкновенными дробями2). Неудивительно, что и после Абу-л-Вафы появляются сочинения, в которых излагаются наряду с другими во- просами приемы вычислений с каноническими дробями. Поскольку одной из отличительных черт арабских кано- нических дробей является их запись словами, то подобные сочинения характеризуются отсутствием цифровых запи- сей чисел. Одним из таких сочинений является упомянутая уже книга ал-Кархи (начало XI в.), с содержанием которой мы познакомимся подробнее далее. Ф. Вёпке сообщает об очень сходном по содержанию с сочинением Абу-л-Вафы трактате «Китаб ат хави» (1333 г.), автор которого ссы- лается па Абу-л-Вафу и ал-Кархи и также записывает все числа словами. Он же указывает, что сочипеппя, в кото- рых числа записываются без применения цифр, встречаются в XV и XVI вв., причем одна копня такого сочинения дати- рована 1693 г.8). О силе традиции канонического разложения дробей говорит его применение некоторыми авторами, излагаю- щими «индийские способы» действии с дробями. Так, ан- Насави (XI в.), знакомя читателя в трактате «Достаточное об индийской арифметике» с индийским способом обо- значения дробей и действий с ними, всюду наряду с цифро- вой записью дает словесную и примерно в половине слу- чаев окончательный результат действии с дробями пред- ставляет в каноническом виде, записывая дроби словами4), чего индийцы не делали. Интересно также отметить, что в трактате ап-Пасавп нет ни одного примера па действия с «невыразимыми» ') A. Hochheim, цпт. перевод, стр. 21—24 первого вы- *) Ал Каши, цпт. соч., стр. 46. 8) F. W о е р с k е, Sur 1’introduclion..., стр. 53—55. *) Лейденская рукопись трактата ан-Пасави № 556/6.
286 М. И. МЕДОВОП дробями: начальными данными всех примеров на действия с дробями являются канонические дроби. У а.т-Хассара (XII в.) снова появляются канонические дроби и разложения: • -L —2_- L— 15 3 5’ 15 5 3 5 ’ 11_Ал_АЛ- L = _L±J_ 15 — 5 + 5 ‘ 3 ’ 96 — 2 ' 6'8 * а также говорится о невыразимых дробях и дробях от дробен *). В арифметической работе западно-арабского матема- тика ал-Каласадп (XV в.) мы опять встречаем действие «отнесения» мепыпего числа к большему: 19:35 = (15 + 4):35 = у+44 . 17: 144 = (74 + 1): + J-, I 19в:ЗИ_196:(5 7.|1)-1 + |.± + 44Д, причем результаты выражены словами, а затем дается цифровая запись* 2). Между тем ио существу эти разложения излишни, так как если можно сказать и записать «пять частей из одиннадцати», то можно сказать и записать -гг? 11 141 196 385 и т. п. У Бехаэдднна мы находим следующую классификацию дробей: «Далее, дробь является или выразимой (маптак), и это девять известных дробей, или невыразимой (асамм), выговаривание которой возможно лишь с помощью час- тей. Далее, каждая нз них является пли простой, как треть, часть из одиннадцати, пли многократной, как две *) II. Suter, Das Rechenbuch des Abu Zakarija el-IIassar, Bibliotheca Mathematica, 2(3), 1901, стр. 19—20 n 24. 2) F. W о e p c k e, Traduction du Traite d’Arithmetique d'Aboiil Hawaii Ali ben Muhammed Alcala<,*adi, Atti dell' Academia Ponlificia de Nuovi I.incei, Rome, 1859,’ стр. 22—23.
or. АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АПУ-Л-ВАФЫ 287 трети, две части из одиннадцати, или соединенной (мудаф), как половина шестой, часть нз одиннадцати от части из тринадцати, или сложной, как половина и треть, часть из одиннадцати н часть нз тринадцати»1). Как видим, в этой классификации снова появляются главные, однородно-составные и разнородно-состав- ные дроби, а также соединенные н невыразимые дроби. Разница в том, что В \ юдднн, пользующийся индийскими цифровыми обозначениями, распространяет «составление» и «соединение» дробей на невыразимые дроби. Бехаэдднн не дает никаких правил д 1я разложения дробей, однако в одном месте2) мы встречаем следующее разложение, запи- санное словами: 4 ‘ 7 2 + 4 ’ 7 • 1ут же говорится, что при умножении дроби у на дрооь ~ произведение ас следует отнести к произведению bd, т. е. отношение ас : bd следует представить в канониче- ском виде, как в только что приведенном примере. На основании изложенного мы приходим к следующему выводу: в то время как в европейских странах индийские дроби быстро вытеснили разложения на основные дроби3), в арабоязычиых странах арабские дроби и разложение отношений еще долгое время продолжали существовать наряду с индийскими дробями. Если учесть, что сочинение Бехаэддипа служило учебным пособием для преподава- ния математики в школах Пндустапа и Персии еще в пер- вой четверти прошлого века, то можно сказать, что лишь в новое время обыкновенные дроби окончательно вытес- нили традиционные арабские дроби. Перейдем теперь к изложению н анализу второй сту- пени трактата Абу-л-Вафы. *) G.II.F.Nesselmann, цит. соч., стр. 17 арабского текста. 2) Там же, стр. 21. 3) По имеющимся свечениям, после Леонардо Пизанского пра- вила для ра мощения на основные дроби даются еще в одной руко- ппсп середины XIV в. См. К. Vogel, цит. соч., стр. 193.
