Историко-математические исследования. Выпуск 3 - Юшкевич А.П., Рыбкин Г.Ф.

Author: Юшкевич А.П. Рыбкин Г.Ф.

Tags: математика история

Year: 1950

Similar

Историко-математические исследования. Выпуск X

Историко-математические исследования. Выпуск 1

Историко-математические исследования. Выпуск VI

Историко-математические исследования. Выпуск 2

Text

ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ВЫПУСК ш
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Г. Ф. РЫВКИНА и А. И. ЮШКЕВИЧА
ГОСУДАРСТВЕННО Е ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХННКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОП ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1950 ЛЕНИНГРАД
11-5-4
Редактор В. А. Солодкое.
Техн, редактор М. Д. Кислиновская.
Подписано к печати 11/XI 1950 г. Бумага 82x108 32. 8,1 бум. л.
26,035 печ. л. 4-4 вклейки 0,51 печ. л. 27,30 уч.-изд. л. 40 122 тип. зн.
в печ. л. Т-07990. Тираж 4000 экз. Цепа 16 р. 40 к. Переплёт 2 р.
Заказ № 573.
16-я типография Главколиграфиздата
при Совете Министров СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9.
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции......................................... 5
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ
Г. Ф. Рыбкин. Материализм—основная черта мировоззрения
И. И. Лобачевского.................................. 9
С. А. Яновская. О мировоззрении Н. И. Лобачевского . . 30
В. М. Нагаева. Педагогические взгляды и деятельность
II. II. Лобачевского............................... 76
Н. Д Беспамятных. О теории отрицательных чисел
у Лобачевского.................................... 154
И. Н. Бронштейн. К истории «Обозрений преподавания
чистой математики» Н. II. Лобачевского............ 171
МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ
II. А. Марон. Академик М. В. Остроградскпй как органи-
затор преподавания математических наук в военно-учеб-
ных заведениях России............................. 197
ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ БОБЫНИН
К. А. Рыбников. Виктор Викторович Бобынин......... 343
А. М. Лукомская. Библиографический указатель опубли-
кованных в печати работ В. В. Бобынина и биографиче-
ских материалов о его жизни и деятельности........ 358
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
А. И. Маркушезич. Вклад 10. В. Сохоцкого в общую теорию
аналитических функций............................. 399
В. П. Зубоз. Вопрос о «неделимых» и бесконечном в древне-
русском литературном памятнике XV века............ 407
1*
СОДЕРЖАНИЕ
В. Н. Молод ший. Учение о натуральных числах в XV.III
веке................................................ 431
II. Я. Денман. Забытое издание «Начал» Евклида на рус-
ском языке........................................ . 467
II. Я. Денман. М. Ф. Бартельс—учитель II. II. Лобачевского 474
Д- Крамар. Вопросы обоснования анализа в трудах
Валлиса и Ньютона................................... 48G
ОТ РЕДАКЦИИ
Как п в предыдущем выпуске, значительная часть
публикуемого здесь материала посвящена II. И. Лоба-
чевскому. В предисловии ко второму выпуску редак-
ция отмечала, что мировоззрение великого русского гео-
метра до сих пор оставалось недостаточно изученным.
Печатая теперь две статьи, посвящённые мировоззрению
II. И. Лобачевского, редакция надеется продолжить
публикации на эту тему и в последующем, поскольку
и эти статьи не претендуют па полное освещение вопроса.
Третья статья того же раздела содержит подробное изло-
жение педагогических взглядов и деятельности Лоба-
чевского, основанное на ранее почти неизвестных архив-
ных материалах. В следующей статье содержится анализ
воззрений Лобачевского на теорию отрицательных чисел.
В последней статье этого раздела сообщаются некоторые
новые факты из истории написанных Н. И. Лобачев-
ским «Обозрений преподавания чистой математики».
Жизнь и творчество одного из крупнейших русских
аналитиков XIX в. М. В. Остроградского, оказавшего
мощное влияние на развитие математики в нашей стране,
до сих пор изучены гораздо менее, чем его великих
современников — Н. И. Лобачевского и П. Л. Чебышева.
Во втором разделе выпуска публикуется статья о плодо-
творной работе М. В. Остроградского, как организатора
преподавания математических наук в русских военно-
учебных заведениях. Эта статья написана почти пол-
ностью на основании новых архивных материалов.
Третий раздел отведен памяти первого русского исто-
рика отечественной математики, профессора Московского
университета В. В. Бобынина, столетняя годовщина
6
ОТ РЕДАКЦИИ
со дня рождения которого недавно отмечалась советской
научной общественностью. Придавая большое значение
обширному научному наследию Бобынина, в котором
главное место занимают труды по истории математики
в России, редакция сочла полезным, наряду с биографиче-
ским очерком, дать полную библиографию его сочинений.
В последнем разделе собраны статьи различного содер-
жания. Часть этих статей свидетельствует о том, что мы
всё ещё недостаточно знаем о всём богатстве научного
наследия наших предшественников в области математики.
Так, в одной пз статей выясняется, что русские учёные
XV в. отнюдь не ограничивались рассмотренном вопро-
сов так называемой практической арифметики и геомет-
рии, но глубоко интересовались принципиальными про-
блемами учения о бесконечности и непрерывности. В дру-
гой работе устанавливается приоритет профессора Ю. В. Со-
хоцкого в открытии ряда фундаментальных теорем общей
теории аналитических функций, ранее незаслуженно
приписывавшихся иностранным учёным. Весьма любо-
пытный факт существования всеми забытого русского
издания «Начал» Евклида в Кременчуге (1877) отме-
чается в одной из заметок этого раздела. В статье
об учении о натуральных числах в XVIII в. выясняется
активное участие в его разработке авторов русских учеб-
ников арифметики этого времени. В последней статье
четвёртого раздела разбирается один из важных вопросов
исторпп возникновения математического анализа -— имен-
но проблема его обоснования у Валлиса и Ньютона.
Редакция с большим удовлетворением отмечает, что
круг участников настоящего издания быстро расши-
ряется от выпуска к выпуску. Это свидетельствует
о всё возрастающем интересе советских математиков к
вопросам истории своей науки. Редакция надеется, что
этот рост в дальнейшем будет продолжаться и усиливать-
ся и приглашает всех советских математиков к активному
участию в разработке актуальных вопросов истории мате-
матики, особенно истории математики в нашей стране.
НИКОЛАИ ИВАНОВИЧ
ЛОБАЧЕВСКИЙ
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ
ЛОБАЧЕВСКПП
L
МАТЕРИАЛИЗМ — ОСНОВНАЯ ЧЕРТА
МИРОВОЗЗРЕНИЯ И. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
Г. Ф. Рыбкин
Открытие неевклидовой геометрии явилось делом жиз-
ни гениального русского математика Николая Ивановича
Лобачевского, его великим научным подвигом1). Об этом
открытии написано много исследований2). В них довольно
подробно освещена биография великого русского учёного,
рассмотрены научные труды, особенно труды по геометрии.
И всё же нельзя сказать, что биография знаменитого
казанца изучена всесторонне. Чем детальнее мы знако-
мимся с обстоятельствами жизни, обликом и творчеством
Лобачевского, чем больше извлекается па свет новых
материалов, тем полнее раскрывается его самобытный
гений, тем ярче выявляется роль великого геометра
в истории математики и науки вообще, его значение в раз-
витии русской культуры.
Новые материалы, добытые в хранилищах архивов,
принуждают биографов Лобачевского вносить в его био-
х) 23 февраля 1951 года исполняется 125 лет с того дня, когда
Н. И. Лобачевский впервые устно сообщил о своём открытии в засе-
дании физико-математического факультета Казанского унпверси-
тета.^Впервые опубликовано это замечательное открытие в 1829 г.
в работе «О началах геометрии», помещённой в «Казанском вест-
нике». Через три года вышел в свет «Аппендикс» Я. Больаи, в кото-
ром знаменитый венгерский математик пришёл, правда, в менее
развитой форме, к аналогичным представлениям. Таким образом,
Я. И. Лобачевскому бесспорно принадлежит приоритет в открытии
неевклидовой геометрн j i .
2) Лучшим произведением, в котором наиболее полно осве-
щены Жизнь и научное творчество И. II. Лобачевского, является
книга проф. р ф Кагана. «II. II. Лобачевский». Издание
второе, дополненное. АН СССР, М.—Л., 1948.
Г. Ф. РЫБКИН
10
графлю поправки, пногда с самой неожиданной стороны.
Даже дата рождения Лобачевского — 1 декабря 1792 го-
да __ установлена лишь недавно (1943 г.) по архивным
данным, и в литературе о Лобачевском, выходившей
вплоть до 1948 г., указывалась неверная дата 2 ноября
1793 года.
Известна роль Н. И. Лобачевского как одного из круп-
но и ши х деятелей университетского образования за двух-
сотлетнюю историю русских университетов. Благодаря
неутомимой деятельности Лобачевского Казанский уни-
верситет пользовался заслуженной славой. Лобачевский
был фактическим его создателем. В течение бессменной
и плодотворной девятнадцатилетней работы ректором
он отстоял Университет от опасности застоя, превратил
его в условиях царизма в первоклассное учебное заведе-
ние, в котором сам был первым проводником передовых
идей в обучении юношества. По свидетельству современ-
ника Лобачевского Н. II. Булнча, «ни одно событие Уни-
верситета, ии один сколько-нибудь важный факт его исто-
рии... не могут быть упомянуты без имени Лобачевского.
Его благородная жизнь тесно и неразлучно сплеталась
с историей Казанского университета, она есть живая
летопись Университета, его надежд и стремлений, его
возрастания и развивания».
Новые архивные материалы значительно дополняют
характеристику Лобачевского как деятеля народного
образования. Они показывают нам, что Н. И. Лобачев-
ский был не только виднейшим работником высшей шко-
лы. Он стоял также в центре вопросов школьного образо-
вания. Его деятельность в качестве члена н председателя
Училищного комитета, а затем помощника попечителя
Казанского учебного округа оказала огромное влияние
на развитие школьного образования. В псторпп народ-
ного просвещения в России пмя Лобачевского занимает
виднейшее место.
Новые архивные материалы1) являются богатейшим
источником сведений о мировоззрении Лобачевского, о его
’) Речь идёт главным образом о книге «Материалы для био-
графии И. II. Лобачевского». Собрал и редактировал Л.- Б. Мод-
залевский (Изд. АП СССР, М.—Л., 1948), а также о публикациях
ОСНОВНАЯ ЧЕРТА МИРОВОЗЗРЕНИЯ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО Ц
взглядах на основания науки, её отношение к действи-
тельному миру, о его взглядах на принципы воспитания
и т. п. Однако, было бы ошибкой сказать, что до появле-
ния этих материалов биографы Лобачевского по распола-
гали никакими источниками, откуда они могли бы черпать
сведения о мировоззрении Лобачевского. Этими источни-
ками, и, пожалуй, самыми основными, являются матема-
тические творения Лобачевского, богатство философского
содержания которых становится доступным всякому,
кто внимательно изучит их с этой стороны. Поэтому,
если мировоззрение Лобачевского до сих пор остаётся
всё ещё мало исследованной областью биографии великого
учёного, то причина тому лежит пе в отсутствии материала,
а в том, что биографы либо вовсе не уделяли внимания
мировоззрению Лобачевского, либо уделяли ого слишком
мало. А между тем вопрос этот заслуживает серьёзного
рассмотрения, ибо раскрытие характерных черт мировоз-
зрения Лобачевского проливает свет п на многие сто-
роны его научного творчества. Здесь прежде всего мы
замечаем глубокую связь между передовым мировоззре-
нием Лобачевского и его открытиями в науке.
Основной чертой мировоззрения Лобачевского являет-
ся материализм, твёрдая уверенность в объективности
реального мира, отражаемого нашим сознанием. В этом
своём мировоззрении Лобачевский пе был одинок: он
продолжал линию Ломоносова в русском естествознании.
Всестороннее освещение мировоззрения Лобачевского—одпа
из важнейших задач советских историков математики.
* *
*
Своё бессмертное имя Н. И. Лобачевский заслужил
открытием неевклидовой геометрии. Великпй научный
подвиг Лобачевского заключается в том, что он не только
указал на возможность геометрии, отличной от обычной,
известной каждому школьнику геометрпп Евклида, но
первый в мире построил логически безупречную систему
такой геометрии. Более двух тысячелетий геометрические
В. М. Нагаевой (см. «Труды института истории естествознания
АН СССР», выть II, 1948, вып. III, 1949 и настоящий выпуск
«Моторико-математических исследований»).
»Г. Ф. РЫБКИН
12
представления людей были основаны на учении, выра-
женном в наиболее систематической форме ещё в III в.
до нашей эры в «Началах» Евклида. Согласно этому
учению в основе всей геометрии лежит группа основных
предложений—аксиом, составляющих её исходные поло-
жения. Одни из этих аксиом относятся к любым величи-
нам, другие носят чисто геометрический характер. Аксио-
мы второго рода называются также постулатами. Ещё
в глубокой древности математики заметили, что пятый
постулат (или одиннадцатая аксиома), относящийся к
параллельным линиям, не является столь очевидным,
как другие постулаты и аксиомы, и выражали сомнение
в законности помещения его средн других исходных
положений геометрии. Этот постулат может быть выражен
так: «через точку, лежащую вне данной прямой, проходит,
в одной плоскости с пою, только одна параллельная ей,
т. е. не пересекающая её прямая». Па протяжении всей
истории геометрии — от древности до первой четверти
прошлого века — имели место многочисленные попытки
доказать этот постулат, т. с. вывести его из остальных
аксиом геометрии и, таким образом, лишить его права
находиться средн исходных положений. По все такие
попытки, сколь бы крупными математиками они не пред-
принимались, не достигали цели. Обнаруживалось, что
в основе всякого доказательства постулата о параллель-
ных, в более или менее скрытой форме, лежало какое-либо
недоказанное предположение, равносильное постулату, ко-
торый пытались доказать. Лобачевский пришёл к мысли,
что такое доказательство невозможно. Эта мысль при-
вела Лобачевского к далеко идущим выводам, характери-
зующим его подход к геометрии.
Для Лобачевского геометрия являлась прежде всего
наукой! о реальном пространстве. Вот почему свои зна-
менитые «Начала геометрии с полной теорией парал-
лельных» он начинает словами:
«Всем известно, что в геометрии теория параллельных
до сих пор оставалась несовершенной!. Напрасное стара-
ние со времён Евклида, в продолжении двух тысяч лет,
заставили меня подозревать, что в самых понятиях
ещё не заключается той истины, которую хотели доказы-
ОСНОВНАЯ ЧЕРТА МИРОВОЗЗРЕ^? Н< П‘ ЛОБАЧЕВСКОГО 13
вать и которую поверить, поД*”10 физическим
законам, могут лишь опыты- » )
В «Пангеомстрии»* 2) он вновь looopiu, что для выясне-
ния свойств реального пространства пеооходимо обра-
титься к опыту: «... принятое в обыкновенной геометрии
явно пли скрытно предположение, что сумма углов вся-
кого прямолинейного треугольника постоянна, пе есть
следствие наших понятий о простраш тис. Один to.ibko
опыт может подтвердить истину этою предположения...».
Уже в этой постановке вопроса выступает материали-
стический характер отношения Лобачевского к геометрии,
истинность которой, т. е. правильность отражения ею
свойств реального пространства и, следовательно, границы
её применимости, мы должны проверить па опыте, на
практике.
Как уже было отмечено, нс одни Лобачевский был
неудовлетворен состоянием евклидовом теории параллель-
ных. Однако в то время, как другие математики, потерпев
крушение при попытке доказательства постулата о парал-
лельных, немедленно брались за новое доказательство,
содержавшее аналогичные ошибки, Лобачевский смело
заподозрил, что искомое доказательство невозможно вообще.
Для его мировоззрения при этом особенно характерно, что
он прежде всего попытался материалистически объяснить
причину этого. В самом деле, как может быть, чтобы
истина, неизменно подтверждавшаяся во всех практических
приложениях геометрии, была тем не менее и пе очевидна
и не доказуема? И ответ его гласил: эта истина не геоме-
трического, а физического характера. Она ие вытекает из
геометрических свойств, характерных для любых тел при-
роды (под «геометрическим телом» Лобачевский всегда
понимал твердое тело) независимо от физических условий,
в которых они находятся. Подтвердить её поэтому «подобно
другим физическим законам, могут лишь опыты» (а пе
логические выводы из других аксиом геометрии). С другой
стороны, если истинность постулата о параллельных зави-
*) Н. II. Лобач е в с к и й. Полное собрание сочинений,
т. II, М.—Л., 1949, стр. 147.
2) Полное собрание сочинений, т. III, 1950.
Г. Ф. РЫБКИН
14
сит от физических условий, то с изменением этих условий
должен изменяться и постулат о параллельных. «После
чего в нашем уме не может быть никакого противоречия,
когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют
одной, другие своей особой геометрии»1). Иными словами,
должны быть возможны геометрии, отличные от евклидовой.
Больше того, ограничение геометрической науки только
одной из них—геометрией Евклпда—означает произвольный
выбор одного частного случая, одной лишь из существую-
щих возможностей. Должна поэтому существовать «общая
геометрическая система» «с полной теорией параллельных»2).
«Полной» потому, что здесь должны быть изучены все реально
существующие возможности и исключен элемент случайности
в выборе одной из них. Именно такую общую геометрию
и создаёт Лобачевский. Исследуя различные возможности,
реально существующие для геометрии твёрдого тела
в бесконечном пространстве, Лобачевский принимает дру-
гой возможный при этом постулат, а именно противопо-
ложный пятому постулату Евклида, гласящий, что ь дан-
ной прямой через данную точку можно провести, в общей
их плоскости, по крайней мере, две параллельные пря-
мые. С точки зрения геометрии, обычной для его времени,
такая замена должна была бы привести к противоречию.
Однако, по мере того, как Лобачевский развёртывал из
принятого нм постулата и остальных аксиом Евклида
всё более п более длинную цепь следствий, он этого
противоречия вовсе не получил, а построил хотя и свое-
образную, но совершенно стройную новую систему гео-
метрических предложений, обладающую логическим со-
вершенством. Эту систему в настоящее время и называют
геометрией Лобачевского; она содержит столь резкие
отличия от геометрии Евклида, как неравенство двум
прямым суммы углов треугольника (в геометрии Лоба-
чевского она меньше двух прямых) и другие.
Э Полное собрание сочинений, т. II, стр. 159.
2) Наиболее подробная работа Лобачевского, посвящённая
началам геометрии, носит название «Новые начала геометрии
с полной теорией параллельных». В ней параллельно изучаются
как геометрия Евклида гак и геометрия Лобачевского.
ОСНОВНАЯ ЧЕРТА МИРОВОЗЗРЕНИЯ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 15
Геометрия Лобачевского является более оощей, чем
геометрия Евклида, которая содержится в ней как частный
случай пли, говоря современным языком, является пре-
дельным случаем геометрии Лобачевского.
«Главное заключение, — говорит Лобачевский, — к ко-
торому пришёл я с предположенпСхМ зависимости линий
от углов1), допускает существование геометрии более в
обширном смысле, нежели как её представил нам пер-
вый Евклид. В этом пространном виде дал я пауке на-
звание Воображаемой геометрии, где как частный случай
входит У потребительная геометрия» (т. е. евклидова.—
Г. Р.)2).
Сомнений в правильности отображения свойств окру-
жающего нас пространства евклидовой геометрией, т. е.
сомнений в её истинности, у Лобачевского не было. Он
лишь вскрыл её определённую ограниченность, доказал
несостоятельность взгляда, будто евклидова геометрии
единственно возможна в качестве безраздельно господст-
вующей системы наших пространственных представлении.
«Способ употребительной геометрии, — говорит он, — при-
водит, следовательно, всегда к заключениям верным,
однако ж не в таком обширном виде, в каком даёт их
общая геометрическая система, которую назвал я Вообра-
жаемая геометрия»3). «Принятая всеми геометрия,—гово-
рит он далее,—более нежели достаточна, хотя б она сама
по себе не была строго верной»4).
Геометрия Лобачевского, таким образом, более полни
отражает свойства реального пространства, чем геометрия
Евклида, хотя бы последняя и была «более нежели доста-
точна».
Важно подчеркнуть здесь материалистический хара-
ктер исходных установок Лобачевского. Построенная им
геометрия не плод досужей фантазии, выведенный из
произвольного допущения, не имеющий никакого отно-
шения к реальному миру. Его геометрия так же реальна
2\ тг’ е‘ отказом от евклидова постулата о параллельных. Г. Р.
з\ ,"ОЛ11ое собрание сочинений, т. II, стр. 147—148.
) там же, стр. 160.
4) Там же.
Г. Ф. РЫБКИН
16
и необходима, как реальна и необходима геометрия Ев-
клида. Весь вопрос в том, каковы границы применимости
обеих геометрий. Мы уже приводили мнение Лобачевского,
что «в пашем уме не может быть никакого противоречия,
когда мы допускаем, что некоторые силы в природе сле-
дуют одной, другие своей особой геометрии»1). Решить во-
прос, какие силы природы «следуют» геометрии Лобачев-
ского, должен опыт, практика. Назвав свою геометрию
«воображаемой», Лобачевский вовсе не думал выдать её за
произвольное творение своего ума. Он никогда не сомне-
вался в том, что опа отражает свойства реального простран-
ства, никогда не терял надежды на её опытную проверку.
И если сам Лобачевский ещё не располагал возможностью
проверки истинности открытой им геометрии, то он очень
ясно представлял себе, что тут дело не в принципиальной
невозможности, а в невозможности временной, объясняю-
щейся недостатком наших наблюдений. «... Мы познаем
одну зависимость из опытов, а другую при недостатке
наблюдений должны предполагать умственно, либо за пре-
делами видимого мира, либо в тесной сфере молекуляр-
ных притяжений», — говорит он2). Он прямо заявляет, что
«воображаемой» геометрии, «может быть, следуют молеку-
лярные силы»3), хотя это пока еще, быть может, и «чистое
предположение только, для подтверждения которого на-
добно поискать других убедительнее доводов»4). Дальней-
шее развитие науки действительно подтвердило предполо-
жение Лобачевского, что в окружающем нас пространстве
геометрия Евклида отнюдь не является единственной.
Уже через 11 лет после смерти Лобачевского было пока-
зано, что планиметрия Лобачевского осуществляется
(локально) на кривых поверхностях (так называемых
псевдосферически х). Оказалось далее, что геометрия
Лобачевского — не единственная неевклидова геометрия и,
таким образом, па основе идей Лобачевского геометриче-
ская паука разрослась в огромное здание, в котором гео-
метрия Евклида лишь одна из возможных геометрий,
х) Полное собрание сочинений, т. II, стр. 159.
2) Там же, стр. 160.
3) Там же, стр. 159.
4) Там же.
ОСНОВНАЯ ЧЕРТА МИРОВОЗЗРЕНИЯ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 17
верная до тех ПОР> пока мы оперируем в пределах привыч-
ных для нас протяжений. Неевклидова геометрия нашла
многочисленные приложения в других разделах матема-
тики, она проникает во все разделы современной теоре-
тической фпзпки.
* *
*
В литературе по неевклидовой геометрии нет недо-
статка в количестве высказываний о творце неевклидо-
вой геометрии. Но среди этих высказываний имеется много
таких, которые только извращают правильное предста-
вление о роли сделанного Лобачевским открытия. Здесь
особенно следует иметь в виду два ложных представления,
главным образом, зарубежных авторов, иногда некрити-
чески переносимых в нашу отечественную литературу
особенно дореволюционную. Смысл этих неправильных
представлений заключается в следующем.
Крупный французский математик, но мелкий фило-
соф-махпст, А. Пуанкаре, которого, по замечанию
В. II. Ленина, нельзя брать всерьёз как философа1), рас-
сматривает открытие Лобачевского как чисто логическое
упражнение, как умственную игру2). Такой взгляд для
Пуанкаре логичен, он соответствует его идеалистическим
воззрениям на математику. Для него математика есть
такое творение человеческого ума, «для которого он
меньше всего заимствовал извне». В построениях, «которые
относятся к исследованию постулатов необычных гео-
метрий», Пуанкаре лишь видит пример того, «что может
сделать человеческий ум, когда он освобождается всё
х) См. Лени н, Сочинения. Изд. четвёртое, т. 14, 1947,
стр. 279.
2) Пуанкаре считает, что геометрия Лобачевского оставалась
чистым логическим упражнением, пока не была найдена её евкли-
дова интерпретация. Между тем для Лобачевского задача интер-
претации никогда не имела самодовлеющего значения. Создан-
ная им геометрия интересовала его прежде всего в её отно-
шении к материальному миру, к природе. Она обобщала изве-
стную до него геометрию й расширяла рамки её возможных
применений—в том числе и к математическому анализу,—и
никогда не была «чистым» логическим упражнением.
Историко-матем. исследования
18
Г. ф. РЫБКИН
более и более от тирании внешнего мира». Как мы уже
выяснили и увидим далее, эти извращающие действитель-
ное положение вещей утверждения Пуанкаре прямо
противоположны материалистическим установкам Лоба-
чевского. Великая заслуга Лобачевского состоит в том,
что он никогда по отрывался от реальной действительности
и всю жизнь боролся за признание происхождения наших
понятий из внешнего мира, из природы.
Противоречащие действительности взгляды Пуанкаре
на открытие Лобачевского как па умственную игру поня-
тий ещё до сих пор имеют хождение среди зарубежных
авторов. Некоторые делают отсюда даже выводы о форма-
лизме Лобачевского. Мы будем иметь ещё возможность убе-
диться в никчемности этих выводов и увидеть, что Лобачев-
ский был ярким борцом против формализма в математике.
Другой крупный математик (немецкий), по мелкий
философ, Ф. Клейн, рассматривает открытие Лобачев-
ского как повторение того, что задолго до Лобачевского
было сделано Гауссом. Такое утверждение является
поклёпом на Лобачевского п грубейшим извращением
действительной истории.
Приоритет в открытии неевклидовой геометрии безого-
ворочно принадлежит Лобачевскому. К идеям неевклидо-
вой геометрии пришёл также венгерский математик Янош
Больап (1802—1868). По он опубликовал свою работу
на три года позже первой работы Лобачевского. По сравне-
нию с работами Лобачевского работа Больап предста-
вляет собой только первые элементарные основы. В эпоху
создания неевклидовой геометрии никаких других работ
опубликовано не было. Несмотря на этот очевидный факт
Клейн п некоторые другие буржуазные историки-мате-
матики всячески стараются приписать открытие неевкли-
довой геометрии Гауссу, который не только не опубли-
ковал пи одной строчки по этому вопросу, по и вся-
чески мешал другим математикам в такого рода публи-
кациях. Лишь после смерти в его научном наследии
п письмах былп обнаружены отдельные наброски на-
чальных предложений неевклидовой геометрии, которые
не могут быть поставлены на одну доску с системати-
чески развёрнутыми творениями Лобачевского.
ОСНОВНАЯ ЧЕРТА МИРОВОЗЗРЕНИЯ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО^19
Какое же основание было у Клейна приписывать
прпорптет открытия неевклидовой геометрии 1 ауссу.
Таких оснований, если отбросить в сторону национали-
стические тенденции, у Клейна не было. Тем не менее
он упорно отстаивает свою точку зрения. Впервые он
высказал её в первом издании «Неевклидовой геометрии».
Однако под напором фактов он вынужден был выбросить
это место из второго издания книги. Некоторым авторам,
в том числе и нашим, это дало основание полагать, будто
Клейн отказался от своей точки зрения. Однако, по суще-
ству, от мнения, высказанного в первом издании «Неевкли-
довой геометрии», Клейн не отказался и после того, когда
факты заставили его в дальнейших изданиях своей книги
этого мнения не повторять. Об этом свидетельствуют его
«Лекции о развитии математики в XIX столетии», ч. I,
вышедшие в Берлине в 1926 г., через год после смерти
их автора (русский перевод вышел в 1937 г.). В них Клейн
снова пытается извратить историю, приписывая Гауссу
приоритет в открытии неевклидовой геометрии (см.
стр. 89 русского перевода). Правда, Клейн тут же ого-
варивается, что этот приоритет не был реализован Гаус-
сом. Что такое «нереализованный приоритет», Клейн
не разъясняет, но вместе с тем ничего не говорит и о том,
кому принадлежит подлинный приоритет, пи словом не
обмолвившись о Лобачевском. Вообще для исторических
высказываний Клейна характерно чрезмерное преувели-
чение роли немецких математиков и особенно роли Гаусса
даже в тех вопросах, где в действительности он заслуг
не имел. Так, в упомянутых «Лекциях» Клейн пытается
уверить читателя в том, что Гаусс будто бы «всем весом
своего авторитета содействовал привлечению общего ин-
тереса» к неевклидовой геометрии, хотя хорошо известно,
что Гаусс, этот «король математиков», при своей жизни
всячески тормозил проявление интереса к ней. В этой
связи следует заметить, что в открытии неевклидовой
геометрии Гаусс сыграл отрицательную роль. Матема-
тики, работавшие в этом направлении и обращавшиеся
к ауссу, как к высшему в то время авторитету, пе находи-
ли у него поддержки. Он пе проронил в печати ни одного
лова ни о своих взглядах, ни о работах Лобачевского
2*
Г. Ф. РЫБКИН
20
и Больап, с которыми был знаком. «Возможно даже,—
писал он ранее Бесселю (1829 г.), — что я не решусь на это
во всю свою жизнь, потому что боюсь крика беотийцев,
который поднимется, когда я выскажу своп воззрения
целиком».
Хотя Гаусс чрезвычайно высоко оценил основную
работу Лобачевского по неевклидовой геометрии, спе-
циально изучил русский язык, чтобы ознакомиться,
с трудами Лобачевского в оригинале и даже провёл Лоба-
чевского в члены Геттингенского учёного общества, он
проявил в вопросе о неевклидовой геометрии необычай-
ную научную трусость, от которой не освободился до
самой своей смерти. Он запрещал своим друзьям что-либо
публиковать по этим вопросам. Этот запрет удручающе
действовал на всех, кто искал его поддержки. Не встре-
тив сочувствия Гаусса, Таурину с сжег своп работы,
Больап впал в апатию и раздражительность, потерял инте-
рес к жизни и научной работе. Тем величественнее высту-
пает перед памп фигура Лобачевского, не убоявшегося
«крика беотийцев» н целиком опубликовавшего свои
воззрения в 1829, 1835, 1836 и 1855 годах в России и
в 1837 и 1840 годах за границей. От этих воззрений он до
самой своей смерти пе отступал пи на шаг.
Хорошо известно, что великое открытие Лобачевского
не было понято его современниками, оно опередило свой
век. Потребовалось около полустолетия для того, чтобы
идеи Лобачевского вошли в математику как сё составная
часть и явились тем поворотным пунктом, который опре-
делил почти весь стиль математического мышления по-
следующей эпохи. Но это произошло уже в то время,
когда творца этих идей не было в живых. При жизни
Лобачевского гениальные его работы по неевклидовой
геометрии большинством математиков замалчивались,
а в «Сыне отечества» за 1834 г. и в немецкой печати появи-
лись даже издевательские статьи о работах Лобачевского.
Однако это не сломило воли Лобачевского, ни минуты,
не сомневавшегося в выбранном им пути. Он не прекращал
работ по неевклидовой геометрии и её приложениям и
незадолго до своей смерти, будучи уже слепым, продикто-
вал своё последнее сочинение «Пангеометрия» — так он
ОСНОВНАЯ ЧЕРТА МИРОВОЗЗРЕНИЯ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 21
называл теперь своё творение «потому, что это означав
геометрию в обширном впде, где обыкновенная геометрия
будет частный случай».
Неверно также утверждение Клейна; некритически
переносимое в нашу литературу, о том, что внимание
математиков к вопросам неевклидовой геометрии было
привлечено исключительно письмами Гаусса, опублико-
ванными после его смерти. Письма Гаусса, несомненно, воз-
буждали интерес к этому вопросу, ио решающее значение
для признания и распространения идей неевклидовой
геометрии принадлежит непосредственно работам Лоба-
чевского и вслед за ними работам Больап. Эти работы
математики смогли достойно оценить значительно позд-
нее пх опубликования. Гаусс же своим молчанием при
жизнп лишь затормозил на десятилетие признание пло-
дотворных идей неевклидовой геометрии.
Отмеченные здесь два неверных представления
имеют непосредственное отношение к вопросу о миро-
воззрении Лобачевского. Первое из них, как было выяс-
нено, находится в прямом противоречии с материали-
стическими установками Лобачевского. Относительно
второго представления, явно извращающего историю,
следует, имея в виду именно вопросы мировоззрения,
добавить следующее. Можно задать вопрос: почему из
всех математиков, в той или иной мере стоявших па пути
открытия неевклидовой геометрии, только один Лоба-
чевский мужественно боролся за новые идеи, в то время
как другие были либо лишь тайными их последователями
(Гаусс), либо такими пх приверженцами, которые после
первых неудач на путях признания впадали в упыние
и отказывались от дальнейшей борьбы (Швейкарт, Таури-
нус, Больап)?
Здесь резко сказывается различие характеров учё-
ных, определяемое их отношением к жизни, к действи-
тельности. Мужественную борьбу за новые смелые идеи
мог вести человек, обладающий передовым последователь-
ным мировоззрением. Такпм человеком как раз и был
ооачевский. Особенно интересно сравнить в этом отно-
шении Лобачевского п Гаусса. Решительно всё — отно-
шение к жизнп, к пароду, к просвещению, к событиям —
Г. Ф. РЫБКИН
22
отличает этих двух гигантов математической мысли. Мы
видим, что Гаусс, великий человек в математике, в своей
обыдённой жизни является обыкновенным фплпстёром —
типичным мелким буржуа. Своё личное спокойное благо-
получие — вот его идеал. Этому идеалу он готов даже
принести в жертву великие идеи, которые разделяет, отка-
зываясь от борьбы за их признание. Множество писем
Гаусса пестрят филистерскими высказываниями. Не таков
был Лобачевский. Великий человек в математике, он и в
обыдённой жизни возвышался над уровнем окружавших
его людей своими передовыми взглядами.
«Мой нрав не таков п правила, чтобы унывать и раскаи-
ваться, когда нельзя помочь чему. Простительным мне
кажется робеть, когда ещё надобно решиться; но когда
дело решено, то нс надобно падать духом»,—пишет
Лобачевский попечителю Казанского учебного округа
М. Н. Мусппу-Пушкину 1 сентября 1827 г., вскоре
после вступления в должность ректора Универси-
тета, когда он увидел всю трудность ноши, которую
взвалил на своп плечи. II это не только слова. Лоба-
чевский— борец, которому чужд пессимизм. Он отдаётся
всем своим существом кипучей деятельности профессора
и ректора университета, благородному делу воспитания
юношества.
Наоборот, у Гаусса мы встречаем сетования на
«тяжёлые времена», его угнетает деятельность профес-
сора, не волнует роль воспитателя молодого поколения.
«Я здесь далёк от того, чтобы быть хозяином своего вре-
мени,— пишет он Бесселю 14 марта 1824 г., — я должен
его делить между академическими лекциями (к которым
я с давних пор питаю отвращение, которое, если не вызы-
вается, то усиливается неотлучным сознанием того, что
я теряю время) и практическими астрономическими рабо-
тами»1). Благородному делу образования Гаусс уделяет
время по необходимости, тогда как Лобачевский отдаётся
ему по призванию. В этом деле Лобачевский видит вели-
кую цель преобразования и возвеличивания своей родины,
О «Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel», Leipzig, 1880,
стр. 428. Курсив мой.—Г. Р.
ОСНОВНАЯ ЧЕРТА МИРОВОЗЗРЕНИЯ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 23
в то время как Гаусс впдпт в нём лишь докучливое бес-
покойство своему Я.
Характерно, что Гаусса не тревожила судьба новых
идей неевклидовой геометрии, лишь бы собственный покои
не был нарушен. Лобачевский же всю жизнь за эти идеи
боролся. Но его тревожило не только это. Он беспокоился
за правильную организацию народного образования, за
экономическое процветание своей родины, за чистоту
родного языка. «Жалким событием нашего времени»
называл он пренебрежение родным языком, столь харак-
терное для высших слоев современного ему общества.
Лобачевский был страстным борцом за возвышенные
идеалы человечества. «Жить, — говорит он, — значит чув-
ствовать... непрестанно новое, которое бы напоминало,
что мы живём... Будем же дорожить жизнию, покуда она
нс теряет своего достоинства. Пусть примеры в истории,
истинное понятие о чести, любовь к отечеству, пробу-
ждённая в юных летах, дадут заранее то благородное
направление страстям п ту силу, которые дозволят нам
торжествовать над ужасом смерти»1). Он требовал от при-
шедшего в университет студента прежде всего, чтобы он
был гражданином, который «высокими познаниями своп-
ми составляет честь и славу своего отечества»2). В соот-
ветствии с этпмп словами находились и дела Лобачев-
ского. Во всем этом виден благородный патриотизм учё-
ного. Разве можно сравнить эти благородные черты Лоба-
чевского с узко мещанским подходом к жизни Гаусса,
который на приглашение приехать на работу в Россию
предоставлял Академпп решить «может ли опа ещё улуч-
шить... условия п тем обеспечить мне положение, при
котором я был бы склонен считать менее тяжким пожерт-
вование моим отечеством...» 3).
Читая письма Гаусса, поражаешься тому обилию
жалоб на «вещп, которых нельзя изменить», па чувстви-
тельность «к неприятным впечатлениям», па «горькие
х) «Речь о важнейших предметах воспитания» («Материалы...»,
2) Там же, стр. 322.
8) Письмо Н. И. фуссу от 20 октября 1802 г. («Труды инстп-*
тута истории науки и техники», 1934» сер. I, вып. 3, стр.‘219—220),
Г. Ф. РЫБКИН
24
стороны жизни» и т. д. Такое жизнеощущение Гаусса,
несомненно, не могло не сказаться и на его отношении
к новым геометрическим идеям. Беспокойство и борьба
за их признание не были в духе Гаусса. Вообще он вся-
чески избегал затрагивать темы, которые моглп бы вызвать
споры и потревожить спокойное течение его жизни. Не
выступив открыто в печати за признание неевклидовой
геометрии, он так и остался до конца своей жизни лишь
тайным сторонником этих идей.
Передовые геометрические взгляды Лобачевского были
в полном соответствии с передовым характером его миро-
воззрения. Этим объясняется тот факт, что Лобачевский
не побоялся, подобно Гауссу, выступить со своими сме-
лыми геометрическими идеями, не отказался от борьбы
за них, подобно Больаи, когда не встретил поддержки
своих идей со стороны других математиков. Не сломили
воли Лобачевского к борьбе и нападки в печати на его
геометрию со стороны рутинёров в науке.
* *
*
По своему мировоззрению Лобачевский был материа-
листом. Правда, у Лобачевского не было специально
философских работ. Однако во всей своей деятельности,
как при разработке научных проблем математики и во-
просов воспитания, так и в качестве практического работ-
ника народного образования, Лобачевский занимал ис-
ходную материалистическую позицию. Основной вопрос
философии об отношении мышления к бытию Лобачев-
ский решал в материалистическом духе. «В природе, —
говорил он, — мы познаём собственно только движение,
без которого чувственные впечатления невозможны. Итак,
все прочие понятия, например геометрические, произ-
ведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойст-
вах движения» *).
Лобачевский твёрдо и последовательно проводил
мысль, что «первыми данными без сомнения будут всегда
те понятия, которые мы приобретаем в природе посред-
*) Полное собрание сочинений, т. II, 1949, стр. 158—159.
ОСНОВНАЯ ЧЕРТА МИРОВОЗЗРЕНИЯ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 25
ством наших чувств»1), что «первые понятия, с которых
начинается какая-нибудь паука..., приобретаются чувст-
вами; врождённым—не должно верить»2), что «мы всеми
нашими понятпямп о телах одолжены чувствам» 3). Этот
сенсуализм Лобачевского носит ярко выраженный мате-
риалистический характер. Для Лобачевского внешний
мир объективен, а наши представления о нём—резуль-
тат воздействия реального мира на сознание человека
через ощущения, чувства. Чувства человека не отго-
раживают его от природы, они связывают его с нею.
Именно поэтому «в основание математических паук могут
быть приняты все понятия, каковы бы они ни былп, при-
обретаемые из природы» и математика «на сих основаниях
по справедливости может назваться наукою точною» 4).
С точки зрения Лобачевского исходные математиче-
ские абстракции представляют собой отражение реальных
свойств материального мира и не могут рассматриваться
как свободные продукты произвола человеческой мысли.
Лобачевский говорит: «Поверхности и линии не сущест-
вуют в природе, а только в воображении: они предпола-
гают, следовательно, свойство тел, познание которых
должно родить в нас понятия о поверхностях и линиях» 5).
Он требует таких оснований в математике, которые
«должны быть несомнптельпые для нас истины, первые
наши понятия о природе вещей, которые, будучи раз
приобретены, сохраняются навсегда, которые неразлучны
с каждым умственным представлением и служат первым
основанием всякого суждения о вещах: таковы-то должны
быть и основания геометрии»6).
Разум для Лобачевского — «известные начала сужде-
ния; в которых как бы отпечатались первые действующие
причины вселенной и которые соглашают, таким образом,
все наши заключения с явлениями в природе» 7). Таким
*) Полное собрание сочинений, т. II, 1949, стр. 1G4.
2) Там же, т. I, стр. 186.
®) «Материалы для биографии Н. И. Лобачевского», стр. 203.
4) Там же, стр. 204.
6) Там же, стр. 177.
°) Там же.
7) Там же, стр. 323.
26
Г. Ф. РЫБКИН
образом, источником наших знаний является реальный
мир, доставляющий материал для показания наших органов
чувств, из которого наш разум, образуя отвлеченные
понятия, черпает пх содержание. Мы приобретаем зна-
ния с помощью разума, но «там останавливается паше
суждение, где перестают руководствовать нас чувства»1).
Ярко выраженную материалистическую направленность
имеют взгляды Лобачевского на соотношение теории
и практики. Критерием истины для Лобачевского слу-
жит опыт, практика. Самую возможность соответствия
построенной им геометрии отношениям, существующим
в реальном мире, Лобачевский стремился подтвердить
опытной проверкой. С этой целью он предпринимал
измерения углов треугольника с вершинами в неподвиж-
ных звёздах. Он считал, что в самых первых понятиях
геометрии «ещё не заключается той истины, которую
хотели доказывать» математики и что эту истину «поверить,
подобно другим физическим законам, могут лишь опыты,
каковы, например, астрономические наблюдения»2).
Принятое исходное положение теории параллельных
в геометрии Евклида (пятый постулат) пли в «воображае-
мой» геометрии Лобачевского (постулат, противоположный
постулату Евклида) «пе есть необходимое следствие
наших понятий о пространстве. Одни опыт только может
подтвердить истину этого предположения». Лобачевский —
математик-материалист, для которого логическая непро-
тиворечивость геометрии ещё недостаточна для того,
чтобы признать её истинной, он требовал практического
подтверждения соответствия её реальным отношениям
физического пространства.
Для Лобачевского цель научного знания состояла
не в развитии оторванных от жизни понятий, а в изучении
реального мира. При этом он прекрасно сознавал необхо-
димость введения новых понятий, определений и допуще-
ний, признавал роль гипотез для развития науки, но
решительно боролся против введения пх как произволь-
ных соглашений. При выборе гипотез оп требовал руко-
*) «Материалы...», стр. 203.
2) Полное собрание сочинений, т. II, стр. 147.
ОСНОВНАЯ ЧЕРТА МИРОВОЗЗРЕНИЯ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 27
водствоваться практикой, которая только п может позво-
лить останавливаться на тех, которые находятся в тесной
связи с практическими приложениями.
Мысль, что опыт, практика дают уверенность в пра-
вильности теоретических выводов, характерна для взгля-
дов Лобачевского. Опа послужила руководящим прин-
ципом во всей его педагогической деятельности, напра-
вленной на укрепление практических тенденций в обра-
зовании. Пассивно созерцательному характеру обучения
в школе он противопоставлял активно действенный. «Всё
должно быть у ученика под пальцами и перед глазами»,—
говорил он1). Цель школьного обучения он видел в том,
что «математике должно учить в гимназиях ещё и с тою
целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были до-
статочны для обыкновенных потребностей в жизни» 2). Та-
ким образом, Лобачевский! не отгораживался от жизни, от
практики, а ради них добивался серьёзных математиче-
ских познаний для юношества.
Материалистическая направленность воззрений Лоба-
чевского сказалась п в том, что ему был чужд взгляд на
науку, как на застывшее зпанпс. Открытием неевклидо-
вой геометрии он расширил рамки наших представлений
о пространстве, вывел геометрию как науку на путь даль-
нейшего развптпя. Само это открытие пс могло произойти
без правильного, материалистического, взгляда на прост-
ранство. Оно родилось в результате смолой ломки мно-
говековых традиций в математике, в результате борьбы
против кантовских идей в философпп.
Лобачевский как материалист был убеждённым про-
тивником кантианства. В основаниях математических
наук должны лежать не произвольные понятия, а «при-
обретаемые из природы». «Те, которые хотели ввести по-
добные (произвольные.—Г. Р.) понятия в математику,
не нашли себе последователей. Такую участь имели осно-
вания форономип Канта...»3).
) «Наставления учителям математики в гимназиях» («Труды
титута истории естествознания», т. II, 1948, стр. 556).
3 ТаМ же, стр. 557.
) «Материалы...», стр. 204.
Г. Ф. РЫБКИН
28
Историческая заслуга Лобачевского состоит в том,
что он смело с материалистических позиций выступил
против идеализма Канта. Борьба против кантовского
априоризма была одной пз важнейших предпосылок
создания неевклидовой геометрии. Пошатнув «незыбле-
мость» основ евклидовой геометрии, Лобачевский нанёс
тяжёлый удар философии Канта, которая в этой «незы-
блемости» и пыталась найтп свою опору, рассматривая
истины геометрии не как результат опыта человечества,
а как врождённые формы человеческого сознания. Лоба-
чевский постоянно подчёркивал никчемность попыток-
вывести всю математику пз одних лишь построений ра-
зума. «Все математические начала, — говорил он, — кото-
рые думают произвести из самого разума, независимо от
вещей мира, останутся бесполезными для математики»...1).
Всю свою жизнь Лобачевский руководствовался этим
убеждением и в соответствии с ним учпл своих учеников.
В «Речп о важнейших предметах воспитания», произне-
сённой 5 июля 1828 г. на торжественном собрании Казан-
ского университета, он со всей страстностью своей натуры
произносил слова Бэкона: «Оставьте трудиться напрасно,
стараясь извлечь пз одного разума всю мудрость; спра-
шивайте природу, она хранит все истины и на вопросы
Ваши будет отвечать Вам непременно и удовлетворитель-
но». В этой программной речи Лобачевский чётко и резко
провозглашает принцип, который кладётся пм в основу
обучения. «Здесь, — говорил он, — в это заведение
вступивши, юношество пе услышит пустых слов без всякой
мысли, одних звуков без всякого значения. Здесь учат
тому, что на самом деле существует, а не тому, что изо-
бретено одним праздным умом» 2).
Столь же страстно выступает Лобачевский и против
формализма, выхолащивающего пз математики и её по-
нятий их реальное содержание и видящего в математи-
ческих знаках и операциях над ними лишь простую игру
символов.
«Для отвлечённых и общих понятии о величине,—
пишет он, —также и для тех действий, которые величины
*) «Материалы...», стр. 204.
а) Там же, стр. 323.
ОСНОВНАЯ ЧЕРТА МИРОВОЗЗРЕНИЯ Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 29
должны соединять между собою, изобретены знаки.
Подобно тому, как дар слова обогащает нас мнениями
других, так язык математических знаков служит сред-
ством ещё более совершенным, более точным и ясным,
чтобы один передавал другому понятия, которые он
приобрёл, истину, которую он постигнул, и зависимость
между всеми частями, которую он открыл. Но так же,
как мнения могут казаться ложно от того, что разумеют
иначе слова, так всякое суждение в маюматнке оста-
навливается, как скоро перестаём понимать под знаком
то, что оно собственно представляет»1).
Эти слова не потеряли своей актуальности и по сей
день, когда в буржуазной науке пышным цветом расцве-
тает формализм, пытающийся лишить математику,
в которой существенную роль играют знаки и операции
над ними, её материалистического смысла. Вообще для
Лобачевского характерна борьба с формальным усвоением
математики, с отказом от выяснения содержательного
смысла математических знаков и операций над нпми.
Прогрессивная роль идей Лобачевского ужо давно
оценена в математике. Но она заключается не только
в том, что открытие неевклидовой геометрии заставило
математиков по иному взглянуть на свою науку, пере-
строить всё здание геометрии. Не менее важна эта роль
материалистическою направленностью исходных уста-
новок Лобачевского, его утверждений, что начальные
понятия и положения пауки должны быть «необходимым
следствием из сущности вещей», направленностью работ
Лобачевского на выяснение материалистического содер-
жания математических понятий и предложений, на рас-
крытие связей геометрии с действительностью, с отражае-
мыми ею свойствами реального мира. Эта материалистиче-
ская направленность творчества Лобачевского делает
его одним из наиболее ярких гениев пауки XIX в.
х) «Наставление учителям математики в гимназиях» («Тру-
Ды-», т. II, стр. 555-556).
О МИРОВОЗЗРЕНИИ II. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
С. Л. Яновская
§ 1. Введение
Задача осветить передовые черты материалистического
мировоззрения великого русского математика II. И. Ло-
бачевского давно назрела. С другой стороны, всё возра-
стающий интерес к отечественной науке, которому мы
обязаны новыми материалами к биографии Лобачевского—
полноценным советским изданием его сочинений, широ-
кой популяризацией его идей, сделал правильное решение
этой задачи вполне возможным. В пашем распоряжении
имеются теперь такие материалы, которые позволяют пол-
ностью разобраться как в математическом содержании ра-
бот Лобачевского, так и в пх методологических основах1).
Обращаясь непосредственно к трудам Лобачевского и
опираясь па новые материалы, мы можем пе только раз-
облачить широко распространяемые в зарубежной ли-
тературе идеалистические «интерпретации» идей нашего
великого соотечественника, по и обратить его передовые
2) См. «Материалы для биографии И. И. Лобачевского», собрал
и редактировал Л. Б. М о д з а л е в с к и й, М,—Л., 1948 (при
дальнейших ссылках па эту книгу будем указывать лишь фамилию
составителя и номер страницы) и новые документы, опубликован-
ные В. М. Нагаевой в статье, помещенной в настоящем сборнике.
Большую помощь читателю оказывают содержательные коммен-
тарии к сочинениям Лобачевского и посвящённые пм труды
В. Ф. Кагана и других советских математиков: П. С. Александрова,
А. II. Колмогорова, II. Г. Чеботарёва, Г. Л. Лунца, II. Г. Башма-
ковой и А. П. Юшкевича и др.
о МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО
31
орудие борьбы против «математического» идеал из-
мяСП<!>ормал113ма и схоластики, всё более и более агрес-
сивно овладевающих математиков в странах разлагающе-
гося капитализма.
Освещению материалистического мировоззрения Ло-
бачевского советскими исследователями уже положено
начало. В книгах, посвящённых Лобачевскому, приво-
дятся известные высказывания великого учёного, харак-
теризующие его материалистические убеждения, его борь-
бу с идеалистическими взглядами Канта на природу про-
странства п па аксиомы геометрии, освещается отличие
его передового, смелого общественного лица от лица
такого великого математика, по в то же время осторожного
мещанина и обывателя, каким был Гаусс. По всё же ма-
териал, относящийся к интересующей нас теме, пока ещё
отнюдь нельзя считать исчерпанным.
О мировоззрении великого русского математика нель-
зя судить только по его философским высказываниям.
Необходимо привлечь его математические труды и осве-
тить характерные для него приёмы и методы исследования.
Необходимо рассматривать их при этом в связи с истори-
ческой обстановкой, в которой они были созданы, в связи
с классовой борьбой и обусловленной ею борьбой миро-
воззрений, в которой сложились революционные научные
идеи Лобачевского. В применении к Лобачевскому это
особенно существенно потому, что с «лёгкой руки» иде-
алиста Пуанкаре даже в кругах демократической интел-
лигенции Лобачевского часто представляют гениальным
одиночкой, увлёкшимся чисто логической «умственной
игрой» в «воображаемую» геометрию по причине отсутст-
вия в «глухой» Казани сколько-нибудь серьёзной матема-
тической проблематики. Разоблачить этот идеалистиче-
ский поклёп па русскую науку и одного пз её великих
представителей, проследить идущую от М. В. Ломоносова
материалистическую л пилю в русском естествознании
и математике, приведшую к революционному открытию
о ачевского, является благодарной задачей советских
следователей. К сожалению, к такого рода псслсдова-
вопи МЫ ПОКа ещё только приступаем. В сущности, даже
рос о борьбе Лобачевского с кантианством, о котором
32
С. А. ЯНОВСКАЯ
написано больше всего, нельзя считать полностью
освещённым.
Против Канта можно выступать и слева, п справа.
Махисты критикуют Капта справа, да ещё пытаются при
этом опереться на Лобачевского, которого они издева-
тельски переряжают с этой целью в эмпирика-субъек-
тивиста. Аналогичные махинации над передовыми идеями
Н. И. Лобачевского проделывают и другие наши враги
из лагеря идеологов империалистической агресспп —все-
возможные логисты, логические позитивисты и т. п. Осве-
щение выступления Лобачевского против кантовского
априоризма не следует отрывать поэтому от его борьбы
с субъективно-идеалистическими эмпириками типа пози-
тивиста Милля. Отнюдь не один только Кант, но и его
«противник» Милль, настаивавший на опытном происхо-
ждении аксиом геометрии, но трактовавший «опыт»
идеалистически, писал (через 20 лет после того, как гео-
метрия Лобачевского была создана!), что законы чисел
и законы пространства «во все времена... были типом
достоверности, мерою сравнения для всех низших степе-
ней доказательства. Их неизменность до того совершенна,
что делает нас неспособными даже представить себе какое-
либо исключение из этих законов»1). «Самой замечатель-
ной особенностью» «истин геометрии» Милль считает то
что «они никогда, ни в одном случае, ни при какой пере-
мене обстоятельств не перестают быть неопровержимым!
и приложимыми» 2).
Иден неевклидовой геометрии Лобачевского, такт
образом, столь же несовместимы с субъективно-идеалистп
ческим эмпиризмом Милля, обосновывавшего абсолютную
неизменность аксиом геометрии и логики незыблемостью
«условий нашего существования» (не капитализма ли?!)
как и с трансцендентальным идеализмом Канта. Освеща)
борьбу Лобачевского с последним, мы не должш
забывать поэтому, что Лобачевский боролся с Как
*) Д. С. Милл ь, Система логики, С.-Петербург, 186"
т. I, стр. 375.
2) Там же, стр. 377. Речь идёт, конечно, о геометри
Евклида.
о МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
33
том слева, что его выступление против Канта не имеет
ничего общего с выступлениями позитивистов и
махистов.
Аналогично обстоит дело в ряде других вопросов,
связанных с мировоззрением Лобачевского. Лобачевский
борется не только с Кантом. В создании им неевклидовой
геометрии значительную роль играла его страстная
борьба с Лежандром за научную математическую стро-
гость. Освещение этой борьбы Лобачевского за строгость
с одним из наиболее авторитетных математиков его
времени для нас тем более существенно, что та стро-
гость, за которую боролся Лобачевский, не имеет ни-
чего общего с формалистическим пониманием требова-
ния строгости, характерным для «математического»
идеализма.
Вопреки утверждениям Пуанкаре, будто до работ
его —Пуанкаре — и Клейна геометрия Лобачевского была
только «пустым логическим упражнением», Лобачевский
пришёл к своему открытию, исходя из примата опыта
и практики над логикой.
Настаивая на опытном происхождении геометрии и
эпытном же решении вопроса о том, какая именно гео-
метрия справедлива для физического пространства, Лоба-
чевский подходил к математике как естествоиспытатель.
Он был передовым естествоиспытателем-материалистом
не только в математике. В физической оптике ему принад-
лежит гениальное предвидение возможности объединения
волновой теории с квантовой теорией излучения. Ему
принадлежат теоремы, относящиеся к способам опреде-
ления звёздного параллакса в астрономии. Он был искус-
ным* экспериментатором и изобрёл термометр для изме-
рения температуры почвы. Он глубоко интересовался
вопросами сельского хозяйства и считал, что «Пенза
хорошо выбрана местом для садоводства» именно потому,
что садоводству «принуждены здесь учиться как искус-
ству, тогда как в южной России, на согретой почве, под
собаГОПРИятль1- ыебом нс нуждаются и пренебрегают по-
ДЛЯ ПРИРОДЫ» без того богатой растительной силой»
1 ™Т °б экспедпции в г. Пензу для наблюдения солнеч-
ного затмения»).
нсторцко.матем> исследования
34
С. А. ЯНОВСКАЯ
Как понятны эти слова Лобачевского его потомкам,
живущим в таком обществе, плановая социалистическая
организация которого впервые на деле позволила поло-
жить в основу развития всей советской науки девиз Мичу-
рина: «Мы не можем ждать милостей от природы: взять их —
наша задача!»
Для характеристики материалистических взглядов
Лобачевского и его участия в борьбе с идеалистическими
влияниями в русском естествознании показательно отно-
шение Лобачевского к известному физиологу Веллапскому
и его последователям, распространявшим у пас пдеи
Шеллинга. Высмеивая их идеалистические спекуляции
в медицине, Лобачевский остроумно изобличал их в том,
что они с равным успехом «уповательно» могут «растолко-
вать по системе Шеллинга и языком Велланского», как
свой запрет больным употреблять в пищу цыплят, теля-
тину и свежие фрукты на том основании, что «избыток
организма молодых животных и сочных плодов подавляет
и без того ослабленные силы в болезненном теле», так
и прямо противоположные предписания. «Если б эго случа-
лось наоборот, тогда бы они сказали, что жизнь, скрытая
в пище, присоединяется к нашей и что поэтому кушанье
из молодых растений или животных самое здоровое должно
быть и бывает. Со временем узнаем лучше тайны природы
и потомство не будет уже столько страдать от болезней
и лекарей»1).
Это же стремление раскрыть тайны природы для того,
чтобы практически овладеть ею, руководило Лобачев-
ским и в его математическом творчество. Именно поэтому
его передовые идеи, относящиеся к вопросам методологии
математики, не утратили значения и в наши дни.
В борьбе с идеалистическими искажениями идей Лоба-
чевского, с формалистическими спекуляциями на аксио-
матическом методе современной математики в наши дни
звучит особенно актуально пламенная аргументация Ло-
бачевского за исключение из науки лишь случайных истин
и произвольных допущений, борясь с которыми он созда-
вал свою геометрию.
х) Л. Б. М о д з а л е в с к и й, стр. 297.
35
о МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
М и Лобачевского о соотношении анализа и синтеза
_ математике позволяют нам лучше разобраться в реаль-
ном смысле математических исчислений,, в характере
границах отражения материальной действительности
средствами математики, в вопросе о происхождении основ-
ных математических понятий из их прообразов в природе.
Крупнейшее значение для материалистической фило-
софии математики имеют идеи Лобачевского, относящиеся
к вопросу о происхождении и реальном содержании аб-
страктных понятии математики, таких как понятия гео-
метрического тела, поверхности, линии, точки, размер-
ностей геометрического пространства, длины, плои^ади,
объема (вообще сущности математической величины и из-
мерения), прямой, плоскости, угла, предела, числа, опера-
ции, функции и многих других, над которыми задумы-
вался Лобачевский. Не менее важную роль играют идеи
Лобачевского, положенные им в основу развития и обобще-
ния математических понятий и операций; его борьба
за материалистический подход к математическим опреде-
лениям и за исключение элементов произвола пз распро-
странения определений математических понятий на слу-
чаи, для которых эти понятия еще не были определены;
выяснение им смысла «воображаемых» объектов матема-
тики; рациональное зерно его теории мнимых н ирра-
циональных чисел.
Несомненный интерес представляет выяснение ряда
вопросов методологического характера, связанных с мате-
матическим творчеством Лобачевского, но по нашедших
ещё окончательного решения и поэтому до сих пор остаю-
щихся невыясненными пли спорными.
Почему Лобачевский по-разному определяет тригоно-
метрические функции в «Алгебре» и в «Новых началах
геометрпи»? В какой мере ему действительно удалось обо-
сновать непротиворечивость его геометрии? Существует
ли на самом деле порочный круг в момуаре Лобачевского
«Воображаемая геометрия»? Зачем Лобачевский обер-
нул в этом мему аре путь, которым он шёл в предшествую-
щем мемуаре «О началах геометрии», начав теперь сразу
с заключительных уравнении (первой части) предыдущего
мемУара? Каково действительное отношение Лобачевского
3*
36
С. А. ЯНОВСКАЯ
к вопросам непротиворечивости, независимости и полноты,
связываемым в паши дни с аксиоматическим методом
математики? Есть ли, н если есть, то в чём именно состоит
методологическое различие в подходе к неевклидовой
геометрии между Лобачевским и Больап? Как сказалось
оно на результатах математического творчества каждого
пз них? Почему Лобачевский назвал свой первый труд
по неевклидовой геометрии «Сжатым изложением начал
геометрии со строгим доказательством теоремы о парал-
лельных линиях»? О какой «теореме» здесь могла' итти
речь, если на самом деле содержание этого труда состояло
в построении неевклидовой геометрии, и, следовательно,
недоказуемость евклидова постулата о параллельных была
уже обнаружена Лобачевским? Какую эволюцию претер-
пели методологические взгляды Лобачевского от его пер-
вых попыток доказать V-й постулат Евклида до его «Пан-
геометрип»?
Список таких вопросов можно было бы значительно
увеличить. Сейчас для пас существенно отметить, что ми-
ровоззрение Лобачевского нельзя правильно осветить,
не обращаясь к его педагогической и общественной
деятельности, к его патриотическим убеждениям и харак-
терному для него возмущению рабским преклонением
господствующего класса царской России перед всем
иностранным, в том числе к его негодующему отзыву о
«жалком событии нашего времени, что в лучшем сословии
пренебрегают своим языком и тщеславятся познанием
иностранного».
Почти каждая из намеченных здесь тем, — число кото-
рых, повторяю, можно значительно увеличить,—могла бы
вырасти в самостоятельную работу. Ряд вопросов, к тому
же, может получить окончательное решение только в ре-
зультате критического обсуждения уже предложенных
или предлагаемых решений.
В качестве материала для такого обсуждения автор
предлагает цикл статей по затронутым в настоящем вве-
дении вопросам под общим заглавием «О мировоззрении
Лобачевского». Первые две статьи из этого цикла следуют
ниже. Необходимо отметить тут же, что хотя каждая из
них представляет собой законченное целое, многие во-
о МИРОВ°ЗЗГЕНИИ Н- П- ЛОБАЧЕВСКОГО________37
пппсн получают достаточное освещение лишь в сопоста-
нуиы другими статьями из намеченного цикла.
^Целесообразнее всего рассматривать все эти статьи
поэтому только как параграфы одной работы.
И всё же предлог «о», с которого начинается заглавие
цикла не является случайным. Автор пе претендует на
полное освещение всего круга проблем, связанных с миро-
воззрением Лобачевского; его задачей прежде всего
является выяснение на ряде примеров значения, которое
могут иметь передовые идеи Лобачевского для^ борьбы
с идеализмом в математике. Примеры должны быть по-
добраны таким образом, чтобы с их помощью последова-
тельно выявлялись, наполняясь все большим и большим
содержанием, основные материалистические черты миро-
воззрения Лобачевского и характерные для них элементы
стихийной диалектики. К ряду вопросов, лишь бегло за-
тронутых вначале, придётся поэтому возвратиться слова
в дальнейшем тексте статей.
Автор надеется, что в результате коллективной работы,
основанной на творческих принципах критики и самокри-
тики, советским исследователям скоро удастся написать
книгу, достойную заглавия: «Передовое материалистиче-
ское мировоззрение великого русского математика Н. И. Ло-
бачевского».
§ 2. Борьба Лобачевского против произвольных
допущений в геометрии
1. В буржуазной литературе по неевклидовой геометрии
широко распространено представление, что великое
открытие Лобачевского якобы обосновывает «право» мате-
матика строить геометрию, исходя из любых произволь-
ных допущений. Идеологический смысл этих спекуля-
ции ясен. Достаточно привести какое-нибудь из типич-
ных высказываний этого рода, чтобы убедиться в том,
что речь идёт о попытке идеализма использовать рево-
юционное открытие Лобачевского в целях борьбы про-
Темат^е-РеД’Т’ВОГО~~МаТер11аЛЫСТИческого“подхода к ма"
пеакпиКе* 1аково’ напрпмер, утверждение американского
онера Белла, который в своей шумной, построен-
38
С. А. ЯНОВСКАЯ
ной на «принципах» рекламы империалистической идео-
логии, книге «Развитие математики» пишет: «вплоть до
... смелых творений Лобачевского и Больаи может быть
непосредственно прослежена распространённая (1945)
оценка математики как произвольного творения мате-
матиков. В точности тем же способом, каким романист
придумывает характеры, диалоги и положения, для ко-
торых он является одновременно и автором и хозяином,
математик изобретает по произволу постулаты, на ко-
торых он основывает своп математические системы»1).
Ничего нового здесь, конечно, нет. Субъективно-иде-
алистическую сущность этого формалистического паск-
виля— неверного, кстати, по отношению не только к пере-
довому математику, но и к передовому романисту— в пол-
ной мере выразил уже Пуанкаре, заявивший по поводу
«необычных» геометрпп, что «чем более этп построения
удаляются от самых обычных концепций и, следовательно,
от природы п приложений, тем яснее видно для нас, что
может сделать человеческий ум, когда он всё более и
более освобождается от тирании внешнего мира».
Трудно вообразить себе что-либо более несоответству-
ющее действительности, чем такого рода идеалистиче-
ские поклёпы на значение и смысл действительно смелого,
открыто материалистического творения Лобачевского! До-
статочно обратиться к трудам нашего великого сооте-
чественника, к его научному наследству, чтобы увидеть,
что эти труды отнюдь не утратили значения п в наши
дни, что и сейчас передовые идеи Лобачевского предста-
вляют собой действенное орудие в борьбе с формалисти-
ческими, идеалистическими извращениями математики и
её истории.
Именно так обстоит дело п в рассматриваемом случае.
Вопреки проникающим подчас даже в нашу среду утвер-
ждениям, будто революционная заслуга Лобачев-
ского состояла в том, что он впервые ввёл в математику
«условно принятую аксиому», Лобачевский страстно
боролся против всякого «сочинительства» произвольных
х) Е. Т. Bell, The development of mathematics, Нью-Йорк—
Лондон, 1945, стр. 330.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 39
постулатов и допущения каких-либо неоправдан-
ных аксиом. (Замечательно, что п венгерский мате-
матик Я. Больап, «Аппендикс» которого, содержа-
щий элементарную часть гиперболической геометрии,
вышел в свет через 3 года после первой публикация
Лобачевского, — пришёл к неевклидовой геометрии,
исходя из задачи освободить геометрию Евклида от
«необоснованного постулата».)
Больше того, Лобачевский открыл свою геометрию,
не только не «освобождаясь» «от тирании внешнего
мира», а наоборот, сознательно поставив перед собой
задачу выяснить происхождение основных понятий гео-
метрии из их прообразов в ма-
териальном мире, из природы.
На материале, подтверждаю-
щем эти положения, мы сейчас
остановимся более подробно.
ь
а
Черт. 1.
2. Об особом положении, ко-
торое занимал в «Началах»
Евклида постулат о параллель-
ных, написано очень много.
Напомним всё же ещё раз некоторые обстоятельства.
Рассмотрим два предложения (см. черт. 1):
1) если две прямые а, b пересечены третьей прямой
с так, что сумма внутренних односторонних углов при
секущей равна двум прямым углам, то прямые а, b
параллельны,
2) если прямые а, b параллельны, то сумма внут-
ренних односторонних углов при секущей равна двум
прямым углам.
Первое доказывалось Евклидом с помощью целой це-
почки теорем, не предполагавших никакого постулата о
параллельных, второе же было по существу только видо-
измененной формулировкой V постулата (постулата о
араллельных), принятого Евклидом без доказательства.
ДеЛаТ0 >Ке было в этом втором предложении такого, что
вопрос е>Г° Не нУжДа1°Щпмся в Доказательстве? — Этот
ков₽ т есТ?ственно Должен был возникнуть у математи-
’ ом более, что формулировка самого V постулата
40
С. А. ЯНОВСКАЯ
была отнюдь не более проста. Содержащееся в этом посту-
лате утверждение не имеет финитного характера. Оно
гласит только, что две прямые а, Ь, пересечённые третьей
с так, что сумма внутренних односторонних углов при
секущей не равна двум прямым, обязательно пересекутся,
будучи достаточно продолжены, — и притом с тон стороны
секущей, с которой сумма внутренних односторонних
углов меньше двух прямых (см. черт. 2). Но постулат не
даёт никаких указаний насчёт того, насколько далеко
достаточно продолжать прямые а, Ь, чтобы заведомо
добраться до точки пх пересечения. Он представляет
с собою, таким образом, так назы-
/ ваемое «чистое» утверждение су-
* шествования, пе проверяемое в
Г '—.р пределах какого-нибудь • зара’нее
/ ограничиваемого — хотя бы по осо-
— А_______________а бому в каждом особом случае —
/ участка плоскости1).
' Неудивительно, что этот по-
Черт. 2. стулат издревле привлекал к себе
внимание математиков, упорно
пытавшихся доказать его. Неудивительно, что и молодой
Лобачевский начал с попытки доказательства этого по-
стулата. Однако по сравнению с его предшественниками
у Лобачевского было решающее преимущество, состоявшее
в материалистическом характере его исходных установок.
Дело в том, что не один только постулат о параллель-
ных не удовлетворял Лобачевского в системе «Начал»
Евклида. Лобачевский был неудовлетворён тем, что за
2000 лет, протекших со времён Евклида, происхождение
абстрактных понятий геометрии пз свойств материальных
тел природы так и оставалось невыясненным. Именно
эту невыясненность Лобачевский и считал причиной за-
стоя в геометрии, именно в ней прежде всего видел объ-
яснение того, «что эта наука, поскольку опа пе перехо-
дит в анализ, до настоящего времени не вышла ни на одни
шаг за пределы того состояния, в каком она к нам пе-
х) Именно в этом смысле он и не является «финитным», т. е.
предполагает бесконечность по существу.
о М11РОВОЗЗРЕН1Ш И. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 4J
пошла от Евклида»1)- Поверхности и линии, — говорил
тт* я некий,__предполагают «свойство тел, познание ко-
ЛЪоаче рОдПть в пас понятия о поверхностях и
Т°шиях. Никто до сих пор пе предпринимал труда восхо-
Л ть к сим источникам, и основания геометрии остаются
тёмными; а после этого пе мудрено, что в пен и многое не
выдержит строгого разбора»2). «Пространство, протяже-
ние место, тело, поверхность, линия, точка, направле-
ние* угол___слова, которыми начинают Геометрию, по
с которыми никогда пе соединяют ясного понятия», — так
писал он в другом месте. «Если в точке пет ни одного
протяжения, то что же в ней остаётся затем, чтоб опа мо-
гла быть предметом суждения?» — спрашивал он. И тут
же замечал, что «темноту в понятии здесь производит
отвлечённость, которая в применении к действительным
измерениям делается лишней, а следовательно, в самую
теорию введена напрасно. Поверхности, линии, точки,
как их определяет Геометрия, существуют только в пашем
воображении; тогда как измерение поверхностей п линий
производим, употребляя к тому тела. Вот почему стоит
только говорить о поверхностях, линиях и точках, как их
в действительном измерении разуметь должно, и тогда
будем уже держаться тех самых понятны, которые с пред-
ставлением тел в нашем уме непосредственно соединены,
к которым наше воображение приучено, которые можем
поверять в природе прямо, пе прибегая наперёд к Дру-
гим, искусственным п посторонним. По с этими новыми по-
нятиями наука в самом начале получает другое направ-
ление...»3).
Обратившись к материальной действительности, к те-
лам природы и практике действительных измерений для
ответа па вопрос о сущности всех — в том числе и самых
обычных, обиходных абстракций геометрии, таких, как точ-
ка, прямая, линия, поверхность и др., — Лобачевский
вышел, таким образом, из узкого круга традиционных
представлений, довлевших над его предшественниками.
J) Полное собрание сочинений, М.—Л., 1946, т. I, стр. 79.
“) Конспект по преподаванию на 1824/25 уч. гот (\1 о чз а-
Левскии, стр. 177). ' 4
°) Полное собрание сочинений, т. II, 1948, стр. 162—163.
KL
С. А. ЯНОВСКАЯ
Геометрия предстала перед нпм в новом свете. Многое,
казавшееся совсем простым, оказалось очень трудным,
и Лобачевский пришёл к необходимости тщательной про-
верки всех, в том числе и самых привычных, положений.
Нельзя не вспомнить в этой связи замечательных слов
Ленина, относящихся к классической работе Энгельса «Про-
исхождение семьи, частной собственности и государства».
«Как все великие революционные мыслители, — пишет
Ленин, — Энгельс старается обратить внимание сознатель-
ных рабочих именно па то, что господствующей обыватель-
щине представляется наименее стоящим внимания, наибо-
лее привычным, освящённым предрассудками не только
прочными, но, можно сказать, окаменевшими»1).
Представители буржуазной идеологии — не только Кант,
но и его «противник» Милль — не случайно пытались ис-
пользовать «прочность» привычных понятий п положений
геометрии Евклида в целях пропаганды идеализма! Пе слу-
чайно исходивший из материалистических установок Ло-
бачевский пришёл к необходимости пересмотреть самые
привычные геометрические представления!
Неудивительно, что в этой связи его внимание было
в первую очередь привлечено к таким предложениям
евклидовой геометрии, которые выступали в ней лишь
как необоснованные допущения.
3. Постулат Евклида о параллельных не удовлетворял
Лобачевского именно потому, что выступал как «произ-
вольное предположение». Все решительно положения, эк-
вивалентные этому постулату, которыми математики —
сознательно пли бессознательно — пытались заменить его,
не устрапвалп Лобачевского опять-такп потому, что пред-
ставлялись недостаточно обоснованными. Критикуя, по
существу, Евклпда за то, что, не будучи в состоянии до-
казать свой постулат, он ввёл его как произвольное допу-
щение, Лобачевский добавлял: «Евклидовы последователи
затрудняли только предмет дополнительными положени-
ями, либо произвольными, либо совсем тёмными, стараясь
Ч В. И. Ленин, Государство и революция, Госполитиздат,
1949, стр. 9.
о МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
43
, на
Лобачевш
убеждать в справедливости принятой истины, которую по
существу самой Геометрии доказывать невозможно»1).
Этот же упрёк в недостаточной обоснованности на-
правлен Лобачевским против Лежандра за попытку послед-
него найти выход пз трудности, прибегнув «к вспомогатель-
ным предложениям, которые он без основания старает-
ся изобразить как необходимые аксиомы»2).
Наиболее убедительным среди таких «вспомогатель-
ных» предложений, эквивалентных V постулату Евклида,
Лобачевскому представлялся так называемый «принцип
однородности» Лежандра, согласно которому стороны тре-
угольника не могут определяться его углами, т. е. долж-
ны существовать подобные, но не равные друг другу тре-
угольники. В отлпчпе от постулата Евклида, этот «прин-
цип» уже не носит трансфинптпого характера. Иными
словами, он проверяем (в пределах точности измерений)
и в конечном участке плоскости, что побуждает Лобачев-
ского заметить по его поводу, что «здесь простота в по-
нятии близка даже к первой нашей опытности»3). Однако
и этот «принцип» не удовлетворял Лобачевского потому,
что на поверку оказывался всё же произвольным.
«В теории параллельных, — пишет он, — думали принять
ещё за основание, что в треугольниках углы должны
зависеть от содержания [т. е. от отношения. — С, Я.] сто-
рон. С первого раза такое положение кажется столько же
простым, сколько необходимым; но когда вникаем в наши
понятия, откуда берёт оно своё начало, то принуждены
называть его так же произвольным, как и все другие,
к которым до сих пор прибегали»4).
Наконец, в «Пангеометрип» Лобачевский прямо утвер-
ждал, что никакие произвольные положения, сколь бы
простыми они ни представлялись, пе могут быть допущены
в геометрию именно потому, что они произвольны. «По-
Т1гттт’~ которых основывают начала геометрии, — пишет
<ий, — недостаточны, чтобы отсюда вывести до-
) Полное собрание сочинений, М.—Л., 1949, т. II, стр. 267—268.
) Там же, т. I, стр. 79.—Курсив мой.
J Поч., т. И, стр. 161.
) Полное собрание сочинений, т. II, 1949, стр. 158.
С. Л. ЯНОВСКАЯ
казательство теоремы: сумма трёх углов прямолинейного
треугольника равна двум прямым; теоремы, в справед-
ливости которой до сих пор ипкто не сомневался, потому
что не встречают никакого противоречия в заключениях,
которые отсюда выводятся, и потому что измерение уг-
лов в прямолинейных треугольниках согласуется в пре-
делах ошибок самых точных измерении с этой теоремой.
Недостаточность начальных понятий для доказательства
приведённой теоремы принудила геометров допускать пря-
мо или косвенно вспомогательные положения, которые,
как ни просты кажутся, темне менее произвольны и, сле-
довательно, допущены быть не могут,»А).
4. В чём состоит однако по Лобачевскому произволь-
ность «принципа однородности», если он сам признаёт,
что этот принцип по только прост, но и близок даже «к
первой нашей опытности»? — Чтобы ответить па этот
вопрос, нам придётся остановиться несколько более по-
дробно на сущности «принципа однородности».
Принцип этот утверждает, что в зависимости между
собою могут находиться только однородные предметы:
числа могут быть в зависимости только с числами, вели-
чины одного рода только с величинами того же рода.
Если V постулат Евклида неверен* 2), то треугольник
должен полностью определяться его углами (на послед-
ние накладывается при этом единственное ограничение:
чтобы сумма пх была меньше двух прямых). Но величина
угла, независимо пи от какого постулата о параллельных,
может быть определена чисто геометрически. Так, пря-
мой угол определяется в геометрии Евклида, как один
из двух равных смежных углов. В соответствии с этим
ко всякому углу можно отнести измеряющее его число,
выбрав за единицу измерения какой-нибудь определя-
емый геометрически угол. Для отрезков в геометрии
Евклида этого нельзя сделать. Эталон длины можно опре-
делить только эмпирически, поместив его, как таковой,
i) Н. И. Лобачеве к и й, Полное собрание сочинений по
геометрии, Казань, т. I, стр. 409.—Курсив мой.
2) Один только V постулат; все же остальные аксиомы евкли-
довой геометрпп предполагаются остающимися в силе.
о МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО£5
в Палате мер и весов. Однако, если бы постулат Евклида
был неверен, то и отрезок можно было бы определить гео-
метрически. Для выбора единичного отрезка достаточ-
но было бы, например, воспользоваться стороной
какого-нибудь равностороннего треугольника, углом кото-
рого эта сторона п определялась бы. Но в таком случае,—
рассуждал Лежандр, — оказалось бы, что числом, изме-
ряющим угол1), определялось бы не число, а отрезок. Ины-
ми словами, такие «разнородные» вещи, как отвлечённое
число и конкретный отрезок, оказались бы в зависимости
друг от друга. (В геометрии Евклида этого не получается,
так как углами треугольника здесь определяются только
отношения сторон, т. е. числа.)
Но почему же этого по может быть? — спрашивает Ло-
бачевский. Не постигая сущности явления, мы, с его
точки зрения, «не можем утверждать, будто в отно-
шение [зависимость. — С. Я.] разнородных величин между
собою должны только входить их содержания [отноше-
ния.— С. Я.]». И он ставит вопрос прямо: «Допуская
зависимость от содержания, почему не предполагать и
зависимости прямой?»2). Что даёт нам основания отвер-
гать одно предположение в пользу друго! о?
Для ответа на этот вопрос Лобачевский обращается
к природе и здесь обнаруживает случаи зависимости
между разнородными величинами. «Некоторые случаи,—
пишет он, — говорят уже в пользу такого мнения [т. е.
возможности обоих предположений—С. Я.]: величина
притягательной силы, например, выражается массою, раз-
делённой на квадрат расстояния... Теперь спрашивается,
как же расстояние производит эту силу? как эта связь
между двумя столько разнородными предметами суще-
ствует в природе?» Этого, — говорит он, — мы не знаем,
«но когда верно, что силы зависят от расстояния, то
линии могут быть также в зависимости с углами. По край-
ней мере разнородность одинакова в обоих случаях...»3).
ВыбРав Раз навсегда единицу измерения для углов. Лежандр
ождествлял в дальнейшем угол с измеряющим его числом.
) Полное собрание сочинений, т. II, 1949, стр. 159.
) Там же, стр. 159-160.
46
С. А. ЯНОВСКАЯ
Если же в природе и разнородные предметы могут на-
ходиться в зависимости друг от друга, то исключать та-
кую возможность из геометрии, по Лобачевскому, и зна-
чит вводить произвол в науку. Ибо наука обязана иссле-
довать все реально существующие возможности.
Материалистический характер аргументации Лобачев-
ского ясен уже пз приведённого места. На роли материали-
стического подхода Лобачевского к вопросу о функцио-
нальной зависимости, позволившего ему — за несколько
лет до Дирихле, — развить понятие математической функ-
ции, мы ещё остановимся в дальнейшем. Здесь нам важно
отметить, что Лобачевский не ограничивается общими
соображениями, доказывающими неосновательность аргу-
ментации Лежандра. Он приводит доводы физического
характера, непосредственно свидетельствующие о том, что
V постулатом во всех его формах — в том числе и в виде
«принципа однородности» — по произволу отсекаются не-
которые возможности, носящие отнюдь не «чисто» логи-
ческий характер.
«В природе. — говорит Лобачевский, — мы познаём соб-
ственно только движение, без которого чувственные впе-
чатления невозможны. Итак, все прочие понятия, напри-
мер геометрические, произведены нашим умом искус-
ственно, будучи взяты в свойствах движения»1). Для
Лобачевского это означает, что геометрические свойства
пространства находятся в зависимости от физических
свойств тел2), познаваемых нами в их движении, и могут,
следовательно, меняться с изменением этих физических
свойств. «После чего, — продолжает Лобачевский, — в на-
шем уме не может быть никакого противоречия, когда мы
допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной,
другие своей особой Геометрии»3). И он тут же высказы-
вает предположение, что его «воображаемой» геометрии
«может быть следуют молекулярные силы». Правда, это
J) Полное собрание сочинений, т. II, 1949, стр. 158—159.
2) «Мы познаём в природе одни только тела» (М о д з а л е в-
с к и й, стр. 204), — пишет Лобачевский, подчёркивая, что другие
геометрические понятия образуются через выделение свойств
и соотношений тел, обнаруживаемых ими в их движении.
8) Полное собрание сочинений, т. II, 1949, стр. 159.
о МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 47
пока только предположение, «для подтверждения кото-
рого надобно поискать других убедительных доводовх)»,
но ведь речь и идёт пока лишь о допустимости таких
предположений, о том, что прн наличии такого рода воз-
можностей противоположное допущение не может рас-
сматриваться как обладающее характером необходимости.
Но сслп оба допущения — и постулат Евклида, и его
отрицание — недостаточно обоснованы, в науке же, по Ло-
бачевскому, никакие произвольные предположения не-
допустимы, то какой выход из этого положения пред-
лагает Лобачевский? — К ответу па этот вопрос мы сейчас
и перейдём.
5. За то, что Лобачевский пришёл к своей геометрии,
исходя из задачи исключить нз геометрии Евклида необо-
снованное в ней, произвольное, допущение, говорит, на
наш взгляд, уже то обстоятельство, что свой первый
доклад, посвящённый созданной им неевклидовой геомет-
рии, который он сделал И февраля (по ст. ст.) 1826 г., Лоба-
чевский назвал: «Сжатое изложение начал геометрии со
строгим доказательством теоремы о параллельных ли-
ниях». «Теоремы», а не «постулата» — потому что постулат
кладётся в основу науки без обоснования, а Лобачевский
считал своё учение о параллельных строго обоснованным
и не содержащим никаких произвольных допущений.
Как уже было выяснено, постулат о параллельных за-
ведомо не принадлежал, по Лобачевскому, к числу «несо-
мнптельных истин» геометрии. Но на основе материала,
которому ои посвятил первые шесть глав своих «Новых
начал геометрии с полной теорией параллельных» и ко-
торый фактически сводился к допущению свободного
движения твёрдого тела и бесконечности пространства,
Лобачевский получал возможность дать такую — обобщён-
ную— формулировку постулату о параллельных, необ-
ходимость которой он уже брался доказать.
С этой целью он прежде всего доказывал ряд теорем
о сумме углов треугольника, которыми исключалась ги-
^Полное собрание сочинений, т. II, 1949, стр. 159.—Этой
Фразой заканчивается абзац, содержащий аргументацию в пользу
приведенного предположения.
48
С. А. ЯНОВСКАЯ
потеза, что эта сумма может быть больше двух прямых,
и отделялись друг от друга две другие гипотезы: 1) что
сумма углов треугольника равна двум прямым, или
2) что опа меньше двух прямых. Эти теоремы были известны
ещё Лежапдру1). Теорему о том, что сумма углов тре-
угольника должна быть равна двум прямым во всяком
треугольнике, если она равна двум прямым хотя бы
в одном из треугольников, Лобачевский получил незави-
симо от Лежандра, как одну из лемм ого «теоремы о па-
раллельных», доложенной им в 1826 г. Действительно,
мы читаем у Лобачевского: «В записках Французской
Академии 1833 года прибавил он [речь идет о Лежандре.
—С. Я.] ещё предложение, что сумма углов должна быть
тг во всех треугольниках, если такова в одном только.
То же мне надобно было доказывать и в моей теории,
которую писал я в 1826 году»2).
После этого самая «теорема о параллельных» могла
примерно означать следующее: обе возможности 1) и та,
что сумма углов треугольнпка=тс и 2) та, что эта сумма
< имеют научный смысл. Первой соответствует гео-
метрия Евклида, у потребительная, как её называет Ло-
бачевский. Второй — геометрия Лобачевского, вообража-
емая, в его терминологии. Постулат Евклида о параллель-
ных является произвольным допущением потому, что
он но произволу отсекает вторую из этих двух возмож-
ностей.
Между тем вторая возможность более обща, чем пер-
вая, потому что первая является её предельным слу-
чаем, осуществляющимся— с любой! наперёд заданной сте-
пенью точности — в пределах протяжений, достаточно ма-
лых по сравнению с некоторым отрезком, принимаемым
Лобачевским за единицу измерения и называемым теперь
радиусом кривизны пространства.
г) В сущности, оип были установлены ещё Саккери, работы
которого во всяком случае не были известны Лобачевскому.
2) Поли. собр. соч., т. II, стр. 149. В студенческих записях
лекций Лобачевского за 1815—1817 гг., т. е. за 10 лет до его доклада,
содержится доказательство теоремы, гласящей: «Естьли сумма
углов в каком-нибудь Д-ке равна двум прямым, то и во всяком
другом Д-ке будет тоже» (См. Полное собрание сочинений, т. II,
1949, стр. 504),
о МИРОВОЗЗРЕНИИ II. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 49
---— '
Чтобы было ясно, что эго действительно мнение самого
Лобачевского, я позволю себе привести подлинные цитаты.
«Если в природе существующая Геометрия такова, что
две параллельные липни должны быть наклонены к тре-
тьей линии под углами, которых сумма < тс, — пишет Лоба-
чевский, — то Геометрия употребительная нами будет Гео-
метрия чрезвычайно малых линий в сравнении с теми,
при которых сумма углов треугольника может приметно
разниться от тс»1).
Противопоставляя сделанному им «другое предположе-
ние»,— под которым имеется в виду постулат Евклида,—
Лобачевский, уже в той же первой печатной публикации
своих идеи, из которой заимствована только что приве-
дённая цитата, подчёркивает оба обстоятельства: 1) и то,
что до сих пор пе замечали, что это лишь «одно» из двух
возможных предположений; 2) и то, что сделанное им
предположение включает это «другое» в себя, как част-
ный случаи. «Другое предположение и одно, которое до
сих пор допускали Геометры, — пишет он, — заключается
также в этом общем, с тем ограничением, что линии должно
рассматривать бесконечно малыми, следовательно, в ис-
числении пренебрегать их произведениями, вторыми и
далее степенями в сравнении с первыми» 2).
В этой связи по следует забывать и того, что Лобачев-
ский широко использует то обстоятельство, что плоская
геометрия (планиметрия) Евклида выполняется точно на
предельных поверхностях его геометрии,—поверхностях,
являющихся в определённом смысле предельными для
поверхности сферы при неограниченном увеличении сё
радиуса, — если за прямые линии принять так называемые
предельные линии на этой поверхности.
Всё это и даёт Лобачевскому основания считать свою
геометрию свободной от произвольных допущений и
в то же время включающей в себя всё содержание геомет-
рии Евклида. Последнего он никогда не забывает под-
черкивать. Так, переходя в «Новых началах» к учению
° подобии, имеющему, как известно, место только в евкли-
2\ 1!олное собрание сочинений, т. I, 1946, стр. 196.
) Полное собрание сочинений, т. I, 1946, стр. 199.
4 п.
'-торпко-матсм. исследования
50
С. А. ЯНОВСКАЯ
довой геометрии, и к введению тригонометрических
функций, Лобачевский пишет: «в следующей статье, как
и во всей главе потом о тригонометрических функциях,
будем говорить о прямолинейных треугольниках Употре-
бительной Геометрии, хотя в строгости должно разу-
меть собственно треугольники Воображаемой Геометрии
на предельной поверхности, если не хотим допускать
никаких произвольных предположений»г).
Ясно, таким образом, что Лобачевский действитель-
но считал свою обобщённую, «воображаемую», геометрию
свободной от всяких произвольных предположений.
Ограничение же случаем употребительной геометрии
является, с точки зрения Лобачевского, произвольным по-
тому, что без основания (по произволу) отсекает одну из
имеющихся возможностей. Это ясно уже из того, что наи-
более обстоятельная работа Лобачевского, посвящённая
началам геометрии, носит название «Новые начала геомет-
рии с полной теорией параллельных». «Полной», так
как «под этим видом параллельность уже рассматривает-
ся во всей обширности [общности—С. Я.]» * 2); иными сло-
вами, исследуются все возможные частные 3) случаи и та-
ким образом исключается из геометрии элемент случайно-
сти и произвола в выборе одного из них.
Термин «воображаемая» не удовлетворял поэтому Ло-
бачевского. В своём последнем произведении он и пере-
именовал свою геометрию, как известно, в «пангеомет-
рию», т. е. во «всеобщую геометрию». Говоря здесь о
своей «особой геометрии, которой я дал название „вооб-
ражаемой геометрии », Лобачевский замечает: «но кото-
рую, может быть, приличнее назвать пангеометрией,
потому что это означает геометрию в обширном виде, где
обыкновенная геометрия будет частный случай».
г) Полное собрание сочинений, т. II, 1949, стр. 300. — Под
«произвольными предположениями» тут подразумеваются, конечно,
равносильные постулату Евклида.
2) Полное собрание сочинений, т. II, 1949, стр. 267.
3) «Продолжая теперь геометрию, — писал Лобачевский, —
будем допускать как то, так п другое предположение, которые до сих
пор остаются ещё возможными» (Поли. собр. соч., т. II, 1949,
стр. 264).
О МИРОВОЗЗРЕНИИ н. и. ЛОБАЧЕВСКОГО
51
6. Из множественности различных геометрии, рас-
сматриваемых в современной математике, неоднократно
делались (и делаются философскими реакционерами)
идеалистические «выводы». Так, Пуанкаре, основывал
на этой множественности махистский вывод, что «одна
геометрия не вернее другой, а только более пли менее
удобна» («Наука и гипотеза»), что вопрос об истинности
геометрии, как отражения пространственных форм мате-
риального мира, вообще не имеет смысла.
Подход Лобачевского к геометрии и сейчас бьёт по
этим идеалистическим «выводам». Мы уже видели, что
множественность геометрий отражала с точки зрения Ло-
бачевского множественность реальных возможностей, су-
ществующих в природе. Ведь именно из того, что «про-
странство, само собой, отдельно [от материальных тел. —
С. ЯД для нас не существует», и геометрические понятия
производятся «нашим умом искусственно, будучи взяты
в свойствах движения», которое мы познаём в природе,
Лобачевский заключал, что «в пашем уме не может
быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что
некоторые силы в природе следуют одной, другие своей
особой геометрип». Как известно, Лобачевский допускал
возможность того, что его «воображаемая» геометрия имеет
место «либо за пределами видимого мира, либо в тесной
сфере молекулярных притяжений»1).
Широко известны знаменитые слова Лобачевского,
высказанные им в его первой печатной работе (1829 г.)
по неевклидовой геометрии: «Нельзя не увлекаться мне-
нием Лапласа, что видимые нами звёзды и млечный путь
принадлежат к одному только собранию небесных светил,
подобному тем, которые усматриваем как слабо мерца-
ющие пятна в созвездиях Ориона, Андромеды, Козерога
и проч. Итак, не говоря о том, что в воображении про-
странство может быть продолжаемо неограниченно, сама
природа указывает лам такие расстояния, в сравнении
с которыми исчезают за малостию даже расстояния нашей
земли до неподвижных звёзд. После этого нельзя утвер-
ждать более, что предположение, будто мера линий не
я) Полное собрание сочинений, т. II, 1949, стр. 160.
52
С. А. ЯНОВСКАЯ
зависит от углов —предположение, которое многие геомет-
ры хотели принимать за строгую истину, не требующую
доказательства, — может быть оказалось бы приметно лож-
ным ещё прежде, нежели перейдём за пределы видимого
памп мира» х).
Но Лобачевский не только обосновывает множествен-
ность возможных геометрий наличием различных реаль-
ных возможностей, существующих в природе. Обе, с его
точки зрения, возможные и противоречащие друг другу
геометрии находятся в единстве между собою, и «вооб-
ражаемая» геометрия есть не просто другая, равноправ-
ная с евклидовой, а включающая последнюю как предель-
ный случай более общая геометрия. Именно на этом пути
диалектического, хотя п не осознанного ещё как таковое,
развития геометрии Лобачевский и считал возможным
освободить её от произвольных допущений. Мы имеем
таким образом все основания сказать, что произвол из
геометрии фактически устранялся Лобачевским путём
диалектического развития и обогащения её содержания
за счёт конкретного изучения возможностей, устранён-
ных ранее благодаря произвольному допущению исклю-
чительной, догматической, истинности постулата Евклида.
Прямым продолжением его пути и был поэтому дальней-
ший бурный рост науки и обнаружение новых возмож-
ностей её развития, остававшихся ещё неизвестными Ло-
бачевскому. Прямым подтверждением и применением его
методологических идей и было поэтому создание теории
относительности.
Подводя итог, мы может сказать:
Вопреки широко распространённым истолкованиям ве-
ликого открытия Лобачевского, как основанного на «произ-
вольно принятой» аксиоме, Лобачевский на самом деле
создавал свою геометрию в борьбе против всяких произ-
вольных допущений и ничем не обоснованных «аксиом».
Лейтмотивом неудовлетворенности Лобачевского евкли-
довой теорией параллельных, начиная от его пер-
вой печатной публикации вплоть до заключительной
*) Полное собрание сочинений, т. I, стр. 209.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО
53
«Пангеометрии», является мысль, что постулат Евклида
о параллельных и многочисленные равносильные ему
положения, с помощью которых математики пытались
доказывать этот постулат, «как пи просты кажутся, но
тем не менее произвольны п, следовательно, допущены
быть не могут» («Пангеометрпя»).
Свою геометрию Лобачевский строил, как свободную
от произвольного допущения верности того или иного
постулата о параллельных и исследующую поэтому все могу-
щие реально существовать (в природе!) возможности. По-
скольку он исходил при этом из движения твёрдых тел и бес-
конечности пространства, таких возможностей оставалось
только две: 1) геометрия Евклида, где сумма углов треуголь-
ника равна двум прямым, и 2) геометрия Лобачевского,
где эта сумма меньше двух прямых. Исходя из противо-
положения этих двух возможностей, Лобачевский при-
шёл к их единству, обнаружив, что геометрия Евклида
является предельным случаем его неевклидовой геомет-
рии. Свою «воображаемую» геометрию он рассматривал,
таким образом, как общую геометрию и даже предпо-
чёл для неё поэтому впоследствии название «пангеомет-
рии». Оставшиеся неизвестными Лобачевскому дальней-
шие возможности обобщения и развития геометрии но
только не опровергают его основных методологических
установок, а, наоборот, являются наилучшим подтвер-
ждением их правильности.
Уже из приведённого материала видно, что создание
Лобачевским первой неевклидовой геометрии было неот-
делимо у него от критики идеалистических установок
в математике, окончательно выродившихся в наши дни
в конвенцпоналистическпе и формалистические извра-
щения, паразитирующие на аксиоматическом методе совре-
менной математики. На вопросе вообще о роли критики
в творчестве Лобачевского мы специально остановимся
в следующем параграфе. Здесь мы снова будем иметь
возможность убедиться в том, что история открытия
геометрии Лобачевского и передовые идеи нашего
великбго соотечественника до сих пор служат могу-
чим орудием в борьбе против идеализма и схоластики
в математике.
С. Л. ЯНОВСКАЯ
54
§ 3. Роль критики в творчестве Н. И. Лобачевского
1. Среди буржуазных математиков п историков мате-
матики широким распространением пользуется подразде-
ление истории математики на противополагающиеся друг
другу периоды творчества и критики. Согласно этой
метафизической «теории», в критические периоды над
математикой довлеет забота о соблюдении формальной
логической строгости, необходимой для систематизации
и очистки накопленного в творческие периоды материала;
в периоды же творческие идеал научной строгости отсту-
пает якобы на задний план и математик не стесняясь
использует не выдерживающие его критики понятия и
методы. Некритический подход п пренебрежение к научной
строгости рассматриваются при этом даже как необходимый
момент развития математики, поскольку строгость трак-
туется лишь как совокупность формальных требований,
извне наложенных на математику и, по существу,остаю-
щихся теми же в наши дни, как и во времена Евклида.
Наиболее последовательные адепты этой враждебной
диалектическому материализму теории изображают раз-
витие математики происходящим не через борьбу с от-
живающими свой век традициями и догмами, даже не
через сдачу последних в музей древностей, где они могут
храниться наряду с другими вышедшими из употребления
реликвиями, а через простое пренебрежение к законным
требованиям научной строгости, расплата за которое ещё
предстоит математикам в критические периоды. На-
сколько несущественными считаются при этом изменения
форм строгости, можно судить по тому, что идеал стро-
гости, господствовавший в эпоху схоластики, выстав-
ляется как образец совершенства и для науки наших дней.
Откровенным представителем такого метафизическо-
го противоположения критики творчеству, научной стро-
гости —продуктивности математика является Ф. Клейн,
который в своих «Лекциях о развитии математики
в XIX столетии» пишет:
«В периоды неудержимого роста творческой продук-
тивности требование строгости часто отступало на зад-
ний план, уступая стремлению к возможно большему
О МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. и. ЛОБАЧЕВСКОГО
55
и быстрейшему обогащению научного достояния. В сле-
дующие же затем периоды критики —периоды просеи-
вания и очистки достигнутых приобретений —стремле-
ние к строгости начинает опять играть доминирующую
роль. Вспомним эпоху возникновения дифференциально-
го и интегрального исчисления в XVIII столетии, когда
бурный полёт творческой фантазии и страстная жажда
открытий создали многое такое, что было не только недо-
статочно обосновано, но оказалось впоследствии прямо
неверным. То же имело место и при создании теории ал-
гебраических кривых в XIX веке. В качестве противо-
положного примера я приведу эпоху схоластики, соче-
тавшую незначительную продуктивность с величайшей
остротой критического и диалектического ума... Окиды-
вая общим взором пройденный путь развития, мы должны
сказать, что в очень редкие эпохи дух критики, стремле-
ние разложить на простейшие элементы всякий логиче-
ский шаг, «идеал строгости» были столь сильны, как во
времена схоластики»1).
Вряд ли требуется доказывать советскому читателю,
что отнюдь не эпоха схоластики, с характерными для
неё авторитарным типом мышления и догматизмом,
заслуживает названия критической; что в эпоху схоластики
незначительная продуктивность сочеталась совсем не
с духом смелой критики, а, наоборот, с недостатком
её и с сугубо формальным подходом к требованиям науч-
ной строгости. Достаточно обратиться к подлинной исто-
рии математики, чтобы полностью разоблачить порочность
всей вообще концепции Клейна, способствующей отожде-
ствлению математической строгости со схоластикой,
господству формализма в основаниях математики и превра-
щению критики в бесплодное буквоедство. Превосход-
ным образцом, доказывающим вздорность клейновского
противопоставления критики и творчества, является исто-
рия открытия неевклидовой геометрии Лобачевским.
Творчество Лобачевского с исключительной убеди-
тельностью свидетельствует о том, насколько велико бы-
Ф. К л епн, Лекции о развитии математики в XIX сто-
летии, ОНТИ, 1937, стр. 83.
56
С. А. ЯНОВСКАЯ
ло значение беспощадной критики и борьбы с косностью и
предрассудками математиков, с пренебрежением их к тре-
бованиям материалистически понимаемой научной строго-
сти для того революционного переворота в этой науке, ко-
торый был совершён нашим великим соотечественником.
2. С точки зрения диалектического материализма вся-
кое развитие, в том числе и развитие науки, происходит
через борьбу противоположностей. «Наука,—говорит
товарищ Сталин, —потому и называется наукой, что она
не признает фетишей, не боится поднять руку на отжи-
вающее, старое и чутко прислушивается к голосу опыта,
практики»1). Передовая наука — по характеристике
товарища Сталина — это наука, «люди которой, понимая
силу и значение установившихся в науке традиций и
умело используя их в интересах науки, всё же не хотят
быть рабами этих традиций, которая имеет смелость,
решимость ломать старые традиции...»2).
Развитие науки, движение её вперёд, таким образом,
неотделимо от борьбы с устаревающими научными тра-
дициями, от безбоязненного критического подхода к ним,
не останавливающегося перед их коренной ломко!!.
Именно так пришёл к своему открытию и Лобачевский.
Критика начал геометрии была для Лобачевского от-
нюдь не только средством логического обоснования, очи-
стки и просеивания уже полученных результатов, как
это должно было бы быть по Клейну. Она была для него
орудием творческого исследования и преобразования на-
уки, открытия в ней новых важнейших фактов. Не слу-
чайно первый печатный труд Лобачевского, посвящённый
неевклидовой геометрии (1829 г.), носит заглавие «О на-
чалах геометрии». Не случайно этот труд начинается
словами: «Кажется, трудность понятий увеличивается по
мере их приближения к начальным истинам в природе»3),
после чего следует объяснение причин, помешавших ма-
тематикам «достигнуть здесь последней строгости», нссмо-
х) «Вопросы ленинизма», изд. 11-е, стр. 502.
2) «Речь тон. Сталина на приеме в Кремле работников высшей
школы 17 мая 1938 г.», Гос. изд. политической литературы, 1938,
стр. 4.
3) Полное собрание сочинений, т. I, 1946, стр. 185.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
57
тря.на упорные пх усилия. О значении, которое Ло-
бачевский придавал требованию научной строгости в ма-
тематике, достаточно свидетельствуют дальнейшие сло-
ва его: «В самом деле, кто не согласится, что никакая
Математическая наука не должна бы начинаться с та-
ких тёмных понятий, с каких, повторяя Евклида, начи-
наем мы Геометрию, и что нигде в Математике нельзя тер-
петь такого недостатка строгости, какой принуждены были
допустить в теории параллельных линии».
В то время как с установками Клейна связан тот вы-
вод, что критика начал математики имеет чисто отрица-
тельный характер и в лучшем случае направлена на си-
стематизацию накопленного материала и очищение его
от плевел, для Лобачевского опа представляет собой необ-
ходимый момент творческого развития науки. Там, где
нет критики, оскудевает и творчество. Больше того, раз-
решение трудностей, связанных с началами, необходимо
не только в целях философского обоснования воздвигну-
того на этих началах здания математики. По мнению Ло-
бачевского, начала её представляют собой незаслуженно
заброшенное математиками поле. Сами начала,—такие
«элементарные» пауки, как алгебра и геометрия, таят в
себе богатейшие неиспользованные возможности разви-
тия, которыми отнюдь не следует пренебрегать.
«Алгебру и геометрию, — пишет Лобачевский!, — пости-
гла одинаковая участь. За быстрыми успехами в начале
следовали весьма медленные и оставили науку на та-
кой степени, где она ещё далека от совершенства. Это
произошло вероятно от того, что Математики всё своё
внимание обратили на высшие части Аналитики, пре-
небрегая началами и не желая трудиться над обрабаты-
ванием такого поля, которое они уже раз перешли и оста-
вили за собою»1).
В наши дпп не приходится доказывать, насколько
прав был в этом Лобачевский, насколько неисчерпаемыми
оказались заложенные в началах геометрии и алгебры
возможности пх творческого развития, насколько суще-
2) ('Алгебра или вычисление конечных» (Поли. собр. соч.,
т- IV, 1948, стр. 24).
58
С. А. ЯНОВСКАЯ
ственное значение для развития всей математики имела
неустанная борьба Лобачевского за то, чтобы наука «стала
на твёрдом основании, чтоб строгость и ясность сохра-
нялись в самых её началах, как оне делаются первым её
достоинством в продолжении»1).
3. Прежде чем мы перейдём к конкретному освеще-.
нпю материалистических взглядов Лобачевского на ма-
тематическую строгость, не имеющих, конечно, ничего
общего с той схоластической строгостью, о которой гово-
рит Клейн, нам ещё нужно остановиться на одном во-
просе. Это поможет нам лучше разобраться в сущности
критических методов Лобачевского и опровергнет один
из аргументов Клейна, не затронутый памп до сих пор.
В подтверждение правильности своих утверждений
Клейн ссылался на псторпю математического анализа;
пример же из истории открытия неевклидовой геометрии —
могут возразить нам — не имеет отношения к истории
анализа. Вопреки кажущейся убедительности, возраже-
ние это отнюдь не обоснованно. Легко показать, что
трудности, с которыми приходилось бороться Лобачев-
скому, в такой же мере довлели над математическим ана-
лизом, как и над геометрией, что именно критический
подход к основным понятиям и методам анализа помог
Лобачевскому справиться с такими задачами геометрии,
которые оказались непосильными для весьма авторитет-
ных математиков. Действительно, в ошибках, допускав-
шихся последними, суть «дела была часто в неоправданном
предельном переходе, в неясностях, связанных с мета-
физическим подходом к бесконечно малым в математике.
Критически разбирая доказательства V постулата Евк-
лида, принадлежавшие таким математикам, как Бертран
или Лежандр, Лобачевский чаще всего. должен был
выступать против ошибок того же рода, которые препят-
ствовали и развитию анализа, диктовавшемуся потребно-
стями физики и техники (прежде всего учением о теплоте,
история которого неотделима была в ту пору от истории
паровой машины). Мы знаем теперь, что распростра-
*) Полное собрание сочинений, т. IV, стр. 37Q.
о МИРОВОЗЗРЕНИИ н. П. ЛОБАЧЕВСКОГО
59
нённая недооценка работ Лобачевского по математиче-
скому анализу на самом деле не оправдана; что и в об-
ласти анализа интересы Лобачевского были посвящены
таким проблемам,—как, например, теория тригономет-
рических рядов, — которым принадлежало будущее; что
и в этой области Лобачевскому принадлежит приоритет
в ряде открытий, на много десятков лет опередивших даль-
нейшее развитие науки1).
Живший в Казани Лобачевский был отнюдь не про-
винциалом в математике, случайно натолкнувшимся па
её заброшенный участок, где оказался зарытым клад,
как его нередко изображают в буржуазной истории мате-
матики. Он был учёным, занимавшим передовые позиции во
всей науке его временп. Не случайно поэтому всё научное
творчество Лобачевского было связано с критикой «начал»
математпкп. Ибо это было время, когда во всех областях
математики дальнейшее творческое развитие стало не-
возможным без прсодоленпя косности и рутины, довлев-
ших над её основанпямп.
4. О том, насколько существенную роль в истории не-
евклидовой геометрии должны были играть проблемы
обоснования анализа, свидетельствуют уже ошибки, по-
мешавшие итальянскому математику иезуиту Саккери
(1667—1733) заметить, что пз «гипотезы острого угла»,
принятой им с целью доказать от противного евклидов
постулат о параллельных, никакого противоречия не
получается. Поскольку для выяснения материалистиче-
ских черт мировоззрения Лобачевского нам ещё понадо-
бится в дальнейшем сопоставление с Саккери, который
был не только выдающимся математиком, но п искусным
логиком, мы разрешим себе остановиться более подробно,
чем это обычно делается, на разборе логических и мате-
матических ошибок, допущенных Саккери.
Предположив, что постулат Евклида поверен, и опро-
вергнув гипотезу, равносильную допущению, что сум-
г) См. статью Г. Л. Лунна «О работах И. И. Лобачевского
по математическому анализу» во II выпуске «Исторпко-математп-
Ческих исследований».
С. А. ЯНОВСКАЯ
GO
ма углов треугольника больше 2cZ, Саккерн1) переходил
к предположению («гипотезе острого угла»), эквивалент-
ному тому, что эта сумма меньше 2d. Одно из доказа-
тельств, с помощью которых он пытался опровергнуть
и это предположение, состояло в следующем.
Саккери выяснял, что в этом случае должно сущест-
вовать бесчисленное множество прямых, проходящих че-
рез данную точку А, лежа-
щую вне прямой ВЬ, и не
пересекающих ВЬ (черт. 3).
По каждую сторону от пер-
пендикуляра АВ, опущенного
из точки А на прямую ВЬ,
лежит при этом одна прямая
(луч) АР', неограниченно
сближающаяся с прямой ВЬ.
Всякая другая прямая АР,
пе пересекающая прямой ВЬ, является, как теперь гово-
рят, расходящейся с ВЬ, т. е. сближается с ВЬ только на
некотором отрезке BQ, после чего начинает расходиться
с ВЬ. В точке Q, т. е. в конце отрезка BQ, существует
общий перпендикуляр QR к обеим прямым ВЬ и АР.
Луч АР' лежит на границе, отделяющей прямые АР, рас-
ходящиеся с ВЬ, от прямых AM, пересекающих ВЬ. Если
теперь мы будем непрерывно уменьшать угол РАВ,
сближая прямую АР с граничной, асимптотической, пря-
мой АР', то отрезок BQ будет расти (см. черт. 4), и осно-
вание общего перпендикуляра QB. будет неограниченно
удаляться от точки В. Так как асимптотическая пря-
мая АР' является предельным положением для прямой
АР, то Саккерн заключает отсюда, что прямая АР' тоже
имеет общий перпендикуляр с ВЬ, но только в бесконечно
удалённой точке. Две разные прямые АР' и ВЬ оказы-
ваются, таким образом, имеющими общий перпендикуляр
в одной и той же, принадлежащей им обеим, точке. Две
разные прямые не могут, однако, — полагает Саккери,—
w г) «Euclides ab omni nacvo vindicatus» («Евклид, освобождён-
ный от всех пятен»).—Это сочинение было впервые опубликовано
в Милане в 1733 г.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ II. и. ЛОБАЧЕВСКОГО
61
иметь общий перпендикуляр в их общей точке: это проти-
воречило бы «природе прямой лиипи». Гипотеза острого
угла приводит таким образом к нелепому следствию, по-
чему и должна быть отвергнута.
Ясно, что сущность допущенной здесь Саккерп ошиб-
ки состоит в незаконном распространении на бесконеч-
ность свойства, которым
обладают две прямые,
пересекающиеся друг с
другом на конечном рас-
стоянии от точки В.
В этой ошибке не было
ничего удивительного
во времена Саккерп.
Маркс недаром называл
мистическим дифферен-
циальное исчисление
Ньютона и Лейбница п подчёркивал его метафизический
характер. Метафизическим был и известный закон непре-
рывности Лейбница, который Лейбниц считал принципом
всеобщего порядка, коренящимся в бесконечном, н абсо-
лютно необходимым в геометрии в силу её высокого совер-
шенства х). Согласно этому принципу, всякая функция дол-
на быть непрерывна, почему, в частности, математик имеет
право переносить па предел любые свойства, которыми не-
изменно обладают переменные, стремящиеся к этому преде-
лу. Удачные применения этого принципа в тех случаях,
где рассматриваемые зависимости действительно были не-
прерывными —математикам XVIII века с другими почти
не приходилось встречаться, —должны были подкреплять
впечатление его полной оправданности. И если Саккери
тем не менее не был вполне удовлетворён своим доказа-
тельством, то, думается, больше потому, что оно не вскры-
вало внутренней противоречивости подлежавшего
опровержению допущения. Саккерп был слишком тонким
логиком, чтобы не понимать, что сколь бы ни казался
ему законным вывод полученного пм парадоксаль-
г) См. «Избранные отрывки из математических сочинений Лейб-
ница», «Успехи математических наук», т. III, вып. 1 (23), стр. 193.
С. А. ЯНОВСКАЯ
62
ного следствия, оп не доказывал ещё абсурдности его по-
сылки.
Чтобы привести её к абсурду, необходимо было вы-
вести пз «гипотезы острого угла* два следствия, взаимно
отрицающих друг друга. И Саккери действительно попы-
тался два такпе следствия получить. На сцену при этом
опять выплыла бесконечность, но теперь уже в виде бес-
конечно малых.
В «мистическом» дифференциальном исчислении Нью-
тона и Лейбница (Марк с, Математические рукописи)
с бесконечно малыми были связаны ещё весьма туманные
представления. На них смотрели, как на «особые виды
бытия, которые то играют роль истинных количеств, то
должны рассматриваться как абсолютное нпчто ппо своим
двусмысленным свойствам как бы занимают среднее ме-
сто между величиной и нулём, между бытием и небы-
тием» х).
* Поскольку речь шла о такого рода применениях ново-
открытого исчисления, где геометрическая наглядность
могла служить коррективом к аналитическим выклад-
кам, математикам эти неясности ещё не очень мешали.
Однако уже и в ту пору в тумане, окутывавшем бесконеч-
но малые, ютились идеалистические совы типа Беркли.
Когда же возникла необходимость разобраться в самых
корнях геометрической наглядности и исходить —как это
было в случае Саккери —из допущений, расходившихся
с наиболее привычными представлениями, неясности, свя-
занные с бесконечно малыми, превратились в тормоз
научного развития. Актуально бесконечно малые, — эти
«введённые с самого начала по определению как самосто-
ятельные, отделённые от переменных величин, из которых
они возникли, существования» (Маркс, Математичес-
кие рукописи), обитающие где-то между бытием и не-
бытием,—могли в таких случаях быть использованы для
получения неправильных результатов, представлявших-
ся почему-либо желательными. Именно так их и исполь-
зовал Саккери.
*) Л. К а р п о, Размышления о метафизике исчисления бес-
конечно малых. Изд. 2-е, 1936, стр. 81—82.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ н. и. ЛОБАЧЕВСКОГО
63
Чтобы одолеть упорную «гипотезу острого угла», Сак-
керп ввёл в рассмотрение кривую, называемую теперь
эквидистантой и представляющую собой геометрическое
место точек, равноудалённых от прямой — базы эквиди-
станты. Про дугу эквидистанты, утверждал Саккери, он
может доказать оба предложения: 1) и то, что она равна
своей проекции на базу, 2) и то, что она больше этой про-
екции. Второе предложение Саккерн действительно до-
казал. Если бы он доказал п первое, нужное ему проти-
воречие было бы в его руках. Доказательство первого
Саккери пытался получить по-разному: и геометрически,
и кинематически. На первом месте у пего находится
доказательство с помощью весьма туманного оперирова-
ния с бесконечно малыми.
Из произвольной точки К эквидистанты CKD спу-
стим перпендикуляр КМ на базу АВ (черт. 5). Саккери до-
казывает, что перпендикуляр в точке К к ординате КМ
является касательной к эквидистанте. Рассматривая затем
бесконечно малый элемент KF дуги эквидистанты, Сак-
керн сначала отождествляет его с элементом касательной
КВ, а затем, пользуясь перпендикулярностью последней
к ординате КМ, принимает этот элемент за бесконечно
малую ширину ординаты КМ в точке К. Поскольку же
шириной ординаты КМ служит одновременно и беско-
нечно малый элемент МР базы, представляющий собой
проекцию элемента KF дуги эквидистанты, Саккери заклю-
чает, что элемент дуги эквидистанты должен быть равен
соответствующему элементу ее проекции1). Из равенства
г) Саккери, конечно, чувствует недостаточность этих сообра-
жений насчёт бесконечно малой «ширины» ординаты, почему и счи-
тает необходимым специально обосновать неизменность «ширины»
на всём протяжении ординаты с помощью, впрочем, отнюдь не вра-
зумительных рассуждений.
«Но, — пишет он, — принадлежащий касательной бесконечно
малый кусок К ни больше, пи меньше, чем бесконечно малый
принадлежащий базе АВ кусок М, а, наоборот, полностью равен
ему, потому что мы ведь можем представить себе прямую МК описан-
ной посредством того, что именно эта точка М в постоянно равно-
мерном движении достигает вплоть до высоты точки К» (S t а с-
kel Р. u. Engel F., Die Theoric der Parallellinicn von Euc-
lid bis auf Gauss, 1895, стр. 127).
64
С. А. ЯНОВСКАЯ
элементов следует затем равенство между всей дугой
эквидистанты и её проекцией на базу.
Саккери, таким образом, пытается как-то использо-
вать то обстоятельство, что «в бесконечно малом» эк-
видистанта совпадает с прямой, которой по Евклиду
Черт. 5.
надлежит быть параллельной
к АВ, для доказательства
того, что и «в большом» дол-
жна быть справедлива гео-
метрия Евклида. Наоборот,
для Лобачевского, как мы
видели, то обстоятельство,
что геометрия Евклида ока-
зывается предельным случа-
ем его «воображаемой» гео-
метрии, служит иаилучшим подтверждением правильно-
сти последней.
5. Работа Саккери не была известна Лобачевскому.
Лобачевский поэтому и не критикует непосредственно
ошибок, допущенных Саккерп. Нетрудно проследить тем
не менее, какую роль в истории создания неевклидовой
геометрии играла критика, направленная Лобачевским
на начала не только геометрии, но и на ошибки, связан-
ные с основными понятиями математического анализа,
прежде всего с метафизическим подходом к трактовке
предельного перехода и вообще бесконечности в матема-
тике. С такой именно критикой мы встречаемся у Лобачев-
ского по отношению к «Началам геометрии» Лежандра.
В лице Лежандра (1752—1833) мы имеем дело с од-
ним из видных представителей французской школы мате-
матиков, передовые—для своего времени—устремления
которой были обусловлены французской буржуазной ре-
волюцией. В истории неевклидовой геометрии безусловно
заслуживают упоминания его многократно переиздававши-
еся «Начала геометрии», содержавшие всё новые и новые
попытки доказательства V постулата Евклида. Даже его
заключительные «Размышления о различных способах до-
казать теорию параллельных линий пли теорему о сумме
углов треугольника» (1833), опубликованные через 4 года
О МИРОВОЗЗРЕНИИ II. и. ЛОБАЧЕВСКОГО
65
после работы Лобачевского «О началах геометрии», т. е.
когда неевклидова геометрия уже была создана, зани-
мают всё же в истории последней некоторое место: осве-
щая историю возникновения геометрии Лобачевского,
нельзя пройти мимо этих работ Лежандра. II всё же Лоба-
чевский пришёл к неевклидовой геометрии, не «отправ-
ляясь от идей Лежандра», как утверждают иногда1),
ъборпсъ с этими идеями и беспощадно разоблачая ошибки,
допущенные Лежандром. Если на первых порах Лоба-
чевский сам пытался доказывать постулат о параллель-
ных, он имел смелость разоблачать и своп собственные
ошибки. Как широко известно, уже в 1823 г. в своём учеб-
нике «Геометрия» он писал по поводу евклидова посту-
лата о параллельных: «Строгого доказательства сей истины
до сих пор не могли сыскать. Какие были даны, могут
назваться только пояснениями, по не заслуживают быть
почтены в полном смысле Математическими доказатель-
ствами» 2).
Для многих рассуждений Лежандра,—среди которых
далеко не все являются ошибочными,—характерно именно
привлечение предельного перехода и оперирование с ма-
тематической бесконечностью для доказательства теорем
элементарной геометрии. Остроумно использовав в дока-
зательство леммы, гласящей, что «сумма трёх углов тре-
угольника пе может быть больше двух прямых углов»,
постулат Архимеда, согласно которому «как бы мала пи
была разность D, если мы её повторим достаточное число
раз, опа превзойдёт любую наперёд заданную величину»,
Лежандр хотел аналогичными приёмами доказать и пред-
ложение, что сумма углов треугольника пе может быть
меньше двух прямых. В его геометрических доказатель-
ствах 3) поэтому нередко фигурировали различные беско-
нечные последовательности. Оперируя с ними, Лежандр
х) См., например, В. Ф. Kara и, Строение неевклидовой
геометрии у Лобачевского, Гаусса и Больаи («Труды Института
истории естествознания», т. II, 1948, стр. 341). Впрочем, в других
работах В. Ф. Кагана такого рода утверждении мы нс находим.
2) Поли. собр. соч., т. II, 1949, стр. 70.
3) О доказательстве, основанном на «принципе однородности»),
которое Лежандр называл «аналитическим»—в противоположность
своим «геометрическим» доказательствам, речь уже шла выше.
** Псторпко-иатем. исследования
С. л. ЯНОВСКАЯ
66
допускал иногда поразительные логические ошибки, сви-
детельствующие о том, насколько прав был Лобачевский,
когда писал о нём: «...вероятно, предубеждения в пользу
принятого всеми положения заставляли на каждом шагу
спешить заключением пли дополнять тем,чего бы нельзя
было допускать ещё в новом предположении»1).
Правда, не все ошибки Лежандра, раскритикованные
Лобачевским, относились к оперированию с математи-
ческой бесконечностью и к необоснованным предельным
переходам. О том, насколько всё же существенное внима-
ние пришлось Лобачевскому уделить критике ошибок
именно этого рода и как глубоко он проникал при этом
в сущность соответствующих предельных переходов, сви-
детельствуют ужо следующие примеры.
Чтобы доказать, что сумма углов треугольника не мо-
жет быть меньше двух прямых, Лежандр строил некото-
рую последовательность треугольников Тп (с неограни-
ченно возрастающими сторонами), у которых сумма
углов,8, оставалась постоянной, иуголпрп вершпне стре-
мился к5. Углы при основании треугольниковТп при этом
становились как угодно малыми, и высота треугольников
всё уменьшалась, почему их боковые стороны всё более
и более сближались с основанием. «Лежандр думал за-
ключить отсюда,—писал Лобачевский,—что с уменьше-
нием двух углов приближение противоположных стороп
к третьей оканчивается необходимо превращением осталь-
ного угла в два прямые, а потому в начальном и,
следовательно, во всяком треугольнике... Однако ж это
рассуждение неверно, потому что здесь стороны в тре-
угольнике растут бесконечно, а следовательно, можем
предполагать и границу приближения, покуда угол
АС'В'<8, (черт. 6).
Иными словами, Лобачевский упрекает Лежандра в
том, что последний,—пе замечая того,—опирается на до-
пущение, эквивалентное постулату, который требуется
доказать, и состоящее в том, что на треугольники с неогра-
ниченно возрастающими сторонами переносятся свой-
х) Полы. собр. соч., т. II, 1949, стр. 149.
8) Там же, стр. 150—151.—Курсив мой.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
67
стен треугольников, стороны которых остаются мень-
шими некоторого постоянного отрезка. Действительно,
если бы мы имели дело с последовательностью треуголь-
ников, стороны которых не превосходят данного отрез-
ка а, то углы при основании этих треугольников, незави-
симо от постулата о парал-
лельных, могли бы стремить- уЛ
ся к* нулю только одновре- /
менно со стремлением боко-
вых сторон к совпадению с ______А_____
основанием, т.‘ е. со стрем- 5
ленном высоты треугольника Чорт. 6.
к нулю. Грубо говоря,
Лежандр делает ошибку, аналогичную той, которую делал
Саккери: он переносит па бесконечность свойства,
справедливые в области конечного. Лобачевский же со-
вершенно точно вскрывает корни этой ошибки Лежандра.
Польше того, он пе ограии-
^C~S чивается критикой логиче-
ских ошибок Л^.ч.аь ipa, но
показывает, как с помощью
Л=1дс1д^5 формул «воображаемой» гео-
_ метрпп вычисляется предель-
ная высота треугольников
СРТ* последовательности Tni с
достижением которой тре-
угольник перестаёт существовать в предположении, что
(черт. 7).
Еще большей тонкостью отличаются соображения
Лобачевского, с помощью которых он опровергал в тех
же «Новых началах геометрии» (1835), из которых заим-
ствован предшествующий пример, доказательство евкли-
дова постулата о параллельных, принадлежавшее женев-
скому математику Луи Бертрану (1731—1812) и с неко-
торыми модификациями воспроизведённое Лежандром в его
«Размышлениях» (1833). В связи с критикой доказа-
тельств, опирающихся па рассмотрение отношения бес-
конечных площадей, Лобачевский поставил общий вопрос
0 том, когда такого рода «площадям» можно приписывать
определённые отношения, т. е. устанавливать для них
5*
68
С. А. ЯНОВСКАЯ
способы сравнения по величине. В сущности Лобачевский
сумел поставить этот вопрос так, что, помимо изменений,
обусловленных различиями в терминологии и способах
выражения, к его возражениям и сейчас вряд ли можно
добавить что-нибудь существенное. Почти за сто лет до
современных работ,»посвящённых выяснению понятия
геометрической величины, Лобачевский сумел сформули-
ровать основные требования, соблюдение которых необ-
ходимо для того, чтобы можно
было со смыслом распростра-
нить понятие некоторой гео-
метрической величины, напри-
мер плогцади, на случаи, для
которых эта величина ещё не
определена. В связи с «пло-
щадью» Лобачевскому естест-
венно пришлось поставить при
этом вопрос о различии в харак-
тере предельного перехода для
последовательности отношений интегральных сумм, рас-
сматриваемых на коночном отрезке, от свойств пределов ана
логичных последовательностей на бесконечном интервале.
Если учесть, что молодому Лобачевскому доказательство
Бертрана настолько нравилось, что он его приводил, как
«лучшее» в своей «Геометрии» (1823), и что в той же «Геомет-
рии» он тем пе менее и это доказательство относил только
к пояснениям, которые не «заслуживают быть почтены
в полном смысле Математическими доказательствами», то
будет ясно, насколько большую роль в истории возник-
новения неевклидовой геометрии должны были играть
критические размышления Лобачевского над основными
понятиями и методами математического анализа.
Сущность доказательства Бертрана сводилась к сле-
дующему:
Чтобы показать, что всякие две прямые АЕ и BD
(черт. 8) при продолжении обязательно должны пере-
сечься, если, будучи пересечены третьей АВ, они образу-
ют с ней внутренние односторонние углы, сумма которых
меньше 2d, Бертран проводил прямую А С так, чтобы сумма
углов С АВ и ABD равнялась уже 2d. Если бы прямая АЕ
о МИРОВОЗЗРЕНИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 69
нс пересекала прямой BD. то угол САЕ оказался бы ле-
жащим внутри полосы CABD. Последнее, однако, не-
возможно,— утверждал Бертран,—потому, что в таком
случае угол оказался бы по площади меньше полосы, вну-
три которой он весь поместился бы. По «площадь» угла,
по Бертрану, не может быть меньше «площади» полосы:
чтобы покрыть всю плоскость, необходимо бесконечное
Черт. 9.
Черт. 10.
множество полос, конгруэнтных данной (черт. 9), по толь-
ко конечное число углов, конгруэнтных данному углу
(черт. 10) х). Если отнести ко всей плоскости число 2тс
в качестве меры её «площади», то мерой «площади» «угла»
(с бесконечно продолженными сторонами) можно считать
отношение длины любой соответствующей ему дуги к дли-
не её полной окружности, т. е. конечное число а; между
тем как мерой «площади» полосы будет — , т. е. нуль.
«Полоса», рассматриваемая как площадь, таким образом
есть актуально бесконечно малое по сравнению с «углом».
Чтобы сделать это доказательство ещё более убеди-
тельным, Лежандр заменил «полосу» Бертрана «дву-
угольником», образованным двумя перпендикулярами АС
и BD к секущей АВ, и демонстрировал (см. черт. 11),
Iv
9 Чтобы избавиться от перекрытий, Лобачевский заменяет
в «Геометрии» данный угол ближайшим (меньшим) к нему углом
2-
вида —, где п—целое число.
п
70
С. Л. ЯНОВСКАЯ
Черт. 11.
что «двуугольник» ABCD бесконечное множество раз
помещается внутри любого угла FOG.
Разоблачая ошибочность этого рода доказательств,
Лобачевский отнюдь пе становится иа какую-нибудь огра-
ничительную точку зрения, запрещающую—так как-
де это чревато трудностями!—сравнивать по величине
«площади» простирающихся в
бесконечность фигур. Но он
требует строгого определения
этой «величины». Пусть она
будет в некотором смысле бес-
конечной пли, наоборот, бес-
конечно малой. Существенно
не это. Важно то, что в та-
ких случаях, которые фигури-
руют в доказательстве Бер-
трана, «площадь» нельзя опре-
делить так, чтобы она не за-
висела от способа её изме-
рения. Способ же измерения
площади предполагает выбор
того пли иного постулата о
параллельных. Больше того, даже предположив уже
евклидов постулат о параллельных, нельзя определить
«площади» полосы (или двуугольника) и угла так, чтобы
отношения их не зависели от способа их измерения.
«Что же касается до беспредельных плоскостей,—
пишет Лобачевский,—то здесь, как и везде в математике,
за содержание (т. е. за отношение.—С. Я.) двух беско-
нечно великих чисел должно почитать границу (предел. —
С. Я.), к которой оно приходит с непрестанным возраста-
нием числителя и знаменателя в дроби»1). Но в данном
случае этот предел зависит от выбора последовательностей
конечных площадей ап, Ьп, пределом отношения которых
“п
определяется отношение «площадей» угла п полосы. Если
в качестве этих * последовательностей, — предположив
постулат Евклида верным,—выбрать для двуугольника
х) Поли. собр. соч., т. II, 1949, стр. 152.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ II. и, ЛОБАЧЕВСКОГО 71
с основанием АС=а (черт. 12) последовательность прямо-
угольников Yn со сторонами AB=CD = nat а для прямо-
го угла последовательность секторов Хп кругов с радиуса-
ми CD = na, то искомое отношение «площадей» прямого
угла п двуугольника представится как предел отношения
Уп=тга* 2 к Хп=~т. п2а2, т. е. как
lim — =0,
как и представлял себе это отно-
шение Бертран. «Если же вместо
того, чтобы полагать АВ = па,
делаем- AB=nCD = n2a, то в этот д
раз уже находим содержание
у , Черт. 12.
постоянным для всякого п, а следовательно, также для
п = оо, когда две плоскости («площади». — С. Я.) бесконечно
велики. Итак, содержание Y.X всякий раз выходит различ-
ное, смотря по тому, как ограничиваем плоскости в на-
чале и как они растут затем до бесконечности»1).
Иными словами, отношение рассматриваемых «пло-
щадей» не имеет инвариантного смысла, зависящего толь-
ко от самих фигур.. Чтобы можно было говорить и в
таких случаях об отношении бесконечных «площадей»,
необходимо специально оговаривать способ, с помощью
которого это отношение определяется. Именно па этом п
настаивает Лобачевский, когда оп упрекает Бертрана
в том, что его доказательство, «как п все подобные, далеко
не удовлетворяют требованиям, потому что в них пе видим
даже способа мерить плоскости («площади».—С. Я.), не
говоря о том уже, как плоскости должны быть ограни-
чены наперёд и с расширением границ расти до бесконеч-
ности» 2).
х) Поли. собр. соя., т. II, 1949, стр. 153—154.
2) Там же, стр. 153.—В последних слонах имеется в виду
отсутствие указании на конкретный способ задания той последо-
вательности конечных площадей, которая и должна служить
определением для «беспредельной плоскости».
72
С. А. ЯНОВСКАЯ
6. В связи с последним примером мы уже можем
остановиться на одном весьма существенном моменте,
характерном для понимания Лобачевским задач кри-
тики.
Критика у Лобачевского никогда не носит голого
отрицательного характера. Разоблачив ошибку против-
ника, Лобачевский не только вскрывает её корни, ио ука-
зывает п способы её исправления. При этом он считает
необходимым опровергнуть,—если они стоят этого,—
и такие аргументы противника, которые он мог бы вы-
двинуть, поостерёгшись уже от
допущения выявленных у пего
ошибок. Так, в частности, в рас-
сматриваемом случае Бертран или
модифицирующий его Лежандр
могли бы согласиться с критикою
Лобачевского и оговорить, на-
пример, как наиболее «естест-
Е венный», какой-нибудь опреде-
лённый способ выбора последо-
вательностей конечных площа-
дои яп, Ьп, пределом отношения ь которых должно опре-
деляться отношение бесконечных «площадей» двууголь-
ника и прямого угла.
Лобачевский предлагает даже в качестве такового срав-
нение площадей фигур X и У (см. черт. 13), ограниченных
«дугой FDE, описанной из центра С полупоперечником
CD=na». где а попрежнему равно АС.
Однако в таком случае допущенная ими ошибка стала
бы только ещё более ясной. Конечные площади фигур
X и У определяются по-разному в зависимости от того,
какой именно постулат о параллельных верен. В то вре-
мя, как в предположении, что 5 >тг (сумма углов треуголь-
ника равна или больше двух прямых), «содержание У:Х
обращается в нуль для п = со...} как разумел и Бертран»,
в другом предположении: что 5<тг, пределом отношения
У к X будет число
2
— aresin
(S)'
О МИРОВОЗЗРЕНИИ и. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
73
которое ио может быть равно нулю, «покуда я>0 и может
быть пренебрежено только за чрезвычайною малостью а» J).
Ошибки в доказательствах V постулата Евклида об-
наруживались, конечно, нс одним только Лобачевским.
Лежандр неоднократно менял своп доказательства имен-
но потому, что, как выразился по поводу одного пз них
Лобачевский, хотя и «назвал своё доказательство совер-
шенно строгим, но сам, вероятно, думал иначе» 2). Кри-
тика, однако, была в таких случаях недостаточно сме-
лой: она пе касалась самых основ пауки, её исходных
«начал», коренной ломки которых нс убоялся Лобачев-
ский н которые он считал необходимым перестроить, ис-
ходя из «тех самых понятий, которые... можем поверять
в природе прямо, пе прибегая наперёд к другим искус-
ственным и посторонним» 3).
Наоборот, Лежандр исходил из того, что постулат
Евклида о параллельных принадлежит к числу тех «фун-
даментальных истин, оспаривать которые невозможно и
которые представляют пример неизменно пребывающей
достоверности математических истин; эту достоверность
мы постоянно обнаруживаем при наших изысканиях, и
подобия такой точности нельзя найти ни в какой другой
области человеческого знания» 4).
Мы видим таким образом, что в то время как в мате-
риалистическом понимании Лобачевского математическая
строгость, за которую он боролся с Лежандром, была
орудием революционного переворота в математике, в обы-
вательском понимании, довлевшем даже над столь неза-
урядным математиком, как Лежандр, строгость и точность
математики должны были служить освящением «неизменно
пребывающей» косности не подлежащих никакому изме-
нению «математических истин».
Бывает критика и «критика». По всякая критика дей-
ствительно связана с творчеством, пе всякая борьба за
г) Поли. собр. соч., т. II, 1949, стр. 154.
2) Там же, стр. 151.
3) Там же, стр. 163.
4) В. ф. К а г а и, Вступительные статьи к «Геометрическим
исследованиям...» II. И. Лобачевского. Изд. АН СССР, 1945,
стр. 27.
74
С. А. ЯНОВСКАЯ
математическую строгость ведёт к прогрессу математики.
На примере великого русского математика Лобачев-
ского мы п сейчас имеем возможность продемонстрировать
значение материалистического подхода к требованиям
математической строгости и творческую роль смелой кри-
тики устаревающих реакционных установок,—такой кри-
тики, которая ис ограничивается голым отрицанием,
а заменяет сокрушённое ею старое положительным и про-
грессивным новым.
7. С целью подвести некоторый итог, мы можем
сказать ещё раз: вопреки метафизическим концепциям,
противополагающим творческую продуктивность матема-
тика соблюдению им требований строгости, гениальное
творчество Лобачевского было связано у него с беспощад-
ной критикой прегрешений против материалистически
понимаемой научной строгости. Не разобравшись кри-
тически в ошибочных доказательствах V постулата, Лоба-
чевский не пришёл бы к своей геометрии. Неудивительно
поэтому, что он неизменно критиковал этп «доказатель-
ства» за отсутствие «должной строгости в суждении» т).
О строгости, с которой он выступал при этом против та-
кого авторитетного математика, как Лежандр, можно
судить, например, по таким его словам из вступления
к «Новым началам геометрии»:
«Кажется, ие нужно много разбирать и ценить такое
суждение, где нет и теин строгого доказательства»* 2);
«... неосмотрительность Лежандра была так велика, что,
не примечая грубой ошибки, почитал он своё доказатель-
ство весьма простым н совершенно строгим»3).
Однако борьба за математическую строгость отнюдь
не была самоцелью для Лобачевского. Соблюдение тре-
бований научной строгости необходимо было, по Лоба-
чевскому, как вспомогательное средство в борьбе за
истину, как орудие критического разоблачения ложных
утверждений. Вопреки широко распространённому мне-
г) Поли. собр. соч., т. II, 1949, стр. 149.
2) Там же, стр. 152,—Речь идёт об одном из доказательств
Лежандра, основанном на свойствах эквидистанты.
3) Там же, стр. 158.
О МИРОВОЗЗРЕНИИ II. и. ЛОБАЧЕВСКОГО
75
нию, будто Лобачевский создал свою геометрию лишь
как некую «умственную игру», он пришёл к пей, ис-
ходя из задачи выяснить происхождение основных поня-
тий и положений геометрии из свойств материальных тел
природы. Именно этим материалистическим подходом
к требованиям логической строгости и была обусловлена
несокрушимость аргументации Лобачевского в его горя-
чей борьбе за строгость против Лежандра. Наоборот,
неудачу попыток своих предшественников разобраться
в теории параллельных Лобачевский как раз и видел
в том, что опп подходили к своей задаче чисто логически.
Они «заключили себя в такой тесный круг, что все усплпя
их не могли быть вознаграждены успехом» г), между тем,
как «надобно было бы прибегать к наблюдениям астро-
номическим и к пособию других частей математики»* 2).
Утверждения буржуазных математиков п логиков, буд-
то определяющим мотивом создания неевклидовой гео-
метрии было не познание материальной действительности,
а «чистая» логпка, будто до работ Пуанкаре и Клейна
геометрия Лобачевского была только «пустым логическим
упражнением» (Пуанкаре, Наука и гипотеза), яв-
ляются действительно пустыми выдумками, абсолютно
не соответствующими действительности. Поскольку они
до сих пор имеют хождение и в нашей среде, мы на них
остановимся подробнее в следующем параграфе, где вам
ещё понадобится сопоставление материалистических идей
Лобачевского с идеями «чистого» логика Саккери.
х) Поли. собр. соч., т. I, 194G, стр. 185.
2) «Наставления учителям математики» («Труды Института
истории естествознания», т. II, 1948, стр. 557).
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ И ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
И. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
В. М. Нагаева
«Во всяком преподавании долж-
ны быть цель и суждение па твёр-
дых началах»
II. II. Лобачевский.
В основу настоящей работы1) положены, помимо пе-
чатных трудов Н. И. Лобачевского, новые документы,
изученные автором в 1947 г. в Центральном государ-
ственном архиве ТАССР 2). Документы эти—следующие:
1. «Наставления учителям математики в гимназиях» —
рукопись Лобачевского от 16/VIII 1830 г.3).
2. «Донесение па секретное предписание»—рукопись
Лобачевского от 19/XII 1835 г.
3. Письма Лобачевского к директорам училищ и гим-
назий Казанского учебного округа, написанные им в пе-
риод с 1845 по 1847 г.
4. Письмо Лобачевского к М. II. Мусину-Пушкину
от 1/III 18414).
В настоящей работе использовано до 30 писем, содер-
жащих указания Лобачевского по вопросам препода-
Ч Выражаю свою глубокую благодарность проф. В Ф. К а-
г а н у за те советы и указания, которые были получены мною
от него при написании этой работы.
2) Автор очень признателен сотрудникам ЦГА ТАССР
А. И. Я м п о л ь с к о й, Д. С. Г у т м а и, М. И. Олимпо-
вой и М. Н. Резиновой за помощь в подборе документов.
3) Опубликовано автором в «Трудах института истории есте-
ствознания Академии паук СССР», т. II, М.—Л., 1948.
4) Найдено и сообщено автору П. Ф. Якуниным.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
77
вания в средней школе, а также ого высказывание о рус-
ском языке и литературе.
Письма к директорам учебных заведений представ-
ляют собой карандашные наброски, сделанные Лобачев-
ским на полях протоколов и отчётов гимназий и пере-
ведённые затем па официальные бланки; в делах сохрани-
лись копии с собственноручной правкой Лобачевского.
Вследствие новизны и того интереса, который имеет
этот материал для изучения личности нашего великого
соотечественника, в настоящей работе даётся много выдер-
жек из указанных документов.
Автором привлечён также обширный архивный мате-
риал, характеризующий жизнь Казанского учебного ок-
руга при Лобачевском: протоколы заседаний педагоги-
ческих советов гимназий, отчёты их директоров, отчёты
по Казанскому учебному округу, журналы визитаций
и «Исторические записки» учебных заведений, дело о шко-
лах взаимного обучения и др.1).
Указанные материалы дают достаточно полное пред-
ставление о педагогических взглядах Лобачевского и о
его деятельности в области народного образования, кото-
рой он посвятил большую часть своей жизни; вместе
с тем, оип проливают свет и на внутреннюю жизнь Ло-
бачевского, раскрывая, в известной море, основные черты
мировоззрения великого русского учёного.
I. И. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ КАК ДЕЯТЕЛЬ НАРОДНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
1. Педагогическая биография
Велпкпн русский математик Лобачевский был в то
же время впдным общественным деятелем и педагогом, и
имя его должно занять почётное место па страницах исто-
рии русской псдагогикп. Деятельность Лобачевского
оказала несомненное влияние па развитие школьного
х) Так как все неопубликованные документы, использованные
автором в этой работе, принадлежат Центральному государствен-
ному архиву ТАССР, то в дальнейших ссылках на архивные мате-
риалы, сокращённое обозначение архива II ГА ТАССР будет всюду
опускаться.
78
В. М. НАГАЕВА
дела в обширнейшем по территории Казанском учебном
округе в первую половину XIX века.
Казанский университет, призванный по уставу 1804 г.
возглавить названный учебный округ, фактически при-
ступил к управлению им лишь в 1811 г., после того как
при университете был организован Училищный комитет.
Уже в 1818 г. в списках членов этого комитета значится имя
молодого начинающего профессора II. II. Лобачевского1).
Вторично в этих списках его имя упоминается в 1820 г.2).
В деле № 6 физико-математического факультета за
1823 г. имеются указания на то, что в это время Лоба-
чевский принимал непосредственное участие в препода-
вании математики в высшем математическом классе Ка-
занской гимназии 3).
Создавая свой учебник по алгебре, Лобачевский про-
верял пригодность его в практике почти двухлетнего
преподавания и, таким, образом, как свидетельствует в
отзыве об этом учебнике проф. Никольский, «имел слу-
чай сделать все нужные исправления в отношении к спо-
собу учения», а также «поверить успешность на самом
опыте» 4).
Тем пе менее, первая четверть XIX века не показа-
тельна для Лобачевского как деятеля народного образо-
вания. В это время в процессе научной и преподава-
тельской работы происходило ещё формирование педа-
гогических взглядов Лобачевского, легших в основу его
дальнейшей деятельности на поприще народного просвеще-
ния. Начало последней относится к 1827 г., когда Лоба-
чевский становится ректором университета в, согласно
уставу 1804 г., непосредственным руководителем всех
дел учебного округа. Хотя в дальнейшем по унпверси-
0 Ф. 92, арх. 7791.
2) «Материалы для биографии II. II. Лобачевского», Собрал и
редактировал Л. В. Модза левскпй. Изд. АН СССР, М.—Л.,
1948, стр. 97. (При дальнейших ссылках на эту книгу мы будем
указывать только фамилию составителя и номер страницы,
например: М о д з а л евскпй, стр. 97.) ,
3) Ф. 977. Дело № 6 Физико-математического отделения,
1823 г.
4) Ф. 977. Дело № 8 Физико-математического отделения,
1824 г.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
79
тетскому уставу 1835 г. университеты и были отстранены
от прямого участия в делах округа, ио в Совете при попе-
чителе округа непременным членом должен был являться
ректор соответствующего университета. Кроме того, и
устав 1835 г. предписывал попечителям округов «во всех
училищных делах, требующих учёных соображений, ис-
прашивать мнение Совета университета». Таким обра-
зом, фактически университеты продолжали оказывать вли-
яние на работу средних и начальных училищ. При этом
следует принять во внимание и тот огромный авторитет,
каким Лобачевский пользовался в глазах М. II. Муси-
на-Пушкина, попечителя Казанского учебного округа.
О том, что и после 1835 г. Лобачевский продолжал
деятельно участвовать в учебно-методической жизни шко-
лы, свидетельствуют следующие факты: в 1835 г. им были
обследованы гимназия, уездные и приходские училища
Нижегородской дирекции; в 1836 г. Лобачевский посе-
тил Симбирскую гимназию и Космодемьянское уездное
училище, в 1838 г.—Вторую казанскую гимназию,
в 1839 г. Казанское уездное и Первое казанское приход-
ское училище, в 1842 г. им была произведена ревизия
Пензенской гимназии1).
«Исторические заппскп» учебных заведений Казан-
ской дирекции свидетельствуют также о том, что Лоба-
чевский посещал экзамены в Казанской гимназии и
в Казанском уездном училище. В 1840 г. Лобачевскому
была объявлена попечителем округа благодарность за ока-
занную им помощь по испытанию поступающих в универ-
ситет п за деятельность по усовершенствованию препо-
давания в гимназиях2).
Из письма Лобачевского к Мусину-Пушкину от 1/Ш
1841 г. следует, что Лобачевский имел отношение к со-
*) Ф. 92, арх. 5250. Исторические записки учебных заведений
Казанского учебного округа за 1827—1842 гг. «Исторические
записки» учебных заведений Казанского учебного округа пред-
ставляют собой собрание особых ежегодных отчётов об учебной
жизни всех школ различных губерний, входящих в состав округа.
Представление их возлагалось на директора губернской гимназии,
в Функции которого входило руководство учебной жизнью всех
школ вверенной ему дирекции.
2) М о д з а л е в с к и й, стр. 557.
80
В. М. НАГАЕВА
ставленмю краткого руководства к улучшению препода-
вания в гимназиях Казанского учебного округа1).
18 апреля 1845 г. Лобачевский был назначен управля-
ющим Казанским учебным округом, а с 14 августа 1846 г.
являлся первым помощником вновь назначенного попе-
чителя, и на этом посту работал до самой кончины (1856).
Таким образом, с 1827 по 1856 г. Лобачевский непре-
рывно находился у руководства учебным округом,
с 1827 г. по 1845 г.—в качестве ректора университета,
а затем—как помощник попечителя округа.
В истории школ Казанского учебного округа это время
отмечено было значительным усилением учебно-мето-
дической работы. В частности, в 1838 и 1840 гг. округ
оказался инициатором двух важных мероприятий. Пер-
вое из них ставило своей задачей усовершенствование прак-
тического знания русского языка среди учащихся гимна-
зий. В обстановке пренебрежения русским языком и раболе-
пия перед иностранной культурой, которыми была за-
ражена тогда значительная часть дворянства, это меро-
приятие имело большое общественное и воспитательное
значение. Второе мероприятие заключалось в требовании
обязательного ежегодного представления старшими учи-
телями какого-либо «опыта своих занятий». Это меро-
приятие ставило своей задачей изучение опыта работы
средней школы и повышение уровня педагогического ма-
стерства преподавателей посредством приобщения послед-
них к методическим занятиям. Как будет показано
ниже, Лобачевский уделял обоим указанным мероприя-
тиям весьма большое внимание.
2. Лобачевский в борьбе за реализм
К началу 30-х годов прошлого столетия в Казанский
учебный округ входили губернии: Казанская, Нижегород-
ская, Симбирская, Пензенская, Саратовская, Вятская,
Пермская и Оренбургская. О состоянии грамотности
среди населения этих губерний можно судить по отчёту
Казанского учебного округа за 1847/48 учебный год.
J) Ф. 92, арх. 5186, 1841 г., лл. 34—35.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО
81
В этом отчёте указывается, что в 1848 г. на 316 человек
населения мужского пола приходился одни учащийся9-
Между тем экономическое освоение обширных восточ-
ных окраин, тяготевших к Казанскому учебному округу,
требовало огромных резервов квалифицированных работ-
ников—от элементарно-грамотных людей до высокообра-
зованных специалистов. Об этом достаточно ясно говорит
выступление казанского военного губернатора Шипова
на экстраординарном заседании Казанского Экономиче-
ского общества в 1842 г.
В этом выступлении, основанном, как показывает дело,
на соображениях и отчётах Лобачевского—председателя
IV отделения Совета Экономического общества,—Шипов
ставил вопрос о необходимости подготовки кадров для
промышленности и торговли, развитие которых настоя-
тельно диктовалось особым положением края, связующим
Европу с Азией, Россию с Сибирью2).
Стремясь к разрешению этого настоятельного вопроса,
Лобачевский вносит в Совет Экономического общества
предложение об организации коммерческих училищ в ряде
промышленных центров Казанского округа, которые он
и перечисляет «в том порядке, в какой постепенности
можно почитать в них развитие промышленности»3).
Эта же потребность в кадрах заставила попечителя
Казанского учебного округа высказаться против распро-
странения на Казанский учебный округ циркуляра Мини-
стерства народного просвещения от 1840 г. о мерах по огра-
ждению доступа в университеты лпц из низшего сословия.
Несвоевременность применения этих мер в Казанском
учебном округе попечитель мотивировал тем, что люди
низших сословий, поступая па философский и медицин-
ский факультеты, пополнят учебные и медицинские ведом-
ства, всегда нуждающиеся в работниках4)- О той же
9 Ф. 92, арх. 5360, Отчёт Казанского учебного округа за
1847/48 учебный год.
2) Ф. 442, арх. 11, 1842 г., л. 4, 5.
9 Там же, л. 1.
4) С. В. Рождественский, Историко-статистический
обзор деятельности Министерства народного просвещения за 1802—
1902 гг., СПб., 1902, стр. 253—254.
° Историко-матсм. исследования
82
В. М. НАГАЕВА
потребности в кадрах свидетельствовало и стихийное
возникновение школ при заводах в Пермской губернии1).
По уставу 1828 г. подготовка кадров для промышлен-
ности должна была осуществляться через сеть уездных
училищ с организованными при них дополнительными
курсами; гимназия же с сё отвлечённо-гуманитарным
характером образования оставалась в стороне от растущих
потребностей промышленности. Однако изучение докумен-
тации попечительства Казанского учебного округа пока-
зывает, что своеобразные условия восточных окраин
России, тяготевших к Казани, не способствовалп расцвету
классического образования. Уже в 1834 г. здесь назрел
вопрос о частичной специализации образования в гимна-
зиях.
Так, например, в 1836 г. в Казанской и Астраханской
гимназиях были открыты классы восточных языков, орга-
низация которых была вызвана нуждами колонизатор-
ской политики царпзма. С теми же целями в 1835 г.
в Казанскую гимназию были допущены для обучения рус-
скому языку 5 человек пз бурят. В 1831 г. было издано
предписание о допущении в Казанский университет баш-
кнров, татар и мещеряков для обучения их медицине.
Пожизненность классического образования в условиях
Казанского учебного округа сказалась, прежде всего,
па ходе обучения в гимназиях древним языкам, являв-
шимся основой классического образования. На отставание
Казанского учебного округа в деле изучения греческого
языка указывал в своей книге Шмпд2). Усматривая «чрез-
мерную умеренность» в требованиях, предъявляемых к зна-
нию древних языков со стороны руководства учебным
округом, Шмпд пытался объяснить этот факт «недоста-
точным пониманием смысла устава 1828 г.». Однако
документация учебного округа показывает, что причина
этого была глубже: несочувственно относились к изуче-
нию «мёртвых» языков и учащиеся п их родители,—а это
было связано со специфическими местными потребно-
0 Отчёт по Казанскому учебному округу за 1830—1831 гг.
2) Е. III м п д, История средних учебных заведений в Рос-
сии, СПб., 1878, стр. 407.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ ц. и. ЛОБАЧЕВСКОГО 83
стямп. Так, в отчёте Казанского учебною округа за 1848 г.
отмечается, что преподавание древних языков в округе
стоит не на должной высоте, причиной чего является
«несочуветвенное к ним отношение как со стороны уча-
щихся, так и со стороны родителей»1). О том же свиде-
тельствует и протокол заседания Педагогического совета
Саратовской гимназии от 9 октября 184(> г., где мы нахо-
дим заявление учителя латинского языка о том, что
успешности преиодавания древних языков мешает рас-
пространённое мнение о том, что эти языки бесполезны»2).
Изучение особенностей исторического развития учеб-
ных заведении Казанского учебного округа, отразивших
своеобразие развития восточных районов России,—задача,
требующая специального исследования. Здесь существенно
отметить, что в характерной для гимназий Казанского
учебного округа практической направленности преподава-
ния сказалось, несомненно, и влияние Лобачевского. Ойо
отразилось больше и прежде всего па математике и физике,
преподавание которых естественно находилось под непо-
средственным наблюдением Лобачевского, что нс раз
подтверждается в ходе дальнейшего изложения этой
работы.
Будучи сторонником реалистического образования на
основе точных и естественных паук, Лобачевский в своих
«Наставлениях учителям математики в гимназиях», напи-
санных в 1830 г., осуждает значительное сокращение объёма
преподавания математики для изучающих греческий язык,
предложенное профессором Петербургского университета
Д. С. Чижовым и одобренное Комитетом устройства
учебных заведений. «Что касается до гимназий!, где учат
греческому языку, то преподавание математики г. Чижов
ужо слишком сократил»,—пишет Лобачевский. При этом
Лобачевский предлагает «новое разделение но классам
предметов, которое даже обширнее и для обучающихся
греческому языку».
В противоположность Казанскому учебному округу,
тенденции к классическому образованию особенно сильны
1) Ф. 92, арх. 5360.
2) Ф. 92, арх. 5820, л. 171.
6”
84
В. М. НАГАЕВА
были в западных губерниях России, где преподавание
математики преследовало главным образом формальные
цели. И в этом смысле особенно показательным является
«Устав учебных заведений Дерптского университета»,
где прямо указывалось, что «математика есть наука, кото-
рая более всего образует силу размышления и проница-
тельности... Математическое учение должно быть препо-
даваемо в таком виде, чтобы оно особенно служило упраж-
нением остроумия». В преподавания геометрии устав
предписывал следовать методу Евклида, особо подчёр-
кивая, что «здесь никогда не употребляются линейка
и циркуль, пн па доске, пн па бумаге». Математике как
«практическому искусству счисления» отводилось место
преимуществен по в уездных училищах х). Конечно, из
этого не следует ещё, что в классической гимназии пол-
ностью отрекались от практических применений теории
в процессе преподавания математики; ио это применение
теоретических знаний преследовало там цели чисто мето-
дического порядка—как средства повышения усвояемости.
Исключение в этом смысле составляла лишь арифметика,
которой отводилась роль пауки, «необходимой в общежи-
тии» * 2).
Ииую картину представляло собой преподавание мате-
матики в гимназиях Казанского учебного округа, где
практические применения теории имели в своей основе
учёт жизненных потребностей. В своих «Наставлениях
учителям математики в гимназиях» Лобачевский пишет
о том, что «математике должно учить в гимназиях ещё
и с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые,
были достаточны для обыкновенных потребностей в
жизни». В тех же «Наставлениях», давая указания о пре-
подавании геометрии, Лобачевский утверждает, что
«главная цель, которую надобно предположить в препо-
давании геометрии, будет та, чтобы дать общие правила
для измерения... Давая общие правила для измерения,
надобно согласовать пх с той целью, для которой они
х) Журнал департамента народного просвещения, 1821 г.,
Устав учебных заведений Дерптского университета, § 35.
2) Там же.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 85
должны служить, т. е. для измерения на самом деле»1).
Этой идее подчинено и расположение учебного материала
в его учебнике геометрии. Между тем на учебниках Лоба-
чевского воспиталось но одно поколение молодёжи,
о чём свидетельствует, например, «Историческая записка
о 1-й Казанской гимназии» 2), где указывается, что препода-
вание математики в среднем и высшем классах велось по
заппскам проф. Лобачевского.
О степени влияния Лобачевского па преподавание
в гимназиях свидетельствует также отчет Второй Казан-
ской гимназии за 1846 г., где сообщается, что «метод пре-
подавания употребляем был более синтетический, прак-
тический, которого польза указана и замечена на доле
самим господином управляющим округом во время посе-
щения его превосходительством (т. с. Лобачевским.—В. Н.)
классов этого заведения»3). На практическую целеустрем-
ленность преподавания математики в гимназиях Казан-
ского учебного округа достаточно ясно указывают «Исто-
рические записки» учебных заведений Казанского учеб-
ного округа с 1827 по 1842 г. 4). Так. например, Казанская
дирекция сообщает, что «в математике обращено особое
внимание на практические задачи... Из физики всегда,
когда нужно, делают опыты, чтобы лучше ознакомить
учащихся с инструментами и машинами». В записках
Астраханской дирекции указывается, что «в математике
обращено внимание на практическое применение всех
положений, выводимых умозрениями, начиная с самой
арифметики», и, аналогично предыдущему, подчёрки-
вается место, занимаемое опытами в преподавании физики.
О том же свидетельствуют и результаты наблюдения
инспектора за преподаванием в Вятской гимназии, где
«учителя стараются во всех возможных случаях делать
«Труды Института истории естествознания, т. II, Изд. АН
СССР, стр. 557—560.
2) В. В ладимиров, Историческая записка о 1-й Казанской
гимназии, Казань, 1867 г., стр. 172, 277.
I аРх* 3849, 1846 г., Отчёт Второй Казанской гимназии
за 1846 г. 1
4) Ф. 92, арх. 525U, лл. 48—49.
86
В. М. Н М'АКВД
применения теории к практике и занимать учеников ре-
шением практических задач»1).
Всё это говорит о том, что в гимназиях Казанского
учебного округа, вопреки официальным установкам, прак-
тическая цель обучения занимала весьма значительное
место. Проводившаяся самодержавием в 30 40-х годах
прошлого столетня политика в области просвещения была
направлена на постоянный отрыв народной школы от
классической дворянской гимназии, что прежде всего ска-
залось в разрыве между программами, затруднявшем пе-
реход из уездного училища в гимназию.
Реалистические тенденции, усилившиеся в гимназиях
под влиянием Лобачевского, подрывали устои сословной
школы. Это был шаг в направлении практического осу-
ществления ого идеи о единой системе образования для
всех сословий, в основу которой должна быть положена
идея преемствен пости программ. «Учение в гимназиях
должно быть соглашено с препода ванном в уездных учи-
лищах, которому оно служит продолжением, и в универ-
ситете, до начала которого его надобно доводить», — пи-
шет Лобачевский в «Наставлениях».
Лобачевский не был одинок в своих требованиях
учёта жизненной практики в образовании. Отвечая инте-
ресам новых движущих сил, шедших па смену отживав-
шему феодально-помещичьему строю реалистические тен-
денции в деле образования юношества находили отраже-
ние в наиболее передовой общественно-педагогической
мысли. Так, в «Педагогическом журнале» № 4 за 1833 г.
мы находим рецензию, написанную П. С. Гурьевым
по поводу «Учебного математического журнала» (изд.
под ред. Купфера, Ревель, 1833 г.), в которой автор
писал: «Пожелаем, чтобы читатели у[чебпого] математиче-
ского] ж[урнала] со временем находили в оном более при-
ложений теории к искусствам и ремёслам; это потребность
века». Но огромная заслуга Лобачевского была в том,что
он, с присущей ему смелостью в стремлении к новому,
*) Ф. 92, арх. 5913, 1847 г., Протоколы Педагогического совета
Вятской гимназии за 1847 г., лл. 184—192.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ II. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 87
претворял эти идеи в жизнь, пролагая тем самым новые
пути в развитии школы.
Реализм и требование учёта практики в преподавании
являются чертами, свойственными материалистической
педагогике.
Внедрение этих идей в практику учебных заведе-
ний способствовало укреплению материалистических тен-
денций в развитии русской педагогики.
3. Лобачевский о родном языке, литературе
п о воспитании национального самосознания
Как уже отмечалось, Лобачевский уделял много
внимания улучшению постановки обучения русскому
языку.
Для усовершенствования знания родного языка и
родной литературы в гимназиях были введены сначала
обязательные ученические сочинения, а с 1844 г. и так
называемые «литературные беседы» *). Лобачевский лично
наблюдал за ходом выполнения этого мероприятия. С этой
целью он требовал, чтобы по лучшим образцам учениче-
ских сочинений педагогические советы представляли ему
«своп суждения»; вместе с тем, к оценке их были привле-
чены научные силы университета. Па основе всех этих
материалов он делал свои выводы и указания* 2).
Своей систематической работой в этом направлении
Лобачевский сумел привлечь к вопросу изучения рус-
ского языка серьёзное внимание учителей. Так, в одном
из писем к директору училищ Пензенской губернии он
с удовлетворением отмечает: «вообще нахожу, что гг. учи-
тели с прилежанием занялись разбором ученических
сочинений»3).
Основу этой деятельности составляет убеждение Лоба
невского в том, что «язык парода—свидетельство его
образованности, верное доказательство степени его про-
/) В. Владимиров, Историческая записка о 1-й Казан-
ской гпмпазпи, Казань, 1867—1868, стр.’ 321.
2) ф- 92> аРХ. 5755, 1846 г., лл. 40, 62, 94, 237, 327.
3) Там же, л. 215
88
В. М. НАГАЕВА
свещения». (Из речи Лобачевского «О важнейших пред-
метах воспитания».) Лобачевский считал, что «язык соста-
вляет первое основание народности» и что «с падением
народности падает язык»1).
Такое убеждение привело Лобачевского к решитель-
ному осуждению дворянства за его преклонение перед
французским и пренебрежение русским языком. «Не
знать родного языка, — заявляет Лобачевский,—пе пости-
гать духа в своём отечественном языке постыдно... Если
мы видим, что в лучшем сословии пренебрегают своим
языком п тщеславятся познанием иностранного, то надобно
сожалеть об этом и называть это жалким событием нашего
времени»2). В одном пз писем к директору Пензенского
дворянского института Лобачевский отвечает на заявле-.
пне, сделанное учителем Руммелем на Педагогическом
совете о том, что «лучшим учёным языком по своей ясности
и отчётливости» является французский. Лобачевский
пишет: «В мнении учителя Руммеля... нахожу неуместным
выражение, где присоединил он слово варварский русскому
языку, хотя и сказал это г. учитель издеваясь. Надобно
понимать и внушать ученикам, что наш язык один сохра-
нил дух древних, тогда как языки новые приложили
члены к именам существительным. Отсюда происходит,
что наш язык, определённый нс порядком слов, но в их
окончаниях, дозволяет расположение с плавностью и
сплою. В иностранных новых языках, особенно во фран-
цузском, бедность этимологии, условные выражения вне
всяких грамматических правил и непрестанное повторе-
ние однозвучных членов лишают силы, мужественного
достоинства, стройности, затрудняя насильственным рас-
положением слов. Французские писатели много трудились
над обрабатыванием своего языка, наконец, успели дать
ему красивый покрой, но составили слишком пёстрое
платье из лоскутков. Надобно понимать п потом уметь
пользоваться преимуществом своего языка, не подражая
другим с их недостатками»3).
х) Ф. 92, арх. 5755, 1846 г., лл. 267—268. Письмо директору
училищ Саратовской губернии.
2) Там же.
) Там же, л. 1?7.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 89
Из приведённых высказываний Лобачевского следует,
что первооснову развития национальной культуры
для него составляло изучение и усовершенствованно род-
ного языка. Одним из главных средств повышения куль-
туры языка является, по мнению Лобачевского, изучение
лучших произведений литературы. Так, в одном из писем
к директору училищ Саратовской губернии он пишет,
что «действительно хороший слог и свобода выражаться
не иначе могут быть приобретаемы, как чтением образцо-
вых сочинении»1). Помимо образовательного значения,
это чтение имеет, по мнению Лобачевского, и бесспорное
воспитательное .значение, так как, «кроме хорошего
слова,—пишет он, — здесь представляются образцы хоро-
шего обдуманного содержания и порядка в мыслях» 2).
Даже в теории словесности, по его мнению, «мало пользы,
если она не бывает соединена с пояснительными примерами
при чтении образцовых писателей»3). Поэтому важной
задачей учителя является умение привить учащимся вкус
и любовь к литературе в такой степени, «чтобы эти сочи-
нения были читаны с охотой пе по одному любопытству,
но с желанием изучать их»4).
О серьёзном подходе Лобачевского к изучению лите-
ратуры п о понимании им воспитательного её значения
свидетельствует и тематика сочинений, рекомендованная
в Казанском учебном округе. Здесь мы по находим произ-
ведений митрополита Филарета, указанного в числе
прочих авторов Министерством народного просвещения,
которое преимущественное внимание уделяло литературе
религиозной, дидактической и исторической5). Основу
тематики в Казанском округе составляли лучшие русские
и иностранные писатели. Рекомендовались, например,
такие темы: «Взгляд на жизнь п сочинения Ломоносова» —
х) Ф. 92, арх. 5755, 1846 г. Л. 267.
2) Там же.
3) Ф. 92, арх. 5913, 1847 г., л. 108, Письмо директору Пен-
зенского дворянского института.
4) Ф. 92, арх. 5755, 1846 г., лл. 215 и 317, Письмо директору
Пензенского дворянского института.
м и д’ История средних учебных заведении в России,
V-illo., 1878, стр. 415.
90
В. М. НАГАЕВА
тома, ставящая своей задачей изучение достижений
русской культуры; «Взгляд на комедию Гоголя „Ре-
визор“»—гема, обличающая язвы чиновно-бюрократи-
ческой России; «Разбор трагедии Шекспира „Ри-
чард III"»; «„Капитанская дочка" и „Евгений Онегин"
Пушкина»г).
В «Исторической записке» Симбирской гимназии* 2)
мы находим сообщение о том, что на литературные беседы
в этот период были вынесены такие темы, как разбор сочи-
нения Жуковского «История русской грамматики», раз-
бор поэмы Пушкина «Цыганы»; преобразование России
Петром I и др.
Одной из особенностсйоб учения в Казанском учебном
округе являлось введение в 1827 г. преподавания славян-
ского языка нс только в гимназиях, где это полагалось
согласно уставу, но и в уездных училищах. У нас ист
указаний на то, какое участие принимал в этом Лоба-
чевский, но взгляд его на преподавание славянско-
го языка был выражен им совершенно определённо в
письме к директору Пензенского дворянского институ-
та от 28/V 1846 г.: «От славянского произошёл Рус-
ский; следовательно, славянский язык надобно изучать
для того, чтобы узнать здесь корень и дух языка,
прибавляя тем повое пособие к познанию языка рус-
ского»3) .
Наконец, материалы инспекторских наблюдений за
преподаванием в Вятской гимназии в 1847 г. показывают,
что указания Лобачевского по поводу изучения русского
языка п литературы систематически внедрялись в прак-
тику школы.
Из предыдущего ясно, что деятельность Лобачевского,
направленная к повышению культуры русского языка
и к глубокому изучению лучших образцов русской лите-
ратуры, содействовала росту национального самосозна-
ния и борьбе против захлестнувшего дворянские круги
иноземного влияния.
х) Е. Шмид, Цит. соч., стр. 415.
2) А. С. Архангельски й, Симбирская гимназия, 1809—
1909 гг., Историческая записка, Симбирск, 1909.
3) Ф. 92. арх. 5755, 1846 г., а. 74.
ПЕДАГОГ! 1ЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ II. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 91
4. Методическое руководство школой
Видное место в просвотитсльскон работе Лобачевского
занимало общее методическое руководство всей жизнью
школы. Изучение учебной документации Казанского
округа за первую четверть века (протоколов педагоги-
ческих советов, их отчётов и т. п.) показывает, что вопросы
методического порядка ещё нс занимали в школах долж-
ного места. Достаточно указать на инструкцию внзнта-
торам учебных заведении, изданную в 1820 г. Ио этой
инструкции предметы осмотра были разделены на три
части: нравственные, учебные и хозяйственные. При этом
смотр учебной части сводился к контролю над степенью
благонадёжности преподавания, а успешность препо-
давания устанавливалась «испытанием учеников при внзи-
таторе», доказывающим, что «учеппе преподавалось всегда
непрерывно и в порядке»1). Неудивительно, что в школах
царствовала зубрежка, п, как указывают материалы
визитации вятских училищ за 1829 г., «метод буквальный,
без близкого к понятиям детей изъяснения ими проходи-
мого» 2).
Первое распоряжение методического порядка со сто-
роны Казанского учебного округа мы встречаем в его
годовом отчёте за 1928729 учебный год, где говорится,
что «поелику изустная выучка без надлежащего понятия
об изучаемом бывает бесполезна, то предписывается всем
учителям Пермской дирекции преподавать учение ясно,
вразумительно, приспособляясь к понятиям учеников»3).
В «Исторической записке о 1-й Казанской гимназии» 4 *)
констатируется, что с 30-х годов было обращено особое
внимание на методы обучения.
Мы далеки от того, чтобы приписывать только Лоба-
чевскому тот подъём учебно-методической работы, кото-
х) Ф. 92, арх. 1027, 1820 г., лл. 1 3, Инструкция визитато-
рам учебных заведений Министерства народного просвещения.
2) Ф. 997, арх. 5300, 1829 г., Материалы визитации вятских
училищ.
3) Ф. 977, арх. 6053.
4) В. Влади м и р о в, Историческая записка о 1-й Казан-
ской гимназии, Казань, 1867—1868, стр. 170.
92
В. М. НАГАЕВА
рый наблюдался в Казанском учебном округе в 30—40-е
годы прошлого столетия. Но Лобачевский сделал в этом
направлении очень много. Прежде всего, будучи ректо-
ром университета, Лобачевский являлся в то же время
и председателем Училищного комитета. Следовательно,
всякое решение, касающееся учебного дела, требовало
его одобрения, всякая инициатива в этом направлении
должна была, если и не исходить от пего, то найти у него
поддержку. Уже в 1829 г., т. с. через 2 года после назна-
чения его ректором, мы находим целый ряд распоряжений,
направленных па улучшение преподавания в учебных
заведениях. Так, в результате обследования Нижегород-
ской дирекции в 1829 г. университетом было вынесено
решение поставить в обязанность всем учителям «наблю-
дать, чтобы ученики, при сказывании уроков, объясняли
изученное своими словами, а пе словами книг»1).
Те же материалы свидетельствуют об усилении кон-
троля за преподаванием, об оказании на местах методиче-
ской помощи. С этой целью было предложено всем смотри-
телям наблюдать за тем, чтобы «предметы, положенные
ио уставу, преподавались все и были оканчиваемы в своё
время». Всем дирекциям предписывалось «изыскивать
средства к улучшению способа преподавания», а для
контроля исполнения требовалось представление копий
с постановлений «о рассуждениях Советов по таким слу-
чаям». Вменялось в обязанность всем директорам произ-
водить ежегодные обозрения учебных заведений подведом-
ственных им дирекций, во время которых давать «при-
личные наставления по важнейшим мерам, клонящимся
к улучшению учащихся в учебном отношении». Для этой
цели директор обязан был читать лекции, показывая
учителям «легчайший и ближайший к понятиям учащихся
метод преподавания»2). О том, что эти указания проводи-
лись в жизнь, свидетельствуют «Исторические записки»
Казанской дирекции, где предлагается, чтобы «директор,
обозревая ежегодно учебные заведения дирекции, давал
х) Ф. 92, арх. 2924, Журнал обозрений учебных заведений
Казанского учебного округа, лл. 1, 2, 3.
2) Ф. 92, арх. 5250, Исторические записки Нижегородской
и Вятской дирекций за 1827—1842 гг., лл. 59—81.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 93
подробные наставления к улучшению предметов, в особен-
ности русского языка и арифметики» 1).
Буду411 попечителем, Лобачевский настоятельно тре-
бовал выполнения директорами этих обязанностей. Так,
в 1846 г. им было издано циркулярное распоряжение,
где он указывал, что «по все гг. директоры с надлежащей
точностью исполняют возложенные па них но этому случаю
обязанности», а потому предлагал им «каждый год произво-
дить осмотр, представлять замечания по обозрению
и своп распоряжения»2). Так же настоятельно Лобачев-
ский требовал и представления годовых отчётов и прото-
колов заседании педагогических советов «с рассужде
ниямн об. улучшении методов преподавания»3). Лоба-
чевский рассматривал каждый протокол, отчёт, донесение
и на полях, карандашом, делал замечания, которые затем
оформлялись в виде письма директору данного учебного
заведения. Таким путём Лобачевским написаны десятки
писем, свидетельствующих о том, насколько действенным
было его руководство учебной частью школ Казанского
учебного округа.
В 1830 г. Лобачевским было составлено руководство
по преподаванию математики в гимназиях и уездных
училищах: «Наставления учителям математики в гимна-
зиях» 4).
В этпх «Наставлениях», как будет показано подроб-
нее далее, с большой чёткостью, принципиальностью и на
основе материалистического подхода ставились и разре-
шались такие важные проблемы дидактики, как соот-
ношение между формальной и материально]'! целью обуче-
ния, роль чувственного восприятия в учебном процессе,
реализм в преподавании и учёт практики в системе общего
образования п т. п. Впервые перед учителем Казанского
*) Ф. 92, арх. 5250, л. 63, Исторические записки Казанской
Дирекции.
2) Ф. 92, арх. 5763, 1846 г., Циркулярное распоряжение Упра-
вляющего Казанским учебным округом, помощника попечителя
Лобачевского.
8) Ф. 92, арх. 5620, 1845 г., л. 171; арх. 5755, 1846 г., л. 215,
Письма Лобачевского директорам училищ.
) «Труды Института истории естествознания», т. II, 1948,
стр. 554—560. 1
94
В. М. НАГАЕВА
учебно! о округа были во всей полноте поставлены вопросы
о роли сознательности н наглядности в обучении, о воз-
растных особенностях детей и т. п.
«Наставления» не были напечатаны, но есть основания
предполагать, что идеи, высказанные в них, активно
внедрялись в практику школы. Так, цитированные уже
выше «Исторические записки Нижегородской дирекции»
указывают, что «приведено в действительное исполнение
данное г. попечителем указание к улучшению методов
преподавания, заключающееся преимущественно в нагляд-
ном, осязательном способе учения, в объяснении каждого
правила примером, каждого изложения—практикою»1).
В 1841 г. Лобачевский рассматривает и дополняет
своими соображениями «Краткое руководство к улучше-
нию преподавания в гимназиях»2). Здесь Лобачевский
вновь ставит вопрос об учёте возрастных особенностей
детей, о «занимательности учеппя», о наглядности,
о «взаимной помощи и согласии разных предметов» и т. д.
«Исторические записки» учебных заведений! рассказывают
о том, что и это руководство имело практическое приме-
нение в учебных заведениях. Так, в записках Пензенской
дирекции сообщается, что «в 1841 г. по распоряжению
попечителя было составлено указание к улучшению мето-
дов преподавания по разным предметам гимназического
курса в Казанском учебном округе, сообразно которому
изменено преподавание в Пензенском гимназии»3).
5. Лобачевский о школах взаимного обучения
Для приходских школ Лобачевский рекомендовал
способ взаимного обучения, как наиболее отвечающий осо-
бенностям младшего возраста. В своих «Наставлениях»
*) Ф. 92, арх. 5620, 1827—1842 гг., лл. 59—81, Исторические
записки учебных заведении Казанского учебного округа.
2) Ф. 92, арх. 5186, 1841 г., Письмо Лобачевского к Муси-
ну-Пушкину от 1/Ш 1841 г.—П. И. Зсленецкпй, Истори-
ческий очерк Пензенской 1-й гимназии с 1804 по 1871 г.,
Пенза, 1889, стр. 88.
3) Ф. 92, арх. 5620,1827—1842 гг., л. 85, Исторические записки
учебных заведений Казанского учебного округа.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Ц. и. ЛОБАЧЕВСКОГО 95
Лобачевский пишет, что для успешности учения в этом
возрасте необходимо умение «победить леность и рассеян-
ность детского возраста. Той и другой цели способствует
в совершенстве способ взаимного обучения, которой раз-
нообразием своим предохраняет учеников от скуки,
а выкладками на щётах действует на чувства и посредством
сих самых чувств начинает передавать уму их понятия»1).
Лобачевский высоко ценил этот способ обучения, в ко-
тором он видел практическое осуществление его идеи
о том, что первоисточником наших знаний должны быть
понятия, извлекаемые из прпроды чувствами. Широкое
применение в этих школах наглядных способов обучения
с помощью таблиц, песка и счётов представляло в условиях
того времени большой! шаг вперёд в .методическом отно-
шении.
Следует заметить, чго введение этого метода в России
было вызвано иными, не методическими соображениями.
Дело в том, что по этому способу один учитель мог занять
одновременно 8 групп учеников. Следовательно, этот
вид обучения допускал благополучное разрешение труд-
ного вопроса о материальных возможностях школы с налич-
ными средствами и кадрами учителей!. В 1820 г. при Глав-
ном правлении училищ был образован комитет для устрой-
ства п наблюдения за училищами взаимного обучения2).
В этот комитет вошли Магницкий, Рунпч, Уваров и Мар-
тынов. Но в 1822 г. организация этих школ была прекра-
щена по соображениям реакционного порядка. Это видно,
например, из копии одного донесения, обнаруженного
нами в делах канцелярии попечителя Казанского учеб-
ного округа. В донесении (автора которого установить
не удалось) пространно доказывается вред школ взаимного
обучения, как республиканских по духу: «в оных,—пишет
автор донесения,—равными всегда управляют равные»,
что «утверждает юношество в привычках рсснублпкан-
«Труды Института истории естествознания», т. II, 1948,
2) С. В. Р ож д ест в е нс к п й, Исторический обзор лея-
тельностПоМинистерства народного просвещения, 1802—1903 гг.,
96
В. М. НАГАЕВА
скпх» и т. д. В конце донесения находится собственноруч-
ная приписка тогдашнего попечителя реакционера Маг-
ницкого: «Давно и твёрдо уверен будучи, что выдумка
школ взаимного обучения есть не что иное, как пропа-
ганда квакерской секты, никуда не годная и даже вредная,
и видя частное мнение о сём предмете иеуваженным,
я старался в прежнем порядке только останавливать
и пропинать ход сего дела, в чём и успел довольно; ныне же
приемлю смелость представить: 1-е, что необходимо нужно
все школы взаимного обучения закрыть...» н т. д. х).
Вопрос о распространении этих школ был вновь поста-
влен лишь в уставе 1828 г. В этом же году было дано рас-
поряжение об открытии классов взаимного обучения
в университетах и, в частности, в Казанском. В дело
об открытии их при Казанском университете сохранились
два собственноручных письма Лобачевского. Приводим
текст одного из них:
«Г-ну директору Казанской гимназии по поручению
г. И. Д.* 2) попечителя. Класс взаимного обучения под
руководством прибывшего сюда г. учителя Петровского
должен быть учреждён в один из зал университета: в нём
учение будет по середам и субботам утром с 8 до 12 часов,
а с 18 декабря от 10 до 12 по утрам ежедневно, исключая
праздников. Уведомляя Вас о сём, предлагаю готовящихся
из казённокоштных воспитанников запять учительские
места присылать в университет в назначенные часы для
обучения их способу Ланкастера; вместе со студентами
надеюсь, что и Вы не опустите посещать сей класс, чтобы
познакомиться с способом взаимного обучения, которой
с пользой может быть некогда введён в гимназиях»3).
В упомянутом здесь классе обучалось 22 студента; каж-
дый из них по прослушании курса представлял работу—
описание метода. В деле сохранилась одна такая работа
студента Толубаева4). Согласно этому описанию школа
г) Ф. 92, арх. 1025, 7/II 1822 г., л. 43, Дело об училищах взаим-
ного обучения.
2) Т. е. исполняющему должность.
3) Ф. 1683, арх. 5110, 1828 г., лл. 1—34, Дело об устройство
при Казанском университете классов взаимного обучения.
4) Там же, л. 11.
_^,ттг? п-аг-тсттттт И И. ЛОБАЧЕВСКОГО 97
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Нд_И;---------------------------
взаимного обучения представляется в следующем виде.
Помещением для занятии является большой зал на /0 че-
ловек По степам в два ряда развешиваются таолнцы для
чтения: верхний ряд—на тему данного дня, нижний—
па пройденное. Для каждых семи учеников имеется стол.
Столы 1-го класса приспособлены для письма на песке,
следующих пяти классов—для письма на досках, 7-го
и 8-го классов—для письма на бумаге. Ученики делятся
на восемь классов. Перевод из класса в класс произво-
дится по строгому испытанию. Для руководства занятиями
в каждом классе ежедневно выделяется какой-либо ученик
старшего класса, для занятий в 7—8-х классах—ученик
8-го класса, для каждого из прочпх—ученик 6-го или
7-го класса; избираются также один-два надзирателя
из учеников 7-го и 8-го классов. Общее руководство и орга-
низация занятий осуществляются учителем. Обучение
чтению происходит по таблицам, арифметике—на счётах,
письму—на песке.
В «Историческом очерке казанских городских началь-
ных училищ»1) указывается, что казанские училища
с ланкастерским устройством послужили образцом к орга-
низации подобных заведений в других округах. В указан-
ном очерке говорптся о хорошей постановке обучения
в этих училищах, о приветливости к детям и любви к делу
со стороны учителей. Но основное значение таких школ
заключалось в том, что привлечение старших учеников
к занятиям с младшими, равно как и вся система
организации занятий в этих школах, позволяло ввести
первоначальное обучение более шпрокпх кругов насе-
ления.
В распространении этого способа обучения Лобачев-
ский принимал самое деятельное участие. Уже в конце
первого года его ректорства по округу было дано распо-
ряжение об обязательном введении в приходских школах
приготовительных классах способа Ланкастера2).
) Г. Ф. Алексеев, Исторический очерк казанских город-
ских начальник училищ с 1806 до 1890 г., Казань, 1890, стр. 21.
) Ф. 977, арх. 6053, Отчёт учебных заведений Казанского
учебного округа за 1829 г.
Историк о-матем. исследования
98
В. М. НАГАЕВА
К 1831 г. такие школы были открыты в Казанской, Перм-
ской и Саратовской губерниях, а в 1847 г. число пх
по Казанскому учебному округу доходило уже до 37х).
6. Лобачевский о народной школе
Работа по улучшению постановки преподавания в на-
чальной школе являлась частью деятельности Лобачев-
скою, направленной на распространение просвещения
в народных массах. Казанский учебный округ в первой
половине XIX в. представлял собой район почти сплошной
неграмотности. Политика самодержавия в области про-
свещения отнюдь не способствовала росту числа уездных
п приходских школ, «откуда,—но выражению Лобачев-
ского,—берёт своё начало, собственно, так называемое
народное просвещение»* 2). Лишённая материальной под-
держки приходская школа росла крайне медленно Это
и отмечает Лобачевский в только что цитированном доне-
сении, где он пишет следующее: «Вашему превосходитель-
ству известно, что приходские училища возникают с тру-
дом, почти всегда без прочного основания, даже деньги,
которые моглп бы служить к улучшению низших училищ
оставаясь за расходами к новому году, возвращаются
по требованиям самих обществ».
Будучи попечителем округа, Лобачевский вменяет
в обязанность руководителям дирекций постоянную заботу
о привлечении средств на содержание приходских школ.
Так, в переписке с директором пермских училищ он
настойчиво напоминает о необходимости «принять все
меры к открытию приходских училищ вгг. Осе иОханске,
и если нет добровольных пожертвований, то настоять на
постоянном отпуске ежегодных денег для их содержания,
покуда, таким образом, соберётся достаточная сумма для
первоначального обзаведения»3).
*) Отчёт учебных заведении Казанского учебного округа за
1848 г.
2) Ф. 92, арх. 4294, 1835 г., лл. 5—11, Донесение Лобачевского
на секретное предписание.
3) Ф. 92, арх. 5641, 1845 г., л. 50.
„^гттЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ И. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 99
ПЕДАГОГИ^-------------------------------------
п тавлпваясь па жалком состоянии материальной
Усмотренных им нижегородских учебных заведений,
nfi* чевскпй указывает на то, что помещения, занимаемые
^10Дднпми, имеют «неприличный для государственных
заведений внд>, что учителя «жалуются па чрезвычайный
холод и, как и везде, на недостаток руководптельных
книг» 1) •
Из отчёта по округу за 1830/31 учебный год2) видно,
что Лобачевский ставил вопрос о помощи учебным заве-
дениям. Согласно сделанному Советом университета
в 1830 г. распоряжению, директора училищ обязаны были
представлять подробные записки о состоянии учебных
заведений с тем, чтобы «университет в случаях надобности
мог сам войти в посредство для улучшения чего-лпбо
или исправления недостатков». В 1829 г., па основании
донесения директора нижегородских училищ, Советом
университета было сделано представление министру
народного просвещения, в котором указывалось, что
недостаток учебных книг и пособий приводит к «пеодно-
образному и пе всех предметов прохождению»3). «Исто-
рические записки» учебных заведений свидетельствуют
о том, что профессорами университета составлялись ката-
логи вновь выходящих «полезнейших книг», а учебным
заведениям вменялось в обязанность приобретать их «для
знакомства преподавателей с современным состоянием
науки», так же как и лучшие журналы, атласы, ландкарты,
глобусы 4).
Народная школа дворянско-помещичьей России нахо-
дилась иод непосредственным контролем дворянства.
Этот контроль осуществлялся через институт почётных
смотрителей. Обвиняя дворянство в равнодушии и «невни-
мании к государственным учебным заведениям» вообще,
а к народным училищам («куда дворянские дети совсем
й) Ф. 92, арх. 4294, 1835 г., лл. 5—11, Донесение Лобачевского
С£Кй?тпое пРеДппсаппо.
92, арх. 6053, Отчёт учебных заведений Казанского учеб-
ного округа за 1830/31 учебный год.
) Ф. 92, арх. 2924, 1829 г., лл. 1, 2, 3.
а . 92, арх. 5620, 1827—1842 гг., л. 263, Исторические
иски учебных заведений Казанского учебного округа.
7*
В. М. НАГАЁВА
не ходят») в особенности, Лобачевский приходит к выводу,
что «почётный смотритель, избранный от дворянства,
бывает всегда человеком чуждым в сословии тех родите-
лей, которых дети воспитываются под его наблюдением»1).
«От этого,—пишет он далее,—происходит, что почётные
смотрители, сказать откровенно, в своей должности при-
метной пользы не приносят».
Равнодушию и косности дворянства Лобачевский про-
тивопоставлял интерес к вопросам народного просвещения
со стороны нарождающегося класса буржуазии: «Мне
стучалось говорить с первостатейными купцами, которые
даже предупредили меня своей готовностью отвечать
видам правительства, как скоро училищное начальство
будет их руководствовать, а гражданское утверждать
постановления, которыми должны быть назначаемы
взносы для учреждения школ, где желают уже воспиты-
вать своих детей, постигая, наконец, всю пользу от
пауки» 2).
Указывая на рост числа учащихся в гимназии, Лоба-
чевский подчёркивает, что «она пользуется доверием
граждан, по крайней мере тех, которые, чувствуя необ-
ходимость дать воспитание своим детям, не находят дру-
гого средства, как записывать их в казённые заведения.
Родители, не обманувшись в своей надежде, подают один
пример подражания другим». Далее он указывает, что
богатое дворянство сторонится гимназий. «Напротив,—
пишет он,—люди высшего сословия или богатые предпо-
читают домашний способ воспитания,... чуждаются ка-
зённых учреждений». В связи с этим Лобачевский осу-
ждает п «гражданское начальство», которое «не довольно
оказывает влияния на общее мнение в этом случае»3).
Таким образом, в своей деятельности, направленной
на просвещение народных масс, Лобачевский добивался
широкой демократизации системы народного образова-
ния. Осуждая дворянство, которое играло при этом
отрицательную роль, он указывал в то же время на стре-
х) Ф. 92, арх. 4294, 1835 г., лл. 5—11, Донесение Лобачевского
на секретное предписание.
2) Там же.
3) Там же.
педагогические взгляды ЛОБАЧЕВСКОГО ю.
«ленпе к просвещению со стороны других сословий, в част-
ности со стороны нарождающейся буржуазии, уже познав-
шей «пользу от наук». Это не мешало, однако, Лобачев-
CKOMV наивно верить, что только на основе просвещения
можно уничтожить сословные противоречия. Для этого,
по его мнению, необходимо путём создания пансионов,
«соединённых с гимназиями», вовлечь в общую систему
воспитания и дворянство. «Тогда, но не прежде, воспитание
всего российского юношества, в единстве своем и в целом
объёме будет подчинено наблюдению Министерства народ-
ного просвещения»—пишет он в уже цитированном нами
выше донесении.
7. Лобачевский об учителе
Лобачевский очень высоко оценивал роль наставника
и учителя в деле воспитания юношества. Учитель, по мне-
нию Лобачевского, воспитывает своим примером, а «при-
меры научают лучше, нежели толкования и книги»1).
Поэтому для Лобачевского была характерца исключитель-
ная забота об учителе, его материальном п общественном
положении, культурном и моральном облике п уровне
его педагогического мастерства. В том же, упомянутом
выше, донесении на секретное предписание Лобачевский
указывал на материальную необеспеченность учителей,
как на причину «непрестанной перемены в учителях,
а с нею вредных последствий от неопытности вновь опре-
делённых». Поэтому всякий раз, когда речь заходила об
организации новых учебных заведений, оп не забывал
поставить вопрос об улучшении обеспечения учителей.
Так, в представлении Совету Экономического общества об
открытии коммерческих училищ2) он обращает внимание
на то, что жалованье учителям рисования в уездных учи-
лищах «весьма ограничено» и должно быть «по справед-
ливости» увеличено. При организации же в уездных учи-
лищах специальных классов Лобачевский считает необхо-
димым предусмотреть и «прилпчиое жалование» учителям.
J ° дз ал евский, стр. 326.
) Ф. 442, арх. И, 1842 г., л. 1.
102
В. М. НЛГЛЕВЛ
В данном им в 1845 г. разрешении на введение дополни-
тельных предметов «сверх положенных» в приходских
школах Лобачевский предупреждает, что «обязанность
в этом случае училищного начальства позаботиться об
определении достойных учителей с обеспечением их
состояния»х).
Трудно переоценить ту огромную воспитательную
и методическую работу, которую проводил Лобачевский
среди учителей, поддерживая постоянную личную связь
с учебными заведениями. Ни один попечитель ни до, ни
после Лобачевского не вёл непосредственной переписки
с учебными заведениями с целью осуществить, таким
образом, живое руководство, выходящее за пределы офи-
циальных инструкций и распоряжений.
В своём стремлении приобщить к методическим заня-
тиям каждого учителя Лобачевский всегда требовал,
чтобы все вопросы методического характера—будь то
результат опыта отдельного учителя или его, Лобачев-
ского, личное указание —непременно ставились на широкое
обсуждение педагогических советов: «Впрочем, все мои
замечания педагогический Совет обязан обсудить и сделать
своё заключение, как он найдёт нужным»,—писал он
8/Ш 1846 г. директору Пензенского дворянского инсти-
тута * 2).
Как свидетельствуют «Исторические записки» Ниже-
городской дирекции, подобные обсуждения на советах
должны былп «водворить в учебных заведениях дух брат-
ства, который, не нарушая прав старейшинства, открывал
бы каждому члену свободу излагать свои мысли об усо-
вершенствовании преподавания»3). Это желание пробудить
инициативу в каждом учителе подтверждается и постоян-
ным стремлением Лобачевского привлечь учителей к твор-
ческой научной работе. Вопреки установкам правитель-
ства, стеснявшим преподавание учителя рамками офп-
Э Ф. 92, арх. 5651, 1845 г., Дело о разрешении в некоторых
приходских училищах сверх положенных предметов преподавать
другие, дополнительные.
2) Ф. 92, арх. 5755, 1846 г., лл. 40, 41.
8) Исторические заппскп учебных заведении Казанского учеб-
ного округа, лл. 59, 71.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Н._»ЬЛОВЛЧЕВСКОГО 103
тглЯяхгртчскпй считал, что как
в"ппсподавашп°Мтак А в составлеппв этих руководств
инициатива должна принадлежать, прежде всего, самому
=о. «Мне вообще желательно,-писал он директору
училищ Саратовской губернии,-чтобы вообще все учи-
тели занимались каждый по своей частп составлением
программ»1). На возникший в Педагогическом совете
Саратовской гимназии вопрос о том, следует ли руковод-
ствоваться «совершенно» программами, ио изменяя их
системы, Лобачевский в своём письме пояснял, что «про-
граммы вообще должны только служить к определению
объёма в преподавании; тогда как способ преподавания
может, особенно в математике, назначать п другой поря-
док»2). Директору саратовских училищ он при этом
разъяснял, что «при недостатке руководств учителям
надобно заняться составлением программ с изложением
способа преподавания. При составлении программ,—
добавлял он,—учители должны показать особенную цель
и направление».
«Учитель необходимо должен паппсать руководство,
которое рассмотрит Совет»,—писал он также директору
Пензенского дворянского института»3).
Вообще, как это видно из дел попечительства, всякая
работа, представленная учителем и получившая одобре-
ние педагогического совета, а затем попечителя, рассы-
лалась в качестве руководства по всем гимназиям. Для
примера можно указать на работу учителя Михайлова:
«План преподавания русской словесности в гимназиях» 4).
Наконец, «Исторические записки Нижегородской дирек-
ции» свидетельствуют, что «для поощрения самих препо-
давателей к большей их деятельности возложена на
ст. учителей гимназий обязанность представлять ежегодно
г. попечителю какой-либо опыт своих занятий»5). Несколько
*) Ф. 92, арх. 5755, 1846 г„ л. 195.
двою Же’ ЛЛ' 158, 167. См. письмо директору Пензенского
Д института и директору саратовских училищ.
J 62, арх. 6015, 1847 г., Дело о сочинениях учителей.
' ИстоРическпе записки учебных заведений Казанского учеб-
ного округа, лл. 58-81.
104
В. M. НАГАЕВА
позже в «Исторической записке о Пензенской гимназии»
указывалось, что с 1851 г. дело представления науч-
ных трудов учителей, равно как и литературные беседы,
«пришли в упадок»1).
Приведённые материалы говорят о стремлении Лоба-
чевского пробудить в среде учителей инициативу, любовь
и творческое отношение к делу. Если эти черты естественно
возникают у нас теперь в людях под влиянием условий
социалистического труда, когда творческая иници-
атива масс становится движущей силой прогресса, то
в современной Лобачевскому действительности воспитанно
таких качеств было делом нелёгким; оно требовало упорной
борьбы против косности, рутины, духа чиновничества
и бюрократизма, разъедавших изнутри крепостническое
государство.
Борясь против социальной забитости учителя, прини-
жающей его моральный уровень, Лобачевский старался
пробудить в нём лучшие человеческие качества. Приме-
нявшиеся им методы поощрений, порицаний, помощи учи-
телю говорят о глубоко продуманной системе «воспитания
воспитателя». Приведём некоторые примеры.
В уже не раз цитированном нами донесении на секрет-
ное предписание Лобачевский писал об учителе Савельеве:
«Савельев, старший учитель российского языка, молодой,
с дарованиями, с познаниями, довольно деятельный,
но в духе своём убитый настоящим положением и проис-
шествием, которое было причиной его перемещения из Вят-
ской в Нижегородскую гимназию. Это была речь, предна-
значенная ученикам его и написанная сатирически
па вятского губернатора, в чём Савельев признался мне
чистосердечно. Так, проведя десять лет в учительском
звании без всякого поощрения, под замечанием начальства,
не надеясь даже на какое-нибудь повышение, живёт
он по совсем трезво. Чтобы пробудить в нём желание сни-
скивать уважение и дорожить хорошим о себе мнением,
надобно начать с ним милостивым поступком, исключив
из послужного списка замечание о причине его перевода
!) П. П. Зеленецкий, Исторический очерк Пензенском
1-й гимназии с 1804 по 1871 гг., Пенза, 1889, стр. 119
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ II. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 105
И рптё ваз переместить в новую дирекцию; чтобы он с перс-
и ещ F него обстоятельств тем легче мог и сам
меною всех ж1'
перемениться».
Дальнейшая судьба этого учителя свидетельствует
о положительных результатах заботливого отношения
Лобачевского к людям. Так, в «Историческом очерке
Пензенской 1-й гимназии»1) сообщается, что в 1836 г. в
названную гимназию был переведен из Ппжисго-Новгорода
учитель словесности Савельев. При этом отмечается, что
во время двухлетнего его пребывания в Пензенской гимна-
зии ученики старших классов «отличались своими сочи-
нениями».
В необходимых случаях Лобачевский! бывал очень взы-
, сиятелен п строг. Так, об учителе математики Нижегород-
ской гимназии он писал: «Щепкин, учитель математики,
ленпв и ведёт, как я слышал, жизнь, неприличную для
наставника, посещая трактиры. Я нахожу, что он должен
быть заменен другим учителем, более деятельным»2).
Как нами уже указывалось, Лобачевский стремился
создать в школе условия, всемерно способствующие рас-
пространению знания родного языка п любви к нему.
Эти соображения заставляли его несколько снисходитель-
нее относиться к тем учителям иностранного языка, кото-
рые хорошо владели русским языком.
Так, об учителе французского языка Нижегородской
гимназии он, в том же донесении на секретное предписа-
ние, писал: «Демосфор, учитель французского языка,
по лёгкости, свойственной французам, позволяет себе
пренебрегать должностью, пропуская классы... Он один
из учителей французского языка, сколько знаю, который!
совершенно свободно говорит на русском. Им надобно
подорожпть в ожидании, что сам будет более ценить
своё звание с улучшением гимназии»3).
Оказание методической помощи молодым, неопытным
учителям всегда стояло в центре внимания Лобачевского.
p„n« i Р* Н' 3 с л еп с ц ки й, Исторический очерк Пепзеи-
екои1 « гимназии с 1804 по 1871 г., Пенза, 1889, стр. 48.
писание °2, а^Х’ лл- 5—11, Донесение на секретное пред-
8) Там же, лл. 5—11.
10б _____________в. м. нлгаевл
Помимо личных советов л указаний он старался исполь-
зовать в этом смысле и опыт лучших учителей. В письме
к директору училищ Симбирской дирекции от 29/VII 1847 г4
он писал: «Предложить педагогическому Совету, чтобы
указал учителю Гончарову хорошее руководство для
преподавания русской грамматики, а самое преподавание
передал под наблюдение Грум-Гржпмало, который обязан
впоследствии давать отчёт об усовершенствовании в этом
преподавании» *).
Все эти факты подтверждают, что задача воспитания
в учителях лучших качеств, необходимых для преподава-
теля, занимала в повседневной работе Лобачевского видное
место.
8. Лобачевский в годы усиления реакции
При изучении переписки Лобачевского с директорами
учебных заведений мы наталкиваемся па одно обстоя-
тельство, заслуживающее особого внимания. Приступив
к исполнению обязанностей попечителя с 26 апреля 1846 г.,
Лобачевский уже с сентября месяца того же года начи-
нает деятельную переписку с учебными заведениями.
Перевод его на должность помощника попечителя но
повлиял на ход этой переписки, которая продолжала
оставаться столь же оживлённой и в 1846 г. и в 1847 г.
Как известно, па этом посту Лобачевский оставался
вплоть до 1855 г. Тем пе менее, с 1848 г. в делах попечи-
тельства уже пе видно следов прежнего деятельного уча-
стия Лобачевского в управлении округом. Так, например,
на протоколах и отчётах педагогических советов гимназий
обычные карандашные паброскп ппсем Лобачевского заме-
няются краткой резолюцией «К сведению» принадлежащей,
судя по почерку, новому попечителю Казанского учеб-
ного округа Молоствову. Это указывает на то, что наблю-
дение и руководство учебно-методической жизнью школы,
осуществлявшиеся до того времени Лобачевским, были
переданы непосредственно в ведение самого Молоствова.
С этого времени, если судить по документам, Лобачевский,
формально продолжая оставаться управляющим Казан-
ским учебным округом и помощником попечителя, уже не
1) Ф. 92, арх. 5913, 1847 г., лл. 124—133.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ II. и, ЛОБАЧЕВСКОГО 107
мает деятельного участия в делах его. Объяснение
принп кта, каК Нам кажется, следует искать в полити-
ческой обстановке 1848 г.
В этом году Министерством народного просвещения
был издан секретный циркуляр, который, ссылаясь па
происходящие на Западе события, предписывал попечи-
телям обратить особое внимание: 1) на дух преподавания
вообще, 2) па образ мыслей студентов и воспитанников,
3) на благонадёжность наставников и воспитателей. 13 каче-
стве падёжного средства предохранения от заразы вольно-
думства было выдвинуто: 1) отчётливое преподавание
закона божия, с указанием па обязанности вернопод-
данных, 2) недопущение при преподавании предметов
ничего такого, что могло бы поколебать веру или умень-
шить убеждение в необходимости пли пользе основных
учреждений правительства; 3) бдительное и строгое наблю-
дение за нравственностью х). Ответом па циркуляр явились
особые донесения попечителей о духе преподавания и уста-
новление тесной связи между попечителями и органами
полиции. Мерилом деловых качеств попечителя этого
времени становится степень ого усердия в искоренении
вольнодумства и насаждении религиозно-верноподдан-
нических чувств.
Между тем прогрессивная просветительская деятель-
ность Лобачевского носила характер, вовсе не отвечавший
указанным целям правительства. Так, вместо усиления
в гимназиях моментов религиозности и классицизма, как
основы воспитания и образования, эта деятельность укре-
пляла тенденции реалистические и материалистические,
опираясь на идеи гуманизма и подлинной народности.
Вопреки тенденциям официальной политики в области
просвещения, Лобачевский стремился к бессословности
образования и к просвещению широких слоёв парода.
Он верил в неограниченную силу человеческого разума
и могущество пауки; в ней он видел единственную основу
просвещения народных масс, без участия которых, в свою
очередь, он не мыслил развития самой пауки.
г) И. А. А л е ш п н ц е в, История гимназического образова-
ния в России XVIII и XIX вв., СПб., 1912, стр. 159-160.
108
В. М. НАГАЕВА
Неудивительно, что в условиях всё усиливавшейся
политической реакции деятельность Лобачевского могла
вызвать недоверие и недовольство руководящих кругов
Министерства народного просвещения. Об этом свиде-
тельствует дело о так называемых «беспорядках в церкви»
9 ноября 1848 г., содержащее косвенный упрёк по адресу
Лобачевского.
Начнём с выдержки пз представления Лобачевского
попечителю Казанского учебного округа Молоствову
о помиловании студентов—виновников происшествия,
говорящей о заботливом отношении Лобачевского к сту-
дентам. Так, характеризуя студента Виноградова, Лоба-
чевский писал: «Хотя студент этот не отличается умствен-
ными дарованиями, но учится с успехом и ведёт себя
похвально, кроме некоторых случаев, весьма неважных.
Он показал себя чувствительным ко взысканиям, созна-
тельным, так что я нисколько не сомневаюсь в его доброй
нравственности». В заключение он пишет: «Ходатайствую
перед Вами о прощении указанным студентам их неосто-
рожного и неблагоразумного поступка»1).
В ответ на просьбу Лобачевского последовало предпи-
сание Министра народного просвещения Шпринского-
Шпхматова об исключении из университета провинив-
щихся студентов, в котором содержалось и следующее
замечание: «Нередко повторяющиеся в Казанском уни-
верситете разного рода неприятные происшествия убе-
ждают меня вообще в слабом надзоре за молодёжью». Это
недоверие к Лобачевскому и послужило, видимо, причиной
негласного отстранения его от того непосредственного
влияния на учебно-воспитательное дело в Казанском
учебном округе, какое он имел ранее.
II. ЛОБАЧЕВСКИЙ О ПРИРОДЕ ЧЕЛОВЕКА II СУЩНОСТИ
ЕГО ВОСПИТАНИЯ
Своп взгляды па природу человека и сущность его
воспитания Лобачевский изложил в «Речи о важнейших
предметах воспитания», произнесённой пм на торже-
1) Ф. 92, арх. 6206, 1849 г., л. 17.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 109
ственном собрания Казанского университета 5 июля
1828 г-^)*
Согласно воззрениям Лобачевского человек является
частыо природы; он подчинён тем же биологическим зако-
нам, что растительный и животным мир. Вместе с тем
Лобачевский полагает, что более совершенная организация
человеческого тела позволяет человеку подняться над
уровнем чисто биологического, животного существова-
ния, ставит его в положение «царя природы». Лишь
благодаря дару слова человеку дано «учиться, изощрять
свой ум, искать истин соединёнными силами».
Именно речь, по миопию Лобачевского, и делает чело-
века существом социальным, черпающим всё истинно чело-
веческое в общении с себе подобными. «Человек рожден
для общества»,—утверждает Лобачевский,—а общество,
в свою очередь, образует человека, выводит его из биоло-
гического состояния. «В каком состоянии, воображаю,—
говорит Лобачевский,—должен бы находиться человек,
отчуждённый от общества людей, отданный па волю одной
дикой природе. Обращаю потом мысли к человеку,
который среди устроенного, образованного гражданства
последних веков просвещенпя, высокими познаниями
своими составляет честь и славу своего отечества. Какая
разность; какое безмерное расстояние разделяет того
и другого».
В отличие от Гельвеция, Лобачевский утверждает,
что люди родятся с определёнными задатками и дарова-
ниями. «Гением быть нельзя, кто не родился. В этом-то
искусство воспитателей: открыть Гений, обогатить его
познаниями и дать свободу следовать его внушениям».
Задача воспитания заключается в том, чтобы усовершен-
ствовать или дать полезное направленно тому, что свой-
ственно человеку: «ничего пе уничтожать и всё усо-
вершенствовать». В другом месте Лобачевский утвер-
ждает, что даже страсти, на которые обычно жалуются,
полезны в обществе: «чем страсти сильнее, тем они полез-
нее в обществе; направление пх может быть только вредно».
1) М од з а л е вс к ин, стр. 321—327.
110
в. М. НАГАЕВА
О том, какое значение в глазах Лобачевского имеет
воспитание в деле формирования личности человека,
говорят следующие его слова: «оно [воспитание] начинается
от колыбели, приобретается сперва одним подражанием,
постепенно развёртывается ум, память, воображение,
вкус к изящному, пробуждается любовь к себе, к ближнему,
любовь славы, чувство чести, желание наслаждаться
жизнию. Все способности ума, все дарования, все страсти,
всё это обделывает воспитание, соглашает в одно стройное
целое, и человек, как бы снова родившись, является творе-
нием в совершенстве.
Наружный вид его, возвышенное чело, взор, который
всюду устремляется, всё созерцает вверху, вокруг себя;
черты лица, в которых изображается чувственность,
покорённая уму,—всё показывает, что он родился быть
господином, повелителем, царём природы».
Итак, воспитание по Лобачевскому поднимает чело-
века пад животным миром, сообщает ему всё истинно
человеческое.
Вторым фактором улучшения человеческой природы,
по воззрениям Лобачевского, являются заложенные в че-
ловеке возможности неограниченного усовершенствования:
«Кажется, природа, одарив столь щедро человека
при его рождении, еще не удовольствовалась. Вдохнула
в каждого желание превосходить других, быть известным,
быть предметом удивления, прославиться; и таким образом
возложила па самого человека попечение о своем усовер-
шенствовании. Ум в непрестанной деятельности силится
стяжать почести, возвыситься,—и всё человеческое племя
идёт от совершенства к совершенству—и где остановится?»
Человек в понимании Лобачевского—это живой носитель
неисчерпаемых возможностей развития, приводимых в дви-
жение окружающей его общественной средой через вос-
питанно. Сама жизнь человеческая есть постоянное дви-
жение:
«Жить, зпачпт чувствовать, наслаждаться жизнию,
чувствовать непрестанно новое, которое бы напоминало,
что мы живём».
Лобачевский, подобно Руссо, был убеждён в хороших
задатках человека. Но Лобачевскому было чуждо чувство
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
Ill
мнпивпдуалпзма, характерное для французского мысли-
И Д Для Руссо воспитание в условиях современного ему
^лиственного строя носило своеобразный характер отго-
°аживанпя развивающейся природы ребёнка от влияния
этого общества, так как общественные учреждения, по
мнению Руссо, способны лишь заглушить здоровые есте-
ственные задатки. Лобачевский же вообще не мыслил вос-
питания вне общественной жизни. «Кто хочет образовать
своих детей для Государства,—говорит Лобачевский,—
тот должен прибегнуть к средствам, которые одно только
Государство в состоянии доставить, тот должен учить
своих детей в общественных заведениях».
Точка зрения Лобачевского на цель и средства воспи-
тания в этих заведениях была принципиально отличной
от существовавших в то время официальных установок
царского правительства, которое видело основу нрав-
ственного воспитания в воспитании религиозных и верно-
подданнических чувств. Упоминания о религиозных
моментах воспитания мы встречаем у Лобачевского только
в его речи о важнейших предметах воспитания, да и там
он касается этого вопроса мельком. Обращаясь к юно-
' шеству от имени его воспитателей, Лобачевский говорил:
«Вы узнаете, и опыт света ещё более уверит вас, что
одно чувство любви к ближнему, любви бескорыстной,
беспристрастной, истинное желание добра вам налагало
на нас попечение просветить ваш ум познаниями, утвер-
дить вас в правилах веры, приучить вас к трудолюбию,
к порядку, к исполнению ваших обязанностей, сохранить
невинность ваших нравов, сберечь и укрепить ваше здо-
ровье, наставить вас в добродетелях, вдохнуть в вас жела-
ние славы, чувство благородства, справедливости и чести,
этой строгой, неприкосновенной честности, которая бы
устояла против соблазнительных примеров злоупотребле-
ния, недосягаемых наказанием». В другом месте той же
речи он ссылается па «премудрость творца, вложившего
н человеческое сердце с любовью к себе и любовь к ближ-
нему».
Более нигде о религиозных элементах воспитания Ло-
бачевский не высказывался. Всё это заставляет нас пола-
гать, что и упоминания о вере и о боге в рассматриваемой
112
В. М. НАГАЕВА
речи являлись только неизбежной данью требованиям
правительства, соблюдением формы, без которой не
мыслилось в то время никакое официальное публичное
выступление.
Вся система высказываний Лобачевского в целом
говорит за то, что пе в религии оп видел основание нрав-
ственного воспитания. Патриотические чувства, соста-
вляющие, по мнению Лобачевского, основу общественной
жизни человека, создают и нравственную силу его:
«...Истинное понятие о чести, любовь к отечеству,
пробуждённая в юных летах, дадут заранее то благород-
ное направление страстям и ту силу, которые дозволят
нам торжествовать над ужасом смерти».
Основным орудием воспитания является в глазах
Лобачевского просвещение, которое будит в человеке его
умственные п нравственные силы, развивает эстетические
чувства:
«Ничто так не стесняет сего потока [жизни], как
невежество: мёртвою, прямою дорогою провожает оно
жизнь от колыбели к могиле. Ещё в низкой доле изнури-
тельные труды необходимости, мешаясь с отдохновением,
услаждают жизнь земледельца и ремесленника;- но вы,
которых существование несправедливый случай обратил
в тяжёлый налог другим; вы, которых ум отупел и чув-
ство заглохло; вы не наслаждаетесь жизнию. Для вас
мертва природа, чужды красоты поэзии, лишена пре-
лести и великолепия архитектура, незанимательна исто-
рия веков. Я утешаюсь мыслию, что из нашего Универ-
ситета пе выйдут подобные произведения растительной
природы; даже не войдут сюда, если, к несчастью, уже
родились с таким назначением. Не выйдут, повторяю,
потому что здесь продолжается любовь славы, чувство
чести и внутреннего достоинства».
Как мы уже указывали, Лобачевский только в просве-
щении видел средство улучшения и человеческой природы,
и социальной среды. Эта ограниченность воззрений вели-
кого математика не помешала ему, однако, вступить на
путь широкой общественной деятельности, направленной на
осуществление его просветительных идей. В условиях полу-
колониального востока царской России, с его почти пого-
педагогические взгляды и. И. ЛОБАЧЕВСКОГО Но
ловпой безграмотностью Лобачевский, со всей присущей
ем\ страстностью и энергией, отдавался делу просвещения
народных масс, оказав большое влияние на-развитие куль-
туры обширного Казанского округа в первой половине \1Х в.
III. ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИЕ ВОЗЗРЕНИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
В своём замечательном труде «Материализм л эмпирио-
критицизм» В. 11. Ленни, в связи с критикой фило-
софского идеализма, писал:
«Основное отлично материалиста от сторонника идеа-
листической философии состоит в том, что ощущение,
восприятие, представление н вообще сознание человека
принимается за образ объективной реальности. Мир есть
движение этой объективной реальности, отражаемой
нашим сознанием. Движению представлений, восприятий
и т. д. соответствует движение материн вне меля»1).
Обратимся к тем высказываниям Лобачевского, кото-
рые могут пролить свет па его взгляды по этому основ-
ному вопросу философии—об отношении мышления к
бытию.
«В природе, -писал Лобачевский в «Новых началах
геометрии»,—мы познаем только движение, без которого
чувственные восприятия невозможны. Итак, все прочие
понятия, например Геометрические, произведены нашим
умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения»2).
В то же время, указывая на отвлечённость геометри-
ческих понятий, Лобачевский неоднократно ссылался
на то, что «мы познаём в природе только тела»3).
1аким образом, но воззрению Лобачевского, окружаю-
щий человека мир материален, а чувственное восприятие
является посредником между реально существующей вне
нас объективной действительностью и нашим мышлением
И- 11- Ленни, Материализм и эмпириокритицизм, Гос.
изд- полит. ЛПТ-’ I945» стр’ 2з5:.
тт г Л ° б а ч е в с к и й, Полное собрание сочинений.
ЗХ / 0стехнздат, 1949, стр. 138—159.
. ' “• Л- Л о б а ч с в с к и й. Обозрение преподавании чистой
*п с^аТики на 1825—182G год (Л. 1>. М о д з а л е в с к и й
Лооачевскнй, стр. 204).
g
Историко-матем. исследования
114
В. М. НАГАЕВА
и предшествует последнему. Именно это чувственное вос-
приятие, как полагает Лобачевский, доставляет нам то
первые понятия, которые являются «первым основанием
всякого суждения о вещах»1). Геометрические понятия
представляют, согласно Лобачевскому, абстракции свойств
реально существующих тел. Таково, например, понятие
геометрического пространства, которое, по Лобачевскому,
как абстракция «само собой, отдельно, для нас не суще-
ствует»2), по подобно всякому геометрическому предста-
влению является отражением действительности в пашем
сознании.
Отчётливо выступает материалистическая сущность
воззрений Лобачевского и на содержание и методы науч-
ного познания. Источник познания Лобачевский видел
в природе. «...Спрашивайте природу,—говорил он сло-
вами Бэкона,—она хранит все истины и на вопросы ваши
будет отвечать вам непременно и удовлетворлтельно»3).
Предмет пауки составляет то, «что на самом деле суще-
ствует», а не то, «что изобретено одним праздным умом»,
утверждает Лобачевский4). В частности, «вся математика
есть наука об измерении; все то, что существует в природе,
подчинено необходимому условию быть измеряему: посему
различие между величинами должно относиться к различ-
ному роду измерений их и к числам, которые их предста-
вляют; все прочие понятия всегда будут темны и недоста-
точны». Геометрия имеет своей целью «дать общие пра-
вила для измерения», которые необходимо согласовать
с целями измерения «на самом деле», что касается алгебры,
то она «предполагает измерение уже сделанным и потому
все величины представляет в числах, а числа означает
буквами для общего об них рассуждения»5).
г) «Обозрение преподавания чистой математики на 1824—
1825 год» (М о д з а л е в с к и й, стр. 177).
2) Н. II. Лобачевский, Полное собрание сочинений,
т. II, Гостехнздат, 1949, стр. 159.
3) «Речь о важнейших предметах воспитания» (Модз а лен-
ский, стр. 323).
4) Там же.
Б) И. Н. Лобачевский, Наставления учителям мате-
матики в гимназиях («Труды Института истории естествознания»,
т. II, 1948, стр. 556).
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ И. И.ЛОВЛЧЕВСКОГО 115
заметить что пониманию математики лишь
Следует з ‘из е11ШТ присуща была некоторая одно-
как паук» Б т0 ВрОМЯ>когла Лобачевский писал
™°шепрпведёшп.>с строки: идеи геометрии положения
освещение за несколько лет перед тем, в <<1рак-
тме о проективных свойствах фигур» Подсоле (1822),
видимо нс известном тогда Лобачевскому.
Материалистическая трактовка Лобачевским задач ма-
тематики, его материалистический подход к вопросу
о происхождении математических понятий тесно связаны
были с его борьбой против кантовского априоризма
в математике и в педагогике.
Согласно Кайту, пространство и время являются
априорными формами человеческого сознания, врождён-
ными идеями, при посредстве которых поступающий от
природы «неорганизованный» материал приобретает в со-
знании человека необходимы]! закономерный, чувственный
и логический характер. Человеческое познание у Канта
субъективно и нс отражает сущности действительного
мира. Кант утверждал, что «тела и движение существуют
пе как нечто, находящееся вне пас, а только как предста-
вления в пас»1). Априорные формы мышления являются,
по Канту, необходимой предпосылкой всякого математиче-
ского знания. Так, например, пространственные предста-
вления возможны лишь в рамках евклидовой геометрии
п являются заранее данной и единственной их формой.
Созданная Лобачевским неевклидова геометрия, в кото-
рой евклидова является лишь частным случаем, грандиозно
раздвинула рамки наших представлений о пространстве;
открытие сё нанесло решающий удар по кантианству
и вместе с тем легло в основу современного материалисти-
ческого понимания пространства.
Лобачевский исходит из положения, что «математиче-
ским паукам служат те первые понятия, которые мы полу-
чаем в природе прямо чувствами»2). Говоря в сочинении
стр 244 К а Н Т’ КРптика чистого разума, Петроград, 1915,
матпки^ Лобачевский, Наставления учителям мате-
т- 11\9^’ст”)(<<ТРУДЫ ^пститУта ПСТОРПП естествознания»,
8*
flJG В. НЛГЛКВЛ
«О началах геометрии» о тех же понятиях, приобретаемых
чувствами,, он подчёркивает одновременно, что «врождён-
ным—пе должно верить»1). Наконец, в «Обозрении пре-
подаванья чистой математики па 1825—182G год»2) он утвер-
ждает, «что в основание математических паук могут быть
приняты все понятия, каковы бы они ни были, приобре-
таемые из природы, и что математика па спх основаниях
во справедливости может назваться наукою точною...».
Вследствие этого, например, построение геометрической
системы не может всходить из понятий точки, линии,
поверхности, которые «суть понятия произведённые,
а вс приобретённые». Последние должны выражать собой
наиболее общие свойство тел; таково, например, как
полагает Лобачевский, понятно «прикосновения»3).
Таким образом, научные понятия, по Лобачевскому,
являются по априорными формами восприятия непости-
жимых вещей в себе, как у Канта, пли врождёнными
идеями человеческого разума, как у Декарта, но отвле-
чениями реальных соотношений материальной действи-
тельности, существующем! независимо от чсловечсскогс
сознания.
Отсюда как следствие неизбежно вытекало и то отно-
шен нс Лобачевского к опыту, к вопросам практики, кото-
рое неоднократно подчеркивалось нами в предыдущие
главах. Согласно воззрениям Лобачевского, как бь
далеко и if заходил ум человеческий в своих логически?
построениях и обобщениях, он необходимо должен слове
обратиться к опыту, к практике, утверждающим смысл
и правильность теоретических положений. Эта мысл!
красной нитью проходит через все научные творенш
Лобачевского и, в частности, освещает его общеизвестные
попытки опытной проверки своих теоретических выводов
Эта установка служила руководящим принципом во ncei
деятельности Лобачевского, направленной на укрепление
реалистических и практических тенденций в образовании
Ленин о такой установке писал:
Э 11. II. Лобачевский, Полное собрание сочинений
т. I, Гостехнздат, 1946, стр. 186.
2) М о д з а леве к и й, стр. 204.
8) См. М о д з а л е в с к и й, стр. 177.
«Д \ГОГПЧРСК11Е ВЗГЛЯДЫ и. И. ЛОБЛЧНВСКОГО 117
х зрения жизни, практики должна быть первой
« вной точкой зрения теории познания. II опа ирп-
" °Ст° неизбежно к материализму, отбрасывая с порога
г°ДПопечпые измышления профессорской схоластики»1).
°СС^ак]П1 образом, основные черты философских воззре-
" Лобачевского были следующие: признанно объективно
с "шествующего мира, как источника нашего познания;
требование единства эмпирического и рационального,
гак двух необходимых элементов в процессе познания;
наконец, признание опыта, практики, как необходимого
критерия истинности. Эти философские воззрения и легли
в основу дидактических принципов Лобачевского.
IV. ЛОБАЧЕВСКИЙ II ПРОБЛЕМЫ ДИДАКТИКИ
Большая часть основных вопросов, связанных с обу-
чением в школе, нашла в той или пион морс своё отраже-
ние в рассматриваемых нами письмах Лобачевского п ого
«Наставлениях учителям математики в гимназиях». Рас-
положенные по определённой схеме, эти материалы
дают достаточно ясное представление о системе дидакти-
ческих взглядов Лобачевского.
1. О форме и содержании знаний
В области педагогики, как и в математических работах,
Лобачеве кии, естественно, вёл борьбу с априоризмом
и дуализмом Канта. Кантианство сильно повлияло на
немецкую педагогику XIX ст< летия. Дуалистические
черты этой педагогики в вопросах обучения заключаются,
прежде всего, в разрыве между материальной и формальной
целями в обучении и в признании первенства именно за
формальной целью. Даже наиболее видный представитель
немецкой педагогики Дпстервсг, ставивший вопрос о един-
стве формального и материального в обучении, по смог
преодолеть этого дуализма2).
Im Л с н п и, Материализм и эмпириокритицизм, Гос.
изд. „олит. лит., 1945? (тр 1 1
Kiir Д 11 с т с в с г> Руководство тля исмсц-
КИХ учителей, Москва, 1913
118
В. М. НАГАЕВА
«Наставления учителям математики в гимназиях»
ясно свидетельствуют о материалистическом подходе Лоба-
чевского к вопросу о форме и содержании обучения.
Применение знаний к практике жизни, по мнению Лоба-
чевского, требует не только развития творческих сил
человека, но п самих конкретных знаний и навыков,
которые составляют основу этого развития. Раскрывая
цель п сущность математического образования в гимна-
зиях, Лобачевский писал: «Польза от сего рода учения
бывает двоякая: применение его к потребностям в нашей
жнзни п дальнейшее развитие самой науки. Умение
применять общие правила ко всякому случаю предпола-
гает твердое их познание и сверх того навык»1) (подчёрк-
нуто нами.—В. Н.). Последнее утверждение составляет
принципиальную основу характерного для Лобачевского
требования твёрдых знаний и прочных навыков. Без твёр-
дого усвоения фактического материала Лобачевский пе
мыслил п развития мышления. «...Способность к отвлече-
ниям,—писал он,—увеличивается от времени и посте-
пенно непрестанным упражнением. Посему надобно, чтоб
поступающие в университет были хорошо приготовлены
в первых началах анализа, алгебре, были бы твёрды
в её правилах и действиях...»2).
В свете этпх высказываний становится совершенно
очевидным, что, по Лобачевскому, содержание приобре-
таемых учеником знаний пе является лишь средством
для развития творческих сил учащегося; это содержание
составляет основную цель обучения, без достижения кото-
рой становится невозможным как развитие науки, так и
её применение на практике. Таким образом, одна пз основ-
ных проблем дидактики—вопрос соотношения формы
п содержания знаний—разрешается Лобачевским мате-
риалистически.
Письма Лобачевского дают представление о тех путях
и средствах, которые он считал необходимыми для дости-
жения указанной цели; это прежде всего: 1) ясность и
г) «Труды Института истории естествознания», т. II, 1948,
стр. 555.
2) «Обозрение преподавания чистой математики на 1824—
1825 год» (М о д з а л е в с к и й, стр. 174).
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Н. и. ЛОБАЧЕВСКОГО--119
отчётливость первоначальных понятий; 2) механическое
закрепление пройденного в целях образования навыков,
3) активное воспроизведение и систематизация прон-
денного.
По поводу первого из этих пунктов Лобачевским писал:
«От ясности первых понятий зависит успех всего учения,
а поэтому п почитаю лучше утвердить в них всякого лиш-
ним повторением, нежели допустить тёмность, предполо-
жив, что они легко были приобретены»1).
Лобачевский предупреждал учителей относительно
трудности в усвоении начал всякого предмета. «В первое
время,—писал он в одном письме,—по переходе учеников
в класс выше учптель обязан не спешить преподаванием,
по итти твёрдым шагом, соразмерно понятию слушателей,
уверяясь непрестанно, что его вполне понимают»2).
Механическое закрепление пройденного материала в
целях образования навыков Лобачевский относит глав-
ным образом к обучению в младших классах: «В низших
классах счёт на числах требует механического упражне-
ния и привычки без строгих доказательств, но с доста-
точным объяснением, чтобы не только правила заучивать,
но и понимать, каким образом они происходят»3). Твёрдые
навыки, по мнению Лобачевского, особенно необходимы
при изучении языка. Так, по поводу преподавания ино-
странных языков Лобачевский указывал: «Главные пра-
вила грамматики и сущность этимологии требуют учения
механического и совершенно твёрдого. Затем граммати-
ческая часть в языке приобретается всего легче упражне-
нием и навыком, почему учитель не должен опускать
нп одного случая, чтоб ученики таким образом грамматику
не переставали изучать» 4).
____Конспект Лобачевского по преподаванию аналитической
стр 186)1 В 1824~1825 учебном году (М о д з а л о в с к и й,
Саратовской’ губершш.’ 1846 Г" 317’ И“°6М° диРект0РУ ^плищ
скпгл аРх-. 5913, 1847 г., л. 28, Письмо директору Пепзси-
ског° Дворянского института. 1
скот ®2, аРх‘ 5^55, 1847 г., л. 180, Письмо директору Пеизеи-
ого Дворянского института.
120
В. М. НАГАЕВА
]3 то же время Лобачевский предостерегал про-
тив простого механического заучивания, без осмысли
ваппя самого материала: «Каждое грамматическое
правило должно быть сопровождаемо примерами. Ъ чи-
тсль по прежде может почитать правило преподан-
ным п хорошо постигнутым, покуда ученики нс будут
в состоянии составить всякий пример по такому пра-
вилу» г).
Эта форма активного вое ирон з ведения пройденного ма-
териала особенно необходима в старших классах. Здесь
она обогащается темп связями, которые ведут к система-
тизации всего изученного * материала. О глубоком пони
мании этого момента свидетельствует указание, данное Ло-
бачевским в одном из писем директору симбирских учи-
лищ, где но поводу повторения в выпускном классе он
советует чобратить внимайпе на то обстоятельство, чтобы
перед выпуском учеников пз гимназии преподавателе удос-
товерились, в какой мере молодые люди сведущи в пред-
метах предшествовавших курсов, и, вследствие того, при-
нимали бы заботу об усовершенствован пи i х познаний в том,
что прежде было ими пропущено пли забыто. В 7-м классе
непременно надобно иметь в виду, чтобы запас сведении
учеников, приобретённых ими в течение всего курса, был
приведён в строжайший порядок, а потому повторение
здесь прежде пройденного должно быть производимо
с уменьем обратить внимание ученика па существенные
основания и положения науки, с утверждением которых
подробности легко уже могут быть усвоены и выводимы как
необходимые последствия»2).
О том, что взгляды Лобачевского на необходимость
прочного закрепления знании находили своё отражение
в учебной работе Казанского учебного округа, свидетель-
ствуют материалы ранее упоминавшихся памп «Истори-
ческих записок» учебных заведений. Так, в записках Ниже-
городской гимназии указывается па то, что по предло-
жению попечителя «по всем предметам наблюдается,
!) Ф. 92, арх. 5755, 1847 г., л. 317, Письмо директору училищ
Саратовской губернии.
а) Ф. 92, арх. 5843, 1845—1846 гг.
ПГПХГОГНЧЕСКПЕ ВЗГЛЯДЫ Н. И. ЛОБА^1ЬВСКОГО 121
чтобы пройденное в начальных класса * отчёт
в высших и чтобы ученик мог во всяк vumn-
в пройденном, каковая мера введена иву д >. j
щах»г).
2. О систематичности и научной строгости в соучениц
Система в изложении учебного материала, с точки
зрения Лобачевского, есть важнейшее условно успеш-
ности обучения: «Ясность предмета и порядок, в котором
строгое суждение снизывает все истины, с (ужат единствен-
ным средством, чтобы постигнуть п удержать оощне пра-
вила»2). Изложение математического материала, как по-
лагает Лобачевский, должно быть подчинено тресованию
строгости и систематичности, которая характеризуется
тем, что каждое вводимое математическое предложение
должно опираться на предыдущие. По этому поводу Лоба-
чевский указывал что «в математике... нельзя довольство-
ваться одним изложением истин, а должно утвердить
их неоспоримо, убедить в них песомнптелыто; наконец,
чтоб прпттп к последним, нельзя миновать на пути ни
t одной; даже для понятия математической истины надобно
знать ей предшествующие, строго в них увериться» 3).
Здесь следует, однако, подчеркнуть, что Лобачевский
нс отождествлял строгость в специальном научном
изложении какого-либо вопроса и строгость в школь-
ном его изложении. Строгость в последнем случае он
совершенно справедливо ограничивал пределами доступ-
ного ученику, сообразно с возрастом ого и возможностями.
Так, будучи сторонником совершенной логической
строгости в научном изложении геометрии, Лобачевский
считает, однако, что в школе это далеко не всегда воз-
можно и целесообразно из соображений чисто педагоги-
ческих. Это ясно подчёркнуто пм в его указаниях по
ногп ) Лирические записки учебных заведений Казанского учеб-
ного округа, лл. э9—81. *
тики\Н^ И‘ 1,1 0 6 а'чевсК II й. Наставления учителям матема-
т iq/qмназиях («Труды Института истории естествозналйя»,
з\ п- ’ СТР- 5аа): ’
1825 пРсиодавапия чистом математики па 1824-
год» (эд о д з а л с в с к п й, стр. 175).
122
В. М. НАГАЕВА
преподаванию геометрии. «При вступлении в геометрию, —
пишет он в «Наставлениях»,—надобно довольствоваться
темп понятиями, которые получаем о них прямо помощью
чувств без всяких дальнейших исследовании п посторон-
него пособия. Эти понятия просты и на них основанные
истины ощутительны. Хотя в них замечается некоторая
темнота и неопределённость, но совершенная строгость
могла бы вовлечь в исследования, которые были бы не
у места в гимназическом учении потому, что они открывают
нам невозможность познавать достаточно все геометри-
ческие свойства тел и что для убеждения в том, как
далеко оправдываются такие положения геометрии,
надобно было бы прибегать к наблюдениям астрономиче-
ским и к пособию других частей математики»1). Лобачев-
ский имеет здесь в виду аксиому параллелей Евклида
и своп обобщения по этому вопросу. Излагая примерный
порядок прохождения материала, он снова подчёркивает,
что при школьном преподавании «учение о параллельных...
не везде может быть строго; но должно убеждать только
ощутительностью истины и простотою предположения, хотя
и произвольного»2). Но в доступных учащимся пределах
Лобачевский считает необходимым соблюдать всю воз-
можную строгость: «важно, не погрешая против мате-
матической строгости, доказывать справедливость всех
общих положений»3).
3. О воспитании мышления
Указывая на сложность и обширность математических
знаний даже в объёме средней школы, Лобачевский под-
чёркивал необходимость развития логического мышления:
«В математике всего важнее способ преподавания.
Обширность науки даже в первых её началах, которые
должны составлять гимназическое учение, уже такова,
что может быть обнимаема только в общих правилах.
Чтобы прпттп к сим правилам, надобно частные и раздель-
*) «Труды Института истории естествознания», т. П, 1948,
стр. 557.
2) Там же.
3) Там же. .
ПРИ ЛОГИЧЕСКИЕ взгляды в. ЛЗ
______________________________ „„гле соединить в одно,
вые представления о и р ~иными понятиями рас-
и с такими-то сложными и отвлеченш! г
суждать о всяком ПР^ Лобачевского, способ-
Но, по справедливому мнению
„ость отвлечённо мыслить не врождена а приооретается
и процессе овладения знаниями: «Способность составлять
отвлечённые понятия, которые позволяют мно/кество раз-
личных предметов соединять в одном представлении,
приобретается постепенно п может усовершенствоваться
непрестанно для развития ума...»“)•
О том, как мыслил Лобачевский это развитие отвле
чённого мышления в процессе усвоения математических
знании, мы можем судить по его «Наставлениям», вскры-
вающим принципиальные моменты предлагаемого им
плана математического обучения. Прежде всего, в силу
своего материалистического взгляда па основы наук,
Лобачевский далёк от того деления учебных предметов
по способу пх познания на эмпирические и рациональные,
которое было характерно для современной ему немецкой
педагогики. Для последней теоретической основой такого
_ взгляда на предметы школьного обучения служило учение
Канта об априорных формах человеческого познания.
В соотвстствпп с этим учением математика была отнесена
к категории предметов рациональных. Принципиально
отлична в этом вопросе точка зрения Лобачевского,
который полагал, что первоисточник наших познаний
находится в природе, а не в сознании человека. Поэтому,
независимо от предмета, всякое начальное школьное обу-
чение, согласно Лобачевскому, должно начинаться с чув-
ственного восприятия, получаемого от предмета, и под-
ниматься к образованию отвлечённых понятий п суждений.
Следует при этом отметить, что роль чувственного вос-
приятия в системе обучения Лобачевского принципиально
отлична от роли восприятия в педагогической концепции
педагогов-кантианцев, где оно служит лишь средством
Для лучшего уяснения находящихся в нашем сознании
^опытных представлений.
Инс2 *НасТавЛенпя Учителям математики в гимназиях» («Труды
э) ^ТОРИП естествознания», т. II, 1948, стр. 555).
124
В. М. НАГАЕВА
Что касается Лобачевского, то свой матерпалистпче-
скпй взгляд на процесс математического познания ппа
роль чувственного восприятия в этом процессе он весьма
ясно выражает следующей фразой: «Дело состоит в том,
что наш ум должен сперва от предметов, прямо действую-
щих па чувства, перейти к числам, а, наконец, и самые
числа представить под общим означением помощью букв».
Поэтому,—говорит он,—начальное обучение должно быть
обставлено так, чтобы у ребёнка всё было «под пальцами
п перед глазами»1).
Процесс образования понятий и первых суждений
должен совершаться, согласно Лобачевскому, на основе
имеющихся уже представлений; так, «даже первые паши
суждения о предметах, составляющих сии понятия, заклю-
чаются более в чувствах по навыку, нежели в действии
ума, когда он под общим видом обнимает все возможные
случаи»2). Поэтому, по морс расширения круга арифме-
тических понятий, необходимые связи устанавливаются пу-
тём присоединения «толкований», которые «по дают
доказательств строго, но дают чувствовать причины»;
таким образом, здесь ещё большое место занимают конкрет-
ные представления ребёнка. «Только с алгеброю начи-
нается строгое математическое учение, которое возвра-
щается также к первым правилам арифметики, и утвер-
ждается верность их строгим суждениям, выражаясь
всегда буквами и знаками»3). Лобачевский считает, что
на этой ступени математического развития ученик должен
достичь такого уровня знаний и навыков, который позво-
лит ему обобщить отдельные, известные уже математиче-
ские факты в систему дедуктивно развивающихся истин.
Приведённые нами высказывания Лобачевского пока-
зывают, что развитие мышления в процессе первоначаль-
ного математического обучения мыслилось нм как посте-
пенное восхождение от чувственно воспринимаемого пред-
мета к образованию отвлечённых суждений и понятий;
прп этом оно рассматривалось им как «приобретение спо-
г) «Наставления учителям математики в гимназиях».
2) Там же.
s) Там же.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ И. И- ^ЛОБАЧЕВСКОГО 125
собностп судить при Твердых оспова,"'”’/2вс^вёрдого
и строилось, как мы уже указывали, на основе тверд ю
усвоения фактического материала и приооретения исоохо-
ппмых навыков. ( одержание знании, таким ооразом,
составляло у Лобачевского основу обучения и определяло
собой формы развития творческих сил и мышления ученика.
Так, дуализму и априоризму педагогов кантианцев Лооа-
чевский противопоставлял материалистическое понимание
процесса обучения, укрепляя тем самым материалистиче-
ские тенденции в русской педаюшке.
4. О сознательности и целеустремлённости при обучении
13 сознательном восприятии учеопого материала Лооа-
чевскпй видел важнейший фактор успешности обучения.
В силу этого значительное место в своих «Наставлениях»
он отводит борьбе с механическим заучиванием. Указывая
учителям на чрезвычайную важность этого вопроса, он
писал: «...в постепенном развитии понятия и в умении
по допускать, чтобы одно изучение на память общих
правил и механическое исчисление заменяли суждение,
заключается искусство преподавания и успех его»2).
Необходимой предпосылкой сознательного восприятия
учеником учебного материала является соблюдение того,
чтобы при образовании новых понятий учитель исходил
из круга имеющихся уже у школьника представлений. Это
обстоятельство неоднократно подчёркивалось Лобачев-
ским в его письмах. Так, например, в одном из своих писем
к директорам школ, касаясь тематики ученических сочи-
нений, он писал: «Замечание Совета о недостаточной успеш-
ности сочинений о предметах отвлечённых требует внуше-
ния учителю словесности, чтобы ученики писали только
о предметах в круге их понятий»3).
) «Обозрение преподавания чистой математики на 1824—
° Д 3 а Л е в с к 11 СТР’
Пнг «Оставления учителям математики в гимназиях» («Труды
з\1Т(\тап!,СТ0РИ1[ 2стес'т 110311 а 1111 я>>» т- Ч» 1948, стр. 555).
CanrJ 1 ' .Г» аРх- ^755, 1847 г., л. 75, Письмо директору училищ
'-аратовскоц губернии.
126
Ь. М. НАГАЕЙА
Па той ступени математического обучения, когда ученик
оперирует уже отвлечёнными понятиями, сознательное
восприятие последних обеспечивается чёткостью и опре-
делённостью выводимых понятий. «...Так же, как мнения
могут казаться ложно от того, что разумеются иначе слова,
так всякое суждение в математике останавливается, как
скоро перестаём понимать под знаком то, что оно собственно
представляет. Поэтому и надобно, чтобы учитель с упо-
треблением знаков давал понятия совершенно определён-
ные и строгие; наконец, нс довольствуясь ещё п этим, при-
соединял сюда примеры, которые столько же поясняют
правила, сколько предупреждают механическое их упо-
треблением J).
Однако, как известно, сознательность заключается не
только в ясном понимании учебного материала; она
должна носить характер активного восприятия матери-
ала; последнее же в большой степени зависит от понима-
ния смысла учебной работы, направленно]! на разреше-
ние определённой задачи. Этот момент в достаточной сте-
пени отражён в высказываниях Лобачевского по вопро-
су применения знаний к потребностям в жизни. Вся
система построения начального математического обуче-
ния, по Лобачевскому, должна быть направлена па то,
чтобы приучить ученика за каждой формулой видеть
реальное явление жизни, должна придавать его рабо-
те целеустремлённость и стимулировать её. Поэтому глав-
ную цель преподавания геОхметрип в школе Лобачевский
видел в том, чтобы «дать общие правила для измерения»,
причём последние, говорил он, «надобно согласовать
с измерением на самом доле». Такая постановка препода-
вания повышает, по мнению Лобачевского, интерес
ученика к работе. Занимательность преподавания для
учеников «заключается в удовольствии понимать предмет
п преподанное применять к решению вопросов»* 2). Между
том опа, эта занимательность, по Лобачевскому, есть
2) «Наставления...» («Труды Института истории естествозна-
ния», т. II, 1948, стр. 556).
2) Ф. 92, арх. 5915, 1847 г., л. 27, Письмо Лобачевского дирек-
тору Пензенского дворянского института.
„,„.Го„.чук.. «тта
_ . п поддержпвать внп-
«необходпмое средство возбужда бывает успешным»1),
манпе, без . чего преподавание я ращается в своих
К этому вопросу Лобачевский
письмах неоднократно. времени ирооблада-
В школьном преподавании тог гР об я> в
тощими являлись методы механп прСподаваппя ак-
рявпшеся же Лоиачевскям собой большой
тпвные формы обучения знанья
сдвиг в направлении прогрессивного развития школьного
дела в обширнейшем и наиболее удаленном от центра
Казанском учебном округе.
5. Об организации условии обучения и дисциплине
В предисловии к рукописи своей «Алгебры» Лобачев-
ский об обучении математическим паукам писал: «Наука
почти бесполезная в семействах, [но] весьма важная для
Государств, Математика требует и учения от лпца Государ-
ства. Едва ли не из общественных заведений могут только
выходить хорошие Математики, где всё благоприятствует
-этой науке; выбор лучших наставников, которые непре-
станно трудятся увеличить собственные своп познания;
порядок и строгость, так сказать, военные, которые од-
ни только в состоянии принудить учеников следовать
неослабно за преподаванием и удерживать в непрестан-
ном напряжении их внимание; наконец, множество уче-
ников, возбуждая соревнование, рождает охоту, превра-
щает её современем в страсть и бывает причиною по-
явления генпев-Математпков»2. Эта • цитата свидетель-
ствует о том, что в организации обучения Лобачевский
придавал большое значение и мастерству преподавате-
ля, п элементам принуждения, и методам соревнования,
столь важным для развития личных качеств ребёнка,
амо собой разумеется, что здесь мы имеем дело не с тем
оревнованием, которое в нашей советской действптель-
ости является необходимой формой социалистического
2\ S* аРх- 5186, 1841 г., л. 34, Письмо Мусипу-Пушкппу.
т tv г* Лобачевский, Полное собрание сочинений,
' v’ ^остехивдат, 1948, стр. 369.
j28 B- м- ИАГЛКВЛ _________________
труда. У Лобачевского понятие соревнования тесно свя-
зано с его верой в потенций еьныс возможности самоусо-
вершенствования личности, заложенные в человеке са
мой природой п имеющие источником своим «чувство
славы», «желание превосходить других» (см. «Речь о важ-
нейших предметах воспитания»).
Это желание привить детям вкус к работе над собой,
стремление к самоусовершенствованию, несмотря на огра-
пнчетшость его выражения, было протестом против отупля-
ющего, подавляющего личность ребёнка казарменного
режима и муштры в школах николаевской эпохи. Вместе
с тем, как видно, Лигачевский был сторонником по инди-
видуального домашнего воспитания, по (Общественного.
Требуя воспитания гуманного и сообразного природе
ребёнка, Лобачевский, естественно, нс являлся сторон-
ником телесных наказаний. Папсм-пм, что деятельность
Лобачевского протекала в ту эпоху, когда телесные на-
казания были введены уставом 1828 г. л когда грубость
нравов и вея система крепостного государства сделали
употребление розги повседневным явлением школьной дей-
ствительности.
Между тем смысл всех педагогических высказываний
Лобачевского направлен на внедрение в практику школы
мер воздействия гуманного порядка. В одном из своих пи-
сем Лобачевский прямо высказывается против таких мер,
которые в какой-то степени унижают личность ребёнка.
Отвечая на представление директора училищ Астраханской
губернии о разрешении применять как меру взыскания
пониженно учеников классом ниже, Лобачевский пишет:
«Подобная мера пе обещает для них пользы; потому что,
если ученик оказывается небрежным в том классе, кото-
рого он удостоен ио испытаниям, тем менее нужно ожи-
дать от пего усердия при унижении его самолюбия»1).
Лобачевский отдавал должное дисциплинирующему и
организующему значению общешкольных правил, осо-
бенно с привлечением к контролю за их выполнением и
родителей, для чего он рекомендует обязанности учеников
коротко фиксировать в особом объявлении, «выставлен-
г) Ф. 92, арх. 5843, 1846 г.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 129
ном В гимназии на виду всех, как учеников, так п роди-
телей»1)- «Постоянное внимание и внушение со стороны
всех наставников»2), подкреплённое участием родителей,
должно было, по мысли Лобачевского, обеспечить еди-
ную систему воспитательных воздействий на ученика.
Что касается учителя, то он никогда, по мнению Ло-
бачевского, но должен выпускать ученика из поля зрения.
Отвечая на запрос директора училищ Пензенской губер-
нии о том, как целесообразнее рассаживать учеников
в классе, Лобачевский подчёркивает, что:
«1) места учеников в отношении к учителю должны
почитаться везде одинаковыми, как скоро учитель ^обра-
щает внимание па каждого из своих учеников, где бы-он
ни сидел и к чему учитель должен быть способен;
2) если местам предоставить какое-нибудь значение,
то я нахожу лучше, чтобы ученики прилежные сидели
ближе к учителю. Это преимущество будет служить сорев-
нованием»3).
Основной воспитательный фактор Лобачевский видел
в приобретении учителем такого авторитета, который при-
водил бы к внутренней убеждённости ученика в постоян-
ной правоте учителя. Но для этого учитель должен являть-
ся в глазах учащихся примером, которому каждый из
них хотел бы следовать; «примеры научают лучше, нежели
истолкования п книги»,—говорил он о личном примере
учителя. Но для этого учитель, по убеждению Лобачев-
ского, должен руководствоваться в деле воспитания чув-
ством любви и желания добра детям, поступать так, чтобы
впоследствии воспитанник вспомнил своего наставника
с благодарностью, с желанием следовать его примеру.
Всё это свидетельствует о том, что Лобачевский был
врагом палочной дисциплины, царившей в школах его
времени; на место последней он выдвигает идею гуманного
воспитания па основе уважения личности ребёнка п вос-
стания в нём элементов сознательной дисциплины.
___ Ф- 92, арх. 5755,1846 г., л. 195, Письмо Лобачевского дирек-
РУ Училищ Саратовской губернии.
*) Там же, л. 327.
губернииМ Же’ Л* 269’ Ппсьм0 Директору училищ Пензенской
Историко-матем. исследования
130
в. м. нагаевл
6. Об индивидуальных и возрастных особенностях
детей
Развитие индивидуальных особенностей детей и необ-
ходимый для этого индивидуальный подход к каждому
из них Лобачевский считал основой процесса обучения.
Обязанностью школы и учителя являются, по справедли-
вому мнению Лобачевского, определение и усовершсп
ствование склонностей и способностей ученика.
«Между молодыми людьми даже в университете,—пишет
он по этому поводу,—мало избирают историю главным
предметом своих занятий. Вот почему число свободных
мест для учителей истории в гимназиях самое большое.
Молодые люди по своим способностям должны в гимна-
зиях еще получить такое назначение; следовательно, випа,
во-первых, принадлежит гимназиям. Исправить этот не-
достаток, во-вторых, принадлежит учителям в гимназиях
и институтах»1).
Обучение детей младшего возраста Лобачевский ре-
комендовал сообразовать с пх особенностями, в частно-
сти с непроизвольностью внимания: «Другое необходимое
условие для успешности учения то, чтобы уметь победить
лепость п рассеянность детского возраста. Той и другой
цели способствует в совершенстве способ взаимного обу-
чения, который разнообразном своим предохраняет уче-
ников от скуки...»2).
Одним из основных требований, предъявляемых Лоба-
чевским к процессу обучения, является требование по-
строения его в строгом соответствии с возрастными осо-
бенностями учащихся. В письме к Мусину-Пушкину он
настойчиво рекомендует «преподавание, приноровленное
к возрасту». Весьма большое внимание этому вопросу
уделяет Лобачевский и в «Наставлениях», где он реши-
тельно выступает против усиления тенденции в гимна-
зиях к преимущественно филологическому образованию.
Такой односторонний подход к делу общего образования,
по мнению Лобачевского, ведёт к обезличиванию учеии-
г) Ф. 92, арх. 5755, 1846 г., л. 331, Письмо директору Пензен-
ского дворянского института.
2) «Наставления...» («Труды Института истории естествозна-
ния», т. II, 1948, стр. 556).
педагогические взгляды II. и. ЛОБАЧЕВСКОГО 131
ка к уничтожению его индивидуальных даровании.
«Желательно,—пишет Лобачевский, чтооы предоставля-
лось на волю ученикам посвящать своя исключительно
языкам и для таких назначать также и греческий; напро-
тив, других, рождённых с дарованиями для математи-
ческих наук, не обременять изученном многих языков
п не лишать средств для усовершенствования их преиму-
щественных способностей» 1).
В этой связи Лобачевский уделял большое внимание и
вопросам наглядности обучения. 13 письме к Лесину-Пуш-
кину он указывает: «В учения дробей можно для нагляд-
ности прибегать к черчению, показывая разделение целого
на линиях и площадях. Лучше, по моему мнению, когда
за арифметикой следуют начала геометрии, как такой части,
которая по своей ощутительности в истинах с пособием
чертежей легко приспособляется к понятию первого возра-
ста». Понимание особенностей детского возраста приводит
Лобачевского к идее о необходимости соблюдения принципа
последовательности в обучении.
Общеизвестно, что развитие знаний у школьника пред-
ставляет собою процесс последовательных переходов от
простого к сложному, от конкретного к отвлечённому, от
известного к неизвестному. Мы ужо имелп случай убедиться
в том, что рекомендуемая Лобачевским система начального
математического обучения представляет собой метод именно
такого последовательного продвижения ученика от его
конкретных представлений к образованию отвлечённых
понятий на основе учета степени его развития.
Постоянно и с большой настойчивостью Лобачевский
указывает учителю па необходимость использования имею-
щегося уже у ученика круга понятий. Прекрасным срод-
ством для этого, по мнению Лобачевского, является исполь-
зование связи между учебными предметами. Так, напри-
мер, по поводу выбора тематики для ученических сочпно-
нпи он пишет следующее: «Прочитав постановление педа-
соч11ЧССКОГО С°вета’ я 11ах«жу нужным предложить, дабы
пиония учеников преимущественно и впредь были
ьпя>? (<<ТРУДЫ Института истории естествозпа-
’ J- н, 1J18, стр. 560).
9*
132
В. М. НАГАЕВА
примерами из истории; для латинского языка, преимуще-
ственно из дровней истории, для новых языков—из сродней
и повой. Для описательного слога могут служить географи-
ческие познания и сведения о климатах. Отсюда будет
проистекать двойная польза: ученики, нс выходя пз круга
своих ясных -понятий, нс будут увлекаться неуместной
надутостью выражений; между тем как их сочинения будут
повторять историю с географией»1).
Что касается до сочинений на отвлеченные темы, выхо-
дящие за рамки конкретных представлений ученика, то
нх Лобачевский считал бесполезнымп для развития у уча-
щихся описательного стиля. Лучше,—писал он,—«удер-
живать учеников от описательных сочинений, которые при
их возрасте могут только заключаться в наборе слов, тогда
как другого рода сочинения приносят двоякую пользу:
повторением предметов учения и содержанием, где слог
изощряется на мыслях ясных, па выражениях определён-
ных»2). В другом мосте он прямо указывал: «Замечание
Совета о недостаточной успешности сочинений о предметах
отвлечённых требует внушения учителю словесности, чтобы
ученики писали только о предметах в круге пх понятий. Если
будут им даваемы темы о тем, что они слышали па уроках,
то это принесёт двойную пользу: утверждение в памяти
пройденного и навык в изложении своих мыслей»3).
Таким образом, Лобачевский исходил пз того положе-
ния, что преподавание любой науки в школе должно
стропться на основе учёта дарований ребёнка, степени его
развития, особенностей детского мышления п других ин-
дивидуальных п возрастных различий.
7. О воспитательной системе школьного образования
Мы уже видели, что Лобачевский являлся сторонни-
ком общественной системы воспитания. «Как жалко,—
говорил он,—что истинному просвещению предпочитаются
х) Ф. 92, арх. 5755, 1846 г., л. 127, Письмо Лобачевского ди-
ректору Пензенского дворянского института.
2) Там же, л. 215.
3) Там же, л. 75, Письмо Лобачевского директору училищ Са-
ратовской губернии.
ПРПАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ п. и. ЛОБАЧЕВСКОГО 133
суетные выгоды домашнего воспитания. Кто хочет обра-
зовать своих детей для Государства, тот должен при-
бегнуть к средствам, которые одно только Государство
в состоянии доставить, тот должен учить своих детей в
общественных заведениях»1).
Наилучшая, по мнению Лобачевского, система школь-
ного образования—от начального до высшего «система
воспитательная—самая близкая к домашнему родитель-
скому воспитанию, а может быть, и по народному духу,
даже по духу воинственному, получила предпочтение во
франции, особенно в России, где кажется с быстротой
усовершенствуется. Опа существует вполне для специ-
альных заведений, каковы кадетские корпуса, лицеи,
Педагогический институт, Училище правоведения»2). Си-
стема школ, по мнению Лобачевского, должна выполнять
задачу воспитания всех детей, независимо от сословия,
сообразно пх склонностям и дарованиям. Так, в своей
записке «О земледельческой форме» он указывает на не-
обходимость распространить воспитание «даже па де-
тей из сословия нищих и бродяг», ибо такие дети «могут
от воспитания сделаться ремесленниками, художниками
или учёными, смотря по тому, какие природные дарова-
ния в них откроются»3). В одном из своих писем Лоба-
чевский указывает, что «воспитательным заведениям при-
надлежит обязанность не только просвещать ум, ио пе-
редать и утвердить добрые начала нравственности»4).
В наше время воспитывающее обучение не сводится
к тому, чтобы функции обучения и воспитания следовали
параллельно друг другу и независимо одна от другой.
Напротив, его цель заключается в том, чтобы в процессе
самого усвоения знаний у школьника вырабатывалось
определённое мировоззрение, или, как часто говорят,
чтобы знания переходили в убеждение. Приведём ряд
1\,«Речь о важнейших предметах воспитания» (Модзалов-
с к и и, стр. 324).
2) Записка II. II. Лобачевского об учебных заведениях Петер-
°УРга (М о д з а л е в с к и й, стр. 386).
- ) Из доклада Н. II. Лобачевского президенту Экономического
ощества (М о д з а л с в с к и й, стр. 480).
) ф - 92, арх. 5755,1846 г., л. 330, Письмо Лобачевского дирек-
°РУ Пензенского дворянского института.
134
В. М: НАГАЕВА
отдельных высказываний Лобачевского, говорящих за
то, что ему—в форме, соответствующей его эпохе,—нс
была чужда п идея воспитывающего обучения.
Мы уже имели случаи убедиться в том, какое огромное
воспитательное значение придавал Лобачевский делу изу-
чения русского языка и лнтерату ры. В преподавании ли-
тературы и истории оп видел мощное средство для нрав-
ственного воспитания. Так, обращая внимание на необ-
ходимость воспитания «начал нравственности», Лобачев-
ский в только что цитированном письме указывал:
«Кроме истории нет другого предмета, который бы
приличнее мог служить и верно вести к этой возвышенной
цели, особенно биографии великих мужей из древней
истории. Средняя история представляет поучительное вли-
яние переворотов па судьбу государств; новая заключает
в себе постоянное влияние умственного просвещения па
гражданственность, благоустройство и народное благо-
состояние». При занятиях с учениками словесностью
оп рекомендует «передавать полезные понятия о других
предметах и представлять примеры доброй нравствен по-
сти п высоких добродетелей»1). Работа ученика над
сочинением должна преследовать, по его мнению, и вос-
питательные и образовательные цели. Так, по поводу вы-
бора тематики для сочинений он пишет: «Томы для сочи-
нен nii по преимуществу должны касаться истории, кото-
рой нравственное влияние для молодых людей полезно
по примерам высоких добродетелей и подвигов, увенчан-
ных полезным успехом и награждённых благодарностью
современников и потомства»2).
В то же время работа над сочинен ном должна разви-
вать и самостоятельность мышления, и культуру языка.
По этому поводу Лобачевский пишет: «Усмотренная в
некоторых учениках наклонность к риторическим укра-
шениям, псстрогость выражений и дикая фантазия, спра-
ведливо порицаемые Советом, возлагает также на учи-
теля словесности обязанность заботиться, чтобы сочине-
1) Ф. 92, арх. 5913, 1847 г., л. 108.
2) Ф. 92, арх. 5755, 1846 г., л. 75, Письмо директору училищ
Саратовской губеришг.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ ц. ц. ЛОБАЧЕВСКОГО 135
НИЯ писаны были ясно, изобиловали бы количеством мы-
слей, а не украшений, которые допускать только тогда,
когда ими выражается мысль, или усиливается выраже-
ние»1). Попутно укажем, что Лобачевский предъявлял
серьёзные требования к культуре речи и самого учителя.
Так, пи поводу речи, произнесённой на торжественном
собрании учителем Троицким, он указывал педагогиче-
скому Совету, что подобные речи должны быть построены
«просто, кратко, попятно и занимательно», а в речи учителя
Савинова он отмечал «плодовитость в словах» и «уклоне-
ние к постороннему»2).
Как известно, для целей воспитания важно не только
содержание знаний, по и способ их изложения. Некоторые
рекомендованные Лобачевским методы преподавания спо-
собствуют развитию в учениках определённых навыков
и подходов к изучаемому явлению. Таков, например,
указанный им метод изучения русского языка в сравне-
нии со славянским3). Этот способ изучения языковых
форм в их развитии вырабатывает навык исторического
подхода к изучаемому явлению. В преподавании ино-
странных языков он считал наилучшнм метод сравннтель
ного изучения пх, так как, по его мнению, «в сравнении
двух языков открывается особенность, которая каждому
принадлежит»4). Этот метод пе только обеспечивает
глубокое проникновение в сущность предмета, по и выра-
батывает навыки научного сопоставления явлений. Можно
было бы умножить число подобных примеров, по и при-
ведённых здесь достаточно для подтверждения того, что
идея воспитывающего обучения нашла своё отражение
в педагогическом наследство Лобачевского.
Необходимо, однако, указать, что между идеей вос-
питывающего обучения у Лобачевского и тем содержа
ином, которое вкладывает в это попятно паша советская
педагогика, существует огромная разница, обусловленная
О Ф. 92, арх. 5755, 18 1G г., л. 75 Письмо директору училищ
Саратовской губернии.
2)Ф- 92’ аРх’ ^913, 1847 г., л. 27, Письмо Лобачевского дирек-
тору Пензенского дворянского института.
® Ф. 92, арх. 5755, 1846 г., л. 74.
) Ф. 92, арх. 5755, 1846 г., л. 267, Письмо директору училищ
Саратовской губернии.
!36 ________________В- М. НАГАЕВА
различием исторических эпох и общественного строя.
Воспитывающее обучение с точки зрения нашей совре-
менной педагогики предполагает такие формы и содер-
жание преподавания, которые способствуют развитию
в учащемся марксистско-ленинского мировоззрения и ка-
честв, необходимых для строителя коммунистического об-
щества. Это мировоззрение характерно не только своим
научным объяснением законов природы и социальных
явлений; оно необходимо предполагает и активное воз-
действие на природу п общественную жизнь. Таким обра-
зом, оно является мировоззрением целостным и действен-
ным. Что же касается взглядов Лобачевского, то его
идея целенаправленности процесса обучения ставила своей
задачей развитие отдельных качеств и черт, отвечающих
его пдеалу человека, который рассматривался им вис
исторических условий. Такова, например, проводимая
им идея развития чувств любви, гуманности, чести и тому
подобных свойств абстрактного идеального человека безот-
носительно к среде п эпохе.
Указанные выше черты и должны были составлять
нравственный облик человека. В умственном воспитании
Лобачевский уделял основное внимание развитию в уча-
щихся элементов научного мировоззрения, что позднее
получило своё более явное выражение в высказываниях
педагогов-демократов. Этой цели должны были способство-
вать проводившиеся Лобачевским реалистические и мате-
риалистические тенденции в образовании.
Выдвинутая Лобачевским идея научного воспитания
и образования в то время, когда царское правительство
клало в их основу религиозное учение, была глубоко
прогрессивной в условиях современной ему российской
действительности она подрывала идеологические осно-
вы загнивающего крепостного строя.
V. ВЗГЛЯДЫ ЛОБАЧЕВСКОГО НА ПРЕПОДАВАНИЕ
ГЕОМЕТРИИ И ЕГО УЧЕБНИК ГЕОМЕТРИЙ
Педагогическая деятельность Лобачевского открылась
в 1812 г. лекциями по геометрии п арифметике на курсах
для повышения образовательного ценза чиновников. Есте-
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Н. И. JIOBA4gg£^---137
г этого времени перед
ственно поэтому думать, что уже <-э пРракт11Ческпм
ним возникла проблема ПР]1СП°С^"1Ы изложения гео-
нуждам как содержания, так и спс^1В0.зап11ММ11 Лоба.
метрических зпаппи.Этпже вопросы»
невского п позднее, и как ученого i wi А
водителя всей системы образования в чазан к м круге.
В изучении идей творца неевклидовой геометрии осо-
бый интерес представляют естественно п его взгляды на
преподавание геометрии. К рассмотрению этих взгля-
дов мы и перейдем, оставив в стороне воззрения Лооа-
чевского па преподавание алгебры которые могли бы
явиться предметом специальной работы.
О состоянии методики преподавания геометрии в
начале XIX в. можно, в известной мере, судить по на-
иболее распространённым в то время учебным руко-
водствам.
Среди переводной учебной литературы основное ме-
сто принадлежало руководствам французских авторов:
Безу1), Лежандра2), Лакруа3). Общая черта этих во мно-
гом различавшихся курсов заключалась в том, что все
они в той пли иной мере отражали идеи французских эн-
циклопедистов о преподавании геометрии. Идеями эти-
ми являлись: 1) придание курсу геометрии метрического
характера и приближение его к жизненным потребно-
стям; 2) арифметизация геометрического материала и от-
каз от традиционного изложения в духе Евклида; 3) вве-
дение в геометрию метода пределов.
То обстоятельство, что эта литература пользовалась
широким признанием в педагогических кругах, свидетель-
ствовало о нарастании реалистических тенденции в пре-
подавании геометрии даже в условиях классической
школы.
Из русских руководств цервой четверти XIX столе-
тия наиболее значительными п оригинальными следует
Ч Е.
1798.
Безу,
Курс математики. Перевод Загорского, М.,
2) А. Л еж ап др, Начальные основания геометрии. Перевод
Захарова, СПб., 1819.
1R97 ) С' ^акРУ а> Курс математики. Перевод Смирнова СПб.,
138
В. М. НАГАЕВА
считать курсы, написанные профессором Харьковского
университета Т. Осиповскнм1; и академиком С. Гурье-
вым2).
Взгляды Осиповского были весьма прогрессивными.
При построении курса геометрии Осиповский руково-
дился реалистическими принципами; это нашло свое отра-
жение как в усилении метрического характера геометрии,
так и в арифметизации её. Всё изложение носило на себе
печать глубокой методической продуманности, выгодно от-
личавшей книгу от обычных руководств того времени.
Вместе с тем ориентация автора па элементарно-нагляд-
ные методы доказательств делала книгу мало пригодной
для более глубокого геометрического образования.
Совсем иной характер и по содержанию, и по стилю
изложения представлял собой учебник академика Гурь-
ева. Как указанное руководство, так и изданное им в
1798 г. сочинение по геометрии3) указывают на то, что
идеи французских энциклопедистов были восприняты рус-
скими математическими кругами, крупнейшим предста-
вителем которых был Гурьев, в значительной мере крити-
чески. Эта критика была направлена главным образом
против опасности снижения научности и строгости в из-
ложении геометрии. Отдавая в этом смысле предпочтение
системе изложения Евклида, Гурьев находил в то же
время, что «Начала» его нуждаются в переработке с точки
зрения современных научных требований. Усматривая
в последовательном применении теории пределов одно
из средств усовершенствования «Начал», Гурьев стро-
ил свой курс геометрии в достаточно для того времени
строгом соответствии с этим методом. Книги Гурьева ока-
зали серьёзное влияние на позднейших русских авторов.
Однако вследствие своей громоздкости (700 страниц) и
не совсем доступного изложения учебник Гурьева широ-
кого распространения в школах не получил.
') Т. Осиповский. Курс математики, изданный от Глав-
ного управления училищ. Второе издание, СПб., 1814.
2) С. Гурьев, Основания геометрии, СПб., 1811 (Первое
издание 1804—1806).
3) С. Г у р ь е в, Опыт о усовершснии елементов геометрии,
СПб., 1798. ' г
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ И. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 139
-------
Отношение Лобачевского к современной ему учебной
литературе по геометрии достаточно ясно высказано нм
в его «Наставлениях учителям математики в гимназиях»
/раздел IV. «Учебные книги»):
V «В России для гимназий курсов еще нс издано. Ино-
странные—лучшие французские, но они писаны для оте-
чественных учебных заведений»1).
Это замечание говорит о том, что, отдавая должное до-
стоинствам французской учебной литературы по геомет-
рии, Лобачевский считал, что она пе обеспечивает ещё
нужд русского образования с его национальными особен-
ностями. Лобачевский предъявлял к учебной литературе
весьма высокие научные требования. Так, отдавая пред-
почтение среди других книге Лежандра, Лобачевский
считал необходимым исправить сё в той части, где ему,
как творцу неевклидовой геометрии, была особенно ясна
ошибочность взглядов автора. По поводу этой книги
он замечал в «Наставлениях»: «Лучшая геометрия, за
исключением теории параллельных, которая ошибочна
и должна быть заменена Евклидовой»2).
Высокие требования, предъявлявшиеся Лобачевским
к учебным руководствам, отразились па работе школ
Казанского учебного округа. Так, в «Исторических запи-
сках Пензенской дирекции» сообщается: «В 1837 г. во
время обозрения Пензенской гимназии инспектором ка-
занских училищ замечено: избранное руководство исклю-
чительно по Фуссу не соответствует требованиям науки
в настоящее время»3). В «Исторической записке о пер-
вой Казанской гимназии» имеется следующая запись:
«Учитель Попов том более заслуживает доверенность на-
чальства, что он, приняв за образец творения г. Ректора
Лобачевского, старается в духе этого автора быть по воз-
можности систематическим и строгим»4); там же указы-
4) «Труды
стр. 559.
Института истории естествознания», т. II, 1948,
*) Там же.
) Исторические записки учебных заведений Казанского учеб-
ного округа, л. 88. ’
J) В. В л а д п м и р о в, Историческая записка о 1-й Казан-
ской гимназии, Казань, 1867, стр. 277.
140
В. М. НАГАЕВА
вается, что математика в Казанской гимназии велась
по запискам проф. Лобачевского. Отсюда ясно, каков
мог быть уровень требований, предъявлявшихся к ма-
тематическому образованию в Казанском учебном округе.
Сам Лобачевский в своей преподавательской деятель-
ности руководствовался преимущественно собственными
конспектами. Написанный им учебник «Геометрия» (1823)
также являлся плодом его личных многолетних размышле-
ний в процессе преподавания. В то же время этот учебник
представляет собой как бы исторический памятник твор-
ческих исканий Лобачевского, и неудивительно, что его
основные идеи не моглп быть поняты и оценены современ-
никами. Об этом с достаточной ясностью свидетельствует
рецензия на этот учебник со стороны академика Фусса,
которому рукопись была послана па отзыв (1823 г.).
Приводим из рецензии краткую выдержку: «... Если со-
чинитель думает, что оно может служить учебною книгою,
то он сим доказывает, что он не имеет точного понятия
о потребностях учебной книги, то-есть о полноте гео-
метрических истин, всю систему начального курса науки
составляющих, о способе математическом, о необходи-
мости точных п ясных определений всех понятий, о логи-
ческом порядке и методическом расположении предметов,
о надлежащей постепенности геометрических истин, о пе-
упустптельной и, по возможности, чисто геометрической
строгости пх доказательств и пр.»1).
Из этого отзыва следует, что Фусс подошёл к оценке
учебника со стороны общих требований, предъявляемых
к обычному школьному пособию; между тем книга, по
замыслу Лобачевского, и не предназначалась для школь-
ного преподавания; опа являлась курсом, рассчитанным на
завершение элементарного геометрического образования
обучающихся в университете. Это подтверждают следую-
щие обстоятельства:
1. Занятия по чистой математике в университете
велись по пособиям, составленным Лобачевским.
2. Объём, система расположения материала в учеб-
нике п принцип его построения соответствуют тем укд-
L) М о дз ал е вс кий, стр. 156.
прДАГОГИЧЕСКПЕ ВЗГЛЯДЫ Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 141
занпям п задачам, которые сделаны Лобачевским отно-
сительно курса геометрии для студентов университета
в его «Обозрениях преподавания чистой математики»
на 1824/25 и 1825/26 годы.
Последнее обстоятельство даёт право заключить, что
учебник геометрии Лобачевского являлся реальным осу-
ществлением взглядов, высказанных пм в упомянутых
«Обозрениях». О ценности этих высказываний для наших
целей можно судить по следующему его замечанию: «Рас-
суждения, в которые вдаюсь я здесь, о трудностях пре-
подавания математики, и в особенности геометрии, пе
входят в самое преподавание моё, по помещаются сюда
в намерении дать понятие о духе, в каком я читаю курс
математики в Казанском университете» ).
Более близкое рассмотрение всей системы высказы-
ваний Лобачевского о духе его преподавания оопаружп-
вает, что основное внимание его привлекали следующие
моменты: 1) начальные понятия в курсе геометрии п
2) способ изложения теории параллельных.
Эти моменты отражают пути, по которым шло напра-
вление исследований Лобачевского в геометрии н наибо-
лее полное представление о которых дают «Новые начала
геометрии с полной теорией параллельных»* 2). В своих
рассуждениях о преподавании Лобачевский относит эти
моменты к числу неизбежных «трудностей» в началах
геометрии. По поводу первой трудности он пишет: «Здесь
место говорить о понятиях, которые должны быть поло-
жены в основания математических наук, потому что ре-
шение сего вопроса всего важнее для геометрии»3).
Ужо в «Обозрениях», написанных до выхода в свет
научных трудов Лобачевского, как и в позднейших его
работах, Лобачевский настаивал па том, что первые
основания в математике могут составить только тс по-
нятия, которые мы получаем пз природы прямо чув-
ствами.
*) См. М о д з а л с вскп й, стр. 206.
2) Н. II. Лобачевский, Полное собрание сочинений,
т. II, Гостехпздат, М.—Л., 1949.
. ) «Обозрение преподавания чистой математики на 1825—
1о26 год» (М о д з а л е в с к и й, стр. 203).
142
В. М. И А Га ЕВА
«Мы познаём б природе одни только тела,—писал Ло-
бачевский,—следовательно, понятия о линиях и поверх-
ностях суть понятия произведённые, а нс приобретён-
ные, и посему нс должны быть принимаемы за основание
математической пауки. Но в чём же заключаются отли-
чительные качества тел от прочих величин, познаваемых
нами в природе, чтоб отсюда могло проистекать учение
о линиях п поверхностях?—Этого ещё нет ин в одной гео-
метрии»1).
Такое наиболее общее качество тел Лобачевский усма-
тривает, как мы уже говорили, в «прикосновения» тел.
Уже в более рапном «Обозрении» па 1824—1825 г. оп объ-
ясняет, как это попятно порождает представление о «тро-
яком измерении тел» и о понятиях липин, поверхности
и точки. Это было написано в 1824 г., учебник же геомет-
рии представлялся Лобачевским к печати в 1823 г. Однако
и в нём мы уже встречаемся с понятием прикосновения.
По в то время как в научных исследованиях Лоба-
чевского понятия протяжённости, липин п поверхности
ставятся им в логическую зависимость от прикоснове-
ния, в учебнике оп этого понятия не раскрывает. Причи-
ной этого является, видимо, следующая его мысль: «До
тех пор, покуда не будут положены основания геометрии
прочные и в истинном смысле математические, что, ко-
нечно, изменит совершенно образ преподавания, до тех
пор понятия о линиях и поверхностях должны быть рас-
сматриваемы за понятия, приобретённые пз природы во-
щен, ц полагаться в основание геометрии без дальней-
ших изъяснений»2).
«Другого рода трудность в геометрии, —указывал
Лобачевский,—представляет параллелизм линий, труд-
ность до сих пор непобедимую, по между тем заключаю-
щую в себе истины ощутительные, вне всякого сомнения
и столь важные для целой науки, что никак не могут быть
обойдены. Итак, остаётся только все сип истины привести
к одной такой, которая бы могла легко убеждать в сё
J) «Обозрение преподавания чистой математики на 1825—
1826 год» (М о д з а л е в с к и и стр. 204).
2) Там же.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ II. И. ЛОБАЧЕВСКОГО----«3
справедливости, присоединяя сюда некоторые пояснения,
несмотря на недостаток строгости»1)
Именно в соответствии с последним^ замечанием и
изложен вопрос о параллелях в ого учебнике. Доказы-
вая предложение о пересекаемости перпендикуляра и на-
клонной к одной и Toil же прямой, Лобачевский замечает:
«Строгого доказательства сой истины до сих пор пе могли
сыскать. Какие были дапы, могут назваться только по-
яснениями, но не заслуживают быть почтены в полном
смысле Математическими доказательствами»2).
Сравнение первых глав учебника геометрии с «Новыми
началами» обнаруживает ещё и следующую особенность:
пять глав учебника соответствуют пяти главам (начиная
со второй) «Новых начал», а именно: те и другие содержат
все положения, которые пе зависят от V постулата Евк-
лида. Глава седьмая «Новых начал» озаглавлена «Парал-
лельные линии» и открывает собой одновременное изло-
жение той и другой геометрии. Уже в шестой главе этой
книги указывается на возможность гипотезы острого уг-
ла. В учебнике же глава VI озаглавлена «О измерении
прямоугольников» и открывается теоремой о пересечении
перпендикуляра и наклонной, долженствующей заме-
нить собой V постулат.
Сходство в плане построения первых пяти глав того
11 другого произведения даёт основание предполагать,
что Лобачевский уже при написании учебника считал
необходимым отграничить ту часть геометрии, которая
покоится па положении, лишённом в его глазах матема-
тической доказательности, и предупредить об этом своего
читателя тем замечанием, которое только что было про-
цитировано нами. Это было ещё время поисков путей
решения вопроса. В дальнейшем же Лобачевский совсем
отказывается от мнимых доказательств в практике пре-
подавания, предлагая в этих случаях опираться па аксио-
му Евклида. Об этом свидетельствует, в частности, дан-
ным ИхМ в «Наставлениях» отзыв о книге Лежандра, при-
г) «Обозрение преподавания чистой математики на 1825—
1826 год» (М о дз ал ев ск ий стр. 205).
2) Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений,
т- И, Гостехпздат, 1949, стр. 70.
144
В. М. НАГАВВЛ
ведённый нами на стр. 139. Таким образом, учебник гео-
метрии Лобачевского представляет собой как бы пред-
йсторшо его замечательных исследований в области гео-
метрии.
Выделение в учебнике положений абсолютной геомет-
рии привело Лобачевского к необходимости одновремен-
ного рассмотрения свойств двух-и трёхмерного про-
странства; а это, в свою очередь, позволило создать такую
систему построения учебника, которая глубже и после-
довательнее, чем какая-либо другая, проводила идею
измерения как основу геометрии, что, по мнению Лоба-
чевского, вносит особую ясность в изложение/ материала.
Высказывая неудовлетворённость существующими кур-
сами геометрии, Лобачевский писал:
«В курсах геометрии встречаются темноты, которых
причина бывает двоякая: 1-е, что не следуют правилу оп-
ределять всё в мерс; 2-е, что хотят сохранить идеальность,
тогда как истинная цель геометрии этого пе требует.
Вся математика есть наука об измерении; всё то, что
существует в природе, подчинено необходимому условию
быть пзмеряему: посему различие между величинами долж-
но относиться к различному роду измерений их и к чис-
лам, которые их представляют; все прочие понятия всег-
да будут темны и недостаточны. Итак, начинаю я геомет-
рию с измерения прямых линий и дуг в отношении к их
кругам, за этим даю определение углов; говорю об изме-
рении частей поверхности шара в отношении к целой
поверхности и отсюда заимствую определение плоскост-
ных и телесных углов»1).
Итак, только полное подчинение системы изложения
учебного материала идее измерения, по мнению Лобачев-
ского, способно привести курс геометрии к полной ясно-
сти. Таким образом, руководящим принципом в системе
построения курса, по Лобачевскому, являлся род изме-
рения геометрических величин. В соответствии с этим
принципом построена была и программа курса, прило-
женная им к «Обозрению».
*) «Обозрение преподавания чистой математики на 1825—
1826 год» (М од з ал е вс кий, стр. 205).
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО-----145
Прекрасным образцом такого построения как раз и яв
ляотся учебник геометрии Лобачевского, распадающии
па следующие основные части:
1. Измерение прямых линий, градусное измерение дуг
и углов. Вся эта часть не зависима от V постулата.
2. Измерение плоских фигур и тел, ограниченных пло-
скостями.
3. Измерение окружности, круга и тел, ограничен-
ных криволинейными поверхностями.
В связи с этим мы напомним читателю о той меткой
терминоло)пи, которой в своё время пользовался акаде-
мик Гурьев, когда он имел в виду различие систем из-
ложения геометрии по Евклиду пли ио плану Даламиера.
Гурьев указывал, что первая строится сообразно «нача-
лам», а вторая сообразно «предметам»1). Следуя этой-
терминологии, мы можем сказать, что Лобачевский дал
новый, третий влд построения, который можно характе-
ризовать как сообразный «роду измерения геометриче-
ских величин».
Такая система изложения приводит ещё к одной су-
щественной особенности, а именно: весь учебник геомет-
рии Лобачевского представляет собою чистый образец
генетического способа изложения учебного материала.
Всё построение, в целом, ставит перед читателем проблему
измерения геометрических величин. Решение последней
зависит от решения ряда частных задач. Как на типич-
ный пример такой задачи можно указать на главу XI:
«Измерение окружности и площади круга».
Проводимое Лобачевским сочетание фузионизма и ге-
нетического способа изложения действительно целесооб-
разно в построении курса обзорного характера, каким
является его учебник геометрии; такое сочетание сообщает
курсу ясность и служит хорошим сродством для воз-
буждения мысли изучающего. Материалы «Наставлений»
показывают, что в нормальном курсе средней школы Ло-
бачевский уже не пользуется принципом фузионизма.
Таким образом, своеобразное построение учебника гео-
метрии явилось плодом глубоких размышлений Лоба-
х) С. Гурьев, Основания геометрии, СПб., 1811, стр. 11.
Историко-матсм. исследования
Ё. М. наГаёва
невского по поводу университетского преподавания начал
геометрии на основе собственных научных исследований.
Преимущественное подчёркивание метрического харак-
тера геометрии, естественно, требовало и более глубокой
арифметизации её. Одним из наиболее характерных при-
меров подобной арифметизации в учебнике Лобачевского
является данное им определение угла. В современной
Лобачевскому учебной литературе определения угла сво-
дились в основном к следующим двум:
1. Угол есть наклонение или разность направлений
двух пересекающихся прямых (Евклид, Безу, Лежандр,
Осиповский).
2. Угол есть часть плоскости, заключающаяся между
двумя пересекающимися прямыми (Буссе, Лакруа).
У Лобачевского «углом называется выраженная в
градусах дуга между двух сходящихся линий прямых,
описанная из точки пх пересечения»1). Таким образом, у
Лобачевского угол есть мера поворота, т. е. число. Такой
же числовой характер имеет и телесный угол: «Поверх-
ность шара, подобно кругам, разделяется на 400 равных
частей плоскостями, проходящими через один попереш-
нпк. Сип части называются градусами п подразделяются
на десятые, сотые п т. д. (Лобачевский пользуется деся-
тичным делением окружности.—В. Н.). Часть поверх-
ности шара, вырезанная плоскостями, проходящими че-
рез центр, и которой величина назначается в градусах,
называется телесным углом»2).
Перейдём теперь к рассмотрению причин второго рода,
объясняющих «темноту» в курсах геометрии, о которых
говорит Лобачевскпй в «Обозрениях» на 1825—1826 г.
Основной из этих причин Лобачевскпй считал «идеаль-
ность», под которой он понимал отвлечённость и отрыв
теории от практических задач.
Эта причина чаще всего, по мнению Лобачевского,
объясняет «темноту», встречающуюся в изложении те-
ории измерения прямой линии, длины кривой п величины
Э Н. И. Лобачевский, Геометрия, Полное собрание
сочинений, т. II, Гостехиздат, 1949, стр. 47.
2) Там же, стр. 58.
пгпагогические взгляды н. и. ловачевСКОГО^
кривой поверхности. «Для избежания сс™ J’?’
стп,—пишет он,—надобно следовать двум правилам. 1
математика имеет целпю действительное измерение ве-
щей а посему не должна итти далее, нежели сколько
того> требуют чувства; 2-с—понятия, которые имеют ме-
сто в отношении только к некоторым предметам, могут
быть произвольно распространяемы и на прочие, лишь
бы они имели в виду средства, которые употребляются
в измерении на самом деле»1).
Тот способ измерения прямой линии, который дастся
Лобачевским в его учебнике геометрии, следует первому
его правилу. Отношение двух отрезков для пего всегда
есть число; и притом для Лобачевского задача всегда
состоит в том, чтобы выразить его—точно пли прибли-
жённо—рационально. В случае несоизмеримости оно вы-
ражается непрерывной дробью с любой точностью. Ирра-
циональные числа, или, как их Лобачевский называет,
«искусственные чпела», существуют, по его мнению, «толь-
ко в знаках аналитики, а не в природе. Вот почему,—
продолжает он,—я всегда почитаю бесполезным толко-
вать о несоизмеримости, учение сухое, совершенно лиш-
нее для аналитики и пе нужное в применениях сё, естьли
следовать тому способу, которой я избрал для моего препо-
давания» 2). В этом замечании Лобачевского, высказанном
на основе современного ему уровня научных представле-
ний о числе выражен его основной дидактический приём:
исходить в преподавании пз того, что для учащегося про-
сто и ощутительно и что может оправдывать себя в прак-
тических применениях, а не в погоне «за воображаемой
какой-то строгостпю».
Самый способ приближения, которым пользуется он
в случаях несоизмеримости, близок к приёму современ-
ной учебной практики, определяющему иррациональное
число как общий предел двух последовательностей при-
лижёнпых рациональных значении.
Второе правило сводится, по существу, к нсобходи-
_22Т1^Р1’МС11Сппн теории пределов в измерении кривых.
182с ^«Обозрение преподавания чистой математики па 1825 —
2х (М ° Д з а л е в с к и й, стр. 205).
J «Обозрение» на 1924—1925 г. (М о д з а л е в с к и й, стр. 184).
10*
148
В. М. НАГАЕВА
Здесь Лобачевскпй приближается к современному по-
ниманию этого вопроса. Без теории пределов — этого
важнейшего метода в математике—невозможно никакое
сколько-нибудь серьёзное и научное изложение вопросов
метрик^!. Однако не только сознание необходимости те-
ории пределов, но и те способы, которые указываются
Лобачевским, очень близки к современным. Так, в тех
же «Обозрениях преподавания чистой математики на
1825—1826 г.» он пишет: «... Величина кривой линии
в отношении к прямой нс может быть понимаема так,
как мы понимаем величину прямых линий в отношении
друг к другу; но что мешает согласно с практикою разу-
меть под длиною кривой линии сумму тех прямых, кото-
рые будут поставлены вместо частей кривой линии с тем
условием, чтоб почитать сию сумму за длину кривой ли-
пни тем строже определённую, чем части кривой будут
взяты мепее? Такое измерение не могло бы ни к чему слу-
жить как в теории, так и в практике, если б с уменьшением
частей кривой длина её не подходила постепенно ближе
и ближе к известной границе, которая и должна быть
почтена за истинную длину; не потому однакож, чтоб
кривая линия допускала понятие о длине её, по потому,
что действительное измерение должно как можно бо-
лее приближаться к сей границе» х).
Эта идея нашла своё выражение в учебнике геометрии
Лобачевского, где площадь круга, в отличие от боль-
шинства других руководств, определяется на основе по-
следовательного применения теории пределов.
Одним из труднейших вопросов геометрии является
доказательство леммы о равновеликости пирамид. В учеб-
никах геометрии первой половины XIX в., исключая
учебное руководство С. Гурьева, доказательство этой
леммы сводилось в основном к двум способам; применению
принципа Кавальери или приведению к абсурду. Л оба
невский не удовлетворяется этим. Первый способ вле-
чёт за собой допущение, лишнюю аксиому, что не было
в духе Лобачевского; способа приведения к абсурду он
также заметно избегает, поэтому и данный случай он
’) Модзалевский, стр. 206.
педагогические взгляды II.
И. ЛОБАЧЕВСКОГО 149
особо оговаривает: «Для измерения пирамид^надобно.при-
бегать к способу пределов, как един твеннОх у, Д
ющему в себе ясность п строгость» ).
Последовательное осуществление этой идеи мы нахо-
дим в учебном руководстве С. Гурьева, который в при-
менении теории пределов видел основу строгости в из-
ложении соответствующих глав 2) и в этом смысле оп
был как бы предшественником Лобачевского. Однако ме-
тод доказательства указанной леммы, равно как и опре-
деление площади круга у Лобачевского совершенно свое-
образны и отличны по своей простоте и изяществу от
изложения этих вопросов у Гурьева.
Лобачевский считал, что в университетском препода-
вании начал геометрии необходимо прибегать и к анали-
тическому способу, для того «чтоб сделать преподавание
одинаковым и приучить к нему заранее» 3). Поэтому дока-
зательство упомянутой леммы, так же как и определение
объёма шара и его частей, у Лобачевского представляют
собой, по существу, элементарное интегрирование; и здесь
нельзя не отметить педагогической целесообразности в ре-
шении Лобачевским вопроса о способах измерения про-
странственных фигур в преподавании начал геометрип.
То же подчёркивание метрических задач геометрии-
и необходимости приближения преподавания её к жизни
находим мы и в «Наставлениях»: «Главная цель, кото-
рую надобно предположить в преподавании геометрип,
будет та, чтобы дать общие правила для измерения...
Давая общие правила для измерения, надобно соглашать
их с топ целью, для которой они должны служить, т. е.
для измерения на самом деле» 4). Эта несколько односто-
ронняя точка зрения на задачи преподавания геометрии,
распространявшаяся Лобачевским в педагогических кру-
гах, имела в то время большое прогрессивное значение:
°на являлась сильным средством в борьбе со всё нарас-
0 Мод за л евскп й, стр. 20G.
(Предис* Шурьев, Основания геометрии, СПб., 1811, стр. IX
3) «Обозрение преподавания... на 1824-1825 год» (Модза-
1е®ский, стр. 174).
СтР 557ТруДЫ ИнстптУта истории естествознания», т. II, 1948,
150
В. М. НАГАЕВА
тавшей тенденцией официальных кругов к насаждению
классицизма в образовании.
Но в первоначальном обучении геометрии Лобачев-
ский уже не считал целесообразной ту фузионпстскую
систему построения геометрии, которую он предпочёл
в обзорном курсе. Рекомендуемая им в «Наставлениях»
система расположения учебного материала «начинается
с измерения прямых линий помощью прямой и с измере-
ния дуг круга помощью целой окружности. Затем следует
учение об углах и об относительном положении прямых
линий. Здесь самую главную статью составляет учение
о параллельных, которое не везде может быть строго, но
должно убеждать только ощутительностью истины и про-
стотою предположения, хотя и произвольного» г).
В школьном курсе геометрии Лобачевскпй проводил
то деление на лоигиметрпю, планиметрию и стереомет-
рию, которое упомянул во вводной части своего учеб-
ника, но которому здесь не последовал, заменив его соб-
ственной схемой. Учение о параллелях рассматривается
здесь в плане относительного положения прямых. Тем
более пот здесь уже никакого упоминания о понятии
«прикосновения». «При вступлении в геометрию,—пишет
Лобачевский в «Паставленпях»,—надобно довольствовать-
ся томи понятиями, которые получаем о них [геометри-
ческих величинах], прямо помощью чувств без всяких
дальнейших исследований и постороннего пособия. Эти по-
нятия просты и на них основанные истины ощутитель-
ны»* 2). Однако это требование доступности отнюдь не влек-
ло у Лобачевского ослабления математической строгости.
Не простое сообщение геометрических фактов имеет
он в виду, а вывод пх «помощью геометрического рассу-
ждения». При этом он предупреждает о том, что «важно,
не погрешая против математической строгости, дока-
зывать справедливость всех общих положений...» 3).
Если в университетском курсе оснований геометрии
Лобачевский сравнительно широко пользовался сред-
г) «Труды Института истории естествознания», т. П, 1948,
стр. 557.
2) Там же.
8) Там же.
_ „ ЛОБАЧЕВСКОГО 151
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ^----------
рпепней школы он огранпчп-
ствами анализа, то в курсе Р ь круГОм геометрических
вал применение п0СЛеДнеГ°еНПЯМ первой п второй степени:
задач, приводящих к урав должно состоять толь-
«Применение алгебры к Д второ„
тех^адТгеометрическпх, которые могут быть полезны
ГиХ дая всякого. Для таких случаев нужно давать
геометрическое решение»*). Таким образом, изложение на-
чал геометрии здесь исключительно синтетическое. В пись-
ме к Мусину-Пушкину, на которое мы ссылались уже по
раз, Лобачевский писал по этому поводу следующее:
«Лучше, по моему мнению, когда за арифметикой следуют
начала геометрии, как такой части, которая по своей
ощутительности в истинах с пособием чертежей легко
приспособляется к понятию первого возраста. Вообще
надобно различать способ синтетический, как необходи-
мый в началах математики, п такой способ оставлять
преимущественно для младшего возраста, тогда как спо-
соб аналитический, отвлечённый годится только в выс-
ших классах» 2).
Возвращаясь к тому комплексу идей, который был
высказан Лобачевским по поводу преподавания начал
геометрии в его университетских программах, мы обра-
тим внимание на чрезвычайно существенное обстоятель-
ство: современные ему идеи в области преподавания геомет-
рии были подвергнуты Лобачевским переработке с точки
зрения его собственных геометрических исследований.
Прежде всего, исследования в области учения о па-
раллелях привели его к мысли о необходимости значи-
тельно более глубокого изменения в системе и располо-
жении учебного материала,—мысли, получившей своё
осуществление в его учебнике геометрии.
Первый шаг в этом направлении представляло собой
отделение теорем абсолютной геометрии от положений,
основанных па V постулате. Достоверность последних
положений покоится на таком соглашении, которое, по
выражению Лобачевского, «должно убеждать только ощу-
*) «Труды Института истории естествознания», т. II, 1948,
С1р. 557.
2)JD. 92, арх. 5186, 1841 г., лл. 34-35.
152
В. М. НАГАЕВА
тительностыо истины и простотою предположения, хотя
и произвольного». Применение фузионпзма в системе из-
ложения, как неизбежное следствие такого разграничения,
в свою очередь, допускало расположение геометриче-
ского материала в соответствии с родом измерения геомет-
рических величин, что подчёркивало с большей опреде-
лённостью метрический характер начал геометрии. По-
добное расположение материала в обзорном курсе, каким
являлся учебник, сообщало ему ту логическую ясность,
какую имел в виду Лобачевский в своих «Обозрениях».
Всюду подчёркиваемая Лобачевским точка зрения прак-
тики сочеталась у него с требованием строгости и науч-
ности доказательств, что служило, в свою очередь, осно-
ванием для последовательного применения теории пре-
делов в вопросах измерения.
Как «Обозрения» Лобачевского в части, касающейся
преподавания геометрии, так и его учебник геометрии
представляют, прежде всего, научный интерес, связанный
с историей развития его геометрических идей. Педагоги-
ческое же значение этих сочинений заключается в поста-
новке таких существенно важных вопросов, какими
являются, например, вопрос о возможности применения
принципа фузионпзма, о путях и средствах в достижении
логической ясности при изложении учебного материала,
о необходимости связи теории с практикой и, наконец,
о научности и строгости в преподавании математики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Переходя к общей оценке педагогических воззрений
Лобачевского и значения его педагогической деятельно-
сти в истории русского образования, мы должны отметить
следующие моменты. Лобачевский был убеждённым сторон-
ником просвещения широких масс народа и вёл неустан-
ную борьбу за эти идеи. Главное средство такого просвеще-
ния он видел в школе, основанной на демократических
началах. Задача такой школы, по мнению Лобачевского,
должна состоять не только в развитии умственных способ-
ностей ребёнка, но и в нравственном воспитании его на
идеях общественного служения своему народу и совершен-
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВЗГЛЯДЫ Н. Ц. ЛОБАЧЕВСКОГО 153
ствования собственной личности. Воспитание должно осу-
ществлять не с помощью грубой казарменной муштры и не
средствами формального начётничества, а положив в ос-
нову его индивидуальный подход к детям и хороший,
достойный подражания пример.
Оставаясь в своих социальных воззрениях на пози-
циях просветительства, Лобачевский, как подлинный уче-
ный, рассматривал науку и человеческое познание с по-
зиций материализма. Он нс мыслил умственного образо-
вания юношества иначе, как на реалистически жизненной
и научной основе. С исчерпывающей для своего времени
полнотой и на материалистической основе он разрешил
ряд важнейших дидактических и методических проблем:
о форме и содержании знаний, о значении целенаправлен-
ности и интереса в процессе обучения, о систематичности
и научности в преподавании, об индивидуализации его
и о воспитывающем обучении.
Материалистические взгляды Лобачевского позволили
ему преодолеть распространявшееся в то время влияние
идеалистической педагогики кантианства. Его руковод-
ство делом просвещения в Казанском учебном округе спо-
собствовало укреплению материалистических тенденций
в развитии русской педагогики. Понятно, что система
его педагогических воззрений шла в разрез с установками
официальной педагогики сословно-крепостнического го-
сударства, с её ориентацией на воспитание религиозного
мировоззрения и верноподданнических чувств.
Наиболее существенные черты педагогических воззре-
ний Лобачевского были глубоко самобытны. Они сло-
жились в ходе его научно-педагогической ц обществен-
ной деятельности, в столкновении с противоречивыми
тенденциями его эпохи. И тот факт, что Лобачевскпй в
своей практической работе в области народного просве-
щения оказался на стороне прогрессивных сил русского
° щества и энергично способствовал их укреплению, ха-
рактеризует его как замечательного деятеля в развитии
Русской культуры.
О ТЕОРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
У ЛОБАЧЕВСКОГО
Н. Д. Беспамятных
«Алгебра или вычисление конечных» (Казань, 1834)
великого русского математика Н. И. Лобачевского неза-
служенный! образом привлекала до недавнего времени
мало внимания. Уже более полувека назад А. II. Богу-
славский указал, что при построении основ арифметики
Лобачевский во многом предварил позднейшие исследо-
вания Гельмгольца, но и после издания брошюры Богу-
славского «Аксиомы арифметики по Гельмгольцу и Ло-
бачевскому» (М., 1894) к «Алгебре» Лобачевского почти
не возвращались. Весьма краткие характеристики этого
замечательного сочинения даны были только в некоторых
книгах А. В. Васильева и в биографии Лобачевского, на-
писанной В. Ф. Каганом. Подробнее рассмотрена была
«Алгебра или вычисление конечных» в предисловии
Н. Г. Чеботарёва к IV тому Полного собрания сочинений
Лобачевского, в котором «Алгебра» была впервые пере-
издана (1948), и затем в статье А. П. Юшкевича п И. Г.
Башмаковой, опубликованной во II выпуске «Историко-
математических исследований» (1949). В последней рабо-
те была рассмотрена и теория основных арифметических
операций, содержащаяся в первых главах «Алгебры».
Более детально разобрана была в статье А. П. Юшкевича
и И. Г. Башмаковой теория операции над числами нату-
ральными и рациональными положительными. Действиям
над числами относительными авторы посвятили немного
места1). В настоящей статье мы поставили перед собой
а) См. «Историко-математические исследования», вып. II,
Гостехиздат, 1949, стр. 100.
о ТЕОРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ У ЛОБАЧЕВСКОГО 155
задачу подробнее осветить теорию отрицательных чпсел
у Лобачевского.
Взгляды Лобачевского па понятие отрицательного чи-
сла п на систему отрицательных чисел в учебном руковод-
стве были высказаны в период ожесточённой борьбы
мнений о природе этих чисел и пх роли в математике.
Коши в 1821 г. писал: «Было много споров о сущности
количеств положительных и отрицательных и относи-
тельно пх есть несколько различных теории» 1).
В учении об отрицательном числе в XIX веке можно
выделить два основных направления, корпи которых ухо-
дили, впрочем, в XVI XVII вв. и даже далее. Согласно
одному из них, отрицательные числа суть только символы,
лишённые реального смысла. Среди сторонников этого
направления, которое позднее нашло поддержку у Л. Кро-
некера (1888), имелись даже учёные, склонявшиеся к
мысли, что отрицательные числа вообще следовало бы
исключить из математики. Считая все наличные опре-
деления отрицательных чисел нелепыми п не видя путей
к обоснованию правил знаков, эти учёные по внесли ка-
ких-либо новых конструктивных предложений и заняли
в вопросах теоретической арифметики крайне реакцион-
ную позицию. На рубеже XVIII и XIX вв. эго направле-
ние было представлено довольно многочисленными мате-
матиками,—в Англии, например, Ф. Мазером, У. Френ-
дом и др. 2).
К Другому направлению принадлежали учёные, для
которых отрицательные числа являются действительно
существующими числами, но качественно отличными от
положительных. Лобачевскпй, в согласии с его общими
материалистическими воззрениями па природу мате-
матики и её понятий, являлся одним из самых ярких сто-
ронников именно этого передового направления. Он
с полной ясностью высказался в этом смысле, когда
Сп О* Кеш и, Алгебраический анализ, изд. 1864, стр. 375.—
р. также «Курс чистой математики» Бсллавсла в пер. И. Пого-
рельского, стр. 9.
lib rU с а п 1 ° г, Vorlesungen uber Geschichte der Mathema-
т. 1V, Лейпциг, 1908, стр. 86—87.
156
Н. Д. БЕСПАМЯТНЫХ
писал, что число «приобретает новое качество от знака,
подразумеваемого впереди» г).
Наиболее распространённые в XVIII в. формальные
концепции отрицательных чисел были следующие:
1. Отрицательное число есть число, меньшее,чем ничто.
Это определение, восходящее через Ньютона к Штпфелю,
держалось около 300 лет.
2. Положительные числа суть те, которые прибавля-
ются, отрицательные же—те, которые вычитаются. В
этом смысле относительные числа назывались противо-
положными. Здесь относительные числа рассматривались,
таким образом, в их оперативном значении.
3. Отрицательное число есть символ разности, когда
вычитаемое больше уменьшаемого 1 2).
Практически часто дело обстояло так, что авторы,
давая одно определение, явно пли молчаливо употреб-
ляли другие.
В построении строгон теории отрицательных чисел
камнем преткновения явилось «правило знаков», ко-
торое математики стремились доказать, не отдавая себе
ясного отчёта в посылках доказательства. На протяже-
нии 150 лет эти «доказательства» переходили пз одного
учебника в другой с незначительными вариациями. Широ-
ко распространёнными были доказательства Клеро (1746)
и Лапласа (в лекциях в Нормальной школе, 1795 г.) 3).
Уже в конце XVIII в. встречается критическое отно-
шение к этим доказательствам. Так, например, Френд
(1796) заметил, что у Клеро знак минус означает опера-
цию вычитания, а вычитание при отсутствии уменьшаемого
1)Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений,
т. IV, Гостехиздат, М.—Л., 1948, стр. 31.
2) Л. Карно говорил об отрицательных числах, как о симво-
лах фиктивных разностей («Размышления о метафизике исчисле-
ния бесконечно малых», пер. II. М. Соловьева, иод ред. А. П. Юш-
кевича, ГТТП, М.—Л., 1936, стр. 267).
3) Клеро исходил из равенства (а—Ь) (с—d)=ac—Ъс—ad-\-bd,
верного при c^-d\ считая это равенство верным при любых
a, bt ct d и полагая в нём a=c—d, он получал, что (—Ь) (—d)= + bd.
Лаплас «доказывал» правило знаков так: известно, что (—а)
(+Ъ—Ь)=0 и что (—а) ( + &)=;—аб; следовательно, (—а) (—Ь)
должно быть равно+ab.
О ТЕОРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ У ЛОБАЧЕВСКОГО 157
не имеет смысла; поэтому не имеет смысла и произведе-
ние (—д) ’ (—^)*
Один мало известный автор Ф. Д. Порро (1784) вы-
сказал даже—правда, в недостаточно отчётливой форме
ту мысль, что различные правила знаков могли бы поро-
дить различные виды алгебраического исчисления ).
Несомненно, что Лобачевский превосходно понимал
трудности, связанные с доказательством «правила зна-
ков» п поэтому не пошёл по традиционному пути. Он не
воспроизводил известные доказательства и не строил
новые, а ввёл правило знаков с помощью определения.
Тем самым он решил вопрос в современном научном
смысле и снял трудности, смущавшие математиков в
течение столетий.
При этом, как мы увидим, изложение теории отрица-
тельных чисел у Лобачевского представляло значитель-
ный шаг вперёд в научном и методическом отношениях
в сравнении с изложением этого вопроса не только у его
современников (например, Коши), но и у многих поздней-
ших математиков.
Мы рассмотрим сначала методы изложения отрица-
тельных чисел в других руководствах начала XIX в.,
ограничиваясь освещением только тех вопросов, которые
особо выделялись самими авторами: способа введения
и определения отрицательных чисел, правила знаков и
интерпретации отрицательных чисел.
Введение отрицательных чисел по большей части объ-
яснялось необходимостью расширить операцию вычита-
ния, сделать её выполнимой во всех случаях. Оно осу-
ществлялось двумя путями: 1) при систематическом изло-
жении арифметических операций, непосредственно за оп-
ределением операций вычитания (случай, когда вычита-
емое больше уменьшаемого, приводит к понятию отри-
цательного числа); 2) при решении конкретной задачи,
сводящейся к простому уравнению первой степени; усло-
вие задачи составлялось так, чтобы решение было отри-
цательным числом. Этому решению давалась конкретная
интерпретация и ставился вопрос о необходимости изу-
г) М. Canto г, цит. соч., т. IV, стр. 85.
158
Й. Д. БЕСПАМЯТНЫХ
чения такого рода чисел. Правило знаков рассматрива-
лось в качестве теоремы.
Поскольку «Универсальная арифметика» Эйлера (1768)
в начало прошлого столетия ещё широко применялась
в педагогпчсскои практике, то рассмотрим сначала из-
ложение некоторых вопросов этого раздела по Эйлеру.
Отрицательные числа вводятся непосредственно за опре-
делением операции вычитания. Определение пх выра-
жено в следующей развёрнутой форме: «в Алгебре числа
с их предстоящими знаками обыкновенно как простые
величины рассматриваются: и которые имеют пред собою
знак+называются избыточными или положительными-,
которые же сопровождены знаком—именуются недостато i-
ными или отрицательными^ *)•
Смысл сказанного поясняется на примере долга п на-
личной суммы денег * 2). «Поскольку отрицательные числа
почитать можно за долги, когда положительными числа-
ми означаются действительные имения, то можно сказать,
что отрицательные числа суть менее, нежели ничто».
О значении отрицательных чисел сказано: «Спе поня-
тие о отрицательных количествах тем наипаче примеча-
ния достойно, что опое во всей Алгебре есть крайней важ-
ности» 3).
В изложении правила знаков Эйлер сперва рассма-
тривал умножение—а на целое положительное число,
как сокращённое сложение, затем автоматически распро-
странял результат на (—а) (-{-&)=—ab и, скрыто подразу-
мевая свойство переместительности, утверждал, что это—
то же самое, что и —Ьа. При перемножении (—а) (—Ь)
он принимал, что: 1) произведение «в рассуждении букв
!) «Оснований алгебры Леонарда Эйлера части первой первые
три отделения, переведённые с французского языка на Российский,
со многими присовокуплениями, Василием Биско патовым, Академии
Наук Екстраордпнарпым Академиком», т. 1, СПб., 1812, стр. 9.—
Известный гимназический курс Н. Фуса (1812) являлся лишь
сокращением курса Эйлера.
2) Этой интерпретацией, восходящей ещё к древним индусам,
пользовались почти все авторы учебников. «Алгебра» Лобачевского
принадлежит к числу немногих исключений: в ней нет никакой
конкретной интерпретации отрицательных чисел.
3) «Оснований алгебры...», стр. И.
о ТЕОРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ У ЛОЁАЧЕВСКОГО 159
будет аЬ», 2) (—а) (—Ь) не может быть равно (—а) (+^)==
——ab и потому (—а) (—Ъ) =4-^61).
Лакруа к понятию отрицательною числа приходил
из решения уравнений; правило знаков доказывал по
Лапласу. Следуя Лакруа, Бурдон вводил понятие об от-
рицательном число при решении линейного уравнения
первой степени, рассматривая такое число в форме разно-
сти с вычитаемым, большим уменьшаемого. В трактовке
отрицательного решения Бурдон следовал за Л. Карво,
говоря, что оно выражает собой «невозможность удовле-
творить вопрос»:
«Всякая отрицательная величина, найденная для не-
известной в вопросе первой степени, означает несообраз-
ность в условиях вопроса, пли по крайней мере в уравне-
нии, которым выражен этот вопрос» 2).
Как и Карно, Бурдой отрицал реальный смысл поня-
тия об отрицательном числе: «В Арифметике и Геомет-
рии мы рассуждаем о предметах, действительно суще-
ствующих, которые разум легко постигает, между тем
как в Алгебре большей частью рассуждения и действия
бывают о предметах воображаемых пли о знаках, выра-
жающих невозможные действия» 3).
О выводе правила знаков по Клеро Бурдон верно за-
мечал, что: «В доказательстве (§ 17) для умножения дву-
членных количеств а—Ь и с—d, очевидно, полагается
а>6 и с>(/. В противном случае эти рассуждения не пред-
ставляли бы точного смысла...» И, тем не менее, он поль-
зовался этим доказательством, опираясь, как и Клеро,
на совершенно произвольное утверждение, что правило,
выведенное для случаев tz>6, c>d, остаётся верным для
любых чисел4).
Особый интерес, понятно, должно представлять изло-
жение Коши (1821). Он принимает следующую концеп-
цию, способную, по его мнению, устранить все затрудне
ния, связанные с понятием отрицательного числа: «11 о-
*) «Оснований алгебры...», стр. 18.
Изи 9 о У Р Д 0 н’ Алгс’бра> Иср. с 8-го французского издания.
\ г испРавленное, СПб., 1844, стр. 69-70.
J “УРДОп, Алгебра, стр. 79.
1 1ам же, стр. 73.
460
Н. Д. БЕСПАМЯТНЫХ
добно тому, как пз измерения величин рождается идея
о числе, так точно, рассматривая всякую величину дан-
ного рода как долженствующую служить для увеличения
или уменьшения другой определённой величины того ;ке
рода, мы получаем понятие о количестве (положительном
или отрицательном). Чтобы выразить его назначение, пред-
ставляют величины, служащие для увеличения, посред-
ством чисел с знаком (+), а служащие для уменьшения,
посредством чисел с знаком (—)» х).
Эта интерпретация относительных чисел не является
оригинальной; ею пользовались и до Коши, например,
А. Кестнер (XV1I1 в.), Г. Клюгель * 2).
Далее, по соглашению, устанавливается, что
+ (+Л)= +А; + (-А) = -А;
-(4-А)= - А; ~(-А) = +А.
«В каждой пз этпх формул знак при второй части есть
то, что называют произведением знаков первой части.
Перемножить знаки между собой, значит составить их
произведение».
Приняв эти условия, автор не свободен от мысли до-
казать правило знаков и формулирует теоремы: «Произ-
ведение двух одинаковых знаков всегда (+), а произве-
дение двух различных знаков (—)». Этот факт говорит
об отсутствии логической стройности в изложении теории
отрицательных чпеел. Далее следует ещё ряд теорем, из
которых одна выражает коммутативный закон умноже-
ния. Доказательство её отсутствует.
Отрыв знаков от чисел, возведение знаков их в само-
стоятельные математические сущности и утверждение опе-
раций, собственно, не над числами, а над знаками, логи-
ческая непоследовательность—таковы были основные не-
достатки изложения Коши.
Лефебюр де Фурсп также подводил читателя к по-
нятию отрицательного числа, отправляясь от решения
задачи, и в заключение делал вывод: «Если в каком-либо
J) О. Коши, Алгебраический анализ, 1864, стр. 375 и след.
2) G. S. К 1 u g е 1, Mathematisches Worterbuch, т. 2, 1802»,
стр. 104.
о ТЕОРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ У ЛОБАЧЕВСКОГО 161
вычитании, вычитаемое более уменьшаемого, то услови-
лись меньшее число вычитать из большего, и означать
это изменение порядка знаком «—», поставляемым перед
остатком. Эти-то количества, употребляемые отдельно
и сопровождаемые знаком «—», называются отрицатель-
ными» г). ..
Де Фурси указывал на недостаточность определении
операций, данных для чисел положительных: «Пока мы
рассматриваем одни положительные количества, арифме-
тические положения дают точное и полное понятие о ка,к-
дом действии; по при количествах отрицательных опреде-
ления эти делаются недостаточными»; например, выраже-
ние (4-5) •(—7) не имеет смысла в рамках прежних опре-
делений. Вопрос ставился правильно, но решал его автор
неверно. Произведение 4-5 на —7 имеет, по до Фурси,
знак — на том же основании, как и произведение —7
na-f-5. Несмотря па это, изложение Фурси в идейном отно-
шении примыкало к курсу Лобачевского. Основная идея
его заключалась в отказе от традиционного изложения
правила знаков и в трактовке его как определения.
В другом распространённом «Курсе чистой матема-
тики» Беллавена отрицательные числа определялись как
условные знаки разностей, когда вычитаемое больше умень-
шаемого. Это — недействительные числа: они не удовле-
творяют понятию числа.
Пх употребление в математике мотивировалось сле-
дующим образом: «Посредством таковых знаков, во-пер-
вых, сокращаются Алгебраические выражения, и, следо-
вательно, ускоряется самый механизм вычислений; а во-
вторых, как впоследствии увидим, доставляется всеобщ-
ность как вычислениям, так и самым выводам и правилам
Алгебраическим, что составляет одно из главных пре-
имуществ Алгебры»2). В главе об «Умножении» доказы-
«Алгебра Лефебюра де Фурси, переведённая с француз-
пмуГ° С° ВТОРОГО издания) А. У. со многими дополнениями, из кото-
°ДНП,^2Ятавлсны переводчиком, а другие взяты из различных
курсов», 1836, стр. 15—16.
лэнрмя*Курс чистой математики, составленный но поручению Бел-
и BvnnnЛР лССОрамИ матсмат11КИ Алезом, Билли, Пюисеаном
П гтЛ°’ С ФРанД- со многими переменами и дополнениями перевёл
горельскпй», Издание второе, 1836, стр. 7—8.
Историко-матем. исследования
162
Н. Д. БЕСПАМЯТНЫХ
валась общепринятым в то время способом справедливость
формулы (а—Ь) (с—d)=ac—be—ad-\-bd, откуда делалось
заключение о знаках произведений пз двух сомножителей
с одинаковыми и различными знаками.
В наиболее распространённом в начале XIX в. англпй-
ском учебнике алгебры Дж. Вуда *) вовсе отсутствовали
какие-либо новые и оригинальные идеи в изложении тео-
рии отрицательных чисел.
Наконец, в известном немецком учебнике М. Ома * 2)
положительные и отрицательные числа рассматривались
как символы специальных случаев сложения и вычитания,
а именно: 0+а = + «, 0—а=—а. Правила сложения и вычи-
тания относительных чисел непосредственно вытекали из
их определения. Умножение рассматривалось как новая
операция и определялось через произведение целого
положительного числа на разность двух целых и поло-
жительных чисел (или наоборот), равное разности двух
уже обыкновенных произведений.
Перейдём к изложению теории отрицательных чисел
в «Алгебре пли вычислении конечных» Лобачевского. От-
носительным числам Лобачевский посвящает три главы.
В противоположность многим другим авторам, относи-
тельные числа он вводит строго формально, зато вся тео-
рия строится чрезвычайно просто. Понятие об отри-
цательном числе возникает из допущения возможности
сделать операцию вычитания всегда выполнимой. По
этому глава II «О положительных и отрицательных» непо-
средственно следует за рассмотрением действий сложе-
ния и вычитания в главе 1 и начинается словами: «Чтоб
сделать правила для счёта чисел более общими, перед
всяким числом придумали воображать плюс или ми-
нус»3).
Лобачевский правильно п глубоко понимал понятие
относительного числа («коликого»): «В Алгебре позво-
J) James Wood, Elements of algebra, 1810.
2) M. О h m, Versuch eines vollkommcn konsequenten System
der Mathematik, 1822.
3) H. II. Лобачевский, Полное собрание сочинений,
т. IV, 1948, стр. 37. В дальнейшем при ссылках на этот том ml! будем
указывать в тексте статьи лишь номера страниц.
о ТЕОРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ У ЛОВАЧЕВСКОГО 163
ляется число, называть коликам, когда 0110 и
новое качество от знака, подразумеваемое 1 ’
рассматривается с ним нераздельно» (cip. )•
В противоположность Коши (да и другим математи-
кам), Лобачевский в этом определении подчёркивал, как
основное в новом понятии, единство, нераздельность
числа и знака. Знак придаёт числу определённое каче-
ство, поэтому нельзя их рассматривать раздельно.^ Выра-
жение «перемножить знаки» (Коши и др.), таким образом,
по Лобачевскому, не имеет смысла, и оп нигде его не
употребляет.
В toil же II главе Лобачевский формулирует основ-
ные посылки и определения. Эти посылки выражают со-
бой соглашения о соединении двух знаков перед числом,
выступающих—один как знак числа, другой—действия,
в один, и состоят в следующем:
«1). Если перед числом два знака одинаковые, то
ставится плюс.
2). Если перед числом два знака противные, то ста-
вится минус.
Например, пусть а
число, то
4" 4~ #— 4-и;---------а =
4----а = —а;------------\~а= —а» (стр. 37).
Правила сложения и вычитания Лобачевский форму-
лирует так:
«1). Если знаки перед числами одинаковы, то числа скла-
дывать и перед суммой ставить общий знак.
2). Если знаки перед числами разные, а числа неравны,
то вычитать меньшее из большего и перед разностию ста-
вить знак большего.
3). Если знаки перед числами разные, а числа равны,
т° два коликих составляют нуль» (стр. 38).
Из этих определений непосредственно вытекает ком-
мутативный закон для двух относительных чисел, что
и подчёркнуто автором: «Отсюда также видно, что когда
Два коликих соединяются знаками сложения и вычитания,
все равно, которое наперёд ни ставить, лишь бы
и*
164 н. Д. БЕСПАМЯТНЫХ
каждое удерживало свой знак» (стр. 38)г)- О нуле оговорено
особо: «...положительный и отрицательный нуль значит
то же, а его можно отбрасывать, когда он придаётся
или вычитается» (стр. 39).
Далее доказывается теорема, играющая весьма важ-
ную роль в дальнейшем построении теории относительных
чисел; она используется при доказательстве ряда дру-
гих положений. Теорема эта следующего содержания: «Сло-
жение и вычитание двух чисел можно рассматривать как
сложение и вычитание положительных и отрицательных,
принимая все числа положительными» (стр. 39). Из приня-
тых положений она вытекает непосредственно и имеет
то значение, что действия сложения п вычитания отно-
сительных чисел можно заменить действиями над числа-
ми обыкновенными (положительными). Глава заканчи-
вается определением равенства и неравенства «коликих»
и их признаками (колпкпе равны или не равны, смотря
по тому, будет ли их разность равна или не равна нулю), а
также установлением смысла отношений «больше» и «мень-
ше» (а более Ь, если а—b положительно и т. п.). В главе 111
«Сложение и вычитание коликих» Лобачевский обобщает
операцию сложения па любое конечное число слагаемых
и доказывает коммутативное свойство для этого случая:
«Значение суммы всегда одинаково, в каком порядке ни
ставить слагаемые, лишь бы перед каждым сохранился
его знак» (стр. 43).
Это свойство Лобачевский сперва доказывает для трёх
слагаемых, рассматривая все возможные комбинации их
знаков. Он опирается при этом на установленную уже
ранее коммутативность для любого числа положительных
слагаемых и двух относительных, а также на доказан-
ные (на той же стр. 43) равенства
a-\-b—b — a\ а — Ъ + Ь — а.
Затем он распространяет результат па большее число
слагаемых, рассматривая два соседних коликих b и с
9 Коммутативность сложения для положительных чисел Лоба-
чевский доказал в гл. I. Об этом доказательстве см. «Историко-
математические исследования», вьтп. II, стр. 95—96.
о ТЕОРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ У JlOg£lEBCKOrOj£5
л замечая: «Все члены, следующие за b и с, бдения
нпмать в рассуждение, потому что они для *рпрптг
суммы присоединяются после Ъ и с. Слагаемы .. Р д
b и с, приведя в одно, называем а»; после этого все сво-
дится к случаю трёх слагаемых (стр. 45).
Вслед за этим доказывается правило переноса членов
уравнении по другую сторону от знака равенства.
Подчеркнём следующий интересный факт, характери-
зующий остроту логического анализа Лобачевского. 1 з
определении первых двух действий, данных им для отно-
сительных чисел, непосредственно нс видна взаимно об-
ратная связь между этими действиями. Но для положи-
тельных чисел из определения вычитания непосредствен-
но следовало, что уменьшаемое равно вычитаемому, сло-
женному с разностью1). Для относительных чисел Лооа-
чевский выводит это соотношение как следствие из того,
что «в уравнении слагаемые с одной стороны переходят на
другую с противным знаком» (стр. 46). Лишь после этого
определение вычитания делается общим для обеих кате-
горий чисел, что п подчёркнуто автором следующими
словами: «Итак определение вычитания чисел (гл. 1,
ст. 4) распространяется и на колпкие, именно: вычесть
одно коликов из другого, значит найти третье, которое
бы с первым давало второе» (стр. 46).
В заключение анализа II и Ш глав «Алгебры» отме-
тим, что долгое время ещё нигде не встречалось столь
точных и подробных до скрупулёзности доказательств тео-
рем учения об относительных числах и столь тщательно
продуманной системы этих теорем, как у Лобачевского,
ото—одно из наиболее замечательных мест его труда.
Логическая схема рассмотренных двух глав об отно-
сительных числах представляется в следующем виде,
перва аксиоматически определяются правила соедине-
ния двух знаков в один и правила первых двух арифметп
ческих действии (сложение, вычитание), затем вводится
понятие нуля в системе относительных чисел; доказьтвает-
теорема о замене относительных чисел обыкновенными:
пор *®Ычесть число пз другого, значит найти такое третье, кото-
рое с первым даст второе» (стр. 35).
166
Н. Д. БЕСПАМЯТНЫХ
устанавливаются понятия «больше» и «меньше»; нако-
нец, выводятся основные свойства первых двух опера-
ций и теоремы об употреблении скобок (сложение и вычи-
тание многочленов).
В главе IV излагаются действия умножения и деления
относительных чисел.
Операцию умножения Лобачевскпй определяет по Ла-
круа и, очевидно, сознавая недостаточную ясность этого
определения («Умножить коликое на другое, значит най-
ти третье, которое бы происходило из первого, как второе
из единицы», стр. 49), подробно поясняет его смысл для
различных значений множителя! целого положительного,
целого отрицательного, дробного положительного и дроб-
ного отрицательного.
Кроме того, Лобачевский особо разбирает случаи:
1 • а=а, а • 1=а, 0 • а=0, а • 0—0.
Последний случай по подходит под определение умноже-
ния, ибо «нуль никак не происходит из единицы» (стр. 50)
путём сложения. Поэтому равенство пулю произведения
а • 0 принимается как в дополнение к общему определе-
нию па том целесообразном основании, что
lim(a«6) 0.
Па такие «мелочи» другие авторы в то время не обращали
внимания, но па них воспитывается понимание матема-
тики!
После этого Лобачевский даёт наиболее полную фор-
мулировку правила умножения, употреблявшуюся и позд-
нее в учебной и научной литературе: «Число в произведе-
нии зависит от чисел в производителях, а знак только от
знаков. Если знаки производителей одинаковы, то произ-
ведение положительное число, а если разные, то отри-
цательное}} (стр. 51).
Это правило Лобачевский поясняет следующим обра-
зом: «Из определения умножения прямо следует, что
число в произведении ire переменится, если переменятся
одни знаки в производителях. Далее, перед числом про-
изведения надобно ставить сперва знак множимого, а
потом знак множителя, потому что эти два знака ставятся
О ТЕОРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ У ЛОБАЧЕВСКОГО 167
перед каждым числом, которых сумма даёт произведение
(ст. ЭД; ио два одинаковые знака перед числом соединяют-
ся в плюс, а два разные в минус (гл. 11, ст. 9)» (стр. 51).
Таким образом, правило знаков при умножении
У «Лобачевского опиралось па постулированное ранее
правило знаков при сложении и вычитании. Преимуще-
ства его изложения перед изложением этого вопроса
у Коши, рассмотренным нами ранее, очевидны.
Деление определяется далее как операция, обратная
умножению, и в связи с этим дастся определенно отноше-
ния и пропорции (стр. 52). Если другие авторы, следуя
Эйлеру, отводили много места теории пропорции, то Ло-
бачевский ограничивается только определением пропорции
в этом месте и больше к ней уже нигде не возвращается х).
Особо оговариваются следующие случаи деления:
а:1 = а, 0:а=0, а: 0, 0:0.
«Когда делитель нуль, а делимое не нуль, то частное
невозможно, потому что пет никакого числа, которое, бу-
дучи умножено па нуль, дало бы в произведении пе нуль»,
что и подтверждается ссылкой па частные случаи умно-
жения. «Частное от деления па 0 означают оо и называют
бесконечно великим. Причина этого названия та, что чем
менее делитель, тем более бывает частное; так что с умень-
шением делителя частное увеличивается беспредельно.
Заметим, однако ж, что со не представляет никакого
действительного колнкого, а название бесконечного ни-
чего общего в понятии с коликпм; тем не мопсе бесконеч-
но великое может быть понимаемо в главном его свойстве,
составляющем определение, также и в прочих, отсюда
уже выводимых, а потому п может быть допущено в вы-
числении. Такого рода величины называются воображав'
мые, в отличие от других — действительных пли истин-
пых. Подобные причины заставляют также принимать
оо:а=оо, оо:0=оо, а:оо=0» (стр. 52—53).
Если в главе I Лобачсвскпй устанавливал единствен-
ность суммы и разности положительных чисел, то теперь
в К Ученпк Лобачевского магистр Н. Юферов читал эту теорию
азанском университете, что видно в одной из его программ.
168
II. д. беспамятных
он для относительных чисел формулирует важную тео-
рему: «Одно только произведение и одно только частное
возможно какого-нибудь числа на другое. То же должно ска-
зать и вообще о коликих» (стр. 55).
Хотя доказательство не отличается безукоризненной
строгостью и тем более прозрачностью, но здесь важна
сама по себе постановка этого вопроса. Как видно, па
протяжении всего изложения автором «Алгебры» руко-
водили идеи, которые только спустя много лет полу-
чили более полное развитие в математической литературе.
Второе свойство умножения, рассмотренное Лоба-
чевским,—коммутативны и закон. Коммутативный закон
умножения целых чисел формулировался в то время во
многих учебниках, но доказательство давалось редко.
И ещё реже давалось относительно полное доказательство;
обычно же оно заключалось в двояком способе подсчёта
числа единиц произведения двух определённых чисел,
расположенных в прямоугольную таблицу.
Доказательство коммутативности умножения у Л оба
невского, развивавшее приём, изложенный ранее для по-
ложительных чисел Лежандром (1798) и восходивший
ещё к «Началам» Евклида, мы рассматривать не будем,
так как оно разобрано в упоминавшейся уже статье
А. П. Юшкевича и И. Г. Башмаковой. Заметим только, что
оно носило достаточно строгий характер и распространи
лось — в отличие от того, как это сделал Лежандр,—па лю-
бые рациональные относительные числа.
Схема построения главы «Алгебры», посвящённой умно-
жению и делению относительных чисел, была такова: спер-
ва вводилось определение умножения, рассматривались
частные случаи умножения; затем — деление и частные
случаи деления; потом разбирались свойства единствен-
ности произведения и частного и основные законы
умножения.
Таким образом, в изложении теории отрицательных
чисел Лобачевский обратил внимание на целый ряд новых
вопросов и, прежде всего, па свойства операций, опре-
делённых для отрицательных чисел. Он ясно сознавал,
что определение относительных чисел требует п опреде-
ления основных операций над ними. Поэтому в идейном
О ТЕОРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
О ТЕОРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ У ЛОБАЧЕВСКОГОДбО
отношении построение теории отрицательных чисел у
бачевского было весьма близко к • оврем 0IIHV
• Курс алгебры Лобачевского представлял соооп од у
из первых в мировой литературе попыток р
начал алгебры на строго логических основаниях, в этом
отношении руководство великого математика знаменов
переход от восходивших к XVII и XVIII вв. нестрогих^
интуитивно-эмпирических методов изложения к логпче
ски точной последовательной форме изложения. этом
состоит основное значение арифметической части курса.
Начало исследований основ арифметики и алгебры
связывалось обычно до сих пор с именами таких матема-
тиков, как М. Ом, Пикок, Гамильтон, Грассман л т. д.
Имя Лобачевского в этом ряду нс упоминается, имя же
Ома значится в числе первых (у Кеджорп, Клейна и др.).
Однако первую работу М. Ома (1822 г.) вообще нельзя
ставить в один ряд с трудом Н. И. Лобачевского. Труд
Лобачевского был неизмеримо выше в научном и методи-
ческом отношении. Заслуживают внимания лишь после-
дующие радикально переработанные издания книг М. Ома,
но они появились уже в конце тридцатых годов, позднее
«Алгебры или вычисления конечных»* 1).
г) Первая работа М. Ома, носившая претенциозное название
«Опыта совершенно последовательной системы математики» (Ver-
such eines vollkommcn konscquentcn System der Mathematik, 1822),
явно была переоценена в иностранной историко-математической
литературе:
1. Курс этот чрезвычайно элементарный во всех своих частях,
правда, с претензией па логическую последовательность.
2. В курсе Ома не отражена идея развития понятия о числе,
м сначала рассматривал все семь арифметических операций над
wn?bIMIf ПОЛО1КИТС,ЛЬ1,1,1МИ числами, затем вводил действия над раз-
ЭТИХ чиссл- Далее следовало понятие дроби и уже после —
не положительного и отрицательного числа.
' °ЧТИ все заключевия (за весьма немногими исключениями)
вводятся догматически, бездоказательно.
операпий°ТЯ Ф°Рмулируст основные свойства арифметических
предстанл Н° °НИ ВХ2Л?Т паРяДУ со многими другими свойствами,
откуда ”ЮЩимп собой простые тождественные преобразования,
автору °’ ЧТ0 11Х Роль’ как основных свойств, не была ясна
б.Опрр Весьма существенный недостаток книги Ома.
ческий хап^СЛСПИЯ аРпФмстлческих операций носят сугубо сим вол и-
рактер. Каждое определение начинается словами: «Это
17() н. Д. БЕСПАМЯТНЫХ
Метод Лобачевского удовлетворял основным элемен-
тарным требованиям аксиоматического метода в при-
менении к конкретным числовым множествам. Вводя тем
пли иным способом операции для новых категорий чисел,
Лобачевский, прежде всего, изучал свойства этих опе-
раций — единственность, коммутативность, дистрибутив-
ность; в программе Юферова значился и ассоциативный
закон. Кроме того, Лобачевский всегда подчёркивал ту
важную мысль, что операции, определённые для новой
расширенной категории чисел, сохраняют силу для преж-
ней. Вопрос об единственности решается для степени
и логарифма. Эти логические устремления, да и самая
схема Лобачевского сохранились в главных чертах своих
и в позднейших построениях теоретической арифметики,—
в частности, в учении об относительном числе.
есть символ вида...», и только после названия компонент, входя-
щих в этот «символ», определяется содержание операции.
Курс Лобачевского был свободен от этих недостатков. Здесь
налицо тот метод изложения, который получил развитие во второй
половине прошлого столетия и оформился как аксиоматический
в применении к конкретным числовым множествам (например,
аксиоматическое изложение отрицательных и дробных чисел).
к ИСТОРИИ «ОБОЗРЕНИИ ПРЕПОДАВАНИЯ
ЧИСТОЙ МАТЕМАТИКИ» II. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
II. II. Бронштейн
1. Два «Обозрения»
Изучающий жизпь и деятельность Лобачовскою
должен подробно остановиться на двух важных доку-
ментах, написанных Лобачевским и опуоликованиых впер-
вые (и единственный раз) Л. Б. Модзалсвским в 1958 г.
Это—«Обозрение преподавания чистой математики на
1824—1825 год»1) и «Обозрение преподавания чистой мате-
матики на 1825—1826 год»2).
Оба «Обозрения» представляют собой планы препо-
давания Лобачевским математических предметов в уни-
верситете, по содержанию близки между собой л написа-
ны по одинаковой схеме: в первом разделе каждого «Обо-
зрения» излагаются общие принципы преподавания мате-
матических предметов, во втором—распределение пред-
метов по курсам, с подробным ого обоснованном, в тре-
тьем—программы преподавания отдельных предметов с
объяснениями по каждому предмету: алгебре (только в
«Обозрении» 1824/25 г.), геометрии, тригонометрии, ана-
литическом геометрии и дифференциальному исчислению.
и «Материалы для биографии II. II. Лобачевского». Собрал
No ДактпР°нал Л. ]>. Модзалсвский. Изд. \Н СССР. Документ
екии)СТР —185- (Б дальнейшем цитируется: М о д з а л е в-
) Л о д з а л е в с к и й, документ А? 244, стр. 201—21G.
172
II. Н. БРОНШТЕЙН
Существование обоих документов, хранящихся теперь
в Центральном Государственном архиве Татарской АССР
(г. Казань), было обнаружено примерно через сто лет
после их написания. В 1930 г. покойный проф. Н. Н. Пар-
фентьев сообщает в своей статье «Натурфилософия Н. И. Ло-
бачевского» *) о «недавно найденных статьях» Лобачев-
ского, приводит из них ряд цитат и говорит, что «обо-
зрения преподавания, составленные Лобачевским за
годы 1824—1826..., дающие нам представление очень яр-
кое о задачах университетского преподавания анализа,
геометрии..., в то же время рисуют нам довольно сильно
взгляды Лобачевского философские и натурфилософские.
Эти манускрипты, являющиеся в сущности объяснитель-
ными записками к тем программам, по коим Лобачевский
вёл свои курсы, поражают читателя своей глубиной:
почти каждая строка носит па себе следы величайшей
гениальности глубоко-проникновенного ума автора»* 2).
Казанское физико-математическое общество предпола-
гало опубликовать эти «Обозрения» в 1941 г. (об этом
было сообщение в газете «Красная Татария») 3), но вто-
рая мировая война и смерть проф. Парфентьева, подго-
товлявшего материалы к изданию, задержали их опубл и
кование.
Помимо того,что «Обозрения» очень ярко характери-
зуют научные, педагогические п философские взгляды
Лобачевского, они представляют особый интерес ещё
и потому, что дата, стоящая в их заглавии, непосредственно
предшествует дню рождения геометрии Лобачевского —
11(23) февраля 1826 г., когда он впервые доложил о сво-
ей гениальной теории параллельных линий. Изучение
обоих «Обозрений», в которых Лобачевский, в частности,
высказывает своё отношение к теории параллельных ли-
!) Н. Н. Парфентьев, Натурфилософия Н. И. Лоба-
чевского. В сборнике «К 125-летию (1804/05—1929/30) Казанского
государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина»
[Казань], 1930, стр. 33—42.
2) Там же, стр. 33—34.
3) «Неопубликованные рукописи II. И. Лобачевского», Беседа
проф. Н. Н. Парфентьева с корреспондентом ТАСС, «Красная
Татария», 9 февраля 1941 г., № 33.
нйй и указывает их место в преподавании курса геоме-
трии, позволяет точнее определить путь, по которому
Лобачевский шёл к своей новой геометрии, точнее устано-
вить дату его великого открытия.
2. Историческая последовательность «Обозрений»
Настоящая статья не претендует па полное исследова-
ние п сравнение этих замечательных документов. Мы
приведём лишь некоторые факты, относящиеся к истории
обоих «Обозрений», затрагивая по существу лишь то
пункты из их содержания, которые связаны с этими фак-
тами. Без знания этих фактов изучающий «Обозрения»
может стать на ложным путь, сравнивая изложение од-
них и тех же вопросов в обоих документах п делая из это-
го сравнения выводы об эволюции взглядов Лобачевско-
го на эти вопросы в течение 1824—1826 гг. Суть же дела
состоит в том, что «второе» «Обозрение» (1825/26 гг.)
было написано Лобачевским раньше «первого» (1821/25 гг.),
именно в 1822 году, т. е. ещё за год до написания Лоба-
чевским своего учебника «Геометрия». Это было устано-
влено следующим образом.
При сверке некоторых изданных Модзалевскпм доку-
ментов — в частности, этих «Обозрений» — с первоисточ-
никами, рукописями Лобачевского, в Центральном государ-
ственном архиве ТАССР, в Казаних), в фонде попечителя
г) «Обозрения» находятся в Архиве, в фонде № 977 (Казан-
ского университета), дела физико-математического факультета
опись 323, арх. дело № 36; «Обозрение на 1824/25 г.» помещено
на лл. 14—21, а «Обозрение на 1825/26 г.»—на листах 1—10. Всё
дело содержит обозрения и программы профессоров и преподава-
телей факультета. Сличение «Обозрений» не установило суще-
ственных отклонений текста, опубликованного Модзалевскпм,
от рукописей. Отметим лишь три ошибки, искажающие смысл.
«Обозрении на 1824/25 г.» на стр. 174 книги Модзалевского
гтпВТРоке СНИЗУ напечатано «сохранит», а в рукописи Лобачевского
в 22Т <‘сокРатит>>- «Обозрении на 1825/26 г.» на стр. 205 книги
«еле СТР°.ке свеРху напечатано «следует», у Лобачевского стоит
У Лоба°Т>>’ На СТР* 213 книги в 10 строке снизу напечатано «если»,
«не бряВСК0Г0 СТОит «или». Явно противоречащие смыслу слова
именно выгод>> на СТР- 1^4 книги Модзалевского (строка 5 снизу)
«не безТЭК написаны п в рукописи,—конечно, здесь должно быть
174
II. Н. БГОНШТЕПН
Казанского учебного округа автором настоящей статьи
было обнаружено дело, содержащее обозрения п про-
граммы преподавания предметов всех факультетов на
1822/23 учебный год 1). Среди различных документов
этого дела в нём имеется и обозрение Лобачевского, на-
писанное писарской рукой с подписью Лобачевского2).
Оно имеет заглавие: «Об обозрении преподавания чистой
математики на 1822/23 год». Текст этого «Обозрения»
слово в слово повторяет текст рукописи Лобачевского—
«Обозрение... на 1825—1826 год».
Этот документ вызвал сначала недоумения. В деле
попечителя Казанского учебного округа была явная ко-
пия, хотя п подписанная Лобачевским, датированная
1822 г., с подлинника, находящегося в деле факультета
п датированного 1825 г. Эта противоестественная последо-
вательность дополнялась ещё тем непонятным обстоятель-
ством, что в промежутке между 1822 и 1825 гг., а именно—
в 1824 г., Лобачевским был написан другой вариант
«Обозрения».
Оба недоумения быстро разъяснились. Внимательное
рассмотрение даты «Обозрения на 1825—1826 год» обна-
ружило, что обе цифры единиц годов «5» и «6» были напи-
саны другими чернилами по выскобленному месту, но
несомненно той же рукой Лобачевского. Стало ясно, что
Лобачевский сначала написал это «Обозрение» в 1822 г.,
копия которого была направлена попечителю. В 1824 г.
оп написал другой вариант «Обозрения», а в 1825 г. ре-
шил вернуться снова к первому варианту и, не перепи-
сывая его, только изменил дату, выскоблив старые цпфры
единиц годов «2» и «3».
Была выяснена и причина такого странного на пер-
вый взгляд поступка Лобачевского. В том же деле попечи-
теля, где находится копия «Обозрения» на 1822—1823 год,
обнаружен отрицательный отзыв на это «Обозрение».
Отзыв этот не имеет ни даты, ни подписи и написаи
в двух экземплярах: оригинал3) с карандашными по-
J) ИГА ТАССР, фонд 92, опись 1, 1822 г., арх. дело № 1546.
2) Там же, лл. 88—102.
3) Там же, лл. 108—110.
ОБОЗРЕНИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ MATEM. Н.П. ЛОБАЧЕВСКОГО 175
правками, главным образом стилистического характера,
п копия с него1), писарским почерком, с учётом этих по-
правок. Текст этого отзыва приводится в приложении
№ 1 (стр. ^8). В том же деле имеется следующее письмо
попечителя Казанского учебного округа Магницкого рек-
тору Казанского университета Никольскому (с личной
подписью без даты)2).
«Милостивый Государь мой Григорий Борисович!
Прилагая у сего примечания па конспект Г-на Орди-
нарного Профессора Лобачевского сделанные, я прошу
Вас Милостивый Государь мой, сообщить ему оный при-
ватно с тем, чтобы дал отзыв, согласится ли он переменить
расположенно его преподаваний, или представить на при-
мечания сии возражения, которые если будут к Вам до-
ставлены, препроводить ко мне приватно.
С отличным почтением
имею честь быть Вашим, Милостивый Государь, по-
корнейшим слугою
М. Магницкий».
Эти документы позволяют высказать следующее пред-
положение. В 1822 г. Лобачевский написал «Обозрение»,
которое Модзалевский опубликовал в своём сборнике за
№ 244, отнеся его к 1825 г., н которое мыв дальнейшем
будем, в исторической последовательности, называть «Обо-
зрением 1». Оно было вместе с обозрениями по всем
предметам университета послано (в копии) на утвержде-
ние в Петербург Магницкому. Магницкий некоторые из
обозрений направил на отзыв специалистам. Отрица-
тельный отзыв на «Обозрение» Лобачевского был «при-
ватно» сообщён автору. Лобачевскпй взял своё «Обо-
зрение» обратно, но не стал его переделывать ни в 1822,
ни в 1823 г., и своих возражений не представил (они бы
имелись в том же деле попечителя). В 1824 г. Лобачев-
ским был дан в факультет другой вариант «Обозрения»
(мы будем его называть «Обозрением 2»). В 1825/26 г.,
х) ЦГЛ ТАССР, фонд 92, опись 1, 1822 г., арх. дело № 1546,
лл. 105—107. 1
2) Там же, л. 104. Отпуск.
176
И. Н. БРОНШТЕЙН
после падения Магницкого или в последние месяцы
его попечительства, когда почва под ним заколебалась
и он потерял свою neoi раниченную власть, Лобачевский
изменил дату на своём «Обозрении 1» и снова направил его
в факультет. Таким образом, в 1822 г. «Обозрение» Лоба-
чевского постигла примерно та же участь, которая через
год повторилась с его учебником «Геометрия» х).
Если мы с учётом всего этого рассмотрим оба «Обозре-
ния», то для нас станут ясными различия в деталях
обоих текстов, которые без этого кажутся непонятными.
Эти различия вызваны, во-первых, эволюцией взглядов
Лобачевского за время от 1822 до 1824 г., а во-вторых,
необходимостью учитывать отзыв рецензента. С этим от-
зывом, как мы увидим, Лобачевский был по существу
не согласен, по в «Обозрении 2» оп постарался просто
обойти спорные места.
3. Отзыв на первое «Обозрение»
Так как читатель может ознакомиться с подлинными
текстами обоих «Обозрений» по кнпге Модзалевского, где
они занимают более 27 страниц, мы их полностью при-
водить не будем, а отметим лишь некоторые места пз них,
связанные главным образом с отзывом на «Обозрение 1»,
которое приведено в приложении № 1 («Примечание на
обозрение преподавания чистой математики»).
Современный читатель, знакомый с сочинениями Ло-
бачевского «Геометрия» и «Новые начала геометрии с
полной теорией параллельных», прочитав это «Примеча-
ние», поймёт неосновательность почти всех возражений
рецензента. Но консервативный, привыкший к стандарт-
ному преподаванию рецензент боялся всего нового и не-
обычного. Это видно и из первой фразы отзыва, и особенно
из его предпоследнего абзаца: «Преподавание прочих ча-
стей математики... расположено обыкновенным и при-
нятым везде почти образом, почему может быть одобрено».
а) См. Н.П. Лобачевский, Полное собрание] сочи-
нений, т. II, 1949 г., стр. 124—134 (статья В. Ф. К а г а н а «Исто-
рико-библиографические сведения о сочинении «Геометрия»).
См. также в книге: В. Ф. Каган, Лобачевский, изд. АН СССР,
М.—Л., 1944, стр. 78 и след.
ОБОЗРЕНИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМ. И. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 177
То что «обыкновенно п принято везде», то спокойно мо-
жет быть одобрено, а что отличается от стандарта, под-
вергается сомнению.
ГОтзыв разделяется па три части. Первая содержит
1-пптпку общей вводной части «Обозрения 1», вторая—
критику программы курса геометрии, третья—несколько
общих заключительных замечаний.
Первое возражение—о границе между анализом и
синтезом в геометрии—показывает, что замечательные вы-
сказывания Лобачевского о роли аналитического и синте-
тического методов в геометрии не дошли до рецензента
совершенно. Тот конкретный пример, который приводит
рецензент как образец аналитического рассуждения «поч-
ти в самом начале геометрии», совершенно не состоятелен.
Не говоря уже о том, что теорема о пропорциональных
отрезках, отсекаемых параллельными линиями, вполне
может укладываться в чисто синтетическое рассуждение
Евклида, Лобачевский в своей системе изложения нс
разделяет случаев соизмеримых и несоизмеримых отрез-
ков1). Наконец, сама эта теорема у Лобачевского пе
находится «почти в самом начале геометрии», а появ-
ляется только после изложения всех фактов «абсолют-
ной геометрии», после теории параллельных линий,
т. е. не ранее VI статьи программы по геометрии
в «Обозрении 1», состоящей из девяти статей. Рецензент
не мог этого попять из краткого изложения программы,
не имея под рукой учебника Лобачевского, по он пе по-
нял бы и при наличии учебника, в достоинствах которого
не разобрался и академик Фусс2).
В своём «Обозрении 2» Лобачевский обошёл это бес-
покоящее рецензента место и выразил свою мысль дру-
гими словами: «Они [т. е. такие части математики, где
Па С*1’ статью В. Ф. Кагана «Обзор сочинения „Геометрия**»,
стрН34 с°?Ра1ше сочинений II. II. Лобачевского, т. II, 1949,
3 2) Естественно появляется вопрос—нс был ли тот же Фусс,
Ha°«O6OBaUnni^ У1,с^нпк Лобачевского «Геометрия», автором отзыва
экз ибозРеипе 1»? У нас нет данных для ответа на этот вопрос; оба
ФУрМпляРа отзыва написаны почерком, отличным от почерка
У са, и представляют собою копии с ненайденного оригинала.
Историке-матем. исследования
178
II. Н. БРОНШТЕЙН
нет места анализу] должны быть отделены и продолжаться
нс далее, покуда измерение будет найдено, а там усту
пить уже превосходству анализа».
Очень характерен резкий протест рецензента против
определения Лобачевским длины кривой линии опре-
делен ня безупречного, по существу совпадающего с со-
временным. Это определение выражено Лобачевским в
«Обозрении 1» следующими замечательными словами:
«...величина кривой линии в отношении к прямой пе может
быть понимаема так, как мы понимаем величину прямых
линий в отношении друг к другу; ио что мешает согласно
с практикою разуметь иод длиною кривой линии сумму
тех прямых, которые будут поставлены вместо частей
кривой линии с тем условием, чтоб почитать сию сум-
му за длину кривой линии, том строже определённую,
чем части кривой будут взяты менее? Такое измерение
не могло бы ни к чему служить как в теории, так и в прак-
тике, если б с уменьшенном частей кривой длина её не
подходила постепенно ближе и ближе к известной грани
це, которая и должна быть почтена за истинную длину;
нс потому, однако ж, чтоб кривая линия допускала по-
нятие о длине её, по потому, что действительное измерение
должно как можно более приближаться к сей границе»1).
Ничего здесь нс поняв, рецензент спутал понятие кривой
липни с её длиной и сам стал «смешивать круг с мпого-
стороипиком, а шар с многогранником».
В своём учебнике «Геометрия», написанном через год
после «Обозрения 1», Лобачевский проводит то же опре-
деление длины кривой2) и даёт соответствующее опреде-
ление площади поверхности: «Чтоб найти величину по-
верхности, то, следуя общему правилу, надобно разде-
лять её па чрезвычайно малые части и по[д]ставлять вме-
сто таких частей плоскости, которые, будучи соединены
все, дадут величину поверхности тем точнее, чем части
будут взяты менее»3). Таким образом, отзыв рецензента
’) М о д з а л о вс к и й, стр. 205—206.
2) Н. II. Л о б а ч е в с к и м, Полпос собрание сочинении,
т. II, 1949, стр. 46.
3) Там же, стр. 105.
„ОЗРЕППЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МА Г1Л1. II. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
совершении пс повлиял па точку зрения Лобачевского.
По в «Обозрении 2» этот вопрос также просто обойдён х).
рецензент обвиняет Лооаневского в противоречии: в об-
щей вступительной части «Обозрения I» Лобачевский го-
ворит, что «измерение кривых липин, кривых поверхно-
степ п тол, ограниченных кривыми поверхностями, не
должно вводить в начала геометрии», а в свою программу
включает статью IX, содержащую «Измерение круга, ци-
линдра, конуса, шэра, поверхности, прямого цилиндра
и конуса. В виде прибавления для примера общего
способа подобных измерений». Рецензент не учёл, что
это—последний раздел программы, являющийся переход-
ным к курсу аналитической геометрии; имен но поэтому
вопрос об измерении круга перенесён со своего традицией
лого места в планиметрии в самый конец курса, в соот-
ветствии с установками . 1обачевского. Все вопросы изме-
рения кривых фигур, поверхностей и тел в начальном
курсе геометрии рассматриваются, как указывает Лоба-
чевский, лишь «в виде прибавления для примера обще-
го способа подобных измерений», который «во всей своей
обширности» будет рассмотрен в аналитической геоме-
трии, как указывает Лобачевский в своем вступлении 2).
В «Обозрении 2» .Лобачевский устранил и эту формули-
ровку, выразив свою мысль иными словами: «Простей-
шие, обыкновенные случаи, думаю, должны быть рассмо-
трены особо по способам столь же простым, как они сами,
что будет служить вместо приготовлением к дальнейшему
2) Попутно следует отмстить, что к своей точке зрения на изме-
рение кривых поверхностей Лобачевский пришёл ещё задолго до
написания «Обозрения 1». В 1819 г. им было составлено руковод-
ство «Основание геометрии» (см. статью В. ф. К а г а и а «Лсто-
рико-библпографпчсскне сведения о сочинении „Геометрия'*» во
II томе полного собрания сочинений Лобачевского, стр. 125). Эта
Рукопись Лобачевского полностью не найдена, но в геометрическом
кабинете Казанского университета хранится отрывок (см. прило-
жение Л» 2, стр 192), написанный рукой Лобачевского и относя-
щийся, несомненно, к этой рукописи. Он содержит начало главы
об измерении поверхностей тел и в нём проводится та же точка
зрения.
2) Под аналитической геометрией Лобачевский понимает
11 применения анализа к геометрии, в данном случае—интеграль-
ного исчисления.
12*
180
И. Н. БРОНШТЕЙН
и для показания согласия во всех вычислениях матема-
тики».
Утверждение рецензента, что математика и философия
могут пттп вместе потому, что «нельзя учиться Матема-
тике без Логики, одной из главных частей философии»,
наивно и вызвано примитивным пониманием слова «фило-
софия». Между тем, соответствующее место в «Обозре-
нии 1» — одно пз наиболее глубоких; оно непосредственно
связано с размышлениями Лобачевского по теории парал-
лельных линий (см. ниже).
Эта формулировка тоже отсутствует в «Обозрении 2».
Вторая часть отзыва касается программы по геометрии.
Рецензент не оставляет без возражения почти пн одного
пункта программы, непривычный порядок которой оп
считает противоестественным п подчёркивает это каждый
раз. Через год (в 1823 г.) эту же самую мысль выска-
зал и академик Фусс по поводу учебника Лобачевского
«Геометрия»: «...Сочинитель... доказывает, что он не
имеет точного понятия о потребностях учебной книги,
т. с. ... о логическом порядке и методическом располо-
жении предметов, о надлежащей постепенности геоме-
трических истин»1). Эти совпадения вполне понятны, по-
тому что учебник Лобачевского «Геометрия» написан,
в основном, по программе «Обозрения 1». Для пас учебник
«Геометрия» раскрывает содержание этой программы: мы
ясно представляем себе, что скрывается под краткой фор-
мулировкой каждого её раздела. Рецензент же не был
в таком благоприятном положении. Если академик Фусс,
пмея в руках самый учебник, пе мог разобраться в его
достоинствах, то нельзя слишком строго винить рецен-
зента «Обозрения 1» за то, что он протестовал против не-
обычной программы, не зная её содержания.
Рассмотрим по отдельным статьям программы возраже-
ния рецензента.
Статья I. Не будем останавливаться на первом
замечанпп рецензента о «геометрическом влиянии», выз-
ванном опиской переписчика (см. сноску на стр. 190).
Э И. И. Лобачевский, Полное собрание сочинении’
т. II, стр. 12G.
ОБОЗРЕНИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕН. Н.П. ЛОБАЧЕВСКОГО 181
укажем только, что Лобачевскпй в «Обозрении 2» решил
совсем выпустить эту фразу, пе изменив своей точки
зрения на важность понятий пересечения, прикоснове-
ния и слияния: в «Обозрении 2» прикосновению уделяет-
ся большое внимание в вводной части, а в «Новых нача-
лах геометрии с полной теорией параллельных» Лоба-
чевский кладёт это понятие в основание всей геометриче-
ской системы.
Далее, рецензент отмечает трудность определения по-
нятия шара в самом начале курса. Лобачевскпй оста-
вляет это место в «Обозрении 2» без изменения: поступаю-
щие в университет уже знакомы с курсом геометрии из
средней школы, и этой трудности для них не существует.
Статья II. Рецензент упрекает Лобачевского в том,
что он отделил понятно угла от измерения дуг окруж-
ности п поставил между ними измерение «частей поверх-
ности шара в отношении целой поверхности». Это, на пер-
вый взгляд, основательное возражение вызвано тем, что
Лобачевскпй дал слишком краткую формулировку ста-
тьи. Под частями поверхности шара Лобачевскпй в пер-
вую очередь понимает не любую часть сферы, а только
«вырезок», т. е. двуугольник, ограниченный двумя боль-
шими полукругами, соединяющими две диаметрально про-
тивоположные точки. Он сравнивает дугу окружности
с длиной всей окружности и, аналогично этому, поверх-
ность двуугольника с поверхностью всей сферы, вводя
градусную меру для той и другой величины. Одновре-
менно же вводятся и понятия линейного и двугранного
углов, соответствующих этим дугам и «вырезкам». Во
избежание недоразумений Лобачевскпй в «Обозрении 2»
пишет формулировку этой статьи в более ясном и развёр-
нутом виде: «Измерение прямых линий и дуг в отношении
к их окружности. Определение линейных углов. Измере-
ние вырезков шара в отношении к целой поверхности
шара, определение плоскостных углов». Мысль остаётся
та же, но для возражений уже нет места.
ЬтатьяШ. Требование рецензента перенести по-
нятие перпендикулярности и параллельности в статью I
о ачевскип отвергает. Раздел «О перпепднкулах» остаётся
месте, а понятие параллельности (явно по формулирован-
182
И. II. БРОНШТЕЙН
ное в программе, но включённое в статью XI,—см. ниже)
Лобачевский, согласно своей основной установке, вво-
дит как можно позже, изложив сначала все сведения,
относящиеся к абсолютной геометрии, пе зависящие от
постулата о параллельных линиях. В «Обозрении 2»
статья III вместо краткого названия «О перлонднкулах»
имеет более развёрнутую формулировку: Лобачевский ука
зывает, что под этим подразумевается перпендикуляр
иость как прямых, так и плоскостей и прямой с пло-
скостью.
Статья IV. Упрёк рецензента справедлив, но Ло-
бачевский, конечно, подразумевает, что о плоскостях го-
ворилось в статье 111. Чтобы не было недоразумений,
Лобачевский, учтя замечание рецензента, формулирует
в «Обозрении 2» статью 111 так: «Положение прямых
линий в одной и разных плоскостях, взаимное положение
плоскостей, в особенности о линиях л плоскостях пер-
пендикулярных». Статья же IV оставляется почти не-
изменной. Отметим, что при изучении вопроса о телес-
ных углах Лобачевский одновременно рассматривает и
измерение сферических треугольников подобно тому, как
оп в статье II связывал плоские углы с дугами окруж-
ности, а двугранные—с «вырезками» сферы. Это видно
из его учебника «Геометрия».
Статья V. Рецензент нс понимает,, «каким обра
зом г. Профессор сделает уклонение к правильным телам,
как определят он их, когда слушатели его пе будут знать
одинаковости треугольников». В учебнике «Геометрия»
Лобачевский показал, как оп это да лает; в «Обозрении 2»
это место программы оставлено без изменения. Заме-
чание же «Ежели одинаковость треугольников помещена
в V статье, то подобие оных и теория пропорций, вероят-
но, ещё далее отложится» высказано рецензентом с яв-
ным негодованием против изменения привычного порядка
вещей: в вводной части отзыва теорема о пропорциональ-
ных отрезках предполагается «почти в самом начале
геометрии». Но это действительно так — рецензент но ошиб-
ся: Лобачевский отодвинул и подобие п теорию пропор-
ций как можно дальше. Статьи I -V содержат абсолют-
ную геометрию, статьи VI—-XI—собственно евклидову
ОБОЗРЕНИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МЛТЕМ. II. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 183
геометрию, основанную на пятом постулате Евклида.
В «Обозрении 2» Лобачевскпй просто вычеркнул эту
статью из программы, чтобы она не обращала на себя
ипмания, но своей точки зрения не изменил.
Статья VI вызывает такие же возражения рецен-
зента: они естественны для того, кто по знает основного
замысла Лобачевского. Измерения па сфере приладле-
'кат абсолютной геометрии, измерения на плоскости
собственно евклидовой. Для Лобачевского плоскость
вовсе не «несравненно проще и изложение оной удобо-
понятнее, чем кривой поверхности»: для измерения па
плоскости необходим новый постулат о параллельных
линиях! Поэтому «измерение треугольников и всякой
другой фигуры» помещено в VI статье, конечно, вместо
с теорией параллельных линий, а измерение сферических
треугольников в IV статье.
В «Обозрении 2» эта статья расчленена на две: V—
«О параллельных линиях и плоскостях. О подобии тре-
угольников»—и VI —«Измерение площадей, ограничен-
ных прямыми линиями».
Остальные замечания рецензента не относятся к гео-
метрии. Замечание о числе уравнений сферической три-
гонометрии не имеет существенного значения. Лобачев-
скпй говорит пе о том, как одни уравнения получаются
из других: его интересует число уравнений, необходимых
для решения всех случаев сферических треугольников.
Этих уравнений действительно четыре (как и в «вообра-
жаемой геометрии» Лобачевского), а пе три, как в триго-
нометрии на евклидовой плоскости. В «Обозрении 2»
Лобачевскпй, оставляя свою формулировку, добавляет
к этому: «Число сих уравнений для прямолинейных
треугольников три, для сферических четыре, потому что
сферические треугольники бывают одинаковы при ра-
венстве углов, чего пет в прямолинейных». Вопрос об
отсутствии подобия в сферических треугольниках очень
занимал Лобачевского по вполне попятным причинам:
в это время (1824 г.) он. создавал свою «воображаемую
геометрию» (см. ниже).
Рецензент сожалеет, что Лобачевский не дал программы
алгебры, упомянув о ной только вскользь. В это время
184
И. Н. БРОНШТЕЙН
(1822 г.) Лобачевский, вероятно, ещё не занимался вплот-
ную обоснованием преподавания алгебры—его учеб-
ник «Алгебра» был в первоначальном варианте написан
в 1825 г.1). Но в «Обозрении 2» уже появляется программа
по алгебре.
Об одобрении рецензентом программы аналитической
геометрии, дифференциального и интегрального исчи-
слений мы уже говорили выше. Следует заметить, что
рецензент здесь не был так внимателен п придирчив,
как при рассмотрении программы геометрип, иначе он
нашёл бы, что расположение материала далеко не всегда
сделано «обыкновенным и принятым везде почти образом».
Но об этом мы сейчас говорить не будем.
Заключительное «общее суждение» рецензента к со-
держанию «Обозрения 1» не относится.
Мы видим, что отзыв не изменил точку зрения Лоба-
чевского ни па один вопрос, затронутый рецензентом.
И когда в 1825 г. от него потребовали снова план препода-
вания, он передал свой старый текст, изменив дату и не
считаясь более с потерявшим силу Магницким.
Мы рассмотрели некоторые из вопросов «Обозрений»,
связанные с отзывом. Из других вопросов, затронутых
в «Обозрениях», остановимся только на одном—на тео-
рии параллельных линпй.
4. Теория параллельных линий у Лобачевского
в 1822-1824 гг.
Разбирая отзыв на «Обозрение 1», мы попутно видели,
что Лобачевский в 1822 г. придерживался такого строе-
ния курса геометрии, который он через год изложил
в своём учебнике. Он тщательно отделяет факты абсо-
лютной. геометрии от фактов собственно евклидовой гео-
метрии и излагает сначала всё, что не опирается на
постулат о параллельных линиях. В вводной части «Обо-
зрения 1» Лобачевский говорит о теории параллель-
ных линий следующее2)':
Л Н. И. Л о б а.ч с в с к д.й, Полное собрание сочинений
т. IV, стр. 366 и след.
2)-М б д з а л е в с к и-й, ^тр. 205.
ОБОЗРЕНИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМ. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 185
«Другого рода трудностьх) в геометрии представляет
параллелизм линий, трудность до сих пор непобедимую,
но между тем заключающую в себе истины ощутитель-
ные... и столь важные для целой пауки, что никак помогут
быть обойдены. Итак, остаётся только все спи истины при-
вести к одной такой, которая бы могла легко убеждать
в её справедливости, Присоединяя сюда некоторые пояс-
нения, несмотря на недостаток строгости.
Вот в чём заключаются главнейшие затруднения
в геометрии и один, которые уничтожить до спх пор
все усилия были тщетны. Увеличивать число основных
её понятии — значит только без малейшей пользы изме-
нить преподавание, впрочем столь простое п естествен-
ное. Итак, не надобно следовать том, которые хотели
допустить в основание начало подобия, разнородности
линий с углами, того мопсе тем, которые думают, что
бесконечность подлежит человеческому суждению»2).
Таким образом, в 1822 г. Лобачевский стоял в теории
параллельных линий на тех же позициях, которые он
сформулировал через год в учебнике «Геометрия»'. «Строгого
доказательства сей истины до спх пор не могли сыскать. Ка-
кие были даны, могут назваться только пояснениями, ио не
заслуживают быть почтены в полном смысле Математиче-
скими доказательствами»3). Лобачевскпй отдаёт себе пол-
ный отчёт о всей важности проблемы параллельных линий.
Совершенно иное видим мы через два года в «Обозре-
нии 2». Самая программа курса геометрии, как мы видели,
не изменилась. По в вводной, принципиальной части,
где основным понятиям геометрии отведено также боль-
шое место, о проблеме параллельных линий в явном
г) Первой трудностью Лобачевский считает геометрическое
определение линий и поверхностей. Он ставит задачу—найти такие
«отличительные качества тел от прочих величин, познаваемых
нами в природе, чтоб отсюда могло проистекать учение о линиях
и поверхностях». В «Обозрении 2» он устанавливает, что это отли-
чительное качество есть прикосновение.
2) См. рассуждения Валлиса, Лежандра и Бертрана по этому
вопросу в статье В. Ф. Кагана «Учение о параллельных линиях
-открытие неевклидовой геометрии», Полное собрание сочинений
* з\' Лооачсвского, т. I, стр. 31.
) И. Лобачевский, Полк. собр. соч., т. II стр. 70.
1ЯС>
If. II. БРОНШТЕЙН
виде не сказано ни слова, как будто эта проблема пере-
стала существовать! II это молчание красноречивее
всяких слов. В это время, перед началом 1824/25 учеб-
ного года, Лобачевский уже в iadeem многими фактами «во-
ображаемой геометрии». В «Обозрении 2» ость одно заме-
чательное место, где пе говорится прямо о параллельных
линиях, но смысл которого совершенно ясен.
Если собственные чувства предохраняют от ложных
заключении в продолжении геометрии, то всё остаётся
желать избавить одну из частей математики от нарекания
погрешать против обыкновенной своей строгости, быть
тёмной и недостаточной в самых основаниях. К тому ж,
кто знает, какие от нас скрыты истины в том, чего
мы не понимаем?» г).
Нет сомнений в том, какую мысль вкладывал Лобачев-
ский в эти слова. Если бы их высказал кто-нибудь
другой, кроме Лобачевского, мы назвали бы пх пророче-
скими. Но у Лобачевского они звучат по-особому: для
него скрытые истины стали уже раскрываться. Он больше
не говорит о том, что «трудность до сих пор непобедима»,
что истину «до сих пор не могли сыскать». Он эту «труд-
ность победил», «истину сыскал», знает, «какие истины
скрыты в том, чего другие ещё ио понимают». Ещё не
оформлена полностью «воображаемая геометрия», ещё
рано говорить о своих результатах (особенно в таком доку-
менте, как «Обозрение 2», преследующем педагогиче-
ские цели и могущем попасть в руки некомпетентных
рецензентов, которые два раза подряд забраковывали
его работы). Но пройдёт ещё полтора года, и в феврале
1826 г. Лобачевский завершит свои исследования, заявит
об открытии, сделавшем переворот в науке!
5. «Обозрение», вполне удовлетворявшее Магницкого
В том же архивном деле, где находятся обозрения
Лобачевского, опубликованные Модзалевскпм, оказа-
лись ещё два документа — конспект и обозрение пре-
подавания прикладной математики, составленные ректо-
ром университета профессором Никольским. Препода-
J) м о д за л е в и й, стр. 177. (Курсив мой.— II. Б.)
ОБОЗРЕНИЯ ПРЕПОД ХВЛЯПЯ МЛТЕМ. П. И. . 1ОВЛЧЕВСКОГО 187
ванне математики было в университете разделено между
Лобачевским и Никольским: первый читал чистую мате-
матику, а второй - прикладную. Эти документы *) очень
длинны и многословны (занимают 32 машинописных
страницы); воспроизводить их полностью, конечно, не-
целесообразно. Но мы приведём из них несколько отрыв-
ков—не для сравнения пх с замечательными «Обозрениями»
Лобачевского (ни о каком сравнении здесь и речи быть
не может!), а для характеристики того, па каком уровне
стояло преподавание у Никольского, клеврета Магниц-
кого, который не. счёл нужным посылать эти материалы
па отзыв. Мракобеса Магницкого вполне удовлетворяли
юродствующие и ханжеские излияния Никольского.
Его «Обозрение» и, особенно, «Конспект» изобилуют
ссылками на священное писание, пронизаны мистицизмом,
попытками привлечь в преподавание математики чуждую
ей религиозность.
Так, например, говоря в «Обозрении» о свете, Николь-
ский пишет:
«...Из сих и других мест Писания открывается, что
свет солнечный есть отблеск лица Божия, или славы
Божией. А как оп распространяется, так ли как кровь
от сердца, пли вода от источника, или другим образом
чрез волиовапие, о том Св. Писание ясно не говорит. По
поелику свет приносит земле теплоту, жизнь и плодородие,
то согласнее с Св. Писанием думать, что оп есть орган,
чрез который Господь, живущий во свете пепреступиом,
посылает в мир подлунный духа своего всё созидающего».
Творческий подход П. И. Лобачевского к препода-
ванию математики, введение новых методических идей
не могли удовлетворить Магницкого. Зато его вполне
удовлетворял «благоговейный» тон писаний Николь-
ского. Рассматривая «Конспект» Никольского, пора-
жаешься бессмысленности многих его «положений».
Математик, по Никольскому, «не решит вопрос, что
такое время и пространство сами в себе, бесконечны
они или нет, а верит писанию, что то и другое сотво-
рены в начале, равно как силы и материя». Он считает,
х) ЦГА 1АССР,Ф. 94, 1823 г., опись 326, дело 36, ЛЛ. 49—74.
188
И. Н. БРОНШТЕЙН
что «в законе Божием заключается совершенная матема-
тическая точность, как дважды два четыре» и заявляет,
что «всю математику можно уподобить великому зданию,
воздвигнутому на вечных основаниях, Самим Творцом
положенных». Такими нелепыми положениями пронизан
весь конспект. Не знаешь, чего в нём больше — матема-
тического содержания или церковного словоблудия.
И эти «творения» мракобеса от науки находились
в том же деле, должны были играть ту же роль, что
п замечательные мысли великого русского учёного!
II риломсение А? 7
Примечание на обозрение преподавания Чистой
Математиких)
Прочитав обозрение преподавания Чистой Матема-
тики, изложенное Г. Ординарным Профессором Лоба-
чевским, я нахожу: Ге, что новый распорядок его про-
граммы не во всём согласуется с естественным ходом
вещей. 2-е, В нём находится довольно противоречий; поче-
му нужным почитаю сделать несколько примечаний на те
статьи, в коих не одинакого я мнения с Г. Лобачевским.
Г. Профессор Лобачевский на 2-й странице своего
обозрения говорит, что находятся части Математики,
где Синтез необходим, как единственный способ, который
должен вести науку до известной границы и не прежде,
как после сей границы, можно подчинить оную Анализу.
Такова Геометрия и Механика.
Надлежало бы сию граничную черту между Синтезом
и Анализом определить яснее, по тому, что почти в самом
начале Геометрии находим Теорему: Три параллельные
линии пересекают две другие прямые в частях, взаимно
пропорциональных. При доказательстве оной принимается
два случая: Гй когда части прямых бывают соизмеримы
и 2'й когда сечения не соизмеримы. Пропорциональность
пересечений* параллельными в последнем доказывается
’) ЦГА ТАССР, ф. 92, Дело 1546, 1822 г., лл. 105—107.
ОБОЗРЕНИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМ. И. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 189
приведением к нелепости всякого другого отношения.
13от Аналитика, употребленная в Геометрии для доказа-
тельства одной из самых важных теорем, равно как
п многих других, пе говоря уже о Механике, в которой
ещё чаще оная встречается.
В статье о преподавании начал Геометрии Г. Профес-
сор говорит, что ничто не мешает нам разуметь под дли-
ною кривой липин сумму тех прямых, которые будут
поставлены вместо частей кривой линии, с условием, что-
бы почитать сию сумму за длину кривой линии, тем стро-
же определённую, чем части кривой будут взяты менее.
Изъяснить таким образом курс Геометрии, значит
при первом вступлении помрачать чистое понятие слуша-
телей о кривой линии и смешать оную с ломаной. Кривая
линия, по свойству своему, будучи совершенно отлична
от прямой, должна оставаться таковою в соображении
учащихся. В противном случае необходимое следствие
будет то, что они круг смешают с многостороннпком,
а шар с многогранником. Лучше не давать людям ника-
кого о вещи понятия, чем предлагать им ложное, посему
первые впечатления бывают весьма сильны п с трудом
после изглаживаются.
Далее Г. Профессор говорит, что измерение кривых
линий, кривых поверхностей и тол, ограничиваемых
кривыми поверхностями, не должно вводить в начала
Геометрии, а говорить о сём во всей обширности в Анали-
тической.
Для чего же после сего в программе начал Геометрии
помещает он в IX статье измерение круга, цилиндра,
конуса, шара п проч.? Разве тола спи пе ограничиваются
кривыми линиями и поверхностями? Для чего не допу-
стить в Геометрии измерения окружности круга, пло-
щади его и поверхности шара по способу пределов, когда
в след за сим говорит, что для измерения пирамид должно
употребить оный, как единственный, соединяющий
в себе ясность и строгость (что и справедливо)? Для
чего не допускать в преподавании Математики идеаль-
ности, когда оная уточняет паши понятия и ведёт нас
к познанию таких истин, до которых бы мы одною бедною
чувствительностью никогда достигнуть не могли? За чем
И. И. КРОНШТЕЙН
утверждать, что Математика и фплософпя нс могут мтти
вместе, между тем как нельзя учиться Математике без
Логики, одной из главных частей философии.
За сим приступим к разбору самой программы начал
Геометрии.
С т а т ь я 1-я . 11 р о г р а м м ы
Понятие о Геометрических величинах, определение
прикосновения, пересечения и влияния ]). Определение
круга п тара.
Я вовсе не понимаю Геометрического влияния,
а мню, что взаимное действие тел определяется г> физике,
а не в Геометрии. Также трудно определить шар, когда
имеем только одно общее понятно о телах, без предва-
рительного разбора оных.
С т а т ь я [ I
Измерение прямых линий, дуг в отношении к кругу,
частей поверхностей шара, в отношении к целой поверх
пости. О и редел он не углов.
При измерении дуг, в отношении к кругу, должно
вместе говорить об углах; поелику при произвождепнн
дуг круга производятся повременно и углы, так, что
можно сказать, что дуга ость функция угла и обратно.
Ибо каким образом представить себе возможность изме-
рения части поверхности шара, когда ещё не имеем
никакого понятия о измерении плоскостей? Для сего
требуется более, нежели идеальности, которую Г. Про-
фессор сам с начала отвергнул.
Статья III. О Перпендикулярах
Перпендикулярность и параллелизм, будучи свой-
ствами прямой липни, должны быть преподаны прежде
измерения поверхностей и помещены в Гй статье.
’) В оригинальном тексте Лобачевского стоит «слияния».
Переписчик вместо этого написал ошпбочнэ «влияния». Рецензент
принял нелепую ошибку за слово самого Лобачевского.—II. I •
ОБОЗРЕНИЯ I1РЕП0ДЛВЛШ1Я МАТЕМ. II. II. ЛОБАЧЕВСКОГО 191
Статья IV
О измерении телесных углов. Уклонение к правиль-
ным телам.
Прежде измерения телес пых углов надлежало оы
говорить о плоскостях (коих вовсе не находится в про-
грамме) и взаимном положении оных, без чего невозможно
приступить к измерению телесных углов; поелику оные
соста вл яются ил ос костям и.
Статья V
Случаи одинаковости трнугольнпков.
Каким образом Г. Профессор сделает уклонение
к правильным телам, как определит он их, koi да слу-
шатели его но будут знать случаев одинаково! т и трпу io.ib-
JIHK0B? Ежели одинаковость трнугольнпков помешена
в V статье, то подобие оных п теория пропорций, вероятно,
ещё далее отложатся.
С т а т ь я \ I
Измерение триугольников и всякой фигуры.
В статье Т1'й от измерения прямых линий сделан
переход к измерению части поверхности шара; теперь
же измеряется треугольник и всякая фигура. Кажется
надлежало бы начать триугольинком, окончить поверх-
ностью шара, потому, что всегда надобно переходить
от лёгкого к трудному, а не обратно. Но так как прямая
плоскость пи сравненно проще и измерение oiioii удобо-
понятнее, чем кривой поверхности, то и надлежит препо-
давать с начала первую, а нс последнюю.
1. Профессор говорит, что в сферической Тригоно-
метрии находится четыре основных уравнении, между
тем как существует одно только основное. Но данным
сторонам и углу определить третью сторону, из коего
выводятся все прочие.
Очень жаль, что в сом обозрении пе изложена обстоя-
тельная программа Алгебры, науки, которую можно
^азвать ключём к познанию прочих частей Математики.
* , Р°Фе5С0Р однажды только упомянул о пен под пме-
«ем всеобщей Арифметики.
192
П. Н. БРОНШТЕЙН
Преподавание прочих частей Математики, как то:
Аналитики, Дифференциального и Интегрального нсчн-
слепни, приложение оных к разложению функций в строки
п вариационное исчисление расположено обыкновенным
п принятым везде почти образом; почему может быть
одобрено.
Я окончу мои примечания общим суждением. Ио
моему мнению все предположенные пауки должны изла-
гаться в Университетах самым полным и удовлетвори
тельным образом, который бы не оставлял за собою
никакого недоумения п недостатка, потому что Универси-
тет, будучи высшим учебным заведенном, образующим
Профессоров, должен раскрывать людям, готовящимся
к сему званию, все ветви полного богатства паук, дабы
они в состоянии были приобрести, каждый в своей части,
познания во всей полноте. Сия самая причина заставляет
желать, чтобы к Университетскому Курсу чистой Мате-
матики присоединить: Исчисление конечных, разностей
и суммирование оных, исчисление вероподобных случаев
и Начертательную Геометрию, которая по своим при-
ложениям в теории теней, Перспектив, Военной п. Гра-
жданской Архитектурам и другим Математическим нау-
кам, необходимо должна быть введена в употребление,
что принесёт пользу и людям п самой пауке, которая
требует ещё во многом усовершенствования.
Приложение Л? 2
Отрывок из руководства по геометрии,
написанный Лобачевским х)
Глава ...* 2) О пз мере пип
поверх н осте й тел
§... Здесь мы займемся рассмотрением поверхностей
прямого цилиндра, прямого конуса и шара. Понятие
о величине поверхности так же произвольно, как п попя-
г) Подлинник хранится в Геометрическом кабинете Казан-
ского университета, № 15.
2) Точки вместо номеров стоят в подлиннике.
ОБОЗРЕНИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМ. II. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 193
тпя длины кривой линии. Согласно с измерением длины
кривых линий, мы будем измерять поверхность, рассе-
кая ее плоскостями па весьма малые части и принимая
сии части за прямые плоскости, проходящие через те же
точки пересечения и ограниченные пересекающимися
плоскостями; сумму сих прямых плоскостей будем почи-
тать за поверхность тела, а разность суммы с суммой
касательных плоскостей! к поверхности, ограниченных
темп же пересекающимися плоскостями, показывает нам,
как далеко простирается такая ошибка. Здесь должно
следовать доказывать, что как первая, так и вторая
сумма имеют границы, и что разность их может быть
мала как угодно.
§... Разделяя поверхность прямого цилиндра пло-
скостями, проходящими чрез его ось, нет нужды более
разделять се другими плоскостями, почему мы и изби-
раем сие разделение. Ясно что в сом случае поверхность
призмы внутри цилиндра к поверхности призмы вне
цилиндра содержится как сумма хорд к сумме касатель-
ных, след. след, [sic], чем на большее число разделяется
цилиндр, тем поверхность внутренней призмы стано-
вится ближе к поверхности внешней, и наконец можно
сделать их разность менее всякого сделанного количества.
Бок внутренней призмы есть произведение хорды осно-
вания на высоту; называя посему р высотою и г полу-
поперечник основания, поверхность цилиндра —2тггр.
Ошибка, могущая произойти при таком принятии есть
ошибка числа к умноженная па 2г р.
§... В прямом конусе нужно только проводить пло-
скости чрез вершину J_но к основанию. Пусть основание
конуса разделяется такими плоскостями на п равных
частей, а пусть будет хорда пой части основания, г полу-
поперешник и р бок конуса; чрез а означим расстояние
-хорды а от окружности: то поверхность внешней пира-
миды-_пРп г
д-----F * ’ поверхность внутренней пирамиды =
= / л <£Гл—2~ о иоа г
2 г 1 • Выражение уменьшается, чем
* менее, но не может быть менее ъгр. Выражение впу-
Р пней пирамиды напротив увеличивается чем более
ст°рико-матем. исследования
19'»
И. И. БРОНШТЕЙН
уменьшается а, по однако ж не может быть [б]олее
след, принимая за поверхность конуса г, г, ошибка будет
менее
V1
2(^7)Г -(г-й>
2гл—л2 )
Р2 J
Как бы а здесь ни было мало; по сие выражение может
быть менее всякого количества; п так полагая
поверхность конуса
ошибка может произойти чрез такое принятие только
от ошибки, сделанной в
§... В усеченном косинусе [конусе] естьли называем г
полупоперешник нижнего основания, г' верхнего и с
сторону, то поверхность =
=ст.(г+г').
МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ
ОСТРОГРАДСКИЙ
МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ
ОСТРО ГРАДСКИЙ
АКАДЕМИК М. В. ОСТРОГРАДСКПЙ
КАК ОРГАНИЗАТОР ПРЕПОДАВАНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ
ЗАВЕДЕНИЯХ РОССИИ
II. А. Марон
Михаил Васильевич Остроградскпй (1801—1861) начал
свою педагогическую деятельность в России с 1828 г.
С этого года оп страстно отдался преподаванию,
математики и пе прорывал его до конца своей жизни.
Работал Остроградскпй в Главном педагогическом инсти-
туте, в офицерских классах Морского кадетского кор-
пуса, в Институте корпуса инженеров путей сообщения,
в Главном инженерном и Михайловском артиллерийском
училищах1). Много учёных, профессоров и преподавателей
воспитал ЛГ В. Остроградскпй за долгие годы своей дея-
тельности. Несколько поколении моряков, инженеров,
артиллеристов обязано было ему весьма основательной
математ 11 чес кой подготовкой.
Но педагогическая деятельность Остроградского пе
ограничивалась только преподаванием. Значительное
место в ней занимает ого работа по научному и методиче-
скому руководству преподаванием математики во всех
военно-учебных заведениях России. Пятнадцать лет
(1847—1861 гг.) Остроградскпй официально состоял на
службе в штабе главного начальника военно-учебных заве-
дений в качестве главного наблюдателя за преподаванием
г) В Морском кадетском корпусе Остроградскпй начал рабо-
тать с 1828 г., в Главном педагогическом институте—с 18*52 г.,
R Институте корпуса инженеров путей сообщения—с 1831 г.,
в Г данном инженерном и Михайловском артиллерийском учили-
198
И. А. МАРОН
математических наук. Почти столько же лет он был чле-
ном Учебного комитета н гласным наблюдателем при Глаи-
ном управлении путей сообщения и публичных здании.
Выдающиеся русские математики всегда живо инте-
ресовались вопросами преподавания, в том числе и пре-
подавания элементарного курса математики. Известно,
как близко стояли к интересам школьной математики
п как много сделали для пес С. Я. Румовскпй, С. Е.Г урьев,
Т. Ф. Оспповскпп, Н. II. Лобачевский, II. II. Сомов,
А. II. Тпхомандрпцкий, Д. М. Перовощиков, И. Л. Чебы-
шев и другие. Обнаруженные недавно документы о педа-
гогической деятельности Лобачевского и Чебышева дают
новое свидетельство разносторонней и плодотворной
деятельности этих корифеев науки в области методики
элементарного курса математики. Участием этих крупных
представителей математической мысли и обусловлено
было в значительной мере то обстоятельство, что учеб-
ный курс математики в России оформился быстрее,
чем во многих странах Запада, и воплотил в себе наиболее
прогрессивные научные и дидактические взгляды.
Однако названные ученые занимались вопросами школь-
ной математики преимущественно в качестве членов различ-
ных комиссий пли в качестве авторов учебных руководств.
Деятельность же Остроградского в области школьного
преподавания была систематической,— опа составляла
неотъемлемую часть его служебных обязанностей.
Весьма интересно проследить за деятельностью
Остроградского в качестве главного наблюдателя за
преподаванием математики в военно-учебных заведениях
п как воспитателя целого поколения учёных из числа
окончивших внешне военные школы. Такой обзор помо-
жет нам глубже изучить замечательное педагогическое
наследие одного из наиболее ярких представителем рус-
ской математической мысли XIX века.
В последнее время автором настоящей статьи обна-
ружен в различных архивах Москвы и Ленинграда1)
J) В Центральном государственном военно-историческом аР'
хиве (ЦГВПА), в Центральном государственном историческом
архиве (ЦГИА), в Центральном государственном военно-морском
В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 199
^острограД£^221—--------------—---------------——
.уМентальпып материал, дающий возможность
новый до* Характеризовать Остроградского как выдаю-
подробне овОдПтеЛя математического образования в
п,ег0°”учебпых заведениях.
В°9 от материал содержит: 1) многолетнюю переписку
• L Остроградскпм и штабом главного начальника
МС>нно-учебных заведении по учебным и методическим
2) большое количество отзывов, мнений,
вопросам, щ ’ ’
рецензий п обширную переписку Остроградского с раз-
ными лицами в связп с составлением программ, конспек-
тов и учебных руководств ио математике для военно-
учебных заведений; 3) большое количество письменных
«пробных лекций» (рефератов) па математические темы
преподавателей военно-учебных заведений с пометками
и исправлениями Остроградского; 4) многочисленные
рецензии Остроградского па эти «пробные лекции»;
5) кнпгп протоколов заседаний комиссии (под председа-
тельством Остроградского) по испытанию преподавате-
лей математики; 6) протоколы заседаний комиссии под
председательством Остроградского по обсуждению про-
грамм и учебных планов по математическим паукам;
7) программы по математике, механике, космографии,
исправленные и частично написанные рукой Остроград-
ского; 8) составленную Остроградским подробную
инструкцию ю преподавании математики в Институте
корпуса инженеров путей сообщения и в Строительном
училище; 9) рукопись Остроградского из главы учебника
по алгебре для воеппо-учебных заведений; 10) тетради
записи лекции Остроградского по элементарной геометрии
и высшей алгебре; 11) отчёты и донесения Остроградского
о состоянии преподавания математики в столичных
и губернских кадетских корпусах, а также об итогах
годичных переводных и приёмных экзаменов; 12) отзывы
п рецензии Остроградского на сочинения математиче-
ского содержания; 13) журналы заседаний Учебного
комитета военно-учебных заведений, на которых Остро-
гРаДскип неоднократно выступал с отчётами и докладами;
архиве (ЦГВМИА), в Архиве Ккадемии наук СССР,
фонде библиотеки Ленинградского государственного
“с1°Рическом
Рукописном
университета,
200
II. А. МАРОН
14) миопия преподавателей, директоров кадетских кор-
пусов о программах и учебных руководствах по матема-
тике (в том число отзывы о книге «Руководство началь-
ной геометрии» Остроградского); 15) документы, харак-
теризующие профессорскую деятельность Остроград-
ского в Морском кадетском корпусе, в Институте инжене-
ров путей сообщения, в Главном педагогическом инсти-
туте, в Главном инженерном и Михайловском артилле-
рийском училищах; 16) документы, характеризующие
деятельность Остроградского по воспитанию молодых
научных кадров для армии; 17) документы, характери-
зующие научную деятельность Остроградского в артил-
лерийском ведомстве; 18) документы биографического
характера; 19) документы, характеризующие совместную
педагогическую деятельность в военно-учебных заве-
дениях Остроградского с В. Я. Буияковским, II. II. Сомо-
вым, А. 11. Савичем, В. Я. Струве, П. Л. Лавровым,
II. А. Выщнеградскпм и частично с II. Л. Чебышевым
и Д. М. Перевощпковым; 20) доклады н ходатайства
о награждении Остроградского, Буляковского, Сомова,
Савича и др. за заслуги перед военно-учебными заве-
дениями; 21) многочисленные документы, характеризую-
щие деятельность Остроградскою в качестве члена
Учебного комитета и Главного наблюдателя за преподава-
нием математики в ведомстве Путей сообщения и публич-
ных зданий.
В этой статье мы дадим лишь краткий очерк организа-
ционной п методической деятельности Остроградского
в качестве главного наблюдателя за преподаванием
математических паук в военно-учебных заведениях,
а также коснёмся его профессорской деятельности в выс-
ших военных школах Петербурга.
1. Начало деятельности М. В. Остроградского
в ведомстве военно-учебных заведений
Сороковые годы прошлого столетия ознаменовались
заметным оживлением революционного движения в Запад-
ной Европе и России. Самодержавие, встревоженное
революционными событиями, искало опору в дворянстве.
ОСТГОГРЛДСКИП
В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССШГ201
Понятно поэтому, ЧТО военно-учебные
OeiXiaT'Xr^
ми сводилась к воспитанию юного дворянства в и |
постнического самодержавия, в духе крайнего монархизма
и консерватизма.
Главным штабом был проведён ряд организационных
мероприятии, направленных к тому, чтооы закроить
единообразно обучения и воспитания, дававшее возмож-
ность лучше и полнее осуществлять регламентацию
и контроль за деятельностью руководителей и воспита-
телей военно-учебных шведеипп. Прежде всею было
обращено внимание па создание единой системы обуче-
ния л воспитания, на создание единообразия в методах
обучения. Были созданы единые планы и программы.
Были приняты меры по созданию единообразных и обяза-
тельных учебных пособий. Для руководства преподава-
нием отдельных дисциплин были учреждены «главные
наблюдатели», которым вменялось в обязанность следить
за строгим соблюденном единообразия в содержании
и методах преподавания в учебных заведениях, подведом-
ственных главному штабу. В каждом учебном заведе-
нии были назначены наставники-наблюдатели, являвшиеся
помощникамп соответствующих главных наблюдателей.
О политических целях этих организационных меро-
приятий с полной откровенностью писал начальник
штаоа военно-учебных заведении генерал Я. П. Ростов-
цев в своем письме князю Михаилу Павловичу. «Соста-
вление единообразных руководств ио всем без исключе-
ния предметам весьма важно нс только в умственном,
но и в политическом отношении, ибо без таковых руко-
во-первых, военно-учебные заведения никогда
Н1ПЮВСТШ11УТ ед,111СТБа Б образовании своих военнтан-
начальс3 ВО’ВТОРЬ1Х» Х1Т0 е|нё гораздо важнее, высшее
направо™0 ш,когда 1,0 будет определённо знать, в каком
нсблагпт0111111 BOciIilT1JBacT оно своих учеников, что при
ПОстеппцГаМС^СИП0'Т1Г’ ХОтя 11 малого ннс ia лип, мож т
НО привести Россию на край пропасти, ибо
202
и. л. МАРОН
пользуясь правом избирать для себя руководство (как
это делается в Министерстве Народного просвещения
и до спх пор делалрсь у нас), преподаватель может
читать воспитанникам что захочет. Когда же все паши
руководства поспеют, тогда направление, средства
п цель умственного образования будут, как лошади
в вожжах, в руке главного начальника, захочет — пово-
ротит вправо, влево, остановит, прибавит рыси и т. д.,
учитель же, отступивший произвольно от руководства,
подвергается суду как государственный преступник»1).
Было бы неверно, однако, предположить, что глав-
ный начальник военно-учебных заведений и его штаб
совершенно не интересовались методическими вопросами,
вопросами улучшения учебного процесса. Перед военно-
учебпымп заведениями была поставлена задача: обучать
так, чтобы их воспитанники — дворяне составили наиболее
образованное сословие в Росспп. Высшее начальство
хорошо сознавало, что без внедрения новых и более
совершенных методов обучения, без квалифицирован-
ного состава преподавателей (и, конечно, «благонамерен-
ных»), без хороших учебников, без компетентных и авто-
ритетных людей науки, поставленных во главе препода-
вания отдельных учебных предметов, нельзя будет спра-
виться с задачей повышения умственного развития юного
дворянства. В связи с этим, в качестве главных наблю-
дателей были привлечены известные учёные: М. В. Остро-
градский—по математике, Э. X. Ленц—по физике,
проф. Постельс—по естествознанию, проф. Куторга—
по химии и др. Были предоставлены некоторые мате-
риальные преимущества для преподавателей, а это дало
возможность привлечь в систему военно-учебных заве-
дений более подготовленных в методическом и научном
отношении людей.
Все отмеченные выше мероприятия приводили к ре-
зультатам, о которых пе всегда заботилось начальство
и которые часто были ему даже нежелательны. Среди
привлечённых новых лиц, оказывались и такие, которые
х) Цпт. ио кн.: И. В. Петров, Главное управленце военно-
учебных заведений, т. 2, Приложение, стр. 150, СНВ, 1907.
ОСТРОГРАДСКИП в
ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН- РОССПИ_203
сами II вопреки воле начальства, переносили в СПСТ^’У
обучения и воспитания военно-учебных заведении• [е
черты русской педагогики, создавали там I д
методические традиции, плодотворно влиявшие на о (
дело русского просвещения. ЛГТПо-
Оргаиизационно-методпчсская деятельность А1. и.
градского в ведомстве военно-учебных заведении луч-
ший тому пример.
Судя по сохранившимся архивным документам,
Остроградскпй впервые был привлечён к работе штаоа
военно-учебных заведений в 1843 г. С этого времени его
стали систематически привлекать для решения разных
научных и методических вопросов, возникавших в связи
с преподаванием математики в военно-учебных заведе-
ниях. По сути дела с этого года он стал (ещё не занимая
штатной должности) постоянным сотрудником и кон-
сультантом по всем вопросам преподавания математики
и механики в военных школах. Ближайшие обстоятель-
ства, положившие начало систематическому сотрудни-
честву Остроградского в ведомстве военно-учебных заве-
дений, были таковы.
В начале сороковых годов был предпринят пересмотр
учебных программ и планов военно-учебных заведений.
Для этой цели были запрошены мнения преподавателей
и деятелей военно-учебных заведений. Остроградский,
состоявший руководителем кафедр математики некоторых
высших военно-учебных заведений подал докладную
записку с изложением своих взглядов на постановку
преподавания математики и механики в военной школех).
Замечания, высказанные М. В. Остроградским
(а также В. Я. Буияковским), произвели глубокое впе-
чатление и послужили основой для окончательных выво-
дов о программах по математическим паукам и о поста-
овке пх преподавания. Начальник главного штаба
И. П1)Ст°.А„аДпые,Л,2.ПНСК11 “вдали также В. Я. Пуликовский,
Так как ЦГВИЛ, фонд 725, опись 1, дело 2302, лист 171).
принадлежа Д0Кументы 113 Ш'ВНА, использованные в этой статье,
® ДальнсйТих^^т”'1 П ТСИ ЖС *оиду 725 11 описи 1, мы будем
А® Дела w v ссылках на эти документы указывать в тексте лишь
и № л“ста (например, д. 2302, л. 171).
204
И. Л. МАРОН
военно-учебных заведений генерал Ростовцев в своём
итоговом докладе о собранных «мнениях» преподавате-
лей писал, что надо «при сём принять также в особенное
соображение мнения гг. академиков Остроградского
и Буняковского» (д. 2302, л. 171).
13 первой половине 1844 г. Учебный комитет военно-
учебных заведений па своих заседаниях усиленно зани-
мался изучением и обобщением собранных «мнений».
Остроградскпй и Пуликовский неизменно приглашались
па эти заседания и принимали в них активное участие.
Для более детального изучения «мнений» н выработки
необходимых изменений в действовавших программах
и учебных планах было решено создать «частные комитеты»
по каждой отрасли пауки. Председателем «частного
комитета для паук математических» был приглашён
Остроградскпй ’). Членами комитета были В. Я. Пуликов-
ский, 11. II. Сомов, А. Я. Кушакевич, А. С. Биндеров,
П. П. Лавров, II. Ф. Ястржембский, II. Янушевскпй
(д. 2279) и др.
Весь 1844-й и половина 1845 г. прошли для Остро-
градского в постоянных занятиях, связанных с деятель-
ностью возглавленного нм частного комитета но матема-
тическим наукам. Предстояла большая и многосторонняя
работа. Нужно было рассмотреть л обсудить все замеча-
ния, собранные от преподавателей математических дис-
циплин на действующие программы. Таких замечаний
было подано 31. Нужно было, далее, составить новые
программы по всем математическим разделам курса
военно-учебпых заведений: по арифметике, алгебре,
геометрии, приложению алгебры к геометрии, тригоно-
метрии, аналитической геометрия и механике.
Частный комитет, возглавленный Остроградскпм, вни-
мательно рассмотрел замечания преподавателей и с боль-
Ч Остроградскпй с большой готовностью принял приглашение
штаба военно-учебпых заведений возглавить частный комитет
но математическим наукам. Па приглашение начальника штаба
принять руководство частным комитетом Остроградскпй прислал
письмо, в котором писал: «...отвечаю изъявлением полной готов-
ности на участие в делах комитета для рассмотрения программ
математических наук, в военно-учебных заведениях нренодавае-
ых» (д. 2279, л. 25).
ОСТРОГРАДСКИЙ В
ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН- РОССИИ „0_>
шоп тщательностью обсудил новые иР?гра’*мь‘-
нпя этого комитета Остроградскии '°
чески и часто. В начале декабря 1Ь44 i. составле!
новых программ по математике было зак°“’®"°’ “
кабря Остроградскии доложил о них Учебы - у
тету (д. 2279, л. 238).
По новым программам намечались существенные изме-
нения в учебном курсе математики в кадетских корпу-
сах. Программа по алгебре предусматривала увеличение
числа часов и введение преподавания алгебры в трёх
общих классах (вместо двух): во втором, третьем и чет-
вёртом. Программа разделялась па три отдела: п е р-
в ы й (для преподавания во втором классе общего
курса)—от предварительных понятии до решения урав
пений первой степени с одним неизвестным включительно:
второй (для преподавания в третьем классе общего
курса)—от уравнений первой степени до неопределён-
ных уравнений с тремя и более неизвестными включи-
тельно; третий (для четвёртого класса общего курса) —
прогрессии и логарифмы. Курс алгебры в общих классах
кадетских корпусов завершался изучением логарифмов.
Новая программа по геометрии предусматривала
уменьшение числа часов и введение преподавания гео-
метрии лишь в двух последних классах общего курса
(вместо трёх классов). Программа соответственно разде-
лилась на два отдела: первый (для J1I класса) —
от предварительных понятий до линий и плоскостей
в пространстве; в т о р о й (для IV класса)—от линии
и плоскостей в пространстве до конца стереометрии,
включая всю тригонометрию. Различные вопросы топо-
графии и специальные упражнения и решении топогра-
фических задач, содержавшихся в старых программах,
были исключены.
По арифметике были усилены разделы, связанные
с выяснением теоретических основ этой науки (д. 2279,
• • 293) *
В ходе работы частного комитета функции его рас-
ширялись, ему вменялись новые и новые обязанности.
1ак> ему было поручено составить подробные конспекты
Ло всем разделам математики и механики, которые бы
206
И. А. МАРОН
«представляли существенный дух и внутреннюю связь
между частями каждого предмета, а вместе с тем могли
бы и служить руководством пли инструкцией для препо-
давателей, которые, следуя за конспектом, будут знать
положительно, что они должны проходить п как именно
проходить» (д. 2279, л. 293). Составление конспекта
по алгебре взял на себя М. В. Остроградскпй, по ариф-
метике—В. Я. Буняковскпй, по геометрии и тригоно-
метрии—А. Я. Кушакевпч, по аналитической геометрии —
А. С. Кпндерев, по мехаппке—подполковник Н. Ф. Ястр-
жембский (д. 2279, лл. 244,266, 274,293; д. 2752, л. 161)1).
Рукописи конспектов тщательно обсуждались на заседа-
ниях частного комитета, а затем подвергались оконча-
тельной редакции со стороны Остроградского.
Несколько позже комитет занялся составлением
перечня наглядных пособий для математических кабинетов
при военно-учебных заведениях, а затем—библиографи-
рованием литературы по математическим наукам для
комплектования библиотек кадетских корпусов (д. 2279,
л. 255). Составленная частным комитетом библиография
для библиотек военно-учебных заведений открывала
учащимся доступ к математическим сочинениям, стояв-
шим на должном научном уровне, и отметала устаревшие
и антинаучные сочинения.
х) Н. Ф. Ястржембский (1808—1874)—профессор тео
ретической и прикладной механики многих высших учебных заве
дений Петербурга; известен также как писатель-беллетрист
А. С. Киндерев (умер в 1855 г.)—преподаватель математики,
а затем наставник-наблюдатель Павловского кадетского корпуса.
Длительное время преподавал математику под руководством
М. В. Остроградского в Михайловском артиллерийском учи-
лище. А. Я. К у ш аке вич (1790—1865)—преподаватель
математики во многих учебных заведениях Петербурга. Длитель-
ное время был инспектором классов первого кадетского корпуса
Вёл также (одновременно с Киндеревым) преподавание математики
в Михайловском артиллерийском училище. А. С. Киндерев
и А. Я. Кушакевич являются авторами учебного руководства для
военно-учебных заведений: «Курс чистой математики» (для военно-
учебных заведений), ч. 1—«Арифметика», ч. 2—«Начальные осно-
вания алгебры», ч. 3—«Начертательная геометрия», ч. 4—«Прямо-
линейная и сферическая тригонометрия», ч. 5—«Аналитическая
геометрия» (СПБ, 1840—1847). Курс этот был переведён на швед-
ский язык.
ОСТРОГРЛДСКИП В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН- РОССПИ 207
В начале 1845 г. учебные программы по всем иреДН£
там курса кадетских корпусов бы nt готов,
того же года введены в действие. т.Плгптрт
Хотя руководимый Остроградским частый комитет
и выполнил своё первоначальное назначение, по распу-
щен не был. Он продолжал работать как орган научного
и методического руководства преподаванием математи-
ческих дисциплин в военно-учебных заведениях.
1845—1846 гг. были годами дальнейшего приближе-
ния Остроградского к руководству преподаванием мате-
матики в военно-учебных заведениях. Он посещал заня-
тия по математике, присутствовал па выпускных экза-
менах и на практике знакомился с достоинствами и недо-
статками новых, выработанных под его руководством
программ.
Следует отметить, что Остроградскпй с первых дней
своей деятельности в ведомстве военно-учебных заведении
отдался ей со всей своей кипучей энергией и страст-
ностью, не гцадя пи сил ни времени. Оп часто собирал
совещания руководимого им частного комитета, участво-
вал в работе Учебного комитета п частных комитетов
по смежным с математическими паукам, вёл оживлённую
переписку со штабом главного начальника военно-учеб-
ных заведении. Мы насчитали около двух десятков
писем, написанных Остроградскнм за несколько меся-
цев конца 1844 г. и начала 1845 г. в связи с работой
частного математического комитета.
2. Назначение М. В. Остроградского главным
наблюдателем за преподаванием математических наук
в военно-учебных заведениях
В 1847 г. была учреждена штатная должность: «Глав-
ный наблюдатель за преподаванием математических
наук в военно-учебных заведениях». Более подходящую
кандпдатуру на эту должность, чем кандидатура Остро-
градского, трудно было бы себе представить. Остроград-
скии пользовался широкой известностью как математик
и педагог. Авторитет его среди преподавателей матема-
пки был непререкаемым. Наконец, опыт работы част-
208
II. А. МдРОН
ного математического комитета свидетельствовал о глу-
боком интересе Остроградского к вопросам преподава-
ния математики в военной школе. Выбор действительно
пал на М. В. Остроградского. Приглашение занять долж-
ность главного наблюдателя Остроградскпй принял
и 9 (21) февраля 1847 г. был специальным приказом
утверждён в пен (д. 14, л. 35) *). Одновременно он был
утверждён членом Учебного комитета военно-учебных
заведении * 2).
Ближайшим благотворным результатом вступления
Остроградского в должность главного наблюдателя
явилось то, что к решению методических и научных
вопросов преподавания математики в военной школе
стали более решительно привлекаться крупнейшие мате-
матики, механики и астрономы России: В. Я. Буняков-
ский, II. И. Сомов, А. Н. Савич, И. А. Вышнеградский/
Г. Е. Паукер, Д. М. Перевощпков, П. Л. Чебышев и др.
Укажем, например, что В. Я. Буняковский состоял
с 1844 г. членом и редактором частного математического
комитета, затем с 1849 г. он являлся членом постоянной
специальной математической комиссии (под председа-
тельством М. В. Остроградского) по обсуждению всех
научных п методических вопросов, касавшихся препода-
вания математических наук в военно-учебных заведениях.
Он является автором нескольких учебных руководств
для этих заведении: «Арифметика» (СПБ, 1849); «Про-
грамма и конспект начальной геометрии» для руковод-
ства в военно-учебпых заведениях (СПБ, 1851); «Про-
грамма и конспект по арифметике» для руководства
в военно-учебпых заведениях (д. 2366, л. 45) и др. Кроме
того, В. Я. Буняковский перевёл с французского «Пачер-
9 Приказ ио военно-учебным заведениям, № 830, 1847 г.
2) Несколько позднее—4 января 1849 г.—Остроградский был
утверждён членом Учебного комитета Главного управления путей
сообщения и публичных зданий (д. 2480, л. 17. Приказ по Военно-
Учебным Заведениям, № 1030, 1849 г.), а 5 января того же года—
главным наблюдателем за преподаванием математики в учебных
заведениях ведомства путей сообщения и публичных зданий (При-
каз главноуправляющего путей сообщения и публичных зданий,
№ 3 от 5/1 1849 г.).
, -заведен. РОССИИ 209
ОСТРОГРАДСКИЙ в ВОЁННО-УЧЕБНЬ^----------
тт гП TTTIU воспитанников первого
тательную геометрию» Леруа д.
кадетского корпуса (д. о ’ “ ’адского должность глав-
После смерти М. В. OcJ^a^aHlieM математических
наук ““военно-учебных заведениях принял В. Я. Буня-
ковский и оставался в ней до момента преобразования
кадетских корпусов в военные гимназии (1863—1864 гг.)
(д. 2069, л. 14).
Сохранившиеся документы свидетельствуют, что
Остроградскии в своей работе по руководству математи-
ческим образованием в военно-учебных заведениях нахо-
дился в постоянном творческом содружестве с В. Я. Буня-
ковским, чрезвычайно ценил его бескорыстную помощь
и „неоднократно возбуждал ходатайство о поощрении
Буняковского за заслуги перед военно-учебными заве-
дениями России (д. 2440, л. 90, 95).
Кроме организационно-методической работы для
военно-учебных заведений, Буняковский вёл препода-
вание во многих пз них: в Пажеском корпусе, в Морском
кадетском корпусе, в Институте корпуса инженеров
путей сообщения и др.
И. И. Сомов тоже являлся деятельным помощником
Остроградского во всех вопросах, касавшихся руковод-
ства преподаванием математики в военно-учебных заве-
дениях. Так же, как и В. Я. Буняковский, он состоял
членом частного математического комитета, а затем спе-
циальной математической комиссии. Он является также
автором многих учебных руководств для военно-учебных за-
ведений. Им написаны: «Аналитическая геометрия», курс
старших юнкерских классов училищ и специальных клас-
сов кадетских корпусов (СПБ, 1857); «Начертательная гео-
метрия», курс инженерных отделений 3-го специального
класса кадетских корпусов и старшего кондукторского
класса инженерного училища (СПБ, 1862); «Таблицы
обыкновенных логарифмов чисел и тригонометрических
ДЯЯ УпотРе^ления в Морском кадетском корпусе»,
(БИБ, 1862); «Начальная алгебра» для воспитанников
Морского кадетского корпуса, (СПБ, 1860). Сомов вёл пре-
иодавание в Пажеском корпусе, в Морском кадетском кор-
усе, в Институте инженеров путей сообщения и др.
Историко-матем.. исследования
210___________________И A. MAPOtt
Членом Особой математической комиссии по рассмо-
трению учебных руководств являлся П. Л. Чебышев
(д. 2582). Кроме того, он участвовал в обсуждении про-
грамм по математике для Михайловской артиллерийской
академии1).
Значение такого участия крупнейших учёных в орга-
низации преподавания математики в военной школе
трудно переоценить. В большой мере благодаря ему
уровень преподавания математических наук в воошю-
учебных заведениях значительно повысился и в общем
превышал уровень гражданской общеобразовательной
школы того времени.
Обязанности Остроградского по должности главного
наблюдателя были чрезвычайно многочисленны и разно-
сторонни; определялись они специальной инструкцией,
утверждённой 24 мая 1848 г. (д. 2423, лл. 9 — 13). Согласно
этой инструкции на главного наблюдателя возлагалась
полностью ответственность за научную и методическую
постановку преподавания математических дисциплин
в военно-учебных заведениях России. Ему вменялось
в обязанность:
1. Руководить составлением и отвечать за научные
и педагогические достоинства программ по математиче-
ским дисциплинам. Следить за ходом преподавания
по ним, наблюдать, чтобы математические науки пре-
подавались просто, ясно, в строгой последова-
тельности и без малейшего отступления от программ
и руководств.
2. Систематически посещать занятия в столичных
военно-учебных заведениях и периодически выезжать
в губернские кадетские корпуса для проверки постановки
преподавания математических предметов.
3. Систематически собирать совещания преподавателем!
математики военно-учебных заведений столицы. Па этих
совещаниях «рассуждать как о средствах устранить
замеченные недостатки преподавания, так п о сочинениях
х) А. Платов и Л. Кпрппчёв, Исторический очщж
образования и развития Артиллерийского училища, СПБ, 1870,
стр. 357.
в ВОЕНПО-УЧЕЁНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 211
оСтрограД^1 — --- ---------------
пособиях для ПрЭИИЛ ЫЛОГО п отчётливого изло-
и ДрУгп этических наук. В тех же заседаниях глав-
зке?пЯ\ч10датель сообщает новейшие взгляды на эти нау-
ньШ Н^ще п различные их части в особенности, указывает
ки «нательные мемуары, помещаемые в журналах и запи-
заМ Академии наук, и объясняет затруднения, которые
СК«подаватели могли встретить при чтении этих мемуаров».
ПР 4. Присутствовать на выпускных экзаменах по матема-
тическим дисциплинам в столичных корпусах, а также на
приемных экзаменах в Дворянский полк J).
1 5. Следить за научной и методической подготовлен-
ностью преподавателей математических длсции ши во всех
военно-учебных заведениях; руководить работой комиссий
по испытанию кандидатов на преподавательские должности.
«Главный наблюдатель имеет у себя именные списки всех
преподавателей п репетиторов по математическим наукам,
с означением прав, по которым каждый из лих носит
это звание. Ои неослабно наблюдает, чтобы никто
ни под каким предлогом, даже временно, ио читал
лекции но предмету, которого пе имеет права препо-
давать, а потому инспектора классов должны сообщать
ему о всех переменах, касающихся преподавателей
и репетиторов, какие намерены они сделать, и без его
согласия предполагаемых перемен в пспол пен не пе
приводить».
6. Руководить (-оставлением учебных руководств
и пособий по всем математическим дисциплинам.
7. Руководить работой наставников-наблюдателей 2)
и требовать от них систематических отчётов о ходе пре-
подавания математики в своих кадетских корпусах.
8. Следить за пополнением библиотек математической
литературой; составлять рецензии на математические
сочинения, предназначенные для библиотек.
) Воспитанники, окончившие губернские кадетские корпуса,
оступали затем в специальные классы Дворянского полка.
ле В каждом кадетском корпусе назначался руководитель кол-
й11Ктива арсподавателей данного предмета. Он именовался «иас.тав-
л к“Иаолюдатель». Наставники-наблюдатели официально счпта-
Мет** П0М01]*П1,кам11 главного наблюдателя соответствующего пред-
14*
212
И. А. МАРОН
9. Следить за обеспечением лабораторий и кабинетов
необходимыми приборами и пособиями.
10. Составлять после общего публичного испытания *)
подробный отчёт о своих действиях в течение всего учеб-
ного года с изложенном следующих сведений:
«а) во всех лп военно-учебных заведениях пройдены
математические пауки в должном порядке, согласно
с утверждёнными программами, руководствами, распи-
санием предметов по классам;
б) на какой ступени находятся успехи воспитанников
в каждом заведении;
в) в заключение отчёта представлять предположения
свои касательно более успешного преподавания матема-
тических наук на будущее время».
Как видим, круг обязанностей главного наблюдателя
был чрезвычайно большой.
Остроградскпй, как свидетельствуют об этом доку-
менты, до конца жизни успешно исполнял свои обшир-
ные обязанности, ничего существенного не упуская и ие
перекладывая на других.
Приходится удивляться энергии и трудоспособности на-
шего знаменитого ученого, сумевшего совместить столько
служебных обязанностей с плодотворными научными заня-
тиями и с разносторонней профессорской деятельностью.
В рамках * этой статьи невозможно сколько-нибудь
подробно осветить все стороны деятельности Остроград-
ского в качестве главного наблюдателя. Мы ограничимся
здесь выяснением роли Остроградского в создании учебных
руководств и в подборе преподавательских кадров по
математике для военно-учебных заведений,
3. М. В. Остроградский и создание учебной
литературы для военно-учебных заведений
В пятидесятых годах прошлого столетия был издан
целый ряд учебников по курсу математики, механики,
г) С 1842 г. в военно-учебных заведениях были введены еже-
годные публичные выпускные и переводные экзамены. На эти
публичные экзамены ежегодно вызывались по внезапному выбороч-
ному назначению главного начальника учебные отделения из р»3'
личных губернских кадетских корпусов.
ОГТРОГРЛПСКИП В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ 3AB№HJPOCCHnjl?
математической географии с грифом. ^лпп
плпство пля военно-учебных заведении». lai>, ом"“
изданы пли переизданы в переработанном * Р
метпка» В Я. Буняковского, «Руководство на la.ibiioi
геометрии» (в трёх частях) М. В. Остроградского, «Первые
начала приложения алгебры к геометрии» С. Сухопппа,
«Аналитическая геометрия» П. И. Сомова, «Матсматпче
ская география и первые начала космографии»
А. Н. Савича, «Курс практической механики» Н. Ф. Метр
жембского, «Элементарная механика» II. А. Вышпе-
градского, «Дифференциальное исчисление» и «Инте-
гральное исчисление» В. II. Беренса п др. Эти учебники
сыграли значительную роль в истории учебной литера-
туры по математическим дисциплинам.
Но если всё это сравнительно широко известно, то
нигде не была выяснена роль Остроградского в издании
этой литературы. Между тем Остроградскии явился
вдохновителем и организатором создания этого цельного
комплекса учебных руководств.
7 февраля 1853 г. Остроградскии направил началь-
нику главного штаба военно-учебных заведений письмо,
в котором сообщил ему план издания учебников.
Согласно этому плану составление учебников пору-
чалось следующим лицам (д. 2582, л. 1):
1. Начальная алгебра—А. С. Кушакевичу, инспек-
тору классов 1-го кадетского корпуса.
2. Аналитическая геометрия—И. II. Сомову.
3. Высшая алгебра и дифференциальное исчисление—
П. Л. Лаврову, преподавателю математики в Михайлов-
ском артиллерийском училище.
4. Основания механики—II. И. Собко, преподавателю
™ки В Институте корпуса инженеров путей сообще-
Н ^ачеРтательная геометрия и её приложения—
полку преподавателю математики в Дворянском
на доставление «Руководства начальной геометрии» взял
себя сам главный наблюдатель.
н 146 Раньше Остроградскии поручил написание учеб-
°в по арифметике, тригонометрии, математической
214
И. А. МАРОН
географии, приложению алгебры к геометрии—В. Я. Бушь
конскому, Ф. II. Снмашко, А. П. Савичу и С. Сухоппну1).
Примерно с апреля 1833 г. авторы приступили к работе.
Остроградскпй по ограничился подбором авторов,
но руководил их работой до окончательной сдачи руко-
писи в печать (д. 2582).
Каждая рукопись подвергалась просмотру и рецензии
в следующем примерно порядке. После обсуждения
рукописи в математической комиссии опа передавалась
Остроградским па просмотр двум-трём рецензентам;
последние делали своп замечания и передавали на испра-
вление автору. Исправленная рукопись передавалась
Остроградскому для редакции. Затем рукопись попадала
к автору для окончательной обработки на основании
замечаний главного наблюдателя. После этого опа обсу-
ждалась в особой комиссии, специально созданной для
окончательного суждения о научных и педагогических
достоинствах учебника. В состав особой комиссии вхо-
дили: М. В. Остроградскпй (председатель), В. Я. Пули-
ковский, 11. Л. Чебышев, Д. М. Перевощпков. И. И. Сло-
мов, П. Л. Лавров и Г. Е. Паукер2). Проследим для
иллюстрации за тем, как подготавливалось к печати
второе издание учебника Ф. И. Снмашко3).
*) С. Сухонин—преподаватель математики в Пажеском кор
нусе.
2) О Г. Е. Пау коре и П. Л. Лаврове см. ниже, стр. 317 и 321.
3) Франц Иванович Снмашко (1811—1892), ещё будучи
воспитанником Военно-сиротского дома, проявил любовь и способ-
ности к математике. В виде поощрения ему была предоставлена
возможность слушать лекции Остроградского в Морском кадет-
ском корпусе. Окончив Павловский кадетский корпус, он с 1839 г.
начал педагогическую деятельность в военно-учебных заведениях
как преподаватель математики; больше двадцати лет являлся
директором Петровско-Полтавского кадетского корпуса; послед-
ние годы своей жизни работал в Главном управлении военно-
учебных заведений, руководя преподаванием математики в воен-
ных школах; умер в чине генерал-лейтенанта. Является автором
многих учебных руководств но математике, главнейшие из кото-
рых: «Тригонометрия» (СПБ, 1849), «Арифметика» (СНГ», 1860),
«Начальные основания алгебры» (СП Б, 1859), «Начальные основа-
ния геометрии» (СПБ, 1860), «Уроки практической арифметики»
(СПБ, 1852) и др.
ПГТРОГРАДСКИЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССПП 215
В ,85, г. „
IXhJTSW .-^х"»Го”5
СТВСННЫМ РУКОВОДСТВОМ И При .7 1
градского. Второе ..здание книги соответствовав методо-
логическим и методическим взглядам Остроградско! о иа
преподавание тригонометрии, изложенным в «Ьопспскте
тригонометрии»1). Сохранилось объемистое дело (As 2и6),
целиком посвящённое изданию учебника и содержащее
большое количество собственноручных писем Остроград-
ского в связи с редактированием «Тригонометрии» (СПБ,
1857), и аналогичное дело, посвящённое изданию книги
«Руководство по арифметике» В. Я. Буияковского (д. 24'i 1).
Эти документы свидетельствуют о больших заслугах
Остроградского в создании учебника, по которому обу-
чались многие поколения. Но его совету, в частности,
автор расширил содержание книги по сравнению с пер-
вым изданием2).
Подвергнув рукопись тщательной редакции, Остро-
градский передал её для отзыва Буияковскому и Перо-
вощпкову. В своём отзыве Буняковский писал:
«Вообще новый труд Ф. Спмашко я считаю удовлет-
ворительным как в отношении логической последова-
тельности, так и обработки подробностей. В некоторых
местах язык, в особенности математический, мог бы быть
J) М. В. Остроградскии, Программа и конспект
тригонометрии для руководства в военно-учебных заведениях,
СИП, 1851.
2) Во втором издании автор сделал ряд добавлений, главнейшие
из которых следующие: о пределах погрешностей при решении
тригонометрических задач, построение тригонометрических таблиц,
о ратные круговые функции, теория проекций, тригонометрические
отДКЦИП ОтРнвателы1ых углов. Кроме того, почти заново составлен
дел второй: «Приложение тригонометрии к решению вопросов».
ппак°Т 0ТДСЛ ВКлючевы вопросы, имеющие применение в военной
лам[ТПКе’ папР11МСР: измерение сторон треугольника цепью и жез-
нсдос лзмеРе,,ис углов астролябпсю и теодолитом, определение
высот^11110^ высоты’ определенно расстояния двух недоступных
точки* ОпРедслеп||е четвёртой точки, из которой видны данные три
ской нП°Д задап„|[1^ии углами, определение диаметра цплппдричс-
Ца дв доступной башни, разделение угла с нсдосту он вершиной
21G
и. А. МАРОН
более определителей и менее шероховат. На такие места
указано па полях рукописи частью М. В. Остроградским,
а частью мною. Впрочем, это маловажные и немногие
недосмотры составитель легко может исправить. Сверх
замечаний, выставленных М. В. Остроградским на самой
рукописи, и с которыми я вполне согласен, а также тех,
которые я сам написал карандашом на полях в тексте,
привожу ещё несколько указаний» (д. 2623, л. 15). Затем
Бупяковскпи сделал много существенных замечаний,
касавшихся содержания 22 параграфов текста.
Так же как и Буняковский, очень тщательно про-
смотрел рукопись Д. Иеревощик'ов. В своей обстоятель-
ной рецензии па 10 страницах он сделал важные заме-
чания, касавшиеся содержания 14 параграфов текста
рукописи (д. 2623, л.17 —19).
В окончательном своём заключении о рукописи Остро-
градскпй писал (в апреле 1856 г.):
«Новое издание тригонометрии капитана Снмашко
заключает статьи, обязательные для воспитанников
в Военно-Учебных Заведениях, и статьи, не обязатель-
ные, которые напечатаются мелким шрифтом.
В статьях обязательных сделаны перемены, противу
первого издания, но в сущности весьма незначительные,
они преимущественно состоят из прибавлений относи-
тельно непосредственного измерения прямых линии
и углов и пз некоторых пояснений касательно решения
практических вопросов. Перемены эти не потребуют
никаких изменений в программе науки.
Что же касается статей, не обязательных для воспи-
танников, то в них автор вошёл в подробности и рас-
суждения, значительные но объёму и соображению,
которые будут обязательны для желающих изучать
тригонометрию с полнотою, большею требуемой в Военио-
Учебных Заведениях.
Капитан Снмашко, без сомнения, примет в соображе-
ние некоторые заметки на полях рукописи, а затем труд
его вполне заслуживает одобрения» (д. 2623, л. 14)1)-
1) В предисловии к 3-му изданию учебника «Тригонометрия»
(СПБ, 1886), переработанного для гимназии, Ф. II. Снмашко писал:
«Предыдущие два издания тригонометрии были составлены мною
ОСТРОГРАДСКПЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЫБРОССПИи,
Некоторые авторы доставили Остроградскому г0РазД°
больше забот, чем Симашко. Так, например, мною вр
мени Остроградскпй уделил исправлению и перера )oti
рукописи учебника Буцкого по начертательной юомстрпи.
Наконец, убедившись, что первоначальный выоор его
оказался неудачным, Остроградский поручил составле-
ние учебника по начертательной геометрии Сомову.
Уже из приведённой нами краткой справки можно
было бы усмотреть, что учебные руководства для военно-
учебных заведений, составленные с такой тщательностью
авторами, среди которых были такие крупнейшие учёные,
как Остроградский, Буняковский, Сомов и Вьпниеград-
ский, не могли быть рядовыми сочинениями. II действи-
тельно, они оставили глубокий след в истории развития
учебных руководств по математике.
Упомянем ещё об одной стороне деятельности Остро-
градского. Паш знаменитый учёный, как уже говорилось
ранее, следил за пополнением библиотек военно-учебных
заведений математической литературой. Па каждое мате-
матическое сочинение, предназначенное для библиотеки,
а также на некоторые рукописи преподавателей матема-
тики военно-учебных заведений он писал рецензии
и докладывал о них Учебному комитету. Так, например,
Остроградскпй дал рецензии па следующие книги:
В. Беренс, Курс дифференциального исчисле-
ния, СПБ, 1849.
В. Беренс, Алгебраический анализ.
А. Мешков, Курс высшем алгебры, СПБ, 1862.
Ф- С и м а ш к о, Руководство к решению геометри-
ческих вопросов на местности, съёмке планов и нивеллн-
рованию, СПБ, 1854.
П- Гурьев и А. Дмитриев, Практические
упражнения в геометрии или собрание геометрических
СПБ°С°? задач с пх ответами и решениями, ч. 1 и 2,
п* с 1
• ьиродд, Начальные основания геометрии, пер.
^Дополнениями Ф. Симашко, ч. 1—2, СПБ, 1847—1848.
ствовадс^НпЮ 11ачальства военно-учебпых заведений. Я руковод-
М. В П'1НЫМП указаниями нашего знаменитого академика
• петроградского».
218
И. А. МАРОН
М с и е р и III о к е, Начальные основания алгебры,
пер. с франц. Ф. II. Снмашко, СПБ, 1845.
Ф. О ж а р о в с к и й, Беседы с маленькими детьми
о первоначальных началах арифметики, СПБ, 1833.
Вот, например, одна из многочисленных рецензий
Остроградского.
«Препровождая ко мне на рассмотрение второе издание
перевода «Начальные Основания Алгебры» Мойера
п Шоке, Штаб Военно-Учебных Заведений требовал
одного указания па различие между этим и первым
изданием того же перевода. Важнейшие присовокупле-
ния названы самим переводчиком, подполковником
Снмашко, именно: решение уравнений первой степени
с произвольным числом неизвестных, извлечение квадрат-
ных и кубичных корней из данных чисел, отнесённые
в первом издании к Арифметике, числа полигонные *
п средние, возвышение в степень многочленов п много-
численные примеры для упражнении. К этим указаниям
можно присовокупить определенно умножения в случае
множителя отрицательного, существовавшее, впрочем,
и в первом издании, по не в тексте. Повое доказательство
независимости произведения от порядка множителей,
правда, нс совершенно удовлетворительное... Некоторые
подробности относительно отрицательных решений урав-
нений, обращение в непрерывные дроби, нахождение
наибольших и наименьших величин целых полиномов
второй степени, употребление логарифмических таблиц
и проч.
По мнению моему, перевод курса Алгебры, изданный
подполковником Снмашко, может служить весьма
полезным пособием при изучении этой пауки» (д. 2578,
л. 62; 23 декабря 1853 юда).
Таких рецензий имеется много десятков (дд. 2435,
2657, 2756, 2757, 2759, 2761, 2762).
Отметим кстати, что Остроградский привлекался
к работе Комитета по рассмотрению учебных пособий
Министерства Народного Просвещения и по поручению
последнего писал рецензии на некоторые рукописи учеб-
ников. Особенный интерес представляет рецензия Остро-
градского на рукопись профессора А. Н. Тихомандрни-
ПСТРОГРАДСКИЙ В военно-учебных заведен. РОССИИ 219
•ого1) «Начальная- алгебра»^ сыгравшую определённую
поль в истории развития учебных руководств по алгебре.
Положительным отзыв Остроградского явился основа-
нием для окончательного решения вопроса о замене
учебника по алгебре для гимназии французского автора
Беллявена2) более хорошим в научном отношении учеб-
ником Тихомандрицкого.
В своём рапорте на имя председателя Комитета по рас-
смотрению учебных пособий департамента народного прос-
вещения Остроградскпй писал: «Вследствие пред-
писания вашего превосходительства от 17/111 1852 г.
за № 117 я рассматривал препровождённое ко мне сочи-
нение инспектора Главного педагогического института
А. Н. Тихомандрицкого под заглавием «Начальная
алгебра» сравнительно с алгеброй Белля вена, изданной
Погорельским.
При этом сравнении я нашёл, что «Начальная алгебра»
Тихомандрицкого отличается от алгебры Погорельского
в научном отношении более систематическим изложением
предметов и общностью исследований, в практическом
же отношении преимуществует краткостью и приличным
выбором предметов».
Указав далее, что рукопись Тихомандрицкого нуж-
дается в некоторой редакции и сокращении, Остроградскпй
заключил: «...но во всяком случае «Начальная алгебра»
х) Александр Никитич Тихомапдрицкий (1808—1888) окончил
Главный педагогический институт в 1835 г. После защиты доктор-
ской диссертации в 1843 г. занимал должность ординарного
профессора Киевского университета. В 1848 г. был назначен ин-
спектором Главного педагогического института. С 1865 г. был
членом Комитета по делам книгопечатания, а затем членом
Учёного комитета министерства просвещения. Главные тру-
ды: «Решение двучленных уравнении», Киев, 1841 (докторская
Диссертация); «Начальная алгебра», вышла в трёх изданиях и
служила долгое время учебником для гимназий; «Вспомогатель-
ные таблицы для вычисления пожизненных эмеритальных пенсий»,
СПБ, 1875.
2) «Курс чистой математики, составленный ио поручению Бсл-
лявена, профессорами: Аллезом, Били, Пюиссаном и Будро. С фран-
цузского перевёл, значительно изменил и пополнил 11. Погорель-
киц f I Алгебра. Первое издание—СИБ, 1825, восьмое издание—
220
И. А. МАРОН
Тихомандрпцкого, по моему мнению,, при упомянутых
сокращениях с большею пользою может заменить собою
в гимназии алгебру Беллявена, изданную Погорельским1).
4. Учебные руководства Остроградского
Обычно в историко-педагогической литературе и в от-
дельных статьях, посвящённых Остроградскому, отме-
чается, что он был автором двух учебных руководств
для средней школы—«Руководства начальной геометрии»
и «Конспекта по тригонометрии»—и одного руководства
для высшей школы—«Лекций по алгебраическому п транс-
цендентному анализу» (СПБ, 1837).
Это не совсем точно. В действительности Остроград-
скпй составил больше руководств. Так, он написал и издал
в 1842 г. учебник по дифференциальному исчислению для
Морского кадетского корпуса (д. 2582, л. 452). Затем,
в 1860 г. он издал совместно с А. Блумом3) конспекты:
«Начальная арифметика» в «Начальная геометрия»
(СПБ, 1860). Кроме того, сохранившиеся документы
не оставляют сомнения в том, что Остроградский
составлял (а может быть, и составил) учебники по
элементарной алгебре и по дифференциальному исчи-
слению с элементами высшей алгебры для военно-учеб-
ных заведений.
Выше мы отметили, что составление учебника по
алгебре для военно-учебных заведений было поручено
А. Я. Кушакевичу, а учебника по высшей алгебре и диф-
ференциальному исчислению П. Л. Лаврову. Впослед-
ствии эти авторы отказались от выполнения своих обяза-
тельств, сославшись на свою перегруженность, и соста-
вление этих учебников взял на себя сам Остроград-
ский.
г) ЦГИА, ф. 739, on. 1, № 47, л. 3.
2) Повидимому, об этом учебнике вспоминает С. В. Ковалев-
ская в своей книге «Воспоминания детства и автобиографические
очерки» (стр. 50 и 124).
3) Совместно с А. Блумом Остроградскпй написал также бро-
шюру «Considerations sur I’cnseigncment» (С.-Петербург—Париж,
1860 г.). Об А. Блуме см. стр. 300.
ОСТРОГРЛДСКИЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ 3ABEggtbPOCCHHJ21
Сохранилась переписка между Остро р Д ' племен-
ником штаба по поводу составления учебник РХгПГЛрнпю
тарной алгебре и дифференциальному и
с элементами высшей алгебры, из которой видно,
Остроградский их готовил к печати.
Можно привести ещё два подтверждения того, что
Острсградский написал, по крайней мере, часть учеб-
ника по элементарной алгебре для военно-учебных заве-
дений.
В 1901 г. внук Остроградского передал в распоряже-
ние Полтавского кружка любителей физико-математиче-
ских наук рукописи своего знаменитого деда, оставшиеся
после его смерти *). Рукописи эти, в количестве 185 полу-
листов, представляют большей частью отрывки пз спе-
циально-математических и педагогических работ Остро-
градского. Из них 77 полулистов посвящены элементар-
ной геометрии, 60—элементарной алгебре, 16—прямо-
линейной тригонометрии, 16—механике, 2—теории вероят-
ностей, 2—вариационному исчислению, 3—программе
«Геометрии 3-х измерении», 2 полулиста представляют
темы пробных лекций по математическим наукам для
испытания преподавателей военно-учебных заведений,
4 полулиста посвящены официальной переписке по делам
главного наблюдателя. Остальные полулисты содержат
выкладки без текста.
Рукописи по элементарной алгебре представляют
собою систематическое изложение отдельных параграфов
учебника по этому предмету. Часть параграфов собрана
в отдельную главу, посвящённую логарифмам. Судя
по этим отрывкам, а также по тому, что в рукописях
по тригонометрии Остроградский ссылается на VI —VIII
отделы своего учебника по алгебре, можно заключить,
что он был близок к завершению его. Рукописи по три-
гонометрии свидетельствуют, что Остроградский, по край-
ней мере, приступил и к составлению учебника по прямо-
линейной тригонометрии для военно-учебных заведений.
/г, ) См. П. и. Т р и п о л ь с к и й, М. В. Остроградский
„ юВаздно?ание столстпя с0 Дня рождения Полтавским кружком
оителей физико-математических наук), Полтава, 1902.
и. А. МАРОН
В Архиве Академии паук СССР сохранилась подлин-
ная рукопись Остроградского, переданная Президиуму
Академии наук в 1912 г. II. 10. Жуковским1). Рукопись
состоит из двух разделов, посвящённых изложению
вопросов элементарной алгебры2). Судя по_ характеру
изложения, а также по пометкам и записям относительно
преподавания алгебры в кадетских корпусах, сделанным
между параграфами рукописи, можно предположить,
что эти листы представляют часть рукописи учебника
по алгебре для военно-учебных заведении.
Таким образом налицо два доказательства того, что
Остроградскпй составлял учебник по элементарной
алгебре.
Выше мы отмечали, что Остроградскому было пору-
чено составление методического руководства для пре-,
подавателей военно-учебных заведений—конспекта по
алгебре. Такой конспект Остроградскпй действительно
составил. Для подтверждения приведём две выдержки
пз документов, обнаруженных в ЦГИА.
1) В 1852 г. Остроградскпй, будучи главным наблю-
дателем за преподаванием математики в учебных заведе-
ниях Главного управления путей сообщения и публич
пых зданий, составил методическое письмо — инструкцию
для преподавателей математики и механики Института
корпуса инженеров путей сообщения. Касаясь методики
изложения темы «Введение в анализ», Остроградскпй
писал: «Затем, предложив истинное понятие о величинах
нсизмернмо-велнких и неизмеримо-малых, соображаясь
сказанным в отделе VIII конспекта алгебры для военно-
учебных заведений (подчеркнуто нами. — И. 71/.), препода-
ватель приступит к изложению правил дифференциро-
вания функций одного переменного числа»3).
2) В 1852 г. в Комитете по рассмотрению учебных
пособий при Министерстве народного просвещения обсуж-
далась рукопись проф. А» Тихомандрпцкого на предмет
9 См. протокол заседания физико-математического отделения
от 15.III 1912, § 263. II. 10. Жуковский—секретарь министер-
ства промышленности и торговли.
2) Архив АН СССР, разряд V, он. 1—О, 11, лл. 1—17-
3) ЦГПА, ф. 477, on. 1, Л» 2, лл. 31-67.
ОСТРОГРАДСКИЛ в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 223
утверждения ее в качестве учебника во алгебре для
гимназий, взамен учебника по алгебре Беллявена, в пере-
воде Погорельского. Остроградскпй и Буняковский
в своих отзывах решительно высказались в пользу учеб-
ника А. Тихомандрицкого. В конце своего обстоятель-
ного отзыва В. Я. Буняковской писал:
«При окончательном пересмотре своего труда г. Тнхо-
Мандрицкнй может воспользоваться советами бывшего
его наставника ио математическим паукам академика
М. В. Остроградского, который занимается составлением
конспекта начальной алгебры для военно-учебных заведе-
ний- В оконченных статьях этого конспекта г. Тихо-
мандрицкий почерпнет самые полезные для своей книги
замечания»1). (Подчёркнуто ламп.—И. Я/.) Был ли издан
этот конспект, установить, по удалось. Быть может,
он был как-то размножен и доведён до преподавателей
военно-учебных заведений.
* • Таким образом, Остроградскпй были составлены
и изданы следующие руководства для военно-учебпых
заведений: 1) Дифференциальное исчисление; 2) Конспект
по тригонометрии; 3) Руководство начальной геометрии
в 3-х частях; 4) Начальная геометрия (совместно с А. Блу-
мом); 5) Начальная арифметика (совместно е А. Блумом).
Кроме того, он подготовлял (а может быть, и составил):
1) Конспект по алгебре; 2) Элементарную алгебру; 3) Диф-
ференциальное исчисление с элементами высшей алгебры;
4) Конспект для повторения общего курса математики
(д. 2762, л. 86; д. 2366, лл. 45, 47).
‘ Сохранились записи лекций по различным разделам
высшей математики, читанных Остроградским как пу-
блично, так и в стенах высших военно-учебных заве-
дений Петербурга н в Главном педагогическом институте.
Часть этих лекций Остроградского—«Лекции алге-
браического н трансцендентного анализа» (ч. 1—Решение
алгебраических уравнений, ч. 11—Теория алгебраиче-
ских функций), записанные капитаном С. Бурачком
и лейтенантом С. Зелёным (СПБ, 1837), «Лекции по
небесной механике», записанные капитаном Япушсв-
Т ЦГПА, ф. 739, он. 1, д. 47, лл. 28—38.
22'»
И. А. МАРОН
ским (СПБ, 1831), «Лекции ио аналитической механике»,
читанные Остроградским в Институте корпуса инжене-
ров путей сообщения в 1836 г. и изданные литографским
путём—широко известны.
Другая же часть записей лекций Остроградского —
«Лекции по механике» и «Лекции по аналитической
геометрии», читанные Остроградскпм в 1852 г. в Главном
педагогическом институте и записанные Н. Будаевым,
«Лекции по трансцендентному анализу», записанные пору-
чиком П. II. Собко и М. А. Агамоновым, Лекции по неко-
торым главам элементарной геометрии», записанные
В. Поздняковым; «Лекции по теории алгебраических
уравнений» и др.—менее известны1).
Не имея в виду дать в настоящей статье подробные
обзор руководств Остроградского, мы ограничимся лишь
некоторыми замечаниями.
Б 1855 г. Остроградский издал «Руководство началь-
ной геометрии»—курс второго общего класса кадетских
корпусов (140 стр.). В 1857 г.—курс третьего общего
класса (406 стр.) и в I860 г.—курс пятого общего класса
(201 стр.).
Первая книга «Руководства начальной геометрии»
представляет общую вводную часть. Здесь излагаются
понятия о прямой, угле, о параллельных и наклонных
прямых, прямолинейных фигурах, треугольниках
и четырёхугольниках. Вторая книга охватывает разделы
о плоских кривых, о подобии фигур, об измерении п срав-
нении прямолинейных фигур, о правильных многоуголь-
никах и об измерении круга. Третья книга посвящена
исследованию взаимного положения прямых линий
и плоскостей, многогранным углам и многогранникам,
г) Записи Н. С. Будаева (1833—1902) хранил покойный
академик А Н. Крылов и использовал их при издании трудов Остро-
градского. Записи П. II. Собко (1819—1870) и М. А Агамонова
(1818—1867) опубликованы в «Журнале путей сообщения», т. Н
за 1841 г. Записи же лекций Остроградского по избранным главам
элементарной геометрии и по теории алгебраических уравнений
хранятся в Рукописном фонде фундаментальной библиотеки Ленин-
градского университета; кем сделаны эти записи установить
не удалось.
ОСТРОГРАДСКПЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЫЬРОССИП^
круглым телам, измерению поверхностей и объемов те.
В научном отношении учебник Остроградскою вы Д
отличался от большинства учебников по геометрии того
времени.
Отлично от многих современных ему авторов остро
градскии решал вопрос об основных геометрических
определениях. Большинство авторов, следуя Евклиду,
пыталось определять понятия пространства, плоскости,
прямой, точки. Так, рассматривая прямую, одни при-
водили определение Евклида, или его незначительные
видоизменения, другие, как Лежандр, вводили в опреде-
ление прямой метрические элементы, привлекая понятие
«кратчайшего расстояния», третьи опирались на понятие
движения в неизменном направлении и т. и. Остроград-
ский не считал нужным определять такие основные гео-
метрические понятия, как прямая, плоскость, простран-
ство и приводил лишь описание их характерных свойств.
Следует отметить и отношение Остроградского к чертежу.
При решении вопроса о том, есть ли данный геометрический
образ прямая, следует, утверждает он, обращаться
не к чертежу, не к интуиции, а к логическому аппарату,
устанавливая, обладает ли данный образ соответствую-
щими свойствами прямой.
Весьма характерная и отличительная черта «Руковод-
ства»—это общность изложения геометрического мате-
риала. Возьмём ли мы «Введение», где плоскость тол-
куется как простейшая поверхность, или учение о много-
угольниках, о кривых линиях, об измерении и сравне-
нии площадей плоских фигур,—всюду Остроградский
стремится рассматривать частные геометрические пред-
ложения с общей точки зрения. Так, например, раздел
об окружности автор «Руководства» начинает рассужде-
ниями о плоских линиях вообще, и многие свойства
окружности получает как частный случай свойств пло-
ских кривых. Аналогично поступает Остроградскпй
и в разделе о многоугольниках. Он прежде всего исслс-
Дует общие свойства выпуклых многоугольников, а затем
УЖе выводит свойства частных видов.
Большой общностью отличаются и определения,
пример, диагональ многоугольника определяется так:
Историко-матем. исследования
226
И. А. МАРОН
«прямая, заключающаяся между двумя какими пи есть
точками периметра, называется хордою многоугольника
в частном случае, когда две точки будут вершинами
хорда принимает название диагонали».
Следующей отличительной чертой «Руководства»
является то, что Остроградскии более смело, чем другие
авторы, прибег к алгебре, к аналитическим выводам
геометрических предложений. В «Предуведомлении» он
писал: «Автор имеет в виду приблизить изложение истин
начальной геометрии к способам, употребляемым в дру-
гих частях математики, а потому разместил предложения
в порядке, который показался ему наиболее соответствую-
щим предположенной цели. Однако, он нс посмел в пер-
вой попытке войти в решительное состязание с изложен-
пиом, которому Евклид представил образец и которое
употребляется более двадцати веков. Но если первый
опыт будет одобрен, то в последующих изданиях автор
поступит с большей решительностью и введёт в начало
науки все изменения, необходимые для совершенного
выполнения сейчас указанной мысли. Теперь только
некоторые предложения доказаны способом аналитиче-
ским и без пособия фигур, т. е. дан алгебраический
характер только некоторым частям геометрического
изложения».
Такими частями, которым «дап алгебраический харак-
тер», являлись: определение суммы углов треугольника
и многоугольника, измерение углов в окружности, ме-
трические соотношения между элементами треугольника
и т. д.
Какие изменения предполагал ввести О стр огр аде к nil
в позднейших изданиях своего учебника—неизвестно.
Возможно, что «для совершенного выполнения» своего
плана он собирался при изложении школьного курса
геометрии прибегнуть и к математическому анализу.
Указание на такое предположение дают нам следующие
слова Остроградского: «Исчисление это (дифференциаль-
ное исчисление.—И. М.) могло бы в геометрии заменить
и упростить суждения, посредством которых Евклид
распространяет предложения, доказанные для величии
соизмеримых, на величины несоизмеримые. Но, конечно,
сТр0ГРАДСКИП В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 227
„ т неуместным вводить дифференциальное исчисле-
Япе в начальную геометрию»1).
В Однако учебник Остроградского, несмотря на ряд
яучных достоинств, но нашёл широкого распространения
И школьной практике. Это объясняется в первую очередь
в что Остроградскпй преследовал две cj щоствеиио
различные цели: с одной стороны, перед автором стояла
задача составить учебник для учащихся вторых—пятых
общих классов, в возрасте 12 -15 лет; с другой стороны,
Остроградскпй стремился вооружить преподавателей
математики в России руководством для построения логи-
чески строгого систематического курса элементарно]!
геометрии. Составляя учебник, автор должен был иметь
в виду детей школьного возраста, впервые изучающих
геометрию; в поле же зрения Остроградского попали
прежде всего не ученики, а учителя, которые по его
замыслу должны будут, руководствуясь этой книгой,
совершить реформу в преподавании геометрии.
Такая двойственность целей и определила характер
изложения учебника. «Руководство начальной геомет-
рии» оказалось трудным и малодоступным для школьников.
В нем много абстрактных суждений, полезных для пре-
подавателей,’ по недоступных для детей школьного возраста.
Руководствуясь тем, что «чертеж нс нужен для геомет-
рии, он принимается лишь как средство вспомогатель-
ное, по причине слабости нашей в умственных сообра-
жениях», Остроградскпй умышленпо избегал чертежей
и свёл пх использование до минимума. Но это приво-
дило к длинным, трудно усвояемым словесным толкова-
ниям.
Педагогическая критика того периода правильно
уловила двойственный характер изложения, присущий
учебнику Остроградского. Рецензенты отмечали научные
достоинства книги, но одновременно подчёркивали её
педагогические недостатки. «Книга Остроградского,—
Разбор сочинения проф. Соколова «Динамика»—в XXIII
Рождении Демидовской и ремни 28 мая 1854 г. («Отчёты о при-
стп 1/оЯХ 1,агРаД камергера II. 11. Демидова», № 24, 1855 г.,
15*
228
И. А. МАРОН
писал В. А. Латышев1),—прекрасная, богатая содержа-
нием, драгоценная уже по множеству беглых, но глубо-
ких замечаний, очень полезная для учителя, но её совер-
шенно неудобно употреблять как учебник, именно вслед-
ствие особенностей изложения»2). «Трудно решить,—писал
известный методист В. П. Воленс,3)—к какой категории
отнести эту книгу» («Руководство начальной геометрии».—.
И. М.), к числу ли книг, изданных с целью произвести
реформу в изложении науки, или же книг, изданных
с целью служить руководством для учащихся»4). И далее
автор рецензии резко отрицательно отзывается о педаго-
гических качествах учебника, порицая Остроградского
за излишнюю абстрактность.
Сохранились письменные отзывы преподавателей ка-
детских корпусов, ведших преподавание по учебнику
Остроградского. В 1856 г. были собраны отзывы препо-
давателей о постановке обучения в кадетских корпусах
и об учебных руководствах. Касаясь учебника Остро-
градского, преподаватели также единодушно отмечали
г) В. А. Латышев (1850—1912) окончил физико-матема-
тический факультет Петербургского университета. Преподавал
математику в Петербургском учительском институте. Был редак-
тором журнала «Русский народный учитель» и активным сотруд-
ником других педагогических журналов. Одно время являлся
помощником попечителя петербургского учебного округа. Латы
шев—известный методист в области преподавания математики
в средней школе. Его книги «Объяснительный курс арифметики»
(СПБ, 1877), «Руководство к преподаванию арифметики» (М., 1897)
и др. пользовались популярностью среди педагогов.—
О В. А. Латышеве см. журнал «Русская школа», 1897, № 9—10
и журнал «Исторический вестник», 1912, № 2.
2) «Педагогический сборник», изд. при Главном управлении
военно-учебных заведений, 1879 г., книга 6.
3) Василий Петрович Воленс (1836—1903) окончил физико-
математический факультет Петербургского университета. Воленс—
наиболее видный методист 60—80 гг. прошлого столетия, актив-
ный сотрудник многих педагогических журналов; написал много
сочинений, посвящённых методике преподавания математики в сред-
ней школе. Главнейшие из них: «Руководство к арифметике» в двух
частях (СПБ, 1863; 14-е издание—1885); «Алгебра» (СПБ, 1871),
«Элементарная геометрпя» (СПБ, 1872), «Методика элементарного
преподавания арифметики в народных школах» (СПБ, 1880), «На-
чальные основания астрономической географии» (СПБ, 1872) и др.
4) Журнал «Учитель», № 9 за 1862 г.
ПГТРОГРАДСКИЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 229
учНую ценность «Руководства», но указывали на труд-
Яость преподавания по учебнику в связп с его абстракт-
Н стью- Приведём два характерных отзыва. «Что касается
н° курсов по этому предмету,—писал инспектор классов
одного кадетского корпуса,—то, отдавая полную справед-
ливость прекрасному изложению начальной геометрии
академика Остроградского, нельзя не поставить на вид,
что при всех своих достоинствах оно не может служить
руководством для детей, только что начинающих зани-
маться этой наукой, которых умственные способности
ещё не развиты для разумного понимания истин, изло-
женных в общем виде» (д. 2646, л. 156). Инспектор классов
другого кадетского корпуса писал: «Руководство началь-
ной геометрии, составленное Остроградским для второго
общего и частью третьего общего классов имеет слишком
учёную форму и в высших классах могло бы быть употреб-
лено с пользой как пособие к логическому изучению
науки, но для учеников от 12- до 14-летнего возраста
слишком затруднительно» (д. 2646, л. 30).
Приведённые суждения об учебнике Остроградского
вполне объясняют, почему этот учебник не привился
в средней школе. Не следует, однако, умалять значения
«Руководства». Оно явилось ценным пособием для учите-
лей математики и для авторов более поздних учебников
по геометрии. Характеризуя «Руководство», академик
А. Н. Крылов писал: «Учебником для средних школ оно
служить не может, но не как учебник, а как обязательное
пособие в педагогических техникумах это сочинение
было бы в высшей степенп полезно»1).
Великий русский революционер-демократ II. Г. Чер-
нышевский высоко оценил «Руководство начальной
геометрии» как книгу, вносящую «совершенную реформу
в методе учебников геометрии».
Вот его слова: «Если бы г. Остроградскпй написал
Руководство своё по общей методе, принятой для учеб-
запи В 1937 году академик Л. II. Крылов подал докладную
М В п В Президиум АН СССР с предложенном об издании трудов
ноет ' ^стРогРаДского. В этой записке он охарактеризовал деятель-
знаменитого учёного и некоторые из его учебных руководств
^рхив АН СССР, ф. 759, оп 1. № 354).
230
и. а. МАРОН
ников геометрии, его книга и тогда, без сомнения, заслу-
живала бы величайшего внимания, потому что его мате-
матический гений необходимо улучшил бы изложение
многих частей. Но руководство, составленное г. Остро-
градским, имеет другое, более глубокое, значение для
науки, потому что наш знаменитый математик вводит
совершенную реформу в методе учебников геометрии,
предполагая заменить способ доказывания посредством
черчения фигур способом аналитическим, доказывающим
геометрические положения без пособия фигур».
Отмечая, далее, что большим достоинством книги
является то, что Отроградский дал в ней «подробное
развитие объяснений о предмете и основаниях науки
и введение в курс новых предложений для сообщения
научной строгости выводам», II. Г. Чернышевский
кончает свой отзыв об учебнике следующими словами:
«...Излишне также говорить, что Руководство г. Остро-
градского отличается необыкновенною ясностью и стро-
гостью изложения; излишне и рекомендовать его книгу
величайшему вниманию всех преподавателей математики—
всё это совершенно излишне, потому, что на ней выста-
влено имя г. Остроградского»1). Этот же отзыв заодно
п характеризует отношение Н. Г. Чернышевского к Остро-
градскому, как к учёному и педагогу.
В 1851 г. Остроградскии издал книгу «Программа
и конспект тригонометрии для руководства в военно-
учебных заведениях».
Цель книги—дать преподавателям военно-учебных
заведений руководящие указания относительно построе-
ния учебного курса тригонометрии. Как и «Руководство
начальной геометрии», эта книга отличается оригинальным
подходом автора к вопросам тригонометрии.
Тригонометрические функции автор определяет через
отношения сторон прямоугольного треугольника, а затем
распространяет их определения на углы, большие прямого.
После подробного объяснения устройства тригонометри-
ческих таблиц автор переходит к решению прямоуголь-
J) Н. Г. Чернышеве к и й, Полное собрание сочинении,
т. II, М., 1949, стр. 739—741.
остроградскпй в военно-учебных заведен. РОССИИ 231
и косоугольных треугольников. Остроградскпй
НдСсматрпвает пять случаев решения косоугольных
тпеугольнпков: 1) по стороне и двум углам, 2) по двум
торонам и углу, лежащему против большей из них, 3) по
bvm сторонам и углу, лежащему против меньшей из них,
4) по двум сторонам и углу между ними, 5) по трём сто-
ронам.
При этом все неооходпмые для решения треугольни-
ков соотношения между тригонометрическими функциями
автор получает методами, отличными от методов, указан-
ных в русских учебниках тригонометрии, вышедших
до его «Конспекта».
Теорему синусов Остроградскпй доказывает двумя
способами. Первое доказательство основано на выраже-
нии диаметра описанного круга через сторону треуголь-
ника и синус противолежащего угла. Это доказательство
приводится в современных учебниках и, по видимому,
исходит от Остроградского. Второе доказательство осно-
вано на выражении площади треугольника через две
его стороны п синус угла между ними.
Теорему тангенсов Остроградскпй получает, нс при-
бегая к формулам преобразования суммы и разности
синусов в произведения.
Что характерно для учебного курса тригонометрии,
предложенного Остроградским?
Прежде всего, нельзя не отмстить стройности и закон-
ченности курса. Определив цели тригонометрии как
науки, указывающей методы решения треугольников,
Остроградскпй сперва решает прямоугольные, а затем
косоугольные треугольники.
Все необходимые соотношения он получает из геомет-
рических соображений. Курс очень сжат, ио вполне
доступен,—мы бы даже сказали—лёгок для усвоения.
План построения курса, структура его, и, наконец,
выводы формул принадлежат самому Остроградскому.
Мы не встретили в русских учебных руководствах
вышедших до книги «Программа и конспект тригоно-
метрии», доказательства теоремы синусов с помощью
выражения величины диаметра окружности, описанной
около треугольника. Также доказательство теоремы
232 11 • А. МАРОН _____________
тангенсов без формул преобразования суммы тригоно-
метрических функций в произведение и формул для выра-
жения тангенсов половинных углов треугольника через
его стороны без теоремы косинусов. Обычно в учебниках
формулы сложения углов предшествуют почти всем
остальным формулам гониометрии, в «конспекте» же они
приведены в самом конце, как следствие из предыдущих
формул.
Однако сравнение «конспекта» Остроградского с учеб-
никами тригонометрии периода 1830—1860 гг. показы-
вает, что Остроградский сильно сократил содержание
курса школьной тригонометрии. В учебниках других
авторов имеются специальные главы, посвящённые иссле-
дованиям тригонометрических функций и выводам боль-
шого количества тригонометрических зависимостей.
Остроградскпй же уделил этим вопросам очень мало
внимания, подчинив всё содержание одной цели—реше-
нию треугольников. У него нет даже теоремы косинусов,
формул двойных и половинных углов; формулы сложения
приведены лишь мимоходом и помещены мелким шриф-
том в подстрочном примечании.
Чем объяснить, что Остроградскпй так сократил,
сузил курс тригонометрии, выхолостил, в некоторой
мере, идейное богатство пауки?
Остроградскпй!, конечно, видел важнейшие недостатки
существовавших в его время учебников. Определяя три-
гонометрию как науку, имеющую своей единственной
целью решение треугольников, авторы загромоздили
курсы большим количеством формул и предложений,
не имеющих отношения к этой главной и единственной
задаче. К тому же теории тригонометрических функций
по сути дела не давалось; не приводились графики триго-
нометрических функций, не рассматривались тригоно-
метрические уравнения, обратные круговые функции,
не давались указания на какие-либо другие приложе-
ния, кроме решения треугольников.
Остроградский решил пе повторять отмеченных оши-
бок. В курс тригонометрии он предложил включить
только то, что необходимо для решения единственной
задачи тригонометрии—решения треугольников.
сГГРОГРАДСКИЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 233
Ло остаётся непонятным, почему Остроградскии,
овшийся за приближение методов элементарной
тематики к методам высшей, за внедрение элементов
Мысшей математики в курс средней школы, так огр ан и-
в цели изучения тригонометрии?
4 Почему Остроградский, много занимавшийся триго-
ометрическими рядами и исследовавший независимо
от Дирихле вопросы сходимости пх, не превратил триго-
нометрию из науки о решении треугольников, в науку,
посвящённую изучению тригонометрических функций
и их приложений, и, в частности, к решению треуголь-
ников?
Ответ на этот вопрос, на наш взгляд, следует искать в
специфических условиях военно-учебных заведений.
Остроградскии был регламентирован следующим
пунктом приказа главного начальника военно-учебных
заведений:
- «В математический курс должно войти исключительно
всё то, что составляет основную сущность науки и что
ведёт к исчисленным выше примечаниям. Исследования
же, служащие только к подробнейшему развитию какой-
либо теории, также изыскания, полезные только в высших
отраслях прикладном математики, должны быть из курса
исключены»1)
Курс тригонометрии Остроградского был, по необхо-
димости, подчинён этой установке. Остроградский сам
писал, что изложение тригонометрии «до того упрощено,
что дальнейшее сокращение едва лп возможно»2).
Но зато, чтобы расширить и углубить познания питом-
цев кадетских корпусов в области тригонометрии, Остро-
градский ввёл в курс математики высших военно-учеб-
ных заведений раздел, посвящённый более подробному
изучению тригонометрических и обратных круговых
Функций.
В специальной! инструкции для преподавателей
института корпуса инженеров путей сообщения3) Остро-
——I-----------
1848^ <(^астапле11ис для образования юношества ВУЗ» СПБ,
3) «Конспект», стр. 60.
) Об этой «Инструкции» см. ниже, стр. 251.
234
И. А. МАРОН
градский предложил преподавателям предпослать курсу
дифференциального и интегрального исчислений раздел
о тригонометрических и обратных круговых функциях,
причём—указывал он—«Обзор и исследование аналити-
ческих формул преподаватель разовьёт до такой степени
чтобы воспитанники могли получить ясную идею о воз-
можности общей теории функций»1).
О содержании и объёме дополнительного курса три-
гонометрии мы можем судить по учебнику В. Беренса
«Дифференциальное исчисление» (СПБ, 1849). Этот курс
составлен по лекциям Остроградского в Главном инже-
нерном училище и предназначен для руководства в выс-
ших военно-учебных заведениях. В главе «Обозрение
логарифмических, показательных, тригонометрических
и круговых функций» даётся понятие о тригонометриче-
ских функциях любого угла, исследуется изменение
этих функций в зависимости от изменения аргумента,
излагается теория обратных круговых функций.
В главе «Основные формулы, выражающие зависи-
мость между тригонометрическими и показательными
функциями и их приложения», даётся дальнейшее расши-
рение понятия тригонометрических функций—на слу-
чай мнимого аргумента.
Здесь же выводятся, с помощью теоремы Моавра,
формулы для синуса и косинуса кратных дуг, а также
формулы для sin* ж и cos*а; и др.
Таким образом, пробел в тригонометрии у воспитан-
ников средних военно-учебных заведении, по мысли
Остроградского, должен был ликвидироваться в высшей
военной школе.
Что касается преподавания сферической тригономе-
трии, то у Остроградского мы нашли одно указание,
которое приведём полностью:
«Первая из отраслей математического анализа, под-
лежащих нашему исследованию, есть сферическая три-
гонометрия. Она по простоте и ограниченности своего
предмета не требует других указаний, кроме выбора
между двумя способамп изложения—аналитическим
!) ЦГИА, ф. 447, on. 1, № 20, лл. 31—67.
ОСТРОГРАДСКПЙ D ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 235
и спнтетпческпм; мы отдаём преимущество первому пз
них как по простоте его, так и ио тому, что он согласнее
другого способа с духом преподавания большего числа
частей математики в институте (Корпуса инженеров
путей сообщения.—И. Л/.), где вообще принят способ
аналитический. Отличным руководством по сферической
тригонометрии может служить мемуар Лагранжа, поме-
щённый в журнале Политехнической школы (Journal
de ГЁсо1е politechnique 6 me cahier). Мемуар этот следует
перевести на русский язык, присовокупив некоторые
упрощения, весьма незначительного объема, и по нему
преподавать»1).
* *
*
Рукопись Остроградского по элементарной алгебре,
хранящаяся в Архиве Академии паук СССР, посвящена
уравнениям второй степени и извлечению квадратных
корней из чисел.
Изложение теории квадратного уравнения у Остро-
градского столь оригинально и изящно, что мы приве-
дём его довольно подробно.
Пусть а будет корнем квадратного уравнения
ах2 4- bx-\- с = 0, (1)
т. е.
«а2-р 6а-|-с==0; (2)
получим:
а (х2 — а2) + Ъ (х — а) = О
или
а (х—- а) (х + а 4- — 0.
Отсюда следует, что если существует один корень
квадратного уравнения а, то сущеовует и другой корень
?= ——. Отсюда же лтдно, что квадратный трёхчлен,
стоящий в левой части уравнения (1), разлагается на
множители следующим образом:
ах2 -J- Ьх 4- с — а (х — а) (х — р). (3)
ПГИА, ф. 447, on. 1, № 20, л. 32.
236
И. А. МАРОН
С другой стороны, приравняв коэффициенты при оди-
(3), мы получим так
наковых степенях х в равенстве
называемую теорему Виета:
а + ?=Ч-
а? = -.
‘ а
Далее Остроградский выводит
ния кратных корней квадратного
Пусть а = р, т. е. а=~~—
(4)
условия существова-
уравнения.
или а = — ; тогда
ах2 + Ьх + с — ах2 4- Ьх 4- ,
откуда
&2
c=i~a-
Следовательно, условие Ъ2 — кас = 0 является необходимым
условием существования кратных корней уравнения (1),
причём эти корни будут а = р = — Это условие и до-
- Ь2
статочное, ибо при с=.— имеем:
* г 4а
&2 / Ъ \*
ах2 + Ьх + с — ах2 4- Ьх 4- 4<j = а ( х + ^а)
и очевидно, что
b
Соотношение (3) мы получили, рассуждает далее автор
рукописи, в предположении, что уравнение (1) имеет два
различных вещественных корня:
Ъ
Zi=a; #2=—— — а.
При каком условии это имеет место?
Из соотношений (4) получаем:
а* + 2*?+₽г = ^.
-4а₽=ЧС-
остроградский
в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН» РОССИИ 237
Следовательно,
(а-^=Ь-2-',ас
а2
)А2 — 4дс
а
Кроме того,
а+₽=-4;
значит,
— b ± yf Ь2 — Ьас
О. = ----О-----
2а
-.b^Vb2-Uac
2а
или
— Ь ± — 4ас
Zl,2 =
(5)
2а
формулы имеют смысл при 62 —4ас>0,
при д2—4ас > 0 получим два различных
Последние
следовательно,
вещественных корня.
Остроградскии даёт и другой вывод формулы (5),
основанный на равенствах (4) и введении вспомогатель-
ного неизвестного р, определяемого равенством
а —р = 2/>.
Предложенный Остроградским приём исследования
квадратных уравнений представляет на наш взгляд ме-
тодический интерес и сейчас.
В следующем разделе рукописи Остроградский пзла.-
гает метод извлечения квадратного корня из чисел. Этот
метод удобен для извлечения корней из больших чисел,
так как сокращает число действий.
u Сохранившаяся рукопись интересна для нас и с дру-
гой стороны. Из неё видно, что даже при изложении
столь давно и подробно разработанных в учебной лите-
ратуре вопросов, как теория квадратного уравнения,
строградский находил новые методические пути, новые
°ригинальные приёмы.
238
И. А. МАРОН
Общеизвестны «Лекции алгебраического и трансцен-
дентного анализа», читанные М. В. Остроградским
в 1836 г. в Морском кадетском корпусе и изданные С. Бу-
рачеком и С. Зелёным1). Эти «Лекции» во многом опреде-
лили содержание последующих руководств и учебных
курсов, а отчасти и научных исследовании по алгебре
и теории чисел. В предисловии к своему прекарасному
курсу алгебры II. Сомов писал: «Алгебраический анализ
в последнее время оказал быстрые успехи. Педагоги наши
ие переставали за ним следовать и сообщать учащимся
новые открытия, составляя пли переводя с иностранных
языков хорошие руководства, но наиболее принесли
услугу нашей литературе гг. Бурачек и Зелёный—изданием
«Лекций алгебраического анализа», читанных в прошлом
году академиком Остроградским... Этот труд, истинно
полезный, заслуживает полную благодарность тех, ко-
торые пожелают ознакомиться с приёмами нашего гео-
метра и с философскими взглядами на предмет и систему
анализа»2).
J) Степан Анисимович Бурачок (1800—1876)—известный
корабельный инженер, член Морского технического комитета
и профессор теории и практики кораблестроения в офицерских
классах Морского кадетского корпуса, автор фундаментального
труда «Паука и искусство корабельного зодчества», СПБ, 1831;
известен также как реакционный критик и писатель, близкий
к Булгарину; в сороковых годах издавал обскурантистский журнал
«Маяк»; умер в чине генерал-лейтенанта.—Семён Ильич Зел ti-
ll ы й (1810—1892) после окончания Морского кадетского корпуса
продолжал своё образование по астрономии в Юрьевском универ-
ситете, затем сам читал лекции ио астрономии в Петербургском
университете и в Морском кадетском корпусе; впоследствии был
председателем Морского учёного комитета; является автором
нескольких учебных руководств для Морского кадетского корпуса:
«Астрономические средства кораблевождения» (СПБ, 1861), «Пря-
молинейная и сферическая тригонометрия» (СПБ, 1855), «Ариф-
метика» (СПБ, 1852). Умер С. И. Зелёный в чине полного
адмирала флота.—С. А. Бурачек и С. И. Зелёный были, п видимому,
авторами известного пасквиля на Лобачевского, помещённого
в «Сыне Отечества».
2) И. С о м о в, Теория определённых алгебраических уравне-
нии высших степеней, М., 1838. Эта книга и лекции Остроградского
сильно способствовали распространению в России алгебраических
исследований Остроградского, Лагранжа, Коши, Гаусса, Абеля
и Штурма. Анализ «Лекций алгебраического и трансцендентного
лГТРОГРАДСКПП в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 239
В этих лекциях Остроградскпй изложил курс высшей
алгебры на уровне современного ему состояния этой
яаукп, включив в них и доказательство невозможности
общего решения уравнений выше четвёртой степени в ра-
дикалах и способ Гаусса для решения двухчленных урав-
нений.
Небезиитересно привести здесь выдержки из письма
одного из слушателей публичных лекций Остроградского
к своему московскому другу1). Это письмо ярко харак-
теризует отношение передовой интеллигенции к публич-
ным лекциям Остроградского и свидетельствует о том,
xjto эти лекции вызывали глубокий интерес, что ими
гордились, как выдающимся событием русской научной
жизни.
«Душевно радуюсь,—писал автор письма,—что имею
случай Вам, любителю всего полезного, сообщить очень
приятную новость, которую, впрочем, Вы, верно, знаете
из газет, но без подробностей.
Вот уже двенадцатый раз имели мы удовольствие
слушать лекции Русского геометра, которого лет семь
тому с таким удовольствием слушали сами французы
в самом Париже, столице геометров. У пас теперь свой
родной геометр, которым можно гордиться, и ещё лучше—
у пего учиться, которого каждый мемуар—их уже очень
много—есть непременно какое-нибудь повое открытие,
новый подарок учёной Европе... Па лекцию собираются:
инженеров Путей Сообщения 15, морских офицеров 22,
корабельных офицеров 12, генерального штаба 1, поле-
вых инженеров 3, разных гг. учёных 8, всего 61.
Я вместе с Вами без ума от восторга: 53 слушателя,
все в эполетах, 61 всех слушателей математики! Пред-
ставьте себе, сам Коши, предводитель Парижских апалп-
аналпза» можно найти в статье М. Тихомандрицкого в сборнике:
Н. Т р и п о л ь с к и й, М. В. Остроградскпй. Столетие со для
Вождения. Полтава, 1902. Лекции переизданы Академией наук
СССР в 1940 г. под редакцией акад. А. II. Крылова.
Э Автор письма назвал себя «С... Б.». Письмо адресовано
J Е. И. Корш—журналисту и публицисту, участнику кружка
ерцена, Белинского и Грановского. В 1858—1859 гг. Корш редак-
ировал журнал «Атеной», в котором помещали своп статьи Герцен
и Чернышевский.
240
И. А. МАРОН
стов, не всегда насчитывал их у себя до 20; в Париже,
где и барыни не пугаются анализа, где анализ тоже
в числе модных «головных» уборов. Между постоянными
слушателями мы заметили троих наших академиков,
сочленов г. Остроградского, известнейших всей учёной
Европе: В. Я. Бупяковского, Э. X. Ленца, М. В. Тарха-
нова. Этого не запомнят ни в Париже, ни в Берлине.
Кроме их, мы заметили ещё многих заслужённых штаб-
офицеров. Как же не радоваться, что у нас есть кому
и есть кого слушать!». Делясь впечатлениями об Остро-
градском, автор письма писал: «Гениальный талант, при-
знанный всеми, бесконечная начитанность, удивительная
память, самая счастлпвая способность с быстротою мол-
нии сближать самые отдалённые вещи, головокружащая
вышина, с которой русский геометр обзирает обширнейший
горизонт анализа, дают ему полную возможность усма-
тривать самые кратчайшие пути, ведущие к той же цели.
Этим-то путем он ведёт своих слушателей. Нельзя нади-
виться, как просто, сжато, как ясно излагает он самые
сбивчивые, растянутые тёмные теоремы.
Как человек, совершенно владеющий своим предметом,
он кажется шутит, а не работает; и это дело, всегда бояз-
ливое, всегда послушное своему мастеру, точно само собою
делается; даже досадно, теперь и я бы кажется то же са-
мое придумал, так всё просто. Ведь Вы знаете Михаила
Васильевича? Какая драгоценность для слушателей. При-
рода дала ему и самую наружность истинного профессора.
Прекрасный, видный рост, «прямо пропорциональный»
высоте его гения, открытое значительное лицо, голос
чистый, яркий, звучный. Мудрено ли, что он слышен
в зале для 60 слушателей, когда его слышат в отдалённей-
ших краях Европы бесчпсленные слушатели»1).
Научная критика того времени восторженно отзы-
валась о лекциях Остроградского. Рецензент журнала
«Библиотека для чтенпя» писал, что «это была настоящая
эпоха для всех, занимающихся точными науками»2).
х) «Математические лекции г. Академика Остроградского»,
СПБ, 1837, Письмо С... Б к Е. Корш от 4.XII 1836 г.
2) Цитируется по статье В. Морева «Сто лет назад», помещён'
ной в журнале «Математика в школе», № 2 за 1940 г., стр. 66.
ЛСТРОГРАДСКПЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 241
Как свидетельствуют С. Бурачок и С. Зелёный, пу-
бличные лекции Остроградского были задуманы очень ши-
о и рассчитаны па несколько лет. «Лекции алгебраи-
ческого и трансцендентного анализа» (1837) являлись
пшь первой частью курса, за которой должно было после-
*' овать дифференциальное и интегральное исчисле-
ния. Менее известно, что лекции по трансцендентному
анализу Остроградский действительно продолжил (правда,
четыре года спустя). Две из них, «Извлечение пз публич-
ных лекции трансцендентного анализа, читанных
акад. М. В. Остроградским», записанные его ближайшими
учениками по Институту корпуса инженеров путей сообще-
ния П. И. Собко и М. А. Агамоновым х), были напечатаны
во втором томе «Журнала Путей сообщения» за 1841 г.
Эти записи малоизвестны, а потому мы подвергнем
их краткому обозрению.
В первой лекции Остроградскии вводит понятие опре-
делённого интеграла, исходя пз обобщения среднего
арифметического п чисел для непрерывной функции.
Деля отрезок [а, 6] на равные части з с помощью чисел,
образующих арифметическую прогрессию, он рассматри-
вает среднее арифметическое значений функции f(x) в
точках деления. Предел этих средних при числе делений,
стремящемся к бесконечности, Остроградскии называет
средним арифметическим функции f(x) на отрезке [я, 6],
а произведение среднего функции на длину отрезка [а, 6]
называет определённым интегралом. Из этого определения
он затем легко получает все основные свойства опреде-
лённого интеграла.
В связи с теоремой о том, что при df (я)=0 имеем
/(ж)_с, Остроградский обращает внимание на одну
неточность Коши. Коши считал, что существуют функ-
ции, отличные от постоянной функции с дифференциалом,
Равным нулю,—вроде