28К М. И. МЕДОВОЙ 5 В этом параграфе мы рассмотрим обоснование действий умножения н деления рациональных чисел у Лбу-л-Вафы. Дело в том, что хотя Лбу-л Вафы в предисловии к книге пишет, что для краткости опускает доказательства, тем не мепео на основании многих его замечаний и разъяс- нений можно реконструировать ход его мыслей при обос- новании действий умножения и деления дробей. 1-я глава второй ступени, озаглавленная «О смысле умножения и деления и различения их видов» 1), начинается с определения умножения. Ссылаясь на 7-ю книгу «Начал» Евклида и на «Арифметику» Пякомаха из Геразы, Лбу-л- Вафа определяет умножение как «повторение одного числа по котпчеству единиц другого числа» (Л. р., л. 29) и тут же па примере умножения 9 па 7 обращает внимание чи- тателя на коммутативность умножения. Однако Лбу-л- Вафа пе ограничивается одним этим определением. Он пишет: «Смысл выражения «семью девять» следующий. Если у одного есть семь, сколько будет у девяти? и если у одного есть девять, сколько будет у семи? В обоих слу- чаях — шестьдесят три. По той же причине половина, помноженная на треть, будет шестая. Действительно, мы скажем: если у целого есть половина, сколько будет у трети? Будет шестая. II если у целого есть треть, ско 1ько будет у половины? Опять будет шестая... Если цепа платья половина динара, сколько б>дет цена трети платья? Будет шестая динара... По той же причине единица, помножен- ная па единицу, будет единица» (Л. р., л. 29 об.). Этим доводом Лбу-л-Вафа заменяет рассуждения вычис- лителей, пояснявших равенства вроде 1-1 = 1, 2-2=4, 3-3=9 тем, что при пересечении двух, четырех, шести липни получается 1, 4, 9 узлов. Такое рассуждение, гово- рит Лбу-л-Вафа, распространяется на любые целые числа, но не на дроби (Л. р., л. 29 об.). *) Под «разлпченпем пх видов» Абу-л-Вафа пмеет в виду j мпо- жепие и деление «целых па целые», «целых на дрэби», «целых с дро- бями иа целые» и т. д.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 289 Пам кажется, что, говоря о «причине», по которой «половина, помноженная на треть, будет шестая», Абу-л- Вафа скорее всего имеет в виду пропорциональность чисел: если а н Р — рациональные числа, то под их произволе пнем он понимает число х, удовлетворяющее пропорции 1 : а=Р : х. Но для сведения умножения дробей к пропор- ции нужно знать, что следует понимать под отношепием дробен. Поскольку дроби в ту эпоху мыслились как собра- - т ння единиц низшего порядка, то дрооь — выражается целым числом т, еслц единицу уменьшить в п раз. Две дроои — и представляются целыми числами mq и рп, если ввести новую единицу, в nq раз меньшую старой еди- ницы. Поэтому естествепно было считать отношение дро- бик дроби у равным отношению mq : рп1). Нрп таком понимании отпошеппя дробей легко показать, что пропз- ведение дрооен — и у равно дроои . Переходя к делению, Абу-л-Вафа пишет (Л. р., л. 30): «Что касается деления, то ни один из предшественников не упомянул о нем; самое большее, что они говорили о нем, это то, что оно обратно умножению»2). Далее Абу-л-Вафа определяет деление. Деление «это разделение одного из двух чисел по количеству единиц другого, т. е. разделение делимого [на части] по количеству единиц делителя» (Л. р., л. 30). Пак и в случае умножения, Абу-л-Вафа истолковывает «смысл деления» так, чтобы его можно было распростра- нить также на деление дробей (Л. р., л. 30). *) Характерно с этой точки зрения выражение «сделать дроби однородными», фигурирующее в правиле для деления дробен. См. ниже, стр. 299. 2) Учитывая, что немного далее Абу-л-Вафа упоминает имя ал-Хорезми и что в одном месте арифметического трактата этого по- следнего говорится: «Деление подобно умножению, но ему обратно; почему в делении вычитаем, а там складываем»,— можно предполо- жить, что вторая половина цитированной только что фразы относит- ся именно к ал-Хорезми. См. В. В oncom pagni, Trattati o’aritmetica, Borne, 1857, стр. 14. 19 ПСтор.-матем. исслед., вып. XIII
29(1 М. II. МЕДОВО» «Искомое [в умножении.—Л/.Л/.1 — то, что соот- ветствует одному из двух [перемножаемых] чисел, а ис- комое в делении — то, что соответствует единице. Поэтому нз того, что мы изложили, ясно, что деление обратно умно- жению. Кто определяет смысл деления так, как мы ука- зали, тот определяет его также для деления дробей па дроби и другие»1). По-впдпмому, Лбу-л-Вафа впервые дает единые опреде- ления умножения и деления как для целых чисел, так и для дробных. Дтя Абу-л-Вафы как единица, так п дроби являются числами, равноправным!* с остальными целыми (положительными) числами: он пе только проп «водит над ними арифметические операции (сложение, вычитание, умножение н деление), но считает нужным обосновывать атн действия. Интересно, что Лбу-л-Вафа пе определяет сумму и раз- ность дробей, а ограничивается лишь правилами их сло- жения и вычитания путем приведения к наименьшему общему знаменателю (приведение к общему знаменателю называлось «сделать дроби из одного рода»). По всей вероятности, Лбу-л-Вафа считал, что понятие суммы п раз- ности собраний «однородных» единиц низшего порядка ясно само по себе. б Остальные главы второй ступени посвящены технике арифметических действий с целыми числами и дробями. Во 2-й главе идет речь о практических приемах умно- жения н деления целых чисел. Начинается опа с изло- жения основ системы счисления в арабском языке2). Упомянув, что «о началах чисел, их строении п их разрядах» он подробнее рассказал в своих комментариях к книге ал-Хорезми об алгебре и алмукабуле, Абу-л- *) Деление «дробей... па другие» следует понимать в смысле деления дробей па целые и яа «целые с дробями». 2) Система нумерации в арабском языке — десятичная; узло- выми числами в ту эпоху являлись один, два, .... десять, сто и тыся- ча. Миллион назывался тысяча тысяч, миллиард — тысяча тысяч тысяч и т. д.