) п. П. Собко (1819—1870) впоследствии стал известным
Бенером и профессором прикладной механики и строительного
усства (см. ниже, стр. 317.)—М. А. А г а м о и о в (1818—18G7)
одполковнпк Института корпуса инженеров путей сообщении.
ИсторцкО.матедь исследования
242
И. А. МАРОЙ
где радикал берётся со знаком плюс. Формальное диф-
ференцирование даёт здесь
-4г-=°’ W) = o.
Остроградскпй замечает, что дифференцировать фор-
мально эту функцию нельзя, так как она терпит разрыв
в нуле и, следовательно, выражение
Нт/^±0=2(о)
8—>0 8
смысла не имеет. Для этого случая Остроградскпй опре-
деляет производную как
т. е.
е->о
I. с — с'
lim —5— = 00.
8->о 25
В конце второй лекции Остроградский выводит фор-
мулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
* *
*
В 1829—1830 учебном году Остроградскпй читал лек-
ции по небесной механике. Лекции эти были записаны
поручиком И. Янушевскимт), бывшим тогда репетито-
ром Института корпуса инженеров путей сообщения, отре-
дактированы самим Остроградским и изданы в 1831 г.
Эти лекции были подвергнуты подробному анализу
со стороны Пуассона и Араго.
Приведём отдельные извлечения пз совместного Д°“
клада Пуассона и Араго, помещённого в 3-м томе журнала
Крелля.
х) И. Я н у ш с в с к и й—наставник-наблюдатель Первого к
детского корпуса—впоследствии стал профессором математик
п механики в Институте корпуса инженеров путей сообщен!
~ В ВОЕННО-УЧЕБПЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 243
ОСТРОГРЛДСКИЙ В---------------------------------------
что Лагранж свёл оставление уравнений дьн
^^одной формуле, представляющей соединение на-
жениядаЛ£П1бера и принципа возможных' перемещений,
чала Д и Драго писали: «Эта формула (формула Ла-
Пуасс°__и содержит, как известно, вариации коор-
гРаН>к^сеХ точек системы, совместные с условиями, свя-
ДПНяюШИМИ этп точки между собою. Г. Остроградский
зыв ает эту формулу к произвольным постоянным,
включающимся в интегралах дифференциальных урав-
задий движения. От этих произвольных постоянных
^каждом частном случае координаты движущихся точек
суть неявные функции. Эта достойная внимания идея
принадлежит автору. Отсюда он непосредственно выводит
известное свойство, по которому некоторое сочетание ча-
стных производных от координат и скоростей точек си-
стемы представляет количество, пе зависимое от времени
во всех тех случаях, когда сумма произведений действу-
ющих на точки сил па .элементарные перемещения этих
точек по направлению сил есть полный дифференциал.
Отсюда же он выводит начала* живых сил, движения цен-
тра тяжести и площадей. Затем автор предполагает, что
к системе приложены ещё и такие силы, для которых усло-
вие интегрируемости места пе имеет. . .Автор нахо-
дит ту систему линейных уравнений, данную Лагранжом,
пользуясь которой в каждом частном случае остаётся
лишь выполнить некоторые исключения неизвестных...
Эти общие теории изложены с ясностью в первых пяти лек-
циях г. Остроградского... Затем он их применяет к ча-
стному случаю эллиптического движения планет вокруг
Солнца при возмущениях этого движения одною пли не-
сколькими другими планетами».
Указав, что Остроградскпй упростил изложение об-
щих методов небесной механики, Пуассон и Араго заклю-
чили:^ «Мы полагаем, что сочинение г. Остроградского
остойно похвалы и одобрения Академии»1).
rnanoLЧитнРУ<тся из записки акад. \. II. Крылова о М. В. Остро-
стаХМр Архпв АН СССР’ 759’ оп> 354’ стр* 17< См* такжс
(по пп **• Ф- С а б и н и и, Михаил Васильевич Остроградскпй
вик» 0Ду столетия со дня рождения), «Математический сбор-
’ т- 22, стр. 508.
16*
VA
и. А. МАРОН
В ЦГИА в Ленинграде и в Архиве АН СССР сохра-
нился ряд документов, связанных с организацией пу-
бличных лекций Остроградского вообще, и в частности
лекций по небесной механике1). Эти документы пролд!
вают свет на организационную сторону дела. Оказывает-
ся, что публичные лекции Остроградского, начатью
в 1829 г., были рассчитаны иа три года. Он предполагал
прочесть курс не только по небесной механике, но и По
математической физике. Лекции были платными. Ка_
ждое высшее военное учебное заведение покупало опреде-
лённое количество годовых мест. Для слушания публич-
ных лекций командование учебного заведения выделяли
наиболее подготовленных и отличившихся преподава-
телей.
Публичные лекции Остроградского неизменно явля-
лись событием в жизнп высших военно-учебных заведе-
ний. Оказаться слушателем этих лекций считалось большой
честью. Передовое офицерство высоко ценило публичные
лекции замечательного русского математика, ловило ка-
ждое его слово 2 * * * * *). Для иллюстрации приведём выдержки л:
рапорта И. Янушевского на имя директора Института кор
пуса инженеров путей сообщения генерал-лейтенанта Ба
зеиа от 30. XI 1830 г. «Находясь в числе слушателей курс;
небесной механики, читанной г. Остроградским, я долго:
поставил себе по силам своим воспользоваться сим курсом
Заметив же, что большая часть того, что объясняе
г. Остроградскии, не находится ни в одном из доселе издан
ных по сей части сочинений, я предположил собрать ег
лекции. По окончании курса я представил свой тру
г. Остроградскому, который, рассмотрев оный, посовеп
вал мне учинить в нём некоторые изменения, что я
сделал. Совершив те перемены, г. Остроградскии одо<
рил сие соображение и изъявил своё желание на папеч;
9 ЦГПА, ф. 201, on. 1, № 323, лл. 2—7. Архив АН CCQ
р. V, оп. 1-а, №11.
2) Отмстим, что публичные лекции Остроградского полоза
начало целому ряду таких же публичных курсов в других уш1®
сптетских городах России. В Петербурге Гесс читал химп10»
чаев—физику, Ястржембский—механику, в Москве Перевошпь
астрономию, Павлов—сельское хозяйство и т. д. См. В. М 0
Сто лет назад (Журнал «Математика в школе», № 2, 1940, стр-
сТрОГРЛДСКНП В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 245
ие оного, которое желание вторично объявил через
полковника Лама».
г* Изложив затем свою просьбу об отпуске средств для
ттянпя записок лекций Остроградского, Янушевскнй за-
йЛ свой рапорт следующими словами: «...Я ио осмс-
К лея бы утруждать Ваше пр-во, если бы нс был уверен,
Лто курс г- Остроградского по новости п общности идей,
вторые в оном заключаются, будет уважаем пе только
России, но и заграницею, а более всего, что он будет
полезен офицерам нашим» i).
Следует отметить ещё одно обстоятельство. Если ини-
циатором издания лекций Остроградского по алгебраи-
ческому анализу был Морской кадетский корпус, то
издание лекций по небесной механике, а также по транс-
цендентному анализу взял на себя Институт корпуса
инженеров путей сообщения,—лучшее в то время по
физико-математической подготовке учебное заведение
в России2).
Кроме публичных лекций по алгебраическому и транс-
цендентному анализу и по небесной механике, Остроград-
ский читал общие лекции (с 1. X 1859 г. по 1. V I860 г.)
по дифференциальному исчислению и по тсорип вероят-
ностей в помещении Михайловской артиллерийской
академии. Лекции по дифференциальному исчислению,
как свидетельствуют об этом историки Михайловского
артиллерийского училища А. Платов п Л. Кирпичёв,
были записаны и полностью изданы в литографиро-
ванном виде прапорщиком II. И. Борткевичем 3), но
сейчас они утеряны. В 1847 г. Остроградскпй читал
9 ЦГИА, д. 201, on. 1, № 323, л. 7.
) В тридцатых годах прошлого столетия этот институт орга-
Hav°BaJI наличные «чтения об усовершенствованиях в инженерных
скийг^’ В «чтениях» приняли участие: Буляковскнй, Остроград-
роль’ Ьазен’ Ламэ, Купфер, Гесс и др. Эти лекции сыграли немалую
’^А^тт Разпптия научных знаний в России.
обраапп ’ Платов и Л. Кирпиче в, Исторический очерк
Спб is???Я и Развития Артиллерийского училища (1820—1870 гг.),
преподал U’ СТР' ^26-—Т°т же Борткевич, ставший впоследствии
сад Два аТ^ЛяМ артиллерии Павловского военного училища, вапи-
тРигоиомп^Че^НЬ1х Руководства для гимназий: «Прямолинейная
Зии» (СПБ^И187ЛЯ гпмпа31,п>> (СПБ, 1870) к «Алгебра для гимна-
246
И. Л. МАРОН
публичные лекции в помещении Академии наук. К соща^
леи ню, нам по удалось установить, какому разделу Ма'
тематических паук они были посвящены. Достоверно ц3,
вестио, однако, что такие лекции состоялись, известен даще
список пх слушателей *). Вполне возможно, что и по этим
лекциям были составлены записи. Ведь но знали же мЬ1
до последних лот о существовании записей прекрасных
лекций по механике и аналитической геометрии, читан-
ных Остро!радскпм в 1851—1852 гг.; эти записи, сде-
ланные II. С. Будаевым* 2), были случайно обнаружены
в 1937 г., академиком А. II. Крыловым, представивши^
о них специальный доклад Президиуму АН СССР3).
Запись курса Остроградского «Механика» предста-
вляет по объёму небольшое сочинение—около 108 стра-
ниц. Первые лекции посвящены введению в курс меха-
ники. Здесь автор трактует об основных понятиях меха-
ники: пространстве, времени, материи и т. п. Характери-
зуя это введен не, академик Крылов писал: «Есть книга,
составленная одним немецким профессором, в которой
сгруппированы предисловия или введения в знаменитей-
шие сочинения по механике, начиная от «Начал» Нью-
тона; введение Остроградского в свой курс, по своей ори
гииальностн, могло бы занять в этой книге видно!
место» 4)
После этою введен ня следуют рассуждения о траеи
тории, скорости, ускорении, их проекциях п нахожде
нпн этих проекций, когда заданы конечные уравнения двг
жешгя в декартовых координатах. Затем лектор пер(
ходит к рассмотрению падения тяжёлого тола в пу тог
Выяснив подробно понятие ускорения и установив, я:
оно выражает действие одного тела на другое, находяще
ся в движении, лектор переходит к исследованию па раб
лического движения под действием силы тяжестп и плане
пых движений под действием притяжения Солнца; зап
!) Архив АП СССР, р. V, оп. 1, № 11.
2) О 11. С. Бузаеве см. ниже, стр. 319.
3) Архив АН СССР, ф. 759, on. 1, № 354, стр. 18—30.
4) Там же, л. 2. См. также «Полное собрание сочинений аЬ
М. В. Остроградского», т. I, ч. 2, Л., 1946, стр. 4.
ОСТРОГРАДСКИЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 247
пассматривается движение артиллерийских снарядов. Даль-
нейшее изложение посвящено вопросам об инерции мате-
в 0 0 массе, о силе инерции и силе вообще, о свободном
Р ^свободном движениях точки.
В отделе, посвящённом механике системы, сначала из-
лагаются вопросы о центрах инерции, моментах инер-
ции, главных осях системы точек и сплошных однород-
ных тел, а затем изучаются вопросы о притяжении
тел. Здесь Остроградский применил выведенную им в
1834 г. формулу для преобразования /г-кратного пнте-
грала по n-мерной области в (п—1)-кратный интеграл
по ее границе. Этой формулой он пользуется и в дру-
гих разделах курса.
Самый большой раздел курса—это «Общая теория
равновесия и движения». Установив начало возможных
перемещений и начала Даламбера, он объединяет оба .
эти начала и, пользуясь ими, составляет дифференци-
альные уравнения движения любой системы. Равнове-
сие при этом рассматривается как частный случай дви-
жения. Записи Будаева заканчиваются статьёй о ве-
рёвочном многоугольнике1); они не охватывают полно-
стью курса лекций по аналитической механике, который
Остроградскпй читал в высших военно-учебпых заве-
дениях. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить
эти записи с литографированным курсом лекций по ана-
литической механике, прочитанным Остроградским в Ин-
ституте корпуса инженеров путей сообщения в 1836 г.
В этом курсе за учением о верёвочном многоугольнике
следует учение о равновесии гибкой и нерастяжимой нити
(причём всё выводится из общих уравнений в первой
лагранжевой форме), затем идут статьи о равновесии
жидкостей, о вычислении давлений, о равновесии плаваю-
щих тел, о теории всасывающего насоса. Курс заканчи-
вается учением о соударении тел упругих и неупругпх.
В виде прибавления в самом конце дано краткое изложе-
Вопросу о равновесии верёвочного многоугольника Остро-
валаКИ^ ”освятил отдельную статью, помещённую в кн. 2 «Жур-
иНтепП^Т<?^ сообщения» за 1839 г. Статья представляет большой
тическС’ В Еей ОстРогРаДскцй указывает общий приём для анали-
кого выражения равновесия системы.
248
И. Л. МАРОН
ине вариационного исчисления, как дополнение к курсу
математики.
Основная особенность этих лекций по механике (как
1837 г. так и 1852 г.) — это стремление автора к общ-
пости и целостности. Основные положения механики Ост-
роградский выводит пз единого начала возможных пере-
мещений. Свои теоретические изыскания он ведёт собст-
венными методами, дополняя и углубляя «Аналитиче-
скую механику» Лагранжа, а в некоторых случаях и
поправляя её. Об оригинальности лекций Остроградского
говорит хотя бы тот факт, что он нигде в них не упоминает
ни лагранжевых координатных параметров, ни уравне-
ний второго рода1).
Лекцпп Остроградского ио аналитической геометрии,
судя по записям Н. С. Будаева, являлись, по сути дела,
лекциями не по аналитической геометрии в обычном смыс-
ле, а по приложению анализа к геометрии. Записи Будае-
ва начинаются с учения о касательных и кривизне. Сразу
исследуется общий случай кривых в пространстве, а пло-
ские кривые рассматриваются затем как частный случаи.
Далее идут исследование кривизны поверхностей и уче-
ние о линиях кривизны в прямоугольных и криволиней-
ных координатах. С помощью вариационного исчисления
строится учение о геодезических линиях. Записи заканчи-
ваются учением об образовании поверхностей и о характе-
ристиках. Лекции по аналитической геометрии отлича-
ются большими методическими достоинствами. Приводится
большое количество примеров и указываются различные
методы их решения. Изложение оживляется историче-
скими замечаниями.
В вышеупомянутом докладе президиуму Академии на-
ук в 1937 г. А. Н. Крылов писал: «Мне представляется,
что надо дополнить запись Н. С. Будаева последним”
«уроками» или лекциями из литографированного курса
и напечатать читанные Остроградским курсы по «Анал”'
тической геометрии» и «Аналитической механике». ПолУ'
чится книга около 16*-18 листов. Эта книга пе толы*’0
'*) См. ^Собрание сочинении акад. М. В. Остроградского»,
чащьч KQ второй части тома I (Л., W46).
оСТРоГРАДСКПП В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ заведен. РОССИИ 249
Гудет служить некоторым памятником знаменитому учё-
ному, н0 прпнссёт большую пользу, как пособие для
вузов И втузов1).
*
Конспекты «Начальная арифметика» и «Начальная
геометрия», составленные Остроградскии совместно
А Блумом, вошли в так называемые «Политехнические
таблицы» (СПБ, 1861)*).
Издание этих таблиц было предпринято Остроград-
ским совместно с А. Блумом с целью распространения
физико-математических и технических знаний среди ши-
роких кругов интеллигенции России. По замыслу редак-
торов и издателей «Таблицы» должны были представлять
своеобразную энциклопедию политехнических наук. О це-
лях и пользе издания «Таблиц» авторы в первой редак-
ционно]'! статье писали так: «Для успешного и практически
полезного изучения наук нужно: знать цель, которой
желаем достигнуть, иметь и средства для усвоения как
главных идей науки, так и подробности п механические
пособия, чтобы не забыть выученного. Житейские заботы
часто заставляют нас терять из виду предметы, которыми
мы занимались и которые стоили нам усилий и лишении, а
потому весьма важно иметь под рукой пособия удобные, яс-
ные, доставляющие всё, что нужно не только для обновле-
ния идей, прежде усвоенных, но и для приобретения новых.
Синоптические таблицы представляют таковое посо-
бие в самом простом и в самом удобном виде. Польза этих
таблиц не ограничивается средством к приобретению по-
знаний. Они нужны всем, кто желает проследить науку
в сжатом виде п в главных её чертах. Итак, профес-
сора, инженеры, военные, фабриканты, администраторы
г) Архив АН СССР, ф. 739, on. 1, № 354, стр. 14.
2) Полное название «Таблиц» таково: «Политехнические та-
блицы, представляющие сокращённое изложение наук математи-
ческих, физических и их применений. Издаются под управлением—
Для математических наук: М. Остроградского—члена СИ Б Акаде-
мии Наук, французского института, Академий: Туринской, Бостон-
ской, Римской, Копенгагенской и пр.; для физических и техниче-
ских наук: Августг1 Блума инженера, бывшего воспитанника
Политехнической школы и проч.».
250
И. А. МАРОН
больших промышленных предприятий найдут в синоптиче-
ских таблицах ясные ответы на вопросы, которые им сле-
дует решить для использования лежащих на них обязан-
ностей».
О шпроте замысла Остроградского и Блума можно су-
дить по выработанной им программе «Политехнических
таблиц». Они должны были состоять из следующих раз-
делов:
1. История и библиография: исторический обзор раз-
вития физико-математических и технических наук, хро-
нологические таблицы изобретений, биографии учёных,
инженеров п изобретателей и т. п.
2. Наставления для изучения наук: советы учащимся,
учащим, экзаминаторам, гигиена умственного труда и т.п.
3. Начала наук точных: теоретическая арифметика,
геометрия, прямолинейная п сферическая тригонометрия,
начертательная геометрия.
4. Начала наук наблюдательных: физика, химия, ме-
талловедение.
5. Высшая математика и механика: высшая алгебра,
аналитическая геометрия, дифференциальное и интеграль-
ное исчисления, вариационное исчисление, теория вероят-
ностей, теория чисел, аналитическая механика, небесная
механика, математическая физика.
6. Метеорология и физическая география.
7. Геология и минералогия.
8. Строительное искусство: мосты, плотины, подзе-
мелья, каналы и др.
9. Портовые сооружения: докп, шлюзы, пристани, во-
енные порты, гидрография и др.
10. Железнодорожные сооруХжения: рельсы, станции,
платформы, паровозы п др.
11. У стройство городов.
12. Искусство военное и морское: артиллерийское во-
оружение и боеприпасы, военно-инженерное дело, так-
тика, интендантство и др.
13. Горное искусство.
14. Земледелие и пищевая промышленность.
15. Архитектура.
16. Промышленная механика и различные искусства.
ОСТРОГРАДСКИЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 251
К составлению «Таблиц» были привлечены круп-
ные ученые России различных специальностей.
«Таблицы» стали выходить в 1860 г. на трёх языках.
К сожалению, Остроградский пе успел завершить это
исключительно интересное мероприятие: вышли всего
11 таблиц, а предполагалось их выпустить—380. Выпу-
щенные таблицы были посвящепы: арифметике, началь-
ной геометрии, физике и начертательной геометрии г).
«Начальная геометрия» и «Начальная арифметика»,
вышедшие в «Таблицах», представляют собою конспектив-
ное изложение основ арифметики и элементарной геомет-
рии. Материал в них изложен ясно, а в некоторых случаях
весьма оригинально.
• * *
*
Мы упомянули выше (стр. 233) об инструкции, состав
ленной Остроградским в 1852 г. для преподавателей мате-
матики и механики Института корпуса инженеров путей
сообщения.
Эта инструкция* 2), представляющая собою подробное
методическое письмо (на 72 страницах), интересна в том
отношении, что опа определила объём и содержание кур-
са высшей математики и аналитической механики не толь-
ко для Института корпуса инженеров путей сообщения,
но и для всех других высших военно-технических учеб-
ных заведений.
В конце сороковых и начале пятидесятых годов
прошлого столетия в Институте корпуса инженеров путей
сообщения произошли коренные организационные пре-
образования и изменение всей учебной и воспитательной
деятельности. Главное управление путей сообщения и
публичных зданий, напуганное революцией 1848 года и
подъемом революционного движения в Росс пи, предприня-
ло решительные меры, чтобы вытравить всё прогрессивное
в институте и подчинить его работу строгому контролю
J) Отзывы о «Политехнических таблицах» ом. в «Московских
Ведомостях», 18G1 г., 16 и журнале «Строитель», 18G1, т. 111,
КН. 5.
2) ЦГПА, ф. 447, on. 1, № 20, лл. 31—G7.
252
II. А. МАРОН
и регламентации. Из передового учебного заведения, где
воспитывались первые поколения замечательных рус-
ских инженеров с широкой физико-математической под-
готовкой, из учебного заведения, являвшегося в течение
трёх с лишним десятилетийJ) крупнейшим учебным и
научным центром, институт был в 1849 г. по сути дела
превращён в кадетский корпус. Если раньше в институт
принимались юноши не моложе 16 лет, по конкурсу,
причём среди принятых нередко бывали и лица, окончив-
шие университеты и другие высшие учебные заведения,
то теперь стали принимать исключительно детей потом-
ственных дворян и пе старше 13 лет. Пз специального
учебного заведения институт был превращён в общеобра-
зовательное учебное заведение с четырьмя общими клас-
сами и четырьмя специальными. Особое внимание было
обращено на военные предметы и на ...закон божий; для
пх изучения было отведено значительное число часов
за счёт физико-математических дисциплин. Остроград-
скому, как главному наблюдателю за преподаванием ма-
тематических дисциплин в учебных заведениях Главного
управления путей сообщения и публичных зданий, было
поручено составить новые программы и инструкцию для
преподавателей* 2). Выполняя эту ответственную и труд-
ную задачу, Остроградский постарался даже в таких не-
благоприятных условиях—при заметном сокращении ча-
сов на прохождение математики и механики и неизбеж-
ном ухудшении математической подготовки слушателей—
удержать преподавание этих предметов на довольно вы-
соком и передовом для того времени уровне. Это стре-
мление Остроградского отражается во всех частях соста-
вленной им инструкции.
Прежде всего Остроградский выступает против раз-
дельного чтения курсов математического анализа, выс-
шей алгебры и аналитической геометрип различными ли-
цами. Напротив, по мнению Остроградского, препода-
вание математического анализа должно быть объединено
г) Институт был открыт в 1810 г.
2) ЦГИА, ф. 447, on. 1, 272, лл. 77—84; № 20, лл. 5, G8,
72—74.
ОСТРОГРАДСКПЙ в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 253
с высшей алгеброй и аналитической геометрией для того,
чтобы «приложением к ним можно было пояснить основ-
ные идеи дифференциального исчисления».
Курс математики в институте, указывает далее Остро-
градский, должен начинаться с изложения непрерывных
дробей — раздела, как отмечает автор, незаслуженно про-
пущенного в программах многих учебных заведений.
«Мы говорим о непрерывных дробях; теория этих дробей
столько же простая, как и необходимая, должна быть
изложена вполне и пояснена различными приложениями,
в числе которых мы поставим приближённое выражение
отношения окружности к диаметру и интерполирование
високосных годов». Затем, говорит Остроградскпй, сле-
дует перейти к подробному обзору и классификации функ-
ций. Обзор и исследование аналитических формул пре-
подаватель разовьёт до такой степени, чтобы воспитан
ники могли получить ясную идею о возможности общей
теории функций». При этом надо обратить особое внима-
ние на нахождение численных значений функций. После
этого следует перейти к расширению понятия числа и
полностью изложить алгебру комплексных чисел, вклю-
чая теорему Моавра и нахождение с помощью её сину-
сов и косинусов кратных дуг.
В основание дифференциального исчисления следует
положить, по млению Остроградского, разложение при-
ращения функции по степени приращения независимого
переменного, причём: «Вид развёртывания, о котором
говорим, следует допустить без предварительного
доказательства, как истину, оправдываемую впослед-
ствии всеми из неё выводимыми заключениями, которые
вообще не приведут к противоречию, что непременно бы
случилось, если бы предположенный вид развёртывания
был несправедлив».
Пользуясь таким формальным разложением, указы-
вает Остроградскпй, надо изложить способ параболиче-
ского интерполирования и приложить его к употреблению
логарифмических и тригонометрических таблиц и нахо-
ждению численных значений функций.
Отмстив, что методические указания относительно
изложения следующего раздела — о бесконечно малых и
254
И. А. МАРОН
теории пределов —преподаватель может найти в восьмом
отделе составленного им конспекта по алгебре для воен-
но-учебных заведений1) и что изложение правил диффе-
ренцирования, теории максимума и минимума, правила
Лопиталя, строк Тейлора и Маклорена и др. не может
встретить методических затруднений, Остроградскпй оста-
навливается более подробно на приложениях дифферен-
циального исчисления к высшей алгебре.
«Приложение дифференциального исчисления к выс-
шей алгебре, к решению уравнений требует тщательного
разбора и представляет некоторые затруднения в том
отношении, что не имеется ни одного руководства, ни
па каком языке, где бы предмет этот был изложен с про-
стотою и удобством, необходимым для практических при-
ложений. Мы здесь не разумеем основной теоремы в тео-
рии уравнений, которую можно даже допустить боз до-
казательства, ни различных преобразований целых функ-
ций, как-то: увелпчивапие в данном отношении их кор-
ней, исключение некоторых членов, нахождение пределов
корней и проч. Ибо эти преобразования пе представляют
ни малейшего затруднения п помещены во всех курсах
алгебры. Замечание наше пе относится также к разыска-
нию равных множителей, ни к упрощению уравнений, ме-
жду корнями которых существует некоторая зависимость.
Потому что и эти решаются весьма просто, еелп только
нахождение общего большего делителя целых функций,
от которого зависит пх решение, будет предварительно
изложено с должным тщанием п подробностями. Мы
имеем в виду отделение несоизмеримых корней и вычис-
ление их— предметы неразобранные, как мы уже сказа-
ли, ни в одном из известных сочинений, относящихся
к решению уравнений. Части, пз которых можно бы соста-
вить целое, существуют в различных мемуарах, их непре-
менно следует собрать, привести в должную соответ-
ственность, дополнить и напечатать или налитографиро-
вать. Тот, кому будет поручен этот важный труд, должен
знать, что лучший метод решения уравнений состоит из
приличного соединения трёх способов: Ньютона, Ла-
!) См. стр. 223.
ретроградский в воейно-учебных заведен. РОССИИ $55
гранжа п Фурье, последние два—для отделения корней,
а первый, с некоторыми переменами, для их вычисления.
Составитель руководства обратит всё внимание на то,
чтобы от каждого из этих способов заимствовать только
необходимое, и сделает все упрощения и перемены, слу-
жащие к облегчению практических применений, па кото-
пых геометры, предложившие способы, о которых гово-
рилось, нигде не указали».
F Общую теорию рядов Остроградскии предлагает от-
нести к высшей алгебре.
В раздел о функциях многих переменных Остроград-
ский включил основные правила дифференцирования: те-
орему Эйлера об однородных функциях, строку Тейлора,
теорию абсолютных и условных экстремумов.
Курс дифференциального исчисления, по Остро-
градскому, следует завершить изложением понятия
вариации.
Относительно преподавания аналитической геометрии
Остроградскии делает следующие указания: «Изложению
аналитической геометрип предшествует приложение ал-
гебры к геометрии. Мы уже сказали, что этот последний
предмет должно изложить по программе военно-учеб-
ных заведений. Приступая же к самой аналитической
геометрии, не бесполезно повторить из начальной геомет-
рии о свойствах прямых и плоскостей, рассматриваемых
в пространстве, и потом уже показать, каким образом
алгебраический анализ выражает прямые и плоскости
посредством координат и как он разрешает относящиеся
сюда вопросы, состоящие в определении взаимной встре-
чи прямых и плоскостей, углов, ими составляемых,
условий их параллельности или перпендикулярности и пр.
Затем должно показать перемену прямоугольных коор-
динат на плоскости и в пространстве по способу проек-
ций, ограничиваясь в преподавании координатами прямо-
угольными. Составитель же руководства покажет и пре-
образование координат косоугольных, относя его к мел-
кому шрифту. Полярные координаты, весьма часто упо-
требляемые во всех отраслях математики, войдут в препо-
давание, а составитель руководства не упустит пз виду
и координат эллиптических, изложив относящееся к ним
256
И. А. МАРОН
в приличном месте. Он напечатааст это изложение мел-
ким шрифтом.
Далее, объяснив геометрические места функций одвух
и трёх переменных, рассматриваемых как координаты,
преподаватель разделит геометрию на плоскую и на гео-
метрию в пространстве. Первая из двух частей начнётся
общею теорнсю плоских кривых, именно определением
их хорд, центров, диаметров, осей, касательных, нор-
мальных, подкасательных, поднормальных, бесконечных
ветвей и асимптот. Потом предложатся способы определе-
ния предыдущих принадлежностей и пояснятся прилично
выбранными примерами. От них следует перейти к изме-
рению кривизны линий и к нахождению углов смежности
и радиусов кривизны, чем и заключатся общие исследо-
вания, относящиеся к плоским кривым. Перейдя к част-
ностям, преподаватель разделит кривые на алгебраические
и трансцендентные, и первые из них на порядки, потом он
изложит все нужные подробности исследования кривых
второго порядка, пе забывая и полярных уравнений их.
О кривых 3-го и 4-го порядка достаточно будет упомянуть,
приведя в пример первых циссоиду и пересечённую ги
перболу и лемнискату в пример последних.
Исследование плоских кривых заключится теориями
особенных точек и сближения пли соприкасания, пред
ставленными в сжатом виде, но составитель руководства
не опустит и подробностей этих теорий, отнеся их к мел-
кому шрифту».
Касаясь аналитической геометрии в пространстве, Ост-
роградский отмечает, что из-за недостатка времени она
не может быть изложена в Институте с достаточной полно-
той, но он предлагает дополнить учебное руководство
по этому предмету рядом статей из дифференциальной
геометрии, в том числе изложить «полную теорию проис-
хождения поверхностей, не забывая п характеристиче-
ских линий, иследования, относящиеся до кривизны по-
верхностей, до линий геодезических включительно, вклю-
чая и знаменитую теорему Гаусса касательно суммы
углов треугольника, образуемого геодезическими линиями»-
Относительно преподавания интегрального исчисле-
ния Остроградскпй писал следующее: «Часть интеграль-
ОСТРОГРАДСКПЙ в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 257
о исчисления, преподаваемая в институте, разделяется
11 пНТегрпрованпе функций и интегрирование уравнений.
Псовая начнётся выводами элементов площадей и дуг
1 ппвых линий, поверхностей и тел вращения и поверхно-
ей и тел вообще. Потом, доказав, что всякий диффереп-
СТ ал первого порядка об одной переменной имеет ипте-
Ц1*ал предл°гкатся основные теоремы интегрального исчис-
ления, способ квадратур, симпсоиову теорему, важную
по своим практическим приложениям». Затем, указывает
автор, следует перейти к изложению основных методов
интегрирования рациональных, иррациональных и транс-
цендентных выражений. Обычный курс интегрального
исчисления должен быть дополнен разделом о нахождении
«употребительнейших определённых интегралов» с помо-
щью дифференцирования и интегрирования интеграла по
параметру, а также интегрированием с помощью рядов.
Изложение кратных интегралов можно ограничить двой- .
ными и тройными интегралами.
Остроградскпй подчёркивает, что курс интегрального
исчисления должен быть пояснён многими прикладными
примерами из геометрии и механики. Что касается инте-
грирования дифференциальных уравнений, то об этом он
делает следующие указания:
«Из второй части интегрального исчисления, интегри-
рования дифференциальных уравнений, по недостатку вре-
мени, излагаются одни только первые её начала.
После общей теории дифференциальных уравнений
преподаватель рассмотрит дифференциальные уравнения
первого порядка от одной неизвестной. Упомянув об
отделении переменных и показав примеры этого отде-
ления, преподаватель перейдёт к теорип множителей и
изложит её с подробностью, потом он приступит к си-
стеме дифференциальных уравнений и, рассмотрев про-
стейшие случаи, покажет интегрирование линейных урав-
нений с постоянными коэффициентами. Относительно ли-
нейных уравненпй с коэффициентами переменными сле-
дует ограничиться составлением полного их решения из
[ решений частных и указанием па интегрирование уравпе-
НПц с последними членами, когда умеют решать уравие-
НИя без этих членов. Относительно уравнений высших.
^Сторпко-матем. исследования
258
И. А. МАРОЙ
порядков должно показать, что их решение всегда цр1г
водится к интегрированию совокупных уравнении первого
порядка, а потом можно ограничиться разбором простей-
ших уравнений второго порядка, именно однородных
не содержащих переменной независимой п других, обыкно-
венно помещённых в курсах интегрального исчисления.
Об особенных решениях дифференциальных уравне-
нии достаточно упомянуть и привести пример»... Но «со-
ставитель руководства разовьёт теорию этих решений ц
вообще войдёт во все подробности интегрирования диф-
ферент; и ал ьпы х ура ви еи ий ».
Следует также, указывает Остроградскии, показать
способ интегрирования уравнений с помощью рядов и
непрерывных дробей и здесь же изложить теорию вариа-
ций кратных интегралов и нахождение пх наибольших
п наименьших значений.
Указания Остроградского относительно преподавании
теоретической механики весьма интересны и характер!
зуют его стремление придать изложению механики дедук-
тивный характер. Вместе с тем оп обращает внимание и
на прикладную сторону дела. Мы приведём его высказыва-
ния полностью.
«Теоретическая часть аналитической механики препо-
даётся в институте с достаточною полнотою, причём
излагаются главные п простейшие её приложения в таком
объёме, чтобы дальнейшее развитие этих приложений, от-
носящееся к практической механике п к строительному
искусству, не представляло бы никакого затруднен к я.
Аналитическая мехаипка разделяется на две части: на
механику точки и механику системы.
Первая часть служит вступлением к улучшению вто-
рой, сё теория весьма проста и потохму излагается вполне.
Что же касается до приложений, то время необходимо
ограничивает пх преподавание, составитель же руковод-
ства, ничем не стесняемый, может п должен изложить
и такие приложения, которые не преподаются. Приличный
их выбор доставит большой вес его курсу.
Механика систем должна показать правила решения
всякого вопроса, касающегося до движения тел, ялп
точнее должна привести вопросы о движении к теория
сТрОГРАДСК11П В ВОЕПЙО-УЧЕЬПЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 259
oii математики. Вся эта наука заключается в одном
ЙСвнеиип, с присовокуплением условий, показывающих
У₽анОсть рассматриваемых тел, т. е. определения его
СУ йств, выраженного ла математическом языке, ианри-
сВ°. твёрдостп, жидкости, нерастяжимостн и проч., и
^Рдятствпн, стесняющих его движение. Уравнение, о ко-
ом говорим, довольно просто и может быть выражено
помощи- алгебраических знаков, таким образом: , Мо-
бе движущих сил, сложенный с моментом сил, заме-
М ющпх связи системы, с варнацкою живой силы, соста-
вляют полную производную .
Можно присовокупить, что последняя есть производ-
ная момента количества движения системы, но такое при-
совокупление бесполезно, ибо если сумма моментов сит
движущих и сил, заменяющих связи системы, с присо-
вокуплением вариаций живой силы составляет полную
производную, то эта последняя необходимо будет отно-
сится к моменту количества •движения системы.
Уравнение, о котором идет речь, есть простейшая и
вместе обширнейшая динамическая теорема и не только
ио удобству выражения па словах, ио п потому, что из
неё проистекают самым лёгким и самым удобным образом
все нужные для определения движет я уравнения. Пред-
положите, например, что вам нужно изложить правила
теории мгновенных сил, т. с. сил, действующих подобно
пороху на ядро пли удару с чрезвычайным напряже-
нием и в самое короткое время. Но краткости этого вре-
мени вы можете пренебречь изменением перемещённой
системы, что обратит в ноль вариацию живой силы, и вы
получите отношение между суммою моментов си i дви-
жущих, суммою моментов сил, заменяющих связи си-
стемы, и мгновенным измененном количества движения.
Помножьте это отношение па элемент времени, йотом
возьмите интеграл от начала до конца действия мгповен-
НЬ1Х сил, и вы получите уравнение, которое доставит всё,
/*то нужно для вычисления этого действия. То же общее
Уравнение движения замененном входящих в пего совор-
тте- Н° ПРОИЗ воль пых перемещений системы перемещениями
р Твительными непосредственно доставит уравнение
’ пли закон живых сил, служащее основанием
17*
260
И. А. МАРОН
прикладной механике. Закон этот должен быть изложен
с подробностью и пояснениями; он, принадлежа в одцо
время механике аналитической и механике прикладной
служит переходом от одной из них к другой и взащц’
пою их связью.
Но особенное внимание должны обратить и препод^
ватель и составитель руководства на основной закон дица_
мики, выражаемый уравнением, о котором сейчас быд0
говорено. Как истина, заключающая в сжатом виде вещ
науку, закон этот должен быть изложен с ясностью, от-
чётливостью и полнотою, чтобы его вывод не оставил
и тени сомнения. Что же касается до приложения общих
правил механики к частным случаям, то оно в препо-
давании необходимо ограничивается временем, а потому
в его состав вошли или предметы, необходимые для прак-
тической механики, например, скорость и расход жидко-
сти, вытекающей малым отверстием из сосуда, или
предметы любопытные и нужные в других приложениях,
подобно измерению высот посредством барометра или, на-
конец, предметы поясняющие, как примеры, общие теории.
Составителю руководства предстоит обширнейшее поле
в выборе приложений механики, которые он отнесёт
к мелкому шрифту. Волосные явления, дрожательное дви-
жение систем, распространение волн и звука, явления
упругости и другие, не менее важные предметы, найдя
место в его курсе, составят руководство, которому нет
подобного и на иностранных языках».
Мы видим, что этот новый, сокращённый курс мате-
матики и механики, намеченный Остроградскпм для про-
хождения в Институте корпуса инженеров путей сообще-
ния, отличается глубоким содержанием и достаточной
полнотой.
Постоянное внимание к приложениям математики, Д°"
ведение исследования до числового результата, столь
характерные для всей научной и педагогической деятель-
ности Остроградского, сильно сказались и на содержании
рассматриваемой инструкции. Остроградскпм псоДйв
кратно подчёркивает в инструкции необходимость РаС_
смотрения различных прикладных задач и необхоДЛ
мость развития вычислительных навыков у обучающих6*1'
ОСТР£ГРАДСКПП В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 261
Инструкция, написанная Остроградским, была рас-
смотрена особой комиссией, составленной из членов Учоб-
оГо комитета Главного управления путей сообщения
публичных зданий полковников Соболевского и Палп-
бпна, подполковника Красовского и профессора II. II.
Сомова.
' В своем отзыве об инструкции члены комиссии писали:
«Инструкция действительного статского советника Ост-
поградского, содержащая указания на систему и способы
преподавания в Институте корпуса инженеров путей сооб-
щения математического анализа и приложений его к гео-
метрии и механике, может служить весьма полезным
руководством для преподавателей Института, как выра-
жение глубоких идей знаменитого геометра п опытного
наставника, который в продолжение многих лет сам пре-
подавал высший анализ в Институте и хорошо знаком
с педагогическими требованиями этого заведения» г).
Далее комиссия сделала несколько замечаний по су-
ществу и, в частности, высказала соображения о необ-
ходимости приводить полный вывод остаточного члена
в формулах Тейлора и Маклорена и целесообразности
переноса элементов вариационного исчисления из курса
математического анализа в курс аналитической меха-
ники. С первым пз этих предложений Остроградскпй со-
гласился, со вторым—нет.
*
* *
Мы видим, таким образом, что М. В. Остроградскпй
сыграл в 30—50-е гг. XIX в. исключительно крупную
роль в создании отечественной учебной литературы по
математическим наукам,—от синоптических таблиц по
рифметике и учебников элементарной геометрии до ори-
инальных руководств по высшей алгебре и апалитпче-
им°И Механике- Многие пз этих сочинений написаны были
лично пли записаны по ого лекциям, другие были
авлены под его наблюденном и по ого инициативе
учеников знаменитого математика. Эта учебная лп-
1) ЦГИА, ф. 447, оп. № 20, лл. 72—74,
262
И. Д. МАРОН
тература оказала существенное влияние на развитие
русского математического просвещения, а некоторые из
руководств самого Остроградского, так же как и ого лор„
цпи, получили большое значение для научного творче-
ства русских математиков.
4. Роль М. В. Остроградского в подборе педагогов
для военно-учебных заведений
В течение 15 лет Остроградский лично наблюдал за
математической и методической подготовленностью ка-
ждого лица, поступавшего в любое военно-учебное заве-
дение России в качестве преподавателя математических
дисциплин. Пи один преподаватель математических дис-
циплин пи в одном военно-учебном заведении пе мог быть
зачислен иа действительную учебную службу без пред-
варительной проверки и согласия со стороны Остроград-
ского.
Подбору преподавательских кадров Остроградский при-
давал первостепенное значение, уделяя ему много вре-
мени 1г творческой энергии. Здесь, как и в других обла-
стях, сказалась его яркая индивидуальность математика
и педагога.
Военно-учебные заведения до середины тридцатых го-
дов не имели преподавателей, числившихся на учебной
службе по военному ведомству, за исключением учите-
лей из кантонистов пли пз корпусных офицеров, которым
«жалованье за классы было сердобольным пособием» ')•
Тяжёлая атмосфера дворянско-сословной кастовости
во внутренней жизни военной школы, жёсткая мелкая
регламентация всей сё жизнп, реакционность политики
царизма, резко возросшая в начале царствования Нико-
лая I, после разгрома восстания декабристов п с осо-
бой силой проявлявшаяся в армии, отталкивали прогрес-
сивных и способных преподавателей от восппо-учсбпызс
заведений. «Если и были там иногда, изредка, прсподя-
г) «Краткий отчёт о положении и ходе военно-учебных зав1
дений», СПБ, 1850, стр. 153.
ОСТРОГРАДСКПЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 263
вателп достойные, то все они, без исключения, или нахо-
пплись па службе в других ведомствах,, или, состоя в
военно-учсбных заведениях па штатных должностях, смо-
тоелп на свою работу как на временную и пользовались
всеми удобными случаями, чтобы её оставить» *).
К тому же и материальное обеспечение преподавателей
находилось на низком уровне.
Положенное подбором преподавательских кадров ещё
более обострилось в средине тридцатых годов прошлого
столетия в связи с открытием губернских кадетских
корпусов. Это обстоятельство заставило правительство
в 1836 г. издать особое положение о службе по учебной
частп, в котором былп предусмотрены известные права
п преимущества для преподавателей военно-учебных заве-
дений. В связи с этим представилась возможность предъ-
явить к кандидатам известные требования по их специаль-
ной квалификации, произвести выбор более подготовлен-
ных «и пе иначе допускать пх к преподаванию, как по соб-
ственному своему строгому удостоверению в незнаниях,
способности преподавать» п, конечно, «благонамеренно-
сти» (д. 24, л. 239).
В 1841 г. былп введены специальные испытания для
преподавателей и репетиторов военно-учебных заве-
дений. Инструкция об общих основаниях и о порядке про-
ведения этих испытаний неоднократно перерабатывалась
и уточнялась. Лишь в 1852 г. было окончательно утвер-
ждено «Положение об испытании желающих поступить
в военно-учебные заведения преподавателями наук, язы-
ков, начертательных искусств и репетиторами наук if язы-
ков». Положение это составлялось специальной комис-
сией, в которой принял участие Остроградскпй (д. 24,
Положение предусматривало специальное испытание
Для всех преподавателей военно-учебных заведений и для
лиц, изъявивших желание поступить в них на действи-
тельную учебную службу. Испытание, которому подвер-
гались соискатели, состояло из экзамена по основным и
вспомогательным предметам и из. пробной лекции.
х) Там ясе (см. предыдущую сноску). • -•
264
И. А. МАРОН
От экзамена освобождались лица, окончившие выс-
шие учебные заведения, если по основным и смежным
дисциплинам их профиля они имели хорошие успехи. Кр0-
ме того, к преподаванию математических дисциплин в ка-
детских корпусах допускались без экзамена лица, успеш-
но окончившие Михайловское артиллерийское училище,
Главное инженерное училище, офицерские классы Мор-
ского кадетского корпуса и Институт корпуса инже-
неров путей сообщения.
Остальные лица подвергались экзамену пли в Петер-
бурге, при штабе военно-учебных заведений, пли на ме-
стах, при губернских кадетских корпусах. Предметы эк-
замена определялись специальными табелями по ка-
ждому разделу наук. Мы приводим здесь выписку из та-
бели (см. стр. 265), утверждённой военным министром
20 июня 1853 г. (д. 24, лл. 246, 247).
Экзаменационные комиссии в Петербурге составля-
лись пз главного наблюдателя по предмету экзамена
(председатель), двух членов Учебного комитета и двух
наставников-наблюдателей от двух петербургских учеб-
ных заведений. В губернских городах в состав экза-
менационной комиссии входили: директор кадетского
корпуса (председатель), инспектор классов, все препода-
ватели предмета экзамена корпуса и старшие препода-
ватели соответствующего предмета высших учебных заве-
дений города х).
В начале экзаменующийся подвергался испытанию
по главным предметам, и только после удовлетворитель-
ного ответа по ним он допускался к экзаменам по вспомо-
гательным наукам. Экзамен признавался удовлетвори-
тельным, если экзаменующийся получал на все ответы
по всем предметам оценку не ниже «хорошо».
Протоколы экзаменов присылались для просмотра глав-
ному наблюдателю и по его докладу утверждались Учеб-
ным комитетом. После утверждения протокола экзамена
г) В Москве, например, в экзаменационной комиссии при
Александровском сиротском кадетском корпусе принимал участие
заслуженный рроф. Московского университета Н. Е. Зернов
(Д. 2074J.
ОСТРОГРЛДСКИП в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 265
Табель
тЯ руководства при экзамене желающих поступить учителями
в воеппо-учебные заведения
IV. Математические науки
Название предметов, которые желает пре- подавать испытуемый Предметы экзамена
Главные науки Вспомогательные паукп
Арифметику. Начала Алгебры. Элемен- тарную Геометрию двух измерений и Тригонометрию Арифметика. Начала Алгебры. Элемен- тарная Геометрия двух измерений и Тригонометрия Сферическая Триго- нометрия. Началь- ная Геометрия в пространстве. При- ложение Алгебры к Геометрии
Стереометрию и на- чала Аналитиче- ской Геометрии Приложение Алгеб- ры к Геометрии. Начальная Геомет- рия в пространстве. Аналитическая Гео- метрия Высшая Алгебра. На- чала дифференци- ального исчисления
Начертательную Гео- метрию Начертательная Гео- метрия Начала Интегрально- го исчисления. По- нятие о вариациях
Механику Механика Чистая механика и математическая фи- зика. Аналитичес- кая механика
Высшую Алгебру. Дифференциальное исчисление Высшая Алгебра и Дифференциаль- ное исчисление. Аналитическая Геометрия Начала Интегрально- го исчисления. По- нятие о вариациях
Математическую Гео- графию Математическая Гео- графия Начала Алгебры. Эле- ментарная Геомет- рия. ( ферическая Тригонометрия. Начальные основа- ния Аналитической Геометрии. Геоде- зия
266
И. А. МАРОН •
соискатель приобретал право получения темы для проб-
ной лекции.
Цель пробных лекций определялась в «Положении»
следующими словами: «При назначении темы для проб-
ной лекции должно иметь в виду, чтобы испытуемый раз-
решением оной мог доказать основательные познания ио
только в той части науки, которую преподавать намерен,
по и вообще во всей науке, в полном её составе. Поэтому
тома должна по возможности обнимать целый отдел па-
уки или заключать в себя вопрос, подлежащий самостоя-
тельному исследованию» (д. 24, л. 241). Томы для проб-
ных лекций разрабатывались главными наблюдателями.
Для заслушивания и оценки пробной лекции названа
лись особые комиссии, по составу аналогичные тем экза-
менационным комиссиям, о которых шла речь выше.
Пробные лекции читались соискателями в открытых
заседаниях, па которые широко приглашались компе-
тентные лица. Во время чтения пробной лекции члены ко-
миссия выдвигали возражения и ставили соискателю во-
просы такого рода, чтобы можно было полнее определить
степень его познаний в предметах своей специальности.
По окончании пробной лекции каждый член комиссии
поочерёдно высказывал свой отзыв, который состоял пз
ответов на следующие вопросы:
«1) Имеет ли читавший достаточные для учителя
сведения в предмете? 2) Ясно ли излагает оный? 3) Мо-
жет лп с пользой занимать по своему предмету должность
преподавателя во всех классах военно-учебных заведе-
ний пли только в некоторых?» (д. 24, л. 241.)
Пробные лекции, прочитанные в Петербурге при шта-
бе, в комиссии под председательством главного наблю-
дателя за преподаванием соответствующего предмета, не-
посредственно утверждались начальником штаба военно-
учебных заведений. Если же пробная лекция читалась
вне Петербурга, в губернских комиссиях, то опа пред-
ставлялась в письменном виде для рецензирования глав-
ному наблюдателю, п лишь при его положительном отзы-
ве утверждалась в Учебном комитете.
Попятно, какие большие и многогранные обязанно-
сти возлагались на Остроградского в связп со всеми этими
ОСТРОГРАДСКПЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 267
мероприятиями. Как главный наблюдатель за препода-
ванием математических дисциплин он был обязан:
1. Просматривать все протоколы устных экзаменов при
губернских комиссиях и докладывать о них в заседаниях
Учебного комитета.
2. Составлять темы для пробных лекций.
3. Проверять письменное изложение пробных лекций,
которые представлялись ому из провинции, составлять
на каждую из них рецензию и докладывать Учебному
комитету.
4. Председательствовать в комиссии при штабе ио
приёму устных экзаменов по математическим предметам.
5. Председательствовать в комиссии по заслушиванию
пробных лекций тех лиц, которые изъявляли желание
держать испытание при штабе.
Следует при этом учесть, что абсолютное большинство
кандидатов стремилось держать испытание именно в Пе-
тербурге, при самом штабе, в комиссии под председа-
тельством главного наблюдателя за преподаванием соот-
ветствующего предмета, ибо в этом случае они получали
ряд преимуществ по сравнению с лицами, выдержавшими
испытание в губернских комиссиях.
Охарактеризуем несколько подробнее каждую сторону
этой важной части педагогической деятельности Остро-
градского.
Темы для пробных лекций составлял неизменно сам
Остроградскпй!, но обсуждались они п утверждались спе-
циальной математической комиссией. При составлении
тем Остроградскпй руководствовался табелем (см. стр. 268),
утверждённым в 1853 г. (д. 24, л. 248).
Сохранилась специальная переписка между Остроград-
ским и начальником штаба военно-учебных заведений в
связи с составлением тем пробных лекций, из которой вид-
но, что Остроградскпй уделил этому делу много вни-
мания.
Следует отмстпть, что темы, намечавшиеся Остро-
градским, хотя и не выходили за рамки курса математики,
скажем, Института корпуса инженеров путей сооб-
щения, ц нс были слишком трудны, но принадлежали
всегда к основным в соответствующих разделах, и по
268
И. Л. МАРОН
Табель
для руководства при назначении тем для пробных лекций жела-
ющим поступить учителями в военно-учебные заведения
IV. Математические пауки
Название предметов, которые желает преподавать испытуемый Название предметов, пз которых должны быть назначаемы темы (по одной из каждого)
Приложение Алгебры к Геомет- рии. Стереометрию и начала Аналитической Геометрии Из Алгебры Из Стереометрии Из Аналитической Геометрии Из Дифференциального и Ин- тегрального исчислений
Начертательную Геометрию Из начальной Геометрии Из теории теней Из линейной перспективы Из построения оптических изо- бражений
Высшую Алгебру и Дифференци- альное исчисление Из высшей Алгебры Из Дифференциального исчис- ления Из Интегрального исчисления Из первых начал вариацион- ного исчисления
Механику Из теоретической механики Из прикладной механики
Математическую Географию Из теоретической части науки Пз описания инструментов и методов наблюдений Из теоретической механики
ОСТРОГРАДСКИЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН* РОССИИ 269
ответам на эти темы вполне можно было судить о подго-
товке экзаменующихся и об их математическом развитии.
Приведём для иллюстрации пек »горыс темы.
По арифметике:
Разбор основных действий над целыми и дробными
числами. Значение и свойства десятичных дробей.
По геометрип:
Теория пределов и её приложение к различным слу-
чаям в геометрии. Теория круглых тел.
Теория параллельных линий.
По аналитической геометрии:
Общая теория центров, диаметров и асимптот кривых
линий с приложением к линиям 2-го порядка.
Исследование общего уравнения кривых 2-го порядка.
Разделение этих кривых на три вида; касательные к ним.
Полярные координаты и линии 2-го порядка, отне-
сённые к этим координатам.
По алгебре:
Основная теорема алгебры, отделение и вычисление
корней алгебраических функций.
По дифференциальному и интег-
ральному исчислению:
Интегрирование системы дифференциальных уравне-
ний и в особенности линейных. .
Измерение криволинейных площадей и объёмов тел.
Разложение произвольных функций в ряды, теорема
Фурье и её приложение к интегрированию линейных
дифференциальных уравнений.
Вариационное исчисление. Отличие вариации от диф-
ференциала. Вариация дифференциальных функций. Ва-
риация интегралов и функций, данных дифференциальным
Уравнением. Вариация двойных интегралов относительно
различных переменных.
Приложение вариационного исчисления к нахождению
наибольших и наименьших величин интегральных функций.
По механике:
Кеплеровы законы, закон всеобщего тяготения. Па-
раболическая теория. Центральные силы.
Устройство деревянных и металлических колёс Пон-
селе. Выгоды колеса Понселе перед другими водяными ко-
270
и. л. МЛРОЙ
лёсами. Случаи, когда колесо Попссле преимуществен-
но употребляется.
II о математической географп и:
Закон всеобщего тяготения. Сила тяжести на поверх-
ности планет. Определение сроднен плотности Земли.
Описание употребительнейших астрономических инстру-
ментов. Поверка времени и определение азимутов посред-
ством наблюдений.
Кроме теоретических, и, частично, методических во-
просов, в некоторые темы пробных лекций включались
задачи, преимущественно геометрического содержания.
Бот некоторые пз таких задач (д. 2771, лл. 113, 163, 183,
201, 270, 310; д. 2770, л. 100 и др.).
1. Пз 10 прямых, соединяющих пять точек в про-
странстве, известны девять, найти десятую.
2. Па дайной прямой найти точку, расстояния кото-
рой от двух данных точек находятся в известном отпо-
шсипи.
3. Найти точку так, чтобы перпендикуляры, опущен-
ные из неё па три данные прямые, находились в данных
отношениях.
4. Построить кривую второго порядка, которая про-
ходила бы через три данные точки и в двух из них каса
лась данных прямых.
5. Найти геометрическое место вершин треугольни-
ков, имеющих данное основание и данную разность уг-
лов при нём.
6. По хорде данной дуги круга и его радиусу найти
хорду половинной дуги. По хордам двух данных дуг найти
хорды, принадлежащие сумме и разности этих дуг.
7. Разделить треугольник или трапецию на несколько
равновеликих частей, первый—линиями, параллельными
одному пз боков, а последнюю—линиями, параллельными
её основанию.
8. Провести круг, касательный к трём окружностям,
данным на шаре.
9. В данный четырёхугольник вписать квадрат.
Характер тем пробных лекций со временем несколько
менялся. В сороковые годы характер пх почти исклю-
чительно определялся стремлением проверить фактиче-
ЛСТРОГРЛДСКИП в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 271
пе знания соискателя в области математических паук,
п последующие годы в связи с ростом математической
-ультуры лиц, оканчивавших высшие учебные заведе-
пя. 11 общим повышением интереса к педагогическим
НоПросам в темы пробных лекций включались также во-
ппосы методического характера. Приведём для иллюстра-
-пнп некоторые из них (д. 2411, лл. 15, 41—44).
1. Объяснить учащимся элементарным образом зна-
чение и свойства десятичных дробей. 2. Объяснить уча-
щимся правила составления уравнений из условий во-
проса. 3. Элементарно изложить способы решения ариф-
метических вопросов.
Следует отметить, что темы, задававшиеся Остроград-
ским преподавателям военно-учебных заведений, по свое-
му уровню часто были выше уровня вопросов, которые
предъявлялись па кандидатских экзаменах в универси-
тетах, а иногда пе уступали уровню магистерских испы-
таний 1).
Для подготовки к чтению пробной лекции соискателю
предоставлялся трёхмесячный срок, а для письменного
изложения пробной лекции с целью представлен]in сё
главному наблюдателю—четыре месяца.
Чтобы нагляднее представить себе громадную работу
Остроградского по рецензированию пробных лекций,
дадим краткое обозрение одной из них: лекции Орловско,
Бахтина кадетского корпуса капитана Клсйгсльса (д. 2414-
лл. 350—49G), прочитанной в губернской комиссии ври
названном корпусе, одобренной комиссией и затем пред-
ставленной на окончательный отзыв главному наблюда-
телю Остроградскому.
Пробная лекция капитана Клсйгсльса состоит из ше-
сти подробных рефератов (па заданные главным наблю-
дателем 6 тем), изложенных убористым мелким почерком
на 292 страницах крупного формата.
Тема первая. «Элементарное объяснение раз-
ных систем нумерации к преимущественно десятичной».
Г —_______________
*) См. Л. П. 10 ш к с в и ч, Математика в Московском универ-
ситете за первые сто лот ого существования («Историко-математиче-
ские исследования», выпуск I, М.—Л., 1949, стр. 98- 104).
272
И. А. МАРОН
Автор начинает с анализа существующих определе-
ний понятия «величина», указывает, что определения эти
не совсем точныг) и даёт, наконец, своё определение:
«Величиною приличнее назвать такое качество предметов,
которое может быть измерено» * 2). Затем идут невразуми-
тельные рассуждения о различных категориях величины,
о величинах определённых и неопределённых, о величинах
однокачественных, однородных и разнородных и т. д. 3).
Дальнейшие рассуждения автора посвящены поня-
тиям «измерение», «мера», «измеряемая величина» и т.п.
Эти и дальнейшие общие суждения не удовлетворили
рецензента. Весь текст первого раздела пробной лекции
Клейгельса буквально испещрён неодобрительными заме-
чаниями Остроградского, вроде «Худо», «Неверно», «Не-
отчётливо», «Излишние подробности» и т. п.; большое
количество страниц просто перечёркнуто им.
В некоторых местах Остроградский сделал пометки
весьма язвительного характера в адрес автора пробной
лекции. Так, в одном месте Остроградский выделил
из общего текста фразу: «Потом для дальнейшего раз-
вития основной мысли мною предполагаемые вопросы
видоизменяются», жирно подчеркнул слова «основное
мысли» и сделал пометку: «которой нигде не видно».
В другом месте, где автор слишком пространно тол-
кует об общеизвестных методических положениях, вроде
таких, что «при объяснении основных начал арифметики
должно поступать с особенною осмотрительностью».,
и т. п., Остроградскпй сделал пометку: «Наставления такие
всем известны, но хорошо, если автор их сам выполняет».
Очень недоволен остался рецензент тем разделом пер-
вой главы, где автор перешёл от общенаучных п методо-
логических рассуждений к изложению методики препо-
давания рассмотренной темы в кадетских корпусах.
Остроградского особенно не удовлетворило то обсто-
ятельство, что автор мало руководствовался утверждён
г) Остроградский сделал здесь пометку: «Несправедливо».
2) Пометка Остроградского: «Величина—качество предметов?!»
3) Пометки Остроградского: «Такое разделение мы не допу-
скаем», «Весьма слабо», «Чрезвычайно темно, чтобы не сказать
более иедопускаемое» и др.
0СТР ОГР АДСКИЙ в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 273
ними программами для кадетских корпусов. Так, пере-
черкнув многие страницы, где автор излагает методиче-
ские вопросы, сделав па многих других неодобри-
тельные пометки, Остроградский в результате размаши-
сто написал: «По всему видно, что господин учитель мате-
матики п не думает соображаться с программами и наста-
влениями!!!».
Тема вторая: «хеорпя алгебраических ура-
внении».
Дав определение корня уравнения, автор переходит
к доказательству основной теоремы алгебры. Указав, что
доказательства Эйлера, Лагранжа, Лапласа и Даламбера
не совсем точны х), автор приводит доказательство Коши.
Дальнейшие рассуждения автора больше удовлетворили
Остроградского, чем изложение первой темы, однако
и здесь на полях он делает большое количество пометок
и замечаний, упрекая автора в растянутости изложения,
в отсутствии полноты и строгости освещения вопроса.
Тема третья: «Теория пределов и приложение
её к геометрии» .
Рассуждая относительно приближённого выражения
числа тс, автор пробной лекции писал: «Архимед нашёл,
что отношение окружности к диаметру заключается ме-
жду 3 ~ и 3 у. Следовательно, примем ли то или другое
выражение, у нас ошибка будет одинакова. Вообще пз
этих двух принято первое, естественно, как удобнейшее.
И, действительно, выражение 3 можно заменить 3 у
тгтг 22 и 22
или у . Итак, у есть настоящее выражение величины,
названной буквою тс. По простоте своей оно предпочитает-
ся всем прочим, хотя есть и другие, более его точные».
Остроградскпй перечеркнул все эти рассуждения и
в заключение написал: «Здесь ошибка на каждом слове.
Fin 10 10
°о~первых, если бы неточность выражений 3 70 и 3 у была
одинакова, то их полусумма представила бы истинное
отношение окружности к диаметру, т. е. трансцендеит-
18 Пометка Остроградского: «Очень точны».
Историко_Л1атем, исследования
27 4
И. А. МАРОН
ное число тг выразилось бы рациональным образом. Далее,
у было сперва приближенным отношением окружности
к диаметру, потом настоящим, наконец, опять прибли-
жённым, ибо сказано, что есть и другие, более точные».
Тему по аналитической геометрип—«О бесконечно уда-
лённых точках»—автор изложил в общем удовлетвори-
тельно, ио прибавил от себя изложение теории особых
точек, по поводу котором Остроградскии заметил, что ав-
тор излагает её «сбивчиво, ошибочно н показывает, что
автору мало известен предмет, о котором он ппсал».
Последние темы—«О развёртывании произвольных
функций в строки» и «Теорема Фурье с приложением её для
интегрирования линейных дифференциальных уравне-
ний»—по сути дела остались без ответа, ибо, по замечанию
Остроградского, «сказанное автором вовсе не касается
этих тем».
Вместо теоремы Фурье и её приложения к интегриро-
ванию линейных дифференциальных уравнений, автор из-
ложил способ Фурье для решения алгебраических урав-
нений. Остроградский сделал здесь ряд пометок, перечёр-
киваний, исправлений и в итоге написал: «Капитан
Клейгельс должен был, кажется, обратить внимание по
крайней мере па то, что разбираемая тема относится к
интегральному исчислению. Всё же, что он представил,
выводится без помощи этого исчисления».
Так, страницу за страницей, Остроградский весьма
внимательно прочитал обширное сочинение капитана
Клепгельса, сделал большое количество пометок, под-
черкнул все неудачные места п даже исправил орфогра-
фические ошибки.
На пробную лекцию Остроградский написал рецен-
зию на 8 страницах (д. 2411, лл. 3—7).
В этой рецензии Остроградский подробно охаракте-
ризовал недостатки и достоинства изложения каждой те-
мы, степень познаний соискателя в данной области мате-
матической пауки и в итоге сделал заключение: «Основы-
ваясь на всём, изложенном выше, не полагаю, чтобы
капитан Клейгельс мог бы занять с пользою место пре-
подавателя математики в военно-учебных заведениях».
рСТРОГРАДСКИЙ В военно-учебных ЗАВЕДЕН. РОССИИ 275
Если учесть, что подобных рецензий Остроградскпй
написал очень много, то станет ясным, какой большой
труд был им затрачен для проверки математической ква-
лификации преподавателей военно-учебных заведений.
Анализ отзывов, написанных Остроградским на проб-
ные лекции, даёт довольно полную характеристику тре-
бовании Остроградского к преподавателям математики
в военно-учебных заведениях.
Прежде всего, преподаватель, по мнению Остроград-
ского, должен иметь совершенно чёткие и широкие пред-
ставления о понятиях и методах, лежащих в основе той
части математической паукп, которую он собирается пре-
подавать. Остроградскпй пе прощал расплывчатости, не-
ясности в изложении основных начал науки. Так, в своём
отзыве о пробной лекции прапорщика Константино-
вича он писал: «Я нашёл, что из четырёх предложенных
тем решение только одной геометрической может быть
признано удовлетворительным; три прочие по неполноте
и неотчётливости изложения, даже по неправильности
понятий, заставляют думать, что прапорщик Константи-
нович не вполне усвоил требования этих том и потому
не представил достаточного ручательства в основатель-
ности своих познаний» (д. 2578, л. 134). В отзыве на проб-
ную лекцию кандидата философии Казанского универ-
ситета Сцепуры оп писал: «Непонятно, каким образом
кандидат второго отделения философского факультета до
того не знаком с началами арифметики, что утверждает,
будто бы произведение двух чисел, пе делящихся на
третье число, также не разделяется на последнее. В от
вете на тему об измерении криволинейных площадей и
объёмов г. Сцепура пе мог даже отличить линии от по-
верхности. Я полагаю, что он в настоящее время не дол-
жен быть допущен к преподаванию математики в военно-
учебных заведениях» (д. 2485, л. 141).
Остроградскпй не прощал, если испытуемый в своих
Рассуждениях допускал логические ошибки.
В рецензии на пробную лекцию Полянского Остро-
гадский писал: «Первую пз них, Алгебраическую тему:
отделение и вычисление корней уравнения посредством
Явпрерывиых дробей, подпоручик Полянский начинает
18*
276
И. А. МАРОН
таким образом:—Вычисление корней по способу непре-
рывных дробей есть способ вычислять приближённые
величины корней посредством непрерывных дробей. За
этим ложным кругом тотчас следует неправильность в
изложении и, к несчастью, не единственная» (д. 2485,
л. 87).
Остроградскпй требовал полноты и строгости изложения
и оставался неудовлетворённым, если автор, вместо изложе-
ния общей теории, ограничивался приведением отдельных
частных примеров, иллюстрирующих данную теорию.
В той же рецензии на пробную лекцию подпоручика По-
лянского он писал: «Но ещё хуже то, что Полянский огра-
ничивает ответ разбором нескольких частных примеров,
настоящей же теории, содержащей указание степени при-
ближения, не оказалось. При отделении вещественных
корней автор также ограничивается примерами и не до-
казывает, что это отделение непременно должно совер-
шиться при помощи непрерывных дробей».
В отзыве на пробную лекцию прапорщика Лакса мы
читаем: «По предмету алгебры: На составление уравне-
ний сделан только один намёк и тотчас приступлено к ча-
стным примерам. Следовало бы развить предмет точнее,
определительное и войти в некоторые подробности отно-
сительно общих приёмов для составления уравнений из
данных вопросов» (д. 2411, л. 15).
В отзыве на пробную лекцию кандидата Казанского
университета Магницкого Остроградскпй писал: «Нако-
нец, в ответ на последнюю тему, вместо общей теории гео-
графических карт, находим указания на употребительные
способы проекций этих карт, и притом изложение от-
части заимствовано из геодезии генерал-майора Боло-
това» (д. 2485, л. 87).
Особое внимание Остроградский обращал на те места,
где авторы касались методики изложения данных вопросов
в классе. Приведём одно характерное замечание Остроград-
ского: «Первая тема изложена подробно, даже местами,
может быть, слишком растянута. Если же препо-
давать так, как подпоручик Яковлев читал на пробной
лекции, то надобно опасаться, чтобы внимание уча-
щихся не было утомлено излишними подробностями и
оГТРОГРАДСКИЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН, РОССИИ 277
мелкими замечаниями. Подробностей, вроде следующей:
«Сумма двух слагаемых не изменяется, когда одно пз
них увеличим, а другое тем же числом уменьшим», пре-
подавать не следует; их можно предлагать как вопросы
на решение самих учащихся, в полной уверенности, что
при знании сложения и вычитания подобные задачи бу-
nvT решаться без пособия преподавателя» (д. 2411,
л 41). .. й й
Остроградскии обращал большое внимание иа четкость,
ясность и стиль изложения; он делал серьёзный упрёк
автору, если последний допускал погрешности языка
и грамматические ошибки. В своём отзыве на пробную лек-
цию прапорщика Лакса он писал: «А потом следуют ответы
на предложенные вопросы об интегрировании дифферен-
циальных уравнений, содержащих несколько переменных,
и о теории линейных уравнений.
Оба эти ответа неудовлетворительны и особенно же
первый: он изложен так неясно ц сбивчиво, что даже труд-
но сказать, правильно ли или неправильно решён пред-
ложенный вопрос» (д. 2411, л. 15).
В уже упомянутом нами отзыве на пробную лекцию
Полянского Остроградскпй писал: «Ответы на другие
темы более удовлетворительны, некоторые относящиеся
к ним замечания отмечены на полях рукописи; но нельзя
пропустить ошибочного правописания в слове „Триго-
нометрия". Подпоручик г. Полянский пишет „Тригоно-
метрия"!!» (д. 2485, л. 87).
Остроградский проявлял гораздо большую требова-
тельность к математической и методической квалифика-
ции кандидатов, чем комиссии при губернских корпусах.
Примерно половина из общего числа пробных лекций,
получивших положительные оценки местных комиссий,
не встретила одобрения с его стороны и , следовательно,
не была утверждена Учебным комитетом.
Однако при строгой взыскательности к авторам, про-
явившим слабые познания в тех разделах математической
науки, которые они должны были непосредственно пре-
подавать, Остроградский более снисходительно относился
к их ошибкам и пробелам в разделах, выходящих за
пределы предмета преподавания.
278
И. А. МАРОН
Вот характерное и нередко встречающееся заключе-
ние. Отмстив, что соискатель, штабс-капитан Шлшшеи-
бах, осветил вопросы пз высшей математики неудовле-
творительно как со стороны мзложенпя, «весьма небреж-
пого», так и по существу предмета, Остроградскпй заклю-
чает: «Полагая, однако, что неуспех следует отчасти при-
писать сущности самых тем (об интегрировании дифферен-
циальных уравнений.—И. М.)> далеко выходящих за
пределы частей математики, излагаемых в губернских
корпусах, имею честь подвергнуть на. благоусмотрение
комитета мнение, чтобы штабс-капитану Шлпппопбаху
были вновь предложены темы, более близкие тем пред-
метам, которые оп желает преподавать» (д. 2521, л. 43).
Остроградскпй хорошо сознавал и постоянно учиты-
вал трудности, с которыми встречались испытуемые при
составлении ответов на вопросы пз высшей математики
в связи с недостатком хороших руководств и квалифици-
рованных консультантов. Довольно часто в рецензиях
Остроградского встречаются такого рода заключения: «Из-
виняя, впрочем, это обстоятельство тем, что г. Буйнов-
ский, вероятно, не имеет под рукой источников, содержа-
щих решенпе тем, о которых идёт речь, я полагаю, что он
может быть допущен к преподаванию математики в Во-
ронежском кадетском корпусе» (д. 2485, л. 9). Вот другое
аналогичное заключение: «Некоторые неполноты в реше-
нии темы алгебраической, относящиеся к теория урав-
нений, должно приписать недостатку сочинений по части
высшего анализа, которыми подпоручик мог пользовать-
ся». (Отзыв на пробную лекцию подпоручика Лангаксу;
д. 2485, л. 8.)
Остроградского всегда подкупали трудолюбие, ста-
рательность и тщательность соискателя. В этОхМ отноше-
нии характерен отзыв па работу подпоручика Аблова.
Отметив, что ответы подпоручика на три вороса не впол-
не удовлетворительны, он, однако, заключает: «Несмотря
на такое обстоятельство, я нахожу, однако, что подпо-
ручик Аблов мог бы быть принят репетитором математики,
ибо, невзирая на избранный им род службы, он успел
приобрести довольно обширные сведения пз элементар-
ной математики, что свидетельствует о необыкповеннОхМ
ОГТРОГРАДСКПЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ заведен. РОССИИ 279
трудолюбии п любознательности. Некоторые неполноты
познаний и неправильность в понятиях при особенном
его старании и усидчивости легко бы пополнились и испра-
вились беседою с учителями, а военно-учебные заведения
приобрели бы репетитора, и, без сомнения, впоследст-
вии учителя, за усердие п любознательность которого
можно поручиться» (д. 2578, л. 139).
Каждый свой отзыв па каждую пробную лекцию Ост-
роградский докладывал собранию Учебного комитета.
Помимо рецензирования пробных лекций, Остроград-
скпй неизменно в течение 15 лет руководил Комиссией
по заслушиванию пробных лекций соискателей, изъявив-
ших желание держать испытания при штабе. Кроме
Остроградского, в Комиссию входили (в разное время)
В. Я. Буняковский, И. И. Сомов, А. Н. Савич, П. Л. Лав-
ров, И. А. Вышнеградский, А. Я. Кушаксвпч, Ф. И. Сн-
машко и другие.
Судя по протоколам заседаний, Комиссия, как и сам
Остроградскпй, подходила весьма требовательно к зна-
ниям соискателя в тех частях предмета, которые он
должен был непосредственно преподавать, и допускала из-
вестную снисходительность в отношении других разделов.
Как уже отмечалось, стремление кандидатов держать
испытание при штабе со временем привело к тому, что
значительная часть преподавателей, в том числе и выдер-
жавших ранее испытание в губернских корпусах, читали
свои пробные лекцпп в Петербурге. Остроградскпй, таким
образом, имел возможность непосредственно и близко
знакомиться с преподавателями математики военно-учеб-
ных заведений всей Росснп.
В Комиссии под председательством Остроградского
Держали испытания многие молодые люди, прпобревшие
впоследствии известность как учёные. Так, в Комиссии
питали своп пробные лекции А. Н. Коркин, М. Е. Ващен-
ко-Захарченко, В. А. Евтушевский, Ф. И. Симашко, А. И.
Гольденберг, А. II. Острогорскпй, Е. Ф. Сабинин и др.1)
(Д. 2770, лл. 227, 247, 270, 284, 309, 317 и др., д. 2768).
9 В 1857 г. Д. II. Менделеев обратился в Учебный комитет
с просьбой допустить его к преподаванию в военно-учебных заведе-
ниях без чтения пробной лекции. Собрание Учебного комитета,
280
И. А. МАРОН
Для иллюстрации приведём выдержку из протокола
пробной лекции, прочитанной 24 сентября 1858 г. быв-
шим тогда кандидатом Петербургского университета
А. II. Коркиным.
«24 сентября 1858 г. читал пробные лекции желающий
поступить преподавателем математики кандидат Импе-
раторского С.-Петербургского Университета Александр
Коркин.
Па пробной лекции присутствовали:
Действительный Статский Советник
Действительный Статский Советник
Полковник
Капитан
Штабс-капитан
гг. преподаватели:
Ст. Советник Савич, Полковник Черневский, Подполков-
ник Спмашко.
—Остроградский
—Кушакевич
—Стандертшельд
—Перебаскин
—Слуцкий
Темы были заданы следующие:
1. Квадратные корни, несоизмеримые количества, из-
влечение квадратных корней с данным приближением.
Приближение, с которым должно быть известно число,
чтобы его корень имел данную степень точности. Ква-
дратные уравнения. Решение двух совокупных уравнений
второй степени. Случаи, когда это решение приводится
к извлечению квадратных корней.
2. Теоремы, относящиеся к взаимному положению пло-
скостей и прямых линий. Двугранные углы.
3. Подробности исследования эллипса.
4. Дифференцирование функций от нескольких пере-
менных. Частные производные, их независимость от по-
рядка нахождения. Теорема однородных функций.
5. Нахождение площадей и дуг плоских кривых. На-
хождение поверхностей и объёмов тел вращения.
По выслушании прочитанного г. Коркиным и ответе в
его па изустно предложенные ему вопросы все господа,
присутствовавшие на лекции, общим мнением, положили:
отмстив научные заслуги молодого учёного, удовлетворило просьбу
.Менделеева (д. 2746, л. 70). Впоследствии он неоднократно уча-
ствовал в Комиссии по заслушиванию пробных лекций по химии
(д. 2770. лл. 13, 135, 193, 195).
сТрОГРАДСНИЙ в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 281
-------------'
Коркин на данные темы отвечал удовлетворительно,
способ изложения имеет точный, а потому г. Коркин может
Птлть допущен к преподаванию математики в военно-
учебных заведениях» (д. 2770, л. 219).
Остроградскпй руководил также комиссией по приёму
устных экзаменов от лиц, не имевших диплома об окон-
чании высшего учебного заведения.
Вот перед нами экзаменационный лист поручика Олан-
дера (д. 2578, л. 132)1).
Поручик Оландер держал испытание на преподавателя
по элементарной математике в комиссии под председа-
тельством Остроградского. Устный экзамен состоял пз
двух частей: экзамена по главным наукам и экзамена по
вспомогательным наукам.
На первом заседании комиссии, 3 марта 1854 г.,
Оландер экзаменовался по главным предметам; ему были
даны следующие вопросы: 1. Начальные действия над
десятичными дробями. 2. Решение уравнений первой сте-
пени с несколькими неизвестными. Исследование решений.
3. Теория параллельных линий. 4. Измерение объёмов
многогранников. 5. Решение треугольников и употребление
этого решения для практических задач и др.
На втором заседании от 8 марта 1854 г. поручик Олан-
дер экзаменовался по вспомогательным предметам. Были
заданы следующие вопросы: 1. Однородность алгебраи-
ческих формул, выражающих протяжения. Восстановле-
ние её в случае, когда она окажется нарушенной. Прави-
ла составления уравнений пз условий геометрического
места. 2. Формулы для сферического прямоугольного тре-
угольника. Правило Модюп. 3. Исследование уравнений
2-й степени и др.
В результате обсуждения ответов Оландера па задан-
ные вопросы комиссия приняла следующее решение:
«Ответы на вышеуказанные темы и на предложенные
Воронине вопросы Комиссия признаёт хорошими и потому
*) Впоследствии И. Оландер стал автором нескольких учебных
Руководств по математике: «Приложение алгебры к геометрии»
(ооронеж, 1866); «Практическое руководство по алгебре», в 2 частях,
1864)ВЛСП° И° пРогРамме военно-учебных заведений (011 Б, 1862—
282
И. А. МАРОН
на основании § 29 Высочайше утверждённого 20/VI 1853 г.
Положения, полагает допустить поручика Оландера к
чтению пробной лекции по элементарной математике».
Трудно по этим скупым записям в экзаменационных
листах составить суждение о характере требований, предъ-
являвшихся комиссией и её председателем к экзаменую-
щимся. Но эти экзаменационные листы свидетельствуют
об объёме работы комиссии: для того чтобы проэкзамено-
вать одного поручика Оландера комиссия заседала два
раза, а таких экзаменационных листов—много десятков.
В том случае, когда кандидат держал экзамен при
губернском корпусе, он обязан был, как и в случае проб-
ных лекций, представить письменное изложение своих
ответов главному наблюдателю Остроградскому для от-
зыва п для доклада Учебному комитету. Судя по сохранив-
шимся отзывам на эти экзаменационные ответы, Остро-
градскпй обычно соглашался с решениями местных губерн-
ских комиссий. Он считал, что последние, имея живое об-
щение с испытуемыми, могут полнее и лучше определять
степень их подготовленности, чем он сам по письменным
ответам, составленным под контролем п прп строгом ре-
гламенте времени.
Весьма характерным в этом смысле является следующий
отзыв. Отметив, что ответ преподавателя Баулера, судя но
представленному письменному изложению его, не может
считаться удовлетворительным, Остроградскпй, однако,
заключил: «Но как Комиссия Александрийского сиротско-
го корпуса, экзаменовавшая г-на Баулера во всей подроб-
ности, нашла познания его в математике вполне удовлет-
ворительными, то, относя неудовлетворительность письмен-
ного ответа к неимению хороших источников и тороплм-
востп, почти неизбежной при ответе под надзором, я не
нахожу препятствий для выдачи г-ну Баулеру попраши-
ваемых Александрийским корпусом тем» (д. 2578, л. 161)-
Как видно, Остроградскпй доверял коллективу педа-
гогов, прислушивался к его мнению и считался с ним-
Неоднократно прп обсуждении тех пли иных методиче-
ских вопросов он заключал, что, хотя он сам придержи-
вается другого мнения, но так как большинство лиц, стоя-
щих ближе к непосредственному школьному препода-
трОГРАДСКПЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН» РОССИИ 283
—-—
аНИ1о, считает иначе, то он готов, прежде чем принять
в шепие, изучить его дополнительно.
Р Остроградскии активно пользовался и другими воз-
ожностямп для изучения квалификации прснодавате-
Мрп Он систематически посещал занятия в столичных
пвпусах, собирал совещания преподавателей столицы.
Он лично’ объездил почти все губернские кадетские кор-
Са где широко общался с рядовымп преподавателямиг).
Кроме того, он получал полугодовые отчёты от наставни-
ков-наблюдателей корпусов с подробной характер истиной
индивидуальной работы каждого преподавателя матема-
тических наук.
Как свидетельствуют об этом сохранившиеся доку-
менты, Остроградский довольно хорошо знал многих ря-
довых преподавателей математики в столице и провинции.
Многими нитями был связан знаменитый учёный и педагог
с широкой преподавательской массой. Эта связь питала
его творческую методическую мысль. Эта же связь самым
благоприятным образом действовала па постановку ма-
тематического образования в военно-учебных заведениях.
* *
*
Чтобы резюмировать в немногих пунктах самое глав-
ное в деятельности Остроградского по созданию препо-
давательских кадров военно-учебных заведений, заме-
тим, что Остроградский: 1) неизменно стремился к повы-
шению математического и методического уровня знаний
Преподавателей военной школы; 2) предъявлял большие
требования к познаниям преподавателей в областях, со-
ставлявших основное содержание предмета их пре-
подавания, будучи снисходительным в прочих случаях;
3) глубоко уважал и ценил трудолюбие, старательность
и настойчивость преподавателей, стремившихся к повы-
шению своей квалификации; 4) изучал и знал деловые
качества многих рядовых преподавателей столичных и
*) Так, например, в 1852 г. Остроградскпм в точение трёх
месяцев проверял постановку преподавания математики и меха-
ка^етсК11х корпусах Москвы, Тулы, Орла и Полтавы,
cif г‘ 011 пР°вёл аналогичную проверку в Полоцком и Брест-
ом кадетских корпусах (д. 2554, лл. 1—4 и др.).
284
И. л. МАРОН
провинциальных кадетских корпусов, стремясь к niiip0^
кому живому общению с ними; 5) отмечал наиболее сц0^
собных и достойных преподавателей, оказывая им всс.
мерную помощь и поддержку; многие пз них затем сами
приобрели известность и стали во главе математического
образования в России (Коркин, Вышнеградскпй, Сабинин
Евтушевскпй, Снмашко, Рощин, Острогорский п др.);
6) уделял очень много времени и труда делу подбора
преподавателей математики для военно-учебных заведений.
5. М. В. Остроградскпй как лектор и экзаминатор
Известно, что Остроградскпй, начиная с 1828 г. д0
конца своих дней беспрерывно вёл преподавание мате-
матики и механики в Главном педагогическом институте
и во всех высших военно-учебных заведениях столицы.
Сохранившиеся документы и отзывы бывших учеников
Остроградского дают нам возможность составить сужде-
ние о нём как о лекторе и экзампнаторе. Все отзывы, исходя-
щие от различных лиц, относящиеся к различным учебным
заведениям и к различным периодам профессорской дея-
тельности знаменитого математика, единодушно сходятся
на том, что лектором Остроградскпй был необыкновенным.
Лекции Остроградского отличались богатым идей-
ным содержанием, общностью и изяществом изложения.
Он читал живо, увлекательно, стараясь раскрыть перед
слушателями идейное богатство науки, анализируя воз-
можные методы исследования различных научных проблем.
Знаменитый русский механик Н.П. Петров (1836 —
1917), ученик Остроградского по Николаевской инженер-
ной академии, так писал о лекциях Остроградского: «Он
был выдающийся учёный и вместе с тем обладал удиви-
тельным даром мастерского изложения в самой увлека-
тельной и живой форме пе только отвлечённых, но, каза-
лось бы, даже сухих математических понятий. Это мастер-
ство и помогало ему приготовлять многих отличных пре-
подавателей математики»1).
9 «Вестник Военно-инженерной академии имени В. В. Вуи‘
бышева», выпуск 43, М., 1945, стр. 5.
ЛГТРОГРАДСКИИ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 285
Ученик Остроградского по Главному педагогическому
нституту, профессор математики Одесского универси-
тета Е. Ф- Сабинин (род. в 1833 г.) писал: «Михаил Василье-
вич читал лекции так, что увлекал своих слушателей,
ВаМые сложные и трудные вещи излагал весьма просто
С ясно... В своих лекциях Михаил Васильевич пе только
Ипрощал изложения начал читаемой им науки, но раз-
вивал и обобщал их, его лекции отличались поучитель-
ными приёмами анализа, что возбуждало в слушателях
любовь к излагаемому нашим геометром предмету»1).
Бывшие воспитанники Михайловской артиллерийской
академии, видные учёные артиллеристы А. Платов и
д. Кирпичёв в своём «Историческом очерке образования
и развития артиллерийского училища-» писали: «Остро-
градский с обширным знанием соединял необыкновенную
способность ясно и отчётливо представлять в своём уме
самые высокие и отвлечённые истины анализа и механи-
ки и излагал их с особым изяществом и простотою в при-
ёмах»2). Слушатели тщательно готовились к лекциям
Остроградского и напряжённо следили за ними, стараясь
не пропустить ни единого слова. Тс же А. Платов и
Л. Кирпичёв писали: «Высокий авторитет в науке нашего
гениального математика производил громадное влия-
ние на учащихся, оценивших надлежащим образом поль-
зу, которую они могут извлечь пз лекций Остроградско-
го, и желавших показать ему, что они в состоянии следить
за его преподаванием»3).
Известный русский инженер, ученик Остроградского
по Институту корпуса инженеров путей сообщения,
В. А. Панаев в своих воспоминаниях рассказывал:
«Все серьёзно занимавшиеся молодые люди ждали все-
гда лекции Остроградского с лихорадочным нетерпением,
как манны небесной. Слушать его лекции было истин-
ным наслаждением, точно он чптал нам высокопоэтиче-
ское произведение... Он был не только великий математик,
______
*) «Математический сборник», т. 22, вып. 1, стр. 523, 1901 г.
- ’) А. Платов и Л. Кирпичёв, Исторический очерк
стра314§НИЯ И Развитпя артиллерийского училища, СПБ, 1870,
*) Там же.
286
И. А. МАРОН
но, если можно так выразиться, п философ геометр, умев-
ший поднимать дух слушателя. Ясность и краткость его
изложений были поразительны, он не мучил выкладками
а постоянно держал мысли слушателя в напряжённом
состоянии относительно сущности вопроса» 1).
В аудитории на лекциях Оитроградского создавалась
своеобразная атмосфера взаимного соревнования. По сло-
вам В. А. Панаева, «Остроградскии любил возбуждать
в учащихся соревнование и тем напрягать их мысль и
умел иногда поощрять их одним словом, которым,
конечно, страшпо дорожили,—что служило сильным под-
стрекательством для занятии»2).
Как лектор и педагог Остроградскии резко выделялся
среди большинства профессоров военно-учебных заведе-
ний России того времени. Ученик Остроградского по
Главному инженерному училищу, известный русский
учёный и военный инженер Г. Е. Паукер, вспоминал
о постановке учебного процесса в Главном инженерном
училище в годы своей учёбы (1837—1842 гг.): «Учили
пас, конечно, с горем пополам, большей частью по по-
средственным компиляциям из иностранных учебников:
таковы тогда были средства ещё только начи-
навшей развиваться учебной части. Однако, между
нашпми наставниками было и несколько выдвигавших-
ся лиц. Во главе их — наш знаменитый геометр
М. В. Остроградскии...»3),
Каждую свою лекцию Остроградскпй начинал с крат-
кого обзора изложенного в предыдущих лекциях. Пре-
жде чем приступить к записи вывода того пли иного поло-
жения, ои указывал слушателям ход рассуждений и ме-
тод доказательства. Весьма часто оп оживлял своп лек-
ции историческими экскурсами, рассказами из биогра-
фий знаменитых людей. В пользу таких кратких псто-
*) Журнал «Русская старина», т. 80, октябрь и ноябрь 1893 г.,
статья «Воспоминания Валериана Александровича Панаева»,
стр. 79.
2) Там же, стр. 80.
3) П. М. Рабинович, Деятели русской строптельпоп
механики, «Вестник военно-инженерной академии нм. Куйбы-
шева», вып. 43, М., 1945, стр. 7.
0сТР°ГРАДСКИЙ в в°ЕННО‘УЧЕБНЬ1Х заведен, россии 287
«чески х обзоров Остроградскпй неоднократно высказы-
Р 1СЯ. Так, например, в брошюре «Размышление о пре-
Водаваш1п>>х), написанной Остроградскпй совместно с
д Блумом, авторы писали; «Мы не колеблясь скажем,
что биографии людей, полезных пауке и искусству, яв-
ляются одним из средств, которые мы употребляем для
привлечения внимания учеников».
Г Б некоторых сочинениях об Остроградском говорится,
что прп чтении лекций он ориентировался исключитель-
но на сильных слушателей, остальных же выпускал пз
поля зрения, нс заботился о них, будучи убеждённым,
что им недоступен строгий курс высшей математики и
механики. Это неверно! Такие утверждения искажают
облик Остроградского как педагога.
Остроградскпй пе мог ориентироваться лишь па силь-
ных—это противоречило бы его педагогическим принци-
пам. В упомянутой выше брошюре «Размышление о пре-
подавании» Остроградскпй и Блум подчёркивали, что
основной недостаток постановки обучения в военно-учеб-
ных заведениях России заключается в том, что препода-
вание ведётся слишком отвлечённо, в форме, недоступ-
ной для большинства слушателей, как будто вся цель
учения заключается в подготовке научных деятелей,
между тем как следует заботиться об обучении большин-
ства слушателей, из которых выйдет основная масса
деятелей армии.
«Там (в военно-учебных заведениях.—И. М.) пытают-
ся обучить офицеров, а действуют так, точно хотят под-
готовить высших генералов. Преподавание наук ведёт-
ся таким образом, точно готовят учёных. И стремясь
к слишком многому, пе достигают даже необходимого,
т< е. воспитания полезных скромных работников нашего
современного общест ва...
Создайте вначале инженеров, земледельцев, рабочих,
сРеди них встретятся люди, которых поглотит научный
энтузиазм, которые почувствуют безграничное, ни с чем
Не сравнимое удовольствие в изучении сложной и полез-
1860^ <<^ons^ara^ons sur l*enseignemenb>, Петербург—Париж,
288
И. А. МАРОН
ной проблемы, п которые отдадут много лет для изучения
того или иного вопроса... Итак, мы предлагаем предста-
вить элементы наук в наиболее доступной форме, мы ска-
жем даже — в наименее учёной, наиболее популярной
и приспособленной к уму ученика форме» (подчёркнуто
нами. —И. М.).
Мог ли автор таких строк в своей практической педа-
гогической работе ориентироваться только лишь на осо-
бенно выдающихся слушателей и забывать основную нх
массу?
Кроме того, воспоминания и отзывы бывших учени-
ков Остроградского говорят о том, что Остроградскпй
стремился читать своп лекции в наиболее доступной
форме, сохраняя при этом, правда, общность и строгость
рассуждений. Он чувствовал аудиторию всю целиком
и всеми мерами старался довести до сознания каждого
слушателя свои мысли. Вот что, например, пишет М. Ма-
ксимовский в «Историческом очерке развития Главного
инженерного училища»:
«Остроградскпй читал так, что увлекал всех; са-
мые сложные вещи он излагал с такой простотой и яс-
ностью, что пе понять было невозможно. Но заметив,
что и тут ещё некоторые как будто путались, он живо
стирал написанное и приводил другой способ доказатель-
ства, нисколько пе задумываясь.
...Это был человек, обладавший необыкновенными спо-
собностями совершенствовать своё дело и вести его
вперёд» !).
Бесспорно, однако, что лекции Остроградского были
настолько богаты идейным содержанием, что оказыва-
лись выше уровня математической подготовленности не-
которой части слушателей высших военно-учебных заве-
дений. Лекции Остроградского оказывались не под силу
тем ученикам, которые привыкли к одной «зубрёжке»
правил и формул.
Остроградский иногда так увлекался расширением
и углублением лекционного материала, что не уклады-
х) М. М а к с и м о в с к и й, Исторический очерк развития
Главного инженерного училища, СПБ, 1869, стр. 108.
О^ТРОГРАДСКИЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗДВЕД! и. РОССШ1 289
вале я во времени л курс оказывался недочитанным. В
тОгдашних условиях военной школы, где вся внутренняя
жизнь и учебный процесс до скрупулёзности регламен-
тировались, такая «вольность» прощалась лишь Остро
градскому.
Остроградскии много экзаменовал. Ему приходилось
не только экзаменовать учащихся высших военных учеб-
ных заведений, слушавших его курс, и ежегодно пред
седательствовать в различных комиссиях по приёму
переводных п выпускных экзаменов в кадетских кор
пусах, но также опрашивать воспитанников при частых
инспекторских посещениях столичных и губернских
корпусов 1).
И здесь оп оставался верен своим педагогическим
принципам, борясь с формализмом, с «зубрёжкой», тре-
буя от экзаменующихся твёрдого, ясного понимания сути
вопроса, правильного логического мышления.
Он легко прощал незнание на намять формул и охот
но поощрял высокими отметками тех, у кого выявлял
математическое развитие, живую мысль и сознательное
усвоение.— Математику нельзя учить на память, эта
наука требует развитого мышления,—подчеркивал он не-
однократно.
В. А. Панаев, вспоминая об Остроградском как об
экзамниаторе, писал: «И уже сказал, что Остроградскии
по обыкновению экзаменовал выпускной класс, который
должен был поступить на его курс. Эти его экзамены ви-
сели целый год, как Дамоклов меч, над головами выпуск
ников. Характер его экзаменов наводил панический страх
х) Об одном таком опросе академик A. II. Крылов рассказы
вал: «Мой отец с 1842 г. учился в первом кадетском корпусе, после
чего до 1857 года служил в артиллерии; оп хорошо помнил Остро-
градского но его посещениям корпуса и присутствию на уроках
причём Остроградский сам спрашивал кадет. Раз п моему отцу
пришлось отвечать Остроградскому. Был урок геометрии. Входит
Ретроградский, задаёт стоящему у доски кадету ряд вопросов,
от отвечает очень плохо или молчит. „Кто у вас тут посильнее?"
адет отвечает: „Крылов, Ваше превосходительство, он у нас
в Лач“.—„Выходи, Крылов, поборемся" п, встав во весь рост, как бы
позу борца, стал задавать вопросы. Остался доволен ответами:
ты молодчина; садись, да, смотри, учись хорошенько *,
^рхив АН СССР, ф. 759, on. 1, № 354, стр. 14).
Историко-матем. исследования
290
И. А. МАРОН
потому, что он пытал, главным образом, способность ц
сообразительность ученика и пе придавал большого зна-
чения тем вопросам, где могла играть большую роль па-
мять, т. е. тому, что можно было задолбить».
Об Остроградском-экзаминаторе ходит до сих пор
немало анекдотов, в значительной части, во всяком слу-
чае, несправедливых. Так, например, распространён сле-
дующий рассказ. Один слушатель держал у Остро] рад_
ского экзамен. Узнав, в ходе экзамена, что имя испыту-
емого—Цезарь, Остроградскпй со словами «О, это бьщ
большой человек», поставил ему высший балл. Анекдот
этот, однако, вовсе ле свидетельствует о «чудачествах»
великого математика. Дело в том, что Остроградскпй
поставил в этом случае высшую оценку не потому, чТо
имя слушателя было Цезарь, а потому, что это был выдаю-
щийся по способностям человек Цезарь Антонович Кюи,
ставший впоследствии известным военным инженером,
заслуженным профессором фортификации в академиях
Военно-инженерной, Михайловской артиллерийской и Ге-
нерального штаба х).
Об Остроградском написано поразительно мало, ана-
лизу его педагогической деятельности посвящены бук-
вально отдельные строки, по и эти строки, к сожалению,
часто заполнены лишь изложением легенд о «чудачествах»
Остроградского, искажая представление о нём как о вы-
дающемся педагогическом деятеле. Между тем, подобные
поступки либо совершались Остроградским со специаль-
ной педагогической целью, либо только по внешности
казались прпчудамп великого человека. Остроградский
стремился всячески поощрять способных, интересую-
щихся математикой учеников, он отмечал пх и па лек-
циях и, особенно, на экзаменах, и им он иногда, почти
не спрашивая, ставил высший балл. Так, например,
П. И. Трипольский* 2) приводит следующий случай. Экза-
меновался слушатель Эвальд. Остроградскпй, не спраши-
х) Он же — крупный композитор, автор оперы «Кавказские
пленник».
2) П. И. Трипольский, М. В. Остроградскпй, Пол-
тава, 1901.
ОСТРОГРАДСКИЙ
в военно-учебных заведен. России 291
поставил ему высший балл, а когда тот удивился,
^атроградский ответил: «Многое пз математики по остаёт-
в памяти, ио когда поймёшь сё, тогда легко при слу-
сЯ вспомнить забытое.—Пз обращения с Вамп я заметил,
ча Вы поняли мой курс, а потому и ставлю Вам без
^замена высшпй балл».
J Остроградскпй пользовался различными приёмами
того, чтобы развить у слушателей соревнование,
а3путь в пих творческий огонёк. «Профессор искусно
доджигал самолюбие молодых людей», —писали А. Платов
и Л- Кирпичёв в уже упомянутом выше «Историческом
очерке»1).
В. А. Панаев в своих воспоминаниях приводит сле-
дующий эпизод. Явившись однажды после экзамена в
класс, Остроградскпй обратился к воспитанникам со сло-
вами:
«Я доволен—класс хороший, но всё-таки никто из
вас не решит одного интеграла, разве Лебедев!». Многие
оо
С sin# ,
записали этот интеграл \ —-— ах и с жаром взялись за
о
его вычисление.
Вот как вычислил этот интеграл В. А. Панаев:
30 оо со
Г sin х dx С eXi — e-xi . f eax e~ax ,
\-------- — \-----------dx — \ —----------dx,
Ух j 2гж j 2ax ’
0 0 0
де a = 1/ —1.
Ho
C enx~e-(t3 7
\ —о-----dx
\ 2ax
можно представить в виде
------------0
Стр. 150 (см. сноску па стр. 285).
19*
292
П. А. МАРОН
Дифференцируя и интегрируя по Ъ, получим:
со —а —а со
-k\\db dx=к \db 5 е^х (-dx)=
О а а 0
—а —а а
1 £ 11 _ 1 f db _ 3 * (’ db
“ 2?г j db\Jb~ Jo - 2а J b ~ 2а J b
а а —а
— 1 (Ь 6)я = *£ t ± 1J.
2а 2 \/ - 1 2 7
Если учесть, что этот интеграл был задан юношам
17—18 лет, то станет ясным, па какой высокий уровень
Остроградскпй поднял математическое образование в воен-
но-учебных заведениях России.
6. Педагогические взгляды Остроградского
Детальное освещение педагогических взглядов Остро-
градского потребовало бы особого исследованпя. Здесь мы
ограничимся указаниями па отдельные дидактические
и методические высказывания Остроградского, близкие к
идеям, лёгшим в начале настоящего века в основу между-
народного движения за реформу преподавания математики.
Борьба с формализмом в обучении математике, стрем-
ление к развитию строгого математического мышления и
самостоятельности в работе учащихся, стремление к выяс-
нению учащимися научных основ математики, развитие
у них навыков и умения практически прилагать теорети-
ческие знания и т. п. -являлись руководящими прин-
ципами в педагогической деятельности Остроградского.
В 1848 г. Главный штаб военно-учебных заведений
составллч«П аставлспие для образования воспитанников
военно-уебиых заведений». Раздел V «Наставления» по-
свящён изложению содержания и целей преподавания ма-
тематических дисциплин. Этот раздел составлен под вли-
янием Остроградского и в некоторой мере отражал
его взгляды. «Для развития умственных способностей,""
указывается в «Наставлении»,—пагубно заставлять толь-
Э См. «Воспоминания Валериана Александровича Панаева»
в журнале «Русская Старина» за октябрь и ноябрь 1893 г., стр. о* •
ОСТрОГРЛДСКИП В ВОЕНН0‘УЧЕБНЬ1Х ЗАВЕДЕН. РОССИИ 293
-о заучивать одну теорему за другой, как, к сожалению,
^ействуют многие из учителей математики; следует, на-
против, вникать во внутреннюю их связь и последователь-
ость, двигать воспитанников с строгою математическою
огикою; настаивать, чтобы они нс забывали иройдеи-
рого и беспрестанно к нему возвращались; приучать их
оцениваться истины самим, выводя искомое пз данного
и отгадывая решение незнакомой нм теоремы посредством
известных. Одним словом: соединить все усилия, чтобы
труд самостоятельного мышления исключительно заменил
механическнй труд заучивания на память» 1).
Указанные дидактические принципы Остроградского
сказались прежде всего иа характере программ ио мате-
матике и механике, составленных и неоднократно пере-
смотренных главным наблюдателем.
В алгебре, в отличие от предыдущих программ, обра-
щено было большое внимание на обоснованно действий,
на составление уравнений из условий задачи и па выяс-
нение функциональной зависимости между переменными.
Из геометрии были удалены непринципиальные пункты
(упражнения по топографии и др.) и усилены разделы, име-
ющие значение для более строгого изложения систематиче-
ского курса геометрии; в арифметике—усилены разделы,
выясняющие теоретические основы этой науки. Заново пе-
ресмотрена была программа по аналитической геометрии,
причём было обращено большое внимание на принципи-
альные стороны этой дисциплины.
Остроградский не только развивал идею о необходимо-
сти введения элементов высшей математики в курс сред-
ней школы, по и добился осуществления её. В 18-50 г. во
всех четвертых общих классах кадетских корпусов по ини-
циативе Остроградского были введены элементы выспи й
математики. Преподавание аналитической геометрии и
механики было пересмотрено п стало основываться иа по-
нятиях высшей математики2).
г) «Наставление для образования воспитанников г.оенно-учсб-
Ных заведений», СПБ, 1848 (д. 2432, л. 132).
2) В своём конспекте но алгебре Остроградскпй поместил
лаву, посвящённую методике преподавания элементов высшей
^тематики в средней школе (ЦГНА, ф. Vi”, on. 1, Л? 20).
294
и. л. МЛРОП
Сохранившиеся материалы свидетельствуют, что Ост-
роградскому приходилось при этом преодолевать рутмцу
и доказывать необходимость и пользу введения элементов
высшей математики в курс средней школы (д. 2449, л. 24).
Для этой цели он собирал совещания преподавателей
математики и механики военно-учебных заведений, ца
которых выступал в защиту своих нововведений.
Мы видели выше, что Остроградскпй высказывался
в пользу введения элементов дифференциального исчи-
сления в курс элементарной геометрии. По он шёл и
дальше, утверждая, что основные понятия высшей мате-
матики должны стать достоянием широких кругов гра-
мотных людей. В статье «Погрешности при вычислении
процентов» х), написанной в популярной форме для широ-
кого круга читателей, Остроградскпй писал: «Рассмотрим
же, какими формулами должно руководствоваться при
вычислении сложных процентов. Вопрос этот можно ре-
шить на основании самых элементарных правил алгебры,
но мы употребим дифференциальное исчисление, во-пер-
вых, для большей простоты, а во-вторых, чтобы оно мало
по-малу распространялось на все классы читателей. Фра-
за: „Дифференциальное исчислениеестьтрансцендентный,
или высший анализ доступный весьма немногим'—по-
вторяемая со времени Лейбница, должна же, наконец .уста-
реть. Что может быть проще дифференциального исчис-
ления для читателей, хотя бы несколько знакомых с мате-
матическими науками?» (подчёркнуто мною.—И. 4/.).
С другой стороны, Остроградскпй подчёркивал необ-
ходимость приблизить изложение элементарной матема-
тики к методам высшей математики. К этому он стре-
мился при составлении своих учебных руководств, эту
же мысль он высказывал на методических совещаниях
преподавателей.
Борясь с формализмом в обучении математике, Остр0-
градский требовал, чтобы преподаватели развивали в уче-
никах математическое мышление, самостоятельное твор-
9 «Северное обозрение», 1848, № 1. См. также «Журя®*
Министерства народного просвещения», 1848, ч. 59, отд. ' »
стр. 117.
ПЕТРОГРАДСКИЙ в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 29 5
рство: «Всеми возможными приёмами наводить воспптап-
4 в, чтобы доказательства теорем и решение вопросов,
н я HIix новых, они находили сами» х). При своих частых
посещениях занятий по математике в корпусах он
епзменно интересовался математическим развитием
воспитанников, испытывал пх сообразительность и спо-
собности.
Остроградскпй, далее, настойчиво доопвался, чтобы
преподавание математики и механики в кадетских кор-
пусах было увязано с физикой и естествознанием. «Необ-
ходимо математику не только преподавать, как пауку
отвлечённую, но и переходить, как можно чаще, к раз-
нообразным практическим её приложениям; от сего препо-
давание оживится, овладеет вниманием воспитанников п
во многих пз нпх разовьёт от раннего возраста любовь
к науке» 2).
По инициативе Остроградского созывались объединён-
ные совещания математической комиссии с комиссией по
физике для совместного обсуждения программ по мате-
матике, механике, физике и космографии3) (д. 2279,
л. 242).
Остроградскпй настаивал на усилении наглядности
в преподавании математических дисциплин. Сохранив-
шиеся материалы свидетельствуют, что он принял
деятельное участие в организации и оборудовании каби-
нетов по математическим наукам в кадетских корпусах.
Борясь за научную строгость в преподавании мате-
матики, Остроградскпй в то же время подчёркивал, что
изложение этого предмета не должно быть сухим, отвле-
чённым; оно должно быть наглядным, конкретным, инте-
ресным, учитывающим возрастные особенности учеников.
Для оживления урока, для привлечения внимания воспи-
танников оп рекомендовал преподавателю делать исто-
рические экскурсы, рассказывать эпизоды из истории
Математики и пз биографий учёных.
х) «Наставление для образования воспитанников восино-
Учебных заведений», СПБ, 1848.
2) Там же.
8) Главным наблюдателем за преподаванием физики в военио-
Учебных заведениях был акад. Э. X. Ленц.
II. Л. МАРОН
Остроградскии боролся за то, чтобы военная школа
давала своим воспитанникам достаточно твёрдые зла-
иия и навыки ио математике. Составленные им программы
предусматривали основательное повторение всего прой-
денного, а в IV общем классе предусматривалось повто-
рение материала всех предыдущих трёх классов. Остроград-
ский рекомендовал преподавателям начинать своп ур(щ
с краткого обзора пройденного, па текущих опросах пред-
лагать ученикам вопросы из предыдущих глав. «Сведенцп
во-и ига и инков оценивать не ио ответам из Toil только
части курса, которая в известном классе проходится, ц0
и ио знанию вообще всего пройденного, начиная с клас-
сов самых низших» * 2).
Следовательно, есть все основания заключить, что
в таких основных вопросах, как введение элементов вы<-
л ей математики в курс средней школы, развитие функ-
ционального мышления, установление связи математики
с вопросами физики и естествознания, вопрос о наглядно-
сти преподавания и об учёте возрастных особенностей
учеников, Остроградскпй ещё за 50 лет до Клейна выска-
зывал в частично осуществил идеи, которые затем легли
в основу известного международного движения за реформу
преподавания математики.
Многие пз этих идей были развиты и в более закоп-
ченной форме высказаны в 1865 г. учеником Остро-
градского, артиллерийским офицером В. II. Шкля-
ревлчем.
В 1865 г. В. II. Шкляревич2) поместил в «Педагоги-
ческим сборнике» статью «Некоторые соображения о ме-
тоде преподавания начальной математики»3).
В этой статье автор подверг строгой критике методы
преподавания математики в военных гимназиях4) и вы-
двинул ряд основных идей, ставших затем на рубеже
’) «Наставление для образования воспитанников военно-
учебных заведений», СНВ, 1848.
2) О В. II. Шкляревпче см. стр. 320.
3) «Педагогический сборник, издаваемый Главным управле-
нием военно-учебных заведений», 1865 г., кп. V.
ч) В 1864 г. кадетские корпуса были преобразованы в военные
гимназии.
оСТрЛГРАДСКЛП 1^ ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 297
XIX и XX вв. знаменем борьбы за реформу преподавания
математики. v
«Самый капитальный недостаток математической под-
готовки учеников, оканчивающих курс в военных гимна-
зиях,— писал Шкляревпч, —есть следующий: почти исклю-
чительное усвоение одних только внешних форм мате-
матических истин и весьма слабое понимание их сущно-
сти». Дело в том, что «преподавание математики вообще
страдает недостатком наглядности и таких практических
занятии, которые, кроме применения излагаемых в курсе
правил, способствовали бы разъяснению самой сущности
понятий».
Отметив недостатки, автор переходит к подробному
изложению своих предложений относительно преподава-
ния алгебры, геометрии и тригонометрии в военных гим-
назиях.
Главная задача преподавания математики заключает-
ся, по мнению Шкляревнча, в развитии у учащихся «функ-
ционального мышления». «С значением термина „функ-
ция",—писал автор,—необходимо ознакомить учеников.
Сколько болтовни приходится иногда употреблять
для того, чтобы обойти одно слово!» Пз курса алгебры,
писал он, ученики должны вынести «ясное сознание
о том, что всякое алгебраическое уравнение есть выра-
жение некоторой зависимости между входящими в пего
величинами».
Шкляревпч подчеркивал, что с понятием функциональ-
ной зависимости и с графиками функций, имеющими
фундаментальное значение для всех точных наук,
учащиеся должны знакомиться пе только в курсе ана-
литической геометрии.
«Мы предлагаем здесь, - писал он,- вовсе не смеше-
ние алгебры с аналитической геометрией, но объяснение
общего приёма, имеющего огромное значение во всех
прикладных науках... Общий приём графического выра-
жения зависимости между двумя переменными не есть
исключительная принадлежность аналитической геоме-
трии».
Анализу функциональных зависимостей, указывает
авт°р, следует посвящать специальные упражнения.
298
И. А. МАРОН
Упражнения эти должны быть проведены следующим
образом: даётся аналитическое выражение функции
исследуется характер изменения функции в зависимо-
стп 01 изменения независимых переменных, строятся
графики функции от одной переменной прп фиксиро-
ванных значениях других переменных, исследуются эти
графики.
Надо, указывает далее автор, упражнять учеников
в нахождении численных значений функции и в соста-
влении таблиц. Ученики должны уметь анализировать
табличные данные, уметь сопоставлять пх с графиком
функции:
«Умение судить по ряду численных значений каких-
нибудь величин о зависимости, существующей между ними,
необходимо прп изучении прикладных наук. Наконец,
подобные упражнения несомненно будут способствовать
развитию умственных способностей учеников в гораздо
большей степени, нежели изучение выводов теорем».
Автор идёт дальше и предлагает ознакомить уча-
щихся с эмпирическими уравнениями и с графическим
интерполированием в простейших случаях.
Касаясь методики составления уравнений, автор
опять подчёркивает необходимость прививать ученикам
умение произвести анализ п исследование решения
уравнений:
«Каждое решение непременно должно быть исследова-
но. Только исследование решения задачи получает пол-
ный смысл в глазах ученика и представляет для него не-
который интерес».
Далее автор переходит к вопросам преподавания гео-
метрии, и здесь он во многом предваряет позднейшее
развитие педагогической мысли.
Основной недостаток преподавания геометрии в воен-
ных гимназиях заключается, по его мнению, в том, что
изложение учебного материала ведётся без учёта воз-
растных и психологических особенностей учащихся. Пре-
подавание геометрии начинается сразу с изложения опре-
делённых теорем, относящихся к свойствам и измерению
протяжений, когда ученик ещё пе имеет наглядного пред-
ставления о геометрических образах. Поэтому геометрия
оСтроградский в военно-учебных заведен, россии 2 99
«ступает перед ним как пустой, лишённый смысла набор
В0упно запоминаемых определений и теорем. «Запиматель-
ость предмета в начальном преподавании играет
Немаловажную роль. Но эта занимательность при пауч-
н изложении геометрии возможна только тогда, когда
ченик уже успел ознакомиться практически с главной-
щимп свойствами протяжений и способами измерения
и понимает, что преподаваемый курс геометрпп должен
дать ему строгий отчёт в том, что ему уже известно отча-
сти практически».
Шкляревич предлагает строить преподавание геоме-
трии следующим образом. В самых младших классах про-
водится ряд упражнений по измерению окружающих ре-
бёнка предметов, по составлению их уменьшенных чер-
тежей и планов. Цель упражнений—«отделить в уме
учащегося представление о формах и линейных размерах
видимого предмета от представления о самом предмете»
и, таким образом, ввести ребёнка в круг геометрических
понятий. В последующих классах изучение геометрии
должно состоять пз двух курсов: подготовительного и
научного.
Касаясь тригонометрии, Шкляревич подчёркивает не-
обходимость графического представления и изучения три-
гонометрических функций.
Интересны мысли автора о необходимости обучать уче-
ников практически прилагать математические знания к
решению вопросов физики п естествознания. «В старших
классах математика должна служить пособием для по-
нимания физики. Преподавателю следует брать преиму-
щественно такие примеры для упражнений, которые слу-
жили бы пособием для изучения физики».
Таким образом, в статье Шкляревпча речь шла не об
отдельных частных изменениях курса математики в воен-
ной гимназии, а о радикальном его преобразовании, о
подлинной реформе преподавания математики.
Предложения Шкляревпча, развивавшие метода че-
СКие идеи Остроградского, вместе с предложением Остро-
гРадского ввести в школе элементы дифференциаль-
ного и интегрального исчисления в значительной мере
ИСЧерпывали принципы, положенные 35 лет спустя
300
II. Л. МАРОН
Ф. Клейном п Е. Рико в основу международного дшкке,
пин за реформу преподавания математики.
Большим заблуждением является, к сожалению, часто
повторяемое утверждение, что движение за реформу црс_
подавания математики1) началось на западе. Глубоко оши-
бочным является мнение, будто «в 900-е гг. под влиянием
идеи известного математика Клеила... ив России начало
развиваться движение за реформу преподавания алгебры
в средней школе»2).
В действительности движение за реформу препода-
вания математики началось в России гораздо раньше двад-
цатого века, и требования, предъявленные к преподаванию
математики в России, шли дальше тех требований, какие
были выдвинуты в Западной Европе Клейном и Рике.
Родоначальником этих передовых методических идей в
России явились М. В. Остроградскпй и его ученик
В. Н. Шклярсвич.
Педагогические интересы Остроградского не ограни-
чивались вопросами частной методики математики. Его
глубоко интересовали и общие проблемы воспитания и
образования. Эта тема заслуживает также особого под-
робного исследования, и мы здесь приведём лишь некото-
рые отдельные суждения Остроградского, высказанные
им в написанной совместно с А. Блумом3) брошюре «Раз-
мышление о преподавании».
*) О реформе см. В. Ф. К ага и, Реформа преподавания
математики в средних учебных заведениях Франции и Германии,
введение к русскому переводу книги Э. Бореля и П. Штеккеля
«Элементарная математика», т. I, Одесса, 1911 г.—К. Носсе
и В. С т р у в е, Согласование программы математики в средней
в высшей школе (журнал «Вестник опытной физики и элементар-
ной математики», № 555, 1913 г.).
2) Большая Советская Энциклопедия, т. 38 (1938), стр. 403,
статья «Математика в школе».
3) Псаак-Август Блум (1812- 1877)—французский математик,
после окончания Политехнической школы был офицером морской
артиллерии; в 1835 г. оставил военную карьеру с тем, чтобы пол-
ностью отдаться педагогической деятельности; активный участник
революционных событий 1848 г.: входил в редакцию «Рабочего
журнала» («Journal des Travailleurs»); в 1844 г. осповал журнал
но точным наукам «Bulletin Poly technique», а в 50-х гг. не-
продолжительное время издавал журнал по чпетоп п при-
остроградскпй в военно-учебных заведен. РОССИИ 301
Сочинение это представляет собой призыв к пересмотру
изменению всей системы образования и в особенности
^ачального. В нём дана программа нового построения
школьного обучен ня*).
Остроградского и Ьлума не удовлетворяла постановка
бучения детей в современной им школе. Обучение —
Утверждали они—ведётся слишком сухо, абстрактно, отор-
ванно от потребностей жизни, без учёта наклонностей
п интересов детей.
«Для обучения молодёжи,—писали авторы, — исполь-
зуют те же приёмы, которыми пользовались Сократ и
Платон для преподавания высших истин морали людям,
уже сформировавшимся, влюблённым в занятия логикой
и философией и привыкшим пользоваться речью»... «Кто
из нас не видел, что пз 50 соучеников, по крайней мере,
40 были отвращены и обескуражены навсегда абстракт-
ными идеями, которые нам вначале преподносили, прежде
чем сделать их попятными с помощью примеров, взятых
из практической жизни?
Преподаватели наук в гимназиях, лицеях, военно-
учебных заведениях признают, что в общем они читают
свои лекции скорее скамейкам и стульям, чем пытли-
вым, внимательным умам.
Действительно, на уроках арифметики, алгебры, гео-
метрии ничто ие напоминало необходимости их изуче-
ния для практической жизни. Ничего пе было рассказано
об истории наук. Глубокие теории, сухие, непонятные
определения были изложены, повторены и, осмелимся
кладной математике «La Science»; является автором следующих
учебных руководств: «Полный курс математики», в двух томах (Па-
риж, 1843), «Конспект по элементарной алгебре» (Париж, 1843),
«Конспект по арифметике» (Париж, 1843); последние два руковод-
ства были включены в серию «Политехнические таблицы» («Col-
lection des tableaux polytechniqiies»), которая издавалась в 40-х гг.
в Париже при участии Блума.
I х) Отметим, кстати, что это сочинение выдающегося русского
математика, написанное по-фрапцузски (Considerations sur 1 Ёп-
seignement, СПБ—Париж, I860), не только пе изучено нашими
историками педагогики, но даже не переведено па русский язык
и является в настоящее время большой библиографической ред-
костью.
302 _____________И. А. МАРОН__________________
сказать, пережёваны, не давая никакого другого резуль-
тата, чем образование небольшого количества учеников.
Кажется, что жрецы древнего Египта ещё руководят
тайнами паук».
Критика, которой подверг Остроградскпй методы обу-
чения в современной ему школе, во многом совпадает
с уничтожающей критикой крепостнической школы, дан-
ной в педагогических высказываниях великих русских
демократов Н. Г. Чернышевского и Н. А. Добролюбова.
Однако между критикой школы, данной Остроградскпм,
и критикой Чернышевского и Добролюбова существует
большое принципиальное различие.
Критика Остроградского несравненно более ограни-
чена. Остроградскпй не указывал па те условия, которые
породили такую школу, т. е. на монархо-крепостнпче-
скпй строй, и не высказывал своего отношения к этому
строю.
Чернышевский и Добролюбов главное остриё своей
критики направляли именно на самодержавно-крепостни-
ческий режим. Они подчёркивали, что убожество со-
временной им системы образования является следствием
«просветительной политики» царского правительства.
Остроградскпй и Блум были убеждены в необходи-
мости и возможности усовершенствования методов
обучения. Изменить всю систему начального обуче-
ния, сделать его, не упрощая пауку, интересным, до-
ступным и увлекательным—такова была, по пх мнению,
важная и неотложная проблема русской общественной
жизнп.
«Нам достаточно сказать несколько слов для уточне-
ния того, что мы хотим сказать,—писали авторы.—Мы
претендуем на то, чтобы дать понять, что пришёл момент
вспомнить об этой громадной проблеме—проблеме обра-
зования, избавить ого от первоначальных трудностей,
сделать его более простым, ясным, блестящим...». II да-
лее:
«Заинтересовать ум ребёнка—вот, что является од-
ним из главных пунктов нашей доктрины, и мы не прене-
брегаем ничем, чтобы привить ученику вкус—мы бы ска-
зали страсть к учёбе».
оСТрОГРЛДСК11Й2 ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ _303
Что же предлагали Остроградскпй и Блум для того,
тобы сделать обучение «простым, ясным, блестящим»,
Чтобы «заинтересовать ум ребёнка»? Суть их предложе-
ий в основном сводится к тому, что обучение, особенно
На первых его ступенях, должно быть максимально актив-
ны творческим и наглядным. Первоначальные понятия
о буквах, о счёте, о геометрических фигурах, о механиче-
ских п физических свойствах окружающих предметов
п т. п. ребёнок должен почерпнуть нс пз слов учителя,
не из книги, а в процессе самостоятельного труда в мас-
терской, под руководством учителя. Ребёнок, по замыслу
Остроградского и Блума, начинает обученно с шести
лет. Большую часть учебного времени он проводит в ма-
стерской, созданной прп каждой школе. Занимаясь там
лепкой, вырезыванием пз картона и дерева букв, цифр,
геометрических образов п т. д.. он создаёт в своём воо-
бражении твёрдые представления о них. «Когда ребёнок, —
утверждали авторы,—сделал буквы из глины и когда он
может сделать несколько раз то, что он сделал по модели,
пли по своим первым пробам, можно быть уверенным,
что воспоминание об этих предметах навсегда запечат-
лится в его памяти».
Производя с помощью простейших приборов, им
самим же созданных, элементарные физические или астро-
номические наблюдения, ребёнок развивает наблюда-
тельность п расширяет кругозор.
Но воспитательное значение этих первоначальных и
элементарных трудовых процессов ребёнка пе ограничи-
вается одним лишь созданием твёрдых представлений о
буквах, цифрах, геометрических образах и т. п. У ребён-
ка, кроме этого, утверждают авторы, развивается
наблюдательность, чувство симметричности и красоты;
создаются представления о физических и механических
свойствах окружающих предметов: о набухании сыро-
го дерева, о расширении металлов, о высыхании глины
и Др., и, что очень важно, развиваются трудовые навыки.
«Учитель, любящий своё дело, — пишут авторы,—су-
Меет> без сомнения, использовать употребление глины
Ддя лепки, для изготовления грубых ваз. Он покажет
кысыханпе горшечной глины, заставит установить расши-
30'»
и. А. МАРОН
реп пс железа. Оп расскажет о пабу хапни сырого дерева
и обо всех мелких физических свойствах, которые имеют
такое большое значение в ремёслах и искусствах. Боз
больших расходов будет легко, как это видно, заставить
ребёнка наблюдать за интересными вещами, наблюдать
геометрические образы, некоторые физические свойства
материи и в то же время увлечь его, приучая делать эти
маленькие операции чисто и аккуратно.
Маленькие лепщики очень горды тем, что они создают
своими руками интересные вещи.
Позже ученики воспользуются этим средством, чтобы
изучать более сложные вещи: плотничное дело, искусство
инженера и т. п.
Кто может отрицать, что, распространяя употребле-
ние этой маленькой практики, мы умножаем шансы вос-
питать выдающихся инженеров, скульпторов...».
В этих элементарных трудовых операциях состоит,
по мнению авторов, первоначальная ступень обучения.
Содержанием следующей ступени обучения является
отвлечение от этих конкретных овеществлённых образов —
изображение пх на бумаге и рассмотрение их в различных
сочетаниях. Ребёнок за партой в классе рисует по мо-
делям, с- зданным им самим, буквы, цифры, геометри-
ческие образы и др., рассматривает и изучает пх в раз-
личных комбинациях, учится письму, чтению, счёту и т. д.
На основе конкретных восприятий, полученных в
процессе труда, ребёнок ближе и глубже здесь знако-
мится с первоначальными положениями геометрии, физп
ки, космографии и пр.
«Вкус к рисунку придёт вскоре после этих попы-
ток пластики, —замечают Остроградскпй и Блум.—Ребё-
нок гораздо .лучше понимает рельеф, чем плоскую
фигуру.
Рисунок уже является чем-то абстрактным. Пусть
нам разрешат заметить здесь, что древние совсем нс
оставили нам картин, а наоборот, изумительные скульп-
туры, гравюр]»!. Мы не умеем гравировать драгоцен-
ные камни так, как это умели 2000 лет тому назад. Са-
мое тонкое современное искусство не создало ничего
равного.
лСТРОГРАДСКИП В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 305
Когда ученики научатся пользоваться последователь-
но глиной, молотком, топором, пилон и т. д., когда ОПП
смогут делать маленькие геометрические фигуры, малень-
кие приборы для механических, астрономических и физи-
ческих наблюдений, тогда время дать им в руки рейсфе-
дер, циркуль, карандаш, бумагу, перо и черпала; они
узнают, что такое прямая линия, круг, треугольник,
квадрат, цилиндр и т. д. Опп узнают, как измерить плос
кую фигуру, круг, призму, шар и др.».
В результате первых ступеней обучения ребёнок
должен, как указывали Остроградскпй и Блум, полу-
чить определённую сумму конкретных восприятии, зна-
ний и политехнических навыков. Оп должен иметь пред-
ставление о геометрических образах и об пх измерении,
уметь чертить эти образы с помощью линейки и циркуля,
уметь изобразить план местности и т. п. Он должен иметь
некоторую сумму предварительных физических сведе-
ний, знать, что такое рычаг первого и второго рода, чго
такое блок, лебёдка, клип пт. п., иметь представление
о ковкости, вязкости и текучести материалов. Он должен
иметь понятия об основных и простейших явлениях элек-
тричества, света, тепла и пр.
А главное, подчёркивают авторы, он должен полу-
чить навыки наблюдения. «Дети ио привыкли наблюдать,
они смотрят по видя, слушают не воспринимая, говорят
не зная». «Скажем откровенно: зло воспитания детей со-
стоит в том, что не вырабатывают их волю, не приучают
их наблюдать, не учат их направлять своё внимание».
Следует поэтому научить ребёнка вниманию. Ребёнок
должен овладеть «двумя основными моментами наблю-
дения»: уметь измерять и взвешивать.
Дальнейшая задача наблюдения будет заключаться
в систематизации полученных ребёнком понятий, представ-
лений п навыков, в углублении и закреплении пх—это
составит содержание следующей ступени обучения.
«Это не всё —узнать, надо запомнить. В этом, по-пашему,
самое трудное в обучении. Один пз великих писателей
века считает, что не множество идей, а порядок
® выбор отсутствуют у людей в поисках правды», по-
тому необходимо приводить в порядок знания детей.
20
Рст°рпко-матем. исследования
306
И. А. МАРОН
II здесь, иа этой ступени обучения, авторы предла
гают широко прибегнуть к наглядности. Для спстемати
зацип и закрепления знаний детей они рекомендуют поль-
зоваться так называемыми синоптическими таблицами —
таблицами, в которых в систематизированном виде при-
ведены основные сведения и положения определённою
раздела науки.
Вот как, например, мыслят авторы проведение систе-
матизации и повторения геометрического материала с
помощью синоптических таблиц. Ученику, который уже
имеет определённую сумму геометрических сведений в
результате предыдущих ступеней обучения предлагают
синоптические таблицы по геометрпп. В них изображены
в класспфицироваппном впде геометрические фигуры в
простейшие тела. Около каждого геометрического об-
раза изложены основные его свойства и указан способ
измерения его элементов—площади, объёма, поверхности
и т. д. Такую таблицу ученик тщательно изучает, делает
различные сопоставления, проводит различные упраж-
нения, копирует её несколько раз, а затем самостоятельно
ио памяти составляет сё заново.
Хорошо изготовленные синоптические таблицы по раз-
личным разделам пауки должны быть развешены в клас-
се и всегда быть перед глазами учеников. «Ребёнок, у
которого перед глазами первая таблица, которую он ско-
пировал, два пли три раза, потом сделал заново па па-
мять, навсегда запечатлеет то, что он узнал». «... Употреб-
ление стенных географических карт оказало огромную
услугу в обучении. Употребление больших синоптиче-
ских таблиц, повешенных в школах, может фиксировать
в уме учеников, нс переутомляя память, принципы науч1
и искусств».
Кроме общих и довольно полных указаний относитесь-
но характера и направления преобразований в постанов
ко школьного обучения, авторы останавливаются иа ряд<
учебно-организационных моментов, связанных с осуше
ствлением их проекта устройства школы. Они пред
лагают, например, следующую таблицу распредели
пня учебного времени в начальной школе за се
делю.
оГТРОГРАДСКПЙ в ВОЕШЮ-УЧЕБПЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 307
13 эту таблицу ио включены часы, которые необхо-
димы Для изучения родного и иностранных языков
и гигиены.
Возраст учеников Предмет 7 лет 8 лет 9 лет 10 лет 11 лет 12 лет
Учёба в мастерской . . 6 ч. 6 ч. 5 ч. 5 ч. 4 ч. 4 ч.
2) Обучение наукам . . . 0 ч. 3 ч. 4 ч. 5 ч. G ч. 8 ч.
3) Рисование 1 ч. 2 ч. 3 ч. 3 ч. 4 ч. 4 ч.
। Итого . . 7 ч. 11 ч. 12 ч. 13 ч. 14 ч. 16 ч.
Первой дисциплине, подчёркивают авторы, следует
уделить наибольшее количество учебного времени.
Остроградскпй и Блум отдавали себе ясный отчёт
в том, что успех осуществления их программы зависит
от наличия подготовленных и убеждённых учите.лей, гото-
вых с энтузиазмом посвятить себя новому способу пре-
подавания:
«Мы предвидим серьёзное возражение: Вы рассу-
ждаете, скажут нам, предполагая, что уже имеются учи-
теля. Мы верим вместе с вамп в то, что хорошие учителя
создают хороших учеников. Но как вы создадите учите-
лей? Будете ли вы вынуждены создать педагогические
школы? Не надо ли будет ждать ещё целое поколение,
чтобы взять всё хорошее из того, что вы предлагаете?
Всё зависит от средств, которые вы предложите для
обучения учителей.—Мы согласны, что это очень серьёз-
ное замечание, и мы согласны, что необходимо позабо-
титься о создании учителей». Для этого авторы предла-
гают организовать немедленную подготовку учителей пу-
тем широкой популяризации новых педагогических идей,
Утем издания и широкого распространения методпче-
Го®х брошюр и доступных сочинений политехническо-
СоДержания. Соответствующим образом должна быть
20*
308 п- А. МЛ ГОН
изменена система подготовки учителей в педагогических
учебных заведениях. Па первых порах, ввпду недостатку
подготовленных в политехническом отношении учителей
можно привлечь к руководству практическими занятиями’
опытных мастеровых «и, в конце концов, можно, под наблю-
дением учителей, пригласить в учебные заведения уПа_
жаемых и опытных рабочих, которые осторожно будут
руководить ручными работами учеников».
От введения нового метода школьного обучения Остро-
градский и Блум прежде всего ожидали благотворных
воспитательных результатов. Этот метод призван, по мы-
сли авторов, развить у ребёнка внимательность, само-
стоятельность творчества, систематичность, ясность мы-
сли и языка. «Не убеждены ли вы теперь в том, что
ученпкп очень рано (в результате такого обучения.—II. 71/.)
привыкнут к порядку, наблюдению и к ясному и точному
языку? Ученики научатся слушать очень внимательно,
они будут отвечать на вопросы учителя не торопясь,
вдумчиво и будут говорить, ПОНЯЛИ ЛИ ОПП, НЛП им нужны
новые указания. Если они поняли, то пх ответы будут
так ясны, как те, которые мог бы сделать сам учитель.
Если они не поняли, то они сами укажут места, кото
рые им нужно разъяснить. Между учителем и ученикам!
будет установлено взаимное понимание...».
Будучи убеждёнными в необходимости немедлен шит
осуществления реформы школы и придавая большое
общественное значение этой реформе, Остроградс.кш
и Блум заявляли о своей готовности отдаться ей це
ликом и призывали передовую интеллигенцию Poccui
последовать их примеру. «Пам кажется,—писали они,-
что мы сумели дать попять, что мы предлагаем рацнональ
ный метод, легко применимый, полезность которого ноль
зя опровергнуть, и мы готовы отдать все наши забои
этой новой организации обучения...», и далее: «Мы хотим
чтобы активные деятели присоединились к нашим усг
лиям и разделили с памп счастье делать полезное деле
Мы уверены, что наш призыв будет услышан... Люд
пауки, преданные родине, займутся с энтузиазмом жлк
ценным вопросом обучения. Этим всё упростите
в жизни нации, п наука станет активным и твёрдым помои
оСТР0Г1'лДСк»И
и военно-учебных заведен, россии 309
иком неотделимым от морального и материального про-
свидетельствуют Остроградский и Блум, метод
был проверен на опыте в школьной практике и с успе-
ХОМ себя оправдал.
Остроградскпй и Ьлум высказали в своей брошюре
к>ке ряд интересных мыслей по поводу отдельных неда-
гоГПческих вопросов. Интересны, например, пх сообра-
жения о роли и значении для общественного развития
педагогической науки и о необходимости её изучения.
Подчеркнув, что они «тщательно прочли всё, что
было опубликовано по этому важному вопросу (воспитания
и образования.—И. М.) и много размышляли, обдумы-
вали и экспериментировали», авторы далее пишут: «С воз-
никновения мира старались сделать образование более
лёгким для большинства. В течение столетия было опуб-
ликовано большое число работ о воспитании и обучении,
но до спх пор пе знают достаточно имён всех создателей
более или менее удачных педагогических систем. Было
бы стыдно не отдать справедливости стольким благород-
ным усилиям. Было бы преступлением для людей, зани-
мающихся наукой, не вспомнить ire только имена этих
искателей, по также пх действия, их опыты, результаты,
которые они получили. Мы не знаем более интересной
науки для тех, кто любит заниматься изучением человека
и его разума, происхождения его мыслей и развития его
суждений, чем история научных открытий, различных
идей и попыток, направленных к упрощению обучения».
Весьма интересны высказывания Остроградского и Блу-
ма об учителе. Мы уже видели выше, какое большое
значение Остроградскпй придавал личности преподава-
теля, какие требования он предъявлял к его общему кру-
гозору ц его специальным познаниям и с какой тщатель-
ностью и заботой он отбирал преподавателей для воепно-
Учебных заведений. В рассматриваемой брошюре Остро-
гРадскин п Блум формулируют своп взгляды на роль
Учителя в деле воспитания и образования подрастающего
поколения следующими словами: «Хорошие учителя соз-
дают хороших учеников». Профессия педагога, указы-
ают °нп, не обыкновенная профессия. Она требует от
II. Л. МАРОН
человека, посвятившего себя ей, особых качеств. Учитель
прежде всего, должен любить своё дело, любить его
несравненно больше, чем любит любой другой специалист
свою профессию. «Прежде всего,—пишут Остроградскиц
и Блум,—учитель должен любить своё дело. Каждый, как
для личного счастья, так и для пользы других, должен
иметь любовь к своему делу, но учитель больше, чем кто-
либо другой, должен быть привязан к своей профессии
она должна быть целью его жизни». Нельзя требовать от
учителя, указывают далее авторы, универсальных по-
знаний во всех областях паукп, но тот предмет, который
непосредственно составляет содержание его преподавания
оп должен знать в совершенстве. «Никто в мире не должен
знать об этом больше, чем он (учитель. —И. J/.), говорить
об этом лучше него, спрашивать с большей заботой н
писать с большей точностью, чем он!».
Актуально п по современному звучат высказывания
авторов о необходимости оживлять п обогащать седер
жание урока примерами из истории пародов и особенно
из истории развития науки и техники: «Скажем мимо-
ходом, что никто не входит в эти исторические экскурсы,
столь подходящие для того, чтобы привлечь внимание
класса к урокам учителя». II далее, в конце брошюры
авторы, снова возвращаясь к этому вопросу, пишут:
«Ребёнок особено скоро пресыщается тем, что оп видит
каждый день. Нужно, чтобы он знал, что пе всегда так
легко путешествовалп, жили с такими удобствами, учи-
лись с такими развлечениями. Одним словом, нужно его
заинтересовать этпм, нужно, чтобы ребёнок любил услуги
цивилизации и знал, какой ценой она достигнута. Кресть-
яне умеют пробуждать внимание детей. Они рассказывают
истории с приведениями, сказки фей. Да предохранит
вас бог от употребления этих же средств! Но разве нет
тысячи интересных историй, которые им можно расска-
зывать?»
Исключительно большое воспитательное значение име-
ют рассказы учителя из биографий знаменитых людей-
«Это могучее развлечение, в то же время это средство
фиксировать внимание учеников на основных принципах
науки и на её счастливых применениях».
ОСТРОГРАДСКПЙ в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 311
Представляют интерес высказывания Остроградского
Блума относительно способа оборудования школьной
мастерской. Такая мастерская, по их мнению, должна
«создаваться в процессе творческого труда самих детей,
‘ггужно снабдить её простейшими инструментами, мате-
риалами и самыми элементарными приборами. Более слож-
ная аппаратура для производства физических, астроно-
мических и механических опытов должна быть создана
руками детей под руководством учителя пли опытного ра-
бочего. Показывать ученикам готовые приборы, изготов-
ленные вне школьной мастерском, и производить с по-
мощью них опыты—нецелесообразно и нс соответствует
воспитательным задачам школы. «Воспользуемся случаем
и скажем, что мы считаем, что очень плохо, когда детям
показывают сложные приборы, чтобы продемонстрировать
опыты. По нашему мнению, ребёнок должен сам делать
опыты по химии, физике, механике, астрономии, употреб-
ляя всё, что у пего имеется под руками. Его надо на-
учить через несколько месяцев самого делать свой инстру-
мент— вначале грубо, потом лучше и точнее — до тех пор,
пока он но поймёт, как благодаря терпению, проница-
тельности и мастерству строят совершенные аппараты,
описание которых он находит в технических книгах
или в моделях, изготовленных с большим старанием».
Одна из важнейших воспитательных задач школы за-
ключается, как указывают Остроградскпй и Блум, в том,
чтобы помочь ученику «познать самого себя»—привить
•ему чувство и потребность к самоконтролю, к анализу
•своего поведения, научить его делать разумные выводы
мз этого анализа.
Авторы рекомендуют приучить школьников к веде-
нию ежедневного личного дневника, в котором они долж-
ны записывать свои поступки и поступки своих близких
товарищей, советы родителей и учителей, различный спра-
вочный материал, а также интересные мысли п советы,
почерпнутые из прочитанных книг и т. д. Время от вре-
мени ученики должны возвращаться к своим записям,
анализировать пх с помощью учителя и давать оценку
своему прежнему поведению. «Начиная употреблять эти
Дневники в 12 лет п продолжая до 20 лет, молодой
312
И. А. МАРОН
человек должен познать себя и знать, как можно птти
правильным путём, пли как исправиться, если сбился
в своём поведении. Безусловно, полезно, чтобы учитель
давал оценку его записям; но хорошо, если ученик учится
сам судить себя строго и честно».
Остроградскпй и Блум ясно сознавали, что их педа-
гогические идеи, их предложения о переустройстве школы
шли в разрез с принятой тогда системой обучения, во
многом основанной на догматическом, словесном препо-
давании и па «зубрёжке». Они предвидели резко отри-
цательное отношение к своим педагогическим высказы
нациям со стороны печати и со стороны консервативно
настр( спных педагогов. Ио они были глубоко убеждены
в общественной полезности своих идей и в скором их
торжестве. «Итак условимся,—обращались авторы к чи-
тателям,— что если вы не разделяете паше мнение, то не
становитесь, по крайней мерс, нашими противниками
под влиянием злых отзывов. Не нападайте па нас, потому
что через 10 лет над вамп будут смеяться за то, что вы
оскорбили честные намерения, скромные, но заслуживаю-
щие внимания работы...».
Всё это показывает, что Остроградскпй придерживался
весьма передовых для своего времени педагогических
взглядов. Его критика методов преподавания в современ-
ной ему школе, его высказывания о пользе наглядности,
конкретности обучения перекликались со взглядами
А. Н. Добролюбова, также обрушившегося на школу зато,
что там пет конкретности в преподавании, а имеется «от-
влечённость н соединённая с ней сухость, мертвенность,
формализм» п требовавшего внедрения принципа нагляд-
ности в обучение.
Его мысли о методах школьного обучения, о создании
при школах мастерских и о политехническом воеппта
нип не потеряли интереса и в наши дни1).
1) Мы не имеем возможности касаться здесь философских
взглядов М. В. Остроградского. Они требуют специального иссле-
дования. Отмстим только, что в педагогических взглядах Остро-
градского имеются материалистические черты.
Принятая Остроградским система обучения предполагала под-
нимать учащихся от конкретных представлений к общим сужде-
ЛГТР°ГРАДСК11П в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 313
7. Ученики Остроградского
Середина XIX века характерна бурным развитием ка-
питализма в России. Это развитие обусловило значитель-
ней роет высшего образования, в первую очередь спе-
циально-технического, и привело к заметному прогрес-
су в области научных исследований ио прикладной меха
нике и технике.
Количественный в качественный рост промышленности
в России, техническое перевооружение армии, усилив-
шееся после Крымской войны, потребовали более специали-
зированных ученых для решения возникавших всё
в большем и большем количестве прикладных задач.
В связи с этим пз среды научной молодёжи, и в первую
очередь из военной, выросла целая плеяда выдающихся
учёных-инженеров, обладавших тонким аналитическим
мышлением и богатой технической интуицией.
Воспитателем и идейным руководителем многих из
этих учёных явился М. В. Остроградскпй.
Остроградскпй оказал неоценимую услугу русс коп
армии и русской науке тем, что воспитал целую плеяду
талантливых учеников, ставших впоследствии выдающи-
мися представителями русской технической и военной
мысли. Можно с уверенностью сказать, что значительная
часть крупнейших военных инженеров и деятелей армии
второй половины XIX века была воспитана Остроград-
ским и находилась под его идейным влиянием.
Мы уже отмечали выше, что Остроградскпй в процессе
преподавания выявлял и всячески поддерживал талант-
ливых, одарённых слушателей. Оп всеми мерами старал-
ниям п заключениям, приучать их анализировать, группировать
и устанавливать причинно-следственные зависимости между явле-
ниями природы. Эта система предполагала также неразрывную
связь обучения и труда, т. е. постоянный показ применения науки
к практической деятельности человека. Это материалистическое
понимание процесса обучения способствовало укреплению мате-
риалистических тенденций в русской педагогике. Однако последо-
ательностыо в своих философских взглядах Остроградский по от-
личался; у него имеются и явно идеалистические высказывания.
ольиодумство» юношеских лет Остроградского сменилось к концу
Жизни религиозностью п мистицизмом.
314
И. Л. МАРОН
ся привлечь пх после окончания в качестве репетиторов
в высшие военные учебные заведения, пли в качестве
преподавателей в столичных кадетскпх корпусах. Пз этцх
молодых людей оп обычно составлял кружки и тщательно
руководил пх научными занятиями. Сохранившиеся до-
кументы и отзывы учеников свидетельствуют, что Остро-
градский уделял много времени выращиванию научной
молодёжи *).
Эта молодёжь бывала частым гостем у пего дома, где
в непринуждённых научных беседах проводила многие
вечера. «Остроградскпй любил, чтобы к пому собирались
в дом способнейшие его ученики и в беседах с ним о во-
просах науки они черпали многое для своего развития» * 2).
Редко кто уходил оттуда, не обогатившись новыми зна-
ниями и мыслями. Остроградскпй, не скупясь, раскры
вал перед молодыми учёными богатство своего идейного
мира.
Можно было бы перечислить много десятков видных
учёных, воспитанных Остроградскпм и выросших под
его руководством. Мы укажем лишь имена некоторых
выдающихся представителей русской наукп, прямым учи-
телем которых был М. В. Остроградскпй. К ним отио
сятся:
Иван Алексеевич В ы ш н е г р а д с к и й (1831 —
1895)—основоположник теории автоматического рогули
рования. Вышнеградский окончил в 1851 г. физико-мате-
матический факультет Главного педагогического инсти-
тута. Остроградскпй быстро заметил выдающиеся спо-
собности молодого студента и приложил все усилия,
чтобы привлечь его после окончания института в систе-
му военно-учебных заведений.
В 1851 г. Вышнеградский был назначен преподава-
телем математики во второй кадетский корпус, а затем
в 1854 г.—ассистентом Остроградского в Михайловскую
артиллерийскую академию. Все эти годы Вышнеградский
усиленно занимался математикой под руководством Остро-
’) ЦГПА, ф. 447, on. 1, № 3, лл. 10—21.
2) А. П л а т о в п Л. К и р п и ч ё в, цпт. сочинение, стр. 1а-
(с.м. сноску на стр. 285).
ОСТРОГРАДСКПЙ В ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 315
градского и в 1854 г. защитил в Петербургском универ-
ситете диссертацию на степень магистра математических
наук: «О движении системы материальных точек, опре-
деляемой полными дифференциальными уравнениями».
Будучи преподавателем Михайловской артиллернй-
скон академии, Вышнеградский усиленно стал заниматься
прикладными вопросами, связанными с артиллерийской
техникой, и в дальнейшем всё его творчество приобрело
прикладное направление. С 1859 по 1878 г. деятельность
Вышнеградского была связана с деятельностью Артил-
лерийского комитета, где он совместно с II. В. Маковским
и А. В. Га до л иным принял непосредственное участие
в перевооружении русской артиллерии. Многие крупней-
шие артиллерийские заводы России былп реконструи-
рованы по проектам Вышпеградского (Орудийный завод,
Охтенскпй пороховой завод и др.).
Деятельность Вышнеградского в области научной раз-
работки прикладных задач не ограничивалась Артилле-
рийским ведомством. Им былп выполнены многочисленные
проектные работы для железных дорог (в том числе при-
стань в Рыбинске с механической передачей грузов
из барж в вагоны).
И. А. Вышнеградский вёл большую педагогическую
работу — руководил кафедрами прикладной механики
в Михайловской артиллерийской академии и в Петербург-
ском технологическом институте, — а также занимал круп-
ные административные должности: в 1875 г. он был на-
значен директором Технологического института, а с 1888
по 1892 г. являлся Министром финансов.
Научное наследие Вышпеградского весьма велико. Его
работы «О регуляторах прямого действия» («Известия Пе-
тербургского практического технологического института»,
1877) и «О регуляторах непрямого действия» (там же,
1878) являются классическими и завоевали ему славу
основоположника теории автоматического регулирования.
Основные труды Вышнеградского следующие: «Лек-
ции о паровых машинах» (СПБ, 1874), «Несколько заме-
0 пороховых прессах» («Артиллерийский журнал»,
стр. 237), «Вычисление наибольшего давления, ис-
ытываемого пороховой лепёшкой в прессе Буше» («Артил-
316
и. л. МАРОН
дорийский журнал», 1870, стр. 2С0), «О прочности цепей»
(«Артиллерийский журнал», 1863, стр. 781), «Публичные
лекции об основных законах механической теории тепла»,
(СПБ, 1873), «Элементарная механика», учебник для
военно-учебных заведений (СПБ, 1860)1).
Николай Павлович Петров (1836—1920)—осново-
положник гидродинамической теории смазки. Его бле-
стящие дарования встретили живую поддержку со сто-
роны Остроградского, оставившего его по окончании воен-
но-инженерной академии при своей кафедре и внимательно
руководившего его математическими занятиями.
Н.П. Петров с особой теплотой и благодарностью вспо-
минал своего знаменитого учителя. «Теперь я часто вспо-
минаю,— писал Петров через 50 лет после смерти Остро-
градского, — те счастливые часы, когда благодаря его ма-
стерскому изложению, какая-то магическая сила неиз-
гладимыми чертами вписывала в моём уме новые знания,
всегда представляя и красоту и силу знания в таких фор-
мах, которые внушали нам веру в могущество знания.
Как всё могущественное обладает притягательной силой,
так и наука действовала па вас притягательно, побу-
ждая изучать её глубже и служить ей, не ожпдая дру-
гой награды, кроме сознания высокой чести быть её
слугой.
Вот какие благие для меня последствия проистекли
из того, что я имел счастье быть учеником Остроград-
ского» 2).
Имя Н. П. Петрова связано с его классическими иссле-
дованиями по гидродинамике, теории смазки п вискози-
метрии, а также по теории механизмов. Вместе с тем
Н.П. Петров был одним пз лучших инженеров своего вре-
мени. Он занимал ряд крупных административных должно-
’) Об 11. А. Выпшеградском см.: Акад. А. А. А н д р о и о в,
11. А. Вьнпнеградскнй (в сборнике «Люди русской науки», Гостех-
издат, 1948, стр. 931); Л. В. К и р п и ч ё в, II. А. Вынгнеград-
ский как профессор и учёный («Вестник общества технологов»,
1895, № 6); Л. 11. Бородин, II. Вышнеградскпй (журнал
«Инженер», 1895, № 4).
2) Цит. из книги Л. Г у м и л с в с к и й, Русские инженеры,
М., 1947, стр. 190.
оГ<ТрОГРЛДСКПП в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 31'?
сТен в Министерстве путец сообщения, был директором Де-
партамента железных дорог, председателем Инженерного
Совета Министерства путей сообщения, а с 1893 г.—това-
рищем министра путей сообщения.
Г Главнейшие его труды: «Трепне в машинах и влияние
на него смазывающей жидкости» (СПБ, 1883 и 188G),
«О трении хорошо смазанных твёрдых тел» («Журнал
физико-химического общества», 1884) «Об изнашиваемо-
сти рельс» (СПБ, 1882), «Давление колёс па рельсы» (СПБ,
1915), «О непрерывных тормозных системах» («Известия
Петербургского технологического института», 1878),
«Сопротивление поезда па железной дороге» (СПБ, 1889)
и др.г)
Герман Егорович П а у к с р 0822—1889)—сын ма-
тематика Магнуса-Георга Андреевича Пауксра, члепа-
коррсспопдснта Академии Паук2). После окончания
в 1842 г. курса Главного инженерного училища Г. Е. Па
укер был оставлен Остроградским в училище в качество
репетитора. Об зтом периоде своей жизни н о влиянии
Остроградского на формирование его научного интереса
Паукер вспоминает так. «Началась моя преподаватель-
ская служба, в первые годы которой,—да и не только
в первые, — я, конечно, учился сам более, чем обучал
других. В это время при училище образовался кружок
молодых товарищей-преподавателей, работавших соеди-
нёнными силами и друг друга поддерживавших. При-
помню из членов этого кружка А. П. Квпсто и П. В. Вол-
дыря. Центром же кружка и председателем наших еже-
недельных общих обедов был наш причудливый до невме-
няемости малоросс М. В. Остроградскпй, любивший в сво-
бодное время живую беседу молодёжи. Как благотвор-
но должна была отражаться па пас эта близкая связь
2) О II. ][. Петрове см.: акад. Л. С. Лейб ев зон
п II. И. Глагол е в. Выдающийся учёный и инженер П. П. Пе-
тров («Известия VII (’ССР». 1946, №7, Отд. техипч. паук): Сборник
«Люди русской пауки», т. II, VI. I., 1948, стр. 942: И. 11. Петров,
Николай Павлович Петров, Л.. 1925 (приложен список тредов
11 • П. Петрова).
г 2) Биография Г. Е. Пау кера имеется в книге Г. Е. Паукер,
троительная механика, СП В, 1891.
31$ ii. л. Мароп
с таким первостепенным подвижником европейской
пауки»1).
В 1847 г. Паукер опубликовал в журнале Крелля пер-
вую свою работу: «Заметка, относящаяся к некоторым пра-
вилам для сходимости рядов». В дальнейшем Паукер стал
заниматься прикладными вопросами и вскоре выдвинул-
ся как крупнейший военно-инженерный деятель России.
Он является автором проектов многих крупнейших
государственных сооружений второй половины XIX в.
Ио проектам Г. Е. Пауксра было произведено укрепление
Керчь-Енимальского побережья. Он был автором проекте!
земляной морской батареи «Константин» в Кронштадте,
послужившей образцом для всех остальных морских ба-
тарей в Кронштадте и Очакове. Русская артиллерия имела
иа вооружении скрывающиеся лафеты системы Г. Е. Пау-
кера. Строители мостов пользуются так называемой
формулой Паукера для определения глубины заложения
оснований мостовых опор.
Г. Е. Паукер долгое время ведал кафедрами строи-
тельного искусства в Инженерной академии и в Прак-
тическом технологическом институте. 13 1883 г. Г. Е. Пау-
кер был избран почётным членом Академии Паук. С 1888 г.
он являлся министром путей сообщения.
Главные труды Г. Е. Паукера следующие: «Заметка,
относящаяся к некоторым правилам для сходимости ря
дов» (Журнал Крелля, том XI, 1849), «О проверке устой-
чивости цилиндрических сводов» («Инженерные записки»,
ч. XXXII, 1849, № 1), «Начало возможных перемеще-
ний» («Известия Санкт-Петербургского практического тех-
нологического института», 1877, ч. XII), «Строительная
механика» (СПБ, 1891).
Пётр Иванович С о б к о (1819—1870) после блестя-
щего окончания Института корпуса инженеров путей сооб-
щения в 1840 г. был оставлен Остроградским репетитором
на кафедре теоретической механики. В последующие годы
11. II. Собко энергично изучал под руководством Остро-
9 «Вестник восшю-ннженерной академии им. В. В. Куйбы-
шева», 1945, вып. 43, статья генерала II. М. Рабиновича «Деятели
русской строительной механики 19 столетня и Военно-инженерная
академия», стр. 6.
ОСТРОГРЛДСК11К в военно-учебных ЗАВЕДЕН. РОССИИ 319
адского математические науки и одновременно специали
ГРр0вался в области строительного искусства. В 1841 г.
Зоявились его (совместно с Агамоновым) упомянутые выше
«Записи лекций Остроградского по трансцендентному ана-
лизу»- Профессорская деятельность II. II. Собко в Инсти-
туте корпуса инженеров путей сообщения и в Горном ин-
ституте началась в 1844 г. и продолжалась до конца его
пней- Он читал курсы аналитической геометрии, теоре-
тической механики, сопротивления материалов, сооруже-
ния мостов и т. д. Его перу принадлежит более 40 научных
работ, посвящённых главным образом строительному
искусству и мостостроению.
Особенно заслуживает внимания его известный труд
(написанный совместно с В. Глуховым и Ф. Сулимою)
«Памятная книжка для инженеров и архитекторов» (СПБ,
1854). Первая часть этой книги посвящена математиче-
скому анализу, механике и физике1).
Николай Феликсович Я с т р ж е м б с к и й (1808 —
1874) окончил Институт корпуса инженеров путей сооб-
щения в 1832 г. и был’оставлен Остроградским репети-
тором при кафедре механики. Длительное время был
профессором теоретической и прикладной механики в Ин-
ституте инженеров путей сообщения, в Институте гра-
жданских инженеров и Технологическом институте.
По проектам Ястржембского построено много круп-
ных мостов. Он занимал также крупные административ-
ные должности в Ведомстве путей сообщения.
Главнейшие труды его: «Влияние способа прикрепле-
ния цепей па сопротивление устоев висячих мостов»
(«Журнал путей сообщения», 1836) «Общая теория дви-
жения машин» («Журнал путей сообщения», 1838), «Курс
практической механики» в двух томах, удостоенный деми-
довской премии (СПБ, 1838), «О построении мостовых арок
из чугуна» («Журнал путей сообщения», 1840), «Начальные
основания общей и прикладной механики» (СПБ, 1846)2).
0 О П. И. Собко см.: С. Ж и т к о и, Биографии инженеров
путей сообщения, СПБ, 1889, стр. 81; «Русский Архив», 1872, № 10,
СТР- 1984.
СПБ^ 1899Ж П Т К ° В’ ^и0ГРаФП11 инженеров путей сообщения,
320
и. л. МЛ РОИ
Николаи Сергеевич Будаев (1833—ISO2) по окон
чании Главного педагогического института в 1853 г.
был оставлен Остроградскпм адъюнктом кафедры математи-
ки, затем был привлечён Остроградскпм к преподаванию ма-
тематики и механики во втором военном Константиновском
училище и в Михайловской артиллерийской академии.
С 1866 по 1899 г. являлся также профессором Петер-
бургского университета.
Наиболее крупные труды его: «Теория маятника»
(СПБ, 1853), «Общая теория равновесия твёрдых тел,
погружённых в жидкость» (СПБ, 1856), «Теоретическая
механика» (СПБ, 1871).
Владимир Николаевич Ш к л я р е в и ч (1835—1915)
окончил Михайловскую артиллерийскую академию
в 1857 г.; является одним пз основоположников теории
стрельбы; совместно сП. Л. Чебышевым и Л. В. Кирни-
чёвым выпустил многотомный «Курс артиллерии» (СПБ,
1872), удостоенный премии им. Дядина.
Педагогическая деятельность. Шкляревпча протекала
в Константиновском военном училище1).
Карл Андреевич Я и и ш (1813—1872) после окончания
Института корпуса инженеров путей сообщения был оста-
влен Остроградскпм при институте для подготовки
к профессорскому званию. Впоследствии Яшин стал изве-
стным математиком и механиком. Кроме того, оп являлся
крупнейшим шахматистом-теоретиком, признанным во
всём миро. Он первый положил начало применению мате-
матики в шахматной игре и развил свои взгляды по этому
вопросу в трёхтомном труде «Трактат о приложении мате-
матики к шахматам» (СПБ, 1862—1863). Этот труд вместе
с другим его крупным математическим сочинением
«О начале равновесия и движениях» (СПБ, 1838) составил
ему имя в учёном мире2).
Весьма близкими учениками Остроградского были так-
же: С. В. К е р б е д з ь (1810—1899) —знаменитый рус-
ский военый инженер и известный профессор строитель-
9 О В. Н. Шкляревпче см. «Артиллерийский журнал», As 16»
1915, стр. 1—15; А» 9, 1949, стр. 51—53. _9
2) О К. Л. Яниш см. «С.-Петербургские ведомости», iSz-»
Л" 2; «Иллюстрированная газета», 1872, № 13.
ЛГТРОГРЛДСКИЙ В военно-учебных ЗАВЕДЕН. РОССИИ 321
ного искусства, Д. И. Ж у р а в с к и й (1821—1891) —
выдающийся учёный и военный инженер, строитель мо-
стов и железных дорог, создатель теории расчёта раскос-
ных ферм п теории скалывания при изгибе х) Ф. Ф. П е р-
о т (род. в 1818 г.)—профессор математики в Институте
корпуса инженеров путей сообщения, известныii инженер,
автор нескольких работ по определённым интегралам* 2).
П. Л. Лавров (1823—1900) профессор математики
Михайловского артиллерийского училища и Артилле-
рийской академии, известный теоретик народничества3).
П. Л. Лавров был лучшим и наиболее близким учени-
ком Остроградского в Артиллерийской академии. Остро-
градский оставил Лаврова по окончании им академии
в 1844 г. своим помощником и внимательно руководил его
математическими занятиями. Он охотно поручал ему
читать ответственные курсы, и когда «М. В. Остроградскпй,
взяв на себя с 1856 г. чтение баллистики, в следующем
году прекратил преподавание интегрального исчисления
и теоретической механики, тогда первое было поручено
одному пз лучших учеников его —капитану П. Л. Лав-
рову, а механика была передана поручику А. М. Беля-
еву, но он её читал лишь год, так как был затем команди-
рован за границу, и с 1858 г. и этот предмет стал читать
П. Л. Лавров. Последний имел особую склонность п спо-
собность к вступительным лекциям, освещающим весь
предмет или отдельные ого части. Такие лекции выхо-
дили у него особенно блестящими и всегда привлекали
массу слушателей...»4).
9 О Д. II. Журавском см. 1) «Люди русской науки», ч. II, 1948,
стр. 906—913, 2) «Журавский Дмитрий Иванович», СПБ, 1897.
2) См. «Учебный математический журнал» под редакцией Куп-
фера, Ревель, 1833—1834.
8) О П. Л. Лаврове см. В. II. Лени и, Соч., изд. 3, том II,
стр. 180—185. Обратим внимание па два историко-научных исследо-
вания П. Л. Лаврова: «Очерк истории физико-математических
наук» («Артиллерийский журнал», 1865. №№ 1—12 и 1866, №№ 1 4,
а также «Морской сборник», 1865—1866), «Влияние развития точ-
ных наук на успехи военного дела и в особенности артиллерии»
{«Артиллерийский журнал», 1865, №№ 4, 6, 7).
) Г. Г р о д с к и й, Михайловские артиллерийские училище
академия в XIX столетии, СПБ, 1905, стр. 138.
21 и
ивТо1 ико-матем. исследования
322
И. А. МАРОН
Деятельным помощником Остроградского в Alnxaii
ловской артиллерийской академии был II. Е. Р о щ ц п
автор двух исследований по математическому анализу
и по теории вероятностей и замечательного учебника
по дифференциальному п интегральному исчислению1),
а в Инженерной академии—В. II. Беренс (1814—1884),
автор одного исследования по теории приближённых
вычислений и нескольких учебных руководств2).
Этот список учеников Остроградского можно было бы
значительно расширить, ио и приведённого достаточки
для того, чтобы убедиться, какую многочисленную шко-
лу имел наш знаменитый учёный 3 * * * * 8).
Если внимательно проанализировать деятельность мно-
гочисленных учеников Остроградского, то можно заметить
много черт, являющихся весьма характерными и общими
для всех их. Прежде всего влияние Остроградского сказа-
лось на тематике научного творчества этих учёных-.
Известно, что исследования Остроградского относятся
к разнообразным областям математики п механики: мате-
матический анализ, математическая физика, аналитическая
и небесная механика, гидромеханика, баллистика, вари-
ационное исчисление, теория вероятностей, высшая алгеб-
ра, теория чисел—таков был круг его научных интересов.
Этими же вопросами в той или иной степени занимались
и ученики Остроградского.
Э «О вероятностях явлений вообще и приложение к игре
в штосс (Киев, 1857), «О показательных и логарифмических функ-
циях» («Вестник математических паук», т. I, Вильно, 1801), «За-
писки по дифференциальному и интегральному исчислениям»,
ч. I и II (СПБ, 1888).
2) «Теория численных вычислений» (СПБ, 1857), «Дифферен-
циальное исчисление» (СПБ, 1849), «Интегральное исчисление»
(СПБ, 1862), «Курс математики и механики» (СПБ, 1880), «Началь-
ная геометрия для средних учебных заведений» (СПБ, 1872) и др.
8) Отметим, что многочисленные ученики Остроградского
сохранили самые восторженные отзывы о своём учителе. «Мой
отец,—вспоминает академик А. Н. Крылов,— сам не был в Артил-
лерийской академии, но, дожив до глубокой старости, он всю
жизнь поддерживал дружеские отношения с некоторыми своими
товарищами, артиллеристами, бывшими учениками Остроград-
ского, и мне самому приходилось слышать, с каким восторгом,
через 45—50 лет, эти заслуженные старцы вспоминали своего
учителя» (Архив АП СССР, ф. 759, on. 1, № 354, стр. 14).
^трогр чдскнп в военно-учебных заведен. России 323
Первой крупной работой II. А. Вышнеградского было
очпнение «О движении системы, определяемой полными
дифференциальными уравнениями» (СИВ, 1857), в кото-
пой автор изложил общие принципы и уравнения дина-
мики в духе Остроградского.
О влиянии Остроградского па научное творчество
Вышнеградского Л. Кирпичей1) писал: «Для Ивана Алек-
сеевича Вышнеградского такими учителями, сообщившими
начальный импульс его замечательным талантам, послу-
жили Остроградскпй и Редтеибахер. Паш знаменитый
геометр образовал целую школу русских математиков.
Я думаю, что влияние его продолжается до нашего вре-
мени и даже решусь высказать мысль, что это влияние
есть одна пз причин современного блестящего поло-
жения математических наук в России. Как известно,
Остроградскпй много занимался аналитической механи-
кой, к области которой относятся ниболее замечательные
его труды; попятно, что уроки такого гениального учи-
теля направили на механику деятельность и симпатии
Ивана Алексеевича»2).
Наиболее крупной работой Г. Е. Пауксра было сочи-
нение «Начало возможных перемещений», в котором этот
вопрос изложен согласно с воззрением Остроградского
на этот принцип. Магистерская диссертация II. Будаева
была посвящена вопросу о равновесии твёрдого тела,
погружённого в жидкость. Эта проблема занимала и са-
мого Остроградского. К. Яниш написал свою книгу «О на-
чалах равновесия и движения» под влиянием идей Остро-
градского. В предисловии к этой книге К. Яниш писал:
«Центром всей математической деятельности в России
вполне можно назвать Остроградского. Его учёные труды,
его Уроки, его советы, может быть, служат основанием
всему, что по части математических наук делается у пас
хотя несколько замечательного... Поводом к настоящему
с°чинению служили мысли, изложенные в мемуарс Остро-
стпк м* В* „Епрпичёв (1840-1890)—профессор механики и баллп-
2\ 1!пхайловской артиллерийской академии.
к Р и Р 11 и ч ё в, II. А. Вышнеградский как учёный
1 фессор, «Вестник общества технологов», 1895, № 6, стр. 96.
21*
324
И. А. МАРОН
градского: «Considerations generales sur les moments
des forces».
Автор был одушевлён желанием распространить в кру-
гу русских математических читателей и сделать ему
доступным новые и прекрасные идеи о теории равнове-
сия и движения, заключающиеся в этом мемуаре»1).
В. И. Беренс посвятил своп исследования теории при-
ближённых вычислений—теме, навеянной Остроградским.
В списке работ Е. Ф. Сабинина, ученика Остроград-
ского по Главному педагогическому институту, профес-
сора университета в Одессе, имеются следующие мемуары;
«Доказательство одной формулы Остроградского, относя-
щейся к исчислению вариаций кратных интегралов» (Жур-
нал Крелля, т. 59, 1861), «О рассуждениях Остроград-
ского и Якоби, относящихся к принципу наименьшего
действия» (Журнал Крелля, т. 15, 1886), «Исследование
наибольших и наименьших значений определённых мно-
гократных интегралов» (Одесса, 1868), «Об остаточном
члене формулы Гаусса» («Математический сборник», 1867 г.,
«Курс вариационного исчисления» (Одесса, 1895) и др.
Влияние Остроградского здесь очевидно.
Работы другого ученика Остроградского из Главного
педагогического институте, П. Е. Рощина, были связаны
с продолжением исследований Остроградского по теории
определённых интегралов и теории вероятностей.
Идеи Остроградского отразились и на направлении
творчества многих русских математиков, не учившихся не-
посредственно у Остроградского и, следовательно, не яв-
лявшихся столь близкими к нему, как его «военные» ученики.
Так, московский профессор Н. Д. Брашман во многом
следовал за Остроградскпм в «Теории равновесия тел
твёрдых и жидких» (М., 1837). Влияние Остроградского
сказалось и на работах И. И. Сомова: «Теория опреде-
лённых алгебраических уравнений высшпх степеней» (М-,
1838)2) и «Рассуждение об интегралах алгебраических
*) Цпт. по статье А. Л. Космодемьянского «Очерки ио истории
механики в России» («Учёные записки МГУ», т. II, вып. 122, М-,
1948, стр. 219).
2) В предисловии к этой книге II. II. Сомов писал: «Я взял
за основную мысль мнение Абеля и академика Остроградско*
ОСТРОГРАДСКПЙ в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 325
«рациональных дифференциалов с одною переменною»
1841), из которых последняя была его магистерской
писсертацией. А. Ю. Давыдов и Ф. А. Слудский были
акже, по свидетельству II. Е. Жуковского, последова-
телями и носителями идей Остроградского.
Н. Е. Жуковский писал : «Шпрота анализа Остроград-
ского отразилась па работах А. К). Давыдова, удостоенных
премии Демидова. Мой высокочтимый учитель Ф. А. Слуд-
ский был носителем идей Лагранжа и Остроградского.
На лекциях он часто вспоминал Остроградского и с осо-
бым удовольствием излагал в ого духе статью об отри-
цательных моментах и о начале наименьшего действия»1).
Кроме того, под влиянием Остроградского былп соста-
влены почти все учебные руководства по математике
и механике, принадлежащие нору его учеников: «Диф-
ференциальное исчисление» (СПБ, 1849—1858)’—В. И. Бе-
ренса, «Интегральное исчисление» (1862)—его же , «Тео-
ретическая механика», ч. I и 11 (СПБ, 1871)—Н. С. Будаева,
«Записки по дифференциальному и интегральному ис-
числениям» (СПБ, 1888)—II. Е. Рощина, «Элементарная
механика» (СПБ, 1860)—II. А. Вышпеградского, «Курс
практической механики» (СПБ, 1838)—11. Ф. Ястржемб-
ского, первая часть «Памятной книжки инженера и ар-
хитектора»—II. И. Собко и другие.
В предисловии ко второму изданию своего руковод-
ства «Дифференциальное исчисление» В. 11. Беренс писал:
«При составлении этого издания, равно как и первого
в 1849 г., я пользовался лекциями п советами нашего
академика, члена Парижского института М. В. Остро-
градского...». И далее автор подчеркнул, что, кроме об-
щей идеи плана и характера изложения всего материала,
Петроградскому принадлежит изложение следующих па-
раграфов: отделение кратных множителей целой функ-
ции, нахождение основания иеперовых логарифмов, мно-
гие приёмы дифференцирования функций, теория макепму-
Цен₽еДМСТе алго”Ры» 0 различии алгебраических функций от транс-
Девтных и о решении алгебраических уравнений».
нова Т р и п о л ь с к и й. М. В*. Остроградский (празд-
ней И?16 столетия с0 Д11Я рождения Полтавским кружком любите-
физико-математических паук), Полтава, 1902, стр. 4В,
326
И. А. МАРОН
ма п минимума, отделение несоизмеримых корней целой
функции, признак, по которому устанавливают, находятся
ли данные точки плоскости но одну или по разным
сторонам крпвой, проведённой па этой плоскости, и 11(ь
добный признак для точек пространства относительно*
поверхности. Кроме того, в конце книги помещена глава
о началах вариационного исчисления, полностью напи-
санная самим Остроградским.
II. С. Будаев в предисловии к 1-й части своего учеб-
ника «Теоретическая механика» (СПБ, 1871) писал: «Те-
орию движения точки, как свободной, так и несвободной,
я изложил сообразно том воззрениям, которые выска 1,1-
вал М. Б. Остроградскпй на своих лекциях. Я помести л
предложенное нм весьма веское прибавление к способу
Лагранжа, относящееся к условиям несвободное™ точ
кп, пе доставляющим уравнений движения; важность
рассмотрения условий такого рода будет вполне выяснена
во второй частп моего труда».
Весьма характерными общими чертами учеников Остро-
градского являлись интерес к прикладным вопросам,
активность технической мысли в использовании научных
открытий и широкое применение аналитического аппа-
рата к задачам инженерной практики. Эти черты бесспор-
но возникли под влиянием нашего знаменитого матема-
тика.
Остроградскпй был топким аналитиком с большой
склонностью к самым широким обобщениям, по оп в то
же время глубоко интересовался и много занимался при-
кладными вопросами. Являясь типичным представителем
русской научной мысли, Остроградскпй сознательно ста-
вил и решал проблемы, исходя пз вопросов практики.
Мало известен тот факт, что Остроградский являлся
членом многочисленных комиссий но решению самых
различных технических вопросов. Так, например, совме-
стно с П. А. Шиллингом, Э. X. Ленцем, А. Я. Купфе-
ром, П. II. Фуссом, он состоял с 1835 г. членом комиссии
по рассмотрению различных проектов водоснабжения
столицы1), был членом комиссии по применению электро-
Э ЦГПА, д. 447, on. 1, № 3, лл. 10—21.
пстрогрлдскпп в военно-учебных заведен, россии 327
магнетизма к движению машин1). По поручению министра
внутренних дел Остроградскпй руководил с декабря 1843 г.
по апрель 1845 г. опытами поповеркс газометров 2). С18561.
Остроградскии совместно с 13. Я. Буняковским состоял
членом комиссии при эмеритальной кассе Морского ве-
домства н написал несколько работ, результатамп кото-
рых пользовались при расчётных операциях эмериталь-
ные кассы. Вспоминая об этом, академик А. II. Крылов
писал: «Я был с 1886 года назначен младшим делопроиз-
водителем в эмеритальную кассу, чтобы под руковод-
ством де-Коллонга 3) производить все необходимые вычи-
сления. Ясно, что мне прежде всего пришлось самым осно-
вательным образом изучить основные расчёты кассы, т. е.
записки Остроградского и Буняковского»4).
Но особенно поучительна в этом смысле история по-
явления трёх мемуаров Остроградского по внешней бал-
листике. Сохранившиеся архивные документы свидетель-
ствуют, что эти мемуары пе были плодами трудов чисто
кабинетного учёного, по возникали в результате большой
научной и экспериментальной работы по изучению стрель-
бы эксцентрическими снарядами, проведённой Остроград-
ским в течение 1839—1842 гг. в артиллерийском ведом-
стве.
Этот вопрос являлся тогда актуальным для русской
артиллерии и к нему было привлечено внимание учё-
ных.
В 1839 г. Остроградскому было поручено заняться во-
просами стрельбы регулированными гранатами и руко-
водить опытными стрельбами для проверки полученных
теоретических результатов. В помощь Остроградскому
были выделены артиллеристы Лихачёв, Баумгартен и
Паскевич. Академия Наук со своей стороны прикрепила
к нему вычислителей для составления таблиц стрельбы5).
С *) М. II. Ш а т с л е и, Русские электротехники, М.—Л ,
1949, стр. 274.
з2) ЦГПА, ф. 447, оп. 1, № 3, лл. 10—21.
„ ) Иван Петрович дс-Коллопг (1839—1901)—известный учё-
Ыи в области компасного дола.
Архив АН СССР, ф. 759, он. 1, № 354, стр. 22.
°) Архив АН СССР, р. V, оп. 1—0, А» 11.
328
И. А. МАРОН
В 1839— 1842 гг. Остроградскпй усиленно занимался вопро-
сами внешней баллистики.
Двадцатого июня 1840 г. непременный секретарь Ака-
демии Наук П. Фусс в своём докладе министру просвеще-
ния Уварову писал: «В отношении к теоретическим иссле-
дованиям г. Остроградского по сему предмету (стрельбы
регулированными гранатами.—И. М.) Академия честь
имеет донести Вашему Высокопревосходительству, что
им представлено Академии п напечатано уже первое рас-
суждение, относящееся до вычисления определённых ин-
тегралов, которые встречаются на каждом шагу при физи-
ко-математических исследованиях. Сверх сего рассу-
ждения г. Остроградскпй представил ещё заппску, заклю-
чающую в себе некоторые таблицы для облегчения бал-
листических вычислений»т). А тринадцатого января 1841 г.
П. Фусс докладывал Уварову следующее: «В заседании
Академии, бывшем 18 истекшего декабря г. Академик
Остроградскпй читал рассуждение под заглавием: «Мё-
moire sur le mouvement des projectiles dans Г air», в кото-
ром выведены дифференциальные уравнения о движениях
метаемых тел и окончена первая часть теоретических
исследований о сём предмете в отношении к стрельбе
регулированными гранатами, согласно возложенному иа
него высочайшею волею поручения. Для приведения
к концу сего теоретического труда остаётся интегрировать
те уравнения, к чему приступить возможно будет пе
прежде, как по определении посредством опытов трёх
постоянных коэффициентов, входящих в те уравнения,
и епмп-то опытами г. Остроградский имеет заняться
ныне при содействии прикомандированных к нему на
сей конец гг. артиллерийских офицеров»* 2).
В результате этой работы, проведённой Остроград-
ским, появились известные его мемуары по внешней бал-
листике: 1) «Заметка о движении сферического снаряда
в сопротивляющейся среде» («Бюллетень АН», 1841,
т. VIII, №5); 2) «Мемуар о движении сферического снаряда
в воздухе» (там же, № 2); 3) «Таблицы для облегчения
9 ЦГПА, ф. 735, оп. 2, д. № 115, лл. 10—11.
2) ЦГПА, ф. 735, оп. 2, д. № 115, л. 13.
троградский в военно-учебных заведен, россни 329
сленпя траектории тела в сопротивляющейся сре-
рЬ1ЧП(«Мемуары Академии Наук», 1841, т. II, серия VI).
Де>В первых двух мемуарах Остроградскпй занимался
ледованием дифференциальных уравнений движения
Ацентрического снаряда. Это исследование имеет ире-
ЭКушество перед аналогичным исследованием Пуассона
Аом отношении, что расстояние между центром фигуры
В явяда и его центром инерции не предполагается весьма
малым, как это и имеет место на самом деле для эксцен-
топческих и современных снарядов. При эксцентричности
снаряда, равной нулю, формулы Пуассона получаются,
как частный случай, пз формулы Остроградского1).
Третий мемуар посвящён составлению таблиц для
облегчения баллистических вычислений и для вычисления
_ ... п г <70
функции Ф (0) = 2 , играющей важную роль в оал-
листике.
Интересы Остроградского в области артиллерии не
ограничивались вопросами внешней баллистики; его за-
нимали и проблемы, связанные с теорией проектирования
артиллерийских систем. Так, например, 16 декабря 1842 г.
Остроградскпй сделал в конференции Академии Паук
сообщение о своих исследованиях «О влиянии выстрела
на лафет орудия»2).
Таким образом, насущные практические потребности
русской артиллерии привели Остроградского к его теоре-
тическим исследованиям по внешней баллистике, но эти
же изыскания привели его в свою очередь к некоторым
вопросам математического анализа. Так, например, с во-
просами баллистики, невидимому, связано было и дан-
ное Остроградскпм исследование остаточного члена форму-
лы суммирования Эйлера—Маклорепа, выражающей сум-
му нескольких членов ряда с общим членом ип = / (п) через
Ряд, содержащий интеграл / (п) и её последовательные
Э См М. К. К у р е и с к и й, Полет снаряда, издание Артпл-
СТрИи^°“ акадсмпп РККА им. Ф. Э. Дзержинского, Л., 1934,
к 99сЬРР°Т0К0л конференции Академии Наук от 16 XII 1S42 г ,
3 (Архив АП СССР, ф. 1, оп. 1а. № 66)?
330
и. А. МАРОН
производные:
/ (?) 4 / (ж + 1) 4- • • • -г / (^+ п) =
х+п 1
X
+у[/'(-г+n+1) -/'(i)]-74o^",^+n+1)_/'"(;r)]+--
Вопросы, связанные с применением выборочного метода
при контроле качества готовой продукции, привели Остро-
градского к его работе по теории вероятностей: «Вне
question des probabilites».
В этой работе, по заявлению самого Остроградского,
получен результат, который «даёт возможность постав-
щикам сократить до приблизительно одной двадцатой
части чрезвычайно утомительную механическую работу
по проверке, например, очень большого числа мешков
с мукой или кусков сукна»т).
Остроградскпй считается одним пз первых учёных,
заложивших научные основы выборочного метода в про-
мышленном производстве. Чисто прикладное назначе-
ние имеют его статьи: «О страховании» («Финский вест-
ник», 1847, № 1), «Игра в кости» («Финский вестник»,
1847, № 3) и «Погрешности при вычислении процентов»
(«Северное обозрение», 1848, № 1) 2).
См. А. М. Д л и в, Математическая статистика в технике,
М., 1949, стр. 7.
2) Отметим кстати, что эти статьи почему-то не значатся
в «Списке сочинений М. В. Остроградского», приведённом в отчёте
Академии Паук за 1862 г. Этот синеок, помещённый в 1 томе «За-
писок Академии Наук» и повторённый позднее многими ав-
торами, является далеко по полным. Кроме отмоченных выше
учебных руководств, к этому списку следует прибавить: 1) статью
«Новый способ интегрирования четырёх дифференциальных урав-
нении», помещённую в октябрьском номере «Морского сборника»
за 1856 г.; 2) статью «О равновесии верёвочного многоугольника
и гибкой нерастяжимой нити», помещённую в кп. 1 «Журнала
путей сообщения» за 1839 г.; 3) статью «Начала аналитической
механики», помещённую в кн. 2 журнала «Маяк» за 1840 г. Стать*_
интересна в том отношении, что даёт возможность судить о Ф11;11’
софских взглядах автора па материю, пространство, время, а так*
ОСТРОГРЛДСКИП в ВОЕННО-УЧЕСПЫХ 3\ВЕДЕП. РОССИИ 331
Остроградского считают также одним из созда-
телей русской экспериментальной термодинамической
школы г)-
Приведённые памп сведения свидетельствуют о прак-
тических устремлениях нашего выдающегося математика.
Эта черта, повторяем, весьма характерна и для учеников
Остроградского.
Все близкие ученики Остроградского начали свою
научную карьеру как математики или механики. Первые
пх работы были посвящены теоретическим проблемам чи-
стой математики или теоретической механики, первона-
чальная их педагогическая деятельность протекала иа
математических кафедрах высших военно-учебных заве-
дений. По, занимаясь наукой, они неизменно стремились
к её практическим применениям и выдвигались затем
как крупнейшие представите.!и технической мысли в Рос-
сии. В этом, несомненно, отразились материалистиче-
ские тенденции русского естествознания второй половины
XIX столетня.
Г. Е. Паукер, например, начал свою деятельность
как математик па кафедре Остроградского в Главном
инженерном училище. Первая его научная работа была,
как мы видели, чисто математического характера, по затем
он выдвинулся на инженерном поприще и стал крупней
шим военным инженером. Основоположник теории авто-
матического регулирования II. Л. Вышнсградский полу-
чил первую свою научную степень—магистра матема-
тических паук—за математическую работу и довольно
долго преподавал математику. То же самое можно ска-
зать п о знаменитом творце гидродинамической теории
оригинальным изложением верных глав кинематики точки; 4) статью
«О страховании», помещённую в «Финском вестнике», № 1 за 1847 г.
представляют интерес гносеологические взгляды Остроградского,
высказанные в этой статье, а также его высказывания относительно
понятия «Вероятность»; 5) статью «Погрешность прп вычислении
процентов», помещённую в «Северном обозрении», 1 за 1848 г.;
J статью «Игра в кости», помещённую в «Финском вестнике»,
З^за 1847 г.
р ) См. С. С. К у т а т е л а д з е и Р. В. Ц у к е р м а и,
стрВ126С ТСО1),1И те11‘10ты u работах русских учёных, М., 1949,
332
И. А. МАРОН
смазки II. П. Петрове, о «Несторе русских инженеров»
С. В. Кербедзь и почти о всех остальных учениках Остро-
градского. Но и те из ппх, которые остались математи-
ками, непременно занимались наряду с чисто математи-
ческими исследованиями и прикладными проблемами. Так,
например, Н. С. Будаев, будучи профессором матема-
тики и механики, успешно занимался и вопросами бал-
листики. О плодотворной работе II. С. Будаева в области
внешней баллистики с благодарностью писал Мановенийх).
То же самое можно сказать о многих других учениках
Остроградского: о П. И. Собко, Ф. Ф. Псрогге, Н. Ф. Кузь-
мине и др.
На научном творчестве учеников Остроградского ле-
жит ярко выраженная печать хорошей математической
школы. Занимаясь прикладными проблемами, они и в
постановке задач, и в подходе к решению их, и в трактовке
результатов оставались строгими аналитиками. Пх ра-
боты отличаются тонким математическим анализом и
стремлением к широким обобщениям, столь характерным
для математического таланта самого Остроградского,
в творчестве которого, по меткому выражению Н. Е. Жу-
ковского, «пас привлекает общность анализа, основная
мысль, столь же широкая, как широк простор его родных
полей»* 2).
Возьмём для примера работу Г. Е. Паукера «О ио-
верке устойчивости цилиндрических сводов»3). Введение
посвящено обзору исследований по математической те-
ории устойчивости цилиндрических сводов и строгой кри-
тике работ французских авторов. В первой главе Паукер
дал более общую, чем у Кулона, систему неравенств,
характеризующую устойчивое состояние свода. При этом
он дал наглядный геометрический критерий для поверки
того, удовлетворяется ли в данном своде установленная
им система неравенств. Во второй главе Паукер прпяа-
г) II. В. Манено к и й, О движении продолговатых снаря-
дов в воздухе п твёрдых средах, СИ Б, 1865, стр. 7.
2) См. Н. Е. Жуковский, Поли. собр. соч., том IX >
1937, стр. 414.
3) «Инженерные зариски», ч. XXXII, Л** 1, 1849, стр. 1—I*0,
гает к расчёту сводов принцип возможных перемощении
в форме, данном Остроградскпм в 1835 гД).
Первая по времени работа 11. П. Петрова— «Очер-
тание зубцов круглых цилиндрических колёс дугами кру-
га*—содержит решение интересной и важной задачи
о наивыгоднейшем- подборе окружности для образования
профиля зубцов. О математическом уровне этой задачи
можно судить хотя^бы по тому, что решением этой задачи
занялся И- Л. Чебышев2). С особенной-яркостью мате-
матическое дарование II. II. Петрова выразилось в реше-
нии проблемы о динамических напряжениях в рельсе.
Над решением это/! труднейшей задачи в теории упру-
гости трудился до Петрова английский математик Стокс.
Последний дал дифференциальное уравнение деформации
лежащего па упругих опорах рельса под давлением катя-
щегося колеса. Однако интегрирование уравнения Стокса
оказалось невозможным. Петрову удалось свести эту
чисто динамическую задачу к статической и заменить
уравнение Стокса двумя разностными уравнениями и про-
извести пх численное интегрирование
И. А. Вышнеградский твёрдо поставил рассмотрение
процесса регулирования на почву динамики и свёл задачу
к рассмотрению линейных дифференциальных уравнений.
При решении этпх уравнений оп пришёл к знаменитым
«неравенствам Вышиеградского», которые с тех пор кла-
дутся в основу расчёта регуляторов. Немецкие математики
Гурвиц и Раус, занимаясь теорией регулирования, получили
«неравенства Гурвица-Рауса», являющиеся не чем иным,
как обобщением неравенств Вышнеградского. Исследова-
ния Вышнеградского находятся в тесной связи с общей
теорией устойчивости, которая, как известно, служила
предметом изысканий таких корифеев математиче-
ской пауки, как А. М. Ляпунов, И. Е. Жуковский
и др.
г) См. II. М. Р а Г» и и о в и ч, Деятели русской строительной
механики «Вестник военно-инженерной академии им. В. В. Куй-
бышева», вып. 43, 1945. стр. <3.
2) См. «Собрание сочинений П. Л. Чебышева», СПЬ, 1907,
т- И, стр. 126—162, статья «О зубчатых колёсах».
334
и. А. МАРОК
Касаясь математической стороны работ II. А. Вышпе-
градского, академик А. А. Андропов пишет: «Иа многих
дальнейших, даже прикладных работах II. А. Вышпс-
градского заметна отличная математическая школа, изя-
щество выкладок и геометрических построений»1); и здесь
же академик Андронов подчеркивает, что это—результат
влияния Остроградского.
О математическом уровне чисто инженерных работ
С. В. Кербедзь можно судить хотя бы по тому факту, что
он, будучи полностью прикладником, был избран членом-
корресиоидснтом Академии Паук но разделу матем а-
т и к и 2).
Сочинение Д. 11. Журавского «О мостах раскосных
систем Гау» было отмечено демидовской премией на осно-
вании положительного отзыва инженер-генерал а Ди-
стрема и П. Л. Чебышева, отметивших высокую математи
чес кую культуру ангора 3).
Все эти примеры свидетельствуют о том, что названные
знаменитые русские инженеры, вышедшие из математи-
ческой школы Остроградского, подняли русскую техни-
ческую мысль па более высокий уровень и придали ей
более строгий и глубокий научный характер.
Есть ещё одна черта, которая объединяет учеников
Остроградского: пх глубокий интерес к педагогиче-
ским вопросам. Остроградскпй, как нам хотелось по-
казать в этой статье, был не только учёным, по и пе-
дагогом по призванию, как и по своей деятельности
педагогом до мозга костей. Эта черта передалась и ci о
ученикам.
II. П. Петров, II. А. Вышнеградскпй, С. В. Кербедзь,
II. С. Будаев, 11. II. Собко, Н.Ф. Ястржембский, II. Л. Лав-
ров, Ф. Ф. Перотт, В. II. Шкляревич, Ф. И. Симашко,
В. И. Беренс п др. былп прекрасными лекторами. В своих
лекциях они, по примеру своего знаменитого учителя, ста-
Э А. А. Андреи о в, II. А. Вышнеградскпй (в сборнике
«Люди русской пауки», т. II, М.—Л., 1948, стр. 932).
2) См. «Известия собрания инженеров путей сообщения», т. XX,
1900, стр. 1—11.
3) См. «Отчёты о присуждениях наград камергера II. II. Деми-
дова», № 24, 1855 г.
£СТРОГРАДСКИП в бренно-учебных Заведен.
РОССИИ 335
рались добиваться изящест
ва, строгости и простоты
л" В. Кпрппчёв, характеризуя Вышнеградского как
лектора, писал: «Многочисленные бывшие слушатели
И А. Вышнеградского сохраняют восторженные воспо-
минания о его лекторском таланте. Он Имел редкий дар
приковать внимание слушателей к объясняемому пред-
мету, заинтересовать их... В этом отношении он являлся
вполне достойным своих знаменитых учителей! Остроград-
ского и Редтснбахера, которые оба славились своими
лекторскими талантами. Ещё живы некоторые из учени-
ков Остроградского, и по отзывам пх наш геометр
не имел никого ему равного по таланту изложения» т).
Многие пз учеников Остроградского были по только
хорошими лекторами, авторами учебных руководств,
но и крупными деятелями русского просвещения, убе-
ждёнными борцами за лучшие методы преподавания.
И. А. Вышпеградский, например, ещё будучи моло-
дым преподавателем Кадетского корпуса и Михайловского
артиллерийского училища, привлекался Осгроградскпм
к работе различных методических комиссий при Главном
управлении военно-учебных заведений. Оп также состоял
членом комиссии при Главном штабе по испытанию пре-
подавателей. По поручению и под руководством Остро-
градского им было составлено учебное руководство «Эле-
ментарная механика» (СПБ, 1860), которое считалось
в течение многих лет лучшим учебником но этому пред-
мету.
Будучи затем в 1875 г. директором Петербургского
технологического института, Вышпеградский много содей-
ствовал улучшению постановки учебного дела расширением
механических лабораторий, введением обязательных ре-
петиций, увеличением студенческих стипендий и т. и.
пак член Совета министерства народного просвещения
Он принял деятельное участие в пересмотре универси-
тетского устава и устава реальных училищ. Кроме того,
н являлся автором проекта развития профессионального
разоваппя в России. Этот проект был затем принят и
*) «Вестник общества технологов», 1895, № 6, стр. 100.
336
И. А. МАРОН
заметно улучшил дело профессионально-технического
образования в России.
И. А. Вышнеградский высказал ряд интересных дидак-
тических взглядов о постановке преподавания в народщ,1х
школах. Он был энергичным сторонником наглядности
в обучении, широкого внедрения ручного труда в про-
цесс воспитания. По его инициативе и при его деятель-
ном участии была организована педагогическая выстав-
ка с целью популяризации ручного труда в процессе
обучения и политехнического воспитания. Эти педаго-
гические взгляды Вышиеградского примыкают ко взгля-
дам Остроградского, развитым последним в уже упоми-
навшейся нами брошюре «Размышление о преподава-
нии».
II. П. Петров также развернул большую педагогиче-
скую деятельность и глубоко интересовался педагогиче-
скими вопросами1). Достаточно сказать, что проблемам
обучения он посвятил 13 работ. Средн них имеются такие:
«Чему и как нужно учить в высших технических школах»
(1897), «Какова должна быть высшая техническая школа»
(1897); «Типы высших технических школ» (1897); «К во-
просу о приготовлении для промышленности инженеров»
(1915); «Речь при открытии 3-го съезда по профессиональ-
ному образованию» («Дневник № 2 третьего съезда по
профессиональному образованию», СПБ, 1903).
В этих работах он развивал ту мысль, что будущему
инженеру следует дать всестороннее развитие: «Развитие
философского мышления нужно технику не менее, чем
математику, естествоиспытателю или социологу». Пре-
подавание в техническом высшем учебном заведении—*
утверждал Петров—должно быть поставлено так, чтооы
технические науки излагались в их современном виде,
чтобы обучали нс ремеслу, а инженерному искусству
и науке, основанной па самых точных приёмах исследова-
ния. Эти взгляды Н. П. Петров отстаивал в комиссии по
изучению проекта расширения технического образования,
председателем которой он состоял.
Ч См. М. Н. Петро в, II. П. Петров, Очерк жизни и ДеЯ
тельности, М., 1925.
оСТГОТ^4ЛСНИЙВ ВОЕННО-УЧЫНЫК 3 УВЕДЕН. РОССИИ 337
П Л. Лавров был, как упоминалось, также прекрас-
педагогом, пользовавшимся любовью слушателей,
преете с тем Лавров являлся, как об этом свидетельствуют
хранившиеся документы, деятельным помощником Остро-
С°адского в его работе по руководству математическим
Гбразованпем в военно-учебных заведениях России. Он
состоял членом Специальной математической комиссии
я Комиссии по испытанию преподавателей.
Другие ученики Остроградского—П. П. Собко,
Н. Ф. Ястржембский, В. И. Беренс, Ф. II. Симашко,
ф’ ф. Перотт и др. — былп также педагогическими деятеля-
ми. По поручению Остроградского П. И. Собко, например,
составлял учебник по механике для военно-учебных заве-
дений и состоял членом методических комиссий при
Главном штабе. Н. Ф. Ястржембский составил под руко-
водством Остроградского конспект для преподавателей
механики. Ф. И. Симашко известен как автор учебных
руководств и как видный организатор математического
образования в военно-учебных заведениях России послед-
ней четверти XIX в.
Влияние Остроградского сказывалось сильно также
и на педагогпческ й деятельности многочисленных про-
фессоров и преподавателей не военных учебных заведе-
ний. Например, ученики Остроградского по Главному,
педагогическому институту Д. М. Деларю х) и Е. И. Бейор2)
О Даниил Михайлович Деларю (1839—1885) учился
у Остроградского в Главном педагогическом институте. Профес-
сорская деятельность Д. М. Деларю протекала в Харьковском
университете. Главнейшие труды его: «Общая теория алгебраи-
ческого решения уравнений» (Харьков, 1864), «О разыскании
особенных решений дифференциальных уравнений первого порядка,
зависящих от двух переменных» (Харьков, 1868), «Курс днффе-
Р^Циального исчисления и теория алгебраических функций»
Jjj » 1869;—книга посвящена памяти М. В. Остроградского),
есколько слов о системе изложения чистой мотсматпки» («Мате-
матический сборник», т. IV, 1869, стр. 81).
ЦроЖ Евгений Ильич Бейер (род. в 1819 г.)—заслуженный
гиче СС°Р ^•аРьковского университета; окончил Главный иедаго-
гРапсКИИ ИНститУт в 1841 г. с золотой медалью; оставлен был Остро-
сорскКИМ ДЛЯ П°ДГОТОВКП к профессорскому званию. Вся профес-
Уааве1 деятельность Е. 11. Бейера протекала в Харьковском
рситете. Главнейшие труды его: «Об интегрировании линей-
Историко-матем. исследования
338
И. А. МАРОН
являлись видными профессорами и деятелями физико-
математического факультета Харьковского университета.
Об идейном влиянии Остроградского на педагогиче-
скую деятельность его учеников Д. М. Деларю писал;
«Помимо своих специальных исследовании, доставивших
ему европейскую знаменитость, М. В. Остроградскпй
заслуживает особенной признательности от пас, русских.
В лекциях своих он всегда являлся замечательным систе-
матизатором, всегда вооружался против рутинных при-
ёмов и проводил общие взгляды па соотношение между
собою отдельных научных методов. Мысли его сохрани-
лись и развились его учениками, искренно чтившими
память замечательного нашего учёного. Мне кажется,
что и в моём сочинении я следовал направлению, указан-
ному Михаилом Васильевичем»1).
Остроградскпй, как известно, являлся одним пз соз-
дателей Петербургской математической школы. По его ио
праву следует также считать заслуженным учителем це-
лого поколения инженеров, которые, усвоив математи-
ческие методы знаменитого учёного, с успехом применяли
пх для развития русской технической мысли.
*
* *
Много энергии и времени уделял Остроградскпй руко-
водству математическим образованием в военно-учебных
заведениях и воспитанию научно-технических кадров для
армии и флота. Работа в Главном штабе отнимала j него
массу труда, поглощала его силы и заметно отвлекала
от научного творчества. Остроградскпй не мог по понимать
этого; однако он не только пе ослаблял своей деятельности
в качестве главного наблюдателя, но, наоборот, со вре-
менем всё больше и больше отдавался ей.
пых дифференциальных уравнений с каким угодно числом изме-
няемых величин» (Харьков, 1858), «О разностном интегрировании
рациональных дробей с помощью алгебраических функций, когда
это возможно» («Математический сборник», т. IV, отд. 1 и т. '»
отд. 1, 1858).
г) Д. М. Деларю, Курс дифференциального исчисления
и теория алгебраических функций, Харьков, 18G9, Предислови
«гпАЛСКИН в ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕН. РОССИИ 339
pCTPj1 __________________________________________
^прашпвается, что привлекало ого к этой работе, что
тавляло его отдавать этому драгоценное время и энер-
заС в* ущерб своему математическому творчеству?
ГВ*БЫть может, материальные выгоды, хорошо оплачи-
ая должность? Действительно, наш знаменитый учё-
Ва 4 жил в стеснённых материальных условиях. Цар
Н-ое правптельство нс смогло оцепить замечательного
vccKoro математика. Но никаких материальных выгод
от своей службы в штабе Остроградскпй не получал, ибо
из пятнадцати лет своей службы там он четырнадцать
лет проработал безвозмездно i).
Что же привлекало Остроградского к работе в ведом-
стве военно-учебных заведений? Ответ может быть только
один: глубокие патриотические чувства, благородное
стремление служить русской культуре—вот что побуждало
Остроградского столь долгие годы бескорыстно трудиться
над совершенствованием преподавания математики в во-
енных школах и отдавать этому труду столько времени
и сил. Остроградский всемерно стремился содействовать
широкому развитию математической и общетехнлческой
культуры в России. Должность главного наблюдателя
предоставляла ему большие возможности для влияния
на общий уровень математического преподавания в воен-
ной школе, а через неё и на всё математическое образование
в России. II принял он эту должность именно для того,
чтобы, воспользовавшись организационными формами во-
г) Небезынтересно принести здесь выдержку из ходатайства
главного начальника военно-учебных заведений о выдаче едино-
временного пособия семье Остроградского после его смерти:
«Главный наблюдатель за преподаванием в В.У.З. математи-
ческих паук академик, тайный советник Остроградскпй 20 декабря
прошлого года умер, оставив вдову, сына и двух дочерей в стес-
ненном положении, ибо, но отзыву наследников, имущество, оста-
вленное покойным, заключается в пенсии, выслуженной им в Импе-
раторской Академии Наук, в размере 857 р. 76 коп, и незначп-
ДалН°М Р0Д0Б0М имении, заложенном в опекунском совете...»
ее излагается ходатайство о выдаче семье Остроградского,
14 севшего на службе в ведомстве военно-учеб пых заведений
ТЬ1 ет безвозмездно», единовременного пособия в размере... одной
усеплП Рублей серебром, принимая во внимание «постоянно
Учебн П ИСКЛ10Ч11телыю полезную службу по ведомству военно-
Ых заведений тайного советника Остроградского».
22*
340
II. А. МАРОН
снной школы, содействовать прогрессу математического
образования в России.
Трудно переоценить пользу, которую получили воен
но-техннческпе науки и русская армия от профессорской
деятельности Остроградского в высшпх военно-учебных
заведениях столицы и от его упорной работы по выращи-
ванию научпых кадров пз воспитанников этих школ.
Остроградскпй выступает перед памп не только как
крупнейший математик своего времени, по и как заме-
чательный прогрессивный деятель, отдавший много тру-
да и творческой! энергии делу отечественного математиче-
ского просвещения и развитию военно-технических паук
в России.
Советская армия, являющаяся наследницей всего луч-
шего, прогрессивного, что дала русская армия и её пере-
довые деятели, с благодарностью вспоминает имя знаме-
нитого русского учёного.
ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ
БОБЫНИН
ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ
БОБЫНИН
ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ БОБЫНИН
К. А. Рыбников
В конце 1949 г. исполнилось 100 лет со дня рождения
и 30 йет со дня смерти Виктора Викторовича Бобынина —
профессора Московского государственного университета,
первого русского историка математических наук и выдаю-
щегося историка русской математики.
В. В. Бобынин родился 8 ноября 1849 г. в деревне
Шили Рославльского уезда Смоленской губернии, в семье
мелкопоместного дворянина. Детство его было одиноким,
так как он лишился матери, будучи одного месяца от
роду. Рано научившись читать, мальчик полюбил книги
и проводил над ними большую часть своего времени.
В 1860 г. его приняли в Тульскую гимназию. Учился он
хорошо, был первым учеником. Постепенно определялись
и склонности Бобынина; его всё более привлекали есте-
ственные науки и математика. Увлечение ими было на-
столько сильным, что даже гимназическая реформа 1865 г.,
в значительной степени ограничившая преподавание есте-
ственных наук, не смогла его преодолеть. Будучи учени-
ком 6-го класса гимназии, Виктор Бобынин решил само-
стоятельно изучить предметы, исключённые из учебного
плана. Эту задачу он выполнил, проявив прп этом чрез-
вычайную настойчивость. Авторитет его среди учеников
и преподавателей был так велик, что весной 1866 г. ему
было разрешено прочесть в гпмназпп для желающих лек-
ции о космогонической теории К анта-Лап ласа и об исто-
рии развития земной коры.
Окончив гимназию в 1867 г. с золотой медалью, Бобы-
кин поступил на отделение естественных наук физико-
344
К. А. РЫБНИКОВ
математического факультета Московского университета.
Через год он перешёл на математическое отделение, ц0
которому и кончил курс в 1872 г. со званием кандидата.
Во время учения в университете «заботы о своём содер-
жании Бобынину пришлось взять на себя, что вынудило
его употреблять большую часть своего времени на де-
шёвые уроки, разбросанные к тому же на больших рас-
стояниях. Это отозвалось крайне неблагоприятно на ходе
учебных занятий Бобынина. Ему пришлось ограничиться
почти исключительно изучением излагаемого на лекциях.
Вследствие этого университет, дав Бобынину необходи-
мые основные знания для дальнейших занятий, не ока-
зал никакого влияния на направление последних, или,
как обыкновенно говорят, на выбор специальности. Что
это так, видно пз того, что выбранная им впоследствии
специальность—история математики—вовсе не входила
в университетский курс»1).
По окончании университета Бобынин не был оставлен
при университете для приготовления к профессорскому
званию и поступил в Нижегородскую военную гимназию
преподавателем математики, физики и космографии. Од-
нако он нс был обескуражен этим; в письмах к друзьям
он делился планами серьёзной самостоятельной научной
работы, жаждал деятельности, гадал о грядущем приме-
нении своих неизбывных, как ему казалось, сил.
Поселившись в Нпжнем-Новгороде, Бобынин, на-
ряду с преподаванием, много и усидчиво работает над
укреплением п расширением своих знаний по всем пред-
метам университетского курса. Но вскоре определяется
всё возрастающий интерес его к истории математики. «От-
носительно слабая разработка истории физико-математи-
ческих наук, обусловливая существование в ней обшир-
ного поля исследований», лишь увеличивала в глазах
В. В. Бобынина «присущий этой дисциплине захватыва-
ющий интерес. Всё это, вместе взятое, привело, наконец,
к разрешению вопроса о выборе специальности в пользу
х) Автобиография В. В. Бобынина, написанная в 1887 г.
стр. 3—4 (не опубликована, хранится в архиве Московского госу
дарственного университета).
ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ БОБЫНИН
345
истории и частью философии наук математических. С этого
времени они делаются главным предметом его занятий»1),
распространение передовых идей русской материали-
стической философии 40—СО-х годов в кругах научных
работников породило во второй половине прошлого сто-
летия постепенно нараставший интерес к вопросам мето-
дологии естествознания, к истории культуры п науки.
В литературе по физико-математическим наукам начали
появляться книги и статьи по философским вопросам и
по истории математики и физики. В этот период появи-
лась книга Н. А. Любимова по истории физики, «История
математики» М. Е. Ващенко-Захарченко, работы В. В. Бо-
бынина, И. 10. Тимченко, А. В. Васильева п др. Конечно,
эти первые работы были ещё неудовлетворительны, как
в силу недостатка конкретного историко-научного мате-
риала, так и в методологическом отношении.
Было бы неверно считать, что до рассматриваемого
периода в России не интересовались историей математики.
Ещё в XVIII в. время от времени появлялись популярные
статьи этого рода в изданиях Академии Паук; около 1780 г.
была частично переведена на русский язык «История
математических паук» Монтюкла; историей проблем обо-
снования математического анализа занимался в конце
XVIII и в начале XIX в. академик С. Е. Гурьев; появ-
лялись иногда отдельные статьи по истории математики
и в первой половине XIX в. Однако работы по истории
математики в России, которой пожелал посвятпть глав-
ные свои усилия Бобынин, отсутствовали, и ему при-
шлось, как он сообщает в письме к С. А. Венгерову, начать
с накапливания материалов. Он собрал и изучил много
памятников русской математической литературы, ста-
ринных рукописей, оказав тем самым неоценимую услугу
истории русской науки.
В печати в этот период жизни Бобынина появляются
лишь небольшие его статьи по статистике и математике.
Одновременно он пишет и в 1878 г. закапчивает большой
ТРУД «История индуктивного периода развития наук ма-
ематических. Доисторический период». Целью написа-
х) Автобиография, стр. 4.
346
К. А. РЫБНИКОВ
ния этой работы была защита её как магистерской дис-
сертации, с тем чтобы получить право чтения лекций
по истории математики в университете в качестве приват-
доцента. Об этом своём намерении Бобынин говорил
в Москве с профессорами университета Н. В. Бугаевым
п А. Ю. Давидовым, которые отнеслись к этому сочув-
ственно, оказав ему столь необходимую моральную под-
держку.
Однако, когда работа была окончена, физико-матема-
тический факультет Московского университета к защите
её не принял в силу преобладания в пей лингвистических и
этнографических элементов. В мае 1879 г. Бобынин послал
её на отзыв в Академию Наук. Академики В. Я. Буняков-
ский, А. Н. Савич п А. А. Шифнер, ознакомившиеся с дис-
сертацией, дали уклончивые отзывы. Например, академик
В. Я. Буняковский в конце своего отзыва писал: «Догад-
ки и предположения, заключающиеся в труде г. Бобы-
нина, по моему мнению, большей частью имеют на своей
стороне правдоподобие. Должен, однако, заявить, что
по совершенной моей некомпетентности в науках, поло-
женных автором в основание своих исследований, я нс
имею ни права, ни возможности судить о научном досто-
инстве его сочинения. Скажу только, что труд его сви-
детельствует о большой его начитанности и читается с
интересом». Защита не состоялась. Впоследствии в печати
появплпсь шесть глав этой работы с сокращениями в
«Математическом листке» Гольденберга (июль 1879 г.)
и 3-я и 4-я главы в журнале «Физико-математические
науки в их прошедшем и настоящем» (1886 и 1887 гг.),
издававшемся впоследствии самим Бобышшым.
Вторую диссертацию Бобынин пишет на тему «Мате-
матика у древних египтян» (по материалам папируса
Ринда, опубликованного в 1877 г. Эйзенлором). В 1881 г.
он переехал в Москву в качестве преподавателя 4-п воен-
ной гимназии; здесь работа быстро подвигалась, и 7 мая
1882 г. состоялась защита, по выражению Бобынина, «Д0'
вольно удачная».
В диссертации Бобынин подробно рассматривает содер-
жание папируса Ринда и пытается дать характеристику
состояния математических знании у египтян, .того времени
ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ БОБЫНИН
347
(/около 1700 г. до н. э.*). В папирусе он впдит «полный свод
математических знаний, находящихся в распоряжении еги-
петской науки». В 1909 г. Бобынин вновь возвратился
этому вопросу: в статье «Древнеегипетская математика
в эпоху владычества гиксов» он ещё раз рассмотрел содер-
жание папируса и пришёл к выводам, в основном сход-
ным с выводами диссертации. Папирус, по его характе-
ристике, представляет собой:
1 а) учебник, ибо часть задач сформулирована с яв-
ным расчётом на учащегося; так, в них постоянно встре-
чаются выражения: «если тебе говорит писец...», «тебе
сказано...», «поступай таким образом...» и т. д.;
б) справочную к *n и г у, ибо задачи содер-
жат «сведения из области практической геометрии, имею-
щие в виду или сельского хозяина, как статья об измере-
нии житниц, идд землемера, как статья об измерении
земельных участков, или, наконец, архитектора, как ста-
тья о вычислении-пирамид»;
в) н а у ч н ы й труд самого автора, ибо в папирусе
имеются задачи (например, 12 и 14), точного решения
которых автор не смог дать, ограничившись общпмп сооб-
ражениями, что явно непригодно для учебника или для
справочника.
Подходя к вопросу исторически, Бобынин не расчле-
няет эти три возможных назначения папируса и заклю-
чает, что такой вид литературы был вызван сравнительно
невысоким уровнем развития математических знаний
<и являлся универсальным видом математической лите-
ратуры в течение громадных промежутков времени.
Став после защиты диссертации приват-доцентом Мос-
ковского университета, Бобынин с осени 1882 г. присту-
пил к чтению курса истории математики. Подобного курса
До Бобынина никто в России не читал1).
Широкий, подробный курс Бобынина был рассчитан
на 4 года при двух лекциях в неделю. Но в силу различ-
ных обстоятельств, в частностп, ввпду заявленного сту-
ч х) О чрезвычайной редкости такого курса говорит тот факт,
л за Рубежом в то время лекции по истории математики читались
и*1, в Гейдельберге и в Падуе.
348
К. А. РЫБНИКОВ
дентами желания скорее перейти к истории непосред-
ственно изучаемых ими наук, пришлось курс перестроить
И в 1883 г. Бобынин начинает курс сначала, рассчитывая
на 3 года при одной лекции в неделю. Он начинает со-
кращённо излагать историю математики в древности ц п
средине века с намерением сделать основной упор на ис-
торию математики в XV—XVIII вв. В 1884 г. Бобынин
вновь (уже последний раз) перестраивает свой курс, сде-
лав его годовым и разбив его на два параллельных курса
по одной лекции в неделю; на историю математики с древ-
нейших времён до эпохи Возрождения и па историю мате-
матики в XV—XVIII вв. Согласно изданной им в 1890 г.
программе, первый из курсов оканчивался характери-
стикой деятельности Леонардо Пизанского и кратким одно-
часовым обзором средневековой математической литера-
туры; второй же начинался обзором работ Кардано, Тар-
тальи и заканчивался лекциями о Монже, Карно п Понселе.
Теперь, после долгих исканий, курс устанавливается,
и по этой программе Бобынин читает его пз года в
год.
В то же время Бобынин продолжал ту работу, кото-
рой посвятил большую часть своей жизни,—изучение
истории развития физико-математических наук в России.
Он делает первую попытку привлечь к этому делу широкие
слои интеллигенции, в первую очередь учителей. В ав-
густе 1883 г. Бобынин выступил в Одессе на VII Все-
российском съезде естествонспытаталей и врачей (в сек-
ции астрономии и математики) с тремя докладами: «Фило-
софское, научное и педагогическое значение истории ма-
тематики», «О собирании памятников народной математи-
ки» и «Приёмы официального землемерия в России
XVII столетия». Там, в частности, он предложил и съезд
принял обращение к местным организациями Общее ва
естествоиспытателей о сборе памятников нар< дной матема-
тики. Однако это обращение не дало существенных резуль-
татов.
Труды Бобынина по истории развития математики в Рос-
сии имеют первостепенное значение и составляют главную
часть его научного наследства. Он первый исследовал рУс'
скую математическую рукописную литературу до XX Н в‘
ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ БОБЫНИН
349
ключительно х), описал её содержание, дал анализ источ-
ников. Из его трудов мы до сих пор знакомимся с древними
памятниками русской народной математики, рукописями
и редкими книгами по математике. В своих «Очерках по ис-
торпи развития физико-математических знаний в России»
Бобынин показал своеобразие развития математических
знаний в России XVII в. и большое пх распространение.
Бобыниным также подробно изучено развитие мате-
матики, связанное с учреждением военно-технических
школ в Россини с изданием первых книг физико-математи-
ческого содержания, вплоть до организации Петербург-
ской академии наук. Тому же вопросу развитию мате-
матики в России—Бобынин посвятил ряд отдельных
весьма ценных статей: «О собирании памятников народной
математики», «Состояние физико-математических знании
в России до XVI века», «Первый русский математиче-
ский журнал», «Материалы для истории математической
журналистики в России», «Об изучении кавказских народ-
ных математических знаний» и др.
В 1884 г. Бобынин приступает к осуществлению самой
заветной своей мечты—к изданию журнала по истории
математики. Однако трудно было в то время рассчитывать
на то, что в России привьётся специальный журнал по ис-
тории математики. Для бездефицитного существования
журнала Бобынину, но его подсчётам, надо было
обеспечить около 600 подписчиков. Последнее яв-
лялось необходимым, потому что надеяться на государ-
ственные или другие субсидии не приходилось. Поэтому
было объявлено об основании журнала «Физико-мате-
матические науки в пх прошлом и настоящем. Журнал
чистой и прикладной математики, астрономии и физики»,
в котором, кроме статей по истории математики, будут
помещаться научные новости, сведения о вышедших кни-
гах, хроника и т. д. Рассчитан был журнал главным обра-
зом на учителей средних школ и научных работников.
** хотя Бобынин—редактор, он же и издатель журнала —
предвидел «при существующих отношениях к чистой науке
х) Первая печатная книга математического содержания на рус-
ском языке «Считание удобное» вышла в 1682 г.
350
К. Л. РЫБНИКОВ
русского общества и правительства, очень ограниченные
размеры подписки»1), действительность оказалась еще
мрачнее.
В конце января 1885 г. Бобынин выпустил № 1 сво-
его журнала. Журнал выходил двумя параллельными из-
даниями: «Отдел научных статей»—4 раза в год и «Отдел
научных новостей, критики и библиографии»—12 раз
в год. Общая стоимость подписки составляла 10 рублей
в год. К этому времени журнал имел... лишь 45 подпис-
чиков. Затем число подписчиков выросло и в июле достиг-
ло 152. Однако вслед за тем это число опять уменьшилось,
еле превышая первую сотню, а в отдельные годы (1890 -
1892) падая ещё ниже. Не имея никакой возможности
поддержать свой журнал личными средствами, получая
от разных правительственных учреждений, куда он об-
ращался с просьбами, равнодушные отказы, Бобы пни
был вынужден сокращать размер журнала2), единолично
писать почти все статьи, быть издателем, редактором и
даже чуть ли не корректором. Все усилия были тщетны,
сроки выхода очередных номеров всё больше затягива-
лись, и в 1898 г., на XIII томе (выходившем в течение
3 лет), первый русский историко-математический журнал
был закрыт. Лишь исключительная эрудиция, работо-
способность п преданность своему делу давали Бобынину
возможность так долго одновременно читать лекции в упи
верептете, зарабатывать себе и семье на жизнь препода-
ванием в военно-учебных заведениях, лично писать почти
все статьи для журнала и вести редакционную и изда-
тельскую работу по нему.
Просматривая комплект журнала, можно убедиться,
что журнал давал большое количество весьма полезного
материала для человека, интересующегося историей ма-
тематики, и был доступен для преподавателей средних
учебных заведений, на которых он в основном ориенти-
ровался. В журнале, среди различных заметок н неболь-
ших статей по истории и философии математики, рецен-
9 «Физико-математические пауки в ходе их развития», 1899—
1904, т. I, стр. 359.
2) В 1888 г. оба упомянутых отдела журнала были соединен!»
в один и размеры журнала были сокращены.
ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ БОБЫНИН
351
ий некрологов и биографий, международной и русской
Заучн°й хроники, были помещены и такие крупные работы
к: «Очерки истории развития физико-математических
знаний в России», «Очерки истории развития математиче-
ских наук на Западе», «Лекции по истории математики».
Была напечатана также (частями во всех 13 томах) его
замечательная «Русская физико-математическая библио-
графия», являющаяся ценнейшим пособием для всех,
изучающих русское естествознание XVIII века. В ней
Бобынин с редкой обстоятельностью собрал чрезвычайно
полный указатель книг п журнальных статей по физико-
математическим наукам, вышедших в России с начала
книгопечатания. Библиография доведена до 1816 г.г)
В этой работе сказался весь Бобынин, утверждавший
в своих статьях и выступлениях, что «предмет истории
математики состоит в изучении постепенного развития
математики и в раскрытии управляющих им законов»,
но прежде всего строго требовавший знания фактов (Ср.
его отзыв о сочинениях проф. II. М. Бубнова, выступле-
ние в 1910 г. против Л. 11. Толстого). «Материальная
часть истории науки начинается с биографии и библиогра-
фии её»,—говорил он. С целью заложить фундамент исто-
рии математики оп и проделывал в течение всей своей
жизни огромную библиографическую работу, следил за
всеми событиями в учёном мире. Поэтому так многочислен-
ны и многообразны написанные пм для журнала статьи
и заметки, поэтому так упорно держался он за, казалось
бы, безнадёжное дело издания этого журнала, желая сооб-
щить свои знания, привить вкус к истории математики
«математически образованной части нашего общества»
и особенно учащейся молодежи.
Несмотря на печальный конец журнала, Бобынин не
потерял надежды примениться «к довольно тяжёлым
материальным условиям, создаваемым для специальных
изданий в России»2), и в следующем, 1899 г. приступил 9
9 Кроме того, в журнале регулярно печатались библиогра-
фические указатели и обзоры современной математической и исто-
рико-математической литературы.
. 2) «Физико-математические науки в ходе их развития», 1899—
1904, т. I, вып. 1. (От редакции.)
352
К. А. РЫБНИКОВ
к изданию другого журнала «Физико-математические На,
уки в ходе их развития» с той же примерно, но несколько
сокращённой программой. Первый том был объявлен со-
стоящим пз 12 номеров, выходящих непсрподпчсски
Издание этого первого и единственного тома продолжалось
до 1905 г.; второго тома не последовало. В последнем, две_
надцатом, выпуске Бобынин поместил статью «Первый
посвящённый истории математики русский специальный
журнал», где он с плохо скрытой горечью рассказал о
судьбе журнала «Физико-математические науки в их про-
шедшем и настоящем». Он привёл перечень статей, дан-
ные о количестве, составе и о географическом распределе-
нии подписчиков, а также и о состоянии бюджета журнала,
бюджета, в котором наибольший годовой приход равнялся
1745 р. 17 к., а расход почти всегда был больше прихода:
привёл оп и факты разительного равнодушия к журналу
со стороны чиновников, ведавших наукой и народным
образованием. К этому времени Бобынину исполни-
лось 54 года, силы его иссякли и он больше не берётся уже
за издание журнала. Через два года (в 1907 г.) оп уходит
в отставку и по преподаванию в военно-учебных заведе-
ниях «с мундиром и пенсией» в 892 р. 11 к. в год. Однако
чтения лекций в Московском университете Бобынин пе
бросает до конца дней своих. Последние два года своей
жизни (1917—1919), живя в Туле, он регулярно приезжал
в Москву для чтения лекций.
Но ошибочно думать, что с 1905 г. Бобынин прекратил
всякую деятельность, кроме чтения лекций. Наоборот,
материалы, имеющиеся в пашем распоряжении, показы-
вают, что Бобынин продолжает упорную работу над про-
блемами истории математики, собирает материалы, делает
обобщения, причём, хотя пе последовательно, но опре-
делённо становится на материалистическую точку зре-
ния. Когда Л. Н. Толстой поместил в газете «Русские
ведомости» (К° 258,10/XI 1909г.) фельетон «Ложная паука»,
в котором он относил к числу «ложных» наук, «заоав»
почти все естественные пауки, в противовес «истинной
науке» о любви, непротивлении злу и т. п., Бобынин от-
крыто выступил против него. 4 января 1910 г. он в засе-
дании подсекции математики XII Всероссийского
ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ БОБЫНИН
353
езда естествоиспытателей и врачей прочёл доклад «По
с\оду Древнпх 11 НОВЬ1Х нападок на чистую математику» 1).
п°этом докладе Бобынин дал резкую критику рсакцион-
ых высказывании Л. Н. Толстого о происхождении наук
В противопоставил им материалистическую трактовку во-
^посао происхождении так называемой чистой математики
пз требований практической жизни.
«Не исканию праздных забав нетрудящимися людьми
они (математические науки. — /С. Р.) обязаны своим про-
исхождением, восходящим к тем отдалённым и громадным
по своей продолжительности промежуткам времени, когда
в человечестве нс существовало разрядов, властвующих
и подвластных, когда все были одинаково неимущи, оди
наново несчастны, одинаково должны были, путём упор-
ного труда в преодоления всевозможных лишений и опас-
ностей, добывать себе пищу п отстаивать свою жизнь.
Только требованиям, ставимым именно этою суровою
жизнью, не допускающей даже намёка на мысль о воз-
можности существования без физического труда, да ещё
свойствам физической и духовной природы человека былп
обязаны математические науки своим происхождением».
Развивая свою мысль далее, Бобынин доказывал, что
основные геометрические представления являются не чем
иным, как абстрагированными образами реальных пред-
метов, отражённых в сознании человека через посредство
органов чувств—зрения и осязания. Утверждая опреде-
ляющее значение критерия практики для развития мате-
матики, он показывал па исторических примерах, что
недооценка этого критерия совершенно исключает позна-
ние внутренних связей и отношений между пауками.
Это выступление Бобынина, сделанное им в пору цар-
ской реакции, характеризует его как материалистически
мыслящего п прогрессивно настроенного учёного, спо-
собного на смелое отстаивание своих взглядов.
Нет ничего удивительного в том, что до Великой Ок-
тябрьской социалистической революции это выступление
йа СМ’ ^боринк статей по вопросам физико-математических
п УКи их преподавания», под ред. А. II. Бачинского п А. А. Мпхай-
Ова’ т. I, Москва, 1924.
23
Историко-матем. исследования
К. Л. РЫБНИКОВ
354
замалчивали. Некоторые реакционные руководители съез
да не допустили опубликования его даже в дневнике
съезда, и оно увидело свет лишь в 1924 г. Объяснить эт0
замалчивание недостаточным научным весом Бобы и и Па
нельзя, ибо к этому времени его труды по истории матема-
тики получили всеобщее заслуженное признание. К нему
как к признанному авторитету в истории математиче-
ских наук, обращались с просьбами и предложениями
сотрудничества и в России и за рубежом. Так, в течение
1906—W08 гг. Бобынин написал часть IV тома извест-
ных «Vorlcsungen ubc-r i.eschichtc dor MaUienial ik»
(стр. 319—402), которого M. Кантор, автор первых трёх
томов, достигший преклонного возраста, не мог написать
самостоятельно. Эта работа Бобынина вышла одновре-
менно и на русском языке под заглавием: «Элементарная
геометрия и её деятели во второй половине XVIII века».
Напомним также, что его пору принадлежит множе-
ство статей и заметок в энциклопедическом словаре
Брокгауза и Ефрона, в частности, статья «Математика»
(т. 36, стр. 781 —795) и раздел «Математика в России» (т. 55,
стр. 724—728). Ряд больших статей Бобынина помещён
в в «Русском биографическом словаре».
Отмоченные выше черты материалмстнчса ого подхода
к истории математики и прогрессивные взгляды, харак-
терные для последних лет жизни Бобынина, указы-
вают на наличие коренного перелома в его воззрениях.
То, что Бобынин теперь ищет причины равнодушия к
пауке «широких слоёв образованного общества», скло-
нен делать социальные обобщения (см. выступление про-
тив Л. II. Толстого и лекцию «Древнейшая из женщин-
математиков», читанную им 30/Х1 1916 г. на Московских
высших женских курсах, в которой оп считает Ипатию
«мученицею науки, принесённой в жертву фанатизму
и изуверству невежественной черни нс только всем хрп-
< тнапством вообще, но и высшими ого представителями
в частности»),—всё это ставит Бобынина в число передо-
вых представителей русской интеллигенции. В трудное
время гражданской войны и разрухи оп продолжал ра-
ботать в Московском университете, и только смерть
25 ноября 1919 г. вывела его из строя.
ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ БОБЫНИН

То что в мировоззрении Бобынина действительно после
.q05 г. наметился перелом в сторону материалистических
оогрессп иных идеи, подтверждается сравнением его позд-
их научных работ с работами более раннего периода,
в которых он ещё часто выступал как представитель так
называемой «чистой науки», разделяя заблуждения п
ошибки большинства известных ему учёных-псториков.
Так, например, в работе «Периоды, направления и школы
в развитии наук математических», относящейся к 1886 г.,
Бобынин, выдвигая как определяющий момент проис-
хождение первых математических знании пз обществен-
ен практики .людей, вместе с тем высказывал совершенно
ошибочные мысли. Он видел причину своеобразия раз-
вития математики у различных пародов лишь в разли-
чии географической среды. В дальнейшем он доходит до
признания каких-то особых национальных наклонностей
к изучению того или другого раздела математики. Ана-
логичные ошибки оп допускал и в других работах, в част-
ности в статьях, опубликованных в энциклопедическом
словаре Брокгауза и Ефрона.
Ряд неправильных высказываний и оценок допущен
был Бобыниным в его статьях н заметках по истории ма-
тематики в России. Например, в «Очерках истории раз-
вития физико-математических знаний в России. XVII век»
он убедительно показывает своеобразие и выработанность
системы счёта л многообразие математических средств,
имевшихся в распоряжении авторов рукописей, дошед-
ших, кстати сказать, до нашего времени в очень малом
числе. Однако на стр. 67—69 этой работы оп сам проти-
воречит и основным выводам и приводимому им материалу,
высказывая мнение о низком якобы состоянии интеллек-
туальных средств, находившихся в распоряжении наших
арифметиков XVII в. Следует отметить и неверную оценку
Ьобыпппым в одной пз статей деятельности академика
। С. Е. Гурьева, являвшегося, как известно, крупным учё-
ным, выдающимся пропагандистом передовых математи-
ческих идем, достигшим крупных результатов в своей на-
чной, общественной и педагогической деятельности.
К Педагогические высказывания Бобынина проникнуты
О/1ной идеей: чтобы правильно поставить или хотя бы
23*
35б
К. А. РЫБНИКОВ
улучшить преподавание математики, необходимо знание
преподавателями в основных чертах истории математики
и введение в преподавание элементов её. Ila I Всеросспй
ском съезде преподавай елей математики (27/Х11 1911 г.—
3/1 1912 г.) в своей речи «Цели, формы и средства введе-
ния исторических элементов в курс математики средней
школы» он развивал идею создания историко-математи-
ческой хрестоматии, в которую «должны быть введены
наряду со статьямп историко-математического содержа-
ния также и удовлетворяющие условиям целесообразности
и доступности для учащихся отрывки произведений древ-
ней математической литературы». Н а страницах журнала
«Математическое образование» (№ 2 за 1914 г.) в статье
«Об указаниях, получаемых преподаванием математики от
её истории» оп писал, что основной причиной затруднений
при усвоении математики учащимися является «несоот-
ветствующее природе предмета ведение его преподавания»,
проистекающее от незнания преподавателями истории ма-
тематики. Па таких примерах, как введение в изучение
дробей, необходимость в геометрии пропедевтического
курса, он показал, что учителю необходимо знать
историю своего предмета и вводить исторические эле-
менты «в самый строп преподавания математики».
Внимательно и любовно следил Бобынин за всяким про-
явлением интереса к истории математики, всю жизнь со-
бирал памятники народной математики, тщательно сам
изучал все материалы, попадавшие ому в руки. Строго
и подробно разбирал оп все труды по истории математики,
выходившие как за границей, так и в России.
Научное наследие В. В. Бобынина велико. В настоя-
щем выпуске «Историко-математических исследований»
печатается подробная библиография ого трудов, состав-
ленная А. М. Лукомской. Свыше 500 написанных нм
научных статей, докладов, заметок нмоли очень большое
значение. Они будили интерес к проблемам истории мате-
матических паук, научно освещали и пропагандировали
достижения русской математики. Неисчерпаемое богатство
математических фактов, рассмотренных в трудах Бооы-
ицна, несмотря на исторически обусловленные недостатки
их анализа, по сей день дают богатую пищу уму г,сЯ"
ВИКТОР ВИКТОРОВИЧ БОБЫНИН
357
кОго интересующегося историей математики, особенно
отечественной.
Известность и научный авторитет Бобынина, возра-
ставшие в течение всей его жизни, по изменили, однако,
его бесправного положения в «официальной» универси-
тетской науке царского времени: 35 лет приват-доцент
р В. Бобынин читал в Московском университете необя-
зательный курс лекций во истории математических паук;
кафедр по истории математики в то время нс существо-
вало.
Заслуги В. В. Бобынина были оценены по достоин
ству лишь после Великой Октябрьской социалистиче-
ской революции. Он стал профессором Московского уни-
верситета. Советское правительство, учитывая его заслу-
ги и исключительную ценность собранной им библиотеки
и коллекции рукописей, выдало ому охранную грамоту.
Наркомпрос РСФСР поручил Бобынину написание од-
нотомной «Истории русской математики» и трёхтомной
«Всеобщей истории математики». Работу В. В. Бобынина
над этими сочинениями прервала смерть, последовавшая
25 ноября 1919 года.
Научное наследство В. В. Бобынина—прогрессивно
мыслящего учёного, преданного народу, родине, науке,
создававшего историю русской математики,—представ-
ляет выдающийся вклад в историю русской науки.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
опубликованных в печати работ В. В. Бобынина и био-
графических материалов о его жизни и деятельности 1)
Л. Л/. Л уколе на я
1. Печатные работы В. В. Бобынина
1874
I. Определение числа жителей и числа детей школьною воз
раста в Нижегородской губернии для 1873 года.—Семья и школа,
1874, отчёт о деятельности Общ. расиростр. гран, в Инжегор. губ.
с 1 ноября 1873 г. по 1 ноября 1874 г., стр. 79—82.
2. Таблицы смертности и народонаселения для Нижегород
ской губернии.—Вкн.: Сборник в память Первого русского стати
стического съезда 1870 г., ныи. 2, Нижшш-Понгород, 1875,
стр. 397—453, с 7 табл.
То же. Отд. оттиск, Нвжппй-Иовгород, 1875.
1) Указатель состоит из двух разделов: списка опубликованных в пе-
чати работ В. В. Бобынина и перечня статей о его жизни и дсятелв-
ности.
Описания работ В. В. Бобынина расположены в хронологическом
порядке под тем годом, когда они появились в печати впервые. Внутри
каждого года сперва даны описания научных работ, далее следуют некро-
логи, кратки • биографии, опубликованные в словарях, рецензии, рефераты,
переводы, библиографические указатели. Описания работ, написанных на
иностранных языках, помешены после всех описаний работ на русском
языке. Рефераты и переводы работ В. В. Бобынина приводятся после основ-
ного описания.
Для составления указателя просмотрены следующие материалы: 1. 'Жур-
нал «Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем» (188э—
1898) и «Физико-математические науки в ходе их развития», 2-я серия
(1899—1904). 2. От>ёгы о состоянии и действиях Московского университета
(1882—1916). 3. Физико-математический ежегодник (1900—1902). 4. В1’П?'
theka mathematika, nouvelle serie, Stockholm, т. I—XIII (1887— 18J~>
5. «Enseignement math£matique», Paris (1903, 1908—1917).
Перечисленные в «Указателе» книги, работы, напечатанные в словаря*’
сборниках и журналах, и рецензии, опубликованные в журналах, описан
непосредственно по оригиналам. Только несколько статей в журнал
«Enseignement mathematiqae» не удалось посмотреть из-за отсутстви
в распоряжении составителя полного комплекта этого журнала. Эти ст.
тьи отмечены знаком •.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ГКАЗЛТЕЛЬ
359
1876
3 [Сообщение относительно метеорологических наблюдений
остояния их в J-Гижпем-Новгороде].—Нижегородские губерп-
11 пр ведомости, 1876. Aii 41, заседание Нижегородского губери-
- го статистического комитета 8 октября 1876 года, стр. 382—383.
сК° Sur Г oscillation do la mi-novembre, observer a Nigni—
kt ,-nnrod —Comptes rend us de 1’Acad. des sciences. Paris, 1876,
tN0'LgXXXII, pp. 1108-1111.
1877
5. Климат Нижегородской губернии.—Нижегородский
сборник, 1877, т. VI, стр. 255—357, с табл, и граф.
То же. Отд. оттиск, вып. 1, 1877, 91 стр., с табл, и граф.
6. Об анализе и синтезе.—Жури. Мин. нар. просвощ., 187/,
12, стр. 174—207.
1879
7. Происхождение и первоначальное развитие письменного
счисления.—Матом, листок, М., 1879, т. I, стр. 129—166.
1881—1882
8. Математика древних египтян (по папирусу Рипда).—Матем.
листок, М., 1881, А» 1, приложение, стр. 1 -32; Aj 2, стр. 33—64;
№ 3, стр. 65—96; А» 4—5—6, стр. 97 144; 1881—1882. А. 7—8- 9,
стр. 145—176.
Рец.: Старков А., К истории алгебраического обозначе-
ния в связи с развитием азбучной и музыкальной письмен
пости.—Зап. Матом, отд. Новорос. общ. естествозп., 1886,
т. VII, стр. 63—64.
9. О собирании памятников народной математики.—Матом
листок, М., 1881 — 1882, А^ 7—8—9, стр. 166—168.
1883
10. Приемы официального землемерия в России XVII столе-
тия.—В кн.: Протоколы VII Съезда русск. естественен, и врачей.
Одесса, 1883, проток, засед. матом, секции 26 авг. 1883 г., стр. 3—4
(Разд, пагинация).
Краткое изложение доклада.
1884
2». 11. Состояние математических знаний в России до XVI века.—
^1пн- наР- просвет., 1884, ч. 232, апрель, отд. II,
СТР- 183—209,
360
A. M. ЛУКОМСКАЯ
1885
12. Деятельность Парижской Академии наук в отпотеви и
учреждённых при пен премий за работы в области физико-матема-
тических наук. Физ.-матом, науки, отд. научн. нов., крцт
и бпблиогр., 1885, т. I, стр. 1—7, 33—45.
1. Назначение в 1884 году тем для соискания премии ца
1885 год. 2. Присуждение премий на 1883 год. Чистая
математика. Механика. Астрономия. Физика.
13. Деятельность русских учёных обществ в отношении
физико-математических наук в 1884 году.—Физ.-матом, науки,
отд. научн. нов., крпт. и библиогр., 1885, т. I.
Русское физико-химическое общество (стр. 113—126
145—151, 161—172, 196—204), Московское общество испы-
тателен природы (стр. 209—214), Киевское общество есте-
ствоиспытателей (стр. 214—216), Московское математиче-
ское общество (стр. 231—243, 264—269), Математическое
общество при Харьковском университете (стр. 269—281)
Секция физико-математических наук Общества естество-
испытателей при Казанском университете (стр. 289—309).
14. Деятельность Физико-математического отделения Петер-
бургской Академии наук в 1884 г.—Фпз.-матем. науки, отд. научи,
нов., Крит, и бпблиогр., 1885, т. I, стр. 66—76.
15. Забытое великое событие. [К 200-летию со дня появления
в Acta Eruditorum (Lips. 1684. Oct.) статьи Лейбница, посвящённой
первому изложению основных начал высшего анализа].—Фпз.-
матем.’пауки, отд. научн. нов., крпт. и бпблиогр., 1885, т. I,
стр. 65.
16. Литература физико-математических наук в России
в 1884 году. 1. Непериодическая литература.—Фпз.-матем. пауки,
отд. научн’. нов., Крит, и бпблиогр., 1885, т. I, стр. 24—29.
Обозрение состояния физико-математических паук
в России в 1884 году. (Не закончено.)
17. Опыты математического изложения логики.—Фпз.-матем.
науки, отд. научн. ст., 1885—1886.
Работы Буля (т. I, стр. 33—48, 157—170).
Сочинение Роберта Грассмана (т. I, стр. 261—272, 414—422).
То же. Отд. оттиск, вып. 1, М., 1886, 49 стр.
Сочинения Эрнста Шродера (т. II, стр. 65—72, 178—192,
438—458).
То же. Отд. оттиск, вып. 2, М., 1894, 44 стр.
Рец.: Труды В. В. Бобынина по истории математики.-
Журн. Мпн. нар. просвсщ., 1887, № 4, Крит, п бпблиогр-
стр. 337—342. Подписано: К. С—ский.
18. Очерки истории развития физико-математических знашп
в России.—Фпз.-матем. науки, отд. научн. ст., 1885—-1887.
1. Рукописная математическая литература XXII ст0'
лстпя (1885, т. I, стр. 17—32, 122—140). w
2. Источники нашей рукописной математической лит
ратуры XVII столетия (1885, т. I, стр. 217—225).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
361
3. Характеристические черты и особенности содержания
арифметических рукописей XVII столетия (1885, т. I, стр.225—
239, 327—393. Приложение, 1885, т. I, стр. 295—298).
4. Астрономия в наших математических рукописях XVII
столетия. С приложением таблицы чертежей (1886, т. II,
сто. 19—34, Г14—145). Геометрия в России в XVII столетии
(1886, т. II, стр. 209—210).
5. Землемерие (1886, т. II, стр. 210—264, 289—348).
6. Практическая стереометрия (1887, т. III, стр. 40—
78).
Эпоха государственного содействия развитию научных знаний.—
физ.-матем. науки, 1888—1892, т. VII—XI.
Введение (1888, т. VII, стр. 27—39).
1. Первые попытки учреждения высшпх школ п печа-
тания книг физико-математического содержания (1888, т. VII,
стр. 39—55, 113—131).
2. Учебная п литературная деятельность, сосредоточив-
шаяся около Школы математических и навигапких наук
(1888, т. VII, стр. 192—210: 1890, т. IX, стр. 23—47). «Ариф-
метика» Магницкого (1888, т. VII, стр. 267—308: 1889, т. VIII,
стр. 28—47,106—145). Тригонометрия (1891, т. X, стр. 33—37,
65—77). Астрономические сведения (1892, т. XI, стр. 27—30,
67—77). Навигация (1892, т. XI, стр. 78—83, 200—237).
То же. Отд. оттиск, М., 1886—1893.
Т. I. Вып. 1. XVII столетие. 1886. [4], 123 стр.
Т. I. Вып. 2. 1893. [4], 162, 39 стр. с черт., 1 л. черт.
Рец.: 1. Вестник Европы, 1896, № 10, стр. 847—849.
Подписано: А. Н. [Пыпин]. 2. Журн. Мин. пар. просвещ.,
1887, № 4, стр. 387—342. Подписано: К. С—скпй. 3. Русская
мысль, 1886, № 10, стр. 225—226. 4. Русская мысль,
1895, № 5, бпблиогр. отд., стр. 246. 5. История, вестник,
1886, т. XXVI, № 12, стр. 647. 6. Библиограф, 1886, № 10,
стр. 142—143. Подписано: И. Ш.
19. Происхождение, развитие и современное состояние истории
математики.—Физ.-матем. науки, отд. научн. ст., 1885, т. I,
стр. 195—216, 299—326.
То же. Отд. оттиск, М., 1886, 49 стр.
Рец.: 1. Труды В. В. Бобынина по истории математики.—
Журн. Мин. нар. просвещ., 1887, № 4, крпт. п бпблиогр.,
стр. 337—342. Подписало: К. С—скпй. 2. Новь, 1886, T.XII,
№ 24, мозаика, стр. 693.
20. Работы по чистой математике, читанные в заседаниях
Парижской Академии наук в течение второй половины 1884 года.—
Физ.-матем. пауки, отд. научи, нов., крит. и билцогр., 1885, т. I,
стр. 8—16, 45—57, 93-96.
Математический анализ. Алгебра. Гсомстрпя.
21. Философское, научное и педагогическое значение псторпи
математики. — Фпз.-матем. науки, отд. научи, ст., 1885, т. I,
СТР- 1—16, 97-121.
То же. Отд. оттиск, М., 1886. [2]. 40 стр.
362
A. M. ЛУКОМСКАЯ
22. Французское математическое общество и его деятельность
в 1884 году.—Физ.-матем. паукп, отд. научи, нов., Крит, и бцб!
лиогр., 1885, т. I, стр. 81—93.
23. 11. Дезэн. (Некролог.)—Там же, стр. 172—179.
24. М. А. Ковальский. (Некролог.)—Там же, стр. 20—23
25. Ф. Дю-Моисель. (Некролог.)—Там же, стр. 16—20.
26. Е. Роллан. (Некролог.)- Там же, стр. 126—128.
27. А. Ссрре. (Некролог.)—Там же, стр. 97—103.
28. Г. Э. Треска. (Некролог.)—Там же, стр. 282—284.
29. [Рецензия]. Журнал элементарной математики, изд.
В. И. Ермаковым, т. I, 1884—1885 гг., Киев, . 376 стр. Прило-
жение IV, 43 стр.—Там же, стр. 179—185, 243—252, 310—325.
30. [Рецензия]. Лобачевский II. II., Полное собрание сочине-
ний по геометрии, т. I, Казань. 1883, VIII, 550 стр., 14 л. черте-
жей.—Там же, стр. 76—78, 104—109.
31. [Рецензия]. Кготап К., Unsere Xalurkcnntiiiss. Beilrage
zu ein er Theorie der Matheinatik und Phvsik, К open h agon, 1883
XVII, 458 S. Там же, стр. 57 61
32. [Рецензия]. Wundt W., Logik. II Band. Methoden lei ire.
Zweiter Abschnitt. Von dcr Logik der Matheinatik. Stuttgart. 1883.
SS. 74—219.—Там же, стр. 23—24.
33. [Реферат]. Новая теория происхождения мира. Сост. по
соч. Фэ (Faye) «Sur I’origincdu monde».—Физ.-матом, науки, отд.
научи, ст., 1885, т. I, стр. 73—96.
То же. Отд. оттиск, М., 1885, 24 стр.
Рец.: Русская мысль, 1886, № 7, бпблиогр. отд.,
стр. 28—29.
34. [Реферат]. Происхождение солнечной системы по гипотезе
Фэ (Faye).—Русское богатство, 1885, т. I, стр. 673—675.
Без подписи.
35. [Реферат]. Развитие вселенной.- Русское богатство,
1885, т. I, стр. 203—106.
Без подписи.
36. [Реферат]. Согласие геологических эпох с эпохами космо-
гоническими. (Новое добавление к теории происхождения мира
Фэ (Faye.).—Физ.-матем. науки, отд. научи, ст., 1885, т. I.
стр. 187—194.
37. [Перевод]. Штурм Р., Шродер Е. и Зойке Л.. Герман
Грассман. Его жизнь и учёно-литературная деятельность. (Био-
графический очерк.)—Физ.-матем. науки, отд. научи, ст., 1885.
т. I, стр. 141—156, 240—260, 394—413. Бпблиогр.: Сочинения
Германа Грассмана (стр. 52—56).
То же. Отд. оттиск, М., 1886, 56 стр. (Биографии знаменитых
математиков XIX столетия. Вып. 1.)
Рец.: Труды В. В. Бобынина по истории математики-"'
Журн. Мин. нар. просвсщ., 1887, № 4, стр. 337—342. Под-
писано: К. С—ский.
38. [Редактирование]. Физпко-математпческне науки к 11
настоящем п прошедшем. Журнал чистой и прикладной матема-
тики, астрономии и физики, издаваемый В. В. Бобыниным.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 363
До 1888 г. журнал состоял пз двух независимых отделов:
научных статен и научных новостей, критики и библиографии
с отдельной пагинацией и отдельными сроками выхода.
С 1888 до 1899 г. размеры журнала былп уменьшены. Оба
отдела были соединены в один с опущением в программе
прежнего отдела научных новостей, критики и библиогра-
фии трёх разделов: известий о деятельности академий, учё-
ных обществ и съездов в отношении к физнко-математпче
скпм наукам, известий о новых открытиях и исследованиях
в области физико-математических паук, некрологов учёных.
С 1899 ио 1904 г. выходила вторая серия журнала под на-
званием «Физико-математические науки в ходе пх развития.
Журнал истории, философии и библиографии физико-мате-
матических наук».
Рец.:—Жури. Мни. нар. иросвещ., 1885, ч. 242, ноябрь,
Крит, и библиогр., стр. 86—91: 1886, ч. 247, октябрь, крит. и
библиогр., стр. 345—353. Подписано: А. Д.П.[А. Д. Путята.
39. Библиографический указатель вышедших в России в тече-
ние 1884 года книг но физико-математическим наукам.—Фпз.-
матем. науки, отд. научи, нов., крит. и библиогр., 1885, т. I,
стр. 30—32, 62—64, 79-80, 112, 143 144, 189—192.
Перечень разделов: Чистая математика. Геометрия.
Механика. Астрономия. Физика. Физическая география
и метеорология. Философия, история и библиография
физико-математических наук. Учебники, задачники и сочи
нения по элементарному и среднеучебному курсам.
40. Библиографический указатель русских, французских и
немецких кппг по физико-математическим паукам, вышедших в те-
чение декабря 1884 года, января—февраля 1885 года.—Там же.
стр. 110—111, 139—142, 159—160, 207—208, 222—224, 253—255,
Перечень разделов: Чистая математика. Геометрия,
Механика. Астрономия. Геодезия и топография. Физика.
Физическая география и метеорология. Философия, исто-
рия и библиография физико-математических наук. Прило-
жения физико-математических наук. Издания смешанного
содержания. Учебники, задачники* и сочинения по элемен-
тарному и средпеучебиому курсам.
41. Библиографический указатель книг: русских (с марта
по сентябрь 1885), французских (с марта по май 1885) и немецких
(с 16 февраля по 30 апреля 1885).—Там же, стр. 255—256, 285—288,
*>26—328; т. II, стр. 30—32, 46—48.
Перечень разделов—см. .У 40.
1886
/о биографии знаменитых математиков XIX столетия. См. ДЬ 37,
57, 58, 77.
42. Деятельность физико-математического отделения Петер
^УРгской Академии наук в 1884 и 1885 годах. Физ.-ыатем. пауки.
364
A. M. ЛУКОМСКЛЯ
отд. научи, нов., крпт. и бпблиогр., 1886, т. II, стр. 117—19^
172—179, 229—235.
43. Парижская Академия паук в се отношениях к физико-
математическим наукам в 1885 году.—Там же, стр. 1—8, 33—-и»
47—64, 97—110, 145—161, 193—228.
Личный состав Академии по отделению математических
наук. Издательская деятельность Академии. Присуждений
премий и назначение конкурсов на новые труды по чистой
математике. Прикладная математика. Астрономия. Физика
Физика земного шара. Метеорология.
44. Периоды, направления и школы в развитии наук математи-
ческих.—Физ.-матем. науки, отд. научн. ст., 1886, т. II, стр. 1—
То же. Отд. оттиск, см. Л» 62.
45. Происхождение и первоначальное развитие счисления -
Там же, стр. 97—113, 193—208.
То же. Отд. оттиск, М., 1886, 49 стр.
46. Современное состояние метеорологических наблюдении
в России. (Отчёт по Главной физической обсерватории за 1883
и 1884 годы. Представлен Физико-математическому отделению
Академии наук 9 апреля 1885 г. директором г. Бильдом, СПб.,
1886.)—Физ.-матем. науки, отд. научн. нов., крпт. и бпблиогр.,
1886, т. II, стр. 69—72, 86—94.
47. Физико-математический класс Берлинской Академии паук
п его деятельность в 1885 году.—Там же, стр. 111—116, 161—172.
Личный состав класса. Деятслы.озть по содействию
учёным предприятиям. Учёные труды членов и корреспон-
дентов Академии и посторонних лиц по физико-математиче-
ским наукам, доложенные в заседаниях общих и физико-
математического класса.
48. Философия математики но учению Гоёпс Вронского. -Физ.-
матем. науки, отд. научн. ст., 1886, т. II, стр. 73—96, 271—288,
394—437, с табл.
То же. Отд. оттиск под загл.: Гоёпс Вронский и его учение
о философии математики, М., 1894, 84 стр. (Биографии знамени-
тых математиков XIX столетня. Вып. 3.)
Среди текста списки сочинений Г. Вронского.
49. Барре де Сэн-Венан. (Некролог.)—Физ.-матем. науки, отд.
научн. нов., крпт. п бпблиогр., 1886, т. II, стр. 126—133.
50. Ж. К. Буке. (Некролог.)—Там же, стр. 9—11.
51. А. 10. Давидов. (Некролог.)—Там же, стр. 12—22, 39—43,
64—69.
52. Ж. Жамси. (Некролог.)—Там же, стр. 81—86.
53. [Рецензия.] История древней математики в английской
литературе. Gow. J. A short history of grcck mathematics, Cam-
bridge, 1884, XVI, 323 стр.—Там же, Стр. 133—137.
54. [Рецензия.] Новый орган истории п библиографии м»1
магических наук. (Bibliotheca mathematica redige par G 'u
strom. Stockholm, 1884, 1885.)—Там же, стр. 179—186. qp.
55. [Рецензия.] Новый шаг в развитии логарифм» ц
ских таблиц. Sang, A new table of seven—place logarithms ol
библиографический указатель 365
. rq, continuously up to 200 000, London, 1883.—Там же,
numb^s_74
стр- [рецензия.] Czuber E., Gcometrisclic 44’ahrscheinlichkeiten
Mittehvertlie, Leipzig, 1884, A II, 244 S.—Там же, стр. 43—45.
UI1C1 57 [Перевод.] Бернгард Ркманп. Биографический очерк,
чпленпый Р. Дедекиндом [для полного собрания сочинений
соСп\.,тпипа. изданного в 1876 г.].—Физ.-матем. науки, отд. научи.
Б'Р1886. т- П, стр. 35—46, 146—158.
сТ ’ То я’е Отд. ОТТ1,СК’ 1894. (Биографии знаменитых мате-
«атпков XIX столетия. Вып. 2 )
м Список сочинении Б. Риманиа составлен в хронологиче-
ском порядке по собранию его сочинений.
58 [Перевод.] Карл Густав Яков Якоби. (Биография, составл.
Пежюнь—Дирихле.)—Там* же, стр. 265—270, 349—393.
V То же. ОтД. оттиск. М., 1894. (Биографии знаменитых мате-
матиков XIX столетня. Вып. 2. Бернгард Рпмаии, стр. 1—24.
Карл Густав Яков Якоби, стр. 25—74.)
1 Научная деятельность Якоби. Каталог лекций, читан-
ных Якоби в Берлинском и Кёнигсбергском университетах.
Сочинения Якоби в систематическом порядке.
59. Библиографический указатель книг: русских (с 1 сентября
1885 г.), французских и немецких (с 1 мая 1885 г.), вышедших по 1
января 1886 года.—Физ.-матем. науки, отд. научи, нов., крпт. и бпб-
лпогр., 1886, т. II, стр. 75-80, 95—96, 139—144, 187—192, 236—252.
Перечень разделов см. Да 40.
60. Русская физико-математическая библиография. Указатель
книг и журнальных статей но физико-математическим паукам,
вышедших в России с начала книгопечатания до последнего вре-
мени. Приложение к жури.: «Физ.-матем. пауки», 1886—1897.
Т. I. Вып. 1. Период месяцесловов. 1587—1725.
(1886, т. II, приложение, стр. 1—102.)
Т. I. Вып. 2. Период возникновения и первоначального
развития научной журналистики. 1726—1745. (1886,
т. II, приложение, стр. 1—116.)
Т. I. Вып. 3. 1746—1763. (1887, т. III, приложение, [2],
162 стр.)
Т. II. Вып. 1. 1764—1774. (1888, т. 14 . приложение, [2],
107 стр.)
Т. II. Вып. 2. 1775—1786. (1889, т. 4 III, приложе-
ние, [2], 160 стр.)
Т. II. Вып. 3. 1787—1791. (1890, т. IX, приложение, [2],
162 стр.)
Т. II. Выи. 4. 1792—1799. (1891, т. X, приложение, [2],
272 стр.)
Т. III. Вып. 1. 1800—1805. (1892, т. XI, приложе-
ние, [2], 172 стр.)
Т. III. Вып. 2. 1806—1809. (1893—1894, т. XII, при-
ложение, [2], 170 стр.)
Т. Ш. Вып. 3. 1810—1816. (1895—1897, т. XIII, прп-
юженпе, [2], ГУ, 248 стр.)
36ft
A. 31. ЛУКОМСКАЯ
To же. Отдельное издание M., 1886—1900.
Т. I. Вып. 1. Период месяцесловов. 1587—1720. д»
1886, 102 стр.
Т. I. Выи. 2. Период возникновения и первоначального
развития научной журналистики. М. 1889. 1726—1713
115, [1]. стр.
Т. I. Вып. 3. М. 1890. 1746—1763. 161, [1], стр
Т. II. Вып. 1. М. 1889. 1764- 1774. 107, [1], стр.
Т. II. Вып. 2. М. 1890. 1775—1786. 159, [1], стр
Т. II. Выи. 3. М. J892. 1787 179]. 161, [1], стр
Т. II. Выи. 4. М 1893. 1792- 1799. 271, [1] стр.
Т. III. Вып. 1. М. 1895. 1800—1805. 171, [1]. стр
Т. III. Вып. 2. М. 1895. 1806—1808. 170 стр.
Т. III. Вып. 3. М. 1900. 1810—1816. 248 стр.
Кроме систематических указателей к каждому тому
к первым двум томам приложены: 1. Указатель сочинений
и переводов авторов, умерших .пли прекративших свои»
деятельность в России в течение периода времени, обнимае-
мого первым томом «Русской физико-математической биб-
лиографии» (т. I, вып. 3, стр. 131—161). 2. Указатель
сочинений н переводов авторов, умерших пли прекративших
свою деятельность в России в течение периода времени,
обнимаемого вторым томом «Русской физико-математиче-
ской библиографии» (т. II, вып. 4, стр. 149—243). 3. Число-
вые данные первых двух томов «Русской физико-математи-
ческой библиографии» (т. II, вып. 4, стр. 244—247). 4. Све-
дения о периодических изданиях XVIII столетня, дававших
у себя место статьям физико-математического содержания
(т. II, вып. 4, стр. 248—266).
Рец.: 1. Голицын Б. Б,—Пзв. Акад, наук, 5-л серия,
1895, т. III, Д« 3, отчёт о 6-мнрпсужд. премии митрополита
Макария, стр. 243—245; см. также: отчёт о 6-м присуждении
Академией наук премии митрополита Макария в 1895 г.,
СПб., 1897, стр. 127—134. 2. Русская мысль, 1889, ноябрь
библиогр. отд., стр. 485—486. 3. Русская мысль, 1890,
апрель, библиогр. отд., стр. 173—175. 4. Новь, 1886, т. IX-
А» 12, мозаика, стр. 640. 5. Моск, ведомости, 1885, Д’ 42,
стр. 4. 6. Библиографические материалы. Опись... библио-
теки 11. II. Смирнова, СПб., 1898, стр. 315—316.
Ответ В. В. Бобынина на рецензию Б. Б. Голицына.—
Бобынин В. В., Русская физико-математическая библио-
графия. т. III, вып. 3, М., 1900, предисловие, стр. II—IHJ
1887
61. Деятельность физико-математического отделения Петер-
бургской Академии паук в 1886 году.—Физ.-матом, пауки, отЛ
научи, нов., крит. и библиогр., 1887, т. III, стр. 65—69. 114— !-•
135-140, 159—168, 183—188.
библиографически» указатель 367
ко Исследования но истории математики. 1 -3. М., 1887—1896.
1-' 1. Периоды, направления и школы в развитии паук
математических, 1887, 18 стр.
2. Очерки истории донаучного периода в развитии
арифметики, 1896, 2, 30 стр.
3. Очерки истории развития математических наук
на Западе. 1896, 129 стр., с черт.
63 Огюстен Луи Копш. Очерк его жизни и деятельности.—
Фпз.-матем. пауки', отд. научи, ст., 1887, т. III, стр. 79—96,
128—192.
64. Очерки истории развития математических паук на Западе.
__фцз -матом, науки, отд. научи, ст., 1887—1889, т. Ill -VIII.
Введение (т. III, стр.‘16 21).
Период усвоения римских знаний.
1. Первоначальные источники средневековых математи-
ческих знаний (1887, т. III, стр. 21 39, Ш- 116).
2. Начало науко-охраиптельной деятельности средне-
вековых монастырей (1887, т. Ш, стр. 117—122).
Период усвоения арабской науки.
1. Состояние арабской математики в эпоху её влияния
на развитие математических знаний в Европе (1888, т. Л IТ,
стр. 1—26, 97—112, 177- 191, 257—266).
2. Латинские переводы произведений арабской мате-
матической литературы (1889, т. А III, стр. 1 27).
3. Леонард Пизанский и его труды (1889, т. \ III, стр.
89—105, 185—208).
То же. Отд. оттиск, см. № 62.
65. Парижская Академия наук’ в сё отношениях к фи-
зико-математическим паукам в 1886 году. Физ.-матем. науки,
отд. научи. нов., крпт. и бпблиогр., 1887, т. III, стр. 1—4,
33-38,44 -64,81 -89,97 114, 130- 134, 145—159, 177 185,
193—222.
Изменения в личном составе отделения математических
наук. Издательская деятельность Академии. Присуждение
премий 1886 года. Темы на премии 1888 года. Учёные труды
членов и корреспондентов Академии и посторонних лип,
доложенные в заседаниях. Чистая математика. Приклад-
ная математика. Астрономия. Физика. Физика земного
шара. .Метеорология.
66. Первоначальное развитие действий над числами.—Фпз.-
матем. науки, отд. паучп. ст., 1887, т. Ill, стр. 97—ПО.
67. Первоначальное развитие систем счисления.—Там же
стр. 1-_15.
К 68. Т. Опиольцер. (Некролог.)—Физ.-матем. пауки, отд
чаучн. нов., крпт. и бпблиогр., 1887, т. III, стр. 5—15.
Краткие биографические сведения. Перечень печатных
трудов Т. Опиольцера в хронологическом порядке (стр. 7—15).
. 69. [Рецензия ] Византийский источник космографических
наний в Древней России. Книга глаголемая Козмы Ппдикоплова.—
же, стр. 90—94.
A. M. ЛУКОМСКАЯ
70. [Рецензия.] Записки Математического отделения Ново-
российского общества естествоиспытателей, т. VII, Одесса, 1886
153, 45, 182 стр., 4 карты.—Там же, стр. 15—31, 38—46, 70—78’
71. [Рецензия.] Лобачевский II. П., Полное собранно сочпио-
ний по геометрии, т. II, Казань, 1886, 8, 180, XX стр., 4 л. чорт._
Там же, стр. 122—126.
72. [Рецензия.] Новые сочинения профессора В. II. Ермакова:
1. Теория векторов на плоскости, Киев, 1887, VIII, 88 стр. 2.
Дифференциальные уравнения первого порядка с двумя перемен-
ными, Киев, 1887, И, 174, II стр.—Там же, стр. 140—141.
73. [Рецензия.] Попытка составления многотомной «Истории
математики» в русской литературе. Ващенко-Захарченко М. Е.,
История математики. Исторический очерк развития геометрии’
1. Киев, 1883, VI, 684 стр.—Там же, стр. 169—175.
То же.—Bibliotheca malhemalica, Stockholm, nouvellc serie
1887, t. I, pp. 114—116.
74. [Рецензия.] Bibliotheca mathematica redigeo par Gustaf
Encstrom, Stockholm, 1886, IV, 244 pp.—Там же, стр. 223.
75. Библиографический указатель русских (с 1 января 1886 г.) и
немецких (с 1 ноября 1885 г.) книг, вышедших в течение 1886 года.
—Там же, стр. 32, 47—48,79—80,95—96. Продолжение под загл.:
Библиографический указатель книг: русских (с 1 января 1886 г.),
французских и немецких (с 1 ноября 1885 г.), вышедших в те-
чение 1886 года.—Там же, стр. 142—144, 176, 189—192, 224—256.
Перечень разделов см. № 40.
76. Библиографический указатель французских книг, вышед-
ших в течение 1886 года.—Там же, стр. 127—128.
1888
77. Карл Фридрих Гаусс. Очерк его жизни и деятельности.
С приложением списка сочинений.—Физ.-матом, пауки, 1888,
т. VII, стр. 56—75, 132—152, 211—228, 309—344.
То же. Отд. оттиск, М., 1889, 92 стр. (Биографии знаменитых
математиков XIX столетия. Вып. 5.)
Список работ Гаусса составлен по собранию его сочи-
нений, изданному Геттингенским обществом наук.
78. Обозрение историке-математических журналов 1887 года.
Bullelino di bibliografia е di storia delle scicnze matematiche
e. fisiche publicato da B. Boncompagni, т. XX, Roma, 1887, 574 pp —
Bibliotheca mathematica. Journal d’histoirc des malhematiqucs
publie par Gustaf Encstrom. Nouvellc serie, I, Stockholm, 188/,
124 pp.—Там же, стр. 243—249, 375—378.
79. [Рецензия.] Юбилейное издание в память учёной деятель-
ности Ньютона. (Двухсотлетие памяти Ньютона. 1687—188/J
Речи, читанные Н. Е. Жуковским, А. Г. Столетовым, В. К. ИСР^'
ским и В. Я. Цпнгером, М., 1888, 51 стр.—Там же, стр. 86—89-
80. [Реферат.] Решение алгебраических уравнений электриче-
ством. [Изложение 4 сообщений Ф. Люка.]—Там же, стр. 153—1b—
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
369
ал [Перевод]. Шродер 3., Об алгорифмах и исчислениях.—
тлм же, стр. 76-85, 163-168, 229-242, 345-374.
1 82. Библиографический указатель русских (с 1 января 1887 г.)
немецких (с 1 декабря 1886 г.) книг, вышедших в течение 1887 г.,
, Жпанцузских книг, вышедших в течение 1887 г.—Там же,
Итп УО—96, 169—176, 250—256, 379—400.
ст* * Перечень разделов см. А» 40.
83. Каталог примерной учительской библиотеки для учителей
средних школ.—В кп.: Бобынин В. В. и Шишкин И. II., Опыт
описательных каталогов по математике и физике, М., 1888,
стр. 23—32. (Юбилейная выставка Общества поощрения трудолю-
бия в Москве, 1888, отдел учебный, общеобразовательный, избран-
ные библиотеки, № 7.) Аннотированный рекомендательный каталог.
84. De letudc sur 1’histoire des mathemat iques en Russie.—Bib-
liotheca mathematica, Stockholm, nouvelle serie, 1888, t. II,
pp. 103-И0.
To же. Отд. оттиск, Stockholm, 1888.
Реф.: Jahrb. uber die Fortschr. der Mathem., Jg. 1888,
Bd. XX, SS. 2—3. Подписано: E. [G. Enestrom].
1889
85. Нильс Генрик Абель. Очерк его жизни и деятельности.—
Физ.-матем. науки, 1889, т. VIII, стр. 48—59, 146—154, 209—226,
249—268. Продолжение под загл.: «Пз биографии Нильса Ген-
рика Абеля».—Там же, 1891, т. X, стр. 1—9, 78—94; 1892, т. XI,
стр. 150—167, 177—199.
То же. Отд. оттиск. Под загл.: Нильс—Генрик Абель. Очерк
его жизни и деятельности. С приложением списка сочинений,
М., 1898, 120 стр. (Биографии знаменитых математиков XIX сто-
летия. Вып. 6.)
86, Вопрос о предмете математики.—-Физ.-матом, пауки, 1889,
т. VIII, стр. 60—66, 155—165.
87. Обозрение историко-математических журналов 1888 года.
Historisch-litcrarische Abtheilung dor Zcilschrift fur Matheinatik
und Physik herausgegeben unter der vcrantwortlichen Redaktion
von 0. Schlomlich, E. Kahl und M. Cantor. XXIII Jg. Leipzig,
1888, IV, 240 SS.—Bibliotheca mathematica. Journal d’histoire
des matematiques publie par Gustaf Enestrom, 1888, II, 124 pp.—
Там же, стр. 166—170, 227—232, 269—272.
88. Библиографический указатель русских (за 1888 г.), немец-
ких (1 декабря 1887—15 февраля 1889 г.) и французских (за 1887 г.
и 1888 г.) книг.—Там же, стр. 72—88, 233—248, 273—282.
Перечень разделов см. № 40.
89. Библиографический указатель французских книг, вышед-
ших в течение 1888 года.—Там же, стр. 171—184.
Перечень разделов см. А» 40.
.. 90. Quelqucs mots sur 1 histoirc des connaissances mathema-
Mques anterieures a la science.—Bibliotheca mathematica, Stockholm,
«ouvelle serie, 1889, t. Ill, pp. 104—108.
Историко-матем. исследования
з7о
А. М. ЛУКОМСКАЯ
То же. Отд. оттиск, Stockholm, 1889.
Рсф.: Jahrb. uber d. Fortschr. d. Mai hem., 1884
Bd. XXI, S. 42. Подписано: E. [G. Encstrom]
1890
91. Лекции истории математики. Донаучный период__________
Физ.-матем. науки, 1890—1897.
1. Введение (1890, т. IX, приложение, стр. 1—15)
2. Происхождение и первоначальное развитие словес-
ного счпсленпя (там же, стр. 15—40).
3. Первоначальные системы счисления (там
стр. 40—52).
4. Происхождение и первоначальное развитие письмен-
ного счисления (1891, т. X, приложение, стр. 49—72).
5 и 6. Направление и формы дальнейшего развития
письменного счисления (там же, стр. 72—114).
7. Развитие счёта. Пальцевый счёт. Письменный счёт
(1892, т. XI, приложение, стр. 119—161).
8. Развитие счёта: счисление дробей (1892, т. М
стр. 161—198).
9. Счпсленпе дробей во второй стадии своего развития
п в начале третьей (1896—1897, т. XIII, приложение,
стр. 199—262).
10. IIиструментальный счёт (1897, т. XIII, стр. 262—286).
92. Лекции истории математики. Новое время.—Фпз.-матем.
науки, 1890.
1 . Новые условия развития математических наук
в Западной Европе (1890, т. IX, стр. 1—17).
2 и 3. Движение математики в Италии (1890, т. IX,
стр. 17—61).
93. Несколько фактовпз истории донаучного состояния геомет-
рии.—В кп.: VIII Съезд русских естествоиспытателей и врачей,
проток, засед. секц. матем. 5 января 1890 г., СПб.,1890, стр.
53—54.
Краткое изложенпе доклада.
94. Обозрение историко-математических журналов 1889 года.
Bibliotheca mathematica. Journal d’histoire des mathematiques
publie par Gustaf Enestrom. Nouvelle serie, Stockholm, 1889, П,
124 pp.—Historisch-literarische Abtheilung der Zeitschrift fur
Mathematik und Physik. Herausgegeben unter der verantworlliclicn
Redaction von O. Schlomlich, E. Kahl und M. Cantor, Jg. XXXI' ,
Leipzig, 1889, SS. IV, 240.—Физ.-матем. науки, 1890, т. IX, стр.
77—83, 133—142.
95. Приложения истории математики к решению и постанови -
некоторых вопросов преподавания математических наук. Зиачеяп
и место в преподавании математики вопроса об её пользе.—Там /Ь ’
стр. 65—76, 97—132.
библиографический указатель 371
Реф.: Jalirb. iiber die Fortschr. dec Mathem., Jg. 1892,
I3d. XXIV, S. 77. Подписано: Wi [A. WassiliefJ.
Q6. Программа курса истории математики, читанного в 1888—
яо и 1889—1890 академических годах в Московском универси-
1°° —Там ясе, стр. 7—22.
ТСТ Тоже. Отд. оттиск. Под загл.: Программа курса истории мате-
тики, читаемого в^ Московском университете приват-доцентом
В Бобыниным. С приложением речи, посвящённой пзложе-
Ь’ю основных идей и принципов курса: «Современное состои-
те преподавания истории математики». Сообщение, прочитанное
HI заседании секции математики и астрономии VIII Съезда рус-
® itV естествоиспытателей и врачей 2 января 1890 г., М., 1890,
СКИА
го] 22 стр.
1 То же. Па франц, яз.—Bibliotheca mathematica, Stockholm,
nouvelle serie, 1891, pp. 79—88.
П To же. Отд. оттиск, Stockholm, -1892.
Реф.: Jahrb. uber die Fortschr. dor Mathem., Jg. 1891,
Bd. XXIII, S. 67. Подписано: E. [G. Enestromj.
97. Современное состояние преподавания истории математики.
Сообщение, прочитанное в заседании секции математики и астро-
номии VIII Съезда русских естествоиспытателей и врачей 2 января
1890 из.-матем. науки, 1890, т. IX, стр. 1—6. См. также № 9G.
Реф.: Труды VIII Съезда русских естествоиспытателей
и врачей, стр. 30.
98. [Рецензия.] Подчинённость случая закону. (Hoene Wronski.
Loi teleologique du hasard, Paris, 1890, 4, 85, 2 pp.). -Физ.-матем.
пауки, 1890, т. IX, стр. 142—145.
99. [Рецензия.] В. Стрекалов, Курс аналитической геометрии,
т. I, СПб., 1884.—Там же, 3-я стр. обложки.
100. Библиографический указатель французских книг, вышед-
ших в течение 1889 года.—Там ясс, стр. 146—168.
Перечень разделов см. № 40.
101. Библиографический указатель русских и немецких книг,
вышедших в 1889 году.—Там же, стр. 48—64, 84—96.
Перечень разделов см. № 40.
102. Sur le precede employe dans 1с papyrus de Rhind pour
reduire les fractions cn quantiemes.—Bibliotheca mathematica,
nouvelle serie, 1890, t. IV, pp. 109—112.
To же. Отд. оттиск, Stockholm, 1890.
Реф.: 1. Jalirb. iiber die Fortschr. d. Mathem., 1890, Bd.
XXII, S. 10. Подписано: E. [G. Encstrom]. 2. Физ.-матем.
науки, 1891, т. X, стр. 43. Подписано.: V. Bobynin.
1891
Обозрение псторпко-математическнх журналов 1890 года.
mlki-^eca malhcmatica. Journal d’histoirc des mathematiqnes
Vo/lle Par Gustaf Encstrom Nouvelle serie, Stockholm, 1890, I\ ,
* PP—Физ.-матем. пауки, 1891, т. X, стр. 10—19, 38—48.
24*
372
A. M. ЛУКОМСКАЯ
104. Библиографический указатель русских книг, вышедших
в 1890 году.—Там же, стр. 20—32.
Перечень разделов см. № 40.
105. Библиографический указатель немецких книг, вышед-
ших в 1890 году.—Там же, стр. 49—54, 95—103.
Перечень разделов см. № 40.
106. Библиографический указатель французских книг, вышед-
ших в течение 1891 года.—Там же, стр. 103—132; 1892, т. Х{
стр. 168—176, 238—248.
Перечень разделов см. № 40.
1892
107. Бернулли, Даниил, Яков и Николай.—В кн.: Венгеров С. А.,
Критико-биографический словарь русских писателей и учёных^
т. III, СПб., 1892, стр. 92—115. Библиогр.: 1. Список трудов
Д. Бернулли и литературы о его жизни и деятельности (стр. 108—
112). 2. Список трудов Я. Бернулли и литературы о его жизни
и деятельности (стр. 114—115).
108. Бессознательный счёт в его современных проявлениях
и в историческом прошлом.—Физ.-матем. науки, 1892, т. XI,
стр. 1—26, 49—66, 113—149.
109. Обозрение историко-математических журналов 1891 года.
Bibliotheca mathematica. Journal d’histoire des mathematiques
publie par Gustaf Enestrom. Nouvelle serie, Stockholm, 1891,
IV, 124 pp.—Historisch-literarische Abtheilung der Zeitschrift
fur Mathematik und Physik herausgegeben unter der verantwort-
lichen Redaktion von O. Schlomlich, E. Kahl und M. Cantor,
Jg. XXXVI, Leipzig, 1891, VI, 240 SS.—Там же, стр. 31—36,
84—88.
110. Библиографический указатель русских книг, вышедших
в 1891 году.—Там же, стр. 37—48.
Перечень разделов см. № 40.
111. Библиографический указатель немецких книг, вышед-
ших в 1891 году.—Там же, стр. 89—112.
Перечень разделов см. № 40.
112. Псторпя математики. Философия математики. [Указания
литературы.]—В кн.: Книга о книгах. Толковый указатель для
выбора книг по важнейшим отраслям знаний. Под ред. П. И. Ян-
жула, ч. 2, М., 1892, стр. 2—4.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1892 год., М., 1894, стр. 39—40.
ИЗ. Progres successes des sciences mathematiques chcz les
peuplcs de Г Europe.—Bibliotheca mathematica, nouvelle serie,
1892, t. VI, pp. 110—114.
To же. Отд. оттиск, Stockholm, 1892. . s
114. Sur 1’oeuvre des Grecs dans le developpementd es mat»1
matiques.—Bibliotheca mathematica. nouvelle serie, 1892, t.
pp. 1—2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИ» УКАЗАТЕЛЬ
373
1893
115. Изучение явлений умственного счёта, произведённое
Лаборатории физиологической психологии в Париже.—Физ.-
«атем. науки, 1893, г. XII, стр. 81-91, 193-211.
ь 116. Обозрение историко-математических журналов 1892 года.
Bibliotheca mathematica. Journal d’historic des mathematiques
nublie par Gustaf Enestrom. Nouvelle serie, Al, Stockholm, 1892,
IV 124 pp.—Historisch-literarische Abthcilung der Zcitschrift fur
Ma’thematik und Phy si k herausgegoben unter der verantwort lichen
Bcdaktion von 0. Schlomlich, E. Kahl und M. Cantor, Jg. XXXVI1,
т oinziff. 1892, VI, 240 SS.- Физ.-матем. науки, 1893, т. Nil,
63-68, 163-168, 257 264, 341-344.
117. Преподавание арифметики в индусских школах.—Там
же, стр. 58—62.
118. Цели п деятельность математико-астрономической и фи-
зической секций первых восьми съездов русских естествоиспы-
тателей.—Там же, стр. 4—57, 92—162, 212—256. См. также
№ 125 и 132.
119. Библиографический указатель русских книг, вышедших
в 1892 году.—Там же, стр. 69—80.
Перечень разделов см. As 40.
120. Библиографический указатель немецких книг, вышед-
ших в 1892 году.—Там же, стр. 169—192.
Перечень разделов см. As 40.
121. Sur la propagation des signes numeriques cuneiformcs.
Bibliotheca mathematica, nouvelle serie. 1893, t. VII, pp. 18—20.
1893—1894
122. Геометрическая зрительная память.—Физ.-матем. пауки,
1893—1894, т. XII, стр. 273—276.
По поводу книги A. Binet «Memoire visuelle geometri-
que»—Rev. philos., 1893, As 1, pp. 104—106.
123. Греко-египетский математический папирус из Акмпма.—
Там же, стр. 301—340.
124. Изучение явлений феноменального умственного счёта
Парижской Академией наук.—Там же, стр. 277—300.
1894
№ 48°ёНе ВРОНСК1,Й 11 010 Учсш,с 0 философии математики. См.
125. Обозрение деятельности секции математики и астрономии
а ЛСт существования съездов естествоиспытателей и врачей
России (1867—1892).—Дневник IX Съезда русских сстество-
спытателей и врачей, 1894, As 4, секция математики, стр. 1—2
Краткое изложение сообщения.
А. М. ЛУКОМСКАЯ
374
126. Первичные методы решения вопросов пз области паущ,
чисел. [Предварительное сообщение.]—Дневник IX съезда рур-
ских естествоиспытателей и врачей, А» 7, 10 января 1894 года
стр. 20 21.
То же. Под загл.: Sur les methodes primitives qui ons servi
a resoudre des questions arithmetiques.- Bibliotheca mathematica
Stockholm, nouvelle serie, 1894, t. VIII, pp. 55—60.
Реф.: Jahrb. uber die Fortschr. d. Mathem., Jg. 1893 u
1894, Bd. XXV, S. 65. Подписано: E. [G. Enestrom].
To же. [Подробное изложение.] (Пз лекций истории пре-
подавания математики.)—Журн. Мии. нар. просвещ., 1905,
ч. 358, апрель, отд. II, стр. 314—357.
Реф.: Jahrb. uber die Fortschr. d. Mathem., Jg.
1906, Bd. XXXVII, S. 39. Подписано: Si. [SintzowJ.
127. Виблпографпческпй указатель книг: русских за 1893 год
(но декабрь) и французских за первую половину 1892 года.—
Фпз.-матем. пауки, 1894, т. XII, стр. 265—272, 345—356.
Перечень разделов см. № 40.
1895
128. Обозрение историко-математических журналов 1893
и 1894 годов. Bibliotheca mathematica. Journal d ’histoire dos mathe-
matiques publie par Gustaf Enestrom. Nouvelle serie, VII, Stockholm,
1893, IV, 124 pp.; VIII, 1894, IV, 124 pp.—Физ.-матем. науки,
1895, т. XIII, стр. 25- 33.
129. [Рецензия.] Международная математическая библиогра-
фия (Index du Repertoire bibliographique des sciences matbemali-
ques. Paris. 1893, XIV, 80 pp.—Errata, additions et modifications
(Octobre 1894), Paris, 1894, 10 pp.—Repertoire bibliographique
des sciences mathematiques, 1 serie: Fiches 1 a 100, 1894).—
Там же, стр. 34—39.
Приведены постановления Международного конгресса
по библиографии математических наук.
1896
130. Математика.—В кн.: Энцпклоиед. словарь Брокгауза
и Ефрона, т. XVIII, СПб., 1896, стр. 781—795.
Предмет математики и её история.
131. Математика.—Там же, т. XXVIII, СПб., 1899, Россия,
XII, Русская паука, стр. 724—728.
История математики в России.
132. Математико-астрономическая и физическая секции первых
девяти съездов русских естествоиспытателей и врачей—их цели
и деятельность. Ч. 1, съезды 1, II, III и IV, М., 1896, 169 стр.
133. Мсзолабпй. [Прибор для механического построения двух
средних пропорциональных между двумя данными линиями. 1-~
В кн.: Энциклопед. словарь Брокгауза и Ефрона, т. XVIIIA, Снб.,
1896, стр. 942—943, с 1 рис.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 375
--------— ~ ~
4 34 Ыпнуции. [Римские двенадцатиричные дроби].—Там же,
XIX, СПб., 1896, стр. 401.
Т У 135. Первое, Основанное в России, математическое общество.—
физ.-матсм. науки, 1896, т. XIII, стр. 1—24, 49—67.
136. Мавролико, Франческо.—В кн.: Энциклопед. словарь
Брокгауза и Ефрона, т. XVIII, СПб., 1896, стр. 288—289.
F 137. Магнипкпй, Леонтий Филиппович.—Там же, стр. 327—328.
138. Майер. Фридрих-Христофор. [Математик и астроном,
русский академик.]—Там же, стр. 370.
139. Маклорен, Колин. [Математик.]—Там же, стр. 427—428.
140. Мальфаттн, Джан Франческо. [Математик.]—Там же,
т. XVIIIA, СПб., 1896^ стр. 507—508.
141. Манфреди, Габриель. [Математик.]—Там же, стр. 566.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1896 г., М., 1898, стр. 45—46.
142. Маскероии, Лоренцо. [Математик.]—Там же, стр. 717.
143. Мебиус, Август-Фердинанд. [Геометр и астроном.]—
Там же, стр. 844—850.
144. Менелай Александрийский. [Математик и астроном.]—
Там же, т. XIX, СПб., 1896, стр. 87—88.
145. Мснехм. [Математик.]—Там же, стр. 89.
146. Мере де.—Там же, стр. 112.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1896 год, М., 1898, стр. 45—46.
147. Мербеке Вильгельм. [Переводчик греческих кппг мате-
матического содержания.]—Там же, стр. 108.
148. Мерсеннь (Marin Mersenne). [Математик и философ.]—
Там же, стр. 135.
149. Мецпй. [Инженер и математик.]—Там же, стр. 221—222.
150. Мидорж, Клод. [Геометр.]—Там же, стр. 239.
151. Мирам Челеби. [Астроном и математик.]—Там же,
стр. 415—416.
152. Моавр, Абрагам де. [Математик.]—Там же, т. XIXА,
СПб., 1896, стр. 559—560.
153. Мойа, Жуан Перис де. [Математик.]—Там же, стр. 611.
154. Монде, Анри. [Счётчик.]—Там же, стр. 755—756.
155. Монж, Гаспар. [Геометр.]—Там же, стр. 771—772.
156. Монмор, Пьер де. [Математик.]—Там же, стр. 776—777.
157. Монткжла, Жан-Этьснп. [Математик.]—Там же,
стр. 813—814.
158. Морган, де Август. [Математик.]—Там же, стр. 832—833.
159. Библиографический указатель книг: французских (с де-
кабря 1894 года по 18 мая 1895) и немецких (с 1 декабря 1894 года
по 28 февраля 1895).—Физ.-матем. науки, 1896, т. XIII, стр.40—48.
Перечень разделов см. № 40.
160. Библиографический указатель французских и немецких
книг, вышедших в 1895 году.—Фпз.-матем. науки, 1896, т. ХШ,
2> стр. 68—76; 1897, т. XIII, № 3 стр. 81—84.
Перечень разделов см. № 40.
376
A. M. ЛУКОМ СКАЯ
161. Esquisse de I’liistoire du calcul fractionnaire.—Bibliotheca
mathematica, Stockholm, nouvelle serie, 1896, t. X, pp. 97—100
Bibliogr.: (8 N N).
162. Extraction des racincs carrees dans la Grece antique.—
Zeitschr. fur Matlnm., 1896, Jg. XLI, Hist. Abth., SS. 193—211
Реф.: Jahrb. uber die Fortschr. d. Mathem., Jg. 1896
Bd. XXVII, S. 31. Подписано.: Tn. [Trentiein].
1897
163. Древнерусские меры веса и протяжений.—В кн.: Энцикло-
иод. словарь Брокгауза и Ефрона, т. XX, СПб., 1897, стр. 327—328-
164. Египетская форма табличного способа умножения в рус-
ской народной арифметике.—Физ.-матем. науки, 1897, т. XIII,
стр. 77—80.
165. Мудрости свободные.—В кн.: Энцпклопед. словарь
Брокгауза и Ефрона, т. XX, СПб., 1897, стр. 109—110.
166. Нумерация.—Там же, т. XXI, СПб., 1897, стр. 420—424.
167. Октады.—Там же, т. XXIA, СПб., 1897, стр. 849.
168. Ориентирование у древних народов.—Там же, т. XXII,
СПб., 1897, стр. 147—148.
169. Папирусы математические.—Там же, т. XXIIA, СПб.,
1897, стр. 721. "
170. Писцы египетские.—Там же, т. XXIII, стр. 700.
171. Писцы в Московской Руси.—Там же, стр. 699—700.
172. Правила ложных положений. [Первоначальные методы
решения линейных уравнений.]—Там же, т. XXIVA, СПб., 1898,
стр. 851—852.
173. Москопул, Мануил. [Математик.]—Там же, т. XX, СПб.,
1897, стр. 20.
174. Муза-ибп-Мухаммод. [Математик и астроном.]—Там же,
стр. 111.
175. Мула, Фридрих. [Математик.]—Там же, стр. 174.
176. Мурпс, де Иоанн. [Математик.]—Там же, стр. 212—213.
177. Мутон, Габриэль. [Математик.]—Там же, стр. 242.
178. Мухамед-нбн-Муза-Альхваризми. [Математик и астро-
ном.]—Там же, стр. 245.
179. Мухаммед-пбп-Муза-ибн-Шахир. [Астроном и геометр.]—
Там же, стр. 245.
180. Назаров, Степан. [Инженер и преподаватель матема-
тики.]—Там же, стр. 460.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1897 год, М., 1899, стр. 42.
181. Насир Эддпн [Математик и астроном.]—Там же,
т. ХХА, СПб., 1897, стр. 639.
182. Нейль, Вильям. [Математик.]—Там же, стр. 844.
183. Неморарпус, Иордан. [Математик. ]—Там же, стр. 874—87э.
184. Непер, Джои. [Математик.]—Там же, стр. 884—886.
185. Нпевентппт, Бернард. [Математик и врач.]—Там же,
т. XXI, СПб., 1897, стр. 212.
БИ БЛИ ОГРА ФПЧЕСКПП УКАЗАТЕЛI»
377
186._Никитин, Василий Никитич. [Преподаватель матема-
1_____Там же, стр. 78—79.
тиКП187. Николь, Франсуа. [Математик.]—Там же, стр. 131—132.
188 Никомах Геразенский. [Математик.]- Там же, стр. 137.
189^ Никомед. [Геометр ] Там же, стр. 138.
190. Нппс, Марк. [Землемер. ]—Там же, стр. 159.
191. Норфольк, Иоанн. [Математик.]—Там же, стр. 380.
192* Нуньес, Педро (Нониус). [Математик.]—Там же, стр. 427—
** '193. Ньёпор. [Математик.]—Там же, стр. 433—434.
194^ Ньютон Исаак.—Там же, стр. 443- 449.
195. Одди Муцпо [Инженер и профессор математики.]—Там
.е т. ХХ1А, СПб., 1897, стр. 714.
’ 196. Одо Клюиийскнй. [Монастырский учёный.]—Там же,
стр. 746.
197. ОйноипД (Хиосский). [Геометр и астроном.]—Там же,
стр. 786—787.
198. Окреат. [Математик.]—Там же, стр. 831.
199. Омар Алькайями. [Математик и астроном.]—Там же,
стр. 926—927.
200. Орезм, Николай. [Математик.]—Там же, т. XXII, СПб.,
1897, стр. 125—126.
201. Оронцпй, Фипеус. [Математик.]—Там же, стр. 178—179.
202. Ортега, Жуан до. [Математик.]—Там же, стр. 188.
203. Оспандер, Андрей (Hosemann).—Там же, стр. 277.
204. Оспповскнй, Тимофей Фёдорович. [Математик.]—Там же,
стр. 274—275. См. также: Русский биографический словарь.
Обезьянипов—Очкин, СПб., 1905, стр. 384—388.
205. Остроградскпй Михаил Васильевич.—Там же, стр. 360—
362. См. также: Русский биографический словарь. Обезьянипов—
Очкин, СПб., 1905, стр. 452—457.
Подробный список трудов М. В. Остроградского: Зици-
клопед. словарь Брокгауза (стр. 361—362); Русский биогра-
фический словарь (стр. 454—457).
206. Ото, Валентин. [Математик.]—Там же, стр. 434.
207. Отред, Вильям. [Математик.]—Там же, стр. 462.
208. ’ Оттер, Христиан. [Инженер и математик.]—Там же, стр.466.
209. Пагани, Гасиар-Мпшель. [Математик.]—Там же,
т. XXIIA, СПб., 1897, стр. 578.
210. Пакасси. Иоганн-Баптист. [Инженер, астроном и мате-
матик.]—Там же, стр. 597.
211. Папкевич, Михаил Иванович. [Математик.]—Там же,
стр. 697.
212. Паоли, Пиетро. [Математик.]—Там же, стр. 716.
213. Папп Александрийский. [Геометр.]—Там же, стр. 727—728.
214 Паравей, Карл-Ипполит де. [Инженер и историк мате-
матики.]—Там же, стр. 753—754.
215. Паран, Аидруап. [Математик.]—Там же, стр. 776—777.
216. Пардис, Игнатий Гастон. [Математик и физик.1—Там же,
378
A. M. ЛУКОМСКАЯ
217. Паскаль, Блэз как математик.—Там же, стр. 917—919
218. Паскаль, Этьенп. [Математик. ]—Там же, стр. 919.
219. Пасквпх, Иоанн. [Математик и астроном. ]—Там же
стр. 919.
1898
220. Порпзма. [Древнегреческий математический термин. ]_
В кн.: Энциклопед. словарь Брокгауза и Ефрона, т. XXIVA
СПб., 1898, стр. 575.
221. Пачиолп, Лука (Пачиуоло). [.Математик.]—Там же
т. XXIII, СПб., 1898, стр. 61—62.
222. Педпазимус пли Галенус, Иоанн. [Писатель и математик.] —
Там же, стр. 85.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии п действиях Москов-
ского университета за 1898 год, М., 1900. стр. 42—43.
223. Пейрар, Франсуа. [Математик. ]—Там же, стр. 97.
224. Пелль, Джон. [Математик.]—Там же, стр. 115—116.
225. Пенвен. [Математик.]—Там же, стр. 129—130.
226. Персей. [Греческийгеометр.]—Там же, стр. 356.
227. Петров, Иван. [Счётчик.]—Там же, стр. 461.
228. Петр пз Дании. [Математик.]—Там же, т. XXIIIА, СПб.,
1898, стр. 499.
229. Пеурбах, Георг. [Математик и астроном.]—Там же,
стр. 503.
230. Пецци, Франческо. [Математик.]—Там же, стр. 506.
231. Пнола Дон Габбрио. [Математик.]—Там же, стр. 781- 782.
232. Ппстой, Кандидо. [Математик.]—Там же, стр. 699.
233. Пптискус, Бартоломей. [Математик.]—Там же, стр. 737.
234. Пито, Анри. [Геометр и инженер.]—Там же, стр. 738.
235. Пифагор п пифагорейцы как математики.—Там же,
стр. 769—770.
236. Попов, Александр Фёдорович. [Математик.]—Там же,
т. XXIVA, СПб., 1898, стр. 558.
237. Попов, Никита Иванович. [Астроном.]—Там же, стр. 565.
238. Порее, Бенжамен. [Математик п астроном.]—Там же,
стр. 597.
239. Порее, Чарльз Сандерс. [Математик и астроном.]—Там же,
стр. 597—598.
240. Потенот. [Профессор математики.]—Там же, стр. 730.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1898 год, М., 1900, стр. 42—43.
241. Поуелль Баден. [Математик и физик.]—Там же, стр. 749—
242. Прокл (по прозванию Диадох). [Философ и математик-]—
Там же, т. XXV, СПб, 1898, стр. 385.
243. Пселл, Михаил. [Писатель и математик.]—Там же,
т. XXVA, СПб., 1898, стр. 668. ,
244. Птоломей, Клавдий. [Геометр, астроном и физик.]
Там же, стр. 735—737.
245. Пуавр ле, Яков. [Геометр.]—Там же, стр. 738
Б11БЛ И О ГРЛ ФИЧЕСК1Щ УКАЗАТЕЛЬ
379
246. Пудр». Ноэль-Жерминаль. [Геометр.]—Там же, стр. 768.
247. Пфафф, Иоганн-Вильгельм- Хпдрсй. [Математик и астро-
1—Там же, стр. 857.
Я° 248 Пфафф, Иоганн-Фридрих. [Математик. ]—Там же, стр.857.
249. Пфлейдерер, Хрнстоф-Фридрих. [Геометр.]—Там же,
861
СТР 250. Пюизё, Виктор-Александр. [Математик и астроном.]
Там же, стр. 932.
251. Пюиссап, Луп. [Математики геометр.]—Там же, стр. 933.
252. Раабе, Жозеф-Людвиг. [Математик.]—Там же, стр. 947—948.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1898 год, М., 1900, стр. 42—43.
253. Рабда, Николай Артабазд Смирнский. [Математик.]—
Там же, стр. 950.
1899
254. Барон Плана. Очерк его профессорской и учёно-литера-
туоной деятельности.—Физ.-матем. науки, 2-я серия, 1899, т. I,
стр. 14—25, 67—70.
Перечень трудов Плана (стр. 17—25, 67—70).
Материалы для истории математической журналистики в Рос-
сии. См. № 255, 299, 303,^379.
255. Первый русский математический журнал.—Фнз.-матем.
науки, 2-я серия, 1899, т. I, стр. 35—54, 71—75.
256. Юбилей д-ра Морица Кантора.—Физ.-матем. науки,
2-я серия, 1899, т. I, стр. 76—83.
Краткие биографические сведения. Перечень печатных
трудов (стр. 79—83).
257. Радульф Лаопский. [Математик.]—В ки.: Знциклонед.
словарь Брокгауза и Ефрона, т. XXX I, СПб., 1899, стр. 102.
258. Раймарус Урзус (Николай). [Математик.]—Там же,
стр. 210—211.
259. Раме пли Рамюс, Пётр. [Физик и математик.]—Там же,
стр. 250.
260. Рамус, Христиан. [Математик.]—Там же, стр. 259.
261. Ратдольт, Эргард. [Типограф и издатель математических
книг.]—Там же, стр. 362.
262. Раусом, Роберт. [Математик.]—Там же, стр. 373.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1899 год, М., 1901, стр. 45.
263. Регпамоитан (Мюллер, Иоанн). [.Математик и астроном.]—
Гам же, стр. 457—460.
Список трудов Региамонтана (стр. 459—460).
СТР ^473 РССС’ КаспаР Франц де. [Учитель арифметики.]—Там же,
т 265. Росс, Рпйк или Рихард. [Математик, астроном и физик.]—
1ам же, стр. 473—474.
Рейс, Теодор Карл. [Геометр [-Гам же, т. XXVIA СПбк5
1С99, стр. 486.
380
A. M. ЛУКОНСКАЯ
267. Рейно, Антуан-Андре-Луи. [Математик.]—Там -/Ке
стр. 499. ' ’
268. Рейно, Шарль Ренс. [Математик.]—Там же, стр. 500.
269. Реши, Грегор. [Энциклопедист.]—Там же, стр. 523.
270. Рекорд, Роберт. [Математик.]—Там же, стр. 530.
271. Рсиальдппп. [Математик и физик.]—Там же, стр. 5в&
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1899 год, М., 1901, стр. 45.
272. Ризе, Адам. [Математик.]—Там же, стр. 693.
273. Ришар, Клод. [Математик.]—Там же, т. XXVIA, СПб
1899, стр. 839.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1899 год, М., 1901, стр. 45.
274. Рпшсло, Фридрых-Юлиус. [Математик.]—Там же
стр. 841.
275. Роберваль, Жиль. [Математик.]—Там же, стр. 853_____
854.
276. Розенгайм, Иоанн-Георг. [Математик.]—Там же, т. ХХ\ II
СПб., 1899, стр. 8.
277. Розни, Михаил. [Учёный математик.]—Там же, стр. 16.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1899 год. М., 1901, стр. 45.
278. Ролль, Мишель. [Математик.]—Там же, стр. 43.
279. Ро(ё)мер, Олаусили Олов. [Астроном.]—Там же, стр.81—82.
280. Ромер, Павел Эмнлпсвич. [Математик.]—Там же, стр. 82.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского унпв рентета за 1899 год, М., 1901, стр. 45.
281. Роомсп, Адриен. [Математик.]—Там же, стр. 94—95.
282. Рост, Иогаин-Иоахнм-Юлнус, в России Иван Акимо-
вич. [Физик и математик.]—Там же, стр. 142—143.
283. Рот, Пётр. [Математик.]—Там же, стр. 165.
284. Роте, Генрих-Август. [Математик.]—Там же, стр. 153.
285. Рохмапов. Пётр Александрович. [Математик и военный
писатель.]—Там же, стр. 167—168.
286. Рубини. Раффаель. [Математик.]—Там же, стр. 203.
287. Рудольф, Хрпстоф. [Математик.]—Там же, стр. 232.
288. Рудольф из Брюгге. [Переводчик сочинений Птоломся.]—
Там же, стр. 233.
289. Руффини Паоло. [Математик.]—Там же, стр. 373.
290. [Рецензия.] Международный орган преподавания мате-
матических наук (Enseignement matliematique, Paris, 1899).—Фпз.-
матем. науки, 2-я серия, 1899, т. 1, стр. 26—30.
291. [Рецензия.] Новая математическая энциклопедия.(Епсуklo"
padieder mathcmatischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Ainvcu-
dungen, Bd. I—II, 1899.—Физ.-матем. науки, 2 серия, 1899, т. L
стр. 84—92, 112—115.
292. [Рецензия.] Новый историко-математический журна,1‘
(Bollctino di bibliografia е storia dello scienze matematiche public^
per cura di Cino Loria, Torino, 1898, IV, 164 pp.).—Там же, т.
стр. 55—60.
381
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
293. Библиографический указатель. Конец 1898 на ia.
1899 года.—Там же, стр. 31—32.
Перечень разделов: Философия математики. Чистая
математика. Прикладная математика. Астрономия и гео-
дезия. Физика.
294. Библиографический указатель. 1899 год.—Там же,
стр. 61—64, 93—96; 1900, т. 1,‘ стр. 116—128.
Перечень разделов: История математики. Чистая мате-
матика. Прикладная математика. Астрономия и геодезия
(стр. 61—64). Периодическая математическая литература
в России в 1899 году. История математики. Астрономия
и геодезия (стр. 93—96). Периодическая физико-математиче-
ская литература в России в 1899 г. История и философия мате-
матики. Чистая математика. Прикладная математика. Астро-
номия и геодезия. Физика. Метеорология (стр. 116—128).
295. Develop решен t des procedes servants a decomposer le quo-
tient on quaiitiemes.—Zeilschr. fur Mathem. u. Phys., 1899,
Bd. XLIII, Hist. Abth , Bd. IX. SS. 3—13.
296. Enseignement mathematique en Russie. Aper^u historique.—-
Enseignement mathematique, Paris, 1899, т. I, pi). 77—100.
297. Enseignement mathematique en Russie. fitat acluel-Ensei-
gnement primaire.—Enseignement mathematique, Paris, 1899, t. I,
pp. 420—446.
Реф.: Jahrb. fiber die Forlschr. d. Mathem., 1899,
Bd. XXX, S. 81. Подписано: M. [F. Muller].
298. La marchc successive dans la fusion des notions de la frac-
tion et du quotient.—Bibliotheca mathematica, Stockholm, nouvelle
serie, 1899, t. XIII, pp. 81—85.
Реф.: Jahrb. uber die Forlschr. d. Mat hem., 1899,
Bd. XXX, SS. 36—37. Подписано: E. [G. Enestrom].
1899—1904»)
299. Материалы для истории математической журналистики
в России. Первый посвящённый истории математики русский спе-
циальный журнал. Физ.-матем. науки, 2-я серия, 1899—1904,
т. I, стр. 357—377.
Подробные сведения о журнале «Физико-математические
науки в их прошлом и настоящем» и 2 серии этого журнала
«Физико-математические науки в ходе пх развития». Про-
грамма журнала. Подписка па журнал. Числовые данные
о количестве, составе и географическом распределении под-
писчиков, а также о состоянии его бюджета за всё время его
издания. Систематический обзор содержания его тринадцати
томов.
300. Труды Секции истории наук второго международного
съезда представителей философии.—Там же, стр. 398—400.
х) На титульном листе Ai> 12 журнала «Физ.-матем. науки в
°Де их развития», вышедшего в 1905 г., помечено 1899—1904.
382
A. At лукомСкля
301. Поль Таннери. (Некролог.)—Там же, стр. 391 -392.
Перечень наиболее значительных трудов II. Таннери, опу-
бликованных после 1900 г.
См. также № 359.
302. [Перевод.] Анкета о проектируемых математиками спосо-
бах ведения работ. Предлагается журналом «L’enseiffnement mathe-
matique».—Там же, стр. 393—398.
1900
303. Материалы для истории математической журналистики
в России. Первый математический журнал научного характера.—
Физ.-матем. науки, 2-я серия, 1900, т. I, стр. 100—111, 138—147
161—166.
304. Симов Стевии. Очерк жизни и деятельности.—Там же,
т. I, стр. 1G7—180.
305. Мариус Софус Ли. (Некролог.) - Физ.-матем. ежегодник,
М., 1900, № 1, стр. 588—591.
306. Сабакин, Лов. [Механик.]—В кп.: Энциклопед. словарь
Брокгауза и Ефрона, т. ХХА III, СПб., 1899, стр. 6.
307* . Саверьен, Александр. [Писатель и учёный-энциклопе-
дист.]—Там же, т. XXVIIIA., СПб., 1900, стр. 31.
308. Саккери, Джироламо. [Математик.]—Там же, стр. 81.
309. Сакробоско де, Иоанн. [Астроном и математик.] -Там же,
стр. 84—85.
310. Саладини, Джироламо. [Математик.]—Там же, стр. 109.
311. Салмон, Джордж. [Геометр] —Там же, стр. 135.
312. Саломон, Иоганн-Мпхаель-Жозеф. [Математик.]—Там же,
стр. 145.
313. Санхец или Цируело (Петро). [Автор сочинений по ариф-
метике.]—Там же, стр. 367.
314. Сараса, Альфонс-Антуан. [Математик.] -Там же, стр.
407—408.
315. Сатаровы, Максим Петрович и Иван Петрович. [Перевод-
чики.]—Там же, стр. 459—460.
316. Саундерсов, Николь. [Математик.]—Там же, стр. 474—47л.
317. Сванберг, Адольф-Фердинанд. [Математик и физик.]—
Там же, т. XXIX, СИб., 1900, стр. 68.
318. Сванберг, Онс. [Математик и астроном.]—Там же, стр. Ь8.
319. Свпнден, Ян-Гендрик. [Математик.]—Там же, стр. 120.
320. Седилло, Жан-Жак-Эммануэль и Луи-Ньер-Евгеипи-
Амали. [Историки астрономии.]—Там же, стр. 311.
321. Секст, Юлий Африканский. [Писатель.]—Там же, стр.З**-
322. Семлер или Землер,Христоф.[Астроном.]—Там же,, стр. «6Ь.
323. Семпилиус Гуго или Семпле. [Математик.]—Там же.
стр. 466—467. vi\\
324. Сен-Венсан, Грегуар. [Геометр.]—Там же, т. XXIX .
СПб., 1900, стр. 553—554.
325. Серенус. [Геометр.]—Там же, стр. 696.
326. Симпсон, Томас. [Математик.]—Там же, стр. 946—
библиографический указатель ЗЙЗ
327. Спмсон, Роберт. [Математик.]—Там же, стр. 949.
327а. Скорняков-Писарев Григорий Григорьевич. [Автор
«топкого напечатанного на русском языке, сочинения по меха-
нике. 1—Там же, т. XXX, СПб., 1900, стр. 233.
Я 328. Слюз, Репе-Франсуа. [Математик.]—Там же, т. ХХХА,
СПб., 1900, стр. 481.
329. Смит, Генри-Джон Стефен. [Математик.]—Там же,
5^2
СТР 330. Совёр, Жозеф. [Математик и физик.]—Там же, стр. 670.
331. Соймоиов, Фёдор Иванович. [Навигатор и гидрограф.]—
Там же, стр. 717—718.
332. Сорен, Жозеф. [Математик.]—Там же, стр. 900.
333. Спасский, Михаил Фёдорович. [Фпзпк и метеоролог.]—
Там же, т. XXXI, СПб.; 1900, стр. 150.
334. Спитцер, Симон. [Математик.]—Там же, стр. 264—265.
335. Споттпсвуд, Вильям. [Математик.]—Там же, стр. 304.
336. [Рецензия.] Минин А. 11., Сборник задач по дифферен-
циальному и интегральному исчислениям, М., 1899, [3], 79 стр.—
Физ.-матем. ежегодник, М., 1900, № 1, стр. 583.
337. [Рецензия.] Новая отрасль математики. Maurice d’Осagne.
Traite de nomographic, I vol., Paris, 1899, XIII, 488 pp., 1 planche.
Там же, стр. 544—548.
338. [Рецензия.] Новая форма «Математического словаря».
(Felix Muller, Vocabulaire mathematique frangais—allemand et
allemand—fran^ais. 1—2, 1900—1901, XII, 132 SS., IX—XIV [2],
182 SS.—Физ.-матем. науки, 2-я серия, 1900, т. I, стр. 181—184, 252.
339. [Рецензия.] Новый международный орган преподавания
математики. L’enseignement mathematique, Paris, 1899.—Физ.-
матем. ежегодник. М., 1900, As 1, стр. 536—543.
340. [Рецензия.] Собрание сочинений II. Л. Чебышева. Сочи-
нения П. Л. Чебышева, изданные под ред. А. А. Маркова и
Н. Я. Сонина, т. I, СПб., 1899, VI, 714 стр,—Там же, стр. 586—588.
341. [Рецензия.] Энциклопедия математических наук. Епсу-
klopadie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer
Anwendungen. I Theil, I Band, 1—4 Hefte; 2 Band, 1 Heft, Leipzig,
1898—1899.—Там же, стр. 529—556.
To ясе. 1 Band, 5—6 Hefte: 2 Band, 2—4 Hefte; 2a Band; 1 Heft;
' 4X Band, 1 Heft; 4, Band, 1 Heft.—Физ.-матем. ежегодник, M., 1902,
.№ 2, стр. 477—479.
342. [Рецензия]. Журнал «Bibliotheca mathematica» впреобразо-
ванном виде.—Физ.-матем. пауки, 2-я серия, 1900, т. I, стр. 148—155.
343. [Рецензия.] Annuaire pour I’an 1899, publie par le Bureau
des longitudes; avec des notices scientifiqucs, Paris, VI, 784 pp.—
.Физ.-матем. ежегодник, M., 1900, As 1, стр. 584—585.
344. [Рецензия.] Nicolaus Coppernicus. Eine biographische
«kizze von M. Curtzc, Berlin, 1899, 84 SS. (Sammlung popularer
«chriften, herausgcgcben von der Gesellschaft Urania zu Berlin).—
1ам же, стр. 581.
345. [Рецензия.] Duporck (Em.). Premiers principes de geo-
^etrie mod erne, a 1’usage des elaves de mathematiques speciales
384
А. М. ЛУКОНСКАЯ
Rebiere (A.). Les savants modernes, lour vie
ct les candidate a la licence et a 1’agrcgation, Paris, 1899, 160 pp_.
Там же, стр. 582—583.
346. [Рецензия.] Fourrey (Е.), Recreations aritlimetique, Paris
1899, 261 pp.—Там же, стр. 583.
347. [Рецензия.] Gerberti postea Silvestri II papae Opera mathc-
malica (972—1003). Collegit, ad giden codicum manuscriptorum par-
tim it erum, partim primut, common tario auxit, figuris illustration
Nicolaus Bubnov, Berlin, 1899, CXIX, 620 pp.—Там же, стр. 580.
348. [Рецензия.] Himmelsbild und Weltanschauung im Wandci
der Zeiteii von Iroels-Lund. Autorisierte von A erfasser durchgese-
liene Ubersetzung von Leo Bloch. Leipzig, 1899. V, 286 SS.—Там же,
стр. 585.
349. [Рецензия.] Lange (Julius), Jacob Steiners Lcb-jnsjahre in
Berlin (1821—1863), nach seinen Personatakten dargeslelll; nebst
einem Bikinis von J. Steiner, Berlin, 1899, 70 SS.—Там же, стр
580.
350 [Рецензия ] 01 tram аге (G.), Calcul de generalisation, Paris,
1899, VIII, 191 pp.- Там же стр. 584.
351. [Рецензия. ] Poincare И., Les methodes nouvelles de la meca-
nique celeste. I. Ill: Invariants inlegraux. Solutions periodiques
du deuxieme genre. Solutions doublemcnt assymtot,iques, Paris,
1899, 414 pp.—Там же, стр. 585—586.
352. [Рецензия,
et leur travaux, d’apres les documents academiques choisis el abrid-
ges, Paris, 1899, VIII, 455 pp., 38 portr.—Там же, стр. 581.
353. [Рецензия. Reye. Die Geometric der Lage (Vortrage). Erste
Abtheilung mil 90 Abbildungcn in Text, 4 Auflage, Leipzig, 1899.—
Там же, стр. 584.
354. [Рецензия.] Urkunden zur Geschichte der Nichteuklidisch on
Geometric, herausgegeben von Friedrich Engel und Paul Stackci.
1. Nikolaj Iwanowitsch Lobatschcfsky. Zwei geometrischc Abhand-
lungen aus dem Russischen ubersetzt, mit Anmerkungen und mit
ein er Biographic des Verfasscrs von Friedrich Engel. 1. Theil, Die
Ubersetzung mit einem Bildnisse Lobalscbefskijs und mil 194 Fig.
im Tcxte. 2. Theil, Anmerkungen. Lobatschcfskijs Lcben und Schrif-
ten, Leipzig, 1899, XVI, 416 SS., mit Fig.—Там же, стр. 582.
355. Библиографический указатель. 1900 год.—Физ.-матем.
науки, 2-я серия, 1900, т. I, стр. 156—160, 185—192; 1901, т. I,
стр. 218—224, 253—256.
Перечень разделов: Периодическая математическая ли-
тература в России в 1900 году (стр. 156—160). История
и философия математики: периодическая литература, непе-
риодическая литература. Чистая математика (стр. 185—19-).
Периодическая математическая литература в России в 1900 го-
ду. История и философия математики: периодическая лите-
ратура, непериодическая литература. Чистая математика.
Прикладная математика. Астрономия и геодезия
(стр. 218—224). Метеорология и физическая географи
Физика (стр. 253—256).
356. Указатель иностранной непериодической литературы ио
библиографический указатель _________________
чистой и прикладной математике и а£тР0Н°^и за Т°Д
Физ.-матем. науки, М.» 1900, № 1» стр. 571 580.
1901
357. Второй открытый в России феноменальный счётчик.—
Физ.-матем. науки, 2-я серия, 1901, т. Ь стр. 257 26Ь-
358. История, философия и библиография физико-математи ве-
ских наук на парижских международных Kt грессах 1VUU года.
Там же, стр. 193—204, 225—242.
359. Самсон Поль Таннери.—Там же, стр. 2°5--217.
Список трудов С. И. Таннери (стр. 206 217).
360. Ольри Теркем, основатель первого историко-математиче-
ского журнала.—Там же, стр. 243—251.
Список трудов О. Теркема (стр. 246—251).
361. Антонио Фаваро.—Там же, стр. 267—285.
Обзор учёно-литературной деятельности А. Фаваро.
362. Стевии, Симон. [Математик. 1—В кн.: Энциклопед. сло-
варь Брокгауза и Ефрона, т. ХХХ1А, СПб., 1901, стр. 550—551.
363. Стеен, Адольф. [Математик. ]—Там же, стр. 553.
364. Стефанос Кипариссос. [Математик.]—Там же, стр. 636.
365. Такст, Андрей. [Математик.]—Там же, т. ХХХПА, СПб.,
1901, стр. 512—513.
366. Талызин, Матвей Иванович. [Математик и физик.]—
Там же, стр. 549.
367. Таннери, Жюль. [Математик.]—Там же, стр. 601.
368. Таннери, Самсон-Поль. [Математик.]—Там же, стр. 601.
369. Таннер, Генри-Вильям-Ллойд. [Математик.]—Там же,
стр. 602.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1901 год.
370. Таннштеттер, Георг. [Математик и астроном.]—Там же.
стр. 606—607.
371. Теркем Олри. [Математик.]—Там же, стр. 955—956.
^ 372. Тет, Пётр. [Математик и физик.]—Там же, т. ХХХШ
СПб., 1901, стр. 115.
373. Теюдий из Магнезии. [ .Математик.]—Там же, стр. 136,
374. Трансон, Абель Этьенн Луи. [Математик.]—Там же,
т. ХХХША, СПб., 1901, стр. 707—708.
туя’ Трейтлейн, Жозеф-Петер. [Математик.]—Там же, стр. 755.
3'6. Тростин, Дмитрий Петрович. [Преподаватель матема-
тики.]—Там же, стр. 900—901.
R„?77A Библиографический указатель. 1901 год.—Физ.-матем.
наУки, 2-я серия, 1901, т. I, стр. 288; 1902, т. I, стр. 317—320.
История и философия математики: периодическая лите-
ратура.
1902
*11 п Рнязь. Бальдасарре Бонкомпаньи Людовизп и его журнал
25 lletino di bibliografiae di storia delle science mathematichee
Историко-матем. исследования
386
A. M. ЛУКОМСКАЯ
fisiche».—Физ.-матем. науки, 2-я серия, 1902, т. I, стр. 303—316
332—352, 353—356.
Обзор учёно-литературной деятельности Бальдасарре
Бонкомпаньи. Перечисление материалов, помещённых а
вышеназванном журнале, распределённых^ по эпохам и
частью по наукам и народностям.
379. Материалы для истории математической журналистики
в России. Первый русский элементарно-математический журнал_.
Там же, стр. 289—302.
380. Узловой счёт.—В^кн.: Энцпклопед. словарь Брокгаузц
и Ефрона, т. XXXIVA, СПб., 1902, стр. 620.
381. Ульмская счётная школа.—Там же, стр. 703.
382. Форономия. [Кинематика.]—Там же, т. XXXVI, СПб.
1902, стр. 301.
383. Павлов, Михаил Григорьевич. [Профессор физики.]—
В кн.: Русский биографический словарь. Павел—Пётр, СПб.
1902, стр. 92—97.
384. Панкевич, Михаил Иванович. [Профессор математики.]—
Там же, стр. 249—252.
385. Паратич, Сигизмунд. [Писатель.]—Там же, стр. 311—312.
386. Перелогов, Тимофей Иванович. [Профессор математики.]—
Там же, стр. 510—512.
387. Петерсон, Карл Михайлович. [Математик.]—Там же,
стр. 623—624.
388. Петров, Василий Владимирович. [Физик.]—Там же,
стр. 662—665.
389. Турацца, Доменико. [Математик.]—В кн.: Энцпкло-
пед. словарь Брокгауза и Ефрона, т. XXXIV, СПб., 1902,
стр. 85.
390. Тцвифель, Теодорих. [Арифметик.]—Там же, стр. 261.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1902 год, М., 1903, стр. 45.
391. Тылковский, Адальберт. [Преподаватель математики.]—
Там же, стр. 264.
392. Уллоа, Антонио. [Геодезист и астроном.] —Там же,
т. XXXIVA, СПб., 1902, стр. 681.
393. Улуг Бег. [Астроном.]—Там же, стр. 696—697.
394. Умпфенбах, Герман. [Математик.]—Там же, стр. 730.
395. Унгер, Ефраим Саломон. [Математик.]—Там же, стр. 740.
396. Унгер, Иоганн-Фридрих. [Математик и физик.]—Там же
стр. 740.
397. Унфердингер, Франц-Ксавер. [Математик.]—Там же
стр. 843.
398. Унферцагт, Карл-Вильгельм. [Математик.]—Там ?ке
стр. 843. п8
399. Урзинус, Беньямин. [Математик.]—Там же, стр. 907
400. Урзин, Георг Фредерик-Крюгер. [Математик и астР
ном.1—Там же, стр. 908.
401. Урстизиус, Христиан. [Математик.]—Там же, стр.
387
библиографический указатель
402. Уффенбах, Филипп. [Живописец и геометр.]—Там же,
т. XXXV, СПб., 1902, стр. 96. 1—Там же,
403. Фаа ди Брюно, Франческо. [Математик.! lax
СТР 404. Фабер (Stapulensis) или Жак Лефевр. [Издатель и мате
матикЛ Фабрщ^оноратус или Оноре. [Математик, физик и бого-
слов ]—Там же, стр. 149- 150.
406. Фаваро, Антонио. [Математик.]—Там же, стр. 216 21./.
407. Фаньяно, Джюлио-Карло. [Математик.]—Гам же, стр. 2J6.
408. Фарварсои пли Фархварсон. [Математик. J—1 ам же,
стр. 303.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1902 год, М., 1903, стр. 45.
409. Феличпано. [Математик.]—Там же, стр. 436.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1902 год, М., 1903, стр. 45.
410. Фельдт, Лауренцпус. [Математик и астроном.]—Там же,
стр. 442.
411. Фергола, Николай. [Математик.]—Там же, т. XXXVA,
СПб., 1902, стр. 565.
412. Фергола, Эммануэле. [Математик и астроном.]—Там же,
стр. 565.
413. Фергюсон, Джемс. [Математик и астроном.]—Там же,
стр. 566.
414. Ферма, Пьер. [Математик.]—Там же, стр. 584—586.
6QQ 415. Фернель, Жап. [Математик п астроном.]—Там же, стр.
416. Феррари, Лодовико или Луиджи. [Математик.]—Там же.
стр. 607—608.
417. Феррере, Норман Маклеод. [Математик.]—Там же, стр. 611.
418. Ферро, Сципионе. [Математик.]—Там же, стр. 616.
419. Феррони, Пиетро. [Математик.]—Там же, стр. 617.
420. Фидлер, Отто Вильгельм. [Математик.]—Там же,
стр. 657—658.
421. Финк, Томас. [Математик.]—Там же, стр. 904.
Л22- Фишер, Эрнст-Готтфрид. [Математик и физик.]—Там же,
т. XXXVI, СПб., 1902, стр. 77.
423. Фложерг, Оноре. [АстронОхМ п физик.]—Там же, стр. 144.
Там же Ф°ЛП> Франсуа-Жак-Ф/шиии. [Математик и астроном.]—
етп Фонтенелль, Бернар ле Бувье. [Писатель.]—Там же,
V1P« 2а/—258.
426. Фонтен де Бертен, Алексис. [Математик.]—Там же, стр.259.
427. Форзпз. [Математик.]—Там же, стр. 269.
428. Форциа д’Урбап. [Математик.]—Там же, стр. 340.
429. Фор, Анри-Огюст. [Математик.]—Там же, стр. 340—341.
347 Ф°СС’ АУР°ль—Эдмунд. [Математик.]—Там же, стр. 346—
25*
388
A. M. ЛУКОМСКАЯ
431. Фосс или Фоссиус, Гергард-Иоганн. [Филолог и автор
книги историко-математического содержания.]—Там же, стр. 347.
432. Франке Трауготт, Самуель. [Математик.]—Там же,
стр. 460.
433. Франкёр, Луи-Бенжамен. [Математик.]—Там же, стр. 462.
434. Франкинп, Пиетро. [Математик.]—Там же, стр. 465.
435. Франко из Люттиха. [Математик.]—Там же, стр. 473.
436. Фрезье, Амеде Франсуа. [Инженер.]—Там же, т. XXXVIA,
СПб., 1902, стр. 712.
437. Френе, Жак Фредерик. [Математик.]—Там же, стр. 728.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1903 год, М., 1904, стр. 43—44.
438. Френикль де Бесси, Бернар. [Математик.]—Там же,
стр. 730.
439. Фридлейн, Иоганн-Готфрид. [Математик.]—Там же,
стр. 748—749.
440. Фризах, Карл. [Математик, астроном и геофизик.]—
Там же. стр. 794.
441. Фризи, Паоло. [Математик, астроном и физик.]—Там лее,
стр. 795—796.
442. Фришауф, Иоганн. [Математик и астроном.]—Там же,
стр. 807.
443. Фробезиус, Иоганн Николай. [Математик.]—Там же,
стр. 809.
444. Фробениус, Фердинанд-Георг. [Математик.]—Там ясе,
стр. 809—810.
445. Фронтинус, Сектус Юлиус. [Землемер, гидротехник и воен-
ный писатель.]—Там же, стр. 815—816.
446. Фукс, Иммануэль-Лазарус. [Математик.]—Там ясе,
стр. 863.
447. Фуре-Жорж-Франсуа-Жак-Баптист. [Математик.]—Там же,
стр. 894.
448. Фуртенбах, Иозеф. [Архитектор и конструктор.]—Там ясе,
стр. 901.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1903 год, М., 1904, стр. 43—44.
449. Фусс, Георг-Альберт. [Астроном.]—Там же, стр. 912—913.
450. Фусс, Николай. [Математик.]—Там же, стр. 913—914.
451. Фусс, Павел Николаевич или Пауль Генрих. [Математик.]—
Там же, стр. 914—915.
452. [Рецензия.] Elements de methodologie mathematique..
a I’usage de tous ceux qui s’occupent de mathematiques elementaires
par Dauzat, Paris, 1901, 1100 pp.—Физ.-матем. ежегодник, M.,
1902, № 2, стр. 480—482.
453. [Рецензия.] Histoire abregGe de I’astronomie par Ernest
Lebon. Avec 16 portraits, Paris, 1899, VII, 288 pp.—Там же,
стр. 476—477.
454. [Рецензия.] Histoire des mathematiques par Jacques Boyer-
Ill ustree de fac-similes et de manuscripts et de portraits, Paris,
1900, XI, 260 стр.—Там же, стр. 474—476.
389
ВИКЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
455. [Рецензия.] Felix Muller, Vocabulaire “^^J^^hniques
^ais—aliemand etallemand—frangais contenan nl:nuAS Leipzig,
employes dans les mathematiques pures e < pp q_______XlV) [2]
1 Halite, 1900, IX, [2], 132 стр.; 2 Hal te 1901, 6 (IX XIV) l-J,
182 (133—314) стр. —Там же, стр. 471—474.
1903
Там же,
466. Цеутен,
LXXVIII, СПб.,
456. Хеурс, Генрих. [Математик.]—В кн.: Энцпклопед. сло-
варь Брокгауза и Ефрона, т. XXXVII, СПб., 1903, стр. 187.
457. Хилль, Карл-Иоганн-Даниельсон. [Математик.] —1ам же,
стр. 200. ,
458. Христманн, Вильгельм-Лудвиг. [Математик.] —Там же,
т. XXXVIIA, СПб., 1903, стр. 699.
459. Христманн, Якоб. [Математик и астроном.J—Там же,
стр. 699.
460. Худде, Иоганн. [Математик.]—Там же, стр. 763.
461. Цах, Франц-Ксавер. [Астроном.]—Там же, стр. 847—848.
462. Цейгер, Иоганн-Эрнст. [Математик и физик.]—Там же,
стр. 894—895.
463. Цейзинг, Адольф. [Поэт, автор работ по математической
эстетике.]—Там же, стр. 896—897.
464. Цейлен, Людольф. [Математик.]—Там же, стр. 897.
465. Цельзий, Магнус-Николай. [Математик и астроном.]—
Там же, стр. 930—931.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Москов-
ского университета за 1903 год, М., 1904, стр. 43—44.
466. Цеутен, Иероним-Георг. [Математик.] — Там же,
т. XXXVIII, СПб., 1903, стр. 119—120.
467. Цирманс, Иоганн. [Математик.]—Там же, стр. 228.
468. Цицианов, Дмитрий Павлович. [Геодезист.]—Там же,
стр. 275.
469. Цубер, Эмануель. [Математик.]—Там же, стр. 296—297.
470. Чева, Джованни. [Математик.]—Там же, стр. 453.
Черте, Иоганнес. [Математик.]—Там же, стр. 697.
472. Чирнгауз. [Математик и физик.]—Там же, стр. 858—859.
.473- П1аар, Маттьё. [Математик.]—Там же, т. XXXIX, СПб.,
1903, стр. 79.
474. Шаль, Мишель. [Геометр.]—Там же, стр. 114—116.
Рапира, Германн Гирш. [Математик.]—Там же, стр. 164.
стр 254 ШваРц’ Карл-Герман-Амандус. [Математик.]—Там же,
А7й" ^ввытеР» Даниель. [Математик.]—Там же, стр. 314.
Там же ШейнсШ Хртетофор. [Математик, астроном и физик.]—
479. Шеринг, Эрнст-Христиан-Юлиус. [Математик.]—Там же,
т- ХХХ1ХА, СПб., 1903, стр. 500.
стп г 2; ШеРк> Генрих-Фердинанд. [Математик.]—Там же.
ГР- 501—502.
390
Л. М. ЛУКОМСКАЯ
481. Шлегель, Станислав-Фсрдинацд-Виктор. [Математик.
Там же, стр. 670—671.
482. Шлефли, Людвиг. [Математик.]—Там же, стр. 697.
483. Шмидтов, Генрих-Гернер. [Математик.]—Там же, стр. 729
[ 484. Шоотеп, Франциск. [Математик.]—Там же, стр. 774.
485. Шотт, Каспар. [Математик и физик.]—Там же, стр. 81G.
486. Шпет, Погапп-Леопгард. [Математик и физик.]—Там же
стр. 828—829.
487. Шредер, Эрнст. [Математик.]—Там же, стр. 857—858.
488. Шретер, Генрих-Эдуард. [Математик.]—Там же, стр. 861.
489. Штаудт, Карл-Георг-Христпан. [Математик.]—Там ще
стр. 880.
490. Штурм, Поганн-Хрпстоф. [Математик, астроном и фи-
зик.]—Там же, стр. 941.
491. Штурм, Фридрих-Отто-Рудольф. [Математик.]—Там же,
стр. 941—942.
492. L’enscignement mathematique en Russia, fitat actual.
Enseignement secondaire.—Enseignement mathematique, Paris, 1903,
т. V, pp. 237—261.
493. L’enscignement mathematique en Russie. Etat actual.
Enseignement superieur.—Enseignement mathematique, Paris, 1903,
t. V, pp. 397—414.
1904
494. Деятельность A. II. Гольденберга в области специальной
математической журналистики. (Доклад, прочитанный 9 ноября
1902 г. в публ. сосд. зассд. Педагогпч. общ. прп Моск, уипв., Отд.
физ. наук Общ. любит, естествозн., антропол. и этногр. н учебп.
отд. Общ. распростр. тсхнпч. знаний.)—Труды Отд. фпзич. наук
Общ. любит, естествозн., 1904, т. XII, вып. 2, стр. 33—36.
495. Третий международный съезд математиков.—Физ.-матем.
науки, 2-я серия, 1904, т. I, стр. 321—323.
496. Иогапн-Готтфрид Фрпдлейн.—Там же, стр. 324—331.
Обзор учёно-литературной деятельности Поганна-Готт-
фрида Фридлейна.
497. Эпиграммы арифметические.—В кн.: Энцпклопсд. сло-
варь Брокгауза и Ефрона, т. ХЬА, СПб., 1904, стр. 892—893.
498. Якобштаб. [Измерительный прибор.]—Там же, т. XLI >
СПб., 1904, стр. 605—606.
499. Фалес Милетский как математик и астроном.—Там же,
стр. 879—881.
500. Федоренко, Иван Иванович. [Астроном.]—Там же,
стр. 881—882.
501. Фёдоров, Василий Фёдорович. [Астроном.]—Там же,
стр. 883—884.
502. Фёдор Европейский. [Геометр.]—Там же, стр. 908.
503. Феодосий Триполитскпй. [Геометр и астроном.] Там я ,
стр. 916—917.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ указатель 391
спа Энгель, Фридрих. [Математик.]—Там же, т. XLA, СПб.,
<оо4 стр. 791-792.
505. Энестрём, Густав. [Историк математики.]—Там же,
СТР 506. Эннепер, Альфред. [Математик.]—Там же, стр. 847.
507. Эпафродит. [Землемер.]—Там же, стр. 889.
508. Эпинус, Франц-Ульрих-Теодор. [Математик, астроном
Апзпк.]—Там же, стр. 918—919.
0 Р 509. Эратосфен. [Математик, астроном.]—Там же, стр. 947—949.
510. Юнгпнген, Конрад.—Там же, т. XLI, СПб., 1904, стр. 383.
511. Юнг, Джон Радфорд. [Математик.]—Там же, стр. 388.
512. Якоб, Симон. [Математик.]—Там же, стр. 607.
513. Ямвлпх как математик. Там же, стр. 658—659.
514. Янке, Евгений. [Математик.]—Там же, стр. 671.
515*. Sur les facultes particulieres aux mathematiciens el aux
calculateurs extraordinaires.—Enseignement mathematique, 1904,
т. VI, pp. 362—371.
Реф.: Jahrb. iiber die Fortschr. d. Mathem., Jg. 1904,
Bd. XXXV, S. 83. Подписано: Mi [Michaelis.]
1905
Первичные методы решения вопросов пз области науки чисел.
См. № 126.
Осиповский, Тимофей Фёдорович. См. № 204.
Остроградскпй, Михаил Васильевич. См. № 205.
516*. Methodes employees par les calculateurs extraordinaires
pour resoudre les problemes compliques.—Enseignement mathemati-
que, 1905, t. VII, pp. 343—356.
Реф.: Jahrb. fiber die Fortschr. d. Mathem., Jg. 1905,
Bd. XXXVI, S. 245. Подписано: F. (Faerber].
1906
517. Озанам, Жак.—В кн.: Энциклопед. словарь Брокгауза и
Ефрона, т. II, дополн., СПб., 1906, стр. 323.
518*. Methode experimentale dans la science des nombres et
principaux resultats obtenus.—Enseignement mathematique, 1906,
t. VIII, pp. 177—190.
Реф.: Jahrb. fiber die Fortschr. d. Math., 1906, Bd. XXXVII,
S. 197. Подписано: F. [Faerber].
1907
519. Анкета о методе работы математиков и доставленные ею
Результаты.—Педагогический сборник, 1907, часть неофициальная,
№ Ю, стр. 259—299; № И, стр. 367—384; № 12, стр. 459—477.
520. Элементарная геометрия и ее деятели во второй поло-
вине XVIII века. Учебники элементарной геометрии. Практическая
еометрпя.—Журн. Мин. нар. просвещ., 1907, ч. XII, ноябрь,
ТД- II, стр. 53—113; 1908, ч. XIII, январь, отд. II, стр. 1—50.
392
A. M. ЛУКОМСКАЯ
То же под загл.: Elemen tare Geometric.—В кн.: Cantor М., Vor-
lesungen fiber die Geschichte der Mathematik. Bd. IV. Von 1759 bis
1799, Leipzig, 1908, Abschnitt XXII. SS. 319—402.
Inhalt: Lehrbucher der Elementargeometrie. Praktische
Geometrie (Fcldinesskunst). Elementargeometrische Einzelun-
tersuchungen. Parallelenlehre.
521. Риккарди, Пиетро. [Математик.]—В кн.: Энцпклопед.
словарь Брокгауза и Ефрона, т. II, дополн., СПб., 1907, стр. 536.
522. Риккарти, Джакопо, Винченцо и Джордано. [Матема-
тики].—Там же, стр. 536.
523. Студничка, Франц Иосиф. [Математик ]—В кн.: Энцикло-
пед. словарь Брокгауза и Ефрона, т. II, дополн., СПбч 1907
стр. 120—121.
Без подписи. См. Отчёт о состоянии и действиях Мо-
сковского университета за 1907 год, ч. 1, М., 1908, стр. 23.
524. Тотгентер, Исаак. [Математик.]—Там же, стр. 770.
525*. A propos de I’enquete sur la methode de travail des
mathematicians; reflexions sur les reponses aux questions 4 et 5.—
Enseignement mathematique, Paris, 1906, t. VIII.
526*. A propos de I’enquete sur la methode de travail des
mathematiciens; reflexions sur les r^ponses aux questions 11,
12 et!3.—Enseignement mathematique, Paris, 1907, t. IX, pp. 135—
141, 389—396.
527*. Cas particulier d’emploi dissimule de la methode expcri-
mentale dans les temps les plus recents.—Enseignement mathemati-
que, Paris, 1907, t. IX, pp. 274—286.
1908
528. Cours universitaires. Russie. Cours annonces pour Гапвсе
1907—1908.—Enseignement mathematique, 1908, t. X, pp. 339—341.
1909
529. Древнеегипетская математика в эпоху владычества
Гиксов.—Журн. Мин. нар. просвещ., 1909, ч. XXIII, октябрь,
отд. II, стр. 290—328; ч. XXIV, ноябрь, отд. II, стр. 1—50.
Реф.: Jahrb. uber die Fortschr. d. Mathem., Jg. 1910,
Bd. XLI, S. 1. Подписано: Si. [Sintzow].
530. Cours universitaires. Russie. Cours annonces. pour 1’annee
1908—1909.—Enseignement mathematique, 1909,t. XI, pp. 146—148.
1910
531. Естественные и искусственные пути восстановления исто-
риками математики древних доказательств и выводов. (Доклад,
прочит, в засед. секции математики XII съезда русск. сстсствопсп.
и врачей 5 января 1910 г.)—Вести, эксперим. физ. и элемент,
матем., 1910, № 515, стр. 277—281.
Реф.: Дневник XII Съезда русских естествоиспытатели?
и врачей в Москве с 28 декабря по 6 января 1910 г., М., 191 ,
Дневник № 10, 15 апреля 1910 г., стр. 430—431.
библиографический указатель 393
532. [Выступление В. В. Бобышша по вопросу о созыве между-
лппных математических съездов ]—Дневник XII съезда русских
Я рствоиспытателей п врачей в Москве с 28 декабря 1909 года
eCTfi января 1910 г., M., 1910, отд. 2, программа и протоколы общих,
Единённых и секционных заседаний, дневник № 6 от 3 января,
сТР*5зз. Cours universitaires. Russie. Cours аппопсёв pour Гаппёе
universitaire 1909—1910.—Enseignementmathematique, 1910, t. XII,
PP’ 534, Les travaux de la section de mathematiques et d’astronomie
, Congres des naturalistes et medecins russes. Reunion de Moscou
19 janvier 1910.—Enseignement mathematique, 1910, t. XII,
pp. 318—322.
1911
535. История первоначального развития счисления дробен.
(Сообщение, сделанное в засед. Моск, матем. кружка 18 марта
1911 г.)—Вести, оп. физ., Одесса, 1911, семестр XLV, стр. 177—184.
Реф.: Jahrb. uber die Fortschr. d. Mathem., 1911,
Bd. XLI1, S. 55. Подписано: Si. [Sintzow].
536. Отзыв о сочинениях II. M. Бубнова: а) «Арифметическая
самостоятельность европейской культуры. Культурно-исторический
очерк. Исследования по истории науки в Европе», т. I, 1 (Киев,
1908); б) «Происхождение и история наших цифр. Палеографическая
попытка. Исследования по истории науки в Европе», т. 2 (Киев,
1908); в) «Подлинное сочинение Герберта об Абаке, или открытие
элементарной арифметики классической древности. Исследования
по истории наук в Европе», т. II (рукопись и корр. листы. Киев,
1908); г) «Абак и Боэций. Лотарингский научный подлог XI в.
Исследования по истории науки в Европе», т. Ill (корр. листы
и рукопись. Киев, 1908).—В кн.: Отчёт о 13 присужд. прем, митро-
пол. Макария в 190) году, СПб., 1911, стр. 87—170.
За этот отзыв В. В. Бобынину была присуждена Акаде-
мией наук золотая медаль. См. Отчёт о состоянии и дей-
ствиях Московского университета за 1909 год, стр. 25—26.
1912
537. Михаил Евсеиевич Головин.—Матем. образов., М.,
1912, т. I, стр. 178—185, 217—223, 278—282, 313—323, 369—374.
538. [Рецензия.] А. А. Лямин, Физико-математическая хре-
стоматия, т. I, Арифметика, М., 1912, 280 стр.—Матем. образов.,
М*. 1912, № 8, стр. 379-380.
. 539. Cours universitaires. Russie. Cours annonces pour Гаппёе
nrversitaire 1911—1912.—Enseignement mathematique, 1912,
1 XIV, pp. 73 76.
1913
540- Алгорифм Бинэ и его употребление в древности.—Матем.
Уразов., м., 1913, т. II, стр. 82-86, 165-168.
394
А. M. ЛУКОМСКАЯ
541. Вторая стадия развития исчисления дробей.—Вести. О1т
физ., Одесса, 1913, семестр XLIX, стр. 252—262, 307—317.
542. Распространение клинообразных числовых знаков. [Авто-
реферат.]—В кн.: Дневник XIII съезда русских естествоиспытате-
лей н врачей в июне—декабре 1913 года, № 10, стр. 419.
543. Цели, формы и средства введения исторических элементов
в курс математики средней школы (Доклад, прочитанный 29 де-
кабря 1911 г.).—В кп.: Труды 1-го Всероссийского съезда препо-
давателей математики, т. I, СПб., 1913, стр. 129—140. Конспект
стр. 140—143. Прения по докладу В. В. Бобынина, стр. 143—149’
544. Клод-Гаспар Баше де Мезприак. По поводу исполнив-
шегося в 1912 году 300-летия со дня появления в свет его «рГо_
blemcs».—Матем. образов., М., 1913, т. 11, стр. 289—296, с
портр.
545. (Выступление В. В. Бобынина в прениях по докладу
Т. А. Афапасьевой-Эренфест «Иррациональные числа в средней
школе».]—Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей мате-
матики 27 декабря 1911 г.—3 января 1912 г., т. 1, общие собра-
ния, СПб., 1913, стр. 272—273.
Выступление касалось истории иррациональных чисел.
546. Рпхман, Георг-Вильгельм.—В кп.: Русский биографи-
ческий словарь. Рейтерп—Рольцберг, СПб., 1913, стр. 233—240.
547. [Рецензия.] История математики в книге г. Мрочека «Пря-
молинейная тригонометрия и основания теории гониометрических
функций».—Матом, образов., М.. 1913, № 7, стр. 305—307.
1914
548. Яков Бернулли и теория вероятностей. По поводу испол-
нившегося в 1913 г. 200-летия со дня появления в свет книги « \rs
conjcctandi».—Матем. образов., М., 1914, № 4, стр. 161—168,
с портр.
То же. Отд. оттиск, М. [1914], 8 стр.
549. Гаусмапи, Иоганн Михаил. [Профессор математики.]—
В кн.: Русский биографический словарь. Гааг—Гербель, 1914,
стр. 279—280.
550. Гвин или Гвыи, Степан. [Преподаватель мореходных
наук.]—Там же, стр. 293—294.
551. Геллерт, Христлпб-Ерготт. [Магистр философии.]—
Там же, стр. 375—377.
1915
Пути открытия и доказательства древними математиками
552. Пути открытия и доказательства древними математиками
приписываемого Платону правила образования рациональных
прямоугольных треугольников.—Матем. образов., М., 1915, 3,
стр. 110—112.
553. Об указаниях, получаемых преподаванием математики
от её истории. Речь, произнесённая 31 декабря 1913 г. во втором
Общ. собр. съезда.—В кн.: Доклады, читанные на 2-м Всероссий-
ском съезде преподавателей математики в Москве, М., 1- I^
стр. 54—60.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ указатель 395
То нее-—Матом, образов., М., 1914, № 2, стр. 76—83.
Реф.—Дневник второго Всероссийского съезда пре-
подавателей математики в Москве (с 27 декабря 1913 г.
п0 3 января 1914 г.), М., Дневник Aii 9—10 от 4 января 1914 г.,
стр. 172—173.
Г 1916
554. История учения о логарифмах. Но поводу 300-летия
т*ода в свет Mirifici logarithmorum canonis dcscripfio Джона
Йопроа.—Матем. образов., М., 1916, № 5, стр. 172—178; № 6,
тр 197—199; 1917, № 1—2, стр. 1—9.
С 555. Об изучении кавказских народных математических зна-
ний. (Доклад, прочитанный автором в заседании секции мате-
матики 19 июня 1913 года.)—В кн.: Труды XIII съезда русских
огтествоиспытателей и врачей в г. Тифлисе 16—24 июня 1913 года,
т VI, Тифлис, 1916, стр. 519—532.
Реф.: В кн.: Дневник XIII съезда русских естествоиспы-
тателей и врачей, шопь—декабрь 1913 г., № 10, стр. 417.
556. Герман, Лука Лукич. [Преподаватель математики.]—В кн.:
Русский биографический словарь. Герберскпй—Гогенлоэ, М ,
1916, стр. 54.
557. Герман, Яков. [Профессор математики.]—Там же, стр. 57—
62.
558. Гнбнер, Леопольд Эрастович. [Астроном и геодезист.]—
Там же, стр. 169—170.
559. Гиларовскпй, Пётр Иванович. [Преподаватель математики
и физики.]—Там же, стр. 179—182.
560. Гладкой, Алексей Филиппович. [Механик.]—Там же,
стр. 251—253.
1917
561. Древнерусская математика и отношение к ней древней
Греции.—Изв. Казанск. физ.-матем. общ., 2-я серия, 1917, т. XXII,
стр. 128—157.
Реф.: Дневник XIII съезда русских естествоиспытателей
и врачей, Тифлис, 1914, стр. 108.
1924
562. Древнейшая из женщин-математиков. (Изменённая и
Дополненная часть прочитанной 30 ноября 1916 года на Московских
высших женских курсах лекции о женщинах-математиках.)—В кн.:
Сборник статей но вопросам физико-математических наук и пх
преподавания, под ред. А. II. Бачинского и А. А. Михайлова,
т- I, М., 1924, стр. 76—83.
563. По поводу древних и новых нападок на чистую матема-
тику. (Доклад, прочитанный 4 января 1910 года в Засед. под-
секции математики XII съезда русских естествоиспытателей и вра
чей.)—в кп . сборник статей по вопросам физико-математических
®аУк и их преподавания, под род. А. 11. Бачинского и А. А. Мнхай-
лова, т. I, м., 1924, стр. 65—75.
396
Л. М. ЛУКОМ СКАЯ
Ответ па статью Л. II. Толстого «О ложной пауке»
опубликованную в газете «Русские ведомости», 1909, 10 нояб-
ря, № 258, стр. 2—3.
Реф.: Дневник ХИ съезда русских естествоиспытателей
и врачей, отд. 2, программы и протоколы общих, соеди-
нённых и секционных заседаний, дневник № 10, 15 апреля
1910 г., стр. 429.
II. Биографические материалы и список работ В. В. Бобынина
564. С. В. [Венгеров С. А.], Бобынин, Виктор Викторович.—
В кн.: Венгеров С. А., Крптико-биографическпй словарь русских
писателей и учёных (от начала русской образованности до наших
дней), т. IV, отд. 1, СПб., 1895, стр. 74—83.
Бпблиогр.: Перечень написанного В. В. Бобыниным
(74 назв., стр. 79—82).
565. Попов Г. Н., В. В. Бобынин. (Некролог.)—В кн.: Сбор-
ник статей по вопросам физико-математических наук и их пре-
подавания, под ред. А. И. Бачинского и А. А. Михайлова, т I,
М., 1924, стр. 62—64.
566. Чистяков II. II., Бобынин Виктор Викторович.—В кн.:
Большая советская энциклопедия, М.» 1927, т. VI, стлб. 562—563.
567. Чистяков И. И., Памяти В. В. Бобынпна. [К 10-летию
со дня смерти.]—Матем. образов., М., 1929, № 6, стр. 254—256.
Перев. текста на франц, яз. (стр. 255—256).
568. Лодыженскиц, Л. Н. В. В. Бобынин. (Биографический
очерк.)—Матем. образов., М., 1930, № 2, стр. 64—73; № 3, стр. 86—
90. Литература (в подстр. примеч.).
По архивным материалам и устным сообщениям лиц,
знавших В. В. Бобынина.
569. Лукомская А. М., Виктор Викторович Бобынин.—Совет-
ская библиография, 1949, вып. 2, стр. 71—82.
Рец.: Стариков Н. В.—Советская книга, 1950, № 2,
стр. 117.
570. Рыбников К. А., Виктор Викторович Бобынин.—Успехи
матем. наук, т. V, вып. 1 (35), 1950, стр. 203—210, 1 л., портр.
571. Бобынин, Виктор Викторович.—В кн.: Русские книги.
Ред. С. А. Венгерова, т. II, СПб., Изд. Г. В. Юдина, 1898,
стр. 467—468.
Список работ В. В. Бобынина (14 назв.).
572. Перечень сочинений В. В. Бобынина.—Bibliotheca mathe-
matica, nouvelle serie, 1887, t. I, pp. 91—92, 117.
573. [Бобынин, В. В. Краткие биографические данные. Спи-
сок работ, опубликованных в журнале «Bibliotheca mathematica»
за 1888—1896 гг.].—Bibliotheca mathematica, nouvelle sene,
Stockholm, 1896, table generale des annees 1887—1896, p. 5.
574. Bobynin V. V.—В кн.: Catalogue of scientific РаР°Г’
compiled bv the Royal society of London, 4 series, v. XIII» Cam
bridge, 1914, p. 622?
ИЗ ИСТОРИИ
МАТЕМАТИКИ
ЮЛИАН ВАСИЛЬЕВИЧ
СОХОЦКПП
ЧАД 10. В. СОХОЦКОГО В ОБЩУЮ ТЕОРИЮ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
А. И. Марку шее ич
Юлиан Васильевич Сохоцкий разделил судьбу многих
русских учёных, открытия которых вошли в науку,
но несправедливо связываются с чужими именами. На-
стоящая заметка имеет целью восстановить авторство
Ю. В. Сохоцкого в некоторых вопросах общей теории
аналитических функций и попутно сообщить краткие био-
графические сведения о нём х).
1. Юлиан Васильевич Сохоцкий родился в Варшаве
5 февраля (нов. ст.) 1842 г. После окончания варшавской
губернской гимназии он поступил в Петербургский уни-
верситет, который окончил в 1866 г. со степенью канди-
дата. 12 июня 1868 г. Ю. В. Сохоцкий защитил магистер-
скую диссертацию «Теория интегральных вычетов с неко-
торыми приложениями» (напечатано в С.-Петербурге, в типо-
графии А. Якобсона, 1868, стр. VIII + 135). Неизвестно, кто
побудил его к занятиям теорией функций комплексного
переменного, по во всяком случае пе П. Л. Чебышев,
так как Ю. В. Сохоцкий, по его собственным словам, дол-
го упрашивал П. Л. Чебышева, пока тот не принял
Диссертации. Быть может, в этом факте проявилось
нерасположение П. Л. Чебышева к теории функций ком-
х) Все биографические сведения о Ю. В. Сохоцком любезно
предоставлены автору этой заметки проф. II. Я. Дспманом, слу-
шавшим в студенческие годы лекции 10. В. Сохоцкого в Петер-
бургском университете. Некоторые сведения содержатся также
в «Энциклопедическом словаре» Брокгауза и Ефрона, т. XXXI,
1900, стр. 12-13.
400
А. И. МАРКУШЕВИЧ
плекспого переменного. С 28 сентября 1868 г. Ю. В. (j0~
хоцкий—приват-доцент Петербу ргского университета, гДв
читает курсы теории функций мнимого переменного и
о непрерывных дробях с приложениями пх к интегрцрОва
нию1). 25 ноября 1873 г. Сохоцкий защитил докторскую
диссертацию «Об определённых интегралах и функцИях
употребляемых при разложениях в ряды» (С.-Петербург ’
типография М. Стасюлевича, 1873, стр. II-f-lV-f-129)’
С 29 декабря 1873 г. он—экстраординарный, а с 1 января
1882 г.—ординарный профессор Петербургского универ-
ситета. Кроме того, Сохоцкий был профессором Инсти-
тута гражданских инженеров.
Ряд более поздних работ Ю. В. Сохоцкого относится
к теории эллиптических функций [«Доказательство, что
функция / (х) пе может иметь более двух периодов». (Про-
токолы VI съезда русских естествоиспытателей); «Опре-
деление постоянных множителей в формулах для линей-
ного преобразования функций тета»; серия докладов в Пе-
тербургском математическом обществе, 1896—1898 гг.,
посвящённых элементарному построению теории функций
Си и аи, а также sn м, сп и, и dn м, для действительных
значений аргумента, посредством рассмотрения свойств
кривой третьего порядка y2 = kxs—g2x—g3£.]
Однако известность Ю. В. Сохоцкого как учёного
связана с его работами в области высшей алгебры и тео-
рии чисел. Здесь ему принадлежат обладающие высокими
научными и педагогическими достоинствами, оригиналь-
ные курсы: «Высшая алгебра» (1882 г.) и «Теория чисел»
(1888 г.,) а также замечательное исследование по теории
алгебраических чисел, основывающееся на работах
Е. И. Золотарёва, А. А. Маркова и ого собственных:
«Начало общего наибольшего делителя в применении
к теории делимости алгебраических чисел» (1893 г.).
В 90-х годах 10. В. Сохоцкий был председателем Петер-
бургского математического общества. Позднее он посте-
пенно отходит от научной деятельности, продолжая, од-
нако, чтение лекций в качестве профессора университета.
Его прекрасно разработанные лекции по теории опреде-
*) Так сообщил мне названия этих курсов И. Я. гг
ВКЛАД ю. в. СОХОЦКОГО В ТЕОРИЮ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ 401
пёкных интегралов и высшей алгебре неоднократно изда-
Д лпсь литографским способом.
5 Б своих лекциях Сохоцкип часто упоминал о дости-
жениях русской науки, о результатах Остроградского,
Цебьппева, излагал признак сходимости, при надлежащи it
киевскому профессору 13. II. Ермакову и т. д.
О мастерстве Сохоцкого как учёного-лектора свиде-
тельствует следующая выписка из дневника его слуша-
теля-студента, впоследствии знаменитого учёного
р ф. Вороного: «Лекции проф. С. по специальному курсу
высшей алгебры я теперь предпочитаю всем остальным.
Теперь у меня есть настоящее желание работать, без
всякого насильственного усаживания за книгу... Что
за прелестная вещь! Хотя и масса формул, но все они
настолько симметричны, что легко запоминаются».
Умер Ю. В. Сохоцкип в 86-летнем возрасте 14 декаб-
ря 1927 г. в Ленинграде.
2. В предисловии к своей магистерской диссертации
Ю. В. Сохоцкип, отмечая значение теории вычетов для
математического анализа, указывает, что «исчисление ин-
тегральных вычетов почти вовсе не разрабатывается учё-
ными нынешнего времени». «В настоящем рассуждении,—
пишет далее Сохоцкий, —я излагаю общие начала ис-
числения интегральных вычетов и показываю некоторые
из его применений, именно такие, которых я вовсе не
нашёл между работами Коши, или же нашёл их изло-
женными не в столь простой и наглядной форме, в какой
мне удалось их представить».
В этой работе (на стр. 17) впервые формулирована и
Доказана знаменитая теорема о поведении аналитической
Функции в окрестности существенно особой точки, не-
правильно приписанная впоследствии К. Вейерштрассу х).
„ J) Этой распространённой ошибки не избежал и автор настоя-
щей заметки в своей книге «Элементы теории аналитических функ-
ции» (Учпедгиз, М., 1944). У Вейерштрасса эта теорема встречается
лишь в 1876 г.—на 8 лет позднее К). В. Сохоцкого. Приоритет
охоцкого перед Вейсрштрассом в этом вопросе отмечен в указан-
и°ГАвыше сметке из энциклопедического словаря Брокгауза
Эфрона. Одновременно с Сохоцким ту же теорему нашёл птальян-
„гВи математик Казоратп («Thcoricadelle funzioni di una variabile
c°ttplessa», Pavia, 1868).
Историко-митем. исследования
4 02
A. II. МДРКУШЕВНЧ
10. В. Сохоцкий высказывает сё в следующем старомодном
виде:
«Если данная функция / (z) в некоторой точке z0 обра-
щается в оо бесконечного порядка, то непременно в этой
же точке функция /(z) должна принимать всевозможные
значения». В этой формулировке существенно особая точка
называется точкой, в которой / (z) «обращается в оо беско-
нечного порядка» (имеется в виду характер разложения
функции / (z) в окрестности я0), а под значениями функции
/ (z) в точке z0 подразумевается множество предельных зна-
чений функции в этой точке. Это явствует как из примеров
приводимых Сохоцким рапсе (стр. 2) и поясняющих, что
«одиночная функция» (однозначная аналитическая функ-
ция комплексного переменного z) может в исключительных
точках иметь более одного значения (например, sin—Ц.
«в точке z — b принимает всевозможные значения»), так
и из сообщаемых им доказательств, по существу не отли-
чающихся от современных. Обстоятельно изложив опре-
деленно и свойства вычетов, Сохоцкий основную часть
своей работы посвящает её приложениям к обращению
степенного ряда (ряд Лагранжа) и, в особенности, к раз-
ложению аналитических функций в непрерывные дроби
и к многочленам Лежандра. При этом Сохоцкий получает
несколько важных формул, относящихся к разложению
функций в непрерывные дроби вида
1 ai
+ —
72 + • •
где-Лр «о, • • • — постоянные числа, a qQi qlt q2i ... — мно-
гочлены. Из них оп выводит, в частности, ряд результа-
тов, содержащихся в работе П. Л. Чебышева «О непрерыв-
ных дробях» и найденных Чебышевым другим путём- «Ь‘
же теоремы, —пишет Сохоцкий,—старались вывести: Руше
в мемуарс, помещённом в 37-й тетради журнала Политех-
нической школы, п Гейне в мемуарс, помещённом и
67 м томе Журнала Крелл я. Но оба они разбирают част-
ные случаи, п изыскания пх уклонились от простоты,
которою можно получить все пх результаты, следуя ДР)
рКЛЛД сохоцкого в теорию лпалитпч. функций
403
гомУ пути». В конце раиогы Сохоцкого помещена статья
«О разложении функции в ряды при помощи непрерыв-
ных дробей», в которой выводятся формулы, отчасти по-
лученные иным путем 11. Л. Чебышевым в одноимённой
статье *), отчасти же новые.
С 3. Докторская диссертация 10. В. Сохоцкого (1873 г.)
замечательна том, что именно здесь было положено начало
теории сингулярных интегральных уравнений, содержа-
щих главные значения интегралов в смысле Коши. Та-
ким образом, теория, получившая большое развитие
в трудах советских грузинских учёных (акад. II. И. Мус-
хелпшвпли и его школа), должна вести свою родословную
по от работ Пуанкаре и Гильберта, па которые ссылается
акад. П. II. Мусхелпшвили во введении к своей моногра
фин «Сингулярные интегральные уравнения. Граничные
задачи теории функций и некоторые пх приложения к
математической физике» (Гостсхиздат, М. — Л., 1946), а
от работы 10. В. Сохоцкого, опубликованной па 30 лет
раньше.
В первой же фразе предисловия к своей книге Сохоц-
кпй говорит о задаче решения интегрального уравнения,
содержащего интеграл типа Коши: «В сочинении этом я ста-
раюсь обратить внимание читателя па решение уравнения
/(0^
t - ж *
то-есть на определение функции /(ж), по данной функции
?(х)>, п далее, после ссылки па интегральные уравнения
в работах Абеля, Коши и Мюрфн: «Можно указать иа
несколько других случаев определения функции под зла-
ком интеграла: один пз простейших есть тот, па который
мы выше указали. Оп заслуживает особенного внимания
потому, что его решение прямо приводит к основным на-
чалам теории функций от мнимой переменной».
Центральный интерес для современной теории фуик-
Ций представляет первый параграф рассматриваемой дпе-
г) См. Полное собрание сочинений II. Л. Чебышева, т. II,
атематпчоскпй анализ, Изд. АН СССР, М.—Л., 1947.
26*
404
Л- П. МДРКУШЕВПЧ
сертацин Сохоцкого, так как здесь впервые изучаются
граничные значения интегралов типа Коши и при весьма
общих условиях выводятся формулы, впоследствии иолу
чившпе широкое применен ио в работах по теории упру,
гости И. 11. АТусхелишвпли и его школы.
Приведём полностью текст первого пункта диссерта-
ции Сохоцкого:
«Пусть будет функция <р(;с), выражающаяся формулой
ь
а
где а и b суть два произвольных комплексных числа
/(/) есть произвольная функция от переменной t, а интег-
рал предполагается взятым по некотором траектории,
соединяющей а с Ь. Функция / (/) может быть разрывная
между пределами интеграла, лишь бы только интеграл
(1) имел конечное и определённое значение.
Функция <р(я) есть неразрывная во всей координат-
ной плоскости, за исключением траектории интеграла
(1); в каждой точке этой траектории функция © (ж) будет
иметь вообще два различных значения, а в некоторых
её точках она может обращаться в бесконечность.
Всякую точку х, лежащую на траектории интеграла
(J), мы будем рассматривать как совокупность двух смеж-
ных точек xt п х2, из которых первая лежит но одной
стороне траектории, а вторая по другой; два значения
функции ср (х), соответствующие точке х, будем рассматри-
вать как соответствующие двум различным точкам лд
и х2. Вследствие этого траектория интеграла (1) может
быть названа линией разрыва функции с (ж)».
Мы видим, что здесь излагается в развёрнутом виде
понятие интеграла типа Коши.
Далее Сохоцкий доказывает следующие теоремы:
«Т е о р е м а 1. Если ©(xj, ®(х2) суть два значения
функции <р(ж), соответствующие двум смежным точка,
на линии разрыва, то
? (л) - ?(<’) _/(* + 0) + /(*-0)
2-Л 2
f<rT.n СОХОЦКОГО В ТЕОРИЮ АИАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ 405
_--------—-----------_----------_--
-----
что если функция f (х) в точке х неразрывна, то
тah ,,z . , .
Т^=/(Ф-
ции <р(^)
Последняя формула решает задачу об отыскании подин-
тегральноп функции / (х) по данной функции ?(.г).
/Г е о р е м а 2. Если в точке хна линии разрыва функ-
функция /(х) есть неразрывная, так что при
) малом h
j(x-\-h) - f (х — Л) — Lh%,
где а —конечная, положительная величина, а 0 принимает
конечное положительное значение при h = 0, то
?(а:1)=5тгг+от/(ж)>
а
где интеграл со знаком во вт орой ча<ти обозначает предел
суммы
x—h b
<i x+/i
для h = 0».
Эта наиболее важная для приложений теорема решает
вопрос о граничных значениях интеграла типа Коши в
предположении, что функция / (х) удовлетворяет условию
Гельдера (а кривая, по которой производится интегриро-
вание, обладает в данной точке касательной), т. е. при весь-
ма общих условиях. Именно в этой теореме появляется
главное з и а ч е и и е интеграла типа Коши
С
J t — x ’
а
а вместе с ним н сингулярное интегральное
У Р а в н е н и е (относительно f (х)\
Приведём, наконец, следующее предложение:
еорема 4. Существует одна и только одна функ-
?(#), удовлетворяющая следующим условиям'.
г о(оо) = 0;
406
A. II. МАРКУШКВИЧ
2) функция о (т) остаётся неразрывной во всех точках
координатной плоскости, кроме точек некоторой сан-
ной линии, называемой линией разрыва',
3) разность двух значений функции ф (х), соответствую-
щих двум смежным точкам па линии разрыва, равняет-
ся данной функции / (х);
4) функция ф (д’) или вовсе не обращается в со, цли
же обращается в со в некоторых точках на линии ра^
рыва, но всегда порядка ниже единицы.
Эта функция ф(д’) определяется по формуле
ь
(5)
а
где а и Ьсутъ концы линии разрыва, а траектория инте-
грала совпадает с линией разрыва».
До последнего времени эти предложения (в особенности
теоремы 1 и 2) несправедливо приписывались Племелю J),
переоткрывшему пх в 1908 г., т. е. спустя 35 лет после
Сохоцкого.
Основное внимание в своей докторской диссертации
10. В. Сохоцкий посвящает теории специальных функ-
ций—функциям, подобным функциям Лежандра, т. е.
многочленам Якоби, и функциям Ламе. Наибольший ин-
терес представляет построение и развитие теории функ-
ций Ламе. Однако установление роли Сохоцкого в теории
специальных функций требует особого исследования.
г) См., кроме цитированной выше книги Н. 11 Мусхсли-
швплн, также его фундаментальный труд «Некоторые основные
задачи математической теории упругости», 3-е изд., Изд. АН СССР,
М.—Л., 1949. Подобную же ошибку сделал и автор этой заметки
(в сборнике «Математика в СССР за тридцать лет 1917—194/»,
Гостехиздат, 1948 г., стр. 3G5).
ВОПРОС О «НЕДЕЛИМЫХ» И БЕСКОНЕЧНОМ
В ДРЕВНЕРУССКОМ ЛИТЕРАТУРНОМ
ПАМЯТНИКЕ XV ВЕКА
В. II, Зубов
J\q спх пор наши историки философии и историки ма-
тематики, к сожалению, не обратили должного внимания
на один древнерусский памятник, представляющий зна-
чительный интерес. Историками древнерусской математики,
начиная с В. В. Бобынина, обследованы преимущественно
тексты XVI—XVII вв. В данном случае—перед нами па-
мятник более ранней эпохи, относящийся ко второй по-
ловине XV в. Я имею в виду древнерусский перевод ча-
сти сочинения ал-Газали (/Хлгазеля, 1059—1111) «Мак-
касид ал-фаласпфа» (Стремления философов). Сочинение
ал-Газали распадается на три части— «Логику», «Фи-
зику» и «Метафизику». Перевод первой части («Логики»),
известный в древнерусской литературе под названием
«Логики Авпасафа», был издан [г]г), хотя до сих пор над-
лежащим образом не изучен. Часть «Метафизики», вкрап-
ленная в другое логическое произведен по, в «Логику
Маймонида», не только нс издана, но до настоящего вре-
мени даже не цитировалась в сколько-нибудь крупных
отрывках [2].
Между тем этот перевод в значительной степени меняет
то представления о древнерусской математике, которые
сложились после работ Бобынина. Обычно принято думать,
Что Дровняя русская математика ограничивалась кругом
чания\ЦИФРы’ .9Т0яЩпе в квадратных скобках, относятся к приме-
V помещённым в конце статьи на стр. 427.
408
В. П. ЗУБОВ
практических арифметик и прикладных (преимущественно
землемерных) задач по геометрии. В данном случае перед
нами труд, содержащий ряд тонких математико-фило-
софских определений, различений и теорем, свидетель-
ствующий о высоком уровне нашей древней культуры.
Он показывает, что философско-математические про-
блемы континуума, волновавшие античность п средневе-
ковье, обсуждались и на Руси в XV—XVII вв. Пет необ-
ходимости указывать, что и для истории древнейшей рус-
ской математической терминологии упомянутый памят-
ник даёт немало ценного и любопытного.
Указанные переводы обязаны своим появлением кругам
так называемых «жпдовствующих»,—подчёркиваю так
называемых, ибо социальный и этнический состав этих
кругов, так же как и точное место возникновения пере-
водов остаются во многом невыясненными. Главным ис-
точником сведений об этих кругах являются резко поле-
мические писания их противников—архиепископа Новго-
родского Геннадия и игумена Волоколамского монастыря
Иосифа Волоцкого,—от которых невозможно ждать объ-
ективности и достоверных данных. Остаётся бесспорным,
что ересь «жпдовствующих», отличавшаяся рационали-
стическим характером, получила, начиная с 70-х годов
XV в., широкое распространение в Новгороде и Москве,
захватив не только духовные, но и светские круги, вплоть
до великокняжеского двора. Среди сторонников ереси на-
зывают имя невестки Ивана III, Елены, дьяка Фёдора
Курицына и др. В 1504 г., после осуждения еретиков на
Соборе, были сожжены в Москве брат Курицына, Волк,
Иван Максимов, Димитрий Коноплев; Некрасу Рукавому
был в Москве отрезан язык, а затем и он был сожжён в
Новгороде. Хотя полемисты и обращали главное своё
внимание на богословскую полемику, однако даже из их
писаний явствует, что в среде «жпдовствующих» былп
распространены светские науки,—они усердно занимались
астрономией, медициной, логикой и, наконец, математи-
кой [3].
Древнерусский перевод «Метафизики» ал-Газали сде-
лан с древнееврейского [4]. Без оригинала разобраться
в нём невозможно: этому мешает непривычность термине-
нЕделимь1е
и БЕСКОНЕЧНОЕ в рус. ПАМЯТНИКЕ XV ВЕКА 409
гии> прихотливость пунктуации п то обстоятельство,
\°0 в тексте последующими переписчиками много «наглуп-
Ч-вОВано»,—по выражению одного из древипх читателей
СоДОбных трудных философских сочинений [5]. Не имея
Позможности сличить древнерусский перевод ни с араб-
ским оригиналом, ни с древнееврейским переводом, я
сковывался на переводе латинском, что позволило не
только разобраться в путанице отдельных кусков текста,
которая была внесена позднейшими переписчиками, но
выбрать правильное чтение, упорядочить пунктуацию
и т. д.[6]. Само собой разумеется, что сличение с древне-
еврейским переводом, с которого переводили древнерус-
ские книжники, позволит объяснить ряд особенностей
славянского текста, остающихся в настоящее время
тёмными.
Самым категорическим образом следует возражать про-
тив мнения, будто древнерусский перевод ал-Газали
не имел никакого значения, что при самом своём возник-
новении он был никому пе понятной «тарабарщиной» и сю
же оставался. Необходимо помнить, что многое затемни-
лось и исказилось в списках позднейшего времени. Но
что и тогда его читали внимательно, показывают хотя бы
те глоссы, которые имеются в используемом мною спис-
ке Соловецкой библиотеки: какой-то безвестный читатель
внёс параллельные термины из другого философского
сочинения, бытовавшего в древней Руси,—из «Диалектики»
Дамаскина [7]. Самос же главное—при неустаиовпвшейся
научной терминологии было безразлично, к какому тер-
мину станет привыкать впервые обучающийся наукам.
Для нас «акциденция» понятнее, чем «приключение», и
«суждение» понятнее, чем «осуд», но это только для
вас.
Наиболее совершенным нужно признать погодинский
список № 1146, XVII в., хранящийся в Ленинградской
публичной библиотеке. Он и взят мною в дальнейшем за
основу [8]. Выдержки пз древнерусского перевода я счн-
аю необходимым дополнить кое-где выдержками из не-
Рев°да латинского. Это должно помочь читателю (как
могло и мне) разобраться в тексте. Пунктуация (равно
к и орфография) подлинника заменена мною совре-
410
В. II. ЗУБОВ
менною; мои пояснения даны либо в скобках, либо в под-
строчных примечаниях.
Предметом ближайшего рассмотрения явятся три гру1ь
пы отрывков: 1) отрывки, посвящённые анализу основных
геометрических понятий; 2) раздел, посвящённый критике
«неделимых» и изложению собственной точки зрения авто-
ра, и 3) раздел, содержащий перипатетические доказатель-
ства невозможности бесконечно большого тела.
В первой группе отрывков мы находим такие геометри-
ческие термины, как «снур» (линия), «угол стоящий»
(прямой угол) [9], «угол острый» и «угол широкий» (т. е.
тупой), «простор» (поверхность, плоскость), «плоть», «плот-
ный» (тело), «обоймище» (объём), «наугольник» (диаго-
наль), «образ средотычный» (круг), «кружок» (сфера)
и т. п. Рассечение п пересечение обозначаются терминами
«врезание», «урезание», например «врезание плоти» —
рассечение тела. «Снуры врезные»—пересекающиеся ли-
нии, «урезок»—сечение тела. Количество делится на «урез-
ное», т. е. дискретное (число), и «прнлеппое», т. с. непре-
рывное (геометрическая величина). Соответственно гла-
голы «влопитп», «ленпти» отвечают тому, что в латинском
переводе передано глаголом continuare,—непрерывно про-
должать или образовать непрерывность. Такне слова,
как «даление» и «попущение», соответствуют нашим поня-
тиям протяжения, расстояния, измерения. «Прятание»—
вращение, «двпзанпс»—движение, «протпвенство»—парал-
лельность.
Точки и линии обозначаются буквами, которые в неко-
торых списках иногда заменяются их наименованием.
Так, мы встречаемся и с обозначениями а, б, г, б, и с та-
кими оборотами: «едина бы часть бегла от аза до веди,
а вторая от добра до глаголя», или: «иже будет одни
их на мыслете, а второй на люди». Линии либо обозна-
чаются буквами (дв, гв и т. п.), либо так: «даав», «гаав»
и т. п. (т. е. те же дв, гв). Наложить один отрезок па дрУ“
гой—«прилепить», например: «прилепим мыелпю даав
на гаав», т. е. наложим мысленно дв на гв.
Термин «образ» соответствует латпнекому figura,
обозначая п двухмерные фпгуры, п трёхмерные формы-
Его приходится переводить «фпгура» в обоих случаям»
ёдЕтП1МЫЕ II БЕСКОНЕЧНОЕ В РУС. ПАМЯТНИКЕ XV ВЕКА 41 1
• как «форма» слишком осложнена философскими ассо-
Та1'цпямп. Форма в философском (аристотелевском) смы-
Ц11 передаётся термином «душевствмс», «душевенство»,
СЛматсрпя—«тслсствне» или «гшоль» (бЦ).
3 укажем одновременно и некоторые философские но-
я: «истина»—определенно (например, «истина плот-
НЯГО»—определение тела), «сооружение» и «сооружайне»
пчяот и понятие, и состав. «Заносный»—сложный («за-
<)3Hd * \ f~X г” **
мешен»__состоит пз). «Сюретение»—оытие, «ооретсныи» —
существующий; «в силе»—потенциально, «в деле»—ак-
туально. «Самость»—субстанция, «едпначоство»—един-
ство, «привод» —причина, «ряд» —порядок.
Первый из приводимых отрывков посвящён «истине
плотного», т. е. определению тела. В этой связи даётся опре-
деление липин, плоскости и классификация углов (пря-
мой, острый, тупой). За этим отрывком следует другой
из главы об акциденциях. Количество делится на дискрет-
ное и непрерывное. Повторяются определения тела,
плоскости, липин. Дастся определение точки. В отрывке
3-м речь идёт об отличиях дискретного количества от
непрерывного, в отрывке 4-м—о том, можно ли мыслить
три измерения тела как результат движения точки. Автор
признаёт правомерность такого приёма мышления, по
подчёркивает, что первично, в действительпостп, суще-
ствует не точка, а тело.
19 об.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕЛА,
Древний перевод, л. 18 об.
О истине плотного
Понеже раздели разум са-
мость на плотна и бесплотна, бе
бо обретение плотна изо всяче-
гтва самостей чюветвенно, по-
винны мудрецы толковатп исти-
ву его и сооружение его.
Плотный же есть самость. Воз-
можно вложити в него три снуры
Om/ihieoK I
ПЛОСКОСТИ. ЛИППИ. ВИДЫ УГЛОВ
Современный перевод
Об определении тела
Поскольку разум делит суб-
станции на телесные и бесте-
лесные, а из всех субстанций
только тело постигается чув-
ственно, философам надлежит
начать с толкования его опре-
деления и состава.
Тело есть субстанция. В нём
можно разместить три измере-
412
В. П. ЗУБОВ
врезных на углы стоящий. За-
нсже позрсв самости умовыя или
божия, невозможно тп вложити
далекие пли спур нпкакожс;
да аще помыслпшп о небе или
о иных плотных, возможно тп
вложити в пя спур разделимый.
Снур же во едину страну на-
речется должина. Н се обре-
тется в сиурс точпю.
Попущение же в две стране
наречется [должина и] ширина.
И се обретется в просторе еди-
ном точпю, оп же делится с дву
стран. Спур же не делится то-
чшо со единый страны. Несть
бо вещи, делящейся с трёх
стран, точпю плотный.
Се вся, елико положспая в
помышлении три смуры врез пых,
на углы стоящий, се есть плот-
ный. Но воединачпхом: углы
особными. Аще бы иначе, по всяк
простор возможно, дабы вложи-
лпся в него попущения мнози
урезныя на углы нс стоящий,
яко спи: [здесь должен был
быть отсуствующпй в списках
чертёж].
Но вложением нашим углы
стоящий не приложатся более
должины и ширины ц глубины.
Углы же стоящим—от двух
снуров: един лежащ, а другой
стоящ нас род его прямо пе-
склонно: J_
Да аще склонно, се наречется
един острый угол второй
широкий —.
ния, пересекающиеся под пря-
мыми углами. Ибо если взгля-
путь па субстанции разумный
пли божественную, нельзя" в них
никак разместить протяжение
пли линию. Но если ты будешь
мыслить небесные или нцЫц
тела, тебе будет возможно раз-
местить в них делимую ливню.
Протяжение в одну сторону
пазывается длиною. Н оно встре-
чается лишь в линии.
Протяжение же в две сто-
роны называется длиною и ши-
риною. П оно встречается толь-
ко у поверхности, которая де-
лится во двумя измерениям.
Линия же делится лишь по од-
ному измерению. И пет другой
вещи, кроме тела, которая де-
лилась бы по трём измерениям.
Всё то, что оказывается пола-
гаемым в мысли, как имеющее
три измерения, пересекающиеся
под прямым углом, есть тело.
Мы говорим «под прямым уг-
лом», потому что в ином случае
это было бы возможно и для
поверхности: многие протяже-
ния, пересекающиеся не иод
прямым углом, могут разме-
ститься в пей.
Но при нашем условии пря-
мые углы не могут поручиться
помимо длины, ширины и глу-
бины.
Прямые углы получаются из
двух линий: одна—лежачая, а
другая—стоящая прямо iui ней,
нс склоняясь ни в ту, ни в дру-
гую сторону.
Если же она будет наклонной,
то вот это будет называться
углом острым"^, а широкий
угол, к нему прилегающий, и‘
зывается тупым.