ОГ. АРИФМЕТИЧЕСКОМ TP АКТ VTE АВУ-Л-ВАФЫ 29 f Вафа пишет, что существуют три «разряда» («марйтиб») — единицы, десятки и сотни, состоящие каждый пз девяти «узлов» («’акд»)1). «Разряды» чередуются по три, так что тысячи заменяют единицы, десятки тысяч — десятки и т. д. до бесконечности. Автор обращает внимание па то, что тысячи не являются четвертым «разрядом», как думают многие вычислители2). Далее Абу-л-Вафа подробно останавливается па умно- жении и делении «разрядов» друг па друга. Например, нрн умножении «разряда» сотен на «разряд» десятков тысяч получается «раиряд» тысяч тысяч: при делении тысяч тысяч па сотни получаются десятки тысяч, а при делении сотен на тысячи тысяч получается «разряд», каждая единица которого есть десятая десятой десятой десятой единицы. Показав, как умножаются и делятся «один единицы раз- рядов» друг на друга ^так,(9000-50) = (9 • 5) -(1000-10); 7000 : 300= (7 : 3)-(1000: 100) = 2~ Ю = 23-J-Y Абу-л- Вафа переходит к умпоженпю многозначных целых чисел. «Когда разрядов много и нельзя выполнить его (т. е. умножение.— М.М.) рукой, то имеются два способа для этого. Один их них применяется писцами в налоговых ведомостях, по порядок этого способа ускользнул из их рук» (Л. р., л. 39). Во избежание ошибок Абу-л-Вафа рекомендует умножение по «способу писцов» осуществлять в определенном порядке. В чем состоял этот способ, впдно из примера умножения 7856 на 3495 (Л. р., л. 39 об. н 40). Сначала 7000 умножается последовательно на 3000, 400, 90 п 5 и результаты записываются в таблице: 21 тысяча тысяч 800 тысяч 30 тысяч 5 тысяч 2 тысячи тысяч 600 тысяч 30 тысяч 1) Леонардо Пизанский в одном месте Liber \baci обозначает то же самое понятие (единицы разряда) словом nodus, являющимся переводом слова «’акд». См. М. Cantor, цит. соч., т. II, 1913, стр. 8. !) Возможно, что тут мы сталкиваемся с отголоском тетрад Аполлония. В арабском языке пет специального слова для десяти тысяч, поэтому классификация «разрядов» Абу-л-Вафы является более естественной.
292 М. И. МЕДОВОЙ Затем на те же множители последовательно умножаются 800, 50 и 6 и результаты добавляются к предыдущим, так что окончательно получается следующая таблица: 21 тысяча тысяч 800 тысяч 30 тысяч 5 тысяч 500 50 2 » » 600 » 30 » 2 » 21)0 io 2 » » 400 » 20 » 4 » 400 300 » 70 » 4 » 500 1 00 » 50 » 8 » 20 » 2 » 10 » 30 Затем все числа складываются поразрядно. Окончательный результат 27 456 720. Так как этот способ мало эффективен, то Абу-л-Вафа предлагает другой,«более быстрый и красивый» (Л. р., л. 39 об.): «Второй способ можно применять в астрономи- ческих действиях, в налоговом деле п в ведомствах, когда нельзя выполнить умножение рукой и в уме»1). Приведем следующий пример (К. р., л. 66 об.), заменив слова цифрами (заметим, что в оригинале порядок записи столбцов обратный, т. е. высплю разряды пишутся справа, а низшие слева): 8529 63 784 48 24 56 64 32 30 15 35 40 20 12 6 14 16 8 54 27 63 72 36 Десятки разрядов, прибавляемые к следующему раз- ряду: 5 6 1U 17 12 10 8 3 Результат умножения: 5 44-137 3 6 >) Последние слова скорее всего относятся к подсчетам на паль- цах с удержанием промежуточных результатов в уме (известно, что для осуществления простейших арифметических расчетов арабские чиновники пользовались пальцами обепх рук).
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 293 Чтобы получить окончите «ьпый результат, «склады- ваем то, что в каждом разряде этой таблицы, записываем в этом разряде единицы, а десятки делаем единицами, сотни—десятками и прибавляем к следующему разряду» (Л. р., л. 42 об.). Если же «в каком-либо разряде не будет числа, то сделаем прочерк, как это делают писцы в своих расчетах, когда место в расчете пусто, чтобы сохранить разряды и не пропустить пх и пе перепутать» (Л. р.,л. 41). Абу-л-Вафа формулирует также правило, согласно которому число разрядов произведения равно сумме разрядов сомножителей или па единицу меньше. Заметим, что этот способ умножения является незна- чительным видоизменением приема, который мы находим у ал-Хорезми1). Этот способ назывался иа арабском Вос- токе «знаменитым» в рекомендовался арабскими арифме- тиками для предупреждения ошибок в вычислениях2). Раздел, посвященный умножению целых чисел, Абу-л- Вафа закапчивает так: «Тот, кто будет соблюдать точность в этом виде умно- жения. пе будет нуждаться в том, па что опирались ин- дийцы, и своих астрономических Действиях3), когда нельзя было пх выполнять рукой и в уме; им было легче поступать так вследствие употребзепия доски с пылью в стиля; но не в каждом месте можно найти доску и пыль и ие каждый человек искусен в этом [способе], а то, что мы изложили, избавляет от всего этого» (Л. р., л. 43). Излагая деление «многоразрядных» чпсел друг иа друга, Абу-л-Вафа опять приводит дна способа: способ писцов и «быстрый способ». Способ писцов состоял в следующем. При делении (Л. р., л. 46 и 46 об.) 83 748 на 384 ищут «разряд», па который нужно умножить 384. Таким «раз- рядом» является сто, после умножения на которое полу- чается 38 400. Затем «ищем число такое, что если умножить иа него, получаем [число] восемьдесят тысяч или близкое ’) F. W о е р с k е, Sur I'introduction..., стр. 22. 2) Н. Юсупов. Очерки по истории развития арифметики ча Ближнем Востоке, Казань, 1932, стр. 43 и 110. *) Абу-л-Вафа имеет в виду индийские способы вычислений иа покрытой пылью пли песком доске, на которой писали заостренной палочкой — стилем.
29', М. II. МЕДОВОП к нему, это два». После умножения 38 400 на 2 н вычитания нз 83 748 остается 6948. «Умножаем триста восемьдесят четыре на десять, потому что мы умножили сперва на сто», получается 3840; последнее число умножается на 1. потому что «два раза оно пе входит», и вычитается из 6948; оста- ток будет 3108 и т. д. Последний остаток 36 Абу-л-Вафа «относит» к 384, «получается половина шестой и половина шестой восьмой, и если хотим, скажем: половина восьмой и четверть восьмой, и это красивее» (Л. р., л. 46 об.). Окончательно получается 218 иД- • — и 4- - 4- . - - о 4 о Поясним «быстрый способ» на примере деления 340 956 на 945. Запись производится так (Л. р., л. 47 об. и 48; слова заменены цифрами): 3 4—9 5 6 9 4 5 Девять записано иод четырьмя, потому что 9<3. Далее 3409 делится на 945, получается 3; число 3 записывается под 945 и умножается на него. Получается следующая запись: 3 4 — 9 5 6 1 3 —то, чго получается 9 4 5 от деления. 3 2 8 3 5 | После вычитания 2835 из 3409 остаток 57 456 вместе с делителем снова записывается в двух строках, а число 3 записывается в стороне. Деление продолжается до полу- чения остатка 756, отношение которого к 945 равно 4- . Окончательный результат 360 и -у. Отметим следующие особенности 2-й главы. Во-первых, Абу-л-Вафа излагает умножение и деление целых чисел, не рассматривая предварительно их сложения и вычитания1). Во-вторых, Абу-л-Вафа совершенно не упоминает дей< твпп *) Так поступали после Лбу-л-Вафы п другие ученые, например ал-Кархи, Шарафудтип ал-Таиби. См. II. Юсупов, цит. соч., стр. 104.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБА-Л-ВАФЫ 293 удвоения и раздвоения1), что вполне естественно, если учесть его общий подход к умножению и делению. В-треть- iix. здесь отсутствуют приемы проверки девяткой и т.п., часто приводившиеся средневековыми авторами. Объяс- няется это тем, что Абу-л-Вафа считал (Л. р., л. 43) изло- женные им способы, особенно «быстрые способы», доста- точно надежными и легкими. 7 3-я глава второй ступени посвящена нахождению пап меиыпего общего кратного, а также сложению и вычитанию дробей. Предварительно Абу-л-Вафа излагает алгоритм Евкли- да, заменяя процесс последовательного взаимного вычи- тания взаимным делением чисел. Затех! автор показывает па многочисленных примерах, как найти общие делители — «общие дробные части», как он выражается,— двух п нескольких чисел, а также наименьшее общее кратное нес- кольких* чисел, выступающее у пего как «папмепыпее чис- ло, из которого получаются такие-то дробные числа». Так. для «нахождения числа, у которого есть все девять дробных частей» Абу-л-Вафа имеет в виду ' можно поступать следующим образом. «Мы уже знаем, что половина и четверть входят в восьмую и что треть входит в девятую, что шестая состав- лева из половины и трети и что десятая составлена из половины и пятой: остаются четыре числа, не имеющих оощих дробных частей: пять, семь, восемь, девять. Если их перемножить между собой, будет две тысячи пятьсот двадцать — число, из которого получаются все девять дробных частей» (Л. р., л. 52 об.). Теперь ясно, каким образом Абу-л-Вафа складывает Дроби: «Если хотим сложить дроби, *берем соответствующие Дробные части от числа, из которого получаются эти ’) Ал-Хорезмн, ан-lБк-апп п a.i-liamn рассматривают отдельно >ти действия.