нСпР.ПИ*1Ь1В И БЕСКОНЕЧНОЕ В р^С. ПАМЯТНИКЕ XV ВЕКА 413
Отрывок 2
ВИДЫ КОЛИЧЕСТВА. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕЛА,
ПЛОСКОСТИ, линии и точки
древнпп перевод, л. 26 об.-27
Количества убо два: суще-
ственно и прнлсппо; опоже им
четыре части: снур, простор,
плоть, время.
Снур убо се есть должнна,
простирание во едпну страну.
Простор же в две стране.
Плоть же в три страны.
Вся же сия попущения в силе,
не в деле, но приходят в дело
врезанием тоя плоти, оно же
есть приключение. Понеже аще
необрстется, но будет плотный
обретен. Но по врезании плотна
видится в плоти,—се есть при-
ключение.
Снур же толкуется врезания
плотная и конец его.
И тычка толкуется конец сну-
ров п врезание его. Да аще
простор приключение есть, но
тычка и снур воистину приклю-
чение суть.
Но тычка по пмать меры. Да
аще бы имела, была б снур. 11
аще бы у сиура ширина, был
бы *) простор. Да аще бы у про-
стора глубина, был бы плоть2).
Современный перевод
Количество бывает двоякое:
непрерывное и дискретное. Пер-
вое имеет четыре вида: линия,
поверхность, тело, время.
Линия есть длина, простира-
ние в одну сторону.
Поверхность—в две стороны.
Тело—в три стороны.
Все эти измерения существуют
потенциально, не актуально,
становятся же актуальными по-
средством рассечения тела. Это
значит, что они суть акциден-
ция. Ибо если они не будут
существовать, той о тем не ме-
нее будет продолжать суще-
ствовать, по рассечении же тела
они проявятся как нечто при-
надлежащее этому телу,—а это
п есть свойство акциденции [т. е.
существовать в чём-нибудь дру-
гом, что само может существо-
вать и без этой акциденции].
Линия истолковывается как
сечение тела и его граница.
Точка истолковывается как
граница линии и сё сечение.
Если поверхность есть акци-
денция, то линия тем более
является акциденцией.
Точка пе имеет измерений.
Если бы опа имела измерение,
она была бы ливнем. 11 если бы
линия имела ширину, она бы-
ла бы поверхностью. А еелп бы
поверхность имела глубину,
она была бы телом.
*) В списках: «была бы»,
«ттп Соловецкий список:-
плоть»; погодинский список:
«плотный»
414
В. П. ЗУБОВ
Отрывок 3
ОТЛИЧИЯ ДИСКРЕТНОГО КОЛИЧЕСТВА ОТ НЕПРЕРЫВНОГО
Древний перевод* лл. 27 об.-28
Количество убо урезное (си-
рень число) оно убо такоже при-
ключение, запсжс убо число ста-
вится в сугублсннп единых.
Атце бы един и едииачсство—
приключение, ио число, прихо-
дящее пз пего, достойнее при-
ключепству.
Но разнится количеств/) у рез-
ное прплсппому, зале пе об-
ретется межи частьмн у резного
врпметепня, дабы в.тепнтп ')
часть в часть. Запсжс несть
межу другим п третьим л чет-
вёртым примешепмя прилеппти
в части их, якоже лепит точка
смышленая* 2) срединою сиуро-
вой межу двсма концы сиуро-
выми, якоже лепит спур межу
двсма концы просторовымп, яко-
жс лепит простор помьпллсп-
пый меж двсма концы плотны-
ми, якоже лист «ныне» меж
двема концы временными, они
же нматное и проходное.
3) В латинском переводе гла-
голам «влепптп», «лепитп» соот-
ветствует conlinuare.
2) Возможно, что правиль-
ное чтение будет: «точка номыш-
Совремепиып перевод
Дискретное количество есть
число. Оно также есть акциден-
ция, поскольку чпело получает-
ся пз удвоения единиц. * Если
единица п единство суть акци-
денции, то тем более является
акциденцией происходящее ц3
пнх число.
А разница между Дпскрстпым
и непрерывным количеством за-
ключается в том, что между ча-
стями дискретного количества
отсутствует нечто общее, позво-
ляющее соединить часть с ча-
стью. Между второй, третьей
и четвёртой пет общего, позво-
ляющего непрерывно соединить
части наподобие того, как во-
ображаемая точка в середине
липни соединяет обе части ли-
пин, наподобие того, как ливня
соединяет две части поверхно-
сти, наподобие того, как вооб-
ражаемая поверхность соеди-
няет две части одного тела, пли
«теперь» (мгновенье) соединяет
две части времени, т. е. буду-
щее и прошедшее.
л спая», как ниже: «просто}) по-
мышленый».
Отрывок 4
ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ТЕЛО II ЕГО ИЗМЕРЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОМ
ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ?
Древний перевод лл. 27—27 об.
Но мнится бытм возможно
с ну ру и простору и плоти j не-
современный перевод
По возможно мыслить, ЧТО
линия, поверхность и тело воз-
црТТИМЫЕ II БЕСКОНЕЧНОЕ В РУС. ПАМЯТНИКЕ XV ВЕКА 415
двпзальным* 2 *). Се тыч-
*°*ейа ся подвигнет не в снур,
*a’jvD егда ся подвигнет не
а J^ctop, а простор нс в страну
глу^ны своей, мнится плот-
ный 2)-
а се иногда мнится яко бы
истинно снур бы ставился дви-
«янисм тычечным, а се ложь
есть по естеству, но се есть
v мысли. Запсже тычка не дви-
жется, по па месте не разу-
меется3). Со место, но самостию
плотна4).
Се да будет плотный предок
пвизанпем простору, а простор
снуру, а спур тычце, а тычка—
положению двизалыюму. Время
убо есть мера двмзальпая и ре-
чей о пей в миротворных5 б).
4) В списках: «мнением дви-
дальным». Меняю в соответст-
вии с дальнейшим, где встре-
чается выражение «положение
двизальное». В латинском пере-
воде: «punctione molus» и «posi-
cione motus».
2) Повиднмому, в этой фра-
зе выпали части. В латинском
переводе: «Cum autem movetur
punctus, provenit indo linea.
Cum vero linea movetur non in
partem in quam extenditur, pro-
venit indo superficies. Supcrfici-
severo, cum mota fuerit non in
пикают посредством точечного
движения. Так точка, двигаясь,
даёт линию, а линия, когда она
движется пе по своему измере-
нию, даёт поверхность, поверх-
ность, когда опа движется пе
по своему измерению,—тело [по-
следняя фраза—по латинскому
переводу].
Иногда полагают, что линия
получается движением точки, но
это невозможно физически, хотя
п мыслимо. Ибо точка по дви-
жется, но мыслится, как зани-
мающая место. Ведь место по
существу телесно.
Таким образом, тело предше-
ствует поверхности, поверх-
ность—линии, линия—точке, а
точка—положена ю движения
[невидимому, имеется в виду,
z.z.'.vTjcDai дрешшх атомистов,
или атом движения]. Время же
есть мора движения, и о ней
мы скажем в «Физике».
partem in quam extendifur,
provenit indo corpus».
3) Это слово ввожу из соло-
вецкого и родственных ему спи-
сков.
4) Испорченное место. В ла-
тинском переводе «locus autem
non est nisi corpus fuerit». Мо-
жет быть, следует читать: «Во
место самостию плотно».
б) В списках: погодинский
список: «и речем о пей миро-
твореных»; соловецкий список:
«и речем миротворным».
Переходим ко второй группе отрывков. Опп посвящены
вопросу о «замещении плотного», т. е. вопросу о «составе
Тела». Ал-Газали намечает три возможных решения во-
пРоса: а) тело состоит пз неделимых; б) тело является не-
неделимым единством; в) тело состоит из материи
формы («телествпя» п «душевствпя»); оно едино по своей
416
В. П. ЗУБОВ
сущности пли «форме», части же существуют в нём
лишь потенциально. Эта последняя (аристотелевская)
точка зрения является тон, которую разделяет ал-Гц!
за ли.
Мы оставляем в стороне вторую точку зрения и ту
часть трактата, которая посвящена материи и форме Д
их анализ завёл бы нас слишком далеко. Первую точку
зрения ал-Газалп подвергает критике, выдвигая шесть
аргументов.
Первый аргумент взят пз «Физики» Аристотеля (V1
1, 231Ь): точки не могут соприкасаться частями, так как
не имеют их, а должны сливаться целиком, т. е. из сум-
мирования точек не может получиться протяжения. Вто-
рой аргумент встречается уже в трактате «О неделимых
линиях», приписывавшемся Аристотелю, но на самом деле
принадлежащем Феофрасту пли какому-нибудь другому
арпстотелику ещё более позднего времени: линию, состоя-
щую пз нечётного числа неделимых, нельзя разделить
пополам (см. «О неделимых линиях» 970а). Прототип треть-
его аргумента мы также находим в том же трактате
(970b): на двух линиях, состоящих из одинакового чёт-
ного числа неделимых, две точки, равномерно двигаясь
навстречу друг другу, не могут оказаться друг против
друга, одна над другой. Четвёртый аргумент—традици-
онный, восходящий к античности: несоизмеримость диа-
гонали и стороны квадрата. Пятый—пример с гномоном,
который позднее получил широкое распространение. Ше-
стой—вариант так называемого «Аристотелева колеса» (ср.
псевдо-Аристотель, Механика, 24, 855а—856а).
А. ВОЗМОЖНЫЕ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ НА ПРИРОДУ ТЕЛ
Древний перевод, л. 20
Мпозп убо разнятся о сем, ио
вс стати па истине его, ниже
толкуем истинная мнения о нем.
Разнятся убо на три разу-
мения. Первое’ прекозакопни-
цы рекут, иже замешен есть пз
Современный перевод
Ибо многие расходятся в этом,
однако нельзя установить исти-
ну, не разобравшись, какое
мнение истинное.
Мнений на этот счёт суше-
ствует три. Первое: говоря >
что тело состоит из чается»,
БЕСКОНЕЧНОЕ В РУС. ПАМЯТНИКЕ XV ВЕКА 417