296 М. И. МЕДОВОЙ дробные части, складываем пх и относим к этому числу» (Л. р., л. 53). Подобным же образом вычитаются дроби. Например: 4+4+44-(472+472+4472>72- 1 -97:72-1 + 4 + 44. 2,35 <2 3 4\_9 105 . 688 _ 3 + 4 + 8 < •> + 7 Т !» J ~ - 2520 2520 -19.37:2.-,2O-I + ++ 1.+ .±. Таким образом, Абу-л-Вафа (задолго до Леонардо Пизанского) при сложении и вычитании дробен система- тически приводил пх к наименьшему общему знамена- телю. Кроме указанного способа сложения и вычитания дро- бен, Лбу-л-Вафа приводит соответствующие способы пис- цов, состоящие в 60-кратном увеличении слагаемых и вычитаемых и в сложении или вычитании полученных чисел с последующим отнесением результата к 60. На- прпмер (Л. р., л. 54), при сложении и писцы складывали 45,37-^-, 26-^-и получали число 109^-, отпо- 2 о о incline которого к 60 давало ,+4+4+1+4 Способ писцов, как легко видеть, тесно связан с при емамп канонического разложения дробей. Он напоминает древнеегипетские способы сложения и вычитания дробей в том отношении, что «дополнительные множители», вообще говоря, не являются целыми числами1). Однако, в то время как древнеегипетские писцы в качестве «общего знаменателя» выбирали различные числа, арабские писцы в качестве такового избирали число 60. ’) М. Я. В ы г о д с к и и, цит. соч., стр. 28—32.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВЛФЫ 297 8 Следующие три главы второй ступени посвящены умно- жению и делению дробен. 4-я глава интересна тем, чта наряду е абсолютными дробями («мутлак») появляются н «относительные» дроби («мансуб»), под которыми Абу-л- Вафа понимает различные подразделения денежных еди- ниц (диргема и динара), имевшие хождение в странах Ближ- него Востока в ту эпоху. Для понимания действий с ними укажем некоторые соотношения между денежными едини- цами, приводимые нашим автором в начале 4-й главы. Во всех странах арабского Востока: 1 дпргем = 6 дангам = 60 аширам1). В Ираке, районах Ахваза и нахнях2) Персии: 1 диргем=48 хаббам3) = 60 аширам = 06 фулсам. В Сирии и вахнях Хорасана: 1 диргем = 24 тасуджам = 36 хаббам. В Хузистане: 1 хабба = \ туманам; 1 диргем=192 туманам. В Багдаде: 1 диргем= 12 каратам. В нахнях Сувейда (?) (савад4): 1 динар = 6 дангам = 20 каратам = 72 хаббам (в каирской рукописи = 60 хаббам). 4 - 5 1 золотая иасрская хаооа = диргема. 1 серебряная иракская хабба — хорасанской хаббы. иракской хаббы. 1 золотая багдадская хабба = серебряной багдадской хаббы. ’) Слово «агаир» означает «десятая часть» (1 агппр=-^ дапга). *) Вахня — административная единица. 3) «Хабба» означает «зерно». По-видимому, говоря о хаббе, Абу-л-Вафа имеет в виду серебряную хаббу. 4) Ф. Вёпке считает, что речь идет о территориях Басры и Куфы.
298 М. И. МЕДОВОЙ 1 серебряная басрская илп персидская хабба = 1 + у . золотой басрской хаббы. 1 басрскпй дпргем = 48 серебряным хаббам = 50^- золотой басрской хаббы. 1 золотая багдадская хабба—1 -f-серебряного баг ад- ского аншра. 1 золотая басрская хабба = 0+4+4 -4) серебря- ного басрского аншра. > динар = 24 золотым басрским, ахвазским и персидским каратам = 20 золотым багдадским каратам. 1 динар = 60 золотым багдадским хаббам = 72 золотым басрским хаббам. 1 золотой багдадский карат=3 золотым багдадским хаббам. 1 золотой басрским карат=3 золотым басрским хаббам. Далее Абу-л-Вафа дает правило для умножения аб- солютных дробей: «Если хотим умножить дробь па дробь, умножаем число частей одной стороны па число частей другой стороны и результат относим к произведению знаменателя («махрадж») одной дроби на знаменатель другой» (Л. р., л. 56 об. и 57). Абу-л-Вафа учит также умножению дробей ио способу писцов (Л. р.. л. 57 об. и 58): «Самое выгодное при умножении этих дробей (т..е. аб солютных.—Л/. Л/.) для опытного в шестпдесятичном отно- шении — превратить одну их них в ашпры, взять от этого дробные части, соответствующие второй дроби, и результат отнести к шестидесяти». Например: (4+4)(4+4>[<:!0+2<’>(4+4)]:в0” “(T-50+4-i0);GO=2:i4:(i0“4+4- Затем Абу-л-Вафа показывает, как следует умножать «относительные» дроби. Так, при умножении 4 дангов па 3 серебряные иракские хаббы 4 умножается па 3. получается 12. «Принимаем каждые шесть за серебряную
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 299 хаббу или каждые сорок восемь за данг, и если хаббы — иракские, получается две хаббы...» (Л. р., л. 59). Напом- ним, чтоданг = -4днргема — единицы, а хабба иракская = = дпргема: 4 3 12 „ 12 -6-48= 6 Хаобы = 48 ДаНга- Переходя к делению, Лбу-л-Вафа различает случай «однородных» дробей (с общим знаменателем) и случаи «неоднородных» дробей. «Однородные» дроби делятся, «как если бы они были целыми числами» (Л. р., л. 60), «неоднородные» же дроби сначала превращаются в «одно- родные». Так (Л. р., л. 60, 60 об. и 61): —= 8- ° = 4 9'9 ’ (тЧХт+т)“<5-28’:<1,'6>-2+®- При делении «относительных» дробей последние также пре- вращаются в «однородные» дроби — в данном случае в одноименные дроби (Л. р., л. 61 об.): (3 золотых багдад- ских карата+ 1 золотая багдадская хабба): 2 басрскпх карата (золотых) = 10 золотых багдадских хабб: 6 басрскпх хабб = (10 + 4- К)} золотых басрскпх хабб:6 басрскпх хабб = 2. «Однако самое выгодное во всем, что мы упомянули «б умножении и делении Относительных] дробей, это отнесение к дпргему и умножение 1пли деление], чтобы Для вычислителя не было такого разнообразия в странах и чтобы ему было легче» (Л. р., л. 62). Иначе говоря, Абу-л-Вафа рекомендует относительные Дроби превратить в абсолютные. Например (Л. р., л. 62): 3 золотых хаббы басрскпх X i золотых хаббы багдад- с«нх = 72динара X ^динара = 4- • (динар, как и диргем, считался равным 1). В 5-й и 6-й главах Абу-л-Вафа рассматривает умноже- ние и деление целых чисел на дроби и дробей па целые числа.
300 м. и. медовой а также умножение и деление «видов составных», т. е. «целых с дробями» на «целые с дробями»1). В следующих примерах (Л. р., л. 63 и 63 об.,64и 64 об.) двоеточие означает всюду деление (арабские авторы обычно называли делением лишь деление большего числа на мень- шее, деление же меньшего числа на большее называлось ♦отнесением»): 17: (т+т) - <|7Л2>: 7 - 2!,4 А• 6=4: (,3-,;>-я • (11+4).4-4.11+44-1б4, (||+4.+ 1):24_11:24 + (4 + 1):24; .. ... II 1,1 деление 11 на 24 дает — и -g-, а деление -т- + -б- на о О 4 О III 111 дает -тг'к""а 11 I затем последние два результата О о л* О У складываются2), и окончатстьньш 'результат равен -i- 11111 11 9 П 2 ’ 6 “ 4 ' 8 • Этот пример интересен тем, что Абу-л-Вафа сначала разлагает промежуточные результаты на канонические дроби, затем их складывает п снова разлагает (при этом он получает «более красивое» разложение). Если бы Абу-л- Вафа сражу разложил ^11: 24 по правилам пер- вой ступени, то оп нашел бы результат быстрее. Одиако в других примерах Абу-л-Вафа сначала производитсложение, а потом умножение пли деление (Л. р., л. 64 об., 65, 65 об. и 66 об.): |3;(2 + 4)=7;Т-91:18 = 5+4-5-’ *) Напомним, что под «дробью» Абу-л-Вафа понимает лишь правильную дробь. *) Сложение опускается Абу-л-Вафой, дается лпшь окончатель- ный результат.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 31)1 -:(3+т)=й:^=15:126=т4+44’ / О у ОЭ оЭ Z / о / (23 + 4) (2 + 4) - «66:18-9+1+44. В заключение отметим следующее. Во-первых, спосо- бы действий с «относительными» дробями следует отнести к «способам писцов»1), так как эти приемы тесно связаны между собой (заметим, что результаты действий с абсо- лютными дробями по способу писцов Абу-л-Вафа очень часто выражает не только в абсолютных дробях, но и в относительных). Во-вторых, способы действий с дробями, которым Лбу-л-Вафа отдает явное предпочтение, сов- падают — если отвлечься от традиционного каноничес- кого разложения окончательных результатов — с индий- скими методами. Чрезвычайно любопытно, что аи-11асави, излагающий в своем трактате «индийские способы» дей- ствий с дробями, не приводит ни одного примера с «невы- разимыми» дробями, в то время как Лбу-л-Вафа, излагая какой-нибудь «впд» умножения пли деления, всегда вклю- чает и такие примеры. Последняя 7-я глава второй ступени посвящена пра- вилам сокращенного умножения и деления. Первое правило таково (JI. р., л. 66 об.): m(5-10h) = ^-10h’1. Следующее правило можно записать так: если п=а-10’1, где а—некоторая дробь, то т-п—(та)-10*. Например (Л. р., л. 67): (831+25)-[(831).!].1000- -[125.(1+4)].100-104161. ’) Ал-Кашн пишет: «Пользующиеся „сийаком", занимающиеся с; тками и большинство народа обычно применяют эти дроби». См. А л-К а ш и, цит. соч., стр. 71, а также стр. 73 и 74.
302 М. И. МЕДОВОЙ Если же п= 10h4-a- 10h,то т-п=(т + а.от)-10*. Например (Л. р., .т. 67 об.): [32|+(52|).|]. 100-6750. «Если хотим у множить любое число на то, что больше или меньше вышеупомянутых чисел на единицу, то сле- дуем по указанному пути и вычитаем это число пз полу- ченного, если оно меньше, и прибавляем его, если оно больше» (Л. р., л. 67 об.). Иначе говоря: т (и±1)=- тп±т, где и — число, о котором речь идет в предыдущих прави- лах. Так (Л. р., л. 67 об.): 24-344 = ^-Зз4- + 24 = Г 24- НЮ + 24 = 824. о о о у Далее Абу-л-Вафа излагает следующие правила «со- кращенного умножения» двух двузначных чисел (Л. р., л. 68 и 68 об.): (10a + b) (10c+d)= [-Jd + ClOa + i)] Юс+М, (10a + 0 (10a + с) = (lUa -|- Ь + с) Юа + be. Если »?=Юа—b н n = 10a—с — два двузначных числа с одинаковым числом десятков, то zwn=(10a—b—с)10а-|- -|- Ьс. Обобщая это правило па случай однозначных чисел (а=1), Абу’-л-Вафа вводит отрицательные числа, когда 10<й4-с1). В последних разделах 7-й главы Абу-л-Вафа излагает сокращенные действия с дробями п сокращенные способы деления. Говоря об умножении дробей, Абу-л-Вафа рекомендует сначала сокращать дроби. Например (Л. р., л. 69 об.), прп умножении 4о па у он «оерет» — от 4э и затем умно- *) Подробнее об этом см. мою статью «Об одном случае приме- нения отрицательных чисел у Абу-л-Вафы», Историко-математиче- ские исследования, вып. XI, 1958.