„гтей неразделимых пи мы-
’ ни естеством. Ишш рекут:
с" чамешен есть, но единобы-
»® и истиною и сооружением
Т ть У самости его числа.
И инии рекут, иже замешен с те-
VecTBHfl и душевствпя.
которые ыс являются делимыми
ни мыслью, ни физически*)-
Другие говорят: тело не
является сложным, а едино-
сущностным; ни в действитель-
ности, пи в понятии сущность
его не содержит в себе числа.
II третьи говорят, что тело со-
стоит из материи и формы.
2) В латинском переводе
за этим следует: «...que dicun-
tur athomi. Illi vero vocabant
eas unitates et substanlias impa-
rcs [impartibiles?] et ex his com-
poni corpus dixerunt», t. c.:
«...которые называются атома-
ми. Они назвали так эти еди-
ницы и неделимые субстанции и
говорили, что тело состоит пз
этих атомов».
Б. КРИТИКА КОНЦЕПЦИИ «НЕДЕЛИМЫХ», СОСТОЯЩАЯ
ПЗ ШЕСТИ АРГУМЕНТОВ
Древний перевод, л. 20—20 об.
Довод ламанпе мнения пер-
ваго и толкование лжи его
шестьма вещьми.
Первое. Аще бы положена
часть межи двема, се каяждо
со обею страну стретпт средпяго
в едино место или не в едино.
Аще бы не в едино, се раздели-
мо есть, занеже имать две стра-
ны. Да аще бы во едино, се
ложь есть, занеже впнно бы
каждому влезти средняго всему.
Аще бо осталося некоего, се
уже бы разделилися. Да аще
Ьы не остало ничего, се стретил
един от обою всего и стретил
ДРУгий всего же. Но му сило бы
2Ыти место крайних и место
срединго едино, да не был бы
пр ® меж двема концы, за-
ПГ ВЛез в сРеДняго каждый.
01041 пришел бы третий, чет-
Нсторико-матем. исследование
Современный перевод
Опровержение первого мне-
ния и показание его ложности
шестью способами.
Первое. Если часть помещает-
ся между двумя другими, то
каждая из крайних коснется
средней либо в одном и том же
месте, либо не в одном и том же.
Еслп но в одном и том же, то
она делима, ибо имеет две сто-
роны. Еслп в одном и том же,
это невозможно, ибо тогда ка-
ждая крайняя должна целиком
войти в среднюю. Ведь если бы
оказался какой-то остаток, эти
части разделились бы. А если
такого остатка нет, это значит,
что обе крайних целиком про-
никли в среднюю. Тогда место
крайних и место средней будет
одно и то же, и средняя уже не
будет между крайними, ибо обе
/.18
13. П. ЗУБОВ
вертки или до тысящп и влез
в того же; а му сило бо быти,
дабы обоймите тысящи и еди-
ного неравно и се ложь есть без
зыбанпя.
Древний перевод, л. 20 об.
Довод вторый. Положим пять
частей норяду и наречем его
снур. II положим две части
иных по концам снура. Разу-
меет же ся две тыя части пой-
дут двпзаппем ровным, доидеже
стретятся. Да аще епце, сий1)
каждый занял долю от среднего
и разделил, иижели бы рек не-
возможно богу свести их двп-
запием равным. Але как почал
и довел сдинаго к другому, но
могл бы довести и к третьему.
А бых сведал певозможеппе се-
го, когда оба равны.
х) Синодальный список:
«спи»; погодинский список:
«но».
проникли в среднюю. Потом
появится третья, четвёртая
и т. д., вплоть до тысячи, ц Вес
они проникнут в неё же. Полу,
ЧПЛОСЬ бы, что объём ТЫСЯЧИ
и объём одной части нсотличи-
мы, а это без сомнения ложно1).
9 В латинском переводе за
этим следует: «tunc enim nihil
posset componi ex eis», т. e. «ng0
тогда ничто не могло бы сла-
гаться из них».
Современны ii перевод
Второй довод. Расположим
подряд пять частей. Назовём
пх линией п возьмём две другие
части по концам линии. Допу-
стим, что эти две части будут
равномерно двигаться, пока не
встретятся. Если эта встреча
состоится, то каждая займёт
долю средней части и разделит
её. Разве только ты скажешь,
что невозможно привести пх
к встрече путём равномерного
движения, и допустишь, что
пока одна проходит одну часть
линии, другая доходит до треть-
ей. Но поскольку оба движе-
ния равны, это невозможно.
[В латинском переводе имеет-
ся следующий чертёж:]
Древний перевод, л. 20 об.—21
Довод третий. Положим два
снура шесточастиын и наречем
единого ав, а вторый снур гд,
ц положим две части,—едина бы
Фиг 1
Современный перевод
Третий довод. Возьмём
линии, состоящие из шести
стой. II одну назовем ав, * 1?
рую линию гд, и возьмем
ггттмЫЕ II БЕСКОНЕЧНОЕ В РУС. ПАМЯТНИКЕ XV ВЕКА 419
ЦЕДЕЛП _———--------------
„ Т1пот^до^,автораяот
6t5 по гтголя. Во истинно оо,
д° ? иснерва станут себе сопро-
I,JK п потом един на едином1),
Т,,«птом размппуются равным
а олпием Да еще бы се часть
'Тпчзделпмая, но бы ложь. 11о-
Sc противность пх псиначс то-
S трплпчна. Первое: аще оу-
«vT оба па месте кл, се оудет
Йин их врезал три доли, а дру-
гим дне доли. Второе: иже бу-
; 'т един па .мыслете, а вторым
на наше, един от них врезал две
части а вторым три части, да
будет двпзаппс равно. Третпе
же* иже будет един их па .мы-
слете, а вторым на люди, се
врезал каждый их две части,
па бы се, м п л пе сопротпвнн,
но было же противность из ров-
ным двпзанпем и ложь приме-
нение. А се без зыбания ложь
есть. Но положением части пе-
разделимыя невозможно бо се,
занежс на средине спура про-
тивность.
г) Соловецкий список: «едим
за едином», синодальный список:
«один за одним»; погодинский
список: «един на едином».
Древний перевод, л. 21—21 об.
Довод четвертый. Положим
г? частей четвероуглато тесно.
воистину страны пх ровны,
рочпи же четверят2) страна
Пр ) Соловецкий список: «а
>Кс четверят»; погодпи-
СКи»-«а прото нже всяк».
части: пусть одна движется о г
а до в, а другая—от <9 до г.
Без сомнения
а М К в
г н л д
Фиг. 2.
сначала они окажутся друг про-
тив друга, потом одна над дру-
гой, а потом размппуются рав-
номерным движением. Если бы
часть была неделимой, это было
бы невозможно. Ибо встреча пх
возможна трояким образом. Во-
первых: когда та и другая будут
в к и л, тогда одна часть прой-
дёт три доли, а другая две. Во-
вторых: одна часть окажется в
.и, а другая в и, тогда первая
часть прошла две доли, а вто-
рая—три, между тем движение
равномерно. В-третьих: одна
часть в .и, другая в л, тогда
каждая прошла две доли, но .и
п л не находятся Друг против
друга. Таким образом, равно-
мерное движение исключает воз-
можность пх нахождения друг
против друга, что, без сомнения,
ложно. Невозможность же эта
обусловлена допущением неде-
лимой части, ибо на середине
линии обе части должны нахо-
диться друг против друга.
Современный перевод
Четвёртый довод. Располо-
жим 16 [неделимых] частей,
примыкающих друг к другу в
виде квадрата. Стороны пх
(его ?] без сомнения равны, а
частей в каждой стороне по че-
тыре, как и в диагонали. II
если так получается при допу
щепип неделимых частей, то
9 7*
420 И- И. 3
ого числом, яко я наугольник.
Да аще бы се частию неразде-
лимою, ложь бы. Занежс ме-
рою наугольник долже стран
его') много и се ведомо с пре-
мудрости мерный.
А БОВ
опп—ложь. Ибо по ве.1цЧ11
диагональ намного больше el
сторон, что известно и., г(Ом\п
трип.
[В латинском переводе пместс
следующий чертёж: ]
г) Соловецкий и погодин-
ский списки: «странного». Оче-
видно, следует читать: «стран
сто».
Древний перевод, л. 21 об.
Довод пятый. Поставим древо
на солнце, да будет от пего степь
па землю снуром правым от
верху того древа. По муснт
степь тон двнзатнся за солнцем.
Да еще бы подвинул оси солнце,
а степь стоит во едином месте,
по бы ему Два концы: а—где
было солнце, а в—где теперь
стало. Л со ложь сеть.
Аще положим двигиутися
солнцу часть о дину, но двигну-
тпся стони мешней, се уже раз-
делнлася часть. Аще двпзастся
степь, аки и солнце, ложь ость.
Занежс побежит солнце колнко
поприщ, а столь но подвигнется
и со власа.
Древний перевод, л. 21 об.
Довод шестым. Иже жерновы
двпзанпо средины их мешпе
краю, занежс круг средний мен-
ше крайнего. Да аще подвиг-
нулся край часть, но либо
Современный перевод
Пятый довод. Поставим дере-
вянную палку па солнце, чтобы
топь падала от псе. па землю
по прямой линии от вершины
этой палки. Тень эта должна
двигаться за солнцем. Если бы
солнце передвинулось, а тень
осталась па том же место, тогда
линия имела бы два конца: один
конец а —там, где солнце было,
и другой, в—где оно стоит те-
перь. А это есть ложь. Если
предположим, что солнне пере-
двинулось на одну неделимую
часть1), то тень должна пере-
двинуться на меныпую долю,
и таким образом неделимая
часть разделилась. Если тень
двигается так же быстро, как
солнце, это ложно, ибо солнне
пройдёт много поприщ, а тень
ле подвинется ни на волос.
*) В латинском переводе,
«aihomus».
Современный перевод
Шестой довод: движение /ыР
повов2), на середине пх йСП
2) В латинском nepei,0*l‘
«rota lignea vel lapidea».
421
неделим^
и бесконечное в рус. ПАМЯТНИКЕ XV ВЕКА
гиется средина менше его,
Гпаделится часть, алп оо
11 Рпвягнстся, ла будет вшшо
ие д*” *тися всем частей ж р-
PaCmni доидеже подвигнется
в0®пТи опочппст некой, А се
нСЬ “есть чюветвом, i же части
"епезпие не рассыпаются ин-
како.
чем на краю, ибо средний круг
меньше наружного. Если на-
ружный подвинулся на одни
атом, то середина либо подви-
нется па меньшую величину и,
таким образом, атом разделится,
либо середина в этом случае не
передвинется, тогда должны бу-
дут по необходимости рассы-
паться все части жёрнова,—
пока движется одна часть, по-
коптел другая. А ложь этого
показывают чу ветка: железные
части никак не рассыпаются.
После критики второго мнения (изложение которой мы
опускаем) ал- Газали формулирует собственную (аристотелев-
скую) точку зрения: тела потенциально делимы до бесконеч-
ности, по существу же представляют собою некое единство.
В. СОБСТВЕННА}! ТОЧКА ЗРЕНИЯ АВТОРА
Древний перевод л. 22 об.- 24об.
Сс уродится нам от предре-
чена, иже мнение третпе истин-
но есть: иже плотный не заме-
шен с частей неразделимых, пп
конечных, ни безконечных.
Да еще безконечнып, к к Гы
пререзати илотиаго с конца в
конец? Занеже не дойдет поло-
вины, что не не дойдет четвер-
тины плп осмивы; сс бы были
безконечни,—невозможно пе-
рейти их.
Плотный бо не има ь ч i тп
в Деле, но в силе: будет бо ча-
втен» аще его разлу чат. Г. < го-
ющий бо, иже плотный де-
п*Ся’ не мипт ли, нже м< жет
Разделится. Се ложь есть. За-
Кя ® ПЛ0Т11Ь!Й ОДП! и pi. (ШНИ
Тов° Разд<?лсн есть, пижелп го-
Но г.ТОМУ в СИЛс» ие в деле?
УДет в доле от трёх лиц:
Современный перевод
Таким образом, из вышеска-
занного явствует, что истинным
является третье мнение: тело
ие состоит пз неделимых частей,
ви конечных, ни бесконечны?:.
Ведь если число неделимых
было бы бесконечно, каком об-
разом оказалось бы возможным
рассечь тело от одного конца
до другого? Ведь нс может дой-
ти до половины то, что не дой-
дёт раньше до четверти или до
одной восьмой. Число таких
частей оказалось бы бесконеч-
ным, а потому пх невозможно
пройти все.
Тело имеет части не актуаль-
но, а потенциально: оно полу-
чает части, если его разделить.
Поэтому тот, кто говорит, что
тело делится, и ие имеет в виду
при этом, что тело способно де-
ли: ься, говорит ложь. Ведь ка-
ким образом может быть раз-
делённым единое непрерывное
тело, если оно не имеет способ-
422
В. 11. ЗУБОВ
резанием, пли иременением
цветным, или мысля о некоем
конце, да будет разиь в том, что
не помышляешп о ином1).
’) В списках: «о нём».
Про то же жестоко есть мысли
прообразован! плотного едина,
не имуща части, запсжс. ставит
разнь концом и елппачепне не-
коим частем мерами. Сим же
будет разделение плотному в
мысли, да аще паки пе. будет
ему в себе разделения.
Но пообщено действом мы-
шленым и проявление сего на-
ряду и пролякость достатка уго-
тованного к тому и иеотлучению
подоблеппя от нас2), пе убавится
мысль зыбатися веритп иже
плотный едпночастен, подобно
яко вода един.
По наречется нже вода, что
па дне лохани, не та, что на-
верху, а то по правде, занежс
разделение нрпмде поразивю
осязания. И так же .мыслится
части недотыка ющп лея до ло-
хани налево и нпин тли, что
направо. Се уже разнится про-
тивенством. Но отнем спи при-
менения всп, досмотряя подоб-
ное™, един есть в деле, но при-
имает разделение в силе.
2) Этот кусок безнадежно
испорчен в рукописях. Разно-
чтения таковы: список Ленин-
градской публичной библиотеки:
«по общепо»; соловецкий: «попо-
сновлепо», погодинский: «ио по-
новлено». В латинском переводе:
«Sod accidit ei divisio ex accione
estimacionis, cum revera non sit
nisi aptum ad accioncnem esti-
iiocniu к этому, а имеет тольг
актуальную разделённость?
туально же разделено оно мо;ц J
быть трояко: либо путём
сечения, либо путём разлпчщг
раскраски, либо путём мысле/1
ного выделения одного ковцц'
который получает отличие V ’
другого потому, что мы не iu<’T
елпм о последнем.
Ведь для мысли трудно воз-
разить единое тело, не лмею1Це
частей: она по необходимости
устанавливает различие меж iy
краями и объединяет отдельные
части посредством мер. Так по-
лучается разделение тела в мы-
сли, хотя тело само по себе и ие
будет иметь разделения.
Оно привносится действием
мысли. П так как явно, что эта
способность легко приобретает-
ся и воображению трудно от
этого отрешиться, мысль нс пе-
рестаёт сомневаться, что тело
едииочастио, наподобие воды.
Однако вода, находящаяся ла
дне сосуда,—ле та вода, что
находится наверху. П это так
в действительности, ибо разде-
ление основано здесь на разнице
осязания. Таким же образом
мыслятся не соприкасающиеся с
сосудом части воды в левой части
и в правой части. Здесь налицо
разл и ч нс протн вонол ожностсн.
Но если отпять эти особенности,
устремив внимание на подоопе,
niacionis.Et quoniain inanifcstuin
est han c apliludinein facile reci-
perc hoc, nec imaginario pole-
superari ab ea, ideo extiniaci |
non potest credere quoniain cor
pus constans ex partibus cui-
similibus, sicul est una aqua. b
unuin». В соответствии с ат*
текстом даём русский совреМ
пый перевод.
ЕДЕЛИМь1Е 11 БЕСКОНЕЧНОЕ В рус. ПАМЯТНИКЕ XV ВЕКА 423
Ц сс откры зыоание о нём.
тогда тело будет актуально еди-
ным, потенциально способным
принять, однако, разделение.
II так я раскрыл то, что оста-
валось неясным в этом вопросе.
К этим отрывкам, посвящённым вопросу о бесконеч-
ной делимости, мы присоединяем рассуждения о беско-
нечно большом. Основные мотивы пх также аристотелп-
анские и, как нетрудно убедиться, один из аргументов
против возможности бесконечно большого тела в тонне -
стп повторяет аргумент Аристотеля, приведённый в кш;-
гах «О небе».
О бесконечном ал-Газали говорит в шестом разделе
первого трактата (divisio sexta—«разпь шестая»). Все эти
разделы трактуют о бытии (esse—«обретепос»). Поэтому
в древнем переводе отрывок начинается с заглавия: «Разпь
шестая обретеному».
Бесконечное ал-Газали делит па четыре вида: а) бес-
конечность времени и вращения вселенной («движения
неба»), б) бесконечность числа душ, существующих по
прошествии бесконечного времени, в) бесконечность про-
странства и тела, г) бесконечность ряда причин. Послед-
ние два вида бесконечности ал-Газали считает невоз-
можными. Что касается первых двух, то пх возможность
он признаёт.
Заслуживает внимания, что признание логической воз-
можности вечности мира (т. е. бесконечного времени)
с полной отчётливостью отражено в древнерусском пере-
воде и затушёвано в латинском. Аристотелевское учение
о вечности мира было, как известно, тем пунктом в миро-
воззрении великого мыслителя древности, которое осо-
бенно старательно «исправлялось» церковниками. В древ-
нерусском переводе читаем: «Яко речем двизания небес-
ная, несть докончанпя ему [им?], аки начала», т. е.:
«Так мы говорим, что у движений неба нет ни конца, ни
начала». В латинском переводе первое лицо («мы») за-
менено безличным «говорят»: вместо «речем» стоит без-
личное dicitur. И дальше категорично: «А сим такоже ви-
новно безконечьство временное и двпзанпе небесное». В ла-
Т0нском переводе суждению придана условная форма:

В. П. ЗУБОВ
«Это по необходимости истинно, если отнять конечность
у времени п у движения неба». Разумеется, в этом случае
особенно интересно было бы сопоставление с арабским
и еврейским текстом. .
Вопрос о бесконечности движения ал-Газали откла-
дывает до дальнейшего, и этот анализ не нашёл отраже-
ния в дошедшем до лас куске древнерусского перевода.
Вопрос о возможности бесконечного ряда причин, реша-
емый ал-Газали отрицательно, мы оставим без внимания
так же как и вопрос о возможности бесконечного числа
душ, в основе своей скрывающий проблему актуально
бесконечного : возможна ли при допущении бесконечной
последовательности времени бесконечная совокупность
сосуществующих предметов? Мы ограничимся аргумен-
тами ал-Газали против возможности бесконечного тела,
первый пз которых, как уже сказано, восходит к Аристо
телю, а второй встречается у Авиценны[10].
А) ВИДЫ БЕСКОНЕЧНОГО
Древний перевод, л л. 42 об.—43
Разпь шестая обрстсному. Об-
ретений делится на конечна и
безконечна. Сей же делится на-
четверо: два от них ложны, нс
обрящутся, а два имеют довод
на обретение свое. Яко речем
двпзания небесная песть докоп-
чания ему, а ни начала. А. се
такоже доводпо речется убо о
душах человеческих исшедших
не тслссе, иже не имеют конца.
А сим такоже виновно безко-
иечьство временное и двизапие
небесное. Третпе, еже речется
плотный пли даления не имуща
конца сверху пли сысподу,—
ложь есть. Четвертое еже рекут:
приводы не имеют конца, яко ре-
чем, иже бы вещь имела при-
вод, а привод его привод вад
собою, а тот еще над собою,
безкопечпо,—се ложь есть.
Современный перевод
Шестое подразделение суще-
го. Сущее делится на конечное
и бесконечное. Последнее де-
лится на четыре вида: два из них
немыслимы, а два имеют бытие,
подтверждаемое аргументами.
Так мы говорим, что у движе-
ний неба пет ни конца, ни на-
чала. Говорят также, пользуясь
аргументами, о душах, исшед-
ших из тела, что число их бес-
конечно. В качестве причины
этого также указывают беско-
нечность времени и небесного
движения. В третьих говорит-
ся, что тело или пространство
не имеет конца сверху пли сни-
зу,—это немыслимо. В четвёр-
тых говорят, что число причин
не имеет конца. Так, еслп мы
скажем, что вещь имеет причи-
ну и причина сё—свою причину,
а та—ещё другую, до беско-
нечности, то это немыслимо.
1Тг-П.ЕЛИМЬ1Е 11 БЕСКОНЕЧНОЕ В РУС. ПАМЯТНИКЕ XV ВЕКА 425
L АРГУМЕНТЫ против возможности бесконечного
В) А ТЕЛА
древний перевод. л. '«Зоб. \\ об.
, Невозможсство безконечпя
«потна и далспия, имуще ряд
Епаоженисм или прирожденном,
помянем пх ныне. Певозможен-
ство далению толкуется двема
ДОВОДЫ.
Довод первый: положим снур
гд не имущ конца по глаголю
и покрянсм снур ав в средине
около естч, к стране глаголсеой
от снура дагова, дондеже станет
противу его, да будет се прята-
ние нелживо. Да аще покряпем
его от противу к стране близкой-,
се невозможно, дабы пе узна-
менал тычки наппервое тычек
знаменаных. Посем узпамснуст
ины тычки, дондеже обратится
от знаменаных в конце против-
ном от страны другая. А се бы
ложь. Зансже аще бы номы-
шлено склонение к нему от ггро-
тивенства без знамения, се ложь
есть; а знамение ложь иодлуг
безконечества, зансже знамение
надет на тычку первую, снур же
безконечный не и мать тычки
первыя. Всякая тычка, положс-
ная знамению первому, невоз-
можно, дабы пе назнаменала
предняя преже знамени сея. Да
не будет убо позпаменана, нс
знаменает ли ся безконечный.
« тако же не было бы в нем
тычки первое зпамснание, с»*
ложь есть.
Современный перевод
Теперь покажем невозмож-
ность бесконечных тел и рас-
стояний,—того, что но положе-
нию или ио природе обладает
порядком. Невозможность бес-
конечного пространства дока-
зывается двумя доводами.
Первый довод. Возьмём ли-
нию гд, нс имеющую конца со
стороны г. и пусть в середине
около е линия аз [нс имеющая
конца со стороны /] вращается
в сторону г, пока не* станет па-
раллельно ей [в латинском пе-
реводе—quousque fiat cquidis-
tans ci]. Такое вращение вполне
мыслимо. Если опа будет дви-
гаться дальше, от параллель-
ного положения приближаясь к
липин дг,
О Е
а
в
Фиг. 4.
невозможно, чтобы опа не.встре-
тила сё в какой-то первой точке.
Потом она пересечёт се в дру-
гих точках, пока не примет па-
раллельного положения с дру-
гой стороны. А это немыслимо.
Ибо если представить себе на-
клон липни без пересечения, это
будет немыслимо; пересечение
же в бесконечном немыслимо,
поскольку пересечение придёт-
ся па первую точку, в бесконеч-
ной же липин нет первой точки.
426
В. И. ЗУБОВ
А сим оправдает, ижс невоз-
можно быти далеппю безкоиеч-
ну, положенном тощым или пол-
ным.
Древний перевод, л. 44 об.
Довод вторым. Положим снур
ав бесконечен в страну ведеву
и пазнамепаем тычки г, д. Аще
бы се, от д до в бесконечен. По
приложим лань г, да будет гд
конечен. Аще будет д до в беско-
нечен, се прилепим мыслию даав
на гаав. Но или будут ранни,
пли перавнн. Равенство же ма-
лому с великим несть, занеже
даав меньше гаавы. Да аще
корочше даав нпжли гаав, се
остало гд особне. Дошсд концу
даавову урезався по стороне ве-
девой1) н гв нс будет болынь дв
только гд-м конечным. Что при-
ложится пли будет конечным,
се конечен есть2).
Место испорчено. В ла-
тинском переводе: «linea igitur
db finitur versus partem b ibi,
ubi a linea gb excedi turv.
2) В латинском переводе
дальше: «igitur gb cst f ini turn
necessario».
Какую бы точку пересечения ,Ml
ни обозначили как первую, все/
да должна будет оказаться ра11
ше другая, которая будет встр’'
чена прежде, до этой точки гцС
рсссченпя. П она нс может бытГ
встречена раньше, чем будет
встречено бесконечное число то-
чек. А это означает, что ]1а ||(ц
нс окажется первой точки пере-
сечения, что немыслимо.
Тем самым доказывается не-
возможность бесконечного рас_
стояния в наполненном пли цв-
етом пространстве [в латинском
переводе—in pleno sive iuhani|.
Современный перевод
Второй довод. Представим се-
бе линию ав, бесконечную в сто-
рону в, н обозначим точки г, о.
Если так, то и от д до в она бу-
дет бесконечна. Приложим к<м
конечную линию *v7: если ливня
от д до в
аг д 8
Фиг. 5.
бесконечна, наложим мысленно
линию дв па линию гв. Опп бу-
дут либо равны, либо не равны.
Но меньшее ие может быть рав-
но большему, ибо дв меньше гв.
Если же линия дв короче .ниши
гв, то разницу между ними со-
ставит гд, так что конец линии
дв будет ограничен линией го
со стороны в, и линия гв будет
превосходить дв лишь па копеч
нию величину гд. А если при-
бавить к конечному копечпх '
величину, то целое будст^ь^
печным [следовательно, гв
ночная величина!.
^р.дЕЛПМЬТЕ II БЕСКОНЕЧНОЕ в РЬ с. ПАМЯТНИКЕ XV ВЕКА Л27
Язык перевода звучит для нашего слуха во многих ме-
стах странно и непривычно. Однако, пе следует забывать,
чТо перед нами «палеонтологические» формы математиче-
ского языка: большинство форм в позднейшей эволюции
виМерл° и было скрыто последующими напластованиями.
дГногие из этих форм кажутся нам теперь какими-то дино-
заврами» Но в своё время они жили и развивались.
Наличие списков показывает, что перевод но был мгно-
венной вспышкой, мелькнувшей без следа и последствий:
перевод читали, если в течение почти двух веков возникала
необходимость в копиях. Хотя в позднейших редакциях
многое затемнилось и помутнело, по, рассматривая текст
через стекло филологического анализа, мы получаем воз-
можность разглядеть за непривычной оболочкой живую
мысль, проникавшую в топкие различения аристотелевской
философии и античных философско-математических споров.
Приведённые отрывки заставляют вспомнить и о том,
что они—не единственный пример русской паучно-мато-
матической литературы XV—XVI вв. Известен (впрочем,
весьма неполно изученный) список «Космографии», отно-
сящийся к XVI в.[и]. Он также возник в тех же кругах
«жпдовствующих», о чём свидетельствует общность тер-
минологии. В этой «Космографии» упоминаются «премуд-
рый Клидас», т. е. Евклид, и «премудрый Феодосий»,
автор «Сферики»; опа содержит изложение начал мате-
матической астрономии, описание измерительного астро-
номического прибора [12]. Спею связан и «Шестокрыл», со-
держащий астрономические таблицы [13]. Всё это говорит
о наличии научных традиций!, научной школы, соединяв-
шей философские интересы с практическими, вопросы
математики с вопросами познания природы. Конец XV в.,
знаменовавший начало нового периода в истории древней
Руси, ознаменован был и в пауке новыми сдвигами.
ПРИМЕЧАНИЯ
I1] Этот перевод был издан С. Л. Неверовым под заглавием
•Логика иудейству юпшх» в киевских «Университетских изве-
стиях», 1909, А« 8, стр. 1 -62 (ио рукописи киевского Михайлов-
ского монастыря, Аз 1655, второй половины XV в.).
L2] Обратил внимание па логические произведения рассматрп-
0 перваемпода А. И. Соболевский в своём известном труде «Перс-
428
В. П. ЗУБОВ
водная литература Московской Руси XIV—XVII ив.», СПб., 1903
(Со. отд. русск. яз. и словесности” АН, т. 74, стр. 406—409). Здесь
(стр. 407) он приводил предположение И. К. Коковцева, что «Ащ.1а_
саф»—нс кто иной, как ал-Фарабп. Однако позднее Коковцев
(см. его статью «К вопросу о «Логике Авпасафа», «Журнал Минц
стерства народного просвещения», 1912, Аа 5, стр. 114—133) уста-
новил, что «Логика 4виасафа» есть часть сочинения ал-Газалп,
причём перевод был, невидимому, сделан с третьего из указы-
ваемых нами ниже еврейских переводов. Тем же* Коковцевым
было установлено, что в синодальном списке № 943 после «Логики»
Маймонпда идёт часть «Метафизики» ал-Газали, а именно пере-
ведены оба вступления и часть I трактата (ук. статья, стр. 123).
Ср. также Л. Б е д р ж и ц к и и, Заметки к литературе о жи дев-
ствующих, «Русский филологический вестник», 1911, А1 3—4,
стр. 370—392‘(о «Логике» Маймонпда).
[3] Пз новейшей литературы вопроса укажем на книгу
Г. II. Райнова «Наука в России XI XVII веков», М.—Л.. 1940
стр. 131—133, 162—163, 208—212, 239—248, 479.
I4] Известны три еврейских перевода сочинения ал-Газали:
I) Исаака Албалага (конец XIII в.), который перевёл только
«Логику» п «Метафизику» и начал переводить «Физику», закон
ченлую Исааком ибн Польгаром; 2) Иегуды Натана, провансаль-
ского врача (ок. 1352—1358 гг.): 3) анонимный перевод, сделанный,
вероятно, в 1306—1340 гг. п вошедший в состав комментария Мои-
сея Нарбонского (закопченного примерно между 1342 и 1349 гг.).
Во втором из переводов, в главе, посвяшённой критике учения
о неделимых, помешен чертёж, «иллюстрпруюпшй положение ато-
мов». На одном из списков имеется пометка: «Иегуда—автор этого
чертежа, ибо, ио мнению блаженной памяти Моисея Нарбонского,
такого чертежа пе было в арабском тексте, с которого он переводил».
В анонимном переводе также имеется этот чертёж. См. M.Slein-
Schneider, Die hcbraischcn Ucbcrseizungcn des MHUlaHcrs
und die Juden als Dolinelsclicr. Berlin, 1893, стр. 299, 306, 309,
311, 314—315. В Ленинградской публичной библиотеке имеется
иоздппй список (1823 г.) «Сефер каввамот ха-пилософпм» в переводе
Исаака Албалага.
[5] Рукопись № 220 пз собрания II. С. Тихонравова, л. 84:
«много нрепнеующпми паглупствовапо». Рукопись содержит
сочинения по логике и перевод первой книги «Физики» Аристо-
теля (находится в настоящее время в Библиотеке имени Ленина
в Москве).
[6] «Макаспд» был переведён па латинский язык в середине
XII в. Домиником Гундпсальви н издан в Венеции в 1506 г II т
ром Лихтенштейном («Logica et Philosophia Algazelis Arabis»).
Ираитль, приводящий много выдержек из указанного издания,
неправильно приписывал перевод его издателю—Лихтенштейну
(«Geschichte der Logik im Abendlande», Bd. II, Leipzig, 1861 стр.ЗЫр
Новейшее издание того же перевода «Метафизики» (которым >
пользовался): «Algazel’s Metaphysics. A mediaeval translation »
Toronto, 1933.
^ДЕЛИМЫЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ В РУС. ПАМЯТНИКЕ XV ВЕКА 429
Списки арабского ^оригинала «Макаснд» имеются в Ленинграде
„ Государственной публичной библиотеке и в Институте востоке-
ведения Академии Наук СССР. J
[т] Например, на л 61 оо. против слов «снур, простор, плоть,
время» стоят «черта, явление, тело, лето». Пли па л. 83 об. при
перечислении 10 категорий:
v г самость—существо,
прпмешеное—к чссому,
поставление—еже лежати,
говеинство или властное-и мстя,
делатель—творити,
делан н ых—страдатн.
[81 Другие известные мне списки: Синодальной библиотеки,
№ 943, начала XVII в. (в Государственном Историческом музее
в Москве); Болынаковского собрания, Л« 46, XXIII века (в Би
блиотеке нм. Ленина в Москве): список AL 105/263 Соловецкого
собрания (в Ленинградской публичном библиотеке); список из
собрания Аптопиева-Спйского монастыря, середины XXII в.
(в рукописном отделении Библиотеки Академии наук СССР в
Ленинграде, шифр: Архапг. Д. 480).
Синодальный список так охарактеризован в «Указателе для
обозрения Московской патриаршей (ныне синодальной) библио-
теки» архпм. Саввы (2-е изд., М., 1858, стр. 205): «Метафизика па
южнорусском наречии, полуустав XXI—XVII в., 134 л.». Соболев-
ский (ук. соч., стр. 401) относил этот список к половине XVI в.
и указывал, что ои принадлежал одному пз последних московских
патриархов. Новейшие палеографы относят его к началу XX II в.
Соловецкий список в «Описании рукописей Солове цкого мона-
стыря» (ч. I, Казань. 1881, стр. 405) характеризован как «рукопись,
писанная новым полууставом».
Список Антоштева-Сийского монастыря описан под № 190
у А. Е. Викторова в «Описи рукописных собраний в книгохрани-
лищах северной России», СПб., 1890, стр. 99. Он близок к соловец-
кому, кое-где в нём отсутствуют ошибки этого последнего.
Кроме того, следует упомянуть неполный список «Логики»’
Маймоннда с «Метафизикой» ал-Газали конца XVII века в Ленин-
градской публичной библиотеке (Q. XVII. 261).
В погодппском списке «Метафизика» ал-Газали следует за
«Логикой» Маймоннда, причём главы «Логики» названы здесь
«вратами» (в синодальном они названы «словами»).
Древнерусский перевод содержит: а) два предисловия (pro-
position es по лат. пер.); б) первую часть (divisio) первого трактата,
точнее—первые три главы её (capitula, «врата» пли «слова»);
в) Две следующие главы той же части; г) части со второй по седь-
мую того же первого трактата: эти части называются здесь уже
ио частями, а «разпями», причём вторая «разиь» подразделяется
на 4 «ссуда» (indicia).
Порядок частей а, б, в, г во всех списках, кроме погодинского,
”аРУшен: они следуют друг за другом так: в, б, а, г, причём между
> б и а вклинивается часть «Логики» Маймоннда. Исключение пред-
430
В. II. ЗУБОВ
ставляет синодальный список, г ю вся «Логика» дана сначала
ио порядок и здесь нарушен совершенно так же: в, б, а, г.
Линия «разрезов) на а, б. в. г не вполне совпадает с деленном
на главы, а проходит в случайных местах, например, начали
куска г («Обретённому разни две. Обретённый делится...») оторва-
лось от г и образовало нечто вроде бахромы в конце в, к кото-
рому примыкает такое же клочковатое начало б. Очевидно, когда-то
были перепутаны отдельные листы пли тетради списка, и эта пута-
ница перешла в последующие списки, укоренившись настолько, что
была даже введена новая нумерация (перепутанных) разделов.
[9] В указанной выше «Логике иудейству ющнх» (см. примеча-
ние 2), наряду с другими общими терминами (держатель, приклю-
чение п т. п.), мы встречаемся с том же выражением «стоячий угол»
для обозначения прямого угла: «...яко речем в мерплной: всяк три
угла тыи [видимо, следует читать «триуглатыи», т. е. треуголь-
ник.—В. 3.J углы его ровны двема стоячим» (стр. 61) и «такси;
отлучится мыелню будущу углом троспурин ровно двема стоящим»
(стр. 46), т. е. сумма углов* треугольника равна двум прямым.
[10] Ср. Сагга de Vaux, Avicenne, Р. 1900, стр. 201.
["] Опубликован в отрывках А. 11. Соболевским в указанной
(в примечании 2) книге «Переводная литература Московской
Руси», стр. 409—412. Анализ этих отрывков—у Т. II. Райнова,
ук. соч., стр. 209—211 и 239—248 (см. примечание 3).
[12] Невидимому, Т. 11. Райнов неправ, толкуя слово «круг»
в тексте «Космографии» в смысле круга, а не сферы (стр. 209).
Приводимое им определение нс есть, на мой взгляд, определение
круга. Если вспомнить, что в публикуемом вами тексте «кружок»
означает «сферу», то фразу «// то порицается круг, половина оби-
ходу кругового и около снура, олны дойдешь до местъца своего, тогда
ся наречешь круг равен в частках своих, а плоть одержанная в оби-
ходе том наречется круг*, следует передать примерно так: «П сфе-
рой называется, когда полуокружность, обращаясь вокруг линии
[осп], дойдёт до прежнего своего места,—тогда мы скажем, что
сфера однородна в частях своих, а тело, охваченное этой полуокруж-
ностью, назовётся сферой». Это вполне согласуется с тем, что
дальше небесные сферы называются «кругами» и их оси—«сиурамп»
(ср. Р а й н о в, стр. 240). «Плоть», во всяком случае, не может
значить «плоскость», как думает Т. П. Райнов.
[13] О «Шестокрыле», кроме указанных работ Соболевского
и Райнова, см. Д. О. С в я т с к и й, Астрономическая книга
«Шестокрыл» на Руси XV века,—«Мпроведеппс», т. XVI (1927).
стр. 63—78.
УЧЕНИЕ О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII в.
JB. Н, Молодыми
§ 1. Общая характеристика арифметических руководств
XVII и XVIII вв.
В XVII в. было два типа арифметических руководств:
практические и теоретические. Форма изложения прак-
тических арифметик была догматической. После правил
действий над целыми и дробными числами в них приво-
дились и пояснялись примерами рецепты решения задач
на тройное правило, правило смешения, учёт векселей
и т. п. Расположенпе материала часто не соответствова-
ло существу разбираемых вопросов. Доказательства пра-
вил арифметических действий отсутствовали, в лучшем
случае их заменяли проверкой. Короче, все эти арифме-
тические руководства были собраниями правил—их число
доходило иногда до 240!—которые учащиеся должны бы-
ли механически заучивать.
В теоретических курсах, число которых в XVII в.
было невелико (курсы Валлиса, Эригона, Таке, Дешаля,
Оутреда, Преете), авторы старались дать положениям
арифметики достаточное обоснование. При этохМ они
чаще всего следовали Евклиду, т. е. обосновывали ариф-
метику на базе геометрии. Теоретическая арифметика как
самостоятельная дисциплина в XVII в., по сути дела,
не существовала; в иерархии математических наук опа
Ыла надстройкой над геометрией. Понимание теорети-
ческой арифметики в XVII в. было близко к евклидову:
Г иней относили вопросы, сходные с расмотренными в ариф-
432
В. Н. МОЛОДШИЙ
метпческпх книгах «Начал». Правила арифметических де^
стили относили к прикладной математике.
Во всех европейских странах господствующее, место
занимали практические руководства по арифметике. Осо-
бо низким уровнем характеризовались английские руко-
водства но арифметике1).
11а фоне исключительных успехов математики Х\ | [ п
господство практических руководств по арифметике мож01-
показаться странным. Недоумение усилится, если вспом-
нить, что в «Началах» Евклида (VII—IX книги) ариф-
метика целых чисел получила достаточно прочное об-
основание. Но странного в этом ничего нет. В Западной
Европе арифметика возродилась в XV в. как науки куп-
цов. Первыми крупными её представителями былп или
купцы, пли люди, с ними тесно связанные. Правящие клас-
сы Англин, Франции и Германии в XVI—XVII вв. чаще
всего считали арифметику необходимой только для куп-
цов и для «черни», относились к пей презрительно и за-
крывали доступ в школы «благородных отпрысков»2). Куп-
цам арифметика была нужна; но их теоретические требо-
вания к ней былп минимальны: в соответственном объёме
арифметические правила можпо было заучить наизусть.
Учёные тоже нуждались в арифметике; но запреты, накла-
дываемые па арифметику в первой половине XVII в.,
их беспокоили мало. Для практики их исследований
самостоятельная теоретическая арифметика была не нуж-
на; обоснование её пстпп они усматривали в геометрии.
JI XV111 в., особенно во второй его половине, положе-
ние меняется к лучшему, хотя и не везде одинаковым оо-
разом. 13 это время начинает разрабатываться самостоя-
тельная теор тическая арифметика, арифметика дока-
зательная, существующая наряду с геометрией и даже
предшествующая ей.
Целесообразность выделения теоретической арифме-
тики из геометрии выявилась во второй половине XVII в.
в связи с развитием алгебры, аналитической геометрпп
и анализа бесконечно малых.
*) Ф. К е д ж о р и. История элементарной математики, пеР’
с англ., Одесса, 1917 г., стр. 194—228.
2) Там же, стр. 221. *
УЧЕНИЕ О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ 433
В противовес Виету, Декарт, по сути дела, показал,
что буквенное исчисление (т. е. алгебру) надо строить не
а геометрической, а на арифметической базе; арифметика
поэтому должна быть обоснована раньше всего. Правиль-
ность и научная действенность построения арифметики
как самостоятельной дисциплины была подтверждена раз-
нйтпем аналитической геометрии и анализа бесконечно
малых.
Развитие теоретпческон арифметики как самостоятель-
ной науки стимулировалось л другими причинами. Соз-
дание сильного русского централизованного государства,
нарастание буржуазной французской революции, укре-
пление государственной власти в других странах, рост про-
мышленности, мореплавания и торговли, развитие воен-
ного дела и тому подобное поставили проблему подготовки
математически образованных кадров технической интел-
лигенции и военных специалистов. Для многих знание
арифметики оказалось не конечным, а исходным пунк-
том образования; простое заучивание её практических пра-
вил, как не развивающее мышления, стало недостаточным
и вредным. Догматические учебники арифметики должны
были отойти на второе место, стать учебниками только
ремесленных и начальных школ. Преподавание арифме-
тики, по Евклиду, могло обеспечить достаточную для того
времени теоретическую строгость, но оно было мало до-
ступным и недейственным, так как важные для практики
правила арифметических действий в «Началах» не рас-
сматривались. Новые требования нашли отражение в рус-
ской, немецкой и французской методиках математики1),
в борьбе пх передовых представителей против догмати-
ческого обучения арифметике, за обучение систематиче-
ское, доказательное и доступное. Это, конечно, нашло
отражение и в способах написания арифметических руко-
водств. В России и Германии, затем и во Франции,
и чем дальше, тем больше, начинают выходить арифмети-
ческие руководства, авторы которых не только стараются
—- _____________
г) Как самостоятельная наука, методика математики воз-
никла в XIX в. В XVIII в. методические установки излагались
°Рами во введениях к учебникам, в энциклопедиях и им подоб-
аЫх изданиях.
28
Историко-матем. исследования

В. н. молодшнй
расположить материал по порядку, подсказываемому
существом дела, ио п пытаются дать ему доступное теоре,
тнческое обоснованно. Именно в этих руководствах наме-
чаются действительные границы между теоретической п
практической арифметикой, закладываются первые кам-
ни здания, называемого теперь арифметикой кол ищи
ствеиных натуральных чисел.
Необходимо отметить высокий научным уровень lf
правильную целеустремленность доказательных русских
руководств по арифметике в XVI11 в. Первые русские ав-
торы—Л. Эйлер, С. Румовскпй, С. Котельников1) —
утверждали, что обучение арифметике должно быть дока-
зательным, так как иначе учащиеся не сумеют применять
полученные знания в разнообразных жизненных условиях,
не станут творчески развитыми людьми. Эйлер подчёр-
кивал: кто познаёт основания, тот учится изобретать,
«арифметика, когда опа без основания и без доказательств
показывается, недовольна пи к разрешению всех случаев,
ни к поощрению человеческого разума». Они указывал!.',
что доказательное обучение арифметике способствует раз-
витию логического мышления и закрепляет в памяти
полученные знания. Известно, что такие же взгляды
отстаивал и М. В. Ломоносов2). Так же аргументировали
необходимость доказательного изложения и обучения
арифметике и другие русские авторы XVIII в.— Е. Вой-
тяховскпй и др. В русской математической литературе
XV11I в. теоретические руководства по арифметике играли
ведущую роль. Переводились на русский язык в первую
очередь теоретические руководства (Вольф, Кестнер,
Безу, Лакроа и др.). Ни в одном русском руководстве
по арифметике XVIII в. нет и намёка на идеалистическую
трактовку понятия числа и основных принципов арифме-
тики. Подбором соответствующего материала (разъяс-
нение роли арифметики, содержание задач, переводы мер
х) Л. Э й л е р, Руководство к арифметике, пер. с нем. В- Адо-
дурова, ч. 1, СПб., 1740.—С. Р у м о в с к и и. Сокращения мат
матнкп, ч. 1, СПб., 1760.—С. Котельников. Первые осп
ваппя математических наук, ч. 1, СПб., 1766.
2) М. В. Ломоносов, Избранные философские соч
ния. Институт философии АН СССР, М., 1940.
УЧЕНИК о НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ 435
пины, веса п т‘ п') авТ0Ры старались создать научно-
* ержанпый русский учебник арифметики.
в Лучшие авторы немецких учебников—Вольф, Кест-
ер и ДрУгпе также подчёркивали и предметную и логи-
^еску10 значимость обучения арифметике. Но вторая
чеЛЬ17 отмечалась ими с особой тщательностью, благодаря
чему предметность отступала на задний план. Для неко-
торых немецких авторов XVI11 в. характерна также при-
верженность к теологии и идеалистической философии.
Об этом факте мы скажем подробнее впоследствии.
Большинство французских учебников арифметики пер-
вой половины XVIII в. ничем пе отличалось от учебников
XVII в.1). Коренные изменения произошли во второй по-
ловине и в конце XVIII в.: потребности буржуазной ре-
волюции заставили математиков Франции отказаться
от догматического обучения, перейти к созданию теоре-
тически и методически выдержанных учебников ариф-
метики. Учебники Л. Бертрана, Безу, а затем Лакроа
получплп широкое распространение; последние два были
переведены па русскиii язык.
В Англин положение к лучшему по изменилось. Хотя
в конце XVIII в. в некоторых английских руководствах
стали появляться доказательства, они обычно помещались
после правил, как нечто второстепенное. Вопросы теоре-
тической арифметики если и рассматривались, то только
в курсах алгебры (например, в курсах Саупдерсона и
Симпсона). В Америке в это время использовались пре-
имущественно английские учебники арифметики. Но и
в собственной учебной литературе по арифметике амери-
канцы подражали англичанам2).
Имея целью рассмотреть, как в XVIII в. обосновы-
вали арифметику натуральных чисел, мы остановимся
г) Я имел возможность ознакомиться с многими французскими
Руководствами по арифметике XVIII в., хранящимися в Цублич-
библиотеке им. М. Е. Салтыкова-Щедрина и в библиотеке
РЯСССР в Ленинграде, а также в Публичной библиотеке
у • В. И. Ленина, в библиотеке им. Горького Московского Гос.
яиверситета им. М. В. Ломоносова.
Dp. J См. L. Karpinski, Bibliography of Mathematical works
r nted in Amerika, through 1850, London, 1940.
28*
4зб
В. II. МОЛОДШПП
только па русских, немецких и французских учебпиКах
теоретической арифметики и на материалах, к ней отно\
сящихся.
§ 2. Что изучает арифметика?
В XVIII в. русские, немецкие и французСКПе
математики рассматривали обычную арифметику Kai.
базу математики в целом и определяли её как науку
о числах и пх применении.
«Арифметика есть такая паука, писал Л. Эйлер,—
которая показывает свойства чисел, и притом подаёт
некоторые правила, способные к исчислению пли решению
наиболее в общем житии встречающихся задач»т).
Фактический объём этого определения был, одпако
значительно меньше того, каким он мог быть. В XV111 в*
знали целые, дробные, иррациональные, положитель-
ные п отрицательные и комплексные числа. Но к арифме-
тике обычно относили только положительные целые и дроб-
ные числа. Хотя в учебниках правила приближённого
извлечения квадратных и кубических корней излагались,
об иррациональных числах ничего не говорилось. Авторы,
например, не указывали, что |/ 2—число иррациональное.
Они ограничивались замечанием: нельзя найти целое или
дробное число, квадрат которого равнялся бы двум, по
можно найти дробь, квадрат которой отличается от двух
как угодно мало. В соответствии с этим развивали правила
приближённого извлечения квадратных корней. Ирра-
циональные, положительные и отрицательные и комплекс-
ные числа относились к алгебре п там получали обосно-
вание. Отклонения от этого общего правила распределения
материала учения о число были крайне редки. В России
только Котельников в своем учебнике арифметики впер-
вые упоминает о положительных п отрицательных и ирра-
циональных числах. Поэтому учебник Котельникова может
быть назван первым курсом учения о числе на русском языке.
Математики XVIII в. различали арифметику
тпческую п практическую. В первой половине ХА ШИ
французские авторы трактовали предмет теоретичсск
’) См. «Руководство» Эйлера, стр. 13, а также «Сокращения
Руновского.
УЧЕНИЕ О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ Н XVIII ВЕКЕ 437
яОифметпки чаще всего в духе Евклида: правила действий
обоснование относили к практической арифметике.
Так рассуждали даже^ авторы французской Энциклопедии,
в том числе и Даламбер1). В России и Германии, а потом
п повсеместно, завоевала признание более правильная
точка зрения, выражение которой дано в цитате, приве-
дённой из арифметики Эйлера.
Д В XVIII в. специальные руководства по теоретической
арифметике не существовали. Она излагалась в связи
с практической арифметикой, служила ей фундаментом.
Соотношение их объёмов определялось преимуществен-
но назначением учебника.
Теория целых и дробных чисел не была обособлена
от их элементарного истолкования. Арифметику нату-
ральных чисел строили только как арифметику коли-
чественных натуральных чисел. На такой же количе-
ственной базе основывали и учение о дробных числах.
«Все то называется число,—писал Я. Козельский,—чем
ответствовать должно на вопрос сколько». Причину этого
надо искать в
господствовало
том толковании понятия числа, которое
в XVIII в.
§ 3. Что такое число?
математики считали понятие числа совер-
В XV111 в.
шенно простым и ясным. «Ничто не является более про-
стым и более известным людям,—указывал Боссю,—чем
идея числа»2). Они полагали возможным дать общее со-
дер нсателъное определение числа, способное быть дей-
ственным началом логического развития арифметики. «Над-
лежит прежде всего о числах иметь ясное понятие»8),—
писал Эйлер и тут же добавлял, что только понимание
природы числа гарантирует понимание возможных дей-
ствий над ними и остальных их свойств. Учебники ариф-
метики этого времени часто начинались категорическим
। I I Х) Dictkmnaire encyclopediquc des mathimatiques, Paris, 1789,
p 2) В о s s u t, Cours de Mathematique, ч. 1, Paris, 1775.
. TaKJKe L e m о i n e, Traite elementaire de Mathematique,
^aris, 1789.
) Л. Эйлер, цит, соч., стр. 16—17 (см. сноску на стр. 434).
488
В. Н. МОЛОДШИИ
утверждением: изучить арифметику может только тот, КТо
знает, что есть число. Такие утверждения гармонически
сочетались с господствовавшим в XVIII в. пониманием
роли содержательных определении в логическом развитии
математических теорий.
13 первой половине XVIII в. большинство автор011
руководств по арифметике, статей в энциклопедиях
и т. п. определяло понятие числа но Евклиду: число
множество единиц. Так определял понятие числа ц
Л. Магницкий1). Определение Евклида сохраняется ив
дальнейшем, правда, как увидим, не в прежнем его толко-
вании, как общего понятия числа.
В XVIII в., в особенности во второй его половине,
использование определения Евклида встретилось с ря-
дом трудностей. Опираясь на пего, нужно было признать,
что 0 и 1 не являются числами: пуль есть только знак
для «ничто»; единица означает только одну вещь, она —
основание, «причина» числа, по нс число. Другая труд-
ность связывалась с пониманием природы единиц, из
которых можно составить число (т. е. которые можно
сосчитать). Обычно говорили, что сосчитываемые веши
должны быть «одного рода». По это указание очень часто,
в особенности в первой половине XVIII в., иолималось
узко—как требование считать только качественно одно-
родные вещи. Однако практика заставила математиков
отбросить это ограничение и заявить, что считать можно
и качественно разнородные вещи. Это было достигнуто
во второй половине XV1I1 в. путём расширения объёма
понятия о вещах одного рода. Последними сначала стали
считать любые вещи, обладающие каким-либо общим
свойством. В конце концов пришли к убеждению, что
под отвлечённым числом надо понимать множество вещей,
когда род пх пе принимается в соображение2). Решающим,
однако, было то, что определение Евклида, по видимости,
мирилось с существованием дробных чисел, по нс охва-
тывало числа иррациональные. Этот факт учитывал уж°
Э Л. Магницкий, Арифметика, СПб., 1703.
2) Впоследствии то же говорили и математики начала Хь •
См. В. Я. Буняковский, Лексикон чистой и приклад1
математики, т. I, СПб., 1839, стр. 5.
УЧЕНИЕ о П ЧТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ 439
л Лейбницх). Всё возрастающая роль иррациональных
чИсел в механике, математическом анализе и алгебре
способствовала тому, что во второй половине XVIII в.
вСё чаще появляется и наконец завоёвывает господств) ю
шее положение иное общее определение числа, выдвинутое
ешё Ньютоном: число есть отношение од ной величины к дру-
гой того же рода, принятой за единицу * 2). Это определение
охватывало, как равноправные, положительные целые,
дробные и иррациональные числа. Именно в этом обстоя-
тельстве Котельников и Даламбер усматривали превос-
ходство определения Ньютона 3). Понятие о целом положи-
тельном числе содержалось в нём как частный случай,
пак количественная характеристика величины, кратной
единице. Едпипца становилась полноправным числом:
измеряемая величина могла оказаться равной единице
меры. Нуль, однако, попрежиему выступал только как
«знак ничто». Правда, в алгебре наметилось иное толко-
вание нуля, как «середины» между положительными и от-
рицательными величинами, но широкого признания оно
не получило и в арифметику не проникло. Взгляд на нуль,
как на число, стал завоёвывать признание с конца XVI11 в.,
в связи с разработкой вопросов обоснования арифметиче-
ских действий. И это естественно, если учесть господство-
вавшую в то время чисто количественную трактовку
понятия числа. На определение Ньютона опирались Эйлер,
Лагранж, Лаплас и Лобачевский4). Его придерживались
С. Котельников, А. Барсов и многие другие русские
и иностранные математики второй половины XV111 в.5).
Э Oeuvres de Leibniz, t. I, Paris, 1846, стр. 166.
2) И. II ь ют о и, Всеобщая арифметика, перевод и коммен-
тарии А. П. Юшкевича, издание АН СССР, М., 1948, стр. 8.
3) Dictionnaire encyclopediqn о des matliematiqucs, 1. II, 1789,
стр. 464, статья Д а л амбе р а «Noinbre».
17ftQ4) Л. Эйлер, Универсальная арифметика, т. I II, СПб.,
1768—69.—П II. Л о б а ч е в с к и й, Алгебра пли вычисление
конечных, Казань, 1834.
б) С. Котельников, Первые основания математических
аУк, ч. 1, СПб., 1766.—А. Барсов, Новая алгебра, М., 1797.
и Л ^пРедсленпе Ньютона отстаивали и некоторые немецкие
Чес анп'Узские математики первой половины XVIII в., но эппзоди-
V аК]И например, курсы математики X. Вольфа и Р г е m о nt-
’ * Piscours sur la nature de nombres, Paris, 1743.
440
В. Н. МОЛОДШИЙ
Во второй половине XVIII в. большинство математц-
ков рассматривало определение Ньютона не только как
целесообразное, по и как предельно широкое определи
ние понятия числа, охватывающее все возможные его
виды. Все величины,—учил Эйлер,—выражаются через
числа, а число есть отношение х). Вслед за Эйлером так же
рассуждали и другие математики. Определение Евкли-
да начинает правильно трактоваться только как опре-
деление целого числа* 2).
Определялось ли натуральное чпело по Евклиду или
по Ньютону, реальный субстрат всех этих определений
был один: множество сосуществующих вещей, которое
можно получить из одной вещи последовательным присо-
единением остальных и, обратно, вещи которого гааг за
шагом можно перебрать до конца.
Числа происходят, пояснял Войтяховскпй, «ежели к
одному шару приложить другой..., к сим придать ещё
один» и т. д. Целые числа, таким образом, являлись ко-
личественными характеристиками эффективно-конечных
множеств. Как увидим, такое толкование натурального
числа было в XVIII в. действенным началом определения
и обоснования техники арифметических действий. Пони-
мание количественного натурального числа как количе-
ственной характеристики класса равномощных конеч-
ных множеств, выделенных пз всех возможных (в том
числе и бесконечных) множеств, XVIII в. было совершенно
чуждо.
В соответствии с указанными определениями понятия
числа в руководствах по арифметике XVIII в. натураль-
ные числа трактуются и обосновываются только как коли-
чественные натуральные числа. Упоминания о порядковых
числах встречаются редко, вскользь, как нечто второсте-
пенное 3).
Э В своей «Алгебре» Эйлер перешёл к более широкой трактовке
понятия числа, утверждая объективность понятий как о положи-
тельных, так и отрицательных числах.
2) Мы бы теперь сказали—«правильно трактоваться как опре-
деление количественного натурального числа».
3) Вскользь упоминаются они и в Diciionnaire encyclopedique t,cS
mathematiques; см. т. II, стр. 466. См. также Р. S е п ё b i е г,
Traite d’Arithmetique, Geneve, 1771; для него следующее число
УЧЕНИЕ О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ
13 начале XVIII в. английский идеалист епископ Беркли
пытался доказать, что числа только знаки, данные богом
людям, чтобы они лучше распоряжались вещами. Конеч-
go, не потребности развития и обоснования арифметики
заставили Беркли дать понятию числа такое нелепое тол-
кование. Изгнать материализм из математики, отравить
её ядом идеализма и тем самым сделать пз неё оплот по-
повщины и реакции—такова была основная цель епископа
Беркли. Во второй половине XVIII в. немецкий философ
Кант поддержал епископа Беркли. Ради подтверждения
своей философской системы он отрицал материалистиче-
ское толкование понятия числа, утверждал, что в чело-
веческом сознании оно существует до всякого опыта.
Однако большинство математиков XV1I1 в., в первую
очередь русских и французских, нс пошло за идеалистами,
а отстаивало материалистическое понимание природы чи-
сла как абстракции от количественных отношений реаль-
ного мира. Подобно Аристотелю, они были убеждены, что
благодаря объективности понятия числа «все положения,
которые выставляют учёные, занимающиеся числами, бу-
дут правильны и относительно чувственных вещей» х). Это
утверждение аргументировали обычно ссылками на прак-
тическую значимость понятия числа. Указывали также, что
понятие числа может быть отмочено различными знаками,
употребляемыми в индусской, славянской, римской и дру-
гих нумерациях, что поэтому число и знак, его представ-
ляющий, не одно и то же. Румовский подчёркивал: «Знаки,
которыми числа изображаются, зависят от произволения»2)-
Большую роль сыграло здесь и то, что материалистиче-
ское толкование понятия числа и операций быловХУШ в.
руководящим фактором в обосновании арифметики. Б
справедливости сказанного мы убедимся в дальнейшем.
I Идеалистическая трактовка понятия числа встретила
п°Ддержку среди части немецких математиков. Как уже
Указывалось сначала они подчёркивали «целесообразность»
—-------------
больше, предшествующее—меньше. Дальше идея порядка нигде
не используется.
с- Э Аристотель, Метафизика, перевод А. В. Ксбпцкого.
^Чэкгиз, 1934, стр. 244.
) Румовский, пит. соч., стр. 8 (см. сноску на стр. 434)