ОВ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБА-Л-ВАФЫ ЗОЛ Яч-ает 5 на 4. Другой пример (J1. р., л. 70): ОЧХ'ЧХ1*!)- •0+й)- Правила сокращенного деления выглядят так. Если w = a-10ft, то т:п=-^-~. Например (.1. р., л. 70 об.): . < 2 53000 3 «-ли ! 1 -чл -о- оЗ UOO : Ь(>-^ = -ттит- • -к- = оЗО + • оЗО = / 9о. Если и = 10* + //, то т: п = . Например (.1. р., л. 71): О 66 3 2 89500:166-=- = 895- 895-4- = 895 - -=--895 = 537. 3 166-А О Последнее правило гласит: (т.10*):п = ~10*. Иаирпмер (JI. р., л. 71 об.): 4500: 135 =— • 100 = 33.’ . О •* 10 Почему ;ке Абу-л-Вафа и многие другие арабоязычиые математики не пользовались в своих арифметических про- изведениях индийскими цифрами? Выше мы уже говорили о том, что трактаты, в которых числа записывались сло- вами, встречаются вплоть до конца XVII в. Некоторые историки математики считали, что про- изведения, в которых отсутствовали цифровые записи, *) Исходное произведение можно записать в виде 1.±.А...12Л+_«Л 2 3 4 9 < ^10)
304 М. И. МЕДОВОЙ служили главным образом для обучения устным приемам вычислений. На такой точке зрения стоял Н. Юсупов а также турецкий ученый Салих Зеки1). Нельзя отрицать, что некоторые приемы вычислений дей- ствительно могли служить дтя этой цети, например пра- вила сокращенного умножения и деления. Однако мы ви- дели, какие сложные вычисления производит Абу-л-Вафа; более того, он часто говорит: «запишем» тот или иной резуль- тат. У ал-Кархи мы также встречаем сложные вычисления, которые вряд ли могли осуществляться в уме. Поэтому указанное предполо/кеиие следует признать неудовлет- ворительным. М. Кантор выдвинул другую гипотезу о существовании среди арабских математиков двух соперничавших между собой школ, из которых одна сознательно придерживалась преимущественно греческих образцов, другая же — индий- ских. Приверженцы «греческой школы» пе потьзовались индийскими цифрами2). На такой же точке зрения стоял и Г. Цейтеп, противопоставлявший при этом, подобно Кантору, ап-Насавн и ал-Кархи3). II Кантор и Цейтеп предполагали, что мы встречаемся здесь с отражением споров между различными мусульманскими сектами. Вопрос о применении или пепримеиеппп индийских цифр, т. е. вопрос о форме, в которой производились вы- кладки, нельзя решать в отрыве от соответствующих спо- собов вычислений. Однако ни М. Кантор, ни Г. Цейтен пе анализируют приемов производства арифметических действий, изложенных в сочинении ал-Кархи, и не сопо- ставляют пх с приемами ан-Насави. Более того, Цейтеп писал, что ал-Кархи не сообщает каких-нибудь механи- ческих средств для облегчения практического производства выкладок; между тем ознакомление с трактатом ал-Кархп убеждает нас в том, что это не так. На наш взгляд, предложение о враждовавших между собой двух школах не подкрепляется никакими фактами. Посмотрим, было ли в самом деле греческое влияние у араб- >) См. Isis, 1933, .Vs 57, т. XIX (3), стр. 513—514. 4) М. Cantor, цит. соч., т. 1, стр. 755. • ) Г. Г. Ц е fi т е п, История математики в древности и средние века, перевод П. С. Юшкевича, М., 1938, стр. 199—200.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ АБУ-Л-ВАФЫ 305 скпх математиков, не пользовавшихся индийскими циф- рами, столь преобладающим и действительно ли мы нахо- дим у них индийское влияние в «гомеопатических», как выражается Кантор1), порциях. Во-первых, начальная ступень трактата Абу-л-Вафы и соответствующие главы из работы ал-Кархи являются в этом отношении вполне самобытными и, так сказать, нейтральными. Во-вторых, как мы покажем, геометрические части обоих трактатов действительно обнаруживают преобла- дающее греческое влияние, за исключением одной фор- мулы, касающейся нахождения диаметра правильного мно- гоугольника по его стороне, о которой Абу л-Вафа сооб- щает, что она индийского происхождения. Все это естест- венно и пе нуждается для объяснения в предположении о существовании «двух школ». Математикам арабского Востока греческие источники были гораздо доступнее, чем индийские, так как они жили преимущественно в стра- нах, где некогда процветала греческая культура, к тому же индийские математические трактаты были нередко написаны очень неясно и нуждались в комментариях. По- этому, очевидно, Абу-л-Вафа, говоря о греческих матема- тиках, называет их по имени и ссылается па. их книги, в то время как, говоря об индийцах, ои пе называет пи одного имени и ни одной книги, а пишет: «рассказывают, что у индийцев...». В-третьих, во второй ступени трактата, посвященной главным образом практическим вычислениям, индийское влияние очень сильно. «Более быстрые» способы умножения и деления целиком основываются иа позиционном принципе. Индийским по происхождению является и передвижение де- лителя номере исчерпывания разрядов делимого2). Индий- ское влияние сказывается в применении Абу-л-Вафой некоторых формул «сокращенного» умножения (см. выше формулу т(п±Л)=тп + п1)3). Под индийским влиянием Абу-л-Вафа излагает действия с «невыразимыми дробями», в не ограничивается лишь действиями с каноническими * ) М. С а н t о г, цит. соч., т. 1, стр. 763. * ) В. I) a t t a and A. N. Sing h, цит. соч., ч. 1, стр. 154. ®) В. D a t t a and A. S i n g h, цит. соч., ч. 1, стр. 100. 20 Истор.-матем. исслсд., вип. XIII
308 М. И. МЕДОВОЙ цым дробям и слова Абу-л-Вафы о том, что «более быстрый» способ умножения «избавляет от всего этого», т. е. от «доски, пыли п стиля». Приведем еще одно высказывание Абу-л-Вафы, свидетельствующее о неприятии арабскими писцами индийских способов действий с дробями, кото- рые, как известно, не отлпчалпсь от современных. «Об их пути: когда опи |т. е. писцы.—М. Л/.] желают складывать дроби, то, чтобы было легче, они превращают каждую из них в аширы и относят |их сумму] к шестиде- сяти. Ибо у них больше навыков в шестидесяти и его час- тях, когда они соблюдают то, что мы разъяснили в первой ступени этой книги, чем в других числах, н опи не нуждают- ся в том, чтобы утруждать себя нахождением числа 1т. е. общего знаменателя.— М. Л/.], из которого получаются дробные части» (Л. р., л. ^>3 об.). При таком положении дел неудивительно, что в пред- назначенных для деловых людей произведениях, в которых много места уделялось традиционным «способам писцов», все числа записывались словами. Авторы должны были считаться с традицией1), хотя сами, вне всякого сомнения, знали индийские цифры и понимали преимущества пози- ционной системы. В связи со сказанным может возникнуть следующий вопрос. Известно, что арабы, подобно грекам, выработали алфавитную систему обозначения чисел —«хпсаб ал-дя мал»2), цифры которой писались в обычном для арабов порядке — справа налево. Чем объяснить тот факт, что, в отличие от греков, применявших свои цифры в обычных выкладках, арабы пользовались своими цифрами в астро- номических расчетах для записи чисел в шестидесяте- ричной системе? 1) Насколько сильной была традиция записывать числа слова- ми, показывает тот факт, что вплоть до иедавппх времен купцы в не- которых странах арабского Востока пользовались специальной циф- ровой скорописью, называемой «спйак* (изложение). Цифры «спй- ака» выработались из скорописного начертания арабских числи- тельных. См. W. S. С 1 a i r-T i s d a I 1, Modern Persian Conversation Grammar, Heidelberg, 1902, стр. 220 и T. А. Д a p а б а д и. Кал- лиграфия (па азерб. языке), Баку, 1953, стр. 192—207. 2) А л-К а ш и, цит. соч., стр. 73—74.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ ЛБЬ-Л-ВАФЫ 309 Дело в том, что обычно в выкладках наряду с целыми числами участвуют и дроби. У греков дроби имели свои обозначения в алфавитной системе; например, доли единицы обозначались соответствующим знаком для целого числа, снабженным штрихом сверху. Казалось бы. что и у ара- бов также должна была возникнуть естественная мысль распространить, подобно грекам, своп цифровые обозна- чения иа доли единицы. Однако, как это ни странно, в арабской алфавитной нумерации пе было обозначений ни для обыкновенных дробен, ни для аликвотных. При отсут- ствии подобных знаков было бы очень неудобно записы- вать целые числа цифрами, а дроби — словами, поэтому арабские писцы и записывали словами все числа. Главным препятствием для выработки арабскими пис- цами символических обозначений для дробей мы считаем неравноправное положение «невыразимых» дробей по срав- нению с каноническими дробями. Действительно, всякая система символических обо- значений в математике включает пе только сокращенно записей, но также — и это самое главное — некоторое идейное обобщение. Так, древнеегипетская система обо- значений дробен была бы невозможна без обобщающей мысли о равноправии всех долей единицы. Традиция же араб- ских писцов, согласно которой лишь комбинации из девяти главных дробей считались «красивыми», а «невыразимые» дроби, выражающиеся только через «части», считались «некрасивыми», и соответствующая техника вычислений с Дробями ие только препятствовали возникновению обоб- щающей мысли о равноправии с математической точки зрения всех знаменателей, но и ставили преграду па пути распространения индийских способов обозначения дро- бей и действии. С этой точки зрения интересно наблюдать у ап-Насавп столкновение традиции канонического разложения с индий- ским способом обозначения дробей. Так1), удваивая дробь 3 0 0 z » он записывает зто как 3 3, но говорит, что удваивает 4 4 половину и четверть; результат раздвоения 3^- он ‘—------------- о *) Л. р. Л» 556/6, л. 6 об. и 8.
ЗОЙ M. II. МЕДОВОЙ дробями, lie исключена также возможность, что и отри- цательные числа заимствованы у индийцев. Что касается ал-Кархи, то у пего мы встречаем некоторые сокращенные способы умножения, подобные вышеупомянутым, про- верку с помощью 9 и 11, перечисление конечных цифр квадрата целого числа, тропное правило, а также действия с невыразимыми дробями. Другие же способы вычисле- ний, изложенные в арифметических главах обоих тракта- тов, не обнаруживают пи индийского происхождения, ни греческого. Таковы самобытные «способы писцов» и при- емы действий с «относительными» дробями. Сопоставление трактата ап-Насави и трактатов Абу-л- Вафы и ал-Кархи также показывает, что нельзя говорить о диаметральной противоположности между ан-Насавп — представителем «индийской школы» и ал-Кархи или Абу-л-Вафой — представителями «греческой школы». Ал- Кархи и Абу-л-Вафа, как и аи-Насавп, тоже дают в основ- ном «правила для простейшего выпочиения на практике выкладок». Если же в трактате ан-Насави отбросить цифровые записи в выкладках с дробями, то его изложе- ние очень будет напоминать по стилю Абу-л-Вафу или ал-Кархи. У того же ан-Насави мы встречаем алгоритм Евклида, а в предисловии к трактату он пишет, что опу- скает доказательства, чтобы пе удлинить книгу (как известно, индийцы не считали нужным что-либо доказывать)1 2). Если еще учесть, что ни у ал-Хорезмп, ни у ап-Насави, ни у ал-Кархи, ни у Абу-л-Вафы нет ни одного явного высказывания о каком-либо соперничестве, то и вторую гипотезу следует признать неубедительной. Вообще «загадкой», как выразился Ф. Кэджорн*), рассматриваемое явление могло стать лишь потому, что считалось, будто индийские цифры л индийские приемы вычислений были в X—XI вв. широко распространены на арабском Востоке. М. Кантор, например, удивлялся, что даже в начале XI в. арабы сохранили привычку запп- 1) Тот же аи-Насавп в другом сочинеппп дает новый способ трисекции угла — типичной греческой задачи. 2) Ф. К эд ж о р и, История элементарной математики, пере- вод II. Ю. Тимченко, Одесса, 1917, стр. 114.
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ А11У-Л-ВАФЫ 307 сыпать числа словами1), а Г. Ганкель па том основании, что Авиценна обучался индийским методам вычислений у куп- ца, писал, что индийские цифры, по-видимому, уже рано были распространены среди арабских писцо