В. И. МОЛОДШИЙ
изучения арифметики для лучшего освоения Догматов
веры (Вольф, Кестнер). В дальнейшем в трактовке понятия
числа н аксиом стало сказываться влияние кантианству
Крупнейшие немецкие математики начала и конца XV Ц]
в. —Лейбниц н Гаусс—рассматривали понятие числа толь-
ко как продукт человеческого духа. Сухое, педантичное
часто бессодержательное изложение арифметики Вольфом
(Вендлером и др.), по мысли его автора помогающее уче-
никам освоить логику и подняться до осознания догматов
веры, чрезмерное аксиоматизирование положен и й ариф-
метики—таковы некоторые результаты влияния теологии
и идеализма на часть немецких учебников. Однако, как
ни старались пх авторы построить учебники в духе отста-
иваемого ими идеалистического мировоззрения, это нм
удавалось плохо: логика предмета исследований выну-
ждала пх по существу обосновывать арифметику, как си-
стему объективных истин* 1).
§ 4. Аксиомы арифметики
Далеко не все авторы арифметических руководств
XVIII в. считали необходимым указывать аксиомы. В
руководствах Эйлера, Курганова, Барсова, Безу и др.
аксиом нет. Отказывались от аксиом сознательно: полага-
ли, что аксиоматизированное изложение арифметики за-
трудняет её изучение. Эти авторы утверждали, что дока-
зательство теорем арифметики целесообразно прово-
дить, опираясь только на явные определения числа и
действий и предполагая аксиомы как истины самооче-
видные.
Другие авторы—Вольф, Кестнер, Шульц, Анич-
ков,—считая аксиоматическое обоснование арифметики
необходимым и целесообразным, начинали пли закан-
чивали изложение аксиомами.
В течение XVII в. оба эти направления по раз всту-
пали в полемику. Несмотря па различную ориентацию»
Э См., например, I. Fischer, Reine Elementar-ATalhc-
matik nach Griinden dor Kritischen Philosophic, Leipzig,
I. Schulz, Anfangsgriinde der rcinen Mathesis, K6nigsbcio»
1790.
уЧЕНПН О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ 443
ни накопили большой фактический материал, относящий-
ся к обоснованию арифметики, который во многом подвёл
учение о целых числах к современниц системе аксиом
£Яда натуральных чисел
г В первой половине XV111 в., а впоследствии и у мно-
гих авторов второй половины XVI11 в., система аксиом
арифметики ничем ———.........
СПОИ Евклида. Вот
существенным не отличалась от ак-
эти аксиомы:
1. « =
2. Если а — Ь и Ь — с, то а = с.
3. Если а — Ь, то а 4- с = b + с;
если а > Ь, то a -f- с > b -f с.
4. Если а — Ь, то а — с ~Ь — с\
если а > Ь, то а — с> Ь — с.
5. Если а = 6, то ас = Ъс\ если а > Ь, то «с > Ьс.
п l а Ь , а Ь
6. Если а = Ь, то — = — , еслп а > о, то - > — .
с с с с
7. Если а — Ъ и с > с, то с > b и если с < а, то с < Ь.
8. Если а > b и b > с, то и а > с.
9. Если 6, с, ..., I части л, то а — b 4- с 4-... -J- Z,
причём а>6, а > с,..., а > Z.
Особо важную роль играла 9-я аксиома: целое равно
сумме всех своих частей и больше каждой своей части.
Указанная система аксиом по полна: с её помощью не-
возможно обосновать правила арифметических действий;
это стало ясным во второй половине XVI11 в. Её начали
фактически расширять, используя законы счёта; послед-
ние чаще всего доказывались или, порой, аксиоматизи-
ровались. Как происходило это расширенно,—мы увидим
дальше.
Существенно ещё раз подчеркнуть, что в XVIII в.
Усматривали действенное основание доказательств теорем
аРпфметпки не в аксиомах, а в содержательном определе-
нии числа п связанных с ним определениях действий,
ксиомы трактовались как истины, справедливые для
'Юоых величин, а потому только как общие принципы до-
зательств, но не их действенное основание.
Ш В. II. Мо.ЮДШНП
§ 5. Символика арифметики
Символика арифметики сложилась в основных черта*
в XVII в. Своими корнями она восходит преимущественно
к алгебре; там она возникла и была затем перенесена й
арифметику. Знаки > , = , <, 4-, —, X были известны
в XVII в. и ранее. Только привычные мам знаки . и .
былп введены Лейбницем и Вольфом в конце XVII и па1
чале XVIII в.; до этого пользовались знаками х и ;
Были и знаки, ныне оставленные: вместо (а +6) • с писали
а + бхс. Однако очень часто, особенно в первой полейте
XVIII в., авторы руководств по арифметике по считали
нужным применять символику: слагаемые выписывались
друг под другом без употребления знака-}- и т. д.
Введение в арифметику символов для обозначения от-
ношений и действий рассматривалось пх сторонниками
как гарантия от двусмысленности, неясности, а значит,
и как необходимое условие строгости математических рас-
суждений. У нас эту точку зрения отстаивал Барсов.
§ 6. Нумерация
К началу XVIII в. былп исследованы различные пози-
ционные системы: двоичная, троичная и т. д., вплоть до
двенадцатиричной. Центральное место, конечно, занимала
позиционная десятичная система. Вызывала интерес и
двоичная система; её особенностями и приложениями за-
нимались многие математики, в том числе Паскаль, Лейб-
ниц и Я. Бернулли.
В XVIII в. в учебниках арифметики излагалась деся-
тичная позиционная система. О других системах упомина-
ли редко; чаще делали это в энциклопедиях х).
Нумерация нередко рассматривалась как первое ариф-
метическое действие, цель которого—научить изображать
и называть числа. «Как знаками изображённое число над-
х) См. Lemoine, ТгаИё elementaire de inatheinatici1’1^
pures, t. I, Paris, 1797, стр. 15, где автор упоминает о бпнарни
и других системах. См. также «Dictionnaire encyclopedique
jnathematiques» и другие энциклопедии.
УЧЕНИЕ О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ 445
е?кит выговаривать, писал Л. Эйлер,—и как всякое
Л0сло знаками изображать, называется счисление и счи-
тается обыкновенно за первое арифметическое действие» х)«
Т Целесообразность и необходимость разработки пози-
ционной десятичной нумерации часто обосновывали. Обос-
нование проводили путём таких рассуждений; за ка-
ждым числом п следуют числа п4-1, п-|-2 и т. д.; но человек
неспособен запоминать не только бесконечное, но даже
п большое число различных названий; следовательно,
нецелесообразно пытаться дать каждому числу самостоя-
тельное название и обозначение. Нужно разработатьнной,
практически удобный способ обозначения и обоснования
чисел. Цель будет достигнута, если удастся изобразить
каждое число с помощью комбинаций нескольких симво-
лов: это упростит обозначения, наименование и запо-
минание чисел.
После таких рассуждений давалось обоснование воз-
можности разработки подобной нумерации. Первые девять
чисел, начиная с единицы, выписывались индусскими
знаками и назывались без предварительных пояснений;
знание пх предполагалось известным всем. Затем вводили
нуль, как знак н и ч то. Указывали, что, хотя нуль
сам по себе ничего пе обозначает, по если приписать его
справа к обозначению любого числа, то получится обо-
значение другого числа, в десятеро большего, чем исход-
ное. Если в числе отсутствуют какие-либо разряды,
то на местах, предназначенных для их обозначения, ста-
вят нуль; благодаря этому число будет изображено
верно.
Изложение нумерации часто заканчивали указанием,
что она удовлетворяет предъявляемым к ней требованиям,
благодаря чему нам нетрудно выяснить в каждом случае,
сколько единиц, десятков, сотеп и так далее содержит
число, следовательно, нетрудно его познать. «Познание
чисел,—подчёркивал Эйлер,—зависит от того, чтоб знать,
из скольких единиц, десятков, сотеп. тысяч и пр. всякое
число состоит»2).
4 Л. Э й л е р, Руководство..., стр. 34 (см. сноску на стр. 434).
2) Л. Эйлер, Руководство..., стр. 39. •

Ц- И. МОЛОДШ11П
Используя эмпирически ясную идею порядка для обос-
нования десятичной позиционной нумерации, математики
XVIII в., по сути дела, проверяли, что любое количест-
венное натуральное число единственным образом может
быть представлено в видепо10п+я110п-* 1 +... +ап, где ка-
ждое а,- (Z = 0, 1, ..., п) способно принять одно из значений
от 0 до 9 включительно. Основанием служило убеждение
что каждое целое число может быть исчерпано последе!
вательным изъятием содержащихся в нём разрядов, начи-
ная с высшего и кончая единицами. Это убеждение бази-
ровалось на общепринятом толковании целого числа как
характеристики эффективно-конечного множества и ид
девятой аксиоме (см. стр. 443). Что для логически
выдержанного доказательства здесь существенно необ-
ходима полпая математическая индукция,—об этом в
XVIII в. нс было п речи.
Некоторые авторы, например Даламбер и Котельни-
ков, указывали преимущества позиционной десятичной
системы. Они находили, что в десятичной системе изо-
бражение чисел кратко и просто; в ней используется
не самое меньшее и не самое большее число знаковх).
Конечно, такие же аргументы можно отнести (и их отно-
сили) и к двенадцатиричной системе.
Что касается названия разрядов, то в XVIII в. у раз-
ных народов они совпадали только до миллиона. 13 Рос-
сии под словами биллион и триллион понимались числа
1012 и 1018.
§ 7. Определения арифметических действий
Какие арифметические действия являются основными?
Во второй половине XVIII в. считали, что таких действий
четыре: сложение, вычитание, умножение и деление.
Как уже было сказано, иногда (особенно в первой поло-
вине века) к ним присоединяли нумерацию. Были, однако,
и такие математики, которые все арифметические дейст-
вия сводили к двум2) пли к трём—к сложению и вычи-
9 С. Котельников, Первые основания математиче-
ских наук, ч. 1, СПб., 1766.
2) См., например, D е i d i е г, L'arithmetiques, Paris, i739.—-
I Schulz, Anfangsgriinde der reinen Mathesis, Konigsberg, 1790.
УЧЕНИК О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ 447
анпю, мЛИ к Н1,м.11 нУмерацип. Последнем номенклатуры
Одерживался ЭЯЛСР *)• Умножение и деление рассматри-
вались при этом как сокращённые сложение и вычитание.
Мотивировка такой классификации была проста: ве-
личина может быть больше пли меньше—это её основные
свойства; следовательно, сложение и вычитание—основ-
ные арифметические действия. Впрочем, так же рассуж-
дали и те, кто насчитывал четыре и даже пять основных
арифметических действий. В этом случае только добав-
ляли, что складывать и вычитать можно как неравные,
так и равные числа; поскольку в последнем случае про-
цессе выражается умножением или делением, постольку
и эти действия являются основными.
Рассуждения математиков XVIII в. о число арифме-
тических основных действий современному читателю мо-
гут показаться тривиальными. По это нс так. В Европе
в период упадка математических знаний некоторые мате-
матики насчитывали даже девять основных действии:
счёт, сложение, вычитание, удвоение, умножение, деле-
ние на два, деление, восхождение (прогрессия), извлече-
ние корпя. Эти действия, в качестве основных, встречались
в учебниках арифметики вплоть до XVIII в.2). XV111 век
отказался от этих пережитков и в конце концов выработал
правильную классификацию основных арифметических дей-
ствий.
Считая возможным дать общее определение понятия
числа, полагали естественным давать и общие, верные для
любых чисел, определения арифметических действий. По-
следние рассматривали не только как определения ариф-
метические, но и как алгебраические.
В течение XVIII и даже в начале XIX в. определяли
сложение п умножение чаще всего так:
Сложить—значит найти число, которое содержит столь-
ко единиц, сколько единиц содержат все слагаемые, вме-
сте взятые.
. х) Кроме руководства Эйлера, см., например, Ch. Michac-
}.* s> Demonstrative Anleitung zu denengriindon der edlcn Arilhme-
», Leipzig, 1762.—P. Senebicr, Traite d’Arithmelique,
beneve, 1771.
I в С*1* II' T p о п ф к e, История элементарной математики
систематическом изложении, т. 1, AL, 1914, стр. 36 и сл.
448 __________В‘ Н- МОЛОДПШИ
Умножить—значит взять множимое слагаемым стольг
раз, сколько множитель содержит единиц.
Эти определения базируются на евклидовом опредеде,
нии понятия числа.
Во второй половине XVIII в. начинают использовать
определения сложения и умножения, основанные на цЬкк
тоновском определении числа:
Сложить—значит найти число, которое столько крат-
но единице, сколько кратны ей все слагаемые вместе Ц
Ум ожить—значит найти число, которое бы происхо-
дило пз множимого, как множитель пз единицы* 2).
Эти определения вошли во многие учебники ариф-
метики и алгебры в конце XVIII и в начале XIX в.. Они
конечно, более общи, но в случае применения к целым
числам фактически сливались с первыми.
Вычитание и деление обычно определяли прямо, пе как
обратные сложению и вычитанию:
Вычесть—значит изъять из уменьшаемого столько
единиц, сколько единиц содержит вычитаемое; вычи-
тание есть способ находить число, которым одно из двух
данных чисел другое превышает.
Разделить—значит представить делимое в виде суммы
равных слагаемых, число которых равно делителю; деле-
ние есть несколько раз повторенное вычитание.
Выполняя проверку действий, фактически использо-
вали то, что вычитание и деление являются действиями,
обратными сложению и умножению. Это способствовало
тому, что па грани XVIII в. стали порой определять вы-
читание и деление в современном стиле.
Каков реальный смысл слов «взять вместе»? Его надо
искать в понимании прообраза натурального числа как
множества, элементы которого шаг за шагом можно пере-
брать до конца. Соответственно этому толкованию, авто-
ры учебников XVIII и первой половины XIX вв. разъ-
х) См., например, С. Гурьев, Науки исчисления, кн.
СПб., 1805, стр. 45. * .. .е
2) См., например, указанную работу С. Гурьева, а таья*
Н. II. Лобачевский, Алгебра пли вычисление конечны »
Казань, 1834, гл. IV. Это определение через Ньютона восход
к Декарту.
УЧЕНИЕ О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII БЕКЕ 449
«сняли операцию сложения так: чтобы сложить числа
я и надо от b отнимать по единице и тотчас присоединять
д. Когда b будет исчерпано, тогда действие прекратится
я д с присоединёнными единицами Ь изобразит сумму, т. е.
{а} + {b} = {а + 1) + {b — 1) = ... = {д Ь).
3 таком же стиле истолковывалось и вычитание. Что-
бы вычесть b пз а, надо одновременно отнимать единицы
от b и от а. Когда b исчерпается, действие прекратится
и остаток а изобразит разность, т. е.
{«} — {&} = {« — !} —{6-1} = ... - {а —6} 1).
Чаще всего это истолкование сложения и вычитания
считалось совершенно ясным, не требующим никаких пояс-
нений. Все учебники XVIII в. исходили из такого и толь-
ко такого толкования этпх операций. Тем самым пред-
определялось такого же рода истолкование для умножения
и деления.
Разъяснив смысл арифметических операций, авторы
учебников арифметики обычно начинали рассуждать так:
Если нужно сложить два числа, пз коих одно небольшое,
то нетрудно найти пх сумму путём фактического отсчиты-
вания единиц от меньшего слагаемого к большему. Но
когда оба слагаемых велики, операция отсчитывания
требует затраты большого количества времени. Такие же
трудности представляют п другие арифметические опе-
рации. Например, еслп необходимо умножить 235 на 3,
то 235 х 3 =235 + 235 +235, и найти произведение нетруд-
но. Когда оба сомножителя5" велики, сведение умноже-
ния к сложению становится громоздким. Основываясь
на таких рассуждениях, математики XV11I в. указывали,
’то главной задачей теоретической арифметики является
Разработка и обоснование таких приёмов счисления, ко-
ТоРые помогали бы людям быстро и легко находить ре-
зультаты арифметических действий над любыми числами.
В *) См. учебники арифметики Войтяховского, Курганова,
0Льфа, Кестнера, Безу, Лакроа и др.
Историке матем. исследования
450
В. Н. МОЛОДШИЙ
Они подчёркивали, что такие приёмы можно развить, ба_
знруясь па позиционной десятичной нумерации, опродс_
лениях действий и аксиомах.
§ 8. Обоснование правил арифметических действий
Лейбниц, видимо, был единственным математиком
XVII в., уделившим серьёзное внимание теоретическим
основаниям арифметических истин. Известны его по-
пытки доказать, что 2 и 2 дают в сумме 4. Но усилия Лейб,
вица в его время поддержки пе получили.
В начале XV111 в. были хорошие учебники арифмети-
ки, авторы которыхдавалпопределсния, но не считали нуж-
ным останавливаться па доказательствах. Так, напри-
мер, поступали Магницкий и Озанам1). В сравнении
с учебниками арифметики XVII в. эти руководства вы-
годно отличаются систематичностью изложения и богат-
ством содержания.
Вместе с тем, с начала XVIII в. появляются и другие
руководства, в которых предпринимаются попытки до-
казать правила арифметических действий. В это время
начппают оформляться доказательства правил сложения
и умножения, которые потом до начала XIX в. воспроиз-
водятся в большинстве русских, немецких и французских
учебников арифметики. Сообщив правило сложения в по-
яснив его примерами, авторы доказывали его так: Распо-
ложив единицы, десятки, сотни,... слагаемых и сложив
их последовательно по вертикалям, мы взяли все еди-
ницы, все десятки, все сотни,... слагаемых; следователь-
но, мы взяли все части слагаемых. Согласно девятой ак-
сиоме целое равно сумме всех своих частей; значит, полу-
ченное нами число, как содержащее все единицы, все
десятки, все сотни,... слагаемых, есть пх сумма. Зная же
единицы, десятки, сотни,... суммы, мы знаем и её самое.
Справедливость правил умножения обосновывали нС"
сколько иначе. Сначала подробно разъясняли таблиц}
*) Л. М а г п и ц к п й, Арифметика, Москва, 1703.—О
n am, L’ariihmetique, Paris, 1720. Последний указывал, чтО,ока1!
нованпе теорем арифметики не является необходимым, так
оно осуществляется в геометрии.
____УЧЕНИЕ о НАТУРАЛЬНЫХ числах в хУШ веке 451
умножения1), затем сообщали способ перемножения мно-
гозначных чисел, какой применяем теперь и мы, и пояс-
ля^11 ег® рядом примеров 2). Последние всегда составляли
так, чтобы ученик мог патронироваться па перемпоженип
всё более и более крупных чисел и научился бы перемно-
жать числа, у которых некоторых разрядов пот. Дока-
зательство справедливости правила умножения также
основывали па девятой аксиоме. Говорили:—Первое число,
под чертою написанное, во столько раз больше множимого,
во сколько раз число единиц множителя больше единицы.
Второе число, под чертою написанное, во столько раз
больше множимого, во сколько раз число десятков
множителя больше единицы... Так как все числа, под
чертою написанные, сложены по вертикалям, то сумма
их во столько раз больше множимого, во сколько множи-
тель больше единицы; следовательно, по определению
умножения п по 9-й аксиоме, найденное число есть искомое
произведение.
Обоснование правил вычитания и деления, выдер-
жанное в таком же плане, пе представляло пн малейше-
го труда.
Эйлер, Курганов, Козельский и Войтяховскпй при-
держивались такого способа обоснования арифметиче-
ских действий3).
В количественной теории натуральных чисел компо-
ненты сложения и умножения играют не равнозначную
роль. При нахождении суммы 3-J-4 как число 4, так п
число 3 характеризуют состав тех множеств, которые
соединяются в одно множество; в этом смысле они равно-
правны. Когда же находят 4*3, только 4 характеризует
1) Некоторые авторы приводили и таблицу сложения.
2) В XVI и первой половине XVII вв. умножение считалось
трудной операцией, поэтому давали несколько способов её осуще-
ствления. Тарталья, например, давал семь способов перемноже-
сИя’ Наш способ возник в XVI в. под названием шахматного.
К л е й б е р, Умножение и деление, Киев, 1888.
Н 2* *Я’ Эйлер, Руководство... (см. сноску на стр. 434).—
д’ ЛУ ргано в, Универсальная арифметика, СПб., 1757.—
Е. r 3 с л ь с к и й, Арифметические предложения, СПб., 1764.—
Лйтт „ 0 й т я х о в с к п й, Полный курс чистой математики,
Взд- 2-е, М., 1794.
29*
452 b 14 • МОЛОДТПИЙ
---— —-----------------------
состав множества, 3 показывает, сколько раз множество
состоящее из четырёх единиц, берётся вместе; здесь y>K(J
4 и 3 не равноправны. Поэтому, если «совершенно ясно»
(или «следует пз IX аксиомы»), что 3+4=4+3, то далеко
ие ясно, будет лп 4 • 3 = 3 • 4. На эту трудность обратилц
внимание в первой половине XV111 в. Закон перемести-.
тельный для умножения начинают выделять и обосно-
вывать; ссылки на пего включают в рассмотренное вы-
ше обычное обоснование правила умноженияг).
Справедливость этого закона для однозначных чисел
устанавливалась по таблице умножения. Для многознач-
ных чисел доказательство обычно проводили так. Сначала
вычерчивали показанную здесь прямоугольную фигуру
или составляли соответственную таблицу единиц (чорт. 1);
“~ГТ'|---- 11111
11111
~| 11111
Черт. 1.
Потом говорили:—Сосчитать все имеющиеся здесь квад-
раты (или единицы) можно двояким образом —пли по го-
ризонталям, или по вертикалям. В обоих случаях мы
получим одни и тот же результат: число, характеризующее
множество всех квадратов (пли единиц). Нов первом слу-
чае сумма может быть представлена как
5+5 + 5 = 5-3,
во втором, наоборот, как
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 • 5;
следовательно,
5 • 3 = 3 • 5.
4 В XVII в. в некоторых русских и иностранных учеоппь^
арифметики переместительный закон для умножения указывал
См. Б. В. Гнеденко, Очерки по истории математики в
спи, М.—Л., 1946, стр. 48.
УЧЕНИЕ О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ 453
В заключение указывали, что проведённое рассуждение
легко распространить на любые целые числа: для этого
достаточно представить, что каждая строчка содержит
столько квадратов (или единиц), сколько их в множимом,
и что число строчек, поставленных одна под другой, равно
множителю. Часто такое заключение отсутствовало, бла-
годаря чему, естественно,полнота рассуждений снижалась.
В последней четверти XVIII в. такое доказательство
закона переместительности для умножения можно найти
почтп во всех серьёзных учебниках арифметики и даже
алгебры. Воспроизводилось оно неоднократно и в XIX в.,
например в «Арифметике» В. Бупяковского, в «Теории
чисел» Л ежен-Дирихле и др. Это доказательство по идее
сохранилось и является действенным и в наше время в
количественной теории натуральных чисел. В формализо-
ванной арифметике, базирующейся на системе аксиом
Пеано, оно потеряло своё значение и было заменено до-
казательством, базирующимся па аксиоме индукции.
В 1778 г. Л. Бертран издал курс арифметики, в кото-
ром привел иное доказательство закона переместитель-
ности1). Бертран считал, что произведение (1 х b) х а,
а= 1, 2, ..., а остаётся тем же, если множитель Ь оста-
вить без изменений, а множимое 1 умножить на а. Точно
так же он предполагал, что произведение (6x1) X я,
а=1, 2, ..., а по меняется, если множимое b оставить
без изменения, а множитель 1 умножить на а. Отсюда Бер-
тран получал соотношения:
(1х6)х2=2х6,
(1 X 6) X 3 = 3 X 6,
(6 х 1) X 2 = 6 X 2,
(6 X 1) X 3 = 6 X \
(1 X 6) X а = « X* 6, (6 X 1) X а = 6 X а.
Считая соотношение 1 X 6 = 6х 1 тождеством и учитывая
произвол в выборе 6 и а, Бертран утверждал справедли-
вость закона для любых целых а и 6.
L, *) L. Bertrand, Developpcmcnt nouveau de la partie
lenientaire des mathematiqucs, Geneve, 1778, t. I, стр. 32 и сле,-
Лующие.
454 В- 11 МОЛОДШИЙ
-----—— — ------- - _
В конце XVIII в. начинают появляться учебники ариф-
метики, в которых выделяются все законы счёта, как база
обоснования правил сложения и умножения. Выделение
их осуществлялось двумя способами: авторы или пыта-
лись их доказать (путём проверки), или задавали аксиома-
тически (как ясные, неопровержимые положения). цо
первому пути, например, шёл А. Барсов. В переработан-
ном и дополненном нм переводе арифметики Н. Шмидта
оп отмечает закон переместительности для сложения,
как совершенно ясный, и пытается доказать законы ум-
ножения и закон распределительности1). «Как в сложе-
нии,—подчёркивал А. Барсов,—всё равно, в каком бы
порядке данные числа ни складывать, так и в умножении
всё едино, в каком бы порядке данные числа ни умножать
между собою: 2-жды 4 составляют столько же, сколько
4-жды. 2; следовательно, можно принять множителем ка-
кое угодно из данных чисел». «Всё равно,—указывал
Барсов далее,—умножать каким-нибудь числом целое ли
произведение, происшедшее от умножения нескольких
множителей между собою, или которого-нибудь из сих
множителей па то же самое число и потом сделать произ-
ведение». Так формулированные законы переместитель-
ности и сочетательности для умножения Барсов дока-
зывал ссылками на числовые примеры. Закон распреде-
лительный занимал у него центральное место. Воспроиз-
ведя его обычную формулировку, Барсов доказывал его
так:
Имеем:
2 +3+4=9
2 +3 + 4 = 9
2 • 2 + 3-2 + 4-2 = 9.2.
Значит,
(2 + 3 + 4).2 = 2-2 + 3-2 + 4.2,
х) Н. Шмидт, Новейшая арифметика, Пер. с нем. с «сир*
вленнями и дополнениями А. Барсова, М., 1797. Приводим*»
ниже цитаты взяты пз II главы.
УЧЕНИЕ О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ 45
Это рассуждение можно провести для любого числа
любых слагаемых при любом множителе; значит, закон
распределительный верен для любых целых чисел.
Автор одного из немецких учебников арифметики,
Шульц, шёл по иному пути х). Переместительный в со-
четательный законы счёта для сложения он считал аксио-
мами и присоединял их к обычному, принимаемому все-
мп списку аксиом. Законы счёта для умножения и закон
распределительный Шульц доказывал. Пусть, говори.! он
a -f b = с.
Если к равным прибавить равные, то получим равные;
поэтому
(« -}- Ъ) (а 4 Ь) — с 4- с.
Согласно принятым аксиомам отсюда следует:
ах2 + Ьх2 = сх2.
Аналогично можно доказать, что
« X 34- 6 х 3 = с х 3,
Следовательно,
а х п 4- Ь х п = с X п,
(a + b) X п — аХ п-\-Ь х п.
Считая очевидным, что п X 1 = 1 X п, автор переходит
к доказательству закона переместительности, основывая
его на законе распределительном.
Имеем:
пх 2 = п X 14-7? х 1 = 1 X n4-1 х « = 2 х и,
п х 3 = п X 2 4- пх 1 = 2 х п 4- 1 Хп = 3 X п,
Следовательно,
п X т = т х п.
В конце Шульц отметил закон сочетательный для
Умножения, но на доказательстве его не остановился.
berg^i^gО* ° h U 1 Z’ ^n^an"s°ran<^e ^сг ге*пеп Mathesis, Kenigs-
456
В. Н. МОЛОДШИЙ
Как видим, у Шульца порядок логического сопод-
чинения законов счёта тот же, как и в современной фор-
ма лизованной арифметике натуральных чисел. Посде
доказательства законов счёта для сложения (Шульц 11х
аксиоматизирует, но ставит на первое место) следует дока-
зательство закона распределительного, а затем законов
переместительного и сочетательного для умножения.
Не лишено интереса и то, что Шульц не считал отно-
шения чисел, выражаемые знаками > и <, основными
не требующими определения. Напротив, он дал им со-
временные определения и с пх помощью доказал свойства
неравенств. Шульц писал: а > 6, если а =Ь-\- с. Отсюда
следовало, что если а > Ь, то и а + с > b + с. Дейст-
вительно, по определению a — b-td\ значит, а4-с = 6-|-
-|-eZ4-c = (6 4-c)-t d п a с > 6 + с и т. д.
В 1798 г. Лежандр издал свою теорию чисел1). Что-
бы создать научную базу теории чпеел, Лежандр счёл
необходимым сначала доказать законы счёта для умно-
жения. О законе распределительном п законах счёта
для сложения Лежандр ничего пе сказал, но при дока-
зательствах первых законов закон распределительный был
им использован.
Отмеченное выше геометрическое доказательство за-
кона переместительности для умножения Лежандр счи-
тал ясным, точным и общим. Он, однако, указал, что
этот закон можно обосновать и не на геометрических дан-
ных. Именно, если А > В, т. е. если А = В + С, то
АхВ=ВXВ+СхВ и В X А = В X В-\-В X С.
Таким образом, вопрос о правильности равенства АхВ =
= В х А сведён к вопросу о правильности равенства
СхВ — ВхС. Рассуждая аналогично, второй вопрос
можно свести к вопросу о правильности равенства более
малых произведений. В конце концов мы придём к вопросу
о правильности равенства или вида МхМ = МхМ>
плп вида М X 1 == 1 X М, которые безусловно верны.
Следовательно, равенство Лх В — Вх А верно для любых
целых чисел А и В.
г) Legendre, Essai sur la theorie des nombres, Paris. 1798 -
УЧЕНИЕ О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ 457
Закон сочетательный для умножения Лежандр вы-
пил 113 геометрических соображений. Суть его дока-
зательства ясна пз чертежа 2:
V = A X (В х Л/) = (Л х В) х М.
Не все законы счёта упоминались в учебниках XVIIIb.
одинаково часто. Вслед за законом переместительности
для умножения указывали на закон распределительный;
на последний ссылались Румовскпй, Войтяховский, Бе-
зу и ДР-1)* Законы переместительности и сочетательности
для сложения если и указывали, то
чаще всего как па непосредственно
ясные: «Заметить надлежит, — пи-
сал С. Гурьев, — что сумма выйдет
та же, в каком бы порядке предло-
женные числа один под другим на-
писаны ни былп, как то само собой
явствует»2) (курсив мой.—В. М).
Основанием этому служило обще- Черт. 2.
принятое’толкование целого числа,
согласно которому, еслп в «большом» конечном мно-
жестве содержатся состоящие из единиц «меньшие»
множества, то как последние ни переставляй, как пз
одного в другие единицы, десятки, сотни,... ни перекла-
дывай, — число единиц в «большом» множестве останется
таким же, каким оно было раньше. Столь же очевидными
были эти законы п для тех, кто придерживался геометри-
ческого пх обоснования. Историки указывают, что
больше всего «пе повезло» закону сочетательному для
сложения, так как в учебниках арифметики XV11I в. он
। Упоминался реже других законов. Следовало бы, однако,
подчеркнуть, что этот закон встречался уже и в учеб-
I никах арифметики середины XVIII в.3).
г) С. Румовскпй, Сокращения математики, ч. 1,
^Чб., 1760.—*Е. Войтяховский, Полный курс мате-
Датики, изд. 2-е, М., 1794.—Э. Безу, Курс математики,
м-> 1806.
J) С. Гурьев, Пауки счисления, СПб., 1805. стр. 48. ~
) См., например, I. Basedow, Arjlhmetik, Altana, 176?.
458
в- Н. молодшнй
Причина неравномерного внимания матом атпкОв
XVIII в. к законам счета ясна: они связывали арифметику
натуральных чисел только с одним её возможным истолко
вапнем, в котором выполнимость законов счёта для сло-
жения действительно очевидна, а выполнимость закоНОи
счёта для умножения требует проверки. Поэтому хотя
они знали все законы счёта, по чаще всего считал и
необходимым обосновывать только законы умножения
и закон распределительный.
Таким образом, современная вам формальная ариф-
метика натуральных чисел (значит, и алгебра) обязана
русским, немецким и французским математикам XVIII в
важнейшим для неё приобретением: онп выделил]г все
законы счёта, выяснили пх роль в отчасти установили
их логическое соподчиненно.
§ 9. Операции с нулём
Когда слагаемые пли сомножители не содержат неко-
торых разрядов, техника выполнения арифметических
деПствшг требует оперирования с нулём как с числом.
Поэтому и математики XVIII в. должны были оперировать
с нулём как с числом. Нигде не оговариваясь, они счи-
тали очевидным, что
а + 0 = 0 + « = «,
а • 0 = 0 • /7 = 0.
В свете этого факта трактовка пуля как только «знака
ничто», но не числа, становилась архаичной. По па это
никто не обращал внимания. Только в конце XV111 в.
п в начале XIX в. некоторые авторы пытались приведён-
ные соотношения обосновать. Сперва обоснование прово-
дили па базе определений сложения и умножения. 1 °"
ворили: —Прибавить нуль к числу а значит ничего к нему
не присчитать; прибавить число а к нулю значит пере-
считать его единицы. В обоих случаях получим о; следо-
вательно, а 4 0 = 0 + л = а‘ Умножить Q на а значит взять
УЧЕНИЕ О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ 459
глагаемым а раз: поэтому 0 • a = O-J- .. .4-0 = 0. Умно-
жить я на 0 значит взять а столько раз, сколько в нуле
^книц; 110 в иет СД1,1П,Ц» значит а-0 = 0. Итак,
fHo-o-«=01)-
д, И. Лобачевский подходил к обоснованию соотно-
шения 0 • а = а • 0 иначе. Он считал соотношение 0 • а = 0
„ерным, так как взяТ ли нуль целое число раз или от пего
взята доля,-произведение одинаково равно нулю. Но соот-
ношение « • 0 = 0 Лобачевский считал необходимым обос-
новать иным способом, так как полагал, что «такой
случай не подходит собственно иод общее определение
(умножения.—В. Л/.), потому что нуль никак не про-
исходит из единицы». Лобачевский указал, что можно
принять а • 0 равным любому числу с, а соотношение
д.О = с —как дополнение к общему определению умно-
жения. Но, подчеркнул Лобачевский, мы принимаем
б.0 = 0, руководствуясь важным соображением: когда
а^0 и Ь—>0, то а • Ь—»02).
Первый способ доказательства—методом проверки —
отвечал уровню арифметики XVIII в. Способ Лобачев-
ского—метод расширения определений — отвечал новым
задачам алгебры и анализа и соответствовал нарождаю-
щимся передовым идеям о приёмах обоснования этих
наук. Но в обоих случаях нуль выступает ужо как число.
§ 10. Замечание о способах обоснования законов счёта
в XVIII в.
Лежандр был убеждён, что геометрическое доказатель-
ство закона переместительности для умножения ясно,
точно и предельно общо. В этом пе сомневались и другие
математики XVIII в. Современный математик, однако,
скажет, что здесь нет доказательства, что тут, в лучшем
случае, имеется проверка выполнимости закона пере-
местительности в одном истолковании арифметики на-
туральных чисел
*) См., например, II. А ф а и а с ь е в, Арифметика, М., 1814.
IQ/о ' В. Л об ачевск и й, Сочинения, т. IV, И.—Л.,
Ь48> стр. 50-51.
460
В. Н. МоЛОДИПШ
Почему математики XVIII в. называли доказатоль-
ствамп законов счёта то, что современный математик пазы-
вает их проверкой?
На этот вопрос можно дать точный и исчерпываю,
щпй ответ.
Математическое доказательство верпо только тогда
когда истинность доказываемого утверждения устано-
влена для всех объектов, указанных в его условии. Г1р0.
тпв этой истины не возражали математики XVIII в.
не возражают и современные математики. По достигнуть
этого идеала они могли в разной мере. 13 XVIll в. 1Грцф.
метика натуральных чисел отождествлялась с арифмети-
кой количественных натуральных чисел. Если истин-
ность теоремы удавалось установить для всех названных
в её условии количественных натуральных чисел, то
со стороны объёма она казалась предельно широкой. Про-
верка истинности арифметических теорем в обычном их
количественном истолковании позволяла достигнуть та-
кой общности п поэтому рассматривалась математиками
XVIII в. как доказательство. Проверку пе только считали
доказательством, по предпочитали доказательствам чи-
сто логическим, коль скоро речь шла о доказательствах
основных теорем, близких к аксиомам. 13 XVIII в. си-
стема аксиом арифметики натуральных чисел была не
полна. Дать всем теориям арифметики логически выдер-
жанное доказательство было невозможно. Приходилось
идти пли по пути аксиоматизации основных предложений
(Шульц), пли по путп проверки их истинности (Лежандр,
Барсов п др.). Современный математик, напротив, знает,
что основные понятия и положения, а значит, и другие
утверждения арифметики натуральных чисел, допускают
бесчисленное множество качественно различных истол-
кований. Он знает поэтому, что проверка теоремы в каком-
либо истолковании арифметики не может придать ей пре-
дельной общности. Чтобы такой общности достигнуть»
надо искать для теорем чисто логические доказательства,
не связанные со специфическими особенностями возмоЖ'
ных истолкований арифметики. Короче говоря, матема-
тик XVIII в. стремился установить истинность теорем^
в одном стандартном истолковании арифметики для бес
УЧЕНИЕ О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ 46 I
«свечного множества ^чисел. Современный математик, бо-
пясь за предельную общность теорем арифметики, должен
установить истинность теоремы для бесконечного множе-
ства (одноимённых) чисел в каждом истолковании ариф-
метики. Поэтому первый считал проверку доказательством,
второй—не считает ее таковым. Расширилось понимание
предмета арифметики, изменилось и расширилось понп-
манпе природы арифметического доказательства.
§ И. Аксиома индукции
Если нельзя обвинить математиков XVIII в. в отсту-
плении от математической строгости при отождествлении
проверки с доказательством, то как отнестись к заклю-
чениям по аналогии, часто завершавшим доказательства
правил счёта? Этот вопрос возникает потому, что логи-
чески выдержанное доказательство законов счёта суще-
ственно опирается на принцип полной математической
индукции.
Система аксиом арифметики натуральных чисел, на
которую опирались математики XV111 в. была ие полна.
Она оставалась неполной и тогда, когда сё расширяли,
в частности, когда присоединяли к ней законы счёта.
В ней отсутствовала аксиома индукции, а значит, и ме-
тод полной математической индукции. Однако было бы
неправильным заключить, будто математики XVIII в.
вообще не знали принципа полной математической индук-
ции и не умели его применять, будто в пх арифметике на-
туральных чисел пе было ничего заменяющего аксиому ин-
дукции. Kfi
Метод полной математической индукции знал п при-
менял Паскаль; он его использовал для доказательства
теорвлМ о биномиальных коэффициентах. Ещё раньше
Мавролпкс (1575) пришёл к тем же идеям. Ферма раз-
работал и применил метод спуска к доказательству неко-
торых теорем теории чисел. Тем самым в неявной форме
он использовал метод полной математической индукции.
Р первой половине XV111 в. начали доказывать формулу
оинома для натурального показателя, пользуясь этим же
методом.
462
В. н. МОЛОДШИЙ
Более того; Томас Симпсон использовал принцип ц0
нон математической индукции, чтобы доказать истинное
закона переместительности при любом числе сомножцт Ь
лей1).
Зная и применяя принцип полной математнческо''
индукции, математики XV Ш в. не знали, однако, 4T(J
он выражает характеристическое свойство ряда патураль>>
пых чисел, выделяет его из всех возможных бесконечных
последовательностей. Для осознания этого фундамен-
тального факта математика тогда ещё не доросла; оца
нс располагала теорией множеств. Благодаря «этому
в XVII и XV111 вв. в арифметике натуральных чисел
аксиома индукции пе была сформулирована явно. Однако
опа входила в доказательства законов счета и принципов
нумерации в неявном виде, по сути дела, предполага-
лась очевидной в Toil мере, в какой очевидно, что каждое
количественное натуральное число может быть получе-
но пз единицы путём последовательного присоединения
к ней единиц или, напротив, может быть исчерпало после-
довательным изъятием единицы. Благодаря этому выводы
по полной математической ппдукцпп заменялись заклю-
чениями по аналогии. Если учесть взгляды математиков
XVIII в. на природу целого числа, то такая замена долж-
на быть признана исторически оправданной.
В конце XVIII в. Лаплас пытался обосновать матема-
тическую индукцию иными средствамих). Оп утверждал,
что доказательства бинома Ньютона и закона тяготения
предполагают одну и ту же индукцию, основание которой
надо искать в постоянстве и неизменности законов
природы. Отождествив математическую индукцию с
естественно-научно и чисто механически, Лаплас не смог
ответить на коренной вопрос: почему заключения по
естественно-научной индукции в той или иной мере гипо-
тетичны, а по полной математической индукции—всегда
достоверны? Это обстоятельство, несомненно, явилось
причиной того, что попытка Лапласа не получила при-
знания.
х) Т. Simpson, A Treatise of Algebra, Dublin, 1745, стр. Ь-
2) См. «Journal do 1 Ёсо1е polvtechnique», t. II, 7—8, > ari ’
1812.
УЧЕНИЕ О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ 463
с 12. Обоснование А. Барсовым геометрическом
и арифметической пропорций
Математики XVIII в. были далеки от понимания все-
общности выводов арифметики натуральных чисел; они
трактовали её истины только как описания количествен-
ных соотношений эффективно-конечных множеств. В ту
эпоху такое понимание предмета арифметики обусловило
специфику приёмов обоснования нумерации и законов
счёта.
Естественно поставить вопрос: зпалн ли математики
XVIII в. факты, по укладывающиеся в эти узкие рамки,
и если знали, то как пх использовали?
В первую очередь надо указать на понятие порядко-
вого натурального числа; его знали, применяли, но в ариф-
метике о нём ничего не говорили. Порядковые нату-
ральные числа, как и количественные, подчиняются од-
ним и тем же основным законам. Следовательно, хотя
в практике всеобщность законов арифметики натураль-
ных чисел использовалась, в теории опа осталась в тени.
Но в одном, правда, весьма частном случае её всеобщ-
ность была осознана и использована до конца. Я имею
в виду то обоснование, которое А. Барсов дал теории
геометрической и арифметической пропорций.
В XVIII в. авторы учебников излагали обычно ариф-
метическую и геометрическую пропорции отдельно, рядом
друг с другом. Последней, ввиду сё практической значи-
мости, уделялось внимания больше. Барсов заметил, что
если в предложении, верном для арифметической про-
порции, заменить слова «сложить», «вычесть» словами
«умножить», «разделить», то опо станет предложением,
верным для геометрической пропорции. Он указал и на
обратимость этой замены. Установив таким путём, что
арифметическая и геометрическая пропорции являются
различными истолкованиями одного и того же учения,
Барсов предложил излагать их на базе только теории
геометрической пропорции, как наиболее важной, а соот-
ветствующие предложения теории арифметической
пропорции получать путём указанной замены. «Еже-
пи мы превратим умножение в сложение, а деление в
464
н. МОЛОДШИЙ
вычитание,—писал Барсов,—то легко найдём в сем дОга
зательствс (т. е. доказательстве для геометрпчсско'
пропорции.—2?. М.) также доказательство для арпфмп1
тпческой пропорции»1). Доказав, что если 4
а : b — с : d,
то
ad — be
в
Барсов сразу заключил об истинности утверждений: геслц
a — b = c — d,
то
a ]-d — b + «
и
a = b-{-c — d.
§ 13. Иные формы обоснования арифметики в XVIII в.
Не все математики XVIII в. придерживались тех гос-
подствующих приёмов обоснования и изложения ариф-
метики, о которых мы говорили выше. В пх среде были
сторонники п иных взглядов.
Здесь мы вкратце скажем об пх руководствах по ариф-
метике.
Некоторые авторы излагали арифметику целых чисел
п десятичных дробей совместно. Так строили св и учеб-
ники Ньютон, Румовский, Безу и др. Они начинали из-
ложение сразу с определений целого и дробного чисел,
с расширенного толкования принципов нумерации и пра-
вил действий. Во второй половине XVIII в. такой спо-
соб изложения арифметики встречается всё реже и, на-
конец, исчезает.
XVIII в. был веком освобождения арифметики от
опеки геометрии. Тем не менее, встречались математики,
полагавшие необходимым обосновать арифметику на оазе
*) См. § 126 «Новейшей арифметики» II. Шмидта (М-, Н97)1
УЧЕНИЕ О НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ В XVIII ВЕКЕ 465
геометрии. Интересно отметить, что число их к концу
реки несколько возросло. Эти авторы пе считали возмож-
HbiM дать понятию иррационального числа чисто ариф-
метическое обоснование. Но, зная, что без несоизмеримых
величин ооойтись невозможно, они требовали извлекать
определение несоизмеримых величии из геометрии. В Рос-
сии эту точку зрения отстаивал С. Гурьев. Его руководство
«Наука счисления» является теоретической арифмети-
кой (без анализа прикладных вопросов, вроде тройного
правила), построенной на чисто геометрической основе1).
§ 14. Что дал XVIII век арифметике натуральных чисел
В третьем томе «Исторпп математики» М. Кантора
была сделана попытка ответить на этот вопрос. Дело,
однако, свелось к перечислению наиболее известных учеб-
ников арифметики XVI11 в. Между тем мы видели, что
в XVIII в. в арифметике натуральных чисел было сде-
лано многое. Суммируем сказанное.
1. В XVIII в. арифметика натуральных чисел осво-
бождается от опеки геометрии. Она обосновывается сна-
чала как дисциплина, сосуществующая с геометрией, по-
том-как предшествующая ей.
2. Этот процесс сопровождается отысканием доказа-
тельств утверждений арифметики натуральных чисел,
в первую очередь её правил арифметических действий.
Последнее обстоятельство способствовало выделению и
уяснению ролп всех законов счёта.
3. Поскольку математики XVIII в. связывали основ-
ные положения и выводы арифметики только с их «стан-
дартным» количественным истолкованием, проделанная
ими работа дала—по содержанию и по методам—основы
современной количественной теории натуральных чисел.
4. Это обстоятельство важно в двух отношениях: оно,
во-первых, способствовало созданию базы развития все-
общей, как говорят, формальной арифметики иатураль-
ных чисел; оно, во-вторых, предопределило во многом
I ^7—-----------
х) С. Гурьев, Науки счисления, книга первая, содержа-
1 я основания арифметики, СПб., 1805.
Историко-мате.м. исследования
466
В. II. МОЛОДШИЙ
последовательность изложения материала и логику его
обоснования в школьных учебниках арифметики \1Х
5. Развитие теоретической арифметики в XVI11 в. с.о1
провождалось борьбой материалистического и идеалисти-
ческого направлений в философии по вопросу о природе
понятия числа. Однако большинство математиков этого
века, особенно русских и французских, не стало на пози-
ции идеалистов. При обосновании арифметики натураль-
ных чисел оно опиралось на материалистическое толко-
вание понятия числа, арифметических действии и цеди
доказательства сё теорем. ,
6. Буржуазные западноевропейские историки замал-
чивают или принижают достижения русских мате-
матиков XVIII и XIX вв. История, однако, показывает, что
в разработке вопросов обоснования арифметики нату ральиых
чисел русские математики XVJ11 в. сделали пе меньше
того, что удалось сделать немецким и французским учёным.
Несмотря на то, что русская математика начала бы-
стро расти только с начала XVIII в., авторы русских
учебников арифметики в некоторых вопросах (например,
чёткая материалистическая направленность, ясность из-
ложения) часто шли впереди немецких и французских
учёных. Английские и следовавшие за ними американ-
ские математики здесь отставали.
ЗАБЫТОЕ ИЗДАНИЕ «НАЧАЛ» ЕВКЛИДА 11А
РУССКОМ ЯЗЫКЕ
II. Н. Денман
За последние годы «Началам» Евклида и их изданиям
на русском языке посвящён целый ряд статей, выяс-
няющих место этого сочинения*в [развитии математики
и, в частности, его роль в истории русской математиче-
ской культуры. Все авторы, писавшие о русских изда-
ниях «Начал», говорят о шести изданиях их до выхода
в 1948—1949 гг. первой п второй частей нового перевода
знаменитой книги, сделанного профессором Д. Д. Морду-
хай-Болтовским и им же снабжённого ценнейшими ком-
ментариями. В частности, проф. Д. Д. Мордухай-Болтов-
ской в предисловии к своему переводу пишет (стр. 6):
«На русском языке мы в прошедшем имели следующие
переводы:
1739. С а таро в, Евклидовы элементы (8 книг), со-
кращённые проф. А. Фархварсоиом, пер. с латин-
ского, СНб.
1769. Курганов, Елсмепты геометрии (8 книг), пе-
ревод с французского, СПб.
1784. Пр. Суворов и Вас. 11 и к и т и п, Евклидовых
стихий осмь книг, пер. с греческого, СПб. (2-е изд.,
1789).
о19. П с т р у ш е в с к и й, Евклидовых начал осмь
книг, пер. с греческого, СПб.
оо. Е г о ж с, Евклидовых начал три книги: седьмая,
осьмая и девятая, содержащие общую теорию чи-
еел древних геометров, пер. с греческого, СПб.
зо*
468
и. Я. ДЕПМАП
1880. В а щ е в к о-З а х а рче н к о, Начала Евклида
с пояснительным введением и толкованием, Киев»
(С какого языка сделан последний перевод, неиз!
вестно.)
Только эти издания рассматривает и К. Рыбников
в статье «Русские издания „Начал" Евклида» [«Успехи
математических паук», выпуск IX (1911 г.), стр. 318—321]
Считая переводы Петрушевским различных чаетеii
«Начал» в разные годы за одно издание, но двукратное
издание перевода Суворова и Никитина за два издания,
мы имеем те шесть изданий «Начал», о которых обычно
говорится.
От внимания авторов, писавших об изданиях «Начал»
на русском языке, ускользнуло одно издание пх в XIX в.,
именно: издание восьми,—как и почти во всех более рай
них изданиях,—книг «Начал» Евклида в 1877 г.в Кремен-
чуге под заглавием:
«Восемь книг геометрии Эвклида. Переведено с не-
мецкого издания доктора Гартвига воспитанниками Але-
ксандровского Кременчугского реального училища Неми-
ровским и Бергером, под руководством Директора учили-
ща. Кременчуг. Типография Германа Розенталя. 1877»
(см. стр. 469).
Это издание «Начал» содержит 172 страницы убористой
печати и 9 таблиц с очень компактно расположенными
и прекрасно выполненными 232 фигурами. В этот пере-
вод вошли, как в обычные издания геометрической части
«Начал», назначенные для школьного употребления, пер-
вые шесть, одиннадцатая и двенадцатая книги Евклида.
К ним даны дополнения: 17 теорем о численных отноше-
ниях плоских фигур и 34 теоремы о таких же отношениях,
касающихся поверхностей и объёмов тел. Дополнения,
преследовавшие явную цель—приспособить «Начала» Ев-
клида к школьному обиходу, имелись и в немецком из-
дании. Редактор русского перевода в кратком предисло-
вии говорит.
«Сколько нам известно, Эвклидовы „Начала геометрии
на русском языке в последний раз были изданы в двад-
цатых годах нынешнего столетия. С тех пор у нас, ьаь
будто, забыли об Эвклиде, а между тем его „Начала
ВОСЕМЬ КНИГЕ
ГЕ0ШРП1 эшщ
—
ПЕРЕВЕДЕНО СЪ Н'ЁМЕЦКАГО ИЗДАН 1Д ДОКТОРА ГАРТВИГА
ВОСПИТАННИКАМИ
лжадровсшо КРЕМЕ11ЧУ1Т1Ш0 реальнаго ИШЩ
НЕМИРОВСКИМЪ и БЕРГЕРОМЪ,
подъ руководетвомъ Директора училища.
КРЪМЕ1Н>ГЬ.
Титюгрф»м Геоманд Po»«na.ifl.
in’S'7.
Титульный лист кременчугского издания «Начал» Евклида.
470
и. я. ДЕНМАН
геометрии по простоте и ясности доказательств
бесспорно занимают одно из первых мест в учебной лите-
ратуре и, по нашему мнению, могут служить весьма полез-
ным пособием для воспитанников средних учебных заве-
дений.
Предлагаемый перевод „Эвклидовых начал*' сделан с
немецкого перевода Лоренца, изданного доктором Гарт-
впгом в 1860 году, с весьма незначительными изменениями».
Немецкое издание «Начал» в переводе Лоренца, послу-
жившее основой русского перевода, было в XIX в. очень
популярно и выдержало много изданий. Самое раннее,
известное нам издание перевода Лоренца вышло в 1771 г.,
затем были, во всяком случае, ещё издания 1781, 1798
1809, 1818, 1819, 1824, 1825, 1839, и наконец, 1860 г’
с приложениями доктора Э. 13. Гартвига1). Это приложе-
ние вошло и в русское издание, как было указано выше.
Отмстим, что этим немецким изданием пользовался и
проф. М. Е. Ващенко-Захарченко при своём лер своде
«Начал», выполненном в общем в том же духе, как и изда-
ние Лоренца, но, конечно, освежённом новыми достиже-
ниями в изучении Евклида. В частности, дополнения
Я. Е. Ващенко-Захарченко к тексту Евклида трактуют
те же вопросы вычислительной геометрии, как и в издании
Лоренца—Гартвига. Странно, что в весьма богатой биб-
лиографии изданий Евклида у Ващенко-Захарченко,
доведённой до 1879 г., нс упомянуто русское издание
1877 г., хотя по близости места этого издания к Киеву
оно в последнем могло бы стать легче известным, чем
в сравнительно отдалённых от Кременчуга Москве млн
Петербурге.
Кеджорп в своей истории математических символов
указывает, что Лоренц известен введением большого
г) Euclids Elementc. Aus dem griechischen iiberscfzt von
Lorenz. Halle, 1771.—E u с 1 i d s Elementc funfzehn Bucher aus
dem griechischen ubersetzt von I. F. Lorenz. Halle, 1781 To же
самое: 1798, 1809, 1818, 1819, 1824, 1825, 1839.—E u c I i d s
Elcmente 8 Bucher, nebst elften und zwolften. Halle, 1798. То же
самое: 1818.—E u с 1 i d s Acht geometrische Bucher aus denj
griechischen ubersetzt von I. F. Lorenz. Aufs neue herausgcgcDe
mit einem Anhange von D-r E. W. Hartwig. Halle. I860-
AABbITOB ИЗДАНИЕ «НАЧАЛ» ЕВКЛИДА НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ 471
числа символов, вследствие чего ему удалось дать весьма
компактное издание всех книг Евклида 1). Это обстоя-
тельство отразилось и в данном русском издании,
которое по ооъёму в несколько раз меньше всех других
русских изданий. Очень сильно сократило объём книги
вынесение всех чертежей в отдельные таблицы и разумное
их расположение на 9 листах, нисколько, между прочим,
не затрудняющее пользование книгой.
Сравнивая текст книги кременчугского издания «На-
чал» с вышедшим тремя годами позднее изданием Евклида
в переводе М. Е. Ващенко-Захарченко, мы можем отмс-
тить очень близкое совпадение обоих изданий по стилю
и расположению текста и дополнений в тех частях текста
Евклида, которые являются общими в обоих изданиях.
М. Е. Ващепко-Захарчеико также пользуется нмволи-
ческимн обозначениями, хотя в несколько мсныпей мере,
чем это сделано в издании 1877 г.
Возникает вопрос о личности директора Кременчуг-
ского реального училища, инициатива которого побудила
воспитанников этого училища—Немировского и Вергера—
выполнить перевод «Начал», п который сумел осуществить
издание книги в довольно глухой провинции дореволю-
ционной России. В архиве Министерства народного про-
’) F. Cajori. A History of Mathematical Notations. Chicago,
1928—1929, v. I, p. -431.
В издания Евклида многими авторами вводились символы.
Оутред в переводе X книги «Начал» употребил свыше 40 идеогра-
фических знаков, что горячо приветствовал Валлис. Гоббс очень
резко упрекал последнего за большое количество символов: «„Кони-
ческие сечения" в такой мере шелудивы от символов, что я но имел
терпения рассмотреть, хороши пли нет доказательства..., так как
чтение символического писания требует сначала перевода на чело-
веческий язык п затем уже осмысливания». Барроу, следуя Оутреду,
издал Евклида с алгебраическими доказательствами, против чего
протестовал Ксйль в своем издании «Начал». Бири издал «Начала»
Евклида с цветными картинками (1847); то же сделал несколько
позднее Мидльмист, по учеников к геометрии оп пе привлёк, а успел
заинтересовать ею только известную Анни Безант. Крайним про-
тивником символов в геометрии был Симеон.
.. Издание «Начал» Лорснцом и русский перевод его, о котором
идет речь, держатся в этом отношении золотой середины: не за-
трудняя чтения, разумное употребление символов в нём сильно
сокращает объём книги.
и. я. ДЕПМДН
свещенпя удалось найти сведения о нём, а в Публичной
библиотеке имени М. Е. Салтыкова-Щедрина—все его
печатные труды. Редактором описываемого цзданпя был
Александр Антонович С о к о в и ч, о личности которо1-о
можно сообщить следующие данные.
А. А. Сокович родился в 1840 г., умер в 1886 г. в долж-
ности директора Белоцерковского реального училища
В 1863 г. Сокович окончил курс в Харьковском уни-
верситете со званием действительного студента (с ди-
пломом II степени по позднейшей терминологии) и был
назначен младшим учителем географии в Воронежскую
гимназию. В 1864 г. он—старший учитель математики
и физики в Екатерпнославской гимназии, в том же году
уволен от службы по прошению и поступил на Педагоги-
ческие курсы при Харьковском университете (казённым
стипендиатом) для специального изучения, сверх педаго-
гики и дидактики, предметов четвёртого отдела указан-
ных курсов, то-есть математики и физики. Находясь па
этих курсах до сентября 1866 г., он был, по оказанным ус-
пехам как в теоретических, так и в практических заня-
тиях в избранных пм науках, причислен к I разряду,
с правом быть преподавателем означенных предметов и вос-
питателем в средних учебных заведениях. Сверх того,
во время пребывания на педагогических курсах, ио вы-
держании установленного испытания в Харьковском у ни
верситете. Советом университета Сокович был утверж-
дён в степени кандидата физико-математического факуль-
тета по отделу математических наук. В 1866 г. оп был
определён воспитателем в Орловскую военную гимназию
и, после нескольких перемещений по службе, в 1873 г.
назначен директором Кременчугского реального училища.
Из трудов А. А. Соковича отдельными изданиями
вышли:
Курс элементарной геометрии, составленный в объ-
ёме гимназического курса А. Соковпчем. Часть I. Геомет-
рия на плоскости. Издан на счёт Педагогических курсов
Харьковского университета, СПб., 1886.
Учебник математической и физической географии, со-
тавленпый в объёме гимназического курса А. Соковпчем,
СПб., 1866. Собственность Ал. Заленского и К°.
ЗАБЫТОЕ ИЗД ХННЬ Н \Ч\Л LBK 111ДА Н/1 py ССКОМ ЯЗЫКЕ 473
Обе книги представляют сжатое изложение соответ-
ствующих предметов и как бы повторительный обзор для
слушателей курсов, которым книги были назначены.
В первой книге помещено много задач на доказательства
л построения п целый ряд исторических примечаний к от-
дельным предложениям. Вот примеры таких примеча-
ний*
«Плоскость есть поверхность, на которой прямая, про-
ведённая на ней в любом направлении, прикасается к
ней всеми своими точками. Такое определение плоскости
в первый раз было предложено Тероном, греческим мате-
матиком, жившим в Александрии во 11 в. до христианской
эры».
«Прямая линия есть кратчайшее расстояние между
двумя точками. Такое определение прямой липин пред-
ложено Архимедом в его сочинении De sphaera et cylind-
ro и принято почти всеми геометрами».
«Теория параллельных была развита и систематиче-
ски изложена греческим геометром Евклидом, жившим
в III в. в Египте, куда оп переселился пз Греции, и при-
надлежащим к числу знаменитейших геометров древне-
го мира. Его сочинение „Начала геометрип", бывшее
в продолжение почти 19 воков единственным руковод-
ством к изучению этой пауки, переведено не только на
все европейские, по и на некоторые азиатские языки.
По ясности и простоте доказательств это сочинение счи-
тается одним из лучших учебников геометрии. Па русском
языке есть несколько переводов евклидовых „Начал' —
лучший из них, хотя по совсем попятный, принадлежит
г. Петрушевскому (СПб., 1819)».
Такпе же сведения помещены о Фалесе и краткие
Данные о других математиках.
Понятно, что исторические сведения автора соответ-
ствуют уровню науки того времени, и, конечно, не при-
ходится удивляться тому факту, что в примечании о
параллельных ещё не упоминается имя И. П. Лобачев-
ск°го. Но, во всяком случае, стремление просветить уче-
ника историческими сведениями по математике в те от
Делённые времена являлось у авторов элементарных ру-
ководств редкостью п заслуживает быть отмеченным.
I
и. Я. ЛЕПМАН
Вторая книга Соковпча, рукопись которой была про-
смотрена харьковским профессором математики Е. Ц. Бейе-
ром, также содержит исторические экскурсы, и пе только
тривиальные. В книге даётся история календаря и его
форм, история пасхалии и различные исторические заме-
чания по другим вопросам.
Всё это свидетельствует о том. чтс редактор единствен-
ного провинциального издания «Начал» Евклида на рус-
ском языке был передовым педагогом своего времени
Распространено мнение, что учитель дореволюционно ।
гимназии—это обязательно «человек в футляре». А. А. Со
ковпч и многие другие учителя математики в дорево-
люционной средней школе [11. II. Александров т), К. А: То-
ропов, 10. В. Виппер, М. С. Волков гг др.] были высоко-
образованными людьми, выдающимися методистами, а
иногда и глубокими исследователями (как геометр
К. М. Петерсон).
Издание «Начал» Евклида на том или ином националь-
ном языке—дело большого культурного значения. В списке
изданий «Начал» Евклида на русском языке по должно
быть оставлено вис поля зрения и кременчугское издание,
вышедшее по инициативе А. А. Соковпча. Само появ-
ление такого издания в отдалённой провинции в 70-е годы
XIX в. является весьма интересным фактом для харак-
теристики состояния нашей математической культуры
того времени.
1) Стоит заметить, что руководство к решению задач па по-
строение II. II. Александрова переведено на немецкий и француз-
ский языки и во французских программах для подготовки к кон-
курсным экзаменам ещё в 1948 г. стояло па первом месте в списке
рекомендуемой литературы.
М. ф. БАРТЕЛЬС—УЧИТЕЛЬ И. II. ЛОБАЧЕВСКОГО
II. II. Денман
Иоганну Мартину Христиану Бартельсу (Мартину
Фёдоровичу, как его звали в России) посвящены страницы
многих биографии ого гениального ученика II. И. Лоба-
чевского, а также биографии другого его п ениального уче-
ника—скорее соученика—К. Ф. Гаусса. Несомненно зна-
чение как педагогического влияния Бартельса на
Н. И. Лобачевского, так и его забот о своём ученике. Но
иногда это влияние преувеличивается, на что ист никаких
оснований.
Проф. А. В. Васильев в 1893 г. в юбилейной речи,
произнесённой в связи со столетнем со дня рождения Ло-
бачевского, высказал гипотезу, называя её вероятной, о том,
что первый толчок своим геометрическим исследованиям
Лобачевский мог получить от Бартельса, который, как
можно полагать, был знаком с идеями Гаусса, совпадав-
шими с теми, к каким пришёл Лобачевский. Правда,
проф. Васильев позднее [в 1914 г., в биографии
Н. И. Лобачевского, помещённой в «Русском биографиче-
ском словаре» и изданной отдельно под заглавием:
А. В. В а сильев, Николай Иванович Лобачевский
(1793—185G), СПб., 1914] указал, что «найденные новые
материалы делают эту гипотезу ненужною и приводят к
Убеждению о том, что Лобачевский стал заниматься теорией
Параллельных линий вполне независимо от влияния
laycca», к чему толчок мог дать оживившийся в конце
AVIH п в начале XIX в. общий интерес к вопросу о па-
раллельных.
476
и. Я. ДЕНМАН
Так как эти позднейшие оговорки проф. Васильева
помещённые в справочном издании, могут и не попасть
в руки читателей его первой работы, то есть некоторое
основание опасаться, что ложное мнение о влиянии Гаус-
са на зарождение идей Лобачевского может ввести этих
читателей в заблуждение. Поэтому, да и независимо
от этого, полезно рассмотреть учёную деятельность Бар-
тельса для выяснения вопроса о том, в какой мере он был
знаком с новыми геометрическими идеями и как он к ним
относился,—с том, чтобы обнаружить полную несостоя-
тельность. указанных предположений относительно 'роли
Бартельса в открытии неевклидовой геометрии.
Представившаяся автору возможность ознакомиться
с личным делом Бартельса в Тартуском (Деритском —
Юрьевском) университете позволяет внести несколько
новых штрихов в биографию Бартельса и подкрепить
прочно установившийся в советской литературе взгляд
о полной независимости от Гаусса гениальных идеи Лоба-
чевского.
Рассмотрение вопроса о научном творчестве Бартельса
тем более нужно, что Ф. Клейн в первом издании своей
«Неевклидовой геометрии» высказал весьма уверенно мне-
ние1) о том, что идеи Гаусса дали толчок к разработке
неевклидовой геометрпп п Иоганну Бойяи2) (через его
отца, товарища Гаусса по университету), и Лобачевскому
(через Бартельса). Правда, Клейн в позднейших изданиях
своей книги от первоначальной своей точки зрения отка-
зался 3), но, как это часто бывает, изменение точки зрения
автора, выраженное в дальнейших изданиях книги, ио
всегда делается достоянием читателей первого издания.
В настоящем случае имеет место как раз это явление.
х) Проф. В. Ф. Каган решительно отвергает этот взгляд
Клейна. См. второе, дополненное издание монографии В. Ф. Ка-
гана, «Лобачевский», 1948, стр. 393 и следующие.
2) Таково, по разъяснению знатоков венгерского языка, пра-
вильное произношение фамилии Bolyai.
3) Ио существу, ту же точку зрения высказал Клейн в своих
«Лекциях о развитии математики в XIX столетии», ч. 1, вышед-
шей в Берлине в 1926 г., через год после смерти автора (русский
перевод вышел в 1937 г.). См. об этом в статье Г. Ф. Рыбкина,
помещённой в этом выпуске (стр. 17—19). (Примеч. ред.)
м. Ф. БАРТЕЛЬС ЪЧПТЕЧЬ Ц, ц, ЛОБАЧЕВСКОГО 477
В 1928 г. в издававшемся в Германии журнале «Архив
истории математики, естественных наук и техники»
была опуоликовапа статья рижского математика Альфреда
Мадер9’ где автор заявлял, что «не следует оставлять
рис поля зрения возможность разговоров Бартельса
с Лобачевским оо идеях Гаусса и вместе с тем предполо-
жение о том, что Гаусс мог дать, хотя и ие непосредствен-
но, толчок к работам Лобачевского»1).
Рассмотрение биографии Бартельса показывает, что
такие предположения неосновательны.
II
Сведения о М. Ф. Бартельсе вообще довольно скудны.
Известно, что он родился в Брауншвейге в 1769 г., скон-
чался в Дерите (Юрьев—Тарту) 7 декабря 1836 г. (ст.
стиля). В точение трёх лот он посещал Collegium Caroli
num своего родного города, затем изучал юриспруденцию
в Гельмштодте. До поступления в среднюю школу Бар-
тельс учился в одной из городских начальных школ, в
которой позднее стал помощником учителя и в качестве
такового имел своим учеником Гаусса, бывшего на восемь
лет моложе Бартельса. Гаусс и Бартельс вновь встретились
в Геттингенском университете, куда, изменив первона-
чально избранному юридическому факультету, попал
Бартельс благодаря влиянию известного математика
И. Ф. Пфаффа [Johann Friedrich Pfaff2)]. Завязавшаяся
J) Archiv fur Geschichte der Mathcmatik, der Naturwissenschaf-
ten und der Tcchnik, herausgegeben von Julius Schuster,
Berlin, Band II, Heft 1 2, 1928, стр. 66—67.
2) Иоганн Фридрих Пфафф (1765—1825) — профессор Гельм-
штедтского университета, с 1793 г.—член-корреспондент и с 1798 г.—
почётный член Петербургской Академии наук; им поставлена
в 1815 г. в «Известиях Берлинской Академии наук» извест-
ная в теории дифференциальных уравнений «проблема Пфаффа».
И. ф. Пфаффа пе следует смешивать с его младшим братом Иоган-
ном Вильгельмом Андреем Пфаффом (1774—1835), профессором
математики и астрономии в Дерптс с 1804 по 1808 г., до возвра^-
Щенпя его в Германию, и членом-корреспондентом Петербургской
Академии с 1807 г. В самом Тартуском университете смешивают
обоих братьев и считают, что профессором Дерптского универ-
ситета состоял старший брат, автор знаменитого мемуара «Metho-
и. Я. ДЕПМАП
между Гауссом и Бартельсом дружба продолжалась До
смерти последнего. Между друзьями происходил, хотя и
через большие промежутки времени, обмен письмами
Письма Гаусса к Бартельсу не сохранились. О судьбе во-
ображался с вопросом к читателям журналов «Bibliotheca
Mathematical н «L’Intermediate des Mathematicians»проф
Л. В. Васильев, но ответа на это обращение пе последо-
вало. Письма Бартельса к Гауссу сохранились в архиве
Гаусса.
Они научных вопросов ио затрагивают. С другой сто-
роны, пз письма астронома О. В. Струве, внука Ба*р-
тельса по матери, известно, что Бартельс относился отри-
цательно геометрии Лобачевского, пе признавал за ней
научного значения, что было бы невозможно, если бы
Бартельсу были известны взгляды Гаусса')•
В 1801 г. Гаусс, прославившийся к тому времени
вычисленном орбиты первой мало/i планеты Цереры, полу-
чает приглашение в Петербургскую Академию наук. Пе
репнека по этому поводу (см. «Научное наследство», т. I.
Издание АП СССР, 1918, стр. 784—788 и вводную статью
проф. II. 11. Идельсоиа) затянулась па несколько лет
и закончилась отказом Гаусса принять приглашение, его
очень интересовавшее. Невидимому, Гаусс рекомендовал,
вместо себя Бартельса, чем и воспользовался попечитель
только что учреждённого Казанского университета ака-
демик-астроном С. Я. Руновский, предложивший Бар-
тельсу кафедру математики в Казани. Бартельс сначала
принял только зваппе почётного члена Казанского универ-
ситета, но в 1807 г., когда оккупация Пруссии Наполео-
ном сделала научную работу там невозможной, Бартельс
dus general is aequationis differentiates... complete integrandi»-
Кстатп отмечу, что был ещё один профессор математики Пфафф
(Ilans Pfaff), занимавший кафедру математики в Эрлапгенском
университете в 1869—1872 гг., преемником которого по кафедре
был Феликс Клейн. Наконец, следует заметить, что после отъезда
Иоганна Вильгельма Пфаффа из Дерпта на освободившуюся кафедру
был в 1809 г. избран К. Ф. Гаусс. Об этом, не лишённом интереса
для истории математической культуры России, эпизоде следует
рассказать особо.
9 См. В. Ф К а г а и Лобачевский, Изд. АН СССР, 1948,
стр. 395.
И. Ф. ВАРТЕЛЬС —УЧИТЕЛЬ Н. и. ЛОБАЧЕВСКОГО 47У
---------- ------------------------------------
принял приглашение в Казань, куда и прибыл в начале
1808 г.
Преподавательская деятельность Бартельса в Казани
достаточно освещена в биографиях Н. И. Лобачевского,
и пет надобности здесь к этому вопросу обращаться.
Б конце 1820 г. Бартельс перевёлся в Дерптский универ-
ситет ординарным профессором по кафедре математики.
О деятельности его в Дерите и о научном творчестве
Бартельса вообще пе писалось почти ничего. Осветить
несколько эту сторону личности и деятельности Бартельса
п имеет в виду настоящая статья.
III
Общая картина служебной деятельности Бартельса
в Дерите вполне совпадает с тем, что нам известно о его
работе в Казани. Он проявил себя как добросовестный
преподаватель, как исполнительный работник упн ворси
тета. Как и в Казани, Бартельс в Дерите избирался дека-
ном п ему поручались разные административные обязан-
ности. Послужной список характеризует его по всем
статьям безупречным служащим. Пз него мы узнаём, что
в Казанском университете Бартельс по случаю увольне-
ния профессора астрономии с 17 мая 1816 г. по 19 апреля
1818 г. читал лекции по астрономии по поручению Совета.
Далее узнаём, что он «никогда пе был замечен слабым в от-
правлении обязанностей службы и ио званию начальника,
и вопреки должной взыскательности по службе между
подчинёнными каких-либо беспорядков никогда не допу-
скал». Характерны и дальнейшие аттестации послужного
списка: «Никогда но пользовался отпусками», «никог-
да не был оглашаем или изобличаем в неприличном
поведении», «во всём был аттестован». Эти характе-
ристики содержатся во всех послужных списках Бар-
тельса, начиная со справки Казанского университета
от 31 октября 1828 г. за подписью ректора И. II. Лоба-
чевского.
В профессоры Дерптского университета Бартельс
был избран по предложению физико-математического
480
И. Я. ДЕПМАЙ
факультета, как «известный и качестве превосходного
преподавателя математики и опытный в ведении дС.д»
При голосовании в Совете университета от 11 августа
1820 г. получил восемнадцать избирательных и два не изби-
рательных голоса, и ужо 29 сентября того же года дирек-
тор Казанского университета А. Владимирский извещает
об увольнении Бартельса из Казанского университета.
27 января 1821 г. он впервые присутствует в Совете Дерпт-
ского университета.
IV
О научной деятельности Бартельса в Дерптском уни-
верситете в личном деле нот никаких сведении, кроме длин-
ной переписки по поводу издания им «Лекций по высшему
анализу», переписки, в которой речь идёт почти исклю-
чительно о получении субсидии министерства на изда-
ние этой книги.
В 1836 г., в год смерти Бартельса, попечитель потре-
бовал список печатных трудов профессоров. Бартельс
представил собственноручно составленный следующий пе-
речень своих трудов: «(1) Годы 1788—1791: переводы,
в том числе Philosophy of the natural history, 2 тома;
2) Bailly, Histoire de I’Astronomic, Геттинген, 2 тома;
3) Dissertatio de Calculo variationum (докторская диссер-
тация о вариационном исчислении); 4) Disquisitiones qua-
tuor ad thcoriam functionum analyticam pertinentes,
Dorpati; 1832 (Четыре рассуждения по теории аналити-
ческих функций, Дерпт); 5) Vorlcsungen uber mathem а-
tische Analysis, 1 Band, Dorpat, 45—46 Bogen, in qu ar-
lo, 1833 (Лекции по математическому анализу, т. 1,
Дерпт, 45—46 печ. листов в четвёртую долю листа;
автор наметил ещё два тома по 60 листов каждый);
6) многие статьи мною отправлены в Петербургскую Ака-
демию паук: Apergu abrege des formulas fond am ent ales
do la geometrie a trois dimensions. Lu a Г Academic, 182o
(Краткий обзор основных формул геометрии трёх изме-
рений. Читано в Академии в 1825 г.). Напечатано,
м. ф- БАРТЕЛЬС — УЧИТЕЛЬ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 481
I-------- —--------------------------
полагаю, в 1830 г. Две другие статьи, которые должны
появиться в следующем выпуске, не попали мне ещё на
глаза, одна. Stir la parallaxe du soldi (О параллаксе
Солнца) и другая. Sur les trois axes principales d’un corps
solide (О трёх главных осях твёрдого тела)».
Список этот составлен самим Бартельсом в год
смерти, поэтому его надо считать точным и оконча-
тельным.
Отметим, что статья «Краткий обзор основных формул
геометрии грех измерений» была напечатана в 1831 г.
в издании Академии «Memoires prescntes а Г Academic des
Sciences par divers savants», т. 1, стр. 77—95. Другие
две статьи напечатаны не были (см. «Математика в из-
даниях Академии наук 1728 —1935», Библиографический
указатель, составленный О. В. Днпзе и К. II. Шафранов-
скпм, 1936).
Таким образом, в качестве научных трудов Бартельса
могут быть отмечены лишь «Четыре рассуждения, отно-
сящиеся к теории аналитических функций» (здесь термин
«аналитическая функция» не должен пониматься в со-
временном значении этого слова) и статья по аналитической
геометрии трёх измерений. Невидимому, последний во
прос являлся предметом специального интереса Бартельса.
Известно, что он дважды предлагал темы пз этой области
для медальных работ студентов и оба раза на ппх посту-
пили в качестве ответов работы ученика и преемника по
кафедре Бартельса Карла Эдуарда Зенффа (1810—1849),
который в печатных изданиях этих работ признаёт, что
изложенные в них результаты он в малой доле считает
собственными, так как в основном изложил идеи Бар-
тельса. Первая пз этих работ носит заглавие: Systema-
tischeDarstellung der Hauptsatze der analytischen Geometric
ini Raume, Dorpat, 1829 (Систематическое изложение ос-
новных предложений аналитической геометрии в простран-
стве, Дерпт), вторая: Theoremata principalia ex theoria
curvarum et superficierum, Dorpati, 1831. (Основные тео
ремы о кривых линиях и поверхностях, Дерпт). Первая
Работа совпадает с мему аром Бартельса, представленным
в Петербургскую Академию, вторая заслу живает внима-
ния оригинальной трактовкой теории пространственных
41
* Историко-матем. исследования
482
И. Я. ДЕПМАН
кривых, которая предвосхищает часть результатов, полу-
ченных значительно позднее Нолем Серре1).
Бартельс с 1826 г. состоял членом-корреспондентом
Петербургской Академии наук по математическому раз-
ряду. Как видит читатель, научные достижения его давали
мало основания для этого звания; несомненно, в России
того времени были математики, имевшие больше прав
на это, но не состоявшие в списке Академии. Очевидно,
здесь сыграл свою роль немецкий состав членов Академии,
среди которых заслуженным влиянием пользовался зять
Бартельса В. Я. Струве. ,
В 1829 г. Бартельс представил в Министерство про-
свещения проект издания «Mathematische Vorlesungen fiber
hohere Analysis» («Математические лекции по высшему
анализу»). Издание должно было состоять пз 20 тетрадей,
и издержки издания, по мнению автора, были бы покрыты,
если бы Министерство подписалось на 150 экземпляров
для своих учебных заведений, а всего на сумму 10 000
рублей ассигнациями. Однако Министерство подписалось
сначала только па 39 экземпляров для военных учебных
заведений, впоследствпп, после длинной переписки, до-
вело подписку до 132 экземпляров, по уплатило лишь
за первый том, вышедший в свет в 1833 г. Книга встретила
восторженный приём со стороны первого математического
журнала на русском языке, издававшегося в Ревеле
в 1833 и 1834 гг. под названием «Учебный математиче-
ский журнал» К. Г. Купфером (1790—1838), учителем
ревельской гимназии, а с 1835 г. профессором математики
в Лицее князя Безбородко в Нежине, где он оставил
о себе самую лучшую память. По сообщению Купфера,
«трп тома книги составят полный курс анализа с прило-
жением к геометрии, механике, вычислению вероятностен!,
и будут заключать в себе всё то, что почтенный сочинитель
преподавал об анализе и его приложениях в Казанском
и Дерптском университетах в течение 25 лет». Рецензент,—
католического
Joseph Alfred
J) Paul Serret, Theorle nouvelle geometrique et mecaniq’ir
des courbcs a double courbure, Paris, 1860.
Paul Joseph Serret (1827—1898), профессора
университета в Париже, не следует смешивать с
Serret (1819—1885), академиком и автором известных руководств
м. ф« БАРТЕЛЬС — УЧИТЕЛЬ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 483
сам автор дпссертацпп «О суммпрованпп рядов» (на ла-
тинском языке, Мптава, 1813) п сочинения «Опыт мето-
да для определения числа мнимых корней уравнения про-
извольной степени» (иа немецком языке, Дерпт, 1819),—
конечно, мог иметь суждение о книге Бартельса, но, ве-
роятно, переусердствовал, когда писал:
«Нельзя тотчас не узнать в сем сочинении тонкого
математика. Решения вопросов, доказательства предло-
жений и методы вычисления отличаются своею простотою
и изящностью. Можно назвать спс сочинение собранием
изящных решений и методов. Где они прежде не суще-
ствовали, там сочинитель изобретал пх сам. К сему пре-
имуществу сего сочинения присоединяется п опытность
автора. Ибо в долговременную жизнь почтенный сочи-
нитель с усердием старался всегда быть полезен свопм
ученикам и всем, кои искали его наставления» («Учеб-
ный математический журнал», 1833, стр. 237).
Все попытки Бартельса обеспечить предварительным
заказом расходы по печатанию дальнейших томов, напо-
минания о том, что пдея составления книги была одобрена
бывшим министром просвещения Ливеном, не привели
к иным результатам, кроме получения бриллиантового
перстня от императора. Когда, уже после смерти автора,
поступил запрос о времени выхода следующих томов
книги, зять автора, Струве, ответил, что II том не начат
печатанием, так как выход его не был обеспечен.
V
Вышеизложенное включает всё, что можно сказать
о научном творчестве Бартельса. Как видно, это творче-
ство весьма скромно.
Не меняют эту картину и те сведения о научном твор-
честве М. Ф. Бартельса, которые можно почерпнуть из
Капитальной «Истории Казанского университета» проф.
Н. П. Загоскина (1903). Во II томе этого труда (стр.
Ь39 и след.) помещена «Ведомость о сочинениях, изданных
Членами императорского Казанского университета до всту-
пления их в университет, и о рукописях, у них находящпх-
31*
484
И. Я. ДЕПМАН
ся, составленная весной 1819 г. для целей ревизии универ-
ситета М. Л. Магницким». В этой ведомости читаем:
«Щублпчный] О[рдинарный] Щрофессор] чистой ма-
тематики М. Ф. Бартельс издал различные переводы,
как-то [перечисленные выше].
В рукописи имеет многие рассуждения, до высшей
математики касающиеся, и составленный им полный курс
математики».
Отдельно упоминается «Мемуар по математическому
анализу, представленный попечителю Румовскому в 1805
году».
Отметим мимоходом, что в той же ведомости (стр. 647
у Загоскина) значится:
«Щубличный] Экстраординарный] Щрофессор] чи-
стой математики Лобачевский сочинил основания геомет-
рии п несколько рассуждений о высшей математике, ко-
торые ещё не пзданы». Здесь речь идёт, повпдимому, об
учебнике геометрии, который в 1823 г. был Лобачевским
представлен для издания и был возвращён автору для
переделки. Таким образом, возникновение рукописи этой
«Геометрии» следует отнестп к более раннему периоду,
чем 1823 г.
В рубрике работ профессора астрономии В. II. Лпт-
трова читаем:
«Напечатал: Сообщение о результатах наблюдении
положения кометы 1812 года, произведённых магистром
Н. Лобачевскпм и студентом Симоновым, Казанские Из-
вестия, 1812 г., № 21».
Не раз повторялась в печати легенда, согласно которой
Лаплас на вопрос: кто первый математик в Германии?
якобы ответил: «Бартельс, потому что Гаусс—первый
математик в мире». Совершенно очевидно, что для такого
высказывания научные заслуги Бартельса никакого ос-
нования давать не могли. Что эти слова могли быть ска-
заны Лапласом по адресу учителя Бартельса Пфаффа,
как сообщает Шерппг, является правдоподобным, п если
онп на самом деле были сказаны, то это свидетельствует
о верном чутье Лапласа. «Проблема Пфаффа», которой
посвящали свои силы первоклассные математики вплоть
до наших дней (Н. М. Гюнтер), является действительно
М. ф. БАРТЕЛЬС —УЧИТЕЛЬ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 485
достаточным основанием для того суждения, которое,
невидимому, высказал Лаплас.
Возвращаясь к основному вопросу о том, мог ли Бар-
тельс возбудить интерес Лобачевского к неевклидовой гео-
метрии, нужно ответить, что всё известное о Бартельсе не
даёт никакого основания даже для предположения о том,
что он понимал пдеп Лобачевского. Если эти идеи хотя
бы незначительно занимали Бартельса, то он не мог бы
по проявить при каком-нибудь случае своего интереса
к ним. Однако мы по видим этого пи в очень скромных тру-
дах Бартельса, ни в его курсе, ин в его письмах к Гауссу,
ин в воспоминаниях о нём ого современников.
Известно, что Бартельс был любителем истории матема-
тики, читал этот предмет и в Казани и в Дерите. Он нс мог
бы не упомянуть об идеях своего ученика, если бы он
их понимал пли знал и том более, если бы так или иначе
содействовал зарождению пх в голове Лобачевского. Бар-
тельс был для Лобачевского добрым и разумным настав-
ником в молодые годы его жизни, и Лобачевскпй платил
ему любовью и благо чарт стью за сделанное для него
добро. Большего дать Бартельс Лобачевскому не мог,
и последиiiii в этом не нуждался. Лобачевский был и ос-
таётся самобытным гением русской науки.
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ АНАЛИЗА В ТРУДАХ
ВАЛЛИСА И НЬЮТОНА
Ф, Д. Крамар
В работах советских учёных, посвящённых математи-
ческому наследию Ньютона, наиболее живому обсужде-
нию подверглась, пожалуй, ньютонова философия бес-
конечно малых. Например, только в литературе, посвящён-
ной трёхсотлетию со дня рождения Ньютона (1643—1943),
четыре автора в своих исследованиях обсуждают этот во-
прос х). Этот же вопрос неоднократно дебатировался и в
иностранной литературе. Часть авторов при этом ограни
чивается анализом преимущественно одной специальной
работы Ньютона, «О методе первых и последних отноше-
ний», посвящённой обоснованию исчисления бесконеч-
но малых, большинство же привлекает и другие его ра-
боты. Однако, как «метод первых и последних отношений»,
так и вообще взгляды Ньютона па исчисление бесконечно
малых получали и получают самые различные оценки
в освещении различных авторов.
Вряд ли следует говорить о том, какое большое зна-
чение имеет этот вопрос для истории естествознания и,
в частности, для истории математического анализа. Пра-
г) Акад. II. II. Лузин, Ньютонова теория пределов
(в сборнике «Исаак Ньютон», Изд. АН СССР, М.—Л., 1943):
проф. С. Я. Лурье, Предшественники Ньютона в философии
бесконечно малых (там же); акад. А. II. Ко л м о г о р о в, Нью-
тон и современное математическое мышление (в сборнике «Москов-
ский университет—памяти Исаака Ньютона 1643—1943», М-,
1946); проф. А. II. 10 ш к с в и ч, Советская юбилейная литера-
тура о Ньютоне («Труды Института истории естествознания»,
т, I, 1947).
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ АНАЛИЗА У ВАЛЛИСА И НЬЮТОНА 487
впльио попяв взгляды Ньютона но такому принципиально
важному вопросу, мы глубже поняли бы стиль п образ
мышления выдающихся математиков XVII и XVIII вв.,
а это, в свою очередь, дало бы возможность яснее пред-
ставить себе пути развития современной математики.
В настоящей работе мы привлечём для изучения гене-
зиса ньютонова метода первых и последних отношений
ряд источников, до спх пор остававшихся впе поля зрения.
В связи с этим п взгляды Ньютона па вопросы обоснова-
ния исчисления бесконечно малых получат несколько
иное, чем прежде, освещение. Но прежде чем приступить
к рассмотрению этих источников и нашей точки зрения,
мы сначала коротко остановимся па оценках взглядов
Ньютона по интересующему пас вопросу другими совет-
скими авторами.
Академик А. II. Крылов, автор известного перевода
с латинского на русскиii язык «Математических начал
натуральной философии» Ньютона, пишет: «Ньютон от-
крыл и дал основы исчисления бесконечно малых, исходя
из понятий механических и геометрических. Он всегда
применял при своих рассуждениях геометрические пред-
ставления и был абсолютно строг в них и абсолютно точен
в языке и выражениях, поэтому он сперва устанавливает
то понятие о пределе переменной величины, которым поль-
зуются и сейчас, п всё своё учение о .флюксиях', или,
по теперешней терминологии, , производных", основывает
на разыскании продела отношения двух бесконечно малых
величии, находящихся в определённой взаимной зависимо-
сти ц изменяющихся совместно» 1). По мнению А. II. Кры-
лова, Ньютон «сперва устанавливает то понятие о пре-
деле переменной величины которым пользуются и сей-
час», п всё учение о производных развивается па этом ло-
гическом фундаменте с современной строгостью.
Академик А. II. Колмогоров по поводу приведённых
выше заключений A. II. Крылова пишет следующее:
<<В действительности Ньютон пи в одном из своих сочи-
нений пе дал вполне последовательного изложения метода
х) Л. II. Крылов, Леонард Эйлер, Изд. All СССР, 1935.
стр. 10.
>88
<1’. Д. КРАМАР
флюксий, соответ»твующею полностью характеристике
А. II. Крылова. Наряду с „методом первых и последних
отношений", т. е. в современной терминологии с мето-
дом пределов, Ньютон пользуется .методом моментов",
который в существенном совпадаете „методом неделимых 1
ого менее требовательных в отношении логической стро-
гости современников и предшественников» 1).
Обсуждая ньютонову теорию пределов как таковую,
А. 11. Колмогоров говорит, что только «первое впечатле
пне от высказываний Ньютона вполне подтверждает мне-
ние А. Н. Крылова, считающего, что мы имеем здесь
вполне современную строгую теорию пределов»2). Па са-
мом же деле представление о строгости у Ньютона было
ещё очень далеко от тех представлений о математической
строгости, которые были выдвинуты в середине XIX в.
и господствуют в современной математике, хотя Ньютон
п стоял в этом отношении на чрезвычайной высоте по
сравнению со своими современниками и предшественни-
ками. Что касается понятия предела у Ньютона, то
А. 11. Колмогоров приходит к такому выводу: «Понятие
предела (как и понятие скорости) является для Ньютона
одним из исходных понятий, не подлежащих в силу пх
примитивного характера и интуитивной ясности прямому
определению. Однако во всех своих утверждениях о свои
ствах пределов и способах пх нахождения Ньютон вполне
точен и ни в чём не расходится с нашими современными
представлениями»3).
Ещё более высокую оценку, чем А. II. Крылов, даёт
ньютонову методу первых и последних отношении ака
демнк 11. И. Лузин. В статье «Ньютонова теория ироде
лов» 11. 11. Лузин пишет:
«Еслп мы теперь обратимся к тексту .Начал пату
ральной философии ’, то с совершенной ясностью убедимся
не только в наличии у Ньютона теории пределов в нои
тп современно!! её форме, ио и в выполнении её с горазд
Ч А. Н. Ко л м о г о р о в. Ньютон и современное матема
тическое мышление (в сборнике «Московский университет—памяти
Исаака Ньютона», М , 194G, стр. 30).
2) Там же, стр. 34.
8) Там же, стр. 35.
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ П1АЛИЗД X ВАЛЛИСА II НЬЮТОНА 489
большою осторожностью, чем эго было сделано Коши».
«...В споём же математичо! i ом поведении Ньютон мол-
чаливо, но со всею уверенностью действует всегда так,
как может вести своя лицо, чувствующее себя принад-
лежащим к нашей эпохе, поспи тайным па наших опре-
делениях и идеях» г). 11 далее: <<...Коши принадлежит
дело Bccii установки математического анализа па понятиях
переменной величины и сё предела. Идея этой установки,
несомненно, идет от Ньютона, как от истинного иници-
атора, набросавшего в .Началах" для этой цс.ш определён-
ный план. До Ньютона было бы тщетно искать родона-
чальников этих понятий: только у Зенона из Элен (500 .лет
до н. э.) да в рассуждениях Gregory St. Vincent’a (1647),
обсуждавшего его апория, можно найти следы вопроса
о пределе. ... Коши остался верен основной идее Ньютона,
но счёл нужным значительно расширить его концепцию,
введя в рассмотрение пределы немонотонно изменяющихся
переменных» * 2).
Таким образом, согласно 11. И. Лузину, Ньютон вла-
дел современной теорией пределов и применял её так,
как это делает математик, «принадлежащий к нашей эпо-
хе, воспитанный па наших определениях и идеях»; вместе
с тем, в создании теории пределов Ньютон предшест-
венников по вмел: «До Ньютона было бы тщетно искать
родоначальников этих понятий...»
Проф. Д. Д. Мордухай-Болтовской ньютонову теорию
пределов характеризует следующим образом: «Некото-
рый объект не обязательно величина, изменяется.
Конечный результат достигается конечным или беско-
нечным процессом во времени. При этом время, в про-
должение которого совершается бесконечный процесс,
мыслятся как актуально бесконечный промежуток вре-
мени. Предал А мыслится всегда достигнутым X. Предел
А рассматривается как одна из форм, можно сказать,
последняя форма»3). По оценке Д. Д. Мордухай-Болтов
Э II. 11. Л у з и и, Ньютонова теория пределов (в сборнике
«Исаак Ньютов»*', Изд. А.Н СССР, М.—Л., 1943, стр. 55, 60).
2) Там же, стр. ($8—69.
3) Д. Д. М о р д у х а й Б о л т о в с к о й. Генезис и истории
теории пределов. («Известия С.К.Г.У.», т. Ill (XV), 1928, стр. 107).
490
Ф. д. КРАМАР
ского, ньютонова теория пределов далека от совершен-
ства: составными элементами её являются актуальная беско-
нечность—время п совпадение переменной X со своим
постоянным пределом Л; предел есть последнее значе-
ние переменной. А в связи с этим возникают непреодо-
лимые трудности при попытке ответить иа вопросы: что
такое бесконечно малое—нуль или но нуль? Что такое
«флюксия»—отношение двух пулей? Проф. С. Я. Лурье,
идя ещё дальше в этом направлении, считает метод флю-
ксий Ньютона просто исчислением пулей *).
Проф. А. П. Юшкевич подчёркивает неясности и ко-*
лебания во взглядах Ньютона: в своих ранних работах
(1665—1671 гг.) Пыотоп «оперировал бесконечно малыми
совершенно так ясе, как впоследствии это делали Лейб-
ниц и его первые ученики. От такой практики Ньютон
не отказывался и много позднее». Что касается метода
первых и последних отношений, то и здесь, по мнению
А. П. Юшкевича, Пыотоп нс достиг того совершенства,
о котором говорится у П. II. Лузина. Согласно А. 11.
Юшкевичу, «изменение конечной величины (у Ньютона)
мыслилось вообще непрерывным, достигающим своих
предельных значений», подобно тому как движущееся
тело в момент остановки обладает «последней», предсль
ной скоростью, достигнутой в мгновение остановки.
II несмотря на то, что Пыотоп сам чувствовал серьезные
неудобства, связанные с этой концепцией, ему «ис уда-
лось разрешить все логические проблемы, связанные с
вопросом о достижении переменной её предела, так же
как и с вопросом о характере введённого нм понятия
момента» 2).
Мы не станем излагать здесь мнения других авторов
по затронутому вопросу. Уже из приведённых примеров
ясно, как трудно бывает правильно прочитать мысли
автора, эпоха которого удалена от нас иа три столетия,
*) С. Я. Л у р ь о, Предшоствопипки Пыогона в философии
бесконечно малых (в сборнике «Исаак Ньютон», Изд. АН СССР,
\1.—Л., 1943).
2) А. II. Юшкевич, Советская юбилейная литература
о Ньютоне («Труды Института истории естествознания», т. Ь
1947, стр. 444).
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ анализа у влллиса И НЬЮТОНА 491
даже в том случае, если этот автор был так требователен
в точности своей речи, как Ныотоп.
Вместе с тем приходится отметить один недостаток,
присущий большинству исследований, посвящённых нью-
тоновой концепции предела: совершенно недостаточное
использование математических работ непосредственных
предшественников Ньютона. Например, ни в одной из
многочисленных работ о Ньютоне, насколько мне извест-
но, не подвергались в этой связи глубокому анализу
математические труды Джона Валлиса (John Wallis,
1616—1703), в которых, как мы покажем, содержится
много идей, общих с ньютоновой концепцией предела1).
Университетским учителем Ньютона был, как известно,
Барроу (1630—1677). Валлиса можно считать косвенным
учителем и Барроу п Ньютона, оказавшим существенное
влияние на обоих своими математическими трудами.
В письмо к Ольденбургу Ньютон писал:
«В начале моего изучения математики я обратил вни-
мание па рассмотрение рядов в сочинении нашего зна-
менитого Валлиса, интерполированием которых оп полу-
чал площади кругов п гипербол...»2).
Стараясь обнаружить закономерность в этих Балансо-
вых интерполированиях, Ныотоп пришёл к замечатель-
ному предложению о разложении дробной степени бинома
в бесконечный ряд. Уже из упомянутого письма видно,
что Ныотоп тщательно изучал Валлиса, гениально раз
вивал п обобщал его идеи, отдавая должное своему пред-
шественнику. И хотя, излагая свой метод первых и послед-
них отношений в первом отделе «Математических начал
натуральной философии», Ныотоп не упоминает Валлиса
0 Об общем влиянии трудов Валлиса на Барроу и Ньютона упо-
минается в книге акад. С. II. Вавилова «Исаак Ньютон,» изд. 2-е,
1945, см., папрпмер, стр. 172, 181. — Проф. А. И. Юшкевич в статье,
посвящённой «Всеобщей арифметике» Ньютона, подробно рассмат-
ривает вопрос о влиянии алгебраических работ Валлиса на Нью-
тона (Исаак Ньютон, Всеобщая арифметика, перевод и ком-
ментарии А. П. Юшкевича, Изд. ЛИ СССР, 1948).
2) J. Wa 11 is, Opera Mathematica, Oxoniae, 1695, т. Ill, стр. G34,
письмо от 24/Х 1676 г. Имеется русский перевод этого письма
в книге: Исаак Ньютон, Математические работы, Перевод
Д. Д. Мордухай-Болтовского, ОНТИ, М,—Л., 1937, стр. 233—256
'<92
Ф. Д. КРАМАР
как своего непосредственного предшественника по этим
идеям, такая взаимозависимость становится совершенно
очевидной после чтения «Арифметики бесконечных» Вад-
лиса, а это. в свою очередь, даёт нам ключ к пониманию
концепции предела и у Ньютона.
«Арифметика бесконечных» Валлиса вышла в свет
в 1656 г., т. е. примерно за 10 лет до создания Ньютоном
работ: «Анализ с помощью уравнении с бесконечным
числом членов» п «Метод флюксий». В этом оригиналь-
ном л весьма содержательном трактате по nirjci рированию
Валлис, первым пз математиков ХЛ 11 в., арпфмеп зировал*
понятие определённого интеграла, используя ироде щ
отношений числовых последовательное ген.
Хотя Валлпс и объявляет себя продолжателем дола
Кавальерп, однако оп вноси г существенную модификацию
в чисто геометрическую форму определённого интеграла
Кавальерп. Проблему' определения площади произволе
пой фигуры Валлис ставит следующим образом. Он делит
соответствующий отрезок абсциссы па равные части и
строит «вписанные» и «описанные» ступенчатые фигуры,
состоящие пз прямоугольников, а затем у велпчпвает чп
ело делен пи до бесконечности х). Эту точку зрения Валлш
определённо предпочитает точке зрения Кавальерп,
заменявшего отношения площадей фигур отношением
совокупностей пх всех ординат, проведённых по не-
которому определённому закону. Точка зрения, па
которую стал Валлпс, позволяет ему фактически рас-
сматривать искомую криволинейную площадь, как об-
щий предел последовательностей верхних п нижних сумм
площадей параллелограммов, хотя самое понятие предела
нс вводится явно и хотя потенциальный характер пре-
дельного перехода самому' Валлису пе был вполне ясен.
Задачу определения площади Валлис понимает как за
дачу разыскания отношения искомой площади к площади
параллелограмма, имеющего то же основание и некоторую
определённую высоту (за которую чаще всего он приип
мает наибольшую ординату рассматриваемой фигуры). Эгу
Э J. Wallis, Opera Mathematica, Oxoniae, т. I,
стр. 297.—В дальнейшем тексте статьи ссылки па этом том собра-
ния сочинений Валлиса отмечаются так: (I, 297).
ВОПРОСЫ обоснованияанализа у ВАЛЛИСА И НЬЮТОНА 493
задачу оп и переводит па арифметический язык. Так,
в простейшем случае, когда рассматриваемая линия есть
парабола у = схк, вычисление площадп сводится к опре-
делению отношения
О 4- 4- 2^ 4- .. . -J- nA
?i,{4-nfc 4-4- • • • +пк
для бесконечно большого п. Это отношение Валлис фак-
тически находит как предел отношения того же вида
при неограниченном возрастании п,
В качестве примера рассмотрим случай к — 2. Ставит-
ся задача вычисления отношения
04- 124-22Ц- ... 4-п2
п2 4- п2 4- и.2 4- ... - п2
при п—>оо. Фактическими вычислениями для п ~ 1, 2,
3, 4, 5, 6 Валлис устанавливает, что отношение
л
3 /П2
/2)
(п4-1)и* ' 7
„ I 1111
будет превосходить — соответственно на —, 1Й, ,
17 <5 О А Л О X к
«Полученные отношения (2) повсюду больше,
□и 3(5 I
чем отношение 1 к 3. Избыток же постоянно уменьшается,
по мере того как число членов увеличивается; так мы пме
ем;4 ’ гё’А’30’11 т’ д’’ где зиамепатель »р°би
возрастает от одного места к другому, как очевидно, па
число 6. Таким образом, избыток получающегося отноше-
ния (2) над отношением 1 к 3 равен отношению единицы
к ушестерённому числу членов, следующих после нуля...
Когда же число членов будет возрастать, то этот избы-
1 „
ток над — будет непрерывно уменьшаться так, что, на-
конец, станет менее произвольно заданного числа; п если
мы будем увеличивать число членов до бесконечности,
то этот избыток совершенно исчезнет» (I, 373—374), т. е.
494
Ф- Д. КРАМАР
(в современной символике)
lim ° + 12 + 22+ ••+п2 1
n->«n2-i-n8 + ,?2+ ••• 4-п3 3
Этот результат Валлпс формулирует затем в виде теоремы
(I, 374), которой соответствует наше равенство
а
§ ex2 dx
са3 ~ 3
(3)
Таким образом, сначала ставится задача нахождения
предела суммы
О 4- I2 + 22 + . •. + н2
п2 4- п2 4- п2 + ... -f- п2 ’
.методом индукции устанавливается общее выражение для
частичных сумм
V - 1 -L 1
а затем, устремляя п к бесконечности, Валлис получает
искомое предельное значение. Весьма существенную роль
в рассуждениях Валлиса играет числовая последователь-
ность, имеющая своим пределом нуль.
Только что приведённый памп пример является ти-
пичным для стиля «Арифметики бесконечных». Апало-
1
гично Валлпс вычисляет значение пнтеграла xndx^n.
о
других целых положительных п, а затем, с помощью вве-
дённой пм операции интерполирования, распространяет
формулу
I
хп dx = -4-7-
J П + 1
о
на дробные и отрицательные п.
Из вычисления
lim
п->оо
л
У! т2
(п 4- 1) п*
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ АНАЛИЗА У ВАЛЛИСА И НЬЮТОНА 495
ВИДНО, что как ход рассуждении Валлиса, так и его за-
ключительная формулировка в значительной мере напо-
минают соответствующие формулировки в курсах ана-
лиза, построенных па классической теории пределов
Коши. Можно сказать даже больше: современные рассу-
ждения п выражения в таких случаях по форме лишь
незначительно отличаются от валлнсовых. Более суще-
ственные различия имеются в понимании самого послед-
него момента предельного перехода, так сказать, в пони-
мании логического обоснования предельного процесса,—
но об этом позже.
В качестве второго примера рассмотрим доказатель-
ство сходимости бесконечного произведения, данное Вал-
лисом в известно]! под его именем формуле.
Установив индуктивно, что число □, выражающее от-
4
ношение квадрата диаметра к площади круга, т. е. — ,
заключено между границами (1,468)
ГТ 3 3 • 5 • 5 » 7 ... (2п+ 1) / J 1
2 • 4 • 4 • 6 • 6 ... 2/i V "Г 2n гс
^,3 • 3 • 5 • 5 • 7 ... (2и + 1)1/'~ I-__гг
< 2 • 4 • 4 • 6 • 6 ... 2n V ^2п-1 Un’
Валлис не только говорит о том, что разность между U'n
и Un с возрастанием индекса п «станет, наконец, меньше
любого наперёд заданного числа» s, но п фактически вы
числяет такое /V, зависящее от е, при котором
\U^+p—U jq-Lp | < s
п тем более
|^+Р-||<г- (4)
а 4 а
Валлис паходпт, что если задать е = где
произвольная рациональная дробь, то при /V, удовлетво-
ряющем неравенству
д 1 |/
Л 2 г 2аЬ-а2 ’
'<96
Ф- Д. КРАМАР
будут иметь место неравенства (4). Но после этого Вал-
лпс говорит, что при возрастании индекса до бесконеч-
ности «разность эта £ г. е. |с/\у+р — 4 | j станет беско
нечно малой (infinite parva), т. с. никакой (hoc es|
nulla)», а «...дробь
3 • 3 • 5 • 5 • 7 • 7 • 9 . ..
2TV. 4 . G • G ^8~- я .. .
ИЛИ
9 • 25 • 49 .. .
8 • 24 • 48 ... ’
продолженная в бесконечность (in infinitum), есть самбо
искомое число □ гг притом точно (esse ipsissimum quaesi-
tum пптегцш et precise)» (I, 469).
Пз приведённых двух примеров (а таких примеров
у Валлиса много) мы видим, что важнейшими составными
моментами предельного перехода Валлиса являются.
1) составление бесконечно]! числовой последователь
пости
//j, и3,... ,иП}...
(плп двух последовательностей U'n и Un, между которыми
лежит искомая величина);
2) явное выражение (словами) общего члена этой после-
довательности;
3) доказательство юго, что найдётся такой индекс Л ,
что разность между Uy и пределом последовательности а
станет меньше любой заданной величины, т. е. будет
Та же важнейшая роль принадлежит этим трём мо-
ментам и в теории пределов Коши. Но если для Коши
утверждение о том, что а является пределом последо-
вательности Un, л о определению, равносильно существо-
ванию неравенства
I
то Валлпс, как мы видим, пз последнего неравенства
делает метафизическое заключение о совпадении пере
дОПРОСЫ OS'ICHTR ШИН АНАЛИЗА у ВАЛЛИСА II НЬЮТОНА 497
ценного с пределом а после завершения бесконечной»
процесса. Валлис всегда мыслил себе предельное значе-
ние не иначе, как такое, которое «и конце концов» (tan-
dem) принимает переменная величина; предельное зна-
чение переменной по Валлису есть просто последнее зна-
чение переменном, когда процесс «продолжен в бесконеч-
ность».
С такой концепцией предела непосредственно связано
и валлисово понимание бесконечно малой величины:
бесконечно малую величину Валлис считает последним
значением переменной величины, стремящейся к нулю,
т. о. просто нулём: «ведь бесконечно малое количество,
это всё равно что и бег кол ичествениое» (I, 297).
В соответствии с этим бесконечно большая величина
для Валлиса есть также некоторое постоянное число,
к которому стремится неограниченно возрастающая ве-
личина. Для бесконечно большой величины Валлис вво-
дит символ сс, который теперь употребляем и мы1). бес-
конечно малое и бесконечно большое Валли • связывает
соотношениями — = ос. оо = <^ Он говорит при этом (1,462):
«Хотя сс • О и не представляет какого-нибудь определён-
ного числа, ио оно может как бы виртуально (virtu a liter)
играть роль любого числа. Ибо. какое бы число ни дели-
лось на сс. частное будет 0, и наоборот. Например,
1: со — о, 1:0 — оо; 2:оо=0, 2:0.= со; 3:ос=0,
3:0=сэ и т. д. А так как произведение делителя и
частного должно восстанавливать делимое, то оо -0=1,
или оо • О- 2, или оо -0 = 3, и так и для других каких
угодно чисел». При вычислении площади треугольника
он применяет соотношения (Г, 298):
где А — выгода, а В —основание треугольника;
Л— 1 .4 = .4, с= - .4= о;.
9 «...Пусть,—пишет Балли , -со будет знаком бесконечно
большого числа» (I, 297).
^2 Историк о-и, г си. уеследоваимя
«». Д. КРАМАР
Вопросам, относящимся к обоснованию исчислении
бесконечно малых, Валлис придавал принципиально
важное значение. Это видно из того, что он посвящает
им специальную обширную схолию в конце «Арифметики
бесконечных» (1, 448—458). В этой схолии Валлис счёл
нужным дать резюме теоретического обоснования тех
приемов, которыми он пользовался прп решении различ-
ных задач и которые он предварительно объяснял в каж-
дом отдельном случае.
Прежде всего, Валлис излагает здесь тщательно обос-
нованный интегральный принцип измерения площадей
криволинейных фигур посредством описанных и вписан-
ных ступенчатых фигур, составленных пз параллелограм-
мов. Площади трёх равновысотных треугольников (черт. I)
разбиваются на п частей прямыми, параллельными осно-
ваниям треугольников; все расстояния между этими
параллельными прямыми равны между собой. Па этих
параллельных прямых, как показано на чертеже, стро-
ятся «описанные» и «вписанные» параллелограммы. Вы-
ясняется затем, что при конечной совокупности таких
«описанных* и «вписанных» параллелограммов сумма
площадей первых будет превосходить сумму площадей
вторых на величину площади наибольшего (т. е. самого
нижнего) из описанных параллелограммов,основан не кото-
рого есть величина постоянная л равная основанггю
1
треугольника, а высота равна — частя высоты тре-
угольника. Таким образом, площадь этого нижнего
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ АНАЛИЗА У ВАЛЛИСА И НЬЮТОНА 499
параллелограмма Рп будет равна ~h • а, где /г —высота,
а а—основание треугольника. Когда число п параллело-
граммов будет возрастать, то разность между суммой
первых и суммой вторых параллелограммов будет умень-
шаться так, что описанная ступенчатая фигура будет
приближаться к площади треугольника с избытком,
а вписанная —с недостатком.
«Таким образом, — говорит Валлис,—поскольку речь
идёт о конечном ряде параллелограммов, нужно обращать
внимание па избыток или недостаток, если же речь идёт
о бесконечном ряде параллелограммов, то этим можно
спокоино пренебрагать..., потому что — часть высоты (бес-
конечно малую часть) надлежит принимать за ничто
(pro nihilo)» (1, 453).
Изучив подобным образом криволинейный треуголь-
ник и затем спираль Архимеда с помощью описанных и впи-
санных круговых секторов, Валлис говорит: «Подобным
образом многоугольник с бесконечным числом сторон
нужно принимать за круг, независимо от того, понимается
лп описанный или вписанный многоугольник..., пбо как
во вписанном, так п в описанном многоугольнике с бес-
конечным числом сторон нужно полагать равными стороны
одного сторонам другого, т. е. у одной и той же дуги синус
п тангенс будут равны как между собою, так п самой
дуге» (I, 454).
Здесь сформулировано очень важное для теории пре-
делов понятие эквивалентности между дугой, стягиваю-
щей её хордой и соответствующим отрезком касательной
прп условии стремления дуги к нулю, т. е.
О.—> 0 G—>0 “
Затем Валлис пытается поставить вопрос об эквивалент-
ности бесконечно малых в более общей форме. Он пытается
объяснить, когда можно и когда нельзя заменять одни
бесконечно малые другими прп их суммировании (1,454).
Полную ясность в этот вопрос внести Валлису не удалось.
Зато он ясно показал на примерах, к каким ошибкам мож-
32*
500
Ф. Д. КРАМАР
вал это на более
но придти, пренебрегая одними бесконечно малыми вели-
чинами по сравнению с другими. Для иллюстрации он
воспользовался п одной собственной ошибкой, которая
состояла в следующем.
Определяя площадь сектора спирали Архимеда, Вал-
лис применил способ Архимеда, согласно которому сек-
тор спирали для достаточно малого центрального угла
заменяется круговым сектором. Валлис
пытался прямо распространить такой
же прием и на вычисление длины дуги
спирали; элемент дуги спирали оц(
заменял соответствующим элементом
дуги окружности. Однако вскоре он
не только заметил ошибочность этого
приёма, по и объяснил его причину.
Он показал, что суть дела в том, что
разность между суммой «описанных»
дуг круговых секторов и суммой «впи-
санных» дуг пе будет стремиться к пу-
лю, хотя разность между каждым эле-
ментом дуги спирали п соответствую-
щим элементом дуги окружности и
стремится к нулю. Он проиллюстрпро-
простом примере прямоугольного тре-
угольника (черт. 2): площадь вписанной ступенчатой фигу-
ры в пределе равна площади треугольника, так как раз-
ность между описанной п вписанной фигурами стремится
К- пулю; сумма сторон «3 4- ру. прямоугольников в
пределе равна катету VB треуголышка, но сумма других
сторон ai324-3iY2+ . • • прямоугольников не будет равна
гипотенузе 75, потому что «хотя разности эти ajpi —
—Pffi ~ 31Y2,’-- по одиночке взятые будут бесконечно
малые, однако сумма их всех (бесконечных по числу) имеет
довольно заметную величину, равную VS—VB. II я счёл
достойным труда остановиться на этом подробно, так
как я заметил, что многие в этом месте допускают ошиб-
ки» (I, 454).
Валлпс неоднократно повторяет в «Арифметике бес-
конечных», что при разностном сравнении конечной вели-
чины А п бесконечно малой величины а, последнюю надо
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ АНАЛИЗА У ВАЛЛИСА И НЬЮТОНА 501
принимать за нуль, т. е. Л4-а = Л. Сумма конечного
числа бесконечно малых величин будет величиной беско-
нечно малой. Но «...если бесконечно малое берётся бес-
конечное число раз, то получается иногда достаточно
большое количество» (I, 455).
Геометрическое отношение двух бесконечно малых
у Валлиса почти пе употребляется. Поэтому, хотя вал-
лпсово понятие сумм бесконечно малых и предвосхищает
понятие интеграла, мы стали бы напрасно искать у него
предвосхищения понятия производной.
После ознакомления с концепцией продела у Валлиса
обратимся теперь к пьютоповой теории пределов. Послед-
няя, как уже упоминалось, изложена Ньютоном в его
труде «Математические начала натуральной философии»
в специальной главе под названием «О методе первых
и последних отношений, прп помощи которого последую-
щее доказывается». Начинается эта работа Ньютона
следующей леммой;
«Лемма I. Количества, а также отношения количеств,
которые в продолжение любого конечного времени посто-
янно стремятся к равенству и ранее конца этого времени
приблизятся друг к другу ближе, нежели па любую задан-
ную разность, становятся, наконец, равными (Hunt ul-
timo aequales).
Если эти отрицаешь, то допустим, что они станут нако-
нец неравными (fiant ultimo inacquales), и пусть пх по-
следняя разность (подчёркнуто мною. —Ф.К.) равна D. Сле-
довательно, они по могут ближе подойти к равенству, чем
па эту заданную разность D, что противоречит условию» 1).
*) N cwton, Philosophiae Naturalis . , Amstaelodam, 1723 г.,
стр. 25. Академик А. II. Крылов при переводе па русский язык
с латинского «Математических начал натуральной философии»
(см. «Известия Николаевской морской академии», выпуск IV,
1915 г.), желая приблизить терминологию Ньютона к современной,
выражения «ullimae rationcs» и «fiunt ultimo aequales» переводил
соответственно «в пределе отношения» и «в пределе будут равны».
Об этом А. II. Крылов сделал оговорку в сноске на стр. 54 упомя-
нутого сочинения. Однако некоторые авторы исследований б Нью-
тоне, желая видеть в ньютоновом методе первых и последних отно-
шений современную теорию пределов, во обращают должного вни-
мания на эти примечания A. II. Крылова.
502
Ф. Д. КРАМАР
Формулировка леммы напоминает определение поня-
тия предела.
Но Ныотоп смотрел на неё нс как на определение, по-
этому он пытался дать доказательство этому предложению.
Самое же содержание леммы и доказательство сильно напо-
минают стиль рассуждений Валлиса. Правда, Валлпс оп-
ределённо написал бы tandean
acqnalos—«наконец равны» вместо
более расплывчатого ultimo aoq da-
les. А из доказательства с очевид-
ностью выступает знакомое нам до
Валлису утверждение, что «послед
няя разность» должна стать ну-
лём, и только тогда величины ста-
новятся, наконец, равными. Ньютов,
как п Валлис, отождествляет бес
конечно малое с нулём, как обяза-
тельное условие, при котором ие
ременная совпадает со своим пре-
делом. (Нормального определения
самого понятия предела переменной величины ни у пер-
вого, ни у второго автора пет.
Очень важное место в теории Ньютона занимает
«Лемма 11. Если в какую-либо фигуру АасЕ (черт. 3).
ограниченную прямыми Аа в АЕ и кривою асЕ, вписать
любое число параллелограммов Ab, Вс, Cd и т. д., имею
щпх равные основания АВ, ВС, CD и т. д. и стороны ВЬ,
Сс, Dd и т. д., параллельные стороне Аа фигуры, и до
полнить параллелограммы аКЫ, bLcm, cMdn и т. д.,
затем, уменьшая ширину этих параллелограммов, увели
чивать их число до бесконечности, то я утверждаю, что
последние отношения, которые имеют друг к другу вин
Мы будем пользоваться здесь латинским изданием 1723 г.
«Математических начал натуральной философии». Так как это
(третье) издание вышло при жизни автора и при его участии,
то вероятность искажении в нём незначительна. При ссылках
на это издание в тексте статьи будут указываться «Начала» и номер
страницы, например: «Начала», 25.
Кроме упомянутого выше издания 1915 г., имеется второе
русское издание «Начал»—в Собрании трудов акад. \. Н. Кры-
лова, т. VII, Л., 1936.
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ и.У1ИЗЧ > В АЛЛПСЛ П НЬЮТОНА 503
санная фигура AKbLeMdD. описанная AalbmcndoE и кри-
волинейная фигура \abedE () п> оТ1Юшеи|1ц равспст'ва.
Поо разно. гь между описав„ой и гиисаипой фигурами
равна сумме параллелограммов Л7, ].П1) д/„ £0 *е
(в сил) равенства всех оснований) равна нрямоугол’ьнику’
построенном) на одном из оснований КЬ, и сумме высот
Ли, т. е. прямоугольник) ABla. Но этот прямоугольник,
так как ого ширина АВ уменьшается до бесконечности’
может стать меньше .любого заданного. Следовательно’,
фигура вписанная, фигура описанная и тем более проме-
жуточная между ними криволинейная фигура станут,
наконец, равными» («Начала», 2 л).
Очевидно, лемма 11 и её доказательство почти дослов-
но совпадают с рассуждениями Валлиса о площади
треугольников (в том число криволинейного треугольника
и спирали Архимеда).
Рассмотрим ещё лемм) VII.
«Лемма VII. При тех же предположениях (непрерыв-
ной кривизны. Ф. //.) я утверждаю, что последнее от-
ношение дуги, хорды и касательной друг к другу есть
отношение равеш тва.
С л о д с т в и е 3. Поэтом) все эти длины при всяком
рассуждении о последних отношениях могут употребляться
одна вместо другой (Начала», 27 -28).
11 это предложение, только в менее общей форме, .мы
встречали уже у Валлиса.
Мы не станем приводить остальных лемм 1J ьютона (всех
их 10), потому что они носят менее принципиальный ха-
рактер. В заключение Ньютон поясняет:
«Последние отношения нсчезаюш,их количеств не суть
отношения последних количеств, а суть те пределы (1 ini i
les), к которым приближаются отношения беспредельно
убывающих количеств н к которым эти отношения могут
подойти ближе, нежели на любую жданную разность, по
которых лерепти или достигнуть эти отношения никогда
нс могут ранее, чем самые количества уменьшатся беско-
нечно»? («Начала», 33—34).
Первая часть этого предложения очень сильно напо-
минает аналогичные современные форм)лнровки, но по-
следняя часть почти дословно совпадает с выражениями,
504
Ф. д. КРАМАР
имеющимися у Валлиса. Например, рассуждая об асим-
птоте и гиперболе Валлпс пишет: «Кривая будет непре-
рывно всё ближе подходить к прямой, так что, наконец
расстояние между ними станет менее любого заданного.,
однако это расстояние исчезнет нс раньше, чем прямая
(асимптота.—Ф. /Г.) станет бесконечной» (I, 405).
Приведённые выше выдержки были взяты пз «Мате-
матических начал натуральной философии» (1086 г.). Об-
ратимся теперь к сочинению «Рассуждение о квадратуре
кривых», опубликованному в 1704 г. Пади иметь в виду,
что основное сочинение Ньютона, содер/катцее изложе-
ние методов дифференциального п интегрального исчис-
лений («Метод флюксий»), было опубликовано лишь после
смерти автора, в 1736 г. Одной пз главных причин задерж-
ки публикации этого труда при жизни автора было то,
что Ньютон видел несовершенство его в смысле матема-
тической строгости; поэтому оп отказывался от опублши
ваиня, несмотря па уговоры друзей. По «Рассуждение
о квадратуре кривых» было опубликовано самим Ньюто-
ном в 1704 г. в виде приложения к «Оптике». Следователь
но, есть основание считать, что Пыотоп рассматривал
этот свои трактат как наиболее совершенное математиче-
ское сочинение, построенное на логической базе «мето-
да первых и последних отношении». Об этом и сам автор
говорит в первых же строках «Рассуждения». Возьмём
одни пример нз этого сочинения и посмотрим, как
применял Ньютон свою теорию пределов, созданную два-
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ АНАЛИЗА У
ВАЛЛИСА И НЬЮТОНА 505
дцатыо годами ранее. На второй странице рассматривае-
мого сочинения Ныотоп ведет рассуждав 0
ной, как предельном положении секущей. Вот они (черт 4У
«Если точки С и с отстоят друг от друга „а Какой-^
малый промежуток, то прямая СК мало отличается от ка-
сательной СН. Для того чтобы прямая СК совпала с каса-
тельной СИ п нашлись бы последние отношения линий
СЕ, Ес и сС, необходимо, чтобы точки Сие сошлись и
совершенно совпали (подчёркнуто мною.— Ф. К.), в мате_
матике нс следует оставлять без внимания п самые ма-
лые ошибки»1).
Этот пример показывает, что применение теории пре-
делов у Ньютона и у Валлиса тождественно: переменное
«наконец» совпадает с постоянным пределом.
Мы не будем рассматривать ранние математические
работы Ньютона—«Анализ с помощью уравнений с бес-
конечным числом членов» и «Метод флюксий»; они написаны
(в 1665—1671 гг.) за 15—20 лот до создания ньютоновой
теории пределов, т. с. в тот период времени, когда Ньютон
пользовался обыкновенными бесконечно малыми вели-
чинами в том же самом смысле, как это делал позже
Лейбниц.
Приведённые цптаты из сочинений Ньютона и сопо-
ставление пх с соответствующими рассуждениями Валлиса
показывают, что оба автора понимали процесс предель-
ного перехода одинаково,—в виде законченного процесса,
завершением которого являлось совпадение переменной
величины с её пределом. Разность между переменной п её
пределом оба автора называли «исчезающей» (differen-
tia evanescens); у обоих она становилась «в конце кон-
цов» нулём. Оба автора пе только выразплп в одинаковой
форме основные предложения, относящиеся к теорпп пре-
делов, по и применяли пх для доказательств по одной и
той же схеме. Составной частью такого предельного пере-
хода необходимо являлась бесконечно малая величина.
В понимании последней оба автора встречались с проти-
воречиями, так как при предельном переходе они её
х) II с а а к Ньютон, Математические работы. Перевод
с латинского, вводная статья и комментарии Д. Д. Мордухаи-
Болтовского, О НТ II, М.—Л., 1937, стр. 168.
506
Ф. Д. КРАМАР
явно принимали за нуль, а при интегрировании, т. е.
при составлении площадей из бесконечно большого числа
бесконечно малых величин (или при дифференцировании),
приходилось отступать от понимания бесконечно малой
величины как нулевой величины, ибо «ех niliilo nihil
fit»—«пз ничего ничего нс делается». Валлпс пе тратил
сил па устранение этою противоречия, он спокойно объяс-
нил: «Если бесконечно малое берётся бесконечное число
раз, то получается иногда достаточно большое количе-
ство»,—и всё. Но от строгого и гениального ума Ньютона
это противоречивое употребление бесконечно малой вели-
чины ускользнуть не могло. Над его разрешением Пыотоп
размышлял 20 лет1), п хотя разрубить «гордиев узел»
ему пе удалось, он значительно дальше продвинулся впе-
рёд в разрешении вопроса ио сравнению со своими пред-
шественниками Кавальерп и Валлисом.
Мы не ставим знака равенства между валлпсовойтео-
рией пределов и ньютоновским методом первых и послед
пих отношений. У Валлиса мы встречаем одну неизменную
точку зрения, ярко выраженную им в «Арифметике бес-
конечных» (одно пз первых математических сочинении
Валлиса). В последующих сочинениях мы не замечаем
сколько-нибудь заметного отхода от первоначальной кон-
цепции предела. Взгляды Ньютона постепенно эволюцио-
нировали: в раннпх своих работах он свободно пользует
ся бесконечно малыми; в среднем периоде—в эпоху со-
здания «Начал»—оп поднялся па значительно более «со-
временную», если можно так выразиться, точку зрения в
понимай пи роли предельного перехода в обосновании диф-
ференциального и интегрального исчисления, хотя до
конца не смог разрешить логических трудностей п здесь;
наконец, в более поздний период творческой деятельности
(«Метод квадратур», 1704 г.) мы встречаем, наряду с «пер
вымп и последними отношениями», и старое бесконечно
малое—«момент», которым Пыотоп спокойно «пренебре-
гает» прп сравнении с конечными величинами2). Это по-
Э От «Анализа с помощью уравнений с бесконечным числом
членов» (1665) до «Начал натуральной философии» (1686).
2) См., напрпмер, в упомянутой «Квадратуре кривых» «Поло-
жение I» (И. Ньютон, Математические работы, стр. 170—171).
ajOlIPOCbl ОБОСНОВАНИИ ЛИЛ ШЗД у t< .VI ЛИСА И НЬЮТОНА 50?
«следпее оостоятельст подлипший раз подтверждает, что для
Ньютона ещё не ясно оыдо полностью содержание поня-
тии бесконечно малой величины и предела.
Вал.тпсова теория пределов получила у Ньютона
значительное развитие вширь. Высказанные иногда с пол-
ной ясностью, а иногда как бы мимоходом ио какому-либо
•частному случаю мысли Валлиса выросли в фундамен-
тальные предложения ньютоновой работы «О методе пер-
вых и последних отношений, при помощи которого после-
дующее доказывается»/. Здесь содержится ряд и таких
лемм, зачатков которых мы вовсе не встречаем у Валлиса.
Например, Валлис всегда пользуется «равновысотными».-
«вписанными и описанными параллелограммами»; Нью-
тон же в лемме 111 доказывает, что вписанные и описан-
ные ступенчатые фигуры можно строить п пз разновы-
сотных параллелограммов, лишь бы при увеличении числа
таких параллелограммов до бесконечности наибольшая
высота параллелограмма стремилась к пулю.
Валлис, как мы упоминали выше, первым применил
процедур) предельного перехода для образования опре-
делённого интеграла; Ньютон первым сделал попытку
выяснить математическую сущность флюксии (отношения
двух бесконечно малых) с помощью метода первых в по-
следних отношений. Наконец, сам факт выделения основ-
ных предложений (лемм) теории пределов в виде специ-
ального отдела такого большого фундаментального труда,
как «Математические начала натуральной философии»,
говорит о том, что Ньютон придавал этим предложениям
весьма важное, принципиальное значение в системе но-
вой математики, творцом которой он был сам. И если он
до конца не разглядел ещё путей той логической пере-
стройки, которая должна была произойти в математике
бесконечно малых именно на базе теории пределов, то во
всяком случае интуитивно предчувствовал их. Сам заго-
ловок, а также и указания в тексте упомянутого сочине-
ния подтверждают это.
Однако, хотя Ньютон н сделал шаг вперёд но сравне-
нию с Валлисом в развитии теории пределов вширь, в офор
млении теории пределов как таковой, всё же понимание
сущности предельного перехода и бесконечно малого,
форма применения процедуры предельного перехода, Ш-
чодыыс элементы теории пределов—у обоих авторов сов-
падали 1).
9 Представ.гало бы интерес исследовать вопрос о том. в какой
кере оказал влияние на Валлиса Григории сен-Винцент, с «Гео-
метрическим трудом» (IG47) которого Валлис был знаком. К сожа-
лению я должен оставить этот вопрос открытым, ибо с упомянутым
сочинением Григория л не мог познакомиться, а того, что мио
удалось найти о нём у других авторов, недостаточно. чтоОЫ отве
тнть на поставленный вопрос. О влиянии Такэ на Валлиса говорить
яе приходится, так как труды обоих авторов появились почти
одновременно.